FAC. DE INGENIERIA – UMSA
RESONANCIA
RESONANCIA 1. OBJETIVO GENERAL Verificar el comportamiento de la conexin R!C "erie# en $n r%&imen permanente de corriente alterna. Determinar la frec$encia de re"onancia. U'icar lo" p$nto" de media potencia. Determinar el factor de calidad.
2. OBJETIVOS ESPECIFICOS (re"entar otra forma de dia&no"tico para el e"t$dio de la re"p$e"ta de "i"tema"# )aciendo *$e e"to" f$ncionen imp$l"ada" por $na ten"in de +ariacin "in$"oidal. E"t$diar el fenmeno de re"onancia de $n circ$ito R!C "erie. Graficar la amplit$d V c , corrimiento de fa"e +er"$" frec$encia.
3. FUNDAMENTO TEORICO Sea la conexin R!C "erie de la fi&$ra - *$e e"t operando en r%&imen permanente de corriente alterna. Si el +olta/e aplicado e"0
v
=
(1)
V m senω t
!a corriente e"tar dada por la "ol$cin partic$lar parti c$lar de la ec$acin de malla0
=
+
V m senω t R i L
di dt
+
1 C
∫
(2)
idt
1$e p$ede e"cri'ir"e0 ω V m
cos ω t = L
d 2 i 2
dt
+ R
di
+
1
dt C
i
(3)
!a "ol$cin partic$lar partic$lar de e"ta ec$acin de'e tener la forma0 i = I m sen (ω ⋅ t − ϕ ) FIS2344!
(4)
2 -2
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5 e"0 V m
i=
2
R
2
+ ω L − 1 ω C
ω L − 1 ω C − 1 ⋅ sen ω t − tg R
(5)
(or tanto0 i
V m
= R
2
1 + ω L − ω C
ω L − 1 ω C −1 ϕ = tg R
2
Z = R 2
+ ω L − 1 C ω
( 6)
2
(7.a ) ⋅
(7.b )
(ara tomar en c$enta la re"i"tencia )mica del ind$ctor# R !# de'e con"iderar"e *$e %"ta *$eda en "erie con la re"i"tencia R6 por tanto# la" ec$acione" anteriore" p$eden $"ar"e "i "e reempla7a R por R8R !.
En la fi&$ra 3 "e m$e"tra el comportamiento de la amplit$d de la corriente en f$ncin de 9. Se dice *$e $n circ$ito R!C "erie e"t en resonancia c$ando la amplit$d de la corriente ad*$iere "$ mximo +alor# lo *$e oc$rre a la frecuencia de resonancia # ω0 . De la ec$acin p$ede ded$cir"e *$e0 ω 0
=
1 LC
(8)
De'e notar"e *$e# a e"ta frec$encia# el +olta/e , la corriente e"tn en fa"e :;<4=. Una alta a&$de7a de la c$r+a de la amplit$d de la corriente# e" $na +enta/a para el circ$ito re"onante R!C "erie# por e"o "e define el factor de calidad Q # *$e refle/a e"a a&$de7a , e"t dado por0
FIS2344!
Q=
L = 1 = 1 L R ω 0 RC R C
ω 0
(9)
2 32
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5 tam'i%n p$ede expre"ar"e como0 Q
=
ω 0 ω 2
−
(10) ω 1
Donde# como "e m$e"tra en la fi&$ra 3# ω1 , ω2 "on la" frec$encia" an&$lare" *$e corre"ponden a lo" p$nto" en *$e la amplit$d de la corriente "e red$ce a 4.>4> +ece" la amplit$d mxima# e"to" p$nto" "e conocen como puntos de media potencia.
4.
5.
EQUIPOS Y MATERIALES •
Un &enerador de f$ncione"
•
Un o"cilo"copio
•
Un re"i"tor
•
Un capacitor
•
Un ind$ctor
•
Ca'le" de conexin
•
M$lt?metro
•
@a'lero de conexin.
SISTEMA DEL EXPERIMENTO
“Ci!"i#$ %&' E()&i*&+#$ &+ 2D, FIS2344!
2 2
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PROCEDIMIENTO
-.
1. Montar el circ$ito de la Fi&$ra. El "elector de ran&o del &enerador de f$ncione" de'e e"tar en -4B. El +olta/e "o're la conexin R!C# +# de'e "er "enoidal# con Vpp<.4 V , ni+el DC n$lo.
2. Variando la frec$encia del &enerador de f$ncione" determinar la frec$encia :c?clica= de re"onancia# f 0 # *$e "e da c$ando V Rpp e" mximo o c$ando + , + R e"tn en fa"e. Se de'e +erificar *$e V pp "ea de .4 V# ,a *$e por la" caracter?"tica" del &enerador de f$ncione"# e"e +olta/e p$ede +ariar con la frec$encia6 en tal ca"o# de'e a/$"tar"e la amplit$d de la "eal del &enerador.
3. !lenar la @a'la - de la )o/a de dato"# comen7ando con lo" dato" corre"pondiente" a f 0. (ara cada frec$encia# de "er nece"ario# de'e a/$"tar"e la amplit$d de la "eal
del &enerador de f$ncione" a fin de mantener V pp en .4 V. !o" n&$lo" de fa"e p$eden medir"e como "e indica en la p&ina 6 en e"te ca"o# para frec$encia" inferiore" a la frec$encia de re"onancia# en el o"cilo"copio de'e $"ar"e como "eal de di"paro la "eal del canal 3 ,# para frec$encia" "$periore" a la frec$encia de re"onancia# la "eal del canal -.
4. Encontrar la" frec$encia" :ciclica"=# f 1 , f 2 , corre"pondiente" a lo" p$nto" de media potencia *$e# a "$ +e7# corre"ponden a lo" p$nto" en *$e V Rpp "e red$ce a 4.>4> +ece" "$ +alor mximo :*$e oc$rre en f 0 =. Como ante"# "e de'e +erificar *$e V pp "ea de .4 V.
.
DATOS
R<3#-H J FIS2344!
!<K# mL
C
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Vpp < .4 V
R!<4# J
f 1 < #> L7
f 2 < -4#3H L7
f L 3#43> 3#>4 #>K #4 #>4 #4 #4H3 #>H ># H#-4K H#>H K#-4#H- -3#- -#- -# ->#>34#3> 33#K>>
f 4# f 0 4# f 0 4# f 0 4# f 0 4#> f 0 4#H f 0 4#K f 0 f 0 -#- f 0 -#3 f 0 -# f 0 -# f 0 -# f 0 -#H f 0 3#4 f 0 3# f 0 3# f 0 #4 f 0 # f 0
VRpp V -# 3#3# # #3 #K # # # ##> # # 3#> 3#3 -#K -# -#
; H# H# -#3 #3 3H#H -H 4 -H 3#3 #3 -#3 #H >3 ># > H-
CALCULOS
/.
a= En 'a"e a la ta'la - de la )o/a de dato"# ela'orar $na ta'la 9# I m2exp # Im2teo calc$lando Im2 en 'a"e a VRpp e Im2teo con la ec$acin := :tomando en c$enta la re"i"tencia )mica
exp
del ind$ctor R!=. Di'$/ar la c$r+a I m2teo +". 9 ,# en el mi"mo &rfico# $'icar lo" p$nto" corre"pondiente" a I m2exp . * * * Para el calculo de I m−exp : I m−exp =
V m Z
( 5)
V m =
Donde :
ω
V Rpp 2
∧
Z =
( R + R L ) 2 + ω L −
2
1 ω C
= 2π ⋅ f
* * * Para el calculo de I m−teo : I m−teo
V m
=
2
( R + R L )
2
1 + ω L − ω C
R&&*)'00+%$ 0'$& $#&+&*$ '0 T0'0 FIS2344!
2 2
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f L 3#43> 3#>4 #>K #4 #>4 #4 #4H3 #>H ># H#-4K H#>H K#-4#H- -3#- -#- -# ->#>34#3> 33#K>>
RESONANCIA
VRpp V -# 3#3# # #3 #K # # # ##> # # 3#> 3#3 -#K -# -#
9 L7 -3#> -#KH 3-#3 3#H 3K#>3 #K> H#33# #>4#K #-K K# >#K ># H#K3 K># --4#4 -3>#H -#>
I m2exp E2 H3#H -3#3 3>#-K K#3 K4#H> K4#K --H3#- -3# -344#H -43K#HH-#>> >-3#K K#3 H# 3>3#-4 -H#- ->#3 K-#>3 >#3
Im2teo E2 4#>3 #-#K >K3#>H KH#K -->#-3 --#-#K4 -4K#4 -3--# --44#- KK#H3 H33#>4 K># 4#> 4#K3 #3 #HH -H#34
'= Ela'orar $na ta'la 9# exp# teo calc$lando exp en 'a"e a Vpp , VRpp# , teo con la ec$acin :>.a= :tomando en c$enta la re"i"tencia )mica del ind$ctor R !=. Di'$/ar la c$r+a teo +". 9 ,# en el mi"mo &rfico# $'icar lo" p$nto" corre"pondiente" a exp.
R&&*)'00+%$ '$ %0#$6 &+ '0 &!"0!i$+& *&+!i$+0%06 #&+&*$ '0 i7"i&+#& #0'0 f L 3#43> FIS2344!
VRpp V -#
9 L7 -3#>
exp J K#4>---
teo J K#4>--3 2 2
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3#>4 #>K #4 #>4 #4 #4H3 #>H ># H#-4K H#>H K#-4#H- -3#- -#- -# ->#>34#3> 33#K>>
FIS2344!
RESONANCIA
3#3# # #3 #K # # # ##> # # 3#> 3#3 -#K -# -#
-#KH 3-#3 3#H 3K#>3 #K> H#33# #>4#K #-K K# >#K ># H#K3 K># --4#4 -3>#H -#>
#>-4K #H #>H-> #4K 3#4>H 3#3HK 3#3-4K3 3#3K4K 3#>-H 3#>3K #4-K # #43-H #K-#K- #K4H4K H#->>4 K#3>-
#>4K #H> #>H- #4K 3#4> 3#3HK 3#3-4K3 3#3K4K 3#>-K 3#>3K #4-3 # #43-3 #K-H #K- #K4H4 H#->>4 K#3H4
2 >2
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c= Ela'orar $na ta'la 9# ; exp# ;teo calc$lando ; teo con la ec$acin :>.'= :tomando en c$enta R!=. Di'$/ar la c$r+a ; teo +". 9 ,# en el mi"mo &rafico# $'icar lo" p$nto" corre"pondiente" a ; exp.
FIS2344!
9 L7
;exp
; teo
-3#> -#KH 3-#3 3#H 3K#>3 #K> H#33# #>4#K #-K K# >#K ># H#K3 K># --4#4 -3>#H -#>
H# H# -#3 #3 3H#H -H 4 -H 3#3 #3 -#3 #H >3 ># > H-
>#HK >4#4 3#KH #3 # 3K#K3 -#K -.--#3 3#>H #H 3#H 3#K K#4H # H#- >-# >#3 >#
2 H2
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d= Con f4 # calc$lar el +alor experimental de 9 4 , compararlo con el +alor terico dado por la ec$acin :H=.
* * * Para calcular ω 0 tenemos :
− Eperiment al : ω 0
= 2π ⋅ f 0 = 2π ⋅ 6758
− Teorico : ω 0
=
f 0 = 6758 [ Hz ]
1
ω 0
→
ω 0
LC ;
69,4 × 10 −3 ∗ 8,11× 10 −9
LC
(exp erimental )
1
=
1
=
rad = 42461,77 s
ω 0
rad = 42151,19 s
%dif =
* * * Hacemos una diferencia porcentual :
ω 0 exp
− ω 0teorico
(teorico)
× 100%
ω 0 exp
42461,77 − 42151,19
% dif =
42461,77
× 100%
;
%dif = 0.73 %
e= Con f 4# f - , f 3 calc$lar el +alor experimental de 1 con la ec$acin :-4= ,
compararlo con el +alor terico dado por la Pltima expre"in de la ec$acin :K=. * * * Para calcular Qtenemos :
− Eperiment al :
Q=
= 6,758 [!Hz ] ω 0 = 42,46
Con : f 0
ω 0 ω 2
; ;
;
− ω 1 f 1 = 4,476 [ !Hz ] ω 1 = 28,12
ω
= 2π ⋅ f
;
f 2 = 10,268 [!Hz ]
;
ω 2
= 64,52
Re emplazando : Q=
ω 0 ω 2
− ω 1
=
42,46 64,52 − 28,12
− Teorico :
Q=
→
Q = 1,17 ( e perimental )
1 L R C
Re emplazando : Q= FIS2344!
× −3 1 L = 1 3 69,4 10−9 R C 2,18 × 10 8,11 × 10
→
Q = 1, 34 (teorico) 2 K2
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RESONANCIA
* * * Hacemos la diferencia porcentu al : 1,17 − 1,34
% dif
=
8.
RESULTADOS
1,17
× 100 %
→
% dif % dif
=
Qteo
− Qexp
Qteo
× 100 %
= 12,68%
!o" re"$ltado" o'tenido" f$eron lo" "i&$iente"0 * * * La frecuancia de Re sonancia : ω 0
= 42,46
( Eperiment al )
− Con una diferencia porcentu al :
= 42,15
;
ω 0
(teorico )
⇒
% dif = 0.73 %
;
Q = 1,34
⇒
% dif = 12 .68%
* * * El factor de calidad Q : Q = 1,17
( Eperiment al )
− Con una diferencia porcentu al :
19.
(teorico )
OBSERVACIONES
Dentro de la" o'"er+acione" reali7ada" en e"ta prctica de la'oratorio# tenemo" *$e0 Se de'en tomar dato" p$nt$ale" de la" di"tinta" +aria'le" a emplear"e# de'emo" reali7ar la" lect$ra" en la pantalla del o"cilo"copio lo ma" exacto po"i'le# de e"ta manera o'tener dato" lo 'a"tante confia'le".
11.
CONCLUSIONES
Verificamo" el comportamiento de la conexin R!C "erie# en r%&imen permanente de corriente alterna. @am'i%n p$dimo" determinar la frec$encia de la re"onancia. FIS2344!
2 -4 2
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RESONANCIA
Calc$lamo" el factor de calidad , reali7amo" la comparacin entre lo" +alore" terico , prctico# e"to de'ido al +alor aproximado *$e "e tomo con el o"cilo"copio.
Ad*$irimo" experiencia en la prctica de la'oratorio.
12.
CUESTIONARIO
1. A' 0i0 '0 &i#&+!i0 %& "+ !i!"i#$ RLC &i& :Q"; $!"& !$+ &' &*i0+!<$ %& 0+%0= El "emianc)o de 'anda no +aria# al +ariar la re"i"tencia por*$e no depende de ella. !a Pnica manera de +ariar el "emianc)o de 'anda e" +ariando la frec$encia de o"cilacin.
2. :C>*$ & %&?i+& &' ?0!#$ %& !0'i%0%= El factor de calidad en &eneral "e define por la ener&?a mxima almacenada entre la ener&?a di"ipada por periodo. En $n circ$ito "erie R!C en re"onancia la ener&?a almacenada e" con"tante. @eniendo en c$enta *$e c$ando la ten"in en el conden"ador e" mxima la inten"idad de corriente por la 'o'ina e" n$la.
FIS2344!
2 -- 2
