OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2010 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT SOAL DIBUAT OLEH KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIRJEND MANAJEMEN DIKDASMEN DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA ( PELAKSANAAN PELAKSANAAN TES 1 MEI 2010 )
Soal Bagian A Pilihan Ganda ini disalin disalin sesuai redaksi soal seutuhnya . Soal PG PG sebanyak 20 Butir. Butir. 1.
Garis l melalui titik (- 4 ,-3 ) dan (3, 4). 4). Jika garis l juga melalui titik (a, b) , maka nilai nilai dari
a3 – b3 – 3a2b + 3ab2 – 33 = …. A. 23 B. 1 C. – 1 D. – 28 E. – 31 Jawab : Nilai yang ditanyakan yaitu bentuk aljabar aljabar yang memuat variabel a dan b , berarti kita kita harus mencari nilai a dan b . Dari data soal titik ( a, b) b) terletak pada garis garis l , berarti gradien garis antara titik (- 4 ,-3 ) dan (3, 4) dan antara titik (3, 4) dan (a , b) sama sama sehingga diperoleh diperoleh persamaan sebagai berikut berikut :
Maka nilai dari a3 – b3 – 3a2b + 3ab2 – 33
= ( a – b )3 – 33 = (- 1) 3 – 33 = -1 – 27 = – 28
2.
(D)
Jika bilangan bilangan ganjil dikelompokkan seperti seperti berikut berikut : {1}, {3, 5}, {7, {7, 9, 11}, {13, {13, 15, 17, 19}, 19}, maka
suku tengah dari kelompok ke-11 adalah …. A.
21
B.
31
C.
61
D.
111
E. 121 Jawab : Jika kita perhatikan suku-suku barisan dalam kelompok ke-2 , ke-3, ke-4 dst, merupakan barisan Aritmetika dengan selisih 2. Agar dapat menentukan menentukan suku tengah dari kelompok barisan tersebut, tersebut, kita harus menentukan menentukan Rumus Suku ke-n untuk setiap kelompok ke-k . Perhatikan barisan barisan suku-suku pertama setiap setiap kelompok ke-k berikut : 1 , 3 , 7 , 13 , 21 , …
dengan k bilangan Asli Ini barisan tingkat dua sehingga f(k) adalah suatu fungsi berderajat dua dalam k Lebih dari satu cara menentukan rumus suku ke-n barisan tingkat 2, (dapat dilihat pada Pembahasaan Soal Matematika Ujian Nasional SMP/MTs Tahun 2009/2010 pada Daftar Isi ) . Atau Click disini ! Sekarang kita tentukan f(k) dengan rumus. Kita ketahui rumus suku ke-k barisan tingkat 2 adalah
Perhatikan pada skema bilangan diatas nilai a = 1 , b = 2 , dan c = 2 , sehingga
Perhatikan suku-suku bilangan yang terdapat pada setiap kelompok ke-k , merupakan barisan Aritmetika dengan selisih atau beda = 2, dan suku pertama f(k) , dengan demikian dapat dirumuskan Suku ke-n kelompok ke-k sebagai berikut :
Suku tengah kelompok ke-11 adalah suku ke 1/2 x (11+1) = suku ke-6 , sehingga diperoleh U(6) = f(11) + (6 – 1) 2 U(6) = 112 – 11 + 1 + 5 x 2 U(6) = 121 – 10 + 10 = 121 Jadi Suku tengah kelompok ke-11 adalah 121 (E)
3. n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 7 + 30n bukan bilangan prima. Nilai dari 64 – 16n + n 2 adalah …. A.
1
B.
4
C.
9
D. 16 E.
25
Jawab : Agar 7 + 30n merupakan bilangan komposit (bukan bilangan prima) , maka nilai n yang memenuhi adalah 6 , sehingga 7 + 30.6 bukan bilangan prima , karena (7 + 30. 6 )=187 habis dibagi 11 atau 187 = 11 x 17 Jadi nilai dari 64 – 16n + n 2 = 64 – 16×6 + 62 = 64 – 96 + 36 = 4 4.
(B) telah diralat
Dijual 100 lembar kupon , 2 diantaranya berhadiah. Ali membeli 2 lembar undian. Peluang Ali
mendapat 2 hadiah adalah …
A.
B.
C.
D.
E. Jawab : Ini merupakan dua kejadian yang tak bebas artinya terjadinya salah satu kejadian atau tidak terjadinya, akan mempengaruhi kejadian yang lain. Sehingga terdapatnya lembar kupon ke-1 berhadiah ataupun tidak, akan mempengaruhi peluang pada lembar kupon yang ke-2. Dengan demikian Peluang Ali mendapat 2 lembar kupon berhadiah adalah
P(2 berhadiah) =
(D)
Dengan teori peluang banyaknya hasil yang mungkin adalah Permutasi 2 dari 100 ditulis
Banyaknya hasil yang dimaksud 2 kupon berhadiah
Jadi Peluang (Ali mendapat 2 kupon berhadiah )
=
5. Bilangan tiga digit 2 A3 jika ditambah dengan 326 akan menghasilkan bilangan tiga digit 5B 9. Jika 5B 9 habis dibagi 9 , maka A + B A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
E.
9
= ….
Jawab : Nyatakan soal tersebut ke dalam kalimat matematika 200 + 10 A + 3 + 326
=
500 + 10B + 9
500 + 10 A + 20 + 9 =
500 + 10B + 9
10 A + 20
=
10B
10 ( A + 2 )
=
10B
A + 2 A
= =
B B – 2
……………(1)
Karena 5B 9 habis dibagi 9, maka jumlah angka-angkanya habis dibagi 9 , sehingga dapat ditulis 5 + B + 9 = k. 9 , dengan k bilangan bulat B + 14
= k. 9
B + 14
=2x9
B + 14
= 18
B
=4
dipenuhi untuk k = 2, sehingga
Substitusi B = 4 ke persamaan ………(1) diperoleh A= 4 – 2 =2 Jadi Nilai A + B = 2 + 4 = 6 6.
(B)
Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersama-sama. Bila diketahui mata uang muncul
angka, maka peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah …
A.
B.
C.
D.
E. Jawab : Pada pelantunan sebuah mata uang dan sebuah dadu,kejadian munculnya angka atau gambar pada mata uang dan kejadian munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5,atau 6 merupakan dua kejadian yang saling bebas artinya kemungkinan terjadinya atau tidak terjadinya kejadian yang satu tidak akan mempengaruhi kemungkinan terjadinya atau tidak terjadinya kejadian yang lain. Tetapi soal hanya menanyakan peluang munculnya mata dadu lebih dari 2. Hasil yang mungkin adalah S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 } , maka n(S) = 6 Hasil yang dimaksud atau mata dadu lebih dari 2 adalah A= { 3 , 4, 5, 6} , maka n(A) = 4 Jadi Peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah P(A) = 4/6 = 2/3
(D)
Jika soal menanyakan peluang munculnya angka pada uang dan muncul mata dadu lebih dari 2, maka peluangnya = 1/2 x 4/6 = 1/3 7.
Diberikan dua buah bilangan bulat berbeda yang berjumlah 37 . Apabila bilangan yang lebih besar
dibagi dengan bilangan yang lebih kecil, maka hasil baginya adalah 3 dan sisanya 5. Selisih kedua bilangan tersebut adalah …
A.
21
B.
22
C.
23
D.
24
E.
25
Jawab : Misalkan bilangan-bilangan bulat tersebut adalah A dan B , dimana A > B A + B
…………………(1)
= 37
A
= 3 x B + 5 ……………… (2)
Substitusi persamaan (2) ke persamaan(1) diperoleh ; 3B+5+B
= 37 4B
= 37 – 5
4B
= 32
B
= 8 , maka A = 3 x 8 + 5 = 29
Jadi A –B = 29 – 8 = 21
8.
(A) (telah diralat)
Jika x : y = 3 : 4 , maka
A.
B.
C.
D.
E. Jawab : Untuk memudahkan perhitungan kita tulis x = 3k , dan y = 4k , dengan k bilangan Real dan k ≠0 Sehingga
(A)
9.
Roda A dengan jari-jari 40 cm dan roda B dengan jari-jari 10 cm dihubungkan dengan sebuah tali
yang melingkari keduanya. Jika jarak pusat kedua roda adalah 60 cm, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah … cm. A. B. C. D. E. Jawab : Buatlah sketsa gambar dari soal tersebut seperti berikut ini :
Jika titik-titik C , D, E, dan F adalah titik-titik singgung garis singgung persekutuan dua lingkaran, maka panjang CD = EF = BG = BH. Kita ketahui bahwa garis singgung tegak lurus jari-jari yang melalui titik singgung. Konstruksi sedemikian rupa sehingga segiempat BCDG dan segiempat BFEH adalah persegipanjang. Dengan demikian panjang AG = AH = 30 cm. Perhatikan segitiga AGB siku-siku di titik G , karena AG : AB = 30 : 60 = 1 : 2 , maka Besar sudut ABG = 300 dan besar sudut BAG = 600 , begitu pula pada segitiga AHB siku-siku di H , maka Besar sudut ABH = 300 dan besar sudut BAH = 600 Berdasarkan teorema Pythagoras
Jadi panjang tali yang melingkari kedua lingkaran a dalah
cm 10.
(A)
Pada segitiga ABC (siku-siku di C ), titik Q pada AC , titik P pada AB , dan PQ sejajar BC .
Panjang AQ = 3 ; AP = 5 ; BC = 8 , maka luas segitiga ABC adalah … A.
48
B.
36
C.
24
D.
22
E.
12
Jawab : Gambar segitiga tersebut
Karena PQ sejajar BC , maka besar sudut AQP = besar sudut ACB = 900(pasangan sudut sehadap) Segitiga AQP siku-siku di Q , maka panjang PQ = 4 (ingat tripel Pythagoras 3 , 4, 5) Begitu pula besar sudut APQ = besar sudut ABC (pasangan sudut sehadap), maka Segitiga AQP sebangun dengan segitiga ACB , (sd-sd-sd) akibatnya;
Jadi Luas segitiga ABC = 1/2 x AC x BC = 1/2 x 6 x 8 = 24 11.
Jika diberikan
(C) dengan n bilangan asli, maka nilai
A. – 5 B.
0
C.
17
D.
28
E.
30
Jawab : S n adalah jumlah n suku pertama dari deret tersebut. Perhatikan polanya ! Jika kita amati untuk n bilangan asli ganjil suku-suku deret bertanda positif , sedangkan untuk n bilangan asli genap bertanda negatif . Dengan kata lain S n sama dengan selisih dari jumlah bilangan asli ganjil dan jumlah bilangan asli genap yang terdapat dalam n suku pertama deret tersebut.
Dengan cara yang sama diperoleh
(D) 12.
Tersedia tujuh gambar yang berbeda akan dipilih empat gambar yang akan dipasang membentuk
barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat dilakukan jika sebuah gambar yang terpilih harus selalu dipasang di ujung adalah … A.
420
B.
504
C.
520
D.
720
E.
710
Jawab : Soal ini menuntut logika berpikir dalam memahami syarat soal y ang diberikan dan penggunaan konsep Kombinasi dan Permutasi. Pertama menentukan banyaknya kombinasi gambar yang terdiri dari 4 gambar dari 7 gambar yang tersedia, yaitu sebanyak kombinasi 4 unsur dari 7 unsur berbeda , ditulis :
Terdapat 35 kombinasi yang terdiri dari 4 gambar. Selanjutnya dari 1 kombinasi yang terdiri dari 4 gambar tersebut kita pasangkan pada tempat yang membentuk barisan memanjang . Untuk memudahkan kita sediakan kotak sebagai tempat banyaknya cara yang dapat dilakukan dalam pemasangan gambar tersebut. Jika 1 gambar yang dipiih dari 4 gambar dipasangkan di ujung sebelah kiri , maka banyaknya cara yang dapat dilakukan ada sebanyak :
1 x 3 x 2 x 1 = 6 cara , tetapi gambar yang dipilih dapat pula ditempatkan di ujung sebelah kanan (pada tempat ke-4) , sehingga banyaknya cara dari 1 kombinasi yang terdiri 4 gambar ini adalah 6 x 2 = 12 cara. Dengan demikian banyaknya cara dari 35 kombinasi sebanyak = 12 x35 = 420 cara.
(A)
Ini menurut nalar penulis, mohon kritik jika ada kekeliruan !
13.
Diketahui
adalah bilangan bulat. Manakah dari ketiga bentuk di
bawah ini yang juga merupakan bilangan bulat untuk nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk di atas ?
A.
I
B.
II
C.
III
D.
I dan III
E.
II dan III
Jawab : 3x
merukan bilangan bulat , jika x adalah bilangan bulat dan x = 1/3 Dimana k adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan nol.
Nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk diatas adalah -1, -3, 1, 3 . Jelas untuk nilai x tersebut yang merupakan bilangan bulat adalah II dan III 14.
(E)
Bilangan ratusan yang berupa bilangan prima dimana perkalian ketiga angka penyusun bilangan
tersebut adalah 10 , ada sebanyak … buah bilangan.
A. B.
6 5
C.
4
D.
3
E.
2
Jawab : Karena perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut adalah 10, maka bilangan tersebut terdiri dari angka 1 , 2, dan 5 . Permutasi dari 3 angka tersebut sebanyak 6 macam yaitu : 125, 152, 215, 251, 512, 521 . Dari bilangan-bilangan tersebut masing-masing ada sebanyak 2 bilangan yang merupakan bilangan kelipatan 2 dan kelipatan 5. Dari bilangan ratusan tersebut yang merupakan bilangan prima adalah 251 dan 521. Jadi ada sebanyak 2 buah bilangan
(E)
15.
Sebuah prisma segiempat berukuran 15 cm x 15 cm x 10 cm, terbuat dari baja. Prisma tersebut
setiap rusuknya diberi kerangka terbuat dari kawat dan setiap sisi dicat. Harga baja setiap 1 cm 2 adalah Rp 800,00; setiap 4 cm kawat harganya Rp 1.300,00; dan setiap 10 cm 2 membutuhkan cat seharga Rp 1.600,00;. Biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah … A.
Rp 2.020.000,00
B.
Rp 1.160.000,00
C.
Rp 1.060.000,00
D.
Rp 1.050.000,00
E.
Rp 1.030.000,00
Jawab : Biaya pembelian Baja = Luas prisma x Rp 800,00 = (2 x15 x 15 + 4 x 15 x 10)x Rp 800,00 =(450 + 600 ) Rp 800,00 = 1.050 x Rp 800,00 = Rp 840.000,00 Biaya pembelian Kawat = (8 x 15 + 4 x 10) x Rp 1.300,00/4 cm = (2 x 15 + 10 ) Rp 1.300,00 = 40 x Rp 1.300,00 = Rp 52.000,00 Biaya pengecatan
= luas prisma x Rp 1.600,00/10 cm 2 = 1.050 x Rp 160,00 = Rp 168.000,00
Jadi biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah Rp (840.000,00 + 52.000,00 + 168.000,00) = Rp 1.060.000,00 16. A. B.
Jika P (x) =Q (x ) (x – a ) , dimana P (x ) dan Q (x ) polinom, maka : P (a ) ≠ 0 x – a bukan faktor dari P (x )
(C)
C.
kurva y =P (x ) memotong sumbu x di titik (a, 0)
D.
kurva y =P (x ) memotong sumbu x di titik (-a, 0)
E.
titik potong erhadap sumbu x tidak dapat ditentukan
Jawab : Periksa dan pilihlah pernyataan yang benar ! A. Salah , karena P (a )=0 B. Salah, karena (x – a) merupakan faktor dari P (x ) Kurva y =P (x ) memotong sumbu x , jika y= 0 maka 0 =Q (x ) (x – a ) (x – a )= 0 x= a Jadi yang benar kurva y =P ( x ) memotong sumbu x di titik (a, 0) 17.
Empat kubus identik dengan panjang rusuk 5 cm disusun menjadi suatu bangun ruang dengan cara
menempelkan sisi-sisinya. Banyak bangun ruang berbeda yang terbentuk adalah … A.
10
B.
8
C.
6
D.
5
E.
3
Jawab : Banyaknya bangun ruang yang berbeda ada 8.
18.
( C)
Fungsi f (x ) = x 2 – ax mempunyai grafik berikut :
(B)
Grafik fungsi g (x ) = x 2 + ax + 5 adalah …. Jawab : Dari grafik fungsi f (x ) = x 2 – ax , tampak bahwa nilai a > 0 (a positif) Sehingga sumbu simetri fungsi g (x ) = x 2 + ax + 5 , yaitu
bernilai negatif.
Grafik fungsi g (x ) = x 2 + ax + 5 , memotong sumbu Y di titik (0, 5) Jadi grafik yang benar dari pilihan jawaban yang disediakan hanya
(A) 19.
Terdapat 3 orang Indonesia , 4 orang Belanda , dan 2 orang Jerman akan duduk dalam bangku
memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya adalah …
A.
24
B.
48
C.
288
D.
536
E.
1728
Jawab : Banyaknya Permutasi dari 3 warga negara sebanyak 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Sedangkan dalam satu warga negara mereka duduk bervariasi , sehingga banyaknya susunan yang terjadi jika duduk berkelompok menurut kewarganegaraanya adalah 3! x 4! x 2! x 6 = (3x2x1) x (4x3x2x1) x (2×1) x 6 = 6 x 24 x 2 x 6 = 288 x 6 = 1728
(E)
20. Anto mempunyai 20 lembar seribuan, 4 lembar lima ribuan dan 2 lembar sepuluh ribuan. Jika x , y, dan z adalah banyaknya seribuan, lima ribuan, dan sepuluh ribuan, maka banyak cara berbeda sehingga jumlahnya dua puluh ribu adalah … A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
E.
10
Jawab : Untuk memudahkan buatlah tabel seperti berikut :
Cara Ke1 2 3 4 5 6 7 8 9
Banyaknya Uangseribuan (x) 20 0 0 15 10 10 5 5 0
Jadi ada 9 cara berbeda
Banyaknya UangLima Banyaknya UangSepuluh Jumlah ribuan (x) ribuan (z) Uang 0 0 20.000 4 0 20.000 0 2 20.000 1 0 20.000 2 0 20.000 0 1 20.000 3 0 20.000 1 1 20.000 2 1 20.000 (D)
1. Sebuah segitiga ABC sama kaki dipotong menjadi dua buah segitiga sama kaki (tidak harus kongruen) dengan membagi dua sama besar salah satu sudut alasnya. Ukuran sudut yang terkecil dari segitiga ABC adalah … Ini soal klasik artinya bukan soal yang baru saat ini, dalam geometri ( dulu ilmu ukur bidang) telah dibahas, dan soal ini juga un ik artinya hanya satu-satunya segitiga sama kaki yang memiliki kasus seperti soal yang ditanyakan yaitu jika pada salah satu sudut alasnya yang sama, dibuat garis bagi, maka terbentuk dua segitiga sama kaki walaupun tidak kongruen.
Silahkan kerjakan terlebih dahulu! kemudian lihat pembahasannya Jawab : Untuk memudahkan gambar segitiga tersebut !
Segitiga ABC sama kaki dengan panjang AC = BC , maka besar sudut A = besar sudut B Misalkan besar sudut B = x0 , dan besar sudut A = x0 , dan besar sudut C = y 0, maka 2 x + y = 1800 …………………..(1) Garis AD adalah garis bagi sudut A , maka besar sudut BAD = 1/2 x 0 dan besar sudut CAD = 1/2 x 0 . Karena segitiga ABD sama kaki , maka besar sudut B = besar sudut ADB Atau
x = b , sedangkan besar sudut ADB = besar sudut ACB + besar sudut CAD , sehingga x = 1/2 x + y
atau
y = 1/2 x ………………….(2)
Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh : 2 x + 1/2 x = 180 0
Jadi ukuran sudut terkecil dari segitiga ABC adalah 360 2.
Sebuah kotak berisi bola merah dan hijau. Jika empat bola merah dikeluarkan dari kotak maka
sepersepuluh sisanya adalah bola merah . Akan tetapi jika empat bola hijau dikeluarkan dari kotak maka seperlima sisanya adalah bola merah. Banyaknya bola merah yang semula berada di dalam kotak tersebut adalah … Silahkan kerjakan terlebih dahulu ! kemudian lihat pembahasannya
Jawab: Misalkan banyaknya bola merah di dalam kotak adalah m buah, dan banyaknya bola hijau di dalam kotak adalah h buah, Sehingga jumlah bola di dalam kotak adalah ( m + h ) buah Berdasarkan soal diperoleh persamaan sebagai berikut :
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
Jadi , banyaknya bola merah yang semula berada di dalam kotak tersebut adalah 8 3.
Sebuah perahu motor meninggalkan kapal induk ke arah utara menuju suatu target dengan
kecepatan tetap 80km/jam . Kapal induk bergerak ke arah timur dengan kecepatan tetap 40 km/jam . Apabila perahu motor tersebut hanya mempunyai bahan bakar yang cukup untuk berjalan 4 jam saja, maka jarak maksimum target yang dapat ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah …. km.
Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya Jawab : Buatlah sketsa gambarnya seperti berikut ini :
Jarak AT = 40 x 4 = 160 km Misalkan waktu yang ditempuh perahu motor dari titik A ke U dalah t1 jam ,dan waktu yang ditempuh perahu motor dari titik U ke T dalah t2 jam, dimana t1 + t2 = 4 jam …………..(1) Berdasarkan teorema Pythagoras TU 2 = AU 2 + AT 2 (80t2)2
= (80t1)2 + 160 2
802.t22
= 802.t12 + 1602
802(t22 – t12)
= 1602
(t22 – t12)
= (160/80)2
(t2 – t1)( t2 + t1)
=4
(t2 – t1). 4
=4
(t2 – t1)
=1
…………(2)
Dari persaman (1) dan (2) diperoleh : Sehinggga
2t2 = 5 atau t2 = 5/2 jam dan t1 = 3/2 jam
jarak AU = 80 km /jam x 3/2 jam = 120 km Jarak TU = 80 km /jam x 5/2 jam = 200 km
Jadi jarak maksimum target yang dapat ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah jarak AU = 120 km . 4.
Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Anto dan Dini dapat diselesaikan dalam waktu 6 jam.
Jika pekerjaaan itu dikerjakan oleh Dini sendirian akan selesai lima jam lebih lambat dibandingkan Anto. Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu … jam
Soal ini tergolong klasik, sejak akhir kelas VI dibangku SD penulis telah mengenal soal ini sebagai soal latihan tes ke SMP. (Dapat dilihatjuga pembahasan serupa pada Soal Perbandingan tidak Senilai di Daftar Isi !) Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya Jawab : Misalkan Anto dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu t jam, dan Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu (t + 5) jam Sehingga Rata-rata dalam waktu 1 jam Anto dapat menyelesaikan
, dan
Rata-rata dalam waktu 1 jam Dini dapat menyelesaikan Jadi , Rata-rata dalam 1 jam Anto dan Dini dapat menyelesaikan
Atau rata-rata dalam 1 jam Anto dan Dini dapat menyelesaikan Dengan kata lain, Anto dan Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan dalam waktu Berdasarkan soal diatas diperoleh persamaan
t 2 + 5t = 12t + 30 t 2 – 7t – 30 =0 (t – 10 )(t + 3 ) = 0 t – 10 = 0 , t = 10 ,
karena t >0
Jadi , pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu 10 jam. Cara Singkat : Jika A dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu p satuan waktu, dan B dapat menyelesaikan suatu pekerjaan yang sama dalam waktu q satuan waktu , maka
Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh A dan B bersama-sama dalam waktu
Soal seperti ini merupakan salah satu kasus tentang konsep rata-rata harmonis. 5.
Diketahui jajargenjang ABCD ; sudut A = sudut C = 450 . Lingkaran K dengan
pusat C melalui B dan D . AD diperpanjang memotong lingkaran di E dan BE memotong CD di H. Perbandingan antara luas segitiga BCH dengan segitiga EHD adalah … Soal ini pernah diujikan dalam tes (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri ) UMPTN th 1989. Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya Jawab : Buat sketsa gambarnya seperti berikut !
Buat garis CE . Karena segiempat ABCD adalah jajargenjang, maka AB sejajar DC, sehingga besar sudut CDE = besar sudut A = 450 . Perhatikan segitiga CDE , panjang CD = panjang CE = r (jari-jari lingkaran ), maka besar sudut CED = 450 dan besar sudut DCE = 900, jadi segitiga CDE segitiga siku-siku sama kaki. Berdasarkan teorema Pythagoras :
Perhatikan segitiga BCH sebangun dengan segitiga EDH (sd-sd-sd), akibatnya :
Maka ,
Jadi, Perbandingan antara luas segitiga BCH dengan segitiga EHD adalah 1 : 2 6.
Jika jumlah k bilangan bulat positif berurutan adalah 2010. , dengan k > 1, maka k terkecil yang
mungkin adalah …. Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya Jawab : Jika k = 2 , maka
n + (n + 1)
= 2010 , dengan n bilangan bulat positif 2n
Jika k = 3 , maka
= 2009 , tak ada nilai n yang memenuhi
n + (n + 1) + (n + 2) = 2010 3n + 3
= 2010 3n n
= 2007 = 669
Bilangan bulat positif tersebut adalah 669 + 670 + 671 = 2010 Jadi nilai k terkecil yang mungkin adalah 3 7.
Diketahui ABCD adalah persegi. Titik E merupakan perpotongan AC dan BD pada
persegi ABCD yang membentuk persegi baru EFGH . EF berpotongan dengan CD di I dan EH berpotongan dengan AD di J . Panjang sisi ABCD adalah 4 cm dan panjang sisi EFGH adalah 8 cm. Jika sudut EID = 600, maka luas segiempat EIDJ adalah … cm 2 Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya Jawab : Buatlah sketsa gambarnya !
Perhatikan segitiga EJD kongruen dengan segitiga EIC, maka luas segitiga EJD = luas s egitiga EIC Sehingga, luas segiempat EIDJ = luas segitiga DEI + luas segitiga EJD = luas segitiga DEI + luas segitiga EIC = luas segitiga CDE Luas segitiga CDE = 1/4 x luas persegi ABCD = 1/4 x 4 x 4 = 4 cm 2 Jadi, luas segitiga EIDJ adalah 4 cm 2 . Cara kedua : Dengan Rotasi bidang segiempat EIDJ dengan pusat E , dan persegi ABCD tetap (statis),dengan arah berlawanan arah jarum jam (arah positif) sedemikian sehingga EF tegak lurus CD . Seperti pada gambar berikut :
’
’
Maka luas luas segiempat EIDJ = luas segiempat EI DJ
= 2 cm x 2 cm = 4 cm 2 8.
Kereta penumpang berpapasan dengan kereta barang. Laju kereta penumpang 40 km /jam,
Sedangkan kereta barang 20 km /jam. Seorang penumpang di kereta penumpang mencatat bahwa kereta barang berpapasan selama 15 detik. Panjang rangkaian KA barang adalah … m Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya Jawab : Soal ini merupakan aplikasi konsep kecepatan relatif dalam ilmu Fisika. Karena kedua kereta berpapasan artinya kedua kereta api tersebut bergerak belawanan arah. Kecepatan relatif KA penumpang terhadap KA barang = (40 + 20) km /jam = 60 km /jam Jadi, panjang KA barang
= (60 km /jam) x 15 detik = (60.000 m /3600 detik) = 60.000 m / 240 = 6.000 m / 24 = 1.500 m / 6
x 15 detik
= 250 m 9.
Jika operasi * terhadap bilangan rasional positif didefinisikan sebagai
maka 3 * (3*3) = …. Jawab :
dengan demikian :
10.
Sebuah kubus akan diberi warna sedemikian sehingga setiap dua sisi yang berdekatan
(yakni dua sisi yang dipisahkan oleh tepat satu rusuk) diberi warna yang berbeda. Jika diberikan 5 warna yang berbeda, maka banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah …. Silahkan coba kerjakan dulu ! kemudian lihat pembahasannya Jawab: Perhatikan gambar Kubus berikut !
Kemungkinan pertama dalam pemberian warna
Sisi-sisi Kubus diberi wana yang berbeda dengan satu warna yang sama pada sepasang sisi yang sejajar(karena warna yang tersedia hanya 5 warna). Untuk memudahkan perhitungan kita buat petak-petak jaring-jaring Kubus dan tuliskan banyaknya cara yang mungkin
Banyaknya cara yang mungkin sebanyak
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara.
Kemungkinan kedua dalam pemberian warna
Sisi-sisi kubus yang sejajar (berhadapan) diberi warna yang sama. Kita ketahui ada 3 pasang sisi kubus yang sejajar. Banyaknya cara pemberian warna sama dengan kombinasi 3 dari 5 warna yang berbeda. Jadi, banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah sebanyak (120+10)=130 cara
