4 Módulo
Estrategias para resolver problemas relacionados con fracciones (parte-todo)
Módulo 4 Estrategias para resolver problemas relacionados con fracciones (parte-todo)
Nuevamente, ¡bienvenidos, docentes, al cuarto módulo relacionado con las fracciones! Es seguro que se encuentran más familiarizados con esta nueva estrategia de actualización; sin embargo, es necesario abrir chats y foros para conocer sus comentarios sobre las prácticas pedagógicas que vayan realizando con sus estudiantes al aplicar estas nuevas estrategias de enseñanza, con el fin de enriquecer ese saber hacer en el aula que tiene todo docente de primaria.
A. ¿Qué conocimientos básicos habrá que tener en cuenta ? Las fracciones, históricamente, aparecen asociadas a la necesidad de medir, pero en el lenguaje cotidiano la idea de fracción como “la mitad”, “la cuarta parte”, o “la quinta parte” de un todo se relaciona con el proceso de dividir o repartir. Por ejemplo, para calcular longitudes, usamos como unidad de medida el metro (m); pero la medida de las longitudes de los objetos no miden metros completos, por lo que también es posible y necesario medirlos en centímetros (cm) o milímetros (mm). Para este fin, dividiremos la unidad en partes más pequeñas, lo cual nos lleva a la idea de fracción. Cuando se parte una unidad en un número entero de partes iguales y se toma un número entero de esas partes, posiblemente mayor que el número de partes contenidas en la unidad, se obtiene una fracción. La fracción 2/5 da cuenta de la partición de una unidad en cinco partes iguales, de las cuales se han tomado dos de esas partes, es decir, dos veces un quinto 2 (1/5) = 2/5, a la que llamamos “dos quintos”.
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Cuando se parte una unidad por un número de unidades (2, 3, 4...) y tomamos un número de estas partes, se habla de fracción: 2/5, 5/4, 3/10, etc. Cuando se parte una unidad por un número de unidades igual a una potencia de 10 (10, 100, 1000...), la fracción obtenida se llama fracción decimal: 4/10, 54/10, 4/100, 3/1000… Las fracciones en un inicio están vinculadas a los repartos o particiones físicas de las cuales dan cuenta, pero poco a poco se van desligando cuando se comparan, se ordenan, se ubican en una semirrecta graduada o se opera con ellas. A estos números, que podemos escribir bajo la forma de una fracción, se les llama números racionales 1. Por tanto, la fracción es una representación del número racional. La construcción del número racional es un proceso de “largo aliento” cuyas primeras nociones empiezan en el nivel primario y continúan en los siguientes niveles.
En general, en el nivel de primaria, se trabaja solo con números racionales que se pueden representar como el cociente indicado de dos números naturales a , b donde b es diferente de cero. Los estudiantes de cuarto grado resuelven problemas relacionados con las particiones de una unidad, las fracciones usuales 2 y las equivalencias entre fracciones.
B. ¿Cómo construyen los estudiantes el concepto de fracción ? En este módulo, las fracciones se incorporan al estudio de los números con nuevas representaciones y nuevos procedimientos que amplían el sentido numérico. La estimación que se realice con algunas unidades del sistema métrico decimal, tales como centímetros, metros, kilogramos, litros, así como la ubicación y visualización en segmentos y formas geométricas, serán experiencias necesarias para facilitar las equivalencias con estas unidades, además de enriquecer los problemas con más elementos del entorno físico y social del estudiante. Si bien se recomienda que debe predominar lo intuitivo y sensorial en estos grados, a la vez, se tiene que representar las relaciones que se establecen y encuentran en estas experiencias con expresiones numéricas, para avanzar en el desarrollo de las capacidades cognitivas de los estudiantes y en el lenguaje matemático. 1 2
Eduscol.education.fr/ressources-2016-Ministere Eduscol.education.fr/ressources-2 016-Ministere de l education nationale, de l´enseignement l´enseignement superieur et de la recherche. Mars 2016 Con denominadores denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10. 10.
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Algunos de los estudios recientes acerca de las fracciones 3, que destacan lo cognitivo, son los estudios de Kieren (1983), quien propone dos tipos de herramientas o mecanismos mentales para la construcción del conocimiento del número fraccionario, unos de desarrollo y otros constructivos. Los de desarrollo están vinculados con la experiencia, se identifican con la conservación del todo y el razonamiento proporcional; los constructivos se relacionan con la partición, la equivalencia cuantitativa y la generación de unidades divisibles. Los significados y sus correspondientes “mecanismos” se encuentran ligados a aplicaciones espe¬cíficas y forman parte de lo que se ha denominado matemática intuitiva. Al respecto, Piaget, Inheler y Szeminska (Dickson y otros; 1991) puntualizan siete subconceptos para comprender las nociones básicas de la fracción. Estos subconceptos o criterios se condicen con los mecanismos de formación (la partición, la equivalencia cuantitativa y la generación de unidades divisibles) y son transversales a todos los significados de la fracción, los cuales son los siguientes: 1. Considerar divisible el “todo” (región o colección), potencialmente compuesto por elementos separables. 2. El mismo “todo” se puede dividir, cortarse o partir en diferente número de partes “iguales” (congruentes) o equivalentes, según se solicite, y podemos elegir el número de partes. 3. La subdivisión debe ser exhaustiva. 4. Centrar la equivalencia de las partes en su tamaño. 5. Distinguir entre número de cortes y número de partes (el número de cortes y el número de partes no son necesariamente iguales). 6. Comprender la relación inversa entre el número de partes equivalentes y el valor de cada parte (a mayor número de partes, menor extensión de las mismas). 7. Admitir la construcción del todo como suma de las partes, es decir, el “todo” se conserva aunque sea dividido en partes. Asimismo, para que los estudiantes construyan el concepto de fracción, es importante que los docentes los ayuden a establecer todas las posibles relaciones entre las propias fracciones, entre estas, las equivalencias, la división, la medida, la proporcionalidad y otras. 3
Perera, P.; Valdemoros Valdemoros M. M. (abril, (abril, 2009). 2009). Enseñanza Enseñanza experimental experimental de las las fracciones fracciones en en cuarto grado en Educación Matemática. Scielo. 21(1), pp. 29-61
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Muchos de nuestros estudiantes presentan dificultades de comprensión de este importante concepto y ello es debido, según varios autores, a sus diversas concepciones, interpretaciones, acepciones y representaciones.
C. ¿Qué estrategias se pueden utilizar para superar dificultades en la construcción de esta noción ? Para que nuestros estudiantes puedan aprender de sus errores, veamos cuáles son sus mayores dificultades. Con base en estas, se proponen actividades que se han experimentado en aula o proceden de otros estudios realizados en diferentes contextos.
1. Cubriendo el círculo círculo El propósito de esta actividad es que los niños y las niñas establezcan la relación entre la parte y el todo, pues, generalmente, se centran solo en el conteo de las partes. Veamos: Con todos los estudiantes del aula se inicia una exploración de cubrimiento de superficies usando piezas circulares de fracciones. Luego, comienzan a familiarizarse con los colores y relaciones entre estas piezas de colores azules, marrones y amarillas, y el círculo negro que representa el todo o la unidad:
El/la docente formula estas preguntas: - ¿Cuántas piezas azules cubren el círculo negro ? - ¿Cuántas marrones cubren el círculo negro ? - ¿Cuál es más grande: 1 marrón o 1 azul ? - ¿Cuántas piezas azules cubren 1 círculo amarillo ? - ¿Cuál es más grande: 1 marrón o 2 azules ? - ¿Cuántas azules cubren 1 círculo amarillo ?
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Luego, en grupos pequeños de 3 estudiantes o en parejas, los estudiantes continúan esta exploración usando estos materiales circulares:
Los sectores circulares rosados son octavos del círculo y el gris es un sexto.
Los sectores rojos son novenos.
1. 2.
marrones son iguales a 1 círculo unidad. 1 círculo es igual a
azules.
3.
amarillos son iguales a 1 círculo unidad.
4.
azules son iguales a 1 amarillo.
5.
1círculo unidad es igual a 1 marrón
rojos.
6.
1 marrón es (menor (menor que, igual a, mayor que) 1 rosado. rosado.
7.
1 es rojo es (menor (menor que, igual a, mayor que) 1 marrón. marrón.
8.
1 amarillo es (menor (menor que, igual a, mayor que) 1 marrón.
9.
1 amarillo y 1 marrón y 1
es igual a 1 círculo unidad.
10. 1 amarillo y 1 marrón es igual a 1 marrón y 2 11. 4 rosados y 1 12.
equivalen a 1 círculo conjunto. rosados y 1 azul y 1 amarillo es igual a 1 círculo unidad.
13. 2 rosados y 1 azul son iguales a 14. 1 marrón es igual a 15. 4
.
grises. rojos.
son iguales a 1 amarillo.
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A cada grupo se le entrega la siguiente lista, para que la complete según la exploración realizada. Cada grupo dispone del material necesario. El trabajo en los grupos pequeños es pausado y verificado, esto da lugar a discusiones y razonamientos que deben ser compartidos. La sesión se prolonga a una nueva sesión si es necesario. Pueden hacer más anotaciones y nuevas propuestas de cubrimientos de unas partes con otras, de manera que, en ocasiones, la unidad círculo negro ya no sea la unidad, sino una de las partes pase a ser la unidad de otras partes.
Cierre de sesión Se puede plantear la siguiente situación como cierre de sesión: La figura de la izquierda representa el círculo que se desea cubrir. A la derecha están las partes de círculo que serán escogidas para cubrir el círculo propuesto.
Los estudiantes tienen que determinar qué combinación de partes cubrirán la forma del círculo de la izquierda. Con respecto al material, las piezas seleccionadas no tienen que ser del mismo color. En sesiones siguientes, los estudiantes explorarán las relaciones entre las piezas (partes) del círculo (todo), así como la nomenclatura oral de las fracciones para la unidad: un medio, un tercio, un cuarto, un sexto, un octavo, un noveno. También, se puede proponer este otro caso:
Sofía dice que 1 pieza de color gris es un tercio; Nicolás dice que la pieza gris es un medio. ¿Quién tiene razón?
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Nótese que 1 pieza gris es un tercio de la pieza amarilla; 1 gris también es un medio de la pieza marrón. Al evaluar, tanto lo que diga Sofía como Nicolás será correcto, una vez que se sepa con qué unidad se está comparando la pieza gris. Otra manera de evaluar la respuesta a la pregunta del caso es colocando sobre una mesa una pieza de cada color: amarillo, azul, rosa, gris y, luego, plantear lo siguiente: “Aquí tienen todas estas piezas que se llaman ‘un medio’ o ‘una mitad’, pero son de diferentes tamaños. ¿Cómo es esto posible?”. La siguiente alternativa de caso fue propuesta por una docente: “Encuentra tres maneras diferentes de cubrir 1 pieza amarilla. Encuentra tres diferentes formas de cubrir 1 pieza marrón”. Sería muy interesante que pudieran reemplazar el material de los círculos con las regletas de colores4, a fin de que sea más fácil la representación concreta, pictórica, gráfica y simbólica de medios, tercios, cuartos, sextos, quintos, novenos y décimos, como parte de un todo y como fracciones usuales equivalentes5.
Comí dos pedazos de mi barra.
Regletas que representan lo que comió Lola. Regleta que representa el chocolate entero. Lola comió
. Comí tres pedazos de mi barra.
Regletas que representan lo que comió Paco. Regleta que representa el chocolate entero. Paco comió
. 6
4 5 6
Regletas de Cuisenaire, Cuisenaire, que forman parte de de la dotación dotación de materiales materiales educativos de de las instituciones instituciones educativas del Minedu. Minedu. (1997). (1997). Aprendemos Matemática. Matemática. Guía Guía y cuaderno de trabajo de 4.° grado, pp. 150 150 y 152. Minedu. (2015). Cuaderno de trabajo Matemática 4.° grado, p. 83. Minedu. (2015). Cuaderno Cuaderno de trabajo Matemática Matemática 4.° grado, p. 83.
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Una vez realizada la actividad exploratoria con las regletas, se les propone hacer una alfombra usando regletas a partir de una regleta como referencia. Si escogemos la marrón: Reconocieron los valores regletas que ya conocían:
de
las
• La marrón marrón vale 8 y es una regleta. • Hay dos rosadas, una regleta es 1/2 de la marrón. • Las regletas octavos.
blancas
son
los
• La regleta roja es un cuarto de la regleta marrón.
Se aclaró a los estudiantes que una alfombra bonita sería aquella que usara solo regletas del mismo color en cada fila. Entonces, ellos determinaron lo siguiente:
En una de las aulas, la docente decidió escribir con acierto las relaciones que encontraron los estudiantes: 8 = 4 × 2 y 2 es 1/4 de 8; ¼ × 8 = 2; 2/4 × 8 = 4 (regleta rosada); ¾ × 8 = 6 (regleta verde oscura) y 4/4 × 8 = 8 -
Niña: La naranja equivale a 5 rojas.
-
Docente (escribe en la pizarra): 5/4 × 8 = 10
-
Niña: No entiendo por qué ¾ × 8 es la regleta verde oscura.
-
Docente (indica (indica la resolución): Vamos Vamos a retomar la alfombra alfombra para para verificar verificar que la regleta verde oscura recubre exactamente 3 regletas rojas; es decir, ¾ de 8 es 6. También, esta regleta recubre 3/2 de una rosada: 3/2 × 4 = 6.
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2. Plegando tiras tiras de papel El propósito de esta actividad es representar diferentes fracciones en una misma unidad, pues los niños y las niñas, generalmente, representan solo una fracción en cada unidad. Veamos: Los estudiantes reciben varias tiras de papel para doblarlas por la mitad.
Luego, colorean la mitad de una tira. 1 de 2 partes iguales es azul, es decir, de la tira es azul. Posteriormente, doblan la tira de nuevo por la mitad.
¿Qué partes están coloreadas ?
2 de la tira es azul. 4 Con base en la tira trabajada, la doblan por tercera vez por la mitad. ¿Qué partes están coloreadas ? 2 de 4 partes iguales son azules:
4 de 8 partes iguales son azules: Entonces:
4 1 2 4 de la tira son azules. = = 8 2 4 8
1 2 4 , y son fracciones equivalentes. 2 4 8
¿Cómo son los numeradores de estas fracciones ? ¿ Y los denominadores?
1 2 4 , y 2 4 8 - Los numeradores van de 1, 2, 4. Es decir, se duplican. - Los denominadores 2, 4, 8. También se duplican.
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Los estudiantes forman grupos de tres o cuatro integrantes y usan tiras de papel del mismo tamaño. La idea es que encuentren fracciones equivalentes a ¼ y ¾. En la dotación de los cuadernos de trabajo 7 existe una versión de los rectángulos de colores que puede usarse adecuadamente para aprovechar la búsqueda de nuevas fracciones equivalentes. ¿Y qué son fracciones equivalentes?
Recordemos que una misma fracción se puede escribir y representar r epresentar de múltiples formas. • Ejemplo: Julio dibuja en su cuaderno una figura cuadrangular, como la de la derecha. Según esta situación, responde la siguiente pregunta: -
¿Crees que la fracción que representa la región sombreada en la figura de 1 Julio es ? ¿ Por qué? 2 Julio siguió dibujando e hizo estas dos figuras:
-
¿La fracción que Julio representó es
12 4 o ? Justifica tu respuesta. 18 6
Ahora, analiza este nuevo ejemplo:
¿Cómo están divididos los tres rectángulos ?
El primer rectángulo está dividido en 8 partes iguales y 4 de las partes están 4 coloreadas. La fracción representa la parte coloreada del entero. El segundo 8 rectángulo tiene el mismo tamaño que el primero, pero está dividido en 4 partes 2 iguales. La fracción representa la parte coloreada de la unidad. Como 4 representan la misma parte de la unidad, se escribe: 7
Minedu. (2016). Matemática Matemática 4. Cuaderno Cuaderno de trabajo de de 4.° grado, p. 129.
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Para verificar si dos fracciones son equivalentes, se multiplica el numerador de una fracción por el denominador de la otra y ambos productos deben ser iguales: 4 2 – 8 4 4×4=8×2
Este criterio muy conocido define la equivalencia de 4/8 y 2/4.
El tercer rectángulo tiene el mismo tamaño que los otros dos rectángulos, pero 1 está dividido en 2 partes iguales. representa la parte coloreada de la unidad. 2 1 Aplica el criterio conocido y verifica si la fracción es equivalente a la fracción 2 4/8.
3. Flores y colores El propósito de esta actividad es que los estudiantes tengan en cuenta que la unidad es toda la colección de flores, conformada por las 12 flores. Esto da lugar a establecer el todo de las flores chicas y el todo de las flores grandes. Los niños y las niñas deben darse cuenta de que el “todo” es una colección porque se trata de cantidades que pueden contar (cantidades discretas) y, como colección, es divisible en un número finito de veces con igual cantidad de elementos. Sin embargo, como unidad, es decir, una persona, un animal o una cosa —en este caso una flor— no es divisible; o sea, no se puede dividir a un niño por la mitad, a un perro en tres partes, una moto en cinco partes o una flor en cuatro partes “iguales”, respectivamente. Veamos el siguiente ejemplo: Nathalia entregó a cada uno de sus estudiantes esta lámina de flores y les pidió que la recortaran para trabajar según sus colores y formas:
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Ellos, mientras recortaban las figuras, observaron las flores, buscaron similitudes entre ellas y les asignaron nombres, pues en la zona donde vivían había muchas flores parecidas a las de las figuras que recortaron. Concluidas estas actividades, Nathalia les hizo estas preguntas: -
¿Cuántas flores hay? ¿Todas las flores son azules?
-
¿Es cierto que la mitad de las flores son amarillas ?
-
¿Qué hay más: flores azules o flores grandes ? ¿ Por qué?
-
¿Será correcto afirmar que un tercio de las flores son azules ? ¿ Por qué?
-
¿Cómo sabremos que los dos girasoles son un sexto de las flores ? (Varios estudiantes dijeron que un girasol era un sexto y no dos girasoles).
-
¿Puedo partir una flor roja? ¿ Cómo lo harían?
Como docentes, ¿qué propondrían para ayudar a Nathalia ? ¿Trabajarían con las doce flores? ¿ Por qué?
4. Repartiendo naranjas El propósito de esta actividad es trabajar la conservación del “todo”, a partir de la construcción y reconstrucción de la unidad o el “todo” (en el caso de las naranjas será una cantidad discreta) como suma de las partes, es decir, los estudiantes comprenden que el total se conserva aunque sea dividido en partes. Veamos el siguiente ejemplo: La profesora Daniela entra al aula y plantea este caso:
Sofía ha recogido 12 naranjas en una canasta y ha separado 1/3 de esas naranjas para regalarlas a su primo Nicolás. ¿Cómo encontraremos 1/3 de 12? Con el fin de resolver el caso, los estudiantes representan 12 naranjas. Algunos sacan sus tarjetas y otros no. Los que tienen tarjetas representan 12 así:
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La docente indica que representen 12, pero formando grupos de 3 en las casillas:
Luego, plantea esta pregunta: ¿Cómo representaremos 1/3 de cada grupo en las tarjetas? Los estudiantes dejan un tercio de cada tres y lo representan así:
Todos responden que hay 4. La docente precisa que “1/3 de 12 es 4” y se escribe así: “1/3 de 12 = 4”. Cabe resaltar que algunos estudiantes han utilizado semillas para representar las 12 naranjas y formado grupos de 3: 12 naranjas en grupos de 3 (Dibujo de 12 círculos representando a las naranjas en grupos de 3) La docente aprovecha esta idea y les pide representar las naranjas en una hoja de papel, de esta manera: 000 000 000 000 Posteriormente, señala que representen 1/3 de cada grupo de naranjas y las pinten: 000 000 000 000 Continúa preguntando: ¿Cuántas naranjas pintadas? 4
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Entonces, escribe en la pizarra: 4 es 1/3 de 12. La docente propicia la resolución con el grupo clase; para ello, propone calcular mentalmente. Luego, pregunta: Si 4 es 1/3 de 12 naranjas, ¿cuántas naranjas son “dos tercios de 12 naranjas”? • 2/3 de 12 es 1/3 y 1/3 • “1/3 y otro 1/3 es 4 y 4, o sea, 8” Formula esta interrogante a sus estudiantes: ¿Cómo lo representaríamos? Seguidamente, guía la resolución: • ¡Dibujen y coloreen las naranjas! 12 naranjas en grupos de 3: 000 000 000 000 2/3 de cada grupo: 000 000 000 000 • ¿Cuántas naranjas pintadas? 8 • Escribe en la pizarra: 2/3 de 12 es 8 • ¿Cuántas naranjas serían 3/3 de 12 naranjas ? 12 naranjas en grupos de 3: 000 000 000 000 Se representa 3/3 de cada grupo: 000 000 000 000 • ¿Cuántas naranjas pintadas? 12 • Escribe: 12 es 3/3 de 12 • La docente motiva a los estudiantes mencionando “Hoy están trabajando muy bien”. Luego, propone esta pregunta: ¿Podrían encontrar 5/3 de 12 ? Algunos(as) niños(as) responden que 5/3 son 5 veces un tercio y que no alcanzarán las naranjas. La docente indaga por qué respondieron que no alcanzarían las naranjas: • 3/3 son 12 y no hay más naranjas. • Imaginemos que hay más naranjas 8. Ya encontramos 1/3, que es 4, entonces, es más de 12. • 2/3 es 8 (no dicen 2/3 de 12). • 12 y 8 son 20 naranjas. 8
Nuevamente, la reexión de Fandiño Pinilla en torno a las las fracciones como como parte de la unidad-todo. unidad-todo.
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• Sofía tenía solo 12; no puede ser, hay algo raro. • Hemos imaginado que tiene más naranjas. • Entonces, es otra historia. En este momento, se hace necesario demostrar lo encontrado y verbalizado por algunos de los estudiantes. Es muy posible que no todos hayan seguido el mismo razonamiento ni coincidido con las respuestas a las preguntas de la docente. Resulta necesario compartir y aclarar estos hallazgos que se dan en el aula. La docente intenta, con ayuda de los estudiantes participantes, dar esta explicación y lo escribe simbólicamente en la pizarra. Los cálculos que surgieron como una prolongación del problema de las naranjas fueron los siguientes:
5/3 de 12 (Se les pidió encontrar)
3/3
2/3 (Andrés separó 5/3 en 3/3 y 2/3)
1/3 + 1/3 12
4
4 ((Joaquín Joaquín recordó que 3/3 es 12 y que si 1/3 es 4, entonces, 2/3 es 8) 20 (Julio dijo: “Si sumamos 12 + 4 + 4, se obtiene 20”) Entonces, 5/3 de 12 es 20 .
Finalmente, la docente y sus estudiantes registraron en sus cuadernos el problema y los cálculos realizados ese día.
5. Corremos y ganamos El propósito de esta actividad es que los niños y las niñas puedan relacionar la posición de los puntos de la recta y la división de la longitud unidad (recorrido-cantidad continua) en partes “iguales” y, luego, comunicar a sus compañeros(as) compañeros(a s) estas posiciones. Esta actividad permite introducir la notación de fracción como respuesta a un problema: el sentido del numerador y denominador, pues estos dan información
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para colocar el punto en la posición correcta. Además, hace posible visualizar las fracciones impropias. Asimismo, la ampliación de esta actividad implica superar errores como “1/5 > 1/3”, que devienen de la comparación entre números naturales (5 > 3). Veamos este ejemplo: Al finalizar una sesión en el patio, los estudiantes entraron a su aula y encontraron esta figura: Pista de carreras PARTIDA
META
0
1
Los estudiantes se preguntaban si la docente había estado con ellos en el patio. Por su parte, ella les explica lo que significa la imagen. Con este fin, menciona: “¿Ven esta pista de carreras ? En ella encontrarán a algunos niños corriendo y que, por un momento, se quedarán inmóviles, para que ustedes los encuentren”. Luego, presenta la siguiente historia en un papelote:
Andrés se encuentra a un tercio de la meta, Julio está en la mitad del recorrido, Joaquín se ha desplazado en dos tercios, Nicolás recorrió un sexto y David está en los cinco sextos. Sergio está en un tercio del recorrido. A partir de la presentación del caso, pregunta: • ¿Dónde se encuentran esos niños? ¿Quién está más cerca de la meta ? • ¿Quiénes se encuentran en el mismo lugar del recorrido ? •
¿Quién está más lejos de la meta ?
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La docente indica que se formen en grupos de tres y a cada grupo le entrega una copia de la figura en una hoja de papel. Seguidamente, brinda algunas acotaciones y escucha las preguntas y los comentarios de los estudiantes: • Van a leer con atención el caso, para ubicar a cada niño en en un lugar de esa pista de carreras y, luego, escribirán los nombres una vez que estén seguros que allí se encuentran. • “Necesitamos reglas para medir” (Comentan algunos estudiantes) • “¿Podemos doblar la hoja?” (El segmento de recta les recuerda a las tiras de papel a las que les hicieron dobleces y que usaron en una sesión anterior). • “¿Para qué son esas rayitas?” (Repara una niña en las marcas) • “Solo hay tercios y sextos” (Menciona otra niña que leyó reiteradamente el enunciado e hizo preguntas sobre “partida” y “meta”) La mayoría de los grupos encuentra primero a Julio, pues les ha sido fácil ubicarlo a la mitad del segmento. Varios estudiantes ubican a Andrés en un tercio del recorrido y no a un tercio de la meta; además, dicen que Sergio y Andrés están juntos. Aquí, el “todo” es el segmento de recta y las partes no son partes de una tira. La docente les sugiere hacer dobleces en el papel: • Pueden usar las tiras de papel, pero pongan atención a las “rayitas”, pues son marcas que presenta la pista de carrera. Estas nos dan una idea para ubicar a los niños que están corriendo. Uno de los grupos señaló que la pista tenía 60 cm, esto dio lugar a que los demás grupos sacaran sus reglas o pidieran a la docente las cintas métricas para realizar mediciones. • “Julio ha recorrido 30 centímetros” • “Cada rayita está en 10, 20, 30...” La docente reiteró algunas orientaciones y, finalmente, realizó el cierre de esta sesión: • Muy bien por hacer hacer esas esas mediciones mediciones en el segmento. segmento. • ¿De qué trataba el problema ? ¿Qué decía? ¿Qué han encontrado? El caso planteado en esta sesión se prolongó a dos sesiones más, pues luego de encontrar a los niños corredores, tuvieron que teatralizar tanto la situación como los roles de los diferentes niños, para convencer a los demás que una ubicación era “estar a 1/3 de la meta” y otra “haber recorrido un tercio” de la pista; así como explicar por qué Andrés y Joaquín estaban en el mismo lugar.
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Cabe señalar que, también, encontraron relaciones como “30 era la mitad de 60”, “20 era la tercia de 60”, “10 era un sexto de 60” y otras como “10 era un décimo de 100”. Por ello, fue necesario orientar las preguntas y dirigirlas a las mediciones usando segmentos graduados como el siguiente:
1 2 0
2 2
3 2
4 2
1
1 12
2
1 2 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 0
1
2
A
B 3
1 32
4
D
C 5
E 3
4
6
F 5
6
A partir de este segmento, se pudo ubicar fracciones llamadas “impropias” y “números mixtos”, además, trabajar con metros (m) y centímetros (cm) y establecer las relaciones decimales que se daban en las mediciones de segmentos y la escritura de esas fracciones decimales. ¿Qué otras preguntas pudo haber planteado la docente ? ¿Por qué?
Una de las aulas vecinas, además de trabajar estas situaciones, planteó este problema:
Julio es carpintero y trabaja haciendo marcos de cuadros, por eso, necesita cortar varillas de madera en trozos más pequeños. Él ha cortado una varilla de de 5 m de largo en trozos de 25 centímetros. ¿Cuántos trozos obtuvo Julio después de cortar toda la varilla? La varilla es un todo, pero de 5 m de longitud, y las partes serán trozos de 25 cm de longitud. Los docentes de estas aulas no estaban muy convencidos de trabajar la equivalencia de las unidades de longitud, porque este tema estaba
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previsto para el 4.° bimestre, sin embargo, luego de la experiencia, decidieron que una vez a la semana trabajarían estas actividades de medición. ¿Por qué crees que pudo haber ocurrido esto ?
6. Figuras y partes en un Tangrama El propósito de esta actividad es que los niños diferencien una parte del todo, además reconstituyan la unidad a partir de una de sus partes. Veamos: En otra aula de cuarto grado, los estudiantes habían trabajado con los tangrama para reconocer diferentes figuras poligonales y establecer algunas equivalencias y congruencias entre algunas de las 7 piezas. Desde luego también habían construido interesantes figuras usando todas las piezas del tangrama. El docente les propuso entonces lo siguiente: Tangrama Hoy vamos a trabajar con los tangrama. Escuchen, pueden hacer las construcciones, pero esta vez hay un nuevo reto, van a encontrar cuánto vale cada pieza del tangrama si todo el diagrama vale 1.
Que bueno voy a formar un zorro”
“yo voy a hacer un triángulo grande con todas las piezas”
“ya hice el paralelogramo”
• ¿Cuántas piezas tiene el tangrama? • ¿Será cierto que si todo el tangrama vale 1, la pieza cuadrada azul vale 1/7 del tangrama? ¿cómo lo saben? ¿por qué es así ? O ¿porqué no lo es?
Hay algunas reflexiones que te invito las realices y luego las trabajes en tu aula, como: • No se trabaja trabaja con fracciones fracciones mayores que que la unidad ¿por qué? ¿cómo hacer este trabajo teniendo en cuenta las cantidades continuas y discretas ? • No se tiene en cuenta la necesaria equidad equidad de de las partes ¿por qué? ¿cómo hacer este trabajo teniendo en cuenta las cantidades continuas y discretas ? • No se trabaja la independencia independencia de la forma ¿por qué? ¿cómo hacer este trabajo teniendo en cuenta las cantidades continuas ?
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