Alg Lineal 04

´ Indice general 1. Transformaciones lineales 1.0. 1.0.1. 1. Prop Propie ieda dade dess de las las tran transf sfor orma maci cion ones es line lineal ales es . . . . 1.1. Conjunto Imagen Imagen e imagen inversa inversa . . . . . . . . . . . . . . W . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. 1.1.1. Propiedad Propiedades es de T A : V 1.2. Dimension Dimensiones es del del nu ´ cleo y de la imagen . . . . . . . . . . . . 1.3. Transform Transformacio aciones nes lineales lineales de IRn hacia IRm . . . . . . . . . . 1.4. Represen Representaci tación o´ n matricial de una transformacio´ n lineal . . 1.4.1. 1.4.1. Represent Representaci ació´ n matr matriicia cial de un ope operado radorr line linea al . . . 1.5. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Diagonal Diagonalizaci izació´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Diagonal Diagonalizaci ización o´ n de matrices sime´ tricas . . . . . . . . . . . 1.9. 1.9. Formas ormas cuadr cuadraticas, ´ aplicación on a las secciones cuadra´ ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.10.Formas cuadraticas: Aplicaci´ Aplicacion o´ n a las superficies cu a´ dricas 1.11. Tr Trabajo Encargado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

→

1

. . . . . . . . . . .

2 13 13 15 24 27 37 38 38 43 50 50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 58 62

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

Cap´ Capıtulo ı´ tulo 1 Transformaciones lineales ´ Introduccion Hemos dedicado bastante tiempo trabajando con espacios vectoriales, en particular con el espacio vectorial IRn , ahora es el momento de pasar a las relaciones entre dos espacios vectoriales. Por lo general, las relaciones entre dos conjuntos X e Y se estudian mediante funcio´ o transformacion ´ f : X nes. Ya conocemos, la noci on o´ n de funci de funcion o on Y que que transforma el conjunto X en el conjunto Y . Además las funciones reales son bien conocidas por los estudiantes. Por ejemplo, las funciones trigonom etricas e´ tricas senx y cosx, o la funcion o´ n exponencial x e son funciones de las que se conocen sus propiedades. Estas funciones hacen correspon´ ´ der a un n umero real otro n umero real mediante una “regla” preestablecida. Tambi en e´ n ´ variables, como por ejemplo la posiblemente sean conocidas las funciones de dos o m as 2 2 2 funci´ funcion o´ n f(x, y) = x + y , definida en IR y con valores en IR. Podemos recordar tambien e´ n ix ´ funciones complejas e o la funcion o´ n modulo o´ dulo de un n umero complejo. En los ejemplos an´ teriores siempre se obtiene, con la aplicaci on o´ n de la regla, un n umero real (o compleja) ´ llamado imagen. Cuando la imagen no es un n umero real o compleja a las funciones se les denomina aplicaciones denomina aplicaciones.. Veamos algunos ejemplos de aplicaciones definidas en IR2 .

→

Sean V y W dos espacios vectoriales. En este cap´ cap ´ıtulo ıtulo se trata de cierto tipo de aplicaciones W T : V

→

Tanto V y W estan ´ dotados de una estructura algebraica resultante de las operaciones de suma vectorial y multiplicacion o´ n por un escalar. Trabajaremos con aplicaciones T : V W que, en cierto modo, preservan esta estructura algebraica. Estas aplicaciones se conocen como transformaciones lineales. En la secci on o´ n 1 definimos las transformaciones lineales que transforman un espacio vectorial en otro, daremos varios ejemplos y estableceremos algunas propiedades elementales de las transformaciones lineales. En las secciones siguientes se tratan de transformaciones lineales y su relaci on o´ n con los conceptos matriciales que hemos estudiado. 2

→

CAPI´ TULO 1. TRANSFORMACIONES LINEALES

3

Definici´ on 1.1. 1.1. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un conjunto conjunto de escalares escalares K = IR o K = I Una transformacion ´ lineal T de V en W es una aplicacion ´ que asigna a cada on que C. Una transformaci vector v V un unico ´ vector w W y que satisface que satisface , , para cualquier par de vectores u, v y todo escalar λ K , dos condiciones:

∈

∈

∈

a) T ( u + v) = T ( u ) + T ( v) b) T (λu ) = λT ( u )

(Preservaci´ on de la suma) (Preservaci´ on de la multiplicaci´ on por un escalar)

Ejemplo 1.1. Determinar si la siguiente funci´ on h : IR transformaci´ on lineal. Soluci´ on. Sabemos on. Sabemos que

sen porque sen

IR , donde h (x) = senx , es una

π π π π + = sen + sen 4 4 4 4

� �̸

π π π + = sen = 1 , mientras que 4 4 2

� �

→

√ √ π π 2 2 √ + = 2 sen + sen = 4

4

2

2

As´ ı que, “ h ” no es una una tran transf sfor orma maci´ ci´ on linea lineall , pues no preserva la suma. h( x) = senx” no El siguiente ejemplo describe todas las transformaciones lineales T : IR se puede ver son todas funciones sencillas. Ejemplo 1.2. Sean V = transformaci´ on lineal,

W

→

on T : IR = IR. Demostrar que la siguiente funci´

T (x) = ax,

∀x ∈ IR ∧ a ∈ IR



IR , que como

→

IR es una (1.1)

En efecto. Sean x, y dos dos numeros ´ reales arbitrarios, entonces

T (x + y) = a (x + y) = ax + ay = T (x) + T ( y)

as´ ı T preserva la suma. Sean x

∀ ∈ IR, R, ∀ λ ∈ IR T (λx) = a (λx) = λ (ax) = λT (x)

As´ ı T preserva la multiplicaci´ on por escalares. Por lo tanto T es una transformaci´ on lineal.

J. R. Ticona Parisaca



Transformaciones lineales

´ CAPITULO 1. TRANSFORMACIONES LINEALES

4

Ejemplo 1.3. Consideremos en IR2 la proyecci´ on ortogonal sobre el eje de abscisas (ver Figura.1.1) que representa una aplicaci´ on P : IR2 IR definida por P (x, y) = x es una transformaci´ on lineal. Esquem´ aticamente lo representamos por:

P :

IR2

− (x, y) −

→

IR

→→

P(x, y) = x

Se observa que P es una transformaci´ on lineal. En efecto. Sean u = (x1 , y1 ) y v = (x2 , y2 ) dos vectores arbitrarios de IR2 , entonces u + v = (x1 + x2 , y1 + y2 ) de modo que

P( u + v) = P (x1 + x2 , y1 + y2 ) = x 1 + x2 = P (x1 , y1) + P(x2 , y2 ) = P ( u ) + P( v) As´ ı P preserva la suma.

P[λ( u )] = P (λ x , λ y) = λ x = λP (x, y) = λP ( u ). As´ ı P preserva la multiplicaci´ on por escalares.

Figura 1.1: Proyeccio´ n ortogonal sobre el eje de abscisas

Por lo tanto P es una transformaci´ on lineal.  en se define la transformaci´ on lineal proyecci´ on ortogonal sobre el eje y en el Nota. Tambi´ 2 espacio vectorial IR . on P x : IRn Ejemplo 1.4. Demostrar que la funci´ una transformaci´ on lineal. i

→

IR definida por P x (x1 , x2 , . . . , xn ) = x i es i

Soluci´ on. La soluci´ on es an´ aloga a la del ejemplo anterior. V definida por on T : V Ejemplo 1.5. Sea V cualquier espacio vectorial. La aplicaci´ ´ identidad sobre V , el cual denotaremos por T ( u ) = u se conoce como la transformacion acil de mostrar que I d = T es una transformaci´ on lineal. Id = T . Es f´

→

V es una transformaci´ Nota. Si T : V on lineal definida de un espacio vectorial si mismo, entonces T se le es llamado un operador lineal sobre V.

→


V

en



5

Ejemplo 1.6. Consideremos la aplicaci´ on de IR2 que a cada vector le hace corresponder el sim´ etrico respecto del eje horizontal (ver Figura.1.2). Si u = (x, y) ıa IR2 , la simetr´ respecto de este eje se puede escribir como

∈

Sx : IR2 (x, y)

−

→ −→

IR2

Sx (x, y) = (x, − y)

Otra vez observamos que se cumplen las propiedades Si x = (x1 , y1 ) e y = (x2 , y2 ) son dos vectores arbitrarios de IR2 entonces

Sx (x + y) = S x (x1 + x2 , y1 + y2) = (x1 + x2 , −[ y1 + y2 ]) = (x1 , − y1 ) + (x2 , − y2 ) = S x (x) + Sx ( y)

Por otro lado si x = (x1 , y1 ) vector arbitrario de IR2 y λ es un escalar arbitrario de IR se tiene:

Sx (λx) = S x [λ(x, y)] = S x (λx,λy) = (λx, −λy) = λ (x, − y) = λS x (x)

As´ ı S x es una transformaci´ on lineal.

Figura 1.2: Simetr´ıa respecto al eje de abscisas

Ejemplo 1.7. Sea V un espacio vectorial arbitrario y k IR cualquier escalar fijo. La aplicaci´ on definida de un espacio vectorial en si mismo, es decir, si:

∈

T ( u ) = ku es llamado operador lineal sobre V.




6

´ V , Si k > 1, T es una dilatacion de Si 0 < k < 1 , entonces T es una contracci´ on de V , Si k < − 1, T es una dilataci´ on de sentido opuesto de V , Si − 1 < k < 0 , entonces T es una contraccion de ´ sentido opuesto de V. Geom´ etricamente, una dilatacion ´ “estira” cada vector que est´ a en V = IR2 en un factor k , mientras que una contracci´ on de V “comprime” cada vector en un factor de k .

Figura 1.3: Dilatacio´ n y contraccio´ n

´ mediante una matriz. Sea A Ejemplo 1.8. Transformacion IRm ×n y consideremos ´ T A : IRn T A : IRn IRm son espacios de vectores columnas. Demostrar que la aplicacion IRm definida por T A (x) = Ax

∈

→

→

es una transformaci´ on lineal. En efecto.

T A (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = T A (x) + T A ( y),

∀x, y ∈ IR

T A (λx) = A (λx) = λA (x) = λT A (x),

n

∀λ ∈ IR y ∀x ∈ IR

n

As´ ı T A es una transformaci´ on lineal. on mostraremos que esta transformaci´ on lineal, es del tipo Nota. En la siguiente secci´ mas ´ general en espacios vectoriales de IRn en IRm




7

´ del plano Demostrar que la aplicaci´ Ejemplo 1.9. Rotacion on T θ : IR2 IR2 al rotar el plano en el sentido al que giran las manecillas del reloj un angulo ´ positivo θ , es una transformaci´ on lineal.

→

Como caso especial del ejemplo anterior, sea θ un angulo ´ fijo, sup´ ongase que T θ : IR2 es la multiplicacion ´ por la matriz

A =

�

cosθ −senθ senθ cosθ

si v es el vector

v = entonces

T θ ( v) = Av =

�


�

� � ��

→

IR2

x y

x y

=

xcosθ − y senθ xsenθ + y cosθ

�

Geom´ etricamente, T θ ( v) es el vector que se obtiene si se hace girar v hasta describir un angulo ´ ´ entre v y el eje X positivo y sup´ ongase que θ . A fin de comprobarlo, sea φ el angulo

v ′ =

� � x′ y ′

es el vector que se obtiene al girar v hasta que describe un angulo ´ a que θ. Se demostrar´ v ′ = T θ ( v). Si r denota la longitud del vector v , entonces

x = r cosφ,

y = r senφ

De modo semejante, supuesto que v ′ tiene la misma longitud que v , se tiene

x ′ = r cos(φ + θ),

y ′ = r sen(φ + θ)

Por lo tanto,

v ′ = =

=

� � � � � x′ y ′

=

rcos(φ + θ) rsen(φ + θ)

�

rcosφcosθ − rsenθsenφ rcosφsenθ + rcosθsenφ xcosθ − ysenθ xsenθ + ycosθ

� � =

� � =

rcosθcosφ − rsenθsenφ rsenθcosφ + rcosθsenφ


�

�� x y

La transformaci´ on lineal de este ejemplo se conoce como rotaci´ on de IR2 hasta describir el angulo ´ θ . Ver Figura




8

´ Figura 1.4: Rotacio´ n en un angulo θ

Ejemplo 1.10. Determinar si la aplicaci´ on T : IR3

→

IR2 definida por

T (x,y,z ) = (x − 2y,y + 3z ) es una transformaci´ on lineal. En efecto. Sean u = (x1 , y1 , z 1 ) y v = (x2 , y2, z 2 ) vectores arbitrarios del espacio vectorial IR3 , tal que u + v = (x1 + x2 , y1 + y2 , z 1 + z 2 ) , entonces

T ( u + v) = T (x1 + x2 , y1 + y2 , z 1 + z 2 ) = (x1 + x2 − 2( y1 + y2 ), y1 + y2 + 3(z 1 + z 2 )) = (x1 − 2y1 , y1 + 3z 1 ) + (x2 − 2y2 , y2 + 3z 2 ) = T ( u ) + T ( v)

Cumple la linealidad Sean u = (x,y,z ) y λ

∈ IR escalar arbitrario, entonces λu = (λx,λy,λz )

T (λu ) = T (λx, λy, λz ) = (λx − 2λy, λy + 3λz ) = λ(x − 2y,y + 3z ) = λT ( u )



Ejemplo 1.11. Sea V = C ′ [a, b ] y W = C [a, b ] dos espacios vectoriales, y sea on derivable h le hace corresponder su derivada, D : C ′ [a, b ] C[a, b ] tal que a la funci´ ′ es decir D (h (x)) = h (x) , para todo x R . Demostrar que D es una transformaci´ on lineal.

−

→

∈

En efecto. Sean g, h funciones derivables y λ escalar arbitrario, entonces:

D[g(x) + h (x)] = [g(x) + h (x)] ′ = g ′ (x) + h ′ (x) = D [g(x)] + D[h (x)]

D[λg(x)] = (λg(x)) ′ = λg ′ (x) = λD [g(x)]



´ CAPITULO 1. TRANSFORMACIONES LINEALES As´ ı D es una transformaci´ on lineal.

9 

En general si V = C [a, b ] el espacio vectorial de todas las funciones con valor real continuas sobre el intervalo a x b y W = C ′ [a, b ] el subespacio de las funciones con primera derivada continua, entonces la funci´ on derivada D es una transformaci´ on lineal.

≤ ≤

Ejemplo 1.12. Sea T : IR2 lineal. En efecto.



→

on IR , definida por T (x, y) = x y, T no es una transformaci´

T ( 4(1, 2)) = T ( 4, 8) = 32,

4T (1, 2) = 4 (2) = 8.

Por lo que tenemos T ( 4(1, 2)) = 4T (1, 2)

.

̸

´ ) Sea T : C [a, b ] Ejemplo 1.13. ( Transformaci´ on integracion



∫ b

T (f) =

f(x)dx

→

IR definida por

a

es una transformaci´ on lineal. En efecto. 1. Sean f, g

∈ C[a, b ] ,

∫ ∫ ∫ b

T (f + g) =

(f + g)(x)dx

a b

=

(f(x) + g(x))dx

a b

=

∫ b

f(x)dx +

a

g(x)dx

a

= T (f) + T (g).

∀ ∈ C[a, b ], ∀ λ ∈ IR

2. Sean f

∫ ∫ ∫ b

T (λf) =

(λf)(x)dx

a b

=

λf(x)dx

a

b

= λ

f(x)dx

a

= λT (f).

As´ ı T es una transformaci´ on lineal.






10

Ejemplo 1.14. Sea V un espacio vectorial arbitrario de dimensi´ on finita y β = { u 1 , u 2 , . . . , un } una base de V. Probar que la aplicaci´ on T : V IRn definida por

−

→

T (x) = C β [x ] es una transformaci´ on lineal. En efecto. Supongamos que

Cβ [x ] =

entonces

  

x1 x2 .. . xn

  

Cβ [ y ] =

,

x + y = (x1 u 1 + x2 u 2 +

  

  

y1 y2 .. . yn

··· + x u ) + ( y u + y u + ·· · + y u ) = (x + y ) u + (x + y ) u + · ·· + ( x + y ) u 1

1

n

1

2

n

2

1

2

2

2

n

n

n

n

y1 y2 .. .

  

n

con lo que

T (x + y) = C β [x + y ]

=

  

x1 + y1 x2 + y2 .. . xn + yn

  

=

= C β [x ] + Cβ [ y ]

  

x1 x2 .. . xn

  

+

  

yn

= T (x) + T ( y)

Por otro lado

λx = λ (x1 u + x2 u 2 +

· ·· + x u ) = λx u + λx u + · ·· + λx u , 1

2

n

2

n

n

n

luego

T (λx) = C β [λx ]

=

  

λx1 λx2 .. . λxn

= λC β [x ]

  

= λ

  

x1 x2 .. . xn

  

= λT (x)

En consecuencia, T es una transformaci´ on lineal.






11

Ejemplo 1.15. Sea V un espacio vectorial euclidiano y sup´ ongase que W es un subes pacio con dimension ´ finita de V y que tiene a

S = { w1 , w2 , . . . , wr } como una base ortonormal, tal que T : V ´ que aplica sobre un vector v en W es la funcion V hacia su proyecci´ on ortogonal sobre W , es decir

→

T ( v) = v, w1 w1 + v, w2 w2 +

⟨

⟩

⟨

⟩

··· + ⟨ v, w ⟩ w r

r

´ ortogonal de V sobre W , su linealidad Esta aplicaci´ on T recibe el nombre de proyeccion se deduce a partir de las propiedades basicas ´ del producto interior. Por ejemplo:

T ( u + v) = =

⟨ u + v, w ⟩ w + ⟨ u + v, w ⟩ w + ·· · + ⟨ u + v, w ⟩ w ⟨ u, w ⟩ w + ⟨ u, w ⟩ w + ··· + ⟨ u, w ⟩ w + +⟨ v, w ⟩ w + ⟨ v, w ⟩ w + ··· + ⟨ v, w ⟩ w 1

1

1

2

1

1

2

1

2

r

2

2

r

2

r

r

r

r

= T ( u ) + T ( v)

De manera analoga ´ se demuestra T (λv) = λT ( v).

T (λv) = = =

⟨λv, w ⟩ w + ⟨λv, w ⟩ w + · ·· + ⟨λv, w ⟩ w λ⟨ v, w ⟩ w + λ⟨ v, w ⟩ w + · ·· + λ⟨ v, w ⟩ w λ [⟨ v, w ⟩ w + ⟨ v, w ⟩ w + ··· + ⟨ v, w ⟩ w ] 1

1

2

2

r

r

1

1

2

2

r

r

2

2

1

1

r

r

= λT ( v)

As´ ı, T es una transformaci´ on lineal.



ongase que V = IR3 tiene el Ejemplo 1.16. Como caso especial del ejemplo anterior, sup´ producto interior euclidiano. Los vectores w 1 = (1, 0, 0) y w 2 = (0, 1, 0) forman una base ortonormal para el plano : z = 0 . Por lo tanto, si v = (x, y, z ) es cualquier vector de IR3 , la proyecci´ on ortogonal de IR3 sobre el plano : z = 0 esta´ dado por:

P

T ( v) =

P ⟨ v, w ⟩ w + ⟨ v, w ⟩ w 1

1

2

2

= x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) = (x, y, 0)

Ejemplo 1.17. Sean V y W dos espacios vectoriales. La aplicaci´ W tal que on T : V on lineal conocida como la transformaT ( v) = 0W para todo v V es una transformaci´ ´ cero. Verifiquemos que esta funci´ on es una transformaci´ on lineal. cion

→

∈

En efecto.




12

1. Sean u, v vectores arbitrarios de V tal que: T ( u ) = 0 W , T ( v) = 0 W , entonces

T ( u + v) = 0W = 0W + 0W = T ( u ) + T ( v)

2. Sea u vector arbitrario de V y λ escalar arbitrario de IR , entonces

T (λu ) = 0W = λ(0W) = λT ( u )

Por lo tanto se cumplen:

T ( u + v) = T ( u ) + T ( v), Ejemplo 1.18. Sea T : IR3

−

→

T (λu ) = λT ( u )

on lineal definida por IR2 la transformaci´

T (x,y,z ) = (x + y, z )

Sea u = 2v 1 − v2 + v3 , donde v 1 = (1,0,0), v2 = (1,1, −1) y v 3 = (1,0,1). Halle: 1. T ( v1 ), T ( v2 ) y T ( v3 ) 2. T ( u ) 3. Comprobar que el conjunto { T ( v1 ), T ( v2 ), T ( v3 )} es linealmente dependiente. ´ Solucion. 1. De la definici´ on de T se tiene

T ( v1 ) = T (1,0,0) = (1 + 0, 0) = (1, 0) T ( v2 ) = T (1,1, −1) = (1 + 1, −1) = (2, −1) T ( v3 ) = T (1,0,1) = (1 + 0, 1) = (1, 1) 2. Como T es lineal, tenemos:

T ( u ) = T (2v1 − v2 + v3 ) = 2T ( v1 ) − T ( v2 ) + T ( v3 ) = 2 (1, 0) − (2, −1) + (1, 1) = (1, 2)



´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales

13

3. De acuerdo con los calculos ´ realizados tenemos {T ( v1 ), T ( v2 ), T ( v3 )} = { (1, 0), (2, 1), (1, −1)}

Este conjunto es linealmente dependiente ya que esta´ formado por tres vectores de IR2 . Obs´ ervese que el conjunto { v1 , v2 , v3 } Pues,

3

⊂ IR es linealmente independiente.

Det[ v1 v2 v3 ] =

1.0.1.

 

1 1 1 0 1 0 0 −1 1

 

= 1 = 0

̸

Propiedades de las transformaciones lineales

Las dos propiedades de las transformaciones lineales del siguiente teorema son utiles ´ y faciles ´ de probar. Teorema 1.1. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre IR , y T : ci´ on lineal entonces: 1. T (0V ) = 0 W

Preservaci´ on del cero

2. T ( u − v) = T ( u ) − T ( v) 3. T (− u ) = −T ( u ),

→

W

una transforma-

Preservaci´ on de la resta

∀ u ∈ V

4. T (αu + βv) = αT ( u ) + βT ( v), para vectores arbitrarios u, v En efecto. 1) T ( v + 0V) = T ( v)

V

⇒

∀ u, u ∈ V, ∀ α, β ∈ IR

∈V

T ( v) + T (0V ) = T ( v)

⇒

T (0V) = 0 W

2) T ( u − v) = T ( u +([−1 ] v)) = T ( u ) + T ([−1 ] v)

T ( u − v) = T ( u ) + [ −1 ]T ( v) = T ( u ) − T ( v)

⇒ →

on f : IR2 Ejemplo 1.19. Determinar si la aplicaci´ IR2 , definida por f (x, y) = (x + y, x + 1) es una transformaci´ on lineal. Soluci´ on. Usando el teorema.1.1, como f (0, 0) = (0, 1) , vemos que f no preserva el cero, y por lo tanto no puede ser una transformaci´ on lineal. 

1.1.

Conjunto Imagen e imagen inversa

Sea f : X

→

on, Q Y una funci´

⊂ X y S ⊂ Y . Recordemos los siguientes conjuntos: Imagen de Q bajo f f(Q) = { f(q) / q ∈ Q } ⊂ Y

y

f−1 (S) = { x

∈ X / f(x) ∈ S} ⊂ X

Por ejemplo, sea la funcion ´ f : IR

→

Imagen inversa de S bajo f

R, f(x) = x 2 , entonces




14

f( {1, 2, 3}) = { 1, 4, 9} f−1 ( {1, 4, 9}) = { 1, −1, 2, −2, 3, −3} Recu´ erdese tambi´ en que para f : X Y , el conjunto f (X) Y se llama conjunto imagen de f o tambi´ en es el Rango de la aplicaci´ on f . Y el conjunto f −1 (Y ) X se llama conjunto imagen inversa de f . Nos ocuparemos el conjunto imagen de una transformaci´ on lineal.

⊂

→

´ de subespacios Teorema 1.2. Preservacion Sean V y W dos espacios vectoriales sobre IR , sea T : V

→

W

⊂

una transformaci´ on lineal

a) Si Q es un subespacio de V , entonces T (Q) es un subespacio de W b) Si S es un subespacio de W , entonces T −1 (S) es un subespacio de V En efecto. a) Basta demostrar que T (Q) es cerrado bajo la suma vectorial y la multiplicaci´ on por escalares. Sean T ( v1 ), T ( v2 ) vectores arbitrarios del conjunto T (Q) , donde v 1 , v2 son vectores de Q , entonces, T ( v1 ) + T ( v2 ) = T ( v1 + v2 ) por la preservacion ´ de la suma. Ahora bien v 1 + v2 est´ a en Q , pues Q es cerrado bajo la suma, de modo que T ( v1 + v2 ) T (Q). Esto demuestra que T (Q) es cerrado bajo la suma vectorial.

∈

Ademas, ´ si λ

∈ IR escalar arbitrario, entonces λv ∈ Q , y esta´ claro que: λT ( v) = T (λv)

Esto demuestra que λT ( v) T (Q) , de modo que T (Q) es cerrado bajo la multiplicaci´ on escalar. As´ ı, T (Q) es un subespacio de W.

∈

b) Sean x y y vectores arbitrarios de T −1 (S) , de modo que T (x), T ( y) Entonces, T (x + y) = T (x) + T ( y)

∈ S.

tambi´ en esta´ en el subespacio S , de modo que x + y est´ a en T −1 (S). Para cualquier escalar λ , sabemos que

λT (x) = T (λx) y λT (x) ı, λx tambi´ en esta en T −1 (S). Esto demuestra que T −1 (S) tambi´ en es S , As´ −1 cerrado bajo la suma y multiplicaci´ on escalar, de modo que el conjunto T (S) es un subespacio de V.

∈

Hay dos casos particulares del teorema.1.2 que son basicos ´ para el estudio de las trans formaciones lineales.



´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales Definici´ on 1.2. Los subespacios Im (T ) y Ker (T ) Sean V y W dos espacios vectoriales sobre IR , sea T : entonces:

V

→

a) El subespacio T (V) W , es el conjunto imagen de y se denota por Im (T ) = T (V) W

⊂

V

W una

15

transformaci´ on lineal,

v´ ıa la transformaci´ on lineal T

⊂

Nota. Si T (V) = W , entonces T es una aplicaci´ on sobreyectiva. b) El subespacio T −1 ( {0W}) = { v y se denota por Ker (T )

1.1.1.

∈ V / T ( v) = 0

Propiedades de T A : V

→

W

} , se llama n ucleo o ´ espacio nulo de T

W

1. La imagen de T A es el espacio columna 2. El nucleo ´ de T A es el espacio nulo de A lo ilustraremos con los siguientes ejemplos Ejemplo 1.20. Sup´ W es la transformaci´ ongase que T : V on cero. Supuesto que T aplica a cada vector de V hacia el vector cero 0W , entonces Ker(T ) = V. Ya que 0W es la unica ´ imagen posible bajo de T , entonces Im (T ) = { 0W}

→

Ejemplo 1.21. Sea T : IRn

on por IRm la multiplicaci´

→   A =

´ El n ucleo de T consta de todos los



a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. ... ... . a11 a12 . . . a1n

x =

        

x1 x2 .. .

  

           

xn

que son soluci´ on del sistema lineal homog´ eneo siguiente:

A

  

x1 x2 .. . xn

=

0 0 .. . 0

Y el conjunto imagen de T consta de los vectores

b =

b1 b2 .. .

bm




16

tales que el sistema lineal no homog´ eneo

A

sea consistente.

  

x1 x2 .. . xn

  

=

  

b1 b2 .. . bm

  

Ejemplo 1.22. Determine el n´ ucleo de la transformaci´ on lineal T : IR3 IR2 definida por ı, se debe resolver el sistema de ecuaciones T (x,y,z ) = (x − 2y,y + 3z ) , sea el vector cero. As´

→

= 0 x − 2y y + 3z = 0,

que se puede escribir en forma matricial como

A

  � �   x y z

0 0

=

, donde A =

�

1 −2 0 0 1 3

�

La solucion ´ del sistema lineal homog´ eneo

�

1 −2 0 0 0 1 3 0

�� ∼

1 0 6 0 0 1 3 0

�

es (x, y, z ) = (−6t, −3t, t) para cualquier escalar t. As´ ı, el n´ ucleo de T es el subespacio 3 unidimensional de IR generado por el vector (− 6, −3, 1) , es decir:

Ker(T ) = (−6, −3, 1)

⟨

⟩

Ejemplo 1.23. Hallar la imagen de la transformaci´ on lineal T : IR3 IR2 definida por T (x,y,z ) = (x − 2y,y + 3z ) ´ hallar el conjunto de todos los T ( v) para v IR3 . Escribiendo los vecSolucion. Debemos tores como vectores columnas, debemos hallar todos los vectores de la forma

→

∈

T

  �   x y z

=

x − 2y y + 3z

� � � � � � � = x

1 0

+ y

−2 1

+ z

0 3

Por lo tanto, la imagen de T es el espacio columna de la matriz

A =

�

1 −2 0 0 1 3

�� ∼

1 0 6 0 1 3

�

Como cualesquiera dos columnas de A son linealmente independientes, concluimos que Im (T ) = IR2 .



´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales Ejemplo 1.24. Sea T : IR3

→

17

on lineal IR3 la transformaci´

T (x,y,z ) = (x + 2y + z,3x + y − 2z,x + 7y + 6z ) Determine expl´ıcitamente su nucleo ´ y su imagen (Hallar, una base para cada subespacio) Soluci´ on. Por definici´ on

Ker(T ) = { (x,y,z )

∈ IR = { (x,y,z ) ∈ IR

3

/ T (x,y,z ) = (0,0,0)}

3

/ ( x + 2y + z,3x + y − 2z,x + 7y + 6z ) = (0,0,0)}

´ Este es un sistema lineal homog´ eneo en las inc´ ognitas cuyo espacio soluci´ on es preci samente Ker (T ) , entonces

 

1 2 1 0 3 1 −2 0 1 7 6 0

de donde x = t, y = −t, z = t, t

   ∼

1 0 −1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

 

∀ ∈ IR , representa la solucion ´ del sistema.

Entonces se concluye que ( x,y,z )

∈ Ker(T ) si, y s´ olo si Ker(T ) = { (x,y,z ) ∈ IR / ( x,y,z ) = t (1, −1, 1)} 3

El vector v = (1, −1, 1) es entonces una base para el subespacio vectorial Ker (T ) , que geom´ etricamente representa una recta que pasa por el origen y sigue la direccion ´ del vector v . El vector b = (b1 , b2, b3 ) (b1 , b2 , b3 ) , es decir

3

∈ Im (T ) si, y s´ olo si existe (x,y,z ) ∈ IR , tal que T (x,y,z ) =

 

x + 2y + z = b 1 3x + y − 2z = b 2 x + 7y + 6z = b 3

Proc´ edase por operaciones elementales, para que el sistema lineal no homog´ eneo ten ga solucion, ´ entonces

 

1 2 1 b1 3 1 −2 b2 1 7 6 b3

   ∼

1 0 −1 − 15 b1 + 25 b2 0 1 1 35 b1 − 15 b2 0 0 0 − 45 b1 + 15 b2 − 15 b3

 

Por lo tanto, el sistema lineal no homog´ eneo tiene solucion ´ si, y s´ olo si

4 1 1 − b1 + b2 − b3 = 0 5 5 5

⇐⇒

− 4b1 + b2 − b3 = 0




18

O sea (x,y,z )

∈ Im (T )

o bien,

Im (T ) = { (x,y,z )

⇐⇒

∈ IR

3

4x − y + z = 0 / 4x − y + z = 0 }

(subespacio de IR3 que geom´ etricamente representa un plano que pasa por el origen; el plano es : 4x − y + z = 0 )

P

Una base de este subespacio se puede obtener si se escribe ( x,y,z )

∈ Im (T ) como

(x,4x + z, z ) = x (1,4,0) + z (0,1,1)

los vectores v 1 = (1,4,0) y v 2 = (0,1,1) constituyen una base del subespacio Im (T ). Recordemos que: 1. Una funci´ on f : X Y es uno a uno o inyectiva si x 1 = x 2 entonces f (x1 ) = f (x2 ). O, equivalentemente: Si f (x1 ) = f (x2 ) entonces x 1 = x 2 2. Una funcion ´ f : X y = f (x).

→ →

̸

Y es sobreyectiva si para cada y

̸

∈ Y , existe un x ∈ X tal que

Entonces la definicion ´ de la inyectividad y sobreyectividad para transformaciones lineales es la misma Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V se llaman:

• T es un monomorfismo • T es un epimorfismo • T es un isomorfismo

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

→

W

una transformaci´ on lineal, entonces

T es inyectiva

T es sobreyectiva

T es biyectiva

Sean V y W dos espacios vectoriales, el conjunto de todas las transformaciones lineales T : V W , lo denotaremos por (V, W)

→

L(V, W) = { T : V

→

L

W

on lineal } / T es una transformaci´

Si W = V , entonces el conjunto de todas las transformaciones de un espacio vectorial en si mismo, es llamado el conjunto de los operadores lineales y es denotado por (V) = (V, W)

L

L

Si W = IR entonces el conjunto de todas las transformaciones de un espacio vectorial en el campo de los n´ umeros reales, es llamado el conjunto de los funcionales lineales y es denotado por (V, IR)

L




19

Ejemplo 1.25. Sea el operador lineal en el espacio vectorial IR3 , definido por

T (x,y,z ) = ( y, −x, z ) ¿es biyectiva el operador lineal? ´ Solucion. T es inyectiva? Sean u = (x1 , y1 , z 1 ) y v = (x2 , y2 , z 2 ) , tales que:

T ( u ) = T ( v)

luego

⇐⇒ ⇐⇒

T (x1 , y1 , z 1 ) = T (x2 , y2 , z 2 ) ( y1 , −x1 , z 1 ) = ( y2 , −x2 , z 2 )

T ( u ) = T ( v) ∴

⇒

x1 = x 2 ∧ y1 = y 2 ∧ z 1 = z 2

⇒

u = v

T es inyectiva.

T es sobreyectiva? 3

∀ (x,y,z ) ∈ IR , ∃ (a,b,c) ∈ IR En efecto T (a,b,c) = (x,y,z ) Luego

⇐⇒

(b, −a, c) = (x,y,z )

3

3

⇒

/ T (a,b,c) = (x,y,z ) b = x, a = − y, c = z

∀(x,y,z ) ∈ IR , ∃ (a,b,c) = (− y, x, z ) ∈ IR

3

tal que

T (a,b,c) = T (− y, x, z ) = (x,y,z ) ∴

T es sobreyectiva.

As´ ı T es biyectiva. Teorema 1.3. Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V entonces:

T es inyectiva En efecto.

⇐⇒

T ( u ) = 0 W

⇒

→

W

una transformaci´ on lineal,

u = 0 V

Supongamos que T es inyectiva y sea T ( u ) = 0 W y por otra parte T (0)V = 0 W , entonces

T ( u ) = T (0V)

⇒

T ( u ) − T (0V) = T ( u − 0V) = 0 W

Supongamos que T ( u ) = 0 W u = 0 W y supongamos que T ( u ) = T ( v) T ( u ) − T ( v) = 0 W

⇒ ⇒

⇒

T ( u − v) = 0 W


⇒

⇒

u − 0V = 0 V

u − v = 0 W

⇒

⇒

u = 0 V

u = v


´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales Ejemplo 1.26. Sea T : IR2×2

on lineal IR2 una transformaci´

→��

a11 a12 a21 a22

T

¿T es inyectiva? Soluci´ on. T es inyectiva si T ( u ) = 0 W

u IR2×2, u =

∈

�

20

�

a11 a12 a21 a22

⇒

��

= (a11 + a22 , a21 )

u = 0 W

��

a11 a12 a21 a22

��

= (0, 0)

⇒

T

⇒

a11 = −a22 ∧ a21 = 0

(a11 + a22 , a21 ) = (0, 0)

� ⇒

a11 + a22 = 0, a21 = 0

Luego el sistema lineal homog´ eneo tiene infinitas soluciones, es decir:

�

� � �

a11 a12 a21 a22

0 0 0 0

̸=

⇒

T no es inyectiva

Ejemplo 1.27. Sea la transformaci´ on lineal T : IR 4 ¿T es inyectiva? Solucion ´

T (x1 , x2 , x3, x 4 ) = (0,0,0,0,0,0)

⇒⇒ ⇒

→

IR6,



T (x1 , x2 , x3 , x 4 ) = (0, x1 , 0 , x2 , x3 , x 4 )

(0, x1 , 0 , x2 , x3 , x 4 ) = (0,0,0,0,0,0)

x1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 (x1 , x2 , x3 , x 4 ) = (0,0,0,0)

⇒

T es inyectiva



Ejemplo 1.28. Determinar el nucleo ´ de la transformaci´ on lineal

T : IR3

como ( x,y,z ) Ker(T ) de vectores se tiene:

∈

→ ⇐⇒ �

IR2 ,

T (x,y,z ) = (x − z, y − z )

T (x,y,z ) = (0, 0) de donde ( x − z, y − z ) = (0, 0) por igualdad x − z = 0, y − z = 0

Luego Ker (T ) = { (x,y,z )

∈ IR

3

/ x = y = z = t,

⇒

x = y = z

∀ t ∈ IR}

El nucleo ´ de T representa una recta, es decir: Ker (T ) = (1,1,1) =

⟨

Ejemplo 1.29. Sea T : IR2

→

⟩ L ⊂ IR

3



on lineal definida por IR3 la transformaci´

T (x, y) = (x + y, x − y, x + 2y).




21

Determine Im (T ) ´ Solucion

Im (T ) = { (x,y,z ) entonces T (a, b) = (x,y,z )

3

2

∈ IR / ∃ (a, b)IR

∧ T (a, b) = (x,y,z )}

(a + b, a − b, a + 2b) = (x,y,z ) por igualdad de vectores se tiene:

⇒  � ⇒  ⇒ a + b = x a − b = y a + 2b = z

 ⇒  ⇒

2a = x + y 3a = 2y + z

x + y 2y + z = 2 3

∴

x + y 2 2y + z a = 3 a =

3x + 3y = 4y + 2z

Im (T ) = { (x,y,z )

∈ IR

3

⇒

3x − y − 2z = 0

/ 3x − y − 2z = 0 }

Geom´ etricamente este subespacio es un plano en el espacio vectorial IR3 con vector normal n = (3, −1, −2). Teorema 1.4. Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V se cumple las siguientes proposiciones:

→

1. T es inyectiva si y s´ olo si Ker (T ) = 0 V

W

una transformaci´ on lineal,

2. Sea M = { v1 , v2 , . . . , vn} un conjunto de vectores L. D. en V , entonces el conjunto T (M) = { w1 = T ( v1 ), w2 = T ( v2 ), . . . , wn = T ( vn )} es L. D. en W 3. Si { v1 , v2 , . . . , vn } es un conjunto de vectores en V tales que { T ( v1 ), T ( v2 ), . . . , T ( vn )} son L. I. en W , entonces { v1 , v2 , . . . , vn } son linealmente independiente. 4. Si { v1 , v2 , . . . , vn } es un conjunto L. I. en V y T es una transformaci´ on inyectiva, entonces { T ( v1 ), T ( v2), . . . , T ( vn )} es linealmente independiente en W. En efecto. 1. Ver el teorema.1.3. 2. Como el conjunto M = { v1 , v2 , . . . , vn } es L. D. en V , entonces existe algun ´ escalar λi = 0, λi IR tal que:

̸

∈

λ1 v1 + λ2 v2 +

··· + λ v + ·· · + λ v T (λ v + λ v + ··· + λ v + ··· + λ v ) λ T ( v ) + λ T ( v ) + ··· + λ T ( v ) + ··· + λ T ( v ) 1 1

1

1

2

2

i i

2 2

n n

i i

i

n n

i

n

n

= 0V = T (0V ) = 0 W = 0W

como λ i = 0 entonces el conjunto { T ( v1 ), T ( v2 ), . . . , T ( vn )} es L. D. en

̸

3. Consideremos una combinaci´ on lineal en V,

λ1 = λ 2 =

∑

··· = λ

n i=1

n


W

λi vi = 0 V , por demostrar que:

= 0



22

Aplicando la transformaci´ on lineal T se tiene:

�� n

T

λi vi

n

⇒�

= T (0V ) = 0 W

i=1

λi T ( vi ) = 0 W

i=1

como {T ( v1 ), T ( v2 ), . . . , T ( vn )} son L. I. entonces los escalares λi = 0 , es decir: λ1 = = λn = 0 , entonces el conjunto de vectores { v1 , v2 , . . . , vn } son linealmente λ2 = independiente.

···

4. Consideremos una combinaci´ on lineal de vectores en el espacio vectorial W , es decir:

�� n

T

λi vi

= 0 W

i=1

aplicando propiedades de la transformaci´ on lineal, n

�

T ( λi vi ) = 0 W

i=1

⇒

∈ Ker(T )

λi vi

como T es inyectiva, por la parte ( 1) se tiene: n

�

λi vi = 0 V

i=1

⇒

λi = 0, i = 1, 2, . . . , n

pues los vectores { v1 , v2, . . . , vn} son L. I. , por lo tanto los vectores {T ( v1 ), T ( v2 ), . . . , T ( vn )} son L. I. Ejemplo 1.30. Sea T : IR2 on lineal, probar que T es inyectiva IR2 una transformaci´ T (1, 0) y T (0, 1) es linealmente independiente En efecto

→

⇐⇒

T es inyectiva T (1, 0) y T (0, 1) son linealmente independiente. Consideremos la combinaci´ on lineal en IR2

⇐⇒

αT (1, 0) + βT (0, 1) = (0, 0)

⇒

por demostrar α = β = 0

como T es una transformaci´ on lineal, entonces:

αT (1, 0) + βT (0, 1) = (0, 0)

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

T [α (1, 0) + β(0, 1)] = (0, 0) T (α, β) = (0, 0)

como T es inyectiva

(α, β) = (0, 0)

α = β = 0

⇒

Por lo tanto T (1, 0) y T (0, 1) son linealmente independiente. ¿C´ omo hallar la transformaci´ on lineal conociendo los vectores de la imagen de una base? Sup´ ongase que { v1 , v2 , . . . , vn} es una base para el espacio vectorial V y T : V W es una

→




23

transformaci´ on lineal. Si sucede que se conocen las im´ agenes de los vectores de esta base, esto es T ( v1 ), T ( v2 ), . . . , T ( vn ) entonces se puede obtener la imagen T ( v) de cualquier vector v , expresando primero v como combinaci´ on lineal de los vectores de la base, por ejemplo

v = λ 1 v1 + λ2 v2 +

· ·· + λ v

n n

y luego usar la linealidad de la transformaci´ on lineal, es decir:

T ( v) = λ 1 T ( v1 ) + λ2 T ( v2 ) +

··· + λ T ( v ) n

n

En pocas palabras, una transformaci´ on lineal est´ a completamente determinada por sus “valores” en una base. erese la base β = { v1 , v2 , v3 } para el espacio vectorial IR3 , donde Ejemplo 1.31. Consid´

v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0) y sea T : IR3

→

on lineal tal que: IR2 una transformaci´

T ( v1 ) = (1, 0),

T ( v2 ) = (2, −1),

T ( v3 ) = ( 4, 3)

Hallese ´ T (2, −3, 5) Soluci´ on. Expresemos el vector v = (2, −3, 5) como combinaci´ on lineal de los vectores de la base β = { v1 , v2 , v3 }. Por lo tanto, (2, −3, 5) = λ 1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 = λ 1 (1,1,1) + λ2 (1,1,0) + λ3 (1,0,0)

resolviendo el sistema lineal no homog´ eneo obtenemos

λ1 + λ2 + λ3 = 2 = −3 λ1 + λ2 = λ1 5 lo cual conduce a λ 1 = 5, λ2 = −8, λ3 = 5 de modo que (2, −3, 5) = 5v 1 − 8v2 + 5v3

entonces,

T (2, −3, 5) = 5T ( v1 ) − 8T ( v2 ) + 5T ( v3 ) = 5(1, 0) − 8(2, −1) + 5( 4, 3) = (9, 23)




1.2.

24

´ Dimensiones del nucleo y de la imagen

´ 1.3. Si T : V on lineal, entonces la dimensi´ on del Definicion W es una transformaci´ subespacio Im (T ) se conoce como el rango de T , y la dimensi´ on del subespacio n´ ucleo se denomina nulidad de T .

→

El siguiente teorema que sigue establece una relaci´ on entre el rango y la nulidad de una transformaci´ on lineal definida sobre un espacio vectorial de dimension finita. ´ Sea T : V on lineal Teorema 1.5. (Teorema de la dimension.) W una transformaci´ desde un espacio vectorial V con dimensi´ on finita n hacia un espacio vectorial W , entonces

→

dim (Im (T )) + dim (Ker(T )) = n Ejemplo 1.32. Dada la transformaci´ on lineal

T : IR 4

→

IR3, T (x,y,z,w) = (x − y + 2z + 3w,y + 4z + 3w,x + 6z + 6w).

Determine Ker (T ), Im (T ) y sus respectivas dimensiones. Soluci´ on Calculando el nucleo ´ de la transformaci´ on

Ker(T ) = { ( x,y,z,w)

4

∈ R

/ T (x,y,z,w) = (0,0,0)}

entonces

T (x,y,z,w) = (x − y + 2z + 3w,y + 4z + 3w,x + 6z + 6w) = (0,0,0) por igualdad se tiene:

 

x − y + 2z + 3w = 0 y + 4z + 3w = 0 x + 6z + 6w = 0

Si (x,y,z,w) tenemos:

∈ Ker(T )

⇒

 ⇐⇒ 

1 −1 2 3 0 0 1 4 3 0 1 0 6 6 0

   ≈ 

1 0 6 6 0 0 1 4 3 0 0 0 0 0 0

 

(x,y,z,w) = (−6z − 6w, − 4z − 3w, z, w) equivalentemente

(x,y,z,w) = (−6z, − 4z, z, 0) + (−6w, −3w,,w) = z (−6, − 4, 1, 0) + w(−6, −3,0,1)

Luego Ker (T ) = (−6, − 4, 1, 0), (−6, −3,0,1) de donde una base de Ker(T ) es el con junto de vectores dado por

⟨

⟩

βKer(T ) = { (−6, − 4, 1, 0), (−6, −3,0,1)}, de donde dim [Ker(T )] = 2




25

Calculando Im (T )

Im (T ) = { ( x,y,z ) T (a,b,c,d) = (x,y,z )

 

⇒

3

4

∈ R / ∃ (a,b,c,d) ∈ IR

∧ T (a,b,c,d) = (x,y,z )}

(a − b + 2c + 3d,b + 4c + 3d,a + 6c + 6d) = (x,y,z ) por igualdad

a − b + 2c + 3d = x b + 4c + 3d = y a + 6c + 6d = z

entonces

� ⇒

a + 6c + 6d = x + y a + 6c + 6d = z

Im (T ) = { ( x,y,z )

⇒ P

: x + y = z

3

∈ R / P : x + y = z }

O equivalentemente

 

 ⇐⇒ 

a − b + 2c + 3d = x b + 4c + 3d = y a + 6c + 6d = z

 

1 −1 2 3 x 0 1 4 3 y 1 0 6 6 z

Realizando operaciones elementales tenemos:

 

    

1 −1 2 3 x 0 1 4 3 y ∼ 1 0 6 6 z ∼

1 −1 2 3 x 0 1 4 3 y 0 1 4 3 z− x

 

1 −1 2 3 x 0 1 4 3 y 0 0 0 0 z− x − y

 

Para que el sistema lineal dado sea consistente, esto implica que z − x − y = 0 , es decir: Im (T ) = { (x,y,z ) IR3 / z − x − y = 0 }

∈

Ahora calculemos una base para el subespacio Im (T )

3

⊂ IR , z = x + y , entonces

(x,y,z ) = (x,y,x + z ) = (x,0,x) + (0,y,y) = x (1,0,1) + y(0,1,1)

Luego Im (T ) = (1,0,1), (0,1,1) de donde una base para Im (T ) es el conjunto de vectores { (1,0,1), (0,1,1)} dim [Im (T )] = 2

⟨

⇒

⟩

Verific´ andose el teorema.1.5, es decir:

dim [IR 4 ] = dim [Ker(T )] + dim [Im (T )]

⇐⇒

4 = 2 + 2

Teorema 1.6. ( Teorema fundamental de las transformaciones lineales ) Sean V y W dos espacios vectoriales y β = { v1 , v2 , . . . , vn } una base del espacio vectorial ´ V. Si w1 , w2 , . . . , wn un conjunto arbitrario de vectores de W entonces existe una unica transformaci´ on lineal T : V i = 1, 2, . . . , n W tal que w i = T ( vi ),

→

∀




26

Ejemplo 1.33. Sea T : IR3 on lineal de tal manera que a los elemenIR2 una transformaci´ tos de la base β = { v1 = (1,1,0), v2 = (1,2,1), v3 = (0,1,3)} de IR3 le hace corresponder los vectores w 1 = (1, 3), w2 = (5, 1), w3 = (0, 1) respectivamente.

→

Determine la imagen de un vector cualquiera de IR3 bajo esta transformaci´ on lineal Determine la imagen del vector ( 3, −1, 5) , es decir halle T (3, −1, 5) y Ker (T ). ´ Solucion. A) Como β es una base de IR3 y sea ( x,y,z ) un vector arbitrario de IR3 , expresemos como combinaci´ on lineal de los elementos de la base, es decir (x,y,z ) = α (1,1,0) + β(1,2,1) + γ(0,1,3) = (α + β, α + 2β + γ, β + 3γ)

por igualdad de vectores tenemos el sistema lineal no homog´ eneo

   ⇐⇒  

5x − 3y + z x = α + β 2 3y − z − 3x y = α + 2β + γ β = 2 z = β + 3γ x − y + z γ = 2 (5x − 3y + z ) (3y − z − 3x) (x − y + z ) (x,y,z ) = (1,1,0) + (1,2,1) + (0,1,3) 2 2 2 como T (1,1,0) = (1, 3), T (1,2,1) = (5, 1), T (0,1,3) = (0, 1) como T es una transformaci´ on lineal, tenemos

 

α =

5x − 3y + z 3y − z − 3x x − y + z T (1,1,0) + T (1,2,1) + T (0,1,3) 2 2 2 5x − 3y + z 3y − z − 3x x − y + z = (1, 3) + (5, 1) + (0, 1) 2 2 2 13x − 7y + 3z = 6y − 5x − 2z, 2

T (x,y,z ) =

�

�

B) Calculando T (3, −1, 5) =

�

�

61 y −31, 2

Ker(T ) = { (x,y,z )

∈ IR

3

/ T (x,y,z ) = (0, 0)}

entonces

T (x,y,z ) = (0, 0)

� ⇐⇒

�

13x − 7y + 3z = (0, 0) 6y − 5x − 2z, 2

por igualdad de vectores tenemos

 ⇒ 

4 = − x z 6y − 5x − 2z = 0 43 11 13x − 7y + 3z = 0 y = z 43 Luego el nucleo ´ esta generado por el vector

�

Ker(T ) =

⇒

⟨�

4 11 − , ,1 43 43

�

� �

�

4 11 4 11 (x,y,z ) = z, − z, z = z ,− ,1 43 43 43 43

�⟩

= (− 4, 11, 43)


⟨

⟩



1.3.

27

Transformaciones lineales de IRn hacia IRm

En esta secci´ on se estudian las transformaciones lineales de IRn hacia IRm y se obtienen las propiedades geom´ etricas de las transformaciones de IR2 hacia IR2 . Primero se demuestra que toda T on matricial. Mas ´ (IRn , IRm ) es una transformaci´ concretamente, se demuestra que si T : IRn on lineal arbitraria, IRm es una transformaci´ m ×n entonces es posible encontrar una matriz A IR tal que T es la multiplicaci´ on por A . A fin de verificarlo, sea β = { e1 , e2 , . . . , en }

∈L

→ ∈

la base can´ onica de IRn y sup´ ongase que A es la matriz de IRm ×n que tiene a

T (e1 ), T (e2 ), . . . , T ( en ), como sus vectores columnas. Por ejemplo , si T : IR2

IR2 esta dado por

→ �� x1 x2

T

=

x1 + 2x2 x1 − x2

�

entonces

T (e1 ) = T entonces

�� 1 0

1 1

=

1 2 1 −1

A =

T (e2 ) = T

y

�� 0 1

=

2 −1

= [ T (e1 ) | T (e2 ) ]

De modo mas ´ general , si

T (e1 ) =

entonces

  

a11 a21 .. . am1

  

, T (e2) =

  

a12 a22 .. . am2

A = [ T (e1 ) | T (e2 ) | . . . |T (en ) ] =

     

, . . . , T ( en) =

a11 a21 .. . am1

Se demostrar´ a que la transformaci´ on lineal T : IRn matriz A . Para verificarlo, observemos primero que

x =

  

x1 x2 .. . xn

  

= x 1 e1 + x2 e2 +

  

a1n a2n .. . amn

a12 . . . a1n a22 . . . a2n ... ... am2 . . . amn

→

     

(1.2)

on por la IRm es la multiplicaci´

··· + x e


n n



28

Por lo tanto por la linealidad de T , tenemos:

T (x) = x 1 T (e1 ) + x2 T (e2) +

· ·· + x T (e ) n

n

(1.3)

Por otra parte,

Ax =

  

= x1

a11 a21 .. . am1

  

a12 . . . a1n a22 . . . a2n ... ... am2 . . . amn

a11 a21 .. . am1

  

+ x2

  

a12 a22 .. . am2

= x1 T (e1 ) + x2 T (e2 ) +

         ···  x1 x2 .. .

=

xn

+

     

+ xn

··· + x T (e ) n

n

x1 a11 + x2 a12 + x1 a21 + x2 a22 + .. .

··· + x a ··· + x a

x1 am1 + x2 am2 +

·· · + x a

a1n a2n .. . amn

  

n 1n n 2n

n mn

  

Al comparar esta ultima ´ ecuaci´ on se llega a T (x) = Ax , es decir, T es la multiplicaci´ on por A. ´ A la matriz A que se da en (1.2) se le llamar´ a la matriz estandar para T ´ la matriz est´ andar para la transformaci´ on lineal T : IR3 Ejemplo 1.34. Hallese definida por x + y x x − y = T y z z x

     

  

→

IR 4

Soluci´ on. Hallemos la imagen de los vectores de la base can´ onica del espacio vectorial IR3 , es decir:

T (e1 ) = T

        1 0 0

=

1 1 0 1

, T (e2 ) = T

        0 1 0

=

entonces utilizando a T (e1 ), T (e2 ) y T (e3 ) como estandar ´ de T , 1 1 1 −1 A = 0 0 1 0

      

Como una verificaci´ on, obs´ ervese que

A

x y z

=

1 −1 0 0

  

, T (e3 ) = T

        0 0 1

=

0 0 1 0

vectores columnas, se obtiene la matriz

0 0 1 0

     

x + y x − y z x




29

En el resto de esta secci´ on se estudian las propiedades geom´ etricas de las transformaciones lineales en el plano , es decir, transformaciones lineales de IR2 hacia IR2 . Si T : IR2 IR2 es una transformaci´ on lineal en general

A =

→

� � a b c d

sea la matriz estandar ´ para T , entonces

T

�� x y

a b c d

=

x y

=

ax + by cx + dy

�

on lineal que aplica cada vector en su Ejemplo 1.35. Sea T : IR2 IR2 la transformaci´ imagen sim´ etrica respecto al eje Y . Hallese ´ la matriz est´ andar para T Soluci´ on

→

Figura 1.5: Transformaci o´ n lineal sim e´ trica con respecto al eje y

T (e1 ) = T

�� 1 0

−1 0

=

T (e2 ) = T

,

�� 0 1

=

0 1

utilizando a T (e1 ) y T (e2) como vectores columna, se obtiene la matriz est´ andar

A =

�

−1 0 0 1

�

Como una multiplicaci´ on,

�

−1 0 0 1

�� x y

=

−x y

De modo que la multiplicaci´ on por A aplica el punto P = (x, y) en su imagen sim´ etrica (−x, y) respecto al eje Y . Es decir, su regla de correspondencia es:

T : IR2



→

IR2 , T (x, y) = (−x, y)

Ahora se enfoca la atenci´ on sobre cinco tipos de transformaciones lineales planas que tienen importancia especial: rotaciones, reflexiones, expansiones y deslizamientos cortantes.




30

Rotaciones. Si T : IR2 IR2 hace girar cada punto en el plano alrededor del origen, hasta describir un angulo ´ ´ de T es θ , entonces sabemos que la matriz estandar

→

�

Cosθ −Senθ Senθ Cosθ

�

´ Figura 1.6: Rotacio´ n en un angulo θ

Reflexiones. Una reflexi´ on respecto a una recta que pasa por el origen, es una transformaci´ on que aplica cada punto del plano en su imagen como un espejo, res pecto de la recta . Se puede demostrar que las reflexiones son transformaciones lineales. Los casos m´ as importantes son las reflexiones respecto a los ejes coordenados y respecto a la recta : y = x . Siguiendo el ejemplo(1.35), entonces se puede demostrar que las matrices estandar ´ para estas transformaciones son:

L

L

L

• Reflexi´ on respecto al eje Y es

�

• Reflexi´ on respecto al eje X es

�

−1 0 0 1

�

1 0 0 −1

�




• Reflexi´ on respecto a la recta L : y = x es

31

� �

• Reflexi´ on respecto a la recta L : y = 2x es

0 1 1 0

�

−3/5 4/5 4/5 3/5

�

L: y = 2 x

w

y

v x

Expansiones y comprensiones Si la coordenada x de cada punto del plano se multiplica por una constante positiva k , entonces el efecto es dilatar o comprimir cada figura plana en la direccion ´ del eje X . Si 0 < k < 1 , el resultado es una comprensi´ on ´ y si k > 1 , una expansion en la direcci´ on del eje X , con un factor k .




32

De manera analoga, ´ si la coordenada y de cada punto del punto se multiplica por una constante positiva k , se obtiene una expansion ´ (o comprensi´ on) en la direcci´ on y con el factor k . Estas expansiones y comprensiones son transformaciones lineales.

Si T : IR2 ´ o comprensi´ on en la direcci´ on del eje X , con el factor IR2 es una expansion k , entonces

→

T (e1 ) = T

�� 1 0

=

k 0

,

T (e2 ) = T

�� 0 1

=

0 1

de modo que la matriz est´ andar para T es

� � k 0 0 1

De manera analoga, ´ la matriz est´ andar para una expansi´ on o comprensi´ on en la direcci´ on del eje Y , con el factor k , es

� � 1 0 0 k




33

Deslizamientos cortantes

• Un deslizamiento cortante en la direcci´ on del eje X , con factor k , es una

transformaci´ on que mueve cada punto ( x, y) paralelo al eje X , en una cantidad ´ (x + ky, y). Bajo una transformaci´ on de este tipo, los puntos k y , hacia la posicion que est´ an sobre el eje X no se mueve mueven puesto que y = 0. Sin embargo, conforme se avanza alej´ andose del eje X , la magnitud de y aumenta, por tanto, aquellos puntos m´ as alejados del eje X se mueven una distancia mayor que los que se encuentran m´ as cercanos.

• Un deslizamiento cortante en la direcci´ on del eje Y , con factor k , es una

transformaci´ on que mueve cada punto ( x, y) paralelo al eje Y , en una cantidad ´ (x, y + k x). Bajo una transformaci´ on de este tipo, los puntos k x , hacia la posicion sobre el eje Y permanecen fijos y los que se encuentran m´ as alejados del eje Y se mueven una distancia mayor que los que est´ an m´ as cercanos.

Se puede demostrar que los deslizamientos cortantes son transformaciones lineales. Si T : IR2 X , entonces

→

on del eje IR2 es un deslizamiento cortante en un factor k en la direcci´

T (e1 ) = T

�� 1 0

=

1 0

,

T (e2 ) = T


�� 0 1

=

k 1



34

De modo que la matriz estandar ´ para T es

� � 1 k 0 1

De modo analogo, ´ la matriz est´ andar para un deslizamiento cortante en la direcci´ on del eje Y , de factor k es: 1 0 k 1

� �

´ La multiplicaci´ Observacion. on por la matriz identidad de orden 2 2 aplica a cada punto en s´ ı mismo. A esta transformaci´ on se le denomina transformacion ´ identidad. Si se desea, es posible imaginar esta transformaci´ on como una rotaci´ on que describe un angulo ´ de 0 ◦ , o bien, como un deslizamiento cortante a lo largo de cualquiera de los ejes, con k = 1 , o bien, como una comprensi´ on o una expansi´ on a lo largo de cualquiera de los ejes, con un factor k = 1 .

×

Si se efect´ uan una sucesi´ on finita de transformaciones de IRn hacia IRn , entonces es po sible obtener el mismo resultado, mediante una sola transformaci´ on matricial, veamos el siguiente ejemplo. ongase que se hace girar el plano hasta que describe un angulo ´ Ejemplo 1.36. Sup´ θ y, a continuaci´ on, se sujeta a un deslizamiento cortante en un factor k en la direcci´ on del eje X . Encu´ entrese una sola transformaci´ on matricial que produzca el mismo efecto que el de las dos transformaciones sucesivas. Soluci´ on. Bajo la rotacion ´ de un angulo ´ θ , el punto (x, y) se transforma en el punto (x ′ , y ′ ) , cuya transformaci´ on esta dado por

� � � x′ y ′

=


�� x y

(1.4)

Bajo el deslizamiento cortante, el punto ( x ′ , y ′ ) se transforma entonces en el punto ( x ′′ , y ′′ ) con las coordenadas dadas por

� � � �� x ′′ y ′′

=

1 k 0 1

x′ y ′

(1.5)

Al reemplazar (1.4) en (1.5) se llega a

� � � �� x ′′ y ′′

=

1 k 0 1


�� x y

o equivalentemente,

� � � x ′′ y ′′

=

Cosθ + kSenθ −Senθ + kCosθ Senθ Cosθ


�� x y



35

Por lo tanto, la rotacion ´ seguida por el deslizamiento cortante se pueden efectuar por medio de la transformaci´ on matricial con matriz

�

Cosθ + kSenθ −Senθ + k Cosθ Senθ Cosθ

�� x y

En general, si se llevan a cabo una sucesion ´ finita de transformaciones matriciales

T 1 (x) = A 1 x,

T 2 (x) = A 2 x , . . . , Tn (x) = A n x

de IRn hacia IRn (primero T 1 , a continuaci´ on T 2 , y as´ı sucesivamente), entonces se obtiene el mismo resultado por medio de la transformaci´ on matricial unica ´ T (x) = Ax , en donde

A = A k

··· A A 2

1

(1.6)

N´ otese que se obtiene el orden en el que se llevan a cabo las transformaciones al leer de derecha a izquierda en (1.6). Ejemplo 1.37. . a) H´ allese una transformaci´ on matricial de IR2 hacia IR2 que primero lleve a cabo un deslizamiento cortante en un factor de 2 en la direcci´ on del eje X y, a continuaci´ on, realice una reflexi´ on respecto a la recta : y = x .

L

b) H´ allese una transformaci´ on matricial de IR2 hacia IR2 que primero realice una refle xi´ on respecto a la recta ´ lleve a cabo un deslizamiento : y = x , y a continuacion cortante en un factor de 2 en la direcci´ on del eje X .

L

Soluci´ on. a) La matriz est´ andar para el deslizamiento cortante es

A1 =

� �

A2 =

� �

1 2 0 1

y para la reflexion ´ es

0 1 1 0

de modo que la matriz est´ andar para el deslizamiento cortante seguido por la refle xi´ on es: 0 1 1 2 0 1 = A2 A1 = 1 0 0 1 1 2

� ��

b) La reflexi´ on seguida por el deslizamiento cortante se representa por medio de:

A1 A2 =

� �� 1 2 0 1

0 1 1 0


=

2 1 1 0



36

´ En este ultimo Observacion. ´ ejemplo, vemos que A1 A2 = A2 A1 , de manera que el efecto de realizar primero un deslizamiento cortante y, a continuaci´ on, una reflexi´ on es diferente de realizar la reflexi´ on y, a continuaci´ on, el deslizamiento cortante.

̸

Teorema 1.7. Si T : IR2



→

on por una matriz inversible, entonces: IR2 es la multiplicaci´

a) La imagen de una recta es otra recta. b) La imagen de una recta que pasa por el origen es otra recta que pasa por el origen. c) Las im´ agenes de rectas paralelas son rectas paralelas. d) La imagen del segmento rectil´ ıneo que une los puntos P y Q es el segmento rectil´ ıneo que une las im´ agenes de P y Q . e) Las im´ agenes de tres puntos est´ an sobre una recta si y s´ olo si los puntos tambi´ en lo estan. ´ acese el esquema de la imagen del cuadrado con v´ ertices Ejemplo 1.38. Tr´ on por P1 (0, 0), P2 (1, 0), P3 (0, 1) y P 4 (1, 1) bajo la multiplicaci´

A =

�

−1 2 2 −1

�

Solucion. Puesto ´ que

� �

−1 2 2 −1

��

−1 2 2 −1

��

0 0

0 1

=

=

0 0

,

2 −1

−1 2 2 −1

,

��

−1 2 2 −1

1 0

=

−1 2

�� 1 1

=

1 1

La imagen del cuadrado unitario es el paralelogramo con v´ ertices ( 0, 0), (−1, 2), (2, −1) y (1, 1) (Ver Figura.1.7) y

0 ,1

T  x, y    x  2 y,2 x  y 

1 ,2  y

1 ,1 1 ,0 

1 ,1 x

x

2 ,1 Figura 1.7:



´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales Ejemplo 1.39. Sea la transformaci´ on lineal T : IR2 mine la imagen de la recta : y = 2x + 1.

L



→

37

IR2 , T (x, y) = (3x + y,2x + y). Deter-

� �

3 1 , 2 1 cuyo determinante es Det(A) = 1 = 0 , entonces la matriz A es inversible, de acuerdo al teorema.1.7, la imagen de esta recta es otra recta. Solucion. ´ Sea (x, y) on lineal, : y = 2x + 1 y (x ′ , y ′ ) su imagen bajo la transformaci´ entonces 3 1 x x′ = 2 1 y y ′ Soluci´ on. La representacion ´ matricial de T en las bases can´ onica es la matriz A =

̸

∈ L

� ��

y −1

� � � �� x y

3 1 2 1

=

x′ y ′

=

��

1 −1 −2 3

x′ y ′

de donde,

x = x ′ − y ′ y = −2x ′ + 3y ′ Al sustituir en y = 2x + 1 da −2x ′ + 3y ′ = 2 (x ′ − y ′ ) + 1

lo cual es la recta que se desea.

1.4.

⇒L

′ : y ′ = 4 x ′ + 1 5 5

´ matricial de una transformaci on ´ Representacion lineal

Teorema 1.8. Sea β1 = { u 1, u 2 , . . . , un } y β2 = { v1 , v2 , . . . , vn } dos bases ordenadas del espacio vectorial V. Sean a ij IR escalares tales que:

∈

v1 = a 11 u 1 + a12 u 2 +

·· · + a u + a u + ·· · + a

1n u n

v2 = a 21 .. .

2n u n

1

22

2

...

vn = a n1 u 1 + an2 u 2 +

·· · + a

nn u n

y sea

P =

  

a11 a12 .. .

a21 a22 ...

· ·· · ··

an1 an2 .. ... . ann

  

· ·· Entonces, la matriz P es invertible y para todo v ∈ V se tiene: a1n a2n




38

1. Cβ [ v ] = P Cβ [ v ]. 1

2

2. Cβ [ v ] = P −1 Cβ [ v ] 2

1

Definicion ´ 1.4. Sean las condiciones del teorema anterior, 1. A la matriz P se le dice matriz de cambio de base de la base β 2 a la base β 1 2. A la matriz P −1 se le dice matriz de cambio de base de la base β 1 a la base β 2

1.4.1.

1.5.

´ matricial de un operador lineal Representaci on

Valores y vectores propios

Sean los operadores lineales T 1 : IR2 IR2 , T 1 (x, y) = k (x, y) , T 2 : IR2 IR2 , T 2 (x, y) = ( y, x) y T 3 : IR2 IR2 , T 3 (x, y) = (−x, − y) y T θ : IR2 IR2 , T θ (x, y) = (xCosθ − ySenθ, xCosθ + ySenθ). Consideremos los subespacios vectoriales siguientes:





→

W1 W2



→ →

= { (x, y)

∈ IR = { (x, y) ∈ IR

→

2

/ y = x }

2

/ y = 2x }

As´ ı pues, los subespacios W1 y W2 se transforman en s´ ı mismos por la homotecia T 1 , la simetr´ ıa por el origen, es decir T 3 (W1 ) = W1 y T 3 (W2 ) = W2 , sin embargo T 2 (W1 ) = W1 y ´ subespacio vectorial de IR2 . T 2 (W2 ) = W2 , y si θ con θ = 0 , este no deja invariante ningun El problema planteado es encontrar subespacios vectoriales W V que sean invariantes al transformarlo por un operador lineal T : V ı pues, habr´ a que determinar V. As´ vectores v V tales que v y T ( v) sean proporcionales y por ello pertenecientes al mismo subespacio vectorial. Con esta finalidad se introducen la siguiente definicion. ´

̸

̸

⊂



→

∈

´ 1.5. Sea T (V) y Definicion llama valor propio de T si

∈ L

V un

espacio vectorial, dim (V) = n <

T ( v) = λv para algun ´ vector v = 0, v

̸

, el numero ´ λ se

∞

(1.7)

∈ V.

El vector no nulo v que cumple (1.7) se llama vector propio de T asociado a λ Sea la matriz A asociado al operador T en alguna base β de V , entonces (1.7) se puede escribir del modo siguiente: (1.8) A( v) = λv Ejemplo 1.40. Sean T : IR3

−

→

IR3 , T (x,y,z ) = (−2x,y + z, x + z ).

Los valores propios y vectores propios asociados al operador T son:

λ1 = −2 y v 1 = (−9, −1, 3) , pues T ( v1 ) = T (−9, −1, 3) = (18,2, −6) = −2(−9, −1, 3) T ( v1 ) = λ 1 v 1


⇒



λ2 = 1 y v 2 = (0,1,0) , pues T ( v2 ) = T (0,1,0) = (0,1,0) = 1 (0,1,0) Ejemplo 1.41. Sean T : IR2

−

→

IR2 , T (x, y) = (3x,8x − y).

⇒

39

T ( v2 ) = λ 2 v2

Si λ = 3 y v = (1, 2) , vemos que:

T ( v) = T (1, 2) = (3, 6) = 3 (1, 2)

⇒

T ( v) = 3 (1, 2) = λ v

As´ ı, λ = 3 y v = (1, 2) son valor propio y vector propio asociado al operador T . Ejemplo 1.42. Sean T : IR2

−

→

IR2 , T (x, y) = (−2x − y, 5x + 2y).

Los numeros ´ λ 1 = i, λ2 = −i son los valores propios y los vectores propios son:

w1 =

�

�

−2 + i , 1 , 5

w2 =

�

−2 − i , 1 5

�

son los vectores propios asociados a los valores propios respectivamente. Observaciones. 1. El autovector v asociado a un valor propio λ no es unico, ´ ya que si T ( v) = λv y para en es un vector propio asociado a λ . α = 0 el vector w = αv tambi´ En efecto Ya que si T ( v) = λv , entonces para todo α IR se verifica que si w = α v T ( w) = T (α v) = λ (αv) = λw y, por lo tanto, α v es un vector propio de T asociado a λ .

̸

∈

2. Un vector v, v = 0 no puede ser asociado a dos valores propios de T diferentes.

̸

En efecto , si existen escalares α, β

∈ IR tales que

T ( v) = αv,

T ( v ) = βv

restando tenemos:

T ( v) − T ( v) = T (0) = (α − β) v en consecuencia, tenemos que, α = β pues v = 0 .

̸

La ecuacion ´ (1.8) que sirve para definir los valores propios y vectores propios se puede escribir como: (1.9) (λI − A) v = 0, con lo que los vectores propios, si existen, son los vectores no nulos soluci´ on del sistema lineal homog´ eneo (λI − A)x = 0 Sabemos que este sistema tiene soluciones distintas de la trivial si y solo ´ si, la matriz λI − A no es inversible, o equivalentemente si

Det(λI − A) = 0

(1.10)

As´ ı pues, los valores propios de la matriz A , son todos los escalares λ que verifican la ecuacion ´ (1.10). Esta observaci´ on induce la siguiente definici´ on.




40

´ Definici´ on 1.6. Se llama polinomio caracter ıstico de una matriz cuadrada A al polinomio pA (λ) = Det (λI − A) Nota. 1. El grado del polinomio caracter´ ıstico es igual a la dimensi´ on del espacio vectorial V , es decir: grad( pA (λ) = n = dim (V) 2. N´ otese que los valores propios de T son las ra´ ıces del polinomio caracter´ ısticos. Adem´ as estas ra´ ıces son n´ umeros reales o n´ umeros complejos. Los valores propios pueden ser repetidos, con lo que podemos dar la siguiente definici´ on. ´ 1.7. Se llama multiplicidad algebraica de un valor propio, a su multipliciDefinicion dad como ra´ ız del polinomio caracter´ ıstico, es decir, al numero ´ de veces que aparece como ra´ ız de dicho polinomio. Ejemplo 1.43. Calcular los valores propios y vectores propios del operador

T : IR3

−

→

IR3 ,

T (x,y,z ) = (−2x,y + z, x + z ),

cuya representaci´ on matricial en la base can´ onica de IR3 es:

A =

 

−2 0 0 0 1 1 1 0 1

 

Soluci´ on. El polinomio caracter´ ıstico de la matriz A es:

pA (λ) = Det (λI − A) = (λ + 2)(λ − 1)2 Luego los valores propios de A son:

λ1 = −2 de multiplicidad algebraica 1 λ2 = 1 de multiplicidad algebraica 2 y los vectores propios asociados a sus valores propios son: Si λ 1 = −2 entonces v 1 = (−9, −1, 3) Si λ 2 = 1 entonces v 2 = (0,1,0) Nota. En este ultimo ´ ejemplo, vimos que las soluciones del sistema lineal homog´ eneo son los vectores del n´ ucleo de la matriz de coeficientes del sistema. Entonces sabemos que el nucleo ´ de una matriz de tama˜ no n n es un subespacio vectorial de IRn , por lo tanto podemos dar la siguiente definicion. ´

×



´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales Definici´ on 1.8. Sea λ un valor propio asociado a la matriz A de tama˜ no n subespacio propio de A asociado a λ al subespacio vectorial

EA (λ) = Ker (λI − A) = { x

∈ IR

n

41

× n. Se llama

/ ( λI − A)x = 0 }

Ejemplo 1.44. Calcular los valores propios, vectores propios y los subespacios vectoriales de la matriz A 2 2 1 A = 1 3 1 1 2 2

 

 

soluci´ on. El polinomio caracter´ ıstico de la matriz A es:

pA (λ) = Det (λI − A) = (λ − 5)(λ − 1)2 Por lo tanto los valores propios son λ 1 = 5 y λ 2 = 1 , este ultimo ´ con multiplicidad algebraica 2. Calculamos los vectores propios. Para λ 1 = 5 los vectores propios son las soluciones no nulas del sistema lineal homog´ eneo (5I − A)x = 0 , es decir, del sistema

 

3 −2 −1 2 −1 −1 −1 −2 3

cuyo conjunto soluci´ on es

          ⇐⇒  x1 x2 x3

0 0 0

=

        

1 0 −1 0 1 −1 0 0 0

x1 x2 x3

=

0 0 0

{α (1,1,1) / α IR}

∈

Por lo tanto, el subespacio propio es:

EA (5) = (1,1,1)

⟨

⟩

siendo { (1,1,1)} base para el subespacio E A (5). Para λ 1 = 1 los vectores propios son las soluciones no nulas del sistema lineal homog´ eneo (I − A)x = 0 , es decir, del sistema

siendo

 

−1 −2 −1 −1 −2 −1 −1 −2 −1

          ⇐⇒  x1 x2 x3

0 0 0

=

1 2 1 0 0 0 0 0 0

{(−2a − b,a,b) a, b

         x1 x2 x3

=

0 0 0

∈ IR}

el conjunto de soluciones, por lo tanto el subespacio propio es

EA (1) = (−2,1,0), (−1,0,1)

⟨

⟩

y { (−2,1,0), (−1,0,1)} es una base del subespacio vectorial E A (1).





´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales Teorema 1.9. Sea A

42

n n

∈ IR × . Entonces

1. A y AT tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas. 2. Si λ es un valor propio de A y k 1 , entonces λ k es un valor propio de A k .

≥

Teorema 1.10. Si A IRn×n es una matriz triangular (superior o inferior) entonces sus valores propios son los elementos de la diagonal.

∈

´ 1.9. Sean A, B IRn×n . Se dice que A y B son matrices semejantes si existe Definicion una matriz inversible P IRn×n tal que:

∈

∈

B = P −1 AP

Ejemplo 1.45. Comprobar que B = P −1 AP , es decir las matrices A y B son matrices seme jantes, siendo:

A =

 

 

1 0 2 −1 1 1 0 0 2

,

B =

        

1 −1 1 0 2 1 0 0 1

   

,

P =

´ Solucion. Determinando la matriz inversa de P , tenemos:

P−1 = Luego multiplicar: −1

P A P =

=

   

= B

− 12 1 2 − 12

1 1 0 0 0 1

1 −1 1 0 2 1 0 0 1

− 12 1 1 1 0 0 2 1 −2 0 1

1 0 2 −1 1 1 0 0 2

  

 

0 2 0 1 0 −1 0 1 1

0 2 0 1 0 −1 0 1 1

 

 

Teorema 1.11. Sean A y B dos matrices semejantes, entonces: 1. A y B tienen el mismo polinomio caracter´ ısticos 2. A y B tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas. En efecto. Si B es semejante a A , entonces existe P

pB (λ) = Det (Bλ I)

n

∈ GL(IR ) , tal que: B = P

−1

AP , luego:

= Det (P −1 AP − λP−1 P) = Det (P −1 (A − λI)P ) = Det (P −1 )Det(A − λI)Det(P) = Det (P −1 )Det(P)Det(A − λI) = Det (I)Det(A − λI) = Det (A − λI) = p A (λ)




43

Ejemplo 1.46. Sabiendo que A = PBP −1 con

A =

  

−1 − 4 0 −2 8 13 4 8 4 6 3 4 −12 −20 −8 −13

Calcular: A 6 y 2A5 − 4A2

  

,

B =

  

1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1

  

,

P=

  

1 1 2 0

0 1 3 1

4 2 1 1

1 1 2 1

  

Son varias las propiedades que comparten las matrices semejantes. A continuaci´ on estudiamos algunas de ellas, pero primero necesitamos recordar la definicion ´ de la traza de una matriz y una propiedad de la misma dada. Definicion ´ 1.10. Sean A IRn×n . Se llama traza de la matriz A a la suma de los elementos de la diagonal principal de A , escribimos

∈

n

tr(A) =

�

aii

i=1

Lema 1.11. Sean P, Q ∈ IRn×n , entonces tr(PQ) = tr (QP) ˜ n Teorema 1.12. Sean A y B dos matrices semejantes de tamano

× n , entonces:

i) Det(A) = Det (B) ii) Rang(A) = Rang(B) iii) tr(A) = tr (B) En efecto. Como A y B es semejante, entonces existe una matriz P inversible tal que: B = P −1 AP i) Det(B) = Det (P−1 AP) = Det (P−1 )Det(A)Det(P) = Det (A) ii) iii)

1.6.

´ Diagonalizacion

Una clase particular de matrices la constituyen aquellas que son semejantes a una matriz diagonal. Justamente este hecho es el que aparece en la introducci´ on de este cap´ ıtulo. Vamos a estudiar condiciones necesarias y suficientes para que una matriz cuadrada A sea semejante a una matriz diagonal D . Empezaremos dando algunos resultados previos.




44

Teorema 1.13. Sea A una matriz cuadrada de tamano ˜ n n y sean λ 1 , λ2 , . . . , λs los distintos valores propios de A . Entonces la suma de los correspondientes subespacios propios EA (λi ), i = 1, 2, . . . , s , es directa.

×

Podemos deducir, como consecuencia del teorema anterior, que los vectores propios de una matriz, asociados a valores propios distintos, son linealmente independientes. Definicion ´ 1.12. Una matriz A de tama˜ no n n se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, es decir, si existe una matriz P GL (IRn ) tal que:

×

∈

P−1 AP = D siendo D una matriz diagonal. no n Teorema 1.14. Una matriz A de tama˜ tores propios linealmente independientes.

× n es diagonalizable si y s´ olo si, tiene n vec-

´ Demostracion. Sean u 1 , u 2 , . . . , un los n vectores propios linealmente independientes, tales que: Au i = λ i u i , i = 1, 2, . . . , n Podemos escribir equivalentemente del modo siguiente:

Au i = λ i u i

⇐⇒

A[ u 1 u 2 . . . un ] = [λ1 u 1 λ 2 u 2 . . . λn u n ] = [ u 1 u 2 . . . un ]

que denotamos como AP = PD , donde

P = [ u 1 u 2 . . . un ]

y

D =

  

λ1 λ2 ..

.

λn

  

λ1 λ2 ..

.

λn

  

  

Claramente P es inversible ya que los vectores u 1 , u 2 , . . . , un son linealmente independientes. Luego D = P −1 AP es decir A es diagonalizable. Rec´ ıprocamente, supongamos que A es diagonalizable, entonces podemos encontrar una matriz inversible P tal que: P−1 AP = D es una matriz diagonal, o equivalentemente

AP = PD


(1.11)



45

Si escribimos P por columnas como

P = [ u 1 u 2 . . . un ] se sigue de (1.11) que

Au i = λ i u i ,

i = 1, 2, . . . , n

donde λi es el i− esimo ´ elemento de la matriz diagonal de D. Luego las columnas de la matriz P son n vectores propios de A , que seran ´ linealmente independientes ya que P es inversible.

Cuando A es diagonalizable entonces el conjunto de los n vectores propios son una base para el espacio vectorial IRn. Ejemplo 1.47. Diagonalizar la matriz

A =

 

1 1 1 0 3 0 2 −1 2

 

Soluci´ on Calculemos en primer lugar los valores propios de A. Para ello hallemos las ra´ ıces del polinomio caracter´ ıstico

pA (λ) = Det(A − λI) = = λ(λ − 3)2 = 0

 

1−λ 1 1 0 3−λ 0 −1 2 − λ 2

 

= 0

Por lo tanto, los valores propios de A son λ1 = 0 y λ2 = 3 , este ultimo ´ con multiplicidad algebraica 2 . En segundo lugar hallaremos los vectores propios. Para λ 1 = 0 , los vectores propios son las soluciones no triviales del sistema lineal homog´ eneo ( A − 0 I)x = 0 , es decir:

cuyo conjunto soluci´ on es

 

1 1 1 0 3 0 2 −1 2

         x y z

=

0 0 0

EA (0) = Env {(−1, 0, 1)}. Una base de vectores propios de EA (0) esta formado por el vector u 1 = (−1, 0, 1). La dimen si´ on geom´ etrica de este subespacio E A (0) es 1 .




46

Para λ 2 = 3 los vectores propios son las soluciones del sistema lineal homog´ eneo (A − 3I)x = 0 , es decir: −2 1 1 x 0 0 0 0 y = 0 2 −1 −1 z 0

 

siendo

        

EA (3) = Env {(1, 2, 0), (1, 0, 2)} el conjunto de soluciones. Una base para el subespacio E A (3) esta´ formado por los vectores ´ geom´ etrica del subespacio E A (3) es u 2 = (1, 2, 0) y u 3 = (1, 0, 2) , por lo tanto la dimension 2. Por el teorema.1.14 el conjunto { u 1 , u 2 , u 3 } , es linealmente independiente, con lo que la matriz P = [ u 1 u 2 u 3 ] es inversible. Obs´ ervese por ultimo ´ que A = PDP −1 siendo

P =

 

−1 1 1 0 2 0 1 0 2

 

,

P

−1

=

 

−2/3 1/3 1/3 0 1/2 0 1/3 −1/6 1/3

 

D =

y

 

0 0 0 0 3 0 0 0 3

 

El orden de las columnas de P esta´ en funci´ on del orden de colocaci´ on de los valores propios en D ya que A[ u 1 u 2 u 3 ] = [ u 1 u 2 u 3 ]D Si tomamos los valores propios en otro orden, por ejemplo construimos

D1 =

 

3 0 0 0 0 0 0 0 3

 

entonces la matriz de vectores propios correspondientes es

P1 = [ u 2 u 1 u 3 ] ya que

 ⇐⇒  P1 =

1 −1 1 2 0 0 0 1 2

 

A[ u 2 u 1 u 3 ] = [ u 2 u 1 u 3 ]D1 Las matrices D y D1 tienen los mismos elementos en la digonal principal. Aun ´ podemos decir mas, ´ dada la matriz D , si definimos

P2 =

 

−1 1 1 0 0 2 1 2 0

 




47

se verifica que A = P2 DP2−1 . Lo cual nos permite afirmar que dada la matriz diagonal D , la matriz P formada por los vectores propios no es, en general unica. ´  Ejemplo 1.48. Dada la matriz

A = diagonalizarla si es posible.

 

1 0 6 0 −1 0 1 1 2

 

´ Solucion. Realizaremos el problema en dos etapas. Primero calculemos los valores propios de A

pA (λ) = Det (A − λI) = (λ + 1)2 (λ − 4) = 0 Los valores propios son λ 1 = −1 con multiplicidad algebraica 2 y λ 2 = 4 con multiplicidad algebraica 1 . En segundo lugar obtendremos los vectores propios asociados a cada uno de los valores propios. Para λ 1 = −1 , se resuelve el sistema lineal homog´ eneo ( A + I)x = 0 , es decir

 

obteniendo

2 0 6 0 0 0 1 1 3

         x y z

0 0 0

=

EA (−1) = Env {(−3, 0, 1)} Claramente dim (EA (−1)) = 1 y el vector u 1 = (−3,0,1) constituye una base para el subes pacio E A (−1). Para λ 2 = 4 , se resuelve el sistema lineal homog´ eneo ( A − 4I)x = 0 , es decir

obteniendo

 

−3 0 6 0 −5 0 1 1 −2

         x y z

=

0 0 0

EA ( 4) = Env {(2, 0, 1)} Claramente dim (EA ( 4)) = 1 y el vector u 2 = (2, 0, 1) constituye una base para el subespacio EA ( 4). El conjunto de vectores propios { u 1 , u 2 } es linealmente independiente. Sin embargo, el conjunto { u 1 , u 2 , z } donde z es otro vector propio de A , es linealmente dependiente, ya que ´ de u 1 o es multiplo ´ z o es un multiplo u 2 . Por lo tanto no existe una base de IR3 formada por



´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales los vectores propios de A , en consecuencia A no es diagonalizable.

48



Observando con detalle estos dos ultimos ´ ejemplos se puede deducir que la matriz dia gonalizable A del ejemplo.1.47 tiene la siguiente propiedad: la suma de las dimensiones de los subespacios propios es justamente la dimensi´ on del espacio IR3 . Mientras que esta propiedad no se da en el ejemplo.1.48 puesto que la suma de las dimensiones de los subespacios es 2 . Este hecho es b´ asico para caracterizar las matrices diagonalizables. no n n es diagonalizable, si y s´ olo si, la suma de Teorema 1.15. Una matriz A de tama˜ las dimensiones de los subespacios propios es n . Es decir: Si λ 1 , λ2 , . . . , λs son los valores propios de A , entonces A IRn×n es diagonalizable si dim (EA (λ1 )) dim (EA (λ2)) dim (EA (λs ))

×

∈

⊕

⊕···⊕

Para obtener caracterizaciones mas ´ directas de diagonalizaci´ on necesitamos el siguiente resultado. no n Teorema 1.16. Sea A una matriz de tama˜ multiplicidad algebraica m 0 , entonces

× n . Si λ es un valor propio de A de 0

≤ dim (E

A (λ0 ))

≤ m no n × n . A es diagonalizable si, y s´ olo si, se Teorema 1.17. Sea A una matriz de tama˜ 1

0

verifican las dos condiciones siguientes:

i) El polinomio caracter´ ıstico p A (λ) tiene n ra´ ıces reales no necesariamente distintas, es decir (λ − λs )m pA (λ) = (λ − λ1 )m (λ − λ2 )m 1

con m 1 + m 2 +

2

···

s

··· + m = n s

ii) La multiplicidad algebraica de cada valor propio de A , coincide con la dimensi´ on del subespacio propio correspondiente. Ejemplo 1.49. Hallar los valores y vectores propios de la matriz

A =

  

0 −3 1 1

0 −1 2 2 0 0 2 −2

0 2 0 2

diagonalizarla si es posible. ´ polinomio caracter´ ıstico es Solucion El

  

pA (λ) = λ (λ − 4)(λ2 + 1) = 0 Obs´ ervese que el polinomio caracter´ ıstico pA (λ) tiene solamente dos ra´ ıces reales λ1 = 0 2 y λ2 = 4 , el factor (λ + 1 ) s´ olo tiene ra´ ıces complejas. En consecuencia la matriz A no es diagonalizable de acuerdo al teorema.1.17. Los vectores propios son:




49

1. Para λ 1 = 0 entonces E A (0) = (0, −1,0,1) 2. Para λ 2 = 4 entonces E A

⟨ ⟩ ( 4) = ⟨(0,1,0,1)⟩

Una consecuencia inmediata del teorema.1.17 es que las matrices cuadradas de tamano ˜ n n que tiene n valores propios distintos son diagonalizables, es decir.

×

˜ n Corolario 1.50. Sea A una matriz de tamano entonces A es diagonalizable.

× n. Si A tiene n valores propios distintos,

Ejemplo 1.51. Comprobar que la matriz

A =

  

  

2 −2 3 1 1 1 1 −1 1 3 −1 3 0 0 0 2

es diagonalizable. Soluci´ on. Calculando los valores propios de A , es decir, las ra´ ıces del polinomio caracter´ ıstico pA (λ) = Det (A − λI) = (λ + 2)(λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = 0 As´ ı p A (λ) posee cuatro ra´ ıces distintas: −2, 1, 2, 3 y por el corolario, A es diagonalizable. Veamos

λ1 = 3 λ2 = −2 λ3 = 2 λ 4 = 1 entonces la matriz de inversible es

P =

  

⇒⇒ −→−→ ⇒⇒ −→−→

1 −11 0 −1 1 −1 − 4 1 1 14 −3 1 0 0 1 0

v 1 = (1,1,1,0) v 2 = (−11, −1,14,0) v 3 = (0, − 4, −3, 1) v 4 = (−1,1,1,0)

  ⇒  ,

P−1 =

  

1 2

0 0 − 12

luego calculando el producto de las matrices, tenemos:

P−1 A.P =

  

3 0 0 −2 0 0 0 0

0 0 2 0


0 0 0 1

1 10 1 − 15

2 5 1 15

8 5 1 − 15

0

0

1

5 6

− 13

7 3

  

   Transformaciones lineales


1.7.

50

Ejercicios

1. Sea

A =

� � a b c d

demuestre que: a ) A es diagonalizable si: (a − d)2 + 4bc > 0 b ) A no es diagonalizable si: (a − d)2 + 4bc < 0 2. Calcular A 10 , en donde A =

1.8.

�

1 0 −1 2

�

´ de matrices simetricas ´ Diagonalizacion

Mediante ejemplos hemos comprobado que no todas las matrices cuadradas son dia gonalizables, ahora veremos una clase especial de matrices que verifican dichas condiciones la forman las matrices sim´ etricas. Probaremos en esta seccion ´ que dada una matriz sim´ etrica cuadrada existe una base de vectores propios de A . En realidad comprobaremos que existe una base de vectores propios ortonormales. Empezaremos dando un resultado sobre la ortogonalidad de vectores propios asociados a valores propios distintos. Teorema 1.18. Sea A una matriz sim´ etrica de tamano ˜ n n. Entonces los vectores propios asociados a valores propios son ortogonales respecto al producto interno escalar can´ onico del espacio vectorial IRn

×

En efecto. Supongamos que Au = λu y Av = µv , con λ = µ . Realicemos los siguientes calculos ´

̸

⟨Au, v⟩ ⟨Au, v⟩

=

⟨λu, v⟩ = λ⟨ u, v⟩,

= (Au )T v = u T AT v

= u T Au = u, Av = u, λv

⟩ ⟨ ⟩ Luego ( λ − µ )⟨ u, v⟩ = 0 , y como λ̸ = µ , se tiene que ⟨ u, v⟩ = 0 , es decir los vectores u y v son ortogonales.

⟨



etrica tiene, al menos, un valor propio real. Lema 1.13. Toda matriz sim´ Teorema 1.19. Sea A una matriz cuadrada de tama˜ no n n. La matriz A es sim´ etrica si, y s´ olo si, A es diagonalizable mediante una matriz ortogonal. Es decir, existe una matriz ortogonal Q . Es decir, existe una matriz ortogonal Q tal que Q −1AQ es diagonal.

×

Nota. Puesto que se puede construir una base de vectores propios ortonormales de una matriz sim´ etrica, diremos que toda matriz sim´ etrica es diagonalizable por una matriz ortogonal. Es decir si A es sim´ etrica entonces existe una matriz ortogonal Q tal que −1 Q AQ es diagonal.




51

Ejemplo 1.52. Diagonalizar la matriz sim´ etrica.

A =

 

2 0 0 0 3 −1 0 −1 3

Soluci´ on. El polinomio caracter´ ıstico es

 

pA (λ) = det(A − λI) = λ 3 − 8λ2 + 20λ − 16 = (λ − 2)2 (λ − 4) = 0 Los valores propios son λ 1 = 2 con multiplicidad algebraica 2 y λ 2 = 4 . Para λ 1 = 2 , los vectores propios son las soluciones del sistema lineal homog´ eneo ( A − 2I)x = 0 , es decir, de 0 0 0 x 0 0 1 −1 y = 0 0 −1 1 z 0 por lo tanto

 

        

EA (2) = (1,0,0), (0,1,1)

⟨

⟩

La base del subespacio propio EA (2) es, por tanto { u 1 , u 2 } , donde u 1 = (1,0,0) y u 2 = (0,1,1) Para λ 2 = 4 hemos de resolver el sistema ( A − 4I)x = 0 , es decir

 

cuyo conjunto de soluciones es

2 0 0 0 1 1 0 1 1

         x y z

0 0 0

=

EA ( 4) = (0, −1, 1)

⟨

⟩

Por lo tanto, una base de E A ( 4) esta´ formado por el vector u 3 = (0, −1, 1). As´ ı, { u 1 , u 2 , u 3 } es una base de IR3. Para construir la matriz ortogonal Q tal que QT AQ = D sea diagonal, necesitamos una base ortonormal de vectores propios. Como el conjunto { u 1 , u 2 , u 3 } ya es ortogonal, s´ olo hace falta normalizarlo. Los vectores ortonormales son:

1 u 1 = (1,0,0) || u 1 || 1 1 1 = u 2 = 0, , || u 2 || 2 2 1 1 1 u 3 = 0, − , = || u 3 || 2 2

w1 = w2 w3

� �

� √ √

� √ √




52

La matriz ortogonal es

Q = [ w1 w 2 w 3 ] =

Luego calculamos y tenemos:

 

1 0 0 1 1 − √ 0 √ 2 2 1 1 √ √ 0 2 2

T

Q AQ =

 

  ⇒

Q−1 =

2 0 0 0 2 0 0 0 4

es la matriz diagonal semejante a la matriz A.

 



1 0 0 1 √ √ 1 0 2 2 1 1 √ √ 0 − 2 2

 

 

Ejemplo 1.53. Dada la matriz sim´ etrica

A =

 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Hallar una matriz ortogonal Q tal que Q T AQ es diagonal. Soluci´ on Hallemos primero los valores propios de A , entonces el polinomio caracter´ ıstico es: pA (λ) = λ 3 − 3λ2 = λ 2 (λ − 3) = 0 Luego los valores propios son λ 1 = 0 de multiplicidad algebraica 2 y λ 2 = 3 con multiplicidad algebraica 1 . Para λ 1 = 0 los vectores propios son: u 1 = (−1,1,0), u 2 = (−1,0,1) Para λ 2 = 3 el vector propio es: u 3 = (1,1,1) Los vectores { u 1 , u 2 , u 3 } constituyen una base del espacio vectorial IR3. Para hallar la matriz Q tenemos que obtener una base de vectores ortonormales. Sabemos que el conjunto { u 1 , u 2 } es ortogonal a { u 3 } porque son vectores propios asociados a valores propios distintos. as´ ı pues, ortogonalizamos solamente el conjunto { u 1 , u 2 } por el algoritmo de Gram-Schmidt. Tenemos los vectores normalizados, estos son:

− v

→ →− →− 1

= (−1,1,0)

v 2 = (−1,0,1) v 3 = (1,1,1)

⇒ −→ ⇒ −→ ⇒ −→

w 1 = w 2 = w 1 =

� √ √ � � � � √ √ � √ √ √ � 1

−

2

1

−

6

1

3

1

,

2

,−

,


1

3

,

,0

1

6

,

2 3

1

3



53

Entonces la matriz P es:

P=

 

  √ 

1 1 √ − √ − 2 6 1 √ 1 − √ 2

0

√ 1 3 √ 1

6 2 3

3 1 √ 3

, donde Det (P) = 1,

y la matriz inversa de P es P −1 = P T , realizando calculos ´ se comprueba

P−1 =

 

1 − √ 2 1 − √ 6 √ 1 3

√ 1 2 1 − √ 6 √ 1 3

 √  0

2 3 1 √ 3

Luego calculamos el producto de las siguientes matrices, tenemos:

−1

P A.P =

1.9.

 

0 0 0 0 0 0 0 0 3

 

= D

´ ´ a las secciones Formas cuadraticas, aplicacion cuadr´ aticas

En esta seccion ´ se aplican los resultados obtenidos acerca de las transformaciones ortogonales de coordenadas, para el estudio de las ecuaciones cuadr´ aticas, las formas cuadr´ aticas y las secciones c´ onicas. Las formas cuadr´ aticas surgen en una diversidad de problemas importantes referentes a areas ´ tan diversos como las vibraciones, la relatividad y la geom´ etria. Una ecuaci´ on de la forma

ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

(1.12)

en donde a, b, c, . . . , f son numeros ´ reales, y al menos uno de los numeros ´ a, b, c no es cero, se denomina ecuacion ´ cuadr ´ ´ atica en x e y ; la expresion

ax2 + 2bxy + cy2 se llama forma cuadratica ´ asociada. on cuadr´ atica Ejemplo 1.54. En la ecuaci´

3x2 + 5xy − 7y2 + 2x + 7 = 0 las constantes que se mencionan en (1.12) son:

a = 3

b =

5 2

c = −7

d = 2


e = 0

f = 7


´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales ´ cuadr ´ ´ tica Ejemplo 1.55. ecuacion cuadr a

3x2 + 5xy − 7y2 + 2x + 7 = 0 4x2 − 5y2 + 8y + 9 = 0 xy + y = 0

54

´ ´ forma cuadratica asociada

⇒⇒ ⇒

3x2 + 5xy − 7y2 4x2 − 5y2 xy

´ Las graficas ´ de las ecuaciones cuadr´ aticas en x e y se llaman conicas o secciones ´ . Las c´ onicas m´ as importantes son las elipses, las hip´ erbolas y las parabolas, ´ se conicas. onicas dice que estas ´ conicas ´ son c´ onicas no degeneradas. degeneradas. Las c´ onicas restantes se califican como degeneradas como degeneradas e e incluyen puntos aislados y parejas de rectas. ´ estandar , con relacion Se dice que una c´ onica no degenerada se encuentra en posici en posicion ´ a los ejes de coordenadas, si su ecuaci´ on se pueden expresar en una de las formas dadas en la Figura. on Ejemplo 1.56. La ecuaci´ 2 2 x y x2 y 2 + = 1 es de la forma 2 + 2 = 1 con b = 2 y a = 3 4 9 a b Por lo tanto, su grafica ´ es una elipse en posici´ on estandar, la cual se intersecta con el eje X en los puntos (− 2, 0) y ( 2, 0) , y se intersecta con el eje Y en los puntos ( 0, −3) y ( 0, 3).

y2 x2 La ecuaci´ ecuacion ´ x − 8y = −16 se puede reescribir como − = 1 , la cual de la forma 2 16 y2 x2 ı entonces, su gr´ afica es una hip´ erbola en posicion ´ − 2 = 1 con a = 2 y b = 4. As´ a2 b estandar que se intersecta con el eje Y en los puntos ( 0, − 2) y ( 0, 2). 2

2

√

√

√

2 La ecuaci´ ecuacion ´ 5x 2 + 2y = 0 se puede volver a escribir como x 2 = − y , la cual es de la forfor5 2 ma x 2 = ky con co n k = − . Dado que k < 0 , su grafica ´ es una par´ abola abola en posici´ posici´ on estandar 5 que se abre hacia abajo. Obs´ ervese que ninguna conica ´ en posici´ on estandar tiene el t´ ermino xy (conocido como el t´ ermino de ermino de producto cruzado ) cruzado ) en su ecuacion, ´ la presencia de un t´ ermino xy , en la ecuacion ´ degenerada, indica que tal c´ onica est´ a girada a su posici´ on estandar. (Ver Figura). Tambi´ en, ninguna conica ´ en posici´ on estandar tiene tanto un t´ ermino x2 como en x , uno en y 2 y en y . Si no existe t´ ermino de producto cruzado, la presencia de cualquiera de estos dos pares de t´ erminos en la ecuacion ´ de una c´ onica no degenerada indica que tal conica ´ est´ a trasladada respecto a su posici´ on estandar (Ver Figura). Una t´ ecnica para identificar la grafica ´ de una c´ onica no degenerada, que no se encuentra en la posici´ on est´ andar, consiste en hacer girar y trasladar los ejes coordenados xy , para obtener un sistema de coordenadas x ′ y ′ , con relacion ´ al cual la c´ onica onica est´ e en la po sicion ´ est´ andar. Una vez que se hace lo anterior, la ecuaci´ on de la c´ onica en el sistema x ′ y ′ tendr´ a una de las formas dadas en la Figura y, por consiguiente, es posible identificarla con facilidad. facilidad.




55

Ejemplo 1.57. Dado la ecuaci´ on cuadr´ atica

2x2 + y2 − 12x − 4y + 18 = 0 contiene t´ erminos en x 2 , x, y2 e y , pero ningun ´ t´ ermino con producto cruzado, su grafica ´ es una c´ onica que est´ a traslada respecto de la posici´ on est´ andar, pero no est´ a girada. Esta c onica ´ se puede llevar a la posici´ on est estandar, ´ trasladando apropiadamente los ejes coordenados coordenados.. Para hacerlo, hacerlo, agrupense ´ primero los t´ erminos en x e y . Esto conduce a (2x2 − 12x) + ( y2 − 4y) + 18 = 0

o bien

2(x2 − 6x) + ( y2 − 4y) = −18 al completar cuadrados en las dos expresiones que est´ an entre par´ entesis, se obtiene

2(x2 − 6x + 9) + ( y2 − 4y + 4) = −18 + 18 + 4 o bien

2(x − 3)2 + ( y − 2)2 = 4

(1.13)

si se trasladan los ejes de coordenadas por medio de las ecauciones de traslacion ´

x ′ = x − 3

y ′ = y − 2

entonces (1.13) queda

x ′2 y ′2 + = 1 2 4 que es la ecuaci´ on de una elipse en posici´ on est estandar, ´ en el sistema x ′ y ′ . En la Figura se tiene un esquema de esta elipse. 2x ′2 + y ′2 = 4

⇐⇒

Ahora se considera considera la la identificaci´ on de las c´ onicas que est´ an giradas respecto de la posicion ´ est´ andar. En el resto de este secci´ on se sigue una convenci´ on est´ andar de omitir los corchetes en todas las matrices de orden 1 1. Por lo tanto, tanto, el numero ´ 8 se puede escribir como la matriz [8 ] que es una matriz de orden 1 1. Con esta convenci´ on la expresi´ on (1.12) se puede escribir en la forma matricial

×

×

� �� a b b c

x y

x y

+

d e

x y

+ f = 0

o bien

Xt AX + KX + f = 0 en donde

X =

� � x y

,

A =

� � a b b c

,

K =

con esta notaci´ on, la forma cuadr´ atica asociada a (1.14) es

(1.14)

� � d e

Xt AX La matriz sim´ etrica A se denomina matriz denomina matriz de la forma cuadr ´ cuadr atica ´ X t AX




56

Ejemplo 1.58. Las matrices de las formas cuadr´ aticas

3x2 + 5xy + 7y2 son

�

3 5/2 5/2 7

8x2 − 4y2

y

�

�

y

8 0 0 − 4

�

Consid´ erese una conica ´ con la ecuaci´ on

C

Xt AX + KX + f = 0

(1.15)

Ahora se demostrara´ que es posible hacer girar los ejes de coordenados xy de modo que la ecuacion ´ de la c´ onica, en el sistema de coordenadas x ′ y ′ , no tenga t´ ermino con producto cruzado. Paso 1 . Se halla una matriz

P =

�

�

p11 p12 p21 p22

que diagonaliza diagonaliza ortogonalmente ortogonalmente a A . Paso 2 . Se intercambian las columnas de P , si es necesario, para hacer que Det (P) = 1 . Esto asegura que la transformaci´ on ortogonal de coordenadas

X = PX ′ es decir

� � � � x y

= P

x′ y ′

(1.16)

es una rotaci´ rotacion ´ on para en el sistema x ′ y ′ , se sustituye (1.16) en (1.15). Paso 3 . A fin de obtener la ecuaci´ Esto conduce a (PX ′ )t A(PX ′ ) + K(PX ′ ) + f = 0

C

o bien,

X ′t (PtAP)X ′ + K(PX ′ ) + f = 0

(1.17)

Puesto que P diagonaliza ortogonalmente a A ,

Pt AP =

�

λ1 0 0 λ2

�

en donde λ1 y λ2 son los autovalores de A. Por lo tanto, (1.17) se puede volver a escribir como λ1 0 x′ p11 p12 x′ ′ ′ + d e + f = 0 x y 0 λ2 y ′ p21 p22 y ′

�

��

��

��

o bien,

λ1 x ′2 + λ2 y ′2 + d ′ x ′ + e ′ y ′ + f = 0




57

(en donde d ′ = dp 11 + ep21 y e ′ = dp 12 + ep22 ). Esta ecuaci´ on no tiene t´ ermino de producto cruzado. En el siguiente teorema se resume este analisis. ´ Teorema 1.20. ( Teorema de los ejes coordenados para IR2 ). Sea

ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 la ecuaci´ on de una conica ´ , y supongase ´ que

C

Xt AX = ax 2 + 2bxy + cy2 es la forma cuadratica ´ asociada. Entonces se puede hacer girar los ejes coordenados de modo que la ecuaci´ on para en el nuevo sistema de coordenadas x ′ y ′ tenga la forma

C

λ1 x ′2 + λ2 y ′2 + d ′ x ′ + e ′ y ′ + f = 0 en donde λ 1 y λ 2 son los autovalores de A . Se puede llevar a cabo la rotaci´ on por medio de la sustituci´ on X = PX ′ en donde P diagonaliza ortogonalmente a A y det (P) = 1 . Ejemplo 1.59. Describase la c´ onica cuya ecuaci´ on es 5x 2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0 ´ la ecuaci´ on cuadr´ atica en forma matricial Solucion. Escribamos

C

� �� x y

5 −2 −2 5

�� x y

= [36 ]

5 −2 , esta matriz podemos diago5 −2 nalizarlo, para el cual consideremos la matriz de cambio de coordenadas donde la matriz A es la matriz sim´ etrica, A =

X = PX ′

⇐⇒

� � � � x y

= P

x′ y ′

Luego determinemos los valores propios y vectores propios ortonormales

pA (λ) = det (A − Iλ) = λ 2 − 13λ + 36 = (λ − 4)(λ − 9) = 0 entonces tenemos:

λ1 = 4 λ2 = 9

− v

⇒→ ⇒ −→

1

= (2, 1)

� � → ⇒ �√ √ � ⇒ −→ √ √

v 2 = (−1, 2)

− w

1

=

w 2 =


2

,

1

5 5 −1 2 , 5 5



58

Ahora la matriz inversible P es:

P =

�

2 √ √ 1 − 5 5 √ 1 √ 2 5

5

�

Det(P) = 1

, donde

y la matriz inversa de P es

P−1 = P T =

�

√ 2 5 1 √ − 5

√ 1 5 √ 2 5

�

Ahora calculamos el producto de las matrices

P−1 AP =

� � 4 0 0 9

= D

Ahora reemplazamos

Xt AX = [36 ]

(PX ′ )T A(PX) = [36 ]

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ � � � �� ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ X ′T (PT AP)X = [36 ] X ′T (P−1 AP)X = [36 ] X ′T DX = [36 ] x′ y′

4 0 0 9

x′ y ′

= [36 ]

4x ′2 + 9y ′2 = 36 x ′2 y ′2 + = 1 9 4

Como esta ´ c´ onica en el sistema de coordenadas X ′ Y ′ es la elipse, cuyo eje focal sigue la 2 1 direcci´ on del vector w 1 = , 5 5

� � −→ √ √

Ejemplo 1.60. Describase la c´ onica cuya ecuaci´ on es 5x2 − 4xy + 8y2 +

C

20 80 √ x − √ y + 4 = 0 5 5

Ejemplo 1.61. Describase la c´ onica cuya ecuaci´ on es 9x 2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 5

C

1.10.

´ ´ a las superficies Formas cuadraticas: Aplicacion ´ cuadricas

En esta seccion, ´ las t´ ecnicas de la secci´ on anterior se extienden hacia las ecuaciones cuadr´ aticas en tres variables. Una ecuaci´ on de la forma

ax2 + by2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0


(1.18)


´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales en donde a, b , c, . . . , i, j ´ x, y, z ; la expresion

59

´ cuadr ´ ∈ IR y a̸ = 0, b̸ = 0, c̸ = 0 , se denomina ecuacion atica en

ax2 + by2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz es la forma cuadr ´ atica asociada. La ecuacion ´ (1.18) se puede expresar en la forma matricial

�

x y z

o bien

� 

a d e d b f e f c

  �    x y z

+

g h i

�    x y z

+ f = 0

XT AX + KX + f = 0 en donde

X =

    x y z

A =

,

 

a d e d b f e f c

 

,

K =

�

g h i

�

la matriz sim´ etrica A se conoce como matriz de la forma cuadr ´ atica

XT AX = ax 2 + by2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz Ejemplo 1.62. La forma cuadr´ atica asociada con la ecuaci´ on cuadr´ atica

3x2 + 2y2 − z 2 + 3xy − 8yz + 7x + 2y + 3z − 7 = 0 es

3x2 + 2y2 − z 2 + 3xy − 8yz La matriz de esta forma cuadratica ´ es

A =

 

3 3/2 0 3/2 2 − 4 0 − 4 −1

 



´ Las graficas ´ de las ecuaciones cuadr´ aticas en x, y, z se llaman cuadricas o superfi´ A continuaci´ on se dan algunos ejemplos de cu´ adricas y sus ecuaciones. cies cuadricas. Ejemplo 1.63. Descr´ ıbase la superficie cuadrica ´ cuya ecuaci´ on es

4x2 + 36y2 − 9z 2 − 16x − 216y + 304 = 0 ´ Solucion. Al reacomodar los t´ erminos da

4(x2 − 4x) + 36( y2 − 6y) − 9z 2 = −304 completando cuadrados se tiene

4(x2 − 4x + 4) + 36( y2 − 6y + 9) − 9z 2 = −304 + 16 + 324



´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales o´ bien 2

2

2

4(x − 2) + 36( y − 3) − 9z = 36

⇐⇒

60

(x − 2)2 z 2 2 + ( y − 3) − = 1 9 4

Al trasladar los ejes por medio de la ecuacion ´

x ′ = x − 2,

y ′ = y − 3,

z ′ = z

se llega a

x ′2 z ′2 2 ′ + y − = 1 9 4 que es la ecuaci´ on de un hiperboloide de un manto. El resultado que sigue indica que siempre es posible eliminar los t´ erminos de productos cruzados, de la ecuaci´ on de una cu´ adrica, girando los ejes coordenados. Teorema 1.21. Teorema de los ejes principales para IR3 Sea

ax2 + by2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0

(1.19)

la ecuaci´ on de una cuadrica ´ ongase que Q y sup´

Xt AX = ax 2 + by2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz es la forma cuadratica ´ asociada. Entonces es posible girar los ejes coordenados de modo que la ecuaci´ on Q en el sistema de coordenadas x ′ y ′ z ′ tenga la forma

λ1 x ′2 + λ2 y ′2 + λ3 z ′2 + g ′ x ′ + h ′ y ′ + i ′ z ′ + j = 0

(1.20)

en donde λ1 , λ2 y λ3 son los valores propios de la matriz A. Se puede llevar a cabo la rotaci´ on por medio de la sustituci´ on X = PX ′ en donde P diagonaliza ortogonalmente a la matriz A y det (P) = 1 . Este teorema sugiere el siguiente procedimiento para eliminar los t´ erminos de producto cruzado, de una ecuaci´ on cuadr´ atica en x, y e z . Paso 1 . Se encuentra una matriz P que diagonalice ortogonalmente a la matriz A . Paso 2 . Si es necesario, se intercambian dos de las columnas de P para hacer que det(A) = 1 . Esto asegura que la transformaci´ on ortogonal de coordenadas

X = PX ′

es una rotaci´ on.

    ⇐⇒     x y z

= P


x′ y ′ z ′

(1.21)



61

Paso 3 . Se sustituye (1.21) en (1.20) ıbase la superficie cuadrica ´ cuya ecuaci´ on es Ejemplo 1.64. Descr´

4x2 + 4y2 + 4z 2 + 4xy + 4xz + 4yz = 3 Soluci´ on. La forma matricial de la ecuaci´ on cuadr´ atica anterior es:

XT AX = 3 en donde

A =

 

4 2 2 2 4 2 2 2 4

(1.22)

 

Los valores propios de la matriz A son λ 1 = λ 2 = 2 y λ 3 = 8 , los vectores propios son: 1. Si λ = λ 1 = 2 entonces los vectores propios son v 1 = (−1,1,0), v2 = (−1,0,1) 2. Si λ = λ 3 = 8 entonces el vector propio es v 3 = (1,1,1) Luego usando el proceso de ortonormalizacion ´ de Gram-Smhith los vectores ortonormales son

u 1 =

� √ √ � −

1

2

,

1

2

,0 ,

u 2 =

� √ −

1

6

,−

� √ √ 1

6

2

,

6

u 3 =

,

� √ √ √ � 1

3

,

1

3

,

1

3

entonces la matriz de cambio de coordenadas es:

 

P =

1 1 − √ − √ 2 6 1 √ 1 √ − 6 2 √ 2 0 6

√ 1 3 √ 1 3 √ 1 3

 

como det (P) = 1 , la transformaci´ on ortogonal de coordenadas es

X = PX ′

    ⇐⇒     x y z

x′ y ′ z ′

= P

(1.23)

Al reemplazar (1.23) en (1.22) se obtiene

(PX ′ )T A(PX ′ ) = 3

o, de manera equivalente

X ′T (PT AP)X ′ = 3

(1.24)

ya que T

P AP =

 

2 0 0 0 2 0 0 0 8

 




62

(1.23) queda

�

x ′ y ′ z ′

o bien

� 

2 0 0 0 2 0 0 0 8

     x′ y ′ z ′

= 3

2x ′2 + 2y ′2 + 8z ′2 = 3 Esto se puede reescribir como

x ′2 y ′2 z ′2 + + = 1 3/2 3/2 3/8 que es la ecuaci´ on de un elipsoide.

1.11.

Trabajo Encargado

1. Determinar cual de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales a ) T : IR3

IR2 definido por T (x,y,z ) = ( y, x)

b ) T : IR3

IR3 definido por T (x,y,z ) = (x + 1, y + 2, 0)

c ) T : IR2

IR2 definido por T (x, y) = (x + 1, y + 2)

d ) T : IR3

IR3 definido por T (x,y,z ) = (xy, z, x)

e ) T : IR2

IR3 tal que T (x, y) = (x,y,0) + (−1,0,0)

f ) T : IRn

IR definido por T (x1 , x2 , . . . , xn ) = x 1 + x2 +

→→ →→ →→ →→ →→

IRn definido por T (x) = (x, x, . . . , x)

g ) T : IR

h ) T : IR2 i ) T : P 2 j ) T : P 2

··· + x

n

IR definido por T (x,y,z ) = x y P1 definido por T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = a 0 + a1 x P 4 definido por T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = [a0 + ax + a2 x2 ]2

2. Demuestre que si T : V

→

W es

una transformaci´ on lineal, entonces

T ( u − v) = T ( u ) − T ( v),

∀ u, v ∈ V

3. Si T : IR2 on lineal y si T (1, 1) = (2, 0) y T (0, 2) = (3, 1). IR2 es una transformaci´ Halle la regla de correspondencia de T (x, y).

→ → → →

4. Si T : IR3 on lineal y si T (1, −1, −1) = (1, 2), T (1, −1, 0) = IR2 es una transformaci´ (3, 4) y T (1,0,0) = (5, 6). Hallar la regla de correspondencia de T (x,y,z ) y T (1,1,1). 5. Sea T : IR2 IR2 un operador lineal tal que T (1, 0) = (2, 1), T (0, 1) = (1, −1). Determinar la imagen del tri´ angulo rect´ angulo cuyos v´ ertices son ( 1, 1), ( 4, 1) y ( 1, 5). 6. Sea T : IR3

IR3 un operador lineal tal que T (x,y,z ) = (x + 3y + 4z, 3x + 4y + 7z, −2x + 2y).

Hallar: Ker (T ) y Im (T )




63

7. Sea T : IR3 on lineal tal que T (x,y,z ) = (x + y + z, y + z ). IR2 una transformaci´ Determinar Ker (T ) , Im (T ) y sus dimensiones.

→

8. Determinar el n´ ucleo, imagen y las dimensiones de las siguientes transformaciones lineales. a ) T : IR3 b ) T : IR2

→→

IR2 tal que T (x,y,z ) = (x + y + z, y + z )

→

on por IR3 la multiplicaci´

IR tal que T (x, y) = x − 2y

9. Si T es una transformaci´ on lineal definido por T (x,y,z ) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z ) , analizar si T es inyectiva. Halle una base, la dimensi´ on de Ker (T ), Im (T ) 10. Sea T : IR3

 

1 3 4 3 4 7 −2 2 0

 

a ) Demuestre que el nucleo ´ de T es una recta que pasa por el origen y encuentre las ecuaciones param´ etricas de tal recta. b ) Demuestre que el recorrido de T es un plano que pasa por el origen y halle la ecuacion ´ de este plano. 11. Halle la matriz est´ andar de cada uno de los operadores lineales siguientes: ( a) T (x, y) = (2x − y, x + y)

( b) T (x, y) = (x, y)

( c) T (x, y, z ) = (x + 2y + z, x + 5y, z )

( d) T (x, y, z ) = ( 4x, 7y, −8z )

12. Halle la matriz est´ andar de cada uno de las transformaciones lineales siguientes: ( a) T (x, y) = (x, − y, x + 3y,x − y)

( b) T (x, y, z, w) = (7x + 2y − z + w, y + z, −x)

( c) T (x, y, z, w) = ( w, x, z, y, x − z )

( d) T (x, y, z ) = (0, 0, 0, 0, 0)

13. Halle la matriz est´ andar para la transformaci´ on lineal en el plano T : IR2 aplica un punto ( x, y) en a ) su reflexion ´ respecto de la recta

L : y = −x

→

IR2 que

→

IR3 que

´ respecto del origen b ) su reflexion c ) su proyeccion ´ ortogonal sobre el eje X ´ ortogonal sobre el eje Y d ) su proyeccion 14. Halle la matriz est´ andar para la transformaci´ on lineal en el plano T : IR3 aplica un punto ( x, y, z ) en a ) su reflexion ´ respecto al plano

P : z = 0




64

b ) su reflexion ´ respecto al plano

P : y = 0 ´ respecto al plano P : x = 0 c ) su reflexion

15. En cada inciso, describa el efecto geom´ etrico de la multiplicaci´ on por la matriz dada ( a)

� � 3 0 0 1

( b)

16. Sea la transformaci´ on lineal T : IR2

→

�

�

1 0 0 −5

( c)

� � 1 4 0 1

IR3 , T (x, y) = (x + 2y, −x, 0)

a ) Encuentre la matriz de T con respecto a las bases β 1 = { v1 = (1, 3), v2 = (−2, 4)} y β 2 = { w1 = (1,1,1), w2 = (2,2,0), w3 = (3,0,0)} b ) Use la matriz obtenida en a ) para calcular T (8, 3) 17. Sean v 1 = (1, 3) y v 2 = (−1, 4) , y suponga que

A =

�

1 3 −2 5

es la matriz de la transformaci´ on lineal T : IR2 a ) Halle [ T ( v1 )]β y [ T ( v2 )]β

→

� IR2 con respecto a la base β = { v1 , v2 }

b ) Encuentre T ( v1 ) y T ( v2 ) c ) Halle

�� 1 1

18. Sea β = { v1 , v2 , v3 , v 4 } una base para un espacio vectorial V. Halle la matriz con respecto a la base β del operador lineal T : V V definido por T ( v1 ) = v2 , T ( v2 ) = v3 , T ( v3 ) = v 4 y T ( v 4 ) = v 1

→

19. Sea D : P2 on definido D ( p(x)) = p ′ (x). En los incisos a) y P2 el operador derivaci´ b) , halle la matriz de D con respecto a la base β = { p1 , p2 , p3 }

→

a ) p1 = 1, p2 = x, p3 = x 2 b ) p1 = 2, p2 = 2 − 3x, p3 = 2 − 3x + 8x2 c ) Use la matriz que se encontro´ en a ) para calcular D (6 − 6x + 24x2 ) d ) Use la matriz que se encontro´ en b ) para calcular D (6 − 6x + 24x2 ) 20. La matriz de la transformaci´ on lineal T : IR3

→

IR3 respecto de la base

β1 = { (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} de IR3 es:

A =

 

2 1 −1 3 2 2 4 3 2

 

Encuentra la matriz de T respecto de la base β 2 = { (2,1,1), (3,2, − 4), (2,3,3)}



´ Curso: Alg. vectorial lineal y matricial Tema: Transformaciones Lineales 21. Sea T : IR3

→

65

IR3 el operador lineal dado por T (x,y,z ) = (2x − y + z, x + z,3y − 2z )

onica de IR3 a ) Determine la matriz de T respecto de la base can´ b ) Determine la matriz de T respecto de la base

β2 = { (1,2, −1), (3,0,1), (0, − 4, 0)} 22. En el espacio vectorial IR2 considere la base β 1 = { (2, 3), (5, −1)}. Sea P la matriz

P =

� � 1 4 8 7

Determine la base β 2 de IR2 tal que P es la matriz de cambio de la base β 2 a β 1 . 23. En el espacio vectorial IR3 considere la base β1 = {(1,0,0), (0,2,4), (0,1,1)}. Sea P la matriz 1 2 1 P= 3 4 5 0 2 0

 

 

Determine la base β 2 de IR3 tal que P es la matriz de cambio de la base β 1 a β 2 . 24. Demuestre que si las matrices A y B son semejantes entonces Det (A) = Det (B) 25. Sea T : IR3

→

IR3 el operador lineal dado por T (x,y,z ) = (x + y, x + z, y + z )

Sean β 1 , β2 , β3 las bases de IR3 dadas por:

β1 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} β2 = {(2,1,3), (3,2,2), (1, −1, 4)} β3 = {(3, −1, 0), (2,0,3), (0,1,1)} Sea

P la matriz de cambio de base de β 1 a β 2 Q la matriz de cambio de base de β 2 a β 3 R la matriz de cambio de base de β 1 a β 3 a ) Obtenga la matriz de T respecto de la base β 1 b ) Obtenga la matriz de T respecto de la base β 2 c ) Obtenga la matriz de T respecto de la base β 3




66

d ) Verifique que: [T ]β = P −1 [T ]β P 1

2

[T ]β = Q −1 [T ]β Q 2

3

[T ]β = R −1 [T ]β R 1

3

R = (QP)−1 26. Demuestre que las matrices

A =

� � 8 4 3 2

B =

�

7 1 17 3

�

son semejantes. 27. Halle una matriz P que diagonalice ortogonalmente a A y determine P −1 AP ( a) A =

( c) A =

( e) A =

� � � �     3 1 1 3

( b) A =

,

−7 24 24 7

( d) A =

1 1 0 1 1 0 0 0 0

( f) A =

5

√ 3 3

3 3

−1

� √    

�

,

−2 0 −36 0 −3 0 0 −23 −36

2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2

 

 

28. Sea T : IR3 IR3 el operador lineal definido por T (x,y,z ) = (2x− y−z, x−z, −x+ y−2z ). Halle una base para IR3 con relaci´ on a la cual la matriz de T sea diagonal.

−

29. Sea A

→

n n

∈ IR ×

y P una matriz inversible de IRn×n . Demuestre que:

a ) (P−1 AP)2 = P −1 A2 P b ) (P−1 AP)k = P −1 Ak P donde k ZZ+

∈

� �

a b c d Demuestre que:

30. Sea A =

a ) A es diagonalizable si: (a − d)2 − 4bc > 0 b ) A no es diagonalizable si: (a − d)2 − 4bc < 0 31.

a ) Resuelva el sistema

y1′ = y 1 + 4y2 y2′ = 2y 1 + 5y2




67

b ) Halle la solucion ´ que satisfaga las condiciones iniciales y 1(0) = 0, y2 (0) = 0 32.


y1′ = y 1 + 3y2 y2′ = 4y 1 + 5y2 ´ que satisfaga las condiciones iniciales y 1(0) = 2, y2 (0) = 1 b ) Halle la solucion 33.


y1′ = 4y 1 + y3 y2′ = −2y1 + y2 y ′ = −2y + y 3

1

3

´ que satisfaga las condiciones iniciales y1 (0) = −1, y2 (0) = b ) Halle la solucion 1, y3 (0) = 0 34. Halle las formas cuadraticas ´ asociadas con las ecuaciones cuadr´ aticas que siguen: a ) 2x2 − 3xy + 4y2 − 7x + 2y + 7 = 0 b ) x2 − xy + 5x + 8y − 3 = 0 c ) 5xy = 8 d ) 4x2 − 2y2 = 7 e ) y2 + 7x − 8y − 5 = 0 35. Encuentre las matrices de las formas cuadraticas ´ que se dan en el ejercicio (34) 36. Nombre las c´ onicas siguientes ( a) 2x 2 + 5y2 = 20,

( b) x 2 − y2 − 8 = 0,

( c) x 2 + y2 − 25 = 0

( d) − x2 = 2y

( e) 4x 2 + 9y2 = 1,

( f) 4y 2 − 5y2 = 20,

( g) 7y 2 − 2x = 0

( h) 3x − 11y2 = 0

( i) y − x2 = 0,

( j) x 2 − 3 = − y2

37. En cada inciso, una traslacion ´ lleva la c´ onica a la posici´ on est´ andar. Nombre la c´ onica y d´ e su ecuacion ´ en el sistema de coordenadas trasladado a ) 9x2 + 4y2 − 36x − 24y + 36 = 0 b ) x2 − 16y2 + 8x + 128y = 256 c ) y2 − 8x − 14y + 49 = 0 d ) x2 + y2 + 6x − 10y + 18 = 0 38. Las c´ onicas no degeneradas que siguen est´ an giradas respecto a la posici´ on est´ andar. En cada inciso, g´ ırense los ejes coordenadas a fin de eliminar el t´ ermino x y. Nombre la c´ onica y d´ e su ecuaci´ on en el sistema de coordenadas girado.



Alg Lineal 04

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