MODELADO DE VARIOGRAMAS.
El variograma experimental no puede utilizarse directamente. Por una parte, sólo está defnido para ciertas distancias y direcciones, por lo que es incompleto. Por otra parte, está sujeto a ciertas aproximaciones, aproximaciones, debido al número limitado de datos y a los parámetros de tolerancia utilizado en el cálculo. Para subsanar esta situación, la idea es ajustar un modelo teórico de variograma en torno al variograma experimental. Esta etapa es la ase esencial de todo estudio geoestad!stico, pues aqu! es donde uno "interpreta# la continuidad espacial de la variable en estudio.
AJUSTE DE UN VARIOGRAMA A UN MODELO TEÓRICO. a) ¿por ¿por qué ajus ajustar tar? ?
El objetivo de ajustar un modelo teórico es disponer de una ecuación, la cual se utilizará en los cálculos posteriores. En general, los paquetes computacionales trabajan exclusivamente con el modelo teórico. $espu%s del análisis variográfco disponemos de una interpretación de los &ariogramas experimentales, de sus caracter!sticas 'anisotrop!as, 'anisotrop!as, alcances, mesetas, eectos de pepita(
b) ¿Por qué no trabajar directamente directamente con el el variograma experimental, haciendo coincidir por ejemplo, un polinomio de grado sufciente elevado con la curva experimental?
)as respuestas provienen de dos consideraciones estad!sticas. El variograma y'*( que intervendrá en los cálculos posteriores no es una unción cualquiera, sino debe tener propiedades particulares. +s! por ejemplo, las varianzas que se calculan con y'*( deberán ser siempre positivas y no está garantizado, sin embargo que el polinomio pasando por todos los puntos experimentales cumpla con esa condición. •
•
Por otra parte, se sabe que a partir del mismo conjunto de datos es imposible proporcionar proporcionar a la vez una estimación y la precisión asociada. Esta imposibilidad no permite utilizar el variograma experimental experimental para el cálculo de las varianzas. Estas dos razones nos obligan entonces a escoger un modelo de variograma y ajustarlo al variograma experimental.
$istinguiremos dos &ariogramas • • •
&+-/0-+1+ E2PE-1E34 E2PE-1E3 4+) &+-/0-+1+ 4E5-6/.
1. Variogramas experimena!es.
7e denomina variograma experimental a aquel que es obtenido por estimación a partir de los datos de una muestra. El estimador más común se basa en el m%todo de los momentos, que puede escribirse como sigue '6ressie, 8998( $onde
Por deinición, el variograma pasa por el origen, esto es :;'<(=<. 7in embargo, recuentemente el variograma ex*ibe una discontinuidad en el origen, una caracter!stica denominada eecto pepita o >nugget eect> '?igura 8(. @ournel y Auijbregts '89BC( seDalan que este eecto se puede deber a dos posibles causas errores de medición o microvariaciones del enómeno estudiado, relacionándolo con la escala de observación. 7i la microvariación es continua la única razón para el eecto pepita ser!a un error de medición, pero si no lo es, se puede modelar el proceso a una escala muy pequeDa como "ruido blanco# '6ressie, 8998(.
)a meseta o >sill> '?igura 8( se presenta cuando el variograma deja de crecer y alcanza un valor constante, dentro de cierta distancia.
Este valor es simplemente la varianza a priori de la unción aleatoria. En estos casos, la covarianza existe, y el proceso es estacionario de segundo orden. + medida que la separación * entre dos puntos aumenta, la correlación entre ambos puntos, t!picamente, decrecerá. + un cierto valor de * la correlación se *ace prácticamente nula, y más allá de este valor se puede decir que los puntos no están correlacionados. + esta distancia se le llama rango '?igura 8(. + menudo la correlación espacial entre puntos del espacio no es igual en todas las $irecciones. 6uando ocurre lo anterior, se tiene un proceso anisotrópico, y el variograma no es sólo unción de la distancia * sino que tambi%n de la dirección en la que * crece. 7e pueden distinguir entre dos tipos de anisotrop!a geom%trica y zonal. ". E! #ariograma e$ri%o
6orresponde a una ecuación que se ajusta al variograma experimental
a. MODELO ESFERICO.
$onde a es el rango y c es la meseta o varianza. Este modelo tiene un comportamiento lineal en el origen y alcanza la meseta a una distancia igual al rango a. 7i se asume estacionalidad de segundo orden la relación entre el variograma estandarizado y el correlograma tiene la orma que se muestra en la ?igura.
b. MODELO EXPONENCIAL.
$onde c es la meseta o varianza y a es prácticamente el rango, esto es, la distancia en la que el valor del variograma alcanza el 9F G del valor de la meseta. El modelo es asintótico y tiene un comportamiento lineal en el origen.
c. MODELO GAUSIANO.
$onde c es la meseta o varianza y a es prácticamente el rango 'valor al 9F G de la meseta(. Este modelo tambi%n alcanza asintóticamente la meseta y tiene la orma t!pica de la curva 0aussiana.
d. MODELO SENO CARDINAL.
El modelo seno cardinal de parámetro a y meseta 6 se defne como
e. Modelo potencia.
El variograma potencia de pendiente como
y
exponente
se
deine
Este variograma no posee ni meseta ni alcance, sino que crece en orma indefnida. El exponente puede variar entre < 'variograma pep!tico( y : 'variograma parabólico(. El modelo se llama lineal cuando el exponente vale 8.
REGLAS DE AJUSTE. 6onsideremos el siguiente ejemplo de variograma experimental, calculado a lo largo de las direcciones principales de anisotrop!a en el espacio de tres dimensiones.
+ntes de ajustar un modelo, empecemos con determinar 'visualmente( las principales caracter!sticas del variograma experimental •
El
variograma
tiene
un
eecto
pepita
•
aproximadamenteH En la primera dirección '$8(, el variograma tiene un alcance cercano
•
a :<
de
meseta
<.8
•
En la tercera dirección '$I(, el variograma tiene un alcance cercano
•
a F
$ado que el modelo será la suma de modelos básicos 'variograma anidado(, se va a ir sumando contribuciones positivas a medida que se agregan los modelos anidados. Por esta razón, el modelamiento se realizará yendo "desde abajo *acia arriba# en el eje de ordenada correspondiente al variograma. El primer "*ito# en el eje de ordenada corresponde al eecto pepita, cuya amplitud es de <.8. Por lo tanto, usaremos como primer modelo básico dic*o eecto pepita '?igura 8C+(. El segundo *ito corresponde a la meseta '8.<( en la primera dirección. 6omo ya tenemos un eecto pepita de meseta <.8, sólo alta agregar un modelo básico 'digamos, un exponencial( de meseta <.9 y cuyos alcances en las tres direcciones $8, $: y $I son :<
