Introducción a los Métodos de Elementos Finitos George Oscar Hualpa Sotelo Bachiller en Matemáticas e Informática
Introducción El método de los elementos finitos (MEF) (MEF) es un método numérico que en estos últimos años ha adquirido una gran importancia en la solución de problemas finitos de ingeniería y de la física matemática. Las soluciones analíticas son los dados por una expresión matemática que da los valores de las cantidades deseadas desconocidos en cualquier ubicación en un cuerpo y, y , por tanto válida para un número infinito de lugares en el mismo.
Introducción El método de los elementos finitos (MEF) (MEF) es un método numérico que en estos últimos años ha adquirido una gran importancia en la solución de problemas finitos de ingeniería y de la física matemática. Las soluciones analíticas son los dados por una expresión matemática que da los valores de las cantidades deseadas desconocidos en cualquier ubicación en un cuerpo y, y , por tanto válida para un número infinito de lugares en el mismo.
En pocas palabras, la solución para los problemas estructurales típicamente se refiere a la determinación de los desplazamientos en cada nodo y las tensiones dentro de cada elemento que componen la estructura que se somete a las cargas aplicadas.
Breve historia del método
El desarrollo moderno del método de los elementos finitos se inició en la década de 1940 en el campo de la ingeniería estructural con el trabajo por Hrennikoff en 1941 y McHenry en 1943. Courant propuso la creación de la solución de las tensiones en una forma variacional en 1943. En 1947 Levy desarrolló la flexibilidad o el método de la fuerza, y en 1953 su obra sugiere que otro método (el método de desplazamiento o rigidez). El primer tratamiento de elementos bidimensionales era por Turner en 1956.
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollado métodos matriciales de análisis estructural utilizando los principios de la energía. Extensión del método de elementos finitos para problemas tridimensionales con el desarrollo de una matriz de rigidez tetraédrica hecho por Martin en 1961, por Gallagher et al en 1962, y en 1963 por melosh. Adicionales elementos tridimensionales fueron estudiados por Argyris en 1964, el caso especial de los sólidos axisimétricas fue considerado por Clough y rashid y Wilson en 1965.
Conceptos Generales La idea general del método de los elementos finitos es la división de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos. Discretizacion
Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento. De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no.
Pasos a seguir en el empleo del MEF A continuación se presentan los pasos, junto con las explicaciones necesarias en este momento, que se utilizan en la formulación de elementos finitos y la solución de un problema estructural.
PASO 1.- Discretizar y seleccionar los tipos de elementos, consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de elementos finitos con nodos asociados y seleccionando el tipo de elemento más adecuado para modelar más de cerca el comportamiento físico real.
PASO 2.- consiste en elegir una función de desplazamiento dentro de cada elemento. La función se define dentro del elemento utilizando los valores nodales del elemento. Polinomios lineales, cuadráticas y cúbicas son funciones de uso frecuente debido a que son fáciles de trabajar en la formulación de elementos finitos. Sin embargo, las series trigonométricas también se puede utilizar.
PASO 3.- Definir las relaciones tensión / desplazamiento y la tensión / deformación cepa / desplazamiento y de esfuerzo / deformación relaciones que son necesarias para derivar las ecuaciones para cada elemento finito.
PASO 4.- Deducir la Matriz de rigidez del elemento y ecuaciones inicialmente, el desarrollo de matrices de rigidez del elemento y ecuaciones elemento se basa en el concepto de coeficientes de influencia de rigidez.
Paso 5.- ensamblar las ecuaciones elemento para obtener las ecuaciones globales o total e introducir condiciones de contorno.
La ecuación final ensamblados global o por escrito en la forma es {F} = [k] {d}
PASO 6.- Resuelve para los Grados desconocidos de la Libertad (o desplazamientos generalizados)
PASO7.- Resuelva para las cepas del elemento y subraya.
PASO 8.- Interpretar los resultados
Tipos de elementos finitos
Elementos unidimensionales ◦
En estructuras son elementos tetraédricos, hexaédricos o prismáticos.
Los nodos no tienen por qué estar solamente en los vértices. Puede haber en los lados y en el interior del elemento ◦
En estructuras son elementos planos cuadrilaterales o triangulares.
Elementos tridimensionales ◦
Cuadrilateral
Elementos bidimensionales ◦
En estructuras son elementos tipo barra.
Esto implica más complejidad en el estudio del elemento
En cada nodo puede interesarnos considerar uno o varios grados de libertad. ◦
◦
Recordemos: los grados de libertad en problemas estructurales simples son desplazamientos y/o giros de los nodos. A menor número de G.D.L. más simple es el problema.
Hexaédrico
Resumen del método 1.
Discretizar la estructura en elementos
2.
Obtener la matriz de funciones de forma [Ne] ◦
3.
Funciones que tienen valor 1 en el nodo correspondiente y 0 en el resto.
Identificar las condiciones de ◦
◦
Compatibilidad [∂]: que relacionan deformaciones y desplazamientos de los elementos. Comportamiento [D]: que relacionan tensiones y deformaciones. Ley de Hooke en casos elásticos . (TENSION)
4.
Obtener la llamada matriz de deformación del elemento [Be]
5.
Obtener la matriz de rigidez del elemento [k e]
D B N u
e
e
e
Be D Be d Ve T
k e
6. 7.
8.
P e T Ne qe dV e F e V Ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura. T Obtener el vector de fuerzas {F e} a través de las fuerzas en los N e pe dS e nodos equivalentes a las cargas distribuidas de volumen qe o de S superficie pe. Considerando los diferentes vectores de fuerzas V
e Pasar las matrices de rigidez elementales a coordenadas globales si es necesario
e
e
elementales se obtiene el global {F 0} 9.
Resolver la ecuación matricial para obtener los desplazamientos de los nodos y las reacciones.
F K 0
0
0
Algunos ejemplos de simulación numérica del MEF
Estructuras civiles
Comportamiento mecánico de una presa de concreto
Comportamiento mecánico de los tableros del puente
Proceso de fractura en el concreto reforzado
Proceso de fractura en el concreto simple
Pandeo en elementos de acero
Estructuras mecánicas Simulación numérica del comportamiento mecánico
Biomecánica
Estudio del odio medio
Comportamiento de la estructura ósea Interacción de flujo sanguíneo con la pared arterial
Comportamiento mecánico de los ligamentos
Aplicaciones de los Métodos de Elementos Finitos
La discretización de la torre del control (28 nudos, 48 elementos de viga) con grados de libertad típicos mostrados en el. El propósito de este análisis fue para localizar áreas de alta concentración de tensiones en el extremo del vástago.
La Figura anterior ilustra una torre de control de un ferrocarril . La torre es una estructura tridimensional que comprende una serie de elementos de tipo de viga. Los 48 elementos son etiquetados por los números dentro de círculos, mientras que los 28 nodos se indican mediante los números fuera del círculo. Cada nodo tiene tres rotación y tres componentes de desplazamiento asociados. Las rotaciones (θs) y desplazamientos (ds) son llamados los grados de libertad.
Otras Aplicaciones
Ingeniería estructural
Resistencia de materiales
Mecánica de fluidos
Ingeniería nuclear
Electromagnetismo
Campos eléctricos
Propagación de ondas
Conducción del calor
Procesos de convección – difusión
Ingeniería de petróleo
Procesos de reacción – difusión
Ventajas del MEF
Tratamiento de geometrías complicadas
Condiciones de borde generales
Propiedades materiales no lineales o variables
La estructura clara del método permite crear códigos multipropósito generales
Fundamentos teóricos sólidos
Confiabilidad
Posibilidad de estimación de error
Programas informáticos para el Método de los Elementos Finitos Existen dos métodos.
Una de ellas es utilizar grandes programas comerciales, muchos de los cuales han sido configurados para ejecutarse en ordenadores personales con el propósito general están diseñados para resolver muchos tipos de problemas.
El otro es el desarrollo variados pequeños programas de propósito especial para resolver problemas específicos
Bibliografía recomendada:
El Método de los Elementos Finitos aplicado al análisis estructural. Manuel Vázquez, Eloísa López. Ed. Noela 2001. Cálculo de Estructuras por el Método de los Elementos Finitos. Análisis elástico lineal. Eugenio Oñate. Ed. UPC 2004. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. O.C. Zienkiewicz, CBE, FRS. Sixt edition 2005
