ANP pasos:
1.
Model Modeliz izar ar el el prob problem lemaa de deci decisió sión n como como una una red, red, lo cua cuall impl implic icaa iden identif tific icar ar los los
elementos de la red (criterios y alternativas), agruparlos en componentes y determinar las relaciones de interdependencia entre ellos. 2.
Reali ealiza zarr comp compar arac acio ione ness pare paread adas as ent entre re ele elem mento entos. s.
3.
on onstru struir ir la deno denomi mina nada da !up !uper erma matr triz iz no pon ponde dera rada da con con los los vecto vectore ress de pesos pesos
de importancia relativa de los elementos. ".
Real Realiz izar ar comp compar arac acio ione ness pare paread adas as entr entree comp compon onen ente tes. s.
#.
$onde ondera rarr los los blo blo%ues %ues de la !upe !uperm rmat atri rizz no pon pondera derad da, medi median ante te los los peso pesoss
correspondientes de los componentes, para transformarla en la !upermatriz ponderada. &.
!i es es nece necesar sario io,, norm normali alizar zar la !up !uperm ermatr atriz iz pon ponde derad rada, a, div divid idien iendo do cad cadaa valo valorr por por
la suma suma de las las colu column mnas. as. 'e esta esta form formaa se obtie obtiene ne una una matri matrizz estoc estocs stic ticaa por por colu column mnas, as, es deci decir, r, cuya cuyass colu column mnas as sume sumen n la unid unidad ad (!up (!uper erma matri trizz pond pondera erada da estocstica). .
*lev *levar ar la la !up !uperm ermatr atriz iz pon ponde derad radaa esto estoc csti stica ca a pote potenc ncias ias suce sucesiv sivas as +ast +astaa %ue %ue sus sus
entradas converan y permanezcan estables (!upermatriz l-mite). Base matemática del método ANP
$ara la toma de decisiones, los uicios emitidos por los agentes decisores con respecto a las alternativas y criterios, pueden ser convertidos en nmeros difusos para calcular la importancia de los pesos usando el /0$ estos nmeros son usados para construir la matriz de comparación por pares del /$. /$. 14 *n el /0$ convencional, la comparación por pares es +ec+a usando una escala de nueve puntos, la cual representa los uicios o preferencias de %uienes toman decisiones entre diferentes opciones. /un%ue esta escala discreta de uno a nueve, es simple y fcil de usar, no tiene en cuenta la incertidumbre asociada a los uicios +umanos. 5os t6rminos ling7-sticos %ue las personas usan para e8presar sus sentimientos o uicios, son vagos, subetivos, es por esto %ue se combina el /0$ con la lógica difusa para representar los uicios ling7-sticos y se utiliza la teor-a de los conuntos difusos para trabaar con la ambig7edad en un sistema. 24
Paso 1: Modelizar el problema de decisión como una red.
*s conveniente recopilar abundante información antes de efectuar esta tarea, pues la calidad de la red depende en gran medida del grado de conocimiento %ue se posea del problema. 5a modelización del problema como una red se puede dividir en tres subtareas sucesivas9 • • •
:dentificar los elementos de la red (criterios de decisión y alternativas). /grupar los elementos en componentes por alguna caracter-stica comn. /nalizar las relaciones entre elementos de la red.
5as dos primeras subtareas dependen de la e8periencia del decisor y conocimientos %ue disponga del problema. abitualmente las alternativas se agrupan en un nico componente, y el resto de elementos de la red (los criterios) en uno o varios componentes. $ero en función del conte8to y del problema a modelizar, las alternativas tambi6n pueden repartirse en varios componentes. 5a dificultad de la tercera subtarea puede reducirse si el decisor emplea una metodolog-a %ue le permita obtener de forma estructurada todas las influencias presentes entre elementos de la red, de modo %ue todas las relaciones posibles se consideren y analicen. 5as filas y las columnas de esta matriz estn formadas por todos los elementos de la red, agrupados por componentes.
Paso 2: Realizar comparaciones pareadas entre elementos.
;na vez determinados los componentes y elementos de la red, as- como las relaciones e8istentes entre ellos, el siguiente paso es determinar las prioridades relativas entre elementos. $ara ello se puede proceder por asignación directa de pesos, pero el m6todo ms +abitual es la asignación indirecta mediante el planteamiento de matrices de comparación pareada entre elementos.
;na matriz de comparación pareada entre elementos asociada a un elemento de la red dado es a%uella cuyas filas y columnas estn formadas por todos los elementos de la red pertenecientes a un mismo componente %ue tienen influencia sobre dic+o elemento dado. *8istirn tantas matrices de comparación pareada entre elementos asociadas a un elemento de la red como grupos de elementos pertenecientes a un mismo componente influyan sobre dic+o elemento. omo en el /0$ pueden darse todas las relaciones posibles entre elementos en la red se utiliza el t6rmino general influencia a la +ora de comparar los elementos, frente a los t6rminos importancia y preferencia cuyo uso, +abitual en el /$, depende del tipo de elementos %ue se comparen, criterios o alternativas. *n consecuencia, la pregunta %ue debe formularse en el /0$ es la siguiente9 <'ada una cierta propiedad y dados un par de elementos de un componente %ue tienen influencia sobre un tercer elemento de ese mismo u otro componente, =cunto uno de los dos miembros del par domina ms sobre el tercer elemento %ue el otro miembro con respecto a esa propiedad>?.
@ras contestar las comparaciones entre elementos de las matrices de comparación pareada se determina el auto vector asociado al autovalor dominante de cada matriz (autovector principal), cuyas entradas son las prioridades de dominancia relativa de los elementos. $reviamente se debe comprobar la co+erencia de los uicios emitidos en cada matriz mediante el clculo del ratio de consistencia correspondiente, cuyo valor debe ser
inferior a A.1A para ser aceptado. *s importante normalizar el autovector principal resultante de modo %ue sus entradas sumen la unidad. /dems, como puede darse el caso de %ue solamente algunos elementos de un componente influyan sobre un elemento de la red dado, el vector de pesos de dominancia relativa de los elementos de dic+o componente sobre el elemento dado deber completarse con entradas nulas para a%uellos elementos del componente %ue no influyan sobre el elemento considerado, de modo %ue la dimensión del vector de prioridades coincida con el nmero de elementos %ue contiene el componente.
Paso 3: onstruir la denominada supermatriz no ponderada
on los vectores de pesos de importancia relativa de los elementos. ;na supermatriz es una matriz bidimensional de elementos por elementos, agrupados por componentes, %ue representa la influencia de los elementos de una red sobre los elementos de esa misma red. 24 *ste nuevo concepto es una de las principales caracter-sticas del /0$ %ue lo diferencian de su antecesor, el /$. 5as entradas de una supermatriz recogen los pesos de la influencia relativa de los elementos situados en las filas de la matriz sobre los elementos situados en las columnas. on los vectores de prioridades entre elementos de la red, calculados en el paso anterior del m6todo mediante la formación de matrices de comparación pareada entre elementos, ya es posible construir la denominada supermatriz no ponderada. 5a tarea de construir la supermatriz no ponderada no resulta de gran dificultad, salvo %ue debe prestarse especial atención a la +ora de insertar los vectores de prioridades entre elementos en su posición correcta dentro de la supermatriz. *s conveniente recordar %ue una supermatriz recoge la influencia de los elementos situados en filas sobre los elementos situados en columnas y %ue un vector de prioridades entre elementos recoge los pesos de influencia relativa de los elementos de un componente sobre un elemento concreto del mismo u otro componente de la
red. on estas dos premisas, y con ayuda de la matriz de dominación interfactorial %ue se determinó cuando se analizaron las influencias presentes en la red, no debe e8istir ningn problema para construir correctamente la supermatriz no ponderada.
Paso !: Realizar comparaciones pareadas entre componentes.
5as prioridades relativas entre componentes se pueden calcular por asignación directa de pesos o por asignación indirecta mediante el planteamiento de matrices de comparación pareada entre componentes. ;na matriz de comparación pareada entre componentes asociada a un componente de la red dado es a%uella cuyas filas y columnas estn formadas por todos los componentes de la red %ue tienen influencia sobre dic+o componente dado. *8istirn tantas matrices de comparación pareada entre componentes en el modelo como grupos de componentes influyan sobre algn componente de la red. *l procedimiento para completar las matrices de comparación pareada entre componentes en el /0$ es el mismo %ue para completar las matrices de comparación pareada entre elementos, descrito en el paso correspondiente de la metodolog-a. 5a pregunta %ue deber formularse a+ora ser la siguiente9 <'ada una cierta propiedad y dados un par de componentes de la red %ue tienen influencia sobre un tercer componente, =cunto uno de los dos miembros del par domina ms sobre el tercer componente %ue el otro miembro con respecto a esa propiedad>?. 5a escala fundamental de !aaty para responder a dic+a pregunta es la mostrada en la Bigura 1. @ras contestar las comparaciones entre componentes de las matrices de comparación pareada se determina el autovector asociado al autovalor dominante de cada matriz (autovector principal), cuyas entradas son las prioridades
de dominancia relativa de los componentes. $reviamente se debe comprobar la co+erencia de los uicios emitidos en cada matriz mediante el clculo del ratio de consistencia correspondiente, cuyo valor debe ser inferior a A.1A para ser aceptado. *s importante normalizar el autovector principal resultante de modo %ue sus entradas sumen la unidad. /dems, como puede darse el caso de %ue solamente algunos componentes de la red influyan sobre un componente dado, el vector de pesos de dominancia relativa de los componentes de la red sobre el componente dado deber completarse con entradas nulas para a%uellos componentes de la red %ue no influyan sobre el componente considerado, de modo %ue la dimensión del vector de prioridades coincida con el nmero de componentes presentes en la red. Paso ": $onderar los blo%ues de la supermatriz no ponderada.
/ntes de tomar el l-mite, la supermatriz no ponderada debe transformarse en una matriz estocstica por columnas, es decir, cuyas columnas sumen la unidad, para %ue las potencias sucesivas de la supermatriz converan. *l primer paso para esto es calcular la supermatriz ponderada. *n general, la supermatriz no ponderada no es estocstica. *llo se debe a %ue las columnas de esta supermatriz estn formadas por varios vectores normalizados de prioridad relativa entre elementos, cuyas entradas suman la unidad. *n consecuencia, la suma de cada columna de la supermatriz no ponderada es igual al nmero de vectores de prioridad no nulos %ue contiene, generalmente distinto de uno. $ara obtener la supermatriz ponderada se utilizan los vectores de prioridades entre componentes %ue se calcularon en el paso anterior de la metodolog-a. 'ado un vector de pesos de la influencia relativa de los m componentes de la red sobre un componente i dado C1,i, C2,i, D, Cm,i4@, se
multiplican las entradas de dic+o vector por los blo%ues correspondientes de la supermatriz no ponderada, es decir, se multiplica el peso C1,i por todas las entradas del blo%ue E1i, el peso C2,i por todas las entradas del blo%ue E2i, etc. Repitiendo este proceso para todos los componentes de la red 1, 2,D, m se obtiene por fin la supermatriz ponderada. Paso #: !i es necesario, normalizar la supermatriz ponderada.
on el obetivo de profundizar un poco ms en este procedimiento, se debe mencionar %ue podr-a suceder %ue algunas columnas de la supermatriz ponderada sumaran un valor inferior a la unidad tras multiplicar los vectores de prioridad entre componentes por los blo%ues correspondientes de la supermatriz no ponderada. *n ese caso las columnas afectadas debern renormalizarse. 5a causa de %ue una columna de la supermatriz ponderada asociada a un elemento dado no sume la unidad es %ue e8isten algunos componentes de la red %ue tienen influencia sobre el componente al cual pertenece el elemento dado pero al menos todos los elementos de uno de los componentes no tienen influencia sobre el elemento dado. *sta situación se reflea en la supermatriz no ponderada como un blo%ue no nulo %ue contiene una columna nula. 5as columnas de la supermatriz ponderada %ue contengan columnas nulas en blo%ues no nulos sumarn un valor inferior a la unidad y por tanto debern renormalizarse. Paso $: *levar la supermatriz ponderada estocstica a potencias sucesivas +asta %ue sus
entradas converan y permanezcan estables (supermatriz l-mite). ;na vez se +a obtenido la supermatriz ponderada estocstica, cuyas columnas suman la unidad, ya es posible determinar la supermatriz l-mite. *l procedimiento es sencillo9 elevar la supermatriz ponderada estocstica a potencias sucesivas +asta %ue sus entradas converan a un determinado valor y permanezcan estables. uando este estado se
alcanza, todas las columnas de la supermatriz l-mite son iguales, consecuencia de partir de una matriz estocstica, y sus valores indican la prioridad global de todos los elementos presentes en la red. *l +ec+o de tomar el l-mite de la supermatriz ponderada estocstica se ustifica por la necesidad de capturar la transmisión de influencia en todos los posibles caminos del modelo en red. 5as entradas de la supermatriz ponderada estocstica proporcionan la influencia directa entre elementos de la red, pero un elemento puede influir tambi6n indirectamente sobre un segundo a trav6s de su influencia sobre un tercero. 5as influencias indirectas de pares de elementos a trav6s de un tercer elemento intermedio se obtienen elevando al cuadrado la supermatriz ponderada estocstica. $or otro lado, la influencia de un elemento sobre otro puede ocurrir al considerar la influencia sobre un tercer elemento %ue influye sobre un cuarto %ue a la vez influye sobre el segundo. *ste tipo de influencias se obtienen elevando al cubo la supermatriz ponderada estocstica. /s- sucesivamente se obtiene una secuencia infinita de supermatrices de influencia, denotadas por EF (F G 1, 2, 3,D, H), de la cual interesa el l-mite. !e remite al lector a !aaty (2AA1) para conocer ms detalles de este procedimiento, basado en la suma de esaro. !i se desea conocer la prioridad global de las alternativas del problema de decisión, con el fin de ordenarlas de mayor a menor inter6s, basta con fiarse en las entradas de una columna cual%uiera de la supermatriz l-mite correspondientes a las filas asociadas a las alternativas. *stos valores no sumarn uno, pero se pueden normalizar. 5a descripción de los pasos planteados anteriormente se corresponden a la aplicación del m6todo /0$ convencional, el m6todo /0$ 'ifuso +ace uso para todas sus operaciones de los nmeros triangulares, a continuación se e8pone una e8plicación del trabao con los mismos.
5os nmeros triangulares M1, M3, M#, M y MI son usados para representar los uicios desde igual +asta e8tremadamente preferido o importante, y M2, M", M& y MH representan los valores intermedios. 5a Bigura 3 muestra el nmero triangular Mt G (lt, mt, ut) donde t G 1, 2D I y donde mt es el valor medio del nmero difuso y lt y ut son el valor ms bao y ms alto, respectivamente. d es usado para representar un grado difuso del uicio donde9 ut % mt & mt % lt & d.
;n mayor valor de d implica un mayor grado difuso del uicio. uando dGA, el uicio no es un nmero difuso. *ste valor por lo regular debe ser mayor o igual a 1J2. $ara la representación de la escala difusa de este art-culo el valor de d es igual a uno por efectos prcticos de la presentación.
