EJERCICIOS PROPIEDADES MECÁNICAS Profesores: G. Barluenga, M. Escaño, A. Marín, P. Llorente NOTA: Las soluciones aportadas son son susceptibles de contener erratas, por lo que se aconseja a los alumnos que comprueben la exactitud de las mismas.
1.
Una probeta de un material de dimensiones 10 x 10 x 10cm con un comportamiento elástico lineal rompe cuando la carga ha alcanzado un valor de 15.000kg, registrándose en ese momento un acortamiento de 0,3mm. Se pide: a) Representación gráfica del comportamiento mecánico del material y tipo de fractura que experimenta. b) Calcular la tensión de compresión en rotura c) Calcular la deformación unitaria en rotura d) Calcular el módulo de elasticidad del material e) Sabiendo Sabiendo que el coefici coeficiente ente de Poisson Poisson ( ) del material material es 0,3, 0,3, calcular calcular la deformación deformación transversal de la probeta en rotura. f) Calcular el área que deberá tener la probeta para que con la la misma carga del ensayo la tensión de trabajo del material se reduzca a la mitad y acortamiento de la probeta. Resolución:
a) Tipo de fractura frágil el material rompe súbitamente tras registrar pequeñas deformaciones) b) Tensión es carga por unidad de superficie: σ=
P A
= 15
=
15000kg 10 × 10cm 2
N mm 2
= 150
kg cm 2
=
= 15MPa
c) Deformación unitaria es la relación entre el incremento dimensional y la dimensión. ε=
∆l
l
=
−0,3mm
100mm
= −3 ⋅ 10 −3 = −0,3%
(adimensional)
d) Al ser un material con un comportamiento elástico lineal es posible aplicar la Ley de Hooke: σ = E⋅ε
⇒
E=
σ ε
=
150 3.10 −3
=
50000
kg cm 2
=
5000
N mm 2
=
5000MPa = 5GPa
e) El coeficiente de Poisson es la relación entre la deformación transversal y la axial: ε ν = − T εL
f)
σ=
P A
⇒
⇒
A
ε T = − ν ⋅ ε L = −0,3 ⋅ ( −0,003 ) =
=
P σ
0,0009
=
0,09%
: para que la tensión se reduzca a la mitad es necesario duplicar el área de la
probeta: A=200cm². P.MECÁNICAS-1-
Dado que el comportamiento mecánico del material es elástico lineal se verifica Hooke σ = E⋅ε
σ
∆l
: la tensión y la deformación son directamente proporcionales (E), y E l también la deformación y el incremento de longitud, por lo que si la tensión se reduce a la mitad, ∆l también lo hará: ∆l=0,15mm. 2.
⇒
ε=
=
Se ensaya a tracción una barra de sección circular de 2cm de diámetro y 10cm de longitud construida con un material con un comportamiento elasto-plástico caracterizado por una primera fase elástica lineal con módulo de Young E=2.106kg/cm² y máxima deformación elástica del 0,2% y, previamente a la rotura, un segundo periodo plástico en el cual, sin aumento de carga respecto al periodo anterior, el material alcanza una deformación de 8 veces el valor de la deformación elástica. Se pide: a) Representación gráfica del comportamiento mecánico del material y tipo de fractura que presenta b) Límite elástico del material c) Carga máxima de tracción a la que se puede ensayar la barra para que trabaje en régimen elástico d) Longitud de la barra bajo una carga de tracción de 100000N e) Si tras alcanzar en el ensayo una deformación del 0,3% dejamos de aplicar la carga, calcular la longitud de la barra tras la descarga. Representar gráficamente el proceso de carga-descarga. f) ¿Se puede volver a ensayar la barra de nuevo?. Justificar la respuesta.
Resolución:
a) Tipo de fractura dúctil: el material rompe tras registrar grandes deformaciones. b) Límite elástico: máxima tensión en régimen elástico σ el = E ⋅ ε el =
=
4000
b) Q max
kg cm 2
2.10 6
=
kg ⋅ 0,002 = cm 2
400MPa
= σ el ⋅ A =
4000
kg cm 2
⋅ π ⋅ 12 cm 2 = 12560kg = 125600N
c) Q=100000N<125600=Qmax, con
σ=
P A
=
100000N 314mm 2
=
318,4
N mm 2
=
318,4MPa < 400MPa = σ el
es decir, la barra bajo una carga de 100000N se encuentra trabajando en régimen elástico, por lo que es aplicable Hooke:
P.MECÁNICAS-2-
σ = E⋅ε
d)
⇒
ε=
σ
E
=
318,4MPa 2 ⋅ 10 5 MPa
=
∆l
0,0016 =
l
=
∆l
10cm
⇒
∆l =
0.0016 ⋅ 10cm = 0,016cm
Lf
= l + ∆l = 10 + 0,016 = 10,016cm es
ε=
0,003 > 0,002 = ε el , es decir, dado que la deformación de la barra supera la deformación
la longitud final de la barra bajo dicha carga.
máxima en régimen elástico, la barra se encuentra en régimen plástico, por lo que al cesar la carga la barra recuperará la deformación elástica, quedando una deformación remanente: ε rem = ε tot − ε el =
Lf
0,003 − 0,002 = 0,001 =
= l + ∆l = 10 + 0,015 = 10,01cm es
∆l
l
=
∆l
10cm
⇒
∆l =
0,001 ⋅ 10cm = 0,01cm
la longitud final de la barra tras la descarga
e) Si, dado que no se ha llegado a agotar la posible deformación plástica del material previa a la rotura. 3.
Comparar el comportamiento mecánico del material estudiado con el de una probeta de plástico de metacrilato de 10x50mm de sección y 15cm de longitud que se ensaya a tracción a temperatura ambiente según las siguientes cargas e incrementos de longitud: fuerza aplicada (N) 40 87,5 128 155,5 199 220 241 269,5 290,5 310 310,5
∆l
(cm) 0,048 0,1095 0,1665 0,1935 0,2445 0,276 0,3135 0,39 0,4965 0,6435 fractura
P.MECÁNICAS-3-
Resolución
Elaboramos un cuadro con las tensiones correspondientes a partir de las fuerzas aplicadas y las deformaciones a partir de los incrementos de longitud observados. σ=
ε=
P con A=10x50=500mm² A ∆l
l
con l=15cm
σ
ε
(MPa) 0,08 0,175 0,256 0,311 0,398 0,44 0,482 0,539 0,581 0,62 0,621
(%) 0,32 0,73 1,11 1,29 1,63 1,84 2,09 2,6 3,31 4,29 fractura
La fractura es de tipo dúctil dado que está precedida de deformaciones mayores con menores incremento de tensión que las que adquiere al principio del proceso de carga (deformaciones menores con mayores incrementos de tensión); si comparamos la gráfica con la gráfica del material del ejercicio anterior podemos apreciar que el metracrilato es un material menos resistente y más deformable, menos elástico (relación menor entre tensión y deformación), y menos dúctil (mayor fragilidad). 4.
Un cuerpo de 50kg se suspende de un cable de acero de 4m de longitud y 2mm de diámetro. Se sabe que el límite elástico del acero es de 250N/mm², que el módulo de Young es de 2.105N/mm² y que el coeficiente de Poisson es 0,28. Se pide: a) Calcular el alargamiento del cable y contracción transversal del mismo b) Determinar el módulo de elasticidad que debería tener el cable si fuese de otro material, para reducir a la mitad la deformación bajo carga. c) Si se duplicara la carga en el cable de acero original ¿Qué sucedería? ¿Qué sección debería tener el cable para que bajo esa carga trabajara en régimen elástico?
P.MECÁNICAS-4-
Resolución
a) Averiguamos la tensión a la que trabaja el cable para comprobar que es inferior al límite elástico (máxima tensión en régimen elástico) σ=
ε=
P A σ
E
=
=
500N 3,14mm 2
= 159,23
159,23MPa 2 ⋅ 10 5 MPa
=
N mm 2
7,96 ⋅ 10 −4
<
250 ∆l
=
l
=
N mm 2
= σ el
∆l
400cm
⇒
∆l =
7,96 ⋅ 10 −4 ⋅ 400cm = 0,318cm
se
ha
alargado el cable ε ν = − T εL ⇒
⇒
ε T = − ν ⋅ ε L = −0,28 ⋅ 7,96 ⋅ 10 − 4 = −0,000223 =
∆d = −0,000223 ⋅ 2mm = −4,45 ⋅ 10−4 mm
∆d
d
=
∆d
2mm
⇒
ha disminuido de diámetro el cable
b) Dado que se trata de un material elástico lineal se cumple Hooke
σ
por lo que si E manteniendo la tensión buscamos que se reduzca a la mitad la deformación, deberemos emplear un material con un módulo de elasticidad E del doble del módulo del acero, es decir E=4.105N/mm²
c)
σ=
P A
=
1000N 314mm 2
=
318,4
N mm 2
>
250
N mm 2
= σ el :
ε=
La tensión de trabajo supera el límite
elástico del material. El material se encuentra en rango plástico o en periodo de fluencia, no siendo posible controlar la deformación bajo carga permanente. Para que bajo dicha carga el material trabajara en régimen elástico, deberíamos emplear una barra de mayor sección σ=
5.
250
N mm 2
=
P A
=
1000N ⇒ A A
=
4mm 2 , φ = 2,25mm
Se aplica una carga de tracción en rango elástico sobre una barra de acero de 6cm² de sección transversal. Se aplica la misma carga sobre una barra de aluminio de la misma longitud y en rango elástico se obtiene el mismo alargamiento que en el caso de la barra de acero. Sabiendo que el módulo de Young del acero Eac=210.000MPa y que el del aluminio Eal=70300MPa. Se pide: a) Calcular la sección transversal de la barra de aluminio b) Si las barras de ambos materiales tienen una longitud de 20cm ¿Cuál es el alargamiento producido por una carga de 3000kg? Resultados
a) A=18cm² b) ∆L=0,005cm
P.MECÁNICAS-5-
6.
Se ensaya a tracción una barra de sección circular, de 20mm de diámetro y 25cm de longitud, de un material con comportamiento elasto-plástico lineal y un módulo de elasticidad de 2,1.105MPa. En una primera fase del ensayo se comprueba que el material se comporta elásticamente hasta una deformación de 0,002. Posteriormente se ha continuado el ensayo aumentando la deformación sin aumento de carga y después se ha descargado la barra. Al finalizar el ensayo se comprueba que la longitud de la barra es de 25,2cm. Se pide: a) Representación gráfica acotada de los procesos de carga y de descarga según un diagrama tensión-deformación b) Límite elástico del material de la barra c) Longitud de la barra tras el proceso de carga d) Deformación plástica remanente del material e) ¿Se podría volver a ensayar la barra a tracción?. Justificar la respuesta Resultados
b)
σ el =
4200kg / cm 2
c) Lf=25,25cm 7.
d)
εpl=0,8%
e) Si
Se ensaya a tracción una barra de sección cuadrada de 20x20mm y una longitud de 30cm de un material con un comportamiento elasto-plástico lineal. Se comprueba que bajo una carga de 16.800kg se alcanza la máxima deformación en régimen elástico y la barra incrementa su longitud en 0,6mm. Se continua el ensayo hasta que la deformación de la barra alcanza el valor de 0,01 y posteriormente se descarga. Se pide: a) Representación gráfica acotada de los procesos de carga y de descarga en un diagrama tensión-deformación b) Deformación máxima de la barra en régimen elástico c) Módulo de elasticidad del material de la barra d) Longitud de la barra tras el proceso de carga e) Longitud de la barra tras el proceso de carga y descarga f) Si se volviese a ensayar la barra ¿Cuál sería la máxima tensión en rango elástico que admitiría?. Justificar la respuesta. Resultados
b) εel=0,2% c) E=2.100.000k/cm² d) Lf=30,3cm e) Lf=30,24cm f) 8.
σ el =
4200kg / cm 2
Una barra de sección circular y 0,8m de longitud está constituida por un material caracterizado por un primer comportamiento elástico lineal hasta una deformación del 0,12% y módulo de Young de 200GPa, comportamiento tras el cual entre en un periodo de fluencia hasta una tensión de 250MPa (tensión de fluencia), a partir del cual, sin incremento de tensión el material se deforma hasta un 0,6%. El coeficiente de Poisson del material es 0,3. Se pide: a) Dibujar la gráfica tensión-deformación del material. b) Determinar el área que debe tener la barra para que bajo una carga de tracción de 12 toneladas, la tensión no supere el límite elástico. Elegir entre los diámetros normalizados de 8-10-12-16-20-25-36mm.
P.MECÁNICAS-6-
c) Longitud y diámetro de la barra dimensionada según el punto anterior bajo una fuerza de tracción de 6,5to. d) Si la barra se alarga 2,5mm y luego se retira la carga ¿cuál será la longitud de la barra al final del proceso?
9.
Un material presenta un comportamiento elasto-plástico con una primera fase elástica lineal con límite elástico de 100MPa y módulo de Young de 70 GPa, tras la cual se pasa a una fase plástica en la que, sin aumento de tensión, el material puede alcanzar una deformación de hasta 8 veces el valor de la deformación elástica máxima. A este periodo le sucede un periodo de fluencia y por último la rotura del material. Se pide: 1) Representar gráficamente el comportamiento mecánico del material. 2) Determinar justificando la respuesta en qué parte de la gráfica debería estar trabajando el material en el caso de desempeñar función estructural en un edificio. 3) Una barra de ese material, de sección circular Ø=2,5cm y 250mm de longitud, se somete a un ensayo de tracción hasta que adquiere una longitud de 251mm. Calcular la longitud final de la barra tras la descarga y la deformación remanente. Representar gráficamente el proceso. 4) Si tras el ensayo anterior se somete a la misma barra a una carga de tracción de 4000Kg. Calcular la longitud de la barra bajo la carga y tras la descarga. Representar gráficamente el proceso.
10.
Se pretende comparar las propiedades mecánicas de dos materiales metálicos distintos, caracterizados ambos por un comportamiento elasto-plástico con: Acero: primera fase elástica lineal con límite elástico de 230MPa y módulo de Young de 200GPa, tras la cual se sucede una fase plástica en la que, sin aumento de tensión el material puede alcanzar una deformación de hasta 10veces el valor de la deformación elástica máxima. Aluminio: primera fase elástica lineal con límite elástico de 100MPa y módulo de Young de 70GPa, tras la cual se pasa a una fase plástica en la que, sin aumento de tensión, el material puede alcanzar una deformación de hasta 8 veces el valor de la deformación elástica máxima. a) Dibujar y comparar las gráficas tensión-deformación de cada uno de los materiales b) Si dos barras de 30cm de longitud y sección cuadrada 20x20mm, una de acero y otra de aluminio se someten a ensayo de tracción hasta que ambas adquieren una longitud de 300,4mm, determinar la tensión de trabajo de cada una de las barras bajo carga y longitud de cada una de las barras tras la descarga. Representar el ensayo en las gráficas tensióndeformación. c) ¿Se podrían ensayar de nuevo las barras? Razonar la respuesta.
11.
Una barra de acero de 20mm de diámetro y 25cm de longitud se ensaya a tracción. En una primera fase la barra se carga con 7600kg experimentando una deformación del 0,115%. Posteriormente se incrementa la carga hasta los 8200kg, momento a partir del cual el material entra en una fase plástica en la que sin aumento de carga la deformación aumenta. El ensayo se prolonga hasta que la barra adquiere un alargamiento de 0,15cm, momento a partir del cual se deja de aplicar la carga. Se pide: a) Representación gráfica de los procesos de carga y descarga en el diagrama tensióndeformación. b) Límite elástico del acero de la barra c) Dimensión de la barra tras la descarga. d) Deformación plástica remanente del material e) Si tras la descarga volviéramos a iniciar el ensayo ¿qué longitud adquiriría la barra si la sometiéramos a una tensión de 120N/mm²?
P.MECÁNICAS-7-
12.
Determinar la fuerza que hay que aplicar a una barra cilíndrica, de diámetro 10 mm y 1 metro de longitud, en la dirección longitudinal (paralela su eje principal) para que su diámetro sea 9.9975 mm, sabiendo que su comportamiento es elástico. Si la tensión del límite elástico se consigue con una fuerza de 15000 N determinar la longitud máxima que puede ser estirada sin que se produzca defor mación plástica
υ (Coeficient edePoisson ) = 0.25 → E = 10 5 MPa
F le 15000 = = 190.9859 N = 190.9859 MPa 2 mm 2 Area π 5 ∆φ = φ 0 − φ f = 10 − 9.9975 = 0.0025 mm
σ le =
ε x = υ = Ε =
∆φ φ 0
ε x
=
⇒
ε y σ
⇒
ε
0.0025 10
ε y =
ε x υ
= 2.5.10 − 4 =
2.5.10 −4
= 10 −3
0.25
σ = Ε .ε = 10 5.10 −3 = 100MPa
F = σ . Area = 100.5 2 π = 100.25π = 7853.9816 N ∆l σ 190.9859 −5 −5 ε = 190 . 9859 . 10 = = = ⇒ ∆l = 190.9859 .10 .1000 = 1.9099mm Ε l 10 5 13.
Una barra de acero de 50 cm de longitud y 2 cm de diámetro está empotrada por sus extremos. A 200ºC no está sometida a ningún esfuerzo. La temperatura comienza a disminuir a razón de 4ºC cada 5 minutos. Hallar la temperatura en que la tensión llegue al límite elástico, el tiempo que tardará en lograrlo y el diámetro final de la barra en ese momento. υ (Coeficient edePoisson ) = 0.35 → E = 2 × 10 6 Kg / cm 2 α = 10 −5 º C −1 → σ le = 2400 Kg / cm 2 → σ rotura = 3500 Kg / cm 2 ∆l = l 0α ∆T ε =
∆l
l
⇒
∆l = l .ε = 1.2.10 −3.50 = 0.06cm = 0.6mm
0.06 = 50α ∆T ⇒ ∆T =
0.06 50.10 −5
= 120º C ⇒ 200º C − 120º C = 80º C
5 min → 4º C
x min → 120º C → x =
120.5 4
= 150 min → 2.5horas
ε x = υ .ε y = 0.35.1.2.10 −3 = 4.2.10 − 4 =
∆φ
⇒
φ 0
φ f = φ 0 − ∆φ = 2 − 8.4.10 − 4 = 1.9992 cm
P.MECÁNICAS-8-
∆φ = 8.4.10 − 4 cm
14.
Tomamos una barra metálica de 1 m de longitud, la sometemos a una tensión axial de 100 Kg/cm2, y anclamos los extremos. ¿Cuánto hay que elevar la temperatura para hacer desaparecer la tensión?. Determinar la longitud y el diámetro de la barra al elevar la temperatura 500ºC sabiendo que el diámetro inicial es de 2 cm. Todo el proceso es elástico. υ (Coeficient edePoisson ) = 0.35 → E = 2 × 10 6 Kg / cm 2 → α = 10 −5 º C −1 ∆l = l 0α ∆T Ε =
σ ε
→ ε = ∆l
∆T =
=
σ Ε
=
100 2.10
5.10 −3
6
= 0.5.10 − 4 → ε =
∆l
l
→ ∆l = ε .l = 0.5.10 − 4.100 = 5.10 −3 cm
= 5º C
l 0 .α 100.10 −5
∆l = 100.10 −5.500 = 0.5cm = 5mm
l f = l 0 + ∆l = 100.5cm ε z = υ .ε y = 0.35.0.5.10 − 4 = 1.75.10 −5 ∆φ = φ 0α ∆T = 20.10 −5 500 = 0.1mmm → φ f = 20.1mm 15.
Se pretende situar un cartel sobre la salida de un cine. Se colgará de dos cables de 5 m de longitud y de 2 cm de diámetro, medidos a 15ºC. El alargamiento de los cables debe ser inferior a 10 mm para que no se bloqueen las puertas situadas bajo dicho cartel. Determinar el peso máximo de dicho cartel sabiendo que la temperatura máxima que se alcanza en esa localidad son 40ºC. (Despreciamos la variación de sección por dilatación)
E = 2100To / cm 2 → α = 10 −5 º C −1 → σ le = 4200 Kp / cm 2 T 0 = 15º C → T f = 40º C → ∆T = 25º C ∆l total = ∆l temperatur a + ∆l tensión ∆l temp = l 0α ∆T = 500.10 −5.25 = 0.125cm = 1.25mm Ε =
σ
∆l max
σ
∆l
Ε
=
l
→ ∆l =
l .σ
500.4200
= 1cm 2100000 8.75 = 10 − 1.25 = 8.75mm → ε = = 0.00175 5000
ε
→ ε =
Ε
=
σ = Ε .ε = 2100000.0.00175 = 3675
kp
cm 2
F → F = σ . Área = 3675.π .12 = 11545 .353 Kp Área Peso = 2 F = 2290.706 Kp = 2.2907To σ =
P.MECÁNICAS-9-
