JESUS MANUEL RESENDIZ TORRES MATRICULA: MATRICULA: 86294 GRUPO: K043 ALGEBRA LINEAL Mtro. Luis Enrique Manzano Martínez ( Docente) Actividad de Aprendizaje No. 2 Vectores en Rn
CDMX, 07 de Agosto de 2018
1.- Sean u=(-1,1,2), v=(2,0,3) y w=(-1,3,9). Hallar en forma de coordenadas el resultado de las siguientes operaciones:
a) u + v - w b) 6u + 2v - 2w
c)⅓ (v + 3u - 4w) d) 4(u + v) - (v – w + u)
a) u+v-w (-1,1,2)+(2,0,3)-(-1,3,9) (-1,1,2)+(2,0,3)= (1,1,5) (1,1,5) – (-1,3,9) = (2,-2,4)
b) 6u+2v-2w 6(-1,1,2)+2(2,0,3)-2(-1,3,9) 6(-1,1,2)= (-6,6,12) 2(2,0,3)= (4,0,6) 2(-1,3,9)= (-2,6,18) = (-6,6,12)+(4,0,6)-(-2,6,18) (-6,6,12)+(4,0,6)=(-2,6,18) = (-2,6,18)-(-2,6,18) (-2,6,18)-(-2,6,18)=(0,0,0) =( (-2)-(-2) 6-6 18-18) ) =(0,0,0)
c)⅓ (v+3u-4w) ⅓ [(2,0,3) + 3( -1,1,2) - 4(-1,3,9)] 3(-1,1,2)= (-3,3,6)
4(-1,3,9)= (-4,12,36) = 1/3 [(2,0,3)+(-3,3,6)-(-4,12,36) (2,0,3) + (-3,3,6) = (-1,3,9) =1/3 [(-1,3,9) – (-4,12,36)] (-1,3,9) – (-4,12,36) = (3,-9,-27) = 1/3 (3,-9,27) = (1,-3,-9)
d) 4(u + v) - (v – w + u) 4[(-1,1,2) + (2,0,3)] – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] =4[(-1,1,2) =4[(-1,1,2) + (2,0,3)] – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] = (2,6,24) =4[(-1,1,2) =4[(-1,1,2) + (2,0,3)] – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] =4(1,1,5) – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] =4(1,1,5) – [(3,-3,-6) + (-1,1,2)] =4(1,1,5) – (2,-2,4) = (4,4,20) – (2,-2,-4) = (2,6,24)
2.- Hallar las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las siguientes rectas: a) La recta paralela a (2,-1,0) que pasa por P(1,-1,3) b) Las rectas que pasan por P (1,0,1) y cortan a la recta de ecuación vectorial p= (1,2,0) + t (2,-1,2) (2,-1,2) en los puntos situados a 3 unidades de distancia del punto Pₒ (1,2,0)
a) La recta paralela a (2,-1,0) que pasa por P(1,-1,3)
Q=(2,-1,0) P=(1,-1,3) v= PQ = OQ-OP= (2,-1,0) – (1,-1,3) = (1,0,-3) (x, y, z)= (1, -1, 3) + t(1,0,-3) Ecuación vectorial
x = l t + + x1 y = m t + + y1 z = n t + + z1 donde las:
{l; m; n} - coordenadas del vector director: AB; (x1, y1, z1) - coordenadas de un punto situado en la recta (coordenadas de un punto A).
AB = {x b - xa; yb - ya; zb - za} = { 1 - 2 ; -1 - (-1) ; 3 - 0 } = { -1 ; 0 ; 3 }
Ecuación paramétrica de la recta: x=-t+2 y = -1 z = 3t
b) Las rectas que pasan por P (1,0,1) y cortan a la recta de ecuación vectorial p= (1,2,0) + t (2,-1,2) (2,-1,2) en los puntos situados a 3 unidades de distancia del punto Pₒ (1,2,0)
x = t + + 1 y = - t z = t + + 1 L=[Pₒ + ta / t € R L= [(1,0,1) + t (2,- 1,2)/t € R Ecuación Paramétrica:
L= [ Pₒ + ta/t € R P€L
P = Pₒ + ta para algún t € R
(x, y , z)= (xₒ yₒ zₒ) + t(a1 a2 a3) x = 1 +1 + 2t L=
y= 0 + 2 – t z= 1 + 0 + 2t
3.- Hallar el punto de intersección (si existe) del siguiente par de rectas: x=4+2s y=6+3s z=1+s x=3+t y=1−2t z=3+3t
x= 4+2s = 3+t
despejamos
y= 6+3s = 1-2t
despejamos
z= 1 + s = 3+3t despejamos
s = t – 1 2 s = 1/3 (-2t-5) s = 3t + 2
tomamos dos ecuaciones anteriores y despejamos 3t + 2 = 1/3 (-2t-5) t = -1
en la ecuación
s = 3(-1) + 2 y obtenemos
s= -1
Sustituimos en las ecuaciones (x, y, z,) x = 4 + 2(-1) = 3 + (-1) 2 = 2 y = 6 + 3(-1) = 1 – 2(-1)
El punto de intersección es (2, 3, 0)
3 = 3 z = 1 + (-1)
=
3 + 3(-1)
0 = 0 4.- Espacios vectoriales: Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por u,v, y w cuando: a. w = (2,1,1), v=(1,0,2) y u=(2,1,-1)
w • (u × v)= det 2 2 1
1 1 0
1 -1 2
=
· 2 -1 1 -1 2 1 = 2 · - 1 + 1 · = 0 2 1 2 1 0
= -2 Por lo tanto el volumen del paralelepípedo paralelepípedo es 2
5.- Hallar el área del triángulo definido por los siguientes vértices: b.
A(3,-1,1), B(4,1,0) y C(2,-3,0)
CA = (1,2,1)
CA × CB = det
CB = (2,4, 0)
i
j
k
1
2
1
2
4
0
= 2j – 4i
Area del triángulo triángulo = √ (2)² - (4)² = √4 – 16 = √-12 2
2
2
6.- Sea V el conjunto de ternas ordenadas ( , , ) y defínase la suma de V como en 3. Para cada una de las siguientes definiciones de multiplicación por un escalar, decidir si V es un espacio vectorial. c. ( , , )=(
, ,
)
d. ( , , )=(0,0,0)
c. a (x,y,z) = (ax, y, z)
(ax, ay, az) ≠ (ax, y, z)
d) a(x, y ,z) = (0,0,0) (ax, ay, az)= (0,0,0) Si a=0 (0,0,0)=(0,0,0)
7.- Subespacios de espacios vectoriales En cada caso determinar si U es un subespacio de R ᵌ, justificar la respuesta: a.
={[1
] | ,
}
b.
={[ 0 ] | 2+ 2=0, ,
}
a) Un subespacio debe contener el vector 0 (0,0,0) Como tenemos un componente fijo 1 NO es subespacio
b) r^2 + s^2 = 0 Si es así y r,s son reales r=s=0 y U = {0 , 0 ,0 } SI, es el subespacio trivial con el vector 0 solamente Independencia lineal 8. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son independientes? Justificar respuesta. a. {[1−1 0] ,[3 2−1] ,[3 5−2] } de
3 No son independientes
{ e1 – e2, e2 – e3, e3 – e1} donde e1; e2; e3; son tres vectores independientes. b) {(1,-1,0),(3,2,-1)(3,5,2)} cualesquiera que sean (x; y; z) Serán independientes si los unicos coeficientes ʎ1, ʎ2, ʎ3, , que podemos poner en la combinación lineal:
ʎ1(e1 - e2) + ʎ2(e2 - e3) + ʎ3(e3 - e1) para que salga cero son todos cero. Por lo tanto det
1 -1 3 2 3 5
0 -1 -2
= -2
b. {[1−1 1−1] ,[2 0 1 0] ,[0−2 1−2] } de
4 Si son independientes
{ e1 – e2, e2 – e3, e3 – e1} donde e1; e2; e3; son tres vectores independientes. b) {(1,-1,1, -1),(2,0,1,0)(0,-2,1,-2)} cualesquiera que sean (x; y; z) Serán independientes si los unicos coeficientes ʎ1, ʎ2, ʎ3, , que podemos poner en la combinación lineal:
ʎ1(e1 - e2) + ʎ2(e2 - e3) + ʎ3(e3 - e1) para que salga cero son todos cero. Por lo tanto det
1 -1 1 -1 2 0 1 0 0 -2 1 -2
=0
9. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente independiente. a. [1+ ,1− , + 2] en P2
1+x=0 1- x=0 x + x² = 0
b.
1 1 0 1 -1 0 1 1 0
det
=0
si en linealmente independiente
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
en M22
Para ello la igualdad
1
1
ʎ1 +
0
1
+ ʎ2 1
0
1
0
+ʎ3 1
1
1
1
+ʎ4 1
1
=0 0
1
10. Encontrar una base y calcular la dimensión de los siguientes subespacios de
∈ ℝ ℝ ℝ
4
.
{[1−1 2 0],[2 3 0 3] ,[1 9−6 6] } 11. Encontrar una base y calcular la dimensión de los siguientes subespacios de ={[
+
− ] | ,
}
12. Encontrar una base de V que incluya al vector v. = 3,=(1,−1,1)
13. Encontrar una base de V que incluya al vector v y w. = 4, =(1,−1,1,−1), =(0,1,0,1)
4
14. Encontrar bases para los espacios fila y columna de A y determinar el rango de A.
2 −4 − 4 6 8 = = [420 −5−1−1−−11 931 1022 ] 1[2 −2−1−−21 33 42 ] 40 −5−1−1 91 102 1[0 3−2 −33 −64 ] 40 −−51 19 102 1[0 1−2 −13 −24 ] 40 −−51 19 102 1[0 1−2 −13 −24 ] 00 3−1 −31 −62 1[0 1−2 −13 −24 ] 00 −01 10 20 1[0 1−2 −13 −24 ] 00 00 00 00
Utilizaremos el método de eliminación de Gauss. Multiplicamos Multiplicamos la fila f ila 1 por ½.
Multiplicamos la fila 1 por -2 y la sumamos a la fila 2.
Multiplicamos la fila 2 por 1/3.
Multiplicamos la fila 1 por -4 y la sumamos a la fila 3.
Multiplicamos la fila 2 por -3 y la sumamos a la fila 3.
Multiplicamos la fila 2 por 1 y la sumamos a la fila 4.
== 10 1−2−13 −24 1 −2 = [000] = [ 100 ]
Vectores que forman una base para el espacio fila
Vectores que forman una base para el espacio columna
El rango de A es de segundo grado. 15. Calcular el rango de cada matriz
1(1 23 −3−2 −20 −3−4 ) 32 18 −9−7 −10−2 −11−3 1(0 21 −31 −22 −3−1 ) 32 18 −9−7 −10−2 −11−3 1(0 21 −31 −22 −3−1) 02 12 −92 −104 −3−2 1(0 21 −31 −22 −3−1) 02 10 −90 −100 −30 1(0 21 −31 −22 −3−1) 00 00 00 00 00
Utilizaremos el método de eliminación de Gauss. Multiplicamos la fila 1 por -1 y lo
sumamos a la fila 2.
Multiplicamos la fila 1 por -3 y lo sumamos a la fila 3.
Multiplicamos la fila 2 por -2 y la sumamos a la fila 3.
Multiplicamos la fila 1 por -2 y la sumamos a la fila 4.
Por lo cual determinamos que el rango de esta matriz es 2
2( 6 −141 ) −610 −161 16. Calcular ‖ ‖ si v es igual a2(1 ,−2,2) ,−2,2) 17. Hallar el ángulo entre los vectores u=(7,−1,3) v=(1,4,− v=(1,4,−1) 1) 18. Calcular la proyección de
=(5,7,1) sobre =(2,− =(2,−1,3) 1,3)
19. Verificar que el siguiente es un producto interno en R2, donde u=(x1,x2) y v=(y1,y2): f(u,v)=x1y1−2x1y2−2x2y1+5 x2y2 20. Considérense los vectores de u=(1,−3) y v=(2,5) en R2. Hallar:
〈 〉
, con con respecto al producto interno usual en R2
‖ ‖ utilizando el producto interno usual en R2
21. Obtener una base ortonormal de
3 mediante la normalización de:
{[1−1 2],[0 2 1],[5 1−2]} 22. Hallar todos los vectores [
{[1 2 1 0],[1−1 1 3],[2−1 0−1],[ , , , ]}
]
4 para que le conjunto sea ortogonal
