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Aplicación del teorema de Castigliano a la resolución de problemas estáticamente indeterminados
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Investigacion Sobre Teoremas
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Estructuras Hiperestaticas
Ejercicio resuelto de un pórtico
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Aplicación del teorema de Castigliano a la resolución de problemas estáticamente indeterminados indeterminados Este teorema se utiliza en la r esolución de problemas estáticamente indeterminados.
Estudiaremos primeramente aquellos problemas en los que las cantidades hiperestáticas forman parte de las ligaduras, es decir, son elementos del sistema de reacción en los apoyos. Sean X, Y,
Z…las fuerzas de reacción estáticamente indeterminadas. La energía de deformación del sistema
será una función de estas fuerzas. Para apoyos fijos o apoyos cuyo movimiento será perpendicul a la dirección de las reacciones, reacc iones, las derivadas parciales de la energía de deformación re specto a fuerzas desconocidas deberán ser nulas, de acuerdo con el teorema de Castigliano. Por consiguiente,
De este modo se tienen tantas ecuaciones como reacciones hiperestáticas. Se observara que las ecuaciones representan las condiciones de mínimo de la función U, lo que nos dice que las fuerzas fuerzas de reacción hiperestáticas toman los los valores necesarios para que que sea
mínima la energía de deformación del sistema. Esta propiedad constituye el principio del trabajo mínimo tal como se aplica a la determinación de ligaduras hiperestáticas. Como ejemplo de aplicación de este principio, consideramos una viga empotrada por un extremo y apoyada
por el otro, sometida a la acción de un carga uniformemente repartida. Este Sign up to vote on this title problema tiene una ligadura Useful Not useful hiperestática. Tomando la reacción en apoyo derecho X como ligadura
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Sustituyendo en (a), se obtiene
∫ ∫ De donde
En lugar de la reacción X, pudo haberse tomado como ligadura hiperestática el par
, en el
empotramiento del extremo izquierdo de la viga. En ese caso habríamos expresado la energía de deformación en función de sección es
. la ecuación (b) es valida. El momento flector para cualquier
Como la sección del empotramiento no gira cuando la v iga se flexa, la derivada de la energía de
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∫ ∫ * +
deformación respecto a
deberá ser cero. Expresando analíticamente esta condición , se tiene Unlock full access with a free trial.
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De donde el valor absoluto del momento es
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Los problemas en que se consideren como cantidades hiperestáticas las tensiones que
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Y por es:
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la energía de deformación de las barras inclinadas en la figura (a)
la energía de deformación de la barra vertical figura (b), la energía de deformación tota
es el desplazamiento real hacia abajo del nudo O la derivada con relación a X de la energía U
del sistema de la figura (a) será igual a
, puesto que la fuerza X del sistema tiene dirección
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opuesta a la del desplazamiento . Al mismo tiempo, la derivada
valdrá ; por consiguiente,
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Se ve que el verdadero valor de la fuerza X en la barra sobrante es el que hace mínima la e nergía
de deformación total del sistema. Poniendo, en vez de U, su valor (c), en la ecuación (d)se obtie Sign up to vote on this title
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representaremos por
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, siendo i el numero de orden de la barra; segundo, las que se originan
dichas barras cuando se prescinde de las carga exterior P y se pone en lugar de las fuerzas X dos fuerzas unidad
Estas ultimas tensiones o fuerzas interiores las representaremos por
. La fuerza interna
correspondiente a cada barra, cuando actúan simultáneamente la fuerza P y las fuerzas X, ser
La energía de deformación total del sistema será:
a Preview You're (Reading ) Unlock full access with trial. a free Download With Free Trial
La ecuación se extiende a todas las barras del sistema, incluso a la CD, de que habíamos prescindido. Se aplica ahora el teorema de Castigliano y la derivada de U respecto a X da el desplazamiento de los extremos F y
, el uno hacia el otro. Sign up to vote on this title
Useful Not useful es consiguiente, En el caso actual, la barra es continua y este desplazamiento cero. Por
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∑ ∑ Este procedimiento es también aplicable a un sistema en el que existen varias barras sobrantes. El principio del trabajo mínimo puede aplicarse también en el casi de que las cantidades
hiperestáticas sean pares. Consideremos por ejemplo, una viga sobre tres apoyos uniformement cargada:
You're Reading en a Preview Si se toma como ligadura hiperestática e l momento el apoyo central y se corta la viga por el apoyo B, se obtendrán dos vigas apoyadas en la figura (b) cargadas con los pares desconocidos
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, además de con la carga uniforme conocida de valor q. al no existir rotación del extremo B’
respecto al extremo del B”, debido a que en nuestro caso (figura (a)) , la elástica es una curva continua.
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Useful Not useful Expresión que indica que también en este caso e l valor que corresponde a la cantidad hiperestática hace mínima la energía de deformación del sistema
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Ejemplo.
La carga vertical P esta sostenida por una barra vertical DB de longitud y sección
barras igualmenten inclinadas de longitud y sección la relación
y por dos
.determinar las tensiones en las barras y
, para la que dichas tensiones son numéricamente iguales.
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial Solución:
El sistema es hiperestático. Sea X la fuerza de extensión de la barra vertical. Las fuerzas de Sign up to vote on this title compresión en las barras inclinadas serán y la energía de deformación del sistema es Useful Not useful
√
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√ Se obtiene
√
Ejemplo. Determinar la reacción horizontal X en el sistema representado en siguiente figura
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Download With Free Trial Solución:
Sign up to vote on this title La fuerza desconocida X intervendrá solamente en la parte de energía potencial de flexión que Useful Not useful corresponde el trozo AB de la barra. Para este trozo, , y la ecuación del trabajo mínimo da:
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