Análisis Estadistadístico de Oleaje

ii

ii

iii

ABSTRACT

ix

RESUMEN

x

PREFACIO

xi xi

Organización del trabajo

1. INTRODUCCIÓN 1.1 Clasificación de acuerdo con la profundidad relativa 1.2 Clasificación de las ondas oceánicas 1.3 Clasificación del oleaje 1.3.1 Oleaje local o sea 1.3.2 Oleaje distante o swell  1.4 Fuentes de datos de oleaje

2. DESCRIPCIÓN ESTADÍSTICA DEL OLEAJE 2.1 Hipótesis básicas

7 7 

2.1.1 El oleaje como proceso estocástico 2.1.2 El oleaje como un proceso estacionario 2.1.3 El oleaje como proceso ergódico 2.2 Modelo matemático-estadístico del oleaje 2.3 Definición de estado de mar  2.4 Descripción estadística temporal y espectral de un estado de mar 

3. ANÁLISIS TEMPORAL DE ESTADOS DE MAR 3.1 La muestra

3.1.1 Corrección del nivel medio 3.1.2 Caracterización de la señal 3.1.2.1 Método de pasos ascendentes por cero 3.1.2.2 Método de pasos descendentes por cero 3.1.2.3 Método de distancia entre crestas 3.1.2.4 Método de distancia entre valles 3.1.3 Determinación de parámetros del oleaje 3.1.4 Determinación de parámetros de las velocidades orbitales 3.1.5 Determinación de la dirección del oleaje 3.1.6 Agrupamiento del oleaje 4. ANÁLISIS ESPECTRODIGITAL DE SERIES TEMPORALES 4.1 4.2 4.3 4.4

1 2 3 4 5 5 6

Corrección del nivel medio Función ventana Cálculo de las componentes de Fourier  Estimación del espectro

4.4.1 Formas de presentación del espectro de energía v

7 10 11 13 15 16 17 17 19 24 24 27 28 28 29 36 36 39 45 47 48 50 55 56

4.5 Suavizado del espectro 4.6 Parámetros espectrales 4.7 Análisis direccional del oleaje

4.7.1 4.7.2 4.7.3 4.7.4 4.7.5 4.7.6

Distribución direccional de la energía del oleaje Descomposición clásica del espectro direccional Caracterización de los métodos estocásticos Análisis del espectro cruzado Relación entre el espectro cruzado y el direccional Estimación del espectro direccional 4.7.6.1 Método paramétrico 4.7.6.2 Método de máxima verosimilitud 4.7.6.3 Otros métodos

5. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DEL OLEAJE 5.1 Distribución de los desplazamientos

5.1.1 Distribución normal de desplazamientos de la superficie libre 5.1.2 Distribución no lineal de desplazamientos de la superficie libre 5.1.2.1 Series tipo A de Gram-Charlier 5.1.2.2 Distribución de los desplazamientos basada en un desarrollo de Stokes 5.1.2.3 Otras distribuciones de probabilidad del desplazamiento de la superficie libre

59 61 66 66 67 68 69 70 71 71 75 77 79 79 80 84 84 85

88 5.2 Distribución de los desplazamientos máximos (crestas) 89 92 5.3 Distribuciones de alturas de ola 5.3.1 Distribución de alturas de ola para un espectro de banda estrecha 93 5.3.1.1 Correlación perfecta entre crestas y valles 93 5.3.1.2 Correlación nula entre crestas y valles 93 5.3.1.3 Correlación intermedia entre crestas y valles 95 5.3.2 Distribución de alturas de ola en profundidad finita 96 5.3.3 Distribución de alturas limitada por rotura 99 5.4 Distribuciones conjuntas de periodo y altura de ola 100 5.4.1 Distribución de Cavanié et al (1976) 101 5.4.2 Distribución de Longuet-Higgins 103 5.4.2.1 Distribución de altura de ola 104 5.5 Distribuciones de periodos de ola 105 5.5.1 Distribución de Bretschneider (1959) 105 5.5.2 Distribución de Longuet-Higgins (1975) 105 5.5.3 Distribución Cavanié et al (1976) 105 5.5.4 Distribución Longuet-Higgins (1983) 105 vi

6. MODELOS ESPECTRALES DE UN ESTADO DE MAR 6.1 Estado de saturación 6.2 Modelo de Phillips

6.2.1 Espectro de Neumann 6.2.2 Espectro Pierson-Moskowitz 6.2.3 Espectro de Bretschneider 6.2.4 Espectro de Kitaigorodskii-Toba 6.2.5 Espectro ISSC 6.2.6 Espectro de Krylov 6.2.7 Espectro ITTC 6.2.8 Espectro JONSWAP 6.2.9 Espectro de Davidian et al  6.2.10 Espectro Wallops 6.2.11 Espectro de Ochi-Hubble 6.2.12 Espectro TMA 6.3 Distribución angular  6.4 Generación de oleaje vía numérica

7. MODELOS PARAMÉTRICOS DE PREDICCIÓN DE OLEAJE 7.1 Introducción 7.2 Modelo de predicción de oleaje con vientos geostróficos

7.2.1 Ajuste del viento 7.2.1.1 Estimaciones y ajustes iniciales 7.2.1.2 Región de tensión constante 7.2.1.3 Modelo de capa límite planetaria 7.2.1.4 Ajustes finales 7.2.2 Desarrollo del oleaje 7.2.2.1 Consideraciones sobre la longitud del fetch 7.2.2.2 Fetch en mar abierto 7.2.2.3 Fetch restringido 7.2.2.4 Desarrollo del oleaje en aguas profundas 7.2.2.5 Crecimiento del oleaje en aguas someras 7.3 Modelo de predicción de oleaje con viento ciclostrófico

7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4

Modelo de presión atmosférica Modelo de vientos Evaluación de la altura de ola Relaciones complementarias vii

107 107 108 109 109 110 112 114 114 115 115 117 117 118 119 121 123 125 125 126 126 128 129 131 132 132 134 134 134 136 139 140 140 140 141 142

8. ANÁLISIS A LARGO PLAZO 8.1 Importancia del análisis extremal en la ingeniería 8.2 Excedencias 8.3 Periodos de retorno 8.4 Valores característicos

8.4.1 Estadísticos de orden 8.5 Métodos utilizados en el diseño de obras marítimas 8.6 Distribuciones asintóticas del máximo y el mínimo 8.7 Dominios de atracción 8.8 Papeles probabilísticos

8.8.1 Técnicas de punteo en papeles probabilísticos 8.8.2 Estimación de parámetros y dibujo en papel probabilístico de Gumbel 8.8.3 Papel probabilístico de Weibull 8.9 Análisis de régimen medio

145 146 148 149 151 152 153 153 154 156 159 160 164 168

9. REFERENCIAS

171

10. RECONOCIMIENTO

179

viii

ABSTRACT This book serves as a guide for those wishing to study and predict sea waves from the perspective of probability and statistics. The first of the eight chapters gives an up to date overview of wave studies and how waves are classified in terms of  relative water depth, frequency and evolution. From here the fundamental hypotheses for modern wave studies are examined. Individual chapters cover  analysis from both the time domain, via discretised digital sampling, as well as the frequency domain, via the concept of the energy spectrum. In addition, the  procedures most often used in engineering to determine the representative wave  parameters are described. In view of the fact that it is often not possible to have reliable measurements, two chapters are given over to the analytical and the empirical wave distributions in the domain of time and frequency. In the  penultimate chapter, two methodologies for wave prediction in geostrophic and ciclostrophic wind conditions are reproduced. These tools are of great value in estimating the appropriate wave parameters in such conditions and are therefore of  most use when considering cold fronts or tropical cyclones. They can be applied directly and with relative ease. Finally, the last chapter revises the required bases for long and short term analyses. The latter, being generally applied for operational conditions. This is an up to date reference book, invaluable for students of coastal engineering as well as those involved in the planning and management of coastal structures.

ix

RESUMEN Este libro sirve como guía para quienes desean estudiar y predecir el oleaje desde la perspectiva de la probabilidad y la estadística. El primero de los ocho capítulos que lo integran es una reseña histórica sobre el estudio del oleaje y su clasificación en función de su profundidad relativa, frecuencia y evolución. A continuación, se examinan las hipótesis fundamentales para el estudio del oleaje. Se explican las  bases que permiten analizar y caracterizar muestras de oleaje tanto en el dominio del tiempo, a través de la discretización de señales digitales, cuanto en el dominio de la frecuencia, por medio del concepto de espectro de energía. Adicionalmente, se describen los procedimientos más utilizados para determinar los parámetros representativos del oleaje. En virtud de que frecuentemente no se cuenta con mediciones in situ confiables, se dedican dos capítulos a distribuciones analíticas y empíricas en los dominios del tiempo y la frecuencia. En el penúltimo capítulo se reproducen dos metodologías que permiten estimar el oleaje bajo condiciones de viento geostrófico y ciclostrófico. Estas herramientas, de aplicación relativamente fácil y directa, son de gran ayuda para caracterizar los parámetros que definen al oleaje bajo el efecto de frentes fríos y ciclones tropicales. Finalmente, el último capítulo revisa los fundamentos para analizar los regímenes extremal y medio. Este último, normalmente aplicado para el estudio de condiciones de operatividad. Es una obra de referencia actualizada, muy útil para estudiantes de ingeniería de costas, así como para todos aquellos relacionados con la planeación y manejo de estructuras costeras.

x

PREFACIO Este trabajo está orientado a estudiantes tanto de licenciatura como de maestría de las carreras de ingeniería civil, ingeniería oceánica, ingeniería oceanográfica y ciencias del mar, así como para aquellos profesionales encargados de realizar  estudios y diseños costeros, portuarios y marítimos. Antes de que el lector se adentre en el texto, es recomendable que haga un breve repaso sobre la mecánica de ondas y estadística básica, ya que algunos conceptos fundamentales están fuera del alcance del presente trabajo. Con estas notas, que pueden servir eventualmente para la actualización de conocimientos o como libro de texto, simplemente se pretende presentar una serie de herramientas que potencialmente pueden ser útiles para estudios posteriores, como pueden ser el diseño de: estructuras marítimas y portuarias, interacción del oleaje con estructuras, transporte de sedimentos, morfodinámica de playas y evolución de sistemas barrera en lagunas costeras, por citar algunos ejemplos. Organización del trabajo

Este trabajo está integrado por ocho capítulos, los siete primeros enfocados al análisis de estados de mar y, el último, al estudio del análisis del oleaje a largo  plazo. Los primeros dos capítulos están dedicados a la parte fundamental del estudio estadístico y probabilístico del oleaje, el tercero y cuarto al análisis de estados de mar en el dominio del tiempo y la frecuencia, el quinto y sexto a las distribuciones analíticas o empíricas más utilizadas para caracterizar los estados de mar; el séptimo capítulo incorpora de forma integral dos modelos paramétricos de predicción de oleaje para condiciones de frentes fríos y huracanes; por último, el octavo capítulo aborda el estudio de regímenes de oleaje, tanto extremal como medio.

xi

El primer capítulo presenta una reseña histórica sobre el estudio del oleaje y su clasificación. Las clasificaciones del oleaje que se abordan corresponden a la  profundidad relativa de propagación, las fuerzas generadoras del movimiento oscilatorio y la zona de generación. En el segundo capítulo se analizan las hipótesis fundamentales para el estudio estadístico del oleaje: es decir las bases del tratamiento del oleaje como un proceso estocástico, ergódico, estacionario y gaussianno, así como los elementos que sustentan el análisis del oleaje en el dominio de la frecuencia a través de la transformada de Fourier. Por último, en este capítulo se abordan dos definiciones  para el estado de mar: la de periodo corto y la variación de estado. El tercer capítulo está dedicado al análisis y caracterización de las señales o muestras de oleaje en el dominio del tiempo. Normalmente las mediciones de señales de oleaje incluyen información de ondas de mayor periodo, como mareas, y de la profundidad en que fueron obtenidas, por tanto, primero se debe realizar  una corrección para eliminar estas tendencias. Las correcciones que se presentan en este capítulo son: media aritmética, lineal y parabólica. Por otro lado, es habitual que las señales de oleaje se obtengan de forma discreta y no continua, por  esto es conveniente realizar una estimación de los máximos positivos y negativos de dichas señales, así como definir la forma de discretizar una señal, lo cual puede hacerse por medio de los métodos de pasos ascendentes y descendentes por cero y distancia entre crestas y valles. Una vez establecida la metodología para la discretización de una señal, se aborda el problema de la determinación de los parámetros más representativos del oleaje: dirección de propagación y forma de evaluar el agrupamiento del mismo. El cuarto capítulo incluye una descripción de los pasos a seguir para el estudio de una señal de oleaje en el dominio de la frecuencia, es decir la forma de obtener un espectro de energía y la manera de representarlo gráficamente. En este capítulo también se abordan alguno de los métodos para estimar la dirección del oleaje, así como los parámetros más representativos que caracterizan un espectro de energía. Los capítulos quinto y sexto están dedicados al estudio de las distribuciones analíticas y empíricas en el dominio del tiempo y de la frecuencia. En particular, el capítulo cinco aborda las distribuciones de la superficie libre bajo los conceptos xii

gaussiano y no gaussiano, la estimación de diversas distribuciones de alturas de ola, y el cálculo conjunto de altura-periodo del oleaje y periodos de ola. El capítulo sexto presenta además diversas aproximaciones para evaluar  sintéticamente el espectro de energía. Como complemento, se incluye un apartado donde se establecen las bases para la generación numérica de señales de oleaje. El séptimo capítulo explica dos metodologías, que eventualmente pueden usarse de forma complementaria a los desarrollos presentados en los capítulos quinto y sexto. Estas metodologías permiten estimar de manera directa y fácil los parámetros que definen al oleaje bajo condiciones de viento geostrófico y ciclostrófico. Por último, el octavo capítulo presenta los fundamentos para el análisis a largo  plazo, que incluye el concepto de coeficiente de seguridad y periodo de retorno. Además, expone la metodología para evaluar los parámetros fundamentales de las distribuciones extremales para mínimos y máximos. Por otro lado, incluye fundamentos para analizar el régimen medio, normalmente aplicado en el estudio de condiciones de operatividad. Aunque no ha sido un objetivo fundamental de este trabajo, en algunos casos se  presentan ejemplos que ilustran tanto la aplicación particular de las técnicas descritas a lo largo del documento como el comportamiento de algunas distribuciones analíticas.

xiii

1. INTRODUCCIÓN A través de la historia de la humanidad se han registrado un sinnúmero de esfuerzos por  entender la generación y transformación del oleaje; como ejemplo, los antiguos griegos estaban conscientes de la interacción entre el mar y la atmósfera, de hecho Aristóteles, en su libro  Acerca del cielo; meteorológicos (Gredos, 1996) señaló la importancia que juega el viento en el desarrollo del oleaje. Así, desde la antigua Grecia hasta la etapa de oro del Renacimiento, en el siglo XV, no hubo grandes  progresos documentados sobre el estudio de la generación y transformación del oleaje. Durante el periodo definido entre los siglos XVI y XIX, las contribuciones más importantes se dieron en el plano teórico, ya que en ese tiempo se desarrollaron la mayor parte de las teorías que se emplean para estudiar el oleaje, como las de Airy (1845) y Stokes (1847). El primer estudio de predicción de oleaje fue desarrollado  por Sverdrup y Munk (1947) durante la Segunda Guerra Mundial, aunque sus resultados no estuvieron disponibles hasta 1947. Quizá la forma más sencilla de poder entender un estado de mar es considerándolo como ideal, es decir, con el oleaje definido por ondas sinusoidales perfectas, con crestas y valles de idéntica forma, un periodo único y un movimiento orbital progresivo. Bajo este supuesto, sobre una escala espacial, la longitud de onda,  L, se determina como la distancia horizontal entre dos crestas adyacentes, mientras que la distancia vertical desde el máximo de la cresta hasta el fondo del valle definen la altura de ola,  H . En la escala temporal, el tiempo necesario para que dos crestas consecutivas pasen por el mismo punto define al periodo de la onda, T , y su inverso que es la frecuencia,  f . Finalmente, la velocidad con la cual una cresta se mueve horizontalmente a través de la superficie del mar es definida como celeridad, c, o velocidad de fase. En general, la ecuación para la celeridad (c =  L/T ) es directamente proporcional a la longitud de onda o periodo y a la profundidad, h.

1

El oleaje es un fenómeno que está determinado por la acción de las fuerzas de la naturaleza en cualquier superficie libre de agua, las cuales condicionan el tipo de ola que será inducida. La más obvia de estas fuerzas es la acción del viento sobre la superficie del mar. Desde hace mucho tiempo, se ha intentado estudiar al oleaje desde diferentes vertientes; no obstante, éste no puede ser representado por un modelo tan sencillo como el de la onda, dado que este fenómeno no se repite en el espacio ni en el tiempo y cuando se observa una altura de ola en un punto dado del mar, no se  puede precisar cual será la altura de ola siguiente en ese punto. Considerando la gran variabilidad del oleaje real, la forma más razonable de caracterizarlo es a través de los métodos estadísticos, tratando al oleaje como un fenómeno aleatorio. Siguiendo las ideas anteriores, existen al menos tres formas de clasificar el movimiento oscilatorio que se presenta en el mar, las cuales corresponden a la  profundidad relativa sobre la cual se propaga, la fuerza principal que lo genera y su  periodo de onda. A continuación se describen con cierta profundidad cada una de estas clasificaciones. 1.1 Clasificación de acuerdo con la profundidad relativa

Teóricamente, las ecuaciones que representan al oleaje que se propaga en cualquier   profundidad relativa, h/ L, se denominan de ondas en aguas intermedias o en zona de transición. Frecuentemente, este tipo de ecuaciones se simplifican asumiendo que las ondas sólo son dependientes de su longitud o periodo, T , y de la profundidad. Esto conlleva a dos extremos de aproximaciones según su profundidad relativa: 

 Aguas profundas. Cuando la profundidad h es igual o mayor que la mitad de su

longitud de onda,  L, el oleaje no experimenta modificaciones debidas a la  profundidad. 

 Aguas poco profundas. Cuando la profundidad h es igual o menor que un vigésimo

de su longitud de onda,  L, el oleaje está completamente controlado por la  profundidad del agua. Visto de otra forma, la clasificación del oleaje se puede también realizar utilizando el concepto de la celeridad, que es una relación directa entre la frecuencia y la longitud de onda.

2

1.2 Clasificación de las ondas oceánicas

Las ondas que componen un registro de oleaje son de una amplia gama de periodos, alturas y longitudes. De acuerdo con su periodo, fuerza generadora y la cantidad de energía que normalmente portan, se pueden distinguir los siguientes tipos de ondas, que se presentan en la tabla 1.1 y la fig 1.1. TABLA 1.1 CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS POR SU PERIODO (JOHNSON ET   AL, 1978)  Nombre

Longitud (L) 2 a 7 cm

Altura (H) 1 a 2 mm

Fuerza generadora

Fuerza restauradora

Capilares

Periodo (T) 0 a 0.1 s

Viento

Tensión superficial

Ultragravedad

0.1 a 1 s

Centímetros

Centímetros

Viento

Tensión superficial y gravedad

Gravedad

1 a 30 s

De metros a cientos de metros

De centímetros a 15 m

Viento

Gravedad

Infragravedad 30 s a 30 min 100 a 200 m

Pequeña

Viento

Gravedad, fuerza de Coriolis

Periodo largo

5 min a 24 h Pueden llegar a ser de escala  planetaria

1a5m

Sismo, derrumbes, atracción de cuerpos celestes

Gravedad, fuerza de Coriolis

Transmarea

Más de 24 h

0 a 12 m

Oscilaciones climáticas

Gravedad, fuerza de Coriolis

-

Como se ve en la tabla 1.1 y la fig 1.1, las ondas en el océano pueden ser clasificadas de varias formas; una clasificación usa las fuerzas que generan al oleaje, las cuales a su vez están asociadas con una longitud de onda característica. Así, por ejemplo: 





Las fuerzas meteorológicas (viento, presión del aire) generan el oleaje local y distante Los maremotos o terremotos generan grandes ondas conocidas como tsunamis, los cuales normalmente son clasificados como ondas en aguas poco profundas, ya que su longitud de onda es mucho mayor que la profundidad donde se propagan. Las mareas (fuerzas astronómicas) siempre se propagan de acuerdo con su longitud de onda en aguas poco profundas, por lo que son consideradas como ondas largas.

3

  s   s   a   r   a   r   o   o    h    h    4    2    2    1

Transmarea

  s   o    d   n   u   g   e   s    0    3

  s   o    t   u   n    i   m    5

  a   r   o    h    1

De largo periodo

Sol y Luna

  o    d   n   u   g   e   s    1

Infragravedad

Gravedad

Ultragravedad

  s   o    d   n   u   g   e   s    1  .    0

Periodo

Capilares

Viento

Tipo de onda

Fuerza generadora

Sismos, tormentas Gravedad

Fuerza

Tensión superficial

Fuerza de Coriolis

restauradora

  a    í   g   r   e   n    E

10 − 6

10 − 5

10 − 4

10 − 3

10 −2

10 −1

1

10

10 2

Fr ecue nci a d e la ond a = 1 / T 

 Fig 1.1 Periodo-energía de las ondas (Kinsman, 1965)

1.3 Clasificación del oleaje

En ingeniería oceanográfica, se llama área de generación (fetch) a la región donde existe transferencia de energía del viento hacia la superficie del mar. Ahí el fenómeno es completamente aleatorio. El oleaje se propaga en diferentes direcciones, aunque la dirección dominante es la del viento. Las olas pueden tener diversas características dependiendo de las fuerzas que influyen en su generación. De acuerdo con su génesis, se suelen distinguir dos tipos extremos de oleaje, entre los cuales existen un sinnúmero de estados intermedios. Se denominan por las palabras inglesas, universalmente aceptadas,  sea y  swell  o su traducción al español como oleaje local y oleaje distante, respectivamente (figs 1.2 y 1.3).

4

 Fig 1.2 Oleaje tipo swell

Fig 1.3 Oleaje tipo sea

1.3.1 Oleaje local o sea Este tipo de oleaje se produce en la zona de generación en alta mar, donde raramente se aprecian crestas de cierta longitud y es difícil observar un periodo bien definido. Las características que definen este tipo de oleaje son: 





Gran irregularidad, ya que la altura de la superficie líquida es impredecible, carece de periodicidad Asimetría o gran desigualdad entre la forma del valle y la cresta de las olas Gran peralte de las olas. Las olas presentan una altura relativamente grande  para su longitud de onda.

1.3.2 Oleaje distante o swell  Cuando el oleaje se propaga y abandona el área de generación ocurren tres fenómenos (Losada y Giménez-Curto, 1978): 





Pierden energía, las olas viajan a expensas de su propia energía (decaimiento) El oleaje sufre una doble dispersión. Una angular, en la que las olas se dispersan en todas direcciones, y otra radial, debida a que la velocidad es función directa del  periodo, por lo que las olas más largas viajan más rápido que las más cortas. Se  produce un filtrado de olas. Fenómeno de soldadura, según el cual las ondas de periodos cercanos se fusionan en largas crestas de onda, lo cual origina que la superficie caótica se 5

simplifique. Al envejecer el oleaje y especialmente cuando abandona el área de generación va tendiendo a un oleaje de tipo swell . Este tipo de oleaje se puede observar sobre la plataforma costera, especialmente en  profundidades reducidas, donde a los fenómenos descritos anteriormente se añade el de la refracción, que hace que las olas tiendan a progresar en forma paralela a las líneas batimétricas. Así, el oleaje que se acerca a la costa es más regular, forma frentes de cresta muy grandes y las diferencias entre periodos y longitudes de onda son mínimas, surge una periodicidad, las direcciones no son tan dispersas, y se  presentan ciertas direcciones predominantes. Todo esto proporciona un cierto orden al fenómeno. 1.4 Fuentes de datos de oleaje

Dada la gran gama de equipos y técnicas existentes en la actualidad, en este trabajo se omite la selección de técnicas para obtener información; sin embargo y dada su trascendencia, se profundiza más sobre el tratamiento de señales digitales y la  predicción de oleaje a través de modelos paramétricos. Por otro lado, cabe señalar que a grandes rasgos las fuentes de datos más comunes  pueden ser de los siguientes tipos: Instrumental directo 

Medidores de resistencia (p ej, sensores de nivel)



Equipos acústicos (p ej, los equipos que funcionan bajo el principio doppler )



Sensores de presión.

 No instrumental o instrumental indirecto 

Equipos ópticos (p ej, cámaras de video y sátelites)



Datos visuales (p ej, medidos por barcos en ruta)



Retroanálisis basado en información de datos meteorológicos (p ej, a través de modelos paramétricos y de tercera generación como el WAM, wave action model ).

6

2. DESCRIPCIÓN ESTADÍSTICA DEL OLEAJE 2.1 Hipótesis básicas

2.1.1 El oleaje como proceso estocástico En general, las olas en el mar no son regulares, es decir no tienen periodicidad con respecto al tiempo, sino que, por el contrario, el oleaje es un proceso esencialmente aleatorio. El oleaje puede ser considerado en términos prácticos como un conjunto de ondas viajando en diferentes direcciones, θ i, con diferentes amplitudes, ai, frecuencias, σ  ,i y fases, ε i, de tal forma que puede ser estudiado como una superposición lineal de ondas armónicas simples, es decir que el perfil de la superficie libre, η i( x,y,t ), puede ser descrito como:

⎡ σ i2 ⎤ η ( x, y, t ) = ∑ ai cos ⎢ ( x cosθ i + y senθ i ) − σ i t + ε i ⎥ i ⎣  g  ⎦ donde a amplitud σ  frecuencia angular (2π /T ) T  periodo de la onda θ  ángulo de incidencia con respecto al eje X ε  fase  x,y posición espacial de la onda t  tiempo.

7

 

(2.1)

 Fig 2.1 Estructura del oleaje aleatorio, Pierson et al (1978)

En la ec 2.1 las amplitudes y fases son consideradas aleatorias. Dicho concepto,  puede ser entendido más claramente a través de la fig 2.1, tomada de Pierson et al  (1978). Dado que el oleaje es un fenómeno aleatorio, bajo este punto de vista, su estudio debe realizarse haciendo uso del análisis estadístico. 

El oleaje debe ser considerado como un proceso estocástico, es decir, resultado de un experimento, en el cual no es un número sino una función.



En el caso del oleaje, una realización corresponde a una función muestra, la cual será determinada como resultado de una observación o medición y será denotada por η k (t), fig 2.2.

8

0.3 0.2 0.1    ]   m    [    )    t    (

0

  η

-0.1

0

20

40

60

80

-0.2

100  Tiempo (s)

-0.3

 Fig 2.2 Ejemplo de una señal aleatoria

Si se observa la superficie del mar en un instante determinado, t i, es claro que η (t  )i es una variable aleatoria. Considerando ahora el conjunto de n instantes, t 1, t 2,..., t n, se  puede decir que η (t 1 , t 2 ,..., t n ) es una variable enedimensional. De tal forma que el  proceso η (t) puede considerarse definido si para cualquier  n instantes t 1, t2,..., t n, se conoce la función de distribución:  F t 1,t 2 ,...,t n ( x1 , x 2 ,..., x n ) = Prob[η (t 1 ) ≤  x1 ,η (t 2 ) ≤  x 2 ...η (t n ) ≤  x n ]

(2.2)

de la variable aleatoria enedimensional η (t 1 ,t 2 ,...,t n ). Estas distribuciones deben, por ende, satisfacer las siguientes condiciones: 1. Condición de simetría  F t  j1 ,t  j 2 ,...,t  jn  x j1 , x j2 ,..., x jn

= F t 1 ,t 2 ,...,t  ( x1 , x2 ,..., xm ) m

(2.3)

donde j1 ,j2 ,...,jn , es cualquier permutación de los índices 1,2 ,...,n. 2. Condición de compatibilidad  F t 1 ,t 2 ,...,t m +1 ,...,t n ( x1 , x2 ,..., xm ,..., ∞ ) = F t 1 ,t 2 ,...,t m ( x1 , x2 ,..., xm )

(2.4)

 para cualquier t m+1 ,...,t n, si n>m. Con dichas condiciones, se puede concluir que para definir el proceso η (t) sería necesario conocer todas las funciones de distribución dadas por la ec 2.2 para cualquier η . Si se utiliza la teoría de la correlación es posible simplificar el estudio de 9

estos procesos, ya que ésta toma en consideración exclusivamente los dos primeros momentos del proceso. De tal forma que: 

el valor medio, µ η (k ), queda definido como µη  ( k ) = lim

T →∞



1 T 

∫

∞

−∞

η k (t )dt

 

(2.5)

y, la función de correlación (o autocorrelación), Rηη    ( k ) ,  es expresada como  Rηη  ( k ) = lim

T →∞

1 T 

T 

∫ η (t )η (t + τ )dt  0

k

k 

(2.6)

La media y la función de autocorrelación determinan completamente al proceso η (t), si se considera que todas las distribuciones dadas por la ec 2.2 son normales (gaussianas). A pesar de restringir el proceso al uso de los dos primeros momentos, éste sigue siendo inabordable, por lo que se hace necesario admitir dos importantes hipótesis estadísticas: estacionariedad y ergodicidad . 2.1.2 El oleaje como un proceso estacionario Un fenómeno físico se puede considerar estacionario si las características externas que influyen en él permanecen constantes durante cierto periodo de tiempo, es decir, un tiempo durante el cual y debido a la inercia del fenómeno existe un cierto equilibrio entre las fuerzas generadoras y las fuerzas restauradoras que intervienen, lo que mantiene su manifestación aproximadamente estacionaria. Este periodo de tiempo es conocido como estado de mar. Así, el proceso η (t) es estacionario si todas las funciones de distribución que definen el proceso permanecen constantes en un intervalo cualquiera de tiempo τ . Lo cual matemáticamente se puede escribir como:  F t 1 +τ ,t 2 +τ ,...,t η  +τ  ( x1 , x 2 ,..., x n ) =  F t 1 ,t 2 ,...,t n ( x1 , x 2 ,..., x n )

(2.7)

 para cualesquiera n, τ  , t 1, t 2,...,t n. Admitida la estacionariedad del oleaje, se deduce que el valor medio es una constante dada por  10

µ (k ) = µ 

(2.8)

y la función de correlación depende sólo de la diferencia τ  = t + τ   Rηη ( k ) = Rηη

(2.9)

 

Para fines prácticos, en ocasiones es suficiente con considerar al oleaje débilmente estacionario, lo cual implica que sus funciones de covarianza dependen del paso de tiempo τ  para todos los t . Esto es, lim

T →∞

1 T 

∫η ( t ) dt = constante

(2.10)

T  0

Por tanto, lim

T →∞

1T

1 T 

{η ( t ) − µ} {η ( t + τ ) − µ} dt = lim T  ∫ η (t )η (t + τ ) dt − µ T∫ T →∞

0

0

2

= R (τ ) − µ 2

 

(2.11)

2.1.3 El oleaje como proceso ergódico El teorema de ergodicidad, aplicable a la mayor parte de los procesos estacionarios, se enuncia como sigue: Si un proceso aleatorio η (t) es estacionario y µ η(k) y Rηη (k) definidos en las   ecs 2.5 y 2.6 no difieren cuando se calculan sobre diferentes muestras, se dice que el proceso es ergódico. De esta forma, la hipótesis de ergodicidad permite sustituir los promedios espaciales de realizaciones por promedios temporales sobre una realización. La descripción de un estado de mar a partir de un único registro (realización temporal, η  I (t)), se basa en admitir que se trata de un proceso ergódico y estacionario. Utilizando el teorema de Wiener-Khintchine, se ha demostrado (Khintchine, 1934) que la función de correlación, R(τ ), de cualquier proceso estocástico estacionario puede representarse por 

∫

∞

−∞

 R(τ ) d Φ (σ )

11

(2.12)

donde Φ (σ    )  es la llamada función de distribución espectral del proceso, la cual es una función acotada, real y no decreciente. Puede demostrarse que si se cumple la condición ∞

∫  R

ηη 

<∞

(τ ) d τ 

(2.13)

−∞

 Rηη     (τ  )  puede representarse por la integral de Fourier, tal que ∞

 Rηη (τ ) =

∫S

ηη

(σ  )eiστ d σ 

(2.14)

(σ )d σ 

(2.15)

−∞

entonces, σ 

Φ (σ ) =

∫S

ηη 

−∞

S (σ ) =

d Φ (σ )

(2.16)

d σ 

La función Sηη    (σ ) se conoce como función de densidad espectral del proceso η (t), y tiene la propiedad de ser positiva: S ηη  (σ ) ≥ 0

∀σ 

(2.17)

  (σ De acuerdo con la ec 2.14,  R( τ )  es la transformada de Fourier de Sηη     )  y por tanto, usando la fórmula para evaluar la transformada inversa de Fourier, se obtiene que 1 ∞ Sηη (σ ) = Rηη (τ  )e− iστ dτ  ∫ 2π  −∞

 

(2.18)

  ( σ )   es En caso de que el proceso S η   η (σ    )  sea real, como lo es el oleaje, la función Φ una función par y por ende las expresiones dadas en las ecs 2.14 y 2.18 se pueden escribir como: ∞

∫

 Rηη (τ ) = S (σ ) cosστ d σ  

(2.19)

0

S (σ ) =

2∞

∫R

π  0

ηη 

12

(τ )cosστ d τ  

(2.20)

donde S( σ )   es la función de densidad espectral, la cual está definida solamente para σ  ≥ 0, y está relacionada con S ηη     (σ    )  por  S (σ ) = 2S ηη  (σ )

(2.21)

Por tanto, la expresión 2.19, se puede escribir como ∞

∫

 R (0) = S (σ )d σ 

(2.22)

0

es decir, el área bajo la curva de S( σ )  es igual al valor medio de los desplazamientos verticales, y admitiendo que µ  = 0 resulta que dicha área es igual a la varianza de los desplazamientos verticales. A partir de aquí, el momento de orden n del espectro estará considerado como ∞

mn

= ∫ σ n S (σ )d σ 

(2.23)

0

2.2 Modelo matemático-estadístico del oleaje

En 1952, Longuet-Higgins por un lado y Pierson y Marks por otro, propusieron que los registros de los desplazamientos de la superficie libre del mar, η (t), con respecto al nivel medio, pueden representarse a través de la suma de gran número de ondas sinusoidales de diferentes amplitudes, así como de frecuencias y fases aleatorias. Si no se tuviera en cuenta un parámetro aleatorio, aunque se sumasen infinitas olas de altura, frecuencia y fase diferente, el conjunto constituiría un fenómeno determinista. Es claro que el oleaje se representa de una forma más aproximada a la realidad, salvo en muy raras excepciones, introduciendo una componente aleatoria. Con dicha suposición, implícitamente se aborda el estudio del oleaje por medio de un modelo lineal, en consecuencia no es aplicable a casos en que la teoría lineal no es válida; como ocurre, por ejemplo, con el fenómeno de rotura. Para estudiar al oleaje, Longuet-Higgins (1952), basado en los trabajos de Rice (1944 y 1945), definió el modelo de fases aleatorias a través de las siguientes hipótesis:

13

El desplazamiento de la superficie libre del agua viene dado como la suma de un gran número de ondas sinusoidales, de la forma η (t ) =

∑η (t ) = ∑ a cos(σ t − ε ) i

i

i

i

i

(2.24)

  

i

Las amplitudes de estas ondas se expresan por  a22 j +1

= 2S (σ 2 j +1 ) ⎡⎣σ 2 j +1 − σ 2 j ⎤⎦

(2.25)

donde S( σ )  es una función definida en el intervalo (0, ∞), tal que S (σ ) ≥ 0

∀σ 

lim S (σ ) = 0

σ →∞

∞

y la integral: ∫ S (σ )d σ  está acotada. 0

La fase ε i es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (0, 2π), es decir, Prob (α ≤ ε 2 j +1 < α + d α ) = 

d α 

para

2π 

0 ≤ α  ≤ α  + dα  ≤ 2π y cero en el resto.

Como fue demostrado originalmente por Rice (1944 y 1945), y Pierson y Manks (1952), bajo estas hipótesis el modelo propuesto representa un proceso, η (t), estacionario gaussiano, es decir, que la superficie libre η (t) está normalmente distribuida: η (t ) =

∑a

2 j +1

cos (σ 2 j +1t − ε 2 j +1 ) = ∑ 2S (σ 2 j +1 ) ⎡⎣σ 2 j +2 − σ 2 j ⎤⎦ cos (σ 2 j+1 t − ε2 j+1 )  (2.26)

Este modelo puede representarse en forma continua mediante la seudointegral ∞

η (t ) =

∫ cos(σ t − β ) 0

14

2S (σ )dσ  

 

(2.27)

 

La función de correlación del proceso estocástico, definida en la ec 2.24, admitiendo ergodicidad, resulta:  R (τ ) =

lim

T →∞

1∞

∫η (t )η(t + τ )dt  

T  0

(2.28)

Sustituyendo la ec 2.24 en la 2.28, se obtiene:  R (τ ) =

1 ai2 cos σ iτ  ∑ 2 i

(2.29)

o en forma continua, teniendo en cuenta la ec 2.25: ∞

∫

 R (τ ) = S (σ )cosστ d σ  

(2.30)

0

Si se comparan las ecs 2.30 y 2.19, se puede deducir que la función S( σ ),   introducida en la segunda hipótesis del modelo matemático-estadístico del oleaje (ec 2.25), es la función espectral del proceso. El modelo introducido define a un proceso estocástico estacionario y gaussiano, de media cero (lo que se comprueba sustituyendo la ec 2.24 en la 2.5 y operando), del cual también se admite que es ergódico. Puede demostrarse (Doob, 1953) que un  proceso estacionario gaussiano es ergódico si y sólo si la función de densidad espectral S( σ )  es finita para cualquier frecuencia. 2.3 Definición de estado de mar 

Un estado de mar se define como aquella situación o periodo de tiempo en que, y debido a la inercia del fenómeno, se considera que existe un cierto equilibrio entre las fuerzas generadoras y las fuerzas restauradoras que intervienen, lo cual produce que su manifestación permanezca aproximadamente en estado estacionario. Otra definición es la que establece que el estado de mar representa cada una de las  posiciones de la dinámica del oleaje, admitiendo que éstas tienen una variación lo suficientemente lenta para considerar al proceso como estacionario. Así pues, el oleaje puede considerarse formado por dos tipos de variaciones:

15



Variación de periodo corto. La variación es muy rápida, del orden de segundos,

durante la cual el proceso se considera estacionario. 

Variación de periodo largo. La variación es lenta, del orden de horas, y en ella

evoluciona el estado del mar; hay variación de estado. En la práctica y con el objeto de obtener muestras estadísticamente representativas, cuando se registran variaciones de la superficie libre, se debe fijar un periodo de medición que sea, por un lado, lo suficientemente corto para poder admitir la hipótesis de estacionariedad y, por otro, lo suficientemente largo para que al analizar  la muestra se tenga un número representativo de olas para su tratamiento. Dicho  periodo se suele fijar en el intervalo de 10 a 20 minutos por cada hora (o más). Los  parámetros estadísticos obtenidos de la muestra se extienden a toda la hora del intervalo, con lo que se admite que la duración del estado de mar es de esa hora (o más). 2.4 Descripción estadística temporal y espectral de un estado de mar 

Actualmente existen dos vertientes muy extendidas para el tratamiento de una señal de oleaje, cada una de ellas con sus virtudes y limitaciones, que pueden considerarse complementarias: 

 Descripción estadística temporal del estado de mar , la cual considera las

 propiedades estadísticas, parámetros y distribuciones de η (t), directamente de una serie de tiempo. 

 Descripción estadística espectral del estado de mar , que toma en cuenta el estudio

del espectro y sus propiedades en el dominio de la frecuencia. El espectro o espectro de energía es una forma de representar cómo está distribuida la energía del oleaje en función de las frecuencias que integran una señal en particular.

16

3. ANÁLISIS TEMPORAL DE ESTADOS DE MAR  Respetando el orden cronológico en que ha evolucionado el uso de las diferentes metodologías para el análisis y caracterización de estados de mar, este capítulo se ha dedicado al análisis de señales en el dominio del tiempo, mientras que el siguiente se dedica al análisis de las señales en el dominio de la frecuencia. Otro orden lógico, preferido por muchos autores, es el de omitir el análisis temporal del oleaje y reconstruir las distribuciones de altura de ola y periodos a partir de estimaciones teóricas. Sin embargo, esto obliga a la asunción de ciertas hipótesis en el comportamiento de la correlación entre crestas y valles que componen al oleaje, las cuales no son siempre acertadas. La visión que sostiene este documento es que ambas técnicas son complementarias y no excluyentes. 3.1 La muestra

 Normalmente, la muestra que se utiliza para realizar la descripción estadística temporal de un estado de mar es un registro de oleaje medido por un aparato, usualmente un sensor de presión, ubicado en algún punto del mar. Con carácter  general, es posible afirmar que estos registros tienen un aspecto similar al de la fig 3.1. En esta misma figura, se muestran los parámetros fundamentales que definen al oleaje, los cuales son la altura de ola,  H , y su periodo asociado, T . En primer término se considera el análisis estadístico de la muestra, con lo que se calculan, para el caso de las alturas y periodos de ola, los parámetros estadísticos que se indican a continuación:

17

 Número de sucesos

 N 

1

 X  =

Media

2

Media cuadrática

 X m

 N 

∑ X 

 N  i =1

=

1

 N 

i

∑ X   N 

2

i

i =1

Media de los N/n valores mayores

 X 1 / n

Casos particulares

 X 1 / 3 valor significante o  X 1 / 10 valor un décimo

Valor máximo del parámetro en la muestra  X máx Antes de llevar a cabo la evaluación de los parámetros descritos, es necesario realizar  algunas operaciones matemáticas que ayuden a evitar errores en el cálculo y que además no alteren la información estadística contenida en la muestra. Para ello se considera la metodología resumida en la tabla 3.1, y en los apartados siguientes se detalla cada uno de los procesos involucrados.

ηmáx=ξ1  H   NMM

 H 

 H 

t 

ηmín=ξ2 a

T

T

T

 Fig 3.1 Parámetros que definen el oleaje

18

TABLA 3.1 METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS TEMPORAL DEL OLEAJE Media Lineal Parabólica • Método de pasos ascendentes por cero • Método de pasos descendentes por cero • Método de crestas • Método de valles

A. Corrección del nivel medio B. Discretización de la señal (separa  H y T )

C. Estimación de cruces D. Evaluación de parámetros y velocidades orbitales E. Determinación de la dirección del oleaje



Método gráfico con las velocidades

3.1.1 Corrección del nivel medio Por lo general, los registros de oleaje contienen la influencia de ondas largas; de mareas, por ejemplo, y en algunos casos llega a ser muy importante su influencia sobre el nivel medio del registro. Por esta razón, es necesario realizar la corrección de dicho nivel y evitar una distorsión en el análisis estadístico. En el dominio del tiempo, existen tres formas muy utilizadas para llevar a cabo la corrección del nivel medio (Goda, 2000). El procedimiento es el siguiente: se calcula el valor medio que puede ser de orden cero o promedio aritmético, de primer orden o una recta o de segundo orden o una parábola. En los dos últimos casos, los coeficientes de la recta o parábola se pueden obtener aplicando la técnica de mínimos cuadrados. Una vez calculado el valor medio se resta del valor original de cada uno de los datos, tal que

= ηi _ original − η i

ηi _ corregida

(3.1)

Con el objeto de ejemplificar el procedimiento, a continuación se presentan las ecuaciones para evaluar el nivel medio.  Media aritmética. Consiste en obtener la media aritmética de la superficie libre para todo

el registro, para posteriormente restarla a cada dato; así, el valor medio se obtiene como ηn

=

1

 N 

∑η 

 N  n=1

19

n

(3.2)

siendo N el número de puntos de la muestra. Es conveniente hacer mención de que este criterio es adecuado cuando los efectos de ondas largas no tienen gran influencia sobre el registro del oleaje. Corrección lineal . A través del uso de la técnica de ajuste por mínimos cuadrados se

obtiene una expresión que representa una variación lineal del nivel medio, la cual se utiliza posteriormente para eliminar el efecto de ondas de más largo periodo. La ecuación para realizar esta corrección es η n

=  A0 + A1n

n = 1,2,...., N 

:

(3.3)

donde  A0

=

− N1Y1 ,  N 0 N 2 − N12

 N 2Y0

A1

 N

 N r

=

N0Y1 − N1Y 0 N0 N2

− N 12

, (3.4)

N 

= ∑n , r

Yr

n =1

= ∑ nr η n n =1

(3.5)

Por ejemplo, este tipo de corrección será adecuado si se tiene un registro de oleaje superpuesto a una onda de marea semidiurna y dicho registro tiene una duración mucho menor que el periodo de la marea, y si se encuentra en la franja de ascenso, zona 1 de la fig 3.2. Corrección parabólica. Utilizando la técnica de mínimos cuadrados, la ecuación para

realizar una corrección de tipo parabólico es: η n = B0 + B1n + B2 n 2

:

n = 1,2,..., N 

(3.6)

donde  B0

=

 B1

=

1⎡

Y0 ( N 2 N4

∆⎣

− N32 ) + Y1 ( N2 N3 − N1 N4 ) + Y2 ( N1 N3 − N 22 ) ⎤⎦ ,

1⎡

Y0 ( N2 N3

− N1 N4 ) + Y1 ( N0 N4 − N22 ) + Y2 ( N1 N2 − N0 N 3 ) ⎤⎦

∆⎣

1 = ⎡⎣Y0 ( N1 N3 − N22 ) + Y1 ( N1 N2 − N0 N3 ) + Y2 ( N0 N2 − N 12 ) ⎤⎦ ∆ ∆ =  N0 N2 N 4 + 2 N1 N2 N3 − N23 − N0 N32 − N12 N 4

 B2

20

(3.7)

η Zona 2 Zona 1

Zona 1

t 

Periodo de marea semidiurna 6h  Fig 3.2 Marea semidiurna

Este tipo de corrección se emplea en los casos en los que, además de que la carrera de marea es importante, la muestra de oleaje que se desea analizar tiene una influencia que se puede ajustar a una parábola. Por ejemplo, si se tiene un registro de oleaje ubicado en la zona 2 de la fig 3.2. Si en un registro se observa la influencia de variaciones de periodo largo, del orden de minutos, para la determinación correcta del nivel medio se deberá aplicar un filtro espectral, que será explicado más adelante.  Ejemplo. Utilizando los datos de una señal de oleaje, tabla 3.2 o fig 3.3, corregir la

señal utilizando cada uno de los métodos de corrección del nivel medio. TABLA 3.2 SEÑAL DE OLEAJE SIN CORRECCIÓN DEL NIVEL MEDIO I

t i

ηi

i

t i

ηi

i

t i

ηi

i

t i

ηi

1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

0.4891 0.4723 0.5085 0.5899 0.6872 0.7617 0.7813 0.7340

9

4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5

0.6317 0.5040 0.3854 0.3022 0.2653 0.2717 0.3104 0.3692

17

8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5

0.4378 0.5057 0.5589 0.5790 0.5475 0.4545 0.3075 0.1339

25

12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5

-0.0255 -0.1303 -0.1567 -0.1072 -0.0102 0.0918 0.1589 0.1686

2 3 4 5 6 7 8

10 11 12 13 14 15 16

18 19 20 21 22 23 24

21

26 27 28 29 30 31 32

0.8 0.6    ) 0.4   m    (      η

0.2 0.0

-0.2 0

4

8

12

16 t (s)

 Fig 3.3 Señal de oleaje sin corrección del nivel medio

Solución

Corrección de la señal usando la media aritmética, ec 3.2, ηi

=

1

11.5779 m = 0.3618m η  = ∑  N  32  N 

i

i =1

Antes de realizar la corrección del nivel medio utilizando la ecuación de una recta (3.3), o una parábola (3.6), se deben de evaluar los siguientes parámetros:  N 0 = 32  N 1 = 528  N 2 = 11 440  N 3 = 278 784  N 4 = 7 246 096 Y 0 = 11.5779 m

Y1 = 133.1205 m Y2 = 2 122.4531 m Sustituyendo estos valores en las ecs 3.4 y 3.3, se obtiene, para el caso de la corrección lineal:

22

 A0

=

 A1

− N1Y 1 (11440 )(11.5779 m) − ( 528)(133.1205 m) = = 0.7121m 2  N 0 N 2 − N 12 ( 32 )(11440) − ( 528)

 N 2Y0

=

 N 0Y1 − N1Y 0  N 0 N 2

η i

−

N 12

=

( 32 )(133.1205 m) − ( 528)(11.5779 m) = −0.0212m 2 ( 32 )(11440 ) − ( 528)

=  A0 + A1n = 0.7121m + ( −0.0212 m ) n

:

n = 1, 2,....,16

Para la corrección parabólica, se tienen que evaluar primero los parámetros B0, B1, B2 y  ∆, definidos en la ec 3.7:  ∆ = 16 193 757 184

 B0

=

1⎡

Y0 ( N 2 N 4 − N 32 ) + Y1 ( N 2 N 3 − N1N 4 ) + Y2 ( N 1N 3 − N 22 ) ⎤ , ⎣ ⎦ ∆

11.5779 ((11440)(7246096) −(278784) 2 ) +133.1205 ((11440)(278784) −(528)(7246096) ) = 16193757184 2121.4531 ((528)(278784) − (11440) 2 ) + = 0.6058m 16193757184  B1

=

1⎡

Y0 ( N 2 N3 − N1 N4 ) + Y1 ( N0 N4 − N22 ) + Y2 ( N1 N2 − N0 N 3 ) ⎤ ⎣ ⎦ ∆

11.5779 ( (11440)(278784)− (528)(7246096)) + 133.1205( (32)(7246096)− (11440)2 ) = 16193757184 2121.4531( (528)(11440) − (32)(278784)) + = −0.0025m 16193757184  B2

=

1⎡

Y0 ( N1 N3 − N22 ) + Y1 ( N1 N2

∆⎣

− N0 N3 ) + Y2 ( N0 N2 − N 12 ) ⎤⎦

11.5779 ( (528)(278784) − (11440)2 ) + 133.1205( (528)(11440)− (32)(278784)) = 16193757184 2121.4531( (32)(11440) − (528)2 ) + = −0.0006m 16193757184 η i = B0 + B1n + B2 n2 =(0.6058m) n + (-0.0025m)n + (-0.0006m) n

23

n = 1,2,...,16

0.4 0.2    )   m 0.0    (   η

-0.2 0

4

8

12

16 t (s)

-0.4

 Fig 3.4 Resultados de la señal corregida: ■ media aritmética, ▲ línea recta y ● parabólica

En la fig 3.4 se representan gráficamente los resultados obtenidos al aplicar la corrección del nivel medio de la señal, (ec 3.1), utilizando los tres métodos antes expuestos. En esta figura se puede observar que las diferencias entre la utilización de un método u otro  pueden ser muy grandes; de hecho, si no se conoce bien el mecanismo que genera dicha variación, a priori resulta más conveniente utilizar una corrección de tipo parabólico. 3.1.2 Caracterización de la señal Una vez que se ha corregido el nivel medio, se debe caracterizar la señal, esto es, calcular las alturas y los periodos de ola individuales. Para este propósito existen diversos métodos, que se enuncian a continuación: 3.1.2.1 Método de pasos ascendentes por cero Para la implementación de este método se determinan los pasos ascendentes a través del siguiente criterio: ηi ⋅ ηi +1 < 0

y

η i +1

>0

(3.8)

donde η i representa el iésimo dato de la elevación de la superficie después de la corrección del nivel medio. El tiempo en el cual cruza el nivel medio se determina  por medio de una interpolación lineal entre el tiempo de muestreo de η i y η i+1. La diferencia temporal de este punto al siguiente paso ascendente define el periodo.

24

La condición para definir un máximo en el perfil es ηi −1 < ηi

y

ηi

> ηi +1

(3.9)

 

Con el fin de eliminar el problema de subestimación del máximo real entre dos  puntos discretos, deben ser estimados el tiempo y la elevación máxima después de ajustar la curva parabólica en función de tres puntos η i-1, η   i y η i+1. La ecuación para el ajuste parabólico se puede expresar como η máx

=C−

 B 2

4 A

,

y

tmáx

= t i −

∆t B

(3.10)

2A

donde  A =

1 (η − 2ηi + ηi +1 ) , 2 i −1

B=

1 (η − η ) , 2 i + 1 i −1

C = ηi

(3.11)  

Para determinar la altura de ola, el punto más alto sobre la elevación de la superficie libre debe ser encontrado dentro del intervalo entre dos pasos ascendentes Una vez que se identificó este punto, se denota como η i y entonces η máx   es estimada por medio de las ecs 3.10 y 3.11. El punto más bajo o valle de la elevación, η m  ín, es calculado por  medio de un proceso similar, y la altura de ola es calculada como la resta del valor  máximo menos el mínimo, η máx   y η mín. En la fig 3.5 se presenta el procedimiento de forma gráfica. Máximo  positivo

2.5 2.0 1.5

Segundo cruce

1.0 0.5

   m

0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5

 t 

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

(s)

7.0

Primer  cruce Máximo negativo

 Fig 3.5 Discretización de la altura de ola utilizando el método de pasos ascendentes

25

 Ejemplo. Considere el segmento de una señal arbitraria con las variaciones de la

superficie libre (tabla 3.3), y evalúe las alturas de la cresta y valle, los tiempos en los cuales se producen los pasos ascendentes, y determine la altura y periodo de dicha onda. El primer cruce ascendente se da entre η1 y η2. El tiempo en que esto ocurre, t a, se obtiene como t a

=

− η i t i+1 ( 0.097 m )( 0s ) − ( −0.200 m )( 0.5s) = = 0.3367s ηi +1 − η i ( 0.097 m ) − ( −0.200 m )

ηi +1 ti

TABLA 3.3 SEÑAL DISCRETA DE OLEAJE i

t i (s)

ηi (m)

i

t i (s)

ηi (m)

I

t i (s)

ηi (m)

1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-0.200 0.097 0.551 1.399 1.872

6

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

1.691 1.052 -0.242 -1.489 -2.069

11

5.0 5.5 6.0 6.5

-1.935 -0.964 0.283 1.397

2 3 4 5

7 8 9 10

12 13 14

El segundo cruce ascendente se da entre η12 y η13, en el tiempo t b, t b

=

( 0.283m )( 5.5s ) − ( −0.964 m )( 6.0s ) = 5.8865s 0.283m 0.964 m − − ( ) ( )

Por tanto, el periodo de onda es la diferencia entre los tiempos t a y t b: T

= tb − t a = 5.8865 s − 0.3367 s =5.5498 s

Para evaluar la altura de ola, primero se calcula el máximo positivo en dicho intervalo:  A =

1 1 (ηi −1 − 2ηi + η i+1 ) = (1.399 − 2 ( 1.872) + 1.691) = − 0.327 m 2 2  B =

1 1 (ηi +1 − η i −1 ) = (1.691 − 1.399) = 0.146 m 2 2 26

C  = η i

tmáx

= t i −

∆tB 2 A

= 1.872m

= 2.0 −

( 0.5)( 0.146 ) = 2.1116s 2 ( −0.327 ) 2

( 0.146 ) = 1.872 − = 1.8883m η máx = C − 4 A 4 ( −0.327 )  B 2

Ahora, el máximo negativo se evalúa como:  A =

1 1 (ηi −1 − 2ηi + η i+1 ) = ( − 1.489 − 2 ( − 2.069) − 1.935) = 0.357 m 2 2  B =

1 1 (ηi +1 − η i −1 ) = ( −1.935 + 1.489) = − 0.223m 2 2 C  = η i

tmín

= t i −

∆tB 2 A

= −2.069m

= 4.5 −

( 0.5 )( −0.223) = 4.6562s 2 ( 0.357 ) 2

( −0.223) = −2.069 − = 2.1038 m η mín = C − 4 A 4 ( 0.357 )  B 2

De tal forma que la altura de ola,  H , es la diferencia entre los máximos positivo y negativo,  H  = η máx − η mín

= 1.8883 + 2.1038 = 3.9921m

3.1.2.2 Método de pasos descendentes por cero Este método es análogo al de pasos ascendentes por cero, la única diferencia estriba en que ahora las olas se definen en el cambio de signo de positivo a negativo, como se puede ver en la fig 3.6.

27

0.3

Punto de paso descendente por cero

0.2 0.1 t 

η  0

     η

-0.1

0

20

40

60

80

-0.2 -0.3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 Número de ola

 Fig 3.6 Definición de olas con el método de pasos descendentes

El criterio para definir cada ola es el siguiente: ηi ⋅ηi +1 < 0

y

η i-1 > 0

(3.12)

3.1.2.3 Método de distancia entre crestas Debido a la asimetría natural que se presenta en el oleaje, es decir, a que no se tiene el mismo número de puntos del lado positivo que del negativo, el IAHR (1989) recomendó que una altura de ola se debe definir a partir de la distancia entre cresta y cresta de la serie, tal como se muestra en la fig 3.7. Como resultado de este procedimiento, si se compara con el método de pasos ascendentes o descendentes por cero, se contabilizan un mayor número de olas. Sin embargo, tiene el inconveniente de agregar a la estadística olas pequeñas que suelen distorsionar los resultados. 3.1.2.4 Método de distancia entre valles Este método es análogo al de la distancia entre crestas, la diferencia estriba en encontrar los mínimos para separar las olas, como se muestra en la fig 3.8.

28

1

0.3

2

3

4

5

7

6

8

10

9

12

11

13  Número de ola

0.2 0.1 t 

0

η 

  η

-0.1

0

20

40

60

80

-0.2 -0.3

 Fig3.7 Definición de olas por el método de distancia entre crestas

0.3 0.2 0.1 t 

η  0

     η

-0.1

0

20

40

60

80

-0.2 -0.3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 Número de ola

 Fig 3.8 Separación de olas por medio del método de valles

3.1.3 Determinación de parámetros del oleaje Los parámetros estadísticos más importantes para definir un estado de mar a partir de una serie de tiempo son: La variación del nivel medio del mar: η (t ) =

1

 N 

∑η 

 N  i =1

i

donde η i elevación de la superficie libre del mar en el tiempo t i  N  número de eventos o muestras.

29

(3.13)

La variación de la media cuadrática (la varianza) de superficie del agua, η 2 : rms

2 ηrms

=

1

 N 

∑η   N 

2

(3.14)

i

i =1

La altura media y el periodo medio:  H

T

= =

1

 N 0

 N 0

1

∑ H 

(3.15)

i

i =1

 N 0

 N 0

∑ T 

(3.16)

i

i =1

donde  N 0 número de olas individuales de todo el registro  H i altura de ola T i periodo de ola.

La altura cuadrática media, H rms, queda definida por:  H rms =

1

 N 0

∑ H   N 

2

i

(3.17)

0 i =1

La falta de oblicuidad o asimetría es evaluada a través de la siguiente expresión: Skw =

1

 N 

3

 N 0η rms

∑η 

3

i

(3.18)

i =1

Para evaluar otros parámetros relevantes, como los estadísticos de orden, significante, un décimo, etc, primero se ordenan, en función de la altura de ola, de mayor a menor los valores correspondientes de altura-periodo de ola ( H ,T ), de manera que, por ejemplo: 



la altura de ola un medio, H 1/2, es el promedio del 50 % de las olas más altas la altura un tercio o significante,  H  s = H 1/3, está definida como la media aritmética del 33 % de las alturas de ola más altas



la altura de ola un décimo, H 1/10, es el promedio del 10 % de las olas más altas



la altura de ola un centésimo, H 1/100, es el promedio del 1 % de las olas más altas



la altura de ola un milésimo, H 1/1000, es el promedio del 0.1 % de las olas más altas, etcétera. 30

Mientras que, para el caso de los periodos: 









el periodo de ola un medio, T 1/2, es el promedio de los periodos asociados al 50 % de las olas más altas de un registro el periodo de ola un tercio o significante, T 1/3 = T  s, es el promedio de los  periodos asociados al 33 % de las olas más altas de un registro el periodo de ola un décimo, T 1/10, es el promedio de los periodos asociados al 10 % de las olas más altas de un registro el periodo de ola un centésimo, T 1/100, es el promedio de los periodos asociados al 1 % de las olas más altas de un registro el periodo de ola un milésimo, T 1/1000, es el promedio de los periodos asociados al 0.1 % de las olas más altas de un registro, etcétera.

En ocasiones, para evaluar las estadísticas de los periodos de ola se aplica el mismo criterio que para las alturas de ola. Sin embargo, en ingeniería y sobretodo en el proceso de diseño o caracterización, lo más conveniente es asociar las alturas con los periodos de ola. Otro parámetro importante de calcular en las series ordenadas son las estadísticas de orden H i:q, donde q es el número de muestras e i es el lugar que ocupa desde el inicio, de tal forma que, por ejemplo, el estadístico de orden 1,  H 1:q, corresponde al valor  máximo de la muestra, que también se conoce como altura de ola máxima,  H máx.  Ejemplo. Utilizando los datos ya ordenados de mayor a menor altura de ola y periodos

que se presentan en la tabla 3.4, evalúe los siguientes parámetros estadísticos: número de olas ( N 0), altura máxima de ola y su periodo de ola asociado ( H máx, T máx), la altura de ola y periodo de ola de orden 1:  N 0 ( H 1: No, T 1: No), altura de ola y periodo de ola significantes ( H  s, T  s) y los valores representativos de altura de ola y periodos un medio, un tercio, un décimo y un centésimo ( H 1/2, H 1/3, H 1/10, H 1/100, T 1/2, T 1/3, T 1/10, T 1/100). Solución. Directamente de la tabla 3.4 se puede evaluar:

 Número de olas,  N 0 = 154

En cuanto a las alturas de ola, los resultados son: La altura máxima de ola,  H máx = H 1 = H 1:154 = 2.32 m

31

TABLA 3.4 DATOS DE ALTURAS Y PERIODOS DE ONDA ASOCIADOS i

 H (m)

T (s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

2.320 2.308 2.154 2.104 2.029 1.888 1.716 1.654 1.636 1.630 1.622 1.589 1.533 1.533 1.484 1.484 1.482 1.443 1.433 1.414 1.412 1.398 1.388 1.380 1.347 1.339 1.337 1.329 1.314 1.312 1.292 1.281 1.279 1.233 1.232 1.218 1.217 1.195 1.193

8.74 8.64 9.61 9.80 9.54 8.74 8.74 9.45 10.60 9.70 11.10 8.27 7.78 10.18 8.72 10.61 9.66 9.75 10.06 7.87 8.72 9.22 9.51 8.10 9.32 8.53 9.87 7.93 10.22 9.54 9.64 8.36 9.06 9.42 8.12 8.89 8.05 8.61 10.71

i

 H (m)

T (s)

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

1.175 1.154 1.151 1.134 1.127 1.120 1.118 1.100 1.099 1.088 1.083 1.066 1.059 1.057 1.037 1.030 1.027 1.008 0.970 0.969 0.969 0.948 0.930 0.929 0.927 0.907 0.905 0.886 0.881 0.877 0.854 0.853 0.853 0.853 0.850 0.844 0.840 0.837 0.837

6.93 10.74 11.29 9.24 8.24 8.36 11.17 9.40 7.22 11.18 6.86 12.78 10.95 8.19 8.94 9.45 11.16 10.82 9.39 10.05 9.62 9.40 9.02 8.91 9.58 6.20 6.92 10.09 9.35 5.92 7.39 11.07 9.96 10.13 10.15 10.21 10.85 7.22 9.30

i

 H (m)

T (s)

i

 H (m)

T (s)

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117

0.835 0.830 0.829 0.826 0.821 0.818 0.783 0.783 0.779 0.762 0.760 0.757 0.752 0.741 0.728 0.728 0.718 0.718 0.717 0.707 0.700 0.691 0.683 0.678 0.673 0.662 0.660 0.657 0.656 0.652 0.632 0.631 0.626 0.617 0.614 0.592 0.589 0.583 0.582

12.70 9.87 10.96 7.15 10.64 12.17 12.90 4.36 7.56 9.53 9.76 8.82 6.18 10.60 6.29 11.40 8.30 6.70 10.15 8.26 4.99 10.36 9.13 5.07 9.12 4.71 10.23 5.76 10.77 7.17 7.85 11.21 10.71 11.06 7.07 12.93 8.78 4.32 8.30

118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154

0.576 0.575 0.570 0.565 0.553 0.550 0.543 0.528 0.517 0.508 0.507 0.502 0.490 0.489 0.485 0.481 0.478 0.464 0.441 0.424 0.372 0.348 0.342 0.305 0.292 0.273 0.267 0.251 0.247 0.238 0.199 0.165 0.157 0.150 0.136 0.100 0.090

11.85 9.76 5.20 5.44 4.70 8.63 12.08 8.29 11.46 9.65 5.02 9.41 5.38 7.46 8.94 4.51 3.69 4.61 5.04 4.40 5.54 6.98 5.70 5.30 6.40 4.44 3.45 2.69 2.85 5.29 4.09 2.36 3.21 2.48 2.17 2.49 2.21

Altura media de ola,  H

=

1 154 ∑ H  = 0.904m 154 i =1 i 32

Altura cuadrática media,  H rms

=

1 154 2 H i = 1.011m 154 ∑ i =1

Altura de ola un medio,  H1/ 2

2 77 = ∑ H  = 1.255m 154 i =1 i

Altura de ola significante o un tercio, 3 ⎛ 51 1 ⎞  H s = H1/ 3 = H i + H 52 ⎟ = 1.421m ∑ ⎜ 154 ⎝ i =1 3 ⎠ Altura de ola un décimo,  H1/10

10 ⎛ 15 ⎞ H i + 0.4 H 16 ⎟ = 1.805m = ∑ ⎜ 154 ⎝ i =1 ⎠

Altura de ola un centésimo,  H1/100

=

100 ( H + 0.54 H 2 ) = 2.316 m 154 1

Mientras que los valores de los periodos correspondientes a las alturas de ola son: Periodo de ola máxima, T máx = T 1 = T 1:154 = 8.74 s

Periodo de ola media, 1 154 T = ∑ T  = 8.31s 154 i =1 i Periodo de ola un medio, 2 77 T1/ 2 = ∑ T  = 9.27s 154 i =1 i

33

Periodo de ola significante o un tercio, 3 ⎛ 51 1 ⎞ T s = T1/ 3 = Ti + T52 ⎟ = 9.28s   ∑ ⎜ 154 ⎝ i =1 3 ⎠ Periodo de ola un décimo, T1/10

=

10 ⎛ 15 ⎞ Ti + 0.4T 16 ⎟ = 9.34s ∑ ⎜ 154 ⎝ i =1 ⎠

Periodo de ola un centésimo, T1/100

=

100 (T + 0.54T 2 ) = 8.70s 154 1

Siguiendo el mismo ejemplo, conviene aquí presentar las formas convencionales de evaluar las probabilidades de presentación de un evento: La primera manera es reportar la probabilidad de forma discreta. Para ello, se dividen los datos en rangos la altura o periodos de ola y se genera una tabla que refleje el número o porcentaje, sea individual, por rango, acumulado o de excedencia. En las figs 3.9 y 3.10, se ilustran los resultados de evaluar el número de olas y su porcentaje individual y acumulado, respectivamente, según el ejemplo presentado en la tabla 3.4. Aunque el método anterior proporciona una forma muy sencilla de conocer las  probabilidades, lo usual es presentar los resultados de manera continua y para ello la  probabilidad acumulada, P , se puede evaluar mediante la siguiente expresión:  P n =

n  N 0 + 1

(3.19)

donde n es igual a n = N 0 – i +1, siendo i el orden de mayor a menor que ocupa H o T  en la serie. Es conveniente mencionar que la probabilidad de excedencia  P  E , es igual a la  probabilidad acumulada menos uno, P  E  = P -1.

34

30 28 26 24 22   s   a 20    l   o 18   e    d 16   o   r   e 14   m    ú 12    N 10 8 6 4 2 0

20 18 16    )

14    (    %    d

  a 12    i    d    l    i    b

  a 10    b

  o   r

8    P 6 4 2 0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

 H  (m )

 Fig3.9 Ejemplo de probabilidad discreta por rangos de altura de ola

100

150 140 130 120 110 100   s   a    l   o 90   e    d 80   o   r   e 70   m 60    ú    N 50 40 30 20 10 0

90 80 70    )

   %    (

60    d   a

   d    i

   l 50    i    b 40

  a    b   o   r    P

30 20 10 0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

 H  (m )

 Fig 3.10 Ejemplo de probabilidad acumulada discreta de alturas de ola

Para evaluar la función de distribución de probabilidad de la altura de ola o periodo,  H  o T , la primera parte del procedimiento es igual que en el caso discreto, pero además, se considera que el valor medio es representativo del rango y se divide por la diferencia entre el valor máximo y mínimo del intervalo. Siguiendo el mismo ejemplo de la tabla 3.4, en la fig 3.11 se presentan los resultados de evaluar la probabilidad acumulada y la densidad de probabilidad de alturas de ola.  Nótese que la densidad de probabilidad lleva unidades y que el área bajo la curva de un intervalo específico o de todo el intervalo es igual a la probabilidad. 35

1.0

1.0

0.9

0.9    )   m    /    1    (    d   a    d    i    l    i    b   a    b   o   r   p   e    d    d   a    d    i   s   n   e    D

0.8 0.7

   d   a 0.6    d    i    l    i 0.5    b   a    b   o   r 0.4    P 0.3 0.2

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

0.1

0.1

0.0

0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1. 2 1. 4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

 H  (m)

 H  (m)

 Fig 3.11 Ejemplo de probabilidad acumulada y densidad de probabilidad de alturas de ola

De la misma forma que se ha realizado la evaluación de la densidad de probabilidad,  p, y la probabilidad acumulada,  P , para las alturas de ola, el mismo procedimiento se sigue para estimar el periodo de ola o la estimación conjunta altura-periodo. 3.1.4 Determinación de parámetros de las velocidades orbitales Es común que cuando los equipos de medición proporcionan datos de corriente se determine el valor máximo y la media para ambas componentes. A partir de las siguientes expresiones, se puede evaluar el valor medio: Ux =

Uy =

1

 N 

∑ Ux

 N  i =1

1

i

(3.20)

 N 

∑ Uy

 N  i =1

i

(3.21)

3.1.5 Determinación de la dirección del oleaje En la naturaleza, normalmente el oleaje no se propaga en una dirección específica, por el contrario, se distribuye a lo largo de varias direcciones, dependiendo de factores como la intensidad del viento, que el oleaje se encuentre en el área de generación o no, efectos de refracción, difracción, reflexión, por citar algunos de los más importantes. Para mediciones de oleaje cerca de la costa, fuera del área de generación, la dirección del oleaje tiende a 36

asemejarse a la dirección del viento; sin embargo, para determinarla a través de las mediciones temporales, se utilizan los datos de velocidades orbitales asociadas al oleaje. La metodología para lograr esto se basa principalmente en utilizar los registros de Ux y Uy, junto con el dato de brújula para determinar la orientación del sistema de referencia del equipo. En la fig 3.12, se muestra un esquema tipo de la ubicación de un aparato de medición cerca de la costa, y se puede observar que los ejes que conforman el sistema de referencia del aparato están rotados con respecto al norte, este ángulo es el dato que normalmente se almacena en la brújula y se emplea para obtener la dirección del oleaje respecto al norte. A continuación se presenta la metodología recomendada para determinar la dirección del oleaje a partir de datos temporales de velocidad: 1. Obtener las velocidades orbitales, Ux y Uy 2. Estimar los valores medios por registro 3. Dibujar ambas velocidades en el sistema de referencia del aparato XY 4. Rotar el sistema de referencia XY los grados que indica la brújula en el aparato 5. Determinar el sentido del oleaje de acuerdo con la posición de la costa.

 Fig 3.12 Ubicación de un aparato de medición en la costa

37

 N  Ux (cm/s)

Uy (cm/s)

Compás (ρ) Orientación del sistema de referencia del aparato con respecto al Norte

 E 

O

Dirección predominante respecto al Norte 130º Este-Sur-Este

S   Fig 3.13 Determinación de la dirección a partir de las velocidades orbitales

En la fig 3.13 se presenta un ejemplo con datos medidos en las costas de Cancún, Quintana Roo. Se puede observar que si se dibuja la correlación entre los dos componentes de velocidad (Ux y Uy), tal como aparece en la fig 3.13, se obtiene una línea de tendencia muy clara; sin embargo, de acuerdo con el resultado existen dos  probables sentidos que se pueden asociar al oleaje a partir de sus velocidades orbitales, éstos son este-sur-este y oeste-norte-oeste. El sentido, y por tanto la dirección correcta, se conoce a partir de la posición de la costa, que se encuentra del lado izquierdo del Norte con una deflexión de 12° con respecto a éste.

38

8.7 8.6    )8.5   m    (   η

8.4 8.3 8.2 0

100

200

300

400

500

Tiempo (s)

 Fig 3.14 Ejemplo de un registro de oleaje con agrupamiento

3.1.6 Agrupamiento del oleaje Estudios recientes han comprobado que la caracterización de un estado de mar puede ser más adecuada si se analizan factores como el agrupamiento de las olas en un registro de oleaje, pues a pesar de su naturaleza aleatoria, se sabe que las olas de mayor magnitud no se dan de forma individual sino que tienden a aparecer en grupos o paquetes de olas que poseen mayor energía. Como ejemplo, la fig 3.14 muestra un  perfil de oleaje que exhibe dicho agrupamiento. En 1987, Johnson et al (1978) mostraron que dicho fenómeno es muy relevante, pues se sabe que tiene influencia en: 



El número de olas necesarias para generar resonancia en las estructuras o para voltear embarcaciones La estabilidad de las piezas del manto de rompeolas y estructuras de protección costera.

Además, algunos autores, como Goda (2000), han hecho notar que un agrupamiento  bien desarrollado de un campo de oleaje está regularmente asociado a la presencia de ondas de periodo largo. El agrupamiento del oleaje puede ser cuantitativamente descrito si se agrupan conjuntos de olas que exceden un cierto valor umbral de altura de ola, H c. A la sucesión de estas alturas de ola se les denomina  paquetes de alturas de ola de magnitud importante y el número de olas que constituyen el conjunto se conoce como longitud del conjunto.

39

   6  .    1

j1

   )  .   m   2    (    1   a    l   o   8   e  .    d   0   a   r   u   4  .    t    l    0    A    0  .    0

0

 Hc 25

50

75

100

125

150

 Número de ola

 Fig 3.15 Definición de los paquetes de olas

La fig 3.15 es un esquema que define gráficamente un conjunto de olas, su longitud, j1, y el valor umbral que los define. Como se observa, los paquetes se delimitan de forma muy  parecida a como se define el periodo por medio del método de pasos ascendentes por cero. Existe otro método para describir el agrupamiento del oleaje, mediante la envolvente de energía del oleaje, que fue originalmente desarrollado por Funke y Mansard (1979). Ellos proponen una función envolvente conocida como SIWEH (Smoothed instantaneous wave energy history). Se seleccionó este nombre para evitar confusiones con respecto a otras energías del oleaje, pues cada palabra describe una característica en particular, Historia de energía de ondas instantánea suavizada; así, historia hace referencia a que se trata de una función del tiempo, instantánea se refiere a que la energía está dada para un instante determinado y suavizado implica una operación de suavizado. Se define al SIWEH como  E ( t ) =

T  p

1

η T  ∫

2

( t + τ ) Q1 (τ ) ∂τ

 

para T p ≤ t ≤ Tn − T p

(3.22)

τ =T  p

donde T n es el tiempo total del registro. Para el inicio y el final, se tiene:  E (t ) =

 E (t ) =

T p

2 T p

T  p

2

η (t + τ )Q (τ )∂τ + t  ∫ 2

1

  para 0 ≤ t ≤ T  p

(3.23)

τ =− t 

T n −1

∫

+ t τ =− T 

η 2 (t + τ )Q1 (τ )∂τ   para Tn − Tp

 p

40

≤ t ≤T n

(3.24)

Para estos casos, se utiliza: Q1 (τ ) = 1 − Q1

τ 

para − T p ≤ τ  < T p

T  p

=0

(3.25)

para los demás valores.

El factor de agrupamiento se obtiene a partir del SIWEH, por medio de la siguiente expresión: GF  =

1 GF  =

T n

mε 0

(3.26)

m0

T n

∫(

)

 E (t ) − E 

2

∂τ 

0

(3.27)

 E 

donde mε 0 y m0 son los momentos de orden cero de la función de densidad espectral del SIWEH y dentro del oleaje original respectivamente. Las figs 3.16, 3.17 y 3.18 presentan el aspecto que guardan tres señales con diferente factor de agrupamiento, 1.46, 0.78 y 0.14.

1.50 1.00    ) 0.50   m0.00    (      η -0.50 -1.00 -1.50    )    2 1.50   m    ( 1.00    H    E0.50    W    I    S0.00

0

200

400

600 Tiemp o (s)

800

1000

 Fig 3.16 Ejemplo de SIWEH con un factor de agrupamiento GF = 1.46 

41

1200

1.50 1.00    ) 0.50   m0.00    (   η -0.50 -1.00 -1.50    )    2 1.50   m    ( 1.00    H    E0.50    W    I    S0.00 0

200

400

600 Tiemp o (s)

800

1000

1200

 Fig 3.17 Ejemplo de SIWEH con un factor de agrupamiento GF = 0.78

1.50 1.00    ) 0.50   m0.00    (   η -0.50 -1.00 -1.50    )    2 1.50   m    ( 1.00    H    E0.50    W    I    S0.00 0

200

400

600 Tiempo (s)

800

1000

1200

 Fig 3.18 Ejemplo de SIWEH con un factor de agrupamiento GF = 0.14

Como puede observarse, a medida que el oleaje es más regular, el factor de agrupamiento tiende a valores más pequeños. A manera de resumen, en la fig 3.19 se presenta un diagrama de flujo para llevar a cabo la metodología necesaria para realizar el análisis temporal del oleaje.

42

9.8    )   m 9.6    (   n    ó    i   s 9.4   e   r    P

9.2

Señal de oleaje

0

200

400

600

800

1000

Tiempo (s)

9

Corrección del nivel medio 1. Media 2. Lineal 3. Parabólica

Análisis temporal

Discretización de la señal: 1. Pasos ascendentes 2. Pasos descendentes 3. Distancia entre crestas 4. Distancia entre valles

Evaluación de parámetros y velocidades orbitales Ej. H rms,  H  s,  H máx, T , T  p, u x, u y

Determinación de la dirección del oleaje

 Fig 3.19 Diagrama de flujo para el análisis temporal de señales de oleaje sin considerar la evaluación del agrupamiento del oleaje

43

4. ANÁLISIS ESPECTRODIGITAL DE SERIES TEMPORALES Este modelo matemático del oleaje supone que una señal de superficie libre del mar  es resultado de la suma de un gran número de ondas sinusoidales, cuyas amplitudes vienen dadas por: ai2

= 2S ( fi ) ∆f i

 

(4.1)

donde S ( f i ) es la densidad espectral de energía (subcap 4.4), y ai es la amplitud de una onda cualquiera. Si se asume válida la aplicación de la teoría lineal de Airy (1845), es posible afirmar  que la energía contenida en la banda de frecuencia ∆ f  está asociada a una onda, obtenida por unidad de superficie, que se define como: 1 1 1  ρ gH 2 = ρ ga 2 = γ a 2 8 2 2

(4.2)

donde γ  representa el peso específico del agua de mar. Al sustituir la ec 4.1 en la 4.2, la energía por unidad de superficie contenida en la  banda de frecuencias ∆ f i se expresa: 1 γ  ⎡ 2 S ( fi ) ∆f i ⎤⎦ 2 ⎣

(4.3)

con lo que la energía total del oleaje por unidad de superficie será: 1 ⎡ ⎤ γ  ⎢ 2 S ( fi ) ∆f i ⎥ (4.4) 2 ⎣ i ⎦ Si se representa la sumatoria como una integral, la energía total del oleaje por unidad de superficie es expresada por:

∑

 Energía = γ

45

∫

∞

0

S (ω ) d ω 

(4.5)

Se puede afirmar que el fenómeno queda perfectamente definido a través del espectro si se aceptan las hipótesis estadísticas que permiten estudiarlo. La precisión en el cálculo de la función de distribución espectral es muy importante para la validación del estudio a través de este tipo de análisis. La elección del tratamiento al cual será sometida la serie es, en consecuencia, bastante subjetiva y en cada caso debe estudiarse la resolución espectral y el nivel de confianza que se desea tener para la estimación de los parámetros. Para calcular los valores del espectro se utilizan las series de Fourier. A fin de simplificar este procedimiento se utiliza la transformada rápida de Fourier (FFT) (verbigracia, Bendat y Piersol, 1986), la cual reduce en gran medida el número de operaciones necesarias para su obtención; este algoritmo tiene como base la  propiedad de la transformada discreta de Fourier (DFT) que permite calcular la FFT de una sucesión a través de la DFT de subsucesiones más cortas. En la tabla 4.1 se presenta la metodología para realizar un análisis del oleaje bajo esta  perspectiva. Para realizar un análisis espectral adecuado es conveniente que los registros contengan al menos 100 olas y que el intervalo de muestreo sea de una décima a una vigésima parte del periodo significante. Una vez seleccionado el intervalo de muestreo, ∆t , la frecuencia máxima, conocida como frecuencia de Nyquist, para la cual el espectro es estimado se determina por la expresión:

=

 f c

1 2∆t 

(4.6)

TABLA 4.1 METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS ESPECTRAL DEL OLEAJE A. Corrección del nivel medio

Media Ec lineal Ec parabólica Filtro espectral • Ventana tipo trapezoide • Ventana tipo coseno • • • •

B. Aplicación de una función ventana C. Estimación de las componentes de Fourier  D. Cálculo del espectro de energía E. Suavizado del espectro de energía F. Parámetros espectrales G. Estimación de la dirección del oleaje

46

•

Espectro direccional

4.1 Corrección del nivel medio

De la misma forma que con el análisis temporal, se debe llevar a cabo una corrección del nivel medio, ya que si éste no es corregido se introducirá en el espectro una distorsión denominada efecto de solapamiento o aliasing . Si no existe influencia de ondas largas, en principio la corrección se puede hacer con las mismas consideraciones expuestas en la sección 3.1.1. Cuando se tiene un efecto de marea importante en el sitio, como es el caso de la fig 4.1, es necesario implementar una corrección espectral del nivel medio, es decir  eliminar o filtrar la energía contenida en las frecuencias propias de la marea o en su caso de ondas largas, normalmente menores de 0.02 Hz. Para realizar el filtrado de ondas largas, se acepta que el oleaje está formado por una suma de ondas sinusoidales, de manera que la superficie libre puede ser representada  por la ec 4.7: η (t ) =

 N / 2

∑ ⎡⎣a cos ( 2π f t ) + b sin ( 2π  f t )⎤⎦ n =1

n

n

n

n

 

(4.7)

donde an y bn son los coeficientes de Fourier. Por ejemplo, si la señal que se presenta en la fig 4.1, se descompone en cada uno de sus armónicos y después se hace  F(f n ) =0, para aquellas frecuencias f n que satisfagan la desigualdad f n< 0.02 Hz , es decir para las ondas largas, se elimina su influencia, con lo que se obtiene una señal como la que se presenta en la fig 4.2. 9.8

   )   m    (   e   r    b    i    l   e    i   c    i    f   r   e   p   u    S

9.6 9.4 9.2 9 0

200

400

600

800

Tiempo (s)

 Fig 4.1 Registro de oleaje con influencia de onda larga

47

1000

9.8

   )   m    (   e   r    b    i    l   e    i   c    i    f   r   e   p   u    S

9.6 9.4 9.2 9 0

200

400

600

800

1000

Tiem o (s)

 Fig 4.2 Señal reconstituida sin la influencia de la onda larga

En el subcap 4.3 se abundará con mayor detalle en la evaluación de las componentes armónicas de Fourier. 4.2 Función ventana

Cuando se realiza el análisis armónico de Fourier a una señal, se asume implícitamente que la muestra es periódica, en otras palabras que dicha señal se repite desde ∞ hasta +∞. Para evitar las discontinuidades que se pudieran presentar al unir los extremos de la señal, es común que antes de hacer el análisis armónico de un perfil de ondas se realice una corrección a los datos que la conforman. Dicha operación es conocida como la aplicación de una función ventana y se expresa como η ( t* ) → b ( t* )η ( t* ) ,   tal que t *

= 1,2,..., N .

(4.8)

donde b(t ), se conoce como profundidad de peso, la cual se debe multiplicar por toda la muestra a fin de reducir las oscilaciones en los extremos de la serie. Las ventanas más utilizadas son la trapezoidal y la cosenoidal, las cuales se expresan de la siguiente forma: a) Ventana tipo trapezoide

⎧ t * ⎪ l  ⎪ b1 (t* ) = ⎨ 1 ⎪ N − t  * ⎪ ⎩ l 

: 0 ≤ t* ≤ l  : l ≤ t* ≤ N − l :  N − l < t* ≤ N 

48

 

(4.9)

 b) Ventana tipo coseno

⎧ 1⎡ ⎛ π t * ⎞ ⎤ : 0 < t < l  ⎪ 1 cos − * ⎜ l  ⎟ ⎥ 2 ⎢⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎪ ⎪ b2 (t* ) = ⎨ 1 : l ≤ t* ≤ N − 1 ⎪ ⎡ ⎪ 1 ⎢1 − cos ⎛⎜ π  ( N − t * ) ⎞⎟ ⎤⎥ : N - 1 < t* ≤ N  ⎪⎩ 2 ⎢⎣ l  ⎝ ⎠ ⎥⎦

 

(4.10)

donde normalmente se acepta que l = 0.1N . Un inconveniente de la aplicación de la función ventana a los datos es la reducción de los grados de libertad. La proporción en la cual se ven reducidos los grados de libertad puede ser estimada a través de la siguiente relación: 2

⎡ N  2 ⎤ b t dt ( ) ⎢ * * ⎥  1 ⎣ ∫0 ⎦ κ b

 N 

∫ b ( t ) dt 4

*

*

(4.11)

 

0

Si se aplica una ventana al registro, la energía total decrece y los valores espectrales estimados son menores que los reales, por lo que deben multiplicarse por un factor de corrección  β  en el momento de evaluar la función de densidad espectral. Dicho factor  está dado por   β  =

 N   N 

∑ ⎡⎣b(t  ) ⎤⎦ n =1

(4.12)

2

n

 Ejemplo. Considérese un registro con una duración de 1800 s, medido con un

intervalo de muestreo ∆t = 0.3125 s, con un total de muestras  N = 4096, al cual se aplican en la parte inicial y en la final, 400 muestras, que es aproximadamente el 10 % de registro total, una función ventana tipo coseno, ec 4.10. En la fig 4.3 se  presentan de arriba hacia abajo: la señal original, la función ventana tipo coseno y la señal después de aplicarle la función ventana; de izquierda a derecha; la parte inicial y final, respectivamente, de las señales y funciones. 49

Al evaluar la ec 4.12, se obtiene que el factor  β  para corregir la función de densidad espectral es 1.139. 4.3 Cálculo de las componentes de Fourier 

Mediante el análisis en el dominio de la frecuencia, una función periódica puede ser  descompuesta en sus componentes armónicos (Newland, 1984). Si η (t ) es una función periódica del tiempo, t , con duración T r,  η (t ) se puede expresar como una serie infinita de términos trigonométricos de la siguiente manera: η (t ) = a0 +

∞

⎛

⎞

∑ ⎜⎝ a cos 2πT nt + b sen 2π T nt ⎟⎠ n =1

n

 

n

r

(4.13)

r 

donde a0 expresa el valor del nivel medio, an y bn son los coeficientes de Fourier, an ≠ bn, expresados como: a0 an bn

= = =

1

T / 2

∫

T r  −T / 2

2 Tr

2 Tr

η (t ) dt

T / 2

∫ η (t ) cos

 

2π  nt  T r 

−T / 2 T / 2

∫

η (t )sen

dt

2π  nt  T r 

−T / 2

dt

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ n ≥ 1⎬ ⎪ ⎪ n ≥ 1⎪ ⎪⎭

(4.14)

Si se ha realizado previamente la corrección del nivel medio, subcap 4.1, entonces el coeficiente a0 será igual a cero y los valores an y bn serán diferentes entre sí. La frecuencia angular del enésimo coeficiente queda definida como: σ n

=

2π  n T r 

(4.15)

La distancia entre armónicos adyacentes es

∆σ  =

2π  T r 

(4.16)

En la ec 4.16 se puede observar que entre mayor sea el periodo del registro, T r,  el espacio ∆σ  se hace más pequeño y los coeficientes de Fourier estarán menos separados. 50

1.5

Señal origina l

1.0 0.5    )   m 0.0    (      η

-0.5 -1.0 -1.5 1.0

   )          b    (   a   n   a    t   n   e   v   n    ó    i   c   n   u    F

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1.5

Señal despú es de ap licar la venta na

1.0 0.5    )   m 0.0    (      η

-0.5 -1.0 -1.5

0

40

80 t (s)

120

160 1120

1160

1200 t (s)

1240

1280

 Fig 4.3 De arriba hacia abajo: señal original, función ventana tipo coseno y señal  después de aplicarle la función ventana, respectivamente. De izquierda a derecha, parte inicial y final, respectivamente, de las señales y funciones

51

Sustituyendo las ecs 4.14 en la ec 4.13 e integrando, para a0 = 0, se obtiene:

⎧ 2 T /2 2π nt ⎫ 2π nt ∞ ⎧ 2 T / 2 2π nt ⎫ 2π nt + ( ) cos cos ( ) sen η (t ) = ∑ ⎨ η t dt η  t dt ⎬ sen   ⎬ ⎨ ∫ ∑ ∫ Tr T T T T n =1 ⎩ Tr −T / 2 n = 1 r r r ⎭ ⎩ r −T / 2 ⎭ ∞

(4.17) Ahora, sustituyendo las ecs 4.15 y 4.16 en la ec 4.17, se tiene:

⎧ ∆σ η (t ) = ∑ ⎨ n =1 ⎩ π ∞

∞ ⎧ ⎫ ⎫ ∆σ  T / 2 + η ( t ) cos σ t dt cos σ t η ( t ) sen σ t dt     ⎬ ⎨ ⎬ senσ nt (4.18) ∑ n n n ∫−T / 2 ∫ π  n =1 ⎩ −T / 2 ⎭ ⎭ T /2

Si T r → ∞, entonces ∆σ  → d σ  y la función se convierte en una integral con límites σ  = 0 y σ  = ∞, por tanto, η (t ) =

∞

∫

σ =0

dσ π

∞ ∞ ⎧∞ ⎫ ⎫ d σ  ⎧ ⎨ ∫ η (t ) cos σ t dt ⎬ cos σ t + ∫ ⎨ ∫ η (t )sen σ tdt ⎬ sen σ t π  ⎩ −∞ σ = 0 ⎩ −∞ ⎭ ⎭

(4.19)    

Si se hacen las siguientes consideraciones: 1  A(σ ) = 2π

∞

∫ η (t ) cos σ t dt ;

−∞

1 ∞ B (σ ) = η (t ) sen σ t dt   2π  −∞

∫

(4.20)

Sustituyendo la ec 4.20 en la 4.19, se obtiene la siguiente relación: η (t ) = 2

∫

∞

0

A(σ ) cos σ t dσ

∞

+ 2∫0 B (σ )sen σ t dσ

   

(4.21)

Donde  A(σ ) y  B(σ ) son los componentes de la transformada de Fourier de η (t ). La ec 4.21 es una representación de η (t ) mediante una integral de Fourier, conocida como transformada inversa de Fourier. La teoría clásica del análisis de Fourier introduce la siguiente condición: ∞

∫  f (t ) dt < ∞

(4.22)

−∞

la cual debe cumplirse para que la ec 4.21 sea cierta. Esta teoría es válida solamente  para funciones que tienden a cero cuando ⏐t ⏐→ ∞, de forma que se satisfaga la

52

     

ec 4.22. Una integral de Fourier puede ser considerada como el límite formal de una serie de Fourier cuando el periodo tiende a infinito. La manera más frecuente de representar las ecs 4.20 y 4.21 es de forma compleja,  para lo cual es necesario hacer las siguientes consideraciones: eiθ 

= cosθ + i sen θ 

(4.23)

 F (σ ) = A(σ ) − iB(σ )

(4.24)

donde i = −1 y θ  es el argumento del exponencial. Haciendo uso de las ecs 4.23 y 4.24, la ec 4.20 se puede expresar como: 1 ∞  F (σ ) = η (t )eiσ t dt  2π  −∞

∫

(4.25)

Si se sustituye la ec 4.20 en la ec 4.19, se obtiene: η (t ) =

∞

∞

∫ A(σ ) cos σ t dσ + ∫ B (σ )sen σ t dσ

−∞

  

(4.26)

−∞

donde los límites de las integrales van de -∞ a + ∞ en lugar de 0 a ∞ y el factor "2" desaparece, ya que A(σ) es una función par y sen σt  es una función impar de σ , A(σ ) sen σt es una función impar; por tanto se tiene: ∞

∫  A(σ ) sen σ td σ  = 0

(4.27)

−∞

y de manera similar, ∞

∫  B(σ ) cos σ t d σ  = 0

(4.28)

−∞

Si se suman las integrales 4.27 y 4.28 a la ec 4.26, sin que esto altere el valor  η (t ), después de operar, se tendrá: η (t ) =

∞

∫ F (σ )e

∞

iσ t

dσ

−∞

= 2∫ F (σ )eiσ t dσ 0

53

    

(4.29)

Las ecs 4.25 y 4.29 reciben el nombre de par transformado de Fourier, donde F (σ ) es la transformada compleja de Fourier de η (t ). Es frecuente encontrar en la literatura que la transformada de Fourier, ec 4.25, esté expresada en función de la frecuencia, f , en lugar de la frecuencia angular, σ  (donde σ = 2πƒ  ), de la siguiente forma: ∞

 F ( f ) =

∫ η (t )e

−iσ  t 

(4.30)

dt 

−∞

En la práctica, los datos producto de mediciones están siempre registrados de forma discreta y tienen una longitud finita, por lo que es más conveniente expresar las ecs 4.25 y 4.29 de esa forma. En particular, la ec 4.25, puede ser representada, para el caso de tener datos con un espaciamiento regular, de forma discreta:

1 1  N −1 −iσ  n∆t   F (σ  j ) = η n e  N  2π  n =0

∑

j = 0,1, 2....N / 2

 j

(4.31)

o considerando la ec 4.30,  F ( f j ) =

1  N −1

∑η  e  N  n=0

− i 2π  f j n∆t

j = 0,1, 2....N / 2

 

n

(4.32)

donde  N  es el número total de datos de la señal por analizar y  ∆t  es el intervalo de muestreo. La frecuencia angular σ  j, y la frecuencia f  j, se pueden evaluar a través de la siguiente relación: σ  j

= 2π  f j =

2π  j T

=

2π  j N ∆t 

= 2π  j∆f 

(4.33)

Una forma muy sencilla de calcular los coeficientes de Fourier, una vez corregido el nivel medio, es como sigue: Inicie con un valor de j = 0 Evalúe ƒ j = j∆ƒ Calcule F ( f  j) Incremente j en 1 Vuelva al paso 2 hasta que j = N /2

54

Dado que las componentes de Fourier son simétricas,  F ( f  j) =F(-f  j ), no es necesario calcular las componentes para las frecuencias negativas. Cuando se tiene un número de datos muy grande, este método estándar de cálculo  puede consumir mucho tiempo de cómputo, ya que el número de operaciones es del orden de  N 2. En la actualidad, este cálculo se hace usando la técnica de la trasformada de rápida de Fourier (p ej, Newland, 1984, y Bendat y Piersol, 1986), sin embargo, los algoritmos convencionales para su cálculo presentan una limitación en cuanto a que la longitud del registro debe ser una potencia de 2, esto es, el número de  puntos  N  debe cumplir  N = 2m. Por tanto, cuando se programan los aparatos de medición de oleaje se procura que los datos cumplan con esta restricción, y en caso contrario el número de datos es ajustado, ya sea eliminando el exceso de datos de la  parte inicial o final del registro o añadiendo los ceros necesarios al final del registro. La adición de ceros es normalmente realizada en la parte final del registro, después de la aplicación de una ventana, en caso de que ésta sea aplicada. El problema fundamental de la adición de ceros es que se reduce el nivel de la energía total. La corrección a este problema se puede tratar de forma análoga al de la función ventana, b(t *) = 0,  para los valores que se encuentren más allá de la longitud original del registro. 4.4 Estimación del espectro

La función de densidad espectral S ( f n), se calcula a través de la transformada rápida de Fourier de la serie de datos de superficie libre η (t ), y se define a partir de las siguientes expresiones: S ( f n ) = 0 S ( fn ) =

1 2∆ f 

2F ( fn )

2

para n = 0

(4.34)

 N    para n = 1,...

2

(4.35)

donde ƒn =n∆ƒ. El intervalo de frecuencia ∆ f , se define a partir de la duración de la serie de tiempo, t máx, tal que:

∆ f  =

1 tmáx

55

=

1 N ∆t 

(4.36)

En la práctica, el espectro obtenido a partir de este procedimiento tiene una gran resolución estadística, sin embargo, para los casos de señales que contienen mucho ruido, es decir perturbaciones, la fiabilidad estadística disminuye. Por este motivo, hay ocasiones en que es conveniente emplear un procedimiento de suavizado del espectro, con el fin de aumentar la fiabilidad a costa de perder resolución. 4.4.1 Formas de presentación del espectro de energía En la literatura especializada se pueden encontrar diversas formas de representar al espectro de energía, todas ellas están relacionadas a través de la definición de la frecuencia angular:

= 2π  f  =

σ

2π 

(4.37)

T 

Con base en lo anterior, el espectro se puede expresar en función de la frecuencia, de la frecuencia angular o del periodo. La condición que debe cumplirse es que se conserve la energía, es decir que la energía asociada con la banda de frecuencias (σ1, σ1 + d σ) debe ser igual a la correspondiente en periodos o frecuencias, o sea,

∫

σ 1 + dσ 

σ 1

f1 + df

∫

S (σ ) dσ  =

 f1

S ( f ) df

T1 + dT

= ∫T  1

 

S (T ) dT

(4.38)

 

y teniendo en cuenta que df  = dT

=−

d σ 

(4.39)

2π 

2π  σ 2

(4.40)

d σ 

se obtiene,

∫

σ1 + d σ

σ 1

S (σ ) dσ  =

∫

f1 +

 f1

S (σ 1 ) dσ  = S f

d σ

2π 

S ( f ) df

( f1 )

dσ

2π

2π  T1 − 2 d σ  σ  T 1

=∫

= ST  (T1 )

S (T ) dT

 

 

2π d σ    σ 2

y por tanto, se pueden establecer las relaciones entre dichos espectros como: 56

(4.41) (4.42)

) = 2π S ( 2π  f )

S f  ( f

ST  (T ) =

S (σ  ) =

(4.43)

 

2π ⎛ 2π  ⎞ T2

S ⎜

⎝

T 

(4.44)

⎟ ⎠

1 ⎛ σ ⎞ = 2π S  ⎛ 2π  ⎞ S f ⎜ 2π ⎝ 2π ⎟⎠ σ 2 T  ⎜⎝ σ ⎟⎠  

(4.45)

En otras palabras, el espectro no se obtiene del otro sustituyendo directamente, sino que existe un factor de modulación. Para que la energía que representan sea la misma, se verificará por tanto,

∫

∞

0

S (σ ) dσ  =

∫

∞

0

S ( f ) df

∞

= ∫0 S (T ) dT

 

(4.46)

 Ejemplo. Evaluar el espectro de energía de una señal que representa un escalón,

fig 4.4. El número de muestra es N = 8, con un espaciamiento temporal ∆ t =0.5s.

0.50 0.25    )   m    (

0.00

     η

1.0

2.0

3.0

-0.25

4.0 t  (s )

-0.50  Fig 4.4 Señal discreta Solución: El intervalo de frecuencia ∆ f , se evalúa a través de la ec 4.36,

∆ f  =

1

1 = 0.25Hz  N ∆t  ( 8 )( 0.5 )

=

Los coeficientes de Fourier se obtienen utilizando la ec 4.32, haciendo ƒ j = j∆ ƒ  : 57

= 0) =

 F ( f 0

1

8−1

∑η  e  N  n =0

− i 2π  f0 n∆t

n

1 =  ⎡⎣ − ( 0.5 m ) e−i 2π (0Hz )( 0)(0.5s ) − ( 0.5m ) e− i2 π (0Hz )(1)(0.5s ) − 8

( 0.5 m ) e−i 2π (0 Hz )( 2)(0.5s ) − ( 0.5 m ) e− i2 π (0 Hz )(3 )(0.5s ) + ( 0.5 m ) e− i2 π (0 Hz )(4 )(0.5s ) + ( 0.5 m ) e−i 2π (0 Hz )(5)(0.5s ) + ( 0.5 m ) e− i2 π (0 Hz )(6 )(0.5s ) + ( 0.5 m ) e− i2 π (0 Hz )(7 )(0.5s ) ⎤⎦ = 0 m 8−1 − i 2π ( 0.25Hz )(0 )(0.5s ) − i2 π (0.25Hz )(7 )(0.5s ) ⎤ i2 f n t   1 +  F ( f1 = 0.25 Hz) = ∆t ∑η n e − π  ∆ = ⎡ − ( 0.5m ) e ... 0.5 m e ( ) ⎦ 8⎣ n =0 = ( −0.1250 + 0.3018 i ) m  F ( f 2 = 0.50 Hz) = 0 m 1

 F ( f 3

= 0.75 Hz) = ( −0.1250 + 0.0518 i ) m

 F ( f 4

= 1.0 Hz) = 0 m

Ahora, utilizando la ec 4.35, se obtiene: S ( f 0 ) = 0 m 2 / Hz

1

2

S ( f1

= 0.25 Hz ) =

S ( f 2

= 0.5 Hz ) = 0 m 2 / Hz

S ( f 3

= 0.75 Hz ) = 0.1464 m2 / Hz

2∆ f 

2F ( f n ) =

2 1 2 ( −0.1250 + 0.3018 i ) m = 0.8536 m2 / Hz 2 ( 0.25 Hz )

S ( f 4 ) = 0 m 2 / Hz

De forma gráfica, en la fig 4.5 se presenta el resultado obtenido. 1.00 0.75    )   z    H    /

0.50

   S

0.25

  m    (

0.00 0.00

0.25

0.50

0.75

 Fig 4.5 Espectro de energía de la señal de ejemplo

58

1.00

f (Hz)

4.5 Suavizado del espectro

Los valores espectrales estimados fluctúan entorno a los valores del espectro real. Para atenuar estas oscilaciones es posible suavizar el espectro con una función de  peso W ( f ), de forma que ∞

∫

S ( f ) = S ( f* )W ( f*

− f )df*

 

(4.47)

0

donde W ( f ) debe ser una función normalizada, esto es: ∞

∫ W ( f )df  = 1

(4.48)

0

En la práctica, el espectro alisado se calcula como un promedio ponderado de los valores espectrales de las frecuencias próximas a ella: S( f ) =

 )

 j = k + m

∑ W(f

 j = k − m

k

− f j )S ( f j )

 

(4.49)

Cuando el registro es lo suficientemente largo, algunos tramos del mismo pueden considerarse representativos del estado de mar que se está estudiando. Por tanto es  posible elegir varios segmentos de la misma longitud y promediar las estimaciones obtenidas para cada uno de ellos, S ( f* ) =

 )

1

n s

∑S ( f )

n

n =1

n

j

 

(4.50)

donde n s es el número de segmentos tomados. Los filtros o funciones de peso más comunes se explican a continuación. Filtro rectangular  Es el método más simple para llevar a cabo este procedimiento y está dado por la expresión: W1 ( f j ) =

1 m

;

(m − 1) ⎤ ⎡m⎤ − ⎡⎢ ≤ j ≤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎥⎦ 59

(4.51)

donde m, representa el número de valores espectrales no suavizados que se utilizaron  para el promedio. Filtro triangular  W2 ( f j ) =

1 ⎧⎪ ⎨1 −

⎫⎪ ⎬; ( m 1/ 2 − W 2 ⎪ [ ] ⎩ ⎭⎪

(m − 1) ⎤ m − ⎡⎢ ≤ j ≤ ⎡⎢ ⎤⎥ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣2⎦

 j

(4.52)

Filtro parabólico 1 ⎧⎪ ⎛ W3 ( f j ) = ⎨1 − ⎜⎜

⎞ ⎟ W 3 ⎪ ⎝ [( m − 1) / 2] ⎟⎠ ⎩  j

2

⎫⎪ ⎬; ⎪⎭

(m − 1) ⎤ ⎡m⎤ j − ⎡⎢ ≤ ≤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎥⎦

(4.53)

donde W 2 y W 3 son constantes de normalización que se utilizan para satisfacer la condición dada por la ec 4.48. El filtro rectangular tiene 2m grados de libertad y el ancho de banda para la resolución espectral está dada por la siguiente ec:  f  B

=

m  N ∆t 

(4.54)

Koopmans (1974) propone para los demás filtros, que los grados de libertad se calculen a través de la ec 4.55: r  =

2 n/2

∑

 j =− ( m −1) / 2

(4.55)

W 2 ( f  j )

Para los casos en que m sea grande, se aceptan las siguientes aproximaciones: r

≈ 1.5m , para el filtro triangular r

≈

5 m , para el filtro parabólico 3

(4.56) (4.57)

El ancho de banda de la resolución espectral se evalúa de forma similar y es equivalente a los valores dados por: 60

 f  B

≈

 f  B

≈

3m 4 N ∆t  5n 6 N ∆t 

, para el filtro triangular

(4.58)

, para el filtro parabólico.

(4.59)

Los filtros triangular y parabólico dan una estimación espectral a un intervalo de frecuencia de la mitad del filtro rectangular; sin embargo, se debe recordar que dos estimaciones espectrales adyacentes no son estadísticamente independientes para estos filtros. La resolución espectral se puede mejorar únicamente si se utiliza un registro de oleaje más largo, tal como se observa en la ec 4.54. 4.6 Parámetros espectrales

Todos los parámetros espectrales se calculan a partir de sus diferentes momentos. El momento de orden n respecto al origen se define mediante la siguiente expresión: ∞

mn

= ∫ f n S ( f )df

 

(4.60)

0

donde S( f ) es la función densidad espectral y f es la frecuencia. Cartwright y Longuet-Higgins (1956) proponen un parámetro para describir la anchura espectral 1/ 2

⎡ m22 ⎤ ε  = ⎢1 − ⎥ ⎣ m0 m4 ⎦

(4.61)

Si el espectro es de banda angosta ε  tiende a 0; por el contrario, si el espectro es de  banda ancha ε  tiende a 1. Debido a que la estimación del momento de cuarto orden es muy sensible a los valores que se tienen en las altas frecuencias, para espectros que definen un estado de mar este parámetro no es representativo ya que puede inducir a fuertes errores. Para hacer más claro este problema, Longuet-Higgins (1983) propuso otro parámetro de anchura espectral, el cual depende de los momentos de orden inferior. 1/ 2

⎡m m ⎤ ν  = ⎢ 0 2 2 − 1⎥ ⎣ m1 ⎦ 61

(4.62)

Otro parámetro que define la forma del espectro es el de agudeza de pico Q p,  propuesto por Goda (1970): Q p

=

∞

2 m0

2

∫

2

f ( S ( f ) ) df

 

(4.63)

0

Goda (1985) señala que Q p es cercano a 2 para olas generadas por viento. Para la estimación del periodo medio de las olas a partir del espectro hay dos ecuaciones: T 01

=

=

T 02

m0

(4.64)

m1 m0

(4.65)

m2

En cuanto a parámetros asociados con la superficie libre, se tienen las siguientes relaciones: Variación cuadrática media de la superficie libre η rms

=

(4.66)

m0

Altura de ola cuadrática media  H rms

= 8m0

(4.67)

Altura de ola de momento de orden cero  H m0

= 4.004

m0

(4.68)

Para el caso particular de un espectro de banda estrecha con una distribución de alturas de ola tipo Raleigh, la altura de ola significante es igual a la altura de ola de momento de orden cero, H  s = H m0 .  Ejemplo. Evaluar los parámetros característicos del espectro de oleaje que se presenta

en la fig 4.6 y en la tabla 4.2: anchura espectral de cuarto orden, ε, anchura espectral de segundo orden υ, agudeza espectral Q p, periodo medio de orden uno y dos, T 01 y T 02, variación cuadrática media de la superficie libre, altura de ola cuadrática media y altura de ola de momento de orden cero. 62

TABLA 4.2 DATOS CORRESPONDIENTES A LA FIG 4.6  f (Hz)

S (m2/Hz)

 f (Hz)

S (m2/Hz)

 f (Hz)

S (m2/Hz)

 f (Hz)

S (m2/Hz)

0.05625 0.06250 0.06875 0.07500 0.08125 0.08750 0.09375 0.10000 0.10625 0.11250

0.00004 0.00214 0.02032 0.07476 0.16182 0.29755 0.62772 0.98125 0.73726 0.41829

0.11875 0.12500 0.13125 0.13750 0.14375 0.15000 0.15625 0.16250 0.16875 0.17500

0.27027 0.21033 0.17649 0.14983 0.12698 0.10745 0.09093 0.07705 0.06542 0.05570

0.18125 0.18750 0.19375 0.20000 0.20625 0.21250 0.21875 0.22500 0.23125 0.23750

0.04756 0.04074 0.03501 0.03019 0.02612 0.02267 0.01974 0.01725 0.01512 0.01329

0.24375 0.25000 0.25625 0.26250 0.26875 0.27500 0.28125 0.28750 0.29375 0.30000

0.01172 0.01036 0.00918 0.00816 0.00727 0.00650 0.00582 0.00522 0.00470 0.00423

1. 0. 0.

   )   z    H    /

   2

  m0.    (    S

0. 0. 0.

0.

0.

0.

0.

f (Hz)

 Fig 4.6 Espectro de oleaje Solución: El primer paso es evaluar los diferentes momentos del espectro; para ello,

de la tabla 4.2 se puede obtener el incremento de frecuencia  ∆ f = 0.00625 Hz. De manera discreta, el momento de orden cero se puede calcular como:

⎡⎛ m2 ⎞ m0 = ∆f ∑ S ( fi ) = ( 0.00625Hz ) ⎢⎜ 0.00004 ⎟+ Hz i =1 ⎠ ⎣⎝ ⎛ ⎛ m2 ⎞ m2 ⎞ ⎤ 2 ⎜ 0.00214 Hz ⎟ + ... + ⎜ 0.00423 Hz ⎟ ⎥ = 0.03141m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦  N  ⎡ ⎛ m2 ⎞ m1 = ∆f ∑ f i S ( f i ) =  ( 0.00625Hz ) ⎢( 0.05625Hz ) ⎜ 0.00004 ⎟+ Hz i =1 ⎝ ⎠ ⎣ ⎛ ⎛ m2 ⎞ m2 ⎞ ⎤ ( 0.0625Hz ) ⎜ 0.00214 ⎟ + ... + ( 0.03Hz ) ⎜ 0.00423 ⎟ ⎥ = 0.00374m2 Hz Hz ⎠ Hz ⎠ ⎦ ⎝ ⎝  N 

63

⎡ m2 ⎞ 2⎛ m2 = ∆f ∑ f i S ( f i ) =  ( 0.00625Hz ) ⎢( 0.05625Hz ) ⎜ 0.00004 ⎟+ Hz i =1 ⎝ ⎠ ⎣ m2 ⎞ m2 ⎞ ⎤ 2⎛ 2⎛ ( 0.0625Hz ) ⎜ 0.00214 ⎟ + ... + ( 0.03Hz ) ⎜ 0.00423 ⎟ ⎥ = 0.00049m2 Hz2 Hz ⎠ Hz ⎠ ⎦ ⎝ ⎝  N 

2

⎡ m2 ⎞ 3⎛ m3 = ∆f ∑ f i S ( f i ) =  ( 0.00625 Hz ) ⎢( 0.05625Hz ) ⎜ 0.00004 ⎟+ Hz i =1 ⎝ ⎠ ⎣ m2 ⎞ m2 ⎞ ⎤ 3⎛ 3⎛ ( 0.0625Hz ) ⎜ 0.00214 ⎟ + ...+ ( 0.03Hz ) ⎜ 0.00423 ⎟ ⎥ = 0.00008m2 Hz3 Hz ⎠ Hz ⎠ ⎦ ⎝ ⎝  N 

3

⎡ m2 ⎞ 4⎛ m4 = ∆f ∑ f i S ( f i ) =  ( 0.00625Hz ) ⎢( 0.05625Hz ) ⎜ 0.00004 ⎟+ Hz i =1 ⎝ ⎠ ⎣ m2 ⎞ m2 ⎞ ⎤ 4⎛ 4⎛ ( 0.0625Hz ) ⎜ 0.00214 ⎟ + ... + ( 0.03Hz ) ⎜ 0.00423 ⎟ ⎥ = 0.00001m2 Hz4 Hz ⎠ Hz ⎠ ⎦ ⎝ ⎝  N 

4

1/ 2

2 ⎡ ⎤ 0.00049m2 Hz2 ) ( ⎡ ⎤ ε  = ⎢1 − ⎥ = ⎢⎢1 − 0.03141m2 0.00001m2 Hz4 ⎥⎥ = 0.6591 m m )( )⎦ 0 4⎦ ⎣ ⎣ (

m22

1/ 2

1/ 2

⎡ ( 0.03141m2 )( 0.00049m2 Hz2 ) ⎤ ⎡ m0 m2 ⎤ ν  = ⎢ 2 − 1⎥ = ⎢ − 1⎥ = 0.3294 2 2 ⎢ ⎥ m ⎣ 1 ⎦ ( 0.00374m Hz) ⎣ ⎦ 1/ 2

0.03141m 2 ) ( = = 8.41 s T 01 = m1 ( 0.00374m2 Hz) m0

T 02

m0

=

η rms

m2

=

m0

=

( 0.03141m 2 ) ( 0.00049m2 Hz2 )

= 7.99s

= ( 0.03141m2 ) = 0.177 m

 H rms

= 8 ( 0.03141m2 ) = 0.50 m

 H m0

= 4.004 ( 0.03141m2 ) = 0.717 m 64

2 ⎡ ⎛ m2 ⎞ ⎢( 0.05625Hz ) ⎜ 0.00004 ⎟ + Q p = 2 ∫ f ( S ( f )) df =   2 2 Hz ⎠ m0 0 ⎝ 0.03141m ( ) ⎢⎣ 2 2 ⎛ ⎛ m2 ⎞ m2 ⎞ ⎤ ( 0.0625Hz ) ⎜ 0.00214 ⎟ + ... + ( 0.03Hz ) ⎜ 0.00423 ⎟ ⎥ = 3.2 Hz ⎠ Hz ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎝

2

∞

2

2

A continuación, se presenta un diagrama de flujo (fig 4.7) a fin de dar seguimiento a la metodología para realizar el análisis espectral del oleaje.

Señal de oleaje 1.5    )   m    (   n    ó 0.0    i   s   e   r    P

-1.5 0

Corrección del nivel medio: 1. Lineal 2. Parabólica 3. Media

Estimación del espectro

200

400

600 Tiempo (s)

800

1000

1200

Función ventana: 1. Trapezoide 2. Coseno

Estimación de las componentes de Fourier  (TRF)

Cálculo de parámetros espectrales

Estimación de la dirección del oleaje: Espectro direccional

 Fig 4.7 Diagrama de flujo para el análisis espectral de señales de oleaje

65

4.7 Análisis direccional del oleaje

En el mar, el oleaje generado por el viento no se propaga en una sola dirección, por el contrario, su energía se distribuye a lo largo de varias direcciones, esto es, la energía asociada a las frecuencias con un valor cercano a la frecuencia modal se propagan  principalmente con la dirección del viento, mientras que la energía asociada con frecuencias mayores o menores, se distribuye sobre un rango de diferentes direcciones. Un análisis direccional del oleaje consiste en determinar la forma en que se distribuye su energía sobre frecuencias (o números de onda) y direcciones de propagación, de forma simultánea. 4.7.1 Distribución direccional de la energía del oleaje Esta distribución espectral y angular está representada matemáticamente por la expresión que define al espectro de energía direccional del oleaje, tal que la energía se representa sólo en función de la frecuencia y la dirección de propagación. Si se toma como base la hipótesis de que el oleaje se puede descomponer en un gran número de componentes sinusoidales, es posible dar una explicación más clara de lo que representa el espectro direccional definiendo la elevación de la superficie libre como una función del tiempo y de su posición, tal que: η ( x, y , t ) =

 N 

∑a n =1

n

cos[k n ( x cosθ n +  y senθ n ) − σ n t + φ n ]

(4.69)

En este caso, se asume que el oleaje es una superposición de  N  ondas sinusoidales, cada una de ellas viajando con su propia amplitud an, frecuencia angular  σ n =2π  f n, número de onda k n, dirección θ n y fase φ n. Por tanto, cada componente satisface la ecuación de dispersión dada por: σ n

2

=  gkn tanh(kn h)

(4.70)

donde h, representa la profundidad. Bajo la suposición de que las fases φ n están distribuidas de forma aleatoria en un rango entre 0 y 2π , con una densidad de probabilidad uniforme, la siguiente expresión mantiene a la varianza del espectro y a las amplitudes de los componentes del oleaje

66

dentro de un rango bidimensional definido entre  f  y  f + ∆ f , para las frecuencias, y entre θ  y θ + ∆θ , para las direcciones, tal que: +∆ f  θ +∆ θ 

∑ ∑ 12 a

 f

2

n

 f 

= S ( f ,θ ) dfdθ   

(4.71)

θ 

4.7.2 Descomposición clásica del espectro direccional La forma clásica para representar al espectro direccional está dada por la siguiente ec: S ( f , θ ) = S ( f ) D ( f , θ  )

(4.72)

donde S ( f ) es el espectro de energía que puede ser estimado a partir de un registro de superficie libre y se relaciona con el espectro direccional por medio de: S( f

)=

2π 

∫ S ( f ,θ ) dθ 

(4.73)

 

0

siendo  D( f ,θ ) la función de dispersión angular, que debe satisfacer dos propiedades dadas por:  D ( f ,θ ) ≥ 0

∫

entre [ 0, 2π ]

(4.74)

2π 

0

 D ( f ,θ ) d θ  =1

(4.75)

La primera condición indica que la función de dispersión angular es no negativa, mientras que la segunda es consecuencia de la definición del espectro direccional. El  problema del análisis direccional consiste en determinar el espectro direccional del oleaje, o dicho de otra forma, estimar el espectro y su función de dispersión angular  asociada. Es conveniente resaltar que el espectro puede ser expresado también en función del número de onda y la dirección (k , θ ), a través del vector del número de onda definido  por (k  x, k  y) = (k cosθ , k senθ ), de tal forma que: S ( f ,θ ) =

2π C g

S ( k ,θ ) =

67

2π k  C g 

S ( k x , k y )

 

(4.76)

donde C  g  es la celeridad de grupo asociada con la frecuencia  f , dada por la teoría lineal. Las técnicas de medición pueden ser divididas dentro de tres grandes grupos, dependiendo de la forma en que la información es adquirida (tabla 4.3). TABLA 4.3 TÉCNICAS DE MEDICIÓN PROPUESTAS PARA CAMPO Y LABORATORIO Técnica de medición

Consiste en

Sistemas de un solo  punto

La medición simultánea en la misma vertical de diversas propiedades del oleaje, como son superficie libre, velocidades etc.

Arreglos de sensores de  presión

Incluyen la medición de la superficie libre en 1. Sensores de presión diversos puntos sobre un marco de referencia idénticos fijo 2. Sensores de presión en algunos puntos y corriente en otros

Sistemas de  percepción remota

Se basan más en las correlaciones espaciales que en las temporales. Su principio básico de funcionamiento es tomar una fotografía del campo de oleaje sobre un área dada

Ejemplos 1. Boya 2. Olómetro con corrientímetro en dos componentes

1. Radares de microondas 2. Satélite 3. Técnicas de estéreofotografía

En años recientes se han realizado muchos esfuerzos en la búsqueda de una expresión  para el espectro direccional, y se han propuesto diversas técnicas de medición para ser desarrolladas en experimentos realizados en campo y laboratorio. A continuación se presenta una síntesis de las diferentes técnicas de medición de acuerdo con la forma en que se realiza el análisis. 4.7.3 Caracterización de los métodos estocásticos Los métodos de este tipo se basan en la hipótesis de que el campo de oleaje se expresa como la superposición lineal de las ondas que lo componen. Es importante resaltar que la función de fase φ , de la ec 4.70, está distribuida de forma aleatoria entre 0 y 2π (con una densidad de probabilidad uniforme), con lo que se admite que cada componente es independiente uno de otro.

68

En la llamada aproximación estocástica, la información de la distribución de la fase en el campo de oleaje es ignorada, ya que se asume que no hay ondas asociadas a determinados valores de fase, y por tanto se enfoca al cálculo del espectro direccional. Para la implementación de estos métodos se deben seguir los siguientes pasos: 



Realizar un análisis espectral de las señales de superficie libre que se tengan y calcular sus respectivos espectros cruzados entre cada par de señales. Determinar el espectro direccional (o su función de dispersión angular para cada frecuencia) a través de la inversión de la expresión que relaciona el espectro cruzado con el direccional.

4.7.4 Análisis del espectro cruzado Cuando se considera un sistema de medición compuesto por  N  sensores destinados a medir superficie libre, velocidades, pendiente de la superficie, etc, y se denota a cada una de sus señales con P n(t ), para n igual a 1 y hasta  N , y a la posición de cada sensor  con una coordenada relativa a un origen arbitrario, las señales se graban simultáneamente en los  N  sensores del arreglo, todos con una duración T  y un intervalo de muestreo ∆ t . Entonces, el análisis de la correlación entre señales se realiza en el dominio de la frecuencia, calculando los correspondientes espectros cruzados entre cada par de señales, por medio de la siguiente ecuación: Gmn ( f ) =

∫

+∞

1

∫

−∞

Rmn (τ ) e − i 2π f τ dτ 

 

(4.77)

donde  Rmn (τ ) =

T 

T 

0

Pm (t ) Pn (t + τ )dt 

(4.78)

En la práctica, el espectro cruzado se calcula a partir de muestras discretas con duración finita, por medio de una metodología basada en la transformada estándar o rápida de Fourier y se estima solamente para los casos en que m≤  n, de tal forma que se concluye que Gmn( f ) y Gnm( f ) son cantidades complejas conjugadas. Por tanto, se deduce que para un sistema de medición compuesto por  N  señales o sensores, el número total de espectros cruzados que se deben calcular son N ( N +1)/2. 69

Debido a que el espectro cruzado es una cantidad compleja, a las partes reales C mn( f ) se les denomina funciones de coincidencia espectral y a las imaginarias Qmn( f ), funciones de cuadratura espectral. 4.7.5 Relación entre el espectro cruzado y el direccional Dentro del marco de la teoría lineal y asumiendo que las diferentes fases asociadas a los componentes del oleaje están distribuidas de forma aleatoria sobre (0,2π), se obtiene la siguiente ec para el espectro cruzado en función del espectro direccional: Gmn ( f

2π 

) = ∫0

H m ( f ,θ ) H m* ( f ,θ )e

− ik ( xn − xm )

S ( f ,θ ) dθ

(4.79)

  

Si se hace uso de la función de dispersión direccional  D( f ,θ ), la ec 4.79 se puede escribir como: Gmn ( f ) = E ( f )

∫

2π 

0

H m ( f ,θ )H n* ( f ,θ )e − ik

( xn − xm )

D ( f ,θ ) dθ

   

(4.80)

donde  H m(ƒ, θ ) es una función de transferencia entre la señal de superficie libre y la señal asociada al oleaje (velocidad, presión, etc). En este apartado, el símbolo * se utiliza para indicar el conjugado de la función compleja. La función H m(ƒ, θ ) se puede descomponer de la siguiente forma:  H m ( f ,θ ) = hm ( f ) cosα m θ sen β mθ 

(4.81)

Los valores de hm, α m y  β m dependen del tipo de señal que se tiene. En la tabla 4.4 (Frigaard, 1997), se presentan los valores que corresponden para dichas expresiones, dependiendo del tipo de señal medida P m(t ). En la tabla 4.4, la función Ф( x, y, z , t ) representa el potencial de velocidades para oleaje monocromático lineal, definido por:

Φ ( x, y, z, t ) = i

 g H  cosh ( k (h + z ) ) σ  2

cosh(kh )

70

exp ( i (kx − σ t ) )

(4.82)

4.7.6 Estimación del espectro direccional El problema de la estimación del espectro direccional se centra en encontrar la función de dispersión angular dada para la ecuación del espectro cruzado y para su estimación se consideran los siguientes métodos: 4.7.6.1 Método paramétrico Modelos unimodales-ajuste directo a modelos paramétricos El principio de este tipo de métodos consiste en asumir  a priori una expresión dada  para la función de la dispersión angular y determinar el menor número de parámetros  para esta expresión a partir del espectro cruzado. La presente aproximación contribuye a disminuir el número de incógnitas relacionadas en dicha función; para el caso de un modelo unimodal, el problema se reduce solamente a la determinación de dos parámetros: la dirección principal de propagación y un factor de dispersión direccional que representa el esparcimiento angular de la energía del oleaje sobre la dirección principal. Dentro de este tipo de aproximaciones se encuentra el de Mitsuyasu (1975), quien  propuso el siguiente modelo:

⎛ θ − θ 0 ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠

 Dˆ1 MFM  ( f ,θ ) = ∆(s )cos2 s ⎜

(4.83)

TABLA 4.4 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA PARA DIFERENTES SEÑALES MEDIDAS ASOCIADAS AL OLEAJE Tipo de señal medida Superficie libre Pendiente de superficie (eje x) Pendiente de superficie (eje y)

 P m η

=

hm

α m

 β m

1

0

0

∂η  [ = ik cosθ ]η  ∂ x

ik 

1

0

∂η  = [ik senθ ]η  ∂ y

ik 

0

1

1 ∂Φ  g

∂t   z =0

=

 H 

2

exp(i (kx − σ t )) 

71

TABLA 4.4 (Continuación) Tipo de señal medida

 P m

hm

α  m

 β m

Velocidad (eje x)

u x

=−

⎤ ∂Φ ⎡ cosh ( k (h + z ) ) = ⎢σ cos θ ⎥ η  senh ( kh ) ∂ x ⎣ ⎦

σ 

cosh ( k (h + z ) ) senh ( kh )

1

0

Velocidad (eje y)

u y

=−

⎤ ∂Φ ⎡ cosh ( k (h + z ) ) = ⎢σ senθ ⎥ η  ∂ y ⎣ senh ( kh ) ⎦

σ 

cosh ( k (h + z ) ) senh ( kh )

0

1

∂Φ ⎡ senh ( k (h + z ) ) ⎤ = −iσ ⎥η  senh ( kh ) ⎦ ∂ z ⎢⎣

iσ 

senh ( k (h + z ) ) senh ( kh )

0

0

0

0

cosh ( k ( h + z ) ) 1 senh ( kh )

0

cosh ( k ( h + z ) ) 0 senh ( kh )

1

senh ( k (h + z ) ) 0 senh ( kh )

0

u z  = −

Velocidad (eje z)

∂η  ∂Φ = = −iση  ∂t ∂z   z =0

Velocidad vertical de la superficie

-iσ 

Aceleración (eje x)

a x

=

⎤ ∂u x ⎡ 2 cosh ( k (h + z ) ) cos θ ⎥η  = ⎢ −iσ senh(kh) ∂t ⎣ ⎦

iσ 2

Aceleración (eje y)

a y

=

∂u y ⎡ 2 cosh ( k (h + z ) ) ⎤ senθ ⎥η  = ⎢ −iσ senh(kh) ∂t ⎣ ⎦

iσ 

a z  =

Aceleración (eje z)

∂u z  ⎡ 2 senh ( k (h + z ) ) ⎤ η  = −σ senh(kh) ⎥⎦ ∂t ⎢⎣

2

σ 2

∂ 2η  2 = σ η  ∂t 2

Aceleración vertical de la superficie

2

-σ 

0

0

Desplazamiento (eje x)

ξ x

⎡ cosh ( k (h + z ) ) ⎤ = ∫ u x dt = ⎢i cos θ ⎥η  ⎣ senh(kh) ⎦

i

cosh ( k ( h + z ) ) senh ( kh )

1 0

Desplazamiento (eje y)

ξ y

⎡ cosh ( k (h + z ) ) ⎤ = ∫ u y dt = ⎢i senθ ⎥η  ⎣ senh(kh) ⎦

i

cosh ( k ( h + z ) ) senh ( kh )

0 1

senh ( k ( h + z ) ) senh ( kh )

0 0

Desplazamiento (eje z)

ξ z

⎡ senh ( k (h + z ) ) ⎤ = ∫ uz dt = ⎢ ⎥η  senh( kh ) ⎣ ⎦

⎡

Presión dinámica

 P =  ρΓ = ⎢ ρ g 

⎣

cosh ( k (h + z ) ) ⎤ ⎥ η  cosh ( kh ) ⎦

72

 ρ  g 

cosh (k (h +  z ) ) cosh (kh )

0 0

El coeficiente de normalización se calcula partiendo de la condición de que la integral de la función de dispersión direccional entre 0 y 2π  es igual a 1 (Γ es la función Gamma): 22 s −1 ( Γ ( s + 1) ) ∆( s) = π Γ ( 2 s + 1)

2

(4.84)

La dirección principal, θ 0, y el índice direccional,  s, se calculan a partir de los coeficientes de Fourier de primero y segundo orden, tal que: Primer orden θ 0

=  Arg ( a1 + ib1 )

 s

=

r 1

1 − r 1

(4.85)

Segundo orden 1 + 3r 2 + r 22 + 14r 2 + 1  s = 2(1 − r 2 )

1 θ 0 =  Arg ( a2 + ib2 ) 2

(4.86)

donde r n

=

a n2

+ bn2

Los coeficientes de Fourier, para la función de dispersión direccional se definen por: 2π 

an

= ∫0

bn

= ∫0

D ( f ,θ ) cos(nθ )dθ 

2π 

 D( f ,θ )sen ( nθ ) d θ 

 

(4.87) (4.88)

Para sistemas de un solo punto es necesario calcular los coeficientes a1, b1, a2, b2, ya que en éstos se concentra toda la información disponible de la transformada de Fourier. Las expresiones que los definen se presentan en las tablas 4.5 y 4.6. Como se mencionó en secciones anteriores, las expresiones C mn(  f  ), que aparecen en ambas tablas, hacen referencia a las funciones de coincidencia espectral, es decir a la  parte real del espectro cruzado entre las señales m y n, y las expresiones Qmn(  f  ), a la  parte imaginaria del mismo espectro; a estas últimas se les denomina funciones de cuadratura espectral. 73

Otro modelo comúnmente usado para direcciones que caen en el intervalo determinado  por (θ 0 − π;θ 0 + π) es el Gaussiano, definido por:

⎛ ˆ1 ( f ,θ ) = 1 exp ⎜ − (θ − θ 0 )  D ⎜ 2 σ 2 2πσ  ⎝

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(4.89)

Una vez más la dirección principal, θ 0, y el ancho direccional, σ , se calculan por  medio de los coeficientes de Fourier, tal que: Primer orden θ 0

=

rg ( a1 + ib1 )

σ  =

−2Ln(r 1 )

(4.90)

Segundo orden θ 0

=

1  Arg ( a2 + ib2 ) 2

σ  =

−2Ln(r 2 )

(4.91)

2

TABLA 4.5 EXPRESIONES DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER a1, b1, PARA DIVERSOS SISTEMAS DE MEDICIÓN DE UN PUNTO Tipo de medición

 E(f)

Boya

⎡ ∂η  ∂η ⎤ ⎢η ; ∂ x ; ∂ y ⎥ ⎣ ⎦ Superficie libre y corrientes 2D η ; u x ( z ); u y ( z )

C 11

a1(f )

b1(f)

Q12

Q13

C 11 (C 22

+ C 33 )

Q12

C 11

C 11 (C 22

Presión y corrientes 2D ⎛  1 cosh(kh )  ⎞ ⎟⎟ C 11 ⎜⎜  p ( z ); u x ( z ); u y ( z ) + ( ( ) )  ρ   g  cosh k  h  z  ⎝   ⎠ Tres desplazamientos η ; ξ  x (0);ξ  y (0)

C 11

Tres velocidades u z  ( z ); u x ( z ); u y ( z )

⎛  1 sinh (kh )  ⎞ ⎟⎟ C 11 ⎜⎜ ⎝ ω  sinh (k (h + z )) ⎠

2

Tres aceleraciones a z ( z ); a x ( z ); a y ( z )

⎛  1 sinh (kh )  ⎞ ⎟⎟ C 11 ⎜⎜ ⎝ ω  sinh (k (h + z )) ⎠

2

+ C 33 ) + C 33 )

74

+ C 33 )

C 11 (C 22

+ C 33 )

C 11 (C 22

+ C 33 )

Q13

+ C 33 )

C 11 (C 22

+ C 33 )

Q13

Q12 C 11 (C 22

+ C 33 )

Q13

Q12 C 11 (C 22

C 11 (C 22 Q13

Q12 C 11 (C 22

+ C 33 )

Q13

Q12 C 11 (C 22

C 11 (C 22

+ C 33 )

C 11 (C 22

+ C 33 )

TABLA 4.6 EXPRESIONES DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER a2 Y b2, PARA SISTEMAS DE MEDICIÓN DE UN PUNTO Tipo de medición

a2(f)

b2(f)

− C 33 C 22 + C 33

2C 23

C 22

Para todos los sistemas

C 22

+ C 33

Modelos bimodales Estos modelos son resultado de la combinación lineal de dos modelos unimodales, como los que se presentaron en la sección anterior; de igual forma existen diversas expresiones que pueden ser utilizadas. Como ejemplo se presenta la estimación  bimodal basada en el modelo de Gauss:

⎛ (θ − θ1 )2 ⎞ 1 − λ  ⎛ (θ − θ 2 )2 ⎞  ⎟+ ⎟;  Dˆ 2 MFG ( f ,θ ) = exp ⎜ − exp ⎜ − 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2πσ 1 ⎝ 2σ 1 ⎠ 2πσ 2   ⎝ 2σ 2 ⎠ λ

λ ∈ [ 0,1] (4.92)

Este tipo de modelos tienen cinco incógnitas θ 1,σ 1,θ 2,σ 2,λ y son capaces de representar tanto estados de mar unimodales como bimodales, es decir con dos picos en la misma frecuencia. Sin embargo, para sistemas de medición en un solo punto, el número de datos disponibles está limitado a cuatro coeficientes independientes de Fourier; para resolver  el problema, es necesario añadir una condición adicional. Por ejemplo, para el caso que se presenta es posible imponer σ 1=σ 2, lo cual restringe las capacidad del modelo. 4.7.6.2 Método de máxima verosimilitud Este modelo fue introducido por Capon et al  (1967) y completado por diversos autores, entre los que destacan Isobe (1984) y Krogstad (1988). El modelo de máxima verosimilitud se basa en la suposición de que la función de dispersión angular puede ser expresada como una combinación lineal del espectro cruzado, tal que: ˆ MLM ( f ,θ ) =  D

1

∑α

 Eˆ ( f  ) m ,n

75

mn

( f ,θ ) ⋅ Gmn ( f  )

(4.93)

Esta estimación se relaciona con la función de dispersión angular normal, por medio de la siguiente expresión:  Dˆ MLM  ( f ,θ ) =

∫

∞

0

D ( f ,θ ) ⋅ w (θ , θ ' ) d θ '  

(4.94)

donde w (θ ,θ ' ) =

∑α

mn

( f ,θ ) ⋅ H m ( f ,θ ' ) ⋅ H n ( f ,θ ' )

  

(4.95)

m, n

Es posible afirmar que este método es producto de la convolución de la función de dispersión estándar con una función ventana w(θ ,θ ’)  . Método de máxima verosimilitud iterativo Con el objeto de obtener resultados consistentes, Pawka (1983) y Oltman-Shay (1984) proponen un método iterativo del método de máxima verosimilitud. Los dos esquemas iterativos se basan en las siguientes expresiones: i i −1  Dˆ IMLM ( f ,θ ) = Dˆ IMLM ( f ,θ ) + ε i ( f ,θ )

0 con Dˆ IMLM   ( f ,θ ) = Dˆ MLM  ( f ,θ ) (4.96)

Primer esquema  β +1

ε (  f ,θ ) = i

λ 

λγ 

i −1 ∆ MLM  ( f ,θ ) con λ = 1 −    Dˆ MLM  ( f ,θ )

i −1 ˆ IMLM  D ( f ,θ )

(4.97)

Segundo esquema  β +1

ε ( f ,θ ) = i

λ 

λγ 

con

λ

−1 = Dˆ MLM ( f ,θ ) − ∆iMLM  ( f ,θ )

  (4.98)

Los parámetros γ  y  β  controlan la convergencia del algoritmo iterativo, sus valores más comunes son  β =1 y γ  =10. Las iteraciones se detienen después de un número fijo de pasos, cuando el criterio de convergencia ha sido satisfecho. Benoit (1992) demostró que en la mayoría de los casos el segundo esquema  proporciona mejores resultados que el primero. Por lo general, son necesarias de 10 a 20 iteraciones para alcanzar una convergencia adecuada. 76

4.7.6.3 Otros métodos En la literatura especializada se pueden encontrar otros dos métodos: El método de máxima entropía Este método fue originalmente desarrollado para medir la incertidumbre en teoría de información estadística y ha sido utilizado para determinar la función de densidad  probabilística de una variable aleatoria de datos, en los cuales la información en torno a su distribución es inadecuada. El fundamento de esta teoría consiste en que la  probabilidad de distribución, la cual maximiza la entropía, tiene tendencia a presentar  mínimos bajo ciertos límites sobre la función de densidad. Método bayesiano Este método es un procedimiento probabilista que estima la causa-efecto de un fenómeno a través del análisis de resultado. Dado que en este método no se realiza ninguna suposición en la función de forma de la función distribución direccional, tiene una gran flexibilidad para ajustarse bien a cualquier distribución angular. En  particular, este método es muy fiable cuando el número de mediciones simultáneas es de al menos cuatro; sin embargo, cuando el número de mediciones es tres, el método de máxima entropía es más adecuado. Un análisis más exhaustivo de este tema puede encontrarse en Goda (2000).

77

5. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DEL OLEAJE En la práctica, es muy común que cuando se diseñan estructuras marítimas o se estudia algún fenómeno oceanográfico se cuente sólo con información de los parámetros característicos más relevantes que definen a un estado de mar, debido esencialmente a que: 





cuando se tienen mediciones de estados de mar, no es económico reportar toda la estadística del oleaje en ocasiones se utiliza el espectro de energía para caracterizar los estados de mar  normalmente, los métodos de predicción de oleaje no proporcionan la estadística del oleaje.

Sin embargo, para un diseño o estudio de las características océano-meteorológicas de alguna zona en particular, es común que se requiera más información estadística aunque se cuente con los parámetros estadísticos más representativos. Por esto, resulta imprescindible contar con herramientas estadísticas que permitan estimar de manera confiable las funciones de probabilidad de la superficie libre, altura de ola,  periodo y la altura conjunta ola-periodo. 5.1 Distribución de los desplazamientos

En la aproximación al proceso estocástico realizada hasta el momento, se ha asumido que el oleaje tiene una distribución normal o gaussiana. Sin embargo, dicha aproximación sólo es válida en aguas relativamente profundas y cuando el oleaje no ha experimentado ningún proceso de rotura, (Ochi, 1998 y Massel, 1996). 79

En general, la superficie libre del oleaje deja de presentar una distribución normal por  efectos tales como rotura del oleaje tanto en aguas profundas como someras y someramiento, ya que las crestas se hacen más acusadas y los valles menos profundos y más largos, por citar dos de los fenómenos más importantes. 5.1.1 Distribución normal de desplazamientos de la superficie libre Siguiendo con el mismo esquema planteado, considérese ahora que la superficie libre  puede ser tratada como la suma de contribuciones de un gran número de ondas con frecuencia σ m y dirección θ n (-π ≤ θ n ≤ π) superpuestas de manera aleatoria; por  ejemplo ηmn

= amn cos ⎡⎣ km ( x cos θ n + ysenθ n ) − σ m t + ε mn ⎤⎦

  

(5.1)

donde k m es el número de onda. El número de onda, k m , está asociado con la frecuencia angular, σ m, a través de la relación de la dispersión al primer orden: σ m2

=  gk m tanh k m h

(5.2)

Se asume que las fases ε mn son variables aleatorias normalmente distribuidas en el intervalo (-π, π). Las amplitudes amn son también variables aleatorias asociadas al espectro bidimensional, S ( f ,θ ), de la siguiente forma: amn

= S ( f ,θ )∆f ∆θ   

(5.3)

Asumiendo que las contribuciones η 1, η 2, η 3 ...η  N  son variables aleatorias estadísticamente independientes y si además se desprecian todas las interacciones entre componentes y se usa el teorema del limite central, Ochi (1998), se llega a la conclusión de que el desplazamiento de la superficie libre del oleaje η (t ) es una función normalmente distribuida con media η  y varianza σ η 2 , mientras que la función de densidad de probabilidad se define como:

 p (η ) =

1 2πσ η  80

e

⎡ (η −η )2 ⎤ ⎢− ⎥ ⎢⎣ 2σ η 2 ⎥⎦

(5.4)

La media y la varianza, momentos centrados de primero y segundo orden, µ 1 y µ 2,  pueden ser calculados a través de las siguientes expresiones: ∞

µ1

= η = ∫ η p (η ) d η  

(5.5)

−∞

∞

µ2

2

= σ η  = ∫ (η − η )  p (η ) d η   2

(5.6)

−∞

La varianza de la oscilación de la superficie libre también puede ser obtenida a través del momento de orden cero del espectro de energía: ∞

var [η ] = m0 = ∫ S ( f ) df  

(5.7)

0

Ambas notaciones (ecs 5.6 y 5.7) son frecuentemente utilizadas; por ejemplo, en Massel (1996). Si se expresa la ec 5.4 en su forma generalizada:  p (ξ ) =

1 ⎛ 1 2⎞ e ⎜ − ξ  ⎟ 2π  ⎝ 2 ⎠

(5.8)

donde ξ  =

η − η  σ η 

(5.9)

Puede demostrarse (Massel, 1996, y Ochi, 1998) que todos los momentos de orden non son iguales a cero, mientras que los momentos de orden par cumplen con la siguiente relación: µ2 n

= {1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅⋅⋅ ( 2n − 1)}σ η 2 n

(5.10)

donde ∞

σ

n η 

= ∫ (η −η )  p (η ) d η   n

(5.11)

−∞

La distribución de la ec 5.8 en algunos textos es abreviada como  N (0,1) (Massel, 1996 y Ochi, 1998), dado que los dos primeros momentos de la función de distribución de probabilidad estandarizada son 0 y 1, respectivamente. En general, los momentos de la ec 5.8 pueden ser expresados como: 81

∞

= ∫ ξ n p (ξ ) d ξ 

(5.12)

⎧⎪1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅⋅⋅ ( n − 1) para momentos de orden par   =⎨ para momentos de orden non ⎪⎩0

(5.13)

ˆn m

−∞

y, por tanto, ˆn m y ˆn m

=

µ n

(5.14)

σ η n

Cuando se comparan los resultados obtenidos teóricamente y los obtenidos de mediciones directas, usualmente hay dos parámetros importantes que miden la discrepancia entre ambos resultados, la asimetría o sesgo y la curtosis: γ 1

γ 2

=

=

µ 4 4

σ η 

µ 3

= mˆ 3

(5.15)

− 3 = mˆ 4 − 3

(5.16)

3

σ η 

La asimetría y la curtosis son cantidades de orden superior y determinan la no linealidad del oleaje. La asimetría, por ejemplo, sirve para medir la desigualdad que existe entre crestas acusadas y valles más suaves del oleaje. La curtosis representa el grado de apuntalamiento de la distribución cuando se toma como referencia una distribución normal. Así, por ejemplo, si γ1 = γ2 = 0, la variable aleatoria está normalmente distribuida. En muchos de los casos, la densidad de probabilidad de los desplazamientos de la superficie libre,  p(η ), tiene una asimetría positiva. Esto significa que la moda de la distribución está localizada en un valor menor que la media. Un valor positivo de la curtosis γ 2, corresponde a una distribución con una cresta más abrupta que la distribución normal. Para establecer la función de distribución de los desplazamientos de la superficie libre, ec 5.8, de forma dimensional, basta con realizar la siguiente operación:  p (η ) = p (ξ )

d ξ  d η 

(5.17)

En la ecuación anterior se debe considerar que η  = 0 y ση  = η rms ; por tanto, se obtiene: 82

 p (η ) =

1 ηrms 2π 

e

⎛ 1 η 2 ⎞ ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ⎝ 2 η rms ⎠

(5.18)

En particular, la función densidad de probabilidad de la elevación de la superficie del mar es simétrica alrededor de la elevación media, donde la función es máxima. De tal forma que para una elevación positiva en particular, la función de probabilidad será igual para la misma elevación en sentido negativo. Esta distribución presenta los siguientes puntos críticos (desde el punto de vista del modelo matemático aceptado, dado que no es válida cuando intervienen procesos no lineales): 





El modelo lineal no tiene en cuenta la interacción entre componentes, entre otros la cesión de energía de unos componentes a otros En profundidades reducidas, próximas a la rotura, hay más probabilidad de que η (t ) > 0 que η (t ) < 0, y el oleaje tiende a peraltarse Esta distribución admite, aunque con muy pequeña probabilidad, que son  posibles desplazamientos tan grandes como se quiera (teóricamente η (t ) puede ser igual a infinito). Esto es físicamente imposible ya que la ola rompería antes de alcanzar esas alturas.

Kinsman (1965) y Longuet-Higgins (1963) han realizado estudios más detallados de la distribución de la variable η (t ), en los que han encontrado mayor aproximación a la realidad en la distribución de Gauss modificada, distribución de Gram-Charlier, aunque ésta tiene discrepancias en los extremos. No obstante, la experimentación confirma que la distribución de Gauss puede aceptarse como válida, excepto en condiciones de franca rotura.  Ejemplo. En la fig 5.1 se presenta una comparación entre la función de densidad de

 probabilidad teórica y otra medida en campo. Los parámetros estadísticos más 2 2 relevantes de la señal medida son: varianza σ η  = η rms = 0.125m 2 , asimetría o sesgo γ 1  = 0.02363, y curtosis γ 2  = 0.02813, lo cual se puede interpretar analíticamente como un sesgo hacia la izquierda, es decir que la moda está en un valor menor que el nivel medio de reposo, además de que la distribución medida presenta una cresta más abrupta que la distribución normal. 83

1.60

Distribución de señal medida Distribución teórica

1.20

   )   m    /    1    (

0.80

0.40

0.00 -1.50

-1.00

0.00

-0.50

0.50

1.00

1.50

η (m)  Fig 5.1 Comparación entre la función de distribución de probabilidad  medida y teórica

5.1.2 Distribución no lineal de desplazamientos de la superficie libre Hasta el momento, el análisis estadístico se ha realizado considerando al oleaje como un proceso aleatorio, gaussiano, estacionario, ergódico y de media cero, asumiendo válido el teorema del límite central, Ochi (1998). Por otro lado, se ha comprobado a través de mediciones de oleaje local,  sea, y oleaje distante,  swell , así como en ensayos de laboratorio, que el oleaje puede ser considerado como un proceso aleatorio normal, inclusive para estados de mar muy severos, si la profundidad relativa del agua es grande. Sin embargo, cuando el oleaje encuentra profundidades relativamente menos profundas, intermedias o bajas, debido principalmente a efectos de refracción y rotura, deja de  presentar una distribución normal en su desplazamiento alrededor del nivel medio del agua. Por tanto, para estas condiciones el teorema del límite central de Ochi (1998) no será cumplido, los parámetros de asimetría y curtosis tendrán un valor diferente a cero y el proceso será de tipo no gaussiano. Se han desarrollado dos diferentes aproximaciones para la función de distribución de un proceso no gaussiano, las cuales se describen a continuación. 5.1.2.1 Series tipo A de Gram-Charlier  Longuet-Higgins (1963), aplicando la función de generación acumulada, desarrolló la función de probabilidad p (η ), que en su forma normalizada puede ser expresada como: 84

1

⎛ ⎞ ˆ −3 ˆ − 10mˆ 3 1 ⎜⎝ − 2ξ 2 ⎟⎠ ⎡ mˆ 3 m m  p (ξ ) = e 1 + H 3 (ξ ) + 4 H 4 (ξ ) + 5 H 5 (ξ ) +   ⎢ 4! 5! 2π  ⎣ 3! (5.19) ˆ ˆ m6 − 15m4 + 30 ⎤  H 6 (ξ ) + ...⎥ 6! ⎦

donde H n son los polinomios de Hermite definidos como:

⎫ ⎪ ⎪  H 4 (ξ ) = ξ 4 − 6ξ 2 + 3 ⎪  H 5 (ξ ) = ξ 5 − 10ξ 3 + 15ξ   ⎬ ⎪ 6 4 2′  H 6 (ξ ) = ξ − 15ξ + 45ξ 15   ⎪ ⎪ etc. ⎪⎭  H 3 (ξ ) = ξ 3 − 3ξ 

(5.20)

y mˆ n es el momento de orden enésimo de la variable aleatoria normalizada (ec 5.12). La ec 5.19 también puede ser desarrollada usando el concepto de polinomios ortogonales: ⎛ 1

⎞

ˆ 5 − 10γ 1 1 ⎜⎝ − 2ξ 2 ⎟⎠ ⎡ γ 1 m γ 2  p (ξ ) = e 1 + H ξ + H ξ + H 5 (ξ ) + ( ) ( ) 3 4 ⎢⎣ 3! 4! 5! 2π  ˆ 6 − 15mˆ 4 + 30 m ⎤  H 6 (ξ ) + ...⎥ 6! ⎦

 

(5.21)

Para cierto intervalo de desplazamientos, especialmente cuando el peralte de la ola es importante (Bitner, 1980 y Ochi, 1984), las ecs 5.19 y 5.21 dan valores de densidad negativos, lo cual físicamente no puede ser aceptado. El inconveniente más importante que tiene esta distribución es que los parámetros de asimetría, curtosis y momentos de orden superior deben ser conocidos a priori. 5.1.2.2 Distribución de los desplazamientos basada en un desarrollo de Stokes Otra aproximación para derivar la distribución de probabilidad no gaussiana consiste en asumir que el oleaje puede expresarse como una expansión de Stokes (1847), al segundo y tercer orden. Para ello, Huang et al  (1983) consideraron que el oleaje no lineal asociado a un espectro de banda estrecha se puede representar de la siguiente forma: 85

η

1 2 1 3 a k + a cos χ + a 2 k cos 2χ + a3 k 2 cos  3χ + ...   2 2 8 3 = a cos χ + a 2 k cos χ + a3 k 2 cos 3χ  + ... 8

=

(5.22)

donde a( x, y,t ) es la amplitud, k es el número de onda y  χ  = k  x cosθ  + k  y senθ −σ t +ε . Asumiendo que la amplitud, a y la fase χ, son variables aleatorias que cambian lentamente y siguen una distribución tipo Rayleigh, subcap 5.3.1, y una distribución uniforme, respectivamente, Huang et al  (1983) derivaron la función de distribución de probabilidad hasta el tercer orden, y obtuvieron la siguiente relación: 1 e 2π 

 p (ξ ) =

⎛ − 1 A ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

⎡  B 9 ( k σ η  )2 1 ⎤ ⎢ ⎥ + 3 ⎢  R 8  N   R ⎥ ⎣ ⎦

(5.23)

donde 2

2 ⎛ 13 ⎡ ⎞⎤  A = N ⎢η − σ η k (ξ 2 − 1) + (σ η k ) ⎜ ξ 3 − 2ξ ⎟ ⎥  ⎝8 ⎠⎦ ⎣ 2

⎡ ⎣

 B = N ⎢1 − 2σ η kξ

 R = 1 +

 N

(5.24)

2 39 ⎤ + (σ η k ) ⎛⎜ ξ 2 −  2 ⎞⎟ ⎥ ⎝8 ⎠⎦

(5.25)

2 9 σ η k ) ξ 2 ( 4

(5.26)

= 1 + (σ η k )

2

(5.27)

Para dar solución a las ecs 5.24 y 5.27, el número de onda k es evaluado utilizando la frecuencia de pico espectral f  p y la profundidad local h. Continuando con el ejemplo presentado en la fig 5.1, en la fig 5.2 se presenta una comparación entre la función de densidad de probabilidad medida, normal y la desarrollada hasta el tercer orden, ec 5.23, con una frecuencia de pico espectral  f  p = 0.1 Hz y a una profundidad local h = 2 m. 86

1.60

Distribución de señal medida Distribución normal Tercer orden

1.20

   )   m    /    1    (

0.80

  p

0.40

0.00 -1.50

-1.00

0.00 η (m)

-0.50

0.50

1.00

1.50

 Fig 5.2 Comparación entre la función de distribución de probabilidad medida, normal y la desarrollada hasta el tercer orden (con f  p = 0.1 Hz  y h = 2 m)

Tayfun (1980), haciendo uso de un desarrollo de Stokes al segundo orden, derivó la función de densidad de probabilidad de los desplazamientos del perfil de oleaje en función de la modulación de la amplitud, como se muestra a continuación: η=

∑a

n

2 2 1 cos ( χ n + ε n ) + k ⎡⎣∑ an cos ( χ n + ε n ) ⎤⎦ − ⎡⎣∑ an sen ( χ n + ε n ) ⎤⎦   (5.28) 2

{

}

Y obtuvo la siguiente relación para la función de probabilidad acumulada,  P (η ): 2

1 ∞ −τ 2  P (η ) = e {erf ⎡⎣ A (τ ,η ) + β ⎤⎦ + erf ⎡⎣ A (τ ,η ) − β ⎤⎦} d τ 2π  α ∫(η )

 

(5.29)

donde

⎧0 para ⎪ ⎪ a (η ) = ⎨ 1/ 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 2 γη ⎪ 2 β ⎢ − 1 + para ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎪  β  ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎩  β  =

k m0

87

2

⎫ 2γ  ⎪⎪ ⎬ β  ⎪ η  < − 2γ  ⎪⎭ η  > −

 β 

(5.30)

(5.31)

 A (τ ,η ) = β  1 +

2γη  β

γ  = 1 + k 2 m0

2

+

τ 

β 2

(5.32) (5.33)

Para evaluar las funciones de probabilidad acumulada y de densidad de probabilidad,  P (η ) y  p(η ), se requiere hacerlo vía integración numérica, donde τ  es la variable de integración. Es importante mencionar que no obstante que la distribución propuesta por  Tayfun (1980) es más compleja que la normal, ec 5.18, ajusta mejor los resultados de campo (Ochi, 1998). 5.1.2.3 Otras distribuciones de probabilidad del desplazamiento de la superficie libre Complementariamente Massel (1996) presenta dos distribuciones que no se abordan en el presente trabajo:  Influencia de la rotura del oleaje en la distribución de los desplazamientos de la  superficie libre en aguas profundas. Esta se debe a que el flujo de energía de la

atmósfera al océano genera una superficie aerodinámica de la superficie del mar, si el flujo de energía es substancialmente intenso, en algunos puntos la superficie libre del agua se desestabilizará y eventualmente romperá en forma de espuma blanca de varias escalas. En este caso, la rotura es muy localizada y el fenómeno es no estacionario.  Distribución de probabilidad del desplazamiento de la superficie libre en aguas de  profundidad finita. Las olas en aguas poco profundas tienen muchas propiedades

específicas, mismas que las distinguen de las ondas que se propagan en aguas de  profundidad indefinida. A medida que las ondas viajan hacia aguas menos profundas, su dinámica se hace menos lineal y disipativa. En aguas poco profundas, las ondas tienen crestas más altas y valles más largos comparadas con aquellas que se propagan en aguas más profundas. Más aún, en zonas costeras existe una asimetría con respecto a una línea vertical pasando a través de la cresta. Por tanto, en general, las ondas que se propagan en aguas de profundidad finita no pueden ser clasificadas como un  proceso Gaussiano y la densidad de probabilidad no es válida, a excepción de estados de mar compuestos con olas muy pequeñas. 88

5.2 Distribución de los desplazamientos máximos (crestas)

La obtención de la distribución teórica de η máx(t ) o desplazamientos máximos, crestas, con respecto al nivel medio fue realizada originalmente por Rice (1945) para funciones aleatorias. Es importante mencionar que η máx(t ) puede tomar tanto valores  positivos como negativos, siendo estos últimos los que definen la situación cuando la cresta queda por debajo del nivel medio. Los estudios de Rice fueron ampliados por Cartwright y Longuet-Higgins (1956), que demostraron que la función de densidad de crestas, η máx(t ), puede ser definida a través de la siguiente relación: 1 ⎡ 1 ⎛  β  ⎞ 2 ⎤ 1 ⎡ 1 2 ⎞  β ε  (1−ε 2 ) 2 − 12 x2 ⎤ ⎛ 2 12  P ( β ) = e dx ⎥ ⎢ε exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ + (1 − ε ) β exp ⎜ − β  ⎟ ⋅ ∫−∞ 2π  ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣ 2 ⎝ ε  ⎠ ⎥⎦ ⎥⎦

(5.34)

donde  β  =

η máx

(5.35)

m0

siendo m0 el momento de orden cero, ec 4.60, y ε  el parámetro de anchura de cuarto orden, ec 4.61. La distribución de mínimos de η (t ), o valles, se puede obtener teniendo en cuenta que la función η (t ) es estadísticamente simétrica con respecto al nivel medio. Si a cada fase del modelo matemático se le suma π  no afecta el carácter aleatorio, se cambian todos los signos de η (t ). Por tanto, la función de densidad de mínimos de η (t ), o valles, es simétrica respecto a la función de densidad de las crestas con respecto al nivel medio =0. Si en la función de densidad de los desplazamientos, ec 5.34, se hace tender el  parámetro de anchura espectral, ε , propuesto por Cartwright (1956) a cero, la función de desplazamientos máximos toma la siguiente forma:  P (η máx ) =

η máx m0

−

e

1η 2 máx 2 m0

 P (η máx ) = 0

 para η máx ≥ 0

 para η máx < 0 89

(5.36) (5.37)

Las ecs 5.36 y 5.37 definen la distribución de Rayleigh. Para la segunda condición límite, cuando el parámetro de anchura tiende a uno, se tiene una condición completamente distinta:

 P (η máx ) =

1 2π m0

e

1η 2 − máx 2 m0

(5.38)

La ec 5.38 define la distribución normal o de Gauss. Cartwright y Longuet-Higgins (1956) también relacionaron la proporción de crestas negativas, r , con el parámetro de anchura espectral de cuarto orden,    ε  . Para ello, se deben analizar los siguientes  parámetros de un registro:  N O+

número de cruces de η (t ) con el nivel medio con pendiente positiva

 N O−

número de cruces de η (t ) con el nivel medio con pendiente negativa

 N C + número de crestas positivas (sobre el nivel medio)  N C − número de crestas negativas (sobre el nivel medio) +

 N V 

número de valles positivos (sobre el nivel medio)

 N V − número de valles negativos (sobre el nivel medio).

Si el registro es lo suficientemente largo, se deben cumplir las siguientes condiciones:  N O+

= NC+ − N V +

(5.39)

 N O−

= NV− − N C −

(5.40)

Además, admitiendo que la función η (t ) es estadísticamente simétrica respecto al nivel medio, es decir, que las crestas y valles están normalmente distribuidos con respecto al nivel medio, se tiene:  NV+

= NC− = rN C 

(5.41)

donde  N C  =  N C + + N C − es el número total de crestas y r  la proporción de crestas negativas. 90

Por tanto,  N O+

= NC+ − NV+ = (1 − r ) NC − rNC = N C (1 − 2r   )

(5.42)

de donde, al operar algebraicamente, se obtiene: 1 ⎛  N O+ ⎞ r  = ⎜1 − ⎟ 2 ⎝  N C  ⎠

(5.43)

Es claro que el número de crestas será siempre mayor o igual que el número de cruces con pendiente positiva, por tanto los valores límite para r serán:  N C   N O+  N C  +

 N O

→1

⇒ r → 0

(ε  → 0 )

(5.44)

→∞

⇒ r  →

1 2

( ε  → 1)

(5.45)

donde ε 2

= 4r (1 − r )

(5.46)

Las ecs 5.44 y 5.45 definen los valores límite para la anchura de la base del espectro, y la proporción de las crestas en un registro dado. El caso r = 0 se presenta si +

 N O

=  N C  , es decir, cuando el número de cruces ascendentes por el nivel medio en el

registro, es igual al número total de crestas. Definido lo anterior y utilizando la ec 5.39, se obtiene:  N O+

= NC = NC+ − N V+

 

(5.47)

Es claro que se debe satisfacer la condición  N C  ≥  N C + , de donde  N V + =  N C − = 0 . Es posible afirmar, para el caso en que no existan crestas negativas ni valles positivos el número de crestas positivas y de valles negativos será el mismo, es decir que toda la energía está contenida en una banda de frecuencias o periodos muy estrecha. Dicha situación se muestra en la fig 5.3.

91

3

 Lado (+)

2 1 0 -1

0

10

20

30

40

50

-2

60

70

 Lado (-)

-3

 Fig 5.3 Señal sinusoidal con  N C + =  N V −

5.3 Distribuciones de alturas de ola

La altura de ola es uno de los parámetros de mayor importancia, tanto en ingeniería de costas como en oceanografía, y se define como la suma aritmética del desplazamiento máximo positivo y del subsiguiente desplazamiento máximo negativo,  H = η máx + η mín. A pesar de la importancia que tiene este parámetro no se ha podido desarrollar una ecuación universal que sea sencilla y se pueda aplicar para representar de manera válida todos los estados de mar que se presentan en la naturaleza. Es por ello que en la literatura especializada se pueden encontrar diversas hipótesis, entre las cuales destacan las siguientes: 1. El desplazamiento de la superficie libre sigue una distribución normal 2. Espectro de banda estrecha 3. La correlación entre los desplazamientos máximos positivos y negativos es uno 4. La correlación entre los desplazamientos máximos positivos y negativos es cero 5. La correlación entre los desplazamientos máximos positivos y negativos es arbitraria 6. La altura de ola está limitada por efectos de rotura. Si se utilizan ciertas combinaciones de estas hipótesis, se obtienen como resultado las siguientes distribuciones de probabilidad para alturas de ola: 1, 2 y 3, la distribución de Rayleigh (1956) 1, 2 y 5, la distribución de crestas y valles (Tayfun, 1981) 92

1, 2 y 4, la distribución de Carter (1986) 1, 2, 3 y 6, la distribución de Tayfun (1981). Las cuales se exponen a continuación. 5.3.1 Distribución de alturas de ola para un espectro de banda estrecha 5.3.1.1 Correlación perfecta entre crestas y valles Si se considera un estado de mar tipo swell  puro, con un ancho de espectro ε = 0 y se asume que hay una correlación perfecta entre una cresta y el siguiente valle, la descripción de la distribución de probabilidad de alturas de olas dada por Rayleigh será exacta. La distribución adimensional de alturas de ola, p( H / H rms), queda definida como la suma de 2ηmáx, ec 5.36, tal que

⎛  H  p ⎜ ⎝ H rms

⎞ H  e ⎟=2 H rms ⎠

⎛  H  ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ H rms ⎠

2

(5.48)

En forma dimensional se puede expresar como:  H

 p ( H ) = 2 2 e  H rms

−

 H 2 2

 H rms

=

H 

4m0

−

e

 H 2

8 m0

(5.49)

Esta distribución fue originalmente propuesta por Cartwright y Longuet-Higgins (1956). 5.3.1.2 Correlación nula entre crestas y valles Carter (1986), asumiendo el caso opuesto al presentado por Cartwright y LonguetHiggins (1956), donde la correlación entre crestas y valles consecutivos es nula, desarrolló la distribución de probabilidad de alturas de ola haciendo las siguientes suposiciones: Las distribuciones de las crestas y valles son de la forma de Rayleigh, ec 5.36, y por  tanto la distribución conjunta está dada por:  p ( β1 , β 2 ) = β1β 2 e

93

⎛ β 2 + β  2 ⎞ −⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠

(5.50)

donde  β 1 y  β 2, son las amplitudes de cresta y valle adimensionales, respectivamente, definidas según la ec 5.35. Si se define  y como las suma de ambas amplitudes adimensionales, y y2 como la resta, es decir,  y =  β1 + β 2  β1 =

 y + y2

2

y

y2

= β1 − β 2

y

β 2

=

(5.51)

y − y2

(5.52)

2

La función de distribución p(y, y2 ) estará dada por:

∂ β1 ∂ y  p ( y, y2 ) = ∂ β 2 ∂ y

∂β 1 ⎛  y 2 + y22 ⎞ ⎛ y 2 + y2 2 ⎞ −⎜⎜ −⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ∂y2 1 2 1 2 2 2 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⋅ ( y − y2 ) e = ( y − y2 ) e (5.53) ∂β 2 4 8 ∂y2

Por tanto, la distribución de probabilidad de y está dada por:  y1

( y ) =

∫

p ( y, y2 ) dy2

− y1

1 = e 8

⎛  y 2 ⎞ −⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4⎠

y1

∫ (y

− y1

2

⎛  y 2 ⎞ −⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠

− y2 2 ) e

(5.54)

dy2

Operando, la ecuación anterior también se puede expresar como:  p ( y ) =

1 e 4

⎛  y 2 ⎞ −⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4⎠

⎛ 2⎞  y1 −⎜  y2 ⎟ ⎧ −⎛⎜⎜ y 2 ⎞⎟⎟ ⎫ ⎜ 4 ⎟ ⎪ ⎪ 2 ⎝ 4⎠ ⎝ ⎠ + ( y − 2) ∫ e dy2 ⎬ ⎨2 ye 0 ⎪⎩ ⎪⎭

(5.55)

Mientras que su distribución de probabilidad acumulada quedaría de la siguiente forma:  y1

 P ( y ) =

∫

p ( y ) dy = 1 − e

⎛  y 2 ⎞ −⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠

0

−

⎛ y2 ⎞ −⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4⎠

1 ye 2

y1

⎛  y 2 ⎞ −⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠

∫e

(5.56)

dy2

0

Las ecs 5.55 y 5.56 se pueden expresar también en forma dimensional como:  p ( H ) =

1 4 m0

e

⎛  H 2 ⎞ −⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 m0 ⎠

⎧⎪  H −⎛⎜⎜ H 2 ⎞⎟⎟ ⎛ H  ⎛ H2 ⎞ ⎝ 4 m0 ⎠ + π  ⎜ − 2 ⎟ Erf  ⎜ e ⎨2 ⎜ 2 m0 ⎝ m0 ⎠ ⎪⎩ m0 ⎝

94

⎞ ⎫⎪ ⎟⎟ ⎬ (5.57) ⎠ ⎪⎭

⎡ −⎛⎜⎜  H 2 ⎞⎟⎟ π   H −⎛⎜⎜ H 2 ⎞⎟⎟ ⎛ H  2m 4m  P ( H ) = 1 − ⎢ e ⎝ 0 ⎠ + e ⎝ 0 ⎠ Erf  ⎜ ⎜ 2 m0 ⎢ 2 m0 ⎝ ⎣

⎞⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦

(5.58)

donde u(u = y2/2) es una constante de integración y la función error, Erf , está definida como: 2  X  −u 2  Erf ( X ) = (5.59) ∫ e du π 

0

5.3.1.3 Correlación intermedia entre crestas y valles En la practica, la correlación en los valores de los máximos positivos y negativos  puede esperarse que esté entre un valor de 1 y 0; es decir, que la distribución conjunta entre valles y crestas sea del tipo bivariado de Rayleigh. Rice (1944) propuso la siguiente distribución conjunta de dos elevaciones de la envolvente de un estado de mar de banda estrecha:  p ( β1 , β 2 ) =

 β1β 2

1− κ

2

⎛ κ  β β  ⎞ e 1 2⎟ ⎝ 1 − κ 2 ⎠

I0 ⎜

1 ⎛  β 2 + β  2 ⎞ − ⎜⎜ 1 22 ⎟⎟ 2 ⎝ 1−κ  ⎠

(5.60)

donde I 0 es la función modificada de Bessel de orden cero. Battjes (1971) señala que κ  es el coeficiente de correlación entre  β 12 y  β 22, mientras que  ρ es el coeficiente de correlación entre  β 1 y  β 2, los cuales se expresan como: 2

κ 

=

µ13

2

+ µ 14 2

m0

(5.61)

2

⎛ 2 κ 4 κ 6 ⎞  ρ = κ  + + (5.62) 16 − 4π  ⎜⎝ 16 64 ⎟⎠ donde µ13 y µ14 son las autocorrelaciones de las partes de la señal separada τ unidades. π

Sustituyendo las ecs 5.51 y 5.52 en la ec 5.60, se obtiene: 2

 p ( y, y2 ) =

2

1  y − y2 ⎡ κ  1 2 ⎤ I0 ⎢ y − y2 2 )⎥ e ( 2 2 8 1− κ ⎣1 − κ  4 ⎦

Por tanto, la distribución de probabilidad de y está dada por:

95

1 ⎛  y 2 + y22 ⎞ − ⎜⎜ ⎟ 4 ⎝ 1−κ 2 ⎟⎠

(5.63)

 y

 p ( y ) =

y

∫ p ( y, y ) dy 2

= 2 ∫ p ( y, y2 ) dy2

2

− y

=

1 e 4

0

⎛ 1  y ⎞  y 2 −⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 2 1−κ  ⎠  y 2

∫ 0

− y2 1−κ 2

2

⎡ κ  1 y 2 − y 2 ⎤ e ( 2 )⎥ ⎣1 − κ 2 4 ⎦

I0 ⎢

1 ⎛  y 2 − y22 ⎞ ⎜ ⎟ 4 ⎜⎝ 1−κ 2 ⎟⎠

(5.64) dy2

mientras que la distribución de probabilidad acumulada quedaría de la siguiente forma:  y

 P ( y ) =

∫ p ( y ) dy

(5.65)

0

Las ecs 5.64 y 5.65 son análogas a las derivadas por Tayfun (1981), mismas que se  pueden expresar también en forma dimensional como:  p ( H ) =

1 m0

e

⎛ 1 H 2 1 ⎞ H  2 −⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 2 m0 1−κ ⎠  H

∫ 0

− u2

4m0

⎛ H 2 −u 2 1 ⎞ ⎟ 4 m0 1−κ 2 ⎟⎠

⎛ H 2 − u 2 1 ⎞ ⎜⎜⎝ 1 I ⎜ κ  ⎟e 1− κ 2 0 ⎝ 4m0 1 − κ 2 ⎠

du

(5.66)

 H 

 P ( H ) =

∫ p ( H ) dH 

(5.67)

0

Las ecs 5.66 y 5.67, tienden a la distribución de Rayleigh y de correlación nula, cuando el parámetro κ  tiende a uno y cero, respectivamente. En la fig 5.4 se presenta la densidad de probabilidad y probabilidad de excedencia adimensional para diferentes correlaciones del parámetro κ . Para cuando κ = 0, la distribución corresponde a la distribución de correlación nula, mientras cuando κ = 1, la distribución corresponde a la distribución de Rayleigh. En dicha figura puede verse que para una probabilidad de excedencia de 0.0001 las diferencias entre ambos extremos (κ = 0 y κ = 1) es mayor de un treinta por ciento. 5.3.2 Distribución de alturas de ola en profundidad finita Hasta el momento se han tratado distribuciones de tipo normal o gaussiano, sin embargo el desplazamiento de la superficie libre, y en particular en aguas poco  profundas, es no guassiano. El fondo marino condiciona el movimiento del oleaje y la superficie libre se vuelve más asimétrica, siendo estos efectos no lineales más importantes a medida que la profundidad relativa es menor. 96

Probabilidad de excedencia

D e n sid a d d e p r o b a b i lid a d 0.5

1 κ = 0 κ = 0.2

0.4

0.1

κ = 0.4 κ = 0.6

0.3

κ = 0.8

0.01

κ = 1.0

0.2

0.001

0.1 0

0.0001 0

2

4  H /m 0

6

8

10

0

2

1/2

4  H /m 0

6

8

10

1/2

 Fig 5.4 Densidad de probabilidad y probabilidad de excedencia para diferentes  factores de correlación

 Normalmente, la aplicación de la distribución de Rayleigh o sus modificaciones son validas para describir la distribución de alturas de ola, sin embargo ninguna de ellas contiene explícitamente su dependencia con la profundidad. Glukhovskiy (1996) desarrolló una extensión de la distribución de Rayleigh para profundidades finitas de agua en la siguiente forma:

 p ( H ) =

⎛ H  ⎞ ⎜ ⎟  H ⎝ H  ⎠ b

1+ n 1− n

e

2 ⎤ ⎡ ⎢ − a ⎛ H  ⎞1−n ⎥ ⎢ ⎜⎝ H  ⎟⎠ ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥

(5.68)

donde a=

π  n ⎞ ⎛ 4 ⎜1 + 2π  ⎟⎠ ⎝ b=

2a 1− n

(5.69)

(5.70)

El coeficiente n es la relación de la altura de ola media y la profundidad, el cual varía entre 0 y 0.5. Cuando n = 0 coincide con la distribución de Rayleigh. El límite superior, n = 0.5, corresponde a la condición limite de la zona de resaca ( surf zone). Massel (1996) presenta la ec 5.68 en función de la altura de ola cuadrática media,  H rms, de forma adimensional, como sigue: 97

α −1

 p ( ξ ) = bγ ξ  α

e

⎡− aγ α ξ α  ⎤ ⎣ ⎦

(5.71)

donde ξ  =

 H 

(5.72)

 H rms

⎡ b −⎛⎜⎝1+α 2 ⎞⎟⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎤ γ  = ⎢ a Γ ⎜1 + ⎟ ⎥ α ⎝ α  ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ α  =

1

2

(5.73)

2

(5.74)

1− n

Si el parámetro n es igual a cero, la ec 5.71 se simplifica en la distribución de Rayleigh, mientras que si n = 0.5, ⎛

⎞

π a

− 1 ξ 4 ⎟ 3 ⎜⎝ 4 ⎠

−0.514ξ 4 )

≈ 2.055ξ 3 e(  

 p ( ξ ) = π a1ξ e

(5.75)

donde 3/ 2

( 2π ) ≈ 0.654 a1 = 4 (1 + 2 2π  )

(5.76)

 Ejemplo. En la fig 5.5 se presenta el aspecto que guarda la densidad de probabilidad y

la probabilidad de excedencia adimensional para diferentes valores de n. Pr obabilidad de e xcedencia

Densidad de p r obabilidad

5

1

n=0 n = 0.1 n = 0.2 n = 0.3 n = 0.4 n = 0.5

4 3

0.1

2

0.01

1 0

0.001 0

1

2

3

0

1

2 H / H rms

 H / H rms

 Fig 5.5 Densidad de probabilidad y probabilidad de excedencia para diferentes relaciones de n

98

3

5.3.3 Distribución de alturas limitada por rotura Tayfun (1981), asumiendo también un espectro de banda estrecha con la energía concentrada alrededor de la frecuencia media, propone una ecuación para evaluar la densidad de probabilidad de alturas de olas limitada por la rotura de la misma y un  parámetro N , que combina el estado de mar con la profundidad. Esta distribución supone que existe una correlación intermedia entre una cresta y el siguiente valle, en este caso si la cresta es grande, la probabilidad de que el próximo valle sea grande es alta, sin embargo, existe una cierta probabilidad de que el valle  pueda ser mediano o pequeño. El parámetro  N  está relacionado, como se dijo anteriormente, con el estado de mar y es función del periodo de onda y de la profundidad. Si el parámetro  N  tiende a infinito, entonces se tiene un estado de mar  swell y la distribución de Tayfun se iguala a la de Rayleigh. La distribución propuesta por Tayfun esta expresada de la siguiente forma:

⎡ ⎤ ⎛ ⎞  N  ⎜ u ⎟ ⎢ ⎥  p (ξ , N ) = ξ ∫ uJ o 1 J o (ξ u ) du ⎢ ⎥ ⎜ 2⎟ 0 ⎝ N  ⎠ ⎣ ⎦ ∞

⎡ 4 −1 ⎛ N 1/ 2 ⎞ ⎤ ∞ ⎡  N  ⎛ u ⎞ ⎤  p (ξ , N ) = ξ ⎢1 − cos ⎜ ⎥ ∫ ⎢uJ o ⎜ 1/ 2 ⎟ J o (ξ u )⎥ du ⎟ ⎝ N  ⎠ ⎦ ⎝ ξ  ⎠ ⎦ 0 ⎣ ⎣ π

0 ≤ ξ ≤ N 1/ 2

N1/ 2

≤ ξ ≤ (2 N )1/ 2 

(5.77)

(5.78)

donde N es el parámetro de Tayfun que se define como:

⎛ π  tanh(k0 h) ⎞ ⎜ 7 2 k0 2m0 ⎟⎟ ⎝ ⎠

 N  = ⎜

(5.79)

donde ξ  =

 H   H rms

(5.80)

siendo J 0 la función de Bessel de orden cero y k 0 el número de onda asociado a la frecuencia media, el cual se obtiene a partir de la relación de la dispersión: σ 2 h  g 

= k0 h ⋅ tanh ( k0 h ) 99

(5.81)

Pr obabilida d de excedencia

Densidad de probabilidad

1

1

 N = 5  N = 6  N = 8  N = 10  N = 20  N = 100

0.8 0.6

0.1

0.4

0.01

0.2 0

0.001 0

1

2

3

0

1

2

3

 H / H rm s

 H / H rm s

 Fig 5.6 Densidad de probabilidad y probabilidad de excedencia para diferentes relaciones de N 

Diversos estudios han sido realizados con el fin de encontrar aquellas distribuciones que describen de mejor manera el fenómeno del oleaje para sus diversos tipos. Green (1994) llegó a la conclusión que para estados de mar muy desordenados (tipo sea) la ecuación de Carter es la que mejor representa al fenómeno. Si se tiene un estado de mar  más ordenado (al salir del área de generación y propagarse el oleaje) la distribución de Tayfun es la que mejor se ajusta. Por último, en un estado de mar muy ordenado (tipo swell ) la distribución de Rayleigh puede utilizarse de manera adecuada.  Ejemplo. En la fig 5.6, se presenta la función de densidad de probabilidad y

 probabilidad de excedencia adimensional para diferentes profundidades relativas dadas por los valores de N . 5.4 Distribuciones conjuntas de periodo y altura de ola

En estudios recientes se ha demostrado la importancia que tiene el periodo de las olas  para el diseño de estructuras marinas, en fenómenos tales como el run-up o la estabilidad de piezas en un rompeolas, de ahí la trascendencia de las distribuciones de  probabilidad conjuntas de periodo y altura de ola. Sin embargo y en contraste con los estudios realizados sobre la distribución de la altura de ola, la atención puesta sobre este parámetro es mucho menor.

100

A continuación se presentan las distribuciones más utilizadas. Cabe señalar que es importante considerarlas en su forma dimensional y adimensional, la primera por su utilidad para cálculos prácticos y la segunda para poder hacer una comparación entre ellas. 5.4.1 Distribución de Cavanié et al (1976) Cavanié, Arhan y Ezraty (1976) propusieron una distribución teórica que, al igual que la de Longuet-Higgins (1975), está basada en un modelo gaussiano de banda estrecha, solo que ésta sí toma en cuenta la asimetría en la distribución de los periodos. Esta ecuación presenta una buena concordancia con los datos observados, pero tiene el defecto de utilizar el parámetro de anchura espectral, ε , que depende del cuarto momento de la función de densidad espectral. Este momento tiene el inconveniente de estar asociado a la cuarta potencia de la función de densidad espectral, por lo que cualquier error en la distribución resulta muy amplificado, sobre todo para altas frecuencias. Para la derivación de dicha distribución, primero se obtuvo la distribución conjunta de los máximos y su aceleración asociada, y entonces se transformó en la distribución conjunta de alturas de ola y periodos, asumiendo que los máximos positivos y negativos son simétricos, con una metodología similar a la presentada en el apartado 5.3.1.3. Su forma adimensional está representada por:  p (h,τ ) =

α 3h 2

e

4 2π ε (1 − ε 2 )τ 4τ 5 

−

h2 (ττ )−4

8ε 2

⎡(τ 2τ 2 −α 2 )2 + β 2α 4 ⎤ ⎣ ⎦

(5.82)

donde h=

 H 

τ  =

T 

T C  =

m0

τ T C 

2π  m2 α 

101

m4

(5.83)

(5.84)

(5.85)

τ

⎛ T  ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ T C  ⎠ α

Si ε ≤ 0.95 → τ  = 1

=

1 1 + 1 − ε 2 2

(

2

 β 

(5.86)

)

(5.87)

2

=

ε 

(5.88)

1 − ε 2

En este punto es conveniente mencionar que esta ecuación fue obtenida midiendo el  periodo de ola entre cresta y cresta, T C  C,  por lo que no sería correcto aplicarla a olas definidas por el método de pasos ascendentes por cero; sin embargo, Goda (1978) señala que aun para este caso la distribución da buenos resultados. Haciendo TC  = T

, τ  =

T

y h=

T 

H 

(5.89)

m0

En su forma dimensional la expresión queda determinada por: 1 α 3T 4 H 2  p ( H , T ) = e 4 2π  m03 / 2ε (1 − ε )τ  4 T  Z 5

−

T Z4

 H 2

8 m0 ε 2τ  4 T Z4

2 ⎡⎛ T 2 ⎤ ⎞ ⎢⎜ τ 2 Z  −α 2 ⎟ +α 4 β 2 ⎥  4 ⎜ ⎟ ⎢⎝ T Z  ⎥ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥

(5.90)

donde Tz es el periodo entre pasos sucesivos de olas.  Ejemplo.  Ejemplo. En la fig 5.7 se presenta el aspecto que guarda la distribución de probabilidad

conjunta de Cavanié para H rms rms = 1 m y T  = 8 s con a) ε = 0.9 y b) ε = 0.3.

a)

2

     )     m      (

     )     m      (

1    H

1

   H

0

 b)

2

0 0

4

T (s)

8

12

0

4

T (s)

8

12

 Fig 5.7 Distribución de probabilidad conjunta para Hrms = 1m y T  = 8 s . a) ε = 0.9 y b) ε = 0.3

102

5.4.2 Distribución de Longuet-Higgins Longuet-Higgins (1975) propuso una ecuación para la distribución conjunta de alturas–   periodos de ola que se sustenta en un modelo de oleaje estacionario y gaussiano con espectro de banda estrecha. Dicha expresión tiene el inconveniente de que está basada en un espectro de banda estrecha (oleaje swell ), ), y no toma en cuenta la asimetría en la distribución de los periodos de ola que se presenta cuando el espectro es de banda ancha. Longuet-Higgins (1983) propone otra ecuación que tiene los mismos méritos que la de Cavanié et al  (1976) al tomar en cuenta la asimetría en los periodos, además de que posee la gran ventaja de utilizar un parámetro de ancho espectral de orden menor: ν (dependiente del segundo y no del cuarto momento). Su forma adimensional es: ⎡

1

1 ⎤

⎛ ⎞ 2 ⎞ ⎛ R 2 ⎞ − R2 ⎢⎣1+ν 2 ⎜⎝1− τ  ⎟⎠⎥⎦ ⎛  p( R,τ ) = ⎜ 1 / 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ e L(ν ) νπ τ  ⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.91)

donde m0 es el momento de orden cero, y T 

τ  =

 R =

(5.92)

T   H 

(5.93)

2 2m0

1 − 1 1⎡ 2 2⎤ = ⎢1 + (1 (1 + ν  ) ⎥  L(ν ) 2 ⎣ ⎦

T

=

m0 m1

(5.94)

= T 01

(5.95)

La ec 5.91 se puede expresar en forma dimensional como:

⎛ ⎞  H T  ⎜ 8ν 2π m3 / 2T 2 ⎟⎟ e 0 ⎝ ⎠

 p ( H , T ) = ⎜

2

103

−

⎡ 1 ⎛ T  ⎞2 ⎤ ⎢1+ 1− ⎥ 8 m0 ⎣⎢ ν 2 ⎜⎝ T  ⎟⎠ ⎦⎥

 H 2

L(ν )

(5.96)

a)

2

     )     m      (

     )     m      (

1    H

   H1

0

 b)

2

4

T (s)

8

12

0

4

T (s)

8

12

 Fig 5.8 Distribución de probabilidad conjunta para Hrms = 1m y T  = 8s . a)  ν = 0.6   y b)  ν = 0.2

 Ejemplo. En la fig 5.8 se presenta el aspecto que guarda la distribución de probabilidad

conjunta de Longuet-Higgins (1983) para H rms = 1m y T  = 8s con a) ν = 0.6 y b) ν = 0.2. 5.4.2.1 Distribución de altura de ola Un caso particular de la distribución anterior resulta de integrar la ec 5.96 con respecto al tiempo, con lo que se obtiene:  p ( H ) =

 L(ν ) H  H 2

8m0ν  ⋅ e 8 m0

⎡

⎤ ⎥ ⎢⎣ 2 2m0ν  ⎥⎦

Erfc ⎢ −

H 

(5.97)

donde Erfc es la función error complementaria, definida por: ⎛ ⎞ ∞ − ⎜  H  ⎟ ⎜ 2 2 m0ν  ⎟ ⎝ ⎠

⎛  H  ⎞ 2 =1− e ⎟ ∫ ⎜ 2 2m0ν ⎟ π  0 ⎝ ⎠

 Erfc ⎜ −

2

dH 

(5.98)

Longuet-Higgins (1983) propone una distribución de crestas que es posible aplicar  cuando la anchura espectral, ν, es diferente de cero. Para el caso en el que ν = 0 se tiene una distribución Rayleigh mientras que para un espectro de banda ancha se tiene una distribución normal truncada en cero.

104

5.5 Distribuciones de periodos de ola

Estas distribuciones se derivan a través de las distribuciones conjuntas de periodo y altura de ola, por lo que este apartado estará limitado sólo a presentar las ecuaciones respectivas. La nomenclatura utilizada es la misma que en los apartados anteriores. 5.5.1 Distribución de Bretschneider (1959) Esta distribución fue encontrada por Bretschneider (1959) a partir de la distribución de Rayleigh, al aplicar ésta al cuadrado de los periodos; queda expresada en su forma matemática por medio de la siguiente ecuación: T 3

 p (T ) = 2.7

4

e

T  −0.675⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ T ⎠

4

T 

(5.99)

5.5.2 Distribución de Longuet-Higgins (1975)  p (T ) =

ν 2T 012

2 ⎡⎣ν 

2

T012

2 3/ 2

+ (T − T 01 ) ⎤⎦

(5.100)

5.5.3 Distribución Cavanié et al (1976) 2

 p (T ) =

α 3 β 2 δ  T 

⎡⎛ δ  T 2 ⎞⎤ 4 2 ⎢ T  ⎜ 2 − α β  ⎟ ⎥ ⎟⎥ ⎢⎣⎜⎝ T  ⎠⎦ 2

2

3/ 2

(5.101)

5.5.4 Distribución Longuet-Higgins (1983) 2  L (ν )T ⎡ ⎛ T  ⎞ 1 ⎤ ⎢1 + ⎜ 1 − ⎟ ⎥  p (T ) = 2ν T 2 ⎢ ⎜⎝ T  ⎟⎠ ν 2 ⎥ ⎣ ⎦

−3 / 2

(5.102)

 Ejemplo. En la fig 5.9, se presenta una comparación entre la probabilidad de

distribución de excedencia medida en Baja California, durante una tormenta de invierno, y las distribuciones de excedencia teóricas.

105

1.00 MEDICIÓN BRETSCHNEIDER  LONGUETT-HIGGINS (1983) CAVANIE

0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0.00

3.00

6.00 T (s)

9.00

12.00

 Fig 5.9 Comparación entre la probabilidad de distribución de excedencia medida en Baja California y las distribuciones de excedencia teóricas

106

6. MODELOS ESPECTRALES DE UN ESTADO DE MAR  A través del análisis de una gran cantidad de espectros de oleaje se ha encontrado que éstos presentan características similares que pueden ser relacionadas mediante el empleo empl eo de d e par pa rámetros fífísicos: sic os: veloci vel ocidad dad y du durac raciión del vien v iento, to,  fetch (distancia sin obstrucciones sobre la cual el viento sopla a través de la superficie del agua) y  profundidad sobre la cual se propaga pr opaga el oleaje. Las formas de un espectro de un estado de mar varían considerablemente dependiendo, como ya se ha dicho, de muchos factores; sin embargo, la forma del mismo no es arbitraria ya que existen muchas propiedades físicas del oleaje que están representadas en él. Un espectro espe ctro de d e oleaje ole aje puede pu ede ser s er generad ge neradoo sint sin téticamente ticamente por p or medio me dio de los  pará  parámetros que caracterizan su desarrollo. Los modelos espectrales están basados generalmente en uno o más parámetros. A continuación se describen los modelos más comunes comu nes para p ara este e ste prop p ropóósito. sito. 6.1 Estado de saturación

La superfi su perficie cie del de l océ océano se encuentra encuent ra siempre si empre sometida someti da a la l a acci acc ión del del viento, vien to, por po r tanto tan to es posible pensar que el oleaje debe aprovechar la energía de manera infinita. Si se acepta lo anterior an terior,, parecer par ecería ía que el fenó fenómeno meno crecer crec ería ía de manera mane ra indefin in definida. ida. Sin embargo, se sabe que el crecimiento de las olas bajo la influencia del viento no es infinito, infini to, la l a energ en ergía ía proporciona propo rcionada da por p or el viento v iento está balanceada balancead a por po r la disipaci disipa ción de energía y por las interacciones del oleaje, el cual transfiere energía de una frecuencia dada a otras. otr as. En aguas ag uas profunda pro fundas, s, la disipaci disip ación toma la forma de d e espuma (white caps) de menor escala es cala que la longitud lon gitud de onda. ond a. Dicho fen fe nómeno meno sucede cuando cua ndo dos crestas cr estas son superpuestas o cuando ondas más cortas pasan sobre ondas más largas.

107

El crecimiento creci miento del oleaje está limitado también por la formaci forma ción de olas capilares, capila res, las cuales obtienen energía de las crestas de ondas primarias con gran curvatura (Phillips, 1977). Es conveniente mencionar que la capa superficial de la corriente producida por  el esfuerzo cortante del viento incrementa la rotura de las olas, produciendo una gran reducc red ucciión de su amplitu amp litud. d. La presencia de cualquiera de los mecanismos anteriormente descritos es un indicador  de que se ha llegado al estado e stado de saturación de de los componentes compone ntes del oleaje, olea je, donde se  produce un balance entre la energí energía suministrada por el viento y las pérdidas rdidas debidas a la disipaci disip ación; dicho estado e stado se s e caracteriz cara cterizaa porque porq ue existe exis te un lím límite ite superior super ior para par a la densidad densi dad de la energ ene rgía ía espectral. espec tral. Debido a esto, esto , el estado es tado de saturaci satur ación debe ser  exclusivamente descrito por los parámetros físicos locales que gobiernan la configurac confi guraciión extrema extre ma de las olas; o las; por ejemplo e jemplo,, la aceleraci acele ración de la graveda gr avedadd ( g ), ), la velocidad del viento sobre la superficie libre ( U ) , , de la l a dimen di mensi sión del fetc f etchh ( x  x) y de la frecuencia local ( f ). 6.2 Modelo de Phillips

Phillips Phillip s (1958) ( 1958),, al estudiar estud iar la variac v ariaciión de la energ en ergía ía del oleaje o leaje en funci f unción de la veloci vel ocidad dad del vien v iento, to, observ obs ervóó dicho esta e stado do de d e satur sa turaci ación y determi dete rminnó que el espe e spectr ctroo  puede ser definido a partir de los siguientes pará parámetros: la frecuencia, la gravedad, la velocidad del viento y el  fetch. Sin embargo emb argo,, para tomar t omar en considerac consi deraciión el efecto efec to de saturaci satur ación en el espectr es pectroo de energía energía hizo depender depen der su modelo de dos pará parámetros: metros: 

la velocidad al cortante del viento



el fetch

Éste es exp e xpre resa sado do por p or:: S( f ) = α g2 f

−5

( 2π )−4

(6.1)

donde g es la l a acelera ac eleraci ción de la gravedad grave dad y α depende del fetch y del viento. Es importante remarcar que este modelo ha sido la piedra angular para desarrollos  posteriores en la predicción de oleaje a travé través de información meteorológica. 108

6.2.1 Espectro de Neumann  Neumann desarrolló un modelo espectral analí analítico, tico, en 1953, que fue el primero en ser  usado usa do para p ara el dise d iseñño ingenieril ingenie ril;; éste está en funci fun ción de la l a veloc ve locida idadd ddel el vien v iento to medid me didaa a diez metros sobre el nivel medio del mar, U 10 10, y queda expresado como: ⎡ ⎛  f  2 S ( f ) = 1.466 H m0 6 exp ⎢ −3 ⎜  f ⎢ ⎜⎝ f  p ⎣ 5

 f  p

⎞ ⎟⎟ ⎠

−2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(6.2)

donde  H m0 m0, es la altura de ola del momento de orden cero, la cual es aproximadamente igual a la altura de ola significante,  H  s ≈  H m0 = 4 m0 .  f  p, es la frecuencia frecu encia de pico espectral espec tral que q ue puede pue de ser se r obtenida obten ida a trav t ravéés de la siguiente sigu iente expres e xpresiión:  f  p =

1  g  6 π U 10

(6.3)

6.2.2 Espectro Pierson-Moskowitz En 1964, Pierson y Moskowitz estudiaron los espectros de oleaje del Atlántico ntico Norte y crearon una expresi exp resión que que representa re presenta estados de mar completamente desarrollados des arrollados generados por el viento. Es decir, su modelo no depende del fetch, sino únicamente de la velocidad del viento. La expresi expre sión propuesta propu esta para par a generar gener ar el espectro espe ctro es la siguiente sig uiente:: −4

π U19.5 f / g )−4

S ( f ) = 8.1× 10−3 ( 2π ) g 2 f −5e −0.24( 2

(6.4)

donde U 19.5 19.5 es la velocidad del viento a 19.5 metros sobre la superficie del mar. Si se emplea la frecuencia de pico espectral, puede ser representado por  5 ⎛  f  p ⎞ − ⎜ ⎟ 4 ⎝  f  ⎠ −5

S ( f ) = 8.1× 10−3 g 2 ( 2π )−4 f e

4

(6.5)

En este caso la frecuencia de pico espectral f  p, está dada por   f  p =

0.0805 g  π  H  s

109

(6.6)

Dado que normalmente la velocidad del viento se reporta sobre una altura de 10 m sobre el nivel del mar, la siguiente relación puede ser de mucha utilidad: UW  = U10 ( y /10)1/ 7

(6.7)

donde  y es la distancia vertical sobre el nivel medio del mar (snmm) y U 10 es la velocidad a una altura de 10 m snmm. 6.2.3 Espectro de Bretschneider  Bretschneider (1959), asumiendo que un espectro es de banda estrecha y que las alturas y periodos de ola individuales siguen una distribución tipo Rayleigh, obtuvo la siguiente expresión para su modelo espectral: 4 ⎡ ⎛ f s ⎞ ⎤ S ( f ) = 0.1687 H  s 5 exp ⎢ − 0.675 ⎜ ⎟ ⎥  f ⎢⎣ ⎝ f  ⎠ ⎥⎦

 f s4

2

(6.8)

donde f  s = 1/ T  s. De dicho modelo es posible deducir que T s = 0.946T p

(6.9)

donde T  p es el periodo pico espectral. Esta expresión iguala el modelo al propuesto por  Pierson y Moskowitz. Este modelo ha sido derivado para un estado de mar totalmente desarrollado. Sin embargo, parece razonable que también pueda ser utilizado para estados de mar   parcialmente desarrollados. Las relaciones entre la altura de ola, periodo de ola y velocidad del viento fueron presentadas por Bretschneider (1959) empíricamente. Para un estado de mar desarrollado,  gH  s U w

2

 gT  s U w

= 0.282

(6.10)

= 6.776

(6.11)

110

Mientras que para un estado de mar casi totalmente desarrollado,  gH s Uw

2

gH s

= 0.254 (90%)

U w

 gT  s U w

2

= 0.226 (80%)

= 4.764

(6.12)

(6.13)

 Ejemplo. Para ilustrar el uso de las expresiones anteriores, considérese un estado de

mar parcial y totalmente desarrollado de U w = 50 kt . Solución

Primero, se transforma la velocidad del viento a m/s (1 kt = 0.514444m/s), tal que U w = 25.722 m/s. Sustituyendo este valor en las ecs 6.10 y 6.11, para el caso de un estado de mar totalmente desarrollado, se obtiene:  H  s =

2

0.282U w2

0.282* ( 25.722m/s ) = = 19.2m 9.81m/s2

 g 

T  s =

6.776U w  g 

=

6.776 *25.722m/s = 17.77s 9.81m/s 2

De manera similar, pero ahora considerando un estado de mar parcialmente desarrollado al 90 % y al 80 %, respectivamente, se obtiene:  H  s (90%) =

 H  s =

0.254U w2  g 

0.226U w2  g 

T  s (80% y 90%) =

2

0.254* ( 25.722m/s ) = = 17.13m 9.81m/s2 2

0.226* ( 25.722m/s ) = = 15.24m 9.81m/s2

4.764U w  g 

=

4.764*25.722m/s = 12.49s 9.81m/s2

Segundo, si ahora se utiliza la ec 6.8, pueden obtenerse los espectros de energía que se representan en la fig 1.2.

111

700 Totalmente desarrollado Parcialmente desarrollado (90%) Parcialmente desarrollado (80%)

600 500      )     z 400      H      /

     2

    m      (        S

300 200 100 0 0

0.1

0.2

 f (Hz)

0.3

 Fig 6.1 Espectros de energía para el ejemplo desarrollado

6.2.4 Espectro de Kitaigorodskii-Toba En 1961, Kitaigorodskii presentó un modelo espectral, que depende de la frecuencia y el fetch, dado por: ⎛  g 2 ⎞ S ( f ) = ⎜ 5 ⎟ F ( f , x) ⎝  f  ⎠

(6.14)

donde  f  =  x =

 fu*

 g   gx u*2

u* = velocidad de fricción del viento (cortante)  x = fetch.

Toba (1973), con base en el trabajo de Kitaigorodskii (1961), encontró de forma empírica que la mejor aproximación a los datos de su túnel de viento eran proporcionados por la función espectral dada por  −4

S ( f ) = β u* gf  

112

(6.15)

u* = τ 0 / ρ a

(6.16)

donde  ρa es la densidad del aire y τ 0 es la fricción tangencial del viento. A partir de datos de laboratorio, se determinó que β = 0.02; por su parte, Wu (1969, 1980 y 1982) realizó una serie de ensayos para modelar las características sobre una superficie del mar y obtuvo la velocidad del cortante como una función de la velocidad media a 10m de altura: u* = C10 U 10

(6.17)

donde C 10 es el coeficiente de superficie de arrastre evaluado con una velocidad del viento a 10 m de altura (sus unidades están dadas en m/s), C10 = (0.8 + 0.065U 10 ) × 103

(6.18)

La evaluación del viento a cualquier altura puede hacerse a través de la siguiente relación ⎛  z  ⎞ ⎟ ⎝ 10 ⎠

U z  = U10 + u* ln ⎜

(6.19)

 Ejemplo. Si se tuviera una velocidad de viento sostenido de 80 km/h medidos a

19.5 m snmm, calcular el espectro de energía de oleaje correspondiente. Solución

Primero se debe de estimar el valor de u* a través de las ecs 6.17 a 6.19. Es importante mencionar que existen diversos métodos que son más eficientes numéricamente; sin embargo, para fines de este ejemplo se utilizará la técnica de aproximaciones sucesivas, los resultados de la misma se muestran en la tabla 6.1. Por conveniencia, se trabajará con la velocidad de viento en metros por segundo, es decir U 19.5 = 22.22m/s. Como se puede observar en la tabla 6.1, el resultado de u* es 1.01071m/s. Con este valor, ahora se está en posibilidad de evaluar el espectro de energía de oleaje, ec 6.15. Sin embargo, como puede verse en dicha ecuación, a medida que la frecuencia es más  pequeña la energía tiende al infinito.

113

TABLA 6.1 RESULTADO DE APLICAR LA TÉCNICA DE APROXIMACIONES SUCESIVAS Iteración

1

2

U 10  propuesto

20 0.0021 0.916515139 20.61207573

21 0.002165 0.977121 21.65255

C10 u* U 19.5 calculado

3 21.5 0.002198 1.007866 22.17308

4 21.546 0.0022 1.01071 22.22098

6.2.5 Espectro ISSC En el International Ship Structures Congress de 1964, se sugirióuna ligera modificación a la forma del espectro proporcionado por Bretschneider: 4 ⎡ ⎛  f  s ⎞ ⎤ S ( f ) = 0.1107 H  s 5 exp ⎢ − 0.4427 ⎜ ⎟ ⎥  f ⎢⎣ ⎝ f  ⎠ ⎥⎦ 2

 f 

4

(6.20)

La relación entre la frecuencia de pico,  f  p, y la frecuencia media  f  para el espectro ISSC es:  f = 1.296 f  p (6.21) 6.2.6 Espectro de Krylov En 1966, Krylov propuso un modelo espectral que tiene como base la frecuencia media. Este modelo está definido por la siguiente expresión: S( f ) =

π m0 ⎛  f  ⎞

⎜

−7

⎟ e

⎛ π ⎛  f  ⎞−4 ⎞ ⎜− ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 4 ⎜⎝  f 0 ⎟⎠ ⎟ ⎝ ⎠

 f 0 ⎝ f 0 ⎠

(6.22)

donde  f 0 =

1 T 02

=

114

1 m0 / m2

(6.23)

6.2.7 Espectro ITTC En el congreso  International Towing Tank Conference (1966, 1969 y 1962) se  propusieron cambios al espectro de Pierson y Moskowitz en términos de la altura de ola significante y de la frecuencia media,  f  z = 1/ T 02, donde T 02 es el periodo medio de orden dos, ya definido en los capítulos previos. 4

S ( f ) = 1.272m0 f z  f

−5

4 ⎡ ⎛  f  z  ⎞ ⎤ exp   ⎢ −0.318 ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝  f  ⎠ ⎥⎦

(6.24)

6.2.8 Espectro JONSWAP Hasselman et al  (1973) propusieron el espectro JONSWAP, el cual fue generado con datos tomados a finales de la década de los sesenta por un proyecto de medición de oleaje conocido como JONSWAP, por sus siglas en inglés ( Joint North Sea Wave  Project ). Este espectro fue generado para estados de mar formados por el viento, con fetch limitado y para una profundidad de agua indefinida. La expresión que representa este espectro es ⎛  f  ⎞ ⎟⎟ φ J ( f , f P , γ , σ  )    f  ⎝  p ⎠

S J ( f ) = S P ( f )φ PM ⎜ ⎜

(6.25)

donde S  P (f) es la ecuación de Phillips dada por la ec 6.1 φ  PM (f/f  P  ) es la función de forma de Pierson-Moskowitz 5 ⎛  f  ⎞

⎛  f  ⎞ − 4 ⎜⎝  f  φ  PM  ⎜ ⎟=e  f  ⎝  P  ⎠

−4

⎟  P  ⎠

(6.26)

φ  J  es el factor de forma del espectro JONSWAP φ J  = γ e

⎡ − (  f − f  )2 ⎤  p ⎥ ⎢ ⎢ 2σ 2 f 2 ⎥  P  ⎦⎥ ⎣⎢

(6.27)

donde ⎛ σ  A

 f P  ≤ f  ⎞

⎝ σ  B

 f P  > f  ⎠

σ  = ⎜

115

⎟

(6.28)

Sustituyendo las ecs 6.1, 6.26 y 6.27, se tiene 2

S( f ) = α g f

−5

5 ⎛  f  ⎞ − ⎜ ⎟ 4 ⎝  f  P  ⎠ −4

−4

(2π ) e

γ e

⎡ − (  f − f  )2 ⎤  p ⎥ ⎢ ⎢ 2 σ 2 f 2 ⎥  P  ⎦⎥ ⎣⎢

(6.29)

Los valores medios de los parámetros que se utilizan para generar el espectro JONSWAP son los siguientes: γ, conocido como el factor de forma pico del espectro, cuyo valor normalmente es γ = 3.3. σ , que representa el ancho de la base del espectro antes (σ  A) y después (σ  B) de la

frecuencia pico. Los valores mas habituales son σ  A = 0.07 y σ  B = 0.09. α, que se conoce como el factor de escala y estáasociado con la energía total del

espectro. El parámetro α  es función directa del fetch y de la velocidad del viento, como se puede observar en las siguientes expresiones:

( )

α  = 0.076  x

−0.22

(6.30)

De igual forma se ha observado que la frecuencia pico del espectro está relacionada también con el fetch y la velocidad del viento, tal que: ⎛  g  ⎞ −0.33 ⎟ ( x) U  ⎝ 10 ⎠

 f P  = 3.5 ⎜

(6.31)

donde  x =

 gx

(6.32)

U 102

 x = Fetch U 10 = Velocidad del viento a 10 metros sobre la superficie.

Goda (1988) derivó una expresión aproximada del espectro JONSWAP en términos de la altura de ola significante H  s y de la frecuencia de pico espectral f  p, 5 ⎛  f  ⎞ − ⎜ ⎟ 4 ⎝  f  P  ⎠ −5

S ( f ) = B J H s 2 f P 4 f e

−4

γ e

⎡ − (  f − f  )2 ⎤  p ⎥ ⎢ ⎢ 2 σ 2 f 2 ⎥  P  ⎦⎥ ⎣⎢

(6.33)

donde  B j =

0.0624 (1.094 − 0.01915lnγ ) −1 0.230 + 0.0336γ − 0.185 (1.9 + γ )

116

(6.34)

Es conveniente mencionar que cuando γ = 1, la ec 6.33 se reduce al espectro de Pierson-Moskowitz, ec 6.5. En ocasiones es difícil tener una estimación del periodo de pico espectral, T  p, ya que es más normal que se reporte el periodo de ola significante, T  s; por ello Goda (1988) sugiere la siguiente relación: T  p ≅

T  s

(6.35)

1 − 0.132 (γ  + 0.2 )−0.559

Aunque hay muchos estudios posteriores al realizado por Jonswap, es importante mencionar que este espectro es uno de los más utilizados alrededor del mundo dada la  posibilidad de modificar la forma en la cual se distribuye la energía. 6.2.9 Espectro de Davidian et al  Davidian et al  (1985) llegaron al modelo dado utilizando un procedimiento similar al de Krylov, pero considerando la frecuencia de pico espectral con la siguiente expresión: S( f ) =

6.5m0 ⎛ f  ⎞  f p

−6.5

⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ f p ⎠

e

⎛  f  ⎞ −1.18⎜ ⎟ ⎜  f  p ⎟ ⎝ ⎠

−5.5

(6.36)

6.2.10 Espectro Wallops Huang et al  (1981) propusieron un modelo espectral de dos parámetros basándose en los datos del laboratorio de la NASA en Wallops Center. Dicho modelo espectral está expresado por medio de la siguiente ecuación: S ( f ) = β H s f − m f p

m ⎛ f  − ⎜ 4 ⎜⎝  f  m −1

e

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(6.37)

La relación aproximada entre el periodo de pico espectral, T  p, y el periodo de ola significante, T  s, queda planteada como T  p ≅

T  s

1 − 0.283(m − 1.5) −0.684

En este caso,  β  y m son función de la pendiente significante sl : 117

(6.38)

 sl  =

m0

(6.39)

 L p

donde m0 es el momento de orden cero del espectro y  L p es la longitud de onda asociada al periodo de pico espectral. Huang et al  (1981 y 1983) obtuvieron las siguientes relaciones para estimar el valor  de m: Aguas profundas m=

log ( 2π  sl )

(6.40)

log2

Aguas intermedias y someras 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 3 2 2 2 log ⎢ 2π  ( sl ) coth ( k p h ) ⎜⎜ 1 + ⎟⎟ ⎥ 2 2senh k h ⎢  p ⎠ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦ para 1 < k h m=  p

log2

(6.41)

Mientras que  β   β  =

( 2π  sl ) m −5

4

4

2

m −1

m

4

(6.42)

⎛ m −1 ⎞

Γ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠

De acuerdo con Goda (2000),  β  se pued p uedee estima es timarr a trav tr avéés de la sigu s iguien iente te ecuac ec uaciión,  β  =

0.0624 ⎡⎣1 + 0.7458 ( m + 2) m −5

4

4

⎛ m −1 ⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠

−1.057

⎤ ⎦

(6.43)

6.2.11 Espectro de Ochi-Hubble Ochi y Hubble (1976) desarrollaron un modelo espectral de seis parámetros que consiste de dos partes: una para componentes de energía de baja frecuencia y otra que 118

cubre componentes de alta frecuencia. El espectro total es expresado como la combinaci combin ación lineal de ambos amb os compone co mponentes, ntes, los cuales c uales se expres ex presan an en términos rminos de d e tres tre s  parámetros etros cada uno, dicha combinaci combinación lineal hace posible posible modelar, modelar, aparentemente, aparentemente, casi todos los estados de mar que se presentan durante una tormenta y hace viable la representación de un doble pico espectral; e spectral; por ejemplo oleaje distante (baja frecuencia), frecuencia) ,  swell , y oleaje local (alta frecuencia). El espectro de Ochi y Hubble es el siguiente: λ  j

4⎤ ⎡ 4λ  j + 1 2 π   f  4 ( ) 2 0 j ⎢ ⎥ ⎡ ⎤  H 4 λ  1 f  + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ π  2 ⎣ 4 0  sj j j ⎦ S ( f ) = ∑ e x p ⎢ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥ (6.44) 4 λ  +1 2  j =1 4  f  Γ ( λ  j ) ⎢⎣ ⎝ ( 2π  f  ) ⎠⎝ ⎠ ⎥⎦  j

donde  H s1 s1 , f 01 01 y λ 1 representan la altura de ola significante, la frecuencia modal y el factor de forma para las componentes de baja frecuencia, mientras que  H s2 s2 , f 02 02 y λ 2 corresponden a las componentes de alta frecuencia. Por tanto, λ  j j, es el llamado  pará  parámetro de forma espectral ya que si λ 1 = 1 y λ 2 = 0, se obtiene un espectro de tipo Pierson-Moskowitz. En la ec 6.44 la altura de ola significante,  H  s , se obtiene por  medio med io de la l a siguie sig uiente nte fó fórmula: mul a:  H s =

H s21 + H s22

(6.45)

Si se supone un espectro de banda estrecha, generalmente el valor de λ 1, es mucho mayor que el de λ 2. Los valores más comunes para estos parámetros son λ 1 = 2.72

y

λ 2 = 1.82e −

 H  s / 121.5

donde H  s estádada en metros. 6.2.12 Espectro TMA Para aguas poco profundas, Bows et al  (1985) asumieron la validez del espectro tipo Jonswa Jon swap, p, expr e xpresa esado do en e n funci fu nción del número de onda on da k , e incluyeron el factor de transformación, φ k (ω  H   H ), dado explícitamente por: ⎛ ⎝

φ (ω  H  ) = tanh 2 (kh) ⎜ 1 +

2kh ⎞ senh2kh ⎟⎠

(6.46)

donde h, es la profundidad del agua y kh puede obtenerse para cada ω  H   H  dado, mediante 119

⎛h⎞ ⎟ ⎝ g ⎠

ω H  = 2π  f  ⎜

1 2

(6.47)

donde k y f se rela r elacio cionan nan a parti pa rtirr de la l a relac re laciión de disper dis persi sión, 2 ( 2π  f ) = gk tanh kh

(6.48)

Se supone que dentro de φ k  se encuentran implícitos varios efectos de aguas someras, como son s on la fricci fricc ión de fondo, fond o, rompient ro mpientee y refrac r efracci ción. Adaptando Adapta ndo el factor facto r de transformación inicialmente introducido para aguas poco p oco profundas, prof undas, el espectro queda definido por  S

TMA

= S J φ (ω H )  

(6.49)

Goda advierte que este tipo de espectro debe utilizarse con reservas, ya que está formulado formu lado para oleaje en crecimien cr ecimiento to en el área de generaci gen eración.  Ejemplo  Ejemplo. En la fig 6.2 se presentan los resultados de evaluar el espectro TMA, ec 6.49,

con una altura de ola significante, H  s = 1.4142 m, y un periodo de pico espectral, T  p = 10s, 10 s,  para diferentes diferentes profundidades profundidades (h = 2, 5, 10, 25 y 100 m). En el caso de h = 100 100m, m, el resultado es propiamente el mismo que se obtendrí obtendría con el espectro JONSWAP.

4 h=2m h=5m h = 10 m h = 25 m h = 100 m

3      )     z      H      /      2

    m      (

2

       S

1

0 0

0.1

0.2

 f  (Hz)

0.3

0.4

0.5

 Fig 6.2 6.2 Comportami Comportamiento ento del del espectro espectro tipo TMA en función función de la la profundidad profundidad para (  H  s = 1.4142 m y T  10 s)  p = 10 s)

120

6.3 Distribución angular 

El concepto de espectro direccional se introdujo para describir el estado de mar  resultante de la superposición de componentes con distintas direcciones de propagación. El espectro direccional representa la distribución de energía del oleaje no solamente en el dominio frecuencial, sino también en el direccional (ángulo θ ). Generalmente se expresa como (6.50)

S(f,θ ) = S(f ) G(f ;θ )

donde S ( f ,θ ) es la función de densidad espectral del oleaje direccional o simplemente espectro de oleaje direccional, y G ( f;θ ) es la función de distribución direccional, también llamada función de distribución angular o distribución angular. La función G ( f ;θ ), representa la distribución direccional de energía del oleaje, y se ha comprobado que varía con la frecuencia, aunque algunas formulaciones simplificadas no lo contemplan. La función de distribución angular es adimensional y se normaliza mediante π 

∫

(6.51)

γ G(f ; θ ) dθ = 1 - π 

donde γ se usa como función de pico. Por tanto, el espectro frecuencial S(f) da el valor absoluto de la densidad de energía del oleaje en cada frecuencia, mientras que la función G(f;θ  ) representa la distribución de la energía del oleaje por direcciones. Mitsuyasu et al (1975) han propuesto la siguiente función, basada en datos medidos en diferentes campañas de campo: ⎡θ máx 2 s ⎤ G ( f ;θ ) = ⎢ ∫ cos (θ  / 2 )d θ ⎥ ⎢⎣θ mín ⎥⎦

−1

(6.52)

donde s es un parámetro dependiente de la frecuencia. La función anterior tiene como característica al parámetro  s, el cual representa el grado de concentración de energía por direcciones, que adquiere un valor máximo alrededor de la frecuencia de pico espectral. El valor de  s decrece a medida que el valor de la 121

frecuencia se desplaza hacia frecuencias menores o mayores, es decir, la distribución direccional de energía del oleaje es de banda más estrecha alrededor de la frecuencia de  pico espectral. A pesar de que la propuesta original de Mitsuyasu et al  (1975) relacionaba el  parámetro de concentración s con la velocidad del viento U , Goda y Suzuki (1975) han redefinido la expresión original de la siguiente forma, introduciendo el valor de pico s, como smáx, como parámetro principal, para el propósito de aplicación ingenieril, ⎡ s máx ( f  /  f  p )5 :  f  ≤  f  p  s = ⎢ ⎢⎣ s máx ( f  /  f  p )− 2.5 :  f  ≥  f  p

(6.53)

Por otro lado, Briggs et al  (1995) sugieren utilizar la función envolvente normal para representar el efecto direccional. La representación en series de Fourier se expresa como:  D(f,θ ) =

1 2π

+

1

 N 

∑e

π  n=1

-

(nσ m )2 2

cos n( θ  - θ m )

(6.54)

la cual es una función de la dirección principal θ m y la desviación estándar circular  σ m en radianes, definida por  θ m = θ 0 + θ 1 (f -  f  p )

(6.55)

σ m = σ 0 + σ 1 (f -  f  p )

(6.56)

Es muy común asignar tanto a σ 1 como a θ 1 un valor igual a cero. Con el fin de ilustrar el efecto de la distribución direccional, se presentan en la fig 6.3 diferentes tipos de espectros direccionales, abarcando desde los de banda ancha hasta los de banda estrecha, tanto a nivel direccional como a nivel frecuencial y sus diferentes combinaciones. En todos los casos, la frecuencia de pico es  f  p = 0.1Hz, la altura cuadrática media  H rms =1m, la profundidad h = 10m, el incremento de frecuencia  ∆ f = 0.0125 Hz, y un ángulo principal de θ 0 =0º. Las restantes características de los espectros se resumen en la tabla 6.2. El espectro utilizado es del tipo TMA (apartado 6.2.12).

122

 Fig 6.3 Ejemplo de espectros con diferente anchura espectral y direccional y misma energía y periodo de pico espectral 

TABLA 6.2 PARÁMETROS DE LOS DIFERENTES ESPECTROS Caso

S máx

γ

a  b c d

10 75 10 75

1 1 10 10

6.4 Generación de oleaje vía numérica

En ocasiones para cierto tipo de estudios, particularmente en laboratorio, es necesario contar con series de tiempo del oleaje. Una limitación que tiene todas las técnicas de  predicción de oleaje espectral es que sólo estiman la distribución energética del oleaje sobre ciertas frecuencias. Por ello, algunos autores han propuesto metodologías para la generación numérica de oleaje. Uno de los métodos más utilizados para la generación sintética de oleaje es el llamado esquema de fases aleatorias, donde la oscilación de la superficie libre está compuesta por  la superposición de ondas sinusoidales con fases de ángulo aleatorio y con amplitudes 123

 basadas en un espectro dado, S(f n ). La superficie libre, η(t ), como una función del tiempo, es expresada por  η (t ) =

 N/2

∑1 c

n

cos (2π  f n t + φ n ) 0 ≤ t  < t máx

(6.57)

n−

con 1/ 2

Cn = [ 2 S ( f n )∆f ]  

∆ f  =

1  N ∆t 

(6.58) (6.59)

En las ecuaciones anteriores,  N  es el numero de puntos en la serie de tiempo, ∆ t  el intervalo de muestreo, t max la duración de las serie de tiempo, C n son las amplitudes reales de Fourier, ∆ f  es el ancho de la banda de frecuencias,  f n = n∆ f  es la frecuencia, y φ n son las fases aleatorias de los ángulos distribuidos uniformemente entre (0 y 2π). Este método representa un estado de mar gaussiano solamente cuando el numero de armónicos,  N /2, se aproxima a infinito. Para un numero finito de  N y ∆ f = constante, el  perfil de la superficie libre se repite después de t = t máx. Casi siempre, la duración de 0 < t < t máx es de interés, y el uso de ∆ =constante es normalmente suficiente si ∆ f  es  pequeño. Para regresar la serie de tiempo en función de determinados coeficientes de Fourier, es  posible haciendo uso de la siguiente ecuación: η (t ) =

 N/2

∑1 [a

n

cos (2π  f n t + φ n ) + bn sen (2π  f n t + φ n )] 0 ≤ t  < t máx

(6.60)

n−

donde an y bn son los coeficientes de Fourier, definidos como

( )

(6.61)

( )

(6.62)

an = C n cos φ  n bn = C n sen φ  n

Para calcular las fases aleatorias, φn, se puede utilizar cualquier técnica de generación de números aleatorios uniformemente distribuidos entre (0 y 2π); por ejemplo, la de Williams (1993).

124

7. MODELOS PARAMÉTRICOS DE PREDICCIÓN DE OLEAJE Los primeros modelos espectrales de oleaje, de tipo numérico, desarrollados a  principios de la década de los sesenta del siglo pasado, sólo tomaban en cuenta el crecimiento de la energía del oleaje y su disipación. Con el tiempo, a estos modelos se les denominó modelos de oleaje de primera generación. De los resultados obtenidos con este tipo de modelos se infirió claramente que las interacciones entre el oleaje de diferente frecuencia eran importantes para determinar la distribución de la energía del oleaje en un espectro. Esas interacciones no lineales son muy difíciles y laboriosas de calcular explícitamente; entonces, se realizó un gran esfuerzo por desarrollar modelos de tipo paramétrico que tomaran en cuenta dicho efecto. Los modelos de oleaje que utilizan una parametrización de la interacción de los efectos no lineales son conocidos como modelos de segunda generación. En las dos últimas décadas se han desarrollado herramientas numéricas que permiten aproximar de mejor manera la transferencia de energía no lineal entre componentes, los cuales a su vez permiten que el espectro de oleaje sea forzado a una forma  particular, de acuerdo con las condiciones meteorológicas. Estas aproximaciones se han dado a conocer como modelos de tercera generación, los cuales comparados con los modelos de tipo paramétrico son más exigentes desde el punto de vista computacional. Por todo lo anterior, a continuación sólo se abordan modelos de tipo paramétrico, y se deja a juicio del lector abundar más sobre el tema. 7.1 Introducción

En los últimos años son muchos los esfuerzos realizados para desarrollar un modelo universal aplicable para la estimación del oleaje en función de la información 125

meteorológica. Sin embargo, casi todos los esfuerzos han llevado a la sofisticación de modelos, que en términos de ingeniería no son abordables. Entre los pocos esfuerzos que escapan de esta filosofía se encuentran los trabajos desarrollados por Leenknecht et al (1992) y Silva et al (2002). El trabajo desarrollado por Leenknecht et al (1992) es un compendio de herramientas muy útiles para la estimación del oleaje generado por vientos geostróficos, de escala  planetaria, como puede ser el caso de los frentes fríos que viajan de las zonas polares hacia el trópico durante la época del invierno. Mientras que para el caso específico de la generación de oleaje por la presencia de circulaciones meteorológicas cerradas que se propaga sobre aguas tropicales o ciclones tropicales, el modelo Silva et al  (2002) ha probado ser muy confiable. De hecho, el modelo de Silva es un refinamiento de una serie de trabajos previos desarrollados, entre otros, por Sánchez et al  (1998), Silva et al (2000), Holland (1980) y Bretchsneider (1990). Estos modelos pueden ser utilizados en combinación con modelos de predicción y caracterización de oleaje (caps 5 y 6), dado que los modelos de predicción  paramétricos que se abordarán en este capítulo sólo permiten estimar los valores más representativos de un estado de mar. 7.2 Modelo de predicción de oleaje con vientos geostróficos

Esta sección está basada en el trabajo desarrollado por Leenknecht et al  (1992), al cual se le han realizado una serie de modificaciones, particularmente en una serie de  parámetros que se apegan más a la predicción de valores reales. 7.2.1 Ajuste del viento Con el fin de utilizar las ecuaciones que describen el desarrollo del oleaje, la metodología para adecuar las observaciones de velocidad del viento está basada en un modelo idealizado de capa límite planetaria, como se ilustra en la fig 7.1. Para condiciones típicas de latitud media, esta capa límite planetaria existe solamente en los kilómetros más bajos de la atmósfera y contiene alrededor del diez por ciento de la masa atmosférica (Holton, 1979). 126

Región geostrófica

Región de Ekman

Región de tensión constante

z

Superficie del agua

 Fig 7.1 Capa límite atmosférica idealizada sobre la superficie libre del agua (Leenknecht, 1992)

En esta teoría, se considera que en los niveles más bajos el viento actúa directamente sobre la superficie del agua, en la cual existe una región que presenta una zona de tensión relativamente constante entre la interfase aire-agua. Esta capa de la superficie es designada región de tensión constante, consideración que se supondrá como permanente de aquí en adelante. En la parte superior de la zona de tensión constante se localiza la región de Ekman, donde actúan fuerzas adicionales como la de Coriolis, gradiente de  presiones, tensión viscosa, etcétera. Finalmente, sobre la región de Ekman, los vientos geostróficos son considerados como el resultado del balance entre las fuerzas ejercidas por el gradiente de presiones y las fuerzas de Coriolis para un sistema sinóptico de escala. Para hacer uso de las ecuaciones que describen el desarrollo del oleaje, los vientos observados son clasificados en seis categorías, como se muestra en la tabla 7.1. Aunque se consideren seis categorías para los diferentes tipos de observaciones de la velocidad del viento, por conveniencia, en la metodología que se desarrollará en lo subsiguiente, se considerarán sólo dos casos separados: observaciones en la capa de tensión constante y observaciones en la región geostrófica. Los ajustes necesarios a la velocidad del viento reportados por observaciones de barcos se llevan a cabo antes de  proceder a cualquier tipo de cálculo. Para los casos en que el viento sopla desde tierra y que son medidos en la línea costera en dirección hacia el mar, se toman como equivalentes los vientos observados en estaciones tierra adentro. Las características complejas del viento causadas por fricción local o topografía accidentada obviamente no se analizan en este capítulo. 127

TABLA 7.1 CARACTERÍSTICA Y TIPO DE ACCIÓN PARA VIENTOS OBSERVADOS (LEENKNECHT, 1992) Tipo de observación Sobre el agua (no  procedente de barcos) Sobre el agua (reporte de barcos) En la costa (vientos  procedentes de tierra) En la costa (vientos  procedentes del mar) Sobre tierra Vientos geostróficos

Acción inicial

Dominio de solución

 —

Capa de tensión constante

Ajustar

Capa de tensión constante

 —

Capa de tensión constante

Vientos geostróficos estimados Modelo de capa límite planetaria Vientos geostróficos estimados Modelo de capa límite planetaria — Modelo de capa límite planetaria

7.2.1.1 Estimaciones y ajustes iniciales Por lo general, las observaciones de la velocidad del viento sobre el mar son la condición ideal de todas las diferentes fuentes para predecir el oleaje. Con frecuencia, los marinos, en sus rutas de navegación registran una serie de datos de forma muy cualitativa, por lo que Cardone (1969), revisando los registros basados en observaciones de barcos, sugirió el siguiente ajuste: 7/9 U = 1.86 × U obs

(m/s)

(7.1)

donde U  velocidad ajustada de la velocidad del viento basada en registros de barcos U obs observaciones de la velocidad del viento basada en registros de barcos.

Para los casos en que las observaciones de velocidades de vientos sean predominantemente sobre superficies en tierra, algunas veces se utilizan modelos similares al de capa límite para otros propósitos de predicción. En este capítulo, las siguientes estimaciones son realizadas para estimar los vientos geostróficos, V  g , (unidades en el sistema centímetros-gramos-segundos): V  g  =

U * C  D _ tierra

128

(7.2)

donde la velocidad friccionante, U *, se evalúa como: U * =

κ  ⋅ U obs

⎛ z ⎞ ln ⎜ obs ⎟ ⎝  z0 ⎠

(7.3)

y donde κ  es la constante de von Karman (κ ∼ 0.4), zobs es la elevación de la observación del viento,  z0 es la longitud de superficie rugosa (supuesta  z0 = 30 cm), C  D_ tierra es el coeficiente de arrastre en tierra, mismo que se puede evaluar a través de la siguiente relación: C  D _ tierra ≈ 0.00255 ( z 0 )0.1639

(7.4)

7.2.1.2 Región de tensión constante Las características de la región de tensión constante se pueden resumir como sigue: 







La región de tensión constante está confinada en los últimos metros de la capa límite El flujo del viento se supone paralelo a la superficie del agua La velocidad del viento se ajusta para que la tensión de fricción horizontal sea casi independiente de la altura La tensión permanece constante entre la capa y está caracterizada por la velocidad de fricción U*.

La estabilidad (gradiente aire-agua) tiene un efecto importante sobre el desarrollo del oleaje. El perfil de velocidades del viento entre esta región se define por medio de la siguiente relación logarítmica modificada: U  z =

U* ⎡ ⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞⎤ ⎢ln ⎜ ⎟ − Ψ ⎜ ⎟ ⎥ κ  ⎣ ⎝ z0 ⎠ ⎝ L ' ⎠⎦

(7.5)

donde U  z es la velocidad del viento a la elevación  z,  z0 es la longitud de rugosidad superficial dada como C  (7.6)  z0 = 1 + C2U *2 + C 3 U * 129

con C1 = 0.1525;

C2 =

0.019 ; 980

C 3 = −0.00371

(7.7)

donde  L’  es la longitud de estabilidad de Obukov, ∆T  el gradiente de temperatura aire–agua y Ψ  es la función universal de similaridad (Keyps, 1964), U *2 ⎡ ⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞⎤  L ' = 1.79 ⎢ ln ⎜ ⎟ − Ψ ⎜ ⎟⎥ ∆T ⎣ ⎝ z0 ⎠ ⎝ L ' ⎠⎦

Ψ =0

(7.8)

∆T  = 0  z z Ψ = C  | >0  L ' L' ⎛ 1 + φ u2 ⎞ 1 + φu ⎞ π   z ⎛ −1 Ψ = 1 − φu − 3ln φu + 2 ln ⎜ + 2 tan φ  − + ln | ≤0 ⎜ ⎟ u ⎟  L ' 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ |

φ u

 Ri =

(7.9)

1 1 − 18 Ri1/ 4

(7.10)

 z 1/ 4 (1 − 18Ri )  L '

(7.11)

=

Sherlock (1996) sugiere un valor para la constante C = -1.5, cuando se resuelva sobre la condición de región de tensión constante. Para dar solución a las ecuaciones anteriores se debe de utilizar un método iterativo, que normalmente converge muy rápidamente. El criterio de convergencia (ε ) para U * y L’ está dado por  ε U*

→ 0.1(cm/s)

 y

ε L '

→ 1(cm)

(7.12)

Las ecuaciones que describen la evolución del oleaje, las cuales se presentan en los siguientes apartados, requieren la velocidad del viento equivalente a una elevación de 10 m sobre condiciones de estabilidad neutra (∆T = 0). Una vez resueltas las ecuaciones en la región de tensión constante para U *, la velocidad del viento equivalente, U e , se puede calcular fácilmente por medio de la ec 7.5, usando ( U *,  z = 10 m, ∆T = 0): U e1000 =

U * ⎡ ⎛ 1000 ⎞ ⎤ ⎢ln ⎜ ⎟ − 0⎥ κ  ⎣ ⎝  z0 ⎠ ⎦

130

(7.13)

7.2.1.3 Modelo de capa límite planetaria Para los casos en que los vientos geostróficos son conocidos o han sido estimados, se deben resolver las ecuaciones de similitud que describen la capa límite planetaria. Además de las relaciones descritas anteriormente para la región de tensión constante, se consideran válidas las siguientes relaciones que describen el modelo desde el nivel superficial del mar hasta la zona geostrófica:

(κ 2 ) V g 

uu r

ln

V g

 fz0

uu r

=  A − ln

U * + V  g 

2 *

U 

uu r

sen θ  =

− B2

(7.14)

 BU * κ  V  g 

(7.15)

uu r

uu r

donde V  g  es el viento geostrófico,  f  la aceleración de Coriolis,  A y  B funciones adimensionales de estabilidad, que se pueden evaluar a través de:  A = A0 + ( 7 − A0 ) ⎡⎣1 − e( 0.015 µ ) ⎤⎦  B = B0 − B1 ⎡⎣1 − e

( 0.03 µ )

⎤ ⎦

 A = A0 − 0.96 µ + ln( µ  + 1)  B = B0 + 0.7 µ 

µ  ≤ 0

(7.16)

µ  > 0

(7.17)

La ec 7.16 se modificó de acuerdo con las sugerencias de una comunicación personal de Shelock (1996), quien también propone los siguientes valores para las constantes ( A0 = 0.8, B0 = B1 = 3.5). El parámetro adimensional de estabilidad µ está dado por: µ  =

κ U *

(7.18)

 fL '

uu r

mientras que θ  es el ángulo entre V  g  y la tensión superficial. Las ecs de la 7.14 a la 7.18 se resuelven simultáneamente con las ecs 7.5 a 7.11, hasta que se tiene una convergencia adecuada para U *,  L’  y  A. En la ec 7.7 se da un valor  de C2 = 0.0144/980 y de C = -7.0 en la ec 7.9. El criterio de convergencia usado para el sistema iterativo en las ecuaciones antes mencionadas es como se indica a continuación: ε U*

→ 0.1(cm/s)

y

ε L'

131

→ 1(cm)

y ε A → 0.1

(7.19)

El procedimiento de solución converge muy rápidamente. Como se mencionó anteriormente, se utiliza la ec 7.13 para determinar la velocidad neutra del viento a una elevación de diez metros, considerando (U *, z = 10 m, ∆T = 0). 7.2.1.4 Ajustes finales Se hace un ajuste adicional para los casos en que la longitud del fetch sea relativamente pequeña, antes de la aplicación de las ecuaciones que evalúan el desarrollo del oleaje. Para longitudes de fetch inferiores de 16 km, se aplica la siguiente reducción: U e = 0.9U e

(7.20)

Finalmente, es necesario evaluar los efectos del viento con duración variable, t i, sobre el crecimiento del oleaje. Para ajustar la velocidad del viento a una duración de interés se emplean las siguientes ecuaciones:

⎛ ⎛ 45 ⎞ ⎞ U i = 1.277 + 0.296 tanh ⎜⎜ 0.9 ln ⎜ ⎟ ⎟⎟ U 3600 ⎝ t i ⎠ ⎠ ⎝ U i = −0.15ln ti + 1.5334 U 3600

|

|

1 < t i < 3600s

3600 < t i < 36000s

(7.21)

(7.22)

En primer lugar, se determina la velocidad de viento en una hora, U 3600, (usando t i = t obs). Luego, se estima la velocidad del viento (U  i) con la duración requerida, seleccionando la duración deseada (t  i) y usando la ecuación apropiada. 7.2.2 Desarrollo del oleaje Una vez estimada la velocidad del viento sobre la superficie de agua para la duración de interés, el objetivo se centra en hacer una estimación del desarrollo del oleaje causado por la acción del viento. Las ecuaciones simplificadas que describen el crecimiento del oleaje ayudan a evaluar rápida y eficientemente el oleaje, tanto en aguas profundas como en aguas someras. Las expresiones para mar abierto corresponden a las presentadas en el Shore Protection Manual  (1984) y en Vincent (1984). Las expresiones para longitudes de fetch restringido en aguas profundas, se 132

encuentran en Smith (1991). Se debe hacer notar que la ley de arrastre (Garratt, 1977) aquí empleada difiere de la presentada en el Shore Protection Manual . Las suposiciones más importantes al realizar cualquier cálculo de las características del oleaje, contemplan lo siguiente: 

Se desprecia la energía debida a la presencia de otros trenes de oleaje existentes



Es válida para geometrías con un fetch no muy grande ( F ≤ 120 km)



Las velocidades de viento son relativamente constantes (∆U ≤ 5 Kts), así como su dirección (∆α ≤ 15o)



La velocidad del viento se mide a diez metros sobre el nivel del mar ( z = 10 m)



Las condiciones son de estabilidad neutra (∆T = 0)



Los valores del coeficiente de arrastre son fijos (C  D = 0.001).

Vincent (1984) sugirió que la velocidad del viento debe ser ajustada de forma que se consideren los efectos no lineales que ejerce el esfuerzo cortante del viento, que son los que generan el oleaje, por lo que se aplica la ley de arrastre presentada por Garratt (1977): τ

= ρ a CDU 2

C D = 0.001(0.75 + 0.067U )

(7.23) (7.24)

donde p es la densidad del aire. Entonces, la velocidad del viento neutra equivalente se ajusta o lineariza para un coeficiente de arrastre C  D = 0.001, antes de la aplicación de la ecuación para calcular  el crecimiento del oleaje: U a = U e

La ecuación anterior está dada en metros. 133

C  D 0.001

(7.25)

7.2.2.1 Consideraciones sobre la longitud del fetch Las expresiones que describen el crecimiento del oleaje se dividen en cuatro categorías: aguas profundas y aguas someras, para ambas formas con longitud de fetch en mar  abierto o longitudes de fetch limitadas por una geometría en particular (también designado fetch restringido). A continuación se presenta una breve explicación al respecto. 7.2.2.2 Fetch en mar abierto En mar abierto, la generación del oleaje está limitada por las dimensiones del evento meteorológico y el ancho del fetch es del mismo orden de magnitud que sus longitudes. Las estimaciones simplificadas para el crecimiento del oleaje en mar abierto tienen una relación directa con la longitud del fetch, pero no con el ancho o forma. Se supone que el crecimiento del oleaje ocurre a lo largo del fetch en la misma dirección del viento. 7.2.2.3 Fetch restringido En este caso, se considera esencialmente el impacto que sufre la generación de oleaje a causa del viento en geometrías complejas, tales como bahías, lagos, ríos, etcétera. Esta metodología, para fetch restringidos, toma en cuenta el concepto de desarrollo del oleaje en dirección del viento que sopla desde tierra hacia los cuerpos de agua, considerando la geometría particular de cada caso. Los detalles de esta metodología  pueden consultarse en Smith (1991), que a su vez está basado en los conceptos desarrollados por Donelan (1980), en los cuales se maximiza el periodo del oleaje como una función de la longitud del fetch en la misma dirección que el viento. Para esta aproximación, se utilizan las longitudes radiales del fetch (como medida de varias localizaciones a lo largo de la línea de costa del cuerpo de agua en cada punto de interés) para describir la geometría del cuerpo de agua. Además se debe especificar la dirección del viento. La fig 7.2 ilustra los parámetros más relevantes de la geometría para la aproximación de fetch limitado. En la fig 7.3 se representa la convención para especificar tanto la dirección del viento cuanto la geometría del fetch. La dirección del viento α, así como el ángulo radial del fetch,  β 1, y ∆ β , se deben especificar en el sentido de las manecillas del reloj, a partir  del norte del punto de interés, donde la predicción del oleaje es requerida. De los datos especificados de las distancias radiales del fetch, los valores intermedios  pueden ser interpolados en los 360o. 134

 Norte Punto de interés

Fetches radiales

Viento

 Fig 7.2 Parámetros geométricos para fetch restringido

 Norte

Punto de interés

α

θ

β1

∆β ∆β ∆β

φ Viento

Fetch1 Fetch2 Fetchi

Oleaje

Fetch n

 Fig 7.3 Convención para fetch restringido (Leenknecht, 1992)

135

La dirección de desarrollo del oleaje θ , se resuelve por medio de la maximización de la siguiente expresión:  F φ 0.28 ⋅ (cos φ )0.44

(7.26)

Este procedimiento maximiza los términos más relevantes en la expresión para el  periodo de pico espectral del oleaje, T  p, ec 7.36. El ángulo φ define la dirección del viento asociada con el valor de interpolación de la longitud promedio del fetch. Los resultados de la ec 7.26 se evalúan desde φ = 0 ± 90o para cada grado de incremento. Los productos de la ec 7.26 han sido maximizados, φ representa el ángulo entre las dirección de propagación del oleaje y del viento, y θ  representa la dirección del compás desde la cual el desarrollo del oleaje ocurre a lo largo de  F φ. Para una dirección determinada del viento, habrá una dirección de desarrollo del oleaje, donde T  p será un máximo. 7.2.2.4 Desarrollo del oleaje en aguas profundas Las ecuaciones que describen el crecimiento del oleaje en aguas profundas consideran los efectos del fetch y la duración del evento. Las fórmulas para el crecimiento del oleaje en aguas profundas con un fetch y duración limitados son tomadas de Vincent (1984) y están basadas en los resultados proporcionados por Hasselmann et al  (1973 y 1976). Las ecuaciones para un fetch limitado y con forma totalmente desarrollada en aguas profundas están basadas en Smith (1991). En todos los casos, la estimación del crecimiento del oleaje está condicionada por las expresiones para un espectro en equilibrio totalmente desarrollado. El procedimiento se describe a continuación: Determinación de la duración mínima, t  fetch, requerida para que el campo de oleaje  pueda llegar a ser un fetch limitado: Mar abierto  F 2/ 3 t  fetch = 68.8 1/ 3 1/ 3  g U a

(7.27)

 F 0.72 t  fetch = 5. 0.28 0.44 ˆa  g U 

(7.28)

Fetch restringido

136

Determinación del tipo de crecimiento (duración limitada o fetch limitado): 2. Duración limitada (t i < t fetch) Mar abierto

⎛ U a2 ⎞ ⎛ gt i ⎞  H  = 0.0000851⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝  g ⎠⎝ U a ⎠ ⎛ U ⎞ ⎛ gt  ⎞ T  = 0.0702 ⎜ a ⎟ ⎜ i ⎟ ⎝  g ⎠⎝ U a ⎠

5/ 7

(7.29)

0.411

(7.30)

Fetch restringido 0.69 ⎛ Uˆ a2 ⎞⎛ gt i ⎞  H  = 0.000103 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ˆa ⎠ ⎝  g  ⎠⎝ U 

(7.31)

0.39 ⎛ Uˆ a ⎞⎛ gt i ⎞ T  = 0.082 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ˆa ⎠ ⎝  g  ⎠⎝ U 

(7.32)

3. Fetch limitado (t i ≥ t fetch) Mar abierto 1/ 2

⎛ U a2 ⎞ ⎛ gF ⎞  H  = 0.0016 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝  g ⎠⎝ U a ⎠

(7.33)

1/ 3

⎛ U  ⎞ ⎛ gF ⎞ T  = 0.2857 ⎜ a ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝  g ⎠ ⎝ U a ⎠

(7.34)

ˆ a2 ⎞⎛ gF ⎞1/ 2 ⎛ U   H  = 0.0015 ⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ ˆa ⎠ ⎝  g  ⎠⎝ U 

(7.35)

ˆ a ⎞⎛ gF ⎞0.28 ⎛ U  T  = 0.3704 ⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ ˆa ⎠ ⎝  g  ⎠⎝ U 

(7.36)

Fetch restringido

137

4. Determinación de la condición de oleaje totalmente desarrollado: Mar abierto

⎛ U e2 ⎞  H  fd  = 0.2433 ⎜ ⎟ ⎝  g  ⎠ ⎛ U e ⎞ ⎟ ⎝  g  ⎠

T  fd  = 8.134 ⎜

(7.37)

(7.38)

Fetch restringido ˆ e2 ⎞ ⎛ U   H  fd  = 0.2433 ⎜ ⎟ ⎝  g  ⎠

(7.39)

ˆe ⎞ ⎛ U  T  fd  = 8.134 ⎜ ⎟ ⎝  g  ⎠

(7.40)

5. Verificar que en la condición de oleaje totalmente desarrollado no se excedan:  H m0 = mín ( H , H  fd  )

(7.41)

T  p = mín T , T  fd 

(7.42)

donde  g  aceleración de la gravedad t i duración del viento en las expresiones de duración limitada Û a = U a cos(φ ) componente del fetch paralelo a U a para la aproximación de fetch restringido Û e = U e cos (φ ) componente del fetch paralelo a U e para la aproximación de fetch restringido  H  altura de ola determinada por medio de las expresiones de duración limitada o fetch limitado T  periodo de ola determinado por medio de las expresiones de duración limitada o fetch limitado  H  fd  altura de ola significante limitada por el criterio de espectro totalmente desarrollado

138

T  fd   periodo de ola limitado por el criterio de espectro totalmente desarrollado Hm0 altura de ola final determinada con base en métodos espectrales T  p  periodo de pico final determinado por métodos espectrales.

7.2.2.5 Crecimiento del oleaje en aguas someras Las expresiones para estimar el crecimiento del oleaje en aguas someras también consideran el caso de fetch limitado, pero modificado para poder incluir los efectos de fricción del fondo y percolación (Bretschneider, 1954). Se supone que la profundidad es constante sobre la región en que el fetch ejerce su influencia. Los efectos de duración limitada no se incluyen en estas expresiones. Para el caso de mar abierto se usan las expresiones descritas en el Shore Protection Manual (1984). Mar abierto: 0.5 ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ 0.0016  gF  ⎪ ⎪ 0.75 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ 0.283 ⎝ U a ⎠ ⎛ gd  ⎞ Ua ⎪  H m0 = 0.283tanh ⎢ 0.530 ⎜ 2 ⎟ ⎥ tanh ⎨ (7.43) 0.75 ⎬  g ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎝ U a ⎠ ⎥⎦ ⎛ gd  ⎞ ⎪ ⎪ ⎪ tanh ⎢0.530 ⎜ U 2 ⎟ ⎥ ⎪ ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ ⎭⎪ ⎩⎪

0.333 ⎧ ⎫ 0.2857 ⎛ gF  ⎞ ⎪ ⎪ 0.375 ⎜ ⎟ 2 ⎡ ⎪⎪ 7.54 ⎝ U  ⎪⎪ ˆa ⎠ ⎛ gd  ⎞ ⎤ U a2 ⎢ ⎥ 7.54 tanh 0.833 ⎜ 2 ⎟ tanh ⎨ T  p = 0.375 ⎬ ˆ  g  ⎡ U  ⎢⎣ ⎥ ⎛ gd  ⎞ ⎤ ⎪ ⎝ a⎠ ⎦ ⎪ ⎢ tanh 0.833 ⎜ ˆ2 ⎟ ⎥⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎝ U a ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩

(7.44)

Con fetch limitado: 0.5 ⎧ ⎫ ⎛ ⎞  gF  0.0016 ⎪ ⎪ 0.75 ⎜ ⎟ 2 2 ⎡ ⎪⎪ 0.283 ⎝ U  ⎪⎪ ˆa ⎠ ⎛ gd  ⎞ ⎤ U  H m0 = a 0.283 tanh ⎢ 0.530 ⎜ 2 ⎟ ⎥ tanh ⎨ (7.45) 0.75 ⎬ ˆ  g  ⎡ ⎤ U  ⎢⎣ ⎛ gd  ⎞ ⎪ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎢ tanh 0.530 ⎜ ˆ2 ⎟ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎝ U a ⎠ ⎥⎦ ⎭⎪ ⎣ ⎩⎪

139

0.28 ⎧ ⎫ ⎛ ⎞  gF  0.3704 ⎪ ⎪ 0.375 ⎜ ˆ2 ⎟ 2 ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ 7.54 ⎝ U a ⎠ ⎛ gd  ⎞ U a ⎪ ⎢ ⎥ 7.54 tanh 0.833 ⎜ 2 ⎟ tanh ⎨ T  p = 0.375 ⎬ ˆ  g  ⎡ U  ⎢⎣ ⎥ ⎛ gd  ⎞ ⎤ ⎪ ⎝ a⎠ ⎦ ⎪ ⎢ tanh 0.833 ⎜ ˆ2 ⎟ ⎥⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎝ U a ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩

(7.46)

7.3 Modelo de predicción de oleaje con viento ciclostrófico

El modelo paramétrico de ciclones que se describe en este capítulo fue desarrollado  por Silva et al (2002). Este modelo está basado a su vez en los trabajos de Sánchez et  al  (1998) y Silva et al  (2000), que son una adecuación de los modelos HydrometRankin Vortex de Holland (1980) y Bretchsneider (1990). El modelo está compuesto  por los submodelos de presión, viento y oleaje. 7.3.1 Modelo de presión atmosférica El modelo de viento está representado por la siguiente relación:  Pr = P0 + ( PN  − P0 ) e− R / r 

(7.47)

donde P 0 es la presión en el centro del huracán, P r  la presión a una distancia radial r ,  P  N  la presión normal y  R el radio de máximos vientos ciclostróficos. La presión está dada en milibares y la distancia en kilómetros. 7.3.2 Modelo de vientos El máximo gradiente de vientos U  R (en km h-1), para un ciclón estacionario puede ser  evaluado a través de la siguiente relación: U R = 21.8 PN  − P0 − 0.5 fR

(7.48)

donde f es parámetro de la fuerza de Coriolis,  f  = 2ω sin φ  , ω es la velocidad angular  de la Tierra, ω  ≈ 0.2618rad/h , y φ  es la latitud. La velocidad del viento evaluada a diez metros sobre el nivel del mar, en km.h-1, para un ciclón en movimiento y para una distancia r  medida desde el centro del ciclón, está dada por: 140

W = 0.886 ( FvU R + 0.5VF  cos ( θ + β ) )

(7.49)

donde ( θ + β  ) representa el ángulo total entre la velocidad de traslación, V  F  (en km.h-1), y la velocidad del viento U r  (en km.h-1), a una distancia radial, r , desde el centro del huracán y es positiva en el lado derecho y negativa en el lado izquierdo;  F v es un factor de amortiguamiento que se evalúa como la relación de la velocidad del viento en r , U r  (en km.h-1) y U  R. El factor  F v es aproximado a través de un polinomio de cuarto orden:  y = aX + bX 2 + cX 3 + dX 4

(7.50)

donde  y = log10 ( Fv ) = log10 (U r / U R ) , y  X = log10 ( r / R ) . Los coeficientes a, b, c y d  están dados en la tabla 7.2, para diferentes rangos de número de Coriolis ciclostrófico ( N c = f  R /U  R ). TABLA 7.2 PARÁMETROS UTILIZADOS EN LA EC 7.50  X  > 0  X  ≤ 0  N c ≤ 0.005

 N c > 0.005

a = -0.233 0.033 − 16.1 N c + 161.9N c 2 −0.175 − 0.76 N c + 11.7 Nc 2 − 28.1Nc 3 + 17 N c 4 b = -12.91 −0.43 + 38.9 Nc − 316 N c 2 0.235 + 2.71 N c − 67.6Nc 2 + 189Nc 3 − 155N c 4 c = -19.38 0.113 − 28.6 N c + 71.1N c 2 −0.468 − 9 N c + 87.8N c2 − 224 Nc 3 + 183N c 4 d  = -8.311 1.818 Nc + 80.6 N c 2

0.082 + 3.33 N c − 26 N c 2 + 63.8Nc 3 − 51.4N c 4

7.3.3 Evaluación de la altura de ola Para evaluar la altura de ola significante  H  s, para un ciclón no estacionario, se aplica la siguiente ecuación:

⎛ ⎞ ⎛ V  F  cos (θ + β ) ⎞ 6.69 N C  −  H s = 0.2887 FH ⎜ 1 − R P P  ( ) ⎟ ⎟ 0 ⎜1 + N  2 U F  2  N N  1 + 10.3 3.25  R V  ⎝ ⎠ C C  ⎠ ⎝

141

2

(7.51)

donde  F  H  puede ser aproximado de manera similar a  F v, a través de la siguiente relación:  y1 = aX + bX 2 + cX 3

(7.52)

donde y1 = log10 ( F H ) = log10 ( H r / H R ) y X = log10 ( r / R ) ≥ 0 . Los parámetros a, b y c están dados en la tabla 7.3. TABLA 7.3 PARÁMETROS UTILIZADOS EN LA EC 7.52 a= b= c=

 N c ≤ 0.06

 N c > 0.06

−0.0322 − 6.703 N c − 43.472N c 2 −0.29 + 3.806 N c + 15.58N c 2 0.147 − 1.41 N c − 7.778N c 2

−0.0031 − 11.49 N c + 29.71N c 2 − 17.22N c 3 −0.312 + 6.974 N c − 32.79N c 2 + 28.01N c3 0.1542 − 2.494 N c + 8.75N c 2 − 8.95N c 3

El periodo de ola asociado a la altura de ola significante puede ser estimado a través de la siguiente ecuación: T s = 12.1 H s g 

(7.53)

7.3.4 Relaciones complementarias Los modelos paramétricos de presión, viento y oleaje que se reportan en la literatura especializada dependen de la información siguiente: posición del centro del huracán,  presión central, valor de presión de la última isobara cerrada y del radio ciclostrófico, conocido también como radio de máximo gradiente. Hasta 1979 en algunos reportes meteorológicos se omite la presión central. Para resolver esta deficiencia, Silva et al  (2002) proponen dos curvas para estimar este valor en función de la velocidad superficial máxima del viento, una para el océano Atlántico y la otra para el océano Pacífico, que son respectivamente:  P0 = 1019.08 − 0.182Vv − 0.0007175Vv2

(7.54)

 P0 = 1017.45 − 0.1437Vv − 0.00088Vv 2

(7.55)

142

donde  P 0 es la presión central del huracán en milibares (mb) y Vv es la velocidad máxima del viento promedio en un minuto, en km.h -1. Ésta es la velocidad que normalmente se reporta en los boletines meteorológicos. Actualmente todos los parámetros pueden ser encontrados en muchos boletines climatológicos, a excepción del radio ciclostrófico que propiamente nunca se reporta. Después de analizar el comportamiento de 26 huracanes, Silva et al  (2002) proponen la siguiente relación:  R = 0.4785 P 0 − 413.01

(7.56)

donde el radio ciclostrófico, R, está dado en kilómetros. Es importante hacer notar que las relaciones anteriores sólo son válidas para presiones centrales superiores a 888 milibares.

143

8. ANÁLISIS A LARGO PLAZO En ingeniería marítima, la diferencia más clara e importante del diseño probabilístico comparado con el diseño convencional (determinista) es que el diseño probabilista toma en cuenta de manera explícita la incertidumbre involucrada en las características de la estructura o medio en consideración. Durante las últimas décadas el progreso realizado en el diseño probabilista es considerable. En este capítulo se intenta introducir brevemente los métodos de trabajo probabilístico con independencia del tipo de estructura que se desee estudiar. El primer paso en un análisis de fiabilidad de cualquier estructura (p ej rompeolas, ducto, playa, boca de un estuario, etcétera) consiste en definir sus funciones de trabajo. Cuando las funciones de trabajo de la estructura están definidas, las formas en las cuales se pueden presentar diferentes tipos de fallo se pueden delimitar; éstas simplemente son conocidas como modos de fallo. Una función que describe el funcionamiento o fallo de una estructura o alguno de sus componentes es llamada función de fiabilidad o ecuación de estado límite. Es importante señalar que estado límite se define como aquel estado de la estructura en el cual se presenta un modo de fallo. Dentro de los estados límite se distinguen dos tipos: los relacionados con la seguridad estructural (estados límite últimos y de servicio) y los relacionados con la explotación de la obra (estados límite operativos). Los estados límite últimos son aquellos que ocasionan la destrucción total de la obra o de una parte de ella y se pueden clasificar en: pérdida del equilibrio estático, agotamiento resistente o rotura, deformación, inestabilidad, fatiga y colapso  progresivo. Los estados límite de servicio son aquellos que ocasionan la pérdida de funcionalidad de la obra o de una parte de ella, se clasifican en: pérdida de durabilidad, alteraciones geométricas acumuladas, vibraciones excesivas, fisuración 145

excesiva, deformaciones excesivas y estados límites estéticos, ambientales y legales. Los estados límite operativos son todos aquellos que ocasionan que se suspendan temporalmente las actividades para las que sirve la obra, sin que exista daño estructural. El éxito en el diseño de una obra, cualquiera que ésta sea, radica en la adecuada modelación de los agentes externos a los que estará sometida. El objetivo es erradicar  en lo posible las incertidumbres inherentes a la modelación de los fenómenos naturales; cuanto mayor grado de certidumbre se tenga en los datos que servirán para el diseño, menor será el riesgo de obtener obras sobrestimadas, que absorben más recursos de los necesarios, u obras subestimadas, que pueden fallar en cualquier  momento.  Normalmente, los estados límites últimos son estudiados a través del concepto de análisis de régimen extremal, mientras que los operativos se estudian mediante el análisis del comportamiento del régimen medio. Ambos conceptos son abordados en el presente capítulo. Muchos de los conceptos fundamentales de este capítulo están basados en el trabajo desarrollado por Castillo (1987), por lo que, si el lector necesita profundizar más sobre el tema de análisis extremal, la mencionada referencia puede ser de gran ayuda. 8.1 Importancia del análisis extremal en la inge niería

En ingeniería marítima, el éxito que se puede tener cuando se diseñan estructuras depende esencialmente de la adecuada selección de las condiciones ambientales a las que puede verse sometida dicha estructura. El modelado o idealización del problema debe ser lo suficientemente simple, con una lógica irrefutable, que admita una solución matemática y al mismo tiempo, que reproduzca suficientemente bien el problema real. El objetivo en el diseño de algún elemento es garantizar que dicho elemento no llegue a los estados límites de falla a lo largo de su vida útil. Para ser más específicos, el elemento debe satisfacer en todo momento la siguiente desigualdad: Cactuales

≤ C real  

(8.1)

donde C actuales representa a las condiciones actuales de operación (cargas, demandas, etcétera) y C real  representa la capacidad real del elemento para ese mismo tiempo. 146

Ambos componentes son variables aleatorias, cuyas funciones de distribución pueden ser establecidas únicamente por un análisis sistemático de la historia disponible y de las condiciones a las cuales han estado sometidos elementos similares. Afortunadamente no existe dependencia estadística de dichas variables aleatorias y sus funciones de distribución pueden ser examinadas por separado. La naturaleza aleatoria de los  parámetros fundamentales de diseño se toma en cuenta a través del llamado factor o coeficiente de seguridad, el cual resume, de una forma simple, el carácter aleatorio de dichos parámetros. Consecuentemente las capacidades disminuyen y las condiciones de operación aumentan; esto significa que bajo las técnicas clásicas de diseño la ec 8.1 es remplazada por  Cop FS o

≤

C ap  FS c

(8.2)

donde C op representa las condiciones de operación,  FS o el factor de seguridad asociado a las condiciones de operación, C ap las capacidades del elemento y FS c es el factor de seguridad asociado a las capacidades del elemento. Dado que la seguridad proporcionada con los factores de seguridad es tan simple que normalmente no es insuficiente, particularmente para aquellos problemas cuya solución es sólo posible mediante el empleo de teorías probabilísticas y métodos estadísticos. Para lograr un diseño adecuado, a lo largo de la vida útil del elemento se debe satisfacer que la condición descrita por la ec 8.1 se cumpla, ya que es posible que ciertas condiciones de operación y capacidad ocurran en un determinado tiempo. Por ello, la condición que hay que estudiar será:

Máx C op − C ap ) ≤ 0

(8.3)

o Máx C op < Mín C ap

(8.4)

Las variables Máx(C op-C ap), Máx(C op) y Mín(C ap) también son de tipo aleatorio. Es conveniente resaltar que cuando se seleccionan las variables ambientales de diseño normalmente no se está interesado en la función de distribución de las variables aleatorias, sino en la distribución de los valores extremos de dichas variables. Además

147

de que estos valores son los únicos que afectan directamente la falla de cualquier  sistema dado. 8.2 Excedencias

En muchas situaciones, se está interesado en los eventos asociados con las excedencias de ciertos valores de la variable en estudio. Por ejemplo, si una ola destruye un rompeolas, no importa si mide 10 o 20 m, ya que los daños causados no están en función de su magnitud sino del hecho de que excede el estado límite de falla. Generalmente se conoce cuáles son los valores críticos de una altura de ola y su único interés es conocer la frecuencia con la que ocurren las excedencias de dichos límites. Al concepto de excedencia va siempre asociado al de umbral, ya que la primera nunca se presentará si el valor de la variable en estudio no rebasa el umbral definido, es decir un límite de falla. Un problema práctico importante es el siguiente: Supóngase que se han realizado n observaciones independientes y que se está interesado en determinar la probabilidad de que, en las próximas  N  observaciones, se produzcan r  excedencias de la observación que ocupa el lugar emésimo más grande de las n observaciones pasadas. Se puede demostrar que el número de estas excedencias, r , es una variable aleatoria con media: 1

∫

r (n, m, N ) = Npm f ( pm )dpm

= N µ U m:n  =

0

 Nm n +1

(8.5)

y varianza σ 2 ( n, m, N ) =

 Nm(n − m + 1)( N + n + 1)

(n + 1)2 (n + 2)

(8.6)

La varianza toma el valor mínimo cuando m = (n+1)/2. Sin embargo, el coeficiente de variación decrece con m, tal como cabe esperar. Las expresiones 8.5 y 8.6 permiten elegir el valor de diseño cuando hay suficientes años de observación, pero es inútil cuando la información es escasa.  Ejemplo. La velocidad máxima del viento registrado en alguna localidad durante los

últimos 50 años ha sido 42 m/s. Determinar el valor medio y la varianza del número de excedencias de 42 m/s del máximo anual durante los próximos 25 años. 148

Solución: De las ecs 8.5 y 8.6, se obtiene r (n = 50, m = 1, N σ 2 ( n = 50, m = 1, N  = 25) =

= 25)   =

( 25)(1) = 0.4902 50 + 1

( 25 )(1)( 50 − 1 + 1)( 25 + 50 + 1) = 0.7024 2 ( 50 + 1) ( 50 + 2 )

 Ejemplo. Las alturas de ola máximas registradas en una cierta localidad en los últimos

50 años están dadas en la tabla 8.1. Elegir la altura de diseño para que se tenga una media de dos excedencias en los próximos 25 años. TABLA 8.1 ALTURAS DE OLA MÁXIMAS ANUALES EN UNA CIERTA LOCALIDAD Alturas de ola, en metros 4.84 5.29 5.89 5.90 6.06 6.32 6.58 6.61 6.73 7.03

7.05 7.12 7.18 7.19 7.21 7.30 7.30 7.43 7.50 7.60

7.64 7.71 7.78 7.85 7.89 8.06 8.07 8.10 8.14 8.21

8.21 8.31 8.52 8.56 8.58 8.77 8.94 9.01 9.12 9.20

9.66 9.75 9.86 10.03 10.09 10.15 10.38 10.51 10.59 10.80

Solución: Según la ec 8.5, se tiene que r (50, m ,25) =

25m ≈ 2⇒m = 4 51

lo que muestra que debe elegirse el valor que ocupa el cuarto lugar, empezando por el extremo derecho, es decir, 10.38 m. 8.3 Periodos de retorno

Supóngase ahora que un determinado suceso (fallo de una estructura, excedencia de una altura de ola, etcétera) es tal que su probabilidad de ocurrir en un periodo de 149

tiempo (normalmente un año) es  p y que las ocasiones de que dicho suceso ocurra en  periodos diferentes no superpuestos son independientes. Entonces, al paso del tiempo se tiene una sucesión de experimentos Bernoulli idénticos (solo dos resultados: ocurre o no ocurre el suceso). Por ello, el tiempo que transcurre hasta la primera vez que ocurre es una variable geométrica Ge( p), con media 1/ p. Esto motiva la siguiente definición (Castillo, 1987): Sea  A un suceso y T  el tiempo aleatorio que transcurre entre ocurrencias sucesivas de ese evento. Al valor medio, τ , de la variable T  se llama periodo de retorno  A, es decir que es el tiempo medio que tarda en retornar ese suceso. Nótese que una obra falla si y sólo si ocurre el suceso  A, entonces su vida media coincide con el periodo de retorno A. La importancia del periodo de retorno en ingeniería estriba en que muchos criterios de diseño están basados en este concepto, es decir, se debe diseñar una obra para resistir una media de N años (normalmente 50, 100 o 500 años) Si  F ( x) es una función de distribución del máximo anual de una variable aleatoria  X , el periodo de retorno del suceso ( X > x) es 1/(1- F ( x)) años. Similarmente, si F ( x) es la función de distribución del mínimo anual de una variable aleatoria,  X , el periodo de retorno del suceso ( X < <} es 1/ F ( x) años. Además, la probabilidad de que el suceso ocurra antes del periodo de retorno es  F (τ ) = 1 − (1 − p )τ 

= 1 − (1 − p )1/ p

(8.7)

que para τ  → ∞ ( p → 0) tiende al valor 0.63212.  Ejemplo 1. La función de distribución del máximo viento generado por huracanes

(en m /s) en una zona del océano Pacífico mexicano está dada por 

⎡ ⎛  x − 75 ⎞ ⎤  F ( x) = exp ⎢ − exp ⎜ − ⎟⎥ ⎣

⎝

20 ⎠ ⎦

Estimar el periodo de retorno para un viento de 50, 100 y 150 km/h. Solución: Los periodos de retorno de vientos máximos anuales de valores 50, 100 y

150 km/h, son en años τ 50

=

1 = 1.03; 1 − F (50)

τ100

=

1 = 4.01 1 − F (100) 150

 y

τ 150

=

1 = 43.02 1 − F (150)

Esto significa que los vientos máximos anuales de 50, 100 y 150 km/h ocurren en media cada 1.03, 4.01 y 43.02 años, respectivamente.  Ejemplo 2. Si un dique se diseña para resistir una media de 50 años y si se sabe por la

experiencia pasada que la altura de ola máxima anual (en metros) sigue una distribución del tipo:

⎡ ⎛  H  − 7.5 ⎞ ⎤  F ( H ) = exp ⎢ − exp ⎜ − ⎟⎥ ⎝

⎣

3.5 ⎠ ⎦

Solución: La altura de diseño H debe satisfacer la ecuación

1 = 50 ; 1 − F ( H )

 F ( H ) =

49 = 0.98 50

⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎟ ⎟ = 21.16m ⎝ ⎝ 0.98 ⎠ ⎠

 H  = 7.5 − 3.5ln ⎜ ln ⎜

8.4 Valores característicos

Si el suceso  A consiste en las excedencias del nivel  x de la variable  X , se puede escribir  A( x) en vez de A, y entonces p se transforma en p( x) = 1 - F ( x) y τ ( x) =

1

(8.8)

1 − F ( x)

En este caso, el valor esperado del número de sucesos A( x) en n periodos es (media de la variable bimodal) n[1 − F ( x)]

(8.9)

Un interés especial tiene el nivel  x que conduce a una media de valor unitario. Este valor es el llamado valor característico de ese periodo, que se define de la siguiente forma: Se dice que un valor un es el valor característico para máximos de un periodo de duración n si el valor medio del número de excedencias de ese valor en dicho  periodo es unitario. Nótese que este valor verifica la ecuación n[1 − F (un )] = 1 ⇒ F (un )

151

=1 −

1 n

(8.10)

De forma similar se define el valor característico para mínimos, vn: n[1 − F (vn )] = 1 ⇒ F ( vn ) =

1 n

(8.11)

La probabilidad de que sea excedido el valor característico en su periodo asociado es 1 − F

n

⎛ 1⎞ (un ) = 1 − ⎜ 1 − ⎟ ⎝ n⎠

n

(8.12)

que para valores grandes de n converge a 1 - exp(-1) = 0.6321.  Ejemplo. Siguiendo el ejemplo anterior, determinar el valor característico de la altura

de ola de una década,

⎡ ⎛  H  − 7.5 ⎞ ⎤  F ( H ) = exp ⎢ − exp ⎜ − ⎟⎥ ⎝

⎣

3.5 ⎠ ⎦

Solución: Por tanto, según la ec 8.10, el valor característico para máximos de la altura

de ola máxima anual en una década es la solución de la ecuación  F (u10 ) = 1 −

1 = 0.9 10

⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎟ ⎟ = 15.38m 0.9 ⎝ ⎠⎠ ⎝

 H  = 7.5 − 3.5ln ⎜ ln ⎜

8.4.1 Estadísticos de orden Las distribuciones de valores extremos no pueden ser totalmente entendidas si no se establece una completa comprensión del concepto estadístico de orden, ya que este concepto es la base sobre la cual se sustenta la teoría de dichas funciones. Para entender el concepto de estadístico de orden, considérese una muestra  procedente de una población ( X 1, X 2,..., X n). Si los valores de la secuencia X 1, X 2,..., X n se ordenan de forma creciente de magnitud,  X 1:n ≤  X 2:n ≤ ... ≤  X n:n , entonces el miembro errésimo de esta nueva secuencia se denomina estadístico de orden r  de la muestra dada. Nótese que el tamaño de la muestra, n, se incluye en la notación  X r :n , y que cualquier estadístico de orden debe tener asociado un tamaño de muestra.

152

El estadístico de orden proporciona, como su nombre lo indica, un orden a la muestra, el cual para casos de valores extremos debe ser ascendente; donde el último valor es el máximo y el primero el mínimo. Estos valores quedan expresados respectivamente como: el máximo  X n:n = Máx( X 1,  X 2,…, X n) y el mínimo X 1:n = Mín( X 1, X 2,…, X n) que son los que pertenecen a los extremos y juegan un papel preponderante en las aplicaciones. 8.5 Métodos utilizados en el diseño de obras marítimas

Como se mencionó, el diseño de estructuras marítimas está gobernado por los valores extremos. En el pasado se han utilizado muchos métodos para determinar las condiciones de diseño; sin embargo, no existe un método universal que sea aceptado  por todos. Algunos de estos métodos son los siguientes: 







El método basado en los máximos de las series anuales, que utiliza los valores máximos de cada año El método basado en los picos, que utiliza los picos de los temporales El método basado en las series completas, que emplea todos los valores registrados durante el periodo de observación  El método basado en las excedencias, que emplea todos los valores que excedan

un cierto umbral. 8.6 Distribuciones asintóticas del máximo y el mínimo

Desde un punto de vista práctico, los puntos límite de una función de distribución acumulativa son los valores mínimos y máximos que están asociados a la variable aleatoria en estudio. Si la variable aleatoria no está delimitada en alguno o ambos de sus extremos éstos se transforman en −∞ y +∞, respectivamente. La función de distribución del máximo,  Z n, y del mínimo, W n, de una muestra de tamaño n procedente de una población con función de distribución F ( x) son:  H n ( x ) = P [ Z n

≤ x ] = F n ( x)

(8.13)

y  Ln ( x ) = P [Wn

≤ x] = 1 − [1 − F ( x)] 153

n

(8.14)

La estructura de estas dos funciones muestra que los percentiles de máximos y mínimos se mueven hacia la derecha y hacia la izquierda, respectivamente, si se incrementa n. Aproximando los límites superior e inferior a infinito, se tiene:

⎧1 si  F ( x) = 1 lim H n ( x) = lim F n ( x) = ⎨ n →∞ n →∞ ⎩0 si  F ( x) < 1

(8.15)

⎧0 si  F ( x) = 0 n lim Ln ( x) = lim1 − [1 − Fn ( x)] = ⎨ n →∞ n →∞ ⎩ 1 si  F ( x) ≤ 1

(8.16)

Esto significa que las distribuciones límite toman exclusivamente valores de 0 y 1; son degeneradas. Con objeto de evitar la degeneración se buscan transformaciones lineales Y = an + bn x, donde an y bn son constantes que dependen de n, y tales que las distribuciones límite no degeneren

lim H n (an + bn x) = lim Fn ( an + bn x) = H ( x) n →∞

n →∞

n

lim Ln (cn + d n x) = lim1 − [1 − Fn ( cn + dn x)] = L( x) n→∞

n →∞

∀x

; ;

(8.17)

∀x

(8.18)

8.7 Dominios de atracción

Se dice que una distribución F ( x), pertenece al dominio de atracción para máximos de una distribución dada  H ( x), cuando satisface la ec 8.17 para algunas sucesiones an y bn > 0. De la misma forma, cuando  F ( x) satisface la ec 8.18 se dice que pertenece al dominio de atracción para mínimos de  L( x). El problema de las distribuciones asintóticas de extremos puede plantearse como sigue: 

Encontrar condiciones bajo las cuales se verifican las ecs 8.17 y 8.18.



Dar reglas para construir las sucesiones an, bn, cn y d n.



Encontrar qué distribuciones pueden ocurrir como H ( x) y L( x).

Los únicos tres tipos de distribuciones para máximos y mínimos no degeneradas,  H ( x) y  L( x), que satisfacen a las ecs 8.17 y 8.18, respectivamente, son Frechet, Weibull y Gumbel.

154

Frechet

⎡ ⎛ δ  ⎞ β  ⎤  H ( x; λ , δ , β ) = exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ x − λ ⎠ ⎥⎦

x≥λ

;

⎡ ⎛ δ  ⎞ β  ⎤  L( x; λ , δ , β ) = 1 − exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ λ − x ⎠ ⎥⎦

;

(8.19)

 

x≤λ

 

(8.20)

Weibull

⎡ ⎛ λ − x ⎞ β  ⎤  H ( x; λ , δ , β ) = exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ δ  ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢

x≤λ

;

⎡ ⎛ x − λ ⎞ β  ⎤  L( x; λ , δ , β ) = 1 − exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ δ  ⎠ ⎦⎥

;

(8.21)

 

x≥λ

 

(8.22)

Gumbel

⎡ ⎣

⎛ λ − x ⎞ ⎤ ⎟ ⎝ δ  ⎠ ⎥⎦

 H ( x; λ , δ ) = exp ⎢ − exp ⎜

⎡ ⎣

⎛ λ − x ⎞ ⎤ ⎟ ⎝ δ  ⎠ ⎥⎦

 L( x; λ , δ ) = 1 − exp ⎢ − exp ⎜

−∞ < x < ∞ ; δ  > 0

;

−∞ < x < ∞ ; δ  > 0

;

(8.23)

(8.24)

Las tres distribuciones límites (ecs 8.19, 8.21 y 8.23, y 5.28 a 5.30) pueden incluirse simultáneamente en la siguiente expresión analítica: −1/ c ⎧⎪ ⎡  x − λ ⎞ ⎤ ⎫ ⎪ ⎛  H c ( x; λ , δ ) = exp ⎨ − ⎢1 + c ⎜ ⎬ ⎟ ⎝ δ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣

;

⎛ x − λ ⎞ ≥ 0 1+ c⎜ ⎟ ⎝ δ  ⎠

(8.25)

que se denomina forma de Von Mises. Para c > 0, c < 0 o c = 0 se obtienen las familias de Frechet, Weibull y Gumbel, respectivamente. Nótese que para c = 0, la ec 8.25 debe interpretarse en un sentido límite, es decir para c = 0 resulta:

⎡ ⎣

⎛ −( x − λ ) ⎞ ⎤ ⎟ ⎝ δ  ⎠ ⎥⎦

 H 0 ( x; λ , δ ) = exp ⎢ − exp ⎜

155

;

−∞< x <∞

(8.26)

Similarmente, las tres distribuciones límites (ecs 8.20, 8.22 y 8.24) pueden ser  incluidas en la forma de Von-Mises: −1/ c ⎧⎪ ⎡ λ − x ⎞ ⎤ ⎫ ⎪ ⎛  Lc ( x; λ , δ ) = 1 − exp ⎨ − ⎢1 + c ⎜ ⎬ ⎟ ⎥ ⎝ δ ⎠ ⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣

;

⎛ x − λ ⎞ ≥ 0 (8.27) 1+ c⎜ ⎟ ⎝ δ  ⎠

donde para c > 0, c < 0 y c = 0 se obtienen las familias de Frechet, Weibull y Gumbel, respectivamente. Para c = 0 se tiene:

⎡ ⎣

⎛ ( x − λ ) ⎞ ⎤ ⎟ ⎝ δ  ⎠ ⎥⎦

 L0 ( x; λ , δ ) = 1 − exp ⎢ − exp ⎜

;

−∞< x <∞

(8.28)

Castillo (1987) presenta de manera resumida los dominios de atracción para máximos y mínimos de las distribuciones más comunes, en la tabla 8.2. TABLA 8.2 DOMINIOS DE ATRACCIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES MÁS COMUNES Distribución  Normal Exponencial Lognormal Gamma GumbelM Gumbelm Rayleigh Uniforme WeibullM Weibullm Cauchy Pareto

Dominio de atracción Máximos (M) Gumbel Gumbel Gumbel Gumbel Gumbel Gumbel Gumbel Weibull Weibull Gumbel Frechet Frechet

Mínimos (m) Gumbel Weibull Gumbel Weibull Gumbel Gumbel Weibull Weibull Gumbel Weibull Frechet Weibull

8.8 Papeles probabilísticos

La idea básica del papel probabilístico, asociado a una familia paramétrica de funciones de distribución, es modificar las escalas de la variable aleatoria  X , y la 156

 probabilidad  P , de tal manera que al representar gráficamente  X  contra cualquier  función de distribución acumulativa  F ( x), perteneciente a esa familia, tenga la apariencia de una línea recta. Esto implica que el dibujo de cualquier función de distribución acumulativa en este papel permite decidir si pertenece o no a esa familia, y si la respuesta es afirmativa, estimar sus parámetros. De forma que si F( x;θ ) es una familia paramétrica de funciones de distribución acumulativa, donde θ  es el vector parámetro, en la siguiente transformación, se observa que ξ  =  g ( x) ⎫

⎬

η  = h( y ) ⎭

(8.29)

con la familia de curvas dada por la ecuación  F ( x;θ )

(8.30)

la cual, al ser transformada por la ec 8.29, se convierte en una familia de líneas rectas. En particular, si  F ( x;θ ) , se puede escribir como  y = F ( x;θ ) = h−1 ( ag ( x) + b ) ↔ h( y) = ag ( x) + b

(8.31)

donde  g ( x) y h( y) son funciones y h( y ) es invertible; entonces la transformación dada por la ec 8.29 convierte  y =  F ( x;θ ) en una familia de líneas rectas, η

= aξ  + b

(8.32)

donde la variable η es la llamada variable reducida. En la práctica no se dispone de la función de distribución empírica como una aproximación de ella. Ahora bien, debido al carácter aleatorio de las muestras, incluso en el caso de que la muestra proceda de una distribución de la familia asociada al  papel probabilístico, su gráfica no será una línea recta sino una aproximación. Por  tanto, en el papel probabilístico se representa la función de distribución empírica, que es una función que toma valores entre 0,1/n,...,1. Cuando se aplica la transformación de escala a los dos extremos, 0 y 1, se transforman en el caso de muchas familias en -∞ e ∞, respectivamente, por lo que se hace imposible dibujarlos.

157

Si se representa en papel de Gumbel para máximos la familia de Von-Mises (ec 8.25), se obtiene ⎛ c(ξ − λ ) ⎞ 1 ⎧ ⎡ ⎡ ln ⎜1 + − ⎤⎤⎫ ⎟ ⎪ δ  ⎛ c(ξ − λ ) ⎞ c ⎥ ⎥ ⎪ = ⎝ ⎠ ; ⎛1 + c(ξ − λ ) ⎞ ≥ 0   η  = − ln ⎨ − ln ⎢ exp ⎢ − ⎜1 + ⎬ ⎟ ⎜ ⎟ δ c δ  ⎠ ⎥ ⎥⎥ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎢⎢⎣ ⎢⎣ ⎝ ⎦⎦⎭ (8.33) donde η y ξ son la ordenada y la abscisa. Derivando con respecto a ξ dos veces, se obtiene η ' =

η '' =

⎛ δ ⎜1 + ⎝

1 c (ξ − λ ) ⎞ δ 

(8.34)

⎟ ⎠

−c 2 c(ξ − λ ) ⎞ 2⎛ δ  ⎜1 + ⎟ δ  ⎝ ⎠

(8.35)

 Nótese que cuando c < 0, η ’ tiende a infinito, y si c > 0, a cero. Este hecho es muy útil en la identificación de los dominios de atracción de Weibull y Frechet, pues muestran pendientes verticales y horizontales en el extremo de interés, respectivamente.  Nótese, también, que η’ puede tender a cero o infinito para distribuciones tipo Gumbel, si δ → 0 o δ → ∞, respectivamente. También se tiene η ’’ > 0, si y sólo si c < 0 η ’’ = 0, si y sólo si c = 0 η ’’ < 0, si y sólo si c > 0

Si se tratara del extremo izquierdo, los símbolos > y < deben ser intercambiados. En consecuencia, el papel de Gumbel para máximos (mínimos) y en el extremo de interés, las distribuciones de tipo Weibull aparecen como curvas cóncavas (convexas), las de tipo Frechet como convexas (cóncavas) y las de tipo Gumbel como rectas.

158

8.8.1 Técnicas de punteo en papeles probabilísticos La importancia del problema de punteo fue señalada por Kimball (1960), quien indicó que radicaba en el hecho de tener en mente el objetivo del papel probabilístico, el cual se encuentra generalmente incluido en alguno de los que se presentan a continuación: 

Probar si la muestra proviene o no de una familia de distribuciones dada



Para estimar los parámetros de la familia



Para extrapolar de manera gráfica uno de los extremos.

Este último es el objetivo más utilizado en el caso de problemas de punteo de valores extremos. Se puede decir que la selección de la ecuación óptima para el punteo de datos depende del objetivo de la técnica con que se van a dibujar los mismos y del tipo de papel probabilístico que será utilizado. Por otro lado, es interesante hacer  notar que los papeles probabilísticos fueron pensados para un ajuste visual de los valores dados por la función de distribución acumulada, a una línea recta; por lo que se puede asumir que un “ajuste a ojo” de la ecuación de punteo a estos datos es un método adecuado para la selección de la formula de punteo por emplear. En la tabla 8.3 se presentan las ecuaciones más comunes para el punteo de valores en  papeles probabilísticos. TABLA 8.3 DIFERENTES FORMAS DE PUNTEO Formula de punteo  x(i ) ,

-

n +1

i −3/8

 x( i ) ,

Blom (1962)

n + 1/ 4

 x( i ) ,  x(i ) ,

i

Autor 

i − 1/ 2

Hazen (1930)

n i − 0.44

Gringorten (1963)

n + 0.12

159

8.8.2 Estimación de parámetros y dibujo en papel probabilístico de Gumbel La curva de la función de distribución acumulativa de la familia de Gumbel para máximos está dada por 

⎡ ⎣

⎛  x − λ ⎞ ⎤ ⎟ ⎝ δ  ⎠ ⎥⎦

 y = H ( x; λ , δ ) = exp ⎢ − exp ⎜ −

(8.36)

Al tomar logaritmos dos veces de 1/ y y en comparación con las ecs 8.29 y 8.31, se tiene ξ  = g ( x ) = x

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ η  = h ( y ) = − ln ⎢ln ⎜ ⎟ ⎥ = − ln ⎡⎣ − ln ( y ) ⎤⎦ ⎣ ⎝  y ⎠⎦

(8.37)

tal que η

= aξ  + b =

ξ

− λ 

(8.38)

δ 

donde a=

1

b=−

y

δ

λ  δ 

(8.39)

La estimación de los parámetros λ y δ  puede ser realizada notando que para η = 0 y η = 1 , resulta que 0 =ξ −λ →ξ = λ  

1=

ξ

− λ  δ 

→ ξ = λ + δ 

(8.40) (8.41)

Cuando se trabaja con toda la muestra completa, una posibilidad para estimar los  parámetros de la distribución de Gumbel es realizarla a partir de la media y la desviación estándar de la muestra, respectivamente: λ =  x + 0.5772δ  δ  =

 s x 6

160

π 

(8.42) (8.43)

Sin embargo, en ocasiones, cuando interesa trabajar sólo con parte de los datos, otra alternativa es encontrar los parámetros a y b a través de un ajuste por mínimos cuadrados, tal que  N

a=

 N Datos

N

N 

∑ x η − ∑ x ∑η  k

k

k

k =1

k =1

k 

k =1

⎛ N  ⎞ 2  N Datos ∑ xk − ⎜ ∑ xk  ⎟ k =1 ⎝ k =1 ⎠  N

b=

 N

N 

k =1

k =1

2

−a∑ xk + ∑η k 

(8.44)

(8.45)

 N  Datos

donde N  Datos son el número de datos con el cual se ajustan los valores de a y b. En las ecs 8.44 y 8.45, los valores de  xk  corresponden a la función discreta que se quiere ajustar y ηk  es su probabilidad asociada calculada con cualquiera de las ecuaciones que aparecen en la tabla 8.3. Para el caso de la distribución de Gumbel para mínimos, se puede hacer la siguiente transformación:

⎡ ⎣

⎛ λ − x ⎞ ⎤ ⎟ ⎝ δ  ⎠ ⎥⎦

 L( x; λ , δ ) = 1 − exp ⎢ − exp ⎜ ξ  =  g ( x ) = x

η  = h ( y ) = ln ⎡⎣ − ln (1 − y ) ⎤⎦

(8.46) (8.47)

tal que

= aξ  + b = −

η a=−

1

y

δ

ξ

− λ 

(8.48)

δ  b=

λ  δ 

(8.49)

La estimación de los parámetros λ y δ  puede ser realizada notando que para η = 0 y η = 1: 0 =ξ −λ →ξ = λ  

1=

ξ

− λ  δ 

→ ξ = λ + δ 

161

(8.50) (8.51)

Por tanto, las ecs 8.44 y 8.45 pueden también ser usadas para el caso de mínimos, siempre y cuando se respete la transformación realizada.  Ejemplo. Siguiendo el ejemplo de los datos presentados en la tabla 8.1, ajustar con la

distribución de probabilidad para máximos de Gumbel. Solución: Utilizando la formula para punteo de Hazen, se calculan las probabilidades

asociadas a cada valor y se evalúa la variable reducida, ηk (tabla 8.4). Ahora se calculan las diferentes sumatorias, tal que  N 

∑

 xk  = 467.07 ;

k =1

 N 

∑

η k  = 31.46 ;

k =1

 N 

 N 

∑

∑ x

 xkη k  = 407.97 ;

2

k 

k =1

= 4181.49

k =1

Si se sustituyen estos valores en las ecs 8.44 y 8.45, se obtiene: a = 0.63 m-1, b = -4.79, y en la ec 8.39, δ  = 1.58 m y λ  = 7.59 m. La fig 8.1 presenta gráficamente el resultado. Al emplear el método de los momentos para estimar los parámetros de la distribución, se obtienen los siguientes valores: λ = 1.56 m y δ = 7.59 m.

TABLA 8.4 EVALUACIÓN DE LA VARIABLE REDUCIDA η k   H 

ηk 

xk 

H 

ηk 

xk 

H 

ηk 

xk 

0.009 0.027 0.045 0.064 0.082 0.100 0.118 0.136 0.155 0.173 0.191 0.209 0.227 0.245 0.264 0.282 0.300 0.318

-1.55 -1.28 -1.13 -1.01 -0.92 -0.83 -0.76 -0.69 -0.62 -0.56 -0.50 -0.45 -0.39 -0.34 -0.29 -0.24 -0.19 -0.14

4.84 5.29 5.89 5.90 6.06 6.32 6.58 6.61 6.73 7.03 7.05 7.12 7.18 7.19 7.21 7.30 7.30 7.43

0.336 0.355 0.373 0.391 0.409 0.427 0.445 0.464 0.482 0.500 0.518 0.536 0.555 0.573 0.591 0.609 0.627 0.645

-0.09 -0.04 0.01 0.06 0.11 0.16 0.21 0.26 0.31 0.37 0.42 0.47 0.53 0.58 0.64 0.70 0.76 0.83

7.50 7.60 7.64 7.71 7.78 7.85 7.89 8.06 8.07 8.10 8.14 8.21 8.21 8.31 8.52 8.56 8.58 8.77

0.664 0.682 0.700 0.718 0.736 0.755 0.773 0.791 0.809 0.827 0.845 0.864 0.882 0.900 0.918 0.936 0.955 0.973 0.991

0.89 0.96 1.03 1.11 1.18 1.27 1.36 1.45 1.55 1.66 1.78 1.92 2.07 2.25 2.46 2.72 3.07 3.59 4.70

8.94 9.01 9.12 9.20 9.66 9.75 9.86 10.03 10.09 10.15 10.38 10.51 10.59 10.80 11.57 12.02 12.19 13.55 15.14

162

0.995

5

0.99

   d   a    d    i    l    i    b   a    b   o   r    P

0.98

4

0.95

3

0.9

2      η

0.8

1

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01

0 -1

0.001

4

6

8

10

12

14

16

Altur a de ola (m)  Fig 8.1 Papel probabilístico de Gumbel para máximos y datos de oleajes extremos

TABLA 8.5 EVALUACIÓN DE LA VARIABLE REDUCIDA ηk  PARA EL CASO DE PRESIONES MÍNIMAS  K (año)

 L

ηk 

xk  (presión mbs)

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

0.821 0.840 0.858 0.877 0.896 0.915 0.934 0.953 0.972 0.991

0.542 0.604 0.671 0.741 0.818 0.903 1.000 1.116 1.271 1.540

950.00 947.00 945.00 942.00 939.00 936.00 932.00 927.00 920.00 910.00

La línea recta corresponde a la ec 8.38, la probabilidad de alturas de ola se obtiene  por medio de una ecuación de punteo y la transformación de la escala de dicha  probabilidad a la de la variable reducida se realiza por medio de la ec 8.37.  Ejemplo. En los últimos 53 años por una localidad dada en el Caribe mexicano se han

registrado diez huracanes con la presión mínima que presenta la tabla 8.5. Evaluar la distribución de Gumbel para mínimos de estos datos. 163

0.999 1.80

1.60 0.99    d   a    d    i    l    i    b   a    b   o   r    P

1.40 0.975 1.20

      η

0.95 1.00

0.9

0.80

0.88 0.86 0.84 0.82 0.8

0.60

900

920

940

960

Pr esión atmosfér ica (mbs)

 Fig 8.2 Papel probabilístico de Gumbel para mínimos y datos de  presiones atmosféricas mínimas

Solución: Utilizando la fórmula para punteo de Hazen, se calculan las probabilidades

asociadas a cada valor y se evalúa la variable reducida, ηk  (tabla 8.5). Luego se calculan las diferentes sumatorias, tal que: 53

∑

 xk  = 9348 ;

k = 44

53

∑

η k  = 9.206 ;

k = 44

53

∑

 xkη k  = 8569.13 ;

k = 44

53

∑ x

2

k 

= 8739968

k = 44

Si se sustituyen estos valores en las ecs 8.44 y 8.45, se obtiene: a = -0.0248 mbs-1, b = 24.138, y en la ec 8.49, δ  = 40.262 mbs y λ  = 971.864 mbs. La fig 8.2 ilustra el resultado obtenido. 8.8.3 Papel probabilístico de Weibull Las curvas de distribución acumulativa de la familia de Weibull para máximos está dada por:

⎡ ⎛ λ − x ⎞ β  ⎤  y = F ( x; λ , β , δ ) = exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥; δ  ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢

164

−∞ < x ≤ λ

  (8.52)

Al aplicar logaritmos dos veces, se obtiene: λ − x ⎞ − log ⎡⎣− log ( y ) ⎤⎦ = − β log ⎛⎜ ⎟ = − β log ( λ − x ) + β log δ  δ  ⎝ ⎠

(8.53)

y al comparar con las ecs 8.29 y 8.31, se tiene:

= g ( x ) = − log ( λ − x ) ⎫⎪ ⎬ η  = h ( y ) = − log ⎡⎣ − log ( y ) ⎤⎦ ⎪ ⎭ ξ

(8.54)

y a = β 

⎫ ⎬ b = β log δ ⎭

(8.55)

la familia de líneas rectas se convierte en η

= aξ + b = β (ξ + log δ )  

(8.56)

Para determinar a y b, se pueden utilizar las siguientes ecuaciones, las cuales han sido deducidas mediante la técnica de mínimos cuadrados:  N

a=

 N  Datos

∑

N

ξ kηk

k =1

k =1

 N

 N  Datos

∑ξ

2 k

k =1

b=

N 

− ∑ ξ k ∑ηk    k =1

⎛ ⎞ − ⎜ ∑ ξ k  ⎟ ⎝ k =1 ⎠ N 

 N

N 

k =1

k =1

−a∑ ξ k + ∑η k   N  Datos

2

(8.57)

(8.58)

Se debe notar que la escala (η ) coincide con la del papel probabilístico de Gumbel; sin embargo, la gradación (ξ ) se encuentra en este caso en escala logarítmica en lugar  de aritmética. Se puede observar que la distribución de Weibull depende de tres  parámetros, uno más que la distribución de Gumbel, éste es el parámetro umbral λ , que es desconocido y el cual normalmente no se puede inferir a través de fenómenos físicos. Para la estimación de λ, se recomienda representar gráficamente los datos con un parámetro umbral propuesto que satisfaga la condición dada por la ec 8.52 y 165

observar el ajuste de la recta a los valores de probabilidad dados. Este procedimiento se repite iterativamente hasta que se esté conforme con el ajuste realizado con la recta descrita por la ec 8.56. Dicho punteo de datos debe hacerse para distintos valores del  parámetro umbral, hasta que la tendencia lineal que se busca sea obtenida para el intervalo de interés. Con el valor del parámetro umbral propuesto, se procede a estimar los parámetros restantes β y δ , lo que se puede realizar notando que para η = 0 y η = 1, se tiene 0 = β (ξ + log δ ) → ξ = − log δ  1 = β (ξ + log δ ) → ξ =

1  β 

(8.59)

− log δ 

(8.60)

En el caso de la distribución de mínimos, simplemente se debe de realizar un cambio de signos, dado que la distribución está dada por:

⎡ ⎛ λ − x ⎞ β  ⎤  y = L( x; λ , δ , β ) = 1 − exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ δ  ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢

;

x≥λ

 

(8.61)

tal que ahora,

= g ( x ) = − log ( x − λ ) ⎫⎪ ⎬ η  = h ( y ) = − log ⎡⎣ − log (1 − y ) ⎤⎦ ⎭ ⎪ ξ

(8.62)

 Ejemplo. A continuación se presenta el procedimiento iterativo para una serie de datos

de oleaje registrados durante veinticinco años y de los cuales sólo se han considerado los diez datos mayores. Solución: De evaluar las ecs 8.52 a 8.58, se obtienen los siguientes resultados (parte

del proceso aparece en la tabla 8.6): Para el caso de  λ = 20 m; a = 3.47,

b = 8.90,

 β  = 3.47

y δ = 13.01 m

Para el caso de  λ = 40 m; a = 14.12,

b = 48.81,

 β  = 14.12

y δ = 31.74 m

Para el caso de  λ = 100 m: a = 45.50,

b = 205.52,

 β  = 45.50

y δ = 91.53m.

166

TABLA 8.6 DATOS Y DETALLES DEL PROCESO DE CÁLCULO λ  = 20 m

λ  = 40 m

λ  = 100 m

#

 H

P 

η

ξ 

ξη

ξ 2

ξ 

ξη

ξ 2

ξ 

ξη

ξ 2

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

10.0 10.2 10.5 10.9 11.2 11.6 12.2 12.9 13.9 16.0

0.62 0.66 0.70 0.74 0.78 0.82 0.86 0.90 0.94 0.98

0.74 0.88 1.03 1.20 1.39 1.62 1.89 2.25 2.78 3.90

-2.30 -2.28 -2.25 -2.21 -2.17 -2.13 -2.05 -1.96 -1.81 -1.39

-1.70 -2.00 -2.32 -2.65 -3.03 -3.44 -3.89 -4.41 -5.03 -5.41

5.30 5.21 5.07 4.88 4.73 4.53 4.22 3.84 3.27 1.92

-3.40 -3.39 -3.38 -3.37 -3.36 -3.35 -3.33 -3.30 -3.26 -3.18

-2.51 -2.98 -3.49 -4.05 -4.68 -5.41 -6.29 -7.43 -9.08 -12.40

11.57 11.52 11.45 11.36 11.29 11.20 11.06 10.89 10.64 10.10

-4.50 -4.50 -4.49 -4.49 -4.49 -4.48 -4.48 -4.47 -4.46 -4.43

-3.32 -3.95 -4.63 -5.39 -6.25 -7.25 -8.47 -10.05 -12.40 -17.29

20.25 20.23 20.20 20.16 20.13 20.09 20.03 19.95 19.85 19.63

Σ

0.990 0.985 0.975

17.68 -20.56 -33.88 42.97

-33.32 -58.31 111.08 -44.78 -78.99 200.51

4.5 4 3.5 3 η 2.5 2 1.5 1

λ = 20

   d   a    d    i    l    i    b   a    b   o   r    P

0.950

0.900 0.800 0.700 0.600 9.3 10.3

11.6 -2.2

13.2 -2

 H (m)

-1.8 ξ

14.5

15.5 -1.6

16.1

16.5

-1.4

 Fig 8.3 Resultado del ajuste de Weibull para máximos λ = 20 m, a = 3.47,  b = 8.90, β = 3.47 y δ = 13.01 m

Los resultados correspondientes se presentan en las figs 8.3, 8.4 y 8.5, respectivamente. Para evaluar las distribuciones Frechet para máximos y mínimos, se sigue un proceso análogo al presentado aquí para la distribución de Weibull. 167

0.990 0.985 0.975

4.5 4 3.5 3 2.5 η 2 1.5 1

λ = 40

   d   a    d    i    l    i    b   a    b   o   r    P

0.950

0.900 0.800 0.700 0.600 9.7 10.5 -3.40

11.5

112.9 2.9

-3.35

-3.30

14.3

15.5

16.4 17.1

-3.25

-3.20

-3.15

 H (m)

ξ

 Fig 8.4 Resultado del ajuste de Weibull para máximos λ = λ  = 40 m, a = 14.12, b = 48.81, β = 14.12 y δ = 31.74 m

0.990 0.985 0.975

4.5 4 3.5 3 2.5 η 2 1.5 1

λ = 100

   d   a    d    i    l    i    b   a    b   o   r    P

0.950

0.900 0.800 0.700 0.600 9.8 10.5

11.4

112.9 2.9

(m)  H (m)

14.3

15.6

16.5 17.3

-4.50 -4.49 -4.48 -4.47 -4.46 -4.45 -4.44 -4.43 -4.42 ξ  Fig 8.5 Resultado del ajuste de Weibull para máximos λ = λ  = 100 m, a = 45.50,  b = 205.52, β = 45.50 y δ = 91.53 m

8.9 Análisis de régimen medio

La funcionalidad de una obra o la caracterización de muchos procesos en la ingeniería oceanográfica suele definirse a partir del régimen medio de oleaje expresando, para un determinado umbral de altura de ola significante ( H   H  s), el número medio de horas al año en que se supera dicha condición. 168

10

8

 Di+1

6

   )   m4    (

 Di

    s

     H 2

0 0

50

100

150

200

250

300

Tiem po  po (hor as)

 Fig 8.6 Ejemplo Ejemplo de la determinació determinación n de las duracione duracioness en función función de una intensidad dada

La disponibilidad de series temporales de estados de mar hace posible el conocimiento de la distribución de las duraciones de una excedencia de un parámetro del estado de mar, lo que algunas ocasiones no es factible. En este caso particular, se define a la duración ( D  D) como el intervalo de tiempo que dura una excedencia de un valor determinado de un parámetro de estado de mar (por  ejemplo, H  s) en un sector direccional determinado (θ ) (fig 8.6). El objetivo es obtener  el espacio muestral de la variable aleatoria bidimensional ( H  s , , D) para cada sector  direccional θ , para poder ajustar un modelo matemático y obtener la distribución de la variable aleatoria, f ( H   H  s ,D  ,D).

169

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