8. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos.pdf

8.- R eg r es ión y Corr C orre elación ci ón L i nea neal S impl imple jercicios ios R es uel ueltos – – E jercic 

Estimación de los parámetros de Modelo de Regresión 

Prueba de Hipótesis e Intervalos Intervalos de Confianza 

Coeficiente de Determinación (R 2) 

Aplicaciones

08. R eg resión res ión y c orrelación orrelación linea lineall si mple mple – E jercicios jercicios R esuel esueltos AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO

1. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación: Muestra Deformación (en mm) Dureza Brinell (en kg/mm2)

1 6 68

2 9 67

3 10 66

4 11 53

5 13 52

6 15 50

7 18 48

8 22 44

9 26 40

10 28 37

11 33 34

12 35 32

Suponiendo validos los supuestos necesarios: 1.1) Interprete la pendiente del del modelo de regresión lineal, lineal, la cual relaciona la dureza Brinell Brinell con la deformación del acero, en el contexto del problema y estime la dureza Brinell de las muestras de acero cuando la deformación del acero es 15,5 mm. Justifique su respuesta 1.2) Estime con 90% de confianza, confianza, la dureza Brinell Brinell del acero, cuando la la deformación del acero es de 26 mm.

 =  = ̂=  +    =72,407;  =1,229 → ̂ =72,4071,229   =1,229 ̂=15,5 =72,4071,229∙15,5=53,3575

1.1) Solución: Sean:

“Deformación, en mm”;

“Dureza Brinell, en kg/mm 2 ”

Respuesta: Pendiente (

): ): Cuando la deformación deformación del acero aumenta en un milímetro la 2 dureza Brinell disminuye en 1,229 kg/mm .

Respuesta: La dureza Brinell de las muestras de acero cuando la deformación del acero es 15,5 m, corresponde a 53,3575 kg/mm 2 . 1.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:

 ̅   1   − =  +  ± −; − ∙ . 1 +  + ∑  ̅ =26; 1=0, 9 0; =12;  =9,8057;  = 12,12,6644; 644; ̅ = 18,18,8333333 1122 21 12,6644 1,229 9,8057 =4,0830 . =    12 (   ) =  121 ̅  = 2618,8333 =51,3616 ;   ̅ =   1  = 11 ∙ 9,8057 =1057,6693 , =72,4071,229∙26 ± ;, ∙4,0830 1 + 121 + 1057,51,36616693  ;, =1,8125; → , =[32, =[32,6012;48,2742] [32,6012;48,2742]

Con: Reemplazando, obtenemos:

Respuesta: El intervalo

contiene la dureza Brinell del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm, con un 90% de confianza.

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Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

08. R eg resión res ión y c orrelaci orrelación ón linea lineall si mple mple – E jercicios jercicios R esuel esueltos AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO

2.- Se toma una muestra aleatoria de 10 piezas de plástico, utilizadas en cierta maquinaria. Se registra la resistencia (Y) a la fractura, en Newton (N) y la concentración (X) de un componente H, expresada en porcentaje, utilizada en la fabricación de las piezas de plásticos, obteniendo la la siguiente información: Pieza X (% H) Y (Resistencia)

1 2,0 3,04

2 2,7 3,05

3 3,6 3,12

4 4,5 3,57

5 5,0 7,82

6 5,7 8,68

7 6,2 9,71

8 6,5 10,20

9 7,0 11,32

10 7,5 12,3

Suponiendo que existe asociación lineal lineal entre X e Y: 2.1) Interprete la pendiente del modelo de regresión regresión lineal, ajustado ajustado mediante el criterio criterio de los mínimos cuadrados, que relaciona la resistencia con la concentración del componente H, en el contexto del problema y estime la resistencia a la fractura de las piezas cuando la concentración del componente H es de 7,2%. Justifique su respuesta 2.2) Estime, con 95% de de confianza, la la resistencia media media a la fractura de de las piezas que tienen 5,7% de concentración del componente c omponente H

 == ̂=  +    =2,4110;  =1,9116 → ̂=2,4110+1,9116  =1,9116 ̂=7, 2 =2,4110+1,9116∙7,2=11,3525

2.1) Solución: Sea:

“Concentración de un componente H, en porcentaje” “Resistencia a la fractura, en Newton”


): ): Cuando la la concentración concentración del componente componente H aumenta en un 1%, 1%, la resistencia a la fractura de la pieza de plástico aumenta en 1,9116 Newton

Respuesta: La resistencia a la fractura de las piezas cuando la concentración del componente H es de 7,2%, corresponde a 11,3525 Newton. 2.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:

̅  ̅ . − =  +  ± −; − ∙ .  1 + ∑ =5, 7 ; 1=0, 9 5; =10;  =1,8524;  =3,7289; ̅ =5,07 1102 01 3,7289 1,9116 ∙1,8524 =1,2395 . =    12 (   ) =  101 ̅  = 5,75,07 =0,3969 ;   ̅ =   1  =9∙1,8524 =30,8825 ((. ), =2,4110+1,9116∙5,7±−; − ∙1,2395 395  101 + 30,0,38969825  ;, =2,3060; → ((. ), =[7,5249;9,4453] Con:

Reemplazando, obtenemos:

Alejandro González González Tapia Tapia – Ingeniería Civil en Minas

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[7,7,5249;9,4453] 453]

contiene la resistencia media a la fractura de las piezas que tienen un 5,7% de concentración del componente H con una confianza del 95%.

3. Se encontró la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro medido en lux, para una muestra aleatoria de tamaño 6. CONCENTRACIÓN CONCENTR ACIÓN (X) LECTURA (Y)

4 80

5 170

6 260

7 330

8 390

9 430

Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables 3.1) Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 5.5 por ciento. 3.2) Con = 0.10 ¿Es posible posible concluir concluir que la la pendiente de la ecuación de regresión es mayor que 67?

= = ̂=  +    =183,9048;  =70,8571 → ̂=183,9048+70,8571   ̅   1   − =  +  ± −; − ∙ . 1 +  + ∑  ̅ =5, 5 ; 1=0, 9 5; =6;  =1,8708;  = 133, 133,8158; ̅ = 6,5 . =    12 (   ) =  66  12 133,8158 70,8571 1,8708 =20,4529 ̅  = 5,56,5 =1 ;   ̅ =   1  = 5 ∙ 1,8708 =17,4995 , =183,9048+70,8571∙5,5 ±  ;, ∙20,4529 529 1 + 16 + 17,41995  ;, =2,7764; →  , =[142, =[142,9898;268,6287] [142,9898;268,6287]


“Concentración, en porcentaje”;

“Lectura en el colorímetro, en lux”

La fórmula para determinar el intervalo confidencial:

Con:



contiene la lectura en el colorímetro de las sustancias que tengan una concentración de 5,5%, con una confianza del 95%. 3.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:

::  >= 6767 =12; . =20,4529; ∑  ̅ =17,4995 Con:

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Entonces, el estadístico de prueba es:

 = 67 =  ∑∑.−67̅ = 70,√ 8,,57167 , =0,7889 =0, 1 0 =  = { |  > −; − } → ={ = { |  > ; ,} → =  |  > 1,3722 ∈

La Región Crítica (Con

): ):

Respuesta: Como

, no se rechaza la hipótesis nula, es por esto que es posible concluir que la pendiente pendiente de la ecuación ecuación de de regresión regresión es mayor que 67 67 con un un 10% de de significación. significación.

4. Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero a cero Barra Carbono (%) Resistencia (kg/cm2)

1 2,0 43

2 2,4 46

3 2,2 45

4 2,3 44

5 2,5 45

6 2,8 48

7 2,2 43

8 2,7 47

9 2,4 44

10 2,3 45

11 2,0 42

12 2 ,2 2,2 44

En base a información información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios: 4.1) Estime la ecuación de regresión lineal lineal que permita permita predecir la resistencia resistencia a la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del contenido de carbono. 4.2) ¿Es posible posible concluir con 5% de nivel significación significación que el contenido de carbono de las barras de este tipo de acero se asocia linealmente con la resistencia resistencia a la tracción? 4.3) Encontrar el porcentaje porcentaje de variación la resistencia a la tracción de las barras barras de acero que no es explicada por el contenido de carbono.

 == ̂=  +    =29,85;  =6,35 → ̂=29,85+6,35  ::  =≠ 00  = 12;  = 0,9071 07110,√ 9122 071√ 107122 =6,8149 √   2 →  = 0, 910,  = √1 =0, 0 5 =  =  |  < −; −  ó  > −; −  → ={ = { |  < ; , ó  > ; ,} =  =  |  < 2,2,2281 ó  > 2,2281 ∈


“Contenido de carbono, en porcentaje”; “Resistencia a la tracción, tracción, en kg/cm 2 ”

4.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:

Con:



): ):

Respuesta: Como

, se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 5% de significación, existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción.


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4.3) Solución:

1   =10,9071 =0,1772

Respuesta: El 17,72% de variabilidad de la resistencia a la tracción está explicada por otros factores.

5. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación c ontinuación:: Muestra 1 Deformación (en mm) 6 Dureza Brinell (en kg/mm2) 70

2 9 68

3 10 66

4 12 55

5 14 52

6 15 50

7 18 4488

8 22 44

9 26 40

10 28 37 37

11 33 35

12 35 30

Suponiendo validos los supuestos necesarios 5.1) Interprete el coeficiente coeficiente de determinación determinación en el contexto del problema. problema. Justifique Justifique 5.2) Estime con 95% de confianza, confianza, la dureza Brinell Brinell media media del acero, cuando la la deformación del acero es de 33 mm. 5.3) ¿Es posible concluir que existe existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con un 2,5% de nivel de significación?

 =  = ̂=  +    =74,6589;  =1,3198 → ̂=74,65891,3198  =0,9624  = 0,9624 =0,9262


“Deformación, en mm”;

“Dureza Brinell, en kg/mm 2 ”

Respuesta: El 92,62% de la variación de la dureza Brinell del acero está determinada por la deformación. 5.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:

 ̅   1   . − =  +  ± −; − ∙ .  + ∑  ̅ =33; 1=0, 9 5; =12;  =9,6859;  = 13,2833; ̅ = 19 1122 21 13,28331,3198 9,6859 =3,7858 . =    12 (   ) =  121 ̅  = 3319 =196 ;   ̅ =   1  = 11 ∙ 9,6859 =1031,9832 ((. ), =74,65891,3198∙33 ±  ;, ∙3,7858 858 121 + 1031,1969832  ;[26,,6961; =2,35,25281;149] → ((.), =[26, =[26,6961;35,5149] Con:



contiene la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm, con un 95% de confianza.

Página 186



5.3) Solución: Las hipótesis a contrastar para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:

::  <≥ 00 :=0,9624; =12 910,624√ 6249√ 624122 1 22 =11,2039 √   2 →  = 0, 10,  = √1  =0, 0 25  = {  | < −; − } →  = {  |  < ; ,} → = =   |  < 2,2,2281281 ∈ =0,025

Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:

La Región Crítica

:

Respuesta: Como

, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con .

6. Se encontró la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro en lux, para pa ra una muestra aleatoria de tamaño 8. CONCEN CONCENTRA TRACI CI N (X) LECTURA (Y)

4 80

5 170

5 200

6 260

7 330

7 334

8 390

9 430

Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables 6.1) Determinar el modelo de regresión lineal e intérprete intérprete el pendiente. pendiente. 6.2) Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6.5 por ciento. 6.3) Esboce un gráfico adecuado que muestre muestre la ecuación ecuación de regresión regresión estimada estimada

= = ̂=  +    =168,7925;  =69,4969 → ̂=168,7925+69,4969   =69,4969  ̅   1  − =  +  ± −; − ∙ .  1 +  + ∑  ̅ =6, 5 ; 1=0, 9 5; =8;  =1,6850;  =118,7142; ̅=6,375 . =    12 (   ) =  88  12 118,7142 69,4969 1,6850 =21,0588 ̅  = 6,56,375 =0,0156 ;   ̅ =   1  = 7 ∙ 1,6850 =19,8746 , =168,7925+69,4969∙6,5 ±  ;, ∙21,0588 1 + 18 + 19,0,08156746


“Concentración, en porcentaje”;

“Lectura en el colorímetro colorímetro,, en lux ” ”


): ): Cuando la concentración de la sustancia aumenta en un 1%, la lectura en el colorímetro aumenta en 69,4969 lux 6.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:



Página 187


, =[228,  ;[228,,2 638;=2,43469; →  =[ 2 28, 2 638; 3 37, 6 109] 37,6109]


contiene la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6,5%, con una confianza del 95%.

6.3) Solución:

Lectura v/s Concentración 500 ) 400 x u l ( 300 o r t e 200 m i r o l 100 o c l e 0 d a 0 r u t -100 c e L

2

4

6

8

10

-200 -300

Concentración (%)

7. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de hormigón es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 12 mezclas, obteniéndose la siguiente información. Mezcla Días de fragüe Resistencia (kg/cm2)

1 1 13

2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 7 2 3 7 7 3 2 21,9 29,8 32,4 24,5 24,2 30,4 34,5 26,2 24,5

11 1 13

12 10 42,6

Suponiendo validos los supuestos necesarios nece sarios 7.1) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa directa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación? 7.2) Si usted quiere probar que el coeficiente coeficiente de correlación lineal lineal entre las variables en estudio difiere de 0.975, con = 0.01. 0.01. Determine, Determine, evalúe y grafique grafique la región de rechazo de la hipótesis nula 7.1) Solución: Sean:

 ==

“Número de días de fragüe”; “Resistencia de una mezcla de hormigón, en kg/cm 2 ”

Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:

::  >≤ 00

Página 188

:=0,9027; =12



027 122 1 22 √   2 →  = 0, 910, √  = √1 =6, 6 344  10,9027  =0,05  = {  |  > −; − } →  = {  |  > ; ,} → = =   |  > 1,8125 8125 ∈ =0,05


La Región Crítica

:

Respuesta: Como

, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con . 7.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:

:: ≠ =≠ 00,,9955 =0, 0 1 =  =  |  < −; −  ó  > −; −  → ={ = { |  < ; , ó  > ; ,} =  =  |  < 3,3,1693 ó  > 3,1693


): ):

8. Se desea estudiar si la resistencia re sistencia de una mezcla de cemento es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 10 mezclas, obteniéndose la siguiente información. Mezcla Días de fragüe Resistencia (kg/cm2)

1 1 20

2 2 21,9

3 3 29,8

4 7 32,4

5 2 24,5

6 3 24,2

7 7 30,4

8 7 34,5

9 3 26,2

10 2 24,5

Suponiendo validos los supuestos necesarios 8.1) Determinar el modelo de regresión lineal e intérprete intérprete el intercepto 8.2) ¿Es posible concluir que existe existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación? 8.3) Con = 0.05 ¿Es posible posible concluir concluir que la pendiente de la la ecuación de regresión regresión es igual a 1,78?

= = ̂=  +    =20,1623;  =1,8048 → ̂=20,1623+1,8048   =20,1623


“Número de días de fragüe”;

“Resistencia, “Resistencia, en kg/cm 2 ”

Respuesta: Intercepto (

): ): Cuando la los días de fragüe es igual a cero, la resistencia de la mezcla de cemento es iguala 20,1623 kg/cm 2

8.2) Solución: Las hipótesis a contrastar para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:

::  <≥ 00


:=0,9021; =10 Página 189


021 102 1 02 √   2 →  = 0, 910, √  = √1  =5,9128 1 0, 9 021  =0, 0 5  = {  | < −; − } →  = {  |  < ; ,} → = =   |  < 1,1,8595595 ∈ =0,05


La Región Crítica

:

Respuesta: Como

, en conclusión no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, no existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con . 8.3) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:

::  ≠1,=1,7788

=10; . =2,1609; ∑  ̅ =50,1009  =  1, 78 =  ∑∑1,.− 7̅ 8 = 1,8048√ ,,,1,78 =0,0812 =0, 0 5 =  =  |  < −; −  ó  > −; −  → ={ = { | < < ; , ó  > ; ,} → = =  |  < 2,2,3060 ó  > 2,306060 ∈ Con:



): ):

Respuesta: Como

, no se rechaza la hipótesis nula, es por esto que es posible concluir que la pendiente pendiente de la ecuación ecuación de de regresión regresión es igual a 1,78, con un un 5% de significació significación. n.

9.- Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero a cero Barra Carbono (%) Resistencia (kg/cm2)

1 2,4 46

2 2,2 45

3 2,3 44

4 2,5 45

5 2,8 48

6 2,2 43

7 2,7 47

8 2,4 44

9 2,3 4455

10 2,0 42

En base a información información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios: 9.1) 9.1) Estime la ecuación de regresión regresión lineal que que permita predecir la resistencia a la la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del de l contenido de carbono. 9.2) ¿Es posible concluir con 10% de nivel significación significación que el contenido contenido de carbono de las barras de este tipo de acero ace ro se asocia linealmente con la resistencia a la tracción? 9.3) Interprete el coeficiente coeficiente de determinación determinación en el el contexto del problema. Justifique

 == ̂=  +    =28,85;  =6,74 → ̂=28,85+6,74 


Página 190

“Contenido de carbono, en porcentaje”; “Resistencia a la tracción, tracción, en kg/cm 2 ”



::  =≠ 00


Con:


 = 10;  = 0,9012

01210,√ 9102 012√ 101202 =5,88 √   2 →  = 0, 910,  = √1 =0, 1 0 =  =  |  < −; −  ó  > −; −  → ={ = { |  < ; , ó  > ; ,} =  =  |  < 1,8598595 ó  > 1,8595 ∈ =0,9012  = 0,9012 =0,8122


): ):

Respuesta: Como

, se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 10% de significación, existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción.

9.3) Solución:

Respuesta: El 81,22% de la variación de la resistencia a la tracción está determinada por el contenido de carbono de la muestra

10.- El concreto experimenta un marcado incremento característico en la “plasto deformación”, cuando se calienta por primera vez bajo carga. Se efectuó un experimento en 12

especímenes de concreto, con el fin de investigar el comportamiento ante esfuerzos térmicos transitorios, en el cual se midió la rapidez ra pidez del calentamiento, en grados gra dos Celsius por minuto y el nivel de carga, en porcentaje. La información obtenida es: Rapidez Nivel de carga

0.10 0.12 0.05 0.01

0.14 0.08

0.15 0.20 0.08 0.10

0.25 0.19

0.30 0.35 0.18 0.23

0.40 0.25

0.45 0.48 0.33 0.35

0.50 0.41

Suponiendo válidos los supuestos necesarios: 10.1) Estime, con un 95% de confianza, el nivel de carga promedio que soportan los especímenes de concreto cuando la rapidez del calentamiento es de 0.18 grados Celsius por minuto 10.2) Con = 0.05 ¿Es posible posible concluir que la pendiente de la ecuación ecuación de regresión regresión es mayor que 0.8? 10.3) ¿Qué porcentaje de la variación del nivel de carga está determinado por la rapidez del calentamiento? Justifique 10.4) Interprete la pendiente, en el contexto del problema problema y esboce un gráfico adecuado ad ecuado que muestre la ecuación de regresión estimada

 == ̂=  +    =0,0583;  =0,8605 → ̂ =0,0583+0,8605 


“Rapidez de calentamiento, en grados Celsius por minuto” “Nivel de carga, en porcentaje”


Página 191



̅  ̅ . − =  +  ± −; − ∙ .  1 + ∑ =0, 1 8; 1=0, 9 5; =12;  =0,1472;  =0,1290; ̅ =0,2867 1122 21 0,1290 0,8605 ∙0,1472 =0,0256 . =    12 (   ) =  121 ̅  = 0,180,2867 =0,0114 ;   ̅ =   1  = 11 ∙ 0,1472 =0,2383 ((. ), =0,0583+0,8605∙0,18±−; −  ∙0,0256  121 + 0,0,02114383  ;, =2,2281; → ((. ), =[0,0759;0,1172] [0,0759;0,1172] Con:



contiene el nivel de carga promedio que soportan los especímenes de concreto cuando la rapidez del calentamiento es de 0.18 grados Celsius por minutos, con una confianza del 95%.

::  =0,>0,88


 = 12; .. =0,0256; ∑  ̅ =0,2383  =  0, 8 =  ∑∑0,.− ̅8 = 0,8√ 6050, ,,, 8 =1,1537 =0, 0 5 =  = { |  > −; − } → ={ = { |  > ; ,} → =  |  > 1,8125 ∈  =0,9815 =0,9633 Con:



): ):

Respuesta: Como

, no se rechaza la hipótesis nula, es por esto que es posible concluir que la pendiente pendiente de la ecuación ecuación de de regresión regresión es mayor que 0,8 0,8 con un 5% de significación. significación. 10.3) Solución:

Respuesta: El porcentaje de la variación del nivel de carga que está determinado por la rapidez del calentamiento es 96,33%

10.4) Respuesta: La pendiente corresponde a 0,8605, esto significa que por cada grado Celsius que aumenta la rapidez de calentamiento, el nivel de carga aumente en un 0,8605%

Página 192



Nivel de carga v/s Rapidez de calentamiento 0,4 ) % 0,3 ( a g r a 0,2 c e d l e 0,1 v i N

0 -0,05

0,05

-0,1

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

Rapidez de calentamiento cale ntamiento (°C/min) (°C/min)

11.- Los datos de la producción de trigo en toneladas (X) y el precio del kilo de harina en pesetas (Y) en la década de los 80 en España fueron registrados por medio de sumatorias, las cuales se muestran a continuación: c ontinuación:

 = ∑  = ∑ = ∑∑= ∑ = =

11.1) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con un 10% de nivel de significación? 11.2) Estime con un 90% de confianza el precio medio medio de la harina, cuando la producción de trigo es de 18 toneladas 11.3) Encontrar el porcentaje de variación del precio del kilo de harina que no es explicada por las toneladas producidas por esta 11.1) Solución: Sean:

 ==

“ Producción Producción de trigo, en toneladas ”; “ Precio Precio del kilo de harina, en pesetas ”

Lo primero es determinar el coeficiente de correlación, el cual se encuentra dado por la siguiente fórmula:

][∑∑∑  ∑ ] =  [10∙10∙846810∙9286734286∙ 3 54  =  [ ∑   ∑∑  ][10∙10∙13268 354] =0,847 ::  ≤> 00 =10; =0,847

Luego, las hipótesis que nos interesan contrastar son:

Con:


Página 193


0,847√ 102 1802 √   2 →  = 10,  = √1  =4,507 47 =0, 1 0  = {  | > −; − } →  = {  |  > ; ,} → = =   | > > 1,859595 ∈



): ):

Respuesta: Como

, por lo que no se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 10% de significación, no existe asociación lineal directa entre las variables en estudio.

11.2) Solución: Es necesario determinar los coeficientes de la regresión a partir de las siguientes fórmulas:

9 734 10∙ 9 734286∙ 3 54 =74, 1 151 ; = 0 = 354∙10∙88468286∙  1 468 2862 10∙8468 2862 =1,3537 ̂=  +    =74,1151; 1 =1,3537 → ̂ =74,11511,3537 

Por lo tanto, la regresión queda dada por:

En seguida se calculan las desviaciones estándar y promedios de las muestras:

• ̅ = ∑ = 28610 =28,6 ; •= ∑ = 35410 =35,4    ̅ ∑  ∙ 846810∙ 2 8, 6  •  =   1 = 9 =32,04 •  = ∑ ∙ 1 = 1326810∙9 35,4 =81,8222  ̅   1   . − =  +  ± −; − ∙ .  + ∑  ̅ =18; 1=0, 9 0; =10;  =32,04;  = 81,81,8222; ̅ = 28,6 1102 01 81,8222 1,3537 ∙32,04 =5,0987 . =    12 (   ) =  101 ̅  = 1828,6 =112,36 ;   ̅ =   1  =9∙32,04=288,36 . , =74,11511,3537∙18± ; , ∙5,0987 987  101 + 112,288,3366  ;, =1,8595; → ((. ), =[43, =[43,1141;56,3829]



Página 194



[43,1141;56,3829] 1   =0,2826


contiene el precio medio de la harina cuando la producción de trigo es de 18 toneladas, toneladas, con una una confianza del del 90% 11.3) Solución:

Respuesta: El 28,26% de variabilidad del precio del kilo harina están explicadas por otros factores.


Página 195

8. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos.pdf

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