ÁLGEBRA_PRIMARIA 5º GRADO

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

5to Grado de Primaria

Índice 1. Álgebra: Reseña histórica 2. El conjunto de los Números Enteros 2.1. Valor Absoluto 2.2.Opuesto de un entero 3. Adición en el Conjunto de los Números Enteros 4. Sustracción en el Conjunto de los Números Enteros 5. Multiplicación en el Conjunto de los Números Enteros 6. Potenciación en Z 7. Raíz cuadrada 8. Leyes de exponentes 9. Expresiones algebraicas 10. Términos semejantes 11. Clasificación de las expresiones algebraicas Grado de un polinomio: relativo y absoluto 11.1. 12. Valor numérico 13. Operaciones con monomios 14. Multiplicación de monomios 15. Potencias de monomios 16. Planteo de ecuaciones 17. ecuaciones 18. Solución Productosdenotables

19.Inecuaciones I 20.Inecuaciones II 21. Métodos de solución de inecuaciones

Álgebra

1

Silver Guillén Jerí



ÁLGEBRA Introducción El Álgebra, es una rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son:

Adición, Sustracción, Multiplicación, División y Cálculo de potencias y raíces

RESEÑA HISTÓRICA La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-ŷabr que significa ‘reducción’, es el srcen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi

escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

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EJERCICIOS PARA LA 1. Escribe dos ejemplos de operaciones con su respectiva solución, para cada operación del Álgebra.

2. ¿En qué pueblos y en qué época el hombre inició su conocimiento algebraico?

3. Investiga sobre el sistema de numeración egipcio.

4. Localiza en un mapa actual el antiguo pueblo de Babilonia.

5. Investiga y anota brevemente, ¿Quiénes fueron los Siete Sabios de Grecia?

Álgebra

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NÚMEROS ENTEROS Introducción Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según queen sentidos representarán cantidades positivas o negativas. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos que aprendieron de los hindúes, que en el siglo XII utilizaban para representar las pérdidas en cuestiones financieras. En la Matemática actual el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica.

POSITIVOS QUE NO ALCANZAN Para el ser humano es importante contar lo que tiene, lo que quiere, lo que necesita, lo que comparte, lo que da. Esa fue la razón que tuvo para crear números y formó el conjunto de los números naturales: N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . } Luego, necesitó expresar con cifras el conjunto vacío, es decir, identificar que no había nada, no quedaba nada o no faltaba nada. Entonces, apareció el 0 (cero), y formó así otro conjunto numérico, el de los números cardinales: No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . } Con el conjunto de los números Naturales, el hombre solucionó sus problemas, pero, luego se le presentaron nuevas situaciones; así por ejemplo:

Estos amigos inicialmente no tienen dinero, luego:

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4




Oscar ha ganado 850 soles. Se escribe: + 850 soles

Carlos ha gastado 940 soles. Se escribe: - 940 soles

Las cantidades de dinero que o queque ganadebe, una persona se consideran positivas, y lasposee cantidades gasta o paga se consideran negativas.

Para expresar cantidades positivas se utilizan los números naturales con el signo más (+). Para expresar cantidades negativas se utilizan los números naturales con el signo menos (-).

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5




EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) El conjunto de los Números Enteros, que en adelante lo representaremos por Z, está conformado por los números negativos, el cero y los números positivos.

Representación Sobrecorresponder una línea recta, ubiquemos (srcen)puntos al que le hacemos el número cero.unA punto partir de delreferencia cero, ubicamos hacia la derecha y hacia la izquierda haciendo corresponder a cada uno los números positivos y negativos respectivamente.

NEGATIVOS

CERO

POSITIVOS

Los números en Z aumentan de izquierda a derecha.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO valor absoluto un número al número que resultaSe de llama , también se le entero considera como lacardinal distancia del prescindir su signode número dado al cero. El valor absoluto de un número se expresa encerrando este número entre dos barras. El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe |+5| = 5. El valor absoluto de -6 es 6, y se escribe |-6| = 6. El valor absoluto de 0 es 0, y se escribe |0| = 0. El valor absoluto de +17 es ……, y se escribe ……………………….. El valor absoluto de -39 es ……, y se escribe ………………………..

NOTA: Al valor absoluto también se le llama módulo.

OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO El opuesto de un número entero es el número que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo: El opuesto de -8 es +8. El opuesto de +15 es -15. El opuesto de -245 es ………. El opuesto de +504 es ………...

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RELACIÓN DE ORDEN EN Z Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha. Ejemplos: 

Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2.



Ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5, 0 y -3.

RECUERDA: • Todo número entero positivo es mayor que 0. • Todo número entero positivo es mayor que cualquier número • Todo número entero negativo es menor que 0. • Todo número entero negativo es menor que cualquier número ……….. …………

Álgebra

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EJERCICIOS PARA LA 1. ¿Cómo representaban los chinos las cantidades negativas? ……………………………………………………………………………………. 2. ¿Quiénes llevaron el conocimiento de los números negativos hacia Europa? ……………………………………………………………………………………. 3. ¿Para qué empleó los números negativos, el pueblo hindú? ……………………………………………………………………………………. 4. ¿Cuál es el número que separa los números positivos de los negativos? ……………………………………………………………………………………. 5. ¿Cuál es el número opuesto a -16? ……………………………………………………………………………………. 6. ¿Cuál es el número opuesto a +214? ……………………………………………………………………………………. 7. Menciona tres ejemplos de la vida cotidiana, en donde se haga uso de los números negativos. …………………………………………………………………………………….

Álgebra

8




8. Escribe el valor absoluto de los siguientes números enteros: a) |-37| = b) |+29| = c) |-305| = d) |-6009| = e) |+2015| = 9. Escribe el opuesto de los siguientes números: El opuesto de -231 es

……………

El opuesto de +408 es

……………

El opuesto de -75 es

……...…….

El opuesto de +4 es

…………....

10.Utilizando la recta numérica, ordena de mayor a menor, los siguientes grupos de números: a) -7, +5, -3, +1, -8 y +7 b) +4, -6, -1, 0, -9 y +3 11.Ordena de menor a mayor, los siguientes grupos de números: a) +12, +7, -13, -21, -5 y +4 b) -14, -9, -10, 10, -9, +6 y 15 12.Responde a las siguientes preguntas: a) Si 25 grados sobre cero son representados por +25ºC. ¿Cómo se representa 4º bajo cero? b) Si 45 km al norte se representa por +45 km. ¿Cómo se representa 30 km al sur?

Álgebra

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13.El Everest tiene una altura de 8847 metros y el Sarasara mide 5947 metros. La mayor fosa marina es la de Las Marianas, con 11033 metros de profundidad; otra está al sur de Java, con 7725 metros. Ubica en el dibujo estos accidentes geográficos, colocando en el rectángulo el número entero que le corresponde.

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10

Silver Guillén



ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar dos números enteros deberemos tener en cuenta el siguiente procedimiento:

1º Para sumar dos números positivos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo más (+). Ejemplos: (+4) + (+9) = (+12) + (+7) =

2º Para sumar dos números negativos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo menos (-). Ejemplos: (-8) + (-10) = (-2) + (-5) =

3º Para sumar un número positivo y un número negativo, se resta el menor valor absoluto del mayor valor absoluto y al resultado se le antepone el signo del número que tenga mayor valor absoluto. Ejemplos: (+6) + (-10) = (-8) + (+5) =

4º La suma de un número y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo). Ejemplos: (-8) + (+8) = (+5) + (-5) =

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SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para calcular la diferencia de dos números enteros, se debe sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.

a – b = a +( -b) Ejemplo: (+3) – (–5) = (+3) + (+5) = …………… (-10) – (+7) = (-10) + (-7) = ……………

ESCRITURA SIMPLIFICADA (+3) + (-5) = 3 – 5 = ……………………. (-2) + (-8) = -2 – 8 = ……………………. (+7) - (-5) = 7 + 5 = ……………………. (-3) - (-4) = -3 + 4 = ……………………. (+4) - (+5) + (-8) = 4 – 5 – 8 = ……………………………………………… (-6) - (+7) + (-10) = -6 – 7 – 10 = ………………………………………….

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EJERCICIOS PARA LA 1. Calcula y representa en la recta numérica:

3. Calcular: a) (-5) + (+7) + (-6) =

a) (+3) + (+7) = b) (-4) + (-2) =

b) (-12) + (+8) + (-2) =

c) (-6) + (+7) =

c) -14 + 16 – 21 =

d) (+8) + (-5) =

d) 36 – 24 + 15 = e) 24 – 32 + 5 =

2. Calcular: 4. Restar:

a) -5 + 3 = b) 6 – 4 =

a) (-12) de (-10) =

c) 9 – 13 =

b) (+20) de (-14)=

d) 14 – 20 =

c) (-23) de (+15) =

e) -6 + 7 =

d) (+16) de (+12)

=

f) -12 + 10 = 5. Efectúa:

g) 36 – 63 =

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h) -54 + 79 =

a) (+8) + (-2) - (+3)

i) 164 – 208 =

b) (-13) + (+6) - (-2)

j) -172 + 305 =

c) (-4) - (-6) - (+8) + (-17) 13

= = =

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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros se presentan tres casos:

1º Caso.- Cuando los dos factores son positivos, el producto es positivo. Ejemplos: (+4) . (+3) =

Regla de Signos

(+2) . (+7) = (+9) . (+5) =

(+) . (+) = (+)

2º Caso.- Cuando un factor es positivo y el otro negativo, el producto tiene signo negativo. Ejemplos:

Regla de Signos

(-8) . (+5) =

(-) . (+) = (-) (+) . (-) = (-)

(+2) . (-3) = (- 4) . (+7) =

.- Cuando los dos factores son negativos, el producto tiene signo 3º Caso positivo. Ejemplos:

Regla de Signos

(-5) . (-7) =

(-) . (-) = (+)

(-6) . (-8) = (-3) . (-12) =

Recuerda:

Si los dos factores tienen

Igual signo

Diferente signo

El producto es positivo

El producto es negativo

(+) . (+) = + (- ) . (- ) = +

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(+) . (- ) = (- ) . (+) = 14

Silver Guillén



EJERCICIOS PARA LA 1. Calcula: a) (+3) . (+7) = b) (-4) . (-2) = c) (-6) . (+7) = d) (+8) . (-5) = e) (-5) . (+3) = f) (+6) . (- 4) =

g) (+9) . (-13) = h) (- 4) . (-20) = i) (-6) . (+7) = j) (-19) . (+10) = k) (+36) . (-3) = l) (-54) . (+7) = m) (+16) . (-20) = n) (-12) . (+30) =

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POTENCIACIÓN Se llama potenciación de un número al producto de dos o más factores iguales a dichos números.

Términos: Exponente

a n = a x a x a x .............x a “a” veces Base

Ejemplo:

Exponente

23 = 2x2x2 = 8

Potencia

Base

En:

xn = b x (..........................) : ___________________________________________ n (..........................) : ___________________________________________

b (..........................) : ___________________________________________

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Ejemplos: a)

34 = ………………………………… = …………… → Se lee: ………………………..

b)

25 = ………………………………… = …………… → Se lee: ………………………..

c)

62 = ………………………………… = …………… → Se lee: ………………………..

d)

43 = ………………………………… = …………… → Se lee: ………………………..

e)

x . x . x . x . x . x = ………………………

f)

10 . 10 . 10 . 10 . 10 = …………………..

g)

a x a x a x . . . . . . . . . . . . . . x a = ………………………

“m” veces

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Casos especiales de la potenciación

a)

Exponente 0 (cero): ……………………………………………………………………………..

……………

b0 = 1 ;

b ≠ 0

Ejemplos:

b)

a)

80 = ………

b)

270 = …….

c)

9270 = …….

Exponente 1 (uno): 1

b =b …………………………………………………………………………….. ………………... ……………………………………………………………………………..…

Ejemplos:

Álgebra Jerí

d)

251 = ………

e)

731 = …….

f)

1171 = …….

18

Silver Guillén



PROBLEMAS PARA LA CLASE

1)

34 = ____________________ →

Se lee: _______________

2)

25 = ____________________ →

Se lee: _______________

3)

62 = ____________________ →

Se lee: ______________

4)

43 = ____________________ →

Se lee: _______________

5)

45 = ____________________ →

Se lee: _______________



Expresa como potencia:

6)

7. 7. 7 = ………..

7)

9. 9. 9. 9. 9 = ……….

8)

x . x . x . x = ……….

9)

10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = ……….

10)

a x a x a x a x . . . . . . . . . . x a = …………. “m” veces



Hallar:

Álgebra Jerí

11)

59° = ………….

12)

693° = ………….

13) 14)

(97 x 63)° = …………. 91 = ………….

15)

1971 = ………….

19

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16) Completa el cuadro:

34

102

24

25

Base Exponente Potencia

17)Completa: n 5

n°

N1

n2

n3

n4

n5

n6

6 49

18)Hallar el resultado:

20)Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

• 52 x 23 = • 34 x 22 =

• 33 = 3 x 3 x 3 (

)

• 72 = 7 x 7

(

)

• 1001 > 102

(

)

• 63 = 6 x 3

(

)

• 25 = 32

(

)

3

• 5 x 9° = 1

6

• 7 x2 = 0

1

• 45 x 23 =

19)

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EJERCICIOS PARA LA



Efectúa: 12) [(23 . 52)

. 41] =

3

7 = 26 =

13) (1340

2) 3)

35 =

14)Completa el cuadro:

1)

. 181) =

4) 25° =

6)

1731 =

7)

851 x 58° =

8)

23 x 31 x 7° =

15)Completa: n n° n1 n2 1 1 2

x . x. x . y. y =

10) 8. 8. 8. 8

=

n3

n4

n5 n

125 100

11)10. 10. 10. 10. 10. 10 = 16)

19

Base Exponente Potencia

5) (9 x 28)° =

9)

25

3°

Relaciona las potencias con sus resultados:

a. 23 x 6

→

800 49

b. 4 x 32

→

48

c. 52 x 25 →

3 d. 26 x 34 →

6 5184

e. 72 x 29° →

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RAÍZ CUADRADA La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

Ejemplo: 64

= 8 porque 82 = 64

36

= 6 porque 62 = 36

Radicando Índice 2

x Signo radical

Álgebra Jerí

=

22

a

; porque x = a2

Raíz

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EJERCICIOS PARA LA CLASE 1)

52 = _____________ porque

= ________________

2)

32 = _____________ porque

= ________________

3)

72 = _____________ porque

= ________________

4)

92 = _____________ porque

= ________________

Calcula y completa: 5) 5 al cuadrado es igual a _____ la raíz cuadrada de ______ es _______ 52 = _________ ⇒ √ = ___________ 6) 7 al cuadrado es igual a ______ la raíz cuadrada de ________ es _______ 72 = ___________ ⇒ √ = ____________ 7)

10 al cuadrado es igual a _______ la raíz cuadrada de ________ es ______ 102 = ___________ ⇒ √ = ____________

* Halla la raíz cuadrada de: 8)

√25 =

9) √49

=

10) √36

=

* Halla el resultado de las siguientes operaciones 11) 23 +√81 - √25

=

2

12) √121 . √9 – 5 = 13) √16(√4 + 570) = 14) √36 ÷√ 9

- 20 =

15) √100 x 52 –

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82 =

23

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EJERCICIOS PARA LA 

Halla la raíz cuadrada de:

1) =√100

=2) √81 =3) √16 4) =√400



√144 =

5) 6) 7)

√64 = √9 = √121 =

8)

Efectúa y halla el resultado:

1)

√25 + √36 - √9 =

4)

(√49 + 270) ÷ 22 =

a)

3

a)

1

b)

8

b)

2

c)

7

c)

3

d) e)

9 11

d) e)

4 5

2)

5(√64) – 62 =

5)

(52 - √121÷√ 49) =

a)

34

a)

14

b)

36

b)

25

c)

40

c)

7

d)

4

d)

2

e)

6

e)

1

3)

.4 √144 - √100 =

6)

√(8 x 10 ÷ 1) =

a)

7

a) b)

48 38

b)

8

c)

28

c)

9

d)

58

d)

10

e)

N.A.

e)

N.A.

Álgebra Jerí

24

Silver Guillén


7)

√250 – 225 =

12)

√(12)2 =

a)

3

a)

10

b)

4

b)

11

c)

6

c)

8

d)

8

d)

9

e)

5

e)

12

8)

√36 . √16 . √9 =

13)

√4 . √9 =

a) 72

a)

36

b) 68

b)

18

c) 46

c)

9

d) 82

d)

6

e) 96

e)

3


9)

(√49- √36) . 720 =

14)

√4 x 9 =

a)

72

a)

36

b)

27

b)

18

c)

1

c)

6

d)

0

d)

9

e)

N.A

e)

3

10)

(16+3 2). √4 =

15)

√64 . √81 = √36 ÷ √36

a)

48

b)

32

a)

4

c)

24

b)

6

d)

16

c)

8

e)

26

d)

12

e)

N.A

11)

√(14 + 5 x 10) =

a) b)

6 7

c)

8

d)

9

e)

10

Álgebra Jerí

25

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Álgebra Jerí

26


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LEYES DE EXPONENTES 1)

Multiplicación de bases iguales Cuando multipliquemos bases iguales, el exponente del resultado será la suma de los exponentes dados.

Ejemplo:22. 23 = ___________ = ______

am. an = _____ 2)

División de bases iguales Cuando dividamos bases iguales, el exponente del resultado se obtiene restando los exponentes dados.

Ejemplo: 25 ÷ 23 =

25 3

= ___________ = ______

2

∀ a≠ 0

Exponente nulo Si en un caso resulta que m = n entonces tendríamos: a

m

a

n

Por lo tanto:

3)

=a

−

m n

= a =1 0

a0 = 1 ∀ a≠ 0

Exponente negativo Siguiendo con el ejemplo anterior (3°), si en un caso resulta que m = 0. Tendríamos: 1

a

Álgebra Jerí

n

=

a a

0

n

=a 27

0

−n

= a−

n

Silver Guillén



Por lo tanto: 1 a

Álgebra Jerí

n

= a−

∀ a≠ 0

n

28

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Expresa como potencia: 2.2.2.2.2= 3.3.3= x.x.x.x.x.x.x= m.m.m.p.p.p.m.p= q . q . q . q . ....... q . q = 25 factores

2) Halla la potencia de: 53 = 34 = 26 = 3)

Halla la potencia usando la primera ley: a. b.

24 . 22 . 2 = 33 . 32 . 30 =

4) Simplifica: 4 . 42 . 3 5 . 4 . 3 = m2 . p5 . m3 . p3 . m . p = 2

5

xxa .. xxb .=x . x = p10 : p7 = n4 : n3 = z13 : z7 = q7 : q5 = 5) Efectúa 540 . 6 = (17 . 23)0 = (5m)°= (a . b . c)0 = x3.y.x-2 = 6) Escriba V si es verdadero y F si es falso: 210 . 10 2 = 212 5 . 5 = 511 74 = 28 x4 . x44 = x44 x3 . y2 = (x.y)6 m3 . m = m4

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( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

29

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EJERCICIOS PARA LA 1) Efectúa a)

a15 . a7 =

b)

m5 . m3 . m 8 =

c)

x . x . x2 =

d) e)

p.p.p= z13 : z7 =

f)

c14 : c12 =

g)

q29 : q17 =

h)

(4m + 5)° =

i)

(720 : 716) =

j)

q° . m2 . n-3 =

k)

p2 q –3 =

l)

a . b5 . c-4 =

m)

m8 . m° = 2) Expresa como potencia: a)

2 . 2 . 2 . 2 . ...... . 2 .2 = “b” factores

b.b.b.c.c.c.b.b.c.b=

b)

3)

c)

(x . x . x . x) : (x . x . x) =

d)

55 : (5 . 5 . 5) =

e)

(3 . 3 . 3) : (4 . 4) =

Escribe V o F según corresponda: (Recuerda, para aplicar la regla estudiada las bases deben ser iguales) a) 23 . 32 = 65 3

5

b) m . m = m 9

3

c) q : q = q 21

7

3

d) x : x = x

14

e) x12 : x7 = x5

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15

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

30

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS El Álgebra es una rama de la matemática, que estudia la cantidad del modo más general posible y las operaciones que con ella se realiza en los diferentes conjuntos numéricos. Para este estudio, el álgebra emplea CONSTANTES y VARIABLES.

CONSTANTE Es un símbolo que admite un solo valor conocido o ya definido, por Ejemplo:

3 ; -7 ; 8 ; 0,5 ; etc. VARIABLE Es un símbolo que admite cualquier valor, dependiendo de la expresión de la que forma parte. Ejemplo: x ; y ; z ; ..... ; etc. 

EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E.A.) Es un conjunto finito de constantes y variables (números y letras) con exponentes racionales y fijos, relacionados por las operaciones de adición, sustracción, y multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplo: 5x

;

3x2 ; 2x – y

; 4x3y + z

Es un conjunto finito porque las constantes y variables se pueden enumerar hasta la última.



Ejemplo: 4x5 - 3x2y + x9 2) 1 + 2x + 3x 3 +...... 1)

Álgebra Jerí

Si es E. A. No es E. A. 31

Silver Guillén



Los exponentes en una E. A. deben ser números racionales.



Ejemplo: 2x8 – 3x ½ - x 2) x 2 + 5 y 3 1)

Si es E. A. No es E. A.

Los exponentes deben ser fijos. No pueden ser variables.



Ejemplo: 6x4 – 5y6 2) 2x + 3x 1)

Si es E. A. No es E. A.

TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica cuyas bases NO están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción. Ejemplos: a)

6x4y5 → Es un término algebraico, porque las bases no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción alguna.

b)

(2x8 + y5) están rela-

→

No es un término algebraico, porque las bases x e y cionadas por la adición.

Elementos de un término algebraico Signo

Exponente

3

- 12x

Coeficiente

Álgebra Jerí

Parte literal 32

Silver Guillén



1° Signo: Puede ser positivo (+) o negativo (-).

2° Coeficiente. Es un número que va junto a la parte literal. Ejemplos: 5

• • • •

3y 9 17m ½ x2 x14

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Coeficiente: 3 Coeficiente: 17 Coeficiente: ½ Coeficiente: 1

3° Parte literal. Es aquella parte formada por todas las letras o variables del término. Ejemplos: • 6m6

→

parte literal: “m”

→ →

parte literal: “a” y “b” parte literal: “x” ; ‘‘y” ; z”

2 3

• 8a b2 • 23x yz

4° Exponente: Son los números escritos en la parte superior derecha de cada letra. Ejemplos: • 20a3 • 25b12 • 5x

Álgebra Jerí

→ → →

exponente de a : 3 exponente de b : 12 exponente de x : 1

33

Silver Guillén



EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Coloca ( V ) si es una expresión algebraica y ( F) si no lo es: a) 5x3 + 2y – zm b) 2x5 + y – 3 c) x2 + 3x3 + 5x4+ . . . . d) 5x 5 + 2y 2 

3

) ) ) )

5

x e)58X f) + 3>y6y g) 3z2 h) 9 – y

2)

( ( ( ( ( ( (

) ) )

En las siguientes expresiones algebraicas, indica cuántos términos algebraicos hay y cuáles son.

a) b) c) d) e) f) g)

-3yz + x + zm 11ab + 3ax – by2 52xyz - m2 + 5y3 - zmx 3y + xy + 2x 2 - mxy – 8m 15x2 + 6bx + c - 2my2 – 8xz – 9a 8xy + 3yz – 5xz + x 2 - z3 + 4yz2 + z 5x2 ÷ y3 – 2x – y + (2y )(2x) - 8x2y

h)

12 ÷ ab2 + 5b2 – 8a3b + b2 + 2a2b 3)

Completaelcuadro:

Término algebraico

Signo

Coeficiente

Parte literal

Exponente

2

3x - 8m5 35z X6 7y5 -12m½ 12m-2 -105x15 -87q8

TÉRMINOS SEMEJANTES

Álgebra Jerí

34

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Si dos o más términos tienen la misma parte literal, entonces son términos semejantes: Ejemplos: a) 5x8 ; 0,2x8 ; - ½ x 8 b) 5m; 2m; -4m; 10m c) _______________ d) 5x2y3 ; 4x3y2 

no son términos semejantes

Reducción de términos semejantes Si descubrimos que dos o más términos son semejantes, estos pueden ser reducidos a uno solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo la misma parte literal. Ejemplos: 8x2 +5x2 = (8 + 5)x2 = ______________________

a)

Reducir:

b)

Reducir: 5y4 –3y4 – 6y4 = (5 - 3 - 6)y4 = ______________

c)

Reducir: -6a4 + 3b2 + 4a2 - 6b2 = (- 6 + 4)a2 + (3 – 6)b2 = _______________

Cuidado: Al sumar o restar los coeficientes de los términos semejantes, recurrimos a la regla de signos para la suma y resta de números enteros.

Signos de colección Recuerda Los principales signos de colección son:

Paréntesis Corchetes

( )

Llaves

Álgebra Jerí

35

Silver Guillén



Si estos signos de colección se encuentran unos dentro de otros. Se van eliminando “desde adentro hacia afuera”

Para suprimir signos de colección se procede del siguiente modo: a)

Si delante de un signo de colección aparece el signo +, eliminamos tal signo de colección y los signos + o – de los términos interiores no cambian. Ejemplo: +(2x3 – 5x2 – x + 2) = 2x3 – 5x2 – x + 2

+(4x + 7y – 8z) = _________________

b) Si delante de un signo de colección aparece el signo ( - ) elimina mos tal signo de colección, y los signos + o – de los términos interiores cambian. Ejemplo: -(5a4 – 3b2 – 6c + 1) = -5a4 + 3b2 + 6c-1

-(-3x + 8y - z) = __________________

Álgebra Jerí

36

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ACTIVIDADES PROPUESTAS 1)

Se tienen los números: (-3) ; (+7) ; (-5) ; (+16) y las variables “x” e “y” Escribe 5 diferentes términos algebraicos con los números y variables dadas. Ejemplo : -3x16

2) Escribir 4 términos semejantes para cada uno de los 5 términos escritos en el caso (1).

3) Luego de efectuar la indicación (2) reducir cada grupo de términos semejantes a uno solo.

4) Reducir las expresiones mostradas a continuación. a.

15bc – 7a + 12a - 12bc =

b.

-4m + 3n -9m + 10n =

c.

(12abc + 24pq) - (13abc – 6pq) =

d.

[3x2 + (4x – x2) + 2x – 3x2) +5x

e.

(x2 - x + 1) – ( x2 + x + 1 ) =

f.

2(x2 + 1) - x2 + 2 =

g.

(2a).(3b) - (7ab + ab) =

Álgebra Jerí

37

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CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las E. A. se clasifican en:

Monomios y Polinomios

I.

Monomios: Es la E. A. que consta de un sólo término. Ejemplo: -7y2 ;

3x ; II.

xy3 ;

0,7ab ;

x2yz3

Polinomio: Es la E. A. de dos o más términos. Ejemplo: 4x – 3y ; a)

5x2 - 3y + xy ;

3xy + 5y – 3x + 6

Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos. Ejemplo: 3x2 – y 8x2y + y 2x + 3

b)

Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos. Ejemplo: 3x2 – 7xz + z3 2a2 - 3ab + b2 3a2 + 5b3 – c2

GradoEl degrado una variable de una variable es el exponente de dicha variable. Ejemplo: En el término: 7x2y3  Grado de la variable “x”: 2 o segundo grado.  Grado de la variable “y”: 3 o tercer grado.

Álgebra Jerí

38

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Grado de un monomio El grado de un monomio puede ser relativo o absoluto. • El grado relativo o con respecto a una letra o variable esta dado por el exponente de dicha letra.

Ejemplo: -

9x3y2

El grado relativo con respecto a “x” es 3 o tercer grado. El grado relativo con respecto a “y” es 2 o segundo grado.

• El grado absoluto de un término algebraico esta dado por la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplo: 3+2=5 • El grado absoluto de: 9x3 y2 es: 8+5–6=7 • El grado absoluto de: 5x8 y5 z-6 es:

Grado de un polinomio El grado de un polinomio puede ser relativo y absoluto. • El grado relativo o con respecto a una letra es igual al mayor exponente de dicha letra o variable en el polinomio.

Ejemplo 1: En el polinomio: 3x2 - 5x3 y4 + 7x5 y3 -

Grado relativo con respecto a “x” es: ___________

-

Grado relativo con respecto a “y” es: ___________

Ejemplo 2: En el polinomio: 5xyz3 +8x2 y3z – 2x3y4z2

Álgebra Jerí

-

Grado relativo con respecto a ‘’x” es:

___________

-

Grado relativo con respecto a “y” es:

___________

-

Grado relativo con respecto a “z” es:

___________

39

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• El grado absoluto de un polinomio es igual al grado de su término de mayor grado absoluto.

Ejemplo 1: En el polinomio:

3x 2y3 – 5x3y4 + 7x5y3 Grado absoluto del monomio: 5 + 3 = 8 Grado absoluto del monomio: 3 + 4 = ____ Grado absoluto del monomio: ____ + ____ = ____

El grado absoluto del polinomio 3x2y3 – 5x3y4 + 7x5y3 es 8 u octavo grado

Ejemplo 2: En el polinomio

6xy2z – 5x2y + 10xy4z2 – 7xy5 Grado absoluto del monomio: ___ Grado absoluto del monomio: _______ Grado absoluto del monomio: ________ Grado absoluto del monomio: ________

El polinomio 6xy2z – 5x2y + 10xy4z2 – 7xy5 tiene por grado absoluto ____ o

séptimo grado.

Álgebra Jerí

40

Silver Guillén



ACTIVIDADES PROPUESTAS 1) Identifica el coeficiente y parte literal de cada uno de los monomios siguientes: a) 3x2y

⇒

__________ ; __________

2

⇒

__________ ; __________

⇒

__________ ; __________

⇒

__________ ; __________

⇒

__________ ; ___________

b) –6z y 7 9

c) 9z y d)

2 5

3

2

z y

4 5

e) –0,2ab c

Identifica los términos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes: 2)

a)

2a – 3ab2 + 5ab + 6ab2

b)

x4y + 2 xy4 – 3x4y – x4y

c)

a2b2 –2ab2 + 3ab2 + 4a2b – 7ab2

d)

8xy3 – 5y3x – 11 xy3 + 16x2y 5x2a – 2xa2 + 3x2a – 3x2a + 7x2a2 – 3ax

e)

3)

De qué grado es cada uno de los monomios siguientes? a) 4x2y3

⇒

__________

;

__________

b)-12a3b4

⇒

__________

;

__________

c) 6x4y2z

⇒

__________

;

__________

d) –8x3yz6

⇒

__________

;

__________

e) 3x2y6

⇒

__________

;

__________

f) 5x7y4z2

⇒

__________

;

__________

g) 0,6x2yz4

⇒

__________

;

__________

h) 0,83ab3c2

⇒

__________

;

__________

Álgebra Jerí

41

Silver Guillén


4)

5)


En el polinomio: a3b2c10 – 8a2b2c5 a)

Grado relativo con respecto a ‘’a” es:

___________

b)

Grado relativo con respecto a “b” es:

___________

c)

Grado relativo con respecto a “c” es:

___________

Halla el grado absoluto de cada uno de los polinomios siguientes. a) 2x3y + 3x4y2 – 0,4x2y5 + 2x3y4

⇒ G.A.__________________

b) x4yz4 – 5x3y2z + 5xyz8 - 0,2x2y3z3

⇒ G.A.__________________

c) 6x2y – 8x3y4 + 3x6y8- 4 x7y6

⇒ G.A __________________

d) 2xyz6 – 3xy2z3 + 7x2y4 – 2xyz8

⇒ G.A __________________

e) x3y2z – 7x3yz2 + 3xyz8 – 0,7x2z3y

⇒ G.A __________________

Álgebra Jerí

42

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VALOR NUMÉRICO Hallar el valor numérico de un monomio o de un polinomio es reemplazar cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo 1: ¿Cuál es el valor numérico de 5ab? Si a = 3 y b = 4 Solución: Reemplazando: 5ab = 5( ).(

Ejemplo 2: Hallar el valor numérico de:

) = _________

2√c + bc ÷ a2

Siendo: a = 2 ;

b=3

y

c = 16

Solución: Reemplazando los valores de a, b y c 2

2√c + bc ÷ a = 2√_______ + ( ).( ) ÷ ________ = = __________ + _________ ÷ ________ = = _______________________________

Ejemplo 3: Hallar el valor numérico del polinomio: 3x2 + 5x – 6; cuando x = 2 Solución: Reemplazando: x = -2 3x2 + 5x – 6 = 3(

)2 + 5 ( ) – 6 = = ________ + ________ -

_________= = ___________________

Ejemplo 4: Hallar el valor numérico de: 2x3 – 6 , 5x2 Solución: Reemplazando: 2x3 – 6 5x2

Álgebra Jerí

=

si x = 3

2( )3 – 6 5( )2 43

= _________ = _____

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EJERCICIOS PARA LA 1)

Halla el valor numérico de cada uno de los polinomios siguientes: a) x = -1 ⇒

5(-1)3 – 3(-1)2 + 2(-1) + 1 = - 5 – 3 – 2 + 1 = - 10 + 1 = - 9

b) x = 2 ⇒ c) x = 3 ⇒ d) x = 1 ⇒ e) x = -1 ⇒ f) x = -2 ⇒

2)

Sabiendo que: x = 2; y = -1; a = 2; c = -2; halla el valor numérico de cada polinomio. a)

3x2y + 8x – 7

= 3(2)(-1)2 + 8(2) – 7 = _______________

b)

3ac2 – cy

=

c)

x2y3 – 7y + xy

=

d)

5c3 – 3xy + y3

=

e)

5ac – 3ac2 + xy2

=

Álgebra Jerí

44

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OPERACIONES CON MONOMIOS Recuerda:

- 25 xy2

Observación: Dos o más términos algebraicos son semejantes si __________________ _____________________________________________________________

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados. Ejemplos: a)

2a + 5a + 7a = ( 2 + 5 + 7 ) a = ………

b)

15y2 + 28y2 + 7y2 = ( 15 + 28 + 7 ) y2 = ………

c)

12xyz + 9xyz + 13xyz = ……………………….

d) 25a – 13a = ( 25 – 13 ) a = …….. e) 18x – 13x – x = f)

Álgebra Jerí

-5x2 + 2x2 – 9x2 + 4x2 =

45

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MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Para multiplicar dos monomios, primero, se multiplican sus coeficientes; luego, se escriben en orden alfabético todas las letras de los monomios dados, poniendo a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.

Ejemplos:

Álgebra Jerí

a)

(3x).(5x) =

b)

(2y).(3x).(5z) =

c)

(3mx).(2m).(5x) =

d)

(11).(2mx).(3) =

e)

(2ab).(2a).(2b).(ab) =

f)

(ab).(-3a).(-5b) =

46

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EJERCICIOS PARA LA 1) Efectuar: a)

6x3 – 13x3 =

b)

–180xy + 78xy =

c)

–12x2y + 6x2y + 12xy – 20xy – 7 x 2y =

d)

18xz – 36xz + 19xz =

e)

2m + 3n – 5m + 6n =

f)

12abc + 8bca – 15cab =

g)

-9mx – 7xm + 17mx =

2) Halla el resultado de: Recuerda:

a)

am.an = am+n

(5a2b3).(4ab5) =

b) (-7x).(-5x) = c) (ab).(2bc).(3ac) = d)

(3mn).(4n3).(5m2) =

e)

(3a).(5b).(-4a) =

f)

(12ab).(-10ba).(-2ac) =

g)

(-2a).(3a).(-4a).(5a) =

h)

(a2 b) (-b2c) (-c2a) =

i)

(-x).(3y)(2x2)(-5xy) =

Álgebra Jerí

47

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POTENCIAS DE MONOMIOS La potencia de monomios es una multiplicación de factores monomios iguales.

Ejemplos: a)

(2x)2 = 2x3 . 2x3 = 2 . 2 . x3 . x3 =

b)

(3a)3 = 3a . 3a . 3a = 3 . 3 . 3 . a . a . a =

c)

(-2m12)4 = (-2)4.(m12)4 =

d)

(5a2b)3 = 53 . (a2)3 . b3 =

e)

(-3xy2)2 = (-3)2 . x2 . (y2)2 =

f)

(3mn2p3)5 =

g)

(-5ab5c8)4 =

DIVISIÓN DE MONOMIOS Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. Ejemplos: a)

12 x 4x

7

5

6

=

28a b

b)

5

7a b

Álgebra Jerí

8y x 12 yx

4

7

3

3

c)

12

=

x  x 28

=

7

7

5

  = 3x 

a  a

6

b

5

7

b3

−

7 5

=

 4a  =

 y x 2   = y 12  yx  3 8

−

6 5

b

−

7 3

=

3

48

−

3 1

x

−

1 1

=

Silver Guillén



EJERCICIOS PARA LA 1) Efectuar las siguientes potencias de monomios: (5xy2)3 = (3ab2c3)3 = (10p2q8)4 = (2b2 c3)5 = (-2x2)3 = (-5x6)2 = (x2y3z)4 =

2) Halla el cociente a)

(28x5) ÷ (4x3) =

b)

(-28x2y) ÷ (7x) =

c)

(49ab3) ÷ (7ab) =

d)

(96p5q3r2) ÷ (3pq2r)=

e)

(450mn5) ÷ (50mn3) =

f)

(36mx2) ÷ (4mx) =

g)

(63a2b3) ÷ (7ab2) =

h)

(187x11b13 ) ÷ (11x5b9 ) =

i)

(390m17n14 ) ÷ (13m16 ) =

Álgebra Jerí

49

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PLANTEO DE ECUACIONES ¿Qué debemos saber?



ENUNCIADO ABIERTO

Es aquel en el que aparece por lo menos una letra o palabra llamada variable que al sustituirla por diferentes valores se transforma en una proposición. Ejemplos de enunciados abiertos: (a) x = 8

(b) x < 7

(c) 3 + x = 8

(d) 2x – 1 = 7

(e) x + 7 > 12

(f)10–x

(g)

(h)

>5

(i)

PROPOSICION Es una expresión de nuestro lenguaje, a la que se puede calificar como verdadero o falso. Ejemplos: 

PROPOSICIONES VERDADERAS

(a) 5 > 3

PROPOSICIONES FALSAS

6

(c) Miguel Grau nació en Piura

(d) 4 es numero impar

(e) La capital de Perú es Arequipa (g)284:=7

(b) > 8

(f) 32 = 6

(h)5x6=35

(i)

(j)

(k)

(l)

Álgebra Jerí

50

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


Plantear una Ecuación

Plantear una ecuación significa traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matemática mediante una ecuación. Todo enunciado de un problema, siempre nos pide hallar el valor de “algo”. A ese valor, por el momento desconocido, se le denomina INCÓGNITA y se le repre senta por una letra (x; y; z; etc). Toda frase en lenguaje común puede ser traducida a lenguaje matemático. Por ejemplo:

Enunciado abierto:

FORMAVERBAL

FORMASIMBÓLICA

Un número aumentado en 4 Un número disminuido en 9 El doble de un número La mitad de un número La cuarta parte de un número El doble de un número aumentado en 3 La edad de Iván hace 6 años La edad de Lourdes dentro de 4 años La suma de tres números consecutivos es 18 La suma de dos números pares consecutivos es 26 El doble de la edad de Alexandra es 16 años La mitad de la edad de Daniel aumentada en 5 años es 23 años El dinero que tiene Diana disminuido en s/.140

Álgebra Jerí

51

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Enunciado abierto: FORMASIMBÓLICA

FORMAVERBAL

3x X2 + 5 2

(x + 5) (2x)3 x+y+z ½x 4x3 3x + 4 3(x + 4)

Álgebra Jerí

52

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EJERCICIOS PARA LA 1) Traducir los siguientes enunciados a la forma s imbólica: FORMAVERBAL

FORMASIMBÓLICA

Un número aumentado en 15 Un número disminuido en 8 El doble de un número, aumentado en 5 El doble de un número aumentado en 5 El quíntuplo de un número, disminuido en 7 Cinco veces un número disminuido en 7 El dinero de Vanesa aumentado en S/.15 La edad de Lourdes hace 4 años El doble del dinero de Manuel La suma de dos números es 18 La tercera parte de un número disminuido en 13 El cuadrado de un número aumentado en 16 La mitad de un número disminuida en 14

2) Da un enun ciado ver bal que se adap te a cada una de las sig uientes expresiones: FORMASIMBÓLICA

FORMAVERBAL

x + 11 x – 13 2x – 13 2(x – 13) x+y 3x – 6 4x = 20 2

12 (xx --1)

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53

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ECUACIONES Igualdad



Son dos expresiones aritméticas o algebraicas, que tienen el mismo valor. Por ejemplo: Una decena = 10 unidades 5 + 2 = 17 – 10 5x = 20

Partes de una ecuación En una ecuación encontramos dos partes llamadas miembros de la ecuación, que se encuentran de uno y otro lado del signo de la igualdad (=).



2 x = 10 1ºMiembro

2ºMiembro

Raíz de una ecuación Es el número que al reemplazar a la variable de la ecuación, la transforma en una proposición verdadera.



Ejemplos: * Halla la raíz de las siguientes ecuaciones: a)

x – 9 = 16

b)

x + 3 = 41

c)

x + 17 = 41

d)

x – 32 = 30

e)

5x + 32 = 92

f)

4x – 15 = 33

g)

3x – 30 = x

h)

40 + x = 3(10

i)

10x – 24 = 2x

+8

Álgebra Jerí

+ x)

+8

54

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• Soluciona los problemas, traduciendo los enunciados a la forma simbólica. a)

La suma de dos números es 32, si uno de ellos excede al otro en 2 unidades. Hallar dichos números.

b)

El doble de un numero aumentado en 21 es 51, cual es el numero?

c)

La edad de Iván hace 9 años era 17 años; que edad tiene Iván ahora?

d)

La suma de tres números consecutivos es 33, cuales son los números?

Álgebra Jerí

55

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Halla la raíz de cada ecuación: a)

x + 12 = 26

b)

3x + 21 = 45

c)

7x – 17 = 32

d)

56 + x = 5 (8+ x)

e)

(3x – 4) = 2x + 12

f)

7(x-3) = 21

g)

6(x - 8) = 2x + 12

2) Resuelve los problemas traduciendo los enunciados a la forma simbó lica. La suma de dos números pares consecutivos es 30, ¿Cuáles son los números? a)

El triple de un número aumentado en 6 es igual al doble del mismo número aumentado en 14. ¿Cuáles son los números? b)

c)

La mitad de un número aumentado en 7 es 16. ¿Cuál es el

número?

La tercera parte de un número disminuido en 12 es 33. ¿Cuál es el número? d)

Los 2/3 de un número más 5 es igual a dicho número aumentado en una unidad. ¿Cuál es el número? e)

Álgebra Jerí

56

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ECUACIONES PARTE III 1)

Resolver: a)

x + 17 = 29

d)

x + 5 = 18

b)

x + 7 = 22

e)

x + 9 = 14

c)

2)

Halla la raíz de las siguientes ecuaciones: a)

3x – 8 = 38

f)

7x – 6 = 43

b)

2x + 2 = 24

g)

5x – 2 = 43

c)

4x + 6 = 26

h)

2x – 8 = 6

d)

3x – 5 = 19

i)

15x – 9 = 69

e)

Álgebra Jerí

57

Silver Guillén


3)


Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones. Si al doble de la edad de mi padre le aumentara 6 años tendría 62 años. ¿Qué edad tiene mi padre? a)

b)

¿Cuál es el número que disminuido en 52 es igual a 30?

¿Cuál es el número que multiplicado por 11 y disminuido en 15 es igual a 73? c)

d)

¿Cuál es el número que aumentado en 35 es igual a 50?

El doble de la edad de Pedro aumentada en 13 años seria 29 años. ¿Qué edad tiene Pedro? e)

La diferencia entre las edades de un padre y su hijo es 35 años y la edad del hijo es 22 años. ¿Qué edad tiene el padre? f)

Álgebra Jerí

58

Silver Guillén



EJERCICIOS PARA LA CASA a)

Desarrolla las siguientes ecuaciones: 1)

x+9=20

2)

n–10=18

3)

2x+28=52

4)

12a+14=154

b) ecuaciones.

Desarrolla los siguientes problemas, primero plantea tus

1)

¿Cuál es el número que aumentado en 15 da 60?

2)

¿Cuál es el número cuyo triple disminuido en 6 da

9? 3)


Si la edad de María le disminuyera 17 años entonces tendría 15 años. ¿Qué edad tiene María? 4)

5)


El duplo de un número aumentado en 15 años da 31. ¿Cuál es el número? 6)

Si al duplo de un número le disminuyo 9 años da 17. ¿Cuál es el número? 7)

Si a la edad que tiene mi madre le disminuyera 9 años tendría 18 años. ¿Qué edad tiene mi madre? 8)

Álgebra Jerí

59

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PRODUCTOS NOTABLES Son productos indicados que tiene una forma determinada, de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación. Por su gran utilidad es conveniente retenerlos en la memoria. Los más importantes son:

(x + y)2 = __________________________ (x – y)2 = __________________________ (x + y).(x – y) = _______________

(diferencia de cuadrados)

(x + a).(x + b) = ____________________________

Álgebra Jerí

60

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Desarrolla utilizando las equivalencias estudiadas.

a)

(a + b)2 =

b)

(x + 9)2 =

c)

(7 - m)2 =

d)

(p + q)3 =

e)

(a + 3).(a + 2) =

f)

(x + 9).(x + 11) =

g)

(x - 6)2 =

h)

(x + 3) (x + 5) =

i)

( 9 + x) (9 - x) =

j)

( 7 + 5) (7 - 5) = 2)

Escribe el producto notable equivalente.

a)

x2 + 8x + 16 =

b)

x2 – 22x + 112 =

c)

a2 – 182 =

d)

x2 + 16x + (9).(7) =

e)

(x + 13).(x - 13) =

f)

m2 + 9x + (5).(4) =

g)

z2 + 12x + 32 =

h)

m2 – 16m + 64 =

i)

a2 + 14a + 49 =

j)

x2 – 81 =

Álgebra Jerí

61

Silver Guillén


3) notable

Completa convenientemente para expresar como producto

a)

x2 + 12x = x2 + 2.(6).x + 62 – 62 = (x + 6)2

b)

y2 – 18y = y2 – 2(9).y + 92 – 92 = …………………………

c)

14ª + a2 = …………………………

d)

m2 – 26m = …………………………

e)

x2 + x = …………………………

f)

y2 + 9 = …………………………

Álgebra Jerí


62

Silver Guillén




Desarrolla utilizando las equivalencias estudiadas.

a)

(m + 5)2 =

b) c)

( p - 4)2 = (3 + x) = (8 - q)2 = (a + 3).(a + 2) = (x + 9).( x + 11) = (x – 6)2 = (x + 3).(x + 5) = (9 + x).(9 - x) = (7 + 5).(7 - 5) =

2

d) e) f) g) h) i) j)

2)

Escribe el producto notable equivalente.

a)

x2 + 8x + 16 =

b) c)

x22 – 22x + 112 = a – 82 = x2 + 16x + (9).(7) = (x + 13).(x - 13) = m2 + 9x + ( 5).(4) = z2 + 12x + 32 = m2 – 16m + 64 = a2 + 14ª + 49 = x2 – 81 =

d) e) f) g) h) i) j)

3) notable a) b) c) d) e) f)


x2 + 12x = y2 – 18b = 14a + a2 = m2 – 26m = x2 + x = y2 + 9 =

Álgebra Jerí

63

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Álgebra Jerí

64


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PRODUCTOS NOTABLES II 1)

Desarrolla utilizando las equivalencias estudiadas. a)

(m + 5)2 =

b)

(m - 4)2 =

c)

(3 + x)2 =

d)

(8 - q)2 =

e)

(x + 7).(x + 8) =

f)

x2 – 4 =

2)

Escribe el producto notable equivalente a)

x2 + 4x + 2 =

b)

x2 – 6x + 9 =

c)

25 + 10x + x2 =

d)

16 – 8m + m 2 =

e)

(x + 4).(x - 4) =

f)

x2 – 4 =

g)

(x + 5).(x + 6) =

3)


notable. a)

x2 + 10x =

b)

y2 – 6y =

c)

8m + m2 =

d)

a2 + 36 =

Álgebra Jerí

65

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Álgebra Jerí

66


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EJERCICIOS PARA LA CASA 1)

Desarrollar: a)

(x - 8)2 + 16x =

b)

(x + 5)2 – 25 – 5x =

c)

(x + 12) (x - 12) + 144 =

d)

(x + 4).(x + 3) – 12 – 7x =

e)

(a + 8).(a - 8) – a2 + 60 =

2)

3)

Completa para poder expresar como producto notable a)

x2 + 4x =

b)

25+10x=

c)

a2 – 5 =

d)

m2 + 19m =

e)

b2 + 5m =

Expresa como producto notable

a) x2 + 12x + 35 = b) m2 – 49 = c) a2 + 10a + 24 = d) m2 + 5m + 6 = e) 1 – 2p + p2 = f) x2 + x + 1 =

Álgebra Jerí

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INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad de números naturales que contiene una o más variables, es decir, cantidades no conocidas. Resolver una inecuación consiste en hallar el conjunto solución que satisfaga la desigualdad propuesta; para ello, es necesario que se apliquen las diferentes propiedades de las operaciones. Observemos los siguientes ejemplos: 1.

Hallar el valor de la variable en la inecuación:

x +3 < 5

Solución: x+3<5 x+3<3+2 x < 2

Inecuación dada definición de adición propiedad de cancelación

Respuesta: El conjunto solución es cualquier número menor de 2: C. S. = {0,1} Comprobación: Sustituyendo en la inecuación dada cualquiera de los valores del conjunto solución tenemos que: Si: x = 1; entonces:

x+3<5 1+3<5 4<5

2. Hallar el valor de la variable en la inecuación: x – 4 > 6 Solución: x–4>6 x – 4 > 10 – 4 x > 10

Inecuación dada definición de sustracción Propiedad de cancelación

Respuesta: El conjunto solución es cualquier número mayor de 10: C.S. = {11, 12, .....}

Álgebra Jerí

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Comprobación: Reemplazando en la inecuación dada cualquiera de los valores del conjunto solución: Si: x = 11; entonces:



x –4 >6 11 – 4 > 6 7>6

Resolución de inecuaciones en forma: x ± a < b

Resuelve la siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones 1) x + 4 < 7 pasos

razones

2) x + 7 < 9 pasos

razones

3) x + 5 < 8 pasos

razones

4) x + 2 < 4 pasos

razones

5) n + 10 < 24 pasos

razones

6) y – 27 < 32 pasos

Álgebra Jerí

razones

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7) y – 78 < 100 pasos

razones

8) z – 7 < 14 pasos

razones

9) n – 21 < 378 pasos

razones

10)x – 33 < 66 pasos



razones

Resolución de inecuaciones en forma: x ± a > b

Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones. 1) z + 73 > 9 pasos

razones

1) y + 105 > 202 pasos

razones

2) a + 96 > 126 pasos

Álgebra Jerí

razones

70

Silver Guillén



3) x + 5 > 368 pasos

razones

4) n + 33 > 128 pasos

razones

5) z + 73 > 99 pasos

razones

6) x – 38 > 128 pasos

razones

7) y – 110 > 428 pasos

razones

8) n – 78 > 327 pasos

razones

9) z – 56 > 243 pasos

Álgebra Jerí

razones

71

Silver Guillén



Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones 

a)

Las edades de Felipe y Daniel juntas sobrepasan los 19 años. Si Daniel tiene 8 años, ¿Qué edades podría tener Felipe?

b)

Dos canastas juntas contienen más de 386 panes. Si en una de ellas se guardan 221 panes, ¿Cuántos panes podrían estar guardados en la otra canasta?

c)

Dividir elanúmero 884 dos partes tales que una parte, como mínimo, exceda la otra en 98en unidades.

Álgebra Jerí

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INECUACIONES II Inecuación es una desigualdad formada por constantes y variable. Así, son inecuaciones: x – 3 < 6; 2x + 1 > 3; 4x + –2< 5x > 10; 22;

etc.

Resolver una inecuación es hallar su conjunto solución, pero como la solución es en N, se debe tener en cuenta que el conjunto solución sean números naturales. El procedimiento para resolver inecuaciones es el mismo que para resolver ecuaciones.

EJERCICIOS RESUELTOS Resolver: 1)

3x + 4 > 2x + 6

2)

5(x + 2) < 3x + 20

3)

6)

3(2x - 1) < 4 (x + 2) + 1

7)

4x – 12 < x

2(x - 2) > 3 (2x - 4) C. S. = {

}

¿Por qué no son solución 2, 1 y 0? 4) 2x – 3 < 5 + x 8)

5)

6(x - 4) > 3 (x + 2)

4x + 2 > 2 (x + 3) C. S. = {

Álgebra Jerí

73

}

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EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver: 1)

2x + 3 > x + 8

2)

3x + 5 < x + 9

3)

5x – 3 < 18 – 2x

4)

4x – 1 > 15 – 4x

5)

6x + 8 < 5x +9

6)

7x + 9 > 6x + 13

7)

9x – 20 < 5x + 4

8) 2x + 10 >14 9) 5x + 8 > 23 10)4x – 5 < 7 11)3x – 6 < 9 12) 2x +

6 > 8

13) 6x +

1 < 13

14)x + 8 < 12 15) x

Álgebra Jerí

+ 10 > 16

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METODOSDE SOLUCIÓN DE INECUACIONES Una inecuación puede resolverse por el método de Transposición de términos o aplicando Propiedades. Ejemplos: 1) Resuelve las siguientes inecuaciones aplicando propiedades. a) 8x < 40 PASOS

d)

RAZONES

C.S. = {.........................} b) 3x – 6 < 33 PASOS

5x + 2 > 17 PASOS

RAZONES

C.S. = {...........................} e)

RAZONES

7x – 5 < 23 PASOS RAZONES

C. S. = {.................................} C. S. = {...................................} c)

2) Resuelve las siguientes inecuaciones transponiendo términos. a) 4 + 3x > 16

b) 25 < 2x + 11

C. S. = {............................}

C. S. = {.............................}

c) 2a + 11 > 23 – 2a

Álgebra Jerí

d) 10x – 5 > 8x + 15

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C. S. = {.......................}

Álgebra Jerí

5to Grado de Primaria C. S. = {......................}

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Resuelve aplicando propiedades. a) 5x > 30 b) 4x < 20 c) 7x < 42 d) 13x > 130 2) Halla el conjunto solución de los siguientes problemas. a)

El triple de mi edad es menos de 36 años. ¿Cuál puede ser mi edad?

b)

El doble de un número es mayor que 19 y menor que 21. ¿Cuál es el número?

c)

Cuatro veces un número está entre 48 y 53. ¿Cuál es el número?

3) Resuelve transponiendo términos. a) 16 < 3x – 14 b)

3x > 555

c)

3x –5 < x + 5

4) Resuelve aplicando el método que desees. a)

16x < 64

b)

9x < 108

c)

7x + 5 < 26

d)

3x – 10 > 8

Álgebra Jerí

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Silver Guillén

ÁLGEBRA_PRIMARIA 5º GRADO

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