ARITMÉTICA
RAZONES DESARROLLO DEL TEMA
I. RAZÓN Es la comparación entre dos cantidades si se realiza mediante una sustracción, se le llama razón aritmética, y si se realiza r ealiza una división se le llama l lama razón geométrica.
A 5 A = 5k B 3 B = 3k
Aplicación Aplicación La edad de María es a 13 como la de José es a 11. Si la diferencia de sus edades es 6 años. ¿Cuánto suman?
Donde: a: antecedente b: consecuente consecuente Son los términos de la razón Ejemplo: Un comerciante posee en un recipiente A, 30 litros de vino y en otro recipiente B, 18 litros también de vino. Al comparar: comparar:
Nota: Si A y B están en relación de 5 a 3.
II. II. SERIE SERIE DE RAZO RAZONES NES GEOMÉT GEOMÉTRI RICAS CAS EQUIVALENT EQUIVALENTES ES Es la igualdad de varias razones geométricas. Ejemplo 1:
30 L A
18 L B
A. Razón aritmética aritmética
"El V A excede a V B en 12 L". "El V A es mayor que V B en 12 L". "El V A es 12 L más que V B". B. Razón Razón geomé geométri trica ca Antecedente 30L 5 = 18L 3 Consecuente
"V A y VB están en la razón (o relación o proporción) de 5 a 3 (o 5/3) respectivamente". "V A es a V B como 5 es a 3". "V A es a 5 como V B es a 3". "V A es como 5 y V B es como 3". "V A es 5/3 de V B". "Por cada 5 L que hay en A, hay 3 L en B".
Donde: Los antecedentes son 30, 15, 9 y 33. Los consecuentes son 40, 20, 12 y 44. 30 y 44 son términos extremos. Ejemplo 2: Al tener: m n p K , puede decirse que que m, m, n y 3 5 11 p están en la relación de 3, 5 y 11 respectivamente. Además: m = 3 K n = 5 K p = 11 K
RAZONES
Exigimos más! Propiedades de una S.R.G.E. Siendo en general una serie de la forma:
a1a2a3 a a a (a )3 K 3; 2 5 6 K 3 ; 2 K 3 b1b2b3 b2b5b6 (b ) 3
2
a1 a2 a3 a ....... n K b1 b2 b3 bn
S.R.G.E. c ontinuas ontinuas
Se cumplirán las s iguientes propiedades: propiedades: 1.
Tienen la siguiente forma:
(Suma (Suma de Antec Anteced eden ente tes) s) K (Suma Suma de Cons Consecu ecuent entes) es)
Se observa que: d = ek ek ; c = ek ek 2 ; b = ek 3 ; a = ek 4
O sea:
ab k 2 a k 2 bc c
a1 a2 ... an a1 2a3 a4 a2 K b1 b2 ... bn b1 2b3 b 4 b 2
2.
bcd k 3 b k 3 cde e
(Produ Producto cto de Anteced Antecedent entes) es) K r (Product Producto o de Consec Consecuent uentes) es)
abcd 4 k bcde
Donde "r" indica el número núm ero de razones consideradas para el producto. O sea: a1a2 K 2; b1b2
a b c d K b c d e
a3a5 K 2; b 3b5
a 4 k e
a1a6 K 2 b1b 6
Relación de términos extremos
problemas resueltos Problema 1 Tres Tres números A, B, C están en relación directa a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos números respectivamente 130, 260 y n, la nueva relación directa es como a 13, 17 y 19. Determine n. UNI 2010 - II A) A ) 390 39 0 B) 650 65 0 C) 910 D) 1 17 0 E ) 1 43 0 Resolución: Ubicación de incógnita Se pide hallar el valor de n.
Análisis de l os datos o gráficos Sean: A = 5 k; B = 7 k; C = 11 k Operación del problema Tal que: 5 k + 130 7 k + 260 11 k + n = = 13 17 19
7 (5 k + 130) 5(7 k + 260) 11(7 k + 260) 7(11 k + n) = = = 7 13 5 17 11 17 7 19 -
Se obtiene: 910 1300 2860 7n 91 85 187 133
Operación del problema
390 2860 7n
5 9 9 50 27 x 3 9 x 10 x 23
6 54 Conclusión y respuesta
n 910
Respuesta: C) Respuesta: C)
910
23
Problema 3
Problema 2 a1 a2 a3 Si se cumple: K donde En una biblioteca municipal existen en b1 b 2 b 3 total 72 libros de matemática y literatura, K es un entero positivo, y que: los que están en relación de 5 a 3 a1 a22 a32 respectivamente. El número de libros 6 b1 b 2 b 2 de literatura que deben agregarse para 2 3 que la relación sea de 9 a 10 es: entonces el valor de K es: UNI 2010 - I UNI 2008 - I A) A ) 21 B) 22 C) 23 A) A ) 1 B) 2 C) 3 D) 2 4 E) 25 D) 4 E) 5 Resolución: Ubicación de incógnita Número de libros de literatura que se agregan: "X".
Análisis de l os datos o gráficos # de libros de Matemática : 5 k # de libros de Litera Literatura tura : 3 k TOTAL : 8 K = 72
Resolución: Nos piden "K" ; K
Dato inicial: a1 a2 a3 K b1 b 2 b 3 2 2 a1 a2 a3 6 b1 b 2 b 2 2 3 K + K 2 = 6 K (K + 1) = 6 K = 2 K = –3
Luego:
K 2 9
Respuesta: B)
2
RAZONES
Exigimos más! Propiedades de una S.R.G.E. Siendo en general una serie de la forma:
a1a2a3 a a a (a )3 K 3; 2 5 6 K 3 ; 2 K 3 b1b2b3 b2b5b6 (b ) 3
2
a1 a2 a3 a ....... n K b1 b2 b3 bn
S.R.G.E. c ontinuas ontinuas
Se cumplirán las s iguientes propiedades: propiedades: 1.
Tienen la siguiente forma:
(Suma (Suma de Antec Anteced eden ente tes) s) K (Suma Suma de Cons Consecu ecuent entes) es)
Se observa que: d = ek ek ; c = ek ek 2 ; b = ek 3 ; a = ek 4
O sea:
ab k 2 a k 2 bc c
a1 a2 ... an a1 2a3 a4 a2 K b1 b2 ... bn b1 2b3 b 4 b 2
2.
bcd k 3 b k 3 cde e
(Produ Producto cto de Anteced Antecedent entes) es) K r (Product Producto o de Consec Consecuent uentes) es)
abcd 4 k bcde
Donde "r" indica el número núm ero de razones consideradas para el producto. O sea: a1a2 K 2; b1b2
a b c d K b c d e
a3a5 K 2; b 3b5
a 4 k e
a1a6 K 2 b1b 6
Relación de términos extremos
problemas resueltos Problema 1 Tres Tres números A, B, C están en relación directa a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos números respectivamente 130, 260 y n, la nueva relación directa es como a 13, 17 y 19. Determine n. UNI 2010 - II A) A ) 390 39 0 B) 650 65 0 C) 910 D) 1 17 0 E ) 1 43 0 Resolución: Ubicación de incógnita Se pide hallar el valor de n.
Análisis de l os datos o gráficos Sean: A = 5 k; B = 7 k; C = 11 k Operación del problema Tal que: 5 k + 130 7 k + 260 11 k + n = = 13 17 19
7 (5 k + 130) 5(7 k + 260) 11(7 k + 260) 7(11 k + n) = = = 7 13 5 17 11 17 7 19 -
Se obtiene: 910 1300 2860 7n 91 85 187 133
Operación del problema
390 2860 7n
5 9 9 50 27 x 3 9 x 10 x 23
6 54 Conclusión y respuesta
n 910
Respuesta: C) Respuesta: C)
910
23
Problema 3
Problema 2 a1 a2 a3 Si se cumple: K donde En una biblioteca municipal existen en b1 b 2 b 3 total 72 libros de matemática y literatura, K es un entero positivo, y que: los que están en relación de 5 a 3 a1 a22 a32 respectivamente. El número de libros 6 b1 b 2 b 2 de literatura que deben agregarse para 2 3 que la relación sea de 9 a 10 es: entonces el valor de K es: UNI 2010 - I UNI 2008 - I A) A ) 21 B) 22 C) 23 A) A ) 1 B) 2 C) 3 D) 2 4 E) 25 D) 4 E) 5 Resolución: Ubicación de incógnita Número de libros de literatura que se agregan: "X".
Análisis de l os datos o gráficos # de libros de Matemática : 5 k # de libros de Litera Literatura tura : 3 k TOTAL : 8 K = 72
Resolución: Nos piden "K" ; K
Dato inicial: a1 a2 a3 K b1 b 2 b 3 2 2 a1 a2 a3 6 b1 b 2 b 2 2 3 K + K 2 = 6 K (K + 1) = 6 K = 2 K = –3
Luego:
K 2 9
Respuesta: B)
2
ARITMÉTICA
PROPORCIONES DESARROLLO DEL TEMA PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. A.
Proporción aritmética aritmética
Importante Observamos que hay 2 antecedentes (30 L y 20 L) al igual que 2 consecuentes (18 L y 12 L). Interpretación "30 L y 18 L están en la misma misma proporción proporción que 20 L y 12 L respectivamente". "30 y 18 están en la proporción de 5 a 3 respectivamente". "30 y 18 son proporcionales a 5 y 3 respectivamente". respectivamente". "30, 18, 52 y 40 forman una proporción geométrica".
Ejemplo:
Observación:
Importante Observamos que hay 2 antecedentes (30 L y 52 L) al igual que 2 consecuentes (18 L y 40 L). Interpretación "30 L excede a 18 L tanto como 52 L excede a 40 L" "30, 18, 52 y 40 forman una proporción aritmética".
B.
Prop Proporc orció ión n ge geom omét étri rica ca
Ejemplo:
20 18 de Producto de términos medios
Aplicación Aplicación Si 30, 40, m y 12 forman una proporción geométrica, calcule el valor de m. Clases de proporciones • Continua: Continua: Los términos medios son iguales. • Discreta: Discreta: Los términos medios son diferentes.
Observación: 30 40 Suma de términos extremos
30 12 de Producto de términos extremos
52 18
Suma de términos medios
En resumen:
PROPORCIONES
Exigimos más! Aplicación Aplicación Calcule la diferencia entre la media diferencial de 22 y 18 y la tercera proporcional de 32 y 24.
pq q pq mn m p 2m n 2p q 3n 3q 3m 2n 3p 2q m n pq mn n
Propiedades Propiedades de la proporción geométrica Sea la proporción:
m p n q
Aplicación Aplicación Entonces se pueden formar las siguientes proporciones:
Si
x y 11 , calcule el valor de x/y.. xy 7
problemas resueltos Problema 1 En una proporción geométrica de razón 5/4, la suma de los términos es 45 y la diferencia de los consecuentes es 4. Halle el mayor de los términos de la proporción. UNI 2012 - I A) A ) 12 B) 15 C) 1 6 D) 1 8 E) 20 Resolución: Ubicación de incógnita Pide el mayor término de la proporción
geométrica de razón
5 . 4
Conclusiones y respuesta El mayor término es 15. Respuesta: B) 15
5 4 Suma de términos = 45 Diferencia de consecuentes = 4
Operación del problema
Respuesta: C) 14
Problema 3 Problema 2 Se tiene cuatro números, tales que, a c k Se da la proporción con los tres primeros están en progresión c d geométrica y los tres últimos en pro2b – d 0, además se sabe que: gresión aritmética de razón seis; sindo a 1 c 2 el primer número igual al cuarto. La b 3 d6 suma de los cuatro números es: UNI 2003-II Entonces K vale: A) A ) 22 B) 18 UNI 1995-II C) 1 4 D) 1 6 Nivel fácil E) 2 0 A) A ) 1/5 1/ 5 B) 1/4 1/ 4 C) 1
Análisis de l os datos o gráficos Datos: Razón =
Luego: los números son: 8, –4, 2, 8 La suma será: 14
Resolución: Según enunciado: a, b, b + 6, b + 12
Luego: a = b + 12 ...
D) 1 / 2
Resolución: a c k; 2b d 0; a bk; c dk b d
Reemplazando: a 1 c 2 b3 d6
b2 a b 6 .. ....
Sea la proporción: 5a 5b (*) 4a 4b
E ) 1/ 1/ 3
5a 4a 5b 4b 45 a b 5 a 3 a b 1 b 2 4a 4b 4
De en : b b 12 12 b 6
3k(2b – d) = (2b – d)
Reemplazando en (*) tenemos:
b2 b2 18b 72 18b = – 72
k = 1/3
15 10 12 8
2
b = – 4; a = 8
bdk + d + 6bk + 6 = bdk + 2b + 3dk + 6
Respuesta: E) 1/3
ARITMÉTICA
MAGNITUDES PROPORCIONALES DESARROLLO DEL TEMA I.
NOCIONES PREVIAS
Ejemplo:
A. Magnitud Es toda cualidad de la materia que pueda experimentar variación, en nuestro caso estudiaremos la magnitudes matemáticas que serán aquellas susceptibles a medición. B. Cantidad Es el valor que toma una magnitud en un determinado instante, generalmente se expresa como un valor numérico acompañado de cierta unidad de medida.
Andrea compra en la panadería 10 panes con S/. 2, manteniendo el precio del pan constante se podría afirmar:
Se observa:
Ejemplos: Magnitud
Cantidad 4 h ;20min 5 m ; 80 km 37C ; 3 00 k
Tiempo Longitud Temperatura Volumen 60 m3 ; 4 Número de alumnos 50 alumnos
En ambos casos varía en la misma proporción. Luego: (N panes) DP(Costo)
II. RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES En este capítulo estudiaremos el comportamiento de dos magnitudes que guardan cierta relación de dependencia entre sí: relación directa o relación inversa. A. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.) Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor de una de ellas entonces el valor de la otra aumente o disminuya respectivamente en la misma proporción. Se cumple que el cociente de sus respectivos valores es constante.
(N panes) K (costo) K : constante
En el ejemplo: 10 30 15 20 5 2 6 3 4 constante
En general Sean las magnitudes A y B: A DP B
(Valor de A) K (valor de B) K : constante
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! Observación:
El comportamiento de las magnitudes del ejemplo anterior también se puede representar gráficamente. Se observa:
En ambos casos la proporción se invierte. Luego: (Velocidad)I.P. (tiempo) (Velocidad) (tiempo) h h: constante
• La gráfica correspondiente a dos magnitudes directamente proporcionales corresponden a puntos sobre una recta que pasa por el origen (si la variable es discreta) o un segmento de la recta (si la variable es continua).
En el ejemplo: 10 6 30 2 15 4 20 3 60 constante
En general: • En cualquier punto de la recta el cociente entre los valores de sus coordenadas es constante. 10 15 20 30 f(x) k 2 3 4 6 x constante
Luego:
Sea las magnitudes M y N.
Sean las magnitudes M y N M IP N
Valor Valor de M de N h
h : constante Observación:
f(x) = K f(x)=k x x K :constante
Función de proporcionalidad directa
El comportamiento de las magnitudes en el ejemplo anterior también se puede representar gráficamente.
B. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor de una ellas entonces el valor de la otra disminuya o aumenta respectivamente y la proporción se invierta. Se cumple que el producto de sus respectivos valores es constante.
Ejemplo: David es un ciclista que recorre a diario una distancia de 60 km como parte de su entrenamiento, con respecto al comportamiento de su velocidad y el tiempo empleado en los últimos cuatro días, se puede afirmar:
La gráfica correspondiente a dos magnitudes inversamente proporcionales corresponde a puntos sobre un ramal de hiperbole equilátera (si la variable es discreta) o dicho ramal (si la variable es continua). En cualquier punto del ramal de hiperbole equilátera, el producto de coordenadas es constante. 2 × 30 = 3 × 20 = 4 × 5 = 6 × 10 = x . f(x)
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! C. Propiedades Sean las magnitudes A, B, M y N.
I.
II.
III.
A DP B B DP A M IP N N IP M
A DP B AK DP BK M IP N MK IP NK
KQ
A DP B A IP 1 B 1 M IP N M DP N
Ejemplo: Sean las magnitudes A, B, C, D y E. • Elegimos "A" como magnitud referencial. • Comparamos "A" con las demás magnitudes. A DP B; cuando C, D y E son constantes. A IP C; cuando B, D y E son constantes. A IP D; cuando B, C y E son constantes. A DP E; cuando B, C y D son constantes. • Finalmente la relación será: A C D K BE constante
III. REGLA DE TRES A. Directa La regla de tres directa es un procedimiento de calculo que consiste en: dadas dos cantidades correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes que corresponde a una determinada cantidad de la otra magnitud.
ab a b a ' x a ' x
La regla de tres directa se basa en el hecho de que, cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón de dos cantidades de una de ellas es igual a la razón de las dos cantidades correspondientes de la otra. B. Inversa La regla de tres inversa es un procedimiento de cálculo que consiste en, dadas dos cantidades correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estás magnitudes que corresponde a una determinada cantidad de la otra magnitud. ab a x a ' x a ' b La regla de tres inversa se basa en el hecho de que, cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón de dos cantidades de una de ellas es igual a la razón inversa de dos cantidades correspondientes de la otra.
C. Compuesta En la realidad, la relación de proporcionalidad no tiene por qué afectar exclusivamente a dos magnitudes, sino que puede suceder que una magnitud esté relacionada proporcionalmente con otras varias.
En este caso, los problemas se resuelven mediante la aplicación de la denominada "regla de tres compuesta". La regla de tres compuesta es un procedimiento de cálculo cuyo objeto es hallar una cantidad de una determinada magnitud a partir del conocimiento de otras cantidades correspondientes a magnitudes relacionadas con ella proporcionalmente. La practica de la regla de tres compuesta consiste en la aplicación simultanea de varias reglas de tres simples que puedes ser directas o inversas.
IV. REPARTO PROPORCIONAL Este capítulo estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores llamados "índices" de proporcionalidad. A. Reparto simple directo Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad. Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente: a) Se suman los índices. b) Se divide la cantidad a repartir entre dicha suma, siendo el cociente la "constante" de proporcionalidad (K). c) Los partes se obtienen multiplicando cada "índice" por la constante de proporcionalidad (K).
Ejemplo:
Paso 2: 25 K = 750 K = 30 Paso 3: 6 x 30 = 180 7 x 30 = 210 12 x 30 = 360 Propiedad Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número entonces el reparto no se altera.
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! Ejemplo: En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6, 7 y 12 se obtuvieron como resultado 180, 210 y 360… pero… ¿Qué pasaría si se reparte la misma cantidad D.P. a 6 x 2, 7 x 2 y 12 x 2? Veamos… D.P.
750
=
6x2
=
12 x 15
=180
7x2
=
14 x 15
=
12 x 2
=
24 x 15 50k
C. Reparto compuesto En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera:
Son las mismas partes.
210 =
Luego: 15 x 18 = 270; 10 x 18 = 180; 5 x 18 = 90; 3 x 18 = 54
a) Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices). b) Se multiplican los índices de las dos relaciones D.P. c) Se efectúan un reparto simple directo con los nuevos índices.
360 50k k
= =
750 15
Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.
B. Reparto simple inverso Se hace en forma I.P. a los índices para ello se invierten los índices y luego se efectúan un reparto directo, como ya se conoce.
Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P. a 2, 3, 6 y 10.
Luego: 12 k = 12 x 36 = 432 6 k = 6 x 36 = 216
problemas
resueltos
Problema 1 Análisis de los datos o gráficos Para pintar el Estadio Nacional se con8 10 días, tratan 8 personas que afirman pueden personas 8 h/d terminar la obra en 10 días, laborando a 8 horas diarias. Al terminar el quinto a b día de trabajo se decide incrementar 8 personas (8+x)personas la jornada a 10 horas diarias y contra5 días 2días tar más personas para culminar el res8h/d 10h/d to de la obra en 2 días. Calcule la cannormalmente 8 tidad de personas que se deben conpersonas 8h/d tratar en forma adicional. culminarían en UNI 2010-II 5 días A) 8 B) 10 Operación del problema C) 12 D) 14 Se cumple para la obra "b": E) 16 (8 x) 2 10 8 8 5 Resolución: Ubicación de incógnita
Piden: Cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional (x)
Problema 2 Tres socios A, B, C deberían repartirse una utilidad de M dólares proporcionalmente a sus edades, las cuales son x del socio A, (x – 3) del socio B y (x – 6) del socio C. Como el reparto se realizó un año después, calcule la cantidad que recibe el socio que más se perjudica. UNI 2009-II
B)
M(x 2) x 1
M(x 3) x 1
D)
M(x 1) x 3
C)
Conclusión y respuesta x 8
Respuesta: A)
M(x 1) A) 3(x 2)
8
M(x 1) E) 2(x 3)
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! Resolución:
Z ax 2
Ubicación de incógnita
Problema 3
Se pide hallar lo que recibe el socio que más se perjudica.
De las magnitudes Z, W, X, se sabe que Z es directamente proporcional a X 2 y W es inversamente proporcional a X 2. Si N = Z + W y X = 1 implica que N = 6; X = 0,5, implica que N = 9. Determínese N si X 2 .
Análisis de los datos o gráficos El más perjudicado es el socio A, pues es el mayor de todos ellos. Operación del problema Dentro de 1 año:
A) 6 C) 9
A B C A (x 1) (x 2) (x 5) x 1
E) 12
M A 3x 6 x 1
Resolución:
M(x 1) 3(x 2)
b x2
Operación del problema
UNI 2008 - II Además N = Z + W Para X = 1: 6 = a + b
Para X =
D) 10
1 a :9= + 4b 2 4
Resolviendo: a = 4, b = 2 Cuando X 2 , reemplazando:
Ubicación de incógnita Nos piden hallar N para X 2 .
N4
Análisis de los datos o gráficos M(x 1) Respuesta: A) 3(x 2)
W
B) 8
A B C k x 1 x 2 x 5
A
Dado que W IP X 2, entonces WX 2 = b
Dado que Z DP X 2, entonces
Z X2
a
2
2
2 2
9
2
Respuesta: C) 9
ARITMÉTICA
TANTO POR CIENTO DESARROLLO DEL TEMA
I.
REGLA DEL TANTO POR CUANTO A. Concepto
Es un procedimiento aritmético que nos permite determinar que "TANTO" (parte) representa una cantidad con respecto a un todo "CUANTO".
II. REGLA DEL TANTO POR CIENTO La idea consiste en dividir una cantidad en 100 partes iguales y luego tomar de ellas tantas partes como se indique:
a por ciento : a% a 100 Ejemplos:
Ejemplo: En cierta panadería, por cada 20 panes que se compra obsequian 3. Si compro 80 panes; ¿cuántos me regalan? Resolución:
• 20 por ciento: 20% 20 1 100 5 150 3 • 150 por ciento: 150% 100 2 400 4 • 400 por ciento: 400% 100
Obsequian 3 por cada 20 < > el 3 por 20
Observación:
Tanto por Fracción ciento o entero
En general: a El a por b de N : N b Tanto cuanto
Ejercicios • El 4 por 7 de 63: ................................... •
2 El 3 por 4 de los de 720 ..................... 5
B. Casos particulares del tanto por cuanto
• Tanto por ciento (%) a por ciento: a%
• Tanto por mil o oo b por mil: b o oo
a 100 b 1000
Ejemplo: El 20% de 300 es 20% 300 20 300 60 100
En general El a% de N: a% N a N 100 Ejercicios • El 40% de 7000: ________________________ ________ ________ ___ ___ ______ ______ ____ • El 30% de 80: __________________________ ________ ________ ___ ___ ______ ______ ____ • El 20% del 75% del 50% de 16 000: _________ ________ ________ ___ ___ ______ ______ ____
TANTO POR CIENTO
Exigimos más! A. Equivalencias
1.
De tanto por ciento a fracción o entero 10% 10 1 Décima parte 100 10 20% 20 1 Quinta parte 100 5 25% 25 1 Cuarta parte 100 4
100% 100 1 Total 100
Forma práctica Cantidad inicial: "N" Luego del aumento y disminución: + 30% – 20% Queda: N × 130% × 80% = 104% N
De fracción a tanto por ciento
Respuesta: 104%
50%
2.
50 1 La mitad 100 2
Luego: 130% N – 26% N = 104% N Respuesta: 104% de la cantidad inicial.
1 1 1 1 100% 25% 4 4 4 7 7 100% 35% 20 20 •
¿Qué tanto por ciento es 6 de 15? ___________________________________ ___________________________________
•
¿De qué número, 36 es su 80%? ___________________________________ ___________________________________
•
En un aula hay 24 varones y 16 mujeres, calcule: a) ¿Qué tanto por ciento son los varones del total? b) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres? c) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres de los varones?
B. Operaciones con el tanto por ciento Aplicados sobre una misma cantidad.
1 . Ad ición 20% A + 30% A = ___________________ 120% B + 45% B = ___________________
Ejercicios • Un artículo se ofrecía en una tienda en S/. P; si el vendedor realiza dos rebajas sucesivos del 20% y 10%. Calcule la rebaja única equivalente a estas dos rebajas sucesivas. ___ _______ _________ __________ ______ _ ___ _______ _________ __________ ______ _ ___ _______ _________ __________ ______ _ •
Calcule el aumento único equivalente a tres aumentos sucesivos del 50%, 20% y 25%. ___ _______ _________ __________ ______ _ ___ _______ _________ __________ ______ _ ___ _______ _________ __________ ______ _
D. Aplicaciones comerciales
Ejemplo: El comerciante Alejandro Chumpitáz adquiere instrumentos musicales al por mayor en una fábrica, al verificar el costo de un solo saxofón sería $500; él lleva a su tienda los instrumentos y ofrece el saxo en $800, pero al momento de la venta realiza una rebaja del 25%. ¿Cuánto ganó dicho comerciante en la venta del saxo? Resolución:
N + 30% N = ________________________ Aumento o incremento:300
2. Sustracción 40% A – 10% A = _____________________
G=100
D=25% 800=200
N – 25% N = _________________________
Ganancia
Rebaja Descuento
C. Aumentos y disminuciones
Si a una cantidad se le aumenta e l 30% y luego de la nueva cantidad se le disminuye su 20% entonces se obtiene:
PC=500 compra
P V=600 vende
Respuesta: ganó $100
PF=800 ofrece
TANTO POR CIENTO
Exigimos más! Se observa:
La ganancia líquida sería de $70 y ya no $100. PC G PV
GNeta (Gastos) GBruta
PF D PV PC (incremento) PF
2. Cuando la ganancia, perdida o incremento se expresen en tanto por ciento y no se mencione respecto de quien, se debe considerar que es respecto del precio de costo.
P V: Precio de venta PC: Precio de costo PF: Precio fijado o precio de lista. Observaciones:
Ejemplo:
3. Cuando la rebaja se exprese en tanto por ciento y no se mencione respecto de quien, se debe considerar que es respecto del precio de lista.
Si en la aplicación planteada mencionaban gastos de $30 por mantenimiento, entonces
4. En casos de pérdida (P V < PC).
1. Cuando se mencionen gastos o impuestos.
GBruta =100
Pérdida PC
P V GNeta=70 Gastos=30
P V =600
PC =500
problemas
UNI 2010 - I 100 (100 r)
B)
r 100 100r
C)
(100 r) r
D)
E)
Precio de Precio de = costo venta S/. X
Al venderse se hizo una rebaja del 10% del precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó? A) 15% B) 12% C) 17% D) 20% E) 7% Resolución: Sea el precio de costo: 100 K
1 = (1 + r%)(1 – p%) Operando: p
1 0,01 1 r
Análisis de los datos o gráfic os Se aumentó (r%) y luego le rebajaron (p%), quedando al final:
Operación del problema Entonces: X = (1 + r%)(1 – p%)X
1 0,01 1 r
PC – (Pérdida) PV
PF =800
resueltos
Problema 1 Un libro se ofrece en venta recargándose el r por ciento del precio del costo, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por ciento. Si el vendedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron al estudiante?
A)
D=200
Resolución: Ubicación de incógnita
Cuánto le rebajaron al estudiante.
1 0,01 1 r
Nota: La respuesta se asumirá por cada 100 unidades monetarias.
Respuesta:
Se observa: G = 17 K Nos piden:
17 K 100% 17% 100K
1 0,01 1 r
Problema 2 Para fijar el precio de venta de un art ículo se aumentó su costo en 30%.
Respuesta: C) 17%
Problema 3 Una tienda vende un producto haciendo descuentos primero uno de 15% y luego otro de 15%.
TANTO POR CIENTO
Exigimos más! Una segunda tienda, que tiene el mismo producto y al mismo precio de lista, realiza un descuento del 30%. ¿Cuánto de descuento (en %) o de incremento (en %) debe efectuar la segunda tienda para que en ambas tiendas el producto tenga el mismo precio final? La respuesta aproximada es: UNI 2007 - I
Resolución:
•
Sea el precio del producto: P
1° Tienda: 2 descuentos suceviso del 15% y 15% •
PF 85% 85% P 1
289 P 400
A) Descuenta 3,2% B) Incrementa 3,2%
2° Tienda:
C) Descuenta 6,4%
Un descuento único del 30%
D) Incrementa 6,4% E) Incrementa 5,2%
•
PF 70% P 7 P 280 P 2 10 400
Como: PF PF ; entonces debe incre2 1 mentarse en la 2. a tienda para que ambas tiendas tengan el mismo precio final. •
PF 280 P 2 400
El incremento sería: PF PF 9 P 1 2 400 x% 280P 9P 400 400
x% 3, 2% Respuesta: B) 3,2
ARITMÉTICA
REGLA DE INTERÉS DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN Es un procedimiento aritmético que nos permite obtener la ganancia (interés) generada a partir de cierta suma de dinero bajo ciertas condiciones financieras o comerciales. Ejemplo: David, luego de recibir su primer sueldo de $ 500 acude a un banco a depositarlo, en dicho banco le ofrecen devolverle $ 600 si deja su dinero por un año, analizar e identificar los elementos que intervienen . Resolución: C : capital r%: tasa de interés I : interés
Tasas equ ivalentes x2 2% mensual
x3 x12
4% bimestral 6% trimestral 24% anual
t: tiempo M: monto
Se observa: Se gana 100 de 500 en un año r% 20%
•
anual
A continuación detallaremos con mayor precisión las características de los elementos que intervienen en la regla de interés.
II ELEMENTOS A. Capital (C) Es la suma de dinero o bien material que se va a prestar, depositar o alquilar por determinado periodo de tiempo. B. Tiempo (t) Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer el capital. C. Tasa de interés (r%) Nos indica que tanto por ciento del capital se va a ganar al cabo de cierto periodo de tiempo ya especificado. Ejemplo: 20% anual significa que cada año se va a ganar el 20% del capital.
D. Interés (I) Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce o genera el capital al cabo de cierto tiempo y bajo ciertas condiciones previamente establecidas. E. Monto (M) Es el acumulado del capital con el interés generado.
M CI Observación: En este capítulo estudiaremos tres clases de interés: Simple, compuesto y continuo.
III. INTERÉS SIMPLE Es cuando el interés generado no se acumula al capital, sino hasta el final del proceso de préstamo; es decir el capital permanece constante durante todo el periodo de imposición. Se cumple: (Interés) DP (tiempo) Ejemplo 1: Andrea deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagará una tasa del 10% anual. Si ella retira su dinero al cabo de 3 años, calcule el interés generado. Respuesta: _______ Se cumple: I= C × r% × t
M = C × (1 + r% × t)
r% y t en las mismas unidades.
REGLA DE INTERÉS
Exigimos más!
III. INTERÉS COMPUESTO
IV. INTERÉS CONTINUO
Es cuando el interés generado en cierto periodo de tiempo se acumula al capital anterior formando así un nuevo capital, para el periodo siguiente y así sucesivamente. Dichos periodos se denominan periodos de capitalización. Cuando se aplique interés compuesto, el capital no permanece constante pues se va incrementando con cada capitalización.
Es un caso particular del interés compuesto, en el cual los periodos de capitalización se hacen cada vez más pequeños que podría suponerse una capitalización instantánea; es decir el número de periodos tiende a infinito esto ocurre cuando el tiempo de capitalización tiende a cero, por ello que el monto cuando se considere interés continuo se calcula como un límite.
M C L im 1
Ejemplo 2: Andrea deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagará una tasa del 10% anual, capitalizable anualmente. Si ella retira su dinero al cabo de 3 años, calcule el interés generado.
n
r% n
nt
Luego se deduce que el monto con interés continuo que se obtiene al depositar un capital de S/. C a una tasa del r% y durante un tiempo t es: M = C × er% x t
Respuesta: ________ Donde:
Se cumple:
e base de los logaritmos neperianos r% y t en las mismas unidades.
M = C × (1 + r%) t
problemas
resueltos
Problema 1 En la cuenta de ahorros del banco A se remuneran los depósitos con 1,5% de interés anual, libre de mantenimiento, pero no se remuneran los primeros S/. 500 de la cuenta. El banco B paga 1% de interés y cobra S/. 1 por mantenimiento en el mismo periodo. Si Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo y Dernaldo tienen respectivamente S/. 1250, S/. 2130, S/. 4320 y S/. 7450, ¿cuántos de ellos deberían depositar su dinero en el banco A para obtener mayor beneficio en un año? UNI 2011 - I A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Resolución: Ubicación de incógnita N = cantidad de personas que les favorece depositar en el banco A.
Análisis de los datos o gráficos Capitales: Arnaldo (A): S/. 1250 Bernaldo (B): S/. 2130 Cernaldo (C): S/. 4320 Dernaldo (D): S/. 7450
Beneficios: Banco A: 1,5% libre de mantenimiento, sin considerar primeros S/. 500. Banco B: 1% y cobra S/. 1 de mantenimiento.
Problema 2 El plazo (en meses) al que debe imponerse un capital a una tasa de interés del 10% bimestral, capitalizable cuatrimestralmente, para que se i ncremente en un 72,8%, es: UNI 2010 - II
Operación del problema Sea el interés I. I = C x r% x t
Personaje
r A =1,5%
Capital
I A
depositado beneficiado 1250
750
11,25
2130
1630
24,45
Cernaldo
4320
3820
57,30
Dernaldo
7450
6950
104,25
Banco B Capital
rB=1,5% Mant.:S/.1
IB - S/.1
1250
12,50 - 1 =11,50
Bernaldo
2130
21,30 - 1 = 20,30
Cernaldo
4320
43,20 -1 = 42,20
Dernaldo
7450
74,50 - 1 = 73,50
Arnaldo
D) 9
Resolución:
Piden: El plazo (en meses) al que debe imponerse un capital.
beneficiado
Personaje
C) 6
Ubicación de incógnita
Bernaldo
Arnaldo
B) 4
E) 12
Banco A Capital
A) 3
Comparando las columnas I A; IB – 1 se escoge cuando: I A > IB – 1 Cumplen: Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo.
Análisis de los datos o gráficos •
Tasa: 10% bimestral < > 20% cuatrimestral.
•
Capitalizable cuatrimestralmente.
•
Monto = C + 72,8%C = 172,8%C
Operación del problema Se cumple: M
=
C ( 1 + r %) n
3 personas. Respuesta: D)
3
172,8%C = C (1 + 20%) n
REGLA DE INTERÉS
Exigimos más! n
1728 120 n 3 1000 100
Resolución: Nos piden la tasa anual: x% anual
Otra forma Por proporciones: I 540 I 450 15 18
Conclusión y respuesta
3 periodos 3 4 12 meses Respuesta: E)
12 meses
Problema 3 El monto de un capital durante 1 año y 3 meses es S/. 2250 y durante 2 años y 9 meses es S/. 2790. Hallar la tasa de interés anual. A) 30% B) 40% C) 60% D) 20% E) 21%
Sabemos: M C (1 r% t)
x% 15 ...() 2250 C 1 12
x% 2790 C 1 33 ...() 12
Al dividir ( ) () x% 20%
C = 2250 – 450 = 1800 En los primeros 15 meses I = C x r% x t 450 1800 x% 15 12 x% 20% Respuesta: D) 20%
anual
ARITMÉTICA
REGLA DE DESCUENTO DESARROLLO DEL TEMA
I.
ELEMENTOS A. Letra de cambio o pagaré
Es un documento comercial, en el cual una persona (deudor) se compromete a pagarle a otra persona (acreedor) un dinero en una determinada fecha (fecha de vencimiento). B. Valor nominal (Vn)
Es la cantidad de dinero que está escrita y especificada en la letra de cambio; el deudor debe pagar esta cantidad en la fecha de vencimiento.
II. CLASES DE DESCUENTO A. Descuento comercial (Dc), externo o abusivo
Se calcula respecto al valor nominal.
Dc Vn.r%.t ... (I)
Vac: valor actual comercial Al reemplazar (I) en (II):
C. Descuento (D)
Es la cantidad que se le disminuye a la letra de cambio, cuando es pagado con anticipación a su vencimiento. D. Valor actual (Va)
O llamado valor efectivo, es el valor que toma la letra de cambio al momento de ser cancelado. E. Tiempo de descuento (t)
Es el periodo desde el momento en que se cancela la deuda hasta la fecha de vencimiento. Esquema
Vac Vn – Dc ... (II)
Vac Vn(1 r%t) Ejemplo 1:
Félix tiene una deuda de S/. 1200, si decide cancelar dicha deuda 5 meses antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 4% mensual. Identifique los elementos que intervienen y calcule el descuento comercial y cuanto se pagará por dicha letra. Resolución:
Vn = __________ t = ____________ r% = __________ Esquema
Tenemos: Va Vn – D Estudiaremos dos formas de hacer el calculo del descuento.
Dc = ___________
VaC = ___________
REGLA DE DESCUENTO
Exigimos más!
IV. CAMBIO DE LETRAS Es un procedimiento en el cual el deudor cambia una forma de pago por otra, considerando que no se perjudique el deudor ni el acreedor en el momento del intercambio, se cumple:
B. Descuento racional (DR); interno o matemático
Se calcula respecto al valor actual (Va)
DR VaR.r%.t (I)
VaR Vn. – DR (II)
DR : Descuento racional VaR : Valor actual racional
Suma de valores Suma de valores actuales del actuales del primer grupo segundo grupo de letras de letras
1.er Grupo de letras
Observación:
De (I) y (II) se puede despejar el valor actual racional respecto al valor nominal. (I) : DR = VaR . r% . t (II): VaR = Vn – DR
VnI
Vn2
VnII
Va1 Va2 Va3 VaI VaII
Vn 1 r%t
VaR
Vn1
Vn3
(I) en (II): VaR Vn – VaR .r%.t VaR .(1 + r%t) = Vn
2.o Grupo de letras
Ejemplo 2:
Si para el ejemplo 1, consideramos descuento racional, calcule el descuento y cuánto se pagó por dicha letra. Esquema
II. VENCIMIENTO COMÚN Es un caso especial de cambio de letras con tres condiciones: 1. Se cambian varias letras por una sola letra (letra única). 2. La suma de valores nominales del grupo de letras es igual al valor nominal de la letra única. Vn1 + Vn2 + Vn3 = Vn 3. Todos los descuentos son comerciales y a la misma tasa. Esquema
VaR = ____________
DR = _____________
III. PROPIEDADES Relaciona los descuentos para una sola letra de cambio.
Letra única Vn tv=?? Vn = Vn1 Vn2 Vn3
Vn1 t1 Vn2 t2 Vn3 t3
r% para todas las letras
Dc Vac
r% y t
Vn
VaR DR
Tenemos: Dc = Vn . r% . t DR = VaR . r% . t
Por ser cambio de letras se cumple: Va1 + Va2 + Va3 = Va Dc1
+
Dc2
+
Dc3
=
Dc
Vn1.r%t1 + Vn 2r%t2 + Vn 3r% t3= Vn . r% t v
Propiedad 1:
Dc DR VaR Vac
Propiedad 2:
Dc – DR DR .r%.t
Propiedad 3:
Vn
Dc.DR D c – DR
tv
Vn1.t1+Vn2.t2+Vn3.t3 Vn
Como Vn = Vn 1 + Vn 2 + Vn 3 Tenemos:
REGLA DE DESCUENTO
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1
Resumen
Indique la alternativa correcta después I. V II. F III. V de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: Respuesta: C) VFV I. La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional Problema 2 es igual al interés simple que gana Un empresario firma una letra por S/. 48 000 a ser pagada en 8 meses al el descuento racional. II. Valor actual de un descuento, es 7% de descuento anual. Luego de transigual al valor nominal más el des- curridos 3 meses decide cancelar la letra, pues debe viajar para radicar en cuento. Australia. Calcule la diferencia entre la III. Descuento es la rebaja que sufre cantidad que recibió y canceló el emel valor nominal de una transacción presario en nuevos soles, sabiendo que comercial, al ser efectiva, antes de el acreedor cobra una comisión del la fecha de vencimiento. 0,2% sobre el valor nominal, si se canUNI 2012-II cela al final. A) VV V B) VVF UNI 2011-II C) VFV D) VFF A) 740 B) 742 C) 744 D) 746 E) FVF E) 748 Resolución: Ubicación de incógnita
Resolución:
Dar el valor veritativo de las proposiciones I, II y III.
Ubicación de incógnita
Respuesta: C) 744
Problema 3
Un deudor tiene que pagar al banco tres letras. La primera de S/. 80 000 pagadera dentro de 30 días; la segunda de S/. 200 000 pagadera en 60 días y la tercera de S/. 400 000 con un plazo de 90 días. ¿Dentro de qué tiempo (en días) debe ser pagada una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las tres letras? Suponga que la tasa de interés es constante. UNI 2010-I
A) 70 días C) 72 días E ) 74 días
B) 71 días D) 73 días
Resolución:
Ubicación de incógnita
Tiempo de letra Única (t).
Operación del problema
I. Se sabe que: DC = Vnr%t .....(1) DR = VaR %t .....(2) Hacemos (1) – (2): DC – D R = Vnr%t – Va R r%t DC – D R = (Vn – VaR )r%t DC – DR = DR r%t
Conclusión y respuesta Piden: 46600 – 45760 96 744
Análisis de los datos o gráficos
(V)
II. Por definición: Va = Vn – D La proposición dice: Va = Vn + D (F)
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
–
Aplicación de fórmula, teorema o propiedad Va Vn x 1 – R% x t
III. Considerando que en la transacción comercial, el descuento se – Solución del problema aplica al documento, rebajándolo Va1 48000 1 – 7 x 8 45760 100 12 del valor nominal, al hacerla efecti va antes de la fecha de vencimien Va2 48000 1 – 7 x 5 46600 to (V). 100 12
Operación del problema
En vencimiento común, se cumple: 80000x30 200000x60 400000x90 680000 t 74,11... 74 días (Aproximado) t
Respuesta: E) 74 días
ARITMÉTICA
REGLA DE MEZCLA DESARROLLO DEL TEMA I. MEZCLA Es la unión de dos o más sustancias en cantidades arbitrarias, conservando cada una de ellas su propia naturaleza (peso, volumen, densidad, etc). Las mezclas se realizan generalmente con fines comerciales o para alterar la calidad de algunas sustancias.
B) El precio al cual debería venderse el kg de mezcla para obtener una ganancia del 20%. Resolución:
A)
Ejemplos: •
La gasolina es una mezcla de hidrocarburos.
•
Las joyas son la unión de metales preciosos con otros componentes que permitiran aumentar su durabilidad, pero en algunos casos disminuyen su calidad y costo (unión de metales "aleación").
•
En las bebidas alcohólicas debería verificarse su grado alcohólico antes de ingerirse pues hasta cierto grado alcohólico son permisibles para el consumo humano, si sobrepasan este grado podrían resultar dañinas.
Costo total (S/.): 5×6+25×12+20×16 = 650 Cantidad total (kg): 5+25 + 20 = 50 Pm Pm
(costo total) (cantidadtotal)
650 13 Pm S / 13 50
Respuesta: S/. 13
II. PRECIO MEDIO (PM) Es el precio de costo por unidad de mezcla, a dicho precio se le conoce también como "precio de equilibrio" pues no genera ni ganancia ni pérdida.
Nota: Si los 50 kg de mezcla se venden a P m = S/. 13 el kg, no se genera ni ganancia n i pérdida; pues se obtendría la misma cantidad de dinero, si se vende cada ingrediente por separado.
Ejemplo:
B) Se considera:
Un comerciante dispone de 3 bolsas que contienen cebada, con fines comerciales va a realizar una mezcla de las mismas de la siguiente manera:
Luego de mezclarlas, con res pecto a los 50 kg de mezcla obtenida, calcule: A) El precio de costo por kg (precio medio).
Precio Precio <> medio costo Nota: El precio medio se obtiene como un promedio ponderado, es por ello que debe estar comprendido entre el menor y mayor precio.
REGLA DE MEZCLA
Exigimos más! Luego:
Se considera: Grado o pureza de un alcohol (G°) El grado alcohólico o pureza nos indica que tanto por ciento de una mezcla alcohólica es el alcohol puro.
Pv = 13 + 20% 13 = 15,6
Ejemplo:
Respuesta: S/ 15,6
I) Se mezclan 12 litros de alcohol puro con 18 litros de agua. Calcule el grado de pureza de la mezcla.
Observaciones:
I)
Debido a que el precio medio no genera ni ganancia ni pérdida, debe cumplirse:
Ganancia aparente
=
Resolución :
Pérdida aparente
En el ejemplo: Respuesta: 40° En general En una mezcla alcohólica: Volumen de alcohol puro G x 100 Volumen total de la mezcla
II) Se tienen 80 litros de un alcohol de 70°, entonces:
G. A. = P. A 7(5) + 1(25) = 3(20) 60 = 60 II) En general, si mezclamos "n" ingredientes cuyas cantidades y precios son:
C1 + C2 + C3 + ... + C n Cantidad total P1 P2 P3 Pn Pm C P +C P + C P +... +C n Pn Pm = 1 1 2 2 3 3 C1 + C2 + C 3 ...+C n Pm es el precio ponderado de los precios unitarios Pm =
Volumen de alcohol puro 70% 80 = 56 Volumen de agua
30% 80 = 24
Ejemplo: Se mezclan 20 litros de un alcohol de 70° con 30 litros de otro alcohol de 80°. Calcule el grado alcohólico de la mezcla resultante: Resolución:
(Costo total) (Cantidad total)
III. MEZCLA ALCOHÓLICA Es un caso particular de una mezcla, donde las componentes son alcohol puro y agua.
Gm
70 20 80 30 76 20 30
REGLA DE MEZCLA
Exigimos más! Ley o pureza de una aleación
Observaciones:
I)
Se mezclan "n" alcoholes cuyos volúmenes. V 1
+
V 2
G1 Gm
+
G2
V 3
+...+
G3
En una aleación la ley nos indica que parte, fracción o porcentaje representa el metal fino en dicha aleación.
n
Gn
Gm
Ley =
(Peso metal fino) (Peso total de la aleación)
G1V1 G2 V2 G3 V3 ... Gn Vn V1 V2 V3 ... V3
Ejemplo: Se cumple: Ganancia aparente
=
Pérdida aparente
Se funden 12 gramos de plata con 8 gramos de zinc. Calcule la ley de la aleación resultante.
Resolución:
Además: menor grado
Gm
mayor grado
II) En el ejercicio anterior: Nota: El metal ordinario determina la liga en una aleación, nos mide la "impureza".
G.A. = P. A. 6° × 20 = 4° × 30 120° = 120° III) Cuando se mencione alcohol puro o agua sola: alcohol puro
(agua)
100º < > 100%
En el ejemplo anterior:
0º < > 0% Liga
8 0, 40 40% 20
ALEACIÓN Es la mezcla de dos o más metales mediante el proceso de fundición (proceso en el cual se unen los metales ya sea en estado líquido o gaseoso); por convención en los metales se considerará:
Observaciones I) Se funden "n" lingotes, cada uno con su respectiva ley:
REGLA DE MEZCLA
Exigimos más! Lm
W1L1 W2L 2 W3L3 ... Wn Ln W1 W2 W3 ... Wn
Se cumple:
Ganancia aparente
=
Pérdida aparente
Ejemplo: Si se tiene un lingote cuya composición es 15 gramos de oro y 5 gramos de cobre. ¿De cuántos kilates es dicho lingote?
Además:
Número de Kilates (k): Indica el tanto por 24 de metal fino que hay en la aleación. Peso de metal fino k 24 Peso de aleación También : k (Ley de milésimas) 24
menor ley
Resolución:
mayor ley
Lm
Ley + Liga = 1
II) En los casos en que se mencione metal fino u ordinario puros: metal fino metal ordinario
Ley 15 20
Ley = 1 ó 100% de pureza
Ley = 0 ó 0 % de pureza
problemas
N kilates
(N° kilates) = 18
24
Respuesta: 18 k
resueltos
Resolución:
Problema 1
A) 0,77 4 B) 0, 77 5
Se mezclan dos clases de café en la proporción de 1 a 2 y la mezcla se vende con un 5% de beneficio. Después se mezclan en proporción de 2 a 1 y se vende la mezcla con 10% de beneficio. El precio de venta es igual en ambos casos. Determine la relación de los precios de las clases de café.
C) 0, 77 7 D) 0, 77 8 E ) 0, 77 9 Resolución:
UNI Nivel fácil
A)
18 23
B)
20 23
26 C) 20
D)
20 26
12 E) 23
105%
a 32b 110% 2a3 b
L m 4L 5.1 0, 9 4 5
a 20 b 23
L = 0,775 Respuesta: B)
20 23
Respuesta: B) 0,775
Problema 3
Problema 2 Una aleación con un peso de 4 kg se funde con 5 kg de plata pura y resulta 0,9 de ley. ¿Cuál es la ley de aleación primitiva?
¿Cuál es la ley obtenida al fundir 20 gramos de oro de 18 kilates, 20 gramos de oro de 800 milésimos, 30 gramos de oro de 6 décimas y 30 gramos de cobre?
UNI
UNI
Nivel intermedio
Nivel difícil
REGLA DE MEZCLA
Exigimos más! A) B) C) D) E)
12,78 K 10,75 K 17,90 K 11,76 K 11,80 K
Ley
(Peso oro puro) (N kilates) (Peso total) 24
20 0, 75 20 0, 800 30 0, 6 30 0 20 20 30 30
L m 0, 49
Luego: Cobre
(N kilates) 24
(N° kilates) = 11,76 k
20 g + 20 g + 30 g + 30 g =
Resolución:
Recordar: cuando el oro es el metal fino.
Lm
Leyes:
18 =0,75 0,800 24
0,6
0
Lm
Respuesta: D) 11,76 k
ARITMÉTICA
ESTADÍSTICA DESARROLLO DEL TEMA I. PARTES DE LA ESTADÍSTICA A. Estadística descriptiva
Se encarga de recopilar, clasificar, analizar e interpretar datos. B. Estadística inferencial
Llamada también deductiva. Tiene por objetivo deducir leyes de comportamiento de una población a partir del estudio de una muestra.
II. CONCEPTOS DE TÉRMINOS USADOS EN LA ESTADÍSTICA A. Población
Conjunto de personas, elementos o unidades que presentan características comunes y observables, a ser analizados o estudiados y de los cuales se desea información, de acuerdo a un objetivo previamente establecido.
Ejemplo Nº1
En una posta médica de Lima se observa que en el presente mes se han atendido un grupo de 1200 personas de las cuales hemos recopilado una muestra de 20 edades, las cuales mostramos a continuación y en base a esta información luego procederemos a clasificarlos tomando como variable las mismas: 02; 09; 10; 12; 15; 17; 18; 20; 22; 25; 25; 26; 27; 27; 27; 32; 33; 34; 38; 42.
III. ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA A. Recopilación de datos
Los métodos más usados son los censos, encuestas y entrevistas. B. Organización de datos
Se organizan, clasifican y tabulan los datos de modo que facilite su presentación y posterior interpretación.
B. Muestra
Subconjunto de datos tomado dentro de la población y que van a ser seleccionados en forma adecuada de tal manera que represente en forma ob jetiva a la población. C. Variable
Es una característica de la población que interesa al investigador ya que le servirá como un indicador del objeto de estudio planteado y que puede tomar diferentes valores. Existen dos tipos: • Variables cualitativas • Variables cuantitativas
C. Presentación de datos
La representación se realiza principalmente a través de tablas o gráficos.
IV. ELEMENTOS DE UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Para el ejemplo N° 1: A. Alcance(A)
Intervalo cerrado en la cual se considera como límites al menor y mayor de los datos. Ejemplo:
A: [02; 42]
límite inferior
límite superior
ESTADÍSTICA
Exigimos más! B. Rango o recorrido (R)
Es la amplitud del alcance, se calcula como la diferencia del mayor y menor de los datos. Ejemplo: R = 42 – 2 = 40
G. Frecuencia absoluta simple(fi)
Es el número de datos contenidos en un determinado intervalo de clase. Se cumple: f1 f2 f3 ... fk = n
C. Intervalo de clase (Ii)
Es una clasificación de los datos en subgrupos. Ejemplo: Se podría tomar un intervalo I = [10: 20 , aquí estaran aquellas personas cuyas edades sean mayores o iguales a 10 pero menores que 20.
H. Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
Es la acumulación ordenada de cada una de las frecuencias absolutas simples. I. Frecuencia relativa simple (hi)
D. Número de clases (K)
Es el número de categorías o intervalos en el que se va a dividir la información. Regla de Sturges: K = 1 + 3,322logn n : número de datos
Ejemplo: K = 1 + 3,322 Log 20 = 5,32 Si K = 5,32, se recomendaría tomar 5 intervalos o un valor cercano que podría ser 4 ó 6. E. Amplitud o ancho de clase (W)
Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada intervalo. Ejemplo: En I2 = [10: 20 W = 20 – 10 = 10
Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el número total de datos. f h1= 1 h1 + h2 + h3 +...+ hk = 1 n J. Frecuencia relativa acumulada (Hi)
Es la acumulación de frecuencias relativas. "Por lo general las frecuencias la expresamos como un tanto por ciento".
V. GRÁFICOS O DIAGRAMAS A. Histograma
Son diagramas de barras o rectángulos, cuyas bases representan los intervalos de clase y las alturas, las frecuencias absolutas o relativas.
F. Marca de clase(Xi)
Es el punto medio de cada intervalo. xi
(Límite inferior) (Límite superior) 2
Ejemplo: En I2 = [10: 20 x2=
10+20 = 15 2
B. Diagrama escalonado
Las frecuencias absolutas o relativas pero acumuladas.
ESTADÍSTICA
Exigimos más!
Ejemplo: Sean números 6; 3 y 12. MA = 6+3+12 = 7 3 MG = 3 6 ×3×12 = 6 3 = 36 5,14 1+1+ 1 7 6 3 12 Se observa: MH =
C. Gráfico Circular
Llamado también de sectores o del Pastel. S e utiliza para comparar las partes con el total. Si de las 20 personas que se atendieron en la posta 4 se atienden en dental, 3 en pediatría, 8 en tópico y los 5 restantes en medicina general. N° de personas <> ángulo <>% 20 360° 100% 1 18° 5% 3 34° 15%
(menor dato) MH MG MA (mayor dato) B. Para datos clasificados
Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.
VI. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE I) Cuando se estudia el tema de promedios se indicó que era un valor representativo de un conjunto de datos, en esta primera parte en medidas de tendencia central, estudiaremos algunos de los promedios para datos no clasificados y clasificados. A. Para datos no clasificados
Sea un grupo de "n" datos: a 1, a 2, a 3,...an
1. Media aritmética MA,X
a + a + a + ...+ an X 1 2 3 n 2. Media geométrica
MG,XG
X G = n a1 × a2 × a3 ×...an 3. Media armónica (MH, X H )
XH =
n 1 + 1 + 1 + ...+ 1 a1 a2 a3 an
1. Media aritmética
X=
MA,X
xi × f i
n
= xi × hi
x f + x f +x f +x f +x f X= 11 2 2 3 3 4 4 55 n
2. Media geométrica (MG, X G )
f X G = n Xi i X G = n X1f1 × X 2f2 × X 3f3 × X f 44 × X5f 5
3. Media armónica MH, XH
n f XH = i xi
n
f1 + x1
f2 f 3 f 4 + + x2 x 3 x 5
ESTADÍSTICA
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VII.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
A. Para datos no clasificados
Sean un grupo de "n" datos: a1 , a2 , a3 ,..., an
A. Media aritmética ( MA , x )
Llamada también media o promedio aritmético. 1. Varianza (s2 ó 2 ) n
S2
n
2
xi2
xi x
i1
S
n
2 i1 x n
2
2. Desviación estandar (S ó ) B. Mediana (Me; Xm)
Es aquel valor que separa en 2 grupos de igual cantidad de datos.
n
i1
S
n
2
xi x n
S
x i2
i1
n
x
2
1. Para datos no clasificados
Se ordena los datos en forma creciente y luego: Si la cantidad de datos es impar, la mediana será el termino central. Si la cantidad de datos es par, la mediana será el promedio de los dos datos centrales.
B. Para datos clasificados
Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.
2. Para datos clasificados
Se emplea la siguiente relación: n F 2 me 1 W Me Lme f me
C. Moda (Mo)
Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos.
Calculamos la media (X) . Luego:
1. Para datos no clasificados
Se considera al valor mas repetitivo, que puede ser uno o mas valores.
1. Varianza S2 ó 2
2. Para datos clasificados
n
Se emplea la siguiente relación: Mo L mo
d1
d1 d2
S2
xi x
i1
2
fi
n
n
S2
xi2 fi
i1
n
x
2
xW 2. Desviación estandar (S ó )
VIII.MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión consisten en obtener medidas (valores) referenciales de un grupo de datos, que nos permitan medir que tan dispersos o alejados estan los datos con respecto a este valor de referencia.
n
S
2
xi x
i1
n
fi
n
S
x i2 fi
i1
n
x
2
ESTADÍSTICA
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problemas
resueltos
Problema 1
y tenemos
Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: I. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia acumulada del i–ésimo intervalo y el número total de datos. II. La mediana de un conjunto de n datos, es el valor que más veces se repite. III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los datos que representan las notas de un examen, entonces la desviación estándar es mayor que 1,7.
x 18 19 16 17 14 16, 8 5
UNI 2012-II
A) B) C) D) E)
VV V VVF FVV FFV FFF
Resolución:
2 2 2 2 2 18 19 16 17 14 – (16, 8)2 5
2, 96 1, 72046
Donde 1,7 Respuesta: D) FFV
Problema 2
El gráfico de barras representa los montos de inversión extranjera en millones de dólares en los últimos 4 años. De la información del gráfico se puede afirmar:
I. Falsa Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta simple del iésimo intervalo y el número total de datos. f hi i n
II. Falsa Porque la mediana de un conjunto de n datos es el valor que divide al conjunto de datos, previamente ordenados, en dos partes iguales.
Porque
I. Verdadero El porcentaje de crecimiento anual de la inversión en millones de dólares ha ido disminuyendo.
Respecto a lo anterior, se tiene lo siguiente:
Resolución:
III. Verdadera
A partir del gráfico, tenemos
I. El porcentaje de crecimiento anual de la inversión en millones de dólares ha ido disminiyendo. II. La inversión en millones de dólares ha crecido en un porcentaje constante. III. La inversión en el último año ha sido más del 100% de la inversión en el 1er año.
II. Falso La inversión en millones de dólares ha crecido en un porcentaje constante. III. Verdadero La inversión en el último año ha sido más del 100% de la inversión en el 1.er año.
Respuesta: D) VFV
Indique la alternativa que corresponde a la verdad o falsedad de las afirmaciones. UNI 2011-II
A) B) C) D) E)
VV V VVF VFF VFV FFV
Problema 3
La tabla muestra los valores y frecuencias de las notas de los alumnos de Álgebra. Con la información mostrada se puede afirmar: I. La media es menor que la mediana. II. La moda es mayor que la mediana. III. La media es mayor a 13.
ESTADÍSTICA
Exigimos más!
Moda: valor cuya frecuencia es la mayor de todas. UNI 2011-II
A) B) C) D) E)
VVV VVF VFF FFF FFV
De la tabla, hallaremos la media ( x ), la mediana (Me) y la moda (Mo) de las notas.
Mo = 16 (es el valor cuya frecuencia es 25, la mayor de todas las frecuencias). I. Verdadero La media es menor que la mediana porque x = 13,47 < Me = 14 II. Verdadero La moda es mayor que la mediana porque Mo = 16 > Me = 14 III. Verdadero
Resolución:
fi x i Recuerda que: Media f i
Donde: f i: frecuencia xi : valor Mediana: valor que ocupa el lugar central cuando todos los valores están ordenados.
x 2558 8101512 15 14 25 16 5 18 75 x 13, 47
Me = 14 (de los 75 valores, la mediana es aquel valor que ocupa el lugar 38, el cual corresponde a la nota 14).
La media es mayor a 13 porque x = 13,47 En consecuencia, las tres proposiciones son verdaderas. Respuesta: A) VVV
ARITMÉTICA
NUMERACIÓN DESARROLLO DEL TEMA El número surge con la necesidad del hombre de expresar o asociar una cantidad a los objetos o elementos que lo rodean. Por ejemplo, la ciencia a comprobado con sus descubrimientos de vestigios prehistóricos, dibujos en piedra con marcas y símbolos que reflejan una forma de conteo, es decir el hombre prehistórico ya tenía una noción de cantidad. Durante el transcurso de la historia, las culturas, imperios o naciones se han caracterizado por su particularidad en el estudio y representación de los números, tanto como su aplicación en las matemáticas, que permitieron en gran medida su avance tecnológico, científico, militar, económico; como han sido la cultura romana, egipcia, china, árabe, etc. En nuestro caso desde que somos niños nos enseñan en los colegios a escribir y pronunciar correctamente las letras (palabras) y los números (numerales), y muchas veces nos hemos preguntado ¿para qué?; por ejemplo, elegimos un alumno del aula y le hacemos las siguientes preguntas: Nombre Edad Peso Estatura Dirección de domicilio Teléfono Ahora analizamos, ¿cuántos números habrá utilizado en sus respuestas?
• •
La idea en su mente es el número. Si él coge una piedra y realiza marcas sobre la tierra indicando el número de manzanas que observa:
Representación: IIII IIII IIII, XIV, 14 , ... (Numeral) Se pueden utilizar
•
una o más cifras
•
Observación:
• •
Vemos la diferencia entre número (idea) y numeral (representación) pero es frecuente que en diversos libros o exámenes de admisión lo consideren lo mismo, por lo cual los estudiaremos en forma indistinta.
• •
A.
B.
C.
Número Es un ente matemático que nos da la idea de cantidad. Sirve para cuantificar los elementos de la naturaleza. Numeral Es la representación gráfica de un número. Ejemplo: XII, 347, ....... Cifras Es un símbolo que se utiliza para representar un número.
Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... cifras significativas
Analicemos el siguiente diagrama, un niño observa un árbol con catorce manzanas.
I.
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN Es un conjunto de principios que rigen la correcta representación y escritura de los numerales. Básicamente son dos los principios que necesitamos conocer. A. Principio del orden "Toda cifra en un numeral ocupa un lugar y posee un respectivo orden".
Ejemplo: 4
3
2
1
NUMERACIÓN
Exigimos más! B. Principio de la base Todo sistema posicional de numeración tiene una determinada base, la cual es un número entero que indica cuantas unidades de cierto orden son necesarias para formar una unidad en el orden inmediato superior. En forma práctica indica de cuanto en cuanto se están agrupando las unidades simples. En base 10: diez unidades de un determinado orden formarán una unidad del orden siguiente (superior).
Ejemplo: En el gráfico inicial, si el niño observa catorce manzanas, vamos a representarlas cada una por una bolita y luego por agrupación expresaremos en las bases diez, ocho, cinco y tres.
• Pasando 153 a la base 6
2. De base m a base 10 (
)
Ejemplos: 6738 = 6000 + 700 + 30 + 8 6738 = 6 x 10 3 + 7 x 10 2 + 3 x 10 1 + 8 452 7 = 4 x 7 2 + 5 x 7 1 + 2 = 333 24135 = 2 x 5 3 + 4 x 5 2 + 1 x 51 + 3 = 358 2001003 = 2 x 35 + 1 x 3 2 = 495 300004 = 3 x 4 4 = 768 3. De base m a base n
Conclusiones •
2 Base
•
0 Cifra Base
•
Ejemplo: Expresar 2413 5 en la base 8. D. Algunos sistemas de numeración
Cifras usadas en base n: 0, 1, 2, 3, ..., (n - 2), (n 1) cifra máxima
C. Cambio de base
1. De base 10 a otra base n (
Ejemplos: • Pasando 25 a la base 7
• Pasando 25 a la base 4
)
Base
Nombre
Cifras
2
Binario
0; 1
3
Ternario
0; 1; 2
4
Cuaternario
5
Quinario
0; 1; 2; 3; 4
6
Senario
0; 1; 2; 3; 4; 5
7
Heptanario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8
Octanario
0; 1; 2; 3; 4; ....; 7
9
Nonario
0; 1; 2; 3; 4; .....; 8
10
Decimal
0; 1; 2; 3; 4; .....; 9
11
Undecimal
0; 1; 2; 3; ......; (10)
12
Duodecimal
0; 1; 2; 3; ..... ; (11)
0; 1; 2; 3
II. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NUMERAL Cuando se desea denotar a un numeral en forma general, conociendo alguna información sobre él (ya sea con respecto a las cifras o a la base), se pueden emplear letras que representen a las cifras.
NUMERACIÓN
Exigimos más! Ejemplos: • ab representa a un numeral de 2 cifras, por ejemplo: 10; 11; 12; 13; ...; 9 9.
abab ab 10 2 ab 101 ab
•
abcabc 4 abc 4 4 3 abc 4 65 abc 4
•
a25 puede estar representando a: 125; 225; 325; 425; ...; 925 Numeral de 3 cifras consecutivas crecientes:
ab0ab 6 ab 6 6 3 ab 6 217 ab 6 ab32 5 ab 5 52 32 25 ab 5 17 5
a(a 1)(a 2)
123, 234, 345, 456, 567, 678, 789
IV. PROPIEDADES
2
•
a5(a ) = 151; 254; 359.
•
3m(m 2) = 302 6; 3136; 3246; 3356
•
4(m 1)(m 3) =4407; 4517; 4627
A. Bases sucesivas
6
1a 1b
7
Numeral capicúa Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes, del centro del numeral, son iguales.
Ejemplos:
En general:
1514
abcdcban = = =
K e d c b a 1c
7
14 12 13 14 12
= 32(9+2+4+3+2+4) 9
= 32 24 = 3 × 24 + 2 = 74
aba; abba; mnppnm ; somos 7
III. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
1e K
7 + 4 + 2 + 4 + 5 = 22 12 14
32
Ejemplos: 4774; 2528; 19491
1d
= 1 2 3 ... n
11
12 13 1(n1)
n(n 1) 2
n
abc .. pq ank 1 bnk 2 cnk 3 ... pn q n k cifras
Ejemplos:
B. Numeral de cifras máximas
abcd n = a × n 3 + b × n 2 + c × n + d
aaa 4 = a × 4 2 + a × 4 + a = 21a
(n 1)(n 1)(n 1).....(n 1) nK 1 n k cifras
abba 5 = a×53 + b×5 2 + b×5 + a = 126a + 30b a03a5 = a × 53 + 3×5 + a = 126a + 15 A. Descomposición polinómica por bloques
abcde n abn n3 cde n abcde n abn n3 cdn n e abcde n a n4 bcn n2 den abcde n abc n n2 den abcde n abn n3 c n2 den Ejemplos: 4758 = 4700 + 58
Ejemplos: Base 10 9 = 10 - 1 99 = 102 - 1 999 = 103 - 1 9999 = 104 - 1
Base 6 5=6-1 556 = 62 - 1 5556 = 63 - 1 55556 = 64 - 1
Base 8 7=8-1 778 = 82 - 1 777 8 = 83 - 1 77778 = 84 - 1
Base 4 3=4-1 334 = 42 - 1 3334 = 43 - 1 33334 = 44 - 1
C. Intervalo de un numeral k nk 1 abc...de n n "k" cifras
NUMERACIÓN
Exigimos más! Ejemplos:
121123
= 1(213)(123)9 = 1(2×3+1)(1×3+2) 9 = 1759
212211 3
= (2123)(2113)27 = (2×32 + 1×3 + 2) (2×3 2 + 1×3 + 1)27 = (23)(22)27
102 abc 103 73 abcd 7 74 35 abcdef 3 36 ¿Cuántos numerales de tres cifras hay en base 8?
V. CAMBIO DE BASE ESPECIAL
B. De base nk a base n Cada cifra de la base n k se lleva por divisiones sucesivas la base "n" y cada una no s dará "k" cifras en la base n; a excepción de la primera cifra que podría generar menor número de cifras.
k
A. De base n a base n Se forman bloques de k en k cifras de derecha a izquierda, luego cada bloque se descompone polinómicamente y el valor que resulte será una cifra en la base nk . a b c d e f n abn a b c d e f n abc n
cd n
ef n
def n
Ejemplo: Expresar 784 9 en base 3.
2
(n )
(n3)
Ejemplos: 212211 3 = (213) (223) (113)9 = (2×3+1)(2×3+2)(1×3+1) 9 = 7849
problemas
resueltos
Problema 1 ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras? UNI 2010-I A) 23 D) 2 6
B) 24 E) 27
Resolución:
Análisis de los datos o gráfic os 1234 abcn
Sabiendo que: a00a(6) bc1,0 es el cero,
De la igualdad a2b(7) a51(n) calcule el valor de: a + b + n.
n2 1234 n3
Desarrollando la desigualdad: 1234 n 1234
10,... n 35,... n {11, 12, 13, ..., 35} 25valores
Respuesta: C) 25
UNI 2006–I Nivel difícil
B) 12 D) 14
Resolución:
Resolución:
Ubicación de incógnita: a+b+c
*
•
Conclusiones Por terminación, se observa que a = 3 217 × 3 = 651 = bc1 a = 3, b = 6, c = 5 a + b + c = 14 Respuesta: C) 14
Por Desigualdad aparente: 7 n5 n6
aooa(6) bc1
Por descomposición polinómica y reduciendo: 217a bc1
a2b(7) a51(n)
Operación del problema
Operación del problema (Propiedad)
3
Problema 3
a 0, determine la suma (a + b +c) UNI 2008-II Nivel fácil Nivel intermedio C) 25 A) 11 A) 12 B) 13 C) 13 C) 14 D) 15 E) 15 E) 16
Ubicación de incógnita Halle los valores de la base ( n)
n2 abc n n3 ;
Problema 2
*
Ahora: a2b(7) a51(6) •
a x 72 2 x 7 b a x 62 5 x 6 1 13 a b 17
1 4 a b n 1 4 6 11
Respuesta: A) 11
ARITMÉTICA
ANÁLISIS COMBINATORIO DESARROLLO DEL TEMA En este capítulo desarrollaremos métodos para realizar un conteo rápido y poder conocer de cuántas maneras puede ocurrir un acontecimiento; por ejemplo. • ¿Cuántas jugadas se pueden hacer en la TINKA? • ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 2 personas en una carpeta de 4 asientos?
I.
Rpta.: ________________
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO Son dos principios básicos para el conteo: A. Principio de Adición
Si un determinado suceso A ocurre de “m” maneras diferentes y un suceso B o curre de “n” maneras diferentes entonces, el suceso “A o B” (en sentido excluyente) se podrá realizar de “m + n” maneras diferentes. Aplicación 1:
En un centro comercial se desea comprar una camisa, esta prenda se vende en: • 13 tiendas del 1.er nivel • 15 tiendas del 2.o nivel ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una tienda para hacer esta compra? Rpta.: ________________ Aplicación 2:
Mario para viajar de Lima a Chiclayo dispone de 11 líneas de transporte terrestre y 5 de transporte aéreo. ¿De cuántas maneras diferentes puede elegir el medio de transporte? Rpta.: ________________ Aplicación 3:
De cuántas maneras diferentes puede ir de A a B sin retroceder ni repartir ningún tramo.
B. Principio de Multiplicación
Si un determinado suceso A ocurre de “m” maneras diferentes y por cada uno de estos el suceso B ocurre de “n” maneras diferentes, entonces los sucesos “A” seguido de “B”, o “A” y “B” simultáneamente ocurre de “m x n” maneras diferentes. Aplicación 4:
Se desea enviar una pareja mixta de nadadores a las olimpiadas y se dispone de 8 varones y 15 damas. ¿Cuántas parejas diferentes se podrán formar? Rpta.: ________________ Aplicación 5:
Se tienen 3 cajas vacías, de cuántas maneras diferentes se pueden distribuir 4 conejos en dichas cajas. Rpta.: ________________ Aplicación 6:
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar 3 dados? Rpta.: ________________ Aplicación 7:
De 10 alumnos, se desea formar un comité integrado por un Presidente, Secretario y Tesorero. ¿Cuántos comités se pueden formar? Rpta.: ________________
ANÁLISIS COMBINATORIO
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II. FACTORIAL DE UN NÚMERO Sea n se define como factorial de "n" denotado por n! al producto de los enteros consecutivos del 1 al n. Ejemplo: 0! = 1 (por convención) 1! = 1 2! = 1 x 2 3! = 1 x 2 x 3 4! = 1 x 2 x 3 x 4 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 También: • 5! 1 2 3 4 5 4!
•
8 ! 7 ! 8
8! 5! 6 7 8
5! 4 ! 5 5! 3! 4 5
Técnicas de conteo Permutación a. Permutación lineal con elementos diferentes Son todos los ordenamientos que se pueden
formar con parte o con todos los elementos que conforman un conjunto. Ejemplo:
Dado el conjunto: A a,b, c, d,e de cuántas maneras se podrán ordenar sus elementos si los tomamos de: a. 2 en 2 b. 3 en 3 c. ordenamos todos
Observación
r n
P(n,n) Pn n!
Aplicación 8:
De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 chicas en una banca para 7, si dos de ellas quieren sentarse en los extremos. Aplicación 9:
Se tiene un aula de 25 alumnos 5 de talla alta, 10 de talla intermedia y 10 de baja estatura. De cuántas maneras se les podrá ordenar para formar una batallón de desfile. b. Permutación con elementos repetidos
Permutar las letras: A, A, B, B, B. Luego si se tiene "n" elementos donde hay r1 : elementos de una primera clase. r2 : elementos de una segunda clase. r3 : elementos de una k-ésima clase. El número de permutaciones diferentes que se pueden formar con ellos será: p(n,r1,r2 ,....r4 )
n! r1 ! r2 ! r3 ! ... rk !
Donde: r1 r2 r3 ... rk
n
Aplicación 10:
Cuántas palabras de 10 letras con sentido o no se pueden formar con las letras de la palabra ARITMÉTICA.
Resolución:
a)
5 4 20; pero 5
4
5 4 3 ! 5! 20 3! (5 2) !
b)
5 4 3 60 5
4
3
5 4 3 2! 5! 60 2! (5 3)!
c) 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5! 120
Luego: se tienen "n" elementos diferentes al ordenarlos en "r" en "r" el número de maneras está dado por: P(n, r)
n! 0 r n (n r)!
c. Permutación circular
Es un arreglo u ordenamiento de elementos diferentes alrededor de un objeto en estos ordenamientos no hay primer, ni último elemento, por hallarse todos en un ciclo cerrado imaginario. Ejemplo: De cuántas maneras se pueden or-denar 4 elementos alrededor de un objeto. A
B
A
B
A
C
D
C
C
D
D
B
A
C
A
D
A
D
B
D
C
B
B
C
La idea es mantener fijo un elemento y permutar los restantes. Luego dados "n" elementos, al ordenarlos alrededor de un objeto se podrá h acerlo de: P0 (n) (n 1) !
ANÁLISIS COMBINATORIO
Exigimos más! Aplicación 12:
cnr
Se sientan 8 personas alrededor de una mesa, de cuántas maneras se podrá ordenar. Rpta.: ________________
n! 0rn r !(n r) !
Observaciones:
Aplicación 13:
•
5 parejas de novios juegan a la "ronda". ¿Cuántas rondas podrán formar si cada pareja no se separa?
cn0 1
•
cnn 1
Rpta.: ________________
•
cnr
III. COMBINACIONES
n
c n r
Aplicación 13:
Son diferentes "grupos" o subconjunto que se pueden formar con parte o todos los elementos de un conjunto. Ejemplo: Cuántos subconjuntos se pueden formar con los elementos de:
Cuántas rectas se pueden trazar con 10 puntos no colineales. Rpta.: ________________ Aplicación 14:
Con 8 varones y 3 damas cuántos comités de 4 personas se pueden formar de modo que: A. Hayan 2 varones y 2 damas. B. Siempre esté Tatiana en el grupo. C. Haya al menos 2 mujeres. D. Haya a los más tres varones. Rpta.: ________________
A a,b, c,d A. Binarios
a,b , a, c , a, d , b, c , b, d , c, d B. Ternarios
a, b, c , a, b, d , a, c, d , b, cd Conclusión: Luego el número de combinaciones (o subconju ntos) que se pueden formar con "n" elementos diferentes tomados de "r" en "r", se calcula:
problemas
Permutaciones Ordenamientos Combinaciones Agrupaciones
resueltos
Problema 1
Análisis de los datos o gráficos
El dueño de un concecionario automotriz desea vender todos los autos que le quedan, los cuales son de diferentes modelos, pero en el salón de exhibición tendrán sólo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras diferentes de ordenar la exhibición, ¿cuántos autos le quedan por vender?
La cantidad de ordenamientos de "n" autos tomados de 3 en 3 es 210.
UNI 2012-I
A) 4 C) 6 E) 8
B) 5 D) 7
Resolución:
Ubicación de incógnita
Hallar el número de autos que quedan por vender.
n! 210 (n 3)! n (n 1)(n 2) 210
7
UNI 2008 - II
6
n
Problema 2
¿De cuántas formas puede ordenarse los elementos del conjunto {V; S; #; *}?
Operación del problema
P3n
Respuesta: D) 7
A) 6 C) 16 E) 32
5
B) 8 D) 24
7 autos Resolución:
Método práctico .......
Ubicación de incógnita (n autos)
Salón de exhibición
Nos piden el número de ordenaciones Análisis de los datos o gráfic os
n x (n-1) x (n-2) = 210 n=7
Dado que hay 4 elementos y tácitamente nos indica ordenarlos todos.
ANÁLISIS COMBINATORIO
Exigimos más! Operación del problema
Cantidad de = P 4 = 4! =24 4 ordenaciones
D) 252 E) 260
Método práctico:
Observación: Respuesta: D) 24
Para ir de A a B hay tres formas:
Problema 3
Determine el número de trayectorias que permiten ir de A hacia B sólo con desplazamientos hacia arriba o a la derecha.
En el problema:
En el problema: m = 5 y n = 5 Número de trayectorías
A) 196 B) 204 C) 225
Por lo tanto, el número de trayectoria de A hacia B es 252.
5 5 !
5!5!
10! 10 9 8 7 6 5! 5!5! 5! 120
252
Respuesta: D) 252
ARITMÉTICA
SUCESIONES NUMÉRICAS DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN Una sucesión numérica es una lista de números que tienen un primer número, un segundo número, un tercer número, y así sucesivamente, llamados términos de la sucesión. Cada término tiene un orden asignado, es decir, que a cada uno le corresponde un número ordinal (n ). Sea t 1 , t2, t 3,...... Los términos de una sucesión, entonces a cada uno le corresponde un valor “ n ”, según su posición. Así: t1 n 1 primero
t2
n
2 segundo
t3
n
3
tercero
Observación: El término serie, en matemática, se refiere a la suma indicada de los términos de una sucesión numérica.
1. Sucesión Polinomial Es aquella sucesión ordenada en la que cada término a partir del segundo es igual al anterior aumentado en una variable o constante denominada razón. Si la razón es constante se llama progresión. Toda sucesión aritmética o polinomial tiene por ley de formación un polinomio, pudiendo ser lineal, cuadrática, cúbico, etc. Sea la Sucesión polinomial:
En matemática superior se define la sucesión de números (reales) como una función analítica cuyo dominio es los números naturales y su rango los números reales. En notación matemática. f; Es una expresión matemática, que relaciona la posición o lugar de cada término y el término en sí, de una sucesión, con la cual se puede obtener cualquiera de los términos de la sucesión. La posición se expresa mediante el número ordinal n. La ley de formación también es llamada; fórm ula de recurrencia, término general o término enésimo, y se representa como t n . Ejemplo: Si tn=n2+1 Entonces: n
1 t1 12 1 2
2 t2 22 1 5 2 n 3 t 3 3 1 10 n
n
4 t 4 4 2 1 17
La sucesión será: 2,5,10,17,...
n 1
tn t1 C0
n1
r1 C1
n1
k1C2
n1
... aCp 1
Sabiendo a
Que: Cb
a! a b ! b !
2. Sucesión Geométrica Es una sucesión ordenada en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero, y cada término a partir del segundo se obtiene multiplicando al anterior por una razón variable o constante. Si la razón es constante se denomina progresión geométrica.
SUCESIONES NUMÉRICAS
Exigimos más! Sea la sucesión geométrica.
5. Sucesión de Tribonacci o Ferenberg Es aquella en la que cada término a partir del cuarto es la suma de los tres anteriores. 1, 1, 2, 4, 7, 13, ....
Si q1 q2 q3 .... q (Cte. Razón Geométrica) n1
tn t1 q
3. Sucesión de Fibonacci Es aquella en la que cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores. 1, 1, 2, 3, 5, 8,.......... n n 1 5 1 1 5 tn 5 2 2
4. Sucesión de Lucas Es la sucesión en la forma más general de la sucesión de fibonacci. n
n
tn 1 5 1 5 2 2
problemas
6. Sucesión Armónica Es quella cuyos recíprocos (inversos) de sus términos forman una progresión aritmética. Ejemplo:
2 ; 2 ; 2 ; 2 ;... 3 7 11 15
1 1 1 1 ; ; ; ;... 3 5 7 9
7. Sucesión de Números Primos Formada por los números naturales que poseen solo 2 divisores. 2, 3, 5, 7, 11; 13; 17;......... Reto al Ingénio ¿Cuál es el término que continua, en la sucesión? 8; 27; 125; 343; 1331; ....
resueltos
Problema 2 Problema 3 Problema 1 Indique el número que continúa en la Determine el número que continúa en Considerando la sucesión: siguiente sucesión: la sucesión mostrada. –1; 0; 1; 0; 1; 2; 3; 6; . .. 75; 132; 363; 726; ... 5, 13, 25, 41, 61, ... el siguiente término es: UNI 2012 - I UNI 2011 - II UNI 2012 - II A) 118 0 B) 125 4 A) 77 B) 85 A) 8 B) 10 C) 1353 D) 1452 C) 92 D) 96 C) 11 D) 12 E) 1551 E) 14 E) 109 Resolución: Piden x. Se tiene la sucesión:
Resolución: Nos piden el número que continúa. Analizamos la sucesión:
Resolución: En la sucesión se observa lo siguiente :
x = 2 + 3 + 6 = 11 Respuesta: C) 11
Respuesta: C) 1353
Respuesta: B) 85
ARITMÉTICA
CUATRO OPERACIONES I DESARROLLO DEL TEMA I.
ADICIÓN
•
Es una operación matemática, que consiste en reunir dos o más cantidades (sumandos) en una sola cantidad (suma). a
b
+
+
c
=
S
Suma de los "n" primeros cubos perfectos. S = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 S=
•
Suma de: S = 1 2 + 2 3 + 3 4 + ... + n(n + 1)
s uma ndo s s um a
Observación: Se recomienda colocar los sumandos en forma vertical. Base 10 1
1
4 3 2 +
3 6 28 +
9 4
5 48
5 2 6
4 3 68 11 8 31
Sumas notables • Suma de los "n" primeros enteros positivos. S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n
n(n + 1) S= 2
Suma de los "n" primeros pares. S = 2 + 4 + 6 + ... + (2n) S = n(n + 1)
•
Suma de los "n" primeros impares. S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) S = n2
•
Suma de los "n" primeros cuadrados perfectos. S = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 S=
Suma de: S
S=
n(n + 1)(n + 2) 3
a0
a1 S
Base 8
12 10 21
•
•
n(n + 1)(2n + 1) 6
2
n(n + 1) 2
a2
... an
an 1 1 a 1
II. SUSTRACCIÓN Operación que consiste en que dado dos cantidades (minuendo y sustraendo) hallar una tercera cantidad (diferencia) tal que: M – S = D Observación: Se recomienda restar en forma vertical. Base 10
Base 8
se presta 10
se presta 8
8 2 5 –
6 1 48 –
1 6 2
1 5 18
6 6 3
4 4 38
Propiedades
1. En toda resta se cumple: M + S + D = 2M 2. Para un numeral de tres cifras:
CUATRO OPERACIONES I
Exigimos más! Ejemplos: • 8 1 4 –
•
c =
3
(# impar) (.... 5) = ..... 5
Es lo que le falta a una cantidad para ser unidad del orden inmediato superior. Ejemplos:
(# par) (... 5) = .......0 5. Se cumple:
1 cifra
CA( 7 )
=
n(n + 1) =
101 – 7 = 3
2 cifras
II.
CA( 38 ) = 102 – 38 = 62
0 2 6
DIVISIÓN
Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son números enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.
CA( 681 ) = 103 – 681 = 319
D d r q
CA( N ) = 10x – N
En general:
8
4. Se cumple:
III. COMPLEMENTO ARITMÉTICO
•
3. Si: abc 4 = .......... 2
7 8 1 – 5 9 4
3 9 6
•
c = 8
1 8 7
4 1 8
•
2. Si: abc 7 = .......... 6
x cifras
r: residuo
Puede ser:
Observación: En forma práctica se puede calcular restando de 10 a la última cifra y las restantes restamos de 9.
CA( 4 8 3 ) = 5
1
D d 0 q
7
9 10
CA(8 6 3 )
137
En general 0 entonces
En general
D d r q
q+r
d
+
qe – re
d
+
q : cociente por defecto r : residuo por defecto 2. Por exceso En general:
D d re qe
Mm = P Donde: M = multiplicando factor m = multiplicador
D=d
Donde: 0 < re< d qe : cociente por exceso
P : Producto
1er producto parcial 2do producto parcial Producto Total
D=d
Donde: 0 < r < d
m veces
243 × 65 1215 1458 15795
q
1. Por defecto
IV. MULTIPLICACIÓN
Notas: 1. Si se multiplica:
D= d
B. Inexacta (residuo > 0)
CA( abc ) = (9 –a)(9 –b)(10 –c)
Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador s e le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto. Origen: M M M ... M P
0)
En general:
9–4 9–8 10–3
3 cifras
Si C
A. Exacta (residuo
re : residuo por exceso Propiedades de la división inexacta 1.
qe = q + 1
2.
rmax = d – 1
3.
rmin = 1
4.
r + re = d
CUATRO OPERACIONES I
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1 Si (a + b + c) 2 = 2 025. Hallar el valor de:
Nivel intermedio
A) 8 C) 9 E) 10
S = abc + bca + cba Nivel fácil
A) 4895 C) 4695 E) 4 05
B) 4905 D) 4995
B) 7 D) 5
Nivel intermedio
Resolución: Debemos hallar los números de la forma abc tal que: a b c +
Resolución: Se tiene: (a + b + c) 2 = 2 025 Entonces: a + b + c = 45 Escribiendo los numerales en forma vertical y sumando ordenadamente. 4 4
a b c +
S = 4 9 9 5
Respuesta: D) 4 995
Problema 2 ¿Cuántos números de 3 cifras existen tales que sumado con el número que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene un número capicúa de 4 cifras?
A) B) C) D) E)
935 444 143 480 495
000 000 000 000 000
c b a
x y y x
Si el resultado tiene 4 cifras se deduce que x = 1 . En las unidades tenemos: a + c = 11 En las decenas: 2b + 1 = ...y < 10 Entonces: y=1 b=0 De la condición anterior tanteamos:
b c a a c b
Problema 3 Calcula la suma de todos los números capicúa de 4 cifras.
a 2
{
+
c = 11 { 9
3
8
9
2
Los números son: 209;308;407;506;605;704;803;902
Resolución: Los números son: 1001; 1111; 1221; ....; 9779; 9889; 9999 a pesar de no formar una progresión aritmética, podemos observar que: 1001+9999=1111+9889=1221+9779=... Las sumas de los términos de la sucesión que son equidistantes de los extremos, son iguales. Entonces como existen: a b b a =90 números
9.10
Se forman 45 parejas, y la suma de todas ellas es: 45(1001 + 9999) = 495 000
8 números
Respuesta: A) 8 n úmeros
Respuesta: E) 495 000
ARITMÉTICA
CUATRO OPERACIONES II DESARROLLO DEL
I.
TEMA
MULTIPLICACIÓN
II. DIVISIÓN
Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador s e le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto.
Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son números enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.
Origen:
D d r q
M M M ... M P
r:residuo
m veces
Puede ser:
Mm = P
A. Exacta (residuo 0) En general: D d D= d 0 q
Donde: M = multiplicando factor N = multiplicador
q
B. Inexacta (residuo > 0)
P : Producto
1. Por defecto En general
Notas:
1. Si se multiplica: 2 4 3x 6 5 1 2 1 5 1er producto parcial
1458
2do producto parcial
15795
Producto Total
2 . Si: abc 7 = .......... 6
3 . Si: abc 4 = .......... 2
3 8
4. Se cumple: (# impar) (.... 5) = ..... 5 (# par) (... 5) = .......0 5. Se cumple: n(n + 1) =
0 2 6
D=d
q +r
d
+
Donde: 0 < r < d q : cociente por defecto r : residuo por defecto 2. Por exceso En general:
c = 8
c =
D d r q
D d re qe
D=d
qe – re d
Donde: 0 < r e< d qe : cociente por exceso re : residuo por exceso Propiedades de la división inexacta 1. qe = q + 1 2. rmax = d – 1 3. rmin = 1 4. r + re = d
+
