Edua Ed uardo rdo Espin Es pinoz ozaa Ram R amos os
736
I. 1)
-\¡x~ + y 2 dxdydz, donde D es el sólido limitado por Calcular la integral triple \ \ \ -\¡x~ ~1
7n 7n
V x + y , z = 1 2)
R p ta . — 6
Calcula Calcularr JJj"cos( JJj"cos(x2 x2+ y 2 + z)dx sólido do acotado acotado por las las z) dxdv dvdz dz , donde D es el sóli superficies*2 superficies*2 + y2 = 2,
x 2 + y2 = 4 , z = 0, z = 4 Rpt Rpta. 7r(cos4-cos8 + co s6 -co s2 )
3)
Calcular j j j ( x2 + y 2)dxdydz, donde la región T está limitada por las superficies
x 2 +. y 2
I6;r
z = ---------- ; z = 2
4)
Rpta. Rpta . ------
JJ jxdx dxdy dydz dz , donde D es el recinto de Calcular JJjx de todos los lo s puntos que cumplen x 2 + y 2 < z 0 < z < 3 , x2
5)
Calcular
Rpta. 0
I I P + y 2)dxdydz, 2)dxdy dz,
donde el dominio D viene determinado por las
D
7
7
7
7
desigualdades z>0, r < x + y + z < R 6)
7
S 5
Rpta. — —(R - r )
dxdydz, donde la región T es la esfera x~ x~ + y 1 +z~ < r 2 . Calcular J"Jj* dxdydz, T
Rpta. 7)
Calcular
4nr3
el dominio T está limitado por el cilindro y* + z 2)dxdydz 2)dxd ydz si el
Integrales Triples
8)
737
Calcular J " J J ( x + y +
2 ) 2 dxdydz, donde
la región T es la parte común del paraboloide
T 2
X
2
+
2
V
2
2
2
2
z > ----- 1— y de la esfera x +v +z < 3a~ 2 a 9)
Calcular
Rpta.
/—
------ ( 18 V3 -—
5
6
)
siendo V el sólido definido por las desigualdades
zdxdydz, v
x 2 + y 2 + z 2 < 1, x 2 + y 2 < z 2, z > 0
'
Rpta. — 8
10) Calcular Í Í U 1+ (jc‘ + y 2 + z 2)Yi dxdydz,s\ T es la esfera x 2 + y 2 + z 2 <, 1 8tt rRpta. — ( 2 V 2 -1 ) 9 11
JJJ ,-
) Calcular
V
= , donde D es la esfera x 2 + y 2 + z 2 <
1
V* 2 + y 2 + ( z - 2 ) 2
d
2 n
Rpta. ---3
l éa " fCay 2xx--xx 1 _ (a (a fr—2 _ 16a2 - 5 ----- rr_ dv I z J x + y dz Rpta.
(2
12) Calcular J dx J ■’o
13) Calcular
Jo '
■'o
[ 2 C - J 2R - X1
14) Calcular J
.
J J
C ^ A R - x 2- y 2
'
dzdydx
+v 1 )//zdxdydz, donde D es la esfera unitaria con centro en el origen
D
Rpta. fl 15) Calcular I I
Jo Jo fff
I
Jo
A n ( e - \ )
/—j--- 2------ 2 J x + y + z dzdvdx ' ' .
------------
3
n
Rpta.
— g .
dxdydz
16) Calcular JJJ — 5----------------------------------------------------------------------------------------2 ----- T
ü (x +y +z )
x 2 + y 2 + z 2 = a 2, x 2 + y 2 + z 2 = b 2, 0 < b < a
Rpta.
4 n Ln(—)
Eduardo Espinoza Ramos
738 - - -
17) Calcular x
2
y
x 2 a
2
z
y2 b
2
— + 72 - +— = 1
a
b
e
w
e
_2 — j)dxdydz, donde D es el sólido limitado por el elipsoide
'
f 4y -- £—y
18) Calcular JJJ 1- -
Aabcn
Rp‘a. — —
5
x 2 2 z2 ~ ~ dxdydz, donde D está definido por —y-+ —y + — < 1 a b e
-4
Rpta.
ab e n 1
2 2
19) Calcular
* +y z dxdydz, donde D es el sólido interior a la superficie
JJJ"«? D
limitado por los planos x + y = 0,
a > 0
z = a,
20) Calcular J"J*J(jc2 + y 2 + z 2)32 dxdydz, donde D está limitado por : x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 n Rpta. --- xyz dxdvdz
r — ...... '■ 21) Calcular JJJ :, donde D es el primer octante de la esfera JJJ L-2 . ..2 . _2 £> Vx +_y + z 5
x 2 + y 2 + z 2 < a*
22) Probar que la integral triple
Rpta. — 40
JJJ d
2 2 2 x y z
|xyz| dxdydz , sobre el sólido D acotado por el 2 2 ' ¡ x 2
+ y J
# elipsoide T + — +~T = 1» tiene el valor a
b
e
+z 80 a 2,b 2e 2
/1 ( b c +c a + ab)
15
{b + c)(c+ a)(a + b)
Integrales Triples
739
23) Calcular \ \ \ [ { x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2] ^ dxdydz, donde D es el sólido esférico de D
radio R y centro en el origen, y (a,b,c) es un punto fijo fuera de la esfera. Rpta. — k R 2( a 2 + b 2 + c 2)~^2
24) Calcular Í Í U x 2 + y 2 + z 2dxdydz, donde D es el sólido limitado por las superficies D
z = J x 2 + y 2 , z = 3
Rpta. (27-^2 ------ )n 2
'
25) Calcular ^^xdxdydz, donde D es el sólido limitado superiormente por la esfera D
2
2
2
.
2
x + y + z = 1 6 e inferiormente por el paraboloide 6 z = x + y
2
Rpta. 0
26) Calcular
+ y 2 dxdydz, donde D es el sólido exterior al cilindro D
2
2
x + y - 2 y = 0 y limitado por las superficies z =
2
2
+y , x +y
2
= z + 12,
Rpta. 410.31
x + y > 0
27) Calcular la integral
ra
(
r y a 2- x 2
------ (
fh
dz
h )dy)dx pasando a coordenadas J-a J-4a2-x2 J—t f + y 2) ^ 2 + y 2 -
4
cilindricas.
28) Calcular la integral
/ ?
Rpta. — mh
p2
(
W 4-.r2
J & - x 2-y 2
.-----( L——
J-2 J—Ji -x 2
(x + y
Jjx2+ y 2
Rpta.
+ z )dz)dy)dx
Eduardo Espinoza Ramos
740
29) Calcular la integral
[R r'jR1-x2 ^ R 2-x2-y2 (¡Z ( ------ (I )dy)dx -
J-
r
J ^ r 2 - x 2
^ j z
Jo
esféricas.
pasando a coordenadas
Rpta. —rtR2 i*2 b
2 b x - x 2
/•-/ 4b 2 - x 2 - y 2
30) Calcular la integral | ( | ^ f(| Jo J ^ l b x - x 2 JO
dz)dy)dx , b > 0.
31) Utilice coordenadas cilindricas para las integrales triples: a)
Evalúe Í J F + y 2 ) dx d v dz en donde
T es
la región limitada por el cilindro
T
x 2 + y 2 =4 y los planos z = -l, z = 2.
b)
Evalúe
Rpta. 24rc
j"JJV dx dy dz en donde T es el sólido que se encuentra comprendido entre T
los cilindros x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 =4 sobre el plano XY y debajo del plano z=x+2. Rpta. 0 c)
Evalúe j j j x 2d x d y d z , en donde T es el sólido que se encuentra dentro del T
• • 2 +2 y = 1 , arriba • del plano z = 0 , y debajo * 1del cono z 2 = 42x +2 y . cilindro* „
d)
2 n a T
Evalúe j"J*J-Jx2 + y 2 dx dy dz en donde T es el sólido limitado por el paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 y el plano XY.
e)
Evalúe JJJ xz dx dy d z , en donde T es el sólido limitado por los planos z = 0, z = y, y el cilindro
x 2 + y 2 = 1
e n el s e m i p l a n o y > 0 .
Integrales Triples
741 fl
p/IT?
1
*2-xI-yI
0
(* »i wi-jf2
e) K
)
¡* w *
(W
32) Utilice coordenadas polares de las integrales triples: a)
Evalúe J J J ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdy dz , en donde S es la esfera sólida unitaria s x 2 + y 2 + z 2 < 1.
b)
Rpta. ^
Evalúe J J j y 2dx d y d z , en donde S es la porción de la esfera sólida unitaria s x 2 + y 2 + z 2 <1 que se encuentra en el primer octante.
Rpta. — 30 c)
Evalúe
JJJ(*2+ y 2 ) d x d y d z , en donde S es la región hemisférica situada arriba D
del plano XY y debajo de la esfera d)
Evalúe f
ffxe(*
x 2 + y 2 + z 2 =1.
*y +I ) d x d y d z , en donde S es el sólido comprendido entre las
s
esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 y x 2 + y 2 + z 2 = 4 en el primer octante.
C)
*>/ x 2 + y 2 + z 2dz)dy)dx
Eduardo Espinoza Ramos
742
33) Calcular
f f f —=-— r"— j d x d y d z , donde T esta limitada por las superficies x + y + 2
x 2 + y 2 = z 2 , x 2 + y 2 = 3 z 2 y x 2 + y 2 + z 2 = 4 .
II.
Problemas de Aplicación 1)
Calcular el volumen del cuerpo limitado por el plano 2 = 0, la superficie cilindrica 1
2
2
2
2
2
x = —(x + y ) y la esfera x + y + z = 4 (en el interior del cilindro).
2
8 Rpta. —(3*r -4)
9
2)
2
2
2
x + y
3)
2
cilindro
í 8 ~ 3>/3 Rpta. 4 m (— - — )
2
= a .
Encontrar el volumen del sólido en el primer octante acotado por el paraboloide 2
2
,
2
z = x + y , el cilindro y = x y los planos y = x, z - 0.
4)
2
Encontrar el volumen del sólido acotado por la esfera x + y + 2 = 4a y el
z
x
2
y
3 Rpta. — 35
2
Encontrar el volumen del paraboloide —= — + — cortado por el plano 2 = 0. -.'••• c a b jtabc
Rpta. ------2 5)
Encontrar el volumen acotado inferiormente por el paraboloide z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 y superiormente por el plano 2 = 2 y.
6)
n
Rpta. — 2
Encontrar el volumen del sólido dentro del cilindro x 2 + y 2 = 2 ax entre el piano 2 = 0 y
Integrales Triples
7)
743
Calcular 2
2
el 2
volumen .
2
2
del 2
sólido
n
por
las
superficies
(3;r~4)
Rpta. -------------------
x + y + z = 4 a , x + y - 2 ay.
8)
encerrado
Hallar el volumen de la región limitada por los cilindros hiperbólicos xy = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 36, y z = 25, y z = 49.
Rpta. 64 9)
2 2 • • •• Hallar el volumen del sólido bajo la superficie z = 4 - x - y , interior al cilindro
2
2
7 Rpta. — n 2
x + y = 1 y sobre el plano xy.
10) Hallar el volumen del sólido acotado por el paraboloide elíptico 3x2 + y 2 = z y bajo el cilindro x 2 + z = 4.
Rpta. 4 m
3
2 2 11) Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies del paraboloide z = x + y y 2
2
2
z = x + 2 y y los planos y = x, y = 2x, x = 1. Rpta. —
12
2 2 2 x +y 12) Hallar el volumen del sólido limitado por encima de la superficie — = ----- j— Y Por z
h
2
2
2
debajo del plano z = h con x + y < a . Rpta.
a
a 2hn
-------
13) Hallar el volumen del sólido limitado por los cilindros z = Ln(x + 2) y z = ln(6 -x) y los planos x = 0, x + y - 2, x - y = 2. Rpta. 4(4-31n3). 2 2 14) Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide (x - 1 ) + y = z y el plano
Eduardo Espinoza Ramos
744
2
15) Hallar el volumen del sólido comprendido entre paraboloide z = x + y 2
2
y el cono
71
z = xy.
Rpta. — el paraboloide 96
16) Hallar el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide y 2 + z 2 = 4 a(x + a) y la 2 2
2
2
esfera* + y + z = c
2
2
( c > a ).
a
Rpta. 2n a(c - — ) 2 2
2
2
17) Hallar el volumen del sólido limitado por: (x + y + z ) = axyz. Rpta.
a
3
-----
360
18) Hallar el volumen del sólido limitado por: (x 2 + y 2 + z 2 ) = a 2z 4 Rpta.
4 na3 21
2
2
2
2
2
2
2
19) Hallar el volumen del sólido limitado por: ( x + y + z ) = a ( x + y ) . Rpta.
64fl3;r 105
20) Hallar el volumen del sólido limitado por: (*” + y Z)~ = a z. 3
Rpta.
a n
-------
21) Hallar el volumen del sólido limitado por: z2
= x 2 + y 2 , * = 0 ,
y
= 0,
z = 0. ( x > 0 ,
2
x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 2 + y 2 + z 2 = 16,
y Z O ,
z>0)
2\(2-J2)
Rpta. --------- —
-n
• 22) Encuentre el volumen de la región D limitada por las paraboloides z = x 2 + y 2 , y z = 3 6 - 3 x 2 - 3 y 2 .
Rpta. 162 n
Integrales Triples
745
23) Obtenga el volumen del sólido limitado por le paraboloide x 2 + y 2 + z = 12 y el plano z = 8.
Rpta. 8 n
24) Determine el volumen del sólido limitado por el paraboloide x 2 + y 2 + z = 1 y el plano XY. 25) Determine el volumen del sólido acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 2 y , el paraboloide x 2 + y 2 = 2 z y el plano XY.
26) Obtengo el volumen del sólido que esta en el interior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 2 z y arriba del paraboloide x 2 + y 2 = z . 27) Hallar el volumen del sólido comprendido entre las superficies z - 5 x 2 + 5 y 2, z = 6 - 7 x 2 - y 2 . 28 ) Hallar
el volumen
del
sólido limitado por las
superficies x 2 + y 2 = z ,
z 2 = 4(x 2 + y 2). 29) Determinar el volumen del sólido acotado por el cilindro x 2 + z 2 = 4 y las superficies x
= z 2 , x - 6
=(z
- 2)2.
30) Hallar el volumen común de las esferas x + y + z =9 y x + y
+(z-2)
=4.
31) Hallar el volumen del sólido que es exterior a la superficie z 2 = x 2 + y 2 e interiormente a la superficie x 2 + y 2 + z 2 = 2ax 32) Calcular la masa del cubo 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z ¿ a s i l a densidad del cubo en el
746 1 'T------------
Ed ua rdo Espi no sa Ramos -
*......... *
11
*
'
i ------ M -
....
33) Encontrar la masa del sólido acotado por una esfera de radio a sí la densidad de 4
5
volumen varía con el cuadrado de la distancia al centro. Rpta. —a n 1 5 2 2 2 . 34) Encontrar la masa del sólido acotado por las esferas x + y + z - 4
y
x 2 + y 2 + z 2 =t 9, si la densidad del volumen en cualquier punto es k-Jx2 + y 2 + z 2 .
Rpta. 65 kn 35) Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide x 2 + y 2 = 2 a z , y la esfera 2
2
2 -2
.k- ! (z > 0) si la densidad en cada pnnto es igual a la suma de los
x + y + z = 3a f
£
f
cuadrados de sus coordenadas
an r - 97 Rpta. ----- (18V3 - — ) 6 5 f
36) Calcular las coordenadas del cehtro de gravedad del cuerpo limitado por las superficies 2
2 2 7 Rpta. (— ,— ) 5 5 30
2
x + y = 1, z = x + y , x = 0, y = 0, z = 0.
\ \ 37) Calcular las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo limitado por las superficies 2
45 Rpta. (3,3,— *) 32
z =xy, x = 5, y = 5, z = Q.
.
.
38) Obtenga el momento de inercia con respecto al eje Z del sótMMttBlOgéneo que está-' 2 2 -2. 2 $ •.**» dentro del cilindro x + y —2x - 0, debajo del cono x arriba del plano XY, la densidad de volumen en un punto cualquiera es Rpta. 39)
512
2
----- k k g - m
Rpta.
-
75
Calcular el momento de inercia del cubo 0 < x < a , 0 < y < a, su arista.
k(en1cg4ml
2 a 5
Q_< z < a, respecto de
Integrales Triples
747
x
2
y
2
2
z 40) Hallar el momento de inercia respecto al eje Z del elipsoide — h— ~+ ~ = U con a b e 2
función de densidad p ( x , y , z) = 1.
Rpta.
Aabcn
--------- ( a
12
2 2 +b )
41) Hallar el momento de inercia del paralelepidedo recto homogéneo de aristas a,b, y a con respecto a cada una de las mismas cuya masa es igual a M. Rpta , - M ( b 2 + c 2), - M ( c 2 + a 2), - M ( a 2 + b 2). 3 3 3
í
42) Si S es el sólido en el primer octante limitado por los planos coordenados, la esfera 2 2 2 . . . x + y + z = 4 y el plano x + y = 1, si la densidad en cada punto (x, y, z) es igualasu distancia al plano XY, hallar la masa de este sólido.
11 Rpta. — 12
43) Hallar el centro de masa del tetraedro de vértices (0,0,0), (a,0,0), (0,¿,0) y (0,0, c), (a,b,c > 0) si la densidad en cada punto (x,y,z) es yz.
2
2
2
a 2b 2
Rpta. (—,— ,—c) 2 3 3
2
44) Del octante de la esfera x + y + z < c , jc>0, y > 0 , z > 0 , se ha cortado el cuerpo OABC, limitado por los planos de coordenadas y por el plano x
y
a
b
— i— = 1 (a < c, b < c). Ver figura.
Eduardo Espinoza Ram os
748
Hallar la masa de este cuerpo, si su densidad en cada punto (x,y,z) es igual a la cota z del mismo.
ab
2
2
2
Rpta .— (6c - a - b ). 24
45) Hallar el momento de inercia del cilindro circular, que tiene por altura h y por radio de la base a, con respecto al eje que sirve de diámetro de la base del propio cilindro. 2 2 a' hn Rpta. (3a +4/; ) ------12
46) Hallar el momento de inercia del cono circular, que tiene por altura h, por radio de la base a y de densidad p, con respecto al diámetro de su base. 2 a.2hp n 2 Rpta.---- — (3a +2/i ) 60 47) Encuentre la masa y el centro de masa del sólido S limitado por el paraboloide z = Ax2 + A y 2, y el plano z = a (a > 0). Si S tiene densidad constante k. Rpta. 7^ — , (0,0,2a) O 48) Encuentre la masa de un hemisferio sólido H de radio a sí la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia al centro de la base. „ n kaA , Rpta. — , k = constante 49) Obtenga la masa del sólido limitado por las esferas x 2 + y 2 + z = 4 y x 2 + y 2 + z 2 = 9 si la densidad voluminica en cualquier punto es k ^ x 2 + y 2 + z 2 . Rpta. 65 krc kg. 50) El sólido homogéneo limitado pro el cono z 2 = A x 2 + A y 2 entre los planos z = 9 y kg
z = 4 tiene una densidad voluminica, en cualquier punto de k (en —- ) calcule el m
momento de inercia respecto al eje Z para este sólido.
32 Rpta. — k n k g t m 2
