5.1 Integración Múltiple (Parte I) – Ejercicios Resueltos
CÁLCULO III PARA INGENIERÍA
1. Calcular el volumen del subconjunto .
limitado por las superficies
, ,
1) SOLUCIÓN: El cálculo del volumen de la región descrita se calcula por la siguiente fórmula:
Primero buscaremos las intersecciones entre el plano y los paraboloides. Entonces con
Donde la región es:
Como estamos trabajando en las tres coordenadas, tenemos usar las coordenadas cilíndricas (por la descripción de la región ). Sean:
Luego de eso calcularemos el Jacobiano (siempre se debe calcular cuando se hacen cambios de variables o coordenadas),
Entonces
Ahora veamos los límites de integración para las coordenadas cilíndricas
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Javier León Paredes
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La nueva región para las coordenadas cilíndricas es:
Al reemplazar las coordenadas cilíndricas en la triple integral, quedaría de la forma:
Por lo tanto, el volumen de la región descrita
es
2. Resolver
En que
es el triángulo de vértice
Indicación: Utilice el cambio de variables
2) SOLUCIÓN: Con la indicación del cambio de variables, tenemos que despejar las variables e en función de . Entonces:
Ubicando los puntos en el plano cartesiano, se tiene una línea recta que une los puntos , lo cual su pendiente es:
La ecuación de esa línea recta es:
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y
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Si Si Si
Por tanto, el nuevo dominio
para las variables
es:
Ahora calcularemos el jacobiano:
Por tanto, la doble integral:
Poniendo los límites de integración y aplicando el método de Fubini tenemos:
Por ende, la doble integral en el dominio descrito es:
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3. Resolver la integral
Si
es la región dada por
3) SOLUCIÓN: Dado que la región descrita es una esfera en las tres coordenadas de radio es aconsejable usar otras coordenadas, que para este caso, se utilizará las coordenadas esféricas. Entonces sean:
Calcularemos el jacobiano:
Y el nuevo dominio para las coordenadas esféricas es:
Y como
, entonces el valor de la triple integral es:
Por ende, el valor de la triple integral es:
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4. Considere la integral
Cambiar el orden de integración y luego evaluar I.
4) SOLUCIÓN: Como nos piden cambiar el orden de integración, primero buscaré el punto de intersección entre las curvas e . Hacemos
Pero viendo los límites de integración, solo se considera función de , se tienen:
Con
, puesto que
Para ese caso, el nuevo dominio de la integral sería:
Y con la otra curva:
El otro dominio será:
Por tanto, el cambio de integración implica que con
:
5
. Despejando en
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Resolviendo la doble integral se tiene:
Por tanto, la integral:
5. Calcule el volumen de la región tridimensional acotada por arriba por la parte superior del hiperboloide de dos hojas y el cono
SOLUCIÓN: Primero buscaremos las intersecciones de las superficies dadas, haciendo
Reemplazando
en la primera ecuación se tiene:
Por ende, el dominio de la región está dado por:
Usaremos las coordenadas cilíndricas, tal que
Luego obtendremos su jacobiano, que es:
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Entonces
Por ende, el nuevo dominio por las coordenadas cilíndricas es:
El volumen se calcula de la siguiente manera:
Por tanto, el volumen de la región descrita es:
6. Calcular el área de la región de
limitada por las curvas:
;
SOLUCIÓN: El área de una región se calcula de la siguiente forma
Primero, veremos cómo es el dominio de la región descrita en el enunciado. Viendo la descripción de las curvas, es necesario hacer un cambio de variables. Sean:
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Ahora obtendremos su jacobiano:
Donde
El jacobiano es:
Sabiendo que
Entonces el jacobiano es:
El nuevo dominio de la región con las otras dos variables es:
Por tanto, el área de la región descrita es:
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