Flujo de Calor en Una Barra Infinita

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA Matemáticas Avanzada Grupo #4  Tema:

Flujo de calor en una barra infinita

Realizado por:

Mateo Quizhpi Paúl Dután Juan Maldonado Paúl Barros

Flujo de calor en una barra infinita Podemos encontrar soluciones de la ecuación de calor de una barra que se extiende hasta el infinito por ambos lados. Particularmente se encontraran soluciones de la ecuación del calor:

de una barra que se extiende hasta el infinito por ambos lados y está asilada lateralmente. En este caso no se tienen condiciones de frontera, sino únicamente la condición inicial:

En donde

es la temperatura inicial dada en la barra.

Podemos resolver este problema sustituimos en la ecuación de calor. Entonces obtenemos las dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

Las soluciones son:

Donde A y B son constantes cualquiera.

Entonces una solución de la ecuación de calor seria:  c2 p 2t 

u  x, t; p   FG   A cos(px)  Bsen( px)  e

Considerando que A y B son arbitrarios, pueden considerarse como funciones de p obteniendo  A  A( p) y  B  B( p) . Considerando que la ecuación de calor es lineal y homogénea, entonces una solución de la ecuación de calor sería:

Siempre que esta integral exista y pueda derivarse dos veces con respecto a x y una con respecto a t.



Determinación de A(p) y B(p) a partir de la condición inicial.

De:

Obtenemos:

De esta expresión A(p) y B(p) se obtienen en términos de f(x):

La integral de Fourier con A(p) y B(p) sería:

A partir de de la integral:

se obtiene

escribiendo la función exponencial dentro

Suponiendo que puede invertirse el orden de integración se obtiene:

Entonces la integral interior puede evaluarse por la fórmula:

Esta expresión asume la forma de la integral interior si se elige como nueva variable de integración y se hace:

Entonces:

ds



c tdp

Por lo tanto quedaría de la siguiente manera:

Al introducir este resultado en

se obtiene la representación:

 (x  v)2  U ( x, t )  f (v)exp    dv 2   2c   t   4c t   1

Tomando  z



  v  x  /  2c t   como variable de integración, se obtiene la

forma alternativa:

U ( x, t ) 

1   











f x  2cz t e

 z 2

dz  

Ejemplo: Encontrar la temperatura de la barra infinita si la temperatura es la mostrada en la gráfica con sus respectivos límites.

 U 0  const   f ( x)    0

si x  1 



 si x  1 

Solución:

 (x  v)2  U ( x, t )  f (v) exp    dv   2   4 c t  2c   t    1

De la ecuación:



tenemos:

 (x  v)2  U ( x, t )  exp    dv 2  1  2c   t   4c t   U 0

Tomando  z

1

  v  x  /  2c t   como variable de integración, entonces la

integración respecto a v de -1 a 1 correspondería a la integración respecto a z de  1  x  / 2c t  a 1  x  / 2c t   obteniendo:

U ( x, t ) 

U 0   

Gráfica en Matlab:

1 x /2 c



t 

 1 x  /2c t 

e

 z 2

dz

t   0