Prob.1 Facultad de Ingeniería U.M.S.A Carrera: MEC-ELM Métodos Numéricos MEC-130 Matemática Aplicada MEC-212
Docente: Pastor Leandro Barrón Leitón Autor:Martin Laguna Altamirano MÉTODOS VARIACIONALES DE APROXIMACIÓN Para el siguiente problema de valor de frontera:
d 3 du x dx xu 2 0 dx
1 x
4
1 3 du 1 ; 4 x u dx 4 x 1 Hallar una solución con seis parametros médiante los metodos estudiados: Galerkin, Petrov-Galerkin, Minimos Cuadrados y Colocación. 1.
Introducir los siguientes datos extraidos del PVF:
x ,u 1
0
, x 2 , Q 0 , a x , c x , f x , n , incremento
4 x1 1 u0 4 x2 1 Q0 -1 va = x 3 vc x vf 2 PARAMETROS 6 INCREMENTO 0.2
2.
Determinamos las funciones de aproximación:
0 ( x ) , i ( x ) i 1
«0 =
f1 f2 f3 = f4 f5 f6 3.
17
- x
4 2
- 2 x - 8 x - 3 x - 52 4 x - 4 x - 240 5 x - 5 x - 1004 6 x - 6 x - 4072 7 x - 7 x - 16356 x
3
Escribimos la función de aproximación u(x):
=
u x
-x + + x 2 - 2 x - 8 k 1 + x 3 - 3 x - 52 k 2 + x 4 - 4 x - 240 k 3 + x 5 - 5 x - 1004 k 4 + x 6 - 6 x - 4072 k 5 + x 7 - 7 x - 16356 k 6 +
4.
Determinamos la función Resto-Residuo: Resto-Residuo:
a x
du dx
;
d du d a x ; c x u ; f x ; R x dx dx dx
17 4
du a x dx c x u f x
2
1Parcial.nb
a x *
du dx
dx d
* a x *
du
dx
=
c x * u f x 3
x
42
k 6 x
5
3
2
2
x - 2 k 1 +
2
3
2
x
- 1004
- 4072 + - 7 - 16356
- 3 k 2 + 4 x 3 - 4 k 3 + 5 x 4 - 5 k 4 + 6 x 5 - 6 k 5 + 7 x 6 - 7 k 6 - 1
+ 30 k 5 x + 20 k 4 x + 12 k 3 x + 6 k 2 x + 2 k 1 x 3 + 3 2 x - 2 k 1 + 3 x 2 - 3 k 2 + 4 x 3 - 4 k 3 + 5 x 4 - 5 k 4 + 6 x 5 - 6 k 5 + 7 x 6 - 7 k 6 - 1 x 2
4
3
4
5
-x -x + + x - 2 x - 8 k 1 + x - 3 x - 52 k 2 + x - 4 x - 240 k 3 + x - 5 x
6
k 4 + x
- 6 x
k 5
7
x
x
2
Resto - Residuo=62 k 6 x 8 + 47 k 5 x 7 + 34 k 4 x 6 + 23 k 3 x 5 - 8 k 3 x 2 - 10 k 4 x 2 - 12 k 5 x 2 -
14 k 6 x 2 - 2 x 2 + 7 x 2 - 4 x + + 8
k 1 x + 2
7
3
x
17 x
- 3 x + + 26 k 2 x + 240 k 3 x + 1004 k 4 x + 4072 k 5 x + 16356 k 6 x -
+2
4
k 6
+
17 4
4
1Parcial.nb
6.
valor valor de x
valor valor evalua evaluado do en u Galerkin x
1.
1.00128
1.2 1.4
0.833422 0.713717
1.6
0.624731
1.8 2.
0.55572 0.500287
2.2
0.454672
2.4
0.41658
2.6
0.384448
2.8 3.
0.357057 0.333381
3.2
0.3126
3.4 3.6
0.294146 0.277717
3.8
0.263141
4.
0.25
Graficamos la solución solución aproximada:
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 1 .5 Galerkin
2 .0
2 .5
3 .0
3 .5
4 .0
6
1Parcial.nb
6.
valor valor de x
valor valor evalua evaluado do en u Petrov-Galerkin x
1.
1.00034
1.2 1.4
0.832754 0.713525
1.6
0.62491
1.8 2.
0.556053 0.500574
2.2
0.454798
2.4
0.41653
2.6
0.384291
2.8 3.
0.356896 0.333307
3.2
0.312642
3.4 3.6
0.294254 0.277786
3.8
0.263101
4.
0.25
Graficamos la solución solución aproximada:
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 1.5 Petrov-Galerkin
2 .0
2.5
3.0
3.5
4.0
8
1Parcial.nb
6.
valor valor de x
valor valor evaluad evaluadoo en u MinimosCuadrados x
1.
1.00641
1.2 1.4
0.83738 0.715846
1.6
0.625621
1.8 2.
0.556141 0.500726
2.2
0.455255
2.4
0.417193
2.6
0.384918
2.8 3.
0.357295 0.333436
3.2
0.312609
3.4 3.6
0.294222 0.277839
3.8
0.263172
4.
0.25
Graficamos la solución solución aproximada:
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 1.5 Minimos-Cuadrados
2.0
2 .5
3.0
3 .5
4.0
1Parcial.nb 1Parcial.nb
Método Colocación 1.
Para el método de Colocación se condiciona :
R x i 0 donde x 1 x i
x 2 entonces evaluamos 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8, 3.0
Colocación :residuo despues de realizar las integrales 56. k 1 + 304. k 2 + 1184. k 3 + 4144. k 4 + 14112. k 5 + 48528. k 6 - 14.5
0
72.776 k 1 + 413.318 k 2 + 1674.62 k 3 + 6015.32 k 4 + 20623.8 k 5 + 69938.5 k 6 - 17.03 92.928 k 1 + 554.726 k 2 + 2361.32 k 3 + 8849.5 k 4 + 31260.1 k 5 + 107420. k 6 - 19.72
116.792 k 1 + 734.406 k 2 + 3302.64 k 3 + 13045.9 k 4 + 48255.6 k 5 + 171904. k 6 - 22.57 144.704 k 1 + 959.078 k 2 + 4567.66 k 3 + 19117.1 k 4 + 74724.3 k 5 + 279924. k 6 - 25.58 177. k 1 + 1236. k 2 + 6237. k 3 + 27708. k 4 + 114897. k 5 + 455724. k 6 - 28.75 2.
56.
304.
1184.
4144.
14 11 112.
48 52 528.
413. 413.31 318 8 1674. 1674.62 62 6015 6015.3 .32 2 20623.8 20623.8 69938.5 69938.5
92.9 92.928 28 554. 554.726 726 2361. 2361.32 32
8849. 8849.5 5
31260.1 31260.1 107420. 107420.
116.792 116.792 734.406 734.406 3302.64 3302.64 13045.9 48 255.6 255.6 171904. 144. 144.704 704 959. 959.078 078 4567. 4567.66 66 19117. 19117.11 74724.3 74724.3 279924. 279924. 177.
0 0
0
1236.
6237. 37.
2770 27708.
11 114897. 4897. 455724. 5724.
.
k 1
14.5
k 2
17.03
k 3
==
19.72
k 5
22.57 25.58
k 6
28.75
k 4
Ahora podemos resolver el sistema matricial para determinar las constantes k i :
k 1 Ø 4.56519, k 2 Ø
4.
Acontinuación se muestra el sistema de ecuaciones en forma matricial:
72.7 72.776 76
3.
0
0
-2.35041, k 3 Ø 0.768121, k 4 Ø -0.155891, k 5 Ø 0.0179812, k 6 Ø -0.000903004
La solución aproximada se obtiene remplazando los los coeficientes k i en u:
- 4.93556 1. x 2 - 8.43781 x + + 20.6083 1. x 2 - 4.98822 x + + 11.8157 1. x 2 - 1.55105 x + + 3.37718 uC x =-0.000903004 1. x 5.
6.
Evaluamos la solución aproximada en un intervalo: x 1 x x 2 , incremento
Graficamos la solución solución aproximada:
valor de x
valor evaluado en u Colocación x
1. 1.2 1.4 1.6 1.8 2. 2.2 2.4 2.6 2.8 3. 3.2 3.4 3.6 3.8 4.
1.03541 0.864259 0.738333 0.643436 0.570006 0.511695 0.4643 0.425017 0.391925 0.363665 0.339251 0.317944 0.29915 0.282259 0.266397 0.25
9
10
1Parcial.nb
1.0
0.8
0.6
0.4
1.5 Colocación
2.0
2.5
3 .0
3 .5
4.0
1Parcial.nb
Solución Analítica d du a x c x u f x 0 dx dx
1.
x 1 x
du q0 dx x x
u x1 u0 ;
Resolvemos la siguiente ecuación diferencial:
2
-1+ 2
uexacta=
2.
Determinamos las constantes:
C 1
y
C 2
c1 x
2
+
1 x
con las condiciones iniciales del problema:
c1
3.
+ c2 x -1-
Ø 0,
c2
Ø 0
Remplazando las constantes en la solución: u x
uExacta x = 4.
Evaluamos la solución Exacta en un intervalo: valor de x 1. 1.2
x 1 x x 2 , incremento
valor e va valuado e n u Exacta x 1. 0.833333 0.714286
1.4 1.6 1.8 2. 2.2
0.625 0.555556 0.5 0.454545 0.416667 0.384615
2.4 2.6
0.357143 0.333333 0.3125
2.8 3. 3.2 3.4
0.294118 0.277778 0.263158 0.25
3.6 3.8 4.
5.
1
x
Graficamos la solución Exacta:
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 1 .5 Exacta
2 .0
2 .5
3.0
3 .5
4 .0
x 2
11
