´ Algebra Algebr a Lineal
Departamento de Ciencias Exactas
1
DEMOS DEMOSTR TRA ACION CIONES ES
1.1
Sea el espacio (V, (V, R, , , < . >, >, . ), donde v1 , v2
⊕
. e p s E s a d a m r A s a z r e u F s a l e d d a d i s r e v i n U
∈ V y α ∈ R Demostrar:
|| ||
1.
||v + v + v || = ||v − v || si y solamente si v es ortogonal a v a v
2.
+ v || + ||v − v || ||v + v
1
1
2
2
1
2
2
1
3. < v1 , v2 >= > =
1 4
4. < v1 , v2 >= > =
1 2
1
2
2
= 2 v1
|| ||
2
2
+ 2 v2
|| ||
2
2
2
||v + v + v || − ||v − v || ||v + v + v || − ||v || − ||v || 1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1.2
Sean v Sean v , u1 , u2 , u3 ,....,uk
∈ V
Si u = u = u 1 + u + u2 + u + u3 + .... + .... + + u uk . Demostrar que
proyv u = proy = proyv u1 + proy + proyv u2 + proy + proyv u3 + .... + .... + + proy proyv uk 1.3
Sea el espacio (Z, (Z, C, , , < . >, >, . ),donde z1 , z2
⊕
4 < z1, z2 >= > = z1 + z + z2
||
1.4
∈ Z . Demostrar la siguiente identidad
|| ||
2
|| − ||z − z || 1
2
2
+ i z1 + iz + iz2
||
2
|| − i||z − iz ||
Teorema de Pit´ agoras: agoras:
Sean u, Sean u, v
∈ V vectores son ortogonales entre s´s´ı entonces cumple con ||u + v + v || = ||u|| + ||v || 2
2
2
1
1
2
2
. B r a z a l a S r e i v a X . C . g n I
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2
EJERCICIOS
2.1
Obtener un vector t
∈
R3
que sea ortogonal a los vectores x = (1, 1, 1), y = ( 2, 1, 2) y
−
−
z = ( 1, 0, 1) . Dibujar a los vectores t, x, y, z en sus respectivos octantes y en una escala
−
R3
adecuada en
. e p s E s a d a m r A s a z r e u F s a l e d d a d i s r e v i n U
para verficar su respuesta. Encontar el unitario de t
2.2
Sea el espacio
R2
formado x 1 = (k + 5, 1
− k) y x = (2, 1) 2
1. Determinar el valor de k para que los vectores sean ortogonales entre s´ı. 2. Con el valor de k obtenido en el inciso anterior, verificar que x 1 , x 2 cumplen con el Teroma de Pitagoras numeral 1.4. 3. En un plano cartesiano dibujar x 1 , x 2 , x 1 + x 2 2.3
Sea el espacio
P2 formado
p(t) = t + b y q (t) = t 2 sobre el intervalo t
∈ [0, 1]
1. Determinar el valor de b para que los vectores sean ortogonales entre s´ı. 2. Con el valor de k obtenido en el inciso anterior, verificar que p(t), q (t) cumplen con el Teroma de Pitagoras numeral 1.4. 2.4
Sea el espacio
C2
formado w = (k, i) y z = (2
− i, 2i)
1. Determinar el valor de k para que los vectores sean ortogonales entre s´ı. 2. Con el valor de k obtenido en el inciso anterior, verificar que x 1 , x 2 cumplen con el Teroma de Pitagoras numeral 1.4. 2.5
} ∈ V que cumplen con ||u|| = ||v|| = 1 , ||w|| = √ 5 , u ortogonal a v , t = 2u − w,
Sean u,v,w
{
t ortogonal a u y t ortogonal a v . Hallar: 2
. B r a z a l a S r e i v a X . C . g n I
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1. < u, w >, y < v, w > 2. el a´rea y per´ımetro generado por el tri´ angulo formado entre u, v,w 3. generar un base ortonormal usando el Teorema de Graham-Schmit 4. la distancia del vector s = u + v + w hacia el espacio formado por V
. e p s E s a d a m r A s a z r e u F s a l e d d a d i s r e v i n U
2.6
Dado el siguiente espacio V = (z1, z2, z3)
{
3
∈ C /iz + (1 + i)z + z = 0} 1
2
3
1. Las distancias. Los ´angulos. Las proyecciones y vectores complemento ortogonal. Las desigualdades triangular y de Cauchy, entre de los vectores que forman su base. 2. Completar V para que genere a
C3 ,
hallando un V ⊥
3. Comprobar que V y V ⊥ son complementarios. 4. Hallar la distancia de v = (0, 1, i) sobre V
−
2.7
Hallar el conjunto de todas las matrices B conmutativas para el producto y ortogonales, para
3 la siguiente matriz A =
1
1 3
2.8
1 Al al matriz A =
1 1
1 0 0
2
−2
1. Agregar dos filas m´ as que sean ortogales entre si a las dos primeras filas 2. Usando la matriz extendida del numeral anterior, usando las columnas A = [v1 v2 v3 v4 ], crear una base ortonormal usando el teorema de Graham-Schmidt. 3. Crear una matriz B donde las columnas son los vectores de la base ortonormal obtenida en el numeral anterior. B = [u1 u2 u3 u4 ] 4. Comprobar que A.B = I o B.B T = B T .B = I
3
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2.9
Sea p(x) = x3
2
− x + 1 Para la base formada por el subespacio generado por los vectores P = { p(x), p (x)} . Extenderla hacia todos los polinomios de grado 3 en el intervalo [0, 2].
2.10
. e p s E s a d a m r A s a z r e u F s a l e d d a d i s r e v i n U
Crear una base ortonotmal para B = 1, x , x2 . Hallar la proyecci´ on proyB f (t) si f (t) = ex .
sobre el intervalo I : [ 1, 1]. Dibujar en mismo plano cartesiano f (t) y proyB f (t) para observar
−
lo obtenido. Comprobar para los valores x =
{−1, −0.5, 0, 0.5, 1} que f (x) ≈ proy
B
f (x)
2.11
Para la base B =
{1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x)},
en el intervalo I : [ π, π]. Hallar el
−
polinomio trigonom´etrico mas pr´ oximo a f (x) = x. Dibujar en mismo plano cartesiano f (t) y proyB f (t) para observar lo obtenido. Comprobar para los valores x = que f (x)
≈ proy
B
f (x)
4
{−π, −0.5π, 0, 0.5π, 1π}
. B r a z a l a S r e i v a X . C . g n I
