1. Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos, A, B Y C. Las necesidades mínimas son 160 unidades de A, 2 00 de B y 80 de C. Existen en el mercado dos marcas populares de fertilizante. El llamado crecimiento rápido que cuesta $ 4000 el costal y contienen 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C, y el de crecimiento normal que cuesta $3000 y contiene 2 unidades de cada ingrediente. Si el granjero desea minimizar el costo al tiempo que mantiene el mínimo de los ingredientes nutritivos que se requieren, ¿cuantos costales de cada marca debe comprar? CRECI/RAPIDO CRECI/NORMAL REQUERIMIENTO
A
B
C
COSTO
3 2 160
5 2 200
1 2 80
4000 3000
FUNCIÓN: MIN Z= 4000X + 3000Y RESTRICCIONES 3X + 2Y ≥ 160 5X + 2Y ≥ 200 X + 2y ≥ 80
GRÁFICA 3X + 2Y ≥ 160
X=0 Y=0
Y= 80 X= 53,33
5X + 2Y ≥ 200
X=0 Y=0
Y= 100 X= 4
X=0 Y=0
Y=40 X=80
X + 2y ≥ 80
Coordenadas de los puntos A y B: Para A:
3X + 2Y ≥ 160 X + 2Y ≥ 200
-2X = -40 X = 20 Y = 50 Para B:
3X + 2Y ≥ 160 X + 2y ≥ 80
2X = 80 X= 40 Y = 20 OPTIMIZACION LA FUNCIÓN Z= 4000X + 3000Y (80,0) (40,20) (20,50) (0.100)
4000(80) + 3000(0) = 320000 4000(40) + 3000(20) = 220000 4000(20) + 3000(50) = 230000 4000(0) + 3000(100) = 300000
Paso: La solución del problema para el granjero está en comprar 40 unidades de crecimiento rápido y 20 de crecimiento normal, con un costo mínimo de $ 220.000.
2. Considere el siguiente modelo de programación lineal Minimizar Z = 25X + 30x Sujeto a X +2X ≤ 4 X +X ≥1 X ,X ≥0 ₁
₂
₁
₁ ₁
₂
₂
₂
¿Cuáles son las variables de decisión? Las variables de decisión son X1 y X2 ¿Cuál expresión representa la función objetivo? Es la función Z=25X + 30X , que contiene dichas variables de decisión ₁
¿Es X = 1 y X = 2 una solución factible? X +2X ≤ 4, 1+2(2)=5 no cumple desigualdad X + X ≥ 1 1+2=3 cumple desigualdad, como no cumple una de las restricciones no es factible ₁
₂
₁
₂
₁
₂
¿Es X = 1 y X = 2 una solución factible? X +2X ≤ 4, 1+2(2)=5 no cumple desigualdad X +X ≥1 1+2=3 cumple desigualdad, debido a que se encuentra adentro de las restricciones es factible. ₁
₂
₁
₂
₁
₂
₂
Es la solución factible X = 3 y X = ½ una solución mejor que la solución factible X = 1 Y X = 1? X +2X ≤ 4, 3+1=4 Cumple X + X ≥ 1, 3+1/2=3,5Cumple X +2X ≤ 41+2=3 cumple X + X ≥ 11+1=2 cumple Ambas son tangibles ₁
₂
₁
₁ ₁
₂
₂
₁
₂
₁
₂
Z=25X + 30X Z=25(3)+30(1/2)=90, Z=25(1)+30(1)=50 ₁
₂
La mejor respuesta es la primera opción ambas aplican por estar adentro de las restricciones Desarrollo por método simplex Convertir desigualdades. 25X+30Y=Z -X-2Y-h=-4X +Y-s=1
TABLA1 Base variables de DECISIÓN variables X Y H H 1 2 1 S 1 1 0 Z 25 30 0 TABLA2 Base variables de DECISIÓN X Y H 1 2 S 1 1 Z 25 30 TABLA 3 Base variables de DECISIÓN X Y H 0 1 S 1 1 Z 0 5
variables H 1 0 0 variables H 1 0 0
de holgura S 0 -1 0
de holgura S 4 -1 0 de holgura S 0 -1 25
SOLUCION OPERACIÓN 4 1 0
SOLUCION
OPERACIÓN
4 1 0 SOLUCION OPERACIÓN 3 1 25
P (1,0) = Z donde el valor es 25, X=1, Y=0 3. La fábrica de muebles Maderarco es especialista en la fabricación de dos clases de comedores, cada comedor requiere de una cantidad de tiempo para su construcción y para la pintura; la fábrica desea determinar el número de unidades de cada tipo de comedor a producir diariamente, de tal manera que las utilidad es producidas sean máximas. La fábrica logra una utilidad de U$200 y U$ 240, en la venta de un comedor Clásico y uno Isabelina respectivamente. La fábrica ha experimentado una alta demanda de ambos comedores. En consecuencia el gerente general cree que puede vender todos los comedores que produzca. Los requerimientos y capacidades de producción diario están en la siguiente tabla:
TIEMPO DE CONTRUCCION (HORAS) TIEMPO DEPINTURAS
COMEDOR CLASICO 6 8
COMEDOR ISABELINA 12 4
TOTALES 120 64
Determinar la óptima combinación de los comedores que se deben producir diariamente.
Tabla 1
BASE VARIABLES DE DECISIÓN X clásico Y isabelina H 6 12 S 8 4 Z -200 -240
VARIABLES DE HOLGURA H s 1 0 0 1 0 0
solución operación 120 64 0
10 16
Tabla 2
BASE VARIABLES DE DECISIÓN VARIABLES DE HOLGURA X clásico Y isabelina H s
solución operación
H S Z
10 24 2400
1/2 6 80
1 0 0
1/12
-4/12 -20
0 1 0
20 4
Tabla 3
BASE VARIABLES DE DECISIÓN VARIABLES DE HOLGURA X clásico y isabelina H s
solución operación
H S Z
8 4 2720
0 1 0
1 0 0
3/27 -1/18 -140/9
-1/12 1/6 -40/3
La solución es P (4,8)=Z=2720 con 4 de clásico y 8 de Isabelina teniendo encuentra producción máxima La solución es P (4,8)=Z=2720 con 4 de clásico y 8 de Isabelina teniendo en cuenta producción máxima 4. Un fabricante de juguetes que está preparando un programa de producción para 2 nuevos artículos, “maravilla” y “fantástico”, debe utilizar la i información respecto a sus tempos de construcción que se proporcionan en la siguiente tabla Por ejemplo, cada juguete “maravilla” requiere de 2 horas en la máquina A. las horas de trabajo disponibles de los empleados por semana, son: para la maquina A, 70horas; para la B, 40 horas; para terminado, 90 horas. Si las utilidades de cada juguete “maravilla” y cada juguete “fantástico” son de $40.000 y $60.000, respectivamente, ¿Cuántas unidades de cada uno deben fabricarse por semana con el objeto de maximizar las utilidades? ¿Cuál sería la utilidad máxima? MAQUINA A MARAVILLA 2H FANTASTICO 1H
MAQUINA B 1H 1H
TERMINADO 1H 3H
TABLA 1
BASE
VARIABLES DE DECISIÓN VARIABLES DE HOLGURA X MARAVILLA Y FANTASTICO h s
solución operación D
H S D Z
2 1 1 -40000
0 0 1 0
1 1 3 -60000
1 0 0 0,00
0 1 0 0
70 40 90
TABLA 2
BASE VARIABLES DE DECISIÓN VARIABLES DE HOLGURA X MARAVILLA Y FANTASTICO h s D
solución operación
h s D Z
70 40 90
2 1 1 40000
1 1 3 6000
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
70 40 30
TABLA 3
BASE VARIABLES DE DECISIÓN VARIABLES DE HOLGURA solución Y X MARAVILLA FANTASTICO h s D h s D Z
5/3 2/3 1/3 20000
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
-1/3 -1/3 1/3 -20000
operación
40 10 30 -1800000
TABLA 4
BASE VARIABLES DE DECISIÓN X MARAVILLA Y FANTASTICO
VARIABLES DE HOLGURA h s D
solución operación
h s D Z
1 0 0 0
40 24 10 15 30 90 1800000
5/3 2/3 1/3 20000
0 0 1 0
0 1 0 0
-1/3 -1/3 1/3 -20000
TABLA5
BASE VARIABLES DE DECISIÓN VARIABLES DE HOLGURA X MARAVILLA Y FANTASTICO h s D
solución operación
H S D Z
15 15 25 2100000
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
-5/2 3/2 -1/2 -30000
1/2 -1/2 1/2 -10000
La utilidad máxima es 2100000 con 15 unidades de maravilla y 25 de fantástico
