metodo de minimos cuadrados

CURSO: ABASTECIMIENTO ABASTECIMIENTO DE AGUA A GUA Y ALCANTARILLAD A LCANTARILLADO O DOCENTE: Ing. FERMIN GARNICA TELLO ESTUDIANTES: 

Apaza Vizcarra, Jaqueline Magaly



Huayta Huaman, Daymer Roussel



Tumbalobos Pillman, Yon Evert



Zabalaga Cari, Jean Eddú TACNA – PERU PERU 2018

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA

RECURSOS HÍDRICOS 2018-I

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo de investigación se presenta de modo que se estudie y predigan variables meteorológicas mediante el método de regresión lineal simple, el cual nos ayuda a tener relaciones entre dos variables, la varíale dependiente y la variable independiente. Ya que es esencial

conocer el efecto que una o varias variables pueden causar sobre

otra, e incluso predecir en mayor o menor grado valores en una variable a partir de otra



MARCO TEORICO

REGRESIÓ LINEAL El análisis de regresión, es una técnica estadística

para

modelar e investigar la

relación entre dos o más variables. Puede usarse un análisis de regresión, para construir un modelo que sea óptimo y permita hacer predicciones. El científico inglés Sir Francis Galton (1822-1911), fue quien desarrolló el análisis de regresión, sus primeros experimentos con regresión comenzaron con un intento de analizar los patrones de crecimiento hereditarios de los guisantes. Animado por los resultados Sir Francis Galton extendió para incluir los patrones hereditarios de la estatura de las personas adultas. Descubrió que los niños que tienen padres altos o bajos tendían a regresar a la estatura promedio de la población adulta. En la regresión lineal simple se establece que Y es una función de solo una variable independiente, con frecuencia se denomina regresión bivariada porque solo hay dos variables una dependiente y una independiente.

Y   0

 1 x   ,



es conocido como modelo de regresión lineal simple,

porque solo tiene una variable independiente, regresor o predictor x, y una variable dependiente o variable respuesta Y. Las estimaciones de

 0

y

 1

deberán dar como resultado una recta que es “el

mejor ajuste para los datos. El científico alemán Karl Gauss propuso estimar los parámetros  0 y  1 a fin de minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales, utilizando el método de mínimos cuadrados.



DETERMINACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Dadas n observaciones de la muestra, se pueden expresar como: 



=  0

Y i

 1 x



i



 , i

i



1,2,3...n

Por lo tanto si tenemos que la ecuación 



Y =  i



0

 1 xi

predice el i-ésimo valor de y (Cuando x=x i), la desviación del valor

observado de Y a partir de la recta



Y



, conocido también como error es (y i - y i), la suma

de los cuadrados de las desviaciones que deben minimizar es la siguiente: n

SCE=

 i



2 i

1

n







( yi  yi ) 2

i 1

n









( yi  (  0   1 xi )) 2

i 1

donde SCE también es llamado la suma de los cuadrados de los errores. Por tanto,



 0



y 

1

son los valores que minimizan SCE, así, se debe resolver el problema de programación no lineal sin restricciones. Para resolver esto se deriva parcialmente y luego se iguala a cero.

 n  i SCE    

 1

0

SCE   0

n



 i 1

        y   xi    i     0

1

2

  



 

0



2 { y i  (  0   1 xi )}



 n  SCE   2    i  



 y

0

2

n



 n   

i

0

1

 i 1

1

  xi    

Igualando a cero obtenemos el siguiente resultado. n

 ( x  1 

 x) ( y i  y )

i

i 1 n



2 ( xi  x)

i 1

Realizamos el mismo procedimiento para encontrar el valor de 1

SCE    0

n

 i 1

      2  y i      xi   xi    0

 n   SCE   2 xi y i      i  



0

1

 n

n

0

1





i 1

i 1

xi   1

  xi     2

Igualando a cero esta ecuación obtenemos el siguiente resultado de 0.

 0



y



 1

x


2.1


MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

El diagrama de dispersión o nube de puntos nos permitía visualizar la relación entre dos variables X e Y. Al representar el diagrama de dispersión podemos encontrar las siguientes situaciones:

 Distribuciones estadísticas para las que la nube de puntos se dispone de tal forma que existe una función matemática cuyos puntos son una parte de su representación gráfica.

 Sin coincidir exactamente sus puntos con las de una gráfica de una función matemática, se aproximan a ella con mayor o menor intensidad.

 La nube de puntos presenta un aspecto tal que no existe concentración de puntos hacia ninguna gráfica matemática, distribuyéndose de una forma uniforme en una región del plano.

En el primer caso se dice que existe una dependencia funcional o exacta entre las variables X e Y, es decir existe una función matemática tal que Y = f(X). En el segundo caso se dice que existe una dependencia estadística o aproximada entre las dos variables, Y aprox f(X). Y en el último caso diríamos que las variables son independientes.

Es el segundo caso del que se ocupa la teoría de la regresión. Las técnicas de regresión tienen por objeto modelizar, es decir, encontrar una función que aproxime lo máximo posible la relación de dependencia estadística entre variables y predecir los valores de una de ellas: Y (Variable dependiente o explicada) a partir de los de la otra (o las otras): X (variables(s) independiente(s) ó explicativa(s)). Llamaremos regresión de Y sobre X a la función que explica la variable Y (dependiente) para cada valor de la X (independiente). Y  f(X) Llamaremos regresión de X sobre Y a la función que explica la variable X (dependiente) para cada valor de la Y (independiente). X  f(y) La regresión es lineal cuando el modelo función de regresión seleccionado es una recta. En cualquier otro caso se dice regresión no lineal. La regresión será simple cuando sólo



tengamos una variable independiente. Cuando tengamos dos o más variables independientes, la regresión será múltiple (no se verá). El procedimiento será:

 Elegir un tipo de función o curva que creamos que mejor relaciona las dos variables; esto lo podemos hacer observando la nube de puntos.

 Obtener la ecuación de la curva, de entre las infinitas de dicho tipo que hay en el plano, que mejor se adapte al conjunto de puntos. El objetivo de obtener esa ecuación será predecir el valor de la variable Y dado un valor x 0 de la variable X.

 Obtener una medida del grado de esta asociación o correlación. Esto me dará la fiabilidad de las predicciones que haga con esta ecuación.

2.1.1

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Dados los puntos (x 1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn), supongamos que hemos elegido una función y=f(x|a1,...,ar ) que queremos ajustar a ese conjunto de puntos y en la que intervienen r parámetros (a 1,...,ar ). Consideramos la nube de puntos correspondiente:

Para cada valor de X, (x i ) tenemos dos valores de Y:

 El valor observado en la muestra (o en la nube de puntos ) yi.  Otro que denominamos teórico, yi*, que se obtendría al sustituir x=x i en la función. Como se puede observar, para cada x i tenemos una diferencia entre los dos valores de Y, que llamaremos residuo: e i = yi - yi*. El método de los mínimos cuadrados consiste en determinar los parámetros (a 1,...,ar ) de tal forma que los residuos sean mínimos. Es decir, buscaremos minimizar la expresión:


n

 


n

 ei

2



i  1

 y i

*

 yi

i  1



2

2

n



 yi



 f x i a1,...,a r

i  1



Es decir, minimizamos la suma de las distancias verticales de los puntos a la curva. La condición necesaria para obtener el mínimo es que las primeras derivadas parciales respecto a cada uno de los parámetros se anulen, es decir,   a 1

      0 a 2  .   .  .     0  a r 0

resolviendo este sistema, denominado sistema de ecuaciones normales, quedan determinados (a1,...,ar ), así como la correspondiente función.

2.1.2

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE.



RECTA DE REGRESIÓN En el modelo de regresión lineal simple la función elegida para aproximar la relación entre las variables es una recta, es decir y=a+bx, donde a,b son los parámetros. A esta recta la llamaremos RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X. Vamos a deducir su ecuación usando el método de los mínimos cuadrados. Dado un valor de X, x i, tenemos los dos valores de Y, el observado, y i , y el teórico, yi* = a + bxi. Así pues, hemos de minimizar: n

 

  y  a  bx  i

i 1

-

i

n 2



 y i

 a  bx i 

i 1

Que derivando respecto a a y a b e igualando a cero:

2



    2  y i  a  bx i   0  a  i     2  y i  a  bx i x i  0  b i

-

Que nos dará un sistema de dos ecuaciones normales y dos incógnitas (a,b). Resolviendo el sistema:

y

 a  b x

  i i i  i xi y i  ai x i  bi x i2  i



i

na    y i  b xi i

x y i

i

  y  bx xi  b xi2 i

x y i

y i

a  y  bx

i

i



i

n

i



 

i

x

i

i

 bxnx  b xi2

i

i

 2 2 x  nx   i  i 

x i y i  ynx  b

i

S xy  bS x2

 

b

S xy S 2x

Y obtenemos que la recta de regresión de Y sobre X es

y = a + bx con los valores

a y b anteriormente calculados, o bien la siguiente expresión: y



y

S xy 

S 2x

x



x

Que sería la misma recta pero expresada en punto pendiente. A la pendiente b de la recta de regresión de Y sobre X se le denomina coeficiente de regresión de Y sobre X. 

RECTA DE REGRESIÓN DE X SOBRE Y Aplicando el mismo razonamiento llegaríamos a la expresión de la recta de regresión de X sobre Y x = a’ + b’y con



S xy

b'



y

S 2y

a'



x



b' y

o bien:

x



x

S xy 

S 2y

y



y

Igualmente a la pendiente b’ de la recta de regresión de X sobre Y se le denomina coeficiente de regresión de X sobre Y. NOTA: Hay que tener en cuenta que la recta de regresión de X sobre Y no se obtiene despejando X de la recta de regresión de Y sobre X.

2.1.3

MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE: CORRELACIÓN



VARIANZA RESIDUAL Para cada valor x i de X, obteníamos una diferencia (el residuo) entre el valor observado de Y en la nube de puntos y el correspondiente valor teórico obtenido en la función. Si todos los puntos de la nube están en la función, la dependencia será funcional; el grado de dependencia será el máximo posible. Cuanto más se alejen los puntos observados de la función (mayores sean los residuos) iremos perdiendo intensidad en la dependencia. Se define la VARIANZA RESIDUAL como la media de todos los residuos elevados al cuadrado:

S 2e  



y i  y i*

i

n



2

 y i 

 a  bx i 

2

i

n

Si la varianza residual es grande los residuos serán grandes y la dependencia será pequeña, el ajuste será malo.



Si la varianza residual es pequeña (cerca de cero), la dependencia será grande, el ajuste será bueno.

Es fácil demostrar que la media de los residuos en la regresión lineal de Y sobre X es cero, es decir,  e = 0. Por tanto la varianza residual recibe este nombre por ser la varianza de los residuos.





VARIANZA DEBIDA A LA REGRESIÓN Nos sirve para ver en qué medida mejora la descripción de una variable a través de la otra. Llamaremos VARIANZA DEBIDA A LA REGRESIÓN a la varianza de los valores teóricos, es decir de los yi*. Se demuestra que  y* =  y , y así pues la varianza debida a la regresión será:

 S

2 y*



y i*  y



2

i

n

Se demuestra que Sy2 = Se2 + Sy*2 Es decir, la varianza total de la variable Y es la suma de dos varianzas: la varianza de Y*, que representaría la parte de la dispersión o variabilidad de la variable Y explicada por la regresión, o sea, por la relación lineal con la variable X y la varianza residual que representaría la parte de la variabilidad no explicada por la regresión. Así pues, cuando aumenta la varianza debida a la regresión, disminuye la varianza residual y el ajuste es bueno y al contrario.

2.1.4

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN El problema de la varianza residual es que vienen afectada por las unidades de medida y esto imposibilita la comparación de la dependencia entre grupos de variable. Teniendo en cuenta la relación entre los diferentes tipos de varianzas, podemos obtener una medida relativa (es decir, que no dependa de las unidades y esté entre cero y uno) de la bondad de ajuste dividiendo la varianza debida a la regresión entre la varianza total de Y. Se define el COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN COMO:

2

R

S2y * 

S2y

o bien

2

R



1



S2e S2y



el coeficiente de determinación (multiplicado por cien) representa el porcentaje de la variabilidad de Y explicada por la recta de regresión, es decir por su relación con la variable X. 

0  R2  1



Si R2 = 1 todos los residuos valen cero y el ajuste es perfecto; si R 2 = 0 el ajuste es inadecuado.

2.1.5

PREDICCIÓN El objetivo último de la regresión es la predicción de una variable para un valor determinado de la otra. La predicción de Y para X = x 0 será simplemente el valor obtenido en la recta de regresión de Y sobre X al sustituir el valor de x por x 0. Es claro que la fiabilidad de esta predicción será tanto mayor cuando mayor sea la correlación entre las variables (es decir mayor sea R 2 o r xy ).



ANÁLISIS DE FRECUENCIAS DE PRECIPITACIONES, UTILIZANDO LA ECUACIÓN DE WEIBULL. (CUADRO Y GRAFICO)  EJEMPLO 01:

Efectuar el analisis de frecuencias de precipitaciones usando la ecuacion de WERBULL para la estacion Pachas (Moquegua) quecuenta con el registro del año 1984 hasat el año 2010 .

AÑO

P (mm)

P (mm)

m

Fq

Fd

F%

Tr=1/f (años)

1984

291.7

400.500

1

1/28

0.036

3.571

28.000

160400.25

1985

67.1

317.800

2

2/28

0.071

7.143

14.000

100996.84

1986

187.9

291.700

3

3/28

0.107

10.714

9.333

85088.89

1987

101.7

263.200

4

4/28

0.143

14.286

7.000

69274.24

1988

93.1

263.000

5

5/28

0.179

17.857

5.600

69169.00

1989

212

259.700

6

6/28

0.214

21.429

4.667

67444.09

1990

70.9

221.300

7

7/28

0.250

25.000

4.000

48973.69

1991

86

212.000

8

8/28

0.286

28.571

3.500

44944.00

1992

53.6

209.600

9

9/28

0.321

32.143

3.111

43932.16

1993

400.5

187.900

10

10/28

0.357

35.714

2.800

35306.41

1994

147

184.100

11

11/28

0.393

39.286

2.545

33892.81

1995

91.3

182.200

12

12/28

0.429

42.857

2.333

33196.84

1996

80.4

180.300

13

13/28

0.464

46.429

2.154

32508.09

1997

317.8

177.400

14

14/28

0.500

50.000

2.000

31470.76

1998

180.3

170.000

15

15/28

0.536

53.571

1.867

28900.00

1999

114

147.000

16

16/28

0.571

57.143

1.750

21609.00

2000

182.2

120.200

17

17/28

0.607

60.714

1.647

14448.04

2001

263.2

114.000

18

18/28

0.643

64.286

1.556

12996.00

2002

184.1

101.700

19

19/28

0.679

67.857

1.474

10342.89

2003

120.2

93.100

20

20/28

0.714

71.429

1.400

8667.61

2004

170

91.300

21

21/28

0.750

75.000

1.333

8335.69

2005

209.6

86.000

22

22/28

0.786

78.571

1.273

7396.00

2006

177.4

81.900

23

23/28

0.821

82.143

1.217

6707.61

2007

81.9

80.400

24

24/28

0.857

85.714

1.167

6464.16

2008

263

70.900

25

25/28

0.893

89.286

1.120

5026.81

2009

255.7

67.100

26

26/28

0.929

92.857

1.077

4502.41

2010

221.3

53.600

27

27/28

0.964

96.429

1.037

2872.96

∑

4627.9

28

∑

994867.25



SOLUCION: a) Hallar la precipitación al P75% de probabilidad de ocurrencia. La precipitación al P75% es = 91.3 b) Hallar la precipitación al P95% de probabilidad de ocurrencia. No se tiene la precipitación al P95%, procedemos hacer la interpolación.

67.100

92.875%

P95%

95%

53.600

96.426%

P95% -53.600

67.1-53.6 ₌

95%-96.4%

P95% =

c)

92.9-96.4

59.021

Hallar la precipitación para 10 año s de retorno.

317.800

14

P10

10

291.700

9.3

P10 -291.700

317.8-291.7 ₌

10-9.3

P95% =

14-9.3

295.587



d) GRAFICO PRECIPITACION (mm) VS TIEMPO (años). F%

P (mm)

3.571

400.5

7.143

317.800

10.714

291.700

14.286

263.2

17.857

263

21.429

255.7

25.000

221.3

28.571

212

32.143

209.6

35.714

187.9

39.286

184.1

42.857

182.2

46.429

180.3

50.000

177.4

53.571

170

57.143

147

60.714

120.2

64.286

114

67.857

101.7

71.429

93.1

75.000

91.3

78.571

86

82.143

81.9

85.714

80.4

89.286

70.9

92.857

67.1

96.429

53.6

e) cálculos adicionales. Precipitacion media



    

=

171.404 mm

Desviacion es tandar

            88.06205191

metodo de minimos cuadrados

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