Matemática Financ Financeira eira 2ª Edição
Matemática Financeira 2ª Edição
Juan Carlos Lapponi Lapponi
© 2014, Elsevier Editora Ltda. Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei n° 9 .610, de 19/02/1998. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação gravação ou quaisquer outros. Copidesque: Tania Heglacy Moreira de Almeida Revisão: Carla Diament Editoração Eletrônica: Thomson Digital
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Nota: Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente, para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão. Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuaiss danos ou perdas a pessoas ou bens, originados do uso desta publicação. eventuai
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ L322m 2. ed. Lapponi, Juan Carlos Matemática financeira / Juan Carlos Lapponi. - 2. ed. - Rio de Janeiro : Elsevier, Elsevier, 2014. 24 cm. ISBN 978-85-352-7441-7 1. Matemática financeira. I. Título. 13-04643
CDD: 650.01513 CDU: 51-7
Agradecimentos
Faço um agradecimento especial aos professores que participaram com inestimáveis contribuições, críticas e sugestões de melhorias para esta nova edição: Celso Campos (Unip e PUC/SP); João Almeida dos Santos, Marcelo dos Santos, Jean Kyrissoglou, Luis Carlos Domingos, José Valentin Iglesias Pascual e Elaine Pasquini (Universidade Metodista de São Paulo); e Demetrius Saraivaa Gomes, Darcy Garcia, Saraiv G arcia, Ivanildo Gomes do Prado, Thais Silva, Marta Aparecida Martins Queiroz, Queir oz, Elba Bravo e Urias Takatohi (Centro Universitário Adventista de São Paulo – Unasp). Agradeço também ao grupo de alunos da turma 28 do curso MBA em Administração para Engenheiros do Instituto Mauá de Tecnologia, onde leciono a disciplina Avaliação de Projetos de Investimento e pude aplicar e testar as novas ferramentas tecnológicas de resolução de problemas de matemática financeira.
v
Prefácio
A utilização de algumas ferramentas tecnológicas para o estudo da Matemática Financeira cresceu nos últimos anos, mas a forma de ensinar os conceitos dessa disciplina pouco mudou. Com prática e boa memória é possível realizar alguns cálculos financeiros rotineiros como, por exemplo, com as teclas da calculadora financeira. Porém, para a maioria das operações com juro composto, essa habilidade não é suficiente sem o conhecimento da teoria. Este livro descreve a parte teórica e ensina a resolver os cálculos financeiros utilizando recursos básicos de álgebra, associados às tradicionais e novas ferramentas tecnológicas. O requisito de álgebra básica não deve inibir o leitor. Ao longo dos capítulos, você perceberá que os princípios não são complexos quando comparados à rápida aquisição desse conhecimento. Os primeiros capítulos capítu los do livro tratam do juro, da taxa de juro, da operação elementar, do juro composto, da taxa equivalente, entre outros pontos utilizados nos cálculos financeiros das operações com dois capitais no regime de juro composto. Para as operações financeiras com fluxo de três ou mais capitais com juro composto, adequamos o processo processo de resolução utilizado utilizado em um passado não muito distante. Esse caminho gera uma harmonia entre as ferramentas e o equacionamento algébrico baseado na lei do valor do dinheiro em função do tempo , no diagrama do tempo , e na formação da respectiva equação de valor equivalente . Acompanhando os exemplos e resolvendo os exercícios, o leitor terá um procedimento único de resolução dos cálculos financeiros com juro composto, c omposto, utilizará adequadament adequadamentee essas ess as ferrament f erramentas as e melhorará seu desempenho profissional. Os problemas deste livro são equacionados e resolvidos algebricamente com a calculadora financeira HP-12C, a planilha Excel e as funções financeiras dessa planilha. Em sequência, esses mesmos problemas são resolvidos utilizando novas ferramentas tecnológicas como os modelos de operações específicas, as novas funções financeiras para o Excel e o TVMod , uma inovação em Excel exclusiva desta obra, que resolve a equação de valor equivalente. O conteúdo aqui abordado pode ser utilizado na disciplina dos cursos ministrados em diversas áreas do conhecimento e em diferentes níveis de graduação; parte ou toda a matéria tem aplicação em cursos de capacitação e profissionalização; e também é indicado para leitores em geral, interessados em conhecer ou aprimorar as bases da matemática financeira e/ou utilizar as ferramentas tecnológicas apresentadas. Os arquivos das novas ferramentas tecnológicas estão disponíveis na página do autor (www.elsevier.com.br/lapponi ( www.elsevier.com.br/lapponi), ), assim como os materiais vii
viii
Prefácio
exclusivos para professores e alunos: slides com roteiros de aula divididos por capítulo para uso em sala de aula e exercícios adicionais, além dos disponíveis no livro. Queremos agradecer a todos que participam de nosso constante desenvoldesenvolvimento. Juan Carlos Lapponi Junho 2013
Capítulo 1
Conceitos iniciais Neste Capítulo 1 o leitor aprenderá: ● ● ●
● ● ●
Juro: o que é e como se utiliza utiliza O que é Taxa de Juro, como se forma, como se calcula, e seus limites Operação Financeira Elementar: Elementar: como calcular o Futuro, o Presente e a Taxa de Juro; As Partes da Operação Financeira e a Identificação de Desembolsos e Receitas Diagrama do Tempo: como construir e utilizar O que é Capitalização e Descapitalização Descapitalização Ferramentas tecnológicas tecnológicas de cálculo: como utilizar Calculadora HP-12C Modelo Operação Elementar em em Excel e VBA Nova Função financeira OpElem desenvolvida no VBA do Excel O TVMod em em Excel e VBA
Entre receber a quantia de $1.000 na data de hoje ou receber a mesma quantia daqui a um ano, a maioria de nós escolheria a primeira alternativa, receber $1.000 na data de hoje. Qual a razão dessa decisão?
Bom senso, pois você poderia investir hoje a quantia $1.000 em renda fixa e no final do prazo de um ano você disporia de $1.090, por exemplo. Isso mostra que o valor de um capital depende da quantia e de sua data de ocorrência ou, de outra maneira, o valor do dinheiro depende do tempo. Em que condição se aceitaria receber uma quantia numa data futura em vez de recebê-la na data de hoje?
Utilizando o raciocínio anterior, a quantia a receber numa data futura deveria ser o resultado da soma da quantia a receber na data de hoje mais um acréscimo denominado juro. Como se determina esse acréscimo de dinheiro?
Para o prazo de um ano, por exemplo, esse acréscimo pode ser definido por um valor monetário, ou uma taxa de juro e sua forma de calcular. 1
2
Matemática financeira
Para uma pessoa pode ser indiferente in diferente receber hoje $1.000 ou $1.090 daqui a um ano?
Sim. Nesse caso, em termos financeiros, para essa pessoa essas duas quantias são valores equivalentes. Nesta introdução e de forma f orma intuitiva expomos expomos conceitos iniciais da MatemáMatemá tica Financeira, que descreve o comportamento do dinheiro em função do tempo, utilizando procedimentos que regulam o valor do dinheiro em função do tempo.
JURO: O QUE É E COMO SE UTILIZA Juro é a “quantia que remunera um credor pelo uso de seu dinheiro por parte de um devedor durante um período de tempo determinado determi nado ”, ou como a “renda 1 ou rendimento de capital investido ”. Se uma pessoa física ou jurídica empresta certa quantia de dinheiro, ela deixa de dispor desse capital por certo prazo e em compensação recebe uma recompensa por esse sacrifício temporário. Consideremos o seguinte investimento. Atendendo a orientação do gerente do banco, em vez de manter o dinheiro parado na conta-corrente, você aceitou investir $15.000 com a promessa de receber $15.180 no final de um mês. Analisemos as quantias dessa operação: ● ●
●
A remuneração $180 é denominada juro da operação e é representada por J. O valor aplicado $15.000 é denominado capital inicial ou presente P da operação. O resgate $15.180 é o valor final, montante montante ou futuro F da da operação.
Com esses dados, o resgate F do do investimento igual a $15.180 é o resultado da soma do valor investido P igual a $15.000 mais o juro J igual igual a $180. Representando o resultado desse inv investimento estimento com uma fórmula temos: F
=
P + J
Embora o juro de uma operação seja uma quantia, dinheiro, o juro não é um bom indicador da operação. Note que um mesmo valor de juro J pode pode ser obtido de diversos pares de valores P e F , como se deduz da própria expressão pode ser obtido de operações J F P e, também, esse mesmo valor de juro J pode com prazos diferentes. =
−
TAXA DE JURO A taxa de juro i é o indicador adequado para medir, comparar ou avaliar uma operação financeira. A taxa i é definida como o resultado de dividir o juro J pelo pelo presente P da operação com prazo conhecido. Por exemplo, dividindo dividindo o juro $180 pelo valor investido $15.000 durante um mês, obtemos a taxa unitária de juro 0,0120 ao mês: 1. Do Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
i
3
J =
P i
$180 =
$15.000
=
0, 01 0120 20 ou1, ou1, 20 20% %
A taxa de juro i também é definida como um valor percentual, por exemplo, 1,20% ao mês, resultado de multiplicar a taxa unitária 0,0120 por 100. Como a taxa unitária e a taxa percentual são representadas pelo mesmo símbolo i, deve-se ter o cuidado de utilizar a taxa unitária nos cálculos realizados com fórmulas. Porém, em geral nos cálculos financeiros realizados com ferramentas tecnológicas utiliza-se a taxa percentual, exceto as funções financeiras nativas do Excel e as novas funções financeiras para esse aplicativo. Exemplo 1. O banco financiou $2.000 pelo prazo de 48 dias, quando o
●
●
●
tomador do financiamento devolverá $2.250. Calcule o juro, a taxa unitária unit ária de juro e a taxa percentual de juro do financiamento. Solução. Os resultados são os seguintes: $2.250 250 $2.0 $2.000 00 $250 $250 Juro da operação: J $2. =
Taxa unitária de juro:
−
i
=
$250 =
Taxa percentual de juro:
$2.000 i
=
=
0,1250 aos 48 dias
0,12 0,1250 × 100 = 12, 50% aos 48 dias
Exemplo 2. Foram investidos $5.000 pelo prazo de 60 dias, quando será
●
resgatado o valor $5.122,50. $5.122,50. Calcule o juro, a taxa unitária de juro e a taxa percentual de juro dessa aplicação. Solução. Os resultados são obtidos como segue: 5.122 2, 50 $5.0 5.000 $1 $122 22,, 50 Juro da operação: J $5.12 =
−
$122, $122, 50
●
Taxa unitária de juro:
●
Taxa percentual de juro:
i
=
=
0,0245 aos 60 dias $5.000 0,02 0,0245 × 100 = 2, 45% aos 60 dias i= =
Resumindo, a taxa de juro mede o juro jur o de uma unidade monetária $1 durante certo período de tempo, e sempre deve ser acompanhada de seu período de tempo. Note que o período da taxa de juro pode ser diferente do prazo da operação, porém a unidade de tempo t empo do período e do prazo deverá ser a mesma.
LIMITES DA TAXA DE JURO A taxa de juro tem três tipos de resultados que interessa ter presentes: ●
●
Taxa de juro positiva: indica que o capital futuro F é é maior que o capital inicial P da operação, e não há limite para F ser ser maior do que P. Taxa de juro igual a zero: o capital futuro F é é igual ao capital inicial P da operação.
4 ●
Matemática financeira
Taxa de juro negativa: adverte que o capital futuro F é é menor do que o capital inicial P da operação, e há limite para F ser ser menor do que P. Note que depois de investir P, o valor mínimo de resgate é perder todo o investimento, ou F = = 0. Nesse caso, i 0 P 1 . −
=
= −
P
Resumindo, a taxa de juro i é uma variável com valores unitários no intervalo −1 < i < +∞, ou valores percentuais no intervalo −100% < i < +∞; e sem incluir ambos os limites.
OPERAÇÃO FINANCEIRA ELEMENTAR Até aqui foram definidas as fórmulas do juro J e e da taxa de juro i que repetimos: J
=
i
=
F
−
P
J P
Se na fórmula da taxa de juro i substituímos o juro J pela pela diferença dos capitais, obtemos: i
F
−
P
=
⇒
i
F =
P
P
−1
Com um pouco de álgebra, deduzimos a relação dos capitais F/P em função da taxa de juro i: F P
=
1+ i
A fórmula da relação dos dois capitais F e e P e a taxa de juro i com período igual ao prazo da operação regula a operação financeira elementar com dois capitais, tem uma única adição de juro ao capital inicial no final do prazo da operação, e o período da taxa de juro é o próprio prazo da operação, ambos os valores com a mesma unidade de tempo.
EXEMPLOS Partindo da expressão da operação elementar são resolvidos três exemplos deduzindo a fórmula adequada a cada caso, e sem utilizar nenhuma ferramenta tecnológica de cálculo. Exemplo 3 . Do investimento de $8.500 durante um ano foi resgatado
o valor $12.000. Calcule a taxa de juro dessa operação. Solução. Da expressão da operação financeira elementar, começamos por deduzir a fórmula da taxa i com período igual ao prazo da operação:
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
F =
P
1+ i ⇒ i =
F P
5
−1
O valor da taxa de juro desse investimento é 41,18% ao ano, resultado obtido com:2 i
$12.000 =
$8.500
−
1
=
0, 411765
Exemplo 4. Sofia investiu $15.000 no banco pelo prazo de um mês com a
taxa de juro de 1,2% ao mês. Calcule o valor do resgate. Solução. Começamos por deduzir a fórmula do futuro F : F =
P
1+ i ⇒ F
=
P × (1 + i
)
O valor do resgate $15.180 foi obtido com: F = $15 $15.00 .000 × (1 + 0, 012) 12) =
$15. $15.18 180 0
COMENTÁRIO Analisando a fórmula ●
●
F
=
P × (1 + i )
observe o leitor que:
O primeiro membro da fórmula é o futuro F que que ocorre no final do prazo da operação. O resultado do segundo membro da fórmula também ocorre no final do prazo da operação, porém é o resultado de deslocar o presente P até a data do final do prazo da operação, procedimento denominado capitalização . De outra maneira, essa fórmula regula o valor do dinheiro em função do tempo da operação elementar. Exemplo 5. Daqui a 90 dias Henrique deve pagar o valor de $7.650 refe-
rente à compra de móveis. Hoje ele tem t em mais que do que esse valor, porém, para evitar tentações, quer investir a quantia necessária para pagar essa dívida daqui a 90 dias. Se o banco remunera r emunera com a taxa de juro de 3,10% os investimentos por 90 dias, calcule quanto Henrique deve investir hoje para daqui a 90 dias poder resgatar o valor da dívida. Solução. Da expressão da operação financeira elementar deduzimos a fórmula do presente P. 2. O resultado da taxa de juro deve ser arredondado de forma que não afete os resultados de cálculos posteriores. Por exemplo, o número de casas decimais da taxa de juro deve permitir a obtenção de resultados exatos de quantias de dinheiro.
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Matemática financeira
F P P
=
1+ i F
=
1+ i
ou P = F × (1 + i )
−1
O valor do investimento igual a $7.419,98 é obtido com: P
=
$7.650 1 + 0,031 ,031
=
$7.419, 98 98
ou
P
=
$7.650 × (1 + 0, 03 031)
1
−
=
$7.419, 98 98
COMENTÁRIO Analisando a fórmula ●
●
P
=
F
×
(1 + i )
−1
observe o leitor que:
O primeiro membro da fórmula é o presente P que ocorre no início da operação. O resultado do segundo membro da fórmula também ocorre no início da operação, porém é o resultado de deslocar o futuro F até até a data do início da operação, procedimento denominado descapitalização . Essa fórmula também regula o valor do dinheiro em função do tempo.
EXERCÍCIOS Exercício 1
O valor inicial desembolsado numa operação é $1.000 e o valor resgatado $1.145,60. Calcule a taxa de juro dessa operação com prazo de 70 dias. R: 0,1456 aos 70 dias. Exercício 2
Calcule o resgate da operação do Exercício 1 se o valor desembolsado for $500 em vez de $1.000. R: $572,80. Exercício 3
Se o valor resgatado na operação do Exercício 1 for $935,21, calcule a taxa de juro. R: −6,48% aos 70 dias. Exercício 4
Na operação financeira com prazo de 39 dias, a relação entre o futuro e o presente é igual a 1,0975. Calcule o valor inicial na data zero, considerando valor final $2.598,03 na data 39 dias. R: $2.367,23. Exercício 5
O valor investido é $1.000 e o valor resgatado, $1.145,60. Calcule a taxa de juro desse investimento com prazo de 90 dias. R: 0,1456 aos 90 dias ou 14,56% aos 90 dias.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
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Exercício 6
A taxa de juro de uma operação com ações com prazo de 30 dias é −5,48% aos 30 dias. Calcule o valor da relação dos valores monetários dessa operação. R: 0,9452. Exercício 7
A relação dos valores monetários de um financiamento com prazo 54 dias é 1,3418. Calcule o valor financiado sabendo que o valor de quitação foi $3.622,86. R: $2.700,00 Exercício 8
Calcule as taxas de juro unitária e percentual do financiamento do Exercício 7. R: i = 0,3418 e i = 34,18% aos 54 dias. Exercício 9
Calcule quanto você pagaria hoje para receber $12.000 daqui a 300 dias, considerando a taxa de juro de 13% com período igual ao prazo da operação. operaçã o. R: $10.619,47. Exercício 10
Daqui a seis meses será necessário dispor de $2.570. Calcule quanto deve ser investido investido hoje considerando a taxa de juro 10% ao ano. R: $2.447,62.
BOAS PRÁTICAS DE RESOLUÇÃO DOS CÁLCULOS FINANCEIROS Os primeiros três exemplos deste capítulo foram resolvidos utilizando a definição da operação financeira elementar e recursos básicos de álgebra. Entretanto, essa correta abordagem não é suficiente quando utilizamos ferramentas tecnológicas de cálculo e av avançarmos ançarmos com os tipos de operações financeiras nos próximos capítulos. Dessa maneira, as seguintes orientações são importantes na resolução dos cálculos financeiros. ●
●
●
A operação financeira pode ser descrita de forma verbal ou escrita, por meio de um enunciado como nos exemplos e exercícios deste livro. Embora uma quantia de dinheiro não tenha sinal positivo ou negativo, deve-se ter presente que numa operação financeira finance ira um mesmo capital pode ser um desembolso ou uma receita, conforme a parte da operação que estivermos tiverm os analisando. Com a parte da operação definida, o diagrama do tempo organiza boa parte do caminho da solução e desenvolve desenvolve a atitude de equacionar antes de resolver.
PARTES DA OPERAÇÃO FINANCEIRA Quando você investe terá um desembolso, considerado com sinal negativo, e, ao mesmo tempo, a instituição que recebe o investimento terá uma receita, considerada com sinal positivo. E, no final do prazo da operação, o resgate do investimento inv estimento para você será uma receita, receita , com sinal positivo, e, ao mesmo tempo,
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Matemática financeira
para a instituição que devolve o investimento com juros será um desembolso, com sinal negativ negativo. o. Isso indica que numa operação financeira há duas partes negociando na mesma data, ou duas formas de equacionar a mesma operação. É necessário definir qual das partes da operação será analisada, pois, se numa certa data para uma das partes há um desembolso ou saída de dinheiro, para a outra parte nessa mesma data haverá uma receita ou entrada de dinheiro. Como os diagramas do tempo das duas partes da mesma operação são diferentes, a boa prática recomenda definir a parte da operação antes de construir esse diagrama. Entendemos que o leitor com conhecimento deste tema pondere que para resolver os exemplos apresentados não seria necessário escolher a parte da operação antes de calcular calcular.. Em princípio, poderíamos concordar com aqueles que realizam muitos cálculos repetidos, entretanto o leitor deve ter presente que a maioria das ferramentas tecnológicas utiliza a regra dos sinais dos capitais da operação financeira.
DIAGRAMA DO TEMPO O diagrama do tempo é formado por uma reta horizontal dividida em segmentos que representam períodos de tempo ordenados de forma crescente, por exemplo, dias, meses, trimestres, anos etc. Os capitais da parte da operação são representados com setas verticais identificando o valor e posicionando suas datas de ocorrência na linha de tempo. Definida a parte da operação, as entradas ou receitas são representadas no diagrama com setas verticais para cima da linha de tempo (valores positivos), e as saídas ou desembolsos, com setas verticais para baixo da linha de tempo (valores negativos). Verifique o leitor que os dois diagramas de tempo seguintes registram as duas partes do mesmo investimento. O diagrama da esquerda é o do investidor, que desembolsa $15.000 no banco e resgata $15.180 depois de um mês. Ao mesmo tempo, o diagrama da direita é o do banco, que recebe os $15.000 e desembolsa $15.180 depois de um mês. Nos dois diagramas do tempo, na data inicial há um capital P que pode ser um desembolso ou uma receita, e no final do mês há um capital F que que pode ser uma receita ou um desembolso.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
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No diagrama do tempo são registrados todos os dados da operação, os capitais, a taxa de juro e o prazo, podendo incluir a identificação identificaçã o da incógnita, em geral a letra X neste livro. Definida a parte da operação, a utilização do diagrama do tempo é muito valiosa, pois: ● ●
Representa numericamente o enunciado do cálculo financeiro a resolver. Desenvolve a atitude de equacionar antes de resolver, e prepara uma boa parte do caminho da solução.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS A resolução dos exemplos e exercícios dos capítulos deste livro não é difícil, pois tanto o enunciado como o resultado estão est ão registrados no texto. Entretanto, no dia a dia nem sempre se dispõe da descrição completa do enunciado do problema. Como boa prática, frente a um novo problema recomenda-se começar por descrever o que se procura resolver, quais são os dados disponíveis e qual é a incógnita. Essa boa prática é facilitada registrando-se os dados e identificando-se a incógnita no diagrama do tempo da parte escolhida da operação. Depois de obter o resultado, é importante confirmar que esteja correto. cor reto. Um procedimento de verificação é utilizar o resultado como um dado e com ele recalcular um dos outros dados do mesmo problema. Embora essa verifica verificação ção confirme o resultado, esse resultado numericamente correto ainda pode não ser o resultado do problema devido a diversos tipos de falhas, como o enunciado incompleto ou incorreto, a especificação incorreta de dados etc. Durante o aprendizado, é oportuno detectar erros que serão corrigidos e utilizados para melhorar a compreensão dos cálculos financeiros.
FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS DE CÁLCULO A ferramenta tecnológica é uma ferramenta de cálculo financeiro que automatiza procedimentos de resolução algébrica por meio de um programa cujas instruções são executadas numa calculadora como a HP-12C, ou uma função do Excel, um modelo como Operação Elementar etc. etc.3 O objetivo da ferramenta tecnológica é reproduzir procedimentos corretos de cálculo, reduzir o tempo de resolução e garantir a exatidão dos resultados. Entretanto, note o leitor que, embora o resultado obtido pela ferramenta tecnológica seja tecnicamente correto, esse resultado poderá não ser o esperado devido a alguma falha conceitual, como na incorreta informação de algum dos dados. O leitor deve ter presente que a ferramenta tecnológica financeira utiliza a regra dos sinais dos capitais da operação financeira. Por exemplo, o sinal do resultado do cálculo do futuro da operação elementar realizado com as teclas pré-programadas da calculadora financeira será o oposto do sinal do presente 3. Até a chegada da calculadora financeira, a ferramenta de cálculo financeira era formada de grupos grup os de tábuas financeiras. As calculadoras financeiras automatizaram o procedimento de cálculo das tábuas financeiras.
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Matemática financeira
informado. E, no cálculo da taxa de juro os dois capitais deverão ser informados com sinais opostos. O mesmo ocorre com as funções financeiras do Excel, os novos modelos e as novas funções financeiras para Excel apresentadas neste e nos próximos capítulos.
EXEMPLOS Os exemplos seguintes são resolvidos de forma algébrica e com algumas ferramentas tecnológicas. Exemplo 6. Daqui a um ano, Luisa planeja realizar uma viagem de férias
com sua família e necessita dispor de $24.000 nessa ocasião. Calcule quanto deverá investir hoje considerando a taxa de juro de 10,85% ao ano. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da operação considerando a parte de Luisa e identificando com P o valor do investimento na data zero.
Da expressão da operação financeira elementar já deduzimos a fórmula do presente que repetimos: P
F =
1+ i
Substituindo os dados, obtemos o valor do investimento $21.650,88: P=
$24.000 (1 + 0,108 0,1085) 5)
=
$21.650,88
Note o leitor que nessa resolução não utilizamos os sinais dos capitais.
Registrando a fórmula no Excel Numa célula da planilha Excel, registramos a última fórmula da resolução algébrica e sem considerar os sinais dos capitais para obter o resultado procurado e já conhecido: =
24000 / (1 + 0,10 ,1085) → 21.650, 88
Observe que o resultado é obtido utilizando a última fórmula da resolução algébrica e sem considerar os sinais dos capitais.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
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Calculadora HP-12C Há dois procedimentos para resolver esse exemplo com a HP-12C. 4 Começamos por calcular o resultado utilizando a informação da última fórmula da resolução algébrica e sem considerar os sinais dos capitais.5 [CLX] 2400 24000[E]1 0[E]1[E]0, [E]0,10 1085[ 85[+ ][÷ ] → 21.6 21.650 50,88 ,88
Note que esse cálculo é realizado com a calculadora no modo RPN, sigla registrada no canto inferior esquerdo do visor a partir da segunda versão dessa calculadora. Na resolução com as teclas pré-programadas da HP-12C, como boa prática, prá tica, 6 antes de iniciar o cálculo cálcul o de uma nova operação deve-se zerar os registros das memórias das cinco teclas pré-programadas [n] [i] [PV] [PMT] e [FV] pressionando as teclas [f] [FIN] da calculadora.7 O procedimento de resolução é o seguinte: [f][FIN] 24000[FV]1[n] 10,85[i 0,85[i][ ][P PV] → −21.6 1.650,88 0,88
Verifique que a taxa de juro informada é uma taxa percentual. Nesse cálculo, o valor a resgatar é informado com sinal positivo, pois Luisa resgatará o valor $24.000. Ao mesmo tempo, o sinal do resultado é negativo porque se refere ao valor que Luisa investirá no início da operação. Como consequência, note o leitor que no cálculo da taxa de juro os dois capitais deverão dev erão ser informados com sinais opostos. O mesmo ocorre com as funções financeiras do Excel, os novos modelos e as novas funções financeiras para Excel. Verifique o leitor que no procedimento de cálculo com co m a HP-12C são registrados os dados do diagrama do tempo, informando o capital conhecido com seu sinal, e identificada a incógnita para obter seu resultado.8
4. Para registrar na HP-12C os valores numéricos separando os decimais com a vírgula (,) proceda como segue. Primeiro desligue a HP-12C e depois, mantendo pressionada a tecla do ponto [.], ligue a HP-12C e verifique que agora a separação será com a vírgula. Se repetir esses dois passos a calculadora volta a separar os decimais com o ponto. 5. O leitor deve ter conhecimento da utilização básica da calculadora financeira HP-12C. Para realizar esse cálculo também poderia utilizar o modo algébrico, válido para essas calculadoras da segunda versão. 6. Para mudança de algum valor da mesma operação não é necessário zerar as cinco memórias dos registros financeiros; digite o novo valor e pressione a tecla correspondente. 7. Utilizando a instrução [f] [REG] consegue-se zerar os cinco registros financeiros e os vinte registros das memórias adicionais disponíveis na calculadora. 8. Devemos utilizar os sinais dos capitais porque a calculadora HP-12C resolve a Equação de Valor Valor Equivalente, tema apresentado a partir do Capítulo 7.
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Matemática financeira
Modelo Operação Elementar Com o modelo Operação Elementar construído construído na planilha com o mesmo nome na pasta Capítulo 1 do Excel se obtêm os três possíveis resultados resultados dessa operação, utilizando os recursos da planilha e o VBA. Como, em geral, antes de registrar os dados de um novo cálculo, o modelo terá valores registrados de um cálculo anterior, como boa prática recomenda-se limpar os valores registrados no intervalo C4:C6 clicando no botão Limpar dados.
A seguir registram-se os valores do capital Futuro com seu sinal positivo, pois a parte da operação é a do investidor. Depois, registramos a taxa de juro em % na célula C6, e na célula C4 a letra X da da incógnita, maiúscula ou minúscula, como mostra a primeira figura. Note que, para alertar o usuário, ao registrar um novo valor o modelo exibirá o aviso avis o Recalcular com com letra amarela e fundo vermelho na célula B3. Depois de clicar em Calcular , primeiro o modelo reconhece a incógnita X , depois calcula seu valor, registra-o na célula C5 mudando a cor dessa célula, e a célula C3 ficará vazia.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
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Neste modelo também, os dados registrados são obtidos diretamente do diagrama do tempo, considerando o capital conhecido com seu sinal, e identificada a incógnita com X para para obter seu resultado. Ademais, a taxa de juro é informada como taxa percentual. Analisemos o procedimento de cálculo desenvolvido desenvolvido em VBA por trás da tela do modelo Operação Elementar, utilizado também nos outros modelos apresentados neste livro.9 ●
●
●
Depois de clicar em Calcular , e antes de iniciar o cálculo do resultado dese jado,, a macr jado macroo VB VBA A do mod modelo elo ver verifi ifica ca a con consist sistênci ênciaa dos dad dados os e a inc incógni ógnita ta (símbolo X ou ou x ) registradas no intervalo C4:C6. Havendo alguma inconsistência, o modelo alertará sobre essa ocorrência apresentando um aviso que, após clicar no botão OK ,a ,a caixa desaparecerá e a macro será interrompida. Satisfeitas as condições de cálculo, o modelo identifica a incógnita X , realiza o cálculo da incógnita e seu resultado é registrado na célula com o símbolo X que que recebe uma coloração cinza para identificar a célula do resultado. O modelo também é todo protegido, exceto exceto as células do intervalo C4:C6.
Para evitar a possibilidade de aceitar um resultado não pertencente à operação registrada, o modelo inclui um procedimento de controle de dados e resultado. Após registrar o resultado da incógnita, a macro registra os três dados do modelo em outras células da mesma planilha. Se a seguir for registrado um valor diferente em qualquer célula do intervalo C4:C6 na célula B3 aparecerá a mensagem Recalcular! com letras em cor amarela e fundo f undo vermelho.
Nova função OpElem10 O valor do Presente da operação elementar também pode ser obtido com a nova função OpElem para Excel com a seguinte sintaxe: =
OpE lem ( Present Presente; e; Futuro;Taxa)
A nova função OpElem retorna qualquer um dos três argumentos Presente, Futuro ou Taxa sendo conhecidos os dois argumentos restantes da operação elementar com dois capitais. Os argumento argumentoss dessa função podem ser valores numéricos, expressões que resultarem em valores numéricos ou o símbolo “X” ou “x”, incluindo as duas duplas aspas retas quando a fórmula for digitada. A nova função financeira OpElem utiliza a regra de sinais dos capitais, sinal positivo para a receita e sinal negativo para desembolso. 11 Na nova função, os dados são obtidos diretamente do diagrama do tempo, considerando o capital conhecido com seu sinal, e identificando a incógnita com X para para obter seu resultado. Como foi mostrado: 9. A fonte desses modelos está em J.C. Lapponi. Modelagem Financeira com Excel E xcel e VBA . São Paulo: Elsevier, 2008. 10. Para utilizar as seis Nova Novass Funçõ Funções es Fin Finance anceiras iras para Excel deve estar instalado o Suplemento NovF NovFunF unFin in; veja o Anexo 1 deste capítulo. 11. O Apêndice 2 deste capítulo mostra como registrar ou inserir na planilha Excel uma nova função financeira.
14 ●
●
Matemática financeira
O resultado de um dos dois capitais da operação sempre será apresentado com sinal oposto ao do capital registrado como dado. Para calcular a taxa de juro, os valores dos capitais da operação deverão ser informados com sinais opostos.
Considerando que o suplemento das novas funções já foi instalado no Excel, registrando a fórmula seguinte numa célula da planilha Excel com os dados do Exemplo 6 obtemos o resultado procurado: =
OpEle pElem( m("" X ''; 2400 24000 0; 0,108 0,1085 5) → −21.6 21.650 50,88 ,88
A taxa de juro informada é uma taxa unitária.
Resolvendo com o TVMod 12 Conhecidos os dados e definida a incógnita da operação financeira, seja no diagrama do tempo ou no enunciado, o próximo passo é registrar essa informação no TVMod . Para evitar surpresas desagradáveis por utilizar dados que não pertencem à nova operação, recomenda-se limpar os registros clicando em Limpar dados antes de registrar os dados de um novo cálculo. Note que a célula D2 mostrará a mensagem Dados e Resultados OK! com letras em cor branca e fundo azul. A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita X, maiúscula ou minúscula. O valor do resgate é registrado com valor positivo, pois refere-se à parte do investidor. investidor. Depois de registrar o primeiro dado, após apó s ter clicado em Limpar dados, a célula C2 mostrará a mensagem Clicar em Calcular! com letras em cor amarela e fundo f undo vermelho.
No TVMod são são registrados os dados do diagrama do tempo, considerando o capital conhecido com seu sinal, e identificada a incógnita com X para obter seu resultado. Verifique que o intervalo de células B5:C6 reproduz o dados 12. A nome TVMod é é formado de Tempo, Valor e e Modelo.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
15
do diagrama do tempo, porém na posição vertical. Ademais, a taxa de juro informada é uma taxa percentual. Clicando em Calcular é é ativado o algoritmo do TVMod que que reconhece a incógnita, calcula seu valor e o registra na célula com X adicionando uma coloração cinza para identificar a célula do resultado.
Analisemos o procedimento de cálculo do TVMod desenvolvido desenvolvido em VBA. Depois de clicar em Calcular , a macro VBA do modelo verifica a consistência dos dados e da incógnita da operação. Detectada alguma inconsistência, o modelo alertará sobre essa ocorrência apresentando um aviso que após clicar no botão OK o o processo de cálculo será interrompido. Satisfeitas as condições de cálculo, o modelo identifica a incógnita X, realiza seu cálculo e registra o resultado na célula com o símbolo X, adicionando uma coloração cinza para identificar a célula do resultado. Depois do registro do resultado, a célula D2 mostrará a mensagem Dados e Resultados OK! com letras em cor branca e fundo azul. O modelo é todo protegido, exceto as células dos intervalos B5:C25 e E5:F5. O modelo inclui um procedimento de controle de dados e resultado que evita a possibilidade de aceitar um resultado não pertencente à operação registrada. Se após registrar o resultado de uma operação for registrado um valor diferente em qualquer célula dos intervalos B5:C25 e E5:F5, na célula C2 mostrará a mensagem Clicar Calcular! com letras em cor amarela e fundo vermelho.
EXERCÍCIOS Exercício 11
Daqui a 91 dias você deve devolver o valor de $11.500 referente a um empréstimo tomado de um parente. Calcule quanto você deveria investir hoje para daqui a 91 dias pagar essa dívida, considerando que o investimento será remunerado com a taxa de juro de 3,20% aos 91 dias. R: $11.143,41
16
Matemática financeira
Exercício 12
Seu amigo Luis ofereceu a você um título no valor de $30.000 que será resgatado daqui a 365 dias. Quanto você pagaria hoje por esse título considerando a taxa de juro de 10,85% aos 365 dias? R: $27.063,60 Exercício 13
A taxa de juro de uma operação financeira com prazo de 91 dias é −3,27% aos 91 dias. Calcule o valor da relação F/P da operação. R: F/P = 0,9673 Exercício 14 A relação F/P da operação financeira com prazo 182 dias é 1,0678. Calcule
o valor aplicado sabendo que o valor do resgate foi f oi $4.271,20. R: $4.000 Exercício 15
O presente da operação é $5.600, o futuro $6.076 e a taxa de juro, 8,50% ao ano. Calcule o prazo dessa operação. R: Um ano Exercício 16
Daqui a oito meses Roberto resgatará uma dívida no valor de $8.950. Pela execução de um serviço que não estava previsto realizar ele recebeu $10.000 que utilizará para antecipar esse resgate. Considerando a taxa de juro de 10,30% aos oito meses, calcule quanto deverá pagar na data de hoje para saldar essa dívida. R: $8.114,23 Exemplo 7. Nos últimos seis meses a maioria dos investimentos investimentos em renda fixa apresentou um rendimento entre 5,5% e 5,8% aos seis meses. O boy d doo
escritório afirma ter investido os $1.050 recebido da empresa como bônus e ter resgatado $1.112,27 após o mesmo prazo de seis meses. Verifique se ele teve um bom rendimento. Solução . Começamos desenhando o diagrama do tempo da operação, considerando a parte do boy, identificando com i a taxa de juro com período igual ao prazo da operação, ou seis meses.
Da expressão da operação financeira elementar, já deduzimos a fórmula da taxa i com período igual ao prazo da operação:
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
i
F =
P
−
17
1
O valor da taxa de juro desse investimento investimento é 5,93% aos seis meses, resultado obtido com: i
$1.112, $1.112, 27 =
$1.050
−
1
=
0,059 ,0593
boyy se saiu melhor. Comparando com o rendimento da maioria dos investimentos, o bo
Registrando a fórmula no Excel Numa célula da planilha Excel, registramos a última fórmula da resolução algébrica e sem considerar os sinais dos capitais para obter o resultado procurado e já conhecido: =
1112, 27 /10 /1050 − 1 → 0,059 ,059305
O resultado foi obtido registrando a última fórmula da resolução algébrica, e sem considerar os sinais dos capitais.
Calculadora HP-12C Com as teclas numéricas obtemos o resultado procurado. [CLX] 1112 1112,27[E ,27[E]]1050[ 1050[÷ ]1 ]1[− ] → 0,0593 0,05930 05
O resultado foi obtido utilizando a última fórmula da resolução algébrica, e sem considerar os sinais dos capitais. Resolvendo com as cinco teclas pré-programadas, utilizamos a informação do diagrama do tempo e consideramos os sinais dos capitais. Como boa prática, começamos por zerar os registros financeiros. [f][FIN] 1112.27[FV]1[n] 1050[CH 1050[CHS S][PV][i] ][PV][i] → 5,9305 ,9305
Verifique que o resultado da taxa de juro é uma taxa percentual. Nessa resolução, os valores monetários são informados com os sinais da parte do investidor como registrados no diagrama do tempo.
Modelo Operação Elementar Com o modelo Operação Elementar obtemos o mesmo resultado realizando o procedimento dos exemplos exemplos anteriores, porém para o cálculo da taxa de juro como mostra a primeira figura.
18
Matemática financeira
Com este modelo, os valores monetários são informados com os sinais s inais da parte do investidor registrados no diagrama do tempo e a incógnita com X.
Nova função OpElem Registrando a nova função numa célula da planilha Excel com os dados do Exemplo 7 obtemos o resultado procurado: =
OpEl OpElem( em(−1050 1050;11 ;1112 12,, 27;" 27;" X '') '') → 0,05 0, 0593 9305 05
Novamente, os dados da operação elementar são obtidos do diagrama do tempo Novamente, considerando os sinais dos capitais, e a incógnita com X.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
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Resolvendo com o TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita X. Verifique o leitor que os dados da operação elementar são obtidos do diagrama do tempo, e considerando os sinais dos capitais, e a incógnita com X.
Depois de clicar em Calcular é é ativado o algoritmo do TVM que que reconhece a incógnita, depois calcula seu valor e o registra na célula anteriormente preenchida com X.
Repare o leitor que se em vez de utilizar o período de seis meses, tanto na data do futuro como no período da taxa, se utilizasse o valor 1 nos dois casos, se obteria o mesmo resultado.
20
Matemática financeira
EXERCÍCIOS Exercício 17
O cliente investiu $16.000 no banco com a promessa de resgatar o valor $16.518,40 ao completar o prazo de 122 dias. Calcule a taxa de juro desse investimento. R: 3,24% aos 122 dias Exercício 18
Foram investidos investidos $12.000 em ações. Necessitando desse dinheiro, após 300 dias o investidor resgatou $11.355,60. Calcule a taxa de juro desse investimento. R: −5,37% aos 300 dias Exercício 19
Numa operação realizada com prazo de 60 dias a relação entre o futuro e o presente é igual a 1,0210. Se o valor resgatado foi $3.573,50, calcule a taxa de juro e o valor inicial da operação. R: 2,10% aos 60 dias e $3.500 Exercício 20
Na compra de mercadorias no valor de $6.500 a loja oferece o pagamento com boleto vencendo um mês após a data da compra, ou o pagamento à vista com 3% de desconto. Você Você tem esse dinheiro rendendo 1,12% ao mês: compra à vista ou a prazo? R: i: 3,09% ao mês. Decisão: comprar à vista Exercício 21
Suponha que você investiu $25.000 e depois de 60 dias resgatou o valor $25.550. Calcule a taxa de juro dessa operação. R: 2,20% aos 60 dias
TAXA EFETIVA DE JURO A taxa de juro pode ser definida na montagem da operação, ou pode ser obtida dos dados da própria operação financeira.13 Na operação financeira elementar, a taxa de juro é uma taxa efetiva porque o período da taxa de juro é igual ao prazo da operação. Entretanto, nem sempre o valor e o período da taxa de juro são suficientes para definir definir o resultado da operação, operação, pois a taxa deve deve ser obtida com o período de 30 dias; entretanto as partes utilizam o período de 365 dias. Nesse caso será necessário encontrar a taxa de juro equivalente, equivalente, tema de capítulos posteriores deste livro. O assunto que interessa iniciar nesta parte é o conceito de taxa efetiva. No Exemplo 6, subtraindo da divisão do resgate $1.112,27 pelo investimento $1.050 o valor um se obtém a taxa de juro igual a 5,93% aos 13. É apresentado no Capítulo 2. – Investimento, Reinvestimento e Taxa Real de Juro.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
21
6 meses. A taxa de juro igual a 5,93% aos 6 meses é uma taxa efetiva, pois foi obtida da relação dos capitais da operação financeira. Não necessariamente o período da taxa efetiva deve ser a da operação que lhe deu origem, pois qualquer taxa equivalente com período diferente de uma taxa efetiva é também uma taxa efetiva. O tema de taxa equivalente é tratado nos Capítulos 5 e 6 deste livro. Exemplo 8. Manoel emprestou $43.500 para viabilizar a compra de merca-
dorias do magazine de seu amigo com a promessa de receber de volta esse capital mais uma parte do lucro da venda dessas mercadorias. Se depois de sete meses seu amigo informou que essa operação teve uma rentabilidade de 13,85%, calcule o valor que recebeu Manoel. Solução. Começamos desenhando o diagrama do tempo do empréstimo, considerando a parte de Manoel, identificando com F o o recebimento no final da operação.
Da expressão da operação financeira elementar, já deduzimos a fórmula do futuro F : F
=
P
×
(1 + i )
O valor do resgate $49.524,75 foi obtido com: F =
$43. $43.50 500 0 × (1 + 0,138 0,1385) 5) = $49. $49.52 524, 4, 75
Registrando a fórmula no Excel Numa célula da planilha Excel, registramos a última fórmula da resolução algébrica e sem considerar os sinais dos capitais para obter o resultado procurado e já conhecido: =
43500 *(1 *(1 + 0,13 ,1385) → 49.524,75
Neste caso também, o resultado foi obtido utilizando a última fórmula da resolução algébrica, e sem considerar os sinais dos capitais.
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Matemática financeira
Calculadora HP-12C Com as teclas normais, utilizamos a informação da última fórmula da resolução algébrica e sem considerar os sinais dos capitais. [CL [CLX]4350 X]43500[E]1 0[E]1[E]0 [E]0,1 ,13 385[+ ][× ] → 49. 49.524, 24, 75
O resultado foi obtido utilizando a última fórmula da resolução algébrica, e sem considerar os sinais dos capitais. Com as cinco teclas pré-programadas utilizamos a informação infor mação do diagrama do tempo e consideramos os sinais dos capitais. Como boa prática, começamos por zerar os registros financeiros. [f][FIN] 43500[CHS][PV]1[n] 13,85[i][ 13,85[i][FV FV][i] ][i] → 49.5 49.524,75 24,75
No cálculo do futuro com as teclas pré-programadas da calculadora financeira, o valor monetário é informado com o sinal da parte do financiador registrado no diagrama do tempo.
Modelo Operação Elementar Com o modelo Operação Elementar obtemos o mesmo resultado realizando o procedimento dos exemplos anteriores, porém para calcular o futuro da operação. Antes Antes de iniciar a resolução clicamos em Limpar dados.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
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Os dados registrados no modelo são obtidos do diagrama do tempo considerando o sinal do capital.
Nova função OpElem Registrando a fórmula seguinte, obtemos o resultado procurado: =
OpEl OpElem( em(−4350 43500 0;" X ''; ''; 0,138 0,1385 5) → 49.5 49.524,75 24,75
Novamente, os dados da operação elementar são obtidos do diagrama do Novamente, tempo.
Resolvendo com o TVMod Procedemos como registrado no exemplo anterior, tomando a precaução de limpar os dados clicando em Limpar dados. A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita X.
24
Matemática financeira
Verifique o leitor que os dados da operação elementar são obtidos do diagrama do tempo, e considerando os sinais dos capitais. Depois de clicar em Calcular , a incógnita é calculada e registrada na célula anteriormente preenchida com X e a célula do resultado recebe uma coloração cinza.
EXERCÍCIOS Exercício 22
Foram investidos $50.000 pelo prazo de um ano. Se a taxa de juro desse investimento foi 13,60% ao ano, calcule o valor de resgate desse investimento. R: $56.800 Exercício 23
Carlos investiu $21.000 pelo prazo de três meses com a taxa de juro de 3,35% aos três meses. Calcule o valor do resgate. R: $21.735 Exercício 24
A venda de diversas mercadorias no valor total de $15.000 foi financiada pela empresa com a taxa de juro de 5,80% aos 182 dias e prazo de 182 dias da data da compra. Calcule o valor desse recebimento. R: $15.870 Exercício 25
Foram investidos $27.000 pelo prazo de um ano com a taxa de juro de 13,67% ao ano. Calcule o valor do resgate. R: $30.690,90
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
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CAPITALIZAÇÃO E DESCAPITALIZAÇÃO A fórmula do futuro F da da operação financeira elementar mostra que o valor F é obtido deslocando o valor presente P para uma data posterior, considerando a taxa de juro i, e o resultado desse deslocamento P × (1 + i ) é maior do que o valor inicial P. Esse procedimento recebe o nome de capitalização e indica a incorporação do juro ao capital que o gerou, considerando a taxa de juro i. Da mesma maneira, a expressão do presente P da operação financeira elementar define que esse valor é obtido deslocando o valor futuro F para para uma data anterior, considerando a taxa de juro i. O resultado desse deslocamento F × (1 + i ) 1 é menor que F . Esse procedimento é denominado descapitalização e caracteriza a desincorporação do juro considerando a taxa de juro i. A descapitalização é o procedimento inverso da capitalização e vice-versa. Um exemplo de descapitalização é determinar quanto precisamos investir hoje para resgatar certo valor numa data futura. Resumindo, considerando certa taxa de juro i, na operação financeira elementar: −
●
●
Capitalização é o ato de
adicionar o juro ao capital P que lhe dou origem, resultando no valor futuro F numa numa data futura e sendo regulado pela expressão F = P × (1 + i ) . Descapitalização é o ato de subtrair o juro do capital F para para obter numa data anterior o capital P que daria origem a esse juro e sendo regulado pela expressão P = F × (1 + i ) 1 −
Anexo 1
Instalação do Suplemento NovFunFin NovFunFin unFin para o aplicativo Excel com as sete novas funO suplemento NovF ções financeiras apresentadas e utilizadas neste livro deve ser instalado no seu aplicativo Excel. O suplemento foi desenvolvido em Excel 2010, porém pode ser utilizado na versão 2007 e na versão posterior a 2010 e a versão 2013.
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Matemática financeira
Depois de copiar no seu PC, pendrive ou outro meio o suplemento NovFunFin disponibilizado na página do livro no site da Editora Elsevier, proceda como segue para instalá-lo no seu Excel. Dentro da planilha Excel 2010: ● ●
●
●
Arquivo vo, depois selecione Opções e a seguir Suplementos. Clique em Arqui No final dessa página, na caixa Gerenciar deve deve aparecer Suplementos do Excel. A seguir clique no botão Ir… Na caixa de diálogo Suplementos exibida, clique em Procurar e e o próprio Excel poderá encontrar o suplemento. Caso isso não ocorra, você deve direcionar a busca para o endereço em que onde estiver armazenado o suplemento NovFunFin . Por último, selecione e instale o suplemento NovFunFin NovFunF in. Para terminar, verifique que esse suplemento esteja selecionado na caixa Suplementos.
Anexo 2
Utilizando as Sete Novas Funções Financeiras do Excel14 Para registrar uma nova função financeira no Excel recomendamos utilizar o procedimento Inserir Função do Excel procedendo como segue: ● ●
Selecione a célula onde registrará a nova função financeira. Na barra de ferramentas do Excel, selecione a guia Fórmulas , e a seguir Inserir rir Funç Função ão . A figura seguinte mostra a caixa de diálogo clique em Inse
14. As sete Novas Funções Financeiras foram desenvolvidas pelo autor deste livro.
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
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Inserir função depois de ter escolhido a categoria Definido pelo Usuário Usuário e
a nova função OpElem utilizada neste capítulo, uma das sete novas funções financeiras.
●
●
Clicando em OK aparecerá aparecerá a caixa de diálogo Argumentos da função da nova função OpElem, figura da esquerda. Informando os valores numéricos da operação e a incógnita X ou x entre duas aspas duplas do Exemplo 8 deste capítulo, a caixa de diálogo antecipa o resultado procurado, como mostra a figura da direita. Argument umentos os Constate que no procedimento utilizando a caixa de diálogo Arg da função aceita o registro da incógnita sem as duas aspas duplas, porém não antecipará o resultado procurado. Entretanto, ao registrar essa função na célula o Excel adiciona as duas aspas duplas. Porém, se registrar diretamente a nova função com a incógnita sem as Argume gumentos ntos da funç função ão, duas aspas duplas, sem utilizar a caixa de diálogo Ar o Excel não adiciona as aspas e retorna a mensagem de erro #VALOR! advertindo que a fórmula tem algum argumento errado. Para terminar, terminar, depois de clicar em OK a a nova função será registrada e seu resultado mostrado na célula já escolhida. ●
●
●
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Matemática financeira
A utilização do procedimento Inserir função é recomendada porque facilita a inserção das novas funções e, também, é possível verificar verificar ou corrigir alguma informação já registrada. Para isso: ●
Posicione o cursor na célula onde está registrada a nova função, e depois de selecionar Inserir função aparecerá a caixa de diálogo com os dados registrados nessa função.
O leitor familiarizado com as nov novas as funções poderá registrar diretamente a função de sua operação financeira numa célula da planilha Excel, tendo
Capítulo | 1 Conceitos iniciais
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presente as regras de sinais, quando necessário, e a identificaç identificação ão da incógnita X ou x entre duas aspas duplas e retas. Procedendo dessa maneira, na medida em que se registram as letras o Excel apresenta o nome dessa função e de outras que tiverem as mesmas letras iniciais. Essa facilidade do Excel poderá ajudá-lo a reconhecer o nome da nova função que deseja utilizar. Depois de função será possível registrar e obter o resultado, com o procedimento Inserir função verificarr ou corrigir alguma informação já registrada. verifica
Capítulo 2
Investimento, reinvestimento e taxa real de juro Neste Capítulo 2 o leitor aprenderá: ● ● ● ● ● ● ●
O Princípio de Maximização da Riqueza O Custo de Oportunidade A decisão de reinvestimento dos juros e seus possíveis resultados Os Regimes de Capitalização A diferença entre Juro Simples e Juro Composto A Formação da Taxa de Juro A Taxa Real de Juro
No Capítulo 1 definimos o juro, a taxa de juro, deduzimos a lei que regula o valor do dinheiro da operação financeira elementar e os procedimentos de capitalização e descapitalização. Este capítulo é iniciado com a maximização da riqueza e o custo de oportunidade , conceitos da tomada de decisão. Depois, da análise das alternativas do que fazer com os juros recebidos periodicamente de um investimento deduzimos dois regimes de capitalização da Matemática Financeira, juro simples e juro composto.
MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA A simples geração de lucro é uma condição necessária, mas não é suficiente, pois o lucro aceitável é o que cria valor. A teoria das finanças corporativas é desenvolvida com a premissa de que as pessoas físicas e jurídicas tomam decisões orientadas para maximizar a criação de valor considerando a exposição de risco. Na empresa, dentre as funções dos gestores está a detecção de oportunidades de investimento que tenham mais valor do que custam para serem executadas ou, de outra maneira, os gestores decidem avaliando avaliando custos e benefícios, como mostrado mostr ado no Capítulo 12 deste livro. Por exemplo, fazer na empresa ou comprar de terceiros; inv investir estir num novo produto ou serviço etc. 1 Citando Michael J. Sandel: 2 1. J.C. Lapponi. Projetos de Investimento na Empresa . Rio de Janeiro: Campus/Elsevier, 2007. 2. Michael J. Sandel. O Que o Dinheiro não Compra. São Paulo: Civilização Brasileira, 2012.
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Matemática financeira
Nas últimas décadas, os mercados mercados e a lógica de mercado invadiram invadiram esferas da vida tradicionalmente governadas por outras normas. Cada vez mais, estamos atribuindo preço a bens não nã o econômicos. econ ômicos. (…) em todas as esferas esfe ras da vida, o comportam comportamento ento humano pode ser explicado partindo-se do princípio de que as pessoas decidem o que fazer sopesando os custos e benefícios das suas opções à sua frente escolhendo aquela que acreditam ser capaz de lhes proporcionar proporcionar maior bem-estar ou que tenha mais qualidade. Se essa ideia for correta, tudo tem seu preço. (…) A tese mais influente a respeito é sustentada por Gary Becker, economista da Universidade de Chicago. (…) as pessoas estão sempre empenhadas em maximizar seu bem-estar, quaisquer que sejam suas atividades.
O CUSTO DA OPORTUNIDADE Para realizar um investimento investimento é necessário dispor de recursos, de capital. Dispondo de capital, seja uma pessoa jurídica ou uma pessoa física, esse recurso r ecurso estará alocado, ou investido, com um rendimento conhecido. Assim sendo, frente a uma nova oportunidade de investimento dever-se-á escolher entre a situação atual e a situação futura proposta. O custo de oportunidade de uma decisão é o valor a que se renuncia ou abandona para escolher uma alternativa, ambas com o mesmo nível de risco. Vejamos três exemplos: ●
●
●
Você mantém $15.000 sem remuneração na conta-corrente de seu banco, pois daqui a três meses deverá pagar um compromisso. Nesse caso, o custo de oportunidade da alternativa de manter os $15.000 no banco é a própria remuneração igual a $0 por mês. Em vez de deixar esse dinheiro parado, o gerente lhe propõe que invista esse capital pelo mesmo prazo recebendo uma remuneração de $180 por mês. Nesse momento, seu custo de oportunidade é a remuneração mensal $0 e como ambas as alternativas têm o mesmo nível de risco, a recomendação é abandonar a situação atual e pôr o dinheiro para render, uma situação de fácil compreensão e decisão. O gestor da empresa analisa a oportunidade de investir $45.000 para comprar e instalar um equipamento que gerará o lucro de $1.500 por mês, após depreciação e imposto de renda. Como esse capital está investido no banco com rendimento líquido de 1% ao mês, o custo de oportunidade da empresa é $450 por mês. Portanto, investir na compra e instalação desse equipamento agregará valor. O analista do novo projeto recomendou aproveitar aproveitar dois equipamento equipamentoss que serão vendidos no próximo leilão da empresa. Na preparação do projeto o gerente de finanças recomendou que o valor de venda desses dois compressores fosse incluído como investimento. Por quê? Porque se esse projeto for aceito e os dois equipamentos forem utilizados, ter-se-ia perdido a oportunidade de vender esses ativos pelo preço de mercado. Embora não haja desembolso, o valor recebido pela venda desses dois equipamentos é um custo do projeto e deve ser incluído como investimento.
Capítulo | 2 Investimento, reinvestimento e taxa real de juro
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INVESTIMENTO E REINVESTIMENTO Com os conceitos de maximização da riqueza e de custo de oportunidade avançamos um pouco mais no desenvolvimento dos conceitos de Matemática Financeira. Financeira . No primeiro exemplo de custo de oportunidade mostramos que, em vez de você manter $15.000 sem remuneração na conta-corrente de seu banco, esse recurso poderia ser investido recebendo uma remuneração de $180 por mês, com a taxa de juro de 1,2% ao mês. Ademais, o gerente do banco assegurou que ao término do primeiro mês será possível reinvestir os $15.000 sucessivamente, por mais de um mês, com a mesma taxa de juro e até completar o prazo de quatro meses. Mas dependerá de você decidir decidi r mensalmente o que fazer com o juro de $180 no mesmo dia de recebê-lo. Para isso, analisemos três alternativas: alternativas: ●
● ●
Receber e guardar os $180 sem remuneração, embora saiba que essa alternativaa não atende a premissa de maximização da riqueza. nativ Investir os $180 junto com investimento de $15.000. Consumir os $180 tentando utilizar na decisão o conceito de maximização da riqueza.
RESULTTADOS SEM REINVESTIMENTO DOS JUROS RESUL Nessa alternativa, os juros mensais de $180 serão recebidos, acumulados e mantidos sem remuneração até completar o prazo de quatro meses. Considerando a parte do investidor, a seguir construímos o diagrama diagr ama do tempo desse inv i nvestimento. estimento.
● ●
●
●
●
Na data zero é realizado o investimento de $15.000. No final do primeiro mês são resgatados $15.180, resultado da soma do investimento inv estimento $15.000 mais o juro de $180 calculado com a taxa de juro de 1,20% ao mês. No mesmo momento é reinvestido o valor $15.000 e o juro $180 é mantido sem remuneração até o final do prazo da operação, ou até final do quarto mês. No final do segundo e terceiro mês, repete-se a situação do primeiro mês: no momento de resgatar $15.180 é reinvestido o valor $15.000 e o juro $180 é acumulado sem remuneração. No final do quarto mês são resgatados $15.180. Nesse momento, o investidor disporá de $15.720, resultado da soma dos três juros acumulados $540, mais o capital $15.180.
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Matemática financeira
O procedimento de cálculo de investimentos sucessivos sem reinvestimento Reinvestimento estimento dos dos juros juros inclusa na dos juros também é realizado na planilha Reinv pasta Excel com o nome Capítulo 2, como se mostra a seguir:
Na Caixa de combinação do Excel, intervalo de células C4:D4, selecionaj uros. O procedimento de investimentos sucessivos mos Sem reinvestimento dos juros sem reinvestimento reinvestimento tem as seguintes características: ●
●
O capital sobre o qual se calculam os juros mensais é constante e igual a $15.000 durante o prazo de quatro meses da operação. Os juros são acumulados e capitalizados somente no final da operação.
Considerando os quatro meses da operação, o capital inicial $15.000 e o futuro $15.720 são equivalentes na taxa de juro 4,80% aos quatro meses, resultado obtido com: F
i
=
i
=
1 P $15.7200 −
$15.000
−
1
=
0, 04 0480 ou 4, 80 80% aos quatro meses
A taxa de juro 4,80% aos quatro meses é uma taxa efetiva porque foi obtida da relação dos capitais inicial e final da própria operação financeira.
COMENTÁRIO A descrição desse procedimento mostra que no final de cada mês é resgatado o capital inicial mais o juro correspondente calculado com a taxa de juro de 1,20% ao mês. E no mesmo dia desse resgate, o capital inicial é novamente investido por mais um mês, e assim sucessivamente até o início do último mês. Em cada um desses resgates – até completar o prazo da operação –, cada
Capítulo | 2 Investimento, reinvestimento e taxa real de juro
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juro periódico é acumulado. acumulado. Outra forma de representar representar esse procedimento é considerar que o capital fica investido investido pelo prazo da operação, quatro meses, neste exemplo. E os juros mensais são recebidos e mantidos sem remuneração até o final da operação ou, de outra maneira, os juros mensais recebidos não são reinvestidos reinvestidos em nenhuma outra operação. Exercício 1 Suponha que você dispõe de $46.000 pelo prazo de seis meses, quando será utilizado para comprar um bem. Essa quantia pode ser investida com a taxa de juro de 1,4% ao mês com recebimento mensal dos juros até completar o sexto mês. Construa o diagrama do tempo e o plano de recebimento re cebimento dos juros mensais considerando que esses juros mensais serão acumulados sem investir até completar o prazo da operação. Calcule a) o valor do juro mensal, b) o valor do juro no final da operação e c) o valor total do resgate desse investimento. R: a) $644 b) $3.864 c) $49.864
RESULTADOS RESUL TADOS COM REINVESTIMENTO DOS JUROS Agora, nessa alternativa, os juros mensais de $180 serão recebidos e reinvestidos juntos com o capital que lhe deu origem até completar o prazo da operação de quatro meses, como mostra o diagrama do tempo desse investimento, investimento, considerando a parte do investidor.
● ●
●
●
●
Na data zero é realizado o investimento de $15.000. No final do primeiro mês são resgatados $15.180, resultado da soma do investimento $15.000 mais o juro no valor de $180 calculado com a taxa de juro de 1,20% ao mês. No mesmo momento é reinvestido o valor resgatado de $15.180, pois o juro recebido será investido investido até o final do quarto quarto mês com a taxa de 1,20% ao mês. No final do segundo e terceiro mês repete-se a situação do primeiro mês; no mesmo momento do resgate o valor resgatado é totalmente reinvestido. No final do quarto mês é resgatado o valor de $15.733,06.
O procedimento de cálculo de investimentos sucessivos com reinvestimento Reinvestimen vestimento to dos juros juros incluída na pasta Excel com é realizado na planilha Rein o nome Capítulo 2. Agora, na Caixa de combinação do Excel construída no
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Matemática financeira
intervalo de células C4:D4 selecionamos Com reinvestimento dos juros. O procedimento de investimentos sucessivos com reinvestimento tem as seguintes características: ●
●
O capital sobre o qual se calculam os juros mensais é variável devido devido à capitalização mensal dos juros. Os juros de cada período são capitalizados ou adicionados ao capital que lhe deu origem no ato de sua geração.
Na operação com reinvestimento dos juros, o capital inicial $15.000 e o futuro $15.733,06 são equivalentes na taxa juro de 4,89% aos quatro meses, resultado obtido com: i
$15.733, $15.733, 06 =
$15.000
−
1
=
0, 04 0489 ou 4, 89 89% aos quatro meses
A taxa de juro 4,89% aos quatro meses é uma taxa efetiva porque foi obtida da relação dos capitais inicial e final da própria operação financeira.
COMENTÁRIO No caso com reinv reinvestimento, estimento, a descrição desse procedimento mostra que no final de cada mês é resgatado o capital do início do mês mais o juro correspondente calculado com a taxa de juro de 1,20% ao mês. E no mesmo dia do primeiro resgate o capital inicial e o juro são investidos por mais um mês, e assim sucessivamente até o início do último mês. Em cada um desses resgates até completar o prazo da operação, cada juro periódico é reinvestido. Outra forma de representar esse procedimento é considerar que o capital fica investido pelo prazo da operação, quatro meses neste exemplo, e os juros mensais são recebidos e reinvestidos reinvestidos com a mesma taxa de juro até o final da
Capítulo | 2 Investimento, reinvestimento e taxa real de juro
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operação. Ademais, Ademais, observe o leitor que os juros mensais recebidos poderiam ser reinvestidos com a mesma taxa de juro em outra operação até o final do prazo da operação que lhes deu origem. Exercício 2 Suponha que você dispõe de $46.000 pelo prazo de seis meses, quando será utilizado para comprar compra r um bem. Essa quantia pode ser inv i nvestida estida com a taxa de juro de 1,4% ao mês com recebimento mensal dos juros até completar o sexto mês. Construa o diagrama do tempo e o plano de recebimento dos juros mensai mensaiss conside considerando rando que esses juros mensai mensaiss serão serão rein reinvesti vestidos dos com a mesma taxa de juro até completar o prazo da operação. Calcule a) o valor do juro no final da operação e b) o valor total do resgate desse dess e investimento. investimento. R: a) $4.001,79 b) $50.001,79
OS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Analisando os resultados sem e com reinvestimento dos juros, constatamos que o procedimento de cálculo mensal dos juros é o mesmo nos dois procedimentos, porém o destino mensal dos juros é diferente.
Comparando os resultados, a partir do mesmo capital inicial, a mesma taxa de juro de investimento e o mesmo prazo, o resultado final, reinvestindo os juros mensais, tem a taxa taxa de juro de 4,89% aos quatro quatro meses e é maior que a taxa sem reinvestir reinvestir os juros 4,80% aos quatro meses. Sabemos que Capitalização é o ato de adicionar o juro do período ao capital que lhe deu origem. E o destino dos juros periódicos diferencia os dois regimes de capitalização utilizados na Matemática Financeira, juro simples e juro composto.3 3. Há também o regime de capitalização contínua.
38 ●
●
Matemática financeira
Juro ro Simples os juros periódicos não são reinvestidos durante No regime de Ju o prazo da operação; esses juros são acumulados sem remuneração. De outra maneira, o capital inicial sobre o qual se calculam os juros permanece inalterado durante todo o prazo da operação, e os juros são capitalizados na data do resgaste do capital investido. Juro o Composto os juros são reinvestidos No regime de Jur reinvestidos durante o prazo da operação. Neste caso, o capital sobre o qual se calculam os juros muda de forma crescente durante todo o prazo da operação, pois os juros são capitalizados na data em que são gerados.
Adiantando as características do regime de juro composto durante o prazo da operação: ● ● ●
● ●
Há uma única entrada de capital, o presente na data inicial, ou data zero. Há uma única saída de capital ou resgate na data final. Há somente capitalizações dos juros no final de cada período de cálculo desses juros. O capital cresce somente pela geração de juros. O período da taxa de juro i é a unidade de tempo das capitalizações; por exemplo, exemp lo, se as capitalizações são mensais, então o período da taxa de juro deverá ser mensal etc.
COMPREENDENDO OS RESUL RE SULTA TADOS DOS Nos dois regimes, simples e composto, o procedimento de cálculo periódico dos juros é o mesmo. Porém, no regime de juro simples a capitalização dos juros é realizada no no final final do prazo da operação, e no regime regime de juro composto composto a capitalização dos juros é realizada no momento em que são gerados, o que leva a um resgate maior. Analisando a diferença de procedimento dos juros periódicos gerados durante o prazo do investimento, podemos deduzir que a remuneração final de um investimento com geração de juros periódicos dependerá do destino que o investidor dará a esses juros durante o prazo do investimento. Focando no investidor e considerando certa taxa de juro, podemos dizer que: ●
●
O resultado final do investimento dependerá do destino que o investidor dará ao capital e aos juros recebidos durante o prazo da operação. 4 Para obter o resultado final com a mesma taxa de juro dos juros periódicos o investidor deverá reinvestir o capital e os juros recebidos com a mesma taxa e durante o prazo do investimento.
4. Em qualquer circunstância o investidor tomará uma decisão, pois mesmo ao escolher não decidir terá decidir terá tomado uma decisão, a de não decidir.
Capítulo | 2 Investimento, reinvestimento e taxa real de juro
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FORMAÇÃO DA TAXA DE JURO DE UMA OPERAÇÃO FINANCEIRA O valor e o período da taxa de juro são determinados ou definidos de duas maneiras. ●
●
Na preparação ou montagem de uma operação financeira, a taxa de juro é previamente definida como uma taxa efetiva, às vezes como uma taxa nominal, mas sempre conhecendo seu valor, seu período ou sua forma de capitalização. capitalizaç ão. Na formação dessa taxa de juro estão presentes a oferta e a demanda de dinheiro, da política econômica interna/externa, da percepção dos agentes econômicos sobre o futuro futur o etc. Neste caso, a taxa de juro é uma informação externa à operação, porém as características da operação são consideradas na escolha do valor da taxa de juro, por exemplo, o fator risco. r isco. Numa operação fechada ou já realizada, a taxa de juro é obtida dos dados da própria operação financeira. Por exemplo, utilizando uma fórmula, a taxa de juro obtida em função dos capitais de uma operação é uma taxa efetiva, como foi mostrado no Exemplo1.
E, em ambos os casos, o período da taxa efetiva poderá não coincidir com o da operação ou com o período desejado.
FATORES DE FORMAÇÃO DA TAXA DE JURO Completando o tema, a taxa total de juro definida na montagem de uma operação como a obtida da avaliação de uma operação realizada é afetada por três importantes fatores:
1. Fator tempo. Ao investir investir hoje certa quantia, no final do prazo da operação 2.
3.
dever-se-á resgatar uma quantia maior. Esse resultado é medido com a taxa real de juro. Fator inflação. Embora a quantia do resgate seja maior que a quantia investida, o poder aquisitivo na data do resgate poderá ser menor que o da data de investimento. Esse resultado é medido com uma taxa adicional à taxa anterior e denominada taxa de inflação, ou taxa de indexação. Fator risco. Há a possibilidade de não se resgatar a quantia esperada. Essa perda pode ser parcial devido a resultados adversos da operação, ou total pela inadimplência da outra parte etc. Esse resultado é medido com uma taxa adicional às duas taxas anteriores e denominada taxa de prêmio pelo risco .5
A remuneração do capital é afetada pelo tempo, pela inflação e pelo risco associado à operação. Cada um desses três fatores participa par ticipa da taxa de juro i em proporções variáveis conforme o tipo de operação e o ambiente econômico interno e externo. 5. Quanto ao risco, o que fazer se s e houver a possibilidade de não receber no futuro parte ou toda a quantia investida? inv estida? Se a perda de um capital for constatada depois de ter ocorrido, apenas restará assumir o prejuízo e, se for o caso, ca so, tentar os caminhos legais de recuperação. Entretanto, se essa possível perda de capital for detectada antes de iniciar a operação, então será possível evitar, diminuir e até transferir esse risco.
40
Matemática financeira
E o aumento/diminuição desses três fatores, seja de forma isolada ou conjunta, provocará provoca rá alterações na taxa de juro. E aqui devemos devemos separar duas situações: ●
●
A taxa de juro utilizada na preparação ou montagem de uma operação é uma taxa definida de acordo com as previsões futuras desses três fatores para o prazo da operação. Neste caso, até fechar a operação sempre haverá margem para ajustar o valor da taxa de juro. No final do prazo da operação, a taxa de juro obtida da operação deverá ser a mesma que a utilizada na preparação dessa operação. Entretanto, os resultados dos três fatores durante o prazo da operação deverão ser diferentes dos valores previstos. E, neste caso, não haverá margem para ajustar o valor da taxa de juro.
TAXA TAX A REAL DE JURO A substituição de alguns eletrodomésticos da casa por outros mais modernos incluindo novas novas funções foi orçada em $10.000. Suponha que você tenha esse dinheiro, porém, como os eletrodomésticos em uso ainda estão funcionando bem, em vez de realizar essa substituição s ubstituição essa quantia foi inv investida estida por um ano com a taxa de juro de 8,35% ao ano. Passado um ano, você resgatou $10.835 do investimento de $10.000. Ao mesmo tempo, os mesmos eletrodomésticos foram orçados em $10.620. Resumindo esses resultados, temos: ●
●
A taxa de juro do investimento é denominada taxa total i e é igual a 8,35% ao ano. A taxa de variação do preço dos eletrodomésticos denominada como taxa de inflação j é igual a j = 6,20% ao ano.
Esses resultados mostram que o resgate do investimento permitirá comprar os eletrodomésticos e ainda sobrarão $215 valor denominado como juro real e medido com a taxa real de juro π. Dessa maneira podemos estabelecer a formação da taxa de juro nominal i como resultado da composição da taxa de inflação e da taxa real de juro como mostra a fórmula seguinte: $10.000 × (1 + i) = $10.000 × (1 + j) × (1 + π)
Realizando simplificações obtemos a expressão da taxa total em função f unção da taxa de inflação e da taxa real, as três taxas com o mesmo período. 1 + i = (1 + j) × (1 + π)
A taxa real de juro π do exemplo que estamos desenvolvendo é igual a 2,0245% ao ano e determinada depois de corrigir a inflação, como se mostra a seguir: 1 + 0, 835
=
π =
(1 + 0, 06 062) × (1 + π) 1,0835 − 1 = 0,0 0,02 20245 1,062
Capítulo | 2 Investimento, reinvestimento e taxa real de juro
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Exemplo 1. Considerando que a estimativa de inflação para os próximos doze meses é 5,8% ao ano, ou doze meses, e o investidor quer remunerar seu investimento com a taxa real de 6,5% ao ano, calcule a taxa total de juro mínima exigida exigida pelo investidor investidor para aceitar um investimento investimento.. Solução. A taxa total de juro mínima é 12,68% ao ano resultado resul tado obtido com: 1 + i = (1 + j ) × (1 + π) i = (1 + 0,0 0,05 58) × (1 + 0,0 0,06 65) − 1 = 0,12 ,12677
Registrando a fórmula no Excel Numa célula da planilha Excel, registramos a última fórmula da resolução algébrica para obter o resultado procurado e já conhecido: =
(1 + 0,05 ,058)*( 8)*(1 1 + 0,06 ,065) 5) − 1 0,12 ,12677
Calculadora HP-12C Com as teclas numéricas obtemos o resultado procurado. [CLX] 1[E]0. [E]0.058 ( +)[E] )[E]1[E]0. [E]0.065 ( +)[ ×]1[ −] → 0,12 ,12677
Modelo Taxa Real de Juro Com o modelo Taxa Real de Juro construído na planilha com o mesmo nome na pasta Capítulo 2 do Excel obtêm-se a taxa nominal, a taxa de inflação e a taxa real, utilizando os recursos da planilha e o VBA. Tenha-se Tenha-se presente pre sente que as três taxas têm o mesmo período. Como, em geral, antes de registrar os dados de um novo cálculo o modelo terá valores registrados de um cálculo anterior, como boa prática recomenda-se limpar os valores registrados no intervalo C4:C6 clicando no botão Limpar dados.
42
Matemática financeira
Nova função fu nção Taxas TaxasJuro Juro O valor da Taxa Nominal também pode ser obtido com a nova função TaxasJuro para Excel com a seguinte sintaxe: =
Taxas Juro(TaxaNom;TaxaInfla;TaxaReal )
A nova função TaxasJuro TaxasJuro retorna re torna a taxa nominal, a taxa de inflação infla ção e a taxa real, tendo em consideração que as três taxas taxa s têm o mesmo período. Os argumentos dessa função podem ser valores numéricos, expressões que resultarem em valores numéricos ou o símbolo “X” ou “x”, incluindo as duas duplas aspas retas quando a fórmula for digitada. Considerando que o suplemento das novas funções já foi instalado no Excel, registrando a fórmula seguinte numa célula da planilha Excel com os dados do Exemplo 1 obtemos o resultado procurado: =
Taxa TaxasJ sJur uro( o("" X '''';; 0, 05 058 8; 0, 06 065 5) 0,1 0,126 2677 77
Exemplo 2. O resultado do investimento realizado pelo prazo de um ano foi 8,26% ao ano. Considerando que a taxa de inflação no mesmo período foi de 8,75% ao ano, calcule a taxa real de juro. Solução. Procedendo como foi mostrado o resultado da taxa real de juro é negativa e igual a -0,4506% ao ano, resultado obtido como segue. π=
1 + 0,082 ,0826 1 + 0,087 ,0875
− 1 = −0, 00 004506
Capítulo | 2 Investimento, reinvestimento e taxa real de juro
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Perceba que a taxa real do Exemplo 2 é negativa negativa porque a taxa de indexação é maior que a taxa nominal, e a rentabilidade total não foi suficiente para compensar a inflação. Num ciclo de inflação crescente, uma taxa total baixa pode gerar uma taxa real baixa e até negativa, e num ciclo de inflação decrescente uma taxa total baixa pode gerar uma taxa real alta.
Registrando a fórmula no Excel Numa célula da planilha Excel, registramos a última fórmula da resolução algébrica para obter o resultado procurado e já conhecido: =
1,082 ,0826 /1,08 /1,087 75 1 0,004 ,004506 −
−
Calculadora HP-12C Com as teclas numéricas obtemos o resultado procurado. [CLX] 1.058[E]1 8[E]1.0875[E][ 5[E][÷ ]1 ]1[− ] → − 0,004 ,004506
Modelo Taxa Real de Juro A primeira figura registra as duas taxas conhecidas e a taxa real como incógnita, tendo as três taxas o mesmo período. A segunda figura apresenta o resultado procurado.
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Matemática financeira
Nova função fu nção Taxas TaxasJuro Juro Registrando a fórmula seguinte numa célula da planilha Excel com os dados do Exemplo 2, obtemos o resultado procurado: =
TaxasJ xasJur uro( o(0,082 0,0826 6; 0,0875 0,0875;" X '') 0,00450 0,004506 6 −
EXERCÍCIOS Exercício 1 Para o investimento de um ano o investidor deseja um rendimento com taxa real de juro de 6% ao ano. Calcule a taxa total de juro considerando a taxa de indexação de 3,24% ao ano. R: 9,43% ao ano Exercício 2 No primeiro semestre a taxa de indexação foi 3,1% ao semestre e a taxa total do investimento investimento foi 9,16% ao ano. Calcule a taxa real. R: 5,88% ao ano Exercício 3 Considerando a taxa total de juro de 2,44% ao bimestre e a taxa real de 1,10% ao bimestre, calcule a taxa de indexação correspondente. R: 1,325% ao bimestre Exercício 4 O rendimento total da carteira do fundo de investimentos foi de 2,1% ao trimestre. Considerando que no mesmo trimestre a taxa de indexação foi 2,7%, calcule a taxa real. R: −0,584% ao trimestre
Capítulo | 2 Investimento, reinvestimento e taxa real de juro
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COMENTÁRIO Os exemplos mostram como operar com a inflação, a taxa total de juro e a taxa real verificando que conhecendo duas delas a terceira taxa fica determinada. Na prática, interessa ao investidor garantir uma taxa real adequada para seus investimentos, inv estimentos, pois a taxa de indexação repõe o poder de compra e a taxa total é determinada por essas duas taxas. Conhecer antecipadamente a inflação futura não é um exercício fácil para um investimento de longo prazo, mas para o curto prazo essa previsão pode ser mais fácil. Dessa maneira, em alguns casos, em vez de tentar estimar a indexação futura é preferível avaliar as operações em moeda constante com a taxa real. Por exemplo, as estimativas relevantes do projeto de investimento são estabelecidas em moeda constante, as estimativas das vendas durante o prazo de análise do projeto não incluem correções anuais dos preços devido à inflação, as variações de vendas são provenientes somente do ciclo do produto e das reações do mercado. Assim, ao avaliar o fluxo de caixa de projeto será ser á utilizada uma taxa real. Se for utilizada uma taxa total de juro, resultado re sultado da composição da taxa de indexação e da taxa real, o fluxo de caixa deverá ser construído com estimativas estimati vas que considerem os preços e custos com inflação. Porém nem sempre o procedimento de cálculo da taxa nominal coincide com o procedimento apresentado. Por exemp exemplo, lo, a instituição financeira informa que para um determinado período a taxa pós-fixada de juro de um título é a taxa de indexação mais a taxa real de juro, ambas com o mesmo período. Nesse caso, a declaração de somar taxas de juros é apenas uma forma de expressão, pois na prática as taxas são compostas utilizando o procedimento apresentado. apres entado. Da mesma maneira, a taxa real é definida como a diferença da taxa nominal menos a taxa de indexação, tendo todas as taxas o mesmo período. Em alguns casos, a declaração de subtrair (ou de somar) taxas de juro é posta em prática. Essa aproximação é consequência da seguinte análise: 1 + i = (1 + j) × (1 + π) 1 + i = 1+ j + π + j × r i = j + π+ j ×r
Para valores pequenos de j e π, o resultado r esultado dessa multiplicação tenderá a zero i ≅ j + π .
Capítulo 3
Juro Jur o sim simple pless Neste Capítulo 3 o leitor aprenderá: ● ● ● ● ● ● ●
A Operação Financeira no Regime de Juro Simples Particularidades desse Regime nas Operações de Curto Prazo Calcular o Juro, o Futuro, o Presente, a Taxa de Juro e o Prazo da Operação A Operação Financeira com Geração Periódica de Juros A Taxa Equivalente no Regime de Juro Simples As Decorrências da Utilização desse Regime A Utilizar as Ferramentas Tecnológicas: Calculadora HP-12C Modelo Juro Simples em Excel e VBA Nova Função financeira JurSimp em Excel e VBA
Observamos que o juro periódico de um investimento pode ser mantido sem remuneração até o final do prazo da operação, ou ser capitalizado, reinvestindo reinv estindo os juros nas datas em que são gerados. O procedimento de cálculo periódico dos juros é o mesmo nos dois regimes, porém no regime de juro simples os juros sempre são calculados sobre o capital inicial da operação e, por não ser reinv re investido, estido, o resgate será menor que no regime de juro composto c omposto.. Em operações financeiras de curto prazo, de até um ano, o cálculo do juro é realizado pelo procedimento de juro proporcional, ou juro simples. Por exem exem-plo, um investimento de $60.000 pelo prazo de 42 dias foi realizado com a taxa de juro de 11% ao ano calculando o juro de forma proporcional ao prazo da operação. Indagado quanto ao número de dias do ano o gerente informou que nessa operação é considerado o ano de 365 dias. O juro dessa operação igual a $759,45 foi obtido com: 1 0,11
J = $60.000 ×
× 42 365 J = $6 $60. 0.00 000 0 × 0,01265 0,0126575 753 3 = $7 $759 59,, 45
1. Note que na segunda linha da fórmula, o fator 0,01265753 é uma taxa de juro simples com período de 42 dias.
47
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Matemática financeira
Note que o valor do juro simples J dessa dessa operação é o resultado de multiplicar três fatores: o capital capita l investido investido P, a taxa de juro i com seu período m, e o prazo da operação t , como registra a expressão: J
=
P×
i m
× t
Dessa fórmula deduzimos que o valor do juro simples é diretamente proporcional ao capital P, à taxa de juro i, e ao tempo ou duração da operação t e e é inversamente proporcional ao período m da taxa de juro.
OPERAÇÃO FINANCEIRA COM JURO SIMPLES Continuando com o investimento anterior, o valor do resgate F é é o resultado da soma do capital investido P mais o juro J totalizando totalizando o valor de $60.759,45, resultado obtido com: F
=
P + J
$60. $60.00 000 0 + $7 $759 59,, 45 = $6 $60. 0.75 759,45 9,45 J =
Desse procedimento de cálculo deduzimos a fórmula do futuro da operação com dois capitais no regime de juro simples: F
= P + J ⇒ F = P + P × i × t m
F
t = P × 1 + i × m
Essa fórmula regula o valor do dinheiro em função do tempo da operação financeira com dois capitais P e F , a taxa de juro i com período igual a m e prazo da operação t no no regime de juro simples. Analisando as variáveis variáveis dessa operação destacamos: ●
●
●
●
O período da taxa de juro m e o prazo da operação t têm têm a mesma unidade de tempo, em geral dias. O período da taxa de juro m pode ser qualquer um, entretanto o mais frequente é um ano que pode assumir três valores diferentes de dias: 360 dias e o número real de dias do ano 365 ou 366. Note Not e que qualquer que seja a duração do ano, o procedimento de cálculo será o mesmo, tomando-se o cuidado de registrar o número de dias corretamente. O fator t / m mede o prazo da operação como proporção do número de dias do ano adotado. Há uma única capitalização no final da operação, coincidente com o prazo da operação.
Capítulo | 3 Juro simples
49
FERRAMENTASS TECNOLÓGICAS DE CÁLCULO FERRAMENTA tecnológica é uma ferramenta de Como foi visto no Capítulo 1 a ferramenta tecnológica cálculo financeiro que automatiza procedimentos de resolução algébrica por meio de um programa cujas instruções são executadas numa calculadora como Juro o Simples Simp les etc. O a HP-12C, ou uma função do Excel, um modelo como Jur objetivo objetiv o da ferramenta tecnológica é reproduzir procedimentos corretos de cálculo, reduzir o tempo de resolução e garantir a exatidão dos resultados. Entretanto, embora o resultado obtido da ferramenta tecnológica seja tecnicamente correto, esse resultado re sultado poderá não ser o esperado esper ado devido a alguma falha conceitual, como a incorreta informação de algum dos dados. Outro ponto importante é que a ferramenta tecnológica financeira utiliza a regra dos sinais dos capitais da operação financeira. Os exemplos exemplos seguintes são resolvidos de forma algébrica e com algumas ferramentas tecnológicas.
Exemplo 1. O investimento investimento de $200.000 pelo prazo de 91 dias será remunerado com a taxa de juro de 8,50% ao ano, calculando o juro de forma proporcional e considerando um ano de 360 dias. Calcule o valor do resgate desse investimento. Solução. O resgate total $204.297,22 resultado obtido com:
360 $200 00.0 .000 00 × 1, 02 0214 1486 8611 11 = $20 204 4 .29 297 7 ,22 F = $2
0,085 × F = $200.000 × 1 + 0,08
91
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando-se a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel: =
2000 200000* 00* (1 + 0,085* 0,085* 91/ 360) 360) → $204. 204.29 297 7, 22
Calculadora HP-12C Há dois procedimentos para resolver o cálculo financeiro deste exemp exemplo. lo. Primeiro com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. Uma rotina é a seguinte: [CLX] 2000 200000[E 00[E]1 ]1[E]0. [E]0.08 085[E]9 5[E]91[ 1[× ]360[ ]360[÷ ][+ ][× ] → 204. 204.29 297,22 7,22
Outra rotina de digitação é a seguinte: [CLX] 2000 200000[E 00[E]0. ]0.08 085[E]9 5[E]91[ 1[× ]360[ ]360[÷ ]1[ ]1[+ ][× ] → 204. 204.29 297,22 7,22
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Matemática financeira
A calculadora HP-12C dispõe de procedimento para calcular calc ular o juro e o futuro de uma operação no regime de juro simples com prazo pr azo em dias e taxa de juro com c om período de 360 ou 365 dias. Considerado Consi derado o período da taxa de 360 dias dia s temos: [f][FI [f ][FIN] N]ins instru trução çãopar paraa zerar zerar as memór memórias ias 91[n]8.5[i]200000[CHS][PV] [f][IN [f][INT] → 4.29 4.297,22 7,22 valo valorr do jur juro [+] → 204.297,22
Embora não faça parte deste exemplo, se o período da taxa for 365 dias, proceda como segue a partir da segunda linha acima: [f][I [f][INT][R T][R ↓][x ][x ↔ y] → 4.23 .238,356 8,3562 2 val valor do juro [+] → 204.238,356 ,3562
Note que o valor do juro é menor devido ao período maior da taxa de juro.
Modelo Juro Simples Juro o Simples construído na planilha com o mesmo nome da Com o modelo Jur pasta Excel Capítulo 3 obtêm-se os quatro possíveis resultados desse tipo de operação, pois o período da taxa de juro não é uma variável. No caso do Exemplo 1, para obter o resultado do futuro registram-se os valores dos três dados e a letra X, maiúscula ou minúscula, na célula da incógnita C5. 2 Note o leitor que o valor investido foi registrado com valor negativo, negativo, representando a parte do inv investidor estidor que desembolsa o capital. Para obter o resultado, depois de clicar no botão Calcular o o modelo calcula o valor da incógnita e o registra r egistra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula.
2. Antes de registrar os dados de um novo cálculo o modelo terá valores registrados de um cálculo anterior. Ao registrar um novo valor o modelo exibirá o aviso Recalcular na na célula B3 para alertar o usuário.
Capítulo | 3 Juro simples
51
Nova função JuroSimp O valor do Futuro também pode ser obtido com a nova função JuroSimp para Excel com a seguinte sintaxe: =
JuroSimp( Presente Futuro; Taxa Taxa; PerTax PerTaxa a; Prazo Prazo) Presente; Futuro
A nova função JuroSimp retorna qualquer um de quatro argumentos Presente, Futuro, Taxa e Prazo sendo conhecidos os três argumentos restantes da operação de dois capitais no regime de juros simples, pois o argumento PerTaxa não tem interesse de ser calculado. Os argumentos dessa função podem ser valores numéricos, expressões que resultarem em valores numéricos ou o símbolo “X” ou “x”, incluindo as duas aspas duplas quando a fórmula for digitada. A nova função financeira JuroSimp utiliza a regra de sinais dos capitais, sinal positivo para a entrada de capital e sinal negativo para a saída. Para facilitar o registro dos sinais dos capitais, recomendamos utilizar os verdadeiros sinais dos capitais da operação. Ainda: ●
●
O resultado de um dos dois capitais da operação sempre será apresentado com sinal oposto ao do capital registrado como dado. Para calcular a taxa de juro, os valores dos capitais da operação devem ser informados com sinais opostos.
Registrando essa fórmula numa célula da planilha Excel com os dados do exemplo, exemp lo, obtemos o resultado procurado: 3 =
Juro JuroSi Simp mp((−200000 200000;" ;" X ''; ''; 0, 085; 085; 360; 360; 91) 91) →204.29 204.297, 7,22 22
3. Nos Apêndices 1 e 2, estão registradas instruções para utilização das seis novas funções financeiras.
52
Matemática financeira
COMENTÁRIO Para o mesmo capital investido durante certo prazo no regime com juro simples, a taxa de juro com período de 360 dias gerará um resgate maior que a mesma taxa com período de 365 dias. Dessa maneira, uma instituição que receba investimentos e remunere com taxa de juro com período de 365 dias e, ao mesmo tempo, financie a mesma quantidade captada com a mesma taxa com período de 360 dias, terá uma diferença favorável. Exemplo 2. Refaça o Exemplo 1 considerando o período da taxa de juro de 365 dias e compare os resultados. Solução. O resgate total $204.238,36 resultado obtido com:
91 = $200.000 × 1 + 0,085 ,085 × 365 F = $204.238,36 F
Comparando os resultados resul tados dos Exemplos 1 e 2, o resgate considerando o mesmo valor de taxa de juro com período de 365 dias é menor que o obtido com o período da taxa de 360 dias.
Resolvendo com ferramentas tecnológicas Deixamos por conta do leitor a solução deste exemplo utilizando as três ferramentas tecnológicas.
EXERCÍCIOS Exercício 1 Um empréstimo no valor de $28.000 pelo prazo de 121 dias foi fechado com a taxa de juro de 16% aos 365 dias, com a condição de pagar o juro junto com a devolução d evolução do emprés empréstimo. timo. Calcul Calculee o pagamen pagamento to final com juros simples. R: $29.485,15 Exercício 2 Refaça o Exercício 1 considerando a mesma taxa de juro simples de 16% com período de 360 dias. R: $29.505,78 Exercício 3 Para atrair o cliente, o lojista informa que financia as compras em até 60 dias com juro simples e taxa de juro de 43% aos 365 dias. Se um cliente comprou $2.650 em mercadorias diversas e quer pagar após 40 dias da data da compra, calcule o valor a ser recebido pelo lojista. R: $2.774,88
Capítulo | 3 Juro simples
53
Exercício 4 O banco financiou $20.000 pelo prazo de 12 meses com uma taxa de juro de 3,5% ao mês. Calcule o juro e o valor do pagamento final considerando considerando juro simples. R: $8.400 e $28.400 Exercício 5 Do investimento de $85.000 realizado com taxa de juro de 30% aos 360 dias serão recebidos juros a cada 60 dias corridos no regime de juros simples. Calcule o valor do juro periódico. R: $4.250,00 Exercício 6 O investimento de $24.000 pelo prazo de 182 dias foi fechado com a taxa de juro de 23,5% aos 365 dias. Calcule o juro e o resgate desse investimento investimento no regime de juro simples. R: $11.967,71 e $35.967,12
CÁLCULO DO PRESENTE Continuando com os cálculos, da expressão do futuro conhecida da operação financeira no regime de juro simples obtém-se obtém-s e a expressão do valor presente P. Exemplo 3. Daqui a 123 dias Pedro receberá a metade do 13 o salário, no valor de $2.350. Ele recebeu uma proposta para receber esse valor na data de hoje, a uma taxa de juro simples de 20,10% ao ano de 360 dias. Calcule quanto Pedro receberia hoje. Solução. Primeiro obtemos a fórmula do presente da operação com juro simples como segue: F
t F = P × 1 + i × ⇒ ⇒ P = t m 1 + i × m
Substituindo os dados, Pedro receberia hoje o valor $2.198,98, resultado obtido com: P
=
$2.350
123 ,2010 × 1 + 0,201 360
= $2.198,98
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando-se a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel: =
2350 / (1 + 0,2 0,20 020 *1 *12 23 / 360) → 2.198,98
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Matemática financeira
Calculadora HP-12C Utilizando as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] 2350[E] 2350[E]1[ 1[E]0. E]0.20 2010[E 10[E]1 ]123[ 23[× ]360[ ]360[÷ ][+ ][÷ ] → 2.19 2.198,9 8,98 8
A calculadora HP-12C não dispõe de um procedimento para calcular o juro e o presente de uma operação no regime de juro.
Modelo Juro Simples Juro ro Simples Simples construído na planilha de mesmo nome na pasta Com o modelo Ju Capítulo 3 do Excel, para obter o resultado do presente registram-se os valores dos três dados e a letra X, maiúscula ou minúscula, na célula da incógnita C4. Considerando a parte do Pedro, o valor a receber foi registrado com valor negativo. Clicando em Calcular o o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada.
Capítulo | 3 Juro simples
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Nova função JuroSimp Registrando essa fórmula numa célula vazia da planilha Excel com os dados do exemplo obtemos o resultado procurado: =
Jur JuroSim oSimp( p("" X ''; ''; −2350 2350;; 0,20 0, 2010 10;; 360 360;123) ;123) →2.19 2.198,98 8,98
EXERCÍCIOS Exercício 7 Calcule o valor do investimento na seguinte condição: a cada 30 dias corridos o investidor recebe $650 de juro, considerando a taxa de juro de 37,7% aos 360 dias no regime de juros simples. R: $20.689,66 Exercício 8 Calcule o capital investido investido pelo prazo de 540 dias no regime de juros simples do qual foram resgatados $121.000 obtidos com taxa de juro de 3,5% aos 90 dias. R: $100.000
CÁLCULO DA TAXA DE JURO O terceiro cálculo é o da taxa de juro i sendo conhecidos o período da taxa de juro e os valores de P, F e e t da da operação com dois capitais no regime de juro simples. Exemplo 4. Catarina está analisando a compra de um tablet . O vendedor oferece as seguintes duas alternativas alternativas de pagamento: ● ●
No ato da compra, o pagamento único de $1.945. Em dois pagamentos, um de $1.000 na data da compra e entrega do tablet e e o outro pagamento de $1.100, após 65 dias da compra.
Se Catarina escolher pagar em dois pagamentos, pa gamentos, calcule a taxa de juro simples com período de 360 dias dessa operação. Solução. Primeiro obtemos a fórmula da taxa de juro da operação com juro simples como segue:
t F m = P × 1 + i × ⇒ − 1 = i × m P t F t i = − 1 × P m
F
Substituindo os dados, se Catarina escolher pagar em dois pagamentos, a taxa de juro do financiamento dessa compra será 90,84% aos 360 dias, resultado obtido com:
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Matemática financeira
i
360 = $1.100 − 1 × × = 0,908425 $1.945 $1.945 − $1.000 $1.000 65
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando-se a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel: =
(11 1100 00 / (194 945 5 − 10 1000 00)) − 1) * 360 / 65 →0,9 0,908 0842 425 5
Calculadora HP-12C Utilizando as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] 1100[E] 100[E]19 1945 45[E [E]]100 1000[− ][÷]1[ ]1[− ]360[ ]360[× ]65[ ]65[÷ ] → 0,908 0,90842 425 5
A calculadora HP-12C não dispõe de um procedimento para calcular o juro de uma operação no regime de juro simples.
Modelo Juro Simples Depois de informar os dados e clicar no botão Calcular , o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada.
Capítulo | 3 Juro simples
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Nova função JuroSimp Registrando essa fórmula numa célula vazia da planilha Excel com os dados do exemplo obtemos obtemos o resultado r esultado da taxa de juro: =
Juro JuroSi Simp mp(((1945 1945 − 1000) 1000);; −1100 1100;" ;" X ''; ''; 360 360; 65) 65) →0,9084 0,9084
EXERCÍCIOS Exercício 9 A operação foi fechada com a taxa de juro de 26% aos 360 dias e prazo de 90 dias com juro simples. Calcule a taxa proporcional de juro aos 90 dias. R: 6,50% aos 90 dias Exercício 10 Calcule a taxa proporcional de juro aos 365 dias da taxa diária de juro de 0,048% com juro simples. R: 17,52% aos 365 dias Exercício 11 Do investimento investimento de $100.000 foram resgatados $126.850 no prazo de 365 dias. Calcule a taxa de juro com período de 30 dias no regime de juros simples. R: 2,2068% aos 30 dias
CÁLCULO DO PRAZO O último cálculo é a determinação do prazo t da da operação sendo conhecidos P, F e e i da operação com juro simples. Depois de obter o valor de t de de forma algébrica, esse valor também é determinado com ferramentas tecnológicas.
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Matemática financeira
Exemplo 5. Hoje, seu amigo necessita de $6.350 para pagar uma dívida. Ele tem investido $6.500 que só pode resgatar daqui a 30 dias. Você tem essa quantia investida que pode resgatada nesta data e que está sendo remunerada com a taxa de juro simples de 18% aos 365 dias. Se você emprestar essa quantia para recebê-la recebê -la corrigida no futuro, futur o, qual deve ser o número máximo de dias entre a data do empréstimo de $6.350 e a data de recebimento de $6.500 para empatar com seu investimento e não ter prejuízo? Solução. Começamos por obter a fórmula da taxa de juro da operação oper ação com juro simples como como segue:
t F t = P × 1 + i × ⇒ ⇒ − 1 = i × m P m F m t = − 1 × × P i
F
Substituindo os dados, o número máximo e exato de dias entre a data do empréstimo de $6.350 e a data de recebimento de $6.500 para empatar com seu investimento inv estimento e não ter prejuízo é 47,9003 dias, resultado obtido com: t
= $6.500 − 1 × × $6.350
365 0,18
= 47,9003
Note o leitor que o prazo 47,90 dias obtido com a fórmula é o resultado exato da operação. Na interpretação prática, esse resultado ocorreria aproximadamente quase no final do dia 48. Como não faz sentido trabalhar com frações do dia, o que se acostuma fazer é arredondar para um número inteiro e depois recalcular outro dado da operação, por exemplo, o valor valor de um dos dois capitais ou a taxa de juro. Como neste exemplo queremos saber o número máximo de dias, os dois capitais são fixos, determinados e, para manter a equivalência entre os dados e os resultados, qualquer mudança no prazo mudará o valor da taxa de juro da operação. Temos que escolher 47 ou 48 dias e analisar as consequências dessas duas alternativ alternativas. as. Qualitativamente, Qualitativamente, o prazo menor aumentará a taxa de juro, e o prazo maior a diminuirá. Quantitativamente, esses cálculos são mais fáceis de serem realizados utilizando as ferramentas tecnológicas.
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel: =
(65 6500 00 / 63 6350 50 − 1)* 365 / 0,18 0,18 → 47 47,90 ,9003 03
Capítulo | 3 Juro simples
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Calculadora HP-12C Utilizando as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] 6500[ 6500[E]6 E]635 350[ 0[÷]1[− ]365 ]365[[× ]0,18[ ]0,18[÷ ] → 47,900 7,9003 3
A calculadora HP-12C não dispõe de um procedimento para calcular a duração da operação no regime de juro simples.
Modelo Juro Simples Depois de informar os dados e clicar no botão Calcular o o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada.
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Matemática financeira
Note que a resposta do modelo é o prazo de 48 dias, resultado r esultado da formatação de arredondamento sem mostrar os decimais na célula. Entretanto, para ver o resultado exato o leitor deve selecionar a célula C8 e ler o resultado exato 47,9003 na barra de fórmulas da planilha. A seguir temos que escolher 47 ou 48 dias e ajustar, por exemplo, a taxa de juro como nova incógnita. Nesse caso, para 47 dias a taxa de juro é 18,34% e para 48 dias é 17,96% aos 365 dias.
Nova função JuroSimp Registrando essa fórmula numa célula vazia da planilha Excel com os dados do exemplo obtemos o resultado do prazo da operação: =
Jur JuroSim oSimp( p(−6350 6350;; 6500 6500;; 0,18 0,18; 365 365;" X '') '') →47,900 47,9003 3
A seguir, escolhendo 47 e 48 dias e obtemos as taxas de juro correspondentes. Juro JuroSi Simp mp((−6350 6350;; 6500;" 6500;"X X ''; ''; 365; 365; 47) →0,183448 0,183448 = Jur JuroSim oSimp( p(−6350 6350; 6500 6500;" ;" X ''; ''; 365 365; 48) 48) →0,179 0,17962 626 6 =
EXERCÍCIOS Exercício 12 Foram financiados $18.000 com a promessa de serem devolvidos junto com os juros antes de completados três meses. Considerando a taxa de juro de 42,50% aos 365 dias e considerando juro simples, calcule o prazo desse empréstimo se o tomador devolveu $19.467,12. R: 70 dias Exercício 13 O financiamento de $64.000 foi resgatado pagando $77.104. Considerando a taxa de juro de 2,457% aos 30 dias no regime de juros simples, calcule o prazo desse financiame financiamento. nto. R: 250 dias
Até aqui foram apresentados os cálculos de cada possível variável da operação com juro simples. A seguir são registrados mais exercícios para o leitor resolver procurando utilizar todos os recursos apresentados.
EXERCÍCIOS Exercício 14 O empréstimo de $35.000 pelo prazo de 135 dias foi acertado com a taxa de juro de 16% aos 360 dias com a condição de pagar o juro junto com a devolução do empréstimo. Calcule o pagamento final no regime de juros simples. R: $37.100,00
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Exercício 15 Conhecida a taxa de juro de 29% aos 360 dias, calcule a taxa proporcional de juro aos 60 dias. R: 4,833% aos 60 dias Exercício 16 Conhecida a taxa diária de juro de 0,045%, calcule a taxa proporcional de juro aos 360 dias. R: 16,20% aos 360 dias Exercício 17 O fabricante financia o pagamento da venda em até 60 dias da data da compra com acréscimo de juros calculados com a taxa de juro de 78% aos 365 dias considerando juros simples. Se o valor da mercadoria é $3.250 e o comprador pagará 35 dias depois da data da compra, calcule o valor a ser recebido pelo fabricante. R: $3.493,08 Exercício 18 Foram emprestados $15.000 pelo prazo de 12 meses na taxa de juro de 4% ao mês. Calcule o juro e o valor do pagamento final considerando juros jur os simples. = $7.200 e F = = $22.200 R: J = Exercício 19 Depois de 210 dias foram resgatados $97.614 de um investimento investimento de $85.000. Calcule a taxa de juro com período de 30 dias no regime de juros simples. R: i = 2,12% aos 30 dias Exercício 20 Roberto emprestou $25.000 com a promessa de receber antes de três meses o valor emprestado mais os juros correspondentes na taxa de juro de 55% aos 365 dias. Considerando juros simples, calcule o prazo desse empréstimo se Roberto recebeu $27.561,64. = 68 dias R: t = Exercício 21 O investidor investidor recebe juros de $733,68 cada 31 dias. Calcule o valor do investimento inv estimento considerando a taxa de juro de 24% aos 360 dias no regime de juros simples. R: Com a taxa de juro i = 2,0667% aos 31 dias, P = $35.500,65 Exercício 22 Você investiu $100.000 com taxa de juro de 30% aos 360 dias e com a condição de receber juros a cada 90 dias. Calcule o valor dos juros no regime de juros simples. = $7.500,00 R: J = Exercício 23 Foram investidos $100.000 durante 300 dias no regime de juros simples com taxa de juro de 2,85% aos 30 dias. Calcule o valor do resgate considerando o regime de juros simples. = $128.500 R: F =
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Matemática financeira
Exercício 24 Foram aplicados $20.000 pelo prazo de 192 dias seguidos. Calcule o valor do resgate considerando a taxa de juro constante de 1,04% aos 31 dias no regime de juros simples. = $21.288,26 R: F = Exercício 25 De um investimento investimento de $40.000 foram resgatados $46.496. Se o prazo desse investimento inv estimento foi de 290 dias no regime de juros simples, calcule a taxa de juro com período de 30 dias. R: i = 1,68% aos 30 dias Exercício 26 Foram resgatados $121.650,06 de um investimento realizado com taxa de juro de 7,23% aos 181 dias. Calcule o capital investido se o prazo do investimento inv estimento foi de 542 dias no regime de juros simples. R: P = $100.000 Exercício 27 Calcule o prazo do empréstimo realizado com as seguintes características: valor emprestado $32.000, $32.000 , valor devolvido $38.552, taxa de juro de 2,45% aos 28 dias no regime de juros simples. = 234 dias R: t = Exercício 28 No dia 12 de outubro foram resgatados $125.879. Se o investimento foi realizado no dia 28 de março, calcule o valor investido considerando a taxa de juro de 2,89% aos 30 dias no regime de juros simples. = 189 dias e P = $106.490,31 R: t =
OPERAÇÃO FINANCEIRA COM GERAÇÃO PERIÓDICA DE JUROS NO REGIME DE JURO SIMPLES No Capítulo 2, vimos que Capitalização é o ato de adicionar o juro do período perí odo ao capital que lhe deu origem, e o destino dos juros periódicos diferencia os regimes de juro simples e juro composto que a seguir repetimos. ●
●
No regime de juro simples os juros periódicos não são reinvestidos durante o prazo da operação; esses juros são acumulados sem remuneração. De outra maneira, o capital inicial sobre o qual se calculam os juros permanece inalterado durante todo o prazo da operação, e os juros são capitalizados na data do resgaste do capital investido. composto to os juros são reinvestidos durante o prazo No regime de juro compos da operação. Neste caso, o capital sobre o qual se calculam os juros muda de forma crescente durante todo o prazo da operação, pois os juros são capitalizados na data em que são gerados.
Este capítulo foi iniciado com a operação financeira de curto prazo realizando o cálculo do juro pelo procedimento de juro proporcional, ou juro simples. Foi
Capítulo | 3 Juro simples
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deduzida a fórmula da operação financeira com dois capitais P e F , a taxa de juro i com período igual a m e prazo da operação t no no regime de juro simples que a seguir repetimos: F
t = P × 1 + i × m
Se o prazo da operação t for for um múltiplo inteiro n do período da taxa de juro m, a expressão anterior se pode registrar como:
= n×m t F = P × 1 + i × ⇒ ⇒ F = P × (1 + i × n ) m t
Analisando essa nova fórmula: ●
●
●
Há uma única capitalização no final da operação, coincidente com o prazo da operação. O período da taxa de juro e o prazo da operação têm a mesma unidade de tempo. O prazo da operação n é também o número de juros iguais gerados pelo capital inicial e capitalizados no final da operação. Exemplo 6. O investimento de $150.000 pelo prazo de 360 dias será remunerado com a taxa de juro de 4,25% aos 90 dias no regime de juro simples. Calcule o valor do resgate desse investimento. Solução. Como a relação do prazo de 360 dias e o período de 90 dias do investimento inv estimento é igual a quatro, utilizando a fórmula acima obtemos o valor do resgate igual a $175.500, resultado obtido com: ,0425 × 4 ) F = $150.000 × (1 + 0,04 F =
$150 $1 50.0 .000 00 × 1,1700 ,1700 = $1 $175 75.5 .500 00
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando a fórmula seguinte numa célula da planilha Excel. = 150 5000 000 0 * (1 + 0,042 0,0425*
4) →17 175. 5.50 500 0
Calculadora HP-12C Resolvendo com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] 1500 150000[E] 00[E]1[ 1[E]0. E]0.04 0425[ 25[E]4 E]4 [× ][+][×] → 175. 175.50 500 0
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Matemática financeira
Modelo Juro Simples Depois de informar os dados e a incógnita considerando a parte do investidor, clicando no botão Calcular o o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada.
Nova função JuroSimp JuroSimp oSimp para O valor do Futuro também pode ser obtido com a nova função Jur Excel com a seguinte sintaxe:
=
Juro JuroSi Simp mp((−150000 150000;" ;" X ''; ''; 0, 0425 0425; 90; 90; 360) 360) →175.50 175.500 0
Capítulo | 3 Juro simples
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EXERCÍCIOS Exercício 29 Durante seis meses foram investidos $10.00 com a taxa de juro de 1,20% ao mês no regime de juro simples. Calcule o valor do resgate. R: $10.720 Exercício 30 Foram resgatados $30.240 de um investimento pelo prazo de doze meses e taxa de juro de 1% ao mês. Calcule o valor investido no regime de juro simples. R: $27.000
TAXAS EQUIVALENTES EQUIVALENTES NO REGIME RE GIME DE JURO SIMPLES Vimos que a taxa de juro pode ser definida na montagem da operação, ou pode ser obtida dos dados da própria operação financeira. Porém, nem sempre o valor e o período da taxa de juro são suficientes para definir o resultado da operação, pois a taxa é obtida com certo período enquanto as partes utilizam outro período. Nesse caso será necessário encontrar a taxa de juro equivalente equivalente que atenda os dois períodos. Partindo da fórmula do futuro no regime de juro simples que repetimos igualada a uma taxa única com período igual ao prazo da operação: F
t = P × 1 + i × = = P × (1 + i ) m t
A seguir deduzimos a expressão de taxas equivalentes equivalentes entre a taxa i com período m e a taxa it com período t no no regime de juro simples como mostrado a seguir:
1+ i ×
t m
= 1 + it
it = i ×
t ⇔
m
it t
i =
m
Do Exemplo 6 deduzimos que a taxa de juro 4,25% aos 90 dias é proporcional à taxa 17% aos 360 dias, e vice-versa, como mostra a seguinte fórmula: it
=
0,0425 ×
360 90
=
0,1700
Portanto, essas duas taxas de juro com períodos diferentes são equivalentes, pois sobre um mesmo capital e num determinado prazo produzem o mesmo juro simples.
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Matemática financeira
EXERCÍCIOS Exercício 31 O investimento pelo prazo de 360 dias foi realizado com a taxa de juro de 1% aos 30 dias. Calcule a taxa aos 360 dias no regime de juro simples. R: 12% aos 360 dias Exercício 32 Continuando com o Exercício 31, calcule a taxa aos 365 dias no regime de juro simples. R: 12,1667% aos 360 dias Exercício 33 Foram investidos $120.000 pelo prazo de 95 dias, quando foi resgatado o valor $124.800. Calcule as taxas de juro aos 95 dias e aos 365 dias no regime de juro simples. R: 4% aos 95 dias, e 15,37% aos 365 dias Exercício 34 O investimento investimento foi realizado pelo prazo pr azo de 365 dias e taxa de juro de 4,50% aos 100 dias. Calcule a taxa aos 90 dias e aos 360 dias no regime de juro simples. R: 4,05% aos 90 dias, e 16,20% aos 360 dias
EXPLICAÇÕES Reservamos este espaço para adicionar algumas decorrências da operação com juro simples. ●
Qual fórmula de juro simples utilizar?
Considerando as duas expressões deduzidas e a seguir repetidas. F
t = P × 1 + i × ⇒ ⇒ F = P × (1 + i × n ) m
Com o objetivo de trabalhar com procedimentos compreensivos, a dedução e utilização da segunda fórmula é menos amigável frente aos cálculos financeiros de curto prazo com juro simples. A primeira expressão é mais abrangente e mais fácil de aplicar, incluindo todos os dados possíveis na própria fórmula. A primeira expressão também é a utilizada no modelo Juro Simples como sua correspondente nova nova função, ambos para Excel. ●
Qual o impacto de utilizar taxa de juros com período de 360 dias ou 365 dias?
Para os mesmos capitais inicial e final e o prazo t de de uma operação com juro simples, a taxa de juro com período de 360 dias é maior que a de período de 365 dias. Isso mostra que uma instituição que receba investimentos e remunere com taxa de juro com período de 365 dias e, ao mesmo tempo, financie a
Capítulo | 3 Juro simples
67
mesma quantidade com a mesma taxa, porém com período de 360 dias, terá uma diferença. ●
●
Suponha que o leitor capte $100.000 com taxa de 12% aos 365 dias com juro simples. E, ao mesmo tempo, essa mesma quantia seja in investida vestida com a mesma taxa de juro com período de 360 dias também com juro simples. Verifique que no final de 365 dias o leitor terá um resultado líquido sobre $100.000 será de 0,1488%, ou $148,80. Note o leitor que o resultado líquido depende do valor da taxa de juro, mantendo inalteradas as restantes características da operação. Verifique Verifique que, se na mesma operação a taxa de juro for 20%, o resultado líquido sobre $100.000 será 0,231481%, ou $231,48.
Capítulo 4
Juro Jur o comp compost osto o Neste Capítulo 4 o leitor aprenderá: ● ● ●
A Operação com Juro Composto A Calcular o Futuro, o Presente, a Taxa de Juro e o Prazo da Operação A Utilizar as Ferramentas Tecnológicas: Calculadora HP-12C Função financeira VF Modelo Juro Composto Nova função JuroComp Resolvendo com o TVMod
Aprendemos que a remuneração r emuneração de certa quantia reinvestindo os juros periódicos durante o prazo da operação é maior que a mesma quantia sem reinvestir os juros. Com esse conceito, foram desenvolvidos desenvolvidos os regimes de remuneração nas operações financeiras com dois capitais, com juro simples e com juro composto. Agora, o próximo passo pass o é desenvolver a fórmula que regula o valor do dinheiro em função do tempo no regime de juro composto. Suponha que você invista $30.000 pelo prazo de três anos com a taxa de juro de 15% ao ano ano e capitalização capitalização anual dos juros. ●
●
●
No final do primeiro ano é gerado o juro J 1 = $4.500 que, na mesma data, é investido junto com o capital inicial, totalizando $34.500 pelo prazo de um ano na mesma taxa anual de juro de 15%. No final do segundo ano é recebido o juro J 2 = $5.175 que, na mesma data, é investido junto com o capital inicial, totalizando $39.675 pelo prazo de um ano na mesma taxa anual de juro de 15%. Finalmente, no final do terceiro ano é resgatado res gatado o valor final de $45.626,25 resultado obtido como segue:
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70
Matemática financeira
Em termos numéricos, temos: $30.00 000 0 × (1 + 0,15) 0,15) = $34. $34.50 500 0 F 1 = $30. F 2 = $34. $34.50 500 0 × (1 + 0,15) 0,15) = $39. $39.67 675 5
$39.67 675 5 × (1 + 0,15) 0,15) = $45. $45.62 626,25 6,25 F 3 = $39.
Das fórmulas acima deduzimos que o resgate F no no final do terceiro ano também é obtido com: F = $30.000 × (1 + 0,15) ,15) × (1 + 0,15) ,15) × (1 + 0,15) ,15) 3
$30.00 000 0 × (1 + 0,15) ,15) = $45.6 45.626 26,, 25 F = $30.
Desse procedimento numérico de cálculo deduzimos a expressão que regula o valor do dinheiro em função do tempo da operação financeira com dois capitais no regime de juro composto. Denominando P ao capital inicial, F ao ao capital final, n ao número de capitalizações e i a taxa de juro com período igual a 1/ n, obtemos a fórmula: F
=
P × (1 + i )
n
Como o regime de juro composto é amplamente utilizado nos cálculos financeiros, devemos compreender certas características dessa fórmula durante o prazo da operação: ● ● ●
● ●
Há uma única entrada de capital, o presente P na data inicial, ou data zero. Há uma única saída de capital na data final. Há somente capitalizações dos juros no final de cada período de cálculo desses juros. O capital cresce somente pela geração de juros. O período da taxa de juro i é a unidade de tempo das capitalizações; por exemplo,, se as capitalizações são mensais, então o período da taxa de juro exemplo deverá dev erá ser mensal etc. De forma geral, na operação com prazo n e taxa de juro i com período 1/n, o período de geração dos juros deve ser 1/n. Neste caso, o número de capitalizações n é um número inteiro, situação que será levantada mais adiante. ●
Exemplo 1. Carlos investiu $100.000 em títulos pelo prazo de um ano
com a taxa de juro de 1,25% ao mês com juro composto. Calcule o resgate desse investimento. Solução. Substituindo os dados na fórmula do juro composto, obtemos o valor do resgate de $116.075,45 no final do prazo de um ano. F
=
P × (1 + i )
n
12
$100.0 .000 00 × (1 + 0,0125 ,0125)) F = $100
=
$116. 116.07 075 5, 45
A fórmula que regula a operação financeira com juro composto é formada por quatro variáveis, F , P, i, e n, tendo presente que o período da taxa de juro
Capítulo | 4 Juro composto
71
é a unidade de tempo das n capitalizações. Para calcular o futuro da operação pomos em evidência a variável F em em função das outras três restantes P, i, e n. Procederemos da mesma forma quando tivermos que calcular qualquer uma das três variáv variáveis eis restantes.
BOASS PRÁTICAS DE RESOLUÇÃO DOS CÁLCULOS FINANCEIROS BOA A seguir resumimos boas práticas registradas no Capítulo 1, orientando a resolução dos cálculos financeiros. O valor do resgate do investimento do Exemplo 1 deste Capítulo 4 foi obtido utilizando-se a definição da operação financeira de dois capitais com juro composto e recursos básicos de álgebra. Contudo, essa correta abordagem não será completa quando utilizarmos ferramentas tecnológicas de cálculo financeiro e avançarmos nos próximos capítulos com operações financeiras com três ou mais capitais. A resolução dos exemplos e exercícios dos capítulos deste livro não é difícil, pois tanto o enunciado como o resultado estão registrados no texto. Entretanto, no dia a dia nem sempre se dispõe da descrição completa do problema. Como boa prática, frente a um novo problema, recomenda-se começar por descreve descreverr o que se procura resolver, quais são os dados disponíveis e qual a incógnita. Essa boa prática é facilitada registrando-se os dados e identificando a incógnita no diagrama do tempo de uma das partes da operação. Resumindo: ●
●
●
A operação financeira pode ser descrita de forma verbal, ou escrita por meio de um enunciado. Como na operação financeira há duas formas de equacionar a mesma operação, ou há duas partes negociando na mesma data, é recomendado definir qual das partes da operação será analisada. Com a parte da operação definida, o diagrama do tempo organiza boa parte do caminho da solução e desenvolve a atitude de equacionar antes de resolver. resolver. As entradas ou receitas são representadas no diagrama com setas verticais para cima da linha de tempo (valores positivos), positivos), e as saídas ou desembolsos, com setas verticais para baixo da linha de tempo (valores negativos).
Depois de obter o resultado, recomenda-se confirmar que esteja correto. Um procedimento de verificação é utilizar o resultado como um dado e com ele recalcular um dos outros dados da mesma operação. Embora essa verificação confirme o resultado, ainda esse resultado numericamente correto pode não ser o resultado do problema devido aos diversos tipos de falhas, como o enunciado incompleto ou incorreto, a especificação incorreta de dados etc. Durante o aprendizado é oportuno detectar erros que serão corrigidos e utilizados para melhorar a compreensão dos cálculos financeiros. Entendemos que o leitor com conhecimento deste tema pondere que para resolver os exemplos apresentados não seria necessário escolher a parte da operação antes de calcular. Em princípio, poderíamos concordar com aqueles
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Matemática financeira
que realizam muitos cálculos repetidos; entretanto o leitor deve ter presente que a maioria das ferramentas tecnológicas utiliza a regra dos sinais dos capitais da operação financeira.
FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS DE CÁLCULO FINANCEIRO O objetivo da ferramenta tecnológica é reproduzir procedimentos corretos de cálculo, reduzir o tempo de resolução e garantir a exatidão dos resultados. 1 Embora o resultado obtido da ferramenta tecnológica seja tecnicamen tecnicamente te correto, esse resultado poderá não ser o resultado esperado devido a alguma falha conceitual, como na incorreta informação de algum dos dados. Ademais, as ferramentas tecnológicas tecnológic as financeiras utilizam a regra dos sinais dos capitais da operação financeira. Por exemplo, o sinal do resultado do cálculo do futuro da operação elementar realizado com as teclas pré-programadas da calculadora financeira será o oposto do sinal do presente informado. No cálculo da taxa de juro os dois capitais capitais deverão deverão ser informados com sinais sinais opostos.
CÁLCULO DO FUTURO Depois de obter o resultado de forma algébrica, o resultado do exemplo também é obtido com as ferramentas tecnológicas. Exemplo 2. O investimento de $15.000 durante seis meses foi realizado
com a taxa de juro de 1,20% ao mês. Calcule o futuro desse investimento na data do resgaste. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da operação considerando a parte do banco, e identificamos com F o o valor que o investidor resgatará no final do sexto mês.
A seguir, utilizamos a fórmula do futuro da operação financeira com dois capitais no regime de juro composto já conhecida . F
=
P × (1 + i )
n
1. Até a chegada da calculadora financeira, a ferramenta de cálculo financeira era formada por grupo de tábuas financeiras. As calculadoras financeiras automatizaram o procedimento de cálculo das tábuas financeiras.
Capítulo | 4 Juro composto
73
Substituindo os dados, e realizando o cálculo, obtemos o valor do resgate $16.112,92: 6
$1 $15.0 5.000 × (1 + 0, 012) 012) = $16. $16.11 112 2, 92 F =
Verifique o leitor que da parte do banco e durante o prazo da operação há uma única entrada de capital $15.000 na data zero, e uma única saída de capital na data final, o resgate $16.112,92. Também, Também, há somente s omente capitalizações dos juros no final de cada um dos seis meses, e o capital cresce somente pela geração de juros.
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando a expressão algébrica anterior numa célula da planilha Excel: = 15000 *(1 *(1 + 0,01 ,012)^ 2)^
6 → 16.112,92
Também essa fórmula se pode registrar utilizando a função POTÊNCIA. =
1500 150000 * POTÊ TÊN NCIA( CIA(11 + 0,012 0,012; 6) → 16.1 16.112 12,, 92
Note o leitor que nessa resolução não utilizamos os sinais dos capitais.
Calculadora HP-12C Primeiro obtemos o resultado com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] 1500 15000[E]1 0[E]1.0 .012[E] 12[E][y [y x ]6[ ×] →16.1 16.112 12,, 92
A seguir utilizamos as cinco teclas pré-programadas da HP-12C, na ordem [n], [n] , [i], [PV], [PMT] e [FV]. [F V]. Os cálculos financeiros das operações com dois capitais no regime de juro composto são realizados com quatro dessas teclas [n], [i], [PV] e [FV], pois a tecla [PMT] é utilizada nos cálculos com fluxos uniformes. Antes de realizar o cálculo recomendamos construir o diagrama do tempo de uma das partes da operação e informar os capitais com seus sinais. Começamos por zerar as memórias financeiras da calculadora. [f][FIN] 15000[PV]6[n] 1,2 [i] [i][FV] [FV] → −16.11 6.112 2,92
Verifique que a taxa de juro informada é uma taxa percentual. No procedimento de cálculo com a HP-12C os dados são obtidos diretamente do diagrama do tempo, informando o capital conhecido com seu sinal, e identificada a incógnita para obter seu resultado. r esultado.
74
Matemática financeira
Função financeira VF Os resultados dos cálculos financeiros das operações com dois capitais no regime de juro composto podem ser obtidos com as cinco funções financeiras do Excel NPER, TAXA, VP, PGTO e VF, sendo que a função PGTO é utilizada nas operações com fluxos uniformes. 2 Como nos cálculos devem ser utilizados os sinais dos capitais, como boa prática recomenda-se construir o diagrama do tempo da operação antes de realizar o cálculo. A função VF retorna o valor futuro de um fluxo de capitais e sua sintaxe s intaxe é: 3 =
VF (Taxa Taxa; Nper Nper; Pgto Pgto; Vp; Tipo Tipo)
A função VF opera com a regra de sinais dos capitais. Portanto, ao calcular calc ular um dos dois possíveis capitais o resultado terá sinal oposto ao do sinal do capital informado, quando um capital é desembolso, o outro capital é uma receita, e vice-versa.. Ao calcular um dos outros vice-versa ou tros argumentos, argumentos , a Taxa Taxa ou Nper, os capitais deverão ser informados com sinais opostos. Os significados dos argumentos da função VF são: ●
●
● ● ●
Taxa de juro com período igual à periodicidade dos capitais do fluxo, f luxo, devendo ser informada como taxa unitária, ou em porcentagem dividida por cem. Nper é o número de capitais do fluxo uniforme, ou o prazo da operação coerente com a unidade de tempo da taxa de juro. Pgto é o valor dos capitais uniformes do fluxo de capitais. Vp é um capital único na data inicial zero do fluxo de capitais. Tipo identifica a data inicial do fluxo uniforme de capitais. Tipo = 0 quando o primeiro capital do fluxo ocorre no final do primeiro período, e Tipo = 1, quando ocorre na data inicial, ou data zero. Se Tipo for omitido, o algoritmo da função considerado é o valor zero.
Registrando a função VF com os dados do exemplo numa célula da planilha Excel, considerando a parte do banco, se obtém o resultado do futuro da operação. =
VF(0, F(0, 01 012 2; 6; 0;150 ;15000) 00) → −16 16.1 .112 12,, 92
Como a função VF opera com a regra de sinais dos capitais, o resultado negativoo do resgate mostra um desembolso do banco. tiv
2. As funções financeiras com nome em português VP, VF, TAXA, PGTO e NPER, em inglês são, respectivamente, PV, FV, RATE, PMT e NPER. 3. Este exemplo e os seguintes mostram que as funções VF, VP, VP, Taxa e Nper do Excel emulam “ tal e qual” as teclas pré-programadas [FV], [PV], [i] e [n] da calculadora HP-12C.
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Modelo Juro Composto Juro o Composto construído na planilha com o mesmo nome da Com o modelo Jur pasta Excel Capítulo 4 se obtêm os quatro possíveis resultados da operação com dois capitais com juro composto. Como boa prática, antes de informar os dados de um novo cálculo se recomenda limpar os dados da operação registrada no modelo clicando no botão Limpar dados.
Depois se registram os valores do Presente, da Taxa de juro, do Período da taxa de juro e o Prazo da operação. Finalmente, na célula C5 registra-se a incógnita X, maiúscula ou minúscula, como mostra a primeira figura seguinte. Note o leitor que o valor Presente foi registrado r egistrado com valor positivo positivo representando a parte que recebeu o investimento, investimento, e o período da taxa de juro é a unidade de tempo do prazo. Clicando no botão Calcular o o modelo analisa os resultados, detecta a incógnita, realiza o cálculo solicitado e registra o resultado na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada. Neste modelo também, os dados registrados são obtidos diretamente do diagrama do tempo, considerando o capital conhecido com seu sinal, e identificando a incógnita com X. Ademais, Ademais, a taxa de juro é informada como taxa percentual.
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Matemática financeira
Nova função JuroComp O valor do futuro de uma operação com dois capitais no regime de juro composto também pode ser obtido com a nova função JuroComp, que tem a seguinte sintaxe: =
JuroComp (Presente Presente; Futuro Futuro; Taxa; PerTaxa PerTaxa, Prazo)
A nova função JuroComp retorna qualquer um dos quatro argumentos Present e, e, Futuro, Taxa ou Prazo sendo conhecidos os três argumentos restantes da operação elementar com dois capitais; sendo que o argumento PerTaxa é sempre um dado do cálculo. Os quatro argumentos dessa função podem ser valores numéricos, expressões que resultarem em valores numéricos ou o símbolo “X” ou “x”, incluindo as duas duplas aspas retas quando a fórmula for digitada. A nova nova função opera com a regra de sinais dos capitais. capitais . O período da taxa deverá ter a mesma unidade de tempo do prazo de capitalização dos juros. Registrando Registrando a fórmula numa célula célula da planilha Excel Excel com os dados do exemplo obteremos o resultado procurado: =
Jur JuroCom oComp( p(15 1500 000 0;" X ''; ''; 0,012;1 0,012;1;; 6) → −16.1 16.112 12,, 92
A taxa de juro informada é uma taxa unitária. Na nova função, os dados são obtidos diretamente do diagrama do tempo, considerando o capital conhecido com seu sinal, e identificando a incógnita com X para obter seu resultado.
Resolvendo com o TVMod Conhecido o enunciado, definidos os dados e a incógnita da operação financeira, seja no diagrama do tempo ou no enunciado do problema, como boa prática, como primeiro passo se recomenda limpar os dados registrados d ados. O próximo passo é registrar os no modelo clicando no botão Limpar dados dados e a incógnita no TVMod como como mostra a primeira figura, sendo o valor investido registrado com valor positivo representando a parte que recebeu o investimento.
Capítulo | 4 Juro composto
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Depois de clicar no botão Calcular , a incógnita é calculada e registrada na célula anteriormente preenchida com X, maiúscula ou minúscula e, ainda, a célula do resultado recebe uma coloração cinza que identifica o resultado obtido.
No TVMod os os dados são obtidos diretamente do diagrama do tempo, considerando o capital conhecido com seu sinal, e identificand identificandoo a incógnita com X. Note que o TVMod é é parecido com o diagrama do tempo, porém na disposição vertical.
COMENTÁRIO Com tantas ferramentas de cálculo, qual delas utilizar? Como orientação, deve-se escolher o procedimento mais simples de seu ponto de vista conceitual, disponibilidade e tempo de cálculo.
EXERCÍCIOS Exercício 1
Se hoje depositar $25.000 numa conta remunerada remuner ada com taxa de juro 0,98% ao mês pelo prazo de 12 meses e com capitalização mensal dos juros, calcule quanto será resgatado no final de um ano. R: $28.103,76 Exercício 2
Com a taxa de juro de 1,05% aos trinta dias foi aplicado o valor $20.000 durante o prazo de duzentos e setenta dias. Calcule o valor resgatado. utilize prazo 270 dias e período da taxa R: $21.971,36 Dica: No TVMod utilize 30 dias; ou prazo 9 e período 1. Exercício 3
O banco financiou $20.000 pelo prazo de 12 meses na taxa de juro de 3,5% ao mês. Calcule o juro e o valor do pagamento final considerando juro composto. R: $10.221,37 $30.221,37
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Matemática financeira
CÁLCULO DO PRESENTE Depois de obter o resultado da operação de forma algébrica, o resultado do exemplo também é obtido com as ferramentas tecnológicas. financiamento mento realizado no passado será liquidado pagando Exemplo 3. O financia de $38.000 daqui a onze meses. Considerando Consider ando a taxa de juro 1,50% ao mês com juro composto, calcule quanto deverá ser pago na data de hoje para liquidar essa dívida. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da operação da parte do tomador do financiamento, e identificando com P o valor que o financiado pagará na data de hoje.
Partindo da fórmula do futuro obteremos a fórmula do presente P da operação financeira com dois capitais com juro composto. F P
=
P × (1 + i ) F
=
(1 + i )
n
=
n
F × (1 + i )
−n
Substituindo os dados da operação obteremos o valor do desembolso $32.259,46, que liquidará o financiamento. P=
11
−
$3 $38.000 × (1 + 0,015) ,015)
=
$32.259, 46
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode ser obtido registrando-se a fórmula seguinte numa célula da planilha Excel, sem considerar os sinais dos capitais. =
38000 / (1 + 0,01 ,015)^ 5)^ 11 → 32.259, 46
Utilizando a função POTÊNCIA. =
3800 380000 / POTÊ POTÊNC NCIA IA((1 + 0,015;11 0,015;11)) → 32.2 32.259 59,, 46
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Calculadora HP-12C Primeiro com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] 3800 38000[E]1 0[E]1.0 .015[E] 15[E]11 11[y [y x ][÷] → 32.2 32.259 59,, 46
A seguir com as cinco teclas pré-programadas, utilizando-se os sinais dos capitais. Como boa prática, começamos por zerar as memórias financeiras da calculadora. [f][FIN] 38000[FV]11[n] 1,5[i][P ,5[i][PV V] → −32.259, 46
Novamente, nesse procedimento de cálculo os dados são obtidos diretamente Novamente, do diagrama do tempo, informando o capital conhecido com seu sinal, e identificada identifica da a incógnita para obter seu resultado.
Função financeira VP A função VP retorna o valor presente de um fluxo de capitais e opera com a regra de sinais dos capitais. A função deve ser informada numa célula vazia da planilha como segue: =
VP (Taxa Taxa; Per Per; Pgto Pgto; Vf ; Tipo Tipo)
O significado dos argumentos foi registrado na resolução do Exemplo 2 deste capítulo. Registrando Registrando a função VP com os dados do exemplo numa célula da planilha Excel obtém-se o valor da liquidação do financiamento. =
VP(0, P(0, 01 015 5;11 ;11; 0; 38 3800 000) 0) → −32 32.2 .259 59,, 46
Como a função VP opera com a regra de sinais dos capitais, o resultado negativoo do resgate mostra um desembolso do banco. tiv
Modelo Juro Composto Depois de se registrar os dados e a incógnita, clicando em Calcular o o modelo realiza o cálculo solicitado e registra o resultado na célula correspondente.
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Matemática financeira
Nova função JuroComp Registrando-se a fórmula numa célula vazia da planilha Excel com os dados do exemplo obteremos o resultado do presente: Jur JuroCom oComp( p("" X ''; ''; 3800 38000 0; 0,015;1 0,015;1;11 ;11)) → −32.2 32.259 59,, 46
Resolvendo com o TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de se informar os dados e a incógnita X, considerando a parte do tomador do financiamento.
Depois de clicar em Calcular , a incógnita é calculada e registrada na célula anteriormente preenchida com X e essa célula recebe uma coloração cinza que identifica o resultado obtido.
Capítulo | 4 Juro composto
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EXERCÍCIOS Exercício 4
Para sua próxima viagem daqui a 7 meses será necessário dispor de $5.000. Calcule quanto deveria aplicar hoje considerando a taxa de juro de 1,25% ao mês no regime de juro composto. R: $4.583,58 Exercício 5
Recebendo a taxa de juro de 0,96% ao mês foi resgatado o valor $49.040,69 aplicado durante o prazo de nove meses. Calcule o valor aplicado. R: $45.000
CÁLCULO DA TAXA DE JURO Depois de obter o resultado da taxa de juro da operação de forma algébrica, o resultado do exemplo também é obtido com as ferramentas tecnológicas. Exemplo 4. Catarina selecionou o tablet que que deseja comprar, e tem duas
alternativas de pagamento: Pagamento único de $2.000 no ato da compra. Dois pagamentos, um de $1.100 na data da compra e entrega do tablet e o outro pagamento de $1.000, após três meses da compra. Catarina escolheu a alternativa de dois pagamentos; calcule a taxa de juro composta com período mensal desse financiamento financiamento.. ● ●
Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da operação da
parte de Catarina e identificando com X a taxa de juro a ser calculada com período mensal.
Na data zero, Catarina recebe o tablet no no valor de $2.000, que é o valor da alternativaa de pagamento no ato da compra e ao mesmo tempo paga $1.100. De alternativ outra maneira, ela está financiand financiandoo o valor $900 pelo qual pagará $1.000 após três meses da data da compra. Partindo da fórmula do futuro, obtemos a fórmula da taxa de juro i da operação financeira com dois capitais com juro composto, com os dados do diagrama do tempo temos a seguinte expressão: F
= P × (1 + i) ⇒ n
1
F i = − 1 P n
F P
= (1 (1 + i )
n
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Matemática financeira
Substituindo os dados obtemos o valor da taxa de juro desse financiamento igual a 3,57% ao mês, resultado obtido com: 1
$1.000 3 3574 744 4 i = − 1 = 0, 035 $2 − $2.0 .000 00 $1 $1.1 .100 00 Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode ser obtido registrando a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel: =
(1000 / 900)^ (1/ 3) − 1 → 0,03 ,035 574
Também podemos registrar a essa fórmula utilizando a função POTÊNCIA =
POTÊ POTÊN NCIA( CIA(10 1000 00 / 900 900;1/ 3) −1 → 0,0357 0,035744
Calculadora HP-12C Primeiro com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] 1000[E]90 0[E]900[ ÷]3[ ]3[1 / x][y x][y x ]1 ]1[ −] → 0,035 ,03574
A seguir com as cinco teclas pré-programadas utilizando os sinais dos capitais, porque a calculadora HP-12C resolverá a equação de valor equivalente. equivalente. [f ] [FIN] [FIN] 900 [PV] 1000 [CHS] [FV] 3 [ n ] [ i] → 3, 57 57%
Função financeira TAXA TAXA A função TAXA TAXA retorna o valor presente de um fluxo de capitais e opera com a regra r egra de sinais dos capitais. A função deve ser informada numa célula vazia da planilha como segue: =
TAXA(Nper;Pgto;Vp;Vf;Tipo )
Capítulo | 4 Juro composto
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Registrando a função TAXA com os dados do exemplo numa célula vazia da planilha Excel obtém-se o resultado da taxa de juro da operação com período obtido das capitalizações da operação, informando os dois capitais com sinais opostos. =
TAXA(3; A(3; 0; 90 900 0; −1000) 1000) → 3, 57 57% %
Também poderíamos registrar a seguinte fórmula: TAXA(3; A(3; 0; 20 2000 00 − 11 1100 00;; −1000 1000)) → 3, 57 57% %
Modelo Juro Composto
Na célula C4 registramos a fórmula =2000-1100, =2000- 1100, cujo resultado é 900. Depois de registrar os dados restantes e a incógnita, clicando em Calcular o o modelo realiza o cálculo solicitado e registra o resultado na célula correspondente.
Nova função JuroComp O valor da taxa de juro também é obtido com a nova função JuroComp como segue: =
Jur JuroCom oComp(9 p(900 00;; −1000 1000;" ;" X '';1 '';1;; 3) → 0,03574 0,03574
84
Matemática financeira
A nova função JuroComp opera com a regra de sinais dos capitais. capitais . Ao calcular a taxa de juro, os capitais são informados com sinais opostos, e o período da taxa é o prazo de capitalização dos juros.
Resolvendo com o TVMod A figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita X, a taxa de juro e o período 1 considerando a parte da compradora. Note que na data 0 foram registrados dois valores, o valor $2.000 do tablet com com valor positivoo na célula C5 e a entrada $1.100 com valor negativo positiv negativo na célula C6. Depois, na data 3 foi registrado o pagamento final de $1.000 com valor negativo.
Depois de clicar em Calcular , a incógnita é calculada e registrada na célula anteriormente preenchida com X, e a célula cé lula do resultado recebe uma coloração cinza, que identifica o resultado obtido:
Em vez de registrar dois capitais separados na data zero, poderia ser registrada numa célula a fórmula =2000-1100, =2000-110 0, cujo resultado é 900; alternativa que deixamos para o leitor realizar.
Capítulo | 4 Juro composto
85
EXERCÍCIOS Exercício 6
De investimento investimento de $10.000 foi resgatado $12.000 após 15 meses. Calcule a taxa de juro mensal desse investimento. R: 1,22% ao mês Exercício 7
Foi resgatado o valor de $1.177.371,06 depois de 12 meses e de ter investido o valor $1.000.000. Calcule a taxa de juro mensal dessa operação. R: 1,37% ao mês Exercício 8
Calcule a taxa de juro mensal que permite triplicar um capital em três anos. R: 3,10% ao mês Exercício 9
A relação entre o presente e o futuro da operação financeira é 1,16578. Se o prazo dessa operação foi 12 meses, calcule a taxa de juro mensal no regime de juro composto. R: 1,29% ao mês
CÁLCULO DO PRAZO DA OPERAÇÃO Para obter o prazo da operação utilizamos o procedimento de resolução da novaa metodologia com os três instrumentos do equacionamento da operação nov com juro composto. Exemplo 5. Hoje, seu amigo necessita de $6.350 para pagar uma dívida.
Ele tem investido $6.500, que só poderá resgatar daqui a 30 dias. Você tem essa quantia investida com a taxa de juro composto de 0,0453567% ao dia corrido, e que pode ser resgatada nesta data. Se você emprestar essa quantia para recebê-la corrigida no futuro, qual deve ser o número máximo de dias entre a data do empréstimo de $6.350 e a data de recebimento de $6.500 para empatar com seu inv investimento estimento e não ter prejuízo. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da operação da parte do tomador do financiamento, e identificando com n o número máximo de dias entre a data do empréstimo e a data de recebimento para empatar com seu inv investimento estimento e não ter prejuízo.
86
Matemática financeira
Partindo da fórmula do futuro, obtemos a fórmula do número de dias n da operação financeira com dois capitais com juro composto. F
n
= P × (1 + i )
n
⇒
F P
= (1 + i )
n
⇒
F = n × ln(1 + i ) P
ln
ln F / P ) = ( ln(1 + i )
O número exato e máximo de dias entre a data do empréstimo de $6.350 e a data de recebimento de $6.500 para empatar com o investimento e não ter prejuízo é 51,49 dias, resultado obtido com: n
ln($6.5 ln($6.500 00 / $6.350) $6.350) = 51, 4866 = 51, ln(1 + 0,000 0, 000453 453567) 567) ln(
O prazo 51,4866 dias é o resultado exato que, na interpretação prática, esse resultado ocorreria aproximadamente ao meio-dia do dia 52. Como não se opera com frações do dia, o que se deve fazer é arredondar para um número inteiro e recalcular outro dado da operação, por exemplo, o valor de um dos dois capitais ou a taxa de juro. Isso mostra que há diversas formas de ajustar a operação. Como neste exemplo queremos conhecer o número máximo de dias considerando os dois capitais conhecidos, então qualquer mudança no prazo mudará o valor da taxa de juro da operação. Temos Temos que escolher 51 ou 52 dias e analisar as consequências dessas duas alternativas. Qualitativamente, o prazo menor aumentará a taxa de juro, e o prazo maior diminuirá a taxa de juro. Qual data escolher, 51 ou 52? Quantitativamente, Quantitativamente, esses cálculos são mais fáceis de serem realizados utilizando alguma ferramenta tecnológica.
Registrando a fórmula no Excel O número de dias também pode ser obtido registrando uma das fórmulas seguintes numa célula vazia da planilha Excel, cujos resultados são exatos: =
LN(650 N(6500 0 / 63 6350 50)) / LN(1 N(1 + 0, 00 0004 0453 5356 567) 7) → 51 51,, 48 4867 67
A função LN calcula o logaritmo natural ou logaritmo base e. =
LOG LOG10(65 10(6500 00 / 63 6350) 50) / LOG LOG10(1 10(1 + 0,00045 0,0004535 3567) 67) → 51 51,, 48 4867 67
A função LOG10 calcula o logaritmo base 10. =
LOG(6 LOG(650 500 0 / 63 6350 50;10) ;10) / LOG( LOG(1 1 + 0,00045 0,0004535 3567 67;1 ;10) 0) → 51 51,, 48 4867 67
A função LOG calcula o logaritmo em qualquer base: e, 2, 10 etc. Neste caso escolhemos a base 10.
Capítulo | 4 Juro composto
87
Calculadora HP-12C Primeiro com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] 6500 6500 [E] 635 6350 0 [ ÷] [g] [LN] [LN] [E] [E] 1 [E] [E] 0. 0.000453567 [+] [g] [LN] [LN] [ ÷] → 51,486 ,4867
A tecla [LN] calcula o logaritmo natural ou logaritmo base e. Com as rotinas pré-programadas [f ] [FIN] [FIN] 6350 [CHS] [PV] 6500 [FV] 0.0453567 [i [i] [ n ] → 52
A HP-12C retorna o resultado exato arredondado arredo ndado para o inteiro seguinte, neste caso 52 dias. Da parte que empresta o dinheiro, se considerar 52 dias, então a taxa de juro da operação será menor menor,, e se consider considerar ar 51 51 dias dias a taxa taxa de juro da operação será maior. Continuando, Continuando, primeiro informamos 51 dias e depois calculamos a taxa de juro, em sequência à digitação anterior: 51 [n] [i] → 0,045790 como taxa percentual Para 52 dias, em sequência à digitação anterior: 52 [n] [i] → 0,044909 como taxa percentual
Função financeira NPER Com a função financeira NPER do Excel registrando e sendo a sintaxe da função NPER a seguinte: =
NPER (Taxa;Pgto;Vp;Vf;Tipo )
Registrando a função NPER com os dados do exemplo numa célula vazia da planilha Excel se obtém o resultado do número de capitalizações da operação. =
NPER( NPER(0,000 0,00045 4535 3567 67;; 0; −63 6350 50;; 65 6500) 00) → 51 51,, 48 4867 67
Modelo Juro Composto Depois de registrar os dados e a incógnita, clicando em Calcular o o modelo realiza o cálculo solicitado e registra o resultado na célula correspondente. Neste caso, o modelo retorna o resultado exato do prazo da operação 51,49 arredondado com duas casas decimais. Porém, como a célula C8 está formatada sem decimais, o resultado exato é arredondado para 51. O usuário definirá o que fazer, como se explica no início deste exemplo.
88
Matemática financeira
Com este modelo o ajuste da taxa de juro para 51 e 52 dias é mais fácil e pode ser realizado pelo leitor.
Nova função JuroComp O valor do resgate também pode ser obtido com a nova função JuroComp que tem a seguinte sintaxe: =
Juro JuroCo Comp( mp(−6350;6500 6350;6500;; 0,000 0, 000453 453567 567;1 ;1;" ;" X '') '') → 51, 51, 4867 4867
A nova função JuroComp retorna o resultado re sultado exato do prazo e, como foi regisr egistrado, cabe ao usuário definir o que fazer, como se explica a seguir. Escolhendo o prazo 51 dias, a taxa de juro é 0,04579 ao dia, resultado obtido com: =
Jur JuroCom oComp( p(−6350 6350;; 6500 6500;" ;" X ''; ''; 51) 51) → 0,00045 0,0004578 7896 96
Escolhendo o prazo 52 dias, a taxa de juro é 0,04491 ao dia, resultado obtido com: =
Jur JuroCom oComp( p(−635 6350 0; 6500 6500;" ;" X ''; ''; 52) → 0,00044 0,0004490 9089 89
Resolvendo com o TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita X, sendo o valor investido registrado com valor positivo, representando a parte que recebeu o investimento.
Capítulo | 4 Juro composto
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Depois de clicar no botão Calcular , a incógnita é calculada e registrada na célula anteriormente preenchida com X. O TVMod calcula calcula o resultado exato e registra esse resultado com duas casas decimais. Em geral, para ver esse resultado, posicione o cursor na célula B6 e na Barra de fórmulas veja o resultado 51,49. Lembre o leitor que, nessas condições, o resultado da equação de valor equivalente é igual a zero.
Como se opera com dias inteiros, o que se acostuma fazer é arredondar para um número inteiro e recalcular outro dado da operação, por exemplo, o valor de um dos dois capitais ou a taxa de juro.
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Matemática financeira
Como será recebido dinheiro, o certo é ajustar a data do recebimento para o número inteiro 51 ou 52. ●
●
Informando 52 na célula B6 e X na célula C6, depois de clicar o botão Calcular o modelo registra o valor $6.501,51. Informando 51 na célula B6 e X na célula C6, depois de clicar em Calcular o modelo registra o valor $6.498,57. O cálculo com o TVMod deixamos por conta do leitor.
Em ambos os casos, a diferença é pequena, porém ambas zeram a equação de valor equivalente.
EXERCÍCIOS Exercício 10
Na operação financeira foi investido $3.650 e depois de alguns meses foi resgatado o valor de $4.072,19. Calcule o prazo dessa operação considerando a taxa de juro de 1% ao mês. R: 11 meses Exercício 11
No novo plano de investimento foi aplicado $37.000 e cujo resgate poderá ser realizado na data de aniversário de qualquer mês posterior. Se o investidor resgatou o valor de $42.448,30, calcule o prazo desse investimento. R: 15 meses
COMENTÁRIO Analisemos algumas características das funções financeiras do Excel VP, VF, TAXA e NPER e da nova função financeira JuroComp do Excel utilizadas nos exemplos deste capítulo. O primeiro passo do procedimento de cálculo das funções financeiras do Excel é identificar a função que resolve a incógnita da operação. Depois, essa função com seus dados é inserida numa célula da planilha. ●
Obtido o resultado desejado, posicionando o cursor na célula onde foi regisr egistrada a função se visualizam os dados e o nome da função que identifica a incógnita.
De forma geral, com as nov novas as funções financeiras apresentadas neste livro, o primeiro passo do procedimento é identificar a função da operação financeira, e não a do cálculo de uma das quatro possíveis incógnitas dessa operação. Depois, a nova função com seus dados e a incógnita são inseridos inserid os numa célula da planilha. ●
Obtido o resultado desejado, posicionando o cursor na célula onde foi registrada a função se visualizam o nome da função que representa todos
Capítulo | 4 Juro composto
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os possíveis cálculos da operação financeira, os dados e a incógnita (X ou x entre duas aspas duplas). 4 Verifique que enquanto cada uma das quatro funções financeiras do Excel emula uma tecla da calculadora HP-12C, a nova função financeira JuroComp para Excel é uma função única para resolver os mesmos cálculos financeiros, incluindo a possibilidade de considerar a taxa de juro com período diferente do prazo da operação.
EXERCÍCIOS Exercício 12
Calcule quanto se dev deveria eria investir hoje para resgatar $25.000 daqui a doze meses, considerando a taxa de juro de 1,2% ao mês no regime de juro composto. R: $28.847,37 Exercício 13
O presente e o futuro do financiamento são, respectivamente, $30.000 e $52.200. Se o prazo do financiamento é de doze meses, calcule a taxa de juro mensal do financiamento financiamento no regime de juro composto. composto. R: 4,7239% ao mês Exercício 14
De cada $1 investido foram resgatados $2 no regime de juro composto. Considerando a taxa de juro de 3% ao mês, calcule o prazo desse investimento. R: 23,45 meses Exercício 15
Daqui a dezoito meses se deseja ter $75.000. Considerando Considerando a taxa de juro de 1,25% ao mês no regime de juro composto, calcule quanto se deveria investir hoje. R: $59.972,30 Exercício 16
Do investimento de $350.000 realizado durante seis meses foi resgatado $374.855.05. Calcule: a) a taxa de juro mensal no regime de juro composto, e b) a taxa de juro semestral. R: a) 1,15% ao mês, b) 7,10% ao semestre Exercício 17
O financiamento de $18.500 foi realizado por tempo indeterminado com a taxa de juro de 3,80% ao mês com juro composto. Se o financiamento foi resgatado pagando $26.862,43, $26.862,43, calcule o prazo dessa operação. R: 10 meses 4. A operação com prazo fracionário é apresentada aprese ntada no Capítulo 6 – Juro Composto com Período Fracionário. Fracionár io.
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Matemática financeira
Exercício 18
Foram investidos $12.000 pelo o prazo de 180 dias com a taxa de juro igual a 1,5% aos trinta dias com juro composto. Calcule o valor resgatado dessa operação. R: $13.121,32 Exercício 19
A empresa recebeu r ecebeu o valor $35.452,35 referente ao financiamento de uma venda realizada há 210 dias. Calcule o valor da venda considerando a taxa de juro de 3,64% ao mês com juro composto. R: $27.602,80 Exercício 20
Considerando o investimento investimento de $10.000, calcule a taxa mensal de juro no regime de juro composto que dobra o valor do capital investido em a) um ano, b) dois anos e c) três anos. R: a) 5,95% ao mês, b) 2,93% ao mês e c) 1,94% ao mês. Exercício 21
O banco financiou $100.000 pelo prazo de 25 dias quando recebeu o valor de $103.500. Calcule a taxa diária de juro com juro composto dessa operação. R: 0,1377% ao dia Exercício 22
O investimento investimento de $16.000 foi realizado pelo prazo de 90 dias com a taxa de juro 1,5% aos 30 dias no regime de juro composto. Calcule a) o valor do resgate e b) a taxa de juro com período de 90 dias. R: a) $16.730,85 e b) 4,57% aos noventa dias Exercício 23
A empresa financiou a compra de mercadorias de seu cliente no valor de $23.500 pelo prazo máximo de quatro meses e a taxa de juro 3,76% ao mês no regime de juro composto. Se o cliente liquidou a dívida pagando $26.740,70, calcule o prazo dessa operação. R: 3,50 meses
Capítulo 5
Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro Neste Capítulo 5 o leitor aprenderá: ● ● ● ●
● ● ● ● ●
O que é Taxa Equivalente Como calcular Taxas Equivalentes Analisar o resultado de cada parte da mesma operação com juro composto Que a Remuneração do Dono do Capital pode ser diferente da Outra Parte da Operação A Responsabilidade da Gestão pelos Investimentos da Empresa A Taxa Nominal de Juro A Equivalência Taxa Nominal e Taxa Efetiva Os efeitos do aumento do número de Capitalizações da Taxa Nominal A Utilizar as Ferramentas Tecnológicas: Calculadora HP-12C Funções disponíveis no Excel Modelo Taxa Equivalente em Excel e VBA Nova Função financeira TaxaEq desenvolvida no VBA do Excel Modelo Taxa Nominal N ominal em em Excel e VBA Nova função financeira NomEfe desenvolvida no VBA do Excel
Taxa equivalente é um tema decorrente do regime de juro composto. Por exemplo, do investimento de $15.000 com a taxa de juro de 1,2% ao mês pelo prazo de seis meses com reinvestimento mensal de juros foram resgatados res gatados $16.112,92, dados e resultado do Exemplo 2 do Capítulo 4. Nessa operação identificamos a taxa efetiva de juro de 1,2% ao mês e, ao mesmo tempo, da relação do valor resgatado e do valor investido durante seis meses obtivemos a taxa efetiva de juro da operação igual a 7,4195% aos seis meses, resultado resultado obtido obtido com: com: i
$16.112,92 =
$15.000
−
1
=
0,07 0,074195
Portanto, reinvestindo os juros mensais com a taxa de juro 1,20% ao mês durante seis meses foi conseguido o juro total de $1.112,92. Verifique o leitor que esse mesmo valor de juro também pode ser obtido como resultado de
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Matemática financeira
multiplicar a taxa unitária de juro 0,074195 aos seis meses pelo investimento $15.000. Assim sendo, podemos dizer que a taxa de juro 1,2% ao mês e a taxa de juro 7,4195% aos seis meses são taxas efetivas e equivalentes. equivalentes.
JURO TOTAL TOTAL DA OPERAÇÃO OPER AÇÃO Ao utilizar o regime de juro composto, devemos lembrar suas premissas durante o prazo da operação: ●
●
● ●
Há uma única entrada de capital, o presente P na data inicial, ou data zero, e uma única saída de capital na data final. Há somente capitalizações dos juros no final de cada período de cálculo desses juros. O capital cresce somente pela geração de juros. O período da taxa de juro i é a unidade de tempo das capitalizações; por exemplo,, se as capitalizações são mensais então o período da taxa de juro exemplo deverá ser mensal etc. Ademais, nestes casos, a relação entre o prazo da operação e o período da taxa de juro é sempre um número inteiro.
Partindo da definição de juro da operação com dois capitais e substituindo a fórmula do juro composto no final da operação temos: n
J = F − P ⇒ J = P × (1 + i ) − P n
J = P × ((1 + i ) − 1)
O juro J também também pode-se obter como resultado de multiplicar a taxa de juro iq (ainda desconhecida) com período igual ao prazo da operação pelo valor do capital inicial P: J
=
P × iq
Como o juro J deve deve ser o mesmo, das duas expressões anteriores formamos a seguinte igualdade: P × iq
=
P × ((1+ i )
n
−
1)
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS EFETIVAS Assim sendo, o juro J da da operação financeira com dois capitais com juro composto pode ser obtido capitalizando n vezes o valor inicial com a taxa i com período 1/ n, ou capitalizando uma única vez o valor inicial com a taxa iq com período n. Simplificando a expressão anterior obtém-se a fórmula das taxas equivalentes: iq
=
(1 + i )
n
−
1
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
95
Essa expressão mostra que, para um mesmo capital inicial, a taxa de juro i com período 1/ n e capitalizado n vezes e a taxa iq com período igual ao prazo n geram o mesmo valor de juro, sendo que o período das duas taxas tem a mesma unidade de tempo. Nessas condições, a taxa i com período 1/ n e a taxa iq com período n são taxas efetivas e, ao mesmo tempo, taxas equivalentes. Note-se que nessa fórmula está implícito que os juros periódicos gerados pela taxa de juro i são reinvestidos até completar o prazo n para que a taxa i seja equivalente à taxa iq com período n. Outra forma da expressão de taxas equivalentes e de fácil compreensão e memorização é a seguinte: 1 + iq
=
(1 + i)
n
Duas taxas de juros com períodos diferentes são equivalentes se sobre um mesmo capital e num determinado prazo produzirem o mesmo juro composto.
investimento com taxa de juro de 1,30% Exemplo 1. O banco oferece um investimento ao mês pelo prazo mínimo de um ano. Calcule a taxa equivalente anual. Solução. Da fórmula de equivalência de taxas se obtém a taxa equivalente iq = 16,7652% ao ano resultado obtido com: 1 + iq iq
=
(1 + i ) n
=
,013) (1 + 0,01
12
−
1 = 0,167652 ao ano
Considerando o valor do investimento note que, pelas premissas do juro composto, os juros mensais desse capital devem ser reinvestidos mensalmente na taxa de juro de 1,30% ao mês até completar o prazo de 12 meses para que essa taxa seja equivalente à taxa de 16,77% ao ano. De forma geral, duas taxas de juros com períodos diferentes são equivalentes equivalentes num determinado prazo se sobre um mesmo capital inicial produzirem o mesmo futuro, ou produzirem o mesmo juro.
Calculadora HP-12C Com essa calculadora podemos obter o resultado da taxa equivalente do exemplo procedendo de duas maneiras, utilizando a própria fórmula e com suas rotinas pré-programadas. [CLX] x
1[E]0,01 E]0,013[ 3[+]12[ y ]1[− ] → 0,1 0,167652
Com as rotinas pré-programadas
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Matemática financeira
[f][FIN] 12[n]1.3[i]1[CHS][P 12[n]1.3[i]1[CHS][PV][FV] V][FV] → 1,167652 ,167652 resul resulta tado do inter interme medi diár ário io 1[n][ [n][i] i] → 16,765 ,7652
Registrando a fórmula no Excel O resultado pode ser obtido registrando a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel: =
(1 + 0,01 ,013) ^12 ^12 − 1 → 0,167652
Também se pode registrar a essa fórmula f órmula utilizando a função POTÊNCIA do Excel =
POTÊ POTÊN NCIA( CIA(11 + 0,013;12 0,013;12)) −1 → 0,167 0,16765 6522
Modelo Taxa Taxa Equivalente Equiv alente construído na planilha Excel com o mesmo nome O modelo Taxa Equivalente da pasta Capítulo 5 calcula a taxa equivalente de uma taxa de juro conhecida, tendo os períodos das duas taxas a mesma unidade de tempo. Tanto a Taxa 1 como a Taxa Taxa 2 podem ser dados ou incógnita, uma por vez, e os períodos das taxas são apenas dados. Para obter o resultado da taxa equivalente, primeiro se registram os valores dos três dados, e depois se registra a letra X, maiúscula ou minúscula, na célula da incógnita, célula C7 no caso do Exemplo 1, como mostra a primeira figura seguinte. Para obter o resultado resulta do clica-se em Calcular ; o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada.
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
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Nova função fu nção TaxaE TaxaEqq A taxa equivalente também se pode obter com a nova função TaxaEq para Excel com a seguinte sintaxe: =
PeriodoTaxa; NovoPeríodo NovoPeríodo ) TaxaEq(Taxa; PeriodoTaxa
A nova função TaxaEq TaxaEq retorna um único resultado. Informando uma taxa de juro, seu perío período do e o nov novoo perío período, do, a funçã funçãoo retorn retornaa o val valor or da taxa equi equival valente, ente, sendo que o período da taxa informada e o novo período devem devem ter a mesma unidade de tempo. Registrando a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel com os dados do exemplo, obtemos o resultado procurado: TaxaE TaxaEq q(0,013 (0, 013;1 ;1;12) ;12) → 0,167652 0,167652
=
Exemplo 2. Depois de seis meses, a taxa efetiva do investimento foi de
14,76% aos seis meses. Para fins de comparação com outros investimentos investimentos é necessário conhecer a taxa equivalente mensal. Solução. A taxa equivalente mensal i composta durante seis meses deve ser equivalente à taxa de juro de 14,76% aos seis meses. Da fórmula da equivalência de taxas obtém-se a taxa equivalente i = 2,32% ao mês, resultado obtido com: 1 + iq i
n
=
(1 + i )
=
0,14 476 ) (1 + 0,1
Calculadora HP-12C Com a própria fórmula
1/6
−
1 = 0,023211aomês omês
98
Matemática financeira
[CLX] x
1[E]0, [E]0,1 1476[+]6[1 ]6[1 / x][ x][ y ]1[−] → 0,02 0,0232107
Com as rotinas pré-programadas [f][FIN] 1[n]14.76[i] 1[CHS][PV][FV] 1[CHS][PV][FV] → 1,1476res ,1476 resulta ultado do interm intermedi ediári ário o 6[n][ 6[n][i] i] → 2,321 ,32107
Registrando a fórmula no Excel Registrando a fórmula seguinte numa célula da planilha Excel =
(1 + 0,1476) ^ (1 / 6) − 1 → 0,02 ,0232107
Ou se pode registrar a essa fórmula utilizando a função POTÊNCIA =
POTÊNCIA(1 A(1 + 0,1 0,1476;1 76;1 / 6) −1 → 0,023 0,0232107 2107
Modelo Taxa Taxa Equivalente Para obter o resultado da taxa equivalente, primeiro se registram os valores dos três dados e depois se registra a letra X, maiúscula ou minúscula, na célula da incógnita, célula C7 no caso do Exemplo 2, como mostra a primeira figura seguinte. Depois de clicar em Calcular , o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada.
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
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Nova função fu nção TaxaE TaxaEqq Registrando a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel com os dados do exemplo obtemos o resultado procurado: =
Taxa TaxaEq( Eq(0,1 0,147 476 6; 6;1) ;1) → 0,02 0, 0232 3210 107 7
EXERCÍCIOS Exercício 1
Calcule a taxa equivalente de juro mensal à taxa de juro de 28% aos 9 meses. R: 2,78% ao mês Exercício 2
Conhecida a taxa mensal de 1,08%, calcule a taxa equiv equivalente alente aos 12 meses. R: 13,76% ao ano Exercício 3
A operação foi fechada com uma taxa de juro 1,5% aos 30 dias. Calcule a taxa equivalente de juro para 90 dias. R: i = 4,57% aos 90 dias Exercício 4
A taxa do de juro financiamento é 32,8% ao ano. Calcule a taxa equivalente mensal de juro. R: 2,39% ao mês Exercício 5
A aplicação por 61 dias foi realizada com taxa de juro de 32,8% aos 365 dias. Calcule a taxa equiv equivalente alente de juro com período de 30 dias. R: 2,36% aos 30 dias
100
Matemática financeira
Exercício 6
Continuando com o Exercício 5. Se por algum motivo m otivo o aplicador resgatou res gatou o mesmo valor quando completou 35 dias da data da sua aplicação, calcule a taxa equivalente com período de 30 dias. R: 2,02% aos 30 dias Exercício 7
Numa operação foram investidos $8.000 e depois de 60 dias foi resgatado o valor de $8.240. Calcule a taxa diária de juro da operação. R: 0,04927681% ao dia
ANÁLISE DOS RESULTADOS DE CADA PARTE DA OPERAÇÃO COM JURO COMPOSTO Começamos por lembrar as características do juro composto durante o prazo da operação financeira com dois capitais: ● ● ●
Há uma única entrada de capital, o presente P na data inicial, ou data zero. Há uma única saída de capital, o futuro F na na data final da operação. O capital cresce somente pela geração periódica de juros capitalizados no final de cada período de geração desses juros.
Em cada operação financeira há sempre duas partes, e o resultado de uma das partes é o mesmo que o da outra parte, mudando apenas o sinal dos capitais inicial e final da operação. Entretanto, nem todas as operações financeiras parecidas são iguais, e nem sempre o resultado final de uma das partes é exatamente igual ao da outra parte. O seguinte exemplo ajuda a compreender as características apontadas apontadas e a formação de resultados diferentes para as duas partes. Suponha que uma empresa financiou a compra de mercadorias de um cliente no valor de $40.000 pelo prazo de cinco meses com a condição de amortizar o financiamento em cinco parcelas mensais e seguidas de $8.000 mais o juro sobre o saldo devedor do financiamento, considerando a taxa de juro de 2,5% ao mês. O fluxo de capitais dessa operação de financiamento está registrado no intervalo de células B5:F11 da planilha Compreendendo resultados da pasta Capítulo 5, sem destacar a parte da operação. Analisemos a construção dessa planilha:1 ● ●
●
Na célula C6 é registrado o valor do financiamento financiamento na data zero, $40.000. No intervalo E7:E11 são registradas as cinco devoluções do valor financiado, ou amortizações, no valor de $8.000 cada uma. No intervalo D7:D11 são registrados os juros.
1. Esse tipo de financiamento é denominado Sistema de Amortização Constante e é apresentado no Capítulo 11 – Planos de Financiamento deste livro.
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
●
●
●
●
101
O juro do primeiro mês é $1.000 calculado com a taxa de juro de 2,5% ao mês sobre o valor financiado $40.000, registrado na célula D7. A célula D8 registra o juro $800 calculado sobre o saldo devedor de $32.000 no início do segundo mês e assim continua até completar o quinto mês.
No intervalo F7:F11 são registrados os valores das prestações, prestaçõe s, resultado da soma da amortização mais o juro correspondente no final de cada um dos cinco meses. Na célula F12 é registrado o resultado da soma das cinco prestações igual a $43.000.
ANÁLISE DA PARTE PARTE DO CLIENTE O cliente pagará a taxa de juro de 2,5% ao mês durante cinco meses, resultando em valores de juros decrescentes devido às amortizações mensais do valor financiado. ●
●
No final do primeiro mês, ele amortizará $8.000 e pagará o juro $1.000, resultando na prestação de $9.000 e o saldo devedor do início do segundo mês será $32.000. No final do segundo mês ocorrerá uma situação parecida: o cliente amortizará $8.000 e pagará o juro $800, resultando na prestação de $8.800 e o saldo devedor do início do segundo mês será $24.000. E esse es se procedimento continua até o final do quinto mês quando o saldo devedor será zero.
Cada vez que o cliente honrar uma prestação, no valor e na data previament previamentee acertada, ele paga juro integral sobre o saldo devedor do início do período considerando a taxa de juro de 2,50% ao mês e, nesse mesmo instante, fica
102
Matemática financeira
devendo o novo saldo devedor. A partir do dia seguinte de cada pagamento começa a nova acumulação de juro sobre o saldo devedor decrescente com o tempo.
ANÁLISE DA PARTE DA EMPRESA O dono do capital sabe que seu capital não deve ficar parado, deve ser investido, procurando maximizar sua riqueza. Comecemos por confrontar as características da formação do juro composto e o que ocorre neste financiament financiamento: o: ●
Há uma única entrada de capital na data inicial. Essa condição não é atendida, pois durante o prazo do financiamento há várias entradas de capital. ●
● ●
No mesmo dia do recebimento de cada parcela mensal (amortização (amortizaç ão mais juro) a empresa deverá reinvestir reinvestir cada parcela em outra operação com a mesma taxa de juro de 2,50% e até a data de recebimento da quinta e última parcela.
Há uma única saída de capital na data final, ou futuro F . Condição atendida. O capital cresce somente pela geração periódica de juros capitalizados no final de cada período de geração desses juros. Condição atendida.
Essa análise mostra que para o financiador garantir que a remuneração de seu capital $40.000 seja de 2,5% ao mês, ele deverá reinvestir reinvestir cada parcela recebida em outras operações com a mesma taxa de juro de 2,50% e até completar o prazo da operação que deu origem a essas parcelas. Note-se N ote-se que cada parcela recebida é formada de amortização e juro sobre saldo devedor em cada mês.
Dessa maneira, o reinvestimento de cada uma das cinco parcelas desde a data de seu recebimento até o final do quinto mês da operação com a taxa de juro de 2,50% 2 ,50% ao mês m ês está e stá registra registrado do no n o intervalo int ervalo D20:D2 D20:D244 da d a planilha. pla nilha. A
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
103
soma desses cinco reinvestimentos é igual a $45.256,33 (célula D25), que dá origem à taxa de juro de 13,14% aos cinco meses, ou sua taxa equivalente equivalente de 2,50% ao mês. Essa análise mostra a diferença dos dois lados da operação: enquanto o tomador do financiamento paga uma taxa de juro constante, a remuneração do financiador dependerá do destino que ele der a cada uma das parcelas recebidas (amortização mais juro) durante o resto do prazo da operação que deu origem a essas parcelas recebidas.
EFEITO DA VARIAÇÃO DA TAXA DE JURO DE REINVESTIMENTO Os resultados mostram que: ● ●
O custo do financiado é constante e igual à taxa de juro acertada. A remuneração do financiador dependerá do destino que ele dará às parcelas recebidas (amortização mais juro) durante o resto do prazo da operação que deu origem a essas parcelas recebidas.
O financiador tem duas du as variáveis para controlar, contro lar, o valor a reinvestir reinvestir e a taxa de juro de reinv reinvestimento. estimento. Supondo Supondo que cada parcela recebida seja reinv reinvestida, estida, a seguir mostramos o impacto do valor da taxa de reinvestimento durante o resto do prazo da operação. A tabela mostra o resultado de reinvestir as parcelas com taxas de juros, de 0% até 5% ao mês, com intervalo de 0,5%. Taxa 0% Reinv. Taxa Final
0,5%
1%
1,5%
2%
2,5%
3%
3,5%
4%
4,5% 5%
1,46% 1,66% 1,87% 2,08% 2,29% 2,50% 2,71% 2,92% 3,13% 3,34% 3,55%
Essa tabela mostra que se durante o prazo da operação o financiador reinvestir todas as amortizações e juros recebidos rece bidos com taxa de reinvestimento inferior a 2,50% ao mês, então a taxa mensal de juro do financiamento de $40.000 será s erá menor que 2,50% ao mês. E se reinvestir com taxa de reinvestimento superior a 2,50% ao mês, então a taxa mensal de juro do financiamento de $40.000 será s erá maior que 2,50% ao mês. Portanto, se durante o prazo da operação a taxa de reinvestimento reinv estimento for variável, a remuneração final será calculada ao completar o prazo do investimento que gerou esses juros.
Da parte do dono do capital, a remuneração final do investimento i nvestimento dependerá do destino que o investidor dará aos recebimentos parciais do capital e dos juros correspondentes durante o prazo da operação. O resultado dessa operação dependerá da agilidade do investidor em reinvestir o capital e os juros recebidos durante o resto do prazo da operação.
104
Matemática financeira
RESPONSABILIDADE DA DA GESTÃO PELOS INVESTIMENTOS DA EMPRESA A conclusão do tema anterior não é exclusi exclusividade vidade das operações do mercado financeiro. Essa responsabilidade e desafio estão presentes nas empresas cujos gestores sabem que o capital não deve ficar parado, deve ser investido. A remuneração final do capital investido dependerá do destino que se dará aos retornos periódicos efetuados durante o prazo dos investimentos realizados que deram origem a essas remunerações e utilizando a mesma taxa de juro. Para posicionar o leitor, num projeto de investimento estão presentes, de forma simplificada, eventos como o inv investimento estimento inicial, os retornos periódicos durante o prazo do projeto e a taxa de juro do projeto, como apresentado no Capítulo 12 do livro. Como apenas tomar uma boa decisão não garante um bom resultado, durante o prazo do projeto os gestores se empenharão para que as estimativas estimativ as desse projeto aconteçam e os resultados previstos sejam realizados. Comprometer-se para que as estimativas se cumpram é uma condição necessária, porém só isso não é suficiente. Os gestores deverão também procurar novos projetos para reinvestir reinvestir os retornos periódicos gerados durante o prazo de cada projeto que deu origem a esses retornos, com pelo menos a mesma taxa de juro do projeto, e assim garantir a remuneração daqueles projetos já em operação.
TAXA TAX A NOMINAL DE JURO Embora em alguns casos a taxa de juro seja uma informação externa à operação, a particularidade da operação participa da escolha do valor da taxa (o fator risco). Nesse caso, essa taxa em geral somente identifica como os valores monetários serão remunerados durante o prazo da operação. E também na preparação de uma operação financeira a taxa de juro utilizada pode ser uma taxa efetiva ou uma taxa nominal. Até aqui, as operações apresentadas utilizaram utilizar am taxas efetivas e equivalentes equivalentes no regime de juro composto. Essas operações com juro composto também são acertadas com uma taxa nominal de juro com período anual adicionando a regra de capitalização dos juros, mensal, trimestral etc. Como exemplo, analisemos o investimento de $100.000 com a taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização mensal. Essa descrição indica que a operação será realizada com juro composto considerando a taxa de juro de 1,5% ao mês, valor deduzido como se mostra a seguir: ●
●
A taxa nominal de 18% ao ano é dividida pelo número doze de capitalizações durante o ano para obter a taxa efetiva de juro mensal igual a 1,5% = 18%/12. Do investimento de $100.000 durante doze meses com a taxa de juro de 1,5% ao mês com juro composto serão resgatados $119.561,82, resultado obtido com:
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
105
12
100.00 000 0 × (1 + 0,1 0,18 / 12) F = $100. 12
F = $100 100.00 .000 × (1 + 0,015 0,015)
=
$119. 119.5 561,82 61,82
Analisando os resultados, a taxa 1,5% ao mês é a taxa efetiva efetiva de juro com período mensal, e da relação do capital investido $100.000 e do capital resgatado $119.561,82 obtemos a taxa efetiva de 19,56% ao ano da mesma operação. Essas duas taxas são taxas efetivas e equivalentes, sendo a capitalização dos juros realizad realizadaa de forma mensal. Verifique Verifique que nessa ne ssa equivalência de taxas de juro está a premissa de reinvestimento dos juros mensais até completar o prazo da operação. Se o investimento de $100.000 fosse realizado com a mesma taxa nominal de 18% ao ano, porém com capitalização trimestral, a taxa efetiva de juro trimestral seria 4,5% ao trimestre e o valor resgatado seria $119.251,86 resultado obtido com: 4)4 F = $100 $100.0 .000 00 × (1 + 0,045 0,045) 4 = $119 $119.2 .251 51,86 ,86 F = $100. 100.00 000 0 × (1 + 0,1 0,18 /
A taxa 4,5% ao trimestre é a taxa efetiva de juro com período trimestral, e da relação do capital investido $100.000 e do capital resgatado $119.251,86 obtemos a taxa efetiva de 19,25% ao ano da mesma operação. Essas duas taxas são taxas efetivas e equivalentes, sendo a capitalização dos juros realizada de forma trimestral. Comparando os resultados dos dois números de capitalizações, como primeira conclusão deduzimos que para uma mesma mesm a taxa nominal, quanto menor for o período de capitalização maior será a parcela final do juro. Da análise do procedimento de cálculo realizado deduzimos a fórmula da operação financeira com taxa nominal para qualquer situação. Consideremos o investimento P pelo prazo de um ano com a taxa nominal anual im com m capitalizações de juros por ano. O resgate depois de um ano desse inv investimento estimento é obtido com a expressão:
i F = P × 1 + m
m
m
Exemplo 3 . O financiamento de $100.000 pelo prazo de um ano será
realizado com a taxa nominal de 16% ao ano e capitalização trimestral. Calcule quanto se deverá pagar na data de quitação do financiamento. Solução. A quitação dessa operação é $116.985,86 e é obtida como segue:
i F = P × 1 + m 0,16 4 F = $100.000 × 1 + = $116.985,86 4 m
m
106
Matemática financeira
A taxa efetiva da operação é 16,9859% ao ano, resultado obtido com: i
$116.985,86 =
$100.000
−
1
=
0,16 0,1698 9859 59
Percebe-se que o procedimento de cálculo é o dos juros compostos.
Calculadora HP-12C Com calculadora obtemos o resultado do futuro e a taxa de juro equivalente procedendo como segue. [CLX] 1[E]0. 1[E]0.16[E 16[E]4[ ]4[÷][+] 4[y x][10 ][1000 0000 00][x ][x]] →116. 116.98 985 5,86 100000[÷]1[ ]1[−] → 0,1 0,16986
Registrando a fórmula no Excel O resultado do futuro pode também ser obtido registrando a fórmula seguinte seguinte numa célula vazia da planilha Excel: = 100000 *(1 *(1 + 0,1 0,16
/ 4)^ 4 → 116.985,86 ,86 = 11 116 698 985 5,86 / 100 000 000 −1 → 0,1 0,169 6986 86
Modelo Taxa Taxa Nominal Com o modelo Taxa Taxa Nominal construído constr uído na planilha com o mesmo nome da pasta pas ta Capítulo 5 se obtêm os três possíveis resultados da operação com taxa nominal. No caso do Exemplo 3, para obter o valor de liquidação do financiamento informamos os dados conhecidos, o valor do financiamento, a taxa efetiva de juro e o número de capitalizações. Como a incógnita é o valor de liquidação do financiamento, na célula C5 do modelo registramos a letra X, maiúscula ou minúscula.
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
107
Para obter o resultado clica-se no botão Calcular ; o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada. re cebendo Exemplo 4. Ao completar um ano, o investimento foi resgatado, recebendo $53.802,82. Calcule o valor investido considerando a taxa nominal de juro de 18% com capitalizações mensais. Solução. Começamos por obter a fórmula do presente.
i F F = P × 1 + ⇒ P = m i 1 + m m
m
m
m
Substituindo os dados obtemos o valor investido foi $45.000, resultado obtido com: P=
$53.802,82 12
/1 2 ) (1 + 0,18 /12
=
$45.000
Modelo Taxa Taxa Nominal Procedendo como no exemplo anterior, confirmamos o resultado obtido pelo procedimento algébrico.
108
Matemática financeira
As soluções com as outras ferramentas tecnológicas ficam por conta do leitor. investidos durante um ano o banco promete Exemplo 5. De cada $10.000 investidos que o investidor resgatará $13.000. Calcule a taxa nominal com capitalizações mensais. Solução. Começamos por obter a fórmula da taxa nominal.
i F i F i F = P × 1 + ⇒ = 1+ ⇒ = 1+ m P m P m F i = − 1 × m P m
m
1/ m
m
m
m
1/ m
m
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
109
Do valor investido $10.000 e o valor a resgatar $13.000 no prazo de um ano obtemos a taxa nominal 26,53% com capitalizações mensais: $13.000
= ,265253 − 1 × 12 = 0,26 $10.000 1/12
im
Modelo Taxa Taxa Nominal Procedendo como no exemplo anterior, confirmamos o resultado obtido pelo procedimento algébrico.
As soluções com as outras ferramentas tecnológicas ficam por conta do leitor.
110
Matemática financeira
EXERCÍCIOS Exercício 8
O financiamento de $130.000 foi realizado pelo prazo de um ano, com taxa nominal de 15% ao ano e capitalizações mensais. Calcule o valor da quitação desse financiamento financiamento.. R: $150.898,09 Exercício 9
Do investimento de $12.000, após um ano foi resgatado o valor de $15.000. Calcule a taxa nominal desse investimento com capitalizações mensais. R: 22,52% ao ano. Exercício 10
Na quitação do financiamento com prazo de um ano foi pago o valor de $9.500. Considerando que esse financiamento foi realizado com a taxa nominal de 30% com capitalizações trimestrais, calcule o valor financiado. financiado. R: $7.113,61 Exercício 11
Sabendo que os valores inicial e final da operação financeira com prazo de um ano são, respectivamente, $1 e $1,28073156, calcule a taxa nominal anual com capitalizações mensais. R: 25% ao ano Exercício 12
Continuando com o Exercício 11, calcule a taxa nominal com capitalizações trimestrais. R: 25,52% ao ano Exercício 13
Continuando com o Exercício 11, calcule a taxa nominal com capitalizações semestrais. R: 26,34% ao ano Exercício 14
A taxa efetiva de um investimento pelo prazo de um ano é 17,65% ao ano. Calcule a taxa nominal desse investimento considerando capitalizações mensais. R: 16,36% ao ano. Exercício 15
Repita o Exercício 14 considerando capitalizações trimestrais e semestrais. R: 16,59% ao ano e 16,93% ao ano. Exercício 16
A operação financeira com prazo de um ano foi fechada com taxa nominal de 24% ao ano e capitalizações mensais. Calcule a taxa efetiv efetivaa anual dessa operação. R: 26,82% ao ano
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
111
Exercício 17
Repita o Exercício 16 considerando capitalizações trimestrais e semestrais. R: 26,25% ao ano e 25,44% ao ano.
EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA O financiamento de $100.000 pelo prazo de um ano do Exemplo 3 deste capítulo com a taxa nominal de 16% ao ano e capitalização trimestral foi quitado com o valor $116.985,86. Essa operação financeira foi realizada com quatro capitalizações trimestrais com juro composto, considerando a taxa efetiv efetivaa de 4% ao trimestre e gerando o juro total de $16.985,86. Ao mesmo tempo, da relação entre os dois capitais dessa operação obtemos a taxa efetiva de juro de 16,98586% ao ano. O resultado de multiplicar a taxa 0,1698586 pelo capital $100.000 é também o valor do juro $16.985,86 da operação. Portanto, a taxa nominal de juro 16% ao ano com capitalização trimestral e a taxa de juro 16,98586% ao ano são taxas equivalentes. Da expressão do juro composto com taxa nominal F = P × (1 + i / m ) obteremos o valor do juro total durante o prazo da operação como segue: m
m
(
J
=
P × 1 + im / m
J
=
P×
((1+ i
)
m
/ m)
m
−
P
)
m
−1
Esse mesmo valor de juro se pode obter com a única taxa de juro i com período igual ao prazo da operação J = P × i . P×i
=
P×
((1+ i
m
/ m)
m
)
−1
Dessa maneira, a seguir obtemos a fórmula da equiv equivalência: alência: (
i = 1 + im / m
)
m
− 1 ⇒ 1+ i =
(1+ i
m
/ m )
m
A taxa efetiva de juro i com período igual ao prazo da operação é uma taxa equivalente da taxa nominal im com m capitalizações que gera o mesmo valor futuro, sendo que o período das duas taxas de juro tem a mesma unidade de tempo. Como definição, duas taxas de juros com períodos diferentes são equivalentes num determinado prazo se sobre um mesmo capital inicial produzirem o mesmo valor de capital futuro ou, de outra forma, produzirem o mesmo valor de juro. Verifique que os juros mensais do capital devem ser reinvestidos mensalmente na taxa de juro im / m até completar o prazo da operação para tornar essa taxa equivalente equivalente à taxa i. Exemplo 6. A operação foi fechada com taxa nominal de 27,5% ao ano com
capitalizações semestrais dos juros. Calcule a taxa efetiva dessa operação.
112
Matemática financeira
Solução. Com a expressão anterior se obtém a taxa efetiva de 29,39% ao ano. m
= (1 + i / m ) − 1 0,275 ,2939 i = 1 + − 1 = 0,29 2
i
m
2
Calculadora HP-12C Utilizando a fórmula [CLX] 1[E]0. [E]0.2 275[E]2[ 5[E]2[÷][+]2[y x ]1[ −] → 0,29 0,2939
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado é obtido no Excel registrando uma das duas fórmulas seguintes: (1 + 0,27 ,275 / 2) ^ 2 −1 → 0,29 ,2939 = POT POTÊNCIA(1 A(1 + 0,275 0,275 / 2; 2) −1 → 0,293 0,2939 =
Modelo Taxa Taxa Nomina Nominall e Taxa Taxa Efet Efetiva iva Com o modelo Taxa Nominal e Taxa Efetiva construído na planilha com o mesmo nome da pasta Capítulo 5 obtêm-se as duas possíveis taxas deste tipo de operação. Nesse exemplo, para obter o resultado da taxa efetiva se registram os valores dos dois dados e a letra X, maiúscula ou minúscula, na célula da incógnita C6. Para obter o resultado clica-se no botão Calcular ; o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identifica identificarr a incógnita calculada.
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
113
Nova função NomEfe O valor da taxa efetiva também pode ser obtido com a nova função NomEfe para Excel, que tem a seguinte sintaxe: =
NomEfe (TaxaNominal TaxaNominal ;Capitalizações Capitalizações;TaxaEfetiva TaxaEfetiva )
Informada uma das taxas com período anual e o número de capitalizações anuais da taxa nominal, a nova função NomEfe retorna a outra taxa com período anual conforme o número de capitalizações realizadas no ano, no regime de juros compostos. O argumento Capitalizações não tem interesse de ser calculado. Os argumentos dessa função podem ser valores numéricos, expressões que resultarem em valores numéricos ou o símbolo “X” ou “x”, incluindo as duas aspas duplas quando a fórmula for digitada. Registrando-se essa fórmula numa célula vazia da planilha Excel com os dados do exemplo obteremos o resultado procurado: =
NomE omEfe(0,27 e(0,275 5; 2;" X '') → 0,2939 0,2939
CÁLCULO DA TAXA NOMINAL Para determinar a taxa nominal com m capitalizações da taxa efetiva i, da expressão de taxas equivalentes anterior obtemos o cálculo de im
i i 1 + = 1 + i ⇒ 1 + = (1 + i)1/ m m = ((1 + i)1/ − 1) × m i m
m
m
m
m
m
Exemplo 7. A taxa efetiva da operação é 28,5% obtida no prazo de um
ano com capitalizações bimensais dos juros. Calcule a taxa nominal dessa operação.
114
Matemática financeira
Solução. Com a expressão anterior se obtém a taxa nominal de 25,61%
ao ano. im
=
285) ((1 + 0, 28
1/ 6
−
1) × 6 = 0, 25 2561
Calculadora HP-12C Utilizando a fórmula [CLX] 1[E]0. [E]0.2 285[+]6[1 ]6[1 / x][y x][y x ]1 ]1[ −]6[ ×] → 0,25 0,2561
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando uma das duas fórmulas seguintes numa célula vazia da planilha Excel: ((1 + 0,28 ,285) ^ (1/ 6) − 1)* 6 → 0,25 ,25607 = (PO (POTÊNCIA(1 A(1 + 0,285 0,285;1 / 6) −1) * 6 → 0,256 0,25607
=
Modelo Taxa Taxa Nomina Nominall e Taxa Taxa Efet Efetiva iva No caso do Exemplo 7, se registram os valores da taxa efetiva e do período de capitalização, e a incógnita X, maiúscula ou minúscula, na célula C4. Depois de clicar no botão Calcular , o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada.
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
115
Nova função NomEfe Registrando essa fórmula numa célula vazia da planilha Excel com os dados do exemplo, obtemos o resultado procurado: =
NomE omEfe(" e(" X ''; 6; 0,2850) 0,2850) → 0,2561 0,2561
EXERCÍCIOS Exercício 18
Na operação de financiamento foi utilizada a taxa nominal de juro de 24% ao ano com capitalizações mensais. Calcule a taxa efetiva anual. R: 26,82% ao ano Exercício 19
Repita o Exercício 18 com capitalizações trimestral, semestral e anual. Depois analise o comportamento da taxa efetiva em função da variação do número de capitalizações mantendo a taxa nominal constante. R: Capitalizações: trimestral 26,25%, semestral 25,44% e anual 24% ao ano Exercício 20
O financiamento foi fechado com a taxa efetiva de 22,50% ao ano. Calcule a taxa nominal de juro anual com capitalizações mensais. R: 24,90% ao ano. Exercício 21
Repita o Exercício 20 com capitalizações trimestral, semestral e anual. Depois analise o comportamento da taxa nominal em função da variação do número de capitalizações mantendo a taxa efetiv efetivaa constante. R: Capitalizações: trimestral 24,47%, semestral 23,77% e anual 22,50% ao ano
116
Matemática financeira
Exercício 22
Na procura da melhor alternativa para investir investir $80.000 durante um ano, seu s eu banco oferece a taxa nominal anual de 20% com capitalizações mensais, e o concorrente oferece a taxa efetiva anual de 21,47% ao ano. Escolha a melhor alternativa de investimento. R: Seu banco
AUMENTANDO AS CAPITALIZAÇÕES CAPITALIZAÇÕE S DA TAXA NOMINAL Para certa taxa nominal, os resultados dos problemas anteriores mostram que o aumento do número de capitalizações capitaliz ações provoca o aumento da taxa efetiva de juro anual, porém reduzindo sua velocidade de crescimento. A seguir realizamos um exercício que pouco tem de real, pois o número de capitalizações é aumentado com valores não possíveis no dia a dia. Considerando a taxa nominal de 30% ao ano, a tabela seguinte registra a taxa efetiva de juro anual para diversas capitalizações m utilizando a expressão conhecida i = (1 + 0, 30 / m ) − 1 m
m 1 3 6 9 12
i 30,00% 33,10% 34,01% 34,33% 34,49%
m 365 1.000 5.000 10.000 15.000
i 34,97% 34,98% 34,9847% 34,9853% 34,9855%
Analisando os resultados das duas primeiras colunas da tabela, para m = 1 a taxa efetiva é a própria taxa nominal de 30% ao ano, para m = 2 a taxa efetiva é 33,10% ao ano, para m = 6 é 34,01% ao ano e assim nos demais resultados. Já nesses primeiros valores pode-se ver que o incremento de aumento diminui à medida que o número de capitalizações m aumenta. Nas duas últimas colunas a taxa efetiva continua aumentando, porém com muito menos diferença, sendo necessário aumentar o número de casas decimais para identificar a diferença entre os valores da taxa efetiva. efetiva. Se continuarmos realizando esse cálculo com valores de m cada vez maiores, sempre se terá um valor maior da taxa efetiva i. Cabe perguntar: perguntar: há um limite para esse crescimento? A resposta é Sim! E é possível obter esse valor limite como se mostra a seguir de forma reduzida. O limite de i é calculado aplicando o conceito de cálculo diferencial na procura do limite de uma função quando m tende a infinito, ou m, representado da seguinte forma: (
i = lim 1 + im / m n →∞
)
m
−1
Capítulo | 5 Taxa equivalente, taxa efetiva e taxa nominal de juro
117
Depois de realizar operações obtém-se a expressão da taxa efetiva i quando m tende ao infinito: 2 i
i
=
em
−
1
Nessa expressão, e é o número irracional igual a 2,71828.... Para a taxa nominal de 30% ao ano, o limite da taxa efetiva ef etiva i é igual a 34,985881% ao ano, resultado obtido com: i
=
i
=
0,30
1 1,349 ,3498588 85881 1 1 34,985881% ao ano e
−
=
−
2. Esse regime é denominado Capitalização Contínua e é um tema avançado da Matemática Financeira. Veja: J.C. Lapponi. Matemática Finan Financeira. ceira. São Paulo: Elsevier, 2005. Capítulo 5.
Capítulo 6
Juro comp Juro composto osto com per período íodo fracionário Neste Capítulo 6 o leitor aprenderá: ● ● ● ●
O Conceito de Período Fracionário Como calcular Taxas Equivalentes com Período Fracionário A Resolver Cálculos Financeiros com Juro Composto Fracionário A Utilizar as Ferramentas Tecnológicas: Calculadora HP-12C Modelo Taxa Equivalente em Excel e VBA Nova Função financeira TaxaEq desenvolvida no VBA do Excel Modelo Juro Composto Composto em Excel e VBA Nova Função financeira JuroComp Desenvolvida em Excel e VBA TVMod em em Excel e VBA
Até agora, o período da taxa de juro é a unidade de tempo das capitalizações da operação com dois capitais com juro composto, e a relação entre o número de capitalizações e o período da taxa é um número inteiro. No entanto, há situações em que essa relação não é um número inteiro, é um número fracionário. Como exemplo, o financiamento de $60.000 pelo prazo de 91 dias foi acertado com a taxa de juro de 35% aos 360 dias com juro composto. O prazo desse financiamento e o período da taxa de juro têm a mesma unidade de tempo, porém a relação entre esses dois valores não é um número inteiro, é um número fracionário. Lembre o leitor que já dispomos de conhecimentos para realizar esses cálculos, porém o procedimento de cálculo necessita ser desenvolvido como se mostra a seguir. Para calcular a taxa equivalente iq com período de 91 dias, o primeiro passo é determinar a taxa diária equivalente id da taxa de juro de 35% aos 360 dias, utilizando a expressão conhecida de taxas equivalentes. 1 + id
=
1/360
(1 + 0, 35)
Lembre-se que essa taxa diária id é também uma taxa efetiva. Continuando com o desenvolvimento do procedimento de cálculo, a seguir calculamos a taxa equivalente iq com período de 91 dias, sem s em realizar o cálculo da taxa diária id . 119
120
Matemática financeira
1 + iq
=
(1 + id )
91
Substituindo a expressão da taxa diária nesta última, temos: 1 + iq
=
1/360 91
((1 + 0, 35)
)
Por último, realizando a multiplicação dos expoentes do segundo membro: 1 + iq
=
(1 + 0, 35)
91/360
E a taxa equivalente iq é igual a 7,88% aos 91 dias, resultado obtido com: iq = (1 (1 + 0, 35 35)
91/360
−
1= 0 0,, 07 07881128
Para calcular o resgate igual a $64.728,68 $64.728, 68 do investimento investimento $60.000 pelo prazo praz o de 91 dias acordado com a taxa de juro de 35% aos 360 dias, poderíamos utilizar qualquer uma das duas taxas equiv equivalentes, alentes, como se mostra a seguir: 35) F = $60.000 × (1 + 0, 35
91/360
=
$64.728, 68 68
Ou com: F = $60 $60.0 .000 00 × 0, 07 0788 8811 1128 28 = $6 $64. 4.72 728,68 8,68
Desse procedimento de cálculo deduzimos fórmula do futuro F da da operação financeira com dois capitais no regime de juro composto com prazo n e taxa de juro i com período m: F
=
P × (1 + i )
n / m
TAXAS TAX AS EQUIV E QUIVALENTES ALENTES COM PERÍODO FRACIONÁRIO Na expressão das duas taxas equivalentes do exemplo inicial que repetimos: 1 + iq
=
(1 + 0, 35)
91/360
Essas duas taxas de juros com períodos diferentes são equivalentes, porque sobre um mesmo capital e num determinado prazo produzem o mesmo juro composto. De forma geral, considerando a operação com dois capitais com prazo n com juro composto, a taxa de juro i com período m, e a taxa equivalente de juro iq com período igual ao prazo da operação n deduzimos a expressão geral de taxas equivalentes: 1 + iq
=
(1 + i)
n / m
A taxa de juro iq com período igual ao prazo n da operação é uma taxa efetiva e equivalente da taxa de juro i com período m que gera o mesmo valor futuro
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
121
no prazo n, sendo que o período das duas taxas de juro tem a mesma unidade de tempo que, em geral é dia. Pode-se registrar a expressão anterior de outra forma, de fácil compreensão e memorização: 1/ n
(1 + iq )
=
1/ m
(1 + i)
Reforçando, nessa igualdade a unidade de tempo é dia e os resultados de ambos os membros são valores iguais e se referem a taxas efetivas com período de um dia. Exemplo 1. Após 78 dias foi resgatado o capital capita l investido com taxa efetiva
de juro de 7,34% aos 78 dias. Para fins de comparação com outras operações opera ções de sua carteira, o investidor deve conhecer a rentabilidade com período de 360 dias. Solução. A rentabilidade do investimento com período de 360 dias é 38,67%, resultado obtido com: 1 + iq
iq
=
(1 + 0, 0734)
360/78
=
(1 + 0, 0734)
360/78
−1=
0, 3867 aos 360 dias
Calculadora HP-12C Utilizando a fórmula e procedendo como segue: [CLX] x
1.0734[E]36 4[E]360[E]78[ 0[E]78[÷][ ][ y ]1[ ]1[− ] → 0,38 0,386681
Para realizar cálculos financeiros com períodos fracionários com n/m não inteiro utilizando as cinco teclas pré-programadas da HP-12C é necessário configurar a calculadora com a seguinte instrução: [STO][EEX]
Depois de pressionar essa sequência de teclas, no canto inferior direito do visor da calculadora aparecerá a letra C. Essa instrução não introduz modificação nos outros cálculos e pode permanecer ativa na calculadora. Para retirar a letra C, pressione aquelas mesmas teclas. Para realizar o cálculo da taxa com as cinco teclas pré-programadas, proceda como segue: [f][FIN] 1[CHS][PV]7.34[i] 360[E] 360[E] 78[÷][n][FV] ][n][FV] → 1,386681re ,386681resu sult ltad ado o parc parcia iall 1[n][i] 1[n][i] → 38,6681r 38,6681res esul ulta tadofin dofinal al
122
Matemática financeira
Registrando a fórmula no Excel O resultado pode ser obtido registrando r egistrando a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel: =
(1 + 0,0 0,07 734) ^ (36 (360 / 78) −1 → 0,3 0,38 86681
Também se pode registrar a essa fórmula utilizando a função POTÊNCIA =
POTÊ POTÊN NCIA( CIA(11 + 0,0734 0,0734; 360 360 / 78) 78) −1 → 0,3866 0,386681 81
Modelo Taxa Taxa Equivalente O modelo Taxa Equivalente construído na planilha Excel com o mesmo nome da pasta Capítulo 5 calcula a taxa equiv equivalente, alente, procedendo como foi apresentado no Capítulo 5 do livro.
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
123
Nova função fu nção TaxaE TaxaEqq Registrando a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel com os dados do exemplo, obtemos o resultado procurado: =
Taxa TaxaEq( Eq(0, 0,07 0734 34;; 78; 78; 360) 360) → 0,38668 0,386681 1
Exemplo 2. O banco oferece um investimento por seis meses com taxa de
juro de 1,25% ao mês no regime regime de juros compostos. compostos. Calcule a taxa equivalente semestral. Solução. Da fórmula da equivalência de taxas se obtém a taxa equivalente iq = 7,7383% aos seis meses, resultado obtido com: 1/ 6
1/1
(1 + i )
=
(1 + 0, 0125)
iq
=
,0125) (1 + 0,01
q
6
−1 =
0,07 ,077383ao 3aos6 meses
A resolução com as ferramentas tecnológicas fica para o leitor resolver. Exemplo 3. Foram investidos $80.000 por dois meses com taxa efetiva de
10% ao ano ou 12 meses. Calcule o valor do resgate. Solução. Como o período da taxa de juro é diferente do prazo da operação, operaçã o, primeiro devemos obter a taxa equivalente com período de dois meses da taxa 10% aos 12 meses. Aplicando Aplicando o procedimento conhecido, equacionamos a taxa equivalente com período de dois meses. n / m
1 + iq
=
(1 + im )
1 + iq
=
(1 + 0, 10)
2/12
=
1, 01601187
Com a taxa efetiva calculamos o futuro da operação igual a $81.280,95, resultado obtido com: F = $8 $80. 0.00 000 0 × 1, 01 0160 6011 1187 87 = $8 $81. 1.28 280,95 0,95
A resolução com as ferramentas tecnológicas fica para o leitor resolver.
EXERCÍCIOS Exercício 1
Calcule a taxa equivalente equivalente com período de 360 dias da taxa de juro 1,08% aos 30 dias. R: 13,76% aos 30 dias Exercício 2
Calcule a taxa equivalente equivalente com período de 365 dias da taxa de juro 3,75% aos 65 dias.
124
Matemática financeira
22,96% aos 365 dias
R:
Exercício 3
Calcule a taxa equivalente equivalente com período de 45 dias da taxa de juro 23,56% aos 360 dias. R: 2,68% aos 45 dias Exercício 4
Calcule a taxa equivalente equivalente com período de 30 dias da taxa de juro 34,85% aos 365 dias. R: 2,49% aos 30 dias Exercício 5
O financiamento foi realizado pelo prazo de 182 dias com a taxa de juro 43,75% aos 365 dias. Calcule a taxa equivalente equivalente de juro do prazo da operação. R: 19,84% aos 182 dias Exercício 6
Calcule a taxa equivalente equivalente com período de 30 dias da taxa da operação do Exercício 8. R: 3,03% aos 30 dias Exercício 7
A taxa efetiva do investimento investimento de $48.000 realizado pelo prazo pr azo de 63 dias foi de 4,16% aos 63 dias. Para poder comparar com outros investimentos semelhantes necessitamos conhecer a taxa equivalente equ ivalente com período de 365 dias. R: 26,63% aos 365 dias
CÁLCULO DO FUTURO Utilizamos a fórmula do futuro F da da operação financeira com dois capitais no regime de juro composto com prazo n e taxa de juro i com período m já deduzida e que a seguir repetimos: F
=
P × (1 + i )
n / m
Essa fórmula regula o valor do dinheiro no tempo da operação financeira com dois capitais no regime de juro composto, sendo o período da taxa de juro diferente do prazo da operação, porém ambos com a mesma unidade de tempo. Verifique o leitor que, se o período da taxa de juro for m = 1, obtém-se F = P × (1 + i ) . É importante lembrar as características da operação financeira de dois capitais com juro composto que a seguir repetimos: n
● ● ●
A taxa de juro é constante durante o prazo da operação. O capital inicial permanece até o final da operação. Durante o prazo da operação não há nenhuma entrada nem saída de capital, capi tal, havendo haven do somente capitalizações periódicas dos juros.
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
125
Depois de obter o resultado de forma algébrica, o resultado do Exemplo 4 seguinte também é obtido com ferramentas tecnológicas. Exemplo 4. Foram investidos investidos $55.000 na taxa de juro de 1,15% aos 30 dias.
Calcule o valor do resgate considerando o prazo de 75 dias. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo considerando a parte do investidor e identificando com F o o valor do resgate no final do prazo de 75 dias.
A seguir utilizamos a fórmula do futuro da operação financeira com dois capitais no regime de juro composto com prazo fracionário. F
=
P × (1 + i )
n / m
Substituindo os dados e realizando r ealizando o cálculo, obtemos o valor do resgate $56.594,91 do investidor: (1 + 0,011 ,0115) F = $55.000 × (1
75/30
=
$56.594,91 ,91
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando-se essa fórmula numa célula da planilha Excel. =
55000 *(1 *(1 + 0,0 0,01 115) ^ (75 / 30) → 56.594,9 4,91 1
Também se pode registrar essa fórmula utilizando-se a função POTÊNCIA. =
5500 550000 * POTÊ TÊNC NCIIA(1 A(1 + 0, 0115 0115;; 75 / 30) 30) → 56.5 56.594 94,91 ,91
Calculadora HP-12C Primeiro com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] x
55000[ 5000[E] E]1 1.0115 0115[E [E]75[ ]75[E]3 E]30[ 0[÷ ][ y ][× ] → 56.5 6.594,91 94,91
126
Matemática financeira
Os resultados de cálculos financeiros das operações com dois capitais no regime de juro composto com período fracionário f racionário também podem ser realizados com quatro teclas pré-programadas [n], [i], [i] , [PV] e [FV] da HP-12C. O prazo n da operação deverá ser informado de forma fracionária obtendo esse resultado antes de pressionar a tecla [n]. Para calcular com prazo fracionário, fracionári o, a calculadora financeira HP-12C deve ser configurada. Para isso, depois de pressionar a sequência [STO] [EEX] no canto inferior direito do visor da calculadora aparecerá a letra C. Nesses cálculos devem ser utilizados os sinais dos capitais porque a calculadora HP-12C resolve a equação de valor equivalente e, como boa prática, se recomenda construir o diagrama do tempo antes de realizar o cálculo. [STO [STO][E ][EEX]se EX]se a letr letra a C não não esti estive verr no cant canto o infe inferi rior or dire direit ito o do viso visorr da calcula calculadora. dora. [f][FIN] 55000[CHS][PV]1.0115[i] 75[E]30[ 75[E]30[÷][n] ][n][F [FV] V] → 56.5 56.594 94,91 ,91
Verifique o leitor que do diagrama do tempo se obtêm os dados a utilizar com as quatro teclas.
Função financeira VF Como foi mostrado no Capítulo 4, os resultados de cálculos financeiros das operações com dois capitais no regime de juro composto podem ser realizados com quatro das cinco funções financeiras do Excel e essas funções são NPER, TAXA, VP e VF. O prazo n da operação é informado de forma fracionária registrando essa relação. Registrando a função VF com os dados do exemplo obtidos do diagrama do tempo, numa célula da planilha Excel se obtém o resultado do futuro da operação, lembrando que a função VF opera com a regra de sinais dos capitais. =
VF(0, F(0, 01 0115 15;; 75 / 30 30;; 0; −55 5500 000) 0) → 56 56.5 .594 94,91 ,91
Modelo Juro Composto Juro o Compost Composto o é construído na planilha com o mesmo nome da pasta O modelo Jur past a Capítulo 4 do Excel. Note o leitor que o valor investido foi registrado com valor negativo, representando a parte do investidor que realiza um desembolso na data zero. Ademais, o prazo da operação é informado diretamente, pois a taxa de juro é informada com seu período, verificando que os dois valores têm a mesma unidade de tempo, dias. Clicando em Calcular o o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada.
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
127
Nova função JuroComp Registrando a nova função JuroComp com os dados do exemplo obtidos do diagrama do tempo, numa célula da planilha Excel se obtém o resultado do futuro da operação, lembrando que a nov novaa função opera com a regra de sinais s inais dos capitais. =
Juro JuroCo Comp mp((−550 55000 00;" ;" X ''; ''; 0,01 0, 0115 15;; 30; 30; 75) 75) → $56. $56.59 594,91 4,91
O prazo da operação é informado diretamente, diretamente, pois a taxa de juro é informada com seu período.
Resolvendo com o TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita X, sendo o valor investido registrado com valor negativo, representando a parte
128
Matemática financeira
do investidor investidor que desembolsou esse capital. A taxa de juro é informada com seu período.
Depois de clicar em Calcular , a figura seguinte mostra o valor do resgate $56.594,91 após 75 dias de investimento.
CÁLCULO DO PRESENTE Da fórmula do futuro da operação deduzimos a fórmula do presente P da operação. Depois de obter o resultado do presente de forma algébrica, o resultado do Exemplo 5 também é obtido com ferramentas tecnológicas. Exemplo 5. No passado foi assinado um compromisso compromiss o no valor de $100.000
para ser pago daqui a 275 dias. O contrato assinado estabelece que esse
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
129
compromisso pode ser resgatado antecipadamente aplicando a taxa de 26,80% aos 360 dias no regime de juro composto. Calcule quanto deve ser pago hoje para resgatar esse título. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da operação considerando a parte do financiador. financiador. Identificamos com P o valor de liquidação do financiamento financiamento a receber 275 dias antes do vencimento e com sinal positivo, e o título a receber $100.000 com sinal negativo porque o financiador deverá dar baixa a essa estimativa.
Partindo da fórmula do futuro, obtemos a fórmula do presente P da operação financeira com dois capitais com juro composto. F
=
P
=
P × (1 + i )
n / m
P
(1 + i )
n / m
=
P × (1 + i )
− n / m
Substituindo os dados da operação obtemos o valor do recebimento $83.411,96 que liquidará o financiame financiamento. nto. ,2680) P = $100.000 × (1 + 0,26
275/360
−
=
$83.411,96 ,9642
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando a fórmula seguinte numa célula da planilha Excel, sem considerar os sinais dos capitais: = 100 0000 000 0 * (1 + 0,268 0,2680) ^ (−275 /
360 60)) → 83 83.4 .411 11,96 ,964 42
Também essa fórmula se pode registrar utilizando a função POTÊNCIA. =
1000 100000* 00* POTÊ POTÊN NCIA( CIA(11 + 0,2680 0,2680; −275 275 / 360) 360) → 83.4 83.411 11,964 ,96422
Calculadora HP-12C Primeiro com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais.
130
Matemática financeira
[CLX] x
1000 100000[E] 00[E]1. 1.26 2680[E]2 80[E]275[ 75[E]36 E]360[ 0[÷ ][CH ][CHS][ y ][× ] → 83.4 83.411 11,96 ,9642 42
Com as cinco teclas pré-programadas da calculadora obtemos o resultado do futuro. [STO][EEX] [STO][EEX]se se for necess necessári ário o [f][FIN] 100000[CHS][FV]1.2680[i] 275[E]36 275[E]360[ 0[÷ ][n][ ][n][P PV] → 83.4 83.411 11,964 ,9642 2
Note como o diagrama do tempo orienta na formulação e resolução da incógnita utilizando as teclas pré-programadas da HP-12C.
Função financeira VP Registrando a função VP com os dados do exemplo numa célula da planilha Excel se obtém o resultado do presente da operação, informando os capitais com seus respectiv r espectivos os sinais. =
VP(0, P(0, 26 2680 80;; 27 275 5 / 36 360 0; 0; −10 1000 0000 00)) → 83 83.4 .411 11,964 ,9642 2
Note que para cada incógnita da operação há uma função financeira dedicada no Excel, na incógnita i ncógnita do d o Exemplo 4 a função funçã o VF e neste exemplo a função fu nção VP. VP.
Modelo Juro Composto Jurro Comp Compost osto o, para obter o resultado do presente registramUtilizando o modelo Ju se os valores dos quatro dados e a incógnita com a letra X, maiúscula ou minúscula, considerando a parte do financiador, como mostra a primeira figura seguinte. Clicando no botão Calcular o o modelo calcula o valor da incógnita e o registra na célula correspondente.
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
131
Nova função JuroComp O valor do resgate também pode ser obtido com a nova função com o mesmo nome, registrando a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel: =
Juro JuroCom Comp( p("" X ''; ''; −100000 100000;; 0, 2680 2680; 360; 360; 275) 275) → 83.411 83.411,, 9642 9642
A nova função JuroComp calcula todas as possíveis incógnitas da operação financeira com dois capitais com juro composto fracionário, enquanto que no Excel há uma função financeira dedicada para cada incógnita da operação.
Resolvendo com o TVMod TVMod A figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita da parte do financiador.
132
Matemática financeira
Depois de clicar em Calcular , a figura seguinte mostra o valor do resgate igual a $83.411,96.
EXERCÍCIOS Exercício 8
Daqui a 181 dias Augusto pagará $50.000 referentes a um financiamento recebido com taxa de juro de 28,5% aos 365 dias. Calcule o valor desse financiamento. R: $44.153,59 Exercício 9
Foram investidos investidos $120.000 durante 91 dias com taxa de juro de 1,35% aos 30 dias. Calcule o valor do resgate dessa operação. R: $124.981,76 Exercício 10
Para conseguir formar um montante de $35.000 daqui a 396 dias, quanto deveria aplicar hoje num investimento com taxa de juro de 1,08% aos 30 dias? R: $30.372,95 Exercício 11
No final de um ano de 365 dias você necessitará dispor de $130.000. Calcule quanto deveria deveria aplicar hoje com a taxa de juro de 28% aos 360 dias. R: $101.214,88 Exercício 12
Foram depositados $1.000.000 numa conta Premium de investimento durante 272 dias com taxa de juro de 38,90% aos 365 dias. Calcule o valor do resgate. R: $1.277.445,8 $1.277.445,844
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
133
Exercício 13
Por solicitação do devedor, o título no valor de $34.500 com data de vencimento daqui a 35 dia será prorrogado por mais 30 dias, considerando a taxa de juro de 2,95% aos 30 dias com juro composto. Calcule o valor do pagamento final na data 65. R: $36.743,13 Exercício 14
Um título no valor de $62.800 vencerá daqui a 123 dias e será substituído por outro título com data de vencimento daqui a 151 dias. Calcule o valor do novo título com taxa de juro de 3,27% aos 30 dias. R: $64.714,58 Exercício 15
Continuando com o Exercício 14. Calcule o valor de um novo título com antecipação de 30 dias da data de vencimento novo título e considerando a mesma taxa de juro de 3,27% aos 30 dias. R: $60.811,47
CÁLCULO DA TAXA DE JURO Continuando com o mesmo procedimento, da fórmula do futuro deduzimos a da taxa de juro. Depois de obter o resultado da taxa de juro com período conhecido de forma algébrica, o resultado do exemplo também é obtido com as ferramentas tecnológicas. Exemplo 6. O banco recebeu $100.000 para serem investidos durante 182
dias e devolveu ao cliente $106.000. Calcule a taxa de juro com período de 30 dias. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da operação da parte do banco, e identificando com i o valor da taxa de juro com período de 30 dias.
Partindo da fórmula do futuro, obtemos a fórmula da taxa de juro i da operação financeira com dois capitais com juro composto.
=
F
P
× (1 + i )
= F − 1 P m / n
i
n / m
⇒ F = (1+ i ) P
n / m
134
Matemática financeira
Substituindo os dados, obtemos o valor da taxa de juro desse financiamento igual a 0,0651% aos 30 dias, resultado obtido com: $106.000
30/182
i
= $100.000
− 1 = 0,00 0,009651
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando a seguinte fórmula numa célula da planilha Excel, sem considerar os sinais dos capitais: =
(10 1060 6000 00 / 10 1000 0000 00)) ^ (30 (30 / 18 182) 2) −1 → 0,00965 0,009651 1
Também essa fórmula se pode registrar utilizando a função POTÊNCIA. =
POTÊ POTÊN NCIA( CIA(10 1060 6000 00 / 1000 100000 00;; 30 / 182) 182) −1 → 0,00 0, 0096 9651 51
Calculadora HP-12C Primeiro com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] x
1060 106000[ 00[E] E]10 100 0000[ 000[÷]30[E]1 ]30[E]182[÷ ][ ][ y ]1[ ]1[− ] → 0,009 0,009651 651
Para obter o resultado da taxa de juro com as cinco teclas pré-programadas da calculadora do diagrama do tempo obtemos os dados e a incógnita: [STO [STO][EE ][EEX]se X]se a letr letra a C não não esti estive verr no cant canto o infe inferi rior or dire direit ito o do viso visorr da calcula calculadora dora [f][FIN] 100000[PV]106000[CHS][FV] 182[E 182[E]30[ ]30[÷][n] ][n][i [i]] → 0,96 0,9651
Função financeira TAXA TAXA Registrando a função TAXA com os dados do exemplo numa célula da planilha Excel se obtém o resultado do futuro da operação, lembrando que a função taxa opera com a regra de sinais dos capitais. =
TAXA(18 A(182 2 / 30 30;; 0;100 ;10000 000 0; −10 1060 6000 00)) → 0,9651 0,9651% %
Modelo Juro Composto Procedendo da mesma forma que os exemplos anteriores, obtemos o resultado da taxa de juro.
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
135
Nova função JuroComp O valor da taxa de juro com período conhecido também pode ser obtido com a nova função JuroComp com o mesmo nome, registrando a fórmula seguinte numa célula da planilha Excel: =
Juro JuroCo Comp mp((100000 100000;; −1060 106000 00;" ;" X ''; ''; 30;182 30;182)) → 0, 00965 009651 1
Resolvendo com o TVMod A figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita.
136
Matemática financeira
Depois de clicar em Calcular , a figura seguinte mostra o valor da taxa de juro 0,97% aos 30 dias, valor arredondado para duas casas decimais. Verifique o leitor que se selecionar a célula E5 do resultado da taxa de juros e ler o fórmulas do Excel encontrará o valor exato. Caso necesresultado na Barra de fórmulas site de um maior número de casas decimais, é possível mudar a formatação da célula E5 utilizando os recursos do Excel.
EXERCÍCIOS Exercício 16
Foram investidos $120.000 para comprar ações. Depois de 276 dias as ações foram vendidas pelo valor de $140.981,02. Calcule a taxa de juro com período de 365 dias. R: i = 23,75% aos 360 dias
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
137
Exercício 17
A relação entre o presente e o futuro f uturo da operação financeira com dois capitais no regime de juro composto é igual a 2. Se o prazo dessa operação foi de 730 dias, calcule a taxa de juro com período de 30 dias. R: i = 2,8895% aos 30 dias Exercício 18
O financiamento de $125.000 pelo prazo pra zo de 181 dias foi acertado com a taxa de juro de 2,4% aos 30 dias e suponha que esse empréstimo seja liquidado 10 dias antes de seu vencimento. Se não foi recebido nenhum benefício pela antecipação, calcule a taxa de juro do financiamento. R: 2,54% aos 30 dias. Exercício 19
Refaça o Exercício 18 considerando que o financiamento foi liquidado 10 dias depois do vencimento, sem incluir nenhum encargo adicional. R: 2,27% aos 30 dias. Exercício 20
Para que um capital investido durante 182 dias consiga gerar um juro de 15% desse capital, calcule o valor da taxa de juro com período de 30 dias que deverá ser investido esse capital. R: 2,33% aos 30 dias Exercício 21
Da penhora de algumas joias foi recebido o valor de $3.600. Para resgatar os bens penhorados daqui a seis meses será necessário pagar o valor $4.361,57. $4.361,57. Calcule a taxa de juro mensal dessa operação. R: 3,25% ao mês Exercício 22
Se o valor do capital investido triplicou no prazo de três anos, calcule a taxa de juro semestral desse inv investimento. estimento. R: 20,09% ao semestre
CÁLCULO DO PRAZO DA OPERAÇÃO Depois de obter o resultado do prazo da operação de forma algébrica, o resultado do exemplo também é obtido com as ferramentas tecnológicas. Exemplo 7. Pedro emprestou $10.000 que seria devolvido antes de com-
pletar um ano e com a condição de pagar juros de 1% aos 30 dias. Numa certa data, a dívida foi quitada pagando $10.803,46. Calcule durante quantos dias o dinheiro ficou em mãos do João. Solução. Realizando o cálculo da parte do Pedro, o valor financiado é informado com sinal negativo, como mostra o diagrama do tempo da operação, e identificando com n o número de dias que o dinheiro ficou emprestado.
138
Matemática financeira
Partindo da fórmula do futuro obtemos a fórmula do prazo n da operação financeira com dois capitais com juro composto. F = P × (1 + i ) n
=
m×
n / m
F ⇒
=
P
(1 + i )
n / m
⇒
ln ( F / P ) =
n
× ln
m
(1 + i )
ln ( F / P ) ln (1 + i )
O número exato de dias entre a data do empréstimo e a data de recebimento é 233,00 dias, resultado obtido com: n =
30 ×
ln ($10 $10.8 .803 03,, 46 / $10. $10.00 000 0) ln( ln(1 + 0,01 0, 01))
=
233,0014
Registrando a fórmula no Excel Esse resultado pode também ser obtido registrando a fórmula numa célula da planilha Excel, sem considerar os sinais dos capitais: =
LN( LN(10 1080 803 3, 46 / 10 1000 000) 0) / LN( LN(1, 01 01)) * 30 → 23 233 3
Calculadora HP-12C Primeiro com as teclas normais, sem considerar os sinais dos capitais. [CLX] 1080 10803. 3.46[E] 46[E]10 1000 000[ 0[÷ ][g][L ][g][LN][E] N][E]1. 1.01 01[g [g][L ][LN][ N][÷ ]30 [× ] → 233 233
Com as rotinas pré-programadas da calculadora obtemos o resultado da taxa de juro. [STO][EEX] [STO][EEX]se se for necess necessári ário o [f][FIN] 10000[CHS][PV]10803,46[FV] 1.01[E]30 1.01[E]30 [1 / x][y x ]1[− ]100[x][i] ]100[x][i] Calcul Calculaa a taxa taxa equiva equivalen lente te diári diáriaa da taxa taxa 1%aos30dias [n] → 233
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
139
Função financeira NPER Registrando a função NPER com os dados do exemplo numa célula da planilha Excel se obtém o resultado do número de capitalizações da operação. =
NPER(( R((1 + 0,01 0,01)) ^ (1 / 30) − 1; 0; −100 0000 00;1 ;108 0803 03,46 ,46))
→ 233
Note o leitor que a taxa de juro informada é a taxa equivalente equivalente diária da taxa 1% aos 30 dias, e calculada com a fórmula (1 + 0,01)^(1/30)-1 registrada no argumento Taxa dessa função.
Modelo Juro Composto A figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita. Verifique Verifique o leitor que no modelo registramos os dados diretamente do diagrama do tempo, sem necessidade de ajustar a taxa de juro porque o modelo opera com período da taxa.
140
Matemática financeira
O modelo registra o resultado com duas casas decimais, e a célula C8 está formatada como número inteiro. Foi mostrado que o resultado com quatro casas decimais é 233,0014, porém com duas casas decimais é o número inteiro, 233. Entretanto, nem sempre o resultado de um prazo será um número inteiro.
Nova função JuroComp O valor do prazo também pode ser obtido com a nova função com o mesmo nome registrando a fórmula seguinte numa célula da planilha Excel: =
Juro JuroCo Comp mp((−100 10000 00;10 ;1080 803 3, 46; 46; 0,01 0, 01;; 30;" 30;" X '') '')
→
233 233
Verifique que na fórmula registramos os dados diretamente do diagrama do tempo, sem necessidade de ajustar a taxa de juro porque a nova função opera com o período da taxa.
Resolvendo com o TVMod A figura seguinte mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita X , da parte do João.
O TVMod calcula calcula o resultado exato e registra esse resultado com duas casas decimais. Depois de pressionar o botão Calcular se se obtém a data 233,00. Em geral, para ver esse resultado, clique com o cursor na célula B6 e na Barra de fórmulas veja o resultado 233,00.
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
141
Neste caso também, na fórmula registramos os dados diretamente do diagrama do tempo, sem necessidade de ajustar a taxa de juro porque o TVMod opera opera com o período da taxa. Exemplo 8. Investindo $85.000 com a taxa de juro de 1,22% aos 30
dias, calcule o prazo desse investimento investimento para conseguir resgatar o valor $95.000. Solução. Este exemplo é resolvido diretamente com o TVMod. A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita considerando a parte do investidor i nvestidor.. Depois de clicar em Calcular , a segunda figura mostra o prazo de 275 dias desse investimento. investimento.
142
Matemática financeira
Lembremos que o TVMod calcula calcula o resultado exato e registra esse resultado com duas casas decimais. Em geral, para ver esse resultado, neste exemplo, fórmulas ulas veja o resultado clique com o cursor na célula B6 e na Barra de fórm 275,17. Portanto, nessas condições o resultado da equação de valor equivalente é igual a zero. Para operar com dias inteiros, o que se costuma fazer é arredondar o resultado exato para um número inteiro e recalcular outro dado da operação, por exemplo, o valor de um dos dois capitais ou a taxa de juro. Como será resgatado dinheiro, o certo é ajustar essa data para o número inteiro 275 ou 276. ●
●
Informando 275 na célula B6 e X na célula C6, depois de clicar em Calcular o modelo registra o resgate $94.993,45. Informando 276 na célula B6 e X na célula C6, depois de clicar em Calcular o modelo registra o resgate $95.031,85.
Sugerimos que o leitor refaça este exemplo com outras ferramentas tecnológicas e realize ajustes do prazo como foi realizado no Exemplo 5 do Capítulo 4.
EXERCÍCIOS Exercício 23
Para liquidar o financiamento de $175.000 foi pago o valor de $197.338,77. Considerando a taxa de juro de 2% aos 30 dias, calcule o prazo desse financiamento. R: 181 dias Exercício 24
Em quanto tempo por cada $1 depositado numa conta remunerada pelo resultado de uma carteira de ações serão resgatados 2,12023 considerando que o histórico de remuneração dessa carteira é de 4,20% aos 30 dias?
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
143
547 dias
R:
Exercício 25
Calcule em quanto tempo um capital pode gerar 40% de juro se for investido na taxa juro de 35,02% aos 365 dias. R: 409 dias Exercício 26
Foram investidos $1.200.000 com juro composto e taxa de juro de 25% aos 365 dias. Se desse inv investimento estimento foram resgatados $1.400.000, calcule o prazo dessa operação. R: 252,15 dias Exercício 27
Continuando com o Exemplo 26. Calcule a taxa de juro com prazo de 365 dias se o valor resgatado $1.400.000 for realizado no prazo de a) 252 dias e b) 253 dias. R: a) 25,02% aos 365 dias b) 24,91% aos 365 dias
EXPLICAÇÕES Reservamos este espaço para adicionar algumas consequências dos regimes de juro simples e de juro composto.
Comparação de resultados dos regimes de juro simples e juro composto Foi mostrado que o resultado resultad o de um capital investido pelo prazo de n períodos com geração e reinvestimento dos juros em cada período é maior que o resultado de não reinvestir esses juros e capitalizá-los no final da operação. Também constatamos que o procedimento de cálculo periódico per iódico dos juros é o mesmo nos dois procedimentos, porém o destino dos juros de cada período é diferente. Suponha o investimento de $1.000.000 pelo prazo de dois anos, considerando que o banco remunera com a taxa de juro de 4,5% ao semestre. O resgate desse investimento considerando juro simples é $1.090.000 resultado obtido com: F
2 = $1 $1..000.000 × 1 + 0,04 0,045 × = = $1.090.000 1
Considerando juro composto, o resgate é de $1.092.025, valor valor obtido com: 2
F = $1.0 $1.000 00.0 .000 00 × (1 + 0,045 0,045) = $1.0 $1.092 92.0 .025 25
O resultado com juro composto durante dois semestres é maior que o resultado da mesma operação com capitalização única dos juros no momento do resgate.
144
Matemática financeira
Contudo, nem sempre é assim. Agora, suponha o investimento de $1.000.000 pelo prazo de 180 dias com taxa de juro de 9% aos 360 dias. O resgate considerando juro simples é $1.045.000 resultado obtido com: F
180 = $1 $1..000.000 × 1 + 0,09 0,090 × = = $1.045.000,00 360
E o resgate considerando juro composto é $1.044.030,65 obtido com: 180/360
F = $1.000.000 × (1 + 0,09) ,09)
=
$1.044.030,65 ,65
Note o leitor que para um mesmo valor de taxa de juro com período anual: ●
●
A remuneração da operação com juro simples diminuirá à medida que aumentar o número de dias do ano. Daí que quem empresta prefere utilizar m = 360 dias. A remuneração da operação com juro composto e prazo menor que um ano será menor que a sua equivalente com juro simples.
Igual Remuneração nos Dois Regimes Apesar de os resultados obtidos utilizando o regime de juro simples serem diferentes dos resultados do regime de juro composto, numa operação financeira com dois capitais sempre é possível ter a mesma relação de capitais F/P utilizando os dois regimes de capitalização, pois a taxa efetiva de juro com período igual ao prazo da operação é a mesma nos dois regimes. A diferença surge na comparação das taxas com período inferior ao prazo da operação. Por exemplo, na operação com prazo de um ano e relação de capitais igual a 1,12 a taxa de juro é 12% ao ano. ●
●
No regime de juros simples, a remuneração final com a taxa de juro 12% ao ano pode ser obtida com a taxa proporcional de 1% ao mês, pois os 12 juros mensais não serão remunerados até o final final da operação, quando são adicionados ao capital inicial, resultando na relação de capitais igual a 1,12. Entretanto, no regime de juros compostos a remuneração final com a taxa de juro 12% ao ano ano pode ser obtida obtida com a taxa mensal mensal de juro de de 0,94888%, 0,94888%, pois os onze primeiros juros mensais serão reinvestidos na mesma data de seu recebimento e na mesma taxa mensal de juro de 0,94888% até completar o prazo pr azo da operação de 12 meses, resultando também na relação de capitais igual a 1,12.
Os Dois Regimes São Modelos da Matemática Financeira Os dois regimes r egimes de capitalização devem ser entendidos como modelos matemáticos que descrevem ou propõem dois usos possíveis dos juros periódicos gerados durante o prazo de uma operação financeira. Há preferências na utilização desses regimes, por exemplo, em operações financeiras com prazo menor do que um ano, costuma-se aplicar taxas proporcionais que correspondem ao
Capítulo | 6 Juro composto com período fracionário
145
regime de juro simples. Porém, na avaliação de qualquer operação financeira costuma-se determinar a taxa efetiva de juro calculada no regime de juro composto. 1 No mercado financeiro não há dúvidas quanto ao regime utilizado prescreve eve como se na avaliação de suas operações. Em nenhum momento se prescr proceder com os juros recebidos durante o prazo da operação; a decisão de investir ou não o juro periódico é do dono do capital, como mostrado nos Capítulo 2 e 5 do livro. Entretanto, na decisão de investimento desenvolvida prescrevem evem, determinam ou estabeno Capítulo 12, os métodos de avaliação prescr lecem como se deve proceder para avaliar e aceitar ou não um investimento.
Uma Operação, Dois Regimes Nas análises é necessário distinguir as duas partes de uma operação, pois podem estar aplicando regimes diferentes. Suponha que uma cooperativa empresta aos seus sócios $10.000 com a condição de receber juros mensais de $150 calculados com a taxa de juro de 1,5% sobre o empréstimo recebido durante os seis meses de prazo do empréstimo. O primeiro pagamento de juro será realizado no final do primeiro mês e o último ao completar o sexto mês junto com a devo devolução lução da quantia quantia emprestada.2 Do ponto de vista do devedor, qual é o regime? Como o devedor pagará mensalmente mensalmen te $150 sobre o mesmo valor de empréstimo $10.000, esse resultado não tem associado nenhum tipo de regime, apenas que o devedor paga juros calculados com a taxa mensal de 1,5% ao mês. Do ponto de vista da cooperativa, qual é o regime? A cooperativa receberá juros mensais de $150 durante seis meses, os quais poderão ser guardado guardadoss sem sem remuneração ou remunerados como se analisa a seguir. ●
●
Se a cooperativa guardar os seis juros mensais de $150 até receber o capital emprestado, conseguirá juntar $10.900 no final do sexto mês. A taxa total de juro dessa operação é de 9% aos seis meses ou 1,5% ao mês como taxa proporcional no regime de juros simples, porém 1,4467% ao mês como taxa equivalente, resultado menor do que 1,5%. Entretanto, se investir investir os seis juros mensais de $150 com a mesma taxa de juro de 1,5% 1,5 % ao mês até a té receber re ceber o capital capit al emprestado empr estado conseguirá juntar $10.934,43 no final do sexto mês. A taxa total de juro dessa operação é 9,3443% aos seis meses ou 1,5% ao mês como taxa equiv equivalente. alente.
Para não destruir o valor de seu patrimônio, a cooperativa que remunera seu capital com a taxa de juro de 1,5% ao mês deverá reinvestir reinvestir os juros mensais com a mesma taxa de juro de 1,5% ao mês, como se mostra no Capítulo 2 do livro. 1. No Capítulo 2 – Investimentos, Reinvestimentos e Taxa Taxa Real de Juro, registramos que os gestores tomam decisões visando maximizar a criação de valor. 2. Esse sistema de financiamento é conhecido como Sistema Americano.
Capítulo 7
Fluxo de capitais Neste Capítulo 7 o leitor aprenderá: ● ● ● ● ● ●
O que é Fluxo de Capitais O que é e como se calcula o Valor Presente As operações financeiras com três ou mais capitais ou Fluxo de Capitais A Equação de Valor Equivalente Como verificar se os resultados são corretos A Utilizar as Ferramentas Tecnológicas: Calculadora HP-12C Aplicativo Excel Funções financeiras VPL e XVPL do Excel Modelo TVMod em em Excel e VBA
Até aqui aprendemos e realizamos os cálculos financeiros das operações com dois capitais com juro composto. Também aprendemos o que significam e como se calculam taxas equivalentes. Resolvemos exemplos e propusemos exercícios para o leitor resolver utilizando o diagrama do tempo, a fórmula que regula o valor do dinheiro no tempo com juro composto e diversas ferramentas tecnológicas, incluindo o TVMod em em Excel. Embora nem todos os cálculos financeiros com juro composto se resumam às operações com dois capitais, esse conceito e experiência são as bases utilizadas nas operações financeiras com três ou mais capitais. Por exemplo, a compra de eletrodomésticos, roupas, utilidades etc. financiada em três ou mais parcelas mensais. Também em prazos maiores no financiamento da compra de um carro com entrada e o restante em parcelas mensais durante dois ou mais anos; a compra de um imóvel com entrada e prestações mensais durante vinte ou mais anos; os retornos de um investimento empresarial com prazo de cinco a dez anos etc. A característica dessas operações é a equivalência entre um capital inicial e um fluxo de capitais em datas posteriores. Também Também há operações formadas por um fluxo de capitais equivalente equivalente a um valor numa data posterior as das datas do fluxo, f luxo, como é o caso da formação f ormação de um fundo para complementar a aposentadoria, para formar um capital para a compra de um carro à vista, uma operação de leasing etc.
147
148
Matemática financeira
Algo em comum a todos esses tipos de operações descritas é a equivalência entre um fluxo de capitais e um único capital. Também Também há o caso de antecipação, postergação ou troca de pagamentos que tratam tr atam da equivalência entre dois fluxos de capitais. O leitor deve prever que o tema de operações com fluxos de capitais é amplo e, antecipando, conceitualmente conceitualmente inclui as operações com dois capitais. fluxo o Neste capítulo iniciamos a análise de operações financeiras com flux de capitais no regime de juro composto. Nessa operação financeira há duas partes negociando e, por acerto entre elas, convêm às duas partes realizar essa troca de ativos. Há casos em que uma ou mais promessas de pagamento em datas futuras devem ser trocadas ou substituídas por outras promessas com outros valores e/ou em datas diferentes, mantendo ou não a mesma taxa de juro. Para resolver esses cálculos financeiros com juro composto utilizaremos a lei do juro composto, o diagrama do tempo e a equação de valor equivalente equivalente que se aplica a fluxos de capitais em geral, seja entre um capital e um fluxo de capitais ou entre dois fluxos de capitais, e diversas ferramentas tecnológicas. O exemplo seguinte prova prova que os procedimentos de cálculo das operações com dois capitais com juro composto são a base dos cálculos financeiros com fluxo de capitais. Exemplo 1. Para reforçar o caixa da empresa, hoje é necessário antecipar o recebimento de três títulos com valores de $2.520 , $3.330 e $3.850 e vencimentos, venciment os, respectivamente, respectivamente, a um, dois e três meses a partir de hoje ou data zero. O banco antecipa esse recebimento cobrando a taxa de juro de 2,70% ao mês. Calcule o valor que a empresa receberá pelos três títulos na data zero. Solução. Com os dados desenhamos o diagrama do tempo da operação considerando a parte da empresa, e identificam identificamos os com P o valor a receber pela venda dos três títulos na data zero.
O valor P que a empresa receberá pelos três títulos é o resultado da soma de $2.520 , $3.330 e $3.850 nas datas a 1, 2 e 3 meses descapitalizados até a data zero com a taxa de juro de 2,70% ao mês, como mostra o diagrama do tempo seguinte:
149
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
Com os dados do diagrama do tempo formamos a igualdade entre o primeiro membro P, e a soma dos três capitais descapitalizados até a data zero no segundo membro.1 Realizando esses cálculos, obtemos o valor de P igual a $9.165,22 que a empresa receberá na data zero pela venda dos três títulos. P = P =
$2.520 × (1 + 0,027 ,027) $9.165,22
1
−
+$3.330 × (1 + 0,02 0,027)
2
−
+
$3.850 × (1 + 0,027 ,027)
3
−
Analisemos as parcelas dessa fórmula na data zero: ● ●
O valor de P já está na data zero. O valor $2.520 da data um foi deslocado dessa data para a data zero, ou o capital $2.520 foi descapitalizado multiplicando esse capital pelo fator (1 + 0,027 0,027)
●
O valor $3.330 da data dois foi deslocado dessa data para a data zero, ou o capital $3.330 foi descapitalizado multiplicando esse capital pelo fator (1 + 0,027 0,027)
●
−1
−2
O valor $3.850 da data três foi deslocado dessa data para a data zero, ou o capital $3.850 foi descapitalizado multiplicando esse capital pelo fator (1 + 0,027 0,027)
−3
Do diagrama do tempo da operação obtemos os dados para formar a igualdade entre P, soma dos três capitais descapitalizados até a data zero com a taxa de juro. Exemplo 2. Refaça o Exemplo 1 utilizando ferramentas tecnológicas.
Calculadora financeira HP-12C Com a rotina de fluxo de caixa da HP-12C calculamos o valor presente de um fluxo de capitais com valores variáveis e periodicidade uniforme. Se a
1. Uma vantagem da representação algébrica dos expoentes negativos negativos dos fatores dessa fórmula é o registro da equação numa única linha. Outra vantagem é que o expoente positivo indica capitalização, ou cres cimento do capital, e o expoente negativo indica descapitalização, ou decréscimo do capital.
150
Matemática financeira
periodicidade não for uniforme, também será possível realizar esse cálculo periodicidade dentro de certos limites, como se mostra no Exemplo 5 deste capítulo. Do diagrama do tempo obtemos os dados que registramos na calculadora acompanhando a parte da empresa na resolução desse cálculo: [f][REG] 2520[CHS][g][CF 2520[CHS][g][CF j ] 3330[CHS][g][CF 3330[CHS][g][CF j ] 3850[CHS][g][CF 3850[CHS][g][CF j ] 2.7[i] [f][N f][NPV] → −9.165,22
O resultado desse procedimento é o valor presente $9.165,22 com sinal negativo. tiv o. Note que essa rotina de cálculo retorna a soma dos capitais registrados e descapitalizados até a data anterior à data do primeiro capital do fluxo registrado negativo, o resultado também na tecla [CF j], e como os três capitais têm sinal negativo, terá sinal negativo. Na utilização dessa rotina o leitor terá que adicionar sua interpretação do sinal do resultado, pois a tecla [CF 0] da calculadora somente é utilizada se um capital do fluxo ocorrer ocorr er na data zero. 2 Note o leitor que antes de realizar este cálculo foi necessário, primeiro, definir o tipo de operação financeira e depois escolher o procedimento da calculadora.
Registrando a fórmula no Excel Uma primeira forma de calcular o valor presente do fluxo de capitais é registrando-se a fórmula f órmula obtida da equação de valor equivalente equivalente numa célula da planilha, por exemplo, na célula B3 da planilha Cálculo VP, na pasta Capítulos 7 e 8, como mostra a figura adiante. = −(−25 2520*
(1 + 0,02 ,027) ^ −1 − 3330* (1 + 0,02 ,027)^ 3850 *(1 *(1 + 0,02 ,027 7) ^ −3) → 9.165,22
−2 −
Note que os capitais estão registrados com sinal negativo, e o resultado da soma é um valor positivo acompanhando a parte da operação escolhida na resolução desse cálculo.
Registrando um procedimento de cálculo no Excel Outra forma é reproduzir as informações do diagrama do tempo no intervalo de células B9:C11 da planilha Cálculo VP, da pasta Capítulos 7 e 8 do Excel. O intervalo de células D9:D11 registra os capitais do intervalo C9:C11 descapitalizados na data zero, sendo as fórmulas do intervalo D9:D11 mostradas 2. No Capítulo 12 - Decisão de Investimento é utilizado esse procedimento de cálculo de forma completa.
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
151
no intervalo E9:E11. E, finalmente, a célula D8 registra a soma desses capitais na data zero. O resultado da soma é positivo porque foi adicionado o sinal negativo negati vo antes da função soma da célula D8, como mostrado na célula E8.
Função financeira VPL do Excel Ex cel O resultado também pode ser obtido com a função financeira VPL do Excel que retorna o valor presente do fluxo de capitais com valores variáveis e periodicidade uniforme, considerando a taxa de juro informada. A sintaxe sintaxe da função é a seguinte: =
VPL (taxa taxa juro; juro; valor1; valor1;val valor2;… or2;…;; valor29 valor29 )
No primeiro argumento taxa juro, informa-se a taxa de juro unitária, ou percentual dividida dividida por cem, com período igual à periodicidade dos capitais. Os valores dos capitais do fluxo são registrados na sequência da menor para a maior data. O resultado retornado pela função VPL é um valor localizado um período anterior ao do primeiro capital informado ou, em geral, na data zero, tendo presente que os capitais do fluxo têm a mesma periodicidade.
A primeira forma de utilizar a função financeira é digitar os valores de forma matricial diretamente como se mostra na célula B14, destacando que os valores dos capitais são informados separados pelo símbolo ponto e vírgula e agrupados entre duas chav chaves: es: =
VPL(0, L(0, 02 027 7;{−25 2520 20;; −3330 3330;; −3850 3850}) }) → −9.16 9.165 5, 22
O resultado é negativo, pois a soma de três capitais com sinal negativo e descapitalizados até a data zero é um resultado negativo. Para obter o resultado positivo registramos a fórmula da célula B15.
152
Matemática financeira
= −
VPL(0,027 L(0,027;{−252 2520 0; −33 3330 30;; −38 3850 50}) }) → 9.16 9.165 5, 22
Utilizando os valores dos capitais registrados no intervalo de células C9:C11 da planilha, e a taxa de juro na célula C6, registrar a fórmula na célula B17: =
VPL(C L(C6; C9 : C11) → −9.165,22
Nesse caso também o resultado é negativo, pois a soma de três capitais com sinal negativo e descapitalizados até a data zero é um resultado negativo. Para obter o resultado positivo registramos a fórmula da célula B18. = −
VPL(C6 L(C6; C9 : C11 11)) → 9.16 9.165 5, 22
Ao utilizar esses recursos do Excel o leitor deve decidir como receberá o resultado e, assim, registrar a função adequadamente. Note o leitor que antes de realizar este cálculo foi necessário, primeiro, definir o tipo de operação financeira e depois escolher a função financeira correspondente do Excel.
TVMod Os dados do diagrama do tempo na horizontal são registrados no modelo TVMod na na vertical como mostra a figura, incluindo a incógnita X na data zero onde será calculado o valor presente dos três títulos.
Depois de clicar em Calcular se se obtém o resultado procurado $9.165,22 com sinal positivo, positivo, como mostra a figura do TVMod , pois o algoritmo do TVMod resolve a equação de valor equivalente.
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
153
O diagrama do tempo e o modelo TVMod em em Excel e VBA resumem a mesma operação financeira, o diagrama com a representação gráfica e o modelo com o registro e o algoritmo de resolução. Por isso, recomendamos r ecomendamos a construção do diagrama do tempo antes de iniciar um novo cálculo, pois bastará transportar os dados do diagrama para o modelo sem necessidade de utilizar fórmulas nem definir o tipo de problema.
Registro de dados no TVMod Para resolver os cálculos financeiros com o TVMod , a ordem de registro dos dados não altera o procedimento de cálculo nem o resultado. As figuras seguintes mostram o registro dos três capitais do Exemplo 2 nas datas 1, 2 e 3 a partir da primeira linha do modelo e o registro da incógnita X na na data zero depois dos capitais. Depois de clicar no botão Calcular , obtém-se o resultado como mostrado na sequência.
154
Matemática financeira
A sequência de registro de dados e incógnitas incógnita s no TVMod deve deve ser contínua, sem deixar linhas vazias entre dois capitais seguidos. Embora a ordem de registro dos dados não altere o procedimento de cálculo nem o resultado, a boa prática recomenda registrar os capitais da operação na ordem temporal de ocorrência, visando facilitar a visualização e verificação dos dados e incógnitas da operação.
EXERCÍCIOS Exercício 1 Calcule o valor na data zero dos três capitais registrados na tabela, considerando a taxa de juro de 3,40% aos 30 dias. Dias
30
61
93
Capitais
$3.000
$3.500
$2.800
R: $8.695,64
Exercício 2 Os valores dos seis títulos da empresa registrados na tabela seguinte serão antecipados pelo banco considerando a taxa de juro 3,85% aos 30 dias. Calcule o valor a receber pela empresa na data zero. R: $44.361,53 Dias
45
92
100
123
145
180
Capitais
$10.000
$8.350
$7.300
$11.250
$7.325
$6.650
Exercício 3 Calcule o valor do capital X considerando a taxa de juro de 3,36% ao mês e o fluxo de capitais registrado na tabela. R: $19.821,21 Meses
0
1
2
3
4
5
Capitais
X
$2.450
$5.100
$4.670
$3,890
$5.945
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
155
Exercício 4 O gerente da loja comprou mercadorias do distribuidor e se comprometeu a pagar duas parcelas de $2.600 $ 2.600 e $3.500 a 30 e 60 dias da data da compra. Na data de pagamento da primeira parcela o gerente conseguiu adiar o pagamento dessa parcela até a data da segunda parcela. Considerando Consi derando a taxa de juro de 2,50% ao dia, calcule o valor do pagamento pagamento na data a 60 dias da data da compra. R: $6.165,00 Exercício 5 O distribuidor vendeu mercadorias para um cliente em três parcelas de $2.500, $3.000 e $3.500 a 30, 60 e 90 dias da data da compra. Na data de pagamento da primeira parcela, o cliente decidiu liquidar a dívida das três parcelas. Considerando Consider ando a taxa de juro de 2,30% aos 30 dias, calcule o valor valor do pagamento na data a 30 dias da data da venda. R: $8.776,94 Exercício 6 Continuando com o Exercício 5. Como o valor do pagamento total em 30 dias superou sua estimativa, o cliente perguntou quanto deveria pagar se liquidasse as três parcelas em 60 dias ou na data de 90 dias da data da venda. Calcule esses valores considerando a mesma taxa de juro de 2,30% aos 30 dias. R: Pagamento 60 dias: $8.978,81 Pagamento 90 dias: $9.185,32 Exercício 7 Continuando com os Exercícios 5 e 6. Verifique que o pagamento único $9.185,32 em 90 dias é o resultado de capitalizar durante 30 dias o pagamento único $8.978,81 na data 60 com a taxa de juro jur o de 2,30% aos 30 dias. Da mesma maneira, o pagamento único $8.978,81 em 60 dias é o resultado de capitalizar durante 30 dias o pagamento único $8.776,94 na data 30 dias com a taxa de juro de 2,30% aos 30 dias. Por quê?
ALGUMAS CONCLUSÕES O procedimento de resolução do Exemplo 1 é resumido a seguir: ●
● ●
Com os dados do diagrama do tempo formamos uma igualdade onde o primeiro membro é a incógnita P na data zero, e o segundo membro é formado pela soma de três capitais descapitalizados descapitalizados até a data zero com a taxa de juro 2,70% ao mês. Todas as parcelas dessa igualdade ocorrem na data zero. Não são utilizados os sinais dos capitais.
Para determinar o valor de outra incógnita do fluxo de capitais, também podemos utilizar o mesmo procedimento. Para isso formamos a igualdade de receitas no primeiro membro e desembolsos no segundo membro, ou vice-versa, todos os capitais do fluxo são capitalizados ou descapitalizados até uma mesma data com certa taxa de juro, e sem utilizar os sinais dos capitais. A fórmula do Exemplo 1 é repetida a seguir para analisar algumas de suas características.
156
Matemática financeira
P = P =
● ● ●
$2.520 × (1 + 0,02 ,027) $9.165,22
1
−
+
$3.330 × (1 + 0,02 ,027)
2
−
+
$3.850 × (1 + 0,02 ,027)
A fórmula não identifica a parte da operação que se está analisando. O primeiro membro P ocorre no início do prazo da operação, ou data zero. O segundo membro também ocorre na data zero. O valor $9.165,22 é o resultado da soma dos três títulos $2.520, $3.330 e $3.850 descapitalizados até a data zero com a taxa de juro 2,70% ao mês.
Note o leitor que: ●
●
O valor P na data zero e o conjunto dos três capitais $2.520, $3.330 e $3.850 nas suas respectivas datas formam uma equivalência financeira. Entretanto, o valor P e a soma dos três capitais $2.520, $3.330 e $3.850 descapitalizados até a data zero formam uma igualdade de valores da operação.
EQUAÇÃO DE VALOR VALOR EQUIVALENTE Partindo da fórmula do Exemplo 1 que repetimos a seguir, analisemos duas situações algébricas. P=
$2 $2.520 × (1 + 0,02 ,027)
1
−
+
$3.330 × (1 + 0,02 ,027)
2
−
+
$3.850 × (1 + 0,02 ,027)
1. Passando o segundo membro da fórmula para o primeiro membro se obtêm a equação igualada a zero: P−
−
$2 $2.520 × (1 + 0, 02 027)
1
−
2
−
$3.330 × (1 + 0, 02 027)
−
$3.850 × (1 + 0, 02 027) = 0
Como a soma dos três títulos descapitalizados das datas um, dois e três até a data zero tem sinal negativo, deduzimos que essa representação algébrica se refere à parte da empresa que desembolsa esse três títulos.
2. Passando o primeiro membro da fórmula para o segundo membro, se obtêm a equação igualada a zero: −P +
$2.520 × (1 + 0, 02 027)
1
−
+
$3.330 × (1 + 0, 02 027)
2
−
+
$3.850 × (1 + 0, 02 027)
3
−
=
0
Como os três títulos descapitalizados das datas um, dois e três até a data zero têm sinal positivo, deduzimos deduzimos que essa representação algébrica se refere à parte do banco que recebe esses três títulos. Avançando mais um pouco. Se registrarmos registra rmos somente os valores numéricos numér icos com seus correspondentes sinais e a incógnita com sinal positivo, as duas situações algébricas anteriores ganham uma nova forma. Na primeira situação, considerando a parte da empresa, a equação de valor equivalente equivalente na data zero é: P −
$ 2.520 × (1 + 0 , 02 027) ($2
1
−
+
$3.330 × (1 + 0 ,0 , 027)
2
−
+
$3.850 × (1 + 0 , 02 027)
3
−
)= 0
157
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
Na segunda situação, considerando a parte do banco, a equação de valor equivalente na data zero é: P +
$ 2.520 × (1 + 0 , 02 027) ($2
1
−
+
$3.330 × (1 + 0 , 02 027)
2
−
+
$3.850 × (1 + 0 , 02 027)
3
−
)= 0
Note que nessas equações a definição da parte da operação e a construção do fluxo de capitais ajudam a registrar r egistrar a equação algébrica da operação financeira. Também, ao colocar em evidência e calcular o valor de P seu sinal negativo ou positivo positiv o surge naturalmente, respeitando as regras algébricas. Assim sendo, a equação de valor equivalente estabelece que a soma algébrica de todos os capitais da operação financeira (valores conhecidos e a incógnita) capitalizados ou descapitalizados descapitalizados até uma mesma data é igual a zero, considerando certa taxa de juro. 3 Uma dúvida pode ser a escolha da data de análise da equação. Como premissa, tenha presente que o resultado resulta do a ser obtido da equação de valor equivalente na operação com juro composto não depende da data de análise escolhida, como se mostra no Anexo Anexo 1 deste capítulo. A única coisa que poderá ocorrer com a escolha dessa data é que demande um pouco mais de trabalho algébrico, porém com um pouco de traquejo e experiência será fácil escolher a data de menor manipulação algébrica.
CÁLCULO DO PRESENTE DE UM FLUXO DE CAPIT CAPITAIS AIS Das possíveis incógnitas do fluxo de capitais, começamos por desenvolver o cálculo do presente de um fluxo de capitais utilizando a equação de valor equivalente. equiv alente. Como mostrado, definida a parte da operação, os capitais conhecidos devem ser informados com seus verdadeiros sinais, positivo/negativo, e a incógnita com sinal positivo. O resultado do capital desconhecido será obtido com seu verdadeiro sinal. 4 Exemplo 3. A empresa antecipou o recebimento de dois títulos com valores de $1.320 e $2.185 e datas de vencimento de, respectivamente, 35 e 60 dias. Considerando a taxa de juro de 3,25% aos 30 dias, dias , calcule o valor recebido pela empresa pela venda desses dois títulos na data de hoje, data zero. Solução. Começamos por construir o diagrama do tempo com todos os dados dessa operação e identificando com P o valor que a empresa receberá pela venda dos dois títulos. Note o leitor que a data de vencimen vencimento to de cada título é em dias, e o período da taxa de juro é de 30 dias.
3. Veja Anexo 1 deste capítulo - Nosso entendimento da evolução das ferramentas tecnológicas de cálculo financeiro. 4. No cálculo da taxa de juro e da data de ocorrência de um dos capitais do fluxo, considerando a parte da operação, os capitais conhecidos deverão ser informados com seus verdadeiros sinais e a incógnita com sinal positivo, tema do Capítulo 8 – Fluxo de Capital.
158
Matemática financeira
Lembremos que a equação de valor equivalente estabelece que, considerando certa taxa de juro, a soma algébrica de todos os capitais da operação financeira (valores conhecidos e a incógnita) capitalizados ou descapitalizados até uma mesma data é igual a zero. A seguir, seguir, registramos essa equação de parte da empresa. P − $1.320 × (1 (1 + 0, 03 0325)
35 / 30
−
−
$2.185 × (1 (1 + 0, 03 0325)
60 / 30
−
=
0
Pondo em evidência P obtemos seu valor igual a $3.321,26 que a empresa receberá na data zero. P = P =
$1.320 × (1 (1 + 0,0 0,03 325) $3.321,26
35 / 30
−
+
$2.185 × (1 (1 + 0,0 0,03 325)
60 / 30
−
Calculadora financeira HP-12C Para calcular o valor presente, o primeiro procedimento de cálculo com a HP-12C utiliza a fórmula da equação de valor equivalente, equivalente, cujo resultado é P como se mostra a seguir. [f][REG] x
1320 1320 [E]1.03 [E]1.0325[E]35[E]30 25[E]35[E]30 [÷][CHS][ ][CHS][ y ][× ][STO ][STO][ ][1 1] x
2185[ 2185[E] E]1. 1.03 0325[ 25[E]60[E E]60[E]30[ ]30[÷ ][CH ][CHS][ y ][× ][RC ][RCL][1 L][1][+ ] → 3.32 3.321 1,26
Para dois capitais o procedimento acima é bastante trabalhoso. Para três ou mais capitais a digitação desse procedimento é cansativa, com possibilidade de erros de digitação que comprometam o resultado final. Para calcular o valor presente de um fluxo de capitais com valores variáveis e periodicidade uniforme o procedimento recomendado é a rotina cash-flow da HP-12C. Essa rotina também ta mbém pode ser utilizada com um fluxo de capitais com valores e periodicidade não uniformes. Nesse Ness e caso, o fluxo de capitais deve ser considerado com periodicidade diária, como se mostra a seguir seguir.. [f][REG] 0[g][CF j ]34[g][N j]1320[g][CF j] 0[g][CF j ]24[g][N j]2185[g][CF j] 1.03 .0325[E 25[E]30[ ]30[1 1 / x][ y x ]1[−]1 ]100[×][i] ][i] [f][N [f][NPV] → 3.32 .321, 26
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
159
Comparando os dois procedimentos apresentados com a HP-12C, o primeiro procedimento utiliza a equação da incógnita obtida algebricamente da equação de valor equivalente. A rotina cash-flow é melhor porque os dados são obtidos diretamente do diagrama do tempo da operação.
Função XVPL do Excel A função VPL do Excel não pode ser utilizada neste exemplo porque o fluxo de capitais é formado de capitais diferentes e periodicidade não uniforme. Nesse caso, deve ser utilizada a função XVPL do Excel, que aceita valores e periodicidade variáveis com certa taxa requerida informada com período de 365 dias. 5 =
taxa de juro; juro;{valor valor1; 1; valo valor2;… r2;…}; {data1;data data1;data2;… 2;…}) XVPL (taxa
O resultado retornado pela função VPL é um valor localizado um período anterior ao período do primeiro capital, em geral a data zero. Neste exemp exemplo, lo, digitamos a fórmula seguinte numa célula vazia da planilha Excel. =
XVPL( XV PL(((1 + 0, 03 0325 25)) ^ (365 (365 / 30) − 1;{0;1 ;{0;1320 320;; 2185 2185};{1 };{1; 36 36;; 61})
3.321,, 26 → 3.321
A função XVPL foi preparada para operar com datas calendário e não aceita a data zero, porém pode-se realizar o cálculo modificando modificando os dados do fluxo de caixa do exemplo sem alterar o resultado. Em vez de dois capitais passou a ter três, sendo o primeiro igual a zero. Acompanhando Acompanhando o número de capitais, em vez de duas datas passou a ter três, sendo a primeira igual a um e as outras acrescidas de um dia. Note que do ponto de vista do cálculo financeiro continuamos tendo o mesmo fluxo de caixa inicial. TVMod
Da leitura do enunciado ou do diagrama do tempo obtemos os dados que registramos no modelo TVMod incluindo incluindo o registro da incógnita X na data zero.
5. Antes de utilizá-lo, o leitor deve verificar se esse Suplemento do Excel foi ativado a tivado..
160
Matemática financeira
Depois de clicar em Calcular , obtém-se o resultado procurado $3.321,26 com sinal positivo, como mostra a figura seguinte.
OUTRAS CONCLUSÕES Da equação de valor equivalente se obtêm também as seguintes conclusões. ●
● ●
●
●
Todas as parcelas da equação de valor equivalente ocorrem na mesma data de análise. Capitais podem ser somados somente se ocorrerem na mesma data. O resultado da equação de valor equivalente equivalente não depende da data de análise escolhida. Se os capitais da operação financeira forem equivalentes equivalentes em certa data de análise com a taxa de juro i, então: ● A soma algébrica dos capitais é igual a zero. ● Também serão equivalentes em qualquer outra data de análise, dentro ou fora do das datas do fluxo de capitais. O diagrama do tempo e a equação de valor equivalente sintetizam a mesma operação, o diagrama com a representação gráfica e a equação com a representação algébrica.
CÁLCULO DO FUTURO DE UM FLUXO DE CAPITAIS Das possíveis incógnitas do fluxo de capitais, a seguir é desenvolvido desenvolvido o cálculo do futuro de um fluxo de capitais. Exemplo 4. No início de cada trimestre serão depositados $20.000 numa conta de investimento investimento remunerada com a taxa de juro de 3,75% ao trimestre. Calcule o valor do resgate desse investimento ao completar um ano. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da parte par te do investidor e identifica identificando ndo com F o o valor do resgate ao final do quarto trimestre.
161
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
Do diagrama do tempo obtemos os dados para registrar a equação equaçã o de valor equivalente desse investimento, identificando com F o o valor do resgate a determinar. determina r. $20.000 × (1 + 0,03 0,0375) 4 − $20.000 × (1 + 0,03 0,0375) 3 − $20.000 × (1 + 0, 0, 03 0375)3 − $20.000 × (1 + 0, 0, 03 0375)1 + F = 0 −
Realizando os cálculos da equação, obtemos o valor F igual igual a $87.786,56 4
3
F =
$20.0 20.00 00 × (1 + 0,0375 0,0375)) + $20. $20.0 000 × (1 + 0,037 0,0375) + $20.0 20.000 00 × (1 + 0,037 0,0375) 3 + $20.0 20.000 00 × (1 + 0,037 0,0375)1
F =
$20.000 × ((1 + 0,03 ,0375)
F =
$20. $20.00 000 0 × 4,38932 4,389328 8 = $87. $87.78 786,56 6,56
4
+
(1 + 0,03 ,0375)
3
+
(1 + 0,03 ,0375)
3
+
(1 + 0,03 ,0375)
1
)
Calculadora financeira HP-12C Utilizando a rotina cash-flow da calculadora, o resultado não é obtido de forma direta, pois primeiro se deve obter o valor presente. [f][REG] 20000[g][CF0 ] 20000[g][CF j ] 20000[g][CF j ] 20000[g][CF j ] 3.75[i] [f][N [f][NPV] → 75.7 5.766,2206Va 6,2206Vallor de F na data zero [E]1. [E]1.03 0375[ 75[E]4 E]4 [ y x ][x] ][x] → 87, 87, 786,56Va 786,56Valo lorr de F nofina nofinall doquar doquartotrim totrimes estr tree
Aproveitando os capitais uniformes, outra forma de proceder com a rotina cash-flow da calculadora é agrupando os capitais uniformes repetidos procedendo como segue. [f][REG] 20000[g][CF0 ] 20000[g][CF j ]3[g][N j] 3.75[i] [f][NP [f][NPV] → 75.7 75.766 66,, 2206 2206 x
[E] [E]1.0375[E]4[ 5[E]4[ y ][x] ][x] → 87,786 ,786,56
162
Matemática financeira
TVMod
Utilizando o modelo TVMod em em Excel obtemos os mesmos resultados, resultados , de forma direta e mais fácil. fác il. A figura seguinte mostra most ra o modelo da parte do investidor.
Depois de pressionar o botão Calcular a a figura seguinte mostra o valor do resgate.
CÁLCULO DE UM CAPITAL DO FLUXO Das possíveis incógnitas do fluxo de capitais, a seguir é desenvolvido desenvolvido o cálculo de um capital do fluxo de capitais. Exemplo 5. Na venda de diversas mercadorias pelo valor de $16.500 a empresa ofereceu ao cliente pagar em até três prestações aplicando a taxa de juro de 2,80% aos 30 dias. Para atender à disponibilidade de
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
163
caixa do cliente, foi acertado acerta do o pagamento de três parcelas como segue: a 35 dias da compra $5.000, a 65 dias $7.000 e a 95 dias o pagamento restante que saldará a dívida. Calcule o valor do terceiro pagamento na data 95. Solução. Começamos por construir o diagrama de tempo dessa operação da parte da empresa, e identificando com X o o valor da última parcela na 6 data 95 dias.
Do diagrama do tempo obtemos os dados para registrar a equação de valor equivalente desse financiamento, identificando com X o valor do último pagamento e considerando como data de análise 95 dias. $16.500 × (1 + 0,02 ,028) 95 / 30 + $5.000 × (1 + 0,02 ,028) ( 95 (65 35)/30 + X = 0 $7.000 × (1 + 0, 028) −
−
35 ) / 30
+
−
Realizando os cálculos da equação obtemos o valor X igual igual a $5.527,94, resultado obtido de: X =
$16.500 × (1 + 0,02 0,028)95 / 30 − $5.000 × (1 + 0,02 0,028 8) ( 95 −$7.0 7.000 × (1 + 0,028 0,028)(65 35)/30 $5.527,94
35 ) / 30
−
−
X =
Compare o leitor a resolução dos dois últimos exemplos e constate como a abordagem com a equação de valor equivalente é a mesma. Note também que o diagrama do tempo bem construído dá segurança na resolução.
Calculadora financeira HP-12C Com a rotina cash-flow é possível realizar esse cálculo em dois passos seguidos. No primeiro passo é calculado o valor presente de todos os capitais na data zero, que também é o valor presente do capital desconhecido na data 95. 6. Identificamos a incógnita com X porque se trata apenas de um capital. Daqui em e m diante a incógnita será identificada com a letra X.
164
Matemática financeira
A segunda parte capitaliza esse valor presente até a data 95 com a taxa de juro de 2,80% aos 30 dias. [f][REG] 16500[CHS][g][CF0 ] 0[g][CF j ]34[g][N j]5000[g][CF j] 0[g][CF j ]29[g][N j]7000[g][CF j] x
1.028[E]3 8[E]30[ 0[1 1 / x][ y ]1[ −]100[ ÷][i] ][i] [f][NP [f][NPV] → −5.06 5.065 5, 0673Va 0673Valo lorr na dat data zer zero docap docapital ital da data data 95 com sinal sinal negativo negativo [CHS][E] [CHS][E] Muda Muda o sinal sinal da tercei terceira ra parcel parcelaa x
1.028[ .028[E]9 E]95[E 5[E]30[ ]30[÷][ ][ y ][×] → 5.52 5.527 7,94 Valor docap docapital da dat data 95
TVMod
Utilizando o modelo TVMod , do ponto de vista da empresa vendedora das mercadorias, a figura seguinte mostra o modelo depois de registrados registr ados os dados e a incógnita X .
Depois de pressionar o botão Calcular , a figura seguinte mostra o resultado procurado, o valor do terceiro pagamento $5.527,94 após 95 dias da compra.
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
165
Note que a resolução com o TVMod utiliza utiliza apenas os dados do diagrama do tempo.
EXERCÍCIOS Exercício 8 Para formar um fundo para viajar daqui a seis meses, José aplicou $800 no início de cada mês. Se a instituição remunera com a taxa de juro de 1,07% ao mês, calcule quanto será resgatado no final do sexto mês. R: $4.930,27 Exercício 9 O serviço que você entregou hoje será pago em três parcelas mensais com os seguintes valores: $5.000, $7.500 e $10.500, sendo a primeira parcela paga depois de um mês da entrega do serviço. Se no mesmo dia que receber cada uma das três quantias forem investidas até completar doze meses a partir de hoje, calcule quanto seria resgatado daqui a doze meses, considerando a taxa de juro de 1,23% ao mês. R: $25.916,16 Exercício 10 Considere o Exercício 9, porém as três parcelas mensais com os valores $5.000, $7.500 e $10.500 ocorrendo, respectivamente, a 33, 61 e 94 dias da data de entrega do serviço. No mesmo dia em que forem f orem recebidas, cada uma das três quantias será investida até se completarem 367 dias a partir de hoje. Calcule quanto seria resgatado daqui a 367 dias, considerando a taxa de juro de 1,23% aos 30 dias. R: $25.960,58 Exercício 11 A compra foi financiada em seis parcelas, conforme registrado na tabela. Decorrido um mês, esse fluxo de capitais foi substituído por um único capital no final do sexto mês. Considerando a taxa de juro de 2,75% ao mês, calcule o valor do pagamento do sexto mês.
166
Matemática financeira
Dias
Capitais
Dias
Capitais
0
−
122
$6.000
45
$3.000
151
$4.500
91
$5.000
181
X
$25.000
R: $44.417,14
Exercício 12 A tabela que registra o fluxo de capitais do financiamento está incompleta, pois falta o valor do capital da data 181. Calcule o valor desse capital com a taxa de juro de 3,15% aos 30 dias. Mês
Capitais
Mês
Capitais
3
$6.000
6
$6.000
4
$8.500
7
$7.000
5
$8.500
8
$7.800
R: $10.184,71
Exercício 13 O empréstimo será devolvido em seis parcelas iguais, mensais e seguidas. Na data de hoje ainda faltam pagar três parcelas, tendo sido as três restantes já pagas nas datas acerta acertadas. das. Saben Sabendo do que a próxim próximaa parcel parcelaa de $1.14 $1.140 0 vence daqui a um mês, a segunda parcela de $1.520 vence daqui a dois meses e a última parcela de $2.070 vence daqui a três meses, calcule a presente na data de hoje dessas três parcelas com a taxa de juro de 2,95% ao mês. R: $4.438,58 Exercício 14 Um empréstimo será devolvido em quatro parcelas mensais e seguidas, vencendo a primeira um mês depois da data de recebimento do empréstimo. O valor da primeira parcela é $200, da segunda $400, a terceira $800 e a última, $1.000. Calcule o valor do empréstimo na data zero considerando a taxa de juro de 3,2% ao mês. R: $2.178,86 Exercício 15 João Henrique financiou $5.000 com a promessa de devolver essa quantia em duas parcelas mensais iguais e seguidas, vencendo a primeira após um mês da data de recebimento r ecebimento do financiamento financiamento com a taxa de juro de 3,80% ao mês. Calcule o valor das duas parcelas mensais iguais e seguidas. R: $2.643,39 Exercício 16 Pelos resultados das vendas anuais você receberá um bônus de $70.000. Esse bônus será pago em três parcelas mensais e seguidas, de valores iguais a $15.000, $25.000 e $40.000. A primeira parcela será paga daqui a um mês. Calcule quanto seria resgatado depois de 12 meses do pagamento da
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
167
primeira parcela se os valores das três parcelas fossem investidos na data do seu recebimento com a taxa de juro de 1,20% ao mês. R: $90.881,39 Exercício 17 Continuando com o Exercício 16. Suponha que antes de receber a primeira das três parcelas do bônus a empresa lhe oferece ofere ce a alternativa de receber na mesma data da primeira parcela o valor de $77.500 em vez das três parcelas. Você aceitaria o valor dessa única parcela? R: Não Exercício 18 Continuando com o Exercício 17. Se não aceita receber $77.500 em vez das três parcelas, qual deveria ser o valor mínimo que você aceitaria receber, considerando a taxa de juro de 1,20% ao mês? R: $78.760,56
OS RESULTADOS DO TVMod SÃO SÃO CORRETOS? Quanto à exatidão dos resultados obtidos no TVMod , queremos lembrar que eles podem ser confirmados no próprio modelo. Uma forma de fazer isso é utilizando o resultado obtido como dado do recálculo de um dos outros dados da mesma operação. Isso se consegue da seguinte forma: ●
●
Escolha um dos capitais conhecidos e registrado no TVMod , registre esse valor para lembrar depois, e substitua pelo símbolo da incógnita X . Depois de clicar em Calcular, o valor de X será substituído pelo valor conhecido.
Outra verificação simples de realizar é lembrando que a soma de todos os capitais da operação com seus verdadeiros sinais deslocados até uma mesma data de análise é igual a zero, com certa taxa de juro . Com essa propriedade, propriedade, podemos
proceder como segue utilizando o Exemplo 5 já resolvido com TVMod. ●
● ●
Na primeira data livre em sequência às registradas no TVMod registramos registramos o valor zero, célula B9 neste caso. A seguir na célula C9 registre a incógnita X, figura esquerda. Depois de clicar em Calcular Calcular,, o valor de X será zero, figura direita.
168
Matemática financeira
Embora essa verificação confirme um resultado algebricamente correto, pode não ser o resultado esperado esperad o devido a uma falha na compreensão do problema, bem como na incorreta seleção de algum dado.
Anexo 1
Equação de valor equivalente em outras datas de análise da mesma operação financeira Do enunciado do Exemplo 1 foi construído o diagrama do tempo, depois foi estabelecida a data zero como data de análise e foi registrada a equação de valor equivalente da operação igualada a zero, considerando a parte da empresa e certa taxa de juro. Se tivéssemos escolhido qualquer qualquer outra data de análise, também verificaríamos que a soma de todos os capitais dessa operação capitalizados ou descapitalizados até essa outra data de análise seria igual à zero, considerando a mesma taxa de juro e no regime r egime de juro composto. Exemplo 6. Refaça o Exemplo 1 utilizando como data de análise a data três do fluxo de capitais. equaç ão de valor equivalente Solução. O diagrama do tempo é o mesmo, e a equação na data três é a seguinte: 3
2
1
X × (1 (1 + 0,02 ,027) − $2.520 × (1 + 0,02 ,027) − $3.330 × (1 + 0,02 ,027) − $3.850 =
0
169
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
Pondo X em em evidência, obtemos o valor $9.165,22, que a empresa receberá pelos três títulos: X = X =
$2.250 × (1 + 0,027 ,027) 2 + $3.330 × (1 + 0,027 ,027)1 + $3.850 (1 + 0,027) 0,027)3 $9.165,22
Calculadora financeira HP-12C A mudança da data de análise não muda o diagrama do tempo. Portanto, os dados a registrar na calculadora HP-12C são os do Exemplo 1. TVMod
A mudança da data de análise não muda o diagrama diagra ma do tempo. Dessa maneira, os dados a registrar no TVMod são são os do Exemplo 1. Exemplo 7. Refaça o Exemplo 1 utilizando como data de análise a data 2 do fluxo de capitais. Solução. O diagrama do tempo é o mesmo, e a equação equa ção de valor equivalente na data 2 é a seguinte: X ×
(1 + 0,02 (1 ,027)2 − $2.520 × (1 + 0,02 ,027)1 − $3.330 − $3.850 × (1 + 0,02 ,027)
1
−
=
0
Pondo X em em evidência obtemos o valor $9.165,22 que a empresa receberá pelos três títulos: X = X =
$2.520 × (1 + 0,027 ,027)1 + $3.330 + $3.850 × (1 + 0,027 ,027) (1 + 0,027 0,027)
1
−
2
$9.165,22
Calculadora financeira HP-12C A mudança da data de análise não muda o diagrama do tempo. Portanto, os dados a registrar na calculadora HP-12C são os dos Exemplos 1 e 7. TVMod
A mudança da data de análise não muda o diagrama do tempo e, portanto, a forma de utilizar o TVMod é é a mesma que nos Exemplos 1 e 7. Os resultados dos Exemplos 1, 6 e 7 confirmam que o resultado da equação de valor equivalente na operação com juro composto não depende da data de análise escolhida. Entretanto, a escolha da data de análise pode diminuir o trabalho de equacionamento e reduzir o tempo de cálculo. Embora a diferença
170
Matemática financeira
seja pequena, o equacionamento e cálculo dos Exemplos 6 e 7 é um pouco maior que o do Exemplo 1.
EXPLICAÇÕES ●
Análise algébrica da mudança da data de análise
Sabemos que a soma de todos os capitais com seus verdadeiros sinais capitalizados ou descapitalizados até uma mesma data de análise é igual a zero, considerando certa taxa de juro. E, como extensão, a soma de todos os capitais de uma operação financeira deslocados até qualquer data de análise é igual a zero, considerando a mesma taxa de juro. Portanto, considerando certa taxa de juro, se a equação de valor equivalente equivalente igual a zero for multiplicada por um fator de capitalização ou descapitalização com a mesma taxa de juro o resultado da soma de todas as parcelas iguais a zero permanece inalterado. Partindo da equação de valor equivalente da operação do Exemplo 1 deste capítulo, identificando a incógnita com a letra X : 027) X − $2.520 × (1 + 0, 02
1
−
−
$3.330 × (1 + 0, 02 027)
2
−
−
$3.850 × (1 + 0, 02 027)
3
−
=
0
3 0,027) obtemos: Multiplicando os dois membros dessa equação pelo fator (1 + 0,027
(1 + 0, 02 027)3 × ( X − $2.520 × (1 + 0, 02 027) $3.850 × (1 + 0,02 ,027) 3 ) = 0
1
−
−
$3.330 × (1 + 0, 02 027)
2
−
−
−
Depois de realizar essa multiplicação, verifique que o resultado é a equação na data três, mostrada no Exemplo 6: 3
2
1
X × (1 (1 + 0,02 ,027) − $2.520 × (1 + 0,02 ,027) − $3.330 × (1 + 0,02 ,027) − $3.850 =
0
Deixamos para o leitor confirmar que se os dois membros da primeira equação 2 0,027) obtém-se a equação na data dois, forem multiplicados pelo fator (1 + 0,027 mostrada no Exemplo 7. Esses procedimentos confirmam confirmam que com a mesma taxa de juro, a soma de todos os capitais de uma operação capitalizados ou descapitalizados até qualquer data de análise é igual a zero. −
●
A equação de valor equivalente pode ser utilizada no regime de juro simples?
Foi mostrado que no regime de juro composto o resultado da equação de valor equivalente não depende da data de análise escolhida. Entretanto, E ntretanto, no regime de juro simples o resultado da equação equação de valor valor equivalente equivalente sim depende da data de análise escolhida, como se mostra a seguir. Portanto, a equação de valor equivalente equiv alente no regime de juro simples não deve ser utilizada, pois apresentará resultados diferentes para diferentes datas de análise. Entretanto, caso seja utilizada a equação de valor equivalente equivalente na operação com juro simples, junto
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
171
com os dados da operação também deverá ser definida a data de análise do procedimento de cálculo.
Juro composto Suponha os capitais $1.000 e $1.500 ocorrendo nos dias 182 e 365 dias a partir de hoje. Considerando a taxa de juro de 10% aos 360 dias, a soma dos presentes na data zero desses dois capitais é igual a $2.314,7903, resultado de deslocar os dois capitais de suas datas até a data zero, como mostra a expressão seguinte: P=
$1.000
(1 + 0,1 0,10)182 / 360
+
$1.500 (1 + 0,1 0,10)365 / 360
=
$952 $952,957 ,9579 9 + $1.3 $1.361 61,832 ,8324 4 = $2.3 $2.314 14,, 7903 7903
Agora, em vez de calcular o presente diretamente, primeiro calculamos o futuro dos dois capitais na data 365 dias, resultando no valor $2.549,6422. 7 F =
$1.000 × (1 + 0,1 0,10)183/360
+
$1.500 = $1.049,64 ,6422 + $1500 = $2.549,64 ,6422
Depois deslocamos o resultado $2.549,6422 na data 365 para a data zero, obtendo o valor $2.314,7903: $2.549,6422
P=
(1 + 0,10 0,10))365/360
=
$2.314,7903
Resumindo, o resultado de deslocar os dois capitais diretamente para a data zero é $2.314,7903; e o resultado de deslocar os dois capitais, primeiro para a data 365 e depois deslocar a soma desses dois capitais para a data zero é o mesmo resultado $2.314,7903, resultado igual do anterior. Esses resultados mostram que, no regime de juro composto, o resultado da equação de valor equivalente não depende da data de análise escolhida.
Juro simples Suponha os mesmos dados do exemplo com juro composto. Considerando a taxa de juro de 10% aos 360 dias, a soma dos presentes na data zero desses dois capitais é igual a $2.313,7941, resultado de deslocar os dois capitais de suas datas até a data zero, como mostra a expressão seguinte: P=
$1.000 182 1 + 0 , 10 × 360
+
$1.500 365 1 + 0 , 10 × 360
=
$951 $9 51,8773 ,8773 + $1.361 $1.361,, 9168 9168 = $2 $2.31 .313,7941 3,7941
7. Como o leitor aprenderá nos próximos capítulos, as operações corretamente realizadas com juro composto sempre dão o mesmo resultado.
172
Matemática financeira
Agora, em vez de calcular o presente diretamente, primeiro calculamos o futuro dos dois capitais na data 365 dias, resultando no valor $2.550,8333. 8 F
183 = $1 $1..000 × 1 + 0,10 × $1.5 .500 00 = $1 $1.0 .050 50,83 ,8333 33 + $1 $150 500 0 = $2 $2.5 .550 50,83 ,8333 33 + $1 360
Depois deslocamos o resultado $2.550,8333 na data 365 para a data zero, obtendo o valor $2.316,0151: $2.550,8333 365 1 + 0,10 × 360
P=
=
$2.316,0151
Resumindo, o resultado de deslocar os dois capitais diretamente para a data zero é $2.313,7941. E o resultado de deslocar os dois capitais, primeiro para a data 365 e depois deslocar a soma desses dois capitais para a data zero, é $2.316,0151, resultado diferente dife rente do anterior. Esses resultados mostram que no regime de juro simples o resultado da equação de valor equivalente equivalente depende da data de análise escolhida. Portanto, a equação de valor equivalente no regime de juro simples não deve ser utilizada, pois apresentarão resultados diferentes para diferentes datas de análise.
Anexo 2
Nosso entendimento da evolução das ferramentas tecnológicas tradicionais Os cálculos financeiros com juro composto estão baseados na fórmula que n regula o valor do dinheiro no tempo F = P × (1 + i) . Esses cálculos há tempo são realizados com as Tábuas Financeiras que padronizaram em tipos de operação e resumiram resultados em fatores. O procedimento com as tábuas começa pelo reconhecimento do tipo de operação, segue pela definição dos dados e a incógnita, continua com a seleção da tábua financeira adequada da qual se obtém um fator com certo número de casas decimais e, por último, se calcula o valor da incógnita. O procedimento de cálculo é demorado e nem sempre é exato, pois depende da grandeza dos valores monetários envolvidos, envolvidos, do número de casas decimais da tábua, bem como da interpolação necessária para realizar cálculos com dados não contidos nessas tábuas. 8. Idem nota 7.
Capítulo | 7 Fluxo de capitais
173
A primeira inovação importante nos cálculos financeiros se iniciou com a primeira calculadora científica de bolso com rotinas de exponenciais e logaritmos, que permitiram realizar cálculos diretamente com a fórmula de juros compo compostos, stos, conse conseguind guindo o maior exat exatidão idão nos resulta resultados. dos. A partir de 1981, 9 a calculadora financeira HP-12C automatizou “tal e qual” os procedimentos de cálculo realizados com as tábuas financeiras, restabeleceu a exatidão dos resultados e reduziu o tempo de cálculo. Uma das consequências dessa facilidade é que com o correr do tempo o usuário ganha prática, utiliza essas teclas de forma automática e nos últimos anos os novos usuários passaram a desejar resultados rápidos sem se preocupar muito com a teoria de equacionamento das operações financeiras. No início dos anos 1980 também se inicia o uso do microcomputador. microcomputador. Em pouco tempo surge a planilha de cálculo eletrônica, primeiro a Visicalc, em 1983 a Lotus, e em 1985 a primeira planilha Excel. Essas planilhas incluíram funções financeiras que emulam “ tal e qual ” as sete teclas pré-programadas da HP-12C que realizam a maioria dos cálculos das operações financeiras com juro composto. As novas versões de planilhas com mais recursos geraram o crescimento de usuários e a incorporação desse instrumento no dia a dia das pessoas e das empresas. Na atualidade há uma grande oferta de soluções de cálculos financeiros disponibilizados em sites da internet no nosso país como em outros países utilizando Excel e VBA, VBA, outros aplicativos e diversas linguagens de pro gramação. Também são disponibilizados cursos de matemática financeira utilizando fórmulas e algumas das ferramentas mencionadas. Para entender como esses procedimentos estão enraizados, a calculadora HP-12C já ganhou versões para PC e recentemente para smartphones. A característica de todas essas soluções é a especificação es pecificação prévia do tipo de operação financeira com juro composto que se deseja resolver ou, de outra maneira, se continua a pensar com as tábuas financeiras.
9. Outras empresas também lançaram calculadoras financeiras, porém a HP-12C é um marco histórico e continua sendo a calculadora financeira mais utilizada.
Capítulo 8
Fluxo Flux o de capitais capitais – continuação Neste Capítulo 8 o leitor aprenderá: ●
● ● ● ● ● ●
A calcular a Taxa de Juro com período conhecido de um Fluxo de Capitais, ou Taxa Interna de Retorno – TIR As limitações do cálculo da Taxa de Juro de um Fluxo de Capitais A reconhecer o Fluxo de Capitais com uma única Taxa de Juro A calcular os Valores de Capitais de um Fluxo de Capitais A conhecer e aplicar as limitações do cálculo de dois ou mais capitais A calcular a Data de um dos capitais do Fluxo de Capitais A Utilizar as Ferramentas Tecnológicas: Calculadora HP-12C e distinguir os limites de suas rotinas Aplicativo Excel Funções financeiras TIR e XTIR do Excel TVMod em em Excel e VBA
No Capítulo 7 foi iniciado o procedimento geral de resolução r esolução de cálculos financeiros com juro composto de fluxos de três ou mais capitais. Foram realizados cálculos do valor presente e do valor futuro utilizando dois instrumentos de resolução de operações financeiras com juro composto, compos to, que a seguir resumimos: ● ●
O diagrama do tempo desenhado para uma das partes da operação. A equação de valor equivalente estabelecendo que a soma algébrica de todos os capitais da operação financeira (valores conhecidos e a incógnita) capitalizados ou descapitalizados até uma mesma data é igual a zero, considerando certa taxa de juro. A capitalização e a descapitalização são reguladas com a fórmula da operação financeira com dois capitais com juro composto F = P × (1 + i) / ●
n m
Quanto à escolha da data de análise, reforçamos que o resultado a ser obtido dessa equação não depende da data de análise escolhida.1 Na determinação da taxa de juro, do valor de um ou mais capitais e da data de ocorrência de um dos capitais do fluxo procedemos como foi mostrado no capítulo anterior. Considerando a parte da operação, os capitais conhecidos 1. Veja Veja o Anexo 1 do Capítulo 7.
175
176
Matemática financeira
deverão ser informados com seus verdadeiros sinais e as incógnitas com sinal positivo. Ademais, se depois de resolver a equação os resultados das incógnitas forem incluídos na própria equação, não teremos mais incógnitas e a soma algébrica de todos os capitais será igual a zero.
CÁLCULO DA TAXA DE JURO DE UM FLUXO DE CAPIT CAPITAIS AIS Das possíveis incógnitas do fluxo de capitais, capitais , começamos pelo cálculo da taxa de juro com período conhecido. Exemplo 1. A empresa antecipou o recebimento de três títulos, recebendo
por elas o valor $8.700. Os valores dos três títulos são $2.400, $3.150 e $3.695 e, respectivamente, com datas de vencimento a um dois e três meses da data recebimento. Calcule a taxa de juro com período mensal dessa operação. Solução . Primeiro construímos o diagrama de tempo da operação considerando a parte da empresa, e identificando com X a a taxa de juro com período mensal.
Definindo como data de análise a data final da operação, data três, a seguir registramos a equação de valor equivalente: $8.700 × (1 (1 + X )
3
−
$2.400 × (1 (1 + X )
2
−
$3.150 × (1 (1 + X )
1
−
$3.695 = 0
Como consequência, a soma de todos os capitais do fluxo de capitais capitalizados até a data três será igual a zero. Neste exemplo, o objetivo objetivo é encontrar a taxa efetiva X que que anula a soma das quatro parcelas na data de análise três do fluxo de capitais. A taxa de juro X é é uma taxa efetiva e se acostuma denominar Taxa Interna de Retorno , ou simplesmente TIR. Para calcular a taxa de juro de um fluxo de capitais há algumas exceções que devem ser detectadas antes de realizar r ealizar o cálculo. Com os capitais do fluxo registrados na ordem cronológica das datas deve-se determinar quantas mudanças de sinal dos capitais ocorrem. Se o fluxo de capitais apresentarem uma única mudança de sinal, então há uma única taxa de juro. Caso contrário, o fluxo de capitais poderá ter mais de uma taxa de juro, tantas quanto à quantidade de mudanças de sinal. O fluxo de quatro capitais dessa operação apresenta uma única mudança de sinal (+, -, -, -) e, portanto, uma única taxa de juro igual a 2,89% ao mês, como mostram as resoluções seguintes.
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
177
Calculadora HP-12C A calculadora tem rotina fluxo de caixa para cálculo da taxa interna de retorno de um fluxo de capitais com valores variáveis variáveis e periodicidade uniforme. [f][REG] 8700[g][CF0 ] 2400[CHS][g][CF 2400[CHS][g][CF j ] 3150[CHS][g][CF 3150[CHS][g][CF j ] 3695[CHS][g][CF j] [f][I [f][IR RR] → 2,89 ,89%
Com a função TIR do Excel A função TIR do Excel retorna a taxa interna de retorno do fluxo de capitais com valores variáveis e periodicidade uniforme. Os valores dos capitais do fluxo são registrados na sequência da menor para a maior data. Se não for informado o argumento taxa estimada , a função assume o valor 0,1 ou 10%. A sintaxe da função é a seguinte: =
valor1; valor2;…; valor2;…; valor29;taxa valor29;taxa estimad estimada a) TIR ( valor1;
O resultado retornado pela função TIR é uma taxa de juro com período igual à periodicidade dos capitais. A primeira forma de utilizar a função financeira é digitando os valores de forma matricial, destacando que os valores dos capitais são informados separados pelo símbolo ponto e vírgula e agrupados entre dois colchetes. =
TIR({ TIR({−87 8700 00;; 24 2400 00;; 31 3150 50;; 36 3695 95};0,1 };0,1)) → 2,89% 2,89%
Esse resultado está registrado na célula B3 da planilha Cálculo TJ na na pasta Capítulos 7 e 8, como se mostra na figura. Utilizando os valores dos capitais registrados no intervalo de células C9:C12 da planilha, registramos a fórmula na célula B4, lembrando que se não for informado o argumento taxa estimada a função TIR assume o valor 0,1 ou 10%: =
TIR(C R(C9 : C12) → 2,89 ,89%
Registrando um procedimento de cálculo no Excel Outra forma é reproduzir as informações do diagrama do tempo no intervalo de células B9:C12 da planilha Cálculo TJ da da pasta Capítulos 7 e 8 do Excel. A partir da linha 6 da planilha, o intervalo de células D9:D12 registra os capitais do intervalo C9:C12 descapitalizados ou capitalizados até a data informada na célula E7 (na figura, data 3); sendo as fórmulas do intervalo D9:D12 D9:D12 mostradas no intervalo E9:E12.
178
Matemática financeira
Verifique o leitor que: ●
●
●
●
A data de análise, célula E7, pode ser qualquer valor dentro ou fora do prazo da operação. Na figura foi utilizada a data de análise da solução algébrica. Os valores capitalizados ou descapitalizados são calculados com a taxa de juro da célula C7. C7. Neste caso foi registrado registrado o valor valor 2,50% ao mês. mês. A célula D13 registra a soma dos capitais do intervalo D9:D12; neste caso para a data de análise três e taxa de juro de 2,50% ao mês o resultado dessa soma é igual a -$76,30. O valor da célula D13 é o resultado da equação de valor equivalente considerando a data de análise e a taxa juro escolhida.
Algebricamente, para um fluxo com até três capitais o cálculo da taxa de juro com período conhecido é direto, sendo sendo possível obter uma fórmula para resolver essa incógnita através de um procedimento algébrico. Entretanto, para o fluxo com quatro ou mais capitais não é possível obter o resultado da taxa de juro com uma fórmula, e o cálculo deve ser obtido utilizando um procedimento de tentativa e erro. Como premissa, sabemos que há um valor da taxa de juro da célula C7 que anula a equação de valor equivalente. Se o leitor testar valores de taxa de juro, deverá encontrar um valor de taxa de juro que anula a equação de valor equivalente equivalente refletido no resultado zero da célula D13. O procedimento manual de procura por tentativa e erro é automatizado na planilha Cálculo TJ da da pasta Capítulos 7 e 8. 2 Depois de clicar no botão Calcular , a macro procura a taxa de juro da célula C7 que anula a soma da célula D13. O resultado é a taxa de juro 2,8924% ao mês. Note que mudando o valor da data de análise registrada na célula E7, para outro valor dentro ou fora do prazo da operação, também obteremos o mesmo 2. A automatização da procura é realizada com a função Atingir meta da planilha Excel.
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
179
resultado da taxa de juro. Essas constatações são deixadas para o leitor realizar re alizar e ganhar maior compreensão da equação de valor equivalente. TVMod
Os dados do enunciado ou do diagrama do tempo são registrados no modelo TVMod como como mostra a figura seguinte, incluindo a incógnita X na taxa de juro em que será calculado o valor dessa taxa com o período mensal mensal definido definido pelo usuário.
Antes de iniciar o cálculo da taxa de juro, o algoritmo do modelo verifica o número de mudanças ou trocas de sinal dos capitais do fluxo. Se o número de trocas for igual a um, o algoritmo realiza o procedimento de tentativa e erro, e registra o resultado. Se o número de trocas for diferente de um, o TVM apresenta apresenta avisos: se for igual a zero, o aviso é Os capitais têm o mesmo sinal ! , e se for maior que um, o aviso é Os capitais apresentam mais de uma mudança de sinal! Comparando os procedimentos apresentados neste exemplo, devemos deduzir que o aumento de complexidade conceitual é bem resolvido por este modelo .
180
Matemática financeira
EXERCÍCIOS Exercício 1
O fluxo de capitais registrado na tabela se refere a um projeto de investimento da parte do investidor que realizará o investimento de $6.500. Calcule a taxa de juro desse investimento. Anos
0
1
2
3
4
5
Capitais
-$6.500
$1.200
$1.600
$1.800
$2.300
$2.500
12,05% ao ano.
R:
Exercício 2
Um financiamento de $4.500 será devolvido em quatro parcelas, cujos valores e datas de ocorrência estão registrados na tabela. Considerando a parte do financiador, calcule a taxa de juro desse financiamento. Dias
0
30
60
90
120
Capitais
$4.500
-$1.000
-$1.200
-$1.300
-$1.400
3,31% aos 30 dias.
R:
Exercício 3
Calcule a taxa de juro com período de 365 dias do fluxo de capitais do investimento registrado na tabela, considerando a parte do investidor. Dias
0
92
182
286
365
Capitais
-$4.800
1.000
1.400
1.200
1.500
9,60% aos 365 dias.
R:
Exercício 4
A empresa recebeu $36.502,83 pela venda de três títulos nos valores de $9.560, $ 13.438 e $17.267, com vencimentos respectivos respectivos de 36, 68 e 105 dias da data de recebimento da venda desses títulos. Calcule a taxa de juro com período de 30 dias dessa operação. R: 3,96% aos 30 dias. Exercício 5
Suponha que no ano passado você tenha investido investido $80.000 em ações. Depois de 120 dias da compra de ações você investiu investiu $4.000 na subscrição de novas ações, e depois de 400 dias essas ações tenham sido vendidas, tendo recebido o valor $95.272,19. Calcule a taxa de juro desse investimento com período de 365 dias. R: 12,36% aos 365 dias.
ENTENDENDO O CÁLCULO DA TAXA DE JURO DE UM FLUXO DE CAPITAIS O objetivo é encontrar a taxa efetiva X com com período m conhecido que anula a soma das parcelas da equação de valor equivalente, formada em certa data de análise, que pode ser qualquer data dentro e até fora do prazo da operação.
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
181
Inter na de Essa taxa de juro procurada é uma taxa efetiva efetiva e se denomina Taxa Interna Retorno, ou simplesmente TIR. Como decorrência, a soma de todos os capitais do fluxo de capitais na data de análise será igual a zero. Referindo-nos ao Exemplo 1, note que a equação de valor equivalente é um polinômio de terceiro grau, representado como: a x 3
3
+ a2 x
2
+ a1x + a 0 =
0
Lembrando conceitos de álgebra, um polinômio de terceiro grau tem três possíveis raízes reais ou não, ou três taxas de juro reais ou não. Além disso, de forma geral, um polinômio de grau n tem n raízes reais ou não, ou n taxas de juro reais ou não. Entretanto, o polinômio de um fluxo de capitais poderá ter uma única taxa real de juro se os capitais registrados na ordem cronológica das datas apresentarem uma única mudança de sinal. E o fluxo de capitais com mais de uma mudança de sinal dos capitais poderá ser indicação de mais de uma taxa de juro. A determinação da taxa de juro de um fluxo de capitais com n capitais é o cálculo das raízes de um polinômio de grau n. Para n = 2 o procedimento analítico é bastante trabalhoso, porque se obtêm duas soluções, das quais apenas uma solução interessará. Para um fluxo com três ou mais capitais não é possível obter as raízes de uma equação de grau superior por meio de uma fórmula utilizando os coeficientes do polinômio. Dessa maneira, para calcular a TIR de um fluxo de capitais é utilizado um procedimento de tentativa tentativa e erro como o incluído no procedimento de cash-flow da HP-12C, nas funções TIR e XTIR do Excel, e no TVMod . Portanto, antes de calcular a taxa de juro de um fluxo de capitais deve-se verificar se o fluxo é do tipo simples, com uma única mudança de sinal dos capitais como (−, +, +, …, +) ou ( −, +, +, …, +) ou ( −, …, −, +, …, +), pois essa condição garante a existência de uma única taxa de juro. Um fluxo de capitais com mais de uma mudança de sinal como (−, +, −, +, …, +) pode ter mais de uma taxa de juro que anula a equação de valor equivalente. 3
CÁLCULO DOS CAPITAIS DE UM FLUXO F LUXO DE CAPIT CAPITAIS AIS O cálculo do valor de um dos capitais do fluxo de capitais é direto, como se mostrou no Exemplo 5 do Capítulo 7. Quando se tem dois ou mais capitais desconhecidos, algebricamente, algebricamente, serão necessárias tantas equações quantos forem os capitais desconhecidos, porém contamos apenas com uma só, a equação de valor equivalente. Entretanto, há algumas exceções, como o grupo de vários forem os capitais desconhecidos que tem o mesmo valor, ou vários capitais diferentes e desconhecidos cujos valores têm uma relação de proporcionalidade entre si. Abordamos este tema de forma gradual através de exemp exemplos. los. Exemplo 2. Daqui a um ano a empresa necessitará dispor de $100.000.
Para formar essa reserva, serão realizados quatro depósitos trimestrais numa 3. Veja: Veja: J.C. Lapponi. Projetos de Investimento na Empresa . São Paulo: Elsevier, 2007.
182
Matemática financeira
conta de investimento investimento remunerada com a taxa de juro de 3,20% ao trimestre. Calcule o valor desses quatro investimentos investimentos trimestrais iguais e seguidos. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da parte da empresa, considerando como zero o primeiro dia do primeiro trimestre e identificando com X o valor das quatro parcelas trimestrais iguais e seguidas a partir da data zero.
Escolhemos como data de análise a data zero, a seguir registramos a equação de valor equivalente desse investimento identificando com X os os quatro investimentos trimestrais iguais e seguidos cujo valor deve ser determinado. X + X × (1 + 0, 032)
1
−
+
$100.000 × (1 + 0, 03 032) X ×
X × (1 + 0, 032) 4
−
=
2
−
+
X × (1 + 0, 032)
3
−
+
0
(1 + 0, 03 032) 1 + (1 + 0, 03 032) 2 + (1 + 0, 03 032) 3 ) + (1 + (1 −
$100.000 × (1 + 0, 03 032)
−
4
−
=
−
0
Pondo em evidência X , obtemos o valor dos quatros desembolsos igual a $87.786,56, que o investidor deverá realizar para resgatar $100.000 no final do quarto trimestre, ou final de um ano: ,817769598 + $10 $100.000 × (1 (1 + 0,03 0,032 2) X × 3,81
4
−
X
=
0
= −
$88.161,9548 3,817769598
$23.092,53
=−
Calculadora HP-12C Para realizar o cálculo do futuro utilizamos a rotina das cinco teclas pré-programadas. [g] [BEG] Pois o primeiro dos quatro capitais do fluxo uniforme ocorre na data zero. Aparecerá a palavra BEGIN no visor da calculadora. Pressionando [g] [END] não aparece nada no visor. [f][FIN] 100000[FV]4[n] 3.2[i][ 2[i][P PMT] → −23. 23.092,53 92,53
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
183
Função financeira PGTO do Excel Como o fluxo de capitais uniformes é do tipo antecipado, o argumento da função Tipo é igual a 1. Substituindo os dados do exemplo, o valor das parcelas é $23.092,53 com sinal negativo obtido com: =
PGT PGTO(0, O(0, 03 032 2; 4; 0;1000 ;100000 00;1 ;1)) → −23 23.0 .092 92,, 53
Resolvendo com o TVMod Utilizando o modelo TVMod em em Excel obtemos os mesmos resultados, como se mostra a seguir.
184
Matemática financeira
Exemplo 3. O banco financiou $10.000 para serem devolvidos em qua-
tro prestações iguais com vencimento a 30, 62, 91 e 123 dias da data de recebimento do financiamento. Calcule o valor das quatro prestações iguais com a taxa de financiam financiamento ento de 2,85% aos 30 dias. Solução. Começamos por construir o diagrama do tempo da operação e considerando a parte que recebeu o financiame financiamento. nto.
Com a data zero como data de análise, registramos a equação de valor equivalente: $10.000 + X × (1 + 0, 02 0285) 30 / 30 + X × (1 + 0, 02 0285) 91/ 30 123 / 30 + X × (1 + 0, 0285) =0 X × (1 + 0, 0285) −
−
62 / 30
−
+
−
Pondo em evidência o valor X dos dos quatro capitais: −30 / 30 −62 / 30 (1 + 0, 02 0285) + (1 + 0, 02 0285) + $10.000 + X × −91/ 30 −123 / 30 = 0 + (1 + 0, 02 0285) 0285) (1 + 0, 02
Realizando os cálculos das exponenciai exponenciaiss temos: $10.000 + X × (0,97 ,972290
+
0,94 ,943578 + 0,91 ,918291 + 0,89 ,8911174 )
=
0
$10.000 + X × 3, 72 725332
=
0
O valor dos quatro desembolsos do financiado é $2.684,32 com sinal s inal negativo, negativo, resultado obtido com: X
$10.000 −
=
3,725332
$2.684,32
= −
Calculadora HP-12C Com as rotinas das cinco teclas pré-programadas não é possível realizar este cálculo do valor das parcelas, pois embora os valores sejam uniformes, a periodicidade do fluxo de capitais não é uniforme. Com a rotina cash-flow não é possível calcular diretamente o valor dos capitais, e o procedimento
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
185
de cálculo deve ser realizado em dois passos a partir da equação de valor equivalente. [f][REG] 0[g][CF j ]29[g][N j]1[g][CFj ] 0 [g][CF j ]31[g][N ]31[g][N j ]1[g][CF ]1[g][CFj ] 0[g][CF j ]28[g][N j]1[g][CF j ] 0[g][CF j ]31[g ] 31[g][N ][N j ]1[g][CF ]1[g][CFj ] 1.028 .0285[E 5[E]30[ ]30[11 / x ][ y ]1[ ]1[−]10 ]100[×][i] [f][NPV] [f][NPV] → 3, 72 7253 5332É 32É o valo valorr pres presen ente tede de um umffluxode luxode qu quat atrro capi capita tais is devalor$1. [1 / x ][E] ][E]110000[×] → 2.684,32 4,32 x
Função financeira PGTO do Excel Como os capitais têm o mesmo valor mas ocorrem com periodicidade não uniforme, esse fluxo de capitais não é uniforme e a função PGTO do Excel não deve ser utilizada. TVMod
O cálculo do valor das quatro prestações iguais do fluxo de capitais com o TVMod é é o seguinte:
186
Matemática financeira
ENTENDENDO O CÁLCULO DOS CAPITAIS DE UM FLUXO DE CAPITAIS Comecemos por analisar a operação e o processo process o algébrico utilizado no Exemplo 3, cujos capitais do fluxo ocorrem sem nenhuma periodicidade, porém os quatro capitais desconhecidos são iguais. O objetivo é encontrar o valor dos quatro capitais iguais X que que anula a soma das parcelas da equação de valor equivalente formada na data de análise e considerando certa taxa de juro. O procedimento de cálculo dos Exemplos 2 e 3 foi simples porque todos os capitais desconhecidos são iguais. Entretanto, se for necessário calcular capitais desconhecidos e diferentes, isso poderá ser realizado dentro de certas condições. Considere o fluxo de capitais seguintes s eguintes com um desembolso na data inicial X 0 e n entradas diferentes X 1, X 2, …, X n, ocorrendo nas datas t 1, t 2, …, t n e a taxa de juro i com período m. Note que esse fluxo poderia ser formado também com uma entrada na data inicial e n desembolsos.
A seguir registramos a equação de valor equivalente na data zero como data de análise: X 0
+
X1 × (1 + i )
− t1 / m
+
X2
×
(1 + i )
− t 2 / m
+
+ X
n −1
×
(1 + i )
− t n−1 / m
+
X n × (1 + i )
− tn
/ m
=
0
187
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
Esse fluxo tem (n + 1) capitais, sendo um capital conhecido X 0 e n capitais desconhecidos identificados como X 1, X 2, …, X n. Como se tem n incógnitas, será necessário dispor de n equações e, neste momento, dispomos apenas da equação de valor equivalente. No entanto, as outras n equações podem ser geradas estabelecendo uma relação de proporcionalidade entre essas incógnitas. Para isso escolhemos a incógnita X 1 como referência e definimos (n − 1) coeficiente coeficientess c2, c3,. . ., cn que podem assumir qualquer valor como se registra a seguir: X = c × X X = c × X X = c × X 2
2
1
3
3
1
n
n
1
Adicionando esse novo grupo à equação de valor equivalente se forma o sistema de n equações com n incógnitas necessárias para calcular os valores dos n capitais desconhecidos: X + X × (1 + i )− 1 0 X 2 = c2 × X 1 X 3 = c3 × X 1 X = c × X 1 n
t1 / m
+ X 2 × (1 + i )−
t 2 / m
+ + X
n −1
× (1 + i ) −
tn−1 / m
+ X × (1 + i ) −
tn / m
n
n
Substituindo as (n − 1) relações de proporcionalidade na equação de valor Substituindo equivalente se obtém uma equação de valor equivalente com uma única incógnita X 1: X 0 cn
+ ×
X1 X1
× ×
(1 + i )
(1 + i )
− t1 / m
− t n / m
+
c2
=
0
×
X1
×
(1 + i )
− t 2 / m
+
+ c
n −1
×
X1 ×
(1 + i )
− t n −1 / m
+
Agrupando as parcelas com X 1: X 0
+
X1 ×
((1 + i)
− t1 / m
+ c2 ×
(1 + i )
− t 2 / m
+
+ c
n −1
×
(1 + i )
− t n−1 / m
+ cn ×
(1+ i )
− tn
/ m
)= 0
Depois de informar os dados nessa equação obtemos o valor do capital X 1. X 1
=
− X 0
(1 + i )
− t1 / m
+ c2 ×
(1 + i )
− t 2 / m
+
+ c
n −1
×
(1 + i )
− tn−1 / m
+ cn ×
(1 + i )
− tn
/ m
E, por último, aplicando a relação de proporcionalidade entre as incógnitas, obtemos os resultados dos (n − 1) restantes capitais. Exemplo 4. Na venda de diversas mercadorias pelo valor de $16.500 a
empresa ofereceu ao cliente pagar em até três prestações iguais, vencendo
=0
188
Matemática financeira
em 55, 85 e 115 dias da data da compra. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de juro de 3% aos 30 dias. Solução. Considerando a parte da empresa, a equação de valor equivalente na data zero é: $16.500 + X × (1 + 0, 03)
−
55 / 30
−
+
X × (1 + 0, 03)
85 / 30
−
+
X × (1 + 0, 03)
+
(1 + 0, 03)
115 / 30
−
=
0
Simplificando Simplific ando a equação: $16.500 + X × ((1 + 0, 03)
−
55 / 30
−
+
(1 + 0, 03)
85 / 30
−
115 / 30
−
)=0
Resolvendo a equação de valor equivalente, obtemos o valor dos três pagamentos iguais X = = $5.978,72. $16.500 + X × (0, 94 947251 + 0, 91 919661 + 0, 89 892875 )
−
=
X =
0 $16.500 2,759787
=
$5.978,72
Calculadora HP-12C Com as rotinas das cinco teclas pré-programadas não é possível realizar este cálculo do valor das parcelas, pois embora os valores sejam uniformes, a periodicidade do fluxo de capitais não é uniforme. E com a rotina de cash-flow não é possível calcular diretamente o valor dos capitais; deve-se calcular em dois passos a partir da equação de valor equivalente. equivalente. [f][REG] 0[g][CF j ]54[g][N j]1[g][CFj ] 0[g][CF j ]29[g][N j]1[g][CFj ] 0[g][CF j ]29[g][N j]1[g][CFj ] 1.03[E]3 3[E]30[ 0[11 / x ][ y ]1[−]10 ]100[×][i] ][i] [f][NPV] [f][NPV] → 2,7597 2,759787É 87É o valo valorr pres presen ente tede de um umffluxode luxode capi capita tais isfforma ormado do com três trêsca capi pita tais isde de valor valor$1. $1. [1 / x ][E] ][E]116500[×] → 5.978,72 x
Resolvendo com o TVMod Utilizando o modelo TVMod , de parte da empresa vendedora das mercadorias, a figura seguinte mostra o modelo depois de registrar o valor financiado $16.500 e as três parcelas iguais a X cujo cujo valor deve ser determinado, incluindo a taxa de juro de 3% aos 30 dias.
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
189
Depois de clicar em Calcular , a figura seguinte mostra os valores dos três pagamentos iguais $5.978,72, $5.978,72, nas datas 55, 85 e 115 dias.
Exemplo 5. O cliente não aceitou o plano proposto no Exemplo 4, e so-
licitou que os pagamentos fossem escalonados da seguinte forma: aos 55 dias da data da compra a primeira parcela, aos 85 dias o valor da primeira parcela mais 50%, e aos 115 dias duas vezes o valor da primeira parcela. As partes concordaram em utilizar a taxa de juro de 3% aos 30 dias. Solução. O valor das três prestações é obtido do valor financiado considerando os mesmos prazos e a taxa de juro de 3% aos 30 dias, registrando a seguinte equação de valor equivalente na data zero:
190
Matemática financeira
−$16.500 + X × (1 + 0, 03)−55 / 30 + 1, 5 × X × (1 + 0, 03) −85 / 30 + 115/30 2 × X × (1 + 0, 03)− =0 −55 / 30 −85 / 30 (1 + 0, 03 03) + 1, 5 × (1 + 0, 03 03) + = −$16.500 + X × − ,03) 115/30 2 × (1 + 0,03 −$16.500 + X × (0, 94 947251 + 1, 37 379492 + 1, 78 785750 ) =
0 0
Resolvendo a equação de valor equivalente, obtemos o valor de X e e dos dois outros pagamentos: X
1,5 X 2 X
= = =
$16.500
= $4.012,17 4,112493 1,5 × $4.012,17 = $6.019,25 ,25 2 × $4.012,17 = $8.024, 33 33
Resumindo, o primeiro pagamento na data 55 é $4.012,17, o segundo pagamento na data 85 é $6.019,25, e o terceiro pagamento na data 115 é $8.024,33.
Calculadora HP-12C Repetindo o procedimento do Exemplo 4. [f][REG] 0[g][CF j ]54[g][N j]1[g][CF j ] 0[g][CF j ]29[g][N j]1.5[g][CFj ] 0[g][CF j ] 29[g][N 29[g][N j ]2[g][ ]2 [g][CF CFj ] 1.03[E]3 3[E]30[ 0[11 / x ][y x ]1[−]10 ]100[×][i ] [f][NPV] [f][NPV] → 4,112 4,11249 4933 É o valo valorr pres presen ente te de um flux fluxoo de capi capita tais isfo form rmad adoo com três trêsca capi pita tais isde de valor valor$1. $1. [1 / x ][E]16 ][E]1650 500[ 0[×] → 4.01 4.012, 2,16 1651 5158 58 − Pri Primeir eira par parcela cela igua iguall a $4 $4.0 .012 12,1 ,177 [STO [STO]0 ]0 [E]1. [E]1.5[ 5[×] → 6.01 6.018,24 8,2477 77 − Segun egunda da par parcela cela igua iguall a $6 $6.0 .018 18,, 25 [RCL [RCL]0 ]0 [E]2[×] → 8.02 8.024,33 4,3303 03 − Terc Tercei eira ra par parcel cela igua iguall a $8 $8.0 .024 24,33 ,33 Como mostrado, com a calculadora HP-12C é possível resolver esse cálculo, mas com bastante trabalho de digitação e possibilidades de erro.
Resolvendo com o TVMod No modelo, foram informadas as datas e os três pagamentos desconhecidos X , 1,5 X e e 2 X considerando considerando a parte da empresa. Note o leitor que antes da letra X das das duas últimas parcelas foi registrado o coeficiente de proporcionalidade correspondente a cada incógnita (sem deixar espaço), não sendo necessário registrar o coeficiente igual a um.
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
191
Depois de clicar em Calcular , a figura seguinte mostra os resultados dos três pagamentos com valores progressivos.
EXERCÍCIOS Exercício 6
O financiamento de $75.000 será devolvido em seis prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês depois da data da assinatura do contrato e as resr estantes prestações com periodicidade mensal até completar a última. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de financiamento de 3,40% ao mês. R: $14.028,92 Exercício 7
A empresa vendeu seu serviço no valor $145.000 em cinco prestações iguais e seguidas. O cliente exige que as datas de vencimento das parcelas sejam
192
Matemática financeira
62, 93, 124, 155 e 186 dias da data de assinatura do contrato. Considerando Consider ando a taxa de financiamento de 3,10% aos 30 dias, calcule o valor das cinco prestações. R: $32.867,63 Exercício 8
Continuando com o Exercício 7. Calcule o valor das cinco prestações considerando como datas de vencimento vencimento 31, 61, 92, 122 e 153 dias da data de assinatura do contrato e mantendo a taxa de financiamento de 3,10% aos 30 dias. R: $31.809,09 Exercício 9
A empresa solicitou o empréstimo de $56.000 para devolver em quatro parcelas trimestrais iguais e seguidas. Considerando que o empréstimo seja concedido no último dia do mês de junho, o pagamento da primeira parcela será realizado no final do mês de setembro e assim sucessivamente sucessivamente até completar o pagamento da quarta quart a parcela, no final de um ano da data de recebimento do financiamento. financiamento. Calcule o valor das quatro parcelas iguais e seguidas com a taxa de financiamento de 3,35% ao mês. R: $15.191,81 Exercício 10
Continuando com o Exercício 9. Para ajustar o fluxo de recebimentos com a devolução do financiamento, a empresa solicitou pagar $20.000 $20. 000 no final do terceiro trimestre e as restantes parcelas parcela s iguais. Calcule o valor das três restantes parcelas iguais mantendo a taxa de financiamento de 3,35% ao mês. R: $13.625,22 Exercício 11
Para facilitar as vendas do final do ano, o lojista propõe o pagamento de compras em três parcelas crescentes e venciment vencimentos os mensais como segue: após um mês da compra certa parcela, após dois meses a parcela anterior mais 25% e após três meses a primeira parcela mais 50%. Calcule o valor das três parcelas de uma venda de $4.000 e considerando a taxa de juro de 3,65% ao mês. R: $1.150,96 1.438,71 e $1.726,45 Exercício 12
Continuando com o Exercício 11, agora as condições são as seguintes: após um mês a última parcela mais 50%, após dois meses a última parcela mais 25% e após três meses a última parcela. Calcule o valor das três parcelas com a mesma taxa de juro de 3,65% ao mês. R: $1.710,02 $1.425,02 e $1.140,02 Exercício 13
O banco propõe que o financiamento de $8.500 seja devolvido em seis prestações mensais com valores crescentes em 10% sobre a primeira parcela como segue: após um mês certa parcela, após dois meses a parcela anterior
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
193
mais 10%, após três meses a primeira parcela mais 20%, após quatro meses a primeira parcela mais 30%, e as restantes parcelas mensais aumentando 10% por mês sobre a primeira parcela. Calcule o valor das seis parcelas considerando a taxa de juro de 3,15% ao mês. R: $1.270,70 $1.397,77 …. $1.906,05 Exercício 14
Entre as partes foi acertado que o pagamento de $67.500 será realizado em cinco parcelas mensais e iguais. Ademais, no final do terceiro mês será pago o valor $20.000, independentemente das cinco parcelas. Calcule o valor das cinco parcelas considerando a taxa de juro de 2,86% ao mês. R: $10.683,25 Exercício 15
Continuando com o Exercício 14. As partes reviram o acerto e concordaram que no final do terceiro mês será se rá pago somente o valor de $20.000. Calcule o valor das quatro parcelas mensais e iguais mantendo a taxa de juro de 2,86% ao mês. R: $13.351,14 Exercício 16
A empresa concordou em devolver o financiamento de $115.000 em cinco parcelas iguais com vencimento após 60, 120, 180, 240 e 300 dias da data do recebimento do dinheiro. Calcule o valor das parcelas com a taxa de juro de 3,68% aos 30 dias. R: $28.420,49 Exercício 17
Continuando com o Exercício 16. Mantendo a taxa de juro de 3,68% aos 30 dias, calcule o valor das parcelas crescendo 8% sobre a primeira parcela parc ela como segue: após 60 dias certa parcela, após 120 dias a parcela anterior mais 8%, após 180 dias a primeira parcela mais 16%, e as restantes parcelas aumentando 8% sobre a primeira parcela. R: Primeira parcela: $24.746,57 e última parcela: $32.665,47 Exercício 18
Continuando com o Exercício 17. Mantendo a taxa de juro de 3,68% aos 30 dias, calcule o valor das parcelas crescendo 8% sobre a última parcela. R: Primeira parcela: $32.022,03 e última parcela: $24.259,12
CÁLCULO DA DATA DE UM CAPITAL DO FLUXO DE CAPITAIS Agora é a vez de calcular a data de ocorrência de um capital conhecido quando também são conhecidos todos os outros dados da operação financeira com juro composto. Antecipamos esse desenvolvimento resolvendo o seguinte s eguinte exemplo. Exemplo 6. Na negociação do financiamento de $10.000 o banco aceita
receber a devolução do capital em três parcelas. As duas primeiras parcelas nos valores de $3.000 e $4.000 com c om vencimento em 45 e 92 dias da data da ta de
194
Matemática financeira
recebimento do financiamento, respectivamente. respe ctivamente. O tomador do financiamento receberá comissões no valor de $4.000 antes de completar cinco meses, porém sem data definida. Considerando a taxa de juro de 3% aos 30 dias, calcule qual seria a data máxima para receber o valor da terceira parcela. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da operação considerando a parte do tomador do financiamento, e identificamos com X a a data a receber do último pagamento do financiamento. financiamento.
Formamos a equação de valor equivalente na data zero com os dados do diagrama do tempo: $10.000 − $3.000 × (1 + 0,03 0,03) X $4.000 × (1 + 0, 03 03) /30 = 0
45 / 30
−
−
$4.000 × (1 + 0,03 0,03)
92 / 30
−
−
−
Depois simplificamos a expressão realizando as operações algébricas possíveis para calcular X : $10.000 − $3 $3.000 × (1 (1 + 0, 03 03)
45 / 30
−
−
92 / 30
−
$4.000 × (1 (1 + 0, 03 03) $3.476,748 ,7486 (1 + 0,03) 0,03) X /30 X /30
(1 + 0, 03 03)
−
−
Por fim, aplicando logaritmos nos dois membros da última fórmula, pomos em evidência X e e obtemos a data procurada 142,2892 dias. X
30
×
ln(1 + 0,03) 0,03) X
=
=
ln(1,150 ,1505 5) 30 × ln(1 ln(1,1505) ,1505) ln( ln(1 + 0,03) 0,03)
=
/ 30
$4.000 × (1 (1 + 0, 03 03) X = $4.000 × (1 + 0,03 0,03) X /30 $4.000 = = 1,1505 $3.476,7486 = 1,1505
=
142,2892
Note o leitor que o prazo 142,29 dias obtido com a fórmula é o resultado exato que zera a equação de valor equivalente. equivalente. Na interpretação prática, como
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
195
esse resultado ocorreria ao redor das sete da manhã da data 143 o pagamento deverá dev erá ser na data 143. Como não faz sentido trabalhar com frações do dia, se recomenda ajustar algum dos dados da operação. Por exemplo, poderíamos adotar um valor de data e recalcular o valor da taxa de juro jur o da operação. Numa análise qualitativa, o prazo menor aumentará a taxa de juro, e o prazo maior diminuirá a taxa de juro. Outra forma é arredondar a data para o número inteiro 143 e a seguir recalcular o valor do financiam financiamento ento ou do valor da última parcela. Quantitativamente, vamen te, esses cálculos são mais fáceis de ser realizados utilizando o TVMod .
Calculadora HP-12C Com as rotinas das cinco teclas pré-programadas e do fluxo de caixa não é possível realizar este cálculo da data de uma das parcelas, pois embora os valores sejam uniformes, a periodicidade do fluxo de capitais não é uniforme.
Função financeira do Excel Como os capitais não têm o mesmo valor e ocorrem com periodicidade não uniforme, esse problema não pode ser resolvido com uma função financeira disponível.
Resolvendo com o TVMod Com este modelo, do ponto de vista do tomador do empréstimo, a primeira figura mostra o modelo depois de registrar o valor financiado, as duas parcelas com datas conhecidas e a terceira parcela com data X a a ser determinada, considerando a taxa de juro de 3% aos 30 dias. Depois de clicar em Calcular o modelo registra o resultado procurado.
196
Matemática financeira
O TVMod calcula calcula o resultado exato, porém é registrado o resultado exato arredondado para a unidade seguinte. Nesste exemplo, o resultado exato é 142,289 dias, como já se tinha obtido no cálculo algébrico, algébr ico, porém é registrado o valor 143. Tendo presente que devido ao arredondamento da data o resultado da equação de valor equivalente não é igual a zero, se calcularmos o valor necessário para zerar a equação na data 143 obteremos o valor negativo $2,80. Dessa maneira, o valor total a pagar na data 143 será $4.002,80 como mostram as duas figuras seguintes.
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
197
Esse resultado pode ser obtido partindo do primeiro cálculo considerando como incógnita o capital da data 143 como se mostra a seguir.
198
Matemática financeira
Escolhendo a data 142, o valor a pagar seria $3.998,86, resultado que deixamos por conta do leitor leitor.. Finalmente, a diferença é pequena, mas em ambos os casos a equação de valor equivalente é zerada. Esses resultados mostram diversas formas de utilizar o resultado nulo da equação de valor equivalente.
COMENTÁRIO O diagrama do tempo, a equação de valor equivalente equivalente e as ferramentas tecnológicas resumem a mesma operação financeira, o diagrama com a representação gráfica, a equação com a representação algébrica e as ferramentas fer ramentas tecnológicas com o algoritmo de resolução. Das ferramentas tecnológicas utilizadas na resolução de cálculos financeiros com juro composto, nem todas conseguem atender, exceto o TVMod , que visualiza os dados do diagrama do tempo e realiza todos os cálculos propostos utilizando um único procedimento de resolução baseado na equação de valor equivalente. Como boa prática, recomendamos a construção do diagrama do tempo antes de iniciar um novo cálculo, pois bastará transportar os dados do diagrama para o modelo, sem necessidade de utilizar fórmulas, nem definir o tipo de problema. O TVMod reduz reduz a complexidade dos cálculos utilizando um algoritmo com um único procedimento de resolução dos cálculos financeiros com juro composto. O equacionamento algébrico utilizado nas operações com fluxo de capitais com juro composto apresentado nos Capítulos 7, 8, 9 e 10, pode ser utilizado também nas operações com dois capitais desse dess e mesmo regime. Deixamos para o leitor a constatação dessa afirmação.
EXERCÍCIOS Exercício 19
O financiamento de $10.000 foi realizado com a taxa de juro de 3% ao mês. A devolução desse financiamento será realizada da seguinte forma: duas parcelas em dinheiro no valor de $4.000 após um mês, $3.500 após dois meses, com um título no valor de $3.078,67 em data a ser determinada. R: Após três meses (resultado exato) Exercício 20
Na venda de diversas mercadorias pelo valor de $16.500 a empresa foi financiada em três prestações aplicando a taxa de juro de 2,80% aos 30 dias. Para atender a disponibilidade do cliente, foi acertado o seguinte fluxo de três parcelas: $5.000 após 35 dias da compra, $7.000 a 65 dias e $5.600 na data a ser determinada 95 dias o pagamento restante que saldará a dívida. Calcule a data do terceiro pagamento. ( resultado não ajustado) R: 109 dias (resultado
Capítulo | 8 Fluxo de capitais – continuação
199
Exercício 21
A conta de investimento remunera os investimentos com a taxa de juro de 2,50% aos 30 dias, podendo-se resgatar resgata r os investimentos em qualquer data. O investidor realizou os seguintes quatro inv investimentos: estimentos: $2.000 na data zero, $2.400 após 35 dias da data zero, $2.300 após 65 dias e $2.600 após 97 dias. Calcule em que data será possível resgatar $10.000. R: 139 dias (resultado não ajustado)
Capítulo 9
Fluxo uniforme de capitais Neste Capítulo 9 o leitor aprenderá: ● ● ●
O que é um Fluxo Uniforme de Capitais A realizar Cálculos Financeiros com Fluxos Uniformes A utilizar as ferramentas tecnológicas com fluxos uniformes: A calculadora financeira HP-12C Funções financeiras do Excel Modelo Fluxo Uniforme em Excel e VBA Nova função financeira FluxoUnif para Excel TVMod em em Excel e VBA
Nos Capítulos 7 e 8 tratamos das operações financeiras com fluxos de três ou mais capitais com valores diferentes e ocorrendo com qualquer periodicidade. Embora o fluxo uniforme seja um caso particular do fluxo de capitais, neste capítulo analisaremos, com mais detalhe, as operações desse fluxo. Quanto à sua representação no diagrama do tempo, os fluxos de capitais se identificam identifica m pelo binômio valor e data de ocorrência de cada capital. Tradicionalmente, a uniformidade dos valores e o tipo de periodicidade dos capitais são atributo de classificação do fluxo uniforme de capitais. Na resolução dos cálculos financeiros de fluxos uniformes de capital aplicamos os conceitos e procedimentos utilizados nos dois capítulos anteriores, pois os fluxos uniformes são um caso particular dos fluxos de capitais sem nenhuma uniformidade.
Exemplo 1. No final de cada mês são depositados $1.800 numa conta de investimento inv estimento remunerada com a taxa de juro de 1,30% ao mês. Calcule o resgate dessa operação ao completar um ano, ou 12 meses. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da parte do investidor, inv estidor, identificando com X o o valor do resgate no final do prazo do investimento. Na data um é realizado o primeiro inv investimento estimento de $1.800, no final do segundo mês é realizado o segundo investimento de $1.800 e assim sucessivamente, até completar o décimo segundo investimento.
201
202
Matemática financeira
Para calcular o valor do resgate X formamos formamos a equação de valor equivalente, considerando a parte do investidor e como data de análise escolhemos a data do final da operação, data doze. 11
$1 $1.800 × (1 + 0,013 ,013) X −
$1.800 × (1 + 0,013 ,013) $1.800 × (1 + 0,01 ,013)1 − $1.800 = 0 −
10
−
−
Continuando com a resolução: X =
$1.800 × ((1 + 0, 01 013)
X =
$1.8 $1.800 00 × 12,896 12,89629 290 0 = $23. $23.21 213 3,32
11
+
10
(1 + 0, 01 013)
+
1 + (1 + 0, 01 013) + 1)
No final do decimo segundo mês o investidor resgatará o valor $23.213,32.
Calculadora HP-12C A obtenção do resultado deste exemplo é realizada com as cinco teclas pré -programadas -programad as da HP-12C utilizando os sinais dos do s capitais. Além dos valores valores e da incógnita X com com a HP-12C também deve ser informado o tipo de fluxo poste tecip cipado ado ou antecipado, respectivamente as teclas END e uniforme, pos BEG . Como a data dos capitais do fluxo uniforme desse exemplo ocorre no final de cada período, o tipo de fluxo uniforme é postecipado. De outra maneira, o primeiro capital do fluxo uniforme ocorre no final do primeiro período e o último capital ocorre na data do resgate. Como boa prática, começamos por informar o tipo de fluxo uniforme e zerar as memórias financeiras da calculadora. [g][END]se for necess necessári ário o [f][FIN] 12[n]1,3[i] 1800[CH 1800[CHS][ S][PM PMT][F T][FV] V] → 23.2 23.213 13,, 32
Do diagrama do tempo obtemos os dados e a incógnita correspondente de cada uma das cinco teclas pré-programadas. Ademais, a HP-12C opera internamente com a equação de valor equivalente em uma data de análise, que talvez seja a data zero, por ser uma data comum a qualquer operação financeira.
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
203
Função financeira VF do Excel Como apresentado no Capítulo 4, a função financeira VF VF do Excel retorna o valor futuro de um fluxo uniforme de capitais. A sintaxe da função é: 1 =
VF (Taxa; Taxa; Nper; Nper; Pgto;Vp; Pgto;Vp; Tipo Tipo)
A função VF opera com a regra de sinais dos capitais. capitais . O argumento Tipo identifica a data inicial do fluxo uniforme de capitais. Tipo = 0 se o primeiro capital ocorre no final do primeiro período, Tipo = 1 se o primeiro capital ocorre na data inicial, ou data zero e se Tipo for omitido será considerado o Tipo = 0. Como o fluxo de capitais uniformes deste des te exemplo é do tipo postecipado, esse argumento é zero. Substituindo os dados deste exemplo, verificamos que no final do décimo segundo mês o investidor resgatará o valor de $23.213,32, resultado obtido com: =
VF(0.0 VF(0.013 13;12 ;12;; −1800 1800;; 0; 0) → 23.2 23.213 13,32 ,32
Modelo Fluxo Uniforme O modelo Fluxo Uniforme construído na planilha com o mesmo nome da pasta Excel Capítulo 9 realiza os cinco possíveis cálculos financeiros com fluxo de capitais uniformes no regime de juro composto, incluindo o tipo de fluxo. Como boa prática, se recomenda a construção do diagrama do tempo dessas operações.
1. Este exemplo e os seguintes mostram que as funções VF, VF, VP, VP, PGTO, TAXA e NPER do Excel emulam “tal e qual” as teclas pré-programadas [FV], [PV], [PMT], [i] e [n] da calculadora HP-12C.
204
Matemática financeira
Antes de informar os dados de um novo cálculo, cálculo, recomenda-se limpar os dados da operação registrada no modelo clicando no botão Limpar dados . Depois, considerando a parte do inv investidor estidor registram-se os valores do Presente, do Futuro, do Valor dos capitais, da Taxa de juro e do número de capitais. Neste exemplo, na célula C5 se registra a incógnita X , maiúscula ou minúscula, e na célula C9 se escolhe o tipo de fluxo uniforme, Postecipado neste exemplo. Clicando em Calcular o o modelo realiza o cálculo solicitado e registra o resultado na célula correspondente, mudando a cor dessa célula para identificar a incógnita calculada. Verifique que este modelo realiza os mesmos cálculos que as cinco teclas pré-programadas da HP-12C e também separa a informação de dados do tipo de fluxo uniforme.
Nova Função Financeira FluxoUnif 2 O valor do resgate dessa operação também també m pode ser obtido com a nova função FluxoUnif para Excel com a seguinte sintaxe: sintaxe: =
FluxoUnif ( Presente; Futuro; ValorCapitais; TaxaJuro; NúmCap; Tipo)
A nova função opera com a regra de sinais dos capitais, portanto, ao calcular um dos dois possíveis capitais deste tipo de operação, o resultado terá ter á sinal oposto ao do sinal do capital informado. Ao calcular um dos outros argumentos, a taxa ou o número de capitais, os capitais deverão ser informados com sinais opostos. Ademais, Ademais, o período da taxa deverá ter a mesma unidade de tempo da periodicidade dos capitais. Registrando essa fórmula numa célula do Excel com os dados do exempl exemplo, o, obtemos o resultado procurado: =
Flux FluxoU oUni niff (0;" (0;" X ''; ''; −180 1800 0; 0, 01 013 3;12 ;12;" ;" Poste oste '') '')
→
23.2 23 .213 13,32 ,32
2. De J.C. Lapponi. Modelagem Financeira Financeira com Excel e VBA. São Paulo: Elsevier, 2008.
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
205
A nova função FluxoUnif FluxoUnif para Excel é única para todos os cálculos financeiros com fluxo uniforme.3 Em vez de utilizar as cinco funções financeiras do Excel, com a única função FluxoUnif é possível realizar todos os cálculos possíveis com fluxos uniformes, um por cada argumento da função, exceto o argumento Tipo.
TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e as incógnitas. Note o leitor a similitude entre o diagrama do tempo e o registro dos dados e da incógnita no TVMod . O fluxo de capitais começa na data um, pois o modelo utiliza as datas registradas. Depois de clicar em Calcular , a incógnita é calculada e registrada na célula.
3. Esta função também calcula as operações financeiras de dois capitais com juro composto, sendo o período da taxa igual à unidade de tempo da capitalização dos juros.
206
Matemática financeira
Analisando os dados, verificamos que os doze investimentos de $1.800 ocorrem durante 11 meses de duração. Ademais, o décimo segundo investimento de $1.800 na realidade não ocorre, pois no mesmo dia esse valor é investido e resgatado. No TVMod se se pode registrar qualquer taxa equivalente com período diferente, cuidando que a unidade de tempo do fluxo de capitais seja a mesma do período da taxa. Se em vez da taxa 1,30% ao mês do Exemplo 1 for registrada sua taxa equivalente equivalente 16,7651776% aos 12 meses, 4 o resultado do futuro continuará sendo $23.213,32, como mostra a figura seguinte.
Exemplo 2. O gerente de vendas da loja está preparando um plano de financiamento popular com quatro parcelas mensais iguais e seguidas, vencendo a primeira após um mês da data de compra dos produtos com valor de venda até $1.000. Esse plano tem o objetiv objetivo o de facilitar as vendas com prazos menores que os praticados com os produtos de maior valor. Considerando a taxa de juro de 3,65% ao mês, calcule o valor das parcelas mensais. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da parte da loja. Na data da venda, data zero, há um desembolso quando a loja entrega um produto de valor $1.000. Esse valor é financiado em quatro parcelas mensais iguais e seguido X , vencendo a primeira após um mês da data de compra.
4. Na célula E5 o valor da taxa registrado é 16,7651776%, e o arredondamento da célula é mostrado com duas casas decimais.
207
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
A seguir registramos a equação de valor equivalente estabelecendo a data inicial, ou data zero: $1.000 + X × (1 + i)
−
$1.000 + X × ((1 + 0, 03 0365)
−
1
−
+
1
−
+
X × (1 + i)
(1 + 0, 03 0365)
2
−
2
−
+
X × (1 + i) 3
−
(1 + 0, 03 0365)
++
+
3
−
+
4
−
X × (1 + i)
(1 + 0, 03 0365)
4
−
=
0
)=
0
O valor de X é é igual a $273,22 resultado obtido de: X × (0,96 (0,964 4785 785 + 0,930 0,930811 811 + 0,89 0,898033 8033 + 0,86 0,866409 6409)) = X =
$1.00 .000 $1.000 3,660037
=
$273,22
Calculadora HP-12C Como boa prática, começamos por informar o tipo de fluxo uniforme e zerar as memórias financeiras da calculadora. [g][END]se [g][END]se for for necess necessári ário o [f][FIN] 4[n]3.65[i] 1000[CH 1000[CHS] S][P [PV][P V][PMT MT]] → 273 273, 22
Note o leitor que o diagrama de tempo identifica os dados disponíveis disponíveis e quais teclas receberão os dados e qual a tecla da incógnita.
Função financeira PGTO do Excel A função PGTO do Excel retorna o valor dos capitais do fluxo uniforme. A sintaxe da função é: =
PGT O(Taxa; Taxa; Nper;Vp; Nper;Vp;Vf;Tipo Vf;Tipo)
Como o fluxo de capitais uniformes é do tipo postecipado, o argumento é Tipo = 0. Substituindo os dados do exemplo, o valor das parcelas é $273,22, resultado obtido com: =
PGTO(0,03 O(0,0365 65;; 4; −1000 1000; 0; 0) → 27 273 3,22
Modelo Fluxo Uniforme Antes de informar os dados de um novo cálculo, se recomenda limpar os dados da operação registrada no modelo clicando em Limpar dados . Do diagrama do tempo, registramos os dados, na célula C6 a incógnita X e na célula C9 escolhemos o tipo Postecipado. Depois, clicando em Calcular o o modelo realiza o cálculo e registra o resultado na célula correspondente.
208
Matemática financeira
Nova Função Financeira FluxoUnif Registrando a fórmula da nova função numa célula vazia do Excel obteremos o resultado procurado: =
Flux FluxoU oUni nif( f( −10 1000 00;; 0;" X '''';; 0, 03 0365 65;; 4;" Post Poste e '') '') → 27 273 3, 22
TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de informados os dados e a incógnita, sendo o valor da compra registrado com valor negativo representando a parte da empresa que desembolsou os $1.000. Depois de clicar no botão Calcular , as incógnitas são calculadas e registradas no modelo. Este exemplo mostra a vantagem de realizar esse tipo de cálculo com o TVMod .
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
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EXERCÍCIOS Exercício 1 João Henrique financiou $5.000 com a promessa de devolver essa quantia em duas parcelas mensais iguais e seguidas, vencendo a primeira após um mês da data de recebimento do financiamento e aceitando a taxa de juro de d e 3,80% ao mês. Calcule o valor das duas dua s parcelas parc elas mensais me nsais iguais e seguidas. R: $2.643,3857 Exercício 2 A partir do próximo mês e durante 12 meses Osmar depositará $1.500 no final de cada mês numa conta de investimento. Calcule o resgate desses depósitos com a taxa de juro de 1,12% ao mês. R: $19.151,26
210
Matemática financeira
Exercício 3 Suponha que os 12 depósitos de $1.500 do Exercício 2 sejam realizados realiza dos no início de cada mês. Calcule o resgate desses depósitos com a mesma taxa de juro de 1,12% ao mês. R: $19.365,75
OUTROS EXEMPLOS No fluxo uniforme de capitais dos Exemplos 1 e 2, o primeiro capital do fluxo ocorre no final do primeiro período e o último capital, no final da operação. Nos Exemplos 3 e 4 seguintes, o primeiro capital do fluxo uniforme unif orme ocorre no início da operação e o último capital, no início do último período antes do final da operação.
Exemplo 3. Para diminuir o valor dos pagamentos mensais a empresa propõe um plano como o do Exemplo 2, porém com o primeiro pagamento na data da compra do bem. Considerando a taxa de juro de 3,65% ao mês, calcule o valor da parcela mensal. Solução . Começamos por desenhar o diagrama de fluxo dos capitais da parte da loja. Na data zero, a loja entrega um produto no valor $1.000 que é tratado como desembolso. Esse valor é financiado com quatro parcelas mensais iguais e seguidas X , vencendo a primeira na data da compra do bem.
Do diagrama do tempo registramos a equação de valor equivalente na data zero e taxa de juro de 3,65% ao mês: $1.000 + X + X × (1 + i)
−
−
−
1
+
X × (1 + i)
$1.000 + X × (1 + (1 + i)
1
−
+
2
−
+
(1 + i)
X × (1 + i) 2
−
+
(1 + i)
3
−
3
−
)
=
0
=
0
O valor de cada uma das quatro prestações mensais iguais e seguidas é $263,60, realizando o primeiro pagamento na data da compra do bem, como se mostra a seguir. $1.000 + X × (1 + (1 + 0, 03 0365)
−
1
−
+
(1 + 0, 03 0365)
2
−
+
(1 + 0, 03 0365)
3
−
)= 0
0,964785 85 + 0,9308 0,930811 11+ 0,8980 0,898033 33)) = $1.0 $1.000 00 X × (1 + 0,9647 X =
Calculadora HP-12C Do diagrama de tempo obtemos os dados e a incógnita.
$1.000 3,793629
=
$263,60
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
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[g][BEG]Se for necess necessári ário o [f][FIN] 4[n]3.65[i] 1000[CH 1000[CHS] S][P [PV][P V][PMT MT]] → 263 263, 60
Função financeira PGTO do Excel Como o fluxo de capitais uniformes é do tipo antecipado, então Tipo = 1. O resultado do valor das parcelas $263,60 é obtido com: =
PGT PGTO(0, O(0, 03 0365 65;; 4; −1000 1000;; 0;1) ;1) → 26 263 3,60
Modelo Fluxo Uniforme Depois de informar os dados, a incógnita e selecionar o tipo postecipado de fluxo uniforme, clicando em Calcular o o modelo realiza o cálculo solicitado e registra o resultado na célula correspondente.
212
Matemática financeira
Nova Função Financeira FluxoUnif para Excel Registrando a fórmula com a nova função numa célula vazia da planilha Excel Exc el com os dados do exempl exemplo, o, obtemos o resultado procurado: =
Fluxo luxoU Unif( nif( −10 1000 00;; 0;" X ''; 0,0365 0,0365;; 4;" Ante nte '') → 26 263 3,60
TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita, sendo o valor da compra registrado com valor negativo representando a parte da empresa que desembolsou os $1.000. Note que tanto o valor financiado como a primeira parcela ocorre na data zero.
Depois de clicar no botão Calcular , as incógnitas são calculadas e registradas no modelo.
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
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Exemplo 4. Para ajudar no pagamento da futura universidade de seus filhos, no início de cada semestre semestr e Federico decidiu investir $10.000 numa conta de investimento inv estimento que remunera com a taxa de juro de 7,5% ao semestre. Calcule o futuro dessa operação ao completar cinco anos inteiros. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da parte do investidor. Na data zero é realizado o primeiro investimento de $10.000, no início do segundo semestre é realizado o segundo investimento de $10.000, e assim sucessivamente até completar o décimo semestre, ou o quinto ano de investimentos.
Do diagrama do tempo da parte do investidor investidor registramos a equação de valor equivalente equivalente na data dez, considerando a taxa de juro de 7,50% ao semestre $10.000 × (1 + 0,075 ,075)10 − $10.000 × (1 + 0,075 ,075) 9 − −$10.000 × (1 + 0, 07 075)1 + X = 0 −
$10.000 × ((1 (1 + 0, 075)10
−
+
(1 + 0, 075) 9 + + (1 + 0, 075)1 ) + X = 0
Depois de realizar operações algébricas, obtemos o valor do resgate do inv invesestidor igual a $152.081,19. X = X = X =
$1 $10.000 × ( (1 + 0, 075 ) + (1 + 0, 075 ) $1 $10.0 0.000 × 15,208 5,20811906 1906 $152.081,1906 10
9
+
+ (1 + 0, 075)1 )
Calculadora Financeira Financeira HP-12C Deixamos para o leitor realizar esse cálculo.
Cálculos com a função VF do Excel, o Modelo Fluxo Uniforme e a nova função FluxoUnif Deixamos para o leitor realizar esses cálculos.
TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita.
214
Matemática financeira
Novamente chamamos a atenção do leitor para a similitude entre o diagrama Novamente do tempo da operação e o registro dos dados e da incógnita no TVMod . O fluxo de capitais começa na data 0 e termina na data 9. Verifique que a incógnita X ocorre ocorre na data 10, mas foi colocada no início dos capitais porque o TVMod utiliza as datas registradas e não tem nenhuma amarração de posição, com a condição que os capitais sejam registrados sem deixar nenhuma linha em branco, nem tentar incluir nova linha no modelo. Depois de clicar em Calcular , a incógnita é calculada e registrada na célula de X .
EXERCÍCIOS Exercício 4 Uma compra será financiada pagando cinco parcelas mensais iguais e seguidas de $2.121,59 sendo a primeira um mês após o recebimento do financiamento. Calcule o valor financiado com a taxa de juro de 2% ao mês com juro composto. R: $10.000,03
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
215
Exercício 5 Refaça o Exercício 4 considerando que a primeira parcela é paga no ato do recebimento da compra. R: $10.200,29 Exercício 6 O financiamento de $25.000 será devolvido em oito parcelas mensais iguais e seguidas, sendo a primeira parcela um mês após receber r eceber o financiamento. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de financiamento de 2,56% ao mês. R: $3.495,61 Exercício 7 Refaça o Exercício 6 considerando que a primeira parcela é paga no ato de do recebimento do financiamen financiamento. to. R: $10.408,36 Exercício 8 Daqui a doze meses Ana necessitará ter acumulado $14.500. Calcule quantos investimentos mensais deverá realizar considerando que os investimentos mensais serão realizados no início de cada mês, com a taxa de juro de 1,12% ao mês. R: $1.123,12 Exercício 9 Refaça o Exercício 8 considerando que que os investimentos mensais serão realizados no final de cada mês. R: $1.135,70 Exercício 10 Foram realizados 18 investimentos mensais iguais e seguidos de $1.800 $1.80 0 no primeiro dia de cada mês. Calcule o valor do resgate considerando a taxa de juro de 1,08% ao mês. R: $35.936,76 Exercício 11 Refaça o Exercício 10 considerando que os 18 investimentos investimentos mensais iguais e seguidos de $1.800 foram realizados no último dia de cada mês, porém na mesma data de resgate do Exercício 10. R: $35.552,79 Exercício 12 Tem fundamento afirmar que o valor da parcela do Exercício 10 é o resultado de multiplicar o valor da parcela do Exercício 11 pelo fator 1,0108? R: Sim Exercício 13 O financiamento de $370.000 será realizado em 24 parcelas mensais iguais e seguido com taxa de juro de 0,85% ao mês. Calcule o valor das parcelas considerando o pagamento da primeira parcela um mês após o recebimento do financiamento. R: $17.107,80
216
Matemática financeira
Exercício 14 Refaça o Exercício 13 considerando que a primeira parcela é paga no ato de recebimento do financiame financiamento. nto. R: $16.963,61 Exercício 15 Tem fundamento afirmar que o valor da parcela do Exercício 14 é o resultado de dividir o valor da parcela do Exercício 13 pelo fator 1,0085? R: Sim
COMENTÁRIO Para utilizar as cinco funções funçõe s financeiras do Excel, o primeiro passo pas so do procedimento de cálculo é identificar a função que resolve a incógnita da operação. Depois, a função com seus dados é inserida numa célula da planilha. O usuário visualiza os dados do cálculo, sendo que o nome da função identifica a incógnita do cálculo. Com as sete novas funções financeiras, o primeiro passo do procedimento é identificar a função da operação, e não a do tipo de cálculo dessa operação. Por exemplo, a nova função FluxoUnif é a função que realiza todos os cálculos financeiros com fluxo uniforme no regime de juro composto. O usuário visualiza todos os dados e a incógnita (X ou x entre duas aspas duplas), pois a nova função FluxoUnif com seis argumentos é única para realizar todos os cálculos dessa operação. De outra maneira, enquanto cada uma das cinco funções financeiras do Excel emula uma tecla da calculadora HP-12C, a nov novaa função financeira FluxoUnif para Excel é uma função única para par a resolver os mesmos cálculos financeiros.
CÁLCULO DA TAXA DE JURO DE UM FLUXO UNIFORME DE CAPITAIS A resolução de cada exemplo apresentado neste capítulo começa com a construção do diagrama do tempo atendendo aos dados do enunciado. Depois, do diagrama do tempo formulamos a equação de valor equivalente escolhendo a data de análise e considerando certa taxa de juro. Como foi apresentado no Capítulo 8, para um fluxo com até três capitais o cálculo da taxa de juro com período conhecido é realizado com fórmulas. Entretanto, para o fluxo com três ou mais capitais não é possível obter o resultado da taxa de juro com uma fórmula, e o resultado deve ser obtido por um procedimento de tentativa e erro. Atendendo certas condições iniciais do fluxo de capitais, o valor da taxa de juro pode ser obtido com as ferramentas tecnológicas que dispõem do procedimento de tentativa e erro. 5
Exemplo 5. No primeiro dia de cada mês foram realizados nove investimentos mensais iguais e seguidos de $3.300. O resgate desses investimentos no valor 5. A taxa de juro é a TIR. Para mais informações remetemos o leitor para o Capítulo 8 – Fluxo de Capitais.
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
217
do $31.938,66 foi realizado ao completar o nono mês, medido a partir da data do primeiro investimento. Calcule a taxa de juro mensal desse investimento. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da parte do investidor, identificando com X o o valor do resgate no final do prazo praz o do investimento. investimento. Na data zero é realizado o primeiro investimento de $3.300, na data um é realizado o segundo investimento de $3.300 e assim sucessivamente, até realizar o último investimento no início do nono mês, ou final do oitavo. O resgate foi realizado no final do nono mês.
Para calcular a taxa de juro X mensal mensal formamos a equação de valor equivalente considerando a parte do investidor e escolhemos a data final da operação, data nove, como data de análise. 9
8
$3.300 × (1 (1 + X ) − $3.300 × (1 (1 + X ) 1 −$3.300 × (1 + X ) + $31, 93 938, 66 66 = 0
−
$3.300 × (1 (1 + X )
7
−
Essa expressão mostra most ra que não é possível colocar em evidência a taxa i em função dos dados restantes da operação. A obtenção do resultado por tentativa e erro deixamos para as ferramentas tecnológicas, porém antecipamos que o valor da taxa de juro é de 1,45% ao mês.
Calculadora HP-12C Como boa prática, começamos por zerar as memórias financeiras da calculadora. [g][BEG]Se for necess necessári ário o [f][FIN] 9[n]3300 [CHS][P [CHS][PMT]31 MT]31938 938.66[F .66[FV][i] V][i] → 1, 45%
Função financeira TAXA do Excel A função TAXA do Excel retorna o valor da taxa de juro do fluxo uniforme. A sintaxe da função é: =
TAX A ( Nper;Pgto;Vp;Vf;Tipo)
Sendo o fluxo uniforme de capitais do tipo antecipado, o argumento Tipo = 1. Substituindo os dados do exemplo, o valor da taxa de juro é 1,45% ao mês, resultado obtido com:
218
Matemática financeira
=
TAXA( TAXA(9 9; −3300 3300;; 0; 319 31938 38,66;1 ,66;1)) → 1, 45%
Note o leitor que o período da taxa de juro é o da periodicidade dos capitais do fluxo uniforme.
Modelo Fluxo Uniforme Limp mpar ar da dado doss . Do diagrama do tempo, regisComeçamos clicando em Li tramos os dados, na célula C6 a incógnita X e na célula C9 escolhemos o tipo de fluxo uniforme Antecipado. Note o leitor Clicando em Calcular o o modelo realiza o cálculo solicitado e registra o resultado na célula correspondente.
Note o leitor que o período da taxa de juro é o da periodicidade dos capitais do fluxo uniforme.
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
219
Nova Função Financeira FluxoUnif Registrando a fórmula da nova função numa célula vazia do Excel obtemos o resultado procurado: =
Flux FluxoU oUni nif(0;319 f(0;31938 38,, 66 66;; −330 3300 0;" X ''; ''; 9;" Ante Ante '') '') → 0, 01 0145 45
Note o leitor que o período da taxa de juro é o da periodicidade dos capitais do fluxo uniforme.
TVMod Substituindo os dados no TVMod obtemos obtemos o resultado da taxa sem necessidade de predefinir o tipo do fluxo de capitais.
Depois de clicar em Calcular , a taxa de juro 1,45% ao mês é calculada calculad a e registrada no modelo. Este exemplo mostra a vantagem de realizar esses tipos de cálculo com o TVMod .
220
Matemática financeira
A primeira figura deste exemplo mostra o período mensal da taxa de juro registrada na célula F5. Essa situação gera a oportunidade de obter a taxa de juro com qualquer outro período diretamente do modelo. Por exemplo, se o leitor registrar o X na na célula F5, o período 12 na célula F5 e clicar em Calcular obterá obterá o valor da taxa 18,86% aos 12 meses, que é a taxa equivalente de 1,45% ao mês.
EXERCÍCIOS Exercício 16 A compra de um conjunto de eletrodomésticos no valor de $6.000 foi realizada em três parcelas mensais e iguais de $2.100. A primeira parcela foi paga no ato da compra e as restantes a um e dois meses da data da compra. Calcule a taxa de juro desse financiamento. R: 5,09% ao mês Exercício 17 Refaça o Exercício 16 considerando que a primeira parcela será paga um mês após a data da compra e as outras duas nos meses subsequentes. R: 2,48% ao mês Exercício 18 Durante 12 meses, todo início iníc io de mês foram investidos $750 em uma conta de investimento. Se ao completar 12 meses foram resgatados $9.644,85, calcule a taxa de juro com período mensal desse investimento. investimento. R: 1,06% ao mês Exercício 19 Você comprou vários produtos com preço à vista de $7.900. Considerando que no ato da compra você pagou $1.100 e se comprometeu a pagar mais sete prestações mensais do mesmo valor, calcule a taxa de juro desse financiamento. R: 3,21% ao mês
221
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CAPITAIS DO FLUXO Conhecido o valor disponível para investir mensalmente e o valor de resgate desejado, por exemplo, o investidor se pergunta quantos investimentos periódicos, iguais e seguidos serão necessários para conseguir o resgate desejado considerando certa taxa de juro. O mesmo ocorre num financiamento quando o comprador almeja antecipar antecipar a posse de algum bem de valor conhecido e dispondo de certa quantia mensal quer saber quantas parcelas mensais, iguais e seguidas serão necessárias para quitar totalmente o financiamento considerando certa a taxa de juro. O cálculo do número de capitais do fluxo uniforme pode ser obtido da equação de valor equivalente equivalente da operação e, geralmente, o número de parcelas não é um número inteiro. Dessa maneira, será necessário realizar alguns ajustes.
Exemplo 6. Manoel decidiu comprar uma TV 3D cujo valor à vista é $4.550. O banco financia esse valor em parcelas mensais, iguais e seguidas com a taxa de juro de 3,22% ao mês, vencendo a primeira parcela um mês após o recebimento do financiamento. Manoel dispõe de até $800 por mês e quer saber quantas percelas deverá pagar para quitar esse financiamento. Solução. Do enunciado identificamos os dados e a incógnita e construímos o diagrama do tempo da parte da loja, porém sem conhecer o número de parcelas do financiamento. Uma forma aproximada de calcular o número de parcelas é analisar o resultado de dividir o valor do financiamento $4.550 pelo valor da parcela uniforme $800 que é igual a 5,69 que seria o número de parcelas com taxa de juro igual a zero. Com taxa de 3,22% ao mês, o número de parcelas deve ser maior que seis, por exemplo, sete.
Primeiro, registramos a equação de valor equivalente da operação na data zero, considerando sete parcelas de $800, como mostra a primeira linha da equação seguinte: $4.550 − $800 × (1 + 0, 0 , 03 0322)
1
−
−
$800 × (1 + 0, 0 , 03 0322)
2
−
−
− $800 × (1 + 0, 0 , 03 0322) =
$4.550 − $800 × ( (1 + 0, 0322 )
−1
+ (1 + 0, 0322 )
−2
+
+ (1 + 0, 0322)
$4.550 − $4.943,16 ,16
=
−7
) −
=
7
−
0
0
393,16 ,16 ≠ 0
Na segunda linha a primeira equação é simplificada, pondo em evidência o valor do bem, $4.550 na data zero, e a soma das sete parcelas de $800 descapitalizadass até a data zero com a taxa de juro de 3,22% e cujo valor é igual a capitalizada $4.943,16. O resultado do primeiro primeir o membro da última fórmula é $393,16 com sinal negativo, que mostra um pagamento maior do que deveria ser.
222
Matemática financeira
Concluindo, para zerar a equação de valor equivalente, equivalente, o valor das sete parcelas deveria ser menor do que $800. Agora, partindo de sete parcelas, o valor de cada parcela é $736,37, resultado obtido com: $4.550 + X × ((1 + 0, 0322)
−
1
+
(1 + 0, 0322)
2
−
+
+ (1 + 0, 0322)
7
−
)
$4.550 + X × 6,178950
=
0
=
0
X = −$736,37
Como segunda alternativa, alternativa, a seguir analisamos o resultado do pagamento de seis parcelas de $800: $4.550 − $800 × (1 + 0,03 ,0322) 0 , 03 0322) 6 = 0 −$800 × (1 + 0,
−1
,0322) − $800 × (1 + 0 ,03
−2
−
−
$4.550 − $800 × ((1 + 0, 03 0322)
−1
0322) + (1 + 0, 03
−2
+
+ (1 + 0, 03 0322)
−6
) =0
$4.550 − $4.302,33 = 247,67 ≠ 0
A soma das seis parcelas de $800 descapitalizadas até a data zero com a taxa de juro de 3,22% é igual a $4.302,33 que indica um pagamento menor do que deveria ser. Para zerar a equação de valor equivalente, o valor das seis parcelas deveria ser maior do que $800. O valor de cada uma das seis parcelas é $846,05, resultado obtido com: $4.550 + X × ((1 + 0, 0322)
−
1
+
(1 + 0, 0322)
2
−
+
+ (1 + 0, 0322)
6
−
)
$4.550 + X × 5, 37 377912
=
0
=
0
X = −$846,05
De acordo com o resultado, Manoel poderia escolher entre as alternativas alternativas de pagar seis ou sete parcelas conforme sua conveniência. conveniência. A terceira alternativa é pagar seis parcelas de $800 mais uma sétima parcela com valor igual a $309,19, como mostra o cálculo seguinte. $4.550 − $8 $ 800 × ((1 + 0, 0, 03 0322)
1
−
+
(1 + 0, 03 0322)
(1 + 0, 0, 03 0322) 7 = 0 $4.550 − $4.302, 32 3297 + X × (1 + 0, 03 0322)
+ X ×
2
−
+
+ (1 + 0, 03 0322)
−
7
−
=
0
X = −$309,19
Calculadora HP-12C Do enunciado obtemos os dados e a incógnita. [f][FIN] 3.22[i]4550[PV] 800[CH 800[CHS S][PM ][PMT][n T][n]] → 7,00
6
−
)
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
223
O resultado do número de capitais da HP-12C é arredondado para a unidade superior e deve ser compreendido da seguinte forma. Manoel poderia escolher es colher entre as alternativas de pagar seis ou sete parcelas parcela s conforme sua conveniência. Ademais, ele tem a alternativa de pagar seis parcelas de $800 mais uma sétima parcela com valor a ser determinado. Considerando que ajustemos para seis parcelas, em sequência do procedimento acima com a HP-12C: 6[n] 6[n][[PMT] → −846,05 ,05
Se ajustarmos para sete parcelas, em sequência do procediment procedimento o anterior com a HP-12C: 7[n] 7[n][P [PM MT] → −736,37 ,37
Manoel poderá escolher uma das duas alternativas mostradas, ou analisar a alternativa de seis parcelas de $800, mais uma sétima de $309,19. A seguir registramos esse procedimento de cálculo desde o início. [f][FIN] 3.22[i]4550[PV] 800[CH 800[CHS] S][P [PM MT][n] → 7,00 6[n][P 6[n][PV] → 4.3 4.302, 02, 3297 3297 [CH [CHS]455 ]4550[ − ] → 247,670 ,6703 [PV] 0 [PMT] 7 [ n] n] [ F FV V] → −309, 19 19
Função financeira NPER do Excel Como o fluxo de capitais uniformes é do tipo postecipado, então Tipo = 0. O número de capitais do fluxo uniforme é 6,382735, resultado obtido com: =
NPER( NPER(0,032 0,0322 2; −800 800;; 45 4550 50;; 0; 0) → 6,3827 6,382735 35
Esse valor é um resultado matemático que deve ser utilizado apenas como orientação do número de parcelas. Como já registramos, Manoel poderia escolher entre as alternativas de pagar seis ou sete parcelas conforme sua conveniência. Ademais, ele tem a alternativa de pagar seis parcelas de $800, mais uma sétima parcela com valor a ser determinado. Realizando o ajuste como se mostra a seguir: Considerando seis parcelas, o ajuste do valor da parcela é realizado com a função financeira PGTO: =
PGTO(0,03 O(0,0322 22;6 ;6;; 45 4550 50;; 0; 0) → −84 846,05 6,05
Considerando sete parcelas: =
PGTO(0,03 O(0,0322 22;; 7; 45 4550 50;; 0;0) → −73 736,3 6,37 7
224
Matemática financeira
Considerando que ajustemos para seis parcelas de $800 mais uma sétima parcela de $309,19 cujo resultado é obtido com a fórmula: =
VF(0,032 F(0,0322 2; 7; 0; 45 4550 50 − VP(0,032 P(0,0322 2;6; −80 800 0; 0; 0); 0); 0) → −30 309, 9,19 19
Modelo Fluxo Uniforme Depois de informar os dados, a incógnita e selecionar o tipo postecipado de fluxo uniforme, clicando em Calcular o o modelo realiza o cálculo do número de capitais e registra na célula C8 o resultado sete. O resultado do número de capitais deste modelo também é arredondado para a unidade superior e deve ser compreendido da seguinte forma.
Manoel poderia escolher entre as alternativas de pagar seis ou sete parcelas conforme sua conveniência.
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
225
Ademais, ele tem a alternativa de pagar seis parcelas de $800 mais uma sétima parcela com valor de $309,19.
226
Matemática financeira
Nova Função Financeira FluxoUnif para Excel Registrando a fórmula com a nova função numa célula planilha Excel com os dados do exemplo, obtemos o resultado procurado: =
Flux FluxoU oUni nif(455 f(4550 0; 0; −80 800 0; 0, 03 0322 22;" ;" X '';" '';" Poste oste '') '') → 7
O resultado do número de capitais da nova função é arredondado para a unidade superior e deve ser compreendido da seguinte forma. Manoel poderia poderi a escolher entre as alternativas alternat ivas de pagar seis ou sete parcelas conforme sua conveniência. Ademais, ele tem a alternativa de pagar seis parcelas de $800, mais uma sétima parcela com valor a ser determinado. Realizando o ajuste como se mostra a seguir: Considerando seis parcelas, o ajuste é realizado r ealizado com a mesma função como segue: =
Fluxo luxoU Unif(45 nif(4550 50;; 0;" X ''; 0,0322 0,0322;6;"Po ;6;"Posste '') → −84 846,05 6,05
Considerando que ajustemos para sete parcelas: =
Fluxo luxoU Unif(45 nif(4550 50;; 0;" X ''; 0,0322 0,0322;; 7;" Poste'' oste'')) → −73 736,37 6,37
Considerando que ajustemos para seis parcelas de $800 mais uma sétima parcela de $309,19 cujo resultado é obtido com a fórmula: Fluxo FluxoUn Unif(455 if(4550 0 − Fluxo FluxoUn Unif(" if(" X ''; ''; 0; −800 800;; 0, 032 0322 2; 6;" Post Poste e ''); ''); " X ''; 0; 0,032 0,0322; 7;"Pos ;"Poste '') → −30 309 9,19 ,19 =
TVMod Primeiro calculamos o valor das parcelas do plano de seis parcelas e depois do plano de sete parcelas.
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227
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Matemática financeira
A seguir, o plano de pagar seis parcelas iguais de $800 e uma sétima parcela igual a $309,19.
Capítulo | 9 Fluxo uniforme de capitais
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Com o TVMod tanto tanto a obtenção do resultado como o ajuste são compreensíveis, compreensí veis, simples e diretos.
Exemplo 7. Para formar um fundo de $15.000 se dispõe de $1.200 por mês durante doze meses. Calcule quantos depósitos mensais iguais e seguidos se devem realizar no início de cada mês para formar esse fundo, fund o, considerando que a taxa de juro de 1% ao mês. investidor, com a nova função FluxoUnif Solução. Considerando a parte do investidor, obtemos o número doze de depósitos mensais iguais e seguidos, começando o primeiro na data zero, resultado obtido com: =
Flux FluxoU oUni nif(0;1 f(0;150 5000 00;; −1200 1200;; 0, 01 01;" ;" X ''; ''; 0) → 12
O resultado do número de capitais da nova função é arredondado para a unidade superior e deve ser compreendido da seguinte forma. O inv investidor estidor deve escolher entre as alternativas de depositar onze ou doze parcelas para resgatar $15.000 após doze meses, cujos valores deixamos por conta do leitor determinar. Ademais, o investidor tem a alternativa realizar onze investimentos de $1.200 e o último valor de $832,48, como mostram os procedimentos seguintes com TVMod.
230
Matemática financeira
EXERCÍCIOS Exercício 20 Calcule quantos investimentos mensais de $1.361,62 se devem realizar no início de cada mês para resgatar $10.000, considerando a taxa de juro de 1,20% ao mês. R: 7 depósitos Exercício 21 Economizando Economizand o mensalmente $800, José está analisando a possibilidade de comprar diversos equipamentos para sua casa no valor à vista de $7500. Considerando a taxa de juro de 2,80% ao mês, calcule o número de parcelas mensais, iguais e seguidas necessárias para pagar esse financiamento nas seguintes duas alternativas: a) primeira parcela na compra e b) primeira parcela um mês depois da data da compra. R: a) 10,68 parcelas e b) 11,03 parcelas Exercício 22 Continuando com o Exercício 21, ajuste o número de parcelas das duas alternativas e calcule os novos valores das parcelas. R: a) 11 parcelas de $779,79 e b) 11 parcelas de $801,63
Capítulo 10
Operações com fluxos de capitais Neste Capítulo 10 o leitor aprenderá: ● ● ● ● ● ●
A Operação de Financiamento com Carência A Operação de Financiamento com Entrada A Operação de Leasing A Liquidação Antecipada de um Financiamento A Renegociação de uma Dívida Planos Especiais
A partir do Capítulo 7 tratamos das operações financeiras com fluxo de três ou mais capitais no regime de juro composto. Algo em comum às operações descritas é a equivalência entre um fluxo f luxo de capitais e um único capital. Mas, também há equivalências entre dois fluxos de capitais, como a troca de um fluxo de capitais com datas futuras por outro fluxo com capitais diferentes em outras datas futuras, mantendo ou não a taxa de juro do primeiro fluxo. Na resolução dos cálculos financeiros das operações financeiras com juro composto deste capítulo, continuamos aplicando os dois instrumentos de resolução de operações financeiras que a seguir resumimos: ● ●
O diagrama do tempo desenhado para uma das partes da operação. A equação de valor equivalente estabelecendo que a soma algébrica de todos os capitais da operação financeira (valores conhecidos e a incógnita) capitalizados ou descapitalizados até uma mesma data é igual a zero, considerando certa taxa de juro. A capitalização e a descapitalização são reguladas com a fórmula da operação financeira com dois capitais com juro jur o composto F = P × (1 + i) / ●
n m
Quanto maior a diversidade de capitais da operação, maior é a recomendação de construir seu diagrama do tempo para auxiliar na compreensão da operação e facilitar a resolução do cálculo financeiro. Como já registramos, o resultado da equação de valor equivalente na operação com juro composto não depende da data de análise escolhida. 231
232
Matemática financeira
OPERAÇÃO DE FINANCIAMENTO F INANCIAMENTO COM CARÊNCIA Na operação de financiamento com parcelamento e carência ou diferimento, o primeiro pagamento é realizado numa data posterior diferente da periodicidade das parcelas seguintes. O financiamento pode ser acertado para ser devolvido com um fluxo uniforme diferido, na qual o primeiro pagamento não ocorre nem na data zero nem no final do primeiro período e sim numa data posterior. Por exemplo, se o primeiro pagamento ocorrer no final do período quatro, então o fluxo uniforme foi diferido de três períodos. Na resolução com as ferramentas tecnológicas tradicionais, como a calculadora HP-12C, o procedimento de solução é realizado em dois ou mais passos, cuidando de manter a equivalência da operação, e recomendando começar pela construção do diagrama do tempo. Com o diagrama do tempo e a equação de valor equivalente ou o TVMod o o cálculo será direto. Exemplo 1. Para aumentar as vendas a loja acertou com os fornecedores de eletrodomesticos um plano diferenciado de vendas. As vendas serão realizadas em quatro parcelas mensais, iguais e seguidas, porém a primeira ocorrerá no final do terceiro mês após a data da compra. Calcule o valor dessas quatro parcelas parcela s considerando o financiamento de $5.000 com a taxa de juro de 2,70% ao mês. Solução. Começamos por desenhar o diagrama do tempo da parte do comprador. Na data zero, o comprador recebe o bem no valor de $5.000 e começa a pagar as quatro parcelas mensais, iguais e seguidas no final do terceiro mês após a data da compra.
Com os dados do diagrama registramos a equação de valor equivalente desse financiamento considerando considerando como data de análise a data zero. $5.000 + X × (1 + i)
3
−
+
X
×
(1 + i)
4
−
+
X
×
(1 + i)
5
−
X
+
×
(1 + i)
6
−
=
0
Depois de substituir os dados na equação, obtemos o valor $1.408,59 com sinal negativo das quatro parcelas mensais, iguais e seguidas, sendo a primeira no final do tereceiro mês. $5.000 + X × ((1 + 0, 02 027)
−
3
+
(1 + 0, 027)
4
−
+
(1 + 0, 027)
5
−
$5.000 + X × ( 0,92 0,92318485 + 0,89 ,89891417 + 0,87 ,87528157 + 0,8 0,85227027) = 0 $5, 00 000 + X × 3, 54 54965329 = 0 X = −$1.408,59
+
(1 + 0, 027)
6
−
)=0
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
233
Calculadora HP-12C Como a calculadora HP-12C não resolve de forma direta, o procedimento de cálculo deverá ser feito em dois passos. O primeiro passo é deslocar o capital financiado até a data dois, ou capitalizar $5.000 durante dois meses com a taxa de juro de 2,70% ao mês. Nesse momento o diagrama do tempo será o de um fluxo uniforme com capitais postecipados. [f][FIN] 2[n]2.70[i]5000[PV] [FV][CH [FV][CHS][ S][ST STO][0] O][0] → 5.273 5.273,, 6450 6450
O resultado de [FV] é negativo e com [CHS] é convertido em positivo. A seguir, com a instrução [STO] 0 esse valor é armazenado na memoria 0 da HP-12C. Continuando, [f][FIN] 4[n]2.70[i] [RCL][0][PV]
Nessa linha de instruções informamos o número de capitais, a taxa de juro, recuperamos o valor da memória 0 e inserimos esse valor na tecla [PV]. Finalmente, calculamos calculamos o valor dos capitais do fluxo uniforme. [PMT] → −1.408,59 ,59
Tendo prática com a HP-12C, esse procedimento pode ser simplificado como se segue: [f][FIN] 2[n]2.70[i] 5000[PV][FV][CHS] 5000[PV][FV][CHS] → 5.273,6450 5.273,6450 resul resulta tado do inter interme medi diár ário io [PV]4[n] [0][ [0][F FV][P V][PM MT] → −1.4 1.408,59 08,59
Outra forma de resolver é considerando o fluxo uniforme de capitais do tipo antecipado. Nesse caso, o valor $5.000 do capital financiado deve ser deslocado até a data três, ou capitalizado durante três meses com a taxa de juro de 2,70% ao mês. Substituindo os dados do exemplo, o valor das parcelas é $1.408,59 com sinal negativo, obtido com: [g][BEG] [f][FIN] 3[n]2.70[i] 5000[PV][F 5000[PV][FV][CH V][CHS] S] → 5.416,0334 5.416,0334 resu result ltad ado o inter interme medi diár ário io [PV]4[n] [0][ [0][F FV][P V][PM MT] → −1.40 .408,59
234
Matemática financeira
Função financeira PGTO do Excel A função financeira PGTO do Excel não resolve esse cálculo de forma direta ou, de outra maneira, os dados registrados no diagrama do tempo não são suficientes. O valor $5.000 do capital financiado deve ser deslocado até a data dois, ou capitalizado durante dois meses com a taxa de juro de 2,70% ao mês. Sendo o fluxo uniforme de capitais do tipo postecipado, o argumento Tipo = 0. Substituindo os dados do exemplo, o valor das parcelas é $1.408,59, $1.408, 59, com sinal negativo obtido com: =
PGTO(0, (0, 02 027 7; 4;500 ;5000 * (1 + 0,027 0,027) ^ 2; 0; 0) → −1.40 1.408,5 8,59 9
Outra forma de resolver é considerando o fluxo uniforme de capitais do tipo antecipado com argumento Tipo = 1. Nesse caso, o valor $5.000 do capital financiado deve ser deslocado até a data três, ou capitalizado durante três meses com a taxa de juro de 2,70% ao mês. Substituindo os dados do exemplo, o valor das parcelas é $1.408,59 com sinal negativo obtido com: =
PGTO(0,02 O(0,027 7; 4;500 ;5000 * (1 + 0,027 0,027) ^ 3; 0;1) ;1)
→ −1.40 .408,59
Modelo Fluxo Uniforme Este modelo também não resolve a operação com carência de forma direta. O valor $5.000 financiado deve ser capitalizado durante dois meses com a taxa de juro de 2,70% ao mês, cujo resultado será o valor presente do fluxo uniforme de quatro capitais postecipados que devem ser determinados. Como boa prática, antes de informar os dados o leitor deve clicar no botão Limpar dados. Considerando o fluxo postecipado, na célula C4 registramos a fórmula =5000*(1 + C7)^2 cujo resultado é 5.273,65 e completamos completamos as restantes células como já sabemos. Depois de clicar em Calcular o o modelo realiza o cálculo solicitado e registra o resultado na célula correspondente.
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
235
Deixamos para o leitor refazer o cálculo com este modelo considerando o fluxo antecipado.
Nova Função Financeira FluxoUnif Esta nova função não resolve este cálculo de forma direta. O valor $5.000 do capital financiado deve ser capitalizado durante dois meses com a taxa de juro de 2,70% ao mês. Sendo o fluxo uniforme de capitais do tipo postecipado, o argumento é Tipo = 0. Substituindo os dados do exemplo, o valor das parcelas é $1.408,59 com sinal negativo obtido com: =
Fluxo luxoU Unif(5 nif(500 000 0 * (1 + 0,027) 0,027) ^ 2; 0;" X ''; 0,027; 0,027; 4;" Post oste '') → −1.40 1.408,59 8,59
Outra forma de resolver é considerando o fluxo uniforme de capitais do tipo antecipado com argumento Tipo = 1. Nesse caso, o valor $5.000 do capital financiado deve ser capitalizado durante durant e três meses com a taxa de juro de 2,70% ao mês. Substituindo os dados do exemplo, o valor das parcelas é $1.408,59 com sinal negativo obtido com: =
Flux uxoU oUni nif(5 f(50 000* (1 + 0,027 0,027) ^ 3; 0;" X ''; 0,027 0,027; 4;" Ante nte '') → −1.40 1.408,5 8,59 9
Resolvendo com o TVMod Os dados registrados no diagrama do tempo são suficientes para realizar esse cálculo com este modelo. A primeira figura mostra o modelo depois com os dados e a incógnita, sendo o valor da compra registrado com valor positivo representando o comprador que recebeu um bem de valor $5.000.
236
Matemática financeira
Note que entre o diagrama do tempo da operação e o registro dos dados e da incógnita no modelo há uma grande similitude. Depois de clicar em Calcular , as incógnitas são calculadas e registradas no modelo. Este exemplo mostra a vantagem de realizar esses cálculos com o modelo.
EXERCÍCIOS Exercício 1
Parte das compras no valor de $6.800 será financiada em cinco parcelas mensais, iguais e seguida, sendo que a primeira ocorrerá no final do segundo mês após a data da compra. Calcule o valor das cinco parcelas com a taxa de juro de 2,65% ao mês. R: $1.516,39 Exercício 2
O financiamento de $10.000 será realizado em sete parcelas mensais de $1.650 sendo que o pagamento da primeira parcela ocorrerá no final do terceiro mês após a data de recebimento do financiamento. Calcule a taxa de juro desse financiamento. R: 2,45% ao mês
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
237
Exercício 3
Continuando com o Exercício 2. O tomador lembrou que no final do sexto mês após a data de recebimento do financiamento disporá de $1,850. Calcule o valor das novas prestações mensais considerando a taxa de juro de 2,45% ao mês. R: $1.385,95
OPERAÇÃO DE FINANCIAMENTO COM ENTRADA Uma operação frequente é o financiamento em parcelas mensais com uma entrada no ato da compra igual ou diferente das parcelas. Exemplo 2. A compra de mercadorias no valor de $2.700 será financiada pela loja com 15% de entrada sobre o valor da compra, mais cinco parcelas mensais, iguais e seguidas, vencendo a primeira um mês após a data da compra. Calcule o valor das prestações com a taxa de juro de 2,50% ao mês. Solução. O diagrama do tempo do financiamento da parte do comprador registra a descrição da operação incluindo a entrada de 15% igual a $405 na data zero.
Ao fechar a compra na data zero, para receber a mercadoria no valor de $2.700 o comprador deverá pagar $405 referente à entrada. Também ele se compromete a pagar cinco prestações mensais iguais e seguidas, de valor ainda desconhecido. Note que o comprador está financiando $2.295 em cinco prestações mensais iguais e seguidas, vencendo vence ndo a primeira um mês depois da data da compra, como mostra o diagrama do tempo seguinte.
Com os dados do diagrama registramos r egistramos a equação de valor equivalente desse financiamento, considerando a data zero. $2.295 + X × ((1 + 0, 02 025) (1 + 0, 02 025)
+
4
−
+
1
−
(1 + 0, 02 025)
+ 5
−
(1 + 0, 02 025)
2
−
+
(1 + 0, 02 025)
)=0
$2.295 + X × 4, 64 64582850 = 0 X = −$493,9915
3
−
238
Matemática financeira
Calculadora HP-12C A calculadora HP-12C resolve este cálculo de forma direta, incluindo uma operação de subtração na data zero. Na data zero, para receber a mercadoria no valor de $2.700 o comprador deverá pagar $405 referente à entrada. Note que o comprador está financiando $2.295 em cinco prestações mensais iguais e seguidas. Como boa prática, começamos por zerar as memórias financeiras f inanceiras da calculadora. [f][FIN] 5[n]2.50[i] 2700[E]405[ 2700[E]405[− ][PV] ][PV] [PM [PMT] → 493,99
FUNÇÃO FINANCEIRA PGTO DO EXCEL A função financeira PGTO do Excel resolve este cálculo de forma direta, incluindo uma operação de subtração na data zero. Na data zero, para receber a mercadoria no valor de $2.700 o comprador deverá pagar $405 referente à entrada. Note que o comprador está financiando $2.295 em cinco prestações mensais iguais e seguidas. Sendo o fluxo uniforme de capitais do tipo postecipado, substituindo os dados do exemplo, o valor das parcelas é $493,99 com sinal negativo obtido com: =
PGTO(0,02 O(0,025 5;5; ;5; 27 2700 00 − 405 405;; 0; 0) → −49 493 3,99
Modelo Fluxo Uniforme Este modelo resolve esse cálculo de forma direta, incluindo uma operação de subtração na data zero. Como boa prática, começamos por Limpar dados. A seguir, registramos os dados dessa operação, na célula C4 registramos a fórmula =2700-405 cujo resultado é $2.295 e completamos as restantes células como já sabemos. Depois de clicar em Calcular o o modelo realiza o cálculo solicitado e registra o resultado na célula correspondente.
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
239
Nova Função Financeira FluxoUnif Esta nova função resolve este cálculo de forma direta, dire ta, incluindo uma operação de subtração na data zero. Na data zero, para receber a mercadoria no valor de $2.700 o comprador deverá pagar $405 referente à entrada. Note que o comprador está financiando $2.295 em cinco prestações mensais iguais e seguidas. Sendo o fluxo uniforme de capitais do tipo postecipado, o argumento é Tipo = 0. Substituindo os dados do exemplo, o valor das parcelas é $493,99 com sinal negativo obtido com: =
Fluxo luxoU Unif(27 nif(2700 00 − 405 405; 0;" X ''; 0,025 0,025; 5;" Post oste '') → −49 493 3,99
Resolvendo com o TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita. O valor da compra foi registrado com valor positivo porque o comprador recebeu rec ebeu um bem no valor $2.700, e o valor da entrada $405 foi registrado com valor negativo porque o comprador realizou um desembolso.
240
Matemática financeira
Depois de clicar no botão Calcular , as incógnitas são calculadas e registradas no modelo. Esse exemplo mostra a vantagem de realizar esses tipos de cálculo com o modelo TVMod .
EXERCÍCIOS Exercício 4
A compra do carro no valor de $15.800 será financiada com entrada de 25% sobre o valor do carro mais dez parcelas mensais, iguais e seguidas, vencendo a primeira um mês após a data da compra. Calcule o valor das prestações com a taxa de juro de 1,75% ao mês. R: Entrada de $4.625 e dez parcelas mensais de $1.524,52 Exercício 5
Continuando com o Exercício 4. Como o comprador dispõe de $1.300 por mês, calcule quanto deveria ser o valor da entrada considerando consider ando a mesma taxa de juro. R: $6.668,41 ou 36,05% de entrada Exercício 6
Considerando a taxa de juro de 3,80% ao bimestre, a compra de um bem foi realizada com uma entrada de $3.000 mais cinco prestações bimensais iguais e seguidas no valor de $1.563,57 $1.563,57,, ocorrendo a primeira um bimestre após a compra. Calcule o valor financiado. R: $10.000
OPERAÇÃO DE LEASING Leasin Lea sing g ou arrendamento mercantil 1 é uma operação realizada entre três partes e envolve um ativo, por exemplo, um fabricante de equipamentos de informática, uma empresa que utilizará esses equipamentos e uma instituição 1. A operação de leasing tem regulamentação específica e há diversas formas, por exemplo, operacional, financeiro etc.
241
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
financeira que comprará do fabricante esses bens e os alugará à empresa. Da operação de leasing fazem parte o valor do bem na data zero, o valor residual no final do prazo da operação que a empresa deverá pagar para adquirir esses bens na finalização do prazo, o número de contraprestações (prestações) mensais e a taxa efetiva de juro da operação. Exemplo 3. Em vez da compra direta de equipamentos de TI o o fabricante
oferece realizar essa compra utilizando um contrato de leasing apoiado por um banco. O valor dos equipamentos é 850.000 e seu valor residual é de $50.000, a ser pago junto com o pagamento da última parcela do financiamento. Considerando a taxa de juro de 1,35% ao mês, calcule o valor das doze contraprestações mensais, iguais e seguidas, começando a primeira um mês após o recebimento dos equipamentos. Solução. Começamos por construir o digrama do tempo da parte da empresa empres a que receberá os equipamentos.
A seguir registramos a equação de valor equivalente na data zero: $850.000 + X × ((1 + 0, 01 0135) $50.000 × (1 (1 + 0, 0, 01 0135)
−
12
−
=
1
−
+
(1 + 0, 01 0135)
2
−
+
+ (1 + 0, 01 0135)
12
−
)
0
Realizando os cálculos indicados, obtemos o valor das doze contraprestações de 73.335,48 com sinal negativo: $850.000 + X × 11,01 ,0101203 − $42.568,16879 X
=
0
=
−
$73.335,42
Calculadora HP-12C Esse resultado se obtém também com as cinco teclas financeiras da calculadora financeira HP-12C. [f][FIN] [g][END]Se [g][END]Se for for necess necessári ário. o. 850000[PV]50000[CHS][FV] 12[n]2.5[i] [PMT] → −75.335,42
242
Matemática financeira
Função financeira PGTO do Excel Substituindo os dados do exemplo na função financeira PGTO do Excel registrada na planilha obtemos o valor das doze contraprestações com a seguinte fórmula: =
PGT PGTO(0, O(0, 01 0135 35;12 ;12;850 ;85000 000 0; −50 5000 000 0; 0) → −75 75.3 .335 35,, 42
Modelo Fluxo Uniforme Substituindo os dados do exemplo no modelo Fluxo uniforme como mostra a primeira figura e a seguir clicando em Calcular obtemos obtemos o valor das doze contraprestações como mostra a segunda figura.
Nova Função Financeira FluxoUnif Substituindo os dados do exemplo na nova função financeira FluxoUnif e registrada na planilha, obtemos o valor das doze contraprestações com a fórmula seguinte:
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
=
243
Fluxo luxoUn Unif( if(85 8500 0000 00;; −50 5000 000 0;" X '''';; 0, 01 0135 35;12 ;12;" ;" Post Poste e '') '') → −75 75.3 .335 35,, 42
Resolvendo com o TVMod A primeira figura mostra o modelo depois de informar os dados e a incógnita.
Depois de clicar no botão Calcular , as incógnitas são calculadas e registradas no modelo. Esse exemplo mostra a vantagem de realizar esses tipos de cálculo com o modelo TVMod .
EXERCÍCIOS Exercício 7
A compra de um equipamento será realizada com uma operação de leasing. O valor do equipamento é $78.000 e seu valor residual, resi dual, $3.000. O prazo da operação é de doze meses e a taxa de financiamento, 1,36% ao mês. Calcule
244
Matemática financeira
o valor da contraprestação, sendo que o primeiro pagamento será realizado após um mês do início do leasing. R: $6.856,98 Exercício 8
Continuando com o Exercício 7. Calcule quanto deverá ser o valor residual se o valor das contraprestações for $5.000 e mantendo o mesmo prazo e taxa de juro. R: $27.028,47 Exercício 9
Refaça o Exercício 7 considerando que as doze contraprestações serão pagas no início de todo mês. R: $6.764,97
LIQUIDAÇÃO ANTECIPADA DE UM FINANCIAMENTO Depois de ter iniciado o pagamento das parcelas de um financiamento, às vezes é necessário antecipar sua liquidação antes da data da última parcela, ou refinanciar o plano, substituindo o que resta por pagar por outro plano equivalente, com mais parcelas e maior prazo. Exemplo 4. Antes de realizar o pagamento da terceira parcela do plano de financiamento do Exemplo 2 deste capítulo e no mesmo mes mo dia, o financiado solicita liquidar a dívida. Calcule o saldo devedor nessa data, considerando cons iderando a mesma taxa taxa de juro de 2,50% ao mês utilizada no cálculo das parcelas. Solução. Começamos por repetir o diagrama do tempo com todos os capitais da operação, da parte do financiado, considerando cinco parcelas iguais a $493,9915. 2
Depois registramos a equação de valor equivalente na data três, a data de liquidação do financiamento. $2.295 × (1 + 0,02 ,025) ×
3
−
$493,99 ,9915 × ((1 + 0,02 ,025)
2
+
(1 + 0,02 ,025)
1
,9915 ) − $493,99
1 2 0, 025) + (1 + 0, 0, 025) ) = 0 (1 + (1 + 0, −
−
2. Consideramos as parcelas com quatro decimais para não prejudicar a demonstração que será realizada devido a arredondamentos.
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
245
Analisemos os três grupos de parcelas dessa expressão: ●
●
●
A primeira parcela é o valor financiado capitalizado até a data três, com sinal positivo. O segundo grupo é a soma das duas primeiras parcelas pagas e capitalizadas até a data três, ambas as parcelas com sinal negativo. E o terceiro grupo é a soma das três últimas parcelas, uma parcela ainda não paga na data 3 e duas parcelas nas datas 4 e 5, ainda não pagas e descapitalizadas até a data três, todas com sinal negativo.
Passando o terceiro grupo para o segundo membro da equação de valor equivalente, esse grupo se torna positivo. Realizando os cálculos das expressões dos dois membros da fórmula, verifique o leitor que, apesar de terem dados diferentes, os resultados dos dois membros são iguais a $1.446,12. $2.295 × (1 + 0,02 ,025) $1.4 $1.446 46,1 ,12 2
3
−
$493,99 ,9915 × ((1 + 0,02 ,025)
=
$493,99 ,9915 × (1 + (1 + 0,02 ,025)
=
$1.4 $1.446 46,1 ,12 2
1
−
+
2
+
(1 + 0,02 ,025)
(1 + 0,02 ,025)
2
−
1
)
)
De outra maneira, a soma dos capitais à esquerda da data de análise (meses zero, um e dois) capitalizados até a data três é igual a $1.446,12. E a soma dos capitais à direita da data de análise (meses três, quatro e cinco) descapitalizados até a data três é igual a $1.446,12. Como conclusão, ●
●
Em qualquer data de análise do fluxo de capitais da operação, na equação de valor equivalente há uma igualdade entre os capitais anteriores e posteriores à data de análise, exceto o sinal oposto dos dois grupos de capitais, pois a soma dessa equação deve ser igual a zero. Em termos práticos, o resultado da antecipação da liquidação da dívida em certa data pode ser obtido somando os valores realizados capitalizados até a data da liquidação, ou somando os valores a realizar descapitalizados até a data da liquidação considerando a mesma taxa de juro que deu origem ao plano inicial.
Resolvendo com as Ferramentas Tecnológicas Tecnológicas No exemplo foram mostradas duas formas algébricas de resolver o cálculo de liquidação em certa data de uma dívida. O princípio desses dois cálculos está na formação da equação de valor equivalente na data de quitação da dívida. Na resolução com as ferramentas f erramentas de cálculo tradicionais nem sempre os dois procedimentos podem ser realizados, ou são de resposta direta. O que se deve ter presente é que basta um dos dois procedimentos para obter o resultado desejado.
246
Matemática financeira
Calculadora HP-12C Para calcular o valor antecipado do resgate da dívida na data três, um procedimento utiliza os valores a realizar considerando a taxa de juro de 2,50% ao mês. Com os dados do diagrama do tempo e as teclas da calculadora: [g][BEG]Se for for necess necessári ário o [f][FIN] 3[n]2.50[i] 493.99 493.9915[P 15[PMT] MT][PV] [PV] → −1.446, 1.446,122 1226 6 O sina sinall negat negativ ivo o não não deve deve ser ser cons consid ider erad ado o
Utilizando as teclas do fluxo de capitais: [f][REG] 2295[g][CF0 ] 493.9915[CHS][g][CF j ]2[g][N j] 2.50 2.50 [i][f][NPV] → 1.342 1.342,87 ,87 Resul Resulta tado doin inte term rmed ediár iário iona na data data zero zero [E] [E]1.0 1.025[E 25[E]3[ ]3[ y x ] → 1.446 .446,1 ,12 2
Este último procedimento é realizado em dois passos e é um pouco mais complexo que o primeiro. Outro procedimento utiliza os valores realizados, embora necessite um pouco mais de explicações. [g][END]Se [g][END]Se for for necess necessári ário o [f][FIN] 3[n]2.50[i] 493. 493.99 9915[ 15[P PMT][F T][FV] → −952, 952,13 1314 14
O sinal não deve ser considerado, e o resultado corresponde corres ponde a um fluxo de três capitais uniformes de 493,9915. Como o terceiro capital ocorre na data três, esse valor deve ser somado ao resultado anterior com sinal positivo, como se mostra a seguir. [CH [CHS]493. ]493.99 9915[ 15[+ ] → − 1.44 1.446, 6,12 1226 26
Função financeira do Excel Utilizando o raciocínio da calculadora, uma das formas é considerando os valores realizados: = −VF(0,025 VF(0,025;; 3; −493 493,9915; ,9915; 22 2295 95;; 0) + 49 493 3,9915 → 1.44 1.446,1 6,12 2
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
247
Considerando os capitais da data três em diante temos: =
VP(0,025; P(0,025; 3; −493, 493, 99 9915 15;; 0;1) ;1) → 1.44 1.446,1 6,12 2
Nova Função Financeira FluxoUnif Uma das formas é considerando os valores a realizar: =
Flux FluxoU oUni nif(" f(" X '''';; 0; −49 493 3, 99 9915 15;; 0,025; 0,025; 3;" Ante Ante '') → 1.44 1.446,1 6,12 2
Outra forma é considerando os valores realizados: =
Fluxo luxoU Unif(229 nif(2295 5 + 49 493 3,9915;" ,9915;" X '''';; −49 493 3, 99 9915 15;; 0, 02 025 5; 3;" Ante Ante '') '') → −1.44 1.446,1 6,12 2
Deixamos a resolução com o modelo Fluxo uniforme por conta do leitor.
Resolvendo com o TVMod Com este modelo a solução se obtém de maneira direta. Lembrando que em qualquer data de análise do fluxo de capitais da operação há uma igualdade entre os valores realizados e os valores a realizar, no TVMod informamos informamos os valores das parcelas realizadas com quatro decimais e iguais a $493,9915 e registramos X na data da liquidação do financiamento, data três neste caso.
Como foi mostrado, no cálculo com o TVMod não não é necessário estabelecer uma data de análise, apenas se devem transferir os capitais já realizados e a incógnita do diagrama do tempo. Depois de clicar em Calcular , o modelo TVMod calcula calcula a incógnita e registra seu resultado no modelo. Este exemplo é outro que mostra a vantagem de realizar esses tipos de cálculo com o modelo TVMod .
248
Matemática financeira
Considerando as três parcelas não pagas, o cálculo do saldo devedor na data três é equacionado como segue no modelo considerando os capitais não pagos.
Depois de clicar no botão Calcular o o modelo TVMod calcula calcula a incógnita e registra seu resultado.
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
249
COMENTÁRIOS Registramos que o resultado da antecipação da liquidação de uma dívida em certa data pode ser obtido somando os valores realizados capitalizados até a data de liquidação, ou somando os valores a realizar descapitalizados até a mesma data de liquidação considerando a mesma taxa de juro que deu origem ao plano inicial. Essa regra é válida para qualquer data, por exemplo: Depois de pagar a última parcela par cela na data cinco e no mesmo dia, a soma s oma dos valores realizados capitalizados até essa data é zero, pois o financiamento f inanciamento foi totalmente pago. Depois de receber o financiamento e no mesmo dia, a soma dos valores a pagar descapitalizados até essa data é $2.295, com sinal negativo. Em qualquer data posterior à data cinco, a soma dos valores realizados capitalizados até essa data é zero, pois o financiamento foi totalmente pago. Embora no exemplo a liquidação tenha sido realizada realiza da no final de um período, ela pode ser realizada em qualquer data. Mantendo a periodicidade inteira de ocorrência dos capitais, a nova data poderia ser um número não inteiro, por exemplo, 3,25. Entretanto, nesse caso, a melhor solução se obtém convertendo o fluxo com periodicidade diária, e o período da taxa de juro também. ●
●
●
EXERCÍCIOS Exercício 10
O financiamento de $120.000 será devolvido em cinco parcelas parce las mensais com os valores registrados na tabela obtidos com a taxa de juro de 1,80% ao mês. Antes de realizar o pagamento da terceira parcela do plano de financiament financiamentoo o financiado solicitou liquidar a dívida. Calcule quanto deverá ser pago, considerando os valores realizados até a data três e a mesma taxa de juro. 1 $14.063,39
2 $28.126,77
3 $42.190,16
4 $28.126,77
5 $14.063,39
$83.390,06
R:
Exercício 11
Refaça o Exercício 10 calculando quanto deverá ser pago considerando os valores não realizados até a data três e a mesma taxa de juro. R: $83.390,06 Exercício 12
Na data de hoje o cliente realizou compras no valor de $43.000 e se comprometeu a pagar em cinco parcelas com os valores registrados na tabela e suas respectivas datas contadas em dias e a partir de hoje. Antes de realizar o pagamento da segunda parcela o cliente solicitou liquidar liquida r a dívida. Calcule quanto deverá ser pago considerando a taxa de juro de 2,30% aos 30 dias. 35 $6.630,05
$38.330,92
R:
63 $6.630,05
92 $9.945,08
121 $13.260,11
154 $9.945,08
250
Matemática financeira
RENEGOCIAÇÃO DE UMA DÍVIDA O procedimento utilizado para calcular o saldo devedor para liquidação antecipada de uma dívida também pode ser utilizado para renegociar uma dívida antes de sua quitação final. Às vezes uma ou mais promessas de pagamento que saldam uma dívida em certas datas devem ser trocadas ou substituídas por outras promessas com outros valores e em datas diferentes. Por acerto entre as partes da transação financeira comumente é conveniente realizar essa troca de ativos. Exemplo 5. A venda de produtos no valor de $11.300 foi financiada em
quatro parcelas mensais iguais e seguidas de $3.061,8448, vencendo a primeira um mês após a data da compra e calculadas com a taxa de juro de 3,30% ao mês. Antes de pagar a segunda parcela e no mesmo dia de seu vencimento,, o comprador solicitou refinanciar as três parcelas adiando um vencimento mês a data de cada parcela. Calcule o valor das novas prestações mensais mantendo a mesma taxa de juro. Solução. Resumindo a operação, o cliente recebeu $11.300 em diversos diver sos produtos com o compromisso de pagar quatro parcelas mensais iguais e seguidas de $3.061,8448, com quatro casas decimais para diminuir erros de arredodamento, vencendo a primeira um mês após a data da compra, e calculadas com a taxa de juro de 3,30% ao mês.
A primeira parcela foi paga na data, porém antes de pagar a segunda parcela e no mesmo dia de seu vencimento, o cliente solicitou refinanciar refina nciar as três parcelas, vencendo venc endo a primeira no final do mês seguinte e as outras nos meses subsequentes. Com os dados disponíveis, o valor das três novas parcelas será calculado diretamente com o modelo TVMod , mostrando duas formas de realizar o mesmo cálculo. Partindo da operação inicial e considerando a parte da empresa com o valor financiado $11.300 com sinal negativo e os valores das prestações $3.061,8448, e continuando
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
251
com o TVMod , a seguir apagamos os valores das três últimas parcelas e incluímos as incógnitas das três novas parcelas ainda desconhecidas, mantendo a mesma taxa de juro.
Depois de clicar em Calcular , obteremos os valores das três últimas parcelas iguais, mensais e seguidas de $3.162,89, a partir do final do terceiro mês após a data da compra.
Note o leitor que no TVMod não não é necessário manter as datas de capitais com valor zero, como é o caso do final do segundo mês.
252
Matemática financeira
A resolução anterior utiliza os valores recebidos, o valor da venda e o recebimento da primeira parcela. Também podemos calcular o valor das novas parcelas considerando os valores não recebidos. A figura seguinte mostra o modelo com a operação equacionada, considerando a parte da empresa.
Depois de clicar em Calcular , obtemos os valores das três últimas parcelas iguais, mensais e seguidas de $3.162,89, a partir do final do terceiro mês após a data da compra.
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
253
Como observação final, conforme o procedimento de cálculo utilizado, os resultados podem apresentar pequenas diferenças devido ao arredondamento de resultados anteriores.
EXERCÍCIOS Exercício 13
Hoje, final do mês junho, o departamento de Contas a Receber conseguiu negociar com o devedor o pagamento de três parcelas iguais de $3.500, sendo que duas parcelas venceram no final f inal dos meses de março e maio do mesmo ano, e a terceira vencerá no final do mês de agosto. Calcule o valor desse único pagamento final do mês de junho com a taxa de juro de 2,4% ao mês. R: $10.679,96 Exercício 14
Dois futuros recebimentos no valor de $21.545 e $23.486 e respectivos vencimentos nas datas 22 e 53 a partir de hoje serão renegociados com quatro pagamentos iguais nas datas 12, 42, 73 e 102 também a partir de hoje. Calcule o valor dos novos pagamentos com a taxa de juro de 2,85% aos 30 dias. R: $11.456,29 Exercício 15
Pela compra de diversas mercadorias, mercadori as, o cliente se comprometeu a pagar 12 parcelas mensais de $1.000 com taxa de juro de 2,50% ao mês. Na mesma data que realizou o pagamento da quarta parcela o devedor conseguiu renegociar o pagamento das oito parcelas restantes como segue. Contando a partir da data de pagamento da quarta parcela mensal, no final do terceiro mês pagará a metade de certa quantia X, no final sexto mês a quantia X e no final nono mês, 150% da quantia X, mantendo a mesma taxa de juro. R: $1.418,32, $2.836,64 e $4.254,96 no final dos meses 3, 6 e 9.
254
Matemática financeira
PLANOS ESPECIAIS Temos trabalhado com planos de financiament financiamentoo de diversas modalidades. Em geral, na prática, os planos são únicos para todos os clientes, por exemplo, pagamento em quatro parcelas mensais, iguais e seguidas, sendo a primeira depois de um mês da compra; pagamento em três parcelas iguais, porém com a primeira no ato da compra; pagamento em cinco parcelas iguais e seguidas, começando a primeira após dois meses da data da compra etc. Um plano especial de financiamento é aquele que, saindo do lugar-comum de parcelas constantes, parte para adequar as parcelas conforme o cliente e as épocas de pagamento, como mostra o Exemplo 6. Exemplo 6. A venda de notebooks será realizada com financiamento direto em doze meses, porém saindo do clássico pagamento de parcelas iguais. O gerente de vendas propõe o seguinte plano de financiamento: Três parcelas quadrimestrais iguais, mais Três grupos de três parcelas iguais e mensais distribuídas como segue: Do mês 1 ao 3, três parcelas iguais com valor de 15% das parcelas quadrimestrais Do mês 5 ao 7, três parcelas iguais com valor de 30% das parcelas quadrimestrais Do mês 9 ao 11, três parcelas iguais com valor de 40% das parcelas quadrimestrais Considerando o valor de notebook n otebook igual a $3.800 e a taxa de juro de 1,45% 1, 45% ao mês, calcule o valor das doze parcelas desse financiamento. Solução. Este exemplo é resolvido diretamente com o modelo TVMod . Começamos por informar os dados do enunciado no modelo considerando a parte do vendedor de notebooks. ● ●
●
●
●
Capítulo | 10 Operações com fluxos de capitais
255
Depois de clicar em Calcular obtemos obtemos os resultados registrados na figura abaixo.
EXERCÍCIOS Exercício 16. O gerente de marketing do banco percebeu que alguns clien-
tes deixam de tomar empréstimos porque as parcelas que devem pagar são todas iguais e em alguns casos as primeiras parcelas deveriam ser menores que as parcelas finais. Foi assim que Sofia recebeu um empréstimo de $3.500 para devolver em quatro parcelas trimestrais e seguidas de forma que a segunda parcela é 25% superior à primeira, a terceira é 40% superior à primeira, e a quarta parcela é 60% superior à primeira. Calcule o valor das parcelas considerando a taxa de juro de 4,6% ao trimestre. R: O valor da primeira parcela trimestral é $751,34 Exercício 17. Daqui a um ano José necessitará de $30.000. Daqui a dois meses receberá $3.300, a seis meses $2.800 e a nove meses, $2.400, valores que serão investidos nas datas de recebimento. Calcule o valor dos nove investimentos iguais que ele deverá realizar no início de cada mês para alcançar aquele valor, considerando a taxa de juro de 1,3% ao mês. R: O valor dos nove investimentos iguais é $2,113,46 Exercício 18. Continuando com o Exemplo 17, José considerou que as primeiras cinco parcelas deveriam ser menores, por exemplo, 50% das quatro restantes parcelas. Nessas condições, calcule o valor dos nove investimentos que ele deverá realizar no início de cada mês para alcançar aquele aque le valor, considerando a taxa de juro de 1,3% ao mês. R: O valor dos cinco primeiros investimentos é $1.484,05 e dos quatro restantes é $2.968,10, o dobro dos cinco primeiros.
Capítulo 11
Planos de financiamento Neste Capítulo 11 o leitor aprenderá: ● ● ● ● ●
Regras de Formação e Condição de Estrutura do Plano de Financiamento Cálculo da Amortização, do Juro, da Prestação e do Saldo Devedor Sistema de Financiamento com Prestações Constantes Sistema de Financiamen Financiamento to com Amortizaçõe Amortizaçõess Constantes A Utilizar as Ferramentas Tecnológicas: Calculadora HP-12C As funções financeiras do Excel Modelos para Construção do SPC e e SAC
O pagamento em prestações durante certo prazo facilita a aquisição de um bem ou serviço. Em diversas situações como a compra de uma casa, de um carro, realizar uma viagem, fazer um curso, na compra de roupas, de eletrodoméstico eletrodomésticoss etc. é utilizado um plano de financiamento formado por certo número de prestações. Quem toma o financiamento conhece o número de prestações e seu valor, porém nem sempre toma conhecimento da taxa de juro, do tipo de financiamento etc. O devedor tem consciência que no pagamento de uma prestação na data estabelecida está pagando juro e devolvendo uma parte do valor financiado; entretanto, em geral, não consegue quantificar que parte da prestação corresponde ao juro e que parte ao capital devolvido ou amortizado. 1 Nos planos de financiamento com cartão de crédito e outros meios, o financiado se preocupa mais com o valor das prestações. Em planos de maior prazo, costuma-se detalhar os itens que formam cada prestação, e este é o assunto deste capítulo.
REGRAS DE FORMAÇÃO DO PLANO DE FINANCIAMENTO Na preparação de um plano de financiamento são utilizadas duas regras básicas:
Primeira Regra ●
As prestações do plano de financiamento f inanciamento ocorrem de forma periódica, por exemplo, um mês, um trimestre, um ano etc. 2
1. J.C. Lapponi. Modelagem Financeira com com Excel e VBA. VBA. São Paulo: Elsevier, 2008. Capítulo 10. 2. Ou periodicidade de dias corridos, por exemplo, cada trinta dias corridos.
257
258 ●
Matemática financeira
O valor de cada prestação PR do plano é o resultado da soma da amortização AM do do período mais o juro J do do período a que se refere a prestação, ou PR = AM + J
Segunda Regra ●
O juro de cada prestação sempre é calculado sobre o saldo devedor do financiamento no início do período a que se refere a prestação. Por exemplo: O juro da primeira prestação é calculado sobre o valor financiado na ● data zero do plano. ● O juro da segunda prestação é calculado sobre o saldo devedor no início do segundo período, cujo valor é o resultado da diferença do valor financiado menos o valor amortizado na primeira prestação. E assim sucessivamente até a última prestação, sempre tendo presente que o pagamento de cada prestação está sendo feito no valor e na data acordada.
Junto com as duas regras, operacionalmente: ●
●
●
Deve-se definir uma condição de estrutura do plano, por exemplo, prestação constante, amortização constante, juro constante etc. As duas partes podem também negociar outras formas de amortizar o principal durante o prazo estabelecid estabelecido, o, por exemplo, incluindo amortização variável, ou incluindo a repactuação da taxa de juro com taxa de juro variável, incluindo carência para realizar o primeiro pagamento etc. Finalmente, o plano de financiamento é concretizado numa planilha com cinco colunas: o número da prestação, o saldo devedor, a amortização, o juro e o valor da prestação, não necessariamente necessariamente nessa ordem. ordem.
No plano construído com as duas regras e a estrutura de formação sempre se verifica que: ●
●
No valor do pagamento de uma prestação pr estação está incluído o pagamento do juro sobre o saldo devedor do início do período dessa prestação. Assim sendo, na data de pagamento de uma prestação o juro é zerado e o saldo devedor é igual à parte do financiamento não amortizada. O valor de cada prestação do plano de financiamento deve ser maior que o juro devido nesse período. Se o valor da prestação for menor que o juro devido em cada período, então esse fluxo de capitais não atende às duas regras.
Neste capítulo, desenvolvemos o financiamento com o Sistema de Prestações Constantes, ou SPC e e o Sistema de Amortizações Constantes, ou SPA, e seus correspondentes planos de financiamento registrados em planilhas.
Capítulo | 11 Planos de financiamento
259
COMENTÁRIO Nos capítulos anteriores foram estudadas as operações financeiras no regime de juro composto. E da equação de valor equivalente em certa data de análise se obteve o resultado de uma ou mais incógnitas, de forma algébrica e/ou com ferramentas tecnológicas. Entretanto, na construção dos planos de financiamento nem sempre utilizamos a equação de valor equivalente, mas de alguma maneira ela está presente, porque esses financiamentos são realizados no regime de juro composto.
SISTEMA DE PREST PRES TAÇÃO CONSTANTE - SPC As parcelas do financiamento com o sistema de prestação constante SPC é é um fluxo uniforme de capitais do tipo postecipado, postec ipado, tema tratado no Capítulo 9 deste livro.3 Exemplo 1. A devolução do financiamento de $60.000 será realizada em cinco prestações mensais iguais e seguidas, sendo que o pagamento da primeira prestação será realizado um mês depois de recebido o financiamento. Construa a planilha considerando a taxa de juro de 1,20% ao mês. Solução. A planilha de financiamento tem cinco colunas: o número da prestação, o saldo devedor, a amortização, o juro e o valor da prestação, como mostrado na figura obtida da planilha SPC da da pasta Capítulo 11 do Excel.
Na construção da planilha o valor financiado é o saldo devedor $60.000 na data inicial do financiamento, ou data zero. No SPC , o financiamento de $60.000 será devolvido em cinco prestações mensais, iguais e seguidas, cuja primeira parcela será paga um mês após a data de recebimento do financiamento, 3. Esse plano de financiamento também é conhecido como Sistema Francês ou Tabela Price.
260
Matemática financeira
considerando a taxa de juro de 1,20% ao mês. O valor das cinco prestações iguais a $12.435,44 foi obtido com as ferramentas tecnológicas seguintes. Com a calculadora financeira HP-12C procedemos como já sabemos. [ g][END]se ][END]se for neces necessá sári rio o [f][FIN] 5[n]1.2[i] 6000 60000[PV 0[PV][P ][PM MT] → −$12. $12.43 435 5, 44
Com a função financeira PGTO obtém-se o mesmo resultado registrando a seguinte fórmula numa célula do Excel: =
PGTO(0,012 O(0,012;5 ;5;; 6000 60000 0; 0; 0) → −$12. $12.43 435 5, 44
Da mesma maneira, com a nova função financeira FluxoUnif obtemos o mesmo valor registrando a seguinte fórmula numa célula do Excel: =
Flux FluxoU oUni nif(60 f(6000 000 0; 0;" X ''; ''; 0,01 0, 012 2; 5;" Poste oste '') '') → −$12. $12.43 435 5, 44
Com o TVMod também também é possível obter o valor da prestação. O valor das cinco prestações tem sinal negativo porque foram obtidos da equação de valor equivalente considerando a parte do tomador do empréstimo. Entretanto, na construção do plano de financiamento o valor dessas parcelas será registrado com valor positivo, pois neste caso não é relevante a identificação da parte da operação. O próximo passo é calcular os resultados da tabela no final do primeiro mês: ●
●
●
O juro do primeiro mês é $720, obtido como resultado da multiplicação do saldo devedor $60.000 no início do primeiro mês pela taxa de juro do financiamento, de 1,20% ao mês. A amortização do primeiro mês é obtida aplicando a primeira regra. Portanto, a amortização é igual a $11.715,44, resultado obtido da subtração do juro $720 da primeira parcela $12.435,44. O saldo devedor $48.284,56 no final do primeiro mês é o resultado da subtração da amortização $11.715,44 do valor financiado $60.000.
Os resultados no final do segundo mês: ●
●
●
O juro do segundo mês é $579,41 resultado obtido da multiplicação do saldo devedor $48.284,56 no início do segundo mês pela taxa de juro do financiamento, de 1,20% ao mês. A amortização do segundo mês é obtida aplicando-se a primeira regra. Dessa maneira, a amortização é $11.856,02, resultado obtido da subtração do juro $579,41 da segunda parcela, $12.435,44. O saldo devedor $36.428,54 no final do segundo mês é o resultado da subtração da amortização de $11.856,02 do saldo devedor do final do primeiro mês $48.284,56.
Capítulo | 11 Planos de financiamento
261
Os resultados no final dos seguintes três meses são deixados para o leitor verificar. Note o leitor que: ● ●
O saldo devedor da última prestação é igual a zero, e deve ser igual a zero. No final na planilha foi adicionada uma linha com o resultado da soma das cinco amortizações, cujo resultado deve ser igual ao valor do financiamen financiamento, to, neste caso, $60.000. Contudo, pequenas diferenças são aceitáveis, desde que sejam provenientes de arredondamentos realizados durante os cálculos.
COMENTÁRIO Da análise dos resultados da planilha de financiamento do SPC obtêm-se obtêm-se as seguintes conclusões importantes, considerando os resultados do Exemplo 1: ●
●
Note o leitor que no ato de pagar na data certa a primeira prestação $12.435,44, o financiado paga o juro do período $720, amortiza $11.715,44 e o saldo devedor passa a ser $48.284,56. ● No ato de pagar o juro do primeiro período no valor certo $720 e na data certa, o financiado paga o juro sobre o financiamento de $60.000 de forma integral. No ato de pagar na data certa a segunda prestação prest ação $12.435,44, o financiado paga o juro do período $579,41, amortiza $11.856,02 e o saldo devedor passa a ser $36.428,54. ● No ato de pagar o juro do segundo período no valor certo $579,41 e na data certa, o financiado paga o juro sobre o saldo devedor $48.284,56 de forma integral. ● E esse procedimento e conclusões se repetem com as três prestações restantes.
Mesmo que seja um único financiamento de $60.000, para fins didáticos podemos imaginar que esse financiamento é realizado com cinco planos de financiamento seguidos e independentes, com valores de financiamento iguais aos saldos devedores de cada período, mantendo a mesma taxa de juro de 1,2% ao mês. Dessa maneira, ●
O valor financiado no primeiro plano é $60.000, no segundo plano é $48.284,56, no terceiro plano $36.428,54, no quarto plano $24.430,25 e no quinto e último plano, $12.287,98.
Verifique que se periodicamente o valor da taxa de juro sofrer mudanças, operação de repactuação, as novas prestações serão sempre calculada calculadass a partir do saldo devedor, definido pela última prestação honrada quando o juro nessa data foi zerado.
OUTROS RECURSOS DAS FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS Tanto a calculadora HP-12C quanto o aplicativo Excel, tem meios de completar a planilha de financiamento do Exemplo 1, como se mostra a seguir.
262
Matemática financeira
Calculadora financeira HP-12C Partindo do cálculo do valor das prestações do plano: [g][END]se for necess necessári ário o [f][FIN] 5[n]1.2[i]600 5[n]1.2[i]60000[PV 00[PV][CH ][CHS] S][P [PMT MT]] → $12. $12.43 435 5, 44 Em sequência, os procedimentos para obter os resultados no final do primeiro mês. 0[n] 1[f][AMO 1[f][AMORT RT]] → 720 720 valo valorr do jur juro dopr do prim imei eirro mês mês [↔] → 11.7 11.715 15,, 44valor 44valor da amor amorti tiza zaçã ção o doprim doprimei eirro mês mês [RCL][ [RCL][PV PV]] → 48.2 48.284,56 84,56 valo valorr dosaldo dosaldode deve vedo dorr nofinal nofinal dopr do prim imei eirro mês mês [RCL] [RCL][n] [n] → 1indi 1indica ca o per período íodo1 1
Para calcular os valores do segundo período procedemos de forma for ma semelhante. 1[f][AMO 1[f][AMORT RT]] → 579,41val 579,41valor or do jur juro dosegun dosegundo domê mêss [↔] → 11.8 11.856 56,, 03valo 03valorr da amor amorti tiza zaçã ção o dosegu dosegund ndo o mês [RCL][ [RCL][PV PV]] → 36.4 36.428 28,53 ,53 valo valorr dosaldo dosaldode deve vedo dorr nof no final inal dosegun dosegundomês domês [RC [RCL][n] L][n] → 2 indica o período odo 2 1[f][A 1[f][AM MORT] → 437 437,14 ,14 [↔] → 11.998, 30 30 [RCL [R CL][P ][PV] V] → 24.4 24.430 30,, 23 [RC [R CL][n] L][n] → 3indi 3indicca o per período3 íodo3 E da me mesm smaa form formaa até até o fina finall doqu do quin intomês tomês..
Funções financeiras do Excel O aplicativo Excel dispõe das três seguintes funções financeiras para o SPC :4 ●
●
● ●
●
PGTO para calcular o valor das prestações do plano de financiamento, como foi apresentado. PPGTO para calcular a amortização de qualquer prestação do plano de financiamento, e cuja sintaxe é: =PPGTO(taxa; período; nper; vp; vf; tipo ) IPGTO para calcular o juro de qualquer prestação do plano de financiamento, e cuja sintaxe é: =IPGTO(taxa; período; nper; vp; vf; tipo )
4. As funções PGTO, PPGTO e IPGTO em inglês são, respectivamente, PMT , PPMT e e IPMT . Essas funções também estão disponíveis no VBA, respectivamente, Pmt , PPmt e e IPmt .
Capítulo | 11 Planos de financiamento
263
Não há função financeira para o cálculo do saldo devedor, que deve ser calculado de forma geral subtraindo o juro do final do período do saldo devedor do início do período. A partir da linha 14 da planilha SPC da da pasta Capítulo 11 o leitor encontra a mesma planilha do Exemplo 1, porém com as funções e fórmulas apresentadas acima.
PLANILHA DE FINANCIAMENTO SPC A planilha Plano SPC da da pasta Capítulo 11 automatiza o procedimento de consSPC C até trução da planilha dos planos SP até 60 prestações, utilizando somente somente os recursos da planilha Excel. Nessa planilha, o número máximo de prestações é sessenta, validando a célula C5 para receber somente números inteiros entre um e sessenta.
EXERCÍCIOS Exercício 1 O financiamento de $430.000 será realizado realiza do pelo prazo de doze meses com a taxa de juro de 2,35% ao mês e com prestações constantes. Construa a planilha desse financiamento considerando que a primeira prestação será paga um mês após o recebimento do financiamento. Exercício 2 O financiamento de $135.000 será devolvido em dezoito prestações mensais iguais e seguidas. Considerando a taxa de juro de 3,15% ao mês, calcule o valor da amortização da oitava prestação. = $7.067,24 R: AM = Exercício 3 Continuando com o Exercício 2, calcule o saldo devedor depois de pagar a décima prestação. R: SD = $69.340,34
264
Matemática financeira
Exercício 4 O banco financiou $1.500.000 para a empresa devolver em oito prestações trimestrais iguais e seguidas. Construa a planilha de financiamento com a taxa efetiva de juro de 9,5% ao trimestre. Como controle, o saldo devedor após pagar a quarta prestação trimestral é $884.656,02. Exercício 5 O banco financiou $ 220.000, que será devolvido em 36 prestações mensais iguais e seguidas. Construa a planilha de financiamento considerando a taxa nominal de juro de 1,60% ao ano com capitalização mensal. Como controle, o saldo devedor após pagar a quarta prestação trimestral é $8.102,35.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC As parcelas do financiamento com o sistema de amortização constante SAC é é um fluxo de capitais variáveis com periodicidade uniforme. r ealizada em Exemplo 2. A devolução do financiamento de $60.000 será realizada cinco prestações mensais com amortização constante, sendo que o pagamento da primeira prestação será realizado um mês depois de recebido o financiamento. Construa a planilha considerando a taxa de juro de 1,20% ao mês. Solução. A planilha de financiamento tem cinco colunas: o número da prestação, o saldo devedor, a amortização, o juro e o valor da presta ção, como mostrado na figura obtida da planilha SPC da da pasta Capítulo 11 do Excel.
Analisemos a construção da planilha. ●
O valor financiado é o saldo devedor $60.000 na data inicial do financiamento, ou data zero.
Capítulo | 11 Planos de financiamento
●
265
O valor da amortização das cinco parcelas é o mesmo e igual a $12.000, resultado da divisão do valor financiado de $60.000 pelo número de prestações cinco. O valor das amortizações é registrado nos cinco meses da coluna Amortização da tabela.
O próximo passo é calcular os resultados da tabela no final do primeiro mês: ●
●
●
O juro do primeiro mês $720 é obtido como resultado da multiplicação do saldo devedor $60.000 no início do primeiro mês pela taxa de juro do financiamento 1,20% ao mês. A parcela do primeiro mês é obtida aplicando-se a primeira regra, ou o valor da primeira parcela $12.720 é o resultado da soma da amortização $12.000 mais o juro do primeiro mês, de $720. O saldo devedor $48.000 no final do primeiro mês é o resultado da subtração da amortização $12.000 do valor financiado $60.000.
Os resultados no final do segundo mês: ●
●
●
O juro do segundo mês é $576 é obtido da multiplicação do saldo devedor $48.000 no início do segundo mês pela taxa de juro do financiamento 1,20% ao mês. A amortização do segundo mês é $12.000 e pela primeira regra obtemos o valor da segunda parcela igual a $12.576. O saldo devedor $36.000 no final do segundo mês é o resultado da subtração da amortização $12.000 do saldo devedor do final do primeiro mês $48.000.
Os resultados no final dos seguintes três meses são deixados para o leitor verificar. Novamente: ● ●
O saldo devedor da última prestação é igual a zero, e deve ser igual a zero. No final na planilha foi adicionada uma linha com o resultado da soma das cinco amortizações, cujo resultado deve ser igual ao valor do financiamen financiamento, to, neste caso $60.000. Contudo, pequenas diferenças são aceitáveis desde que sejam provenientes de arredondamentos realizados durante os cálculos.
COMENTÁRIO Da análise dos resultados da planilha de financiamento do plano SAC se obtêm conclusões importantes. Com os resultados do Exemplo 2: ●
No ato de pagar na data certa a primeira prestação no valor de $12.720, o financiado paga o juro do período $720, amortiza $12.000 e o saldo devedor passa a ser $48.000. No ato de pagar o juro do primeiro período no valor certo $720 e na ● data certa, o financiado paga o juro sobre o financiamento de $60.000 de forma integral.
266 ●
Matemática financeira
No ato de pagar na data certa a segunda prestação de $12.576, o financiado paga o juro do período, de $576, amortiza $12.000 e o saldo devedor passa a ser de $36.000. ● No ato de pagar o juro do segundo período no valor certo de $576 e na data certa, o financiado paga o juro sobre o saldo devedor $48.000 de forma integral. ● E esse procedimento e conclusões se repetem com as três prestações restantes.
Mesmo que seja um único financiamento de $60.000, para fins didáticos podemos imaginar que esse financiamento é realizado com cinco planos de financiamento seguidos e independentes, com valores de financiamento iguais aos saldos devedores de cada período, mantendo a mesma taxa de juro de 1,2% ao mês. Dessa maneira, ●
O valor financiado no primeiro plano é $60.000, no segundo plano é $48.000, no terceiro plano é $36.000, no quarto plano é $24.000 e no quinto e último plano, $12.000.
Verifique que se periodicamente o valor da taxa de juro sofrer mudanças, operação de repactuação, as novas prestações serão sempre calculadas a partir do saldo devedor, definido pela última prestação honrada quando o juro nessa data foi zerado.
PLANILHA DE FINANCIAMENTO F INANCIAMENTO SAC A planilha Plano SAC da da pasta Capítulo 11 automatiza o procedimento de construção da planilha dos planos SAC até até 60 prestações utilizando somente os recursos da planilha Excel. Nessa planilha, o número de prestações foi limitado a 60 validando a célula C5 para receber somente números inteiros entre um e sessenta.
Capítulo | 11 Planos de financiamento
267
COMENTÁRIO Verifique o leitor que o resultado do valor das prestações não foi obtido com a equação de valor equivalente. Embora na construção da planilha não tenham sido utilizados os sinais dos capitais, há uma equivalência entre esses capitais e suas datas de ocorrência com a taxa de juro do financiamento. Para mostrar essa característica, a seguir se propõe realizar o cálculo da taxa de juro do financiamento de $60.000 e as cinco parcelas obtidas na construção do plano, e considerando a parte do tomador do financiamento como mostra a primeira figura do TVMod.
Depois de clicar em Calcular, o modelo calcula a taxa de juro e registra o resultado 1,20%, que é o valor da taxa utilizada no cálculo dos juros das cinco prestações mensais. Analisando o plano de financiamento, note que a taxa de juro de 1,20% ao ano remunera mensalmente o valor do financiamento não amortizado, ou
268
Matemática financeira
saldo devedor no início de cada mês, um valor decrescente que se anula no final do quinto mês. 5
EXERCÍCIOS Exercício 6 O financiamento de $430.000 será realizado pelo prazo de dezoito meses com a taxa de juro de 2,35% ao mês e com amortizações constantes. constantes. Construa a planilha desse financiamento considerando considerando que a primeira prestação será paga um mês após o recebimento do financiamento. Exercício 7 Para o financiamento de $135.000 serão devolvidas em doze prestações mensais e seguidas com o plano SAC . Considerando a taxa de juro de 3,15% ao mês, calcule o valor da amortização da oitava prestação. R: $11.250 Exercício 8 Continuando com o Exercício 2, calcule o saldo devedor depois de pagar a décima prestação. R: $22.500 Exercício 9 O banco financiou $1.500.000 para a empresa devolver em oito prestações trimestrais e seguidas. Construa a planilha de financiamento SAC com com a taxa efetiva de juro de 9,5% ao trimestre. Exercício 10 O banco financiou $220.000 que será devolvido em 36 prestações mensais seguidas. Construa a planilha SAC de de financiamento considerando a taxa nominal de juro de 1,60% ao ano com capitalização mensal.
5. Como prova, sugerimos que o leitor vá ao Capítulo 5, no item análise dos resultados de cada parte da operação com juro composto , e realize o cálculo da taxa de juro do financiamento de $40.000 considerando a parte do cliente, e cujo resultado é 2,50% ao mês.
Capítulo 12
Decisão de investimento Neste Capítulo 12 o leitor aprenderá: ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ●
Conceitos e Definições na Decisão de Investimento A Decisão de Investimento O indicador Valor Presente Líquido – VPL , seu significado Como Calcular e Decidir com o VPL O Perfil do VPL O indicador Taxa Interna de Retorno – TIR , seu significado Como Calcular e Decidir com a TIR A TIR é o resultado da equação de valor equivalente Os indicadores Payback Descontado – PBD e Payback Simples – PBS, seus significados Como Calcular e Decidir com o PBD e o PBS Analisar o Investimento com os quatro indicadores A Utilizar as Ferramentas Tecnológicas: Calculadora HP-12C As funções financeiras VPL e TIR do Excel no cálculo do VPL e da TIR Modelo Avaliação de Investimento em Excel e VBA
Se num determinado momento percebemos que o futuro desejado não se alcançará deixando o tempo correr, deduzimos que alguma decisão deverá ser tomada.1 Da mesma maneira, se o gestor percebe que o objetivo da empresa não será alcançado continuando a fazer as mesmas coisas, então ele se defronta com um problema para resolver ou uma oportunidade para aproveitar. E, em ambos os casos alguma decisão deverá ser tomada, lembrando que deixar como está já é uma decisão. O que é tomar uma boa decisão? Numa boa decisão o custo de execução será superado pelos benefícios gerados. De outra maneira, numa boa decisão de investimento, investimento, o custo de execuçã execuçãoo será superado pelos retornos que criem valor. Para aceitar um investimento não é suficiente que o lucro contábil do investimento seja positivo.
1. Patricia Bonatti. Teoria de la Decisión. Argentina: Pearson, 2011.
269
270
Matemática financeira
Na decisão de inv investimento estimento utilizada nas empresas para alocar seu capital, a medição do lucro contábil não é suficiente; o lucro aceitável é o lucro econômico que agrega valor à empresa. Exemplo 1 . O mapeamento do processo mostrou a possibilidade de
eliminar a perda de reagentes por div diversos ersos motivos. Investindo $100.000 para implantar um novo procedimento de controle e monitoramento, será possível eliminar essa perda em um ano, conseguindo uma economia de $165.000. Considerando que a empresa estabelece a taxa requerida de 25% ao ano para esse tipo de investimento, verifique se deve ser realizado. Solução. A verificação de viabilidade viabilida de desse investimento pode ser feita fe ita em duas datas diferentes, no final do primeiro ano ou na data inicial. ●
Análise no final do primeiro ano
Começamos por desenhar o diagrama do tempo com os valores conhecidos, o investimento de $100.000 com sinal negativo na data zero e a economia de $165.000 com sinal positivo no final de um ano.
Capitalizando o investimento $100.000 com a taxa de 25% ao ano até o final do ano será conseguido o valor $125.000 (registrado com seta tracejada no diagrama do tempo). Note que, ao investir esse capital na data zero, a empresa economizará $165.000, valor medido no final do ano. Assim, no final do ano a empresa recuperará o investimento remunerado remunerado e ainda terá o lucro extra de $40.000, resultado obtido com: $165 $165.0 .000 00 $125 $125.0 .000 00 −
=
$40. $40.00 000 0
Concluindo, esse investimento deve ser realizado, pois o custo de aquisição $100.000 (na data zero) é superado pelos benefícios gerados $165.000 (no final do ano). ●
Análise na data zero
Começamos por desenhar o diagrama do tempo com os valores conhecidos, o investimento de $100.000 com sinal negativo na data zero e a economia de $165.000 com sinal positivo no final de um ano.
Capítulo | 12 Decisão de investimento
271
Descapitalizando o valor da economia de $165.000 até a data zero com a taxa Descapitalizando 0,25) 1 = $132.000 de juro de 25% ao ano se obtém o valor $165.000 × (1 + 0,25 (registrado com seta tracejada no diagrama do tempo). Note que ao investir esse capital a empresa economizará $132.000, valor medido na data zero. Concluindo, esse investimento deve ser realizado, pois o custo de aquisição $100.000 (na data zero) é superado pelos benefícios gerados $132.000, ambos na data zero. De outra maneira, esse investimento deve ser realizado porque na data zero a empresa recuperará recuperar á o investimento investimento remunerado com a taxa requerida de 25% ao ano e ainda há o lucro extra de $32.000 resultado obtido de: −
$132 $132.0 .000 00
−
$100 $100.0 .000 00
=
$32. $32.00 000. 0.
Das duas abordagens do Exemplo 1 obtivemos algumas conclusões: ●
●
●
●
Nos dois procedimentos de cálculo utilizamos datas de análise diferentes, a primeira no final do prazo do investimento e segunda no início do inv investimento. estimento. Em ambas as datas de análise o valor investido é subtraído do valor da economia para obter o valor criado, ou lucro econômico, e é utilizada uma taxa de juro denominada taxa requerida. Apesar de terem sinais diferentes, repare que a soma algébrica do valor do investido com sinal negativo e o valor da economia com sinal positivo é diferente de zero nas duas datas analisadas. Essa análise compara dois capitais, pois eles não são valores equivalentes e, portanto, não formam uma equação de valor equivalente. 2 Ademais, note que os valores criados na data zero e no final do ano são equivalentes, equiv alentes, considerando a taxa requerida de 25% ao ano, como mostra a expressão: $32. $32.00 000 0 × (1 + 0,25) 0,25) = $40.0 40.00 00
●
Note que a decisão é mais bem compreendida se a comparação do valor investido e do valor da economia for realizada na data zero, zer o, data da tomada da decisão de investimento. Exemplo 2. Continuando com o Exemplo 1, calcule a taxa de juro anual
desse investimento investimento e analise o resultado. 2. Embora possa ocorrer que essa soma seja igual a zero.
272
Matemática financeira
Solução. Começamos por calcular a taxa de juro i do investimento igual a
65% ao ano resultado obtido utilizando os recursos r ecursos conhecidos: i
$165.000 =
$100.000
−
1
=
0, 65 65
Na análise de investimentos, a taxa de juro é denominada taxa interna de retorno, ou TIR, tema que já foi apresentado. Note que a TIR de 65% ao ano é maior do que a taxa requerida de 25% ao ano. Como tomar a decisão de investimento comparando taxas de juro? O capital a ser investido está disponível para qualquer oportunidade que se presente considerando a taxa de 25% ao ano, também conhecida como custo de oportunidade. Dessa maneira, ao investir $100.000 com a taxa requerida, ao completar c ompletar um ano será obtido o valor final $125.000, e esse valor é menor que o avaliado com 65% ao ano. Portanto, sempre que a taxa requerida for menor que a TIR se deve recomendar o investimento. Da resolução do Exemplo 2, obtivemos: ●
Ao descapitalizar até a data zero o valor de economia $165.000 com a taxa interna de retorno de 65% ao ano será obtido o resultado $100.000, valor obtido com: $165.000 1 + 0, 65 65
●
=
$100.000
A soma algébrica do valor inv i nvestido estido com sinal negativo n egativo e o valor valor da economia com sinal positivo na data zero é igual a zero. Neste caso, esses capitais são equivalentes e, portanto, formam uma equação de valor equivalente.
Dos exemplos anteriores obtêm-se conclusões que orientam a boa prática para a tomada de decisão de investimento investimento e introduzem conceitos que utilizaremos, utilizar emos, e considerando certa taxa requerida.
Comparando valores monetários Se o preço a pagar pelo projeto for menor do que seu valor, o projeto deverá ser realizado porque criará valor. valor. Se o preço a pagar pelo projeto for maior do que seu valor, o projeto não deverá ser realizado porque destruirá valor. ●
●
Comparando taxas de juro Se a taxa requerida requerid a do investimento for menor do que a TIR, o projeto deverá ser realizado porque criará valor. valor. Se a taxa requerida do inv investimento estimento for maior do que a TIR, o projeto não deverá ser realizado porque destruirá valor. ●
●
Capítulo | 12 Decisão de investimento
273
CONCEITOS E DEFINIÇÕES NA DECISÃO DE INVESTIMENTO De forma resumida, o procedimento da decisão de investimento investimento começa pela construção do fluxo de caixa utilizando as estimativas do custo inicial, das receitas líquidas e dos custos/despesas gerados pelo investimento durante certo prazo de análise, e considerando as normas contábeis de depreciação, impostos etc. Depois, esse fluxo de caixa é avaliado utilizando indicadores que verificam se os benefícios gerados serão suficientes para recuperar e remunerar o capital investido investido considerando certa taxa requerida. Por último, é realizada a decisão de inv investimento estimento baseada em um ou mais indicadores de avaliação. Na avaliação de investimentos desenvolvida neste capítulo o fluxo de caixa do investimento é conhecido. A seguir são resumidos conceitos e definições utilizados na decisão de investimento adequada aos objetivos deste capítulo. 3 1. Os termos Projeto, Investi Investimento mento ou Projeto de Investimento são sinônimos dentro do mesmo contexto. 2. De forma geral, numa empresa as operações são sã o os trabalhos repetitivos do projeto jeto é um esforço com início e fim definido e empreendia a dia, e um pro dido para criar um novo produto ou serviço, substituição de equipamentos etc. da empresa. Ele é descrito em folhas de papel contendo as estimativas, a avaliação e a recomendação de aceitação ou rejeição. Quando executado, o projeto é incorporado à operação da empresa. Invest vestir ir é 3. In é comprometer um capital numa determinada determinad a data e por um determinado prazo durante o qual será gerado um fluxo de retornos que compensará o investidor pelo tempo, pela inflação e pela incerteza do fluxo f luxo de retornos. 4. Custo de oportunidade de uma decisão é o valor da melhor alternativa abandonada em favor da alternativa escolhida com o mesmo nível de risco, como mostrado no Capítulo 2 do livro. 5. Prazo de análise do projeto é o prazo suficiente para capturar todas as estimativas significativas das receitas e dos desembolsos do projeto. 6. O custo inicial é a soma dos desembolsos para adquirir, instalar e deixar em condições de operar e gerar as receitas estimadas e, em geral, é alocado na data zero. 7. Fluxo de caixa FC do do projeto é formado com as estimativas do custo inicial e dos retornos do investimento, as melhores possíveis na data da análise. O FC é é resultante da soma de três fluxos parciais do projeto: o fluxo operacional, o fluxo de ativos e o fluxo de capital de giro, e incluem as normas contábeis de depreciação, impostos etc. 8. Fluxo de caixa simples ou convencional é o fluxo de caixa que apresenta uma única mudança de sinais dos capitais desse fluxo, por exemplo, (-, +, +, …, +), ou (−, …, −, +, +, …, +), como foi mostrado no Capítulo 8. 3. Este capítulo é fundamentado em J.C. Lapponi. Projetos de Investimento na Empresa. São Paulo: Elsevier, 2007.
274
9. 10. 11.
12.
13. 14.
Matemática financeira
Taxa requerida k é é
a taxa de juro exigida para avaliar o investimento considerando seu risco. Neste capítulo a taxa requerida é coerente com o fluxo de caixa dos exemplos resolvidos. Presente dos retornos ou Valor do projeto é o valor dos retornos gerados descapitalizadoss até a data zero com a taxa requerida do investimento. descapitalizado investimento. Criação de valor na na taxa requerida k ocorre ocorre quando o custo inicial do projeto é menor do que o valor do projeto. A medição de criação de valor na data zero é realizada com o valor presente líquido, VPL, do projeto de investimento. Valor Presente Líquido , ou VPL, é um indicador de avaliação de um investimento. O resultado do VPL se obtém da comparação do custo inicial e do valor dos retornos r etornos descapitalizados descapitalizados até a data zero, considerando a taxa requerida k . Portanto, O VPL não é obtido da equivalência dos capitais envolvidos. Taxa Interna de Retorno , ou TIR, é um indicador de avaliação de um investimento.4 A TIR é obtida da equivalência dos capitais capita is envolvidos. O valor da TIR se compara com a taxa requerida k. Outros indicadores utilizados na avaliação de investimentos e expostos simple s - PBS e o Payback descontado - PBD . neste capítulo são: o Payback simples Há outros indicadores como o Índice de Lucratividade - IL etc.
VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) O primeiro procedimento de avaliação é o Valor Presente Líquido (ou VPL) do fluxo de caixa do investimento, investimento, cujo valor está registrado na data zero do diagrama do tempo. O fluxo de caixa de um investimento é formado pelo custo inicial I e e o fluxo de n retornos FC 1, FC 2, …, FC n, como mostra o diagrama do tempo.
Considerando a taxa requerida k , o VPL do fluxo de caixa é o resultado da comparação do custo inicial I na na data zero e os n futuros retornos do investimento FC 1, FC 2, …, FC n descapitalizados até a data zero, como registra a fórmula seguinte. 4. O fluxo de capitais deve ser do tipo simples, com uma única mudança do sinal dos capitais. O cálculo da TIR foi apresentado no Capítulo 8 – Fluxo de Capital.
Capítulo | 12 Decisão de investimento
VPL
= − I +
FC 1
1 + k
+
FC 2 2
(1 + k )
+
FC 3
(1 (1 + k )
3
+
+
275
FC n
(1 + k )
n
Portanto, o valor do VPL é o resultado de uma comparação de capitais do fluxo de caixa e não é o resultado de uma equivalência equivalência de capitais. A fórmula do VPL também se acostuma apresentar agrupando o presente dos retornos do investimento: n
VPL
= −I + ∑ i =1
VPL
FC i
(1 + k )
i
= −I + PR PRetornos
Verifique que o VPL do projeto será positivo se a soma dos presentes dos retornos do projeto for maior do que o custo inicial I , caso contrário o VPL será negativo. Exemplo 3. Continuando com o Exemplo 1, calcule o VPL desse inves-
timento e analise seu resultado. Solução. O VPL é igual a $32.000, resultado obtido com: VPL
VPL
= −I +
FC 1
1 + k
$165.000 $100.000 + 1 + 0, 25 25
= −
=
$32.000
Como o VPL é positivo, o projeto deve ser aceito porque criará valor. Realizando esse projeto, a empresa empres a criará o valor $32.000 na data zero, pois desembolsará $100.000 para comprar o valor do projeto de $132.000, considerando a taxa requerida de 25% ao ano. De outra maneira, o preço a pagar pelo projeto $100.000 é menor do que o presente dos retornos $132.000.
DECISÃO COM O VPL Para decidir se o investimento deve ser aceito, seu VPL é comparado com o valor de referência zero, de forma que: Se VPL > 0, o investimento deve ser aceito porque o custo inicial será recuperado e remunerado com a taxa requerida k e e o projeto criará valor medido na data zero pelo VPL positivo. Se VPL < 0, o inv investimento estimento não deve ser aceito porque o custo inicial não será recuperado nem remunerado de forma completa com a taxa requerida k e e sua aceitação destruirá valor medido na data zero pelo VPL negativo. ●
●
276
Matemática financeira
Note o leitor que VPL = 0 indica que o custo inicial será recuperado e remur emunerado na taxa requerida k , porém não criará nem destruirá valor. 5 Exemplo 4. As estimativas estimativas do fluxo f luxo de caixa do projeto de lançamento do
novo produto estão registradas na tabela seguinte, com prazo de análise de cinco anos. Verifique se o projeto deve ser recomendado utilizando o VPL e considerando a taxa requerida de 14% ao ano. Anos
0
1
2
3
4
5
FC
−$350.000
$75.000
$112.000
$145.000
$170.000
$220.000
Solução. Aplicando o procedimento apresentado obtemos o resultado do
VPL igual a $114.755. VPL
= −I +
VPL
= −
VPL
=
VPL
=
FC 1
1 + k
+
FC 2 2
FC 3
+
3
+
+
FC n
(1 + k ) (1 + k ) (1 + k ) n $75.000 $112.000 $145.000
$350.000 +
+
1 + 0,14 (1 + 0,1 0,14)2 −$350.0 $350.000 00 + $464.7 $464.755 55,, 46 $114.755,46
+
(1 + 0,1 0,14)3
+
$170.000 (1 + 0,1 0,14)4
+
$220.000 (1 + 0,14 0,14))5
Como o VPL é positivo, a execução execução do projeto de investimento do lançamento lançament o do novo produto deve ser recomendada ou aceita.
Calculadora financeira HP-12C Os dados do fluxo de capitais do investimento investimento são registrados nessa calculadora. Note o registro do valor do investimento na tecla [CF 0] correspondente à data zero do fluxo de caixa do investimento. Ademais, Ademais, os valores dos retornos registrados na tecla [CF j] são descapitalizados até a data zero com a taxa requerida [i] e somados nessa data: [f][REG] 350000[CHS][CF0] 75000[g][CFj] 112000[g][CFj] 145000[g][CFj] 170000[g][CFj] 220000[g][CFj] 14[i] [f][NP [f][NPV] → 114. 114.75 755 5, 46 5. Um investimento para substituição de equipamentos com VPL igual a zero pode ser aceito, por exemplo, para garantir que a empresa continue competitiva no mercado.
Capítulo | 12 Decisão de investimento
277
Função financeira VPL do Excel Ex cel A função VPL do Excel retorna o valor presente do fluxo de capitais variáveis com periodicidade uniforme e certa taxa requerida, capitais registrados na sequência da menor para a maior data como argumentos da função com a sintaxe: =
VPL (taxa axa juro juro; valo valor1 r1; valo valor2 r2; …; valo valor29 r29 )
Entretanto, embora seu nome o sugira, somente a função VPL não retorna o VPL do investimento, sendo necessário utilizar uma fórmula da qual a função VPL faz parte. A primeira forma de utilizar a função financeira é digitar os valores de forma matricial diretamente, destacando que os valores dos retornos do inv investimento estimento são informados separados pelo símbolo ponto e vírgula e agrupados entre dois colchetes. No final é subtraído o valor do investimento: =
VPL(0,14;{ VPL(0,14;{7500 75000;112 0;112000 000;145000 ;145000;17000 ;170000; 0;2200 220000 00}) }) − 350000 350000
→
114.755 114.755,, 46
Outra forma é registrando o fluxo f luxo de capitais na planilha Excel.
Modelo Avaliação Avaliação de Investimento I nvestimento em Excel e VBA avaliamos com Com o modelo Avaliação de Investimento quatro indicadores o fluxo de caixa do investimento com até 25 capitais diferentes, porém com periodicidade uniforme. Como boa prática, antes de registrar um novo fluxo de caixa se recomenda limpar os dados e os resultados Limpar ar Dados , o da avaliação registrada na planilha. Depois de clicar em Limp modelo destaca os intervalos dos dados e dos resultados a serem removidos e apresenta uma caixa de diálogo que espera pela confirmação ou não dessa solicitação. Também, Também, no canto superior direito da planilha é informada a situação do modelo: o aviso Modelo OK! indica que os resultados do modelo correspondem aos dados registrados, caso c aso contrário o modelo mostra o aviso Recalcular Modelo!
Para evitar que involuntariamente o usuário apague os registros das células de resultados (cor verde) e de títulos (cor ( cor amarela), toda a planilha é protegida, prot egida, exceto as células de dados (cor azul). Depois de registrar os dados, clicando em Calcular o o modelo registra o aviso Calculando …., calcula e registra os resultados e atualiza o perfil do VPL, tema apresentado na seção seguinte. Antes de iniciar o procedimento de cálculo é verificado se há mais de um desembolso de custo inicial e se todos os capitais do fluxo de caixa têm o mesmo sinal, evento informado com uma caixa de diálogo. A figura mostra a avaliação do investimento do Exemplo 4. Na célula Análise do Fluxo de Caixa o modelo registra a quantidade de capitais e o número de mudanças de sinal dos retornos do fluxo de caixa. Havendo duas ou mais mudanças de sinal há possibilidade de múltiplas TIRs, como poderá ser comprovado graficamente.
278
Matemática financeira
Avaliação valiação do do Fluxo de Caixa são registrados os resultados do VPL, Na célula A da TIR, do PBS e e do PBD do investimento.
No quadro Perfil do VPL informando a taxa inicial e o intervalo de crescimento o modelo constrói o gráfico perfil do VPL, formado de 12 pontos ou pares de valores de taxa requerida e correspondente VPL.
COMENTÁRIOS Depois de aceitar e executar o investimento, durante seu prazo de análise os gestores se empenharão para que as estimativas desse projeto se tornem realidade e se consiga o VPL esperado. Ademais, como mostrado no Capítulo 2, para garantir a criação de valor estimada na aceitação desse projeto os gestores deverão também procurar novos investimentos para reinvestir com a mesma taxa requerida os retornos gerados pelo projeto anteriormente aceito. 6 Como pontos fortes do VPL destacamos a utilização de todo o fluxo de caixa do investimento, a aplicação na avaliação de projetos com qualquer tipo de fluxo de caixa, e seu resultado informa inf orma e mede o valor criado (ou destruído) pelo projeto. Entre os pontos fracos do VPL destacamos que seu resultado é um valor monetário, uma medida absoluta ao invés de uma medida relativa como a taxa de juro. EXERCÍCIOS Exercício 1
As estimativas do investimento para lançamento do novo produto com prazo de análise de cinco anos estão registradas na tabela. Considerando a taxa requerida de 12% ao ano, verifique se esse investimento deve ser recomendado utilizando o VPL. 6. J.C. Lapponi. Projetos de Investimento na Empresa. São Paulo: Elsevier, 2007
Capítulo | 12 Decisão de investimento
Anos
0
FC
−$1.000.000
1 $250.000
2 $350.000
3 $400.000
4 $420.000
279
5 $450.000
= $309.204. O investimento deve ser recomendado
R: VPL
Exercício 2
Continuando com o Exercício 1. Determine até que valor o custo inicial poderia aumentar sem inviabilizar o projeto. R: Até um valor menor do que o VPL igual a $309.204 Exercício 3
A substituição de um sistema de controle de qualidade por outro atualizado com mais recursos requer o investimento de $90.000. As economias estimadas da substituição do sistema durante o prazo de análise de três anos estão registradas na tabela seguinte. Utilizando o indicador VPL, verifique se esse inv investimento estimento deve ser recomendado considerando a taxa requerida de 12% ao ano utilizando o indicador VPL. Anos
0
FC
−$105.000
1 $30.000
2 $40.000
3 $50.000
O inv investimento estimento não deve ser recomendado r ecomendado porque o VPL é negativo e igual a -$10.738.
R:
Exercício 4
O pessoal de marketing afirma que o novo design do produto líder deverá aumentar suas vendas. A estimativa estimativa preliminar dos retornos é de $430.000 por ano durante o prazo de análise de cinco anos. Considerando a taxa requerida de 12% ao ano, calcule o valor máximo do custo inicial que viabilize o investimento a ser realizado. R: O investimento deve ser menor do que $1.550.054
PERFIL DO VPL O resultado do VPL depende do valor do custo inicial, dos valores dos retornos retor nos e da taxa requerida do inv investimento. estimento. Ou, o resultado do VPL é função da configuração do fluxo de caixa e da taxa requerida. O fluxo de caixa do investimento é do tipo simples se o custo inicial (negativo) (negativo) e os retornos seguintes do fluxo de caixa apresenta uma única mudança de sinal, por exemplo, ( −, +, …, +) ou (−, …, −, +, …, +). Nesse caso, o aumento da taxa requerida diminui o VPL, e a diminuição da taxa requerida aumenta o VPL, como é mostrado a seguir com os dados do Exemplo 4. VPL
$75.000 $112.000 $145.000 + + $350.000 + 1+ k (1 + k ) 2 (1 + k )3
= −
+
$170.000 (1 + k ) 4
+
$220.000 (1 + k )5
280
Matemática financeira
A tabela mostra que para a taxa requerida de 0% ao ano o VPL é $372.000 e para a taxa requerida de 40% o VPL diminui para -$101.285. k
0%
10%
20%
30%
40%
VPL
$372.000
$172.399
$44.586
-$41.262
-$101.285
V PL correspondente foi copiado do modelo A Avaliação valiação de O gráfico Perfil do VPL Investimento Investim ento e mostra o impacto da taxa requerida no VPL do projeto.
Com o aumento da taxa requerida, o perfil do VPL de um projeto simples é sempre decrescente. Analisemos Analisemos algumas características importantes: ●
●
Há um valor de taxa requerida na qual o VPL se anula, e essa taxa é denominada taxa interna de retorno TIR. A TIR que anula o VPL do projeto separa o perfil do VPL em duas partes, a área de aceitação do projeto quando VPL>0, ou TIR>k , e a área de rejeição do projeto quando VPL<0, ou TIR
Da análise do perfil do VPL deduzimos que no fluxo de caixa com uma única mudança de sinal, a recomendação de aceitação ou rejeição do investimento com o VPL e a TIR deve ser a mesma.
TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR TAXA Analisando o procedimento de cálculo, o resultado do VPL depende do custo inicial, dos retornos e da taxa requerida do investimento. Das variáveis mencionadas, o valor do investimento e os retornos dependem das estimativas do próprio projeto. A taxa requerida é formada pelo fator tempo, pelo fator inflação e pelo fator risco do projeto. 7 Desses três fatores, apenas o fator inflação pode ter alguma influência nas estimativas dos retornos do investimento. investimento. 7. Tema apresentado no Capítulo 2 – Investimento, Reinvestimento e Taxa Real de Juro, neste livro.
Capítulo | 12 Decisão de investimento
281
Como foi demonstrado, um mesmo investimento recomendado com uma taxa requerida poderá ser rejeitado com uma taxa requerida maior. Entre essas duas situações, há uma taxa requerida que anula o VPL e é denominada taxa interna de retorno ou TIR.8 Portanto, no cálculo da TIR é utilizada a equação de valor equivalente com a data zero como data de análise. Exemplo 5. Na expansão da empresa serão investidos $1.900.000 Esse
investimento gerará o fluxo de retornos anuais registrado na tabela. Analise se a empresa deve aceitar esse investimento considerando taxa requerida de 12% ao ano. Anos
0
1
2
3
4
FC
−$1.900.000
$700.000
$800.000
$950.000
$1.150.000
Solução. Começamos por registrar a equação de valor equivalente na data
zero do fluxo de capitais e considerando a parte da empresa que analisa o investimento. inv estimento. Em vez de utilizar a taxa requerida, nesse caso registramos a TIR como incógnita da equação. $700.000 $800.000 $950.000 + + $1.900.000 + 1 2 (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR )3
−
+
$1.150.000 (1 + TIR )
4
=
0
Como não é possível pôr em evidência a TIR em função dos dados restantes da equação, e o fluxo de capitais tem uma única mudança de sinal, o resultado procurado é melhor realizado com uma ferramenta tecnológica .
Calculadora financeira HP-12C O procedimento de registro do fluxo de caixa é o mesmo que o utilizado no VPL. O valor do investimento é registrado na tecla [CF 0], e os valores dos retornos são registrados na tecla [CF j], [f][REG] 1900000[CHS][CF0] 700000[g][CFj] 800000[g][CFj] 950000[g][CFj] 1150000[g][CFj] [f][I [f][IR RR] → 28,46% ,46%
A TIR igual a 28,46% ao ano é uma taxa efetiva de juro. 8. O cálculo da TIR foi apresentado no Capítulo 8 – Fluxo de Capital, neste livro.
282
Matemática financeira
Função financeira finance ira TIR do Excel Exc el A função TIR do Excel retorna a taxa interna de retorno do fluxo de capitais variáveis com periodicidade uniforme, capitais registrados na sequência da menor para a maior data como argumentos da função com a sintaxe: =
valor1 r1; valo valor2 r2; …; valor29 alor29; taxaest taxaestim imad ada a) TIR (valo
Se não for informado o argumento taxa estimada , a função assume o valor 0,1 ou 10%. O resultado retornado pela função TIR é uma taxa de juro com período igual à periodicidade dos capitais. A primeira forma de utilizar a função financeira é digitando os valores de forma matricial, destacando que os valores dos capitais são informados separados pelo símbolo ponto e vírgula e agrupados entre dois colchetes. =
TIR({ TIR({−19 19000 00000 00;; 700000 700000;80000 ;800000 0; 950000 950000;115 ;115000 0000 0};0,1 }; 0,1))
→
28,46%
Outra forma é registrando r egistrando o fluxo de capitais na planilha Excel.
Modelo Avaliação Avaliação de Investimento Avaliação valiação de Investimento Investimento em Excel e VBA Com o modelo A VBA avaliamos o fluxo flu xo de caixa do investimento com até 25 capitais variáveis, porém com periodicidade uniforme. A figura mostra a avaliação do investimento do Exemplo 4 utilizando o indicador TIR, e os três indicadores VPL, PBS e e PBD.
DECISÃO COM A TIR A avaliação do investimento com a taxa interna de retorno TIR indica se há ou não criação de valor, mas sem medir. O fluxo de caixa simples do projeto é formado pelo custo inicial I e e o fluxo de n capitais variáveis FC 1, FC 2, …, FC n
Capítulo | 12 Decisão de investimento
283
com periodicidade uniforme, como foi mostrado no diagrama do tempo, e com esses dados é formada a equação de valor equivalente na data zero. − I +
FC1 × (1 + TIR)
−1
+
FC2 × (1 + TIR)
−2
+
+ FC
n
× (1 +
TIR)
−n
=
0 ⇒ TIR
Dessa equação é obtida a taxa interna de retorno TIR com período igual à periodicidade do fluxo de capitais, lembrando que a TIR é uma taxa efetiva efe tiva de juro. Se esses capitais são equivalentes na TIR, então a soma algébrica dos capitais considerados em qualquer data é sempre igual a zero. E considerar os capitais em qualquer data significa que eles são capitalizados ou descapitalizados de sua data para a data de análise considerando juro composto e a TIR . Sendo a TIR a taxa de juro que zera o VPL do projeto simples, 9 então para qualquer taxa requerida k menor menor que a TIR o VPL será positivo, e para qualquer taxa requerida k maior maior que a TIR o VPL será negativo. Dessa maneira, para decidir se deve ser aceito, o resultado da TIR do investimento é comparado com a referência taxa requerida k . Dessa forma: ●
●
Se TIR > k o o investimento deve ser aceito, pois o custo inicial será recuperado e remunerado com a taxa requerida k e e o projeto criará valor não determinado. Se TIR < k o o investimento investimento não deve ser aceito, pois o custo cus to inicial não será recuperado nem remunerado de forma completa com a taxa requerida k . Caso seja aceito, o investimento investimento destruirá valor não determinado.
A TIR = k não não foi incluída na condição de aceitação do projeto, pois esse resultado indica que o custo inicial será recuperado e remunerado com a TIR, porém não criará nem destruirá valor.
COMENTÁRIOS Na empresa, depois de aceitar e executar o investimento, durante seu prazo de análise os gestores se empenharão para que as estimativas desse projeto se tornem realidade e se consiga a TIR esperada. Se aceitarem que a TIR é também a taxa de remuneração periódica per iódica do investimento, os gestores deverão também procurar novos investimentos para reinvestir os retornos gerados pelo pe lo projeto anteriormente aceito com a mesma TIR e assim garantir a criação de valor estimada na aceitação desse projeto. Como pontos fortes da TIR destacamos a utilização de todo o fluxo de caixa do investimento, seu resultado informa se criará ou destruirá valor e é uma medida relativa ao invés de uma medida absoluta como o VPL. Entre os pontos fracos da TIR destacamos a limitação do tipo de fluxo de caixa c aixa e, aparentemente, 9. No caso de fluxo de caixa com mais de uma mudança de sinal e, consequentemente, mais de uma TIR, cada uma das TIRs anula a equação de valor equivalente.
284
Matemática financeira
a TIR é um resultado de avaliação mais fácil de compreender por ser uma taxa de juro, entretanto, sua utilização como rentabilidade periódica do custo inicial inclui premissas que nem sempre são atendidas.
EXERCÍCIOS Exercício 5
Calcule a taxa interna de retorno TIR do investimento do Exercício 1 deste capítulo e verifique se deve ser recomendado o investimento de $1.000.000 para lançamento do novo produto. re querida de 12% R: Como a TIR igual a 22,69% ao ano é maior que a taxa requerida ao ano, o investimento deve ser recomendado. Exercício 6
Calcule a taxa interna de retorno TIR do investimento do Exercício 3 deste capítulo e verifique se deve ser recomendado o investimento de $105.000 para substituição do sistema de controle de qualidade. R: O investimento não deve ser recomendado porque a TIR é igual a 6,42%, resultado menor que a taxa requerida de 12%. Nota: Os Exercícios 5 e 6 confirmam que no fluxo f luxo de caixa com uma única mudança de sinal, a decisão de aceitação ou rejeição do investimento investimento com o VPL e a TIR é a mesma. Exercício 7
investimento estimento simples e para para Você concorda concor da com a seguinte afirmativa: “ No inv uma determinada taxa requerida, se o VPL for nega negativo tivo a TIR será menor do que essa taxa requerida ”?
Sim
R:
Exercício 8
Você concorda com a seguinte afirmativa: “ No investimento simples com VPL nulo a TIR é nula também ”? R: Não Exercício 9
Para atender o aumento de vendas do novo produto será necessário instalar uma nova linha de produção. As estimativas do custo inicial e os retornos durante o prazo de análise de cinco anos estão registrados na tabela. Verifique se o inv investimento estimento deve ser recomendado utilizando os indicadores VPL e TIR e considerando a taxa requerida 16% ao ano. Anos
0
1
2
3
4
5
FC
−$750.000
$150.000
$220.000
$260.000
$310.000
$350.000
Como o VPL igual a $47.227 é maior que zero e a TIR de 18,32% é maior que a taxa requerida, o inv investimento estimento deveria deveria ser recomendado. Entretanto, a criação de valor de $47.227 desse investimento investimento indica que seja prudente rever as estimativas do investimento.
R:
Capítulo | 12 Decisão de investimento
285
DESCONTADO DESCONTADO – PBD Lembremos que se o VPL for maior que zero, o custo inicial será recuperado e remunerado com a taxa requerida k e e o investimento criará o valor VPL medido na data zero. Note o leitor que se o VPL for calculado com a TIR do mesmo investimento seu resultado será igual a zero, e será necessário completar exatamente o prazo de análise do projeto para recuperar o custo inicial remunerado com a TIR. Entretanto, se a taxa requerida k for for menor que a TIR, o VPL do investimento será maior do que zero, e o projeto criará valor e não será necessário completar o prazo de análise para recuperar o custo inicial remunerado. Então deduzimos, que se VPL do investimento for maior do que zero, há certa data anterior ao prazo de análise n na qual o VPL será igual a zero, e nessa data o custo inicial será recuperado e remunerado com a taxa requerida k , mas sem criar nem destruir valor. Essa data define o indicador de avaliação Payback descontado, PBD, que mede o tempo que o valor presente dos retornos necessita para se igualar ao seu custo inicial, considerando certa taxa requerida. Então, no restante tempo do PBD até n será acumulado o valor criado pelo projeto. Para calcular o valor do PBD não há uma fórmula, pelo que devemos desenvolver um procedimento para obter esse resultado. PAYBACK
DECISÃO COM O PBD A decisão de aceitação do investimento com o indicador PBD compara o resultado com certo tempo máximo tolerado TMT definido antecipadamente. Considerando a taxa requerida k , para decidir se o projeto deve ou não ser aceito, procedemos como segue: PBD < TMT , o investimento deve ser aceito. O PBD menor do que prazo de análise n do projeto simples mostra que o VPL desse inv investimento estimento é positivo e criará valor. PBD > TMT, o investimento não deve ser aceito. O PBD=TMT não não foi incluído na condição de aceitação do investimento. O valor de referência TMT é é um valor arbitrário, pois em geral surge de considerações práticas e deve ser menor do que o prazo de análise n do investimento. Como o valor de referência TMT é é um valor arbitrário, não se deve esperar a mesma decisão que os métodos de VPL e da TIR. Exemplo 6. O custo inicial da substituição do atual ERP foi estimado no valor total de $650.000. O novo sistema gerará aumento de receitas e diminuição cujas estimativas durante cinco anos estão registradas na tabela seguinte. Com a taxa requerida de 14% ao ano, verifique se deve ser recomendada a execução desse projeto utilizando o indicador PBD e considerando o tempo máximo tolerado TMT de de quatro anos. ●
●
286
Matemática financeira
Anos
0
1
2
3
4
5
FC
-$650.000
$165.000
$230.000
$268.000
$300.000
$330.000
Solução. O procedimento de cálculo do PBD está desenvolvido no modelo Payback e e a figura seguinte mostra o cálculo deste exemplo. ● ●
●
●
O fluxo de caixa do investimento investimento está registrado nas colunas B e C. Na coluna D, cada capital do fluxo de caixa do investimento é descapitalizado até a data zero e seu resultado é registrado na linha correspondente. Por exemplo, na célula D6 foi registrada a fórmula =C6/(1+$C$3)^B6 e essa fórmula foi copiada até a linha 10. Na coluna E é registrada soma acumulada dos valores descapitalizados até a data zero registrada na coluna D. Por exemp exemplo, lo, na célula E6 foi registrada a fórmula =E5+D6 e essa fórmula foi copiada até a linha 10. Finalmente, na coluna F é realizado o cálculo do PBD. Para isso na célula F5 foi registrada a fórmula =SE(SINAL(E5) <>SINAL(E6);ABS(E5)/ (E6-E5)+B5;“”) e essa fórmula foi copiada até a linha 10 10.
O tempo de recuperação do custo inicial é um resultado entre o terceiro e o quarto ano, mais próximo do quarto ano. Realizando uma interpolação linear da soma do investimento entre os anos três e quatro se obtém o PBD igual a 3,83 anos, resultado obtido com: PBD =
3+
$147.393
$30.23 $30.231 1 + $147.3 $147.393 93
=
3,83
Da comparação do PBD com o TMT deduzimos deduzimos que o investimento deve ser recomendado. Como o prazo de análise é de cinco anos, o resultado do PBD 10. Esse modelo pode ser expandido copiando as fórmulas da linha 15 até o tamanho necessário.
Capítulo | 12 Decisão de investimento
287
mostra que o VPL desse investimento é positivo e a TIR é maior que a taxa Avaliação valiação. requerida, como mostra o modelo A
COMENTÁRIO Como pontos fortes, registramos que o PBD considera a remuneração do capital, é de fácil interpretação inter pretação e dá uma noção da liquidez e do risco r isco do investimento, pois quanto menor o valor do PBD tanto melhor para o investimento. Como pontos fracos, destacamos que o procedimento de cálculo do PBD não considera todos os capitais do fluxo de caixa, a definição de tempo máximo tolerado TMT é é arbitrária é não é uma medida de rentabilidade do projeto. O PBD pode ser utilizado como método complementar de avaliação, reforçando os resultados do método do VPL. À medida que as estimativas dos retornos do projeto se distanciam da data do custo inicial, a incerteza do projeto aumenta. Quanto maior o PBD tanto pior para o projeto e, vice-versa, quanto menor o PBD tanto melhor. Dessa maneira, o risco do tempo de recuperação do custo inicial pode ser controlado, limitado, definindo o tempo máximo tolerado TMT de de forma adequada. Uma forma de defesa para aceitar projetos em cenários futuros instáveis é diminuir o TMT , e diante de cenários futuros estáveis o TMT pode pode ser aumentado. SIMPLES SIMPLES paybac back k simples O procedimento de cálculo do indicador pay simples PBS é é o mesPBD D , porém com taxa requerida igual a zero. O indicador mo que o do PB PBS mede mede o tempo necessário para recuperar somente o capital inicial. No procedimento de cálculo do PBD é considerada a remuneração do investimento, entretanto, o PBS mede mede o tempo de recuperação do investimento sem nenhuma remuneração. PAYBACK
288
Matemática financeira
Exemplo 7. Continuando com o projeto do Exemplo 8, verifique se deve ser recomendada a execução desse projeto utilizando o indicador PBS e e considerando o tempo máximo tolerado TMT de de três anos. Solução. Note que registrando o valor zero na célula C3 da taxa requerida os títulos do procedimento mudam para o indicador PBS.
O tempo de recuperação do custo inicial se encontra entre o segundo e o terceiro ano, mais próximo do terceiro ano. Realizando uma interpolação linear da soma do investimento investimento entre os anos dois e três se s e obtém o PBS igual igual a 2,95 anos, resultado obtido com: PBD =
2+
$255.000
$255.0 $255.000 00 + $13.00 $13.000 0
=
2,95
Da comparação do PBS com com o TMT deduzimos deduzimos que o investimento deve ser recomendado. Como o prazo de análise é de cinco anos, o resultado do PBD mostra que o VPL desse investimento deverá ser positivo e a TIR deverá ser Avaliação valiação apresentado no maior que a taxa requerida, como mostra o modelo A exemplo anterior.
DECISÃO COM O PBS Para aplicar o método do PBS é é necessário estabelecer o tempo máximo tolerado TMT para para recuperar o custo inicial, verificar que o primeiro capital capit al do fluxo de caixa seja um desembolso e que o fluxo de caixa do projeto apresente apre sente uma única mudança de sinal. Para decidir se o projeto deve ser aceito, o PBS deve ser comparado com o valor de referência TMT , de forma que: PBS < TMT , o investimento deve ser aceito . PBS > TMT , o investimento não deve ser aceito. Para aceitar o projeto do Exemplo 7, o tempo máximo tolerado TMT deverá deverá ser maior do que 2,95 anos. Como o TMT é é um valor arbitrário, a recomendação de ● ●
Capítulo | 12 Decisão de investimento
289
aceitação ou rejeição de um projeto com o PBS pode pode diferir do PBD, do VPL e da TIR. Comparando PBS e e PBD de um mesmo projeto e certa taxa requerida k , o PBD sempre será maior do que o PBS devido devido à remuneração do capital. Em geral e para o mesmo fluxo de caixa, ca ixa, o TMT utilizado utilizado no método do PBD deve ser maior que o TMT utilizado utilizado no método do PBS . Adicionando a desvantagem de o método do PBS não não considerar o custo do dinheiro, as restantes vantagens e desvantagens do método do PBS são são as mesmas que as do método do PBD.
EXERCÍCIOS Exercício 10
O fluxo de caixa anual do novo investimento investimento está registrado na tabela. Calcule o PBD com a taxa requerida de 12% ao ano e verifique se o investimento deve ser recomendado considerando o tempo tolerado TMT de de quatro anos. Anos FC
0 -$265.000
1 $85.000
2 $100.000
3 $120.000
4 $140.000
5 $150.000
Como o PBD igual a 3,27 anos é menor que o TMT de de quatro anos, o investimento deve ser recomendado.
R:
Exercício 11
Continuando com o Exercício 10, calcule o PBS desse desse inv investimento estimento e verifique se deve ser recomendado considerando o tempo tolerado TMT de três anos. igual a 2,67 anos é menor que o TMT de de 3 anos, o inves R: Como o PBS igual timento deve ser recomendado. Nota: O valor do PBD sempre será maior do que o PBS do do mesmo investimento devido à remuneração do capital. Dessa maneira, para o mesmo fluxo de caixa, o TMT do do PBD deve ser maior que o do TMT do do PBS . Exercício 12 Calcule o PBD e o PBS do do investimento do Exercício 5 deste capítulo e
verifique se deve ser recomendado o investimento para lançamento do novo produto considerando o tempo máximo tolerado TMT de de quatro anos. é igual a 3,11 anos e o PBD é quatro anos. Em ambos os casos R: O PBS é o investimento deve ser aceito pelos dois indicadores. Exercício 13
O fluxo de caixa do novo investimento com prazo de análise de cinco anos está registrado na tabela. Verifique Verifique se o investimento deve ser recomendado utilizando o PBS , considerando que o tempo máximo tolerado TMT pela pela empresa é de três anos. Anos
0
1
2
3
4
5
FC
-$200.000
$50.000
$60.000
$70.000
$120.000
$140.000
290
Matemática financeira
Como o PBS é é igual a 3,17 anos e o TMT é é de três anos, o investimento não deve ser recomendado.
R:
Exercício 14
Continuando com o Exercício 13, calcule o PBD desse investimento com a taxa requerida de 12% ao ano, e verifique se ele mesmo deve ser recomendado considerando o tempo tolerado TMT de de 3,5 anos. é de 3,5 anos, o investimento R: Como o PBD é igual a 3,76 anos e o TMT é não deve ser recomendado. Exercício 15
A tabela registra o fluxo de caixa do inv investimento estimento com prazo de análise de quatro anos, preparados para a substituição de um equipamento. Verifique se o investimento deve ser recomendado com taxa requerida de 8% ao ano e utilizando os indicadores VPL, TIR, PBD com TMT de de três anos e PBS com TMT de de dois anos. Anos
0
1
2
3
4
FC
-$300.000
$70.000
$110.000
$160.000
$180.000
O VPL = $118.441 e a TIR = 22,10% ao ano mostra que o investimento deve ser recomendado porque criará valor. Entretanto, o PBD = 3,10 anos e TMT = = 3 anos e o PBS = = 2,75 anos e TMT = = 2 anos mostra que o investimento não deve ser recomendado. Nota: Como o TMT é é um valor arbitrário, a recomendação de aceitação ou rejeição de um investimento com o PBD e o PBS pode pode diferir do VPL e da TIR. R:
Exercício 16
c om fluxo de Você concorda com a seguinte afirmativa: No investimento com caixa simples, se a TIR for menor que a taxa requerida do investimento, então o PBD será igual ao prazo de análise?
Não.
R:
Exercício 17
investimento com fluxo de caixa Concorda com a seguinte afirmativa: No investimento simples, se a taxa requeri requerida da for igual à TIR do investimento, investimento, então o VPL será igual a zero e o PBD será igual ao prazo de análise?
Sim.
R:
Exercício 18
c om fluxo de Você concorda com a seguinte afirmativa: No investimento com caixa simples, se o PBD for menor do que o prazo de análise então o investimento criará valor?
Sim.
R:
Exercício 19
c om fluxo de Você concorda com a seguinte afirmativa: No investimento com caixa simples, se s e o PBS for menor do que o prazo de análise então o investimento criará valor?
Nem sempre.
R:
Capítulo | 12 Decisão de investimento
291
Exercício 20
No cabeçalho das três colunas da tabela foram registrados os três tipos de resultados do indicador VPL de um investimento com fluxo de caixa simples com prazo de análise n e taxa requerida k : maior, igual e menor do que zero. No cabeçalho das três linhas foi f oi registrado o nome dos três indicadores restantes apresentados neste capítulo. Na intersecção das linhas e colunas foi registrado o resultado de cada indicador. indicador. Analise e confirme cada resultado dessa tabela. VPL > 0 TIR
>
PBD
<
PBS
k
n
VPL = 0
VPL < 0
= k =n
k Não tem
<
n
<
Indefinido
Todos os resultados são totalmente corretos, exceto o último. Se o VPL de um investimento investimento com fluxo de caixa simples for menor do que zero, o resultado do indicador PBS está está indefinido porque em algumas situações poderá ter um resultado menor que o prazo de análise n.
R:
Anexo 1
Formação da taxa requerida
No início deste capítulo, registramos que a taxa requerida do investimento é a taxa de juro exigida para avaliar o investimento, ponderando o risco desse investimento. No Capítulo 2, também registramos que a taxa total de juro definida na montagem de uma operação é afetada pelo tempo, pela inflação e pelo risco da operação ; neste capítulo um investimento, e medido pelas respectivas taxas de juro. Para compreender os fatores fator es que participam da taxa requerida re querida de um investimento, começamos começamos por considerar um cenário de certeza, portanto, livre de inflação e de risco. Nesse cenário, a taxa de juro das operações financeiras é regida por uma taxa real livre de risco , ou TRLR, cujo valor depende da percepção dos agentes e das oportunidades oportuni dades no mercado, por exemplo, 6% ao ano. Num cenário livre de risco, porém com aumento do nível dos preços, o investidor exigirá uma taxa de juro maior, denominada taxa nominal livre de risco, ou TNLR, por exemplo, para 7,5% ao ano. Nesse caso, a taxa de inflação j esperada será aproximadamente 1,5% ao ano. Podemos considerar que a TNLR = j + TRLR tendo as duas taxas o mesmo período. No último cenário, se o investidor investidor também observar incertezas no retorno dos investimentos, ele também exigirá um acréscimo no valor da taxa de juro,
292
Matemática financeira
por exemplo, para 12% ao ano. Esse acréscimo de taxa de 4,5% aproximadamente sobre a TNLR é o prêmio pelo risco PR. Como este último cenário considera o tempo, a inflação e o risco da operação , a expressão da taxa requerida k é é formada pela soma da taxa real livre de risco TRLR, mais a taxa de inflação j e mais o prêmio pelo risco PR, tendo as três taxas o mesmo período, como mostra a primeira fórmula seguinte, alterada a ordem da taxa de inflação e da taxa livre de risco. Ademais, o resultado da soma das duas últimas parcelas é a taxa real de juro π ajustada ao risco do investimento, como mostra a segunda fórmula. k k
= =
j + TR TRLR + PR PR j + π
Somar essas taxas de juro parece contrariar o apresentado no Capítulo 2; por exemplo, a taxa de remuneração será a taxa de indexação mais a taxa real de juro, ambas com o mesmo período. Note-se que a declaração de somar taxas de juros pode ser apenas uma forma de expressão, pois na prática as taxas serão compostas utilizando o procedimento conhecido que se repete a seguir: 1+ k k
= =
(1 + j) × (1 + π ) (1 + j) × (1 + π ) − 1
Nessa expressão, a taxa de juro k é é o resultado da composição da taxa de inflação j e da taxa real ajustada ao risco do projeto π, as três taxas com o mesmo período. Perceba o leitor que a escolha das taxas que formam k é é uma tarefa que fica por conta dos participantes da operação e depende do destino do investimento, e não da origem do capital.
COMENTÁRIO ●
Consequências da soma das taxas.
Realizando as operações indicadas na fórmula acima, obtemos a seguinte fórmula: k = j + π
+
j × π
Verifique que para valores pequenos das taxas de juro j e π, o resultado dessa multiplicação tenderá tenderá a zero, e a taxa total será igual a k ≅ j + π . Ademais, na decisão de investimento utiliza-se um fluxo de capitais formado por estimativas de receitas, custos etc. Na avaliação desse fluxo de capitais, pelo VPL e a TIR, utiliza-se uma taxa requerida definida de alguma maneira e que também é uma estimativa. ●
Características da taxa requerida k .
Capítulo | 12 Decisão de investimento
293
A primeira parcela j da taxa requerida k é é comum a todos os investimentos, enquanto que a segunda parcela π é própria de cada investimento. Ademais: Na apresentação da avaliação e decisão de investimento realizada no início deste capítulo, o fluxo de caixa e o valor da taxa requerida foi um dado do exemplo. Na formação de um novo investimento, tanto os valores das estimativas do fluxo de caixa como o valor da taxa requerida devem ser determinados levando em consideração as características do investimento. Quando se utiliza a taxa de inflação j. ●
●
●
Se as estimativas do fluxo de caixa do investimento investimento foram realizadas em moeda constante, ou sem considerar inflação, inflação, a taxa requerida será a própria taxa real ajustada ao risco do projeto, ou k = = π. Entretanto, se as estimativas esti mativas do fluxo de caixa do investimento investimento forem realizadas em moeda corrente, a taxa requerida será a taxa nominal ajustada ao risco do projeto, ou k = (1 + j) × (1 (1 + π ) − 1 . Verifique o leitor que nos dois casos para a taxa requerida req uerida é utilizado o mesmo símbolo k , que pode ou não incluir a estimativa de inflação.
Referências
BONATTI, Patricia. Teoria de La Decisión. Argentina: Pearson, 2011. BONATTI, 2011. Matemática ca Financeir Financeira a . São Paulo: Elsevier, 2005. LAPPONI, J.C. Matemáti 2005. Modelagem gem Financeir Financeira a com Excel e VBA. São Paulo: Elsevier, 2008. ____________. Modela 2008. ____________. Projetos de Investimentos na Empresa . Rio de Janeiro: Campus/Elsevier, Campus/Elsevier, 2007. 2007. SANDEL, Michael J. O que o dinheiro não compra : os limites morais do mercado. São Paulo: Civilização Civiliza ção Brasileira, 2012 2012.. CISSEL et al. Matemátic 2005. Matemáticas as Financeir Financeiras as . México: CECSA, 2005.
295
Índice
A Amortização, 264 Análise dos resultados de cada parte da operação financeira, 100 Aplicativo Excel, 26, 261, 262
B Boas práticas de resolução dos cálculos financeiros, 7, 71
C Calculadora financeira HP-12C, 213 Cálculo da data de um capital do fluxo de capitais, 193 Cálculo da taxa de juro, 55, 81, 133 Cálculo de um capital do fluxo, 162 Cálculo do futuro, 72, 124, 160 Cálculo do número de capitais do fluxo uniforme, 221, 224 Cálculo do prazo, 57, 85, 137 Cálculo do presente, 53, 78, 128, 157 Cálculo financeiro, 9, 49, 71, 72 Capitalização, 24 Capitalizações da taxa nominal, 116 Características da operação com juro composto, 69, 70, 100 Comparação juro simples e juro composto, 37, 38, 62, 143 Conceitos na decisão de investimento, 269, 273 Criação de valor, 274 Custo de oportunidade, 32 Custo inicial do investimento, 273
D Data de análise, 157, 160, 178 Decisão de investimento com PBD e PBS , 285, 288 Decisão de investimento com TIR, 282-283 Decisão de investimento com VPL, 275 Definições na decisão de investimento investimento,, 273 Descapitalização, 24 Diagrama do tempo, 8
E Equação de valor equivalente, equivalente, 156 Equivalência Equiv alência de capitais, 275
Equivalência de taxas efetivas, 94 Equivalência Equivalência Equiv alência taxa nominal e taxa efetiva, 111 Evolução das ferramentas tecnológicas, 172
F Ferramentas tecnológicas, 9, 49, 72 Calculadora financeira HP-12C, 11, 213 Funções financeiras do Excel, 205, 216 Novas funções financeiras para Excel, 27 Modelos em Excel e VBA, 173, 277, 282 em Excel e VBA, 147, 153, 162, 183 TVMod em Financiamento com carência, 232 Financiamento com entrada, 237 Fluxo de caixa conv convencional, encional, 273 Fluxo de caixa simples, 273 Fluxo de capitais, 273, 282, 290, 291 Fluxo uniforme de capitais, 201 Formação da taxa de juro, 39 Funções financeiras do Excel IPGTO, 262 NPER, 87, 90, 126, 139, 223 PGTO, 74, 183, 185, 207, 211, 234, 238, 242, 262 PPGTO, 262 TAXA, 74, 82, 126, 134, 217 TIR, 177, 181, 282 VF, 203, 213 VP, 74, 79, 130 VPL, 151, 277 XTIR, 181 XVPL, 159 Futuro, 12, 13, 51, 76, 204
I Indexação, 39, 43, 45 Indicadores da decisão de investimento Payback descontado, 274, 285 Payback simples, 287 Valor presente líquido, 274 Taxa interna de retorno, 280 Inflação, 39-45 Investimento,, 33 Investimento
J Juro, 1, 2, 3, 62 Juros compostos, 38, 62, 69, 100, 113, 123, 144 Juro simples, 38, 47, 48, 65
297
298
Índice
L Limites da taxa de juro, 3 Liquidação antecipada de um financiamento, 244
M Maximização da riqueza, 31 Modelo avaliação de investimento, 277, 282 Modelo fluxo uniforme, 203, 207, 211, 218, 224, 234, 238, 242 Modelo juro composto, 75, 79, 83, 87, 126, 130, 134 Modelo juro simples, 50, 54, 56, 59, 64 Modelo operação elementar, 12, 13, 17, 22 Modelo taxa equivalente, 96, 98, 122 Modelo taxa nominal, 106, 107, 109, 112, 114 Modelo TVMod , 152, 153, 159, 162, 164, 179, 183, 188, 240, 250
N Novas funções financeiras para Excel FluxoUnif, 204, 206, 212-213, 216, 219, 226, 235, 239 JuroComp, 76, 80, 83, 88, 127, 131, 135, 140 JuroSimp, 51, 55, 57, 60, 64 NomEfe, 113, 115 OpElem, 13, 18, 23 TaxaEq, 97, 99, 123 TaxaReal, 42
Plano de financiamento com amortização constante, 264 Plano de financiamento com prestações constantes, 263 Planos especiais, 254 Prazo da operação, 85 Prazo de análise de projeto, 273 Prazo fracionário, juro composto, 119 Presente, 78 Procedimentos de avaliação de projetos, 278 Procedimento de cálculo do Payback , 285, 287 Procedimento de cálculo da TIR, 181 Procedimento de cálculo no Excel, 150, 151 Procedimento de cálculo do VPL, 275 Projetos de investimento, 104, 273, 274
R Regime de juro composto, 38, 62, 72-74 Regime de juro simples, 62, 65 Regimes de capitalização, 37 Regras de formação dos planos de financiamento, 257, 258 Reinvestimento Reinvestiment o dos juros, 33, 35 Renegociação de uma dívida, 250 Resolução de problemas, 9
S SAC , 264, 265 SPC , 259 Suplemento NovFunFin para Excel, 25, 26
O
T
Operação com dois capitais, 48, 55, 75 Operações com fluxo de capitais, 231 Operação com juro composto, 100, 144, 157 Operação com juro simples, 53, 55, 57, 58, 60, 66 Operação com prazo fracionário, 119 Operação com taxa nominal de juro, 106 Operação de leasing, 240, 241
Taxa de juro unitária, 151 Taxa percentual de juro, 3 Taxa de indexação, 39, 43, 45 Taxa efetiva de juro, 20 Taxa equivalente de juro, 99, 120 Taxa interna de retorno, 280 Taxa nominal de juro, 104 Taxa proporcional de juro, 57, 61 Taxa real de juro, 40 Taxa requerida, 271 Taxa total de juro, 39 TIR, taxa interna de retorno, 280
P Partes da operação financeira, 7 Payback , indicadores, 285, 287 Perfil do VPL, 279 Período fracionário, 120 Planilha de financiamento SAC , 266 Planilha de financiamento SPC , 263 Plano de financiamento com carência, 232
V Valor do dinheiro no tempo, 124, 147, 172 Valor presente líquido, VPL, 274