Soal Dan Pembahasan OSN Guru Matematika SMP Tahun 2016-Www.olimattohir.blogspot.com

Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Soal dan Pembahasan OSN Guru Tahun 2016 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMP

OSN Guru Matematika SMP (Olimpiade Sains Nasional) Dibahas Oleh:

Mohammad Tohir http://olimattohir.blogspot.co.id/

1


SOAL DAN PEMBAHASAN OSN GURU MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN/KOTA 10 MARET 2016

Soal Isian Singkat. Jawablah dengan singkat dan jelas pada tempat yang disediakan pada lembar jawaban. 1.

Suatu pecahan

jika dimasukkan dalam suatu mesin penghitung akan menghasilkan pecahan

Suatu pecahan

.

dimasukkan dalam mesin penghitung tersebut kemudian hasilnya

dimasukkankembali dalam mesin. Jika proses ini berulang terus-menerus, berapakah pecahan yang dihasilkan setelah memasukkan pecahan sebanyak 2016 kali ke dalam mesin tersebut.

Pembahasan: Diketahui Suatu pecahan Misalkan hasil mesin penghitung adalah m = Proses perhitungannya sebagai berikut m1 =

=

m2 =

=

m3 =

=

m4 =

=

= = = =

.... dan seterusnya akan berulang setiap 2 suku... Sehingga untuk m2016, cukup 2016 : 2 = 1008 (habis dibagi 2) Dengan demikian, m2016 terdapat pada suku ke-2 yaitu m2016 = Jadi, pecahan yang dihasilkan setelah memasukkan pecahan sebanyak 2016 kali ke dalam mesin tersebut adalah

2.

Tentukan angka satuan dari ( )

http://olimattohir.blogspot.co.id/

( )

(

)

2


Pembahasan: 9 Untuk mengetahui angka satuan dari ( ) mencari pola penyelesaiannya, yakni sebagai berikut

( )

(

)

terlebih dulu kita

( ) =( ) =1 ( ) =( ) =( ) =8 ( ) =( ) =( ) = ( ) = 216 ( ) =( ) =( ) = ( ) = 13824 ( ) =( ) =( ) =( ) = 1728000 ( ) =( ) =( ) =( ) = 373248000 Coba perhatikan angkat satu pada ( ) dan ( ) , yaitu bernilai nol (0) Sehingga untuk satuan berikutnya selalu bernilai nol (0). ( ) ( ) cukup Dengan demikian untuk mengetahui angka satuan dari ( ) ( ) ( ) = 1 + 8 + 216 + 13824 = 14049 atau cukup dijumlahkan ( ) ( ) ( ) , yaitu 1 + 8 + 6 + 4 = 19. Oleh karena menjumlahkan angka satuan dari hasil ( ) itu angka satuannya adalah 9 Jadi, angka satuan dari ( ) 3.

( )

(

) adalah 9

Banyak pasangan bilangan bulat (P,Q) yang merupakan solusi dari

dengan 1 ≤ P ≤ 9 dan 1 ≤ Q ≤ 9 adalah .... Pembahasan: ada 8 Persamaan dari

kita uraikan dulu untuk mempermudah dalam mengetahui pasangan

P dan Q, yakni sebagai berikut. 

=

 = )( ) = ( ( ) =1   = Artinya bahwa nilai P lebih besar 1 angka dari nilai Q. Karena diketahui nilai P dan Q adalah 1 ≤ P ≤ 9 dan 1 ≤ Q ≤ 9, maka pasangan bilangan bulat (P,Q) = {(2,1); (3,2); (4,3); (5,4); (6,5); (7,6); (8,7); (9,8)} yaitu ada sebanyak 8 pasangan Jadi, banyak pasangan bilangan bulat (P,Q) yang dimaksud adalah ada 8 4.

Ketika Bu Siti pulang ke rumah, dia baru mengetahui bahwa pot bunga di depan rumah pecah. Bu Siti mengumpulkan keempat anaknya dan menanyai siapa yang memecahkan pot bunga tersebut. Berikut pernyataan keempat anaknya. Tina Andi Mira Sari

: Saya tidak melakukannya. : Saya tidak melakukannya dan Tina juga tidak melakukannya. : Saya tidak melakukannya dan Andi juga tidak melakukannya. : Tina tidak melakukannya dan Andi tidak melakukannya.

Beberapa waktu kemudian Bu Siti mengetahui bahwa hanya ada satu anaknya yang berkata bohong. Siapakah yang memecahkan pot bunga Bu Siti? http://olimattohir.blogspot.co.id/

3


Pembahasan: Sari Akternatif 1 Diketahui Tina : Saya tidak melakukannya. Andi : Saya tidak melakukannya dan Tina juga tidak melakukannya. Mira : Saya tidak melakukannya dan Andi juga tidak melakukannya. Sari : Tina tidak melakukannya dan Andi tidak melakukannya. Untuk mengetahui siapa yang kemungkinan memecahkan pot bunga, coba perhatikan beberapa kasus berikut. Kasus 1 Kasus 2 Kasus 3 Kasus 4 Kasus 5 Kasus 6 Kasus 7 Kasus 8

: Jika Tina Jujur, maka Andi mungkin juga jujur : Jika Tina berbohong, maka Andi pasti berbohong : Jika Andi Jujur, maka kemungkinan Mira juga jujur : Jika Andi berbohong, maka Mira pasti juga berbohong : Jika Tina Jujur dan Andi Jujur, maka Sari pasti jujur : Jika Tina berbohong dan Andi berbohong, maka Sari pasti berbohong : Jika Tina Jujur tapi Andi berbohong, maka Sari berbohong : Jika Tina berbohong tetapi Andi Jujur, maka Sari berbohong

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kemungkinan besar yang berbohong adalah Sari Jadi, yang memecahkan pot bunga Bu Siti kemungkinan besar adalah Sari Akternatif 2 (Pak Saiful Arif: Guru SMPN 13 Malang) Misal x = Tidak Melaksanakan V = Melaksanakan Hanya satu anak yang bohong (negasi dari yang diucapkan) Berarti yang lain jujur (sesuai dengan yang diucapkan) Tina

Andi

V&x (TM)

x

V

V&x (TM)

x

Mira bohong

x

x

V

?

Sari bohong

x

x

x

V

Tina bohong Andi bohong

Mira

Sari

Keterangan Menurut Andi, Tina x Menurut Mira, Tina x Tidak bisa Memutuskan Sari Hanya Sari yang melakukan

Jadi, Sari yang memecahkan pot bunga Bu Siti 5.

Salah satu akar dari

adalah negatif dari salah satu akar lainnya.

Tentukan nilai d. Pembahasan: 20 Alternatif 1 Diketahui salah satu akar dari Artinya bahwa dua akar lainnya adalah positif http://olimattohir.blogspot.co.id/

adalah negatif 4


Untuk mencari salah satu akar negatif dari suku banyak tersebut, perhatikan uaraian berikut. 1.

Misalkan akar negatifnya adalah (x + 1). Karena (x + 1) dimisalkan merupakan faktor dari suku banyak tersebut, maka berlaku ( ) , sehingga ( ) dari (x + 1) diperoleh x = –1 ( )= ( ) ( ) ( ) 0 = –2 – 5 + 8 + d –1 = d Dengan demikian suku banyak tersebut adalah =0 Kemudian, kita selidiki apakah dua akar lainnya adalah positif. Untuk mengetahui perhatikan uraian berikut.

(x + 1)

𝑥

𝑥

𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 _

𝑥 𝑥 _ 𝑥 𝑥 _ 𝑥 0 𝑥

Dengan memperhatikan bentuk dari , maka kedua akar ini tidak sama-sama positif, jadi permisalan salaha satu akar negatif (x + 1) adalah salah 2.

Misalkan akar negatifnya adalah (x + 2). Karena (x + 2) dimisalkan merupakan faktor dari suku banyak tersebut, maka berlaku ( ) , sehingga ( ) dari (x + 1) diperoleh x = –1 ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 = –16 – 20 + 16 + d 20 = d Dengan demikian suku banyak tersebut adalah =0 Kemudian, kita selidiki apakah dua akar lainnya adalah positif. Untuk mengetahui perhatikan uraian berikut.

(x + 2)

𝑥

𝑥

𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 _

𝑥 𝑥 _

𝑥 𝑥 𝑥

_

0 𝑥

Dengan memperhatikan bentuk dari , maka kedua akar ini sama-sama positif )( ). Jadi permisalan salah satu akar negatif (x + 2) adalah benar yaitu ( Jadi, salah satu kemungkinan nilai d adalah 20 “apakah masih ada akar negatif lainnya?...silahkan diboca....!”


5


Alternatif 2

(Pak Budi Harjo)

Tersapat dua akar yang berlawanan Misal: akar-akarnya a, –a, dan b ( )( )( ) =0 ( )( ) =0 =0 ----------------------------------- × 2 =0  =0 2b = 5 b= 2 2a = 8  a2 = 4 d = 2a2b  d = 2(4)( ) = 20 Jadi, nilai d adalah 20 6.

Jika x dan n adalah bilangan bulat positif sehingga

, maka nilai dari x + n adalah...

Pembahasan: 65 =

 = 615 )( ) = 615 ( Kemudian mencari dua faktor yang mungkin dari 615, yaitu 5 dan 123 )( ) = 5×123 ( ) = 5 dan ( ) = 123 Sehingga (

Kemudian mencari nilai n dan x dari kedua persamaan tersebut, sebagai berikut. ( ) = 123 ( ) =5 + 2( ) = 128 = 64 = sehingga n = 6 dan x = 59, maka x + n = 65 Jadi, nilai dari x + n adalah 65 7.

Dengan menggunakan huruf T, O, H, I, dan R dapat dibentuk kata yang terdiri dari 5 huruf tersebut. Jika kata ini disusun menurut susunan abjad, maka pada posisi ke berapakah kata TRHIO terbentuk? Pembahasan: 115 Mencari pola untuk mengethui posisi susunan dari YPBEM, sebagai berikut 1. BEMPY : sebanyak 4! = 24 2. EBMPY : sebanyak 4! = 24 3. MBEPY : sebanyak 4! = 24 4. PBEMY : sebanyak 4! = 24 5. YBEMP : a. Untuk 3 huruf terakhir dari YBEMP : sebanyak 3! = 6 b. Untuk 3 huruf terakhir dari YEBMP : sebanyak 3! = 6 c. Untuk 3 huruf terakhir dari YMBEP : sebanyak 3! = 6 b. Untuk huruf YPBEM : sebanyak 1! = 1 Total susunan yang didapat = 4×24 + 3×6 + 1 = 96 + 12 + 1 = 115 Jadi, kata TRHIO terbentuk pada posisi yang ke-115


6


8.

Suatu kompetisi olahraga diikuti 7 tim yaitu A, B, C, D, E, F, dan G. Bendera tiap tim itu akan dikibarkan pada 7 tiang yang diatur dalam satu baris. Ada berapa cara untuk mengatur benderabendera dengan bendera tim A dan tim B berada di ujung? Pembahasan: 240 cara Untuk mengetahui banyak cara engatur posisi bendera-bendera tersbut samahalnya dengan mengatahui banyak cara susunan huruf A, B, C, D, E, F, dan G dengan syarat A dan B berada di ujung, yakni sebagai berikut. ACDEFGB = 2 (susunan A dan B) × 5! (susunan CDEFG) = 2 × 5! = 2 × 120 = 240 Jadi, banyak cara untuk mengatur bendera-bendera tersebut dengan bendera tim A dan tim B berada di ujung adalah sebanyak 240 cara

9.

Jika q : p = 20 : 16, maka nilai

Pembahasan:

adalah ....

atau 2,794  =

Diketahui q : p = 20 : 16

=

 q = 5n dan p = 4n, dengan n bilangan bulat =( =( =( =(

)(

)

(

)( (

)

[( )

) )(

)

[( ( )

)

)] ( )

[ingat: (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)] (

)]

( )] [

(

(

[( )

= =

)

) )(

(

)

( )]

)

= = = = Jadi, nilai

adalah adalah

atau 2,794

10. Seorang masinis di kereta penumpang ingin mengukur laju kereta yang ditumpanginya. Karena pengukuran laju di kereta penumpang masih rusak, maka dia membutuhkan informasi lain yang relevan, dia diberitahukan bahwa keretanya berpapasan dengan kereta barang yang lajunya 20 km/jam dan panjang kereta barang adalah 200 meter. Jika dia berhasil mencatat bahwa kereta barang berpapasan dengan keretanya selama 12 detik, berapakah laju kereta penumpang?


7


Pembahasan: 40 km/jam Alternatif 1 Perhatikan sketsa gambarnya berikut!

Kereta Penumpang

V1 km / jam

P Kereta Barang

V2  20 km / jam

200 meter 

2 km 10

Misalkan titik P adalah seorang penumpang yang mencatat bahwa kereta barang berpapasan selama 12 detik. Sehinga dengan keterangan di atas, diperoleh sebagai berikut: Selama 12 detik kereta Penumpang telah bergerak sejauh = V1 km/jam × 12 detik

V1 km/detik × 12 detik 3600 V = 1 km 300 Sedangkan selama 12 detik kereta Barang telah bergerak sejauh = 20 km/jam × 12 detik 20 = km/detik × 12 detik 3600 2 = km 30 Dengan demikian, V 2 jarak berpapasan kedua kereta atau panjang kereta barang = 1 + 300 30 2 V  20 = 1 10 300 V1 = 40 Jadi, laju kereta penumpang adalah 40 km/jam =

Alternatif 2

(Pak Budi Harjo)

Misal: Kecepatan kereta penumpang = V Kecepatan kereta barang = Vb Kecepatan relatif = Vr Pergunakan kecepatan relatif, anggap kereta barang diam maka kecepatan relatif kereta penumpang: Vr = V + Vb Vr = (V + 20) km/jam Jarak relatif = 200 ditempuh selama 12 detik Vr =


8


=

⁄ ⁄

= = 60 V + 20 = 60 = 60 – 20 = 40 Jadi, kecepatan kereta penumpang = 40 km/jam 11. Perhatikan gambar berikut. Jika dikatahui |AB| = |CD|, CBD = 65, DBA = 80, BAD = 50, tentukan besar CDB. C 65

B

80

D 50

A Pembahasan: 50 Perhatikan segitiga ABD! Besar ADB = 180 – (50 + 80) = 50 Sehingga segitiga ABD merupakan segitiga sama kaki Perhatikan segitiga BDC! Karena dikatahui |AB| = |CD|, maka segitiga BDC merupakam segitiga sama kaki. Sehingga besar CDB = 180 – (2×65) = 50 Jadi, besar CDB = 50 12. Perhatikan persegi ABCD dengan |AB| = 7. Titik E berada pada garis AD sehingga |DE| = 1 dan |EA| = 4. Garis BD dan CE berpotongan di titik F. Berapakah luas BCF? D E

C

F

A Pembahasan: 14

B

7 atau 14,583 satuan luas 12


9


Perhatikan ilustrasi gambar berikut. D

C

1 E

ta

F

5 4

A

7

B

Perhatikan segitiga BCF dan segitiga DEF! Keduanya kongruen, sehingga didapat : tinggi segitiga BCF BC = tinggi segitiga DEF DE ta 5   1 . ta = 5(7 – ta) 7  ta 1  ta = 35 – 5ta  6ta = 35 35  ta = 6 Sehingga: 1 Luas segitiga BCF = × BC × ta 2 1 35 = ×5× 6 2 175 = 12 7 = 14 12 7 Jadi, Luas segitiga BCF adalah 14 atau 14,583 satuan luas 12 13. Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Dina dan Dini, butuh waktu 12 jam untuk selesai. Jika Dini sendirian yang mengerjakan pekerjaan itu, akan selesai x jam lebih lambat dibandingkan Dina. Jika x adalah bilangan bulat positif, maka carilah semua kemungkinan waktu yang dapat ditempuh oleh Dina untuk menyelesaikan pekerjaan itu sendirian. Pembahasan: 13 jam, 14 jam, 15 jam, 16 jam, 18 jam, 20 jam, dan 21 jam Alternatif 1 Misalkan Dina dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu t jam, dan Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu (t + x) jam Sehingga 1 Rata-rata dalam waktu 1 jam Dina dapat menyelesaikan pekerjaan, dan t 1 Rata-rata dalam waktu 1 jam Dini dapat menyelesaikan pekerjaan tx 1  1 Jadi , Rata-rata dalam 1 jam Dina dan Dini dapat menyelesaikan    pekerjaan t t  x http://olimattohir.blogspot.co.id/

10


Atau rata-rata dalam 1 jam Dina dan Dini dapat menyelesaikan

2t  x pekerjaan t t  x 

Dengan kata lain, Dina dan Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan dalam waktu Berdasarkan soal diatas diperoleh persamaan t t  x  = 12 2 t  x t2 + xt = 24t + 12x xt – 12x = 24t – t2 x(t – 12) = t(24 – t) x =

(

)

(

)

t t  x  jam 2t  x

Sehingga untuk nilai x bilangan bulat positif, maka nilai t yang memenuhi adalah 12 < t < 24. Kemudian jika disyaratkan juga bahwa nilai t adalah bilangan bulat positif, maka didapat sebagai berikut. Untuk t = 13

x=

Untuk t = 14

x=

Untuk t = 15

x=

Untuk t = 16

x=

Untuk t = 17

x=

Untuk t = 18

x=

Untuk t = 19

x=

Untuk t = 20

x=

Untuk t = 21

x=

Untuk t = 22

x=

Untuk t = 23

x=

(

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

(

)

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

)

= 143

(memenuhi)

= 70

(memenuhi)

= 45

(memenuhi)

= 32

(memenuhi)

= 23,8

(tidak memenuhi)

= 18

(memenuhi)

= 13,571

(tidak memenuhi)

= 10

(memenuhi)

=7

(memenuhi)

= 4,4

(tidak memenuhi)

= 2,09

(tidak memenuhi)

Jadi, waktu yang mungkin yang dapat ditempuh oleh Dina untuk menyelesaikan pekerjaan itu sendirian adalah 13 jam, 14 jam, 15 jam, 16 jam, 18 jam, 20 jam, dan 21 jam Alternatif 2

(Pak Budi Harjo)

Misal: waktu Dina menyelesaikan sendirian = a jam waktu Dini menyelesaiakan sendirian = i jam maka, i=a+x Unjuk kerja bersama-sama: + = +(

)

=

-------------------------- × 12a(a + x) 12(a + x) + 12a = a(a + x) a(a + x) – 12(a + x) = 12a http://olimattohir.blogspot.co.id/

11


(a + x)(a – 12) = 12a (a + x) = x = –a Untuk x positif, maka x > 0 –a >0 – ( (

( (

)

) )

>0

>0

)

<0 sehingga untuk a < 0 (tidak memenuhi) atau 12 < a < 24 Jika persyaratan selisih waktu Dina dan Dini (x) saja yang bulat, pasti selalu ada nilai a yang memenuhi. Tetapi jika persyaratan waktu Dina dan Dini juga bulat, maka dapat dibuat tabel pengujian dengan perhitungan: x= –a a 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

x 143 70 45 32 25,8 18 13,6 10 7 4,4 2,1

i 156 84 60 48 42,8 36 32,6 30 28 26,4 25,1

Keterangan

Tidak memenuhi Tidak memenuhi

Tidak memenuhi Tidak memenuhi

Jadi, waktu yang mungkin yang dapat ditempuh oleh Dina untuk menyelesaikan pekerjaan itu sendirian adalah 13 jam, 14 jam, 15 jam, 16 jam, 18 jam, 20 jam, dan 21 jam

14. Diketahui

, tentukan nilai dari

.

Pembahasan: = 56   ×7   ( )  

= 56 = 56 =8 =8 =√ =2

Dengan demikian nilai

= 2 disubstitusikan ke

Jadi, nilai dari

=

(

)

=

( )

=

adalah


12


15. Aldi mempunyai 4 bola biru, 7 bola merah, dan 13 bola hijau yang ditempatkan dalam suatu kardus. Jika Aldi ingin mengambil bola-bola tersebut dengan mata tertutup, berapakah minimum bola yang harus diambil Aldi untuk memastikan terambil 3 bola untuk setiap warna? Pembahasan: 23 bola Diketahui Aldi mempunyai 4 bola biru, 7 bola merah, dan 13 bola hijau, sehingga total bola ada sebanyak 24 bola Kemudian untuk mengetahui berapa banyak minimum pengambilan bola akan terambil 3 bola untuk setiap warna, perhatikan uarai berikut. a) Jika mengambil 9 bola, maka kemungkinan yang terambil adalah 7 bola merah dan 2 bola biru. Dalam kondisi ini masih belum ada 3 bola hijau b) Jika mengambil 13 bola, maka kemungkinan yang terambil adalah 13 bola hijau saja. Dalam kondisi ini masih belum ada 3 bola biru dan 3 bola merah c) Jika mengambil 20 bola, maka kemungkinan yang terambil adalah 13 bola hijau dan 7 bola merah. Dalam kondisi ini masih belum ada 3 bola biru d) Jika mengambil 22 bola, maka kemungkinan yang terambil adalah 13 bola hijau, 7 bola merah dan 2 bola biru. Dalam kondisi ini masih bola biru yang terambil masih kurang 1 Dengan demikian, pengambilan minimum yang mungkin = 13 + 7 + 3 = 23 Jadi, minimum bola yang harus diambil Aldi untuk memastikan terambil 3 bola untuk setiap warna adalah sebanyak 23 bola 16. Suatu dadu ditos 6 kali. Berapa peluang mendapatkan jumlah mata dadu 28 dengan syarat muncul mata dadu 6 tepat satu kali?

Pembahasan: Diketahui, suatu dadu ditos 6 kali sehingga jumlah mata dadu dari masing-masing tos = 66 Misalkan suatu dadu ditos 6 kali berturut-turut adalah a, b, c, d, e, dan f Misalkan juga tos pertama muncul a = 6, maka pada tos b, c, d, e sampai f hanya boleh muncul angka 1, 2, 3, 4, 5 dan jumlahnya 22. Kemungkinan yang seperti ini hanya ada tiga kasus yaitu 1) muncul angka : 2, 5, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada

= 5 cara.

2) muncul angka : 3, 4, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada

= 20 cara.

3) muncul angka : 4, 4, 4, 5, 5 yang banyaknya cara ada

= 10 cara.

Dengan demikian, total ada 5 + 20 + 10 = 35 cara jika pada tos pertama muncul angka 6. Akan tetapi, karena keenam tos memiliki peluang yang sama untuk muncul angka 6 berakibat total keseluruhan cara yang mungkin yaitu 6 × 35 = 210 cara. Jadi, Berapa peluang mendapatkan jumlah mata dadu 28 dengan syarat muncul mata dadu 6 tepat satu kali adalah http://olimattohir.blogspot.co.id/

13


17. PQRSTU adalah segienam dengan ukuran sudut-sudutnya adalah 120. Jika PQ = 1 cm, QR = 4 cm, RS = 5 cm, dan ST = 2 cm, tentukan keliling PQRSTU, dalam cm 1 Q

P

4 R U

5 T

S

2

Pembahasan: 21 cm Diketahui PQRSTU adalah segienam dengan ukuran sudut-sudutnya adalah 120, maka garis PQ//TS, QR//TU, dan RS//PU Perhatikan ilustrasi gambar berikut. A 2

1

F

60

60

PQ

B

60

C

4 4 120 60

U

60

5

120

5

60 60 60

E

R

120

T

120 60

2

S

60

5

D

Perhatikan PQA, QCR, SRD, TUE, dan PUF adalah segitiga sama sisi Perhatikan QCR! Maka panjang QC = 4 cm dan perhatikan garis PQ dan TS serta perpanjangannya, maka panjang BC = 2 cm. Sehingga panjang PB = 4 – 2 + 1 = 3 cm, dengan demikian panjang TE = 3 cm, maka panjang TU = 3 cm. Kemudian, perhatikan SRD! Maka panjang SD = 5 cm dan perhatikan garis TS dan PQ serta perpanjangannya, maka panjang PF = 5 + 2 – 1 = 6 cm. Sehingga panjang PU = 6 cm Dengan demikian keliling PQRSTU = PQ + QR + RS + ST + TU + PU =1+4+5+2+3+6 = 21 cm Jadi, keliling PQRSTU adalah 21 cm


14


18. Titik P terletak di dalam persegipanjang ABCD. Jika AP = 3, BP = 4 dan CP = 5, maka panjang DP adalah .... A D P

3

5

4

B

C

Pembahasan: √ Alternatif 1 Perhatikan ilustrasi gambar berikut. A

P

3

F

D G 3

4

5

B

C 4 E Perhatikan PEC! PEC merupakan segitiga siku-siku di titik E, sehingga dengan tryple pythagoras didapat panjang PE = 3 dan EC = 4. Oleh karena itu panjang CG = 3 dan PG = 4 Sehingga dengan pythagoras didapat panjang BE = √ , sehingga panjang BC = 4 + √ Kemudian perhatikan APF! Dengan pythagoras didapat panjang AF = √ , sehingga mengakibatkan panjang DG = √ Dengan demikin, panjang DP = √

(√ ) = √

= √

Jadi, panjang DP adalah √ Alternatif 2

(Bu Endang Erna: Guru SMPN 8 Malang)

Perhatikan gambar berikut. A a

D P

3

b 4

B

c

5 d

C

Dengan pythagoras didapat: b2 + c2 = 16 b2 + d2 = 25 a2 + c2 = 9 – a2 + d2 = DP2 – 2 2 b –a =7 b2 – a2 = 25 – DP2 2 25 – DP = 7 DP2 = 18 DP2 = √ Jadi, panjang DP adalah √


15


19. Menurut Gagne, secara garis besar ada 2 macam objek yang dipelajari siswa dalam matematika, yaitu objek-objek langsung (direct objects) dan objek-objek tak langsung (indirect objects). Sebutkan empat objek langsung dalam matematika. Pembahasan: Empat objek langsung dalam matematika menurut Gagne 1. Fakta, 2. Konsep, 3. Prinsip, 4. Keterampilan. 20. Pemecahan masalah merupakan aktivitas intelektual yang paling tinggi. Pemecahan masalah harus didasarkan atas adanya kesesuaian dengan struktur kognitif yang dimiliki siswa, supaya tidak terjadi stagnasi. Menurut Polya, dalam memecahkan masalah ada empat tahapan yang dilakukan. Sebutkan empat tahapan pemecahan masalah menurut Polya. Pembahasan: Empat tahapan pemecahan masalah menurut Polya 1. Memahami masalah, 2. Merencanakan pemecahan masalah, 3. Melaksanakan rencana, 4. Melihat kembali.

Dibahas oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: [email protected] Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://m2suidhat.blogspot.com/


16


Soal Uraian. Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya pada tempat yang disediakan pada lembar jawaban. 1.

Suatu segiempat ABCD dengan AB sejajar dengan DC, lihat gambar di bawah. Titik F adalah titik tengah ruas garus BC. Jika luas daerah segitiga AFD adalah 10 cm2, berapakah luas daerah segiempat ABCD, dalam cm2? A

B F

D

C

Pembahasan: 20 cm2 Perhatikan ilustrasi gambar berikut. A

a

B F

D

t

C

b

Luas segiempat ABCD = Luas ABF + Luas CDF + Luas AFD (

)

× t = × a × ( ) + × b × ( ) + 10

(a + b) × t = × at + × bt + 20 2(a + b) × t = at + bt + 40 2at + 2bt = at + bt + 40 (a + b)t = 40 ( Dengan demikian, luas segiempat ABCD =

)

×t=

= 20

Jadi, luas daerah segiempat ABCD adalah 20 cm2

2.

Garis g melalui titik (–20,16) dan (20,–16). Jika titik (b,a) dan (7,2) dilalui garis h dan garis h tegak lurus garis g, maka nilai adalah .... Pembahasan: 53 Diketahui garis g melalui titik (–20,16) dan (20,–16). Kemiringan garis q; mg = Karena garis h tegak lurus garis g, maka mh × mg = –1

 mh × (

=

) = –1

 mh = Garis dilalui oleh titik (b,a) dan (7,2), sehingga kemiringan garis h: mh = = 5(7 – b) = 4(2 – a) http://olimattohir.blogspot.co.id/

17


35 – 5b 4a – 5b (4a – 5b)2 16a2 – 40ab + 25b2 =( = = 729 – 676 = 53

Dengan demikian untuk

Jadi, nilai

3.

= 8 – 4a = –27 = (–27)2 = 272 )

adalah 53

Ali, Ani, Adi, Budi, dan Bagas kursus musik di tempat yang sama dengan jadwal yang berbeda. Ali kursus setiap 2 hari sekali, Ani 3 hari sekali, Adi 5 hari sekali, Budi 7 hari sekali, Bagas 11 hari sekali. Jika terakhir mereka kursus bersama pada tanggal 31 Januari 2016, kapan mereka akan kursus bersama lagi? Pembahasan: setelah 2.310 hari atau pada tanggal 29 Mei 2022 Diketahui Ali kursus setiap 2 hari sekali, Ani 3 hari sekali, Adi 5 hari sekali, Budi 7 hari sekali, Bagas 11 hari sekali dan terakhir mereka kursus bersama pada tanggal 31 Januari 2016 Untuk mengetahui kapan mereka akan kursus bersama lagi sama halnya dengan mencari KPK dari 2, 3, 5, 7, 11 yaitu 2310 Dengan demikian, mereka akan kursus bersama lagi setelah 2.310 hari Karena tahun 2016 termasuk tahun kabisat, maka 1 tahun ada 366 hari sampai tahun 2017, artinya bahwa 366 hari setelah tanggal 1 Pebruari 2016 adalah tanggal 31 Januari 2017. Perhatikan kembali lama hari mereka akan kursus kembali, yaitu 2.310 hari sekitar 6 tahun lagi tepat tahun 2022 Permasalahannya sekarang tentang tahun yang terdapat tahun kabisat, yaitu tahun 2016 dan 2020. Sehingga total seluruh hari selama 6 tahun kedepan = 6 × 365 + 2 = 2192 Berarti untuk menuku 2.310 hari kurang 2.310 – 2192 = 118 hari lagi Selama 2192 hari tepat pada tanggal 31 Januari 2022, sedangkan untuk 118 lagi tepat pada [28+31+30+(31–2)] yaitu pada tanggal 29 Mei 2022 Jadi, mereka akan kursus bersama lagi setelah 2.310 hari atau pada tanggal 29 Mei 2022

4.

Misalkan

adalah fungsi yang didefinisikan

Tentukan (

) jika diketahui (

)

(

)

( )

dengan

dan

bilangan real.

.

Pembahasan: Diketahui (

)

( )

dengan

dan

bilangan real dan (

Karena x dan y bilangan real maka untuk ( (

)= (

Jadi, (

)=

(

)

=

=

)

) didapat

=

)=


18


5.

Bu Diah akan mengajarkan konsep luas lingkaran dengan menggunakan media lingkaran yang dipotong menjadi beberapa juring. Berikut ilustrasinya.

Dipotong dan disusun seperti berikut r

r

r

Tuliskan lintasan belajar (urutan proses pembelajaran) yang perlu dilakukan Bu Diah. Pembahasan: Lintasan belajar konsep luas lingkaran 1.

Mengingatkan kembali tentang luas persegipanjang, unsur-unsur lingkaran, keliling lingkaran, ciri-ciri sudut pusat, panjang busur, dan juring lingkaran. Panjang busur sebanding dengan sudut pusat yang menghadapnya. Begitupun luas juring sebanding dengan sudut pusat yang bersesuaian dengan juring tersebut.

2.

Menggambar sudut pusat panjang busur dan luas juring untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur lingkaran dan hubungan antara sudut pusat dengan luas juring lingkaran. A

A

O 𝛼

O 𝛼

B Sudut pusat 𝐴𝑂𝐵 atau ∠AOB

B Busur AB atau 𝐴𝐵

𝛼

A

A 𝛼

O 𝛼

B Sudut pusat 𝐴𝑂𝐵 atau ∠AOB

O

B Luas juring AOB

Dari ilustrasi di atas kita bisa amati panjang busur AB bersesuaian dengan sudut pusat , begitupun luas𝛼 juring AOB bersesuaian dengan sudut pusat . Ukuran sudut pusat lingkaran adalah antara hingga . http://olimattohir.blogspot.co.id/

19


3.

Mendiskusikan tentang pemberian tugas berikut. a. Buatlah lingkaran pada kertas berpetak dengan jari-jari 8 cm b. Hitunglah banyaknya petak-petak persegi satuan yang dimuat dalam lingkaran dengan aturan jika sama atau lebih dari setengah petak persegi satuan dihitung satu, sedangkan yang kurang dari setengah petak tidak dihitung ! c. Banyak petak yang terhitung adalah mendekati luas lingkaran yang sebenarnya

4.

Membahas penggunaan medai pembelajaran

Dipotong dan disusun seperti berikut r

r

r

t=r 𝟏

Setengah keliling lingkaran ( K) = alas 𝟐

Luas jajargenjang = alas × tinggi (t) = Setengah keliling lingkaran × jari-jari (r) = K×r = × 2r × r = r2 Luas Lingkaran = Luas persegi panjang  L = r2

Dibahas oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: [email protected] Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/


20

Soal Dan Pembahasan OSN Guru Matematika SMP Tahun 2016-Www.olimattohir.blogspot.com

Recommend Documents