1. ANÁLISIS ANÁ LISIS TRIDIMENSIONAL TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS EDIFICIOS ASIMÉTRICOS 1.1 INTRODUCCIÓN El análisis estructural se considera como el conjunto de actividades que lleva a la determinación de la respuesta de la estructura ante las diferentes acciones exteriores que puedan afectarla. El análisis tiene tres etapas básicas: a. Idealización de la estructura real por medio de un modelo teórico, factible de ser analizado por los procedimientos de cálculo disponibles. b. Determinación Determina ción de las acciones de diseño. c. Determinación Determinac ión de los efectos de las acciones de diseño en el modelo de la estructura elegido. Las estructuras de los edificios son tridimensionales y podrían analizarse como tales empleando el método del elemento finito (M.E.F.). Con este método pueden idealizarse losas, columnas, vigas, muros, etc., mediante diferentes tipos de elementos. Sin embargo, en la práctica se tienen algunos inconvenientes: !
Gran número de grados de libertad que ocasionan tiempos exagerados de procesos así como de entrada y salida de datos.
!
Alta probabilidad de equivocarse equivocarse debido a la gran cantidad de datos que inducen a errores difíciles de localizar.
!
Difícil interpretación interpret ación de resultados
Un análisis tridimensional de tal naturaleza está reservado a estructuras muy especiales o partes limitadas de un edificio de características desusuales. La denominación de método “exacto” se refiere a la precisión numérica dentro del marco de ciertas hipótesis. En el análisis de edificios, dicho término alude a resultados precisos de modelos en los que las cargas y las propiedades mecánicas de los materiales son conocidas y se supone un comportamiento elástico lineal. Los reglamentos modernos consideran que ante temblores severos los edificios muy probablemente incursionaran dentro del rango inelástico. Además, existen incertidumbres en las predicciones de las acciones sísmicas y en el cálculo de las propiedades como masas, inercias, etc. Por tales motivos, aun empleando los más refinados programas de computador, se obtienen solamente modelos aproximados de los edificios y sus
1
solicitaciones y es concebible que, bajo ciertas circunstancias, un método “aproximado” represente a una estructura estructura con precisión similar a la de un método “exa “ exacto” cto” . En edificios, para hacer el análisis tridimensional, la práctica más frecuente es idealizar la estructura como un conjunto de sub-estructuras (pórticos y muros) planos verticales, ligados por los sistemas de piso, los que se consideran indeformables en su plano, es decir, funcionan como diafragmas infinitamente rígidos en planta. 1.2 HIPÓTESIS DEL MÉTODO A DESARROLLAR 1. El análisis es elástico 2. La estructura del del edificio se considera conformada por pórticos y/o muros planos acoplados por el sistema de piso
FIGURA No 1.Sistema estructural con losa de d e rigidez infinita
3. El sistema de piso se considera de rigidez infinita en su plano 4. Se desprecia la rigidez torsional de vigas, columnas y/o muros 5. Las masas se consideran concentradas en cada nivel 6. Se desprecian las deformaciones axiales en vigas y en columnas Las anteriores hipótesis traen como consecuencia la consideración de solo tres grados de libertad en cada piso del edificio, estos son: dos desplazamientos horizontales ( µx, µy) y un giro alrededor de un eje vertical ( θz) 1.3 DEFINICIONES Centro de masa: masa: Se entiende como centro de masa (CM) el punto de aplicación de la fuerza sísmica en un nivel considerado. Para una distribución uniforme de la masa el centro de masa coincide con el centro geométrico (centro de gravedad).
2
Centro de cortante: Se considera como centro de cortante (CC) el punto de aplicación de la fuerza cortante sísmica para que el movimiento relativo de dos niveles sea exclusivamente de traslación ( θ = 0). En caso contrario existe torsión o rotación relativa entre dichos niveles. Los centros de masa y de cortante se refieren a la aplicación de las acciones sísmicas, el centro de torsión se asocia con la aplicación de la resistencia. Excentricidad: De las anteriores definiciones se desprende que la excentricidad será la diferencia entre las coordenadas de los centros de cortante y torsión, es decir, en forma simbólica: e = CC – CT
(1-1)
Matriz de rigidez condensada [K c ] j: Es el resultado de la condensación estática de la matriz de rigidez total del pórtico j que relaciona los desplazamientos del piso ( µx, µy, θ) con las fuerzas laterales y momentos (F x, Fy, Mz).
3
1.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS, diagrama de fl ujo
Información general de la estructura
Masa y geometría de los pisos
Información de los pórticos
Cálculo de los centros de masa
Matriz condensada de cada pórtico
Cálculo de las fuerzas sísmicas
Ensamblaje de la matriz total
Análisis del sismo en X, Fx=V, Fy=0
Cálculo de los centros de cortante
Cálculo de los desplazamientos (µx, µy) sin torsión ( θ = 0) Cálculo y mayoración de las excentricidades Cálculo de los momentos torsores, Mz, para las excentricidades mayoradas
Cálculo de desplazamientos y fuerzas cortantes en cada pórtico para sismo en X y Y Análisis de cada pórtico plano para las combinaciones de carga según la NSR-98
Cálculo de los desplazamientos (µx, µy) para Fx=V, Fy=0 y M=Mz Análisis del sismo en Y, Fx=0, Fy=V
4
1.5 DEDUCCIÓN DE LA MATRÍZ DE RIGIDEZ TOTAL DE LA ESTRUCTURA Sea el sistema de piso mostrado en la figura 2 correspondiente a una planta cualquiera del nivel i-ésimo de un edificio, referido a un sistema de coordenadas global único para la estructura (X, Y, Z). Se asume que la estructura esta conformada por pórticos planos, como el j, cuyas posiciones se definen por los puntos P(X j, Y j) y los ángulos θ j. Y d ji
µyi P(X j, Y j)
θzi
θ j
µxi
X
Posición del pórtico j en el piso i
r ji
FIGURA No 2.Vista en planta del sistema de piso del nivel i-ésimo de una estructura cualquiera
A cada nivel i del pórtico j se le pueden asociar un desplazamiento en el plano del pórtico, d ji , en función de los tres grados de libertad del nivel i (µxi, µyi, θzi). Considerando que θzi es pequeño, se obtiene:
Y
d ji
µyi µxi
r ji *θi
µyi µxi
θ j
X
θi r ji r ji *θi FIGURA No 3. Desplazamiento del pórtico j en el nivel i en función de los grados de libertad del piso
d ji = µ xi * Cos θ j
+ µ yi * Sen θ j + r ji * θi
(1-2)
5
La distancia existente entre el eje del pórtico j y el origen del sistema de coordenadas se denomina r ji , este término tiene signo y se calcula en función de las coordenadas del punto medio del pórtico j, P(X j, Y j) Y
X j a
P b
Y j
θ j
θ j
c
X
r ji
FIGURA No 4. Distancia del pórtico j al origen de coordenadas
r ji = ab = ac − bc = X j * Sen ! j − Y j * Cos ! j
(1-3)
Ahora bien, de acuerdo con el método de las rigideces:
f ji = [K c ]* d ji
(1-4)
Sustituyendo (1-2) en (1-4):
{f j }= [K c ] j * {"x }* Cos ! j +
{"y }* Sen ! j + {!i }* r j
(1-5)
El vector {f j} representa el conjunto de fuerzas laterales que es necesario aplicar al pórtico j para lograr el vector de desplazamiento {d j}.
{F j} $ % {f j} representa la fuerza sísmica (obtenida por algún método estático o dinámico que se asume conocido) correspondientes al nivel i-ésimo y que actúa en el centro de masa.
6
Y
f ji
θ j
X
r ji
FIGURA No 5.
Fuerza aplicada al pórtico j para producir el desplazamiento d ji
f xji = f ji * Cos ! j
f yji = f ji * Sen ! j
m zji = f ji * r ji
(1-6)
Reemplazando (1-6) en (1-5)
{f xji }= [K c ]* {"x }* Cos 2 ! j +
"y * Sen ! j * Cos ! j
+ {! i }* r j * Cos ! j
{f yji }= [K c ]* {"x }* Cos ! j * Sen ! j + "y * Sen 2 ! j + {! i }* r j * Sen ! j {m zji }= [K c ]* {"x }* Cos ! j * r j + "y * Sen ! j * r j + {!i }* r j 2 * Sen ! j
{ } { }
Empleando notación matricial obtenemos finalmente la matriz lateral de la estructura de tamaño 3n*3n, siendo n el número de pisos:
C 2 + S * C + r * C j " Fxi xi 2 Fyi = ∑ [K c ] j * C * S + S + r j * S * "yi M C * r + S * r + r 2 * S ! zi zi j j j
(1-7)
Se obtiene así la matríz de rigidez [K] del edificio sumando directamente las matrices de cada pórtico puesto que están referidas a los mismos grados de libertad. Para un edificio de n pisos [K] es una matríz cuadrada de orden 3n. Simplificando:
7
K + K + K xy x! "x xx K + K + K * " yy y! y yx K + K + K ! z !' !& !!
Fx Fy = M z
(1-7a)
1.6 CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE CORTANTE Conociendo la fuerza sísmica y la posición del centro de masa (c.m.) de cada nivel, por estática se obtienen las coordenadas del centro de cortante (c.c.):
(X c.c. )k
∑ ni=k (X c.m. )i * Fi = ; Vk
(Yc.c. )k
∑ ni=k (Yc.m. )i * Fi = Vk
(1-8)
En la cual: (Xc.c., Yc.c.)k = Coordenadas del centro de corte del entrepiso k (Xc.m., Ycm.)k = Coordenadas del centro de masa del entrepiso k Vk = Fuerza cortante del entrepiso k Fi = Fuerza sísmica del nivel i 1.7 CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE TORSIÓN El planteamiento hasta acá expresado es de carácter general en el análisis tridimensional de estructuras. El tratamiento de la torsión proviene de la obtención del vector de momentos {M}, que es necesario aplicar al edificio para impedir giros relativos en los niveles, que con las fuerzas cortantes permite definir las posiciones de los centros de torsión para cada entrepiso. Se debe, entonces, considerar dos direcciones del sismo: ! !
Sismo en la dirección X Sismo en la dirección Y
Sismo en X: El sismo actúa en la dirección positiva del eje X. Se considera como centro de torsión (CT) el punto de aplicación de la fuerza cortante sísmica para que el movimiento relativo de dos niveles sea exclusivamente de traslación ( θi = 0). En caso contrario existe torsión o rotación relativa entre dichos niveles. Luego: {F x} = {V}, {Fy} = {0}, {θz} = {0}, en donde el vector {V} es el vector de las fuerzas cortantes sísmicas de entrepiso. De acuerdo con la expresión (1-7a) se obtiene:
V = 0
K xx + K xy "x * K yx + K yy "y
(1-9)
8
Con la solución del sistema de ecuaciones anteriores se obtienen los momentos de entrepiso que, aplicados junto con el sismo en X, impiden la torsión. Expandiendo la expresión (1-7a) se obtiene:
" {Mzi }= K !' + K !& * xi "
yi
(1-10)
Como el vector de momentos {M zi} esta referido al origen del sistema global de coordenadas, se puede obtener las coordenada Yc.t. del entrepiso i dividiendo el momento Mzi por el cortante de entrepiso V i: Y Entrepiso i
Vi
c.t.
{Yc.t. }i = − {M z }i
Mzi
Vi
(1-11)
Yc.t.i X FIGURA No 6.
Análisis del sismo en X
Sismo en Y: El desarrollo es análogo al sismo en X. Ahora: {F x} = {0}, {Fy} = {V}, {θz} = {0} De acuerdo con la expresión (1-7a) se obtiene:
0 = Vyi
K xx + K xy "xi * K yx + K yy "yi
(1-12)
Con la solución del sistema de ecuaciones anteriores se obtienen los momentos de entrepiso que, aplicados junto con el sismo en Y, impiden la torsión. Expandiendo la expresión (1-7a) se obtiene:
" {Mzi }= K !' + K !& * xi "
yi
(1-10)
Como el vector de momentos {M zi} esta referido al origen del sistema global de coordenadas, se puede obtener las coordenada Yc.t. del entrepiso i dividiendo el momento Mzi por el cortante de entrepiso V i: 9
Y
En tr e i so i
Xc.t.i
CT.
{X c.t. }i = {M z }i
Mzi
Vi
(1-13)
Vi
X FIGURA No 7.
Análisis del sismo en Y
1.8 CÁLCULO DE LAS EXCENTRICIDADES ESTÁTICAS Y DE DISEÑO Una vez conocidas las ubicaciones de los centros de cortante y de torsión se determina, aplicando la expresión (1-1) las excentricidades del entrepiso i:
{e x }i = {X c.c. }i − {X c.t. }i (1-14)
{e y }i = {Yc.c. }i − {Yc.t. }i
Dada la incertidumbre en la localización de las masas dentro del piso, en la orientación del movimiento sísmico y en la hipótesis de asumir un entrepiso de rigidez infinita debe considerarse una excentricidad accidental, la cual es especificada en la NSR-98 Sec. A.3.6.7.1 como: “ Debe suponerse que la masa de todos los pisos está desplazada lateralmente hacia cualquiera de los dos lados, del centro de masa calculado de cada piso, una distancia igual al 5% (0.05) de la dimensión de la edificación en este piso , medida en la dirección perpendicular a la dirección en estudio ”
Modificando las excentricidades según la NSR-98, se obtiene:
{E x }i =
e y. i ± 0.05 * L yi
{E y }i = {e x. }i ± 0.05 * L xi
(1-15)
Dejando fijo el centro de torsión, se mueve el centro de cortante con el objeto de incrementar la excentricidad. Se distinguen entonces dos direcciones de análisis: Sismo en X y Sismo en Y
10
1.9 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS TORSORES Análi sis del sis mo en X La condición de carga para esta dirección queda determinada de la siguiente forma: Fxi Vxi Fyi = 0 M M zi oz
Para obtener {Μoz} de las expresiones (1-14) y (1-15) para el entrepiso i-ésimo: Y Vi
CC
Eyi
{
ci 1 =
}
{Ycti} + {Eyi}1
{
ci 2 =
}
{Ycti} + {Eyi}2
(1-16)
Por tanto: CT
Entre iso i
Mzi Yc.t.i
{Moi}1 = - V * {
ci 1
}
{Moi}2 = - V * {
ci 2
(1-17)
}
X FIGURA No 8.
Análisis del sismo en X
En suma se resolverá el sistema dos veces para los siguientes estados de carga: Fxi Vxi Fyi = 0 M M zi o1
Fxi Vxi Fyi = 0 M M zi o 2
Análi sis del sis mo en Y La condición de carga para esta dirección queda determinada de la siguiente forma: Fxi 0 Fyi = Vyi M M zi oz
Para obtener {Μoz} de las expresiones (1-14) y (1-15) para el entrepiso i-ésimo:
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Y
Ex
{Xci}1 = {Xcti} + {Exi}1
Xc.t.i
Mzi
(1-18)
{Xci}2 = {Xcti} + {Exi}2
CC
Por tanto:
Vi CT
{Moi}1 = - Vyi * {Xci}1 Entrepiso i
(1-19)
{Moi}2 = - Vyi * {Xci}2 X FIGURA No 9.
Análisis del sismo en Y
En suma se resolverá el sistema dos veces para los siguientes estados de carga: Fxi 0 Fyi = Vyi M M zi o1
Fxi 0 Fyi = Vyi M M zi o 2
1.10 ANÁLISIS DE LOS PORTICOS PLANOS El diseño de cada pórtico se hace para la condición mas desfavorables de los cuatro casos de cargas analizados (dos para sismo en X y dos para sismo en Y). Resuelto el sistema y obtenidas las deformaciones se calculan los desplazamientos mediante la expresión (1-2)
d ji = µ xi * Cos θ j
+ µ yi * Sen θ j + r ji * θi
(1-2)
Obtenido los desplazamientos de cada pórtico se calculan los cortantes resolviendo el siguiente sistema: {V i} j = [K c] j * {d i} j A partir de allí se deducen las fuerzas sísmicas horizontales que actúan en cada uno de los pórticos y luego se procede a hacer las combinaciones de cargas que estipula la NSR98 Sec. B.2.4
12
1.11 EJEMPLO: Se estudiará el edificio de dos niveles mostrado en la figura. Para el análisis solo se consideran las deformaciones por flexión y el sistema de piso será considerado de rigidez infinita en su plano. Se asume el 25% de la carga viva como parte del peso de la estructura. Para el sistema de piso se consideran 5 cm de arenilla de nivelación y 2 cm de mortero de pega de la baldosa.
3.0 6.0 m 4.0
6.0 m 9.0 m
7.0 m
.05 .33
Casetón de madera
Vacío
.02 .90
.10
.90
.10
Sección de la losa Dimensiones en metros
Vigas de 40x40 cm Columnas de 40x40 cm Concreto: fc = 210 kgf/cm 2 Acero fy = 4200 kgf/cm 2 Particiones: 300 kgf/m 2 Carga Viva 180 kgf/m 2 Localización Medellín Coef. de Sitio S=1.2 Coef. Importancia I =1.0 Uso: Residencial
SOLUCION: a. Evaluación del peso de la losa por m2 (NSR-98 Sec. B.3.2)
Total carga muerta de servicio
= 120 kgf/m 2 = 46 = 79 = 29 = 105 = 42 = 30 = 300 ==== 751 kgf/m 2
Peso del piso por m 2:
= 796 kgf/m 2
Loseta superior Torta inferior Nervio Casetones Arenilla de nivelación Mortero de pega Baldose de piso Particiones
0.05 * 1.00 * 2.400 0.02 * 1.00 * 2.300 0.33 * 0.10 * 2.400 32 * 0.9 0.05 * 2100 0.02 * 2100
751 + 0.25 * 180
El peso de vigas y de columnas se evalúan por separado
13
b. Evaluación de la masa y del centro de masa de cada uno de los pisos Y
Piso 1 &
7.5 m
6m
# 7.5 m
4.5m
6m
X
" %
7m
$
9m
'
Área de la losa = 6.6 * (5.6 + 5.6) + 5.6*4.1*0.5+ (4.1+8.6)*0.5*5.6 = Longitud de vigas = 3*7 + 2*12 + 9.0 + 4.5 + 2*7.5 = Longitud columnas = 6 * 3.5 + 2*2 = Peso de la losa Peso vigas Peso columnas
= 120.96* 796 = 73.5*0.4*0.4*2400 = 25.0*0.4*0.4*2400
120.96 m 2 73.50 m 25.00 m
= = =
96284.00 kgf 28224.00 kgf 9600.00 kgf ======== Peso del piso 1 = 134108.00 kgf
Área neta de la losa: 7*12 + 9*12*0.5 = 138 m 2
Centro de masa:
Xcm = (7*12*3.5 + 9*12*0.5*10) / 138 Ycm = (7*12*6 + 9*12*0.5*4) / 138
= 6.04 m = 5.22 m
Piso 2 Y & 6m
#
= 6.6 * (5.6 + 5.6) = 3*7 + 2*12 = 6*1.5
Peso de la losa Peso vigas Peso columnas
= 73.92 * 796 = 58840 kgf = 45*0.4*0.4*2400 = 17280 kgf = 9*0.4*0.4*2400 = 3456 kgf
6m
Peso del piso 2 X
" %
7m
= 73.92 m 2 = 45.00 m = 9.00 m
Área de la losa Longitud de vigas Longitud columnas
Centro de masa:
Xcm = 3.50 m
= 79576 kgf Ycm = 6.0 cm
$
Peso del edificio = 134.11 + 79.58 = 213.69 tn.
14
c. Determinació n de las fuerzas sísmi cas, Método de la Fuerza Horizon tal Equiv alente Cortante basal (NSR-98 Sec. A.2.6 y A.4.3): T = 0.08 h n
Sa
¾
= 0.08 * 7.0 ¾ = 0.34 Seg < 0.48 Seg. Sa = 2.5 A a I = 0.50 ⇒ k = 1.0
Aa = 0.20,
2.5 Aa I
Vs = Sa * M * G = 0.5 * (213.69/G) * G = 106.84 tn
1.2 Aa S I /T
R = Ro * φp * φa,
Ro = 5.0
Aa*I / 2
Irregularidad en planta tipo 2P ⇒ φp = 0.90 Irregularidad en altura tipo 3A ⇒ φa = 0.90 0.48
0.34
2.40
T seg.
R = 4.05
V = Vs/R = 106.84 / 4.05 = 26.38 tn
Fuerza sísmica equivalente: Piso 1 2
hi m 4 7
Σ
mi tn mi hik Cvi Fi tn Vi tn 134.11 536.44 0.49 12.93 26.38 79.58 557.06 0.51 13.45 13.45 =============================== 213.69 1093.50 1.00 26.38
Las fuerzas sísmicas F i actúan en el centro de masa de cada uno de los pisos. d. Centros de Cortante El punto de aplicación de la fuerza cortante del entrepiso se denomina centro de cortante. En el piso 2, por ser F i = V i, los centros de masa y de cortante coinciden. Para el piso 1, tomando momentos de las fuerzas sísmicas, F i, respecto al origen de coordenadas se tiene:
Xcc =
13.45 * 3.5 + 12.93 * 6.04 = 4.74 m 26.38
Ycc =
13.45 * 6.0 + 12.93 * 5.22 = 5.62 m 26.38
En resumen: Piso 1 2
Fi. tn 12.93 13.45
Vi tn 26.38 13.45
Coord. C.M. X (cm) Y (cm) 604 522 350 600
Coord. C.C. X (cm) Y (cm) 474 562 350 600
15
e. Cálculo de la matriz de rigidez total de la estructura: Unidades de los términos de rigidez en tn/cm, ordenamiento de la matriz del piso 1 al “ n” , coordenadas y r j en cm.
3m
3m
4m
4m 6m
6m
Pórtico No 1
Pórtico No 2
(X1, Y1j) = (0, 600) θ1 = 90°, S=1, C = 0 r 1 = 0 52,61566
K C 1 = − 29,46903
6m
6m
(X2 Y2) = (700, 600) θ2 = 90°, S=1, C = 0 r 2 = 700
− 29,46903 23,26165
52,61566
K C 2 = − 29,46903
− 29,46903 23,26165
3m 4m
4m 7.5 m
7.5 m
7m
Pórtico No 3
Pórtico No 4
(X3, Y3) = (1150, 600) θ3 = 143.13°, S=0.6, C = -0.8 r 3 = 1170 cm
13,47798 K C 3 = 0
0 0
(X4, Y4) = (800, 0) θ4 = 0°, S=0, C = 1 r4 = 0
36,29472 K C 4 = − 17,36735
3m
3m
4m
4m
Pórtico No 5
(X5, Y5) = (575, 600) θ5 = 0°, S=0, C = 1 r 5 = -600 cm
37,10107
− 17,36735 13,43481
7m
7m
K C 5 = − 17,30349
9m
− 17,30349 13,66683
Pórtico No 6
(X6, Y6) = (350, 1200) θ6 = 0°, S=0, C = 1 r6 = -1200 cm
32,95599 K C 5 = − 17,60345
− 17,60345 13,10438
16
114.97769 -52.27429 -6.46943 0 -74423.219 31506.234
f.
-52.27429 40.20602 0 0 31506.234 -23925.354
-6.46943 0 110.08339 -58.93806 46292.504 -20628.321
0 0 -58.93806 46.52330 -20628.321 16283.155
-74423.219 31506.234 46292.504 -20628.321 36851677.493 -14439824.700
31506.234 -23925.354 -20628.321 16283.155 -14439824.700 11398208.500
Cálculo del centro de torsión (CT) f.1 Análisi s del sismo en X Se localiza la fuerza cortante en el centro de torsión, en este caso solo hay traslación de la losa de entrepiso y no se presenta torsión. Para este caso: {Fxi} = {Vxi}, {Fyi} = {0}, { θi} = {0} Aplicando la expresión (1-9): 26.38 114.97769 13.45 − 52.27429 = 0 − 6.46943 0 0
− 52.27429 − 6.46943 40.20602 0 0 110.08339 − 58.93806 0
0 "x1 0 "x2 * − 58.93806 "y1 46.52330 "y2
Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones se obtiene: "x1 0.9572 " x2 = 1.5790 cm " y1 0.1748 "y2 0.2215
Los momentos de entrepiso se calculan con la expresión (1-10) Mz1 − 74423.219 = Mz2 31506.234
31506.234 − 23925.354
0.9572 46292.504 − 20628.321 1.5790 * − 20628.321 16283.155 0.1748 0.2215
Mz1 - 17.966.81 = tn-cm Mz2 - 7619.48
Determinación de las ordenadas del centro de torsión según la expresión (1-11):
{Yc.t. }i = − {Mz }1 = − − 17966 .81 = 681 cm V1
26.38
{Yc.t.}2 = − {Mz }2 = − − 7619 .48 = 567 cm V2
13.45
17
f.2 Análisi s del sismo en Y Se localiza la fuerza cortante en el centro de torsión, en este caso solo hay traslación de la losa de entrepiso y no se presenta torsión. Para este caso: {Fxi} = {0}, {F yi} = { Vyi }, {θi} = {0} Aplicando la expresión (1-12): 0 114.97769 0 − 52.27429 = 26.38 − 6.46943 13.45 0
− 52.27429 − 6.46943 40.20602 0 0 110.08339 − 58.93806 0
0 "x1 "x2 0 * − 58.93806 "y1 46.52330 "y2
Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones se obtiene: "x1 0.1730 " x2 = 0.2250 cm " y1 1.2575 "y2 1.8822
Los momentos de entrepiso se calculan con la expresión (1-10) Mz1 − 74423.219 = Mz2 31506.234
31506.234 − 23925.354
0.1730 46292.504 − 20628.321 0.2250 * − 20628.321 16283.155 1.2575 1.8822
Mz1 13599.88 = tn-cm Mz2 4775.41
Determinación de las abscisas del centro de torsión según la expresión (1-13):
{Xc.t.}i = {Mz }1 = V1
13599.88 = 516 cm 26.38
{X c.t. }2 = {Mz }2 = V2
4775.41 = 355 cm 13.45
18
g. Cálculo de excentricidades estáticas, De acuerdo a la expresión (1-1): Piso
Coord. C.C. X (cm) Y (cm) 474 562 350 600
1 2
Excentricidad = CC – CT
Coord. CT X (cm) Y (cm) 516 681 355 567
e x (cm) -42 -5
ey (cm) -119 33
Las excentricidades estáticas así calculadas indican la posición relativa del centro de corte respecto al cetro de torsión. Excentricidades accidentales: Se toman como el 5% de la dimensión de la edificación en este piso, medida en la dirección perpendicular a la dirección en estudio. Sismo en X: pisos 1 y 2:
± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1200 = ± 60 cm
Sismo en Y: piso 1: piso 2:
± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1600 = ± 80 cm ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 700 = ± 35 cm
Excentricidades y momentos de diseño:
Y
Y
± 80cm
± 35cm
PISO 1 CC (474,562) CT (516, 681)
Vxi
Vxi
ey CC
CC
ex
ex CT
Piso 2
CC
ey ± 60cm
± 60cm
CT
X
X
Se distinguen ahora cuatro casos, dos para sismo en X y dos para sismo en Y. Dejando quieto el centro de torsión (CT) se mueve el centro de cortante (CC) y sus nuevas ordenadas serán: Y cc = Yct + Exi Sismo en X: Sismo en X, caso 1: piso 1: piso 2:
E y1 = - 119 - 60 = -179 Ey2 = 33 - 60 = - 27
Y cc1 = 681 - 179 = 502 cm Y cc2 = 567 - 27 = 540 cm
Sismo en X, caso 2: piso 1: piso 2:
E y1 = - 119 + 60 = - 59 Ey2 = 33 + 60 = 93
Y cc1 = 681 - 59 = 622 cm Ycc2 = 567 + 93 = 660 cm
19
Sismo en Y: Sismo en Y, caso 3: piso 1: piso 2:
E X1 = -42 + 80 = EX2 = -5 + 35 =
38 30
X cc1 = 516 + 38 = 554 cm X cc2 = 355 + 30 = 385 cm
Sismo en Y, caso 4: piso 1: piso 2:
E X1 = - 42 - 80 = - 122 EX2 = -5 - 35 = - 40
Y cc1 = 516 - 122 = 394 cm X cc2 = 355 - 40 = 315 cm
h. Cálculo de los momentos torsores (tn-cm): Los momentos torsores se calculan según las expresiones (1-11) a (1-19): Sismo en X: {Μoz}i = − {Vi} ∗ {Yct}i Sismo en Y: {Μoz}i = + {Vi} ∗ {Xct}i Sismo en X Piso 1 2
i.
Vi tn 26.38 13.45
Caso No 1 Xcc cm Moz 502 -13242.76 540 - 7263.00
Sismo en Y
Caso No 2 Xcc cm Moz 622 -16408.36 660 - 8877.00
Caso No 3 Caso No 4 Ycc cm Moz Ycc cm Moz 554 14614.52 394 10393.72 385 5178.25 315 4236.75
Solución para desplazamientos: Se deben resolver cuatro casos, las condiciones de carga para cada uno de ellos son: Sismo en X: {Fx}i = {V}i, {Fy}i = {0} Caso 1
Caso 2
26.38 13.45 0 0 − 13242.76 − 7263.00
26.38 13.45 0 0 − 16408.36 − 8877.00
Sismo en Y: {Fx}i = {0}, {Fy}i = {V}i Caso 3
0 0 26.38 13.45 14614.52 5178.25
Caso 4
0 0 26.38 13.45 10393.72 4236.75
Ahora se resuelve el sistema {Fx} = [Kc] * {µ} Caso 1
"x1 0.6693 " x2 1.1628 "y1 = 0.3795 "y2 0.5133 ! - 0.00045190 z1 ! z2 - 0.00066561
Caso 2
0.9658 1.6782 0.1676 0.1602 0.00001553 0.00016843
Caso 3
0.0866 0.0795 1.3193 1.9823 - 0.00013621 - 0.00023501
Caso 4
0.3907 0.5585 1.1025 1.6501 0.00034223 0.00053551
20
j.
Desplazam ientos, fuerzas cortantes y fuerzas sísmic as en cada uno de los pórti cos Obtenidos los desplazamientos de los entrepisos para caso de carga se calculan ahora los desplazamiento que sufren cada uno de los pórticos para cada estado de carga. Según la expresión (1-2) se tiene:
d ji = µxi * Cos θ j + µyi * Sen θ j + r j * θi Caso No
1 2 3 4
Pórtico j Coseno θ j Seno θ j r j (cm) d1 (cm) d2 (cm) d1 (cm) d2 (cm) d1 (cm) d2 (cm) d1 (cm) d2 (cm)
1 0 1 0 0.3795 0.5133 0.1676 0.1602 1.3193 1.9823 1.1025 1.6501
2 0 1 700 0.0632 0.0474 0.1785 0.2781 1.2240 1.8178 1.3421 2.0250
3 -0.8 0.6 1170 -0.8365 0 -0.6539 0 0.5629 0 0.7493 0
4 1 0 0 0.6693 1.1628 0.9658 1.6782 0.0866 0.0795 0.3907 0.5585
5 1 0 -600 0.9404 1.5622 0.9565 1.5771 0.1683 0.2205 0.1854 0.2372
6 1 0 -1200 1.2116 1.9615 0.9472 1.4761 0.2501 0.3615 -0.0200 -0.0841
Obtenidos Los desplazamientos horizontales de los pórticos se calculan los cortantes de entrepiso resolviendo los sistemas: {Vi} j = [Kc] j * d ji Caso No 1 2 3 4
Pórtico j V1 (tn) V2 (tn)) V1 (tn) V2 (tn) V1 (tn) V2 (tn) V1 (tn) V2 (tn)
1 4.841 0.757 4.097 -1.212 11.000 7.233 9.382 5.894
2 1.928 -0.760 1.197 1.209 10.833 6.215 10.941 7.554
3 -11.274 0 -8.813 0 7.587 0 10.099 0
4 4.097 3.998 5.908 5.773 1.762 -0.436 4.481 0.718
5 7.858 5.078 8.198 5.003 2.429 0.101 2.774 0.034
6 5.400 4.376 5.231 2.669 1.879 0.335 0.821 -0.750
Finalmente, se obtienen las fuerzas sísmicas que actúan en cada uno de los pórticos para los cuatro casos de cargas estudiados: Caso No 1 2 3 4
Pórtico j F1 (tn) F2 (tn)) F1 (tn) F2 (tn) F1 (tn) F2 (tn) F1 (tn) F2 (tn)
1 4.08 0.76 5.31 -1.21 3.77 7.23 3.49 5.89
2 2.69 -0.76 -0.01 1.21 4.62 6.22 3.39 7.55
3 -11.27 0 -8.81 0 7.59 0 10.10 0
4 0.10 4.00 0.14 5.77 2.20 -0.44 3.76 0.72
5 2.78 5.08 3.20 5.00 2.33 0.10 2.74 0.03
6 1.02 4.38 2.56 2.67 1.53 0.34 1.57 -0.75
21
k. Revisió n de resultados: Se analiza el equilibrio de fuerzas para cada uno de los cuatro casos estudiados, se toma como ejemplo el caso de carga 1 (Sismo en X, {Fx}i = {F}i, {Fy}i = {0}), de los resultados tabulados en el numeral anterior se obtiene (valores de las cargas en toneladas):
Y &
#
"
Piso 1
'
1.02
Y &
2.78
#
0.10
9.02
4.08
%
2.69
6.76
$
Σ Fx = 1.02 + 2,78 + 0.10 + 9.02 = 12.92 tn √ Σ Fy = 4.08 + 2,69 – 6.76 = 0 tn √
X
"
11.27
Piso 2
4.38
5.08
4.00
X 0.76
%
0.76
$
Σ Fx = 4.38 + 5,08 + 4.00 = 13.46 tn √ Σ Fy = 0.76 – 0.76 = 0 tn √
La solución es satisfactoria, la sumatoria de fuerzas en ambas direcciones corresponden la los valores de las fuerzas sísmicas deducidas en el numeral 3. Para el análisis y diseño de las vigas se combinan los resultados obtenidos para sismo con los de las cargas gravitacionales de acuerdo a la NSR-98 Sec, B.2.4. para el pórtico 4 se tienen los siguientes estados de cargas ( valores en toneladas):
4.00
5.77
0.10
0.14
Pórtico 4, caso 1
Sismo en Y
Pórtico 4, caso 2
0.44
0.72
2.20
3.76
Pórtico 4, caso 3
Pórtico 4, caso 4
Para el análisis y diseño de las columnas se combinan los resultados obtenidos para sismo con los de las cargas gravitacionales de acuerdo a la NSR-98 Sec, B.2.4. para la columna 1-4 deben tomarse los resultados del pórtico 1 y los del pórtico 4 teniendo cuidado al superponerlos que correspondan al mismo caso de carga.
22
l.
Combi naciones de diseño según la NSR-98 Sec. B.2.4.2 La NSR-98 en su sección B.2.4 exige diseñar para las siguientes combinaciones de cargas, deducidas de sus ecuaciones B.2.4-1, B.2.4-4 y b.2.4-5 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
1.4CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 1.05CM 0.90CM 0.90CM 0.90CM 0.90CM 0.90CM 0.90CM 0.90CM 0.90CM
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -
1.7CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV 1.28CV Sx1 Sx1 Sx2 Sx2 Sy1 Sy1 Sy2 Sy2
+ + + + + + + +
Sx1 Sx1 Sx1 Sx1 Sx2 Sx2 Sx2 Sx2 0.3 S x1 0.3 S x1 0.3 S x1 0.3 S x1 0.3 S x2 0.3 S x2 0.3 S x2 0.3 S x2
+ + + + + + + + -
0.3 Sy1 0.3 Sy1 0.3 Sy1 0.3 Sy1 0.3 Sy2 0.3 Sy2 0.3 Sy2 0.3 Sy2 0.3 Sy1 0.3 Sy1 0.3 Sy1 0.3 Sy1 0.3 Sy2 0.3 Sy2 0.3 Sy2 0.3 Sy2
CM = Carga muerta de servicio CV = Carga viva de servios Sx1 = Resultados del caso 1 para sismo en X Sx2 = Resultados del caso 2 para sismo en X Sy1 = Resultados del caso 3 para sismo en Y Sy2 = Resultados del caso 4 para sismo en Y
23
1.12 CONCLUSIONES 1.12.1 Conclusi ones generales: La torsión es un fenómeno imposible de evitar del todo, se debe, entonces, estudiar con cuidado sus posibles efectos en la estructura. Entre las causas de la torsión se cuenta: !
Asimetrías en la distribución de las masas y las rigideces. Conforme las excentricidades crecen mayor es la diferencia en las respuestas evaluadas por los métodos estáticos y dinámicos.
!
Frecuencias de vibración de modos, con componentes de rotación próximas entre si.
!
Componentes rotacionales del movimiento del terreno durante un sismo. La excentricidad por este caso inducida es función del periodo del edificio y del tiempo que tarda la onda en atravesarlo.
!
Incursión de algunas partes de la estructura en el intervalo inelástico ante la presencia de sismos severos.
!
El carácter dinámico de la torsión trae consigo diferencias entre las excentricidades estáticas y dinámicas.
A la luz de las premisas anteriores, una evaluación precisa de la respuesta torsional es muy complicada, ya que es necesario efectuar esencialmente un calculo tridimensional de la respuesta dinámica teniendo en cuenta los modos de vibración que incluyan las deformaciones laterales y torsionales acopladas de la estructura completa así como el comportamiento pos-elástico. Sin embargo, es adecuado aproximar la respuesta y evitar análisis muy detallados sobre todo si se considera la poca atención que se presta al modelo de la estructura, a las propiedades de los materiales y a las cargas. Aun así, el método expuesto permite una aproximación justificada. Para disminuir los efectos de la torsión, es conveniente seguir algunas recomendaciones de estructuración: !
Poco peso
!
Sencillez, simetría y regularidad en planta y elevación evitando formas muy alargadas en planta (L, U, T, +,H).
!
Uniformidad en la distribución de la resistencia, rigidez y ductilidad
!
Líneas escalonadas de defensa estructural que permitan disipar la energía cuidando que no modifiquen radicalmente la posición de los centros de torsión. 24
Las asimetrías en la distribución de las rigideces genera grandes excentricidades que se traducen en problemas de torsión causando grandes desplazamientos y acciones mecánicos en los elementos mas alejados del centro de torsión Se debe buscar uniformizar la distribución de las rigideces. 1.12.2 Limitantes del método !
Los reglamentos modernos de diseño sísmico, entre ellos la norma NSR-98, aceptan que el análisis estructural ante cargas sísmicas puede efectuarse considerando que la estructura tiene un comportamiento elástico lineal. Pero se reconoce que para temblores severos los edificios pueden incursionar en el rango inelástico.
!
La hipótesis del diafragma rígido conducen a cálculos erróneos de la excentricidad si el sistema de piso es flexible. El asumir los sistemas de pisos de rigidez infinita es inadmisible en algunos edificios, como por ejemplo, en aquellos cuya longitud en planta es varia veces su ancho.
!
El método es estático y su metodología se aplica al análisis tridimensional. No debe aplicarse a estructuras raras y complejas, cuyas respuestas se apartan de las hipótesis de los reglamentos, en estos casos es necesario hacer análisis dinámicos modales tridimensionales contemplando la inercia rotacional de las masas; sin embargo, las ecuaciones del movimiento de un sistema de tres grados de libertad por nivel están en función de la excentricidad, que depende de las fuerzas que aun no se conocen.
!
El método supone que la estructura esta conformada por pórticos y/o muros, esto implica que se desprecian las rigideces torsionales de vigas, columnas y muros, los cual es importante cuando los muros son en forma tubular.
!
Si los pórticos no son ortogonales en planta no se les puede considerar, en general, como pórticos planos a menos que las secciones de las columnas sean circulares o isopoligonales. Las secciones rectangulares no poseen un eje principal de inercia normal al plano del pórtico y no existe un criterio racional para evaluar la inercia de una columna a la cual concurren varios pórticos oblicuos.
!
El calculo del centro de torsión solo puede hacerse con pobre aproximación, porque la rigidez de cada elemento particular puede afectarse por agrietamientos locales o por la contribución de los elementos no estructurales.
1.12.3 Recomendaciones El CCCSR-84 en su parágrafo A.3.6.6.2 especificaba: ” En el diseño debe tomarse en cuenta el aumento de las fuerzas causado por la torsión generada por la excentricidad entre el centro de masa y el centro de rigidez. Las fuerzas no deben reducirse a este efecto. Cuando la excentricidad sea inferior al 5% de la dimensión del edificio en la dirección perpendicular a la aplicación de las fuerzas puede omitirse el análisis del efecto de la torsión”
25
Esta reglamentación era muy pobre, no especificaba que la excentricidad estática debía ser mayorada por causa al imprecisión de los métodos e hipótesis del análisis. Asumía que efecto de la excentricidad podría omitirse para valores de la excentricidad estática pequeños olvidándose de los efectos dinámicos pues aún para una distribución de masa uniforme y simetría nominal la excentricidad dinámica es muy alta. La NSR-98 Sec. A.3.6.7.1 modifica sustancialmente el tratamiento de la torsión y considera las imprecisiones al análisis al suponer la distribución uniforme de las masas dentro del piso, la orientación del movimiento sísmico y la hipótesis de asumir un entrepiso de rigidez infinita y por primera vez considera la excentricidad accidental, la cual especifica calcularla de la siguiente manera: “ Debe suponerse que la masa de todos los pisos está desplazada lateralmente hacia cualquiera de los dos lados, del centro de masa calculado de cada piso, una distancia igual al 5% (0.05) de la dimensión de la edificación en este piso , medida en la dirección perpendicular a la dirección en estudio ”
Pese a la mejora en la normativa del tratamiento de la torsión quedan aun temas muy importante por considerar en futuras actualizaciones de la norma: Son causales de la excentricidad accidental: la incertidumbre en el cálculo de las rigideces relativas, diferencias entre el comportamiento estático y dinámico, la indeterminación de las cargas y el acoplamiento de modos de vibrar, la incursión de partes de la estructura en el rango inelástico y las asimetrías en el movimiento del terreno. La NSR-98 recomienda considerar como excentricidad accidental un valor igual al 5% (0.05) de la mayor dimensión en planta del entrepiso considerado en la dirección normal al sismo. Sin embargo la excentricidad accidental no cubre los efectos de la amplificación dinámica. Durante un sismo los edificios que no son simétricos en masa y rigidez presentan vibraciones en torsión. Mientras mayor es la diferencia entre los centros de masa y de torsión mayor es la diferencia entre el análisis estático y dinámico. La NSR-98 no considera los efectos de la vibración dinámica, deben modificarse las expresiones para determinar la excentricidad de diseño multiplicando la excentricidad estática por un factor mayor a la unidad. El factor que más ha influido en el establecimiento de la práctica actual del diseño sismorresistente de edificios, ha sido la experiencia que se ha derivado del comportamiento observado de los diferentes tipos de estructuras que han sufrido sismos severos. En México fueron numerosos los casos de fallas imputables a la torsión con ocasión a los sismos ocurridos en el mes de septiembre de 1985, por ello la norma mexicana es rigurosa en la reglamentación del análisis de la torsión y el RCDF exige calcular las excentricidades de diseño de acuerdo a las siguientes expresiones: E = 1.5 e e + 0.1b E = ee + 0.1b ee Excentricidad estática calculada a partir de los valores teóricos del centro de cortante y de rigidez
26
El factor 1.5 cubre la amplificación dinámica de la torsión b es el lado del edificio en la dirección normal a la del análisis. Dada la complejidad del tratamiento del fenómeno de la torsión el propósito de la NSR-98 debe ser evitar los proyectos con riesgos de falla por torsión para obligar a simetrías en la forma de distribución de masas y rigidez tratando de garantizar la uniformidad de la estructura. Por lo tanto la NSR-98 debe limitar las estructuraciones que den lugar a que en algún piso la excentricidad calculada exceda de cierto valor de la dimensión en planta de dicho nivel, en la dirección de la excentricidad, por ejemplo al 20% de dicho valor. En otras palabras las excentricidades por torsión deben tener un limite de igual forma como se limitan los desplazamientos laterales de la estructura para minimizar los daños por sismo. 1.13 BIBLIOGRAFIA Bazan/Meli, 1998, Diseño sísmico de edificios , Limusa, México DF, México Normas Colombiana de Diseño y Construcción Sismo Resistente, NSR-98 , Ley 400 de
1997, Decreto 33 de 1998, Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, Santafé de Bogotá, Colombia
Código Colombiano de Construcciones Sismo Resistentes , Decreto 1400 de 1984,
CCCSR-84, 1984, Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, Santafé de Bogotá, Colombia
27
