: L A E N I L A R S B E E C I G R L T Á A M
EJERCICIO Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos. El numero de horas que cada máquina es usada para la elaboración de un producto, viene dada por la siguiente tabla:
P+-UC 1 $01U230 $01U230 #
P+-UC # 2
P+-UC " 1
P+-UC / 2
2
0
1
1
1
2
3
0
3x4
a.
¿Cuál es la máquina que es usada por mas tiempo para la elaboración del Producto ! MAQUINA 2
b.
Producto "!
$01U230 son la1máquina usadas2por menos tiempo para la elaboración del MAQUINA Y MAQUINA " ¿Cuáles
c.
¿Cuál es el producto que es elaborado en mas tiempo por la maquina #!
d.
¿Cuáles son los productos que son elaborados en menos tiempo por la maquina ! PRODUCTO 1 Y PRODUCTO 3
e.
¿Cuál es el producto que no es elaborado por la maquina "!
f.
Cual es el orden de la $atri% & que se forma de la relación $aquina'Producto
g.
¿(a matri% & es una matri% cuadrada!
h.
¿Cuál ser)a el elemento * "# de matri% &!
i.
¿Cuál ser)a el elemento * #" de matri% &!
PRODUCTO 1
PRODUCTO 4
3x4
No. Si fuera cuadrada fi!a" # co!u$%a" #2 #1
EL CONCEPTO DE MATRIZ El ordenamiento de n4meros en conoce como una matriz, 6 los matri% se llaman entradas de la matrices son: 2 1 1 2 C# ( 2 A# − 3 0 ; 8# e 0 1 / 2 ; 0 0 0 − 4 5 π
5las 6 columnas se elementos de esta matri%. E7emplos de 1 1 − 1 0 1) ; D# 1 1
&! 'a$a(o o di$e%"i)% de u%a $a'ri* de defi%e co$o e! %+$ero de fi!a" ,or e! %+$ero de co!u$%a". &% e! e-e$,!o !a ,ri$era $a'ri* e" de di$e%"i)% 3x2 !a "e/u%da e" de 3x3 !a 'ercera e" de 1x4 !a cuar'a e" de 4x1. Si u%a $a'ri* e" de di$e%"i)% 1x% co$o e% e! 'ercer e-e$,!o "e !!a$ar u% ec'or fi!a $ie%'ra" ue u%a $a'ri* %x1 co$o e% e! cuar'o e-e$,!o "e !!a$ar u% ec'or co!u$%a. &% /e%era! "e u"ar% !a" ,ri$era" !e'ra" $a+"cu!a" de! a!fae'o ,ara de%o'ar u%a $a'ri* e" decir "e e"criir% co$o A, B, C , e'c.. 5a" e%'rada" de u%a $a'ri* "e de%o'ar% co$o aij re,re"e%'ar% !a e%'rada ue "e e%cue%'ra e% !a fi!a i67"i$a !a co!u$%a -67"i$a.
2P8 -E $0+2CE8 Matriz A#
Nula
Matriz Identidad 8
= Si A#0 Cua%'o a!e 9x9 e 9: X=1, Y=2
Si 8#1 Cua%'o a!e 9x9 e 9: X=2, Y=3
Matriz Escalar C#
Matriz Simtrica D#
=
Si C e" u%a $a'ri* e"ca!ar de a!or ; Cua%'o a!e 9x9 e 9: X=2, Y=5
=
Si D e" u%a $a'ri* "i$7'rica Cua%'o X=3 a!e 9x9
Matriz !rans"uesta =#
=
Matrices I(uales M#
=
N#
2#3 3#2
Si M N "o% i/ua!e". Cua%'o a!e 9x9 9: :a: :: #=3, $=% a=& '=1
PE+0C23E8 C3 $0+2CE8 -e5nición 98uma de matrices: 8ean A;B es la matri% C;
bij ,
− 4 las 1 0 2 correspondientes. 1 2 de − entradas 0 2 − 2 esto es, la suma + = − − − − − 0 3 1 1 5 1 1 2 2 E7emplo:
-e5nición 9+esta de matrices: 8ean A;
− = 0 3 − 1 1 − 5 − 1 − 1 8 0 1 2 −de 4 las 0 − 2 correspondientes. 2 2 − 6 esto es, la suma 1 entradas + = E7emplo: 0 3 − 1 − 1 5 1 − 1 8 0 bij ,
-e5nición 9$ultiplicación de matrices: 8ean A;
Co!u$%a 3
>i!a 2 E7emplo:
2 − 1 −3 5 0 7
0
8 8
8 3 −4 . − 6 − 4 −5
5 0 2
20 12 − 84 4 = − 71 − 68 1 − 74 4
(2)(3) + ( -1)( -6) + (0)( -4) = 12 (2)(8) + ( -1)( -4) + (0)( -5) = 20 (2)(5) + ( -1)( 0) + (0)( 2) = 10 (2)(4) + ( -1)( 4) + (0)( 1) = 4 (- 3)(3) + ( 5)( - 6) + (8)(- 4) = - 71 ( -3)(5) + (5)(0) + (8)(2) = 1
10 1 16
16 36 4
Po"ici)% c23
En general, el elemento cij está dado por n
cij
= ∑ aik bkj ; k =1
i = 1,..., m j = 1,..., s Por e7emplo, si A3x4 , B 4x7 , C7x3 , los productos AB3x7, BC 4x3 6 CA7x4 están de5nidos, mientras que no es posible multiplicar BA, AC 6 CB. -ebe observarse que el producto de matrices en general no es conmutativa, esto es, a4n cuando los productos AB 6 BA están de5nidos, no es necesariamente cierto que AB=BA, 2 0 1 0 1 − 1 2 3 − 4 − 1 muestra 4 9 e7emplo como el siguiente . = . = − − 2 5 3 4 13 16 − − − 3 4 2 5 8 17
-e5nición 9Producto de una matri% por un escalar: 8ea A;
2 0 − 4 0 − 4 2 0 = 8 6 16 0 0 − 2 − 2 − 6 6
0 0 0
12
-e5nición 9Producto punto: Cuando se multiplica una matri% A2(0 por una matri% C(U$30 cumpliendo siempre la regla entonces que el numero de columnas de la primera matri% debe ser igual al n4mero de 5las de la segunda matri%. Producto punto o escalar, denotado como a.b o Ba,b se de5ne como a.b =< a , b >= a1b1 + a2b2 + an −1bn −1 + anbn E7emplo:
A
= (1
0
−4
A. B
2
− 6)
2 − 3 B = 0 7 5
2 − 3 A = (1 0 − 4 2 − 6) B = 0 7 5
= [−14]
(1)( 2) + (0)(−3) + ( −4)(0) + ( 2)(7) + ( −6)(5) = −14
2 0 − 8 4 − 12 − 3 0 12 − 6 18 B. A = 0 0 0 0 0 7 0 − 28 14 − 42
Propiedades de la aritm@tica matricial a Conmutatividad de la suma
A+B =B+A
b 0sociatividad de la suma + C c 2dentidad para la suma
9 A + B + C = A + 9B A + O = O + A = A
d (e6 distributiva i%quierda e (e6 distributiva derecha
r 9 A + B ; r A + r B
9r + s A ; r A > s A
f 0sociatividad del producto por un escalar
9r.s A ; r 9s A
g 0sociatividad del producto de matrices
A9BC ; 9 ABC
h Producto por matri% identidad
6 BI=B
i (e6 distributiva i%quierda 7 (e6 distributiva derecha
IA=A
A 9B + C ; AB + AC
9 A + B C = AC + BC
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 1x1
Sea ) una matriz de *rden n , si n=1 se tiene+ )=a-, det )= a DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2
Se !!a$a de'er$i%a%'e de !a $a'ri* A de orde% 2 a! %+$ero a 11.a226a12.a21 e"crii$o"?
11
"&" +E(0 -E 80++U8 En el cas* de matrices cuadradas de *rden 3, tam'in "*dem*s calcular el determinante de la si(uiente manera+ C*"ie la "rimera $ se(unda c*lumna de la matriz a su derec.a+ a11 A
a12
=a
a13 a11
a12
21
a22
a23 a21
a22
a31
a32
a33 a31
a32
A
+
-
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13a21a32 − ( a12 a21a33 + a11a23 a32 + a13 a22 a31 )
"&" +E(0 -E 80++U8 /allar la determinante de la si(uiente matriz cuadrada de *rden 3+
2 0 3 A = 0 1 2 − 1 − 2 5 2 A
=0 1
A
0
3
+2
0
+
-
1
−2
0
1
−2
5
1
−2
= (2)(1)(5) + (0)(−2)(1) + (3)(0)(−2) − [(1)(1)(3) + (−2)(−2)(2) + (5)(0)(0)] A = 10 + 0 + 0 − [3 + 8 + 0] A = 10 − [11] = −1
"&" P+ CA0C+E8 Se tiene 0ue multi"licar el element* "*r su c*act*r de una ila determinada @ En el si(uiente cas* am*s a t*mar la "rimera ila+ B
= b11 B11 + b12 B12 + b13 B13
1 /allam*s l*s c*act*res de la "rimera ila+ # 1
2
# 1
#
Multi"licam*s l*s element*s "*r sus res"ecti*s c*act*res+ B
= b11 B11 + b12 B12 + b13 B13 B
361B
= −1
Calcular la 4eterminante, la Matriz )dunta $ la Matriz Inersa de la matriz C C#
2 0 3 0 1 − 2 1 − 2 5
1 − 2 − 2 5
6 0
0 − 2 1 5
3
0 1 1 − 2
# 2E4B E 0 30E1B # 2 E 3 # E1
6 F02G
Calcular la 4eterminante, la Matriz )dunta $ la Matriz Inersa de la matriz C C#
2 0 3 0 1 − 2 1 − 2 5
