96765010 Pembahasan Soal Osn Matematika Propinsi 2012

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2012 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT A. ISIAN SINGKAT 1.

Sebuah silinder memiliki tinggi 5 cm dan volume 20 cm3. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin diletakkan ke dalam silinder tersebut adalah …. SOLUSI : Vsilinder = 20 π r2 t = 20 π r2. 5 = 20 π r2 = 4 Dari persamaan terakhir untuk π = 3,14, dapat ditunjukkan bahwa r < 2,5 cm atau diameter alas silinder < 5 cm (tinggi silinder). Artinya bola terbesar yang bisa dimasukkan dalam silinder berjarijari maksimum sama dengan jari-jari alas silinder. Jadi luas bola terbesar yang dimaksud adalah 4 π r2 = 4 . 4 = 16 cm2

2.

Jumlah tiga bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 1 : 3. Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 5 : 6. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah …. SOLUSI : Misalkan ketiga bilangan itu berturut-turut a, b, dan c. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi 1 memiliki rasio 1 : 3 artinya: a −1 1 = b −1 3 1 1 a −1 = b − 3 3 1 2 a = b+ 3 3 Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing ditambah 3, maka diperoleh rasio 5 : 6, artinya b+3 5 = c+3 6 6 18 c+3= b+ 5 5 6 3 c= b+ 5 5

http://olimatik.blogspot.com e-mail: [email protected]

HAL 1

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Jumlah tiga bilangan adalah 19, sehingga a + b + c = 19 subtitusi nilai a dan c pada persamaan terakhir diperoleh 2 3 1 6  b +  + b +  b +  = 19 3 5 3 5 Kedua ruas dikalikan 15 didapat 5b + 10 + 15b + 18b + 9 = 285 38b = 285 – 19 b = 266 : 38 b=7 1 2 7 2 Subtitusi b = 7 pada a = b + menghasilkan a = + = 3 3 3 3 3 6 3 42 3 Subtitusi b = 7 pada c = b + menghasilkan c = + =9 5 5 5 5 Jadi selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 9 – 3 = 6 3.

Jika 1 +

1 1 1 1 1 1 1 + + ... = ... + + + + ... = a , maka + 4 9 16 25 9 25 49

SOLUSI : 1 1 1 1 1+ + + + + ... = a 4 9 16 25

1 1 1 1 1 1 + + + + + + ... = a − 1 4 9 16 25 36 49 1 1 1 1 1 1  + + + ... = a − 1 −  + + + ... 9 25 49  4 16 36  1 1 1 1 1 1  + + + ... = a − 1 − 1 + + + ... 9 25 49 4 4 9 

1 1 1 1 + + + ... = a − 1 − (a ) 9 25 49 4 1 1 1 3 + + + ... = a − 1 9 25 49 4

4.

Lima belas bilangan prima pertama dituliskan berturut-turut pada lima belas kartu. Jika semua kartu tersebut diletakkan dalam sebuah kotak dan kemudian diambil secara acak dua buah kartu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan tertulis merupakan bilangan prima adalah …. SOLUSI : Himpunan 15 bilangan prima pertama adalah P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47} Misalkan a ∈ P, b ∈ P, maka a + b ∈ P jika dan hanya jika a dan b keduanya tidak ganjil. Jadi salah satu dari a atau b harus genap yaitu 2. Selanjutnya pilih a = 2, maka ada 6 kemungkinan nilai b yaitu 3, 5, 11, 17, 29, 43.


HAL 2

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Banyak cara pengambilan secara acak dua buah kartu berturut-turut tanpa pengembalian adalah 15C2 = 105 Jadi peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan tertulis merupakan bilangan prima 6 2 = adalah 105 35 5.

Perhatikan gambar bangun datar setengah lingkaran dengan diameter AD dan pusat lingkaran M berikut. Misalkan B dan C adalah titik-titik pada lingkaran sedemikian sehingga AC ⊥ BM dan BD memotong AC di titik P. Jika besar ∠ CAD = so, maka besar ∠ CPD = …o

SOLUSI : Perhatikan gambar berikut ini.

Misalkan Q adalah titik potong antara AC dan BM. Pada segitiga siku-siku AMQ diperoleh besar ∠ AMQ = 90o – so. Pada segitiga sama kaki AMC diperoleh besar ∠ ACM = so. Perhatikan bahwa ∠ CMD adalah sudut luar segitiga AMC sehingga besar ∠ CMD = so + so = 2so. Selanjutnya ∠ CPD adalah sudut antara dua tali busur AC dan BD yang besarnya adalah 1 ∠ CPD = (∠AMB + ∠CMD ) 2 1 ∠ CPD = 90 − s o + 2s o 2 1 ∠ CPD = 90 + s o 2

(

(

6.

)

)

Lima angka yakni 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat disusun semuanya tanpa pengulangan menjadi 120 bilangan berbeda. Jika bilangan –bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang menempati urutan ke-75 adalah …. SOLUSI : Urutan bilangan yang dimaksud dimulai dari 12345, 12354,…, dan seterusnya. Kasus 1 : Jika angka pertamanya 1, maka ada 4 kebebasan menyusun angka 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya cara ada 4! = 24 Kasus 2 : Jika angka pertamanya 2, maka ada 4 kebebasan menyusun angka 1, 3, 4, dan 5. Banyaknya cara ada 4! = 24 Kasus 3 : Jika angka pertamanya 3, maka ada 4 kebebasan menyusun angka 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya cara ada 4! = 24 Sehingga sudah terhitung 24 x 3 = 72 bilangan


HAL 3

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Kasus 4 : Jika angka pertamanya 4, maka Bilangan ke-73 adalah 41235 Bilangan ke-74 adalah 41253 Bilangan ke-75 adalah 41325 Jadi bilangan yang menempati urutan ke-75 adalah 41325. 7.

Diketahui 1 + k habis dibagi 3, 1 + 2k habis dibagi 5, 1 + 8k habis dibagi 7. Jika k adalah bilangan bulat positip, maka nilai terkecil untuk k adalah …. SOLUSI : 1 + k habis dibagi 3, dapat ditulis k = 3a – 1 =3(a – 1) + 2, untuk suatu a bilangan bulat atau k ≡ 2 (mod 3) …………(1) 1 + 2k habis dibagi 5, dapat ditulis 2k = 5b – 1 =5(b – 1) + 4, untuk suatu b bilangan bulat atau 2k ≡ 4 (mod 5) …………(2) 1 + 8k habis dibagi 7, dapat ditulis 8k = 7c – 1 =7(c – 1) + 6, untuk suatu c bilangan bulat atau 8k ≡ 6 (mod 7) …………(3) Selanjutnya permasalahan di atas kita selesaikan dengan Teorema Sisa Cina sebagai berikut. Bilangan 3, 5, dan 7 saling relatif prima dengan KPK(3,5,7) = 105, sehingga bentuk (1), (2), (3) berturut-turut ekuivalen dengan: 35k ≡ 70 (mod 105) 42k ≡ 84 (mod 105) 120k ≡ 90 (mod 105) Mengingat k =120k – 2(42k) – 35k , maka k ≡ [90 – 2(84) – 70] (mod 105) k ≡ [–148] (mod 105) k ≡ [–148 + 2(105)] (mod 105) k ≡ 62 (mod 105) Secara umum selesaian dari k = 62 + 105m, untuk suatu parameter m bilangan bulat Jadi nilai k terkecil adalah 62 + 105(0) = 62

8.

Jika p = 20102 + 20112 dan q = 20122 + 20132, maka nilai sederhana dari 1 − 2( p + q ) + 4 pq adalah …. SOLUSI : p = 20102 + 20112 = 20112 + 20102 p = (2011 – 2010)2 – 2 (2011)(2010) p = 1 – 2 (2011)(2010) q = 20122 + 20132 = 20132 + 20122 q = (2013 – 2012)2 – 2 (2013)(2012) q = 1 – 2 (2013)(2012) Misalkan 2010 = a maka p = 1 – 2a(a + 1) = 1 – 2a2 – 2a dan q = 1 – 2(a + 2)(a + 3) = 1 – (2(a2 + 5a + 6)) = 1 – 2a2 – 10a – 12 = –2a2 – 10a – 11 Misalkan x = 1 − 2( p + q ) + 4 pq , maka x2 = 1 – 2(p +q) + 4pq x2 = (2p – 1)(2q – 1) x2 = (2(1 – 2a2 – 2a ) – 1)(2(–2a2 – 10a – 11) – 1) x2 = (2 – 4a2 – 4a – 1)(–4a2 – 20a – 22 – 1) x2 = (– 4a2 – 4a + 1)(–4a2 – 20a – 21) x2 = (4a2 + 4a – 1)(4a2 + 20a + 21)


HAL 4

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) x2 = (2a + 1)2(2a + 3)(2a + 7) Dengan mensubtitusikan kembali nilai a = 2010 didapatkan x2 = (2(2010) + 1)2(2(2010) + 3)(2(2010) + 7) x2 = (4021)2(4023)(4027)

x = (4021) 2 (9)(3)(149)(4027) Karena 3, 149, dan 4027 bilangan prima maka x = 4021 × 3 1800069 x = 12063 1800069 9.

Jika a dan b adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x2 – 7x – 1 = 0, maka nilai dari 3a 2 3b 2 + adalah …. 4b − 7 4a − 7 SOLUSI : Persamaan kuadrat (PK) 4x2 – 7x – 1 = 0 memiliki nilai a = 4, b = –7, dan c = –1. Akar-akar atau penyelesaiannya bisa dicari dengan rumus:

x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

7 ± 49 + 16 8 7 ±8 1 15 x1, 2 = = − atau 8 8 8 Diketahui akar-akar PK adalah a dan b. Dari dua nilai di atas tidak dapat dipastikan mana yang merupakan nilai a atau b. Tetapi karena bentuk aljabar yang ditanyakan simetri (artinya jika nilai a dan b ditukar maka hasilnya tetap sama), maka kita bebas memilih nilai a atau b sehingga x1, 2 =

2

2

 1  15  3  3 −  2 2 3a 3b 8 8 =  + +   1 15 − − 4b 7 4a 7     4  − 7 4 −  − 7 8  8  1   225  3 3   64  64    = +  15   1   − 7 −  − 7 2  2  1   225  3  3  42 21 64  3 45 64    = + = − =− =− 32 16 1  15  32 32   −  2  2

10. Pada gambar berikut, kedua ruas garis putus-putus yang sejajar membagi persegi menjadi tiga daerah yang luasnya sama. Jika jarak kedua ruas garis putus-putus tersebut 1 cm, maka luas persegi adalah …. cm2


HAL 5

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) SOLUSI : Perhatikan gambar berikut !

Misalkan panjang sisi persegi adalah AB = BC = b cm, dan BE = a cm Menurut teorema Pythagoras pada segitiga BEC diperoleh alas jajar genjang CE = a 2 + b 2 Diketahui luas I ( ∆ ADG) = luas II (jajar genjang AECG) = luas III ( ∆ BEC) , dan EF = 1 cm Perhatikan bahwa 1 Luas I = Luas II = Luas Persegi ABCD 3 1 1 ab = 1 × a 2 + b 2 = b2 2 3 Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan ½ ab = a 2 + b 2 diperoleh 1 2 2 a b = a2 + b2 ………...(1) 4 1 1 3 Sedangkan dari persamaan ab = b2 diperoleh b = a …….(2) 2 3 2 Subtitusi nilai b persamaan (2) ke persamaan (1) didapatkan 2

1 2 3  3  a  a = a2 +  a 4 2  2  9 4 9 a = a 2 + a2 16 4 9 4 13 2 a − a =0 16 4 1 2 9 2  a  a − 13  = 0 4 4 

a = 0 atau a =

2

2 2 13 atau a = − 13 3 3

Karena a adalah ukuran panjang maka yang memenuhi adalah a =

2 13 3

3 3 2 Sehingga b = a = × 13 = 13 2 2 3 Jadi luas persegi adalah b2 = 13 cm2


HAL 6

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) B. SOAL URAIAN 1.

Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan berikut : 2x + 3x – 4x + 6x – 9x = 1 SOLUSI : ?????!!!!!#### Ide Pemecahan : 2x + 3x – 4x + 6x – 9x = 1 2x + 3x – (2x)2 + (2x3x) – (3x)2 = 1 Misalkan : 2x = a, dan 3x =b Salah satu selesaian persamaan: Untuk x = 0, maka 2x + 3x – 4x + 6x – 9x = 20 + 30 – 40 + 60 – 90 = 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 1 (bernilai benar)

2.

Pada gambar berikut, Sembilan lingkaran kecil dalam lambang olimpiade akan diisi masingmasing dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9. Tentukan pengisian tersebut sehingga jumlah bilangan di dalam setiap lingkaran besar adalah 14.

SOLUSI : Perhatikan gambar berikut!

Kita harus menggantikan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9 pada setiap huruf dan tidak boleh berulang sehingga jumlah setiap huruf dalam satu lingkaran besar = 14. Lingkaran I dan II memuat dua huruf, sedangkan lingkaran lainnya memuat tiga huruf. Hal ini menandakan bahwa dua bilangan yang terbesar( 8 dan 9) masing-masing harus dimasukkan pada lingkaran I dan III. Isikan a = 8, maka d = 6. Isikan g = 9, maka c = 5. http://olimatik.blogspot.com e-mail: [email protected]

HAL 7

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Selanjutnya dengan “cara coba-coba” lengkapi sisa bilangan yang belum diisikan pada huruf yang tersedia sehingga memenuhi kondisi soal. Hasilnya adalah e = 7, h = 1; b = 4, f = 3; dan i = 2 3.

Diketahui ∆ ABC dengan AB = 25 cm, BC = 20 cm, dan AC = 15 cm. Jika titik D terletak pada sisi AB sedemikian sehingga perbandingan luas ∆ ADC dan ∆ ABC adalah 14 : 25, tentukan panjang CD. SOLUSI : Perhatikan gambar berikut!

Karena 15, 20, dan 25 merupakan tripel Pythagoras maka segitiga ABC siku-siku di C. [ABC] = Luas segitiga ABC = ½ . 20 . 15 = 150

[ADC ] = 14 [ABC ] 25 [ABC] − [BCD] = 14 [ABC ] 25 150 − 12 .20.DE 14 = 150 25 150 − 10.DE = 14 6 150 – 10 DE = 84 DE = 6,6 Menurut kesebangunan pada segitiga

DE BE = AC BC 6,6 BE = 15 20 6,6 BE = 3 4 BE = 8,8, sehingga CE = 20 – 8,8 = 11,2 http://olimatik.blogspot.com e-mail: [email protected]

HAL 8

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Menurut Teorema Pythagoras pada segitiga CDE diperoleh CD =

DE 2 + CE 2

CD =

6,6 2 + 11,2 2

CD =

43,56 + 125,44 = 169 = 13

Jadi panjang CD = 13 cm 4.

Dari hasil sensus diketahui bahwa penduduk suatu kota tak lebih dari 10.000 orang dan anak-anak 20% lebih banyak dari penduduk dewasa. Jika anaklaki-laki 10% lebih banyak dari anak perempuan, serta di antara penduduk dewasa terdapat 15% lebih banyak perempuan, tentukan jumlah terbesar yang mungkin dari penduduk kota tersebut. SOLUSI : ?????!!!!!####

5.

Diketahui sebuah bilangan rasional positip kurang dari 1 yang dinyatakan dalam pecahan biasa dalam bentuk paling sederhana. Jika hasil kali pembilang dan penyebut dari bilangan rasional tersebut adalah 20! = 1 x 2 x 3 x … x 20, tentukan semua bilangan yang dimaksud. SOLUSI : Misalkan bilangan yang dimaksud adalah

a a . Karena < 1 , maka a < b b b

Diketahui a.b = 20! = 1 x 2 x 3 x … x 20 a Agar terbentuk pecahan biasa dalam bentuk paling sederhana sehingga memenuhi kondisi soal, b maka a dan b harus relatif prima (FPB(a,b) = 1) . Daftar bilangannya sebagai berikut:

a b

No 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 × 3 × 4 × ... × 20

11 1× 2 × 3 × ... × 9 × 10 × 12 × 13 × ... × 20 13 1 × 2 × 3 × ... × 11 × 12 × 14 × 15 × ... × 20 17 1× 2 × 3 × ... × 16 × 18 × 19 × 20 19 1 × 2 × 3 × ...17 × 18 × 20 11 × 13 1 × 2 × 3 × ... × 10 × 12 × 14 × 15 × ... × 20 11× 17 1× 2 × 3 × ... × 10 × 12 × 13 × ... × 16 × 18 × 19 × 20 11 × 19 1 × 2 × 3 × ... × 10 × 12 × 13 × ... × 18 × 20

No

a b

9

13 × 17 1 × 2 × 3 × ... × 11 × 12 × 14 × 15 × 16 × 18 × 19 × 20 13 × 19 1× 2 × 3 × ... × 11× 12 × 14 × ...× 18 × 20 17 × 19 1× 2 × 3 × ... ×15 ×16 × 18 × 20 11×13 × 17 1× 2 × 3 × ... ×10 ×12 × 14 × 15 × 16 × 18 × 19 × 20 11× 13 ×19 1× 2 × 3 × ...× 10 × 12 ×14 × ... ×18 × 20 11× 17 ×19 1× 2 × 3 × ...× 10 × 12 × ... ×16 ×18 × 20 13 × 17 × 19 1× 2 × 3 × ... ×12 ×14 ×15 ×16 ×18 × 20 11×13 × 17 ×19 1× 2 × 3 × ... ×10 × 12 × 14 × 15 × 16 ×18 × 20

10 11 12 13 14 15 16

ALHAMDULILLAHIROBBIL ALAMIN. http://olimatik.blogspot.com e-mail: [email protected]

HAL 9

96765010 Pembahasan Soal Osn Matematika Propinsi 2012

Recommend Documents