Unidad VI Análisis de circuitos en el dominio de Laplace
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA SIERRA NORTE DE PUEBLA
JULIO HERNANDEZ BAZAN: 15370221
ING. ELECTROMECÁNICA
GRUPO: A
6.1 Respuesta natural
Investigamos la respuesta natural de un circuito que consiste de un resistor y un inductor. Esta discusión es paralela al análisis de la respuesta de un circuito RC
Este circuito RL es muy común. Aparece siempre que hay un alambre enrollado en un circuito, como cuando obligas a un relé mecánico a provocar un movimiento físico (un relé contiene una bobina que se utiliza como electroimán). Encontramos inductores en casi todas las fuentes de poder y en muchos filtros. Todos los cables y los trazados de las tarjetas de circuitos tienen una pequeña auto inductancia, que puede ser importante en circuitos muy veloces. Para lograr que el circuito RL haga algo, necesitamos que un ayudante externo le añada algo de energía y luego se retire y lo deje en paz mientras observamos qué ocurre. En el lado derecho del esquema tenemos un inductor L y un resistor R. Este es el circuito que queremos estudiar. En el lado izquierdo está nuestro "ayudante externo", que consiste en una fuente de corriente, I un resistor, R0 y un interruptor en posición cerrada.
Si suponemos que el interruptor ha estado cerrado un largo tiempo, el trayecto cerrado azul nos muestra cómo fluye la corriente en este circuito:
¿Cómo sabemos que toda la corriente fluye por el inductor y no por los resistores? La ecuación del inductor nos lo garantiza: =
La corriente que proviene de la fuente es constante, es decir, no cambia con el tiempo. Esto significa que el cambio de la corriente con respecto al tiempo es = 0. Si sustituimos este valor en la ecuación del inductor, obtenemos = . = 0 . El voltaje que pasa a través del inductor (y por lo tanto, de ambos resistores) es 0. La ley de Ohm nos garantiza que la corriente de un resistor con 0 volts es igual a 0. Cuando la corriente que fluye por un inductor es constante, decimos que el inductor "se ve como" un cortocircuito, pues entre sus terminales hay 0 volts, justo como un cable ideal.
Ahora que hay una corriente que fluye a través de nuestro inductor, abrimos el interruptor al tiempo = 0 equals, 0 y determinamos las condiciones iniciales. El interruptor abierto desconecta el circuito auxiliar (R0) como, R right paréntesis de la sección RL. Del lado del circuito auxiliar, la corriente I comienza a fluir por R0 (el circuito auxiliar ha hecho su trabajo y ya no le prestaremos atención). Del lado del circuito RL, la corriente que fluye por L inmediatamente dobla y comienza a fluir por R: (Respuesta Natural de circuitos RL y RC) Circuitos RL y RC sin fuentes conectadas para t>0 En este capítulo se analizan circuitos Resistivos-inductivos (R-L) y circuitos resistivos-capacitivos (R-C), los cuales se encuentran inicialmente
cargados En estos circuitos, en t=0 se hace un cambio en el circuito (apertura o cierre de interruptores, o bien se apagan algunas fuentes) lo cual provoca que los elementos inductivos y capacitivos entreguen de manera total o parcial su energía almacenada a los elementos resistivos. En estos circuitos, tanto las corrientes por la inductancia como el voltaje en el capacitor disminuyen de manera exponencial con el paso del tiempo. En esta sección se analiza el comportamiento de circuitos RL y RC cuando estos son llevados de una condición inicial de carga a una condición final de carga. A diferencia del capítulo anterior, el estado final de carga, no es necesariamente cero, ya que para t>0 pueden existir fuentes que permanecen conectadas a los elementos que almacenan energía.
6.2 Respuesta Forzada
Vamos a obtener la respuesta i (t) a partir de la ecuación de un circuito RL serie cuando se le aplica súbitamente una fuente de voltaje de corriente directa. Esta ecuación se resuelve por separación de variables e integración. Luego, vamos a analizar las dos partes que componen la respuesta, es decir, la respuesta natural y la respuesta forzada. Así, podremos aplicar los principios generales que respaldan este método para obtener soluciones rápidas a cualquier problema que implique la aplicación súbita de cualquier fuente. El circuito consta de un resistor, un inductor, una fuente de voltaje de corriente directa, un interruptor normalmente abierto que aplica la fuente súbitamente en t =0. El inductor podría tener una energía inicial almacenada antes de cerrar el interruptor, por lo que se puede pensar en el como una fuente de corriente. Como el interruptor está abierto antes de t=0, la corriente a través del circuito vale cero por lo que se sustituye la fuente Vs y el interruptor SW normalmente abierto por una fuente de voltaje escalón de la forma
Esta fuente escalón tampoco produce respuesta antes de t=0.
Esto significa que descargamos la bobina para asegurar que no hay energía almacenada antes de cerrar el interruptor. El circuito con la fuente de voltaje escalón es:
Solución:
Primero obtenemos la respuesta para t<0 y luego para t>0. En t<0 el interruptor está abierto.
En t>0 el interruptor está cerrado.
Ahora vamos a separar las variables corriente y tiempo para hallar la respuesta i(t):
Integramos a ambos lados de forma indefinida:
Ambas integrales arrojan una constante que podemos agrupar en una sola constante k:
Calculamos la constante a partir de la condición inicial:
Para ver el efecto de la corriente inicial en la ecuación no la haremos cero hasta el final
De aquí despejamos i:
Tomando exponencial a ambos lados:
Vemos que la corriente inicial afecta la amplitud del término exponencial. La bobina es una fuente exponencial que se agota con el tiempo.
6.3 respuesta completa
Se consideran ahora los circuitos RLC en donde las fuentes de CD se conmutan dentro de la red produciendo respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo tiende a infinito. La respuesta completa se expresa como la suma de la respuesta forzada y natural, de igual forma se calcula las condiciones iniciales y se aplican a la respuesta completa para encontrar los valores de las constantes. La respuesta completa (que arbitrariamente se supone que es un voltaje) de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta forzada: Que es una constante de excitación de CD, y una respuesta natural. Suponiendo que s1, s2 y Vf se conocen (basados en el circuito serie) se deben encontrar A, y B, sustituyendo el valor conocido de v en t=0+ se encuentra una ecuación que relaciona A y B, pero esto no es suficiente, se necesita otra relación entre A y B y normalmente se obtiene tomando la derivada de la respuesta: Se sustituye el valor conocido de dv/dt en t=0+. Podría tomarse una segunda derivada y obtener una tercera relación entre A y B si se usara el valor de en t=0+, sin embargo este valor no se conoce en un sistema de segundo orden, sería más útil para encontrar el valor inicial de la segunda derivada, si se hace necesario, hasta este punto solo tendríamos 2 ecuaciones para hallar las dos incógnitas A y B. Solo falta determinar los valores de v y dv/dt en t=0 Suponiendo que v es el voltaje en el capacitor, vc . Como, si se puede establecer un valor inicial para la corriente del capacitor automáticamente se tendrá el valor de dv/dt Si se hubiera seleccionado una corriente de inductor como respuesta, entonces el valor inicial de debería relacionarse con algún voltaje del inductor. Las variables que no sean voltajes de capacitor o corrientes de inductor se calculan expresando sus valores iniciales y los valores iniciales de sus derivadas en términos de los valores correspondiente.
6.4 Identificación de circuitos
La selección adecuada del color del forro en los conductores de la instalación eléctrica es un elemento de seguridad, además es obligatorio. Cualquier electricista o persona acostumbrada a trabajar en las instalaciones eléctricas identifica rápida y claramente al conductor neutro por el simple color de su aislamiento, con esto se evita cualquier equivocación con algún otro conductor como podría ser el conductor de fase (algunos electricistas le llaman ‘vivo’) ó el conductor de puesta a tierra (algunos elec tricistas le llaman ‘tierra’) que deberán
tener su aislamiento con color diferente a cualquiera de los dos citados con anterioridad. La identificación de los diferentes conductores en la instalación eléctrica por medio del color de su aislamiento, permite conectar adecuadamente otros elementos de la instalación como son los tomacorrientes (receptáculos) y los sockets de los focos. La colocación equivocada de conductores en los tomacorrientes puede ocasionar un corto circuito, con grave riesgo de daño a la instalación o incendio en su cableado. Si una persona al sustituir un foco hace contacto accidentalmente en su terminal roscada de la lámpara mientras lo coloca en su socket, no recibirá ninguna descarga eléctrica pues ésa terminal no tiene voltaje, ahí la importancia de la correcta identificación de cada conductor en el circuito eléctrico. La mayor parte de los circuitos eléctricos usan dispositivos conocidos como resistores para controlar el nivel de corriente en las diferentes partes del circuito. La p ropiedad de los resistores que limitan el paso de la corriente eléctrica es la resistencia, su símbolo es:
La “R” mayúscula es usada para
representar a la Resistencia en la elaboración de circuitos eléctricos. Los resistores son fabricados en una gran variedad de formas y tamaños. En las más grandes, el valor del resistor se imprime directamente en el cuerpo del mismo pero en los más pequeños no es posible. Para obtener con facilidad el valor de la resistencia se utiliza el código de colores.
Sobre estos resistores se pintan unas bandas de colores, cada una de ellas representa un número que se utiliza para obtener el valor final del resistor. Las dos primeras bandas indican las dos primeras cifras del valor del resistor, la tercera banda indica cuantos ceros hay que aumentarle al valor anterior para obtener el valor final del resistor. La cuarta banda nos indica la tolerancia y si presenta una quinta banda indica su confiabilidad.
El resistor tiene un valor de 2400,000 Ohmios +/-5% El valor máximo de este resistor es: 25200, 000 Ω
El valor mínimo de este resistor es: 22800, 000 Ω
El resistor puede tener cualquier valor entre el máximo mínimo calculados. Los colores de las bandas de los resistores no indica la potencia que puede disipar, pero el tamaño que tiene el resistor da una idea de la disipación máxima que puede tener. Una resistencia o resistor es un elementó que causa oposición al paso de corriente eléctrica, causando que en sus terminales aparezca una diferencia de tensión (un voltaje).
