Hal:4.55
BAB V KEKAKUAN DAN DISTRIBUSI BEBAN 1. Definisi kekakuan Kekakuan (k) adalah besar gaya yang diperlukan untuk merubah bentuk benda sebesar satu satuan tertentu. Pada benda yang perubahan bentuknya arah memanjang, misalnya pegas (lihat gambar berikut) maka kekakuannya arah memanjang, misalnya dengan satuan kekakuan (k): N/mm. Satuan tersebut, artinya ialah pegas akan berubah panjang sebesar 1 mm apabila diberikan gaya aksial (tarik/tekan) sebesar k N. L mm Kekakuan suatu pegas disebut besar jika diperlukan gaya aksial besar untuk mengubah panjang pegas sebesar satu mm. Kekakuan suatu pegas disebut kecil jika hanya diperlukan gaya aksial kecil untuk memperpendek panjang pegas sebesar satu mm. k (N)
k (N) kekakuan pegas = k (N/mm) 1 (mm) Pegas (per)
Suatu bentuk pegas yang lain adalah bentuk balok sendi rol, seperti gambar berikut : P (N)
Kekakuan : k = P/d (N/mm)
d (mm)
(a) Pegas berbentuk balok sendi-rol
(b) Pegas balok diperkuat dengan balok tambahan, untuk memperbesar kekakuan
Analisis Struktur IV Jurusan Teknik Sipil FT UGM 2004
Hal:4.56
CONTOH 5.1. Sebuah balok kayu lebar 40 mm, tinggi 60 mm, panjang 2 meter, digunakan sebagai pegas dengan posisi seperti balok sendi rol dengan beban di tengah bentang. Hitunglah kekakuan batang tersebut, jika diketahui bahwa Ekayu = 104 MPa. P 1m
1m
Penyelesaian : Momen inersia balok : I = (1/12).b.h3 = (1/12).40.603 = 720.000 mm4 d Menurut butir 4 di halaman 3.48. diperoleh besar lendutan ditengah balok : d = (1/48).P.L3 / (EI) = (1/48).P.20003 / (104.7,2.105) = 2,315.10-2.P mm Kekakuan balok : k=P/d = P / (2,315.10-2.P) = 43,2 N/mm Jadi, nilai kekakuan balok sebagai pegas : k = 43,2 N/mm
CONTOH 5.2. Sebuah balok kayu lebar 40 mm, tinggi 60 mm, panjang 2 meter, digunakan sebagai pegas dengan posisi seperti balok kantilever dengan beban di ujung. Hitunglah kekakuan batang tersebut, jika diketahui bahwa Ekayu = 104 MPa.
2m
P
d Penyelesaian : Momen inersia balok : I = (1/12).b.h3 = (1/12).40.603 = 720.000 mm4 Menurut butir 1 di halaman 3.48. diperoleh besar lendutan di ujung kantilever : d = (1/3).P.L3 / (EI) = (1/3).P.20003 / (104.7,2.105) = 0,37 P mm Kekakuan balok : k=P/d = P / (0,37.P) = 2,7 N/mm Jadi, nilai kekakuan kantilever tersebut : k = 2,7 N/mm Analisis Struktur IV Jurusan Teknik Sipil FT UGM 2004
Hal:4.57
2. Kekakuan kolom P
P
P
d/2 EI
h
EI
P
P h/2
P (a) Kolom kantilever
(b) Kolom jepit-jepit
(c) Setengah kolom
Kekakuan kolom kantilever dapat dihitung nilai kekakuannya dengan menggunakan rumus 1) di halaman 3.40., yaitu : d/2 = (1/3).P.(1/2.h)3 / (EI) d/2 = ( P (1/8) . h3 ) / (3.E.I) d/2 = ( P . h3 ) / (24.E.I ) d = ( P . h3 ) / ( 12.E.I ) maka nilai kekakuan : k = P/d k = 12.EI / h3
3. Hubungan kekakuan dan distribusi beban Kekakuan balok pada suatu rangkaian struktur dapat dipakai untuk menetapkan faktor distribusi dalam mendistribusikan beban ke elemen-elemen strukturnya. Suatu beban didistribusikan ke elemen-elemen struktur sebanding dengan kekakuan masingmasing elemen-elemen struktur tersebut. Ditinjau dua balok dengan ukuran penampang sama besar yang dibentangkan secara silang seperti gambar berikut.
Analisis Struktur IV Jurusan Teknik Sipil FT UGM 2004
Hal:4.58
P L1/2
L2/2 L1/2
L2/2
Beban P ditahan oleh balok 1 dan balok 2 secara bersama-sama. Misalnya balok 1 menahan P1 dan balok 2 menahan P2, dimana P1 + P2 = P . Di tengah-tengah balok mengalami lendutan akibat beban titik P. Lendutan balok 1 sebesar d1 dan lendutan balok 2 sebesar d2 . Menurut butir 4 di halaman 3.48. diperoleh besar lendutan ditengah balok : d1 = (1/48).P1.L13 / (EI) d2 = (1/48).P2.L23 / (EI) Karena balok menjadi satu di tengah bentang, maka lendutan d1 sama dengan d2 . sehingga : d1 = d2 (1/48).P1.L13 / (EI) = (1/48).P2.L23 / (EI) P1.L13 = P2.L23 atau : P1 L23 ---- = -----P2 L13 Dari rumus kekakuan diketahui bahwa kekakuan masing-masing balok adalah : k1 = P 1 / d1 dimana : d1 = (1/48).P1.L13 / (EI) sehingga : k1 = P1 / { (1/48).P1.L13 / (EI) } = 48 EI / L13 atau L13 = 48 EI / k1 dengan cara sama diperoleh juga : L23 = 48 EI / k2 Terlihat bahwa nilai kekakuan balok berbanding terbalik panjang balok pangkat tiga. Dengan demikian persamaan di atas, yaitu : P1 L23 ---- = -----P2 L13 Analisis Struktur IV Jurusan Teknik Sipil FT UGM 2004
Hal:4.59 Dapat diubah menjadi :
P1 k1 ----- = ----P2 k2 Atau dengan kata lain :
Masing-masing balok menahan beban P sebanding dengan nilai kekakuannya. CONTOH 5.3. Dua balok kayu disusun seperti tergambar di bawah ini. Apabila pada titik E diberikan beban P hitunglah bagian beban yang ditahan balok AB dan bagian beban yang ditahan balok CD ! Diketahui : Dimensi balok kayu 40 mm x 60 mm, panjang balok AB 2 m dan panjang balok CD 4 m. Modulus elastis kayu E = 104 MPa.
P
1m
1m
60 mm B
2m
40 mm Penampang kayu
2m E
C
D A
Penyelesaian : Momen inersia balok : I = (1/12).b.h3 = (1/12).40.603 = 720.000 mm4 Menurut butir 4 di halaman 3.48. diperoleh besar lendutan di tengah balok : Batang AB : dab = (1/48).Pab .Lab3 / (EI) = (1/48).Pab.20003 / (104.7,2.105) = 2,315.10-2.Pab mm Batang CD : dcd = (1/48).Pcd.Lcd3 / (EI) = (1/48).Pcd.40003 / (104.7,2.105) = 1,852.10-1.Pcd mm Kekakuan balok : Batang AB : kab = Pab / dab = Pab / (2,315.10-2.Pab) = 43,197 N/mm Batang CD : kcd = Pcd / dcd = Pcd / (1,852.10-1.Pcd) = 5,4 N/mm Analisis Struktur IV Jurusan Teknik Sipil FT UGM 2004
Hal:4.60 Besar beban yang ditahan masing-masing balok : 43,197 Pab = ------------------- . P = 0,89.P 43,197 + 5,4 5,4 Pcd = -------------------- . P = 0,11.P 43,197 + 5,4 Karena kekakuan balok AB 8 kali lebih besar daripada balok CD, maka balok AB menahan 8 kali lebih besar daripada balok CD. CONTOH 5.4. Struktur terdiri 3 kolom dan satu balok yang kaku sekali seperti gambar berikut. Bila diketahui bahwa : a) panjang kolom L sama besar b) (EI)kolom 2 = (EI)kolom 3 = 2 x (EI)kolom 1 Hitunglah gaya geser masing-masing kolom dan reaksi horisontal A,B, dan C Penyelesaian :
P
h (EI)1
A
(EI)2
(EI)3
B
Analisis Struktur IV Jurusan Teknik Sipil FT UGM 2004
C
Hal:4.61 Akibat beban horisontal P maka balok bergeser ke kanan sebesar d mm. Bila balok tidak berubah panjang, maka ujung atas kolom-kolom bergeser sama besar, masing-masing sebesar d mm. Kekakuan masing-masing kolom sebesar : k1 = 1/24. EI1/ h3 k2 = 1/24. EI2/ h3 k3 = (1/24) x (EI3/ h3) karena : EI2 = EI3 = 2 x EI1 maka : k1 : k2 : k3 = 1 : 2 : 2 dan : (P1/d) : P2/d) : (P3 /d) = P1 : P2 : P3 = 1 : 2 : 2 namun karena :
P1 + P2 + P3 = P maka : P1 = (1/5) P ; P2 = (2/5) P ; P3 = (2/5) P serta : Ra = (1/5) P ; Rb = (2/5) P ; Rc = (2/5) P
P
Balok dianggap kaku sekali
(1/5) P
(2/5) P
(2/5) P
h
A
(EI)1
(EI)2
Ra
Rb B
(EI)3
Rc C
Gaya geser pada kolom-kolom dan reaksi horisontal fondasi. Karena kekakuan kolom 2 dan 3 sebesar 2 kali lebih besar daripada kolom 1, maka kolom 2 dan 3 menahan 2 kali lebih besar daripada kolom 1.
Analisis Struktur IV Jurusan Teknik Sipil FT UGM 2004
