APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS A UNA BARRA CONDUCTORA DE CALOR 1.- Formulació !"l Pro#l"ma Para este caso aplicaremos el método del elemento finito a una barra conductora con extremos a temperaturas diferentes, la barra conducirá calor y en el trayecto de la barra la temperatura variará desde el valor de la temperatura en un extremo hasta el valor de la temperatura en el otro extremo, estas dos temperaturas vienen a ser las condiciones de frontera o de contorno de esta función de temperatura, dado que la temperatura en este caso es una función de la posición para este problema unidimensional, el problema es poder determinar la temperatura en los puntos contenidos entre el extremo inicial y el extremo final, como veremos la ecuación que describe la susodicha función es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, cuyas variables son la posición y el tiempo, para este caso solo nos importará como varía la temperatura en función de la posición, al tratar de tomar la función primera derivada como una variación de la temperatura dividido entre la diferencia de posición estamos asumiendo que la función primera derivada de la temperatura es una función lineal, pero esto no es así por lo que los resultados y los puntos de la curva serán más aproximados a los reales en cuanto tengamos más elementos sobre los cuales estamos suponiendo esta linealización, para ello utilizaremos la ya conocida función de interpolación de primer orden, incluyendo el factor externo que en este caso es una función de calor que depende de la posición es decir de “x, se empezará con la discretización de los elementos es decir toda la barra se dividirá en segmentos más peque!os donde suponemos que" dT dx
=
T 2− T 1 x 2− x 1
#demás de de reducir reducir el orden orden de la ecuación ecuación diferencial diferencial que caracter caracteriza iza la función función de temperatura respecto de “x para los elementos se obtendrá una matriz de rigidez que relaciona los valores de la temperatura en los nudos con los valores de las derivadas de las temperaturas en dichos nudos también, luego se procede a reemsamblar el elemento sumando las ecuaciones obtenidas, ya que uno de los nudos se repite en la siguiente ecuación el valor de la derivada en el nudo que se repite se eliminará, al final de ello obtendremos un sistema de ecuaciones de n variables y n incógnitas, donde n sería el n$mero de nudos analizados, de lo que deducimos que estas ecuaciones son resolvibles, pudiendo utilizar el método de %ramer, &auss'(ordan o )liminación gaussiana, una vez con los valores de las temperaturas en los nudos podríamos generar un polinomio de interpolación que sería la función aproximada de como varía la temperatura seg$n la posición*
$.-O#%"&i'o() *""ral"() . #plica #plicació ción n del método método de element elementos os finito finitos s para resolució resolución n de ecuaciones diferenciales*
. )ste )ste méto método do es adapt adaptabl able e a probl problem emas as de difu difusi sión ón de calo calorr, esfuerzos y deformaciones*
. )l método consiste en crear divisiones a un cuerpo o estructura llamados elementos*
. #demás, este método conforme tengamos más elementos, este nos dará una solución más aproximada*
E(+"c,ico() . %onocimiento y aplicación del método del elemento finito en la rama de +ngeniería ecánica*
. #plicar el método de elementos finitos para el caso de una barra donde circula un flu-o de calor*
. )stud studia iarr el comp compo orta rtamien miento to de fluflu-o o de calor alor en una una barr barra a unidimensional*
.-/USTIFICACION DEL PROBLEMA )s importante conocer como varia la temperatura a lo largo de una barra debido a la transferencia de calor porque así se podrá conocer parámetros de dise!o, toman tomando do en cuen cuenta ta la dilata dilatació ción n de ob-et ob-eto, o, cuan cuando do se quie quiera ra reali realiza zarr un proyecto de ingeniería, en el cual habrá condiciones físicas particulares de acuerdo al proceso que se estará realizando
0.-MARCO TEORICO 0.1.-INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR .a /ransferencia de calor es la energía en tránsito debido a una diferencia de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos diferentes*
0iempre que exista una diferencia de temperatura, la energía se transfiere de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura 1e acuerdo con los conceptos de la /ermodinámica, la energía que se transfiere como resultado de una diferencia de temperatura es el calor* '.as leyes de la termodinámica tratan de la transferencia de energía, pero sólo se aplican a sistemas que están en equilibrio 2pueden utilizarse para predecir la cantidad de energía requerida para modificar un sistema de un estado de equilibrio a otro3, pero no sirven para predecir la rapidez 2tiempo3 con que pueden producirse estos cambios* '.a transferencia de calor, complementa los principios termodinámicos, proporcionando métodos de análisis que permitan predecir esta velocidad de transferencia térmica*
)-emplo" )l calentamiento de una barra de acero inmersa en agua caliente, los principios termodinámicos se pueden utilizar para predecir las temperaturas finales una vez los dos sistemas hayan alcanzado el equilibrio y la cantidad de energía transferida entre los estados de equilibrio inicial y final, pero nada nos dice respecto a la velocidad de la transferencia térmica o la temperatura de la barra al cabo de un cierto tiempo, o del tiempo que haya que esperar para obtener una temperatura determinada en una cierta posición de la barra* 4ealizando un análisis de la transmisión de calor, permite predecir la velocidad de la transferencia térmica del agua a la barra y de esta información se puede calcular la temperatura de la barra, así como la temperatura del agua en función del tiempo* 'Para proceder a realizar un análisis completo de la transferencia del calor es necesario considerar tres mecanismos diferentes" conducción, convección y radiación* ')l dise!o y proyecto de los sistemas de un intercambio de calor y conversión energética requieren de cierta familiaridad con cada uno de estos mecanismos, así como de sus interacciones*
0.$.-TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN .a conducción, es el $nico mecanismo de transmisión de calor posible en los medios sólidos opacos, cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura* )l calor se trasmite de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura, debido al movimiento cinético o el impacto directo de las moléculas
como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastre de los electrones como sucede en los metales* .a ley básica de la conducción del calor 2(oseph 5ourier3, establece" La &a(a !"
&ra("r"cia !" calor +or co!ucció " ua !ir"cció !a!a "( +ro+orcioal al 2r"a ormal a la !ir"cció !"l lu%o !" calor 3 al 4ra!i"&" !" &"m+"ra&ura " "(a !ir"cció5.
)l flu-o real de calor depende de la conductividad térmica 263, que es una propiedad física del cuerpo )l signo 2'3 es consecuencia del segundo principio de la termodinámica, seg$n el cual el calor debe fluir hacia la zona de temperatura mas ba-a* )l gradiente de temperatura es negativo si la temperatura disminuye para valores crecientes de x, por lo que el calor transferido de la dirección positiva debe ser una magnitud positiva, por lo tanto, al segundo miembro de la ecuación anterior hay que introducir un signo negativa, esto se puede ver en la figura 78 93
0..-ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN
0..1.-D"!ucció !" la Ecuacio Di"r"cial +ara la co!ucció !" calor
.a energía :x que entra por conducción al elemento de volumen infinitesimal en la dirección x es"
.a energía saliente en la misma dirección
)l balance de energía que atraviesa el elemento de volumen en la dirección
x"
0.0.-ECUACIÓN DE POISSON PARA EL CASO UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIO 1e la ecuación para regiones estacionarias ;)cuación de Poisson
Para el caso unidimensional en el e-e x 0e tiene
Por lo tanto
6 -0.7.- METODOLO*8A DE SOLUCIÓN POR EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PARA EL CASO DE UNA BARRA UNIDIMENSIONAL EN CONTACTO CON UN MEDIO 9UE LE TRANSFIERE CALOR POR CONDUCCIÓN )n la figura <*9 se muestra un sistema que puede modelarse mediante la forma uní dimensional de la ecuación de Poisson
============= 2<*93
donde f2x3 > una función que define una fuente de calor a lo largo de la barra, y donde los extremos de la barra se mantienen a temperaturas fi-as,
Figura 4.1 a) Barra larga y delgada sujeta a condiciones de frontera fijas y una fuente de calor continua a lo largo de su eje. b) Representación del elemento finito que consta de cuatro elementos de igual longitud y cinco nodos.
<*?*9*' 1iscretización @na configuración simple para modelar el sistema consiste en una serie de elementos de igual longitud* #sí, el sistema se trata como cuatro elementos de igual longitud y cinco nodos*
<*?*A*' )cuaciones de los elementos )n la figura <*Aa se muestra un elemento individual* .a distribución de temperatura para el elemento se representa por la función de aproximación
============= 2<*A3 donde 79 y 7A > funciones de interpolación lineales* 1e esta manera, como se ilustra en la figura <*A b, la función de aproximación corresponde a una interpolación lineal entre las dos tempera'turas nodales* 1ebido a su aplicabilidad general en ingeniería se resolverá por el método de los residuos ponderados.
Figura 4.2 a3 @n elemento individual, b3 5unción de aproximación usada para caracterizar la distribución de temperatura a lo largo del elemento*
El método de los residuos ponderados. .a ecuación diferencial 2<*93 se re expresa como
============= 2<*B3
.a solución aproximada )cuación 2<*A3 se sustituye en esta ecuación* %omo esta ecuación no es la solución exacta, el lado izquierdo de la ecuación resultante no será cero, sino que será igual a un residuo,
============= 2<*<3
)l método de los residuos ponderados 24P3 consiste en encontrar un mínimo para el residuo, de acuerdo con la fórmula general
============= 2<*?3
donde 1 > dominio de la solución y Ci > funciones de ponderación linealmente independientes* )l procedimiento más com$n para el método del elemento finito consiste en emplear las funciones de interpolación 7i como las funciones de ponderación* %uando éstas se sustituyen en la ecuación 2<*?3, el resultado se conoce como el método de &aler6in,
============= 2<*D3
)n nuestra barra unidimensional, la ecuación 2<*<3 se sustituye en esta formulación para dar
============= 2<*E3
que se pueden re expresar como sigue"
========= 2<*E3
#hora, se aplicarán varias manipulaciones matemáticas para simplificar y evaluar la ecuación 2<*E3* @na de las más importantes es la simplificación del lado izquierdo usando la integración por partes* 1el cálculo, recuerde que esta operación se expresa como
0i u y v se eligen adecuadamente, la nueva integral en el lado derecho será más fácil de evaluar que la integral original del lado izquierdo* )sto se puede hacer para el término del lado izquierdo de la ecuación 2<*E3, escogiendo 7i2x3 como u, y 2dA/FdxA3 dx como dv, se obtiene
===== 2<*G3
#sí, hemos dado el importante paso de ba-ar el orden en la formulación" de una segunda a una primera derivada* # continuación, se eval$a cada uno de los términos que hemos creado en la ecuación 2<*G3* Para i > 9, el primer término del lado derecho de la ecuación 2<*G3 se eval$a como sigue
0in embargo, de la figura B9*B recuerde que 792xA3 > H y 792x93 > 9 y, por lo tanto,
====**===== 2<*I3
====*===== 2<*9H3
#sí, el primer término en el lado derecho de la ecuación 2<*G3 representa las condiciones de frontera naturales en los extremos de los elementos* #hora, antes de continuar, reagrupemos sustituyendo en la ecuación original los términos correspondientes por nuestros resultados* )mpleamos las ecuaciones 2<*G3 a 2<*9H3 para hacer las sustituciones correspondientes en la ecuación 2<*E3J para i > 9,
====**===== 2<*993
====**===== 2<*9A3
Kbserve que la integración por partes nos llevó a dos importantes resultados* Primero, ha incorporado las condiciones de frontera directamente dentro de las ecuaciones del elemento* 0egundo, ha ba-ado la evaluación de orden superior, de una segunda a una primera derivada* )ste $ltimo resultado tiene como consecuencia significativa que las funciones de aproximación necesitan preservar continuidad de valor, pero no pendiente en los nodos* Kbserve también que ahora podemos comenzar a darles significado físico a cada uno de los términos que obtuvimos* )n el lado derecho de cada ecuación, el primer término representa una de las condiciones de frontera del elementoJ y el segundo es el efecto de la función de fuerza del sistema, en este caso, la fuente de calor f2x3* %omo ahora será evidente, el lado izquierdo representa los mecanismos internos que rigen la distribución
de la temperatura del elemento* )s decir, en términos del método del elemento finito, el lado izquierdo será la matriz de propiedad del elemento* Para ver esto nos concentramos en los términos del lado izquierdo* Para i > 9, el término es
==**====**===== 2<*9B3
.a naturaleza lineal de la función hace que la diferenciación y la integración sean sencillas* 0i empleamos las ecuaciones 2<*9<3 y 2<*9?3
==**====**===== 2<*9<3
**==**====**===== 2<*9?3
#demás
LLMM
para hacer las sustituciones correspondientes en la ecuación 2<*9B3, obtenemos
**==**====**===== 2<*9D3
1e manera similar para i>A )cuación 2<*9A3
**==**====**===== 2<*9E3
)xpresando las ecuaciones 2<*9D3 y 2<*9E3 en forma matricial como sigue"
0i este resultado se sustituye en las ecuaciones 2<*993 y 2<*9A3, y después se expresa en forma matricial, obtenemos la versión final de las ecuaciones de los elementos*
=**===== 2<*9G3
E%"rcicio 1ada una barra de 9H cm, con condiciones en la frontera de T 2H,t 3 > GH y T 29H,t 3 > 9EH y una fuente de calor uniforme con f 2 x 3 > A?* @tilice diez elementos del mismo /ama!o con longitud > 9cm 0olución" Para cada elemento la ecuación que utilizaremos será
[ ][
X 2
1
[
−1
1
X 2− X 1 −1
1
dT ( X 1 ) T 1 dx = + dT T 2 ( X 2 ) dx
][ ]
∫ f ( x) N ( x) dx ∫ f ( x) N ( x) dx X 1
)ntonces para este caso X 2− X 1=2.5 1
X 2− X 1
=0.4
#hora para la integral X 2
∫ f ( x ) N ( x ) dx 1
X 1
1onde f ( x )=25 N 1 ( x )=
N 1 ( x )=
x 2− x x 2− x 1
2.5
− x
2.5
)ntonces X 2
2.5
∫ f ( x ) N ( x) dx=∫ 25 2.52.5− x dx 1
X 1
0
2.5
=31.25 ∫ 25 2.52.5− x dx=25 x −5 x 2.5 0 2
0
1
X 1 X 2
2
]
H*<
'H*<
H
H
H
'H*<
H*<
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
T 1
T 2
−dT
0
dx
( X ) 1
NB9*A?
dT ( X 2 ) NB9*A? dx
0
H 0
H
.e sumamos las ecuaciones del elemento A nudos H*<
'H*<
H
H
H
'H*<
H*G
'H*<
H
H
H
'H*<
H*<
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
AyB
T 1
T 2
−dT
T 3
dx
( X ) 1
dT dT ( X 2 ) ' ( X 2 ) dx dx NB9*A?NB9*A?
0
dT ( X ) NB9*A? dx 3
0
H .e sumamos las ecuaciones del elemento B nudos By< H*<
'H*<
H
H
H
'H*<
H*G
'H*<
H
H
H
'H*<
H*G
'H*<
H
H
H
'H*<
H*<
H
H
H
H
H
H
T 1
T 2
T 3
T 4
NB9*A?
H
−dT dx
( X ) 1
NB9*A?
62.5 62.5
0
dT ( X ) NB9*A? dx 4
.e sumamos las ecuaciones del elemento < nudos
H*<
'H*<
H
H
H
'H*<
H*G
'H*<
H
H
H
'H*<
H*G
'H*<
H
H
H
'H*<
H*G
'H*<
H
H
H
'H*<
H*<
T 1
T 2
T 3
T 4
T 5
H
−dT dx
( X ) 1
NB9*A?
62.5 62.5
DA*?
#comodando y aplicando las condiciones de frontera
¿ 'H*<
T 2
H*<2 −dT ( X 1 ) NB9*A? dx 80
> 'H*< ( 80 ) NH*G T 2 'H*<
T 3
>
DA*?
'H*< T 2 NH*G T 3 'H*< T 4
T 3
'H*<
dT ( X ) NB9*A? dx 5
'H*<
'H*< ( 170 )
T 4
NH*G
T 4
>
NH*< ( 170 )
>
>
DA*?
DA*?
dT ( X ) NB9*A? dx 5
4eacomodando dT ( X ) 'H*< dx 1
T 2
> 'H*E?====***293
NH*G T 2 'H*<
'H*<
T 2
T 3
NH*G
'H*<
T 3
T 3
> I<*?=====*2A3 'H*<
T 4
NH*G T 4
H*< T 4 N
dT ( X ) dx 5
> DA*?=====*2B3 >9BH*?====****2<3 > BD*E?====****2?3
'0umando ecuación 2A3 con 2<3 H*G
T 2
'H*G
T 3
NH*G
T 4
> AA?===**2D3
'ultiplicando por A la ecuación 2B3 'H*G T 2 N9*D T 3 'H*G T 4 > DA*?===2E3
'0umando 2D3 y 2E3 H*G T 3
T 3
>AGE*?
>B?I*BE? 8%
'4emplazando en 2<3 'H*<2B?I*BE?3 NH*G
T 4
>9BH*?
H*G T 4 >AE<*A? T 4
>B
'4emplazando en 2A3 H*G T 2 'H*<2B?I*BE?3 >I<*? H*G
T 2
>ABG*A?
T 2 >AIE*G9A? 8%
'4emplazando en 293 dT ( X ) 'H* dx 1
<2AIE*G9A?3 >'H*E?
dT ( X ) > 99G*BE? 8%Fcm dx 1
'4emplazando en 2?3 dT ( X ) NH*<2BBD*E? dx 5 dT ( X ) > '9HH*BE? 8%Fcm dx 5
4esultados
dT ( X ) dx 1
99G*BE? 8%Fcm
T 2
AIE*G9A? 8%
T 3
B?I*BE? 8%
T 4
B
dT ( X ) dx 5
'9HH*BE? 8%Fcm
7.- Ma&"rial !" Tra#a%o :;ir&ual<
+nternet Oibliografía irtual Kffice &rapher
=.-Bi#lio4ra,a)
/ermodinámica Ema )dición Qunus %engel, ichael Ooles
étodos 7uméricos para +ngenieros 0teven Ema )dición 0teven 4aymond P* %anale
%hapra,
