1. INSTRUCCIONES:
De acuerdo a lo expuesto en los apuntes de unidad 4 y 5 del curso y la bibliografía sugerida, realiza los siguientes ejercicios. 2. RESOLUCION:
1. Sean u= (−1,1,2), v=(2,0,3) y w=(−1,3,9). Hallar, en forma de coordenadas, el resultado de las siguientes operaciones: operaciones: a.
b.
c.
d.
+− −1,1,−1,11,,15,2− +−1,−2,1,2,30,,93 −= −1,−0,0,1,−32,,9− 44 6+2−2 6−6,−−1,−6,1,6,11,222 += −6,4,4,0,66,12− −2,−22,2,26,.01,883 =4,0,6 2−1,−1,3,9 =−2,6,18 −2,−+3−4 2, +3−4 6,188 − −2,−2,6,188 = 0,0,0,0 1 31 {{2,2,22,,00,,33 ++ 3−3,−−1,−3,1,3,16,2 −4,−4−1,−12,3−,936}} 31 {−1,−1,3,9 −4,−12,−36} 31 −5,−5,−9,−2727 =−1 2 ,−3,−9 34 + − −+ 3 −+ 44{{1,1−1,−,11,,51.2−+1,1,2,2−,03,,3−66− +2,2−1,−,01,,31,2−}−1,−1,3,9 + −1,−1,1,2} 441,{1,1−,11,,51− 0,0,−2,−44} 4,−4,4
2. Hallar las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las siguientes rectas a. La recta paralela paralela a (2,-1,0), que pasa por P(1,-1,3) P(1,-1,3) b. Las rectas que pasan por por P(1,0,1) y cortan a la recta de ecuación vectorial vectorial p=(1,2,0)+t(2,-1,2) en los puntos situados a 3 unidades de distancia del punto P 0(1,2,0)
3. Hallar el punto de intersección (si existe) del siguiente par de rectas.
=4+2 =3+1 =6+3 =1−2 =1+ =3+3 = 2,2,1,1, = 1,1,0,2 = 2,1,1,−11 = |..| | 21 10 − 21 .. = 22 11 − 11 =0−1+4−0+4+1 10 2 = =3 −|−2|−25| = −2 =2 →=3,3,−3,31,,−11,, 14,4−,1,4,04,1,0=2,2,−−1,−3,1,0− 2,1 → = 2,2,−3,0 − 4,4,1,0 =−2,−4,0 − 1 − 2 1 = (−2−20 − −4−41) − (−1−10 − −2−21) + (−1−1−4−4 − −2−2−2−2) −= 20 +− 44 −0 0 + 2 +4−4 =→ 4→ =− 42 ++ 20+ =4−2+0 0√ = √ 16+4+0=√ 1 6+4+0= √ 20=4. 20=4.47 = =2.23 ℝ ,,,,,, =, , =0,0,0 4. Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w cuando:
5. Hallar el área del triángulo definido por los siguientes vértices
Área del triangulo triangulo
u2
6. Sea V el conjunto de ternas ordenadas ( ,,) y defínase la suma de V como en 3. Para cada una de las siguientes definiciones de multiplicación por un escalar, decidir si
V es un espacio vectorial.
ℝ
7. En cada caso, determinar si U es un subespacio de 3. Justificar la respuesta.
∈ℝ ∈ ℝ} ={[1
] | ,
}
={[ 0 ] | 2+ 2=0, ,
8. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son independientes? Justificar respuesta.
a. {[1−1 0] ,[3 2−1] ,[3 5−2]T} de
ℝ ℝ 3
b. {[1−1 1−1] ,[2 0 1 0] ,[0−2 1−2] } de
4
9. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente independiente.
{1 1 , 0 1 , 1 0 , 1 1} 10111101 ∈ ℝ ℝ ℝ 2 − 4 6 8 = [420 −−− 511 9 311 220] a. [1+ ,1− ,+ 2] en P2 b.
en en M22
10. Encontrar una base y calcular la dimensión de los siguientes subespacios de
{[1−1 2 0],[2 3 0 3] ,[1 9−6 6] }
11. Encontrar una base y calcular la dimensión de los siguientes subespacios de ={[ + − ] | ,
ℝ
4
.
4
}
12. Encontrar una base de V que incluya al vector v. = 3,=(1,−1,1)
13. Encontrar una base de V que incluya al vector v y w. = 4, =(1,−1,1,−1), =(0,1,0,1)
14. Encontrar bases para los espacios fila y columna de A y determinar el rango de A.
Utilizaremos Utilizaremos el método de eliminación eliminación de Gauss. Multiplicamos la fila 1 por ½.
1[2 −− 21 33 42 ] 40 −− 51 911 20 1[0 −2−32 −33 −46] 40 −−1−51 91 120 1[0 −2−12 −31 −42] 40 −−1−51 91 120 1[0 −2−12 −31 −42] 00 −1−31 −13 −26 1[0 −2−12 −31 −42] 00 −1−01 10 02 1[0 −2−12 −31 −42] 00 00 00 00 == 10 1− −2 13 −42 1 −2 = [000] = [ 100 ]
Multiplicamos la fila 1 por -2 y la sumamos a la fila 2.
Multiplicamos Multiplicamos la fila 2 por 1/3.
Multiplicamos la fila 1 por -4 y la sumamos a la fila 3.
Multiplicamos la fila 2 por -3 y la sumamos a la fila 3.
Multiplicamos Multiplicamos la fila 2 por 1 y la sumamos a la fila f ila 4.
Vectores que forman una base para el espacio fila
Vectores que forman una base para el espacio columna
El rango de A es de segundo grado.
15. Calcular el rango de cada matriz
11 32 −2−−32 −02 −−43 32 81 −−79 −−120 −−131 10 21 −13 −22 −−13 32 81 −−79 −−120 −−131 10 21 −13 −22 −−13 02 12− 92 − 140 −−32 10 21 −13 −22 −−13 02 1 −0 9 0− 1 00 −03 10 21− 13 − 22 −−31 00 00 00 00 00
Utilizaremos el método de eliminación de Gauss. Multiplicamos la fila 1 por -1 y lo
sumamos a la fila 2.
Multiplicamos la fila 1 por -3 y lo sumamos a la fila 3.
Multiplicamos la fila 2 por -2 y la sumamos a la fila 3.
Multiplicamos la fila 1 por -2 y la sumamos a la fila 4.
Por lo cual determinamos que el rango de esta matriz es 2
2 6 −114 −610 −116
16. Calcular ‖ ‖ si v es igual a2(1 ,−2,2)
17. Hallar el ángulo entre los vectores u=(7,−1,3) v=(1,4,−1)
18. Calcular la proyección de =(5,7,1) sobre =(2,−1,3)
19. Verificar que el siguiente es un producto interno en R2, donde u=(x1,x2) y v=(y1,y2): f(u,v)=x1y1−2x f (u,v)=x1y1−2x1y2−2x2y1+5 1y2−2x2y1+5 x2y2 20. Considérense los vectores de u=(1,−3) y v=(2,5) en R2. Hallar:
〈 〉
, con con respecto al producto interno usual en R2
‖ ‖ utilizando el producto interno usual en R2
ℝ ∈ℝ
21. Obtener una base ortonormal de 3 mediante la normalización de: {[1−1 2],[0 2 1],[5 1−2]}
22. Hallar todos los vectores [
]
{[1 2 1 0],[1−1 1 3],[2−1 0−1],[ , , , ]}
4 para que le conjunto sea ortogonal
