Analisis-estructural - Juan Carlos Moya

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

QUITO, D.M. ABRIL 2016

AUTOR:

ING. JUAN CARLOS MOYA MSC. QUITO, D. M., AGOSTO 2017

Análisis Estructural 1

Ing. Juan Carlos Moya H. Mg. Sc

PRÓLOGO

Un curso de Análisis Estructural es la secuencia lógica de los cursos de Mecánica y Resistencia de Materiales correspondientes a la enseñanza básica de la Ingeniería. Además de ser una asignatura indispensable y esencialmente formativa de competencia del Ingeniero Civil, hoy en día se constituye en la parte primordial de la especialización de la Ingeniería Estructural.

El presente trabajo trata de suplementar a los textos tradicionales, sirviendo de ayuda a los estudiantes para que adquieran un buen conocimiento y dominio más completo de los temas de este campo imprescindible en su formación como Ingeniero.

En cada capítulo se inicia con un resumen de las definiciones, principios y teoremas elementales seguidos de un grupo seleccionado de ejercicios resueltos. Se ha dispuesto su resolución de modo que queden claramente establecidos los fundamentos y principios del Análisis Estructural.

El propósito de presentar esta obra es aclarar y ampliar la teoría del análisis de estructuras, la misma que es de vital importancia para una enseñanza eficaz y poner en manifiesto los principales conocimientos sin los cuales el estudiante se encuentra desprovisto de una base firme.

Juan Carlos Moya i



ÍNDICE PRÓLOGO _____________________________________________________ _____________________________________________________ i ÍNDICE _______________________________________________________ ii CAPÍTULO 1: Vigas estáticamente determinadas. ___________________ 1 1.1 INTRODUCCIÓN. _____________________________________________ 1 1.2 CLASIFICACIÓN DE LAS VIGAS. ________________________________ 2 1.3 FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN UNA VIGA _____ 4 1.4 EJERCICIO DE APLICACIÓN. ___________________________________ 6 1.5 DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES _ 9 1.6 RELACIONES ENTRE LA CARGA, LA FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO FLEXIONANTE __________________________________________ 10 1.7 DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES. 14

CAPÍTULO 2: Vigas estáticamente indeterminadas. indeterminadas. ________________ 15 2.1 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS _____________________ 15 2.2 VENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS ____________ 15 2.3 DESVENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS ________ 16 2.4 ANÁLISIS DE VIGAS HIPERESTÁTICAS UTILIZANDO EL MÉTODO ÁREA – MOMENTO ________________________________________________ 17 2.5 APLICACIÓN DEL MÉTODO ___________________________________ 20 2.6 OBTENCIÓN DEL DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES _______ 20

CAPÍTULO 3: Vigas Continuas. __________________________________ 35 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 1. 2. 3. 4. 5.

3.6 3.6.1

3.7 3.7.1

ANÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS ______________________________ 35 TÉRMINOS DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS __________ __________ 35 DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS ________ 38 CÁLCULO DE LAS REACCIONES EN LAS VIGAS CONTINÚAS ______ 40 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE POSITIVO ______________ ______________ 42 PARA CARGA CONCENTRADA._______________________ CONCENTRADA._______________________________________ ________________ 42 PARA CARGA UNIFORME DISTRIBUIDA _______________________________ 43 PARA CARGAS PARCIALMENTE DISTRIBUIDA __________________________ __________________________ 44 PARA CARGA DISTRIBUIDA NO UNIFORME ____________________________ 45 PARA CARGA TRIANGULAR _______________________________ _________________________________________ __________ 46

ANÁLISIS MEDIANTE EL MÉTODO DE LA CADENA ABIERTA. ______ 55 TÉRMINOS QUE INTERVIENE INT ERVIENE EN LA CADENA ABIERTA ________________ ________________ 55

MÉTODO MATRICIAL DE LA FLEXIBILIDAD FL EXIBILIDAD __________________ ______________________ ____ 66 ECUACIONES: CARGA – DEFORMACIÓN ____________________________ 66

CAPÍTULO 4: Método de la distribución de los momentos. momentos. ___________ 73 4.1

MÉTODO DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS MOMENTOS _____________ 73

ii


4.2 4.3 4.4


TÉRMINOS QUE INTERVIENE EN LA CADENA ABIERTA. ___________ ___________ 79 ANÁLISIS MEDIANTE EL MÉTODO MATRICIA M ATRICIAL L __________________ ____________________ 87 DESARROLLO DEL MÉTODO MATRICIAL _______________________ _______________ ________ 88

CAPÍTULO 5: Línea de influencia. ________________________________ 95 5.1 INTRODUCCIÓN _____________________________________________ 95 5.2 DEFINICIÓN DE LA LÍNEA DE INFLUENCIA ___________________ ______________________ ___ 95 5.3 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA REACCIONES EN VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS _______________________________ ______________ ________________________________ _______________________ ________ 96 5.4 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA CORTE Y MOMENTO EN VIGAS SIMPLEMENTE SIMPLEM ENTE APOYADAS. ________________________________ ________________ _______________________ _______ 101 1. MÉTODO DE LAS SECCIONES _____________________________ ______________________________________ _________ 102 MÉTODO GENERAL _________________________________ ____________________________________________________ ___________________ 106

5.5 ANÁLISIS DE LAS CARGAS DISTRIBUIDAS. ____________________ 108 5.6 APLICACIÓN DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA __________________ 115 5.7 ANÁLISIS DE TRENES DE CARGA. ____________________________ 116 5.7.1 OBTENCIÓN DE LA POSICIÓN CRITICA DEL TREN DE CARGAS PARA REACCIONES. ___________________________________________________ 116 5.7.2 DETERMINACIÓN DEL CORTANTE MÁXIMO PARA UN TREN DE CARGA. ________________________________ _______________ ________________________________ _________________________ __________ 126 5.7.3 MOMENTOS MÁXIMOS PARA UN TREN DE CARGA ______________ 131 5.7.4 MÉTODO DE LA DISCRETIZACIÓN DE POSICIÓN ________________ ________________ 136 5.8 TEOREMA DE BARRE _______________________________________ 137 5.9 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA HIPEREST ÁTICA ___ 139 5.10 TEOREMA DE MULLER – BRESLAU ___________________________ 144 5.11 MÉTODO ALTERNATIVO PARA DETERMINAR LAS REACCIONES __ 149 5.12 OBTENCIÓN DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA CORTE Y MOMENTO EN UN PUNTO INTERMEDIO. _____________________________ 150 5.13 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA DEFORMACIONES _______________ 151 1.

TEOREMA DE D E CASTIGLIANO ________________________________________ ________________________________________ 151

BIBLIOGRAFÍA ______________________________________________ 158 ANEXOS. ___________________________________________________ 159 A.1.

MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA.___________________________ 159

A.1.1. Relaciones entre la viga real y la viga conjugada. _______________________ 159 A.1.2. Relaciones entre los apoyos ______________________________ _______________________________________ _________ 160 A.1.3. Ejercicios de Aplicación. ___________________________________ ___________________________________________ ________ 160

A.2.

TABLAS AUXILIARES PARA CÁLCULO ESTRUCTURAL __________ 164

A.2.1. A.2.2. A.2.3. A.2.4.

TABLA Nº 1: Momentos de inercia de secciones rectangulares en (dm4). ____ 164 TABLA N° 2: Cargas parciales uniformemente uniformem ente distribuidas. _______________ 165 TABLA N° 3: Cargas triangulares. _______________________________ ___________________________________ ____ 166 166 TABLA N° 4: Cargas concentradas. conce ntradas. ______________________________ __________________________________ ____ 169

iii



Vigas CAPÍTULO 1: estáticamente determinadas. 1.1 INTRODUCCIÓN. El problema fundamental del análisis estructural y la resistencia de materiales es la determinación de las relaciones que existen entre los esfuerzos y las deformaciones producidas por las fuerzas que se aplican a un elemento o a una estructura. Una viga es un elemento estructural que tiene longitud considerablemente mayor que las otras dimensiones de su sección recta y que soporta cargas perpendiculares al eje de la misma, bajo la acción de estas cargas (solicitaciones externas) la viga se flexiona o se deforma longitudinalmente.

En una viga los efectos de las fuerzas aplicadas son variables de una sección a otra de la viga. Estos efectos son son de dos tipos claramente claramente diferentes la fuerza cortante y el momento de flexión los que a menudo se los define como corte y momento.

1


1.2


CLASIFICACIÓN CLASIFICACIÓN DE LAS VIGAS. VIGAS

ISOSTÁTICAS

SIMPLEMENTE APOYADAS

EN VOLADIZO O CANTILIVER

HIPERESTÁTICAS

CON VOLADIZOS

ARTICULADA

DOBLEMENTE

EMPOTRADA

EMPOTRADA

VIGAS CONTINUAS

Las vigas se clasifican de acuerdo con la forma en que están apoyadas a poyadas en: 1. Vigas estáticamente determinadas o isostáticas las cuales se subdividen: en simplemente apoyadas, vigas con voladizos y vigas en voladizo. 2. Vigas estáticamente indeterminadas o hiperestáticas las cuales se subdividen: en vigas continuas (poseen más de 2 apoyos), vigas articulada- empotrada y vigas doblemente empotradas.

Se debe indicar que las reacciones serán determinadas determinadas mediante mediante las tres ecuaciones de equilibrio estático  Fx  0 ;  Fy  0 y  M  0 si los apoyos involucran únicamente 3 incógnitas. (Vigas estáticamente determinadas). Si están involucradas más de 3 incógnitas la viga es estáticamente indeterminada y los métodos de la estática no serán suficientes para determinar las reacciones; bajo tales circunstancias se deben considerar las propiedades de la viga relacionadas con su resistencia a la flexión. 2



La capacidad de una viga para soportar adecuadamente las cargas aplicadas sobre ella no sólo depende del número de componentes de reacción de sus apoyos, sino también de la disposición disposición de estas. Es posible que una viga viga tenga tantas componentes de reacción como ecuaciones disponibles, e incluso mayor número de aquellas y que aún sea inestable. Tipo

Representación esquemática

Número de Número de incógnitas ecuaciones

Estaticidad

a

3

3

Isostática (viga simplemente simplemente apoyada)

b

5

3

Hiperestática de segundo grado (viga continua)

c

2

3

Inestable

d

3

3

Isostática (viga en voladizo)

e

6

3

Hiperestática de tercer grado (viga doblemente empotrada)

f

4

3

Hiperestática de primer grado (viga en voladizo con apoyo)

Algunos cálculos en la Ingeniería Estructural serían muy difíciles y hasta imposibles si no se hicieran ciertas simplificaciones. Cada vez que se simplifica un ejemplo, se introduce introduce una fuente fuente de error. La suma de errores puede ser significativa. Los factores de seguridad se los los emplea para cubrir la diferencia diferencia entre el cálculo de la estructura estructura y su estado real de servicio. servicio. Para el análisis de vigas se emplearán las siguientes suposiciones: 1. Todas las fuerzas se localizan en el mismo plano a lo largo de la viga y el mismo pasa por los centroides de las secciones transversales. 2. Las secciones transversales son exactamente las mismas a lo largo de toda la viga. 3. Una carga concentrada actúa en un solo punto de la viga y una carga distribuida actúa a lo largo de una línea.

3



4. Las cargas son aplicadas suavemente, sin vibraciones ni impacto. 5. La viga deberá ser diseñada de manera que no flexione, no se pandee ni se rompa. Algunas de estas simplificaciones se modificarán o se las desechará conforme el estudiante conozca más criterios sobre el Análisis Estructural.

1.3

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN UNA VIGA

Una de las leyes fundamentales de la estática dice que, si un cuerpo está en equilibrio, cualquier parte del cuerpo cuerpo también se se encuentra en equilibrio. Esta es la base que permite en la estática la resolución de problemas mediante la aplicación del diagrama de cuerpo libre. Para determinar la fuerza cortante y el momento flexionante en cualquier punto de una viga primeramente se deben determinar las reacciones en sus apoyos. Generalmente es favorable introducir un sistema de referencia a lo largo de la viga con el origen en el extremo de la misma. Es conveniente conocer la magnitud de la fuerza cortante y el momento flexionante en todas las secciones de la viga, para lo cual se aplican dos ecuaciones del equilibrio estático; la primera da la fuerza cortante V cortante V en función de una distancia x a un extremo de ella y la otra da el momento flexionante M en función de x . 

Ejemplo:

4



Al determinar la sección análisis en un punto D de la viga ubicado a una distancia x del apoyo izquierdo de la viga siempre se supondrá que la fuerza interna V está dirigida hacia abajo y el momento interno M en sentido anti horario. Aplicando las ecuaciones del equilibrio estático se tendría:

 Fy  0  M

D

R1 V







P1

R1





P2 P1

  P  x  b  0 P M  R x  P  x  a   P  x  b





0

V 2





0 M  R1 x  P1 x  a 1

1

2

2

Convención de signos

El criterio habitual de los signos en la teoría de Resistencia de Materiales o teoría de Diseño para la fuerza cortante y el momento flexionante se indican en los esquemas siguientes:

Si una fuerza tiende a flejar la viga de modo que produzca tracción en las fibras inferiores se inferiores se dice que produce un momento flexionante positivo y y si la fuerza tiende a flejar la viga de modo que produzca tracción en las fibras superiores se se dice que produce un momento flexionante negativo. Cuando una fuerza que tienda a cortar la parte izquierda de la viga hacia arriba de la parte derecha se dice que produce un esfuerzo cortante positivo , y si fuerza que tienda a cortar la parte izquierda de la viga hacia abajo de la parte derecha se dice que produce un esfuerzo cortante negativo. Un diagrama de fuerzas cortantes o un diagrama de momentos flexionantes es una gráfica que muestra la magnitud de la fuerza cortante y o del momento

5



flexionante a lo largo de la viga en función de la posición de las cargas exteriores. Por lo tanto, indican gráficamente la variación de esas dos magnitudes a lo largo de la viga. Con estos diagramas es muy fácil determinar las solicitaciones máximas de cada una de ellas.

1.4

EJERCICIO DE APLICACIÓN. APLICACIÓN.

Para la viga simplemente apoyada hallar las ecuaciones del esfuerzo cortante y el momento flector a lo largo de la viga y dibujar los diagramas correspondientes.

Ñ Aplicando las ecuaciones del equilibrio estático:

 Fy  0 : 

M A

0

:

RA  RE  800 800  400 400  3 



10 RE  800 800  800 800 

10 RE  22800



RE 

1200  3



Ecuación N° 1

0

2

400 400 5 



2

3

2





9

1200





3

2



0

2280 kg.

Reemplazando en la Ecuación N° 1 el valor de la RE obtenemos el valor de Ra RA  RB  3800





RA  3800  2280  RA  1520 kg.

Si la viga se secciona entre los los puntos puntos A y B siguiente diagrama del cuerpo libre:

6

0

x

1

3

tendríamos el



Aplicando las ecuaciones del equilibrio a la sección se obtiene: 1520 M 1



 V  1



400  x   0  V 1

1520  x   1

400 400

1



2

x 1





2

 1520 

0



M 1

Una sección que pase entre los puntos B y C

400 x 1 

1520 x 1

3

x

1

5



200 200 x 1

2

conduciría al

siguiente diagrama del cuerpo libre:

Aplicando las ecuaciones del equilibrio a la sección se obtiene:

400  3  0  V  320  1520  x   400  3 x  1.5  0  M  320 x

1520 M 2



 V 2 

2

2

2

2

2

 1800

Ahora si tomamos una sección que pase entre los puntos C y D 5  x1  7 obtendríamos

el siguiente diagrama del cuerpo libre:

7




40 400 0  3  0  V  48 480 0 800  1520  x   400 400  3 x  1.5  800 800 x  800

1520 M 3



800 80 0

3

3

M 3



 V 3 



6600



3

3



0

5

480 480 x 3

Finalmente, se pasa una sección en la región entre los puntos D y E 7

x 1

 10;

previamente obtenemos la ecuación de la carga linealmente

distribuida que actúa en dicha sección:

q'





400 x 4



7

   kg 



m 

obtendríamos el siguiente diagrama del cuerpo libre:

Aplicando las ecuaciones del equilibrio a la sección se obtiene: 1520



800 80 0



V 4

 V 4  480 

M 4



800   800

M 4





40 400 0



200 x 4





3



7

1520  x   400 400  3 x 4

6600



4

480 480 x 4







400 40 0 x 4



7



2

2



0



2



 x

800  1.5  800



200 200 x 4 3

8



7



3

4



5 



200 200 x 4 3



7



3



0


1.5


DIAGRAMAS DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES

9


1.6


RELACIONES ENTRE LA CARGA, LA CORTANTE Y EL MOMENTO FLEXIONANTE

FUERZA

Existen relaciones matemáticas muy importantes entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante en una viga. Dichas relaciones proporcionan un método más versátil y simplificado para trazar los diagramas de la fuerza cortante y el momento flexionante sin necesidad de escribir sus expresiones analíticas como se detalló en el proceso anterior. Las relaciones no no son independientes independientes de las definiciones definiciones dadas, sino sino que las complementan y se las utiliza de manera conjunta. Consideremos a una viga solicitada por cargas cualesquiera y tomemos el diagrama de cuerpo libre correspondiente a una sección de longitud diferencial de la viga:


 Fy  0  M

B

:



V   x  V   V





x    x  0 M  V 

2

 x 

2

  0   V    x

 M   M   0   M  V  x 

  x 2

De estas ecuaciones se observa que los cambios en la fuerza cortante y en el momento flexionante están dados por:  V x 





y

M   x

2



V

(despreciando el diferencial

10

  x 2

de segundo orden)

Análisis Estructural Estruct ural 1


Estas dos relaciones son son de mucha utilidad. La primera ecuación indica que la intensidad de variación con respecto a X de la fuerza cortante, en cualquier punto, es igual a la carga distribuida por unidad de longitud en dicho punto; lo cual significa que la pendiente de la curva de la fuerza cortante es igual a la carga en dicho punto. Lo cual representa el valor del área del diagrama de cargas comprendidas en dicha sección de la viga.  V



Integrando la la expresión se obtiene: obtiene:

  x

V 2

X 2

V 1

X 1

  V     x

V 2  V 1    X 2



X 1 

(Área del diagrama de cargas) cargas)

V     X

La segunda ecuación indica que la intensidad de variación con respecto a X del momento flexionante, en cualquier punto, es igual a la fuerza cortante. Lo cual representa el valor del área del diagrama de las fuerzas cortantes comprendidas en dicha sección de la viga.  M

x Integrando la  V  la expresión se obtiene: obtiene:

M 2

X 2

M 1

X 1

  M   V  x

M 2



M 1





V X 2

 M  V   X



X 1



(Área del diagrama de de fuerzas cortantes)

El conjunto de principios que se acaban de exponer sugiere el siguiente procedimiento para el trazado de los diagramas de la fuerza cortante y el momento flexionante: 1. Calcular las reacciones en los apoyos de la viga. 2. Calcular los valores de la fuerza cortante en los puntos de discontinuidad o cambios de cargas mediante: V     X (Área del diagrama de cargas). 3. Trazar el diagrama de la fuerza cortante. 11



4. Determinar los puntos donde la fuerza cortante es nula. 5. Calcular los valores del momento flexionante en los puntos de discontinuidad o cambios de cargas y en los puntos de fuerza cortante es nula empleando para ello:  M  V   X (Área del diagrama de fuerzas cortantes). 6. Trazar el diagrama de los momentos flexionantes.

Ejercicio de aplicación Empleando el método de las áreas dibujar los diagramas de la fuerza cortante y el momento flexionante correspondientes a la siguiente viga.

Aplicando las ecuaciones del equilibrio estático:

 Fy  0 :  M

A

0

800 RA  RE  800

:

10 RE  22800



400 400  3 



10 RE  800 800  800 800 

1200  3 2

400 400 5 



2

3

2







9

Ecuación N° 1

0

1200 2





3



0

 RE  2280 kg.

Reemplazando en la Ecuación N° 1 el valor de la RE obtenemos el valor de Ra RA  RE  3800  RA  3800  2280  RA  1520 kg.

Para calcular las fuerzas cortantes se determina el área del diagrama de cargas entre los puntos A y B, el punto de disco3ntinuidad C y el área del diagrama de cargas entre los puntos D y E 12





Área entre A y B:

A1



Área entre D y E:

A2

400  3  1200 kg



1200  3 2





1800 kg

Los valores de las fuerzas cortantes en la viga serían: 

V A



R A



V B



V A





V C



V B





V D



V C



V E

80  1800  2280 kg  V D  A2  4



1520 kg  1520  1200 

A1 F C





320 320

CTC





800 800



320kg 480 480 kg



480 480 kg



Para calcular los momentos flexionantes se determinan primeramente las áreas del diagrama de las fuerzas cortantes entre los puntos A y B, entre B y C, el punto de discontinuidad C y el área del diagrama de las fuerzas cortantes entre los puntos C y D y entre D y E 320   1520  320   3  2760 kg  m 2  

Área entre A y B:

A3  

A4



Área entre B y C: Área entre C y D:

A5



Área entre D y E:

A6  48 480 0  3  





 

320  2 480 480  2

 

640kg 960 960 kg

 

m

m

 3  1800    3240 kg  m 3  

Los valores de los momentos flexionantes en la viga serían: 

M A



0kg



M B



M A



A3

 0 



M C



M B



A4





M m áx



M D





M E







m

M  M C

M m áx



M D

A6



A5

2760



2760 kg



m

3400 kg

m

2760



640 64 0



800 80 0



3400



4200 kg



m



4200

960 96 0



3240 kg



m



3240







3240

13



0kg





m


1.7


DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES.

14



Vigas CAPÍTULO 2: estáticamente estática mente indeterminada indeterminadas. s. 2.1

VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS INDETERMINADAS

Cuando en una viga el número de reacciones desconocidas es mayor que las ecuaciones del equilibrio estático, es necesario suplementar dichas ecuaciones con otras que provengan de las deformaciones de la viga, en dicho caso se dice que la viga es estáticamente indeterminada. En la medida en que se incrementa las distancias entre los apoyos de una viga los momentos flexionantes aumentan rápidamente. Por economía, para el caso de grandes distancias entre apoyos se justifica la utilización de vigas que tengan momentos flexionantes menores a los de gran intensidad que se presentan en las vigas simplemente apoyadas de grandes luces.

2.2

VENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS HIPERESTÁTICAS

De manera general las estructuras estáticamente indeterminadas poseen las siguientes ventajas: 1. Ahorro de materiales. materiales. Los menores momentos flexionantes desarrollados en este tipo de estructuras permiten la utilización de elementos con dimensiones de menor magnitud, con un ahorro de material posiblemente del orden de 10% al 20%. 2. Estructuras más rígidas. Una estructura rígida es particularmente importante en los casos donde se tienen numerosas cargas en movimiento o vibraciones.

15



3. Estructuras de mejor aspecto. Es muy difícil difícil obtener una estructura estructura estáticamente determinada con los detalles arquitectónicos de muchos arcos y marcos rígidos hiperestáticos que se construyen hoy en día. 4. Adaptabilidad a la construcción en voladizo. voladizo. Este sistema constructivo en el caso de puentes es de particular valor donde las circunstancias (presencia de aguas profundas, tráfico circulante, paso de embarcaciones, etc.) dificultan la construcción de la obra.

2.3

DESVENTAJAS HIPERESTÁTICAS

DE

LAS

ESTRUCTURAS

De igual forma la utilización de las estructuras estáticamente indeterminadas poseen ciertas desventajas que las hacen indeseables en determinadas aplicaciones, las mismas se detallan a continuación: 1. Asentamiento de los apoyos. apoyos. Las estructuras hiperestáticas no son convenientes en todos aquellos casos donde las condiciones de la cimentación sean inadecuadas, puesto que los asentamientos en los apoyos de la estructura, por leves que parezcan pueden cambiar cambios notables en los momentos flexionantes las fuerzas cortantes y las reacciones. hundimientos en los apoyos no son son la 2. Cambios en los esfuerzos. esfuerzos. Los hundimientos única causa que altera los esfuerzos esfuerzos en la estructura. Los cambios de posición relativa de los elementos debido a variaciones de temperatura, fabricación deficiente u otro tipo de deformaciones causadas por el proceso constructivo pueden provocar cambios grandes en los esfuerzos de toda la estructura. 3. Dificultad de análisis y diseño. diseño. Las fuerzas en las estructuras estáticamente indeterminadas no dependen únicamente de sus dimensiones, sino también de sus propiedades elásticas (módulo de elasticidad, momentos de inercia. tipo de material, etc.). Esta situación provoca una sería dificultad en su diseño, por cuanto no se podrán 16



determinar las fuerzas sin antes conocer las dimensiones de los elementos de la estructura, y no se podrán determinar las dimensiones sin antes conocer las fuerzas que actúan en ellos. El empleo de estructuras estáticamente indeterminadas es cada día más frecuente. Todavía a principios del siglo XX XX la mayoría de las estructuras que que se construían en lo posible evitaban, siempre que fuera posible, la aplicación de estructuras hiperestáticas; sin embargo, la situación cambio a partir de los siguientes grandes adelantos: 

El empleo de estructuras monolíticas de hormigón armado.



La soldadura soldadura por arco arco utilizada en la construcción con acero.



Los modernos métodos de análisis estructural.

2.4

ANÁLISIS DE VIGAS HIPERESTÁTICAS HIPEREST ÁTICAS UTILIZANDO EL MÉTODO ÁREA – MOMENTO

Primer teorema El ángulo entre las tangentes tangentes A y B es igual al área del diagrama diagrama de momentos flexionantes entre esos dos puntos divididos por

EI 0

.

Según la teoría de los esfuerzos por flexión: 1

M





E  I 0



M



E  I 0

;

Ecuación N° 1



Por las condiciones geométricas:

 s



 



 s 



Ecuación N° 2

;

Reemplazando la ecuación N° 2 en la ecuación N° 1 tendríamos: M



E  I 0

 s



M



E  I 0





 s

 

Despejando el valor del ángulo diferencial 17

 obtenemos:


 


M  s 

EI 0





0



 s



 x

Como solo se consideran consideran deformaciones deformaciones laterales muy pequeñas, podemos sustituir



 s

por su proyección horizontal B

 x M  



EI 0

B



 

A1

 A

 x por lo tanto:

M  x EI 0

Finalmente se demuestra el primer teorema del método de área-momento con la expresión: B







M  x

A

EI 0

Segundo Teorema La distancia vertical entre el punto B de una elástica y la tangente trazadas desde el el punto A, es igual igual momento estático respecto a la vertical por B del áreas del diagrama de momentos flexionantes entre A y B divididos por A la ecuación deferencial que determina el valor de

EI 0

.

 debemos

multiplicarle a los dos miembros por X. x   

B

Mx  x 

EI 0

x



B

 

A1

 A

Mx  x EI 0

Se comprueba el segundo teorema del método de área-momento con la expresión: B

x 



 A

Mx  x EI 0

B

 

 A

Mx  x EI 0

18



Diagrama de momentos de una sección de viga. Convención de signos Al utilizar el primer teorema se consideran positivas las áreas correspondientes a un diagrama de momento positivo y las que provienen de un negativo se toman negativos. Con referencia a la elástica AB y sus tangentes; un área positiva implica que las tangentes forman un ángulo antihorario. En el segundo teorema se consideran positivos a los momentos de las áreas de las áreas del diagrama de momentos flexionantes positivos y los productos positivos de las áreas de los diagramas positivos. Se toman como positivos las flechas en las que el punto B está ubicado encima de la tangente trazada por el punto A.

19


2.5


APLICACIÓN DEL MÉTODO

La determinación de la flecha en un punto dado de una viga cargada se realiza siguiendo el proceso que se detalla continuación: 1. Se determina las reacciones de la viga. 2. Se dibuja la curva elástica aproximada, debe estar de acuerdo con las condiciones conocidas de los apoyos, tales como pendiente nula o flecha nula. 3. Se traza el diagrama de momentos flexionantes de la viga; el mismo que se realizará por partes. 4. Se eligen los puntos A Y B apropiados y se traza una tangente a cada uno de ellos. 5. Se calcula la flecha o desplazamiento vertical del punto B desde la tangente en A aplicando el segundo teorema de área-momento. área -momento.

2.6

OBTENCIÓN DEL DIAGRAMA DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES

El propósito del diagrama de momentos por partes es el de sustituir las integrales. B

 x  M  A

B

y

 x  Mx  A

Por cálculos numéricos muy sencillos. Para ello se sigue un procedimiento procedimiento que consiste en dividir el diagrama de momentos en partes; cuyas áreas y centros de gravedad sean conocidos. Su construcción se basa en dos principios fundamentales

20



1. El momento flexionante producido por una determinada sección de un sistema de cargas es igual a la suma de los momentos flexionante producido por cada carga actuando por separado.

M 

 M izq   M der

 M izq  Momentos producidos por todas las fuerzas a la izquierda  M der  Momentos producidos por todas las fuerzas a la derecha.

2. El efecto en el momento flexionante de cualquier carga individual es de la forma general :

y  kX n

El área y posición del centro de gravedad se calculan fácilmente mediante las expresiones:

A



1

n 1

bh X



1

b

n2

21



VOLADIZO CARGADO

TIPO DE CARGA

M



C



DISTRIBUCIÓN (Momento en x)

GRADO (n) (MOMENTO)

Ctc M  C

MOMENTO L

.

Cero M

Cx

h = -C

bh

x

0

 

1

M  Px

x

1

-PL

bh

2

q 

M



qx

 qL

2

2

2

2

L

1

b

3

M

 

qx

1

bh

3

6 L

L

x

 qL2

1

6

4

bh

22



Ejercicios de aplicación 1. Para la viga articulada empotrada y sometida a una carga puntual determinar las reacciones: R1, R2 y M1. Dibujar los diagramas correspondientes.

Por estática tenemos: 

 Fy  0 : R

1

 R2 



M 1



b

b=L

3

X

 0 : Pb R1 L

1 4

3

x q

B

b

2

x

 M

1 2

X

L

UNIFORMEMENTE VARIADA

X

b=L

P

DISTRIBUIDA UNIFORMEMENTE

ÁREA

b=L

x

CONCENTRADA

DIAGRAMA DE MOMENTOS

0 1

P0 2

Aplicando el segundo teorema teorema del método de área-momento y conociendo conociendo que

1 5

b



Ejercicios de aplicación 1. Para la viga articulada empotrada y sometida a una carga puntual determinar las reacciones: R1, R2 y M1. Dibujar los diagramas correspondientes.

Por estática tenemos:

 M

B

 0 : Pb R1 L 

 Fy  0 : R

1

 R2 



M 1



0 1

P0 2

Aplicando el segundo teorema teorema del método de área-momento y conociendo conociendo que el valor de

 A  0 formamos

 R L  2 L   Pb      2 3     2 2

1

 R L   Pb      3   2 3

1

2

2

  a  

la ecuación: 2b  3

0 

 3a  2b    3   

 R1 L3   Pb 2      2 L  a  3 6      Pb    2 L

2

Despejando:

R1

3

  2 L  a  

Sustituyendo el valor de R1 en las ecuaciones

R2

M 1

 Pa   3 L  a  2 L  2

3

2



 Pa  2 2   L  a  2  2 L 

23

1

y

2



24



2. Para la viga articulada empotrada y sometida a una carga uniformemente distribuida determinar las reacciones: R1, R2 y M1. Dibujar los diagramas correspondientes

Por estática tenemos: 2

 M

A

 0 : R1 L  M 1

 Fy  0 : R

1



R2





qL 2

qL  0



0 1

2

Aplicando el segundo teorema teorema del método de área-momento y conociendo conociendo que el valor de  R L   2

2

1

 B  0 formamos

 2 L   qL      3   2

2

 R L   qL     3    8 3

4

1

  

la ecuación:

 L  3L      0  3  4 

Despejando:

 3qL    8 

R1  

Sustituyendo el valor de R 1 en las ecuaciones  5qL    8 

R2  

 qL2   M 1   8  

25

1

y

2



26


3.


Para la viga doblemente empotrada y sometida a una carga puntual determinar las reacciones: R1, R2, M1 y M2. Dibujar los diagramas correspondientes

Por estática tenemos: Debido a la simetría de la viga:

 Fy  0

:

R1  R2  P  0  R1



R1



P  R2

R2

y



R1

M 1



M 2

PL 

2

Aplicando el primer teorema del método de área-momento y conociendo que el valor del ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica de la viga entre los puntos A y C es nulo, formamos la ecuación:  L  PL      M 1 L  2 2   

 PL    8  

 L  PL    0 2  2  2 

1

M 1

2

M 1 L 

Despejando:

 PL     8 

Por las condiciones simétricas de la viga:

27

M 2

 PL     8 



28


4.


Para la viga doblemente empotrada y sometida a una carga uniformemente distribuida determinar las reacciones: R1, R2, M1 y M2. Dibujar los diagramas correspondientes.

Por estática tenemos: Debido a la simetría de la viga:

 Fy  0

: R

1



R2



qL  0  R1



R1

P  R2



R2

 R

1



y

M 1



M 2

qL 2

Aplicando el primer teorema del método de área-momento y conociendo que el valor del ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica de la viga entre los puntos A y B es nulo, formamos la ecuación:  L  qL    2  2

2

2   L  qL    M 1 L      0 3 2    

 qL M L    8

3

1

  

 qL   Despejando: M   12   2

1

 qL   Por las condiciones simétricas de la viga: M   12   2

2

29



30



Para la viga doblemente empotrada y sometida a una carga distribuida variablemente determinar las reacciones: R 1, R2, M1 y M2. Dibujar los diagramas correspondientes. correspondientes.

5.

Por estática tenemos:

 M

B

0

2

: R L  M 1

 Fy  0 : R

1



1

R2





qL 2

M 2





qL



0

1

6 2

0

Aplicando el primer teorema del método de área-momento y conociendo que el valor del ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica de la viga entre los puntos A y B es nulo, formamos la ecuación: 2

R1 L 2

3



M 1 L 

qL



0

R1 L 2

24

2



M 1



qL



0 3

24

Aplicando el segundo teorema teorema del método de área-momento y conociendo conociendo que el valor de

 B  0 formamos

la ecuación:

2 3 R1 L  L   L  qL   L     M 1 L       0    2   3   2   5  24 

 R1 L   M 1   qL2    0       6   2   120 

Resolviendo el sistema de ecuaciones entre 3qL  de: R1      20 

3

y

4

4

se obtienen los valores

 qL   y M   30   2

1

Sustituyendo el valor de R1 y M1 en las ecuaciones 7qL  valores de: R2      20 

 qL2   y M 2   20  

31

1

y

2

se obtienen los



32



Ejercicios propuestos 1. Para la viga empotrada y sometida a una carga puntual determinar las reacciones: R1, R2, M1 y M2. Dibujar los diagramas correspondientes.

Pab



M 1

2

2

L

2

M 2



2

L

Solución: 

R1

Pa b

Pb

2

2

L



R2

2

Pa 2

L

 2b  3    L   2a  3    L 

2. Para la viga empotrada y sometida a dos cargas puntuales determinar las reacciones: R1, R2, M1 y M2. Dibujar los diagramas correspondientes. correspondientes.

M 1

Solución:

M 2

 Pa L  a   M 1

P

R1



R2

 R

2 1

33



3. Para la viga empotrada y sometida a dos cargas puntuales determinar las reacciones: R1, R2, M1 y M2. Dibujar los diagramas correspondientes. correspondientes.

qa  2

M 1 

12

a  3a  6  L  8  L    

qa 

3a  4   L  12 L  Solución: qa  a 2  a  R1  2  2  2  L  2  L   3

M 1 

qa 

a  2   L  2 L  3

R2 

2

34



Vigass Continuas. CAPÍTULO 3: Viga 3.1

ANÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS

Una viga continua es la que descansa en más de dos apoyos formando dos o más tramos intermedios. Las vigas continuas son estáticamente indeterminadas, por lo que es necesario suplementar las ecuaciones disponibles de la estática con otras deducidas de las deformaciones del sistema, utilizando el denominado método de los tres momentos o o también conocido como la Ecuación de Clapeyron.

3.2 TÉRMINOS DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS La utilidad de la ecuación de los tres momentos depende de la facilidad con que se puedan calcular las flexibilidades de la viga. Flexibilidad Valor de la deformación que se produce en un punto de la estructura cuando sobre esta actúa una carga de magnitud unitaria.

       L      35


1Aplicando


el método de la viga conjugada calculamos θ 1 y θ2.

EI = Constante elástico de la viga.

                L   ∗      Reemplazando en la ecuación de las fuerzas verticales:

        1Se

desarrolla el método en el Anexo A.1

36



Por tanto, en la viga real se tendría:

      Si el momento actuaría en el apoyo derecho:

     

Dónde: 

'



Flexibilidad izquierda izquierda de la viga

Flexibilidad derecha de la viga



Flexibilidad reciproca de la viga

Los valores de las flexibilidades dependen de las constantes elásticas de la viga:

I 0



Inercia de la sección transversal y

E 

Módulo de elasticidad del

material de la viga. Si la viga continua es de de sección constante constante en toda su longitud se puede simplificar el valor de las flexibilidades si se considera realizarán los cálculos con las flexibilidades f lexibilidades relativas: 





L

' 

3

y



L 

6

37

EI 0



1

en este caso se



Términos de carga Son las deformaciones iniciales que se obtienen al cargar una viga simplemente apoyada con una carga θo y θ´o  0 Giro '

 0

del extremo izquierdo

Giro del extremo derecho

El valor de los términos de carga o giros de la curva elástica en los extremos de la viga dependen del tipo de solicitación externa de la viga. (Consultar tablas auxiliares para el cálculo de estructuras hiperestáticas del Anexo).

Convención de signos El criterio habitual de los signos es siguiendo la teoría de Resistencia de Materiales. Si una fuerza tiende a flejar la viga de modo que produzca tracción en las fibras inferiores inferiores se dice que produce un momento flexionante positivo; los giros en los apoyos serán también considerados como positivos y si la fuerza tiende a flejar la viga de modo que produzca tracción en las fibras superiores se se dice que produce un momento flexionante negativo; los giros en los apoyos serán también considerados como positivos. positivos .

3.3 DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Si tomamos una sección de una viga continúa:

38



 ´ ´ ´ ´   

Constantes de flexibilidad Tramo Izquierdo. Constantes de flexibilidad Tramo Derecho. Términos de carga Tramo Izquierdo. Términos de carga Tramo Derecho. Asentamiento de cada apoyo. Momentos flexionantes en cada apoyo.

Giro total izquierdo

Giro total derecho

'

 i

 d

'

  0i 

  d  0

 i M i

 d M d

'

  i

M 

  d

M 

39

yi



y

1

Li

y d



Ld

y

2


Ing. Juan Carlos Moya H. Mg. Sc '

 i

Si la viga está en equilibrio en el apoyo central se cumple

Reemplazando las ecuaciones 1 y 2 en la ecuación ecuación de Clapeyron o de los tres t res momentos:  i M i

  i '

  d 

3

0 3

se obtiene la

 '  yi  y y  yd    0   d  M   d M d   0i   0d     Ld   Li 

En vigas continuas de sección constante en toda su longitud longitud se puede simplificar la ecuación anterior multiplicando a todos los términos por EI obteniendo: 0





 yi  y



Li M i  2 Li  2 Ld  M  Ld M d  6  ' 0i   0d  EI 0 



 Li



y  yd 

Por último la viga viga no sufre asentamientos asentamientos de sus apoyos los valores de ecuación tomaría la forma: yd serían iguales a cero y la ecuación M i Li

3.4





2 M Li

 Ld

  M L d

d

 6



' 0i

  0 d

 

Ld

yi

,

y

,

e



CÁLCULO DE LAS REACCIONES REACCIONES EN LAS VIGAS VIGAS CONTINÚAS

La razón principal para calcular las reacciones en una viga continua es la de trazar los diagramas de la fuerza f uerza cortante y el de los momentos flexionantes. Para determinar el valor de las reacciones se puede separar a cualquier tramo de la viga para considerarla simplemente apoyada y sometida a dos estados de cargas simultáneos: el estado real que actúa sobre el tramo más otro denominado estado de continuidad en el cual las únicas cargas son los correspondientes momentos flexionantes aplicados.

40



Por equilibrio estático en el tramo izquierdo: V i

V i



'



V 0

V 0

M 



M i

L1

'

L1

M 



L1

M i L1



V i

 M  M    V     L  i

0

1



V i

'

 M  M   V    L   i

0

1

Generalizando las ecuaciones tendríamos: V V 0  V hip Ecuación de las 

fuerzas cortantes de la viga. V

 V

0

 M  M   El signo (-) a la izquierda izquierda y el signo signo (+) a la derecha. derecha.  L  



i

1

Este mismo procedimiento se realiza en todos los tramos de la viga; para determinar las reacciones en los apoyos se deberá sumar el valor de todos los esfuerzos cortantes que concurren al nudo o punto de análisis.

41


3.5


CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE POSITIVO

Interesa conocer el valor del mayor momento flexionante positivo en el tramo de la viga; a continuación, analizaremos los tipos de carga más frecuentes e las estructuras reales.

1. PARA CARGA CONCENTRADA. Cuando en la viga se aplica una carga concentrada, el momento máximo produce en el punto de aplicación de la carga.

En el punto la fuerza cortante es nula y momento máximo.

→  á Reacciones Isostáticas y giros

        ´  ´   á  42



2. PARA CARGA UNIFORME DISTRIBUIDA Para la carga uniformemente distribuida se realizará el siguiente análisis:

Tomando momentos respecto a una distancia X:

 M x  M x  x

 VX 

px

2



2

Si

 V  px

M

Para obtener Mmáx derivamos la ecuación.

 M x

0

 x

V  px



0



X

V 

p

Reemplazando el valor de x en la ecuación de los momentos: 2

M m áx



 V  p  V  M m áx V   p   2  p   M     



V

2

2 p



M

Si el análisis lo realizábamos desde el apoyo derecho del tramo: M má x



V

'

2

2 p



M

'

y

z

V

'



p

Reacciones Isostáticas y giros

´   ´  á  43



3. PARA CARGAS PARCIALMENTE DISTRIBUIDA

  V            →á →     →á     á     á   

Reacciones isostáticas y giros

         ´          ´       ´     44



4. PARA CARGA DISTRIBUIDA NO UNIFORME UNIFORME Por semejanza de triángulos:

   →                        →á  →        á  

Reacciones isostáticas y giros

45

    ´         ´   á √ 



5. PARA CARGA TRIANGULAR Por semejanza de triángulos:

  / →                         →á      → →   á  

Reacciones isostáticas y giros Por simetría:

´    ´  á  46



Ejercicios de aplicación. 1. Realizar el análisis de la siguiente viga continua. Dibujar los diagramas correspondientes.

Determinando los términos de carga: Tramos AB y BC

 0

  0  '

qL3 24

  0

 

6 4 

47

24

3 

16.00



Como los extremos A y C están simplemente apoyados M

A

Aplicando la ecuación

M i Li





2 M Li

 Ld

  M

Ld d



 6

M C

 '

0i



0

  0 d



en el apoyo B tenemos: 0  16 M B

16  16  M

 0  6

B

12

 

Aislando cada tramo AB y BC para considerarlos como una viga simplemente apoyada podemos determinar el momento máximo y su punto de aplicación: V 0

V 0

M m áx

X

 M  M   L  

qL

'







'

V hip   

2

V

2

2q



M

V 

q

Cálculo de las reacciones y momentos máximos: M M' 0 -12 0 V0 V'0 12,000 12,000 12,000 12,000 V hip -3,000 3,000 3,000 -3,000 V V' 9,000 15,000 15,000 9,000 R 9,000 30,000 9,000 M máx 6,750 6,750 X 1.50 2.50

48



[δ]

2. Realizar el análisis de la siguiente viga continua. Dibujar los diagramas correspondientes.

49



Determinando los términos de carga:

 

2

Tramo AB

'

 0



 0



qL



16

 0

3

Tramo BC

 0



 0



qL

45



360 360

33



2

16





18.00

3

733

 0





360 360

12.60

3

3

'

7qL

86

 

' 0



 14.60

45

Aplicando la ecuación

M i Li





2 M Li

 L

d

  M

d

Ld

 6

 '

0i

 

0 d



tramo por tramo tenemos: Tramo AB

0  24 M B

Tramo BC

6 M B



6M C

 12M C 

18  12.6  4 M

 M C  30.6

14.4  0  M

 2M C  14.4

 6

0

B

 6

B

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

M B

6.69

 

y

M C

1 2

3.84





Aislando el tramo BC y considerándolo como una viga simplemente apoyada podemos determinar el momento máximo y su punto de aplicación:

V 0

qL 

6

V x



3.478 478

V x



0



qL

'

V 0 X 

X



3

2

4 

?

X

Para Mmáx del tramo BC

   ..  ∗  . á  .. ∗. ..  .    50



13.912



3.730



Cálculo de las reacciones y momentos máximos: M M' hV0 V'0 V hip V V' R M máx X

0 4,000 -1,115 2,885 2,885

-6,69 4,000 3,000 1,115 0,478 5,115 3,478 8,593 8,655 3,00

-3,84 6,000 -0,478 5,522 5,522 1,959 3,73

[δ]

+ -

51




En la viga en voladizo es una estructura estáticamente determinada; por lo tanto, podemos conocer sus solicitaciones de manera directa.

                        

* * Por convención de restricción matemática.

Determinamos términos de carga. 2

Tramo AB

 0

'



 0



qL



24

 0



2

Tramo BC

 0

'

  0 

pL

16



 

600 4

 0

2 

24

 

900 4 

16

1600

2 

900

Aplicando la ecuación aplicando la ecuación de Clapeyron en cada tramo tenemos: Tramo AB

4 M A

 16 M B 

4 M C

1600  900

 6

Reemplazamos

     4 M B



M C

 2150

1

52


Tramo BC

4 M B


 8M C 

0

900 90 0   M

 6

B

Resolviendo el sistema de ecuaciones:



M B

2M C

2

 1350

421 421 .428 428

 

y

M C



464 464.286 286



Cálculo de las reacciones y momentos máximos: M V0

M' -1600 -421.428 -464.286 V'0 800 1200 1200 450 450 V hip - 294.643 -394.643 -10.715 10.715 V V' 800 1494.643 905.357 439.285 494.715 R 2294.649 1344.642 494.715 M máx 2.00 2.491 2.00 X -1600 261.631 457.142

[δ] 1494.643

 

439.286 +

+ -

-

-

x=2.49m

800

905.357 1600

 

460.714

-

-

+

n=2

464.286

421.430

+

261.631

53

457.142



Ejercicios propuestos. propuestos. 1. Realizar el análisis de la siguiente viga continua. Dibujar los diagramas correspondientes.

Solución: MA= MB= MC= MA/B=

-4.417 T-m -7.167 T-m -4.417 T-m 2.667 T-m

RA= RB= RC= MB/C=

3.542 T 13.00 T 9.458 T 4.994 T-m


Solución: MA= MB= MC= MA/B=

-38.800 KN-m -34.800 KN-m -45.000 KN-m 38.2 KN-m

RA= RB= RC= MB/C=

15.400 KN 48.900 KN 52.700 KN 14.200 KN-m

54




Solución: MA= MB= MC= MD= MA/B= MC/D=

3.6

-2.281 T-m -2.937 T-m -5.624 T-m -0.564 T-m 2.391 T-m 1.171 T-m

RA= RB= RC= RD= MB/C=

2.336 T 8.897 T 12.032 T 1.735 T 1.918 T-m

ANÁLISIS MEDIANTE EL MÉTODO DE LA CADENA ABIERTA.

Cuando la viga continua tiene más de dos tramos, en lugar de establecer la ecuación de Clapeyron en cada tramo de la viga para el cálculo de los momentos flexionantes en los apoyos intermedios se aconseja utilizar este método el cual tiene las siguientes ventajas: 1. Evita plantear y resolver sistemas de ecuaciones. 2. Es aplicable a todo tipo de estructuras hiperestáticas (vigas continuas, pórticos planos, arquerías, etc.

3.6.1 TÉRMINOS QUE INTERVIENE INTERVIENE EN LA CADENA ABIERTA Constantes de reciprocidad: Característica inicial de nudo:

 i

An An



y

Z i

'

  i   d

55

 d



Zd



Corrección de cada nudo:

ei

Característica final de nudo:

Z i

2

se lo denomina error de influencia.



S i

S n

Desequilibrante inicial de nudo:



An



e



,

solo en el primer nudo

'

Un   0i

S



A1



  0 d

Momentos iniciales (mA, mB, mC, etc.) se los designa como Xn Desequilibrante trasmitido: U

P

Desequilibrante normal o final solo en el primer nudo Desequilibrante X

C

 

Us



Z n X



Us

P n

en etapa preparatoria:

 Un  U

P



X

Un

P






Sn

Us



U 1

U 1

trasmitido U

C 

Z n X

C n

en

etapa

complementaria:

Xn( X n 1 ) Sn

Momentos finales (MA, MB, MC, etc.) M  X M

X

P



X

C

solo en el nudo final

P

Esquema de la cadena abierta con nudo de enlace final A1 =

A2 =

A3 =

A4 =

α1

α'1 + α2

α'2 + α3

α'3

e1

e2

e3

S1 U1 M1 Xp1 Xc1 m1 M1

ϴo1

ε1

ε2

S2 U2 ϴ'o1 + ϴo2

Up1 m2

M2

U1 ϴ'o2 + ϴo3

Xp2 Xc2 M2

Up1 m3

56

ε3

S3

S4

M3

U1

M4

Xp3 Xc3 M3

ϴ'o3

M4

Up1 m4



Ejercicios de aplicación 1. Realizar el análisis de la siguiente viga continua. Dibujar los diagramas correspondientes.

α

ε

ϴ0

1,000 0,500 1,000 1,333 0,667 1,333 1,333 0,667 1,333 5,625 13,333 13,333 8,000 8,000 ϴ'0 5,625 α'

Para establecer las flexibilidades de la viga utilizamos las fórmulas 

   '

L

y

3



L 

6

Para determinar los términos de carga debemos analizar tramo por tramo: 3

En los tramos AB y BC

 0



 0

qL

' 

24 2

En el tramo CD

 0



 0

PL

' 

16

Para calcular los momentos en los apoyos empleamos la cadena abierta: 1,000 1,000 UA

MA

5,625 -5,625 2,957 5,625 -2,668

2,333 -0,250 0,500

2,083

2,667 -0,213 0,667

UB

MB 18,958 7,750 -2,813 1,836 - 16,146 5,914

2,453 UC

57

MC

1,333 -0,181 0,667

1,152 UD

MD

21,333 -6,590 -5,167 0,851

8,000 -3,131 -4,393

16,167 -5,739

3,607



Cálculo de las reacciones y momentos máximos: M M' Vo Vo' V hipr V V' R M máx X

-2,668 7,500 -1,082 6,418 6,418

-5,914 7,500 10,000 1,082 0,044 8,582 10,044 18,625 1,451 1,284

-5,739 10,000 4,000 -0,044 0,652 9,956 4,652 14,608 4,174 2,009

-3,131 4,000 -0,652 3,348 3,348 3.565 2,000

[δ]

+

[V]

-


58


α ϴ0

ε


3,000 1,500 3,000 3,000 1,500 3,000 3,000 1,500 3,000 ϴ'0 30,000 24,000 151,88 151,875 40,500 40,500 α'

Para establecer las flexibilidades de la viga utilizamos las fórmulas







L

' 

y

3



L 

6

Para determinar los términos de carga debemos analizar tramo por tramo: En el tramo AB

 0

Pab 

6 L

b  L  y

 0

'

Pab 

6 L

a  L

3

En el tramo BC

 0



 0

qL

' 

24 2

En el tramo CD

 0



 0

PL

' 

16

Para calcular los momentos en los apoyos empleamos la cadena abierta: 3,000

6,000 -0,750 1,500

3,000 UA MA 30,000 -10,000 11,583 30,000 1,583

5,250

6,000 -0,429 1,500

UB MB 175,875 -30,643 -15,000 7,476 160,875 -23,167

5,571

3,000 -0,404 1,500

UC MC 192,375 -26,279 -45,964 0,112 146,411 -26,17

2,596 UD MD 40,500 -0,417 -39,418 1,082


1,583 4,000 -2,750 1,250 1,250

-23,167 2,000 22,500 2,750 -0,333 4,750 22,167 26,917 5.333 3,000

-26,167 22,500 4,000 0,333 2,861 22,833 6,861 29,694 25,969 4,433

59

-0,417 4,000 -2,861 1,139 1,139 4.708 4,500



En el tramo AB: Vo

Pb 

y

L

V 0

Pa

' 

L

En el tramo BC: Vo



V 0

P

' 

2

[δ]

+ +

-

-


60


α


2,333 1,167 2,333 1,667 0,833 1,667 1,333 0,667 1,333 21,429 12,500 12,500 8,000 8,000 θ'0 28,571

ε

α'

θ0

Para establecer las flexibilidades de la viga utilizamos las fórmulas 





L

' 

y

3



L 

6


 0



Pab 6 L

b  L  y

 0

'



Pab 6 L

a  L 

2

En el tramo BC

 0



 0

PL

' 

16 3

En el tramo CD

 0



 0

qL

' 

24

Para calcular los momentos en los apoyos empleamos la cadena abierta. 2,333

4,000 -0,583 1,167

2,333 UA MA 28,571 -12,245 2,252 28,571 -9,993

3,417

3,000 -0,203 0,833

UB MB 33,929 -5,749 -14,286 1,244 19,643 -4,505

0,667

2,797 UC MC 20,500 -5,102 -4,791 -1,440 14,269

0,000 UD

Mv -2,160

El voladizo es estáticamente determinado y su efecto se debe trasmitir al apoyo C,

2

Mv

qL 

2

y

Vo



qL


-9,993 7,143 0,784 7,927 7,927

-4,505 2,857 4,000 -0,784 -0,119 2,073 3,881 5,954 5,861 2,000

-5,102 4,000 6,000 0,119 0,736 4,119 6,736 10,855 5,197 2,500

61

-2,160 6,000 3,600 -0,736 0,000 5,264 3,600 8,864 2,459 2,245


En el tramo AB:


Vo

Pb 

y

L

V 0

Pa

' 

L

[δ]

+

[V]

+ -

-

[M]

4. Realizar el análisis de la siguiente viga continua. Dibujar los diagramas di agramas correspondientes.

α θ0

ε

1,667 0,833 1,667 2,000 1,000 2,000 1,333 0,667 1,333 20,833 38,250 42,750 0,000 0,000 θ'0 20,833 α'

Para establecer las flexibilidades de la viga utilizamos las fórmulas

62








L

' 


y

3

L





6


 0

En el tramo BC

 0

En el tramo CD

 0







 0

qL 3

' 

PL 2 16

 0

' 

24 3



7 qL

y

384

 0

'



PL 2 16

3



9qL 384

no existen cargas.

0

Para calcular los momentos en los apoyos empleamos la cadena abierta 1,667

3,667 0,833

1,667

1,000

3,667

MV -8,000

UB MB 59,083 -14,295 -6,667 2,845 52,417 -11,450

3,333

1,333

-0,273

-0,145 0,667

3,061 UC MC 42,750 -9,297 -14,295 -1,136 28,455 -10,433

1,188 UD MD 0,000 5,217 -6,198 -6,198

El voladizo es estáticamente determinado y su efecto se debe trasmitir al apoyo B,

2

Mv

qL 

2

y

Vo



qL

Cálculo de las reacciones y momentos máximos: -11,450 -10,433 M M' -8,000 10,000 8,000 14,000 0,000 Vo Vo' 8,000 10,000 V hipr 0,000 -0,690 0,690 0,169 -0,169 3,913 V V' 8,000 9,310 10,690 8,169 13,831 3,913 R 17,310 18,859 17,743 M máx 2,835 13,058 ----2,328 3,000 ----X

En el tramo BC:

Vo 

P 2



qa 2 2 L

y

63

V 0

'



P 2



qab  L  2 L

5,217 0,000 -3,913 -3,913 -3,913



[ δ]

+

+

[V]

[M]

Ejercicios propuestos 1. Realizar el análisis de la siguiente viga continua. Dibujar los diagramas correspondientes.


-1.500 T-m -4.169 T-m -1.320 T-m -0.139 T-m 3.240 T-m 0.224 T-m


8.333 T 9.879 T 3.379 T 1.409 T 2.555 T-m

64





-0.592 T-m -3.317 T-m -2.642 T-m -2.400 T-m 1.046 T-m -0.768 T-m


0.819 T 8.350 T 7.412 T 4.919 T 3.026 T-m



-0.720 T-m -2.229 T-m -2.363 T-m -2.568 T-m T-m T-m


5.923 T 4.844 T 5.982 T 3.051 T T-m

65





3.7

T-m T-m T-m T-m T-m T-m


T T T T T-m

MÉTODO MATRICIAL DE LA FLEXIBILIDAD

3.7.1 ECUACIONES: CARGA – DEFORMACIÓN En un resorte

F = Fuerza x = Deformación k = rigidez resorte f = Flexibilidad

      

En una viga

66



         ´ ´      :     −−:   :    :          ∶       −−   −−    −−          ∗   []    [] Esquema de la viga

Incógnitas M1, M2, M3, M4.

67

Análisis Estructural 1 α θ0

ε

Ing. Juan Carlos Moya H. Mg. Sc α'

α1

θ´0

θ01

ε1

α'1

α2

ε2

θ'01

θ02

α'2

θ'02

α3

ε3

θ03

α'3 θ'03

Escribiendo las ecuaciones en notación matricial: Ecuación

1 2 3 4

M1 θ1

M2 ε1

M3 -----

ε1

θ'1 + θ2

ε2

M4 ---------

---------

ε2

θ'2+ θ3

ε3

-----

ε3

θ'3

   

U θo1 = θ'o1 + θo2 θ'o2 + θo3 θ'o3


α

ε

θ0

2,333 1,167 2,333 1,333 0,667 1,333 1,667 53,356 18,667 18,667 3,200 α'0 46,686 α'

0,833 1,667 2,800

f= 2,333 1,167 0,000 0,000

θ= -46,686

1,167 3,667 0,667 0,000 0,000 0,667 3,000 0,833 0,000 0,000 0,833 1,167

-72,022 -21,867 -2,800

finv= 0,514 -0,172 0,044 -0,022

M= -12,55 MA

-0,172 0,343 -0,089 0,044 0,044 -0,089 0,410 -0,205 -0,022 0,044 -0,205 0,702

-14,907 MB -4,076 MC 0,358 MD

68



Cálculo de las reacciones y momentos máximos: -14,907 -4,076 0,358 M M' -12,55 Vo Vo' 8,167 16,333 14,000 14,000 1,200 0,800 V hip -0,336 0,336 2,708 -2,708 0,887 -0,887 -0,087 V V' 7,831 16,669 16,708 11,292 2,087 R 7,831 33,377 13,379 -0,087 X 3,957 2,387 2,000 8,105 5,033 0,098 Mmáx

[ δ]

+

+

[V]

+

-

-

[M]

-

-

-

-

+

+

+


α α0

ε

1,667 0,833 1,667 1,667 0,833 1,667 1,667 0,833 1,667 11,111 12,600 14,400 31,250 31,250 α'0 9,722 α'

69



θ= -9,722

f= 1,667 0,833 0,000 0,000

-23,711 -45,650 -31,250

0,833 3,333 0,833 0,000 0,000 0,833 3,333 0,833 0,000 0,000 0,833 1,167

M= -3,916 MA

finv= 0,693 -0,187 0,053 -0,027

-3,835 MB -9,199 MC -14,151 MD

-0,187 0,373 -0,107 0,053 0,053 -0,107 0,373 -0,187 -0,027 0,053 -0,187 0,693

Cálculo de las reacciones y momentos máximos: -3,835 -9,199 -14,151 M M' -3,916 5,400 15,000 15,000 Vo Vo' 3,333 6,667 3,600 V hip 0,016 -0,016 -1,073 1,073 -0,990 0,990 15,990 V V' 3,350 6,650 2,527 6,473 14,010 R 3,350 9,178 20,482 15,990 X 2,894 3,000 2,335 Mmáx 2,546 3,737 7,157

[ δ]

[V]

+

+

+ -

[M]

-

-

+

-

-

+

70

+





0 T-m -444.706 N-m -609.706 N-m 0 N-m 510.120 N-m 695.148 N-m


638.824 N 1306.177 N 1407.477 N 347.574 N -49.360 N-m



-1.557 T-m -0.884 T-m -2.054 T-m -1.598 T-m 0.895 T-m 1.502 T-m


2.224 T 2.886 T 8.005 T 1.386 T 0.216 T-m

71





-0.333 T-m -3.253 T-m -1.042 T-m -0.678 T-m 2.340 T-m 0.329 T-m


4.270 T 8.467 T 3.384 T 1.879 T 1.221 T-m





T T T T T-m

72



CAPÍTULO 4: Método de la distribución de los momentos. 4.1

MÉTODO DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS MOMENTOS

Las técnicas modernas del cálculo y diseño de estructuras se basan en el método de aproximaciones sucesivas o de la distribución de los momentos propuesto por Hardy Cross . Para el empleo de este método es necesario introducir el concepto de rigidez. Rigidez Valor del momento que debemos aplicar en el punto de la estructura para obtener una deformación unitaria.

Por condición estática:

 :    :       ⇒    −−              | |    

En la barra sujeta a esfuerzos de flexión:

73



  | |        −−              k = Rigidez izquierda a flexión. k´ = Rigidez derecha a flexión.

´    

a = Rigidez recíproca a flexión.

b = Rigidez izquierda a flexión – empuje. b´ = Rigidez derecha a flexión – empuje. t = Rigidez recíproca a flexión – empuje. Fórmulas generales

74



Se puede plantear la equivalente de los giros en los extremos de las barras como sigue:

´   

De donde se obtiene: k

 





a

2



k 

 

2





En consecuencia, se deben obtener las flexibilidades, α, ε, a´, ε´, empleando la viga con carga elástica e introduciendo los momentos unitarios respectivos en el extremo de barra. Si la viga continua es de de sección constante constante en toda su longitud se puede simplificar el valor de las rigideces considerando

EI 0



1

en este caso se

realizarán los cálculos cálculos con las rigideces rigideces relativas; si se reemplazan reemplazan los valores de







L

' 

y

3

L





se obtiene las siguientes expresiones:

6

L 3



k

 L  L   L       3  3   6 



2

4

k



L



a

 b

t

6





a 

 k



k



b



6

a 

L





b'



k

'

a



2 L

1 

b

2



'

b

L

12 

L

2





2

 L  L   L       3  3   6 

k

L

3

L

Se acostumbra a expresar todas las rigideces del elemento en función de la rigidez inicial k, las expresiones anteriores se simplifican a los siguientes valores: k

4 

L

;

k



k ' ;

a

k 

2

;

b

1.5k 

L

75

y

t

3k 

3

L



En el método de distribución de momentos se emplean los siguientes términos: 

Momentos de empotramiento perfecto (MF). Cuando todos los nudos de una estructura están perfectamente rígidos para impedirles cualquier rotación las cargas externas producen ciertos los l os momentos flexionantes en los extremos del elemento que las soporta.

El valor de los momentos de empotramiento perfecto en los extremos de la viga depende del tipo de carga que soporte la l a viga. (Consultar Anexo) 

Momentos desequilibrantes (  MF). Los nudos de una estructura se consideran inicialmente rígidos. Cuando se libera alguno, gira debido a que la sumatoria de los momentos de empotramiento en el nudo es diferente de cero. Este valor constituye constituye el momento desequilibrante.





Momento distribuido ( k  ). Luego de liberar el empotramiento la rotación desviará a los elementos que concurren a la junta cambiando los momentos flexionantes, es decir los momentos distribuidos son los momentos que se desarrollan en los elementos estructurales que resisten la rotación. Momento transmitido ( a ). Son los momentos que se producen en los extremos opuestos al que se liberó el empotramiento debido a la influencia de los momentos distribuidos. '

76



Para determinar el valor de las solicitaciones finales en cada nudo de la estructura se emplea el proceso de la sobreposición de efectos mediante la aplicación de las Ecuaciones de Maney M  MF  M 1  M 2  M 3  M  MF  k   a b '

M

V V

'

'

'

'

 MF  M 1  M 2



VF  V 1



VF

'

'

 M 3

'

 M

 V 2  V 3 

 V 1  V 2

 V 3

'



'

'

'

'

'

 MF  k   a  b 

V  VF  b  t  t 

V

'

'

'

'

'

 VF  b   t   t 

Si la estructura es analizada únicamente a carga vertical se considera   0 Convención de signos Los momentos flexionantes (M y M’) y los giros (θ y θ’) en la estructura se

consideran positivos si son antihorarios los dos extremos.

Las fuerzas cortantes (V y V’) se consideran positivas si van de abajo hacia arriba. Cuando existan desplazamientos (∆) serán

producen un giro antihorario.

77

considerados positivos si



Para poder dar el signo a los momentos de empotramiento perfecto se debe complementar la elástica de la viga y aplicar la convención establecida:

Aunque el esquema anterior indica los signos para efectos de una carga uniformemente distribuida, este principio debemos aplicar para cualquier tipo de carga que se aplique a cualquier elemento estructural. Luego de calcular los momentos finales ( M y M’ ) debemos pasar de la convención de signos de Cross a la convención de Resistencia de materiales o de Diseño para lo cual se cambia el signo del momento de inicial o de salida de cada tramo de la viga. Esquema de la viga

Incógnitas θ 1, θ 2, θ 3, θ 4. k a k' k1 Mf0 Mf ´0 Mf 01

a1

k'1 k2 a2 k'2 k3 a3 k'3 Mf '01 Mf 02 Mf '02 Mf 03 Mf '03

78


4.2


TÉRMINOS ABIERTA.

QUE

Constantes de reciprocidad:

INTERVIENE

ai

Característica inicial de nudo:



An An

Desequilibrante inicial de nudo:

y

Z i



k

'

i





'

Un  MF i

a d

k d



EN



LA

CADENA

Zd



MF d



Giros iniciales (φA, φB, φC, etc.) se los designa como Xn Desequilibrante trasmitido: U

P

Desequilibrante normal o final solo en el primer nudo Desequilibrante X

C

 

Us



 Z n X

Us

en etapa preparatoria:

P n

 Un  U

P

X

Un

P 




Sn

Us



U 1

U 1

trasmitido

C

U



Z n X

C n

en

etapa

complementaria:

( Xn)( X n 1 ) 

Sn

Giros finales (θA, θB, θC,

etc.)   X

P



X

C

solo en el nudo final





X

P

Ejercicios de aplicación


k a k' 1,333 0,667 1,333 MF MF' 3,75 -3,75

1,000 0,500 1,000 6,667 -6,667

79

1,000 4,000

0,500

1,000 -4,000



Para establecer las rigideces de la viga utilizamos las fórmulas k



'

k

4 

y

L

a

k

; EI = 1 Sección constantes



2

Para determinar los momentos de empotramiento perfecto debemos analizar tramo por tramo: 2

En los tramos AB y BC

MF

En el tramo CD



'

MF

qL 

12 PL

'

MF



MF



8

Para calcular los giros en los apoyos empleamos la cadena abierta 2,333

2,000 -0,107 0,500

2,333

1,893

∑MFB

θB

∑MFC

θC

2,917

-1,250 -0,373 -1,623

-2,667 -0,625 -3,292

1,739 0,000 1,739

2,917

Para el cálculo de los momentos empleamos las ecuaciones de Maney M

 MF 

MF MF' kθ

aθ

aθ'

k'θ'

M M'

k   a

'

3,750 0,000 -1,082 2,668

y

M

'

'

 MF 

-3,750 0,000 -2,164 -5,914

'

k 

'



a

6,667 -1,623 0,8695 5,914

-6,667 -0,811 1,739 -5,739

4,000 1,739 0,000 5,739

-4,000 0,869 0,000 -3,131


-2,668 7,500 -1,082 6,418 6,418

-5,914 7,500 10,000 1,082 0,044 8,582 10,044 18,625 1,451 1,284

-5,739 10,000 4,000 -0,044 0,652 9,956 4,652 14,608 4,174 2,009

80

-3,131 4,000 -0,652 3,348 3,348 3.565 2,000



[ δ]

+

[V]

-

[M]


k a k' MF MF'

0,444 8,000

0,222

0,444 0,444 -4,000 33,750

0,222

0,444 0,444 -33,750 9,000

Para establecer las rigideces de la viga utilizamos ut ilizamos las fórmulas k



k

'

4 

L

y

a

k 

2

81

0,222 0,444 -9,000




En el tramo AB

MF

Pab 

2

y

2

L

MF '

Pa b 

2

L

2

En el tramo BC

MF

En el tramo CD

MF





qL

'

MF

MF



12 PL

' 

8


0,889 -0,056 0,222

0,889 ∑MFB

0,833

θB

∑MFC

29,750 33,469 -9,656 - 29,750 43,125

θC

24,750 38,625 -7,438 0,000 32,188 38,625


 MF 

MF MF' kθ

aθ

aθ'

k'θ'

M M'

k   a

8,000 0,000 -9,583 -1,583

'

y

M

'

-4,000 0,000 -19,167 -23,167

'

 MF 

'

k 

'



a

33,750 -19,167 8,583 23,167

-33,750 9,000 -9,583 17,167 17,167 0,000 -26,167 26,167

-9,000 8.583 0.000 -0,417

Cálculo de las reacciones y momentos máximos: 1,583 -23,167 -26,167 M M' Vo Vo' 4,000 2,000 22,500 22,500 4,000 V hipr -2,750 2,750 -0,333 0,333 2,861 V V' 1,250 4,750 22,167 22,833 6,861 1,250 26,917 29,694 R M máx 5.333 25,969 3,000 4,433 X

82

-0,417 4,000 -2,861 1,139 1,139 4.708 4,500



+

+

-

-

+


k a k' 0,571 0,286 0,571 0,800 0,400 0,800 1,000 MF MF' 10,204 -4,082 5,000 -5,000 4,000

0,500

Para establecer las rigideces de la viga utilizamos las fórmulas k



k

'

4 

L

y

a

k 

2

83

1,000 -----4,000 2,160




En el tramo AB

Pab

MF

En el tramo BC



y

2

L



MF '



2

L

PL

'

MF

2

Pa b

MF



8 2

En el tramo CD

MF



qL

'

MF



El voladizo es estáticamente determinado:

12 2

Mv

qL 

2

y

Vo



qL


1,800 -0,117 0,400

1,371 ∑MFB

1,000 -0,149 0,500

1,683

θB

∑MFC

0,918 -0,670 -0,071 0,918 -0,740

θC

0,851 ∑MFD

-1,000 0,753 -0,268 -0,510 -1,268 0,243

θD

-1,840 1,719 0,377 -1,463


 MF 

MF MF' kθ

aθ

aθ'

k'θ'

M M'

k   a

'

10,204 0,000 -0,212 9,993

y

M

'

'

 MF 

-4,082 0,000 -0,423 -4,505

'

k 

'



a

5,000 -0,592 0,097 4,505

-5,000 -0,296 0,194 -5,102

4,000 0,243 0,859 5,102

-4,000 0,121 1,719 -2,160

Cálculo de las reacciones y momentos máximos: M

M'

-9,993

7,143 V hipr 0,784 V V' 7,927 7,927 R

Vo

Vo'

M máx X

5,861 2,000

-4,505

-5,102

-2,160

2,857 4,000 -0,784 -0,119 2,073 3,881 5,954

4,000 6,000 0,119 0,736 4,119 6,736 10,855

6,000 3,600 -0,736 0,000 5,264 3,600 8,864

5,197 2,500

84

2,459 2,245



[ δ]

+

[V]

+ -

-

[M] +


k a k' ----0,800 0,400 0,800 0,667 0,333 0,667 1,000 MF MF' -8,000 8,333 -8,333 11,250 -15,750 0,000




k

'

4 

L

y

a

k 

2

85

0,500 1,000 0,000




El voladizo es estáticamente determinado:

Mv

En el tramo AB

qL

qL 

2

y

Vo

qL



2

En el tramo BC En el tramo CD

'

MF  MF PL

MF  MF

8



2



5qL 192

'



12

MF



0

y

'

MF



PL 8

2



11qL 192

no existen cargas.

Para calcular los giros en los apoyos empleamos la cadena abierta. 0,800

1,467 -0,200

0,800

0,400

1,667 -0,088

1,267

0,333

1,579

∑MFA θA

∑MFB θB

∑MFC

θC

0,333 -0,417 2,458 0,333 2,042

2,917 -2,171 -0,167 -2,746 2,750 -4,917

-15,750 10,433 -0,724 -16,474

Para el cálculo de los momentos empleamos las ecuaciones de Maney MF MF' kθ

aθ

aθ'

k'θ'

M M'

8,333 1,633 -1,967 8,000

-8,333 0,817 -3,9333 -11,450

11,250 -3,278 3,478 11,450

-15,750 -1,639 6,956 -10,433

0,000 10,433 0,000 10,433

0,000 5.217 0.000 5,217


-11,450 -10,433 5,217 -8,000 8,000 10,000 10,000 8,000 14,000 0,000 0,000 0,000 -0,690 0,690 0,169 -0,169 3,913 -3,913 8,000 9,310 10,690 8,169 13,831 3,913 -3,913 17,310 18,859 17,743 -3,913 ----2,835 13,058 --------2,328 3,000

86



[δ]

-

[V]

+

[M] n=1

4.3

n=2

ANÁLISIS MEDIANTE EL MÉTODO MATRICIAL

El método de distribución de los momentos aplicado en vigas continuas, implica un poco más de trabajo que el método de las flexibilidades, sin embargo, proporciona una mayor exactitud en la determinación de los momentos m omentos finales. Las técnicas modernas del análisis estructural, emplean procesos matemáticos basados en el álgebra lineal. Como ya se indicó en el análisis de las vigas hiperestáticas, la determinación de los momentos en los apoyos tenía como problema el resolver un conjunto de varias ecuaciones simultáneas. Si se emplean de manera conjunta el método de distribución de momentos y el proceso matricial se cuenta con una técnica muy versátil y poderosa para el análisis estructural.

87


4.4

k

a θ


DESARROLLO DEL MÉTODO MATRICIAL

k' θ'

k1

a1

k2

k’1

θA

a2

θB

k3

k’2 θC

a3

k’3 θD

Desequilibrantes de nudo “Un” UA UB UC UD

∑MF A = MFa = ∑MF B = MF ’a + MF b = ∑MF C = MF ’b + MF c = ∑MF D = MF ’c =

Momentos distribuidos de nudo “Ki” KA KB KC KD

∑KθA= k1θA = ∑KθB = k’1θB + k2θB = (k’1 + k2)θB = ∑KθC= k’2θC + k3θC = (k’2 + k3)θC = ∑KθD= k’3θD =

Momentos transmitidos de nudo “Ai” AA = ∑AθA= a1θB AB = ∑AθB = a1θA + a2θC AC = ∑AθC= a2θB+ a3θD AD = ∑AθD= a3θC A todas estas ecuaciones de los de los momentos de cada nudo las escribimos en forma matricial considerando las siguientes matrices:

K   Matriz de rigideces    Matriz de deformaciones deformaciones (giros) U   Matriz de desequilibrantes. 88



θA

θB

θC

θD

-U

KA

a1

a1 ---------

KB

----a2

KC

--------a3

a3

KD

-UA -UB -UC -UD

a2 -----

=

Resolviendo la ecuación matricial:

K    + U  = 0 K    =  U  K   K  1   = K  1  U   I    = K  1  U    = K  1  U   











Con este procedimiento se evita la utilización de la cadena abierta para el cálculo de las deformaciones, la técnica posteriormente se extenderá a otro tipo de estructuras hiperestáticas. Ejercicios de aplicación 1. Realizar el análisis de la siguiente viga continua. Dibujar los diagramas correspondientes.

k a k' 0,667 0,333 0,667 0,667 0,333 0,667 0,500 MF MF' 12,000 -12,000 5,333 -5,333 26,667

0,250

0,500 -26,667

Para establecer las rigideces de la viga vi ga utilizamos las fórmulas k



k

'

4 

L

y

a

k 

2

Para determinar los momentos de empotramiento perfecto debemos analizar tramo por tramo:

89



En los tramos AB y CD; En el tramo BC:

2

MF MF



'

MF

qL 

12

2 PL

'



MF



9

Para calcular los giros en los apoyos empleamos el método matricial: Conformación de la matriz de rigideces:



K  

θB

θC

θD

0,667 0,333 0 0

0,333 1,333 0,333 0

0 0,333 1,167 0,250

0 0 0,250 0,500

Operando las matrices obtenemos las deformaciones:



K 

θA

1





1,736 -0,472 0,151 -0,075

-0,472 0,151 0,943 -0,302 -0,302 1,057 0,151 -0,528

-0,075 0,151 -0,528 2,264





  U 

-12,000   6,667 -21,333 26,667



-29,208 22,415 -40,453 73,560


aθ

aθ'

k'θ'

M M'

12,000 -19,472 7,472 0,000

-12,000 5,333 -9,736 14,943 14,943 -13,484 -6,792 6,792

-5,333 7,4717 -26,969 -24,830

26,667 -20,226 18,390 24,830

-26,667 -10,113 36,780 0,000


0,000 12,000 -1,132 10,868 10,868

-6,792 12,000 4,000 1,132 -3,006 13,132 0,994 14,126 14,764 2,717

-24,830 4,000 20,000 3,006 3,104 7,006 23,104 30,110 -4,805 2,000

90

0,000 20,000 -3,104 16,896 16,896 8,548 4,621



[ δ]

[V]

[M] +

+


----k a k' 1,000 0,500 1,000 1,000 0,500 1,000 1,000 0,500 1,000 MF MF' -600,000 800,000 -800,00 300,000 -300,00 480,000 -720,00




k

'

4 

L

y

a

k 

2

91



Para determinar los momentos de empotramiento perfecto debemos analizar tramo por tramo: El voladizo es estáticamente determinado:

Mv



PLv

y

Vo



P

2

En el tramo AB:

MF

En el tramo BC:



MF

'

MF

qL 

12

MF 2

En el tramo CD:

MF

PL

'



8

y

qL 



30

2

qL

'

MF



20

Para calcular los giros en los apoyos empleamos el método matricial: 

Conformación de la matriz de rigideces: K 

1







θA

θB

θC

1,000 0,500 0

0,500 2,000 0,500

0 0,500 2,000

Operando las matrices obtenemos las deformaciones:

K 

1





1,154 -0,308 0,077

-0,308 0,077 0,615 -0,154 -0,154 0,538





  U 

-200,000   500,000 -180,000



-398,462 396,923 -189,231


aθ

aθ'

k'θ'

M M'

800,00 -398,462 198,462 600,000

-800,000 -199,231 396,9231 -602,308

300,000 396,923 -94,615 602,308

-300,000 480,000 198,4615 -189,231 -189,231 0,000 -290,769 290,769

-720,000 -94,615 0,000 -814,615

Cálculo de las reacciones y momentos máximos: -602,31 M M' -600,00 Vo Vo' 400,00 1200,00 1200,00 300,00 V hipr 0,00 -0,58 0,58 77,88 V V' 400,00 1199,42 1200,58 377,88 R 1599,42 1578,46 M máx 598,85 553,46 X 2,00 2,00

92

-290,77 300,00 600,00 -77,88 -130,96 222,12 469,04 691,16

-814,62 1200,00 130,96 1330,96 1330,96 347.12 2,04



[ δ]

+

[V] -

[M]



-1.548 T-m -2.501 T-m -1.599T-m -2.201 T-m 0.983 T-m 1.200 T-m


1.762 T 8.963 T 4.075 T 3.200 T 1.221 T-m 93







T T T T T-m



-4.622 T-m -2.757 T-m -0.973 T-m -0.500 T-m 2.346 T-m 1.039 T-m


6.466 T 8.128 T 3.063 T 4.342 T 0.431 T-m

94


CAPÍTULO influencia.


5:

Línea

de

5.1 INTRODUCCIÓN Todo elemento de una estructura debe diseñarse para las condiciones más severas que puedan desarrollarse en él. El ingeniero coloca las cargas vivas en las posiciones donde producirán esas condiciones. Las posiciones críticas para colocar las cargas vivas no son las mismas en todos los elementos. Por ejemplo, la fuerza máxima en una barra de una armadura de puente puede ocurrir cuando se tenga una línea de camiones de extremo a extremo del puente. Sin embargo, en muchas otras ocasiones es necesario recurrir a ciertos criterios y diagramas para encontrar esas posiciones. El más útil de esos recursos es la LÍNEA DE INFLUENCIA. La línea de influencia, usada por primera vez en Berlín en 1867 por el profesor E. Winkler, muestra de manera gráfica como el movimiento de una carga unitaria a lo largo de una estructura afecta a las reacciones internas en ésta. Las reacciones internas que pueden representarse en los apoyos, fuerzas cortantes, momentos flexionantes, giros y deflexiones.

5.2

DEFINICIÓN DE LA LÍNEA DE INFLUENCIA

Una LÍNEA DE INFLUENCIA puede definirse como un diagrama cuyas ordenadas muestran la magnitud y el carácter de algún elemento mecánico de una estructura cuando una carga unitaria se mueve a lo largo de ésta. Cada ordenada del diagrama da el valor del elemento mecánico cuando la carga está situada en la posición asociada a esa ordenada.

95



Las líneas de influencia se usan sobre todo para determinar dónde colocar las cargas vivas para que éstas causen fuerzas máximas. También pueden usarse para calcular esas fuerzas. El procedimiento para dibujar los diagramas consiste sólo en graficar los valores de la función en estudio como ordenadas para varias posiciones de la carga unitaria a lo largo del claro, y luego conectar esas ordenadas en forma continua. El estudio de las líneas de influencia puede incrementar de manera considerable el conocimiento de lo que le pasa a una estructura en diferentes condiciones de carga. Para estructuras isostáticas las líneas de influencia se las determina por una función matemática continua; en estructuras hiperestáticas se lo realiza por puntos mediante matemática discreta. EFECTO CARGAS FUERZA AXIAL

FUERZA CORTANTE

DEFORMACIONES MOMENTO

LINEAL (FLECHA)

ANGULAR (GIRO)

FLEXIÓN TORSIÓN

5.3

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA REACCIONES EN VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS

En la figura se muestra las líneas de influencia para las reacciones de una viga simple. Se considera primero la variación de la reacción izquierda VL al moverse una carga unitaria de izquierda a derecha a lo largo de la viga. 96



Cuando la carga está directamente sobre el apoyo izquierdo VL =1 y seguirán disminuyendo los valores conforme avanza la carga en la viga. Para cada posición de la carga unitaria, la suma de las ordenadas de los dos diagramas en cualquier punto es igual a la carga unitaria (y por equilibrio ciertamente debe ser igual a ésta).

97



Ejercicios de aplicación 1. Determinar la línea de influencia.

   ≤≤     −        ; P=1

x RA 0 1 L/4 0.75 L/2 0.50 3L/4 0.25 L 0

∑  ≤≤          ; P=1

x RB 0 1 L/4 0.25 L/2 0.50 3L/4 0.75 L 0

98



2. Determinar las líneas de influencia de las reacciones en la viga.

   ≤≤     −         ; P=1

X1 0 1 2 3 4 5

RA 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

∑    ≤≤   −        ; P=1

   ≤≤           

X2 RB 0 0 0.5 -0.1 1 -0.2

; P=1

X1 0 1 2 3 4 5

RA 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

99



  ≤≤     +        

X2 RB 0 1 0.5 1.1 1 1.2

; P=1

3. Determinar la línea de influencia para el corte y momento en la sección B de la viga.

   ≤≤     −           ≤≤       −    ; P=1

; P=1

X RB RC 

0 1 1.33 1.17 -0.33 -0.17

2 1.00 0

3 0.83 0.17

4 0.67 0.33

5 0.50 0.50

6 0.33 0.67

7 0.17 0.83

Todos los valores de la linea de influencia influencia son valores valores de RA y RB

100

8 0 1








5.4


El valor máximo de una reacción reacción tiene lugar cuando cuando la varga actua actua en el apoyo. La mayor reaccion e el apoyo B se da cuando cuando la carga esta sobre el extremo libre del voladizo. La mayor reaccion en el apoyo C se da cuando cuando la carga esta esta sobre dicho punto.

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA CORTE Y MOMENTO EN VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS.

A continuación, se ilustra las líneas de influencia para la fuerza cortante en dos secciones de una viga simple. La siguiente convención de signos se usará aquí para la fuerza cortante: Se tendrá una fuerza cortante positiva cuando la resultante de las fuerzas transversales a la izquierda de una sección esté dirigida hacia arriba, o bien, cuando la resultante de las fuerzas a la derecha de la sección esté dirigida hacia abajo. Al colocar la carga unitaria sobre el apoyo izquierdo no se genera fuerza cortante en ninguna de las dos secciones. Al moverse la carga unitaria 2 pie hacia la derecha del apoyo izquierdo resulta una reacción en este apoyo de 0.9. La suma de las fuerzas a la izquierda de la sección 1-1 es de 0.1 hacia abajo, por lo que la fuerza cortante es de -0.1. Cuando la carga está a 4 pies a la derecha del apoyo izquierdo y a una distancia infinitesimal a la izquierda de la sección 1-1, la fuerza cortante a la izquierda es de -0.2.

101



1. MÉTODO DE LAS SECCIONES Este diagrama puede obtenerse cortando la viga en la sección considerada y aplicando momentos justos a la izquierda y justo a la derecha de la sección cortada, como se muestra. Puede verse en la figura que el momento en cada lado de la sección es positivo con respecto al segmento de la viga en ese lado de la sección. La línea elástica resultante es la línea de influencia cualitativa para el momento flexionante en la sección 1-1

102



Ejemplo Para la siguiente viga determinar las líneas de influencia para corte y momento m omento en C. P=1 x A

5

B

D

C

10

5

103



Primera Condición

∗   ∗     .

∗  ∗     .

Segunda Condición

∗  ∗     .

a) Si 0 ≤ X ≤ 5 (Tramo AC)

∗   ∗     .           

         

x 0 5 M 0 15/4

;P=1

104

;P=1


b) Si 5 ≤ X ≤ 10


∑    /      

∑    /     Si x =5 => M=15/4

c) Si 10 ≤ X ≤ 20

∑/    ∑       /     Si x =5 => M=5/2

105



MÉTODO GENERAL

∑       

∑         

;P=1

;P=1

0 ≤ X ≤ 5 (lado derecho) derecho)

∑/         ∑/      

5 ≤ X ≤ 20 (lado izquierdo) izquierdo)

∑    /    ∑    /  

x 0 5 5 10 20 V 0 -1/4 3/4 1/2 0 M 0 15/4 15/4 5/2 0

106



Ejercicios de aplicación Para la siguiente viga calcular las líneas de influencia del corte y momento en el punto C.

107


x V M

5.5

0 0.2 -0.4

1 0 0


3.5 -0.5 1.25

3.5 0.5 1.25

6 0 0

ANÁLISIS DE LAS CARGAS DISTRIBUIDAS. DISTRIBUIDAS.

En realidad, una línea de influencia para una carga distribuida no se podría encontrar como tal, pero la línea de influencia de la carga puntual se puede usar para determinar en qué tramos colocar la carga distribuida para que produzca los valores máximos en un punto. Si sabemos que el valor de la reacción, cortante o momento en un punto está dado por la por la ordenada “y” de la línea de influencia multiplicada por el valor de la

carga actuante P; entonces para una serie de cargas P, o sea una carga distribuida, el valor del cortante, momento o reacción se podría determinar por la suma de todos los cortantes o momentos de cada una de las cargas:

∑ ∗

Para cargas distribuidas podemos considerar que cada carga P corresponde al valor de la carga distribuida por una longitud pequeña de viga Δx, dándonos la sumatoria

como: 108



      . .    .    .    ∗ á   í   Notemos que el valor de la función conserva el signo de la gráfica de la línea de influencia, así, si queremos obtener valores máximos debemos colocar la carga distribuida sobre áreas que sumen, con el signo correspondiente, a un valor existente.

109



Ejercicios de aplicación 1. Determine donde debe colocar una carga distribuida para producir el mayor cortante negativo y momento en el punto C.

110



2. Determinar el mayor momento máximo y la mayor fuerza cortante que se puede desarrollar en el punto C de la viga cuando está sometida a la acción de las siguientes cargas: Peso propio 5 Tm; carga viva distribuida 2Tm; Carga viva concentrada 5T. Peso propio = 5 T/m Carga viva

 

2T/m 5T

a. Para el Vc máx

111



b. Para el Mc máx

3. Para la viga del ejercicio anterior determine el esquema de la viga, V Cmin y MCmin.

112



  ...   . . ...

...   . . . 113



Ejercicios propuestos determinar el valor de RA, Rb, VC y MC. 1. Empleando las líneas de influencia determinar

Solución: RA= RB = VC= MC=

0.80 q 1.20 q -0.20 q 1.90 q

2. Determine las máximas solicitaciones de corte y momento en C para la viga de la figura.

Peso propio = 3 T/m Servicio

 

q = 4 T/m P=5T

Solución: MC máx= VC máx =

26.1 T 8.8 T

114


5.6


APLICACIÓN DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA

La línea de influencia de un efecto en un punto específico de una estructura se la utiliza para determinar el valor máximo de dicha solicitación actúa. Acción de las cargas móviles.

Ejemplo. Determinar la reacción máxima en el apoyo A con el sistema de cargas que se indica:

PARA RA MÁXIMO

115



POR LO TANTO RA MÁX.=2.35 T

5.7

ANÁLISIS DE TRENES DE CARGA.

Definición: 

Tren de cargas: Es un conjunto de cargas móviles que mientras se desplazan por la viga, las distancias entre las cargas se mantienen constantes.

Las líneas de influencia son los valores graficados de funciones estructurales para diferentes posiciones de una carga unitaria. Si tiene las líneas de influencia para una función en particular de una estructura, puede obtenerse inmediatamente el valor de la función para una carga concentrada en cualquier punto de la estructura. El valor de una función debido a una serie de cargas concentradas se obtiene rápidamente multiplicando cada carga concentrada por la correspondiente ordenada de la línea de influencia para esa función.

5.7.1 OBTENCIÓN DE LA POSICIÓN CRITICA DEL TREN DE CARGAS PARA REACCIONES. POSICIÓN 1 Todas las cargas sobre la viga.

116



POSICIÓN 2 La carga P1 se desplaza fuera de la viga.

117



∆       ∑   ∆    =      ⁄ >∶    >⇒     :    ∆   =    ∶ ⁄     ⇒      <∶ ⁄   <⇒ : {>∶ > ∶  >    <∶ ∶    ∆   ∶   < ∶ < ;

Ejercicios de aplicación 1. Determinar la máxima reacción en el apoyo A.

POSICIÓN 1

RA máx.=??

118



POSICIÓN 2



Analizando la otra posición de las cargas se tendrá

119



2. Determinar la máxima reacción en el apoyo B.

RBmáx.=??

POSICIÓN 1

120



POSICIÓN 2

POSICIÓN 3

POSICIÓN 4

121



3. Determinar la máxima reacción en el apoyo B.

POSICIÓN 1

RBmáx.=??

122



123



Ejercicios propuestos 1. Obtener las líneas de influencia para RA y RB de la viga que se indica en la figura. Determinar las solicitaciones críticas para cada efecto cuando actúan las siguientes cargas: Peso propio = 2 T/m Servicio

 

q = 3T/m P = 4T

Solución:

RA máx = RA min =

22 T 3.6 T

RB máx = RB min =

29.9 T 8.5 T 124



2. Obtener las líneas de influencia para VC y MC de la viga que se indica en la figura. Determinar las solicitaciones críticas para cada efecto cuando actúan las siguientes cargas: Peso propio = 2 T/m Servicio

 

q = 3T/m P = 4T

Solución:

MC máx = MC min =

17 T-m -5.8 T-m

VC máx = VC min =

7.9 T 1.5 T 125



5.7.2 DETERMINACIÓN DEL CORTANTE MÁXIMO PARA UN TREN DE CARGA. POSICIÓN 1.

POSICIÓN 2.

126



>∶ > ∶   >  ⇒      :    ∆     ∶<∶ <⇒:

∑  ∑=  ∆   ∑=       >∶ ⁄    > ⇒  ⇒                             ∶ ⁄    ⇒  ⇒                       { <∶ ⁄   <⇒    ;

;

Ejercicios de aplicación 1. Determinar el valor máximo de la fuerza cortante en el punto C.

127



2. Determinar el valor máximo de la fuerza cortante en el punto D.

128



POSI POSICI CI N 2

Ejercicio propuesto 1. Determinar RA máx y RB máx.

129



Solución RA máx:

RA máx =

13 T

RA máx =

13.4 T

Solución RB máx:

RB máx =

10 T

130


RB máx =


9T

5.7.3 MOMENTOS MÁXIMOS PARA UN TREN DE CARGA El momento máximo en una viga cargada con una serie de cargas concentradas móviles generalmente ocurrirá bajo la carga más cercana al centro de gravedad de las cargas sobre la viga, cuando la distancia del centro de gravedad de las cargas al centro de la viga y la distancia del centro de la viga a la carga más cercana al centro de gravedad de las cargas.

131



Línea de influencia para el momento en un punto cualquiera [M C]

Con un tren de cargas tenemos que:

132



POSICIÓN 1

133



Ejercicio de aplicación 1. Determinar el valor máximo de momento en el punto C

134



135



5.7.4 MÉTODO DE LA DISCRETIZACIÓN DE POSICIÓN

Carga que actúa en C CARGA EN C P1=4T P2=8T P3=12T P4=8T

R antes 0 4 12 24

< (a/L)*R < 18 18 18 18

R después 4 12 24 32

OBSERVACIÓN CRÍTICA

Ejercicios propuestos 1. Encontrar el momento flexionante máximo de la estructura dada a continuación

Solución: MCmáx

2.

38.5 Tm

Encontrar el momento flexionante máximo de la estructura dada a continuación

Solución: MCmáx

41.25 Tm 136


5.8


TEOREMA DE BARRE

El mayor momento flexionante máximo en una viga simplemente apoyada sujeta a la acción de un tren de cargas se produce cuando en la línea de acción de la carga más próxima a la resultante del sistema, cuando entre esta carga y la resultante equidistante el punto medio de la longitud de la viga.

DEMOSTRACIÓN:

137



Ejercicios de aplicación 1. Hallar el mayor momento flexionante en la viga de la figura.

[Mc max] =5(1.125)+10(2.625)+20(3.625) =5(1.125)+10(2.625)+20(3.625) [Mc max] = 76.875 T-m

Nota: Solo Nota: Solo para vigas simplemente apoyadas. 2. Hallar el mayor momento flexionante en la viga de la figura.

Aplicando el teorema de Barre d = 0.67 m m = d/2 m = 0.33 m 138


5.9


LÍNEAS DE INFLUENCIA HIPERESTÁTICA

PARA

ESTRUCTURA

1. Determinar las líneas de influencia para las reacciones y momentos en los extremos de la barra.

. .  

Condiciones de borde

Aplicando el Teorema Área – Momento

139

:ℎ: 



Desviación tangencial

 ⁄      ⁄     ⁄

 ⁄      ∗ ∗         ∗ [     ]}                     ∗      ∝ ⁄   ∫                        ∗                                1

2

Operando con las ecuaciones: 1 – 2

140



                                                        (    )                                    

Generalizando las ecuaciones para cualqui er posición “x”” de la carga unitaria. P=1; x=a y b=L-x

        

141



Despejando en la ecuación 2 “MA”

         ;                                                                                    142



Generalizando las ecuaciones para cualquier posición “x”” de la carga unitaria. P=1;

x=a y b=L-x

   −    

   −     

Para determinar la posición de MA máx:

      ;       ∗                      −−− − ;     ;              →   ∶            →        á   9 á  M = Mmáx

143



á 

Por reciprocidad podemos afirmar que el MBmáx se obtiene si

á          →        ;            →  ∶     →  

      ;

5.10 TEOREMA DE MULLER – BRESLAU Las ordenadas de las líneas de influencia de un efecto para una estructura hiperestática son proporcionales a las ordenadas de la curva elástica de deformación que se obtiene en la estructura al suprimir la restricción correspondiente del esfuerzo considerado.

Ejercicios de aplicación 1. Hallar la línea de influencia para RB.

144

≤≤              →        →   



         →   →                Ecuac Ecuacnn de la fleca →   −    ;           Calculo de YR:

2. Hallar la línea de influencia del momento en A; para la viga del ejercicio anterior.

 .                       

145



3. Hallar el RB máx. y RC máx. para la l a carga de un vehículo H-20-4 en la siguiente viga continua.

Línea de Influencia de RB.

      

≤≤        .         .                ℎ

Condiciones de Borde

   →  :  .  →  :  .      ⇒       ⇒      

146



Calculo de YR:

→                    ;        Línea de Influencia de RB

≤≤        .         .         ≤≤ →   ≤≤

Condiciones de Borde

  → →   ⇒     →         ⇒    147



       →.  .                               .        ⇒    .         →              ≤≤⇒    ⇒                       ≤≤⇒    ;   ;            ≤≤⇒    :      3.

Calculo de YR:

Línea de Influencia de RB

148


A


B

C yi=0.57 yR=1.0

áá . .... . 5.11 MÉTODO ALTERNATIVO REACCIONES

Para obtener la línea de influencia de MD

   ∗∗  ; ;            ∗  ∗∗      1.- Determinar la reacción en B

2.- Tomar momentos respecto a A

149

PARA

x

RC

0 3 6 9 12 15 18 19.73 21 24

0 -0.06 -0.09 0.08 0 0.17 0.41 0.57 0.64 1.00

DETERMINAR DETERMIN AR

LAS



3.- Tomar momentos respecto a C

  ∗ ∗∗        5.12 OBTENCIÓN DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA INFLUENCIA PARA CORTE CORTE Y MOMENTO EN UN PUNTO INTERMEDIO. Hallar las líneas de influencia de Corte y Momento en el punto D de la siguiente viga:

≤≤ ≤≤         ≤ ≤          ≤ ≤  éé   150


X 0 3 6 6 9 12 15 18 21 24

RA 1.00 0.69 0.41 0.41 0.17 0 -0.08 -0.09 -0.06 0


RA – 1 VD 0 0 -0.36 -0.36 -0.59 -0.59 0.41 0.17 0 -0.08 -0.09 -0.06 0 CORTE VD

GRA 1(6 – x) MD 6.00 6.00 0 4.14 3.00 1.14 Antes de D 2.46 0 2.46 2.46 2.46 1.02 1.02 0 0 -0.48 -0.48 Después de D -0.54 -0.54 -0.36 -0.36 0 0 MOMENTO MD

5.13 LÍNEAS DE INFLUENCIA INFLUENCIA PARA DEFORMACIONES DEFORMACIONES 1. TEOREMA DE CASTIGLIANO “El trabajo externo realizado durante la aplicación durante la aplicación de las cargas

debe ser igual al producto de cada carga media multiplicada por l a deflexión” Este trabajo es igual a la energía elástica de deformación.

.     151


Si la carga P1 se incrementa en



deformación




; la viga experimenta un incremento en la

.   ∗   ∗ ∗∗ ∗ ∗     . ∗∗ La energía complementaria de deformación W ” será:

   . ""         ∗ ∗ ∗ .       ∗∗  .   ∗  ∗    ∗   ;       á       ;  á  °    De la ecuación 2.

Para determinar la deflexión en un punto de la viga:

        ;  152



                  ;    ∆    ∆  Ejemplo

1. Determinar la flecha máxima en el voladizo.

≤≤                   ; ⇒  ⇒                   ;;            ≤ ≤          153



2. Determinar el giro en el apoyo izquierdo viga.

=

+

   MMo       ;;                  M                                                                         3. Graficar la línea de influencia del giro izquierdo de la viga.

154



                                ≤  ≤  ;  ?  ≤  ≤  ;  ? . ≤≤   Mo MMo   L       ∗              . ≤≤   Mo MMo   L       ∗     155



  [  ][  ];  x   L   z  θ  EI  [ L z L ]dz EI x [L L z z  z] ]  zL  dz x   L   L      θ L  Lzz Lzz dzdz  L x Lzz Lzz dzdz   x z z Lz Lzdzdz x  L     θ L  Lzz L zz dzdz   x zLLzz zLLzzdzdz        L             θ L                      L             θ L                              L          θ L                      L       θ                    θ                θ           θ  EI       θmá. ⇒ ? θ   θ  EI                  156



Se descarta el signo (+); no es posible.

     θ  EI       

157



BIBLIOGRAFÍA 

Aguiar R.; (2008). Análisis Análisis Matricial Matricial de las Estructuras con Matlab. Matlab. Primera edición, Centro de investigaciones Científicas ESPE (Quito - Ecuador).



Ashok D.; D.; Tirupathi R.; (1999). Introducción al Estudio del Elemento Elemento Finito en Ingeniería. Segunda edición, Pearson Prentice Hall (México DF).



González Cuevas O.; (2014). Análisis Estructural. Estructural. Primera edición, Limusa UNAM (México DF).



Hibbeler R.; R.; (2012). Análisis Estructural. Octava Octava edición, Pearson Pearson Educación (México DF).



Leet K.; Uang Uang Ch.; (2006) (2006) Fundamentos Fundamentos de Análisis Estructural Estructural Segunda edición, Mc Graw Hill. (Cuernavaca -México).



Mc Cormac J.; (2010). Análisis de Estructuras Métodos Clásico Clásico y Matricial. Cuarta edición, Alfaomega Grupo editor (México DF).

Mott R.; (2009). Resistencia de Materiales. Quinta edición, Pearson



Educación (México DF). 

Rivas F.; (2005). (2005). Análisis Matricial Matricial de las Estructuras. Estructuras. Primera edición, edición, Universidad Central del Ecuador (Quito - Ecuador).



Vera A.; A.; (2014). Análisis Estructural con con Matrices. Matrices. Primera edición, Empresa Editora Macro E.I.R.L. (Lima - Perú).

158



ANEXOS. A.1.

MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA.

Se denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los diagramas de momentos de las cargas reales dadas. La figura muestra un ejemplo de este tipo de vigas.

A.1.1.

Relaciones entre la viga real y la viga conjugada.

a. La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma. b. La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real. c. La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo punto de la viga real. d. El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el mismo punto de la viga real. e. Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada. f. Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada. g. Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado. h. Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación en la viga conjugada.

159


A.1.2.


Relaciones entre los apoyos

VIGA REAL Apoyo simple

VIGA CONJUGADA Apoyo simple

NOTAS

Un apoyo simple real no tiene flecha pero si tiene pendiente y por tanto el conjugado no tiene momento pero si tiene cortante; equivale a un apoyo simple. Apoyo empotrado Sin apoyo: libre Un apoyo empotrado no tiene flecha ni pendiente y por tanto, el conjugado no tiene momento ni cortante; equivale a un voladizo. Voladizo Apoyo empotrado El extremos libre tiene pendiente y flecha y por tanto el conjugado tiene cortante y momento; equivale a un empotramiento. Apoyo interior Apoyo articulado o Un apoyo interior tiene pendiente pero no pasador tiene flecha y por tanto tiene cortante pero no tiene momento; equivale a una articulación. A.1.3.

Ejercicios de Aplicación.

1. Para la viga simple de la figura, calcular la pendiente en los extremos y la flecha máxima. Tomar EI constante.

Viga conjugada. Tiene los mismos apoyos, la misma longitud y la carga es el diagrama de momentos de la viga real.

La pendiente en el apoyo 1) es la fuerza cortante V 1), en la viga conjugada dividida entre el producto EI. θ1

V1 EI

Por simetría el cortante V1, es el área del triángulo a la mitad del claro.

160

Análisis Estructural 1 900 (3)

V1 θ1

2


1350 .00

1350 EI

Verificación con fórmula. θ1

P L2

600(6)

16EI

2

1350

16EI

EI

Flecha al centro del claro. Es el momento al centro del claro para la viga conjugada. δ

M EI

M δ

1350 (3)

900(3) 3 2

2700.00

3

2700 EI

Verificación con fórmula. δ

P L3 48EI

(6) 600 48EI

3

2700

EI

2. Calcular el momento en el empotramiento para la viga apoyada-empotrada de la figura.

Diagramas de momentos para vigas simplemente apoyadas. La viga conjugada será una barra apoyada-volada.

El momento en el apoyo 1) para las cargas de la viga conjugada es cero, por ser apoyo simple. 161


M1

7200 (6) 2(6) 2

3

Ing. Juan Carlos Moya H. Mg. Sc 7200 (6) 3(6) 3

4

6M1 2 (6) 2

3

0

M1 = 1800.00 kg.m Incógnitas en la viga. Se dibujan los claros “1-2” y “2-3” por separado indicando cargas y momentos desconocidos. En este caso solo hay un momento desconocido, el momento del nodo 2; “M2” y se obtienen las vigas equivalentes simplemente

apoyadas. Habrá tantas vigas equivalentes como momentos de extremo y cargas haya en el claro correspondiente. En la figura siguiente se muestra esta condición.

Se hacen las siguientes consideraciones: 1.- La rotación o pendiente es cero en extremos empotrados. 2.- En un soporte interior la pendiente es la misma a la izquierda y a la derecha de dicho soporte. 3.- Se indican las pendientes en los extremos de cada soporte con el criterio siguiente:

Para nuestro caso solo se necesita plantear una ecuación de equilibrio, pues solo hay un momento desconocido, M 2. Esta ecuación se obtiene sumando las pendientes en el apoyo 2, igualando las pendientes de la izquierda con las pendientes de la derecha. 162

Análisis Estructural 1 θ2Izq

θ 21


θ 2 Der .

β 21

θ 23

β 23

P L21

M 2 L1

w L32

M2 L 2

16 EI

3 EI

24 EI

3EI

500 (6)

2

16

6 M2

300 (8)

3

3

8M2

24

3

M2 = 1,612.50 kg.m Reacciones verticales. Se verticales. Se obtienen por equilibrio equilibrio estático mediante mediante suma de momentos a la izquierda o a la derecha de los soportes.

Sumando momentos a la izquierda del soporte 2: M2

6 V1

1612.50

500 (3)

0

V1 = - 18.75 kg. Sumando momentos a la derecha del soporte 2: M2

300 (8) 4

1612.50

8 V3

0

V3 = 998.4375 kg Sumando cargas verticales: V1 + V2 + V3 - 500 - 300(8) = 0 V2 = 1,920.3125 kg.

163



TABLAS AUXILIARES PARA CÁLCULO ESTRUCTURAL

A.2.

A.2.1. TABLA Nº 1: Momentos de inercia de secciones rectangulares en (dm4). s

h

Io

=

bh³ 12

45

50

55

b

h(cm) b(cm) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 h(cm) b(cm) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

10

15

20

25

30

35

40

0.08 0.13 0.17 0.21 0.25 0.29 0.33 0.38 0.42 0.46 0.50 0.54 0.58 0.63 0.67 0.71 0.75 0.79 0.83

0.28 0.42 0.56 0.70 0.84 0.98 1.13 1.27 1.41 1.55 1.69 1.83 1.97 2.11 2.25 2.39 2.53 2.67 2.81

0.67 1.00 1.33 1.67 2.00 2.33 2.67 3.00 3.33 3.67 4.00 4.33 4.67 5.00 5.33 5.67 6.00 6.33 6.67

1.30 1.95 2.60 3.26 3.91 4.56 5.21 5.86 6.51 7.16 7.81 8.46 9.11 9.77 10.42 11.07 11.72 12.37 13.02

2.25 3.38 4.50 5.63 6.75 7.88 9.00 10.13 11.25 12.38 13.50 14.63 15.75 16.88 18.00 19.13 20.25 21.38 22.50

3.57 5.36 7.15 8.93 10.72 12.51 14.29 16.08 17.86 19.65 21.44 23.22 25.01 26.80 28.58 30.37 32.16 33.94 35.73

5.33 5 .33 8.00 10.67 13.33 16.00 18.67 21.33 24.00 26.67 29.33 32.00 34.67 37.33 40.00 42.67 45.33 48.00 50.67 53.33

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

18.00 27.00 36.00 45.00 54.00 63.00 72.00 81.00 90.00 99.00 108.00 117.00 126.00 135.00 144.00 153.00 162.00 171.00 180.00

22.89 34.33 45.77 57.21 68.66 80.10 91.54 102.98 114.43 125.87 137.31 148.76 160.20 171.64 183.08 194.53 205.97 217.41 228.85

28.58 42.88 57.17 71.46 85.75 100.04 114.33 128.63 142.92 157.21 171.50 185.79 200.08 214.38 228.67 242.96 257.25 271.54 285.83

35.16 52.73 70.31 87.89 105.47 123.05 140.63 158.20 175.78 193.36 210.94 228.52 246.09 263.67 281.25 298.83 316.41 333.98 351.56

42.67 64.00 85.33 106.67 128.00 149.33 170.67 192.00 213.33 234.67 256.00 277.33 298.67 320.00 341.33 362.67 384.00 405.33 426.67

51.18 76.77 102.35 127.94 153.53 179.12 204.71 230.30 255.89 281.47 307.06 332.65 358.24 383.83 409.42 435.01 460.59 486.18 511.77

60.75 91.13 121.50 151.88 182.25 212.63 243.00 273.38 303.75 334.13 364.50 394.88 425.25 455.63 486.00 516.38 546.75 577.13 607.50

71.45 107.17 142.90 178.62 214.34 250.07 285.79 321.52 357.24 392.96 428.69 464.41 500.14 535.86 571.58 607.31 643.03 678.76 714.48

83.33 125.00 166.67 208.33 250.00 291.67 333.33 375.00 416.67 458.33 500.00 541.67 583.33 625.00 666.67 708.33 750.00 791.67 833.33

96.47 144.70 192.94 241.17 289.41 337.64 385.88 434.11 482.34 530.58 578.81 627.05 675.28 723.52 771.75 819.98 868.22 916.45 964.69

164

7.59 10.42 11.39 15.63 15.19 20.83 18.98 26.04 22.78 31.25 26.58 36.46 30.38 41.67 34.17 46.88 37.97 52.08 41.77 57.29 45.56 62.50 49.36 67.71 53.16 72.92 56.95 78.13 60.75 83.33 64.55 88.54 68.34 93.75 72.14 98.96 75.94 104.17

13.86 20.80 27.73 34.66 41.59 48.53 55.46 62.39 69.32 76.26 83.19 90.12 97.05 103.98 110.92 117.85 124.78 131.71 138.65


A.2.2.


TABLA N° 2: Cargas parciales uniformemente distribuidas.

165


A.2.3.


TABLA N° 3: Cargas triangulares.

166



167



168


A.2.4.


TABLA N° 4: Cargas concentradas.

169



170

Analisis-estructural - Juan Carlos Moya

Recommend Documents