UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULT FACULTAD DE INGENIERÍA, INGENIERÍ A, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTIC MATEMÁTICAS AS CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
CÁLCULO INTEGRAL
AUTOR:
ING. JUAN CARLOS MOYA MSC.
QUITO, D. M., AGOSTO 2017
PRÓLOGO Esta obra, es el resultado del trabajo como docente por más de 15 años en las facultades de Ingeniería en varias instituciones de Educación Superior; fue elaborada como todos los buenos textos didácticos: en base a los apuntes y notas que el autor utilizaba en su labor educativa, finalmente con el trabajo diario con los estudiantes se fueron añadiendo más ejemplos y ejercicios. Con el paso de los años se fue perfeccionando y afinando el material hasta lograr el presente libro que el lector tiene en sus manos. El propósito principal del texto es servirle de ayuda a los estudiantes para que adquieran un buen conocimiento y dominio más completo de los temas de este campo imprescindible en su formación como Ingeniero. La extensión de los temas es la adecuada y no es excesiva para el estudiante, pues fue diseñada de acuerdo a los programas de estudio estu dio de las carreras de ingeniería para par a un semestre. Para un mejor aprovechamiento de la obra se sugiere al lector leer cuidadosamente las explicaciones introductorias de cada capítulo hasta que logre captar las ideas esenciales. Se incluye un grupo seleccionado de ejercicios resueltos dispuestos paso a paso de modo que queden establecidos los fundamentos y principios aclaratorios del Cálculo Integral. Es muy importante que resuelva todos los ejercicios propuestos, pues de ello dependerá que el lector comprenda y domine la asignatura.
Juan Carlos Moya
ÍNDICE INTRODUCCIÓN................................................................................................................. ................................................................................................................. 1 EXPRESIÓN DIFERENCIAL. DIFERENCIAL.................................................... ....................................................................................................... .................................................... ....... 2 1.
EJERCICIOS RESUELTOS. ..........................................................................................................................2
2.
EJERCICIOS PROPUESTOS. ........................................................................................................................3
FÓRMULAS BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN ..................................................... ................................. 4
CAPITULO 1: INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA. ............................................. 6 1.1 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA. ALGEBRAICA. ..................................................................... 6 1.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .....................................................................................................................6
1.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ...................................................................................................................8
CAPITULO 2: INTEGRACIÓN POR PARTES.............................................. ......................................................................... ............................ 10 2.1 OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA. .................................................................................................... 10 2.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO......................................................... ................................................ 11 2.2.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 11
2.2.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 16
CAPITULO 3: INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA............................................ ............................................................... .................... 17 3.1 INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS PARES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO . ............................... 17 3.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 17
3.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 18
3.2 INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS IMPARES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO . ........................... 19 3.2.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 19
3.2.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 20
3.3 INTEGRALES QUE CONTIENEN PRODUCTOS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO . ...................................... 20 3.3.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 21
3.3.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 22
3.4 INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS PARES E IMPARES DE LAS FUNCIONES TANGENTES Y COTANGENTE . .. 23 3.4.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 23
3.4.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 24
3.5 INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS PARES DE LAS FUNCIONES SECANTE COSECANTE . ........................ 25 3.5.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 25
3.5.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 25
3.6 INTEGRALES QUE CONTIENEN PRODUCTOS DE LAS FUNCIONES TANGENTES POR SECANTES O COTANGENTES POR COSECANTES . ................................................................................................................................. 26 3.6.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 26
3.6.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 27
CAPITULO 4: INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA................................... 28 4.1
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA........................................................ ... 28
4.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................... 28
4.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................................. 31
CAPITULO 5: INTEGRACIÓN MEDIANTE LA COMPLETACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS...................................................................................................................... 32 5.1
INTEGRACIÓN MEDIANTE LA COMPLETACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS. ...... 32
5.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 32
5.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 35
CAPITULO 6: INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES. ................ 36 6.1
INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES.......................................... 36
6.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 38
6.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 43
CAPITULO 7: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES EN SEN X Y COS X. ..................... 44 7.1 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES EN SEN X Y COS X................................................. 44 7.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 45
7.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 48
CAPITULO 8: INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES IRRACIONALES MEDIANTE DIVERSOS CAMBIOS DE VARIABLES.................................................................................................. 49 8.1 INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES IRRACIONALES MEDIANTE DIVERSOS CAMBIOS DE VARIABLES. 49 8.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 49
8.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 51
CAPITULO 9: PROBLEMAS MISCELÁNEOS DE INTEGRACIÓN.............................................. 52
9.1 PROBLEMAS MISCELÁNEOS DE INTEGRACIÓN. .................................................................... 52 9.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. .................................................................................................................. 52
9.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. ................................................................................................................ 55
CAPITULO 10: APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. ............................................. 56 10.1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. ..................................................................... 56 10.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. ................................................................................................................ 57
10.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. .............................................................................................................. 62
CAPITULO 11: INTEGRAL DEFINIDA. ................................................................................. 64 11.1 INTEGRAL DEFINIDA. ........................................................................................................ 64 11.2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. ......................................................................... 65 11.2.1
EJERCICIOS RESUELTOS. ................................................................................................................ 65
11.2.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. .............................................................................................................. 68
CAPITULO 12: CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS MEDIANTE LA INTEGRACIÓN. ........................ 69 12.1 CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS MEDIANTE LA INTEGRACIÓN. ................................................. 69 12.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. ................................................................................................................ 70
12.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. .............................................................................................................. 75
CALCULO 13: CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. ............................ 76 13.1 CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN .................................................... 76 13.2 MÉTODO DEL DISCO (EJE DE ROTACIÓN FORMA PARTE DEL ÁREA PLANA ). ........................................... 76 13.2.1
EJERCICIOS RESUELTOS. ................................................................................................................ 77
13.3 MÉTODO DE LA ARANDELA (EJE DE ROTACIÓN NO FORMA PARTE DEL ÁREA PLANA). .............................. 78 13.3.1
EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................. 79
13.4 MÉTODO DEL ANILLO (EJE DE ROTACIÓN NO FORMA PARTE DEL ÁREA PLANA). ..................................... 81 13.4.1
EJERCICIOS RESUELTOS. ................................................................................................................ 82
13.4.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. .............................................................................................................. 83
CAPITULO 14: VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE SECCIÓN CONOCIDA. .................................... 85 14.1 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE SECCIÓN CONOCIDA.............................................................. 85 14.1.1
EJERCICIOS RESUELTOS. ................................................................................................................ 86
14.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. .............................................................................................................. 88
CAPITULO 15: LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA. ........................................................... 89 15.1 LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA..................................................... ............................... 89 15.1.1.
EJERCICIOS RESUELTOS. ............................................................................................................... 90
15.1.2
EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................... 93
CAPITULO 16: INTEGRALES IMPROPIAS. ........................................................................... 94 16.1 INTEGRALES IMPROPIA DE PRIMERA ESPECIE. ................................................................... 94 16.2 INTEGRALES IMPROPIA DE SEGUNDA ESPECIE ................................................................... 95 16.2.1
EJERCICIOS RESUELTOS. ................................................................................................................ 96
16.2.2
EJERCICIOS PROPUESTOS. .............................................................................................................. 97
BIBLIOGRAFÍA. ................................................................................................................ 98
Cálculo Integral
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
INTRODUCCIÓN La integración es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas (funciones primitivas) de una función dada. Ej:
∫ F C
C
; Donde es una constante arbitraria de integración,
además
derivada de la función
diferencial de
y
Expresión
La integración es un proceso inverso a la derivación por lo cual es importante que el estudiante domine todo el proceso de derivación de funciones, para posteriormente hallar su expresión diferencial y a continuación mediante una integral obtenga su antiderivada. Función primitiva
Integración
La derivada
l∆→ ∆∆
´ ´ Expresión diferencial
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Cálculo Integral
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
EXPRESIÓN DIFERENCIAL. La diferencial de una variable independiente, por definición, es el incremento que experimenta la misma; sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función no es igual a su incremento, tal como se demuestra a continuación: El triángulo PRS es rectángulo:
ta
ta ´ ′ x
“La
expresión diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la función por el diferencial de su variable independiente .”
dx=Δx
1. Ejercicios Resueltos. Obtener la expresión diferencial de las siguientes funciones: 1.
y
2. y
3 x
x m
2
m
4.
r sen 2
ln 3t 2
e
tan x
3t
ds
dr d
3
3t 2
3
e
2 cos 2
x sec 2 x
dy dx
dt
s
x
x
3.
5. y
′ ′
4x 5
x 2
tan x
3
t
3 3e 3t dt 3t 2
ds
dr 2 cos2 d x sec x tan x 2
dy
x
2
dx
2|Página
Cálculo Integral
6.
2 x
3
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
4 x
2
y y
2
0
6 x
6 x
y '
7.
e
y
x y e
cos
y
e
y
'
2
y x
x
ln y
2
4 x
8 xy
2
2
2 y
sen x
y y '
sen x y y
2 y y '
dy
6 x
2
4 x
8 xy
2
2 y
dx
1
y ' x
1
x y
sen
sen x y
y
4 x
1 y'sen x y
y' 1 ln x y
y '8 xy 2 yy' 0
x ln x
2
8 xy
e
8.
4 x
6 x
y '
y
2
ln
dy
sen x y e sen x y y
dx
x
x
y ' 1 ln x x
x
dy 1 ln x x x dx
2. Ejercicios Propuestos. Obtener la expresión diferencial de las siguientes funciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
⁄ √ √ − l t
√ √ √ l α − − − −(++) − −− l
Solución:
Solución:
Solución: Solución: Solución: Solución: Solución: Solución: Solución: Solución:
3|Página
Cálculo Integral
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
FÓRMULAS BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN Al ser la integración el proceso inverso de la derivación, existen ciertas expresiones que su resolución es inmediata a partir de la aplicación de las fórmulas de derivación; a continuación, se detallan las fórmulas básicas de integración o también denominadas integrales directas . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
∫ u u C ∫ u ∫ u u C ; α "" ua αtat ∫ u ±u u ∫ uu ± ∫ uu ∫ u u +n C ; ≠ ∫ ul|u| C ∫ a u C ∫ u C ∫ u u αuC ∫ αu u uC ∫ u utauC ∫ u u t uC ∫ utau uuC ∫ u t u uuC ∫ tau ul|u| C l|αu| C ∫ tu u l|u| C l|u| C ∫ u ul |utau| C ∫ u ul |ut u| C ; donde
a
0
a 1
=
4|Página
Cálculo Integral
18. 19. 20.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ √ − − C ∫ + ta− C ∫ √ − − C ∫ − l +−C ∫ − l −+C ∫ √ + lu √ u aC ∫ √ − lu √u aC ∫√a u u √a u − C ∫√ u a u √ u a lu√ u aC ∫√u a u √u a lu√u aC ; donde
1
a
; donde
a
1
0
a
; donde
0
a
0
a
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
1
2a 1
2a
5|Página
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA. CAPITULO 1:
1.1
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA.
Los ejercicios de integración comúnmente se pueden resolver por el método de sustitución algebraica o del cambio de variables. Para aplicar este método de integración debemos lograr que la integral propuesta se convierta en una integral directa , la misma que se resuelva aplicando las fórmulas fundamentales expuestas anteriormente. 1.1.1 Ejercicios Resueltos. Resolver mediante una sustitución algebraica las siguientes integrales: 1.
∫x x x x ∫ xx ∫ x x ∫ xx ∫ x x x x xC − ∫ √ x √ x ∫ x ∫ xx ∫ x x x x x C √ √ ∫ ∫ xa∫ xx ∫ xx axax C ∫ ax x ∫ C + C =
2.
=
=
=
3.
=
=
4.
=
=
6|Página
Cálculo Integral
5.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ x x x x x ∫ C C ∫ √ x x x x x ∫ C − C ∫ ∫ C (+ ) C ∫ √ + t tt tt ∫ − C (+) C ∫ xαx x x αxx ∫ u u C C ∫ tax x x tax x x ∫ u u C C ∫ ++− x x x x x ∫ ul|u| C l|x x| C ∫ + x ∫ ul|u| C l| | C ∫ √ − l x ∫ √ − − C − C
6.
7.
8.
9.
=
10.
=
11.
12.
=
13.
=
=
=
7|Página
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14.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ l x ∫ l u ∫ t t C C ∫ + + x ∫ + x ∫ + x l|x | ta−xC
=
15.
=
C
1.1.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
∫ xx x xx C ∫ x x x C ( −) ∫xx x x C ∫ −− x − ) (− ∫x√x x C + – ∫ − x C ∫ + + + x √ C ∫ ++ ∫ ++ + ∫ x x n C =
=
=
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11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ a taxx x C ∫ − x C|− | ∫ α x C ∫ xαx x x C ∫ xαx x C ∫ α x x x C ∫ tx x x C x √ C ∫ + =
=
=
=
=
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
INTEGRACIÓN POR
CAPITULO 2:
PARTES. La integración por partes es un método que se emplea frecuentemente para integrar expresiones que pueden ser interpretadas como el producto de dos factores: u y dv ; de tal manera que se busca la función v a partir de su expresión diferencial dv y poder resolver la integral vdu y se constituye en la solución del problema, siendo más sencillo que el cálculo directo de la integral ud v 2.1
.
Obtención de la fórmula.
Si u y v son dos funciones derivables en X, podemos obtener la expresión diferencial del producto uv : Sea
u
f ( x) y
v
g ( x )
udv vdu
d uv
Al integrar los dos miembros de la igualdad se obtiene:
d uv
udv
vdu uv
udv
vdu
Despejando de esta última igualdad obtenemos la siguiente fórmula:
udv uv
vdu
Para aplicar este método de integración se debe tomar en cuenta las siguientes recomendaciones: a) La parte que se iguala “dv” debe ser de fácil e inmediata integración. b) La integral
vdu no debe ser más complicada que la integral udv 10 | P á g i n a
Cálculo Integral
2.2
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
Aplicación del método.
El método de integración por partes se deberá aplicar cuando la integral a resolver contenga las siguientes expresiones: a) Producto de una función algebraica por una función trascendente:
∫ x αx x
∫ x x
b) Producto de dos funciones trascendentes:
∫ l x ta x x ∫ − x x c) Funciones logarítmicas o trigonométricas inversas:
∫ l x x
∫ ta− x x
d) Funciones con potencias impares de las funciones sec y csc:
∫ x x
∫ x x
2.2.1 Ejercicios Resueltos. Resolver mediante la integración por partes las siguientes integrales: 1.
∫ xαx x x αx x x x ∫ xαx x x x ∫ x x x x αx C ∫ x x x x x x
=
2.
11 | P á g i n a
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ x x x ∫ x x x x x ∫ x x x x ∫ x ∫ x x x x x x x x α x ∫ x x x x αx ∫ x αx x x α xx x x x ∫ x x x x α xx x ∫ x x x x xx x α x ∫ x x x x α xx xxα x ∫ α x x α
=
3.
=
=
Al analizar detenidamente la respuesta se puede llegar a la expresión que generaliza la fórmula generalizada de la integración por partes:
f gdx f n
Cuando la integral
n 1
g f
udv está
n 2
´g ' f
n3
g ' '...... 1
n
fg dx n
formada por el producto de una función
algebraica de grado “n” se requiere de n repeticiones del método de integración por partes; para simplificar este proceso se propone el “ MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR TABLAS” , el mismo que se detalla a continuación:
12 | P á g i n a
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*
∫ x x
u x
2
dv Signo e
2x
e
2
e
0
e
x
-
x
+
x
-
x
+
∫ x x ∫ x x x =
u
*
-
3 x
-Cos x
+
6x
-Sen x
-
6
Cos x
+
0
Sen x
-
2
Signo
Sen x
3
x
*
dv
∫ x x x α =
Existen integrales en las que después de la aplicación del método de la integración por partes en sus términos aparece nuevamente la integral original con el signo cambiado; esto permite considerársele como la incógnita de una ecuación y por lo tanto deberá despejarse a dicha incógnita para obtener su valor final.
∫ − αx x αx −x x x − ∫ − αx x − α x ∫ − x x x −x αx x − − αx x − α x− x−α x x 4.
13 | P á g i n a
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ − αx x − α x− xC − − αx x xαx C ∫ αx x αx x x x ∫ αx x α x ∫ x x x x αx x αx x a α x a a x – a α x x αx x a α x a x – a α x x αx x a α x a x C x αx x a αx a C ∫ x l x x l x x x +n ∫ x lx x +n lx + ∫ x x ∫ x lx x +n lx + +n C +n lx + C ∫ x a x x a x x ∫ x a x ∫ a x 2
5.
6.
7.
14 | P á g i n a
Cálculo Integral
8.
9.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
x∫ a x C x C ∫ x x x x x x x tax ∫ x x x x tax ∫ tax x ∫ x x x x taxl|x|C x taxl|α x|C ∫ ta−x x ta−x x + x ∫ x a x x ta− x ∫ + ∫ x a x x ta−x l| x| C x ta−x l √ x C ∫ x x ∫ x x x x x x xtax x tax ∫ x x ta ∫ ta ∫ x x ta ∫ x x ta ∫ ∫ x x ta|ta| x x ta |ta|
=
10.
=
2
15 | P á g i n a
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sec xdx 3
1 2
sec x tan x
1 2
ln sec x tan x
C
* Se recomienda al lector memorizarla expresión, puesto que con frecuencia aparece en la resolución de problemas de aplicación del cálculo integral. 2.2.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
∫ l x x xl xxC ∫ x√ x x x x C x∫ x x C ∫ l x x l x αl x C ∫ x x x x α x xαxC ∫ x x +− C ∫ √ + −√ + C ∫ l|x | x xl|x | x√ ta− √ C
16 | P á g i n a
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA. CAPITULO
3:
Previo a la resolución de integrales que contengan funciones trigonométricas se detallan a continuación ciertas identidades trigonométricas fundamentales que son útiles para la simplificación y la resolución de este tipo de ejercicios. 1. 3. 5. 7. 8. 9. 10. 3.1
x α x ta x x t x x xαx x + x − α x ± x ±α x xα xx x αxαx α xα αxαx 2. 4. 6.
Integrales que contienen potencias pares de las funciones seno y coseno.
Para resolver este tipo de integrales se debe sustituir con las identidades trigonométricas del y por su valor equivalente del ángulo doble.
x α x
(Identidades Nº 5 y Nº 6)
3.1.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales: 1.
∫ α x x ∫αx x ∫ x ∫ αxx =
=
+
=
17 | P á g i n a
Cálculo Integral
2.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ x x ∫ x x ∫αx x ∫ x ∫ αxx ∫ αx x ∫αx x ∫ x ∫ αx x ∫ α x x ∫α x x ∫αx x ∫ x ∫ αxx ∫ αx x ∫αx x ∫ x ∫ αx x =
=
= = = = =
3.
=
=
= = = = =
3.1.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3.
∫ x x ∫ αx x ∫ α x 18 | P á g i n a
Cálculo Integral
3.2
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
Integrales que contienen potencias impares de las funciones seno y coseno.
En este tipo de integrales se debe sustituir con la identidad trigonométrica fundamental de Pitágoras (Identidad Nº 1) , de esta manera el problema se resuelve como una integral de potencia en las funciones seno y coseno; donde se recuerda aplicar las siguientes expresiones:
sen
n
cos
n
axcosax dx
axsenaxdx
1
sen
a n 1
1
a n 1
n 1
ax C
n 1 cos ax
C
3.2.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales: 1.
∫ x x ∫ x x x ∫αx x x ∫ ∫ α α ∫ α x x ∫ αxαx x ∫x αxx ∫ α ∫ x α ∫ ∫ α x x ∫αxx α x + ∫α =
=
=
=
2.
=
=
=
=
3.
=
;
=
19 | P á g i n a
Cálculo Integral
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ ∫ α ∫ ∫ = ∫α ∫ = ∫ ∫ α ∫ ∫ = = + =
3.2.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5.
3.3
∫ x ∫ αx x ∫ α x x ∫ x x ∫ x x α =
Integrales que contienen productos de las funciones seno y coseno. Si la integral contiene el producto de las funciones seno y coseno del mismo ángulo y elevados a la misma potencia se debe realizar la sustitución trigonométrica del seno del ángulo doble (Identidad Nº 4) . Si la integral contiene el producto de las funciones seno y coseno del mismo ángulo y elevados a diferente potencia se debe realizar la sustitución trigonométrica más convenientemente empleando la Identidad de Pitágoras (Identidad Nº 1) para resolver la integral como una integral de potencia en las funciones seno y coseno. 20 | P á g i n a
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
Si la integral contiene el producto de las funciones seno y coseno de diferente ángulo se recomienda emplear las identidades trigonométricas que permiten cambiar los productos de senos y cosenos en sumatorias (Identidades Nº 8, Nº9 y Nº 10). 3.3.1 Ejercicios Resueltos.
Resolver las siguientes integrales: 1.
∫ x αx x ∫ x x ∫αx x x ∫ ∫ α α ∫ x αx x ∫ x α x x x ∫αxαx x x ∫ ∫ α α ∫ x αx x ∫ x α x α x x ∫ x xαx x ∫ ∫ ∫ ∫ xαx x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =
=
=
=
2.
=
=
=
=
3.
=
=
=
=
4.
; aplicando la fórmula Nº 8
=
=
;
=
21 | P á g i n a
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
= 5.
∫ xx x
α α
; aplicando la fórmula Nº 9
∫ = ∫ ∫ = =
6.
∫ α xαx x
; aplicando la fórmula Nº 10
∫ = ∫ ∫ = =
3.3.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6.
∫ x αx x ∫ x α x x ∫ x α xx ∫ x x x ∫ x α x x ∫ αx α x x 22 | P á g i n a
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Integrales que contienen potencias pares e impares de las funciones tangentes y cotangente.
3.4
Para la resolución de este tipo de integrales se debe realizar las identidades trigonométricas con las identidades de Pitágoras (Identidades Nº 2 y Nº 3) , de esta manera el problema se resuelve como una integral de potencia en las funciones tangente y cotangente; donde se recuerda aplicar las siguientes expresiones:
1
tan
ctg ax csc axdx
n
axsec axdx 2
n
a n 1
1
2
tan
n1
ax C
ctg n1 ax C
an 1
3.4.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales: 1.
∫ ta x x ∫ taxtax x ∫ tax x x ∫ ∫ ta l|α| ∫ t x x ∫ txt x x ∫ txxx ∫ tx x x ∫xx ∫ tx x x ∫ ∫ t =
=
=
=
2.
=
=
=
=
=
23 | P á g i n a
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3.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ ta x x ∫ ta x tax x ∫ ta x x x ∫ ta x x x ∫ ta x x ∫ ta x x x ∫ tax x x ∫ ta x x x ∫ tax x x ∫ tax x ta l| | ∫ t x x ∫ txt x x ∫ txxx ∫ tx x x ∫ tx x ∫ tx x x ∫ tx xx ∫ tx x x ∫ tx x x ∫ tx x x x t x x x x x x ∫ t x ∫ ∫ ∫ t =
=
= = = =
4.
=
=
= = = = =
3.4.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5.
∫ ta x x ta ∫ t x x ∫ tax x || ∫ tax x ta ∫ t x x | | 24 | P á g i n a
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3.5
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Integrales que contienen potencias pares de las funciones secante cosecante.
Al igual que el caso anterior, en la resolución de este tipo de integrales se debe emplear las identidades fundamentales con las identidades de Pitágoras (Identidades Nº 2 y Nº 3) , de esta manera el problema se resuelve como una integral de potencia en las funciones tangente y cotangente. 3.5.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales: 1.
∫ x x ∫ x x x ∫tax x x ∫ ∫ ta ta ∫ x x ∫ x x x ∫txx x ∫ tx x ∫ tx xx ∫ x x t =
=
= =
2.
=
=
= =
3.5.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2.
∫ x ta ta ∫ x x 25 | P á g i n a
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3.6
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Integrales que contienen productos de las funciones tangentes por secantes o cotangentes por cosecantes. En la resolución de este tipo de integrales se deberá verificar si es conveniente emplear las identidades trigonométricas fundamentales de Pitágoras (Identidades Nº 2 y Nº 3), de esta manera el problema se resuelve como una integral de potencia en las funciones tangente y cotangente. En este tipo de ejercicios puede resultar favorable el sustituir a las tangentes y cotangentes hasta lograr convertir al problema en una integral de potencia en las funciones secante y cosecante, donde se recuerda aplicar las siguientes expresiones:
sec
csc
n
ax secax tanax dx
n
1
a n 1
axcscaxctg axdx
n1 sec ax
C
1
an 1
n1 csc
ax C
3.6.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales: 1.
2.
xxtax x x ∫ tax x x ∫∫taxxxtax ∫ xtax x xtax x ∫ ∫ tx x x ∫ tx xxt x x ∫xx xtx x x x xtx x ∫ xxtx ∫ ∫ tax x x ∫ ta x ta x x x ∫ta x x x ∫ ta x x x = = =
=
=
=
=
=
3.
=
= =
26 | P á g i n a
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4.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
x x ∫ tx x x ∫ tx tx ∫ t x x x ∫ t x x x ∫ tax√ x x ∫ √ xtaxx ∫ − x xtax x √ =
= =
5.
=
= =
=
3.6.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6.
∫ ta x x x ta ta ∫ ta x x x ∫ t x x x ∫ t x x x ∫ tax x x ta ta ∫ x
27 | P á g i n a
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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA. CAPITULO 4:
4.1
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
El proceso de integración por sustitución trigonométrica se emplea cuando en una integral algebraica existan expresiones biónicas de la forma
;
sean estas racionales o irracionales.
Cuando el integral contenga
sustituir: sustituir: sustituir:
En cada uno de los casos, este método de integración conduce a una nueva integral en términos de la variable auxiliar . Para obtenerla solución que corresponde a la
""
variable original “x” , se establece la relación entre x trigonométricas de un triángulo rectángulo.
mediante las relaciones
4.1.1 Ejercicios Resueltos Resolver las siguientes integrales:
1.
∫ − ∫ ∫ ∫ − − ∫ θ θ taθC √ − :
=
2
=
X
=
=
=
=
28 | P á g i n a
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2.
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∫ √ − x ∫ √ − αθθ ∫ θ ∫ ( − ) θ ∫ θθ ∫ θ θ l|| αθC√ l x C ∫ √ − ∫ ∫ √ − √ − ∫ θθ t θC √ − C :
= 5
5
X
= 5
= 5
= 5
3.
:
=
3
X
=
4.
=
=
∫√ x x
ta θ ∙ θ θ θ θ √ ∫ ∫ ∫ θ θ θ ta θ l|ta|C | θ θ θ t a θ l ta|C ∫ ∫√ x x √ + l+√ + C √ + lx√ x C ⁄ ∫ √ + ⁄ ⁄ ∫ ∫ ∫ ⁄ √ + ∫ θ θ l|t| C x x √ √ l x x C l x C :
=
X
*
=
*
2
=
=
5.
:
2X
=
3
29 | P á g i n a
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6.
∫ √x x
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ta ∫ √ θ ∙ θtaθθ ∫ taθ θθ ∫ θθθ ∫ θθ ∫ θθ | θ θ θ t a θ l ta|C ∫ θ ta θ l|ta| l|ta| C θ ta θ l |ta|C ∫ √x x √ − l+√ − C √ − lx√x C ∫ √ − ta ∫ √ − ∫ θθ ∫ θ θ θ ta θ l|ta| C √ − √ − lx √x C ∫ ∫ √ − ∫ ∫ √ − √ − ∫ θ θC− C :
X
=
=
2
*
=
=
7.
:
X
4
8.
*
:
=
=
=
2
=
9.
=
∫ + ⁄ ta ⁄ ∫ + ∫ + ∫ θ θC − C
2 Sec X
=
=
3
30 | P á g i n a
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10.
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∫ √ −
√ √ ta ∫ √ ∫ √ − ∫ αθθ θC √ − C :
W
7
=
=
4.1.2 Ejercicios Propuestos Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
∫ − l √ +− ∫ + − + ∫ √ + x √ l √ + − ∫ − √ − − ∫ + √ + ∫ √ − − ∫ √ − √l √l =
=
=
=
=
31 | P á g i n a
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INTEGRACIÓN MEDIANTE LA COMPLETACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS. CAPITULO
5.1
5:
INTEGRACIÓN MEDIANTE LA COMPLETACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS.
∫ + ++ x ∶
Para resolver integrales de la forma segundo grado en la variable “x” forma
;
debemosreducir al trinomio de
a untrinomio cuadrado perfecto de la
donde y son constantes.
Luego realizando una sustitución trigonométrica apropiada se debe resolver la integral mediante el método estudiado en el capítulo anterior. 5.1.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales:
∫ ++ ∫ ++ 1.
:
:
2
X + 1
∫ + ∫ + ∫ θ θC ta− + C ∫ −− + x :
32 | P á g i n a
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∫ − − + x ∫ ++− θ θ ∫ taθ θ ∫ θ l|θ| θ C lx xta−x C ∫ √ − − ∫ − + ∫ −√ − ∫ θ θ ∫ θ αθ C √ x x − + C ∫ √ − − ∶ ∫ − + ∫ √ − ∫ √ − ∫ θ + − θ C C :
X - 2
1
2.
:
:
3
X + 2
=
3.
:
8
X + 6
=
∫ − √ − ∶ ∫ − − − ∫ √ − − u C −x C 4.
:
=
=
33 | P á g i n a
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∫ + √ + ∶ ∫ + + − ∫ √ − − C − + C ∫ √ −− l ∫ √ −− ∫ − + √ √ ) √ √ ∫ (√ − − √ ∫ θ θ ∫ θ √ αθ C √u u − +√ C l x lx − l x√ C ∫ + + ⁄ ∫ + + ⁄ ∫ + − ⁄ ∫ ∫ ∫ ⁄ θ − θ ∙ θ ∫ ∫ ∫ θ tθ θ 5.
:
=
=
:
6.
: :
U+2
=
:
7.
:
:
U+4
=
34 | P á g i n a
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C θC √ uuu √ C 5.1.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
∫ −+ l√ − + ta− − C ∫ √ − + l√ x x x C ∫ √x x x −√ −− lx √x x C ∫ − ⁄ √ −− C ∫ + l√ + C ∫ √ − −x −√ − C ∫ + √ + −t C ∫ −+ √ ta− √ − C ∫ √ + + l √ C ∫ – + √ ta− √ − C
35 | P á g i n a
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INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES. CAPITULO 6:
6.1
INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES.
Fx
La expresión:
en la cual
x x x y
son polinomios recibe el nombre de
x Fx
fracción racional . Si el grado de es menor que el grado de ; recibe el nombre de fracción propia , caso contrario recibe el nombre de fracción impropia . Toda fracción racional impropia mediante la división de los polinomios se puede expresar como la suma de un polinomio y una fracción propia.
Fx x x x qx
Sea:
una fracción impropia; por lo tanto:
= x
Donde: q(x): Cociente división. r(x): Residuo división. Toda fracción racional propia puede expresarse como la suma de varias fracciones simples cuyos denominadores sean de la forma y
ax x
ax
donde n es un número entero positivo. Dependiendo de la
estructura de los factores del denominador se pueden presentar las siguientes combinaciones: 36 | P á g i n a
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a) Factores lineales diferentes: El denominador de la fracción contiene factores lineales de la forma ; por lo tanto a cada factor le corresponde una fracción de la forma:
ax
+ donde A es una constante a determinar. b) Factores lineales múltiples: El denominador de la fracción contiene factores lineales de la forma esta fracción es equivalente a la suma de n fracciones de la forma:
ax
= + + + ⋯⋯ + Siendo A, B, . . .. F constantes a determinar. c) Factores cuadráticos diferentes: El denominador de la fracción contiene factores cuadráticos de la forma ; por lo tanto a cada factor le corresponde una fracción de la
ax x forma:
+ + + donde A y B son constantes a determinar. d) Factores cuadráticos múltiples: El denominador de la fracción contiene factores lineales de la forma
x
ax
esta fracción es equivalente a la suma de n fracciones de la forma:
= + + ⋯⋯ ++ + ++ + + + + Siendo A, B, C, D, . . .. F y G constantes a determinar.
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6.1.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales:
++ + + ∫ ++ ∫ ++ Ax Bx ∶ → ⁄ ∶ → ⁄ x xx x x x x l|x | l|x | C l ++ C ∫ − ∫ +− + − + − AxBx ∶ → ⁄ ∶ → ⁄ xx x x x x l|x | l|x | C l −+ C x ∫ +−− − x ∫ +−− − + − + − AxxBxxCxx ∶ → ⁄ ∶ → ⁄ ∶ → x x xx x x x x x x x x l|x| l|x | l|x | C ⁄ ⁄ + l − C 1.
:
: Si
Si
=
2.
:
:
Si
Si
=
3.
:
Si Si Si
=
38 | P á g i n a
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∫ − ∶ − → x x x x x x x x x l|x | − C ∫ − x ∶ − → x x x x x x x x xx x x xx xx x l| x| − − C ∫ − ∫ −+ + −+ + − ++ + Ax x BxCx ∶ → ⁄ ∶ → −− → ⁄ ∶ → → ⁄ ∫ − ∫ − ∫ ++ + x l|x | ∫ ++ + x x xx x ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
4.
Si
=
5.
Si
=
6.
:
Si Si Si
=
39 | P á g i n a
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∫ + ⁄++ ⁄ x ⁄ ⁄ ⁄ √ ⁄ √ ⁄ ⁄ ∫ (√ ⁄⁄−+⁄) + √ ⁄ θ θ √ ∫√ ⁄ taθ θ √ ∫ θ √ ⁄ l|θ|√ θ C lx x√ ta− x √ C xx | | √ − √ −++ √ − + √ ∫ + ++++ x + ++++ ++ ++ x x x Ax Bx CxDx x x x Ax AxBx BCx CxDx D x x x ACx BDx ACx BD AC BD AC BD ; ; + ∫ + +++ x ∫ + ∫ + − l|x | ∫ + + + + + + + + +++ + + + Ax Bx x CxDx x :
=
7.
:
Resolviendo los 2 sistemas de ecuaciones:
=
8.
:
40 | P á g i n a
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Ax Ax AxBx BxBCx Cx Cx Dx DxD ACx ABCDx ABCDx BD AC ABCD O ABCD ⁄ BD ⁄ x x x xx x xx x x x x xx ∶ ∫ + + ∫ + ta− u C ta−x C ∫ + + ∶ ∫ + + ∫ + ∫ ta− + C x x ta−x ta− x C x x x ∫ + ++ x + ++ ++ + + x x Ax Bx CxD x x Ax AxBx BCxD x x Ax Bx ACx BD 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
:
=
=
:
X + 1
2
9.
:
41 | P á g i n a
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A AC BD ; ; x x x x xx x x x x ∫ + ∫ + ∫ + l|x | − + C ∫ − −+ +− + x
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
=
=
10.
Dividiendo los términos de la fracción:
x x x x x x x x x x x x
x xxx x xx x x x x x x x x A BxC x x x x x x x Ax x BxCx x Ax Ax ABx Cx x ABx CAx A A AB CA ; ; x xxx x xx x x x xx x x x || |x x | x l √ − + C
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
= =
42 | P á g i n a
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6.1.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
∫ −+ x l+ C ∫ − −− x l⁄+−⁄⁄ C ∫ − ++ − l + ⁄− −⁄⁄ C ∫ −−+ x l|x | − − C ∫ − − − − C ∫ +−− ++ xl +− − C ∫ + l −++ √ ta− √ − C ∫ ++ x −x + C ∫ + +−− + x x xl|x x|C ∫ ++−−− + + xx − l|x |l|x |C
43 | P á g i n a
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CAPITULO 7:
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES EN Sen X y Cos X. 7.1
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES EN Sen X y Cos X.
∫R x; αx x ta → ta− + ta ⁄⁄ +−
Los ejercicios de integración de la forma mediante la sustitución:
pueden simplificarse
Al elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenemos: Sustituyendo trigonométricamente la función tangente:
Reemplazando las funciones trigonométricas del ángulo mitad:
+−
Despejando el valor del cos x en términos de z se obtiene:
X
α −+
Con el triángulo se establece la relación entre las variables X y Z 2Z
+ ta −
Luego de realizar este cambio de variables la integral se convierte en una fracción racional de la forma.
F
x
en la cual
y
son funciones polinómicas.
44 | P á g i n a
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7.1.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales:
∫ + ta− + z ∫ + zz ∫ + + ∫ + ⁄ + ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ √ ⁄ √ ⁄ ⁄ ∫ √ ⁄⁄ + √ ∫ √ √ − √ ⁄ + √ ⁄ ∫ + ta− + z ∫ + zz ∫ + ∫ + √ √ √ ∫ √ √ ∫ + ⁄ √ − √ √ 1.
:
2Z
=
=
=
X
:
2.
2Z
=
=
=
X
45 | P á g i n a
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∫ − ta− + ( z) zzz (− (z ) ∫ − zz ∫ zz – z ∫ + ) + + + − + + + + CD A B DD A ABB CC AC BD AC BD AC BD AC BD ; ; √ ∫ √ + ∫ + √ −(√ ta)− √ −(√ ta⁄) −ta⁄ √ −(√ ta⁄)x ∫ + + ta− + z z ∫ + zz + zz ∫ zzz z ∫ + ∫ + l| | C l| ta x⁄| 3.
:
2Z
=
=
=
X
Resolviendo los 2 sistemas de ecuaciones:
= = =
4.
:
2Z
=
=
=
X
=
+ C
46 | P á g i n a
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
En determinados ejercicios resulta más sencilla la resolución si primeramente se realizan las identidades trigonométricas, para posteriormente integrar; por ejemplo:
+ ∫ − ∫ + ∫ − αx α x x x t x x x x x l| | ∫ x x ∫ x x l| | l| |α l| |α l| |α ∫ + α ∫ + + ++ B A AB A ; ; ∫ + ∫ + ∫ l| u| l|u| C l √ + C x x α √ αx α x l αx xC =
5.
=
= = = =
:
6.
:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
=
=
47 | P á g i n a
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
7.1.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
∫ + l ⁄⁄ + + C ∫ + xtal|α||ta| C ∫ + x ⁄ + C ∫ + √ ta− √ ta x⁄ C ∫ + ta− ⁄ C + l ∫ ++ C ∫ u t uu C ∫ + √ l +√ + ⁄ ⁄− − ⁄ C ∫ + − l+ ⁄⁄ C ∫ + l|tax⁄|l|tax⁄| l|x⁄| Sugerencia sustituir cos x = u
+ C
48 | P á g i n a
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INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES IRRACIONALES MEDIANTE DIVERSOS CAMBIOS DE VARIABLES. CAPITULO 8:
8.1
INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES DIVERSOS CAMBIOS DE VARIABLES.
IRRACIONALES
MEDIANTE
Cuando una integral contenga expresiones con radicales, se deberá racionalizar al mismo mediante un cambio de variables que permita eliminar de manera simultánea a todas las expresiones irracionales. 8.1.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales: 1.
∫ + ∫ +√ + ∶ xu xu u ∫ ∫ √ + ∫ +√ ∶ xu xu u ∫ + ∫ + u ∫ u ∫ + u ul| u| √ x l √ x ∫ √ + ∶ xu xu u ∫ + ∫ + u ∫ u ∫ + u uta− u √ x ta−√ x
= 2.
+C =
+ C
=
=
+ C
3.
+ C
=
=
+ C
+ C
49 | P á g i n a
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4.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ −√ ∶ xu xu u ∫ − ∫ − l|u | l √ x xuu ∫ √ + +√ + ∶ xu ∫ + ∫ + ∫ u + u ∫ uu ∫ u ∫ + u u ul| u| √ x √ x l √ x ∫ x√xx ∫ x√xxx x u xxu u uu u u uu u u u u u u u C uu C x xx x⁄x C ∫ α √ x x xt xt t t αtt → t αt t t t ∫ tαt t t t ∫ t t t t αt C α √ xx √ x √ x α √ x C ∫ √ x xt xt t t t → t t t ∫ t t t ∫ t t C t C √ x √ (√ x ) C
=
=
+ C
+ C
5.
=
=
+ C
+ C
6.
7.
=
8.
=
=
50 | P á g i n a
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
En determinados ejercicios resulta más sencillo realizar la racionalización de la expresión irracional, para posteriormente integrar; por ejemplo: 9.
∫ √ + –√ + ∫ √ + –√ + ∗ √ √ ++ +√ +√ ++ ∫ √ + +√ − + x − ∫√ x a x − ∫√ x x ⁄ x a − − x ⁄ − [x a⁄ x ⁄] =
=
=
=
+
+C
+C
8.1.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5. 6.
∫ −√ + l √√ ++ −+ C ∫ + √ + √ x l √ x C + x x ∫ +√ + √ + [√ x l √ x] C ∫ √ + +√ + √ x √ x l √ x ∫ √ xx √ x α √ x √ x C ∫ √ + –√ − [x ⁄ x ⁄]
+ C
+C
51 | P á g i n a
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Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
CAPITULO
9:
MISCELÁNEOS INTEGRACIÓN. 9.1
PROBLEMAS DE
PROBLEMAS MISCELÁNEOS DE INTEGRACIÓN.
En el presente capítulo se presentan diversos métodos de integración las cuales se aplica de manera específica según el tipo de expresión que contenga la integral propuesta. 9.1.1 Ejercicios Resueltos. Resolver las siguientes integrales: 1.
2.
3.
∫ + x; lx →u u u u C lx C ∫ √ − x; a x →u √ − u u u C a x C ∫ | | x; tlx t ltt → lt ; t tt ; t l tt tl t t tl t tC tlt C l xl |l x| C
=
52 | P á g i n a
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4.
5.
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
∫ + x ∫ ++ − x ∫ ++ x ∫ + x x x xl| | C ∫ √ −− x ∫ √ − x ∫ √ − x ∫ −⁄⁄ x ∫ √ − − x −x⁄ √ x ∫ x ∫ + x ∫ ∫ α x x x x x x x x tax t x C =
=
6.
+
+ C
=
∫ − + x∶ → xlu →x u u u u u u u u u u u u u u u u ta− u C ta− C 8. ∫ − ∫ − : − − A B A AB A B A 7.
AB ⁄ ; ⁄ A x x x x −x ∫ − ∶ u x u ∫ + + Au Bu ∶ → ⁄
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
:
Si
53 | P á g i n a
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⁄ ∶ → ∫ + ∫ ∫ + l|u| l|u | C l| | l|| C x l| | l|| − C − l C ∫ −ta− x → ta− x −x − ∫ −ta− x −ta− ∫ + ∫ + x x ∫ ∫ √ + ∫ tθθ l| θ | C l√ + C l|| l C xl C −ta− x −ta− xl C ∫ ( + + ) ∶ uta θ u θθ u uu ∶ u u u u u A u u u u u u Bu u C u Au u BuCu ∶ → ∶ → →−+ ∶ → → ∫ (+ +) ∫ + ∫ − + l|u | ∫ − + Si
=
=
9.
+
:
1
10.
Si Si Si
=
54 | P á g i n a
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∫ − ⁄ + ⁄ u⁄ ta θ →u⁄ √ ta θ→u √ θ θ ⁄ √ √ √ θ ∫ ∫ u u u √ ⁄ − + θ C ta− √ C √ ⁄ u uu l|u | √ ta− u C √ ta θ ta θ θθ l|ta θ| √ ta− ta√ θ C :
9.1.2 Ejercicios Propuestos. Comprobar las siguientes integrales 1. 2. 3. 4. 5.
∫ +√ x l| x | √ C ∫ l|l|x| C ∫ −√ √ l √ C ∫√ x √ ta−(√ ) C ∫ ⁄ x α ⁄x C
55 | P á g i n a
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. CAPITULO 10:
10.1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. El gran aporte de NEWTON y LEIBNITZ por el cual se le considera como los inventores el cálculo infinitesimal, fue la relación entre este principio con el problema de la recta tangente a una curva. Dentro de las principales aplicaciones de la integral indefinida se pueden citar las siguientes:
⁄ ′
Si conocemos la pendiente de la recta tangente a una curva
,;
en un punto
mediante la integración se puede determinar una familia de
curvas . Para hallar una solución en particular será necesario evaluar la constante C a partir de las condiciones iníciales de cada ejercicio.
Cuando se tiene la ecuación de aceleración en función del tiempo
⁄
empleando el proceso de doble integración se puede determinar las
ecuaciones de la velocidad y posición en función del tiempo. La expresión
se conoce como la Ley del movimiento. Conocida la cantidad inicial de una sustancia y su rapidez de variación se puede llegar a determinar la cantidad de la sustancia que se encuentra presente en cualquier instante de tiempo. Conocido el costo marginal de la elaboración de un producto se puede determinar el costo total y el costo promedio.
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10.1.1 Ejercicios Resueltos. 1. Hallar la ecuación de la familia de curvas cuya pendiente en cualquiera de sus puntos sea igual a 2 veces el valor de la abscisa en dicho punto. Determinar la ecuación de la curva de esta familia que pasa por el punto .
, x x → xx → x C , → C → C x
2. Hallar la ecuación de la familia de curvas cuya pendiente en cualquiera de sus puntos sea . Determinar la ecuación de la curva de esta familia que
⁄ x ,
pasa por el punto
x x → xx xx →l l x l C ll|Cx| → Cx , → C → C → x ,
en el que 3. Hallar la ecuación de una curva sabiendo que pasa por el punto su pendiente es igual a 10 y que en cualquier punto de la misma se verifica que 57 | P á g i n a
Cálculo Integral
′′ ,
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Determinar la ecuación de la curva de esta familia que pasa por el punto
x → x x x xC → C→C x x → xx x xC→ , C→ C x x
4. Una partícula con movimiento rectilíneo parte del origen de coordenadas, en el instante cuando con una velocidad inicial y su aceleración
⁄ ⁄√ . . t √ → v t √ t √ ∶ v ⁄ → √ → v√ ⁄ v t √ → (√ ) ⁄ ∶ → → ⁄ → = → = ⁄ → ∆ ⁄ . Hallar la ecuación de posición en función del tiempo
el desplazamiento de la partícula desde
y
hasta
;
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5. Se lanza verticalmente hacia arriba una partícula desde un punto situado a una altura de sobre el suelo con una velocidad inicial
⁄ . Halla: . . ⁄ ℎ → ℎ ⁄ → C → C t∶ v v v t → ∶ → → → → → →v →v ⁄. →v →v ⁄. v → → → → →v →v ⁄. → → ± → , , .→v, , →v ⁄.
La velocidad de la partícula cuando está a una altura
de
El tiempo que toma en alcanzar la altura máxima y su valor.
La
velocidad de la partícula al llegar al suelo. Adóptese
a)
b)
c)
59 | P á g i n a
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6. La ley de crecimiento de cierta bacteria viene dada por
N Nt , N → NN . t → NN ,t → l Nl C, t → l NC , t → NC , → NC, Paa t∶ N → C, → C N, Paa t∶ N , → N ., que inicialmente
⁄ , t
. Hallar el valor de N en el instante
. Sabiendo
.
7. Si la función de ingreso marginal para un determinado producto es:
; encuentre la función de la demanda de dicho producto r = ingreso, q = unidades.
→ ´ Cα al :Fu l α tαtal. P :Fu la aa. q 60 | P á g i n a
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8. En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de 4000 USD. Si la función del costo marginal está dada por
. .. . → ´ .. .q . . . q . . . S q→ → . . . S q→ ,
..
; donde c: costo total en dólares, q: cantidad de libras. Encuentre el costo de
pro
ducir 10000 libras en una semana.
61 | P á g i n a
Cálculo Integral
10.1.2
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Ejercicios Propuestos.
Resolver los siguientes problemas 1. Hallar la ecuación de la familia de curvas cuya pendiente en cualquiera de sus puntos sea . Determinar la ecuación de la curva de esta familia que pasa
⁄ ,. xCx xx
por el punto Solución:
;
2. Hallar la ecuación de la familia de curvas cuya pendiente en cualquiera de sus puntos sea
⁄ ,. Cx x
. Determinar la ecuación de la curva de esta familia
que pasa por el punto Solución:
;
3. Hallar la ecuación de una curva sabiendo que pasa por el punto
x x x
su pendiente Solución:
,
en el cual
y que en cualquiera de sus puntos verifica que
4. Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales a la familia de parábolas
xC
K−
Solución:
5. Una partícula con movimiento rectilíneo parte del origen de coordenadas, en el instante cuando con una velocidad inicial y su aceleración
⁄ ⁄ St t t ∆ ℎ . ⁄ Halla: a. Hallar la ecuación de posición en función del tiempo
y el desplazamiento de la partícula desde
Solución:
hasta
;
6. Desde un globo en reposo situado a una altura de se lanza un objeto con una velocidad inicial
sobre la superficie
.
La posición
62 | P á g i n a
Cálculo Integral
del objeto
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después de iniciado el descenso.
dicho instante. Solución: Luego de
⁄
el objeto está a
La velocidad del objeto en
de altura y tiene una velocidad
"" "" t P ,
9. El incremento en función del tiempo de determinada magnitud a dicha magnitud. Sabiendo que en el instante inicial instante
,
Hallar el valor de
Solución: Ley de transformación:
es proporcional
,
y que en el
en el instante
.
En el instante
,
10. La velocidad con que una sustancia se transforma en otra es proporcional al residuo de la misma. Si se conoce que inicialmente la cantidad de sustancia es igual a y que luego de La cantidad de la sustancia es de
. Hallar el tiempo tiempo que debe transcurrir para que la cantidad de sustancia
sobrante sea igual a
⁄
de la cantidad inicial.
Solución: Ley de transformación: 11.
Q− ,
+
Tiempo
La función del costo marginal para un producto viene dada por: po r: Donde
{:: ̅ ̅: |+| +| , ̅ |
;
Se conoce que al producir 100 unidades el costo
promedio es de 50 USD por unidad. Determinar el costo para producir 1000 unidades Solución:
; costo costo promedio. ,
63 | P á g i n a
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11:
CAPITULO
INTEGRAL
DEFINIDA. 11.1 INTEGRAL DEFINIDA. Sea
,, ∫ : una función continua en el intervalo
yG
es su función primitiva,
entonces
Demostración:
Fx ∫ x x Fx x Gx x
es la función área bajo la curva. por el teorema fundamental del cálculo. inicial.
por la hipótesis
Las dos funciones tienen la misma derivada, se diferencian únicamente en la constante. Por lo tanto:
Fx Gx
En la igualdad anterior hacemos
xa.
Ga → GGa x ∫ x x G Ga
Fa ∫ x x Fx Gx Ga
Como
finalmente
queda:
y si en esta última ecuación
Obtenemos:
64 | P á g i n a
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11.2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. Si
,, ∫ x x ∫ x x ∫ x x ∫ C x x C ∫ x x ∫ x ± x} x ∫ x x ± ∫ x x ∫ x xx ∫ x x ∫ x x << y
son continuas en el intervalo
se verifica que:
1. 2.
; siendo C una constante.
3. 4. 5.
; cuando
11.2.1 Ejercicios Resueltos. Aplicar la Regla de Barrow para calcular el valor de las siguientes integrales: 1.
2.
∫ √ √ √ xx x →u xx→ xx ∫− x xx → x x − → u x− → u uu ⁄ u → u x ∫ √ + → x → x x → u x x → u u−⁄u √ √ uu ∫ √a x x → − x x → x x → θ Si
3.
;
Si
4.
;
Si
Si
:
Si
;
Si
65 | P á g i n a
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5.
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⁄ ⁄ ⁄ a a θ a a ⁄ a π aπ ∫− − → ∫ − : ∫ +−: + − + −
AxBx ∶ → ⁄ ⁄ ∶ → xx → x x x x l xx C x x − x l x − l l l, ∫ lx x → lx x xx x lx x x l x x x lxx l l ∫ √ − x→ − x → x → θ ⁄ ⁄ ⁄ √ θ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ |t|⁄⁄ ⁄⁄ l| π⁄ tπ⁄|l| π⁄ tπ⁄| π⁄ π⁄ [l| | l√ ] [ √ ⁄] l √ √ : Si
Si
6.
7.
:
Si
;
Si
66 | P á g i n a
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8.
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∫−√ − √ − + → ∫ − √ − + ∶ ∫ − − − ∫ √ − − u C −x C −√ − √ x √ xx xx −x −√ −√ [−(√ (√ ) )−] π π π + + + + + → ∫ + ∫ ∫ ∫ + + + + + + + + ∶ x xx x x | | xx l x x x xx ∫ +++ θ ∫ ∫ + ta− θ C ta− + C ∫ ++ + l|x xx | ta − + C x x x − | | xx l x x x ta x x l|| ta− l|| ta− ∫⁄ − + → ∫ − + ∶ ta− + z z ∫ − zz + zz ∫ zzz z ∫ − ∫ − l| | C l| tata x⁄| :
=
9.
=
:
X +1
=
2
= 1,27438
10.
2Z
=
=
=
X
=
+ + C
67 | P á g i n a
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⁄ x x x α x l ta l ta π
,
11.2.2 Ejercicios Propuestos. Evaluar las siguientes integrales: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
∫ ++ x l √ ∫ ++ ∫ + ∫− l√ l√ ∫−− √ ++ ∫√ xx ∫⁄ + ∫⁄ + l √
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CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS MEDIANTE LA INTEGRACIÓN. CAPITULO
12:
12.1 CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS MEDIANTE LA INTEGRACIÓN.
∫ A x A ∆ ∶ A xx →l ∑i= x ∆:
Sea la función
una función continua NO NEGATIVA en el intervalo
,,
; entonces
Demostración:
Elemento diferencial de área Área del elemento representativo
∆
Área de la región bajo la
curva.
l→ ∑i= x ∆ ∫ : →l i= x ∆ → A A ∶ Á . Por el teorema fundamental del cálculo integral.
Con ligeras modificaciones podemos extender el proceso para determinar el área de una región comprendida entre dos curvas. Sean
y
funciones continuas NO NEGATIVAS en el intervalo
∫
entonces el área de la región limitada por las las gráficas de verticales
y
viene dada por:
,
,,
;
y las rectas
.
69 | P á g i n a
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A x A ∆∶ l→ ∑i= ∆: l→ ∑i= ∆ ∫ :
Elemento diferencial de
área
Áreadel elemento
representativo.
Área de la región. Por el
teorema fundamental del cálculo integral.
→l ∑i= ∆ → A ∫ ∶
Área de la región.
12.1.1 Ejercicios Resueltos. Hallar el valor del área de las regiones que se indican a continuación:
x ℎ⁄ ℎ , → → x x x x
1. La región limitada por la parábola
y el Eje x
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xx , ⁄ ℎ ℎ , → → ∫xx x x x x x ϵ , π : → ∫ ∫ α α α xx x ⁄ ⁄ ℎ ℎ ⁄ ,⁄ ⁄ ⁄ , ⁄ → → Rαlvα l ta uaα: S x → , S x→ ∫ → ∫xx x x Ax x u 2. La región limitada por la parábola
y el Eje x
3. La región limitada por la función
; y el Eje x, si
Es una función impar, por lo tanto: A=2
2
4. La región limitada por la parábola
y la recta
A =
71 | P á g i n a
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x x x x x → ; → , , x x x x → ; → , Rαlvα l ta uaα: S x → S x→ ∫ ∫ x x x x ,x x A x x x x x ∫ , A u x x x → ; , Rαlvα l ta uaα: S x → , S x→ → ∫ ∫ − − , − A u
5. La región limitada por la parábola
,
6. La región limitada por la parábola
y la parábola
y la recta
A =
72 | P á g i n a
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⁄a ⁄ x x⁄a ⁄ → − , (− ) → √ , , ∫ √ → ∫ √ → → , − x → x → ⁄ ⁄ θ a ⁄ ⁄ a a a π πa u x x x x x S x → S x → x x , S x → ; S x → Rαl v α l ta ua α : S x → , S x → ∫ → ∫x x x x x , A x x x u 7. La región limitada por la elipse
A =
Si
; Si
8. La región limitada por la función
y la recta
:
;
A =2
73 | P á g i n a
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− − ⁄ ⁄ Eua l a ua∶ − − − , ⁄ ⁄ x → x→ Rαlvα l ta uaα: S x → ,⁄ S x → ⁄ → ∫ ∫ , x A x xl|x| l lu x a ∫ → ∫x x Ax x u Rαlvα l ta uaα: S x √ a → a (√ a ,a) (√ a ,a) S x√ a → a √ √ ax x ax x , ∫ a⁄u u → a⁄ →a √ ≈, u 9. La región limitada por la hipérbola extremos los puntos de abscisas
y la cuerda de la misma que tiene por
y
A =
Se desea dividir en dos secciones iguales a la región limitada por la parábola y la recta ; mediante una recta paralela al eje X que pase por la ordenada . Hallar el valor de a
10.
=
Por condición queremos:
74 | P á g i n a
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12.1.2 Ejercicios Propuestos. Hallar el valor del área de las regiones que se indican a continuación:
xx ⁄ u x x ⁄ u x π u x x x ϵ , ⁄ u x x x ⁄ u tax x ϵ ,π⁄ l √ u x x u x x ⁄ u x x √ u x x ⁄ u x x x x ⁄ u x x x √ u x x x x x ⁄ u x αx x ϵπ⁄ ,π⁄ √ u
1. La región limitada por la parábola
y el Eje x. Solución:
2. La región limitada por la función
y el Eje x. Solución:
3. La región limitada por la circunferencia 4. La región limitada por la función
. Solución:
y el Eje x, si
5. La región limitada por la parábola
Solución:
y
la recta
Solución:
6. La región limitada por la función
;
y
el Eje
x,
si
Solución:
7. La región limitada por la parábola
y la recta
8. La región limitada por la parábola
Solución:
y
la recta
y
la parábola
Solución:
9. La región limitada por la parábola Solución:
10. La región limitada por la parábola
y
la parábola
Solución:
11. La región limitada por la parábola
y la parábola
Solución:
12. La región limitada por la recta
; la parábola
y la parábola
Solución:
13. La región limitada por la función
y la parábola
Solución:
14. La región limitada por la función
y la función
,
si
Solución:
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CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. CALCULO
13:
13.1 CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Un sólido de revolución está generado por la rotación de un área plana alrededor de una recta del plano o eje de revolución .
Á
El volumen de un sólido de revolución se puede hallar mediante los siguientes procedimientos: 13.2 Método del disco (Eje de rotación forma parte del área plana). Sea
una función continua NO NEGATIVA en el intervalo
,
Se representa a la sección del área plana generatriz del sólido y se dibuja una faja diferencial representativa que sea perpendicular al eje de rotación.
76 | P á g i n a
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Se determina el volumen del disco que se forma al girar el rectángulo genérico sobre el eje de rotación.
V π x
Se aplica la regla de Barrow para determinar el volumen del sólido
∫
13.2.1 Ejercicios Resueltos. Hallar el valor del volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región plana sobre el correspondiente eje indicado:
√ x x , ( ) x x ∫ √ , √
1. La región limitada por la parábola
, si
; Eje x
= 4
77 | P á g i n a
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2. La región limitada por la parábola
,
x x , , si
; Eje x
∫ x x
= 5
, → x →√ (√ ) ∫ ∫ , , x , x , xx , ℎ/ ℎ , → → x x x x x 3. La región limitada por la circunferencia
al rotar sobre el eje x
4. La región limitada por la parábola
, si
; Eje x
=2
13.3 Método de la arandela (Eje de rotación no forma parte del área plana). Sea
una función continua NO NEGATIVA en el intervalo
, 78 | P á g i n a
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Se representa a la sección del área plana generatriz del sólido y se dibuja una faja diferencial representativa que sea perpendicular al eje de rotación.
Se determina el volumen de la arandela que se forma al girar el rectángulo genérico sobre el eje de rotación.
Se aplica la regla de Barrow para determinar el volumen del sólido mediante la expresión:
V π x
13.3.1 Ejercicios Resueltos Hallar el valor del volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región plana sobre el correspondiente eje indicado:
xx x ⁄ ℎ , , ℎ → → Rαlvα l ta uaα: S x → , S x→ ∫ → ∫xx x x
1. La región limitada por la parábola
y la recta
. Eje X
79 | P á g i n a
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∫ x x x x π x xx Vπ π u √ x x Rαlvα l ta uaα S x → S x→ √ , → ( x ) x x ∫ ∫ √ ∫ x x x π x x Vπ π u x x x →; → , , x → ; → , Rαlvα l ta uaα: S x √ → √ , S x√ → √ √ ∫ ∫ x x x , , √ √ x Vπ x x x V π √ √ √ π u =
2. La región limitada por la parábola
y la recta
. Eje X
=
3. La región limitada por la parábola
y la parábola
Eje X
80 | P á g i n a
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4. La región limitada por la hipérbola ; Eje
,
y la parábola
√ x
; siendo
√ , Rαlvα l ta uaα: S x → ( x ) ( ) x ∫ ∫ √ x , ,⁄
,
∫ u
13.4 Método del anillo (Eje de rotación no forma parte del área plana). Sea
una función continua NO NEGATIVA en el intervalo
Se representa a la sección del área plana generatriz del sólido y se dibuja una faja diferencial representativa que sea paralela al eje de rotación.
ℎ
,
Se determina el volumen del anillo cilíndrico que se forma al girar el rectángulo genérico sobre el eje de rotación. Se aplica la regla de Barrow para determinar el volumen del sólido mediante la expresión:
V π x
81 | P á g i n a
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13.4.1 Ejercicios Resueltos. Hallar el valor del volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región plana sobre el correspondiente eje indicado:
x x , √ x ∫ (√ ) x ∫ , √ ∫ ⁄ ⁄ V π (⁄ ) π u x x / , , → → ∫ ∫ , x 1. La región limitada por la parábola
, si
; Eje y
= 4
2. La región limitada por la parábola
, la recta
; Eje x
=1
3. La región limitada por la parábola
, la recta
; Eje:
, , Rαlvα l ta uaα: S x → S x → ∫ x ∫ ∫
u 82 | P á g i n a
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x x x ; x , x x → ; → , x → ; → , Rαlvα l ta uaα: S x → S x→ ∫ x xx x x ∫ , x xx x ∫ xx V ∫ x x Vx x x u 4. La región limitada por la parábola
y la parábola
Eje:
V=
13.4.2 Ejercicios Propuestos. Hallar el valor del volumen generado por la rotación del área plana indicada alrededor del eje señalado; aplique el método que sea más apropiado. 1. La región limitada por la parábola
⁄
Solución:
2. La región limitada por la parábola Solución:
3. La región limitada por la parábola Solución:
4. La región limitada por la parábola Solución:
x x , x x , x x , x x , si
, la recta
si
, la recta
; Eje x.
; Eje y.
si
, la recta
; Eje x.
si
, la recta
; Eje y.
83 | P á g i n a
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5. La región limitada por la parábola y.
⁄
Solución:
6. La región limitada por la parábola
x x , si
x
y la parábola
⁄ x x , ⁄ x x , ⁄ x ; x ⁄ + x , √ + x , l > ⁄ >
Solución:
7. La región limitada por la curva
si
, la recta
si
, la recta
9. La región limitada por la circunferencia
Eje:
Solución:
8. La región limitada por la curva Solución:
Solución:
10.La región limitada por la circunferencia
x
, la recta
; Eje
x x ;
Eje:
x
; Eje y
; Eje y = 8
y la recta
;
Eje:
Solución:
11.La región limitada por la curva
si
Solución:
12.La región limitada por la curva
si
, la recta
, la recta
; Eje x.
; Eje x.
Solución:
13.La región limitada por la elipse
si
, Eje x.
si
, Eje:
Solución:
14.La región limitada por la elipse
Solución:
15.Emplear el método del disco para comprobar que el volumen de un cono circular recto de radio R y de altura H viene dado por la expresión.
⁄
84 | P á g i n a
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CAPITULO 14:
SÓLIDOS CONOCIDA.
VOLÚMENES DE DE SECCIÓN
´ 14.1 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE SECCIÓN CONOCIDA. En este capítulo estudiaremos como se calcula el volumen de ciertos cuerpos geométricos cuando se conoce el área de las bases de los cilindros parciales en que se subdivide al sólido.
Al emplear el método del disco en el cálculo del volumen de un sólido de revolución generado por la rotación alrededor del eje X de un área plana limitada por la curva
x x ,, si
la recta
viene dado por la expresión:
∫
.
El Integrando se puede interpretar como el área de la sección determinada por un plano perpendicular al eje X situado a una distancia x del origen de coordenadas. Podemos generalizar este método a sólidos de cualquier forma, siempre que se conozca la fórmula del área de las secciones transversales sean triángulos, cuadrados, rectángulos, semicírculos y trapecios. 85 | P á g i n a
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Considerando que el sólido tiene como propiedad que su sección transversal será perpendicular al eje, equivale a decir que en cada corte que se realice conocemos el área de la sección correspondiente. Para determinar el volumen de un sólido mediante este método se procede como se indica a continuación: Se representa a la sección generatriz del sólido incluyendo a un eje perpendicular a las secciones de área conocida. Se elige una sección representativa perpendicular al eje y se determina su área. a partir de su posición del eje.
∫
Se aplica la regla de Barrow para determinar el volumen del sólido
14.1.1 Ejercicios Resueltos. Hallar el valor del volumen de los siguientes sólidos indicados a continuación: 1. El sólido de base circular de 3 unidades de radio, sabiendo que toda sección plana perpendicular a un diámetro dado es un triángulo equilátero.
,,
√
A √ x √ ∫ A → √ ∫ √ √ √ u ;
=
86 | P á g i n a
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2. El sólido cuya base es el área limitada por las rectas
x⁄ x y
x x⁄ , x
, sabiendo que toda sección plana perpendicular al eje X es un
triángulo equilátero.
x , x , ,
x Ax √ √ x ∫ Ax x → √ ∫x x −√ − −√ √ u Dimensión de la Base:
;
=
3. Demostrar que el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado B y de altura H viene dado por la expresión:
V BH
Por triángulos semejantes se tiene:
⁄ −
→ x H 87 | P á g i n a
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A H ∫ Ax x → ∫H − u ;
=
14.1.2 Ejercicios Propuestos. Hallar el valor del volumen de los siguientes sólidos indicados a continuación: 1. El sólido de base circular de 4 unidades de radio, sabiendo que toda sección plana
⁄ ⁄ x ⁄ >
perpendicular al eje X es un cuadrado. Solución: 2. El sólido de base circular de 4 unidades de radio, sabiendo que toda sección plana perpendicular al eje X es un semicírculo. Solución: 3. El sólido cuya base es el área limitada por la parábola
x
correspondiente al punto
y su ordenada
, sabiendo que toda sección plana perpendicular al
eje X de la parábola es un cuadrado. Solución:
4. Un cono circular recto de radio R y de altura H. Solución: V 5. Un cono cuya base es el área limitada por la elipse
⁄
H. Solución: V
si
y de altura
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LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA. CAPITULO 15:
15.1 LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA. La longitud de arco de una curva, conocida tambien como el proceso de Rectificación de una curva , es igual a la longitud de su trayectoria o dimensión lineal. La longitud de un arco de curva se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más precisa entre más segmentos sean y estos tiendan a ser lo más pequeño posible.
Sea
una función continua en el intervalo
,
Se representa el arco de curva; se determina el elemento diferencial representativo.
Cuaα ∆≠ → ≠ ̃ → ∆ ∆ ∆ Cuaα ∆≈ → ̃ → ∆ 89 | P á g i n a
Cálculo Integral
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
Pα lα tatα ∆≈ → → La expresión ∫ se emplea si la ecuación de la curva está
∫
dada en forma paramétrica de tal manera que:
y :
Si la ecuación de la curva está dada en la forma explicita
la longitud
de un arco de curva se obtendrá al aplicar la fórmula
En ocasiones será conveniente expresar la ecuación de la curva en la forma explícita para simplificar la integración; en cuyo caso la longitud de un
∫
arco de curva se obtendrá al aplicar la fórmula
15.1.1.
Ejercicios Resueltos.
Hallar el valor de la longitud del arco de curva indicado:
→ α ; ; α ⁄
1. Demostrar que la longitud de una circunferencia es igual a
∫⁄ θ ⁄ 90 | P á g i n a
Cálculo Integral
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
lαx; x , ⁄ → tax → ⁄ ⁄ ta x ; √
2. La curva
si
⁄ ∫ , | |⁄ l(√ ) l ≈ ,
3. La curva
x⁄; x , si
,
x⁄ → x−⁄ x−⁄ ; x−⁄ , ⁄ → ⁄ ; ⁄ [√ ] ≈ , x ⁄; x , ; , x ⁄ → xx ⁄ (x )⁄ xx ; x x √ x x x ;, x x x x x⁄
4. La curva
si
91 | P á g i n a
Cálculo Integral
La curva t x y
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; ; t , si
0 1 0
1 2 3 4 1,47 -3,07 -19,88 -35,69 2,29 6,72 2,83 -41,32
;
; , ;, √ → √ ∫ √ √ ≈ , La hipocicloide
; ; t , si
;
⁄ ⁄ ; ; ; ; ⁄ ⁄ t x y
0
2
0
0
0
0
0
92 | P á g i n a
Cálculo Integral
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
5. Un cable eléctrico cuelga de dos torres distanciadas 200 m. entre sí y su punto más ba jo quedo elevado 150 m. sobre el piso. Hallar la longitud del cable.
∶ → ℎ
,
ℎ → ℎ ; ℎ ℎ ℎ ℎ ∫ ℎ ℎ ℎ ℎ ≈ , .
15.1.2
Ejercicios Propuestos
Hallar la longitud de los arcos de curva indicados:
√x x , , √x x , , x x , a ⁄ x , . lx; x [√ , √ ] l √ l√ ≈ , u. lαx ; x ⁄ , ⁄ l(√ )⁄√ ≈ , u. lαx; x , ⁄ lta⁄≈ , u. x x , ⁄ ; ; t , ; ; t , π⁄ u
1.
La curva
2.
La curva
3.
La curva
4.
La curva
5.
La curva
6.
La curva
7.
La curva
8. 9.
La curva La curva
10. La curva
si
. Solución:
si
. Solución:
si
. Solución:
si
. Solución:
si
. Solución:
si
. Solución:
si
si
. Solución:
. Solución:
si
si
. Solución:
. Solución:
93 | P á g i n a
Cálculo Integral
Ing. Juan Carlos Moya H MSc.
CAPITULO
INTEGRALES
16:
IMPROPIAS. 16.1 INTEGRALES IMPROPIA DE PRIMERA ESPECIE. Una integral definida se encuentra establecida si intervalo
,
.
es una función continua en el
,∞ ∞,
Cuando el intervalo de integración es infinito, ya se de la forma ; o dan lugar a una Integral Impropia de Primera Especie , que en cada uno de
∞,∞
los casos quedan definidas por:
∫ → ∫ ∫ ∫− →− ∫ → ∫ ∫− →−
El valor de la integral impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es finito; caso contrario se dice que el valor de la integral es divergente .
16.1.1
Ejercicios Resueltos
Calcular el valor de las siguientes integrales: 1.
2.
∫ − → ∫ − →− → − ∫⁄ → ∫⁄ → ⁄⁄ 94 | P á g i n a
Cálculo Integral
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→ ⁄⁄ ⁄ ⁄ ⁄ − ∫− − →− ∫ − →− →− ∞ ∫ + → ∫ + ∫− + ∫− + →− →− ta− →ta− →− ta− ta− →ta−ta− − − ∫ − → ∫ − ∫ − − − ∫ →− →−
3.
4.
+
=
=
5. Hallar el valor del área de la región limitada por la curva
y el Eje x
A=
Resolviendo por partes la integral
A A A
16.2 INTEGRALES IMPROPIA DE SEGUNDA ESPECIE Otro tipo de integrales impropias se presenta cuando el integrando tiene una discontinuidad infinita en un límite de integración o en algún punto del intervalo de integración . Está situación da lugar a las Integrales Impropias de Segunda
, ,: ∫ → ∫
Especie; para definirlas, se diferencian los siguientes casos:
95 | P á g i n a
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,∶ ∫ ∫ → ; , ∫ ∫ ∫ ∫ → → la integral
se define
por:
El valor de la integral impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es finito; caso contrario se dice que el valor de la integral es divergente. 16.2.1
Ejercicios Resueltos.
Calcular el valor de las siguientes integrales: 1.
2.
3.
4.
∫ l → ∫ l →l →l l ∫ √ − → ∫ √ − → − → − − − ∫ √ − → ∫ √ − →[√ ] →[√ √ ] ∫ − → ∫ − →l| | l| | l| | → ∞ l∶ ∫ √ − → ∫ √ − → → ∫− → ∫− ∫ → − − → − → =
INTEGRAL DIVERGENTE (Carece de sentido)
5.
6.
=
96 | P á g i n a
Cálculo Integral
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− − → → ∞ ∞ ∞ ∞ +
= sentido)
=
: INTEGRAL DIVERGENTE (Carece de
√ x , √ ∫ √ ∫ → A [ ] √ → → [√ √ ] → [ √ ]
5. Hallar el valor del área de la región limitada por la curva
Eje x
√
16.2.2
si
y el
A=
A
,⁄ =4
A
Ejercicios Propuestos.
Evaluar las siguientes integrales: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
∫− x ∫√ ∫ ∫ ∫ + ∫ √ + ∫⁄+ l ∫ √ − ∫ √ u
(Carece de sentido)
10.Hallar el valor del área limitada por la curva
−
y sus asíntotas.
Solución:
97 | P á g i n a
