Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Sección de Estudios de Posgrado e Investigación
ANÁLISIS DINÁMICO DE MECANISMOS Y MÁQUINAS.
Cándido Palacios Montúfar Juan Alejandro Flores Campos Iris García Ríos Erick Vargas Rojas Ricardo Tapia Herrera
México, D.F. 2012
ÍNDICE
Índice…………………………………………………………………………………………………………………..……… Prólogo………………………………………………………………………………………………………………………..
2 8
CAPÍTULO 1 1.1 Cálculo de fuerzas del mecanismo…………………………………………………………………………… 1.2 Fuerzas que actúan en los eslabones de un mecanismo…………………………………………… 1.3 Fuerzas activas y fuerzas de resistencia útil……………………………………………………………… 1.4 Características mecánicas de una máquina………………………………………………………………. 1.5 Fricción en los mecanismos……………………………………………………………………………………… 1.6 Rozamientos al deslizamiento………………………………………………………………………………….. 1.7 Rozamiento en los pares prismáticos………………………………………………………………………..
1.8 Distribución de fuerzas en diferentes pares prismáticos para diferentes mecanismos 1.9 Rozamiento en un par cinemático de tornillo…………………………………………………………… 1.10 Rozamiento en el par cinemático de rotación………………………………………………………… 1.11 Rozamiento al deslizamiento en cuerpos lubricados………………………………………………. 1.12 Rozamiento de rodadura y de deslizamiento en los pares cinemáticos superiores…. 1.13 Rozamiento en transmisiones con ruedas friccionantes…………………………………………. 1.14 Rozamiento en transmisiones con eslabones flexibles…………………………………………….
10 11 12 14 16 17 21 25 30 33 36 37 41 43
CAPÍTULO 2 DINÁMICA DEL CUERPO RÍGICO 2.1 Principales problemas de la dinámica del cuerpo rígido, ecuaciones diferenciales del movimiento………………………………………………………………………………………………………………......
46
2.1.1 Principales conceptos dinámicos del cuerpo rígido y la relación entre ellos. Cantidad de movimiento, momento cinético y energía cinética……………………………………..
46
2.2 Elipsoide de Energía. Relación entre la dirección del vector del momento cinético y el elipsoide de inercia. Concepto dinámico de los ejes de inerc ia principales………………….
50
2.3 Los dos principales problemas de la dinámica del cuerpo rígido, ecuaciones diferenciales de movimiento………………………………………………………………………………………….. 2.4 Ecuaciones del movimiento de traslación del cuerpo rígido………………………………………
54 58
2.5 Ecuaciones del movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. Ecuaciones para el cálculo de las re acciones en los apoyos (chumaceras)……………………… 2.5.1 Ecuaciones del movimiento……………………………………………………………………………………
60 60
2.5.2 Ecuaciones para el cálculo de las reacciones de los apoyos (chumaceras) del cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo………………………………………………………………. 2.5.3 Reacciones dinámicas adiciona les…………………………………………………………………………. 2.5.4 Movimiento de rotación del cuerpo rígido libre de enlaces…………………………………… 2.5.5 Péndulo físico……………………………………………………………………………………………………….. 2.5.6 Cálculo experimental de los momentos de inercia de cuerpos rígid os…………………… 2.6 Ecuaciones del movimiento plano paralelo del cuerpo rígido…………………………………… 2.6.1 Ecuaciones del movimiento……………………………………………………………………………………
2.6.2 Sistema de fuerzas de reducción, actuando en un cuerpo que se mueve con movimiento plano paralelo a la resultante…………………………………………………………………….. 2.7 Ecuaciones del movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de un punto fijo 2.7.1 Movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de un punto fijo O……………….
62 64 65 65 67 71 71 73 74 74 1
2.7.2 Movimiento del cuerpo rígido alrededor de un punto fijo por inercia (caso de Euler Puanso)…………………………………………………………………………………………………………………. 2.8 Elementos de la teoría aproximada de los giróscopos………………………………………………. 2.8.1 Giróscopo. Propiedad principal de un giros copio libre……………………………………………
76 80 80
2.8.2 Modificación de las ecuaciones de Euler. Ecuaciones de precesión del movimiento de un giroscopio…………………………………………………………………………………………………………….. 2.8.3 Ecuaciones del movimiento de precesión del giroscopio………………………………………. 2.8.4 Momento giroscópico. Regla de Zhukovskiy………………………………………………………….. 2.9 Uso de los giroscopios en la téc nica…………………………………………………………………………. 2.9.1 Giroscopios de dirección……………………………………………………………………………………….. 2.9.2 Medidores giroscópicos de velocidades angulares (girotacómetros)……………..………. 2.9.3 Medidores giroscópicos de velocidad de cohetes balísticos…………………………………..
2.9.4 Medidor giroscópico de inclinación del plano del horizonte. Péndulo-Giroscópico.. 2.10 Recomendaciones metodológicas para resolver los problemas de la dinámica del cuerpo rígido…………………………………………………………………………………………………………………. 2.10.1 Movimiento de traslación del cuerpo rígido………………………………………………………… 2.10.2 Movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor d e un eje fijo…………………….. 2.10.3 Movimiento plano paralelo del cuer po rígido………………………………………………………
82 86 87 92 93 93 95 96 97 97 99 105
CAPÍTULO 3 FUERZAS DE INERCIA EN LOS ESLABONES DE MECANISMOS PLANOS 3.1Cálculo de las fuerzas de inercia de los eslabones……………………………………………………… 3.2 Método de sustitución de puntos…………………………………………………………………………….. 3.3 Cálculo de las reacciones en los pares cinemáticos de los grupos de Assur………………. 3.3.1 Condiciones de determinabilidad estática de las cadenas cinemáticas…………………..
110 110 112 120
3.3.2 Direcciones, sentidos, magnitudes y puntos de aplicación de las reacciones en diferentes pares cinemáticos…………………………………………………………………………………………. 3.3.3 Determinabilidad de las cadenas cinemáticas……………………………………………………….. 3.3.4 Ejemplo…………………………………………………………………………………………………………………. 3.4 Cálculo de las reacciones en los pares cinemáticos de los grupos de Assur……………….
120 122 122 123
3.5 Cálculo de las reacciones en los pares cinemáticos de los grupos de Assur, tomando en cuenta las fuerzas de fricción……………………………………………………………………………………. 3.6 Cálculo cinético del eslabón conductor de un mec anismo………………………………………… 3.7 Cálculo de las fuerzas en mec anismos………………………………………………………………………
134 136 138
CAPÍTULO 4 EQUILIBRADO DE LAS MASAS DE LOS ESLABONES DE UN MECANISMO EN LA BASE 4.1 Equilibrado de las fuerzas de inercia………………………………………………………………………… 4.2 Cálculo de la posición del centro general de masas de un mecanismo……………………… 4.3 Ejemplos……………………………………………………………………………………………………………………
4.4 Equilibrado (balanceo) de las fuerzas de inercia de los eslabones de un mecanismo.. 4.5 Equilibrador de eslabones planos……………………………………………………………………………. 4.6 Solución de ejercicios……………………………………………………………………………………………….
152 157 161 164 171 175
CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE MECANISMOS Y MÁQUINAS. CARACTERÍSTICAS ENERGÉTICAS DE MECANISMOS 5.1 Regímenes de movimiento de mecanismos……………………………………………………………… 178 5.2 Eficiencia mecánica útil……………………………………………………………………………………………. 182 2
5.3 Cálculo del coeficiente de eficiencia mecánica de m ecanismos…………………………………
187
CAPÍTULO 6 6.1 Reducción de las fuerzas (momentos) y de las masas (momentos de inercia de segundo orden) en los mecanismo………………………………………………………………………………… 6.2 Palanca de Zhukovskiy……………………………………………………………………………………………… 6.3 Cálculo de las fuerzas de reducción y equilibrantes por el método de Zhukovskiy……. 6.4 Energía cinética de un mecanismo……………………………………………………………………………
6.5 Masa reducida y momento de inercia de segundo orden reducido de un mecanismo
201 206 209 216 218
CAPÍTULO 7 INVESTIGACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UN MÁQUINA O DE UN GRUPO DE MÁQUINAS 7.1 Definición de grupo de máquinas…………………………………………………………………………….. 226 7.1.2 La ecuación de movimiento…………………………………………………………………………………… 226 7.1.3 Ecuación diferencial de mov imiento……………………………………………………………………… 227 7.2 Integración de las ecuaciones del movimiento…………………………………………………………. 228 7.2.1 Ecuación diferencial en función de las coordenadas generalizadas……………………….. 228 7.2.2 Solución de la ecuación diferencial………………………………………………………………………… 230 7.2.3 Solución numérica…………………………………………………………………………………………………. 232 7.2.4 Cálculo del paso de integración…………………………………………………………………………….. 233 7.3 Investigación del movimiento con ayuda de las ecuaciones de la ener gía cinética…… 235 7.3.1 Cálculo gráfico de la ecuación de movimiento………………………………………………………. 235 7.3.2 Construcción del diagrama de la energía cinética………………………………………………….. 237 7.3.3 Gráfica del momento de inercia de reducción……………………………………………………….. 239 7.4 Cálculo de la ley de movimiento del eslabón de reducción de un grupo de máquinas 241 7.4.1 Definición del grupo de máquinas……………………………………………………………………….. 241 7.4.2 Reducción de las fuerzas y las masas al eslabón motor de reducción……………………. 242 7.4.3 La reducción de los momentos……………………………………………………………………………… 242 7.4.4 Solución al problema sobre el movimiento del eslabón de reducción……………………. 245 7.4.5 Formas de la ecuación de la dinámica de las máquinas…………………………………………. 246 7.4.6 Solución de un problema de movimiento d el eslabón de reducción……………………… 248 7.4.7 Solución en el caso de reducción de las fuerzas motrices………………………………………. 253 7.4.8 Ejemplos de aplicación gráficos…………………………………………………………………………….. 255 7.5 Ejercicios numéricos…………………………………………………………………………………………………. 257 7.5.1 Ejercicio 1……………………………………………………………………………………………………………… 257 7.5.2 Ejercicio 2……………………………………………………………………………………………………………… 258 7.5.3 Ejercicio 3……………………………………………………………………………………………………………… 261 7.5.4 Ejercicio 4……………………………………………………………………………………………………………… 263 7.5.5 Ejercicio 5……………………………………………………………………………………………………………… 267 7.5.6 Ejercicio 6……………………………………………………………………………………………………………… 271 CAPITULO 8 MOVIMIENTO NO UNIFORME DE MECANISMOS Y MÁQUINAS 8.1 Velocidad media de una máquina y su coeficiente de desuniformidad del movimiento…………………………………………………………………………………………………………………………………… 273 8.2 Relación entre el momento de inercia de reducción, las fuerzas de reducción y el coeficiente de desuniformidad del movimiento del mecanismo…………………………………….. 280 8.3 Principales datos necesarios para el cálculo del momento de inercia del volante…….. 283 3
8.4 Cálculo del momento de inercia del volante usando el diagrama T = T(Ir)…………………
8.4.1 El diagrama T = T(Ir)………………………………………………………………………………………… 8.5 Cálculo del momento de inercia del volante usando la ecuación de momentos……….. 8.5.1 El momento de inercia del volante…………………………………………………………………………
8.6 Cálculo del memento del inercia del volante con ayuda del momento motriz en función de la velo cidad………………………………………………………………………………………………….. 8.6.1 Introducción………………………………………………………………………………………………………….. 8.7 Ejemplos de cálculo del volante de un grupo de máquinas………………………………………. 8.7.1 Formulación de problemas de cálculo de inercia de vo lantes………………………………… 8.7.2 Fórmula fundamental para el cálculo del momento de inerc ia del volante…………….
289 289 292 292 297 297 301 302 304
8.7.3 Variación de los momentos Mm y Mr en función de la posición del eslabón de reducción………………………………………………………………………………………………………………………..
305
8.7.4 Variación de los momentos Mm y Mr en función de la velocidad angular o de las fuerzas de resistencia……………………………………………………………………………………………………..
8.7.5 Ejemplos numéricos
310 311
CAPITULO 9 DINÁMICA DUAL DEL MECANISMO CON CUATRO PARES CINEMÁTICOS CILÍNDRICOS 9.1 Cantidad de movimiento lineal…………………………………………………………………………………. 9.1.1 Segunda ley de Newton…………………………………………………………………………………………. 9.1.2 Cantidad de movimiento lineal de un sistema de partículas………………………………….. 9.2 Cantidad de movimiento angular……………………………………………………………………………… 9.2.1 Cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas………………………………. 9.3 Fuerza dual………………………………………………………………………………………………………………. 9.4 Momento dual…………………………………………………………………………………………………………. 9.5 Fuerza de inercia dual………………………………………………………………………………………………. 9.6 Equilibrio dinámico de un eslabón……………………………………………………………………………. 9.7 Dinámica del mecanismo espacial con topología 4C…………………………………………………. 9.7.1 Fuerzas duales internas y de entrada para el mecanismo con topología 4C…………… 9.7.2 Torques duales internos y de entrada para e l mecanismo con topología 4C…………..
320 320 320 321 322 322 323 329 329 330 336 340
CAPÍTULO 10 MODELO FÍSICO DEL MECANISMO 10.1 Dimensiones…………………………………………………………………………………………………………… 10.2 Materiales……………………………………………………………………………………………………………… 10.2.1 Propiedades del aluminio……………………………………………………………………………………. 10.2.2 Propiedades del bronce………………………………………………………………………………………. 10.3 Costos del modelo………………………………………………………………………………………………….. 10.4 Ensamble del conjunto y dimensiones de los eslabones………………………………………….
345 346 346 347 347 347
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE RESULTADOS 11.1 Posición angular y desplazamiento lineal en la salida del mecanismo…………………….. 11.2 Velocidades y aceleraciones…………………………………………………………………………………… 11.3 Aceleraciones angulares y lineales…………………………………………………………………………. 11.4 Fuerzas y torques……………………………………………………………………………………………………
349 350 350 351
CAPÍTULO 12 SOLUCIÓN DEL AS ECUACIONES DINÁMICAS DEL MANIPULADOR 12.1 Análisis de fuerzas dinámicas por números duales………………………………………………….
354 4
P
12.1.1 Velocidades
V i ,P j ˆ
de cada eslabón……………………………………………………………………….
12.1.2 Matrices de inercia de los e slabones del manipulador en estudio……………………….. 12.1.3 Cálculo del momento dual de cada eslabón………………………………………………………… 12.1.4 Cálculo de las fuerzas duales de inercia………………………………………………………………. 12.1.5 Principio de D´Alambert……………………………………………………………………………………… 12.2 Solución dinámica por el método de Lagrange- Euler……………………………………………… 12.2.1 Matrices de inercia de cada eslabón……………………………………………………………………. 12.2.2 Matriz simétrica de inercia…………………………………………………………………………………..
12.2.3 Vectores de fuerza de coriolis y centrífuga no lineal h(q, q) ……………………………… 12.2.4 Vector de carga gravitacional………………………………………………………………………………. 12.3 Generación de trayectorias……………………………………………………………………………………. 12.3.1 Polinomios de quinto orden………………………………………………………………………………... 12.4 Interface Matlab-Simulink-Visual Nastran……………………………………………………………….
355 356 359 360 362 363 364 371 371 372 372 372 374
CAPÍTULO 13 ANÁLISIS DE RESULTADOS 13.1 Análisis de la cinemática directa…………………………………………………………………………….. 13.2 Análisis de la cinemática inversa…………………………………………………………………………….. 13.3 Análisis de velocidades y aceleraciones………………………………………………………………….. 13.4 Generación de trayectorias……………………………………………………………………………………. 13.5 Análisis dinámico…………………………………………………………………………………………………….
376 379 382 383 388
BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………………………………………….. APÉNDICE A…………………………………………………………………………………………………………………… APÉNDICE B……………………………………………………………………………………………………………………
394 395 409
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DINÁMICA DE MECANISMOS Y MÁQUINAS. PRÓLOGO En el estudio de la dinámica de máquinas se considera a éstas compuestas por conjuntos móviles llamados mecanismos. Cuando se estudia el análisis y síntesis de mecanismos siempre se considera que el movimiento de los eslabones conductores se conoce, esto es, que la ley de movimiento del eslabón o barra motor es dato conocido. El movimiento de los eslabones conducidos se estudia en función del movimiento dado del conductor. Las fuerzas que actúan en los eslabones del mecanismo y las fuerzas que aparecen debido al movimiento de los eslabones, en el análisis y síntesis no se estudia. De esta manera en la cinemática la investigación del movimiento se lleva a cabo tomando en cuenta sólo la estructura de los mecanismos y las relaciones geométricas entre sus dimensiones. El análisis dinámico de mecanismos y máquinas comprende varios problemas. a) El estudio de los efectos de las fuerzas externas, el peso de los eslabones, las fuerzas de fricción, las fuerzas másicas (de inercia). La acción de estas fuerzas se transmite a los eslabones del mecanisamo y sus elementos componentes, tales como pares cinemáticos de diferentes tipos, a los apoyos fijos y a la bancada. b) El estudio de las medidas para disminuir los efectos de las fuerzas dinámicas resultantes durante el movimiento del mecanismo. c) El estudio del régimen de movimiento del mecanismo bajo la acción de fuerzas dadas.
d) El establecimiento de métodos para abastecer los regímenes de movimiento del mecanismo. Los primeros dos incisos se pueden considerar como el análisis de fuerzas en los mecanismos y es el primer problema de la dinámica. Los dos últimos son el segundo problema de la dinámica. En el análisis dinámico de mecanismos se pueden estudiar otra serie de problemas que poseen un significado técnico importante y es precisamente, la teoría de vibraciones en los mecanismos, la teoría del choque entre eslabones, etc. Estos se estudian en cursos especiales, pues para su solución se requiere usar los métodos de la teoría de la elasticidad y en este curso los problemas que se resuelven, generalmente es bajo la suposición de que los eslabones del mecanismo o máquina son absolutamente rígidos. El análisis dinámico de un mecanismo consiste en determinar las fuerzas externas desconocidas y las fuerzas de reacción resultantes en los pares cinemáticos durante el movimiento del mecanismo. Las fuerzas externas son por ejemplo: la presión de la mezcla (gases o líquidos) en el émbolo o pistón del mecanismo de manivela-biela-pistón del motor de combustión interna, la presión en un compresor, la presión del vapor en los álabes de una turbina, el momento de rotación que desarrolla un electromotor en el eje de un mecanismo, tales como las de fricción y las fuerzas de resistencia del medio ambiente durante el movimiento. Otras fuerzas de reacción como las dinámicas en los pares cinemáticos aparecen durante el movimiento debido a la inercia de los eslabones.
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El estudio de la naturaleza de las fuerzas exige no sólo la investigación teórica de las fuerzas si no también su investigación experimental. Con la ayuda de los instrumentos de medición modernos, se puede con bastante precisión medir las diferentes fuerzas que actúan en los diferentes eslabones de un mecanismo y descubrir su dependencia de diferentes factores. Si se conocen las fuerzas externas, actuando en los eslabones de un mecanismo y se conocen además las leyes de movimiento de todos sus eslabones, se puede entonces calcular: las fuerzas de fricción, las fuerzas reactivas de los enlaces en los pares cinemáticos, la fuerza de resistencia del medio que rodea a los eslabones, las fuerzas de inercia de los eslabones y otras fuerzas, que aparecen durante el movimiento del mecanismo, esto es, llevar a cabo lo que se llama el cálculo de fuerzas del mecanismo. El primer grupo, al que corresponde el primer problema de la dinámica, se pueden poner los métodos de lucha contra las fuerzas dinámicas, debido a las fuerzas de inercia en los apoyos del mecanismo, eligiendo correctamente la masa y forma de los eslabones. A esto último se le llama teoría del equilibrado de las máquinas y mecanismos o balanceo. El segundo problema tiene como objetivo el cálculo de la cantidad total de energía necesaria para poner en movimiento la máquina o mecanismo, además de estudiar las leyes de distribución de esta energía para realizar el trabajo. Esta energía deberá estar relacionada con la acción de las diferentes fuerzas sobre el mecanismo; además deberá de clasificarse el mecanismo o máquina con ayuda de la eficiencia, que caracteriza el grado en que se ha usado la energía total suministrada a la máquina o mecanismo en realizar un trabajo útil. En el segundo problema de la dinámica también es necesario enlistar el cálculo del movimiento real o verdadero del mecanismo, bajo la acción de las fuerzas que actúan en él, o sea, el problema del régimen de movimiento y también a la elección de las relaciones entre las fuerzas, las masas, y las dimensiones de los eslabones del mecanismo o de la máquina, bajo las cuales el movimiento del mecanismo se aproxime más a las condiciones exigidas por el proceso de trabajo. Al segundo problema de la dinámica a veces se le llama teoría del movimiento de una máquina o mecanismo bajo la acción de fuerzas dadas. El propósito de este libro es presentar una exposición que comprenda la Dinámica de Mecanismos y Máquinas, tal como se expuso durante varios años, en la Sección de estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME, Unidad Zacatenco. Casi todos los ejemplos y ejercicios propuestos en los diferentes capítulos, fueron resueltos por los alumnos de la ESIME como parte de sus tareas. Los autores que aparecen en la portada de este libro fueron los que participaron más. Por otro lado, tuvieron una participación muy amplia, los autores de las tesis de maestría que se mencionan en la literatura, tal como Iris García Ríos, Ricardo Tapia Herrera y Lizbeth Salgado Conrado, que se graduaron con mención honorífica, además de que todos ellos están terminando ya su tesis doctoral, unos en México, Iris en Inglaterra, Erick Vargas en Francia y el ya doctor Alejandro Flores Campos. Todos ellos han participado de alguna manera en la preparación de este libro. Del capítulo 9 al 11 es un ejercicio resuelto por Iris García como parte de su tesis y se refiere a la dinámica del mecanismo de cadena cerrada con cuatro pares cinemátios cilíndricos, empleando Algebra Dual. Del capítulo 12 en adelante se emplea otra vez el Algebra Dual por Ricardo Tapia, para analizar la Dinámica del manipulador Industrial Robótico Hidráulico (MIRH) de cinco grados de libertad y solo pares cinemáticos de revolución y prismáticos. 8
Nos sentimos profundamente agradecidos por la colaboración de Lizbeth Salgado Conrado por la planeación, revisión de todo el libro, corrección de los dibujos y la preparación de dos libros impresos y su impresión digital. Es algo que apreciamos. Sinceramente Cándido Palacios Montúfar
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