ÁLGEBRA DE VECTORES VECTORES EN EL PLANO.................... ....................... ...................... ....................... .. .... ......... ..... 2
Operaciones con vectores........................................................................................................................ vectores........................................................................................................................
4
VECTORES EN EL ESPACIO..................... ....................... ...................... .... .... ......... ..... ..... ......... ......... ..... .. 9
Distancia entre dos puntos............. ........................... ............................ ............................ ............................. ............................. .......................... .................. ............ ............ .......... .... 9 Vectores en el espacio ............... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ..................... ............ ........... ........... ..... 10 Propiedades Propiedad es algebrai algebraicas cas del producto escalar.............. ............................. ............................. ............................ ............................ .................... ............ .......... .... 11 Ángulo entre dos vectores ............. ........................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ....................... ............... .......... .... 11 Dirección de un vector en el espacio.............. ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ .................. 12 Proyecciónn de un vector............. Proyecció ........................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. ........................... ................. .......... ..... 13 Producto escalar triple........................................................................................................................... triple........................................................................................................................... 21
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
1
VECTORES EN EL PLANO
Un vector es como una flecha, y tiene una dirección y una longitud. Utilizamos vectores cuando queremos representar cantidades como una velocidad o una fuerza, que poseen tanto dirección (hacia donde van o empujan) como una magnitud o tamaño, que corresponden a su longitud.
ejemplos de vectores
Cada vector tiene un punto de inicio y uno final . En el plano, P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) respectivamente. Podemos considerar al vector de desplazamiento como el segmento de recta dirigido desde P 1 a P2 ó P1 P 2 La longitud del vector (magnitud o norma) la podemos calcular usando la fórmula de la distancia entre dos puntos pun tos en el plano x-y. Se denota por P1 P 2 P1 P 2
d ( P1 , P2 )
( x2 x1 )
2
( y2
y1 )
2
P 2(x2,y2)
|y2-y1|
P1(x1,y1) |x2-x1| 1 1
Un vector como un segmento de recta dirigido
La dirección del vector es el ángulo que forma con respecto a la horizontal. En el plano x-y, tomando como referencia el semieje x positivo y midiendo el ángulo en sentido antihorario ( al reves del sentido de las manecillas del reloj), lo calculamos mediante la identidad trigonométrica
2
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
tan
cat. opuesto opuesto cat. adyacente
y2 y1 x2 x1
y2 y1 x2 x1
1 entonces tan
P2(x2,y2)
|y2-y1|
P1(x1,y1) |x2-x1| 1 1
es el ángulo de dirección del vector
Dos vectores son equivalentes si ambos tienen la misma longitud o magnitud y la misma dirección. Esto es, no importa su posición en el plano. v
u
1
w 1
los vectores u, v y w son equivalentes
Al vector cuyo punto de inicio es el origen del sistema coordenado se dice que está en posición canónica. Usualmente se denota un vector por una letra en negritas (bold): u, v, w ó r r r mediante una flecha encima del nombre del vector. u , v , w , A B, P1P2 . Un vector en el plano tiene dos componentes, una horizontal (en la misma dirección que el semieje positivo x) y la otra vertical ( en dirección al semieje positivo y). Para el vector u que va del punto P1 ( x1 , y1 ) al punto P2 ( x2 , y2 ) las componentes son los números u1 y u2. u u1 , u2 x2 x1 , y2 y1 .
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3
y P 2(x2,y2) u2= y2-y1
u
P 1(x1,y1)
u1=x2-x1 P(u ,u ) 1 2
u
x
componentes del vector u
Si el vector está en la posición canónica entonces las componentes coinciden con las coordenadas del punto final del vector. Dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes son iguales. Si u u1 , u2 y v v1 , v2 entonces u v solo si u1 v1 y u2 v2 Ejemplo: Hallar las componentes y calcular la longitud del vector con punto inicial P(-2, 1) y punto final Q(1, 5). Dibujar el vector en posición canónica. Solución: las componentes de u son u1 x2 x1 1 (2) 1 2 3 y u2 x2 x1 5 1 4 ó u u1 , u2 3, 4 , la magnitud o longitud del vector u es r
u
x2 x1 2 y2 y1 2
u12 u2 2
32 42 5 y Q
5
en posición canónica
u u
P
-2
1
3
x
Operaciones con vectores. Aún y cuando los vectores no son números sus componentes si lo son, entonces podemos realizar algunas operaciones como sumar, restar o multiplicar vectores. Sean u u1 , u2 y v v1 , v2 vectores en el plano y c un escalar. 4
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
Suma: u v es el vector cuyas componentes son u1 v1 , u2 v2 y
u+v
y
v u
v
v
u
u
x
x
x
en posición canónica
Método del paralelogramo
Multiplicación de vector por escalar: cu es el vector con componentes cu1 , cu2 , el vector cu se denomina múltiplo escalar de u 2u
u
-0.25u -u
0.5u -1.5u
Múltiplos escalares de u
Cuando multiplicamos un vector u por un escalar c el resultado es un vector paralelo a u pero |c| veces la longitud de u . Si c es negativo entonces cu tiene dirección opuesta al vector u . Si c = 0, entonces cu es un vector con magnitud r
r
igual a cero, o vector cero: cu 0u
0, 0
0
Sea v el múltiplo escalar de u tal que v magnitud del vector v es r
v
r
cu
cu1
2
cu2
2
c 2 u12 u 2 2
. cu
c u12 u2 2
cu1 , cu 2 entonces la r
c u
(c veces la magnitud de u )
Si multiplicamos un vector por el escalar -1, entonces obtenemos el negativo del vector ( un vector paralelo del mismo tamaño, pero en dirección opuesta ) 1u u u1 , u2 . Diferencia. u v es el vector cuyas componentes son u1 v1 , u2 v2 , restar el vector v de u es equivalentye a sumar al vector u el negativo de v . u v u v u1 v1 , u2 v2
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5
y y
u-v v v u
v
u u
x x
x
Como diagonal del paralelogramo
en posición canónica
y
Trasladamos Trasladamos -v al punto final de u v
Como resultante de la suma de u y -v
u
u
-v
u
-v
u-v x
x x
Propiedades de las operaciones con vectores : Sean u , v , w vectores en el plano y c y d escalares. Propiedad conmutativa: u v v u Propiedad asociativa: u v w u v w Propiedad distributiva:
c u v
Identidad:
u 0 0 u
Inverso aditivo:
u u
r
r
c d u cu du
r
1u
u
r
vector cero: 0u
0
uc
cd u c du
cu cv
r r
cu
vector or de magn magnititud ud igua iguall a uno. uno. Vector unitario. Es un vect
u
u
0
1
Para encontrar un vector unitario u en la misma dirección a un vector dado v buscamos un múltiplo escalar de v que tenga magnitud 1. Esto es u cv 1 1 r r donde u cv c v 1 o sea que c r , por lo tanto u r v . v v Cuando multiplicamos un vector por el recíproco de su norma o magnitud decimos que normalizamos el vector. Si con conoc ocem emos os el el ángu ángulo lo de de direc direcci ción ón dirección de u es uˆ
6
1 r r u u
del del vect vector or u , el vector unitario en
u1 2 1
u
u2
2
,
u2 2 1
u
u2
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2
cos , sen
||u|| u2 u1
Vectores unitarios canónicos . En el plano existen dos vectores unitarios en dirección de las ejes coordenados y son iˆ 1, 0 y jˆ 0,1 . Cualquier vector en el plano se puede representar como una combinación lineal de los vectores i y j. r Por ejemplo el vector v v1 , v2 v1 , 0 0, v2 v1 1, 0 v2 0,1 v1iˆ v2 ˆj , v 1 y v 2 son las componentes horizontal y vertical respectivamente del vector v y
v2 j v= j i
v1i
x
r Ejemplo: El vector v 2, 4 2, 0 0, 4 2 1, 0 4 0,1 2iˆ 4 ˆj
y v= - 2i+4j
4j
j
x
-2i
i
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7
Si conocemos la longitud y dirección de un vector sus componentes son: r r r r r v v cos , v sen v cos iˆ v sen ˆj Ejemplo: Las componentes del vector v de longitud 5 y con dirección 1 v1 v cos 5 cos1 2.7; v2 v sen 5 sen 1 4.2 (ángulo en radián)
8
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VECTORES EN EL ESPACIO
Si al plano xy le trazamos por el origen un eje perpendicular z tendremos un sistema de coordenadas tridimensional. Cada dos ejes forman un plano coordenado que divide al espacio en ocho regiones u octantes. z Plano yz Plano xz
z
Plano yz
Plano xz
Plano xy y
x
Plano xy
x
Sistema de coordenadas tridimensionales
Primer octante
Un punto P en el espacio ¡ 3 está determinado por un trío o terna ordenada de números reales (x,y,z) donde x,y, z representan las distancias dirigidas de los planos yz , xz , xy al punto P respectivamente. z z Plano yz
Plano yz P(1,2,3)
x
y P
Plano xz 3
z
2 Plano xz
1
Plano xy
Plano xy x
x
Coo Coordenadas x,y,z como dist istancias ias diri irigidas z
Posici ición del punto P(1,2,3)
Distancia entre dos puntos
P(x1,y 1,z 1)
La distancia entre los puntos P( x1 , y1 , z1 ) y Q( x2 , y2 , z2 ) la calculamos mediante la fórmula:
Q(x2,y 2,z 2) z -z 2 1 y
P'
d
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
x -x 2 1 Q´
1
Ejemplo: Calcule la distancia entre los puntos P(1,2,3) y Q(3,1,5). Solución: 2 2 2 2 d 3 1 1 2 5 3 22 1 22 4 4 1 9 3 y -y 2 1
x
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Vectores en el espacio Un vector en el espacio se denota por medio de un trío ordenado: u u1 , u2 , u3 Vector de desplazamiento de P( x1 , y1 , z1 ) a Q( x2 , y2 , z2 ) : u PQ PQ x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 Vector cero: 0 0, 0, 0 Vectores unitarios canónicos: iˆ 1, 0, 0 , ˆj 0,1, 0 , k ˆ 0, 0,1 Vector como combinación lineal de vectores unitarios canónicos: u u1 , u2 , u3 u1iˆ u2 ˆj u3 kˆ
Operaciones con vectores en el espacio . Sean u u1 , u2 , u3 y v v1 , v2 , v3 vectores en el espacio y c un escalar. Suma: u v u1 v1 , u2 v2 , u3 v3 u1 v1 iˆ u2 v2 ˆj u3 v3 kˆ Resta: u v u1 v1 , u2 v2 , u3 v3 u1 v1 iˆ u2 v2 ˆj u3 v3 kˆ cu cu1 , cu cu2 , cu3 cu1iˆ cu2 ˆj cu3 kˆ Múltiplo escalar: Las propiedades de la suma y multiplicacion de vector por escalar para vectores en el plano se aplican de la misma forma para vectores en el espacio .
Producto de dos vectores Ya vimo vimoss como como mult multip iplilicar car un vect vector or por por un esca escala larr. Tambi ambien en podem podemos os multiplicar dos vectores y existen dos formas distintas de hacerlo El producto escalar ( o producto interno ó producto punto) nos dá como resultado un escalar. El producto vectorial ( ó producto cruz ) cuyo resultado es un vector. y v v1 , v2 product producto o escalar escalar de u y v , denotado por u v productos de las componentes correspondientes.
Producto escalar . Sean
u u1 , u2
vectores en el plano, el se obtien obtiene e sumand sumando o los
u v u1v1 u2 v2
Para los vectores en el espacio u u1 , u2 , u3 y v v1 , v2 , v3 : u v u1v1 u2 v2
u3 v3
Ejemplos: para u 1,2,3 , v 4, 2,1 , w 3, 3, 3 , iˆ 1, 0, 0 , ˆj 0,1, 0 , k ˆ 0, 0,1 u v 1 4
u w 1 3
10
4 4 3 3
iˆ v 1 4
2 3 3 3 3 6 9 0
u ˆj 1 0
2 2 3 1
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0 2 0 1 4 2 1 3 0
2
v u 4 1
2
2 1 3
iˆ k ˆ 1 0
4 4 3 3
0 0 0 1 0
Propiedades algebraicas del producto escalar Sean u , v , w vectores en el plano o en el espacio y c un escalar. 1. Propiedad Propie dad conmutativa conmut ativa : u v v u
2. Propiedad Propie dad distributiva distrib utiva :
uv w
u v u w
3.
c u v
cu v u cv
4.
u 0 0
r
r r
5.
r
2
u u u podemos ver que no está en la lista la propiedad asociativa que nos diría que u v w u v w u v w , pero esto no es posible. ¿Por qué? El producto escalar solo puede efectuarse entre vectores, cuando multiplicamos u v obtenemos como resultado un escalar por lo tanto u v w no se puede realizar.
Ángulo entre dos vectores Sean u y v vectores vectores no nulos nulos y el ángulo ángulo entre ellos, los vectores u , v y v u forman un triángulo ¨con lados de longitud u , v y v u repectivamente.
u v-u
Por la ley de los cosenos tenemos que: r
r 2
v u
v
r 2
u
r 2
v
r
r
-2 u v cos
Por las propiedades del producto escalar: r
r 2
v u
r
r
r
r
v u v u
r
r
r
r
r
r
r
r
v v u v v u u u
r 2
v
r
r
2u v
r 2
u
sustituyendo en la ley de los cosenos y simplificando: r 2
u
r 2
v
r
r
-2 u v
r 2
u
r 2
v
r
r
-2 u v cos
despejamos cos : cos
u v r
r
u v
cuando conocemos la magnitud de los vectores y el ángulo entre ellos, una forma de calcular el producto escalar es
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u v
u v cos
definición geométrica del producto escalar
dado que u y v ambos son positivos para vectores no nulos entonces el cos determina el signo del resultado del producto punto. u
u
u
u v
u
90 r
r
v
v
v
v
u v
0 90 r
r
u v
0
90 r
r
u v
0
90 180 r
r
u v
0
180 r
r
u v
0
0
Cuando Cuando dos vectore vectoress forman forman un ángu ángulo lo de de 90 ( /2 rad) rad) se se dice dice que que son son ortogonales. 90 0 Si dos vectores u y v son ortogonales entonces u v u v cos 90 ó tambien si u v
0 entonces u y v son ortogonales.
Dirección de un vector en el espacio Un vector v en el espacio cuando está en su posición canónica forma ángulos con los ejes ejes coorden coordenados ados.. Consid Consideran erando do a , y como como los ángulos ángulos que r forma el vector v con los vectores unitarios canónicos iˆ, ˆj , k ˆ respectivamente, denominados ángulos de dirección o ángulos directores del vector.
cosenos directores de v
z
v
k j
cos
iˆ v r iˆ v
cos
r jˆ v r iˆ v
cos
r kˆ v r iˆ v
y
i
x
1, 0, 0
v1 , v2 , v3
r
1v 0,1, 0
v1 , v2 , v3
r
1v
0, 0,1
v1 , v2 , v3
r
1v
v1
r
v
v2
r
v
v3
r
v
Si normalizamos el vector v obtenemos v vˆ r v
v1
v v iˆ r2 ˆj r3 kˆ cos iˆ cos ˆj cos kˆ c os , cos , cos v v v r
Y, puesto que la longitud de un vector v ector normalizado es 1, entonces vˆ 1 ó 12
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cos
2
cos
2
cos
2
1
r Ejemplo: Calcular los ángulos directores del vector u 3iˆ 4 ˆj 5kˆ r
Solución: u cos r1 u
u
3 5 2
32 4 2 52 50 5 2
3 2 10
u cos r2 u
, z
4
5 2
2 2 5
,
u cos r3 u
5 5 2
2 2
3 2 1.13rad 64.9 10
cos1 v
5
2 2 2.17rad 124.45 5
cos1
k
-4
i
2 rad 45 2 4
3
cos1
x
Proyección de un vector En ocaciones es util descomponer un vector en la suma de dos vectores orto ortogo gona nale less cuan cuando do quer querem emos os ver ver el efec efecto to del del vect vector or en una una dire direcc cció ión n determinada. Por ejemplo, un cuerpo apoyado sobre un plano inclinado.
w1
w2
P
Debido a la acción de la gravedad sobre la masa masa del del obje objeto to,, el peso peso P empu empuja ja el cuerpo contra el plano inclinado mientras que, al mismo tiempo, hace que tienda a desp despla laza zars rse e haci hacia a abaj abajo o de la ramp rampa, a, formando los 2 vectores ortogonales w1 y w2 .
P w1 w2
El vector w1 es la proyección del vector P en la dirección del plano. Si tenemos un vector Q el cual que nos indica la direccion de la rampa, entonces w1 es la proyección proyección del vector P sobre Q , y se le conoce como el vector componente de P en dirección de Q mientras que w1 es el vector componente de P ortogonal a Q .
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Sean dos vectores no nulos u y v . Donde u w1 w2 r
w1 Proy vr u
r
cv ,
es un múltiplo
w1
r
escalar de v de tamaño w1 u cos
u
w2
u v
w1
de donde cos ur vr entonces r w1 r u cos r u ur vr uu r
v
w1
v
r
v
r
v
v
r
v
r
r r v u v
ur vr r tenemos que w1 Proyv u= r 2 v (vector componente de u en dirección de v .) v y w2 u w1 ( vector componente de u ortogonal a v .) uu r
r
r
2, 3 Ejem Ejempl plo: o: Encue Encuent ntre re los los vect vectore oress comp compone onent ntes es del del vect vector or u 2,3 r dirección de y ortogonal a v 5,1 .
en la
ur vr r w1 Proy v u= r 2 v v r 2 u v 2 5 3 1 13 , v 52 12 26 uu r 13 r 1 5 1 w1 v 5,1 , 2 6 2 2 2 uu r
y
r
r
w2
u w1
v x
r
w2
r
r
5 2
u w1 2 , 3
1 1 5 , 2 2 2
Trabajo. Cuando una fuerza F de magnitud f= F actúa sobre un objeto a traves de una distancia d= d , el trabajo realizado por la fuerza para desplazar el objeto es W=fd Siempre y cuando la fuerza F y el desplazamiento d estén en la misma dirección F
14
d
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¿Qué pasa si la fuerza F y el despla desplazam zamien iento to d no están en la misma dirección? dirección? Esto quiere quiere decir que entre los dos vectores vectores existe un ángulo ángulo 0 tal que F d
ProydF
W
Proyd F r
d
donde podemos ver en la figura que Proyd F F cos , por lo r
tanto W
F d
cos F d ;
el trabajo W es igual al producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento d .
Ejemplo: un niño tira de un carrito con una fuerza de 20 libras en un ángulo de 30 con con resp respec ecto to al suelo suelo.. ¿Cuá ¿Cuáll es el trabaj trabajo o realiz realizado ado para despla desplazarl zarlo o 50 pies?
F=20 lb
50 pies
Solución: la proyección de la fuerza en dirección del desplazamiento tiene una
magnitud de W
F d
coFs (20 ) clobs 30 17.32
lb manera que el trabajo es igual a de
cos 20lb 50 pies cos 30 866 libras pies .
Producto vectorial . Sean
r
u
u1iˆ u2 ˆj u3kˆ y
r
v
v1iˆ v2 ˆj v3 kˆ vectores en el
espacio. espacio. El producto vectorial ( o producto cruz) de los vectores u y v es el vector r r u v u2 v3 u3 v2 iˆ u1v3 u3 v1 ˆj u1 v2 u2 v1 kˆ Esta expresión es más fácil de recordar si la escribimos como un determinante de 3x3 con los vectores unitarios canónicos iˆ, ˆj, k ˆ en el primer renglón y los componentes de u y v en los renglones 2 y 3 respectivamente. r
r
u v
iˆ
ˆj
k ˆ
u1
u2
u3
v1
v2
v3
y lo resolvemos por expansión de cofactores
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15
r
r
u v
iˆ
ˆj
k ˆ
u1
u2
u3
v1
v2
v3
u2
u3
v2
v3
iˆ
u1
u3
v1
v3
ˆj u1 u2 kˆ v1
v2
u2 v3 u3v2 iˆ u1v3 u3v1 ˆj u1v2 u2 v1 kˆ r Ejemplo: Sean u 2iˆ ˆj y v iˆ 2 ˆj 3kˆ , calule a. u v b. v u
z
Solución: r
a.
r
u v
iˆ
ˆj
k ˆ
v
2 1 0 3 0 iˆ 6 0 ˆj 4 1 kˆ 1 2 3
vxu
u
3iˆ 6 ˆj 3k ˆ r
b.
r
v u
iˆ
ˆj
uxv
y
k ˆ
x
1 2 3 0 3 iˆ 0 6 ˆj 1 4 kˆ 2 1 0
3iˆ 6 ˆj 3k ˆ
Propiedades del producto vectorial. r r Sean u u1iˆ u2 ˆj u3kˆ , v v1iˆ v2 ˆj v3 kˆ y espacio,
r
w w1iˆ w2 ˆj w3kˆ vectores en el
el ángulo entre u y v y sea c un escalar.
Algebraicas 1. u v v u 2. u v w u v u w 3. c u v cu v u cv 4. ur 0 0 ur 0 5. ur ur 0 6. u v w u v w Geométricas 1. el vector u v es ortogonal tanto a u como a v . r r r r 2. u v u v sen 3. si u es un múltiplo escalar de v , entonces ur vr 0 4. u v es igual al área del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a u y v . 16
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
Demostración:
La propiedad algebraica 1: iˆ
ˆj
ˆ k
u v u1
u2
u3
v1
v2
v3
iˆ
ˆj
k ˆ
v1
v2
v3
u1
u2
u3
r
r
r
r
v u
v u .
u2v3 u3v2 iˆ u1v3 u3v1 ˆj u1v2 u2 v1 kˆ
r
uv
u 3v 2 u 2v 3 iˆ u 3v1 u 1v 3 jˆ u 2v 1 u 1v 2 kˆ
r
v u
u3v2 u2 v3 iˆ u3 v1 u1 v3 ˆj u2 v1 u1 v2 kˆ
r r u2 v3 u3v2 iˆ u1v3 u3 v1 ˆj u1 v2 u2 v1 kˆ u v
Las propiedades algebraicas 4 y 5:
r
iˆ
r
r
r
ˆ k
ˆj
r
r
u 0 0 u 0 , u u
0 r
u 0 u1
u2
u3 u 2 0 u3 0 iˆ u1 0 u3 0 ˆj u1 0 u 2 0 kˆ 0iˆ 0 ˆj 0kˆ 0
0
0
0
iˆ
ˆj
ˆ k
0
0
0
u1
u2
u3
iˆ
ˆj
ˆ k
u1
u2
u3
u1
u2
u3
r
r
0u
r
r
u u
r
kˆ 0iˆ 0 ˆj 0kˆ 0
0u3 0u2 iˆ 0u3 0u1 ˆj 0u2
u2u3 u3u2 iˆ u1u3 u3u1 jˆ u1u2 u 2u1 kˆ 0iˆ 0 ˆj 0kˆ 0
0u1
r
La propiedad geométrica 3: Si u es un múltiplo escalar de v ( r r u =cv ), entonces u v 0 r r r r r r u v (cv ) v c v v c 0 0 ( usando las propiedades algebraicas 3 y 5) La propiedad aritmética 6: u v w u v w r
r
v w v3 w2 r
r
u v w
u1 v3w2
v2 w3
iˆ v3 w1 v1 w3 ˆj v2 w1 v1 w2 kˆ
v2 w3 u2 v3 w1 v1 w3 u3 v2 w1 v1 w2
u1v3 w2 u1v2 w3 u2 v3 w1 u2 v1 w3 u3 v2 w1 u3 v1 w2
u3 v2 w1 u2 v3 w1 u3 v1 w2 u1 v3 w2 u2 v1 w3 u1 v2 w3
u3v2 u 2 v3 w1 u3v1 u1v3 w2 u2 v1 u1 v2 w3 r r r u v w
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17
La propiedad geométrica 1: el vector u v es ortogonal tanto a u como a v . Dos vectores no nulos u y w son ortogonales si u w 0 , entonces r r r r r r r u u v u u v 0 v 0 , el vector u v es ortogonal a u r
r
r
r
r
r
r
u v v u v v u 0 0 , el vector u v es ortogonal a v . u v u v sen y Las propiedades geométricas 2 y 3: u v es igual al área del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a u y v . C
B v
Area=(base)(altura) altura
El área del paralelogramo ABCD es igual al producto de su base u por la altura h. A u h , donde la altura h es el lado opuesto al ángulo en el triángulo triángulo rectángulo ABE ABE de hipotenusa hipotenusa igual a v .
h
r
D
base u
h
De la razón trigonométrica trigonométrica sen vr despejamos h y la sustituimos en la fórmula del área: E
A
A u
v sen
es el ángulo que forman los vectores
.
u v
y v , por lo tanto cos r r , u v
u
sabemos tambien que sen 1 cos 1 2
r 2 r 2
sen
u
v
r
r r
u v r
r
u v
2
r 2 r 2
u
v
r r 2
u v
r 2 r 2
u
v
,
r r
u v 2 r
u v
, si lo sustituimos en la fórmula del área del
paralelogramo tenemos que r
r
r
r
A u v sen u v
r 2 r 2
u
v
r
u
r r
u v 2 r
v
r 2 r 2
u
v
r r u v 2 .
Desarrollando los términos de la raiz: r 2 r 2
u
v
u12 u22 u32 v12 v22 v32
u12 v12 u12v22 u12 v32 u22 v12 u2 2 v22 u22 v32 u32 v12 u32 v2 2 u32 v32 r r 2 2 u v u1v1 u2 v2 u3 v3 u12 v12 u2 2 v2 2 u32 v32 2 u1 v1 u2 v2 2 u1 v1 u3 v3 2 u2 v2 u3 v2 .
18
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
r 2 r 2
u
v
r r
u v 2
u12 v12
u12 v2 2 u12 v32 u22 v12
u2 2 v2 2
u22 v32 u32 v12 u32 v22
u32 v32
u12 v12 u22 v2 2 u32 v32 2u1v1u2v2 2u1v1u3 v3 2u2 v2 u3 v2 reacomodando términos y reordenando factores tenemos que r 2 r 2 r r 2 u v u v u2 2v32 2u2 v3u3v2 u32 v2 2 u32 v12 2u3 v1u1v3 u12 v3 2 u12 v2 2 2u1v2 u2 v1 u2 2 v12 r
r
2
2
r r
2
2
2
u v u2 v3 u3v2 u3v1 u1v3 u1v2 u2 v1 por lo tanto el área del paralelogramo es igual a u
v
r
r
r 2 r 2
A u v
r r 2
2
2
2
2
sen u v u v u2 v3 u3 v2 u3 v1 u1 v3 u1 v2 u2 v1 de la definición de producto vectorial: r r u v u2 v3 u3 v2 iˆ u1v3 u3 v1 ˆj u1 v2 u2 v1 kˆ , la norma del vector u v es r
r
u v
u2 v3
u3v 2
2
u1v3 u 3v1
2
u1v 2 u 2v1
2
r
u
r
v sen
A
.
Ejem Ejempl plo: o: Encue Encuent ntre re un vect vector or w de magn magnititud ud 3 orto ortogo gonal nal a los los vecto vectore ress r r u iˆ 2 ˆj 3kˆ y v 3iˆ ˆj 4kˆ . Solución:
el vector u v es ortogonal tanto a u como a v , r
r
u v
iˆ
ˆj
ˆ k
1
2
3
3 1
4
8 3 iˆ 4 9 ˆj 1 6 kˆ 5iˆ 5 ˆj 5kˆ
el vector w es paralelo a u v . w r r 3 3 r w r r uv 5iˆ 5 ˆj 5kˆ 5iˆ 5 ˆj 5kˆ 3 iˆ ˆj kˆ uv 5 75 r Ejemplo: Calcular el área del paralelogramo con lados lados adyacentes u 2iˆ 3 ˆj kˆ r y v 5iˆ ˆj 2kˆ Solución :
El área del paralelogramo: A u v iˆ r
r
u v
21 5
A
r
r
ˆj
ˆ k
3
1
1
2
6 1 iˆ 2 5 ˆj 1 15 kˆ 5iˆ 7 ˆj 16kˆ
u v 52 7 2 162 330 18.16
2
u
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
19
Ejemplo: Calcular el área del triángulo con vértices en los puntos A(0,0,0), B(1,4,3) y C(4,-2,5) Solución:
r
toma tomamo moss los los vect vectore oress u AB 1,4,3 y r v AC 4, 2, 5 como los lados adyacentes
z
del triángulo ABC. Calculamos el área del triángulo como:
C B v
u
A
x
r
área
r
u v
2
26iˆ 7 ˆj 18k ˆ 2
1049 16.19 u 2 2
Momento de una fuerza Cuando aplicamos una fuerza F sobre un punto Q de una palanca que contiene al punto P. Ésta fuerza genera un momento de fuerza M que es normal al plano que forma la palanca con la fuerza F , y cuya magnitud M mide la tendencia de la palanca en girar en torno a un eje dirigido al vector M en el punto P. El momento de fuerza está dado por M
M
PQ
F
Q
con
Q
F
PQxF PQ
PQ F
PQ
F sen
como el ángulo entre los vectores F y PQ .
Ejemplo: Se emplea una fuerza de 30 lb sobr sobre e la llav llave e para para aflo afloja jarr una una tuer tuerca ca como se muestra en la figura. Calcular la magnitud del momento respecto al punto P al tiempo de que el ángulo entre los vectores F y es PQ de 60 60 . La lon longi gittud de la llave es de 10 pulg. (1 pie = 12 pulg) Solución:
P
20
PQ F
con magnitud
M
P
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r
M
uuu r
ur
PQ F
uuu r ur
5 pie 30lb sen 60 6
PQ F sen
Producto escalar triple. r r Dados u u1iˆ u2 ˆj u3kˆ , v v1iˆ v2 ˆj v3 kˆ y
M
21.65 lb pie
r
w w1iˆ w2 ˆj w3kˆ tres
vectores en el espacio, cuando combinamos el producto vectorial y el producto escalar u v w ó u v w tenemos lo que se denomina producto escalar triple o producto mixto. Podemos calcular el producto escalar triple mediante una determinante r
r
r
u v w
r
r
r
u v w
u1
u2
u3
v1
v2
v3
w1
w2
w3
Ejemplo: r Calcular el producto mixto de los vectores u 2iˆ ˆj 3kˆ , v 5iˆ 2 ˆj 4kˆ y r w 3iˆ k ˆ u1 u2 u3 2 1 3 r r r r r r u v w u v w v1 v2 v3 5 2 4 Solución: w1 w 2 w3 3 0 1 1 2 3 0 6 4 7 1 8 29 2 2 0 1 5 12 Si los vectores u , v y w no son coplanares, cuando comparten el mismo punto de inicio forman entonces los lados adyacentes de un paralelepípedo cuyo volumen está dado por Volu Volume men n Area Area de la base base altu altura ra donde la base es el paralelogramo formado con con los los vect vector ores es u y v tal tal que que Area de la base u v
Volumen = ||uxv|| ||w|| cos
y la altura es igual a la longitud de la proyección del vector w sobre el vector u v , tal como se muestra en el dibujo.
uxv
h
w
v
area de la base: ||uxv|| h=||w||cos h=||w||cos
altura
u
r
r
Proyu v w w cos r r
De manera que el volumen del paralelpípedo es igual a Volumen Area de la base altura
u v
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w
cos u v w
21
El producto escalar triple de los vectores u , v y w es igual al volumen del paralelepípedo con esos tres vectores como sus lados adyacentes r r r Volumen u v w
22
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III