1
COLEGIOS
Función inversa Tarea
Integral 1. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función inyectiva?
I.
III.
a) Solo II b) II y III 2.
PUCP 5. Si F: [–5; 6〉 → [m, n〉, de modo que: F(x) = 4x + 2, es suprayectiva. Calcula «n – m». a) 18 c) 44 e) 15 b) 8 d) 26
II.
6. Si F: 〈–3; 6〉 → [a, b〉, de modo que: F(x) = x2 + 5, es suryectiva. Calcula «a + b». a) 46 c) 36 e) 10 b) 41 d) 19
IV.
c) Solo IV d) I y III
7. Dada la función F(x) = 4 – 2x. Además F: ]m, 6] → [n; 3m[. Determina «m + n» si F es sobreyectiva. 4 36 36 e) a) – c) 5 5 5 44 b) –8 d) 7
e) II y IV
Escribe verdadero (V) o falso (F): ( F = {(x,y) ∈ R2 / y = x2 + 5} es inyectiva 2 G = {(x, y) ∈ R / y = x – 1– 2} es inyectiva ( H = {(x, y) ∈ R2 / y = x+ 8 } es inyectiva ( I = {(x, y) ∈ R2 / y = 5x – 3} no es inyectiva ( a) FFFF c) FVFF e) VVVV b) FFVV d) FFVF
) ) ) )
3x + 1 . Si existe. De2x – 5 termina su dominio y rango respectivamente. a) R – 3 c) R – 1 e) R – {1} 2 2 R + 3 R – 5 R – {0} 2 2 b) R – 5 d) R– 3 2 2 R – 3 R– 5 2 2
8. Calcula la inversa de F(x) =
3. Determina cuál de las siguientes funciones son inyectivas: F = {(2; 3), (5; 1), (7; 10), (–1; 4)} G = {(5; 2), (3; 2), (8; 1), (6; 7)} H = {(2; 7), (6; 1), (2; 3), (10; 2)} I = {(0; 5), (7; 1), (π; 2), (3; 6)} a) Solo F c) F y I e) Todas b) Solo G d) F y G
UNMSM 9. Sea F: ]–5; –2[ → ] a; b[ con F(x) = (x – 1)2 – 4, siendo F suprayectiva. Calcula «ab». a) 32 c) 37 e) 28 b) 160 d) –128
4. Calcula «a/b» si la siguiente función es inyectiva:
1
ÁLGEBRA
F = {(–5; 2), (a – b; 2), (3; 1), (a + b; 13), (11; 13)} a) 8 c) 2 e) 3 b) 8/3 d) 3/8
20
5.° Año
FUNCIÓN INVERSA COLEGIOS
10. Sea F(x) = 7x – 2. Calcula F∗(x) a) x + 2 c) 7x + 2 e) 4x – 1 b) x +
14. La función F: definida por lo siguiente: 3x – 2 ; x < p F(x) = x+7;x≥p
x 2 2 d) + 7 7 7
x+1 es una función x–1 suryectiva, entonces el conjunto B es: a) 〈0; 1〉 c) 〈–∞; 1〉 e) 〈–∞; 2〉 b) 〈–∞; –1] d) 〈–∞; –1〉
11. Si f: [0; 1〉 → B tal que f(x) =
Calcula «p» si F es biyectiva 3 a) c) 1 2 9 b) d) 2 2
e)
5 2
15. La función f(x) = ax2 + bx + c, es inyectiva en [2; +∞〉 y g(x) = ax2 + bx + d, es inyectiva en 〈–∞; 2]. Calcula el valor de 4a + b, sabiendo que a ≠ 0. a) 1 c) 0 e) –2 b) 2 d) –1
2x+3 puede escribirse de la 12. La función de f(x) = 4x–1 ax+b forma F∗(x) = . Calcula el valor de «a + b + cx+d c + d». a) 10 c) 5 e) –1 b) 8 d) 6 UNI 3x–2 si existe, deter13. Calcula la inversa de f(x) = 2x+1 mina su dominio y rango. a) F∗(x) =
–2 – x d) F∗(x) = –2 – x 2x + 3
Domf: R – –1 Domf: R – –1 2 2 Ranf: R – 3 Ranf: R – 1 2 2 b) F∗(x) =
–2 – x x–2 e) F∗(x) = 2x – 3 2x – 3
Domf: R – 3 Domf: R – 3 2 2 Ranf: R – –1 Ranf: R – –1 2 2
Claves
x+2 c) F (x) = x+3 ∗
Domf: R Ranf: R – 1 2
5.° Año
21
01.
e
06.
a
11.
b
02.
d
07.
a
12.
d
03.
c
08.
d
13.
b
04.
d
09.
b
14.
b
05.
c
10.
d
15.
c
ÁLGEBRA
1
2
COLEGIOS
Programación lineal I Tarea 3. Grafica x<7 y ≤ 1
Integral 1. Grafica –7 ≤ x < 12 y
a)
12 x
–7
7
y 12
x
c)
y 5 x
–1
c)
y
e) 5
ÁLGEBRA
y
–1
x
–7
5
–4
x
y
d) 7
5 –5
7
x
3 –4
–5
y
y 1 –5
x
y
a)
b)
x
y 7
7 –3
–4
x
5
x
e) –5
–4
3 x
y
y 5 –1
2
d) –1
y
–1
x
–1
4. Grafica –5 < x ≤ 3 –4 ≤ y < 7
2. Grafica –1 ≤ y ≤ 5
b)
y
x
–7
a)
x
7
e) 7
x
y 12
y
x
y
b) 7
–7
12 x
c)
1 d)
12 x
e)
–7
y
a)
–7
y
b)
y
d)
7
c) x
22
–3 –4
3 x
5.° Año
PROGRAMACIÓN LINEAL I COLEGIOS
PUCP 5. Grafica: x+y≤4 x–y≤5
5
a)
a)
x
y
b)
6
d)
b)
x
x
6
6
e)
6
c)
x
e)
8 x
–4
x
5
y
y
a)
6. Grafica 2x + 3y ≤ 12 –x + 3y ≤ 6
6 5
–3
y
y
d)
x
–3 9
c)
x
x
9
x
y
e) x
6
7 9
–3
x
6 5
–3 9
x
UNMSM
y
9. Grafica 2x + y ≤ 8 x–y≤3 x≥0 y≥0 Indica los vértices de la zona factible a) (0; 0)(8; 0) d) (0; 0)(8; 8) 2 11 ; (3; 3)(3; 0) (3; 0) 3 5
x
7. Grafica 3x + 4y ≤ 24 2y – 3x ≤ 12
5.° Año
–3
y
y
e)
9 x
6 8
y
b)
6
d) 5
y
b) x
c)
y
8. Grafica 2x + 3y ≥ 18 –5x + 3y ≤ 15
x
a)
x
y
y
c)
6 x d) –2 6
y
–4
y x
y
–2 8
y
y
y 6
23
ÁLGEBRA
2
PROGRAMACIÓN LINEAL I COLEGIOS
b) (0; 0)(0; 8) e) (0; 0)(0; 8) 11 2 2 11 ; ; (3; 0) (3; 0) 3 3 3 2
y
a)
c) (0; 0)(3; 0) 7 0 2 ; ;0 3 3 3
b)
11. Grafica x + y ≤ 5 x – 2y ≤ 8 x≥2 y≥2 y
d)
x e)
y 5
e) –5
8 x
4 5 8
x
13. Sea f: R2 → R una función definida por f(x, y) = –2x + 5y. Determina el punto de la región convexo mostrada en la figura donde f alcanza su mínimo y (7;6)
5 5
x
a) (5; 0) b) (0; 5) x
c) (7; 6) d) (5; 5)
x
e) (2; 1)
14. Determina el valor mínimo que toma la función objetivo: P(x, y) = 10x + 15y sujeta a las restricciones.
x
x x
+ y≥3 – 3y ≤ 3 y≤x
a) 30 b) 26
12. Grafica x + 2y ≤ 8 x–y≤5 x≥0 y≥0
ÁLGEBRA
x
8 x
UNI
2
–5 5 8
–5
y
4
5
c)
y
y
c)
8
y x
b)
6
y
Indica los vértices de la zona factible. a) (2; 0)(0; 2) d) (2; 0)(10; 2) (2; 2)(2; 10) (2; 2) b) (0; 2)(2; 2) e) (0; 0)(2; 10) (2; 10)(10; 1) (10; 2 c) (2; 2)(2; 10) (10; 2)
a)
–5
5 4 d) x –5
y
10. Grafica x + y ≤ 12 x – y ≤ 10 x≥2 y≥2
4
y
c) 27 d) 29
e) 28
15. La región admisible S y el crecimiento de la función objetivo del problema maximizar F(x, y) s.a. (x, y) ∈ S.
24
5.° Año
PROGRAMACIÓN LINEAL I COLEGIOS
10 20 28 c) e) 3 3 3 14 25 b) d) 3 3
Se muestra en la siguiente figura. y (3;4) 4 crecimiento 3 2 1 –1
2
3
a)
Claves
4 x
Si (x, y) es la solución del problema determine F (x, y) .
5.° Año
UNI 2013-I
25
01.
a
06.
d
11.
e
02.
c
07.
e
12.
b
03.
a
08.
d
13.
a
04.
d
09.
b
14.
a
05.
e
10.
c
15.
c
ÁLGEBRA
2
3
COLEGIOS
Programación lineal II Tarea 2. Establece la gráfica de la zona factible. y y
Integral Enunciado Un ómnibus Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 100 bolívares y a los no fumadores a 60 bolívares. Al no fumador se le permite llevar 50 kg de peso y al fumador 20 kg. Si el ómnibus tiene 90plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg va ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio.
x
20x
50y
e) x
x
y
20x + 50y ≤ 3000
c) x 3. Indica los vértices de la zona factible. a) (0; 0), (7; 0), (50; 40), (0; 90) b) (0; 0), (45; 0), (50; 40), (0; 60) c) (0; 0), (0; 60), (50; 40), (90; 0) d) (0; 0), (50; 0), (80; 120), (0; 40) e) (0; 0), (60; 0), (40; 50), (0; 90)
No Fumador fumador Restricciones x x + y < 90 y c) Cantidad 20x 20x + 50y < 3000 Piso 50y No Fumador fumador Restricciones x x + y ≤ 90 y d) Cantidad 20x 20x + 50y ≥ 3000 Piso 50y
4. Calcula el valor de la función objetiva. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio? a) Fumador: 90 d) Fumador: 75 No fumador: 0 No fumador: 15 b) Fumador: 0 e) Fumador: 80 No fumador: 90 No fumador: 20 c) Fumador: 60 No fumador
No Fumador fumador Restricciones x x + y ≤ 90 y e) Cantidad 20x 20x + 50y ≤ 3000 Piso 50y
ÁLGEBRA
y
b)
No Fumador fumador Restricciones Cantidad x x + y ≤ 90 y b) 50x 50x + 20y ≤ 3000 Piso 20y
3
x
y
1. Indica el cuadro de restricciones correspondiente. No Fumador fumador Restricciones x x + y < 90 y a) Cantidad Piso
d)
a)
26
5.° Año
PROGRAMACIÓN LINEAL II COLEGIOS
y
PUCP Enunciado Un comerciante acude el mercado popular a comprar naranjas con 50 000 Bs. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg y las de tipo B a 80 Bs el kg. Si se sabe que solo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender el kg de naranjas tipo A a 88 Bs y el kg de tipo B a 90 Bs; responde justificando las preguntas.
c)
7. Indica los vértices de la zona factible. a) (0; 700), (625; 0), (10; 500) y (0; 100) b) (700; 0), (0, 625), (0; 0) y (20; 400) c) (0; 0), (700; 0), (625; 0) y (20; 50) d) (100; 0), (0; 700), (0; 625) y (500; 200) e) (0; 0), (700; 0), (0; 625) y (200; 500)
5. Indica el cuadro de restricciones. Tipo B Tipo A Restricciones x
y
x + y ≤ 700
50x
80y
50x+80y≤50 000
Tipo A
Tipo B
Restricciones
x
y
x + y ≤ 700
50x
80y
50x+80y≥50 000
Tipo A
Tipo B
Restricciones
x
y
x + y ≤ 700
50x
80y
50x+80y≥50 000
Tipo A
Tipo B
Restricciones
x
y
x + y ≤ 700
80x
50y
50x+80y≤50 000
Tipo A
Tipo B
Restricciones
Cantidad
x
y
x + y > 700
Ofrecen
80x
50y
50x+80y≤50 000
a) Cantidad Ofrecen
b) Cantidad Ofrecen
c) Cantidad Ofrecen
d) Cantidad Ofrecen
e)
8. ¿Cuántos kg de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener el máximo ingreso? a) 200 del tipo A d) 200 del tipo A 50 del tipo B 500 del tipo B b) 700 del tipo A e) 500 del tipo A 0 del tipo B 100 del tipo B c) 100 del tipo A 20 del tipo B UNMSM Enunciado Una carrocería de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días - operarios; para fabricar la de un auto se precisan 2 días - operarios. En la nave B se invierten 3 días - operarios tanto en carrocería de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días - operarios y a nave B de 270 día - operarios si los beneficios que se obtienen por cada camión son 6t millones de Bs y de 3 millones por cada auto. 9. Indica el cuadro de restricciones: Camión: x Camión: y Restricciones
6. Indica la gráfica de la zona factible. y y a)
x
d)
x
5.° Año
x
e)
a) Nave A
2x
3y
2x + 3y ≤ 270
Nave B
7x
3y
7x + 3y ≤ 300
Camión: x Camión: y Restricciones
y y b)
x
b) Nave A
7x
2y
7x + 2y ≤ 300
Nave B
3x
3y
7x + 2y ≤ 300
Camión: x Camión: y Restricciones x
27
c) Nave A
3x
3y
3x + 3y ≤ 270
Nave B
7x
2y
7x + 2y ≤ 300
ÁLGEBRA
3
PROGRAMACIÓN LINEAL II COLEGIOS
12. Indica el cuadro con restricciones.
Camión: x Camión: y Restricciones d) Nave A Nave B
3x
3y
3x + 3y ≤ 270
2x
7y
2x + 7y ≤ 300
a)
Camión: x Camión: y Restricciones e)
Nave A
3x
7y
7x + 2y ≤ 300
Nave B
3x
2y
7x + 2y ≤ 270 b)
10. Grafica el conjunto de soluciones factibles. y
y a)
x
d)
y b)
x
c)
A2
Restricciones
x
y
x30; y ≥ 0
Oro
x
1,5 y
x + 1;5y ≤ 750
Plata
4x
y
4x + y ≤ 750
A1
A2
Restricciones
x
y
x ≥ 30; y ≥ 0
Oro
x
2y
x + 2y ≤ 750
Plata
x
3y
x + 3y ≤ 750
A1
A2
Restricciones
x
y
x ≥ 30; y ≥ 0
Oro
x
3y
x + 3y ≤ 750
Plata
2x
y
2x + y ≤ 750
A1
A2
Restricciones
x
y
x ≥ 0; y ≥ 0
Oro
3x
y
3x + y ≤ 750
Plata
5x
2y
5x + 2y ≥ 750
A1
A2
Restricciones
x
y
x ≥ 0; y ≥ 0
Oro
x
y
x + y ≤ 750
Plata
2x
y
2x + y ≤ 750
Cantidad
Cantidad
Cantidad
y x e)
d)
x
y e) c)
A1
x
Cantidad
Cantidad
UNI 11. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias? a) 90 autos d) 14 autos 0 camiones 0 camiones b) 76 camiones e) 14 autos 20 autos 76 camiones c) 76 camiones 14 autos
13. Calcula cuántos anillos debe fabricar de cada clase para obtener el máximo beneficio? a) 0 de A1 d) 75 de A1 500 de A2 450 de A2 b) 150 de A1 e) 85 de A1 0 de A2 400 de A2 c) 300 de A1 175 de A2
Enunciado Un joyero fabrica dos tipos de anillos. Los anillos A1 precisan 1 g de oro y 4 g de plata, vendiéndolas a $40 cada uno. Para los anillos tipo A1 emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata y los vende a $50. Si el joyero dispone en su taller de 750 g de cada metal.
Enunciado Disponemos de 210 000 soles para invertir en una bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones, la del tipo A, que rinde el 10% y las del tipo B que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130 000 soles en las del tipo A y como mínimo 60 000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A no sea menor que el doble de la inversión en B.
3
ÁLGEBRA
28
5.° Año
PROGRAMACIÓN LINEAL II COLEGIOS
15. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? a) S/.0 en la del tipo A S/.210 000 en la del tipo B b) S/.13 000 en la del tipo A S/.80 000 en la del tipo B c) S/.130 000 en el tipo A S/.65 000 en el tipo B d) S/.120 000 en el tipo A S/.60 000 en el tipo B e) S/.100 000 en el tipo A S/.110 000 en el tipo B
14. Indica el cuadro de restricciones Restricciones
Tipo A Tipo B a)
Cantidad
x
y
x ≥ 130 000; y ≥ 60 000
x + y ≥ 210 000 x ≥ 2y Tipo A Tipo B
b)
Cantidad
x
y
Restricciones 0≤x≤130 000;60 000≤y
x + y ≥ 210 000 x ≥ 2y Tipo A Tipo B
c)
Cantidad
x
y
Restricciones x≤130 000; y≥0 x+y≤210 000 x≤2y
Tipo A Tipo B d)
Cantidad
x
y
Restricciones x≥130 000; y≤60 000
x + y ≤ 210 000
Claves
x = 2y Tipo A Tipo B e)
Cantidad
x
y
Restricciones x ≥ 30; y ≥ 0 x + y ≥ 130 000 y≤90 000; x≥1000
01.
e
06.
b
11.
c
02.
d
07.
e
12.
a
03.
c
08.
d
13.
d
04.
a
09.
b
14.
c
05.
a
10.
c
15.
b
5.° Año
29
ÁLGEBRA
3
4
COLEGIOS
Matrices I Tarea 4. Dada la matriz x+2y 3x A= 12 2x–6
Integral 1. Construye la matriz: A = (aij)2×3 aij = 2i + j a)
b)
c)
3
4
5
6
–3 4 –3 d) –5 10 6 10
3
4
5
5
6
–3
8 4 e) 6 7 7
–3 4
7
2
10
6
5 8
PUCP
5. Calcula la traza de A, si es una matriz diagonal.
2. Construye la matriz i – j; i < j B = (bij)3×3 / bij = 2i + j; i ≥ j
3 –1 –2 3 –1 –2 a) 5 6 1 d) 5 6 –1 7 10 6 7 8 9 1
3 –1 2 b) 15 7 –2 e) 5 –6 1 7 8 9 7 8 19 c)
2
3
5
6
–1
7
8
9
4
ÁLGEBRA
c) 4 d) 13
y–5 2x+y c) 19 d) 5
e) 12
3m–2 B = p–3 0 a) 11 b) –54
0 0 10–m q+3 0 n+5 c) 6 d) 5
e) 0
7. Sea la matriz
3. Determina el valor de «a + b + c + d» si las siguientes matrices son iguales: –5 –1 a – 3 c – 2d A= b 13 y B = 2b – 1 3c + 2d a) 8 b) 9
x+y x–2
6. Calcula «m + n + p + q», si B es una matriz escalar.
2
1
A= a) 7 b) 16
3
Si a11 = a12 + 5 ∧ a22 = 0 Calcula x + y 17 a) 3 c) 15 e) 2 2 11 b) d) 8 2
e) –12
30
a–2b 3b–a 9
a+3b a+b 12
2a 2a–b 5
B=
Si Traz(B) = 16 ∧ b31 + b21 = b22 + 1 Calcula «ab» a) 10 c) 21 e) 14 b) 7 d) 5
5.° Año
MATRICES I COLEGIOS
8. Si en la matriz 2x–3y 4x A= 2x+12 y+6
1 b) 5 7
Se cumple: a21 = a12 y Traz(A) = 6 Calcula: x + y a) 3 c) 8 e) 19 b) 9 d) 12
12. Sea A una matriz simétrica definida por: x+y x2+z x3 2 y 3y A = –3 –3 y2 5 Determina el valor de xyz. a) 0 c) 2 e) 4 b) 1 d) 3
UNMSM 9. Determina el valor de la Traz(A), si: c–5 b–1 a–3 a+2 b–2 A = 12 c–4 2c–6 –3 Es una matriz triangular inferior. a) 8 c) 1 e) 0 b) –2 d) 2
UNI 13. Si A es una matriz antisimétrica m – 2 3p–7 A = 2p–3 n + 5
10. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 2 6 –1 I. 0 3 7 es una matriz triangular inferior. ( ) 0 0 5 2
0
0
II. 0
2
0 es una matriz identidad.
0
0
2
2
6
7
III. –1 3
IV.
8 la traza de la matriz es 10.
2
4
5
2
3
9
1
7
10
( )
( )
15. De la igualdad de matrices x 6 x2 + 5 xy2 + 2y xy = 2xy + 3
d) FFVF e) VFVV
11. Construye a matriz
5.° Año
e) 12
Calcula x – y. a) –5 b) –3
c) 3 d) –2
–y –y e) 7
Claves
2i + j; i < j A = (aij)3×2 / aij i – j; i = j 3i + 2j; i > j
0 a) 5 7
Calcula el valor de «mnp». a) 10 c) –1 b) –20 d) 9
14. Si B es la matriz opuesta de A y bij son los elementos de Bt. –3 5 –2 A = 2 –6 4 –1 7 8 Calcula el valor de b22 + b32 + b13 a) 11 c) 4 e) 19 b) 1 d) 3
es una matriz de orden 3×2. ( )
a) VVFV b) FFFF c) FFVV
0 4 7 0 d) 7 0 8 11 9
2 4 0 4 7 0 c) 8 4 e) 8 0 8 11 13 11 13
31
01.
b
06.
d
11.
e
02.
d
07.
c
12.
c
03.
c
08.
d
13.
b
04.
e
09.
b
14.
d
05.
b
10.
d
15.
d
ÁLGEBRA
4
5
COLEGIOS
Matrices II Tarea Integral
PUCP
3 2 5 –1 ∧ B = 0 4 2 3 –1 1 4 0 Calcula «A – B» 8 1 2 3 –2 a) 2 7 c) 2 1 e) –2 3 1 5 1 –5
5. Sean las matrices 1 2 5 A = –2 0 1 5 1 0
1. Si A =
–2 b) –2 –5
1 3 d) 1 1 2 1
1 7 1
1 7 1
2. Dada las matrices: A = 3 2 ∧ B = 2 0 0 1 1 1
Calcula «2A + B» 5 2 e) 4 2 a) 4 4 c) 1 3 1 2 1 1 1 1 b) 2 2 d) 1 3 1 3 1 1 2 2 0 Calcula «8A + 5I» a) 4 0 b) 9 0
ÁLGEBRA
C=
Además, x – 3A = 2C + B. Determina la Traz(x) a) 3 c) 23 b) 6 d) 22
4 0 5
;
e) 20
2 1 m2–1 5
yB= x y 15 5
donde A = B, calcula «3A + B» 8 4 e) 8 1 a) 2 1 c) 0 5 6 2 6 2 8 4 6 3 d) b) 60 20 45 15
8. Si A = 1 0 y B = 3 2 2 3 0 1 Calcula «BA» 1 2 e) 3 2 a) 4 2 c) 2 1 0 1 6 7 3 0 b) –2 –2 d) 0 3 2 2
Da como respuesta la suma de sus elementos. a) –4 c) 4 e) 2 b) –2 d) 1
5
5 1 0
0 0 1
7. Si A =
8 c) 4 8 e) 9 1 16 0 21 0 16 8 d) 9 8 21 0 16
4. Calcula la matriz x que resuelve: 1 2 2 3 3 –1 0 0 0 +x= 0 3 1 5 1 1
0 1 1
3 5 1
6. Si: x + y = 1 3 ∧ x – y = 3 –1 2 1 –4 –1 Halla «x» 0 2 e) 5 –1 a) 2 1 c) –1 0 0 –1 2 3 3 –1 b) 1 2 d) 0 –1 2 1
3. Si A =
1 0 1
1 ; B = –3 0
32
5.° Año
MATRICES II COLEGIOS
UNMSM
UNI
9. Si A = 1 3 ∧ B = 0 1 1 –2 2 0
Calcula «BA + AB» 5 1 e) 0 6 a) 5 –5 c) –3 5 4 0 –3 5 3 0 b) 1 1 d) 2 0 –3 5
3 2
3 4
4 27 c) 2 d) 0
e) –1
5 4 1 14. Calcula: 0 –2 –1 3 1 2 a) –21 b) –11
Calcula (A + B)C 0 1 e) 4 2 a) 3 2 c) 3 4 0 3 0 1 1 1 2 5 b) d) 1 1 0 3
c) 11 d) –31
e) 21
–1 3 1 15. Resuelve: x 4 x = 0 –2 1 0 a) 1 b) 3
11. Si A = 1 2 , dado el polinomio 0 0
3
a) –2 b) 1
10. Si A = 4 1 ; B = 1 1 y C = 1 0 2 3 0 1 –2 0
4
13. Calcula:
c) 5 d) 2
e) 4
P(x) = x2 + 1. Calcula P(A) a) 1 0 b) 2 0
2 2 e) 2 2 1 c) 0 0 0 1 0 1 0 1 d) 0 1 0
Claves
x 2 =0 12. Calcula x > 0 en 8 x a) –10 b) 10
5.° Año
c) –4 d) 4
e) –1
33
01.
b
06.
a
11.
e
02.
a
07.
b
12.
d
03.
b
08.
e
13.
b
04.
e
09.
a
14.
a
05.
c
10.
b
15.
d
ÁLGEBRA
5
6
COLEGIOS
Determinantes Tarea k s r 6. Si: l f b = –7, entonces: a c m
Integral 1. Calcula «x» en
x x = 14 –5 x
a) 4 b) –3
c) 5 d) –7
e) 7
2. Calcula el valor de A + B , si: 2 7 0 A = 4 2 B = –5 3 1 3 2 4 14 0 a) 2 c) –2 e) –1 b) 0 d) 1 3. Si: A =
–7 0 9
4 0 0
0 1 0
π
3
–2
;B=
Además, C = AB. Calcula C a) 16 c) 256 b) 32 d) 64
e) –1008 –2 0 0
0 –2 0
8. Si A ⋅ At = 0 0 –2
e) 4
UNMSM
e) 128
1 9. Sea A = –1 1
2 0 3
–3 5 6
Calcula M21 + M32 + M13 a) 20 c) 26 e) 17 b) 14 d) 8
5. Si A es de orden 2, además B = 3A; C = 5A ∧ A = –1 Calcula B + C a) 34 c) 16 e) –16 b) –34 d) –35
ÁLGEBRA
6 4 –1 2
Calcula A, si A > 0 a) –4 c) 5 b) 3 d) 2
PUCP
6
e) –14
7. Si A y B son matrices 3 × 3 y r ≠ 0 un número real, indica la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). UNI 2008-I I. det(AB) = det(A) ⋅ det(B) II. det(A + B) = det(A) + det(B) III. det(rA) = r ⋅ det(A) a) VVV c) FVV e) FFF b) VVF d) VFF
8 –9 0
Calcula det(A) a) 504 c) 1008 b) –504 d) 0
4. Si: A =
0 7 –8
s r k f b l es: c m a a) 7 c) 14 b) –7 d) 0
10. Sea A =
34
1 3 2
4 0 –5
–1 8 6
5.° Año
DETERMINANTES COLEGIOS
Calcula A11 + A22 + A33 a) 24 c) 48 b) 36 d) 12
11. Sea la matriz A =
2 c 1
14. Calcula el determinante de: 0 7 5 0 7 0 0 5 A= 0 2 3 0 2 0 0 3
e) 40 1 5 1
b 3 a
a) 49 b) 64
cuya traza es 9 y el producto es –5. Además A = 19. a b Calcula: c 3 a) –3 b) 6 12. Si
c) 5 d) –4
c) 81 d) 100
e) 121
15. Calcula el determinante de: 1 1 1 b A= a c 2 2 a b c2
e) 7
a) (a – b)(c – a) d) (a + b)(b + c)(a + c) b) (b – a)(c – a)(c – b) e) ab – bc – ac c) abc
a b = 2. Calcula el valor de: c d
1 d 2+a b +2 1 b 2+c d a) –2 b) –1
c) 0 d) 1
e) 2
UNI 2000-I
UNI
Claves
13. Calcula el determinante de: 3 2 1 3 A= 4 0 7 9 15 a) 10 b) 20
5.° Año
c) 30 d) 40
e) 50
35
01.
d
06.
b
11.
e
02.
a
07.
d
12.
e
03.
d
08.
e
13.
c
04.
d
09.
c
14.
e
05.
b
10.
b
15.
b
ÁLGEBRA
6
7
COLEGIOS
Matriz inversa Tarea Integral
PUCP
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) A = 5 15 es no singular ( ) 1 3 ( ) b) B = 2 4 es singular 5 12 4 1 2 ( ) c) C = 0 2 –1 es no invertible 0 0 5 a) FFF c) VFV e) VVV b) FFV d) VVF 2. Si A =
5. Si A =
x–3 x – 6 x+6 x
3. Calcula el conjunto de valores que puede tomar «x», si la matriz x–4 x–2 es invertible A= x x+4 a) 8 b) –8
c) f e) R – {–8} d) R – {8}
ÁLGEBRA
b)
–1/6 –1/3 0 1
c)
1/6 1/3 1 0
4 2 –2 0
Calcula A–1 ⋅ B–1 3/8 1/8 a) –5/5 –3/8 b)
3/28 –1/28 –5/28 3/28
c)
3/8 –1/8 –5/8 3/8
d)
0 –1/3 –1/6 0
e)
0 –1 –1/6 1/3
B = 1 –1 3 1 d)
–5/28 5/28
e)
8/3 5/8
–1/28 –3/28 –1/8 8/3
7. Calcula la matriz adjunta de: 4 3 A= 5 2
4. Calcula la matriz inversa de: 3 4 A= –1 2 1 –2 –4 1 3 –4 d) a) 10 1 3 10 1 –2 1 2 –4 1 –3 –1 e) b) 10 1 3 2 4 –2 1 2 –4 c) 2 1 3
7
Calcula B–1 ⋅ A–1 0 –1 a) 1/6 –1/3
6. Si: A =
es una matriz singular. Calcula «x» a) 12 d) 15 b) 24 e) 36 c) 20
4 2 –1 0 ∧B= 1 0 1 3
36
a)
2 –5
3 4
b)
2 –3
–5 2 –3 e) 4 –5 4
c)
4 –5
–3 2
4 –3 d) 2 5
5.° Año
MATRIZ INVERSA COLEGIOS
1 –1 1 1
8. Si A =
B=
1 2 3 4
UNI 13. Calcula la matriz inversa de: 1 1 1 A= 1 2 3 1 3 4
además Ax = B Calcula la traza de la matriz «x» a) 1 c) 6 e) –6 b) 5 d) –5
UNMSM
1 a) 1 1
1 1 a b 9. Sean las matrices A = ;B= tales 1 4 c d 1 0 que: AB = ; entonces, calcula el valor de 0 1 «a + b + c + d» a) 1 c) –3 e) –1 b) 0 d) 3
1 6 (utiliza el método de 14. Calcula la inversa de 1 5 Gauss - Jordan) 5/17 –10/27 –7/5 7/6 a) d) –6/17 1/17 7/2 –7
a 0 , donde a ≠ 0, b ∈ R. Entonb a ces los valores de x1; x2; x3; x4 tales que:
12. Si A =
x1 x2 1 0 = x3 x4 0 1
son (en ese orden): 1 1 1 a) ; – 2 ; 0 ; a a a 1 b 1 b) ; 2 ; 0 ; a a a 1 b 1 c) – ; 2 ; 0 ; – a a a
1 b 1 ;0,– 2 ; a a a 1 b 1 e) ; 0 ; 2 ; a a a
1 2 3 1
5 15/2 –5 b) 15/2 7 c) 15/2
5.° Año
–7 –11 –7 11 –5 11
5/7 2/7
c)
–5/7 2/7
6/7 1/7
e)
5/17 –2/17
–6/17 1/17
6/7 –1/7
Claves
Resuelve: xA + B = C a)
b)
1 4 k 15. Considera la matriz A = 1 k 4 1 k k Determina el conjunto de valores de «k» para que A sea invertible. UNI 2011-II a) k ∈ R – {0} d) k = –4 b) k ∈ R e) k = 0 c) k ∈ R – {4}
d)
2 4 2 3 ;B= ;C= 1 3 –1 4
3 6 2
1/2 1 1/3 c) 1 –3 2 –1 2 –1
11. Sea la matriz
1 1 –1 1 1 –3 2 2 d) –1 2 –1 1
1 3 2
–1 –1 1 1 2 b) –1 –3 –2 e) –4 5 1 –2 1 1 –1
2 4 3 5 5 6 ;B= yC= 10. Si A = –1 3 1 –1 1 3 además; Ax + B = C Calcula la Traz(x) a) –1 c) 11/10 e) 3/2 b) 2/3 d) –11/10
a 0 b a
(utiliza el método de Gauss - Jordan)
7 15/2 5 e) 15/2 d)
5 11 7 11
37
01.
a
06.
c
11.
d
02.
a
07.
e
12.
a
03.
d
08.
b
13.
d
04.
e
09.
a
14.
c
05.
a
10.
e
15.
c
ÁLGEBRA
7