15
c a p í t u l o
SERIES DE TIEMPO TIEMPO Y PRONÓSTICOS
Objetivos •
• • •
Aprender por qué los cambios en los pronósticos que tienen lugar en tiempo constituyen una parte importante de la toma de decisiones Entender las cuatro componentes de una serie de tiempo Utilizar técnicas basadas en la regresión para estimar y pronosticar la tendencia de una serie de tiempo Aprender cómo medir la componente cíclica de una serie de tiempo
• • •
Calcular índices estacionales y usarlos para desestacionalizar una serie de tiempo Ser capaces de reconocer una variación irregular en una serie de tiempo Manejar simultáneamente las cuatro componentes de una serie de tiempo y utilizar el análisis de series de tiempo para pronosticar
Contenido del capítulo 15.1 15.1 Intr Introd oduc ucci ción ón 674 674 15.2 Variaci Variación ón en las series series de tiem tiempo po 675 675 15.3 15.3 Anál Anális isis is de ten tende denc ncia ia 676 676 15.4 15.4 Varia ariaci ción ón cíc cícli lica ca 686 686 15.5 15.5 Variac ariación ión estaci estaciona onall 691 691 15.6 15.6 Varia ariaci ción ón irreg irregul ular ar 699 699 15.7 Problema Problema que que incluye incluye a las cuatro componentes de una serie serie de tiempo tiempo 699 699 15.8 Análisis Análisis de series series de tiempo tiempo en pronós pronóstic ticos os 707
• • • • • •
Estadístic Estadística a en en el trabajo trabajo 708 Ejercicio de base de datos comput computaci aciona onall 709 709 Del libro de texto al mundo real 709 Términos introducidos en el cap capít ítul ulo o 15 710 710 Ecuaciones introducidas en el el capít capítulo ulo 15 711 Ejerci Ejercicio cioss de repaso repaso 712
L
a administración de un campo de esquí tiene los siguientes datos acerca de la ocupación trimestral correspondientes a un periodo de cinco años: Año 1991 1992 1993 1994 1995
1er. trim. 1,861 1,921 1,834 1,837 2,073
2o. trim. 2,203 2,343 2,154 2,025 2,414
3er. trim. 2,415 2,514 2,098 2,304 2,339
4o. trim. 1,908 1,986 1,799 1,965 1,967
Con el fin de mejorar su servicio, servicio, la administración debe entender entender el patrón estacional de la demanda de habitaciones. habitaciones. Con los métodos analizados en este capítulo, capítulo, ayudaremos a la administración del del hotel a discernir ese patrón, patrón, si existe, existe, y a utilizarlo para pronosticar pronosticar la demanda de habitaciones. habitaciones. ■
15.1 Introducción
Uso del análisis de series de tiempo
Los pronósticos, o predicciones, son una herramienta herramienta esencial en cualquier proceso de toma de decidecisiones. Sus aplicaciones varían desde la determinación de los requerimientos de inventario de una pequeña zapatería hasta la estimación de las ventas anuales de juegos de video. La calidad de los pronósticos que los administradores pueden realizar está estrechamente relacionada con la información que puede extraerse y utilizarse a partir de los datos históricos. El análisis de series de tiempo es un método cuantitativo que utilizamos para determinar patrones en los datos recolectados a través del tiempo. La tabla 15-1 es un ejemplo de datos de una serie de tiempo. El análisis de series de tiempo se utiliza para detectar patrones de cambio en la información estadística en intervalos regulares. Proyectamos estos patrones para obtener una estimación para el futuro. En consecuencia, el análisis de series de tiempo nos ayuda a manejar la incertidumbre asociada asociada con los acontecimientos futuros.
Tabla 15-1 Serie de tiempo para el número de buques cargados, cargad os, en Morehe Morehead, ad, Carolina del Norte
Año Número
1988 98
1989 105
1990 116
1991 119
1992 135
1993 156
1994 177
1995 208
Ejercicios 15.1 Conceptos básicos ■ ■ ■ ■
15-1 15-2 15-3 15-4
¿Qué valor tienen los pronósticos en el proceso de toma de decisiones? ¿Con qué propósito aplicamos el análisis de series de tiempo a datos recolectados durante un tiempo? ¿Qué beneficios proporciona la determinación de patrones históricos? ¿Cómo afectarán los errores en los pronósticos al gobierno de una ciudad?
15.2
Variación en las series de tiempo
Cuatro tipos de variación en las series de tiempo
Utilizamos el término serie de tiempo para referirnos a cualquier grupo de información estadística que se acumula a intervalos regulares. Existen cuatro tipos de cambio o variación implicados en el análisis análisis de series de tiempo, tiempo, éstos son: son: 1. 2. 3. 4.
Tendencia secular
Fluctuación cíclica
Tendencia secular secula r Fluctuación cíclica Variación estacional Variación irregular
Con el primer primer tipo de variació variación, n, la tendencia secular , el valor de la variable variable tiende a aumentar o disminuir en un periodo muy largo. El incremento estable en los costos de vida registrados en el Índice de Precios al Consumidor (IPC) es un ejemplo de tendencia secular. secular. De un año a otro, el costo de vida varía varía bastante, pero si examinamos examinamos un periodo a largo largo plazo, nos damos cuenta cuenta que la tendencia tiende a aumentar de manera estable. La gráfica (a) de la figura 15-1 muestra una tendencia secular en una serie de tiempo creciente que fluctúa. El segundo tipo de variación observado en una serie de tiempo es la fluctuación cíclica. El ejemplo más común de fluctuación cíclica es el ciclo económico. A través del tiempo, hay años en los que Y
(a) Serie de tiempo real
Tendencia secular X
Tiempo en años Y
(b) Fluctuación cíclica
Línea de tendencia X
Tiempo en años Y
(c)
Variación estacional
X
Tiempo en años Y
(d)
Variación irregular
FIGURA 15-1
Variación estacional
Variación irregular
el ciclo económico llega a un pico arriba de la línea de tendencia; en otros, es probable que la actividad de los negocios disminuya abajo de la línea de tendencia. El tiempo que transcurre entre picos y depresiones es al menos un año, y puede llegar a ser hasta 15 o 20. La gráfica gráfica (b) de la figura 15-1 ilustra un patrón típico de fluctuación cíclica arriba y abajo de la línea de tendencia secular. Observe que los movimientos cíclicos no siguen ningún patrón regular, sino que se mueven de manera un tanto impredecible. El tercer tipo de cambio en los datos de una serie de tiempo es la variación estacional. Como cabría esperar, esperar, este tipo de variación implica patrones patrones de cambio en el lapso de un año que tienden a repetirse anualmente. Por ejemplo, un médico puede esperar un aumento sustancial en el número de casos de gripe cada invierno y de afectados de tifoidea cada verano. Como se trata de patrones regulares son útiles al pronosticar el futuro. La gráfica (c) de la figura 15-1 muestra una variación estacional. Note cómo alcanza un pico cada cuarto trimestre del año. La variación irregular irregular es el cuarto tipo de cambio que ocurre en el análisis de las series de tiempo. En muchas situaciones, el valor de una variable puede ser completamente impredecible cambiancambiando de manera aleatoria. Las variaciones irregulares describen esos movimientos. Los efectos que el conflicto de Medio Medio Oriente en 1973, la situación de Irán en 1979-1981, 1979-1981, el colapso de la OPEP en en 1986 y la situación de Irak en 1990 tuvieron sobre los precios de la gasolina en Estados Unidos son ejemplos de variación irregular. La gráfica (d) de la figura 15-1 ilustra la variación irregular. Hasta ahora, nos hemos referido a las series series de tiempo como datos que presentan una de las cuatro variaciones descritas. descritas. Sin embargo, en la mayor parte de los casos las series de tiempo contienen varias de estas componentes. Así, podemos describir la variación variación total en una sola serie de tiempo en términos de estas cuatro clases de variación. En las siguientes secciones examinaremos las cuatro componentes y las formas en que medimos cada uno.
Ejercicios 15.2 Conceptos básicos ■
15-5
■
15-6
■
15-7 15-8
■
■
15-9 15-10
■
15-11
■
Identifique las cuatro principales componentes componentes de una serie de tiempo y explique el tipo de cambio, en el tiempo, tiempo, al que se aplica. aplica. ¿Cuál de las cuatro componentes de una serie s erie de tiempo se utilizaría para describir el efecto de las ventas navideñas de una tienda departamental al menudeo? ¿Cuál es la ventaja de descomponer una serie de tiempo en sus cuatro componentes? ¿Cuál de las cuatro componentes de una serie s erie de tiempo debería utilizar el Departamento de Agricultura de Estados Unidos para describir un patrón climatológico de siete años? ¿Cómo se explicaría una guerra en una serie de tiempo? ¿Qué componente de una serie de tiempo explica el crecimiento y decrecimiento general de la industria del acero en los dos últimos siglos? Utilizando los cuatro tipos de variación, describa el comportamiento de los precios del petróleo crudo de 1970 a 1987.
15.3 Análisis de tendencia Dos métodos para ajustar una línea de tendencia
De las cuatro componentes de una serie de tiempo, tiempo, la tendencia secular representa representa la dirección a largo plazo de la serie. Una manera de describir la componente que corresponde a la tendencia es ajustar visualmente una recta a un conjunto de puntos de una gráfica. Pero cualquier gráfica dada estará sujeta a interpretaciones que varían de un individuo a otro. Podemos también ajustar una línea de tendencia con el el método de mínimos cuadrados, estudiado en el capítulo 12. En nuestro nuestro análisis, nos concentraremos en el método de mínimos mínimos cuadrados, ya que el ajuste visual de una recta a una serie de tiempo no es un proceso completamente seguro.
Razones para estudiar las tendencias Tres razones para el estudio de las tendencias seculares
Existen tres razones por las cuales resulta útil estudiar las tendencias seculares: Existen muchos ejemplos en los que podemos utilizar utiliz ar un patrón del pasado para evaluar el éxito de una política anterior. Por ejemplo, una universidad puede evaluar evaluar la efectividad de un programa programa de captación de estudiantes mediante el examen de sus tendencias en las inscripciones anteriores.
1. El estudio de tendencias tendencias seculare secularess nos permite describir describir un patrón patrón histórico. histórico.
2. El estudio de tendencias seculares nos permite proyectar patrones patrones o tendencias pasados al futuro. El conocimiento del pasado nos puede hablar en gran medida acerca del futuro. Por
ejemplo, el examen de la tasa de crecimiento de la población mundial puede ser de ayuda para estimar la población en algún momento futuro dado. 3. En muchas muchas situacione situaciones, s, el estudio estudio de la tenden tendencia cia secular secular de una una serie de tiempo tiempo nos nos permite eliminar la componente de tendencia de la serie. Esto facilita el estudio de las otras tres
Las líneas de tendencia toman diferentes formas
componentes de la serie de tiempo. Si deseamos determinar la variación estacional de la venta de esquíes, esquíes, por ejemplo, ejemplo, la eliminación eliminación de la componente componente de tendencia tendencia nos proporciona proporciona una idea más precisa de la componente estacional. Las tendencias pueden ser rectas o curvilíneas. Antes de examinar el método lineal o de línea recta para describir tendencias, debemos recordar que algunas relaciones no toman esa forma. El aumento de contaminantes en el ambiente sigue una curva de pendiente creciente parecida a la que mostramos en la gráfica (a) de la figura 15-2. Otro ejemplo común de una relación curvilínea es el ciclo de vida de un nuevo nuevo producto comercial, que se ilustra en la gráfica gráfica (b) de la misma figura. figura. Cuando se introduce en el mercado un nuevo producto, su volumen de ventas es bajo (I). Conforme el producto adquiere reconocimiento y éxito, las ventas unitarias aumentan con una rapidez cada vez mayor (II). Después de que el producto se establece firmemente, sus ventas unitarias crecen con rapidez constante (III). Por Por último, cuando el producto llega llega al fin de su ciclo de vida, las ventas unitarias empiezan a disminuir (IV).
Ajuste de la tendencia lineal con el método de mínimos cuadrados Además de las tendencias que se pueden describir por una curva, curva, existen otras que se describen por una línea recta. Éstas se conocen como tendencias lineales. Antes de desarrollar la ecuación para una tendencia lineal, necesitamos revisar la ecuación general para estimar una línea recta (ecuación 12-3): ˆ ϭ a ϩ bX [12-3] Ecuación para estimar una recta ⎯→ Y donde, ˆ ϭ valor estimado de la variable dependiente Y • •
X ϭ variable independiente (tiempo en el análisis de tendencia)
•
a ϭ ordenada Y (el valor de Y cuando X ϭ 0)
•
b ϭ pendiente de la recta de tendencia (a)
(b)
Y
n ó i c a n i m a t n o C
FIGURA 15-2
Y
Tendencia del incremento de
s e d a d i n u n e s e l a u n a s a t n e
IV III
Búsqueda de la recta de tendencia de me jor ajuste
Podemos describir la tendencia general de muchas series de tiempo utilizando una línea recta. Pero nos encontramos con con el problema de buscar la recta, recta, o ecuación, de mejor ajuste. Del Del mismo modo que en el capítulo 12, podemos utilizar el método de mínimos cuadrados cuadrados para calcular la recta recta o ecuación de mejor ajuste. En ese capítulo, vimos que la recta de mejor ajuste estaba determinada por las ecuaciones ecuaciones 12-4 y 12-5, 12-5, que representamos representamos ahora como ecuaciones ecuaciones 15-1 y 15-2. Pendiente de la recta de regresión de mejor ajuste bϭ
⌺ XY Ϫ nX ෆ ෆ Y ᎏᎏ ⌺ X Ϫ nX ෆ 2
2
[15-1]
Ordenada Y de la recta de regresión de mejor ajuste ෆ a ϭ ෆ Y Ϫ bX
[15-2]
donde, • • • • • • •
Y ϭ valores de la variable dependiente X ϭ valores de la variable independiente
ෆ Y ϭ media de los valores de la variable dependiente ෆ ϭ media de los X
valores de la variable independiente n ϭ número de datos en la serie de tiempo a ϭ ordenada Y b ϭ pendiente
Con las ecuaciones 15-1 y 15-2 podemos establecer la recta de mejor ajuste para describir los datos de la serie. Sin embargo, la regularidad regularidad de los datos de la serie de tiempo nos permite simplificar simplificar los cálculos de las ecuaciones 15-1 y 15-2 mediante el proceso que describiremos a continuación.
Traducción o codificación del tiempo Codificación de la variable tiempo para simplificar los cálculos
Manejo de números pares e impares de elementos
¿Por qué usar un código?
Normalmente, medimos la variable variable independiente tiempo en términos de semanas, meses o años. Afortunadamente, podemos convertir convertir estas medidas tradicionales de tiempo a una forma que simplifica los cálculos. cálculos. En el capítulo capítulo 3, llamamos codificación a este proceso. Para utilizar la codificación en este caso, encontramos el tiempo medio y luego luego restamos ese valor de de cada uno de los tiempos de la muestra. Suponga Suponga que nuestra serie de tiempo consiste en tres puntos, puntos, 1992, 1993 y 1994. Si tuviéramos que sustituir estas cantidades cantidades en las ecuaciones 15-1 y 15-2, 15-2, veríamos que los cálculos cálculos resultantes son tediosos. En su lugar, lugar, podemos transformar los valores 1992, 1993 y 1994 en los valovalores correspondientes Ϫ1, 0 y 1, en donde donde 0 representa representa la la media (1993) (1993),, Ϫ1 representa el primer año (1992 Ϫ 1993 ϭ Ϫ1) y 1 el último año (1994 Ϫ 1993 ϭ l). Cuando codificamos valores valores de tiempo es necesario tomar en cuenta dos casos. El primero es una serie de tiempo con un número impar de elementos, como en el ejemplo ejemplo anterior; anterior; el segundo segundo,, una serie de tiempo con un número par de elementos. Considere la tabla 15-2. En la l a parte a, a la izquie izquierda, rda, tenemos un número impar de años. En consecuencia, consecuencia, el proceso es el mismo que el que acabamos de describir utilizando los años 1992, 1993 y 1994. En la parte parte b, a la derecha, derecha, tenemos tenemos un número número restamos de cada elemen par de elementos. En casos como éste, cuando encontramos la media y la restamos to, la fracción 1/2 se convierte en parte de la respuesta. Para Para simplificar el proceso de codificación y eliminar el 1/2, multiplicamos cada elemento de tiempo tiempo por dos. Denotaremos el tiempo “codifica“codificado” o traducido traducido con la letra minúscula minúscula x. Existen dos razones para hacer esta traducción traducción del tiempo. Primero, elimina la necesidad de elevar al cuadrado cuadrado números grandes como como 1992, 1993 y 1994, etc. Este método también hace hace que el año medio, x permite simplificar las ecuaciones ecuaciones 15-1 y 15-2. ෆ, sea igual a cero y permite
(a) Cuando hay un número impar de elementos en la serie de tiempo
Tabla 15-2 Traducción o codificación de los valores de tiempo
Tiempo traducido o codificado (3)
X
X Ϫ X ෆ
(1)
(2)
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
1989 Ϫ 1992 ϭ 1990 Ϫ 1992 ϭ 1991 Ϫ 1992 ϭ 1992 Ϫ 1992 ϭ 1993 Ϫ 1992 ϭ 1994 Ϫ 1992 ϭ 1995 Ϫ 1992 ϭ
⌺ X ϭ 13,944
(b) Cuando hay un número par de elementos en la serie de tiempo
Ϫ3
X
X Ϫ X ෆ
(1)
(2)
Ϫ1
0 1 2 3
ෆx (el año medio) ϭ 0
⌺ X ϭ 11,955
⌺X
1
Ϫ2
/2 Ϫ1 /2 1 Ϫ /2 1 /2 1 1 /2 21/2 1
2
2ϭ 2ϭ 2ϭ 2ϭ 2ϭ 2ϭ
Ϫ5 Ϫ3 Ϫ1
1 3 5
ᎏ(el año medio) ϭ x
0
⌺X
ෆ X ϭ ᎏᎏ
ෆ X ϭ ᎏᎏ
n
n
13,944 7
Simplificación del cálculo de a y b
1990 Ϫ 19921/2 ϭ 1991 Ϫ 19921/2 ϭ 1992 Ϫ 19921/2 ϭ 1993 Ϫ 19921/2 ϭ 1994 Ϫ 19921/2 ϭ 1995 Ϫ 19921/2 ϭ
1990 1991 1992 1993 1994 1995
Ϫ2
( X Ϫ X ෆ) (3)
Tiempo traducido o codificado (4)
11,955 6
ϭ ᎏᎏ
ϭ ᎏᎏ
ϭ 1992
ϭ 1992
1
/2
Ahora ya podemos regresar al cálculo de la pendiente (ecuación 15-1) y la l a ordenada Y (ecuación 15-2) para determinar la recta de mejor ajuste. Como estamos utilizando la variable codificada x,sustituimos X y X variable ෆ por x y x ෆ en las ecuaciones 15-1 y 15-2. Entonces, como la media de nuestra variable tiempo codificada x cero, podemos podemos sustituir sustituir 0 por x ecuaciones 15-1 y 15-2, 15-2, como sigue: ෆ es cero, ෆ en las ecuaciones bϭ
⌺ XY Ϫ nX ෆ ෆ Y ᎏᎏ ⌺ X Ϫ nX ෆ 2
[15-1]
2
ϭ
⌺ xY Ϫ nx Y (la variable codificada) sustituida ෆ ෆ ← Ά en lugar de y en lugar de ᎏᎏ ⌺ x Ϫ nx ෆ
ϭ
⌺ xY Ϫ n0 ෆ Y ← x sustituida por 0 ᎏᎏ ⌺ x Ϫ n0
ෆx
2
2
ෆ X ෆx
2
ෆ X
ෆ
2
Pendiente de la línea de tendencia para valores de tiempo codificados bϭ
⌺ xY ᎏ ⌺ x 2
[15-3]
La ecuación 15-2 cambia de la siguiente manera: ෆ a ϭ ෆ Y Ϫ bX
[15-2]
ϭ ෆ Y Ϫ bx ෆ ← ෆx en lugar de ෆX
ϭ ෆ Y Ϫ b0 ← ෆx sustituida por 0
Ordenada Y de la recta de tendencia para valores de tiempo codificados a ϭ ෆ Y
[15-4]
Las ecuaciones 15-3 y 15-4 representan una mejora sustantiva respecto a las ecuaciones 15-1 y 15-2.
Un problema que usa el método de mínimos cuadrados en una serie de tiempo (número par de elementos) Uso del método de mínimos cuadrados
Búsqueda de la pendiente y la ordenada Y
Considere los datos de la tabla 15-1, que ilustran el número de buques buques cargados en la ciudad de Morehead entre 1988 y 1995. En este problema, queremos encontrar la ecuación que describirá describirá la tendencia secular de las cargas. Para calcular los valores necesarios para las ecuaciones 15-3 y 15-4, observemos la tabla 15-3. Podemos sustituir estos valores en las ecuaciones 15-3 y 15-4 para encontrar la pendiente y la ordenada Y para la recta que describe la tendencia en las cargas de buques: bϭ
⌺ xY ᎏ ⌺ x
[15-3]
2
1,266 ᎏ 168
ϭ
ϭ 7.536
y a ϭ ෆ Y
[15-4]
ϭ 139.25
Así, la ecuación lineal general que describe la tendencia tendencia secular en la carga de buques buques es ˆ ϭ a ϩ bx Y
[12-3]
ϭ 139.25 ϩ 7.536 x
donde, ˆ ϭ número estimado anual de barcos cargados Y x ϭ valor de tiempo codificado que representa el número de intervalos de mitad de año (el sig1 no menos indica intervalos de mitad de año anteriores a 1991 / 2; el signo más indica inter1 valos de mitad de año posteriores a 1991 / 2) • •
Tabla 15-3 Cálculos intermedios para calcular la tendencia
X
(1) 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 __1_9_9__5 ⌺ X ϭ 15,932
†
Y
X
(2) 98 105 116 119 135 156 177 __2_0__8 ⌺Y ϭ 1,114 ⌺X
X ෆ
(3) 1988 Ϫ 19911/2‡ 1989 Ϫ 19911/2 1990 Ϫ 19911/2 1991 Ϫ 19911/2 1992 Ϫ 19911/2 1993 Ϫ 19911/2 1994 Ϫ 19911/2 1995 Ϫ 19911/2
1
ϭ Ϫ3
/2 1 ϭ Ϫ2 /2 1 ϭ Ϫ1 /2 1 ϭ Ϫ /2 1 ϭ /2 1 ϭ 1 /2 1 ϭ 2 /2 1 ϭ 3 /2
(3)
2 ϭ (4)
1
2 ϭϪ 7 2 ϭϪ 5 2 ϭϪ 3 2 ϭϪ 1 2ϭ 1 2ϭ 3 2ϭ 5 2ϭ 7
Ϫ3
/2 Ϫ2 /2 1 Ϫ1 /2 1 Ϫ /2 1 /2 1 1 /2 21/2 31/2 1
15,932 8
2
xY
(4)
x
2
(2)
(4)
Ϫ686
49 25 9 1 1 9 25 0 49
Ϫ525 Ϫ348 Ϫ119
135 468 885 01,456 ⌺ xY ϭ 1,266
1 X ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 1,991 /2 ෆ
n
x
2
⌺ x ϭ
168
Proyección con la ecuación de tendencia Una vez desarrollada la ecuación de tendencia, podemos proyectarla para pronosticar la variable variable en cuestión. En el problema problema de hallar la tendencia secular de las cargas cargas de buques, buques, por ejemplo, determinamos que la ecuación de tendencia secular apropiada es ˆ ϭ 139.25 ϩ 7.536 x Y Uso de nuestra recta de tendencia para pronosticar
Ahora suponga que deseamos estimar las cargas de buques para 1996. Primero, debemos converconvertir 1996 al valor de tiempo codificado (en intervalos de mitad de año). x ϭ 1996 Ϫ 1991 / 2 1
ϭ 4.5 años ϭ 9 intervalos de mitad de año
Sustituyendo este valor en la ecuación ecuación correspondiente a la tendencia secular, secular, obtenemos ˆ ϭ 139.25 ϩ 67.82 Y ϭ 139.25 ϩ
67.82 ϭ 207 barcos cargados Por consiguiente, hemos estimado que se cargarán cargarán 207 barcos en 1996. Si el número de elementos de nuestra serie de tiempo hubiera sido impar, impar, no par, nuestro procedimiento hubiera hubiera sido el mismo, excepto que hubiéramos manejado intervalos de cada año, no intervalos de mitad de año. año.
Uso de una ecuación de segundo grado en una serie de tiempo Manejo de series de tiempo descritas por curvas
Hasta aquí hemos descrito el método de ajustar una recta a una serie de tiempo. Pero muchas series de tiempo se describen mejor por curvas curvas que por rectas. En estos casos, el modelo lineal no describe de manera adecuada el cambio en la variable conforme pasa el tiempo. Para vencer este problema, a menudo utilizamos utilizamos una curva curva parabólica, que se describe describe matemáticamente matemáticamente por una ecuación de segundo grado. Este tipo de curva se ilustra en la figura 15-3. La forma general para una ecuación de segundo grado estimada es: Forma general para una ecuación de segundo grado ajustada
ˆ ϭ a ϩ bx ϩ cx2 Y donde, • • •
a d i d e m e d d a d i n U
ˆ ϭ estimación de la variable dependiente Y a, b y c ϭ constantes numéricas x ϭ valores codificados de la variable tiempo
Curva parabólica Ecuación general para una curva parabólica:
FIGURA 15-3 Forma y ecuación de una curva parabólica
Y = a + bx + cx 2
Tiempo
[15-5]
Búsqueda de valores para a , b y c
De nuevo utilizamos el método de mínimos cuadrados para determinar la ecuación de segundo grado que describe el mejor ajuste. La deriv derivación ación de la ecuación de segundo grado está más allá del propósito de este libro; sin embargo, podemos determinar el valor valor de las constantes numéricas (a, b y c) a partir de las siguientes tres ecuaciones: Coeficientes de mínimos cuadrados para una tendencia de segundo grado 2
Ecuaciones para encontrar ⎯⎯⎯⎯⎯→ a , b y c para ajustar una curva parabólica
[15-6]
⌺Y ϭ an ϩ c⌺ x 2
2
⌺ x Y ϭ a⌺ x ϩ c⌺ x
4
[15-7]
⌺ x Y b ϭ ᎏᎏ 2 ⌺ x
[15-3]
Después de encontrar los valores de a, b y c resolviend resolviendoo las ecuaciones ecuaciones 15-6, 15-6, 15-7 y 15-3, de manera simultánea, sustituimos estos valores en la ecuación 15-5 de segundo segundo grado. Al igual que en la descripción de una relación relación lineal, transformamos la variable variable independiente, tiempo ( X ), en una forma codificada ( x trabajaremos con un pro X ), x) para simplificar los cálculos. Ahora trabajaremos blema en el cual ajustamos una parábola a una serie de tiempo.
Problema que involucra una tendencia parabólica (número impar de elementos en la serie de tiempo)
Codificación de la variable tiempo
Cálculo de a , b y c por sustitución
En los últimos años, la venta de relojes electrónicos de cuarzo cuarzo ha aumentado con una rapidez significativa. nificativa. La tabla 15-4 contiene información acerca de las ventas de estos artículos que será útil para determinar la tendencia parabólica que describe la venta de relojes. En la tabla 15-5 organizamos los cálculos necesarios. El primer paso en este proceso es traducir la variable independiente X en una variable de tiempo codificada x. Note que la variable codificada codificada intervalos de cada año, debido a que tenemos un número impar de elementos elementos en nues x está dada en intervalos tra serie de tiempo. Así, no es necesario multiplicar la variable variable por 2. Sustituyendo los valores valores de la tabla 15-5 en las ecuaciones 15-6, 15-7 y 15-3, obtenemos 247 ϭ 5a ϩ 10c 565 ϭ 10a ϩ 34c
1 2
[15-6] [15-7]
227 10
3
[15-3]
34b 34 b ϭ ᎏᎏ
De 3 , vemo moss que que
b ϭ 22.7
Se puede encontrar a y c al resolver resolver las ecuacione ecuacioness simultánea simultáneass 1 y 2 . Al hacerlo, hacerlo, se encuentra encuentra que a es 39.3 y c es 5.07. Esto nos da los valores apropiados de a, b y c para describir la serie de tiempo presentada en la tabla 15-4 mediante la ecuación: ˆ ϭ a ϩ bx ϩ cx2 [15-5] Y ϭ
39.3 ϩ 22.7 x ϩ 5.07 x2
Tabla 15-4 Ventas anuales de relojes electrónicos de cuarzo
X (año) Y (ventas
unitarias en millones)
1991 13
1992 24
1993 39
1994 65
1995 106
Tabla 15-5 Cálculos intermedios para determinar la tendencia
X Ϫ X ෆ ϭ x
Y
X
(1)
(2)
13 24 39 65 106 ⌺Y ϭ 247 ⌺X
2
x
(3)2
(3)4
4 1 0 1 04 2 ⌺ x ϭ 10
16 1 0 1 16 4 ⌺ x ϭ 34
(3)
1991 1992 1993 1994 01995 ⌺ X ϭ 9,965
1991 Ϫ 1993 ϭ Ϫ2 1992 Ϫ 1993 ϭ Ϫ1 1993 Ϫ 1993 ϭ 0 1994 Ϫ 1993 ϭ 1 1995 Ϫ 1993 ϭ 2
4
x
2
xY
(3)
x Y
(1)
Ϫ26 Ϫ24
0 65 212 ⌺ xY ϭ 227
(3)2
(1)
52 24 0 65 424 2 ⌺ x Y ϭ 565
9,965 5
X ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 1993 ෆ n
¿Se ajusta la curva a los datos?
Se grafican los datos de los relojes para ver qué tan bien se ajusta la parábola desarrollada a la serie de tiempo. La figura 15-4 presenta esta gráfica.
Pronósticos basados en una ecuación de segundo grado Para pronosticar
Suponga que deseamos pronosticar pronosticar las ventas de relojes para 2000. Para hacer una predicción, predicción, debemos primero transformar 2000 en una variable codificada x restá restándole ndole el año medio, medio, 1993 1993:: X Ϫ X ෆ ϭ x
2000 Ϫ 1993 ϭ 7 Después este valor codificado ( x ϭ 7) se sustituye en la ecuación de segundo grado que describe la venta de relojes: ˆ ϭ 39.3 ϩ 22.7 x ϩ 5.07 x Y 2
ϭ 39.3 ϩ 22.7(7) ϩ 5.07(7)
2
ϭ 39.3 ϩ 158.9 ϩ 248.4 ϭ 446.6
Ser cuidadosos al interpretar la predicción
Con base en la tendencia secular histórica, concluimos que las ventas de relojes deberá ser aproximadamente 446,600,000 unidades en 2000. 2000. Sin embargo, este pronóstico tan alto sugiere que debemos ser más cuidadosos al pronosticar con una tendencia parabólica que cuando trabajamos con una tendencia lineal. La pendiente de la ecuación de segundo grado de la figura 15-4 se incrementa continuamente; en consecuencia, la parábola puede convertirse convertirse en un estimador pobre si intentamos pronosticar a un plazo mayor. mayor. Al utilizar el método de la ecuación de segundo segundo grado, también debemos considerar factores que pueden estar frenando o invirtiendo la tasa de crecimiento de la variable. En el ejemplo de la venta venta de relojes, relojes, podemos suponer suponer que durante el periodo considerado, considerado, el producto se encuentra en una etapa de crecimiento muy rápido de su ciclo de vida. Pero debemos darnos cuenta de que a medida que el ciclo se acerca a la etapa de madurez, el crecimiento de las Y
FIGURA 15-4 Tendencia Tendencia parabólica ajustada para
s e d a d i n u e d s e n o l l i m n e s a t n e V
Tendencia parabólica Y = 39.3 + 22.7x + 5.07x 2
140 120 100 80 60
Puntos reales
40 20
X
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
ventas puede disminuir y la parábola ya no predecir con precisión. Cuando calculamos predicciones, debemos considerar la posibilidad de que la línea de tendencia puede cambiar . Esta situación puede ocasionar un error significativo. significativo. Por tanto, es necesario poner una atención especial cuando se utiliza una ecuación de segundo grado como herramienta de pronóstico. Advertenc Advertencia: ia: “ningún “ningún árbol crece crece hasta el cielo” es un proverbio proverbio de Wall Wall Street Y que significa que ningún precio de acSUPOSICIONES ción sube para siempre. Esto también se aplica a los pronósticos hechos con ecuaciones de segundo
grado. Extrapolar una tasa de crecimiento de una compañía que comienza (que inicia con cero ventas de manera que un dólar de venta se convierte de manera automática en una tasa de crecimiento infinito) es riesgoso. Las tasas iniciales de crecimiento rara vez continúan.
SUGERENCIAS
Ejercicios 15.3 Ejercicios de autoevaluación EA
15-1
Robin Zill y Stewart Griffiths son los propietarios de una pequeña fábrica de mesas de masaje portátiles en Hillsborough, Carolina del Norte. Norte. Desde que inició la compañía, compañía, el número de mesas que han vendido está representado por esta serie de tiempo: Año Mesas vendidas
EA
15-2
1987 42
1988 50
1989 61
1990 75
1991 92
1992 111
1993 120
1994 127
1995 140
1996 138
a) Encuentre Encuentre la ecuación ecuación lineal lineal que describe describe la tendencia tendencia del número número de mesas vendidas vendidas por Robin Robin y Stewart. b) Estime Estime sus venta ventass para para 1998 1998.. El número de académicos que poseen computadoras personales en la Universidad de Ohio ha aumentado drásticamente entre 1990 y 1995: Año Número de PC
1990 50
1991 110
1992 350
1993 1,020
1994 1,950
1995 3,710
a) Desarrolle Desarrolle la ecuació ecuaciónn de estimación estimación lineal lineal que mejor mejor describa describa estos estos datos. b) Desarrolle Desarrolle la ecuación ecuación de estimació estimaciónn de segundo segundo grado que mejor mejor describa describa los datos. c) Estime el número número de computa computadoras doras personal personales es que habrá habrá en uso en la universi universidad dad en 1999, 1999, utilizanutilizando ambas ecuaciones. d) Si hay 8,000 8,000 académicos académicos en la unive universidad rsidad,, ¿qué ecuació ecuaciónn es mejor pronostic pronosticador? ador? ¿Por ¿Por qué?
Aplicaciones ■
15-12
Jeff Richards invirtió los ahorros de toda su vida e inició un negocio de limpieza de alfombras en 1986. Desde entonces, la reputación de Jeff se ha propagado y el negocio negocio ha crecido. Los números promedio de casas que ha limpiado por mes cada año son: Año 1986 Casas limpiadas 6.4
■
15-13
1987 11.3
1988 14.7
1989 1990 18.4 19.6
1991 25.7
1992 32.5
1993 1994 1995 1996 48.7 55.4 75.7 94.3
a) Encuentre Encuentre la ecuac ecuación ión lineal lineal que describa describa la tendencia tendencia de de estos datos. datos. b) Estime el número número de casas limpia limpiadas das mensualm mensualmente ente en en 1997, 1997, 1998 y 1999. 1999. El dueño de la compañía Progressive Builders está examinando el número de casas solares que iniciaron su construcción en la región durante los últimos siete meses: Mes Jun. Número de casas 16
Jul. 17
Ago. 25
Sep. 28
Oct. 32
Nov. 43
Dic. 50
a) Graf Grafiq ique ue esto estoss dato datos. s. b) Desarrolle Desarrolle la ecuaci ecuación ón de estimació estimaciónn lineal que que mejor describ describaa estos datos, datos, y grafique grafique la recta recta en la gráfica del inciso a) (una unidad de x igual a 1 mes).
■
15-14
c) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa estos datos y grafique esta curva en la gráfica del inciso a). d) Estime Estime las ventas ventas de marzo marzo utilizando utilizando ambas ambas curvas curvas graficad graficadas. as. Richard Jackson desarrolló un ratón para computadora ergonómico en 1989 y las ventas han ido en aumento desde entonces. A continuación se presentan datos en términos de miles de ratones vendidos por año. 1989 82.4
Año Número vendido
1990 125.7
1991 276.9
1992 342.5
1993 543.6
1994 691.5
1995 782.4
1996 889.5
a) b) c) d)
■
15-15
Desarrol Desarrolle le la ecuación ecuación de estimació estimaciónn lineal que mejor mejor describa describa estos estos datos. datos. Desarrolle la ecuación ecuación de estimación de segundo grado grado que mejor describa describa estos datos. datos. Estime Estime el número de ratones ratones que vende venderá rá en 1998 usando usando ambas ambas ecuaciones ecuaciones.. Si se supone que la tasa de crecimiento de las ventas ventas de ratones ratones decrecerá decrecerá pronto con base en la oferta y la demanda, ¿qué modelo será un mejor pronosticador pronosticador para su respuesta en c)? Mike Godfrey, Godfrey, auditor de un sistema escolarizado escolarizado de educación educación pública, ha revisado los registros de inventario para determinar si las existencias reales de libros de texto son típicas. Las cantidades de inventainventario siguientes corresponden a los cinco años anteriores: Año Inventario (miles de dólares)
■
15-16
15-17
1970 5
1972 8
1974 8
1976 10
15-18
1978 13
1987 13
15-19
1994 $5,730
1995 $5,990
1980 15
1982 18
1984 20
1986 22
1988 25
1990 25
1992 29
1994 1996 29 32
1988 15
1989 19
1990 21
1991 27
1992 35
1993 47
1994 49
1995 57
a) Graf Grafiq ique ue los los dat datos os.. b) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa describa estos datos datos y grafique grafique la recta recta en la gráfica del inciso a). c) Desarrol Desarrolle le la ecuación ecuación de de estimación estimación de segundo segundo grado grado que que mejor descr describa iba los datos, datos, y grafique grafique la ecuación en la gráfica del inciso a). d) ¿Según ¿Según el conocimie conocimiento nto adquirido adquirido al respec respecto, to, el mercado mercado favore favorece ce a b) o c) como el método método de estiestimación más preciso? A continuación presentamos los datos que describen el índice de contaminación de aire [en partes por millón (ppm) de partículas en el aire] de una ciudad del oeste de Estados Unidos: Año Índice de contaminación
■
1993 $5,490
a) Desarrol Desarrolle le la ecuación ecuación de estimació estimaciónn lineal que mejor mejor describa describa los datos. datos. b) Desarrolle la ecuación ecuación de estimación de segundo grado grado que mejor describa describa los datos. datos. c) ¿Existe algún indicador en en el entorno entorno económico o político que sugiera que una de las dos ecuacioecuaciones tiene mayor posibilidad de ser mejor pronosticador de los precios postales? Ingeniería Environtech, Environtech, una compañía especializada en la construcción de dispositivos de filtrado anticontaminante, ha registrado los siguientes niveles niveles de ventas durante los últimos nueve nueve años: Año Ventas Ventas (cientos de miles m iles de dólares)
■
1992 $4,910
a) Encuentre la ecuación ecuación lineal que describa la tendencia tendencia en las las existencias existencias de inventario. inventario. b) Estime Estime para el el auditor auditor el valor valor del invent inventario ario para para el año 1996. 1996. La siguiente tabla describe los precios del correo de primera clase desde 1968 hasta 1996:
Año 1968 Precio (ctvos.) 5
■
1991 $4,620
1980 220
1985 350
1990 800
1995 2,450
a) ¿Qué ecuación ecuación de de estimació estimación, n, lineal lineal o de segundo segundo grado, grado, proporcio proporciona na la mejor mejor predic predicción ción de los índices de contaminación de la ciudad? b) Considera Considerando ndo el entorno entorno económi económico, co, social social y político, político, ¿cambiar ¿cambiaría ía usted la la respuesta respuesta del del inciso a)? a)? c) Describa cómo las acciones acciones políticas y sociales podrían cambiar cambiar la efectividad efectividad de las ecuaciones ecuaciones de estimación del inciso a). El Departamento Estatal de Vehículos Vehículos estudia el número de muertes por accidentes de tránsito en el estado debido a conductores ebrios, y registró el número de muertes en los nueve nueve años anteriores: Año Muertes
1987 175
1988 190
1989 185
1990 195
1991 180
1992 200
1993 185
1994 190
1995 205
b) Estime el número de muertes en accidentes de tránsito debidas debidas a conductores conductores ebrios ebrios que se pueda esperar en 1996.
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA
15-1
a)
Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
0 x 0 Ϫ9 Ϫ7 Ϫ5 Ϫ3 Ϫ1 1111 11 1133 11 1155 11 1177 11 1099 10 1100 11
2
0Y 0
0 xY 0
x
142 150 161 175 192 111 120 127 140 138 956
Ϫ378
181 149 125 1199 11 1111 11 1111 11 1199 11 125 149 081 330
Ϫ350 Ϫ305 Ϫ225
1Ϫ92 11111 11 111 11360 11 360 11635 11 635 11980 11 980 1,242 1,978
956 ⌺ xY 1,978 b ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 5.9939 10 330 ⌺ x ˆ ϭ 95.6 ϩ 5.9939 x (donde 1991.5 ϭ 0 y unidades x ϭ 0.5 año) Y ˆ ϭ 95.6 ϩ 5.9939(13) ϭ 173.5 mesas b) Y a ϭ ෆ Y ϭ ᎏᎏ ϭ 95.6
EA
15-2
Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995
0 x 0 Ϫ5 Ϫ3 Ϫ1 Ϫ1 Ϫ3 Ϫ5 Ϫ0
2
2
Y 00 00
xY 0 xY 0
x
50 110 350 1,020 1,950 3,710 7,190
Ϫ250
25 9 1 1 9 25 70
Ϫ330 Ϫ350
1,020 5,850 118,550 24,490
2
x Y
1,250 990 350 1,020 17,550 1192,750 11 92,750 113,910
4
x
625 81 1 1 81 00625 00 625 1,414
7,190 ⌺ xY 24,490 a) a ϭ ෆY ϭ ᎏᎏ ϭ 1,198.3333 b ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 349.8571 6 ⌺ x 70 ˆ 1,198.3333 ϩ 349.8571 x (donde 1992.5 ϭ 0 y unidades de x ϭ 0.5 años) Y b) Las ecuaci ecuaciones ones 15.6 y 15.7 15.7 se conviert convierten en en ⌺Y ϭ na ϩ c⌺ x 7,190 ϭ 6a ϩ 70c 113,910 ϭ 70a ϩ 1,414c ⌺ x Y ϭ a⌺ x ϩ c⌺ x Al resolver resolver estas ecuaciones ecuaciones simultáneas, se obtiene a ϭ 611.8750, c ϭ 50.2679 ˆ 611.8750 ϩ 349.8571 x ϩ 50.2679 x Y ˆ ϭ 1,198.3333 ϩ 349.8571(13) ϭ 5,746 PCs c) Pron Pronós ósti tico co line lineal al:: Y ˆ ϭ 611.8750 ϩ 349.8571(13) Pronóstico de segundo grado: Y ϩ 50.2679(169) ϭ 13,655 PCs buena: la tendencia lineal no expresa la aceleración de la tasa de add) Ninguna de las dos es muy buena: quisición de PCs de los académicos; la tendencia de segundo grado supone que la aceleración continuará e ignora el hecho de que sólo hay 8,000 miembros del cuerpo docente. 2
ϭ
2
2
2
4
ϭ
15.4
Variación cíclica
2
Método de residuos Cuando observamos observamos una serie de tiempo consistente consistente en datos anuales, sólo se toman en cuenta las componentes de tendencia secular, secular, cíclica e irregular. irregular. (Esto es así porque la variación estacional pasa por un ciclo completo y regular cada año y no afecta más un año que otro.) Da-
Expresión de la variación cíclica como porcentaje de tendencia
do que podemos describir la tendencia tendencia secular utilizando una línea línea de tendencia, es posible aislar de la tendencia las componentes cíclica e irregular restantes. Supondremos que la componente cíclica explica la mayor parte de la variación que quedó sin explicar por la componente de tendencia secular. (Muchas (Muchas series de tiempo reales no satisfacen esta suposición. Los métodos como el análisis de Fourier y el análisis espectral pueden estudiar la componente cíclica de estas series de tiempo. Tales métodos, sin embargo, embargo, están más allá del objetivo del presente libro.) Si utilizamos una serie de tiempo compuesta compuesta por datos anuales, podemos encontrar encontrar la fracción de ˆ) para cada valor la tendencia dividiendo el valor real ( Y ) entre el valor de tendencia correspondiente correspondi ente (Y de la serie de tiempo. Luego se multiplica el resultado de este cálculo por 100. Esto da la medida de la variación cíclica como un porc porcentaje entaje de tendenci tendencia. a. Presentamos el proceso en la ecuación 15-8: Porcentaje de tendencia Y
ᎏ
ˆ Y
ϫ 100
[15-8]
donde, • •
Medición de la variación
Interpretación de las variaciones cíclicas
Expresión de las variaciones cíclicas en términos de residuos cíclicos relativos
Y ϭ valor real de la serie de tiempo ˆ ϭ valor de tendencia estimado a partir del mismo punto Y
de la serie de tiempo
Ahora aplicaremos este procedimiento. La cooperativa de comercialización comercialización de granjeros desea medir las variaciones en las cosechas de trigo de sus miembros durante 8 años. La tabla 15-6 da el volumen de cereal cosecha cosechado do cada uno de los 8 años. La columna Y contiene los valores de la tendencia lineal para cada periodo. La recta de tendenten dencia fue generada utilizando los métodos ilustrados en la sección 3 de este capítulo. Observe que en ˆ ) para los 8 años, la gráfica del valor real ( Y ) y del valor de tendencia (Y años, figura figura 15-5, 15-5, los valores valores reareales quedan por arriba y abajo de la l a recta de tendencia. Ahora ya podemos determinar el porcentaje de tendencia para cada año de la muestra (columna 4 de la tabla 15-7). En esta columna podemos ver la variación de las cosechas reales alrededor de la tendencia estimada (98.7 a 102.5). Podemos atribuir estas variaciones cíclicas a factores como lluvias y cambios de temperatura. Sin embargo, debido a que estos factores son relativamente relativamente impredecibles, no podemos determinar un patrón específico específico futuro de variación con el método de residuos. residuos. El residuo cíclico relativo es otra medida de la variación cíclica. En este método se encuentra el porcentaje de variación de la tendencia para cada valor. La ecuación 15-9 presenta la fórmula matemática para determinar los residuos cíclicos cíclicos relativos. Igual Igual que con el porcentaje de tendencia, esta medida también es un porcentaje. Tabla 15-6 Grano recibido por la cooperativa de granjeros durante ocho años
ˆ bushels Y
X
Y bushels reales
Año
(decenas de miles)
estimados (decenas de miles)
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
7.5 7.8 8.2 8.2 8.4 8.5 8.7 9.1
7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0
Residuo cíclico relativo
ˆ Y Ϫ Y ᎏ ˆ ϫ 100 Y
[15-9]
donde,
Comparación de dos medidas de variación cíclica
Gráfica de la variación cíclica
•
Y ϭ valor real de la serie de tiempo
•
ˆ ϭ valor de tendencia estimado a partir del mismo punto Y
de la serie de tiempo
La tabla 15-8 muestra los cálculos del residuo cíclico relativo para el problema de la cooperativ cooperativaa de granjeros. Observe que la forma fácil de calcular el residuo cíclico relativo (columna 5) consiste en restar 100 del porcentaje de tendencia (columna 4). Estas dos medidas de variación variación cíclica, porcentaje de tendencia y residuo residuo cíclico relativo, relativo, son porcentajes centa jes de la tendenc tendencia. ia. Por ejempl ejemplo, o, en 1993, 1993, el porcentaje de tendencia indicaba que la cosecha real fue del 98.8% de la cosecha cosecha esperada para ese año. año. Para el mismo año, el residuo cíclico relativo indicó que la cosecha real estaba 1.2% por debajo de la cosecha esperada (un residuo cíclico relativo de Ϫ1.2). A menudo, graficamos la variación variación cíclica como el porcentaje de tendencia. tendencia. En la figura 15-6 se ilustra cómo este proceso elimina la línea de tendencia y aísla la componente cíclica de la serie de
9.2
Gráfica de puntos reales ( Y )
9.0 ) s e l i m e d s a n e c e d ( s l e h s u B
8.8 8.6
Fluctuaciones cíclicas arriba de la línea de tendencia
8.4
Fluctuaciones cíclicas abajo de la línea de tendencia
8.2 Línea de tendencia ˆ) (gráfica de Y
8.0 7.8
FIGURA 15-5
7.6
Fluctuaciones cíclicas alrededor de la línea de tendencia
7.4 1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
Tiempo
Tabla 15-7 Cálculo del porcentaje de tendencia
X
Año (1)
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Y Bushels
(
reales 10,000) (2)
7.5 7.8 8.2 8.2 8.4 8.5 8.7 9.1
ˆ Busheels esti stimado madoss Y Bush (
10,000) (3)
7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0
Y ᎏᎏ ϫ ˆ Y
100
Porce orcent ntaj ajee de de tend tenden enci ciaa (2) (4) ϭ ᎏᎏ ϫ 100 (3)
98.7 100.0 102.5 100.0 100.0 98.8 98.9 101.1
tiempo. Debe resaltarse que los procedimientos analizados en esta sección pueden usarse sólo para describir variaciones cíclicas pasadas y no para pronosticar variaciones cíclicas. La predicción de variaciones cíclicas requiere usar técnicas que van más allá del alcance de este libro. Y
Tabla 15-8 Cálculos de los residuos cíclicos relativos
ˆ Y Bushels
Año (1)
Y Bushels reales ( 10,000) (2)
estimados ( 10,000) (3)
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
7.5 7.8 8.2 8.2 8.4 8.5 8.7 9.1
7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0
X
ˆ
Y Ϫ Y
ᎏᎏ ϫ 100
ᎏᎏ ϫ 100
Porcentaje de tendencia
Residuo cíclico relativo (5) ϭ (4) Ϫ 100
ˆ Y
(2) (4) ϭ ᎏᎏ ϫ 100 (3)
98.7 100.0 102.5 100.0 100.0 98.8 98.9 101.1
ˆ Y
Ϫ1.3
0.0 2.5 0.0 0.0 Ϫ1.2 Ϫ1.1 1.1
103.0 102.5 102.0 a i c n e d n e t e d e j a t n e c r o P
101.5 101.0 100.5 100.0 Línea de tendencia
99.5
FIGURA 15-6
99.0
Gráfica del porcentaje de tendencia alrededor de la línea de tendencia para los datos de la tabla 15-7
98.5
Gráfica del porcentaje de tendencia
98.0 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Tiempo
Recuerde que la variación crítica es la componente de una serie de tiempo que Y oscila arriba y abajo de la tendencia liSUPOSICIONES neal durante periodos mayores que un año. Advertenc Advertencia: ia: la variación estacional forma un ciclo completo dentro de cada año y no afecta a un año más que SUGERENCIAS
a otro. La variación cíclica se mide por dos métodos. El primero expresa la variación como porcentaje de la tendencia, de ahí su nombre de porcentaje de tendencia. El segundo método (el residuo cíclico relativo) calcula la variación como porcentaje de desviación desde la tendencia.
Ejercicios 15.4 Ejercicios de autoevaluación EA
15-3
La Western Western Natural Natural Gas Gas Company Company ha surtido 18, 20, 21, 25 y 26 mil millones millones de pies cúbicos cúbicos de gas, respectivamente, pectivamente, en los años 1991 a 1995. 1995.
a) b) c) d)
Encuentree la ecuación Encuentr ecuación lineal lineal de estimación estimación que que mejor mejor describa describa estos datos. datos. Calcule Calcu le el porcen porcentaje taje de tend tendencia encia para estos estos datos. datos. Calcule Calcu le el residuo residuo cícli cíclico co relati relativo vo para para estos estos datos. datos. ¿En qué años se presentó presentó la mayor mayor fluctuación fluctuación en la tendencia? ¿Es ¿Es ésta la misma misma para ambos ambos métodos?
Aplicaciones ■
15-20
La compañía de computación computación Microprocessing, Microprocessing, especializada en ingeniería de software, ha recolectado los siguientes registros de rendimientos para el periodo de 1989 a 1995. Año Recuperación (cientos de miles de dólares)
1989 1.1
1990 1.5
1991 1.9
1992 2.1
1993 2.4
1994 2.9
1995 3.5
La ecuación de segundo grado que mejor describe la tendencia secular para estos datos es: ˆ ϭ 2.119 ϩ 0.375 x ϩ 0.020 x2, donde Y donde 199 19922 ϭ 0, y la unida unidadd de x ϭ 1 año
■
15-21
a) Calcule Calcule el porce porcentaje ntaje de tendenc tendencia ia para para estos estos datos. datos. b) Calcule Calcule el residuo residuo cíclico cíclico relati relativo vo para para estos estos datos. datos. c) Grafique Grafique el porcen porcentaje taje de de tendencia tendencia del inciso inciso a). a). d) ¿En qué año año se presentó presentó la mayor fluctua fluctuación ción en la tendenci tendencia? a? ¿Es ésta la misma misma para ambos ambos métodos? métodos? La tienda departamental BullsEye ha expandido su participación en el mercado durante los últimos 7 años, con las siguientes ventas brutas en millones de dólares: Año Ventas
■
15-22
1990 14.8
1991 20.7
1992 24.6
1993 32.9
1994 37.8
1995 47.6
1996 51.7
a) Encuentr Encuentree la ecuación ecuación lineal lineal de estimación estimación que que mejor mejor describa describa estos datos. datos. b) Calcule Calcule el porcen porcentaje taje de tendencia tendencia para estos estos datos. datos. c) Calcule Calcule el residuo residuo cíclico cíclico relati relativo vo para para estos estos datos. datos. d) ¿En qué años ocurre la mayor fluctuación desde desde la tendencia tendencia y es la misma para para ambos métodos? Joe Honeg, gerente de ventas responsable responsable de la división de aparatos electrodomésticos electrodomésticos de una gran compañía de productos de consumo, consumo, ha recogido los siguientes datos correspondientes correspondientes a las ventas unitarias de su división durante los últimos cinco años: 1991 32
Año Unidades (decenas de miles)
1992 46
1993 50
1994 66
1995 68
La ecuación que describe la tendencia secular para las ventas de aparatos electrodomésticos es ˆ ϭ 52.4 ϩ 9.2 x, en la Y la que que 1993 1993 ϭ 0, y la unidad unidad de x ϭ 1 año
■
15-23
a) Calcule Calcule el porce porcentaje ntaje de tendenc tendencia ia para para estos estos datos. datos. b) Calcule Calcule el residuo residuo cíclico cíclico relati relativo vo para para estos estos datos. datos. c) Grafique Grafique el porcen porcentaje taje de de tendencia tendencia del inciso inciso a). a). d) ¿En qué año ocurrió la mayor fluctuación en la tendencia? tendencia? ¿Es la misma para ambos métodos? métodos? Suponga que es el administrador principal principal de presupuesto de una pequeña empresa cuyos requerimientos de financiamiento durante los últimos años fueron: Año Millones de dólares requeridos
1989 2.2
1990 2.1
1991 2.4
1992 2.6
La ecuación de tendencia que mejor describe los datos es ˆ ϭ 2.53 ϩ 0.13 x, donde Y donde 1992 1992 ϭ 0, y la unida unidadd de x ϭ 1 año a) Calcule Calcule el porce porcentaje ntaje de tenden tendencia cia para para estos estos datos. datos. b) Calcule Calcule el residuo residuo cíclico cíclico relati relativo vo para para estos estos datos. datos.
1993 2.7
1994 2.9
1995 2.8
1989 21.0
Año Cajas (decenas de miles)
1990 19.4
1991 22.6
1992 28.2
1993 30.4
1994 24.0
1995 25.0
a) b) c) d)
■
15-25
Encuentre la ecuació Encuentre ecuaciónn de estimación estimación lineal lineal que mejor mejor describa describa los datos. datos. Calcule Calc ule el porce porcentaje ntaje de tendenc tendencia ia para para estos estos datos. datos. Calcule Calc ule el residu residuoo cíclico cíclico relati relativo vo para para estos estos datos. datos. ¿En qué año ocurrió la mayor mayor fluctuación de la tendencia tendencia con cada medida de la variación cíclica? ¿Es ¿Es este año el mismo para ambas medidas? Explique su respuesta. Wombat Airlines, Airlines, una aerolínea australiana, australiana, ha reunido datos sobre el número de pasajeros pasajeros que han volado en sus aeronaves durante cada los últimos 5 años: 1991 3.5
Año Pasajeros Pasajeros (en decenas de miles)
a) b) c) d)
1992 4 .2
1993 3.9
1994 3.8
1995 3.6
Encuentre Encuentre la ecuació ecuaciónn lineal de estimac estimación ión que mejor mejor describa describa los datos. datos. Calcule Calcule el porce porcentaje ntaje de tendenc tendencia ia para para estos estos datos. datos. Calcule Calcule el residu residuoo cíclico cíclico relati relativo vo para para estos estos datos. datos. Con base base en los datos datos y en los cálcul cálculos os anteriore anteriores, s, dé un resumen resumen de una una oración oración acerca acerca de de la posición en que se encuentra la Wombat Wombat Airlines.
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA
15-3
Año
x
1991 1992 1993 1994 1995
Ϫ2
a)
Ϫ1
0 1 02 0
Y
18 20 21 25 026 110
2
xY
x
Ϫ36
4 1 0 1 04 10
Ϫ20
0 25 052 21
ˆ Y
17.8 19.9 22.0 24.1 26.2
Y ᎏᎏ ϫ 100 ˆ Y
101.12 100.50 95.45 10 1 03.73 99.24
ˆ Y Ϫ Y
ᎏᎏ ϫ 100 ˆ Y
1.12 0.50 Ϫ4.55 3.73 Ϫ0.76
⌺ xY 110 21 b ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2.1 ⌺ x 5 10 ˆ ϭ 22 ϩ 2.1 x (donde 1993 ϭ 0 y unidad de x ϭ 1 año) Y
a ϭ ෆ Y ϭ ᎏᎏ ϭ 22
2
b) Vea en la penúltima penúltima columna columna de la tabla tabla el porcentaje porcentaje de tendenc tendencia. ia. c) Vea en la última última columna columna de la tabla el residuo residuo cíclico cíclico relati relativo. vo. d) La fluctuac fluctuación ión más grande grande (por ambos ambos métodos métodos)) fue en en 1993.
15.5
Variación estacional
Definición de varia- ción estacional
Tres razones para el estudio de la variación estacional
Además de la tendencia secular y de la variación variación cíclica, una serie de tiempo incluye la variación estacional. Este tipo de variación se define como un movimiento repetitivo y predecible alrededor de la línea de tendencia en un año o menos. Con el fin fin de detectar la variación estacional, los intervalos de tiempo tiempo necesitan necesitan medirse medirse en unidades unidades pequeñas, pequeñas, como días, días, semanas, semanas, meses o trimestres trimestres.. Tenemos tres razones principales para el estudio de la variación estacional: 1. Podemos Podemos estab establecer lecer el el patrón patrón de de cambios cambios pasad pasados. os. Proporciona una forma de comparar dos
intervalos de tiempo que de otro modo serían bastante disímiles. Si una escuela de capacitación de pilotos desea saber si una depresión en los negocios durante el mes de diciembre es normal, puede examinar el patrón estacional en los años anteriores y encontrar la información que necesita. 2. Es útil proyectar proyectar los patrones patrones pasados pasados al al futuro. futuro. En el caso de decisiones de largo alcance, el análisis de tendencia secular secular puede resultar adecuado. Pero para decisiones a corto plazo, la
todos sus productos. La habilidad de pronosticar pronosticar patrones de corto plazo, como la demanda de pavo en Navidad, Navidad, dulces el Día del Niño o duraznos en verano, es útil para la administración de la cadena. 3. Una vez vez establecido establecido el patrón patrón estacion estacional al existente, existente, podem podemos os eliminar eliminar sus efectos efectos de la seserie de tiempo. Este ajuste nos permite calcular la variación cíclica que se lleva a cabo cada año. Cuando eliminamos el efecto de la variación variación estacional de una una serie de tiempo, hemos desestacionalizado la serie.
Método de razón de promedio móvil Uso del método de razón de promedio móvil para medir la variación estacional
Con el fin de medir la variación variación estacional, es común usar el método de razón de promedio móvil . Esta técnica proporciona un índice que describe el grado de variación estacional. El índice está basado en una media de 100, con el grado de estacionalidad medido por las variaciones respecto a la base. Por ejemplo, si examinamos la estacionalidad de la renta de canoas en en un hotel de veraneo, veraneo, podríamos encontrar que el índice del trimestre de primavera es 142. El valor 142 indica que el 142% de las rentas trimestrales promedio ocurre en primavera. Si la administración registró 2,000 rentas de canoas durante todo el año anterior, anterior, entonces la renta promedio por trimestre será 2,000/4 2,000/4 ϭ 500. Como el índice del trimestre de primavera primavera es 142, estimamos el número de alquileres de canoas canoas de la forma siguiente: Índice del trimestre de primavera
⏐ ⏐ ↓ 142 Rentas promedio por trimestre ⎯⎯⎯→ 500 ϫ ᎏᎏ ϭ 710 ←⎯⎯⎯ Renta estacionalizada del trimestre de primavera 100 Un ejemplo del método de razón de promedio móvil
Paso Paso 1: Calcule Calcule el total móvil de 4 trimestres
El ejemplo con que abrimos el capítulo puede ilustrar el método de razón de promedio móvil. El hotel de veraneo desea establecer el patrón estacional de demanda de cuartos por parte de sus clientes. La administración desea mejorar el servicio al cliente y está considerando varios planes de contratación de personal durante los periodos pico. La tabla 15-9 presenta la ocupación por trimestre, es decir, decir, el número promedio de huéspedes durante durante cada trimestre de los últimos cinco años. Nos referiremos a la tabla 15-9 para exponer los seis pasos requeridos para el cálculo de un índice estacional. 1. El primer paso paso en el cálculo de un índice estacional consiste consiste en calcular calcular el total móvil móvil de para los 4 trimestres para la serie de tiempo. Para hacerlo, calculamos el total de los valores para
trimestres durante trimestres durante el primer primer año, 1991 en en la tabla tabla 15-9: 15-9: 1,86 1,8611 ϩ 2,203 ϩ 2,415 ϩ 1,908 ϭ 8,387. Un total móvil se asocia con el dato que ocupa el lugar medio del conjunto de valores del cual fue calculado. Como nuestro primer total de 8,387 se calculó a partir de cuatro datos, lo colocamos frente al punto medio de esos trimestres, de modo que queda en la columna 4 de la tabla 15- 10, entre los renglones 1991-II y 1991-III. Encontramos el siguiente total móvil eliminando el valor valor de 1991-I, 1,861, y agregando el 1. de 1992-I, 1,921. Al eliminar el primer valor valor y agregar agregar el quinto, nos quedamos con con cuatro trimestres en el total. Los cuatro valores sumados ahora son 2,203 ϩ 2,415 ϩ 1,908 ϩ 1,921 ϭ 8,447. Tabla 15-9 Serie de tiempo para la
Año
I
1991
1 861
Número de huéspedes por trimestre II I II 2 203
2 415
IV 1 908
Este total se coloca en la tabla 15-10 justo debajo del primer total trimestral, 8,347. Continuamos con este procedimiento de de “deslizar” el total de 4 trimestres por la serie de tiempo hasta incluir el último valor de la serie. En el ejemplo, corresponde a las 1,967 habitaciones del cuarto trimestre de 1995, el último número de la columna 3 de la tabla. El último elemento de la columna de totales móviles es 8,793. Se encuentra entre los renglones de los trimestres 1995-II y 1995-III, ya que se calculó con los datos de los 4 trimestres de 1995. Paso 2: Calcu Paso Calcule le el promedio móvil de los 4 trimestres
2. En el segundo segundo paso, calcula calculamos mos el promedio promedio móvil de de los 4 trimestr trimestres, es, divid dividiendo iendo entre entre 4 valores que se encuentran en cada uno de los totales. En la tabla 15-10, dividimos entre 4 los valores
Paso 3: Centr Paso Centree el promedio móvil de 4 trimestres
3. En el tercer tercer paso, paso, centra centramos mos el promed promedio io móvil móvil de 4 trimestr trimestres. es. Los promedios móviles de
la columna 4, para obtener los valores de la columna 5. la columna 5 caen a la mitad de los trimestres. Tal Tal vez sería mejor tener promedios móviles asociados a cada trimestre. Con el fin de centrar nuest nuestros ros promedios promedios móviles, móviles, asocia asociamos mos a cada trimestre el promedio de los dos promedios móviles de 4 trimestres que caen justo arriba y aba jo de éste. Para el trimestre 1991-III, el promedio móvil centrado de 4 trimestres resultante es 2,104.25, 2,104.25, es decir (2,096.75 (2,096.75 ϩ 2,111.75)/2. Los otros elementos de la columna 6 se calculan de la misma forma. En la figura 15-7 se ilustra cómo c ómo el promedio móvil suaviza los picos y los valles de la serie de tiempo original. Las componentes estacional e irregular se suavizaron, suavizaron, y la línea punteada resultante, representa las componentes cíclicas y de tendencia de la serie.
Tabla 15-10 Cálculo del promedio móvil centrado de 4 trimestres Año (1)
Trimestre (2)
Ocupación (3)
1991
I II III IV
1,861 2,203 2,415 1,908
1992
I II III IV
1,921 2,343 2,514 1,986
1993
I II III IV
1,834 2,154 2,098 1,799
1994
I II III IV
1,837 2,025 2,304 1,965
1995
I II
2,073 2 414
Paso 1: Total móvil de 4 trimestres (4)
Paso 2: Promedio móvil de los 4 trimestres (5) ϭ (4) Ϭ 4
8,387 8,447
2,096.75 2,111.75
8,587 8,686 8,764 8,677
2,146.75 2,171.50 2,191.00 2,169.25
8,488 8,072 7,885 7,888
2,122.00 2,018.00 1,971.25 1,972.00
7,759 7,965 8,131 8,367
1,939.75 1,991.25 2,032.75 2,091.75
8,756 8,791
2,189.00 2,197.75
Paso 3: Promedio móvil centrado de 4 trimestres (6)
Paso 4: Porcentaje del valor real respecto al promedio móvil (3) (7) ϭ ᎏᎏ ϫ 100 (6)
2,104.250 2,129.250
114.8 89.6
2,159.125 2,181.250 2,180.125 2,145.625
89.0 107.4 115.3 92.6
2,070.000 1,994.625 1,971.625 1,955.875
88.6 108.0 106.4 92.0
1,965.500 2,012.000 2,062.250 2,140.375
93.5 100.6 111.7 91.8
2,193.375 2 198 000
94.5 109 8
Suponga que trabajamos con los datos de admisión de la sala de urgencias de un hospital, y deseamos calcular los índices diarios. En los pasos 1 y 2, 2, calculamos los totales móviles y los promedios móviles de 7 días, y los promedios móviles ya quedan centrados (debido a que el punto medio de un periodo de 7 días es el el cuarto día). En este caso, el paso 3 no es necesario. Siempre que el número de periodos para los cuales queremos obtener índices sea impar (7 días en una semana, semana, 3 turnos en un día), día), podemos podemos omitir el paso paso 3. Sin embargo, embargo, cuando cuando el número de periodos periodos es par (4 trimestr trimestres, es, 12 meses, meses, 24 horas), horas), entonces entonces debemos debemos seguir seguir el paso paso 3 para centrar los promedios móviles obtenidos en el paso 2.
Algunas veces, veces, es posible omitir el paso 3
3.
Paso Paso 4: Calcule Calcule el porcentaje del valor real respecto al valor del promedio móvil
4. Enseguida, calculamos el porcentaje del valor real con con respecto respecto al valor del promedio móvil para cada trimestre de la serie de tiempo que tenga un elemento de promedio móvil de 4 trimestres. Este paso nos permite recuperar la componente estacional para los trimestres.
Determinamos este porcentaje dividiendo cada uno de los valores trimestrales reales de la columna 3 de la tabla 15-10 entre los valores correspondientes del promedio móvil centrado de 4 trimestres que se encuentran en la columna 6, y luego multiplicamos el resultado por 100. Por Por ejemplo, encontramos que el porcentaje correspondiente correspondiente a 1991-III es: Real ᎏ ᎏ Promedio móvil
ϫ 100 ϭ
2,415 ϫ 100 ᎏᎏ 2,104.250
ϭ 114.8
Paso Paso 5: Reúna Reúna las repuestas del paso 4 y calcule la medida modificada Reducción de variaciones cíclica e irregular extremas
5. Para reunir reunir todos los porcentajes porcentajes de los valores reales respecto respecto a los valores valores del promedio promedio móvil de la columna 7 de la tabla 15-10, organícelos por trimestre. trimestre. Luego calcule la media modificada para cada trimestre. Esta media modificada se calcula descartando los valores más
alto y más bajo de cada trimestre y promediando los valores restantes. La tabla 15-11 presenta el quinto paso y el proceso para encontrar la media modificada. Los valores estacionales recuperados recuperados de los trimestres, datos en la columna 7 de la tabla 3. 15-10, todavía contienen las componentes cíclica e irregular irregular de la variación de la serie de tiempo. Al eliminar los valores más alto y más bajo de cada trimestre, reducimos las variaciones cíclica e irregular extremas. Cuando promediamos los valores valores restantes, suavizamos todavía todavía más estas componentes. Las variaciones cíclica e irregular tienden a ser eliminadas mediante este proceso, de modo que la media modificada es un índice de la componente componente estacional. (Algunos estadísticos prefieren utilizar la mediana en lugar de calcular la media modificada para obtener el mismo resultado.) 2,500 2,400
Serie de tiempo original
2,300 e r t s e m i r t r o p s e t n a p u c O
2,198
2,200 2,100 2,000 1,900 1,800
Promedio móvil centrado del cuarto trimestre (columna 6 de la tabla 15-10)
Paso 6: 6: Ajuste la media modificada
6. El paso final que se muestra en la tabla 15-12 es un ligero ajuste de la media media modificada.
Note que los cuatro índices de la tabla 15-11 dan un total de 404.1. Sin embargo, la base de un índice es 100. Entonces, Entonces, los cuatro índices trimestrales trimestrales deben dar un total de 400 400 y su media debe ser 100. Para corregir corregir este error, multiplicamos cada uno de los índices trimestrales de de la tabla 15-11 por una constante de ajuste. Este número se encuentra dividiendo la suma deseada de los índices (400) entre la suma real (404.1). En este caso, el resultado es 0.9899. En la tabla 15-12 se ve que multiplicar los índices por la constante de ajuste hace que den un total de 400. (En ocasiones, ocasio nes, inclus inclusoo después de haber hecho hecho este ajuste, la media de los índices estacionales estacionales no es exactamente exactamente 100, debido a los errores errores de redondeo redondeo acumulados. acumulados. Sin embargo, embargo, en este caso la media es exactamente 100.) Tabla 15-11
Año
Trimestre I
Trimestre II
Trimestre III
Trimestre IV
Procedimiento seguido en el paso 5 para calcular un índice estacional*
1991 1992 1993 1994 1995
— 89.0 88.6 93.5 094.5 182.5
— 107.4 108.0 100.6 109.8 215.4
114.8 115.3 106.4 111.7 .0— .0 —0 226.5
89.6 92.6 92.0 91.8 .0— .0 —0 183.8
Media modificada: 182.5 Trimestre I: ᎏᎏ ϭ 91.25 2 215.4 Trimestre II: ᎏᎏ ϭ 107.70 2 226.5 Trimestre III: ᎏᎏ ϭ 113.25 2 183.8 Trimestre IV: ᎏᎏ ϭ 91.90 2 Total de índices ϭ 404.1 *Los valores eliminados están tachados con una diagonal.
Tabla 15-12 Procedimiento para el paso 6
Trimestre
Índices desajustados
Constante de ajuste
ϭ
Índice estacional
I II III IV
91.25 107.70 113.25 91.90
0.9899 0.9899 0.9899 0.9899 Total de los índices estacionales
ϭ
90.3 106.6 112.1 ,091.0 ,0 91.0 400.0
Media de los índices
ϭ ϭ ϭ ϭ
400 4
ϭ ᎏᎏ ϭ 100.0
Usos del índice estacional Desestacionalización de una serie de tiempo
El método de razón del promedio móvil que acabamos de estudiar, estudiar, nos permite identificar la variación estacional de una serie de tiempo. Los índices estacionales se utilizan para eliminar los efectos de estacionalidad de una serie de tiempo. A este proceso se le denomina desestacionalización de una
Procedimiento para desestacionalizar datos
Uso de la estacionalidad para pronosticar
estacional ᎏ ᎏᎏ Índice 100
Año (1)
Trimestre (2)
Ocupación real (3)
1991
I
1,861
Ϭ
1991
II
2,203
Ϭ
1991
III
2,415
Ϭ
1991
IV
1,908
Ϭ
Tabla 15-13
Ocupación desestacionalizada (5) ϭ (3) Ϭ (4)
(4)
ᎏ9100ᎏ.03 ᎏ11006ᎏ0.6 ᎏ11102ᎏ0.1 ᎏ9110ᎏ.00
ϭ
2,061
ϭ
2,067
ϭ
2,154
ϭ
2,097
vidimos cada uno de los valores reales de la serie entre el índice estacional adecuado (expresado como una fracción de 100). Para describir el procedimiento, se hará la desestacionalización del valor de los primeros cuatro trimestres trimestres de la tabla 15-9. En la tabla 15-13, se presenta el proceso de desestacionalización utilizando los valores de los índices estacionales de la tabla 15-12. Una vez eliminado el efecto estacional, los valores desestacionalizados desestacionalizados que quedan solamente reflejan reflejan las componentes de tendencia, cíclica e irregular irregular de la serie de tiempo. tiempo. Una vez eliminada la variación estacional, estacional, calculamos una línea de tendencia desestacionalizada, desestacionalizada, que luego podemos proyectar al futuro. Suponga que la administración del hotel de nuestro ejemplo estima, a partir de una línea de tendencia tendencia desestacionalizada, desestacionalizada, que la ocupación ocupación promedio desestaciodesestacionalizada para el cuarto trimestre del año siguiente será de 2,121. Cuando se obtiene esta predicción, la administración debe tomar en consideración consideración el efecto de las estaciones. Para Para ello, se multiplica la ocupación promedio promedio desestacionalizada desestacionalizada predicha, predicha, 2,121, por el índice estacional estacional del cuarto trimestre (expresado como fracción de 100) para obtener una estimación estacionalizada de 1,930 cuartos de ocupación promedio para el cuarto trimestre: Índice estacional para el cuarto trimestre
⏐ ⏐ ↓ 91.0 Estimación estacionalizada de la Valor desestacionalizado estimado de la línea de tendencia ⎯⎯⎯→ 2,121 ϫ ᎏᎏ ϭ 1,930 ←⎯⎯⎯ ocupación en el cuarto semestre 100 Utilizar los índices estacionales para ajustar los datos por mes y por trimestre Y ayuda a detectar la tendencia secular SUPOSICIONES subyacente. Advertencia: la mayor parte de las cifras reportadas no dicen cuánto ajuste estacional se usó y en algunas decisiones administrativas esta información que falta es valiosa. Por Por ejemplo, si un departamento de control de vehículos estatal informa que el registro de SUGERENCIAS
vehículos nuevos el mes pasado fue 25,000 con una tasa de pronosticar la demanda del ajuste estacional, ¿cómo puede pronosticar próximo mes un distribuidor de refacciones para automóviles, como tapetes tapetes a la medida, medida, sin saber el el número real real de autos nuevos? A menudo, con propósitos de planeación interna, es útil conocer tanto las cifras ajustadas ajustadas como las no ajustadas.
Ejercicios 15.5 Ejercicio de autoevaluación EA
15-4
Utilice los siguientes porcentajes del promedio real respecto al promedio móvil que describen el flujo de efectivo trimestral en el Village Village Bank de Carrboro, N.C. durante un periodo de 4 años, para calcular el índice estacional para cada trimestre.
1992 1993 1994 1995
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
87 85 84 88
106 110 105 104
86 83 87 88
125 127 128 124
Aplicaciones ■
15-26
El dueño de la empresa The Pleasure-Glide Pleasure-Glide Boat ha recopilado las siguientes cifras trimestrales del nivel de cuentas por cobrar durante los últimos 5 años (miles de dólares): 1991 1992 1993 1994 1995
■
15-27
■
15-28
15-29
Verano
Otoño
Invierno
102 110 111 115 122
120 126 128 135 144
90 95 97 103 110
78 83 86 91 98
a) Calcule Calcule un promedio promedio móvil móvil centra centrado do de 4 trimestres trimestres.. b) Encuentre el porcentaje porcentaje de valores reales respecto respecto al promedio móvil para cada periodo. c) Determine Determine los índices índices estaciona estacionales les y los índices estaciona estacionales les modificado modificados. s. Marie Wiggs, Wiggs, directora de personal de una compañía farmacéutica registró registró las siguientes tasas de ausentismo porcentual para cada trimestre de un periodo de 4 años: 1992 1993 1994 1995
■
Primavera
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
5.6 5.7 5.3 5.4
6.8 6.7 6.6 6.9
6.3 6.4 6.1 6.2
5 .2 5 .4 5 .1 5 .3
a) Elabore Elabore un promedio promedio móvil móvil centrado centrado de 4 trimestres trimestres y grafíquel grafíqueloo junto con los datos datos originales originales.. b) ¿Qué puede puede conclu concluir ir acerca acerca del del ausentismo ausentismo en el el inciso a)? a)? Utilice los siguientes porcentajes de promedios reales respecto a los promedios móviles que describen las ventas estacionales estacionales de artículos deportivos en un periodo periodo de 5 años, para calcular el índice estacional estacional de cada estación. Año
Béisbol
Fú t b o l
Básquetbol
Jockey
1992 1993 1994 1995 1996
96 92 84 97 91
128 131 113 118 121
116 125 117 126 124
77 69 84 89 81
Un fabricante importante de resortes para automóvil ha determinado los siguientes porcentajes de promedio real respecto al promedio móvil que describen las necesidades trimestrales de dinero en efectivo de la compañía para los 6 años anteriores: 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
108 112 109 110 108 106
128 132 134 131 135 129
94 88 84 90 89 93
70 68 73 69 68 72
■
15-30
El jefe de admisiones de una universidad ha recabado las siguientes cifras correspondientes a los ingresos por trimestre para los 5 años anteriores (cientos):
1991 1992 1993 1994 1995
■
15-31
15-32
Verano
Otoño
Invierno
220 235 236 241 239
203 208 206 215 221
193 206 209 206 213
84 76 73 92 115
a) Calcule Calcule un promedio promedio móvil centrado centrado de de 4 trimestres. trimestres. b) Encuentre Encuentre el porcentaje porcentaje del promedio promedio real real respecto al promedio promedio móvil móvil para cada periodo. periodo. c) Determine Determine los índices índices estacion estacionales ales y los índices índices estacion estacionales ales modific modificados. ados. El hotel Ski and Putt Resort, una combinación de montañas para esquiar y campo de golf, acaba de tabutabular los datos del número de clientes (en miles) que ha tenido durante cada estación en los últimos 5 años. Calcule el índice estacional para cada trimestre. Si el hotel hotel contrata 15 personas en el verano, verano, ¿cuál deberá ser el número de empleados en el invierno, invierno, suponiendo que ambos deportes tienen iguales iguales requerimientos de servicio?
1991 1992 1993 1994 1995 ■
Primavera
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
200 175 225 200 175
300 250 300 350 300
125 150 200 225 200
325 375 450 375 350
David Curl Builders recolectó datos trimestrales del número de casas que comenzó a construir durante los últimos 5 años.
1991 1992 1993 1994 1995
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
8 9 10 10 11
10 10 11 12 13
7 7 7 8 9
5 6 6 7 8
a) Calcule Calcule el índice índice estacion estacional al para para cada trimestre. trimestre. b) Si las necesidades necesidades de capital capital de trabajo trabajo de la constructor constructoraa tienen una una relación relación directa directa con el número número de casas, ¿cuánto debe disminuir su capital de trabajo entre verano verano e invierno?
Solución al ejercicio de autoevaluación EA
15-4
Año
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
1992 1993 1994 1995
87 85 84 88
106 110 105 104
86 83 87 88
125 127 128 124
15.6 Variación irregular Dificultad para manejar la variación irregular
La última componente de una serie de tiempo es la variación irregular. irregular. Después de eliminar las variaciones de tendencia, tendencia, cíclica y estacional estacional de una serie de de tiempo, todavía queda queda un factor impredecible. impredecible. Por lo común, la variación irregular irregular se presenta en intervalos cortos cortos y sigue un patrón aleatorio. Debido a lo impredecible de la variación irregular, irregular, no tenemos la intención de intentar describirla de manera matemática. Sin embargo, a menudo podemos aislar sus causas. Por ejemplo, la crisis financiera en la ciudad de Nueva York en 1975 fue un factor irregular que deprimió severamente el mercado de bonos municipales. En 1984, las temperaturas inusualmente bajas bajas que se presentaron a finales de diciembre en los estados sureños de la Unión Americana fueron un factor irregular que aumentó significativamente significativamente el consumo de electricidad y de combustibles. La Guerra del Golfo Pérsico de 1991 fue otro factor irregular que hizo aumentar significativamente significativamente el número de viajes por aire y mar durante meses, a medida que se trasladaban tropas y suministros al lugar del conflicto. Sin embargo, no todas las causas de la variación irregular irregular se pueden identificar con con tanta facilidad. Un factor que permite a los administradores administradores manejar la variación irregular es que, con el tiempo, estos movimientos aleatorios tienden a contrarrestarse entre sí.
Advertenc Advertencia: ia: la variació variaciónn irregular irregular es es importante, pero no se explica matematemuy importante, Y máticamente. Es “lo que queda” después SUPOSICIONES de eliminar la variación por tendencia, cíclica y estacional de una serie de tiempo. En la mayoría de los casos, casos, es difícil, difícil, si no imposible, imposible, pronosticar pronosticar la variavariaSUGERENCIAS
ción irregular y nunca se intenta “ajustar “ajustar una línea” para explicarla. Sugerencia: a menudo se encontrará variación variación irregular reconocida con un pie de página o un comentario en una gráfica. Ejemplos de esto serían “mercado cerrado por el día del trabajo” trabajo” o “la Semana Santa cayó en marzo marzo este año en lugar de abril”.
Ejercicios 15.6 Conceptos básicos ■
15-33 15-34
■
15-35
■
15-36
■
¿Por qué no proyectamos la variación irregular al futuro? ¿Cuáles de los siguientes incisos ilustran variaciones irregulares? a) Una sequía sequía larga larga que llev llevaa a aumentar aumentar los precio precioss de los alimento alimentos. s. b) El efecto efecto de la la nieve nieve sobre sobre el negoc negocio io del esquí. c) Descuento, Descuento, por única única vez, vez, en los impues impuestos tos federale federaless para la la adquisició adquisiciónn de casas casas nuevas. nuevas. d) El colapso colapso en los precio precioss del petróleo petróleo crudo crudo al inicio inicio de 1986. 1986. e) La reducción reducción del del uso de energí energíaa después después del embarg embargoo petrolero petrolero de 1973. 1973. Haga una lista de cinco variaciones irregulares en series de tiempo con las que se encuentra como parte de su rutina diaria. ¿Qué permite a los administradores manejar la variación irregular en las series de tiempo?
15.7 Problema que incluye a las cuatro componentes de una serie de tiempo Para analizar un problema que involucra involucra las cuatro componentes de una serie de tiempo, veremos el caso de una compañía que se especializa en la producción de equipo para recreación. Para Para pronosticar las ventas con base en sus patrones patrones de ventas históricas, la compañía ha recolectado la informainformación de la tabla 15-14. El procedimiento para describir esta serie de tiempo consistirá en tres etapas:
1. Desestacionalización de la serie de tiempo 2. Desarrollo de la línea de tendencia l a línea de tendencia 3. Búsqueda de la variación cíclica alrededor de la Paso 1: Cálcu Paso Cálculo lo de índices estacionales
Búsqueda de los valores desestacionalizados
Como los datos están disponibles por por trimestre, primero debemos desestacionalizar la serie de tiempo. Los pasos para hacerlo se muestran en las tablas t ablas 15-15 y 15-16. Estos pasos son los mismos que introdujimos en la sección 15-5. En la tabla 15-15 se tabularon los primeros cuatro pasos para el cálculo del índice estacional. En la tabla 15-16 completamos el proceso. Una vez calculados los índices estacionales trimestrales, podemos encontrar los valores valores desestacionalizados de la serie de tiempo dividiendo las ventas reales (tabla 15-14) entre los índices estacionales. La tabla 15-17 da el cálculo de los valores desestacionalizados de la serie de tiempo. Ventas por trimestre (decenas de miles de dólares) Año I II II I IV
Tabla 15-14 Ventas trimestrales
1991 1992 1993 1994 1995
16 15 17 17 18
21 20 24 25 26
9 10 13 11 14
18 18 22 21 25
Tabla 15-15 Cálculo de los primeros cuatro pasos para obtener el índice estacional Año (1)
Trimestre (2)
Ocupación (3)
1991
I II III IV
16 21 9 18
1992
I II III IV
15 20 10 18
1993
I II III IV
17 24 13 22
1994
I II III IV
17 25 11 21
Paso 1: Total móvil de 4 trimestres (4)
Paso 2: Promedio móvil de los 4 trimestres (4) (5) ϭ ᎏ 4
64 63
16.00 15.75
62 63 63 65
15.50 15.75 15.75 16.25
69 72 76 76
17.25 18.00 19.00 19.00
77 75 74 75
19.25 18.75 18.50 18.75
Paso 3: Promedio móvil centrado de 4 trimestres (6)
Paso 4: Porcentaje del valor real respecto al promedio móvil (3) (7) ϭ ᎏᎏ ϫ 100 (6)
15.875 15.625
56.7 115.2
15.625 15.750 16.000 16.750
96.0 127.0 62.5 107.5
17.625 18.500 19.000 19.125
96.5 129.7 68.4 115.0
19.000 18.625 18.625 18.875
89.5 134.2 59.1 111.3
Paso 2: 2: Desarrollo de la línea de tendencia utilizando el método de mínimos cuadrados
El segundo paso para describir las componentes de la serie de tiempo consiste en desarrollar la línea de tendencia. Para ello aplicamos el método de mínimos cuadrados a la serie de tiempo desestacionalizada (después de haber traducido la variable estacional). La tabla 15-18 presenta los cálculos necesarios para identificar la componente de tendencia. Con los valores de la tabla 15-18, podemos encontrar la ecuación de la tendencia. De las ecuaciones 15-3 y 15-4, encont encontramos ramos la pendiente pendiente y la ordenada Y de la recta de tendencia de la siguiente manera: bϭ ϭ
⌺ xY ᎏ ⌺ x
[15-3]
2
420.3 ᎏ 2,660
ϭ 0.16
a ϭ ෆ Y
[15-4]
ϭ 18.0
La línea de tendencia apropiada se describe utilizando la ecuación de la recta (ecuación 12-3), con x en lugar de X : ˆ ϭ a ϩ bx [12-3] Y ϭ 18 ϩ 0.16 x Paso 5*
Tabla 15-16 Año
Pasos 5 y 6 en el cálculo del índice estacional
1991 1992 1993 1994 1995
I — 96.0 96.5 89.5 092.9 Suma modificada ϭ 188.9
II
III
IV
— 127.0 129.7 134.2 128.4 258.1
56.7 62.5 68.4 59.1 0—0 121.6
115.2 107.5 115.0 111.3 0—0 226.3
Media modificada: Trimestre I:
188.9 ᎏᎏϭ 94.45 2
II:
258.1 ᎏᎏϭ 129.05 2
III:
121.6 ᎏᎏϭ 60.80 2
IV:
226.3 ᎏᎏϭ 113.15 2 397.45
Trimestre
Índices
I II III IV
94.45 129.05 60.80 113.15
Paso 6† 400 Factor de ajuste ϭ ᎏᎏ = 1.0064 397.45 Factor de ajuste 1.0064 1.0064 1.0064 1.0064 Suma de índices estacionales
ϭ
Suma de índices
ϭ
95.1 129.9 61.2 113.9 400.1
ϭ ϭ ϭ ϭ
Paso 3: Búsqueda de la variación cíclica
Suposiciones acerca de la variación irregular Predicciones utilizando una serie de tiempo Paso 1: Deter Paso Determinaminación del valor desestacionalizado de las ventas para el periodo deseado
Se han identificado las componentes estacional y de tendencia de la serie de tiempo. A continuación, encontraremos la variación cíclica alrededor de la línea de tendencia. Esta componente componente se identifica midiendo la variación desestacionalizada alrededor de la línea de tendencia. En este problema, calcularemos la variación cíclica en la tabla 15-19, usando el método de residuos. Si suponemos que la variación variación irregular es, en general, de corto plazo plazo y relativamente relativamente insignificante, hemos descrito por completo la serie de tiempo de este problema utilizando las componentes componentes de tendencia, estacional y cíclica. En la figura 15-8 ilustramos la serie de tiempo original, su promedio móvil (que contiene tanto la componente de tendencia como la cíclica) y la línea de tendencia. Ahora, suponga que la administración del complejo de veraneo veraneo que hemos usado como ejemplo desea estimar el volumen de ventas para el tercer trimestre de 1996. ¿Qué debe hacer la administración? 1. Debe determinarse el valor desestacionalizado de las ventas del tercer trimestre de 1996, ˆ ϭ 18 ϩ 0.16 x. Esto requiere la codificación del tiempo, mediante la ecuación de tendencia, Y
1996-III. Ese trimestre (1996-III) es tres trimestres después de 1995-IV 1995-IV que, como se ve en la tabla 15-18, tiene un valor valor de tiempo codificado codificado de 19. Sumando Sumando 2 por cada cada trimestre, la administración encuentra que x ϭ 19 ϩ 2(3) ϭ 25. Sustituyendo este valor ( x ϭ 25) en la ecuación de tendencia se produce el siguiente resultado: ˆ ϭ a ϩ bx Y ϭ 18 ϩ 0.16(25) ϭ 18 ϩ 4 ϭ 22
Así, la estimación de ventas desestacionalizada desestacionalizada para 1993-III es $220,000. Este punto punto se señala sobre la línea de tendencia en la figura 15-8.
Año (1)
Trimestre (2)
Ventas reales (3)
Índice estacional 100 (4)
ᎏ ᎏᎏ
Ventas desestacionalizadas (5) ϭ (3) Ϭ (4)
1991
I II III IV
16 21 9 18
0.951 1.299 0.612 1.139
16.8 16.2 14.7 15.8
1992
I II III IV
15 20 10 18
0.951 1.299 0.612 1.139
15.8 15.4 16.3 15.8
1993
I II III IV
17 24 13 22
0.951 1.299 0.612 1.139
17.9 18.5 21.2 19.3
1994
I II III IV
17 25 11 21
0.951 1.299 0.612 1 139
17.9 19.2 18.0 18 4
Tabla 15-17 Cálculo de los valores desestacionalizados de la serie de tiempo
Y Ventas
Tabla 15-18 Identificación de la componente de tendencia
(1/2 x ) desestacionalizadas (col (colum umna na 5 de de la la tab tabla la Tradu raducci cción ón o 15-17) 15-17) (decen (decenas as de codific codificació aciónn de de la la Trimestr rimestree miles miles de dólare dólares) s) variable variable estacion estacional al (2) (3) (4)
Año (1)
1991
1992
1993
x
(5)
2
xY
ϭ (4)
2
(6) ϭ (5)
x
(7) ϭ (5)2
(3)
I II III IV
16.8 16.2 14.7 15.8
Ϫ9
1
Ϫ19
Ϫ319.2
Ϫ8
1
Ϫ17
Ϫ275.4
Ϫ15
Ϫ220.5
Ϫ13
Ϫ205.4
I II III IV
15.8 15.4 16.3 15.8
Ϫ5
Ϫ11
Ϫ173.8
9 Ϫ7 Ϫ5
Ϫ138.6
3 Ϫ1
Ϫ53.7 Ϫ18.5
9 1
1 3
21.2 57.9
1 9
/2 /2 1 Ϫ7 /2 1 Ϫ6 /2 1
/2 Ϫ4 /2 1 Ϫ3 /2 1 Ϫ2 /2 1
Ϫ1
1
Ϫ
361 289 225 169 121 81 49 25
Ϫ114.1 Ϫ79.0
I II
17.9 18.5
III IV
21.2 19.3
/2 Ϫ /2 0* 1 /2 1 1 /2
1994
I II III IV
17.9 19.2 18.0 18.4
2 1/2 3 1/2 4 1/2 5 1/2
5 7 9 11
89.5 134.4 162.0 202.4
25 49 81 121
1995
I II III IV
18.9 20.0 22.9 21.9 ⌺Y ϭ 360.9
6 1/2 7 1/2 8 1/2 9 1/2
13 15 17 19
245.7 300.0 389.3 0000000416.1 0000000 416.1 ⌺ xY ϭ 420.3
169 225 289 00000000361 00000000 361 2 ⌺ x ϭ 2,660
1
Media
Ϫ
⌺Y ˆ ϭ ᎏ Y ᎏ n
Y
360.9 20
ϭ ᎏᎏ
Y ϭ 18.0 *Asignamos la media de cero al valor en la mitad de los datos (1993-II 1/2) y luego medimos el tiempo traducido, x , por medios trimestres, debido a que tenemos un número par de periodos.
Paso 2: Estacionaliza Estacionaliza-ción de la estimación inicial
2.
Ahora la administración debe estacionalizar esta estimación multiplicándola por el índice estacional correspondiente al tercer tercer trimestre, expresado como una fracción de 100: Índice estacional para el trimestre III tomado del paso 6 de la tabla 15-16
⏐ ⏐ ↓ 61.2 Estimación de tendencia obte22 ⎯⎯⎯→ ϫ ᎏ ᎏ ϭ 13.5 ←⎯⎯⎯ Estimación estacionalizada nida con la ecuación 12-3 100 Precaución al utilizar la predicción
Con base en este análisis, la compañía estima que las ventas para el trimestre 1996-III 1996-III serán de $135,000. Debemos Debemos aclarar, aclarar, sin embargo, que este valor valor es solamente una estimación y no toma en cuenta las componentes cíclica e irregular. irregular. Como hicimos notar la variación irregular no se se puede
Y
Tabla 15-19
Y ᎏᎏ ϫ ˆ Y
Año (1)
Trimestre (2)
Ventas desestacionalizadas (columna 5, tabla 15-17) (3)
1991
I II III IV
16.8 16.2 14.7 15.8
18 ϩ 0.16 (Ϫ19) ϭ 14.96 18 ϩ 0.16 (Ϫ17) ϭ 15.28 18 ϩ 0.16 (Ϫ15) ϭ 15.60 18 ϩ 0.16 (Ϫ13) ϭ 15.92
112.3 106.0 94.2 99.2
1992
I II III IV
15.8 15.4 16.3 15.8
18 ϩ 0.16 (Ϫ11) ϭ 16.24 18 ϩ 0.16 ( Ϫ9) ϭ 16.56 18 ϩ 0.16 ( Ϫ7) ϭ 16.88 18 ϩ 0.16 ( Ϫ5) ϭ 17.20
97.3 93.0 96.6 91.9
1993
I II III IV
17.9 18.5 21.2 19.3
18 ϩ 0.16 ( 18 ϩ 0.16 ( 18 ϩ 0.16 ( 18 ϩ 0.16 (
1) ϭ 18.16 3) ϭ 18.48
102.2 103.7 116.7 104.4
1994
I II III IV
17.9 19.2 18.0 18.4
18 ϩ 0.16 ( 5) ϭ 18.80 18 ϩ 0.16 ( 7) ϭ 19.12 18 ϩ 0.16 ( 9) ϭ 19.44 18 ϩ 0.16 0.16 ( 11) 11) ϭ 19.76
95.2 100.4 92.6 93.1
1995
I II III IV
18.9 20.0 22.9 21.9
18 ϩ 0.16 0.16 ( 18 ϩ 0.16 0.16 ( 18 ϩ 0.16 0.16 ( 18 ϩ 0.16 0.16 (
94.1 98.0 110.5 104.1
Identificación de la variación cíclica
Porcentaje de tendencia (3) (15) ϭ ᎏᎏ ϫ 100 (4)
a ϩ bx ϭ ˆ Y *
(4)
Ϫ3) ϭ 17.52 Ϫ1) ϭ 17.84
13) 13) ϭ 20.08 15) 15) ϭ 20.40 17) 17) ϭ 20.72 19) 19) ϭ 21.04
*El valor apropiado de x en esta ecuación se obtiene de la columna 5 de la tabla 15-18.
FIGURA 15-8 Serie de tiempo, línea de tendencia
) s e r a l ó d e d s e l i m e d s a n e c e d ( s a t n e V
26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12
Serie de tiempo de la tabla 15-14 (las cuatro componentes) ˆ = 18 + 0.16x Y
(sólo la tendencia)
Estimación de ventas desestacionalizadas para 1996-III ($220,000)
Promedio móvil centrado de 4 trimestres (componentes
100
Un análisis completo de la serie de tiempo intenta explicar la tendencia secular , la Y variación cíclica y la variación estacioSUPOSICIONES nal. Lo que queda es la variación irreguAdvertencia: aun el mejor análisis de series de tiempo tiempo lar . Advertencia: describe el comportamiento anterior y puede no pronosticar SUGERENCIAS
el comportamiento futuro. Sugerencia: la manera correcta de proceder al analizar todas las componentes de una serie de tiempo es primero desestacionalizar la serie de tiempo, después encontrar la línea de tendencia, luego calcular la variación alrededor alrededor de la línea línea de tendencia tendencia y, y, por último, identificar la variación irregular en lo que queda.
Ejercicios 15.7 Ejercicio de autoevaluación EA
15-5
Una comisión estatal designada para controlar el consumo de energía reunió los siguientes datos correspondientes al consumo de gas natural, en millones de pies cuadrados: Año
Invierno
Primavera
Verano
Otoño
1992 1993 1994 1995
293 301 304 306
246 252 259 265
231 227 239 240
282 291 296 300
a) Determine Determine los índices índices estacionales estacionales y desestacional desestacionalice ice estos datos (usando (usando un promedio móvil móvil centrado de 4 trimestres). b) Calcule Calcule la recta recta de mínimos mínimos cuadrados cuadrados que que mejor mejor describa describa esos datos. datos. c) Identifiqu Identifiquee la variación variación cíclica cíclica de los datos con el método método del residuo residuo cíclico relati relativo. vo. d) Represente Represente gráfica gráficamente mente los los datos originale originales, s, los datos desestac desestacionali ionalizados zados y la tendenc tendencia. ia.
Aplicaciones 15-37
■
15-38
Una agencia de ecología ha observado la calidad del aire en Nueva York durante 5 años y ha reunido los siguientes datos estacionales respecto a los contaminantes (en partes por millón) en el aire. Año
Invierno
Primavera
Verano
Otoño
1992 1993 1994 1995 1996
452 474 494 506 527
385 397 409 429 454
330 356 375 398 421
385 399 415 437 482
a) Determine Determine los índices índices estacionales estacionales y desestacional desestacionalice ice estos datos (usando (usando un promedio móvil móvil centrado de 4 trimestres). b) Calcule Calcule la recta de de mínimos mínimos cuadrados cuadrados que mejor mejor describa describa estos datos. datos. c) Identifiqu Identifiquee la variación variación cíclica cíclica en estos datos datos con el método de residuos residuos cíclicos cíclicos relativos. relativos. d) Grafique Grafique los datos datos original originales, es, los datos datos desestacion desestacionaliza alizados dos y la tendenc tendencia. ia. Los siguientes datos describen el desempeño de comercialización de un productor regional de cerveza: Año
1991 1992 1993 1994
Ventas por trimestre (cientos de miles de dólares) I II III IV
19 21 23 24
24 28 31 35
38 44 41 48
25 23 23 21
a) Calcule Calcule los índices índices estacionales estacionales para estos estos datos. (Utilice (Utilice un promedio promedio móvil móvil centrado centrado de 4 trimestres.) trimestres.) b) Desestacion Desestacionalice alice estos estos datos datos utilizando utilizando los índices índices del inciso inciso a). a).
■
15-39
Para el ejercicio 15-38: a) Encuentre Encuentre la recta de mínimos mínimos cuadrados cuadrados que que mejor describa describa la tendencia tendencia en las ventas ventas desestacio desestacionanalizadas de cerveza. b) Identifiq Identifique ue la componente componente cíclica en esta serie serie de tiempo calculando calculando el porcentaje porcentaje de tendencia. tendencia.
Solución al ejercicio de autoevaluación EA
15-5
a) Año
Trimestre
Uso real de gasolina
1992
Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño
293 246 231 282 301 252 227 291 304 259 239 296 306 265 240 300
1993
1994
1995
Año 1992 1993 1994 1995 Suma modificada Índice estacional
Promedio móvil 4 trimestres
Promedio móvil centrado
263.00 265.00 266.50 265.50 267.75 268.50 270.25 273.25 274.50 275.00 276.50 276.75 277.75
Porcentaje de promedio real respecto al promedio móvil
264.000 265.750 266.000 266.625 268.125 269.375 271.750 273.875 274.750 275.750 276.625 277.250
Invierno
111.66 094.39 086.82 107.13 111.66 094.39 086.82 107.13 111.66 094.39 086.82 107.13 111.66 094.39 086.82 107.13
262.4037 260.6208 266.0677 263.2316 269.5683 266.9774 261.4605 271.6326 272.2551 274.3935 275.2822 276.2998 274.0462 280.7501 276.4340 280.0336
087.50 106.11 113.16 094.51 084.66 108.03 111.87 094.57 086.99 107.34 110.62 095.58
Primavera
113.16 111.87 110.62 111.87 111.66
Índice estacional
Us o desestacionalizado
94.51 94.57 95.58 94.57 94.39
Verano
Otoño
87.50 84.66 86.99
106.11 108.03 107.34
86.99 86.82
107.34 107.13
La suma de las medias modificadas fue 400.77, de manera que el factor de ajuste 400/400.77 tacionales se obtuvieron multiplicando las medias modificadas por este factor.
b, c)
Año
Trimestre
Uso desestacionalizado (Y )
1992
Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño
262.4037 260.6208 266.0677 263.2316 269.5683 266.9774 261.4605 271.6326
1993
x
xY
Ϫ15
Ϫ3936.0555
Ϫ13
Ϫ3388.0704
Ϫ11
Ϫ2926.7447
1Ϫ9 1Ϫ7 1Ϫ5 1Ϫ3 1Ϫ1
Ϫ2369.0844 Ϫ1886.9781 Ϫ1334.8870 Ϫ784.3815 Ϫ271.6326
2
x
225 169 121 81 49 25 9 1
ϭ 0.99808. Los índices es-
Tendencia desestacionalizada ˆ Y ϭ 270.7161 ϩ 0.6301 x 261.2646 262.5248 263.7850 265.0452 266.3054 267.5656 268.8258 270.0860
Residuo c íc l ic o relativo ˆ Y Ϫ Y ϫ 100 ˆ Y
ᎏ
Ϫ0.44 Ϫ0.73 Ϫ0.87 Ϫ0.68 Ϫ1.23 Ϫ0.22 Ϫ2.74 Ϫ0.57
Año
Trimestre
1995
Invierno Primavera Verano Otoño
Uso desestacionalizado (Y )
x
274.0462 280.7501 276.4340 280.0336 4,331.4571
a ϭ ෆ Y ϭ
9 11 13 15 15 0
x
2466.4158 3088.2511 3593.6420 4200.5040 856.9239
81 121 001169 00 0,2225 0, 1,360
bϭ
⌺ xY ϭ ᎏ ⌺ x
4,331.4571 ϭ 270.7161 ᎏᎏ 16
ˆ ϭ 270.7161 ϩ 0.6301x (donde 1993-IV Y d)
2
xY
2
Tendencia desestacionade lizada ˆ Y ϭ 270.7161 ϩ 0.6301 x
Residuo cíclico relativo Y Ϫ ˆ Y ϫ 100 ˆ Y
ᎏ
276.3870 277.6472 278.9074 280.1676
856.9239 ᎏ 1,360
Ϫ0.85 Ϫ1.12 Ϫ0.89 Ϫ0.05
ϭ 0.6301
/ 2 ϭ 0 y unidad de x ϭ 1 / 2 trimestre)
1
310 300 290 280 a n i l o s a g e d o m u s n o C
•
270 260
• •
• •
•
•
IV
I
•
•
•
•
• •
•
•
•
250 240 230 220
I
II II I 1992
IV
I
II III 1993
datos origi na nales
II III 1994
IV
I
I I II I 1995
IV
acionali za zados • datos desest ac
15.8 Análisis de series de tiempo en pronóstic pronósticos os
Limitaciones del análisis estacional
En este capítulo hemos examinado las cuatro componentes de una serie de tiempo. Hemos descrito el proceso de proyectar la tendencia pasada y la variación variación estacional hacia el futuro, mientras tomamos en consideración las imprecisiones inherentes de este análisis. Además, hicimos notar que a pesar de que las componentes cíclica e irregular afectan el comportamiento, comportamiento, futuro, son factores erráticos y difíciles de utilizar para pronosticar. Debemos estar conscientes de que el enfoque mecánico del análisis de series de tiempo está su jeto a errores y cambios considerables. Es necesario que los administradores combinen estos procedimientos sencillos con el conocimiento de otros factores con el fin de desarrollar pronósticos funcionales. Los analistas revisan, revisan, actualizan y descartan constantemente sus pronósticos. Si deseamos manejar con éxito el futuro, debemos hacer lo mismo.
En pronósticos, proyectamos la tendencia histórica histórica y la variación cíclica al al futuro. Debemos preguntarnos “¿qué “¿qué tan regulares y duraderas duraderas fueron las tendencias tendencias pasadas?, ¿cuáles son las posibilidades de que tales patrones estén cambiando?” 2. ¿Qué tan precisos son los datos históricos que utilizamos en el análisis de series de tiempo? Si una compañía cambió de un sistema de contabilidad de inventario PEPS (primero en entrar, entrar, primero en salir) a un sistema UEPS (último en entrar, entrar, primero en salir) en un periodo dentro del tiempo que se analiza, analiza, los datos (como las ganancias ganancias trimestrales) obtenidos obtenidos antes y después del cambio no son comparables y tampoco son muy útiles para pronosticar. 1.
Advertenc Advertencia: ia: los administradores administradores inteligentes se dan cuenta de que explicar la Y mayor parte de la variación en una serie SUPOSICIONES de tiempo de datos históricos históricos no significa que este mismo patrón continuará en el futuro. Sugerencia: estos mismos administradores inteligentes combinan todos los pronósticos disponibles de la serie de tiempo con SUGERENCIAS
respuestas intuitivas para ampliar las preguntas de ¿qué pasa si...?, que siempre son parte de la planeación estratégica. Estas preguntas se refieren al entorno (sociológico, económico, político) de negocios negocios futuros y si cambiará en en forma significativa el entorno existente cuando se reunieron los datos de la serie de tiempo.
Ejercicios 15.8 ■
15-40 15-41
■
15-42
■
15-43
■
Enumere cuatro errores que pueden afectar las predicciones con una serie de tiempo. Cuando se utiliza una serie de tiempo tiempo para pronosticar el futuro, ¿qué garantías necesitamos en los datos datos históricos en los que se basan nuestras predicciones? ¿Qué problemas pueden desarrollarse si utilizamos las cifras de inscripciones pasadas a la universidad para pronosticar las inscripciones futuras? ¿De qué manera los pronósticos con series de tiempo manejarían cuestiones como las siguientes? a) Cambios Cambios en la la ley federal federal de recaud recaudación ación de impuestos impuestos.. b) Cambios Cambios en en los los sistemas sistemas de contabilida contabilidad. d.
Estadística en el trabajo Loveland Computers Caso 15: Series Series de tiemp tiempoo Lee Azko descansaba en su bien ganada fama. El complicado análisis de regresión de los resultados de los gastos de publicidad había dado a Sherrel Wrigtht más confianza para utilizar el argumento de una me jor planeación. Incluso Walter Azko comenzó a reconocer que parte del éxito de marketing marketing no dependía del azar, azar, sino que existían ciertas reglas. “Nunca pude ver el valor de publicar anuncios de cinco o seis anuncios de una plana”, dijo el tío Walter Walter mientras daba la vuelta a la esquina de la ‘oficina’ ‘oficina’ de Lee, un cubículo equipado con pocos muebles y una de las computadoras personales más grandes y rápidas de Loveland. “Gracias por mostrar que tenía razón. Estás a punto de hacerme creer también en esos anuncios de periódico tan caros.” “¿Comentó algo Margot acerca de esos grupos de enfoque?”, Lee andaba a la caza de otro cumplido. “Vamos “Vamos a ver ese asunto la semana próxima; es demasiado pronto para decir algo. Pero no te sientas libre todavía. Tengo un proyecto completamente nuevo para ti. Ve a ver a Gracia.”
Gracia Delaguardia se reía de un chiste. La risa se escuchaba en todo el corredor. Gracia tenía una ‘verdadera’ oficina, con puerta. Lee la encontró mirando una gráfica gráfica junto con otro miembro del equipo Loveland. “Lee, ven, déjame presentarte presentarte a Roberto Palomar. Palomar. Bert es el encargado encargado del banco de teléfonos, nuestro departamento de pedidos. Estábamos hablando de ti.” “¿De eso se reían?”, Lee se sintió nervioso. “No, no. Mira esto. Bert está tratando de estimar el número de vendedores por teléfono que necesitamos para atender los pedidos. Debemos planear la contratación...” “E instalar instalar suficiente suficientess líneas líneas 800”, agregó agregó Roberto, Roberto, a quien todo el mundo llamaba Bert. “Graficamos “Graficamos los datos trimestrales”, trimestrales”, continuó Gracia, “y, “y, como ingeniera, déjame decirte que puedo reconocer reconocer una tendencia no lineal cuando veo una”. Gracia señaló una curva que se parecía a la trayectoria del del transbordador espacial espacial llegando a la órbita. “Desde “Desde luego, no nos quejamos de nuestro crecimiento. Es bueno estar en un equipo que va ganando.” “Pero si continuamos con esta tendencia”, tendencia”, intervino Bert, deslizando una regleta regleta sobre la gráfica, “dentro de 10 años tendremos que contratar a toda la población de Loveland, Loveland, solamente para que atiendan atiendan nuestros teléfonos”. Con eso, eso, Gra-
cia y Bert se echaron a reír de nuevo. nuevo. “Lee, ve bien esos números y di si no es cierto.” “Bueno, no cabe duda de que hay una tendencia tendencia bastante fuerte”, observó Lee, enfatizando lo obvio. “¿Hay alguna alguna especie de estacionalidad?, es decir, decir, ¿hay diferencias de un mes a otro?” “Buena pregunta”, pregunta”, respondió Bert. “Estos “Estos totales por trimestre tienden a ocultar algo de las alzas y bajas mensuales. Por ejemplo, ejemplo, agosto siempre siempre está muerto, muerto, pues la gente gente está de vacaciones. Pero diciembre es un mes muy pesado. Aunque no estamos metidos en el negocio de los regalos de Navidad, algunos usuarios domésticos en verdad le piden a Santa Claus que les traiga una computadora Loveland. El principal efecto viene de los negocios negocios pequeños, que desean registrar registrar en la contabilidad gastos de equipo antes del final del año, con el fin de pagar menos impuestos.” “Y no me parece que el volumen de llamadas esté repartido por igual entre todos los días días de la semana”, se aventuró a decir Lee.
Ejercicio de base de datos computacional HH Industries La siguiente semana, Stan pidió a Laurel pedirle algunos datos, para su próxima reunión de ventas. “En esas primeras pláticas que tuvimos sobre la historia de la compañía”, le dijo, “recordarás que te dije que los sellos y el equipo para sellar, nuestra línea de producción producción más extensa, son la piedra angular de nuestras ventas. De hecho, es la línea de productos con la que, básicament básicamente, e, el señor señor Douglas Douglas empezó empezó el negocio negocio.. Como están las cosas, también es la línea de productos productos que genera nuestro mayor margen bruto. ¿Hay algo que puedas hacer, hacer, como diagram diagramas as o gráfi gráficas, cas, que pudiera pudiera ilustrar ilustrar el comportamiento de las ventas de sellos durante los últimos 10 años o algo así? Tengo datos de las ventas por día o por mes con los que puedes trabajar”. “¿Qué tal si desestacionalizo los datos para mostrar una tasa de crecimiento más más precisa?”, sugirió Laurel. “Puedo utilizar las cifras de ventas mensuales y generar algunas gráficas que muestren las tendencias. Calculando una estimación de mínimos cuadrados, también podría darte una herra-
Del libro de texto al mundo real Industria pesquera en Islandia El Ministerio de Pesca de Islandia ha desarrollado un modelo para facilitar la toma de decisiones en la administración pesquera. Se utiliza principalmente para la administración de
“Ah, sí. Los días días lluviosos lluviosos y los lunes”, lunes”, respondió respondió Bert. Bert. “Tenemos “Tenemos una regla empírica que dice que hacemos el doble de negocios en lunes que en martes. De modo que intentamos evitar hacer sesiones de entrenamiento o reuniones de personal los lunes. En algunas ocasiones, ocasiones, el personal de supervisión atiende cualquier llamada, no importa lo que cueste. cueste. Si perdemos una llamada, un cliente potencial podría adquirir una computadora de la competencia. “Pero ahora siento que estamos en el momento en que realmente debo planear un poco mejor el número de trabajadores que debo tener disponibles. Si programo a demasiada gente, desperdiciamos dinero y los vendedores se aburren. Estarían mejor en su casa.” casa.” “Bueno, “Bueno, creo que podría podría ayudarles” ayudarles”,, se ofreció Lee. Lee. “Les diré lo que necesito.” necesito.” Preguntas de estudio: ¿Qué datos querrá examinar Lee?
¿Qué análisis llevará a cabo? ¿De qué manera utilizará Bert la información que obtenga Lee?
mienta aproximada para que puedas pronosticar la venta de sellos desestacionalizada para los años venideros. ¿Qué te parece?” “Me perdí en la parte de los mínimos cuadrados”, admitió Stan, “pero suena exactamente como lo que que estoy buscando. Será interesante ver las ventas sin el efecto de las l as temporadas. ¿Podrías tener una primera información de las cifras para el inicio de la siguiente semana?”. “Claro que sí”, respondió Laurel. “Te “Te traeré todo a tu oficina el lunes o el martes.” Haga un análisis de serie de tiempo de la ventas de sellos durante los últimos 10 años. (Use los datos de ventas del archivo CH15.xxx del CD que acompaña al libro.) Desestacionalice las ventas por mes, utilizando el método de razón de promedio móvil (use un promedio móvil centrado de 12 meses). Luego encuentre la ecuación lineal de mínimos cuadrados que mejor describa los datos desestacionalizados. 2. Utilice los resultados para pronosticar las ventas de cada mes de 1994. 3. Observe los residuos asociados con la ecuación de regresión lineal. ¿Existe algún patrón que pueda hacerle sospechar que una línea recta no es el mejor ajuste? 1.
sistemas de cuota a corto plazo y para la planeación de inversiones a largo plazo. Con este modelo se pueden hacer pronósticos acerca de la cantidad de pesca de bacalao y otras especies de aguas profundas con varios años de anticipación. También puede obtenerse información de las ganancias y los costos. El análisis reúne datos de varias varias variables, entre las que podemos incluir la cantidad de peces en existencia al
principio del periodo de planeación y el tamaño y clasificación de la flota de pesca. Algunos estudios recientes indican que la flota de pesca es demasiado grande grande y, a menos que se puedan tomar medidas adecuadas para limitar el volumen de pesca fuera de las costas de Islandia, la espina dorsal de la economía del país puede verse amenazada. Antecedentes La pesca es la industria principal de la economía de Islandia; el pescado y sus productos representan aproximadamente el 70% de las exportaciones del país. Las especies de que desovan en aguas profundas son las más importantes en los mares de Islandia, y el bacalao representa el 55% de esta pesca. pesca. Hasta 1976, cuando cuando Islandia adquirió adquirió completa soberanía de sus áreas de pesca, los barcos extran jeros obtenían cerca de la mitad de la pesca total. Las compañías pesqueras islandesas empezaron a modernizar sus flotas en 1970, anticipándose al retiro de la competencia extranjera. Conforme las flotas fueron creciendo en tamaño y se volvieron más eficientes, eficientes, surgieron preocupaciones preocupaciones con respecto a la protección del recurso. Estimaciones del tamaño de los recursos existentes, existentes, hechas en 1975, indicaban que la existencia de bacalao bacalao había bajado a menos de la mitad de su promedio en la época de la posguerra. Además, la edad y la estructura de la pesca no eran favorables. A pesar del retiro de los barcos de pesca extranjeros, tranjeros, el volumen volumen de pesca total total casi no disminuyó, disminuyó, esto debido a las técnicas y equipo modernos para pescar. Para 1983, la pesca de bacalao alcanzó el nivel nivel más bajo de todos los tiempos. Las autoridades y la industria pesquera se dieron cuenta de de que la flota de pesca y, en consecuencia, el esfuerzo de captura, captura, eran demasiado grandes. Debía contenercontenerse el crecimie crecimiento nto de las las flotas de pesca. pesca. En un principio principio,, el periodo de captura se restringió haciendo más largas las vacaciones de Navidad y de Pascua para los pescadores, y se establecieron topes al tiempo anual permitido de operación de cada barco pesquero. En 1984, se introdujo un sistema genegeneral de cuotas. Modelos de pesca En 1979, el Ministerio de Pesca organizó un grupo de trabajo integrado integrado por miembros de la Universidad de Islandia, el Instituto de Investigación Investigación Marina y otros grupos con el fin de desarrollar un modelo de captura de especies de aguas profundas. El modelo sería una herramienta de apoyo para la toma de decisiones decisiones de la administración, a corto y largo plazos. La planeación a corto plazo incluye el cierre de áreas para la pesca, reglamentos sobre las dimensiodimensiones de malla de las redes y sistemas de cuotas. A largo largo plazo,
el tamaño de las flotas y su composición pueden ser administradas por medio del control del gobierno sobre préstamos bancarios e inversión en nuevos barcos. últimas décadas, se han reDatos sobre pesca Durante las últimas gistrado grandes cantidades de datos sobre la l a pesca en Islandia. Que el gobierno se haya involucrado en las transacciones entre pescadores y la industria industr ia procesadora de productos marinos ha hecho que sea benéfico para ambas partes que los informes de volúmenes de pesca y otros datos sean correctos, de modo que se tiene datos muy confiables. Aunque los datos son precisos, existe aleatoriedad aleatoriedad debido al al impacto del del clima inestable y el mal tiempo sobre las áreas de pesca. Se tienen cuatro cuatro grupos de datos: datos: desembarqu desembarques, es, tamaño tamaño de existencias, potencia y selectividad selectividad de pesca y económicos. económicos. De esta información, se pueden extrapolar las tendencias relativas a la captura captura esperada para una unidad de pesca dada, dada, las ganancias o pérdidas esperadas para la flota y otras estadísticas, año por año. La comisión del gobierno usa como base 1983 para comparar la producción sustentable para flotas de diferente tamaño y tipo. La producción sustentable o sostenida se refiere a la captura equilibrada dados un esfuerzo constante y los factores ambientales normales. Resultados La conclusión principal del estudio fue que la flota de pesca es demasiado grande y que la existencia futura de peces está amenazada por los esfuerzos excesivos de los barcos pesqueros. A pesar de que los problemas asociados con los recursos naturales renovables implican incertidumbre y, y, a menudo, menudo, son impredecibl impredecibles, es, el modelo modelo de serie serie de de tiempo utilizado por el Ministerio de Pesca de Islandia proporcionó una herramienta para determinar la naturaleza y la severidad del problema. Permitió también a los diseñadores de estrategias concentrarse en las comparaciones de diferentes políticas mediante mediante análisis de sensibilidad, más que en buscar predicciones de valores absolutos. Al observar las tendencias en el tamaño de las existencias del recurso y en otras variables, variables, los políticos políticos pueden determinar determinar los efectos efectos que tendrán diferentes estrategias gubernamentales. En Islandia, los encargados de la toma de decisiones encontraron que las estrategias anteriores no tuvieron éxito en disminuir el tamaño de la captura, de modo que se impusieron impusieron los sistemas de cuota y las limitaciones en la inversión para preservar la industria pesquera del país. Fuente: Thorkell Helgason y Snojolfur Snojolfur Olafsson, “An Icelandic Fisheries Model”, European Journal of Operational Operational Research 33 (1988): (1988): 191199.
Repaso del capítulo ● Términos introducidos en el capítulo 15
Método para convertir medidas tradicionales de tiempo en una forma que simplifique los cálculos (a menudo se le conoce como traducción). Codificación
Proceso estadístico utilizado para eliminar los efectos de la estacionalidad de una serie de tiempo.
Desestacionalización
Ecuación de segundo grado
Forma matemática que se utiliza para describir una curva parabólica que puede usarse en el análisis de tendencia de una serie de tiempo.
Residuo cíclico relativo
Medida de la variación cíclica, utiliza la desviación porcentual de cada valor de la serie respecto a la tendencia.
Fluctuación cíclica
Tipo de variación que se presenta en una serie de tiempo, en la cual el valor de la variable variable fluctúa alrededor de una línea de tendencia secular.
Los datos acumulados a intervalos regularegulares y los métodos estadísticos utilizados para determinar patrones en esos datos.
Media modificada
Método estadístico utilizado en el análisis de series de tiempo. Descarta los valores más alto y más bajo cuando se calcula una media.
Tendencia secular
Método de razón de promedio móvil
Método estadístico empleado para medir la variación estacional. Usa un índice que describe el grado de dicha variación.
Variación estacional
Método para describir la componente cíclica de una serie de tiempo. Supone que la mayor parte de la variación de la serie que no explica la tendencia secular se debe a factores cíclicos.
Variación irregular
Serie de tiempo
Tipo de variación en una serie de tiempo. El valor de la variable que tiende a aumentar o disminuir en un periodo largo. Patrones de cambio de una serie de tiempo que ocurren en un año; patrones que tienden a repetirse cada año.
Condición de una serie de tiempo en la que el valor de una variable es completamente impredecible.
Método de residuos
● Ecuaciones introducidas en el capítulo 15 ■
15-1
bϭ
⌺ XY Ϫ nX Y ෆ ෆ ᎏᎏ ⌺ X Ϫ nX ෆ 2
2
Esta fórmula, introducida en el capítulo 12 como la ecuación ecuación 12-4, nos permite calcular calcular la pendiente de la línea de regresión de mejor ajuste para cualquier conjunto de datos de dos variables. Los símbolos ෆ X y Y representan las medias de los valores de las variables independiente y dependiente, respectivamente; ෆ respectivamente; n es el número de datos con los cuales se ajusta la línea. ■
a ϭ ෆ Y Ϫ bX ෆ
15-2
Vimos Vimos esta fórmula como la ecuación 12-5. Nos permite calcular la ordenada Y de la recta de regresión de mejor ajuste para cualquier conjunto de datos de dos variables. ■
15-3
bϭ
⌺ xY ᎏ ⌺ x 2
Cuando el tiempo medido en años individuales ( X X ) se cambia a valores de tiempo codificados ( x x) restando la media ( x x ϭ X Ϫ X ), la ecuación 15-1, para la pendiente pendiente de la recta de tendencia se simplifica y se ෆ ), convierte en la ecuación 15-3. ■
■
a ϭ ෆ Y
15-4
15-5
De manera parecida, utilizar los valores de tiempo codificado codificado también nos permite simplificar la ecuación 15-2 para obtener la ordenada de la recta de tendencia. ˆ ϭ a ϩ bx Ϫ cx Y 2
En ocasiones deseamos ajustar una tendencia con una curva curva parabólica (o de segundo grado), en lugar de ˆ utilizar una línea recta ( Y ϭ a ϩ bx). La forma general de una curva de segundo grado ajustada se obtieˆ. ne incluyendo el término de segundo grado (cx ) en la ecuación de Y 2
2
■
15-6
⌺Y ϭ an ϩ c⌺ x
■
15-7
⌺ x Y ϭ a⌺ x ϩ c⌺ x
2
2
4
Con el fin de encontrar una curva curva de segundo grado ajustada con el método de mínimos cuadrados, debemos resolver las ecuaciones simultáneas 15-6 y 15-7 para encontrar los valores de a y c. El valor b se ob-
■
15-9
Podemos medir la variación cíclica como un porcentaje de tendencia si dividimos el valor real ( Y ) entre ˆ ) y luego multiplicamos por 100. el valor de tendencia ( Y ˆ Y Ϫ Y Residuo cíclico relativo ϭ ˆ ϫ 100 Y
ᎏ
Otra medida de la variación cíclica es el residuo cíclico relativo, que se obtiene obtiene dividiendo dividiendo la desviación ˆ de la tendencia ( Y Ϫ Y ) entre el valor de tendencia, y multiplicando el resultado por 100. 100. El residuo cíclico relativo se puede obtener fácilmente si restamos 100 del porcentaje de tendencia. ●
Ejercicios de repaso ■
15-44
El número de personas admitidas a Valley Nursing Home por trimestre está dado en la siguiente tabla: 1992 1993 1994 1995
■
15-45
■
15-46
15-47
15-48
Otoño
Invierno
29 27 33 34
30 34 36 40
41 45 46 47
43 48 51 53
Ene.
Feb.
Mar.
Abr.
May.
Jun.
Jul.
Ago.
Sep.
Oct.
Nov.
Dic.
0.3 0.4 0.2
0.7 0.9 0.6
0.8 0.7 0.6
0.8 0.9 0.9
0.7 0.5 0.7
0.7 0.8 0.7
0.6 0.7 0.8
0.6 0.7 0.8
0.4 0.4 0.5
0.7 0.6 0.6
0.2 0.3 0.3
0.5 0.4 0.5
Construya un promedio móvil centrado de 4 meses y grafíquelo junto con los datos originales. Un gerente de producción de una fábrica de papel canadiense ha acumulado la siguiente información que describe la cantidad de papel (en millones de libras) procesado cada trimestre: 1992 1993 1994 1995
■
Verano
a) Calcule los índices estacionales estacionales para estos datos (use un promedio móvil centrado centrado de de 4 trimestres). trimestres). b) Desestacio Desestacionalic nalicee estos datos datos usando usando los los índices índices del inciso inciso a). a). c) Encuentre la recta de mínimos cuadrados que mejor describa las cifras de la tendencia desestacionalizada. Wheeler Airlines, una línea aérea regional, regional, ha estimado el número número de pasajeros para para el mes de diciembre diciembre en 595,000 (desestacionalizado). ¿Cuántos pasajeros debe prever la compañía si el índice estacional de diciembre es 128? Un grupo de investigación ecológica ha medido el nivel de contaminación por mercurio en el océano en cierto punto de la costa este de Estados Unidos. Se encontraron los siguientes porcentajes de mercurio en el agua: 1993 1994 1995
■
Primavera
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
3.1 3.3 3.4 3.7
5.1 5.1 5.3 5.4
5.6 5.8 6.0 6.1
3.6 3.7 3.8 3.9
a) Calcule los índices índices estacionales estacionales de los datos (porcentaje (porcentaje del promedio real respecto al promedio móvil centrado). b) Desestacio Desestacionalic nalicee los datos utilizand utilizandoo los índices índices estacionales estacionales del inciso inciso a). c) Encuentr Encuentree la línea de mínimos mínimos cuadrad cuadrados os que mejor mejor describa describa los datos. datos. d) Estime la cantidad cantidad de libras libras de papel papel que serán serán procesadas durante la primavera primavera de 1996. 1996. Describa algunas de las dificultades al usar una ecuación de estimación lineal para describir los datos siguientes: a) Kilometraj Kilometrajee de gasolina gasolina logrado logrado por los automóvile automóviless estadounide estadounidenses. nses.
una lista de las ganancias anuales de la compañía correspondientes a los 10 años anteriores (en millones de dólares canadienses): Año Ganancias
1983 302. 30 2.55
1984 19 1 985 493. 49 3.66 690. 690.44
1986 1,02 1, 027. 7.88
1987 1988 1,15 1, 152. 2.55 1,45 1,458. 8.66
1989 1,92 1, 923. 3.77
1990 1,92 1, 927. 7.22
1991 1992 2,01 2, 017. 7.22 2, 2,35 358. 8.88
a) Encuentre Encuentre la la línea de de tendencia tendencia de mínimos mínimos cuadr cuadrados ados para para estos estos datos. datos. b) Grafique los datos anuales anuales junto con la línea de tendencia. ¿Las ¿Las variaciones variaciones de la tendencia parecen parecen ser aleatorias o cíclicas? c) Utilice un paquete de computación estadístico estadístico que obtenga regresión regresión para encontrar la tendencia parabólica de mejor ajuste para estos datos. ¿Es c, el coefic coeficiente iente de x , significativ significativamente amente diferente de cero? ¿Cuál de los dos modelos de tendencia recomendaría usted para pronosticar las ganancias de Magna para 1993? Explique su respuesta. d) Pron Pronostiq ostique ue las ganan ganancias cias de la empresa empresa para para 1993. 1993. Comente las dificultades que tendría al utilizar una ecuación de estimación de segundo grado para pronosticar el comportamiento del proceso que generó los datos siguientes: a) Ventas de de computador computadoras as personale personaless en Estados Estados Unidos. Unidos. b) Uso de de juegos juegos de de video video en Estados Estados Unidos. Unidos. c) Primas Primas de seguros seguros contra contra malas malas prácticas prácticas médicas. médicas. d) El número de graduados graduados de maestría maestría en administración de de las universidade universidadess de Estados Estados Unidos. La tabla siguiente muestra el número de franquicias de Beauty Bar, Inc. que opera al final de cada año: 2
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15-50
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15-51
Año Número de franquicias
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15-52
15-53
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15-54
15-55
1991 688
1992 740
1993 812
1994 857
1995 935
a) Encuentre Encuentre la ecuació ecuaciónn lineal lineal que describ describaa mejor mejor esos datos. datos. b) Estime el número de manuales de operaciones (uno por franquicia) que deba imprimirse en 1997. Un subsecretario asistente del Departamento de Comercio de Estados Unidos tiene los siguientes datos que describen el valor del grano exportado durante los últimos 16 trimestres (en miles de millones de dólares): 1992 1993 1994 1995
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1990 596
I
II
III
IV
1 2 2 1
3 2 4 3
6 7 8 8
4 5 5 6
a) Determine los índices estacionales y desestacionalice desestacionalice los datos (utilice un promedio móvil centrado centrado de cuatro trimestres). b) Calcule Calcule la recta recta de mínimos mínimos cuadra cuadrados dos que mejor mejor describa describa los los datos. c) Identifique la variación variación cíclica cíclica en los datos mediante mediante el método del residuo cíclico cíclico relativo. relativo. d) Grafique Grafique los los datos origina originales, les, los datos datos desestacio desestacionaliz nalizados ados y la tendenc tendencia. ia. La tienda de bicicletas bicicletas Richie Bell ha determinado, determinado, a partir de un análisis de tendencias tendencias pasadas, que las ventas de primavera (desestacionalizadas) (desestacionalizadas) deberán ser de 165 bicicletas. Si el índice estacional de primavera es 143, ¿cuántas bicicletas deberá deberá vender la tienda esta primavera? primavera? En el momento de terminar el programa de autopistas interestatales interestatales de Estados Unidos, ¿de qué utilidad serán los viejos datos a los fabricantes de equipo pesado de remoción de tierra cuando intentan pronosticar sus ventas? ¿Qué nuevos datos sugeriría usted que utilizaran en su pronóstico? La manufactura manufactura de automóviles, a menudo, se cita como ejemplo ejemplo de una industria industria cíclica (sujeta a cambios de acuerdo con un ciclo económico subyacente). Considere la producción de automóviles en todo el mundo (en millones de unidades) y en la antigua Unión Soviética (en cientos de miles de unidades) durante el periodo de 1970 a 1990: Año
En el mundo
En la URSS
Año
En el mundo
En la URSS
1970 1971 1972 1973
22.5 26.4 27.9 30.0
13.4 15.3 17.3 19.2
1981 1982 1983 1984
27.5 26.6 30.0 30.5
13.2 13.1 13.2 13.3
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15-56
Año
En el mundo
En la URSS
Año
En el mundo
En la URSS
1976 1977 1978 1979 1980
28.8 30.5 31.2 30.8 28.6
12.4 12.8 13.1 13.1 13.3
1987 1988 1989 1990
33.0 34.3 35.6 35.8
13.3 12.6 12.2 12.6
a) Encuentre Encuentre la recta recta de tendencia tendencia de mínimo mínimoss cuadrados cuadrados para para los datos datos en el mundo. mundo. b) Grafique los datos del mundo y la recta recta de tendencia tendencia en la misma gráfica. gráfica. ¿Las variaciones variaciones con respecto a la tendencia parecen ser cíclicas cícli cas o aleatorias? c) Graf Grafique ique los residuos residuos como como porcentaje porcentaje de la tendencia. tendencia. ¿Aproxi ¿Aproximadam madamente ente qué tan largo largo es el ciclo económico para estos datos? d) Considere la producción de automóviles en la antigua URSS. Analice sus similitudes y diferencias con los patrones que que encontró en los incisos incisos a), b) y c). La R.B. Fitch Builders ha construido el siguiente número de casas en los 8 años que lleva en el negocio: Año Casas construidas
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15-57
15-58
15-59
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15-60
1989 11
1990 19
1991 17
1992 19
1993 18
1994 20
1995 23
a) Desarroll Desarrollee una ecuación ecuación lineal lineal de estimación estimación para describir describir la tendenci tendenciaa del número de casas. casas. b) ¿Cuántas ¿Cuántas casas casas deberá deberá planear planear terminar terminar la constru constructora ctora para para 1999? 1999? c) Junto Junto con la respue respuesta sta al inciso inciso b), b), ¿qué consejo consejo daría daría usted usted a la R.B. R.B. Fitch Fitch acerca acerca del uso uso de esta téctécnica de pronósticos? Como parte de una investigación realizada por un departamento federal referente a la sicología de la actividad criminal, una encuesta acerca del número de homicidios y de asaltos producidos producidos en el curso de un año produjo los siguientes resultados: Estación
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
Número de homicidios y asaltos
31,000
52,000
39,000
29,000
a) Si los los índices índices estaci estacionale onaless respecti respectivos vos son 84, 84, 134, 103 y 79, ¿cuáles ¿cuáles son son los valores valores desestacion desestacionalializados de cada estación? b) ¿Cuál es es el significa significado do del índice índice estaciona estacionall de 79 para al inviern invierno? o? Las cifras porcentuales desestacionalizadas trimestrales de desempleo en cierto estado durante el periodo 1991-1995 son las siguientes: 1991 1992 1993 1994 1995
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1988 12
I
II
II I
IV
17.3 18.7 10.2 17.6 17.4
7.2 9.2 9.9 7.4 7.0
7.3 9.8 9.2 7.5 6.8
18.1 10.5 18.3 17.6 16.5
a) Encuentre Encuentre la ecuació ecuaciónn lineal lineal que describ describee la tendencia tendencia de de desempleo. desempleo. b) Calcule Calcule el porcentaje porcentaje de tendenci tendenciaa para para los datos. datos. c) Grafique Grafique la variació variaciónn cíclica de las tasas tasas de desempleo desempleo a partir partir del porcentaj porcentajee de tendencia. tendencia. El número de casos confirmados de SIDA reportados reportados en una clínica de salud local durante el periodo de 5 años años de 1988 a 1992 1992 fueron fueron 2, 4, 7, 13 y 21, respectiv respectivamente amente.. a) Desarroll Desarrollee la recta recta de regresión regresión lineal para estos estos datos. datos. b) Encuentre Encuentre la curva curva de segundo segundo grado grado de mínimos cuadrad cuadrados os que se ajusta ajusta a los datos. c) Construya Construya una una tabla de de los casos casos reales de de cada año, año, las estimacio estimaciones nes lineales lineales obtenid obtenidas as con la regreregresión del inciso a) y los valores de la curva de segundo grado del inciso b). d) ¿Qué regresió regresiónn parece parece ser ser el mejor estimador? estimador? RJ’s RJ’s Grocers ha agregado pollos enteros hervidos hervidos a su línea de comida para llevar, para los profesionales
15-61
a) Encuentre Encuentre la la recta recta de regresió regresiónn lineal que que mejor mejor se ajuste ajuste a estos datos. datos. b) Estim Estimee el número número espera esperado do de venta ventass en la semana semana 8. 8. c) Con base base en la estimación estimación del del inciso b) y los datos datos disponibles disponibles,, ¿la regresi regresión ón describe describe con exacti exactitud tud la tendencia de ventas para este producto? La compañía Walt Walt Disney es una gran empresa de entretenimiento con tres rubros de negocios: películas y televisión, televisión, mercancías, y parques de diversiones diversiones y hoteles (PDH). (PDH). Como Como muchas empresas, Disney informa trimestralmente la cantidad total de dinero que recibe cada uno de estos rubros. La expansión de instalaciones en los dos parques de diversiones en Estados Unidos (Disneylandia en California y Walt Walt Disney World World en Florida) y la adquisición de licencias y el ingreso por inversión en parques en Francia y Japón, han ocasionado un crecimiento crecimiento estable en en los ingresos totales por PDH. PDH. La siguiente lista de ingresos trimestrales (en millones de dólares) muestra el crecimiento de los ingresos durante la última década, que asciende a casi $1,000 millones por trimestre al final del año fiscal de la empresa en diciembre diciembre de 1992. (El año fiscal de la empresa empresa Disney empieza empieza en octubre, de modo que el trimestre que termina en diciembre de 1992 es el primer trimestre del año fiscal 1993). Un analista que observe este éxito notaría primero que algo del aumento podría atribuirse a la inflación. En consecuencia, los ingresos también se dan en dólares constantes constantes de 1982, es decir, decir, deflaciona deflacionados dos en un porcentaje equivalente equivalente a la inflación desde 1982. Esto se logra dividiendo los ingresos reales entre el deflactor PIB del Departamento de Comercio de Estados Unidos y multiplicando el resultado por 100. (Éste aparentemente misterioso proceso tendrá más sentido si consulta la sección 16.1 del siguiente capítulo.) Año fiscal y trimestre de Disney 1983-1 1983-2 1983-3 1983-4 1984-1 1984-2 1984-3 1984-4 1985-1 1985-2 1985-3 1985-4 1986-1 1986-2 1986-3 1986-4 1987-1 1987-2 1987-3 1987-4 1988-1 1988-2 1988-3 1988-4 1989-1 1989-2 1989-3 1989-4 1990-1 1990-2 1990-3 1990-4
Mes final del trimestre DIC 82 MAR 83 JUN 83 SEP 83 DIC 83 MAR 84 JUN 84 SEP 84 DIC 84 MAR 85 JUN 85 SEP 85 DIC 85 MAR 86 JUN 86 SEP 86 DIC 86 MAR 87 JUN 87 SEP 87 DIC 87 MAR 88 JUN 88 SEP 88 DIC 88 MAR 89 JUN 89 SEP 89 DIC 89 MAR 90 JUN 90 SEP 90
Ingreso real
Deflactor PIB
Ingreso en dólares de 1982
203.7 239.7 288.9 298.8 224.9 244.3 314.6 313.6 232.6 270.0 368.8 386.1 274.1 360.2 434.0 455.6 359.0 414.8 534.4 526.0 385.7 438.0 599.9 618.4 511.6 580.1 727.9 775.8 619.5 710.2 858.1 831.8
101.7 102.5 103.3 104.2 105.4 106.5 107.3 108.2 109.0 109.7 110.6 111.3 112.2 112.4 113.2 114.6 115.1 116.0 117.1 117.9 118.6 119.2 120.6 121.9 123.3 124.5 125.9 126.9 127.9 129.7 131.8 138.0
200.3 233.9 279.7 286.8 213.4 229.4 293.2 289.8 213.4 246.1 333.5 346.9 244.3 320.5 383.4 397.6 311.9 357.6 456.4 446.1 325.2 367.4 497.4 507.3 414.9 465.9 578.2 611.3 484.4 547.6 651.1 602.8
Año fiscal y trimestre de Disney 1991-3 1991-4 1992-1 1992-2 1992-3 1992-4 Fuente:
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15-62
Mes final del trimestre JUN 91 SEP 91 DIC 91 MAR 92 JUN 92 SEP 92
The Walt Disney Company,
Ingreso real
Deflactor PIB
Ingreso en dólares de 1982
759.0 810.8 662.4 774.1 890.5 996.2
141.8 142.7 143.8 144.7 145.6 146.5
535.3 568.2 460.6 535.0 611.6 680.0
Informe anual de 1992.
a) Grafique Grafique los datos datos en dólares dólares de 1982 y encuentre encuentre la recta recta de tendencia tendencia de mínimos mínimos cuadrado cuadrados. s. b) Como de debería bería esperar esperarse, se, exis existe te un fuerte fuerte patrón patrón estacional estacional en los los ingresos ingresos por PDH; PDH; el trimestre trimestre de diciembre muestra el ingreso más bajo y los mejores resultados por lo general se reportan en el trimestre de septiembre. Encuentre los índices estacionales por trimestre para los ingresos en dólares de 1982, y utilícelos para desestacionalizar dichos ingresos. c) Encue Encuentre ntre la línea línea de tendencia tendencia de mínimos mínimos cuadrados cuadrados para para los datos desestacio desestacionaliz nalizados. ados. 2 d) No podemo podemoss comparar comparar direc directamen tamente te los los valore valoress r de las líneas de tendencia de los incisos a) y c) porque la primera indica qué fracción de la variación de los ingresos reales se explica por la tendencia, mientras que la segunda nos dice qué fracción de la variación de los ingresos desestacionalizados se explica por la tendencia. Para ver cuánta variación en los ingresos reales se explica por la tendencia y por la estacionalidad, estacionalidad, proceda de la siguiente manera: manera: 1) Utilice la línea línea de tendencia desestacionalizada desestacionalizada para pronosticar los los ingresos desestacionalizados para los 40 trimestres. 2) Estacionalice de nuevo nuevo las predicciones predicciones multiplicándolas por el índice estacional apropiado y dividiéndolas entre 100. 3) Para cada cada trimestre, trimestre, reste el ingreso ingreso real del pronósti pronóstico co vuelto vuelto a estacionalizar estacionalizar para para encontrar encontrar el error del pronóstico. 4) Eleve al cuadrado estos errores y súmelos. Llame SCE* al al resultado. 5) Represente con SCT la suma total de los los cuadrados de la línea de tendencia tendencia del inciso a). La fracción de la variación de los ingresos reales explicada por la tendencia y por la estacionalidad es 1 Ϫ SCE*/SCT SCE*/SCT.. ¿Cuánto más de la variabilidad de los ingresos reales se explica al tomar en cuenta la estacionalidad? e) De octubre octubre de 1993 a septiembr septiembree de 1991, la afluencia afluencia a los parques parques de diver diversiones siones disminu disminuyó yó por la guerra del Golfo Pérsico, cuando el temor a ataques terroristas hacía que que mucha gente se quedara en sus casas, y por la recesión en la economía economía de Estados Unidos. ¿Qué ¿Qué tipo de variaciones variaciones son éstas? f) Utilic Utilicee los pronósticos pronósticos del del inciso d) para para estimar estimar cuánto le costó costó a la empresa empresa Disney Disney la recesión recesión y la guerra del Golfo, en cuanto al rubro PDH durante el año fiscal fiscal 1994. g) Utilic Utilicee el modelo que desarroll desarrollóó en el inciso d) para pronostica pronosticarr el ingreso total total por PDH (en dólares dólares de 1982) para el año fiscal de la empresa correspondiente a 1993. ¿Hay alguna razón para preocuparse porque el pronóstico pueda no ser preciso? Explique su respuesta. h) ¿Qué informació informaciónn adicional adicional necesitaría necesitaría para convertir convertir los pornósticos pornósticos del inciso g) en dólares dólares actuales? El sistema de transporte de College Town Town recolectó información del número de pasajeros por estación durante 1994 y 1995. Los datos desestacionalizados (en miles de pasajeros) son: 1994 1995
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
593 640
545 560
610 600
575 555
a) Si los índices índices estacio estacionales nales utiliza utilizados dos para para desestacio desestacionaliza nalizarr fueron fueron 110, 110, 73, 113 y 104, 104, respectiv respectivamenamente, encuentre el número real de pasajeros (en miles) para para estas ocho estaciones. b) ¿En qué estació estaciónn de 1995 se se tuvo el menor menor número número de pasajer pasajeros? os? ¿Y el mayor? mayor?
1992 1993 1994 1995
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15-64
15-65
15-66
Otoño
750 780 800 640
1,150 1,100 1,225 1,050
680 580 610 600
1 2 3 4
Lun.
Mar.
Mié.
Jue.
Vie.
Sáb.
Dom.
345 418 393 406
310 333 387 412
385 400 311 377
416 515 535 444
597 664 625 650
706 761 711 803
653 702 598 822
Determine los índices estacionales (diarios) para estos datos. (Utilice un promedio móvil de 7 días.) Suponga que las ventas de televisores de una pequeña cadena de aparatos electrodomésticos durante 19911995 fueron las siguientes: Año Ventas
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Verano
a) Calc Calcule ule los índices índices estacionales estacionales para para estos datos datos utilizando utilizando un promedio promedio móvil de 3 periodos. b) Desestacionalice estos datos utilizando los índices estacionales obtenidos en el inciso a). El administrador de un restaurante desea mejorar el servicio que brinda a sus clientes y el horario de sus empleados, basándose en la afluencia diaria diaria de clientes durante las últimas cuatro semanas. semanas. El número de clientes atendidos en el restaurante en ese periodo fue:
Semana
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Primavera
1991 230
1992 250
1993 265
1994 300
1995 310
a) Desarrol Desarrolle le la ecuación ecuación de estimació estimaciónn de segundo segundo grado para para estos estos datos. b) ¿Qué indica indica la magnitud magnitud de los coef coeficien icientes tes a, b y c respecto a la elección de una ecuación de segundo grado para esos datos? La compañía Zapit ha registrado las siguientes cifras (en cientos de miles) correspondientes a las ventas totales en su línea de hornos de microondas durante los últimos 5 años: Año Ventas
1991 3.5
1992 3.8
1993 4.0
1994 3.7
1995 3.9
La ecuación que describe la tendencia de estos volúmenes de ventas es ˆ ϭ 3.78 ϩ 0.07 x, donde Y donde 1993 1993 ϭ 0 y las unidades de x son años
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15-67
a) ¿Qué año tuvo tuvo el el más alto alto porcenta porcentaje je de tendencia? tendencia? b) ¿Qué año estuvo estuvo más más cercano cercano a la línea línea de tendenc tendencia? ia? Los siguientes datos muestran el número número de casas listadas para venta, venta, en miles, en el oeste de Estados Unidos al final de cada trimestre: Año
Trimestre
Casas listadas
1992
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1
75 77 72 74 73 74 77 73 74 79 80 82 80
1993
1994
1995
a) Calcule Calcule los índices índices estacion estacionales ales para para cada trimest trimestre. re. (Nota: (Nota: debido debido a que esta serie serie de datos es es corta, no descarte los valores extremos en el paso 5.) b) Deses Desestac tacion ionali alice ce estos estos datos datos