FORMULACIÓN MATRICIAL PARA EL ANÁLISIS DINAMICO DINAMIC O SEUDO TRIDIMENSIONAL Introducción: Aquí se presenta la formulación matricial para un análisis sísmico lineal y elástico de estructuras a porticadas, con un modelo “seudo tridimensional”. Este tipo tipo de mode modelo lo perm permit itee reali ealiza zarr el anál anális isis is fácil ácilme men nte, repr epresen sentand tando o apropiadamente lo que es esencial, por lo menos para estructuras no muy esbeltas. Por ejemplo, es evidente que las estructuras sometidas a sismos severos tienen un comportamiento altamente no lineal. Sin embargo, los códigos aceptan el anál anális isis is line lineal al para para faci facili lita tarr el trab trabaj ajo o co con n las las herr herram amie ient ntas as (har (hardw dwar aree y software) disponibles.
ING° CARLOS EDUARDO EDUARDO RAMOS BRAST
Ecuaciones de Equilibrio: Cuando se considera el equilibrio de una estructura sometida a un sismo las acciones externas son aceleraciones debidas a los movimientos del terreno. No se tienen propiamente fuerzas externas, sino más bien fuerzas de inercia. Al plantear un modelo discreto, estas fuerzas de inercia se expresan en la forma –M*ü, donde M es una matriz de masas y ü es un vector que agrupa las aceleraciones absolutas asociadas a los distintos grados de libertad. Podría entonces escribirse:
K*u = - M * ü En la ecuación anterior no se a tomado en cuenta la disipación. La disipación esta asociada a la histéresis en el comportamiento esfuerzo – deformación. La forma mas apropiada de introducir la disipación sería considerando una matriz K dependiente de la deformación, pero eso significaría tener que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
Otra posibilidad sería considerar una matriz de rigidez compleja; esta alternativa resulta conveniente cuando la solución de las ecuaciones diferenciales de equilibrio se realiza en el dominio de frecuencias, mediante transformadas de Fourier. Lo habitual es resolver las ecuaciones en el dominio de tiempo, considerando fuerzas disipativas de tipo viscoso , es decir proporcionales a las velocidades:
M * ü + c*ů + K*u = 0 Para la solución de la ecuación anterior es conveniente descomponer los desplazamiento absolutos “u” en un desplazamiento de cuerpo rígido, con el terreno, y desplazamientos relativos x:
ů = x’ + {1}*ůs us : Desplazamiento del terreno. {1} : desplazamientos del cuerpo
u = x + {1}*u s ü = x” + {1}* üs ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
Modelos para el Análisis El planteamiento de un modelo apropiado es fundamental para que el análisis produzca resultados cualitativamente correctos. El modelo debe considerar todas las características de la estructura que influyen significativamente en la respuesta y debe permitir determinar con relativa facilidad los efectos de interés. En General no existe el modelo perfecto y, aún con los mejores programas de análisis, se requiere cierto criterio ingenieril para hacer aproximaciones razonables, adaptándose a las hipótesis del programa sin sacrificar lo esencial. Para la mayor parte de estructuras aporticadas pueden plantearse modelos compuesto por vigas y columnas (o placas) de eje recto y de sección constante. Al realizar análisis estáticos para cargas verticales es frecuente suponer que las vigas y columnas conforman pórticos planos, que son analizados en forma independiente. Sin embargo, tal simplificación no es factible al considerar la distribución de fuerzas sísmicas entre los distintos pórticos, aún cuando éstas se traten como acciones estáticas. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
Estrictamente, se requeriría analizar la estructura como un pórtico espacial, con elementos adicionales para representar la rigidez de las losas, pero esto es poco práctico, por el gran número de grados de libertad involucrados. Cuando se consideran edificios poco esbeltos, en los que las deformaciones axiales son poco importantes, es práctica habitual realizar el análisis con un modelo “seudo tridimensional”, con solamente tres grados de libertad por piso.
En un modelo seudo tridimensional se supone a la estructura como un ensamble de pórticos planos. Dado que las rigideces de cada pórtico en su plano son mucho mayores que aquellas en la dirección transversal, estas últimas se desprecian. Igualmente no se consideran las rigideces torsionales de todos los elementos. Los pórticos se suponen interconectados solamente por las losas de entrepiso, que actúan como diafragmas infinitamente rígidos en su plano. Como consecuencia no se considera deformaciones axiales en las vigas, se considera que en cada pórtico todos los nudos de un piso tienen el mismo desplazamiento. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
Es también habitual despreciar las deformaciones de corte en las vigas, en contrastes con los elementos verticales (columnas o placas), para los que se consideran deformaciones de flexión, axiales y corte. Sólo se consideran las componentes horizontales de sismo. La no inclusión de la componente vertical se justifica por tratarse de una acción cualitativamente similar a las cargas verticales habituales. Si bien es cierto que las aceleraciones verticales del sismo producen incrementos (o decrementos) en los efectos debidos a la gravedad, se trata de acciones de muy corta duración, para las que todos los materiales muestran rigideces y resistencias mayores que las que se tienen para cargas de larga duración. Las fuerzas de inercia se consideran concentradas en los niveles que corresponden a las losas de entrepiso. En cada nivel se incluyen las masas de las losas y vigas y una fracción de la sobrecarga, así como la mitad de las masas de muros, columnas y placas en los dos entrepisos adyacentes. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
Es habitual suponer que la matriz de masas, M es diagonal. Debe saberse que una matriz de masas diagonal no es estrictamente consistente con las aproximaciones para la determinación de las rigideces e implica suponer que las aceleraciones varían bruscamente al centro de cada entrepiso, hipótesis que es incorrecta.
Por otro lado, si se supusiera cualquier función continua para
interpolar las aceleraciones en altura resultaría una matriz de masas “consistente”, no diagonal. Puede probarse que tanto con masas concentradas
como con masas consistentes se obtienen resultados similares, por lo que se prefiere la representación diagonal, que demanda mucho menos esfuerzo de computo. En función a lo explicado es que se plantea un modelo numérico con tres grados de libertad por piso. Este análisis se denomina seudo tridimensional porque gran parte del trabajo se desarrolla con modelos de pórticos planos y sólo se consideran los aspectos esenciales del comportamiento tridimensional. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
A continuación se describe el procedimiento a seguir:
En una primera etapa se consideran separadamente los pórticos planos que conforman la estructura. Para cada uno de ellos debe obtenerse la “matriz de rigidez lateral”. Esta es una matriz que relaciona fuerzas y desplazamientos horizontales: los coeficientes de la columna j de la matriz de rigidez lateral son las fuerzas horizontales que deben aplicarse en cada nivel del pórtico para obtener un estado en que los desplazamientos horizontales de los distintos niveles son todos ceros, excepto por un desplazamiento unitario en el nivel j. El procedimiento habitual para determinar la matriz de rigidez lateral consiste en ensamblar primero la matriz de rigidez del pórtico con más grados de libertad (incluyendo aquellos asociados a los desplazamientos verticales y los giros de los nudos) y luego eliminar os grados de libertad que no corresponden a los desplazamientos laterales, utilizando un proceso de “condensación estática”. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
La hipótesis de losas horizontales infinitamente rígidas para acciones en su plano permite condensar más el modelo.
Por un lado, en cada nivel el
desplazamiento horizontal de cada uno de los pórticos puede relacionarse con tres componentes de desplazamiento que definen el movimiento de la losa.
De otro lado, las fuerzas actuantes en cada uno de los pórticos en un nivel pueden reducirse a una resultante (con dos componentes) y un momento equivalentes en un punto arbitrario (típicamente el centro de masas) de la losa (considerada como cuerpo rígido). Se pueden entonces expresar las ecuaciones de equilibrio de cada pórtico en términos de fuerzas y desplazamientos en el punto de referencia (centro de masas) de cada nivel.
Las condensaciones estáticas y cinemáticas permiten obtener una matriz de rigidez para el modelo seudo tridimensional, con tres grados de libertad por piso. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
Condensación Estática Para el análisis sísmico seudo tridimensional se requiere determinar la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos. La matriz de rigidez lateral relaciona fuerzas y desplazamientos horizontales; más explícitamente, se trata de una matriz cuadrada, simétrica, cuya columna J agrupa a las fuerzas horizontales requeridas para obtener un desplazamiento unitario en el nivel J mientras que los otros desplazamientos se mantienen como cero. Para ensamblar fácilmente la matriz de rigidez de un pórtico, conviene considerar inicialmente como grados de libertad no sólo los asociados a desplazamientos horizontales sino además dos grados de libertad por cada nudo, asociados a las componentes de desplazamiento vertical y a los giros. Al analizar pórticos de baja altura podría prescindirse de los grados de libertad verticales (suponiendo en consecuencia que las deformaciones axiales son despreciables en relación a las deformaciones producidas por flexión) ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
En lo que sigue se supone que los desplazamientos verticales y giros en los nudos del pórtico están agrupados en el vector v y los desplazamientos horizontales (uno por piso) en u. Ordenando los grados de libertad apropiadamente, se obtiene la matriz de rigidez del pórtico y pueden plantearse las ecuaciones de equilibrio: K vv Kuv
K vu Kuu
v u
0 = f
es decir: K vv * v + K vu * u = 0 Kuv * v + Kuu * u = f La matriz Kvv es una matriz cuadrada, simétrica, con estructura banda. El orden de esta matriz es igual a 2 veces el número total de nudos en el pórtico; el ancho de banda es (si no se tiene riostras diagonales) igual a 2 veces el número de nudos por piso más uno. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
La matriz Kuu es también cuadrada y simétrica, en un principio tridiagonal, de orden igual al número de pisos. La matriz Kvu es también de baja densidad (con pocos elementos significativos en proporción al número total de elementos); sin embargo, conviene asignarle la memoria requerida por una matriz llena de igual dimensión, para almacenar resultados posteriores. Por otro lado, no se requiere Kuv, que es la traspuesta de Kvu. Utilizando las ecuaciones anteriores se condensan todos los grados de libertad no asociados a desplazamientos horizontales. : v = - K vv -1 * K vu * u es decir: KL * u = f donde: KL = Kuu – Kuv * K vv-1*Kvu ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
(Kuu – Kuv * K vv-1 * Kvu)*u = f
es la matriz de rigidez lateral del pórtico. Esta se refiere a los grados de libertad horizontales. El proceso de eliminación de grados de libertad utilizado se denomina de “condensación estática” porque se ha hecho uso de ecuaciones de equilibrio estático. En la practica no conviene desarrollar la inversa de K vv .
Mas bien deben
resolverse las ecuaciones: K vv *R = -Kuv y luego determinar la matriz de rigidez lateral mediante: KL = Kuu + R T*K vu Esto implica menos operaciones y menores requerimientos de memoria, además es un procedimiento numéricamente mejor condicionado. La matriz R debe almacenarse temporalmente sobre la Kvu y luego en disco para ser reutilizada en la etapa final del análisis, para determinar los desplazamientos verticales y giros en los nudos del pórtico a partir de los desplazamientos horizontales. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST
