08. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO
1. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación: Muestra 1 Deformación (en mm) 6 Dureza Brinell (en kg/mm2) 68
2 9 67
3 10 66 66
4 11 53
5 13 13 52
6 15 50
7 18 48
8 22 44
9 26 40
10 28 37 37
11 33 34
12 35 32
Suponiendo validos los supuestos necesarios, estime con 90% de confianza, la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm.
= = ̂= + =72,407; =1,229 → ̂=72,4071,229 .− = + ± −; − ∙ . + ∑ =; =, ; =; =,; =,; =, , , , =, . = ( ) = = , =, ; = = ∗ , =, , ((.), =,,∗ ± ;, ∗, + , ;, =,; → ((.), =[,;,] [,;,]
1) Solución: Sean:
“Dureza Brinell, en kg/mm 2 ”
“Deformación, en mm”;
La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
R e s p u e s t a : El intervalo
contiene la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm, con un 90% de confianza.
2. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación: Muestra 1 Deformación (en mm) 6 2 Dureza Brinell (en kg/mm ) 70
2 9 68
3 10 66
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
4 12 55
5 14 52
6 15 50
7 18 4488
8 22 44
9 26 40
10 28 37 37
11 33 35
12 35 30
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08. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO
Suponiendo validos los supuestos necesarios, estime con 95% de confianza, la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm.
= = ̂= + =74,6589; =1,3198 → ̂=74,65891,3198 ̅ 1 . − = +±−; − ∙. + ∑ ̅ =33; 1=0, 9 5; =12; =9,6859; =13,2833; ̅ =19 21 13,28331,3198 9,6859 =3,7858 . = 21 ( )= 1122 ̅ = 3319 =196 ; ̅ = 1 =11∗ 9,6859 =1031,9832 (. ), =74,65891,3198∗33 ± ;, ∗3,7858 121 + 1031,1969832 ;, =2,2281; → (.), =[26,6961;35,5149] [26,6961;35,5149]
2) Solución: Sean:
“Deformación, en mm”;
“Dureza Brinell, en kg/mm 2 ”
La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
R e s p u e s t a : El intervalo
contiene la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm, con un 95% de confianza.
3. Se ha encontrado la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro, para una muestra aleatoria de tamaño 6. CONCENTRACIÓN (X) LECTURA (Y)
4 80
5 170
6 260
7 330
8 390
9 430
Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables. Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura promedio en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 5.5 por ciento.
= = ̂= + =138,9048; =70,8571 → ̂=138,9048+70,8571 ̅ 1 . − = +±−; − ∙. + ∑ ̅
3) Solución: Sea:
“Concentración, en porcentaje”;
“Lectura en el colorímetro”
La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
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08. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO
=5, 5 ; 1=0, 9 5; =6; =1,8708; =133,8158; ̅ = 6,5 . = 21 ( )= 6621 133,8158 70,8571 1,8708 =20,4529 ̅ = 5,56,5 =1 ; ̅ = 1 =5∗ 1,8708 =17,4995 (. ), =138,9048+70,8571∗5,5 ± ;, ∗20,4529 16 + 17,41995 ;, =2,7764; → (.), =[223,9448;277,6737] [223,9448;277,6737] Con:
Reemplazando, obtenemos:
R e s p u e s t a : El intervalo
contiene la lectura promedio en el colorímetro de las sustancias que tengan una concentración de 5,5%, con una confianza del 95%.
4. Se ha encontrado la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro, para una muestra aleatoria de tamaño 8. CONCENTRACI N (X) LECTURA (Y)
4 80
5 170
5 200
6 260
7 330
7 334
8 390
9 430
Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables. Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6.5 por ciento.
= = ̂= + =168,7925; =69,4969 → ̂=168,7925+69,4969 ̅ ̅ − = +±−; − ∙. 1 + 1 + ∑ =6, 5 ; 1=0, 9 5; =8; =1,6850; =118,7142; ̅=6,375 . = 21 ( )= 8821 118,7142 69,4969 1,6850 =21,0588
4) Solución: Sean:
“Concentración, en porcentaje”;
“Lectura en el colorímetro”
La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
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08. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO
̅ = 6,56,375 =0,0156 ; ̅ = 1 =7∗ 1,6850 =19,8746 , =168,7925+69,4969∗6,5 ± ;, ∗21,0588 1 + 18 + 19,0,08156746 ;, =2,4469; → , =[228,2638;337,6109] [228,2638;337,6109]
R e s p u e s t a : El intervalo
contiene la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6,5%, con una confianza del 95%.
5. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de cemento es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 12 mezclas, obteniéndose la siguiente información. Mezcla Días de fragüe Resistencia
1 1 13
2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 7 2 3 7 7 3 2 21,9 29,8 32,4 24,5 24,2 30,4 34,5 26,2 24,5
11 1 13
12 10 42,6
Suponiendo validos los supuestos necesarios ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación?
= :: = ≠ :=,; = = √ √ → = , ,√ =, =0, 0 5 = | <−; − >−; − → ={ | <; , >; ,} = | T<2,2281 T>2,2281 ∈ =0,05
5) Solución: Sean:
=
“Número de días de fragüe”;
“Resistencia de una mezcla de cemento”
Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
La Región Crítica
:
R e s p u e s t a : Como
, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con .
6. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de cemento es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 10 mezclas, obteniéndose la siguiente información. Mezcla Días de fragüe Resistencia
Página 176
1 1 13
2 2 21,9
3 3 29,8
4 7 32,4
5 2 24,5
6 3 24,2
7 7 30,4
8 7 34,5
9 3 26,2
10 2 24,5
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08. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO
Suponiendo validos los supuestos necesarios ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación?
= :: = ≠ :=,; = = √ √ → = , √ =, , =0, 0 5 = | <−; − >−; − → ={ | <; , >; ,} = | T<2,3060 T>2,3060 ∈ =0,05
6) Solución: Sean:
=
“Número de días de fragüe”;
“Resistencia de una mezcla de cemento”
Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
La Región Crítica
:
R e s p u e s t a : Como
, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con .
7. Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero Barra Carbono (%) Resistencia
1 2,0 43
2 2,4 46
3 2,2 45
4 2,3 44
5 2,5 45
6 2,8 48
7 2,2 43
8 2,7 47
9 2,4 44
10 2,3 45
11 2,0 42
12 2,2 44
En base a información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios: 7.1) Estime la ecuación de regresión lineal que permita predecir la resistencia a la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del contenido de carbono. 7.2) ¿Es posible concluir con 5% de nivel significación que el contenido de carbono de las barras de este tipo de acero se asocia linealmente con la resistencia a la tracción?
= = ̂=+ =29,85; =6,35 → ̂ =29,85+6,35 :: =0 ≠0 =; =, √ 2 → = 0, 910710,√ 9107122 =6,8149 = √1
7.1) Solución: Sean:
“Contenido de carbono, en porcentaje”;
“Resistencia a la tracción”
7.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Con:
Entonces, el estadístico de prueba es:
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08. Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTÁDISTICO
=0, 0 5 = | <−; − ó >−; − → ={ | <; , ó >; ,} = | <2,2281 ó >2,2281
La Región Crítica (Con
):
R e s p u e s t a : Como
, no se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 5% de significación, existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción.
8. Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero Barra Carbono (%) Resistencia
1 2,4 46
2 2,2 45
3 2,3 44
4 2,5 45
5 2,8 48
6 2,2 43
7 2,7 47
8 2,4 44
9 2,3 45
10 2,0 42
En base a información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios: 8.1) Estime la ecuación de regresión lineal que permita predecir la resistencia a la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del contenido de carbono. 8.2) ¿Es posible concluir con 10% de nivel significación que el contenido de carbono de las barras de este tipo de acero se asocia linealmente con la resistencia a la tracción?
= = ̂=+ =28,85; =6,74 → ̂ =28,85+6,74 :: =0 ≠0 =; =,
8.1) Solución: Sean:
“Contenido de carbono, en porcentaje”;
“Resistencia a la tracción”
8.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Con:
Entonces, el estadístico de prueba es:
1 02 = √ √1 2 → = 0, 91012√ =5,88 0, 9 012 =0, 1 0 = | <−; − ó >−; − → ={ | <; , ó >; ,} = | <1,8595 ó >1,8595
La Región Crítica (Con
):
R e s p u e s t a : Como
, se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 10% de significación, no existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción.
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