Unidad 5 investigacion de vibraciones mecanicas

Instituto Tecnológico de Aguascalientes

Ingeniería Mecánica

Ing. Verónica Verónica del Carmen Cruz Negrete Vibraciones mecánicas ESTUDIO DE SISTEMS DE V!IOS "!DOS DE #I$E!T #I$E!TD % SUS &#ICCIONES

•

'eli(e de )es*s Orozco #ó(ez • )airo Isaac Salas Mireles • )orge "ómez "onzález +,-+-/,

TEMARIO

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0./. Vibración de modo normal (ara sistemas de dos grados de libertad

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0.1. co(lamiento de coordenadas

•

0.2. &ro(iedades ortogonales

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0.. Matriz modal

•

0.0. Vibración libre

•

0.3 Vibración 4orzada 5 absorción de 6ibraciones

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5.1 Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad.

Matrices de rigide! inercia " amortiguamiento

Se (uede demostrar 7ue las ecuaciones lineales del mo6imiento de un sistema discreto de N grados de libertad sometido a (e7ue8os des(lazamientos9 con coordenadas generalizadas re(resentadas (or el 6ector # de dimensión N :/9 se (ueden escribir como;  M q + C q + K q= f 

Donde M9 $ 5 % son matrices de tama8o N : N 5 se denominan matrices de inercia9 amortiguamiento 5 rigidez9 res(ecti6amente. #as matriz M es sim
Vibraciones libres de sistemas no amortiguados

&articularizando la ecuación (ara el caso de las 6ibraciones libres = & > '? en sistemas no amortiguados =$('?9 se tiene;  M q + K q= 0

Su@eto a las condiciones iniciales # =+? > #+ 5 #A =+? > #A + .De 4orma análoga a lo 7ue se Bizo en el caso de las 6ibraciones con un grado de libertad9 asumimos una solución armónica de la 4orma; q ( t )= Ae

st 

Donde A es un 6ector de am(litudes. Sustitu5endo las ecuaciones anteriores resulta;

( s  M + K  ) Ae st =0 2

&uesto 7ue ni A ni este (ueden ser nulos9 5a 7ue si no obtendramos la solución tri6ial nula9 se deduce 7ue

( s  M + K  ) A =0 2

)recuencias naturales

&ara calcular los 6alores de s 5 A9 debemos resol6er la ecuación9 7ue re(resenta un (roblema de 6alores 5 6ectores (ro(ios generalizado. Como es sabido9 esta ecuación tiene solución distinta de la tri6ial nula si 5 sólo si la matriz de coe4icientes es singular o9 lo 7ue es lo mismo9 si su determinante es nulo. 2

¿ s  M + K ∨¿ 0

Se (uede demostrar 7ue si la matriz M es (ositi6o de4inida 5 % es (ositi6o de4inida o (ositi6o semi de4inida9 todos los 6alores (ro(ios s1 son reales 5 negati6os o nulos. &or ello9 (ara mane@ar cantidades (ositi6as es costumbre realizar el cambio de 6ariables s

2

2

=−(i )

ue e7ui6ale a s =± ( i ) i

5.* Acoplamiento de coordenadas.

$oordenadas principales.

Sin embargo9 siem(re es (osible en un sistema no F amortiguado encontrar un sistema de coordenadas9 qi 9 sin ning*n ti(o de aco(lamiento o desaco(ladas9 llamadas coordenadas principales. &ro(iedades de ortogonalidad de los 6ectores (ro(ios. Consideremos dos modos cual7uiera i 5 j . De ecuación =1F2?

F +ara i G j ! si i j H GH, se obtiene las siguientes relaciones de ortogonalidad :

Es decir9 los 6ectores (ro(ios son ortogonales res(ecto a las matrices M Jy K J. Estas relaciones son im(ortantes9 como 6eremos a continuación9 (or7ue ellas (ermiten desaco(lar las ecuaciones del mo6imiento. F +ara i = j - se obtiene;

5.. +ropiedades ortogonales Una (ro(iedad ortogonal es una matriz cuadrada cu5a matriz in6ersa coincide con su matriz tras(uesta El con@unto de matrices ortogonales constitu5en una re(resentación lineal del gru(o ortogonal "eom1> 1. Diremos 7ue  es uni(otente si 5 solo si .>1>In 2. Diremos 7ue  es nil(otente si 5 solo si .>1>+ =Matriz nula orden n?

5./ Matri Modal

5.5 Vibraciones 0ibres #a ecuación di4erencial del mo6imiento es mx' '+kx = 09 su ecuación caracterstica Es mr 2 + k = 0, siendo sus races imaginarias con@ugadas #a solución general es de la 4orma x a t n = sen (ω + ϕ) donde a =am(litud? 5 ϕ =4ase inicial? son constantes 7ue se (ueden determinar9 en cada caso (articular9 con las condiciones iniciales. #a 4recuencia natural de la 6ibración 5 el (eriodo son

En este ti(o de 6ibraciones se cum(le el (rinci(io de la conser6ación de la energa mecánica9 es decir9 la suma de la energa cin
VI$!CIONES #I$!ES CON MO!TI"UMIENTO En todos los mo6imientos oscilantes reales9 se disi(a energa mecánica debido a alg*n ti(o de 4ricción o rozamiento9 de 4orma 7ue de@ado libremente a s mismo9 un muelle o (
caracterstica es mr 2 + cr + k = 09 cu5as races son;

Se (resentan tres casos (osibles;

a? mortiguamiento su(ercrtico; #as races r/ 5 r1 son reales 5 distintas. #a solución de esta ecuación9 amortiguada (ero no armónica9 es de la 4orma

Donde C/ 5 C1 son las constantes de integración. El sistema no oscila9 sim(lemente 6uel6e a la (osición de e7uilibrio9 cuanto ma5or es el amortiguamiento9 más tiem(o tarda el sistema en alcanzar la (osición de e7uilibrio.

b? mortiguamiento crtico;

#a raz de la ecuación caracterstica es doble e igual a #a

solución9

amortiguada

(ero

no

armónica9

es

de

la

4orma

El sistema 6uel6e a la (osición de e7uilibrio en el tiem(o más bre6e (osible sin oscilación. El amortiguamiento crtico tiene una im(ortancia es(ecial (or7ue se(ara los mo6imientos a(eriódicos =no oscilatorios? de los oscilatorios amortiguados.

Es

decir9

el

6alor

crtico

es

la

menor

cantidad

de

amortiguamiento (ara 7ue el sistema no oscile. En mucBas a(licaciones (rácticas se utiliza un amortiguamiento crtico9 o (róKimo al crtico9 (ara e6itar  6ibraciones 5 conseguir 7ue el sistema alcance el e7uilibrio rá(idamente.

c? mortiguamiento subcrtico; #as

races

son

imaginarias

con@ugadas

e

iguales

a

% la 4recuencia de la 6ibración amortiguada es

#a solución es de la 4orma Esta solución es a(roKimadamente armónica9 es decir9 eKiste una cierta (eriodicidad en el mo6imiento con inter6alos tem(orales medidos (or el (seudo(eriodo T 9 7ue se (uede eK(resar en 4unción del (eriodo T corres(ondiente a la 6ibración no amortiguada a tra6
Ele6ando al cuadrado la eK(resión de la 4recuencia de la 6ibración

amortiguada9 se tiene !elación 7ue (ermite la determinación del coe4iciente de amortiguamiento (ara unas 4recuencias dadas a (riori o medidas eK(erimentalmente.

Denominando 4actor de amortiguación

5 4actor de 4recuencias

se obtiene la ecuación de una eli(se En las 6ibraciones amortiguadas9 (or ser un mo6imiento a(eriódico no se cum(le el (rinci(io de conser6ación de la energa mecánica9 (ero si el de la energa total9 de 4orma 7ue la suma de la energa cin
amortiguamiento9 se mantiene constante9

#os dos (rimeros t
5. Vibración &orada " absorción de 2ibraciones #os sistemas mecánicos al ser sometidos a la acción de 4uerzas 6ariables con el tiem(o9 (rinci(almente (eriódicas9 res(onden 6ariando sus estados de e7uilibrio 59 Como consecuencia9 (resentan cambios de con4iguración 7ue (erturban su normal 4uncionamiento. #as 6ibraciones son libres cuando no eKisten 4uerzas o acciones eKteriores Directamente a(licadas al sistema a lo largo del tiem(o. #as 6ibraciones son 4orzadas cuando eKisten acciones o eKcitaciones directamente  (licadas al sistema a lo largo del tiem(o9 además de las 4uerzas o momentos Internos. Tanto las 6ibraciones libres como las 4orzadas (ueden subdi6idirse9 de(endiendo de la eKistencia o no de 4uerzas resistentes 7ue amortiguan el mo6imiento 6ibratorio9 En; •

Sin amortiguamiento. No eKiste resistencia (asi6a al mo6imiento del

•

sistema. Con amortiguamiento. EKisten resistencias (asi6as al mo6imiento del sistema9 es decir9 4uerzas o momentos disi(ati6os 7ue amortiguan el mo6imiento 6ibracional

&ara mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energa al sistema9 cuando esto se lle6a a cabo se dice 7ue la 6ibración es 4orzada. Si se introduce energa en el sistema a un ritmo ma5or del 7ue se disi(a9 la energa aumenta con el tiem(o9 lo 7ue se mani4iesta (or un aumento de la am(litud del mo6imiento. Si la energa se (ro(orciona al mismo ritmo 7ue se disi(a9 la am(litud (ermanece constante con el tiem(o.

#a ecuación di4erencial del mo6imiento9 teniendo en cuenta 7ue la 4uerza es de ti(o (eriódico9 es; ' ' 

m x + kx = F =f  0 cos wt 

Donde '+ es la am(litud 5 H la 4recuencia de la 4uerza eKcitadora. #a solución general de la ecuación di4erencial se obtiene a8adiendo a la solución general de la Bomog
 x = x h+ x p

?.

#a ecuación caracterstica es mr1LL>+9 las races de esta ecuación son

imaginarias con@ugadas;

r =±

√

 k  m

i

5 la solución general de la Bomog
 x h=asen ( w n t + ϕ )

#a solución (articular de la com(lete es  x p= Acos wt 

1

−¿ww

2 2

n

 F 0

 s9 la solución general tiene (or eK(resión;  x =acos ( wn t + ϕ ) +

k 

 cos Ht

¿

En todo sistema no amortiguado 5 4orzado armónicamente9 el mo6imiento resultante se com(one de la suma de dos armónicos9 uno de 4recuencia natural Hn 5 otro de 3 4recuencia de la 4uerza eKterior H. #a am(litud del (rimero de(ende de las condiciones iniciales 5 se anula (ara unos 6alores (articulares9 la am(litud del segundo de(ende de la (roKimidad de ambas 4recuencias a tra6
2

−¿ ww =

1

2

n

 p=

A  X est 

1

¿

#a ecuación di4erencial del mo6imiento9 teniendo en cuenta 7ue la 4uerza es de ti(o (eriódico ' ' 

 F = F 0 sen wt 

9 es de la 4orma;

' 

mx + c x + kx = F 

#a ecuación caracterstica corres(ondiente a la ecuación di4erencial Bomog
es

mr + cr + k =0 . Se su(one amortiguamiento in4erior al crtico (ara 7ue resulte

una 6ibración9 la solución general se obtiene a8adiendo a la solución de la ecuación di4erencial de la Bomog
?9 resultando

−¿ c m t sen ( wn t + ϕ ) + Asen ( wt − Θ) ¿  x = ae 2

Absorción de 2ibraciones

Una má7uina o sistema mecánico (uede eK(erimentar unos ni6eles eKcesi6os de 6ibración si o(era ba@o la acción de una 4recuencia de eKcitación cercana a alguna de las 4recuencias naturales del sistema. En estos casos9 el ni6el de 6ibración (uede reducirse tambi
Absorbedor dinámico de 2ibraciones sin amortiguamiento

Sea un sistema ='ig. 2,? de masa m/ su@eto a la acción de una 4uerza eKcitadora  F = F 0 e

de carácter armónico

iwt 

en el caso más general =senoidal en el

e@em(lo de la 4igura 2P?. Si a8adimos una masa auKiliar m19 el resultado es un sistema de dos grados de libertad. &lanteando las ecuaciones del mo6imiento9 su(oniendo una solución armónica;  x 1 ( t ) x 1∗e

iwt 

, x 2 ( t )= x 2∗e

iwt 

El ob@eti6o es reducir Q/9 am(litud de la 6ibración corres(ondiente al sistema inicial de masa m/9 (or lo 7ue interesará 7ue el numerador corres(ondiente sea nulo. Si9 además9 inicialmente el sistema estaba o(erando cerca de la resonancia9 2

es decir

w =k 1 / m 1 =w1   9 se deduce 7ue el absorbedor deberá dise8arse de

4orma 7ue su masa 5 rigidez cum(lan;

 s9 la am(litud de 6ibración de la má7uina o sistema original o(erando en su 4recuencia de resonancia original será cero =anti resonancia?. Es decir9 no es 7ue se Ba5a reducido la am(litud de la 6ibración desde un 6alor in4inito a un 6alor 4inito9 como ocurrira si lo 7ue Bici
&uede com(robarse 7ue un absorbedor de 6ibraciones está ó(timamente sintonizado cuando el dise8o de su masa =m1? 5 rigidez =1? es tal 7ue cum(le la condición;

  la 6ez 7ue un 6alor ó(timo (ara la relación de amortiguamiento utilizada en el dise8o de este ti(o de absorbedores es;

En este ti(o de absorbedores cabe constatar dos as(ectos a considerar en su dise8o; #a am(litud del mo6imiento 6ibratorio de la masa del absorbedor =Q1? siem(re será mucBo ma5or 7ue la de la masa (rinci(al del sistema =Q/?. &or lo tanto9 el dise8o deberá de tener esta cuestión en cuenta de cara a (osibilitar la am(litud de 6ibración del absorbedor.