Fenomeno de Resonancia

INGENIERÍA CIVIL

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FENÓMENO DE RESONANCIA

La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración se acerca al periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En el cual una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. En teoría, si se consiguiera que una pequeña fuerza sobre un sistema oscilara a la misma frecuencia que la frecuencia natural del sistema se produciría una oscilación resultante con una amplitud indeterminada. Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse. Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste en tomar dos diapasones capaces de emitir un sonido de la misma frecuencia y colocados próximos el uno del otro, cuando hacemos vibrar uno, el otro emite, de manera espontánea, el mismo sonido, debido a que las ondas sonoras generadas por el primero presionan a través del aire al segundo. LA RESONANCIA EN UN SISTEMA SENCILLO

Para ilustrar algunos de los aspectos más relevantes del fenómeno de la resonancia, es conveniente desarrollar el análisis de un sistema sencillo como es el de una masa m ligada a un resorte de constante elástica K, ya que este caso, pese a su sencillez ilustra conceptos básicos del fenómeno que se presentan en casos más complejos. Para describir la dinámica de una masa acoplada a un resorte se parte de la 2ª Ley de Newton.

Se propone como solución para su posición en función del tiempo un movimiento armónico simple

Al sustituir esta función en la ecuación 1 se tiene que la frecuencia angular con que en el estado estacionario se moverá la masa es

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Es de hacer notar que la frecuencia angular no depende de la amplitud sino solo de la constante K del resorte y de la masa, por tanto, este sistema tiene una s ola frecuencia que “adopta” en forma espontánea en cuanto se le deja oscilar libremente, por ello se le denomina “fr ecuencia natural del sistema”. Analicemos ahora el caso de un oscilador forzado, para ello se aplica sobre la masa otra fuerza

más la cual tendrá un carácter periódico con una a mplitud F, frecuencia angular ω y actuando en la dirección del eje del resorte, tal como se observa en la figura 1.

Si la fuerza externa periódica tiene la forma F = Fcos (ωt) , entonces la fuerza total que actúa sobre la masa m es

Ahora la segunda ley de Newton toma la forma

Si al igual que el caso anterior se propone como solución de la anterior ecuación y = Acosωt, con ω la frecuencia angular de la fuerza externa, al sustituir este valor de y, así como de su segunda derivada respecto al tiempo se tiene que:

Y al despejar el valor A de la amplitud de la oscilación ésta tiene el valor


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Pero de acuerdo a (3),

, así es que sustituyendo este valor en la anterior relación se obtiene

finalmente que:

Se observa que cuando ω tiende a ωo, el valor absoluto de l a amplitud A tiende a infinito. En esta

situación en que el sistema elástico tiende a oscilar con una máxima amplitud se dice que el sistema entra en un estado de Resonancia. Si nos aproximamos a la frecuencia natural con valores mayores que ωo El valor de la amplitud tendrá valores negativos; para evitar este comportamiento anómalo se introduce en la solución propuesta un ángulo de fa se α .

Tal que α será igua l a 0 para valores de ω menores que ωo ,y π para valores mayores. Para que este

comportamiento sea un modelo más realista se tiene que tomar en cuenta la fricción. Si se supone que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa, la segunda ley de Newton ahora es

Con b una constante de proporcionalidad, la amplitud resultante (ver referencia [2]) resulta

Donde γ=b/m. Aunque ahora la amplitud máx ima ya no ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa

es exactamente la frecuencia natur al ωo, para muchos problemas de interés la diferencia no es considerable. El fenómeno de la resonancia requiere por tanto: a) De un sistema elástico que presente frecuencias naturales de vibración, b) De una fuerza externa de tipo periódico que actúe sobre el sistema elástico, c) De una coincidencia entre ambos tipos de frecuencia. ¿Qué tan factible es que este tipo de condiciones se presenten en la vida real? La respuesta a esta pregunta permitirá ver el campo de a plicación de este concepto así como su gran capacidad explicativa para el entendimiento de una gran cantidad de fenómenos.


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En conclusión es de hacer notar que la fórmula que usualmente se les muestra a los alumnos en la que se observa que cuando las frecuencias son iguales la amplitud de la oscilación tiende a infinito, o que adquiere su máximo valor en el caso de que exista fricción, es para describir solamente el estado estacionario, cuando esto es así y no se consideran las etapas transitorias a menudo se puede crear la impresión de que este valor máximo de la amplitud se adquiere instantáneamente; la observación experimental detallada del fenómeno, sin embargo, nos muestra que el crecimiento es paulatino y que solo después de transcurridos un cierto número de ciclos se alcanza el valor máximo de la amplitud, que por tanto, aún cuando se exponga el sistema elástico a una fuerza periódica con una amplitud igual a la de la resonancia, si esta exposición no es suficientemente duradera no se alcanzará la amplitud máxima.


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El experimento nos indica también que otra forma de describir a la resonancia es que es un estado en el cual hay en cada ciclo del pulso de la fuerza externa una transferencia de energía que se va acumulando en el sistema elástico, por tanto, si hay una adecuada sincronización entre la fuerza externa y la oscilación del sistema se puede lograr esta progresiva transferencia de energía pese a que no haya coincidencia de las frecuencias, por ejemplo, dando pulsos de fuerza cada 2 ciclos de oscilación del sistema elástico. Esta situación, aunque en un tiempo mayor, también nos conduce a un estado estacionario en que la amplitud alcanza un máximo. Una vez que los alumnos han palpado mediante experimentos apropiados el fenómeno de la resonancia su mente está más abierta para entender el papel que la resonancia juega en diferentes esferas de la vida, no solo a nivel mecánico, sino también, por ejemplo, en la detección de ondas electromagnéticas, ya que la sintonización en el mundo de la radio, la televisión, los teléfonos celulares, etc. se basa justamente en la respuesta de circuitos resonantes a las ondas de determinada frecuencia que inundan el medio ambiente. Sin el uso del fenómeno de la resonancia, nuestra vida no sería lo que es. 2.

CAÍDA DEL PUENTE TACOMA NARROWS

El viejo puente de Tacoma Narrows ha sido popularizado en los libros de física como un ejemplo clásico de resonancia; sin embargo la descripción extendida no es del todo correcta. Este puente falló debido a la acción de unas fuerzas conocidas en el campo de la aerodinámica de puentes como fuerzas autoexcitadas, por un fenómeno conocido como flutteringlas cuales empujando en forma periódica


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provocaron el aumento del movimiento del puente. Robert H. Scanlan, padre de la aerodinámica de puentes, escribió un artículo criticando este malentendido.1 Ningún puente se termina si no pasa la prueba del "tubo de viento" Cuando la ambición vence al desarrollo

En una época en que el hombre apenas intentaba alcanzar las altas cumbres por medio de las megaconstrucciones Tacoma Narrows sólo era superado en tamaño por el Golden Gate y el puente George Washington, sin embargo su majestuosidad no duro más allá de cuatro meses. Surgido como la cristalización de muchas ideas y necesidades surgidas de muchas empresas y personas desde 1889 y precedido de gran cantidad de estudios y propuestas a las que finalmente, y como en todo los tiempos, la avaricia del hombre y la búsqueda de obtener más ingresos en toda transacción sería el punto de quiebra de esta colosal estructura. El ingeniero Clark Eldridge del e stado de Washington presentó un “ diseño preliminar de un puente convencional desarrollado sobre conceptos probados y demostrados”, y la autoridad de peaje del

puente solicitó $11 millones de dólares al Public Works Administration (PWA) federal. Pero un grupo de “ingenieros consultores del este”, encabezados por el ingeniero Leon Moisseiff de Nueva York,

propusieron al PWA construir el puente a menor costo. Los planes preliminares especificaban el uso de vigas horizontales de 7.6 m de espesor, que se ubicarían debajo del puente para hacerlo más rígido. Moisseiff, diseñador muy respetado del Golden Gate Bridge, propuso utilizar vigas más esbeltas, de solo 2.4 m de espesor. Según su propuesta el puente sería más delgado y elegante, y además se reducirían los costos de construcción. El diseño de Moisseiff se impuso. El PWA aprobó un presupuesto de casi $6 millones de dólares para el puente de Tacoma Narrowse. Un monto adicional de $1.6 millones de dólares sería recolectado de los peajes para alcanzar el costo total de $8 millones de dólares. En los diseños previos el viento podía atravesar la estructura, pero en el nuevo diseño el viento sería redirigido por arriba y por debajo de la estructura. Al poco tiempo de haber concluido la construcción, a finales de junio, se descubrió que el puente se deformaba y ondulaba en forma peligrosa aún en condiciones de viento relativamente benignas para la zona.


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Esta resonancia era de tipo longitudinal, por lo que el puente se deformaba en dirección longitudinal, con la calzada elevándose y descendiendo alternativamente en ciertas zonas debido a un fenómeno físico conocido como flutter aeroelástica. La mitad de la luz principal se elevaba mientras que la otra porción descendía. Los conductores veían a los vehículos que se aproximaban desde la otra dirección desaparecer y aparecer en hondonadas, que a su vez oscilaban en el tiempo lo que no se consideraba peligroso. La falla del puente ocurrió a causa de un modo de torsión nunca antes observado, con vientos de apenas 65 km/hora. Este modo es distinto al longitudinal, en el modo de torsión cuando el lado derecho de la carretera se deforma hacia abajo, el lado izquierdo se eleva, y viceversa, con el eje central de la carretera permaneciendo quieto. En el caso del puente se estaba amortiguado en forma negativa lo cual significa que la amplitud de la oscilación aumentaba con cada ciclo porque la energía aportada por el viento excedía la que se disipaba en la flexión de la estructura. Eventualmente, la amplitud del movimiento aumenta hasta que se excede la resistencia de una parte vital, en este caso los cables de suspensión. Una vez que varios de los cables fallaron, el peso de la cubierta se transfirió a los cables adyacentes, que no soportaron el peso, y se rompieron en sucesión hasta que casi toda la cubierta central del puente cayó al agua. Eran las 11:00 am del 7 de noviembre de 1940 cuando el coloso llegó a su final llevando como testigos de ello a el auto y perro de Leonard Coatsworth, el que logró salir de milagro del carro. Fueron necesarios 10 años antes de que pudiera ser reemplazado y en la actualidad se ha ampliado por medio de un puente anexo.


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