23/09/14
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.C.U.A.) J. Arteaga - K. López - M. Ruiz - P. Molina - R. Valdés Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de Córdoba, Montería
RESUMEN El movimiento circular uniformemente acelerado está presente en muchas situaciones de la vida cotidiana, por lo que es importante entenderlo. en la siguiente práctica, estudiaremos el movimiento circular uniformemente acelerado, el cual describe un comportamiento circular como su nombre lo indica y tiene un aceleración constante, además de observar los casos en los que cambie la velocidad y aceleración angular, con el fin de hacer un mejor análisis de dicho movimiento.
1. TEORÍA RELACIONADA MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMENTE ACELERADO El movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) se presenta cuando una una partícula o cuerpo cuerpo sólido describe describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante. En el dibujo se observa un ejemplo en donde la velocidad aumenta linealmente en el tiempo. Suponiendo que el tiempo en llegar del punto P1 a P2 sea una unidad de tiempo, la partícula viaja con una aceleración tangencial uniforme v, incrementándose esa cantidad en cada unidad de tiempo.
es la que ocurre para un objeto que se mueve con velocidad constante en una trayectoria circular. El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria del objeto del objeto y perpendicular al radio de la trayectoria circular. circular. Ahora se demostrara que el vector aceleración en un movimiento circular siempre es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del círculo. Una aceleración de esta naturaleza se conoce como aceleración centrípeta (buscando el centro), y su magnitud es
= Así pues concluimos que en el movimiento movimiento circular uniforme, la
aceleración se dirige hacia el centro del círculo y tiene una magnitud dada por , donde es la velocidad de la partícula y es el radio de círculo. [1]
/
Figura 1 Posición El desplazamiento de la partícula es más rápido o más lento según avanza el tiempo. El ángulo recorrido (θ) en un intervalo
de tiempo t se calcula por la siguiente fórmula:
() = +
Ecuación (1)
Donde: = posición 0 = posición angular inicial t= tiempo α=aceleración angular.
En la figura 1 se muestra la relación entre los vectores de velocidad y aceleración en diversa etapas durante el movimiento circular uniforme, ambos vectores tiene magnitud constante a medida que avanza el movimiento, pero sus direcciones cambian. Advierta que la aceleración depende del cambio en el vector velocidad. Puesto que la velocidad es una cantidad ca ntidad vectorial, hay dos maneras en cuales puede producirse una aceleración, mediante mediante un cambio en la magnitud de la velocidad y por medio de un cambio en la dirección. Esta última situación
Velocidad angular La velocidad angular aumenta o disminuye linealmente cuando pasa una unidad del tiempo. Por lo lo tanto, podemos podemos calcular la velocidad angular en el instante t como:
= +
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Ecuación (2)
Dónde: 0 = posición angular inicial t= tiempo α=aceleración angular.
El sentido de la aceleración angular α puede ser contrario al de la velocidad angular ω. Si la aceleración angular es negativa,
sería un caso de movimiento circular uniformemente retardado. Velocidad tangencial La velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio r. La velocidad tangencial también se incrementa linealmente mediante la siguiente fórmula:
= +
Ecuación (3)
Dónde: 0 = posición angular inicial r=radio t= tiempo α=aceleración angular
Aceleración angular La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se calcula como el incremento de velocidad angular ω desde el instante inicial
hasta el final partido por el tiempo.
= ω
Ecuación (4)
Aceleración tangencial La aceleración tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado M.C.U.A. se calcula como el incremento de velocidad v desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.}
En un intervalo de tiempo pequeño Δt, la velocidad incrementa a v' en el punto P', después de haber descrito un ángulo Δφ.
En la figura se puede ver el incremento de la velocidad tangencial Δv descompuesta en dos componentes: la tangencial Δvt y la normal (centrípeta) Δvn. Si dividimos ambas componentes de la velocidad por Δt,
tendremos las componentes intrínsecas de la aceleración: la aceleración tangencial at y la aceleración normal (o centrípeta). Período En el MCUA la velocidad angular cambia respecto al tiempo. Por tanto, el período cada vez será menor o mayor según si decrece o crece la velocidad angular.
= 2 = 2+
Donde: Ecuación (7) 0 = posición angular inicial t= tiempo α=aceleración angular. Periodo (T) En el MCUA la velocidad angular cambia respecto al tiempo. Por tanto, el período cada vez será menor o mayor según si decrece o crece la velocidad angular.
= 2 = 2+
Ecuación (8) T recibe el nombre de periodo de revolución, o simplemente periodo del movimiento. En general es el tiempo en que una partícula se mueve alrededor de una trayectoria. Exactamente un vez
Ecuación (5)
Aceleración centrípeta o normal La aceleración centrípeta en el MCUA se halla mediante:
= = =
La velocidad tangencial por la trayectoria en un punto P es v.
Frecuencia La frecuencia en el caso del MCUA es mayor o menor porque la velocidad angular cambia. La fórmula de la frecuencia será:
Dándose aquí igualmente la posibilidad de aceleración negativa que se ha descrito en el apartado anterior. [2]
= α ∗ r
Dónde: r= radio de circulo v=velocidad Componentes intrínsecas de la aceleración
Ecuación (6)
Prueba de la ecuación (6) Para hallar la magnitud y la dirección de la aceleración para el movimiento circular uniforme consideramos la figura 2. En la
2
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figura 2, la partícula P se mueve a rapidez constante v alrededor de un circulo de radio r. en el instante en que se muestra, P tiene coordenada x_p y y_p. Recuérdese, que la velocidad v de una partícula en movimiento, siempre es tangente a la trayectoria de la partícula en la posición de la partícula. En la figura 2a, esto significa que v es perpendicular a un radio r trazado a la posición de la partícula. Por tanto, el ángulo θ que v forma con una vertical
⃗
⃗
⃗
lectura. Las posiciones angulares fueron determinadas por según la serie Que se ubicó respectivamente en el disco.
0,14⁄45 ,137⁄180,211 /180,55/36 .
Luego cuando se deseó tener un movimiento uniformemente acelerado, se usó el disco con cojinete de aire y se aceleró con pesas como se muestra en la figura 2; los valores de ángulo y tiempo se determinaron como se realizó en el caso anterior
en P es igual al ángulo θ que ese radio r forma con el eje x.
⃗
Para hallar la aceleración de una partícula P, debemos tomar la derivada del tiempo de esta ecuación. Si observamos que la rapidez v y el radio r no cambian con el tiempo, obtenemos:
⃗= = − ⃗+ ⃗ (5) Ahora observemos que la razón ⁄ con la que cambia es igual a la componente de velocidad . Del mismo modo ⁄ es igual a la componente de velocidad y teniendo en cuenta la ecuación (5) de la gráfica 2b =− y = . Al hacer estas situaciones en la ecuación (5), encontramos:
Figura 2. Montaje realizado para M.C.U.A.
⃗= − ⃗+ ⃗ (6) Este vector y sus componentes se muestran en la figura 2c al seguir la ecuación, encontramos que la magnitud de es:
⃗ = + = √ () +() = Como deseamos comprobar para orientar ⃗ podemos hallar el ángulo ∅ que se muestra en la figura 2c. ⁄) ∅= = −( −(⁄) = 2. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO
3. RESULTADOS Los resultados obtenidos en el laboratorio de física para el movimiento uniformemente acelerado son los siguientes: Rad tiempo
14 45
137 180
211 180
55 36
t1
2,024
3,500
4,504
5,207
t2
2,071
3,539
4,536
5,234
t3
2,275
3,741
4,743
5,440
t promedio
2,123
3,593
4,594
5,293
Tabla1: datos obtenidos para una masa de 14gr Los datos obtenidos durante la experimentación, se obtiene mediante una cuantificación de varias muestras, realizada por medio de un montaje experimental de acuerdo con la figura 2. Se colocaron las barreras ópticas a una separación angular fija ; la barrera de inicio fue conectada al contador, en la entrada START. La otra barrera se conectó a la caja de conexiones y esta a su vez fue conectada uno a uno al contador . Se hizo girar el motor teniendo el sentido de giro debía ser tal que la pestaña ubicada sobre el disco interrumpiera primero el haz de la barrera de inicio. Para tomar las medidas del tiempo se oprimió el reset del contador y de la caja de conexiones en cada intento; se observó cómo se activaban los contadores y si esta era errónea reset de nuevo hasta estar seguros de tener una buena
4. EVALUACION 1. Con los datos tomados construya una gráfica de Vs t en cada caso.
3
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uniformemente acelerado; aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada intervalo de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante
B 5
= 0,00222 + 0,15643∗ + 0,14123∗ = 0,15643 + 2∗ 0,14123 ∗ =0,15643
4 ) d 3 a R ( - s o l u 2 g n a
1
0
0
1
2
3
4
5
6
tiempo (t)
Gráfica- 1 2. A partir de las gráficas obtenidas deduzca relaciones funcionales que guardan las variables y t en los dos movimientos estudiados. R// en el caso del movimiento circular uniformente acelerado, las regresiones de las gráficas-1, que el ángulo varia cuadráticamente respecto al tiempo
MCU (Movimiento Circular Uniforme) esta incorporación del radio, permite asociar las formulas o ecuaciones típicas del MRUA (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado) al MCUA del siguiente modo Espacio por el ángulo Velocidad lineal por la velocidad angular Aceleración lineal por aceleración Siempre y cuando el ángulo este en radianes, la velocidad angular y la aceleración angular en
⁄
⁄
3. Usando las relaciones funcionales halladas en el punto anterior determine para cada caso: posición angular inicial, velocidad angular inicial. R// Para el movimiento circular uniformemente acelerado se tiene que la velocidad angular inicial es igual a la velocidad angular final y que su posición es 0 igualmente que en el movimiento circular uniforme.
4. ¿corresponden las gráficas y las relaciones funcionales halladas en los puntos 1 y 2 con las esperadas teóricamente. R// Si, por que la teoría dice que para un movimiento circular uniforme, el ángulo barrido varia linealmente con el tiempo ya que la velocidad es constate; y para un movimiento circular uniformemente acelerado el ángulo barrido varia cuadráticamente respecto al tiempo transcurrido, lo cual concuerda con los datos obtenidos en la práctica.
5. Trace varias rectas tangentes a la grafica vs t en distintos puntos. ¿qué unidades tiene la pendiente de esta recta?¿qué significado físico posee?¿tiene el mismo valor en todos los puntos? R// Para un movimiento circular uniformemente acelerado las rectas tangentes da como resultado que las pendientes o velocidad aumenta linealmente respecto al tiempo, esto nos da a entender que en el movimiento hay una aceleración constante, y las unidades son de rad/s.
Calculando la primera derivada de θ se
obtiene la fórmula de velocidad angular, teniendo en t=0, la velocidad angular inicial es ; viene siendo la velocidad del punto inicial de la trayectoria y tiene sentido ya que el movimiento es circular
= 0,15643 ⁄
6. Calcule la aceleración angular de este movimiento, halle la aceleración normal y la tangencial. R// Calculando la segunda derivada de θ se obtiene la fórmula de aceleración angular
= 2 ∗ 0,14123 =0,28246 4
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Aceleración tangencial
= α∗ r = 0,28246 ∗ =
aceleración normal
=
BIBLIOGRAFÍA [1] Serway R.A. Beichner R.J, 2002, Física para ciencias e ingenierías, Tomo I, 4ª edición, Editorial McGraw- Hill interamericana S.A, México D.F, pág. 85-87. [2] Alonso M., Finn E. 1976-1970, Mecánica vol. 1. Ed. por Fondo Educativo Interamericano S.A., México.pag. (106-111).
⁄ ) =/ = (, 7. De ejemplo de movimiento circular uniformemente acelerado en la naturaleza. R// La rotación de la tierra, los planetas se mueven (aproximadamente) en órbitas circulares alrededor del sol.
CONCLUSION Analizando cómo se mueven los objetos de manera de movimiento circular uniformente acelerado, las regresiones de las gráficas-1, que el ángulo varia cuadráticamente respecto al tiempo.
La velocidad del punto inicial de la trayectoria tiende a cero ya que el movimiento es circular uniformemente acelerado; aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada intervalo de tiempo, con la partícula se mueve con aceleración constante.
5
