Analisis Dinamico

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS PROYECTOS ESTRUCTURALES

Análisis Dinámico con Un Grado de Libertad por Nivel Prof. Orlando Ramírez Boscán Mérida, marzo 2014

Dinámica Estructural

La principal causa de daños que las estructuras experimentan en un terremoto es debida a su respuesta a los movimientos en la base, transmitidos por las vibraciones sísmicas del terreno. Esas vibraciones son variables en el tiempo, por lo que las fuerzas inducidas y toda su respuesta también son variables en el tiempo. El análisis que se hace de las estructuras bajo esas condiciones “dependientes del tiempo”, es lo que se llama Análisis Dinámico de Estructuras.

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

Sistema de Un Grado de Libertad

Dinámica de Estructuras GRADOS DE LIBERTAD DINAMICOS El número de grados de libertad es igual al número de desplazamientos independientes requeridos para definir la posición desplazada de todas las masas con respecto a su posición original u(t) m

m

u(t)

SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD DINAMICO

Sistema de Un Grado de Libertad

Dinámica de Estructuras

Sistemas de Un Grado de Libertad

Dinámica de Estructuras Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa concentrada en la parte superior soportada por un elemento estructural de rigidez k en la dirección considerada. Torre de Telecomunicación, Frankfurt.

Landmark Tower, Las Vegas Es importante el entender la vibración de este tipo de estructuras, las cuales están sometidas a fuerzas laterales en el tope o a movimientos horizontales del suelo debidos a sismos, para así facilitar la comprensión de la teoría dinámica




Dinámica de Estructuras Idealización de un S1GL Historia de aceleraciones en el sistema

Amortiguador Masa

Columna con constante de resorte conocida

MODELO

Historia de aceleraciones en la base

Dinámica de Estructuras Idealización de un S1GL

Ordenada que describe el movimiento

Rigidez 0

u (t)

k m

F(t)

c

Fuerza excitadora Masa Amortiguamient o viscoso

Dinámica de Estructuras Características de la fuente excitadora Amplitud Contenido frecuencial Duración Características del sistema estructural

Sistema de un grado de libertad Masa

F(t), u(t)

Amortiguamiento

Rigidez

Frecuencia natural (masa, rigidez) Amortiguamiento

La condición dinámica (o estática) de un problema estructural está determinada, principalmente, por la interacción entre la acción externa y la estructura.

Parámetros mecánicos y componentes

Dinámica de Estructuras Desplazamiento

Velocidad

Aceleración

F=kd

F=cv

F=ma

Todos los sistemas estructurales tienen tres componentes básicos: rigidez (k), masa (m) y amortiguamiento (c), relacionados con los tres tipos de fuerzas más características de los problemas de vibraciones: las fuerzas elásticas, las fuerzas de inercia y las fuerzas de disipación de energía, respectivamente.

Ecuaciones de equilibrio dinámico


f I (t )

0.5 f S ( t )

f D (t )

F (t )

0.5 f S ( t )

I = Inertial D = Damping S = Stiffness

F (t ) − f I (t ) − f D (t ) − f S (t ) = 0

f I (t ) + f D (t ) + fS (t ) = F (t )



f I (t )

0.5 f S ( t )

f D (t )

F (t )

0.5 f S ( t )

I = Inertial D = Damping S = Stiffness

f I (t ) + f D (t ) + fS (t ) = F (t ) ( t ) + c u ( t ) + k u( t ) = F ( t ) mu

ug

ut

Historia tiempo de las aceleraciones del movimiento del terreno, Üg

ur Aceleración terreno (g)



0.40 0.20 0.00 -0.20 -0.40 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

Tiempo (seg)

Esta ecuación gobierna el desplazamiento relativo o deformaciones u(t) de estructuras lineales sujeta a aceleraciones del suelo.

m [ug (t ) + ur (t )] + c ur (t ) + k ur (t ) = 0

r ( t ) + c ur ( t ) + k ur ( t ) = − mu g ( t ) mu



ur

RELATIVO

M

FI ,r = ur × M

uTotal= ug + ur

TOTAL

M

FI ,Total = uTotal × M Corte Total en la Base


Dinámica de Estructuras Fuerza Excitatriz:

( t ) + c u  ( t ) + k u( t ) = F ( t ) mu

Movimiento en la Base:

g ( t ) r ( t ) + c ur ( t ) + k ur ( t ) = − mu mu Fuerza efectiva de terremotos:

p eff (t) = - m  u g(t) Un movimiento del suelo puede ser reemplazando por una fuerza efectiva proporcional a la masa de la estructura por la aceleración del suelo, actuando en dirección opuesta a la aceleración.

SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD

Análisis Dinámico con1GLN

Respuesta de Sistemas de MGL ANÁLISIS DINÁMICO CON UN GRADO DE LIBERTAD POR NIVEL Para la aplicación de este método, la estructura deberá ser modelada como un sistema de masas concentradas en cada nivel, teniendo cada una de ellas un grado de libertad correspondiente al desplazamiento lateral en la dirección considerada. Las formas modales y sus correspondientes períodos de vibración en la dirección analizada se calculan utilizando las rigideces elásticas y las masas del sistema. Los efectos traslacionales se determinan según el Método de Superposición Modal con un Grado de Libertad por nivel y los efectos torsionales se determinan por el Método de la Torsión Estática Equivalente.

Dinámica Estructural Sistema de Varios Grados de Libertad

m5 m4 m3 m2 m1

MODO 1

MODO 2

MODO 3

m5

u5(t)

m4

u4(t)

m3

u3(t)

m2

u2(t)

m1

u1(t)

MODO 4

MODO 5

Sistema de Varios Grados de Libertad


φ51

MODO 1 T1

MODO 2 T2

MODO 3 T3

2π T= ω

MODO 4 T4

MODO 5 T5

Coordenadas Modales


COORDENADAS MODALES φ51

φ52

φ41 φ31 φ21 φ11

φkj: coordenada modal del nivel k, modo j

φ42 φ32 φ22 φ12

Análisis Dinámico Plano


NORMA COVENIN 1756-01

Efectos Traslacionales

Efectos Torsionales

METODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL CON UN GRADO DE LIBERTAD POR NIVEL

METODO DE LA TORSION ESTATICA EQUIVALENTE

METODO DE SUPERPOSICION MODAL CON UN GRADO DE LIBERTAD POR NIVEL

Método de Superposición Modal con 1GDL por nivel

MODELO MATEMATICO

SISTEMA DE MASAS CONCENTRADAS EN CADA NIVEL, A CADA UNA DE LAS CUALES SE LES CONSIDERA UN GRADO DE LIBERTAD 4

m4 k4

3

m3 k3

2

m2 k2

1

m1 k1

MGDL

Número Mínimo de Modos

Método de Superposición Modal con 1GDL por nivel NUMERO MINIMO DE MODOS Las formas modales y sus correspondientes períodos de vibración se obtienen resolviendo el problema característico, es decir obteniendo los autovalores y autovectores de la estructura (valores y vectores propios), usando las rigideces elásticas y las masas correspondientes a cada nivel. El número mínimo de modos que se deben incorporar al análisis, N1, se obtienen de las siguientes expresiones (O. López y M. Cruz): PARA EDIFICIOS CON MENOS DE 20 PISOS

1  T1  = N1 − 1.5  * +3≥ 3 2T 

PARA EDIFICIOS CON MAS DE 20 PISOS

2  T1  = N1 − 1.5  * +4≥ 4 3T 

Corte Basal Modal

Método de Superposición Modal con 1GDL por nivel DETERMINACIÓN DEL CORTE BASAL MODAL La contribución del modo j al corte basal, V0j, en una edificación de masa M, se determina mediante la siguiente expresión:

donde:

V0 j = β jMA djg

Adj : ordenada del espectro inelástico, correspondiente al período Tj del modo j φkj : coordenada modal del piso k, modo j mk : masa del piso k N : número total de pisos βj : Fracción de la masa total del edificio, o masas participativas, asociadas con la respuesta en el modo j

  m φ ∑ k kj  1  k =1 βj = M N 2 m φ ∑ k kj N

k =1

2

Fuerzas Modales

Método de Superposición Modal con 1GDL por nivel FUERZAS MODALES DEBIDAS A LOS EFECTOS TRASLACIONALES El máximo desplazamiento, ukj, en el nivel k, modo j se obtiene

 Tj  u kj =φkj γ jA djg    2π 

2

La fuerza lateral en el nivel k, debido al modo j es:

Fkj= m k φkj γ jA djg N

γkj : factor de participación de cada modo de vibración (j)

∑m φ

γj =

k =1 N

k

kj

2 m φ ∑ k kj k =1

Combinación Modal

Método de Superposición Modal con 1GDL por nivel COMBINACION MODAL Los valores de diseño para el corte basal y las fuerzas a nivel de piso se determinan como los valores máximos probables obtenidos usando, para la combinación modal, el criterio de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados o de la combinación cuadrática completa de los valores máximos de cada modo. La respuesta pico de alguna variable física i (desplazamiento, fuerza, etc.) causada por la vibración de un modo α en la dirección k puede estimarse mediante los siguientes métodos:  Método ABS: La respuesta se obtiene sumando los valores absolutos de cada modo. Este método implica que todas las respuestas picos ocurren simultáneamente i máx

( R )k

= ∑ ( R α )k i

α

máx

Combinación Modal

Método de Superposición Modal con 1GDL por nivel  Método SRSS: Es más acertado si las frecuencias naturales del sistema están bien espaciadas. Usa la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor modal para combinar la respuesta modal: i máx

( R )k

∑ ( ( R α )k

=

i

máx 2

)

α

 Método CQC: Este método mejora la estimación de la respuesta de la estructura cuando se tienen frecuencias estrechamente espaciadas. Combina la respuesta modal con la fórmula: ( R i ) máx = k

∑ ∑ ( ( R α )k i

α

β

máx

) ρ αβ ( R βi ) máx k

Combinación Modal

Método de Superposición Modal con 1GDL por nivel Donde ραβ son coeficientes de correlación entre los modos α y β lo cual depende de la relación entre la frecuencia ω y amortiguamiento modal ξ de los dos modos:

ρ αβ =

1.5 8 ξ α ξβ (ξ α + rβα ξβ ) rαβ 2 2 2 2 ( 1 - rαβ ) + 4 ξ α ξβ rαβ ( 1 + rαβ ) + 4 ( ξ α2 + ξβ2 ) rαβ

donde:

rαβ = ωβ / ωα

Control de Corte Basal

Método de Superposición Modal con 1GDL por nivel

CONTROL DE CORTANTE BASAL Y VALORES DE DISEÑO El corte basal obtenido, V0, no podrá ser menor que el obtenido usando el método estático equivalente, V0*, con un período T = 1.6 Ta . Cuando V0 sea menor que V0*, los valores para el diseño deberán multiplicarse por V0*/V0. El cociente V0/W no será menor que el coeficiente sísmico mínimo Posteriormente se considerarán los efectos P-D (Art. 8.5), y finalmente se suman los efectos torsionales obtenidos por el método de la Torsión Estática Equivalente.

Sistema no amortiguado

Respuesta de Sistemas de MGL u3(t) p3(t)

p2(t)

m3

p3(t) u2(t)

m2

m33yu33 m

k3 (u3 –u 2)

p2(t)

k3 (u3 – u2) m m22 uy 2

k2 (u2 – u1)

p1(t)

m1

u1(t) p1(t)

k2 (u2 –u 1) m11yu11 m

k1 u1

f I1 + fS1 = p1 (t ) Ecuaciones de equilibrio dinámico para cada nivel, sin amortiguamiento.

f I 2 + fS2 = p 2 (t ) f I3 + fS3 = p3 (t )


Respuesta de Sistemas de MGL Modelo de masas concentradas y resortes para representar un edificio simple o de cortante: u1 p1(t)

u2

p2(t)

m1 k1

p3(t)

m2 k2

k1u1

m1 u1

m3 k3

u1 p1(t)

u3

u2 p2(t) k2(u2 -u1)

m 2 u 2

u3 p3(t)

m 3 u 3

k3(u3 - u2)

El coeficiente de rigidez o constante del resorte ki entre dos masas consecutivas, es la fuerza requerida para producir un desplazamiento relativo de magnitud unitaria entre dos pisos adyacentes.


Respuesta de Sistemas de MGL m1 u1 + k1 u1 − k 2 (u 2 - u1 ) - p1 (t) = 0 m 2 u 2 + k 2 (u 2 - u1 ) − k 3 (u 3 - u 2 ) - p 2 (t) = 0 m 3 u 3 + k 3 (u 3 - u 2 ) - p 3 (t) = 0 Este sistema de ecuaciones constituye la Formulación de Rigidez de las ecuaciones del movimiento para este edificio simple de tres pisos. En forma matricial estas ecuaciones adoptan la forma:

[ M ] { u }

+

{p} [ K ]{ u } =

Fuerzas de Inercia

Respuesta de Sistemas de MGL Las fuerzas de inercia I de las ecuaciones anteriores no son mas que:

f I1 = m1 u1 f I 2 = m 2  u2 f I3 = m3 u3 En forma matricial:

u1  f I1   m1 0 0         f = 0 m 0 u  I2   2  2 f  0 0 m    u 3 3  I3   En forma matricial general:

{f I } = [ M ]{u}

Fuerzas elásticas de desplazamiento

Respuesta de Sistemas de MGL Las fuerzas elásticas son el resultado de la rigidez de piso por los desplazamientos:

fS1 = k11u1 + k12 u 2 + k13 u 3 fS2 = k 21u1 + k 22 u 2 + k 23 u 3 fS3 = K 31u 3 + k 32 u 2 + k 33 u 3 En forma matricial:

fS1   k11 k12 k13  u1      u  f = k k k  S2   21 22 23   2  f   k u   k k 32 33   3   S3   31 En forma matricial general:

{fS } = [ K ]{u}

Ecuación de movimiento

Respuesta de Sistemas de MGL La ecuación general de movimiento para el sistema de tres grados de libertad, expresada en forma matricial, es la siguiente:

[ M ]{ u } + [ K ]{ u } = { p } donde:

 m1 [ M ] =  0  0

{ u }

0 m2 0

0 0  m3 

 u1    =  u 2   u   3

Matriz de masa

Vector de aceleraciones


Respuesta de Sistemas de MGL k + k 2  1 [ K ] =  - k2  0 

- k2 0   k 2 + k3 - k3  - k3 k 3 

Matriz de rigidez

Coeficientes de rigidez: kij se define como la fuerza en la coordenada i cuando la coordenada j se desplaza una unidad, mientras que todas las otras coordenadas permanecen fijas

{u }

{p }

 u1    =  u2  u   3

 p1 (t)    =  p 2 (t)   p (t)   3 

Vector de desplazamientos

Vector de fuerzas


Respuesta de Sistemas de MGL En general, la matriz de rigidez tiene la forma

[K]

 k1 + k 2  -k 2   =     

-k 2 k 2 + k3 -k 3 0

-k 3 0 k3 + k 4      k N-1 + k N

C tiene la misma forma que K M y K son simétricas y definidas positivas

-k N

      -k N   k N 


Respuesta de Sistemas de MGL En edificios que no son de cortante la ecuación matricial de movimiento NO VARÍA, pero las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento SON DISTINTAS. Edificios SIMÉTRICOS (REGULARES) (el centro de gravedad coincide con el centro de rigidez) El movimiento horizontal se puede analizar por separado en dos direcciones ortogonales mediante edificios planos (2D) Edificios ASIMÉTRICOS (IRREGULARES) Es necesario considerar que existen tres grados de libertad por planta (dos desplazamientos horizontales y un giro respecto del eje vertical de torsión)

Análisis Modal

Respuesta de Sistemas de MGL

Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total. El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales, numéricos o métodos iterativos.

METODO DE HOLZER

Método de HOLZER

Respuesta de Sistemas de MGL Para calcular modos superiores al primero, podemos emplear el procedimiento debido a Holzer (Crandall y Strang, 1957).

En la forma en que a continuación se describe, el método es aplicable solamente a estructuras llamadas sencillas o cercanamente acopladas. En estas estructuras la masa de los pisos intermedios están ligadas solo a la de los pisos superior e inferior mediante resortes que representan las rigideces de entrepiso correspondientes.

m3 k3 m2 k2 m1 k1

Método de HOLZER

Respuesta de Sistemas de MGL PROCEDIMIENTO GENERAL 1. Suponer arbitrariamente un valor de ωj2 para el modo “j” y la componente de amplitud de desplazamiento de la primera masa (tomar φ1 = 1.00). Esta amplitud supuesta es también igual al desplazamiento del primer piso u1. 2. Determinar u1 y calcular la fuerza cortante en el primer resorte Fc1 = K1u1. 3. Calcular la fuerza de inercia en la primera masa Fi1= -M1 φ1 ωj2 (siempre negativa), y por equilibrio calcular la fuerza cortante en el segundo resorte Fc2. 4. Conocido Fc2, calcular el desplazamiento del segundo piso u2 = Fc2/K2 y la amplitud de desplazamiento de la segunda masa, φ2 = Σ ( u1 + u2 ).

Método de HOLZER

Respuesta de Sistemas de MGL PROCEDIMIENTO GENERAL (cont.) 5. Calcular la fuerza de inercia de la segunda masa Fi2=-M2φ2ωj2, continuando el proceso hasta el último nivel de piso, donde Fcn – Fin = 0. 6. Se continua el proceso hasta llegar a la última masa. Si se satisface el equilibrio entre la fuerza cortante del último resorte y la fuerza de inercia de la masa aludida, la frecuencia escogida y las amplitudes calculadas corresponden a un modo natural de vibración. Si hay residuo debe tantearse otra solución de ωj2.

Método de HOLZER

Respuesta de Sistemas de MGL EJEMPLO

N5 N4 N3 N2 N1

M5 M4

KPN5

M3

KPN4

M2

KPN3

M1

KPN2 KPN1

N0 Estructura real

Niveles Masa de piso Rigidez de piso Sistema 1GDL por nivel s.d.o.f. se le aplica el Método de Holzer.

Estructura equivalente

Método de HOLZER

Respuesta de Sistemas de MGL EJEMPLO m3 = 0.025 Ton seg2/cm

m3 = 1m K3 = 5500 Ton/cm

m2 = 0.025 Ton seg2/cm

k3 = 1k m2 = 1m

K2 = 16500 Ton/cm m1 = 0.05 Ton seg2/cm

u2 k2 = 3k

m1 = 2m K1 = 22000 Ton/cm

u3

u1 k1 = 4k

M = 0.025 Ton seg2/cm K = 5500 Ton/cm

Método de HOLZER


Frecuencia supuesta

ω2 = K/M 1

ai ui Fc Fi

1

Suponer la componente de amplitud de desplazamiento de la primera masa (tomar a1 = 1.00).

Esta amplitud supuesta es también igual al desplazamiento del primer piso u1.

Método de HOLZER


Frecuencia supuesta

ω2 = K/M 1

ai ui

1

Fc

4K

Fi

calcular la fuerza cortante en el primer resorte Fc1 = K1 u1.

Método de HOLZER


Frecuencia supuesta

ω2 = K/M 1

ai ui

1

Fc

4K

Fi

-2K

Se calcula la fuerza de inercia en la primera masa Fi1 = - M1 a1 ωj2 (siempre negativa)

Método de HOLZER


Frecuencia supuesta

ω2 = K/M 1

ai ui

1

Fc

4K

Fi

Por equilibrio se calcula la fuerza cortante en el segundo resorte Fc2.

2K

-2K

Método de HOLZER


Frecuencia supuesta y la amplitud de desplazamiento de la segunda masa, a2 = Σ( a1 + u2 ).

ω2 = K/M

5/3

1

ai ui

1

2/3

Fc

4K

2K

Fi

-2K

Se calcula el desplazamiento del segundo piso u2= Fc2/k2.

Método de HOLZER


Frecuencia supuesta

ω2 = K/M 5/3

1

ai ui

1

2/3

Fc

4K

2K

Fi

-2K

-5K/3

Se calcula la fuerza de inercia en la segunda masa Fi2 = - M2 a2 ωj2 (siempre negativa)

Método de HOLZER


Frecuencia supuesta

ω2 = K/M 5/3

1

ai ui

1

2/3

Fc

4K

2K

Fi

-2K

K/3

-5K/3

Por equilibrio se calcula la fuerza cortante en el tercer resorte Fc3.

Método de HOLZER


Frecuencia supuesta

ω2

y la amplitud de desplazamiento de la tercera masa, a3 = Σ( a2 + u3 ).

= K/M

5/3

1

ai

2

ui

1

2/3

1/3

Fc

4K

2K

K/3

Fi

-2K

-5K/3

Se calcula el desplazamiento del tercer piso u3= Fc3/k3.

Método de HOLZER


Frecuencia supuesta

ω2 = K/M 5/3

1

ai

2

ui

1

2/3

1/3

Fc

4K

2K

K/3

Fi

-2K

-5K/3

-2K Fi2 = - M3 a3 ωj2 (siempre negativa)

Método de HOLZER

Respuesta de Sistemas de MGL Suponer una nueva frecuencia y repetir el proceso hasta que el residuo sea cero.

Frecuencia supuesta

ω2 = K/M 5/3

1

ai

2

ui

1

2/3

1/3

Fc

4K

2K

K/3

Fi

-2K

-5K/3

-2K RESIDUO = K/3 – 2K = -5K/3

Respuesta de Sistemas de MGL Método de HOLZER

4K

2M

3K

M

K 1

M

Frecuencia Supuesta

ω2= K/M ai

1

5/3

2

u

1

2/3

1/3

Fc

4K

2K

K/3

Fi

-2K

-5K/3 RESIDUO =

-2K (K / 3) - 2K

-5K/3

NEGATIVO

ω = 3K/M 2

ai

1

1/3

-8/3

u

1

- 2/3

-3

Fc

4K

-2K

-3K

Fi

-6K

-K

Frecuencia Supuesta

RESIDUO =

8K - 3K + 8K

5K

ω = 2K/M 2

Cambio de Signo

ai

1

1

-1

u

1

0

-2

Fc

4K

0

-2K

Fi

POSITIVO

-4K

-2K RESIDUO =

Hay solución Intermedia

2K - 2K + 2K

0

Solución

METODO DE HOLZER Datos del problema Normalizando las M's y las K's respecto al último piso

M=

0.025 Ton seg^2/cm

K=

5.500 Ton / cm

descripción

rigidez 1

masa 1

rigidez 2

masa 2

rigidez 3

masa 3

g=

981.000 cm / seg^2

datos

4.00

2.00

3.00

1.00

1.00

1.00

Residuo

M3 = M

0.025 Ton seg^2/cm

M2 = M

0.025 Ton seg^2/cm

M1 = 2*M

0.050 Ton seg^2/cm

K3 = K

5.500 Ton / cm

K2 = 3*K

16.500 Ton / cm

K1 = 4*K

22.000 Ton / cm descripción

rigidez 1

masa 1

rigidez 2

masa 2

rigidez 3

masa 3

datos

4.00

2.00

3.00

1.00

1.00

1.00

frecuencia

ωj2

1.00 k/M

φ1

1.6667

1.00

2.0000

u1

1.0000

0.6667

0.3333

Fc1

4.0000

2.0000

0.3333

Fi1

-2.0000

datos frecuencia

4.00 ωj2

2.00

-1.6667 3.00

1.00

-2.000 1.00

0.3333

1.00

-2.6667

u1

1.0000

-0.6667

-3.0000

Fc1

4.0000

-2.0000

-3.0000

Fi1

frecuencia

-6.0000 4.00 ωj2

2.00

-1.0000 3.00

1.00

5.00 8.000

1.00

1.00

2.00 k/M

φ1

1.00

u1

1.0000

Fc1

4.0000

Fi1

1.00

3.00 k/M

φ1

datos

-1.67

1.0000 -2.0000

0.0000 0.0000 -4.0000

-1.0000 0.00

-2.0000 -2.0000

2.000

descripción

rigidez 1

masa 1

rigidez 2

masa 2

rigidez 3

masa 3

datos

4.00

2.00

3.00

1.00

1.00

1.00

frecuencia

ωj2

0.40 k/M

φ1

1.00

2.0667

4.4400

u1

1.0000

1.0667

2.3733

Fc1

4.0000

3.2000

2.3733

Fi1

-0.8000

datos frecuencia

4.00 ωj2

2.00

-0.8267 3.00

1.00

-1.776 1.00

1.00

2.0000

1.0000

1.0000

2.0000

Fc1

4.0000

3.0000

2.0000

Fi1

-1.0000 4.00 ωj2

2.00

1.0000

Fc1

4.0000

1.00

1.00

4.00 ωj2

2.00

-3.0000 -2.6667

-4.0000

-2.6667 1.3333

3.00

9.33

1.00

12.000 1.00

1.00

5.00 k/M

φ1

1.00

u1

1.0000

Fc1

4.0000

-1.0000 -2.0000

-10.0000 4.00 ωj2

2.00

-2.0000 -1.0000

-6.0000

Fi1

-1.0000 5.0000

3.00

9.00

1.00

10.000 1.00

1.00

6.00 k/M

φ1

1.00

u1

1.0000

Fc1

4.0000

Fi1

-2.000

-0.3333

-8.0000

datos

1.00

-1.3333

Fi1

frecuencia

3.00

1.00

u1

frecuencia

-1.0000

0.00

4.00 k/M

φ1

datos

1.00 4.0000

u1

frecuencia

0.60

0.50 k/M

φ1

datos

Residuo

-1.6667 -2.6667

2.0000

-8.0000 -12.0000

0.3333 0.00

2.0000 10.0000

-2.000

RESULTADOS DEL ANALISIS MODAL M=

0.025 Ton seg^2/cm

ω1 =

10.4881 rad/seg

K=

5.500 Ton / cm

ω2 =

20.9762 rad/seg

g=

981.000 cm / seg^2

ω3 =

36.3318 rad/seg

M3 = M

0.025 Ton seg^2/cm

T1 =

0.5991 seg

M2 = M

0.025 Ton seg^2/cm

T2 =

0.2995 seg

M1 = 2*M

0.050 Ton seg^2/cm

T3 =

0.1729 seg

frecuencias

períodos

K3 = K

5.500 Ton / cm

ai

1º modo

2º modo

3º modo

K2 = 3*K

16.500 Ton / cm

N3 =

4.0000

-1.0000

0.3330

K1 = 4*K

22.000 Ton / cm

N2 =

2.0000

1.0000

-1.6670

N1 =

1.0000

1.0000

1.0000

formas modales

DATOS SISMICOS

localidad Mérida Zona Sísmica Suelo S1 T* Nivel Diseño ND3 R alt. total hn 9.00 Cálculo período fundamental Ta (aprox)

5.00 0.40 4.50

Coef. Ao β T+

0.364 seg

0.30 2.40 0.35

Grupo p C.Corr ϕ

B2 1.00 1

F. Imp α Tipo Est. Mat Ct

1.00 I 0.07

FUERZAS SISMICAS MODALES Fuerzas Sísmicas para T1 = 0.5991 seg. modo/periodo

1 T1 = 0,5991 > T*

niveles

Mk

φ ik

Mk x φ ik

Mk x (φ ik)^2

3

0.025

4.0000

0.10000

2

0.025

2.0000

0.05000

1

0.050

1.0000

0.05000

0.05000

Σ=

0.100

0.20000

0.55000

Adj

factor Vo1

Fi1 (Ton)

chequeo

0.40000

0.50

3.811

3.811

0.10000

0.25

1.905

5.716

0.25

1.905

7.622

factor Vo1

Fi1 (Ton)

chequeo

-0.50

-2.064

-2.064

0.50

2.064

0.000

1.00

4.129

4.129

factor Vo1

Fi1 (Ton)

chequeo

0.50

0.223

0.223

-2.50

-1.115

-0.893

3.00

1.338

0.446

0.107

Vo1 (Ton)

7.622

1.00

Fuerzas Sísmicas para T2 = 0.2995 seg. modo/periodo

2 T2 = 0,2995 < T+

niveles

Mk

φ ik

Mk x φ ik

Mk x (φ ik)^2

3

0.025

-1.0000

-0.02500

0.02500

2

0.025

1.0000

0.02500

0.02500

1

0.050

1.0000

0.05000

0.05000

Σ=

0.100

0.05000

0.10000

Adj

0.168

Vo1 (Ton)

4.129

1.00

Fuerzas Sísmicas para T2 = 0.1729 seg. modo/periodo

3 T3 = 0,1729 < T+

niveles

Mk

φ ik

Mk x φ ik

Mk x (φ ik)^2

3

0.025

0.3330

0.00833

0.00277

2

0.025

-1.6670

-0.04168

0.06947

1

0.050

1.0000

0.05000

0.05000

Σ=

0.100

0.01665

0.12224

V0 j = β jMA djg

N  m φ ∑ k kj  1  k =1 βj = M N ∑ mk φkj2 k =1

Adj

0.200

Vo1 (Ton)

0.446

1.00

2

N

Fkj= m k φkj γ jA djg

∑m φ

kj

∑m φ

2 kj

γj =

k =1 N

k =1

k

k

FUERZAS SISMICAS POR TRASLACION Combinación SRSS

Las Fuerzas Laterales equivalentes definitivas en cada piso, se determinarán utilizando la combinación modal: RAIZ CUADRADA DE LA SUMA DE LOS CUADRADOS MOD O NIVEL Fi F uer zas D ef i ni ti v as 3 3.811 NIVEL Fi 1 2 1.905 3 4 .3 4 T on 1 1.905 2 3 .0 2 T on 3 -2.064 1 4 .7 4 T on 2 2 2.064 1 4.129 NOT A: 3 0.223 1 .- Anal i zar l a estr uc tur a en el senti d o or tog onal 3 2 -1.115 2 .- Ef ec to r otac i onal apl i c ar el Métod o T or si ón Estáti c a Equi v al ente. 1 1.338

FORMAS MODALES T1 = 0.5991 seg T2 = 0.2995 seg T3 = 0.1729 seg 3

2 Modo 1 Modo 2 Modo 3 1

0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

FUERZAS SISMICAS POR TRASLACION

4.34 Ton

3.02 Ton

4.74 Ton

Analisis Dinamico

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