Análisis no lineal de un péndulo invertido Alex Dariel Pallares. Cód.: 7111006 Solución de las ecuaciones de péndulo invertido por métodos numéricos
Introducción El análisis no lineal de sistemas de péndulos invertidos es necesario para manipuladores robóticos y para locomoción bípeda, ya que por medio de estos análisis se s e pueden generar mejores estrategias de control que presenten una mejor dinámica y un mejor m ejor comportamiento del sistema frente a cambios y perturbaciones. El análisis de este tipo de sistemas presenta una variedad de comportamientos complejos, característica de los sistemas no lineales, tales como múltiples puntos de equilibrio, ciclos limites, escape de tiempo finito, bifurcaciones y caos entre otros. Este sistema de péndulo invertido se analizara por medio de métodos numéricos y el programa MatLab, con el fin de observar esta clase de comportamientos y la estabilidad de los puntos de equilibrio.
Sistema de péndulo invertido Supongamos un sistema de péndulo invertido i nvertido de la siguiente forma:
Fig. 1. Sistema péndulo invertido
+
+
+
+
−
+
=
=−
Estas son las ecuaciones que rigen el sistema del péndulo invertido modelado. Una vez se tienen
estas ecuaciones, es necesario despejar la variable de mayor orden
. En este caso suponemos
que la masa del péndulo está concentrada en el extremo de la barra de tal forma que la inercia de la barra es 0.
+
=
=
−
−
+ −
−
Para obtener las ecuaciones reales del sistema, reemplazamos cada ecuación en la otra, para así obtener ecuaciones que no dependan de su variable de mayor orden. Las L as ecuaciones resultantes son:
=
=
−
−
+
+
+
)
− ( −
−
(
+
+
−
+
(
) )
Una vez se tienen estas dos ecuaciones, se convierten a variables de estado, definiendo las variables de estado como:
=
=
=
=
=
=
=
Teniendo como base estas variables de estado se procede a reemplazar los términos anteriores en las ecuaciones anteriores y así obtener las ecuaciones de variables de estado:
= = =
−
+
+
−
+
(
)
−
+
− (
+
−
−
(
) )
+
Por medio de identidades trigonométricas, estas ecuaciones pueden reescribirse de la siguiente forma:
2 −2
=
2
= =
+2
+
−
+
2
2
−2
−2 2
+
−
−2
2
2
+2
Obtención de los puntos de equilibrio: Como se puede apreciar en las ecuaciones anteriores, no hay un término que indique la posición en variables de estado. Esto es debido a que el sistema mecánico no tiene ninguna restricción que haga que su comportamiento dependa de la posición lineal en la que se encuentra. Los puntos de equilibrio se hallan si se aplica la siguiente formulación:
=
;
=0
Utilizando la función solve del programa matlab, fácilmente podemos obtener los puntos de
equilibrio del sistema, teniendo en cuenta que al hacer las derivadas iguales a cero, el valor de
es
igual a cero y se puede reemplazar en las otras dos ecuaciones, obteniendo los puntos de equilibrio restantes. El primer punto es (F/b, 0, 0), esto es cuando la variable de la velocidad lineal del sistema
= / la variable que indica el angulo del péndulo
angular del sistema
= 0 y la variable que indica la velocidad
= 0 . El segundo punto de equilibrio es (F/b, pi, 0); en donde la única
variable que cambia es la variable
=
. Esto quiere decir que el otro punto de equilibrio del
sistema es cuando el ángulo del péndulo es pi radianes, y las otras variables son iguales a las condiciones del punto de equilibrio anterior. Mecánicamente en el modelo se puede observar que estos dos puntos de equilibrio son factibles, ya que el primer punto de equilibrio es cuando el péndulo está en su posición vertical hacia abajo, sin ninguna velocidad angular y la fuerza es igual a la fricción. El segundo punto muestra este mismo comportamiento pero el péndulo está en su posición vertical hacia arriba.
Análisis de estabilidad de los puntos de equilibrio: equilib rio: En el análisis de sistemas dinámicos no lineales es necesario conocer la estabilidad de los puntos de equilibrio para saber qué clase de estabilidad dirige el punto de equilibrio y saber el comportamiento comportamiento del sistema alrededor de esos puntos. Tomando como referencia la ecuación general en variables de estado:
=
Se linealiza alrededor de los puntos de equilibrio, para saber qué clase de estabilidad posee el punto de equilibrio. Para linealizar alrededor de un punto de equilibrio, se encuentra primero la matriz jacobiana de A, la cual está compuesta por las derivadas de las funciones con respecto a las variables que la integran. Realizando este ejercicio obtenemos:
2
=
=
−2
=
+ (
−
)
2
cos
2
2
4
+
−
+2
+
−
2
− 2
(
)
2
=0
2
=0
=1
=
=
2
2
+
−2
( )−2
2
cos + 2 − 2 − 2 cos − 42 ( )
2 + − 22
=
2
−2
+
−2
2
Siendo la matriz jacobiana de la siguiente forma:
=
Evaluada en los puntos pu ntos de equilibrio hallados anteriormente, de lo que podemos apreciar:
−2
| |
(/ ,,)
=
4 0 2
3 −2
| |
(/ , ,)
4 = 0 −2 3
4.9
0
0
1
−19. 19.6
0
4.9
0
0
1
19.6
0
Al analizar estas matrices con un valor de b = -1, las matrices que obtenemos serian:
| | | |
0.5 4.9 0 0 0 1 (/ ,,) = −0.6 0.66 −19. 19.6 0 0.5 4.9 0 0 0 1 (/ , ,) = 0.66 19.6 0
Lo que para la primera matriz nos da unos un os autovalores de:
= 0.3343;
,
= 0.08 0.0829 29 ± 4.42 4.42
Lo cual lo hace un foco inestable debido a su autovalor positivo y a su par de autovalores reales y complejos positivos. Cuando se evalúa la segunda matriz se obtienen:
= 4.5181;
= 0.3324;
Lo cual hace de este punto un punto pu nto de silla inestable.
= −4.3505
Cuando evaluamos las matrices anteriores con un b = 0, obtenemos las siguientes matrices y sus respectivos autovalores:
| |
(/ ,,)
0 = 0 0
4.9 0 −19.6
0 1 ; 0
= 0;
,
= 0 ± 4.42 .42
Lo que lo convierte en un centro.
| |
(/ ,,)
0 = 0 0
4.9 0 19.6
0 1 ; 0
= 0;
= 4.4272;
= −4.4272
Este también es un punto de silla s illa inestable. Si asumimos un coeficiente de fricción positivo igual a 1, entonces las matrices resultantes serian: −2
| |
(/ ,,)
| |
(/ , ,)
4 0 2
=
3 −2
4 = 0 −2
3
4.9
0
0
1
−19. −19.6 6
0
4.9
0
0
1
19.6
0
Como es un sistema mecánico es necesario decir que las fricciones no son negativas, por lo que es necesario analizar el sistema cuando las fricciones son positivas.
Una vez se tienen estas matrices evaluadas en los puntos de equilibrio, podemos hallar los autovalores del sistema para encontrar la clase de estabilidad que se puede observar sobre los puntos de equilibrio y en una vecindad cercana a estos. Analicemos los autovalores de la matriz cuando el punto p = (F/b, 0, 0):
= −0.3343;
,
= −0.0829 −0.0829 ± 4.42
Se puede analizar que la estabilidad del punto P = (F/b, 0, 0) presenta un autovalor real negativo, lo que hace que el sistema sea estable, y los otros dos autovalores hacen que este punto de estabilidad, presente un comportamiento tipo foco estable, debido a su parte real negativa y su componente compleja. Cuando se analiza el punto P = (F/b, ( F/b, π, 0), obtenemos lo siguiente:
= 4.3505;
= −0.3324;
= −4.5181
Se puede apreciar que uno de los autovalores es positivo y los otros dos son negativos, lo que convierte este punto de equilibrio en un punto de silla inestable, con dos variedades estables y una inestable. A continuación se puede observar los diagramas de fases de cada uno de los puntos de equilibrio anteriores:
Fig. 2: Foco estable.
Fig. 3: Punto de silla inestable Como se puede apreciar en la figura 2, al introducir condiciones iniciales de velocidad lineal y velocidad angular, teniendo el ángulo en 0, el comportamiento del sistema es oscilatorio con tendencia al punto de equilibrio estable, debido a sus autovalores reales negativos con parte compleja. Al observar la figura 3, se puede apreciar que la más mínima variación en sus condiciones iniciales, hace que el sistema vaya del punto de equilibrio inestable a los puntos de equilibrio estables, que son los que se pueden apreciar de color rojo y azul.
Cambio cualitativo de los puntos de equilibrio (variabilidad de parámetros): Un sistema dinámico posee diferentes cualidades que dependen de los parámetros físicos del sistema. Estos parámetros al cambiar, pueden generar un cambio de cualidades en el sistema, haciendo que los puntos estables y sus estabilidades cambien. En el péndulo invertido, el único valor constante que nunca cambia es la gravedad con un valor de 9.8m/s^2. Los otros valores de los cuales depende el sistema son las masas del carro y del péndulo (m, M), la longitud del péndulo (l), la fricción de la masa M con respecto a la superficie, que en nuestro caso está relacionado con la fricción de las pequeñas ruedas adosadas a la masa M y la fuerza (F) que es la entrada al sistema.
Fricción: Analicemos primero el diagrama de fases cuando la fricción es variable y el punto de equilibrio es (F/b, 0, 0):
Fig. 4: Comportamiento del sistema cuando b = variable
Cuando la fricción del sistema es 0, al aplicar una fuerza muy pequeña, al no existir fuerzas disipativas, se presenta un comportamiento de oscilación perpetua (azul). Al tener una fricción mayor que cero, el punto de estabilidad permanece estable. Ahora se hace el mismo análisis cuando el punto de equilibrio es (F/b, pi, 0):
Fig. 5: comportamiento alrededor de pi, cuando b es variable Al igual que en la figura 4, en la figura 5 se observa un comportamiento de oscilación oscilación perpetua al no haber fricción en el sistema. Se puede observar que tanto en la gráfica roja, como en la verde, el sistema tiende al mismo punto de equilibrio, lo que hace que la fricción en los dos casos, no cambien el comportamiento del sistema.
Masas y longitud del péndulo: Análisis del sistema y la variabilidad de los puntos de equilibrio cuando las masas y la longitud son variables:
Fig. 6: m, l variable, alrededor de (F/b, 0, 0)
Fig. 7: m, l variable alrededor de (F/b, pi, 0) Cuando la masa del péndulo m es variable al igual que su longitud, el comportamiento del sistema es constante, tendiendo siempre a los puntos de equilibrio ya definidos, sin que haya un cambio en estos puntos de equilibrio.
Fig. 8: M variable alrededor de (F/b, 0, 0)
Fig. 9: M variable alrededor de (F/b, pi, 0) Como se puede apreciar en la figura 8 y 9, no hay un cambio cualitativo del sistema alrededor alrededor de sus puntos de equilibrio.
Fuerza: Ahora analicemos el comportamiento cualitativo alrededor de los puntos de equilibrio cuando la fuerza es variable:
Fig. 10: F variable alrededor de (F/b, 0, 0) Al observar la figura 10, se puede apreciar que hay un desplazamiento del punto de equilibrio en el sistema. Una forma de ver mejor este desplazamiento se ve en la figura 11:
Fig. 11: F variable alrededor de (F/b, 0, 0)
Fig. 12: F variable alrededor de (F/b, pi, 0) Cuando analizamos el sistema en el punto de equilibrio mencionado en la figura 12, se puede apreciar claramente que el punto de equilibrio se desplaza.
Conclusiones •
El sistema de péndulo invertido escogido, presenta ciclos limites virtuales; esto es, cuando no hay fricción el sistema tiende a un ciclo de oscilación perpetua, en el cual nunca llega al equilibrio, sin embargo como es un sistema mecánico en el cual la fricción siempre existe, entonces siempre tiende al equilibrio.
•
Los puntos de equilibrio hallados, dependen del cociente f/b, sin embargo en las gráficas, se puede ver que el efecto de la fricción es generar ciclos limites sobre el punto de equilibrio. La acción de la fuerza hace que el punto de equilibrio se desplace, lo que hace que cambie el punto de equilibrio. Sin embargo, esto no hace que cambien las cualidades del sistema, esto es, que el punto estable se vuelva inestable o que los puntos estables se vuelvan vu elvan estables.
•
Al generar evaluaciones virtuales de los puntos de equilibrio, los autovalores cambian, haciendo que los puntos de equilibrio estables para el ángulo 0, se vuelvan inestables al haber fricción negativa, concluyendo que hay un cambio cualitativo en ese punto de equilibrio.
