ANÁLISIS MATEMÁTICO II - CALCULO II (Espinoza Ramos)

f (x )d x = L im

^

Y

f (

ANALISIS MATEMÁTICO PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA (TERCERA EDICION)

♦

INTEGRAL INDEFINIDA

♦

INTEGRAL DEFINIDA

♦

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

♦

INTEGRALES IMPROPIAS

♦

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA

♦

INTEGRACION NUMERICA

♦

FUNCIONES ESPECIALES

♦

ECUACIONES PARAMETRICAS

♦

COORDENADAS POLARES

EDUARDO ESPINOZA RAMOS L IM A -P E R U

IMPRESO EN EL PERÚ 03 - 03 - 2002

3S EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o m ecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros

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expreso

En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático II para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital, al igual que la 2da. Edición se expone en forma teórica y práctica, los métodos de integración, integral definida, integración impropia, integración numérica. Ecuaciones Paramétricas, Coordenadas Polares y sus aplicaciones, las funciones Beta y Gamma, ios polinomios de Taylor, así mismo se ha incluido en las integrales indefinida las ecuaciones diferenciales sencillas y sus aplicaciones, se ha hecho la demostración de las propiedades de la integral definida, se ha incluido también mas ejercicios desarrollados y propuestos de las practicas y exámenes de las diversas Universidades de la capital. La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado, tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que confunde al lector. La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo de las funciones reales de variable real, los limites y continuidad de una función, así como la derivación de las funciones en una variable. #

La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas, física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real.

Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por sus valiosos comentarios y sugerencias.

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro —Brasil. Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Nacional del Callao. LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la Universidad Nacional del Callao. Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo Palma. LIC. SERGIO LEYVA HARO ExJefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la Universidad Nacional del Callao. LIC. JUAN BERNUI BARROS Director del Intituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. LIC. PALERMO SOTO SOTO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. LIC. JOSE KIKE BRONCANO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

D E D IC A T O R IA

Este libro lo dedico a mis hijos RONALD, JORGE y DIANA, que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser guías de su prójimo

P R E S E N T A C IO N

En la presente obra, Eduardo Espinoza Ramos, demuestra que sigue avanzando, no solo en el aspecto técnico formal de la matemática, si no que, su avance se manifiesta en la selección cuidadosa y esmero en la impresión de esta obra.

Su formación de matemático, como su experiencia en la docencia universitaria, se amalgaman y dan como fruto una obra que marca un camino en su madurez profesional, obra, que seguramente llenará un vacío para quienes no solo desean “resolver problemas” sino también conocer el lenguaje formal y las ideas de esa hermosa ciencia que es la matemática

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA PURA DE LA UNMSM ASESOR DEL “CONCYTEC”

1,

INTEGRAL INDEFINIDA

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 1.5.8 1.5.9 1.5.10 1.5.11 1.5.12 1.5.13 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.6.6 1.6.7

Introducción La Antiderivada de una función

1 2

La Antiderivada General La Integral Indefinida Fórmulas Básicas de Integración Primeras Fórmulas Básicas de Integración Segundas Fórmulas Básicas de integración Terceras Fórmulas Básicas de Integración Cuartas Fórmulas Básicas de Integración Integración por Sustitución o Cambio de Variable Integrales de funciones que contienen un Trinomio cuadrado Ejercicios Propuestos de las Fórmulas Básicas Ecuaciones Diferenciales sencillas Movimiento Rectilíneo Aceleración Constante Movimiento Vertical con Aceleración Gravitacional Constante Ejercicios Desarrollados Ejercicios y Problemas Prepuestos Métodos de Integración Integración de las Funciones Trigonométricas Ejercicios Propuestos Otras Integrales Trigonométricas Ejercicios Propuestos Integración por partes Casos Especiales de Integración por Partes Ejercicios Propuestos

2 3 5 6 13 18 21 23 27 32 52 54 56 58 60 69 73 73 87 94 97 102 117 122

Integración por Sustitución Trigonométricas Ejercicios Propuestos Integración de Funciones Racionales Ejercicios Propuestos Métodos de HERMITE - OSTROGRADSKI Ejercicios Propuestos Integrales de Funciones Racionales de Senos y Cosenos Ejercicios Propuestos Integrales de Algunas Funciones Irracionales Fórmulas de Reducción Ejercicios Propuestos Ejercicios Desarrollados Diversos Ejercicios Propuestos

130 143 150 169 181 186 190 196 201

215 218 229 253

C A P IT U L O II INTEGRAL DEFINIDA Sumatorias Propiedades de las Sumatorias Fórmulas de las Sumatorias Ejercicios Propuestos Calculo del Area de Una Región Plana por Sumatorias Partición de un Intervalo Cerrado Aproximación del Area de una Región por Areas de Rectángulos Sumas Superiores y Sumas Superiores Propiedades de las Sumas Superiores e Inferiores Integral Definida Propiedades de las Integrales Superiores e Inferiores Integral de RIEMANN La integral como limite de Sumas Calculo de la Integral Definida usando Intervalos de igual longitud

268 269 270 276 280 280 282 296 300 302 302 303 307 308

4.1 4.2 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.6.1 4.6.1.1 4.6.1.2 4.6.2 4.6.2.1 4.6.2.2 4.6.3 4.7 4.7.1 4.8 4.8.1 4.8.2 4.8.3 4.8.4 4.8.5 4.9 4.10

Introducción Integrales Impropias con Limites Infinitos Integrales Impropias con Limites Finitos Criterios para la Convergencia de Integrales Impropias Criterio de Comparación Criterio de Convergencia para Funciones Discontinuas Criterio de Convergencia Cuando un Limite de Integración es Infinito Ejercicios Propuestos Aplicaciones de la Integral Impropia Areas de Regiones y Volumen de Sólidos de Revolución Problemas Propuestos Funciones Especiales Definición de la Función GAMMA Propiedades de la Función GAMMA Ejercicios Desarrollados Definición de la Función BETA Propiedades de la Función Beta Ejemplos Aplicativos Ejercicios Propuestos Integrales Dependientes de un parámetro Ejercicios Propuestos El Polinomio de Taylor Aproximación de Funciones por Polinomios Polinomios de Taylor Engendrado por una Función Fórmula de Taylor con Resto Teorema del Valor Medio para Integrales Teorema del Valor Medio Ponderado por Integrales Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos

450 451 454 457 457 457 457 461 473 473 480 483 483 483 489 491 491 493 497 502 509 511 511 513 518 522 522 524 529

7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.4 7.5

Area Bajo una Curva dada en forma Parametrica Longitud de Arco cuando la Curva es dadapor Ecuaciones Farametricas Area de una Superficie de Revolución cuando la Curva es dada en forma Parametrica Problemas Desarrollados Ejercicios Propuestos

C A P IT U L O V IH COORDENADAS POLARES 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13

Introducción Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares La Recta y la Circunferencia en Coordenadas Polares Ejercicios Propuestos Trazado de Curvas en Coordenadas Polares Ejemplos Ejercicios Propuestos Distancia entre Dos Puntos en Coordenadas Polares Intersección de Curvas en Coordenadas Polares Derivadas y Rectas Tangentes en Coordenadas Polares Aplicaciones de las Integrales en Coordenadas Polares Ejercicios Desarrollados Ejercicios Propuestos

APENDICE BIBLIOGRAFIA

1

Integral Indefinida

C A P IT U L O

I.

INTEGRAL INDEFINIDA

1.1

INTRODUCCION.-

I

El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad o también, dada una curva, calcular su pendiente. El problema básico de la integración, es el caso inverso: dado la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria o también dado la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva. En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con el problema inverso, es decir: Dada la derivada de una función, hallar tal función por ejemplo: /* ( jc) = 4, g'(x) = 5jc4 . Ahora el problema es hallar ffx) y g(x), pero con un poco de astucia se puede hallar dichas funciones, esto es:

Esta iteración de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.

2

Eduardo Espinoza Ramos

DEFINICION.- La función F: I ----->R, se llama la antiderivada o primitiva de f: 1---- >R, si F '( x ) = f( x ) , V x g I . (I = [a.b]) Ejemplo.- Sea / ( jc) = 5jc4 y g(x) = 3e3x, V x e R, las funciones F(x) = x 5 y G(x) = eix para x e IR G (x)=eix respectivamente puesto que: F{x) = jc5

F'(x) = 5x4 = / ( x)

G(x)=eix

G'(x) = 3eix =g(x)

Sin embargo las funciones

son las antiderivadas de f(x) y g(x)

Fx(jc) = je5 + 7

y Gx{x) = eix + 5

también son

antiderivadas de las funciones / ( jc) = 5 jc4 y g(x) = 3e3x respectivamente, puesto que: F,(x) = x 5 + 7

F¡(x) = 5xA = / ( x)

G¡ (x) = eix + 5

G|( x) = 3eix =g(x)

análogamente, otras antiderivadas de f(x) y g(x) son por ejemplo:

F2(x) = xs - 4 ,

F3(x) = x 5 + 4 n , FA{x) = x 5 +a , G2(x) = eix - 7 , G3(x) = eix - e * , GA =eix + b donde a y b son constantes cualquiera, puesto que sus derivadas son iguales a f(x) y g(x) respectivamente. En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) es decir que F'(x) = / (

jc)

, por lo tanto

F(x) + c, también es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su derivada es igual a la función ffx), es decir: (F(x) + c)'= F ’(jc) = f(x)

DEFINICION.- Si la antiderivada de f(x) es F(x) sobre I. Entonces la función G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de fíx). El significado geométrico de la antiderivada F(x) de fíx), es que cualquier otra antiderivada de f¡x) es una curva paralela al gráfico de y = F(x).

3

Integral Indefinida

OBSERVACION.- Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, si no una familia de funciones, que difieren entre sí en una constante. El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integración y se denota por el símbolo J , llamado signo de integración, el símbolo Jf(x)d x se llama integral indefinida de f{x).

IA

LA INTEGRAL INDEFINIDA,DEFINICIÓN 1.-

Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I. osea F*(x) = /( jt) , entonces a su antiderivada general G(x) = F(x) + c se denota por:

Al cual le llamaremos la integral indefinida de f(x). NOTA.-

De la definición de la integral indefinida se tiene: G'(x) =F'(x) = / ( x) es decir:


4 PROPIEDADES.-

De la definición de integral indefinida se tiene las propiedades: 1)

-~~(f f(x)dx) = ( í f (x)dx)'= (F(x) + c)'= F'(x) = /Xx) ósea que “La derivada dx J J de la integral indefinida es igual al integrando” es decir:

2)

d ( j f(x)dx) = (jf(x)dx)'dx = f(x)dx ósea que “La diferencial de la integral indefinida es igual a la función integrado por la diferencial de x, es decir:

3)

Si f es una función derivable en I, entonces una antiderivada de / ' es f y

4)

Se conoce que d( f(x)) = f'(x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene:

OBSERVACION.-

De las propiedades (2 y (3), a la integral indefinida también podemos interpretarla como una operación inversa de la diferenciación, puesto que la integral indefinida al actuar en la diferencial d(f(x)) reproduce la función f(x) más la constante de integración. Ejemplo.-

1)

Con las propiedades de la integral indefinida, se tiene, que por simple inspección:

J (x2 + 3x + 2)dx = j*

~ x1 + 2jc)+2x +c

5

Integral Indefinida

2,

3)

r „ r , sen 3* cos4x sen3x cos4jc J (cos3jc - sen 4jt)dx = j d{------- + ---- ) = —-— + ——— + c 3 4

4)

n-1 n~\ f x ndx - í d (—— ) = —— + c , n * -1 J J /i +1 n +1

DEFINICIÓN 2.-

variable de

En toda integral indefinida J/(jc)rfx, a la función f(x) le

llamamos función integrando y a la variable x le llamaremos integración, la constante c es llamada constante de integración, a

J/(jt)rfx también se lee “integral indefinida de f(x) diferencial de x” NOTA.- Sugerimos al lector el dominio de las fórmulas básicas de integración, de tal manera que, en el estudio de las técnicas de integración sea amena y ágil, para tal efecto hemos agrupado en cuatro partes las fórmulas básicas.

1.5

FORM ULAS BASICAS DE INTEGRACION.-

1.5.1

PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION;Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces: ©

i dx-x+ c

(T )

j d(f(x)) = f( x ) + c

©

J( / (x) ± g(x))dx = J/l(x)dx ± Jg(x)dx Sea u = f(x), una función diferenciable en x

©

^Kf(x)dx = K ^ f( x ) d x fH'l

(?)

jx " d x =

+c

6


©

a udu =—— + c,a> 0, a* 1 ln a

j e udu = eu +c

© Ju 2 +a2 ©

a

©

a

¡

í

Ejemplos de aplicación de estas fórmulas. Calcular las siguientes integrales.

Jx(a - bx2)dx Solución Como x ( a - b x 2) = a x - b x 3 entonces:

+c

Solución A la función, se expresa en la forma: _ x 2m-\f2 _ 2 x m+n~li2 + X 2x li2

= jt(4m~1)/2 - 2x (2m+2n~l)/2 + x(4n-l)/2 entonces j ^ - Z £ ^ - dx =

- i x ^ 2^ 12 +x iAnl)l2)dx

jc(4m+l)/2

2JC<2m+2',+1>/2

x(4»+l)/2

(4wj +1) / 2

(2/w + 2« +1) / 2

(4« +1) / 2

7

Integral Indefinida 2-s/jt4m+1 4/w + l

©

W x 2m+2n+1 2w + 2/i + l

2-v/x4n+1 4/1 + 1

+

6*

|(.x—v/x+l)(V^+l)rf* Solución Efectuando la multiplicación de (x--J x + l)(-/it +1). es decir: (jt—Jx + lft-Jx +1) = x 3/í

2x'n

©

+ 1.

entonces:

J (x --/x + l)(-s/x + l)dx = j*(x3/ 2 + \)dx f g (-* )./'(.T )-g '(*)■ /(*) dx

J

g~(X) Solución

o ti ij ■ . Se sabe que la diferencial de un cociente es:

j , f ( XK g ( x ) .f'( x ) - f(x).g'(x) a (------ ) = ----------------- --------- dx g (x )

Ahora reemplazando en la integral se tiene:

©

r g {x).f'(x)-f{x).g ( x ) , f ( x ) - n x ) . g'{x) '( x ) dx

fr /(x) .,/( * )=,

fW

J

J

J *O Í*) W

*M

[*W ]2

'

+c

3 + lnjc J

dx J------x Solución A la integral escribiremos en la forma: r3 + lnjt , dx r. dx , ln2 x -------- dx = 3 — + lnx.— = 31n|jc| +-------+ c J x J x J jc 2

[g(*)]~

8

Eduardo Espinoza Ramos dx

©

x 2 —4jc H-13 Solución Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en éste caso, se completa cuadrados. x 2 - 4 x + 13 = (jc2 -4jc + 4) + 9 = (jc-2 )2 +9 r í ?

dx ^ u

r dx 1 = J í í ^ ? ' 3 arc,e,- r ,+ ‘-

Jt + 1 . — dx 2x Solución Cuando se observa que el diferencial del denominador se encuentra en el numerador o su diferencia esté en un factor de proporcionalidad, en éste caso se aplica la fórmula (7) es decir: Sea u = x 2 + 2x => du = 2(x+l)dx, de donde, ahora reemplazando en la integral: f * +^ dx= f — = —ln|w|+c* = —ln| x 2 + 2 x |+ f JJ 2u 2u 2 2 1 1 2

J x 2 +2x x 3dx + jc4

Solución En forma similar al ejercicio (7) se tiene: Sea w= l+.v4 => du = 4xi dx

=> x 3dx = —

Ahora reemplazando en la integral: r x ydxtd u 1. . , I —= 1 — = —ln \u J l+ jc 4 J 4w 4

*%■

I... 4, = —In 1+jr +<• 4

9

integral Indefinida (¿)

j(a x +b)* 2dx Solución

En éste ejercicio se aplicará la fórmula (6) es decir: Sea u = ax + b => du = adx

dx = — a

Ahora reemplazando en la integral: f✓

»

f

Jx w

+bx"dx

I (ax +b) “d x = \ u J J ©

3 /■ > du

1 2

2

*¡t i

" — = —.—u° “ + c = — (ar + fe) “ +c o a 5 5¿z

Solución A la integral dada lo escribiremos en la forma: | x " l^!a +bx"dx = j (a+bxn)U2x H'dx

...(1 )

Ahora aplicando la fórmula (6), es decir: Sea u ~ a +bxn =>

du = bnxM]dx de donde x n i dx = — hn

Luego reemplazando (2) en (1) se tiene: f „ , /---- ,

I A

J

(¡T) ^

f 1, 2 du

fev í/rV = I ti

J

1

n , 3hn

------= ------- 14 + C'

hn

2(a +hxn)v l , 3hn

------------------------------ + C

J jclnx Solución En ésta integral aplicamos la fórmula (6), es decir:

... (2)

10


Sea u = ln(ln x)

dx d u ~ ------ , ahora reemplazando en la integral se tiene: jtlnx

f In(lnx) , f. dx f , u2 ln2(ln(x)) — —dx — I ln(lnx)------ =1 udu = — + c = ----+c ¿ jflnx J jclnx 2 2 2

©

*

f

— Solución

A la expresión, agrupemos en la forma:

^ l + x 2 +(l + x 2)3,2 = ^ (l + x2) + (l+ x 2h /l + x 2

= -J(l + x 2)(l+Vl + f

xdx f -----------= V1+ * + fl + * ~)3 2

="n/i + x2 -Jl+Vl+Jr2"

C„ ít T x !;■> xdx -----= (l + Vl + x - ) 1/’ - 7_ . . . ( l ) ‘yjl + x 2

ahora aplicamos la fórmula (6), es decir:

Sea u =l +T¡l-tx2

=>

du = .X^X Vl+.v2

*.-(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

f ..... .AÂ.... ..f u ll2du = 2u1' 2 + c =2^1WT+*2

WT Solución En el presente ejercicio aplicaremos la fórmula (7); es decir:

+c

11

Integral Indefinida 3 i_ 2 Sea u = 1+x-Jx , de donde du = - - J x dx entonces -s/jc dx = —du 2 3

Ahora reemplazamos en la integral dada, se tiene: r -Jxdx 2 [du 2 , . . 2, /- . ------ 7= = - — = —ln | m| + c= —ln 11+W * | +< J 14Jr 3 1 + yx4 x 33*J um 13

© ¡

t'are,gJ + xln(x2 +l) + l dx \+ x l Solución

En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir:

r +xln(x2 +1) + 1 re*m * , f -> x í /x f dx I ---------- :---- T--------------------------------------------------- — '* = I ------ T d x + \ ln<*‘ + , >---

J

l + X~

J 1+X

1

1 + X"

•’ l + X "

Ahora aplicamos las fórmulas (6), (8) y (10), es decir: f +xln(x2 +1) + 1 -------------- ^------'— dx= J 1+ x"

ln2(x2 +l) 4

+ -- ------- -+arctgx + c

x 2 +3 x‘ (x ' +9) Solución En los ejemplos anteriores, para el cálculo de las integrales, lo que sé hacia era expresar en una forma de tal manera que, se pueda utilizar las propiedades básicas de integración en forma directa, pero ciertas funciones no es tan fáciles de expresar en forma directa, esto depende de la práctica que se tenga y de la habilidad de la que está calculando; tal es el caso del presente ejercicio, es decir, en el cálculo de la integral, se hace de la siguiente manera. x 2 + 3 = x 2 + —(x2 + 9 - x 2) = —x 2 + —(x2 +9) 3 3 3 ahora reemplazando en la integral dada se tiene:

12

Eduardo Espinoza Ramos r x 2 +3 Jx V + 9 )

_ 1 f 2x2 + (x2 +9) 3 J jr2(x2 +9)

_ 1 f. 2x2 x 2 +9 ~ 3 J r ( x 2 +9) + j t (jc2 +9)

l r r 2dx r d x 1 l r2 x l n = T [ I-T —r + I — ] = r t r a rc tg -— ]+ c 3 J jr + 9 J jr 33 3 x dx

Jf — Wv7

x(x' +1) Solución

En forma similar al caso anterior, el numerador expresamos en la forma: 1 = (x7 +1) - x 1, ahora reemplazamos en la integral dada:

f

=f^

J x ( x 7 +1)

f

J

A x(x7 +l)

r dx _ r x dx J x J x 1 +1

' A -f J x ( x 7 +1)

^

J x ( x 7 + l)

(aplicando la fórmula 7)

= l n | x | - y l n | x 7 -h11-i-c:* cosjcdr V sen" cpn x r — - 6sen* + 5

5

>

Solución Í

cosx dx _ r cosjc c o s j c dx sen2 jc-6senjc + 5 J (sen2jc-6 sen x + 9 ) - 4 cosjc

fr c o s jc dx J (senjc-3)2 - 4

13

Integral Indefinida

En éstas fórmulas básicas van a considerarse los casos en que él integrando es una raíz cuadrada de una expresión cuadrática. Sea u = f(x) una función diferenciable en x, entonces:

Nota.- Las integrales de este tipo se calculan completando cuadrados. Ejemplos de aplicación de estas fórmulas. Calcular las siguientes integrales.

O

\-r= r= 3 V -* 2- 6 x - 6 Solución

14

Eduardo Espinoza Ramos En la expresión completamos cuadrados: - x 2 - 6 jc- 6 = 3 - ( x2 +6+9) = 3 - ( jc+ 3)2 ahora reemplazando en la integral y aplicando la fórmula (1) dx t dx /*+3, .vr-_,-r= = = = arcsen(—-=-)+c 3 4 - x 2 - 6 x - 6 J ^ 3 - ( x +3)2 V3 t

Solución Completando cuadrados en la expresión 5 - 2x + x 2 se tiene: 5-2jc + jc2 = x 2 -2 x + 1+ 4 = (jc-1)2 + 4 , ahora reemplazando en la integral y aplicando la fórmula (2)

f . -

- f - ^ = = - ^ =^-r = l n lx - l + V 5-2x + x 2 |+c J V 5-2 x + jc2 J ,/ ( x - l) 2 + 4

®

JJ W- l-Aln -x Solución dx i

/* . W l-ln 2 x

. . . a) V l- ln 2 jc

Sea u = lnx ==> d u - — x Reemplazando (2) en (1) se tiene: — . *** =f . x s lí^ iñ ^

= arcsen(w) + c = arcsen(lnx) + c

... (2)

15

Integrai Indefinida Solución A la integral dada escribiremos así:

?

f senx eosx d x = )_ f 2 senx.eosx ^ V2-sen* v

2

v „ 4'É O - £

(1)

.12-(sen ’ .t)2

Sea w = sen2 x => d& = 2 senxeosxdx

\ ...(2)

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: r sen .yeos x , 1 r du , = dx = — \ . J V 2-sen4 x 2J

1 , « v 1 ,sen2 x x = —aresení—¡=)+c = —arcsen(— ) +r 2 ^ 2 ^2

J-\/.Y2- 2 x - l <ÍT Solución Completando cuadrados:

jc2 —2jc—1= ( a —l)2 —2 , reemplazando y aplicando la

fórmula (5) se tiene: J Vx2 - 2 x - l dx = J-^ (x -l)2 - 2 dx x —1

©

J

a/ 2

-y/x2 - 2 x - l -ln lx -1 + V x 2 - 2 x - l \+c

ax -x 2 Solución

Completando cuadrados: l a x - x 2 = a 2 -(x - o ) 2. Ahora reemplazando y aplicando la fórmula (1). r dx r dx ,x ~ a . I = = —¡ = = = = aresenf------) +c J -J la x - x 1 J -Jo2 - ( x —o)' 2

16 Q

Eduardo Espinoza Ramos J

(8x-3 )dx

~
(&v-3)rfr * J \2 x -4 x 2 - 5

r ( 1 2 - 8 x - 9 )dx _

^.r

Vi2 x - 4 x 2 - 5

(\2 -% x )d x ^ jl2 x - ~4x^-5

= —2-\/l2x-4jEZ - 5 -f—f . 2-»

h

^r

=

dx ^ |l2 x ^ A x 2^ -5

= TT

x- 2 } = -2'yj\2x~4x2 - 5 + ârcsen(—y ~ ) + c

O

J

V2 + x 2 —v/ 2 —jc2 —dx

4^. Solución

A la expresión, separamos y simplificamos -\/2 + jc2 - ^ 2 - x 2 _ -v/2 + x 2 —n/2—jc2 _ -\/2 + . t 2 —s/2—jc2 V 4 -x 4

-^(2 + jc2) ( 2 - x 2 )

^¡2 + xI ^ Í 2 ^ 7 2

V 2 +X2

V2 -X2"

-^2 +x 2 - j 2 - x 2

^¡2+x2 - j 2 - x 2

Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:

-j2 -x 2

^2+ x2

Integrai Indefinida

17

= arcsen(-^=)—ln |x + 1/ 2 + x 3 \ +c ■n

1 (x2 +¡fríP +1 Solución Al integrando divide, numerador y denominador entre x 2

r

/(x ■ 2 -îjfflr j -1u)dx

----(1-----------------------T*1* jr fr ____

_ rf

' (x2 + lh /x 4 +l

• '( x 2 + lh /x î + I

(vJ.Iv Ü + J _ * V X2

Ahora hacemos la sustitución: w= x + — => * 1 w=x + — => „ *

2

u -x

2

1 +-— +2 2 X

¿« = (1 — ^-)rfx x2

? 1 7 « =>2 * +■— = « - 2 X

enseguida reemplazamos en la integral f

(x“ - l )dx r du 1fu| 1,x+1. ---------- = — , ■= —;= arc sec —==+c - —¡=arc sec(-==-----)+ c J (x2 + l h / 7 7 7 J w^ / ^ 2 -J2 -fi J2 J ï\x \ 10)

x2 +17 I — =dx Í Vx2 +9 Solución r x2 +17 . f(x 2 +9) + 8 . f x2 +9 , I , dx= — , - ■ - dx= Vx2 +9 Vx + 9 Vx2 +9

_f dx dx + S\ -,--=■ -\/x2 + 9

= f Vx2 +9dx + 8f — J -vx2 +9 = —[xVx2 +9 + 251n|x + -\/x2 + 9 |+ c 2

18 1,5.3

Eduardo Espinoza Ramos TERCERAS FÓRMULAS BASICAS DE INTEGRACIÓN,En éstas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas, para esto tenemos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces: | sencidam -m sw

|

Jíg&ifc ~-ífí:|€OSí¿:| ^ =ífe|ê£f+

c

u "§$

£ ?)

tg(^+

Jeosecuutu ~ in[cosecu - c tgu | = In)tg~ | +c (? )

| ses- u.du :- :f e f x

J smtt. t g « ; é í N : ^ # ^ t ■

^ ^ ^ u M i ^ - c X g u +& ^pj) J w s e p m ^

Ejemplos de aplicaciones de estas fórmulas Calcular las siguiente integrales. Jsen(x2 - 4 x + 5).(jc-2)rfx Solución Sea

w= jc2 - 4 jc+ 5

(x - 2 ) = ^y

=> du = 2(x-2)dx , de donde

reemplazando en la integral dada

f -ivj f du eos u cos(x2 -4 x + 5) I sen(jr - 4 x + 5).(x-2)dx= I sen u . — = -------- + c = ----------------------+ c ^ 2i 2* 2 J cos(sen x + x 2).(2x+ eos x)dx

^

19

Integral Indefinida Solución Sea u = sen x + x 2 => d u - (2x + eos x)dx , reemplazando en la integral dada

J cos(sen x + x 2)(2x + eos x)dx = J eos u.du = sen u + c = sen(sen x + x 2) + c

tg(V*2 +4)x

©

dx

J x 1 +4 Solución Sea u =-\/x2 +4 => du = —¡ ^ ^ = . reemplazando en la integral dada: V*2 +4 [ tg(Vjc2 +4) J

(7 )

X<^L = = f tg u.du = ln | sec u \ +c =ln|sec(Vx2 + 4 )|+ c V x2 + 4

J

Je tg (ln .r)-^ Solución dx Sea u = ln r => d u - — , ahora reemplazando en la integral dada: x

Jc tg(ln x) — = | c tg u.du = ln | sen w| +c = ln | sen(ln jc) | +c ( 5)

J sec(3x + 5)dx Solución Sea u = 3x + 5 => du = 3dx => rf* = ^ , ahora reemplazando en la integral dada.

f sec(3x + 5)dx = f sec m.— = —ln | sec u -1- tgu | +c = —ln | sec(3x + 5) + tg(3x + 5) | +c * J 3 3 3

20

®


[secasen J

+ 2-4x Solución

2-Jx

c r j 2'Jx + c.oS'Jx . Sea u = sen V* +x => du = -------- ¡=------ dx Ahora reemplazando en la integral dada:

Jsec(sen^[x + x)(

(7 )

^

^

)dx = J sec 2 u.du = tgu + c = t g ( s e n + x) + c

| secasen x ) tg(-Vseñx )^Jcigx^fcosxdx Solución f— eos xdx Jc tg W c o sx Sea w- Vsen x => du = —= = = ----------------dx 2vsen.v 2 De donde, ahora reemplazando en la integral se tiene: | sec(-Vsenjc) tgí^sen x )^/c tg W cos x rfx = 2J sec k. tg w.dw = 2 sec w + c = 2 secasen x) + t

©

f v r + eos 8xdx Solución Se conoce que: eos2 4x =

l + cos8x = 2cos2 4 x , ahora reemplazando

en la integral dada:

JV1 + cos8xí& = JV2 eos2 4xí/ x = a/2 Jcos 4x.dx =

a/2 sen 4x

-+£■

21

Integral Indefinida

1.5. En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones hiperbólicas, para esto consideramos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces: (1 )

Jsenhw.rf.v = coshí* + é

(¿ p J coshfe^f« = senhw -i c

(”Í )

J tgiiu.du = ]nl'cosh» | +¿

( 7 ) j c i 0 ü . M ± ínjséah»} #

( 5)

Jsec/?’?«*/ igliw+f

(g) | cmechhi-du = -ttgh

?)

J cosecte./. tghí
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas básicas.

©

í sec hx.dx Solución r> Como sec hx =

coshx

, 1 2le ex +e~x e2x+ l'

Hacer: u = ex => du = exdx, reemplazando en la integral dada:

í sec hxxix = 2 f —^ ---- d x - l [ = 2 arctg(w )+c =2 arctg(e*) + c J J e~x +1 J u~ +1 J(3senh7,v-8cosh7x)rfx Solución J (3 senh 7x - 8 cosh 7x)rfx = 3jsenh7x.
J 5tghA.sec h2x.dx

22

Eduardo Espinoza Ramos Solución Sea u = tgh x => du = sech2x ¿y, reemplazando en la integral dada, y por la fórmula 9) de la primera parte se tiene: cu

,-tgh.r

f5 Igh\s e c /r * dx= \5 “d u = — + c = - -----+ c i i ln5 ln5 ©

j cosh2 x.dx Solución €'X+ € X 1 cosh2 x.dx = (---------- ) 2 = —(e2* + e 2jr + 2 ), reemplazando en la integral dada 2 4 i

i

ícosh2 x.dx = — [(e2x +e~2x + 2)dx J 4J 1 - —(senh 2x + 2x)+c 4

©

i

2x

= —[—-- --— + 2x] + c 42 2 1 x =—senh 2x + —+c 4 2

senh jc.coshjc.dx Solución

J senh4 x cosh x.dx = J (senh x)4 cosh x.dx -

(ó )

senh5 x

+C

jV *. cosh{e*) senhfc* )dx Solución | ex cosh(er)senh(e' )dx = J senh(^x).cosh(er)£xdx = ----- ' du

(7)

ísenh(-v/x)-^r J vx

senh2 e* ■+•c 2

23

Integral Indefinida Solución senh^/jc)= 2 í scnh(-Jx )d(*Jx) = 2 cosh( J x ) +c

OBSERVACION -

En ciertos casos es preferible elegir un cambio de variable en la forma mas adecuada a fin que la integración sea fácil de resolver y este caso veremos con el nombre de integración por sustitución o cambio de variable. 1.5.5.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE,TEOREMA.-

Si x = (JKt) es una función diferenciable entonces:

Demostración Sea F(x) = J / (x)dx y definimos G(t) = F(
, esto es que (2 )

Lo que es equivalente

En efecto se tiene:

G(t) =

f(4>(l))jp'(t)dt

dG(t) __ d^ F(<¡>{t)) = — F(x) , x = (t) di dt dt

... (3)

24

Eduardo Espinoza Ramos dF(x) dx (regja ^ ja ca(jena) dx dt = f(x)4'U)

pues dFj X^ = f{x) dx

- f ((¡>(t))$ (/) (lo cual demuestra 2) Se concluye que: Sí x = <|)(t) entonces J / (x)rfx = F(x) = F(<¡>{t)) - G{t) = J f Ejemplos.-

(t)dt

Calcular las siguientes integrales.

J x\ j x - 2 dx Solución Sea t = x - 2

=> x = t + 2

=> dx = dt, reemplazando en la integral

j x l f x - 2 <¿*= J(/ +2)Vr rf/ - J(í4/3 +2tl l i )dí = 3 /7/3 + 3 /4,3 +c = i (jf_ 2)7/3 +l ( x - 2 ) 4/3 +c

©

í V#i- i* 2 Solución

Í

x 3á

_ f x 2jr dx

sea / = 1—x* => x 2 = l - f

=> xdx = - - y

,

reemplazando en (1)

25

Integral Indefinida 1V = 1 3/ 7 - t 1!/■->+c = t.111 '( — l)+c 3 3

= —

3)

f

3

--- - + í = V 1 —JC ( -------------------- ) + c

3

3

J v5Vi ~ v 2 rfv Solución

J x5 Vi - * 2dx - J (x2)2Vi - * 2 x Sea / = 1—jr2=> je2

dx...(1)

= 1 -/ =>

x dx = - ^ , reemplazando en (1)

J * 5V i“ -T2rfx = J ( x 2)2V i“ * 2* rfx = J ( l - / ) 2Vf

= J (l-2 / + r

) - v / 7 ( - ^ - ) = | j ( 2 / J ' 2 - f 1 / J - t ‘i / 2 ) d t

2 f 1 1 12 1 =— r — r ¿— / 5

3 7

7/ ■>

+c

= ^ (1 -V 2)5' 2 --(1 -A -2)3 2 - I ( l - X 2)7/2 + f 5 3 7 dx

©

IJ -W-v t H-1 -1 Solución

Sea f 2 = v 3 - l => .v3 = 1 + /2 => x 2f/v = zí_í^

reemplazando en (1)

26

Eduardo Espinoza Ramos f

J

dx

f

x 2dx

_ r

21 di

w * 3-1 _ J 3(i+ / 2) ^ r 2

=- J ----7 =—arctg/+c =—arctg(-y/jc3- l ) + c

Solución dt

Sea i = jr5 +1 => x 4dx = — , reemplazando en la integral dada:

r x

©

t t f f _** = . 1I f f,c ' " d t ^ +c = W 30 30 J 5ift s J

+ D6' 7 + c

|^ 2 + ^ 2 +a/2 + 2 c o s (5 ^ + 4 M '1(2* Solución Por la identidad eos2 —= ■*—C0S-* de donde 1+ eos x = 2 eos 2 —

^/2 + 2cos(5^/x + 4) = a/2.^/i + eos(Wx + 4) = ^2^2 cos^

*

= 2 cos("*^*+ ^)

^¡2 +-y¡2+ 2cos{5-Jx+4) = ^ 2 + 2 c o s - ^ ^ -

-^2+-^2 + -^2 + 2cos(5V* + 4) =-^2+ 2 eos

= V2^1 + eos

^

27

Integral Indefinida 5-/x + 4

pr pr

5-J x + 4

= V2.v2.cos--------- = 2cos----------ahora reemplazamos en la integral dada J ^2 +

+-J2 + 2cos(5^/x + 4) . x V2dx = 2 Jeos

5-\/x+ 4

8

8

rf,v

=> —í f c = — =

5 "

=> .v

-i/?

— jc'^dx

16

~dx = — d :

2-v/ jc

5

J-^2+-j2+-y/2 + 2cos(5-s/x + 4)Fjc 1/2í/x = 2 J c o s ífc = — senr + c 32 5Vx + 4 = — sen--------- + c 5 8

Se traía de las integrales de la forma siguiente:

Las integrales de la forma (1) y (2) se calculan completando cuadrado en el trinomio y aplicando 11 y 12 de la Ira. fórmulas básicas 1 1, 2 y 3 de la 2da. fórmulas básicas es decir:

28

Eduardo Espinoza Ramos r dx * ax2 +bx+c

1f oJ

dx b 7 4cfc- ¿ 2 (* +— )“ +----— 2a 4¿r rf-Y

í z x a xf^ bc x +c i l -

f

6

.7

4ac-Z r

I,x+ ü > - + ^ r Luego aplicar las fórmulas indicadas para las integrales de la forma (3) y (4), primeramente se calcula la derivada del trinomio cuadrado 2 ax + b. Luego se acomoda en la expresión ax + b en la siguiente forma: ax+b = — [2cx + d]~ — + b, como se observa que la expresión 2 cx + d es la 2c 2c derivada una integrales. l 1 ¥ U U U del trinomio cuadrado, luego LA Ureemplazamos 1 V 1 1 1 1 V / W W U U i U U en KJ* Acada UVC 1 V i l t Ude U U las I

(ax+b)dx a r (2cx+d) J ,, ad t dx --------dx+(b —) —¿ --------— ---------= — — 5 j cx~ -n + e 2c J cx~ + dx+e cx~+dx 2c J cx~+dx+e aquí se aplica la propiedad (7) de las Ira fórmulas básicas y la integral de la forma (1). En forma similar para la otra integral r (ax + b)dx ^ c x 2 +dx +e

_2l Í

+

2cx+d

ad r

^c J Ver2 +dx +e

dx

^c J ^Jcx^d x^-e

aquí se aplica la propiedad 6 de la Ira fórmula básicas y la integral de la forma (2 ).

Í

dx

— --------------

x~ +2x + 3 Solución Completando cuadrado x 2 + 2 x +3 = (x +1) 2 + 2

29

Integral Indefinida

Í

——

dx

jr r' — - 7 j t + 10

Solucion

f j

- _Z _!

r- |
•, 49 49 Completando cuadrado jc‘ - Ix + 10 = (*“ - Ix + — ) + 10----- = (x 4 4

dx r dx 1_ , ' i i , 1_ . jt- 5 , -------= ------ =----- o = T ln |----5 - 5 - 1+í' = T ln |— ^ l + f jc2 - 7 jc+ 1ü / y——)" —— 3 r-Z + i. 3r ” 2 2 4 22

Ejemplo.-

Calcular la integral

¿A

-p J V4x-3-Jc2 Solución

Completando cuadrados 4jc—3 —Jt2 =1—(a 2 - 4 y+ 4) = 1-( y- 2 ) 2

í . = - f - = ^ ^ ^ = = arcsen(v-2) + c* J V4r- 3-Jt2 J Jl-(*-2)2 Ejemplo.-

dx Calcular la integral f .................* J V r 2 + 6 r + 13

Solución Completando cuadrados ,v2 + 6x + 13 = (x+ 3 r +4

í ___ — ____ - f J V * 2 +6.V + 13

Ejemplo.-

----- = In |x + 3 W-V2 +6~y+13 1 +r ^ /(v -f3 )2 4 4

0 ( v - 2 )dx Calcular la integral I ---------1 1 — ~ ^ x -lx-* 12 Solución

30

Eduardo Espinoza Ramos 1 2 * -7 + 3 2 x 2 - l x +12

1 ^ 2x —7 | 3 2 jc2 - 7 jc + 12 2(x2 - 7 a*+ 12)

se observa que 2x —7 es la derivada del trinomio x 2 - l x + \2

f ^ - 2 |A J a

= i[

- 7 a + 12

—

, 2x~7 2 J jf - 7 x + 12

2 J a - 7 a + 12

= — In | .y 2 - 7.y + 1 2 1+ — [ -------^ — 2 2J , 7 i 1

(x — ) — 2

4

x_ 7 _ I —ln|A 2 - 7 x + 12| + —.— ln | ---- 1 \ | +c 2 2 1. 711 2(—) A - - +2 2 2

—ln |x 2 —7,v +121+ —ln | ——-\+ c 2 2 Jc-3 Ejemplo.-

3jc 1 Calcular la integral í — ------------ dx J 4x —4.V + 12 Solución

3 4 3 1 3.y-1 = - [ 8 a - 4 + - ] = - ( 8 a - 4 ) + 8 3 8 2

í d x —^ í ^ a-4 dx+^ í 1 4x2 - 4 x + 17 * 8 J 4a-2 - 4 a +17 * +

4a 2 - 4 a + J7

= —ln |4 x 2 - 4 a + 1 7 |+ —í ------ P -----8 8 J . ( x ------) l j +4. 2 1 3 1 = —ln 14x2 - 4x +171+ — arcig 8 16

—+ c 2

Integral Indefinida

31

= —In I 4x2 ~ 4 x +171+ — arctg(——-) + c 8 16 4

Ejemplo.-

Calcular la integral í

l)dx_ V x 2 + 2 .V + 2

Solución

se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio r

(3 x -l)d x

W x 2 + 2x + 2

3 | r 2* + 2 1 1 ■> - ax 2 ,‘ V x " + 2 x + 2

„1 r qJ

dx r( x + 1 ) 2 + 1

= 34 x l + 2 x + 2 - 4 In I x + 1 + -\/x 2 + 2 x + 2 | + c

Ejemplo.-

f (4 —7jc > )rfjc Calcular la integral I . Vx2+2 x - 8 Solución

4 -7 x = - - [ 2 x + 2 - — l = - - ( 2 x + 2) + l l 2 7 2 se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio r (4— (4 -7Jxjux x)¿/x _ 3 -Jx2 + 2x- 8

¡c

¿x +¿

7f

2x + 2rrrfx

2 -* Vx2 + 2 x -8 ^ ■\¡(x + l)2 - 9

= -7-y/x2 + 2 x -8 + llln |x + l+ V x 2 + 2 x -8 |+c

32 1.5.7.

Eduardo Espinoza Ramos EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS FÓRMULAS BÁSICAS.Calcular las siguientes integrales indefinidas inmediatas:

©

f 3ax1 - 2bx , 7 dx Vax3 - b x 1

©

f

©

a*eos x.dx

Rpta. 2 â x * -b x 2 + c

Rpta.

J (a*sen a*+ cos a -1) f

dx

(a sen a + cos x - 1)] ,w 1- m

Rpta. 2^/ln(x + '\/l + x 2 ) +í*

Y(l + A2)ln(A+-\/l + A2 )

©

1ln(C0SX).tgX.rf*

ln2(cosA) Rpta. -------------- +

©

f^/l + lnx . ---------- dx J A

Rpta. —(1 + lnx)4' 3 +c 4

f x" V a ©

©

Rpta.

2 i „ -----■% v V/ nu 4 -F hC/JV nb

Rpta.

ln(l + 4x2) 8

^]a +bxn f x-arctg(2x) ^ J

1+ 4x"

r ©

*

¿v (aresenx)3 ^ \ - x 2

f

Ja

©

c

2

Rpta.

1

c

4T- t

arctg2(2jc) 4

7 2(arcsenx)~

Rpta. arctgtO + c

©

r a* ln¿/ , ----- — dx J l + o 2r

Rpta. arctg(tf*)+c

©

re*(l + xlnx) , ------------------rfx J A

Rpta. ex lnx + c

33

Integral Indefinida

Rpta.

jt2v(lnjc + l)rfr r

@

© ©

V JC -JC

*e v +x 2

dx

© @

+c

R p ta .------ p r - e 3x^Jx

1 + ln |

y

|+

c

sen 2x^\ + 2 cos 2x dx

Rpta. -i(l+ 2 c o s2 ji-)3/2+ r

4 x ( x i , 2 - 4 )}rfv

Rpta. - ( j t 3,2- 4 ) 4 + f 6 Rpta. — \n\ci +bx2 |+t* 2b

a +bx2

¿/x b p - a q . . cj Rpta. — + ——:pM n|jt + — l+c P p~ P

ax+b dx px +q

©

x 2x

_

xdx

Rpta. (jr2 + l)2 + r

VJC2 +1 _ f— liT y Rpta. 24 x + —-— + c

V* + In y

_

JC

jrd.Y

y

Rpta. (x2 + 8 )2 +c

_ I ,3x Rpta. —arcsen(— ) + £■

dx

'\j\6~9x2 ln(x + -\/l + * 2 )

dx

Rpta. y[ln(x + ^ l + x 2 )]2 + £

1 + JT

e'dx a + hex

Rpta. ^-ln\a + he* [+r

34

Eduardo Espinoza Ramos dx

í

4 + (jc-2 y xdx

j 6 + (3 + 2a 2 )2 sen a rfx

.

1

x- 2 v

Rpta. —arclg(------) + c 2 2 _ 1 3 + 2x2 Rpta. — arctg(— = —) + c 4V6 V6

Rpta. ln |1 —eos x | + c

COSA*

Rpta- -y—ln | j —| +<• 16 x 2 -X sec~ x d x a + h tg x see2 x d x

í

©

6 + 2tg2 x

Je i 2 x i ) d x

Rpta. —ln| a+ ¿tgx|+í* b

^ 1 , tg x Rpta. —= arctg(-T^) + c 2V3 V3 Rpta. yí?ílr 5 ) +c

© Ídx7xln" Í^ x

Rpta.

©

J

1 3 , 6. )+ c Rpta. - ( - ) " ( 25 5 In 6 -ln 5

©

I

2'3 ~ i ex-2 18¿t

ln.r

+c

_ 2 1. , jc+ 3 . R p ta . ------- InI----- 1+c a

9x2 - x A

Rpta. 2V

3

a

- cos a

-3

+ c

COSA

© Jfsen ,.r^/ctgjc-1 f

Rpta.

(í tg x -1 )3 +<

35

Integral Indefinida

(x2 -2 x + l)5 dx l-x senh xdx

1

Rpta.

2(1 + cosh x)

(1 + cosh A ) (]n.i+ I)e'lnxi/r

Rpta. x x +i

a 7 x~ - bl 2

_ 1 . , a x -b . Rpta. — -ln|--- ~\+c lab ax +b

ascnx cosx dx

Rpta.

1+ sen x dx x - cos X

Rpta. In | x - cos x | + c

e hxdx l - e hx

Rpta. ^ - ln |l- e bx | +c

x 2dx (a +bx.3 )v2

Rpta. -

x3- l dx x4 -4x+\

Rpta. -^-ln|A'4 - 4 a + 1|+ c

dx

©

+c

dx x 2-4v+ 8 18 dx x2 + 4x-5

, sec 2x i , (----------)~dx l + tg2x

a +c In a

1 3b(a +bx )

1 fx-2 Rpta. —arctg(-——) + c _

2

2

Rpta. 3 In | ——- | +c x +5 Rpta. -

2(1 + tg 2x)

+c

36

Eduardo Espinoza Ramos 4 dx

Rpta. 2 a rc sen (^ ^ ) + t-

V -4 x 2 -2 0 a - 9 aretgV* d*

Rpta. arctg2 V *+c

I Vx + 2x2 + x 3

© i cos2 dx + A -Jl

©

J

Rpta. 2^/l + tgjr+ c tg-V

2x - Varcsen x

lnxdx

j x(l+ln~ x)

©

Rpta. - l 4 \ - x 2

dx

(aresenx) -n

V i- * 2 1 ? Rpta. —ln |l + ln~ x |+ c

dv

2jt dx í— J
Rpta. ln |e +é~x |+c

lnx-1 . y— dx Í ---

Rpta.

g 'W

Rpta.

ln x

j (g W

dx

)2

x ln x - ( l + x 2)arctgx x(l + x 2)ln 2 x 1 -x ln x

i /

© i

dx

dx

lnx

+c

g(x)

■+ c

_ arctgx Rpta. ---- — + c lnx _ lnx Rpta. ---- + c

Xí? x r (xln2 x + x ln x -1 ) dx ln2 x

Rpta. ---- + c lnx

V i- * 2 aresenx-x dx V l-X 2 (aresenx)'

Rpta.

aresenx

+c

Integral Indefinida

@

g(x).g'(x)

■Ji+gHx)

37

dx

Rpta. ^ l + g 2(x) +c

e x~e dx

Rpta. e€ +c

©

ln(2x) dx ln(4x)x

Rpta. In x —In 2. Ln | x In x

©

2 + x + 3 arctg3x dx 1+ j r sen ~Jx cos^x

£

dx

ln(2x) + In2 jt dx 3x

1 3 Rpta. —ln(l + x2) + 2 arctgx + —arctg4x + c 2 4

Rpta. -c o s2

Rpta. Z irr |2 x |+ ^ ln 3 |x|+ ~-ln2.1n|x|+ c

In %*—

dx

e€ e€ ^Xdx

Rpta. e€ + c

x dx (1 + a*4)arctg3 a*2

1 R p ta .---------- —- +c 4 arctg“ x

sznlxd x

Rpta. -ln |c o s x + 4|+ c

cos'' x + 4

ex sen(4er + 2)dx

©

(x + 2) dx ^/x3 + 6x2 + 12x + 4

Rpta. - Z cos(4 ^ ' + 2)+c

Rpta. —'vx3 + 6x2 +12x + 4+6*

38

Eduardo Espinoza Ramos x3+x+ 5 dx x 2 +l

Rpta. — + 5arctgx+r

4 +4 l ^ x : dx a/3 -3 jc2

J3 Rpta. -^ -(x + 4arcsenx) + c

(x + l)(x2 + l)ln(x2 + l) + 2x2 Vj _ 4 7 ----- ----------------—-e ' dx Rpta. xe ln(l + jc2 )+ c x 2 +l V3-t4 +4.v3 +6x2 +12jf+9(.v3 +x~ +x +\)dx

Rpta.

-j^(3x4 +4x3 +6x2 +12a+9)5 + dx

x(ln(ln (lnx))).(ln(lnx))lnx 3 + xln(l + x 2) dx 1+ x 2 xdx

© © ®

c

Rpta. |l n | l n | l n J |ln x |||+ c

1 ? Rpta. 3arctgx + —ln~(l+x~) + c 4 Rpta. yarcsen(jc2 ) + c

(x-2)dx

Rpta. ^'x2 -4 x + 13 +c

4 x 2 -4 x + 13 /

1 T x~ -a~

1 ^ T—r r ) ^ x~ —u

sen x -x ln x . eos jc dx a sen' a* lnxrfv (1 -ln 2 x)x

Rpta. —ln | —----- —| +c 2 x -k~ __ lnx Rpta. — -fe senx Rpta. ~ y i n |l - l n 2 x |+ c

39

Integral Indefinida

©

x i dx

Rpta.

arcscn(x4 ) +c

VTv e'dx e2x - 6 e ' +13 sec2 xdx

1 ex - 3 Rpta. —arctg(--------)+c 2 ^

Rpta. In | tg.v + 2 +Vtg2 x + 4tgx + 11+r

-Jtg2 x + 4tg.t + l

© © ©

Rpta. iVl + JC2 -3 1 n |x + V*2 +1 |+c*

1-----Vl + -v2 dx

Rpta. -arcseii(e *) + £•

exé ~ e 2x dx

Rpta. arcsen(* j ^ ) + ¿

Vs- 4 x - * 2 dx

Rpta. arcsen(^Z) + c

Vis +2 X - X 1 dx jcV* -9

Rpta. Z arcscn(ln x 2 ) + c

In2 a* rf.v

V * - £^2a +3e'

2ex - 3 Rpta. arcsen(— V i7

sen jcdx V2- COS2 A dx

Vs- 6 a -9a-2

©

dx 4 \2 x - 9 x - -1

Rpta.

i 3

.3.V-2 V2

-arcsen (— ^ - ) + c

40


s

cos x dx

Rpta. arcsen (2 sen x - 3 ) + e

V -2 -s e n 2 x+3senx dx

Í V9x22-6 x + 2

Rpta. —ln |3 x - l W 9 x 2 6x + 2 |+c 3

r 3ódx a, J T^T4 t TI2 x + 9 ln

Rpta. —ln ^ ln x + ^ T n 2 v + 9 |-fc* 2

3x dx

i í JC4 +6.V" +5 rfx

Rpta. y l n |x 2 + 3 + V*4 + 6x2 +5 |+c

Rpta. ln | x +'y +'Jx2 + px+g I+c

+ J?x+#

íoo;

© [102

f , J Vl + tf'r + e2* dx

í V -2 6 -1 6 x -2 ;r lnxdx

j

rVl+ 4 1 n x -ln 2 eos xdx

103

Rpta. ln |e' + —+-Jl+ex + e 2jt |+c 2

Rpta. —pârcsen(—pr-)+c V2 V3

Rpta. - V l-4 1 n x -ln 2 x - 2 arcsen(^+^ *) + c V5

Rpta. ln12 senx +1 + l^ s e n 2 x + senx + 11 +c

Vsen2 x + senx + 1

104J

J

see x <íx * ^ tg 2 x + tg x + 1

Rpta. ln |2 tg x + l + 2^tg2 x + l + 2-s/tg 2 x + tg x + l |+c

41

Integral Indefinida - x )d x a/ 4 . v 2

Rpta.

© 108

109

©

-1 2

v

+ 7

- ln |2 .v - 3 + V4.t2 -12.V + 7 \ - - ^ 4 x 2 -12.Ï + 7 + < 4 4 4 dx

eos W l-se n

Rpta. 41n|(tg2 x - I) + - J t g 2

2 a- + 2

e o s " A '(tg ~ A' + l )

[see A - t g A dx 1sec X + tg X

tg y + 3 |+ r

Rpta. In I see x + tg x | - ln |see x | + e

Rpta. -

2 -\/i 2

y

- 4

x

2

Vi 2jl —4 r 2 - 5

©

- 5 + —aresenf 2 2

+1

Rpta. —ln|/?A+^]a2 + b 2x 2 | +c b

*\Ja2 + />2x 2

© ©

-2

1 •+ t 1+ tu v

Rpta.

dx

(sen y-feos a ) '

(8a -3 ) dx

a*

eos - v

1 /7 ^ Rpta. —Inlsenav + V*?" + sen~ tfx|+t

eos ax ¿7a ^[a2~+s + sen_ ¿7v

a/

a 2 + 2 A'+ 5 dx

©

'sjl—x - x 2 dx

©

tJx2 +

©

Vx2 - 2 y+ 2

Rpta. * 2 + 2x + 5 + 21n| a + 1+ Vy^ + 2 x + 5

2

+1

y

r ----------— a —y “ +

Rpta. -------V 2 4

x

dx

Rpta.

Rpta. - — - ^

V-V2 + v

v 2

—2 y +

2

- ln

+—ln|

9

2a +1

8

3

—aresení--------) + (

y

| 2 a +1 + 2Vx2 + x |

- I + V - y "* -2 x

+2 |+ r

|+ ¿

42


©

V-*2 -2.V-3 d x

©

V6a -

x 2 dx

dx

1119

Rpta.

V-v2 - 2a - 3 - 2 ln | a -1 + V v2 - 2x - 3 | + í „ . a -3 r T 9 /a - 3 Rpta. ------V6 x - x + —arcscn(—-—) + < 3

Rpta.

-j((*

+l)2

— (.v —1 ) 2 ) + c

■ y f x - 1 +~<]x + 1

120

©

f/t - J lx + l—
v2sL-ni 1(sen Y+ Acosx in r)¿/vRpta. —x 2sen' +t* In3x jtln5jt

123

Rpta. 2(^/2x+l +-s/x)-2(arctg-\/2jc+ 1 + arctgV*) + c

Rpta.

I n —.lnllnS.vl + l n j c + c

Rpta.

—— I n 11 + 4 ^ ' | +c*

1

€?*+4 4 Rpta. —+ 1)2 - 4 ( 4 x + 1)2 + f

-

3

125

dx

Rpta. i( A -- -i-ln ( 2 '+ 3 ) ) + í 3 ln2

2 V+ 3 ¿7,v

126 ln(2

Rpta. ^jlnx+^Jlna + ...+ *

ln jr+^ln

r 8 Rpta. — + j l n | x 3 - 8 | + f

127J A3 - 8

.128

2e -fe 3eT-4 ^

Rpta. ln | V3tJ2r -4 ^ 3 -4 ^ 2* |+r

Integral Indefinida

129

43

f —f^ X -

Rpta. 2 a r c t g -1 + c

J -Je*-l Rpta. 2-Je* + 2 - 4 arctg(—g

1^130)

(¡3l) ^

f4 = ^ J Vi+fr

®

r

ln a í/x lnxrfx ---------- —---------J(lnx-l) J xy 3n n r - 1 \3

^

J

Rpta. - ( í ' ’r - l ) 3,2-2(
^

Rpta.

1l _ „ R R pp ta t a .------- ^--------------- r +c 2x~(lnx-l)' ?r-íln >-_l\2

/

+x V - r - l

t>aiclg* +—ln2(1 + x 2) + arete x +c 4

(134)

Jsen(o + bx)dx

Rpta.

- cos^ + ^ + c

(135)

J sen(lnx) ^

Rpta.

-cos(lnx) + c

( oó )

Jx cos(2 -x 2 )dx

Rpta. —^ se n (2 -v 2 )+c

(Í37)

Jsen' 4xcos4xífa

Rpta. -en^ ~ - + c

@

J tg \|)sec2(^)dx

Rpta. 4 t g 4(v) + í' 4 3

139)

r

~ ) +c

sen x cos x d\ ■... Veos2 x - s e n 2 x

n x 1 /---- r— R p t a .------(/eos 2x+ c ^

44 140J

© 142

Eduardo Espinoza Ramos cos(sen x + 2.v)(cos x + 2)dx

Rpta. sen(sen a*+ 2 a ) + c

tg(sen x + 5) eos x dx

Rpta. ln|sec(senjc + 5)|+c

see 2(cos(ln jc)) sen^lnx^ ¿x

Rpta. -tg(coslnx) + c

eos(sen x) eos x dx

Rpta. sen(sen jc) + c

dx

144)

sen ■fx

145

lg-Jix +1

146J

ítg (ln x )—

Rpta. -2cosa/jc+ c

■fx dx V3x +T

dx

,

Rpta. —ln|sec v

3 jc + 1 |

Rpta. ln|sen(lnx)|+c

JC

147J

148

tg^/ínx

dx x~Jh\x

dx cos“(1-4 jc)

149J

eos1 xdx 1-senjc

150J

dx 1+ cos 10a'

151

dx 4+5 eos“ jc

152

dx 4 + 5sen“ x

Rpta. 2 In | sec Vlnjc [+c

Rpta. - “ te(l-4jc) + c 4 ™ a. eos~ x +c Rpta. sen a ----------

1 ^ tlíX Rpta. -a re tg (^ -^ -) + c 6

I

3

,3 tg jc %

Rpta. —arctg(—^—) + c 6 2

45

Integral Indefinida 153

-s/l + senx dx

Rpta. - 2a/1-sen x + c

1+ tgx dx sen 2x

1 tgx Rpta. —In | cos e c 2 x -c tg 2x | + +c

•>/] + cos 2x dx

Rpta. V2senx + c

Vl - cos 2x dx

Rpta. - a/2 cosx + c

157

■yjl + cos 8x dx

V2 Rpta. -^-sen4x + c

158

-s/l - cos 8x dx

O p. t a .-----a/2 R cos4x + c

159

sen Vcosjc.-Jtgx.senx dx

Rpta. 2 cos Vcosx + c

cos 6x + 6 cos 4x +15 cos x +10 dx cos 5x + 5 cos 3x +10 cos x

Rpta. 2senx + c

x 2 cosh(x3 +3 )dx

_ senh(x3 +3) Rpta. ----- --------- + c

dx senhx.cosh2 x

x, Rpta. ln |tg h y | +

e2x cosh x dx

e3x ex Rpta. ---- + — + c

164

e x senhxdx

R p ta .-------—+c 4 2

165

senh3 x. cosh2 x dx

1154

155

161

163

2

6

€

lx

2

2

X

1 +c coshx

46

(lóó)


J— (lne+lnx.lne*)í/x

Rpta. ex lnx+ c

f x 2/3+ x 4esen3,r cos3x + x 3 , -------------------------------- dx J x4

_ , 3 - 7/ 3 esen3jr Rpta. — x +- -- 7 3

168

f O -*) , ----- — d x J x4

„ 1 1 1 R p ta .------- r + ^ ------ + c 3x x2 x

(l69)

J x^4 +x 1dx

Rpta. -^(4 + x 2)3' 2 +c

^70)

J 4 l a x - x 1dx

Rpta.

(x2 +2x)dx

©

í

& 3 + 3 x 2 +1

arcscn -——+

° -J la x -x 2

_ 1 3 , 7 , . 7/ 3 Rpta. —(x +3x*+l) +c 2

f * I . JV - /n 9-X„44

1 Rpta. — arcsen(— ). + c 22 3^

(l73)

J6x.e J rfx

Rpta. -3 t,r +c

1174

r2e - e - 3 , I —--------------- dx J e -Jo* - 2e - 3

_ , , r Rpta. x + ln(í? —3) +c

175)

f (6-2x)rfx I . = J V 8 -4 x -4 x 2

a/8 - 4 x - 4 x 2 7 2x + l Rpta. ------------------ +—arcsen—---2 2 6

172

+c

47

Integra! Indefinida

178J

179

(v+ 3

)d\

Rpta. V-v"* +2x + 2 lnI y->-l + Vv2 + 2x ( +i

scns veos V dx

dx

180

dx

a/

-5 -1 2

a

-3

dx

183J

V 5 (v -2 )

Rpta. —= a r c iu ----- — +c VÎ5 V3 1 v-1 Rpta. — arctg(—^ ) + r V3 *v3

dx

182

sen 6 X

Rpta. --------+ t

1

5v- -20.V + 23

©

_

a- 2

I r v+ 2 Rpta. —=arcsenv3(—^ ) + <‘ a/3 a/7

Rpta. 2arcsen(-~) + c-

VW9 - v

184

a d\ 5 + r 4

dx

185J

2.x + x +1

186

© 188

189

rfx

1 t2 Rpta. — pârettz^r+ r 2^5 ^ 2

4x +1

Rpta. - = a r c i u — + a/7 - V7 1

R p t a .-----= -

6 \ - 12-4v

,

■ \ic 'd x

dx v in y

a-

2 -J3 9

1

-Ja: - hl x2

,

l n I ----

3 -^ 3 9 ,

----

v -3 + a /3 9

/>A-

Rpt&. —aresen— +<: b a Rpta. 2^' 2 +r

Rpta. In(lni) + £

48

190

© 192

193

© 195

Eduardo Espinoza Ramos In v

x\n(\ + x~)dx

© I98J

Rpta. -^[ln(l + v2 )]2 + r

1+xdx ■Jx{\±^fx)

Rpta. 21n(l+Vv) + r

(21n v + l)rfx

Rpta. ln(ln~ x + ln r) + t*

x[ln' x + In a ] x dx

1 4 -7 x Rpta. — ( . )+ t 49 J l ^ T x

(2 —7 v) V 2x-3 dx (2 x -3 )r 3 +1

Rpta .

196)

_ In- \ Rpta. ------ + t

dx

2[(2v 3)-----------------( 2

a

3>—

+

—

r —

3

-

^2,v- 3 + a r c t g - 3 ] + <

x^[x + ] dx

2 7 Rpta. -j(x + l)* “ ——(x + 1)3 2 + r

xv 2 -5 x rfv

Rpta. — (2-5.v)5 2 (2 -5 .t)3,2 +c 125 75

dx a/ x + 1 -

Vx

199J

v 2 a/1

200

xv4 + x dx

+ x r/v

Rpta. y[(.v + l)3 2 +,v3' 2] + c

Rpta. ~ (1 + x)7' 2

+ l')5 2

+

Rpta. ~ (a + 4)5' 2 -^ (.v + 4)3' 2 +c

2 + í’

49

íntegrai Indefinida

©

x 5dx

J;

Rpta. | [ (9 + X8 )8' - y ( 9 + x 2)5' 3 + y ( 9 + jc2) 2' 3] + e

+x*

202

dx J (1 + VTTjc)1' 2

Rpta. y (l+ V Í+ ^ ),/2(V Í+ 7 -2 )+ f

( 2Ô3 )

Jx2(x+ 3)n r/v

(x+3)14 6(x + 3)13 . 3(x + 3)12 R p ta .------------------- :-----+ ------------ + í 14 13

Rpta. —ln(t,T +2)--\[e2* - 4 + c

[205)

x -5 x + 9 f *~ ----- ¿v J X 2 -5 x+ 6

206)

J

-3 x ~ 8 dx X2 -2 x + l

Rpta. x + ------- l n |x - l |+ c

j

X2 +1 dx (x + 2)2

Rpta. x +2

207J

20H)

209;

© 211

X2

(4x+ 5 Wa IJ x*v~' + 2x + 2 {3x-5)dx X - 8 a +42

f-

5x + 3 rfv + 4x + 4 (x- + l)rfx

j ( X 3 + 3 x -7 )'

Rpta. x + 31n———+ c x -2 10

,,

X —1

.y -

4 In I.V+2 Ì -------- +c

Rpta. 21n|x" +2. + 2| + arctg(x + l)+ c

Rpta. —In I V2 -8 x + 42| + -¡Z=arctg(^=^) + í2

-s/26

Rpta. 51n|x + 2| + ------- + c x+ 2

Rpta.

_____1_ 3(x3 + 3 x -7 )

•+£•

-V2 6

50

®

Eduardo Espinoza Ramos M * 2 + l)ln(x2 + I) + 2.ver arctg-v ^ ln(x2 + l) g> J x 2 +l x 2 +l Rpta.

© 214

©

e* ln(x2 +1) arctgx+c

J [-------------- —

r r(l + x2)cosx + (l + x + x 2)senx %1. ------ ------- e }dx

_ . , r. 7 Rpta. e Vl + x~ sen x + 1

f (x + l)(x2 +l)ln(x2 + l) + 2x2 , ---------------- ------------------- e dx 3 x '+ l

v| 2, , Rpta. xe ln(l + x ) + t

f r 2(x2 + x+ l) + (2x3 +6x2 +5x + 2)lnx x , [—------------------- í-----e*dx

J [21 ó)

_ r 7 Rpta. xVl + x+x-í?M nx + <

2vx2 +x + l

Suponga que f(x) es una función “suficientemente derivable” simplifique la expresión dada: a)

f(x3 í x 3f\x)dx+ f"{x))dx d\J dx J

Rpta. x 3(l + f(x)) + f ”(x)

b)

J(x/(x))'djr

Rpta. x f(x)

c)

J (4 /" (x ) + 5/'(x))rfx

Rpta. 4 f ( x ) + 5f(x)

d)

J“(íx/(x))"+x/,(x) + f(x))dx

Rpta. /(x ) + x (/(x) + / ’(x))

e)

J ( x /'( x ) + /(x))rfx

Rpta. x f(x)

217

rsenx í;,g2* --------—— dx J eos x

] lR:,Rpta. —e g + c 2

218

f 4arctg2 x + 2 x 2 + l + 5x + 2 , I ------------------------- dx J l + x~

_ 4 3 5. , ? Rpta. 2x + —arctg x + —ln|x~ +1| +<* 3 2

51

Integral Indefinida

i-’ +lh/4 - 2 i 2 -y" d x

219

220)

(\

4.V+ 4

Rpfa.

1

^ - ( 4 - 2 v 2 - v 4)2 +r 16

ii 3 Rpta. — Ijl-2 ) 3 +c

dx

11

i Rpta. -2(1 +— )2 + i3a

222

223J

d\

s e n v. s c n ( c u s x ) d x

scc

225

a

. \u x . c o s ( s e c jc ) d x

V i + v

+ V i - A '2

Rpta.

T V i3

+3 a 2

Rpta.

e o s (e o s x ) + c

Rpta.

se n (see x ) + c

+ 1

+<

r/v

Rpta. aresenx + ln | A' + Vi + *2 | +c

dar

Rpta.

vr^ 7 226

V v ^ i-V ^ i V 7~

d*

(v + 4)dv

r +3

Rpta.

l n | x | ------ ~ r + c

4a

Rpta.

+r 5( x 2 + 8 a ) 4

( A - + 8 a* ) 4

229

— i-1 -fe

x +4 x ^ + 1

227J

228J

ln | 1 +

d*

Rpta. Vv2 + 2 j c

+ 2

ln \x + 1+ Vv2 + 2 a '

+ 2*

230

2

y

+ 5

+2.V + 5

dv

Rpta. ln jx 2 +2x + 5| + y a r c t g ^ Z + (

| +c

52

231,

232

© 234

235) 1.5.8.

Eduardo Espinoza Ramos ( 6 -2

j

J

4

y

y

j __________ -j ^ “+ 1 Rpta. —VH - 4 v - 4 v : + —arcsciK V^+ ) + r

)dx

-4

a

*

It -e - j dx C2i - 1c —J-i

Í7 ÍT

Rpta. v + ln 11*‘ - 3 1+c

dx

Rpta. J _ ^ ln |jc 2 +l|+c-

r -\¡2 x~ +1 - \ +1

v ' + i-V en3> eos 3 a + A 3

J

_4

Rpta. _v——~ ^ 2 +1 + - ^ l n | 'Jl.x +'jlx* +1 | +<• 2 42 sen x

dx

Rpta. ln v +

--------—- X 5 +£* 3

7

ECUACIONES DIFERENCIALES MUY SENCILLAS.Una ecuación que contiene una función y sus derivadas, o solo sus derivadas, se llama “Ecuación Diferenciar’ usaremos la técnica de antiderivada para resolver una ecuación diferencial de la forma:

donde la variable dependiente “y” no aparece en el lado derecho. La solucion de la ecuación diferencial (1) consiste simplemente en encontrar una función y(x) que satisfaga la ecuación (1), luego la solución general de la ecuación (1) es la integral indefinida.

v(.v)=J/(jrW.v+< dx - o, Ejemplo.- Encontrar la solución general de la ecuación diferencial — = i\ rfi Solución

... (2)

53

Integrai Indefinida La solución general de la ecuación diferencial dada es:

y(x) = j 2x d x + c = x 2 + c

NOTA.- Una ecuación diferencial de la forma de la ecuación (1) puede aparecer junto con una condición inicial de la forma y(x 0 ) = y {) y con estas condiciones conociendo la solución general (2) se obtiene la solución particular de la ecuación (1), por lo tanto la combinación.

de una ecuación diferencial con una condición inicial es llamado un “Problema con condición iniciar’. dy Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial — = 2x +1, y(0) = 3 dx Solución La solución general es: y(x) = J (2x + l)dx + c - x 2 + x + c como y{0) = 3 es decir: cuando x = 0, y = 3, que al reemplazar en la solución general se tiene: 3 = 0 + 0 + c entonces c = 3, por lo tanto la solución particular es y = jt2 + x + 3 OBSERVACION.-

El método indicado para resolver una ecuación diferencial puede escribirse como integrar ambos lados de una ecuación diferencial con respecto a x.

f (— )dx = f (2x + \)dx => y(x) = x2 + x + c J dx J También las ecuaciones diferenciales sencillas aparecen en la forma:

La ecuación diferencial (4) se ouede expresar con diferenciales en la forma:

54

Eduardo Espinoza Ramos h(y)dy = g(x)dx así las variables están separadas, por lo que se dice que estas ecuaciones son “Ecuaciones Diferenciales Separables” y la solución general se obtiene por integración directa. ~ J g{x)dx+c ¿y ^^ ^ Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial. — -------- -----dx y“ Solución

La ecuación diferencial — = —— ^ — —, se escribe con diferenciales dx y~ V2dy = x 2^x* - 3 d x , quedando las variables separadas ahora integrando ambos miembros para obtener la solución 3 3 \ y 2d y - í x 2-y]x3 - 3 dx + c => — = —(x3 - 3 ) 2 + c J J 3 9 3

3>’2 = 2(x3 - 3)2 +9c que es la solución general. OBSERVACION.-

Las ecuaciones diferenciales tienen muchas aplicaciones en diversos campos, así por ejemplo se aplica al movimiento rectilíneo en Física, en Química. Biología, psicología, Sociología, Administración, Economía, etc., en esta sección trataremos solamente del movimiento rectilíneo, aceleración constante y movimiento vertical con aceleración gravitacional constante. ISS.

MOVIMIENTO R E C T IL IN E O ^ Las antiderivadas nos permite, en muchos casos importantes, analizar el movimiento de una partícula (o masa puntual) en términos de las fuerzas que actúan sobre esta. Si la partícula se mueve con movimiento rectilíneo, a lo largo de una línea recta (eje X), bajo la influencia de una fuerza dada, entonces el movimiento de la partícula queda descrito por su “función de posicion” x(t) que da su coordenada x en el tiempo t.

55

íntegra! Indefinida

0

. ...

A ^

x(t)

posición en el instante x

La función de posición X(t) de una partícula que se mueve a lo largo del eje X. La “velocidad” de la partícula v(t) es la derivada, con respecto al tiempo de su función de posición.

0 x(0) = x0

A 1r ► t =0 velocidad x'(0)

Su aceleración a(t) es la derivada de su velocidad con respecto del tiempo.

En una situación típica, se tiene la siguiente información: a(t): la aceleración de la partícula x(0) = x0

Su posición inicial.

v(0) = v0

Su velocidad inicial.

Para determinar la función de posición de la partícula x(t). Primeramente resolveremos el problema con condición inicial.

correspondiente a la función velocidad v(t).

56

Eduardo Espinoza Ramos Conociendo v(t) se puede resolver el problema con condición inicial. dx dt

... (P)

para la función de posición x(t) de la partícula. 1.5.10. ACELERACCION CONSTANTE.La solución de los problemas con condiciones iniciales en la s ecuaciones (a) y (p) es más sencillo cuando la aceleración “a” es constante y se parte de: dv — = a (a es una constante) dt de donde v(t) = j a d t + cl =at + cl

(1)

(2)

para calcular cx se tiene v(0) = vo obteniendo v(/)=¿*/ + v0 como jc*(/> = v(/) una segunda antiderivada se tiene:

*(/) = | v(t)dt + c2 =

+ v0)dt + c2

(3)

para x(0) = x0 entonces c2 =x0 Luego

NOTA.-

Las ecuaciones (3) y (4) solamente son validas en los casos en que la aceleración “a” es constante no se aplica cuando la aceleración varia.

Ejemplo.- Las marcas de derrape de unos neumáticos indican que se han aplicado los frenos durante una distancia de 160 pies antes de detenerse él automóvil. Supongamos que el automóvil en cuestión tiene una desaceleración constante de 20pies/seg1 bajo las condiciones del derrape. ¿A que velocidad viajaba el auto cuando se comenzó a frenar?

57

Integral Indefinida Solución

Consideremos al eje X orientado positivamente en la dirección del movimiento del auto, elegimos el orden de modo que xt) = 0 cuando t = 0.

x desaceleración constante: a = -20 x = 160 v=0

inicio t =0 x =0 v = v0

En este sistema coordenado, la velocidad del auto v(t) es una función decreciente del tiempo t (en segundos), de modo que su aceleración es a = -20 pies/seg2 y no a = + 20, por lo tanto comenzamos con la ecuación de aceleración constante. dv c — = -2 0 , integrando se tiene v(t) = ~ 20 dt + cx = -20/ 4*cx dt J aunque la velocidad inicial no se conoce, los datos iniciales t = 0, v = v0 implican que cx = v0, luego la velocidad del automóvil es: v(t) = -20/ + v0 como al sustituir los datos iniciales t = 0, x = 0 obtenemos c2 = 0 por lo tanto, la función del automóvil es: x(l) ~ -10/2 + El hecho de que las marcas del derrape tenga una longitud de 160 pies nos dice que x = 160 cuando el auto se detiene, es decir: x = 160 si v = 0 al sustituir estos valores en la ecuación de la velocidad y de posición se tiene: —20/ + Vq —0

.(1)

—10/" +v0/ = 160

.(2)

de la ecuación (1) v0 = 20/ sustituyendo en (2) —10/- + 2 0 r ^!60

=> r = 1 6 = > t = 4

58

Eduardo Espinoza Ramos v0 = 20(4) = 80 pies/ seg Luego cuando t = 4 seg. el auto se detiene, quiere decir que a velocidad del auto era v0 = 20/ - 20(4) = 80 pies!seg

1.5.11. MOVIMIENTO CONSTANTE.*-

VERI ICAL CON ACELEíÍACION GRAV1TACIONAL . . • ,• .. . •. , . .

Una de las aplicaciones de las ecuaciones de la velocidad y la aceleración esta seleccionada con el movimiento vertical cerca de la superficie de la tierra una partícula con este movimiento esta sujeta a una aceleración “a” hacia abajo, que casi es constante si solo sé utilizar distancias verticales pequeñas. La magnitud de esta 1 0 constante se denota con g, aproximadamente igual a 32 pies / seg ~ o 9.8 mi seg~. Si se desprecia la resistencia del aire, podemos suponer que esta aceleración debida a la gravedad es la única influencia externa sobre la partícula en movimiento, como aquí trabajamos con el movimiento vertical, es natural elegir el eje Y como el sistema de coordenadas para la posición de la partícula. Si elegimos la dirección hacia arriba como la dirección positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre la partícula consiste en disminuir su altura, y también disminuye su velocidad v = — , entonces la dt aceleración de la partícula es:

a = ~^¡= ^ pies!seg1

v{t) = Jarf/ + c = J - 32dt + c = -32/ + c = -32/ + v0

... (1)

>•(/ ) = ^v(t)dt + k - j (-32/ + v0)di + k = -1 6 /2 + v0/ + k , para t = 0, y(0) = >’o

V{) = 0 + k => k = >n por lo tanto >(/) = -16/2 + v{)t + >*0

... (2)

Aquí y« es la altura inicial de la partícula en pies, v0 es la velocidad inicial en pies/seg. y t el tiempo en segundos.

59

Integral Indefinida Ejemplo.-

Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una poderosa ballesta, desde el piso, y que vuelve a tocar el suelo 48 segundos después. Si podemos despreciar la resistencia del aire. Determinar la velocidad inicial de la flecha y la altura máxima que alcanza. Solución Ubiquemos el sistema de coordenadas en el presente figura donde el nivel del suelo correspondiente a y = 0, la flecha se lanza en el instante t = 0 (en segundos) y con la dirección positiva hacia arriba. Las unidades en el eje Y están en pies. Y

Se tiene que cuando t = 48 seg., y = 0 y no

v a lo r e s p o s itiv o s h a c ia a rrib a

tenemos la información sobre la velocidad inicial v0 pero se puede usar las ecuaciones (1) y (2) que

a(t) = -g

t = 0

v(í) - 32/ + v0 son < 7 7 y(t) = -16/“ v0/ + >’0 = - 1 6 r + v0/

s u e lo

y(0) = y„ = o

Cuando t = 4 8 seg. se tiene y = 0 de donde

v ( 0 ) = v0

0 = -1 6( 4 8 ) 2 + 4 8 v ü => v0 = 1 6 ( 4 8 ) = 7 6 8 piesíseg para determinar la altura máxima de la flecha, maximemos y(t) calculando el valor de t para lo cual la derivada se anula, es decir, la flecha alcanza su altura máxima cuando su velocidad se anula

-3 2 /

+ v„ = 0 de donde / = — = 2 4 en este instante, la flecha 32

ha alcanzado su altura máxima de ymax = > ‘( 2 4 ) Ejemplo.-

= - 1 6 ( 2 4 ) 2 + 7 6 8 (2 4 ) = 9 2 1 6

pies.

Se lanza una pelota verljcalmente hacia arriba desde el techo de una casa de 6 5 pies de altura y la velocidad inicial es 4 8 pies / seg. ¿Cuánto tiempo lardará la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad llegará? Solución

60

Eduardo Espinoza Ramos VA =48 pies!seg

B

t 0

y(0 64

V

48

a =—32 pies/seg~ se sabe que v(t) = ja dt = j - 3 2 d t + c

64

v(t) = -32t + c como para t = 0, v(0) = 48 48 = 0 + c entonces c = 48 Lueeo

v(t) = -32t + 48

Además y(t) = J v(t)dl + k

=> y(t) = J (-32/ + 48)dt + k

y(() = -16/2 + 48/ + k como t = 0. y(0) = 64 64 = 0 + 0 + k entonces k = 64 Lueeo

+48Í + 64

(2)

Calculando el tiempo transcurrido /AC que demora en llegar la pelota al suelo y esto ocurre cuando y = 0 de donde -1 6 /2 + 48/+ 64 = 0 => / 2 - 3 / - 4 = 0 (t —4)(t + 1) = 0 es tAC = 4 seg

t = 4, t = -1 por lo tanto el tiempo que tomara en llegar al suelo

1.5.12, EJERCICIOS DESARROLLADOS.-

©

dy i Resuelva la ecuación diferencial — = ( j c - 2) donde y(2) = 1. dx Solución La solución general de la ecuación diferencial dada es:

61

Integral Indefinida

v(x) = í (x —2)*dx + k= —-— i-k como y(2) = 1 4

J

(2 2)2 (x 2)2 v(2) = 1 = ---------- + k de donde k = 1 por lo tanto la solución es y = -----------+ 1

(T )

Hallar la solución general de la ecuación diferencial x J \ + y 2 + v.Vl + x2 — = 0 w dx Solución A la ecuación diferencial expresamos con diferenciales x.^l + y 1dx + yrjl + x 2dy = 0 separando las variables _

x dx =

VI + -v

+_

=

-^/l + v*

de donde

ydy _ J-— - » *

= 0 , integrando

Vi + x

. 4,r

x

V 1 + -v

+ -Jl + >'2 = A'

Hallar la solución general de la ecuación diferencial (4x + xy2)dx + (y + x2>*)rf>’= 0 Solución A la ecuación diferencial expresamos en la forma: x.(4 + y 2)d\ + v*(l + x2)dy = 0 , separando las variables xdx vdy . — + ——— = 0 , integrando i+x 4+>-2 f * ■+ f ^ J 1+ x2 J 4 + /

= lnfr de donde —ln(l + x2)+ ~ ln (4 + >'2) = lnA' 2 2

InVl + x2 ^ 4 + >‘2 = InA' de donde Vi + x2^1 + >’2 = £ /.

( l+ x 2) ( 4 + r ) = c

,

f yd

62

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la solución general de la ecuación diferencial x dy + i/l + y 2dx = 0 Solución jcdy +

.^

+ y 2dx = 0, separando las variables

+ — = 0 , integrando ambos miembros

V1 + r

x

j*-^=¿L= + J — = k de donde In| y + -yjl + y2 | + ln r = ln r

lnx.(>* + */] + y 2 ) = lnc por lo tanto x,(y + ^1 + y 2) = c ©

Hallar la solución particular de la ecuación diferencial sen 2x dx + eos 3 y dy = 0, ./n\ y

71 y Solución

sen 2x dx + eos 3 y dy = 0 , integrando ambos miembros Jsen2xdx+ Jcos3yrf>’= ¿ dedonde _ CQs 2x + sen3> = ^

.71 ^

71

como y(—) = — es decir para ,x = —, y = — '2 3 2 3

_7T7T

COS7T sen7r , 1 „ , fl 1 ---------+ ------- - k => —+ 0 = A' => Ar= — 2 3 2 2 cos2,t sen3>- 1 ----------- h----- - = — dedonde 2 sen 3y—3 eos 2x = 3 2 3 2

©

La pendiente de al recta tangente en cualquier punto (x,y) de esta curva es 3*Jx , si el punto (9,4) esta en la curva, encontrar una ecuación de la curva.

Integral Indefinida

63 Solución

dy i— Por la condición del problema: mLf - — = 3^x de donde dx dy - ?>4x dx integrando J dy - J ?>4x dx + c 3_

y = 2 x 2 +c como la curva pasa por (9,4) entonces 2 4 = 29 2 +e =>4 = 5 4 + c = > c = -50 Q

/.

y =2x4x-50

La pendiente de una curva en cualquier punto (x,y) de ella es igual a eos x. Encontrar una ecuación de la curva sí esta pasa por el punto ( y ,2) Solución dy De la condición del problema se tiene: mLr = — = eos x dx De donde dy = eos x dx, integrando j d y - j eos x dx + k y = sen x + k, como la curva pasa por el punto ( y ,2) entonces

2 = sen —+ Ar => 2 = I + k de donde k = 1 2 ^8)

y = sen x + 1

En cada punto de una curva cuya ecuación es y = f(x); Dxy = 6x - 2 , y en el punto (1,2) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la curva. Solución Dxy = | D¿ydx+k = J(6 jc -2 )dx +k =3x2 - 2 x + k mLt =Dxy |(|<2)= 8 entonces 3 - 2 + 4 = 8 => k = 7

64

Eduardo Espinoza Ramos y = J D xy dx + c = J(3 x 2 - 2x + 7)rfx + c v = y3 - x 2 + Ix + c , como la curva pasa por el punto (1,2) se tiene: l = l- l + 7+6

c = -6

/.

v = x* - x 2

+ 7 x -6

Una partícula se mueve en línea recta, x(t) es la distancia dirigida por la partícula desde el origen en t seg. V(t) es la velocidad de la partícula en t segundos, a(t) es la aceleración de la partícula en t segundos. a)

a(t) = 5 —2t, V(2) y x = 0 cuando t= 0 expresar V(t), x(t) en términos de t. Solución dv a(f) = — = 5 - 2 1 => dv = (5 —2t) dt, integrando di F(/) = 5 / - r + c

para V= 2 cuando t = 0 => c = 2

por lo tanto r ( t f * 5 t - Í 2+2 V(t) = ^ - = 5 t - r +2 dedonde dx = ( 5 t - r +2)dt dt f

f

i

5/2

/3

Jd x - J ( 5 / - r 2 +2)dt+k => x(t) = — ----—-i-2/+ Ar comox= 0cuando t= 0

0

b)

= 0 —0 + 0 + k entonces k = 0

.%: 0 )

2

3

7 7 a(t) = 3 t - t ~, V = — y X = 1 cuando t= 1 expresar X y V en términos de t. 6 Solución a ( t ) = ~ ~ 3 t - t 2 dedonde dV = ( 3 t - í 2)dt dt

65

Integral Indefinida

j d l ' = | ( 3 / - r )dt +c => v(/) = —*— ^ r +c 2 3 1 „ 7 7 3 l como l = 1. F = —se tiene —= -------- +c => c = 0 6 6 2 3

K
1 1 como X( 1) = 1 entonces 1= ------- + A 2

12

k= —

7

12

~ í t 1 x(t) —--------- + —

2

12

12

La velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante es v{t) = t^]\ +t 2 . Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante /j =a/8 hasta el instante í 2 =-v/24 Solución Sea X(t) la posición de la partícula en el instante t entonces X'(t) = v(/) = tA¡l + t 2 La distancia recorrida desde el instante tx hasta el instante í2 es: X (t2) - X ( t i ) = X(-J24)-A 'h/8) como X'(t)=v(t) => X(l) = J v(i)dt +c 1 3 A'(o = J /.v i+ í2< a = - ( i+ /2) 2 +c ______

(1)

fc6

Eduardo Espinoza Ramos 125 A
1 27 A'(V8) = -(1 + X)2 + i = — + c 3 3

,— r~ 125 27 98 como A'(-s/24)-A'(Ví<)=(— + í ) - ( — + í )= — 3 3 3

©

Sí el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 20 mi/h a 50 mi/h mientras corre una distancia de 528 pies ¿Cuál es la aceleración constante que debe mantener? Solución mi 528 X8 . K'‘ = 2 0 T - 3 6 Ó T T ' ’“i , ' ’‘* 528 pies

„ =

mi 528 220 . , JóW = ~3~ *>le'> Xeg

se conoce que 1 milla = 5280 pies además V(i) = j a d i + c de donde V(t) = at + c

cuando t = 0, V = — => — = 0 + t => c - — 3 3 3 —(1)

además ás x(f) = j y ( t ) d i +A-, reemplazando x(l) = j (a! + — )dl+ k= ---- + — + A 2 3 cuando t = 0, x = 0 => 0 = 0 + 0 + k =>k = 0 entonces 220 ahora encontramos la aceleración cuando V = —— , t = ?

x = 528, reemplazando estos valores en (1) y (2)

at2 88/ + ... (2) 2 3

67

Integral Indefinida 220 88 132 -----= at+— => I = ----3 3 3a 528 = - ( — )+ — (— ) => 9a(528) = 20328 2 3 3a 20328 77 , i a - -------- => a - — pies/ seg~ 9(528) 18 (l2)

Si se aplica los frenos de un carro viajando a 50 mi/h y si los frenos pueden dar al carro una aceleración negativa constante de lOpiesIseg2 . ¿Cuánto tardará el coche en detenerse? ¿Qué distancia recoiTerá antes de parar? Solución

VA

VB

V - 50 mi = 220 pies A ' h 3 seg VB =? •y

o

- -20pies / seg "

además V(t) = j - 2 0 dt -te = -20/ + c 220 220 220 cuando t - 0, V ----- de donde -----= 0 + c => c - -----

I

además *(/) 1

x(/) = -10/~

f * ?20 J V{l)dt+k - j (-20/ f 2'il —

(1)

- : 3

+

, juanúo t = * '< = 0

7?0/ 0 = -0 + 0 + k Je dorde k = tí entona:.; jc(/) = -10/" +----3

68

Eduardo Espinoza Ramos para hallar el tiempo que necesita para detenerse el carro es cuando V(t) = 0, t = ? en 220

11

la ecuación (1)0 = -20/ + ---- entonces t = — seg 3 3 Luego la distancia recorrida es cuando / = — seg en (2): 3 11 11 , 220 11 1210 . •v(—) = -IO(—)- + - ( — ) = — - pies j

(b )

3

3

3

3

Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20 pies/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ¿Durante cuanto tiempo está subiendo la piedra y que tan alto llegará? Solución VA —20 pies/ seg /

/

i

> 4 !\

V

TiB = ?

\»

------

a = -32 pies/ seg.

Vf = ? porque se opone el movimiento

B

dV_ como a= — = ~32 => V(l) = j - 3 d l + c dt V(t) = -32t + c para V = 20 pies/seg. cuando t = 0. x = 0 20 = -0 + c => c - 2 0 luego V(t) = -32t + 20 V(t) = — = -32t +20 => dx = (-32t + 20)dt integrando dt J<¿t = J(-3 2 r + 20)<*+A x(t) = - l 6 t 2 +20t+k

x = 0 cuando t= 0

0 = -0 + 0 + k => k = 0

Luego se tiene x(t) = -1 6t2 + 20/

TAC = ?

Integral Indefinida

69

Tab es el tiempo que demora en llegar al suelo,para estox = 0 =>-1 6 /2 + 20f = 0 t = 0, / = —,el tiempo que demora en caer es —seg yla velocidad 4 4

con quellega

5 pies al suelo es V = —32(—) + 20 = -20 —— , por lo tanto V = 20pies/seg es la velocidad 4 seg con que llega al suelo; el tiempo que demora en subir es — es decir —seg 2

8

11.5.13. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS ®

Hallar la solución general de la ecuación diferencial.

a)

dy dx

b)

f i 7 7 ^ = x 2v + x 2 dx

Rpta. 2^\-\-x* = 31n(j? + l) + c

dy , 2 ? — = 1 x + v -i-xy

Rpta. a rc tg y -jt------- c

d)

dy _ dx

Rpta. y 2 - x 2 +2(ey - e x ) = c

e)

( x - y 2x ) d x + ( y - x 1ytd, - 0

Rpta. (x2 - l) ( y 2 -1) =k

f)

{x + x^jy )dy+ y-fyax ~ •'

Rpta. — +ln xy = c
g)

ey (l+x )d

Rp.a. l +e y =c(í+x2)

h)

(ey +1) --í x éD-e- 'senr+Dtfy-Q

. c) dx

x~ v(l + .v3)

Rpta. 3 y 2 —21n(l + * 1) = c

e * +x y + ey

-jí:(1+e"kfx = 0

Rpta. (senjc + lXe-*’ + l) = k

70 (T )

Eduardo Espinoza Ramos Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales. v *• , 3 2 a) ~~ = 3x + - T , y ( l ) = l dx x-

„ 3 v4 2 9 Rpta. y = — --------- + — 4 x 4

b)

~ = J -----y(2) = -l dx -yjx + 2

Rpta. y = 2-fx+2 —5

c)

J v” — ~— x 2 = 0 , y{-2) = -2 dx

Rpta. y = x

d)

(4x+*>•2)rfx + (>• + x 2 = 0, y( 1)-2

Rpta. (1 ■+x 2)(1 + y 2) = 16

i e) ^ l = x y y . y(3) = 1 dx .v+1

Rpta. jc3 -3jc-3>-- 3 ln | >• |= 21

f)

É L ^ ' - t o - y ' ^ 3 )b 1 dx y - x 3y

Rpta.

(x3 -1 )4 = 264(2.v2 -J)

g)

— - 2 j r t g x =0 , v(~) = 2 dx '2

Rpta.

y = 2 sen 2 jr

h) x(y6 + l)dx+ y2(x4 +l)dy = 0, y(0)=l Rpta. ©

3 arctg2+ 2 arctg y 3 = — j2»

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pie/seg. Si la única fuerza que se considera es la atribuida a la aceleración de la gravedad, determinar: a)

Cuanto tiempo tardara la piedra en chocar contra

b)

La velocidad con la cual chocara contra el suelo.

c)

A que altura se elevara la piedra en su ascenso.

Rpta.

a)

8 seg.

b)

128pies/seg.

el suelo.

c)

256 pies

Integral Indefinida ©

Una pelota se deja caer desde la cúspide del monumento a Washington, el cual tiene 555 pies de altura a)

¿Cuánto tiempo tomara a la pelota llegar al suelo?

b)

¿A que velocidad chocara la pelota con el suelo?

Rpta. &

a)

—V555 seg 4

b)

8^555 pieslseg

En un movimiento rectilíneo, la función aceleración de un punto es a(t) = -32 en el instante t > 0. Si la velocidad del punto es -20 cuando t = 0, y la posición del mismo punto en 10 unidades en la dirección positiva cuando t = 0, encuentre la función velocidad V(t) y la función de posición x(t). Rpta.

(ó )

71

V(t) = -32t - 20

,

.v(/) = -16/2 - 2 0 /+ 10

Una mujer que se encuentra en un globo deja caer sus binoculares cuando el globo esta a 150 pies de altura sobre el suelo y se eleva a razón de 10 pie/seg. a)

¿Cuánto tiempo tardaran los binoculares en llegar al suelo?

b)

¿Cuál es la velocidad de los binoculares al momento del impacto?

Rpta.

a)

3.4 seg.

b)

99 pie / seg.

Usted arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97 pie/seg. ¿A que altura sube la pelota, y por cuanto tiempo permanece en el aire? Rpta.

144 pies

f

6 seg.

Laura suelta una piedra a un pozo, esta llega al fondo 3 seg. después ¿Cuál es la profundidad del pozo? Rpta. 144 pies. Efrain arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 48 pies/seg. desde la parte superior de un edificio de altura 160 pies. La pelota cae al suelo en 1 base del edificio ¿Cuánto permanece la pelota en el aire, y con que velocidad golpea al suelo? Rpta.

5 seg.

,

112pies/seg.


72 ©

Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 pies/seg. desde un punto situado a 20 pies sobre el nivel del suelo. a)

Si v pies/seg. es la velocidad de la pelota cuando está a x pies del punto inicial, exprese v en términos de x

b)

¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando ésta se encuentra a 36 pies del suelo y sigue ascendiendo?

Rpta. ( ll)

a)

v2 = -64jc +1600

b)

24 pies/seg.

Una partícula se desplaza en linea recta en forma tal que sí v cm/seg. es la velocidad de la partícula a los t segundos, entonces V(t) = sen xrt, donde el sentido positivo es a la derecha del origen. Si la partícula está en el origen al inicio del movimiento, determine su posición y segundos más tarde. Rpta.

— cm a la derecha del origen. 2n

(l^

Juanito arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo. La piedra alcanza una altura máxima de 225 pies. ¿Cuál era su velocidad inicial? Rpta, 120 pies/seg.

(l^

Gálvez arroja una pelota de tenis hacia arriba, desde la parte superior de un edificio de 400 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con que velocidad golpea al suelo?. Rpta. 5 seg. y -160 pies/seg.

14)

Se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 160 pies/seg. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? Rpta. 400 pies

(ls )

Si el conductor de un automóvil desea aumentar la velocidad de 40 km./hr a 100 km./hr al recorrer una distancia de 200 m ¿Cuál es la aceleración constante que debe mantenerse?

Rpta. 1.62 m seg

73

Integral Indefinida (íé)

El punto (3,2) esta en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva, la recta tangente tiene una pendiente igual a 2x —3. Encontrar una ecuación de la curva. Rpta.

^ 7)

y ~ x 2 - 3 x +2

En cualquier punto (x,y) de una curva

D 2y = l - x 2, y una ecuación de la recta

tangente a la curva en el punto (1,1) es y = 2 - x. Encontrar una ecuación de la curva. Rpta. (l?)

12y - 6a*2 —x 4 - 20x + 27

Los puntos (-1,3) y (0,2) están en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva D 2y - 2 - 4 x . Encontrar una ecuación de la curva.Rpta. 3y = 3x2 - 2x3 + 2x + c

(l?)

Encontrar la curva que pasa por el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto (excepto en x = 0) se biseca por el eje X.

( 20 )

La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) en una curva es 10 - 4x y el punto (1,-1) esta en la curva. Encontrar una ecuación de la curva. Rpta.

IA

Rpta.y 2 + 2x2 = 6

y = 10x-2x2 - 9

METODOS DE INTEGRACION Entre los métodos de integración que se va ha estudiar se tiene: Integración de las funciones trigonométricas, integración por partes y casos especiales, integración por sustitución trigonométrica, integración de funciones racionales por descomposición en fracciones parciales, el Método de Ortrograski, integración de funciones racionales de seno y coseno, integración de algunas funciones irracionales entre ellas las binomiales con la combinación de CHEBICHEV.

l& f

INTEGR>M-íON;Dfc £ AS ÍPSÍCÍON^ Se trata de las integrales que tiene la forma siguiente:

74

Eduardo Espinoza Ramos J sen*jcife*

Jctg 1*x d x y

Jscn^ xcos" xáx s

jVfg'* xcose^xás

Para calcular estas integrales, aplicaremos los criterios siguientes: a)

Para el cálculo de las integrales de la forma: ¡sen* xrf*,

:J

m J

j: '

eos"

Se presentan dos casos: ler. Caso.-

Cuando n es un número entero positivo par, se usan las identidades siguientes: ■- u;. "a t ...

■.....,a jal; v.wjj ;.u ■■..q»¿yvt•

I —eos2x 2 ■

1+^ 2

2do. Caso.- Cuando n es un número entero positivo impar, a las integrales de

este caso expresaremos en la forma: J sen* x á x - J scvT1xsenxdx | eos* xdx~

1

Luego se usa la identidad sen2 x + cos2 x = l Ejemplos de aplicación de este criterio. Calcular las integrales siguientes: Jse n 2 3x¿¿T Solución Observamos que el exponente es par, entonces usamos la identidad

75

Integral Indefinida

sen2 3x =----- —— , luego al reemplazar en la integral dada se tiene: i

f i

1 f,, ^ , 1, sen 6x v sen“ 3xdx = — (1 - eos 6x)dx = —(x------ ) +c

jc sen 6 x ----------------- + c

*

2i

Observación:

Ejemplo:

2

12

En forma práctica se puede calcular las siguientes integrales:

i

, cos(20x) sen(20x)rfx = ----------- -+c 20

IJ Ejemplo:

6

2

. ^ iwñfrg)

'

ft

v

J cos(l &x)dx = sen| ^ ^ + c

En forma similar ocurre en las integrales de las demás funciones trigonométricas. ( 2)

Jeos4 2xdx Solución rf( 1 Observamos que el exponente de la función es par, entonces usaremos la identidad: 2_ 1+ eos 4x , eos 2x =-----------, por lo tanto:

|e o s 4 2xdx - 1 ( l + c°s 4*) 2

= i. J (i + 2 eos4x + eos2 4x)dx

1 r„ , , l + cos8x, . = — (1 + 2 eos 4x +------------ )dx 4J 2 1 r,3 , , cos8x. . 1 ,3x sen4x sen8x_ = - (-+ 2 co s4 x + ------- )dx = - ( — + ---------------------- + -) + c 4J 2 2 4 2 2 16

76

Eduardo Espinoza Ramos Jsen 3 4x¿£c Solución Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral escribiremos así: Jse n 3 4xdx = Jse n 2 4x.$en4xdx = J ( l- c o s 2 4x)sen4xrfx

= Jsen 4 x ¿/x -Jeo s2 4jc.sen4xdx =•

eos 4x

eos3 4x 12

+c

Observación.-

En forma práctica se puede integrar las siguientes funciones.

Ejemplo:

sen19 2x.cos2xdx = /■

Ejemplo:

J eos 29 3x. sen 3x dx = - ~ ~ ~ — +c

sen20 2x -+c 40

En forma similar ocurre en las integrales de las demás expresiones trigonométricas. Q )

J

cos5

3 jc *£c

Solución Observemos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral expresamos asi: Jeos5 3xdx = Jco s4 3x.cos3xdx = J ( l- s e n 2 3x)2 eos3xdx

11

Integral Indefinida J ( l- 2 s e n 2 3x+sen4 3x)cos3xdx =J cos 3x dx - 2J sen2 3x. cos 3jc dx + | sen4 3x. cos 3x dx

í

sen 3 x

2 s e n 3 3jc

sen 5 3x

-+ ---------- -he

15

b)

Para el cálculo de las integrales de la forma

Se presentan los siguientes casos: ler. Caso.-

Si n es un número entero par positivo, a las integrales dadas se expresan así:

Luego se usan las identidades siguientes. 1* ig2x

1¿ c t ¿ 2 x ~m$ec2x :

2do. Caso.- Si n es un número enterQ positivo impar, a las integrales dadas se expresan en la forma:

Luego se usan las identidades siguientes.

78

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplos de aplicación de este criterio Calcular las siguientes integrales.

J tg24xdx Solución Observamos que el exponente de la función es par, entonces de acuerdo al criterio establecido expresamos:

Jtg24xdx = J(sec24x-1 )dx =

- x +c

j c t g 4 4xdx Solución En forma similar al ejemplo anterior, por tener el exponente par; a la integral expresaremos asi:

Jctg44xdx = Jctg24xrtg24 x d x - Jctg24x(cosec24x-l)rfx: = Jctg24x.cosec24 x d x - Jctg24xdx

ctg34x r 2a iv^ ctg34x ctg4x = -----5------- (eoscc 4x-l)dx = ------- -----+ —- — +x +c 12

©

J

12

4

J tg6 5x dx Solución Observemos que el exponente de la función es par, entonces a la integral expresamos así: J tg6 5xdx = J t g 4 5x.tg2 5xdx = J tg4 5jc(sec2 5 x - l}dx

= J t g 4 Sx.sec2 5 x - J tg4 5xdx = ^ ^ - J t g 25x(sec25x-l)rfx

Integral indefinida

79 tg5 5x - Jtg2 r 2 5asee1 r 2 5x d x + j tg2 5xdx

25

tgs 5x tg3 5x r . 2 r . . . tg5 5x tg3 5a tg5x ------- ----- + (Sec 5x-l)dx =— -------- ----- +—----- x+c =— 25

©

15

J

25

15

5

J tg 35xrfx Solución Observamos que el exponente de la función es impar, entonces a la integral expresamos así:

Jtg3 5xdx =Jtg2 5x.tg5xdx =J(sec2 5x-l)tg5jcrfx = (¿)

_ ln 1sec 5x | ^

Jc tg5 3xdx Solución Como el exponente de la función es impar, entonces a la integral escribiremos en la forma:

Jctg5 3xdx- J^tg4 3xjctg3xdx =j (cosec23x - l ) 2c tg3x dx =J (eos ec43x - 2 eos ec23x +1)c tg3x dx - J eos ec33x. eos ec3x.c tg3x dx - 2J c tg3x. eos ec23jcdx + J c tg3x dx eos ec43x c tg2 3x In | sen 3x \ = -------------- + —- ------+ — 1-------- L+ c

12

c)

3

3

Para el cálculo de las integrales de la forma. sen” xcos** a h Se presentan los siguientes casos:


80 ler Caso.

i)

Si m ó n, es decir, cualquiera de los exponentes es un número entero positivo impar y el otro es cualquier número, se procede de la siguiente manera.

Suponiendo que m es un número impar y n es cualquier número, entonces a la integral expresamos así:

Luego se usa la identidad: i¡)

sen2 x + eos 2 x = 1

Suponiendo que n es un número entero impar y m es cualquier número, se procede de la siguiente manera. J senmx<:os" x-¿tx~ J sen"1x.cos”"1x. eos xdx Luego se usa la identidad:

2do. Caso.

*} 9 sen " x + cos~ x = 1

Si m y n los dos exponentes son números enteros positivos pares, se usan las identidades siguientes:

y con estas sustituciones la integral integrales de la forma

J sen " x d x ,

anteriormente. Ejemplos de aplicación de éste criterio. Calcular las siguientes integrales.

Jsen m x.cos" xdx se transforma en las cuales han sido estudiadas

81

Integral Indefinida Solución Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así: J eos3 jc.sen4 x d x - Jco s 2 x.sen 4 x.cosxdx = J ( l - s e n 2 x)sen 4 xcosxdx

= fsen4 xcosxdx- fsen6 xcosxdr = —sens x - —sen7 x + c J J 5 7 ©

í sen 3 xcos 2 xdx Solución r 7 2 , f l - c o s 2 x l + cos2 x I r ..^ J sen“ x eos xdx = J ---- ------.----- ------d x = —J ( l- c o s 2x)dx Ir 2^ , 1 fl-c o s 4 x _ 1 . sen4x^ = — sen 2 x d x - — \ --------------------------- dx=—(x-) + c 4i 4J 2 8 4 Jsen 5 x.cos 2 x¡dx Solución Como uno de los exponentes es impar, entonces a la integral dada escribiremos así: J sens x.cos2 xdr = J sen4 x.cos2 x.sen xdx = J (1 -c o s 2 x) 2 eos2 x.sen xdx

= J ( l - 2 c o s 2 x + cos4 x)cos2 xsenxdx

= J c o s2 x s e n x d x - 2 j eos4 xsenxdx + J c o s 6 xsenxdx

eos3 x ---------------------+ 2 eos5 x eos7 X c --------+

©

Jsen4 x.cos2 xdx

82

Eduardo Espinoza Ramos Solución Como los dos exponentes son pares, entonces se usan las identidades: 1 - c o s 2 jc

2

sen x = ----------2 f j

sen

4

2

;

1 + c o s 2 jc

eos x =----------2

2 , f,l-C 0S 2jtv2 /l + C0s2-Xv . jc. eos jc rfx = (------------ ) (-----------)dx ¿ 2 2

=^ J

(1

- eos2 2jc) ( 1 - eos 2x)dx - ~ J sen2 2x(\ - eos 2x)dx

1r f 2n . f 2o l r fl-co s4 jc , sen3 2x.. = —[ I sen 2 x d x - sen 2jc. cos2jc¿jc] = —[ I ------------ ¿ x - — — ] + c 8 J J 8 J 2 6 1 rjcsenx sen3 2x, = - [ ----------------------- ]+c 8 2

8

6

Jco s7 x.sen3 xdx Solución Observamos que los exponentes son impares, entonces a la integral dada expresamos así: Jeos7 x.sen3 x d x ~ Jco s7 x.sen2 x.senxdx = Jco s7 jc( 1 + c o s 2 r ) senxdx o

ir)

f 7 f 9 , COS JC COS X = eos x.senxdx —I eos x.senxdx = ------------------------- + --------+c J i 8 10 J sen 2 3x. eos 4 3jc dx Solución Como los exponentes son pares, entonces usaremos las identidades: l- C O S Ó J C

sen“ 3x = ----------2

;

l + COSÓJC

eos~ 3x = ----------2

83

Integral Indefinida r

t

.

f / l“

c o s 6 j c v/1 + c o s 6 x v ?

,

J sen“ 3x.cos 3xdx = J (----------- )(----------- )" dx

= —f (1 - cos2 6jc)(1 + cos 6x)dx = —Í sen2 6jc(1 + cos 6x)dx 8J o J l rf •>, . f f * , , n l r r l - c o s l 2 r . sen3 6jc, = —[J sen- 6xdx +j sen- 6x cos6x dx] = —[ j ----- ----- dx+ — —— ]+c

1 ,x 8 2 d)

sen 12x 24

sen3 6x jr sen 2x sen3 6x -+ ■+c )+ f= T T 144 18 16 192

Para el cálculo de las integrales de la forma ;i J" tg" xsec“ xd$ ; J r tg ” x C0StíCmJC<5Ír Se presentan dos casos: ler. Caso.

Cuando n es un número positivo impar y m es cualquier número, a las integrales escribiremos en la forma:

Íig* jt-sec" xd x~ J$ 0 * xsecm§ xAgx^socxdx IIctg” xcm ecmxdx -

\ c tgn~J

Luego se usa las identidades siguientes.

2do. Caso.

Cuando m es un número entero positivo par y n es cualquier número, entonces a las integrales se escribe así:

Luego se usa las identidades siguientes.

84

Eduardo Espinoza Ramos 2x • 1+ctg2 x -sec.2* -j Observación: 1)

Cuando n es un número entero positivo impar y m es un número entero positivo par, se puede aplicar cualquiera de los dos casos.

2)

Si n es par y m es impar se aplica el 1er. caso.

Ejemplo de aplicación de éste criterio. Calcular las siguientes integrales. J sec 4 2x. tg2 2x dx Solución Observemos que el exponente de La sec 2x es par, entonces a la integral escribiremos asi: J sec4 2x. tg2 2x dx = J sec2 2x. tg2 2x. sec2 2xdx = J (1 + tg2 2 x ) tg2 2x.sec2 2x dx

= f tg2 2jc.sec2 2xdx + f tg4 2x.sec2 2xdx = ÍM__?£+Jll2^ L + C J J 6 10 (^

J^/tgjc.sec6 x d x Solución Como el exponente de secx es par, entonces a la integral dada escribiremos así: J^/tgjc.sec6 x d x - J tg1/2 jc.sec4 x.sec2 x d x = J tg1/2 jc(1 + tg2 x)2 sec2 xdx

= J tg 1/2 x.sec2 xrfx+ 2jtg5/2 x.sec2 x d x + J tg 9/2 x.sec2 x¿x 2tg3/2x 4 tg?/2 x 2 u/2 = —5 5 ------- + — tg11 z JC+C 3 7 11 6

85

Integral Indefinida ®

I tg3 3x.sec3 3xdx Solución Como el exponente de la tg 3x es impar, entonces a la integral dada escribiremos asi. J tg3 3x.sec3 3xdx = Jtg 23x.sec2 3x.tg3x.sec3xdx

= J (sec2 3x - 1) sec2 3x. tg 3a*. sec 3x dx

- J sec 4 3x.tg3x. sec 3* dx - J sec2 3x.ig3jc.sec 3x dx

_

( 4)

sec5 3x 15

sec33x 9

------------------------------------------------------ + c

J c tg' x.eos ec4x dx Solución Como el exponente de la cosec x es par, entonces a la integral escribiremos asi: J c tg 5 x.cos ec*xdx = J c tg 5 x.cosec2x.cosec2xdx = Jctg 5x(l + ctg2x)cosec2xdx

- J c t g 5 x.eosec2xdx+ J ^ tg 7 x.cosec2xdx

ctg6 x 6

ctg 8 x 8

NOTA. Cuando en las integrales se observa que no se adapta a los casos estudiados, es conveniente transformarlo a estos casos, utilizando las identidades trigonométricas.

86

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Calcular las siguientes integrales.

©

J

dx sen2 xcos4 >s4 x Solución

r dx J J sen 2 x.cos 4 x

r sen2 x + cos2 x , ~~ J J sen -? xcos 4 x

Í eosdx4 x —

^ +

r

r, 1 1 J ^ J eos 4 x + sen“7 xcos 2 x ^

¿/x

------ 2----------5

=

J sen xcos“ x

r 4 _ rsen~x + cos a J seex ¿ x + ------- j------- — dx J J sen x.cos~ x

= f (1 + tg2 x)sec2 xdx+ f (— ^— + — í-—)dx J J eos“ x sen2 x = Jsec2

tg2 JC-sec2 xdx + J se c 2 x rfx+ Jcosec2xrfx

te3 x tg^ JC t g x + - ^ — + tg x - c tg x + c = 2 tg x + - ^ c tg x + c dx

©

i

Vsenx.cos3 x Solución

f Vsenx.cos3 x - J

•

see2 jc r / x see2 jc-\J sen x.cos3 x

I i-----------J Vsen x. see x

©

|r

see2 xrfx / 4 Vsenx.see x.cos 3 x

fse c ^ fe I i—*J

eos x dx í iVsen7 E “T ¿X. 2x.cosx tus X Solución

f I J

1/2

, JUaCC XMA

ry feX +

C

Integra! Indefinida r

87

eos x dx Vsen7 2x. cos x

f

cos X¿/x

1 r sec5 x. cos x dx 7 ?- JsecZ J x7
1 rr sec4 sec xdx x dx _

I1 rr (l + tg~ x)sec~ xdx 4V2-J 3|tg7 x " 4 V2 J tg7/1 x

n= [J tg 7 3 x.sec2 x d x + Jtg 1,3 x.sec2 xf/tj 4^2 1 r 3 -4/1 3 *>/1 1 , 3 4/1 3 i/i , -[--tg x + - t g - x]+c — 77= ( ~ c tg * + - t g Jt)+r 4^/2 4 4 V2 ' 4 1.41

EJERCICIOS PROPUESTOS.» Calcular las siguientes integrales.

©

i

sen x dx

n 3x sen 2x sen 4x R p ta .------------- + -------- +c F 8 4 32 Rpta. senx —2 sen x + —sen x +3c F 3 5

eos4 3xdx

1

5

„ 3.v sen 6x sen12x Rpta. — + —- — + -----:— +c 8 12 96

©

/

( 4)

J sen6 2x dx

„ A 1 ,5jc .3 sen 8x sen 4r Rpta. —(----- sen 4x + ----------+ ----------) + c 8 2 16 12

Jsen 5 x / 2 d x

r. ^ ,X s 4 *v ,1 , Rpta. - 2T cos(— ) + —eos 3 /(— ) —2 eos 5 (— )+ c 2 3 2 5 2

J(sen 2 3x + cos3x i 2d\

„ Ix sen 12x . sen1 3x Rpta. — + ---------+ 2 --------- +c v 8 96 9

Jcos6 3xríx

_ 5x sen6x sen3 6x senl2x Rpta. — + —--------- r—:— + ----—— + C 144 64 16 12

(ó )


88

© ©

jc c o s

3(x 2

)dx

1 2 ^ 3 2 Rpta. —sen* — sen x +c 2 6

(sen2 x + cosx)2dx

Ix sen4x 2 sen3 x Rpta. — + --------+ ----------- \-c 8 32 3

tg6 xdx

Rpta. —tg * “ ^*8 jc—tgjc + jr + c

1

1

3

ctg* xdx

tf£2 X

tg3 xdx

Rpta. ------ + ln |c o sx |+ c

©

ctg*(3x)dx

Rpta. -^ -c tg 3 3x + jc tg 3 x + x + c

©

c tg3 2xdx

_ ctg~2x In Isen 2x1 R p ta .----------------- --------- L+ c

tgz (x +\)dx

Rpta. tg(x + l) - x + c

©

c tg 5 2xdx

-cosec42x c tg 2 2x ln |sen2x| R p ta .--------------+ — ------ -f— !---------- +c

©

ctg3(^)dx

Rpta. - ^ c t g 2(y )-3 1 n |s e n y l+ c

tg5 3x dx

Rpta. — see4 3 x - —tg2 3x+—ln|sec3x|+ c 12 3 3

c tg 4 2xdx

Rpta. „ £ S i í . - £ i ¿ 2 £ + c

tg5 x dx

Rpta. "6C X - tg2 x + ln | see x | -fe

@

F

8

2

2

Integral Indefinida

3

)

89

senx cosj
(22)

J -n/ cosjc sen3 xdx

r* . ^ 7/ ? 2 3,7 Rpta. —eos ~ x — eos ~x + c 7 3

( 23 )

J*Veos a* sen5 xrfx

Rpta.

J eos2 rnt _ x ^/cosa*

Rpta. •—eos 4 3 x + —-eos 2 3 x + c 4 2

J sen7 5x. eos3 5x dx

Rpta.

25 )

©

senx.eos5 xrfx

r» * Rpta.

4

eos4' 3 x + - c o s 10/1 x ——eos16' 3 x + c 5 16

sen* 5x __sen1{) 5x ■+ c 40 50 n í— —,senx 2 31 5 2Vsenx(— ------ sen v + — sen x) + c 3 7 11

¿ 7)

Jse n 5 xeos2 x dx

. cos7 x 2 5 cos3 x R p t a .------------------------- + —eos x -- + c 7 5 3

28)

Jse n 3xeos3x dx

sen4 x sen6 x Rpta. ------- ----------- + c

J sen4(^)cos2(^)rfx

„ ^ xsenx.eosx sen x Rpta. — —------- ----------------- + c 24 16 16

( 29 )

sen4 veos4 xdx

(3l)

| sen1(—) eos7(~}dx

(32)J sen3 3x eos 3jt dx

Rpta. — (3*-sen 4x + - sen 8 \ ) +c 128 8 Rpta. - c o s IH(—) - —eos3(—) + £■ 5 2 4 2 „ . eos*' 3.v eos6 3x R p t a .----------------- — +c 24 18 a I H S/"> *■ 1ill Rpta. 2vsen x — sen ~ x + —sen x +c 5 9

90

34)

(3£)


J cos4 2x sen3 2x dx

Rpta. ——eos5 2 x + — eos7 2 x + c 10 14

Jse n 2 x eos5 xdx

Rpta.

J sen5 2x. eos3 2x dx

1 . 1 i Rpta. —sen ¿ x -----sen 2x + c 2 16

dx

Rpta.

sen3x 2 5 sen7 * — sen x + ---------» c 3 5

1 3 eos3 x

-secx + c*

(38)

J see4 x^jc tg3 x dx

Rpta. -2-^rtgx +y-\/tg 3 x +1

(39)

J tg 5 xVeos3 x t/r

2 ^^ Rpta. —see ~ x -4 sec 5

cos X

Í sen4 x dx sen 3 x

j

©

4?)

^

x - —eos ~ x +c 3

Rpta. cosecx-yCOS€?c3x-fc

Rpta. Vsecx(—eos2 x + 3) + c

eos4 x

r see x dx tg4 x

Rpta. - c i g x —1 ctg 1 x + <* 3

sen' m . Í---1— dx

1 1 ^ Rpta. —[ -tg m r+ -tg nx] +c k 3 5

J\í

Rpta. 2^fséñx— sen5' 2 x + —sen9' 2 x + c 5 9

COS

©

dx

^

7DC

tgxeos 9 x d x

J tg3 4x. see 9>2 4x dx

Rpta. — see13/2 4 x - ^ 26 18

•fe

Integral Indefinida

©

91

f tg5 3x.sec9/2 4xdx J

c tg6 4.x c tg* 3x c tglu 3jc c tg12 3x K p ta .----------------------------------------------------f c 18 8 10 36

©

r sen5 3x , ----- dx J cos3x

„ 1. ■ , . eos2 3x eos4 3x Kpta. —ln sec 3x1+----------------------+ c 3 3 12

©

í x 2 eos3 2x3dx

„ , sen 2x 3 sen3 2x 3 Rpta.----------------------- +c 18

©

i sec7 2x.tg2xdx J

_ 4 sec7 2x Kpta. --------- +c 14

©

i tg xjsec x dx

Rpta. 2-Vsecx +c

J

i tg7 x.see4 xdx

i ctg 3 x. eos c t4x dx

V

©

\

10

8

„ 4 ctg3x R p ta .------------ ctgx+c

f ( secV ¿ * J tgx

®

»Rpta. * —----tg'” x + ——* +c

i

1ctg x.coset"xdx

J

ctg4 x 1 6 Rpta. —- --------ctg x + c 4 6 1 ^ 1 } Rpta. — cosec x + —eosec x + c 5 3

©

i ctg 3 xcos ec5xdx

„ ^ eos ec7x eos ec5x R p ta .------------ + -----------+c

©

i tg2 2x.cos2 2xdx

1 sen4x Rpta. —(x---------- ) + c 2 4

©

rsec4 x , 1 dx 3 tg x

Rpta. -ctg x + tg x + c

©

r sen4 x , 1 , dx J eos* x

_ sen 2x 3x Rpta. tgx + ——------ 2~+c

92


59)

Jsec4 2xdx

_ 4 tg2x tg3 2x Rpta. —— + —------+c

( óo)

J see6 xdx

2 Rpta. tgx + y tg x + —tg x + c

J see3 x.tg3 v dx

1 <51 3 Rpta. —sec x — see x + c 5 3

(62)

J c tg5 x.cosec4x dx

_ Ctg X 1 6 R p ta .-------------- c tg x + c

©

i tg 4

a

8

1 <¡

6

. see3 xdx

_ . 1
f ,

¿

J sen x.---eos5 x J (l + cos3x)3 2rfx

©

©

Rpta.

- 2-y/í- t g

X + y

t g X-y/t g X +

Rpta. 2-y/2(^sen(-^)-^sen 3(^))+í-

sen3 x rfx t/ 4 Veos x

Rpta. —eos5 3x +—p L = + c

+ 7r/4) Í sen(x sen x. cosx

. -72 1 1+senx, Rpta. — Ln|tgx.----------|+c 2 1- eos x

1

eos3 x dx 1-sen x

eos3 x-s/scn2x

c

5

3-n /cosx

1 7 Rpta. sen x + —sen“ x+ c

Rpta. ^y-(tg : x + 5)-Jlgx +c

93

Integral Indefinida

©

eos X dx sen4 x.cos4 x

©

^3 ----- ^ Rpta. — -Jtg5 x(5tg2 x + ll)+ c

4 l + 3tg2 4x Rpta. - - ( ----- —---- )+c 3 ig 4x

sen x dx i cosx

Rpta. —C° -SX (cos2 x - 5 )+ c

senh3 xdx

1 ? Rpta. -jcoshxícosh2 x - 3 ) + c

tgh6 x. see/j 4xdx

c*tgh4 xdx

Rpta. x —ctg h x —- ctgh3 x+c 3

(cosh2 ax + senh2 ax)dx

1 Rpta. — senh(2¿/x) + c 2a

e'dx cosh x + senh x

Rpta. x + c

©

tgh4 xdx

Rpta. v' - tgh jc- —tgh3 x + c 3

@

c tgh5 xdx

Rpta. ln| s e n h x |- —-r tgh2 x -~ -c tg h 4 x + c*

senh2 x.cosh3 xdx

_ senh1x senh5 v Rpta. --------- + - ----- — -+ c H 3 5

®

dx senh x. cosh" x

Rpta. ln | tgh — | + see hx+ c

94

Eduardo Espinoza Ramos »

4

( S ) J ( lg3.v.cosec43xdx

Rpta. — ° S<^ - +c

©

Jtg3 3x. see 4 3.v dx

Rpta.

r <¡, i, , Icos 3x.sen 3x dx J

„ . eos* 3x eos6 3x R p ta .----------------------- •-c 24 18

CN K4J ^ (ss) 1.6.3

+1

J*(x~ —6A')sen~(—— 3x~)dx Rpta. •“ (—— 3x2 )—- s e n ( — bx2) + c 2 3 OTRAè INTÉGRALES TRlG Q ^p^ÊTRIÇA S,Se trata de las integrales de la forma:

•I

_

Para el cálculo de éste tipo de integrales se usan las fórmulas siguientes: sen(m.Y)cos(«L*)==—(sen(w + tt)x + sen(w - ttfx)

sen(wv)sen(«\) « ~ (cosí fít'-n)x~cos(m + n)x) ■

; cos(m)cos(«A:) § Las fórmulas mencionadas se deducen de las identidades: sen(w + n)x = sen mx eos wx+ sen nx eos mx

... (1)

sen(w - n)x = sen mx eos nx - sen nx eos mx

... (2)

eos(m + n)x = eos mx eos nx - sen nx sen mx

... (3)

cos(w-/i)x = cos/nxcos«x + sen/7xsenmx

... (4)

95

Integral Indefinida Ahora sumando (1) y (2) se tiene: scn(wjr)cos{flut)-=;^(sen(w-+ ;z)x+sen(w-n)x) ahora restando (4) y (3) se tiene:

ahora sumando (3) y (4) se tiene: cm(jnx}cos{tix) —X{ w $ m - ti)x + eos{m+n)x) 2 NOTA: En la aplicación de las fórmulas mencionadas se debe tener en cuenta las identidades siguientes. sen{-x)~ —sen* VxeR cos(-A') = COSA' Ejemplos de aplicación. Calcular las smuientes integrales

©

i sen 2

a.

sen 9xdx Solución

Como sen 2 x . sen 9 y = ^ (eos Ix - eos 1L y ) , reemplazando en la integral:

f n ^ j l f v» 1 ,sen7x sen 1lx v sen 2 a*.sen9 a*dx = — (cos7x-cosl l.v)rfx = —(----------------------------- ) + c J 2J 2 7 11

©

i eos 2v. eos Ix dx


96 Solución

Como eos 2x. eos 7a* = ~ (eos 5x + eos 9x), reemplazando en la integral; r Ir 1 sen 5x sen 9 x J eos 2x. eosIx dx = - J (eos 5.v+ eos9x)dx = - (---- — + — — ) + c 2

sen 4 y. eos 5 y ¿ y Solución Como sen 4.v. eos 5.x - ^ (sen(4 + 5)x + sen(4- 5).y)

= ^ (se n 9 x - se n

Í ©

sen

4x. e o s 5 x dx -

J s e n 3 4 v .e o s 2 7 a

1 r — J (sen 9

y

- sen

y

)

, r e e m p la z a n d o e n la in te g ra l:

x)dx

1

= ~ (eo s

e o s 9jc — )+

x -------

c

dx Solución

_

C om o

sen

*>-, . *7 r -¡ A 4 a .e o s “ 7a = s e n - 4a .e o s ' 7a.s e n 4 a

1 - c o s S . v 1 + e o s 1 4a. ------------- — ----------------- . s e n 4

2 = — (1 + e o s 1 4 a - e o s Ha - e o s 8 x e o s 14a ) s e n 4

= — ( s e n 4 y: + s e n 4

4x e o s

s e n 1 4YCOS2 7 a = - ( s e n 4 v + s e n 4 a e o s 1 4 y 4

se n 4 v e o s 14

y

= ~ (s e n 18

y

*er 4 x eos Xv = —(sen 12x -

- s e n 10

14 a ' - e o s 8a' s e n 4

c o s Ky s e

a

2

y

4x

- e o s 8 a e o s 14 i s e n 4

n 4 r - c o s ftv c o s í4 \s c n % )

y

)

... (1 )

y)

sen 4 a )

(sen 4 \ > se n 10 *

..(2) s e n 1 2 v + s e n 2 6 .v )

Integral Indefinida

97

= ~ [sen 23x - sen 2 lx + sen Ix - sen 5] Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: sen3 4x eos2 7x = —(sen 4x) + —(sen 4x -3 sen 1Ox -sen 12x + 2 sen 18x - sen 26x)) 4 4 = — (5 sen 4x - 3 sen 10 - sen 12x + 2 sen 8x - sen 26x), entonces: 16 | sen3 4x. cos2 lx dx =

J(5 sen 4x - 3sen IOx -sen 12x+2 sen 18x - sen 26)¿/x+c

1 3cosl0x cosl2x eos 26* 5cos4x cos18a\ = ---(----------- + --------- + —---- -------------------------- ) + £‘ 16 10 12 26 4 9

(i)

Jsen(3x + 6).cos(5x + 10)dx Solución Como sen(3x+ 6).cos(5x + 10) =

(sen(8x +16) + sen((3 x + 6) -(5x +10)))

= ^ (sen(8x + 16)- sen(2x + 4)) entonces

Jsen(3x + 6). cos(5x +10 )dx = ~ J(sen(8x + 16)- sen(2x + 4))dx cos(8x +16) 16

cos(2x + 4)

H-------------- h C

© f eos x eos2 5xdx Solución Como eos x. eos2 5x = —cosx(l + cos 1Ox) = —(cos x + cos x.cos I Ox) 2

2

98

Eduardo Espinoza Ramos 1, eos 9* + eos 11a\ = — (eos x + ---------------------------- ) = — ( 2 2

2

4

1n . cos+ eos 9* + cos 1I jc)

J eos x eos 2 5a d x = —J (2 cos jt + cos 9,v + cos 1 \ x ) d x 1

sen 9a sen 11a ,

= — (2 sen jc + -------------------------- + -) + £• 4 9 11

(

v

7)

f

J

sen(—4

x ) sen(—+ a ) d x

4

Solución ^ Como

J sen(—-

©

v

fn

1

tt

cos2x

s e n ( ------ ,v ) s e n ( — + x ) = — ( c o s 2 j c - c o s — ) = -----------4 4 2 2 2

x)

scn(—+

x )d x = —J

cos 2 a d x

= —-11— * + <

s sen x sen 2 x . sen 3jc dx Solución Como sen 2x. sen 3jc = y (eos jr + eos 5x) , entonces

sen x sen 2 * . sen 3a' = —sen jc(cos x + cos 5x) = —(sen x eos jc + sen x cos 5x ) ? 2

=

—(sen 2 x - sen 6a: + sen 4 x ) 4

=

—(sen 2a' + sen 6a: - sen 4 v) 4

J sen x . sen 2x. sen 3a: d x = —J (sen 2a' - sen 4 x + sen 6 x ) d x

1 , cos ó x ' cos 4jc cos 2 x cos2jc cos 4x cos 6 a = — ( -------------- + --------------------------- ) + c = --------------- + --------------------------- + c 4

6

4

2

8

16

24

99

Integral Indefinida 1.6.4

EJERCICIOS PROPUESTOS,Calcular las siguientes integrales.

©

J

©

/■sen 3r. sen 5a dx

sen 8v. sen 3xdx

J sen1 x. eos 3x dx

^ sen5x senllv Rpta. ——---------—— +c 10

_ sen 2x sen 8x R p ta .------------------ + c 4

16

_ 3 eos 2a 3 cos4 y eos 6x R p ta .---------------- ----- + — -— + £ 48 16 32 •-fc . 1/ sen9xv Rpta. ~(scnx + —- — ) + c

©

j eos 4x. eos 5x dx

©

j eos2 x.sen2 4 a dx

n x sen 8 y sen2x senóx senlOx R p t a . ------------ + ------------ a------------------ + c 4 32 8 48 80

(ó )

J sen—.sen — dx

_ sen y sen 2x R p ta .------------------fí

2

2

sen 5 a . eos x dx

F

12

8

^ sen 4a' sen 6x Rpta. — — + - ■ 8 12

©

j eos

©

j sen 4x.eos7Ydx

_ eos3x eosllx Rpta. —---------------- + c

f sen —.eos x 3 x dx j —

^ eos y eos 2x R p ta .-----------------+ r

J eos | . eos y dx

x 3 5x Rpta. 3 sen —+ —sen — + c 6 5 6

y

.

2

(Ti)

s>

eos 5x dx

^ eos 6x eos 4x R p t a .-------------------- + c

2

sen 2x.sen 3xdx

J*

F

6

22

_ eos y eos 5x Rpta. — ------------- + c 2

10

100

Eduardo Espinoza Ramos x sen4* c o s 2 a 2 , . v3, 7 Rpta. —+ -----------------------(sen 2a) + c*

©

1* ( Vsen 2

©

|*sen 5 a . sen a dx

Rpta.

©

.j*eos 3 a . eos 2 a dx

Rpta.

©

JJ*sen

Rpta.

©

j

©

J|*eos

a

- eos 2x)2dx

3 a . eos 6 a

j* eos 4 a . eos 2 a

dx

8

2

sen 4 a

sen 6x

8

12

sen x

sen 5a

2

10

3

+c

■+c'

eos 3a

eos9 a

6

18

-+ c

sen 2 a sen 6 a Rpta. --------+ -------- +c 4 12

dx

3 0 a . sen 2 0 a

2

Rpta.

dx

eos 1 0 a

eos 5 0 a

20

100

+r

©

1*sen 3 a . eos 5 a dx

j

Rpta.

eos 2 a 4

eos 8 a •+ r 16

©

J|*sen

Rpta.

eos 2 a ~4

eos 6 v + C' 12

©

J1*sen(4y + 7).

©

j

©

J sen

©

J

©

I sen 1

2 a . eos 4 a

dx

cos( 5 a

+ %)dx

Rpta. 18

[ c o s( 9 a - 2 0 ) . c o s( 5 a + 2 0 )¿ /a

1 _sen(4 v - 40) sen 14 a .. Rpta. —[------------- - + ---------]+c 4 2 7

sen 3 a . sen 5 a dx

1r eos 9 a eos 3a eos 7a Rpta. —feos a + ----------------- ----------- ]+c4 9 3 7

eos a . eos 3 a . eos 5 a dx

1r sen 3 a sen 7 a sen 9 a . Rpta. —[senA + ------- - f ------- +----- — 1+ c

a.

4

0 a . sen 2 0 a ,

sen 3 0 a dx

3

7

l r eos 6 0 y eos 4 0 a , Rpta. „ r ----------------------- eos 2 0 a ] + 8 3 2

9

r

Integral Indefinida

( 29 )

101

J

... -n m j „ ^ l,sen20v sen40.v sen60v, cos 10a . cos 20 r. cos 30a-í¿v Rpta. —[-------------------------------------------+ --- + ------ + c 4 20 20 60 J

J

sen x. eos 7v.sen 1Ijc dx

r, 1 . sen 3.
J

cos x. sen 7 v. cos 1\xdx

__ l r cos3x cos5jc cos17,y cosl9x, R pta.—[—-— -f — ---------- —--------- —— ] + c 4 3 5 17 19

J sen(2x + IJ.scnpA' + 2).sen(5x + 3)dx

1 _cos(10.y + 6 ) c o s ( 6 jy + 4) cos( 4y + 2)_ Rpta. - [ ------------------------------------------------- 1+ Í8 5 3 2 J ^

©

1

cos(x + 3).cos(3v + 5).cos(5x + 7 )dx

_ ^ 1 rsen(3,v+5) sen(7jr+9) sen(9.v + 15) . Rpta. —[------------- + — --------- + — --------- i +sen(.v + l)l+ c 4 3 7 9

© 32)

©

J sen3

x.cos 3* dx

Rpta. — cos 2a:——ciks 4x + — cos 6x + c 16 32 48

J cos 2 x. sen2 4x dx

„ x sen 8a' sen 2x sen6.v sen 1().v Rpta. —--------- + ------------------------------- +c 4 32 8 48 80

J cosh

Rpta. —senh 4x + —senh 2x + c 8 4

x. cosh 3x dx

©

senh 4jr.senh.rrfr

©

j senh2 jr.cosh5xdx

Rpta. — cosh 5jy + —cosh 3-y + 10

6

í'

_ senh 7a' senh3.r senh5.r Rpta. — —— + -----------------:— + <• 28 12 10

102 1.6.5

Eduardo Espinoza Ramos INTEGRACION POR PARTES El método de integración por partes es de mucha utilidad en la práctica, cuyo procedimiento es de la siguiente manera: Consideremos u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciales en la variable x. De la fórmula para la diferencial de un producto de dos funciones se tiene: d(uv) = udv + vdu, lo que es equivalente udv = d(uv) —vdu. integrando ambos miembros se tiene:

La ecuación (*) se denomina ‘‘Fórmula para la integración por partes" Ejemplo de aplicación de este método Calcular las siguientes integrales. Q

J a 2 In a dx Solución Comentario:

Haciendo:

Cuando se tiene un producto de una función logarítmica inclusive afectada de un exponentc por una expresión en x, en lodos estos casos, se loma asi:

u = 1n x ...o )

dv —x 2dx

Ahora (1) reemplazamos en la fórmula de integración por partes:

x “ \nxdx = — ln.x —J 3

—

simplificando

Integral Indefinida

103 a3. 1 f -» , X* In A A3 = — In a — x~dx —-------------- + <■ 3 3i 3 9

(7 )

Jln(A + ^/l + i'2 )dx Solución De acuerdo al comentario del ejemplo anterior se tiene.

Haciendo:

m = ln(x + ^

du =

>

dx

^\+ x2 V= A

dv - dx

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes: ílnÍA + ^ + A 2 )dx = AlnfA + 's/l + x 2 ) - f - - - - - - = a In(A+ Vi + a 2 ) - -\/l + a 2 + c V I+*2 ©

a sen 3a ¿a J jcsc

Solución Comentario:

Haciendo:

Todas las funciones trigonométricas multiplicados por una expresión en x se integran por parles donde las funciones u y dv se toman asi: Iu = x Idv = sen 3a dx

du = dx

eos 3 a v -----------

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes: r i J ©

_ .a eos 3a

sen 3 x d x

f eos 3a , a eos 3a sen 3a 3 J 3

------- ------------- I ---------------------------------------- d x = ----- + ----+ ¿

i ( v ? + 2a + 3) eos 2a

dx Solución

104

Eduardo Espinoza Ramos De acuerdo a) comentario del ejemplo (3) se tiene.

Haciendo:

du = 2(x + \)dx sen2v v=

u = x 2 + 2 jc + 3 dv = eos 2x dx

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes: j* (x '

+ ^ +3 + Ix + 3) eos 2x = 1 + +

scn

2x - j* (jr +1) sen 2x dx

nuevamente a la integral J ( v +1) sen 2a d x, lo calculamos por partes.

Haciendo:

íw = x + 1 \ [dv = sen 2a' dx

du = dx eos 2x

=>

v-

y aplicando la fórmula de integración por partes. _ , r +1 . r cos2v , a +1 _ sen2r I Í.T+ l)sen2jr¿ir = ------- c o s 2 x - ----------dx = ------- cos2*+------- + c .(2)

t,

J

J

J

2

4

ahora reemplazando (2) en (1) se tiene

j

~ n , x ‘ +2x + 3 ~ x +\ ~ sen2x U " + 2 jc + 3 ) c o s 2 * ¿ & = -------------------- s e n 2 i + ----- c o s 2 v ---------+ c 2

2

2 jc2 + 4 a + 6

4

^

A+ l

^

---------------sen 2 a + -------eos 2x + c 4

©

2

j xe2xdx Solución Comentario:

Las funciones exponenciales multiplicadas por una expresión en x se integran por parles y las funciones u y dv se toma asi.

105

Integral Indefinida

Haciendo:

du - dx

u =x

2x

dv = e2xdx

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes. e ' Adx xe2x e 2x e’2x ------- = -------------- +c = -----(2 x - l) +i

©

J (jc- +3x-\)e-'dx Solución De acuerdo al comentario del ejemplo (5) se tiene:

Haciendo:

du = {2x +3)dx 2a

u —x~ + 3 x -l dv = e 2xdx

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes. 2x ^ . _ X2 +3JC-1 J (x2 + 3 x -\)elx dx =

2x

j 2x + 3 e 21 ¿xdx

x~ + 3 x -l e~->x

— ----- -----

2

U (2.*+3)
2

Nuevamente a la integral J (2jr+3)elxd x , lo integramos por partes:

Haciendo:

u —2x + 3

du = 2dx

dv = e2xdx

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes. -)x 2v f/o ox 2.v + 3 ->* Ce" ~ , 2x + 3 ix e , n 2* (2jt + 3)*r dr = ------- e~ ~ \ ----- 2dx =------ e ~ -------- = (x + l)e J 2 J 2 2 2

— (2)

106

Eduardo Espinoza Ramos Ahora reemplazamos (2) en (1).

j

, ? *>r , x 2 + 3 x - l ix x + l ~)x x 2 + 2 x -2 (x~ +3x-\)e~' dx =------------ e ~ --------e +c = --------------e~ + r

Jxarctgxrfx Solución Comentario:

Todas las funciones trigonométricas inversas multiplicados por una expresión en x, se integran por partes donde las funciones u y dv se toman así.

\u = arctg x ) dv = x dx

Haciendo:

dx l +x2

du = V=

X

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes. f x 2 arctgx l f x 2dx x 2 arctgx l r„ l v arctgx dx = ----- — S - - - —— = ---- —*— _ (i — ----rfv J 2 2J x +1 2 2J jc2 +l x" arctg x x l ---------------- + —arctex + c 2

©

2

2

x +1 x -------arctg x — + c

j x aresen x dx Solución De acuerdo al comentario del ejemplo (7) se tiene.

Haciendo:

\u = aresenx Idv = x dx

dx

du

-Jl-X 2 X*

v=■

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.

107

Integral Indefinida

í

xrc sen x dx =

x~ arcsen x _1_ r x^dx “2

.* (1 )

nuevamente la integral f * ^ x . Calculamos por panes V i- * 2 u -x Haciendo:

dv =

xdx V i- * 2

Luego aplicamos la fórmula de integración por partes:

=

= - x V l- x 2 - J - ^ j e 2dx = - x y ¡ l - x 2 + j ‘Jl-x* dx

= - x ^ \ - x 2 + —-s/l-x2 + —arcsenjt + c = —(arcsen x-x*J] 2 2 2 Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: , jc2 arcsen jc 1 , r T x arcsen x dx =------------------ (arcsen x - x y \ - x ~ +c j 2 4 2jc2 —i x r r arcsen.LY+ —Vl~*~ +C 4 4

®

j 'eax sen bxdx Solución Comentario:

Las funciones exponenciales multiplicadas por la función seno o coseno se integran por partes y las funciones u y dv se eligen de cualquier forma, así: tenemos para nuestro caso:

108


ju -senbx

Haciendo:

| dv = euydx

du = b eos bx dx v=

a

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes e“x sen bx b eax eos bx dx -a íJ a

i eax sen bx dx -

(1)

nuevamente a la integral J e ax eos bxdx, lo calculamos por partes.

u = eos bx

Haciendo:

dv = eaxdx

du = -b sen bx dx v=

a

Luego aplicamos la fórmula de integración por partes. sen bx dx = /* * »

eax eos bx r b ax --------------- € sen bxdx a J a

eax eos bx b + -—| \e > vssen bx dx a aJ ahora reemplazamos (2) en (1) es decir:

j

e

ax

eos far bx b fr UK . ,1 , , sen bx b .re e tíA cos [------------+■— e sen bx dx] sen bx dx ~ ------------a a a aJ

I eÜA sen bx dx = —y (a sen bx - b eos bx)----—\ e tn sen bx dx J a" a~ J b f c"' (1 + — ) e"' sen bx dx = ——(¿/ sen />jc- b eos bx) a~ J a~ etíA sen /¿r dx -

(¿/ sen fcx- eos for) + £' 2 + rr r.-*

(2)

109

Integrai Indefinida Ejemplos diversos de integración por partes. x arctgx

j Vi + v2 dx Solución De acuerdo a los comentarios de los ejemplos anteriores. u = arctg x x dx dv =

Haciendo:

du -

dx 1+ x2

v = >/l+*2 Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes. r x arctg x r r 4 f /; T dx idx = Vl + x~ a rc tg x -IVI + x " ----------------- V1+ x 2 = Vl + x2 aretex- f . ^ = -\/l + x 2 a rc tg x -ln |x + ->/l + x 2 |+c J V I+x2 x~dx

i

(xcosx-senx) Solución

A la integral dada escribiremos así: f

x 2rfx (.xcosx-senx)2

Haciendo:

x~ senxrfx x:~senxrfx

r

^ sen x(x eos x -se n x )2

u- ■ senx dv =

x sen x dx (x eos x -sen x )'

r x

senxx dr ¿Ir x sen

senx (x co sx -sen x )2 sen x -x co sx , du = -----------------dx sen" x 1 V= x co sx -sen x

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes.

110

Eduardo Espinoza Ramos f x 2dx J (jc eos x - sen x ) 2

_______ x__________ f (senjf-jrcosjr) ^ sen x(x cos x - sen x) J sen2 jc(jc eos jc - sen jc)

x senjc(jccosx -se n * )

©

(Icosec 2 xdx j =■ x J senAfxcosjc-senx)

ctgx +c

f Jf + senJfrf)í j

1 + COS JC

Solución Se conoce:2cos2(—) = 1+ 2

c o s .y

,

sen.r = 2sen(—).cos — 2

2

Entonces a la integral dada escribiremos así: x x x + 2 sen(—) cos(—) . f x + senx r i . 1f ■>/*». r. /-vvj ---------- dx = I ------------ =-------— dx = - I .rsec (—)rfx + tg(—)dx J 1 + c o s jc J 2 J 2 J 2 2 eos (y)

Ahora calculamos la integral f.tsec2(—)dx, por partes. J 2 u =x Haciendo:

ídu =dx

dv = see 2(~)dx

v = 2 tg(y)

Luego aplicando la fórmula de integración por partes. J jc sec 2(y)dc =

2 jc tg(^)

- 2 J tg{^)dx

Ahora reemplazando (2) en (1) senx , 1. ,jc , x , f , j c %, ---------- = —[-v tg (-)—2 i ig(—)dx] + tg(-)dx+c J 1+ cosx 2 2 J 2 J 2 fjc +

= j tg(^) - J tg(j)dx+j tg(^)dx+c = ± tg(-|)+ c

... (2)

Integral Indefinida

© í

111

cos x + x sen x -1 dx (sen x-x)~ Solución

Corno sen1 x + eosJ x = 1, entonces a la integral dada escribiremos así: r eos x + x sen v -1 . r eos x + x sen y - sen2 x eos" X dx i --------------- i— * = i ----------- ------------ — J (sen y - y ) " j (sen y - a ) cos a (eos x - 1) - sen A(sen x - y ) (sen y-a:)2 eos jc(cos x -1) ^ - j

(sen a - x)'

|

dx

sen x dx (senx-x)

.(l)

, r cosx(cosx-l) _ Ahora calculamos la integral -------------- — dx, por partes. J (sen-y-a)* u = eos x Haciendo:

c o s jc - 1

du

dv =------------ -dx (senx-x)~

=>

v

-sen-Y dx 1 sen x - x

Luego aplicando la fórmula de integración por partes. x(cos x - 1) Í cos(senx-x) (se n x -x )2

eos x se n x -x

r sen x ' se n x -x

..(2)

Ahora reemplazando (2) en (1) r eos x + x sen x —1 f sx f senx , r sen y , cosa eos; •dx —— -----+ -----------d x - I ----------- dx + c =--------- + c s e n aJ -sen a se n x -x J se n x -x sen a - j ' (sen x -x )2

^4)

J see1 x dx Solución

112

Eduardo Espinoza Ramos A la integral dada escribiremos así: J sec8 v dx —J sec2 x. sec x dx = J (11- tg2 x) sec xdx

= Jsec xdx + J tg 2 jc.sec jtdx = ln|sec.jr + igjr | + Jtg 2 a.sec xdx ahora calculamos la integral j* tg2 x.sec x dx . por partes.

Haciendo:

jw = tg.v | d\ = tg x. sec x dx

\ du —sec2 a 1r = sec v

Luego aplicamos la fórmula de integración por partes. | tg2 x. sec x dx = sec x. tg x - 3J sec3 x dx Luego reemplazamos (2) en (1) se tiene: | sec3 x dx = l n | sec x + tg a* + sec x tg x - J see3 x dx

sec3 x dx = —(In | sec a + tg x | + sec a tg x) + c xeaiVlg-V dx /I -1^2 (1+* ) Solución De acuerdo a los comentarios de los ejemplos anteriores.

du Haciendo:

=> dv =

dx I -I T (! + * ' ) ■ “

dx 1+ x'

Ahora aplicamos la fórmula de integración por panes:

... (I)

113

Integral Indefinida

C xe

dx =

ârctg x

Í (1 + ' 2)3/2

xe*«*x

- .(I )

a

âictg* Í------ — dx, por partes

nuevamente

(l + * 2)3/2 u Haciendo:

(l + x 2)3' 2 v = e™**

arctg x

dv =

dx l +x ‘

aicig x

arctg x

J (1 + x 2)3' 2

dx

xdx

du =

f A-e3™6'

2x3/ 2

(1 + x 2)

dx

... (2)

+ J(1 + a 2)3/2

luego reemplazando (2) en (1) se tiene: r Aearct6*

x e *Ktg x

dx

J ( 1 + a-2 ) 3 / 2

âictgjr

( i+ a )

arctg x

o + a-t

âictgx

í (1+ a-2y

í

arcsen 4~x (l-A )

1/2

e arctgx

-dx =

------------.

... (a -1 ) + c

2(1+a )

dx Solución

Sea z-'-Jx

Í

arcsen~Jx .

x - z 2 => - f z arcsen z a -z*y

dx~ 2zdz

.(i)

d=

Ahora aplicamos el criterio de integración por partes.

Haciendo:

u = arcsen r zdz dv = ( l - 2 2),/2

du =

dz (1 - z 2 ) ,/2

v = - ( l - z 2)1/2

114

Eduardo Espinoza Ramos Luego aplicamos la fórmula de integración por partes. z arcsen z —— ^ dd:z ~ - ^ \ - z ^ arcsen arcsenz- f - V l - ~ 2 ----Í-----(l-z 2)1/2

(1 - 2 )

2

i

n - - 2i

... (2)

= - ( l - r 2)1/2 arcsenz+z ahora reemplazamos (2) en (1), es decir: r arcsen4 x e¡x = 2(-^Ji-z2 arcsenz + z ) + c = -2>j\-x a r c s e n + 2-Jx +c J 0-x) (n )

I sen(ln*)d* Solución Sea z = lnx

=^> x = ez =>

dx = e zdz

Isen(lnx)dx = J e 2 sen zdz Aplicando el criterio de integración por partes. Haciendo:

u = senjt

du = cos r dz

dv = e xdz

v = ez

Mediante la fórmula de integración por partes se tiene: 9

J ez sen z dz = e z sen z - J ez eoszdz

nuevamente calculamos la integral J ex eos z d z , por partes.

Haciendo:

u = cosr

du - - sen z dz

d v - e zdz

v = ez

aplicando la fórmula de integración por partes.

115

Integral Indefinida

... (3)

j e z eos z d z - e z eos z + J e z se n z dz ahora reemplazamos (3) en (2)

/«■

senzdz = ez senz ~ e z eosZ~ f e z senzdz

í ez sen z dz = —

(senz -e o s z )

(4)

Luego reemplazando (4) en (1) se tiene: J sen(ln x)dx = — (sen z - eos z ) +c

J sen(ln x)dx = y (sen(ln x) - cos(lnx)) + c

e^dx Solución

Sea x = z 2 => dx = 2 z d z , entonces: J

Haciendo:

u-z

du-dz

dv = e zdz

v = eA

= 2J zezdz, integrando por partes.

Aplicando la fórmula de integración por partes: J e ^ d x = 2(zez - J e*dz)+c=2(zez - e z )+c = 2ez ( : - 1)+c = 2 e ^ ( - J x - l) + c

®

x arctg* dx í^ r + x.2 Solución

Sea z = arctg x

dz

dx

1 x = lgz

+ x 2 , ahora reemplazando en la integral,

116


Í - 1+Xarct£* dx =3f 2 tg2 z d z , aplicando el criterio de integración por partes. Haciendo:

u=z

\du = dz

dv = tg2 zdz

\v = tg r

Mediante la fórmula de integración por partes se tiene: j a _ arctgx^ =

z(¡z - z(x%z-z)-^{\%z-z)dz

= z t g z - z 2 - ln \s e c z \ +^ - + c = x arctgjc-ln|sec(arctgx)| - arct& - +c arcsenx

©

( l - * 2)3' 2

J dx Solución ,

dx Sea z = arcsen* => « (1 - jc2)172 , ahora reemplazamos en la integral*dada: x = sen z dz =

arcsenx , r arcsenx , Í-------------------------- i------ TT7Tdx = ( l - x 2)3/2

J a - J t K l-* )

r zdz e 2 --------- T ~ = ~sec zd: 1-sen z J

Ahora aplicamos el criterio de integración por partes. Haciendo:

u- z

fdu = dz

rfv = sec2 zdz

}v = t g 2

Luego aplicamos la fórmula por partes: r aresenx _ r _ , . ------ r r r dx = z t g z — tg zd z +c = z tg z - ln secz +c *

(l- A

)

J

x arcsen a

1. „

= ----------— — - - l n ( l - A z ) + c (I-a ) 2

2,

117

Integral Indefinida

En esta parte consideremos el cálculo de las integrales, mediante ciertas técnicas, llamadas el método de los coeficientes indeterminados y se considera las siguientes integrales. 1ro. Las integrales de la forma:

Donde Pn(x) expresa así:

es un polinomio de grado n, para él cálculo de estas integrales se

.~ < D

donde Q„ (a ) es un polinomio de grado n de coeficientes por calcular, es decir: P„(x) = a„xn + a„_1x"~I +...+alx + a 0,

Q„(x) = bnx n +b„_lx n i +„.+blx +b0

y se trata de calcular los coeficientes de Qn(*) , los que se obtienen derivando la ecuación (1) y después se aplica la identidad de polinomios. Ejemplo: Calcular la integral:

J (jc3 + 5a 2 - 2)e 2xdx Solución

De acuerdo al criterio establecido, a la integral dada escribiremos en la forma: J ( x 3 + 5x2 - 2 ) e 2xdx = (Ax3 +Bx2 +Cx+D)e2x +c Para calcular A,B,C y D derivamos la ecuación (1) (X 3 + 5 *

2 - 2 ) e lx =2(Ax3 +Bx2 +Cx +D)e2x + ( 3 Ax2 +2Bx+C)e2x

(x3 +5x2 -2 )e Zv = (2Ax3 +(2B+3A)x2 +(2C + 2B)x +(2D +C)e2x x 3 +5x2 - 2 = 2Ax3 +(3A + 2B)x2 + (IB + 2C)x +C+2D

(1)

118

Eduardo Espinoza Ramos Ahora por identidad de polinomios se tiene: A= 2A = 1

B =-

3 /1 + 2 5 = 5

4

' 2B + 2C = 0 C + 2D = -2

- (2) 4

D=-

1

Luego reemplazando (2) en (1) se tiene: J ( jc 3 + 5 * 2 - 2 )e 2xdx = ^ { 4 x 3 +

Observación:

14x2

- \ 4 x +l)e2x +c

En general se puede probar que:

Comprobemos con el ejemplo anterior. f

J

(x

3

^

+ 5a

*>

*

- 2

ix ,

)e2xdx

elx r

3

_

2

^

3 a 2 + 10a

6 a + 10

6_

= ------- [ a 3 + 5 a 2 - 2 ----------------------- + ------------------------ ] + c 2 2 4 8 2-r

= ^ - [ 4

jc 3

+ 1 4 jc 2 - 1 4

x

-Í] +

c

2do. Para las integrales de la forma: /\x)scn(íD:>íñ. J/tJr)cos(ax>iít Donde P(x ) es un polinomio. Él calculo de estas integrales se obtienen mediante las expresiones siguientes:

Integral Indefinida

119

- cos(ax) I P(x) sen {ax)dx = ——

a

a

a J P(x) cos(ax)dx =

sen(tfx)

P(x)

a

a

a

p"(x) , p (4)(x) a a | cos(flx)[f (Jt) a a

P "(x ) | P'(x) fl3 ' a 5

Ej empio: Calcular la integral J (2x4 + 2x - 1) cos 2x dx Solución De acuerdo al criterio se tiene: P(x) = 2x4 + 2 x -l

=> F (x ) = 8x3 +2 P"(x) = 24x‘ P”'(x) = 48x P (x) = 48

sen 2x

F ' (x) | Piv(x) | cos 2x P (x) 16

sen2xr_ 4 . . --------[2x + 2 x -l

:(2x4 - 6x2 + 2x + 2

F "' (x) | g 8

24jc2 48.. cos2xr8x3 +2 48x, t ] + —r - [— ; ------- H + c 4 +716 8 ) + 2

(2x3 - 3 x + - ) cos 2x+c 2

]


120 OBSERVACION.-

Los casos especiales de integración por partes analizados y que son de la forma ^P(x) = eaxd x , Jp(x)senaxdx,

| P(x) eos axdx, donde P(x) es una función polinomica que se puede derivar varias hasta anularse y efljr, sen ax, eos ax, puede integrarse varias veces sin dificultades, en estos casos, existe una forma de organizar los cálculos que simplificar el trabajo, este criterio ilustraremos mediante los siguientes ejemplo: Ejemplo.-

Calcular la integral J x 5exdx Solución

J x5exdx = J / (x).g(x) dx donde / (x) = x 5 y g(x) = ex

Ejemplo.-

Calcular la integral J(x3 + x + 5)elxdx Solución

121

Integral Indefinida

J ( a 3

+ x + 5)elxdx = J /(*).#(*) dx donde

/ (a ) = a

3 +

x

+ 5, g(x)=e2x

e2x 8 Ejemplo.-

6e2x +c 16

Calcular la integral J x 2 c o s a dx Solución

J* x 2 c o s a

dx = j f

(a ) .£ ( a )

dx donde

/ (

a

)

= x 2 y g(x) = eos x

J a 2 c o s a ¿£t = A2senA-(2A)(-cosA) + 2(-senA) + e = a

2sen a

+

2* c o s a -2 se n x + c

122

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.-

Calcula la integral J (x3 - x + 7) sen 2x dx Solución

J f W . g ( x ) dx =J(x 3- x +7)sen 2x í£t, donde /(x) =x3-x + 7 yg(x) = sen2x

, ,cos2x. 6sen2x + 6x(------- ) ------------- + c 8 16 , 3 _ c o s 2 x ,, 2 ,. sen2x 3xeos2x 3sen2x = —(x - x + 7)------- + (3x -1 )-------- + ------------------- ----- + c 8

EJERCICIOS PROPtESTOS.Calcular las siguientes integrales: Jx ” lnxí£c, n*-l

ln x

©

J

dx

xn+1 1 Rpta. ----- (lnx---- )+c n +1 M+l 1 i , Rpta. — (ln x + 31n x + 61nx + 6)+c

123

Integral Indefinida

® ©

ln2 x .5 /3

Rpta.

dx

ln(cosx) dx COS" x

8 ,9 . 2 (—ln x+31nx + 2)+c 28x3' 2 4

Rpta. tgxln(cosx) + tg x - x + c

3

©

(x2 -2 x + 3)lnxdx

3

Rpta. ( - — x 2 + 3 x )ln x -— + - — 3x + c 3 9 2 4

4

4

©

x3 ln2 xdx

Rpta. — ln2 x - — ln x +— +c 4 8 32

©

ln2 xdx

Rpta. x(ln2 x -2 1 n x + 2) + c

x lnx

dx

©

d - x 2x1/2 ¿)

©

x ln(-|——)dx 1+ x lnx

© © ©

Rpta. -Jl - x 2 (1 -ln x ) + lnC1^ 1 — )+ c

_ „ x2- l. ,1-x. , Rpta. —-— ln| l-x+c 2 1+x l + 21nx R p ta .---------— +c 4x

dx

ln(Inx)

2

Rpta. lnx(ln(lnx)-l) + c

dx

ln(-v/x + -J\ +x )dx

ln(2+Vx)

dx

a + x - 3 x 2) e xdx

Rpta. (x + —) ln(Vx + -Jx +1)—- 4 x 1 + x + c: 2 ^

Rpta.

^ 3r —-ln |V x + 2 1 -----+*Jx+c

Rpta. (3x2 +5x-2)e * +c

124


xex x +e +c 1 + JC

Rpta. - -

©

Jí ' (1+*)

©

J\1e’> X

©

J[(2jc-3)( x 2 -3JC-1)4 ln(x2 ■- 3 x -l)d x

X - l l/x Rpta. ---el +c X

Rpta. —---- y-—— (ln(x2 - 3 x - l ) - y ) + c

^8)

j x 2e "*dx Rpta. —e *(x2 +2x + 2)+c

@

J x ie~x n dxRpta. -3 e _Jt/3(ocJ +9x2 + 54x + 162)+c

©

j( x 2-2x + 5)e Xdx

Rpta. -(x 2 +5)e * +c

©

f (jc3 J

Rpta. — (36x3 -18jc2 -102jc + 17)+c 216

( 22 )

[— J

- 3 x)e6xdx

-t .?*—-dx 4e3x

Rpta. ——— (3jc2 +4x+—) +c ' 12

(23)

j(8x3 +6x2 +2x+5)e4xdx

Rpta. eAx (2x3 + —+ —) + c 2 8

( 24 )

JarctgVx dx

Rpta. xarctg-\/jt —\/x+arctg-Jx+c

2^)

f x arctg2 xdx W'

3) J jc2( I + jt2)

Rpta. —((x2 +l)arctg2 x-2xarctgx + ln |x 2 + l|) + c 2 Rpta. , „ | _ 4 ^ | - I a, c , g , - H 2 ¿ £ « (1+x 2) " 2 * 2

i

125

Integral Indefinida

arctgx

1 (28)

dx

j x 2 arctg3xí£í

Rpta. ln|

r3

r

3

18

1

Rpta. — arctg3x----------------------------- + ----In 11+9x 2 | +c

Rpta. (x + 1)' x

——- 1- arCtp* +c -Jl+x2

160

2xe -ex +c x+1

, ,x + l )dx J -s/l-x2 ln(----x ~l

Rpta. -\/l-x 2 In| —— |+2arcsenx+i

(3l)

J arctg(-\/x+l)dx:

Rpta. (x + 2) arctgV* + l —n/j¡c+ 1 +c

(32)

|xarctg^/x2 -1 dx

Rpta. — arctg-\/*2 - 1 — "Jx2 -1 +c

(33)

J arctg-/^/x -lrfac

Rpta. (w2 + l)2arctgw -y(H '2 +3) + c

X+ 1

donde w = - £ f x - 1 í£c

rx -xarctgx dx J (1+ x2) arctgVx

_

arctgx arctgx x 4 2(l + x ) 4(1+ x )

Rpta. — f ---------- £— + ---------— +c

Rpta. x +

Ix +5 orc.tgx+c 2(1+x2) 4(1+ x2)

©

J

©

Jxsec2xdx

Rpta. xtgx+ln|cosx|+c

(38)

J x tg 2 xd x

Rpta. x tg x —— + ln|eosx \ +c

dx

Rpta. 2-Jx arctg ^/x + In 11+ x | +c


126

©

[sen ijxdx

Rpta. 3((2-%jx2 )cos\[x +2.\fx sen \[x)+c

í xsenxcosxdc

sen 2x x Rpta. ------------ eos 2x+c 8 4

©

J

| x3 sen x dx

Rpta. —x 3 senx + 3.*:2 senjc + 6xcosx —6senx + c

©

1(* ' +5 x + 6 ) cos2xí£c

2x2 + 10x+l 1 . 2jc+5 . Rpta. -----------------sen2x + -------- cos2jc+ c 4 4

í xsee2 3xdx

Rpta. —tg 3x 3

i x eos ec2(-)dx i 2

Rpta. - 2xc tg(—) + 4 ln |sen(—) | +c

©

j x 2 senxdx

Rpta. - x cosx + 2xsenx + 2cosx+c

©

f 9jc tg 2 3xdx

9x2 Rpta. 3x tg 3x-------+ ln | eos 3x | +c 2

f * dx J sen2x

Rpta. -xc tg x + ln | sen x | +c

j sen^/Z* dx

Rpta. —^¡2x eos a/2x + sen ^2x

© © ©

©

J

J

ln | see 3x | +c

j

©

J

, 1rxco sx Wv 2 J sen x

Rpta.

©

| x eos 3x dx

Rpta.

—

©

f xsen2 xdx

Rpta.

-------------------------------- ----- + C

X

senx

- L ,|n , te*i, * vi .1 1 r> + i n 1 lgi - ) \ +c

2

x „ eos 2x sen 3.x+ ----------- + c 3 9

x2 4

x sen 2x 4

eos 2x 8

+

c

Integral Indefinida

127 3*(senx + ln3.cosx) Rpta. ----------------- r---------- f C l + (ln3)

3* cosxdx

©

_ , secxtg.x,„ ? -,v 3, . Rpta. ----(2sec x + 3 )+ —ln|sec* + tgjc|+c

sec 5 xdx arcsen x

dx

Rpta. 2-y/x +1 arcsen x +4^1—x +c

VX + 1

©

(arcsen x) 2dx

Rpta. x(arcsenx ) 2 + 2 arcsenx . - j 2 - x 2 - 2 x + c

arccosx dx

Rpta. xarccosx - - J \ - x 2 + c

arcsen x

_ arcsen jc . . x , R p ta .------------ + In |-— -----r i 7 r l +c

dx

jcarcsen(x2)dx

Rpta. — arcsen(x2)+ —- J l - x A +c 2 2

6x2 arcsen 2xdx

Rpta. 2x3 arcsen 2x

arcsen 2xdx

Rpta. x arcsen 2x+—

x arcsenx ( l - x 2)3/2

dx

(arccosx- In x)dx

©

4x3 arcsen(—)dx

©

arcsen •s/I £

dx

_

.

arcsen*

V l-4 jc 2

(1 - 4 x 2) 3' 2

12

— \-c

1, , 1—jc ,

R Pta' {„ \ - x 2y 2i /2+T 2 2 lnh---1+ jc l+c Rpta. x arccosjc —s/l —jc2 ~ x (ln x -l) + e*

Rpta. 2Vx arcsenVx+ 2VÍ--X

+c

128


í (^ )

x~ arcsenxrfx

Jx co s3 x¿íc

r 1 1 Rpta. — arcsenx— ( l - x 2)3/2 + —( l - x 2)i/2 +c 3 9 3 £ X 3 2 eos3 X Rpta. xsenx— sen x + —cosx + -------- + c 3 3 9

n

x

j e r cos3xrfx

Rpta. ---- (3scn3x- cos3jc)+ c 10

p O l*

e ' ,cos2x-sen2x Rpta. -----(------------------ )+c V 2 5

(S )

J"e* sen x sen 3x dx

e* .2 sen 2x + eos 2x Rpta. — (

©

¡ e°* eos bxdx

( 71 )

J e 1* cos(t?* )dx

@

Jsec2(lnx)<£t

q

)

68)

73)

j x ’ e ' 1dx

© 1xarcsccx dx J (fif/rsecx)2“dx

4 sen 4x + eos 4x )+c 17

a - +b~

Rpta. e sene + eose + c

Rpta. xsen2(ln.v)--^(x sen(2 lnjr)-2x eos(2 ln x)) +c 1 -A2 (x+ l)+c Rpta. ~ —e

oRpta. * — X1 arc see x ----------^ X 2 -1+ c 2 2 2 1ln 1 |------|+c 1* _ l t Rpta. xtfcrsec 2 x — 2 -------x 2 x +1 X -x »

2

2

,

( 7 ^)

J x 2 arctgxdx

Rpta. — arctgx----- + —ln(l+x2)+ c 2 6 6

@

j4 x\n xd x

Rpta. —x3' 2 l n x - —x 3' 2 +c 3 9

129

Integral Indefinida (78)

J sen x. ln(l + sen x)dx

(79)

Si f " ( x ) = - a f( x ) y g"(x) = b g ( x ) , donde a y b son constantes encontrar la integral f f(x).g "(x)d x. J j cos(lnx)í/x

J

Rpta. - eos x.ln(l + sen x) +x + eos x+c

Rpta. - l — [f(x).g'(x)-f'(x).g(x)]+e a +b X

Rpta. —[sen(lnx) + cos(lnx)]+c 2

f (3x + l) arctg2xdx

©

U x 1 +5jc+ 1)exdx

Rpta. ex (x 2 + 3x - 4) + c

i (x2 + x + l)sen xdx

Rpta. (2x + l)s e n x -(x 2 + x -l)c o s x + c

í (3x2 + 7x+ l )exdx

Rpta. xe*(3x + l) + c

©

f(x 2 -5 x + l)e~xdx J

Rpta. - e " r (x2 - 3 x - 2 ) + c

©

r x 2 +3x+4 , ------------- dx

Rpta. -e~x (x2 +5x+9) + c

©

11(x2 + 2x + 5)(2senx+ 3cosx)¿/x

©

©

©

J

Rpta. ( ^ —+ x + —)arctg2x-—X -—ln(4x2 v 2 8 4 8

%

Rpta. (3x2 + 10x + 13)se n x -(x 2 - 2 x -2 ) c o s x+c

©

í x 2 ln(x6 -1)í£c J

Rpta. —[(jc3 - l ) l n |x 3 - l | - ( x 3 -1)] 3 + j [ ( * 3 +1) ln | x3 +11-(x 3 + l)]+c

130 ©

Eduardo Espinoza Ramos J l n 2(jr + Vl + JT )rfx Rpta. x ln2(jc+ ^ \ + x 2 ) - 2 -Jl-x1 ln(.r+^j\+x2 ) + 2 x +c

©)

j ( 2 x A + 2jc-l)sen2xdx

Rpta. (2x3 - 3 x + —)sen 2 x -(x 4 - 3jc2 +x + l)cos2x+c

©

JjtV'dx

©

x2(x3 + 1) 2lnx dx

@

©

J ln(x2 + 2)dx

@

(x2 + 7x - 5) eos 2x dx

(l04) J (InixV f d x

e~x cos3x dx

^07) j x 3e x2dx

Je2xsenxcosx dx

JarcsenV3xdr

@

rsen x . ------- dx J ex

©

x 2 aresenx dx

(lío) J(arcserur)2ríx

©

J e*x sen 4x dx

©

x2e*senx dx

©

J rln'T* (x2 - l ) 2

1.6.8

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.Sea u =f(x) una función de x. En muchos casos es posible calcular una integral efectuando una sustitución trigonométrica, y estas integrales son de la forma:

Donde R es una función racional. Ahora daremos un criterio para calcular estas integrales, para esto consideremos los siguientes casos:

131

integral indefinida ler. Caso. Para la integral de la forma: Construimos un triángulo rectángulo. Se toma la función: U

tg 6/i = ua u~alg6

6 = arctg(—) a du = a see2 6 d6

Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga. 2do. Caso: Para la integral de la forma: Construimos un triángulo rectángulo. Se loma la función: U

sen 6 = — a u = a sen 6

6 = arcsen(—) a du = a eos 6 d6

Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga. 3er. Caso: Para la integral de la forma. Construimos un triángulo rectángulo. Se toma la función: u see 6/i = — a u = a see 6

6 = arc sec(—) a du = asec6ig6d6

Las demás funciones se toman de acuerdo al integrando que se tenga.

132

Eduardo Espinoza Ramos Observación:

Se trata de la sustitución trigonométrica del tercer

caso

J R ( u ^ u 2 - a 2 )du , se procede del siguiente modo: a)

Se calcula la integral para u > a.

b) Se calcula la integral para u < -a, luego se hace la sustitución v =-u, dedonde calculo de la integral se reduce a la parte (a). c)

él

Por lo tanto la integral resultante se compone de dos integrales, una para el intervalo u > a y la otra para el intervalo u < a (ejem. 3).

Sin embargo estas integrales pueden resultar iguales y dar una sola expresión para la integral dada (ejem. 4). Ejemplo de aplicación de éste criterio.-

Calcular las siguientes integrales:

Solución Aplicando la sustitución del 1er. caso:

Se toma la función: X

3

tg o = —

3=>

x = 3tg0

6 = arctgí^) t£r = 3sec2 6 d 6

=>

(jc2 +9)i n =3 see 6

= 9j (sec2 6 - l) s e c 6 d 6 =9j (see3 6-sec6)d6 - 9[^- (lg 6. see 6 + In | tg 6 + sec 0 1) - In | tg 6 +sec 6 1]+c

Integral Indefinida

133

9 rx

x

y x 2+ 9 n

. ,x

[-■ 7=-- ------------ |]+c x ¿ +9

2 9r = TÍ 2

x

—ln |

+y¡9^.

I] +c

3^9+jc 2

dx

©

h

Vl6+9.r 2 Solución

A la integral dada escribiremos así: í -----. =

= f ---- _______

} x 2 t¡ 1 6 + 9 x 2

J x 2 t¡ 4 2 +. (3 x ) :

Aplicando la sustitución del 1er. caso se tiene: tomando la función: 3x 4 _ 4 tg e

= arctg(^) 4 4 7 dx = —see" 0 d 0 3

tg 0 =

see© =

0

V l6+9x 2 = 4sec 0

Ahora hacemos las sustituciones

dx

j

2>/16+9x2

4 2 —see 6 d 6

, „ _ 3 fsecf?
3

í 16

77T

7 _ Tfi J

J l ^ tg 2 e.4sece

16

to2

6

= — f cos^ . d o = — f ctg6.cosec6d6 16 J sen 6 16 J *

134

Eduardo Espinoza Ramos 3 n 3 Vl6 + 9x2 + 9jc = -----eos ecO + c =-------------------+ c = -----------+c 16 16 3jc I6jc dx

©

h

V*2 - 4 Solución

De acuerdo al tercer caso se considera dos partes. Ira. Parte.- Si x > 2, se tiene la sustitución. x see 6/i = —

6 = are sec(—)

jc = 2 see 6

dx = 2 see 6. tgO d6

2 Vx2- 4

4 ? -4 = 2 tg e Ahora haciendo la sustitución en la integral

f

**

=!

' x 3V*2 - 4

d0 = rcosie 8sec3 G.2tgG

J

8

= — Í(l + cos20)rf0 = — (6 + SCn 2g) +c =-^:(0 + sen0.cos0) + c ln J Id 2 '16^ 1, ,x. 2^ x 2 —4 = — (are sec(—) +------ ---- ) + c 16 2 x2

si x > 2

2da. Parte.- Si x < -2, se tiene la sustitución x < -2 => -x > 2, ahora hacemos el cambio de variable y = -x aquí se cumple y > 2. t -dy Í W r ‘ -4

dy

^ - y 1 y 1 - i - fJ 1 = — (arcsec(

16

2

- 4

c de la (Ira. parte)

Integrai Indefinida

135 1 . , - x . 2-Jx2 - 4 — (arc sec(— ) + ------ ---- ) + c , 16 2 x~

(j)

. si x < -2

Demostrar la formula f —r — ---- = ìn\x +4 x 2 - a 2 |+c Vjc2 - a 2 Solución De acuerdo al tercer caso se considera dos partes. Ira. Parte.- Si x > a => se hace la sustitución. v sec G = — a x = a secG

tg 6 =

=>

a

x 6 =arc*sec(—) a dx = asQc6.ig6dO

-\lx2 - a 2 = a tg 6

Ahora sustituimos en la integrai dada. Ç d x ^ i 4 ? ^ 2

a sec 6. tg 6 fflsecfMgtf r dG= \sec6d0 tgG J a 'Ze J . . « „. 1 . x y x 2- a 2 , = ln|sec0 + tg0 |+c, = ln |—+ ------------ \+c, a a = l n \ x + 4 x 2 - o 2 l+ q - ln a = ln |jc W x 2 - o 2 |+ c,

s ix > a

2da. Parte.- Si x < -a => -x > a, luego hacemos la sustitución y = -x aquí se cumple y > a. f

dx

f

~ay

f

dy

= - l n | y + -J^ 2 - o 2 l+c,

de la (Ira. parte)


136

- In |-or W * 2-fl2 l+c2 =ln|----—j — T1 7 t I +ci - x +(x~ -a ~ ) In Ix + 4 x 2 - a 2 | +c, si x < -a resumiendo se tiene:

©

J

dx

==r =1n|x +Vx2-cf2 |+c

íz^|x2~ S+ Solución De acuerdo al criterio del 1er. caso se tiene:

Tomando la Junción: * 6 = l s x = S \ ge 'Jx2 +5 ---- ¡=— V5

6 = arctg(-^=) dx = *Js sec2 6 d6

í- í 7 /T „ => V jr +5 =V5sec0

ahora hacemos las sustituciones en la integral dx -y/x2 + 5

r -\/5sec2 0dO

1 r eos© d6 =J 5 tg2 6.-s/5 see 6 5 J sen2 6 Ir „ „ = —J c Igfí.eos ecfi dfí

©

J

eosec6 *Jx2 + 5 ----------------------------- +c =-+ c 5x

dx (x1 -2 x + 5) 3/2 Solución

A la integral escribiremos así:

f____ dx _____ = f _______ J (x2 (xz -~22xx+ 5 ) 3/2

dx

J f[(x (x -— 11)) 2 + 4][(x -1) + 4]

137

Integral Indefinida Aplicando el criterio del primer caso se tiene: Tomando la función: X -1

see 0

+4

=>

tgf) = ——2 x = l + 2tg0

6 = a rc tg (^ -)

=>

dx = 2 see2

-^/(jc—l)2 +4 =2sec0

ahora hacemos la sustitución en la integral r

dx

' (jc2 -2 x + l)3/2

r 2sec1 6 d 6

] r

J 4 see2 0.2 sec 0

4J

sen0

x -i

-+ c =

+c

W x 2 -2 x + 5

©

J

JC3r f x

4 x 2 + 2x + 5 Solución

A la integral dada escribiremos así: x 3dx

Xsdx

í -Jx2 + 2x + 5 - j

-\/(x

, aplicando el criterio del primer caso se tiene:

+ 1)2 +4 X + l

Tomando la función

ig6=

2i

x = -1 + 2 tg #

X

=> s

X+ 1 fí = arctg(—^—) dx = 2sec2 6dG

+1 sec0 =

•y/*2 + 2x + 5

ahora hacemos las sustituciones en la integral dada.

^jx^~+2x +5 = 2 see 0

138


I

x 3dx 2x +5

r ( - . l + 2lg6)32sec2 6 d 6 = J (-1 + 2 tg O f secOdO 2 see 6

i

= J (8tg3 0 -1 2 tg 2 0 + 6tgÉ>-l)sec6d6 g

= —sec3 6 - 6 tg 6. sec 6 +5 In | sec 6 + tg 6 1-2 sec 6 + c

=—(x2 +2r+5)3' 2 - - ^ ^ ^ A /x ^ ^ ^ + 5 1 n |x + l+ '\/x ^ + ^ + 5 |^\/x^f2x+5 +c 3 2 = -\/x2 + 2x+5(— ---- ——-)+ 5 1 n |x + l+-\/x2 + 2 x + 5 | +c 6

©

i

(9 e'2* + l)3/2 Solución

A la integral dada escribiremos así: f ---- %—

J

{9e~2*

, = í ----------

—

+1}J ((3e_Jr)2 + l)-^(3e_JC)2 +1

Aplicando el criterio del primer caso. Tomando la función: 6 =arctg(3e *)

tgG = 3e~* 3e~

e~* =

tg0

e~*dx

secO=^¡9e2^ ^ l

=>

sec2 0 = 9 e 2x+ l

ahora hacemos las sustituciones en la integral dada. r

e Xdx

J (9e 2x+l)3' 2

1 r see2 6d6 3 J see2 0.sec0

3J

see Od6

eos 6 d6

=

Integral Indefinida

139 sen 6

e x

------------- + C = -------- : + C

V9e_2jr+1

®

(2x-5)

1 aMx - x2 dx Solución A la integral dada escribiremos así: (2*-5)

í/jc , aplicando el

criterio del 2do. caso se tiene:

Tomando la función:

x -2

x-2 sen 0 = -----2 x = 2 + 2sen0

eos#

=>

a/4 x - x 2

x —2 0 =-arcsen( — -) rfx = 2 eos 0

^ 4 x ~ x 2 =2 eos 0

ahora hacemos las sustituciones en la integral dada. (2x-5) . f4 se n 0 -l f , • dx= f en ■2cose£/e=f(4sen0-l)rffl = ^ c o s 6 - 6 +c i J 2cos£> J 2 eos 6 jt- x^2

= - 2 ^ 4 x - x 2 - arcsen(———) + r = - 2 ^ 4 x - x 2 - arcsen(*—- ) + c 2 2 x~dx

Solución Aplicando el criterio del 2do. caso se tiene:


140


[sen# = jc U = sen0

[0 = arcsenjr Idx = eos 0 dO

eos 8 ahora hacemos la sustitución en la integral dada. f x 2dx rsen2 6.cos6d6 r , Ir -p:--— = ------------------- = sen ~GdG =— (l-c o s 2 8)d6 i cose i 2i

-

1 sen20 1 1 r ~TX =—( 0 ) + c = —(fl-senfl.cosf/H c = —(a rc s e n x -W l-jt- ) + c 2 2 2 2

©

J

(2*-3) dx (jc +2 jc-3 ) 3/2 Solución

A la integral dada escribiremos así: í ; , 7 = í ----------( * *)dx = J (a2 + 2*-3) J ((jc+1)2 -4)-yj(x + l)2 -4 Aplicando el criterio del 3er. caso se tiene: Tomando la función:

secfl =

* +1

6 = are sec(----- ) dx = 2 see 6. tg 6 dO

(x2 + 2 x -3 )1/2 tgfl = -------------------

=>

I~1 “ 7 -\lx~+2x-3 =2tg0

ahora hacemos la sustitución en la integral. (2x - 3)dx _ fr (4 see 0 - 5)2 sec 0. tg B d6 r (2x—3)dx

J (x2 i r 2 +2jc-3) J

4 tg 2 6.2 tg©

141

Integral Indefinida 4sec2 0 -5 se c 0 de = [ (eos ec26 - —c ig6.eos ec6)d6 -í J 4 4 tg 2 0 5 /í * 5r * +1 2 - —eos ecft-ctgO +c - —[ . 1— . —+ c 4 4 L^ 2 +2jt_ 3 J Vx 2 +2 x - 3 see " 0 dO

J ( 4 - tg 2 0)3/2 Solución A la integral dada escribiremos asi: r

sec" s e e yOde

_ r

J ( 4 - tg 2 6)3'2

sec2 0
aplicando el criterio del 2do caso.

J ( 4 - tg 2 0 ) ^ 4 - t g 2 6 Tomando la función:

V 4 - t g 20

cosa =

-^ 4 -tg 2 6

sena = tg0

tg# a = are sec(----- )

tg0 = 2sena

see 2 0 ¿0 = 2 cos a da

^ 4 - t g 2 0 = 2 co sa => 4 - t g 2 0 = 4cos2 a

ahora hacemos la sustitución en la integral. sec 2 8 d 8 r 2 eos a d a Ir ■> — —- = I ------ -------------= — see a d a Í-------( 4 - tg ~ 6)

J 4cos~ a.2cosa

4J

dx (l + JC4)((l + JC4)1/2-A-2),/2 Solución Aplicando el criterio del 1er. caso se tiene:

1 tg0 = —tga + c ~ —f ■+ c 4 ^ 4~ tg 0

142



sec 6 = ^Jl +x*

=>

6 = arctgjt2

tg e= x~

see2 6 d6

dx =

x= Jlg6

2jtg8

sec2 0 = ] + x 4

ahora hacemos la sustitución en la integral dada: r

_ f ______ sec2 sec~ o6 d6 ao______

dx

^ (\ +x A) ^ ( l + x A) - x 2

4

2 ^ é s e c 2e ^ c 6 ~ l ge

r eos 6 dO í de 1 ! J i/tgé>sec0-tg2 6 2 sen 0 - s e n 2 6

1 if 2

eos 6 dO

Jí i - ( s e n O - i ) 2

. se n # -i . 1 o 1 = —arcsen(----- — —) + c = —arcsen(2 sen 6 - 1) + c

i arcsen(—/ 2* 2-1 )+c =— Si +x 4 x 2 + 2 * -3 s JC+ 1 dx Solución Completando cuadrados al subradical. ^jx2 + 2 x -3 = ^(x + 1)2 - 4 , entonces la integral dada escribiremos así:

f ^X J JC+ 1

- f J

^ —

x+1

dx y aplicando el tercer criterio se tiene.

Integral Indefinida

143 Tomando la función: *+1 see 6* =-----2 jc = ~l + 2sec0

sen# =

,x +1 6 = arcsen(------)

=>

dx = 2sec6.tg6d6

4 x 2 + 2x - 3 x+1

ahora hacemos la sustitución en la integral dada: j slx- +2x - 2 dx j seng 2sec e tge d e _ 2J tg2 e d e r7 ~ = 2 í (sec2 0 - l)d0 = 2(tg0 - 0) + e = 2 ( - - - - --2? - -3- - o /r s e c ( ^ - ) ) + 1J 2 2 = V*2 + 2 x -3 - 2¿/é?csec(^—) + c 3 1.6.9

EJERCICIOS PROPUESTOS.Calcular las siguientes integrales.

®

x dx J ( 1 6 - jr2), 3 / 2

^ 4 +x'

©

í

dx

Rpta.

* - ~arcsen(—) + c ->/l6—jc2 4 ~J(4 +x 2)*( x 2 - 6 )

Rpta. 5 ln |

©

©

Rpta.

r(1 6 -9 x 2)3' 2 J

120jc5

5—s/25—:

+c

| W 2 5 -X 2 +c

1 (16—9jc2)5/2 R p t a .-------------- ----+ c 80 jr5

144


©

x 2 a/ i 6 -

©

l W x 27 l dx U 2 + l)32

©

©

© © © ©

2 dx

x

x 3dx

©

Rpta.

4

A—

)+c

+ arctgjr+c -\/x2 +1

^ 2 x 2 +7 2 7 > Rpta. ----------- (jc +7)+ c

■y]2x2 +7

x 2^ 4 - x

2 dx

x dx

Rpta. 2arcsen— 2

4

V (jc3 +2.v)+c

Rpta. ^ a rc s e n (* -—)--\/21 + 4 jt- x 2

^ ^)+ r

V21 + 4 x - x 2 x 2^9 - x 2

dx

see2 x.tg2 x

dx

Rpta. — aresen— ( 9 -2 x 2h / 9 - x 2 + c 8 3 8 Rpta. ^^>/2 + sec2jr —^-ln| tgjr + -\/2+ sec2 * |+c

-v/2 + sec2 x *\/x2 +1

dx

dx (x2 +5)3/2

©

Rpta. 32arcsen— 4

a/x 2 -16

(x + l)dx

V*2 - 8

dx

Rpta. Vx 2 + l + ln l ^'V~+1 1 |+c

Rpta.

+c 5-\/jt2 +5

Rpta. V*2 - 1 6 - 4o/rsec(—) + c 4 Rpta. —s/9—jr2 +arcsen(y)+c-

Rpta. 24x3

+c

Integral Indefinida

145

dx

Rpta. Vx2 + 2x + ln| x + l + V*2 + 2x |+c

x 2dx

Rpta.

3/2

<£c

_ 1 , V-T2 +2.1 Rpta. —arcsen(jr +1) + ----------—+c 2 2(,v+ 1)

(x + 1) 1"s/jc2 + 2x

Ídx

Rpta. ~ ^ * L + c Jt2Vl + x 2 Rpta. —|=r arctg( )+c V2 V l^ 2

(x“ + íWi • jc2

2

x*dx

Rpta. -

J -J4-X1 I ■>/(t2'

S) J

c/.v

(25 + x 2 )*3,2

> - * 2;

,

xV v íJ íd —

S) I

2

/ 2 7

V i- * 2

rfx

(8+.v2)+c

Rpta.

+c 4 ^ - 2 ^ +5

- 2 ^ +5)3

x~dx

J

-arcsen(—)+c 4a2^ x 2 a

(25 + x 2 )5/2 R p t a .----------------- + c 125jc

Rpta. ------X , r r r f ------- — 2 x5/2 +C 3 ( 9 - x 2)3/2 405(9- x ")

Rpta.

+ £* 2 0 ( 4 - jc2) 5/2

a

- * 2) 3' 2 Rpta. ---------^---+í 3x

146

@

Eduardo Espinoza Ramos t (4x + 5)dx JJ t(x~1 - 2ox + 2) 'nv '’ f ( 9 - x 2 )*'2 , -------- ---- dx J v-

®

f

(2x-3)dx — tjj (x + 22x-3) J (x2 x -3 )3' 2

S> J

n Rpta.

9(jc —1) (x - 2 x + 2 )

4 _ i/i +t’

(x - 2 x + 2 )

( 9 - x 2)1/2 x . R p ta .----------- --------arcsen(—)+c Jf3 5 x -3 +c Rpta. --------— 4(x +' 2x-3) '*'1' 2

( jc2 + 3 x ) d r

(x -l)(x 2 - 2 X + 10)1' 2

Rpta. sfx2 -2 x + 10 + 51n | -Jx2 -2 x + 10 + x + l | + —ln|

2x + 10—^ | +c JC

©

f (-* 3)¿* J x(x vf v —4) A\ ~

©

J

Rpta. i [ l n |x 2 + (x2 - 4 ) 1/2| —^-crcsec(4-)]+c 2/ 2 ' 2Z

(4x2 + l)dx (x —3)(6x —x 2 -8 )1/2

l - ( 6 x - x 2 -8 )1/2 , 2 0 ,/2 Rpta. -24arcsen(x-3)+371n|-----—-----------— |+ 4 (6 x -x ~ -8 ) +c x -3 g)

^-/

8 sen 2x.senxdx í ------J Í70(20-4sen 2 x -1 9 sen _ x) 128 4 tg x -1 6 , 5(tgx-4) Rpta. ----- ------------------— + ----- ---- ------------ — ( - ------------- + 12)+ c 3(tg" x -8 tg x + 2 0 ) 3(tg* x - 8 tg x + 20) * tg ~ x -8 tg x + 2 0 xdx 1 -\/x4 - 4 x 2 +5 -1 —;----------------------------------------- ;--- ;---- r^r J (x 2 -2 ) ( x 4 - 4 x 2 +5)1' 2 2 x -2 f

©

f ---J (2x2 +l)Vx2 +l

Rpta. a r c tg ( _ L = ) + c VI+ x 2

RPta- —

147

Integral Indefinida dx

Rpta.

(l + * 2)(*2 +1)I/2 dx ( l - x 2h /l+ x 2

1 , ,( l+ x 2)1/2+(2x)1/2 . Rpta. — 7= ln ------ ——------- - +c l4 l (1 + x ) -(2x) 1 4x2- 1 Rpta. —[arc see x + ---------- ] + c 2 x

dx @

©

(x 2 +I x ) ' ¡2 dx JC+ 1

Rpta. (x2 + 2x)h 2 -arcsec(x + l) + c

dx jt (jc +3)

_ (x2 +3)1' 2 (x2 + 3)3/2 Rpta. ---- — ----- ------------------ -------+c 9x 27x

( ^ - x 2)1' 2

dx

( jc+ 3)2(x2 +6X + 8)1' 2dx

dx

4 a 2- x 2 x R p t a .---------------- arcsen(—)+c x 3

Rpta. y (x + 3)-y/(x2 + 6x + 8)3 +c

Rpta.

©

©

x-2

+C

4(4x—x 2 )l/2

( 4 x - x 2)3/2

©

+c +1

x 2dx ( 4 - x 2)»5/2

Rpta.

2dx

x 12(4—x 2x3/2 )

+C

-icxl/2 x(x 4 +, 25)

Rpta. - j l n | ( x 4 +25)1' 2 - 5 | - y l n x + c

(1 6 -e2* )1/2

(IÓ-íT*)1' 2 arcsen(— ,e*) + c Rpta. ---------------px 4

dx

(4x-5)rfx (x2 - 2 x + 2) 3/2

Rpta.

9 (x - l) ___________ 4 (x2 - 2 x + 2)1/2

(x 2 - 2 x + 2) 1/2

+ C

148

©

Eduardo Espinoza Ramos ^ , *> ->*i,? a * A x i+a2 ) 2*1/2 -a . Rpta. (x +a-) - + - l n | — --— --------|+ r 2 (a2 +x*)l u +a

<„2 + « ’ ) " ’ dx ¡

I

x 2dx ( 2 x - x 2 )» 1/ 2

Rpta. ^ a rc s e n (jr-l)-* -^ (2x~x2)12 +c

dx

Í (4x~-24x (Air2 _ + 27) 3/2 yl .1/2 (JC2“ ~4x)

(x2 -2 5 )3,2

2 ->cx5/2 (x z - 2 5 ) 3 Rpta. --------------+c 125jc Rpta.

dx

j (x2 -l)(x 2 ~2)^* 2*1/2

J x i {a2x 2 - h 2)v 2 dx

edt

í (e2‘ +8e' +7)3' 2

(x 2 - 2nvl/2 ) Rpta. arctg(------------- ) + c*

t Rpta. —1 a

Rpta.

, 2 2

h , 2 2 r - 6, 2 x)^ / 2 + ——(a x 3a

í >'+4

»2*3/2

.

)+í *

+C

4(e2' +8e' +7)U2 _

arcscn.* 1, x . . ,c + l lv R Pta- 77---F + lnl7,---(1-JE T)? 7 T ~27 (7---1 —JC (1 —JCI“T ) 77»+C'

3x arcsenx s dx ! 2 xiT H \ - x 2)V-

I(3 + 2X-X2)1 2

x-1 4(x -2 x + 5) 1 / 2

( 4 - x 2)1' 2 x R p t a .----------------- arcsen(—) + c x 2

dx

2x2 -4 x + 4

+ c*

_ ,

dx

(x1 -2 x + 5) 3,2

§)

9(4jc2 -24x + 27)1' 2 (x2 -4 x )3' 2 Rpta. -------- ------ +c 6x 3

dx

dx

r

jc-3

Rpta.

dx

x —1 1 Rpta. arcsení— >—íjc—1)(3 + 2jc—jc2>'y2 +c

149

Integral Indefinida

Rpta. -{a1 - v2)'

■14 a 1 -x ~ dx

dx

Rpta.

c

4x

x~*\jx~ - 4

©

2 (3 .y 2 + 2 ¿ /2 ) — + 15

x2dx Vi--Y 2 .Y2 - 3

Rpta. -^[ln|x2 + V*2 - 4 | —^ o/'i sec

dx

]+r

xV T^

x dx

_

1 ,

a

4 - 4

2

( r 2 - 2 h /x 4 - 4 x 2 +5

©

. t/

x

2 + 5 -1

x 2dx

a

Rpta. | [11 arcsen

"

-2

+ V - 4x 2 - 12x - 5 (3 - 2x)]+<•

V—4x 2 —12x- 5

x l dx

dx

f/A

©

J-

'Vi + X2

(a 2 + 8 )2

r

dx (

©

y

© J----- © J iíz

- l)(x2 - 3x + 2)2

-J06-9x2,

dx

(x + 1)' V-Y” + 2x

©

j

dx (4x2 -2 4 x + 27)2

©

.

Rpta. —ln | -------- -----------H + t

a2'-Ja4x - 2 a lx -15 dx

@

j W l 6 - x 2 dx

V4 - x2

dx

v

© J ^ 9 - 4 x 2 dx

150

Eduardo Espinoza Ramos INTEGRACION DE FUNCIONESRACIONALESConsideremos dos funciones polinómicas: P(x) = bmx m + hm jjp* 1 +

y

» 1\ + ...+
una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. es decir:

cuando el grado de la función polinómica P(x) es menor que el grado de Q(x), a la función racional

P(x) Qix)

se denomina función racional propia, en caso contrarío se

denomina impropia. Si la función racional es impropia, al dividir el numerador entre el denominador, a la función racional se representa como la suma de una función polinómica y de una función racional propia, es decir:

donde el grado R(x) es menor que el grado de Q(x); nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias, es decir:

para el cálculo de estas integrales consideraremos los siguientes casos: 1er. caso: Cuando se tiene integrales de la forma:

. donde a,b,c son constantes.

Para calcular la presente integral se procede del siguiente modo:

151

Integral Indefinida

a)

■> b b Se completa cuadrados enei denominador: ax' +/u + c*= a(jr + — )2 + (t*------ ) 2a 4a

h)

Se hace la sustitución r = x+ —, con la cual la mteural se convierte en: a m r zdz // Ax+B _ r m: + /i . n r rfc rfr — — -------------------------------------------dx= — -
—-------

el cálculo de estas dos integrales se reali/a mediante las primeras fórmulas básicas de integración.

2do. Caso: Cuando en la integral

r P(x) — — dx, J Q(x)

la función polinómica Q(x) se

descompone en factores todas lineales y distintos es decir: Q( x)

= an( x - a

x) ( x - a 2 ) . . . ( x - a n )

P(x) \ a la función racional------ se expresa como una suma de fracciones simples: Q(x)

donde Ax, A2.... An son constantes que se va ha determinar. 3er. caso:

Cuando en la integral

r P{ r) J ^ ^ d x , la función polinómica O(x) se

descompone en factores lineales algunas repetidas, suponiendo que x - a, es el factor lineal que se repite p veces, es decir: Q(x) - a„ ( x - a )(x -a )...(x -a )(x -a p^, )...(x-a„ ) P(x)

a la función racional ------se expresa como una suma de funciones simples. Q(x)

152


donde Ax, A2 4to. Caso:

son constantes que se van ha determinar.


f P{x) J ^ - d x , la función polinómica Q(x) se

descompone en factores lineales y cuadráticas irreducibles y ninguno se repite, es decir: Q(x) = an{x2 +/>!*+ r 1)(jt2 + b2x+c2)(x2 +byx +C))(x-a4)...(x-a„ ), a la función racional — - se expresa como una suma de funciones simples Q(x) (W A, í i £
..,4—~ —)<¿í

donde Ax*A2,...,An , 5to. Caso:

son constantes que se va ha determinar.


r /*(*) J — —d x , la función polinomiéa Q(x) se

descompone en factores lineales y euadráticos repetidos en donde los factores cuadraticos irreducible se repite es decir: Q ( x ) - a n(x2 +foc+c)2( j t - a 3)...(jc-aw) ala función racional se expresa como una suma de fracciones simples.

Jew

. J V - f t o :+
^3 „, jÿ . : 4 , XJ ' x -<ï , •. x - a„

donde Ax, A2.... A„ , Bx. B2 son constantes que se van ha determinar. Ejemplos de aplicación de éste criterio. Calcular las siguientes integrales.

Integral Indefinida

©

153

4x2 + 9 x -l dx fJ -Xrs *+ 2x - x - 2 Solución Factorizando la función polinomica del denominador: Q(x) = x* + 2x2 —jc—2 —(x + l)(x—1)(jc-h 2)a la integral dada expresaremos así: r 4x2 +9x + l r A B C , —r------ --------- dx= (-------+ ---------------------------------------------------------- + -)dx•„ (1) J x + 2x~ —x —2 J x + 1 x —1 x + 2 Calculando las constantes A, B y C. 4x2 + 9 x -l jr"+Zx2 -JC-2

A .+ B C. -------+ * + 1 Jf-1 * + 2 í4(jc —1)(jc + 2) + B(x + l)(x + 2) + C(x + l)(x -1) ” (x + l)(*-l)(x + 2)

igualando los numeradores 4A'2+ 9 x - l

=

v4(x2 + 3x + 2) + i?(x2 - x

+

2) +

C (x

2-1) , ordenando

4x2 + 9x -1 = (A + B + C)x 2 + (3^4 + Z?)* + (2A - 2B - C) por identidad de polinomios se tiene: A + B +C = 4 3A + B - 9 2 /l-2 5 -C = - l

u , - ^ , ahora resolviendo el sistema se tiene: B

Luego reemplazando estos valores en (1). jc2 +9 jc--11 r 4jcz , r. 2 3 1 .. — ----------dx= (------+ -------------- )dx * x 3 +2x 2 - x - 2 J Jf + 1 x - l x + 2 2

3

= 2 ln |* +11+3ln |jt- 1 1- ln |* + 2 1+c = l n | (* + 1) ^ ~ !> | +cx+2

154

Eduardo Espinoza Ramos Observación:

Para calcular las constantes de la descomposición de la función racional se ha hecho mediante el método de los coeficientes, también se puede calcular dando valores particulares a la variable x, en este caso se dan valores apropiados a x, y se evalúan ambos miembros, los valores que se asignan a x es conveniente tomar x = , donde at son raíces de Q(x), o también asignar valores pequeños, tales como: 0, ±1, ±2..... etc.

Ejemplo:

En el caso:

4x + 9 x -l X3 +2x2 —jc —2

A B C + ----- + Jr + 1 x - l x + 2

Los valores de x se sustituyen en la ecuación. 4x 2 + 9x -1 = A(x - 1)(jc + 2) + B(x + 1)(jc + 2) + C(x + 1)(jc -1) para: * = -1 x =\ x--2

©

j

(5x-7)dx (x - 3 ) ( x 2 -

x

-2)

Solución Como Q(x) = (x-3 )(x2 - x - 2 ) = ( x - 3)(x- 2)(x- 1)

entonces a la integral dada

expresamos asi: r (5 x -7 )dx (í A B C VJ ---------- í--------- = (-----r + ----~+---- ~)dx 3 (x-3)(x~ - x - 2 ) x -3 x -2 x + 1 ahora calculamos las constantes A, B y C. (5x + 7) A B C ---------- -—-------= ------ + ------ +-----(x-3 )(x 2 - x - 2 ) x - 3 x - 2 x + 1 (5x + 7) (x-3 )(x 2 - x - 2 )

/4(x-2)(x + l)+ B(x - 3)(x + l) + C (x -3 )(x -2 ) (x -3 )(x -2 )(x + l)

Integrai Indefinida

155

igualando los numeradores se tiene: 5a - 7 = A(x2 - x - 2 ) + B(x2 - 2 x - 3 ) + C(x2 - 5 a + 6); ordenando:

5 x - l = (A + B + C)x2 + ( - A - 2 B - 5C ) x - 2 A - 3 B + 6C por identidad de polinomios se tiene que: A +B +C = 0 -A -2B -5C = 5 - 2 i4 -3 ^ + 6C = -7

Resolviendo el sistema se tiene: ^ , A= 2, £ = - l, C = - 1

Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1): r f S x - T ) * -------r (_ 2-------- 1------- 1_ (jc-3){ x 2 - x - 2 ) J Jc-3 x - 2 x + 1 2

2 1 n | x - 3 | - l n | r - 2 | - l n | x + l | + c = l n | — ——— ----- \+c

(x ~ 2)(jc +1)

©

f

dx 6 jc3 - 7 x 2 - 3 x

Solución Como

Q(x) = 6x3 - 7 a 2 -3x=x(2x-3){3x + \)

entonces a la integral dada

expresamos asi:

r dx r.yí B C ... I —“í--------------------------------------------------------------------------------------------- ;-= I (-1--1-----J 6x -7 x - 3 x J x 2x-3 3x + l ahora calculamos las constantes A, B y C. 1 A B C —--- 1--------- h 6x - l x ~ - 3 x x 2 x - 3 3a + 1

A(2x -3)(3x +1) + Bx(3x +1) + Cx(2x -3 ) x ( 2 x - 3 ) ( 3 x + l)

igualando los numeradores se tiene: l = A(6x2 - l x - 3 ) + B{3x2 + x) + C(2a2 -3 a ); ordenando:

156

Eduardo Espinoza Ramos 1= (6A + 3B +2C)x2 + (-7 A + B - 3 C ) x - 3 A por identidad de polinomios se tiene: 6A + 3B +2C ~ 0 • - 1 A +B - 3 C = 0 -3 A = 1

Resolviendo el sistema se tiene: 1 4 ^ 9 A = — , B =— , C = — 3 33 11

Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1): 1 jr ^ + A i r 2 dx f 3 dx +— 1 7x2 -3 x ~ 3 J' x 33 j' 2 x -3 11J13x+l dx

= — ln|3x + l |+ — l n |2 x - 3 |- - l n |x |+ c 11 33 3 (7 ) ^

f xdx 1 x 4 - 3 x 2 +2 Solución Como:

Q(x) = x 4 - 3 x 2 + 2 - ( x 2 -2 )(x 2 -1) = (x + -\/2)(x--\/2)(x + l)(x -l)

Entonces a la integral dada escribiremos así: r x dx r A B C , ---)dx I ~A------ T---- —I C------- h--------—I----------------------- 1-— x —3x~ + 2 J (x + ^Jl) ( x - ' J l ) (x + 1) (*-1) ahora calculamos las constantes A, B y C. x x 4 - 3 x 2 +2

A (x-^2)

B C D (x + -\/2) (x + 1) (x —1)

x A(.r+V2)(x2 -l)+B(x-42)(x2-l)+C(x2 -2)(x+\)+D(x2 -2)(x-l) x 4 -3 x 2 +2~ ( x + j2 )(x S )(x + l)(x -l) igualando los numeradores se tiene: x = A(x + s¡2)(x2 -1)+ B(x ~y/2)(x2 -1) + C(x2 - 2)(x +1) + D (x2 - 2)(x -1)

1S7

integral indefinida + V2a2 -x-*s¡2) + B(x* -*Jlx2 - x + 'j2)+C(xl + x 2 - 2 v - 2 ) + + /)( v' - a '

2 \+ 2 )

x —1.4 B + C + D)x3 + ( J l A -T¡2B +C - D ) x 2 + ( - A - B - 2 C - 2 D ) x - y f l A - ^ B - 2 C +2 n Por identidad de polinomios se tiene: A+ + 4-^JÍ b +C - D - 0 ahora resolviendo el sistema se tiene que - A - t í - 2 C - 2 D =\

A = B = - . (' = /> = - *> ?

-42A +sÍ2B -2C + 2D = 0 Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1): f v dx — 1 r f ~dx i 1r ~dx i ir clx + f ’ v4 -3.v2 +2 2 J u + , / 2 ) J'(-V-V2) J>( v + l) J

dx ,

= —[ln|or-V2 | + ln |4 f+ V 2 |-In |A '-l|-ln |.v + l|] + f = - I n |^ — -|+ < 2 2 .v —1 /^ s ^

r (2.v2 + !)(/* J (a + 1)2(jc- 3 ) Solución A la integral dada expresemos en la forma: r (2a2 +\)dx r A B C VJ I ------- ^--------—|C---- “ +------- ^ + ----~)dx J U + D U -3 ) J x + 1 (.v + l)2 x - 3

ahora calculando las constantes A, B y C. (2*2 +1) (,v + l)2(,v-3)

A B C H----------- — 4x + ] (x + 1)2 x -3

A(x+ l)(jf - 3 ) + 2?(.r -3 ) + C(x +1)2 ( v + l)2( í- 3 )

...(1 )

158

Eduardo Espinoza Ramos iigualando los numeradores se tiene: •> 2a" +1 = A(x~ - 2 j c - 3 ) + Z?(r-3) + C(jr~ -*-2jc + I) ordenando 2x ~ +1 = (.4 + C)x2 + {-2 A + B + 2C)x—3A - 3 B-rC polinomios se tiene: . A +C = 2 \-2A + B+2C^to

|- 3 .4 -3 £ + C = - l

ahora

por

identidad

resolviendo el sistema se tiene que: 13 3 13 A =— , C =— 16 4 16

Luego reemplazando los valores de A. B y C en (1): r (2.v‘ + l)dr 1 U + l); (.t-3 )

13 f dx léJjc^-l r

3| í dX 4 J1(jt+I)2 ->

\ 3 r dx 16J r —3 | ^

= — ln |x + l| + — ---- ln |r -3 |+ r 16

(x -3.1+4» W

4{_r-t-2)

16

ax

J U - l ) U + l) Solucióa A la integral dada expresemos en la forma: r —Sar+4) c A B C D I ------- ^------- dx= I {------+ --------- + ------- - - ---- (t-1 )'(jt+ 1 ) j V + l » x - l f j - l ) 2 ijr-U5 J+I

Aj r - tK (r+l)+g|_r-l]K r +1)+ C(.r +1) + ¿»(r-1)1 f r - l l 'U + n

de

159

Integral Indefinida igualando los numeradores se tiene: a 1 —3 a + 4 = A (x ‘ - a 2 —a +1) + B(x~ -1) + C(a + 1) + D(a3 - 3 a 2 + 3a-1)

x ' - 3 x + 4 = (A+D)xi +(-A +B - 3 D ) x 2 +(-A +C +3D)x + A - B + C ~ D por la identidad de polinomios se tiene: A + D= 1

ahora resolviendo el sistema se tiene que:

—A 4- d —j D = U

- A + C + 37) = -3 .4 -fl + C -Z ) = 4

A = - , B = - - s C = 1. D = - ~ 4 2 4

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1): r (v

*- 3 - í + 4 )í¿c

1 (jc+ 1)2(jc—3)

7 ir

dx

1i r dx í * til 2 J’ (* -l> 2 >^ (jc- 1 ) 3

4 J ljc-1

3 ir dx 4J 1 JC+ 1

7 1 1 3 = —l n |j r - l | + ----------------------- — —ln| jc + l l + r 4 2(x-l) 2(x-l) 4

©

x3 + * 2 - 2 a - 3 . ------i-------- T dx 1

( jc + 1) (jc- 2 )

Solución A la integral dada expresaremos asi: r a 3 + a 2 —2a —3 , r^ t O. , ------- —— ~ r dx = (— r + ------- ~ +— ^ + -------- r>rfjf J (jc + 1)'(jc-2)J x + \ (jc + 1)x-2 (jc-2)-

ahora calculando las constantes A, B, C y D. x 3 + x 2 -2x-3

(jc + l)2(jc—2)2

A

B

C

D

■+ ------- —+ ------+ Jc+1 (x + l)2 x - 2 (x - 2 )2

_ A(x + l)(x —2)~ + B(x - 2 ) 2 + C(x - 2)(r + 1)2 + /)(x + l)2

(.t + l)2( .t- 2 ) 2

160

Eduardo Espinoza Ramos ahora igualando los numeradores se tiene: x 3 + x 2 —2x —3 = A(x+)(x—2)2 + B(x—2)2 + C(x-2)(x + l)2 +D(x + 1)2 x3 +x2 - 2 x - 3 = (A+C)x* +(-2A+B+D)x2 +(~4A-3C+2D)x+4A+4B-2C+D por la identidad de polinomios se tiene: A +C = 1 _, _ _ , -3A + B+D = 1 - 4 B - 3 C +2D = -2 4/1 + 4A —2C + D = -3

ahora resolviendo el sistema se tiene que: M 5 1 32 5 A = ~ — , B =— , C = — . / ) = ?7 9 27 9

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1): r x3+x2 -2 x -3 5 r dx I r dx , 32 r r/x + 5 r dx J (x + l)2( x - 2 ) 2 V _ _ 27J x+T_ 9 J (x + 1)2 + 27 J7 ^ 2 +9 J (jt-2 )2 5 . . 1 32 5 = ----- ln x+1 + ---- + — ln x - 2 + ---------------- +c 21 9(x + l) 27 9 (x-2) /T \

^

f

( x 2 + 2)d x

J (x + 1)3(x -2 ) Solución A la integral dada expresemos así: r (x (x2 + 2)í/x 2 )dx c A B ------- ---------= (— + -------- r + J (x + 1) (x -2 ) j x + 1 ( x + 1)2

C (x

D + 1)3x

... (1) - 2

ahora calculando las constantes A, B, C y D. (x +2)

/í

( x + l ) 3( x - 2 )

x+1

5

C

( x + 1)2

( x + 1)3

D

+ -------- :r + -------- r + x - 2

A (x +1)2( x - 2) + f l ( x +1 ) ( x

-

2) + C(x - 2) + D(x+1)’

(x + 1)3(x -2 )

161

Integral Indefinida igualando los numeradores se tiene: X2 + 2 = A(x* - 3 x - 2 ) + B{x2 - x - 2 ) + C(x~2) + D(x3 + 3x2 +3x + l) x~ +2 = (A + D)x} +(B +3D)x2 +( - 2 A - B +3 D ) x - 2 A - 2 B - 2 C + D A +D = 0 B + 3D = \ - 3 A - B + 3D = 0 - 2 A - 2 B - 2 C +D = 2

ahora resolviendo el sistema se tiene que : 2 1 2 A = — , B = - . C = -1. D = ~ 9 3 9

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en ( 1): r (x +2 )dx _ ' (x + l)3(x -2 ) ~

2 ir dx 1« r dx 9J 1 x + 1 3 J (x+1)“

9

dx + 2 ir dx J1(x + l)3 9 J' x - 2 1r

ln |x + l | ---- í— +--- !——+—In | „v- 21+f 3(x + l) 2(x + 2) 9

2, x -2 (2 x '+ 5 x -5 ) - l n | ---- - | ------------------ - + c 9 x+1 6(x+l)(x + 2)2

©

í

4x +6 v1 + 3x Solución

Como Q(x) = x 3 -i- 3x = r(x2 + 3) entonces a la integral dada expresemos en la fonna: r4 x 2 + 6 , { .A Bx+C —------dx= (— + —;-------------------------------------------------------------------- Wx...(1 ) J x + 3x J A' X 2 + 3 ahora calculamos las constantes A, B y C. 4v2 +6 _A__^ Bx+C v3 +3x x x 2 +3

A(x2 +3) +Bx2 +Cx x(x- +3)


162

igualando numeradores se tiene:

4x 2 + 6 = (A + B)x2 + Cx+3 A

Por identidad de polinomios se liene: ^ +S 4 C=0 3/í = 6

ahora resolviendo el sistema se tiene que: A= 2, ¿? = 2, C - 0

Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1): f + ^rfr = í —dx+ f ~A r/v = 21n|x| + ln| v2 +3|+r = lnx 2(x 2 + 3) + < J v - + 3x x J a +3 no

f y ,+ 3 v ~ 2x+1 fa J i +5.t +4 Solución Como

•1 *7 *) *) Q( v) = i + 5 f + 4 = (x” + 4 )(,v +1)

entonces

a

la

integral

dada

expresaremos en la forma: f a-3 +3. v ’ -2.V + 1

JJ —r 4 + 5g r”^+4„

C,Ax+B

Cx-rD

... (1)

)dx JJ x +1T*~~> x~+4T

ahora calculamos las constantes A%B, C y D. x' + 3x2 -2 v + l a-“ + 5 , v - + 4

A\ + B ^ Cx + D _ $Ax + B)(x2 +4) + {Cx + D)[x2 +1) ,t-+1

x~ + 4

(a*+1)(a-2 + 4 )

igualando numeradores se tiene: x ' + 3 x 2 - 2 x + l = A{x* + 4x) + B(x 2 +4) + C(x3 +x) + D{x2 +1)

r ’ + 3v2 - 2 x + l = (A + Cíx* +(B+D)x2 +{4A+C)x +4B + D por identidad de polinomios se tiene:

Integral Indefinida A +C = 1 B + D= 3 4A + C = -2 4B + D = 1

163

ahora resolviendo el sistema se tiene que; 2

11

A = - l B = — , C = 2, D = — 3 3

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1). r .v3 + 3 r2 -2 x + l x 4 +5x2 +4

2 cc dx ^ c l2xdx x d x ^ W11cf dx c 3 J a:2 ^ 1 J j r + 4 3 J x2 + 4

f xdx x 2 +1

1. , ? . 2 » - i 11 x = — ln |x ' +1| — arctgx + ln|x~ + 4 | + — arctg—+ c 2 3 6, "2 (x -2x*" + 3x -4 )

© i ( x - l ) 2(x2 + 2x + 2) dx Solución A la integral dada expresaremos en la forma: f (* -2 x - +& r-4) ^ J l(xx — - h1) 2(x2 2> (x- ++ 2x + 2)

, _A _ J X —1

+

B

Cx+D

(x -1 )3

x 2 +2.V+2

)dx

...d )

ahora calculamos las constantes A, B, C y D. x

3 - 2

x

2 +3x - 4

( x - l) - ( x 2 +2x + 2)

A B Cx + D + -------- —+ ■ x - l ' <.r—1)2 ' x 2 + 2x+2 A(x -1 )(x 2 + 2x + 2) + B(x 2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x -1 )2 ( x - l ) 2(x2 + 2x + 2)

igualando numeradores se tiene: x3 -2 x 2 + 3x-4 = /í(x3 -Ky2 -2) +B(x2 + 2x+2)+C(x3 - 2 y2 +x) + D(x1 -2 x + l) = (A + C)x*+(A + B - 2 C + D)x2 + (2B + C - 2 D ) x - 2 A +2B+D por identidad de polinomios se tiene:

164

Eduardo Espinoza Ramos A +C = 1 , n A + B - 2 C + D =-1 2B +C - 2 D = 3 -2A + 2B +D = ^ l

ahora resolviendo el sistema se tiene que: M 18 2 7 44 A= — . B =---- . C = — , D = -----25 5 25 25

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1). r (x3 -2.v2 +3jc-4) ^ _ 18 r xdx _ 2 r M x - l ) 2(x2 +2x +2) 2 5 jx -1 5 J

dx + 1 r 7 x -4 4 ^ —1)2 25 J x 2 + 2 r + 2

18, , ,, 2 7 f 2x + 2 . 54 f — In i - l + -------- + — —----------- dx------—------------255(jc—1) 50 J x 2 +2x+2 2 5 J x 2 +2 a + 2

dx

18 2 7 -> _ . 54 = — ln |.v - l| + - ---- - + — ln|.v- + 2 .r + 2 |- —-arctgCv + D + f 25 5(.v-l) 50 25

5)

x 2 + 3x + 5 . ---- dx J X' + 8 Solución Como

Q(x) = x 3 +8 = (x + 2)(x2 -2 x + 4) entonces a la integral dada escribiremos

en la forma: f x 2 +3x + 5 , f , A Bx +C ----- ------- d x = \ ( ----- - + - r - — — )dx J x 3 +8 J x + 2 x -2 x + 4 ahora calculamos las constantes A, B, C. x 2 +3x + 5 _ A x 3 +8 x +2

Bx + C

_ M x 2 -2 x + 4) + (¿?x + C)(x + 2)

x 2 -2 x + 4

(x + 2)(x2 -2 x + 4)

igualando los numeradores se tiene: x 2 +3x + 5 ~ A ( x 2 -2 x + 4 ) + £(x2 + 2x) + C(x + 2) = (A + B)x2 +(~2A + 2B + C)x +4A + 2C

yív ...(1 )

165

Integral Indefinida por identidad de polinomios se tiene: A +B = l —2A + 2B + C —3 4v4 + 2C = 5

ahora resolviendo el sistema se tiene que: l 3 A = -, C=2 4 4

Luego reemplazando, los valores de A, B y C en (1).

Í

1I rr dx dx +I 1r f 3x 3x+ 8 dx 1 ~ 4 J jt + 2 + 4 J x2 -2 x + 4

xr2++3 3 xx ++55 .

x 3 +8

= - [ [ —

4 J x+2

+ - [

7 ~

2

2 J x -2 x + 4

d v - h l l f ----------^

-------- ] + £

■* (x-1) +3

= —[ ln |x + 2 |+ —ln |x 2 - 2x + 4 1+ -^Larctg('Y )]+c 4 2 V3 V3 X3 + X-1 ,

dx Solución

a la integral dada expresaremos en la forma: * rx 3 + x - l . rrAx+B Cx+D __ — -------rf* = [— ----- + — ------ t ¥ x J (x + 2) J x2 + 2 (x + 2)

—ü)

ahora calculamos las constantes A, B, C y D. x 3 + x - l _ Ax+B

Cx+D _ (Ax+ B)(9x2 +2) + Cx + D

(x2 + 2)2 “ x 2 +2 + (x2 +2)2 ~

(x2 + 2)2

igualando los numeradores se tiene: x 3 +x —1 =(Ax+ B)(x2 +2) +Cx + D =A(x3 + 2x) + Z?(x2 + 2) + Cx+D por identidad de polinomios se tiene:

166

Eduardo Espinoza Ramos A =l B =O 2A +C = 1 2fl + D = - l

ahora resolviendo el sistema se tiene que: A = l B = 0. C = —1, D = - 1

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1). f r ’ + jt- l ,

J■’ (x~+2) / ’ ztí

r xdx

r

x+1

—■ J 'x"+2 t r —JJ 7(x 2+ 2 )' 1, . 7 , , 1 f dx = —ln |x ' + 2 1+---- ---------—--- ----- 2 2(x +2) J (x +2)

Calculando la integral

x = 'j2 tg 6

r

V2

<ír

J (x2 + 2)2

í — —J (x +2) 6 = arctg(-¡=) V2 dx = ^ 2 see2 6 d 6

tg0 42

secf? =

... (2)

^

=>

-\/2 see6 = 4 x 2 + 2

r V? see2 J

4sec4 0

2scc2 6 - x 2 +2

-—2^. f1C cos2 U.> QdO V U\j -—^ [1 4 j 4 j

= — f (1 + eos 26)d6 = — (6 +^ - ) = — ( 6 + sen 6 eos 6) 8 J 8 2 8 . x . V2x . — (arclg(- j= | + - Treemplazando (3) en (2).

— (J)

Integral Indefinida

©

í

167

dx Solución

A la integral dada expresaremos en la forma: dx

j

A

tíx+C

Dx+E

X

x-+\

(x2 + l)2

ji ---*■-- 7---- + --- 7----- 7]dx

-(I)

Ahora calculamos las constantes A.BX'.D y E A ^ B x + C ^ Dx+E _ A(x2 +\)2 +(Bx+C)x(x2 + \)+(Dx+E)x

igualando los numeradores se tiene: 1 = A(x4 +2x2 +1 ) + B ( x a + x 2)+C (x3 +

x

)

+ Dx2 +Ex

1 ={A + B)x4 +Cxi +(2 A + B + D)x2 +(C+E)x + A Luego por identidad de polinomios se tiene: ¡A + B = 0 C =0 2A + B + D = 0 C +E =0 A= 1

ahora resolviendo el sistema se tiene que: A= 1, f? = - l , C = 0. D = - 1, E = 0

Por lo tanto reemplazamos los valores de A, B, C, D y E en (1).

168

©

Eduardo Espinoza Ramos 2x + 3x^ + jc-1 . ---------T dx j (x + l)(x~i----------+ 2x + 2)~ Solución A la integral dada escribiremos en la forma: 2x + 3 x '+ x - l , fr A Bx+C Dx+E -------- ----------- - d x = [----- + —----------- + — ---------

ahora calculamos las constantes A, B, C, D y E. 2x3 +3x2 + x - l

A

Bx +C

Dx + E

(x+l)(x2 +2.X+2)1 ~ -v+ 1 x 2 +2x+2

(x2 +2x + 2)2

_ AQr + 2x + 2)2 + (gx+C)(x + l)(x2 4-2x+2)-t-(Dv + £)(x + i) (x + l)(x2 + 2x + 2)' igualando los numeradores se tiene: 2x3 + 3x2 + x - l = A(x2 + 2x + 2)2 + (¿?x+C)(x + l)(x2 + 2x + 2) + (Dx+£)(x + l) = A(x4 + 4x3 + 8x2 + 8.v + 4) + £(a 4 + 3x3 + 4x2 + 2x) + + C(x3 +3x2 + 4x+2) + £>(v2 + x ) + £ ( x + 1) 2x3 + 3x2 +x - \ = (A + B)x a + {4A +3B + C)xl +(8A+4B +3C+D)x2 + +{8/4 + 2B + 4 C + D + E)x + 4 A + 2C + E por identidad de polinomios se tiene: A + B =0 4A +3B + C = 2 %A + 4B + 3C + D = 3 8/J + 2B + 4C + D + E = 1 4A +2C + E = —1

ahora resolviendo el sistema se liene que: A = - 1, B = \, C - 3 , D = -2, £ = -3

#

1

Integrai Indefinida Luego reemplazando los valores de A, B, C, D y E en (1). 2x3+3x2 + x - l , ----------- T d x = Í----------

-1 x +3 2x + 3 [---- - + —---------- ----- --------------- T]dx x -1 x“ +2x + 2 (x"+2x+2)~

fr

(x + l)(x~ + 2x + 2)" r dx

f (x-t-1 )dx

r

J x + l

J x 2 + 2 x + 2

^

dx x

2 + 2

x

r + 2

m

(2x + 2)dx x

2 + 2

x

+ 2 )2

r m

dx x

2 + 2

x

+ 2 )2

- - l n | x + l | + —ln |x 2 + 2x + 2|+2arctg(x + l)+ —— -------2 x +2x + 2 - —arctiìfx +1 )-- — — +c 2 " 2(x + 2x + 2) = - ln |x -f 11+ —ln |x 2 + 2x + 2 |+ —arct£(x+l)-----— —+ e 2 2 2(x + 2x + 2) 1.6.11

EJERCICIOS PROPUESTOS,“ Calcular las siguientes integrales indefinidas.

©

i

2x2 + 4 1 x - 9 1 ■de (x —I)(x + 3)(x—4)

R p ta .

,

( í + 3>7

Rpta. —?= 1n 1——^ | + —^t= In | ——^ | + c 2-y¡3 x +j2 2J 3 x +J i

©

(2x + l)dx I? , 7v + 6

f 4x +4x- lfa + 6 ^ J x -3 x - x +3x

J r(r/ - x )

Rpta. —ln | — ----- |+í* 4 (r-1 ) (x + 3)

Rpta> 2 ln | jc | —3 ln | x +11+ ln | .r —11+41n | .v—3 1+c

1 Y Rpta. — - l n | —-----T \+c 2a~

a~ —x~


170

© ©

2.x1-1 dx

Rpta. ln(|jc|-v/jc2 - l ) + r

r 3 -a-

32 xdx (2 x -l)(4 jf -16*+ 15)

(5.r +2)dx

dx

Rpta. ln 12x- 1 1-61 n | 2jc - 3 1+5ln 12.v - 5 1+c

Rpta. 5x + ln|

x 1 - 5 r 2 +4.v

©

©

xdx

(v-1) 7 ,3

x 4 - 3x2 +2

x2-2 Rpta. ln- —---- +c* jc“ -1

(x + \)dx s x 1 + j r1 -6a*

,3/1« Rpta. ln| {x 2) — | +c jr (jc+3)

| +C

lfi

jr3 -1 dx 4x3 - x (3a*+ 5)

Rpta. —+ — ln | 4 i6 (2 * + ir(2 A '-ir dx

A' 3 - A ' 2 — A' + l

©

V r t r - 4)“ "

Rpta.

4 1 x +1 . -+ —In I----- 1+£■ x-\ 2 x-\

(3x-2)dx (* + 2)(* + l)(* -l)

Rpta.ln | * + 2 1+ —ln | x +11+ —ln | * - 1 1+c 3 2 6

(2x2 +3x-l)dx (a +3)(x + 2)(jc-1)

Rpta. 2 1n | x + 3 1

1n | a + 2 1+ -^ | x - 11+ e

(x~ - x + l)dx x 4 -5.V3 +5.v2 +5.V-6 Rpta. i - l n | j f - l | - - l n | x + l | + - l n | v - 3 |- l n |.r - 2 |+ c 4 8 8

IntegraI Indefinida

171

x A + 3x3 - 5 x 2 - 4 x + 17 ------------ dx 3 x + x - 55.V+3

X2 . 3 , , 2 T 1, Rpta. — +2x ----------- ln x + 2 x - 3 +c 2 x-\

f 5x2 -1 lx + 5 dx J x 3 -4.v2 + 5x -2

Rpta. ln (x -l)2(x -2 ) 3 ---- — + í x -1

x 2dx x~dx

f

+4

dx

r 2 x _ -2 x + l J 2x- - x dx

Rpta. —!—+1 n 12.v —11+i 3x

r dx J x 3 + 3x2

1 x+3 1 Rpta. —ln | -------\ - — +c 9 jc 3x

9

V ^

— V

(3* + 2)dx

í

x ( x + 1)3 C (,\-2 (A " + + Xx -\)d x

J.v 3- v 2 x + 1 X

+ 1 dx

4 x +3 x i Rpta. -------- - + ln(-------) +c 2(x + l) x +1

Rpta. - _ 1 — + A l n U - l |- ^ l n U + l |+ f 2(jc-1) 4 4

Rpta. ^ l n |—^----- |-^ a rc tg (^ ) +
©

i

©

í X + x +1 dx

A-3 + 4 .V

X3 +4x + l 4

Rpta.

©

_ ^ 1. . x - 2 . 1 , . x + 1, Rpta. —ln | ---- - | + —ln |---- -|+ c 3 x+2 6 x —1

1

i

ln | x 2 + x +11—J í arctg(-^=^-) + -j= arctg(^^_- ) + c

2x dx

J x 4 + x 2 +1 _ Rpta.

1 . x - —x +1. 12x+l —ln | —--------1+ —¡=arctg(—^ ) + -= arctg (— ^ - ) + c 2 x~ + x +1 V3 V3 v3 V3

12 x - l

172

S>


J

-24.Y3 +3Qjf~ +52.V + 17

9x4 - 6 x 3 -1 Lv2 +4x + 4

dx

Rpta. - ln |( x + 2 ) 2' 3( . Y - l ) 2 1

®

r (x2 - 3 x - 7 ) d x

1 3(3jc+2)

Rpta. — + ln|A + l |--í-ln |2 x + 3|+c .v + 1 2

J (2x + 3)(.r+ 1)2

dx

* - , X+1 - 1 1 Rpta. 2 In | ----- | ------------- +c X

í-T+ 1)

©

-+ c

x-l

jx(x2 +2jc+1) dx x 2 - 3 x +2

X

X +1

Rpta. ln | —— | + —— + c x +1 x +1 Rpta. 4 1 n | A ' | - 3 1 n | x - l | ---------+ c x —1

í r

í

x ~dx x 3 + 5-Y2 + 8*+ 4 dx

„

x 2dx (x+2)2(.v+ 4)2

dx

( x - 2 ) 3 (x - 5 )

( x - l ) í . r 1 - 4 x 2 +3.r)

5A' +ÓV- + 9

J U - 3 ) 2(j

+ ln | x +11+r

+ 1):

, , , x +4, x-2

R p t a. 2 ln|- - |

[x~ - 2 x + 3)dx

í

x+2

1 i—1 ln , ,| -------|+í JC -l, Rpta. — x 2 x +1

j t * - 6 - v 2 + 9x + 7

í

Rpta.

dx

Rpta.

3

5x+12 — - + <• jc-+ 6a+ 8

—+ ln|.v-5|+t-

2(.v-2)

1 J ( x - l)(* -2 ) Rpta. ----- -hln | —---------------- 1+c x -l |a |

9 1 1 1 Rpta. - - ( ---- -------------r) + í 2 jc- 3 2 v + l

173

Integra! Indefinida

@

©

(x2 —8*+ 7)

dx

(x 1 —3x—10)2 x 4- x 3-x -1 dx x3- x 2 (x -3 )dx

8

49(x-5)

27 30 , , x - 5 , + ---- In | ------ 1+r 49(x + 2) 343 x +2

Rpta. — - - + 2 1 n | — |+c 2 x x -1 _ . 1, , x + 1 . 4 Rpta. —ln |—— | ——---- - + <• 9 x-2 3 (x -l)

(x + l)-(x -2 ) (2x + 3)dx

„ * — 1,l n. -----------------x-l, 5 Rpta. +c 9 x+2 3 (x -l)

(x + 2 )(x -l)2

©

Rpta.

x 3 -3 x + 4 —dx (x + l) ( x - l) ’ 1 Rpta. ——ln |x + l|+ —l n |x - l | + ---------------------- +c 4 4 2(x +1) 2(x + l)

©

x 3 - 6 x 2 +1 lx —5 dx (x -2 )'

1 jc + j r

1 X Rpta. — hln | ----- l+c x x +1

x 3 - 2 x 2 +4 dx x 3( x - 2 ) 2

1 ,ln ♦| ---* - |. —1 (1 + — ). - —---1 — +c Rpta. — 4 x-2 x 2x 2 (x-2)

X" +X-1

©

©

Rpta. ----- — —-------- — r + ln (x -2 ) + c 2(x - 2) 3 (x -2 )

x +1

dx

x 3 - 2x2 +3x

ln| v| ln |x 2 -2 x + 3| 2 w x - l Rpta. — — ----- -------------- ' + —arctg(----- ) +c P 3 6 3 2

dx (x2 —4x + 3)(x2 + 4x + 5) 1 1 1 i 7 Rpta. — l n | x - 3 | - — l n |x - l |+ — ln(x2 + 4x + 5)+ — arctg(x + 2) + c

174

©

Eduardo Espinoza Ram os. x~ + .V-2 x 4 +5x2 +4

■dx

(2x2 -3x~3)dx (x -l)(x 2 -2 x + 5)

©

©

1 .

. X

+1 .

X

Rpta. —Ln | —^---- 1-arclgx + arctg—+c 6 x“ + 4 2

Rpta. —1n(jc2 - 2x + 5) - ln(x-1) + —arctg(-—-) + < 2 2

x sdx ( x - +4)

R p ta .-------- --------41 n|x2 +4|+c? 2 x - +4

4x2 +6 dx x 3 +3x

Rpta. ln(x2(x2 +3))+r

x2

dx (x2 + 2x + 5)3

K

„ . 2(* + l) 3
dx , 4 +x 2 +1) i »1 x(x ■> ,, 5-J3 -\¡3 _ ■> 1 -x 2 Rpta. l n |x |——ln|jc4 +x¿ +11 (2x~ ' +■^^-arctg(— — arctgí— (2 .V - +1)) + , +c *8 3 6(x + x~+l)

(x 2 + l ) 2

3r2 Rpta. 31n|x2 + l | ----^— +c x- +1

x 3 +2x2 +5x + 8 x(x2 +4)2

1 x 9 x v Rpta. —ln |—-ij-— |+ — arctg - + ---- f -----+c 4 x +4 16 2 8(x +4)

dx x(x3 +1)2

Rpta. l n | x | - - l n | x 3 + 1 |+ ---- j ---- +c

6x3dx

©

dx 4

1

1

X +JC" +1

3 (.v

RPta-

2

.2x2 +1 arctg( ■—j= ) + c

+

1)

175

Integral Indefinida g

r 3x4 - 4 x 3 + 7x2 -3 x + l l . A ■* (x ' + X + 1)(X - A - - x - 2 )

Rpta. l n |x - 2 | + ln |x 2 + x + l | - — -------- - 7 = arctg(—~ ) +c 3(x + r+1) 3V3 V3 i 3 +x2 + t + ^ ----\ dx x

+3x

Rpta. arctii.v + -

+2

2

©

f , X d\ ----

W

J x

®

r x 4 +8x3 - x 2 +2x + l , ------ -------- --------- dx } (x + x)(x +1)

-1 0 a

1

Rpta. — ln |^ — ^ |+ i

+9

24

.v 3 - 1

„ ..,x 3 —x~ +x , 3 22 x - l Rpta. In | ---------- — | ------ + arctg{—p^ ) +c (x +1) Jf + 1 V3 V3

r (x7 + x 3)dx ® +1 > 7 r^ 7 Rpta. —ln |x 4 —1| ——ln |x K+ x 4 —1 |---- ^ = ln |-2jC* + 1 ^ | +c 2 4 2 ^ /5 2 xU l+ S ©

64)

Jx f

Rpta. -l(x 3 - l n |x 3 - l |) + f -1

3

» U j’ - h +U

&

■* (x‘ + 5)(x~ +2x + 3) Rpta. In4x~ +2x + 3 + -^L arctgi^^-)-a/5 arctg(—)=) +< V2

65)

^

f V

J (x

f

+

A—i r f x

+2)

(4x 2

-s/2

V5

R p ta .—- 7—-------- ln-\/x2 + 4 (v

- 8 x )

---------— ----- rfv (x — 1) (x +1)

+2)

2

----- arctii(— 4^2

+<■ \Í2

3x2 - 1 . (x -1 )2 Rpta. ----------- ----- +1 n(— ----- ) + arctg x + 1 (x -l)(x 2 +l) X + 1

176

Eduardo Espinoza Ramos .

67) ^

r dx — -------- ;--------j (x2- x ) ( x 2 - x + l)2

(68) w

f - + ^*_+ ^ (/jcRpta. i l n |x + 11+—ln | x 2 + 11+—arctgx + c J (x + I)(.v2 +l) 2 4

69)

10 ,2 x - l. 2x-l Rpta. ln(----- ) -----arctg(—¡=^)--------- ---------- +c X 3^3^3 3(JC-- x +1)

2

J £ Í± * ¡l^ £ il* x4 + 5x2 +4 11 v i 9 Rpta. ln |A'2 + 4 |+ —-a rc ig y -y ln U '2 +1 |--ja re tg x + c

70)

f - :rl 2iLt L J (ívj t_- nl )2-íy( j r +4) 4 , , 2 2 _ _ -> R p t a . ----------ln b e - i ----------------------+ — ln x~ + 4 H 25 5ÍJC-1) 25 x

S>

2 + 2 x -1

19 arete a 50 b

+ —

+

c

.

í —x 3i---------dx -2 7 Rpta. - ^ l n | x - 3 | + ^ l n | x 2 +3.v+9|+ —^ = arctg (-^ ^ ) + c 27 54 3V27 V27

®

f dx Í77T

f

t

1 , (x + 1)2 1,2 x - l Rp,a- 6 ln<7 - ^ » ^ « re« - x » +‘

e

*

dí

R pte.

j^ - 1

J (x -l)(x 2 - 2 x + 5)

@

f

(x 4 +1)

,

— ---- --------- dx J x -x'+ x-l

|x - 1 |

_

(x + l)2

,

2

IJC — 1 1

2

Rpta. --------- + ln -- arctg v + c 2 sjx2 +1

Rpta. i - l n | l ~ a r c t g x + c

177

Integral Indefinida

f

dx e (x~ + l)(x" +JC)

Rpta. —ln( ) - —arctgx + c 4 (x + l)“(-í2 + 1) 2

í

2x2 - x + 2 dx x 5 +2x3 + jc

x1 1 Rpta. ln(—-----) — arctgjc + c

jr3 + jr-l

X “ +1

dx

Rpta. ln a/x2 +1

@

i

©

j x(4 + x dx2)(l+ x 2)

(Xa + 1)2

2

2

arctcx------ ^---- + c 2(j»r+l)

Rpta. — ln x ——ln(x2 +1) +——ln(x2 +4) ■+c 16 18 288 24(x2 +4) (5x 2 -12) (x2 - 6* + 13)2

dx

(JC+ l)' dx (x 2 + 2x + 2)3

©

j x 4 +1

Rpta. —arctg(x +1) o

4^2

dx (x +l)(x + 8 ) r 4x3 +8x2 -12 , -------i ------ 5— d x J (x + 4)

1

13jc -159 53 ,x-3 + — arctg(------ ) + c 8(t2 - 6 a +13) 16 5x3 +15x2 +18x + 8 ■+ c 8 (x

+ 2 jc + 2 ) _

1 x 2 +X-J2 + 1 V2 Jlx Rpta. — ^ I n —------------------------------ 7=— + --- arctg(--)+ c

dx

(-v4 +1) dx (x 2 +4 )'1

Rpta.

x -x^Í2+l

4

l+x2'

Rpta. i-[8 1 n |x 3 + 8 |- l n |x 3 + l|] + c

, •>

, . 5

16 —11jc

Rpta. 21n|A'^ + 4| + —arcíg(—) + +c 4 .2 2(x 2 +4) 51 x 11x Rpta. ^ârctg(—) 256 2 128(x2 +4)

17x ■ +c 16(x2 + 2 )2

Eduardo Espinoza Ramos -

178

©

í

2x dx (l + x)(l+ x2)2

x 1 + 2x+3 I x3 - x dx l + 2 x -x 2

I (l + x)2(l + x 2) dx

©

hx

Rpta.

!-----—ln |x + l | + —ln |l + x 2 |+c 2(x +1) 2 4

Rpta. ln

(x + l)+ c

* i . i 1 + arctgx+c* Rpta. ln| ,1+ * = |+ ----«

■ Jl + 7 2

l+x

^ t . x +1 , 1 Rpta. ln | ----- 1— + c*

+ x‘

X

X

x 3 +2 dx x 3(x3 +8) _ 1 3, , 3, , ? ^ '>/3 x +1 Rpta. - — r + — ln | x + 2 1 ln | x" + 2x + 4 1+— arctg—j=- + c 8x~ 16 32 16 v3 (2x -4)rfx

©

í

(x2 +l)(x + l)2

Rpta. ------+ ln | x2 + 11-arctgx + c x +1

J

4x2 +2x + 8 dx x 5 + 4x3 + 4x

X -J2x 4i, Rpta. ln(—— -) + — [arctg-= + —— -] + c x~ +2 8 V2 x~ + 2

dx

í

x(x2 +l)^(x4 + 1)2

Rpta. l n |x |- - ^ l n |x <1+ l | - | l n | x 2 + l |- |a r c t g x 2 + - 1 -*— ■ ----- +c 16 8 8 8(x +l)(x +1) 3 dx x(x8 +2x4 +2)2 +c Rpta. —ln | x | —^ - ln |x K+ 2x4 + 2 |—ârctg(x4 +1)------lóíx8 +2x4 +2)

179

Integral Indefinida

Rpta. —ln|jr4 -l|-In|jr|+c 4

(%) w

í— ~ J x(x4 -1)

®

dx ■f,vU3 -I)(.Y6 +4) Rpta. — ln |x 6 +1 | - l n | x | + —Ln| x1 - 1 1 a rc tü 'C y 3 ) + í* 12 6 6 "

¡

e lxdx e " +4ex —5

Rpta. —In| ex - 1 | - — ln |t2v +e* + 5 |+ ^ ^ a r c t g ( — Qe* + l))+ c 7 14 133 19 99J

f^ - 1 J

^

x 2-2 x-8

Rpta.

10üJ

4

+ .y7 + 8\' + ^ l n | x - 4 1

ln | x + 2 1+c

I d2 j r f dx X +x~+\

í

1, .Y2 - . Y + l , 1 2,y+ 1 1 2.V-1 + — arctg — ¡=- + c Rpta. —ln| —-------- 1+ -j= arctg — 2 x~ + .Í + 1 v3 v3 v3 v3

„ . — 1 ,ln|, v■'>+.Y+ ,, r 2x + ] + —4¡=arctg(— 2.Y-1 Rpta. 11 —v/3 arctg—==— )+ < 2 V3 V3 V3

1021

f

—

dx

-

J v^ + v 6

^ 1 1 1 R p ta .------- - + — ------- arctg x +c 5ys

3y3

-y

180

103

Eduardo Espinoza Ramos ,

f ______

É L ______

J (A '2 ~ X ) ( X 2 - J f + 1 )2

, ,.v--l, 10 2x-l 2 x -l Rpta. ln | ----- 1---- 7=arctg— — — — — —— +t x WI -Ü 30r3 -jr + l) ©

105

106

107

© 109

f f ' f ,t (sen x +1) dx

Rpta. l n |s e n x |- —ln|sen7 x+11 + -------\------- + c 7 7(sen x + 1) Rpta. l n |x |—- l n |x 9 + l| + ----- ------ 1------- 7---- —+ t

I x(x* + 1)3

9

dx

I x l2(xn

Rpta.

+1)

5 x -8

j a 3 +4 a2 + 4 y dx

9( a +1)

- p j - l n | a 11 + 1 |

1 1a

18(x +1)

11 ln |x |+ c

Rpta. 21n—— ---- í— Kx x-2 x 1 , , (x + 1)- . 2 2 x -l Rpta. --------— + —ln —-------- + —Fârctg— +c v 3(1 + Y2) 9 V - x + 1 3^/3 ^3

íJ -( l ^+ Ah3 )-2 5x~ -1-12x+l J jc3 +3x2 -4 dx

Rpta. ln[(.x-1 )2( x + 2 ) 3 ]

- —

x +2

+ <•

-2)dx x(x~ - 4 a + 5)' x -4

Rpta.

10(x2 - 4 a +5)

© 112

1 , , x -4 a +5 . 3 +— lnj | - — arctg(x-2)+c 25

r 6x —18x , , --------------------— — dx J (x - \)(x - 4 )

Rpta. 21n|x2-l|+ln|x2-4|+í*

r

_ 1 , x-\ , 1 2x +1 1 Rpta. T ln 1 -^ = = = = = | +—= arctg—= - + - + <■ 3 V x '+ x + l v3 V3 x

dx

JJ ~x - x

2

181

Integral Indefinida p X2 + x - 1 0

©

J1(2x -3 )(x

©

p

7

+ 4)

1 x +4 x Rpta. —In | --------|+arcUs—+ cF 2 f 2 x -3 w2

. dx

x dx

_ „ 1, . 2x2 —1 —v/5 . Rpta* T2 l n |T ^ -1 “ ' ¡— 2x~ + -\/5/ r ,+c

J1X4 - x 2 -1i ©

©

J1 A

©

r a 2 - 2a + 3 J 7 7 «X 1 ( a - 1 ) ( a + 4)

J

©

J (a

(2* 3 - 4) 2 + 1 )(a + 1 )2

¿A

i

©

’

-1

a -9jr~ + 16a + 4 dx x3 - 3x2 + x + 5

117

1120

f ¿2aX ++ 3a JA + a -1 dx j (x ( a ++ 1 )()(aa 2 + 2 a + 2 )

123

(a- + 5)

f— J r 2( r 2

x (x ~ + 8)

dx

x 2 + 2x + 3

j

A3 -A

rx 2 -5 x + 9 J x2 - 5x + 6

dx

dx

1,6.12 METODO DE HERMITEÔSTROGRADSKI.- 1 Cálculo de la integral de la forma:

/ . . f Ax

1 i

1 ‘ :•;:❖:£?;r :j;:•*;:'¡ywasj i'i'h'i■'•'ivfv ’ n 1 ”7 í cmíf xx *>>>>&

donde x 2 + bx+c es una expresión cuadrática irreducible. Para el cálculo de estas integrales se debe escribir en la forma:

t .£*+x> ..'j--. * {x2 +bx+c)n (x2 +foe+¿)' • *¡w wsM m donde P(x) es un polinomio de grado < 2(n - l) = grado de (x2 +fox+c)w 1 y los coeficientes de P(x) así como C y D se hallan derivando ambos miembros y se aplica el método de los casos de 2.9. Además la integral del segundo miembro se calcula de acuerdo al caso 1ro. De 2.9. Ahora veremos el método de Hermite-Ostrogradski si en la función racional

P(x) ,1a Q M

función polinómica Q(x) se descompone en factores de multiplicidad, es decir:

182

Eduardo Espinoza Ramos Q(x) ~ ( x - a xf> ( x - a 7 f * +/>¡x + c,)ft (x2 + bsx+c¿)?’

Í ^P(x)- dx

se expresa en la forma siguiente:

... (a)

donde Qx(x) es el máximo común divisor de los polinomios Q(x) y de su derivada (?*(x) y £M *)=

* además f(x) y g(x) son polinomios con coeficientes Q iW indeterminados, cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Qx(x) y Q 2 ( x ) respectivamente. Los coeficientes indeterminados de los polinomios ffx) y g(x) .se calculan derivando la ecuación (a). Ejemplo.

©

Calcular las integrales siguientes:

dx (x + 1) (x~ + 1) Solución Como Q(x) = (x + l) 2 (x 2 + 1) 2

=> (?’(*) = 2(x + l)(x 2 + l)(3x2 + 2x + l)

además: Qx(x) = máximo común divisor de Q(x) y Q (x) es: Qx(x) = (x + l)(x 2 +1) ^ ^Q->(x) / v= —---Q M = -----------(* + l) 2 (* 2------+ 1)2 = (x , + l)(x~+l) 1W 7 1v ademas Ql(x) (x + l)(x 2 +l) Como:

f

f --------

J (x+l)~(x~ + 1)" dx

Q iW

Ax2 + Bx+C

^ Qi(x)

ff Dx2 +Ex+F dx

... (a)

183

Integral Indefinida derivando y agrupando la ecuación (a) se tiene:

(x + l)(xz + 1)

■= [Dx$ + (-A +D + E)x* + (-2B +D + E + F)x* +

+(A - B -3 C + D + E + F )x 2 +(2A-2C+E+F)x+B-C+F]+[(x+l)2(x2 +l)2] por identidad de polinomios se tiene: D =0 -A + D + E = 0 ^ r* r* /v -2Z? + Z>+ £ + F = 0 A - B - 3 C + D +E +F = 0 2A-2C+E + F = 0

resolviendo el sistema se tiene: A = - ~ , B = - , C = 0, D = 0, £ = - i , F = 4 4 4 4

B - C + F - \

ahora reemplazando estos valores en (a): x2 x , ----- + —+0 f ______* _____ = - . 4 4 J Cv+l)2(x2 +1)2 (x+l)(x2 +1)

x 3 0— +— + f ____ 4 . 4 3 (jc+1)(jc2 +1)

dx

1, x~ - x .1 f x -3 , = — (------------------------ -) — - ---------- ----- dx 4 (x + l)(x2 +l) 4 J (jr + l)(x2 +l)

1 x 2 ~x 4 (x + l)(x2 +l)

1 r-2dx

2—

i

4(x+1)(x 2 +1)

4

rlxdx

r dx 4 J x + 1J * 2 + l Jx 2+1

[-2 ln | x +11-+ln(x 2 +1) - arctgx] + c

x" - X l. . ,. 1, , 2 ,I 1 -+—ln |x + l| — ln |x +1| + —arctgx + e 4(x + l)(x2 +1) 2 4 4

/ Eduardo Espinozq Ramos

184

Solución Sea £>(x) = (x3 - l ) 2

=>

£)'(x) = 6x2(x3 -1)

Luego el máximo común divisor de Q(x) y Q'(x) es Q1(x), es decir: Qi (x) = mx:.cl. (Q(x), Q'{x)) = x 3 -1 además: Q2(x) =

Qi(x)

x3- l

... (a) derivando la ecuación se tiene: 1

(x3 -l)(2 ^ x + g )-(/4 x 2 +gx+C)3x2

Dx2 + Ex+F

(x3 - l ) 2

x 3 -1

(x3 - l ) 2 ~

eliminando denominadores se tiene: l = (x3 - \)(2Ax + B ) - 3 x 2(Ax2 + Bx+C) +(Dx2 + £ x + ir)(x3 -1) 1 = Dx5 + (-A + £ )x4 + (-2B + F)x3 + (-3C - D)x2 + (2 A - E )x- B - F por identidad de polinomios se tiene: D =0 -A + E = 0 - 2 B + F =0 -3 C -D =0 2 /4 -£ = 0

resolviendo el sistema se tiene: 2 3

Integral Indefinida

185

Ahora reemplazando estos valores en la ecuación (a)

Í

dx

_

(x 3 - l )2

dx dx

Í

—x

2 r dx

3(x 3 - l )

11 fr dx dx

^ * x 3 -l

11 fj* x + 2 — dx X2 + X+1

= ~ l n |x - l |“

ln |x 2 + x + l|- J = a r c tg ( ^ = ¿ )

...(2 )

reemplazando (2) en (1) se tiene: r dx -x 1, ,x 2 +x + l 2 ,2x + l x —r----- r- = — r — + ^ ln(-------- —pârctgí—7—) + c j (x3 - l ) 2 3(x -1) 9 (X-1)2 3/3 V3 dx (x2 + l)4 Solución Sea Q ( x ) = ( x 2 + l)4

=>

Q'(x) = 8x(x2 +1)3

Calculamos Qx(x) que es el máximo común divisor de Q(x) y Q’(x) es decir.

Q(x) (X2 +1)4

„2

Ql(x) = m£jd. (Q(x),Q'(x)) = (x2 +1)3ademásQ2(x) = * = v" , ' = x 2 +1 a ( x ) (x 2 + d 3 como

r

dx /(x ) r g(x) —;---------------------------- - = +f/x

J ( x 2 + 1 ) 4ñ W

f

J & W

dxAx5 + Bx*+Cx3 + Dx2 + Ex+F

rH x+ E ,

, v

—?---------------------------- T = --i-------i---+ \ —i------------------------------ dx...(a ) (x

+1)

(x2 + l)3

J x 2 +l

ahora derivamos la ecuación (a) y luego agrupamos término a término para poder aplicar la identidad de polinomios.

186

Eduardo Espinoza Ramos 1= Hx7 + (-A + G)x6 + (-25 + 3H)x5 + (5/l-3C+3G )x4 +(4B-4D+3H)x3 + +(3C-5E+3G)x2 + (2D -6F +H )x + E + G H =O -A+G =0 - 2 B +3H = 0 5A-3C+3G = 0 4 B -4D + 3H = 0 3C-5E +3G = 0 2D-6F+ H =0 E+G = O

resolviendo el sistema se tiene: yí = — , B = 0, C =—, D = 0 16 6 E =— , F = 0, G = — , / / = 0 16 16

Ahora reemplazamos estos valores en (a).

rfx J (x2 + l)4

_5_ s 5 , 11 16* + 6 * + 16* 5 f dx 15jc5 + 40x3 +33x 5 arctgx —------------------------- - ------1 +c ;----- 1--------— I —i (x2 + l)3 16 J x 2 +1 48(x2 + 1)3 16

Calcular las siguientes integrales indefinidas:

©

J

(x7 +2)dx (x2 +x +l)2

„ , x 2 ,2x+1 , 2 ,, * 2x x _ Rpta. —-------- +-=arctg(—=^)-21n(x + x+ l) + ------------ + — +2 jc+ c x +x + l V3 -\/3 4 3 2 (4x -8x)¿£t

©

©

J ( x - l ) 2(x2 +l) dx b

(x- +1)

r» *

3x2 - X

, (JC—1)J

Rpta. ---------------- + ln -i-arctgx + c (x -l)(x 2 +l) x 2 +l _ A 15x5 + 40x3 +33x 5 . Rpta. ------------- — ---- + — arctgx+c 48(1+ x 2)3 16

Integral Indefinida

187

I (x4 - l ) 2

©

|

x4 -2 x 2+2

dx

x -3 + 21n(x2 -2 x + 2) + arctg(x-l) + c x 2 -2 x + 2

dx

„ . 1 ... . x +1. 1 1 , , Rpta. —(2 ln | — — | ---- ---- ----) + c 3 x x x +1

j x 4(x3 + l)2

» - 6c1ini |----x “ ' 1-------. I2x2----—5x— Rpta. r—1 +c

+ X+1 dx x5 - 2 x 4 + x 3

©

J

©

J J

3 , . x -1 ln | ----- 1+c 16 x+1

(x2 -2 x + 2)2

Rpta. x

©

_ 3 x Rpta. —arctgx------ ----8 4(x -1)

dx

©

x6 + x 4 - 4 x 2 - 2 x 3(x2 + l)2 (x2 - l ) 2rir (x + l)(l+ x 2)3 dx x4(x3 + l)2

d

x

dx

2(x - x )

Rpta. ——^-+ lnVx2 + 1 +c x (x2 +1) 1 . x+1 I x -2 1 Rpta. - ( ----- — ) + - —— + -arctg x + c 2 (1 + x ) 4 x —1 4 2 x 3 +1. Rpta. —| 3 x3

1

1

3x3

3(x3 +1)

■+ c

dx

J (x2 +2x + 10)3 ^ 1 _ ,x + l 3(x + l) 18(x + l) _ Rpta. -----[arctg(------)+ —----------- + —-------------- - ] + c 648 3 x + 2x + 10 (x~+2x + 10)~

©

(x + 2)rfx

j (x2 +2x+2)3 3 x+1 x Rpta. —arctg(x + 1) + —.—;------------------------------------+ ---,------- r + c 8 8 x + 2x + 2 4(x + 2x + 2)

188

3)

Eduardo Espinoza Ramos j r - x 4 - 26x2 - 2 4 x - 2 5 dx f e(x2 + 4 x + 5 ) 2( x 2+ 4 )2

x 2x -f*5 1 y R p t a .------ ------------—:----------------- arctg^--arctg(v+2)-c 8(. y " + 4 )

2(x

+4

x

+ 5)

16

2

7N

14)

f 3x4 +4 . —— ------ - d x 3 x (x +1)

„ 57x4 +103x2 +32 57 R p t a .------------ ----- -------- —arctg x + c 8x(x +1) 8

^ 15;

f 5 -3 x + 6x2 +5x3 - x 4 . „ . 3 -7 x -2 x 2 , | x —11 —----- ------ ------ -------- dx Rpta. ----- --------------- + ln --------'- +c J v 5 - x 4 _ 2 x 3 + 2 x 2 + x -1 2(x - x - x + 1) (x + 1) 9dx

©

j 5x _ „

(3 -2 x

2*3 )

r x 4 5x2 3. [- t + — -

© W

f -Y —v ~- Rpta. —2 X J (x +2)

®

r (4x2 -8x)rfx J — — T -T - r ? J ( x - l ) '( x '+1)

1 ■

1 . ,V3 + x-v/2 . +w " " u ^ ñ ' Wc

+ liW x2 + 2 -1 — 4(x + 2)

arctg(-^) + c 4V2

% /2

3x2 - l . ,( x - l) 2 . Rp»a- 7 — , n + 7 I~I+ arctgx + c (x -l)(x -+ l) x +1

19 )

f * r 2x +A dx J (x2 - l ) 3

+c Rpta. —l n |—^—| ——(1+— ) -------4 x -2 x 2x 2 (x -2 )

20)

f 3* ~ +\ dx

R p ta .------ ^ r

J (r24-n3

f

21)

x 2dx -------- --------- -

^

J

C\ 22)

r (3x2 +x + 3)ítc -------- — ----i ( x - l) 3(x2 +l)

(x

+ 2 ) 2 (x + 4 ) 2

ir2- U 2

+c

_ . . x +4 5x + 12 Rpta. 2 ln |---- - | ---------------+ c x+2

x

+6t +8

1 -\/x2 +1 7, Rpta. —[ln ------— + arctgx--------- - ] + t 4 |x - l | (x -1 )2

189

Integral Indefinida x-2 x(x 2 -4 x + 5);

dx (.x 4 - l ) 3

©

I

xdx (x2 - x + l) 3

Rpta.

x -4 x 2 -4 x + 5 ■+ — In 10(x -4 x + 5) 25

Rpta.

7x 5 - l l x 21, x -1 I In 32(x4 - l ) 2 128 1 x + 1

21

64

_ 1r x —2 , l r 2x - l , 2 2x - l Rpta. - [ —i--------- - ] + - [ —--------] + —¡=arctg—p ^ + c 6 (x -x + 1 ) 6 X - x + 1 3^3 V3

x° + 13x4 - x 3 +14x2 - x + 6

dx

( l- x ) 3 (l+ x 2 ) 2

Rpta.

— * ^- —^—+ In 11- x | +2 arctgx+c ( l- x ) 2(l + x 2)

f p(5x x 2 -12)rfx J (x i v 2 -_ 6 x + 13)"

13x-159 53 /X—3 Rpta. ——-— ------—+— arctg(—-—) + c 8 (x -6 x + l3 ) 16

@

J

_ Rpta*

3x-10 5 . ,x - 2 , ñ - + - arctg(— - ) + e x ' -4 x + 8 2 2

®

J

_ ,

1 r2x 6 - 3 x 2

(x 4 - l ) 2

i

3x4 + llx 3 +10x2 + 2x-16 ■dx (x 3 + 6 x 2 + 10 x + 8 )(x 2 + 2 x + 2 )

@

(2x + 24)dx (x 2 -4 x + 8 ) 2

x dx

Rpta.

3, ,x 2 - l n

Rpta* 14 [—x r-7“ -1 +72 ln|^ x +~ 17 l]+c

* + 2 ‘ + ln[(x+4) 2 a/x 2 + 2 x + 2 ] - 5 arctg(x +1)+c x~ + 2 x + 2

190

Eduaxds-Espinoza Ramos

mu

v ^rísbewo^ Las integrales racionales de seno y coseno son de la forma:

(a)

I#! donde R es una función racional.

Para el calculo de este tipo de integrales, se debe de transformar en integrales de funciones racionales de una sola variable z, mediante la sustitución siguiente: z- tg— H 2

2

2

( 1)

< \r 2

ahora mediante un triángulo rectángulo, obtenemos las relaciones. Tomando la función seno y coseno. x sen—=

Como:

Ahora reemplazando (2) en (3):

además como:

X

1

X

... (2)

sen x = 2 sen —. eos 2 2

...(3)

i.:::;.:. 2 g 3 sen A ' 1-----~ + ,2

... (4)

■ *-Í2•/"^ \-m m sx *=■eos•'2-/^''v-‘ (^> ^ '4 . 2

Luego reemplazando (2) en (5):

Como tg—= r 2

JC -, eos—

... (5)

; :>>>

* = 2 arctgz, de donde:

... (6) , 2 «fc ffo ~ 1 +J~

... (7)

por lo tanto al sustituir (4), (6 ), (7) en (a) se obtiene una integral de una función racional en z.

191

Integral indefinida Observación.-

En el cálculo de las integrales de las funciones de seno y coseno, que x se realiza mediante la sustitución z = tg(—), en muchos casos se

presentan cálculo complicados, por lo tanto en dichos casos se puede hacer otra sustitución de manera que se simplifique el desarrollo de la integral

Jtf(senx,cosx)í£t, para esto consideremos los siguientes casos: ler. Caso: Si la función R(senx. cosx) es una función impar respecto a senx, es decir: si en este caso se hace la sustitución

t = cosx.

2do. Caso: Si la función R(senx, cosx) es una función impar respecto a cosx, es decir: si en este caso se hace la sustitución t = senx. 3er. Caso: Si la función R(senxf cosx) es una función par respecto a senx y cosx, es decir: si en este caso se hace ia sustitución t = tgx. Ejemplos de aplicación de éste criterio. Calcular las siguientes integrales.

©

dx j 5 -4 sen x + 3cosx Solución Del criterio que se ha establecido se tiene: sen x = ahora reemplazando en la integral dada se tiene:

- , eos x = -— 1+ - 2

, dx-

'1+r 21+r 2

192

Eduardo Espinoza Ramos 2dz Jí ---------5 -4 sen x +---------3cosjt = íJ ---------8 Z— 3------3 z T = Jf — ( r -~2 )T = ---z -~2 + t 5 _ ^1¡-----“ + 2 “ + ' 11+ Z 2 1 -sen x + cosx , -----------------dx j 1 + sen x -co sx

©

Solución Al integrando expresamos en la forma: t _sen x + eos x 2 ------------------ = - 1 + ------------------- , ahora reemplazamos en la integral dada l + sen x -co sx 1 + senx-cosx

J 1 +senjc-cosx

J

--------?-------- )dx=-x + l [ -------- -----1 +senx-cosx J 1 +senx-cosx

2r l-z2 como senx = ----- eos*------- ------dx 1+ r 2

.

2

1+ r 2 + 1z2

2 d z

r

dx J 1 + sen x -co sx

f

i+~2 J 2r 1- z 2 1 + ----- :---------1 + z 2 1+ z 2

dz

r J j 2+ ;

tg * = í ( - ---- í - ) * = l n |- ^ - l = l n |-----(2) J r Z+ l r + 1.X tg —+ 1 2 luego reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene: x

i

tg—

r l- s e n x + cosx . .. . 2 . ------------------ í/x = -x + 2 ln | -----— |+c J 1 + sen x -co sx . x tg —+1

©

dx f (2-senx)(3-senx) e

...(1)

193

Integral Indefinida Solución Sea z = senx, entonces hacemos la descomposición _______ 1_______ = ________ 1_______ (2 - sen ,v)(3 - sen x) (2 - sen x)(3 - sen x) 1 (2-z)(3-z)

A . B A (3-z) + B(2 + z) +~— —— ~— —-------2-z 3-2 (2 -z )(3 -2 )

••• U)

igualando los numeradores se tiene: 1 = (-A—B)z + 3A + 2B, por identidad se tiene \ - A - B =0 [3,4 + 25 = 1

\A = \ [£ = -1

^

... (2)

ahora reemplazando (2 ) en (1 ) se tiene: 1 (2

1

-senx)(3-senx)

1 2 -se n x

3 -sen x

í ---------- ^ ------------------------------- = f — ^ ------- f - ^ — J (2-senx)(3-senx) J 2 -se n x 3 -sen x

...(3)

ahora calculamos cada una de las integrales: 2

r

dx

r

dz

i + ~2

r

dz

l +=2 2

= ~¡= arctg( V3 2dz

c

dz 2

B

—) V3

2 tg(.v/2 ) —1

2

, 2z - l

4 ... (4)

19'


_

1

- - 1_/3

a r c , 8 (^

)= _

1

3 --1 )

a r c t g (^

= _

1

a r c lg ( _

?_

1

)

, „ (5 )

reemplazando (4) y (5) en (3) se tiene: x. f

dx

í ( í r ^ H

©

.

2 3 ^ =^

_ ,x. 3 tg ( - ) - l

1

a,ct8 (' - 7 r ~ )^

arc,E(' 7

^

)+c

íJ ,3sen". x + 5cos"- x Solución Multiplicando numerador y denominador por sec2 x c

dx

r

^ 3sen 2 x + 5cos 2 x

sec2xdx

J sec2 x(3sen 2 x + 5cos2 x)

Í sec2 xdx _

1

f

^ s e c 2 xdx

_ 1

(V3tgx) 2 +(V5) 2 ' ^

V3tgx arctgw

r )+6*

dx / 4.-3........................... c o s 2 x + 5sen 2 x Solución dx 4 -3 c o s 2 x + 5sen 2 x r

r

dx 4(sen2 x + cos2 x )-3 c o s 2 x + 5sen 2 r

dx rs e c 2 xdx l r 3sec2 xdx 1 ------ í--------- — = -----5------= - ----------?----= —arctg(3 tgjf) + c J 9sen~ x + cos~ x J 9 tg “ x + 1 3 J (3 ig jc)~ -h 1 3

©

J rA -

J 1 + sen" x

Integral Indefinida

195 Solución

f dx J 1 + sen 2 x

f dx _ r dx * sen 2 x+cos 2 x + sen2 x 2 sen 2 x+ cos 2 x =

©

f

r a/2 see2 xdx 1 , rr —¡=------ñ----= -prarcig(V 2 tg x) + 6* a/2 J (-\/2 tg.t) +1 -v/2 1

dx e . sen~ x + 3senxcosx-cos~ * Solución

Multiplicando numerador y denominador por sec2 x sec2 xdx

r

sec* x(sen'jc+3senjrcosjr-cos x)

sec2 xdx

J t g 'x + 3 t g x - l

C sec 2 xdx ~ i~ j 7 9 13 lg 2 x + 3 t g x + ^ ~

fr

sec2 xdx

J

J (tgx+l ) 2

3 VÍ3 1 ,In ,I------- 2---- ^3 | +, c = - =1 r l,n ,2 tg jr+ 3 -v /Í3 . | — 2 -------- -i— l+c VÍ3 -7Í3 VÍ3 2tgx+3+-v/3 t g x + 3- + — & v 2 2

©

dx fJ sen" e x- - 5senx. cosx Solución Multiplicando numerador y denominador por sec 2 x

f _ ___ dx —______ = r r J sen2 x-5senxcos.\

sec1 xdx J sec2 .v(sen2 ,v-5senxcos.v)

196

Eduardo Espinoza Ramos r

sec2 xdx

1,

, tg x -5 ,

= I -------- r -------- = 7 l n l — -------------- l + c

"«2»

4

m m..........i'............ m m m■11T ,1111111 m .1Éh m I II eII I l im m m 11 ..............Ti II .. l i i ÉéVé-.V. iViYi .1 I I I l i l i'. Calcular las integrales indefinidas siguientes:

©

® W

® © ^

/Q“N

r dx í --------—------J 4senx+3cosx

f ---- —---i 3 + 5cosx

2

3 tg --9

Rpta. ——In | -----2------ 1+c 5 * ,, Y tg(-) + 2 Rpta. —ln |— ?------- l+c 4 ,x tg( - ) ~ 2

í ------—-----Jsen x + cosx

j t g Á - 1 +V 2 Rpta. - ] = ln |— ------------ l+c ^2 tg (^ )-l~ v / 2

r 2 -se n x , ---------- dx J 2 + eos x

_ , , , 4 , 1 Rpta. ln 12 + eos x | + —¡=arctg(-¡= tg(—))+ c -J3 v3 2

j J --------—h-----J senjc

, x + arctg(—) Rpta- ~r= = f ln |tg (------- — — )\+c +b ^

ff/x------r ---- _«x J 1+ senx-cosjc

lS (j) Rpta> ln (----2_ )+c .l + tg(-) .X.

197

in te g r a l I n d e fin id a

2 5 ts £ > + 4 Rpta. jarclg(----- 1----- )+ c

dx S+4senx

©

SCR x

4 2 tg A -l Rpta. -x+^=arctg(— ---- )+c

dx

If? 2 -sen* J

©

J cosx+2senx+3

§>

dr i i8-4senx+7cosx i

5

^

)

flz î^ L * J 1+senx

Rpta. arctgfl + tg(—» +c

tg(—)-S Rpta. In|—I-----|+c W f» -J

-ln|l+seox|+c «§>♦1

Rpa.

---- 1 « 5

Rpta. ^/21n| t-e- - ^ |+c tgx-V 2

3cos2x+l

cosx dx l+2cosx

f ------------------ *

2

Rpta.

4senx-3cosx

©

« f> l l UCt* ~ W i+C

dr (2+cosxX3+cosx)

Rpta. - + — ln |----------i - |+ c 2 6 Æ + ig ( j)

------------------

J 2senx + 2cosx+3

Rpta. 2arctg(2 + lg(y))+c

198


©

dx 1 + sen x + eos x

©

dx 3cosx + senx+l

©

Rpta. ln 11 + tg(—) | +c

! tgC—>+1 Rpta. —ln | — -----|+c

3

dx a 2 +b2 - 2abcosx

^ 2 q +b x _ Rpta. — ----- 7 arctg[—— tg(-)] + c a1 - b ' 2-6 2

dx

Rpta. ^ ln |l- 5 c tg x |+ c

sen" x-5senx.cosx cosx dx sen2 x - 6 senx + 5

w f)-l

_ A 1. . sen x -5 . Rpta. —ln | ---------- l+c 4 senx + 1

©

dx eos2 x + 2 senx c o s t + 2 sen2 x

Rpta. arctg(senx + l) + c

©

dx sen2 x + 3senxcosx-cos 2 x

1 2tgx + 3--y/n Rpta. —= l n -------------- +£ VÍ3 2 tgx + 3 + -\/Í3

sen 2 x dx sen4 x + cos4 x

Rpta. arctg(2 sen ' x -1 )+c

dx tg 2 x+sen 2 x

Rpta. - —[ c tg x + —j= arctg(—= r ) ] + c* 2 V2 v2

1 + tgx 1 - tg x

dx

Rpta. - ln | co sx -se n x |+ t

dx sen x sen 2 x

Rpta. ^ ln | tgx + secx |--^co secx + c

dx (senx + cosx)

R p t a .----- — + c l + tgx

199

Integral Indefinida

©

dx (tgx + l)sen" x

Rpta. ln| l + c tg x |- c tg x + c

dx 1 -sen x

Rpta.

25

25

tgx + 2 | +

dx tgx. eos 2 x senx dx cosx(l + eos~ x) dx (senx+ 2 see x)2

©

2^2

arctg(-v/2 tgx) + c

dx 4 + tg x +4c tg x Rpta.

©

+ 2

dx a 2 sen 2 x + ¿>2 eos2 jc

2 - ^ l n |c o s x |+ c 5 (tgx + 2) 25

_ c.senx Rpta. In I . —|+ r Veos 2 x Rpta. y l n |l + sec2 x |+ c

_ cos2x-I5 4 . 4sen2x Rpta. ------------------+ — = arcse n (------------) + c 15(4 + sen2x) 15V15 4+sen2x 1 ,
dx 4senx+3cosx + 5

Rpta.

secx dx 2 tg x + s e c x -l

i | -----tg(f — } |+c Rpta. —ln 2 tg( | ) + 2

©

dx 3 + 5 sen x + 3 eos x

Rpta. —ln 15 tg(—) + 3|+ c 5 2

@

dx 1 7 , 1 1 a~ sen~ x - ¿ r eos- x

_ , 1 , , asenx-fceosx , Rpta. — ln | -------------------l+c ab asenx + fccosx

©

1

+c

tg(f) + 2

200


í

dx eos x(cos2 x + 4 sen x - 5)

Rpta. ln |(l-s e n x )1/2(l + senx)_1/R(2 -senjc)-4/v |+c C t g X . C O S X + C t g X + l + COSX

------------------------------------------dx

í ftgjc + ítg jr.co sjr+ ©

í

c o s e c jr + t t g j f

sen x. eos 2 x dx

Rpta. -

1+a2 eos2 x

^1 , 1 ,X

cosx

1

a

arctg(aeosx) + c

^ x A +a x x Rpta. —+ arctg(----- tg - ) + c 2 l —a 2

í l - 2 acosx + úr (2 + 3 eos x)dx eos x(\ + 4 eos x)

_

22

a

(l-úreosx)dx

j

,

Rpta. ln |tg -(-)|+ J C -tg -+ í-

Rpta. 21n|secx + tg x [- 1 / ^ l n| ^ £ — V3

f 2 senx-cosx dx 3 3 sen 2 x + 4cos 2 x

_

.

2

c o sa

1

V3

V3

4

| +c

+ senx 2 -sen x

2

RPta- — 7 = arctg(—7=-) - —1n | — ----------|+c

(senx + cosx)dx

I 2sen 2 x -4 sen x co sx + 5cos2 x ~ * 3 1 ^ 6 + 2senx + co sx , Rpta. —aretg(sen x - 2 eos x) + -----¡=ln | —= -------------------1+c 5 10V6 v 6 - 2 senx-cosx sen2 x-4senxcosx+ 3cos 2 x ¿/x í senx + eosx Rpta. - sen x +3 eos x + 2^2 1n | tg(y + —) | +c r sen x + 2 eosx- 3 ^ J s e n x - 2 cosx + 3 3r 4 6 5 tg(y) + i Rpta. —— ln |se n x -2 c o sx + 3 1 -—arctg(----- -----) +c

201

Integral Indefinida (2 sen x + cosx)dx

í 3senx + 4 co sx -2 2 j 4 -s/7+ V 3(2tg(|)-l) Rpta. —jr— ln|3senjc + 4cosjc-2| + —¡= ln |--------------------------|+cr

5 s0

54)

^

~

^

5

fse n ^ rf, J 1 - tg x

f----- ©

/g v ^

V 7-V 4( 2 , g f - l ,

^

J 2 senx + 3 cosjc

f-------------------, * ---- --

J (tgx + l)sen~x

J 3sen_ jc + 5cos‘ x

©

f

J^ se cx + tgjr

f , dx ■ Jsen'2x.cos 2x

/C7\ ©

f —cos C^S2 jc í£r■ —

fc o sx -se n x ,/T^\f eosecxdx (61) [ S ^ L/T7^\ l dx (62) f

J sen x + cos x

ff cosjc cosx++senx senx ^. J cos27T-sen2x

rsen S j + s e n ^ J 1 + 2 cos 2 jc

■* 5 + 2senx

/T @7N rf

d*

J 13-5cosx -J 3 + 4 t g x

14,1* INTEGRALES DE ALG UNAS FUNCIONES IKRÁdONAUÉS^ Las integrales de las funciones elementales que no son racionales, representa gran dificultad en calcularlas, incluso cuando una función elemental que es la integral de una función dada, realmente existe. En esta sección trataremos de ver criterios para algunas integrales Irracionales. ler. Integrales de la forma.

El calculo de estas integrales se realiza completando cuadrados en el trinomio ax2 + bx + c , es decir: 7 , , ? b c. . i b b2 v b2 , b ^ 4a c - b 2 ax~ +bx +c = a(x~ + —x +—) =a(x~ +—x +— - ) + c ----- =a(x + — )“ + ----------a a a 4a~ 4a 2a 4a

(Ax+B)dx r (Ax+ti)dx

fc

J Vax2 +bx +c_ _ J r

(Ax+B)dx ¡~ b ~ 2 A a c -b 2 ,o<í+^ ) + - ^

202


Luego se hace la sustitución

z = x +— la

y se aplica las formulas básicas de

integración. Ejemplo.

(jc + 2 )dx Calcular la integral í ■• x + ~ J V4-2X-JC 2 Solución

Completando cuadrados se tiene: 4 - 2 x - x 2 —5 —( jc2 + 2x + l) = 5 - ( r + l ) 2 r

(x +2 )dx -n/4-2jc-jc 2

sea z = x + l

r

(x+2)dx

^ ^ - ( j c + I )2 => x = z —l =>

dx = dz

ahora sustituyendo en la ecuación ( 1) r

(x + 2)dx ^ 4 -2 x -x 2

_ r ( z - \ + 2)dz _ r ( z + \)dz '

> /5-2 2

' ^ 5- r 2

r zdz

r

dz

' ^5- r 2

^5- ; 2

= --^ 5 -r 2 + arcsen(-^)+ c = - ^ 4 - 2 x - x 2 + arcsen(^î-) + c a/5 -y/5

2do. Integrales de la forma. donde a,b.c,d son constantes y n es un número natural y además ad - be ^ 0 . Para calcular estas integrales se debe transformar en integrales de funciones racionales en z, mediante la sustitución. tfjc + £ , , b-dzn . - =» ; despejando x se tiene x = --------- ae donde 'rx + rf Ejemplo.

Calcular la sitmiente integral.

í * -— J Vl + v x

, nzn l (ad-hc) ax = ------—------— ¿fr cz” - a {cz” - a ) 1

Integral Indefinida

203 Solución

De acuerdo al criterio establecido: c 3 = -—— de donde al despejar x se tiene: 1+ jr

x=

1-

r3

. 6 z2dz dx =----- . Ahora reemplazando en la integral dada: n + -- 33) (1

I+r 3

J l- x dx _ f

1+ r 3

- t z 2dz

f

z 3dz

Ifl + a r'x J = l —z 3 (1 + r 3) 2

_ ,f

z 3dz

J (l-_ -3)(l + _-3)■*( r 3

,t. A B Cz + D Ez + F = 6 [----- + ------- + —-------+—----------1dz J - - 1 2 + 1 z~ + z +l r ~ - r + ] - í [ — +— ---------------------^ - ] d z 6 l z - l z + 1 - 2 +z + l r - r + 1 = [ln |r —l|+ ln |z + l | - y l n | ^ 2 + r + l | ——l n |z 2 - z + l| — jL 2 - a/3 arctgí-^W-) + -v/3 a rc tg í^ ^ -) + c V3 V3

1

R

= ln |z 2 - l | - - l n | ( r 2 + r + l)(r 2 - r + l)| —\/3arctg(— -----) + c 2 2 r~ + 1 3ro. Integrales de la forma: donde a, b, c, d son constantes y además ad —be * 0 ;

..,/>* %

son números enteros, siendo R una función racional. Para calcular estas integrales, se debe de transformar en unaintegral de una función racional en z, mediante la sustitución r" = °X + ^ , donde n es el mínimo común ac+d múltiplo de los números ^ , q2 .

—l)(r 3 + 1)


204

Ejemplo.

Calcular la integral indefinida, f * J

}lj\+x h Mv

Solución «.2 _ 3

entonces x = r 6 - l

Sea z 6 ~ 1+ x =>

=> dx = 6z*dz

+X

J

f—-- % —

3/ l + X

6z*dz = 6 [ z \ z u - 2 z 6 +l + z 3)dz

J

J «16

„10

J

_4

ó j (r 15 —2 r 9 + r 6 + r 3 )dz = 6 [r----- — + ji _ + ^ _ | + í. 16 5 7 4

4r -*” "ft - 3 11 , 3/T •) (.V+ l )2 1+ JC -\jl + X 1 6z [— ----- + — +—1+c =6¿J(x +l)~ (------- ---------- + --------+ —)+c 10 5 7 4J 16 5 7 4 4to. Integrales de la forma:

•

í

M x)dx ■yjafí + fa + c

donde Pn (x) es un polinomio de grado n. Para calcular estas integrales, a la integral expresaremos en la forma: í

Pn M dx = = 4ax~ -f ¿x + c

(x yJaxl +bx + C + Aj

—

dx

ax + fcr + c

donde (x) es un polinomio de grado n —11 con coeficientes indeterminados y X es un número real. Los coeficientes de Qn l (x) y el número X se encuentran derivando la ecuación (1).

Í —j= x “dx

------—

Vx2 -X + l

Solución A la integral dada expresaremos en la forma:

Integral Indefinida

205

f

.p ~ T 7 T ,.,f * J ,/**-*+ 1

+i

...d i '

ahora derivando la ecuación ( 1) se tiene:

-\/jc2 -JC +

2 -s/jt2

-Jc + 1

-\/x2 - x + 1

multiplicando a esta ecuación por -\/jr2 -jc + 1 2x 2 = 2A(x2 - x +l) +(Ax+B)(2x-l) +2A , agrupando 2x 2 =4Ax2 +(2B-3A)x + 2A +2 A - B luego por identidad de polinomios se tiene: 4/4 = 2 resolviendo el sistema se tiene; /4 = —, B = —, A = 25-3/4 = 0 2 4 8 2/4 + 2 A -fi = 0 reemplazando estos valores en ( 1 ) se tiene: f

. 3 ,.0 — ~ V jc2 - jc+ 1

2

4

I r * 8

—jc +1

2jc+ 3 r~> V*“ —x + 71 —1 f - 7= - • (*— ) " + 2 4 =

+ ^*>jx2 -jc + 1- - ln |2 j r - l + 2‘\/jc2 -jc + 1 |+c

4

8

5to. Integrales de la forma:

Para calcular estas integrales se debe de transformar en integrales de la forma del 4to. Caso valiéndose de la sustitución / = —-— => X-CL

x-a =t

206


Ejemplo.- Calcular la integral indefinida: í ------------------ ——-= = = ■= (jc3 +3x2 +3x + \)'yx2 + 2 x -3 Solución A la integral dada expresaremos así:

r_______ dx

r____ fx

J (x3 +3x2 +3.V + W-V2 + 2 x -3

J (jc + l) 3 -y/(x+l) 2 - 4

... o )

sea / = —?— => * + ] = - => rf* = - 4 r reemplazando en la ecuación ( 1 ) se tiene: jc + 1 f /di dx

<2

i

3

r ’

- _ i r t 2dt. U l-4 t2

•** (2 )

t3 \ *> , calculamos la integral í / L aplicando el caso antenor 3 V l- 4 /2 f J

r r f * = (At + B ^ - 4 t 2 +*.{ A 1 J V i- * 2

. , ,,v . derivando la ecuación (3) se tiene:

...(3 )

t2 . r—7— 4t(At + B) A ------- = A-\Jl - 4t ~ ---- . . + .-------V i-4 r V l-4 r VI- 4 f

multiplicando a esta ecuación por V i- 4 / 2 t 2 = A ( \ - r ) - 4 t ( A t + B) + A, agrupando t 2 =-%At2 - 4 B t + A + k , poridentidad -

8/1

=

1

-4 5 = 0 A+X =0

resolviendo el sistema se tiene: A - — , B = 0, A = — 8 8

Integral Indefinida

207

reemplazando estos valores en (3) se tiene: í ———— = - —V i- 4 í 2 + —í — —— = - —Vi - 4 / 2 +— arcsen(2/) JV ^ 8 8 16

... Í4)

ahora reemplazando (4) en (2) se tiene: f -----------------—— - —V i- 4 í 2 ——arcsen(2/) + c J (x3 +3x2 +3x + \)-Jx2 + 2 x -3 8 16 V* 2 +2.V-3 1 , 2 v = ----------- ----------arcsen(------) + c 8 (jc + 1) 16 Jf + r (a)

6to. Integrales de la forma. donde m, n y p son números racionales.

Para calcular estas integrales se aplica las condiciones de “CHEBICHEV” y mediante este criterio a la integral de la ecuación (a) se puede expresar como una combinación finita de funciones elementales solamente en los tres casos siguientes: i) n)

Cuando P es un número entero. _ , w+1 , , Cuando ------, es un numero entero, en este caso se hace la sustitución n z s =a + bx" , donde s es el divisor de la fracción P.

ii¡) Cuando m + ^+ P , es un número entero, en este caso se hace la sustitución n z s =ax ” + 6 , donde s es el divisor de la fracción P. Ejemplo:

Calcular la integral indefinida: j V ( l + 2 jr)~ 3/2dx Solución

Aplicando el criterio de CHEBICHEV.

208

Eduardo Espinoza Ramos m +1 3 + 1 _ --------------- 2 es un numero entero, entonces n 2 Sea z 2 =1 + 2jc2 => x 2 = ——- ,

xdx-^^-

J jc 3 (1 + 2 jc 2 ) 3 2dx = J x 2(\ +2x2) i/2x dx = J - ----- (z2) 2

l , r 2+l,

l . l+x2 .

4

2 v ü

= - ( -------)+C=—( ■< z

2

)+c

Ix2 1

Ejemplo.

dx Calcular la integral indefinida: í ------- p + ^ 3

Solución A la integral dada escribiremos así: f -------^ = = f x - 3/2( i+x 3/4y V3dx 1+tyc 3 ahora aplicando el criterio de CHEBICHEV 3 . wí + I 2 + 2 ------ = —=:— = — no es numero entero n 3 3

m+ 1 „ 2 1 , ------ + P = ---------= -1 es un numero entero n 3 3 Luego r 3 = .v 3' 4 + 1 => x 3/4 = — — Z3- l

...O )

209

Integral Indefinida

*=

3 1 4/3

=>

dx = - 4 x 2\ z i - \ ) l n dz

...( 2)

reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:

= - 4 j z d z = - 2 z 2 +c =-2lj(x 7mo. Integrales de la forma.

+ 1) +c

fjj

donde a, b, c son números reales La función R { x ^ a x 2 +bx+c) se denomina irracionalidad cuadrática. Cuando

el

trinomio

ax2 +bx+c

tiene

raíces

xx ,jc2

entonces

ax2 +bx + c = a(x - xx) ( x - x 2) en este caso se hace la sustitución. ^ a x 2 + foc+c =f(jc-jr1)

ahora elevando al cuadrado se tiene: a ( x - x 2) = r ( x - x l ) de donde Al momento de hacer las sustituciones se tiene la integral de una función racional. Cuando el trinomio ax2 +bx+c no tiene raíces reales y a > 0 la integral se transforma de una función racional haciendo la sustitución de Euler.

210


Luego se tiene:

4ax2 +bx+c = t - xô = t -----1—¡=-— ^[a 2í 4 ü +b

por lo tanto se tiene una función racional de t J R(x,4ax2 +bx +c ) d x - j Rx(t)dt Observación.-

Ejemplo.

S ia < 0 y c > 0 (ax2 + bx + c > 0) se puede hacer la sustitución.

Calcular la integral indefinida: í -----l + *Vl + * 2 Solución

Sea 4 ¡ + x 2 = / + x , de donde al elevar al cuadrado se tiene

1 + x2 -

t 2

+ 2 /x + jc2 = >

Luego ^/l + X

2

Como x =— —

f dx J 1+ W Ü ] 7

. _ \ - r2

= / + -

2/

\-t2 x— 2/

r.2 + 1 2r

=> dx = — y ~T~d t , Ahora reemplazando en la integral dada:

r -(/2+l)rf/ 1 J . I - / 2 1+ í 2 2 r 1+ 2/ 2/

Factorizando el denominador se tiene:

r (r+ l)¿* U t 2+ l-t4

r (r+l)rff J t 4 - A t 2 -1

Integral Indefinida

211 +D 1 , = *fr- JAt ü l+lB Ct + —--------- —]<* J / 2 - 2 - ^5

t 2-2+ 42'

Ahora calculamos los valores de A,B,C y D. t 2 +1 I a - 4 r -1

/i/+ 5 f-2 -J s

/ 2 +1 - ^ ( / 3

- 2 t + S t ) + B ( t 2 - 2 + ^ 5 ) + C( / 3 - 2 t —Jlt) + D{t2 - 2 —y/5)

/2

C/+D _(At+B)(t2-2+4S)+(Ct+D)(t2- 2 s f 5 ) t 2- 2 + S (t2 - 2 —j5)(/2 -2+-fe)

+l = (/4 + C)í 3 +Dt2 +((-2 +s¡5)A-(2+-45)C)t +(-y¡5-2)B-(2+j5)D A =0

A +C = 0 £ + Z) = l (-2 +4 5 )A —(2 +-y¡5)C = 0 (-Js -2 )b - (2 + 4 5 )D = l

3 + ^5 2^5 C=0 Z> =

...( 2)

■J5-3 2^5

dx

_ ^ 3 +'Js f <* -y/5-3 f dt J 5 + " 2^5 W r J ? ^ 2 7 V s' ^-\/5 J r 2 - 2 -->/5 i r + xVl + x 2 „ 3 + ^5 1 , . í - 2 - ^ 5 . V 5 -3 1 . , / = 2 [--- = - . -7-- ----- ln ----------= + ---- = - . . arctg(—= = = ) ] + c 2^5 V 2W 5 /+ 2 W T 2^/5 ^ / 5 - 2 % /V f ^ 2 3 +4$ “ Vs,¿2+,/5

Ejemplo:

-\/l+x 2 - x —j2 +-
Calcular la integral indefinida:

- J s - 3 y l + x 2- x +

ar° 8

V V 5-2

--\/x +3x fx— vx 2 + 3x + 2 ----- y - .... — dx X+ vX^ + 3x +

Solución Como el trinomio x 2 +3x + 2= (x+ l)(x + 2) entonces se hace la sustitución:

212

Eduardo Espinoza Ramos Vx 2 + 3x + 2 = -n/ ( x + 1)(x + 2) = /(x + l)

n/(x + l)(x + 2 ) = t(x + 1) => x + 2 = / 2 (x + 1) de donde 2 -/2 - 2/ x = —---- => dx = —i----- d t , ahora reemplazando en la integral dada. r-l ( r - 1)2 2-r

t

f2 - l

/ /2- l

x + V* 2 +3x +2

(í - 1)

donde -y/ * 2 +3x + 2 = /( 2, - + 1) = —^— f2 - l í 2- l

= "2J — — T - tdl-v =“ 2 [- 7———•—7 - —j d t 3 2 +t - f (í2- l ) 2 J f - t - 2 (/2- l) 2 r

/(r t(t + + 22)dt )gí

^ _r r

(t2 ( r +2t)dt +.

J ( /—2 )(/—1)(/+ 1) 3

J ( / - 2 )(/-)(/+ l ) 2

^ t A B C £> £ %J = - 2 | ( ----- + ----- + ----- + ------- - + --------)<# J í —2 / - I t + 1 (/ + 1)2 (/ + l) 3

. . . ( 1)

ahora calculamos las constantes A, B, C, D y E. t 2 +2t ( /—2 ^(r—!)(/ + 1)3

A B C D E ■+ ---- + ----- + ------- —+■ t —2 / - I í +1 (/ + i ) 2 (/ + i ) 3

t 2 + 2t = A(t - l)(í +1)} +B((- 2)(/ + 1) 3 + C(t -2)(¿ -1)(( + 1)2 + +D(t-2)(t-l)(í +l) + E(/ + 2)(r -1) t 2 +2t = A(t4 +2í3 - 2 t - \ ) +B(t4 +t 3 - 3 t 2 - 5 t - 2 ) +C(t4 - t 3 - 3 t 2 + t + 2) + +D(t3 - 2 í 2 - t + 2) + E(t2 -31+2)

Integral Indefinida

213

r +2 t = (A + B +C)tA +(2 A + B - C + D ) ' +( - 3 B - 3 C - 3 D + E ) r + +(A - 5B +C - D - 3£)í - A - 2B + 2C + 2D + 2E

A + B + C =O 2A + B - C +D = ü C=

- 2 A - 3 B - 3 C —2D + E = 1 A - 5 B +C - D - 3 E = 2 - A - 2 B +2C +2D +2E = 1

17 216 _5_ 36

...( 2)

6 reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene: :-V a 2 +3x + 2

í

_ f 16 : + 4 7 + 3 x +2 X J 27(/-2)

34 8 (/ -1) ' 46{/ + l) 6

10

36(/+l)2

6 (/ + l) 3

]<*+c

=— l n | / - 2 | - - l n | / - l | + — ln| / + l | + ---- ----+ ----- ^ r + c 27 1 4 108 18(r+ 1) 6 (r + l)

donde t -

4 x 2 +3x + 2 14 1

8vo. Integrales de la forma: Para calcular estas integrales se debe de transformar en integrales de la forma del 7mo. Caso, mediante la sustitución / 2 = ax + b .

Ejemplo.- Calcular la integral indefinida: í ----- r ^ x ----- = J l+'yJX + V1 + X Solución

214

Eduardo Espinoza Ramos Sea z 2 ~ x => dx = 2 zdz f r d X t— ‘ 2 ¡ — £ * J 1+ v x + v l + x J l +z +v l +z 2

. . . ( 1)

aplicando el criterio del 7mo. caso se tiene: V l + - 2 =z+t => 1 + r 2 = z 2 +2zt +t 2 * *> j de donde z = -----2t

=>

^ « +1 Jdt dz =-------— 2i2

r,---- 7 1- r t2 + 1 Vl + r - - z + í - ------+ / = -------21 21 ahora reemplazando en (1 ) se tiene: t2 + 1 l - / 2

1-t*

f J * r— °2 f 2,V ? r f» =-2f ------rff = _ f _ L l í l _ rf, •» 1 +Vx +Vl + x , 1- / ' í '+ l 3 2t +l-t~ +t~ +1 ■* t~ (2/ + 2) 1+---- + 2/ 2/ 2t , 1 f 4 ^ L rf, = 1 2 J / (/+!) 2J

= L ¡ ! l z í ± L ± dí ,2

2J

/2

=|j(/-l+ y-^-)rf/ = y [y - / +lní+y] + C Como r 2 =jc 'yjl + z 2 =z +t

...(2)

z =4 x => / = ^ l - z 2 —z ~'Jl + x —Jjc

que al reemplazar en (2 ) se tiene: i h + ^ + ^ lü ^

2

2

*

i

215

Integral Indefinida

Cuando en una integral /„ que depende de un número entero n, es posible hallar una fórmula en términos de otra integral de la misma forma en donde el número entero aparece aumentado o disminuido, a dichas expresiones se denominan formulas de reducción o de recurrencia o recursivas. Ejemplo.-

®

Deducir las formulas de reducción de las siguientes integrales.

r r dx 1 . x 2 « —3 h = —;---- ;— = —(------------- i--- ;— r ) + ------------ t K - i . n * 1 J (jc- + a ' ) n o (2n-2)(x~ + a~)n (2n-2)a~ Solución c

dx

1

ex +a~-x~ ,

" " J ( x 2 + fl2 r _ fl2 J (x2 +a2)n 1

f

1

, r x~+a

~ a 2 J {x2 +a2)"

dx______ 1_ f

~ a 2 J ( x 2 +a2)n l

x 2dx

a 2 J { x 2 + a2)n

,

r

x dx

,

i ( x 2 +a-)n

• (I)

x 2dx calculando la integral Jf — — por partes /.. . ~~ \ n (x'+a*)' du = dx

u =x haciendo

r

dv

x dx r(x ¿ +a ¿)\ t

x 2dx (x2 + a2)n

-1

2(n-\)(x2 + a 2) 1

(2n-2)(x2 +a2)"~}

reemplazando (2 ) en ( 1) se tiene:

r

dx

2)n l 2 n^ -22ii(( x 2 +a 2)

... (2)


216 x (2n-2)(x 2 +. a 2 )^n-1

, 1 a2

,r dx , 2 , 2 >n 1 a2 (2 n -^7-*J 2 ) J (x +a ) 1

2 » -3 , + —----------¡n-\ a 2(2n-2)(x2 +a2)"-' a 2{2n-2)

©

f „ . senn l jccosx « - I r „-•> , l n = I sen xdx = ----------------------------------------- + - sen - xdx J n n J Solución 1„ = Jsen ” xdx = Jsen " 1 xsenxdx

u = sen" 1 x dv = sen .vdx

da = ( n - 1) sen" 2 x eos xdx v = - eos x

I„ = j*sen” xdx = -sen" 1 xcosx + (n -l)Jse n ” 2 xeos2 xdx

= -se n ”~' xcosx + ( n - l) J sen" 2 x(l - sen 2 x)dx

-sen" 1 x eos x + (w -l)Jsen” 2 x íit-(//-l)J s e n " xdx

= (1 + (/;-l))Jse n ” xdx = -sen" 1 x eosx + (n -l)Jsen " 2 xdx

r„ = Jsen" xdx

@

sen” 1 j c c o s x n

— f sen «-*> * xdx n J

n - 1

I n ~ j x ne *dx = - x ne * + nl„_{ Solución

Integral indefinida r„ = j*x tle

21 7

Xdx integrando por partes haciendo:

u =A

du = nxit]dx

dv = e 'dx

v - -e

/„ = J x " e rdx = —xue r + nJ xn ye Xdx = —xne x + nItrA

©

senm x cos" xdx = Jsc

sen r1 x cos a ni + h

" 1x

1 m n 2 xdx j - j »sen rcos m + HJ /# —

donde m y n son números enteros tales que m + n * 0 Solución

u

= cos" 1 X

dv = sen "1 x cos r dx

du = - ( n - l)cos" 2 x sen xdx sen1”"1 x v = ---------m+ 1

m » , senw 1 xcos" 1 x /i —1 r sen xcos x d x - -------------------- + ------ I sen î m +1 m+ lJ

xcos

, xdx

sen”1 1 x:cos" cos" 1] x #i-l n- 1 f m „ ? _ „_7 , ---------- + ------ I sen x(l~cos“ x)cos " xdx w + lJ m+1 f

isen"HlxcorfH x n -l n- 1 sen” xco^xdx=+——- I sen"' xcos” 2 xdx- " I sen"' xcos" xdx m+1 w+1i TO+1

w 1 f m n , sen x cos x /7 1 r m?, (1 + ------) sen xcos x d x - ---------------------+ ------ sen xcos 'x d x w+ 1 J m +1 m+ W m n . s e n xcos "“1 X #1—1 f m „-7 , sen xcos x d x - -------------------- + ------- I sen xcos * xdx J m +n w + z/J f

218


1.6.18 EJERCICIOS PROPUESTOS.Calcular las siguientes integrales. dx

©

+x

Rpta. 2arcign/í +x +£'

©

VT+x +1 dx VÍ + x - 1

Rpta. x + 4n/1 +x +41n(Vl + x - l ) - n

©

Ifxdx x(~Jx + Ifx)

Rpta. ln | — ----- [+<■ Í ^ + D'

©

{x +1 )dx dx-2

Rpta. 2^Jx- 2 -r V2 arctg(Y^ )+c

4 x dx

s 5/6

o 2/3

Rpta. x h—— ^— +- ^ — + 2-Jx +3^[x +(&¡x +61n|^/jc - 1 1+c

©

4~x-^Tx

©

dx tfx(ljx - 1)

Rpta. 3 V r+ 3 1 n |V * -l|+ t

©

dx ^ + 4 /7

Rpta. 2-\¡x —4$Jx +41n| 1+ ^/x | +í-

-Jx dx

©

Rpta.

+ 2ltfx* +21n|^(v^ —l|+ c

dx -j3x - 2 - i J l x - 2

©

Rpta. ^ (3 .r-2 )t,i + —(3 x -2 )1 4 + —In 1(3jc-4 ) 1' 4 - l |+ c 3 3 3 r

dx

Rpta. 2 4 x -3 \fx + (£ fx-6 \n ftjx + l) + c

219

Integral Indefinida

©

e 2xdx

Rpta. — (3ex - 4)-^(ex +1)5 + c

1-V 3I+ 2

Rpta. -x+y(->/3x+2-ln(l+->/3x+2))+c

dr

1 +"\¡3x+ 2

@

Vx+T+Vx+T

@

^2+-Jx dx

©

1—s/x+1 dx 1+3/x+T

Rpta. 2 V ^ - 4 V j ^ + 4 1 n |l+ ^ /Í T x |+ c

Rpta. — (2+-\/x)(3x + 2-\/x -8 )+ c

Rpta. 6r-3f2 - 2 / 3

©

© ©

©

2

(2+x)dx

Rpta. arcsen(—p - ) - y 4 - 2 x - x 2 +c ■v5

V 4 -2 x -x 2 x 5dt

8+4x2 - 3 x 4 Rpta. — — J l-x * +c 15

VT (x2 +l)dx

Rpta. - £ Ü V 8 + 2 x - x2 + arcsen(— ) + c 2

-^3+2x-x2

^ 8 + 2 x -x 2 -2 x + 5

x^9-: 19 Rpta. — arcsen— * +2-\/9-x2 +c 2 2 2

dx

V9 -X 2

©

x3 -6 x 2 + llx -6 Vx2 +4x + 13

2

n a a*+3 rz “ r 11 l R p ta .-V8 + 2jc- jc + — arcsen(--------------)+ c 2 2 3

x dx

jc

+ —/ 5 - —/7 +31n(l+/2)-6arctg/+ c donde f= fy x+ l 5 7

dx

220


Rpta. ( - ---- ^^- +37)4x2 +4x + 3 -661n| jt + 2*\/jt2 +4x + 3 | +c 2

© W

©

Í (2X - W
J

R p » . W * 2 -2 x + 5 - 5 1 n |x - l+ V * 2 -2 x + 5 |+ c

3*3rfr -\/x2 + 4x + 5

Rpta. (x 2 —5jch-20)-\/jc2 + 4x+5 —151n|x+2+-\/x2 + 4x+5 |+c r (3x 5x)dx ^3-2x-x2

©

J

Rpta. - ——— - j 3 - 2 x - x 2 +14arcsen(^ -!-)+c 2 2

(jc3 —x+l)dx 4x2 +2x +2

Rpta. ( - — — + —y ¡ x 2 + 2x+2 + —ln| x + l + V* 2 + 2x + 2 |+c F 3 6 6 2 26)

f 3* ~ 8” 5 3 V* 2 - 4 x - 7 Rpta. (x 2 + 5 x + 2 0 ) V ^ I 7 + i i 2 l „ U - 2 + V ^ ^ l + c

27)í — ,

^X . = xs¡3x2 +2x—l

Rpta. -arcsen(-——)+c 2x

■

(28)

f ---------

W

J (x-l)V *Z- 2 x - 3

■■ - ■—

Rpta. — arcsen(---- )+c 2

Integral Indefinida

221

3dx — —-_.rJ x ^ x 2-9

_ 1 ,2* Rpta. —G/rsec(— )+ c

(3l) W

f ---- f * Rpta. —— J x 4 ^/Í6 ^

+16+c

@ W

f -----p ---- Rpta. 1X ^ l 4 x 2 -1 +tJ *4- ¿ r^ T

2

3

96x

3x 3

( x - r f - J x 2 +3x+1 3 x -5 I 2 I 7 11 i (jc + 1)a/5 +-\/x2 +3x+1 Rpta. ---------- r V* + 3 x + l----- p^ln|------ ---------------------- +c 20(x-l) 4V5 x -1

®

J- f T T I t f

á —¡ = =

R iK - - 2^

’/4 + " ! «

n t 1 1 / W +H+ 1 . 1 . / 2 m+ 1 . , Rpta. —ln(--------- —) — prarctg(—p —)+ c

JViTI7

6

(“ "I)

V3

-s/3

donde u =

®

r

dx

„

11

3/l + x 4

+x

1

r3/l+ x 4 ,

222

Eduardo Espinoza Ramos n » M 1, . M-1-1 , 1 . , 2 W- 1 ----- 1----- ¡= arctg(—¡=-)+c Rpta. ---- --------- lnl , 2(u + 1) 6 ^ 2 _ H+1 2 -v/J a/3 dx X

1 [J+ x\¡

Vi

* "• j f —

\J+X

í£r x6(6 5 -x 6)1/6 ■ 1 7 ^9

I

1 [l+ x \¡

>1 - w f —

1 |l+ x 4

> -W —

1------------------ ,6 5 -X 2

R p ta .------ (----- — ) 325 r

+‘

s/6

Rpta. —ln x ——ln | Vx2 +9 + 3 1---- — 6 6 2x2

dx

+c

Rpta. 6« + 2 ln | . = 1 - 1-2 arctg(-^jÜ)+c V« 2 +M+ 1 V3

S)

donde u = (1 +^[x)i i

í

dx

V l+x 3 1 2 -\/l+x + x 4 1 , . (l+ x 3)1,3+x R p ta .----------- + -parctg(------ P ------ - - l n ------ t-jtt---------- t-ttt---- r +c X yfi J3x 3 (l+ x 3 ) 1/ 3 +x(l + x 3 )1/ 3 + x 2

©

D t „ r « 13/3 3w10' 3 3w7' 3 h4/\ Rpta. 12[------------------ 1-----------------l+c 13 10 7 4

l + X l M í¿C

donde f J x 4 V l+ x 2

Rpta. ^1+f 3jc

m

= 1 + x 1/4

(2x 2 - l) + c n-l

3

S

dx x n(l + x n)l,n

n>2

Rpta. -

+c

223

In te g r a l In d e fin id a

® W

f— ¡x€ ¿ ?

Rpta. —ln| ’ 1 5 \F T 7 7 l

arcl¡j-!^-+t5 43

donde t =^¡l + x 5

©

íJ (^X2 - l n) V x 2—— x —l 1

x-3

2

\x -lh Í5

l

3 x + l-2 -)[x ^-x -l

Rota. —arcsen -------- ¡= — In ------------------------ +c

@

r

dx

I --------J

í—T

J ^

x+l

A

R p ta. ~

(2 x-3 y]4 x-x

= T T

Jí ^ l + x V

®

2

+ 5 ¿c

©

l f . x+6+*v60x-l5x2 , = l n | ------- r — - --------l + c Vl5 2 x -3

R p t a - -^ln|/ . ^ - | - j a r c t g V l + x 4 4 V x * + l+ l 2

+c

R p ta. 2 y 3 x + 5 | + c + V s i n | ^ * + * ^ j l | + c

^

- f # r > ‘ +t +c

dx

f

„ .

3 Jx+l +c 2 V x -l

x rfr

J -v/x+l +^/x+l R p ta.-(x + l)3/2- - ( x + l ) 4/3+ - ( x + l ) 7/6- (x + l) + - ( x + l ) 5/6- | ( x + l ) 2/3+c 3 4 7 5 2

224

©


J

________ dx________ (2 x + 1) 3 ' 2 - ( 2 x + 1)1/2

Rpta.

- (2 x+l ) 1' 5 + 3(2jc+ 1) 1' 6 + 3 ln | $¡2x+\ - 1 1+c

®

[ 7 t— 77 J V1 - 2 x - ^ / 1 - 2 jc

Rpta. --v/í —2 jt —2 ^/l —2 jc —2 In|^/l —2 jc - 1 |+c

(S )

[~^TF=r 1+ ^

Rpta. —^ /? - 2 V x + 6^/x-5arctg^/jc+c ' 5

©

J

dx x(l + 2 t/x +\fx)

„ Rpta.

(5 )

W

3, . x\fx , 2 ,4 ^ /x -l I-----—arctg(— =—)+c —In I---- - = —-------—— 4 (l+ V ^) 2 ( l - ^ + 2W ) 2^7 V7

f - ,_____ ± _______

tf(x--a)"+i (x-b)"*1

dx -,----- = xljl+x

«

n 6 Rpta' | x 5 / 6 _4xl/Z + 1 8 * I/6 + - ^ ^ - 2 l a r c t g ^ / 7 + c

@

f

b-aMx-a

1

r-

v x dx

®

Rpta. - Í - J H

■ Z

r _ ^ 1, f-1 . V3 , , 1 + 2/. Rpta- - l n | - = = = | + — arctg(—= ^ )+ e 5 +t + l 5V3 ,/----- r

© W

[% x~ x'd x J

3r 1, ,( Í + 1) 2 , -s/í ,2 /—1 Rpta. — 1 -------- In( ; + } ) - ^ - a r c t g ( - ^ > + c ^ 2(t + 1) 4 V - / + 1 2 donde t

\¡3x-~x3

Integral Indefinida

@

225

^ (l+ sfx )* d x

_ Rpta.

2x r * r*‘r + 36*~ f ,r 8* ‘ r~ 6 ’ fifT — V* + 24 —W ----------------------------------v * + +c ---- V *+ — x “ V*‘ 3 11 13 5 17

dx

i

:-'¡x2- X

+ l

Rpta. -

—In|2jc—1—2-\/je2 - x + l |+ 2 |ln x -V x 2 - x + l l+r 2(2x—1—2-\Jx2 - x + l ) í /x

í (x + 2fr]x2 +2x ®

í

2

Rpta.

\x+2

+c

V-C2 + JC+1 U + l) 2

Va*2 + jt+ 1 , . 1 7, 1, . 1 - jc+ 2V*2 +x + l Rpta . --------------- -f ln | jc -i---- \-yx~ +x + l |h— ln |---------------------- l+C jc +

1

jc +

1

x rfv

©

í r(JC-I ^ )i2 Vi + 2 x —X2 Rpta.

@

/

@

@

-v/l + 2 x - x 7 1 V2 +Vl + 2 x - r 2 ----:-------j= ln |------- ;----------- |+c 1- x 2 (1 -x ) jí

(X2 + lh /x 2 - l

l+ x 2

í

-Vi + x + 4* dx ^/l+JC

1 , V^X + Vx2 +1 . Rpta. —= l n - ———, +c ^ 2^2 4 2 x-4 x^\

_____ / 2+2 Rpta. ln| jc-h-s/jc2 +2 |-a rc tg — ------ + c

Rpta. y (l + x)lü + y (l + x)7 -8(1+ x)4 +c


226

rsi

73)J —

i m — JL JL Rpt a. 2 x2 ——jc10 + 10*10 -lO arctgx 10 +c

JC+X5 J_

J

Jl

7 . r2

+*15 dx

Rpta. I x 1 -14jc14 + 28In(x14 + l) + e

JC 7 + * 14

1— 7 ?)

^

j y x +l

f —j=-— — J tí/^ + 1)2

S 3 Rpta. —x 4 - —a 4 + 2x2 + 4x4 -21n(l+->/3)-4arctg—+ r 532 „ . 3 7 , t 3 Rpta. —x 3 - 6 x 3 + —-------------------------+ 9 1 n |x 3 +1|+ í 2 I x 3 +1

.3

f —==————==—Rpta. 3arctg(Vx)+<• ^ ( 1 +^ 7 )

80)

©

, / 3 / r , i >2 f WX + U & J ¿Ir

Rpta. - ( x 3 +1)2 - 2 (x 3 + 1)2 +c 5

f^ E rfx J i/v

Rpta. S ± í S 5 K 2 - W ¿ + c 5

I_U—2^_dx_

Rpta. (x-2)-9Vjr 2+9V3arctg(^^) + c

¿

1

2

1

2

(x-2)3 +3 ©

Rpta. A (7^ - 4 )(i + ^ ) 4 + t.

Integral Indefinida

227

dx

©

x —1 Rpta. arcsen(— ¿=)+c xv 2

S x~\ xn“ + 2 jc - 1

1 3+3x + 2-j3(x2 +x + l) Rpta. — 7= ln |---------------------------------------l+c JC- 1

¿Y

í

-i)V ?

+ JC + 1

1 1 2+-y¡2 + x - x ^ Rpta. — prln —+---------- ¡=----- +c V2 4 W2

dx

í

;^2 f x - ,v~

1 2” v Rpta. ~arccos(— j'—) +c 2 xv 2

dx

í xV" - nX2 + 4 x -4 jt 3 + 2x 2 +3.V + 4 dx + 2x + 2

©

Rpta. (— + —+ —)Vx2 + 2x + 2 + —ln |x + l + ^/x2 +2x4-2 |+c 3 6 6 2 5.r+3

Rpta. —5^5 + 4 x - x 2 +13arcsen(*- - ) + c

dx

V5 + 4X~X~

Rpta. -

»9,

+5h /-.v 2 +4.v +13 arcsen(*^ ■) + c

x~ + 4x , 5 1 1 gi— Rpta. —jc* - A x 2 + 18jc® + —-4=r-21 arctg^/x +c 5 1 + Vx

©

í

dx -------- -------(2x + 5hl2x-3+ & x-\2

© í (x ■2)4dx^~~4 + 1 x

jc

Rpta. —arctgfl +—sjlx - 3 )+c 2 2

Rpta. — arcsen( — - ) + c V3 -v-2

228


í ----- p ----x - y x 1-1

(93)

Rpta. — + - a /x 2 -1 - - l n | x W x 2 -1 |+c 2 2

2

dx

í

( jc — 1 ) 3 "\/ 5 jc 2 - 8 x + 4

_ .

-\/5x2 -8 x + 4 (4 -3 x )

-J5 x 2 - 8x + 4 + .v

Rpta- ----------5 T ¡ ? ------- + ln |-------- -------------l+c

®

Rp,i'r 1 -V l+ x + x 2 , . tfx x-\/l + x + x 2

®

í ----------Í = = J (x2

® W

f * ~ 3 x ~ 1 dx+ f -Jx2 J x - x - 2x J

W

J

x

2 - 2

aic,s(i 7 n ! )+ c

_ , . x+2-2-J\ + x + x 2 , Rpta. ln |-----------^ ------------ |+c x~

(97) w

Rpta.

1^ + 9 1" 3

Rpta.

aresen(——— )+—\= arcsen(———)+c 4 5 x - 5 72^6 5x+5

+ 4 de

+ ^ ] + —a/x~ + 4 + 21n | x + •y/x2 + 4 1+c x+1 2

x

+8

®

J

x

W

J x^ ( 1 +Jt4)3

®

j — Une + l m .l n e '] *

f cigh(lnx) ,

f c r r

f

^

1

senx.eos5 x dx (eos2 x + eos3x + sen x)

229

Integral Indefinida (ffi\

f

V— /

A T ^ te le rf A J (c ig v -t- xcosec'x)-

v^ /

r -dx___ J ( v + D-v x2 + x +1

(J o j)

J V ' ( 2 + ^ ) ' 4dx

(W )

J V l + e 4v dx

@

f 7

®

[ ---------- —---------—- f a' cos ecx dx J sen jr(-Ycos x —sen x)~ J

© —y

i — ,— ± — . -j ’ • 5J 2 cos x + sen x cos x + sen “ x J (jc ~ 1)(x~ - 2x +

—7

3 x (1 + x )

r

I

7

( n i)

^

r

r cscl7 T T ^ I WTWTTTT,

(m ) v-«'

f ---------* ------------------------------J scn 2 .r.ln(u>.v) J r

1.6.19

p=J

* 5)

(2 + \fx)dx

®

X

f—

EJERCICIOS DESARROLLADOS DIVERSOS.Calcular las siguientes integrales: dx

©

í 4^[x +1 Solución Sea r = *Jx

f .¿ jV T rT T

=>

-f

x = z 2 => dx = 2z dIz, reemplazando en la integral

.„ « i

= £ ,

J V7TI

Sea w - J z + 1 -=>

- = ir 2 -1

=> ¿/ = 2^ d\\. reemplazando en (1)

230

Eduardo Espinoza Ramos | dx

_ ^ f (w~ -1 )2 wdw = 4j(IV2 ~\)dw ’- i vv

= 4(—— u) + c•= —v»t iv2 -3 ) + c = —Vr + I(r + l-3 ) + r = --^^fx + I(V* -2 ) + c 3 3 3 3

©

1W-V

Sea z : = a*

=> dx —2z dz, reemplazando en la integral dada:

1- r , _r (1 - r ) ^ d x = [ $ —^2zd= = 2 [ ^ \ — _dz = 2 | r í/r 1+ c 1 1+ J ^ i-r:

( 1)

Z

fsenfl = r Sea 4 => z = sen &

[O = aresen r Idi = eos 0 dO

cosO =-\ll-Z2

f sen' OcasOdO f f -■ * = Jsen 2 0 dO =-^-(0 -son Ol o s 0 ) 1 eos© J u -=4 •

- —(aresenr- W l - r 2) reemplazando (2) en (1) se tiene:

(2)

231

Integra! Indefinida

I-—^L d x = —2 a/1 —- 2 - arcsen r + W l - r 2 + c \+ 4 x = ( - 2 + r)-\/l - - 2 - arcsen r + c = (~Jx - 2)^1—x - arcscn -Jx +c

©

3¡1-x dx \+X

X

Solución cSea r = ----- , despejando a ■ a x = -----I“ - ’ 1 + -Ï 1+ r 3

d x = f I4 l+ x i l-z

3^

(

=>

w =- ------6 r 2Æ dx —— (1 + r 3 ) 2

---6~~, )d= = - 6 Í ----- = 6 [ - J ( l - z 3)(l + r 3) J (r 3 - l ) ( r 3 + 1)

(1 + -3)2

,tr A /4 ¡s B Lz Cz++UD bEz+F z+ t .. = 6 [----- +----- + —^---------+—---------lífc J r - l r +1 r + r +l ; 2- r +l

Calculando los valores de A.B.C,D.E.F se tiene: = [[— J

r —1

+ —-------------------- r ~ 2 }dz r + l - - 4- - -4-1 - -u 1

ln| = - l | + l n | - + l | - | l n | r 2 + r + l | Ty l n | - 2 - z + l | -

-Viarctg(~~ ) + V3 arctg( ) +c V3 V3 l n | r 2 - 1 1—- l n | ( r 2 + r + l)(r 2 + z + 1) | —J3(arctg 1. 1 - arctg )+c 2 V3 V3

I lz £ i+ .t

232

©


It

dx

T \i+ x 4 Solución

f = í x°(l + jc4 ) ' ; 4 dx , ahora aplicamos la condición de CHEBICHEV J Vi+ * 4 m +1

0 +1

1

------= ------ = — no es un numero entero. n 4 4 wi + I 1 1 ------+ p ~ ------- = 0 es un numero entero. // 4 4 Sea z 4 =x 4 +1

=>

x 4 = (z4 - l ) ~ l = - ¿ — z —1

= (z4 - l ) li4 => dx = - z 3(z3 - i y SIAdz

- J z~l (z4 - l ) 1/ 4 r 3 ( r 4 -l)~5l4dz

t z~

r 4 —1

,

r. A

A f _ 5 _ + Cr + D --1 -+1 r 2 +l

B

Cz + D 1 .

( 1)

A(z+l)(z2 + l) + 5 ( r - l) ( r 2 +l)+(C’c + D )(r 2 -1) ( r - l) ( r + l) ( z 2 +l)

r 2 = A{z~ + z2 +z+\) + B(z3 - z 2 + z~ l)+ C (z3 - z ) + d ( z 2 - 1) r 2 = (A + B +C)z3 + ( A - B + D)z2 +(A +B - C ) z + A - B - D por identidad de polinomios se tiene:

233

Integral Indefinida A + B + C =O A -B + D = 1 A + B - C =O A - B - D =O

resolviendo el sistema se tiene: A = - , B = - ~ , C = 0, D = — 4 4 2

•( 2 )

ahora reemplazando eslos valores de (2 ) en ( 1)

4(r —1) 4(r + l)

2(r 3 +1)

]d=

1 1 i .l — In | - —1 1h— ln | r + 1j — arctu z+c = — In f----- 1— aretií z +c 4 4 2 ^ 4 r-l 2

- ——ln| ^.X + ^ — | —- arctgfifx 4 + 1)+ t 4 4+ 1 1 - 11 2 (.r-Jt3)1,3rfr

CD

J Solución Sea v = — => dx =

. reemplazando

234

Eduardo Espinoza Ramos Solución Sea z 2 = x * -1

=>

2zdz = 5xAdXi reemplazando en la integral dada:

_ 1 !r 5xAdx _ 1 ir 2~-ífc r 5 “ ,1 5J J1 1 - 2 +D5J1X5Vx 1 w '*5 - l f

dx

2 r dz 2 2, s ^ = — ------- = —arcter + c = —arctg(x' - 1) '~+c 5 J r

+1

5

w5

h

sen 2 jcdx

©

j

> I V 1 I 4 *nr WV/«J 4 A sen x +B cos x

Solución

f

senzxrfx _ fr sen 2 x ¿x sen 2 x tfx I 4 4 —I “ 7 ? ,2 O *> (sen" x" +*---cos- x)“ - 2 sen" xcos~ x J sen x + cos x J (sen— --------r

sen 2 xrfx 2 sen2 2 x

r 2 sen 2 x¿/x _ ^ r J 2 -sen 2 2 x

r sen 2 x 2 ¿x = ------------- —= - arctgfcos 2 x )+c J l + (cos2 x)“ (T )

f _________ ÉL_________ j x(x2 —l)(lnjc2 —ln(x2 - 1)) Solución

sen 2 xdx l + (l-s e n 2 2 x)

j* sen 2 xrfr M + cos2 2 x

Integral Indefinida

®

f

235

(x -a )* ’( x - P) p d x , p > 0, a * p (x-a)(x-P ) Solución

r ( x - a ) ‘’( x - P ) r' ^ J (x-a)(x~P) x-a Sea r = -----x-p

( t - p f i x - p ) p_ dx í (x-a)(x~P)

f

( x - a f l ^ _ r x-a J (x - p y ’' 1 J x - p

dz

dx

a-p

(x-p)1

a- BJ

p(a-fi)

dx (x~P)

p(a-ft) x - p

Solución Sea z 2 = x

=> dx = 2 / dz, reemplazando en la integral dada

=(2=d=) _ 0 f - 2dz f I x j _ f =@=d=) H 2 - x dX = \ ^ - - l j V I 7 :

Sea

sen 6 = J i 7. = -J2 sen 6

cos 0 = V2 j* z 2dz _ j*2 sen 2 0^2 cosOdQ J ^¡2 - z 2

=,

0 = arcsen(-^=r) y¡2 d: = 4 2 cos 0 dO

V2 - r 2 =-\/2 cos©

= J 2 sen 2 OdO

V2 cos 0 C r n / 2 —r 2 = j (1 -c o s 20)d6 = 0 -se n 0 cos0 = arcsen(-^=)------------

... (2)

236

Eduardo Espinoza Ramos reemplazando (2) en ( i ) se tiene: JC

dx = arcsen( - ^ ) - z 4 2 - z 2 - 2arcsen

\2 - x

5) 1

x +c

~

\2

( \ + e 2x) l ,2 e x d x

(l + e2x)(-^4 + 4 e ^ - l ) Solución

r

(l+*>2') (i +e~ )] 2'e'dx e dx

c _ r

* (l+e2x)(44+4e2x -1) Sea z 2 = l + e2x

e'dx

* ^ ( U e ^ ( 2 - J } + e2x -1) e 1' = r 2 -1 => ex

=>

=> exdx = —¡~-=

V?^T r

(1 +e~A))1/2< ~e?*d dx (l+e2 Lr

_ r

(l +
Sea t = —— 2--1

=>

zdz Zí/r

_ fr

rVr2 - l ( 2 r - l )

2 r-l = i

=>

dr

..(1)

^ (2=-]yf=2 - l

r =— 21

=>

d: = - dl 2r

Ahora reemplazando en la ecuación (1) se tiene: di

j-

0 +e 2x)v 2 exx

•* íl + e 2 x v J ¿ U

_f -\)l= 2 2 -- l1))^^ JJ Q(2=r-l)(_

te 2r-U

_

f

1

1

2-->

2Vh ^ 37-1

—

JJ -\/l+2/ —3/2

V3 J riO _ í / _ I )21i/2 27 3 J

r3V3/—V3Vio

= — r= arcsenf------¡= — 1+ c

como t = ------- = — ,

dz r2 r _ f212

1_ r ______ _______

di

•* Vl + 2 f - 3 r

1 V3

¡ . JJ 11 f¡,ll ++ l‘. *2 / V 2/

dt

entonces

2/2

237

IntegraI Indefinida

J

(l +
1 r 2^3(2 - Vi+ t?2' ) . — ^ arcsenl——— -- == .----- ]+c ^ slÌQQ-fl+t?2r -1)"

(\+e2i)(44+4eTx -1) ,arusen

/■ Solución Sea / = arcscn x

¿Y

dz =

rfjf

V1- sen2 r" cos -

^Jì-7 / = arcscn x Como

rfv

x = sen z dx = cos z dz

cosr

JearLicnvrfx= J<'; cos r dz

Integrando por partes:

(1)

du — r = sen r

u-e dv = cos r dz

| e: cosr dz - e 2 sen r - J e~ senr dz

\du = e~dz

|u - e \dv = sen z dz

v = -cosr

J*£" cosz d z - e 1 senr+é>r cos r-Jc?" coszdz

ì

•

e : cos r dz =

f ' (sen r +cosr)

(2)

reemplazando (2) en (1 ) se ìiene:

J

e

aroen i *

z ( s e n - + COS _ )

d x - e --------------

+ t =

„ archer. £ >

(v + V l-.t2 )

---------------- \-c

23*

5)


í

(Y - l)(A -

dx + l)V (r-2)(* + 3) Solución

1 (x

- 1 )(a

A +1)

a-

B

-1

a

A(x +1) + B(x - 1)

+ 1

( a - 1 ) ( a + 1)

í A +B = 0 1 = (A + B)x + A —B. por identidad se tiene: j ^ ^

2

>

B= -i ? 1

1 1 1 ■=—(— r + r) ( j t - 1 ) ( jc + 1) 2 x-\ Jt + 1 f

^

_ Wj 1

j ( x - 1)(jc + 1 ) t / ( x - 2 ) ( a + 3 ) ~ 2 j

= I r f _____________ £

Calculando la intearal

J

(A- +

f ------- , A

dv

x + 1 ^ / ( x - 2 ) ( a : + 3)

.y - 1

___________________ f ___________ £

2 J ( a - 1 ) V U - 2 ) ( a + 3)

dx

1 J

_____________ ]

..

l)^ (,v -2 )C r+ 3 )

=■

j (X -l)-y /(A '-2 )(A + 3 )

cSea

1 r = ----=> x —1

1 .y-1i = — r

=>

^d

x-— — -2

f _______ £ _______ = f _______£1_____ = - f J (a -1 )-J(a' —2)(a-+ 3) J I ^ {i _ 1)(I + 4) J V (l-r)(l + 4r)

= f —, = r completando cuadrados -\/l+ 3 r-4 r“ __3 = — ^ í —- = É ^ = = = —- arcsenf—— ]+ c 25_7_3 : 2 5 Í 64 {- 8 «

( i)

239

Integral Indefinida

= —- arcsen[——- ] + cx = —- arcsen[——— ] + cx 2 5 2 5 (x -l) dx í -------- = =

ahora calculando la integral

1 Sea t =----x+1

,1 x +1 = -

=>

t

2)(x + 3)

dt => dx = — t~ dt

f

.d

1 (x +

x

1)V(jc-2)(x +

t2

. - I r. 3)

J

... (2)

di .

~ if

1 ^(1-30(1 +

í(I_ 3 KI + 2 )

— — I[

2/)

dt

J

/2

ill

1 / +— ° ~ Í Í

125 1 , l f e r (' V

ñ

1 -arcsen^ - -—]+ c 2 = — j= arcsen[ v + ^ ] + Cj ^6 5 “ -x/6 5(x + l)

...(3)

Luego reemplazando (2), (3) en (1) c dx 1 1,11-3*. 1 1,jc + 13, --------------- . ■ — = — arcsen—(----------------) + — arcsen—(---) J (x - 1)(* + 1)^/(jc- 2)(jc + 3) 45x - \ 2V65jc+1

5) J... ....

x 2dx Oteos jc-senx)2 Solución

A la integral dada lo expresaremos en la forma: r

x 2dx c * xsenxdx . ------------------- - = --------------------------- # integrando por partes

J i r e n e v — cf*n

~

J S e n X i r rf>c r —

“

240

E d u a r d o E s p in o z a R a m o s

,

u =■ sen* jcsenjc dx dv (jccosjc-sen jc)'

j

x 2dx (jrcosjr-senx)2

senjc-xcosx ,

au ------------------- -— dx

(sen*)“ 1 v=■ xcosx-senjc (senjr-jccosx)rfjt

senx(jrcosx-senx)

sen x(x eos jc - sen x)

sen jc(jccosjc-senjc)

H **jr(xcosx-senjr) J* cpn sen2 Jcos ec2 ~xdx

-CtgJC + C

Solución . f x 2 -1 dx 1 f x 2 -1 2xdx la mtegral dada expresaremos asi: I , —-------- = —I , —--------- J Vor+1 x 2 J\x~ + l x~ Sea : = x 2

=> dz = 2x dx, reemplazando

r fx2 -1 dx 1 r jz-1 dz j V j r + i T ^ l J 'V T T T l c

•>

..(2)

v r+ 1

r —1

Sea w = ----r +1 f jx2 -1 dx

... ( 1)

dz =

w2 - l

1f

w2 -1

4wdw

r

4w dw

(w2 - l ) 2 w2dw

j V ^ + T ^ ’ ^ J ^ ^ + i V 2 - ! ) 2 " J (tv2 +l)(»v2 -fr A - “2 1[- + j w -1

B Cw+D + — ;—-]d» W+ l w + l

... (3)

241

I n te g r a l I n d e fin id a

w2 A B Cw+Z) --- 1-------- r----- = ------- f*----------- ------

(w~ -l)(w2 +1)

w+1 IV“ +1

w-l

_ ,4(w+l)(w2 + l) + i?(w-l)(w2 +1) (w—l)(w+l)(»v2 +1) w 2 = A ( w 3 + w) + A ( w 2

(iC w + D ) ( w 2 -1) (w—l)(w+l)(w^ +1)

+l) + B ( w 2 + w ) - B ( w2 + 1) + C(w3 -~w) + D ( w 2 -1)

w 2 = ( A + B + C)w* + ( A - B - D ) w 2 + ( A + B - C ) w + A - B - D

=0 .. , -B + D =1 + B -C =0

A+B+C

.

A A

„

resolviendo el sistema se A=~. B =-~ ,

4

C = 0,

4

tiene: D = -

2

ahora reemplazando los valores de A,B,C y D. je2 -1 dx l +l X

w +1. 1 fr rfw 1 fr rfw rf rfw 1.1 - . ,w+1 ---- - + - ---— ---- = —ln I-------|-a rc tg w + c 2 J w-1 2J w+1 J vv“ +1 2 w—1

= 2 -1

1, . V ^ I + V I + l , arctg J ----- +c = - l n h = — - a r c t g h U +1 2 'V ^ I - V i + î

-1

1. . -y/*2 -1 +-y/*2 +1 ,

= ? ln|T T = —

2

5= 7 =

VJr'-l-'VJC +1

,

Í - arctg

v + i

t

fr-T +c Vz+1

+c

COSJCrfjC

©

Msen' or-co s3 or Solución f cos xdx _ f sec2 xí/x I î ï “ I ï J sen X-cos x J tg jc—1

/lv ••• Vv

242


Sea z = tgx =>

dz = sec2 xdx

f sec2 xdx _ f dz J tg3 jc —1 z 3 -1 1

/í

r

dz ((zz -— l l)(z ) ( z 2 + zZ +1) + l)

Bz +C *+ * z 3 —1 2 —1 z 2 + Z + 1

A J z —\

Bz +C ]dz z}’ + Z + 1

A(z +z+\) + (Bz +C)(z —1) ( z - l ) ( z - +Z + 1)

] = A(z2 +z +\) +B(z2 +z) + C (z -l)

=> 1 = (A +B)z2 + ( A - B + C ) z + z - C

A= Por identidad polinómica se tiene:

A +B = 0 A -B + C = 0 A - C =1

1

B =- i 3

c=-2 reemplazando (2) en (3) se tiene f see2 xdx ] r. 1 z + 2 , , 1 ri . l r 2 z + l+ 3 , , I — ---- r = T J [— i-” ---------------------] r f z = - [ l n | z - l | - - l ~ -; dz] te x -1 3 J z -1 z +z+ 3 2 J z~ +z + l p

-± l 2J

2z + l Z 2 + Z +1

dz

fe“ 2 Jf—. 1ií

]

2

4 1

Z H---

= ^[ln | z - l | - ^ l n | z 2 + z + 11 a r c t g f —^ - ] ]

= i[ ln | z - 1 1 - I l n | z 2 + z +11-V3 a r c t g í ^ - ) ]

= j [ l n | tgx-11 - y l n | tg2 x + tgjr + l | -y¡3 a rc tg (-^ ¿ )]

© íxe* sen xdx

••(2)

..(3)

Integral Indefinida

243 Solución u - xex dv = sen x dx

Integrando por partes se tiene:

du = {x+\)e'dx V = — COS JC

Jxex sen x dx = - x e ' cos x - J(x +1 )*>c(- eos a-)dx (1)

= - x e A eos x + J" (x + l)é?' eos x dx

du = (a:+ 2)e'dx v = sen x

i4 = (x + l)tjl dv = eos x dx

haciendo

J(jr + l)e* eosxd x = (x + 1)ex se n jc-J(x + 2)í?' senxdx

= (x + l)e* sen x -

Jxe' sen x d

x e x sen a' dx

(2)


Jxe%sen

a

dx - -xe* eos jc + ( a + \)ex sen x - jx e ' senxíÉc-2jé?1 sen a dx

j x e ' Ss Qnxdx

=

*xe* eos x

ahora calculamos la integral

(x +1 )e ' sen x

C x e sen.vííx:

í

Je ' sen

a

dx por partes.

(3)

244

Eduardo Espinoza Ramos JV Xsenxdx = e* s e n x - e ' cosx~Je* sen xdx

r v , senx-eosx j e sen x d x - ---------- -----------

...(4 )

reemplazando (4) en (3) se tiene:

í

18J

v , - x e x eos x (x +1 )ex sen x e* sen x - ex eos x xe senxdx =------------- + ----------- :------------------------------- +c

X3Vl + X4 1 , v I Vl + x 4 +1 dx Solución Sea r = x 4 ==> d z - 4 x 3dx

rW

=> x 3¿/x = —

¡ i 7 ^ _ r y rrr

J Vl + x 4 +1J Vl + r + l sea w2 =l + r

=>

4

(1) 4

J V 1+ I + I

dz = 2udu

_ c u 2du _ f . , 1 , 2 ^ —— -— = 2 1------ =2 (w~l + ------ )du =u -2w + 21n|w + l| Í ^,\ +z —dz = ru(2u)du Vi + z +1

*

w+ 1

^ w+ 1

J

w+1

f 2 ^ ^ . =M2_2,/ + 2 in |M+ l| = l + --2 -V Í + 7 + 2 1 n |V Í + 7 + l| J VI + r +1


...(2)

245

Integral Indefinida x 3Vl+-v4 .

í

r +1

X

19)

V l+ ^

1 , , /t----

,,

dx = — ----- ^ — + - ln |V l + r + l | + r O •) aI Î + 7 + I 4

+ 1_ j ! + £ l + l

l n | ^ 1+JC4 + 1 | + t .

Jln(V l +X -< sl\-x)d x

Solución Calculando la integral por partes

u = lnfVl + A* ~-s/l —jc) ¿v = dx

x^\~ x2 2x v-x

Jln(Vl + x - -\/l -

jc)rfx = jcln(^l

+ x —n/l - x) - J —

rfx

= ln(-\/l + x —v /T ^ x ) - - f [ . 1 + l]rfx V1- X2

( 20 )

J^/tg2 x + 2dx

Solución A la integral dada escribiremos así: ri¿ i± ü *

246

Eduardo Espinoza Ramos 1 , I 2 r. f COSXdx '■In | tg x + 4 1£ x + 2 | + 1 i ■ ^ Vsen2 x + 2cos2 x

I t ~ c cos x dx = In 1tgx + Vtg“ x + 2 | ~ = *\/2-sen~ x i . I 7 7. senxx = In | tg x + tg~ x + 2 | + arcsenf— +c V2

§>

+W1+JC Solución Dividiendo numerador y denominador por x 2 íjc2 -1)

f

(x2 -1 )dx

f

U x 2+ \y lü 7

x2

J ,„. i J „ 2 , i {x* ~ x T * 7 2 dr = ( l— ^-)dx, d z ~ — i

Sea r = x + — => X

r

•)

-x

■?

dx

X“

1

-

+— + 2 X"

=>

x

i l

+ — x~

ahora reemplazamos en la ecuación (1)

X"

2 o

~z~-2

dx

Integral Indefinida

247 dt

r d= _ _ f _ _ r z . Jw ^ Ji / m W /2

^fl di

_r * _ U - 2 ,2

■J2

1

S i J V l-(V 2 0 2

-J 2

= -^ -a rc s e n (— )

[—

arcsen(V2/)

-Ji

...(3 )


A'

4Í , -Jlx . ----arcsenf—---- ) + c 2 1-1 jrr 2 +1 -

dx

í Solución Sea r = í?r

=>

¿fc =

-zdx

=>

r/v = —

f -7-

......,■ = [ - - £ — Vl + e* +e2x W- +- +1

1 Sea / = — =>

-

. .. d )

1 , dt r = - => rfr- — —

t

tl

dl di

r ____£ ___ - í

J W 77777

-J

, /2

J 1 ÍT 7T 7

/ -v V/ , + ~/ +1 =

-

r

J#

+ /+ 1

— = - i n |/ + y+ V /'2 +/ + l | = - l n | - + - + j ^ r +-^ + l |

248


:

i i - + 2 + 2a/—2 + - +1 In | ---------- ------------ 1

...(2 )

2

reemplazando (2) en (1) se tiene: f

i

dx

= -ln

J Vl+e' + f !' 23}

z + 2 + 2%/-2 + r + 1í?' + 2 + l 4 ^ x + e T+1 , ------------ +c, = - l n ---------------- +c 2-2«'

J C An x + sen2 x sen" Solución A la integral dada escribiremos así: reos3x(l + cos2 x) , reos2 x(l + eos2 x)eosx , r(1-sen2 x)(2-sen2x)cosx . I ----- 5---------— d x = \ -------- j---------i-------dx = \ ----------- i-------- ?--------- dx J sen x + sen- x J sen x + sen- x J sen x+sen“ x Sea z = senx => dz = cosx dx [
sen x + sen“ x

2 ^ z-

2

2

= z - 6 arctg z — + c = sen x - 6 arctg(senx)-------- + c z sen x

© ^

x —1.

í<— » -7 = :

dx

1 * + > - / r t ? + x + l) Solución Sea z 2 = x + l + —

=>

2zdz —(1— \-)dx => 2z d z- X

ahora a la integral dada escribiremos así:

7

dx

249

Integral Indefinida

■J

a

—1

1

dx

Y-f 1 X

x -1

T-il?

r '* 7

x

1 T

v

dx

1

x -1

2 + + 22.V+ 1

, 1 ------A A ' +1+,v V x

dx

x

X

1

x¿-\

i (x + 1 + - + I ) J jc+ 1+ Y

V

*

A

f — 7— — = 2 í = 2 arctg z + c = 2 arctn J,v +1 + —+ r J (r-+l)r J r 2+1 V v

)dx i arcsen(----I+X Solución Integrando por partes se tiene:

Haciendo:

,2-\[x u = arcsen(----- )

du -

(1 -x)dx

1+X

dv - dx

V= X

dx como

íx-1, si x > 1 • ^ ( X + l) Ix - 1 1= i entonces d/v = < dx 11—X, si 0 < A< 1 J ü (x +1)'

,

.Vi

A > 1

A7 0 < X < 1

Luego consideremos Los casos: i)

Cuando x > 1 se tiene: f M x .. 2-Jx. r - x d x 2.-J*, ( 4 x d x I arcsen( )dx = x arcsen( ) - I —= ---- = varesenf——) + I----------J \+ x 1+ v JVTlx + 1) i+v J (v + 1) Sea r 2 =.v => dx = 2zdz \

dx

250

Eduardo Espinoza Ramos r fx dx

----- - =

J x+1

: 2d= _r 1 — -----= 2 —----- =2 ( 1 — ------) = 2( r —arctgr) J : 2 +l J r 2 +l J : -+l r z.lzdz

= 2-Jx - 2 arctgjx

-- ( 2)

reemplazando (2) en ( 1 ) se tiene:

Í arcsen( I + .v )dx - x arcsen( 1+.V ) + 2-Jx -2 arctg-Jx ii)

Cuando

... (a)

0 < x < 1, se tiene:

f ,2 -/* .. P-^x. f xdx r4 x d . aresení----- )dx = x arcscnf-— ) - —¡=-------- x arcscnf-— ) - -------- ...(3) j 1+ X 1+X J ^ ÍJ C + I)1+XJx +1

..(4 ) reemplazando (4) en (3) se tiene:

Í

^ rj— arcsen(-— )dx - x arcsenP— ) - 2-Jx + 2 arctg4x 1+ x l+ x

..(P )

Luego de la parle (a) y (p) se tiene: í arcsenp ^ * )dx = x arcsen(~ ^ * ) ± 2-Jx + +2 arctg ^[x + c 1+ A' 1+ A*

J

xcosx-smx

í

xrfx4 +sen 4 x

Solución Dividiendo numerador y denominador por x 2 v eos x - sen x , x eos v - sen v ■dx r reos y-sen x ^ _ f , v3 = f , j r l _ . rfr v-yx -sen

\/x ' • sen ' t

sCn

..(1)

251

Integral Indefinida senx Sea r = -----*

,

A*cosx-senA _

d~ = ----------------- dx x~

=>

...(2 )


Í ACosA-senA~dx=^\-r 7=dz V ?+ sen 4x

1, . +1+1. 1 A /4/ - —ln\—¡ = ---- - “ -arctg(A/A*

JV Ü T 7

4

V 7 T T -1

4 \\

+ l) + c

2

este es el resultado del ejercicio 4. dx

®

f

e Solución

Sea x n = \ r p

dx rfAT__ =

W I"^ 1

=> x = t 2/" *entonees dx = —~ t ^2in)ldt n

_22 r

t
w^

2

C

l-L-i \/2 di

Vi ( 28 )

=

2 fMJ _ "

S~- t 2 t

2 0 1 = — arcsení + c = —2» arcsenj—n +c

I (----------- ---------- j - x eos ecx)dx sen x(x eos a - sen v) ” Solución

A la integral dada escribiremos así;

Í

(----------- —-----------—-ACOSeCA)rfA = i «r*nx( ví xvrnc cpna * )“ * sen eos jyr — - < sen

■j

a 3 - a (a 2

x 1 - x eos etx sen a ( x eos x - sen x)

eos 2 x-2xsenxcosA + sen 2 a ) , ------- dx sen a ( a eos x - sen x )2

dx j sena ( a eosx- sen

x) J

252


-i

=J

x - x eos a*+ 2x~ sen x eosx —x sen x , -----------------------------------------------sen x(x eos x - sen x) x 3( l- e o s 2 x) + 2x2 se n x e o sx -x se n 2 x

dx

sen x(x eos x - sen x)2

a * sen a + 2 x senxeosx-xsen x" -------------------------------------------- «A -í sen x(x eos a - sen a ) “

a * senx + 2x eosx-xsenA _ --------------------------i----- ~ dx -í ( a * eos a * — sen x y

1 7 x senx + 2x eos a * - 2x sen x + x sen x -J

(x eo sx -sen x )2

r x 3 senx + 2 x 2 eo sx -2 x sen A

,

dx

r

xsenxdx

= -------------------------- r--------dx+ ------------------- J ( a eos a* — sen a*) j (xcosA-senx)** . r fd(------ i2------) +J -sen

J

a cosa

a

A2 eos x - sen a

a*

J (( ax

x sen x dx eos a -sen x)2

1 -+ x eos x - sen a

A2 -1 eos x - sen a

C = ----------------------- \ - C a

see A'Vsec 2x dx aresen(tgx) Solución 0 , v see2 a Sea z = aresen (tgx) => dz = .

dx

^ /l-tg 2 a

dz =

see a dx

=> dr =

Veos2 x

s e e x .V s e c 2 x dx

r s e c A .V s e c 2 a d x rd z ---------------------------- = 1 — = l n | z I + c J a re s e n (te x ) J z

= In I a r e s e n ( tg x ) | + c

-se n 2 a

see a

dx

a / c o s 2 a*

Integral Indefinida

253

Solución

Sea z = 1+ V l+ x 2

diferenciando se tiene: rfz = — +x

v dx

f

* * *

f

J Vi + X2 V + O + v -)1 2

r

1

y dx

f___________________________________

J V1 + O + * 2) 1 2 -V1 + JC2

f -^ r = 2 '/ r + í' = 2-vl + Vl + v ^ + t“ J VÌ4 J0

EJERCÍG ldSFRO PtESI'O S^ aladar las siguientes Integrale-

Q

——^ d A \ d -V-Y

Rpta. a.aresen

l ^ a ^ a - x -^fx —^[a - x +c Vi/

©

r

( 3) w

í rfv •> ', 2 + r

Rpta. 3 arccos(-— - )-r3^jx2 -2 x + 8 +t 3

G

f

_ * r.— - — 1. . -\/3 +-v/2-t sen aRpta. In Vi + sen . r ----- j= ln | —¡=— . - - -.=-. | +c 2v3 v3 + -v/2 + sen x

I —

( t f - ¿ r 2)d\

__ ■===:

" _^

Y

^

dx ------- ■’ cu- i-v2 + senjr

- dx

(7 ) w

f - ^ —= — J V x ^ o +^ ) 2

"

_

a - lx

.

Rpta. arccos(— .

X “\¡ Q

) +c

^Ctf)

Rpta. aresen *Jx —\j\\h - x + c

Rpta. 3arctg^/x+

+c i+*fc

254

© ©

© ©

Eduardo Espinoza Ramos ln(2+Mx)

dx

Rpta. —ln(2+l¡x)(tfx - 4 ) - —fijx2 -4¿Jx)+c 2 4

xcosjt-senx+1 dx (jc + eos x ) '

* senx Rpta. ---------- +c x + cosx

I

Rpta. arcsen(—) + --------- +c

111

dx

x\x+ l V l- x 3

dx

x 24*

, l x

4

x

X

2 -1

X

2 ll-x3 2 Rpta. — , — aresen-Jx3 +c 3 3 v x3

©

Vl + lnjc dx xlnx

Rpta. 2-Vl + ln jc -ln |ln x |jc+ 2 1 n |V l + lnjr - 1 1+c

©

x 2ex senxdx

1 , , Rpta. —[(x - l) s e n x - ( x - l) cosx]e*+c

©

x 5dx V8x3 +27

Rpta. — (8x3 + 27)5' 3 (8x3 +27)2/3 + c 320 128

2a + x Ia - x dx a+x \ a +x

©

dx sen xcosx

©

1^ x 3 aresen—dx dx

+c 4a + X -

C tg

X

Rpta. ln | tg x | -c tg x ----------- + c

Rpta. — aresen(—)+ X 4 x 12

*Jx2 - l +c

Rpta. - 2 (^ /5 -jc -l)2 -4 1 n (l+ ^ /5 -x )+ c

©

\¡5 - X + V 5 - X

©

sen(5x + 2) sen(4x+2) cos(3x+ 4)dx

255

Integral Indefinida _ 1 r.. sen(4x + 4) sen 6x sen(2x + 8) Rpta. —[sen(2A-+ 4) + —— ------ - + -------- + ----- --------] + c 8 2 3 6

®

f I cos" (In x)dx

„ . x xcos(21n.r) + 2A-sen(21nx) Rpta. - + ------------------------------------- -- ------- -------- - + c 2

J

10

I cos x(cos x + sen xh/cosx + 2sen x 1 J c \ g x +2+l l J c t g x +2 - 4 2 Rpta. —l n | - ^ = ----- — 1+—= l n | - ^ = = = — t= |+ ‘' 2 ^jc i g x +2 -1 2v2

a>

P *1 Rpta.

[25x2 (3 sen x - cos a )

(3x2 +4)dx -------- / . . 2~Jx(4-3x2W 3 a-2 + a- - 4

+ -Jx

V3 a 2 - 4

Rpta. —t/2+a/x-T(-v/jc-1 -4 ) + c 3

JJig x dx Rpta.

1n I 4

25j

10a (4 sen x - 3 cos x) + 9 sen x - 13 cos v] + c

a/3 a 2 + a - 4 Rpta. In I—-----

f = = J V2+ a/x Z T 24)

-

I+ lg a' + J 2 tg a*+1

arctg(\/2 tg x -1) + 2

arctg(-\/2 tg x +1)+c 2

f ----- 4 ^ — t RPta- 1,1— — l n | r w + l | + ---------------------------- ------- +c

J x ( x ™ +1)2

© J*-y2+ ^ T ^ T + T c o s p ^ T ^ x

999

*"dx

Rpta.

999(v

32

sen(

(3

^

1

U

+ —) + c 8 4

+1)

256

Eduardo Espinoza Ramos tg-Vdx

¡ (eos99 x+1)2 Rpta. ln x — —lnlcos99jc + l|- ln c o s x ---------- ---------- +c 99 99(cos x +1) (28) W

f -----P —— J x(x +1)2

Rpta. ln * ——In j a -7 +11+c 7

@

r (2 + tg2 x ) see2 x , ------------ -------- dx J 1+tg x

_ , . Rpta. l n | te a

( 30 ) W

f ---- = ---J ein2x4 \ n x + 4 h ^ 7 . - x

Rpta. J l n x +-\/lna-+ -s/Tria +... +c

(3 ^

J(x + (x + (A + (x+...+oo)3)3)3)3dx

+

R p t a . i [ ( x + ( x + ( x + (x + ...+ » ) 3 ) 3 )3 ) 3 ] 4 - Í [ (

4

2

. ,2 2tg A - l 11+ - 7 = arctg(----- p — V3 V3

a

r sen jt+sen2x + ...+sen wx , _ 2 ,w + l . -------------------------------dx R p t a .--------ln | cos(------ )x | +c J eos x + eos 2x +...+ cos nx n+ 1 n

®

r

(x2 -se n 2 x)dr _ ----------------------- ------------ Rpta. x(cos ec - c tg x) + c J jt-senjtcosx+xcos x -se n x

®

r x l n x dx —ñ----- r^r

(35)

f a re sen ^2x ^

w

J

V i - 2 a-

c

+ ( x + ( x + . . . + oo) 3 ) 3 ) 3 ] 6

®

3 (x —1)

) +

_ lux Rpta. — -----+ ore see x + c a: - 1

Rpta. -J2x - ~Jl - 2 a a r e s e n J2 x +c

+C

257

Integral Indefinida

§>

j e x eos3 x dx

Rpta. - ( 3 sen 3x - COS—-) +—e r(sen.v-cosx) + í 40 3 8

+c

1 + JC *2 -J4 + X 1 dx

5+-\/4+x2 Rpta. jc —51n|------ ------ | — ¡ = l n |-------------- =-------- — |+c 2 V2Í ^ _ V 3 tg (Ia rc tg (^ )) 2

40)

©

Rpta.

f

g r 1-f--\/l -4-e '

f Jr-V J A"1 -ty l/7:

2

Rpta.

+í ^

•
—ln|(.v—2) 1 3 + 1| + —ln |(x -2 )2'3 —(v -2 )1'3 + 2 |-----!j= a r c tg (-^ ¡J —-) + c 4 8 4V7 V7 f r -— J x¡S 7 x r

n . —1ln, — , í2 “ 1)2 . + — ^3 arctg(—j=-)+c . /2Z + 1 Rpta. ---------10 z 2 + z +l 5 V3 donde Z = t/ i + x5

r (jc2 —1)í¿c — xVl+3x2 + x 4

. . x 2 + l + "\/jr4 + 3x2 +1 . Rpta. In| ---------------------------|+t‘ x Sugerencia:

f arcsen A dx

J (1_ jc2)3/2

Z = x+ — x

Rpta. aresenx tg(arcsen x) + ln | cos(arcsenx) | +c

258 ._i 45) ^

Eduardo Espinoza Ramos fVl-JC2 , ------— arcsen x dx J x4

„ . arcsenx(l-x2)3/2 1 lnx R p t a .---------------- ----- -—----------------+c 3x 6x 3

dx

I ( x - 2 ) 3^¡3x*^%x + 5 r. * 6x-13 r ~2 ~ 7 9 2x-3+-\/3x2 -8 x + 5 . Rpta. --------- -V 3 a -8 x + 5 — l n | -------------------------- +í2(x-2) 2 x —2 gj

f ^ j- 2 ^

— x

rfx + x

f3x -1 , I ----- 7=^ arctg x dx

J

50)

9 rJ v

2 JrT T r

2

„ 1 1 Rpta. arete x + -------X 3x _ Rpta. —

— arctg a

/v

-

( x '+ l) 2v* + c

- r-

f J 1 -x V Ñ V

Rpta. ——1n 11- xVl -A-2 | +a/3 arctgf^ - ^ * ) - arcsen a*+ c 2 V3(l " * 2)

®

©

r x + -Jl + x + x2 , ----------> ■ dx 1 + x + Vl+Jc + x2

r r 1. . l + 2x+2-\/l + x + x 2 Rpta. V l + x + x - + - l n | ................ . ........ — |+c 2 (2 + x + 2Vl + x + x 2 )2

f * j— = dx J Vx+Vx + l

Rpta. ^-[(x+1)3' 2 + x3' 2]—^[(x+1)5' 2 - x 5/2]+c 3 5

í

a

V

a

“x

2 - A + l

259

Integral Indefinida

Rpta.

2 1 n |jt-V x 2 -jc+1 | - —In |2jc- 1 -2
+c 2(2jc—1—2'v/jc2 - x + 1

Rpta. ln|x+-\/2 + Jc2 | - arctg( ^ + * - )+ c x

¿A

A dx -------- = = = = =

1 Va'2 - 4x + 3 Rpta. - 2 arcsen(------) ------------------+ c

( a 2 - 3 a' + 2 W a-2 - 4 x + 3

* -2

(3a + 2)dx

í

(x +lh/jc2 + 3a + 3

Rpta. 3 1 n |x + -+ ^ A -2 + 3x+3 | + l n |

©

ía

(a - 1 2V

a

)dx

(óo)

J

+ - + —

x+1 2

A

2 + 2x + 1

^

,1 + t g A ,

1

n

COSA 3 . . a/2 COSA-1 , Rpta. —= ---------------------- ^ l n | —¡=--1+c V2 2V2 V2cosx + l

2 - sen3 a 2 )dx

dx

Rpta. ~ (sen x 2 + eos x 2 )(4 + sen 2x 2) + c

Rpta. 2^tg x + c

í •\/sen x.cos 3 x ¿X

© j 3(1 - x 2) - (5 + 4x)Vl -

1,

Rpta. —l n ---- — + —senxcosx + c 4 1 -tg x 2

sen x + sen3 a dx eos 2x

a (cos3 a

+ 3 x + 3 | +c

x+1

_ ^2 x 2-2 x + l Rpta. ------------------+ c

dx

/

—

2-s/l + A

a2

Rpta. —= = — ------+ 6 3V1 + a - V I-x

260 (63)

Eduardo Espinoza Ramos Jcosec5xrfx:

_ A eos ec3x , 3 R p t a .------ —---- c tg x - —eos ecxx: tg x + —ln | eos ecx - c tg x \ +c

(64)

Jsec6 x d x

Rpta. ^

©

fsen3x¿fcc —j Veos3 x

_ ^ 5 , 3 2 Rpta. — (eos x-6)=ycos x + c

®

fV l + x 8 \ — ¿ ~ dx

4 ^ ( l + x 8): Rpta. K ——^

© W

f f = J ^ /(x -l)3(x+2)5

Rpta. —í ——- +c 3 Vx ++22

© w

flN * ó --------J V2x + 3 3x2 + llx+10

Rpta. 2arctg p ± 2 + c \ x+2

©

Í7 7 I

3, ...

* + ~ tg 3 x + tgx-fc

Rpta. H E Í I £ + ^ f ln| * ~ + ^ * + 1 1+ iarctg(2x + ^ ) + i a r c t g ( 2 x - ^ 3 ) + c 3 12 x - V 3x+l

6

©

|

©

Jí

©

J

cosjc-senx dx 5 + sen2x -y/l-x2

V4

tÍ

aresenx r/x

^

í/x

?

-X 3

6

_ 1 sen x +eos* Rpta. —arctgf----- — — )+ c

Rpta. -

VO - * 2); aresenx 3x‘

2 x3/2 Rpta. j arcsen(—^yy) + c

l 6x

Inx

-+c

Integral Indefinida

261

(cos 2 x -3 )dx eos4 x

Rpta. - ^ t g x(2 + tg2 x ) ^ 4 - c tg2 x + c

tg2

— X^ X Vx + 1 -V * 2 +1

Rpta. —(x + l)3/2 + “ [xV*2 +1 + ln(x + V l+ * 2 )] + c ^ ^

1—eos x , „ ^ ^ ^ -dx, ()
©

©

™ n cos(x/ 2) Rpta. -2arcsen(---- :—— ) + r eos(tf/2)

x" aretg(x/¿?)dx

2 r* x3 , . qx a3 i Rpta. — aretg(x/¿?)-— + — ln(¿7_ + x ’ ) + c3 6 6

1 dx ^ —1-sen — x x

«Rpta.1 —eos--1 1 —+c sen x x x

dx (x +1 )Vl + 3x + 3x2 _ 1, ,x + Vl + 3x + 3x2 Rpta. —ln | ——--------------3 x

1 V3

2%+3x+3x2 - I arctg(--------- ¡=--------- ) -

1, (l + 3.t+3x ) Vl+3x + 3jc „ —ln |---------- -— ------ --------- ---- + l|+ c 6 x* dx

I (eos2 x + 4senx-5)eosx Rpta. ln |( l- s e n x ) '/2(l+senx) 1/18(2-senx) 4/g[ + ----- ------ +c 6 - 3 sen x ^(1 + x~)~ x Rpta. ln(x +

dx

+JC 2

+*

n / ( l + X '' ) 5

- > / ( l X ““ ) 3

^ 1 -f X ?

+c 5x53x3X


262

©

f

^‘

®

j

®

ÍVx - 3 ■dx

Rpta. V2 arcig-

=

x~dx

2 + 3jc

^ -1

+c

Rpta. y-Jl+V l + x +c

Rpta. ->/3jc2 -7.V -6 + ^-]=ln |x ——+ J x 2 x - 2 | +c 2V3 6 V 3

dx

Rpta.

(85)

4 - 4x2 -12x + 8 - —(2 x -3h/4x2 -12*+ 8 8 J e ' (c tg x + ln(senx))dx

ln| 2 x -3 W 4 x 2 -12x + 8 |+c 8

Rpta. ex ln(senx) + c

Rpta. ^ l n k 4" - l | - x + c dx x5 +1 „ -s/5 ,2,v2 -(1 -V 5 )x + 2 , Vi O- 2^5 A x-d+ jS) Rpta. - ^ - ln |— ;— ^ - |+ - — arctg( , _ -) + 10 20 2x2 - ( l + -\/5)x + 2 ^1 0 -2 ^5

„

VlO + 2V5 #4jr-(l —v/5h +—------------arctg(—r-------v---' ) + c 10 VIO + 2 V5

®

J

8sen2x.senx í /x (2 0 -4 se n 2 r-1 9 se rr2 x).5.2

4 tg x -1 6 5(tgx-4)' 128 Rpta. —, (—-—£----------- +12) + -t-r 3/2 3-Jüp- x -8 tg x + 2 0 tg2 x -8 tg x + 2 0 3(tgx-8tgx+ 20)

Integral Indefinida

®

263

r3xarcsenx ,

_ ^

arcsenx

1_ x

, . x+1 n

r e ' ^ e 2' - 4 - 2 e lx(ex + 2) 1 * fj; ~ -----dx Rpta. —ln |f + 2 |—ve —4+ c I ----------------- . J 22 2(ex + 2 h f e ^ 4/i (x2 + 3x)rfx

i

(a - l h / * 2 - 2 .V + 10

Rpta.

Vv2 - 2.v +10 + 51n|V.r2 - 2.v +10 + .r+11+ -1 n| — --- 2* + 10 3 |+t 3 x —!

* x4Vsen x + Vsen x + cos x ^

j

(x4 +1) cos x

_ Rpta.

1, . Vsenx +1 , ,¡ ------% a/2, , x 2 +V2x + i, —In | . — | - arctgwsen r ) +---- In | —------------*| + 2 V senx-1 8 x’ -V 2x + l +

© f i l l —cosx dx

® [95]

r cosx dx L Vl , + sen , x

©

J

**

2 -se n x ------+t*

1 , Vl + sen4 x - s e n x . 1 il+sen4 x, Rp,a- ^4 ln' VI w, + sen , x+ -------H T senx l + ’- arc,8lW V scn x )+ ‘'

f arccos. dx V \ -t-1 r ----V l + i----i/r,

arctgfyfl x -1) + c

Rpta. V3 + senxV2-scn x + 5 arcsen^-

Rpta. x arccos - — ---- 4 x - arctg V* + c V1+ x

J

®

arctg(V2x+1) -

V l+ T------ - 1, -<■’ .+ - 1arctg(-----j / l + e — >) -t-< R„ p ta .-------l r | . Vl+
jV sen v + scn v dx

Rpta. - Vsen1 r + sen a + arcscn -\/l - cos x +c

264

Eduardo Espinoza Ramos Rpta. 'Veos2 x + eosx + aresen V i-eos

e

sen v * C O S

x -s e n x

,

y

+ r

Rpta. esenv(x-sec v) + ¿-

--------- ---------dx cos~ X

100

l - V x dx 1+ =Vx -v

Rpta. 3[ln | V* M n 11W 1- Vx |-aresen

dx (x + a)(x +b)

© (x2 +1 )dx

103

©

(JC2 -l)V l+ .t4

1 , i + Vx4 +1 . RPta. — 7= ln|------- --------- |+ r V2 x“ - l

e fc(tf»l+ t -fcO,M+2 —--------------¿x é» ln j + í

, ,nv + 1 Rpta. ln(lnx + 2)— ârctg(— p —)+ c J3 -J3

x dx 2x(x+3)1/2 - ( 4 r + 12)

105

senxtgx dx sen3 x~cos3 x

106

eos x(senx)7dx (1 + sen4 x)3 2 (x5 +2x2)

®

108

Rpta. ln(x + í/).ln(x + fc) + c

.3/2 (l + x 3’>

dx

,,_i ,x + a (-— ) 2 dx x -o sen (—— )

— 5.2

-v/x + 3 Rpta. — 1- c * 3 arctií t]x + 3 ----------3

Rpta. ^ l n | t g 3 x-1 |+e

Rpta. Vi + sen4 x +

+c i i + sen x

2 i--- r 2 Rpta. —-a/I+ x -----, 3 3 ^ 7

+c~

eos

R p t a .----- — (cos(— /ieos¿? 2

(scn(^—^)) " +c 2

Integral Indefinida

109

(n o )

dx

I

i-JxA - 2 x 2 —1

265 1 x~ +1 Rpta. —arccos(——y=) + c 2 x~ V2

jl n ( x 2 - x - 6 ) d x

2Vx2 - x - 6

Rpta. ln(—)(2x + l) + (2 x -l)ln ( —

(m)

x + 1 . r U - r ) 1'Jarccos ec^J^^rfx +J

2x - 6

i-------- ) - 5 In 1— = 2Vx~ -

x

.

|- ( 2 x - l) + ¿ -6

¿X

Rpta. x arccos ecJ — ——y/x + arctg-v/x— — I)6'* +cV jf 24 x 4

Rpta. — ijtg5 x(5tg? x + 1l) + r

113

rfx f ___ eos3 xVsen2x 5x + 2 rfr V3xVÍ--3x

V2 Rpta. -^ -(tg 2 x + 5)^tgx +c*

Rpta. — aresen *J3x - — sen(2 aresen ->/3x) + c 9 18

eos2 x Rpta.. _ ^ + -*CQS X + ^3 ln | Vi +3cos2 x +^/3 cos x|+e cosx (2x + 3)¿/x

©

J (x2 n +2x + 3)Vx2 +2x + 4 D , . ,-\/jc2 +2.V+4-1 1 J l ( x ^ + 2 x +4) Rpta. ln[ — | — —arclg(---------- ------- )+ r x+1 V x 2 + 2x +4 +1 ^2

266

Eduardo Espinoza Ramos 3jt ,

©

í

x ,vn x

Rpta. arctg(í? - e

) +c

■\¡\ + e ' +"\/l—fc,J

„. e '' , £ 7 T> 1 , . ('v/l+e' -1)(1—■ ) , Rpta. — — (VI + e - VI -
Deducir la fórmula de recurrencia de la siguiente integral:

Í n ux X €

(l2o)

^

tí

Wf / Mi

f xw¿/x x n~1 r 7 w-1 ¡----V " ------- +--------------- í *’* J Vi~x2 ” ”

Deducir la fórmula de recurrencia de la integral: In =

(*22)

UX"

.

Deducir la fórmula de recurrencia de la siguiente integral:

/n = ^21^

t „

sen* dx = - x tl eosx+ nxn ^ senjc-//(j?-l ) / w_2

Deducir la fórmula de recurrencia de la integral: I„ = f x ^ í j r + f l í ' i f e - ---- ----- [xH(x.+a)n*1 J m + n +1

123)

Verificar la fórmula de recurrencia de la integral: r C n . e o s" 1*sen n - \ C , /„ — eos x dx = -------------- +------I eos ~ x dx J n n *

^124)

Verificar la fórmula de recurrencia de la integral: r „ sec,?2xtgx n - 2 r , sec x d x - ---------------- v------ sec “ x dx J n- 1 w-lJ

Integral Indefinida 125)

Verificar la fórmula de recurrencia de la integral: r

J 126)

„ , cosec” 2x r l g x n - 2 f #l ? , cosec x d x - ------------------— + ------ coser ~x dx 11-I

—1J

Verificar la fórmula de recurrencia de la integral: ¡:; = f / J

121)

267

lnm x d x = — [xw+l lnm x - — f x n l n ~ x d r ] , n # l n+1 n +1 J

Verificar la formula de recurrencia de la integral: r sen x , sen x 1 r eos x , /„ = ------ d x - --------------r + ----- ----: dx J x” (H-l)jc" 1 « - 1 J.V ” 1

^28)

Use la integración por partes para deducir la siguiente fórmula. J tg" x dx =

^29)

- J tg"~2 x dx . n > 2

Hallar una fórmula de recurrencia para /„ =

.2 |*1 2 x ne * dx , n > 0 y aplicar dicha fórmula para calcular I e ' x 'dx Jo Jo

(l3o)

Deducir una fórmula de recurrencia para

©

Verificar: a)

x

Jv4 lnwx

I H = J l n " x dx = x ín n x-ní„_l

!

í\ 2 J

c)

/. = (a

d)

/„ =

b)

2k» j x(a2 -X2)" 2ncr ) dx=------- - --- + ----2n + \

2n +1

r x"dx x" 1 l~ > «-1 . i = ---- - = ----- V a r + a --------/„ .2 J Vx2 +o » ”

dx ycalcular

x4ln3 x dx

I n = J xne xd x = x 1e* - n i „ ,


268

CAPITULO II

2.

I N T E G R A L D E F I N I D A .En este capitulo expondremos la teoría de las sumatorias, que es necesario para el estudio de la integral definida y que en el siguiente capítulo será utilizado en diversas aplicaciones.

2,1

S tM Á T O M ^ A la suma de los n números ax,a2^..,an es decir; ax + a 2 +—+a„ , representaremos por la notación: ........ v... ....................

w-«’^

donde el símbolo ^

t+- #2 + iry+Ctft

se llama signo de sumación y es la letra sigma mayúscula del

alfabeto griego. Generalizando: Consideremos m y n dos números enteros de tal manera que m < n, y n f una función definida para cada i e Z donde m < i < n, luego la notación ^ f ( i ) i ni

nos representa la suma de los términos f(m), f(m + 1), f(m + 2 ) , . . f(n), es decir:

donde i es el índice o variable, m es el límite inferior y n es el límite superior.

Ejemplo.- Si

i ^ 6 ^ 3 4 5 6 /(/) = — , entonces Y f(i) = Y ~^-; = ~ +- + - + - + /+1 r i i+1 3 4 5 6 7 i-1 i~2

269

Integral Definida

Ejemplo.- Sí f(i) = eos ix, entonces n n ^ /( i) = ^ e o s ix = eos v+ eos2x + eos3x +...+ eos#ix 1=1 i=i n Observación.- En la sumatoria ^ / ( / ) , existen ( n - m +1) términos los cuales i-tn son f(m), f(m+l), ffm+3).....f(m + (n —m)), en particular, si m = 1 n y n > 1: entonces en ^ /(/') exiten n términos: es decir:

X / ( 0 - / ( l ) + / a > + /(3)+,,.+ /{«)

244

PROPIEDADES DE LA SIJMA í ORIA Sean f, g funciones definidas V i g Z. k constante.

0

h Y j k = k" ;1

n ©

= ( / / - w + 1)Ai-#w

©

/i n £ * / o ) = * X / o •) *=1 i1

©

n » 2 ] ( / ( i ) ± íí (o ) = 2 ] / ( i ) ± x «(í) í-1 i=l i-l

©

í> > = !> -< >

©

¿./(/)= X /(/+ c)

i a

_

©

©

_

( 9)

i—a-*-c

i-a

« ^ ( / ( / ) - / ( / -1)) = /(;;) - /(O) »1

Z ( AO - / ( / - 1 ) ) = f { n ) - f ( k - 1) ik » ^ ( / Í l + D - A (/-l)í= 11

i=a+c

(Ira. Regla Telescópica)

(Ira. Regla Telescópica Generalizada)

+ D + f(ii)“ / 0 ) - / ( 0 ) (2da. Regla Telescópica)


270

ío)

Y j
(2da. Regla Telescópica Generalizada) Ejemplo. 40

(T )

Hallar el valor de £ < 7 2 7 7 1 -V 2 /-1 ) II Solución Mediante la regla Telescópica se tiene: /( /) = V2/TT =>

/ ( / - l ) = V 2 /-I

40

(V2i + 1 - V 2 / - l ) = ./(40)- /(()> = ^ 8 T -1 = 9 -1 = 8 1-1

©

100

.

]

Calcular el valor V (---------) t f ' Solución

p(r^

r , V I/

Mediante la regla Telescópica se tiene:

f(i) = —— => /(/) = i +1

í

. 1 .. 100 40 1 1 . 1 1 , ____ ( - — — ) = ~ y (—— i )= -< /r(ioo)-A O )) =-<— 1)= i+l / 101 101 I 1 i / +1 " 1-1

Z 2.1.2

FORMULAS DE LA SUMATORÍA,-

te, £3 )

2

V 7* - «~(h + 1); #*i

^

^ .4 _ «(« + l)(6 n* +9 « 2 +n -1) /-i

271

Integral Definida Demostraremos las dos primeras fórmulas, las otras dos dejamos para el lector.

Q

y

1/ =

1

+

2

+

3 + ... + ( w - 3) +

(/ i~

2)

+ (w -

1)

+ /j

í=i n =w + (j?-l) + (/í-2 ) + ...+ 4

+ 3

+

2 + i

/-i _________________________________________________ sumando n 2 ^ T / = (/? + 1) + (i# + 1 ) + ( / ? + 1 ) + . . . + (/ i + 1 ) + ( n + 1 ) + ( / i + 1 )

i1 n

en el segundo miembro se tiene n términos (n + 1) por lo tanto 2 ^ / -;?( m+ 1) i1

y . _ n ( n +1) A tr '=

2

otra forma de hacer la demostración es aplicando la regla telescópica. n

y > + l)2 - r ) = /(/i) - /(O) ii

donde /(/) = (/ + l)2

ri ^ [(/ +

1)2 - í 2] = ( / i + 1 )2 - 1 , Simplificando la expresión dentro del corchete se tiene:

í=i n

+li + l - i 2) = n2 + 2n il n n 2 ^ / + ^ l = / r +2;/, de donde 2 ^ i +n - n 2 + 2n í-i í=i í-i

2/ i ~ i i

*>

w (#f + l )

+ /i, entonces > i = --------.=1 2

272


Para demostrar y V = n^n + ^(2n +l) ap^camos 1=1 ®

reg|a telescópica.

n

£ [ ( / + IIa - Í 31 = /( « ) - / ( O ) . donde /(Í) = (| + 1)3 Í=1 TI

^ [(/ +1)3 - / 3] = (n +1)3 - 1 . simplificando la expresión del corchete se tiene: 7=1

n ^ ( r 3 + 3/2 + 3/ + l - i 3) = (w + l)3 - 1 , por propiedad de sumatoria se tiene: /=i 3 ^ i 1 + 3 , + y , l = (n + l)3 —1, reemplazando por su equivalencia 1=1 1=1 «=i 3 n(n +1) + n = (n +1)3 - 1 , transponiendo término 3 ^’’ / '.22 + — /=i 2 3 3 ^ i 2 - (h + 1)3 - ( h + 1)——w(n+l) /-i 2 ,

V

-3

Por lo tanto:

®

n(n+l)(2n +l) 2

w(w+1)(2#1 + 1)

¿Z

------ ------

Para demostrar ^ i3 = n ^ + ^ í=i 4

t use la regla telescópica. Sugerencia.

^ [ ( /+ 1 ) 4 - / 4] = / ( « ) - /.(O) donde /(/) = (i + l)4 1=1 ©

De igual manera para demostrar. .4

2_¿l

/í(w + 1)(6/j3 +9w2 +/í-1) , . , . -------- -------------------- » u s a r r e 8la telescópica, sugerencia. 3<>

Integral Definida

273

^ [ ( / + l)v - i >] = / ( « ) - / ( 0 ) . donde /(í) = (/-rl)s ii Ejemplo.(T ) w

Hallar una fórmula para la suinatoria

^ ------ ------“ (/ + !)(/-1)!

Solución Multiplicando numerador y denominador por i, es decir: h “

i 1

« _ y^

(/ + 1 ) ( / - ! ) ! ~ “

_

/

w _ y^

(/ + l ) / ( / - l ) !

y* 1 1 “ il íi+1)!

^ 0 + 1 ) !

“

1 ( (// + !)!

[a + !)!-! (/# + !)!

" Hallar una formula para la sumatona ^ ln(/) i1 Solución Aplicando propiedad de logaritmo se tiene: n y^lnfí) = lnd) + ln(2) + ln(3) + ...+ln(w) =ln(1.2.3...n) = In(w!) ■i n Y i n « ) =ln(//!) /-i

( 3)

Hallar una formula para la sumatona

n . y* ^ / + !

“ f ¡ * (i + l) !

1 1 0 + 1)! /!

f (i+ ••• j?3 7 - 1)(/-1)! _ (Y)

n - . _ y-» / +1 -1

/

^ sen(/x)

.

1

(/ + 1 ) ! ~ ( / + 1)!)

(// + !)!—! * (// +1)!

274

Eduardo Espinoza Ramos Solución A +B A -B eos A - eos B = -2sen(—-—)sen(—-—)

Usando la identidad:

... (I)

de donde haciendo la sustitución se tiene: A +B

.

------- = I X

A + B = 2/x] A - B = 2x

2

A -B

—x

resolviendo el sistema se tiene:

A = ( i+l )x ; B = ( i - l ) x

-.(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene: cos(z + 1)a* - cos(z - 1)jt = -2 senixsen x , aplicando sumatoria a ambos miembros: 1 y[cos(i+ l)jc-cos(/-l)A ] = -2 s e n A y s e n á í-i y mediante la segunda regla Telescópica se tiene: n eos(/i +1) + cos( n) - eos x -1 = -2 sen j c ^ sen(/x), despejando ^ sen(/.v) se tiene: í-i íi /-i _ 1+ COS JC “

Z i i SCUIX ~ ©

- cos(w + l)x 2 sen ,v

C O S (/ÍX )

n Hallar una fórmula para la sumatoria ^ i.i! i -1

Solución Aplicando la Regla Telescópica se tiene: n ^ [ ( / +1)!-/!] = /(»■)-/(O ), donde f(i) = (i+l)! í1

275

Integral Definida Simplificando mediante propiedad del factorial la expresión dentro del corchete. n n ^ (/! (/ + !) —/!) = (// +1)!—1, de donde ^ (/./!+/!-/!) = (n +1)!—1 *=i í=i n

por lo tanto _ ( 5)

^ /./! = (n +1)!—1 r=i »

Hallar una fórmula para la sumatoria

5' 1=1

Solución Mediante la Regla Telescópica se tiene: ^T (5í+1 - 5 ') = / ( n ) - / ( 0 ) I1 ¿ ( 5 . 5 '- 5 ') = 5 - '- 5 1=1 (ó )

donde /(/) = 5'

=*

¿ 4 . 5 '= 5 ( 5 ’ - l ) 1=1 *

*1

w Hallar una fórmula para la sumatoria ^ senh(9/x) /-i Solución Mediante la segunda regia Telescopica se tiene: n ^ [cosh 9(/ +1 )x - cosh 9(/ —1)jt] = cosh 9(/# + 1)* + cosh(9/u) - cosh(9x) -1 1=1

2 senh(9x)^ senh(9wc) = cosh 9(// + l)x + cosh(9wx) - cosh(9jc) i-i n

y senh(9/x) i i

cosh 9(// + 1)jc+ cosh(9«jc) - cosh(9A ) -1 2 senh(9x)

^

276


2M

EJERCICIOS PROPUESTOS

I.

Hallar el valor de las siguientes sumatorias. S>9

©

z

ii\2l

10Ü

Rpta. 4950ln2 .

j

©

Z 1”« ^ 1=1

RP 'a- ' " f e *

®

20 ^ 3 / ( í 2 +2) »=1

Rpta. 133,560

25

@

^ 2 i(/-l)

Rpta. 10.400

1=1

(5 )

1U0 ^ sen21(2jc) í~i

Rpta. tg2(2x)(l - sen200 2x)

3

63 4

í=2 25

©

Z tpt

RP'»-

®

S ^ -

Rpta' WÍO)2" 32

®

50 ]T (2 ;2 + Í-1)

í=0 z

Rpta. 85359

í=14

¡2 )

1=1

z

R p ,a ' T i

Integra/ Definida II.

277

Hallar la fórmula para cada una de las siguientes sumatorias. Rpta. 2 -

2 +n

2“

©

Rpta. («-1)2" +1 1=1 Rpta. in(n +1)! 1=1

W Rpta. ^ 2 n + 1 -1 i=i

©

t“

©

X a'-” 1 i=i

© tel

W

(4í -3)(4/ +1)

vi +1

y 2' +i(i + l) h l'-'d U n

Rpta.

Rpta. q(l —/•*') 1—r Rpta. ■V/i+i - i -v/n + l

Rpta. 1

Rpta.

©

•vl+i ^ 2*ln(i')[ln(l + /)1 *1•]

1 2« + 2

1 n-l 2

n(n + 2) (h + 1)2

i=i i 0 + 1)

® ¿te2 A ‘ —1

4ti 4tf + l

Rpta.

3 4

2/7 + 1 «(» +1)

Rpta.

1 21n2

1 (/# +1) ln(/i +1)


278

12)

£ (V 3 7 7 )'

Rpta.

V3+I[(3 + -r)n,2- l ] 43+ x-l

Rpta.

/i 4(// + 2)

í=i n

i

y — 1— t ? 2 / 2 +6/ + 4 w i x — m - n/-

15)

£ (2 /-l)2 i=i

¡í> Z

“ (a + / -l)(a + /)

Rpta.

Rpta.

©

Z

2n + \

w(2n-l)(2» + l)

Rpta.

« a(n +a)

Rpta.

« 3n + l

Rpta.

w(n + l) 2(2« + 1)

.2

(2/ + 1)(2/—1")

n

Rpta.

h2 +3 h + 3

2(h + 2)(w+3)

S> L

Rpta. ----- — —(—------ ----) (logfl 2)- 2 2(m+ 1)

2Í)

Rpta. tgz jc(l-sen2w(2x))

£ flo g 0(22').log0(22,+2)

Z s en2,(2jc) 1=1

( 22)

cos(3/jc) 1=1

Rpta.

sen(3(w + l)jr) + sen(3/ur) - sen 3jc 2 sen x

279

Integral Definida

®

y-> tgh(l 9ix) “ senh(l 9ix) n

R ta

i

&

z

25)

^ eos1 2x

e -(3 sen ¿7 cosa ) 1 H i7

í^l

Rpta.

cosh 19(n +1) + cosh 19tix - cosh 19-1 **2senh(19jc)

e[(e / 3)" -1] e-3

Rpta.

sen 2 a[(sen a.cos a)” -1] sen(2 a ) - 2

senn+1(2x) 2"+1 sen*

1=1

.2/1 + 1 sen(-------x) Rpta. _____ n 2 sen(^)

eos IX í=1

v p 2' + 3*'

Rpta. ( | - 3 " - 2 n+1)

6

.=1

z

Rpta.

tt2 +3« + 3 2(w + 2)(w + 3)

- - +- -x-+ 2) y -(i+x)(/ - - - - -+-x- +--l)(/

Rpta.

rt(2x + rt + 3) 2(a + x +1)(n + x + 2)(x + 2)(x +1)

9

z

1 1 5 Rpta. ------- + -----------5>j + 4 5 /j-l 4

S>

Z '-2‘

& 29

@

)

i n 'o + i) o 2 + 5 / + 6>

10

,-_.j 24 + 10/ —25/

Rpta. (n -l).2 ”+1 +2

1=1

¿

í-1

cos2

, 3x

Rpta. c tg2 3x.(l - eos2" (3x))


280 III.

®

Hallar el valor de n para que:

¿ ( 2 + / 2) = ¿ ( l + / 2) 1=1 1=1

_

2

>.

Si x = — — , demostrar que: n

(T )

( 4)

© w

2,2

Demostrar que:

n n . ^ (x ,- - x ) 2 = ^ x j - x ^ x¡ 1=1 í=i i=i

,/IX n sen(— ) _j ^ c o s ( x 0 + (k-\)x) =------— sen(.v0 + —— x) *=i sen(y) 2

Demostrar que V ’ arctg[------ ------] = arctg(n(n+l)) *=1 W *+n

Demostrar que:

f “

-----------------i--------------. cos[x + { k - 1)j ] cos(x+ ky)

+ sen y

CALCULO DEL ÁREA DE UNA REGION PLANA SÜMATOR1AS. . ' -■ ~ '________ -

2.2.1 m ÉARTIClÓNDE^NJNTÉRA'Al^'ifeERRABG.-DEFINICION.- Consideremos un intervalo cerrado [a,b] con a < b, una partición del intervalo [a,b] es toda colección de puntos P = {x0,xx

} c: [a,b\ de tal manera que:

281

Integral Definida OBSERVACION.Toda partición P de [*,-1.* ,], i = l,2,..,n.

[a,b]

divide al intervalo [a,b] en subintervalos

©

A la longitud de cada subintervalo [jca-_!, jc,-] para i = 1,2,...,n denotaremos n Afx = x¿-Xi_i donde i = 1,2,..ji y se cumple Afx - b - a

©

Cuando las longitudes de cada subintervalo tiene la misma medida, se expresa en la forma At = - —- , y en este caso se dice que la partición es regular donde los ti extremos de cada sub-intervalo es: jc0 =

©

a , xx = a + At , x 2 = a + 2 A

t x¡

-

a + iAx , V i = 0,1,2,.. .,n

Al número | P |= maxfr,- - x M / i = 1,2,...,«} le llamaremos norma o diámetro de la partición P y que es la mayor de las longitudes A,x.

1 3 9 Ejemplo.- Dado el intervalo [0,3] y la partición P = {0,—,1,—,23,—.5} 4 2 2 Calculando las longitudes A,x, es decir: A,x ———0 = — 1 4 4

,

A2x = 1——= — 2 4 4

3 ,=— 1 A,x = ----1 2 2

,

A x= 2 O ---3 A4 4 2 2

A5x = 3 - 2 = 1

,

A6x = —- 3 = ^ 2 2

1

Avx = 5 - | = | 2 2 3 Luego se encuentra que la norma de la partición P es \P\= —


282 Ejemplo.-

Dado el intervalo [a.b] con a < b, y la partición regular ^ _q P = {x0 = a,xx%x 2.... x n ~b\ donde x ¡ = a +------ 1 , i = 0,l,...,n

x0 = a , x „ - b entonces Alx = x/ -jcm =

b-a n

b -a n xn = b

a = x,

y la norma de la partición P es | P |=

b-a n

m

w w m m m w m /m w m Sea f: [a,b]-----> R, una función continua y positiva (f(x) > 0) en [a,b], sea R la región plana limitada por la gráfica de la curva y = f(x), por el eje X y las rectas x = a, x = b. (llamada región bajo la gráfica f de a hasta b)

Una aproximación por defecto, se puede hallar el área usando una serie de rectángulo inscritos, es decir:

Integral Definida

283

n y

Como f es una función continua en [a,b] podemos elegir una colección de puntos , ¡x2.... Vn en los n rectángulos de la partición P = {x0,x x

} tales que:

f ( j j {) es el valor mínimo de f en [x0,jq ] /(a¿2) es vaôr mínimo de f en [xx, x2] / ( A*3 ) es el valor minimo de f en [x2, x3]

/ ( )

es e*valor mínimo de f en [x„ ¡,x„ ]

Luego los n rectángulos construidos cuyas bases son los sub-intervalos de la partición P y cuyas alturas son

respectivamente.

Las áreas de estos rectángulos son: f { p l )Alx,f(iu2)A2x,...,f(fin)Anx , respectivamente aproximamos por defecto el valor del área A sumando las área de los n rectángulos inscritos. A > A X+A2 +...+ An = f ( n l )A1x + ...+ f(n„)A„x


284

a la suma que nos dio la aproximación por defecto el valor del área A se denomina suma inferior de la función f correspondiente a la partición P del intervalo [a,b], ahora calcularemos el área de la región R en forma exacta, mediante un proceso de límite, es decir: n A > y / ( ¡¿i aproximación por defecto í=i n A=lim Y fiHi)A/Jt, valor exacto «-♦00 1=1 En forma similar se puede aproximar el área por exceso, usando también una serie de rectángulos circunscritos. ▲ Y

Como f es una función continua en [a,b], podemos elegir una colección de puntos Vj, v2V..,v„ en los n rectángulos de la partición P - {x0 ,xx,x 2

} tal que:

/( v j) es el valor máximo de f en [x0, ] / (v2) es el valor máximo de f en [xx,x 2]

f( v „ ) es el valor máximo de f en [xnA ,xn ] Luego en los n rectángulos construidos cuyas bases son los sub-intervalos de la partición P y cuyas alturas son / (vx), / (v2/ ( vn) respectivamente y las áreas de estos

rectángulos

son

/( v 1)A1x ,/( v 2)A2x,...,/(vIJ)AMx

respectivamente

aproximaremos por exceso el valor del área A, sumando las áreas de los rectángulos circunscritos.

285

Integral Definida A < A} + Aj +... + An A < f( \\ )Ajx + /( v 2 )A2x +...+ f(v„ )Á„x

, aproximación por exceso

n A = lim y f(v¡)A,x, valor exacto n—>oc. ' i=l a la suma que nos dio la aproximación por exceso el valor del área A se denomina, sumas superiores de f correspondiente a la partición P = {jc0, jcj

} del intervalo

[a,b]. A la sumas inferiores de f denotaremos por:

y a las sumas superiores de f denotaremos por:

Luego L(P,f) < A < U(P,f), por lo tanto para el cálculo de las áreas mediante rectángulos inscritos y circunscritos se tiene:

donde Ar = - —~ y ct =a + ¿Ax n Ejemplos de Aplicación.©

Hallar el área de la región acotada por y = I x 1, el eje X, y la recta x = 2. Solución

286

Eduardo Espinoza Ramos v = f ( x ) = 2x2, x e [0,2] *

2-0

2

A

2

Ax = ------= — => Ax= — n n n además c¡ = a+ iAx „ 21 2i c¡ =0 + — = — n /i 2/. SíComo / ( x) = 2jc2 => / ( t , ) = / ( —) =

Luego A(R)= lim ^

/'(c, )Ax = lim y ——

1 n(n + l)(2n + l) 1 = 16 lim — y / 2 =16 lim — .

8 „ 1 « 1, 16 : - / /m ( l + - K 2 + - ) = — 3 n— *oc n n 3 ©

Hallar el área de la región R acotada por la gráfica de y = x + 1 al eje X y las rectas x = 0, x = 3. Solución y=f(x) = x + 1, x e [0,3] * 3 -0 3 A 3 Ax = ----- = — =r> Ax = — n n n además c¡ = a +iAx X

3Í => Cj = — 3i Ci =0n + — n n f

287

Integral Definida ^•

T'

Como f(x) = x + 1 => f(c¡) = f ( — =) = —+1 n n w

•%.

n

q .

Luego A(R) = lini y jT(c. )Ax = lim ^ (—+1)— = lim (— + —) 11 ** fY w 7^ w w ”‘*t' 7T n n r9(w +1) r9 „ 1 „ 9 , 15 9 = /wj[--------- + 3] = lim [—(1 h— ) Hb3] ——h3 = — u~ n ** 2n *-»*■ 2 n22 A(R)=— u 2 2 Q)

Hallar el área de la región R limitada por la gráfica de la curva y = x 3 +x +3, el eje X y las rectas verticales x = -1, x = 2. Solución y - f ( x ) =jc3 + x + 3 , x e [-1,2] A 2 -(-l) 3 . 3 Ax = --------- = — => Ax = — n n Ti —»> Ci = a + /Ax = - l + — X n 3i 3i Como f(x) = x 3 + x +3 . entonces /( c ,) = (-l + —) 3 +(-1 + —) + 3 n n r, . 27 .3 27 ,2 12 . , / ( c , ) = ^ - i — =-i + — i +l n n2 n

A(R) = lim ¿ / ( c . ) Ax = lim 1=1

- - j ' 2 + ~ ' + 11~ 1=1

3.27 m2(m+ 1)2 27 n(n+l)(2n + l) 12 w(n+l) . = lim ~ [ — ------------------------------------------- T —-b ------ ¿ + — , - ^ - ^ + n ] n «-*« n n 4 n 6

288

Eduardo Espinoza Ramos 3 r 27 (n + 1)2 9 (h + 1)(2/i + 1) ,v . = hm - [ — ----- ------ ------- -------+6(w + l)+n] »-»** n n 4 2 n

27 1 i 9 1 1 1 = Um 3[— (1 + - ) '2 - i-(1 + —)(2 + - ) + 6(1 + - ) + !] n 4 n 2 n n n

~ 3[— (1 + 0 )2

(1 + 0)(2 + 0) + 6(1 + 0) +1] = 3[— - 9 + 6 + 1 ] = 2ÜÍÜ = — U2

4

2

4

4

4

/. A(R) ~ — u 2 4 (7 )

Dado la región R acotada por las curvas 2 y = (jt-2 )z, 2y = (x + 2)2 , 2j> = -(x ~ 2 )2, 2y = ~(x+2)2 . calcular su área. Solución Grafícaremos la región R.

2y

2y = (x-2) = (x + 2 )

En la gráfica se observa que existe simetría con respecto a los ejes, y al origen de coordenadas, entonces es suficiente encontrar el área de la x región R¡ y multiplicarlo por cuatro es decir:

2y

= - (x + 2 )

2y

= - (x - 2 )

n A(R) = 4A(R¡) = 4 lim y / (c¡)Ax, donde n-K* 1=1

(x-2)2 2-0 2 . v = A*) = ------ — , xe[0,2] y Ax = ------ = —, ademas 2 n n

289

Integral Definida

/( c ,> = |[ ^ - 8 - + 4 ] = 2 [il-2 -U l] 2 r¡~ n h« « -»■ i.2 2/ „2 ¿(Ä) = 4 //m Y f(ci )Ax=4 lim Y 2[^— - — + 1]”-”r ~ w" w w

_ 1 /?(/! + 1)(2/1 + 1) 2 n(w + l) = 16 //« [— ,--------------- - L + - ] «-** /i 6 /i 2

/i, n

= 16 lim [—(1 + —)(2+ —) - (1+—)+ 1] »-»«■ 6 n n n 16¿(l+ 0)(2 + 0 )-(l + 0) + l] = 1 6 ¿ = ^ V 6 3 3 Dada la región R acotada por la recta y = mx, eje X y las rectas x = a, x = b, b > a > 0, Hallar su área de R. Solución

Ubiquemos la región R. Como f(x) = mx, x g [a,b] b -a Entonces Ax = ■ n b-a . c¡ - a +------/ n v m (b-a) . f(C¡) = ma +----------- / n A(R) = lim y /(c, )Ax, ahora reemplazamos por sus valores correspondientes. 1=1

290


= lim m(b-a)[a +- ——( I «-►* 2 / i = ni

(ó )

= m(b~a)[a +- ——] = m(b-a)[a +^ ] 2 2

£7 2 — U1.2

A(R) = ^ ( b 2 - a 2)

Dada la region R acotada por la curva. / (x) =

x“

, x <3

-j 6x-x~ , x > 3 el eje X y las rectas x = 1, x = 7. calcular su área. Solución Y i

ii

9

\ \

\

\ y =x \

\

s

y

Haremos la gráfica de la curva f(x)

1 1 1 J \ y = 6x-X '

h

/ / 111

Sí x < 3 => y = x 2

\

//* i n \\ / ! 2 \ iJám \j . 0 fi ¡1 3 1 x 1 ! IR 3 I 5

Si x > 3 => y = 6 x —x 2 El área de la región acotada lo calcularemos en tres partes. Calculamos el área de la región Ri .

A(Rl)= l i m ^ f(c¡)Ax, donde f ( x ) = x 2. x e [1.3] M -*oc ^ i=1 A = ----3~ l = —, 2 c¡ = a + /Ax ‘A = l+ 1— Ax n n n r, * yvi 2i\ „ 2/\ 2 , 4 . 4 .2 /(^■) = / ( l + —) = (! + —) = l + - i + —-1 n n n n4

w—>VT’

1-1

n

2/i 8 - hm [— +— n

tr

n

“

/?(/* +1) 8 /?(/* + l)(2/i + l) .— -— +— *---- ---- J n~ 2 n

ir

“

/r

Integral Definida

291

= lim [2 + 4(1+—) + —(1+—)(2+—)] =2 + 4+ —= — n 3 n n 3 3 /J(^)=yH 2 Calculando el área de la región R2 n

A(R2)= lim y / (c¡)Ax , donde /(* ) = 6jc-x2, x € [3,6] i=i *

6 -3 n

3 n

-a

o 3/ n

Ajc = ------ = — , cf = a + ilüx = 3 + —

3/ 3/ 9 / (q ) = 6(3 + —) - (3+—) 2 = 9 — —i 2 , entonces se tiene: /? n n A(R2) = lim Y ( 9 - 4 ' ) - = 27 / / « [ ¿ ( I - i l ) ] =27 / « « [ Y I - V - L / 2] «— >ÜC1=1 « w n_w“ ” « , 1 n(« + l)(2n + l), r, 1 ,, 11, ' / i w[l — =27 lim[1— (1 + -X 2 + -; «-»« w3 6 »-»“ 6 n n = 2 7 (l-l(2 )) = 2 7 ( l - i ) = ^ = 18 6 3 3

/1(/?2) = 18M2

Para calcular el área de la región /?3 se observa que la región se encuentra debajo del eje X, en este caso se toma el valor absoluto. H

A(Ry)= lim y f(c¡)Ar, donde f ( x ) = 6 x - x 2, x € [6,7] n>cc 1=1

f(Ci) =6(6 + —) - ( 6 + —)2 = n n

n

n

reemplazando se tiene:

292


« I H Hm ¿ ( - ® - 4 ) ì | .

-!,,>]

6 n(n +1) I n(/i + l)(2n + l) 1 1 1 1 = hm[ ~ . — -— + — .------- 4------- i] = lint [3(1 + —) + —(1+—)(2+ —)] n--»* ff2 «' 6 »-»* n o n n ^ ( ^ ) = 3(l + 0)+^(l+0)(2 + 0) = 3 + i = ^ f 6 3 3

••• / f |í , ) = y K 2

Como /4(«) = /!(/?, ) + /l(/?2) + /4(/?3) = 18 + y + y = 18+12 = 30 A(R) = 30w2

©

Calcular el área de la región R limitada por las gráficas de j = e x, x = 0, x = l y el eje X. Solución Graficando la región R, sea f { x ) - e x, x g [0,1] Donde Ax

1-0 n

1 n

c¡ =a +/Ax =0 + —= — n n +

= /iw y B-M* ^

f(Ci) = et/n, entonces el área de la región R es:

f (c,)Ax = fíw y el , n = /íw —V* n >a'

n

n-*v. fi

Calculando la suma ^¡T e*ln aplicando la regla Telescópica. í=i ¿ [ ( e 1'" V - ( e Un >M ] = / ( » ) - /(O) *=i

...(1)

293

Integral Definida

Y J[ei , n - e i,n* ìln) = (eVn)n - \ 1=1

n

lin

-i

y e " . ( £ 1_n l , = e - t .

¿ —f

,i

n de donde

e

Y ¿—t «*'• =

I=1

1/n / e

/ Am

i

U

...( 2 )

-1

Reemplazando (2) en (1) se tiene: 11rt / IV « 1in t e n( e - \) 1 e A(R) = iim , -} = ( e - \) Iim ----- ) «-»oc fi e —\ »-»« jj ^ —1 Sea r = —, de donde n -----» ao, z -----> 0 n 1 e1/n *ez A(R) = ( e - 1) lim —(——------------------------------------- ) = lim-= (0 £>z _ 1 ï— >0 z-»0 - 2 —1 :(e -1 ) lim -!- = (g - 1)«; z— *0£>

A(R) = (e-l)u

Calcular el área de la región R acotada per las gráficas de y = 2-Jx, eje X y x = 0, x = 9. Solución

En este caso, por comodidad tenemos como variable independiente a la variable y, es decir: *

294

Eduardo Espinoza Ramos v2 V2 f (V) = -— pero la región está limitada entre las curvas f ( y) = -— , g(y) = 9 y las 4 ' 4 rectas y = 0, y = 6 El área del i-esimo rectángulo esta dado por [g (r/) - f(z¡ )]Ay, por lo tanto el área de la región R esta dado por: W

/ A

/ •

A(R)= lim A v ' y [(g{=¡) - / ( - , ) ] donde Av = ------= — y zf =0+/Ay = — »-»(r 1=1 ‘—f nnn 9 i Como g(zt ) - f ( z f ) = 9 — —i “ se tiene n a/m /• 6 V"/n 9 -2v , 6 r 9 «(/í + l)(2/* + l) A{R) = hm — / (9— - i ) = hm ~[9n-------------------------] n~*u n " h2 »-><» n n2 6

= Jim 6 í 9 - |a + - ) ( 2 + - ) ] = 6 Í9 - |(2 ) ] = 36 u 2 2 n n 2 ®

Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = sen x, en x e [0, y ] . Solución

295

Integral Definida i1 + eos----n eos------nn eos,(n +iY n 1) — = Um — (-------- 2»-------- 2n-------------- 2» }

2/7

02 sen — 7T

2n

t1 + COS-------^ COS----------C n 1 V^ 0S (1+ —) — - # « _____ 25_____2-¿ 2 „ 1 1 1 ^ 0 , 2 =1 » 7T 2 (1) 2 sen — ____ 2n_ 7r

, , n 'I

A(R) = h r

lñ @

Calcular el área de la región bajo la curva f(x) = senh x, en [0,1] Solución

cosh(« + l)—+cosh(/i.—)-c o sh —-1 . lim[------------- «---------- JL----------« _ ] I n~*v . 1 f} 2 senhn cosh(l + —) + co sh l-co sh -— 1 ~ lim ---------- a------------------- = -Zc- S h 1 - - = (coshl ,1 2 senh—

I) u 2

296

2.5


SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES DEFINICION.- Si

Px = {x, / / = 0,1.... n}

y

P2 = {*1 ^1 ~ 0J .....son dos

particiones de [a,b] tal que Px c P2, ósea que cada punto de división x, de P{ es también un punto de

P2

entonces a la partición P2 se le llama un

refinamiento de la partición Px entonces || P2 II < || Px ||. Ejemplo.- En el intervalo [1,7] la partición: P2 = {1,1.5,2.23,3.5,3.8,4.2,4.7,5,5.5,5.9,6,6.5,7} es un refinamiento de Px ={1,2,3,4,5,6,7} puesto que II P\ 11=1-2,

Px c:P2además

|| P2 || =0.8

DEFINICION.- Si f: [a.b]----->R, es una función acotada sobreel intervalo [a,b], es decir, que existen números m y M tales que m< f(x)
/wl/ = inf{/(jc)/xe[x,_1,x I], i =1,2,...,/?}

denominando

ínfimo (o mayor cota inferior) de los valores de la función f para el intervalo [x,-i,*i] y M t f = aup{/(x)/ x g[xM , x, ]| se denomina el supremo (o menor cota superior) de los valores de la función sobre el intervalo [xM , x, ].

Integral Definida

297

3 5 Ejemplo.- Dada la función / ( x) = x 3 - 1 , x e [1,3] y la partición P = {1,—,2,—,3} 2! <2* entonces:

M l ( / ) = sup{/(x) / x e[x0,Xj]} = sup{x3 -1 / x e [1,^]} = s u p [ 0 , ^ 2

w, ( / ) = inf{/(x/x e[x0,xj ]} = inf{x3 - l / x

L

M 2 ( / ) = sup{x3 - 1 / X 6 ¿ ,2]} = s u p [ ^ ,7] = 7 2

o

m2( / ) = inf{x3 -1 / x e ¿ ,2]} = in f[^ ,7]=^ 2

o

o

( / ) = sup{jt3 -1 I x e [2,|] } = s u p [ 7 ,^ ] = ^

SJ 117 w3( / ) = inf{x3 -1 / Xe [2, — ]} = i n p , - ^ - ] = 7 O

o

= inflO ,^] = 0 o

o

298

Eduardo Espinoza Ramos DEFINICION.- Dada la función f acotada sobre [a,b], entonces existen M ¡ (f) y nh ( / ) para cada i = 1,2.....n tales que m < ni¡ ( / ) < M¡ ( / ) < M , correspondiente a la partición

P = {x¡ l i = 0,1,2.... n\ d^ [a,b], se define la suma

superior de f correspondiente a la partición P del intervalo [a,b] al número.

y a la suma inferior de f correspondiente a la partición P de [a,b] al numero. ''fí•1. i 1

a ambas sumas se les denomina “Suma de RIEMANN”. Ejemplo.- Sea f(x) = 4x, x € [0,3] y A = 9 intervalo. Calcular la suma superior y la suma inferior. Solución Ax = - ——= - —- = — la longitud de cada subintervalo 9 9 3 * [0,3] = [0,1 ] u [ I | ] u [ | J ] u [ l , y M y . j ] u [ | ,2 ]u [ 2 , | ] u [ | , | ] u [ | 3] La función f(x) = 4x es creciente en [0,3]

íntegraI Definida

299

'w II s/■— V

§;

Calculando la suma superior de f en [0,3] 1 3 4 3"

2

1

3 8

4

3

4 3 16 3

5 3

2

7

8

3

20

8

3 28 3

3 32 3

12

3

& £ /(/, P) = Z ( / X * i “ - V i ) = X M' í=n i=i = [Mtl ( /) + M, ( / ) + M2( /) + M3 ( /) + M 4 ( /) + M, ( /) + M6( / ) + A/ 7 ( /) + M8 (y )]Ax 4 8 16 20 28 32 = [ - + - + 4 + — + — + 8+ — +— + 1 2 1 3 3 3 3 3 3 3

= (1 5

108 1 45 + 108 153 r , + ---------------------------- ) —= -----= ----- = 5 1 3 3 3 3

Calculando la suma inferior de f en [0,3] */-l

0

M f ( / ) = /( * ,)

0

O

1 3 4 3

2 3 8 3

1 4

4 3 16 3

5 3 20 3

2 8

7 3 28 3

8 3 32 3

w

£ ( /. P) = Z n,¡Í/X */ ~ x¡-i) = Z m‘ i=0 /=0 = [«o ( / ) + wi ( /) + nh ( / ) + nh ( / ) +nh ( / ) + «5 ( / ) + w 6 ( / ) + to7( / ) + wk(/)]Ax rA 4 8 . 16 20 _ 28 32.1 48 [0 + —+ —+ 4 + — + — + 8 + — + — ] - = — = 16 3 3 3 3 3 3 3 3 INTERPRETACION GEOMETRICA.Si f(x) es una función positiva (f(x) > 0), las sumas de Riemann tienen una interpretación muy sencilla consideremos el siguiente gráfico.

300


Sabemos que la suma superior:

n t / ( / , P) = ^ J í-0

n )(x¡ ~ x i {) = Y JM ¡ ( f )Ax i=l

nos representa la suma de las áreas de los rectángulos por exceso sobre cada subintervalo [xf_! , x g] y de altura M¡ ( /) y la suma inferior. n

n L(f, P) = '£ «,•(/)(*. ~x¡-1) = Yj m*^ )Ax ii í=i representa las áreas de los rectángulos por defecto sobre el sub-intervalo y la altura m, ( / ) . OBSERVACION.-

Cuando la función f es creciente, los valores mínimos ro, ( / ) se toma el extremo izquierdo x¡ j y los valores máximos M ¡ ( f ) se toma en el extremo derecho x¡ del subintervalo j,*,-].

2.6

PROPIEDADES INFERIORES.-

DÉ

tA S

SU M A SSU PE R IO R E S

Si f es una función acotada sobre [a,b], entonces existen m y M tales que: ~m= inf ;f(x)/x 6 fa,b|}

y

M = sup {t\x) /x e [a,b|¡ |

E

301

Integral Definida Io

Si f es una función acotada sobre [a,b] y P = {x{),x x

} es una partición de

[a,b] entonces se tiene: m(b~-a):¿ t& F y g II£P): $ M(b~ a )' Demostración Para los números m, m¿( / ) , A/,- ( /) y M se tiene la desigualdad.

a la desigualdad (1) multiplicamos por Afo r, es decir: mîX < mi (/)A foc < Mi ( / ) Afjt < A/A^jc ahora tomamos la suma para i = 1,2 .....n n

#i

n

X mA ,.r < X m¡ (/ ) A 1-1

«»X M

1=1

n M¡(/ )A

1=1

X MA' x 1=1

< « / . P) < £/(/, /?) < A/]T A,.*

1=1

1=1

W m(b —a) < L(f,P) < U(f,P) < M(b - a), donde ] T A*x = ¿ - a 1=1 2°

Si f es una función acotada en [a,b] y

, P2 son dos particiones de [a,b] tal

que P¿ es un refinamiento de Px (Px cz A ) entonces se tiene:

3o

Sea f es una función acotada en [a,b], Px, P2 dos particiones arbitrarias de [a,b] entonces se tiene:

LifsPx) ¿ U(f,P?)

302


2,7

INTEGRAL DEFINIDA.Sea D el conjunto de todas las particiones posibles P del intervalo [a,b]. Si f es una función acotada sobre [a,b] entonces existen números m y M tal que: m < f(x) < M, V x e [a,b] Se sabe que la siguiente desigualdad se cumple m (b-a) < L(f,P) < U(f,P) < M(b - a) para toda partición P en D, esto asegura que el conjunto numérico ¡L(f,P) / P g D( es acotado superiormente y el conjunto {U(f,P) / P e D ¡ es acotado inferiormente, luego el conjunto {L(f,P) / PeD} tiene un supremo (la mayor cota inferior) y {U(f,P)/P€ D} tiene un ínfimo (mínima cota superior) con estos valores supremo e ínfimo daremos la definición siguiente: DEFINICION.-

Si f es una función acotada en [a,b], al número sup {L(f P) / Pe D} se llama integral inferior de f en [a,b] y se indica.

rh I f(x)dx = s\ip{L(f.P)/PeD\ = integral inferior de f desde a hasta b. _

Al número inferior {U(f,P) / P € D[ se llama integral superior de f en [a,b] y se indica.

\ f(x)dx = inf{U(f,P)! P e D} = integral superior de f desde a hasta b. 2,7J

PROPIEDADES PE LAS ®

JES SUPERIORES E IN F E R IÓ M E

Si f es una función acotada en [a,b], entonces:

303

Integral Definida ©

Si f es una función acotada en [a,b] entonces: m(b - a ) ú L(fJP) <: li(f.P) < M(b-a> donde m = inf {f(x) / x
©

Si fes una función acotada en [a,b] existen puntos cx%c2 e[a*b] tales que: fk f(x}dx - /(c , )(/> a) y ] j i x ) d x = / (c,)(£ -a ) Ju

©

Si f es una función acotada en [a,b] y c e entonces: f/(x)rfA ^ f f t t i d m f ¥Jtl -v:<: * • rfÉT

■M+'

"

**

. ..»-

**’•!

f/{*)¿Y = í f(x\dx > f/(.t)dx :i

¿a

2.7.2

Ja

Je

INTEGRAL DE R1EMANN,DEFINICION.- Una función f se dice que es integrable en [a.b]. Si f es una función acotada en [a,b] y si

f ( x ) d x = J f ( x ) d x , a este valor común se

le llama “La integral definida” (De Riemann) y se denota así: !*/(*)<&- ~ por simplicidad se llama integral definida de f sobre [a.b] ó integral definida de f sobre [a.b] ó integral de f de “a” hasta “b”. OBSERVACION.©

El número Jf(x)dx se llama integral definida de fix) desde “a” hasta “b’\

©

El símbolo J es llamado símbolo de integración (éste símbolo fue introducido por Lebnitz).

304

Eduardo Espinoza Ramos La función f(x) se llama integrante. ©

“a” se llama el límite superior de integración.

( 5^

“b" se llama el límite superior de integración. La variable x que aparece en f / (x)dx, no tiene significado especial es: Ja

fí(x)dx= í/(.v)rfv= f/(-)
Ja

Ja

EXISTENCIA DE FUNCIONES INTEGRABLES. Se conoce que las funciones decrecientes y crecientes son integrables, ahora veremos que las funciones continuas sobre un intervalo cerrado [a,b] son también integrables en [a,b]. ¡)

Si f es una función continua sobre [a,b] entonces f es integrable sobre [a,b],

ii)

Si f es continua sobre [a,b], entonces para cada £ > 0, existe 8 >0 tal que:

para toda partición P con |P| < 8 y para toda elección de x, e [x¿ {, x f ] ¡ii) Si f es continua en [a,b], entonces:

donde xf es un punto arbitrario en [ x ^ . x , ] puede elegirse los x¡ e

para toda partición P de [a,b] y

—

_X¡

+ * ,. _ !

t ! modo uiLfuu asiguiente ig u iw n v x, = '—-----— que es el x,] udel

2

punto medio de [*,_!, jc, ] .

305

Integral Definida

Ejemplo.- Expresar el limite de la suma dada como una integral definida n Jim y (X* 1 )2 (jcf- - xt l) donde P: partición de [1,9]. Solución Como [a,b] = [1,9] se tiene: Ax¡ Ahora identificamos ílx) donde x, = —---- — punto medio

)3 =x, de donde f ( x ) = x i n

Luego se tiene: lim ) ( \p\ ^ “ TEOREMA.-

Una función acotada f es integrable en [a,b] si y solo si para cada € > 0, siempre es posible hallar una partición P tal que U(f,P) —L(fJP) < c.

Ejemplo de aplicación. Sea f una función acotada en [a,b] y continua en [a,b] excepto en el punto c € [a,b], pruebe que f es integrable en [a,b]. Solución aY

F es continua en [a,b] excepto en x = c. Una función es acotada si está acotada. f: [a,b]----->R <=> V e > 0 , 3 8 > 0 , 3A partición de [a,b] tal que U(f,A) - L(f,A) < c por probar a

0

c

b

X

* para que f se integrable en [a,b]. Luego tenemos:

306


V —> 0 ,

f es continua en [a,c]

3 A'

partición de [a,c] tal que

2

U ( f , A ' )- L(f\ A')< — z«

V —> 0 ,

f es continua en [c,b]

3 A"

partición de [c,b] tal

que

2

A ")< Sea c > 0, cualquiera, entonces definimos A = A 'u A " /l/(/, A ) - L ( f , A) < c , puesto que í/(/,A ) = £ /(/, A ')+ t/(/,A ")

y L(/,A ) = ¿ (/,A ') + ¿ (/,A " ) de donde £ £ A') + ! / ( / , A " ) - L ( f , A " ) < - + - = £

£ /( /.A)- L ( f , A) = ! ( / , A')-

U(f,A) —L(f.A) < e Ejemplo.- Sean

c e [a,b] y a e R,

Ía

si x = c

0

si x ± c

definimos

f:

pruebe que f es integrable y que

[a,b] -» R

por

rb f(x)dx = 0 Ja

Solución Aplicando la definición siguiente: Una función f acotada sobre [a,b] es integrable sobre [a,b] si sup{L(f,p)¡ = inf {U(f,p)} donde p es una partición de [a,b]. Aplicamos esta definición. Como fíx) es acotada pues |f(x)| < a, V x € Df = R Sea P —{ x ^ x x...... jcFI} una partición, sub-intervalo n

1=1

,jc/]

Integral Definida

307

w1 h —n m¡ = inf{ f(x) / xf_j <*<*,-} = / w#--------- 0 pues wr = 0 ^í-i // Luego L(f,p) = 0 n

U( / , /?) = ^ í=i

(xt - A'M ); Mf- = sup{/ (x) / xM

■

n

í=i

n

ü

Luego Sup {L(f,p)| = 0 , a <0 Ahora inf{t/(/\p)} = inf{——- a } = 0 , a > 0 n 0 , a =0 0

=> inf {U(f,p){ = 0

/. sup {L(utp)} = mf {U(f,p)} = 0 y por definición

a)

| f (x)dx = sup{L( f , p ) \ = inf{£/(/, /?)} = 0

DEFINICION.-

Diremos que una función f es integrable en el intervalo [a,b], si existe un número L, que cumple la condición que, para rj cada c > 0, existe 5 >0, tal que | ^ / (a,)A,x - L |< e , para toda partición P i=i del intervalo [a,b], donde |P| < 5, a esta definición lo representaremos por:

308

Eduardo Espinoza Ramos b)

DEFINICION.-

Consideremos una función f definida en el intervalo cerrado [a,b], entonces a la integral definida de f de “a” hasta “b’\ mh

Denotaremos por

¿a

f(x)dx y es definida por: I f(x)dx - Itm y / ' ( « . )A a ' lü ' n >wA* '

si existe el límite 2.7.4

CALCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA USANDO INTERVALOS DE IGUAL L O N G lT m En el cálculo de las integrales definidas, cuando se usan intervalos de igual longitud se tiene que: Ax = ———, X, = a + iAx, de donde x¿ = a + ———i , i = 0,1,2..... n n n Luego la integral definida se calcula mediante la expresión. : :

f it

—

...... ...................... l A r

C

Ejemplo.- Mediante la definición de integraldefinida. Calcular

la integral

j V * 3 - 3 x 2 +\)dx Solución í (4x 3 -3 x 2 +1 )dx= lim ^ f{x¡)kx% donde Ji n~*ui~\ t ^ 1 / ( x) = 4jr -3x~ +1

Ax = ------- = — , x¡ = 1+—/ n n

/'y 2 _ i _ 2 „ i , 32 .i 36 .2 12 . ^ f{Xj) = 4(1 h— i) -3(1 + —1)~ +1 = —-r + —- / + — / + 2 « n w3 /r

ahora reemplazando en la integral.

n

Integral Definida

3 09

j

..

i — ................. i

.

.

.

.

r 64 v -1.3 7 2 ^ . , =

2

w ,i

/

+— L r « tí

24^4 ^ n +~ Z / + - 2 J ] » 'tí " tí

64 w2(w+ l) 2 72 ji(/? + 1)(2w+ 1) 24 w(w+ l) 4 = ///»[— . 1 + — • - --------------------^------- ¿ + — 4

/2’

6

2

ti

= lim [16(1 + - ) 2 +12(1 + - ) ( 2 + - ) +12(1 + - ) + 4] // ti ti ti

= 16 + 24+12 + 4 = 56 Ejemplo.- Mediante la definición de integral definida, calcular la integral J V 2 + 4x +5)(bc Solución Por definición de la integral definida se tiene: f4

->

4 - 1 3

31

0c +4x+5)dx=//m > /'(xí )Ax, donde Ai = ----- = —, xf = 0 +/Ax = 1+ — Ji «-*« *=i' ■ n n n f { x ) —x 2 + 4x + 5 => /X*,) = ( ! + — ) 2 +4(1+—) + 5 = - U 2 + — / + 10 n n tr ti ahora reemplazando en la definición de la integral.

f4/ 2 a c xj i^ im 3 2 7 ^.2 54 ^ . 3 0 ^ n (x +4jc + 5 ) ^ j c = / / w 7 (— - r + — i + IO)— = lim [——/ i + — > i + — / 1]

J>

"— t í » 2 =

27 n(n + i)(2n + l) n->&

6

««3

t r nM« M

54 n(ri +\) hm[— .--- -------- -------- + — .— - — + l

= /íw [-(1 + -)(2 + -)+ 2 7 (1 + -) + 30] 2 n n n = —(2) + 27 + 30 = 9 + 27 + 30 = 66 2

»

310

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Representar el límite de las siguientes sumas como una integral definida.

(0

y ( » 2 + / 2 r 1' 2 , P: partición [0,^3] i=i Solución

n-^zr. *—?

b-a n

V 3 -0 -v/3 ti n s i x, = a+/Ax = 0 +

Ax ~A *, =■

11

ti

11

lint ¿ ( w 2 + / 2) 1/2 = lim Y ,—\ - = = lim V* . *---— ír — rr^ +/2 — fr * V n

" • ’S a r L i , * , . V 3 « 1

p/3

%/J Jo

©

”

_ p /? l

x2

J<> Vi + JC¿

te , £ < — > i // + / // Solución 1

Si Ax = —, entonces el intervalo se tiene [0,1] ti

' => x¿ = —1 x, = n0 + — /i /? 1 ] f1 rfr u„ y . ,/ra y - L - . - U ,,m y ,< iÍ ). .-l U f » “I 1 // + / n »-»»“I1=11 i , / w »-**“ /i /? «fol+jc 1 1H 1=1 +---11

Integral Definida

311

n

l +x ti

. Tí ¿Tí M7T lim - ( t g — + tg— + ...+ tg(— ))

4/7

n ^n

4/7

4/7

Solución

1

n

//w -(tg —

»->*//

2n + . . . + "t g —ti7T) = .

+ tg —

4«

4n

4/í

>

i=i

ni 1

tg —

4/i /i

, ™ y /(±). I = f,,g£ £ < ¡, “ * 11 ti Jo 4 , , /r(,-i ). = .tg — ni => /(x r, )^ = .tg(— i 71**) => Ax a 1- 0 1 donde = ----=— ti 4w 4 n n l

(í) v

i

/%

//»if —[Infer+ —) + ln(a+ —)+.. .+ln(tf+ —)] ----n “ti #-** n“ titi Solución 1 1 O lim —[ln(<7 + —) + ln(<7 + —) + ...+ln(tf+—)] «-«* /i n n n

n * ” = lim y ln(<7+—)= /mi ^ » -» « ■ " // n^ f i=l i=l donde Ar = -——= —, x, = — => f(x) = ln(a + x) n

(? )

n

n

lim V — 2/> + 4/— - , P: participación [2,6] •-»* ~ 1 2«" + 4 '» +4/ Solución

1 fi

fi

A = jlnfa+jck&r JO

312


a 4i Ai Xi =a +iAx = 2 + — => Xj = 2 +— n

ti

o +— 4/ « ^ y, . n -¿ . lim X — 7 ”+ l-— —= lini ' S ' ---------- -— — B-** 2 /r+ 4 /n + 4 /- " »•' 7~\ An 4/ 4/ ' » 4(z H I o') ti n

4/ 2 H----

-. »i 4/ ahora a la expresión ----- — ------ pondremos en términos de 2 + — es decir: 2 +Ü + 4
ti

2+— 2 + 4(—) H » 4(2 + 4 —) + ( — ) 2 <2+ — ) 2 +4

ti

1

11

11

x f (je) = —---- entonces se tiene: x~ +4 n

a.

n 2+ 4

y ,2"*4i' r= z—r2-1-fV-*

jrf 2tr +4//J + 4/

GD

(2 + —-)2 11

ti

. r + 2 p +...+/ij Utilizando integral definida hallar él limite lim -— i «->or. Wp+i

Solución

IntegraI Definida

313

= Un ¿ i - ) - — = f'‘xpdx=2— í = — <*u P + l / o P+ 1=1 n n l p + 2 P +...+#j/>

/ / m -----

n-*f

n P+Ì

p +1

2.7.5.

EJERCICIOS PROPUESTOS-

I.

Encontrar el área exacta de la región indicada, expresar el área como él limite de una suma de Riemann con particiones iguales.

©

Hallar el área de la región R acotada por y = x 2 + 2x +1, el eje X ylas rectas x = -1. i, x = 3.

(T )

D 64 2 Rpta. — u

Hallar el área de la región R acotada por y = 3a 4, el eje X y lasrectas x = 0,x = 1. oRpta. , —u 3 2

©

Hallar el área de la región R acotada por y = 2-Jx , eje X y las rectas x = 0, x = 4. 32 , Rpta. — u~

©

Hallar el área de la región R acotada por y = (.v-3 ) 2 + 2, el eje X y las rectas x = 0. x = 6.

(T)

Hallar el área de la región R acotada por y = 12- x 2 —x . el eje X y las rectas x = -3, x = 2.

(ó )

Rpta. 30 a 2

305 o Rpta. ---- u~

Hallar el área de la región R acotada por y = 2x3, el eje X y las rectas x = -1, x = 1.

314 (fy

Eduardo Espinoza Ramos Hallar el área de la región R acotada por y = 4 - x 2 , el eje X y las rectas x = 1, x = 2. 5 i r-> Rpta. —

(í)

Hallar el área de la región R acotada por y = 2 - | x |, el eje X y las rectas x= -2, x = 2. Rpta. 4 i r

(? )

Hallar el área de la región R acolada por y - (x+3)2, el eje X y las rectas x= -3, x= 0. Rpta. 9 i r

@

Hallarel área de la región R acotada por y = x 2 - 2 x - \ , el eje X y las rectas x = 1, x = 4.

(11)

Rpta. ( 1 ^ ^ - 4)i/2

Hallar el área de la región R acotada por y = 3 x - 3 x 2■eleJe x = 0, x = 1.

Rpta. —u 2 6

U2J

Hallar el área de la región R acotada por y = — +1, el eje X y las rectas x = 0, 4 21 ? Rpta. — i r 4

x = 3.

(13)

Hallar el área de la región comprendida por y

=

x 2 , y = 4 - 3x2

Rpta. “ W2

( 14)

Hallar el área de la región comprendida por

= 3jc2, >>= 1~ 3jc 2 , x = 0, x = 3 Rpta. 57 u

X

Integrai Definida

^ i)

315

Hallar el área de la región R limitada por y = 2x2 + ~ +1, el eje Y, el eje X y la recta x = 1.

23 i r’ Rpta. -—

12

Hallar el área de la región R limitada por y = x - x 2, el eje X. 1 •> Rpta. —i r 6 ^ 7)

Hallar el area de la región R limitada por la curva y = x 2 - v 4 , 0 < x < 1 y el eje X. 2 , Rpta. — ir 15

(l8)

Encontrar el área de la región R limitada por y = 1+ a 2 + 2a 4 , en el eje Y, el eje X y 26 ? la recta x = 1. Rpta. — i r 15

^ 9)

Hallar el área de la región limitada por las líneas dados por la ecuaciónAy - (x - 4 ) 2 , Ay = ( a ' + 4)2, Ay = (*~ 4 ) 2 , Ay = ~{A+x)2 .

^ 0)

Encontrar el área de la región acotada por la curva v - 6 x +x 2 - x 3, el eje X y las rectas x = -1 yx = 3.

II.

Rpta. ~yU2

Rpta.

Usando la definición de la integral definida calcular las integrales siguientes:


316

Rpta. 4w2

©

J V

©

JV

©

[ (3x3 + 3x 2 - 2 x - 6 )d x

Rpta. 222 u 2

©

J 6 (2 .v3 -2.V-3 )d x

Rpta. 596i r

f (3x2 -1 )d x

Rpta.

©

+ \) d x

*3

Rpta. 56 i r

-3.v2 +1 )d x

Jo

*2

6 ir

©

I (x 3 + x 2 - 4 x - 2 )d x

* ir Rpta. ——

©

J (x 3 + 2 x)rfx

Rpta.

©

J (x 2 - l ) 2dx

o . ---812 i r ’ Rpta. 15

©

Jo

f sen x d x

Rpta. 1 - cos a

©

Aplicando

sumas

de

Riemann,

2x + 2, x e [0,2] m

=

evaluar

la

21

4

7 ir

integral

f

Jo

f(x)dx

Rpta. - —

x 1 - 4 * + 10, x € < 2 A ]

III. (j)

Expresar el siguiente límite como una integral definida lim

Rpta. f

Jo

e xdx

n

donde

317

I n te g r a l D e fin id a

©

. l p + 2P +3 p +...+ni Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim _k r A

,,P+i

m

Rpta. f x pdx Jo Expresar el siguiente limite como una integral definida.

J -----e . (i)

.

.

.

-

sm ° (l + x)501

,

* g2 (l»2 - » 2) Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim V 1 —kor.' ~r~ * Jr n-*oc fí 5 Í=1 Rpta. f (x 2 - x A)dx Jo

©

1 n

Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim - Y ln(o+—) «--»no n W

H

Rpta. [\n{a+x)dx Jo

®

n

Expresar el siguiente limite como una integral definida, lim V* (n2 + k 2)~l/1

1 dx Rpta. f Jo x +1

( 7)

» sen(—) Expresar el siguiente límite como una integral definida, lim V 1----- — M—kOD^

Rpta.

r1sen* , ------ d x Jo 1+ x

« 4 .Í

318


Expresar el siguiente límite como una integral definida. ,1. arctg(—) |»(—

n->*

©

,2. arctg(—)

n

g _ + _ » _ + „ . + - 4 _ )

\ +n

2 +n

Rpia.

n +n

f “!“* *

J o l +x

áx

Expresar el siguiente límite como una integral definida lim Y (——+ —) 1=1

Rpta. J (7x2 +9)dx ©

Expresar el siguiente límite como una integral definida. . . . » » lim(-------------—+ ------------- - + n-»
» . --------------- - ) n +2n(n)+2n

__ f1 dx Rpta. —---------Jo x +2x + 2

Expresar el siguiente límite como una integral definida.

¡i„(— L = + ”“>DC -\/«2 +1

@

1

+...+

->/»2 + 2 2

1

)

Rpta. f

-\/«2 + » 2

*2

Expresar el siguiente límite como una integral definida. V » ^ + V » + 2 +...+V 2 » lim-------------- ..

«->00

^ 3)

jj-

Aplicando /( * ) =

sumas

de

Riemann,

2x + 2, x e [0 ,2 ] , x 2 - 4 x + 10,xe<2,4]

evaluar

la

integral

J /(jc) dx

donde

4

R p t a .-----3

Consideremos dos funciones f y g integrables en [a,b] y K una constante arbitrariamente, entonces:

319

I n te g r a I D e fin id a

©

J K f(x)dx = K ^ f( x ) d x ( T )

(i)

| f{x)dx = J/ (x)dx+ J f ( x ) d x , donde f es integrable en [a,c],[c,b],[a,b]

(¿)

^f(x)dx- =-^f(x)dx. b > a

©

r

/ (x)dx =

J tf íx ) ± g(x)]dx = J*/ (x)dx± j*g(x)dx

(? )

y

a
J / (x)dx = 0

/ (.r - k)dx (invariancia frente a una traslación)

Si f(x) > 0, V x € [a,b] entonces f f(x)dx> 0 Ja

j f(x)dx> jg(x)dx

©

Si fíx) > g(x). V x e [a,b], entonces:

(9)

Si m y M son los valores mínimos y máximos absolutos de f en [a,b] respectivamente tal que m < fíx) < M, V x e [a,b] entonces:

m(b-a)< \ f(x)dx< M ( b - a ) Ja

(10)

Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces: |J/ (x)dx 1
(n )

Si f es una función continua en el intervalo [0,a], entonces: | f(x)dx = j V to -x)dx

(12)

Si f es una

función par y continua en [-a,a], entonces: J / (x)dx = 2^ f (x)dx

(13)

Si f es una

función impar y continua en [-a,a], entonces: J J'{x)dx = 0

®

Si f es una función par y continua, entonces: f v / (eosx)dx = — f / (eos x)rfx

^ 5)

Si f es una función continua, entonces: j\v / (sen x)dx = y | í scnx^ x

Jo

2 J<»


320

16)

Si f es integrable en [a,b], entonces para cualquier c * 0 se tiene que: a)

(n )

\ f ( x ) d x =- \

Ju

f ( —)dx

b)

C

j f(x)dx = <[

¿ale

f(cx)dx

Si f es una función continua en un intervalo 1,entonces, para cada i a)

@

c "a(

í

f( x)d x = f f ( - x ) d x

J i

Sea

b)

Jo

í

J t

f(x)dx = 2 f f ( x ) d x , si f es par. Jo

f una función impar (par) continua sobre [-a,a], si se define la función

g(x) = i f(t)di para x e [-a,a], entonces g es una función par (impar).

(l9)

Si f es continua en I, entonces para c e

I: J

f(x )dx = |/( - jt) d x

Demostración (l)

e I.

Por demostrar j k f ( x ) d x = k j f ( x ) d x Sea P =

una partición del intervalo [a,b].

La suma de Riemann de la función k f(x) asociado a esta partición es: n S(p , f )

=

n k f (a¿)A,x = Ay

y

í=i

/ ( a , )Ai.y ,

i- 1

de modo que podemos expresar en la forma: l n it í k f(x)dx ~ lint Y 1 kf{a.)A¡x = lint k ^ / (a )A x Ja \p\-+a*-*' |P|-»n ¡~] i 1

=

k lim ^

/ ( a )A#jc = k f f(x)d x

i=\ Por demostrar f (/(jc) ±g ( x ) ) d x - f f ( x ) d x ± f g { x )d x . J«

Jtf

J«

321

Integrai Definida

Sea P = {xti.x| ....x„\ una partición del intervalo [a,b] la suma de Riemann de la función f(x) ± g(x) asociada a esta partición es: n

n

m

Sip. () = ^ [ / ( a , ) ± g(a¡ )]A,.t - £ f(a¡)A,x + i I

*1

)A,x f 1

de modo que podemos expresar en la forma: h 11 f ( f (x) ± g(x))dx = lint y [ / ( a ,) ± g(a¡)]A,-j

Jit

< i «

H

.

^

= lim V /(cí, )A,a- ± //»i y g(a,)A,a- = [ f(x)dx± [ gix)dx \p\ Ht*-1 M i i y< í i Por demostrar J /(xk/r=J

f (x)dx +j f(.\)dx

donde a < c 0. existe una partición P - { a =-r,„.v1.... x„=b\ de [a.b] tal que U(f,P) —L(f.P) < c Sea

P={x(>.xl.... x¡\

partición

del

una partición del intervalo [a,c] y P"= {x¡.....jc„} una

intervalo

U(J.P) = U í f . P )

[c,b],

entonces

L(f,P) -L(f,P') + L{f,P")

y

+ U( / , P ') entonces:

[Vi 1. P ) +Vi f , P" )] - [Li f . P ) + Li f . P" )] = Vi f . P) - U f . P)<€

como cada

termino del paréntesis no es negativo, cada uno es menor que c, esto muestra que f es integrable en [a,c] y [c.b] y se tiene que:

L (f.P )< f fix)dx< U if.P) Ja L ( Í , P ' ) < J H \) d x a

es

inmediato

aplicando

f( x ) d x = f(c ){ b - a ) donde a < c < b

La demostración f / [x)dx = 0 ejercicio es inmediato. Ju

(ó )

Por demostrar que í f(x)dx= f Ju'

Ja- k

f(x-k)dx

Sea z = x - k donde dx = dz, además Para x = a + k ; z = a + k —k = a y x = b+k; 7 = b + k - k = b f

Ja' k

(j)

f { x - k ) d x = \ f (z)dz - í f[x)dx Ja

f / (x)dx = f

Ja

Ja

Ja - k

f(x-k)dx

La demostración de f f(x)dx > 0, V x e[a,b ], f(x)>0 dejamos como ejercicio. Ja

Por demostrar que J f(x)dx > J g(x)dx donde f(x) > g(x), x e [a,b] para esto aplicamos la propiedad de linealidad y la propiedad (7). Como f(x) y g(x) son integrables, entonces la función h(x) = T(x)

—g(x)

integrable y como por hipótesis se tiene que h(x) = f(x) —g(x) > 0 entonces

V x e [a,b]

0 < f h(x)dx = f ( / ( * ) - g(x))dx = f f(x)dx - f g(x)dx Ja

Ja

Ja

Ja

es decir í f(x)d x- í g(jt)dx> 0 , de donde f f(x)dx> í g(x)dx Ja

Ja

Ja

Ja

es

Integral Definida

®

323

Por demostrar que

m(b - a) < J f (x)dx < M(b - a)

como f es continua en [a,b],

entonces fíx) es integrable en [a,b] y como m y M son los valores mínimo y máximo absoluta de f(x) es decir m < f(x) < M, V x e [a.b]. Aplicando la propiedad (8 ) se tiene: J m dx < J f(x)dx < J M dx => nix /* < J / (x)dx < M x

ni(h-a)< \ f( x ) d x < M ( h - a ) Ja

©

Por demostrar que:

|J f(x)dx\
como f(x) es continua en [a,b]

entonces | f(x) | también es continua en [a,b] y

por lo tanto esintegrable,

además por la propiedad, V u g R, -|u|< u < |u| de modo que: V x g [a,b] se tiene - |f(x)| < f(x) < |ffx)| por la propiedad (8 ) se tiene:

- f | f(x)\dx< f f(x)dx < f |f(x)\dx Ja

Ja

Ja

y aplicando la propiedad: |a| < b <=? - b < a < b se tiene: | f / (x)dx |< f | f(x) | dx Ja

©

Por demostrar que

Ja

f{x)dx = / (a - x)dx

En la integral J^/(o - x)dx , hacemos z = a - x, donde x = U, z = a y para x = a, z = 0 , además dx = - dz

\ Uf ( a - x ) d x ~ f / ( - ) í - ^ ) = - f (V(r)rfr= [ f(z)dz

JO

Ja

por la propiedad (4) por lo tanto:

Ja

J()

f (a - x)dx =

j(z)dz =

f(x)dx

324 12)

Eduardo Espinoza Ramos Por demostrar que: J J (x)dx = 2 J / [x)dx, aplicando la propiedad (3):

f f( x ) d x - [ f ( x ) d x + \ f{x)dx

Ja'

Ja

0

Jl)'

)

r° f(x)d< reemplazando x = -y entonces para x = -a, y = a y x = 0 , J a y = 0 , dx = -dy en la integral

f f(x)dx= f' / (-.v)(-í/v) = - f " / (~y)dy = f"/(-v)r/v

J

a

Ja

=

Ja

j \ / (x)dx, porque fes par

al reemplazar (2 ) en ( 1) se tiene:

ra J a '

|

f{x)dx =

... (2 ) pw mu 0a f(x)dx + f(x)dx = 2 f(x)dx Jo J0‘ J()

f(x)dx ~ 2^ f(x)dx

NOTA.-

Las demás propiedades su demostración dejamos como ejercicio.

OBSERVACION.-

Si se tiene una función f continua en el intervalo [a,b] y además f(a) * f(b), entonces para cualquier número z entre f(a) y f(b) existe un número c entre a y b de tal manera que fíe) = z.

Integral Definida 2X1

325

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES** Consideremos una función f continua en [a,b]. Entonces existe un número c e [a.b] tal que. ¿ti Demostración Como f es continua en [a.b] => 3 ex, p en [a.b] tal que fía) = m y ffp) = M son los valores mínimos y máximos absolutos respectivamente de f en [a,b]. Luego m < f(x) < M, V x e [a.b]. Entonces. m(b-a)< f f(x)dx< M (b-a) (por la propiedad 9). Ja

Por lo tanto:

I J(x)dx / » < —-------- < M , de donde

fhf(x)dx f ( a ) < —--------- < /(/i)

h -a

b -a

Ahora mediante la observación, existe c e [a.b] tal que : f f(x)dx /<<) = - -------h-a 2X2

h => \ f(x)dx= 1(c)(b-a)

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.(Derivadas de Integrales) Sea f una función continua en el intervalo [a,b]. Entonces la función F definida por: F(x) = f f(t)dx, a < x o

J > lrf,- J > lrf' h

f 7 (/ + fy ?/ )0 // Por el teorema del valor medio para integrales se tiene, para cada número fX’a no nulo x + h e [a,b] existe a e [x. x + h] tal que J / (/ )
m..r—/;

/(/)
F'(jc) = lim /i+o

/(/)
F '(x)= f(x ) Ejemplo.- Calcular F'(jc) siendo F(x) = J e \ntdt Solución F(x) = [ e l n t d t Jo

=> F'ix) = ex Inx

r

enx

Ai

---------

aresen i 1 + ares

Solución Para calcular F'(x) en este ejemplo se debe aplicar la regla de la cadena en el primer teorema fundamental del cálculo, es decir: f£(*) F(x) = J /( /) = / / (#(jr)) derivando mediante la regla de la cadena se tiene:

327

Integral Definida

F ,Cv) = / / ,(«í(x)).^,U )= f(g{x))-g'{x) donde /'(f) = ------i— 1 + arcsení F'i A ) = Hg{x))g'(x) = /(sen x).(sen x)'=

y g(x) = senx

l + arcsen(senx)

F ’( x ) = COS* 1+ A*

Ejemplo.- Calcular F'(a) siendo F (x )= [ 'Jt +e'dt Jo Solución Aplicando el criterio del ejemplo anterior: F(x) = f ' -Jl +e‘ di => F'(x) = 4 x 2 +ex'~(x2)' Jn 2.8.3.

F'{x) = 2 x 4 x 2 + e x*

GENERALIZACION DEL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.©

Si f es continua en R y g es diferenciable en R, entonces: DK[ \ ' UÍ f(t)dt] = Mg(x)).g'(x), x e R Ja En efecto: Sea u = g(x) y aplicamos la regla de la cadena rsU) d ) d du d ,[ | rv m = -rif f«)dt]=-?-[\ w ) d , ] ^ dx Ju du J" dx =f ( u)~r= f(g(x)).g'(x) dx

©

Con la hipótesis de (1) y con la suposición que h e diferenciable en R, entonces: />,[f ÍV)dt]= f{g(x)).g'(x)- f(h(x))h'(x) J/l(.l )

32S

Eduardo Espinoza Ramos En efecio: Aplicando la propiedad (3) de la integral definida

J’ííía) fit)dt)=ro

f(t)df+

h(\ )

Jh\x)

D ,[f

/(/)
Jh[\)

rir(') Ja

Ja

/(/)í//] por la parte (1)

Ja

/ (/l( V )).//'( V)

Si f es continua en R, g diferenciable en R y •>' continua en R. entonces:

{' HgU)).g’(t)dt =

Ju

Jz(tt)

//•(x) =

/(!/)
J*sr(v)f(u)du entonces H(a) = 0 y

En

Ag(.v)).g*U)

a 2.8.4.

Ja

fit)di]- /),[f

Ja

= /( .S í( .l ) ) .íí'( A ) -

(7 )

r.c(') f*<*> f[t)dt = f[t)d i/ (t)dt. derivando

=>

f '/ (g(x)).g'{x)dt

Ja

í(gU))g'(t)dl = \

■»£(«)

= [ n ' ( t ) d t = H ( \ ) ~ 11(a) Ja

f (u)rìu

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.Consideremos una función f continua en [a,b] y sea F una función tal que: F'{x)= f(x) V x e [a,b] entonces:

f f (x)dx = F(x)

j

/ a

-F(b)~F{a)

Demostración Como F'i x) = / ( v). V x e [a,b] entonces por el primer teorema fundamental del calculo se tiene:

/*'U) = f f(t)di +c Ja

... ( 1 )

329

Integral Definida

Si x = a entonces F(a) = f f(t)dt + c = 0 + c Ja

=> c = F(a) esto es aplicando la

propiedad (5) de la integral definida que reemplazando en ( 1) se tiene:

F(x) = f/(í)<* + F(a) Ju

...(2)

Si x = b, reemplazamos en (2) obteniendo:

F(b)= \f{t)d t + F(a) de donde se tiene: f f{t)dt = F(b)-F(a) Ju

Ju

como la variable de integración t es independiente se concluye: ( f(x)dx = F ( b ) - F ( a )

Ja

OBSERVACION.©

En la evaluación de las integrales definidas la notación F(x)

indica

F(b) - F(a) es decir: J J'(x)dx = J F'(x)dx - F ( x ) = (b) - F(a)

©

La formula J f{x)dx = F{b) - F(a) se conoce con el nombre de “Formula de NEWTON — LEIBN1TZ”, debido a que estos dos ilustres matemáticos independientemente establecieron la relación entre los conceptos de la derivada y la integral.

©

La diferencia F(b) - F(a) no depende de la elección de la antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una constante, la que se desaparece al efectuar la diferencia, por lo que no es necesario considerar la constante al hallar la antiderivada.

Ejemplo.- Calcular la integral J | x - 3 1dx

330


Solución \x —3 SÍ X > 3 Aplicando definición de valor absoluto: | x - 3 1= < [3-x si jc < 3 Luego se tiene: [-2,5] = [-2,3] U [3,5]

j* | x

-

3 1 dx

=J*

I X - 3 1 dx + [ i -v - 3 1 dx = J ^

.2

-

{x

- 3 )dx +

- 3 )dx

,3

= ( 3 x - ^ ) / ’ + (-^--3x) / 2 / -1 2

= [(9 -V (-6 -2 )]+ [< 4 ^ -1 5 )-4 -9 )] 2

9 25 9 7 29 1 7 - - + — - - - 6 = 11 + - = — 2 2 2 2 2 12.8.5.

f(x

2

2

fs 29 A J Jx -3 |< fr= y

CAMBIO PE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA.E1 calculo en la integral definida se puede simplificar mediante un cambio de variable, este criterio indicaremos en el siguiente teorema. TEOREMA.-

Si f es continua en el intervalo [a.b] y si se reemplaza la variable de la integral x = g(t) donde g: [cc,p]-----> [a,b] tiene derivada continua en [cc,p], con g(cc) = a y g(P) = b, entonces: í f'(x)dx = f Pf(g(t)).g'(t)dt

Ja

Ja

Demostración Aplicando el primer y segundo teorema del calculo Sea

F{y) = í f(x)dx entonces Ju

F '( y ) - /( y), V y e [a,b] por ia regla de la

cadena o derivada de la función compuesta. t^(«ÍM)] - E'(g(/)).g'(t) = /(g(O)g'(O por lo tamo F(g(t)) es la antiderivada de I / (k (/)).k '(/) entonces por el segundo teorema del calculo se tiene:

Integral Definida

331

= F(g(P» - F(g(a)) = F(b) - F(a) = f / W d x

f f(x)d x= \P f(g(t))g'(1)dt

Ja

Ja

Ejemplo.- Calcular la integral

29 ^/(JC t/(JC — -2)2dx Zl —— ¡ = Jj 3 + lJ (x - 2

?

Solución

Sea z 3 = x - 2 de donde dx = 3 z2d z , además para x= 3; z= 1 y para x = 29, z = 3 f» "

V(jc - 2) 2

^

3 + ^ /(x -2 ) 2

f3z 2.3z2
3 + z2

, f 3 z 4dz J i3 + z 2

- 3 + T T i * ■ - * 7 ’ 3 - '+ - (¡’ - 9 z t 9 . f i M C I g i) / ’ = 9 ^3 (y ) + 8 - 9 V 3 (|) = 8 + OBSERVACION.- En la practica no es necesario tomar la función g(t) en forma explícita, puesto que ya esta habilitado a cambiar de variable en la integral indefinida, solamente se debe agregar para cambiar los limites de integración solamente se debe reemplazar la variable original x por los limites de integración correspondiente, obteniéndose los nuevos limites de integración.

Ejemplo.-

Calcular la integral definida Solución

f2

jf dx -------5- 5Ji (1 + x )

332

Eduardo Espinoza Ramos Sea z = l + x 2 f2

x dx

dz = 2x dx, ademas para x = l ; z = 2 y para x = 2; z - 5 r 2 2x dx _ 1 t 5dz __ 1 / 5 _ 2 Ji (1 + x 2) 2 2 J 2z 2 2r f 2

_1

Ji (1 + X 2 )2

11

1

3

2 5

2

20

Ejemplo.- Calcular la integral í V* - 1 Solución Cuando se hace un cambio de variable o una sustitución adecuada también es recomendable cambiar los límites de integración para facilitar los cálculos. Ahora hacemos el cálculo de

integral, sea x - z 2

dx = 2z dz cambiando los

límites de integración para: x = 4, se tiene z = 2; y para x = 9, se tiene z = 3 r9 Jxdx

f-* z

1

'r2

/■*

= 2 [(|+ 3 + I n 2 > - í| + 2,+ lril)]=?7¥21n2

Sea f una función continua sobre el intervalo [a,b], c e [a,b] ahora calcularemos el límite siguiente:

para esto, definimos la función: G(x) = £

/ , para cada x e [a,b], donde G(0) = 0, G'(x) = / (x), G*(c) = / (c)

Luego el valor de E lo expresamos como:

333

Integra! Definida

E = lim—[C(x+h)-G(c)] /. *0/1

y como E resulta diferenciable por el primer teorema

fundamental entonces:

E = lint ^ h Hl

por lo tanto:

1 p+'h £ = !im~~ f{ t) d t- f(c] b~fOh Je

/;

= G'(c) = /(<)

1 f 4 * í//

Ejemplo.- Calcular el limite lint — I

h-, ti A Al

-----l + ,2

Solución Sea /'(/) = ------— entonces aplicando el caso especial fl+r) 1 f4-* r4** (¡t di lint — f — r h *11 ¡1 J4 i + ,í

2.8.7 ®

_ 1 1+ 16 _ 17 1

= /(4 ) =

EJEMPLO DEL ler. V 2dt>. TEOREMA;FUNDAMENTAL £IC£L CALCULO.Hallar ffx) sabiendo que f es continua V x e R y j f ( l ) d t = x 6 + x 4 + 3x2 Solución Derivando ambos miembros de la ecuación dada se tiene: 2x / (x2 - 1) = 6xs + 4* 1 + 6 x , simplificando tenernos /(a *2 - 1) = 3jc4 + 2 x 2 +3 =3(x2 - l ) 2 + 8(x 2 - l ) + 8 /. / ( x ) = 3jc2 +8 jc+ 8

®

Hallar la derivada de la función y =

r * 1- / + / 2

—---- —rf/ para x = 1 J
334

Eduardo Espinoza Ramos Solución dy y'(l) = — / dx • * i

Nos piden calcular

primeramente calculamos su derivada con

respecto a x. y*(x) = — = D v f ^ • d l ~- — , ahora evaluamos en x = 1. dr Jo 1 +/ + ^l+x+x~ V(v,-I rf-V /

©

, ri

1+1+1

3

•

3

Hallar la derivada respecto a x de la función “y” dada en forma implícita. í e dt+

Jo

feos/ Jo

d i-

0

Solución Derivando con respecto a xt a la ecuación v dy A 4 dy e — + cosr = 0 entonces ' dx dx (4)

f e di = f eos i dt - 0

Jo

Jo

cosx e'r

Hallar F'(x) siendo:F ( x ) = f (í -------- -r~ — — )dy J2 J8 i + /- + sen~ t Solución Sea / ( > • ) = [ - — ~ — — => /(.r) = £ - — ^ — — J* l + /~+sen~f 1 + r + sen~ i

335

Integral Definida

©

Hallar F'(x) si F(x) = f - ----- - 1— t +9sen/ + 15 Solución F ( X)

= f —----- —----= - f / “ +9sen/ + 15

F'(x) = -

—----------—--------, derivando ^ r_ +9sen/ + 15

3jc2

x 6 + 9senx 1 +15 •sen.r

(ó )

Hallar F'(x) si F(x)= f Ja

rf,

arcsen/ Solución

EV ,

p(-v)=

(T)

f

*

_

E„ , .

COS .V

COS .V

--------- => F (x) =-------------- - = -----aresen/ arcsen(senx) x

Hallar la derivada Dx (J yfl + 1 4 dt +1 4l + r4dt) Solución Dy( Ç M + i 4di+ ^ 4 l + t 4dt) = Dx ( - £ 4l+ t*dt + 1' 4\+t*dt)

= —s/l + je4 + 2x^lìTx*

@

Si F(x) = r ^/l+ .V3 d y , hallar F'(x) Solución

F (X) = £ ^ / l + v V v = £ ’ ^ 7

d y + £ Vl + > V v

F (x) =

cosx X

336


F(x) =—|

^ Jl + y

3d y + J %j\+y3d y , derivando tenemos:

F'íx) = - 3 x 1l l l+jc*

+2ít/i

Calcular lim —[ | sen t d t -

+*6 sen / dt] Solución

-

j s e n t d t - jjsenjrf/ lim —[ f sen / di - f sen / dt] = lim —— — — = D y f sen t dt = sen jc

*h »0 »o // h Ji

Ji

ti/» »o

/ / i » y - [Jjsen t d t - j

©

sen / d t ]

h/j

=

senx

Calcular lim —[ f sen2 / dt - f eos 2 t d t - x] a->o h Ji Ji Solución i cx i r +h i lim—[ sen t d t - \ eos” t d t - x \ = /•— »/; Ío SCn2 1

= lim - ( J (sen2 i»— >íi h

I C**/# lim -~[x + I i II J\

= Um j l A-»0 h f - f 1 Cx+h lim /»->« /| Jx

•x-h

1

Integral Definida

(T í)

337

J / ( t)dt = x 2(1 + x)

Hallar f(2 ) si

Solución

J" / (t)dt = x 2(l +x) f ( x ) = 2x+3x

12)

derivando con respecto a x

=> f(2) = 4 + 12 = 16

f(2) = 16

Si ^ r d t = x 2(\+x). Hallar f(2) Solución

rfX*) 7

/" dt =

J

?

x “(1 + jc)

/ 2 0 0 /* (x) = 2jc+ 3x2

—

ax.

derivando conrespecto

integrando

f ( x ) = ^3(x2+ x 3) , evaluando en x = 2

- x 2 + jc3 =>

/ ( 2) = 3/3(4 + 8)=V36

f( 2 ) = l¡26

Si f(t) es una función continua en [a,b] y g(x) es una función diferenciable con valores en [a,b]. Demostrar que:

f#< ' f(t)dt = f(g(x))-^-(g(x)) dx Ja dx Solución

Sea F ( u ) ~ [ f ( t ) d t entonces Ja Luego derivando

^

I*'*/ ( / ) * “

OX Ja

fX(x)

Ja

dx

=í Ja

f{t)dt

/ (t)dí - F(g(x)) con respecto a x

(F(g(x)) = F'(g(x)).4~(g(x))

dx

... (1)

338


como F (u ) = [ j(t)d t

=> F'(u) = f(u )

F(g(x)) = f(g(x)) donde u = g(x) ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

^4)

... (2) d f*(jr) d — / (t)dt = f(g(x)) — (gM ) dx Ja dx

Calcular la integral | (2x2 + 4jc +1 )dx Solución Aplicando el segundo teorema fundamental del calculo. f (2x2 +4x+l)dx = (— +2x2 +x) t = ( - + 2 + l) - ( 0 ) = ^ 3 / o 3 3

*0

( 15 )

Calcular la integral | x 24 x 3 -1 dx Solución

f x 2^

¿

x

= j j V

+ 1 )1' 2 3 x 2 í / x = ^ ( x 3 + 1 ) 3' 2 f~

= —(8 + l)3/2 - - = - ( 2 1 + 242) 9 9 9 Í6 ) w

Calcular la integral í —----Jox2 +4x + 5 Solución í —r- —----- = í ------— = arctg(x + 2) / Jo x 2 + 4 x + 5

®

*"• (x + 2)

+1

= arctg 3 - arctg 2 /«

„ , , , . , r T/2 sen,veosxdx Calcular la integral —----- ------- ------ — Jo o* eos x + b~ sen~ x

339

Integral Definida Solución

Sea z = a 2 eos2 x +b2 sen 2 x , diferenciando tenemos: í/r =

(- 2¿7 “ sen x eos x + 2b ~ sen jc eos x)dx

=

2 (fr

- ¿7~ ) sen jc eos x dx

ahora a la integral dada escribiremos así: 6 2 - a 2) sen x eos x dx 1r * ' 2 2 (r*'¿Z{0'-a

senxcosAí/v Jro

cf~ eos- +

sen- j

2 (/?~ - a 2(h2 c r2))

o 2 eos2 x + />2 sen2 x

1 In ------ r—l n | a~ eos2 x + b 2 sen 2 x| / 2(b - a ) /o

-— —[lnb2 - l n a 2] = —j-í——ln(—) -
2(6

Ilw


r

■Jl + X2

x

dx Solución

En esta integral hacemos una sustitución y también cambiaremos los limites para facilitar los cálculos. (Por sustitución trigonométrica).

Sea

[tg 0 = x \x = lgO

eos ecO

jc = 1 0 =

además tg 0 = x, para

^fl + x 2

n

0 = arctgx dx = see2 0 dQ

340

Eduardo Espinoza Ramos j^ V l+—J r 2 dx = f X

J n ¿4

eos ecG. sec 2 GdG = f

(eos ecG + tgG. sec 6 )dG

Jn/4

2 1 = (ln | — — = |+ 2 ) Vir/3 *-4 V3 V3

= (ln |^ -l|+ -v /2 ) = 2 - ^ 2 - I tiÍa/ ó - a/3)

©

í xsenx dx Solución . Haciendo

f«=x fdu = dx < => < [dv = sen * dx [v = - eos x

f x sen x dx = -x eos x /* + f eos x dx = -x eos x / +sen x / Jo ' 0 Jü '0 = -(—7T-0) + (0 -0 ) = 71 (2 0 )

Calcular la integral J | x 2 + x - 6 1dx Solución En el cálculo de integrales con un valor absoluto se debe determinar el signo de la expresión dentro de las barras, mediante el criterio del punto crítico, (en caso que el integrando tenga más de un valor absoluto se define los valores absolutos) es decir: + x 2 + x - 6 = (x+3)(x-2)

T

+ T

”0

Lucgo el criterio sobre el cual se realiza la integración se expresa en dos o más subintervalos, es decir:

[-4,4] = [-4,-3] u [-3,2] \j [2,4]

341

Integral Definida = J (x 2 + x - 6)dx - J (A2 +x-6)dx+ J (a 2 + a - b)dx

=(T + T - f a , / r

(T + T - f a ) / l +lT + T - 6' , / ‘

:[(_ 9 +| +l 8)_ (_ ^ + 8 + 2 4 )]-[(| + 2 - 1 2 )- (- 9 + |+ 1 8 ) ] +

+ [ ( y + 8 - 2 4 ) - l( |+ 2 - 1 2 ) ]

,64 9 .8 9 ... 56 109 (— + — 23) —C---------------------19)+ (-- 6 ) = -3 2 3 2 3 3 (2l)

Calcular la integrai f | A+ ^ | dx J-2 x ++ 66 Solución De acuerdo al comentario del problema (20) determinaremos el signo de la expresión X +^ mediante el criterio de los puntos críticos. x +6 -6

-1

Luego [-2,4] = [-2,-1] ¡u [-1,4] f 4 | ^ l i | d A = r 1| ^ i | í/A+f 4 \ ^ ± \ d x = [ l^ ! ± d x +f ^ d x J-2 x + 6 J-2 x + 6 J-i x + 6 J- 2 x + 6 J-ix + 6 rl 5 f4 5 (\— ^-)dx+\ (1~ ^ ~ )d x J-2 x+ x+6 JJ-i i + 66

=-f

-{x -5 1 n |x + 6 |)! ^ + (x -5 1 n |x + 6 |) j*^

342

Eduardo Espinoza Ramos = -[(-1 - 51n5) - (-2 - 51n4>] + [(4 - 51nl 0) - (-1 - 51n5)] -[1

22)

+ 5 In—] + 5 + 51n— = 4-51n(-) 5 10 8

Calcular la integral J [\2x\]dx Solución Sea z = 2 x => dx = — además para x = - I ; z - -2 ; x = 2 ; z = 4 2

4 C » --1» * ■+ f ,n --1 + £t i -- II* ■- J,ÍI -- I I * + J ’ti -- n * * jji -- \ r n

= - [ - 2 - 1 + 0 +1+ 2+ 3] = —

(23)

Calcular la integral J ([| x |] + [| x + —f]) dx Solución tU |] = - l

-1 < x < O X G

[-1 ,0

1 * + —< 1 1“ ----<

2

0

x e [0,1>

2

2

1 1 3 —< x + —< — 2 2 2

[ |x + i | ] = 0

[|*l] = 0 [U + ^ l] = ‘

343

Integral Definida

X

€ [1,2> =>

x e [2,3>

l
[\x\] = l [U + | | ] = 2

2< x < 3 5 1 7 —< jc+—< — 2 2 2

[ U 11= 2 [ U + jl] = 3

= f (-l + 0)£Ír+ f(0 + l)í/v+ f(l + 2 )dx + f(2 + 3)rfr J-l Jo Jl *>2

í ([l*l] + [l* + — J 1 2

=J-rfr +Jrfx+^3rfx+Jsrfx -<0 + 1) + (1 - 0 ) + ( 6 -3 ) + (15 -1 0 ) = - 1 + 1 + 3 + 5 = 8 (24)

1

Calcular la integral J

x 1 —3jc5 + 7x 3 - x dx eos2 X Solución

Cuando la integración se realiza sobre un intervalo de la forma [-a,a] se debe ver si la función es par o impar es decir:

f(x) =

x 7 ~3x5 + l x 3 —x eos2 x

=> /( - * ) = -

x 1 - 3 x 5 +7x 3 - x = -f(x) eos2 A'

Luego como f(—x) = —f(x) la función es impar entonces por la propiedad (13) se tiene: x 1 - 3 x 5 +l x 3 —x dx = 0 j. 1 eos 2 X 1


J tg x dx —~ = — -----Jm e^t g x + j c t g x r * ‘'3

Solución

344


V ----A -----

Sea r = —- x 2

-Jtgx dx

dx = -dz para X =

_

*f i g x + jctg x

n n ~6 ; r"T , reemplazando se tiene: n n """ 3 6

—

+

,7T tg(^ -)rfr^2

d: f*'» _ ffn.3 * 3 -Jctg: ± tg rrfr g l +Jcig. ■k'6 I .K I TtÍ 7 Jn,6 f i/tgJ c t« |tg(—- z ) + J e tg ( y - r )

*/3 -Jtgx dx »/ 6 JlgX +^JclgX

c’1-3 is[clgx dx f*'-’

-(I)

•’«^^tgx+ -y/ctgx

Sumando ambos miembros de la ecuación (1) la integral

* *r / 3

-v/l^ X

—j =

es decir:

Jn/6 ^ X g x -¥^jc t g x

r*'3

^¡Xgxdx

f*/3

*\JtgX +-y/ctgx

^jtgxdx ^tgx+^/ctgX

_

p ^ ^ /tg x

+ -y /í

^ /6-JtgX -Jtgx+^ct + gx

tgx

•’’r/6 -y/tgjt +^/ctgx -Jlgxdx

r*/3

*n/6y¡tgx +^Jctgx

(2ó)


««

X rfx

f*'3

^

■*'I/6

3

_ 7T

6

6

_ n 12

e9enxdr ^ cosjc _ ^ s e n x

Solución

/r Sea z = ---- x => dx = - dz, para 2

x =0 ; r = /r

/r , reemplazando se tiene:

345

IntegraI Definida

cn/1 €senxdx Jo ^cos.r +é?senA

r° gscn(2 ^ ~n!2 gcos2rfr /Z= X) J^ /2 sen(£_z) cos(£ -2) Jo ênz + ^cosz ' Z X

e dx = J*m¿---------------

0

cnlL e dx --------------- , ahora sumando í ambos

em *+¿x*x J0 ^sen*+^cos*

„sena. gsenVaveos X es decir: miembros de la ecuación la interni r*'2 I — -----------Jo ^senT+( rn.2

e^dx

JO

t senj + e £“ *

2r ' l Jo

e^dx ^senx +É,cosx

r 2 e ^ d x | f * /2 e ^ d x Joesenr+ e cosjr Jo pSeii.* rm'l gsepx + gcos t

J0

^senx + £ ,cos*

f'^ 2= ZL X

*12 esmxdx í'o esmx +e'MSX ( 27 ) W


f Ascn* 1+ COS

+ e cosv

Jf)

2

n 4

A'

Solución Aplicando la propiedad f f{x)dx = f fia - x ) d x

Jo

Jo*

rn x sen a' dx rn (n - x) sen(;r - jc) , --------- ?— =

rn (n - x) sen x ,

--------------------------------------------------------5------- d x = \ -------- ?-------- d x

Ji) 1 + eos“ A' Jo 1 + eos~ (n - x)

J() 1 + eos“ x

c71xsenx dx rn senx dx rn x senx dx , . I -— = n ------- ----- ------------ -— * transponiendo términos Jo 1 + cos" a'Jo 1 + cos x Jo l + cos~x ^rrxsenxdx , / , , tv g n n 2 —- = - n arctg(cosx) / = - 7r(arctg(-l) - arctgO)) = - n {— 7 — 7 )= — 1+cos 2 x /o 4 4 2

346

Eduardo Espinoza Ramos * xsenx dx

i @

l + cos2x

n2 4

Sí J J f'{x) + f"'(x))cosx dx = 9 y / " ( 0) = 7 Hallar / '( * ) Solución

f ( /'( * ) + r " ( * ) ) c o s x d x = Jo*f r U ) c o s x d x + Jo'f /"'(x)cosxrfx

Jo ‘

...(1 )

J f'(x) eos a dx por partes: *ní 2

o

fu

- f'(x )

jrfv

jdu = f" { x )d x

=eos x dx

[v

=sen x

¡n/2 n/2 [X/2 J /'(x J c o s x í/A ^ s e n x /'fx )^ - j / " ( x j s e nx r f x

ahora calculamos la integral { u

=cosx

dv = f " ' ( x ) d x

... ( 2 )

pnr/2

/ '' ’(x) eos x dx por partes:

Jo

ídu =-sen x d x ^

[v = / " ( a )

J

fiel 2 n¡2 Cni 2 J^/,,,(x)cosx¿x =cosx/,,(x)/o + / M(*)sen xdx

£/"'(x)cos xdx =-/''(O) +Jo/ ,2"(x)scnx dx reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

... (3)

347

Integral Definida

29)


| x | dx 2 [| x\]x + 20 Solución

r3 |x |dx r° |x |dx r1 |x |dx J-i2[|* |]x + 2 0 ”~J i 2[| jc|]jc + 20 + J«2[|x|]x + 20 +

1

|x |dx r3 |x |dx 2[|x|]x +20 +J 2 2[|x|]x +20

r° -x dx r1x dx r2 x dx r3 x dx J 1 -2x +20 +Jo 20 +Ji 2x +20 +J 2 4x +20 1 f° n 10 w f1 A ^ 1 f2/i 10 w 2 J 1 x-10 Jo 20 2 Ji x-10 2

1 f\t 4 J2

5 x +5

t

= —U + 101n | x - 1 0 | ) / ”i + ^ /'o+ —( jf - 101 n |x + 1 0 |) / j +

+ ^ ( * - 5 1 n |x + 5|)/* 10 1 1 1 11 1 5. 7 515 5, 7 = 51n— + —+ — + —+ 51n— + —+ —ln—= — + 51n—+ —ln— 11 2 40 2 12 4 4 8 406 4 30}

Sean f y g dos funciones

integrables sobre [a,b], pruebe

la desigualdad de

CAUCHY — SCHWARZ.: ( ff(x).g(x)dx)2 < ( f(x)2dx.f*g{x)2dx Ja

Ja

Ja

Solución Para todo real X se tiene

J (f(x) +Xg{x))2dx> 0

f f( x ) 2dx +2?Xf{x)g(x)dx + ?c f g(jf)2 ííc > 0 Ju Ja Ja

. . . ( 1)

Sea A 2 = f f ( x ) 2dx, B 2 = í g(x)2dx, C = f f(x).g{x)dx Ju JaJu

...(2 )

8

348

Eduardo Espinoza Ramos Reemplazando (2) en (1) se tiene:A 2 + 2h: +X2B 2 > 0

a la ecuación (3) se expresa asi:

... (3 )

2q ^2 A" + -— AH------ > 0, completando cuadrados BB2

. 2 2C . C2 A 2 C* + B2 + B4+ B2 B4

...(4)

(á +S ^ )2 + A 1 - £ t >0 B B B4 A2 C2 ahora (4) es cierto sí y solo sí —-------- > 0 B 2 B4 A 2B 2 - C 2 > 0 dedonde C 2 < A 2B 2 por lo tanto:

( \ f (x).g(x)dx)2 < f / ( x)2dx, í g(x) 2dx Ja

Ja

Ja

2.9

EJERCICIOS PROPUESTOS.-]

I.

Calcular F '( jc) siendo:

©

F(x) = f e \ní dt

Rpta. F'(x) = e x Inx

©

cx4 t dt F(x) = J^senh

Rpta. F '(4x) = 4x 3 senh(x4)

©

F(x) = j 5Jl +t 4dt

Rpta. F'(x) = -^/l + x 4

F (jf)= |" Vi +t4dí

Rpta. F'(x) = 2x^l +x*

©

JO

2

©

J-jr a 1 + /-

Rpta. F'(x) = ----- — l + x~

349

Integral Definida

©

F(jc) = J ' cosh(2 r + \)dt

Rpta. F'{x) = 2 eosh(8jc2 + 1)

r* di

©

F(x) =

Ju

Rpta. F'(x) = (i+Jf2 ) n + ( r - 5 L . ) 2] Ju \ +t ¿

1+/-

F(x) = sen(jj sen(J sen3tdt)dy)

Rpta.

F ' (,v)=cos( f sen(í sen31dt)d\. sen( f sen31 di)) Jo

Jo

© w

r
© W

F(x) = r ( - L ^ + -J\ + t A)dt J- 3/ + r Rpta.

F'(x) =

** 3* 6 a ( jc +

©

r!' sen,rf' Jo /

©

J2

©

F(x) = f ln/ í// Jjc2

Jo

3x2 Rpta. F'(x) =------------, 3 n V dt (1 +sen .t )[l + (l --------—y ] Jo 1 + sen2/

+^|l +7 - 3 x 2^|l +x ^2

3)(a ~ + 3 )

t

Rpta. n , ) . ”

2'

Rpta. F ’(a' ) = 4 Rpta. F'(x) = -4A'lnx

2

F(.v)=J ln 2 / í//

©

Rpta. F*(x) = 2xln 2 x 2

F(x) = f (eos l +t 2)dt Jsena Rpta.

F*(x) - 2x( cosx2 + jt4)-(cos(sen x) + senz a ) eos*

350

©


F(x) = \ \ \ f ( t ) d t

©

dt l+ sen 2 1

©

F< * H r ñ

©

F(x) =

f Jssena 1

- j.

Rpta. F ( x ) = 2xVf(t)dt + x 2 f(x)

Jo'

Rpta. F'(x) =

Rpta. F'(x) =

eos 2 /

Rpta. F (x)

3x2 1 +sen 2 jc3 1

senx + x - 1 -co sx 1 + eos2 (sen x)

Rpta. F'(x)= f

©

F(x) = £

@ V- /

fu )= r — J3 11++sen cfit!6 6 t +t 2

Rpta. F'(x) = -

©

'8 * dt F(x) = J* 1 + /'

Rpta. F 'fr) = S£C * =1 1 + tg2 /

2+/3 -ctg2/

%

Ju2+r -ctg /

» n ‘ .2 1 + sen jf“ +x 4

Rpta. F'(x) =

f (x) =

tgr

see3 jr¿/xr

@

see2 x i - t g 2 (tg.v)

dt x¿ Rpta. F'{x) = 2x P - ^ V + J-2 to tg/t ¿ tg*

r ^

U

2x

f*seo i ví/v rfx Rpta. F ' ( x ) = 4 r h 3\¡t «W 1 - jr 3 ?

i - x -1

F(x) = J* [£ * ' VTVrfiv]rf/

dt

f

■í Rpta. F ''(*) = 4 4 ^ /l- ( 2 + jr2 ) 2 - V i - * 4 ]

Rpta. F'(x) =

2 ig x sen2x

2 _rsen(l+ a 2 )

l+.v2

Integral Definida

@

F(x) = J'

351 Rpta. F' (x) = x[3xlh+xv - 2^/l+x6]

l¡] + v3 dy

II. Sea f una función continua V x que cumple la relación: f f(t)dt = - —+x sen 2 x + —eos 2x+ x2, calcular f ( —) y /**(—) 2 2 4 ‘ 4

J

Rpta. / 4 > = T ’ 4 2

®

7T Calcular F ’(—) si F(jc) = I 2 J*

4

/ fJxarcsen(—)dt y g(x) = (sen/ + 1eost)dt x Jo Rpta. 0

©

Si fes continua y x4 =JJ(/ (/ ))3rf/+17x. Hallar f(3)

Rpta.

©

Sí f 8 f(t)dt = g(x) y /(* ) = ------Hallar g(x)Rpta. J3 1+ x

g(x) = - x + c

(? )

Si f V & / = 2x+3 Jo'

©

Hallar f(12)

Rpta.

f{3) = W \

f(l2 )= -

‘

4

1

fcl8 * f(t)dt = - ln | see 2x + tg 2x | . Hallar / ( - )

Rpta.

©

Si ^f{t)d1 - -2-Jl -sen x , Hallar f(x)

Rpta.

f{ x ) = — j=

©

Si J /(/)< //= g(x) y /(x ) = ^ l - x 2 , Hallar g(ji)

Rpta.

rc-1

©

Si f f « ) d t = x - ^ , hallar f ¿ ) V 2 • 2

Rpta.

^

J-2

7

7

4-n-

352

Eduardo Espittoza Ramos

(ío)

Una función g definida para todo número real positivo satisface las dos condiciones siguientes:

g ( l ) ” l y g ’(x2) =jc3 , V x > 0, Calcular g(4) Rpta.

(n )

Si f y ( t ) d t = x 1{\+x) Hallar f(2)

Rpta.

(12)

Sea f{l) = 4 4 + / 2 + f t = = - . si se define H(x) - f 1(t)dt. J 2 V4 + « 2 J* Calcular D 2H(x) p ar a x = l .

g(4) ~ ~ 2 + 3 V2

Rpta. ■J5

©

Si

f }(t)di = 4 x + J } . Hallar f(17)

(l4)

Sea f una función derivable tal que /(O) = /'(O ) = 0 se define las funciones.

Jv3

Rpta.

— 32

g(x) = ¡*f(u)u, //(X) = f (Jr> /(/)<*. Hallar D 2//(x) parax = 0 Jo

J~ £ (*)

Rpta.

(ís ) w

Si

200

í 3r 1 f (t)dt = — + ax , Hallar el valor o valores de a para que f (—) = — Jo ax 4 3

Rpta. Demuestre que:

rb 2 x d x

J —

r]+t}2dí

@

Si/ ( ( ) = * + f V l - « 2rfw;

(l8 )

Demostrar que si f es continua, entonces:

//(* )= £ /(< )*

considerar F (x) = f /(w)(x-w)cfw Jo

a = -2 ó 1

entonces D 2H(x).

J/(w )(x-w )rfw

después derivar

Rpta. 0

= £ (J^/(/))rf« sugerencia

F*(x) = [f(u)du Jo

hallar un antiderivada y calcular la constante de integración calcular F(0).

enseguida

IntegraI Definida 19)

353

Aplicando el ejercicio (18), demostrar que: ^ f(u)(x-u)du = 2 ^ (£ (J ‘ f(i)dí)dul )du

20)

c .

...

Si

.

H(x) =

f « 1»

dt ,----—

.

,

en donde I

farcsenfcos

Jji

JrW O -V i .T2 ) / 2

1-seilX f(s e n /)d t= J ----------

F™*4 g V )d t= ^ !\- cosX . Hallar H'(x) JV2 21)

y

V1 + s e n jf

Rpta.

H'(x) = - \

Sea f una función derivable tal que /(O) = /'(O) = a * se define las siguientes . fg(jr) f(u)du ; //(* )= donde “a”, “b” son constantes, o' Jo

J

Calcular H'[x) parax = 0. ^22 /

Rpta.

H'(Q)~a2b

Existe una función f definida y continua V x e R que satisface una ecuación de la r r1 2 x 16 * 18 f(t)dt= \ t f{t)dt +---- + -----+ c , donde c es una constante. Encontrar Jo Jx 8 9

forma

una fórmula explícita para f(x) y hallar el valor de la constante c. Rpta.

(S )

Si 0 a < jc < — * Calcular d \ {í 2 Ja

t

F(x) = 2x15; c = _ ^

+ f — —— ]dí\ en x = — J/ 1+ cosu 4 Rpta. n~

(24)

Sea

f una función derivable

G(x) =

f(l) =f'(\) =

=\

se define la función:

r/(*) x f(u)du . Hallar la segunda derivada de G en el punto x = 1. Jo Rpta.

G"(l) = 4

354

©

Eduardo Espinoza Ramos fX + X 2

Rpta. 2U

®

i

Si F(x)= l 2 ' d t , calcular F'(x), f ”(I) J r +1 F'(x) = -x .2 *A*2xl +(\ + 2x)2 lx**1)2; F ( 1) = - 16 )

Sea F(x) = p 2

Jo.ÍJr)

f(t)dt, donde f: 1 -» R es una función continua y 2: J -> I

son funciones derivables. Probar que: F'(x) = /(í» 2( x ^ j ( j t ) - / ( ^ (x))^¡ ( i )

®

1 r* V dl t x’h dt Calcular el limite l i m - ( x - \ A—»0 fj JO 1 + / 2

JO

1+ x 2

|+ / 2

1 pfc/2-íh

.

28) ^-/

Calcular

©

Calcular

®

J

//« —1 _ sen(/ )ífr h-,0 h A/í/2+7*

lim —(jc - f ti JO

h-t0

Rpta.

JO

»sena -----

Jo

©

15

—= -y¡2

eos2 t di)Rpta.1

sen2 / í/í - f

eaicuiar nm ----------------

Calcular

1

Rpta.

Vsen/ dt

A-.0 f«* i-----

Rpta.

1

Rpta.

-14

Rpta.

f(2)

,

lim í see t 2dt h-*0 Jfi/i 4

lim J2_Af(t)dt

(¿ 2)

Si f(x) es continua en [0,3] calcular

( 33)

Sea f una función continua. Se define las funciones siguientes:

H (t)= ty + í* f 2(u)du , G(x) = r jr//(/)rf/ . Jo' Jo

f' ( u) du = a o

355

Integral Definida ( 34 )

Usando el criterio de la segunda derivada compruebe que la función definida por: f(x)=

( 35 )

f*2^1

Calcular

dt y... ■ - , alcanza su valor mínimo en x = 0 . V/4 + / 2 +i D:.F(y) '

para

y = 2

.1+4^ F ( y ) = f *g(x)dx * Jl-4v

(

donde:

g(jc) = ( - l + x)1/:, + r -----Rpta. (— 1+ m)1' ) 3 (-1+H (3ó)

D;F( 2) = 32 3

Encontrar una función f(x) y un valor de la constante c, tal que:

J'xt f ( t ) d t - senx-jccosx-----x 2, Vx c

( 37 )

Rpta.

f(x) = s e n x - l , c = 0

2

*

Sea f una función continua sobre <-oo,oo>, tal que /(1) = /*(1) = 1, se define

H(x) = [ (x2 - a )f(t)d t

sabiendo que ^ f ( t ) d t = 8a. Calcular f / M(1). Rpta.

®

y

H"(l) = 21 + a

Cx 1+ sen / Dada la función ffx) definida para todo x por la fórmula f(x) = 3+ I -------— d t , Jo 2+r hallar las constantes “a”, “b” y “c” del polinomio cuadrático P(x) = a +bx+cx2 sabiendo que:

P(0) = ffO), F (0 ) = /"(O ), P"{0) = /"(O ) . Rpta.

(39)

a = 3, b = —* c = — 2 4

Sea f una función continua en R, y F{x) = J* f (u)(x- u)2du , x e R. Hallar F"(x) en su forma mas simplificada.

@

Si f es periódica de período P continua en R se define G(x) = ^ f ( t ) d t . Demostrar que: a)

Si f es impar G es una función par.

b)

G(x + p) = G(x) + G(p)

356


( íí)

Probar que sí x > 1, lnx -

( 42 )

Pruebe que si / (x) = Jf ( t ) d t , V x entonces f(x) = 0, V x.

®

Demostrar que si H es continua F y G derivables

(44)

Dado F(x ) = \ [1

45)

~

= 2(^fx -1 ).

CG(x)

J(x) =

H{t)dt

entonces

JF(x)

J \ x ) = H(G(x))G'(x) - H(F(x))F'(x) .

Sea

f

una rf(x)

I(x) =

f Ja

si x > 1 función ,

U )dt,

y si H(x) = í F(x)dx. ¿En qué puntos es H' (x) = F(x) ? Jo

real,

biyectiva,

creciente

y

derivable,

se

define

V x e R. Demostrar que sí a < b, entonces 3 c e [a,b] tal que

Kb)-1(a) f(b )-f(a ) ‘ (Só)

Sea f una función continua en [!,+*», con f(x) > 0, V x > 1 sí: F(x) = \ Xf( t) d t < ( f ( x ) ) 2

(47)

Sea f una función continua en [0,+ao>, con f(x) * 0, V x > 0, Demostrar que sí [/(x )]2 = 2 JV (l)dt, V x > 0 entonces f(x) = x, V x > 0.

Pruebe que si f(x) es derivable y f'(x) = c f ( x ) , V x entonces existe un número K tal que f(x) = ke" , V x.

®

Demostrar la siguiente igualdad:

ftg* 1 rrlzx 1 I ------ d t + \ -------— dí = \ Ji/* 1 + 1 Ji/« /(1+/2)

Integral Definida

357

n ru )d t

( 50 )

Sea f(x) una función positiva continua. Demostrar que la función
Jo

\* m d t

Jo

es creciente para x > 1. (si)

Hallar todos los valores de x > 0 para los que J [| r |]2di = 2(x -1)

( 52 )

Sea f una función derivable en <-oo,qo>, tal que /(1) = /'(1 ) = 1 sedefínelas siguientes funciones H(x) = %]7+jc3 + f/(

f(t)dt

y G(x) = í H(u)du . Hallar Jy

D 'H (x), parax = 1. a)

1 ^ Probar que ----- = 1- u +u 2 -------- (la división puede continuar) \ +u l +u

b)

En la ecuación lnx=

f r dt — , hacer la sustitución t = 1+ u. dt = du y hacer el Ji i du 0

c)

Combinar los resultados de a) y b) para obtener l n x =

ó lnx = ( x - 1 ) - —(x -1 )2 + —(x -1 )3- R 2 3

donde

r-T-1

-

------ .

1+ U

u3

Jo

(1 - w + 1/ z -------- )du 1+u

Jo

l +u

du.

^3

d) Probar que s i x > l <

III.

r x~l *-1

Jo

U

-

du

y 0

< u < x — 1, entonces ----- < w3 , deducir que l + i/

(x-1)4

Aplicando el teorema fundamental del cálculo, calcular las siguientes integrales definidas:

358


©

jy *

Rpta. 18

©

j' (5r4 -4. x 3)dx

Rpta. 2

©

r1 xdx

Rpta.

Jo(x2 + l)3

3 16

©

JJ(3jt2 -4x+2)rfx

Rpta. 11

©

J 3 x ^ 4 —x 2dx

Rpta. -8

©

f2 x3 +2x2 +x+4 , dx Ji (x + 1)2

Rpta.

©

f1 x 3dx J-i x + 2

Rpta. — -81n3 3

&

Rpta.

5 6

Rpta.

6215 12

M x 3 +3x2 +4

\ X x U l dx Jo x + 1

©

Rpta.

1
©

r1 (x2 + 2x)dx

13 6

Rpta. - — 1 4

359

Integra/ Definida

©

29 Rpta- —

^\x -l\d x

Rpta. 1.33685

fl

©

J | cosx| í/x

Rpta. 2

\x-2\dx

Rpta. 20

©

5* ~ 22°

1dx

©

(2-x)(x +1)

j

^/3+1* |rfx

Rpta. 8 ^ - 4 ^ 3

©

J

©

[ ^ | x | - xííc

Rp.„. 2'f2

©

f1 XíílC J-1 l + | x |

Rpta. 0

©

f4 x+1 í J-2 X+6

Rpta. 5 + 51n(^)

J 5j x 3 - 4 x \ d x

Rpta. 116

©

J j x - 2 1 3 dx

D * Rpta.

©

J x | x —3| dx

16 Rpta. - y

©

* 2' -"1 46 | * Jf - 3 | jc

©

©

J-3 X* -2 5

313 -

Rpta. 6 + 3 ln 7

» Rp.a.

2 . /A/5+3 2

360


©

J(|seruc|+Jc)¿Y

©

I Jo

Rpta. 2V2 - 2

©

J3[|.r|]rfx

Rpta. 2

©

j'tlAT+illdX

Rpta. 4

rn/2

|senjc-cosjt|drx

Rpta. 4 + 2n 2

Rpta. -3

©

©

J_“ u - D x D I *

Rpta. 2

©

[|jc|]sen^dx Jo 6

_ 30 Rpta. — n

©

f

(14 - X 1 1+[| 4 - x 2 \])dx

Rpta. 13

©

©

©

Rpta.

Ç \x2-A x -\2 \d x r2 dx J4 r2 1+ [|^ -|] 4

Rpta. 104

Rpta.

6

©

Jo V l* -l|'* 0 * -2 |: ]dx

Rpta. 3

©

J ^ i2 x -ii-n x i]&

Rpta.

2 -J3

(2-v/2 +-^3)

361

I n te g r a ! D e fin id a

2)dx

©

Rpta.

11

T

©

J (x + iy]x+3 dx

Rpta.

46 15

©

f sen2 /orcos2 tdc dx

Jo

Rpta.

1 5

©

fI 1sen (— )dx

Jo

Rpta.

4 3n

©

rn/2 1 sen x cos xdx Jo

Rpta.

1 12

2

f *r/4

tg x dx

Rpta. ------- In2 2 2

©

Jo

©

*nl 2 1 (se n x -co sx )d x Jo

Rpta. 0

©

cn/2 1 I (—+ cosx)rfx Jo 2

Rpta. £ + i 4

©

r * '4,.^ se n jr , ( , )dx Jo COS X

Rpta.

©

Jo s i g ( x - x i )dx

Rpta. -1

©

f x.v/^(cos_v)i/x

Rpta.

Jo

fV2 4 \x 2 - 2 x - 3 \ ( x - \ ) dx ®

J-V2

©

r*/4 sec2 x ta x _ -r = dx 0 V2 + sec2 x

[\x2 +\\]

n 1 T _2

/r2

4

Rpta. -^ [8 + (1 + 2a/2)3' 2 +(2V 2-1)3' 2] 6

Rpta. 2 -a/3

362


®

rn/6 J sen 2x eos 4x dx

2 +3J3 Rpta. — ——

®

r2*/3 dO I — Jo 5 + 4eos0

„

®

^w/3 «. i see x tu x dx Jo

Rpta. v

©

r 1 dx Jo 3 +eos 2x

Rpta.

®

r,l/3co s2 x -l , ------ dx Jo eos 2x +l

_ n R p ta .--- 1 4

senx dx ---- ---------------Jrt/4 eos jc-eos.r+ 4

1 7+3-J2. Rpta. —ln | -j= 3 1-3^2

®

r”n cos.x dx --------= Jo 1+sen x

„ n Rpta. 4

(60)

J 2/ sen t 2 eos t 2dt

Rpta.

W

J-*'2^/s¡ñ7

®

í Veos .r-e o s3 x dx J-n/2

®

f2in J 1 i -— sen— dx Jl/TT x 2 x f Jo

--------—------senjc+eosjc+2

^

Rpta.

k

—

9 856

---105

8 .

sen 2 n 2

8l

4

Rpta. — 3

Rpta. 1

Rpta. 42 arctg(—^=) 2-\/2

363


®

r /2 dx .lo senjc+cosjt

©

;Ilosen5jtcos3jif dx

Rpta. —

©

p/r/2 (l + sen0) ¿0 ; lo

i

D . Rpta.

@

pzr/3 ctgx\n(senx)dx

J*n / 4

Rpta. i[ ( in ( |) ) 2 - ( l n ( ^ ) ) 2]

'«¿n

©

íloarctg(-Jx)dx

Rpta. y - 1

(í 8

r1/2 xarcsen,x dx

1 W3 R p ta .---------2 12

*nl 2

Rpta. 4 l ln(V2 +1)

1

F

2 0 + ----3 5 /r — 3 16

•

©

J

©

rn 7 e~*sei\xdx 'o

J

o .

©

J

3 Rpta. In4— 4

©

JirV2/2 '¡ lx72 2 *

Rpta. 1 - — 4

©

2)V2dx JA2x(l+x 0

Rpta. 2,2^ - ' >

©

■2 x 5dx J o (1+*J )3/2

é -x 2

[*jcln x dx

^2" +1 5

g

Rpta. — 9

(a

364


128 5967

©

jki

Rpta.

@

f V ( l - x 2)V2dx Jlo

Rpta.

2n 256

©

x 9dx Jlo (l+.r5)1

Rpta.

2 45

®

r dx J'• x(l +ln2jc)

Rpta.

71 ~4

®

Jr

&iy ? m | 2V2 ^ y** *s/Í5 yAfc/ ^.r-■— )1+ Rpta. 1ln(3t 4-V Í5

r2

©

J

( i -'» - ^

dx x 2 + 3jc+4

r1/23arcsenjc ,

Rpta. ^ f./7 arrtp -¡Í7 arrtp 7 7 Rpta.

©

j

©

j® (jc+1) 2(x 2+1)

Rpta.

©

J['o Ot2 +4xh]x3 +6x2 +1 í£c

Rpta.

r1

r-2

xdx

dx

©

J 4 4 - x 2 - 6 X~5

©

J» ÍJC—3Kjc2 +9)

•3 (2jc3+1 %)dx

Rpta.

4 /r-2 8

n y

55 ln2 , <>—7 tt Rpta. A 6 ----18 9

365


p /^2 *

x n l dx

Rpta.

n 6n

Rpta.

e —2 2

Rpta.

n 7

-Ja2 - x 2n

j-i e2xdx '~24 \ - e 2x

©

J 4 x ^¡2- x dx

©

r F * d x Jo \ 1—X

Rpta. arcsen(^) +

©

f1-Jl-X . Jo^¡2-x

Rpta. V 2-ln(l + V2)

©

J ln-s/2-x
©

J-i\3 + x

Rpta. I n 2 -y

Rpta. K—2

©

f9 x ~ l j ir * * i *

Rpta.

23 3

©

[' x 154l +3x*dx Jo

Rpta.

29 270

©

r .V hl - X * J-l/2

Rpta.

©

J-16 a/x +

p/3/2

¿¿X

9-V * X3Í¿C

^ 2 , 5 V^\ |5 .4

n

y

Rpta. 12

Rpta.

4 y

366


©

.,0 1+ x

f " +>

n ln2 —+4 2

©

Hcarctgx dx .Jo

27T V3 T " 2

©

r /3 2 x sen3x dx .k

Rpta.

®

r :ls/2

^ n Rpta. — 3

©

J(0

©

r1 arcsen-y/x >0 ^ ( 1 - X )

J

Rpta.

©

V l - e 'd * jÍlln(3/4)

Rpta. In3 - 1

x*

Rpta. 41n(2 + V3)-2V3

X

--5-5VÍ

¿v

©

j

©

Jj ln(,\ + V-x2 -1 )dx

© © ©

15

(x + 5)Vi Ox + .v2

A/&

J0

dx

x-lfx

■Wl+e 2" ¿¿X . ----------0 e-3"

J

nr

n R p ta .----60

Rpta. 3 In(3 + 2^2) - 2^2

Rpta. arctg(y)

(2x2 +l)sjx2 +1

■27 rfx

J0

7T2 - -4 27

Rpta. —ln(—) 8 3

Rp.a.

367


(m )

|'ln (.r2 +\)dx

Rpta. ln2 + ^ - - 2

©

2V2 dx ,, — r t ^í x j ( x 2 -2 )

„ *

( ÍÍ 5) W

f1^ 3^ Jo 1+ X2

%/6 27

Rpta. —in 2 F 8

©r

Rpta. -2

(m )

Rpta. -

cos^|2x dx

í 2---------- —

-Rpta. 48

Jo - J x + \ + V ( x + 1)5

6

(Íl8)

J J Me3jrsen4x íír

Rpta. ^ ( l + e (3,r)/4)

©

Jl arcsen J j ^ —dx

Rpta.

(Í20)

121

f"------,A

Rpta. í

f

Rpta. l n ( í l Ü H ,

^

dx

-------- + ------

368


©

r2 aM-jc2 I ---- — Ji

©

?

©

f3

©

fln5 e*-Je* —1 , I ----------- d x

©

1 x 4 x

Jn

©

© © ©

+ 5jc + 1

14

.

Rpta. 4 —n

e x +3

W « 2' *

J-l J 1 -/î - J ^ 732 (4 - x 2 ) 2

a r c tg ^ l'J x + \ d x

f7 I . j 1-7x72

Rpta.

^ '

72

Rpta.

l|L -2 ^ /3

. 652 Rpta. H 15

f7/z dx Jí'2 (5 + 4 jc-x 2 )5' 2 i

®

D

x *dx

____ 0 +

r1

'Js Rpta. — H 4 „ . , ,7 + 2^7 x RPta- In(— -- )

dx

, ,

© © ©

dx

jc dx

---

2 P3‘ ^ Rpta.

9t/3 27t

J l ( 2 -x ) V T V

sen x ln(l + senx ) d x

rJ I

¿x +1»

Jo ( j c + 3 ) 0 r + 9 )

í Ji/2

ln(4.r2 + \)d x

- n

---

3

Rpta. y - ^ - ^ l n ( l + “^~)

. _ 4 , 33, . m -------------- d x Rpta. 6 -----ln2----18

9

Rpta. ln(-^L) + arctg2 -1 - — V2 4

369


*ni 4

137 )

\ n¡y

138)

J

x 81 eosx dx

Rpta. 0

( 139 )

r J<)

dx — . fleos x + b sen x

1 b Rpta. - ¡ = a r c tg J — a ~Jab

®

«J-l/2

í

[cos(sen x) ln(^—

©

J

( 142)

|

l143

cosx+^/tgx + sen xec“ x +cos x)dx

1—X

+ 3x + 4]dx

[(x5 + x3 + x ) ^ \ + x A + 3 ]dx

cosjcln(|^)¿¿x

m o jc sen x dx Í»ni% 8

Rpta.

■—

.----- 2

jn+2

Rpta. 4

Rpta. 12

Rpta. 0

Rpta. 0

-ni

(Í 44) ^ @

Rpta. V 2 - ^ + l n ( ^ ^ ) -s/3 1+V2

x2

r, * — 7T + ------7-V3 4. Rpta. 32 2

f2 ---- p =

IV.

f71 z üb dx ti —— *4-------------------------------------------------------------------- ------ — = — J0 a eos x+b sen x 2 cualquiera distinto de cero.

©

Mostrar que

©

_ rnn -Jsen xdx n Demostrar que: . — . =— Jo vsenx+ vcosx 4

(?)

Demostrar que:

^\t\dt =

, V xeR

370


( 4)

Demostrar que: -7 - í (>' - * ) /' (y)dy = /(O) - f (x) dx Jo

©

Demostrar que para todo x real

©

Hallar el valor de c tal que f(x) = x 2 - 2x +1, f(c) =

r (t+\t\)2dt = - x 2(x+\x\)

Rpta.

f(x)dx 2

c - 1 + -= e [1,3] V3

( 7)

1 dx cn12 sen x , Demostrar que: f ------ —— = í — — dx Jo árceos x Jo x

©

Hallar un polinomio cuadrático p(x) para el cual p(0) = p(l) = 0 y j^p(x)dx Rpta.

p(x) = 6 jc - 6x2

3

^ 9)

Demostrar que:

^ 0)

Probar que:

J f(x)dx = J / ( a + b - x)dx

©

Evaluar

f" { 2 x ) d x , sabiendo que f(0) = 1, f(2) = 3, / ' (2) = 5

J 2 [| x |]dx = —

CX

dt

Resolver la ecuación_ —r .-.~ - - —

ti

Rpta.

Rpta.

2

x=2

12

(Í3 )

Calcular í

Jn/6 ^¡secx +-yJcosecx ( 14 )

12

Hallar un polinomio cubico p(x) para el cual

3J° p(x)dx = 4

sug: z =

Rpta.

-y/secx ¿y

Rpta.

p(0) = p(-2) = 0,

p(l) = 15

p(x) = 4x + 8jc2 + 3x3

y

371


(i?)

Demostrar que, si f es continua en [-3.4], entonces: J V (x)dx+JJ ( x ) d x + J ^/ (x)dx + 1 ^/ (x)dx = 0 Demostrar que, si f es continua en [-3,4], entonces: J f (x)dx + J / (x)dx + j V (x)dx + f (x)dx = 0

^ 7)

Demostrar que, si f(x) es continua en [a,b], entonces: \ f (x)dx = { b - a ) [ f { a + ib - a)x)dx

Ja

Jo

(ÍÍ) W

Demostrar que 0<

^ ^ - dx<— n 2 Jo 3 + ^ 2 36

^9)

Calcular la siguiente integral J f(x)dx si f(x) = |x—2| + |x —11

©

Hallar J* [^F{x)G(y)dyVx

Demostrar la siguiente igualdad

( 22 )

Calcular /'*'(0), sabiendo que:

/2 _ * _ JC+ l ln(sen 6 + x eos 6)d6 = ln(-^—)

J [ /'( x ) + / ,,,(x)]cosx d x ~ 3 , así mismo f \

/* ', / " ' son funciones continuas en [0,—] y / ' ( —) = 0 2 2 (23)

Calcular / = £ x4F (4)(x)dx, sabiendo que F ,,f(6) = 1, F(6) = -10, F(0) = -20. 3

©

Calcular í x 2sig(eúsx)dx

Jo

Rpta.

4 4

F"(6) = - 4 , F ’(6) = 8,

372


( 25 )

Calcular

J

26)

Calcular

sen 2x , — dx J'*'2--------

\6x2 - 5 x + l |¿ t

o ( 27 )

Calcular

Rpta.

~

„ Rpta.

3

(sen*)

el

valor

de

la

integral

definida

J f(x)dx

siendo

\x \+ x 2 , x < 0 /(* )= [ n , |r |J r' + eos k , x > 0 ( 28 )

Sea f una función integrable en [a,b] y k * 0, una constante real. Demostrar que: ( f(x )d x = k ( ' kf(kx)dx

Ja

Jal k

(2 9 )

Pruebe que j^x d x > ^ x 2dx pero ^ x dx<

x 2d x , no evaluar la integral.

(jü)

Sea f acotada en [a,b] y continua en [a,b] excepto en un punto c e [a,b]. Pruebe que f es integrable en [a,b].

®

[a si x ~ c Sea c € [a,b] y a e R, definimos f: [a,b] -» R por f(x) -< . Pruebe [0 si x que f es integrable y que \ f \x)dx = 0 Ja

( 32 )

Por definición una función f(x) es par sí f(-x) = f(x), V x. Pruebe que sí f(x) función par entonces J

(33)

f (x)dx - 2 / (x)dx, a > 0.

Dadas las funciones siguientes:

373


11 "6

Rpta.

Calcular £/(x)g(x)<£t

Si n e Z + , demostrar que: "n *it2 j, fJor i *

b)

a)

c)

f>0u J n * = n{n- T 6

B(«-1)(2w-1)

+l)

Evaluar las siguientes integrales. a)

í sen 2x dx lo

Rpta. 1

b)

{mi j | — Heos 11 dt J lo 2

Rpta. ^ 3 + ^

O

P*/3 / , eos—dt j w 2

Rpta. I

d)

r° dx ^•4 x 2 +8x +8

J

Rpta.

e)

p2 j

(3ó)

Sea

Rpta. - - l n 2 6

*n senhjc.senjc dx

Rpta.

*2jt |senjc-cosjc|¿/x

Rpta. 4 s/2

* J g) J

dx x 2-4 x -5

n 16

0

0

senh?r 2

f: R -> R una función continua, sabiendo que J f(t)dt = 6. Calcular

J 44/( 2 * - 2 ) d x .

374


x2 ©

Si

, x<2

f(x) = - 2

, 2 < x < 0 , Calcular ^ ( f( x ) - x ) d x

l + xJ © )

Sean f y g dos funciones integrables sobre [a,b], pruebe la desigualdad de Cauchy ( f / g ) 2 < ( f f 2)(f g 2)

SCHWARTZ.

(39)

•, x > 0

Ja

Ja

Hallar j~f(x)dx sí f ( x ) =

Ja

x 2, 0 < x < l 2 -x , l< x < 2 x

@)

Hallar £ ;f(x)dx si f ( x ) =

para 0 < x< t

l - x para i
y

©

Demostrar la igualdad.

( 42 )

Demostrar que si f(x) es continua en [0,1], entonces: £ x /(senx)dx = y |/(s e n x )d x

43)


! -

,

Hallar la integral

(4 5 )

J'2 (1+x— 1)
1 / =x+—. x Tr „

í x3 f (x2)dx = —f x f (x)dx, a > 0 Jo 2 Jo

introduciendo la nueva variable

jc

f 3 f'{x)dx

, (x + l)2(x -l) -----—— si / (x) = ---- ---------J-U + /( x ) 2 x (x -2 )


a)

J 2[|x|]dx

Rpta. 4

375


b)

J i([|*|] + [|x + ^ |])tfx

Rpta.

(íó)

Probar que:

J[|x\]dx + J [| - x \]dx - a - b

( 47 )

Demostrar que:

j j \ t 2 \]dí = 5 - ^ 2 - ^ 3

^8)

Si F(x + T) = F(x) Probar que: J

x F(x)dx = J x F ( x ) á + J F(x)dx

R p ta .

Jo

50J J

2 (serrx -2 sen x + 4)J

A

6

f —dx Jo i+ x 2

Rpta. - —— 2

í —----Ji x - 4 x —5 ( 52 )

6

Rpta.

6

ln2

Calcular f(0) sabiendo que f(n) = 2 y a su vez Jj (f(x) + /"(x))senx dx = 5 Rpta. 3 f

Jo

4* + 5

,
Rpta.

i.

9 /2

(x2 -2 x + 2)2 i ©

5?)

j r * — 5/ —

Calcular el valor de Í12x-12.si x <1 / (x) = \ , |6x" -6 , si x > 1

Rpta- ¿ ( 8 0 )

J g(x)dx

donde

#(x) = J ^ í(t)d t, 3697 Rpta. —— 4

«

x e R

y

376


Demostrar que

rlxd x t l r du ----- T = — h \ + x 2 Jo u

Calcular f(2) si f es continua y J

/ (f)d/ = v

Rpta. —

(58)

Si f(n) = 2 y | [F(r) + F ,f(v)]senx rfx = 5, calcular f(0)

(59)

Si J^[F '(x) + F''(x)]cosxdx = 90. F"<0) = 7, calcular F '(y )

(ó0) ^

Sabiendo que f j n--—* ■dx = —ln 2 , calcular f arclk \ /v Jo l -f x " 8 Jo 1+ x

£ (ó2)

7 t) ¡i .x F(x)dx - J xF{ \ )dx + jJ* F(x)dx

Expresar el siguiente limite como una integral definida luego calcular el valor de la . .. rn n 2n 2n nn nn ,1 integral hm[—sen—+ — sen— +... + — sen(— )]— w-** n n n n n n n

(ó3)

Aplicando el primer teorema fundamental del calculo» hallar la derivada de la integral definida.

377

A p lic a c ió n d e la I n te g r a ! D e fin id a

CAPITULO

III

3.

A P L I C A C I O N E S P E L A I N T E G R A L D E F I N I P A .-

3.1

AREAS P E REGIONES PLANAS,En el cálculo de area de regiones planas se consideran dos casos: ler. Caso.-

Consideremos una función y = f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] y además f(x) > 0, V x e [a,b]. El área de la región R limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x = a y x = b, está dado por la expresión:

Á m ^ffW d x

OBSERVACION.-

Si la región R es limitada por la curva x = g(y) y las rectas y = c, y = d, entonces el área de la región R es expresado por:

378


2do. Caso.- Consideremos dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a,b] tal que f(x) > g(x), V x g [a,b], el área de la región R Limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a y x = b, está dado por la expresión.

OBSERVACION.-

Si la región R es limitada por las curvas x = g(y)* x = h(y) tal que g(y) > h(y), V y e[c,d] y las rectas y = c, y = d, entonces, el área de la región R está dada por la expresión:

379

A p lic a c ió n d e la in te g r a l D e fin id a

OBSERVACION.-

En él calculo del área de una región R limitada por la curva y = f(x) el eje X y las rectas x =a, x = b la función f(x) > 0, V x e[a,b] pero en el caso en que f(x) < 0, la región R esta debajo del eje X en este caso el área es calculado por:

A(R) =i

3.1.1

©

PROBLEMAS DESARROLLADOS. Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4x ~ x 2. v el eje de abscisas. Solución

380

E d u a r d o E s p in o la R a m o s

Como y = 4 x ~ x 2 => y - 4 = -(jc -2 )2, es una parábola de vértice en el punto V(2,4) cuyo gráfico es: A { R ) = \ v d x - \ { 4 x - x 2)dx Jo' Jo 2 .r3 . / A 32 2 = (2x — —) / = — « 3 /0 J

©

Hallar el

área de la figura comprendida entre la hipérbola xy = t?i2, las rectas

verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX. Solución

0

a

=> y ------, cuyo gráfico es:

„ la

Vi

xy-m ~ K.

y d x - I ---- dx = n r lnx / Jtf A'

1

Y

i k.

3a

x

►

v4(/?) = wz2 ln 3 a -w r Ina >í(/?) = w2 In3 u 2

©

Encontrar el área acotada por las curvas cuyas ecuaciones son y —e x, y = e x y la recta x = 1. Solución

Y La región comprendida por y = e x , >• = é \ x = 1 es la del gráfico siguiente. A(R) = í {ex - e x )dx = (ex +e Jo 1

x

e+e 1 = 2(——----- 1) = 2(coshl-l)

/!(/?) = 2(cosh I —l )u2

) ¡ \ = e +e 70

-2

381

A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a

Hallar el área limitada por las curvas x 2 ~ y 2 = 3 , xy = ± 2, y = ± 4.

Graficando la región se tiene: i i -» x~ - y~ =3 xy = 2

x 2 —(—-)2 = 3 jc

*4 -3 x 2 -4 = 0 (x2 - 4)(x2 +1) = 0 => x = ± 2 para x = 2, y = 1 por simetría se tiene:

A( R) = 4A(RX)

A{R) = 4 f [^3+ v2 -~ M v , por la tabla de integración. ji ' ^ >í(/?) = 4[y^/3+v2 + ~ l n \ y +^3 + y 2 | —21nv] >4(7?) = 4{(2VÍ9 + - l n | 4^19 | -21n4)- ( - ( 2 ) + - ln 11+ 2 1-0]

/4(/?) = (8V Í9-4 + 61n| 4+ ^

©

|-161n2)t<2

Calcular el área de la figura limitada por las líneas cuyas ecuaciones son r 2 = x + l , x - y —1 = 0. Solución Calculando los puntos de intersección se tiene: y 2 =x+\

[y2 - l - . y - l = 0

x —y —\ = 0

|v2- > ' - 2 = 0

(y —2)(y+ 1) = 0

y = -1, y = 2

382


A(R)= f [(v + l)-(v 2-l)]rfv= f ( - v 2 + v + 2 W v = ( - ^ - + ^ — + 2 v ) / i i ' ' J-i ' 3 2 / i /!(*)= | t r Hallar el área de la figura comprendida entre la parábola tangentes a ésta en los puntos (0,-3) y (3,0).

y = - x 2 + 4 a - 3 y las

Solución

>4(/0= f [ (4 y - 3 )- (- x 2 + 4x-3)]dx + f [(6 -2 x )-(-jc 2+4t-3)]rfx Jo J3/2 i4(/?)=f x 2dx+ f (x2 -6 x + 9)¿¿c Jo J3/2 3/2

A(R) =

+ ( ~ - - 3 jc2 + 9a) 3/2

( 7)

_9_ 9 9 = 9 ~ 4+8 4 _ 4

Calculando el área de la figura limitada por las parábolas y 2 -24jr = 48. Solución

y2 +8* = 16, y

383


i kv

y2 - 24x =

y + 8x = 16

y 2 = - 8 ( jc- 2)

y 2 -24jc = 48

y 2 = 24(x + 2)

i

!

/ / 1 \

i t i 1

°

R

y

F W 2 + 8 x = 16 ] fel /2 X

x=

y +8.r = 16

<

y 2-24v=48

x =

16-y2 ~ 8 y2 -48 16 -y 2 •2-48 24 8 24

v2 -4 8 = 48 -3 v2 => v2 =24 => y = ± l S

bIS 1 6 - r 3 2t/6 8

‘2-Je v2 -4 8 24 wW w 4 ~ V ,* ’ ' ,4>' n ? ’

2>/6 =fV 6

A (W = -ySu2

Calcular el área de la figura limitada por las parábolas y = x 2, y =

A'

Solución *>

y = ;r 1

•* V= —

/

3

=>

r 3 —

3

= jT => x = 0, x = 3

3

/»(/?) =

0 - 4 ¿(*> =

O ¡'sí*

?_ 2 7 _ 9 A(R) = (

384


Calcular el área de la figura limitada por las lineas y = lnx e

v = ln2 x

Solución V’= lnx v = lir x

r=> ln2 t = lnx

ln(x)(lnx —1) = 0 => lnx = 0 V lnx —1 = 0 = ln 2x

x = í?°, x = ex de donde x = l t x - e A(R) = Jj fin v -ln 2x)rfx = (3xlnx-xln2 x-3v)j

A(R) = (3-e)ir

©

Calcular el área de la figura limitada por las lineas v =

,/D4 3-21n22-21n2 , A(R)=-------------------- W 16

4x

; y = x lnx

385

A p lic a c ió n d e ia I n te g r a l D e fin id a

^1)

A un ingeniero civil se le encarga construir en un terreno que tiene la forma de la siguiente región en el plano, el cual esta limitado por las curvas y = 3 - x 2 e y = -x + 1, medido en decámetros ¿Cuál será el área techada en el primer piso si se quiere dejar un tercio del total del terreno para jardines?. Solución Para graficar la parábola, hallamos el vértice. y - 3 = - x 2 => V(0,3) ahora calculamos los puntos de intersección

y=3-x2 i íx = -l => x' —x —2 = 0 => < y = -x +1 Ix - 2 de la región total se debe tomar los 2/3 por lo tanto el área techada es Ar = ! j [(3 -x 2) - ( - x + l)]dx = yJ* (2 +x - x 2)dx

2 r,~ x 2 j r \ / 2 , 2 r /. „ 8, / ~ 1 1 ~ = —[(2x + ----- — ) / 1= —[(4 + 2 — ) —(—2 h------1— )1 = 3 3 2 3 /i 3 3 2 3 Luego transformando en metros tenemos:

9 7 AT = 3(10)' = 300 m~

La forma de una piscina es como la región del plano dado por las curvas x = y , x = V3 ¿Qué área ocupa la piscina? (es dado en decámetros). Solución r1 ? < v3 v4 /i 11 i A = I (y~ - v )dv = (------ — ) / = (--------)= — dm‘ , que en metros es:

Jo

'

3

4 / 0

3 4

. 100 7 A = ---- m~ 12

12

386


I .VI.2 ©

Hallar el área de la figura limitada por la curva y3 = x , la recta y = h la vertical x = 8. * — u31 2 Rpta.

( 2 ) Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x 3, la recta y = 8 y el eje OY. Rpta. 12m2 ©

Hallar el área comprendida entre las curvas y 2 = x 3, y 2 = x D 8 2 Rpta. — u 15

©

Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y = 4 - x 2 , y = 4 - 4x o . Rpta.

©

32

7

Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y 2 = 4 x , 2\

y = 4.

Rpta. 9u 2 Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x(x —1)(x - 2) y el eje x.

( 7)

©

Calcular el área de la región limitada por la gráfica >• = ^ 1+ x~ rectas x = -2, x = l . Rpta. (InlO)w2 Calcular el área de la figura limitada por la parabola y = 2 x - x 2, y la recta y = -x.

, el eje

387


©

Calcular el área de la figura comprendida entre la línea _y = - - 7 y la parábola X2 . y -—

(To) v-^

Encontrar el área de la región acotada por la curva y = x = 4, x = 5.

11)

n i / - -l *l 2 R|*a. <

x-3

el eje X y las rectas

Rpta. (21n2)u2

Determinar el área de la superficie limitada por los arcos de las tres parábolas x 2 = 9 v - 8 1 , x 2 = 4 y —16, x 2 - y - 1 la región no se intercepta con el eje Y. Rpta. 16 u 2

12)

Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x 2 , y = x + 2, y = —3x 2 + 8. Rpta. — u 2 6

^ 3) 3

Encontrar el área de la figura plana que forman las curvas 4 41 1— y - ±^Jx . Rpta. — -=u "

y = -J\~x —Jx ;

^ 5

^4)

Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y - x 1 , y = — , y la recta y=2x.

(l§)

Rpta. 4u2

Hallar el área mayor encerrada por las curvas x 2 - 2 y 3 = 0 , x 2 - 8 y = 0, y = 3. Rpta. ( ^ + 5^3 )«2 Hallar el área de la porción en el primer cuadrante limitada superiormente por y = 2x e inferiormente por y = x^3x2 +1

Rpta. ~ u 2

388 ( jj)


Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola x 2 - y 2 = 9 , el eje X y el diámetro que pasa por el punto (5,4).

©

Rpta.

Rpta.

36u 2

Hallar el area de la figura comprendida entre las curvas yx2 = 2, x = 2.

(21)

4i r

Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y - 6+ 4x - x2 y la cuerda que une los puntos (-2. -6) y (4.6).

( 20 )

i

Calcular el área del trapecio mixtilineo limitado por la línea y = (x2 + 2x)e x y el eje de abscisas.

^9)

45

Rpta.(— + 9 ln 3)u“ 4

Rpta.

x + y = 4, x = 1,

—u2 4

Hallar el área limitada por las siguientes curvas: a)

y 2 = 2 x , y= -4 + x

Rpta. 18a2 3

b) x 2 =4av, v=

,—x'+4a~

2

Rpta. ( l a 2n - ^ —)u2

3

\ c)

2 3 y =x , v = x , x + y = 2

^ . 49 7 Rpta. — u~ 12

d)

y = 4 x ^ - 3 , y = |x —11, y = 0

Rpta. (y in 3 - y)w2

e)

~ x 3 + x ~ 4, y = x, y = 8 - x .

f)

y = 4 -ln (x + 1),y= ln(x + 1), x= 0

Rpta. 2(e2 - 3 )

g)

y =x 2 - 2 \ x \ + 2 , y = ~

Rpta. j U 2

h)

> = x 3- 3 x , y = x

Rpta. 8u2

ir

389

A p lic a c ió n d e la I n te g r a ! D e fin id a

i)

y 2 = 4*. x = 12 + 2y - y 2

Rpta. 54.61«2

j)

y(x2+ 4) = 4 ( 2 - x ) , y = 0 , x = 0

Rpta.

ln4)w2 JLm

k)

x - e }\ x = 0, y = 0 , y = ln 4

Rpta.

I)

y = 2x + 2, jc - y 2 + 1, x = O, y = O, x= 2

Rpta. (15 + —^Jl)u2 3

11) r = secr x , y = tg^x, x = O

3u2

Rpta. (—- l ) u 2 jLr

( 22 )

m)

y - jc2 , v = 8 - x 2 , 4x —y + 12 = O

Rpta. 64a2

n)

y = 3jc5 4 -J t4/3, y = 0 , x = -1,

Rpta. -y -u2

Hallar el área de la región comprendida entre las curvas y = senx, y = cosx con jc€ [—, —

4 4

( 23 )

)

Rpta. 2a/2w2

Hallar el área de la región limitada por los gráficos y = arcsen x, y = arccos x, y = 0. Rpta. (*j2-l)u2

( 24 )

Hallar el área de la figura limitada por la línea en donde y 2 = x 2 -

jc 4

.

O * —i 4 r* Rpta. 3 (2 5 )

Hallar el área comprendida entre las curvas y = ex 9 y = lnx, x = -l, x = 2, y = 0 Rpta. 6.63ir

(26)

Hallar el área de la región limitada por el astroide x 2' 3 + y 2' 3 = o2 3

390 ( 27 )


Hallar el area de la región comprendida entre las curvas y = xe* 2x*, y = x. e8-9 2 Rpta. - — - u2

( 28 )

Hallar el área de la región comprendida entre las curvas 3jc2 - 4y - 8 = 0

( 29 )

Rpta. 2(tt + 2)u 2

Hallar el área de la figura comprendida entre las curvas y = \Jx +1 - M x - \ , x = -1, x=l

(3 0 )

^(jc2 +4) = 8,

Rpta. 3^2 u2

Calcular el área de la figura comprendida entre las curvas y = jc3e8_**, y = 4x. u , e8 -7 3 , Rpta. -------- w“

4

(31)

Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje X y la recta x—

(3 2 )

Rpta. (In2) u 2

Calcular el área de la figura comprendida entre la línea y = x ( x - 1)2 y el eje de las abscisas.

^ 3)

Hallar y -\x

34)

Rpta. — u 2

F

el 1

área

de

la

región

limitada

t 1 - 4 x + x + 6 |, 3>- + x“ = 0 , x = 0, x = 4.

12

por los siguientes gráficos de 455 t Rpta. -----u~

Hallar el área limitada por las curvas >>= jc3 +3jc2 + 2 , j = jc3 +6x2 -2 5 . Rpta. 108 u 2

35)

Hallar el área limitada por las lineas: y = x 3 -5jc2 - 8x+12, y = jc3 - 6 x 2 + 21 Rpta. 166 y w 2

391


(36)

Calcular el área de la figura limitada por las curvas siguientes: i

7

i

a) y = |x —11, y = x ~ - 2 x , x = 0, x = 2.

Rpta. —u~

b) y = |x —2| —|x —6|, x —y = 4

Rpta. 8

c) y= |x -2 |, j>+jc2 = 0 , x = 1,x = 3

Rpta. — u 2 6

d) y = |x —5| —|x + 3|, x + y = 2

Rpta. 34w2

i e) y = x - x ~ , y = -x

4 j Rpta. —u 3

f)

y = x 3 +x, x = 0, y = 2, y = 0

Rpta. —u 2 4

g)

y =- — l+ x

i)

y - x ~ , y = 2 x - 1, y —4 = 0

j)

2 x = 0, y = tgx, >' = —cosx

y=0, x —-1, x = 2

?

3

k)

y=arctgx,

7

Rpta. — w

3jc

y = arcsen x. y = arccos x, x = 1.

->

Rpta. (--ln (-p r))w 2 3

2

1)

Rpta. [l + ^ --arctg 2 + ^-lnÁ]M 2 2 2 5

1

2

V3

^ | ^ (------- ln(—))u2 3 2 3

= arccos— , y = 0Rpta.

Rpta. ( y - -J2 - 2)u2

392

E d u a r d o E s p in o z a R a m o s g

n) (37)

y - 3x-x2, y = x 2-x

Rpta. —u2

Calcular el área de la figura limitada por el eje de abscisas y la línea x = y 2(y -1) O . —1 u 2 Rpta. F 12

(38)

Calcular el área del segmento de la parábola y - x 2, que corta la recta y = 3 —2x. I> ♦ y32w 2 Rpta.

(3 9 )

Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y - x(±4x) y la recta x = 4. * — 125 Rpta. — u2

(4 0 )

Hallar el área de la figura limitada por y = |2 0 x + x 2 ~-x3 1, y = 0 D * ------u 2301 2 Rpta. F 12

( 4 Í)

42j

Hallar el área de la región limitada por las curvas: a)

x+>’- ¿ ,3= 0 , x - y +y 2 = 0

37 Rpta. — u 2

b)

8jc = 2>-3 -iry2 - 2 y \ 8jc = v 3 , >’2 + y - 2 - 0

Rpta.

Calcular el área de la superficie del primer cuadrante limitada por el arco de la curva que va desde el eje de las Y hasta la primera intersección con el eje X. a)

y-e

senx

b)

y = sen(x + 1)

Rpta. ------Rpta. 1.54

u

1

393


c)

x + y +y 2 =2

Rpta. —u 1 6

d)

•> y =e */’“ cos2jc

u . Se*1* - 2 Rpta. ----- —----- u~,

e)

y = x* -8jc2 +15jc

Rpta. ^ - u 2

Hallar el área de la figura limitada por las curvas a2y 4 = x 4(a2 - x 2) . dRpta. * —— u 2

Hallar el área que encierra la curva 9ay2 = x ( x - 3 a ) 2 8^3

Rpta. —

(4 5 )

Encontrar el área de un lazo de la curva

2

2

w

a 2y 4 - x 44 a 2 - x 2 . 0 . 4¿z2 2 Rpta. —— u

(4ó)

Encontrar el área de un lazo de la curva y 2(a2 + jc2) - x 2(a2 - x 2) . 2 Rpta. ^ - ( n - 2 ) u 2

(4 ^

Encontrar el área de un lazo de la curva a 2>,2(cr + x 2) = (a 2 - x 2) 2 Rpta. o 2(3^2 ln(l+ -\/2 ) - 2)m2

(48J

Encontrar el área de un lazo de la curva

6a 2y A = h 2x 2(a2 - 2 ax).

394 (4 9 )


Calcular

el

área

del

trapecio

mixtilineo

limitado

por

la

línea

y = e~x(x2 + 3x+l) + e 2, por el ejeX y por dos rectas paralelas al eje OY trazadas de manera que pasan por los puntos extremos de la función Y, Rpta. —(e3 -4)w2 e (50 )

Calcular las áreas de las figuras curvilíneas formadas por la intersección de la elipse 2

•

2

— + v2 = 1 y la hipérbola —— y 2 = 1. 4 2 •x/2 [l Rpta. s¡ =s¡ = n — — ln3-2arcsen J y ; ,v2 = 2 ( n - s ¡ )

(5l)

Calcular el área de la región limitada por: / ( x) =

J |x - l | , x<5

, el eje X y las

( x - 3 ) 2 - 2 , x> 5 rectas x = -3 y x = 7

(5 2 )

Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y - \ x 2 - 11, -2 < x < 2 y el eje X.

63)

76 Rpta. A - — u 1

Rpta. 4 u2

Calcular el área de la región limitada por la curva y 2 = -——, y su asíntota. 1+x Rpta. A = 2 k

(m )

Calcular el área del interior del ovalo de ecuación (1 + x 2) y 2 = 1- x 2

( 55)

Hallar el área de la región acotada por la curva í*= x 3 - 6 x 2 +8x yelejeX Rpta. 8 w2

(^ )

Hallar una formula para encontrar el área de la región limitada por la hipérbola x 2 - y 2 = a 2, a > 0, el eje X y una recta trazada del origen a un punto.

395


Rpta. A = ^ I n ^ ] ( 57 )

Hallar el área de la región, en el primer cuadrante limitado por las curvas y = x 3 - 3x2 + 2 x , y = - x 3 +4x2 - 3 x

(58)

Rpta.

Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones f ( x ) = x 3 - 2x2 + x - l y g(x) = - x 2 + 3 x - l .

(5 9 )

Encontrar el área de la región R, ubicado en el segundo cuadrante y acotado por las gráficas de y = x 2 , x 2 =4y, x —y+ 6 = 0.

Rpta. — u 2 3

(óO)

Hallar el área de la región limitada por las curvas x = - y 2 , y = x + 6.

©

Una parábola de eje vertical corta a la curva y = x 3 + 2 en los puntos (-1,1) y (1,3), sabiendo que la curva mencionada encierra una región de área 2 w2. Halle la ecuación de la curva.

(62)

Sostenemos que

Jx

+

dy = bn+l - a n l ,

a)

Utilice la figura adjunta para justificar esto mediante un argumento geométrico.

b)

Pruebe el resultado utilizando el teorema fundamental del cálculo.

e)

Pruebe que An = nBn .

Y

396


(S )

Hallar el área de la región comprendida entre las curvas x 2y + 4y - 8 = 0 y x 2 =4y .

(S )

Calcular el área de la región comprendida por las curvas x 2 + y 2 = 25, 3y 2 =16x, 3x2 = 18y.

(éi)

Calcular el área de la región acotada por las curvas de ecuación: 4y = ± ( x - 4 ) 2 y 4y = ±(x +4)2 .

(óó)

El área comprendida entre y = 10jc-5y2, el eje X es dividido en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen. Hallar la ecuación de la recta.

®

a* c? Calcular el área de la figura comprendida entre las curvas y = —----- . y —¿ T x~+a~ x~ + a~

(ó8)

Hallar el área de la región limitada por las curvas x = - y 2 , y = x + 6.

(ó ^

Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y =

+ x-\,

g(x) = - x 2 + 3jc . ,7^

Hallar el área de la región acotada D por la gráfica / (jc) = | x~ + 2x | . el eje X en el intervalo [-2,2]

^ l)

Dado la parábola y = 3 + 2x - x 2, Hallar el área de la región plana R, comprendida entre la parábola y la recta que pasa por los puntos (2,3); (2,-5).

(72 )

Hallar el área de la región R limitada por la curva y = (x —3)(x - 2)(x + 1 las rectas x = 0. x = 4 y el eje X.

1^3)

Calcular el area de la región en el primer cuadrante limitado por la curva'

y = *2,

x 2 =4y y la recia x + y = b. V

Calcular el area

de la región R limitada por las curvas

y - x 2 - 2 |x |+ 3 ,

397


Encuentre el área de la región limitada por la curva y - x 4 - 2x3 + 2 entre x= -1, x =2 4x-x2 (7ó)

Hallas el área de la región acotada por las curvas

y-

x~ + 8x —48 , x> -4 v= 16 - 3x -16 , x <-4 Determine m de tal forma que la región sobre la recta y = mx y bajo la parábola y = 2x - x 1, tenga un área de 36 unidades cuadradas. Determine m de tal forma que la región sobre la curva y = mx2 , m > 0, a la derecha del eje Y, y bajo la recta y = m ,tenga un área de k unidades cuadradas (k > 0).

@

21x1 , el eje X y las dos rectas 1+ jt2 verticales correspondientes a las abscisas de los puntos máximos absolutos. Hallar el área de la región R limitada por

y=

Una parábola del eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 , en los puntos (-1,1) y (1,3). Sabiendo que la curva mencionada encierra una región de área 2u2. Halle la ecuación de la curva.

3,2

VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCION^ DEFINICION.- Un sólido de revolución es aquel que se obtiene al rotar una región plana alrededor de una recta en el plano, llamado eje de revolución. Ejemplo.- Si la región comprendida dentro de una semicircunferencia y su diámetro, se hace girar alrededor de su diámetro se obtiene una esfera.

398


Ejemplo.- Si a la región comprendida dentro de un triángulo al hacer girar alrededor de uno de sus catetos se obtiene un cono recto.

Para calcular el volumen de un sólido de revolución consideraremos los siguientes métodos. 5X1

METODO DEL PISCO CIRCm A R,Consideremos una función f continua en el intervalo [a,b] y que f(x) > 0 ,

V x g

[a,b].

Sea R la región plana acotada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b.

Consideremos una partición del intervalo cerrado [a,b], P = {jr0,jr1,...,jrlf J , donde iésimo sub-intervalo e¡

g [x ,

i,*,-]

[x/.j,*,-]

tiene longitud

A,-x = x f*—Jf/_i

y lomemos

para i = I,2,...,n, luego trazamos los rectángulos que tienen una

altura f(£¡) unidades y ancho Ar-x unidades. Si se hace girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje X se obtiene un disco circular de la forma de un cilindro circular recto donde el radio de la base es f( c , ) y sus altura A,*.

399


Como son n discos circulares, entonces el volumen de los n discos circulares es: ñ

. Í.JJU . * - - *•:. ...... n im F k? :v : :: tn.

Esta expresión nos representa la suma de Riemann* y cuando | A,-jc |-> 0, se obtiene el volumen del sólido generado al cual denotaremos por v, es decir que v se define como el límite de la suma de Riemann cuando | A¡x |-> 0. a)

DEFINICION.-

Consideremos una función f continua en un intervalo cerrado

[a,b] y suponiendo que f(x) > 0, V x e [a,b] y sea S el sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X la región R acotada por la curva y = f(x) el eje X y las rectas verticales x = a A x = b, y sea V el volumen del sólido S al cual definiremos por: n ^ V = Uní y n ( / (£, ))2A,.r = n f ( / (*))2dx u +/ I 1 Ja

(Método del disco circular).

400


Ejemplo.- Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y = ^fx , el eje X y la

Solución

— ► V = n r y~dx = n f A- dx = n— X

Jo

Ja

2

= 2n

V = 2U u'

OBSERVACION.-

Si la región R está limitada por la curva x = g(yh el eje Y y las rectas y = c, y = d (c
Ejemplo.- Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por x 2 3 + y 2#1 = flr2,3 alrededor del eje Y.

401


r = 2r V - » £ l + 3 E l - £ Í ] - o 5 7 3 3.2.2

3

35

105

METODO DEL ANILLO CIRCULAR.Consideremos dos funciones f y g continuas en un intervalo cerrado [a,b] de tal manera que f(x) > g(x) >0, V x e [a,b] y R la región acotada por las curvas y =f(x), y = g(x) y las rectas verticales x = a A x = b. Sea S el sólido obtenido al hacer girar la región R alrededor del eje X

En el intervalo [a,b] consideremos el i-ésimo sub-intervalo c¡ e[jt,

y sea

cuando el i-ésimo rectángulo se hace girar alrededor del eje X, se

obtiene un anillo circular.

402


La diferencia de las áreas de las dos regiones circulares es Tí[f1(ru )- g 2(r¿)] y el espesor de estas regiones es A,x, luego la medida del volumen del i-ésimo anillo circular es: Como son n anillo circulares, entonces: n

ii

tel

i-1

) - í f 3(«iP í.v

Que es la suma de Riemann, entonces el volumen del sólido S se define como el límite de la suma de Riemann cuando | A, x |-> 0.

a)

DEFINICION.-

Consideremos f y g dos funciones continuas en el intervalo

cerrado [atb] de tal manera que f(x) > g(x) > 0, V x e [a,b], entonces el volumen V del sólido de revolución S generado al rotar alrededor del eje X la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) y las rectas verticales x = a y x = b es dado por la fórmula. n V= Uní Y n [ f 2(r.i ) - g 2(r.i m ix Tt

F = n £ [ / 2{jc)-g3(r)3^v

OBSERVACION.-

Si la región R limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) de tal manera que f(x) > g(x), V x e [a.b] y las rectas verticales x= a.

x =b gira alrededor de la recta y = c donde (g(x) > c), entonces el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor de la recta y = c, es expresado por la fórmula.

v

= n £f(/(.v) -

c f -(g{x) - c fy tx ,


403

OBSERVACION.-

Si la región R limitada por las curvas x = f(y), x = g(y) y por las rectas horizontales y = c, y = d, gira alrededor de la recta vertical x = k, entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es expresado por la fórmula.

> '= n £ [(/(>-) *)2 - (£(.v)~ a)2Mv

Ejemplo.- Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar alrededor del eje X, la región limitada por las gráficas y = jc2 , y = ^ J x , x = 2.

404


Solución y = x~

/

y = 4x

x x = 0, x -1

y=xy/ y =-Jx ^

*1 1 1

2

/ „ b> * V = n[Jf (a - x 4 )dx +

(.v4 -x)rfr]

? s 5 2 ’ 1 1 V 1 1 X" V 1 ^ n [ < T - T , + ( - ----— ) ] =n[(------ ) - o + (— - 2) - (------ )] 2 5 5 5 2 r, 5 2 ,J

= n ( i - 2 + 6) = 5n 3.2.3

F =5n« 3

METODO DE LA CORTEZA CILINDRICA.Considercmos una función y=f(x) continua en [a,b], donde a > 0 , y

f(x)>0.

V x e [a,b] y sea R la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x =a, x = b.

El volumen del sólido de revolución S engendrado al hacer girar alrededor del eje Y la región R esta dado por la fórmula:

405


V ~ ltl^ x f{ x ) d x

OBSERVACION.1)

El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje Y, la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) tal que f(x) > g(x), V x g [a.b]. a > 0 es dado por la fórmula: V í=2nJ*x{/(jc)-g{x)]í£t

2)

El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor de la recta x = c, la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) donde f(x) > g(x), V x e [a,b] y las rectas verticales x = a, x = b. donde a > c es expresado por la formula: v ~ 2O03C -cJII/Xsr)“ g{x)](ív

406


3)

Cuando la región R está a la izquierda del eje de revolución, el volumen del sólido generado esta dado por la fórmula.

t, X = c

Ejemplo.- Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada por las curvas y - ln x, el eje X, x = e 2 alrededor del eje Y. Solución ■»

■»

V = 2 n p > clx = 2 n r ’v lnx dx

X =e2 F = 2 n ( ^ i - ^ ) 2 4 y = iu[(- ~ " g 2

->] 4-

4

A p lic a c ió n d e la in te g r a l D e fin id a

%2A

407

METOPO PE LAS SECCIONES PLAÑAS PARALELAS CQNOClgAS^ i)

Si las secciones son perpendiculares al eje X, el volumen del sólido S es dado por la fórmula.

donde A(x) es el área de la sección en x. ii)

Si las secciones son perpendiculares al eje Y, el volumen del sólido S es dado por la fórmula.

donde A(y) es el área de la sección en Y.

/ Sección perpendicular al eje X.

Sección perpendicular al eje Y.

408


Ejemplo.- Un sólido tiene una base circular de 4 unidades de radio. Encontrar el volumen del sólido si cada sección plana perpendicular al diámetro fijo es un triángulo equilátero. Solución La ecuación del círculo es x 2 + y 2 = 16 el lado del triángulo equilátero ABC que es la sección transversal ,, 4 AB.CH es de 2y, como su area A(x) = --------También se tiene

L2J 3 A(x)=-------

para triángulo

equilátero, entonces:

A ( x)

=

—

= -Jly2 = >/3(16—jc2) . Luego por simetría se tiene.

V = 2^ A(x)dx = 2^-73(16- x 2)dx - 2-73(16* - y )

256

-¡3 «3

Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura h unidades y de radio de la base “a” unidades. Solución

v í

f’. h,a)

La ecuación de la recta

L: y = —x h

409


©

Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje X. la región limitada por el eje X y la curva y = - x 2 + 2x +3 . Solución v = - x 2 +2x + 3 . completando cuadrados. y - 4 = —(jc -1 )2 es una parábola de vértice V( 1,4). P a ra y = 0 => x 2 -2 x + 3 = 0 => x = -1, x = 3 V = n f v2dx =n f (- x 2 + 2x+3)dx

X

—►

Ji

J '

V = Hj (x4 - 4 . t 3 - 2 x z +l2x+4)dx

( 3)

Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación de la región entre las curvas y = x 2 +4 e y = 2x2 alrededor del eje X. Solución

410


Hallar el volumen del paraboloide de revolución si el radio de su base es R y su altura H. Solución

©

i

kY R

__ -

V

I

/

\

Ji

La ecuación de la parábola es x 2 =ky como x = R, y = H

x /Y = f(x)

H ^*1

H

11

H

0

( 5)

H

7X * x

n Rrll

„ t-rf" jrdv=n\ n f"— « 2 vdv . =— n/f2 y v=n\ in Jr. // ' II 2

Encontrar el volumen cuando el área plana encerrada por y = - x 2 - 3 x + 6 , y, x + y —3 = 0 gira alrededor de y = 0. Solución 2 n r 33 / 3 2 , V= - x -3 * + 6 => y -----= —(jr + —) parabola

4

2

-3 x + 6

y - 3-x x 2 + 2 jc- 3 =0 ^

?

0

^

(x + 3 ) ( x - l ) = 0

x = -3, x = 1

F = n j ' [(-*.*

F = n f ' (x4 +6.t3 - 4 x 2 -30x+27)rfx = — J -3

15

-3X + 6)1 —

n u3

-

=> -x~ —3jc + 6 = 3 - x

(3— JC2)]dx

411


©

Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = r y las rectas y = 0, x = 2.

©

Encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región del ejercicio 6 alrededor del eje Y.

V = 2n[ \ f ( x ) d x Jo

V =2n

©

Jo

x*dx

Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje OX, la superficie limitada por la curva -Jx + ^ y = 4a , y la recta x = 0, y = 0. Solución

412


Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a J a parte de la parábola r 2 = 4a x , que se intercepta por la misma recta. Solución Aplicando el método de la corteza cilindrica se tiene: V = 2 [ 2 n { \a - x ) \ dx) Jo

F = 4 n f (a - jth/4axdx Jo

V = 8 n V o £ (ax1 2 - x J' 2 )dx = m j a [

la -'2

2ax ^2

-i2x5/ 2

2a-'1 , 32o3n -] = 15

Calcular el volumen del sólido que genera la circunferencia x~ + (y-3)~ = 1 al girar alrededor del eje X. Solucion

De la ecuación de la circunferencia (>•-3)2 = 1- v2, de donde tenemos:

x 2 + (v - 3 ) 2 =1

despejamos y. es decir:

413


.v, =3 + -\/l- jr , y 2 = 3 - V l - x 2

F = 2;rf (y.2 - ví)rf.t =2n\[@+-Jl—x * ) 2 —( 3 - J l —x * ) 2dx Jo

"

Jo

V = 2/r £ 12-^1 - x 2 í¿x = 2 4 n £ 4 ~ x 2cix ©

/. F = 6ttV

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, el lazo de la curva (jc - 4a) y2 = ox(jc- 3a), a > 0. Solución ( jc

- 4a) v2 = ax(x - 3 a ), a > 0, entonces:

2

ax(x-3a) , de donde tenemos: jc~ 4 a

■to

©

Jü

r —4a

Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución engendrado al girar la hipérbola equilátera x 2 - y 2 ~ a 2, alrededor del eje X, intercepta al plano x = 2a y es igual al volumen de la esfera de radio a.

414


13)

Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje Y, la región encerrada por las curvas x~ = 2y e r = jr -3 x + 4 y las rectas x = 0, x = 2. Solución La ecuación x 2 = 2 v es una parábola de vértice V(0,0) discutiendo la gráfica de y

= jc 3 - 3x + 4 , para esto calculamos su derivada.

dy - 3x - 3 = 0 dx d 2v , — -=6x dx~

x = ± 1 los puntos críticos.

d 2v dx~

— 7

= -6 < 0

3 máximo en x = -1 de donde y = 6 , luego

(- 1,6 ) punto máximo. d 2y

= 6 > 0 =>3 mínimo en x = 1 de donde y = 2

dx2 Luego ( 1,2) es el punto mínimo. V =2FI ¡x (f( x)-g(x))dx

Y

Jo

'

r1

y2

Jo

2

V = 2U\ 4 (x 3 -3 x + 4 ) - — ]dx y = x3 -3 x + 4 x2 - —

V = 211 f2(x4 —— + 3.í2 + 4x)dx Jo 2

2n

| ( jc 4

Jo

— 3x2 +4)dx .2

Sea R la región limitada por x = 6 - 2 y2* x = 4 v2 Hallar el volumen del sólido que se obtiene de rotar la región R alrededor de la a

2.

415


Solución

64 „ 32 k = n[ í 48— í/x + f 8 í¿t]= — n + — n Jo 2 J4 2 3 3

©

La base de un sólido es la región limitada por la elipse

F = 32nM 3 X“* V 2 — + = 1. Hallar el ¿7" b~

volumen del sólido, suponiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje X son cuadrados. Solución

416


x2 y2 , , b2 . , — + TT = 1 => y =— ( a - - x - ) a~ h~ a~ Calculando el área de la sección transversal. A(x) = (2y)2 = 4vi = ——(a2 - x 2). luego el volumen es: Q~ 8b2 V = 2rA(x)dx = 2í ^ - ( a 2 - x 2) d x = ^ r (a2x - ^ —) Jo Ji> a a2 3

8b2 3 o 3 16of>2 j ——( a ----- ) = -------- u a2 3 3

V J ™ - u' Una comunidad agrícola ha tenido una sobre producción de papas que desean almacenar en un silo, le encargan el proyecto a un ingeniero civil: el se da cuenta de lo i que desean para el silo es que las paredes laterales estén limitadas por un cono que se obtiene al girar la recta y = x alrededor del eje Y, y el techo del silo por una semiesfera de radio a, que se obtiene al girar el arco de circunferencia de radio a y centro en (0,a) alrededor del eje Y. Hallar el volumen que puede almacenar el silo. Solución Graficando El problema se resuelve trabajando en dos partes

V =Vl + V2 , donde

Fi =7tÍ (-y/cr -(> ^-o)2 ) 2í/v Ja

V, = n f2 ( 2 a y - y 2 )dy Jtí

1/ = ntay W 2 - — ,) /t-a 2ü'/r K,

417


T, 2a n a n j V = -------+ ------= a n

1/ n y= —— / “ /n a= ---V7 =nf\ v2 ,dy 2 Jo' * 3/0 3

(l7)

Si el ingeniero que construyo la cisterna como una esfera de radio R = 1 desea hallar el volumen pero por el método del disco ¿Cómo plantearía el problema?. Solución Para graficar solo necesitamos ubicar el centro de la circunferencia.

C: (x -1 ) 2 + y 2 = 1 de donde >■= -y/l —( jc — 1 ) 2 ahora aplicamos el método del disco

V = n [ f 2(x)dx = n \ [ l - ( j t - l ) 2]dx = 7r f ( 2 x - x 2)dx

Ja

Jo

JO

1 x3 /2 8 = n[* " - — ] / = zr[(4 - —) - 0] = 3 / o 3

( l8)

Un depósito de gasolina tiene la forma de un sólido de revolución que se tiene al girar la región en el plano limitado por las curvas y 2 ~3y = 2x alrededor del eje X. ¿Cuál es le volumen del depósito? Solución 7 2 9 9 y~ - 3 v - 2 x , completando cuadrado y - 3 y + —= 2x+ — 4 4 3 7 9 9 3 ( y - - ) 2 =2(x + - ) dedonde V ( ~ - )

y

x —y + 2 = 0

418


y2 —3y = 2x v2 - 3 v = : Calculando los puntos de intersección: < => <' X- y = -2 v= x +2 j in

(x + 2)2 -3(jc + 2) = 2x, simplificando tenemos: x 2 + 4 x + 4 - 3 x ~ 6 = 2x

x

2 - j c- 2 = 0

=> (x-2)(x + 1) = 0

Ix ——1

<

be = 2

y 2 —3y=2x => y = j ± J 2x +\

r=ffí L +i l ^ ) " ~ i l ^ ) ^ +r, +^ I >2"(x+2)2M 4

2

4

*' = *íí L 6f * + ¿ ífe+i ' í T +3^

2

4

| ” 2x - x 2)dx]

* ,29* 1 V = n [ U 2x + V 2 / ‘ + l ^ + U 2 x +j ) i/2 - x 2 - ± - ] f 2 4 / ^ / 8 4 4 4 3 / „ __ 1 503 41 r - , 1- = tt[— + ---- + — v 41]m 16 32 32

419

A p lic a c ió n d e i a I n te g r a l D e fin id a

19)

Para una campaña publicitaria se desea hacer la cisterna de un camión para transportar yogurt de una forma muy especial. Un ingeniero civil acepta el reto de resolverles el problema, el se da cuenta que las paredes de la cisterna, están generadas por un sólido de revolución obtenido al girar un arco de y = sen x alrededor del eje X ¿Qué volumen de yogurt puede transportar el camión?. Solución

3.2*6

PROBLEMAS PROPUESTOS.Hallar el volumen de tronco del cono generado al girar el área limitada por 2y = 6 - x, y = 0%x = 0, x = 4 alrededor del eje X.

©

Rpta. - y n u 3

Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la región R limitada por la n curva v = e' senc '. x = 0 . x = ln(—) alrcdedoi del eje X.

Rpta. (cosí— —)

Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región plana definida por a

-M’ <20,

v2 < 8 a' , y > 0, alrededor del eje X. Rpta. y (80-\/5-64)¿/^

420 (7 )


Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta y = -1 la región comprendida entre las curvas r = v2 y y = 4 x • _ 29;r ^ R p ta.---u 30

©

Hallar el volumen que genera la superficie limiiada por la curva y = 4 - x 2 * y = 0. al girar alrededor del eje X.

©

n u

!

Rpta. — I I I / ’ 3

Calcular el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor del . i por ila curva ,(—) " +( —) " = 1t . acotada a h

©

512

Hallar el volumen del solido generado ai girar sobre el eje OX, la región limitada por las curvas v = 4 - -v: +1, v = -J~x2 + 4 .

©

Rpta.

eje Y lafigura

. -------4n Q~b Rpta. 5

Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por el primer la/o de la curva v = e ' 4scñx , y el eje X positivo, alrededor de la recta y = 0. Rpta.

©

2")u'

Dada la regí* n plana R en el primer cuadrante limitada por 3y —4x = 6, 4 v - 3x = 8, v2 + ( v - 2)“ =

. Hallar el volumen generado, si se rota R alrededor del eje X Rpta. -----u 20

(lo)

Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje OY. el arco de la parábola y2 = 2px comprendido entre el origen y el punto (_\j, \ \ ).

421


(11)

Hallar el volumen que genera la superficie limitada por y 2 - x 3, y = 0, x = 0, y, x = 4 al girar alrededor del eje X.

(12)

Rpta. 64n u3

A la parábola y 2 = \2x, en el punto cuya abscisa es 6 se ha trazado una tangente. Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X, la región limitada por la tangente trazada, el eje X y la parábola. Rpta. 12YI u 3

( 13 )

Calcular el volumen generado por la rotación de la superficie encerrada por y 2 = 4 x 9 x = y alrededor del eje X.

( 14 )

32 Rpta. — n u3

Hallar el volumen engendrado por el área menor comprendida entre las curvas x 2 + y 2 =25 y 3jc2 - \ 6 y al girar alrededor del eje X.

( 15 )

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la superficie comprendida entre las parábolas y = x 2 , y - 4 x .

©

Rpta. “ " “ H u3

Rpta. — m3

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las curvas x +y 2 +3_y = 6, x + y = 3 alrededor de la recta y = 3.

Rpta. ~ n w3

Calcular el volumen generado al hacer rotar la región encerrada por las curvas 1 1n o rur ..3 _ A A„ _ n • ( y - 4) = 4 —4 x , y + 2x = 2, gira alrededor de la recta y = - 11.___ ________ Rpta. _ 108n

©

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por y 2 - 4(2- x ) , x = 0 alrededor de la recta y = 4.

( lí)

Rpta.

u3

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por y = arccos x, y = arcsen x, x = 1 alrededor de la recta y = -1. Rpta. (16—7r2) —u3 4

422

(2 0 )

Eduardo Espinoza Ramos Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X, la superficie x limitada por la catenaria y = a cosh(—), el eje X y las rectas x = ± a. a Rpta. ^ -^ -(e 2 + 4 - e 2)u3

2J}

Hallar el volumen engendrado por el área comprendida entre las curvas y 2 = 9 jc, n 2187 x 2 - 9y al girar alrededor del eje X. Rpta. — n u3

(22)

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva y = sen2 x en el intervalo x = 0 hasta x = 7c.

( 23 )

Rpta.

La región limitada por las curvas Jt2jy2 = 1; y(x2 + 3) = 4 gira alrededor de la recta y + 1 = 0. Hallar el volumen del sólido que se genera.

(24)

3tí 2 —— u3

R pta.

16*J3 2 (------------- ln9)w3

Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje X de la región limitada por las curvas y =ex, x = 0, x = 1, y = 0*

Rpta.

—- — n u

< x2 y 2 Calcular el volumen que genera la elipse — + — = 1, al girar alrededor del eje X. q 4 3 Rpta.

( 26 )

Un ingeniero civil piensa que para almacenar agua, una cisterna debe tener la forma de una esfera y construye una en la azotea de su casa de radio R = lm, y desea encontrar el volumen que puede almacenar pero planteándolo como un problema de integral definida por el método del anillo.

(27)

811 u3

Rpta.

4 Tí

V =—

-1

u

Hallar el volumen, del sólido engendrado por la rotación de la región entre las curvas y = tg x, x - — , y = 0, rota alrededor del eje X. 3

Rpta.

(^3 - —)/r u 3 3

423

Aplicación de la Integral Definida (28)

Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre y = sen x, y = sen.2 x , el................................* eje X , y 0 < x < — y rota alrededor del eje X. R p ta. 4 ) V

4

(5 )

Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación alrededor del eje OX, de la superficie limitada por el eje X y la parábola

(5o)

y

= ax- x 2, a >0.

Rpta.

^ -ll«3

Determinar el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la Cisoide de 7 1 a Diocles y (a- x) = x alrededor del eje X entre x = 0 hasta jr = —.

Rpta.

( 31 )

a 3(ln2—j)IT u 3

Hallar el volumen del toro de revolución engendrado por la rotación del circulo x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 , alrededor del eje OX, con b > a.

( 32 )

Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por y = x 2 , y = 4 x - x 1 alrededor de la recta y = 6.

( 3 ^)

Rpta. l a 2b n 2 u 3

64 » Rpta. — Y lu

Encuentre el volumen del sólido que se genera si la región acotada por la curva

y - sen2 x y el eje X de x = 0 a x = n gira alrededor de la recta y = 1. Rpta. ———u3 8

(34)

Calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar la región limitada por la gráfica y = arcsen x, y = 0, x = -l, alrededor del eje Y.

( 35 )

Rpta.

Hallar el volumen generado al hacer girar la curva y = x 2 +1 alrededor del eje Y desde y = 1 a y = 5.

Rpta. 8 n

u3

424


(36)

Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva y

- sen2 x y el eje X de x = 0 a x = n gira alrededor de la recta x = 4. 64 _

Rpta. —

( 37 )

u

3

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OY, la parte de la parábola

(38)

n

y 2 = 4ax,

que intercepta la recta

x =

a.

Rpta. ^

T ío 3 u 3

Calcular el volumen engendrado por el área menor comprendida entre el círculo x 2 + y 2 =25 y la recta x = 4 al girar alrededor de la recta x = 6. Rpta.

( 39 )

Encuentre el volumen del sólido generado al girar sobre el eje Y, la región limitada

7

1

por la curva y = (jc-1) , el eje X

(40)

1

Rpta.

—II u

n h3

Rpta.

Hallar el volumen del cono elíptico recto cuya base es una elipse de semi-ejes a y b y cuya altura es igual a h.

( 42 )

y la recta x = 3

Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje Y, el área comprendida entre las curvas y = x 3, y 2 = 2 - x , x = 0.

(4l)

2(150 arcsen—-90)11 u 3

abh

Rpta. ---- n

w3

Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor de la recta x = 1, la región limitada por los gráficos de y = ¡ x 2 - 2 x - 3 \ , y + l = 0 , x —2 = 0, x — 4= 0.

( 43 )

Rpta. 17/r

u3

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por a 2y 2 - b 2x2 = a 2b 2, |x| = a, alrededor del eje Y.

Rpta.

—^-n w1

425

Aplicación de la Integral Definida ( 44 )

Hallar el volumen del conoide elíptico cuya base es una elipse x 2 +2y 2 =12 y cuya altura es 10.

( 45 )

Rpta.

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje Y, de la gráfica acotada por la curva x 2' 3 + y2n = a 2/3.

( 4 ^)

20-\/2n u 3

Rpta.

32 y ^ - a 3n u 3

Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación del eje Y, de la región exterior a la curva y = x 2 , y entre las rectas y = 2x —1, y = x + 2.

( 47 )

Rpta.

n

u3

Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre x 2 +y 2 =9 y 4x2 + 9 j 2 = 36 (región en el primer cuadrante) alrededor del eje Y. Rpta.

(48)

611 u 3

Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región entre las curvas y = cosx, y = 0, x = 0, donde x es mayor igual a cero y menor igual a —, rota alrededor del eje Y.

( 49 )

Rpta.

11(11-2)«3

Hallar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor de la recta x =-5, la región acotada por la curva y = x 2 - 6x+13 ylarectax —y + 3 = 0. Rpta. —

( 50 )

a 2b

u3

Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por y = - x 2 -3 x + 6, y la recta x + y —3 = 0 alrededor de la recta x = 3.

( 51)

n

Rpta.

153

n u3

El segmento de la recta que une el origen de coordenadas con el punto (a,b) gira alrededor del eje OY. Hallar el volumen del cono obtenido.

Rpta.

-----n u 3


426

( 52 )

Hallar el volumen

generado en la rotación del área limitada por x = 9 - y 2, 153

x —y—7 = 0 alrededor de la recta x = 4.

( 53 )

Rpta. —

n

w3

Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por x 2 - 4 = y , y = -3x 625

alrededor de la recta x = 1.

54)

Rpta. ----n

6

u3

El área acotada por las curvas y = eos x, y = sen x entre x = 0 y * = ~ es rotada 71

alrededor del eje x = — , ¿Cuál es el volumen V del sólido generado?. 2

F ?

Rpta. 2 tt — 7T2 (1------ )u3

Calcular el volumen del sólido generado por la región que quede debajo de y = 1 + sen x, sobre el eje X entre x = 0

y

x = 2n rotado alrededor del eje Y. Rpta.

4 n 2( n - l ) u 3

t! (56)

Calcular

x2

—

(gj)

9

y2

+—

4

el = 1,

Calcular el

volumen

•r llft

generado por la región

j i x + y = 4, al girar alrededor d e la recta x = -3.

volumen

generado al

entre

las curvas

Rpta. 12;r

rotar la región encerrada por la

x 213 + y 2' 3 = l alrededor de la recta x = 4.

(sS)

comprendida

R pt a .

j

u

x

curva

3n 2 u 3

Sea R la región plana limitada por Lx: 3x+ 4>> = 8, L2 : 4x+3y = 6, y la curva de curvatura constante k = j con respecto a la intersección de Lx y L2 . Calcular el volumen de sólido que se obtiene al rotar (considere x < 0).

R

Rpta.

alrededor de la recta x = 0 n + ^ n 2 )u3


42 7

Hallar el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas y = xJ + 2 , 2y = x 2 + 2 x + l , alrededor de la recta x = 4.

©

Rpta.

60

n

uy

Encuentre el volumen del sólido de revolución que se forma al rotar alrededor de la recta x = 4, la región acotada por y - x 3 - 6x2 + 8jc , y = x 2 - 4x, donde en ambos casos x e [0,4].

(ól)

Rpta.

60.86 Flw3

Calcular el volumen generado al rotar la curva y = x2e~*2 alrededor de su asíntota _

3

n

RP“ ' W 2 r " —

(62)

Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región acotada por y la r e c ta x = l, alrededor de la recta y =2.

(5 )

y = x 2 , al eje X

Rpta.

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación dela región R limitado por x 1 + ( y - 3)2 = 1 alrededor de la recta y = 0.

(m )

"

Rpta. 6n2u3

Calcular el valor del sólido obtenido al hacer girar la región R limitada por x2 + y 2 = 1, x~ + y 1 = 4 alrededor de la recta x = 0. Rpta.

©

x2 y 2

Hallar el volumen obtenido al girar la elipse — + = 1 alrededor de: a b a)

el eje X

Rpta. a) (óó)

—— 3

b)

el eje Y b)

- n a 2b 3

c)

la recta x = 0 c)

l n 2a2b

d)

la recta y = b

d) l n 2ab2

Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región R limitada por las curvas x = y 2 , x = 8 - y 2 alrededor de la recta x = 0.

2S6 Rpta. ----- nu3

428

(ó7)


Calcular

el volumen generado por el área comprendida entre las curvas

y = 2-s/jc , al girar alrededor del eje Y.

(ó8)

Rpta.

—~ u*

Calcular el volumen generado por el área comprendida entre las curvas x 2y 2 + 16,v2 = 16, x = 0, y = 0, x = 0, al girar alrededor del eje X.

(S )

y =,

Rpta.

n 2i?

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las curvas dadas alrededor de la recta dada: a)

y 2 = x . y - x 2 alrededor dex = -2.

Rpta.

b)

y = 4 - x 2 , y = 0 alrededor de x =-2.

Rpta.

c)

y = x J -5jc2 + 8jc-4, y = 0 alrededor de y = 0 '

d) e)

y

Rpta. -^—u3 105

1 = 4 * — p , x = l , x = 4, y = 0 alrededor de y = 0. V*

y =4 x —

128 -----ÍI a 3 3

Rpta.

3 (In4 + —)I1 w3 2

, x = l,x = 4, y= 0 alrededor de y = -2. V* R pta. ( I n 4 + ^ ^ ) n

6

2

,

y = 0 ,x

=

0 ,x = l alrededor de x

0

y-e

=

g)

y = x + 2, y~ - 3 y = 2x alrededor de y = 0.

7

0.

u3

Rpta.

(e -l)n u

Rpta.

45 -i —n u

i

4

4 - x 2 , y=

h)

v = V

i)

x + y = l, ^ +^

1,

x = 0, x = ^ 3 alrededor de y = 0. = 1 alrededor de x = 0.

Rpta.

Rpta.

2 n^3 i/3

u3

Aplicación de la Integral Definida

429

j)

y = 3x¿, y = 4 - 6 x ¿ alrededor dex = 0.

Rpta. — w3

k)

x 2y 2 +16y 2 = 16, x = 0, y = 0, x =4 alrededor de x =4. Rpta. 327r[l-V2+ln(-^L)]u3

V2 ©

La base de un sólido es un circulo de radio a, si todas las secciones planas del sólido perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados, hallar el volumen del 16a,3: j sólido. Rpta. ^ - u

(71)

Un círculo deformable se mueve de manera que uno de los puntos de sus x2 y 2 circunferencias se encuentra en el eje X, el centro describe una elipse — + = a b el plano del círculo es perpendicular al eje X. Calcular el volumen del sólido. _

R p ta.

( 72 )

8n a b 2 3

— -— u

La base de un solido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales del sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados. Determine el volumen del sólido.

( 73 )

16 Rpta. — r 3w3

Hallar el volumen del sólido, cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros.

( 74 )

1 y

R p ta.

36^/3 w3

Un cilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por el diámetro de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. Hallar el volumen de la parte 2r 3 separada. Rpta. (----- tga)u3 3

®

La base de un sólido es la región limitada por la elipse

x2 y2

— + J~ - = 1, hallar el a~

b

volumen del sólido, sabiendo que las secciones transversales perpendiculares al eje X, 4cit) 2 son triángulos equiláteros. Rpta. - - j=- u 3

430


(76)

L a base d e u n cilindro es u n círculo d e radio 3. T o d o plano perpendicular a u n diámetro d a d a intercepta al sólido en u n cuadrado que tiene u n lado en la base del sólido. Calcular el v o l u m e n del sólido.

©

Rpta. 1 4 4 « 3

U n círculo móvil se encuentra en u n plano perpendicular al plano X Y d e m o d o q u e los

extremos

(x - 2 ) 2 =

de

2 ( y +1),

un

diámetro

están

sobre

las

parábolas

de

ecuaciones

3 ( x - 2 ) 2 = 8 ( ^ - 1 ) , Hallar el v o l u m e n del sólido q u e genera

dicho círculo móvil si el diámetro en m e n c i ó n es paralelo al eje Y y sem u e v e región encerrada por ellas.

Rpta.

U n sólido tiene por base u n círculo

en la

~ ^~ u*

d e radio 1 y sus intersecciones c o n planos

perpendiculares a u n diámetro fijo d e la base son triángulos rectángulos isósceles cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas d e los círculos. Determinar el v o l u m e n del sólido.

(7 9 )

R p ta.

L a base d e u n sólido es u n círculo limitado por transversales perpendiculares al eje Y

4

—u

,

3

x 2 + y 2 = 2 5 y las secciones

son triángulos equiláteros. Calcular

su

volumen. (5j)

D o s cilindros d e radio R

se cortan perpendicularmente. Hallar el v o l u m e n d e su

intersección.

(gl)

Rpta. — 3

R3

L a base d e u n sólido es u n circulo d e radio 2, si las secciones transversales perpendiculares a la base son triángulo isósceles con u n cateto c o m o base. Hallar el v o l u m e n del sólido generado.

(82)

32 Rpta. — 3

u3

L a base d e u n sólido es u n a elipse cuyos ejes m i d e n 2 0 y 10 unidades; la intersección de ese sólido c o n u n plano perpendicular al eje m a y o r d e la elipse es u n cuadrado.

Calcular el volumen del sólido.

Rpta. —

u3

Aplicación de la Integral Definida (^3 )

431

La base de un sólido es la región entre las parábolas y = x 2, y = 3 - 2 x 2. Hallar el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al eje Y son triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa sobre el plano XY.

(S )

Rpta.

La base de un sólido es la región limitada por >■= 1- x 4 . Las secciones transversales del sólido determinadas porplanosperpendiculares al el volumen del sólido.

85)

Rpta.

eje Xson cuadrados. Encontrar 315

A una naranja de forma esférica y de radio a por medio de dos semiplanos, que pasan por un mismo diámetro formando entre si un ángulo de 30° se le extrae una tajada. Determine el volumen del restode la naranja.

Rpta. Y“i

y “i

Encontrar el volumen del sólido encerrado por el paraboloide — + — = r y el plano z = 10.

Rpta. 1000

2

87J

n

w3

2

Hallar el volumen del segmento parabólico elíptico -----= jc interceptado por el 2 p 2p plano x = a.

Rpta.

a 2^ p q U u 3

El sólido de revolución se forma por la rotación alrededor del eje Y, de la región por la curva

y = \ [ x , el eje X y la recta x = c (c > 0). Considere los elementos

rectangulares de áreas paralelas al eje de revolución para determinar el valor de c que dará un volumen de 1211 u 3. 89J

Rpta.

c = ^2744

Se hace un agujero de 2 cm. de radio através de un sólido de forma esférica con un radio de 6 cm; siendo su eje un diámetro de la esfera. Encuentre el volumen de la parte restante del sólido.

184 Rpta. ---- F1 h 3

432 ®

Eduardo Espinoza Ramos Se hace un hoyo de 2 ^ 3 pulgadas de radio através del centro de un sólido de forma esférica con un radio de 4 pulgadas. Encuentre el volumen de la porción del sólido que fue cortada.

(9 ^

224

^

3

h , , Ab +aB , * (ah + -----------+ ab)u 3 2

Rpta. —

La base de un sólido de un círculo con un radio de 9 pulgadas y cada sección plana perpendicular a un diámetro fijo de la base es un cuadrado que tiene una cuerda del circulo como diagonal. Encontrar el volumen del sólido.

(9 ^

u

Hallar el volumen del obelisco cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A.B y a,b respectivamente y la altura h.

(9 2 )

Rpta.

Rpta. 1944 pu lg1

Encontrar el volumen del tetraedro que tiene tres caras mutuamente perpendiculares y tres aristas mutuamente perpendiculares cuyas longitudes tienen medidas a,b y c. « *

°bc 3 6

Rpta. ---- u

(0 )

Hallar el volumen del sólido de revolución formado al girar alrededor del eje X. la región D acotada por las gráficas de las curvas 2 1 G(jc) = 1+ —(x - 4) y las rectas x = 2, x = 6. 9

(9 5 )

Rpta.

F ( jc) = 4 - ^ - ( x - 4 ) 2 ,

144 1 /r[60 - 64(-------------)]« 1215

Hallar el volumen del sólido generado, al rotar alrededor del eje X la región limitada por las curvas C: y = a x ~ x 2, a> 0 , Cx : y = 0.

(9ó)

La región limitada por la circunferencia x 2 + y 2 + 2 x + 2 y -2 = 0 , girar alrededor de la recta y = 3, calcular el volumen del sólido generado.

a) DEFINICION.-

El área de una superficie S obtenida por la rotación alrededor del eje X, del arco de la curva y = f(x) entre los puntos x = a y x = b es definida por medio de la fórmula.

433


OBSERVACION. 1)

Si la curva y = f(x) se hace rotar alrededor de la recta y = c se obtiene una superficie de revolución, cuya área es expresado por la fórmula.

m*1 dax m -" %

2)

Si la ecuación del arco de una curva está dado por la ecuación y = g(y), V y g [c,d] en donde g es una función con derivada continua en [c,d] entonces el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OY del arco de la curva x = g(y) entre los puntos y = c, y = d es expresado por la fórmula.

434


3)

Si la curva x = g(y) se hace girar alrededor de la recta x = k. el área de la superficie de revolución está expresada por la fórmula.

Ejemplo.- Hallar el área de la superfìcie del “Huso”, que resulta al girar una semi onda de la senusoide y = sen x alrededor del eje OX. Solucion

dv y = sen x => — = eos x dx

Como

^4(5r ) = 2 n f y j l + (— )2 = 2 n f -Jl + cos2~x senx dx Jo v dx Jo

= - 2 n ( ^ ^ V c o s 2 jc + l + —ln|cosx+Vl +cosx |)

A(SX) = - n [ - 2 4 í -ln (l + V 2) + ln (-1+ - Jl)] A(SX) = 2U[-j2 + ln(l+^2 )]« 2

435


Ejemplo.- Hallar el área de la superficie engendrada al rotar alrededor del eje Y, la hipocicloide x 2 3 +y 2/3 = a 2i 3 Solución 2/3

x

2/3

2/3

rfV

^

,fy

~
t d x s x 2/3 C2/3- v 2' 3 (~r)~ = —r r r = -------^ — ¿v' >-2/3 y 2n

Como

dx

¡X

^

=> ( t ) ' = dy

a 2 n - v 2n y 2/3

¿ (S y) = 2n£* jc^|i+ ( ^ ) 2rfv - 2 n £ (o2/3 .a

Jo

( f l 2/3 _

2 / 3 } 3/2 "

'

y 2 n )3/2^

a 2 ^ 2/f

^1/2 / 2/3 = 6 n a «/3[ ( C _ Z Z _ J _ ] / "

^

«l/3 '

1

5 /2

/3 dy

2 / 3 \5 /2

J/o

V_ 12fl 7T 2 --- U A(S y ) ----------- —

3.34

PROBLEMAS PROPUESTOS.Hallar el área de la superficie generada haciendo girar la curva y = 2 ^ 6 - x , x e [3,6] alrededor del eje OX.

©

Rpta.

56

i

m2

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación, alrededor del eje OX. del arco de la curva y = e * comprendida entre x = 0 y x = -Ho. Rpta. h/2 + ln(l + ^/2)]n u 1

©

Hallar el área de la superficie del tronco engendrado por la rotación del círculo x 2 +(y - b ) 2 = a 2 alrededor del eje OX (b > a).

( 4)

Rpta. Aab FI2 u2

Hallar el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer girar la elipse 1 1 x~ y -— + — = 1 alrededor de: 25 16

436


a)

Su eje mayor.

Rpta. 2(16 + ^ârcseny)7T u 2

b)

Su eje menor.

Rpta. (50 + y ln 4 )? r u 2

on

©

Calcular el área de la superficie formada por la rotación alrededor del eje X del arco de la curva 4y - x 2 -2 In x entre x = l y x = 4.

©

Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al rotar, alrededor del eje X, el lazo de la curva 9ay2 = x(3 a -x)2

©

Rpta. 24n u 2

Rpta. 3a2n u 2

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de la tangentoide n de y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededor del eje OX. Rpta. [ n { S ~ 4 l ) + n ln (2(^ +2))fr2 V5 +1

©

En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la superficie de este espejo.

Rpta. 1D° (5-S -8)/r u 2

©

Hallar el área de la superficie (denominada Catenoide), engendrada por la rotación de x la catenaria y = a. cosh(~) alrededor del eje OX, entre los límites x = 0 y x = a. a Rpta. — ^ ( e 2 - e 2 + 4)ÍIw 2

437

Aplicación de la Integral Definida (ío)

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación del eje OY, del arco de la curva y = a cosh _1(—) desde x = a hasta x = a cosh 1. a a2 2 Rpta. — (2 + senh2)IT u 2

(íl) v“'

Hallar el área de superficie de revolución de la curva x = —----- 1n y , alrededor del 4 2

e4 -9

Rpta. ------- II u 16

eje OX, comprendida entre y= 1, y = e.

(l2)

Hallar el área de la superficie cuando la curva 2x = y^Jy2 -1 + ln | y+^jy2 - 1 |, y e [2,5], gira alrededor del eje OX.

^ 3)

Rpta.

n

u2

x

= 3a.Rpta. ~ ^ a2n

Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar el arco de la curva y = 2 -e* 9 desde

x=0

hasta

x

= 2 alrededor de la recta y = 2.

Rpta. [ c 2 a/i + e 4 (l5)

78

Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje OX, la curva dada por y 2 =4ojc, desde x = 0 hasta

(h )

,

— j 2 + l n ( e - + ^ r^-

1+^/2

)H

u 2

Hallar el área de la superficie de revolución formada cuando la curva indicada gira alrededor del eje dado:

a) y = x 3, x e [1,2] alrededor de y = -l. b) y=ln(x —1), c)

xe[2,e2+1]

alrededor de x = 1.

y = 2x, x e [0,2] alrededor de x = 1.

d) y = 4+ex, x e [0,1] alrededor de y = 4.

438


^ó)

Hallar el área de la superficie generada por la rotación entorno al eje Y, de cada una de las siguientes curvas:

®

a)

x = y \ y e [0,3]

Rpta.

^-[(730)3/2 -1] k 2

b)

2y = x-Jx* -1 + ln(jc —n/jc2 -1 ), x e [2,5]

Rpta.

7811 u 2 2

2

Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse

—= 1, (a > b) a2

b

alrededor de:

@

a)

ElejeOX.

Rpta.

2 . l a b n ____ r, j ___, ^ Va2 - b 2 2Ylb +— — arcsen£, donde E = E a

b)

ElejeOY.

Rpta.

2na + -----ln(----- ) donde E =

2 b2n , A +E. E l-E

-va2 - b 2 a

Rpta. "

u2

Rpta.

^. 2 10?r'

u

2

Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva 6c2xy = _y4 + 3c4 es de x = c hasta x = 3c, alrededor del eje X.

(2 ^

„

Hallar el área de la superficie generada por la curva y 2 -2 1 n y - 4 x , al girar alrededor del eje X.

(¿o)

.

Hallar el área de la superficie generada cuando la curva y =—x i/2 - —x 1' 2, x e [0,4] 3 2 gira alrededor del eje X.

(jg)

,

Rpta.

c 27r(20 + ln3)M2

Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X, la región R limitada por las curvas y 2 + 4x = 21n>\ y = 1, y = 2

Rpta. — mJ

n


439

Hallar el area de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X, . por 1las curvas y = — *3 + — 1 , xg[1,3] r t 11 la región R limitada 6 2x

3.4

^ 208 -----n Rpta. 9

LONGITUD DE ARGOP Consideremos una función f con derivada continua en el intervalo [a,b] y una partición P = {xn,x].... del intervalo [a,b] que defina una poligonal formada por los segmentos rectilíneos desde/*_!(*,_!,/ ( x m )) hasta //( x ,V/Xx,))

para

i= 1,2..... n.

m m n M

. >2;+ ( w

- /u v - 1))2

por lo tanto la longitud de la poligonal definida por la partición P es:

a)

DEFINICION.-

Sea f: [a,b] ---- > R una función con derivada continua en [a,b]; si existe un número L de tal manera que:

440

Eduardo Espinoza Ramos entonces diremos que el arco PfíP„ de la curva y = f(x) es rectificable y al número L se le llama la longitud del arco de la curva y = f(x) desde el punto P0 (a, f (a)) hasta el punto P„ (b, f (b)). b)

TEOREMA.- Sea f: [a,b]----->R una función con derivada continua en [a,b], entonces la longitud del arco de la curva y = f(x) desde el punto cuya abscisa es a hasta el punto cuyo abscisa es b es expresado por la fórmula.

Demostración Consideremos una partición P = {jc09x ¿

} del intervalo [a,b], tal que:

a = x 0
del triángulo rectángulo P ^ AP¡ de la figura se tiene: I ^ donde

A ix = xi - x i-.l

podemos escribir asi:

n

J ía ^ + ía ^ ) 2 y

...Í1 )

A,> = /(x , ) - / ( x lM). Luego a la ecuación (1)

441


Como f es continua en [x, (,x,J y f'{x) existe en \x, j,x ,J , entonces por el teorema del valor medio 3 c, e[xH , í ,] talque: / ( * , ) - / ( * , i) x¡ —x¡_i Luego de (3) y (2) se tiene:

A,.y A, x

... (3)

| Pi XP¡ |= -Jl + (/'(c, ))2A,x entonces

L= lint Y J \ + ( r ( c i ))1Aix= [h^ l + (f'(x))2dx i/>M>^1=1 V Ja

••• L = f. I

l+(— )2dx dx

Si g: [c,d] -----> R es una función continua en [c,d], entonces la longitud del arco de la curva x = g(y) desde el punto A(g(c),c) hasta el punto B(g(d),d) es expresado por la fórmula:

OBSERVACION.-

»

©

a ifc V

dy

Hallar la longitud del arco de la parábola 6 y = x 2 desde el origen de coordenadas al g punto (4,—). Solución

442


Como 6y = x 2

— = — , de donde dx 3

t = r j 1+A ! * = r , & Jo V rf)c Jo V 9

- i

3 Jo

L = U ^ ^ 7 ^ \ x +4 x r ^ 9 \ ] / l 3 2 i[ ( 1 0 + |l n 9 ) - ( 0 + |ln 3 ) ] = i[1 0 + |l n 3 ]

©

£ = y (1 0 + |ln3)w

Encontrar la longitud de la circunferencia x 1 + >’2 - a 2 Solución

L~2a

í/ jc

i

X

,a

71 7T

7t 7T

= 2a arcsen—/ _q = 2a[arcsen(l) - arcsen(-l)] = 2a(— + —) 2+2 “J a 2 - x 1 L = 2;rau

©

Calcular la longitud del arco de la parábola semicúbica y 2 = x 3 desde el origen del coordenadas hasta el punto cuyas coordenadas son x = 4, y = 8. Solución

443


©

Hallar la longitud total de la hipocicloide x 2,1 + >,2/3 = a2' 3 Solución „2# 3 , 2/3 _ 2/3 X +V = £7

2/3

x 2/3)3/2

^ - = * - ,' 3V a2,3- * 2/3 dx

t=4f f W ¿ =4r

Jo

Jo

*

^ P V T dr

= 4 Í x 1/3a I,3rfr = 6x2' 3tfI/3/* = 6a Jo

©

' «

Sea R la región del plano limitado superiormente por x 2 + y2 =2 e inferiormente por x 2 = - y 3. Halle la longitud del contorno de la región R. Solución Calcular los puntos de intersección.

-

lx ” + y

j

=2

=> >’3 - v 2 + 2 = 0

de donde y = -l A(l,~l) y B(-l,-l) del gráfico por simetría se tiene:

L - 2(Lab + Loa)

444

Eduardo Espinoza Ramos Calculando L^ se tiene x = ^ 2 - y 2 , x > 0

** = r f f & + - l f / ^ : V.. = V2 arcsen(-^r) /^ “ = ^2 [arcsen 1- arcsen(— J=)l ^ 2-y2 V 2 '- 1 ^/2

=

= ^2 [arcsen 1-f arcsenf— j=)] = ^ 2 [— + —] = V2 2 4

4

r _ 3-s/27T ^y
••• ^ se tiene x = ^J-y3 9 x > 0

¿m = ^ ~j1+(2/^ ~ 7 ^ dy= í i i^ 4 ~ dy ’ integrando

“

(lW Í3 -8 )

...(2 )

reemplazando (1) y (2) en (a) se tiene: , -3-y¡2n 13-JÍ3- 8 . . . ¿ = 2(-------+ ------------ ) de donde 4 27 (ó )

r J-%/2;r 2 ^ 1 3 - 1 6 , L = (------------------------ + ---- )u 4 27

2 Hallar la longitud del arco de la curva 8>* = x 4 + — jr Solución

desde x = 1 hasta x = 2.


445

r2 m r z rr. i 3 1 1 = U l ,x + 2 + 7 ' )* _ l í ,x + 7 )

y

1

„¿

l rM 14 ,1 1V1 1 r31 1. 33 = ^2[(4 - - )8 - ( 47 -2tt)] = 2T f8v 4+ 7 l = T7H 16 3.4.2. ©

PROBLEMAS PROPliESTOS.Hallar la longitud del arco de la curva y 2 = 4 x - x 2, comprendido entre los dos puntos en que corta al eje X.

©

Rpta.

L = 2n u.

Hallar la longitud del arco de la curva y = ln x desde x = ^¡3 hasta x = -JÜ.

©

■>

1

Rpta.

2

134

-----u 27

/-r—

Se

+1

, (V
„

+ ln—-----------— ----- - - 2

e

Encontrar la longitud del arco de la parábola y 1 =4px desde el vértice hasta un extremo del lado recto.

©

2

Calcular la longitud del arco de la curva y - e* entre los puntos (0,1 ) y ( 1 ,e). Rpta.

©

3

Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 5>3 = x 2 comprendida dentro de la circunferencia x~ + v =6

©

1

(1+—ln—)u

Rpta.

Si f ( x ) =

J

Rpta.

[-J2 + ln(l + -J2)]p

-\/cos td l. encuentre la longitud del arco de la gráfica de f desde el

punto donde x = 0 hasta x = ir.

Rpta. 2-y¡2 u

446

©

Eduardo Espinoza Ramos 1 3 Hallar la longitud de la curva y = ln(l - x 1) desde x = — a x = —. 4 4 Rpta. (ln (y )-^ )w

^8)

Encuentre la longitud del arco de la curva 9y

2

= 4.v3 del origen al punto (3,2-JÍ). _ x 14 Rpta. — u 3

^9)

Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es >>3 = x 2, comprendida entre los puntos (0.0) y (8,4).

(10)

Rpta. — (10-JlQ -1 )u 3 7

Hallar la longitud total del lazo de la curva 6y 2 = x ( x - 2 ) 2 si x e [0,2]. Rpta. ■j'v/3

u

@

Calcular la longitud total de la curva 8>’2 = x 2( \ - x 2) .

(12)

Calcular la longitud total del arco de la parábola y = 2^x desde x = 0 hasta x = 1. Rpta.

( 13 )

Rpta.

[ +

ln(l + ^ 2 )]u

Hallar la longitud del arco de la parábola ay2 = x 2 desde el origen hasta x = 335

Rpta. ---- a

y

*""v 14J

u

21

v2 1 Hallar la longitud del arco de la curva x =In y desde y = 1 hasta y = e.

5a.

447


Hallar la longitud del arco de la curva y =—J x 2 -1 - —ln(,v+ J x 2 -1 ) desde x = 3 2 2 hasta x = 5. Rpta. 8u.

©

Calcule la longitud del arco de la parábola semicúbica y 2 = y (x -1 )3 comprendida J

^

dentro de la parábola y 2 = — . 3

11)

Rpta. — (1 OVIO - 8 )u

^

Hallar la longitud de la catenaria y - a cosh(—) a punto B(b,h).

18)Hallar

la

longitud

desde el vértice A(0,a) hasta el

Rpta.

del

arco

de

la

rama

asenh(—) a

derecha

de

la

tractriz

----- y a + J a 2 - y 2 x = —J a ” - y + a .ln |---------------- 1, desde y = a hasta y = b , (0 < b < a ). y Rpta.

( 19)

Calcular la longitud del arco de la curva (—) 2/3 + (—)2/3 = 1, en el primer cuadrante. a b n

Rpta.

@

a 2 + a¿ + ¿ 2 --------------- u a+b

x3 1 Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es >’ = — + — desde el punto de abscisa x = 1 al punto de abscisa x = 3.

( 21 )

aln(—) b

14

Rpta. —

u

Hallar la longitud del arco de la parábola y 2 - 2px desde el vértice a un extremo del

448

(22)

Eduardo Espinoza Ramos Calcular la longitud del arco de la curva x = ln(sec y) comprendido entre y = 0 e y = —.

Rpta.

•J

( 23 )

(24)

( 25 )

ln(2 + >/3 )u

Hallar la longitud de la curva y = ln(g y +1) entre las abscisas x = 1 y x = 2. €X —1 Rpta. (ln(t?2 +l)-l)w Hallar la longitud total de la curva (>■-arcsenx)2 - 1- x 2 .

Rpta.

8u

Calcular la longitud de la parábola semicúbica 2>-3 = x 2 comprendida dentro de la circunferencia x 2 + y 2 = 2 0 .

Rpta.

— (IOVÍO-I)m

(26)

Hallar la longitud del arco de la curva y = 4 x - x 2 + arcsen-Jx .

(tf)

Halle la longitud del arco de la curva 8y = x 4 +2x 2 desde el punto donde x = 1 al 33 punto donde x = 2. Rpta. — u

(28)

Determinar la longitud de la curva y 2(2 a -x ) = x i (Cisoide de Diocles) entre x = 0 y x = a.

( 29 ) ^

e2b- l

2u

2a(-j5 - 2 ) +-s/3aln|-— | 7 -4 ^ 3

Hallar la longitud de la curva j = -\/sec2 y + 1 - ln | ^+ SCC T+ ^ | desde x = — sec x 4 hasta x = y .

^ 0)

R pta.

R p ta.

Rpta.

(^3-1)«

Hallar la longitud del arco de la parábola y = ln | c tgh(^) | desde x = a hasta x = b (0 < a < b).

Rpta.

a - b +ln(—-------)

e~a -1

Calcular la longitud del arco de la curva 9r/>2 = x ( x —3a )2 desde x = 0 hasta x

= 3a.

Rpta.

2-^3 a u

It


449

( 32 )

Hallar la longitud total de la curva 8a2y2 = x 2 (a2 - 2 x 2) .

( 33 )

Encuentre la longitud de la curva 6 y 2 = x(x - 2 )2 de (2,0) a (8,4\/3). R pta.

64

)

a

u.

w

8o3 -(a2+3b2)3' 2 8(a —b )

n

Rpta. -------- ----- r------ u

F

Halle la longitud de la curva 9y2 = x (x -3 )2, en el primer cuadrante, desde donde x = 1, hasta donde x = 3.

(3ó)

an

Encuentre la longitud de la curva (—) 2/3 + (—) 2/3 = 1, en el primer cuadrante, desde a b A a U A A el punto donde x =— hasta donde x = a. 8

(5?)

R p ta.

—- «

Rpta.

- 4 e 2x -1 - a/csec(ex) - 1,

Determinar la longitud del arco de curva descrito por y x e

[0.4].

Rpta. —

(e%- \ )

Determinar la longitud del arco de la curva descrito por y = ln(l - x1) desde x = 0 hasta x = —. 2

®

Rpta.

F

2

+ ln3

jc3 1 Determinar la longitud del arco de la curva descrito por y = — + — , x g [1,2] 3 Rpta. — 24

(39)

Determinar la longitud de arco de la curva descrito por y = —arcsenx - —Vi - x 2 , x

( 40 )

g

rn ^ 3 , [0,--- ] 2

Rpta.

4n +y¡2 16

Determinar la longitud de arco de la curva descrito por y = _ A 383 Rpta. -----

20

+ y - , x e [2,5]

450


CAPITULO IV

4.

ím Éxm ALÉS » R O F M

4.1

INTRODUCCION.-

SL-

Por el teorema fundamental del cálculo se tiene que: si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y si F(x) es la integral indefinida de f(x) entonces:

Ahora nos haremos algunas interrogantes, por ejemplo: ¿A que es igual la integral

f+DOdx

—- ? En donde la función es definida en el intervalo j2 JC

[2 ,+ o o >

dx Í-i —? En donde la función es definida en el intervalo x <-oo,1]

r4 dx

¿A que es igual la integral j — ? En donde la función esta definida en el intervalo JO Y*

<0,4]

Í ¿ —dx- ?

En donde la función esta definida en el

1x

intervalo [-2 ,0 U <0,2] A todas las integrales de estos tipos mencionados se denominan integrales impropias las cuales pueden existir o no existir.

Integrales Impropias

451

Analizaremos la integra]

f+CjCdx |— , para esto calcularemos el área bajo la curva Jl x

y = —- , y el eje X desde x = 2 hasta x = b. x

rh dx 1 ,h 11 1 | — =— = — (—) enionces h v4 ivj / 2 3 V K

dx

-

í

1 24

1 3b3

Luego —-------- es igual a — , cuando b -> qo lo cual expresaremos en la forma. 24 3 24

«fe r 4

A-»* «fe r 4

24 3¿ l/j 3

2¿ 24

Se tiene dos tipos de integrales impropias que son integrales impropias con límites infinitos e integrales impropias con limites finitos.

4.2

INTEGRALES IMPROPIAS CON LIMITES IN FIN IT O S.« a)

DEFINICION.-

Si f: [a,+oo>---- > R es una función continua en [a,+'*>>, f *oc

entonces a la integral impropia

f{x)dx definiremos por: Ja

Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario diremos que es divergente.


452

b)

DEFINICION.-

Si f: <-*>,b] ---- ►R es una función continua en <-oo,b] entonces a la integral impropia

Cb

f(x)dx definiremos por: J-OG'

Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario diremos que es divergente. c)

DEFINICION.-

Si f: <-oo,+oo>-----►R es una función continua V x e R,

Í f{x)dx definiremos por: -rfr.

Í +»f(x )d x = Ime f(x)dx+ I f(x)d x = lint -do*

J-oo'

Je

pc pb I f(x)dx+ lim I f(x)d x Ja b~*+^Jc

Si las integrales impropias J° f( x ) d x , J / (x)dx son convergentes entonces la +OD

Í -ODf(x)dx

es convergente, en caso contrario se dice que es

‘

divergente. (c es un número arbitrario en donde está definición no depende del número c que se considera). OBSERVACION.-

Si f(x) >0, entonces las integrales impropias convergentes representan el área de la región plana que determina la gráfica de la función f y el eje X. Ejemplo.-

© ^

Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.

r — Jo l+ x , Solución

Integrales Impropias #+®'1 dx I JO l+JC

453

dx ¿ lim I ----- - = lim arctgjc / = ¡im (arctg¿-arctgO) b-t+oojo 1+jc 6-»+cob-*-*-oa

r*^ dx n | ----- - = — es convergente.

Jo \+ x

©

í

2

exdx

v>

Solución

í e*dx= lim f e'dx = lim ex / = lim ( e - e a) = e —e

J oo

o —»- o: Jü

—DO

fl-+ -a « —»—<*>

n

= e —v= e

/. J exdx = e 9 es convergente

f |jc |e _r rfx

J-ÚO

Solución -+ar 2 fO 2 fl+00 2 1*0 2 /‘+OD 2 |x | e * d x = | \x\e~x dx+\ \x\e~x dx = \ %-xe x dx+\ xe~x dx Joo J-ao Jo Jo

= lim f - x e x2dx+ lim f xe X d x = lim —— a~~*~oo Ja

Jj-h»+odJo

íí-»-oc.

2

lim - — f

0 b~*+uD

4 [ lim ( l - e -°2) - lim (e~bl -1)] = I [ ( l - 0 ) - ( 0 - l ) ] = l 2 o-»-«. 6-*+oc 2 -4-00

J

I | jc| e? 'rfx = 1 es convergente.

J a

2

454


e ax cos(fot), a > 0 Solución r+v ~ rB | e ax cos( bx)dx= lim | e ax eos(bx)dx JO 0 -+ + V Jo Calculando la integral J e~ax cos(bx)dx por partes:

J e ax eos(bx)dx

e ~ ax (b sen bx -

a eos fot)

a +b

f*"e -“ cos(fa)A= lim f e " co sita)* = lim

Jo

6>-»+«? Jo

6 -t+tx,Q + b

r -aB í^sen b 6 - a cos b6) a ■ lim [e . ---------- — —--------------- + — ------ o->+<* a +b~ a +b~ n

a

a

a~1 + bu1 ~ a~1 +bu? -+0C. ^

I Jo

4.3

e

Q

cos(bx)dx = —----- es convergente a~+b~

INTEGRALES IMPROPIAS CON LIMITES FINITOS.a)

DEFINICION.-

Si

f: [a,b> ----- >• R es una función continua eri [a,b>,

entonces a la integral impropia J f(x )d x definiremos por:

/ ( x ^ d x - l m j f(x)dx É >(¡J« Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario se dice que es divergente.

455

Integrales Impropias b)

DEFINICION.-

Si

f:
Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario se dice que es divergente. c)

DEFINICION.-

Si f: [a,b] -> R es una función continua en [a,b]excepto en x = c donde a < c < b, entonces a la integral impropia

definiremos por:

f f(x)dx= f f(x)dx+ [f(x)dx =¡im f f[x)dx+lim í f(x)dx Ja Je *0Ja e ~ >0 J e + e

Ja

e

Si las integrales impropias f f(x)d x y f f(x)dx son convergentes, entonces Ja

la integral impropia

Je

f(x)dx es convergente, en caso contrario se dice que es Ja

divergente. Ejemplo.- Determinar si las siguientes integrales impropias es convergente divergente.

©

í '- r = Solución f 1A1 - = lim í = l i m - l ^ l - x / * =-2 h m ( 4 ^ - 1) = -2(0-1) = 2 Jo ^¡\ _ x y-*UJo ^¡l~X «~>0 ff_>0

-y:— =2 es convergente.

o


456

Solución f 2^ É L = H m í 2 4 ^

= lim 2->/x-I[ -

1)3 + 3(jc- l ) 3/2+ x ] /

= //ra[— ~ J c ( - + 3 e i n +17e] = — e-»o 7 7 7 r2 jc3rfx 72 j - ^ = = = — es convergente

^

ji ln(2 + Vx) -dx Solución

r1 ln(2 +V*) ,

f° ln(2 +Vx)

J - . - w _ * =k _

r1 ln(2+V*)

s r - ‘fa+J'>_

e— ► O*-1

5 r - ' fa

% * e->0Jo+e

xIy

= //TO »o3 ¿2ln ( 2 + V r ) ( ^ y - 4 ) -4i ^ J + W ]7/ 71 + lim 3 [-ln(2 + V T )(V ? - 4) - 1 V ? + V* ] / ' f->o 2 4 /* = 3(|[ln2(0 - 4) - 0] - |[ l n ( l - 4) -1 (1 - 4)]) + 3(|[ln3(l - 4) 2 2 4 2 - 7

4

O -4 )] ■-1 [ln 2(0 - 4) - 1 (0 - 0)]) = ~ ln 3 2 4 2

+V * )
457


4A

CRITERIOS PARA LA CO NVERGENCIA DE INTEG RALES IM PROPIAS.“

4.4.1

CRITERIO DE COMPARACIONConsideremos dos funciones f y g tales que

0 < g(x) < f{x)

V x e [ a,b > y

además integrable en [a,t>, V t e [a,b>, entonces:

4,42

i)

Si J / {x)dx es convergente, entonces J g(x)dx es convergente

ii)

Si í g(x)dx es divergente, entonces f f(x)dx es divergente. Ja

CRITERIOS DE CONVERGÉNCIA PARA FUNCIONES DlSCCWTINUASwSea f : [a,b]-----> R una función continua en [a,b] excepto en el punto x = c; si f(x)>0 y lim f ( x ) \ x - c \ m= A X~*C

donde A * 0 , +a> en este caso a la función

f(x) lo aproximemos a f( x ) ------ ---/ \ fn ( x-c)

cuando x —» c,

entonces la integral

impropia J / ( jc)í/x .

i)

4.43

Es convergente cuando m < 1.

ii)

CRITERIO DE CÓJWERGENCIA INTEGRACION ES INIEIN IT^

Es divergente cuando m > 1.

CUANDO

UN

Sea f: -----> R una función continua en a < x < lim f(x )jc m = A , donde A * 0, +*>

.r— >-*-«•'

aproximamos a f ( x ) ------ cuando x

i)

Es convergente si m > 1.

LIMITE

DE

+oo, si f(x) > 0 y

en este caso a la función f(x) los

oo entonces la integral impropia.

ii)

Es divergente si m < 1.


458

Determinar sí las integrales impropias son convergentes o divergentes.

Ejemplos.-

©

dx í

x 3 + x 22 Solución

r *r/ {¡x f ' a dx I —-----—< | — , V x e [1 ,+oo>, como la integral. x 3 + x 2 Jl x3

f *' —xdx3 = —41 es convergente, entonces el criterio de comparación se tiene a la integral J*1+£° —V -4dx- V2— es convergente. ©

+00 _ e x senx dx

r

Solución

7

r oo

^+00

e~x sen x~ dx , como la integral Jo

J »+oo

e~xdx = 1 es convergente, entonces por el criterio de comparación se tiene que la o

f *e 1

©

i

2

sen jc de es convergente.

dx

Vx2 +3x Solución

dx dx f1 dx 7 —-----r < I —— V x e <0,11, como la integral | —¡= = 2 es convergente, por » V r2 +3x Jo V* h Vx a

J

lo 'anto

dx r ____ es convergente por el criterio de comparación. V x 2 +3x


©

r 1

459

— * 2x +S x 2 +1 +4 Solución

A la función dada los expresaremos así: _1_ 2

f( x )

i 2x + S x 2 +1 + 4

1 \ 4 2jc3 +(1 + — )3 + x2 X3

cuando x

+oo, el denominador tiende a 1.

1 A 2 Luego f ( x ) — ——= ---- de donde A = 1, m = — x 2n x m 3 Luego por el criterio c) de la convergencia resulta que

f+tt> dx I ------- . ---- es 31 2 * + \x 2 +1 +4

divergente.

©

dx fJi jl¡x r + 2ilx +x i

Tr

» >b >° Solución

A la función lo expresaremos así: / ( * ) = —= --- 77=----—= —777"(—TTñ— "— tttt) lfc+ 2tfc+ x3

x 1' 4 x

+2+x

esta función es discontinua en

x = 0 y cuando x —>0 a la función f(x) lo aproximamos. f ( x ) ----- = 2x

de donde A= —, m = —< 1 . x" 2 4

Luego por el criterio b) de la convergencia se tiene que la integral impropia rb dx i — ----- —— r- es convergente. Ji v r + 2 ^ + x 3


460

©

r*

Hallar el valor de k para que la integral impropia

fcx (—-------------- )dx sea

Jo x +1

2x4-1

convergente. Luego hallar el valorSolución de la integral. r

(- £ --------— ) * = l m |* < - £ ------- — ) * je +1 2jc + 16-*+ocJo y +1 2x + l /i«i¿lnU2 +l|~In|2jc+l|)/

b-++oo 2

2

= ft. I in íiílilíl) /* = 1

fc-»+œ2

2x + 1

0

2 *-»+»

2b+1

este limite existe cuando b->+oo sí fr= — 2 r * , fct i %J i , r f . ( t 2 + d 1/2, i , , i x i, „ (—------- )dx = —Lnf lim -------------- ---- 1 = —ln(—) = — ln2 Jo V + l 2x +\ 2 W oo 2b+\ 2 2 2

(7 ) w

Hallar el valor de a y b de tal manera que la integra] f ( - - +° -\)d x = 1 Jo x(2x + a) Solución A la integral dada lo expresaremos en la forma:

461


la integral impropia es convergente solo cuando dentro del argumento del logaritmo el numerador y denominador sus exponentes son iguales, es decir: a —b + 2 = 2 de donde a = b.

| lim ln(— - — - ) ] / = 1 => 2 b~*+oc (2x+a)~ 1

lim — — — — ) -ln(— ^— )2 h^ * ( 2 b + a V 2+a

ln(

lim (ln— - — - - l n -----í— -) = 2 (2b + a) (2 + a)

=2

ln—-ln(—í—)2 =2 => ln ^ + a^ = 2 . aplicando logaritmo neperiano 4 2+a 4 (^ + a )2 = e1 => ^ +fl = e => a = 2e —2 de donde b = 2e —2 2 2 4.4.4

EJERCICIOS PROPUESTOS.-

I.

Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias. i

©

Conv. 2

©

#■+30 xe Xdx >0

J

Rpta.

Conv.

©

Jfe*dx Ihx>

Rpta.

Conv. e

©

r+ct l^lnjjc dx

J

Rpta.

Div.

©

r u dx *1 JC(JC+ 1)

Rpta.

Conv. Ln2

Rpta.

J

1

462

Eduardo Espinoza Ramos x dx

©

í

®

f* arctgx dx

®

fJl T (aT +x r h)

Rpta.

Conv.

Rpta.

n Conv. y - 1

Rpta.

1 Conv. ---- 6(a-+ l):

Rpta.

Conv. 2

Rpta.

Conv. 100

Rpta.

Conv.

Rpta.

Conv.

© ' dx

5)

i 47

s>

f

a)

r

dx rior

e

sen bx dx

5)

r ^ r

S)

í°

Conv.

dx r * arctgx 1+x2

Rpta.

Conv.

E l*

Rpta.

Conv.

i

x1e ' xdx

2n 3^3

Rpta.

g)

®

dx x ln 2 *

a 2 +,0» 2

lna K

Rpta. Conv. — ^ 27


463

Rpta. Conv.

©

Rpta. Conv. l - e

{ V - '* dx

©

r'0

(X2 +a2)(x2 +b2)

Rpta. Conv. t H

3^5/2

í

18

dx

fi ; ( x z ~6x) í

r

•dr

3-^/3 18

Rpta. Div.

3VxT (x -1 ); dx

©

Rpta. Conv.

3/2

-2x -1

©

n 2ab(a + b)

Rpta. Conv.

x dx

©

18

Rpta. Conv. ln

xy¡l +x ‘

_ 1 7T Rpta. Conv. —+— V 2 4

©

r

i+ x

©

f

xV

(28)

J

xcoshx dx

© r:T

x dx

+x

Va4 +1+1 a

'^

jc

Rpta. Div.

Rpta. Div. n Rpta. Conv. —

Rpta. Conv. 1


©

J— 06

P \x \e 1,1dx

Rpta. Conv.

1

©

f+a> dx I — ----J-°° 4x +1

_ ^ _ Rpta. Conv.

n — 2

Rpta. Conv.

n

Rpta. Conv.

2

© © ©

©

r f

J—00

II.

e~Mdx

dx I —---------J-00 x + 4x+9

_ . „ n Rpta. Conv. —= V5

r+m 2x dx I —-----J-00(x +1)

Rpta. Div.

dx — ----- — (x2 +1)2

© ©

00 dx —---------x + 2x + 2

„ n Rpta. Conv. — 2

p _ ld x _

Jo

£

K

2

Determinar la convergencia o divergencias de las siguientes integrales impropias.

©

f x~2ndx J-8

Rpta. Conv.

9

©

J-2VÍTT

f° —¿ í

Rpta.Conv.—3

©

f1 , = W l + x -2/3

Rpta. Conv. 2(2^2-1)

©

f4 dx---Jo ^4----x -x 2

Rpta. Conv.

n


©

f ™L J-2X1 2

Rpta. Div.

dx

©

í

© ^

Jo (* ír_1\2' -!)•

í

dx

n

Rpta. Conv. 6

Rpta. Div.

c-s/4—:

© r

4 a ^ :

©

Vjc2 - 9

dr

n Rpta. Conv. y

Rpta. Conv.

dx

f

Rpta. Conv. 2

w ¡¡¡í

r4_ d r Jl xr 2 -- 4 20

©

Rpta. Conv.

(Sx2 -]

*

©

465

x dx

1

Rpta. Div.

Rpta. Conv. fia

S la x -x 1

1

dx

Rpta. Div.

xJ - 5 x 2

©

5 xdx C jT ?

í

»

dx

4*-x2

Rpta. Conv.

Rpta. Conv. IT


466

3> Í * -A =

71

Rpta. Conv. — 2

dx (x -l)(x -3 ) 3

©

Rpta. Div.

dx

Rpta. Conv. — 2

£ dx , a< b -y/íX-flXf)- X)

2l)

(22)

© ^

n . n a 2 ,, e 2 . Rp,a- — “ - T *

2 - ev f - _____ dx

J jclnjc rfr dx

fJO — ir — —1)(jc (x

Rpta. Div.

-8x+15)

dx

@

Rpta. Conv.

i

® r

x dx

, a
x 2dx

®

i()\ - x 2 + l 4 \ - x 2 m2

§>

Rpta. Conv. n

í

¿¡X

I-se n x

® ir a

33tt

Tí Rpta. Conv. — (a + b) 2

Rpta. Conv.

n 3^3

Rpta. Div.

Rpta. Div.

467


® ® III. (7 )

©

rn/4—sec2p x= dx —

I

Jo

V1«*

í

secx dx

J-ní 2

í

— — a/ x jcíjc I) (x + 1)

C ^ 4 —

-^dx 4x

C — 1É L =

f

dx

-------- --------

W

Jo ( x + J x ^ ) 1

(T) w

í Ji

(?) ^

\ S — ~ 1)dx Jl x ' 4 x ^ \

(?)

W

Rpta.

2

.

Div.

f

Rpta.

Rpta.

= =■

V 2 x 2 - 4 jt- 6

Conv. I

Rpta.

Div.

Rpta. Rpta-

Conv. —

Rpta.

Conv.

2

1

1

3

Conv. 1

-R pta. x 24 7 ^ \

.

Conv. ti

Rp,a' COnV- °

©

(Í6)

Conv.

Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.

I

( 4)

_ A

Rpta.

Rpta.

Conv. 0

Rpta.

Div.

^


468

r° (x + 1)dx

_

Rpta.

^ 7T Conv. —

©

J -1V -* 2 - x

©

Jli

i*

dx (x -l)(2 -x )

Rpta.

Conv. n

©

Jrlo

x 3 + l dx

Rpta.

Div.

©

JI»1 x ln(lnx)

r+0°

dx

Rpta.

Div.

©

r+K

dx

Rpta.

Conv. 1

IV.

J«

x(lnx)2

Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias. r+0°

dx

©

J,2

x 4Vl + x 4

©

Jf'i

x 4 +l

©

r+°° r + 3

Rpta.

Conv.

í* Rpta.

Conv.

l dx Jr 4fx 2+ -\

Rpta.

Conv.

©

J•!l sen(x3) r, *

Rpta.

Conv.

©

J

■+oo > | e * 'd x 0

Rpta.

Conv.

©

je

Rpta.

Conv.

©

J«

Rpta.

Conv.

dx

'2

dx x(lnx)3/2 x n dx (x5 + x 3 +2)3

469


©

p ln(jf2 + l ) ^ 1 >1 .V

©

J

®

ru

r1

dx

Rpta. Div.

Rpta. Conv.

% ~xA dx

Rpta. Div.

m

1 4x^+1

©

-£

r * c n x dx '1

©

X

r fJ xarctgjf dx

J® r1

Rpta. Conv.

Rpta. Div.

Vl + -t4 x 2dx

©

JI(,^/(1-X2)5

Rpta. Div.

©

p' dx lo ^ _ i

J

Rpta. Conv.

©

Jlt e*enx _ i

Rpta. Conv.

©

p> dx 0 ex - eos .v

J

Rpta. Div.

©

'n' 2 In(secx)dx J° 4x

Rpta. Conv.

©

)dx J0 rsen2(— x

Rpta. Conv.

©

•+y sen x dx J.

Rpta. Conv.

r> 4 x dx

#

470 V.

Eduardo Espinoza Ra»nos Problemas Diversos.

©

Mostrar que la integral J

©

Demostrar que la integral impropia J impropia J

©

a

(1

es convergente para p > 1 y divergente para p < 1.

v(l +x 2) 2dx es convergente y la integral

+ x 2) 1dx es divergente.

Mostrar que la integral impropia

f — —— es convergente sí 0 1.

W Q)

©

Demostrar que:

í

Jo 1 +

Demostrar que: J

jc

= [

e ' dx = 2^

Demostrar que:

í — —— = f arccos x «m

Determinar

valor

un

J

——-j- = —%=

J” 1 + x 4

para

2^2

e~x d x ~ \ { ~ J^ ^ X

x

X dx

n de tal

manera

que la

integral impropia

manera

que la

integral impropia

1 „.

* y, nx1

(—------------- )dx es conveniente. i r ’ +l 3 r + 1

©

Determinar

un

valor

para

k de tal

kx~ 1 sea conveniente v calcule la integral. J. 1(—-------------)d\ i

.i+ l

2.v + l , Rpta. A = 1- , - 1l n, -5 2 4

®

|B * /

Determinar el valor de n para que la integral impropia

^

3 Rpta. n = —

^

(----------- —— )dx sea

jc + l convergente.

4

2x~ + n

471


®

f +cc

Determinar el valor de k para que la integral impropia

Jo

convergente y calcular la integral.

Rpta.

k

1

(—,--------- -------- )dx sea ^ ¡2 ^

1 ¿=-^=r,

¡

* + 1

3 - ^ - ln2

r+u dx r+a dx Para que valores de k convergen las integrales I —------y | -------- — x k lnx Rpta.

®

Hallar el valor de la integral impropia:

* (ln x )*

* Para k > 1 converge y k < 1 Div.

Determinar el valor de k para la integral impropia convergente y calcular la integral.

J2

Rpta.

k c (— --------------- )dx sea Ji 2x +2c x + 1

k = 1, —ln 2 2

r+oc 1 cc (. --------- )dx. Jo -J\ + ax2 * +1 Rpta. « = — -sla

— ^=ln2*yfa -sja

©

®

r +QC _ 2

' J ti

Sabiendo que: J é~* dx = —^~ (integral de Poisson) calcular las integrales impropias siguientes: a)

f Jo

e 0x2d x , a > 0

>g x b)

Rpta.

— Rpta. V/T

—= d x

J<> 4 x J **■(/.■ ^

j x~e * dx

o Sabiendo que: impropias.

Rpta.

4

sen x tí ---- —dx = — (integral de Dirichlet) calcular las siguientes J<» x 2

472

Eduardo Espinoza Ramos .

a)

f+0° sen 2x , ------ dx Jo x f

Jo

sen

_ .

ax ^

Rpta.

jc

sen sen2 jix dx J.++“oc-----7 o

n 2

R pta. —

— Sí a >

2

_

2

sí a <

7r 4

e)

_ n Rpta* T4

0

f+00 sen ax. eos bx dx n , „ , a > 0, b > 0 Jo x

„

Rpta. —

rc . . n . si a > b, — si a = b, o si a < b 2 4

®

Pruebe que la integral

(n )

Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales:

(l8)

c°° sen jc ------ dx es convergente. Ji x

r ^ f d x x 3/2

b)

r ^ d x

JO J x

Estudiar con detalle si la integral dada converge o diverge J —= x (cosG -e ) 1 conociendo que 0 = n y v = In e*.

®

0.

X

r+tcsen4 x d x L — xi— Jo

Jl

o sí a =

n

Rpta. —

a)

0

R p ta. —

r+*sen3 x d x Jo x

d)

0, — —

Hallar los valores de a y b de tal manera que la integral

r

20)

Hallar £ x ne xdx, ( n e Z +)

21)

Evaluar I x 3e *dx

r°° 2x 2 + b + a (---------------- 1)dx = 1. x(2x + a)


22)

( 23 )

Calcular

473

r x 2e , dx

Jo

Analizarla convergencia o divergencia de la integral J|

( 2 r - l) x 2í/.r — *)J

4.5

APLICACIONES DE LA INTEGRAL IMPROPIA.»

4.5.1

AREAS DE REGIONES Y VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION.-

©

Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de agnesi v =

X' + X'

, y el eje

de abscisas. Solución La eráfica de la curva es: Como la gráfica es simétrica con respecto al eje Y se tiene:

A(R) = 2 Í y d x = 2 Í ' “ - dx Jo Jo x 2 +a 2

y * A(R) = 2a? Itr/i í X /,_«J»

2a 3 //w(arctg-----arctg0) = 2a3 arctg(x) *^ a

- - 2 a 3 lint arete—/ +fl2 ~ a '"

A ( R ) - a 3n u 1

Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y 2 = —---- y su asíntota x = 2 2a-x (a> 0). Solución La gráfica de la cisoide es:

474

Eduardo Espinoza Ramos Como la gráfica de la cisoide es simétrica con respecto al eje X se tiene A(R) = l { 2vdx = 2 Í2\ L ^ — dx Jo Jo y 2a —k Como la función es discontinua en x = 2a entonces fia h I VA(R) = 2 i i r t i I \'l~ ---- ~dx ► Jo V2 a - x Calculando la integral

Sea a' = z 2 => dx = 2zdz =A±

í- <^

' ' , = í x^2 a= - z r2 =2í y¡2 a -z2

sen6

0 = arcsenH ^-) 42a dz = eos 0 dO

=

4a 1

sen4O.^fla eos0 d6 la eos6

=8o2Jsen40 dU =l a 2(—— sen20 + sen 40-) Cambiando los límites de integración se tiene: i f" ‘ I x .-»,30 scn40v ,n,i A(R) = 1 hm xJ-z-dx = la (— -s e n 20 + — -— ) / , »o Jo \ la - x 1 X i4(R) = 3o ’n u2

- (1)

475


©

Calcular el área de la región limitada por las curvas y =

2\x\ l +x ‘

-, v =

4|-v| 1+ x A

Solución

6|X| 1 + Jt

A(R) =

1+ X

■'““’l+JC

r» 6 1jc| J e** 61jc| . ,r° 2\x\ . , r a 2 |x| . 1 dx+ — --■ 7 dx —31 —'—^dx+2\ --dx

' J 1+ X

" 1+ X

1+ X

«">

1+

,r° 2x dx r62x dx , , ■> /> ■lini - 3 1 ------ —— + 3 lirn I ------- — ■= - 3 lim arctg.v / + 3 1+ ( * ¥ a~*~oo

, /> lim arctg.v / ’ a 6->+oc*0

= -3 //w (0-arctgcr)+3 /ww (arctgft2 -0)=-3(-arctg(oo)) + 3arctg(oo) = — + — tí— b—H-tx2 2 A(R) = 3n u 1 (7 )

Hallar el área de la región comprendida entre las curvas xy = 1, y = —^ — , a la +1 derecha de la recta x = 1. Solución Ubiquemos la región entre las curvas


476

A R 1 -(iln ílu 1

©

Calcular el ¿rea de la región R comprendida entre la curva y = xe

2 y su asíntota.

Solución

-

7

X

Calculando la asíntota: y = xe x “ = —;— , cuando x —> ±oo, y = 0 x*i 2 Luego y = 0 es la única asíntota. Ahora graficando la curva se tiene:

Se observa que la gráfica es simétrica con respecto al origen.


477

A{R) = A, + A1 = 2Aj = 2 f y dx = 2 lim

[ xe ' ' 2dx = 2 //#« - e h-**-r-f Jl) h-*-j

Jll

lim (e 1,1,2 h

' 12

/*

’O

- l ) = -2 (0 -l) = 2

/. A(R) = 2u2

©

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por las lineas y = e A, x = 0 e y = 0 alrededor del eje X.

Í

n

_f o_

y d x = n \ e xdx

V = ti lim f e 2xdx o ■> f j - f.

2-T

,

e i» K ~ tt lim ---- / «— »t 2

©

Determinar el volumen de revolución engendrado al Girar la curva

3 jc

y=— jc

alrededor del eje X. Solución

x dx

+3

478


V - 1S7T lint (---- arctg -^L) t h^ 2 ( x 2 +3) 2v3

^/3 /o

K = 18tí lim (---- — + —^=arclg-“ =r) = 18^(0 + - ^ -= (—)) * 2 ( / r +3) 2^/3 ^3 2^3 2

i/ K =

? * ---- 7T~W 2

Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide

y2 =

x 2a - x

alrededor de su asíntota x = 2a. Solución Aplicando el método de la corteza cilindrica se tiene: F = 2 n [(2 a -x ) v dx JO

c-a x4x V = 2U \ (2a - x ) - ¿ = ^ = d x Jo V2a - x V = 211 f ( x ^ 2 a x - x 2 )dx jo

V = 2 a 'n 2 i/3 ®

Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la curva x +xy2 - y = 0 , alrededor de su asintota vertical. Solución Determinaremos >’ =

la asintota

vertical,

para

esto despejamos

y es

decir:

1±-v/l-4.v 2x

Luego su asintota vertical es x = 0 (eje Y) por lo tanto la curva gira alrededor del eje y Y entonces despejamos x: x =----- -. 1 + v“

479

Integrales Impropias Aplicando la simetría se tiene:

v = 2 u [ ' x 2d v = 2 n í v y (i¡ , Jo Jo (1 + y )

*■

y = 2 n Um

f*

y ~ dy

0 + V 2)2 u= y Sean

rfv =

du = dy

V dy

v=

-1 20+v-.)

I

v~dv

I1 — + —arctgy \ 2

(1 + V” )"

. . . ( 2)

reemplazando (2) en (1 ) se tiene: V

1

(! + >•")

2

V=2U lint im (--------------------------------- 1——+—arctg y) / = 2 n lint (-------— + —arctg¿>) fe— ♦+*

©

/n

2(1+ Z r )

2

Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la curva rv2 = 9a2(3a - jc) , a > 0 alrededor de su asíntota vertical. Solución En primer lugar determinaremos su asíntota vertical para esto despejamos y es decir y = ±3a j ———. Luego su asíntota vertical es x = 0 (eje Y); ahora haremos la gráfica x correspondiente.

480

Eduardo Espinoza Ramos Como gira alrededor del eje Y aplicaremos el método de la corteza cilindrica y como es simétrica con respecto al eje X, se tiene:

V = 2 [ 2 n j ^ a x 3a

n f1" *

=lH

3a-x

dx]

¡3a -x dx xi ~ r

La función es discontinua en x = 0, entonces 3o —x —d x . Calculando la integral y tomando él limite. J* x J/-----

* V jc

0 4.5.2 ©

V = - a 3n 2 u 3

PROBLEMAS PROPUESTOS.* Hallar el ¿rea de la figura comprendida entre la curva y = -^ -, el eje OX y la recta x = l (x > 1).

©

Rpta. I «

64 Calcular el ¿rea de la región limitada por la gráfica y = —------ y su asíntota. jc“ +16 Rpta. 16/r

u~

Calcular el ¿rea de la región comprendida entre la curva y = e ,v 11 y el eje X. Rpta. 2 u 2 Calcular el área de la superficie limitada superiormente por xy = 1, inferiormente por vx2 + y - x = 0 , y a la izquierda por x = 1.

Rpta. (ln a/2 )u 2


481

Calcular el ¿rea de la figura limitada por la curva y 2(x2 + 4) = 4x2 , sus asíntotas y sus ejes.

Rpta.

8 ir 4

(ó )

Calcular el ¿rea de la región limitada por la curva y2 - - * —- , y = 0 y sus asíntotas 4~x~ verticales.

Qj}

Rpta.

Calcular el área de la región limitada por la curva " asíntotas verticales.

^8)

Rpta.

2Y\ u 2

y 2 = — -— , y = 0 y sus jc(1 —jc) U u2

Encontrar el área de la curva y 2( a - x ) = x 2(a + jc) y su asíntota. Rpta. (-y+ 2

)a2 u 2

Determinar el área de la región limitada por las curvas x(y - 1) = 1, a'2(>’-1) + y - * - J * ubicada a la derecha de la recta x = l .

no)

Rpta.

Hallar el área de la región, no acotada, limitada por la curva y 2 -

(—ln2)w2 2

* - , por sus 1 Hh AT~

asíntotas y el eje Y.

(l^

Rpta.

2 u2

Encontrar el área de la región limitada por curva y2 = X^X 2a -x n

(a>0).

y por su asíntota

n +4 •)

Rpta. -----

a~ u~

2

Q i)

Hallar el área de la región limitada por la curva y2 = — — y sus asíntotas. "

x~ - 1

482


^ 3 ) Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y = arctg x, 2y = n , x = 0. Rpta. no existe ^ 4)

Hallar el área de la región limitada por los gráficos y = sech x y su asintota. 71 ?

Rpta. —i r

Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje x. la región comprendida entre la curva y = ] - , x > 1, y = 0. Jlf Rpta.

3n

w3

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la linea y = e x , x = 0 e y = 0 alrededor del eje Y. W

La curva

xy~

= 4a~(2a-x) gira alrededor de su asintota, ¿Cuál es el volumen

generado?. (l8)

Rpta. 2n m3

Rpta. 4a3n 3 u 3

Calcular el volumen del sólido generado al hacer rotar la región comprendida entre la curva x + xy2 = y , y su asintota vertical y gira alrededor de su asintota vertical. 2 Rpta. ^ - f / 3

^ 9)

Calcular el volumen generado obtenido al hacer girar la región comprendida entre la curva y = ——— y su asintota donde el eje de rotación es el eje X. x~ +2 1

Rpta. ( 2^)

«

Calcular el volumen del sólido generado al hacer rotar la región comprendida entre las 1 x curvas y = —,y = —^ , y que se encuentre a la derecha de la recta x = 1 y rota x * x~+l alrededor del eje X.

Rpta.

K n u3

483

Integrales Impropias @

Hallar si existe el volumen del sólido de revolución obtenida al girar la región x2 -1 comprendida entre la curva y = —-----, y su asíntota, alrededor de la recta y = 1. x~ +1 Rpta. 2 n

2 u3

( 22 )

Hallar el volumen obtenido al girar alrededor del eje X, la región situada encima del _$ 1114 eje X y limitada por la curva (x - 4)y 2 = x(x - 3). Rpta. ------------u Jff

( 23 )

La región limitada por la gráfica de y = e * , x > 0 y por sus asintota, rota alrededor del eje de coordenadas, calcular el volumen del sólido.

( 24 )

Rpta. ÍT u 3

Calcular el volumen del sólido generado al girar la región comprendida entre la curva xy2 =9a 2( 3 a - x ) , (a > 0) y su asintota gira alrededor del eje Y. Rpta. ^ ~ a 3Yl2 u 3

En esta sección estudiaremos las funciones conocidas como la función Gamma y Beta que se denota por F(x) y B(m,n) y son definidas en términos que una integral impropia.

4.41

D E F IN IC IO N

La función Gamma es una integral paramétrica definida por:

Esta integral es convergente para x > 0.

4.& h i°

l

r(x + i ) = xr(x), v x > -i Demostración

484

Eduardo Espinoza Ramos Por definición de función Gamma se tiene: F ( a + 1)=

f

"du = lim f u xe Udu , integrando por partes

le 11du = r

Jo

Jo

Jo

W—14

dw = xu * ldu

dv = e~“du

v--e

r(x + l)= lim [~u*e u ¡ ! + a Í ux {e “du] = 0 + x lim f w le 14du *U

Jo

/?->+« J()

f(x + 1) = x r(x)

= jcf u x~le " d u = x\r(x) Jo 2o

r(n + l) = n!

VweZ Demostración

Aplicando repetidas veces la propiedad 1. T(n + 1) = n T(n) = n(n—1) T(n—1) = n(n - 1)(n - 2) T(n - 2) = n(n - 1 )(n - 2).. .3.2.1 T{1) T(n+ 1) = n! V w e Z

OBSERVACION.-

T(1) = f u'~le “ du = f e Jo

Jo

du = 1

n i)= i

i> - * 4 La demostración de esta propiedad está en el libro de Transformada de Laplace en forma detallada.

integrales Impropias

485

Ejemplos de aplicación.-

Sol ución Por definición de la función Gamma se tiene: r(jt) = f u X~xe Ud u , de donde Jo

r ( j ) = JT u1 'e "du = JT u hl- e " d u

Sea u - x 2 => du = 2x dx Para x = 0, u = 0 y cuando x —>

u —» qo

r

n - ) = x V T" 2x dx = 2 f° e **dx = 2 — = j ñ 2 Jo Jo 2 ©

Calcular la integral Jj 4 x e Xdx Solución

r J x e *dx = r X1':V ' d r = f x * V xdr = Y ¿ ) = r ( l + i ) = { r ¿ ) = ^ Jo Jo Jo 2 2 2 2 2

©


x Ae x dx Solución

Por definición de la función Gamma. T( a )

= Jj

Sea u= x 2 => x = u1' 2 => ¿ r = —w"lf2dw 2

Para x = 0, u = 0, x -> *>, u -» oo, entonces

u

x ~ l

e u du


486

f x 4e Jo

d x = \ (x2)2e x d x - í u2e u —u Jo Jo 2

1/2

da

= - f u 3lle ud u = - [ u 2~Xe " du 2 Jo 2 Jo

=\2 T2(|)=2 i (4)


|

:r o + | ) = | r ¿ ) = ~ r (i+ i) = | r ¿ ) = ^ 2

4

2

4

2 8 2

x*‘2e ^Xdx Solución

o

n

U

,

Sea u = 9x => x = — 9

dU

dx = — 9

Para x = 0, u —»0, x -> *>, u -» oo r 3/7 w , I ' '*

r w 3/2

du 1 r 7 1 T =2 4 3 Í."‘ * " "

1 r A » - ! - .¿ r A = - i- .I r ( I , = ^

243

2

Calcular la integral J V* e

243 2

2

162 2

¿y Solución

1/3

w -2/3

Sea u= 8x3 => x = ----- => rfr = -------<&/ Para x = 0, u = 0 para x -> oc, u -* »

2

324

8

487


©

r1 dx 1 V~31njc / ...... Solución

r1 dx _ _ L | r1 dx V—3 In v ’«>S - l n x ln X = -u => A"= t* “

Sea u = -lnx

Para x = 0, u —>X, x = U u = 0 r1

dx

-s/- 3 lllJC

r ° -e Udu =— 1 =— r

i r t ■ =v p ." 'f ©


n i» ^ ‘"“ i r ’ s

i¡r ’ i j

7 4x rfv Solución

7 4’-: = c ta7" ,S = *< 41n7,‘: = - ¿ = e 2Vln7 f

7

4,J rfv = f e ( 4,n7,v' d x = —

J*)

OBSERVACION.-

« = 2 -7 ^ 7 *

¡ = [ e "~du = —

2Vfn7Jo

En la definición de la función Gamma T(jt)= f ux le Udu , Jo haremos las siguientes sustituciones tenemos:

1°) Si se sustituye t - e ~ H => - d t = e ,4du f =e

4-Jln7

=>lnt = -u => w = - l n f = l n /


488

para u = O, t = 1. u -* x. t -* 0. n .r)= f u x le "du = f [ l n ( - ) ] x l( - * ) = f ' (ln(—))* 1dt = f '( ln(—)) r 1í/m Jo

es decir:

Ji

í

Jo

t

Jo

ti

r(jr) = f [ln(—)]**0. Jo

u

2o) Para a >0. u = i a => du=atu ldi para u = 0, t = 0, u = 1, t = 1 r(.í) = ¿ [ l n ( i ) r 1<** = ||[ln(^-)]‘ xa t“ ldt = j W V ] A xa J - ldt

= í 'a ' '( l n í V ^ o i " ldt = a' í'[ln(-)]v V ldt. x > 0 Jo t Jw t Ejemplos de aplicación. Q

Calcular que: Solución r(.í) = c/’ j j l n ( i ) ] * V l dl

=

= ^¡2ñ

489


©

Demostrar que f [— -— ]l 2 dt Jo In(l //)

V3 Solución 1 . 3

¡ \ — -— ]li2dl = ftln í-)]“1' 2/1' 2^ = f[ln (-)]2 ' / 2 'dt JoMnfl//) Jo1 , Jo1 t

como

=> x = - , a = 2 2

r (x )= flt | ‘[ l n ( V 1í í'-,rf/ => r(I) = J |j[[liK Í)]-I,2/ ,/2rf/

[ln(~)] 112/ 1' 2d t , de donde tenemos:

/ 14.6.1.2 EJERCICIOS DESARROLLADOS^

2

2

Solución Sea r = x 2 => dz = 2x dx => dx = — = 2jc 2rl/2 Si x = 0, z = 0 y si x->oo, z->ao fv

•,

íkc

i

* rj

f jr^-jrdr=r z * * e x ~-- dz =- \ z Jo Jo 2 2 Jo

£ _ }_

i

*oo

ü li ]

r ^ e - '‘* = I r (£ i l )

Jo

®

Demostrar que:

2

fi

2

/—1)”/í!

J x w(lnx)ndx = — ——

i

n + l

f r 2 e-2
2 e zd z = -

we Z , m > - l

490

Eduardo Espinoza Ramos Solución Sea ln x = -u => jc = e lt => dx = -e " du Si x —» 0, => u —>00; s i x —>1 => u £.vm(ln x f d

x

0

= j ' e “ (-w)"(-e“rf«) =

(-rfw)

Sea (m + l)u = z => du = w+1 Cuando u = 0, z = 0, £

1

u —

z

00

" (ln.v)” d x = £ (-1)" « V ^ 1"' (-di/) = (-1)" £ w 'V 0"*0" (-<*<) t fií—n ” J.« (—-—)"e~z —— - = w + 1 (wj + 1)' 0 TO+ 1

(-D n

m+ 1

ím + 1)

r ,(„+iH e-v . = (~i)"r(w+i) = (-i)w»!

( w + l)n+1 J0 ’

®

rv , f :"e Zdz Jo

"

(W!+1)"+1

(ra + l)BTl

Calcular jj x me ux d x , m, n, a > 0 Solución v.

Hacemos u - ax

n

Si x = 0, u = 0; x

=> to

ti

jc

=>

M

= — => a u -> 00

jc=

yW . | yjj

(—) a

,

1 / W.

=> dx = —(—) na

dlí

— a


491

1

©

Demoslra islrar que: T(/?) —2 f

V

Jo

m

e

a*2"

ti\~

^ y-y dx -------- f ( ------) IW -—1 n na i

[e ' dx Solución

Por definición fin n «)= f V '<•"du Jo

2í

Jo

x 2” [c

1 dx

~

f a 2"

Jo

e

1 2a dx = f {v2)" 1e Jo

2x dx

Sea m = v2 => du - 2x dx Si x = í) => u —>0; si x —>oc, u -> x

2 I V " V vV a = Í V Jo

Jo

^ V/./ = n /i)

i por lo lanío r(//)= 2 f j X 2« If -v“«A' Jo

4.6.2

DEFINICION.-

A la función B : R xR ------>R . definida por la integral

donde m > l). n > 0 se denomina función Beta. 4.6.2, l

©

PR O PIED A D ES D E LA FUNCION BETA**

B(m,n) = B(njn) Demostración Por definición de función Beia se tiene: B(nun) = f //" 1(1 -//)" 1du Jo

492


Sea z = 1—u => d/ = -du, además cuando

[// = 0, z = \ 1/ = U r = 0

B(m.n)= JV" ‘(l-M)" 1du = — J*”r" 1(1 - r)'" 'ífc = j|-" '(1-=)"' 'd= = B(n, ni)

Y(m)Y(fi) r(m-rii) Demostración La demostración en detalle de esla propiedad se hace con transformada de Laplace y el teorema de Convolucion y está desarrollado en mi libro de Transformada de Laplace.

®

r

2

7 „f

sen "

i

¿a 1 L>, r (w)rí//) 0 eos 2« 1 nO dO =— B(iu ni)V= ------------

Jo

2

2 r{m + //)

Demostración De la propiedad (2) se tiene:

B(mji) = f u m 1(1 -u)" 1du = ^ Jo f (m + n)

Sea r = eos2 0 => dz - - 2 eos0 sen 0 dO => sen QcosOdO = - ^ -

Cuando 0 = 0, z = l ; 0 - — . z = 0

í

Jo

sen2m 10 eos2" 1 6 d6 = í

Jo

sen2™2 0 eos2" 2 tf.sen0 eos0 dO

= r 2(l-c o s20)w 1(eos2 @)n 1 sen0 eos0 dO Jo

= - i | " ( l - r ) " - 1r" 1 x nw )r(H) = —B(n, m) =-----------2 2T (ni+ »)

=

l =" 'dz

493

I n te g r a le s I m p r o p ia s

EJEMPLOS APLICATIVOS^ Calcular las siguientes integrales

Solución

|V ( 1 - x f d x = f x61 (1- x f ~ l dx = 5(6,9) Jo Jo r(6)r(9) T(6+9)

r(6)r(9) T(15)

5! .8! 5! .8! 14! “ 81.9.10.11.12.13.14

1.2.3.4.5 _ 1 1 ~ 9.10.11.12.13.14 ~ 9.11.13.14 “ 18018 (T )

sen8 x dx Solución

494


J

sen6 6 eos6 6 d6 Solución

í Jo

sen2™ 16 eos2” 1 6 dO = —B(m,n) 2

7 ( 2m-l = 6 2

t* -'-«

3

J 7 ._ 7 .

f'2sen6©eos66

Jo

dG

=-£(-,-) 2 2 2

--—4^ =-(-)2 (-)2 (-)2 — 7 2 2 2 2 6!

2 _ ,7

1 I---1---) 2 r

225 n 32 1.2.3.4.5

(7 )

Calcular la integral / =

45n 32.1.2.3.4

15tt 32.8

1 dx -j= x3

Solución Como B(m,n)= í um '( l - w ) ” 1du , entonces Jo 1/3

Z=X

3 -= >

1/1

X~ = =1/3

=> dx = - ----- dz 3

para x = 0, z = 0; para x = 1, z = 1

v = f l- r £ = = í , ( i - * V ' ! * = f 1(i-= ) •» V i-* 1 Jo *

= i f r - J / 3 a - í ) " 1/2*

3 Jo

-

1/2

-2/3 -

= - f 1- 3 1 ( i ——) 2_1 d:

3 Jo

15tt 256


495

1 . 1 r(i )r(í » . 4 " 3 ' 3 - 2 J- 3 1 + I "35 3 2 6 ■ dx - £ V i- x 3"

©

3

r(-) 6

Calcular la integral / = J x4 Solución Sea z = x 4 => x = z1/4 => x

4

r 3/4Jz

Para x = 0, z - 0; para x = 1, z = 1 /= 1 % J o

^ = \ \ \ - x * ) ~ v l dx = [ \ l - z ) - u 2 - z - i,Adz

^

Jo

Jo

7

,

4

4

i r,X >

4 r ( I +i ) 4 2

4

rx¿) 4

Calcular la integral / = J

Solución Sea z = t f x => x = r 4 => rfx = 4z3¿/z Para x = 0, z = 0 y para x = 1, z = 1 / = f'

=

Jo V l - t / x

= f ' ( l - ^ ) " 1'2ííc= fl (l-r )" 1/24r3rfz = 4 f 1r3( l - r ) I/2í/r J"

Jo

J|)


496

1f 4 , R 4 |r ,Í ) =— í - (1 ~ =)2 d: = 45(4,—) 1=4-------------------------------f - . .(1 ) 4 J" 2 r (4 +i>

reemplazando (2) en (1)

j . f1

dx

- 1 F(4)r(2) _ 64 n i ) l^ r (I )

16

®

Calcular la integral / =

2

105

rn ,t/2¡ l ^/sen5 x

Jo

rfjC —l V.eos3 X Solución

Sea r = sen2 jt => dz = 2 sen x eos x dx

64(6) _ 64(2) _ 128 105

35 35


497

Calcular la integral / = J x 5^ a 2 x 2dx Solución Sea x = a sen 0 => dx = a eos 0 d0 n Para x = 0, 0 = 0, para x = a, 6 - —

/ = í x 54 a 2 - x 2dx = í Jo

=a

Jo

i rn/Jo

¿r sen5 6 ^ a 2 - a 2 sen2 0.¿zeos0 rfe

* n t rT/2 -j/iN i 2(—)— i sen 6.cos~ 6 d6 = a sen~( ) éf.cos 2 6 de Jo

7 , 7 r ( 3 ) r ( |) o _ # ( 3 _ ) = f!____ 2 _ o

2

4.6.3

2 r(3+—) 2

7

7

2

r

_ _= _________________ a -\ln

2

n |) 2

“4

| i 1 . ^ ' 105 2 2 2 2

EJERCICIOS PROPUESTOS-

(7)Mostrar que

|

x V 2x dx = ^

( ! ) Mostrar que J x 2e~2x~dx = ~j=-

( 3)

Mostrar que | e 3*x3,2dx

(7 ) ^

Calcular f ^—¡ ^ d x Jo 4 x

©

Calcular

J

e ' dx

_ 8a 7

~36~ Rpta.

Rpta. -1Tr r( -1)


498

©

Calcular

©

Calcular J x 6e~ixdx

Rpta.

C a l c u l a r ( v + l)’ t- ' dx

Rpta. —+ H —) + r ( —)

©

e ^ dx

Verificar que

Rpta. 6 80 243

^ - ~ - d t = T(1 + /» r(l - p ) , |p| < 1 2T{a + \ ) Y [ - b - a - \ ) Rpta. T(-b)

© Calcular f í a (1+ í)hdt Jo Calcular f (lnx)Adx Jo

Rpta. 24

^ 2)

Calcular J (xlnx)l dx

Rpta. -

(Í 3 )

Calcular

Rpta. (-1)"//!

(\nx)nd x n / i e Z

3 128

14)

Calcular [ (In(—))h 2rfx 'o x

Rpta.

( 15)

Calcular f [ln(—)]"1,2rfv Jo x

Rpta. 4 ñ

©

Calcular j '

Rpta.

(17 )

Calcular

f

= fAln(-)

J11 ln.v

^dx

2

3 r¿) R p ta .--------- 4

499


@

Calcular 22r xY{p)T(p +^ ) = 4 ñ T(2p)

©

Demostrar que

(2 ^

Demostrar que | jc(8 .x 3)V3d x J ± Ü n 27

( 22 ) W

1 x J,1dx „ p n Cl dx Calcular f = , q > 0 , — > 0 y deducir el valor de í —¡= J" Vi - JT* 9 Jo Vi -,v 4

'"’"N 23)

ffJf v/J 1 ln v Calcular I 1-------- — ‘ dx JO 1+Jt 1+*

Rpta. -n cosec (p7r). ctiífpir)

[24)

Calcular Jj

Rpta.

( 25)


^

f J" l + .v4

2^2

-^jlgx dx

í Vi —-V4 dx J»

Rpta. —,— 6^¡2n

b,

i 'M

Rpta. |

c)

,*,2 ,_____ i/sen 2x dx

*

Jo

Calcular las siguientes integrales.

Rpta.

^

wn | ce

a)

r<

500


a)

X

dx r Jo l + .v( dx

Rpta.

( - £ = rfr Jo V i - t 4

Rpta.

b)

C)

Rpfa.

X

----- tt dx

/r 3^3 /r

12 r 4 71

Rpta. --------—

" 1+ v 14

5n 14sen—

7

27)

(28)

Calcular

f * J oN^ lr+TVT

Rpta. ± « 1 . 1 , , K ^ 6 6 126] 2 f J 6 3

Calcular las siguientes integrales a)

r 6 i,, \ x e dx + I — — Jo Jo (ln.v)

b)

•v .v3 Adx f — ~

c)

Jo

x + x*

2n 3^2

C

dx -

« ~n Rpta. —=

Jo 1 + x 3

3 ^ /3

d)

C' c~x — ------ d x , a > 0, b > 0 J * acu +b

e)

F U g 4 e + m 1 o de i ---------- -— ----Jo (l + tg(?)4

2n

f1 JC3rf*r„ 80 11!.12! Rpt a. ---- +------243 24! „ Rpta.

Rpta.

„

3-j3a

b 1

Rpta. £(3,1) = 3

501

Integrales Impropias ^ O

f e dx 2k r RPta—t----------------------------------------J« + l\2 “ (eix +1)2 ' 9^/3

@ W

Evaluar ( = = + [' * % J3 V(a - 3 ) ( 7 - a-) J«(lnA)2/5

Rpta. 7r + - ^ r ( - ) ^4 3

©

EvaIuar r

Rpta. _ jl---?í_

^ (m )

J»U -+l>U + l r Demostrar que para todo m > 0 y n > 0 : Probar que:

33) ^

Probar que /?íw+ l,ii) = —— B{nun)* m > 0 , n> 0. m+n

©

Demostrar que:

5

B(m¿) = — , m > 0 m

f x m l { \ - x r )n l dx = —B ( ~ , n ) , m >0, n > 0, r > 0 . Jo r r

Si m.n = 1,2,3,..., probar que:

n ^ (-1 )* kv k0

i Si » / > - —, Demostrar que:

r1 J ^

( 37 ) W

Si 11 > 0, Demostrar que:

H-) = —.— ; ^ " nn --++--> n 2

(38)

Si m > -1, n > -1 y b > a. Demostrar que:

f

1 m +k + l y

x2m== dx

f ( x - a ) m\h —x)n dx = (b - a) fn^n+l B(m +1, // +1)

Ja

5sen —

10

B(m + 1, n) + B(m, n + 1) = B(m,n)

32)

®

4sen—

mi M (w + H+ 1)! 1

T(m + —)

2r(w +i)


502

0
( 40 )

Si n > 1, Probar que:

Si m > 0, n > 0, probar que:

K NCú/»__ n r dx —_fT H./J vC n Jo 1+x" n B(m,n) =

r> x" 1 + ,r"_1 (! + *)’

4.7

INTEGRALES DEFENDIENTE DE UN PARAMETRO.rb La expresión general de una integral dependiente de un parámetro es: I f{ x j)d x que sea nauiralmente una función del parámetro t. F(í)= \bf{x,t)dx Ja

Continuidad de F(t) Si f(x,t) es continua en el dominio cerrado a < x < b, c < t < d. La función F(t) es continua en el intervalo c < t < d Derivación: a)

Caso en que los límites de integración no sean función del parámetro. dF(t) Cb d ( f ( x j ) ) dx f dt - Ja Jo dt

b)

Caso en que los límites de integración sean función del parámetro a=ip(t), b= y(t)

dt

dt

dt

dt

Si solamente fuera uno de los límites función del parámetro, será nulo el término correspondiente a la derivada del otro límite.


503

Los pasos necesarios para resolver algunas integrales por derivación respecto al parámetro. i)

Derivar respecto al parámetro y calcular el valor de la integral a la que da origen dicha derivada.

¡i)

Resolver la ecuación diferencial formada por la derivada respecto al parámetro y el resultado de la parte (i) (calcular el valor de la constante).

iii) Dar al parámetro el valor adecuado para calcular el valor de la integral que nos piden. Ejemplo de Aplicación(¡x Calcular por derivación respecto al parámetro la integral: F(a) = I -----Jo **+5 Solución Derivando respecto al parámetro (a) y calculamos el valor de esta derivada. 2a

Sea - =

d x , calculando la integral

a

a => dx j => x = — =— a- d z. jc ~ z"

Para x = 0, z —>oo; x —>oo, z = 0 dF(a) _ p da Jo

puesto que es la misma integral que la que nos piden.

504

Eduardo Espinoza Ramos dF(a) , Luego tenemos --------- = —2F(a) da Ahora resolvemos esta ecuación diferencial dF(a) _. --------= -2 d a , integrando tenemos F(a) ln ^ Í £ l = _2a => c

=

r dF(a) _r ., -------- = -2 I d a => ln F(a) = -2a + ln c J F (a) J ^

F(a) = ce- *

. . . (1)

c

ahora calculamos el valor de la constante de integración c por la cual damos un valor apropiado a a que nos facilite el cálculo de la integral que nos dan, para nuestro caso identificamos el valor de a, es decir a = 0 y tenemos f e x dx = Jo

2

(ver función

Gamma) f® -x2 FÍO) = c = \ e dx =---- => c ~ ---Jo

2

4ñ

2

ahora damos el valor adecuado para obtener la integral que nos piden, para nuestro caso a = a.

F(a) = f — — l dx =— e~2a

Jo ^«1

©

F ( a ) = — íT2h

2

f1x n -1 Calcular por derivación paramétrica el valor de F(n) = i ------- dx Jo lnx Solución Derivando respecto al parámetro (n) y calculando el valor de la integral. dF(n) = ¡l^ f1a ” lnx d x = ¡ lx ''dx= ^ f = - L dn Jo lnx Jo n +17 0 n + 1


Luego

d/?

505

n+1

, resolviendo esta ecuación diferencial

f dF(tf) = f —— de donde F(n) = ln(n + 1) + c

J

J /7 + 1

F(n) = ln(n + 1) + ln k = In k(n + 1) Haciendo n = 0 sacamos el valor de k, luego la integral que nos dan se hace cero para este valor de n* Luego F(0) = ln k = 0 => k = 1 por lo tanto r

3)

_

sen x

F(n) = ln(n +1) Partiendo de F(a) =

e

el valor de Solución F(a) = l e ax —

d x , derivando respecto al parámetro

...

calculando la integral por integración por partes. u-e dv = senx dx

d u = - a e axdx v = —eosx

u = e~ax dv = eosx dx

\du —ae~axdx d u = -a e axdx v = senx

(1)

----dx , calc


506 (l+a2) j e “Xsen xdx = - e

(eosx+ asenx)

r -ax . e~"(cosx + firsenx) le se n xd x = ------- 1------- -------- J l+ a

...(2 )

reemplazando (2) en (1) se tiene: dF(a) e _“*(cosx + císenx) .*>.1, — ~ = ------------- ;-----------/„ = 0 — -— , mtegrando da l +a 2 /o ¿7+1 ^(o) = í — r — = -arctgo + k J a~ +1 Para calcular el valor de k hacemos a = *>, la integral de partida es nula es decir: F(0) = - arctg(oo) +k =——+k = 0 => fc = —

por lo tanto F(a) = - arctgfao)+k = - — +k = 0 => k = — SCn Jt 7T dx = — J- :---o

®

Calcular

cn cos~ x dx I l (a*b)=\ —------------(a eos“ + b~-------— sen~ xyy\~ Jo ín rnu1' xYA-h~ ,1T dx dx —— r - ^ i— 7i 0 fiT eos" x +b~ sen“ x

basandose

x en

2 la

integral

J

Solución Derivando J2 respecto al parámetro a dl2(a^b) r)n tía

rnn dx C --2crcos2 ¿ a eos x ax is x +b sen T Tjc) l =~2aW JoT~-> (a ~ CO

=Jn

---,2

ahora calculamos la integral I2 (a,b)

-O)


507

_ rn dx r* sec x dx rn sec“ x dx I 2(a,b)—\ —----- ------- ----- — —I —------------------- — r— - I —---— a “ eos“ x +b~ sen“ x ^ a~ +b~ tg x a"+(fctgA:)~ = — arctg(—tg t) f = — , derivando respecto a ab a ' 0 ab dlz{ayb) _ n va

•..(2)

arb


©

— = -2#/, (¿7) => /, (a,¿?) = ■n a b 2a b

arctgx dx

Calcular

x ( l+ x 2) Solución

Introduciendo el parámetro X

Íac—flrctPÍAx) —--- — dx, derivando respecto al parámetro X E-./1 V ( ' =

dx f“ ,Ax+B Cx +D -i--- r^-= (l+ x ‘ )(l + A‘x ‘ ) J0 1 + x l + A'x"

1 yjjc+g (1+x2 )(1 + A2x 2) _ 1+ x 2

Cx + Z? _ Mx + g)d + A2x 2) + (Cx + D)(l + x 2) 1+ A2 x 2 ~ (l + x 2)(l + A2x 2)

1 = A(Á2x 3 + x) + 5(A2x 2 +1) + C(x3 + x) + £)(x2 +1) 1 =(A2A + C ) x 3 + (EA2 + D)x2 +(A + C)x +E + D

A”A + ('

()

£A2 + D = 0 A +C = 0 fl + D = l

^

A =0 q

_ np =- i => 1-A2 ¿>= 1-A 2

(----r +--


508

7 7 ? - ¡ T Í r f T T Íh = T T F arc,g^ » - í ^ arc,8At/» k . 1 T2 ()1- A2

A 1-A2>

F'(A) = ^ - . - í - => 2 1+A

ti . 1- A . 2 ( 1-A2)

2 1+ A

n 2(1 + integrando F(A) = -Jln(l +A)+c 2

para calcular el valor de la constante hacemos X = 0 F(0) = - |ln l + í = 0 => c = 0

r

I rm orctg/jc ax n. Luego / (A) = I ----- — -— = —ln(l + A) para X = 1 •"> jrfl + j r ) 2 F(l) = f aiC^ rfy = —ln2 Jo x(l + x2) 2 © ^

Calcular el valor de

f' M L t í l ¿x Jo 1+x2 Solución

Introduciendo el parámetro X:

F (X )= [ Jo

l + .v2

d \ , derivando respecto a X.

i-../1 » rA * dx ln(l + A2) , ^ , ------ ----------- + --------— (por el teorema de Calculo) r (A )= Jo (l + x 2)(l + A*r) 1 + A2 -y (l+ jr)(l + Ac)

A 1+ Ac

Bx +C _ A(l + -r2) + (gy + C)(l + Av) 1+x2 (l + Ax)(l + x 2)

x —A(x2 +1) + B(?jc2 + jc) + C(Ar +1)

=> x = (A + A 0)í2 +(B + Ác)x + A + C

509


A= A+1B=0 £ + AC = 1 A +C = 0

B=

A 1+A2 I 1+ A2

C= 1+ A2 f ' ( A ) = — U p t f —— 1 + A ‘ Jo 1 + A x Jo 1 + jf"

0+ 4-} 1 + A~

a ln(l + A“ ) (A) = -—— [- ln(l + Av)+—ln(l+ 2 + A arctg jcJ / () + ——— x

)

F'(A) = —l T-[-ln(l + A2 ) + iln (l + A2) + A a r c t g A ] + ^ ! ^ 1+ A* 2 1+ A“ 1 ln(l + A2) Aarctg A I (A)=—.------- , integrando 2 1+ A” 1+ A"

.

/•(A) = ftj---n^ + ^ - + - arCt^ - ]dX +k entonces F(A) = —arctgA.lnO + A2)+/r J 2 l + A1+ A“ 2 para calcular k hacemos k = 0 entonces F(0) = 0 = 0 + k => k = 0 Luego la integral que nos queda es:

F(l) = f

dx = —arctg 1.ln(2) \+x~ 2

r1ln(l + x) ln 2 I — dx =------.n J" 1+ x 8 4.7.1

©

EJERCICIOS PROPUESTOS^ Calcular por derivación respecto al parámetro el valor de

<-i x m l —x " ’ 1

-------------- dx J<> lnx

Rpta. ln(—)

n

7rln2 8


510

©

Obtener por derivación respecto al parámetro/= J xa(lnx)n dx, para n entero y a > 1 R p t a . / = ( - l ) " n ! ( a + l ) " -1

(? )

Integrar por derivación respecto el parámetro £ln(l + tg t. tg x)dx Rpta. -t ln eos t

©

Utilizando

el

método

de

derivación

fln(10-6cosxWx Jo

Sabiendo

que

al

parametro,

calcular

Rpta. 7iln9

F(P) = ^psen(fíx)dx %

Jo- (x~9 sen3x + x i cos3x)dx (ó ) w

respecto

calcular

el

valor

de

Rpta. I = 0

n Calcular el valor de L sen 0 arccos(------ )dü J— 2-a

R p ta .---- eos a + — sen©22

, r' senhx dx Calcular el valor de I(a) = --------------------------- —, 0 < x < k Jo (coshx-feos a. senhx) Rpta. I(a) = — - — [1 + ^ - a r c t g J ^ sen“ «

®

t g«

Calcular el valor de J(a ) =

Vi

cosa

tga

c711q ? dx ln(l + a sen “ x)---- Jo «pn2

Rpta. l(a ) = 2^1 +a arctg 4 + a + ln(------ )---a +2 2 (9) w

Calcular el valor de ¡(a) = í ln(l + a sen2 x) —^ — Jo sen2 x

Rpta. 1(a) - n ^ a ñ -1

511


íü ) Calcular el valor de la integral J^ln(l + eos x)dx

Rpta. n -

II) Calcular el valor de la integral j" a| ct^ x rfx

4J

EL POLINOMIO

48.1

APROXIMACION BE FUNCIONES POR POLINOÎ IQS^ Los polinomios son las funciones mas sencillas que se estudian en análisis, debido a que son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos, pues sus valores se pueden obtener efectuando un numero finito de multiplicación y adiciones. Las funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométrica se pueden aproximar por polinomios. Existen muchas maneras de aproximar una función dada f por polinomios, esto significa que se comporta casi igual que la función en un punto. Si el error cometido en la aproximación es pequeña entonces podemos calcular con el polinomio en lugar de hacer con la función original. Nuestro interés es de obtener un polinomio que coincide con f y algunas de sus derivadas en un punto dado. Ilustraremos todo esto mediante el siguiente ejemplo. Supongamos que la función exponencial f ( x ) =ex en el punto x = 0, la función f y todas sus derivadas valen 1 y el polinomio de primer grado g(x) = 1 + x, también tiene g(0) = 1. También tiene g(0) = 1 y g'(0) = 1, de manera que coincidan con f y su primera derivadas en cero, geométricamente quiere decir que la gráfica de g es la recta tangente a f en el punto (0,1).

512


1

+ X

X Si se aproxima f por un polinomio de segundo grado Q que coincide con f y sus dos primeras derivadas en cero se obtiene una mejor aproximación de f que con la función g por lo menos en las proximidades de (0,1).

El polinomio Q(x) = l +x + — Jal

Tiene 0(0) = Q'(0) = 1 y ^ ’'(0) = /"(O ) = 1, la gráfica de Q aproxima a la curva f ( x ) = ex mejor que la recta q(x) = 1 + x; se puede mejorar la aproximación utilizando polinomios que coincidan con f y sus derivadas terceras y de orden superior. n JCk JC2 Xn --- = 1+ X+ — + ... + — A=0 A'! 2! ii!

Z

coincide con la función exponencial y sus primeras derivadas en el punto x = 0.

513


TEOREMA.- Sea f una función con derivada de orden n (n > 1) en el punto x = 0, existe un polinomio P y uno solo de grado < n que satisface las n + 1 condiciones. P(0) = / ( 0 ) , P'(0) = / '( 0 ) ........ P (n)0 = / (n)(0)

Tal polinomio viene dado por la fórmula.

...(1 )

P(x) =

Demostración Sea P{x) = c0 + q x + c2x 2 + ...+c„x n , el polinomio que se desea obtener en el que los coeficientes P(0) = c() = /(O)

deben determinarse usando las condiciones (2). => c0 = /(O)

+2c2x + 3 c 3 jc 2 +...+ ticnx n 1 P ‘(0) =Cj = /'( 0 ) => c1= / f(0) P M(x) = 2c2 +2.3c3x + ...+ w(«-1) c„x "-2

P " ( 0 ) = 2c 2 = / " ( 0 )

c2 = £ ^p -

P'"(x) = 2.3ci ...+n(n -l)(n —2)cxn~3 P'"(0) = 2.3c3 = /'" ( 0 )

í ’” (0)

c3 = ^ —p

i ►

P (<)(.r) = 1.2.3..n(n - \)...(ii~k)cnx n l

514


„ /-(*)

OBSERVACION.1)

El grado de P es n

/ (B) (x) * 0.

2) P coincide con f y, sus n primeras derivadas en x = 0. 3) En la misma forma se puede demostrar que existe un polinomio y uno solo de grado < n que coincide con f y sus n primeras derivadas en el punto x = a. Se escribe el polinomio P en forma ordenadas según las potencias de x —a y se procede como antes. Calcular las derivadas en x = a y se llega al polinomio.

que es el único de grado < n que satisface las condiciones

P(a) = f(a).

P'(a) = f ( a ) P w (a) = f nHa). El polinomio (3) se llama polinomio de Taylor de grado n generado por f en el punto a*

4)

La notación P = T„ f ó T„(í) indica la dependencia del polinomio de Taylor respecto de f y n.

5)

El símbolo T„ se denomina operador de Taylor de grado n,

cuando este

operador se aplica a una función f, produce una nueva función Tnf polinomio de Taylor de grado n. 6)

Tnf (x, a), indica la dependencia respecto de a.

que es el

515

I n te g r a le s I m p r o p ia s

Cálculo con polinomio de Taylor. Si la función tiene derivadas de orden n en un punto a, entonces siempre se puede formar su polinomio de Taylor T„f por medio de la fórmula.

*=o

"•

Ejemplo.- El polinomio de Taylor de grado n generado por la función exponencial / (x) =ex en x = 0 es dado por la fórmula.

r„ /(x ) = ¿

/ ( ,>,(())x* , donde f (k)(x)=ex => / (*)(0) = 1

*=n

"■

y el polinomio de Taylor de la función f ( x ) = e x en el punto x = 1 es dado por: n

/'•«A

Tn {ex ) = Y / — ^ - { x - \ ) k , donde f (l)(x) = ex => f m (l) = e

kô

A=0

*=0

algunas veces el cálculo de las derivadas f*'k\ a ) es muy laborioso, por tal motivo veremos otros métodos para determinar polinomios de Taylor. TEOREMA 2.- El operador de Taylor T„ , tiene las siguientes propiedades. i)

Linealidad.-

Si cx y c2 son constantes. T„ ( q / + c2g) = c, r„ ( / ) + c2T„ ( / )

516

Eduardo Espinoza Ramos Ii)

Derivación.-

La derivada de un polinomio de Taylor de f es un polinomio de Taylor de /* es decir se tiene: {Tnf ) ' ^ T n_y{f')

iii) Integración.-

Una integral indefinida de un polinomio de Taylor de f es un polinomio de Taylor de una integral indefinida de f, es decir si:

g 00 = f f{ t) d t, se tiene entonces: T„_xg(x) = í Tnf(t)dt Ja

Ja

TEOREMA 3.- (Propiedad de Sustitución) Sea g(x) = f(cx), siendo c una constante, se tiene entonces Tng(x, a) = Tnf(cx.ca) En particular, cuando a = 0, tenemos Tng(x) = T„ f (ex) Demostración Como

g(x) = f(cx), por la regla de la cadena se tiene: g'(x) = c f ( c x )

g " ( x ) = c 2f"(cx ) g '"(x )= c\r'(cx ) #

g ll) (x) =ckf {k) (ex)

Tng(x.a) = ' ^ ^ - ^ - ( x - a ) i

= ¿ - f y Ca\ x - a ) k

T

,^Ca) (cx-ca)k =T„f(cx.ca)

517


Ejemplo.- En el polinomio de Taylor correspondiente a la función f( x ) = e * e s x2 xn xk Tn(e*)~l + x + — +...+— = / — , al sustituir x por -x 2! «!

decir:

2 n *i k T„(e *) = 1-jc+ — + ...+ (-!)" — = ^ ( - 1 ) * — 2! ni k=0 kl

encontramos que:

Ejemplo.- El polinomio de Taylor correspondiente a la función f(x) = cosh x se obtiene utilizando la propiedad de Linealidad. Como coshx =—(ex + e v) se tiene: 2

UTla(ex)+—T2n(e , , 1 ~2 ”4 +...+4 Tln(coshx) = — *) =l +^-+^2 2 2! 4! (2«)! x3 x 2- 1 Tln_x(senh x) = x + — +...+■ 3! (2/?-l)!

Derivando se tiene:

TEOREMA 4.-

Sea Pn un polinomio de grado n > 1, sean f y g dos funciones con derivadas de orden n en 0, y supongamos que: f( x ) = PnW +x ng(x)

en donde g(x)

0, cuando x

... (a)

0. El polinomio P„ es el polinomio de Taylor

generado por f en 0. Demostración Sea h(x) = f ( x ) - Pn (jc) = x ng{x) , derivando repetidamente el producto x ng(x) , se observa que h y sus n primeras derivadas son 0 en x = 0. Por consiguiente, f coincide con Pn y sus n primeras derivadas en 0, de tal manera que P„ = T„f


518

Ejemplo.- De la identidad algebraica. 1 o x nH ----- = l +x +x~ -K.. + x n + ------ , V x * l 1 -x 1—x La ecuación (a) se

satisface con

f(x) - —— , L-x

x g(x) =----- , puesto que g(x)^0, cuando 1-x Tn(—^—) = l +x + x 2 + l-x

..*(1)

Pn(x) = 1+ x + ...+jcm

y

0 y el teorema 4 nos dice que

xn

Otro polinomio de Taylor se consigue integrando

r„+1 (- infl - x)) = x +

x~ + 2

X3 3

4 r + •••+

x""1 n+I

Si en la ecuación (1) reemplazamos x por - x 2 se tiene 1

1+x2

= \ - x 2 +xA- x 6 + ...+ ( - l ) V 0 - (- !) " 1+x 2

aplicando el teorema (4) encontramos que: Tln

1 l+JC

integrando esta relación llegamos a la fórmula.

”

kx~k 7k

*=0 n

nS

4.S.3

+I

T2nH (arctgx) = y (-1)* ——2k+l

FO R M U LA »! TAYLOR CON RESTO.DEFINICION.-El error se define

En (x) = J (x) - T„f ( x ) . Luego si f tiene

derivadas de orden n en a, se puede escribir:

f( x ) = 2 J— ¡ p - ( x - a ) k +En(x)

... (I)


519

la ecuación (I) se denomina Fórmula de Taylor con resto en En (x) La fórmula de Taylor es útil cuando podemos estimar la magnitud de En (x). TEOREMA 5-- Supongamos que f tiene derivadas segunda / ' ' continua en cierto entorno de a. Entonces, para todo x en ese entorno se tiene: f ( x ) = f{a) + f ' ( á ) ( x - a )+ £ , (x) en donde Ex(x) = í (x - t) f ' ' 0)dt Ja

Demostración De la definición del error podemos escribir El (x) = f ( x ) - f ( a ) - f ( a ) ( x - a ) = f f ' ( t ) d t - f ' ( a ) \ d t = \[f'{t) - f (a)]dt Ja

la última integral puede ponerse en la forma

Ja

Ja

¡u dv %donde w= f ' ( t ) - f ' ( a ) y Ja

v = t —x, así mismo

/" (O y ~ = U de donde la fórmula de integración por

partes nos da. El (x) = j u dv = uv/ " - £ ( / - x ) f " ( t ) d t = \ \ x - t ) f " ( t ) d t puesto que u = 0, cuando t = a y v = 0, cuando t = x con lo cual queda demostrado el teorema. TEOREMA 6.- Supongamos que f tenga derivada continua de orden n + 1 en un cierto intervalo que contenga a. Entonces, para todo x en este intervalo, tenemos la fórmula de Taylor.

A=0 Siendo En{x)=— [ ( x - i f f (n^ { t) d t ni Ja


520

Demostración La demostración se hace por inducción respecto a n. ya se ha hecho para n = 1, supongamos que se cumple para un cierto n, luego se debe demostrar para n + 1, escribiendo la fórmula de Taylor para n + 1 y n y luego restando. «+1 r(*)/ \ f{ x ) =

- a ) k +E„+l (x)

/ W = X --- M--- (X~ a)k +En(x)

E n+1(x) = E„ (x)

} \ x - a ) n*x ("+!)!

Como E„(x) = — í ( x - t ) " ( t ) d t y observando que ———— = f (t - a ) ndt //! Jo n +1 Jo se tiene:

E „ M = - ¡ X( x - 0 nf (n+l)( t ) d t - j(n+1](a) \ \ x - t ) ndt ni Jo n\ Ja = - f {x -/)" [ / (n+1)(t)~ f (n+'\a)]dt ni Ja La

última

integral (a)

y

escribirse

en

la

forma

j u dv,

donde

(x - t \ n+x

v = —— -— de donde integrando por panes y n +1 teniendo encuerna que u = 0, cuando t = a y que v = 0 cuando t = x encontramos que: -

u = / (n+1)(í)_ f

puede

= ~7 f w dv = - — ^ v d u = - 1 f ( x - t r l J (^ 2)U)dl ni Ja ni Ja (/l+l)!J" esto completa el paso inductivo de n a n + 1, con lo cual queda demostrado el teorema.

521

Integrales Impropias TEOREMA.-

Si la derivada de f de orden n + 1 satisface las desigualdades m< f {n+1)(t)
... (p)

para todo t en un cierto intervalo que contenga intervalo tenemos la siguiente estimación

a, entonces para todo x en este

m(x~a)a+l M ( x - a . —5----------------------------- —
(H+l)!

six>a

si x < a

(n + 1)! Demostración

Supongamos

que x > a, entonces la integral paraEn ( x ) se extiende al intervalo

[a,x], V t € [a,x], tenemos (x - t ) n > 0 entonces a la desigualdad (P) se expresa:

m{x-1)n < (x-Qn {n+]) n\ n\

< M(x-Q" ni

integrando de a hasta x, encontramos que:

- r (x - o ” dt < r (x~ ,)n{ (n 1>(0 d t < ^ r ( x - t ? d¡ til Ja

sea u = x —t

Ja

fil

til

du = = -dt, de donde

r o t - / ) " < f t = r ~ v < f o = (* ~ g)

Ja

...
JO


H+l

— ————
...(2 )


522

Si x < a, la integración se efectúa en [x,a], V t e [x,a]. Tenemos t> x , con lo que {-\)n{ x - t ) n = ( t - x ) n >0 ( - l) a ( x - t ) n

A al desigualdad (P) lo multiplicamos ni

”,{t x)- < n\

ni

f (n+X) (í) < M(t

ni

. que es lo mismo

m(-l)n( x - t ) n £ (-1 )n( x - t ) n (B+1)(0 < M { - \) n{ x - t ) n tú ni ni ahora integramos de x hasta a.

r Jjr

d lí r (-!)•(» -« )• /i!

J*

/l!

»i(fl - * ) 1 < (_!)""! E (jc) < (« + !)! » 1

f - « ( - ! ) • ( > : - ) • ri, /l! —

(n + 1)!

f Si f es una función continua en [a,b] para cierto c e [a,b], se tiene la integral de j j ( x ) d x =f(c)(b -a ).

........ .........

Suponer que f y g son continuas en [a,b], Si g no cambia nunca de signo en [a,b], con c e [a,b], se tiene: ^f{x)g(x)dx = f(c)jg(x)dx otras formas de la fórmula de Taylor con resto, explicando el T.V.M.P. para integrales tenemos:

523


I ( x - t ) nf {n*X)(t)dt = f {n*l\ c ) \ ( x - t ) ndt = f (n+1)(c){x a) - , c € [a,x] Ja

Ju

( « + !)!

(n+1 Luego el error se expresa: En (x) = ---- ---- f {n+l) (c)(x - a ) n+1 = —------ —— - -— n\(n +1) (/i + l)!

EÁÁ)-

.....; ■; "v,

Forma de Lagrange del resto.

OBSERVACIONES f in+l)(x) esta calculada en c desconocida y no en a, el punto c depende de x y de n. Suponer que / (w+1), existe en (h,k) intervalo abierto que contiene al punto a y que / (w) es continua en [h,k]. Elegimos cualquier x * a en[h,kj* Admitir que x > a. con fines de simplificación. Mantener x fijo y definimos una nueva función F en [a,x] del siguiente modo: " r(k) F ( x ) = m + Y J~ r - ( x - t ) k t í

kl

Observar que F(x) = f{x), F(a) = T„f(x,a) Luego F(x) -F(a) = En (x), F es continua en [a*x] porque / (w) lo que, luego f es continua, f (k) es continua (x ~ t ) k continua F es derivable en (a,x). Al calcular F '{t), tener encuerna que cada término de la suma es un producto, al desarrollar la sumatoria se simplifica todos los términos excepto uno (el de la mayor derivada) y nos queda. n\

F'(t) = ^ (

- f n+X)(t)


524

Tomar G cualquier función continua en [a,x] y derivable en . Si G'*0

F'(c) en , entonces se tiene: En(x) = ------ [G(x)-G(a)] G'(c)

Se puede expresar el error de varias maneras, mediante elecciones distintas de la función G, por ejemplo. G{í) = ( x - i ) n+1, entonces (X-C)n / (n+1)(c)[(x-x)B+1 ~ { x - a ) n+x] ni G’(c) f K }(c)(x-a)n E„ (x) = - --------- -- — , a < c < x (» + !)!

I.

Fórmula de Lagrange.

Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para cada función f alrededor del valor dado de a. f(x) = In (1 + x ) , a = 0 Solución

P(x) = T„f (x,0) = V —— ^ *=0 /( x ) = ln(l + x) 1 / ’(*) = l +x 1 /" ( * ) = a+*r 1.2 /•"(*)=■ d + x):

r ~(n) n,(, xv) _t = ( -tvn iy

!)• (1 + JC)"

lr\

— - el polinomio de Taylor.

/(0)=0 /(0 )= 1 /" (0 )= -i /" '( 0 )= 1 .2

525


P W = / ( 0 ) + /•(0 )x + /

^ 2!

+/ ^

P(x) = x - — +— x 3 + ...+ (- 1)"+1

2!

D, ,

3!

JC2 x3 x4

P(x) = x -----+ --------- + ...+-

2

©

3

4

3!

l + ...+ / (n,(0)JC', ni

«!

(-l)n+1x” n

f(x) = ln (1 + x), a = 1 Solución / (x) = ln(l + x) 1 / ’(*) =

/ ( l) = ln2 / '( l ) 4

1+ X

f"(x) =-

1 (1+x y

f'" (x) =

1.2

(1 + JC)

~(n), y_ / un (ti 1)!

(~Dn+1(»-D ! 2"

f ' a>(x) = (-!)•

(l + x ) n

p (x ) = 7 ; ( / (x,i)) =

Y , -—

2!

3! . / ív(l)(x-l)4 .

, / (n)(l)(x-l)" »!

_l--------------------------- K...H------

4!

P(x) =ln 2+^-?-— ^ - (x - l)2+ -^-(x-l)3+...+ (-l)"+1^ r ^ (x - l)'’ 2 2 .2! 2 .3! 2”.»!*

526


P(x) = l n 2 4

x —1

1

22.2!

©

2 n.n

2 \3

f ( x ) = e x, a= 1 Solución m = e x

f ' " ( x ) = e1

m = e / ' ( \) = e rm = e / " ' ( l) = e

f (n\ x ) = ex

/< n,(l) = e

f ' ( x ) = ex f"{x)= ex

/>(x) = T„ (e',1) = £ i *=0

_

- 1) ”

» - « " =

©

fix) = cos x , a =

7T Solución /£ )= 3 2

7t f (x) = eos x = sen(x+—) / ' (x) = -sen x - sen(x + tt) 3it / " (x) - - eos x = sen(x+ — ) 4Lm t

/ ' " (x) = sen x = sen(x + 2 n)

A 7 -3) — — 2 / " ( —) = - 3 2 /""'<•—) = — ' 3 2

/17T / (n,(x) = s e n ( x + ^ ) / (">4) = sen(

2^ + 3«w

)

527


P(x) = T„ (eos x,

= £ ---- r r - ( x ~ ) n í

*=0

"•

4

P (x )= I + / .(£ )(x_ £ )+ í _ ^ : (x_ £ )2 + ...+ l _ V 2 7 3 3 2! 3 n!

(x _iL)3

(X~ T )2 Píx)=il_ Íf 3 i (x_x £ )l_ i . -----3 _ +Í Í3i . _{X~_ Tl )3 _ +... 2 11.

2

3

2

2!

2

3!

Determinar los primeros términos del desarrollo de Taylor alrededor del valor de a, efectuando el proceso, hasta incluir el término ( x - a ) n para el entero dado n.

(l)

f(x )= e ~ *\ a = 0, n = 4 Solución

x2 r3 r" Como g(x) = e* =l + x + — +— + ...+— 21 3! «! P(x) = T„ (/(* )) = l - x 2 +4¡t—4 r + —+ (-l)" X " 2! 3! ni P(x) = T J ( x ü ) = 1- x 2 +

2

+í l 24

6

f ( x ) = xex , a = 0, n = 4 Solución Como

r2

r3

y”

e * = l + x + — + — +...+—

2!

x

3!

2 *3

«!

x*

Xn+'

xe = x + x + — + — +...+• 2! 3! tú 3

4

5

P(x) = T4/(x,0) = x + x 2 + ^ ~ + ^ - + ^ 2 6 24

528


©

/(*)= — — l , a = 0, n = 4 1+ x 2 Solución Como

1 ? ----- = l + x + x +...+X 1-jt

sí |x| < 1

— l- — = \ - x 2 + x 4 - x 6 + ...+ (-l)” x2" 1+ X P(x) = T^f(x,0) = l - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 ( 4)

f(x) = arctg x, a = 0, n = 5 Solución Como — í - r = l - x 2 + x 4 - x 6 +...+(-l)"x2” 1+x

f* —~~r= Jof ( l - / 2 + /4 - i 6 + ...+ ( - 1 )nt 2n)dt

Jo i + í 2

x 3 x5 x 7 (-l)" x 2B+l arctgx = x ----- + ---------- +...+ 3 5 7 2«+l P(x) = T5f(x,0) = x 111.

(I)

x3 x5 x7 x9 —h—— — + 3 5 7 9

x 11 11

Calcular las expresiones dadas con aproximación del número indicado de cifras decimales, comprobar dicha expresión utilizando el Teorema de Taylor con residuo. e~° 2, 5 decimales. Solución „

jr

.

X2

X3

X4

X”

Como e = 1+ x + — + — +— +...+ — 2 6 24 ni Sustituyendox por-x, tenemos:

—x 2 x 3 x 4 x” e~x = l - x + ---------- + ------ ...+(-1)” — 2 6 24 ni


529

Como x = 0.2, tenemos:

-02 , «o (0.2)2 (0.2)3 (02)4

„ (0.2)"

. . .

,

e ' = 1 -0 .2 + --------------- — + --------+...+(-1) -i— — para 5 decimales es: 2 6 24 n!

2

6

4!

entonces e 02 = 0.81867 con error 0 < iÉ3(x) < 0.00006 4 , con 4 decimales. Solución 2

e x =l-x+— 2 e

-04

3

4

n

+~— . . . +(-l)w— , Como 6 24 ni

x

= 0.4 tenemos:

. f\ a W-4)2 (0.4)3 (0.4)4 w (0.4)”. = 1 - 0 .4 + ------------------ +-------- + ...+(-1) -------- , para 4 decimales es: 2 6 24 ni

e- « = , - 0 . 4 * M Í - i í f i i , OTarar O í I*,,0.4>| S Í M Ü 2 6 3 4! entonces e~tí 4 = 0.6694 con error 0 < | /?j(0.4) | < 0.001060

4.10


1.

Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para cada función f alrededor del valor dado de a.

(? )

ffx) = eos x,

a=0

© W

f ( x ) = — í—r , a = 0 (1-x)2

®

/(* ) =

a=0

(7)

f(x) = lnx, a = 3

1

—X

J(x) = 4 x , a = 4

fíx) = senx, a = ~^

530

(7 ) II.

Eduardo Espinoza Ramos /(x ) =l n ¿ ^ ) . a = 0 1—x

(i)

f(x) = xln(x2 +1), a= 0

Determinar los primeros términos del desarrollo de Taylor alrededor del valor de a, efectuando el proceso hasta incluir el término ( x - a ) n para el entero dado n.

(j)

III-

f ( x ) = -f=L=r, a= 0. n = 4 Vl-Jr2

(7 )

f(x) = tgx, a = ~ , n = 5 4

fíx) = arcsen x , a = 0, n = 5

f(x) = ln (sec x), a = 0, n = 6

fíx) = secx, a = 0, n = 4

f{ x ) =ex cosx, a = 0, n = 4

Calcular las expresiones dadas con aproximación del número indicado de cifras decimales, comprobar dicha expresión utilizando el Teorema de Taylor con residuo.

©

ln(1.2), 4 decimales

©

tg(O.l), 3 decimales

®

cos(0.5), 5 decimales

©

(1.08)1/4,5 decimales

©


©


©


©

(0.8)1/S, 5 decimales

©

(1.5)l/4, 5 decimales

©

ln(0.8), 5 decimales

(ÍT)

in(0.6), 3 decimales

Aplicación de la Integral Definida a Ia Física

531

CAPITULO V

5. •

5.1

'

A P L IC A C IO N D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A ' A f ís ic a • ; •.

LA

MASA, MOMENTOS ESTATICC>S Y DE EIN¡ER
Masa Total del Sistema.

b)

El momento estático respecto al eje L.

, ubicados


532

c)

El momento de inercia respecto del eje L.

d)

El centro de masa respecto del eje L.

OBSERVACION.-

d{ - ± distancia del i-ésimo punto al eje L, donde el signo + se

elige para aquellos puntos que se encuentran en un lado del eje L, y el signo -, para los puntos que se encuentran en el otro lado del eje L.

e)

Radio de giro respecto del eje L*

R = radio de giro respecto del eje L. 2do. Caso.- Curvas PlanasSupongamos que la curva C representa a un alambre (o hilo) contenido en un plano de una recta fija L y admitamos que en cada punto de la curva se tiene una densidad 5 de masa por unidad de longitud. La masa de un arco elemental ds es dM = 5 ds.

Aplicación de la Integral Definida a la Física

533

dM = a ds

OBSERVACION 1) Sea x = ± distancia de dM al eje L. 2) El signo + se elige de acuerdo a donde se encuentre dM a un lado del eje L. 3)

El signo - se elige cuando dM se encuentra al otro lado.

Ahora para la curva C que representa a un alambre damos la siguiente definición. a)

Masa Total:

b)

Momento estático respecto al eje L.

c)

Momento de inercia respecto del eje L,

d)

Radio de giro respecto del eje L. R = radio de giro, R>0.

e)

Cuando C = alambre se encuentra en el plano XY el centro de masa se denota por (x,y) y es definido por:

534

Eduardo Espinoza Ramos OBSERVACION.1)

Los límites de integración de las partes a), b) y c) se determinan de tal manera que el elemento de masa dM recorre toda la curva C.

2)

Cuando la masa es constante diremos que la masa es homogénea, en este caso el centro de masa (jc, y) se denomina centroide.

3)

Cuando se trata de figuras geométricas se toma 5 = 1 en este caso la masa del alambre es numéricamente igual a la longitud.

4)

Cuando la curva es simétrica al eje L, entonces el centro de masa se encuentra en el eje L.

3er. Caso.- Figuras Planas.Supongamos que una “lámina fina” tiene la forma de una región s contenida en un plano, y que la masa de la lamina es homogénea, es decir que la densidad 5 de masa por unidad de área es constante. Sea L una recta fija en dicho plano; la masa de un rectángulo elemental con dos lados paralelos al eje L (franjas paralelas al eje L) es dM = 5h dx, donde h la altura y dx la base de dicho rectángulo.

dx

L

h O

x = ± distancia de R al eje L, el signo se determina de acuerdo a los casos anteriores. Ahora daremos las siguientes definiciones para la lámina. a)

Masa Total.


535

*' xúM *

b)

Momento estático respecto al eje L.

c)

Momento de inercia respecto al eje L.

d)

Radio de giro respecto al eje L.

e)

Si la lámina esta en el plano cartesiano XY el centroide de s es (x,y), donde

f)

El momento de inercia relativa al origen (o momento polar).

m

i

W m

é J k

M

:*x-+h g)

Cuando la región S del plano es acotada por las rectas x = a, x = b y las curvas 0 < y , ( x ) < y 2(x), a á x í b, entonces se tiene:

4to. Caso: Superficie de Revolución. Suponiendo que D sea la superficie obtenida por rotación alrededor del eje X de la curva y = f(x) > 0 para a < x < b, entonces definimos.

a)

Area de

536


b)

Momento estático de D respecto al eje X.

c)

Momento de inercia de D respecto al eje X

M, - Zt

I x = m \ by 3ds donde ds = J l + ( ^ - ) 2dx 'a V dx 5to. Caso: Sólidos. Supongamos que S es el sólido de densidad constante 8 de masa por unidad de volumen en el espacio XYZ, limitada por los planos x = a y x = b si A(x) es el ¿rea de sección de S paralela al plano YZ en el punto x, a < x < b, entonces la masa del cilindro elemental de base A(x) y altura dx es dM = 5A(x) dx entonces definimos.

Y

a)

La masa de S:

b)

Momento estático de S respecto al plano VZ.

c)

Centroide de S es (x,y,z) donde

áM

537


5.2

TEOREMAS DE PAPPUS {GuMin>^ a)

TEOREMA 1.-

El área de la superficie engendrada por la rotación del arco de una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la longitud de dicho arcos por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad del misino.

Sea C: y = f(x), x e[a,b], una curva definida por la función continua f (no negativa sobre [a,b]). La coordenada y es dado por: ( y ds

r> ds

Ja

Ja

longitud de C

de donde f y ds = y L

...d)

Ja

además sabemos que: el área de la superficie de revolución de la curva alrededor del eje X es: A(s) = 2n f y ds -

In

y L , Luego A(.s) - 2n y L

Jtl

Ejemplo.- Determinar el área S de la superficie de revolución generada por la rotación del primer arco de la cicloide x = t —sen t, y = 1 - eos t, t e [0,2n] alrededor de la recta Solución

4

L

: y = jc + —.


538

Hallando las coordenadas del centroide t e[0,2n], *'(/) = 1- e o s / , y' (/) = sen/, longitud de C = X.

f

Jo

.v(/)Jjc'(í)2 + v'(O2 di = 2 Í (/-sen/)sen —dt = %n Jo 2

f Y(t\Jx'(t)2 + y'(/)2f/í = a [ sen3—d t= — Jo v Jo 2 3 32 8w x =— = n o

,

3 4 ---4 ,v = —- = — . luego (*,>•) = (»,—) 8 3 3

rf(c, L) =------■=•—- = - = , luego por el teorema de Pappus v2 V2 >4(.y) = 2 nd (longitud C) = 2 ^ (^ r)8 = 8V2/r2 V2 b)

TEOREMA 2.-

El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano que la figura, pero no se corta con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la misma.

539

Aplicación de la integral Definida a la Física V = 2TlyA donde: A = área de la región y = distancia del centro de masa de la región al eje dado. V = Volumen del sólido generado por la región. Demostración

Sean f y g dos funciones continuas, donde f(x) > g(x) > 0, V x e [a,b]. Si R es la región encerrada entre las curvas y = f(x), y = g(x) sobre el intervalo [a,b].

- J ( f 2( x ) - g 2(x))dx Sabemos que:

y=

Area (R)

además V = n \ ( f 2{ x ) - g 2(x))dx = 2n y A Ja

ósea que \ ( f 2( x ) - g 2(x))dx = 2y A Ju

/. V =2n y A

Ejemplo.- Sea R la región limitada por la semicircunferencia y = -\[ci2 - x 2 , y el eje X, utilizar el teorema de Pappus para calcular el volumen V del sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor de la recta L: y = x —a. Solución

540


% 2na(3n +4) n a 1 v fl3/r(3/r + 4) *%v) = -------- 7=--(—— ) = -----------r --3/rV2 2 3^2 Ejemplo.- Calcular el volumen de! sólido S generado por la rotación de la región R limitada por la parábola y = x2 * y la recta y = x + 2 entorno a ésta última. Solución Por el teorema de Pappus se tiene que: V(s) = 2 n d A , donde d = es la distancia del centro de gravedad a la recta en el cual rota y A es el área de la región R. Calculando el área de la región R C2

->

9

A(R)=\ x(x + 2 - x~ )dx = — Ji 2 Calculando el centro de gravedad de la región R, P(x, y)

Aplicación a ¡a Integral Definida a la Física -A/,.

1 ’ V

541

- Mx 8 1 8^ r ‘ — ’ r " xtso P , 2 - s ’

Ahora calculando la distancia del punto P a la recta L l.v-v + 2 9-Jl d - p— — = -------- , luego por el teorema de Pappus -v /í+ í

20

.// vv) = 2 ttí/, / aí = 2/r{------, 9^ , )9— = ----------81V1WM 3 K(. 2» 2 20

5.3

CAMINO RECORRIDO POR UN PUNTO.La longitud del camino o trayectoria recorrido por un punto P que se mueve a lo largo de una curva en el intervalo de tiempo [/j ,t2] es definido por: s^ v m d t donde V(t) = Velocidad.

5.4

TRABAJO-Si la fuerza f es constante durante el desplazamiento, el trabajo W realizado por ésta fuerza es definida por W = f.d, donde f es la fuerza constante y d la distancia recorrida por el cuerpo. Si la fuer/a no es constante durante el desplazamiento, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple. Consideremos P una panícula que se desplaza sobre la línea coordenada desde a hasta b, por medio de una fuerza f = F(x), V x g [a,b] donde F(x) es la fuerza aplicada a la partícula P cuando se encuentra en el punto cuya coordenada es x.

T,

a

X,

Xj

X

x n_2

x n _,

b

542

Eduardo Espinoza Ramos Cuando la partícula se mueve de jcf l a x¡ , el trabajo realizado es aproximadamente igual al producto F(t,)A,x quiere decir que mientras más pequeña es la longitud A¡x en [jcf l,jcf ] mejor será la aproximación ahora, formando la suma de Riemann del trabajo. A¡W = F(t¡ )AjX se tiene:

el trabajo total realizado por la fuerza F denotaremos por W y es definido por:

O BSERVACION.1)

Un ejemplo de trabajo realizado por una fuerza no constante, es el alargamiento o comprensión de un resorte helicoidal. Según la ley de Hooke, se tiene que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal, varía directamente con la elongación del resorte. La fuerza F(x) para producir una elongación de x unidades que puede ser dada o se calcula a partir de los datos.

Ejemplo.- Una fuerza de 25 kg, alarga un resorte de 3 cm., encontrar el trabajo requerido para alargar el resorte de 2 cm. mas. Solución Se tiene F(x) = kx, como x = 3 cm. = 0.03 m. F(0.03) = 0.03 k = 25 => k = —

Aplicación a la Integral Definida a la Física

543

y - (0.0016) La integral también se aplica para determinar el trabajo realizado al bombear agua (u otro liquido) de un tanque: El principio físico que se usa es: "Si un objeto se eleva una distancia vertical h, el trabajo realizado es el producto del peso del objeto por la distancia h. Consideremos un tanque que contiene agua hasta una profundidad de km.

h Km

Sea W el trabajo realizado al bombear el agua a la parte superior del tanque, el área de la base del i-ésimo sólido elemental es At- su volumen será A¡Adi9 como el agua pesa 1000 kg. por w3, entonces el peso del i-ésimo sólido elemental es \0QQAgAdg. La cantidad de trabajo realizado para elevar este sólido lleno de agua, hasta la parte superior del tanque es aproximadamente. AiW = ( m Q A i A d i )di

544

Eduardo Espinoza Ramos n .

.

i* ■■

* Â- / Z

-

r i

A

ilf: W ■■=■

...

Ai

:* í

>

...

-j

( i

> ;

A

•

j: d j)c h .

tomando limites se tiene: r-i entonces W es el trabajo realizado al bombear el agua hasta la parte superior del tanque. Para hallar una integral definida cuyo valor es W dependerá de hallar una función F donde el dominio contiene un intervalo S de longitud k tal que:

Ejemplo.- Un tanque en forma cilindrica circular de radio 8m. y altura 20m. se llena con agua. Encuentre el trabajo necesario para bombear el agua hasta llenar el tanque. Solución

i

kX

El trabajo requerido para elevar el i-esimo sólido hasta la parte superior del tanque es aproximadamente 1000( At Adj )d¡ ,

donde

Af = n r 2 ,

de

donde

tt *

y (1000,4,-Ad¿ )d¡ es la suma aproximada para el i-i) trabajo W necesario para bombear el agua hasta la parte superior del tanque, para expresar el i-ésimo termino de la suma de aproximadamente en la forma F(t¡ )Av,. se

-------------► considera una línea coordenada sobre el cual se puede graficar el dominio, el intervalo es [ 0,20] y se hace ti = x¡ ~ d i para i = 1,2,.. .,n, Ad¡ = xf - x f j = Ay, . Luego la suma aproximada se puede escribir:

Aplicación a la Integral Definida a la Física

545

// n y (1000^ Ad¿ )d¡ = 1000/rrf x¡ At, , luego F(x) = 64x entonces se tiene: i 0

i 4)

0 r2» J*21OOO/r.64* dx = 64000/r Lr rfv o

5.5

.\ W = 12 800 000 n

Jo

ENERGIA CINETICA,- 1 Se da el nombre de energia cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a la siguiente expresión:

5.6

PRESION DE LOS LIQUIDOS.Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de Pascal, según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área A sumergida a un profundidad x. es igual a: ____________ 4x donde y es el peso especifico del liquido.

546

I 5.7


PROBLEM AS DESAR R O LLA D O S^ Hallar ios momentos estáticos, respecto a los ejes coordenados, del segmento de la x y línea recta —+ —= 1, comprendidos entre dichos ejes coordenados. a b Solución

Los momentos estáticos respecto a ios ejes coordenados es:

„ x v . b Como —+ —= 1 => ) = —{ a - x ) a b a

dv b =>— = — dx a

.. f “b [ Tr b ^ c r ^ t r {a -x)M x = —(o-jcLl +— dx=----- ---------- / J(> a V a2 a2 2

••• M x =

* ' < 4

. . A í j ^0 ^[a^ +b2 j 4 a 2 +/>2 i l + (— ) dx= I ------------.r dx =------------ jr / rfr

Jo

a

*• A*> =

( 2)

b-Ja2

2a

' 0

a ^ a 1 + b2

Encontrar el centroide de un arco de la catenaria v = 4cosh(—) desde x = -4 4 hasta x = 4. Solución v = 4 cosh(—) => — a senh(—) 4 rfv 4

547

A p lic a c ió n a la I n te g r a l D e fin id a a la F ís ic a

= 4 f cosh{—), cosh(—)dx = 2 f (1 + cosh —)dx J 4 4 4 J-4 2

M\ = 8senh2 + 16

f

M x = f x j l + (— )2dx~ xcosh —dx = () i a \ dx i 4 4

.

_ MY — Mx -v = * y ——— entonces x = L L

2 + senh2 v = — -------senhl

-

Como

ít\ scnh 2 (x, v) = (0,------ — -) senhl

NOTA.- L= í |l + (— )2dx= f cosh—rfx = 4 s e n h ~ /4 = 4(senhl-senh(-I)) J 4y ¿/jc J 4 4 4 /4 (T )

Hallar el centroide del área acolada por las curvas y = x 2 , y = *Jx . Solución Graficando la región se tiene: A = í (-Jx - x 2)dx -

1

Jo

M , = f —(x —x A)dx= ^ Jo 2 20 M

= f x(-Jx - x 2)dx =— Jo 20

3_ M, x =-----

_

20 = _9_ 1 3

M.

20

20

20 3 9

9

54X ©


Hallar el centro de gravedad de la superficie limitada por las curvas v2 = 2 p x , x = h. Solución Graficando la reiíión A=

y dx = 2^ -yjlpx1,2dx

3

Ahora hallaremos los momentos con respecto a los ejes ch l M x - J —(2px-2px)dx = Q

ds = a^2yfT^cosídt = 2a sen(-)dt 2 rl* 1*2n f f L - I ds = la I sen —dt = -4a eos —dt Jo Jo 2 2 /o

L = 8a

(•2* f2/r f A/a = I v rfv = fl(l-cos/)2tf sen —di Jo Jo 2 M,.

2 ^ ' - d x , ^ x s:'- / l ^ J f - p h ' - T h

_

„

l &

e

s ,

3

Luego x = — = 4----------------= -/» , ■* \4 í¡ k ji 5

_

M

v = — —= 0 14

549

A p lic a c ió n a la I n te g r a ! D e fin id a a la F ís ic a

©

Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer arco de la cicloide x = (t —a sen t), y = a( 1 - eos 1). Solucién j x = a ( t - sen /)

ídx = a( 1- eos t )dt [rfy = ¿¡rsen/ di

lv = 0(1 -eos/)

(dy)2 = a 2 sen2 t(dt)2

{(be)2 = a 2(\-co
ds = '\j(dx)2 +(dy)2 = a^J(\-cost) +sen2 tdt A ,

= 4a~\ h

, /

.

se- —dt= 2

32

j

2

a

En forma similar para Ai=%a2U luego el centro de gravedad es: 32

- Mv %ü 2n - M x 3a2 x = -----= ------- = a n ,v = — L

%a

4a L

-----------V

%a r r

=— 3

4 a

uo*) = (« n ,— 4 r l largo natural de un resorte es de 10 cm. Una fuerza de 90 kgrs lo alarga hasta a 11 cm. Encontrar el trabajo requerido para alargarlo de 12 a 14 cm. Solución

550


©

Encontrar el trabajo efectuado al alargar un resorte 6cms. sabiendo que se necesita una fuerza de 15 kg. para alargarlo 1 cm„ Solución Como f(x) = kx además 1 cm. = 0.01 m. 110.01) = 0.0-1 k= 15 => k - 1500 <•(>.06 fO06 W = I / (x)dx = 1500jc dx = 2.62 kgr. Jo.oi

(§ )

Jo.oi

Encontrar el trabajo requerido para bombear el agua que llena un recipiente hemisférico de radio R, por encima del recipiente. Solución

V

El peso del disco circular de espesor dx y base paralela a la base del recipiente es:

x

/ = p(Ur2 )dx Donde p = peso de una unidad de volumen de 1r X

agua y r 2 = R 2 - x 2 entonces

W=„n| ©

Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabatica del aire hasta ocupar el volumen inicial es V{) =1 w3 y la presión p {) =1 k¡ f / enr Solución De acuerdo a la ley de Poisson se tiene pvk = p {)V{*¡ donde k * 1.4, de donde w = f W « dv=^ m

vk

k- 1

v
Reemplazando valores se tiene:

W = 15,000 kg-!7m

551

A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a a ¡a F ís ic a

Un reservorio vertical tiene forma de trapecio calcular la presión total del agua sobre dicha presa, sabiendo que la base superior tiene 70 cm., la base 50cm. y su altura 20 cm. Solución p = rh Empleando semejan/a de triángulo se tiene: y_ a 725 70 f20 70 /? = / [ (725-A) h dh Jo 725

©

Y+ h

725-/# 1

y

y + 20

50

70

. de donde y = 50

1 = (7 2 5 -/0

70 725

p= 113.60 cm.

Una lamina tiene la forma de un rectángulo y es sumergido verticalmente en un tanque con agua y su base superior en la superficie del liquido: si el ancho de la lamina es de 1Op y el largo es de 8p encontrar la fuerza debida a la presión del liquido sobre un lado de la lamina. Solución f(x)dx donde F(x) = 5 F = 2 vv f 5x 5.V dx = 3 2 0 Jo

w

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el techo de una casa de 64p. de altura y la velocidad inicial es 48p/reg. ¿Cuánto tiempo tardara la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad llegara? Solución

552


Va =48 p / r e g , l AÍ =? a = -32 p/reg'

T 0

s 64

V

48

Se sabe que v = J o di => v = at + k es decir

V = -32t + k y cuando l = 0, v = 48

k = 48.

Luego v = -32t + 48

además s = J vdi = J (-32/ + 48)dt = -1 6 /2 + 48/ + A'

cuando t = 0, s= 64 => k = 64, luego x - -1 6 /2 +48/ + 64 encontrando tAC y ocurre cuando s = 0 => —16/2 +48/+ 64 = 0 => (t —4)(t + 1) = 0 => t = 4, t = - I por lo tanto el tiempo que le tomara llegar al suelo es/ AC=4

©

seg.

La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con unavelocidad inicial v0, contando la resistencia del aire, se expresa por la formula: / V = c. tg(-g —+ arctg— ) c c donde t es el tiempo transcurrido, g es la aceleración de al gravedad y c es una constante. Hallar la altura a que se eleva el cuerpo. Solución

553

A p lic a c ió n d e la In te g r a l D e fin id a a la F ís ic a

Datos:

c. tg(-g - + arctg(— )) c c i = tiempo c = constante g = gravedad

V

c' S

V =

di

~ + arctg(— )) r c

\ d h - f c. tg(-g —+ arete(— ))dl

Jn

h=

Jo

g

c

c

ln | sen(-g - + arctg— ) | í c c

? l^r »r 3 // - - — ln | sen(-g —+ arctg(— )) | +c2 In (1 + — g c e c-

5.8 ©

©

2 2 de donde // = — ln(l + — 2g c-

PROBLEMAS PROPUESTOS Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria y = a¿oh(—) a d * / - “ i / a tf(2 + senh2) comprendida entre x = -a y x = a Rpta. (a\ y) = (0.— ---- —— ) 2senhl Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes OX, OY, y las coordenadas del centro de gravedad del triángulo limitado por las rectas x + y = a. x = 0, y = 0. Rpta. M x = M

=2-,

6

( x. y ) = ( ~ )

3 3

Encontrar las coordenadas de centro de masa de la región acotada por la elipse T 2 4a 4b -V“ \ —- + = 1 v los ejes coordenadas (x > 0,v> 0). Rpta. („*. v) = (— ,-------) a1 h~ ' 3n 3n

554 ©


Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX, OY las coordenadas del centro de gravedad del cuadrante-

arcode la astroide

x 23 +>-2 3 = a 2 3 situado en el primer

_ . w 3a 2 3a 2 Rpta. M x = —— , M v =—^~

,--- . , (x,>*) = (— ,— )

Probar que si R esla región del plano acotado por las rectas x = a, x = b y las curvas 0 < g(x) < fíx), a < x < b entonces

Mx =

©

f ( / 2(jc) - g 2(x))dx, M ,, = [ x ( / ( x ) - g(x))dx

7 "tí

Hallar el centro de gravedad del areo de la circunferencia de radio a, que subtiene el ángulo 2a.

a ©

n sen

cl

j r - 8 y = 0.

4 Rpta. (jc,>) = (0,—)

Hallar el centroide de la región acotada por las curvas cuadrante.

©

___

Rpta. {x, v) = (—------ ,0)

Hallar el centro de gravedad de la región limitada por las curvas 7 jc“ +16y = 24.

©

Ja

y = x 3,

y = 4x en el primer

Rpta. (— ) 15 21

Encontrar el centroide de la región limitada por las curvas x = 2y - y 2 ,x = 0. Rpta. (*.>■) = ( j J )

^ü)

Hallar el centro de gravedad de la región finita, en el primer cuadrante, comprendida entre la curvay = xe * y el eje OX.

11^

Rpta. (2,—) 8

Encontrar el centro de gravedad de cada una de las regiones limitadas por las siguientes curvas:

,

555

A p lic a c ió n d e la I n te g r a l D e fin id a a la F ís ic a

a)

y =x 2 - 4 . y = 2 x - x 2

Rpta.

|)

b)

T I > -= jr , y = x - x -

c)

y= ln x, y = 4, >’ = 4 - 4 x 2 enel primer cuadrante

d)

-Jx+4y=3. y=0, x = 0

e)

y = sen x, y = eos x, y = 0 desde x = 0, hasta * = y ■

11 4 8

Rpta. ( - , - )

Rpta. (14.61,3.15)

Rpta. ¿ . - ) 5 5

4

(l¿)

f)

>' = x 2 -2 jc -3 , v = 6jc-jc2 - 3

Rpta. (2,1)

g)

* = 4y_>>2 , y= x.

12 3 Rpta. ( y , - )

Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por x = 0, x = zr. y = 0 , y = sen x . 2

^3)

Rpta. (x.y) = (h^-) o

Determinar el centroide de la región plana limitada por la curva y = f(x), y = - x 2 , x = -l, x = 2 donde /( * ) = •

(l4)

16

I< 0 * 2 +l. i > 0

rp» .

( iü .i" , 106 265

Encontrar el centro de gravedad de cada una de las regiones limitadas por las curvas siguientes: a)

y 2 - 20x

,

x2

= 20y

Rpta. (9,9)

556

15)


b)

y = x3 —3x, y = x sobre el lado derecho del eje Y

Rpta.

c)

x2 y 2 „ — + ~ = 1 en el primer cuadrante a“ b~

^ . A a 4¿r Rpta. (— ,— ) 3n 3n

d)

y = sen x (0 < x < ir), y = 0

Rpta. (— ) 2 8

16 (—

^4

El centro de gravedad de la región acotada por las curvas x2 = 4y , y = mx es un punto de abscisa igual a 2. Determinar el valor de m. Rpta. m = 1

\ t)

Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a, con el centro en el origen de coordenadas, sobre el plano XOY.

(n )

Rpta. (OAy)

Hallar el centro de masa de un cono homogéneo circular recto de altura h y radio de la base r.

( lí)

Rpta. (x, \\ z) = (0,—,0) 4

Calcular el momento estático y de inercia de la semicircunferencia y = ^ r 2 - x 2 , /ir3 Rpta. M x = 2r 2, I x = - y

-r < x < r, respecto al eje X.

( 19 )

Calcular el momento de inercia del área de una elipse x = a eos t, respecto al eje OY.

20J

Calcular

el

y = a sen 1

Rpta. M x = M v=------ , / x - 1y = 5 ' 8

momento estático y de

inercia

del

y = y (eA a + e ''" ) donde 0 < x < a, respecto al eje Y.

arco de

la

catenaria

557


(2 ^

Calcular el momento estático y de inercia de una triángulo de base a y de altura h respecto a su base.

( 22 )

Rpta. M a = —— , I a = 6 12

Calcular el momento de inercia de un segmento parabólico limitado por la parábola y = 4 - jT , y la recta y= 3, respecto al eje OX.

( 2^)

Hallar el momento de inercia de la circunferencia de radio a, respecto a su propio diámetro.

( 24 )

1628 Rpta. I x = ——

Rpta. I = a3n

Probar que el momento de inercia respecto al eje X de una región R acotada por las rectas x = a, x = b, y las curvas continuas b > a, g(x) < f(x) es: \\.f'(x )-g \x ))d x

J Ja

Sea R el sólido generado por rotación alrededor del eje X de la región acotada por x = a, x = b, la curva f(x) > 0 y el eje X, probar que los momentos estáticos y de inercia de R respecto del eje de revolución son dadas por:

j

(26)

Jo

f 3(x)dx y I x = ^ f f i (x)dx Z Ja

Calcular el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su eje, si la base del radio es R y la altura es h.

Rpta. l y =

M =6

h

Hallar el momento de inercia respecto del eje X de la superficie generada por rotación, alrededor del eje X, de un arco completo de la cicloide x = a(t —sen t), 2048 _ 4 Rpta. I x = ------ Tía 3

y = a ( l- c o s t) . (28)

Calcular el momento de inercia con respecto al eje de revolución del sólido generado X7

y V2

a 1

b2

.

r

por rotación de la elipse — + — = 1 alrededor del eje X. Rpta. /

8na¿r

15

558


(29)

Encontrar el centroide del sector hiperbólico acotado por la hipérbola equilátera 3 3 71 x= —secG, >>= —t g 0 y los radios vectores 0 = 0 y ^ “ y „ t 1 V2 - 1 Rpta. x = ---- 7=------ , y ln(V 2+l)’ ln(V2 + l)

( 30 )

Encontrar el centroide de área acotada por las curvas y - (x +1)2, x + y = 5, y = 0, ___ 70

X= 2 .

OO

Rpta. (x, y) =(— . — )

Calcular el momento del volumen comprendido en un octante y la elipsoide x2 y2 r2 , , — +V— + — = 1, respecto al plano xy. a~ b~ c~ ^

-

, 2n _ abe n Rpta. 16

^ 2)

Un resorte tiene una longitud natural de 14 cm si se requiere una fuerza de 50 dinas para mantener el resorte estirado 2 cm cuanto trabajo se realiza al estirar el resorte desde su longitud natural hasta una longitud de 18 cm. Rpta. 200 ergs.

( 33 )

Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas, si una fuerza de 20 libras estira el resorte y pulg. Determinar el trabajo efectuando al alargar el resorte de 8 a 11 pulgadas.

( 34 )

Rpta. 108 libr/pulg.

Hallar la longitud de un muelle metálico pesado, si el trabajo efectuado al alargarlo desde una longitud de 2 pies hasta una longitud de 3 pies es la mitad del trabajo efectuado al alargarlo desde una longitud de 3 pies hasta una longitud de 4 pies. 3 Rpta. —pies

( 35 )

Una fuerza de 8 newton estira un resorte de 4m de longitud natural a 50m más. Encuentre el trabajo realizado al alargar el resorte desde su longitud natural hasta 5m. Rpta. 8 Joules

559


(3ó)

Un resorte tiene una longitud natural de 6 pulg. Una fuerza de 12,000 libras comprime el resorte de 5 Vi pulg. Encontrar el trabajo realizado al comprimirlo de 6 pulg a 5 pulg la ley de hooke se cumple para comprimir como para extensión. Rpta. w = 12,000 libr-pulg.

( 37 )

Un tanque de agua en forma de un cono circular recto invertido, mide 20 pies de diámetro en su parte superior y 15 pies de profundidad, sí la superficie del agua esta 5 pies por debajo de la tapa del tanque. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua hasta la parte superior del tanque.

( 35 )

10000 ^ Rpta. —- — n w pies - libra

Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paralelepípedo rectangular de 5 pies de profundidad, 15 pies de ancho y 25 pies de largo. Encuentre el trabajo necesario para bombear el agua del tanque hasta un nivel de lpie arriba de la superficie del tanque. Rpta. 5,362.5 w pies-libras

( 39 )

Un depósito cilindrico vertical de radio 2 metros y altura 6 metros se encuentra lleno de agua. Hallar el trabajo al bombear el agua. a)

Hasta el nivel más alto del depósito.

b)

Hasta el nivel de 5 metros por encima de dicho depósito (suponer que el peso del agua es de 1000 kilos por metros cúbicos).

Rpta.

( 40 )

a)

72,000 n kilográmetro

b)

312,000 n kilográmetro

Un tanque semiesferico con un radio de 6 pies se llena de agua a una profundidad de 4 pies. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua la parte superior del tanque. Rpta. 256 llw pies —libras

(41)

Que trabajo hay que realizar con una grúa para sacar un bloque de hormigón armado del fondo de un rio de !5m de profundidad, si el bloque tiene forma de tetraedro equilátero de lm de lado, siendo al densidad del hormigón 2,500 kgf m3.

560


(42 )

Encontrar ei trabajo que debe hacerse para extraer el agua contenida en un recipiente cónico recto invertido de radio r en la base y la altura h.

( 43 )

a 2h2 2 Rpta. w = — ^ — n p

Un tanque rectangular lleno de agua tiene 2 pies de ancho y 8 pies de profundidad, encontrar al fuerza debida a la presión del líquido sobre un extremo del tanque. Rpta. f = 2.25 w libras

(44 )

Una superficie tiene la forma de un elipse de semi ejes a y b se sumerge verticalmente en un líquido con su eje mayor paralelo a la superficie del líquido hasta que el centro de la elipse se encuentre a una profundidad h. ¿Cuál es la presión del líquido sobre la superficie?. Rpta. f=riabhp

( 45 )

Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con una velocidad que viene dada por la fórmula V - V0 eos wt , donde t es el tiempo y V{) y w constantes. Hallar la ley de la vibración del punto, si t = o, tenia una abscisa x = o. ¿A que será igual el valor medio de la magnitud absoluta de la velocidad del punto durante el período de la vibración?.

(4ó)

Rpta. jc = —sen wt w

Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20p/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con que velocidad llegará? ¿Durante qué tiempo esta subiendo la piedra y qué alto llegará?. 5 5 Rpta. / = —seg. , v = 20p/seg, t = —seg .

( 47 )

Un hombre en un globo suelta sus binoculares cuando se encuentra a 150p. de altura y esta subiendo a razón de lOp/seg, ¿Cuánto tiempo tai dará los binoculares en llegar al suelo y cual es su velocidad de impacto?.

^g)

La región limitada por las gráficas y2 = 20v , \ 2 = 2Q r, gira alrededor de la recta 3x + ¿y + 12 = 0. calcular el volumen del sólido generado.

Rpta. 4000/ri/^

561


( 49 )

La región limitada por las gráficas de

y = x 2„ y = 5

gira alrededor de una recta

oblicua que pasa por el punto A(1,0). Hallar la ecuación de dicha recta, si el volumen del sólido generado es igual a 40V5/rw3 . (50 )

Rpta. 3x —4y—3 = 0

Sea R la región del plano limitado porla parábola y = x 2 -1 y la recta y = x — 1. Determinar el volumen del sólido obtenido por la rotación de la región R alrededor de la recta y = x - 1.

(^l)

La región limitada por las gráficas de

Rpta. ------ u 60 y - jc2, y = 5

gira alrededor de una recta

oblicua que pasa por el punto (-1,0). Hallar la ecuación de la recta si el volumen del sólido generado es igual a 40^5n\?

( 52 )

Rpta. 3x + 4y + 3 = 0

Los vértices de un triángulo son A(0,0), B(a,0), y C(0,^) , a > 0 calcular el volumen del sólido obtenido por la rotación entorno de la recta y = x —a, de la región limitado por el triángulo ABC.

Rpta. —

m3

562


CAPITULO VI

6. 6,1

IN T E G R A C IO N N U M E R IC A INTRODUCCION.» Para calcular la integral definida

r* f( x ) d x , por el teorema fundamental del cálculo,

primero se encuentra una integral indefinida o antiderivada F(x), es decir:

\ bf(x)dx = F(x) / [ = F(b) - F(a) *i y p3n¡2 e dx,

x

J

O

------ d x ,

Jnr2 X

c~ senh x

------- d x % no

Jl

X

existe un método conocido para encontrar primero su integral indefinida o antiderivada, sin embargo si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], la integral definida í f(x)dx existe y es un número único. Para estos casos en que no se Ja puede encontrar la integral indefinida o antiderivada, veremos los siguientes métodos para calcular un valor aproximado de una integral definida y que puede ser utilizados para calcular una integral definida por medio de computadoras electrónicas.

REG LA DEL TRAPECIO^ Si f(x) es una función continua en [a,b] la integral definida es dado por:

f

A x)d x ~ J m

T

f(c¡)A;X

563

In te g r a c ió n N u m é r ic a

geométricamente la suma de Rienmann

n ^ / ( c y)Ayx

es igual a la suma de las

1=1

medidas de las áreas de los rectángulos que están arriba del eje X, más el negativo de los rectángulos que están abajo del eje X.

Para aproximar la medida del área de una región, usaremos trapecios en ves de rectángulos, para este caso también usaremos particiones regulares y evaluaremos la función en los puntos cuyas distancias sean la misma. En la integral definida J f ( x ) d x , al intervalo [a,b] dividiremos en n sub-intervalos b-a , dando n 4* 1 puntos xQ= a , n x 2 = a + 2A x,.. . , x, =a + iAx,..., x„^ =a +( n - l)Ax, xn = b .

cada uno de longitud Ax

xx =a +Ax,

Luego a la integral j bf(x)dx expresaremos como la suma de n integrales definidas. t f ( x ) d x - í 1f(x)dx+ í 2 / ’(*)<**+-..+ í * /(x)¿/x+...+ í " f{x)dx

Ja

Ja

J.v,

Jx¿l

564


f

La integral

Ja

f(x)dx* da la medida del área de la región acotada por el eje X,

n las rectas x = a, x = xx y la porción de la curva P0Pl . Luego a la integral definida rxi Ja

f(x)dx

se puede aproximar por la medida del trapecio formado por las rectas

x = a, x = X], ~ [/f* o )

P0P} y el eje X, donde la medida de este trapecio es

+ /U i)]A x , en forma similar para las otras integrales, pueden ser

aproximadas por la medida del área de un trapecio, mediante el símbolo para la i-ésima integral definida se tiene:

por lo tanto para la integral definida.

|W Ja

*

¿

entonces

\ f(x)dx se tiene: Jo

) + f( x 1)]Ax+± [ /( x ,) + f ( x 2)]Ax+...+ i t/ ( x n l ) + /(* „ )]Ax L L

f f(x)dx ~ “ [/X*„) + 2 /( x ,) + 2(.v2) + ...+2/{xn ,) + f ( x „ )] Ja 2

... (*)

La fórmula (*) se denomina la Regla del Trapecio. OBSERVACION.-

La exactitud de una integral definida por la Regla del Trapecio, se obtiene cuando Ax se aproxima a cero (Ax-*0) y n crece sin límite.

El límite de la aproximación por la regla del trapecio es el valor exacto de la integral definida; es decir:

565

I n te g r a c ió n N u m é r ic a

T = [/(* , )+ /(Jf2)+....+ /(jc„>]Ar+| [ / ( x 0) - / í . t n)]Ax

1 ¡im T = lim 'S' /'(x, )Ax+ /iw —[/(<*)-J(b)]Ax Av— fcll A.v->0 2 i-l //w T - f /(x)dx + 0 OBSERVACION.-

Al aplicar la ley de los trapecios es posible que se cométan errores que denotaremos por eT y que se puedan hallar

mediante el teorema siguiente. TEOREMA.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y que f \ f " existen en [a,b]. i

Si cT =

L

—T , donde T es el valor aproximado de

que se encontró

mediante la Regla Trapecial, entonces existe un número r\ en [a,b] tal que: 2

$3

REGJLA DE SIM PSON. También se conoce con el nombre de la regla parabólica, al calcular la integral definida

Ch

f (x)dx por la regla de los trapecios, los puntos sucesivos en la gráfica

y = flx) eran conectados por segmentos de la línea recta, mientras que en la Regla de Simpson, los puntos son conectados por segmentos parabólicos. La Regla de Simpson da una mejor aproximación que la regla de los trapecios, pero sí, con un mayor esfuerzo.

566


Para establecer la Regla de Simpson veremos primero el teorema siguiente. TEOREMA1. Si

P[}(x0, y {)),

P{ (Xj, y \ ) y P2(x 2 ->'2 ) son tres puntos no

colineales en la parábola de ecuación y = Ax2 +Bx + C %donde y0 ^ 0 , y\ > 0 , y 2 ^ 0, x x = x0 + h , x2 = x0 + 2h , entonces la medida del área de la región acotada por la parábola, el eje X y las rectas x = x0, x = x2 está dado por:

EJE VERTICAL Demostración La parábola de ecuación y = A x 2 + B x +C , tiene ]p i 2

su eje vertical. Como los puntosp 0, p { y p 2 son de la parábola, entonces se tiene:

o

U

h

»U

h— ►!

► y 0 =Axo+Bx0 + C

x

y x = Ax2 +Bxx + C = A(x0 + h)2 + B(x0 +h) + C y 2 = Ax 2 + Bx2 + C = A(x0 + 2h)2 + B(x0 + 2h) + C , de donde se tiene: >’o +

+ >’2

=

+12/?x0 +8//)2>’+ ^(6x0 + 6/?) + 6C

Sea A r el área de la región acotada por la parábola, el eje X y las rectas x = x0, x = x0 + 2h , entonces.

567


Ar = ^ [ A ( 6 x (2

+

12/ix0 + 8//2) + 0(6xn + 6//) + 6C]

Consideremos una función f continua en el intervalo cerrado [a,b] tal que f(x) > 0 y tomemos una partición regular en el intervalo [a,b] de 2n sub-intervalos (2n se usa en b-a vez de n) donde la longitud de cada subintervalo esta dado por Ax =■ 2n

Aproximemos el segmento de la curva

y = flx) de P0 a P2 por el segmento

parabólico con su eje atravez de P(], Px y P2 y de acuerdo al teorema se tiene: La medida del área de la región acotada por esta parábola, el eje X y las rectas x = x0, * = x2 enAx = hes: y (yQ+4>>, + y2) o y ( / ( * 0) + 4 /( x 1) + / ( x 2) ) .

En forma análoga para el segmento de la curva y = f(x) de P2 a P4 se tiene:

-y

(>’2 + 4.v3 + y 4) o

y

( f ( x 2) + 4 /(x 3) + / (x4))

y para la ultima región se tiene:

568


la suma de la medida de las áreas de estas regiones aproxima la medida del área de la región acotada por la curva de ecuación y = f(x), el eje X y las rectas x = a, x = b y como

Chf(x)dx da la medida de la región, entonces una aproximación para esta Jo

integral es:

f f t o d x = % (f{xo) + 4 A.v,) + f ( x 2)) + ^ ( / ( x 2) + 4/Íjfj) + f ( x 4))+...+

Ja

3

J

... (*) A la ecuación (*) se le denomina La Regla de Simpson. OBSERVACION.- Asi como en la regla de los trapecios se comete un error ET, también en la regla de Simpson se comete un error Es y es calculado mediante el teorema siguiente. TEOREMA 2. Si y = f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y si / ' , / " , y f tx existen en [a,b], si Es =

/ ’ "

j

f ( x ) d x - S . donde S es el

Ja'

valor aproximado de | f(x )d x , entonces 3 k e [a,b] tal que: Ja

OBSERVACION.- Si

fíx)

es un polinomio de grado 3 o menor entonces

/ ív(jc)=Ü => Es =0 entonces la regla de Simpson da un valor t»b

exacto para la integral í f ( x ) d x . Ja

569


Al aplicar la regla de Simpson a la integral

Ja

f(x)dx donde f(x) es un polinomio de

tercer grado y tomemos 2n = 2, xn - a . x, =

, x2 =b, Ax =

, el valor

exacto de la integral f j(x)dx: i£ ./( x ) r f x = te c ;/( « ) + Ja

la ecuación (*) se denomina la fórmula Prismoidal.

1 6.4

PROBLEM AS DESARRO LLADOS.-

©

Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para el valor de n indicado

£ ^ \ + x2dx, n = 6. Solución

3 -2 1 Hallaremos Ax = ------= —= 0.16 ; x0 = 2 , x, =x„ +/Ax para i = 1,2...... 6 6 6 £

4 + x 2cLx *

(/(x„) + 2 /(x ,) + 2f ( x 2) + 2/ ( x 3) + 2 /(x 4) + 2 /(x s) + /( x 6))

i

k

Ax 2 1 0.08

/(* ,)

k .^ -.f(x ¡)x

2.236067

0.17888

0

2

1

2.16 2 0.08

2.38025

0.38004

2

2.32

2 0.08

2.52634

0.404214

3

2.48

2 0.08

2.67402

0.42784

4

2.64

2 0.08

2.82304

0.45168

5

2.80

2 0.08

2.977321

0.47571

6

2.96

1 0.08

3.12435

0.49989 2.81825

570


j ^ \ + x 2d x * 2.81825, / ( x ) = ^ l + x 2 ( 2)

Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla del trapecio para el valor indicado de n.

f Vi +x 4d x , n = 6

Jo

Solución Hallaremos Ax = - —- = — 6 3 x0 = 0, x, = x0 + i&x para i = 1,2,...,6 además f ( x i) = ^/l+xf [ 2- J l í S d x

Jo

= Ax[fiXo)+/ {Xe) +f ( x ¡ ) + f ( x 2) + f ( x 3 ) + f ( x A) + / ( Jt5 )] 2 i

*i

0

0

1

1/3 1.0061539

2

2/3 1.0943175

3

1

4

4/3 2.0397289

5

5/3 2.9522956

6

2

£ J l +x* d x « Ax( —

/(* ;)= Vl + *¡4 1.0000000

1.4142136

4.1231056

- 6- + /(jCj) + / ( x 2)+ /(jc3) + / ( x 4) + / ( * 5))

f2-Jl +x^dx * -(2.5615528 + 8.5067095)

Jo

3

f -Jl+xAdx » 3.6894208 aprox.

Jo

571


Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para el valor r1 dx . n=5 r Jo Vi + x 2

indicado de a

Solución A x =

b-a n

a

*“ 0

1

5

5

A x = -----------= — =

0n. 2o .

Hallaremos los valores de x0

= x0 + a x . x2 = x0 + 2Ax , x3 ~ x 0 +3Ax, xA = jc0 + 4Ax , xs = jc0 + 5Ax

Los valores encontrados mostraremos en el siguiente cuadro K Ax

i

T

^1 ■> -y/l+X;

Ajc , r,

.

1

0.1

1 0.2 2 0.1

0.9805806

0.1961161

2

0.4 2 0.1

0.9284767

0.1856953

3

0.6 2 0.1

0.8574429

0.1714985

4

0.8 2 0.1

0.7808688

0.1561737

0.7071068

0.0707106

0

0

5

1

1 0.1

fív. ' ' 1'

1 0.1

Suma total.

0.8801942

1 dx

í ■\/l+jc2 « 0.880 Calculando la integral por el método usual.

f1 . ^ - = ln|jc+V l+jr2 i / = ln(l +-JÏ) - ln l = ln |l + 1.414213 | = 0.88137358 JuV l + x 2

/ü

572


Calculando el error por la regla de trapecio:

1 ? E, = - — {b - a ) f " (A')(Ax)

/ ( * ) = - 7= ^ = = = > / ' ( * ) = ------ f y - = > / " ( * ) = 3 x 2 ( l + x 2 ) 5/2

V l+ x2

(1 + x 2)*

Luego el intervalo [0,1]: /"(O ) = 0, /"(1) = — -— , reemplazando tenemos: 5.6568

- ^ d - 0 ) / " ( l ) ( A x ) 2
1 (3)(0.2)2 ^ E ^ 12 ‘ (5.6568) '

3(0)(0.2)2 (12)(5.6568)

-1.76778x10-3
Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado de 2n. f 2 , dx

, 2n = 8 Solución

r, . 1 A b -a 2 -0 2 1 f(x) = , , Ax ~ ------ “ ------- = —= — ^ |ü ^ 2n 2n 84

xo = 0 , Xj = x0 + iAx = -^-

*2

J

¿r

Ay

- r = = * — (/(O) + 4f { x , ) + 2 /(x 2) + 4/{x3) + 2 /(x 4 ) +

Ü V 1+ * 3

3

+4/(*5 ) + 2 /( x 6) + A f i x , ) + / ( x 8)

573


i

*¡

k

0

0

1 1

1

0.25

4 0.9922 3.9688

2

0.50

2 0.9428 1.8856

3

0.75

4 0.8386 2.5544

4

1.00

2 0.7071 1.4142

5

1.25

4 0.5819 2.3276

6

1.50

2 0.4780 0.9560

7

1.75

4 0.3965 1.5860

8

2.00

1 0.3333 0.3333

/ ( * ¡)

* /( * ¡ ) 1

16.1259 “

£ ©

dx

Ar a — (16.1259) * 1.3438

Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado de 2n. 1

í

X

dx ■, 2n = 4 +X + 1 Solución

/(*)= - 5-^---. Ax =—r -—= - 7 = 0-25 + x +1

2/24

Jt0 = 0 , x{ = x0 + iAx = —

pl

d x

Ar

[ ■“j-------7 * T (/(* o ) + 4/ ( * i ) + 2/ ( x2) + 4 /( x3) + / ( x 4)) x* +x + l 3

Jo

574


— Jojc2 + jt+ l ©

i 0

*¡ 0

k /( * ¡ ) 1 1

1

0.25

4 0.7619 3.0476

2

0.50

2 0.5714 1.1428

3

0.75

4 0.4324 1.7296

4

1.00

1 0.333

0.333

Suma

7.253

*./(*;) 1

« — (1+3.0476+1.1428 +1.7296 + 0.333) * — (7.253) = 0.6044 12V

3

Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado 2n. r1 dx , 2n = 4 Jo Vl+JC2 Solución f ( x)=

dx ... Ax= — 4 ^ 7

4

= - = 0.25 4

f - r ^ = T * 4 r ( /< * 0 > + 4 / ( * l ) + Z / ( * 2 ) + 4 / ( ^ 3 ) + / ( * 4 ))

i 0

*¡ 0

k /(* ¡) 1 1

1

0.25

4 0.9701425

3.88057

2

0.50

2 0.8944272

1.7888544

3

0.75

4 0.8

3.2

4

1.00

1 0.7071068

0.7071068

Suma

10.576531

L /(x ,) 1

575


f1 , =

* — (10.576531) * (0.0833)(10.576531) * 0.8813776 3

1 Calcular el error para la regla de Simpson: Es = ------ (b - a)f* (¿)(Ax) * 180 f ( x ) = ■*** => f iv(x) = 105jt4(l+ x 2) 9/2, como [0,1] Vl+Jt2 / ív(0) = 0 , / " ( ! ) =

105 22.627416

para k = 0 . Es = - - l- ( l) ( 0 ) ( I ) 2 = 0 180 4 k= 1, E = — — (1)(--- — -----)(-)2 = —1.61124*10”* 180 ' 22.627416 4 —1.61124 < ^ < 0 ( 7)

Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla de Simpson para el valor indicado 2n.

f sen x d x , 2n = 6 Jo Solución

f(x) = senx, Ax= —, x0 = 0 , x{ = x0 + iAx 6 i

*¡

k

0

0

1

1

n/6

4

it/18 0.500

0.34906585

2

ji/3

2

7t/18 0.866025

0.302299753

3 n/2

4

it/18

1.0000

0.6981317

4

2n/3

2

n/18

0.866025

0.302299753

5

5ti/6 4

6

JT

1

Ax 3 n/18

/( * ;) 0.000

71/18 0.50000 71/18

0.0000

- y ■/(*:) 0.174532925

0.34906585 0.000000 2.175395831

576


fsenx tic a — (2.175395831) = (0.174532925)(2.175395831) Jo 3 .*.

f senx dx » 0.379678197 Jo

6.5


I.

Usando los métodos de los trapecios y de Simpson, estimar el valor de cada integral, redondear las soluciones de cuatro cifras decimales.

©

r2dx J, tX * n =4

Rpta. T: 2.7500 , S : 2.6667

©

r1 dx --- T ' n = 4 Jol + jc2

Rpta. T : 0.7828 , S : 0.7854

©

-2 1 x3dx. n =4 Jo

Rpta. T : 4.2500 . S : 4.0000

©

f2 1 x 3dx, n = 8 Jo

Rpta. T : 4.0625 , S : 4.0000

II.

Aproxime las integrales usando.

a)

El método de los trapecios.

b)

El

método de Simpson,

©

p*/2 1 cosx d x 9 n = 4 Jo

Rpta.

a)

0.957

b)

0.978

©

f V l + jr3dx, n = 2 Jo

Rpta.

a)

3.41

b)

3.22

©

f -\/xa/i- x d x , n = 4 Jo

Rpta.

a)

0.342

b)

0.372

©

f senx2í¿c, n = 2 Jo

Rpta.

a)

0.334

b)

0.305


511

ñn< 4

©

©

© IV.

©

a)

0.194

ri 2 J e x dx , n = 4

Rpta.

a)

— = 0.212 64

f4 * d x

©

©

Rpta.

Por la regla del trapecio aproximar la integral:

111.

©

I x teje dw n = 4 Jo

__ £

Rpta. 1.13

h \ o +s r* x dx i 2^¡4 + x 2

Jo

, n=6

Rpta. 9.47

f x 2T¡16-x4dx,n = 4

Rpta. 6.156

r4

Rpta. 1.227

^ 1------T ’ n = 4 -1/4 + X'

Por la regla de Simpson, aproximar la integral.

i V m -jc 2dx. 2n = 6

Rpta. 0.561

* .

©

J V i 2 6 - jc3í£c, 2n = 4

Rpta. 35.306

ijx3 - x d x , 2n = 4

Rpta. 11.140

[ Vi + x3í£c, 2n = 6

Jo

Rpta. 3.24

b)

0.186

b)

13f> * 0.035 1024

578


CAPITULO VII

7.

E C U A C I O N E S P A R A M E T R I C A S .-

7.1

REPRESENTACION DE CURVAS EN FO RM A PARAMETRIC A _______________________________________________ Las coordenadas (x,y) del punto P de una curva pueden estar dadas en función de una tercera variable, llamado parámetro es decir:

A la expresión dada en (1) se denomina ecuaciones paramétricas, en donde cada valor de t le corresponde un punto p(f(t). g(t)) del plano XY. El lugar geométrico que describe el punto P se denomina curva parametrizada de la ecuación paramétrica, para obtener la ecuación cartesiana se elimina el parámetro t y de esa manera se obtiene una ecuación en forma cartesiana. y,~ F(x) 6 B(x,y} - 0 Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas. x = 2 t, y = -5l Solución Para trazar la gráfica primeramente hacemos una tabulación

579

E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s

t 0

X

0

1 2

-5

2

-10

4

-1 -2

-2

( 2)

y 0

-4

5 10

x = t - 1, y = r Solución Para trazar la grafica hacemos una tabulación.

X -1

y

0 1

0

1

-1

-2

1

2

L

4

-2 -3

4

t

0

Ejemplos.- Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas pasando a coordenadas cartesianas. x = -I + eos 0 , y = 2 + 2 sen 0 Solución [ jc = —1+ COS0

y = 2 + 2 sen 6

jt + l = cos 6 v-2 , elevando al cuadrado para eliminar el parámetro. ----- = sen^

580


(jc+1)2 + ——— = cos2 0+ sen2fl =1

(jc+ 1)2 +

©

( V —'lì

4

-1 , que es una elipse

x = t, y = Solución Para obtener la ecuación cartesiana, eliminaremos el parámetro t.

Consideremos dos funciones f y g derivables en un intervalo [a,b] tal que: ... (a) son las ecuaciones paramétricas. La derivada — cuando x e y están dados en forma paramétrica se obtiene aplicando dx la regla de la cadena, es decir:

581

E c u a c io n e s a r a m é tr íc a s

dy ~.dt r ßiO. dx dx fiú dt

dv

JfcO / \( { l f\ .'T~ U

para obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir:

d 2y _ d dy dx2 dx dx

d dy dt _ dt dx dx

— (ÉL) d¿d¿_ dx

di d g'U) /'( /) g " ( /) - /" ( /) g ’(/) d 2y _ dif ' j t ) _ dx2 ./'(/) ./'(/) d 2y ÉC2

n (fio ?

Generalizando se tiene:

OBSERVACION.1)

La primera derivada

dx A?*(0 — = - — - nos permite determinar los intervalos de dy f ' d )

crecimiento y decrecimiento de acuerdo al signo de la derivada.

2)

La segunda derivada

L

L

= HIß. ííl ífl£ nos permite determinar la dx2 (/'(O) dirección de la concavidad en cada punto de la curva.

Ejemplo.- Calcular la derivada — de las funciones dadas en forma paramétrica. dx

582


X-

©

/ +1

. í 1 >=W Solución i

x '( t) = -

(/ + 1)2 2/

/ +1

y'U) =

y =í-^ )2 t+\

(/ + !)'

2/

dy_y'V)_ (/ +D' Í¿T

1

jc’( / )

dy dx

2/

t +1

2/

/+1

(/ + 1)2

©

Lv = a(/-sen /) ;r para t = — I y = £/(l-eos 0 2 Solución Íjt = a(/ -sen/) I>’= £/(!-eos/) dy dx

y'(t) jc’(/)

JV(/) = tf(l-COS/) !>•’(/) = asen/

asen/ a(\ -eos/)

sen { 1—eos/

dy dy = 1 => dx t=LL 1-0 dx

=

r/v dx

sen/ 1—eos/

1

Ejemplos.- Encontrar la ecuación de la tangente y normal de la curva especifica en el punto correspondiente al valor dado del parámetro.

©

x —1~ +1, y = t* + 2/, t = -2 Solución El punto para t = -2 es P(5,-12)

583


dy v*(/) 3 r + 2 — = ------= --------dx x'(t) 2i

dv => mi. - — dt r=-2

L, : y + 12 = - —(jc-5 ) 1 2 ? m¡ ------- = — por lo tanto / : y+ 12 = —(x -5 ) m¡ 7 1

©

x = 4cost, y = 2sen2 /, /= — 3 Solución 7T 3 El punto para t =— es P(2,—)

dy _ y'U) _ 4 sen icos/ dx x’(t) -4 sen / mi =

n:

— 3

-co sí

7T

1

3

2

= —eos—= —

7.3

APLIC ACIONES DE EAS ECIJACIONES PARAMETRICAS -

73.1

AREA BAJO UNA CURV A DADA F.N FORMA PAR4METR1CA.Consideremos una curva C definida mediante las ecuaciones paramétricas.

Entonces el área de la región acotada por está curva, el eje X y las rectas verticales x = a, x = b se expresa mediante la integral

584


Ja

donde a y p se determinan de las ecuaciones a = fla); b = f(p) y g(t) > 0 en [u.P] Ejemplo.- Hallar el área contenida en el interior de la astroide r = /;sen3/.

y

=#

co s

/

Solución Aplicando la simetría, el área de la región es dado por ■/< A= 4 f Z(t).f'{t)dt Ja ahora calculamos los límites de integración. x = f (t) = a eos3/ =^> f(a) = 0 => tí eos1a =0 => a = — f(p) = a

=>

c/cos3/i=¿/ => p = 0

/ (t) = a eos3/

/ ’(/) = -3#cos2 /sen/

J'/Jg (/)/',í/)rf/ = 4l a

J

rO., fn» 2,, sen icos'l di

ftsen t(-3a cos~ t sen Delt =\2ah\ t

2

JO

12ab Asen 4/ sen 2/ ,*,2 3ab ,n „ f 3¿7/?7r = ----- (-----0 - ( j) = ------(----------------------- ) / fs //o 24 R 8 2 8 /í = -------U~

1

X

2

L O N G IT U D

U E

A R C O

C U A N D O

L Á

C U R V A . E S

0 A 0 A

i m

E C U A C IO N E S

P A R A M E T R IC A S .-

Si la ecuación de la curva C es dada en forma paramétrica mediante un par de funciones con derivadas continuas, es decir:

585


entonces la longitud de la curva C es:

Ejemplo.- Hallar la longitud del arco de la curva

x = t3,

y = / 2 desde t = 0

hasta t = 4. Solución x =t

v = /2

— =3 r dt

^ = 2/ di

L = f4,/(— )2 + (— )2ífr = Jo v dt Jo

= f4t j 9 r + 4 di =— (9 r + 4)3'2 / 4 Jo 27 '0

= ¿ (3 7 ^ 3 7 -1 )» 27

¿ = ^-(3 7 ^3 7 -1 )»

Si la curva es dada por las ecuaciones paramétricas: C : \ X donde — , — [>• = >•(/) dt dt son continuas en a < t < p, entonces el área de la superficie obtenido por rotación alrededor del eje X, del arco de la curva desde t = a hasta t = p es expresado por la fórmula: jf

A = ln \

jif t ) . H

, m

OBSERVACION.-

:

Vd i

ít t p » d t

Cuando se rota alrededor del eje Y y el área de la superficie es dado por:

A~2ñ

fVoJ(í)2

«ta ■:>.

+ ( $ ) 2d i

586


Ejemplo.- Hallar el ¿rea de la superficie de la esfera engendrada al rotar un círculo de radio 4 alrededor de un diámetro. Solución Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación del círculo de radio 4 es: x 2 + v2 =16, cuyas ecuaciones paramétricas son x = 4 eos t , y = 4 sen t entonces:

— = - 4 sen /, — = 4 e o s /, donde el área de la superficie es dado por: di dt A = 2 n f^ v(í)J(— )2 +(— )2dt = 2 n f 4seiW l6cos2 / + 16sen2 1 dt Ja V dt dt Jo = 211 f l 6sen / dt = -3 2 n eosi /* = 64nw2 Jo

/o

NOTA.- Cuando t varia desde t = 0 hasta t = n se obtiene el semicírculo de diámetro sobre el eje X.

o

Hallar el área de la región bajo un arco de la curva x = at, y = a( 1—eos t).

Hallar el área limitada por la cicloide dada por: x(t) = a(t —sen t), y(t) = a( 1 —eos t), y por el eje X entre dos puntos sucesivos de intersección con el eje X.

587

E c u a c io n e s a r a m é tr ìc a s

Solución A=

í >•(/)*'(/) di Jo' pin

A = a(l-cos/)tf(l -cos/)d/ Jo

. sen2/ ,2^ 7 >í =a~( ---- 2sen/+—-----) / = ¿r (311-0) = 3n¿r 9 a fo Hallar el área de la región limitada por la cardioide

A=3U aû7.

[x = #(2 eos/-eos 2/) [>* = ¿7(2

sen /-sen

2 /)

Solución Como la cardioide es simétrica su área es: rP A = 2 > /í = 2j v(t)x (l)dl [v = a(2 se n i-sen 2t) Jn

J.C)a( 2 sen t - sen 2t )2a(sen 2t - sen t)dt 71 A=&a~7f° (sen/-cos/.sen/)(2sen/cos/-sen/)d/ J tt 7 f° ? ? /! = -8cr sen- /(I-3 eos/+ 2 eos- t)dt Jn

„ 7 , 3 r sen i eos / -, sen 2 / eos 2 / ,o ^ = - 8 a 1 (------ ------- -----sen / ------------------) / 4 2 8 'n A = -8 a 2( 0 - — ) = 6a2n 4

/I = 6 a 2Tl

588

©


x = a(t-sent) Hallar la longitud de un arco completo de la cicloide j* — ¿7(1 - C O S Í )

Solución

[x - a ( t - sen t) \y = a(\ - eos t)

= a^2 J

dx -a (\ -eo s/) ~dt dy = a sen / ~dt

^¡2 sen ~^dt = 2a|

sen ~^dt = 2a[2 eos

= ~Aa[-l -1] = 8a

L = 8a

©

Hallar el área de la figura limitada por el lazo del Folium de Descartes 3a i 3at 2 x =-----y = --------- 1*1. 1+/3 1+|* Solución A=

Ja

x(l) = l + f3

y(t)x'(t)dt donde

3at

3 c (l-2 t3) (1+ r ')

para a = 0, p = +x Luego el área de la región es:

589


r 3a(l - 2 f 3) n f+0° r - 2 / 5 rM J' iar_ di cit = 9a - i Jo i+,3 (1+/3)2 Jo (1 + r3)3 :9^

r ^ Jo

= 9
(ó )

Encontrar

_

_

2 r 4 ± i L rf,]

n + í 3) 3

Jo

1

(r > + i)3

2

,

2(1 + / 3)2 + -------3(1+ r T’)t V o la

longitud

total

= -7

. 3o2 , A = -----u~

de la curva dada por: x = a(2 eos t —eos 2t),

y = a(2 sen t - sen 2t). Solución Como la curva es simétrica con respecto al eje X, y además se tiene que cuando t varia de t = Ohasta t = n el punto P(x,y) recorre la parte superior de la curva, entonces.

L

- 2

Jo Vfdi j

A

^ di

jx = a{2 eos t - eos 2t) |y = ¿7(2 sen/-sen 2t)

di

— =a{-2 sen/+2sen2t) di dv — =a(2cos/-2cos/ 2t) dt

L = 2¡ J a 2(-2 sent + 2 sen 2/)2 + a 2(2 eos/ - 2 eos/ 2t)2 dt h CK f t K 71 1-eos/ = 8a I** dt = 8ij sen—di = -16a eos—/ = 16o Jo Jo 2 2 '0 L = 16a. ©

Calcula el area de la superficie generada por la rotación alrededor del eje X, del arco

590


Solución dx = e'(sen/ + cos/) dt

x - e sent y - e cost

A -

2/rfJo

A =2^2nj

— = er (eo s/-sen /) dt

e 2' cost dt = ^ — (e2f(sent + 2cost))/* ~

.. (i)

í?'eost^Jledt

v(t)J(— )2 +(— )2dt = 2n\ ' \ dt dt Jo

. 2^2n n 2 A - — — (e -2)u

Hallar el área de la superficie generada por la rotación alrededor del eje Y, del arco de la curva >• = —(x2 -2 1 n x ), x e [1,4]. 4 Solución Parametrizando la curva se tiene: x —t 1 7 , t e [1,4], calculando sus derivadas. v= —( r -21n/) 4

— = 1; - = —( / - - ) , de donde el área de la supei *lcie es: dt dt 2 t

= 2/rji4z

^ = 2n [ ' ^ (/+; }2d/

= 2n í —(í+~)dt = n f (l2 +1 )dt = 7r(— + /) / 4 = 24n

Ji 2

/

Ji

3

A = 24m r

'1

591


(?)

Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse a) Del eje OX

b)

2

2

a~

b~

= 1, alrededor:

Del eje OY (a > b)

Solución \~ cr

+

y“ b~

1 parametrizandoésta curva: x = acost , y = b s e n t

Por ser simétrica con respecto al eje X se tiene: Para

x = 0 => / = — ; 2

x = a => t - 0

dx — =- a sen / ^ , que al reemplazar tenemos:

jx = crcos/ I y = 6senf

dt A = 4/r J,,. b sen isla2 sen2 / + 6 2 eos2 / dt = 4/r¿>sent^Ja2 + (b2 - a 2}eos2/ dt

A = 4bn:jn sent ^ a 2 - ( a 2 - b 2)cos2 / d/ = 4ny]a2 - b 2

c o s r sen/ <

. A TTrcos/ I ¿/2 1 a2 â2-b 2 ,o A = 4nâ~ - b ~[—— J •• •• ■ — cos~ / + ---- ----- — aresen------------eos/]/ 2 U 2- ¿ 2 2(a2 - b 2) a ! ”nevaluando y simplificando se tiene:

^ = 2/rfc2 +

E

aresen E donde E =

â2-b 2 a

592


en forma similar para la parte b). a n

2

nb2 . l + £

,

,

„

A = 2m + -----ln(------ ) donde E E 1- E @

4 a 1 - b*

a

Calcular el área de la superficie obtenida al rotar un arco comprendido de la cicloide. \x = a (/-se n /) . < , alrededor de la tangente a la cicloide en su punto mas alto. [y = a(l-co s /) Solución

Un arco completo de la cicloide se obtiene cuando t varia desde 0 hasta 2n, en donde el punto mas alto en este intervalo es cuando dy dy ¿i asen/ , , t dx t = 7i y como — =Jr~ =----------- entonces la pendiente de la tangente es — =0. dx dx a{1-cosf) dt r=n di Luego la ecuación de la tangente es y = 2a. Como la distancia del punto (x,y) de la cicloide a la recta tangente es (2a—y) por lo tanto el área pedida es:

A = 2 n \ 2\ 2 a - . v ) J Á 2 H ^ r d t Jo V dt dt

¡x = a(l-sent) I v = fl(l—eos/)

dx — = a(l-co s/) dt dv — = a sen t di

A - 2 n \ (2a - y h (— ) 2 +(— ) 2d i, reemplazando se tiene: Jo V di dt

593


i f2* i t t i A = 2jia I 2cos~ —.2sen —dt =#a~n Jo

2

2

Jo

21 t eos" — .sen —dt 2

2

7 i 16 a _/r 3r , 2«: 16¿T7Tr t 327tzr ^ = ----------.eos— / = ---------- [ - 1 - 1] = -------** 9 /0 1 L J 2 . 3 2 m 2 -> /í = --------w

7*5

E JE R C IO O S PROFUESTOS -

1.

Construir las gráficas de las siguientes ecuaciones dadas en forma paramétrica: x = 2' + 2 “'

©

y = 2 '- 2 ~ '

©

A: = fl(2cos/-cos2 0 y = ß(2sen/-sen 21)

©

/-I X = ----í+1 1 >=7

a

©

■\/l + r at v=

x =t - t ~

©

©

y =t2- í 3

x = t2 -2t

y = t 2 +2t

©

-t

©

[x = 3seru ly = 4tgísecf

© ©

©

'

jc = -Vi- t >■= aresen r

x = e 2t -1 y =\ - e l [x = /- tg h f I y = sec ht

594


1 / y = ln\í\

jc= -

x =3-Jt—2 y = 2 ^ 4 -/

II.

En cada una de las ecuaciones, encontrar — , dx dx~ x = arctg/

©

y = ln(l + r )

©

[x = a(sen f-/co sí) [y = a(cos/ + /senf)

©

©

Ijc = a eos / iy = a sen t

©

x = ln/

x = aresen/

©

> -/3 x = lní 1 y= i-t x = ln/

x = e eos/

@

y =er sen t

©

©

jx ~aG-asenG |y = a - a c o s 0

©

x = / —sen t

©

y —{t—n)2 III.

en donde:

y -i" y —e +cos/ x - e -sen r x =e 2/ +1, y =l - e '

Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto correspondiente al valor del parámetro que se indica:

©

[x = l + 3sení I v = 2 - 5 cosí

n 6

©

[x = 2 sen/ |y = 5cos/

[x = er(l-sen/) I y = er(l-cos/) ’

n 4

©

x = 2 eos i

©

n /= — 3

,

y = 2

sen3/

n / =— 4

595


2l

x=

©

y=

/3+ 1 , t=0 3?2

n

>' = 2sen3 / ’

3

r3 + 1

[jc= 3 sen / - 8

©

©

x = 4cos/

lv = 5 + 2sen/ '

5;r 4

\x ~ a e cosí

, t=0

IV. (í)

Hallar el área de la región limitada por el astroide x = a eos3 / , y - a sen3 / Rpta.

©

Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide, x = a(t-sen t), y = a (l-c o s t).

©

Rpta. (b2 +2ab)nu2

Hallar el area de la región encerrada por los lazos de las curvas. a)

(? ) w

Rpta. 3a 2n u 2

Hallar el área de la figura limitada por una rama de la Trocoide, x = at —b sen t, y = a - b c o s t, (0 *= 3/ —/ 3

Rpta. ^ ^ - u 2

b)x —/ —/ 2, y - t 3 -3t

81 2 Rpta. — u 20

c)

Rpta.

x = cos3 /, y - eos2 /.sen/

3/r

T

Hallar el área de la región encerrada por las curvas: x = —< ^ —, 1+ r ~ A na(n-2) 2 Rpta. ---------- - u t e [0,+ô>, y el eje Y.

y

1+ /

596 (ó )


Hallar el área de la región limitada por la curva x = a eos5 t , y = b sen5 15a27r 2 Rpta. --------u 128 Calcular el área de la región limitada por la curva cerrada x = -----—, y 1+ r

1+ / ‘

a 2( 4 - n ) n 2 Rpta. ------------- u 4

©

Determinar el área encerrada por el lazo de la curva descrita por: y = í 3 -1 2 /.

©

x =t 2 - 2 1 ,

Rpta. 129.6 u 2

Hallar el área encerrada por el lazo de la curva dada por: x = t 2 - t , y = / 3

-3 /.

81 , Rpta. — u ~ V 20 ©

Hallar el área encerrada por: x = í 3 - t . y - r + t . Rpta. ^ w 2

V. ®

Hallar la longitud del arco de la envolvente del círculo: x = a(cos t + 1sen t), y = a(sen t - 1eos t) desde t = 0 hasta t = T. Rpta.

Hallar la longitud de la envolvente de la elipse

x=

c 2 eos3 / a 3

(c 2 = a 2 - b 2). Hallar la longitud de un arco de y = a( 1 - eos t).

c 2 sen3 1 : b ’

»3

Rpta. A(—------- — ) ab la cicloide dada Rpta. 8a

por:

x a(t —sen t).

591


(T)

Hallar la longitud de la curva dada por: x = a(2 eos t - eos 2t), y = a(2 sen t - sen 2t). Rpta. 16a 2

(T)

Calcular la longitud de la curva cuyas ecuaciones son * = — + / , r

t= 0 h astat= l. (ó )

v = — - / de

Rpta. l + ^ -ln (l+ V 2 )

Determinar la longitud

de la curva x = e ' sen / ,

hasta t = n.

y = e ' eos í , desde t = 0

Rpta.

71) 2

( 7)

Hallar la longitud del arco de la curva cuyas ecuaciones son: x - — , y = — , 2 4 l
(? )

Rpta. -(4V Í7-V 2)H -ln(4 + ^ ? ) 4 1+ ^/2

Encontrar la longitud del arco de la curva dada por: x = l - a tgh(—), a desde t = -a hasta t = 2a.

( 9)

v = a sec h(—) a

Rpta. [ln(cosh2)-ln(cosh(-l))]

Hallar la longitud de la curva dada en coordenadas paramétricas v = e2r eos3/. desde el origen hasta el punto en que t = ln 2.

^ 0)

4

Las ecuaciones paramétricas de una curva son:

las

ecuaciones

paramétricas

Rpta.

|,y = 50(1 - eos / ) + 50(2 *-/) sen / v = 50 sen i + 50(2 - / ) sen /

Determinar la longitud de la curva entre los puntos i = 0 y 1= 2. Determinar

x = e 2í sen 3/,

Rpta.

100

de una curva jrscn/ + ycost = / 2,

x eos l —y sen t = 2t, en donde t es el parámetro, se pide hallar la longitud de la curva •> 71 7l~ + ^4 comprendida entre los puntos 1= 0 y / = — . Rpta. — —— n

59K ^2)


Calcular la longitud de arco de la curva paramctrizada. x = (t2 -2 )sc n / + 2/cos/, v - ( 2 - / 'i )cos/ + 2 /sc n /, desde 1= 0 hasta t = n. n1 Rpta. -y-

^3)

Hallar la longitud de arco de cada un de las curvas siguientes: a)

x = e sen / , y - e 1 eos / , 1 e [0,rc] 2

14j

Rpta.

V2(i' -1) y

1

b)

x = 4 t - v = — + — .desde t= 1 hasta t = 3. S 4/

Rpta.

—

c)

x = ef (cost + /sen /), v = V (se n /-/c o s/) t e [0.2tt]

Rpta.

2U’2*

Calcular ladistancia recorridapor unapartícula que

6 1)

viajaa lo largo de la curva dada

en forma paramétrica v = / 2-3 , y= 3tdurante el tiempo

t e [0,2].

Rpta. 5 —In 3 VI. ©

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotacion alrededor del eje OX, de la cicloide x = a{2 eos t eos 2l), y - a(2 sen t —sen 2t).

©

1^8 i *) Rpta. - j - a~mi=

Hallar el area de la superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide: x = a(t sen t), y = a( 1—eos t) alrededor: a)

del eje OX

64¿?2 Rpta. ------ k u "

b)

del eje OY

Rpta. 16a ~n ~u ~

c)

de la tantieme a la cicloide en su punto supei iur

32a Rpta. -------n u

599


Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje OX, las curvas dadas por:

( 4)

a)

x = acos3t , y = asen* t

Rpta.

b)

y =e * . x > 0

Rpta.

12

5

— a 2n u 2

—

(e"-2)nu2

Encontrar el arco de la superficie generada al girar alrededor del eje X la curva O /*t x = ef sen /, y = e* co sr* /e [ 0 ,—]. Rpta— — (en - 2 )

Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje Y la curva x = t + 1, 2 'y y =— ■ +1. t g [0.4], Rpta. (26^/26 - 2^2 )u 2

600


CAPITULO VIII

8.

COORDENADAS PO LA R ES-

8.1

INTRODUCCION.El sistema de coordenadas polares consiste de una distancia y la medida de un ángulo respecto de un punto fijo y una semirecta fija. El punto fijo se llama el polo (u origen) y se denota por “o’\ la semirecta fija se llama eje polar que denotaremos por OA y se gráfica horizontalmente y a la derecha. el polo

eje polar

o------------------------------------------ ►A Sea P un punto distinto del polo “O” y 0 e ángulo en radianes cuyo lado inicial es ___

___

OA y su lado terminal OP. Entonces: si r es la distancia dirigida desde “O” a V4P” (r = | OP |) un conjunto de coordenadas del punto P está dado por r y 0 y denotaremos por: P(r,0) (ver gráfico).

Ejemplo.- Graficar los puntos PA4,—), A ( 4 - —) , /^ (-4 ,—), f tí- 4 ,“ —) 4 ' 4 4 4 Solución

601

C o o r d e n a d a s P o la r e s

8.2

RELACION ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES,______________ _ _ _ _ _ ___________________ Suponiendo que el polo de un sistema de coordenadas polares coincide con el origen del sistema cartesiano y el eje polar coincide con el eje X en sentido positivo. Luego, cualquier punto P del plano tiene por representación en coordenadas polares P(r,0) y cartesianas P(x,y). P(r,Ö)

En el A OAP se tiene: tg0 =■ 1

1

7

= * “ +>•“

=>

r = - / * 2 + V2

0 = arctg(—) x

602


Que es la relación entre coordenadas polares y cartesianas. 7 Ejemplo.- Trazar el punto (-6,— ) y encontrar sus coordenadas cartesianas. 4 Solución Como x = r eos 0 , y = r sen 0 entonces: x = -6 eos — = -3a/2 4 7?r V= -6 sen— =3^2 4 Luego

( a*, y ) = ( - 3 ^ 2 3 ^ 2 )

Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es dada por jr2 + v2 =ff2 Solución

Se conoce que:

[x = rcos0 I v = rsen0

A'2 = r 7eos" Ô v 2 = r 2 sen ’ (y *>

a “ + ,v - r Coino x 2 + y 2 = a 2 => r 2 = a 2 = > r = a Por lo tanto la ecuación polar es Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es V" —4(x + l) . Solución Se conoce que: x = r eos 0» y = r sen Ü. Lueô reemplazando en la ecuación y■- = 4(x + l)

entonces

r 1 sen2 0 - 4 / eos0 - 4 = 0

r~

sen‘ 0 = 4(r e o s 0 +1 )

de

donde

603


Entonces

2(cos0±l) , , , 2 r = ------- -----de donde r =-------------sen2 6 1—eos0

o

2 r - -----------l + cos0

Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación polar es: r 2 =2 sen 6 . Solución Se sabe que r 1 = x 2 +y 2, y = rse n 0

Como r 2 =2 sen 6 => x 2 + y 2 =

sen 0 = ~ r 2y

V*2 + y 2 (x2 -i-y2h j x 2 + y 2 = 2y Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación es: r 2 = 6 . Solución y v Conocemos que: tg 6 = — => 6 = arctg(—) x x

r 2 = x 2 + y 2 como r 2 =6 => x 2 + j 2 =arctg(—)

O

LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES,_______ ! _ _ _ _________ t________ ■■:" ■ Consideremos la recta L que pasa por el punto A(a,o) y que es perpendicular al eje polar ó a su prolongación, su ecuación cartesiana es dada por x = a. como x = r eos 0 entonces su ecuación polar es: r eos 0 = a. Cuando a > 0, la recta L se encuentra a la derecha del polo; cuando a < 0 la recta L se encuentra a la izquierda del polo.

604


L

L ___ A(a,0)

0

A(a,0)

0

* a<0

a>0

Consideremos una recta L que pasa por el punto A ( a ^ ) que es paralelo al eje polar. Su ecuación cartesiana es y = a, como y = r sen 0,

L 71^ 2 0

entonces su ecuación polar es: rsen 0 = a. Cuando a > 0, la recta se encuentra arriba del eje polar; Cuando a < 0, la recta se encuentra por debajo del eje polar; cualquier recta que pase por el polo, su ecuación es 0 = k, donde k es la medida del ángulo que forma la recta con el eje polar.

La ecuación de la circunferencia con centro en el polo y radio k es r = ± k es decir, el punto P(r,0) pertenece a la circunferencia sí y solo sí | OP |= k .

605


Luego si la distancia | OP |= k , entonces r = ± k es la ecuación de la circunferencia de centro en el polo y radio igual a k.

P(r,0) pertenece a la circunferencia y como AOPA es recto por ser inscrito en una circunferencia. Luego cos0 = — de donde r = 2a eos 0. 2a

1.

Encontrar una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación cartesiana que se indica.

©

x 2 +y 2 + 4x = 0

©

©

x 2 = 6y - y 2

©

©

(x2 + y 2)2 =4(x2 - y 2)

y

x 2 +1

©

3x2 +4>-2 - 6 x - 9 = 0

©

jc4 +jc2>'2 —(x + y ) 2 = 0

© ©

(x2 + y 2)2 =4x2y 2 2 x 2 - y 2 =0

x 3 =4y2

©

x 3 + y 3 -3axy = 0

©

y 2 -4 x-4 =0

2x ©

x 2 + y 2 +4x +4y = 0

7

©

©

V3 X

y “ 2a~ o x / 2 + y 2 x)3 =16x \ f 2 y 2 (x / 2 (x

©

x 2 + y 2 - 4 x + 2y = 0

©

(x2 + y 2)2 =2 a 2xy

6 06

II.

© © © © © © @ © © © © 8.5


Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar dada: r = 3 sen 0 + 5 eos 0 r 2 eos 20 = 10 r 2 =4cos2 0 r = 2 sen 30 r=a0

r 2 =4 sen 26 9 r —------------4 -5 co s0

r = 2 eos 20 /•sen2 6 =4cos0

j*

—

© © © © © © © © ©

6 2 -3 sen 0

r = a sen 0 + b eos 0

r 2 =2sen0 r 2 = eos© r2 = 6 r 6 = r 2 eos2 6 3 r = ------------2 + 3 sen 6

r = 1 + 2 sen 0 r 2 eos 20 = 3 r sen 20 = 3 r = 2(1 + sen 0) 4 3 -2 co sß

t* —

©

r = a(l —eos 0)

TRAZADO DE CURVAS EN COORDEN vDAS POLARES.La gráfica ó lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es: G = {(r.O) c- RxR l r ~ fft))} DISCUSION DE UNA ECUACION POLAR.Para facilitar el trazado de la gráfica de una ecuac ón en coordenadas polares es conveniente establecer el siguiente análisis.

607


ler. Las Intersecciones: a) Con el eje polar: se hace 0 = nn, n e Z b) Con el eje a 90°: se hace 6 =—+nn , n e Z 2do. Simetrías: a)

Con respecto al eje polar: se reemplaza (r,-0) por (r,0) si no cambia la ecuación, la curva presenta simetría.

b) Con respecto a eje a 90°: se reemplaza (r,0) por (r,jr —0) y por (-r,-0) si la ecuación no cambia la curva es simétrica. c)

Con respecto al polo: se sustituye (r,0) por (-r,0) si la ecuación no cambia la curva es simétrica.

3er. Tabulación: Se determinan los valores de r correspondiente a los valores asignados a 0 en el dominio y se ordenan los pares. 4to. Trazado de la Gráñca: En el sistema coordenado se localizan los puntos hallados y se traza la curva. \ M

e j e m p l o s ,-

(!)

r = a(l + eos 0) (La Cardioide)

Discutir y graficar las ecuaciones.

Solución a)

Intersecciones: i)

Con el eje polar: 0 = nrc, n € Z r = a(l + cosmr)


608

i¡)

Sí

n = 0

=>

r = 2a,

S í

n = 1

=>

r =

0,

(O.tt)

si

n = -1 = >

r=

0,

( 0 , - tc )

Sí

n = 2

r = 2a,

C on

e l e je a

=>

—

(2 a ,0 )

( 2 a , 2 7 i) =

:

+

2 si

n = 0 ,

6 =

n

iii) b)

n =

1,

si

n =

-1 ,

C o n

—

,

r =

a,

(a ,— )

G= - j<

r =

0

a^

r =

=>

a>

(a - y ) = ( ° > y )

c o s 0 =

- l

=>

0 =

3n

rr,

Simetrías: i)

C on

r =

¡i)

r e s p e c to a l e je p o la r :

a (l +

eos 0 ) =

a (l +

C o n r e s p e c to a l e je

r =

¡ü )

a (l

C o n

r =

c)

2

r =

e l p o lo :

e Z

2

2

si

(2 a ,0 )

+

eos 6 ) *

+

r e s p e c to a l p o lo :

a( 1 +

eos 0 ) *

a ( 1+

p o r ( r ,0 ).

c o s (-0 ))

0 =

a (l

(r.-0 )

=>

3

s im e lr ia .

71 —

:

(r.0 )

c o s (n - 0 ))

p o r

=>

(r, ü ) p o r (-r, 0 )

c o s (n - 0 ))

(r,7 t — 0 )

=>

2

s im e t r ía

ó

( r , 0 4 - t i)

3

s im e tr ía

Tabulaciones:

0

15°

r

2a

1 .9 7 a

O O

0

1 .8 7 a

4 5 °

60 °

7 v°

9 0 °

1 .7 0 a

1 .5 a

’■ 2 6 a

a

609

Coordenadas Polares UY

r 2 = 5

eos

26

( le m n is c a ta )

Solución a)

Intersecciones: i)

0

C o n e l e je p o la r :

r2 Sí

n =

0,

si

n =

1,

si

n =

-1 ,

0 = 0 ,

0 =

0 =

Z

= n7c, n

€

= 5 eos 2

nn

r =

±4*>

=>

tu, r - ± 4 5 - ti,

r = ± ^ 5

(^ 5 ,0 )

( 4 5 9n ) =>

y

( - ^ , 0 )

y

( - 4 5 9n )

(45,- n ) y ( - 4 5 - n )

610


ii)

C o n e l e je

Sí

ili)

n =

a — : 0 = — 2 2

+ « / r , n e Z

0,

r 2 = - 5 ,

3 r

e

R

r e

R

si

n =

1,

r 2 = - 5 ,

3

si

n =

-1 ,

r2

2 r

C o n e l p o lo

S i

r =

r =

0

= - 5 ,

e

R

0.

eos 2 0 =

6 = —

0

4

b)

4

Simetría: i)

C o n r e s p e c t o a l e je p o la r :

r2=

ii)

C o n

r2 iii)

(r,0 ) p o r (r,-0 )

5 e o s 2 0 = 5 c o s ( - 2 0 ) = 5 e o s 26>

r e s p e c t o a l e je y

:

(r,0 )

= 5 c o s 2 (7 r-0 ) = 5 c o s 2 0

C o n

p o r

(T,n -

=>

eos

26

= (~ r )2 -

r2 ^>3

i ul ulación.

0 0

n 6

R

±-V3

± 1.58

71 ~4

0

Tt

7 a

TT

T a

=>

3

s im e tr ía

0 )

3 s im e t r ía

r e s p e c to a l p o lo : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 )

r 2 =5 c)

2

ó

(r,x t +

s im e tr ía .

0 )

611

Coordenadas Polares

r = 2 sen 3 0

(Rosa de tres pétalos) Solución

a)

Intersecciones: i)

C o n respecto al eje polar:

Q = nn

si n = 0 , 0 = 0 , r = 2 sen 0 = 0 , (0 ,0 ) si n = 1 , 0 = 7i, r = 2 sen 3 n = 0 , (0 ,tt) si n = 2, 0 = 2tc, r = 2 sen 671 = 0, (0,27t) si n = 3, 0 = 371, r = 2 sen 971 = 0 , (0,3tü)

¡i)

C o n respecto al eje a — : 6

=— +nn


612

si

n = 2 , 0 = —

,

r = 2 s e n ^ ^

2

si

iii)

r =

( - 2 ,—

7n 2

—

,

r - 2

21;r

-i

_

s e n ------------ = 2 ,

(2 ,—

2

2 sen 3 0 =

0

)

2

)

2

r = 0

=>

30 =

=>

0

= y

Simetría: i)

C o n r e s p e c to a l e je p o la r : ( r , 0 )

si

ii)

r =

2 sen 3 0 *

2 sen (-3 0 )

C o n r e s p e c t o a l e je a

si

iii)

r =

2 sen 3 0 =

—

2

r =

2 sen 30 =

:

p o r

=>

(r,0 )

(r,0 )

s im e t r ía

p o r

p o r

-2 sen 3 0

(r,-0 )

3

2 s e n 3 (7 i - 0 ) =

C o n r e s p e c to a l p o lo :

si

c)

^

3, 0 =


si

b)

n =

= - 2 ,

3

(r,n - 0 )

3 sen 3 0

=>

B

s im e t r ía

(-r,0 )

=>

3

s im e tr ía .

5 /r

71

Tabulación:

e

R

e

R

71

71

n

Ti

~6

~4

y

1 .4 1 4

2

1 .4 1 4

0

-1 .4 1 4

3n

5n

llT T

T

T

~6

12

0

1 .4 1 4

2

-1 .4 1 4

4n

T 0

12 1 .4 1 4

71

-1 .4 1 4

-2

In

1 3 tt 2

1 .4 1 4

1 7 tt

105°

2

7 2

2n

e 5n T R

n

3n T 2

0

6

-1 .4 1 4

2 8 5 °

1 .4 1 4

-2

5n T 0

ln 4 -1 .4 1 4

613

Coordenadas Polares e

H

23>r

tt

6 r

-2

2n

12 -1.414

0 “V

©

r = a(l - 2 eos 0) Solución a)

Intersecciones: i)

C o n respecto al eje polar: 0 = n n, n e Z n = 0, 0 = 0, r = -a, (-a,0) n = 1, 0 = n, r = 3a, (3a,n) n = -l, 0 = 71, r = 3a, (3a,-7i)

614


s in

=

A0 , 0n

71

=

—

2

,

iii) b)

n =

6

-1 ,

/( a

a,

,— )

2

3/r

r= a. (fl,— )

r =

a,

( a ,- — )

2

2


0

r =

Simetría: i)


r =

¡ i)

a (l -

2 eos 0 ) =

C o n r e s p e c t o a l e je

r =

Iii)

a( 1 -

2 eos 0 )

*

C o n r e s p e to a l p o lo :

r =

c)

r =

3/r

si n = 1,

si

,

a (l —

2

eos 0 ) ^

(r,0 )

a (l -

—

:

2

p o r

(r,-0 )

2 c o s (-0 ))

(r,0 )

p o r

2

a (l -

s im e t r ía

p o r (r,7 i - 0 )

¿7(1 — 2 c o s ( 7 r -

(r,0 )

=> 3

0 ))

(-r,0 )

e o s (7 i +

0 )

ó

=>

3

s im e tr ía

( r jr + 0 ) .

=>

3

s im e t r ía ,

Tabulación:

0

R

0

3n ~12

0

-a

In 12

r

1 .5 1 a

n

n J

-0 .9 5 a

2n 3 2a

n

~4

-0 .7 3 a

-0 .4 1 a

3 ;r

~6

4 2 .4 1 a

L o s d e m á s p u n t o s e s d e c i r d e 7t a

5n

2n

2 .7 3 a

5n

n 1

y

1 7

0

0 .4 8 5 a

\\n

a

2n

12 2 .9 5 a

s e h a c e p o r s im e t

3a

ía .

615

Coordenadas Polares

1-CO S0 Solución a)

Intersecciones: i)

C o n respecto al eje polar: 0 =

si n = 0, 0 = 0 ,

nn, n e Z

2 r =— , 3 r e R 0

si n = 1, 0 =

ti,

r = 1, (l,n)

si n = -1,0 = -n , r= 1, (l,-7t)


616

ii)

C o n r e s p e c to a l e je

Tí

_ _

si n = 0,

y

n

e

Z

/-* ( 2 ,— ) 2

2


r

+nn,

= y

7t _ r = 2>í2»-y)

3;r , r = 2o, si n = l t, 0/i = —

¡ii)

6

:

0

r =

2 =

3

0

q u e v e r if iq u e :

l- c o s f l

b)

Simetría: i)

C on

r e s p e c to a l e je p o la r :

2

(r,0 )

=>

0

3

s im e tr ía

1 -c o s ( - 0 )

7T

ii)

C o n

r e s p e c to a l e je

—:

(r,0 )

p o r (r

r= C o n

nn

- 0 )

=> l- c o s 0

iii)

(r,-0 )

2

1 — eos

c)

p o r


(r,0 )

3

s im e t r ía

1 -C O S 0

l- c o s ( /r - 0 )

p o r

(~ r,0 )

o

(r,7 t +

0 ).

Tabulación:

0

15° 5 7 .1 4

O O r^y

0

4 .9 2

45° 6 .8 2

60°

oc

4

0

105°

120°

135°

150°

165°

r

1 .6

1 .3 3

1 .1 7

1 .0 7

1 .0 1

90°

2 .6 6

2

O O QC

r

75°

1

Coordenadas Polares

r = 3 eos 2 0

617

(Rosa de tres pétalos) Solución

a)

Intersecciones:

i)

C o n el eje polar:

si n = 0, 0 = 0, r

= 3, (3,0)

si n = 1,

0 = 7i, r

= 3, (3,it)

si n = 2 .

0 = 271, r = 3, (3,271) = (3,0)

si n = -1,0 = -7i,

ii)

0 = nn, n e Z

r = 3, (3,-k ) = (3,7r)

71

C o n respecto al eje a y : 6

71

=—+ n n , n € Z


618

O,

6=—.

si

n =

si

n = l ,

si

n =

2, 0 = —

si

n =

- l,

i o 3?r , 6= —

2

^ „

.

iii)

r =

2

-3 ,

r =

r( - 3

-3 ,

_ ,

5 tt.

,

-------- ,

r =

2

-3 ,

r =

3 eos 2 6 =

0

)

2

,

7T

6 =

,—

, ( - 3 ,—

r — -3 ,


co m o

2

1

r =

5n

^

( - 3 .— )

, , 3 ir ) = ( - 3 ,— )

_

(

-

7TX 3

) =

2

2

==> 4

Simetría: i)

C o n

si

ii)

r e s p e c to a l e je p o la r : ( r , 0 )

r =

3 eos 2 0 =

3 eos (-2 0 )

C o n r e s p e c t o a l e je a

si

iii)

r =

3 eos 20 =

—

2

3 eos 2 (n +

:

p o r

=>

(r*0 )

2(n

- 0 ) =

(r,0 )

p o r

3 eos


r =

c)

_ 7T

0

4

b)

,

( - 3 ,— )

0 ) = 3 eos 2 0

3

(r,-0 )

s im e t r ía

p o r

(r,7 t - 0 )

3 eos 0

(-r,0 ) o

= > 3

=>

3

(r,7 i +

s im e tr ía

0 )

s im e t r ía ,

Tabulación:

0

0

n

n

12 r

3

3^3

2

I 3.5

n

J 0

75°

n

90°

y -3.5

3-^3

2

-3

619

Coordenadas Polares

e

120°

105°

n

135°

150°

0

1 .5

165°

4

3^/3 2

r

0 O oc

0 r

3

-1 .5

0

2

195° 3 -V 3

2 1 0 °

2 2 5 °

24 0'

1 .5

0

-1 .5

2 7 0 °

r

-3

28 5° 3

2 5 5 ° _

3

^

2

2

0

3 ^3

^ 2

3 0 0 °

3 1 5 °

3 3 0 °

-1 .5

0

1 .5

3 4 5 °

3-J3 2

3 6 0 ° 3

620 ©

Eduardo Espinoza Ramos r

= 2 —2 sen 6 Solución

a)

Intersecciones:

í)

ii)

iii)

C o n

0 =

si

n =

0, 0 = 0.

r =

si

n =

1 , 0 = 7r,

r = 2 , ( 2 , tt )

si

n =

C o n

-1 ,

U =

- T i,

0,

6

1

n = -371

»

l , 0

n =

si

n = l . f l

si

n

=

C o n

-

y

r =

,

- ~

2,

-

( 2 , - tt) =

n

e

Z

r =

0,

r = 4,

,

r =

2

2 s e n 0 = O

4,

r -

=>

n e

Z

( 0 ,y )

A f( 4A. —

,

( 2 , tt )

0 = ~ +nn,

y .;


2

n ir ,

2 , (2 ,0 )

r e s p e c t o a l e je

si

r =

b)

r e s p e c t o a l e je p o la r :

,A

)

= ( 4 ,- y )

( 4 - ^ )

2

0

sen 0 = 1

=>

6 =

2

Simetría:

h

C on


r = 2 -

ii)

C on

2 sen 0 * 2 - 2

r e s p e c t o a l e je a

(r,0 )

sen (-0 )

y

:

(r,0 )

p o r

=>

(r.-Ü )

3

p o r

s im e t r ía

(r.T i -

0)

r = 2 - 2 sen 0 = 2 - 2 sen (jt - 0) => 3 simetría

621

Coordenadas Polares c)

Tabulación: e

0 n 12

R

2

e

lit

2n

12

T

1.48

R

1.51a

0

7 tt 6

R

3

n

n

2a

5n 4 3.41

7r

5/r

7r

TT

~2

6

7

y

1

0.58

0.26 0.66

3n ~4 2.41a 4 tt

T 3.73

71

llTT

5n

12

~6

2.73a 11 n

0

12 2

3a 3/r

13 tt

\9n

12

T

12

3.92

4

3.93

2.51 5/r

T 3.73

622 ©

Eduardo Espinoza Ramos r =

20, 0 g [0,2tt]

( e s p ir a l d e A r q u ím e d e s )

Solución a)

Intersecciones: i)

ii)

iii)

C o n

si

n =

si

n = l , 0 = T r ,

si

n = 2 ,

C on

0, 0 =

r =

0.

' Q = ~ Y ■> r

1

si

n =

- l,

0

= -

—

2

=

0 ,

0 =

0 ,

n e Z

( 1 2 . 5 7 , 2 tt )

6

3 jr ,

r =

= y

+

un,

n

( 9 .4 2 ,^ )

r = -J t,


2 6 =

n rc ,

(6 .2 8 ,k )

4 7 r,

,

=

(0 .0 )

r= 2 n ;.

r =

0

r e s p e c t o a l e je a 9 0 ° :

n =

C on

0,

0 = 2 7 ü,

si

r =

b)


(3 .1 4 ,-— )

2

0

(0 ,0 )

Simetría: i)


r =

ii)

C o n

2 0

*

2 (-0 )

=>

3

(r,0 )

p o r

(r,-0 )

s im e t r ía

r e s p e c t o a l e je a y

:

(r,0 )

p o r ( r ,jt - 0 )

r = 20* 2( tt- 0) => 2 simetría

e

Z

623

Coordenadas Polares üi)

C o n respecto al polo: (r,0) por(-r,0) o (r,7r + 0) r = 2 0 * 2(7t + 0) = > 2

c)

simetría

Tabulación:

e r

6 r

0 r

0° 0

15° 30° 45° 0.52 1.05 1.57

60° 75° 2.09 2.62

90° 3.14

105°

120°

135°

150°

165°

180°

195° 210°

3.67

4.19

4.71

5.24

5.76

6.28

6.81

225°

240° 255°

270°

300°

315° 330°

360°

7.85

8.38

9.42

10.5

11

12.6

8.9

n Ái

11.5

7.33

624

8.7


EJERCICIOS PROPÜESTOS,D is c u t ir y g r a f i c a r la s s ig u ie n te s c u r v a s

©

r = 4 eos 3 0

©

r =

2 -

r2

=

© ©

( R o s a d e tr e s p é ta lo s )

4 eos 0

©

r =

/■=

( C a r a c o l)

a 2 e o s 26

( L a re c ta )

sen

6

e°

( e s p ir a l lo g a r í t m ic a )

( L a le m n is c o ta )

( ó )

r

( R o s a d e c u a tr o p é ta lo s )

(I? )

r ( l — 2 eos 0 ) =

= ~

( E s p ir a l d e A r q u ím e d e s )

r =

a sen 2 0

©

r =

4 — 4 eos 0

©

r = 6 eos 4 0

12)

r =

3 — 3 sen 0

r =

14)

r =

1+ 2 eos 0

r =

2 eos 2 0

r =

2 a tg 0 - s e n 0

© © 17)

(ío )

7 sen 5 0

r = 2 -

r = b +

2 sen 0

a eos 0

(b >

^ 9 )

r =

i2a^

r = a( 1 — 2 eos 0 )

(

Í23

a (2 + e o s 0 )

a >

0)

( L im z o n )

( C a r a c o l d e P a s c a l)

( C a r a c o l d e P a s c a l)

(1 8 )

(

20)

(

22)

r = 4 sen 2 0

r =

2 (1

r =

26)

r =

r =

3 +

4 eos 0

3 eos 2 0

3 eos©

/* 1-2COS0

©

( S i)

sen©.eos- 6

2S)

;• = 4

20

30)

, 2 = -4 sen 26

O

32)

/• =

1-2 s e n 0

r2

©

r~

= 9 sen

= -2 5

eos 2

( h ip é r b o la )

|2 a e o s 0 |

r =

+ sen 0 )

4

( C is o id e )

625

Coordenadas Polares

© 8.8

r = |cos 20|

(^4)

r = |sen 30|

r = 2 eos 4 0

(3^

r = 6 eos 5 0

DISTANCIA ENTRE DOS POLARES.

PINTOS EN COORDENADAS

Consideremos dos puntos en coordenadas polares

Px(rx, 6 X) y P2 (rl 96 2) y cuyos

c om p o n e n t e s en el sistema de coordenadas cartesianas son

Px (xl 9y \ ) y P2 ( x l 9y 2)

y c o m o la distancia entre dos puntos es d a d o por: d(Pl ,P 2 )= ^ j ( x 2 - x , ) 2 + ( y 2 ~ ^ i ) 2 d(Pi?P2) = ^jx¡ + y¡ + x 2 + y ¡ -2(XjX 2 + y ¡ y 2) d(P¡,P2) = V ri2 + r 2 ~ 2 rxr2 cos(0, - 0 2 )

Solución

d(Pl ,P2) = -y]9 + 2 5 - 2(-3)(5) cos(75° - 45°) = V 3 4 + 3 0 c o s 3 0 ° = ^ 3 4 + 1 5 = ^ 4 9 = 7

d(P1,P2) = 1

626

8.9


INTERSECCION PE CURVAS EN COORDENADAS POLARES. Las

in te r s e c c io n e s

de

r e s o lv ie n d o la e c u a c ió n

Ejemplo.-

dos

c u rv a s

en

c o o rd e n a d a s

p o la r e s ,

se

d e t e r m in a

r y 0.

H a lla r lo s p u n to s d e la

r = a (l +

dadas

2co s 0 ),

r =

in te r s e c c ió n

d e la s c u r v a s

a eos 0

Solución

R e s o lv ie n d o e l s is te m a d e e c u a c io n e s s e tie n e :

a (l +

=>

2 eos 0 ) =

e o s 0 = -1

=>

a eos 0

0 =

71

s u s t it u y e n d o e l v a lo r e n c u a lq u ie r a d e la s e c u a c io n e s s e t ie n e in te r s e c c ió n

e s ( - a ,7 i) ( s i r =

O B S E R V A C IO N .-

0 , a m b a s e c u a c io n e s tie n e n

r =

- a t lu e g o e l p u n t o d e

s o lu c ió n ) .

C o n s id e r e m o s la e c u a c ió n d e u n a c u r v a e n c o o r d e n a d a s p o la r e s .

r-ífe ) la m is m a c u r v a e s ta d a d a p o r :

E n e fe c to :

n =

0,

r =

f(0 )

n =

1,

-r =

f(0

+ 2

p

n)

=>

P(-r,

0

-.(2)

i l t

+ T i)

P (-r. 0 + 2 t t )

n =

2.

r =

f(0

+

2 k)

=>

P (r, 0 +

2n)

p o r lo t a n t o ( 1 ) y ( 2 ) s o n e q u iv a le n te s .

L u e g o

p a ra

h a lla r lo s

p u n to s

M g u e lo s s ig u ie n te s p a s o s :

de

in te r s e c c ió n

de

la s

c u rv a s

r =

f(0 )

y

r =

g (0 )

se

627

Coordenadas Polares 1)

S e obtiene todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (2) en cada u n a de ellas.

2)

Jr = /,(0)

fr

l^g.íe)’

\ r = g 2( e y

= f 2m

\r = h { 0 ) \ r = g 3 l0 )

Se resuelven las ecuaciones simultaneas. | i r - / , » ) V = 8(0I

3)

I r - * , (6)

Se verifica si el polo es u n punto de la intersección haciendo r = 0, en cada ecuación para determinar si existe solución para 0 (no necesariamente la m i s m a )

Ejemplo.-

Hallar los puntos de intersección de las curvas. r = 2 eos 0 y r = 2 sen 0 Solución

Calculando las ecuaciones distintas de las dos curvas para el cual aplicamos. (-l)n r

=f

para n = 1,

(6

+n n ) y n c Z

se tiene:

f—r = 2 eos (0 + n)

jr =

l - r = 2 sen(0 +

\ r - 2 sen 0

n)

2

eos 0

C o m o se obtiene las m i s m a s ecuaciones entonces es suficiente resolver el sistema de ecuaciones iniciales.

Ír = 2 c o s 0 r = 2sen0

=> sen 0 = eos 0 = >

r =2cos— = ^ 2 4

tg 0 = 1 =>

n

0 = — 4

=> r = V 2

luego el punto de intersección de las curvas es

P(-j 2 .— ) 4

628

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.-

Hallar

los

puntos de

intersección de

las curvas r = 4(1 + sen 0) y

r(l— sen 6) = 3 Solución C alculemos las distintas ecuaciones de las curvas dadas, para lo cual aplicamos.

( - l ) V = / ( 0 + /i/r), n e z

se tiene

r = 4(1 + sen(0 + /r)) para n = 1, <

r=

3 l - s e n ( 0 4 - /r )

r = 4(l + sen(0 + 2/r)) para n = 2, «

r = 4(1 — sen 0) \-r

3 1 + sen 0

\r = 4(1 + sen 0)

3

3

l - s e n ( 0 + 2/r)

l-sen0

r —---------------

El sistema (2) va repitiendo, luego para hallar los puntos de intersección resolveremos los sistemas de ecuaciones dada.

r - 4(1- sen 0) r—

3 l+ s e n 0

^ 3 „ J3 eos“0=— = > eo s0 = ± — 4 2

e=~-, e = — , 6

- r = 4(sen-^--l) = — 2 como

1 - sen 2 0

1 + sen 0

6

6

, r-2

r = 4(sen 0 - 1 ) - r = 4(sen-^--l) = - 2 ,

P 3 (2 , ^ ) ,

6

P4(2,-^)

6

r = -2

=— 4

6

Coordenadas Polares

8.10

629

DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES. Consideremos la ecuación de u n a curva d a d a por

C: r = f ( 0 ) S a b e m o s que las coordenadas cartesianas y polares están relacionados por: x ~ r eos 0 ,

y - r sen 6

» . ( 2)

L u e g o al reemplazar (1) en (2) en la ecuación de la curva lo escribiremos en la forma.

;

| y #?:/ ( e ) . s e n ö

que son las ecuaciones paramétricas de la curva con parámetro 0. Ahora

calculamos la derivada de cada ecuación paramétrica con respecto al

parámetro 0.

= f ' (0) eos 0 - / ( 0 ) sen 0

[x = /( 0 ).c o s 0

^

Iv = /( 0 ).s e n 0

dy_ = f ' ( 6 ) sen 0 + f ( 6 ) eos 0 d6

luego calculamos —

es decir

dx

dy dy _ de _ / ' ( 0 ) s e n 0 + / ( 0 ) c o S 0 = r m x g e + m dx dx_ / ’ (O) eos 0 - / ( 0 ) s e n e f (6 ) - / ( 0 ) tg 0

de n dy

r ( 0)lge + f ( 0)

dx

/ ' ( 0 ) - / ( 0 )tgo

—

lgOd e +r

dr__r i ß dB

B

630


tg0.

d y .. dx dr

dr

— i-r

de

-rtgíí

m C o m o la —

dx

representa la pendiente de la recta tangente a la curva, se tiene que:

Si a es el ángulo f o r m a d o por la recta tangente y el eje polar, entonces:

,

r+ ig0. ~

... 4 S L --'•tge

Si P(r,0) es el punto de tangencia y 8 es el ángulo que forma el radio vector

OP y la

tangente, veremos los siguientes casos:

i)

Se deduce que a = 0 + 5 i¡)

=> 5 = a - 0, aplicando tangente se tiene:

tg 5 = tg (a - 0)

631

Coordenadas Polares S= a+ 7T -0

=> f t =7T + ( a - 0 )

de donde

tg 8 = tg{7T + ( a - 0 ) = t g ( a - 0 ) p o r lo t a n t o e n a m b o s c a s o s s i g n i f i c a q u e :

tg 8 = t g ( a - 0 ) d e d o n d e

tg

S

- t 0 = —— — - — 1+ t g a . tg 0

. n dr r + lg6.— com o

tg

a

=

^

ÉL - n g e

de /+tg0.—

d6

dr

rige

de

tg<5 =•

,, dr r + tg£.— 1+

s _ g

tge

r(1+ tg -O )

dr

------(1 + t g

de

Ejemplo.-

r + r tg”e dr 2 n dr — + tr0.— dB B dO

e

dfí dr - — r

de

t

-tg 0

_

2 fl4

5

r

_ /(fl)

dr

0)

------

de

f'(0 ) J ' ’

H a l l a r e l á n g u l o a y 8 , e l v a l o r d e la p e n d i e n t e d e la t a n g e n t e e n e l p u n t o dado.

(?)

r = 4(1 + s e n 0), P(4,0°) Solución

r = 4(] + sen 0) = >

„ dr r + lge.—

*

tg« =

ÉL

de tg a = 1

de

-nge n a= — 4

—

de

= 4 eos 0

=> —

de

4+ 0 t g a = -------- = 1

4-0

= 4 e=o


632

f'(0 )

(?)

w

4

4

r = a(l - eos 0)

0 = - , a > 0

6

Solución

r = a(l — eos 0)

=>

d6>

=

_ a

a sen 6 = > —

rfO e = l ” 2

r = a(l — eos 0) para 0 = —

6

r + tg0.—

=>

r = — (2 - ^ 3 )

2

—(2—y¡3)+—. ^ ~

tga = — — — —

=>

t g a = — --------

^ - r t g e 2

d6 c o m o tg a = 1i => 5

n n => S* ~ a ~ 6a = -----4

6

2

3

a = —^ 4

—

71 12

C o n sideremos u n a función continua y positiva en el intervalo [a,p], suponiendo —► q u e la curva C tenga por ecuación

r = f{0) y dos radios vectores

que pasan por las rectas 0 = a y 0 = p

—►

OP¡ y OP2

Coordenadas Polares

633

Pi

6 =a r = f(0)

El area de un sector circular es igual al semiproducto del radio por el arco.

L u e g o el área del i-ésimo sector circular es:

L u e g o el área de los n sectores circulares es:

Teniendo en cuenta que la integral definida, expresa geométricamente el área bajo u n a curva, por lo tanto el área buscada es el limite de los n sectores circulares, es decir:

A— - Um tim / ft

~ il:p...if r r- m .... ..............— ¿ív 2 2 -la

L u e g o el área determinada por el radio vector de la curva al desplazarse d e la posición —^ —y OPx a la posición OP2 es expresada por la fórmula.

Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = a(l + eos 0). Solución

634

Eduardo Espinoza Ramos 11 rfP 0 r-dO

a=i l

r = f(0) = a(l + cos 0) 0

a = 2[—

2 Jo

-o

1

f

Jo

(l + 2 c o s 0 + c o s 2 6 )d 6

- a 2 (—

A

OBSERVACION.-

Consideremos

.

2

-

dos

a 1 {\ +cos 6 ) 2 d 6 ]

+ 2 sen fl + S e n 4

3¿r;r

----

'0

i

if

~

función

0

)/*

f,g : [a,p] =>

R

< g(G) < f(0), V 0
por los gráficos r = g(0), r = f(0) y las rectas 0 = a

tales

que

y sea

R

y 0 = p entonces el área de la

región R es expresado por la fórmula.

Ejemplo.-

Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a sen 3 0 fuera del círculo r = a. Solución

Sean

rx = 2 ¿ * s e n 3 0 r,

= a

que está

el secto

Coordenadas Polares

635

El v o l u m e n V del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar d e la región R limitada por la curva r = f(0) y las rectas

0 = a y

0 = p es d a d o por

la fórmula,

3

Ejemplo.-

Ja ;________

del

i

Hallar el v o l u m e n del cuerpo engendrado al girar la curva

r = ¿7 e o s 2 6

alrededor del eje polar. Solución

Co n sideremos u n a función

r = f(0) continua

en el

intervalo

[a,p]; c o m o

x = r eos 0, y = r sen 0, por diferenciación se tiene:

ídx = eos 6 .dr - r sen 6 .d 0 \ [dy = sen 6 .dr + r eos 6 .d6

—

(l)

Si en coordenadas cartesianas se tiene ds c o m o la hipotenusa de u n triángulo de catetos dx, dy. Entonces.

(< kf ~(dxfH dy?.

...(2)

636

e=p Eduardo Espinoza Ramos

—

►

x A h o r a reemplazando (1) en (2) se tiene:

(ds )2

= (cos 0 . d r - r sen 6 .d 6 ) 2 + (sen ti.dr + r eos 6 .d6 ) 2

(ds )2 = c o s 2 6 (dr )2 + r 2 s e n 2 6 (d 6 ) 2 - 2 sen 0 e o s 0 .dr.d0

+ s e n 2 6 (dr )2 +

+ r 2 eo s 2 6 (d 6 ) 2 + 2 r s e n 0 eo s O.drdi)

(ds ) 2 = ( s e n 2 0 + eo s 2 6 )(dr ) 2 + r 2 (sen2 6 + e os2 6 )(d 6 ) 2 (ds ) 2 =(dr ) 2 + r 2 (dO)2 extrayendo la raíz cuadrada

ds = 4 ¡ d ñ 2 + r 2 (dO) 2 = J r 2 + ( ~ ) 2 d 6

Integrando a m b o s m i e m b r o s de a hasta p.

que la longitud del arco de la curva desde A hasta B.

TEOREMA.-

Si f es u n a función continua en el intervalo cerrado [a,P], entonces la longitud de la curva r = f(0), desde, está expresado por:

Px(rl 9a ) hasta P2 (r29(})

Coordenadas Polares

637

t Ejemplo.-

Hallar la longitud total de la cardioide r = a(l + eos 0) Solución

r = a(l + cos0)

L=f

Ja

dr

de

= - a sen 0

J/-2 +(r')2dO

c o m o la gráfica es simétrica.

L = 2 ^ -y/o2 (1+ e o s 6 ) 2 + a 2 s e n 2 6 d 6

L = 2-^2 a

18.12

í

Jo

-v/2 e os — d 6 = 8 a s e n — /* = 8 0

2

L = 8a

2 '0

KJKKCl
r 2 = 9 eos 2 0 .

638 ©

Eduardo Espinoza Ramos Hallar el área limitada por la curva

r 2 = a 2 sen 46

Solución Del gráfico se tiene: 1 f*'4 i r * /4 ■> r■ 2rf0] = 2 £ o 2 sen 4 0 ¿ 0

A = 4[— jo A

^

2

<í/\ é7[/A

i4 = — — eos 4 0 / o

2

/f)

d

2

= - —

2

|.

“>

[ - l - l ] =
A = a 2u 2

©

Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de A r q u í m e d e s r = a0. Solución Del gráfico se tiene:

^ *

A

donde,

] #*2K

A=—

rx = a 6 y r2 = a ( 6 + 2 n)

= -[2*[a2(e + 27r)-a2e 2]d0 2 Jo

/.

©

77

(r{ - r,~ )d 6

^ = 8fl2^ 3!/2

Hallar el área d e la región encerrada por la Lemniscata r 2 = 4 sen 2 0 Solución L a gráfica es simétrica con entonces

0 = n/2

e=0 X

respecto al polo,

^ z { r rideH ‘í¡mwM 2

A = - 2 c o s 2 6 / o ' = -2[-l-l] = 4

/.

= 4m

639

Coordenadas Polares ©

Hallar el área de la región encerrada por la curva r = a sen 2 0 Solución C o m o la gráfica es simétrica con respecto a ios dos ejes entonces. 1 cRl- o cKÍ- *> A =4/1, = 4 [ - Jo ¡-dB] = 2jo a 2 sen

2 f/í2

A = a \ (1—

cos4

0 ) í/ 0

Jo

..

©

.

o'tt

=a

2^

s e n 4 0 v ,jt/2

( 6 -------- ) /

2

n

a 27r

= ----2

■ >

A = ---- u~ 2

Encontrar el área c o m ú n de las dos circunferencias r = 2 sen 0 y r = 2 eos 0. Solución U b i q u e m o s la región c o m ú n Calculando las intersecciones ir = 2 c o s 0 r = 2sen0

tg 0 = 1 =>

sen 0 = eos 0

n

6 =—

4

también se intercepta en el polo (origen) es decir para r = 0 se satisface las ecuaciones ] /«TT/4

A = -\

2 Jo

(2sen

1 rntl e ) 2 d 6 + ~~\ 2

-

rn i 4 Jí)

rm l

( 2 c o s 0 ) 2 ¿ 0 = 2 [ s e n 2 0.¿0 + J?r / 4

.4 = n í - c o s z s w s t r o + « » 2 e ) í e = (e - ” “ ) / " 4 + , e + i ? ! “ ) / " ! Jo Jtt.4 2 ' 0 2 ' nl


640

Encontrar el área d e la región acotada por la curva r = 2 a eos 0 y q u e se encuentra

(fy

Hiera del circulo r = a.

ik

Solución

Y

n

Calculando la intersección

/ — /

/

/

~4<— \\ / /* /

'

t \\X °M l ''

3

IV = 2a eos 0

\

\

\

ay

\\

1 Í2a

cosfí = —

2

Ir = a

\

......... *

X

X r

de d o n d e 6

=— , 3

0

=—

3

' C o m o se tiene simetría respecto al eje polar. 1 pR1^ A = 2[— i ( 2 a c o s 0 ) 2 í / 0 - 2 Jo

a dO] = 4a í Jo

2 Jo

eos2 6.d0

n / 3iJcu^ - a 2fde

-i

Jo

. , 2 f/í3 2a l*n 1 2/„ S e n 2 0 4 / ff/3 fiTTT A = 2a J (1 + c o s 2 0 ) d 6 - a ® / 0 = 2cr (0 + — — — ) / () — —

/.

©

.

/4 = a

V 3 t *» (— + — — )«“ 3 2

7 ,Tl

Calcular el v o l u m e n de un sólido obtenido por rotación d e la región acotada por la curva

r = a e o s 2 6 alrededor del eje polar. Solución Por simetría se tiene:

V =2[-y £

V

eos6 0sen0.
y _ 4a37i ^_cos 70 ^ j n .i 1

_ 4a^jz ^ 21

-y

^

641

Coordenadas Polares

®

Calcular el v o l u m e n del sólido obtenido al hacer girar la cardioide r = a(l + eos 0), a > 0 alrededor del eje X. Solución U b i c a n d o la región se tiene:

■>

Del gráfico se observa qu e el sólido de revolución se obtiene de hacer girar alrededor del eje X

la

región de la parte superior de la cardioide.

27T Cn „1 2 n ( l + C O S 0 ) 4 f l 3 tn V= —
7

3

4

/o

3

©

Hallar R:

el

volumen

del

sólido

generado

por

la

rotación

de

la

región

a < r < a 4 2 sen 26 , a > 0, alrededor del eje polar.. Solución

U b i c a n d o la región de las curvas polares q u e encierran c o m o R:

a < r < a^J2 sen 26 ,

a > 0, entonces r = a circunferencia.

r 2 = a 22sen26 ,

0 e [ 0,y]U[/r,—

corresponde a la gráfica de la Lemnicata.

]

donde

la ecuación

r2 -

2a 2 s e n 20


642

Por simetría se tiene

F

= 2[—

V = 2VX

i[(úh/2sen 26) 3 Jtt/12

] s e n O .dB -------------í

3 J/r/12

a

senOMG]

rSa/12

^^ 4/r[f5'1'1 2 2V2(sen20)3/2sen0.
[J*

K

4 ,1a 3

V=

7r/12

^ o 3 2-v/2(sen20)3/z

senfíxiO+ cos6 /

,5»/12 3 [f5íI ‘ V 2 V 2 ( s e n 2 0 ) 3,2 s e n 0 ¿ 0 + - L /12 -yj2.

7T Sea 0 = --- r 4 J*5tt/12

Jff/12

J« 7 !2

.. . d )

= > d 0 = -dz, reemplazando en (1)

1

(sen 26) ' sen

=

_ ií«^ / o - ? -

—= (eos z) “(eos z)dz = *yj2. J 71'^

R e e m p l a z a n d o (2) en (1) se tiene:

F =

[2^2.

3?r + 8 32

+_!_] «y2

.-(2)

643

Coordenadas Polares 0

©

Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola

r = a see 2 (— ), cortado de la

m i s m a por la recta perpendicular que pasa por el polo. Solución

Como

- — <0

2

<— 2

0 o r 2 = a 2 sec4 (— ) d e d o n d e r = o s e c 2 (— )

dr

—

=

de

26 6 a sec— .te— 2 * 2

L = r 2 J o 2 sec4 A + Ö 2 sec4 A tg2 A J-n/2 V

L= [n

2

.0 2 a s e e 3( - ) d O

J-ít/2

©

2

2

2

dO

= 2 a[4 ¿ +ln(-j 2 +1)]

U n móvil recorre u n a pista q u e sigue la trayectoria de la espiral de Arquímedes. Solución

dr

d e

r = a0 = > —

►

Ja V

=a

de

de

L = [2nJ a 2e 2 +a2dO = a t Jo

L =a [-4 Ü ^

2

-^-ê+ ^ü

^ 2

Jo

\ ] j 2" \

\

Jü ^d O

644


L = a[n^J1 + 4tt2 + -i-ln|2tt+ -\/lh-4?r2 |]

(l3)

Hallar la longitud del bucle (Lazo) d e la curva polar r = sec3 (y)

Solución I-

Por simetría se tiene:

L

J'n n> .

f

+(í

i/« ‘

■>,,0 dr 3 6 0 r = see (— ) => -— = sec (— ).tg(— ) 3 de 3 3

) + s e c 6 (|).tg2 (|)

Z, = f l £ s e c 4 (y)rf0 = 1 2 ^ 3

de

/. Z, = 12-^3

8.13


I.

Halle los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones dado:

©

2r = 3 r = 3 sen 6 r = 2cos0

©

{r = 2 s e n 0

©

Y = 4e r =n

©

V = 1- sen 0 r = eos 20

12

©

>

= 3

©

/• - 2 eos 2 0

Ir = l + c o s G

r —2 sen 6 [r = cosí? -1

©

r = eos 26

©

r 2 = 2cos0 r=1

Coordenadas Polares

© ©

©

645

r = 4 tg 0 . s e n 0

r sen 0 = 4

r —4 c o s 0

r eos 0 = 4

r = 2 eos 0

> = tg0

r = 2 ^ 3 sen 0

r = 4sen0

r = 4(1 + sen 0)

r 2 sen 2 0 = 8

r(l-sen0) = 3

rcos0 = 2

= 4

r = sen 0

e=4

II.

r = 4sen0cos2 0

r = 1 + eos 0

r = sen 0

r = l-sen0

Calcular el área de la región de las curvas que se indican y hacer su gráfica.

( í ) r = a eos 0, 0 < 0 <

©

= sen 2 0

nß

Rpta. 0.37

Rpta.

r = a(l - eos 0)

a~ u

a 2u 2

r = 4 eos 2 0

Rpta.

An u 2

r = a eos 5 0

Rpta.

^ — u2

r = a sen 2 0

n . Tía Rpta. — —

(ó)

r = a(l + 2 sen 0), 0 = - - ^ ,

^7)

r = eos 30

0 =

In

Rpta. 2 7T +

Rpta. —u 4

7

u~

3^3

o

646


r = b + a eos 0, (0 < b < a)

©

Rpta.

” 1{ a 2

+ 21J2)

7UJ2

2

2

r = a eos 0

©

Rpta. ------- U 2

2 2 sen 36 r = a ------

Rpta. cr2 ( | - l n 2 ) M 2

r = 2 sen 3 0

Rpta.

n u2

r 2 = 9 sen 2 6

Rpta.

9 u2

r = 4 — 4 eos 0

Rpta. 2 4 n

©

r 2 = 4 sen 26

Rpta. 4

©

r 2 = 2 a 2 sen 30

Rpta.

©

©

©

©

cosí?

u2

u2

4a 2 u 2

III.

n /a

y exterior a r = sen 0

R p ta. — + ----

(V )

Hallar el área interior a r = 4 sen 6 eos2 6

©

Calcular el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 3 0 y exterior al

6

8

q2

círculo r = a, a > 0.

Rpta. —

©

Hallar el área c o m ú n a las cardioides r = a( 1 ±eos 0)

(T)

Hallar el

área encerrada por las curvas

6

( 2 ^ + 3*\/3)w2

3 R p ta. — -—

r = ------ —

a

—8

y r = 2 a en el intervalo de

cos-(-)

0=0 a 6 = - . 2

ti

a 2u 2

Rpta. - ( 3 7 i - 4 ) u 4

647

Coordenadas Polares Calcular el área exterior a la lemniscata

r 2 = 2 a 2 e o s 2 0 c o m p r e n d i d a dentro del

1 circulo r = a .

©

r% "*■3 ^ 3 2 2 Rpta. ----------a u

Hallar el área de la regirá que es interior a la curva r = 3 a eos 2 0 y exterior a la curva r = a ( l + cos20). a > 0 .

Rpta.

4

a 2( 4 n + — 3 VJ nÍ 5- -b6 aa )) D o n d e a es tal eos 2 a

(7)

Hallar el área limitada por la curva r 2

Qj)

Hallar el área limitada por la parábola

r = a sec2 (— ) y las semirectas

(11)

r = 2a eos 3 0 q u e esta fuera del

circulo r = a.

R p ta. — —

Calcular el área de la superficieobtenida

al rotar, alrededor del eje polar,

Lemniscata

R p ta.

r 2 = a 2 eos2 0 .

Hallar el área de la superficie generada

u2

2na 2 ( 2 - ^ ¡ 2 ) u 2

al rotar alrededor del eje X Rpta.

la

la

curva

~

Hallar el área de la superficie generada 1 rotar la curva r = 2a eos 0 alrededor del ejeX.

(1 3 )

y

14-8^2 2 2

r = a(l + eos 0), a > 0, 0 < 0 < Jt.

(12)

0 = —

Rpta. --------- a Lu ¿

Hallar el área de la figura limitada por la curva

©

4

= a 2 sen 40 . Rpta. a 2u 2

n

a 2n

=— -

Hallar el área de la superficiegenerada

*. alrededor del eje a —

Rpta. 4 o 2 tt

alhacer girar la circunferencia r = 2a sen

■ 2 n_ 2 Rpta. 4a

0


648 ^4)

Hallar el área dentro de r = 8 eos 0 y a la derecha de la recta r = 2 sec 0. Rpta.

(l5)

^ ^ - + 4^3

Hallar el área de la región dentro de r = 10 sen 0 y e n c i m a de la recta r = 2 cosec 0.

Rpta. 2 5 / T - 5 8 + 1 0 - V 5 - 5 0 a r c s e n ( - | = ) -v/5 ©

Hallar el área de la región encerrada por las curvas: a)

r = e e , 0 < 0 < n , r = e 6' 2 , 0 < 0 < n y los rayos 0

=2n

y 0 = 3n.

Rpta.

b)

r = e 6 , 2 7 t < 0 < 3 7 t , r = 0, 0 < 0 < n y los rayos 0 = 0 y 0 = Rpta.

^ 7)

71.

j - [ 3 e An (e 2n - ) 2 n 3]

Encontrar el área de la región limitada por la curva.

a)

(x 2

b)

x 4 + y4 =x2 +y2

+y

2) 3

= 4 a 2xy(x 2 - y 2), a > 0 .

Rpta.

a2

Rpta.

IV.

Calcular la longitud de la curva

r - a sec2 (— ) desde 0 = 0 hasta 2r

6 = —

^

Rpta. a [ V 2 +ln(l+-\/2)]

©

Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica

hasta el punto (— ,2).

Rota

r0 = 1

.

*¿)

desde el punto (2,— )

'

649

Coordenadas Polares

©

©

Hallar la longitud de la curva r = 2 b tg 0. sen 0, b > 0 desde 0 = 0 desde 6

Calcular la longitud del arco de la curva O<0< — . 2

©

r = sen3(^-)

Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica

r = aem , ( m > 0),

Rpta.

entre

que se

+

m

Hallar la longitud del arco de la curva

3

Rpta. — (271-3-^3) 8

encuentre dentro del círculo r = a.

(ó)

comprendida

- —.

r = a s e n 1 (— ), a > 0.

Rpta.

2

2 '

Cj)

Hallar la longitud del arco de la curva 6 = — (/■+ — ), desde r = 1 hasta r = 3. 2 r 4 ^

©

Calcular la longitud del arco de la curva

r-

+ ln3 2

6 2 , entre 0 < 0 < tt.

Rpta.

®

G

Rpta.

(lo)

ix

Calcular la longitud del arco de la curva r =
Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola recta perpendicular que pasa por el polo.

Rpta.

—(2n + 3^3) X

r - ¿7sec2 (^-), cortada por la 2a[42 +ln(-s/2 + l)]w

650

(íí)

Eduardo Espinoza Ramos Calcular la longitud del arco de la curva

r=

sen

0

desde

0 e [0,2tt].

Rpta. n ú (12)

Hallar la longitud de la primera espira d e la espiral de A r q u í m e d e s r = a0.

Rpta.

( 13 )

Calcular la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde 4 0, = - . 2 3

(Í 4 )

a n - J ^ ñ 2 + l + —l a \ 2 n + - ^ 4 n 2 + 1 1 2 0,

hasta

3 5 Rpta. ln(— ) + — H 2 12

Si R es la región exterior a la circunferencia r = eos 0 r = 1 — eos 0. calcular la longitud de su perimetro.

e interior a la cardioide

Rpta. 4-^3 + y

©

Calcular la longitud total de la curva r = o s e n 3 (— ). 3

© )

Encontrar la longitud de la espiral logaritmica

3
r = — desde (r,,6 l ) hasta (r 2 ,0 2 ) . 0

Rpta.

© )

aln^ — ^ L l + ^ a 2 + r 2 - ^ j a 2 +r 2 r2 ( a + ^ a 2 + r 2 )

Hallar la longitud de r = 4 — 4 eos 0.

V.

©

Hallar el v o l u m e n del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la figura acotada por la cardioide r = 4 + 4 c o s 0 y las rectas 0 = 0 y 0 = y .

Rpta. 160;r « 3

Coordenadas Polares (7)

651

Hallar el v o l u m e n del cuerpo generado por la rotación de la figura limitada por u n a semi espira de la espiral de A r q u í m e d e s r = a0, desde a > 0, 0 < 0 < ir.

2a * n 2 ( n 2 -6) 3 Rpta. ------- -------- u

©

Hallar

el v o l u m e n del sólido f ormado por rotación alrededor del eje polar d e la curva

. r = 3 sen 20.

( 4)

Hallar

el

576 Rpta. ---- n 35 volumen

del

sólido

generado

por

a < r < a ^ 2 s e n 20 , a > 0 alrededor del eje polar.

la

u

3

rotación

a.3_2 n

Rpta.

de

u

la

superficie

3

242

©

Hallar el v o l u m e n en coordenadas polares por la curva r = a tg 0 al girar alrededor del eje polar y entre los límites 6

= — y 0 = 0. 4

Rpta.

2

^[61n(3 + t / 2 ) - 7 t / 2 ] w 3

652

Eduardo Espinota Ramos

íAPENDICE

I.

LOGARITM OS.a*=N, a>0<=> (1)

loga

(2)

loga —

jr = log a

N

x = e y <=> y = log e x = Lux

AB = loga A + loga B

= log„

A - loga B

B ®

log a

G)

log0 C Í = - l o g a

©

log¿ N = log,, o.loga N

A " = n L o g aA

n

A log N = -y-g b

(cambio de base)

II . ...... ECUACIONES CUART1CAS.x4 + 2 p x 3 + q x 2 + 2rx +

s= 0,

s u m a n d o (ax + b)2

x 4 + 2 p x 3 + q x 2 + 2rx + s + (ax + b)2 = (ax + b)2

x 4 + 2 p x 3 + (a2 + q)x2 + 2 (r + ab)x + s + b 2 = (ax + b)2

(x2 + p x + k)2 = (ax + b )2

x4 + 2 p x 3 + (p2 + 2k)x2 + 2 p k x + k 2 = (ax + b)2

Apéndice

653

2p

k - 2 r ~ lab

p k - r = ab

(p

k - r )2 = a 2b 2 =>

(pk - r)2 = a2 b2 = (p2 + 2 k p - q) (k2 - s) simplificando:

2 k 3 - q k 2 + (2pr - 2s)k - p 2 s - r 2 + qs = 0

Hallando las raíces de k se tiene: (x2 + p x + k)2 = (ax + b)2 Jt2 + ( p - a ) x + k - b x 2 + px + k = ± (ax + b)

de d o n d e

=0

*

x 2 +(p + a ) x + k + b = 0

I1L

ECUACIONES CUBICAS x 3 + p x 2 + qx + r = 0

haciendo x = y - p/3

'*1 ^ qi se transforma en y + (q - p /3) y + ---- ---27 3 i

7

2p

y3 + Q y + R = 0 se hace

donde

y= A + B


654 0

y = k f ( x ) = c=> — = k f ' ( x ) dx

Q)

y =f{x)± g(x)^> — =f'(x)± g (x ) dx

( 4) dx

y = f ( x ) = x"=> — = f ' ( x ) = nxn l

©

y = f ( x ) . g ( x ) ^ — = f'{x).g {x)+ f(x).g '(x)

dx

®

.f(x) dy g ( x ) . f ' ( x ) - f { x ) . g ' ( x ) y - ----- => — = --------------- i---------g(x) dx g(x)~

©

>=(/(*))" = > —

dx

V.

= « í/ ,(jc))""1 ./'(*)

DERIVADAS DE LA S. FUNCIONES TRIGONOM ETRICAS Y SUS 1NVERSAS.©

>» = sen(/(x)) => —

= cos/(x)./*(x)

dx ( 2)

y = cos(/(x)) => — - —s e n ( f ( x ) ) . f ' ( x )

©

y = tg(/(*)) => —

dx

dx ( 4)

= see2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )

y = ctg(/(x)) => —

= - c o s ec2( f (x))./’ (x)

dx ( 5)

y = sec( f (x)) => — = sec( /'(x)).tg(/(x))./'(x) dx

(?)

y = coser(/(x)) => — = - c o s t r ( f (x)).ctg(/'(x))./'(x) dx

Apéndice \ 1 )\

655 r.s. dy y = are. sen,(/(*)) => — =

dx

Jl-f-(x)

v, dy y - arc.cos{f (x)) =>— =—.

W

*

® >• =

rfv

are. tg( / (x)) = > —

f'(X )

■

-/'(*) -

V 1- /

(* )

rw

= ----- V----

<¿v

!+/-(*)

,nl

A , ,, „ dy - f (x) 10} y = arc.e tg( / (x)) ^ — = 2 dx 1 + / (x)

n11) i

/ rt » = > —^ = ■ y = arc.szc(f(x)) 1 ¿y

111

VI, .

y =

-/'(x)

arc.cosec(f (x)) = > —

» w L ' a u i ,A S: FUNCIONES' EXPONENCIALES •V * i OGARITPMICAS.-'

® ©

y =

dy

lo g „ ( / ( x ) )

=>

a * 0 ,1

/'(x)

,v = In(/(x)) rfr

©

logfl e

- f = - ^ - ./ '(x ), í¿í /(x)

>• = fl/(x) => —

=

/(x)

a f( x ) .Ln a . f ( x )

dx ©

v = / <,>

©

y = ( . f ( x f lx) ^> — = g ( x ) ( f ( x ) f ( x y i . r ( x ) + ( f ( x ) f (x)ln ( f( x ) ) .g '( x ) dx

=> — = / M . f { x ) dx


656

VIL

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS INVERSAS.* ©

y = senh ( / (x)) => —

= cosh(/(x))./'(x)

> = c o s h ( / (*)) => —

= senh(/(x))./’ (x)

dx ©

dx >’ = tgh(/(x))=> —

= s e c A 2 (/(.v))./'(x)

dx ©

j> = ctgh(/(x)) => —

dx ©

dx ©

y = sech(f(x))=> — = - s e c h ( f ( x ) ) A g h ( f ( x ) ) . f ' ( x )

y t eos e h ( f ( x ) ) => —

dx

= - c o s ech2 ( f ( x ) ) . f ’(x)

=

- c o s e c h ( f( x ) ) . c tgh(/(x)). f ’(x)

(J7;

«ív >• = ore. senh( A x ) ) => — =

/'(x) ■ -

^ 8)

rfy ± f'(x) y = ore. cosh(/(x)) => — = dx 1/ / 2 ( x ) - l

®

^ =

í/v

r(x)

are. tgh(/(x)) => — = - ^ 5 ------------------ ,-< ffr)< 1 dx 1- f ~ { x )

10)

dv f ’(x) y = arc.c tgh(/(x)) = > — = — — ^---- , dx l - / - ( x )

11 111)

«,/r « => —^ 3;= arc. see h ( f /(x))

dx

(fix)) > 1

= ' /(x)Vl

- f \x)

Apéndice

657

dv 12) y = are. cosech(f (x)) => — = ■

- / ' ( x)

dx |/(x )|V l+ /2(Jc)

...................................................................................................................■'■■■■

©

Jodx = ax +c

© Jd (f(x)) = f{x) +c © J(/(x)±g(x))dx = Jf(x)dx +Jg(x)dx \ x ndx=—-- +c, J /i +1

n*-1

»+1

f undu = —— +c,

©

n*-\

n+ 1

J

J-^=Ln|«| +c

| eVw=eu +c (5 )

®

f audu =+c, J

lno

r

rfw —

a >O, a ^ 1

1 j

u

= — a rc tg — + c

U -Q

^

J uL -a~

2a

u +a

+c

658

Eduardo Espinoza Ramos í/ + tf Jo2-«2

2a

rf«

©

u-a

+ c

.u = are. sen(— ) + c a

j

= Z,wL + ^ u 2 + a 2 + c

©

y¡u~ +a~ + c

^ó) JVa2- i c d u =-^-a/o2-w2+y-c/r.sen—+< ^7) J*Vw2- a 2d u - ^ 4 u 2 -

a 2 - — Lnu + •ju2 - a 2 + c

(l8) JVtr+ a2du = —^ju2 +a2 + — 19J

j sen udu =

(20) Jeos udu =

-cosw + c

sen 1/ + c

(2 1 )

J tg udu =

©

J c tg wí/w = £«|sen

-L«|cos w|+ c

u\ + c

/ see wí/w = ¿;/|sec u + tg «| +

@

1

Lnu + -Ju2 +a2 + c

c

eos ecudu = Líbeos ecu —c tg «| + c

Apéndice

659

©

sec2 udu

©

cos ec2udu =

©

sec w t g u rfw = s e c w + c

©

cos ecu.c tg udu = - cos ecu +

©

senh

©

cosh udu

©

tgh udu = Ln|coshw| + c

©

c tgh udu = L/?|sec hu\ + c

©

sec fru d u = t g h w + c

©

cos ech2udu

©

sec hu. tgh udu = - sec hu +

©

cos ech

© ©

= lgu + c

-clgu + c

c

udu - cosh u + c

= senhw + c

= - c tgh u + c

c

u. c tgh udu = - cos ech u + c

sen (bu)du = <■»(0 sen(,’ ")-

a +bL

e

au

,,

x,

cos (bu)du =

e

au (a cos bu + b sen(bu)) -------- j --- — — + c a +b

♦

c

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M . N. Benlebol, J. M a rgalef

Q 8 )

E je r c ic io s y p r o b le m a s d e m a te m á tic a s u p e r io r T o m o II p o r:

P . D a iik o

P opov.

^19 )

P r o b le m a s y E je r c ic io s d e A n á l i s i s

M a te m á tic o p o r :

B . D e m id o v ic h .

(

20)

P r o b le m a s y E je r c ic io s d e A n á l i s i s

M a te m á tic o p o r :

G . N , B e rm a n

(

21)

C a lc u lo

(

22)

5 0 0 0 p r o b le m a s d e A n á lis is M a te m á tic o p o r :

(

23)

D ife r e n c ia l e In te g r a l T o m o I, I I p o r :

A n á lis is d e u n a V a r ia b le

R e a l p o r:

N . P is k u n o v

B . P . D e m id o v ic h

C e ls o M a r t í n e z . C a r r a c e d o . M ig u e l A . S a n z A lix

(

24)

C a lc u lo D if e r e n c ia l e in te g r a l p o r :

G r a n v ille - S m ith

(

2? )

C a lc u lo c o n G e o m e tr ía A n a lític a

R .E . J o h n s o n — F .L .

p o r:

K io k e m e is te r -

(2 ó )

(

27)

(2 8 )

C a lc u lo p o r:

C a lc u lu s T o m o I , I I

- L a n g le y

E .S . W o lk .

J a m e s S te w a rt

p o r:

M ic h e l S p iv a k

P r o b le m a s d e la s M a t e m á t ic a s S u p e r io r e s

I, IIp o r:

V . B o lg o v , A . K a r a k u lin , R . S h is ta k

( S

(

)

30)

C a lc u lo

D ife r e n c ia l e In te g r a l

p o r:

C a lc u lo I n f in it e s im a l c o n G e o m e tr ía A n a lí t ic a p o r :

C a lc u lo c o n G e o m e tr ía A n a lític a p o r :

(

32)

C a lc u lo d e u n a V a r ia b le p o r :

Y u

T a ke u ch i

G .B . T h o m a s

E d w a rd s y

P enney

F in n e y — D e m a n a K e n n e d y

(

33)

B 4 )

C a lc u lo d e u n a v a r ia b le p o r :

C la u d io

C a lc u lo

A lv a r o

II p o r:

P ita

R u i/

P in z ó n

W a its —

PEDIDOS AL POR M AYOR Y M ENO R AV. GERARDO UNGER N° 247 OF. 202 Urbanización Ingeniería (Frente a ia UNI) Teléfono: 3888564L IM A —PERU

OBRAS DEL ■ Matemática Básica para estudiantes de Ciendás e Ingeniería ■ Análisis Matemático I para estudiantes de Ciencias é Ingeniería ■ Análisis Matemático II para estudiantes de Ciencias é Ingeniería ■ Análisis Matemático III para estudiantes de Ciencias é Ingeniería ■ Análisis Matemático IVpara estudiantes de Ciencias é Ingeniería ■ Transformada de Laplace p Sucesiones y Series Infinitas A Geometría Analítica Plana ■ Vectores, Matrices y sus Aplicaciones ■ Algebra Lineal ■ Rectas, Planos y Superficies ■ Números Complejos y Polinomios ■ Variable Compleja ■ Solucionarlo de Makarenko (Ecuaciones Diferenciales) ■ Solucionarlo de Análisis Matemático f por Deminovich ■ Solucionarío de Análisis Matemático II por Deminovich ■ Solucionarlo de Análisis Matemático III por Deminovich ■ Solucionarlo de Análisis Matemático !I1 por G. Berman ■ Solucionarlo de Leithold 2da. Parte ■ Solucionarlo de Matemática para Administración y Economía de Weber Pre - Universitario: ■ Trigonometría Plana ■ Algebra

ANÁLISIS MATEMÁTICO II - CALCULO II (Espinoza Ramos)

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