Asignatura: Docente:
VIBRACIONES MECANICAS Ing. Efrain Chura Acero
OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA Desarrollar en el estudiante la capacidad de identificar, analizar y resolver problemas asociados con el fenómeno de las vibraciones mecánicas, utilizando modelos matemáticos que le permitan simular situaciones reales que se presentan en el campo de la Dinámica Estructural, el Diseño de Maquinaria y Equipo, y el Mantenimiento Preventivo y Correctivo de los mismos.
MODALIDAD DE AVANCE DE MATERIA El método de enseñanza—aprendizaje a aplicarse en la asignatura es el método autodidacta. Se asignará el contenido por capítulos, según el libro de texto de la materia. Cada parte teórica de cada capítulo en su contenido se dividirá en dos partes con igual número de páginas (excepto el primer capítulo que se considera una sola unidad); y cada parte será asignación de estudio semanal juntamente con los problemas propuestos al final de cada capítulo. En cada clase se deberá entregar un resumen manuscrito de un máximo de dos hojas tamaño carta, de la parte pertinente al estudio semanal asignado. La evaluación de estos resúmenes en la totalidad del número alcanzado en el semestre, asignará cierto porcentaje de calificación. En cada clase se rinde un examen previo de control de lectura de la parte teórica asignada al estudio semanal, el cual incluirá problemas elementales. La evaluación de estos exámenes en la totalidad del número de los mismos en el semestre, asignará cierto porcentaje de calificación. La clase se concluye con una sesión de discusión grupal entre los alumnos y el docente de la asignatura, la cual servirá simplemente como sesión de reafirmación y aclaración de los conceptos fundamentales asimilados en el transcurso de la semana por el estudio de la temática asignada como trabajo individual.
La clase posterior a la finalización de un determinado capítulo, obliga al estudiante a entregar en dicha oportunidad la solución de un mínimo de 10 problemas propuestos (problemas de práctica) por cada capítulo que se asigne como materia de estudio. El número total de problemas entregados hasta la finalización del semestre asignará cierto porcentaje de calificación en este rubro. La asignación de la calificación será efectuada según el siguiente esquema: Número mínimo de problemas obligatorios Número de problemas en exceso al mínimo (asignado en forma proporcional y relativa al número máximo de problemas en exceso del alumno que puso mayor esfuerzo en este ítem)
10 % 20 %
Se rendirán tres exámenes parciales durante el semestre; cada uno de ellos como asignación de auto—evaluación del aprendizaje personal. Estos exámenes serán planteados un par de días previos a la clase semanal que está determinada por el horario asignado a la asignatura. La entrega de este examen será realizada en el día de clase semanal inmediatamente posterior a la fecha en la que fue planteado el mismo. La evaluación de estos exámenes asignará cierto porcentaje de calificación.
SISTEMA DE EVALUACIÓN:
Resúmenes de Capítulo Exámenes de Control de Lectura Problemas de Práctica Exámenes Parciales TOTAL
10 % 40 % 30 % 20 % ---------100 %
´Indice de Contenido 1. Conceptos fundamentales
1
1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Modelos matem´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.3. Elementos de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Modelos matem´ aticos
17
2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Modelos de un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1. Modelos con par´ ametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2. Modelos consistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. Sistemas de un grado de libertad
37
3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Ecuaci´ on de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Movimiento no–amortiguado
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1. Oscilaci´ on libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Oscilaci´ on forzada no–amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.1. Funci´ on de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.2. Respuesta mediante razonamiento f´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i
´INDICE DE CONTENIDO
ii 3.5. Movimiento amortiguado
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1. Movimiento libre amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.2. Forma est´ andar de la ecuaci´on de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6. Movimiento forzado amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6.1. Respuesta mediante razonamiento f´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4. Exitaci´ on arm´ onica
77
4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2. Oscilaci´ on no–amortiguada. Exitaci´on arm´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.1. Espectro de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.2. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3. Oscilaci´ on amortiguada. Excitaci´ on arm´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.3.1. Espectro de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.3.2. Aislamiento de la vibraci´ on. Exitaci´on arm´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4. Exitaci´ on arm´ onica de amplitud variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4.1. Balanceo de rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.5. Evaluaci´ on del amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6. Exitaci´ on peri´ odica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.6.1. Respuesta del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6.2. M´ aquinas de movimiento alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.7. Medici´ on de la vibraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5. Excitaci´ on transitoria
139
5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.2. Excitaci´ on transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.2.1. Respuesta a excitaci´ on transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.3. Exitaci´ on tipo impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.3.1. Naturaleza de la excitaci´ on impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
´INDICE DE CONTENIDO
iii
5.4. Espectros de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.4.1. Pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.4.2. Pulso triangular creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.5. An´ alisis aproximado – Excitaci´on tipo impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.5.1. Sistemas no–amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.5.2. Sistemas amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.6. Aislamiento al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.7. Movimiento de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6. M´ etodos num´ ericos
169
6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.2. Integraci´ on num´erica de la ecuaci´on diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.2.1. M´etodo paso a paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.2.2. M´etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.2.3. M´etodo de Runge–Kutta
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3. Evaluaci´ on num´erica de la integral de convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7. Sistemas de varios grados de libertad
189
7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.1.1. Convenciones de notaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.2. Condiciones de equilibrio din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.3. Sistemas de par´ ametros distribu´ıdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.3.1. Selecci´ on de grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.3.2. Funciones de interpolaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.3.3. Construcci´ on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.4. Propiedades del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.4.1. Matriz de masa del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.4.2. Matriz de rigidez del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.4.3. Matriz de amortiguamiento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.4.4. Vector de cargas del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
´INDICE DE CONTENIDO
iv
7.4.5. Ecuaci´ on de movimiento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.5. Condensaci´ on est´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.6. Formulaci´ on energ´etica general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8. Evaluaci´ on de la respuesta
239
8.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.2. Vibraci´ on libre no–amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 8.3. Propiedades modales de vibraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.3.1. Relaciones de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.3.2. Matrices modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.4. La matriz de flexibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.5. La matriz din´ amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.6. Vibraci´ on forzada no–amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 8.6.1. Condiciones iniciales en coordenadas normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 8.7. Vibraci´ on forzada amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 8.7.1. Especificaci´ on del amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 8.8. Respuesta el´ astica del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 A. El principio de superposici´ on
273
B. Funciones singulares
279
Cap´ıtulo 1
Conceptos fundamentales La din´ amica, dentro del contexto de la mec´ anica, es el estudio de los cuerpos, o conjuntos de part´ıculas, en movimiento. La din´ amica se divide en dos campos: la cinem´ atica, la cual estudia la geometr´ıa del movimiento, relacionando el desplazamiento, la velocidad, la aceleraci´on y el tiempo, sin hacer referencia a las causas provocadoras del movimiento (las fuerzas o momentos); y la cin´etica, la cual estudia la relaci´ on entre las fuerzas que act´ uan sobre un cuerpo, la masa del mismo y su movimiento, permitiendo predecir los movimientos resultantes que causan las fuerzas y/o momentos aplicados, o determinar las acciones externas necesarias para producir un movimiento dado con ciertas caracter´ısticas pre–especificadas. Si el cuerpo se considera como una unidad y se desprecian las deformaciones relativas entre sus diferentes partes, se aplican los principios de la din´amica de cuerpos r´ıgidos. Cuando es apropiado tener en cuenta los desplazamientos relativos entre las diferentes partes del cuerpo, se aplican los principios de la din´ amica de cuerpos flexibles. Para los problemas de inter´es en este texto, los efectos de la mec´ anica relativista (variaciones de los par´ametros — la masa especialmente — debido al movimiento, comparados con el movimiento de la luz) son considerados absolutamente despreciables, de modo que los movimientos resultantes son gobernados por las leyes de la mec´ anica Newtoniana. Cuando un cuerpo se desplaza de una posici´on est´atica de equilibrio estable, el cuerpo tiende a volver a esta posici´ on al verse afectado por la acci´on de fuerzas y/o momentos (cuplas) que tienden a restablecer la situaci´ on de equilibrio original; este puede ser el caso de las fuerzas gravitacionales en un p´endulo, o de las fuerzas el´ asticas impuestas por un resorte en el caso de una masa conectada en un extremo de ´el. En general en el instante que el cuerpo vuelve a su posici´on de equilibrio tiene alguna velocidad que lo lleva m´ as all´a de esa posici´on, hasta alcanzar otra en la que instant´aneamente se detiene e invierte su movimiento, present´andose as´ı una oscilaci´ on alrededor del punto de equilibrio. Estas oscilaciones en el campo de la mec´anica se denominan vibraciones. As´ı, las vibraciones, u oscilaciones, pueden ser vistas como un subconjunto de la din´amica, en la cual un sistema est´ a sujeto a fuerzas restitutivas que permiten el movimiento hacia un lado y otro de una posici´ on de equilibrio; donde un sistema es definido como un ensamble de partes o elementos inter– conectados actuando juntos como un todo. Las fuerzas restauradoras surgen debido a la elasticidad de los materiales involucrados en el fen´ omeno de movimiento, o debido a la acci´on del campo gravitatorio actuante sobre el mismo.
1.1.
Introducci´ on
Como indicamos anteriormente, las vibraciones pueden considerarse fluctuaciones de movimiento alrededor de cierta posici´ on de equilibrio (generalmente est´atica). Una vibraci´on se inicia cuando un elemento inercial es desplazado de su posici´on de equilibrio, debido a cierto monto de energ´ıa impartida al sistema a trav´es de una fuente externa. Una acci´on restauradora (fuerza o momento) obliga al 1
CAP´ITULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
2
elemento a retornar a su condici´ on de equilibrio inicial. El movimiento oscilatorio que se presenta del modo anteriormente descrito, podr´ıa ser atenuado hasta desaparecer si act´ uan acciones de car´acter disipativo de energ´ıa (como fuerzas de rozamiento o de amortiguaci´on, por ejemplo); o mantenerse de manera cont´ınua, si la acci´ on perturbadora externa mantiene su presencia. Los problemas de mec´ anica estructural donde la perturbaci´on aplicada es dependiente del tiempo, tienen un tratamiento particular y su estudio se halla cubierto por las t´ecnicas derivadas de la mec´anica general (m´ as propiamente la din´ amica) que se han agrupado para constituir una disciplina llamada din´ amica estructural. La din´ amica estructural estudia las vibraciones de cuerpos flexibles, aunque en muchos casos las deformaciones relativas entre algunas partes de la estructura son de un orden de magnitud tan peque˜ na, que pueden aplicarse los principios de la din´amica de cuerpos r´ıgidos en algunas porciones de la estructura. La din´ amica estructural se ha desarrollado ampliamente a partir de la aparici´on del computador digital. Sus fundamentos se remontan m´ as de dos siglos y medio atr´as, pero puede decirse que el enfoque moderno proviene de las u ´ltimas cuatro d´ecadas. La soluci´ on de problemas donde se halla involucrado el tiempo como par´ametro, adem´as de las coordenadas espaciales, requiere evidentemente un esfuerzo mayor al tener que evaluar el comportamiento de la estructura a diferentes intervalos de tiempo, o si es que es necesario para conocer la “historia” completa de la respuesta. Cualquier intento para resolver el problema, deber´a comenzar por formular las ecuaciones de movimiento; pero esto ser´ a logrado luego de formular un modelo que sea susceptible de ser analizado y que adem´ as refleje las caracter´ısticas preponderantes del prototipo real, adem´as de que el esfuerzo que se requiere para el an´ alisis del problema sea consistente con la aproximaci´on deseada en las soluciones.
1.2.
Modelos matem´ aticos
En su mayor parte, los sistemas de ingenier´ıa son tan complicados que su respuesta a los est´ımulos externos es dif´ıcil de determinar ex´ actamente. Todav´ıa m´as, la habilidad de pronosticar el comportamiento de un sistema es esencial para el dise˜ no del mismo. En tal caso, es necesario formular un modelo simplificado actuando como un sustituto para el sistema verdadero. Resumidamente, el proceso consiste en identificar los componentes constituyentes, determinar las caracter´ısticas din´ amicas de los componentes individuales, quiz´as experimentalmente, y ensamblar dichos componentes en un modelo representativo de todo el sistema que es puesto en estudio. Los pasos de detalle en la aplicaci´ on de este procedimiento son los que presentamos a continuaci´on Identificaci´ on — El sistema a ser modelado es abstra´ıdo de sus entorno, y son identificados los efectos de ´este sobre el sistema. Se especifica la informaci´on a ser obtenida desde el proceso de modelado. Y finalmente, son identificadas las constantes conocidas y los par´ametros variables. Hip´ otesis — Se plantean una serie de suposiciones (hip´otesis) para simplificar el modelado. Si todos los efectos son incluidos en el modelo de un sistema f´ısico, las ecuaciones resultantes son generalmente tan complicadas que una soluci´on matem´atica cerrada es imposible. Cuando son usadas hip´ otesis adecuadas, un sistema f´ısico aproximado es hecho modelo. Una aproximaci´on debe ser hecha si la soluci´ on para el problema reducido que considera la hip´otesis es m´as f´acil de obtenerse que la soluci´ on para el problema original y si la suposici´on incorporada hace que el modelo arroje resultados que son suficientemente exactos para el uso previsto. Ciertas hip´ otesis impl´ıcitas se usan para el modelado de la mayor´ıa de sistemas f´ısicos, las que raramente son mencionadas expl´ıcitamente. Las hip´otesis impl´ıcitas usadas a lo largo de este libro incluyen: 1. Las propiedades f´ısicas son funciones cont´ınuas de las variables espaciales. Esta hip´otesis de continuidad implica que el sistema puede ser tratado como una pieza cont´ınua de materia.
´ 1.2. MODELOS MATEMATICOS
3
2. El globo terr´ aqueo (donde se producen los fen´omenos de vibraci´on que ser´an de nuestro inter´es) se constituye en un sistema de referencia inercial, lo que permite la aplicaci´on de la mec´ anica Newtoniana. 3. Los efectos de la mec´ anica relativ´ıstica (de nivel at´omico) no son considerados en el an´ alisis. 4. La intensidad de la gravedad terrestre es el u ´nico campo de fuerza externo que se considera. 5. El sistema considerado no est´a sujeto a reacciones nucleares, reacciones qu´ımicas, transferencia de calor externa, y otras fuentes de energ´ıa t´ermica. 6. Todos los materiales son is´otropos, homog´eneos, y tienen comportamiento de respuesta lineal. 7. Se aplican todas las hip´ otesis de la mec´anica y resistencia de materiales b´asica, a menos que se indique lo contrario. Todos los sistemas f´ısicos en su comportamiento son eminentemente no–lineales por naturaleza. El modelado matem´ atico ex´ acto de estos sistemas conduce a ecuaciones diferenciales no–lineales, las cuales en generalidad no poseen soluci´on anal´ıtica. Puesto que se conocen soluciones exactas para las ecuaciones diferenciales lineales, las hip´otesis mencionadas anteriormente, y otras espec´ıficas al problema que est´ a siendo analizado, se incluyen para linealizar el problema y obtener un sistema f´ısico reducido que sea suceptible de ser modelado matem´aticamente. Formulaci´ on — Significa la traducci´on de la descripci´on fenomenol´ogica del sistema f´ısico hacia ecuaciones matem´ aticas que se obtienen aplicando las leyes fundamentales de la mec´ anica y las ecuaciones constitutivas del medio material que compone el sistema f´ısico en an´alisis. Entre las leyes fundamentales podemos mencionar a la conservaci´on de la masa, conservaci´ on de la energ´ıa, conservaci´ on del momentum (tanto traslacional como angular) y las leyes de la termodin´ amica. La conservaci´ on del momentum (o cantidad de movimiento) es la u ´nica ley f´ısica significativa en aplicaci´ on a los sistemas vibratorios, ya que las otras leyes no tienen relevancia en el an´ alisis o se cumplen de principio por las hip´otesis adoptadas. En cuanto a las ecuaciones constitutivas, ´estas proveen informaci´on acerca del comportamiento mec´anico de los materiales en los elementos utilizados en la construcci´on o fabricaci´on del sistema. Restricciones — La aplicaci´ on de restricciones geom´etricas es a menudo necesario para completar el proceso de modelado, las cuales pueden establecerse como relaciones de tipo cinem´atico relacionados a posiciones, velocidades y aceleraciones necesarias para formular condiciones de borde al problema matem´ atico o condiciones iniciales de movimiento. Soluci´ on — El modelado matem´ atico de un sistema f´ısico conduce a un problema matem´atico, el cual obviamente debe resolverse para hallar la soluci´on que representa la respuesta del modelo a las influencias externas que act´ uan sobre ´el. El modelado matem´ atico de los problemas de vibraciones mec´anicas conducen a ecuaciones diferenciales. Las soluciones anal´ıticas exactas, cuando ellas existen, son preferibles a las soluciones num´ericas o aproximadas mediante procesos de discretizaci´on. Afortunadamente existen soluciones anal´ıticas exactas para una gran mayor´ıa de problemas lineales de relativa complejidad, y tambi´en soluciones aproximadas para los problemas de elevada complejidad. Interpretaci´ on — Luego de haber obtenido la soluci´on matem´atica asociada con el modelo elaborado para un caso determinado, la interpretaci´on f´ısica de los resultados hallados es un importante paso final en el proceso de modelado. En las ciertas situaciones esto puede suponer en traducir gr´ aficamente las conclusiones generales de la soluci´on matem´atica, puede involucrar el desarrollo de curvas y/o ´ abacos tabulares de datos de dise˜ no, o podr´ıa requerir solamente simple ´algebra y aritm´etica para llegar a una conclusi´on para el problema espec´ıfico.
CAP´ITULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
4
1.2.1.
Grados de libertad
El modelado matem´ atico de un sistema f´ısico requiere la selecci´on de una serie de variables que describen su comportamiento. La variables dependientes son las variables que describen el comportamiento f´ısico del sistema. Ejemplos de variables dependientes son: el desplazamiento de una part´ıcula en un sistema din´ amico vibratorio, las componentes del vector velocidad en un flujo fluido, o la tempaeratura en la transferencia de calor; y otros. Las variables independientes son las variables debido a las cuales las variables dependientes cambian. Esto es, las variables dependientes son funciones de las variables independientes. Una variable independiente para los problemas vibratorios din´amicos es el tiempo; en un flujo fluido, el vector velocidad es dependiente de las coordenadas espaciales de posici´on y el tiempo, que ser´ıan las variables independientes; y en la transmisi´on de calor la temperatura es funci´on de la posici´on (las coordenadas espaciales) y el tiempo, que en este caso son las variables independientes. Como ser´ a aclarado posteriormente, la respuesta de un sistema est´a referida a un n´ umero de coordenadas independientes llamadas grados de libertad ; en consecuencia una definici´on ser´ıa: Se dice que un sistema tiene uno o m´ as grados de libertad, dependiendo del n´ umero de coordenadas independientes necesarias para definir su configuraci´on en todo instante; o dicho de otro modo, el n´ umero de coordenadas independientes necesarias para determinar la respuesta temporal del sistema. En consecuencia, el n´ umero de ecuaciones requeridas ser´a consistente con el n´ umero de grados de libertad necesarios para definir el problema. La Figura 1.1 muestra un conjunto de ejemplos de sistemas, los cuales tienen un solo grado de libertad.
g
x
k
L
m
kt J
m (a)
(b)
(c)
x m
g
x
k
L
x
1
x
= f(t)
k
2
m
m, J
k
(d)
(e)
(f)
Figura 1.1: Sistemas de un solo grado de libertad En cada uno de los ejemplos (a), (b) y (c) la configuraci´on est´a definida por la u ´nica coordenada posicional mostrada. En cada uno de los ejemplos (d) y (e) cualquiera de las coordenadas: x o θ pueden ser igualmente utilizadas, pero en ambos casos las dos variables est´an relacionadas por la geometr´ıa del
´ 1.2. MODELOS MATEMATICOS
5
sistema y no son independientes una de la otra. En el ejemplo (f), x1 es prescrita por una restricci´ on externa y en cualquier instante dado tiene un valor completamente definido por la funci´on que describe su variaci´ on temporal; solamente x2 podr´ıa ser escogida arbitrariamente y en consecuencia el sistema tiene un solo grado de libertad. En la Figura 1.2 cada uno de los sistemas tiene dos grados de libertad y para cada uno de ellos son necesarias dos coordenadas para definir su configuraci´on. Debe notarse que el t´ermino coordenada es usado aqu´ı en un sentido m´ as general que en la simple geometr´ıa descriptiva. En la Figura 1.2(a), por ejemplo, x1 y x2 son coordenadas separadas y distintas, a´ un cuando ellas se definan a lo largo del mismo eje o direcci´ on espacial.
x
x
1
k1
2
1 2
J1
k2
kt J2
m2
m1
(a)
1
(b)
L1 k1
g
m1
x2 m
2 L 2
k2 x1
k3
m2 (c)
(d)
Figura 1.2: Sistemas de dos grados de libertad Si un sistema consiste de un n´ umero establecido de cuerpos r´ıgidos inter–conectados mediante dispositivos flexibles (resortes), el mismo tendr´a un n´ umero finito de grados de libertad, ya que su configuraci´ on en todo instante est´ a definida cuando la posici´on de todas las masas se especifica. La posici´ on relativa de dos part´ıculas cualesquiera en un cuerpo r´ıgido permanece inalterable mientras el movimiento de todo el cuerpo ocurre. Todos los ejemplos en las Figuras 1.1 y 1.2 caen en esta categor´ıa. Cualquier serie de n coordenadas cinem´aticamente independientes para un sistema con n grados de libertad es llamada una serie de coordenadas generalizadas. La elecci´on de coordenadas generalizadas usadas para describir el movimiento de un sistema no es u ´nica. Las coordenadas generalizadas son las variables dependientes para un problema de vibraci´on, y son funciones de la variable independiente: el tiempo. Si la historia temporal de las coordenadas generalizadas es conocida; el desplazamiento, velocidad y aceleraci´ on de cualquier part´ıcula en el sistema puede ser determinada usando las relaciones que plantea la cinem´ atica. Ejemplo 1.1. En la Figura 1.3 se muestra un list´on r´ıgido articulado fijamente en un extremo y conectado a un resorte en su otro extremo. Si este sistema efect´ ua oscilaciones de peque˜ na amplitud (por ejemplo
CAP´ITULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
6
al desplazarlo de su configuraci´ on de equilibrio est´atico, y luego soltarlo), determinar el n´ umero de grados de libertad del sistema y especificar las coordenadas generalizadas necesarias para describir su comportamiento din´ amico vibracional.
k m2
m1
c Figura 1.3: Sistema oscilante list´on–resorte >
Soluci´ on
En el esquema se muestra una configuraci´on del sistema durante la fase de movimiento vibratorio, donde se aprecia que inicialmente podemos identificar las coordenadas mostradas (u, φ) como posibles grados de libertad. Pero, podemos afirmar que este sistema posee simplemente un solo grado de libertad, porque si escogemos cualquier part´ıcula a una distancia l desde el extremo articulado; la misma tiene una posici´ on horizontal x = l cos φ ∼ = l y un desplazamiento vertical y = l sin φ ∼ = lφ. La deformaci´on del resorte en cualquier instante estar´ıa determinada por u = L sin φ ∼ = Lφ. Por tanto, en el caso de este problema los dos grados de libertad identificados no son independientes, pues existe una relaci´ on entre estas variables. As´ı, podr´ıamos escoger a φ como el grado de libertad del sistema y tambi´en como la coordenada generalizada que permite definir su configuraci´on geom´etrica en todo instante. O de modo alternativo, podemos escoger a x para el mismo prop´osito. > Ejemplo 1.2. En la Figura 1.4(a) se muestra una polea escalonada articulada fijamente en su centro y de dimensiones radiales determinadas, la cual tiene cadenas inextensibles arrolladas en la periferia de ambos escalones que se conectan mediante resortes a sendos bloques de masa conocida. Este sistema cuando es perturbado, efect´ ua oscilaciones de peque˜ na amplitud alrededor de su configuraci´on est´atica. Determinar el n´ umero de grados de libertad de este sistema vibratorio.
r
r
R
R
x3
x4
k1
k2 m2
m1
x1
x2
k3 (a)
(b)
Figura 1.4: Sistemas vibratorio de varios elementos inter–conectados >
Soluci´ on
´ 1.2. MODELOS MATEMATICOS
7
La Figura 1.4(b) muestra a los diversos elementos componentes del sistema y una configuraci´on posible en un instante dado durante la fase de movimiento vibratorio. En este esquema se tienen marcados los desplazamientos posibles para el sistema en un tiempo gen´erico arbitrario. Notamos que inicialmente definimos cinco coordenadas espaciales que establecen la posici´on instant´anea de los puntos relevantes del sistema, por tanto de principio existir´ıan cinco grados de libertad asociados. No es posible establecer ninguna relaci´ on cinem´ atica entre los desplazamientos de ambos bloques y la rotaci´on angular de la polea, ya que existen elementos flexibles entre ellos. Sin embargo, en virtud que las cadenas son inextensibles (no cambian su longitud) se deber´an cumplir las siguientes relaciones de restricci´ on de desplazamientos: x3 = R φ x4 = r φ Estas ecuaciones permiten la reducci´on del n´ umero de grados de libertad necesarios para establecer la configuraci´ on del sistema en todo instante. Por tanto, el sistema analizado posee solamente tres grados de libertad independientes. Podr´ıamos escoger adecuadamente la rotaci´on angular horaria de la polea φ, el desplazamiento vertical ascendente x1 del bloque de masa m1 , y el desplazamiento vertical descendente x2 del bloque de masa m2 como coordenadas generalizadas para escribir las ecuaciones que gobiernan el comportamiento din´amico vibratorio del sistema; todas ellas medidas a partir de la configuraci´ on de equilibrio est´ atico. > Ahora consideremos el caso de una viga flexible empotrada en uno de sus extremos, como es mostrado en la Figura 1.5. La viga en este caso representa a un sistema en el que no es posible identificar una serie definida de masas; pero podemos dividir la viga en un n´ umero finito arbitrario de secciones y especificar la ubicaci´ on de los centros de esas secciones por un n´ umero finito de coordenadas. Poniendo atenci´ on un poco m´ as cerca hacia el interior de la viga, vemos que la misma puede distorsionarse dentro de las secciones de modo que un mayor n´ umero de coordenadas son necesarias para definir su forma. En u ´ltima instancia la conclusi´ on es que es necesario un n´ umero infinito de coordenadas para definir la forma desplazada de la viga. Tales sistemas se dice que son cont´ınuos y tienen un infinito n´ umero de grados de libertad.
dm B A
C
(x,t)
x
Figura 1.5: Viga empotrada en un extremo Las part´ıculas en un cuerpo el´ astico pueden moverse relativamente entre ellas mientras ocurre el movimiento del mismo. Las part´ıculas A y C est´an ubicadas a lo largo del eje neutro de la viga en voladizo de la figura, mientras que la part´ıcula B est´a en la secci´on transversal obtenida pasando un plano perpendicular al eje neutro a trav´es del punto A. Por la hip´otesis que las secciones planas se mantienen planas durante la deformaci´on de la viga, los desplazamientos transversales de las part´ıculas A y B son los mismos. Sin embargo, el desplazamiento de la part´ıcula C respecto a la part´ıcula A depende del tipo de carga aplicada. Por lo tanto, los desplazamientos de A y C son cinem´aticamente independientes. Debido a que A y C representan part´ıculas arbitrarias del eje neutro de la viga, se infiere que no existe relaci´ on cinem´ atica alguna entre los desplazamientos de cualquier par de part´ıculas a lo largo del eje neutro. Debido a que existe un infinito n´ umero de part´ıculas sobre el eje neutro, la viga en voladizo tiene un infinito n´ umero de grados de libertad. En este caso es definida una variable independiente x, la distancia para una part´ıcula a lo largo del eje neutro cuando la viga est´ a en equilibrio est´ atico. La variable dependiente, el desplazamiento transversal υ, resultar´a entonces ser una funci´ on de las variables independientes: la posici´on x a lo largo de la viga y el tiempo t.
CAP´ITULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
8
1.2.2.
Ecuaciones de movimiento
Las ecuaciones de movimiento deben ser formuladas de acuerdo a los principios establecidos en la mec´ anica, seg´ un conceptos de la din´ amica de movimiento, y su uso ser´a aclarado a medida que vayamos ganando material en este nuevo conocimiento. Sin embargo, con el objetivo de identificar los distintos elementos que componen los modelos matem´aticos recordaremos los tipos de fuerzas que intervienen al establecer una ecuaci´ on de movimiento para sistemas de un solo grado de libertad; ´estas son: Fi Fc Fk P (t)
— — — —
fuerza fuerza fuerza fuerza
de inercia de amortiguamiento el´astica de exitaci´on
En un modelo de un sistema de un solo grado de libertad, la imposici´on del equilibrio din´amico expresado en t´erminos que la resultante de fuerza interna al sistema en todo instante est´a equilibrada con la fuerza perturbadora exterior, nos llevar´a siempre a una relaci´on del siguiente tipo Fi + Fc + Fk = P (t)
(1.1)
situaci´ on que ser´ a verificada posteriormente. Un an´alisis de las componentes de la ecuaci´on anterior nos ayudar´ a a identificar los elementos significativos a tratar en el modelo asociado con el fen´omeno vibratorio puesto bajo estudio.
1.2.3.
Elementos de los modelos
Las propiedades esenciales de cualquier sistema mec´anico o estructural el´astico sujeto a una fuente externa de exitaci´ on o carga din´ amica que tienen movimiento de tipo oscilatorio est´an asociadas a diversos tipos de energ´ıa que se intercambian en el transcurrir del tiempo: las propiedades inerciales que provienen de la materia en movimiento se asocian a la energ´ıa cin´etica; las propiedades el´asticas est´ an asociadas a la energ´ıa potencial acumulada por proceso de deformaci´on; las propiedades de capacidad de generaci´ on de trabajo mec´ anico por efectos de fricci´on se asocian a la energ´ıa disipada; y finalmente, la capacidad de generaci´ on de trabajo mec´anico generado por la fuente de exitaci´on externa se asocia con la energ´ıa aportada al sistema en movimiento. Los elementos de todo modelo matem´atico son entidades abstractas mostradas en forma de dispositivos convencionales que representan a todas estas propiedades intr´ınsecas del sistema vibratorio que se analiza. Masa La segunda ley de Newton establece proporcionalidad entre la fuerza aplicada a un cuerpo r´ıgido y la aceleraci´ on producida. El coeficiente de proporcionalidad de esta relaci´on se denomina masa 1 , la cual d´ a una medida de la cantidad de materia contenida en el cuerpo.
x m
Fi
Figura 1.6: Representaci´on de la masa 1 Conviene aclarar en este punto que cuando se habla de fuerza, desplazamiento y masa, se lo hace en un sentido generalizado dependiendo del tipo de coordenada utilizada. As´ı por ejemplo, si se tienen coordenadas angulares por fuerza deber´ a entenderse una cupla o momento, por masa el correspondiente momento de inercia, y por desplazamiento la rotaci´ on angular; lo mismo vale para las derivadas respecto al tiempo.
´ 1.2. MODELOS MATEMATICOS
9
Para fines de representaci´ on gr´ afica la masa se representa mediante un bloque de materia con cierta forma geom´etrica (generalmente rectangular), la cual es mostrada en la Figura 1.6. La fuerza necesaria para mover esta masa con cierto monto de aceleraci´on, es denominada fuerza de inercia. La expresi´ on matem´ atica que define a la fuerza de inercia (o grado de resistencia al movimiento) es la siguiente Fi = m a
(1.2)
donde m es la masa del cuerpo y a = x ¨ es la aceleraci´on del movimiento producido.2 Debe recordarse que para la correcta aplicaci´on de la relaci´on anterior, debe suponerse el valor de la masa concentrada en un punto inmaterial que coincide con el centro de gravedad del cuerpo representado. Amortiguamiento Al igual que en otras disciplinas, las fuerzas de amortiguamiento constituyen una parte no conocida totalmente y su origen, evaluaci´on y correcta representaci´on son objeto de constante estudio. El amortiguamiento puede hacerse presente por diversas razones: movimiento del sistema inmerso en un fluido circundante, amortiguamiento por deformaci´on y reordenamiento de la estructura molecular (amortiguamiento estructural) o amortiguamiento inducido en forma intencional con el prop´osito de controlar la respuesta del sistema. El amortiguamiento de tipo viscoso (sistema inmerso en un fluido Newtoniano) se adapta bien al tratamiento matem´ atico, porque su uso proporciona ecuaciones de movimiento lineales; por lo tanto su utilizaci´ on se ha generalizado y el mismo ser´a usado a lo largo de este escrito. Su expresi´on anal´ıtica puede deducirse a partir del desarrollo de la ley de viscosidad de Newton. Supongamos una placa r´ıgida deslizando sobre una pel´ıcula delgada de un medio fluido por la acci´ on de una fuerza tangencial aplicada sobre este objeto r´ıgido como es mostrado en la Figura 1.7(a).
Ft
v
n
v
0
0
A dV
e
v = v(n)
e
dV
dn
b
(a) Placa m´ ovil sobre pel´ıcula fluida
(b) Pel´ıcula fluida (vista ampliada)
(c) Elemento fluido
Figura 1.7: Placa en movimiento sobre una pel´ıcula fluida La tensi´ on cortante transmitida hacia el fluido por la fuerza Ft aplicada a la placa a trav´es del ´rea de contacto A est´ a a determinada por τ = Ft /A; en tanto que la velocidad angular de deformaci´ on inducida en el interior del medio fluido a causa de esta acci´on es medida a trav´es del gradiente de velocidad seg´ un direcci´ on normal a la de movimiento principal que tienen las part´ıculas fluidas; o sea ∂v/∂n [v´ease la Figura 1.7(b)]. La ley de viscosidad de Newton establece proporcionalidad dir´ecta entre estas dos cantidades, es decir: τ ∝ ∂v/∂n. Para levantar esta relaci´on de proporcionalidad se introduce una constante, de modo que resulta: τ =µ
∂v ∂n
(1.3)
donde µ es el coeficiente de viscosidad din´amica del medio fluido, v la velocidad relativa entre part´ıculas, y n la direcci´ on normal a la direcci´ on de flujo. 2
Por razones de brevedad en la redacci´ on usando simbolog´ıa matem´ atica, si β = β(t) es una variable dependiente 2 ¨ ≡ d β , etc. , β del tiempo, utilizaremos la siguiente convenci´ on de escritura: β˙ ≡ dβ dt dt2
CAP´ITULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
10
Suponiendo flujo uni–dimensional en el interior del medio fluido en movimiento, podemos desechar los operadores diferenciales parciales y usar derivadas comunes; por lo que tendr´ıamos: τ =µ
dv dn
(1.4)
En la Figura 1.7(c) mostramos un elemento fluido o volumen diferencial en el que consideramos la reciprocidad de tensiones cortantes actuantes en sus caras, y considerando un ancho b (profundidad) para el mismo se tiene a partir de la ecuaci´on anterior τ dn b = µ dv b Z Z τ dA = µ b dv
integrando
A
(1.4a)
v
Fc = c v
(1.5)
donde c = µ b, es denominado coeficiente de amortiguamiento viscoso. Si las condiciones del problema son distintas a aquellas establecidas para el amortiguamiento viscoso y la evaluaci´ on de la respuesta no requiere gran precisi´on, se eval´ ua la energ´ıa disipada durante el intervalo de tiempo de estudio y se introduce en el modelo un amortiguamiento viscoso equivalente; es decir, que disipe la misma cantidad de energ´ıa en el mismo intervalo de tiempo.
x
1
Fc
x
2
Fc
Figura 1.8: Representaci´on del amortiguador Para fines de representaci´ on gr´ afica el amortiguamiento se representa mediante un amortiguador de tipo ´embolo–pist´ on, el cual es mostrado en la Figura 1.8. La fuerza transmitida por este elemento es proporcional a la velocidad relativa de sus partes componentes, lo cual se mide por la diferencia de velocidades absolutas de sus puntos extremos; es decir que Fc = c (x˙ 2 − x˙ 1 )
(1.6)
Debemos notar que las fuerzas transmitidas por el amortiguador a trav´es de sus extremos hacia otros elementos con los cuales se inter–conecta este dispositivo, en todo instante se hallan en equilibrio din´ amico (suponiendo al amortiguador carente de masa, por supuesto). Elasticidad La capacidad de los cuerpos para cambiar de longitud, ´area, volumen y/o forma ante la aplicaci´on de cargas actuantes sobre ellos, est´ a definida para los cuerpos el´ asticos como una relaci´on funcional que liga la carga aplicada y la deformaci´ on producida o desplazamiento el´astico que aparece en este elemento. Esta relaci´ on funcional para los materiales com´ unmente utilizados en ingenier´ıa presenta zonas claramente distinguibles seg´ un el nivel de deformaci´on alcanzado. La Figura 1.9(a) ilustra tal situaci´on, donde tenemos como regiones caracter´ısticas: I II III
— — —
zona de proporcionalidad el´astica zona de fluencia pl´astica zona de endurecimiento
´ 1.2. MODELOS MATEMATICOS
11
F
Fk k 1 I
II
III
-
II III
I
(a) Diagrama experimental
(b) Diagrama idealizado
Figura 1.9: Diagramas carga–deformaci´on de un material el´astico En cambio, la Figura 1.9(b) muestra el diagrama asociado idealizado, que generalmente es utilizado como modelo simplificado en los c´ alculos num´ericos. No obstante pueden existir materiales que no presenten la curva de respuesta anterior, y por tanto su modelaje deber´ a constituir un estudio particular; sin embargo, considerando que la mayor´ıa de los materiales tienen curvas de respuesta similar a la mostrada en la Figura 1.9(a) y teniendo en cuenta que los esfuerzos en la etapa de servicio no exceden la zona de proporcionalidad el´astica, es l´ıcito admitir como v´ alida la ley de Hoocke. En caso de ser necesario un an´alisis m´as all´a de la zona el´ astica, la soluci´ on del problema es a´ un posible, naturalmente con esfuerzo adicional debido a la p´erdida de linealidad de las ecuaciones de movimiento. En el caso que nos ata˜ ne, para preservar linealidad en las ecuaciones de comportamiento din´ amico, aceptamos la validez de la ley de Hoocke que indica: “En la zona lineal el´astica de un material existe proporcionalidad dir´ecta entre la fuerza aplicada y la deformaci´on producida por ella ”; por lo tanto anal´ıticamente se cumple: Fk ∝ δ [v´ease la Figura 1.9(b)]. Por lo tanto, la relaci´on funcional lineal que se adopta para un comportamiento dentro la zona el´astica del material es como sigue: Fk = k δ
(1.7)
donde k es la constante de proporcionalidad denominada coeficiente de rigidez y δ es la deformaci´ on producida o desplazamiento el´ astico.
x2
x1 Fk
k
Fk
Figura 1.10: Representaci´on del resorte Con fines de representaci´ on gr´ afica, la elasticidad del material se representa mediante un resorte, el cual es mostrado en la Figura 1.10. La fuerza transmitida por este elemento, a trav´es de sus puntos extremos, es proporcional al desplazamiento relativo o deformaci´on producida, lo cual se mide por la diferencia de desplazamientos absolutos de sus puntos extremos; es decir que Fk = k (x2 − x1 )
(1.8)
Debemos puntualizar aqu´ı que los desplazamientos de los puntos extremos del elemento resorte deben ser medidos a partir de la configuraci´on de equilibrio est´atico. Tambi´en apreciamos que este elemento se encuentra en equilibrio din´ amico en todo instante, suponi´endolo de masa despreciable. Exitaci´ on La exitaci´ on actuante sobre un sistema mec´anico vibratorio (o estructural) es normalmente una fuerza en el sentido generalizado; sin embargo puede ser tambi´en, como veremos despu´es, un desplazamiento, velocidad o aceleraci´ on aplicados a alg´ un apoyo o soporte de la estructura. Su dependencia
CAP´ITULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
12
con el tiempo le d´ a su naturaleza din´ amica. Sin embargo, hablando estr´ıctamente, todas las cargas son din´ amicas, y puede decidirse en alg´ un momento si es adecuado o n´o el tratamiento din´amico de un problema. Explicando mejor: Si una carga var´ıa muy suavemente en el transcurrir del tiempo con relaci´ on al periodo del sistema vibratorio 3 , es posible que no sea adecuado un tratamiento din´amico debido a que sus efectos de caracter´ıstica din´amica sean despreciables. No obstante, y esto debe tomarse muy en cuenta, una carga con las mismas caracter´ısticas de duraci´on podr´ıa ser fatal para otro tipo de estructura, que tenga un periodo mayor que el tiempo de variaci´on de la carga. Estos aspectos aparecer´ an claros posteriormente. Tipos de exitaci´ on
Se pueden intentar diversas clasificaciones de las exitaciones existentes; aparentemente la m´as l´ ogica es aquella que divide las exitaciones en: determin´ısticas y no–determin´ısticas (o aleatorias). Las determin´ısticas abarcan la gama de perturbaciones cuya dependencia funcional tanto respecto al tiempo como al espacio est´ an definidas ya sea en forma anal´ıtica o num´erica. El grupo no–determin´ıstico o aleatorio comprender´ıa a las exitaciones que est´an definidas en un sentido estad´ıstico conociendo para ellas, por ejemplo, su densidad de probabilidades. El listado presentado a continuaci´ on ilustra algunos ejemplos de los tipos de exitaciones definidas en l´ıneas anteriores. Determin´ısticas •
tipo: ´ n: expresio caso t´ıpico:
arm´ onico P0 sin Ωt rotor desequilibrado
•
impulsivo definida num´ericamente explosi´ on
tipo: ´ n: expresio caso t´ıpico:
No–determin´ısticas (Aleatorias) •
tipo: ´ n: expresio ´ caso tıpico:
probabil´ıstico definida estad´ısticamente presi´ on din´ amica del viento
Las t´ecnicas empleadas para obtener la respuesta dependen del tipo de exitaci´on actuante sobre el sistema en estudio, lo mismo que la informaci´on obtenida a partir de la soluci´on hallada para el problema en an´ alisis.
Problemas propuestos 1.1.
En la Figura se muestra un mecanismo manivela (M) – biela (B) – pist´on (P) de dimensiones determinaL R P das, el cual tiene hipot´eticamente uniones articulaM das entre estos elementos. La manivela se encuentra conectada hacia un apoyo articulado fijo, y rota con velocidad angular ω de magnitud constante. Mostrar que el pist´on tiene movimiento oscilatorio peri´ odico, y hallar la amplitud de su movimiento suponiendo que parte desde una condici´on de B
3 Periodo de un sistema vibratorio (o estructura) es el tiempo que tarda el sistema en realizar una oscilaci´ on libre completa. Su c´ alculo e importancia ser´ an tema de desarrollo posterior en siguientes cap´ıtulos.
Problemas propuestos L
13
m
k
reposo en cierta posici´ on conocida. 1.2.
Para el sistema indicado en la Figura, determinar la deformaci´on est´atica en los resortes para la configuraci´on de equilibrio estable. Considere las variables indicadas como datos conocidos, las poleas de masa despreciable, y el cable que tiene contacto con ellas como inextensible.
2k
m k
k
1.3.
Una varilla r´ıgida homog´enea de 60 Kg de peso y 1,25 m de longitud est´a conectada en un extremo a un resorte de coeficiente de rigidez igual a 200 Kg/cm, y en la posici´on indicada a un apoyo articulado fijo. Si en la configuraci´on vertical mostrada, el resorte est´a deformado en 2 mm, determinar la longitud indeformada del resorte y la magnitud de la reacci´ on en el apoyo articulado cuando el sistema se reestablece en su configuraci´on de equilibrio est´atico
k
L/4
L
W
L/4
1.4. r
R k1
k2 m1
m2 k3
1.5. L
L
u
1
2m
1.6.
T
L
u
2
m
En el sistema de la Figura 1.4(a) que por conveniencia aqu´ı repetimos, las dos masas se sostienen a una id´entica altura tal como muestra el esquema adjunto. Considerando como datos todas las variables indicadas, determinar la configuraci´on de equilibrio est´ atico, cuando ambas masas son soltadas y llegan a su condici´on de reposo. En la Figura se muestra un par de bloques r´ıgidos de masa conocida interconectados mediante un cable inextensible, la cual resbala por la periferia de un par de poleas. Adem´as, se tiene un resorte de coeficiente de rigidez determinado conectado a uno de los bloques. determine el n´ umero de grados de libertad de este sistema y especifique las coordenadas generalizadas que describan su configuraci´on en cualquier instante.
CAP´ITULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
14
En la Figura adjunta se muestra un par de bujes de masa conocida conectados por una varilla r´ıgida de longitud determinada. Estos bujes pueden resbalar en contacto con los tubos sobre los que deslizan. Adem´as uno de los bujes tiene conectado un resorte que en su otro extremo est´a soldado a la base del tubo. Cuantos grados de libertad son requeridos para modelar el sistema mostrado ?. Identificar una serie de coordenadas generalizadas las cuales puedan ser utilizadas para analizar la vibraci´on de este sistema.
k m
L 2m
1.7.
Una esfera de radio r y masa m rueda sin deslizar en contacto con una superficie cil´ındrica inm´ovil de radio R, en la parte inferior de la misma. Si el movimiento es alrededor de la posici´on vertical de equilibrio est´atico, con desplazamientos muy peque˜ nos, determinar el n´ umero de grados de libertad del sistema y un conjunto de coordenadas generalizadas que permita analizar el movimiento oscilatorio del cuerpo esf´erico.
R
r m
1.8.
2m, I
Cuantos grados de libertad son requeridos para modelar el sistema mostrado en la Figura ?. Identificar una serie de coordenadas generalizadas las cuales puedan ser utilizadas para analizar la vibraci´on vertical del conjunto de elementos componentes de este sistema.
L/2
L/2
k/2
k
1.9.
2k
m
Demuestre que si un resorte lineal de coeficiente de rigidez k es solicitado por fuerzas id´enticas Fk en k Fk Fk sus extremos, como se muestra en la Figura, y si los puntos de aplicaci´on de estas fuerzas tienen desplazamientos x1 y x2 (x2 > x1 ) conocidos; la fuerza transmitida por el resorte a trav´es de sus extremos est´ a determinada por: Fk = k(x2 − x1 ).
x2
x1
1.10.
e R
En la Figura se muestra un amortiguador viscoso torsional de tipo pist´on–´embolo, que sirve para el modelado en vibraci´on rotacional. El pist´on (placa circular de radio R conectado a un peque˜ no eje) rota en el interior del cilindro con rapidez angular constante ω, en contacto con un l´ıquido lubricante de viscosidad din´amica µ y espesor de pel´ıcula e, como muestra el esquema. Determinar el coeficiente de amortiguamiento torsional ct de este dispositivo.
1.11. Un “resorte neum´ atico” consiste de un pist´on circular de ´area A en el interior de un ´embolo cil´ındrico que contiene un gas. A medida que el ´embolo se mueve, el gas se expande y contrae cambiando la presi´ on ejercida sobre el pist´on. Si el proceso ocurre adiab´aticamente (sin inter-
Problemas propuestos
15
cambio de calor con el medio circundante), entonces se cumple: p = C ργ , donde p es la presi´ on del gas, ρ su densidad, γ la relaci´on de calores espec´ıficos (γ = cp /cV ), y C es una constante dependiente del estado inicial del gas contenido en el ´embolo. Considere un resorte donde la presi´on inicial es p0 a temperatura T0 . A esta presi´on la altura de columna de gas en el cilindro es h. Sea F = p0 A + δF la fuerza de presi´on sobre el pist´ on cuando el mismo ha sido desplazado una distancia x dentro el gas desde su altura inicial. (a) Determine la relaci´ on entre δF y x. (b) Linealizar la relaci´ on del anterior inciso para aproximar el resorte neum´atico a un resorte lineal el´ astico. Cual es la rigidez equivalente del resorte ?. (c) Cual es el ´ area requerida del pist´on para un resorte neum´atico de aire (γ = 1, 4) que tenga un coeficiente de rigidez de 300 N/m para una presi´on absoluta de 150 kPa, con un valor de altura de gas de 30 cm ?. 1.12. Considere nuevamente la viga en voladizo mostrada en la Figura 1.5 que repetimos algo modificada, y x (x,t) para ella suponga que no existe ning´ un tipo de exiL taci´on externa ni tampoco considere los efectos de fricci´on en la disipaci´on de energ´ıa. Realice un bosquejo esquem´ atico de un modelo con cinco grados de libertad que sirva para analizar la vibraci´ on libre seg´ un direcci´ on vertical de este elemento estructural. En el esquema se indican los valores globales de los par´ ametros para la viga entera. Explique brevemente las caracter´ısticas del modelo elaborado. E, I, m
Cap´ıtulo 2
Modelos matem´ aticos El esquema global del Proceso de Modelado Matem´atico es diagramado en la Figura 2.1. En este flujograma, el sistema f´ısico a ser analizado es primariamente convertido a trav´es de la consideraci´ on de ciertas hip´ otesis simplificativas en un modelo matem´atico, el cual por generalidad posee caracter´ısticas de continuidad en sus aspectos materiales y de propiedades mec´anicas. Este modelo matem´ atico as´ı planteado tiene comportamiento definido por una ecuaci´on gobernante (que en el caso presente es formulado usando los principios generales de la mec´anica y la teor´ıa de ecuaciones diferenciales) la cual posee soluci´ on para un n´ umero finito de variables de estado con las cuales se ha formulado el modelo, i.e., esta soluci´ on anal´ıtica es obtenida para el dominio de definici´on del problema. El procedimiento anteriormente descrito, utiliza secuencialmente los procesos de idealizaci´on, y soluci´on; en los que se fundamentan en generalidad las t´ecnicas de an´alisis basados en modelos matem´aticos. SOLUCIÓN
IDEALIZACIÓN Sistema físico
Modelo matemático
Solución analítica
Error de modelado Error de modelado + error de solución
VERIFICACIÓN Y VALIDACIÓN
Figura 2.1: Flujograma del Proceso de Modelado Matem´atico El problema f´ısico t´ıpicamente involucra un sistema mec´anico o una estructura real con componentes sujetos a ciertos sistemas de carga din´amica. La idealizaci´on del problema f´ısico en un modelo matem´ atico requiere establecer ciertas asunciones o hip´otesis que juntamente a la primac´ıa de ecuaciones diferenciales gobiernan el modelo matem´atico. Este modelo puede escogerse a ser cont´ınuo o discreto dependiendo de las t´ecnicas de formulaci´on matem´atica que sean utilizadas para ´este prop´ osito. Los procesos de verificaci´ on y validaci´on del modelo simulado en su comportamiento por el c´ alculo anal´ıtico efectuado, es realizado mediante apropiados bucles de retroalimentaci´on mediante el contraste de resultados te´ oricos intermedios y finales que arroja el modelo matem´atico, con aquellos que pueden obtenerse mediante v´ıas experimentales en el sistema f´ısico real a trav´es de mediciones en un prototipo o un modelo a determinada escala geom´etrica que puede ser constru´ıdo para realizar dichas pruebas experimentales. El modelo utilizado en el an´alisis de car´acter te´orico se considera verificado y validado, cuando la discrepancia de sus resultados comparados con los valores pr´acticos o experimentales es menor que cierta magnitud pre–establecida de error porcentual, el cual sea aceptable en c´alculos de 17
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
18
dise˜ no en ingenier´ıa.
2.1.
Introducci´ on
Los sistemas mec´ anicos o estructurales reales tienen la masa, amortiguamiento y rigidez (frecuentemente tambi´en la carga) distribuidas en el dominio espacial ocupado por ellos; en consecuencia su comportamiento din´ amico est´ a gobernado por las ecuaciones de los sistemas el´asticos deformables, las mismas que por ser funciones de las coordenadas espaciales y del tiempo, vienen dadas en t´erminos de derivadas parciales y por lo tanto su soluci´on, a´ un para los casos sencillos, implica un esfuerzo matem´ atico considerable. Sin embargo, la naturaleza de su soluci´on proporciona alguna luz sobre el m´etodo alternativo que puede emplearse para la soluci´on de diversos problemas.
Pk
, q
q(x,t) x (x,t)
Figura 2.2: Viga simplemente apoyada Consideremos un caso general en el que los par´ametros asociados con la din´amica vibratoria de un sistema tienen distribuci´ on espacial, como el caso de la viga mostrada en la Figura 2.2. La teor´ıa de flexi´ on din´ amica de vigas rectas indica que la din´amica de movimiento de este tipo de estructuras simples tiene como ecuaci´ on gobernante a la expresi´on: EI donde:
EI m ¯ q(x, t) υ(x, t)
— — — —
∂4υ ∂2υ + m ¯ = q(x, t) ∂x4 ∂t2
(2.1)
coeficiente de rigidez flexionante masa por unidad de longitud carga aplicada distribuida desplazamiento vertical
La soluci´ on de la Ecuaci´ on (2.1) se puede expresar como la siguiente serie infinita: υ(x, t) =
∞ X
Φn (x)Ψn (t)
(2.2)
n=1
Obviamente cuando se realiza el c´ omputo de υ(x, t) es imposible incluir la totalidad de t´erminos que corresponden a la serie, y por tanto siempre se obtiene solo un valor aproximado de la soluci´on. El n´ umero infinito de t´erminos se debe a que υ(x, t) est´a definida en todo el intervalo 0 6 x 6 L, y por tanto el sistema de la Figura 2.2 tiene infinitos grados de libertad 1 . No obstante, en la pr´actica el problema estar´ a resuelto si podemos determinar el movimiento de algunos puntos relevantes convenientemente elegidos. Esto sugiere aproximar el problema real con uno que tenga solo un n´ umero finito de grados de libertad, lo que por tratarse de puntos fijos conducir´a a un problema planteado en t´erminos de ecuaciones diferenciales ordinarias 2 reduciendo la dificultad matem´atica, y permitiendo como se ver´ a despu´es, la formulaci´ on del problema con menor tama˜ no en t´erminos matriciales. 1 2
En lenguaje matem´ atico, significa que el espacio soluci´ on de la Ecuaci´ on (2.1) es infinito dimensional. La dimensi´ on del espacio soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria es igual al orden de la ecuaci´ on.
2.2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
2.2.
19
Modelos de un grado de libertad
Frecuentemente es posible aproximar la soluci´on de un problema dado en t´erminos de un solo grado de libertad; esto sucede cuando: (a) el movimiento de un punto dado de la estructura es identificado, conjuntamente los par´ ametros din´ amicos asociados a ´el, o (b) cuando el movimiento de la estructura se puede escribir en funci´ on del movimiento de un punto dado. Normalmente el criterio y el buen juicio ingenieril son importantes para la r´apida elecci´ on del modelo y la identificaci´ on de las coordenadas a considerarse. Particularmente en el caso de problemas complicados, el ingeniero debe recordar que cualquier complicaci´on en el modelo se traduce en grandes vol´ umenes de c´ alculo, frecuentemente innecesarios y que no dan mayor luz al problema. Con el objeto de ilustrar los distintos procedimientos para la obtenci´on de modelos matem´ aticos, consideremos las t´ecnicas para los modelos de un grado de libertad.
2.2.1.
Modelos con par´ ametros concentrados
Si los par´ ametros din´ amicos: masa, elasticidad, amortiguamiento, y carga, son r´apidamente identificados y el movimiento se puede asociar con un solo punto; el modelo se puede considerar de par´ ametros concentrados. Esto podr´ıa interpretarse como si todas las caracter´ısticas param´etricas de vibraci´ on del sistema en estudio, pudieran concentrarse en un u ´nico punto espacial. Ejemplos de este tipo de modelos se presentan cuando se estudia el aislamiento de un motor el´ectrico montado sobre vigas el´asticas de peso despreciable frente al peso propio del motor, o cuando se analiza en forma preliminar el movimiento vertical de un autom´ ovil; en este caso la masa oscilante la proporciona el peso del autom´ ovil, y los elementos el´ asticos los muelles del mismo. Como estos dos casos existen muchos otros t´ıpicos, en los que son r´ apidamente identificables los par´ametros din´amicos del sistema asociados con un modelo de un solo grado de libertad.
Pk
Pk
G
m
u A
G
B
A
(a) Diagrama esquem´ atico
k B
B
(b) Modelo
Figura 2.3: Motor montado sobre vigas el´asticas Para el primero de los casos mencionados en el p´arrafo anterior: un motor el´ectrico montado sobre vigas el´ asticas de peso despreciable, supongamos que un diagrama esquem´atico de la situaci´on es como la mostrada en la Figura 2.3(a). Por razones de simetr´ıa, escojamos el punto A como punto de apoyo asumido del motor sobre las vigas (consideradas sin masa) cuyos apoyos se denotan con la letra B. Notemos adem´ as que este punto A est´a contenido en el mismo plano vertical que el centro de gravedad del motor (punto G), donde se supone que se concentra todo el peso del mismo. Si el peso propio W del motor considerado cuerpo r´ıgido se asume conocido, la masa de nuestro modelo tendr´a como valor: m = W/g, donde g es la magnitud de la intensidad del campo gravitatorio local. Por otra parte, las vigas por la deformaci´on que presentan (con relaci´on a sus apoyos que no poseen movimiento vertical) durante el movimiento de vibraci´on del conjunto; proporcionan la caracter´ıstica de elasticidad al sistema, que podemos suponer tiene comportamiento lineal el´astico y est´a asociado con determinado valor de coeficiente de rigidez de valor constante (relativo a los puntos de apoyo) que sea equivalente a la rigidez de tipo distribuido, que en realidad tienen las vigas de soporte. Supongamos que dicho valor lo denotamos con k, que ser´ıa la magnitud del coeficiente de rigidez el´astico equivalente de las vigas.
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
20
Impl´ıcitamente en el an´ alisis anterior hemos escogido el desplazamiento vertical del centro de gravedad G del motor, como grado de libertad del sistema 3 y por tanto el modelo representativo del mismo asociado a un solo grado de libertad ser´ıa el mostrado en la Figura 2.3(b), donde u denota al desplazamiento que tiene el punto G, previamente identificado, del motor el´ectrico. A menudo un sistema posee m´ as de un elemento que tiene caracter´ıstica de flexibilidad, es decir posee capacidad de almacenamiento de energ´ıa mediante un proceso de deformaci´on. En estas aplicaciones, los resortes que los reemplazar´ıan en el modelo estar´ıan dispuestos seg´ un cierta disposici´on asociada con la respuesta mec´ anica que ellos presentan cuando act´ uan en conjunto. Las disposiciones posibles son: (a) configuraci´ on en serie y (b) configuraci´ on en paralelo. En cualquiera de estos casos es conveniente, por prop´ ositos de modelado y an´alisis reemplazar la combinaci´on de elementos por un solo resorte que tenga rigidez equivalente a la de todo el conjunto (v´ease los Problemas 2.1 y 2.2 al final del cap´ıtulo). No obstante cuando los par´ ametros din´amicos est´an distribuidos, la aproximaci´on con un modelo de un solo grado de libertad es a´ un posible; sin embargo, la elecci´on de los valores adecuados es m´as dependiente del juicio y experiencia del ingeniero. Reconsideremos ahora la situaci´ on analizada recientemente, con el objetivo de refinar el modelo planteado y optimizarlo de manera que la soluci´on obtenida posea una mayor exactitud. Para ello, asumamos que la viga tenga cierto peso propio considerado conocido a partir del cual se puede calcular su masa por unidad de longitud m, ¯ que resultar´a un par´ametro de valor constante (asumiendo que la viga es homog´enea y de secci´ on transversal invariable). Adem´as, supondremos que la viga tiene m´odulo de elasticidad E, longitud L, y momento de inercia centroidal I; como es indicado en el esquema de la Figura 2.4. Para esta viga, se desea encontrar la frecuencia natural de vibraci´ on. 4
Pk
P
E, I, m
x
L
Figura 2.4: Viga simplemente apoyada Como punto representativo elegiremos el movimiento del punto medio de este elemento estructural, para efectos de c´ alculo de la rigidez en el punto de an´alisis. Se supone que durante la vibraci´on, la deformada de la viga adopta un aspecto geom´etrico de amplitud variable similar a la causada por la aplicaci´ on de una carga concentrada P aplicada en medio del vano; en consecuencia la deflexi´on δ en el punto donde act´ ua la fuerza es de acuerdo a la mec´anica de materiales b´asica: δ=
P L3 48E I
por lo tanto,
48E I δ L3 comparando con la ecuaci´ on b´ asica del resorte que sustituye la viga P = k u, se deduce que: P =
k=
48E I L3
(2.3)
(2.4)
3 Notemos que el punto A tiene id´ entico desplazamiento vertical que el centro de gravedad G del motor, ya que ambos puntos pertenecen al mismo cuerpo r´ıgido, y tambi´ en podr´ıa ser escogido como punto donde se asocie el grado de libertad del sistema. 4 La frecuencia natural de vibraci´ on es un par´ ametro de la respuesta din´ amica, cuyo significado exacto ser´ a explicado con precisi´ on luego.
2.2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
21
La Ecuaci´ on (2.4) proporciona el valor de la rigidez a usarse en el modelo. De la Ecuaci´on (2.3) se deduce que: “La rigidez es la carga necesaria para producir un desplazamiento unitario en el punto de aplicaci´ on de la carga, seg´ un la direcci´on de ´esta”. La identificaci´ on de la masa vibrante es menos directa, y su valor se determina por tanteos en base al dato referencial que la frecuencia fundamental (primera o principal) de una viga simplemente apoyada viene determinada por: 5 r EI 2 (2.5) ω1 = π m ¯ L4 El porcentaje de la masa total a utilizarse en el modelo ser´a aquel que proporcione la mejor aproximaci´ on al valor exacto determinado por la Ecuaci´on (2.5). En la Figura 2.5 se muestra la gr´ afica que ilustra los diferentes valores hallados mediante un r´apido c´alculo seg´ un los datos mostrados en la Tabla adjunta.
%mL 100
r ω1 = α
EI m ¯ L4
% mL ¯
α
100 60 50 40 30 20
6,93 8,94 9,80 10,96 12,65 15,50
%
- 29,8 - 9,4 - 0,7 11,0 28,2 57,0
Pk
*
75
* 50
48,6
* 25
9,87
* *
0 5
(a) Tabla de datos
*
7,5
10
12,5
15
17,5
(b) Datos y ajuste gr´ afico
Figura 2.5: Aproximaci´on hacia la frecuencia fundamental Seg´ un la Figura 2.5, el valor de la masa vibrante a ser concentrada en el punto medio de la viga para obtener un error porcentual muy reducido ( % = −0, 7 %) ser´a alrededor de 0, 5 m ¯ L (es decir 50 % de la masa total de la viga). Usted puede comprobar que se obtiene un error nulo si se toma para el c´ alculo 48,6 % de la masa total, pero por comodidad usaremos como dato soluci´on el valor especificado previamente. Finalmente, con estos u ´ltimos valores soluci´on obtenidos, estamos en capacidad de establecer que los par´ ametros del modelo de an´ alisis del motor el´ectrico apoyado sobre vigas, mostrado en la Figura 2.3(a), tiene como masa equivalente al sistema original: meq = m + m ¯ L, y como coeficiente de rigidez equivalente: keq = 48 E I/L3 . Estos valores param´etricos reemplazar´ıan a aquellos indicados en la Figura 2.3(b) en el modelo optimizado. El procedimiento aqu´ı ilustrado solo es aplicable cuando se conoce la frecuencia natural de vibraci´ on, la misma que en la mayor´ıa de los casos es desconocida, y por lo tanto el ´exito del procedimiento depender´ a de la habilidad y experiencia del analista. Si el modelo requiere la inclusi´ on de amortiguamiento, la aproximaci´on no es directa y lo u ´nico que quedar´ a es suponerla concentrada al igual que los dem´as valores, adoptando para el coeficiente 5
Este dato puede ser obtenido de un manual de propiedades din´ amicas de elementos estructurales.
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
22
de amortiguamiento equivalente ceq un valor de acuerdo al material de la estructura, el mismo que frecuentemente es dado como un porcentaje de un valor caracter´ıstico asociado con la amortiguaci´on presente en el sistema real, situaci´ on que ser´a explicada con detalle en el momento preciso. Muchas veces es posible la elaboraci´ on de un modelo algo grosero como una “primera aproximaci´on” hacia la soluci´ on de una situaci´ on planteada. Esto ocurre cuando en el proceso de modelado se imponen hip´ otesis dr´ asticas que simplifican de modo casi absoluto la complejidad natural de la situaci´on en an´ alisis, y la elaboraci´ on del modelo resulta casi obvia de principio. El siguiente ejemplo nos muestra una situaci´ on en la que las hip´ otesis de planteamiento del problema permiten una identificaci´on directa del modelo matem´ atico de an´ alisis asociado, con un solo grado de libertad. Ejemplo 2.1. En la Figura 2.6(a) se muestra una viga de peso despreciable empotrada en un extremo, la cual en su otro extremo libre soporta un volante de peso W conocido, sobre el cual act´ ua una fuerza din´ amica P (t) descrita como funci´ on conocida; que obliga a que el conjunto vibre en direcci´on vertical. La viga de soporte es de material conocido con m´odulo de elasticidad E, y tambi´en de forma geom´etrica determinada con longitud L y momento de inercia de secci´on transversal I de valores conocidos. Determinar un modelo matem´ atico de an´alisis de un grado de libertad, asociado al conjunto viga–volante tomado como sistema.
Pk
P( t ) E, I
W
Pkeq m x
L (a) Sistema o prototipo real
u
meq = W/g keq = 3EI/L3
u
Peq
k eq
Peq = P (t)
(b) Modelo de an´ alisis
Figura 2.6: Sistema viga–volante y modelo de par´ametros concentrados >
Soluci´ on
Si estamos interesados en la magnitud de amplitud m´axima de la vibraci´on producida, debemos tomar como grado de libertad del sistema al desplazamiento vertical del centro de gravedad del volante, al cual lo consideramos cuerpo r´ıgido. La viga de soporte al tener masa despreciable no aporta a la inercia de oposici´ on al movimiento del sistema; y sabemos que la masa neta del volante puede concentrarse en el centro de gravedad de este cuerpo, suponi´endolo homog´eneo. Con estas consideraciones es evidente que: meq = W/g, siendo g el valor de la intensidad del campo gravitatorio. Asumiendo que la deformada el´ astica din´amica tiene el mismo aspecto geom´etrico que la deformaci´ on producida en la viga soporte por una carga vertical puntual est´atica F aplicada en el extremo L3 libre; tenemos como referencia a la deflexi´on est´atica m´axima producida: δ = F3EI , que puede obtenerse de un manual. Recordando que el significado f´ısico del coeficiente de rigidez equivalente es la magnitud de fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en su punto de aplicaci´on, seg´ un la direcci´ on de la fuerza (F = keq δ); resulta que: keq = 3EI/L3 . Como las part´ıculas materiales en un cuerpo r´ıgido no poseen movimiento relativo interno, se produce movimiento de conjunto para todas ellas cuando el cuerpo se desplaza; y en el caso de la exitaci´ on externa aplicada esto es equivalente a que la fuerza de exitaci´on se aplicase en el centro de gravedad del volante, por lo que Peq = P (t). En la Figura 2.6(b) mostramos el modelo de par´ametros concentrados que obtuvimos. >
2.2.2.
Modelos consistentes
Los modelos consistentes son aquellos que determinan todos los par´ametros de vibraci´on del sistema (mec´ anico o estructural) a partir de una misma configuraci´on deformada. Como se recordar´a, en el caso
2.2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
23
anterior la rigidez se deriv´ o a partir de una cierta hip´otesis, mientras que la masa vibrante fu´e obtenida mediante procedimiento de tanteo.
Pk
P x
dx
(x)
E, I, m x
u L
Figura 2.7: Viga simplemente apoyada Para considerar este tipo de modelos analicemos nuevamente el caso anterior. Con relaci´ on al esquema mostrado en la Figura2.7, si suponemos que la deformaci´on de la viga durante la vibraci´ on ser´ a la misma que bajo la acci´ on de una carga concentrada est´atica actuando en la mitad de la misma; la expresi´ on que define la deflexi´ on vertical en funci´on de la posici´on ser´a: 6 x 3 P L3 x 3 0 < x < L/2 (2.6) υ(x) = −4 48EI L L llamando u = P L3 /48EI al factor constante que aparece en la relaci´on anterior, ´esta resulta: x 3 x −4 υ(x) = u 3 L L o lo que es lo mismo, en general υ(x) = u φ(x)
(2.7)
donde u es el desplazamiento relevante o coordenada de movimiento espacial que es tomada como el grado de libertad del sistema, y φ(x) es funci´on adimensional, que cumple las condiciones de borde extremo del problema en el intervalo en el cual tiene validez. Esta funci´on es denominada “funci´ on de interpolaci´ on”, pues permite obtener el valor del desplazamiento en cualquier punto interno de la viga, en base al valor del desplazamiento que se presenta en la mitad de su longitud. 7 En el caso de la viga simplemente apoyada en sus extremos, la funci´on de interpolaci´on asociada al problema ser´ıa: x x 3 φ(x) = 3 (2.8) −4 L L Para encontrar los par´ ametros equivalentes en el modelo de un grado de libertad, debemos imponer que el modelo contenga la misma cantidad de energ´ıa que el prototipo real de par´ametros distribuidos, considerando todas las formas de energ´ıa significativas. Procediendo en esa forma, la rigidez equivalente se obtiene de la manera siguiente: La energ´ıa potencial de deformaci´on del resorte equivalente en el modelo sabemos que vale: Um =
1 k u2 2
En cambio, la energ´ıa potencial de deformaci´on de la viga de acuerdo con la teor´ıa de la mec´anica de materiales b´ asica est´ a determinada por: Z 1 L U= EI(x)[υ 00 (x)]2 dx 2 0 6 Notemos que la deformada est´ atica para este caso es sim´ etrica con respecto a la secci´ on que pasa a trav´ es de la mitad de la longitud de la viga. 7 Este ´ es evidentemente un proceso de interpolaci´ on, pues estamos determinando un valor interno al dominio de definici´ on en base al valor asumido conocido en uno de los extremos del rango de la variable que est´ a siendo manipulada !.
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
24
donde υ 00 (x) = d2 υ(x)/dx2 es la segunda derivada espacial del campo de deformaciones. Notemos adem´ as que por generalidad asumimos que el momento de inercia centroidal de la secci´on transversal de la viga puede variar con la posici´ on a lo largo de la misma (en caso que la secci´on transversal var´ıe). Equiparando ambas energ´ıas de deformaci´on, es decir: Um = U , se plantea la identidad: ! Z Z L 1 1 L 1 00 2 00 2 2 EI(x)[u φ (x)] dx = EI(x)[φ (x)] dx u2 keq u = 2 2 0 2 0 que se obtuvo utilizando la Ecuaci´ on (2.7). Por comparaci´on se obtiene entonces: L
Z
EI(x)[φ00 (x)]2 dx
keq =
(2.9)
0
Como indicamos, esta expresi´ on es v´ alida a´ un para el caso de inercia variable, y fu´e deducida bajo la hip´ otesis que solo la energ´ıa por efecto del momento flexionante interno es significativa (se desprecia la energ´ıa potencial de deformaci´ on inducida por el esfuerzo cortante interno). Para el caso particular que nos ata˜ ne, podemos ahora reemplazar la funci´on de interpolaci´on determinada por la Ecuaci´ on (2.8) Z
L/2
x 2 48EI EI −24 dx = L L3
keq = 2 0
Notemos que consideramos el momento de inercia invariable a lo largo de la longitud, y que la integral en realidad eval´ ua solo la mitad de la energ´ıa de deformaci´on (por ello es que su valor aparece duplicado). El valor de este resultado es el que se esperaba, y Usted puede verificar que es el mismo que establece la Ecuaci´ on (2.4) acorde a la mec´anica de materiales b´asica. Veamos ahora que ocurre cuando tratamos de evaluar la masa equivalente para el modelo. Para cumplir tal cometido imponemos que la energ´ıa cin´etica del sistema real y del modelo sean iguales. Procediendo en esa forma, para el modelo la energ´ıa cin´etica ser´ıa: Tm =
1 meq u˙ 2 2
donde debemos entender el s´ımbolo de un punto sobre el desplazamiento como la primera derivada temporal: u˙ = du/dt, es decir una medida de la rapidez instant´anea de movimiento o magnitud de la velocidad. Para una masa elemental componente de la viga, la energ´ıa cin´etica infinitesimal asociada es: ˙ 2 . Considerando que υ(x) = u φ(x) y dm = m(x) ¯ dx, e integrando para toda la viga en dT = 12 dm υ(x) movimiento tendremos: Z 1 L T = m(x)[ ¯ u˙ φ(x)]2 dx 2 0 Equiparando la energ´ıa cin´etica del modelo con la del prototipo real, es decir Tm = T , se plantea la relaci´ on de identidad ! Z L 1 1 2 2 meq u˙ = m(x)[ ¯ φ(x)] dx u˙ 2 2 2 0 por lo tanto, por comparaci´ on de t´erminos resulta: Z meq =
L
m(x)[ ¯ φ(x)]2 dx
0
expresi´ on v´ alida a´ un para el caso de un sistema (elemento estructural) con masa variable.
(2.10)
2.2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
25
Para el ejemplo particular que estamos desarrollando (viga simplemente apoyada en sus extremos), remplazando la expresi´ on de la Ecuaci´on (2.8) en la Ecuaci´on (2.10) se tiene: Z meq = 2 0
o sea,
x 3 2 272 x dx = −4 m ¯L m ¯ 3 L L 560
L/2
meq = 0, 486 m ¯L∼ ¯L = 0, 5 m
valor que coincide casi ex´ actamente con aquel valor determinado mediante tanteos. Si el amortiguamiento se debe incluir en el modelo y ´este lo suponemos con coeficiente caracter´ıstico distribuido en el sistema real con un valor c¯(x) medido por unidad de longitud; se puede demostrar que equiparando la energ´ıa disipada en el modelo y el prototipo debido a los efectos de fricci´on creados por la amortiguaci´ on del movimiento, se alcanza la siguiente expresi´on que es aplicable para el caso general Z L (2.11) c¯(x)[φ(x)]2 dx ceq = 0
Si en nuestro ejemplo de la viga simplemente apoyada suponemos que el coeficiente de amortiguamiento por unidad de longitud tiene distribuci´on cont´ınua, con valor constante c¯ a lo largo de la longitud; por analog´ıa directa con la Ecuaci´on (2.10) y el resultado obtenido para ella, podemos escribir en este caso particular: ceq = 0, 486 c¯ L ∼ = 0, 5 c¯ L La solicitaci´ on externa distribuida aplicada al sistema o carga de exitaci´on variable es suceptible tambi´en de un tratamiento similar. Consideremos que sobre el sistema act´ ua una carga distribuida por unidad de longitud q(x, t), 8 es decir variable en el espacio y el tiempo. Es posible hallar una carga equivalente consistente con los par´ ametros din´amicos, siendo que el procedimiento a seguir en este caso es simplemente igualar el trabajo mec´anico realizado: tanto por una carga concentrada equivalente actuante en el modelo, como por la solicitaci´on de carga distribuida aplicada en el sistema real. Aplicando el procedimiento anteriormente mencionado, suponiendo la aplicaci´on de la magnitud de carga en forma linealmente gradual hasta llegar a su valor final, el trabajo mec´anico en el modelo realizado por la carga concentrada aplicada en el punto donde se ha definido el grado de libertad de movimiento ser´ıa: 1 Wm = Peq u 2 En cambio, suponiendo la carga distribuida en el sistema real con intensidad variable por unidad de longitud descrita por q(x, t), el trabajo mec´anico elemental realizado sobre una longitud infinitesimal de la viga ser´ıa: dW = 21 dF υ(x). Pero, dF = q(x, t)dx y υ(x) viene determinada por la Ecuaci´on (2.7); remplazando e integrando a lo largo de toda la longitud obtenemos: ! Z Z L 1 L 1 W = q(x, t) u φ(x) dx = q(x, t) φ(x) dx u 2 0 2 0 Ahora, igualando ambos trabajos recientemente calculados Wm = W , y comparando t´erminos similares obtenemos como relaci´ on final: Z L Peq = q(x, t) φ(x) dx (2.12) 0 8
En un sentido m´ as general, el t´ ermino q(x, t) puede ser interpretado como la funci´ on de distribuci´ on de carga aplicada sobre el elemento estructural, que puede consistir de un conjunto de acciones (fuerzas y/o momentos) distribuidos o concentrados en sub–intervalos internos (o puntos en el caso de acciones concentradas) al interior de la longitud, que act´ uen simult´ aneamente variando temporalmente. Este conjunto puede describirse por una ecuaci´ on u ´nica, por ejemplo utilizando el m´ etodo de funciones singulares.
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
26
Si en el caso tomado como ejemplo (la viga simplemente apoyada en sus extremos) suponemos la aplicaci´ on de una carga linealmente distribuida sobre toda la longitud que depende solo del tiempo; es decir su magnitud no var´ıa con la posici´on q = q(t), aplicando la relaci´on recientemente deducida obtendr´ıamos: Z L/2 x i h x −4 dx q(t) 3 Peq (t) = 2 L L 0 10 q(t) L 24 Con este u ´ltimo c´ alculo habr´ıamos terminado de establecer todos los par´ametros din´amicos asociados al modelo de an´ alisis de un solo grado de libertad para una viga simplemente apoyada en sus extremos que tiene caracter´ısticas din´ amicas de comportamiento vibracional distribuidas a lo largo de toda su longitud. El modelo con todos sus elementos componentes equivalentes al sistema original que posee par´ ametros din´ amicos distribuidos se ilustra en la Figura 2.8. Peq (t) =
Peq
Pk
Pkeq m
q x E, I, m, c
meq = 0, 5 m ¯L keq = 48EI/L3
u
ceq = 0, 5 c¯ L
L
Peq = 10/24 q L
(a) Sistema o prototipo real
k eq
u
c eq
(b) Modelo de an´ alisis
Figura 2.8: Viga simplemente apoyada y modelo de par´ametros concentrados El modelo obtenido, mostrado en la Figura 2.8(b), es una representaci´on tan solo aproximada del problema f´ısico; es decir de la viga en movimiento de vibraci´on mostrada en la Figura 2.8(b). Este modelo al ser resuelto proporcionar´ a como soluci´on el desplazamiento o deflexi´on instant´anea de la secci´ on transversal ubicada a la mitad de la longitud de la viga. De esta soluci´on pueden obtenerse la velocidad y la aceleraci´ on de movimiento instant´aneos para dicha secci´on particular en la viga por simple proceso de derivaci´ on temporal. El desplazamiento, velocidad y aceleraci´on de cualquier otra secci´ on transversal de la viga pueden luego obtenerse haciendo uso de las Ecuaciones (2.7) y (2.8), que dan la soluci´ on de respuesta din´ amica que presenta este sistema estructural en todo el dominio de definici´ on original del problema. Esta t´ecnica puede ser f´ acilmente adaptada a otro tipo de situaciones en las que se tiene un sistema de par´ ametros din´ amicos distribuidos y se desea elaborar su representaci´on mediante un modelo de un solo grado de libertad. El ejemplo que elaboramos a continuaci´on nos muestra la aplicaci´on reiterada de la t´ecnica recientemente desarrollada. Ejemplo 2.2. La Figura 2.9(a) muestra una barra empotrada en un extremo, la cual tiene longitud L, ´ area transversal A, m´ odulo de elasticidad E y masa distribuida por unidad de longitd m; ¯ siendo considerados estos valores param´etricos todos constantes. Este elemento estructural es perturbado por una carga din´ amica distribuida en toda su longitud actuando seg´ un direcci´on axial, invariable respecto a la posici´ on; pero de intensidad variable q(t) en el tiempo. Se desea hallar un modelo de par´ametros concentrados de un solo grado de libertad para analizar la vibraci´on uni–dimensional de este elemento estructural. > Soluci´ on Podemos suponer que la configuraci´ on de deformaci´on instant´anea durante la vibraci´on es similar a aquella est´ atica que la barra presenta cuando se aplica una fuerza concentrada en su extremo libre,
2.2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
27
q0(t) E, m
x E
A
u(x)
L
L (a) Sistema o prototipo real
F
A
(b) Esquema de desplazamientos
Figura 2.9: Barra empotrada en vibraci´on longitudinal
como muestra la Figura 2.9(b). De la mec´anica de materiales, sabemos que el desplazamiento axial interno u(x) de un punto a una distancia x desde el extremo empotrado debe satisfacer la ecuaci´ on diferencial du(x) d EA(x) + q(x) = 0 06x6 L (a) dx dx donde el producto EA(x) es com´ unmente conocido como rigidez axial, y q(x) es la carga distribuida por unidad de longitud aplicada sobre la barra (nula en el caso planteado, ya que la carga es concentrada actuando en el extremo libre en el esquema de elaboraci´on de nuestro modelo). Esta es una ecuaci´ on diferencial de segundo–orden; donde el desplazamiento axial soluci´on u(x) debe satisfacer dos condiciones de borde, una en cada extremo. Las condiciones de borde que se pueden identificar para el problema son: du u(0) = 0 , EA =F dx x=L donde la primera condici´ on de borde refleja el hecho que el desplazamiento debe ser nulo en el extremo izquierdo, por estar la barra empotrada en ese punto; y la segunda condici´on de borde extremo establece que el esfuerzo resultante proveniente de la tensi´on normal interna en x = L est´a balanceado por la fuerza externa F actuante en ese punto. Puesto que la rigidez axial es constante, la ecuaci´on diferencial se reduce a: d2 u(x) =0 dx2
06x6 L
con las mismas condiciones de borde y´a identificadas. La soluci´on general de esta ecuaci´on es simplemente, u(x) = c0 + c1 x donde c0 y c1 son las constantes de integraci´on, las mismas que son evaluadas invocando las condiciones de borde dando como resultado: c0 = 0 y c1 = F/E A, de modo que la soluci´on llega a ser u(x) =
F x EA
F Pero, en el otro extremo se debe cumplir: u(L) = δ = L; y de este modo, el campo de desplazaEA mientos internos podr´ıa escribirse como: u(x) =
x FL x =δ EA L L
expresi´ on que comparada con: u(x) = δ φ(x), proporciona como funci´on de interpolaci´on del campo de desplazamientos internos a: x φ(x) = (b) L Aqu´ı, de manera impl´ıcita, estamos escogiendo como grado de libertad del sistema al desplazamiento del extremo libre δ de la barra.
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
28
Ahora bien, la energ´ıa cin´etica del modelo de par´ametros concentrados es Tm = 12 meq δ˙ 2 ; en RL RL 2 2 ˙ = 12 0 m ¯ [u(x)] ˙ dx = cambio la energ´ıa cin´etica de la barra viene dada por T = 21 0 dm [u(x)] R L 1 2 2 ˙ . Igualando ambas energ´ıas, logramos determinar la expresi´on general de masa ( m ¯ [φ(x)] dx) δ 2 0 equivalente del modelo ZL meq = m ¯ [φ(x)]2 dx (c) 0
Si evaluamos esta integral utilizando la funci´on de interpolaci´on hallada, ZL meq =
m ¯
x 2 L
m ¯ dx = 2 L
ZL
x2 dx =
m ¯L 3
0
0
es decir que solamente un tercio de la masa total de la barra se concentra en el extremo libre de la misma para que exista equivalencia de energ´ıa cin´etica del modelo con el prototipo real. Para conseguir el valor del coeficiente de rigidez equivalente equiparamos la energ´ıa potencial acuRL mulada por deformaci´ on. Para el modelo: Um = 12 keq δ 2 ; en cambio para el eje: U = 12 0 σ(x)(x) dV = R R R L 1 L 1 L 1 2 0 2 2 2 0 [E (x)](x)A(x)dx = 2 0 E [du(x)/dx] A(x)dx = 2 ( 0 E [φ (x)] A(x)dx)δ . Igualando ambas expresiones, obtenemos para el coeficiente de rigidez equivalente del modelo: Z L keq = E [φ0 (x)]2 A(x) dx (d) 0
Aplicando esta expresi´ on al caso particular en an´alisis, considerando A(x) = A (cte) 0 6 x 6 L, y φ(x) = x/L, tendremos: ZL 2 EA 1 dx = keq = E A L L 0 FL Este resultado era previsible a partir de la condici´on de borde de extremo derecho u(L) = δ = E A , hallada al plantear el campo de desplazamientos internos; pues por definici´on: keq = F/δ = E A/L. Debe ser puntualizado que aunque este sea un sistema din´amico, la constante o coeficiente de rigidez es un concepto est´ atico que simplemente expresa la relaci´on carga – deformaci´on. Para hallar la carga equivalente de exitaci´on externa actuante en el modelo, debemos equiparar el trabajo mec´ anico inducido por la solicitaci´on aplicada, suponiendo que ´esta incrementa su magnitud gradualmente hasta llegar a su magnitud final. Para el modelo: Wm = 12 Peq δ; en cambio para la estrucRL RL tura real W = 12 0 q(x, t)u(x) dx = 12 ( 0 q(x, t)φ(x) dx)δ. Igualando ambas ecuaciones y comparando t´erminos se obtiene: Z L
Peq =
q(x, t) φ(x) dx
(e)
0
Aplicando esta ecuaci´ on al caso particular nuestro: Z L x q0 (t) L Peq = q0 (t) dx = L 2 0 lo que nos indica que solamente la mitad de la fuerza neta actuante sobre la barra se concentra en su extremo libre como carga equivalente. Con este u ´ltimo c´ alculo hemos terminado de establecer todos los par´ametros din´amicos del modelo de an´ alisis de un solo grado de libertad. El modelo obtenido con todos sus elementos componentes equivalentes al sistema original que posee par´ametros din´amicos distribuidos se muestra en la Figura 2.10(b).
2.2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
29 Peq ( t )
Pkeq m meq = m ¯ L/3
q0(t) E, m
keq = E A/L
A
k eq
Peq (t) = q0 (t) L/2
(t)
L (a) Sistema o prototipo real
(b) Modelo de an´ alisis
Figura 2.10: Barra en vibraci´on longitudinal y modelo de par´ametros concentrados Cuando se resuelve la ecuaci´ on diferencial que gobierna el comportamiento del modelo matem´ atico de an´ alisis se obtiene como soluci´ on δ = δ(t); es decir, la variaci´on temporal del desplazamiento vibracional del extremo libre de la barra. Y, mediante la funci´on de interpolaci´on que fu´e identificada para este caso se puede conocer la cinem´atica completa (posici´on, velocidad y aceleraci´on) de cualquier punto interno de este elemento durante la fase de duraci´on de la vibraci´on inducida por la exitaci´ on externa aplicada. > Para el ejemplo resuelto anteriormente, la suposici´on que la deformada el´astica se asemeja a aquella que se produce en condici´ on est´ atica debida a una fuerza concentrada actuante en el extremo libre de la barra; no es la u ´nica posibilidad. Como alternativa, podr´ıamos haber escogido una deformada debida a carga distribuida axial de magnitud constante y actuante sobre toda la longitud, lo que tendr´ıa mayor compatibilidad con la carga de exitaci´ on aplicada en este caso. Le sugerimos efectuar un nuevo c´alculo de los par´ametros din´ amicos adoptando esta sugerencia, y comparar los resultados obtenidos con aquellos del ejemplo previo. Ejemplo 2.3. Un eje circular met´alico de masa m, radio r, longitud L y m´odulo de elasticidad transversal o m´ odulo de Young G empotrado en un extremo, sostiene libremente en su otro extremo un volante circular de radio R y masa M . Adem´as sobre el volante se aplica un momento torsor arm´ onico M (t) = M0 sin Ωt donde M0 es la amplitud y Ω la frecuencia de esta perturbaci´on, como se muestra en la Figura 2.11(a). Suponiendo que el sistema inicia su movimiento a partir del reposo, determinar la ecuaci´ on diferencial que gobierna la vibraci´on torsional de este conjunto respecto al eje axial del mismo. r
m
(x,t )
M( t )
( t )
G R
M
x
L
L
(a) Diagrama esquem´ atico del sistema
(b) Desplazamientos angulares en vibraci´ on
Figura 2.11: Sistema eje–volante en vibraci´on torsional > Soluci´ on Supondremos que la deformaci´ on din´amica del eje tiene apariencia similar a la deformaci´on producida en condici´ on est´ atica, y escogeremos la rotaci´on de extremo libre (donde est´a acoplado el volante) como la coordenada generalizada o grado de libertad del sistema, del modo como se muestra en la Figura 2.11(b). La din´ amica de movimiento rotacional de un sistema de par´ametros concentrados est´a gobernada b´ asicamente por la segunda ley de Newton en su forma angular: MR = I α
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
30 n X
donde MR = Mi es el momento resultante aplicado, I el momento de inercia m´asico polar neto, i=1 y α la aceleraci´ on angular. Pero, esta relaci´on fundamental no es aplicable al caso presente porque los par´ ametros din´ amicos del eje est´ an distribu´ıdos a lo largo de su longitud; por esta raz´on debemos aplicar el m´etodo energ´etico para resolver el problema. Considerando el eje circular sometido a solicitaci´on torsional, de la mec´anica de materiales sabemos que el desplazamiento angular interno o rotaci´on ϕ(x) de una secci´on transversal a una distancia x desde el extremo empotrado, como es mostrado en la Figura 2.11(b), debe satisfacer la ecuaci´on diferencial dϕ(x) d GJ(x) + η¯(x) = 0 06x6 L () dx dx donde G es el m´ odulo de elasticidad transversal o al corte (m´odulo de Young), J(x) es el momento de inercia polar centroidal geom´etrico del ´ area de la secci´on transversal del eje (supuestamente variable con la posici´ on axial), y η¯(x) es el momento torsor distribuido por unidad de longitud aplicado sobre el eje (de valor nulo en el caso planteado, ya que la carga aplicada es concentrada actuando en el extremo libre). Notemos la similitud que tiene la Ecuaci´on () gobernante del comportamiento torsional del eje circular que estamos analizando, con la Ecuaci´on (a) del Ejemplo anterior que gobierna el comportamiento de la deformaci´ on axial de una barra esbelta. El aspecto matem´atico de ambas ecuaciones es id´entico, por lo que podemos afirmar que existe analog´ıa de ambos fen´omenos f´ısicos. Adem´as, la disposici´ on de apoyos en ambos problemas tambi´en es similar; por lo que las condiciones de borde extremo tambi´en son an´ alogas. En conclusi´on podemos aseverar que los resultados obtenidos en el ejemplo anterior son aplicables al problema que aqu´ı nos preocupa. Para ello, simplemente debemos identificar las variables y par´ ametros que son an´alogos en ambos problemas. Suponiendo constante el m´ odulo de Young G, as´ı como tambi´en el momento de inercia polar geom´etrico J de la secci´ on circular transversal del eje; la ecuaci´on diferencial de comportamiento mec´ anico de este elemento resulta: GJ
d2 ϕ =0 dx2
⇒
d2 ϕ =0 dx2
en virtud que: G J 6= 0 y η¯(x) = 0. La soluci´on general de esta ecuaci´on diferencial es: ϕ(x) = a0 + a1 x
(a0 , a1 ctes)
Las condiciones de borde del problema pueden identificarse f´acilmente observando la Figura 2.11(b), y es evidente que ´estas son: ϕ(x = 0) = ϕ(0) = 0
ϕ(x = L) = ϕ(L) = θ
Aplicando estas condiciones obtenemos como soluci´on del campo de desplazamientos angulares internos o rotaciones de las secciones transversales alrededor de eje axial del eje, a la expresi´on: x ϕ(x) = θ L En condici´ on din´ amica tendremos que: ϕ(x, t) = θ(t)φ(x), donde φ(x) es la funci´on de interpolaci´on que aproxima el campo de deformaciones angulares interno. Comparando con la soluci´on recientemente x obtenida concluimos que en este caso: φ(x) = L . Este resultado era en realidad previsible puesto que es el mismo resultado obtenido en el Ejemplo anterior [v´ease la Ecuaci´on (b)]; por lo que la analog´ıa mencionada anteriormente est´ a plenamente confirmada !. El momento de inercia m´ asico polar equivalente del eje puede ser evaluado mediante la siguiente relaci´ on: Z L ¯i L eje ¯i φ(x) dx = Ieq = 3 0
2.2. MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
31
donde ¯i es el momento de inercia m´ asico polar distribu´ıdo por unidad de longitud del eje (por analog´ıa con la Ecuaci´ on (c) del Ejemplo anterior). En el caso del problema aqu´ı planteado, como el eje es considerado de propiedades materiales y geom´etricas invariables a lo largo de su longitud, tendremos que: ¯i =
I eje L
⇒
eje Ieq =
mr2 /2 mr2 I eje = = 3 3 6
Como el volante est´ a ubicado en el extremo del eje, donde precisamente est´a definido el grado de libertad del sistema, hace que su contribuci´on hacia la inercia equivalente del sistema sea dir´ecta; de modo que: mr2 M R2 eje Ieq = Ieq + I vol = + 6 2 El coeficiente de rigidez torsional del eje circular lo podemos calcular aplicando la siguiente expresi´ on: Z L GJ G (π r4 /2) G π r4 t G [φ0 (x)]2 J(x) dx = = = keq = L L 2L 0 debido a la aplicaci´ on de analog´ıa con la ecuaci´on (d) del Ejemplo anterior. La carga externa aplicada; o sea el momento torsor actuante sobre el volante, act´ ua dir´ectamente en el grado de libertad del sistema como perturbaci´on externa. Recordemos ahora que la ecuaci´ on gobernante del modelo en vibraci´on forzada de un sistema de un solo grado de libertad no–amortiguado en movimiento de traslaci´on es: meq u ¨(t) + keq u(t) = P (t) Para movimiento vibratorio de car´ acter rotacional, por analog´ıa dir´ecta podemos escribir la siguiente relaci´ on general: ¨ + k t θ(t) = M (t) Ieq θ(t) (♣) eq Si aplicamos la ecuaci´ on previamente establecida al presente problema, tendremos que la ecuaci´ on gobernante del movimiento vibratorio rotacional del conjunto eje–volante ser´a en este caso: 2 mr M R2 ¨ G π r4 + θ(t) + θ(t) = M0 sin Ωt (?) 6 2 2L con condiciones iniciales:
θ(0) = θ0 = 0
˙ θ(0) = θ˙0 = 0
La Ecuaci´ on (?), aqu´ı planteada, gobierna el movimiento angular rotacional del sistema eje–volante durante la vibraci´ on torsional que ocurre debido al momento arm´onico que se aplica como perturbaci´ on externa que obliga al sistema a oscilar desplaz´andose de modo angular perpendicularmente al eje axial del conjunto. > El m´etodo energ´etico recientemente desarrollado es tambi´en susceptible de ser aplicado a sistemas de elementos inter–conectados, los cuales de hecho son de par´ametros concentrados, con el objetivo de hallar un modelo de un solo grado de libertad el cual represente el comportamiento din´ amico vibracional de todo el conjunto. Un ejemplo muy simple de este tipo de sistemas es el que analizamos a continuaci´ on. Ejemplo 2.4. La Figura 2.12 muestra un par de cuerpos r´ıgidos de masas determinadas conectados mediante cadenas inextensibles que se enrollan en la periferia de los pasos de una polea escalonada, de radios especificados, la cual tiene momento de inercia polar de magnitud conocida. Ambos cuerpos adem´ as se conectan a sendos resortes de coeficientes de rigidez conocidos. Este sistema, como es de imaginarse, al ser perturbado (mediante un desplazamiento inducido en cualquiera de sus elementos
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
32
k
x1
m
R
2R
Ip
2m
x2 2k
Figura 2.12: Sistema vibracional de elementos inter–conectados inerciales) desde su posici´ on de equilibrio est´atico, efect´ ua oscilaciones de manera libre (no existe ninguna perturbaci´ on externa). Se desea hallar un modelo de par´ametros concentrados equivalentes de un solo grado de libertad para analizar la vibraci´on de todo este sistema. >
Soluci´ on
Supongamos que inducimos un desplazamiento vertical x2 al cuerpo colgante de ´este sistema, que asumiremos es instant´ aneamente id´entico al desplazamiento de esta masa durante la fase de vibraci´on del conjunto. Al hacerlo, es evidente que impl´ıcitamente estamos induciendo desplazamientos tambi´en en los otros elementos inerciales (la polea escalonada y el otro cuerpo que tiene movimiento horizontal). Escogeremos al desplazamiento inducido como el grado de libertad representativo del sistema. Entonces, la energ´ıa cin´etica instant´ anea del conjunto de elementos inerciales que se hallan en movimiento simult´ aneo ser´ a: T = 12 m1 x˙ 21 + 12 Ip φ˙ 2 + 12 m2 x˙ 22 = 12 mx˙ 21 + 12 Ip φ˙ 2 + 12 (2m)x˙ 22 Pero, las ecuaciones de restricci´ on del sistema son: x1 = Rφ , x2 = 2Rφ ; de donde resulta: φ = x2 /2R y x1 = x2 /2. Reemplazando en la ecuaci´ on de la energ´ıa cin´etica: 2 2 x˙ 2 1 1 1 m Ip 1 x˙ 2 2 + Ip + (2m)x˙ 2 = + + 2m x˙ 22 T = m 2 4 2 4R2 2 2 4 4R2 Ip 1 9m + = x˙ 22 2 4 4R2 Si este resultado lo comparamos con la energ´ıa cin´etica del modelo, que es: Tm = 12 meq x˙ 22 , obtenemos como valor de la masa equivalente a la expresi´on: 1 Ip meq = 9m + 2 4 R La energ´ıa potencial instant´ aneamente acumulada por proceso de deformaci´on de los elementos con propiedad de elasticidad (los resortes) sabemos que es: 2 1 x2 1 1 k 2 2 2 1 1 U = 2 k1 x1 + 2 k2 x2 = k + (2k)x2 = + 2k x22 2 4 2 2 4 En cambio, la energ´ıa potencial acumulada por deformaci´on en el modelo es: Um = 21 keq x22 . Igualando estas dos expresiones de energ´ıa de deformaci´on, obtenemos para el coeficiente de rigidez equivalente del modelo al valor: keq = 94 k
2.3. CONCLUSIONES
33
Las expresiones de meq y keq halladas, constituyen los valores param´etricos equivalentes de los elementos del modelo de an´ alisis que reemplaza a todo el sistema original de elementos inter–conectados. El diagrama esquem´ atico del mismo es como aquel mostrado en la Figura 2.10(b), en el que debemos poner: δ = x2 y P (t) = 0 para que el mismo represente al sistema analizado. > Este u ´ltimo ejemplo muestra que cuando se realiza el proceso de modelado matem´atico de un sistema vibracional din´ amico de elementos inter–conectados que tienen movimiento oscilatorio simult´ aneo, puede lograrse una reducci´ on hacia un sistema equivalente mucho menos complejo, el cual tiene una representaci´ on esquem´ atica estandarizada que es la misma para todos los sistemas de un solo grado de libertad, sea ´este indistintamente de par´ametros din´amicos distribuidos o concentrados.
2.3.
Conclusiones
Mediante los procedimientos de par´ametros concentrados o par´ametros consistentes es posible modelar un sistema mec´ anico o estructural real. Ambos procedimientos son aproximados y su utilizaci´ on estar´ a limitada adem´ as por otras consideraciones que no son claras en este momento; sin embargo conviene en este punto hacer algunas observaciones, particularmente al m´etodo de par´ametros consistentes y esto se puede resumir como sigue: — La ‘clave’ del ´exito radic´ o en suponer que el campo de desplazamientos dentro el elemento (en nuestro ejemplo, la viga) se puede expresar como el producto del grado de libertad bajo an´ alisis y una funci´ on adimensional con variaci´on espacial, esto es υ(x) = u φ(x). — No se hizo ning´ un requerimiento o restricci´on que deba cumplir la funci´on de interpolaci´on φ(x); no obstante, esto estuvo presente siempre en forma impl´ıcita: continuidad dentro el elemento, diferenciabilidad en el dominio de definici´on, y cumplimiento de las condiciones de borde geom´etricas de la deformaci´ on. — La existencia de la funci´ on de interpolaci´on φ(x) solo est´a garantizada para condiciones est´aticas y para elementos estructurales donde es posible una determinaci´on ‘ex´acta’ del estado de equilibrio. Esto supone que el problema est´atico asociado a la condici´on din´amica del sistema en an´ alisis pueda ser soluble. Bajo condiciones din´ amicas, φ(x) ser´a una funci´on de los par´ametros din´amicos que a–priori no son conocidos, y por lo tanto ser´a necesario aproximarla por una relaci´on de tipo est´atico, la misma que solo es v´ alida para deformaciones peque˜ nas. En consecuencia, la masa, rigidez y todos los par´ametros din´amicos son solo aproximados pero suceptibles de correcci´ on en algunos casos. No se debe perder de vista que el modelo matem´atico de an´alisis obtenido por aplicaci´on de cualquier procedimiento, ser´ a siempre tan solo una representaci´on aproximada de la situaci´on real; esto en virtud de toda la serie de hip´ otesis simplificativas incluidas durante las diversas instancias de elaboraci´ on del modelo. A partir de este hecho, tambi´en debemos inferir que la soluci´on obtenida a partir de este modelo ser´ a tambien una aproximaci´on de la verdadera respuesta presentada por el sistema vibratorio real, objeto del proceso de modelado.
Problemas propuestos 2.1.
k, m
x
M
La Figura adjunta muestra un sistema simple masa– resorte, en el que se supone que el resorte est´ a caracterizado con su correspondiente coeficiente de rigidez; pero, tambi´en posee propiedades inerciales ya
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
34
que se asume que tiene masa. Determine la porci´on de masa del resorte que deber´ıa a˜ nadirse a la masa principal, de modo que se considere la inercia propia del resorte que se conecta a ella. 2.2.
k1
k2
kn
k3
k eq
La Figura adjunta muestra un conjunto de resortes, de coeficientes de rigidez conocidos, que tienen comportamiento lineal el´astico en una disposici´on de configuraci´on en serie. Demuestre que el coeficiente de rigidez equivalente del resorte que los reemplaza viene determinado por: 1 keq = P n 1 i=1
2.3.
La Figura adjunta muestra un conjunto de resortes, de coeficientes de rigidez conocidos, en una disposici´on de configuraci´on en paralelo. Demuestre que el coeficiente de rigidez equivalente del resorte que los reemplaza viene determinado por:
k1 k2
ki
k eq
k3 kn
keq =
n X
ki
i=1
2.4. 2k 3k
k
m 2k
Considerando vibraci´on seg´ un direcci´on longitudinal de la masa conectada a un conjunto de resortes como es mostrado en la Figura, determinar los par´ametros din´amicos equivalentes del modelo de un solo grado de libertad.
k 2.5.
k1 k2 W k3
2.6.
En la Figura mostrada considere que: W = 200 Kg, k1 = 150, k2 = 100, k3 = 180 Kg/cm respectivamente. Determinar la deformaci´on est´atica de cada uno de los tres resortes componentes de este sistema.
Problemas propuestos
35
Pk
E, I, m x u
L
Pk
2.7.
Repetir el procedimiento resumido en la Figura 2.5 para el caso de una viga en voladizo con inercia constante. Suponga la funci´on de interpolaci´ on como aquella asociada a la deformada el´astica debida a una carga concentrada actuante en el extremo libre. Son datos todos los mostrados r en el esquema. EI nota: Valor exacto: ω = 3, 516 mL ¯ 4
Aplicar el procedimiento de par´ametros consistentes al problema mostrado en la Figura adjunta, donde se x suponen todas las variables mostradas como datos. u Hallar todos los par´ametros equivalentes del modelo L/2 L/2 matem´atico de un solo grado de libertad, suponiendo la funci´ on de interpolaci´ on a utilizarse como sigue: q(x,t)
q0 ( t )
E, I, m, c
a) Deformaci´ on el´ astica debida a una carga concentrada aplicada en el extremo libre. b) Deformaci´ on el´ astica debida a una carga de intensidad constante repartida en toda la longitud. c) Deformada aproximada mediante: φ(x) = 12 (1 − cos πx L ). 2.8. Si en el problema anterior se supone que φ(x) = (x/L)2 , que ocurre con la distribuci´on de momentos flectores al interior de la viga ?. Razone meditadamente su respuesta.
Pk
2.9.
Considere la viga doblemente empotrada mostrada en la Figura y suponga que la deflexi´on vertix cal din´amica de la misma tiene el mismo aspecto (x,t) u geom´etrico que aquel que posee la viga cuando sobre L ella act´ ua una carga est´atica concentrada aplicada a la mitad de su longitud. Identifique las condiciones de borde de la deformaci´on y suponga que el grado de libertad utilizado para la construcci´on del modelo de par´ametros consistentes de un solo grado de libertad se define en el punto donde se aplica la carga. Plantee una funci´on polin´ omica generalizada del mismo orden que el n´ umero de condiciones identificadas previamente, halle las constantes indeterminadas en esta relaci´on y determine la funci´on de interpolaci´on asociada. E, I, m
2.10. Si en el problema anterior se supone que φ(x) = α sin2 βx (α, β ctes). Determine el valor de las constantes de manera que la funci´on de interpolaci´on general indicada sea apropiada para evaluar los par´ ametros din´ amicos del modelo asociado de un solo grado de libertad. 2.11.
En el esquema adjunto se muestra un volante circular conectado al extremo de un eje tambi´en circular, G, Je J que tiene su otro extremo empotrado. Este conjunto est´a sometido a dos momentos torsionales concentraL/2 L/2 dos M (t) como es indicado. El eje tiene m´odulo de Young G, momento de inercia polar (axial) Je y longitud L; mientras que el volante, en cambio, tiene momento de inercia polar J. Elaborar un modelo de par´ametros consistentes de un solo grado de libertad, que sirva para analizar la vibraci´on torsional de este sistema. M( t )
2.12.
M( t )
´ CAP´ITULO 2. MODELOS MATEMATICOS
36
m
k
2k
k 2.13.
Aplicando el m´etodo energ´etico determinar el coeficiente de rigidez equivalente del modelo de un grado de libertad asociado al sistema mostrado. Se elige el desplazamiento horizontal del cuerpo como grado de libertad representativo de todo el conjunto de elementos inter–conectados. Suponga las poleas de masa despreciable y el cable que las rodea como inextensible,
En el esquema adjunto se muestra una varilla r´ıgida de peso W y longitud L, que est´a conectada a un apok 1 , w1 yo articulado fijo en la posici´on mostrada. Adem´as, 3L/5 2L/5 este cuerpo no–deformable en su extremo izquierdo est´a conectado a un resorte de coeficiente de rigidez k 2 , w2 k1 y peso w1 , y en su extremo derecho a otro resorte de coeficiente de rigidez k2 y peso w2 . Aplicando el m´etodo energ´etico, determinar los par´ametros din´amicos equivalentes del modelo de un solo grado de libertad que sea susceptible de ser utilizado para analizar la vibraci´ on de movimiento angular de este sistema. W
Cap´ıtulo 3
Sistemas de un grado de libertad Aqu´ı algo de texto (solo lo necesario).
3.1.
Introducci´ on
Este cap´ıtulo abarca uno de los aspectos fundamentales de la teor´ıa b´asica de la mec´anica de vibraciones, su importancia radica en el hecho que: Muchos sistemas reales pueden ser aproximados con modelos de un solo grado de libertad, y la soluci´ on obtenida para ellos es una primera aproximaci´on de las caracter´ısticas primordiales del sistema en estudio. Los sistemas lineales con n´ umero m´ ultiple de grados de libertad pueden ser aproximados como una combinaci´ on de sistemas de un solo grado de libertad, y la soluci´on de estos modelos proporciona tambi´en una primera aproximaci´on de las caracter´ısticas predominantes de estos sistemas. En consecuencia, el lector interesado deber´a proporcionar toda su atenci´on posible en el estudio de los diversos t´ opicos que ser´ an tratados aqu´ı, de manera de obtener el mayor beneficio posible de este cap´ıtulo.
3.2.
Ecuaci´ on de movimiento
En el anterior cap´ıtulo se realiz´o una introducci´on a la t´ecnica de obtenci´on de modelos de un solo grado de libertad, la mayor´ıa de los cuales tienen un arreglo de los par´ametros din´amicos como se ense˜ na en la Figura 3.1(a), en la que suponemos al sistema en posici´on vertical suspendido de un apoyo fijo e inm´ ovil. Los par´ ametros que caracterizan este modelo son los equivalentes concentrados que representan a los del sistema o prototipo real. En la Figura 3.1(b) se muestra el diagrama de cuerpo libre seg´ un el principio de D’Alembert (se incluye la fuerza de inercia), en la que se identifican las fuerzas activas en un instante gen´erico durante la fase de movimiento del sistema. El modelo incluye todos los tipos de energ´ıa significantes, considerando tambi´en la exitaci´on din´ amica externa P (t), que en este caso tiene las dimensiones de la carga aplicada. El desplazamiento neto o total de la masa m en cualquier instante viene determinado por: xt = x + δest
(3.1)
donde x es el desplazamiento a partir del punto de equilibrio est´atico, y δest = W/k es el desplazamiento est´ atico, o deformaci´ on est´ atica del resorte, debido al peso propio W . 37
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
38
FkPkF i
Pk
c
Fc
k xt
est x
W
m
P( t )
P( t ) (a) Esquema est´ andar
(b) Fuerzas actuantes
Figura 3.1: Modelo de un grado de libertad El principio de D’Alembert establece que: “ Todo problema din´ amico puede convertirse en problema est´ atico mediante la introducci´ on de las fuerzas inerciales que son generadas por el movimiento, de modo que en todo instante el sistema debe estar en equilibrio din´ amico ”. Entonces para el movimiento P de traslaci´ on se debe cumplir: ( FR = Fj = 0). En forma desarrolada, Fi + Fc + Fk − W − P (t) = 0 Si ahora describimos a todas las fuerzas en funci´on de las caracter´ısticas cinem´aticas instant´aneas de la masa en movimiento, tendremos: mx ¨t + c x˙ t + k xt − W − P (t) = 0 Usando la Ecuaci´ on (3.1), derivando temporalmente la misma, y remplazando en la ecuaci´on anterior: mx ¨ + c x˙ + k x + k δest = W + P (t) Pero, como fu´e planteado: k δest = W , quedando finalmente: mx ¨ + c x˙ + k x = P (t)
(3.2)
Esta relaci´ on es una ecuaci´ on diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, cuya soluci´ on nos proporcionar´ a el desplazamiento y su variaci´on temporal x = x(t) para el modelo de la Figura 3.1(a). Aqu´ı remarcamos que el desplazamiento durante el movimiento de vibraci´on (estado din´ amico), se mide a partir de la configuraci´on de equilibrio est´atico. Muchas veces los sistemas presentan varias coordenadas generalizadas que est´an relacionadas entre s´ı por restricciones de tipo geom´etrico. Si todas ellas son suceptibles de ser expresadas en funci´on de una sola de las mismas, entonces el sistema puede modelarse con un solo grado de libertad. El ejemplo desarrollado a continuaci´ on nos muestra tal posibilidad. Ejemplo 3.1. Una barra r´ıgida esbelta de longitud L y masa m est´a articulada en el punto O como muestra la Figura 3.2(a). Un resorte de coeficiente de rigidez k est´a conectado a la barra en el punto P, mientras que un amortiguados con coeficiente c est´a conectado en el punto Q. Asumiendo desplazamientos de peque˜ na amplitud, deducir la ecuaci´on diferencial gobernante de las vibraciones libres de ´este sistema. Se sugiere usar u, el desplazamiento del punto P, medido desde la posici´on de equilibrio est´ atico del sistema, como coordenada generalizada. > Soluci´ on
´ DE MOVIMIENTO 3.2. ECUACION
39
c m
o
Q
3L/4
P
u
L/4
k
(a) Sistema vibratorio en an´ alisis
FD’A MD’A
Fc u est L/4
L/4
Ro
mg
ku est
L/4
o
L/2
o
v
L/4
Ro
L/2
u + u est
CM
mg
Fk
(b) Configuraci´ on est´ atica
(c) Configuraci´ on din´ amica
Figura 3.2: Motor montado sobre vigas el´asticas Para establecer la posici´ on de equilibrio est´atico del sistema, sumemos los momentos ejercidos por las fuerzas respecto al punto de articulaci´on en base al esquema mostrado en la Figura 3.2(b) P
Mo = kuest
L 3L − mg = 0 4 4
⇒
uest =
mg 3k
(a)
En esta ecuaci´ on no interviene la fuerza ejercida por el amortiguador que es proporcional a la velocidad relativa de sus extremos, por que ambos puntos est´an inm´oviles en la configuraci´on est´atica de equilibrio. Siendo consistentes con la hip´ otesis que los desplazamientos son de peque˜ na amplitud, las l´ıneas de acci´ on de las fuerzas ejercidas por el resorte y el amortiguador se asumen verticales. De la Figura 3.2(a) podemos establecer que: 3L ∼ 3L φ ⇒ φ = 4u u= sin φ = (b) 4 4 3L donde hemos usado la aproximaci´ on de la funci´on seno de un ´angulo de reducida magnitud. En la Figura 3.2(a) mostramos el diagrama de cuerpo libre de la barra r´ıgida componente del sistema en una configuraci´ on din´ amica gen´erica durante la fase de movimiento oscilatorio. Inclu´ımos la fuerza de inercia (fuerza de D’Alembert) debido a la traslaci´on del centro de masa (cm), as´ı como tambi´en el momento o cupla inercial (momento de D’Alembert) proveniente de la rotaci´on que tiene este cuerpo r´ıgido. En cualquier instante, todas las acciones mostradas deber´an estar en equilibrio din´ amico; por lo que podemos escribir de acuerdo al principio de D’Alembert: P
simplificando,
Mo = Fk
3L L L L + FD’A − mg + MD’A + Fc = 0 4 4 4 4
3Fk + FD’A − mg + 4MD’A /L + Fc = 0
(c)
La fuerza proporcionada por el resorte es proporcional a su deformaci´on: Fk = k(u + uest ). La fuerza de D’Alembert proveniente del movimiento de traslaci´on del cm es: FD’A = maCM , siendo aCM la aceleraci´ on del centro de masa. El desplazamiento instant´aneo que tiene el cm ser´a de acuerdo a la Figura 3.2(c): v = (u + uest )/3, de donde: aCM = v¨ = u ¨/3; entonces, FD’A = m¨ u/3. El momento de D’Alembert proveniente de la rotaci´on es MD’A = ICM α, siendo ICM = mL2 /12 el momento de
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
40
inercia centroidal de la barra y α = φ¨ = 4¨ u/3L la aceleraci´on angular instant´anea. Por tanto nos queda: MD’A = (mL2 /12)(4¨ u/3L) = mL¨ u/9. Finalmente la fuerza ejercida por el amortiguador es Fc = cv˙ = cu/3. ˙ Si reemplazamos todos los valores hallados en la Ecuaci´on (c), tendremos: 3k(u + uest ) + m¨ u/3 − mg + 4mL¨ u/9L + cu/3 ˙ =0 simplificando,
3ku + 3kuest + 7m¨ u/9 − mg + cu/3 ˙ =0
Pero, de la Ecuaci´ on (a): 3kuest = mg y los t´erminos que no dependen del grado de libertad relevante se cancelan. Eliminando dichos t´erminos de la ecuaci´on anterior, finalmente resulta que la ecuaci´on de movimiento en este caso es: c 7m u ¨ + u˙ + 3 k u = 0 (d) 9 3 Aqu´ı debemos enfatizar que el desplazamiento vertical ‘u’ empleado como coordenada generalizada principal (grado de libertad relevante del sistema) es medido desde la configuraci´on de equilibrio est´ atico. > En el ejemplo recientemente resuelto, la ecuaci´on gobernante obtenida puede ser escrita como: meq u ¨ + ceq u˙ + keq u = 0 donde meq = 7m/9, ceq = c/3 y keq = 3k ; la cual tiene el mismo aspecto matem´atico que la Ecuaci´ on (3.2), donde la exitaci´ on externa aplicada al sistema es nula ( P (t) = 0 ) como en realidad lo es en el ejemplo que reci´en resolvimos. De aqu´ı concluimos que todo proceso de modelado de un sistema con un solo grado de libertad conduce a una ecuaci´on gobernante del movimiento vibratorio que es an´ aloga a la Ecuaci´ on (3.2), donde los par´ ametros din´amicos de la misma corresponden a sus similares equivalentes del sistema original. Antes de intentar una soluci´ on general de la Ecuaci´on (3.2), debemos analizar las formas simplificadas de la misma con el objeto de definir par´ametros de respuesta importantes.
3.3.
Movimiento no–amortiguado
En este tipo de movimiento se supone la ausencia de un mecanismo que disipe la energ´ıa durante el movimiento; se trata de un caso ideal ya que en la pr´actica cualquier tipo de movimiento incluye siempre alg´ un mecanismo de disipaci´ on de energ´ıa por amortiguamiento debido a las fuerzas de rozamiento o fricci´ on. La relaci´ on matem´ atica que rige este caracter´ıstico tipo de movimiento se obtiene con la condici´ on c = 0, en la Ecuaci´ on (3.2) m¨ x + kx = P (t) (3.3) De acuerdo con la teor´ıa de ecuaciones diferenciales, la soluci´on de la Ecuaci´on (3.3) debe encararse en t´erminos de su ecuaci´ on homog´enea asociada: m¨ x + kx = 0
(3.4)
la misma que define un estado de movimiento conocido como oscilaci´ on libre, el mismo que pasamos a discutir a continuaci´ on.
3.3.1.
Oscilaci´ on libre
Este movimiento est´ a definido por la Ecuaci´on (3.4), y se presenta cuando un sistema no–amortiguado ha dejado de ser exitado por una acci´ on externa ( P (t) = 0 ). Si re–escribimos la Ecuaci´on (3.4) en la siguiente forma: x ¨ + ω2 x = 0 (3.4a)
3.3. MOVIMIENTO NO–AMORTIGUADO
41
donde se ha tomado ω 2 = k/m; la misma tiene como soluci´on general a la expresi´on: x(t) = A cos ωt + B sin ωt donde A y B son las constantes de integraci´on a determinarse a partir de las condiciones iniciales de movimiento. Si imponemos que el sistema en el instante inicial t0 comienza su movimiento con condiciones determinadas de posici´ on y velocidad iniciales (asumidas conocidas) x(t0 ) = xt0 ,
x(t ˙ 0 ) = x˙ t0
(3.5)
la respuesta del sistema resulta ser: x(t) = xt0 cos ω(t − t0 ) +
x˙ t0 sin ω(t − t0 ) ω
(3.6)
Esta expresi´ on es v´ alida para cualquier valor de las condiciones iniciales al tiempo t0 de iniciarse la observaci´ on del movimiento. f(x) xt
g(x) xt
0
0
t
t
0
0
0
t
t
0
T
T
(a) f (x) = xt0 cos ωt
(b) g(x) = (x˙ t0 /ω) sin ωt
Figura 3.3: Funciones componentes de la respuesta din´amica Notamos que la soluci´ on obtenida est´a conformada por dos de las funciones trigonom´etricas m´ as conocidas, las que son mostradas en la Figura 6.16. El movimiento total como lo indica la ecuaci´ on obtenida es la superposici´ on de las dos curvas. Frecuencia y periodo del movimiento La Ecuaci´ on (3.6) es una expresi´on que indica la superposici´on de dos funciones peri´odicas circulares. Si consideramos cualquiera de ellas tendremos que recordar que su valor se repite cuando la diferencia entre dos argumentos secuenciales es igual a 2π. Procediendo en ese sentido, se obtiene: ω(t − t0 + T ) − ω(t − t0 ) = 2π De aqu´ı: T = donde
2π ω
r ω=
k m
(3.7)
(3.8)
La Ecuaci´ on (3.7) establece una propiedad importante del sistema al que se lo denomina periodo natural del sistema (o estructura), y viene medido en segundos si ω se mide en rad/seg. El periodo natural es el intervalo de tiempo necesario para que el valor de magnitud de la respuesta se repita de forma id´entica en un tiempo posterior a partir de cierto instante anterior tomado como referencia. La Ecuaci´ on (3.8) define un otro par´ametro trascendental al que se denomina frecuencia natural circular del sistema, y sus unidades de medida son por lo general rad/seg. La interpretaci´on geom´etrica que tiene este par´ ametro proviene de la representaci´on fasorial de las funciones trigonom´etricas.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
42
Supongamos un fasor (vector rotacional) de magnitud A, el cual gire alrededor de su extremo inicial con velocidad angular constante ω, de modo que el desplazamiento an gular del mismo en cualquier instante gen´erico o ´angulo A A sin subtendido con relaci´on a uno de los ejes que pasa por el origen del fasor est´a determinado por: φ = ωt. Cuando esta entidad geom´etrica se encuentra en una configuraci´on gen´erica cualquiera, las proyecciones sobre los ejes determinan las magnitudes instant´aneas de las funciones t = A cos trigonom´etricas: A sin φ (proyecci´on en el eje vertical) y A cos φ (proyecci´on en el eje horizontal). Estas dos funciones son precisamente las que aparecen en la respuesta no–amortiguada en vibraci´on libre, determinada por la Ecuaci´on (3.6). Por esta raz´on al valor param´etrico ω se lo denomina frecuencia natural ‘circular ’ del sistema. Notemos que por la interpretaci´ on de respuesta din´amica efectuada anteriormente, el tiempo necesario para completar un ciclo de movimiento completo es el periodo T del sistema. Un ciclo completo subtiende un ´ angulo φ = 2π = ωT , de donde resulta: T = 2π/ω como se determin´o anteriormente. A partir de la Ecuaci´ on (3.7) es posible definir otro par´ametro; ´este se llama frecuencia natural y se define como el n´ umero de oscilaciones completas efectuadas en la unidad de tiempo, por lo tanto: A
A
A
A
f=
1 T
(3.9)
o, en su forma equivalente
ω (3.9a) 2π En cualquiera de estas dos definiciones, el valor de su magnitud se mide en ciclos/seg. Se acostumbra utilizar la denominaci´ on de Hertz para la unidad dimensional que mide la frecuencia natural; es decir, Hertz ≡ ciclos/seg. Las distintas relaciones halladas [nos referimos a las Ecuaciones (3.7), (3.8) y (3.9)] est´an todas relacionadas, y el conocimiento de una de ellas implica el conocimiento de las tres; pero lo m´as importante de su naturaleza es el hecho de que dependen de las propiedades intr´ınsecas del sistema (espec´ıficamente de la inercia y la elasticidad). La Figura 6.16 muestra en forma separada las gr´aficas de las componentes de la respuesta, en ellas est´ an indicadas el periodo T (menor tiempo en el que se repite ex´actamente el movimiento) y el tiempo t0 a partir del cual se inicia la observaci´ on del fen´omeno de oscilaci´on. Es obvio que el movimiento neto o total ser´ a la superposici´ on de las dos componentes graficadas. Una forma c´ omoda de manejar la soluci´on, sobretodo para el c´alculo num´erico, es la forma denominada respuesta en amplitud–fase. Definamos el tri´ angulo rect´ angulo mostrado en la Figura 3.4(a), del cual obtenemos las relaciones: p A = x20 + (x˙ 0 /ω)2 , x0 = A sin ϕ , x˙ 0 /ω = A cos ϕ f=
Remplazando en la Ecuaci´ on (3.6) x(t) = A sin ω(t − t0 ) cos ϕ + A cos ω(t − t0 ) sin ϕ Puesto que en general: sin(α − β) = sin α cos β + cos α sin β, la relaci´on anterior puede ser escrita como: x(t) = A sin[ω(t − t0 ) − ϕ] p
(3.10)
donde: A = x20 + (x˙ 0 /ω)2 es la amplitud, y ϕ = arctan [x0 /(x˙ 0 /ω)] es el ´ angulo de fase del movimiento vibratorio. Un bosquejo de la gr´ afica de la respuesta se muestra en la Figura 3.4(b), donde tambi´en se muestran la amplitud, el ´ angulo de fase y el periodo.
3.3. MOVIMIENTO NO–AMORTIGUADO
43
x( t ) T
A
A
x0
( t - t0 )
x0 / ´ (a) Angulo de fase
(b) Variaci´ on temporal del desplazamiento
Figura 3.4: Respuesta en vibraci´on libre no–amortiguada Ejemplo 3.2. La barra r´ıgida mostrada en la Figura 3.5(a) tiene longitud total 3L, y se la considera de peso despreciable; sostiene tres masas m id´enticas (dos de las cuales se conectan a resortes de coeficiente de rigidez k conocido) y est´ a conectada a un apoyo articulado fijo en la posici´on indicada. Si se supone que la configuraci´ on horizontal esquematizada corresponde a la configuraci´on de equilibrio est´ atico, determinar: (a) La ecuaci´ on de movimiento para oscilaci´on libre y (b) el periodo natural y par´ ametros derivados asociados para el sistema. m
m u
L
k
m o
L
k
m
ku
L k
(a) Sistema vibratorio en equilibrio
L
L
u m
o
m
L
v
kv
(b) Diagrama de cuerpo libre
Figura 3.5: Barra r´ıgida con masas conectadas a resortes
> Soluci´ on Para plantear la ecuaci´ on de movimiento es necesario identificar la coordenada a utilizarse en el an´ alisis como grado de libertad del sistema. En este problema en particular se elige la rotaci´on con respecto al punto de articulaci´ on O. La ecuaci´ on que describe el comportamiento din´amico es la segunda ley de Newton en su forma rotacional, P Mo = Io φ¨ (♠) P
donde Mo es la sumatoria de momentos de las fuerzas actuantes respecto al punto de articulaci´ on, Io es el momento de inercia rotacional del sistema respecto tambi´en al eje de articulaci´on, y φ¨ es la aceleraci´ on angular rotacional instant´anea del sistema. La Figura 3.5(b) nos muestra un diagrama de cuerpo libre donde se indican los desplazamientos que ocurren para una configuraci´ on instant´anea gen´erica y las fuerzas activas en ese mismo tiempo. P
Mo = −(k u) 2L − (k v) L
Suponiendo las oscilaciones de muy peque˜ na amplitud: u = 2L φ y v = L φ. Remplazando en la relaci´ on anterior y simplificando, obtenemos: Mo = −(k 2L φ) 2L − (k L φ) L = − 5 k L2 φ
P
El momento de inercia rotacional de las masas respecto al punto de articulaci´on es m´as f´ acil de evaluarse. Io = m(2L)2 + mL2 + mL2 = 6 m L2
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
44
Remplazando estos dos u ´ltimos resultados en la Ecuaci´on (♠) se tiene: − 5 k L2 φ = 6 m L2 φ¨ Ordenando esta u ´ltima relaci´ on, obtenemos la ecuaci´on de movimiento 6 m L2 φ¨ + 5 k L2 φ = 0 que podr´ıa ser expresada en t´erminos del desplazamiento vertical de una de las masas, digamos mediante la relaci´ on: v = Lφ. En funci´ on de esta nueva variable tendr´ıamos como ecuaci´on de movimiento equivalente: 6 m v¨ + 5 k v = 0 (†) Observemos que si tomamos: meq = 6 m ,
keq = 5 k ,
v = x ; esta ecuaci´on toma la forma:
meq x ¨ + keq x = 0 que es ex´ actamente la misma que la Ecuaci´on (3.4), lo que indica que para todo problema es posible definir masa y rigidez equivalentes. La Ecuaci´ on (†) podr´ıa ser escrita tambi´en en su forma estandarizada equivalente v¨ + ω 2 v = 0 ,
ω2 =
5k 6m
(‡)
Y, la frecuencia natural circular sale de la soluci´on general de esta u ´ltima ecuaci´on; que como sabemos es superposici´ on de las funciones trigonom´etricas fundamentales en la forma: r r 5k 5k v(t) = A cos ωt + B sin ωt = A cos t + B sin t 6m 6m Por lo tanto:
r ω=
5k , 6m
2π T = = 2π ω
r
6m , 5k
1 1 f= = T 2π
r
5k 6m
Tambi´en la frecuencia natural circular podr´ıa haber sido obtenida dir´ectamente de la definici´on b´ asica: s r r keq 5 k L2 5k ω= = = meq 6 m L2 6m NOTA: Las constantes A y B en la soluci´ on general planteada, se determinan a partir de las condiciones iniciales de movimiento del problema; en este caso particular la posici´on y velocidad angulares iniciales [v´ease las Ecuaciones (7.49)]. >
Ejemplo 3.3. El p´endulo de la Figura 3.6(a) consiste de una barra uniforme de 2 Kg de peso y 0,8 m de longitud suspendida de un pasador exento de rozamiento situado en uno de sus extremos. Determinar la frecuencia y el periodo propios de la oscilaci´on libre resultante cuando la barra es apartada de su configuraci´ on de equilibrio y luego se la suelta. Considere que se producen oscilaciones de peque˜ na amplitud. >
Soluci´ on
En la Figura 3.6(b) puede verse el diagrama de s´olido libre de la barra. Como el movimiento es de rotaci´ on en torno al eje fijo 0, podemos escribir la segunda ley de Newton en su forma rotacional: P ¨ lo cual requiere previamente el c´alculo del momento de inercia respecto al eje M0 = Iα = I β, rotacional.
3.3. MOVIMIENTO NO–AMORTIGUADO
45
Ry
o
O
Rx
O
l
L/2
dm dl L
m, L mg
L/2
(a) Sistema analizado
(b) Fuerzas actuantes
(c) Momento de inercia
Figura 3.6: Barra r´ıgida en movimiento oscilatorio
Denotando con ρ = dm/dl a la densidad lineal m´asica de la barra, el momento de inercia elemental est´ a definido por: dI = (dm)l2 = (ρ dl) l2 = (m/L) l2 dl considerando al cuerpo homog´eneo (ρ = m/L). Integrando tenemos: Z m L 2 m L3 mL2 I= l dl = = L 0 L 3 3 Tomando momentos repecto al eje de articulaci´on, las reacciones de apoyo no tienen ning´ un efecto rotacional, por tanto: 1 P M0 = −mg( L2 sin β) Remplazando en la segunda ley de Newton: −mg
mL2 ¨ L sin β = β 2 3
Pero si la amplitud de las oscilaciones es peque˜ na, tambi´en lo ser´a el ´angulo β y se podr´a tomar on del p´endulo f´ısico se transforma ordenando y simplificando, a: sin β ∼ = β [rad]; con lo que la ecuaci´ 3g β¨ + β=0 2L Comparando con la Ecuaci´ on (3.4a) del modelo est´andar, podemos identificar la frecuencia natural circular de oscilaci´ on libre, y con ella evaluar el periodo y la frecuencia de movimiento; entonces, r ω=
3g = 2L
s
3(9, 81) = 4, 29 rad/seg 2(0, 8)
ω 4, 29 = = 0, 683 rad/seg = 0, 683 Hz 2π 2π 1 1 T = = = 1, 465 seg f 0, 683 f=
1 El signo negativo (−) proviene del hecho que el momento generado por el peso propio es contrario en sentido al del movimiento angular asumido.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
46
> Pueden compararse estos resultados con los correspondientes a un p´endulo simple en el cual toda la masa estuviera concentrada en el extremo de una varilla o cuerda sin masa de id´entica longitud. Le sugerimos resuelva este problema para efectuar la comparaci´on propuesta, y determine tambi´en el porcentaje de masa a ser concentrada en el extremo de la cuerda para obtener los resultados aqu´ı hallados. Ejemplo 3.4. La placa semicircular delgada de radio R es capaz de mecerse en contacto con la m superficie horizontal rugosa, como se indica en la Figura 3.7(a). Suponiendo que no existe ning´ un deslizamiento del punto instant´ aneo de contacto, obtener la ecuaci´on diferencial de movimiento para este caso. Muestre que para oscilaciones peque˜ nas, la placa se comporta como un oscilador arm´onico y calcule la frecuencia natural del movimiento oscilatorio. y
y
rc R
CM
CM
m
x
W
r
N
x
x F
O, A
(a) Sistema en equilibrio est´ atico
A
O
(b) Diagrama de cuerpo libre
Figura 3.7: Placa semi–circular oscilante
>
Soluci´ on
Este ejemplo nos permite deducir la ecuaci´ on diferencial de movimiento para un sistema relativamente m´ as complicado que un sistema masa–resorte–amortiguador o un p´endulo simple. Para establecer la ecuaci´ on de movimiento, permitamos que la placa delgada se incline en un ´angulo φ, y denotemos por cm el centro de masa del cuerpo y por a el punto de contacto de la placa con la superficie horizontal rugosa. La distancia entre el centro de curvatura de la placa semicircular y el centro de masa es denotada como rc , donde como Usted puede comprobar en base al esquema de la Figura 3.7(a) se obtiene: rc = 2R/π. La Figura 3.7(b) muestra un diagrama de cuerpo libre para el sistema en una posici´on gen´erica durante la fase de movimiento. Siendo ´este un caso de movimiento plano, se dispone de tres ecuaciones que describen la din´ amica de movimiento; espec´ıficamente dos ecuaciones de movimiento traslacional y una ecuaci´ on de movimiento rotacional. En virtud que el punto a es en general un punto m´ovil, escribiremos la ecuaci´ on de din´ amica rotacional respecto al centro de masa. Esto introduce las componentes de la fuerza de contacto con la superficie rugosa (la fuerza normal y la fuerza de rozamiento) como inc´ ognitas; pero las mismas pueden eliminarse si se operan adecuadamente las ecuaciones escalares de movimiento. A partir de la din´ amica de cuerpo r´ıgido en movimiento plano, las ecuaciones que gobiernan el comportamiento son: P
Fx = m ax ,
P
Fy = m ay ,
P
MzCM = ICM α
(a)
donde ax y ay son las componentes cartesianas del vector aceleraci´on instant´anea del centro de masa y α es la aceleraci´ on angular instant´ anea de la placa semi–circular. Para calcular el vector ~a, consideramos un sistema inercial de ejes x–y con el origen en el punto o, donde o y a coinciden cuando φ = 0 y en una configuraci´on gen´erica durante la fase de movimiento
3.3. MOVIMIENTO NO–AMORTIGUADO
47
como es mostrada en la Figura 3.7(b), escribimos el vector posici´on ~r del centro de masa desde o hasta el cm en t´erminos de las componentes cartesianas como sigue: ~r = (−Rφ + rc sin φ)ˆ ı + (R − rc cos φ)ˆ
(b)
donde ˆ ı y ˆ son los vectores unitarios seg´ un las direcciones x y y respectivamente. Derivando temporalmente dos veces, obtenemos el vector aceleraci´on del centro de masa: ~a = [ (−R + rc cos φ)φ¨ − φ˙ 2 rc sin φ ]ˆ ı + rc (φ¨ sin φ + φ˙ 2 cos φ)ˆ
(c)
Los coeficientes de ˆ ı y ˆ se reconocen como ax y ay respectivamente. El momento de inercia de la placa semi–circular respecto del eje perpendicular al dibujo que pasa por su centro de curvatura se demuestra que vale I = m R2 , y por aplicaci´on del teorema de Stteinner se demuestra que el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pasa a trav´es del cm d´ a como resultado: Ic = m(R2 − rc2 ). Ahora, utilizando el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la Figura 3.7(b), y considerando las Ecuaciones (a) y (c), las ecuaciones de movimiento pueden ser escritas en forma expl´ıcita como: F = m [ (−R + rc cos φ)φ¨ − φ˙ 2 rc sin φ ] N − mg = mrc (φ¨ sin φ + φ˙ 2 cos φ) F (R − rc cos φ) − N rc sin φ = m(R2 − rc2 )φ¨ Despejando F y N de las primeras dos ecuaciones y remplazando en la tercera, se obtiene como ecuaci´ on de movimiento: 2R(R − rc cos φ)φ¨ + φ˙ 2 Rrc sin φ + grc sin φ = 0
(d)
La Ecuaci´ on (d) representa una ecuaci´on diferencial no–lineal de segundo orden. Claramente la soluci´ on trivial φ = 0, es una posici´ on de equilibrio. Proponemos linealizar esta relaci´on considerando oscilaciones de peque˜ na amplitud alrededor del punto de equilibrio; lo cual implica que el movimiento estar´ a restringido a valores peque˜ nos de magnitud angular (φ → 0). Para esta u ´ltima condici´on tenemos que se cumplen las aproximaciones: sin φ ∼ un, ignorando cualquier t´ermino = φ [rad] y cos φ ∼ = 1. M´as a´ no–lineal en la Ecuaci´ on (d); esto es, t´erminos de orden superior al primero (como φ˙ 2 ) y recordando que rc = 2R/π, obtenemos la ecuaci´ on de movimiento linealizada: φ¨ +
g φ=0 (π − 2)R
(e)
Comparando la Ecuaci´ on (e) con la Ecuaci´on (3.4a), concluimos que para ´angulos peque˜ nos en magnitud, la placa semi–circular tiene comportamiento de oscilador arm´onico con frecuencia natural circular r g ω= (f) (π − 2)R Con este valor se puede calcular el periodo de las oscilaciones, as´ı como tambien la frecuencia del movimiento arm´ onico que se produce (ideal e hipot´eticamente perpetuo). > El anterior ejemplo requiri´ o un desarrollo conceptual m´as elaborado, pues fu´e necesario aplicar los principios b´ asicos de la din´ amica del cuerpo r´ıgido, en particular las ecuaciones de Newton y Euler, juntamente con la evaluci´ on de propiedades geom´etricas y materiales de los cuerpos s´olidos. Ejemplo 3.5. Para el p´ ortico de acero mostrado en la Figura 3.8(a), calcular el periodo de las oscilaciones laterales horizontales naturales libres, considerando como datos conocidos: L = 4, 5 m, a = 6 m, E = 2, 1×106 Kg/cm2 , w ¯ = 3000 Kg/m. Despreciar la energ´ıa almacenada por deformaci´on axial de los
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
48
w
8WF24
V
u
18WF50
L
u =1 M
8WF24
V M
L
E
a
M0
(a) Diagrama esquem´ atico
(b) Deformaci´ on unitaria
M0
(c) Diagramas de cuerpo libre
Figura 3.8: P´ ortico en oscilaci´on lateral libre perfiles que hacen de elementos columna, y tambi´en despreciar el peso propio de los mismos. >
Soluci´ on
Para hallar la frecuencia natural circular y posteriormente el periodo, es necesario hallar la masa y rigidez del modelo de un grado de libertad asociado al p´ortico en an´alisis. (a) masa — Como los elementos columna no poseen peso propio, solo consideramos la masa de la viga horizontal que est´ a asociada al grado de libertad asignado a la estructura, entonces: m=
w ¯a 3000×6 W = = = 1834, 9 Kg-seg2 /m g g 9, 81
(b) rigidez — De acuerdo con la definici´ on b´asica, es la carga necesaria a ser aplicada a la estructura de modo de lograr en la misma un desplazamiento lateral de magnitud unitaria para el grado de libertad escogido. La Figura 3.8(b) nos muestra un esquema que sirve para interpretar la definici´on anterior. Aplicando los m´etodos ordinarios proporcionados por la teor´ıa de la mec´anica estructural a la forma desplazada del p´ ortico, se obtienen los esfuerzos internos mostrados en la Figura 3.8(c); donde Usted puede verificar los siguientes valores: V = 11, 26 E I/L3 ,
M = 5, 5 E I/L2 ,
M0 = 5, 76 E I/L2
La carga necesaria para deflectar lateralmente la estructura con desplazamiento unitario, es la suma de los esfuerzos cortantes mostrados en la Figura 3.8(c); por lo tanto: k = 2 V = 2×11, 26 EI/L2 = 22, 52 EI/L2 donde I corresponde al momento de inercia centroidal del perfil 8WF24, y es igual a 3433,91 cm4 . Para el c´ alculo tomamos la longitud como L = 4, 5 m y como m´odulo de elasticidad E = 2, 1×106 Kg/cm2 correspondiente al acero comercial. Realizando el c´alculo num´erico: k=
22, 52 (2, 1×106 ) 3433, 91 = 1782, 13 Kg/cm = 178213 Kg/m 4502
Con los valores previamente obtenidos, la frecuencia circular es por lo tanto r r k 178213 = = 9, 86 rad/seg ω= m 1834, 9
3.3. MOVIMIENTO NO–AMORTIGUADO
49
El periodo fundamental y la frecuencia natural resultan ser T =
2π 2π = = 0, 64 seg , ω 9, 86
f=
1 1 = = 1, 57 Hz T 0, 64
> Este ejemplo ha mostrado que en muchos casos es necesario aplicar conceptos te´oricos que son ajenos a la mec´ anica de vibraciones espec´ıficamente, para hallar los par´ametros din´amicos del modelo asociado a la situaci´ on real en an´ alisis. En particular, tuvimos que aplicar conceptos de mec´anica estructural para evaluar la rigidez equivalente del p´ortico, que result´o ser el doble del valor de rigidez de cada una de las columnas, porque las mismas tienen efecto de una disposici´on de “resortes en paralelo”; n´ o por su configuraci´ on geom´etrica, sino porque el desplazamiento lateral para ambos elementos estructurales es el mismo (lo cual es caracter´ıstico de la disposici´on de rigideces en paralelo). Ejemplo 3.6. Un cuerpo de 10 Kg de peso cae desde una altura de 30 cm sobre el extremo libre de una viga empotrada, qued´ andose conectada posteriormente a ella. La viga es de aluminio con peso lineal w ¯ = 8 Kg/m, m´ odulo de elasticidad E=8×105 Kg/cm2 , longitud L = 80 cm, de secci´on transversal de base b = 10 cm y altura a = 2 cm. En la Figura 3.9(a) se muestra un diagrama esquem´atico del sistema. Determinar la tensi´ on normal m´axima que se presenta en la viga (en la secci´on coincidente con el empotramiento) durante el movimiento vibratorio que ocurre despu´es de que la masa impacta sobre ella. keq x
M a
E, I, m
h
M
b
m eq g
R
m eq x
x L
L (a) Diagrama esquem´ atico
(b) Diagrama din´ amico de cuerpo libre
Figura 3.9: Viga empotrada en vibraci´on libre no–amortiguada > Soluci´ on Cuando en el extremo libre de una viga empotrada se aplica una fuerza puntual est´atica, se demuestra que se produce una deformaci´ on vertical en ese mismo punto determinada por la relaci´on: δ=
P L3 3E I
⇒
P =
3E I δ L3
comparando con la relaci´ on carga – deformaci´on de un resorte lineal el´astico equivalente P = keq δ, resulta: 3E I keq = L3 El momento de inercia centroidal correspondiente a una secci´on rectangular cuadrada es: I=
b a3 10(2)3 = = 6, 66 cm4 12 12
Y, reemplazando en la ecuaci´ on anterior, keq =
3E I 3 (8×105 ) 6, 66 = = 31, 22 Kg/cm L3 803
El peso lineal de la viga es conocido, y con este dato podemos calcular f´acilmente la masa lineal: m ¯ =
w ¯ 8 = = 0, 82 Kg-seg2 /m2 g 9, 81
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
50
La ecuaci´ on de la deformada de la viga empotrada debida a una fuerza puntual est´atica aplicada en su extremo libre, como se puede demostrar est´a asociada a la siguiente funci´on de interpolaci´on: 2 x3 x φ(x) = 3 2 − 2 3 L L la cual cumple con todas las condiciones de borde extremo del problema, como puede comprobarse. Por tanto, aplicando la t´ecnica de par´ ametros din´amicos consistentes, la porci´on de masa de viga que se concentra en su extremo libre ser´ a: 2 Z L 2 Z L x x3 13 2 ∗ m ¯ 3 2 −2 3 dx = m ¯ [φ(x)] dx = m ¯L m = L L 35 0 0 Evaluando num´ericamente:
m∗ =
13 35
0, 82(0, 8) = 0, 244 Kg-seg2 /m
La masa del bloque se puede calcular a partir del valor conocido de su peso propio; m=
W 10 = = 1, 019 Kg-seg2 /m g 9, 81
Por tanto, la masa equivalente asociada al grado de libertad relevante del problema (desplazamiento vertical del extremo libre de la viga) ser´ıa: meq = m∗ + m = 0, 244 + 1, 019 = 1, 263 Kg-seg2 /m = 1, 263×10−2 Kg-seg2 /cm Habiendo calculado los par´ ametros din´amicos del modelo matem´atico de an´alisis, podemos ahora evaluar otros par´ ametros; por ejemplo la frecuencia natural circular de las oscilaciones libres s r keq 31, 22 = = 49, 72 rad/seg ω= meq 1, 263×10−2 La ecuaci´ on de movimiento del modelo de an´alisis en condicion de vibraci´on libre no–amortiguada, en su forma est´ andar, sabemos que es: x ¨ + ω2 x = 0 sujeta a condiciones iniciales de movimiento, las cuales debemos identificarlas acorde con las condiciones del problema. Suponiendo que la viga no est´ a flexionada en t = 0, cuando el bloque impacta sobre ella adquiere cierta deflexi´ on est´ atica en su extremo libre proveniente del peso propio de la masa equivalente actuante en el grado de libertad escogido; entonces: x(0) = x0 = δest =
meq g 1, 263×10−2 (981) = = 0, 397 cm keq 31, 22
La velocidad con la cual el bloque imp´ acta sobre la viga al caer desde una altura conocida es por condici´ on de ca´ıda libre: p p v = 2 g h = 2(981)30 = 242, 61 cm/seg y, como esta masa se mantiene acoplada a la viga luego del imp´acto, la velocidad inicial de conjunto ser´ a pues la velocidad previamente calculada; es decir: x(0) ˙ = x˙ 0 = v = 242, 61 cm/seg La respuesta en vibraci´ on libre del sistema en su forma amplitud–fase, est´a determinada por: p x(t) = A sin(ω t − ϕ) , A = x20 + (x˙ 0 /ω)2 , ϕ = arctan[x0 /(x˙ 0 /ω)]
´ FORZADA NO–AMORTIGUADA 3.4. OSCILACION
Evaluando:
A = xm´ax =
p
x20 + (x˙ 0 /ω)2 =
p
51
0, 3972 + (242, 61/49, 72)2 = 4, 89 cm
ϕ = arctan[x0 /(x˙ 0 /ω)] = arctan[0, 397/(242, 61/49, 72)] = 0, 081 rad = 4, 65◦ La aceleraci´ on instant´ anea de movimiento se obtiene derivando temporalmente dos veces el desplazamiento. x ¨(t) = −ω 2 A sin(ω t − ϕ) Es claro por esta ecuaci´ on que en cualquier instante la aceleraci´on es de sentido contrario al desplazamiento, que las amplitudes m´ aximas se dan simult´aneamente, y que la amplitud de la aceleraci´ on es proporcional a la del desplazamiento y es dada en su valor absoluto por: x ¨m´ax = ω 2 A = 49, 722 (4, 89) = 12088, 46 cm/seg
2
La Figura 3.9(b) nos muestra el diagrama din´amico de cuerpo libre en el instante en el que se presenta la amplitud m´ axima de desplazamiento (y tambi´en de aceleraci´on), y en este gr´afico se muestran todas las fuerzas din´ amicas inclu´ıdas la fuerza y el momento de reacci´on en el empotramiento as´ı como tambi´en la fuerza de D’Alembert o inercial. El equilibrio rotacional instant´ aneo impone que el momento resultante sea nulo, por lo que debe cumplirse: P M = M + keq x L − meq (¨ x + g)L = 0 de donde, el momento en el empotramiento (de valor m´aximo) resulta: Mm´ax = [ meq (¨ xm´ax + g) − keq xm´ax ] L Mm´ax = [ 1, 263×10−2 (12088, 46 + 981) − 31, 22 (4, 89) ] 80 = 992, 12 Kg-cm La tensi´ on normal m´ axima sobre la viga, en la secci´on transversal ubicada en el empotramiento, es calculada aplicando la f´ ormula de flexi´on simple, σm´ax =
Mm´ax c Mm´ax (a/2) 992, 12(1) 2 = = = 148, 95 Kg/cm I I 6, 66
> En el ejemplo que hemos resuelto, el valor de tensi´on normal m´axima que se presenta en la viga, por cierto en su secci´ on de corte transversal m´as peligrosa por la solicitaci´on interna actuante – en el empotramiento – es de magnitud peque˜ na, ya que es mucho menor que el valor de tensi´on normal l´ımite de fluencia del material. Por tanto, podemos concluir que la tensi´on normal din´amica m´ axima en la viga se mantiene dentro la zona lineal el´astica del material !.
3.4.
Oscilaci´ on forzada no–amortiguada
Establecidos los conceptos que definen la oscilaci´on libre, estamos en condiciones ahora de encarar la soluci´ on de la Ecuaci´ on (3.3). Los requerimientos sobre la funci´on P (t) son solo la continuidad de esta relaci´ on funcional en el intervalo de aplicaci´on temporal de la ecuaci´on diferencial gobernante del movimiento vibratorio. La soluci´ on de la Ecuaci´ on (3.3) se puede lograr por distintos procedimientos: la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales, mediante transformadas integrales o mediante un razonamiento congruente con el fen´ omeno f´ısico que representa la ecuaci´on. Con el solo objetivo de mostrar la coincidencia de los distintos tipos de aproximaci´ on usados, encontraremos la soluci´on utilizando la teor´ıa de ecuaciones diferenciales, y luego usando el razonamiento f´ısico.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
52
3.4.1.
Funci´ on de Green
La Ecuaci´ on (3.3) puede ser escrita de la manera siguiente: x ¨ + ω 2 x = P (t)/m
(3.11)
despu´es de dividir entre la masa asociada con el modelo, a la que denominaremos “forma est´ andar ” de la ecuaci´ on de movimiento de la oscilaci´ on forzada no–amortiguada. La soluci´on total de esta ecuaci´on sabemos que est´ a determinada por: x = xL + xP (3.12) donde: xL es la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial homog´enea (P (t) = 0) asociada: x ¨ + ω 2 x = 0, en vibraci´ on libre. xP es la soluci´ on particular de la ecuaci´on diferencial forzada (P (t) 6= 0), debido a la exitaci´on externa aplicada. Claramente la soluci´ on particular xP elegida deber´a tomar los siguientes valores de condiciones en el instante inicial t0 del movimiento, xP (t0 ) = 0 ,
x˙ P (t0 ) = 0
(3.13)
Aplicando estas condiciones a la Ecuaci´ on (3.12), se tiene que en el instante inicial: x(t0 ) = xL (t0 ) + xP (t0 ) = xL (t0 ) x(t ˙ 0 ) = x˙ L (t0 ) + x˙ P (t0 ) = x˙ L (t0 ) Esto significa desde el punto de vista f´ısico que la sola aplicaci´on de la carga no puede alterar s´ ubitamente el movimiento del sistema. Adem´as x(t0 ) = xL (t0 ) = xt0 x(t ˙ 0 ) = x˙ L (t0 ) = x˙ t0
(3.14)
deben considerarse condiciones iniciales debidas a cualquier otro efecto. Una soluci´on xP (t) que cumpla con las condiciones iniciales nulas caracter´ısticas para esta soluci´on particular puede hallarse por medio de la siguiente relaci´ on: Z t P (τ ) xP (t) = dτ (3.15) K(t, τ ) m t0 donde K(t, τ ) se conoce como funci´ on de Green del problema de valores iniciales definido por las Ecuaciones (3.11) y (3.14), que es precisamente el problema de oscilaci´on forzada no–amortiguada. La funci´ on de Green asociada al operador D2 + ω 2 de la ecuaci´on de movimiento, se calcula por: sin ωτ cos ωτ sin ωt cos ωt K(t, τ ) = (3.16) cos ωτ sin ωτ ω cos ωτ −ω sin ωτ K(t, τ ) =
sin ωτ cos ωτ − sin ωt cos ωt −ω
K(t, τ ) =
sin ω(t − τ ) ω
´ FORZADA NO–AMORTIGUADA 3.4. OSCILACION
53
La soluci´ on forzada generalizada, establecida por la Ecuaci´on (3.15), resulta ser en este caso: Zt xP (t) =
sin ω(t − τ ) P (τ ) dτ ω m
(3.17)
t0
Es posible demostrar que la ecuaci´on (3.17) cumple las condiciones iniciales establecidas por las Ecuaciones (3.13). La soluci´ on completa del problema es entonces la superposici´on de las Ecuaciones (3.6) y (3.17); es decir: Z t 1 x˙ t P (τ ) sin ω(t − τ ) dτ (3.18) x(t) = xt0 cos(t − t0 ) + 0 sin(t − t0 ) + ω m ω t0 relaci´ on que satisface plenamente el problema de valores iniciales planteado. De la Ecuaci´ on (3.18) se deduce que es posible obtener la soluci´on de un problema cualquiera de vibraci´ on forzada no–amortiguada cualquiera sea la forma de la funci´on perturbatriz P (t), incluso a´ un si se la conoce num´ericamente. Ejemplo 3.7. Encontrar la respuesta de un modelo masa–resorte lineal que parte del reposo, el cual es perturbado por una fuerza temporalmente variable P (t) de amplitud unitaria e igual a la funci´ on delta de Dirac. 2 (Este tipo de exitaci´on simula una carga de imp´acto – golpe s´ ubito – aplicada sobre la masa del sistema). > Soluci´ on De acuerdo al planteamiento del problema, la ecuaci´on diferencial de movimiento a resolver es: mx ¨ + k x = δ(t)
x(0) = 0
x(0) ˙ =0
Aplicando la Ecuaci´ on (3.18), la respuesta del sistema resultar´a ser: Z t 1 1 x(t) = sin ω t δ(τ ) sin ω(t − τ ) dτ = mω 0 mω > Observemos que en el ejemplo aqu´ı resuelto, la soluci´on encontrada es la funci´on de Green definida anteriormente excepto por la presencia de la masa que aparece en el denominador de la relaci´on hallada.
3.4.2.
Respuesta mediante razonamiento f´ısico
La soluci´ on que define la Ecuaci´ on (3.18) es posible lograrla mediante un razonamiento basado en las consideraciones f´ısicas del problema, y se la plantea como un m´etodo alternativo para verificar la validez de la soluci´ on general hallada. Sea un sistema vibratorio no–amortiguado forzado externamente, con condiciones iniciales conocidas al instante inicial t0 ; y consideremos la aplicaci´on de un impulso de fuerza I aplicado al tiempo τ , como se muestra en la Figura 3.10. La aplicaci´ on del principio din´ amico de impulso–cambio de momentum lineal, establece que el impulso de fuerza aplicado durante cierto intervalo de tiempo es igual al cambio del momentum lineal producido en el mismo intervalo temporal; por tanto se debe cumplir: I∆τ = P (τ )∆τ = m∆x˙ 2
La funci´ on delta de Dirac – impulso unitario aplicado en t = t0 – se define como: Z ∞ δ(t) = 0 t 6= t0 , δ(t) dt = 1 −∞ Z b Tambi´ en cumple la propiedad: δ(t − t0 )f (t) dt = f (t0 ) a < t0 < b a
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
54
P(t) P() I 0
t
t
0
t
Figura 3.10: Carga externa variable aplicada al sistema donde ∆x˙ es el cambio en la velocidad instant´anea producido en el intervalo de tiempo en el que tiene duraci´ on el impulso aplicado que consideramos. De la ecuaci´on anterior, ∆x˙ τ =
P (τ )∆τ m
(3.19)
∆x ∆τ entonces, P (τ ) ∆xτ = (∆τ )2 (3.20) m La Ecuaci´ on (3.20) nos indica que el cambio del desplazamiento al tiempo τ , en el que se aplica el impulso, es insignificante frente al cambio de la velocidad al mismo instante medido por la Ecuaci´ on (3.19); por lo que el incremento de movimiento forzado (o cambio en el desplazamiento debido al impulso elemental de fuerza aplicado) del sistema a partir del tiempo τ viene dado por la Ecuaci´ on (3.6). P (τ ) ∆xP = sin ω(t − τ ) ∆τ mω Pasando al l´ımite cuando ∆τ → 0, P (τ ) dxP = sin ω(t − τ ) dτ mω Debido a que pueden existir muchos impulsos entre t0 y t, su efecto puede evaluarse integrando la ecuaci´ on anterior entre los l´ımites de este intervalo finito de tiempo; es decir, Z t 1 xP (t) = P (τ ) sin ω(t − τ ) dτ , t>τ (3.21) m ω t0 Pero, por la definici´ on b´ asica de velocidad:
∆x˙ =
La soluci´ on total o completa considerando todos los efectos ser´a por lo tanto: Z t 1 x˙ t x(t) = xt0 cos(t − t0 ) + 0 sin(t − t0 ) + P (τ ) sin ω(t − τ ) dτ ω m ω t0 que coincide ex´ actamente con la Ecuaci´ on (3.18), hallada anteriormente. La soluci´ on establecida por los dos procedimientos elegidos coincide, como se esperaba. La superposici´ on de impulsos nos llev´ o a la soluci´ on encontrada mediante la funci´on de Green. Esto m´as el resultado del Ejemplo B.2 confirma el hecho de que la funci´on de Green es la respuesta a un impulso unitario aplicado al sistema bajo estudio. Ejemplo 3.8. Hallar la respuesta forzada del p´ortico del Ejemplo 3.5, el cual es sometido a una carga lateral como es mostrado en la Figura 3.11(a), cuya variaci´on temporal se ilustra en la Figura 3.11(b). Este tipo particular de exitaci´ on habitualmente es denominada “tipo escal´ on”, donde la amplitud de
´ FORZADA NO–AMORTIGUADA 3.4. OSCILACION
x( t )
P( t )
55
P( t ) P0 = 2000 Kg td = 0,5 seg
P0
0
(a) Diagrama esquem´ atico
td
t
(b) Variaci´ on temporal de la carga aplicada
Figura 3.11: P´ortico en oscilaci´on lateral forzada carga es: P0 = 2000 Kg y el tiempo de duraci´on: td = 0, 5 seg. Suponer que el sistema al instante inicial (t0 = 0) se encuentra en equilibrio est´atico; o sea inicia su movimiento desde una condici´on de reposo. > Soluci´ on Las condiciones iniciales de movimiento se especifican como: x(0) = x0 = 0 y x(0) ˙ = x˙ 0 = 0. En cambio, la descripci´ on matem´ atica de la funci´on de carga es: ( P0 0 6 t 6 td P (t) = 0 t > td En el an´ alisis debemos considerar dos intervalos para la evaluaci´on de la respuesta del sistema: mientras dura la carga, y cuando la misma se hace nula. En consecuencia, las ecuaciones de movimiento ser´ıan las descritas a continuaci´ on: mx ¨ + k x = P0 mx ¨+kx = 0
0 6 t 6 td t > td
(a) (b)
La soluci´ on de la Ecuaci´ on (a) es: Z t 1 x˙ 0 sin ωt + P0 sin ω(t − τ ) dτ x(t) = x 0 cos ωt + ω mω 0 Z t t 1 −P0 1 x(t) = P0 sin ω(t − τ ) dτ = cos ω(t − τ ) mω 0 mω ω 0 −P0 P0 (cos ωt − 1) = (1 − cos ωt) m ω2 m ω2 Pero recordemos que: ω 2 = k/m, entonces: m ω 2 = k y adem´as denotemos como xest = P0 /k a la deformaci´ on est´ atica provocada por la aplicaci´on de la amplitud de carga externa; de modo que la soluci´ on finalmente resulta, x(t) = xest (1 − cos ωt) 0 6 t 6 td (c) x(t) =
La Ecuaci´ on (b) tiene la forma de relaci´on que gobierna una oscilaci´on libre; y en efecto as´ı es, ya que al t´ermino de la aplicaci´ on de la carga el movimiento restante es una oscilaci´on libre con condiciones iniciales que ser´ an iguales a las condiciones finales (evaluadas en td = 0, 5 seg) del movimiento forzado. Para obtener la soluci´ on de la Ecuaci´on (b), las condiciones finales del movimiento forzado son: x(td ) = xest (1 − cos ωtd ) ,
x(t ˙ d ) = ωxest sin ωtd
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
56
Aplicando ahora la Ecuaci´ on (3.6), con las condiciones iniciales reci´en calculadas, la soluci´on resulta: x(t) = xest (1 − cos ωtd ) cos ω(t − td ) + xest sin ωtd sin ω(t − td ) v´ alida para t > td . Simplificando obtenemos: x(t) = xest [ cos ω(t − td ) − cos ωt ]
t > td
(d)
Las Ecuaciones (c) y (d) pueden ser escritas de la manera mostrada a continuaci´on, x(t) = fdc(t, ω) = 1 − cos ωt 0 6 t 6 td xest x(t) = fdc(t, ω, td ) = cos ω(t − td ) − cos ωt xest
t > td
donde fdc(t, ω) se conoce como el factor din´ amico de carga, y se define como la relaci´on del desplazamiento din´ amico comparado con un desplazamiento est´atico debido a la aplicaci´on de alguna carga deducible de la funci´ on de solicitaci´ on o exitaci´on externa aplicada al sistema. En situaciones de dise˜ no estaremos interesados en los valores m´aximos del fdc, situaci´on que investigaremos en su momento. Por ahora, simplemente nos quedamos con el concepto reci´en establecido. Para concluir el an´ alisis, del Ejemplo 3.5 obtenemos como valores necesarios para el c´alculo num´erico: k = 1782, 13 Kg/cm y ω = 9, 86 rad/seg. Primero calculemos el desplazamiento est´atico, xest =
2000 P0 = = 1, 12 cm k 1782, 13
Remplazando estos valores en las Ecuaciones (c) y (d), obtenemos: x(t) = 1, 12 (1 − cos 9, 86 t) x(t) = 1, 12 (cos 9, 86(t − 0, 5) − cos 9, 86 t)
0 6 t 6 0, 5 seg t > 0, 5 seg
como respuesta din´ amica de la variaci´ on temporal de desplazamiento lateral (medido en cm) que tiene el p´ ortico en cualquier instante de tiempo (medido en seg). > En el ejemplo resuelto se defini´ o el factor din´amico de carga (fdc), que de acuerdo a lo establecido se ve que es una medida adimensional de la respuesta y es independiente de la carga aplicada. Se recalca que sus valores m´ aximos son los utilizados en el dise˜ no, y constituyen el factor por el que se deber´an multiplicar todos los par´ ametros de respuesta de un sistema, evaluados en condici´on est´atica, para conocer la m´ axima respuesta din´ amica de estos mismos par´ametros (cuando se produce la vibraci´on); por lo tanto: Rm´ax din = Rm´ax est fdcm´ax (3.22) donde R es variable asociada a la respuesta que puede ser un desplazamiento, tensi´on normal, momento flector, o cualquier otra variable de inter´es que sea calculada en base a la soluci´on de la ecuaci´on diferencial gobernante de la din´ amica vibracional del modelo asociado al sistema en estudio.
3.5.
Movimiento amortiguado
La inclusi´ on de un mecanismo de amortiguamiento es necesario en un modelo matem´atico para representar el comportamiento real del sistema modelado. De los muchos tipos de amortiguamiento existentes, escogeremos aquel conocido como amortiguamiento viscoso; por lo tanto la ecuaci´on de movimiento es la Ecuaci´ on (3.2), correspondiente al modelo de la Figura 3.1, que aqu´ı es repetida por comodidad: mx ¨ + c x˙ + k x = P (t) (3.23) donde P (t) representa la exitaci´ on (fuerza) aplicada al sistema.
3.5. MOVIMIENTO AMORTIGUADO
3.5.1.
57
Movimiento libre amortiguado
Si se supone que el efecto que di´o origen al movimiento desaparece, la Ecuaci´on (3.23) se reduce con esta condici´ on y se convierte en: mx ¨ + c x˙ + k x = 0 (3.24) la misma que define el movimiento libre amortiguado del sistema; su soluci´on de acuerdo con la teor´ıa de ecuaciones diferenciales est´ a ligada a la naturaleza de las ra´ıces de su ecuaci´on caracter´ıstica asociada m r2 + c r + k = 0
(3.25)
La Ecuaci´ on (3.25) es una expresi´on polin´omica cuadr´atica, que tiene raices determinadas por: s c c k r1,2 = − ± − 2m 2m m √ c ± D 2m donde D se conoce como el discriminante de la ecuaci´on caracter´ıstica; el mismo que define los tipos de ra´ıces que son soluci´ on de la Ecuaci´on (3.25), definiendo tambi´en el tipo de movimiento que ocurre. r1,2 = −
Movimiento sobre–amortiguado Si el discriminante D de la ecuaci´on caracter´ıstica es mayor que cero, las ra´ıces ser´an reales, negativas y distintas; dando lugar a la siguiente soluci´on de la ecuaci´on de movimiento: c 2 k . 2m m
D > 0, c =− ± 2m
r1,2
Sabemos que la soluci´ on general es: Entonces,
−c
√
x(t) = Ae( 2m +
o en forma equivalente:
D) t
s
c k − 2m m
=−
√ c ± D 2m
x(t) = Aer1 t + Aer2 t −c
+ B e( 2m −
√
D) t
√ √ −c = e( 2m ) t Ae D t + B e− Dt
√ √ c x(t) = e(− 2m ) t A sinh D t + B cosh D t
(3.26)
La soluci´ on en este caso, de acuerdo con la Ecuaci´on (3.26) es una combinaci´on lineal de funciones hiperb´ olicas, las cuales no tienen periodo real y en consecuencia no representan un movimiento oscilatorio, indicando adem´ as que el movimiento se anula despu´es de un tiempo infinitamente largo (por tener un factor exponencialmente decreciente); por lo tanto al no definir un movimiento vibratorio, su estudio carece de inter´es para la tem´atica que estamos abordando. Ejemplo 3.9. Hallar la respuesta de un sistema sobre–amortiguado que cumple las siguientes condiciones iniciales: x(0) = x0 = 0 , x(0) ˙ = x˙ 0 6= 0 c y esquematizar la curva desplazamiento vs tiempo, para: = 1, 5. 2m > Soluci´ on
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
58
Aplicando las condiciones iniciales, podemos determinar a las constantes en la soluci´on, x0 = 0 = e0 (A sinh 0 + B cosh 0) = B ⇒ √ √ −c c x˙ 0 = e( 2m ) 0 A D cosh 0 − A sinh 0 = A D 2m
B=0 ⇒
x˙ 0 A= √ D
Por lo tanto, la soluci´ on es:
√ −c x˙ 0 x(t) = √ e( 2m ) t sinh D t D Para dibujar la gr´ afica podemos normalizarla y as´ı apreciar la amplitud relativa de la respuesta. Para ello, escribimos la soluc´ on anterior como: √ √ −c x(t) D = e( 2m ) t sinh D t x˙ 0
En la Figura 3.12 se muestra la representaci´on visual de la ecuaci´on obtenida como soluci´on de este ejemplo. x( t ) D x0 0,5
Punto típico
0,27
0,9 0
1
2
3
4
5
D
t
Figura 3.12: Respuesta de sistema sobre–amortiguado > La gr´ afica obtenida del desplazamiento nos muestra con claridad que el movimiento resultante no es una oscilaci´ on !. Movimiento con amortiguamiento cr´ıtico Este tipo de movimiento se presenta cuando el discriminante se anula, dando lugar a que las ra´ıces de la ecuaci´ on caracter´ıstica sean reales, iguales y negativas. En consecuencia, c 2 k c D = 0, = , r1,2 = r = − 2m m 2m y la soluci´ on de la ecuaci´ on de movimiento, como sabemos que en el caso de ra´ıces repetidas, resulta: x(t) = Aer t + B t er t −c
−c
x(t) = Ae( 2m ) t + B t e( 2m ) t −c
x(t) = e( 2m ) t ( A + B t )
(3.27)
La Ecuaci´ on (3.27) indica claramente que el movimiento no es del tipo oscilatorio, y en consecuencia carece de inter´es para los fines que perseguimos. De acuerdo con la respuesta obtenida para este caso particular, se establece que se trata de un movimiento similar al que se presenta en un sistema sobre–amortiguado; sin embargo, define un par´ametro extremadamente importante, el cual pasamos a establecer.
3.5. MOVIMIENTO AMORTIGUADO
59
Fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico El valor de coeficiente de amortiguamiento c que anula el discriminante de la ecuaci´ on caracter´ıstica se denomina coeficiente de amortiguamiento cr´ıtico. Si denominamos cc a dicho valor caracter´ıstico, para esta condici´on tendremos: c 2 k c D= − =0 2m m r de aqu´ı, k cc = =ω 2m m √ Por tanto, cc = 2 m ω = 2 k m (3.28) De la Ecuaci´ on (3.28) se deduce que el coeficiente de amortiguamiento cr´ıtico es una caracter´ıstica propia del sistema, al ser funci´ on de la masa y la rigidez. Esto permite definir el amortiguamiento de todo sistema o estructura como una fracci´ on del amortiguamiento cr´ıtico. Por lo tanto, si c es el coeficiente de amortiguamiento que posee el sistema, su fracci´on relativa o comparada al valor cr´ıtico estar´ıa definida por: c c c = √ = (3.29) β= cc 2mω 2 km De esta definici´ on, para el movimiento con amortiguamiento cr´ıtico se deber´a tener: β = 1. Es f´ acil demostrar que para amortiguamiento super–cr´ıtico (movimiento sobre–amortiguado) se deber´a cumplir: β > 1. En t´erminos del caso aqu´ı tratado, el movimiento correspondiente al valor de amortiguamiento cr´ıtico descrito por la Ecuaci´ on (3.27), puede ser ahora escrita como: x(t) = e−ω t (A + B t)
(3.30)
Ejemplo 3.10. Hallar la respuesta de un sistema cuyo coeficiente de amortiguamiento es igual a su valor cr´ıtico. Suponer que las condiciones iniciales de movimiento en este caso son: x(0) = x0 6= 0 ,
x(0) ˙ = x˙ 0 = 0
As´ımismo bosquejar la gr´ afica de la soluci´on obtenida. > Soluci´ on De acuerdo al enunciado: c = cc , y por tanto β = 1. Para este caso particular es aplicable la Ecuaci´ on (3.30), que determina la respuesta del sistema. Evaluando las constantes, x(0) = x0 = (A + B · 0)
⇒
A = x0
x(0) ˙ = x˙ 0 = 0 = B − ω(A + B · 0)
⇒
B = x0 ω
Por lo tanto, la soluci´ on es: x(t) = e−ω t (x0 + x0 ω t) = x0 e−ω t (1 + ωt) A fin de obtener una apreciaci´ on de la forma general gr´afica que tiene este tipo de respuesta, normalizaremos la soluci´ on con respecto a la condici´on inicial impuesta, del modo: x(t) = e−ω t (1 + ωt) x0 Su representaci´ on es mostrada en la Figura 3.13.
> Aquellos sistemas en los que el discriminante de la ecuaci´on caracter´ıstica cumple: D > 0, tienen fraccci´ on de amortiguamiento cr´ıtico β > 1; y por al an´alisis anterior presentan respuesta en vibraci´ on libre que no es arm´ onica, o sea que en estos casos no se puede hablar de un movimiento vibratorio !.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
60
x(t) x0 Punto típico
1 0,736
0
1
2
3
4
5
t
Figura 3.13: Respuesta de sistema con amortiguamiento cr´ıtico Movimiento sub–amortiguado Si el valor del discriminante es negativo, la ecuaci´on caracter´ıstica tiene raices complejas conjugadas con parte real negativa. Considerando este caso, la ecuaci´on de movimiento tiene la siguiente soluci´on: c 2 k D < 0, < 2m m r c 2 −c √ c k r1,2 = ± −D = − ±i − 2m 2m m 2m Utilizando la Ecuaci´ on (3.29) que define la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico, p p r1,2 = −βω ± i ω 2 − β 2 ω 2 = −βω ± iω 1 − β 2 Si denotamos como: ωa = ω
p
1 − β2
(3.31)
al par´ ametro que llamaremos frecuencia natural circular amortiguada, obtenemos la ecuaci´on equivalente: r1,2 = −βω ± iωa Sabemos que en el caso de ra´ıces diferentes de la ecuaci´on caracter´ıstica, la soluci´on general est´a determinada por: x(t) = Aer1 t + B er2 t Entonces, la soluci´ on general de un sistema en vibraci´on libre sub–amortiguada es: x(t) = Ae(−βω+iωa )t + B e(−βω−iωa )t x(t) = e−βωt Aeiωa t + B e−iωa t Utilizando la f´ ormula de Moivre, 3 se obtiene: x(t) = e−βωt (A cos ωa t + B sin ωa t)
(3.32)
De la definici´ on que hicimos de coeficiente de amortiguamiento cr´ıtico, se establece que en movimiento sub–amortiguado: β < 1; esta condici´on en realidad permiti´o escribir la soluci´on de la ecuaci´on de movimiento como una combinaci´ on de funciones trigonom´etricas circulares, las mismas que definen oscilaciones peri´ odicas. En consecuencia, la soluci´ on de la Ecuaci´on (3.24) define un movimiento vibratorio y su forma define la respuesta del sistema cuando oscila en forma libre, pero con el mecanismo de amortiguamiento 3
Seg´ un el c´ alculo en variable compleja, la f´ ormula de Moivre indica el cumplimiento de:
e±iθ = cos θ ± i sin θ
3.5. MOVIMIENTO AMORTIGUADO
61
presente. Resulta redundante indicar que las constantes en la Ecuaci´on (3.32) se determinan a partir del conocimiento de las condiciones iniciales del problema. La soluci´ on hallada para el movimiento sub–amortiguado, especificada por la Ecuaci´on (3.32), se puede escribir en su forma amplitud–fase como: 0
x(t) = C e−βωt cos ωa t0
(3.33)
utilizando identidades trigonom´etricas y un juego de constantes adecuado [como es realizado en la obtenci´ on de la Ecuaci´ on (3.39)].
x(t)
e - t
x0 Ta t’ = 0
t
Figura 3.14: Respuesta en vibraci´on libre de un sistema sub–amortiguado En la Figura 3.14 se muestra un esquema de la respuesta del sistema, expresada por la Ecuaci´ on (3.33). Sabemos que la funci´ on coseno se hace igual a la unidad cuando su argumento se anula, lo que sucede cuando t0 = 0; por lo tanto: x(0) = x0 = C y el movimiento queda definido como: 0
x(t) = x0 e−βωt cos ωa t0
(3.34)
El valor x0 es el m´ aximo desplazamiento del sistema a partir del tiempo inicial de observaci´ on, en este caso t0 = 0. Debido a la naturaleza peri´odica de la funci´on coseno, es claro que los m´aximos sucesivos se repetir´ an a intervalos regulares de tiempo; es decir, toda vez que la funci´on coseno tome valor unitario. Este lapso de tiempo se calcula como sigue: ωa (t0 + Ta ) − ωa t0 = 2π de donde,
Ta =
2π ωa
(3.35)
Esta relaci´ on define el par´ ametro conocido como periodo natural amortiguado. Este nombre no ´ ctamente es correcto, ya que por definici´ on periodo es el lapso de tiempo en el cual se repite exa un movimiento; sin embargo debido a que el denominativo adjudicado es de uso estandarizado en
62
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
toda la literatura referida a las vibraciones mec´anicas, lo mantendremos durante todo nuestro estudio posterior. De la ecuaci´ on (3.35) se deduce que la frecuencia circular amortiguada se calcula por: ωa =
2π Ta
(3.36)
o por la Ecuaci´ on (3.31) que re–escribimos aqu´ı, ωa = ω
p
1 − β2
De acuerdo con esta u ´ltima relaci´ on, se deduce que para un sistema amortiguado se deber´a cumplir: ωa < ω La frecuencia natural amortiguada, o sea el n´ umero de oscilaciones completas de amplitud decreciente efectuadas en la unidad de tiempo, es por lo tanto: fa =
1 Ta
(3.37)
Las Ecuaciones (3.36) y (3.37) tienen las mismas observaciones con respecto a su denominativo, que las efectuadas para el periodo natural amortiguado; pero, como y´a lo indicamos haremos caso omiso de este min´ usculo detalle. Como observaci´ on adicional se puede acotar que para el movimiento sobre–amortiguado (β > 1), la Ecuaci´ on (3.31) se hace imaginaria; reafirmando el hecho de que esta clase de movimiento no es del tipo vibratorio !. Cuando imponemos condiciones iniciales al movimiento libre sub–amortiguado, suponiendo que estas se establecen en un instante inicial gen´erico de observaci´on, como: x(t0 ) = x0 ,
x(t ˙ 0 ) = x˙ 0
podemos evaluar las constantes A y B en la Ecuaci´on (3.32). Procediendo as´ı, Usted podr´a demostrar que la soluci´ on puede presentarse en la forma siguiente: x˙ 0 + βωx0 x(t) = e−βω(t−t0 ) sin ωa (t − t0 ) + x0 cos ωa (t − t0 ) (3.38) ωa que representa la respuesta libre de un sistema amortiguado con condiciones iniciales de movimiento definidas al tiempo t = t0 . La soluci´ on obtenida para el movimiento libre amortiguado, expresada por la Ecuaci´on (3.38), puede ser tambi´en presentada en su forma amplitud–fase. Para ello, definamos las relaciones siguientes: s 2 x˙ 0 + βωx0 (x˙ 0 + βωx0 )/ωa 2 A = x0 + , ϕ = arctan ωa x0 x˙ 0 + βωx0 = A sin ϕ ωa Haciendo uso de estas ecuaciones, la respuesta resulta: s 2 x˙ 0 + βωx0 x˙ 0 + βωx0 −βω(t−t0 ) 2 x(t) = x0 + e cos ωa (t − t0 ) − arctan ωa ωa x0 x0 = A cos ϕ ,
(3.39)
Resulta claro que debido a la presencia del t´ermino exponencial, las oscilaciones libres en un sistema amortiguado desaparecen con el tiempo y normalmente no se consideran en el c´alculo de la respuesta cuando el sistema es forzado a vibrar mediante aplicaci´on de una exitaci´on externa; sin embargo, la Ecuaci´ on (3.38) [o su equivalente (3.39)] es de suma utilidad para evaluar el amortiguamiento presente en el sistema en forma experimental.
3.5. MOVIMIENTO AMORTIGUADO
63
C´ alculo de la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico Si un sistema es analizado durante su vibraci´ on libre, es posible evaluar la cantidad de amortiguamiento presente mediante una medici´on f´ısica de su respuesta. Consideremos para tal efecto la Ecuaci´on (3.34). Si x0 es la amplitud de movimiento al tiempo t0 = 0, y xn es la amplitud de respuesta al tiempo t0 = nTa ; entonces de la Ecuaci´on (3.34) obtenemos: x(nTa ) = xn = x0 e−βωnTa cos ωa (nTa ) = x0 e−βωnTa De aqu´ı,
2πnβ −√ xn = e−βωnTa = e 1−β2 x0
(3.40)
o lo que es lo mismo:
y, tomando logaritmos:
2πnβ √ x0 = e 1−β2 xn x0 2πnβ ln =p xn 1 − β2
Si consideramos dos amplitudes consecutivas, de la Ecuaci´on (3.41) se deduce: xn 2πβ dl = ln = ln xn − ln xn+1 = p xn+1 1 − β2
(3.41)
(3.42)
La ecuaci´ on anterior define una caracter´ıstica muy importante, denominada decremento logar´ıtmico, la cual se define como la diferencia de los logaritmos naturales de dos amplitudes consecutivas. En movimiento libre amortiguado, la soluci´on de la ecuaci´on diferencial gobernante del fen´ omeno vibratorio es el desplazamiento, que resulta ser una funci´on arm´onica exponencialmente decreciente como lo indica la Ecuaci´ on (3.39). Es posible demostrar que la velocidad y aceleraci´on son proporcionales al desplazamiento en cualquier instante de tiempo, por lo que la relaci´on de proporci´ on de amplitudes de estas variables cinem´ aticas (la velocidad y la aceleraci´on) resulta id´entica a la proporci´ on de amplitudes del desplazamiento; o sea que: vn an 2πβ dl = ln = ln =p (3.42a) vn+1 an+1 1 − β2 En general mediante mediciones experimentales se puede determinar el decremento logar´ıtmico, y luego efectuar una estimaci´ on de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico empleando la Ecuaci´on (3.42) evaluada de forma inversa; o sea: dl β=√ (3.43) 4π 2 + dl2 En particular, si consideramos un valor peque˜ no de fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico (β → 0), se cumplir´ a: p 1 − β2 ∼ =1 Por lo tanto, tomando en consideraci´on la Ecuaci´on (3.42), tendremos: dl ∼ = 2πβ
(3.44)
Habi´endose medido el decremento logaritmico, resulta elemental la estimaci´on de la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico. Por tanto, de la ecuaci´on anterior resulta: dl 1 xn β= = ln (3.45) 2π 2π xn+1 Si β no es de magnitud despreciable, la Ecuaci´on (3.42) a´ un es aplicable con la dificultad de que este valor param´etrico estar´ a dado como la soluci´on de una ecuaci´on algebr´aica de segundo grado. Sin
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
64
embargo, en la mayor´ıa de las aplicaciones, valores de fraccci´on de amortiguamiento cr´ıtico β como 0,25 (25 % de amortiguamiento) son todav´ıa despreciables en primera aproximaci´on. Para tener una idea ex´ acta de la correspondencia entre el decremento logar´ıtmico y la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico, en la Figura 3.15 mostramos la apariencia gr´afica de las Ecuaciones (3.42) y (3.44) para comparaci´ on y verificaci´ on de la aseveraci´on establecida en el p´arrafo anterior. DL 10
8
DL 2 2 DL = 2 1_
6
4
2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Figura 3.15: Gr´ afica dl vs β (aproximada y exacta) Si no se desea aplicar logaritmos naturales, y considerando valores de β peque˜ nos, es posible el c´ alculo de la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico a partir de la Ecuaci´on (3.40) recurriendo al desarrollo en serie de McLaurin de la funci´ on exponencial como sigue: xn 2πnβ =1− p + · · · (t´erminos despreciables) x0 1 − β2 De esta ecuaci´ on obtenemos:
2 π n β ∼ x0 − xn p = x0 1 − β2
(3.46)
Si consideramos la amplitud de movimiento en dos ciclos consecutivos, tendremos por inferencia: 2πβ xn − xn+1 =p xn 1 − β2 Ahora, considerando la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico de peque˜ na magnitud (β 1) xn − xn+1 ∆x 2πβ ∼ = = xn xn β=
1 ∆x 2 π xn
(3.47)
En raz´ on de que la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico define la cantidad de amortiguamiento presente en el sistema, su valor se halla tabulado para directa aplicaci´on; sin embargo, su rango de variaci´ on es amplio y no se conocen valores definitivos para ´este par´ametro.
3.5. MOVIMIENTO AMORTIGUADO
65
Ejemplo 3.11. La estructura tipo p´ortico del Ejemplo 3.5 es sometida a un ensayo para evaluar los par´ ametros din´ amicos de amortiguamiento. Durante el ensayo se determin´o que la amplitud del desplazamiento decae de 1 cm a 0,8 cm en 10 ciclos de movimiento. Determinar: (a) la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico; (b) el coeficiente de amortiguamiento; y (c) el n´ umero de ciclos necesario para que la amplitud del movimiento se reduzca al 10 % del valor inicial. > Soluci´ on (a) Sabiendo que la amplitud del desplazamiento pasa de 1 cm a 0,8 cm despu´es de 10 ciclos de movimiento, y considerando la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico de magnitud peque˜ na (β 1); a partir de la Ecuaci´ on (3.41) obtenemos: 2πnβ ∼ x0 =p ln = 2πnβ xn 1 − β2 De aqu´ı,
β=
1 ln 2πn
x0 xn
1 ln 2 π 10
= %β
= 0, 36
1 0, 8
= 0, 0036
%
Para comprobar, podr´ıamos evaluar la Ecuaci´on (3.46) 2πnβ ∼ x0 − xn p = 2πnβ = x0 1 − β2 por tanto,
β=
1 (x0 − xn ) 1 (1 − 0, 8) = 0, 0032 = 2πn x0 2 π 10 1
Los valores hallados casi coinciden; no obstante, el valor dado por la Ecuaci´on (3.41) aproximada se puede considerar m´ as exacto de acuerdo a las simplificaciones realizadas para deducir las f´ormulas correspondientes. (b) El coeficiente de amortiguamiento se determina por aplicaci´on de la Ecuaci´on (3.29), β=
c c = cc 2mω
Del Ejemplo 3.5 obtenemos el valor de la masa: m = 18, 35 Kg-seg2 /cm, y la frecuencia natural circular: ω = 9, 86 rad/seg. Con estos datos, c = 2 m ω β = 2(18, 35)(9, 86)(0, 0036) = 1, 3 Kg-seg/cm (c) El n´ umero de ciclos necesario para que la amplitud de movimiento se reduzca al 10 % de su valor inicial, se determina nuevamente por aplicaci´on de la Ecuaci´on (3.41); x0 2πnβ ln =p , xn = x0 /10 xn 1 − β2 Por tanto:
p n=
1 − β2 ln 2πβ
x0 x0 /10
p
=
1 − 0, 00362 ln 10 = 102 ciclos 2 π 0, 0036
>
nota: El valor de fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico encontrado en el ejemplo anterior: β = 0, 36 %, es t´ıpico de las estructuras met´ alicas con uniones soldadas.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
66
3.5.2.
Forma est´ andar de la ecuaci´ on de movimiento
Utilizando los par´ ametros definidos en este cap´ıtulo es posible escribir la ecuaci´on de movimiento de una manera particular a la que com´ unmente se la denomina forma est´ andar. Para tal efecto, consideremos nuevamente el movimiento de un sistema general modelado con un solo grado de libertad, que fu´e establecida mediante la Ecuaci´ on (3.2). mx ¨ + c x˙ + k x = P (t) Los par´ ametros de esta ecuaci´ on correspondiente al modelo, son los valores equivalentes del prototipo obtenidos mediante el proceso de modelado. Dividiendo entre la masa resulta: x ¨+
k P (t) c x˙ + x= m m m
pero; recordemos que: c/m = 2 β ω , k/m = ω 2 , y denotemos: P˜ (t) = P (t)/m como la carga espec´ıfica externa (medida por unidad de masa) aplicada al sistema. Con estas ecuaciones, la ecuaci´on de movimiento modificada resulta: x ¨ + 2 β ω x˙ + ω 2 x = P˜ (t) (3.48) Esta es la forma est´ andar de la ecuaci´on de movimiento, la cual ser´a utilizada con frecuencia a partir de esta secci´ on. Si empleamos la Ecuaci´ on (3.48) para estudiar el movimiento libre amortiguado (P (t) = 0), la ecuaci´ on gobernante en este caso resulta: x ¨ + 2 β ω x˙ + ω 2 x = 0 sujeta a condiciones iniciales de movimiento. La ecuaci´on caracter´ıstica asociada es por tanto: r2 + 2 β ω r + ω2 = 0 cuyas ra´ıces se determinan por la f´ ormula conocida, p p √ r1,2 = −β ω ± β 2 ω 2 − ω 2 = ω −β ± β 2 − 1 = ω −β ± D donde en este caso el discriminante de la ecuaci´on caracter´ıstica resulta ser: D = β 2 − 1. Sabemos que la soluci´ on general viene determinada por: x(t) = Aer1 t + B er2 t donde A y B son constantes especificadas por las condiciones iniciales de movimiento, y cuya forma final est´ a determinada por la naturaleza del discriminante. El movimiento podr´a ser: ( √ r1 = ω(−β + D) √ sobre–amortiguado — D > 0 , β > 1 ⇒ r2 = ω(−β − D) cr´ıtico–amortiguado sub–amortiguado
— D = 0,
β=1
⇒
D < 0,
β<1
⇒
—
r1 = r2 = −β ω ( √ r1 = ω(−β + i D) √ r2 = ω(−β − i D)
Si Usted contin´ ua con este desarrollo para los tres casos y´a analizados a fin de obtener una soluci´on desarrollada expl´ıcita que involucre condiciones iniciales conocidas, comprobar´a que se obtienen las mismas ecuaciones que anteriormente obtuvimos.
3.5. MOVIMIENTO AMORTIGUADO
67
Ejemplo 3.12. La barra esbelta del Ejemplo 3.1 mostrada en la Figura 3.16(b) tiene un peso de 30 kg y una longitud de 2 m. Una fuerza de 60 Kg es aplicada est´aticamente a misma en P y luego retirada. Las oscilaciones subsiguientes de P son monitoreadas y un osciloscopio suministra la gr´ afica de datos de aceleraci´ on mostrada en la Figura 3.16(a) donde la escala de tiempo est´a calibrada, pero la escala de aceleraci´ on no lo est´ a. Use los datos para hallar el coeficiente de rigidez k y el coeficiente de amortiguamiento c. Tambi´en calibre la escala de aceleraci´on.
Aceleración a(t) – Escala no calibrada
3 2
a0,15
1 0 -1 -2 Ta -3 -4
0
0,05
0,2
0,15
0,1
0,25
Tiempo (seg) (a) Datos en osciloscopio
F0
c? o
Q L/4
m
3L/4
F0
P
u
L/2
o L/4
k?
u est +u0
L/4
Ro
(b) Posici´ on inicial del sistema
mg
k( u est +u0 )
(c) Configuraci´ on est´ atica
Figura 3.16: Barra en movimiento vibratorio libre amortiguado > Soluci´ on En el Ejemplo 3.1 determinamos la ecuaci´on gobernante del movimiento oscilatorio (en vibraci´on libre) del sistema amortiguado que aqu´ı tratamos: 7m c u ¨ + u˙ + 3 k u = 0 9 3 Dividiendo entre el coeficiente de la derivada de orden mayor, podemos poner la ecuaci´on de movimiento en su forma est´ andar, as´ı tendr´ıamos: u ¨+ de donde resulta,
3c 27 k u˙ + u=0 7m 7m
3c , 7m por comparaci´ on con la ecuaci´ on est´andar gen´erica: 2β ω =
ω2 =
27 k 7m
u ¨ + 2 β ω u˙ + ω 2 u = 0
(κ)
(?)
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
68
Las condiciones iniciales de movimiento en este caso ser´ıan: u(0) = u0 6= 0 ,
u(0) ˙ = u˙ 0 = 0
por lo que la soluci´ on general del movimiento oscilatorio libre, de acuerdo con la Ecuaci´on (3.39) es: s 2 u˙ 0 + βωu0 u˙ 0 + βωu0 t0 ) e−βω(t− cos ωa (t − t0 ) − arctan u(t) = u20 + ωa ωa u0 p Recordando que: ωa = ω 1 − β 2 , la anterior ecuaci´on se simplifica a: u0 β −βωt √ e cos ωa t − arctan u(t) = √ 2 2 1−β
1−β
De esta ecuaci´ on, se demuestra que la aceleraci´on instant´anea resulta: u0 −βωt √ β 2 = ω 2 (2β 2 − 1) u(t) e cos a(t) = u ¨(t) = ω 2 (2β 2 − 1) √ ω t − arctan a 2 1−β
1−β
()
es decir, que la aceleraci´ on es proporcional al desplazamiento en cualquier instante de tiempo. El periodo natural amortiguado, o tiempo transcurrido entre dos “picos” consecutivos en la respuesta, est´ a determinado por lectura de los datos proporcionados en la pantalla del osciloscopio. De la Figura 3.16(a) obtenemos: Ta = 0, 1 seg
⇒
ωa =
2π 2π = 62, 83 rad/seg = Ta 0, 1
es el valor de la frecuencia natural circular amortiguada. Sabemos que el decremento logar´ıtmico es la diferencia de los logaritmos naturales de dos amplitudes consecutivas; es decir, un dl = ln un − ln un+1 = ln un+1 donde: un = u(t) = u(nTa ) , un+1 = u(t) = u (n + 1)Ta t=nTa
t=(n+1)Ta
Por la proporcionalidad hallada entre aceleraci´on y desplazamiento en cualquier instante, podemos tambi´en definir: 2 ω (2β 2 − 1)un an un = ln = ln dl = ln un+1 ω 2 (2β 2 − 1)un+1 an+1 O sea, que el decremento logar´ıtmico estar´a tambi´en medido de forma equivalente por la diferencia de dos amplitudes consecutivas en la aceleraci´on de movimiento. En la Figura 3.16(a) podemos medir dicha discrepancia tomando las primeras dos amplitudes, entonces: an a(0) 3 dl = ln = ln = ln = 0, 405 an+1 a(0, 1) 2 Ahora, podemos realizar la estimaci´ on de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico empleando la Ecuaci´ on (3.43) dl 0, 405 β=√ =p = 0, 0643 = 6, 43 % 2 2 2 4π + dl 4π + 0, 4052 Y, tambi´en podemos comprobar el resultado obtenido utilizando la Ecuaci´on (3.44) dl ∼ = 2πβ
⇒
dl 0, 405 β∼ = = 0, 0644 = 2π 2π
3.5. MOVIMIENTO AMORTIGUADO
69
que nos indica que la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico es de un valor reducido (β 20 %) !. La frecuencia natural circular no–amortiguada puede ser ahora obtenida en base a la siguiente relaci´ on: p ωa 62, 83 ⇒ ω=p =p = 62, 96 rad/seg ωa = ω 1 − β 2 2 1−β 1 − 0, 06432 La masa de la barra se calcula a partir del peso propio de la misma, W = mg
⇒
m=
W 60 = = 0, 0612 Kg-seg2 /cm g 981
valor que permite calcular los par´ ametros din´amicos del modelo de an´alisis del movimiento vibratorio. De las Ecuaciones (κ); 2βω =
3c 7m
⇒
c=
14 14 mβω = 0, 0612 (0, 0643) 62, 96 = 1, 156 Kg-seg/cm 3 3
27k 7mω 2 7(0, 0612)62, 962 ⇒ k= = = 62, 89 Kg/cm 7m 27 27 El an´ alisis est´ atico de la configuraci´on del sistema mientras act´ ua la carga externa provee el desplazamiento inicial x0 medido desde el equilibrio. En la Figura 3.16(c) mostramos el diagrama de cuerpo libre de la barra cuando es aplicada la fuerza inicial. Sumando momentos respecto al eje de articulaci´ on, tenemos: P 3L L Mo = [k(uest + u0 ) − F0 ] − mg = 0 4 4 Simplificando, 3 k u + 3 k u − 3F − m g = 0 ω2 =
est
0
0
En la condici´ on de equilibrio est´ atico del sistema, previo al instante de aplicaci´on de la fuerza, es evidente que las condiciones son: F0 = 0 y u0 = 0, por lo que: P
Mo = 3 k uest − m g = 0
⇒
3 k uest = m g
Remplazando esta relaci´ on en la anterior ecuaci´on, se eliminan t´erminos asociados con la configuraci´ on de equilibrio y por tanto: 3 k u0 − 3F0 = 0
⇒
u0 =
60 F0 = = 0, 954 cm k 62, 89
es el desplazamiento inicial del sistema (recuerde que la velocidad inicial es nula). La aceleraci´ on inicial a(0) = a0 la podemos determinar de la Ecuaci´on (?), es decir de la ecuaci´ on de movimiento al ser evaluada en el instante inicial t = 0, 2 a0 = a(0) = −2 β ω u(0) ˙ − ω 2 u(0) = − ω 2 u0 = − 62, 962 (0, 954) = − 3781, 62 cm/seg
Podemos verificar este resultado por aplicaci´on de la Ecuaci´on (), 2
a0 = ω 2 (2 β 2 − 1) u0 = 62, 962 [2 (0, 0643)2 − 1 ]0, 954 = − 3750, 35 cm/seg
La discrepancia de estos dos u ´ltimos resultados es atribu´ıble al manejo de un limitado n´ umero de cifras significativas en el c´ alculo num´erico. Aceptaremos como valor m´as confiable aquel que proporciona la soluci´ on de la ecuaci´ on de movimiento. La escala de aceleraciones de la gr´afica de datos de aceleraci´on mostrada en la Figura 3.16(a) puede ser calibrada por una simple relaci´ on de proporciones, 2
1 [u]a =
3750, 35 cm/seg 3
⇒
2
1 [u]a = 1250, 16 cm/seg
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
70
Entonces, por ejemplo tendr´ıamos que: 2
1250, 16 cm/seg 2 = 2187, 78 cm/seg a(0, 15 seg) = a0,15 = 1, 75 [u] a 1 [u]a ser´ıa la verdadera aceleraci´ on del punto P a los 0,15 seg de haberse iniciado el movimiento.
>
El anterior ejemplo mostr´ o la aplicaci´ on de los diversos conceptos desarrollados hasta esta secci´on, y el mismo tiene el m´erito de exponer una metodolog´ıa b´asica de evaluaci´on de diversos par´ametros de respuesta din´ amica en base a datos de medici´on experimental.
3.6.
Movimiento forzado amortiguado
La presencia de una exitaci´ on en el movimiento, permite que ´este se sostenga debido a la energ´ıa proporcionada por la carga externa aplicada. Su efecto se eval´ ua en una forma similar que para el caso de un sistema con modelo sin amortiguamiento. En una correspondencia totalmente an´ aloga es posible llegar a la soluci´on del problema aplicando los recursos que proporciona la teor´ıa de ecuaciones diferenciales, como tambi´en el m´etodo alternativo mediante la superposici´ on de impulsos. Para encontrar la soluci´on emplearemos la segunda opci´on, dejando como tarea de ejercicio al estudiante la obtenci´on de la funci´on de Green correspondiente al aplicar la teor´ıa cl´ asica de las ecuaciones diferenciales.
3.6.1.
Respuesta mediante razonamiento f´ısico
Sea un sistema, el cual tenga detetrminadas condiciones iniciales al tiempo inicial de observaci´on t0 . Sup´ ongase la aplicaci´ on de un impulso al tiempo τ (v´ease la Figura 3.10). El efecto del impulso aplicado, como en el caso y´ a tratado, es proporcionar un cambio en la velocidad del sistema sin que se altere el desplazamiento en forma apreciable (se demostr´o que ´este es un infinit´esimo de segundo orden); entonces, como en el caso de vibraci´on no–amortiguada: ∆x = 0 ,
F (τ )∆τ = m∆x˙
⇒
∆x˙ =
F (τ )∆τ m
Considerando estas relaciones como condiciones iniciales, el desplazamiento posterior del sistema se calcula utilizando la Ecuaci´ on (3.38); por tanto: ∆xp (t) = e−βω(t−τ )
∆x˙ P (τ )∆τ sin ωa (t − τ ) = e−βω(t−τ ) sin ωa (t − τ ) ωa mωa
En el l´ımite cuando ∆τ → 0, esta ecuaci´ on se convierte en: dxp (t) = e−βω(t−τ )
P (τ ) sin ωa (t − τ ) dτ mωa
El desplazamiento total se calcula a partir de esta ecuaci´on, integr´andola desde el instante inicial de observaci´ on t0 hasta el instante gen´erico de inter´es t; para as´ı superponer el efecto de todos los impulsos elementales proporcionados al sistema por la carga externa aplicada al mismo. Luego, Z t 1 e−βω(t−τ ) P (τ ) sin ωa (t − τ ) dτ xp (t) = t>τ (3.49) m ωa t0 La soluci´ on obtenida descrita por la Ecuaci´on (3.49) es completamente general, y es aplicable a todos los sistemas vibratorios de comportamiento din´amico lineal.
3.6. MOVIMIENTO FORZADO AMORTIGUADO
71
Recordando que la soluci´ on total de una ecuaci´on diferencial es la superposici´on de la soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea asociada (en vibraci´on libre) y la respuesta debida a la exitaci´on extena aplicada (denominada tambi´en soluci´on forzada); podemos ahora escribir la soluci´on completa para el movimiento del sistema, del modo aqu´ı mostrado: x˙ 0 + βωx0 −βω(t−t0 ) sin ωa (t − t0 ) + x0 cos ωa (t − t0 ) x(t) = e ωa (3.50) Z t 1 −βω(t−τ ) e P (τ ) sin ωa (t − τ ) dτ t>τ + m ωa t0 donde x(t0 ) = x0 y x(t ˙ 0 ) = x˙ 0 son la posici´on y velocidad iniciales, respectivamente. En la pr´ actica, sin embargo, las oscilaciones libres desaparecen con el tiempo (debido al amortiguamiento presente) y la soluci´ on efectiva estar´a dada solamente por el t´ermino integral de la Ecuaci´ on (3.50) que involucra a la exitaci´on externa aplicada al sistema. Ejemplo 3.13. Considerando el valor de fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico hallado en el Ejemplo 3.11, resuelva nuevamente el problema planteado en el Ejemplo 3.8 consistente en hallar la respuesta forzada de una estructura tipo p´ ortico sujeta a una exitaci´on de clase escal´on con los mismos datos establecidos; pero ahora considere la existencia de amortiguamiento en el sistema. Nuevamente suponga que la estructura inicia su movimiento desde una condici´on de reposo. > Soluci´ on En el Ejemplo 3.8 se especificaron los siguientes valores: Amplitud de carga P0 = 2000 Kg, Tiempo de duraci´ on td = 0, 5 seg. En el Ejemplo 3.5 tambi´en se estableci´o la Frecuencia natural circular ω = 9, 86 rad/seg. Y finalmente, en el Ejemplo 3.11 se determin´o como valor de la Fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico β = 0, 36 %. Suponiendo que el tiempo inicial de observaci´on corresponde a t0 = 0, las condiciones iniciales de movimiento ser´ıan: x(t0 = 0) = x(0) = x0 = 0 ,
x(t ˙ 0 = 0) = x(0) ˙ = x˙ 0 = 0
Como lo hicimos en el Ejemplo 3.8, debemos considerar dos intervalos de tiempo para el an´ alisis de movimiento del sistema: (a) movimiento forzado amortiguado: x ¨ + 2βω x˙ + ω 2 x = P˜ (t) ,
P0 P˜ (t) = m
ci de mov: x(0) = x0 = 0 ,
0 < t < td
x(0) ˙ = x˙ 0 = 0
(b) movimiento libre amortiguado x ¨ + 2βω x˙ + ω 2 x = 0 ci de mov: x(td ) = xtd ,
t > td x(t ˙ d ) = x˙ td
En el primer intervalo de tiempo: 0 < t < td , la respuesta del sistema est´a determinada por la Ecuaci´ on (3.50). x˙ 0 + βω x 0 −βω(t−t0 ) x(t) = e sin ωa (t − t0 ) + x 0 cos ωa (t − t0 ) ωa Z t 1 + e−βω(t−τ ) P (τ ) sin ωa (t − τ ) dτ m ωa t0
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
72
P0 x(t) = m ωa
Z
t
e−βω(t−τ ) sin ωa (t − τ ) dτ
0
Integrando, como se puede comprobar, se obtiene: βω P0 −βωt (cos ω t + x(t) = 1 − e sin ω t) a a mω 2 ωa Pero, ω 2 = k/m ⇒ mω 2 = k y adem´ as P0 /k = xest , donde este par´ametro tiene el mismo significado que para el caso de oscilaci´ on no–amortiguada. As´ı, la respuesta del sistema en este intervalo de tiempo estar´ a determinada por: βω −βωt (cos ωa t + sin ωa t) 0 < t < td (a) x(t) = xest 1 − e ωa fdc(t, β, ω) =
x(t) βω = 1 − e−βωt (cos ωa t + sin ωa t) xest ωa
(a -1)
Para el segundo intervalo de tiempo: t > td , la respuesta del sistema est´a determinada por la Ecuaci´ on (3.38). x˙ td + βωxtd −βω(t−td ) x(t) = e sin ωa (t − td ) + xtd cos ωa (t − td ) (b) ωa donde xtd = x(td ) y x˙ td = x(t ˙ d ) se determinan en el instante final del primer intervalo de tiempo, por medio de la Ecuaci´ on (a). κ˙ td + βωκtd x(t) = e−βω(t−td ) sin ωa (t − td ) + κtd cos ωa (t − td ) (b -1) fdc(t, β, ω, td ) = xest ωa 2 2 donde: βω β ω κtd = 1 − e−βωtd cos ωa td + sin ωa td , + ωa e−βωtd sin ωa td κ˙ td = ωa ωa En raz´ on de que para el dise˜ no estaremos interesados en el valor m´aximo del factor din´amico de carga (fdcm´ax ); ´este se hallar´ a en general graficando la respuesta o resolviendo la ecuaci´on trascendente que da lugar el igualar la primera derivada temporal del fdc a cero para encontrar el instante de tiempo al cual ocurre el valor fdcm´ax . Sin embargo, para este caso se puede suponer que el m´aximo ocurre durante el primer intervalo de tiempo para ωa t = π (por qu´e ?); entonces obtenemos remplazando en la Ecuaci´on (a -1): √ 2 fdcm´ax = 1 + e−βωπ/ωa = 1 + e−βπ/ 1−β √ 2 Introduciendo datos, fdcm´ax = 1 + e−0,0036π/ 1−0,0036 = 1, 989 valor que indica que el primer m´ aximo no es afectado substancialmente por la presencia del amortiguamiento. En consecuencia, se puede suponer un valor igual a 2 como cota m´axima del fdc. > En el Ejemplo 3.8 se resolvi´ o el problema que trata el ejemplo anterior, sin considerar amortiguamiento en el sistema. Para el mismo intervalo de tiempo obtuvimos para el fdc la expresi´on fdc(t, ω) = 1 − cos ωt
0 < t < td
Pero, recordemos que la amplitud de la funci´on cos ωt var´ıa en el intervalo −1 6 cos ωt 6 1; por tanto, tomando el l´ımite inferior: fdcm´ax = 1 − (−1) = 2
3.7. CONCLUSIONES
73
que nos indica que cualquier variable de respuesta de tipo est´atico, en el sistema no–amortiguado, calculada con la amplitud de la carga aplicada; se duplicar´a en magnitud durante la condici´on din´ amica de vibraci´ on de la estructura. Esta misma conclusi´on fu´e la que determinamos en base a los resultados hallados para el sistema amortiguado en el Ejemplo 3.13 que reci´en resolvimos. Entonces, para los datos utilizados en el an´ alisis de comportamiento de esta estructura tipo p´ortico, el amortiguamiento no tiene ning´ un efecto en la magnitud m´axima de las diversas variables asociadas con la respuesta din´ amica.
3.7.
Conclusiones
En este cap´ıtulo se han obtenido expresiones totalmente generales para los diferentes tipos de movimiento de sistemas modelados con un solo grado de libertad. Se establecieron definiciones de los par´ ametros fundamentales de la respuesta din´amica de sistemas sin amortiguamiento y tambi´en amortiguados. La respuesta en vibraci´ on forzada de los sistemas vibratorios de un solo grado de libertad se obtuvo en aspecto gen´erico en t´erminos de integrales convolutivas que incorporan la funci´on de Green, las mismas que son muy frecuentemente dif´ıciles de evaluar a´ un para funciones de exitaci´on sencillas. Sin embargo, siempre queda el recurso de su c´alculo mediante m´etodos num´ericos; siendo que este tipo de aproximaci´ on ser´ a discutido posteriormente con alg´ un detalle en raz´on de su importancia pr´ actica y el creciente acceso que se tiene a los m´etodos de c´alculo autom´atico mediante computador. La tem´ atica referida a la respuesta din´amica m´axima presentada por el modelo a la aplicaci´ on de diversos tipos de exitaciones externas, evaluada mediante el c´alculo del factor din´amico de carga m´ aximo, ser´ a discutida con relativo mayor detalle en los pr´oximos cap´ıtulos.
Problemas propuestos 3.1. E, I, m
M
x
L
3.2.
Para medir el momento de inercia polar centroidal J (referido a un eje perpendicular al dibujo que pase por el cm) de una rueda de autom´ovil – neum´ atico y aro – se lo cuelga de un apoyo y se mide el periodo natural no–amortiguado de sus oscilaciones. Determinar una f´ormula que permita medir este par´ ametro. Los datos necesarios se dan en el esquema.
m CM
r
T
3.3. L/2
L/2
k
P(t)
m
M(t) 2k
Un eje empotrado en ambos extremos sostiene una masa concentrada a la mitad de su longitud, como se muestra en la Figura adjunta. Calcular la frecuencia natural circular de este sistema donde se escoge el desplazamiento vertical de la masa concentrada como grado de libertad relevante, y considerando como datos a todas las variables mostradas en el esquema.
Asumiendo amplitud de desplazamiento angular peque˜ na y utilizando la rotaci´on como coordenada generalizada, hallar la ecuaci´on diferencial gobernante de la oscilaci´on del sistema mostrado en la Figura. Hallar tambi´en el periodo natural de vibraci´on. Considere datos a todas las variables indicadas.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
74
3.4.
En un tubo manom´etrico en U cuyo di´ametro interno es d = 6 mm, se vac´ıa mercurio de peso espec´ıfico s relativo s = 13,6; de modo que en condici´on est´atica p en las ramas verticales este l´ıquido alcance una altura x h = 60 cm. En uno de los extremos se instala un h tap´on y el aire atrapado en su interior incrementa su presi´on hasta llegar al valor: p = 1, 08 Kg/cm2 . Si en un instante determinado s´ ubitamente se retira el tap´ on, determinar: (a) El desplazamiento instant´aneo x(t) de la interfase mercurio–aire, con respecto al nivel en condici´ on de equilibrio (b) El periodo natural de las oscilaciones. (c) La velocidad y aceleraci´ on m´ aximas del mercurio durante el movimiento oscilatorio producido. d
3.5.
El p´endulo invertido es un modelo simple que es usado en estudios de estabilidad de sistemas de naturaleza inestable como un cohete. Considere que el p´endulo consta de una masa concentrada m conectada a una varilla r´ıgida sin peso de longitud L, la cual est´a articulada en uno de sus extremos y restringida en su movimiento angular por un resorte torsional cuyo coeficiente de rigidez es kt , como muestra la Figura. (a) Determinar la ecuaci´on gobernante del movimiento oscilatorio. (b) Obtener una expresi´on para la frecuencia natural circular de las peque˜ nas oscilaciones alrededor de la posici´on vertical de equilibrio. (c) Bajo que condiciones dichas oscilaciones no ser´an posibles ? (es decir, el sistema se hace inestable).
m
L o
kt
3.6. P( t ) L
L
B
m
A
2k
k L/2
L/2
D
C
c
En el sistema mostrado en la Figura, considere la barra r´ıgida a–b de masa despreciable y la barra r´ıgida homog´enea c–d de masa conocida. Determinar la ecuaci´on diferencial gobernante de su comportamiento din´amico, y calcular la frecuencia amortiguada de vibraci´on. Los datos necesarios se indican en el esquema.
3.7. Una viga de acero comercial (perfil 18WF50) simplemente apoyada en sus extremos, tiene m´odu¯ = 40 Kg/m, lo de elasticidad E = 2×106 Kg/cm2 , longitud L = 3 m, peso propio longitudinal w y momento de inercia centroidal I = 10 cm4 ; soporta una carga r´ıgidamente conectada a la mitad de su longitud. Concentrar la mitad de la masa a la mitad del tramo y una cuarta parte de la misma en cada apoyo. Determinar el desplazamiento y velocidad din´amicos m´aximos de la mitad de la viga para t = 12 seg, si la carga de magnitud P0 = 500 Kg es: (a) – S´ ubitamente removida al instante t = 2 seg. (b) – S´ ubitamente aplicada al instante t = 2 seg. En cada uno de los casos anteriores, asumir que la viga est´a en condici´on de reposo antes de la remoci´ on o aplicaci´ on de la carga. Considere nuevamente la viga, pero ahora suponga que est´a empotrada en un extremo y la carga se aplica en el otro extremo. Repita los c´alculos efectuados anteriormente, con los mismos datos num´ericos, e indique en que configuraci´on la vibraci´on y sus efectos resultan ser m´as peligrosos (para viga simplemente apoyada, o para viga en voladizo).
Problemas propuestos
3.8.
75
Considere el esquema mostrado en la Figura, el cual representa a un sistema no–amortiguado y forzado, P( t ) m modelado con un solo grado de libertad. A este sistema se le aplican las cargas descritas en las Figuras mostradas en la parte inferior. Deducir las f´ormulas mostradas que eval´ uan el factor din´ amico de carga – fdc – que se indican al pie de estas gr´aficas. x( t )
k
P( t )
P( t )
- t
P( t ) = P0 e
P( t ) = Po 2 t2
t
t
2 cos ωt 2 fdc(t, ω, Ω) = Ω2 t2 + − ω2 ω2
fdc(t, ω, α) =
ω2
ω2 α sin ωt (e−αt −cos ωt+ ) + α2 ω
nota: Suponer que el sistema se encuentra en reposo absoluto al instante inicial: t0 = 0. 3.9.
Considere el nuevamente el modelo mostrado en el Ejemplo 3.8, correspondiente a un sistema forzado no–amortiguado. Demostrar que si a este sistema se le aplica la carga mostrada en la Figura adjunta, el factor din´amico de carga m´aximo viene determinado por: Ω fdcm´ax = [ ω(n − 1)π − sin ω(n − 1)π ] ω donde: n = 1, 2, . . . es valor param´etrico discreto.
P( t )
P( t ) = Po t
t
3.10.
Pk
k
P( t )
E, I, m
M u( t )
c L/2
L/2
3.11.
y( t ) Pk
k
c
m x( t )
Para el sistema mostrado en la Figura, determinar la ecuaci´on gobernante de la din´amica de movimiento oscilatorio considerando el desplazamiento vertical del extremo derecho de la viga como grado de libertad. Calcule el periodo natural amortiguado y el decremento logar´ıtmico. Considere datos a todas las variables indicadas en el esquema mostrado. Un sistema puede ser exitado externamente tambi´en mediante un movimiento de apoyo. La figura adjunta muestra el modelo de an´alisis, donde y(t) describe funcionalmente el movimento que posee el apoyo. Suponga condiciones iniciales de movimiento nulas: x(0) = x(0) ˙ = 0, y que el soporte del sistema se mueve de acuerdo a: y(t) = y0 e−Ω t , donde y0 , Ω (ctes). Hallar la respuesta x(t) del sistema.
3.12. En el Problema 3.8, suponga que se considere el amortiguamiento, estim´andose una fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico β = 8 % para el mismo. Determinar el periodo natural amortiguado.
CAP´ITULO 3. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
76
Tambi´en determinar la amplitud de movimiento despu´es de 100 ciclos de oscilaci´on. 3.13. Considere el modelo de un sistema amortiguado en vibraci´on libre. Si E = E(t) denota la energ´ıa mec´ anica total (energ´ıa cin´etica + energ´ıa potencial) en cualquier instante, demostrar que la energ´ıa total en el sistema al final del n–´esimo ciclo de movimiento est´a dado por: √ p 2 En = 12 k x00 1 − β 2 e−4πβ/ 1−β donde x00 es la amplitud inicial m´ axima de movimiento. Tambi´en demostrar que la energ´ıa disipada en un ciclo de movimiento, comparada con la energ´ıa total al inicio del mismo ciclo viene determinada por: √ ∆En 2 = 1 − e−4πβ/ 1−β En 3.14.
Un disco de peque˜ no espesor de 10 Kg de peso y 20 cm de radio, se conecta en su centro a un resorte cuyo k m coeficiente de rigidez es 60 Kg/cm y a un amortiguaPk dor con coeficiente determinado. Este cuerpo circular R rueda sin deslizar en contacto con una superficie hoc rizontal rugosa. (a) Cual es el valor del coeficiente de amortiguamiento cr´ıtico cc del sistema ?. (b) Si c = cc /2, graficar la respuesta del sistema cuando el centro del disco se desplaza horizontalmente 5 mm desde la condici´on de equilibrio y luego se lo suelta. Cual es el valor del decremento logar´ıtmico ?. (c) Repetir el c´alculo del inciso anterior, si se considera que c = 3cc /2.
3.15. Hallar la funci´ on de Green para un sistema forzado amortiguado, el cual en el instante inicial se encuentra en condici´ on de reposo absoluto. Expresar la respuesta din´amica del sistema en t´erminos de la funci´ on de Green encontrada. 3.16. Deducir la Ecuaci´ on (a -1) del Ejemplo 3.13 que establece la expresi´on del factor din´amico de carga, sin omitir ning´ un detalle. Graficando la expresi´on deducida (utilizando los mismos valores para los par´ ametros din´ amicos del Ejemplo 3.13) hallar aproximadamente el tiempo m´aximo de respuesta y el valor de magnitud del factor din´amico de carga m´aximo fdcm´ax . 3.17.
Considere el modelo de un grado de libertad de un sistema amortiguado forzado cuyos par´ametros se consideran conocidos [v´ease la Figura 3.1(a)] que en P() el instante inicial de observaci´on t0 se encuentre en condici´on de reposo, es decir: x(t0 ) = x(t ˙ 0 ) = 0. La carga P (t) aplicada supongamos se describe en forma num´erica con valores establecidos P (τ ) a intervalos t regulares e id´enticos de tiempo (∆τ cte), como se t 0 t muestra en la Figura adjunta. Escriba una f´ormula que permita evaluar en forma num´erica la respuesta temporal x(t) del sistema. Explique brevemente como se utilizar´ıa la relaci´on planteada. sugerencia: Adec´ ue la respuesta forzada de un sistema amortiguado, con condiciones iniciales nulas, descrita en forma integral.
P(t)
0
Cap´ıtulo 4
Exitaci´ on arm´ onica Poner algo de texto en este espacio.
4.1.
Introducci´ on
Hemos visto la posibilidad que existe de encontrar la respuesta de un sistema lineal a un tipo general de exitaci´ on y aparentemente no habr´ıa suficientes razones para emprender el estudio particularizado de un tipo de exitaci´ on; sin embargo, esto no es cierto y necesitamos investigar con m´as detalle la respuesta a cierto tipo de cargas; primero por la frecuencia con que se presentan y, segundo por los conceptos que introduce su estudio. Esto es particularmente cierto para las exitaciones que var´ıan como una funci´ on circular trigonom´etrica. Existe una amplia gama de casos pr´acticos donde el ingeniero tiene que resolver problemas asociados con funciones arm´ onicas que van desde el an´alisis de soportes (fundaciones), hasta el an´alisis de un motor de varios cilindros, o un volante rotatorio exc´entrico que generan fuerzas din´amicas desbalanceadas. Nosostros nos limitaremos a una exposici´on de los aspectos te´oricos y una introducci´ on a los problemas de fundaci´ on de maquinaria.
4.2.
Oscilaci´ on no–amortiguada. Exitaci´ on arm´ onica
Las vibraciones forzadas de un sistema de un grado de libertad se presentan cuando el trabajo mec´ anico es realizado sobre el sistema, mientras las oscilaciones ocurren. La exitaci´on externa aplicada se dice peri´ odica (o arm´ onica) cuando existe un tiempo Tp de modo que: P (t + Tp ) = P (t) ,
∀t
Entonces, la frecuencia de una exitaci´on o carga peri´odica es: Ω=
2π Tp
Una exitaci´ on de frecuencia u ´nica tiene la forma general: P (t) = P0 sin(Ωt − ψ) donde P0 es la amplitud de la exitaci´ on, Ω su frecuencia y ψ su ´ angulo de fase. La frecuencia de la exitaci´ on Ω es independiente de la frecuencia natural ω del sistema. 77
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
78
Pk
m
k
P( t ) x( t )
P( t ) = P0 sin t
Figura 4.1: Sistema no–amortiguado forzado
Consideremos un sistema no–amortiguado sometido a una exitaci´on externa de tipo senoidal, como se muestra en la Figura 4.1. La ecuaci´ on de movimiento es en este caso: mx ¨ + k x = P (t) = P0 sin Ωt Si escribimos esta ecuaci´ on en la forma est´andar, tenemos: x ¨ + ω2 x =
P0 sin Ω t m
(4.1)
Suponemos que el sistema parte del reposo al instante t0 = 0; y acorde con la Ecuaci´on 3.26 la soluci´ on viene determinada por: x(t) =
P0 mω
Z
t
sin Ω τ sin ω(t − τ ) dτ = 0
P0 Ω2 ω sin ω t sin Ω t − m ω 2 (Ω2 − ω 2 ) Ω
Pero, recordemos que: ω 2 = k/m, de donde m ω 2 = k, y adem´as definiendo h = Ω/ω que de ahora en adelante se llamar´ a relaci´ on de frecuencias, se puede poner la soluci´on en la forma: x(t) =
P0 /k (sin Ω t − h sin ω t) 1 − h2
(4.2)
Observando ´esta ecuaci´ on, podemos apreciar que la respuesta de un sistema no–amortiguado forzado mediante una carga externa senoidal tiene dos componentes: 1. Componente con frecuencia Ω, debida a la exitaci´on externa aplicada. 2. Componente con frecuencia ω, como consecuencia de las condiciones inicales . Si bien desde el punto de vista te´ orico debemos utilizar todos los t´erminos de la Ecuaci´on (4.2) soluci´ on del problema, para evaluar la respuesta del sistema; en la pr´actica s´olo se considera el t´ermino debido a la exitaci´ on que llamaremos respuesta en estado estacionario. Este modo de operar se basa en el hecho que todo sistema real posee cierto monto de amortiguamiento, y por lo tanto las oscilaciones libres desaparecer´ an con el tiempo. Procediendo en ese sentido, la respuesta desde el punto de vista pr´ actico es: P0 1 x(t) = sin Ω t (4.3) k (1 − h2 ) La respuesta de un sistema no–amortiguado sometido a carga arm´onica senoidal, descrita por la Ecuaci´ on (4.3), es posible de ser obtenida desde un punto de vista f´ısico considerando el equilibrio din´ amico del sistema en todo instante. Si suponemos que la respuesta, al igual que la carga aplicada, es tambi´en arm´onica con la misma frecuencia y en fase con la exitaci´ on; podemos postular: x(t) = A sin Ωt
´ NO–AMORTIGUADA. EXITACION ´ ARMONICA ´ 4.2. OSCILACION
P
x
Pk
Pk
0
2
A = F
t
2
x
=
79
A
F
(a) Diagrama cinem´ atico
=
i
=
m
P
0
A
t
kA
k
(b) Diagrama din´ amico
Figura 4.2: Diagramas de Argand donde A es la amplitud de la respuesta todav´ıa desconocida. Derivando temporalmente dos veces, x ¨(t) = −Ω2 A sin Ωt En la Figura 4.2(a) se dibujan estas entidades como fasores (vectores que rotan en su propio plano con velocidad angular Ω cte) en un diagrama cinem´ atico de Argand. En la misma figura, y con trazo segmentado, se muestra la amplitud P0 de la exitaci´on. Los valores instant´aneos de estas cantidades resultan ser las proyecciones de estos fasores sobre el eje vertical. Recordando que tanto la fuerza el´astica como la fuerza de inercia son contrarias en sentido al desplazamiento y la aceleraci´ on respectivamente, es posible dibujar un diagrama din´ amico de Argand que involucre a las fuerzas actuantes, an´alogo al diagrama cinem´atico, tal como se muestra en la Figura 4.2(b). Imponiendo el equilibrio seg´ un la direcci´on del fasor representativo de la exitaci´ on externa aplicada tendremos: P0 + Ω 2 m A = k A
⇒
A=
P0 k − Ω2 m
Pero, ω 2 = k/m y h = Ω/ω, y la amplitud de respuesta puede ser escrita como: A=
P0 1 k (1 − h2 )
Reemplazando en la ecuaci´ on que postulamos, ´esta resulta finalmente: x(t) =
P0 1 sin Ωt k (1 − h2 )
que coincide ex´ actamente con lo hallado en la Ecuaci´on (4.3).
4.2.1.
Espectro de respuesta
Se ha puntualizado repetidas veces la importancia que tiene en el dise˜ no el conocer los valores m´ aximos de la respuesta. Hasta ahora hab´ıamos definido el factor din´amico de carga – fdc – como la relaci´ on entre el desplazamiento din´amico del sistema o estructura y un desplazamiento est´ atico deducible a partir de la exitaci´ on aplicada. En general, como sucede frecuentemente, el criterio de falla de un dise˜ no no estar´a ligado siempre al desplazamiento, ya que muchas situaciones pueden requerir en general que se limite la velocidad
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
80
o la aceleraci´ on del sistema. Esto es particularmente cierto cuando en el ´ambito estructural, por ejemplo, debido al personal que ocupa una instalaci´on es necesario reducir las aceleraciones a niveles no perceptibles y que no causen molestias; en estas circunstancias ser´a necesario conocer los valores m´ aximos de la aceleraci´ on y velocidad en los movimientos de tipo arm´onico. Esto es particularmente sencillo debido a la simplicidad funcional de la respuesta de un sistema a una exitaci´on arm´onica tambi´en. Un espectro de respuesta se define como la relaci´on que liga la respuesta m´axima de todos los sistemas de un grado de libertad a su correspondiente periodo, frecuencia, o cualquier otro par´ametro caracter´ıstico del sistema bajo consideraci´on; entendi´endose como respuesta el desplazamiento, velocidad o aceleraci´ on debido(a) a un tipo particular de exitaci´on. El factor din´ amico de carga m´ aximo de desplazamientos – fdcm´ax – para una exitaci´on de tipo arm´ onico se obtiene considerando los efectos debidos a la frecuencia natural en la Ecuaci´on (4.2), cuando se considera P0 /k = xest , x(t) =
xest (sin Ω t − h sin ω t) (1 − h2 )
fdc(Ω, ω, t) =
1 x(t) (sin Ω t − h sin ω t) = xest 1 − h2
El valor m´ aximo de esta relaci´ on se obtiene considerando que simult´aneamente se cumple: sin Ω t = 1 y sin ω t = −1, de modo que: 1+h 1+ h = (1 + h)(1 − h) 1 − h2 1 fdcm´ax = 1 − h
fdcm´ax =
(4.4)
donde se tom´ o el valor absoluto recordando que solo estamos interesados en el valor num´erico de la Ecuaci´ on (4.4) cuando se la eval´ ua. En realidad el valor as´ı calculado es un valor extremo con una baja probabilidad de ocurrencia (recuerde la imposici´on de simultaneidad impuesta en el proceso de obtenci´ on de la f´ ormula que aqu´ı mencionamos). Si por el contrario se desprecian los efectos de la vibraci´on libre, el fdcm´ax obtenido a partir de la Ecuaci´ on (4.3) ser´ıa: 1 fdc(Ω, ω, t) = sin Ωt 1 − h2 pero, −1 sin Ωt 1; y por tanto: 1 fdcm´ax = (4.5) 1 − h2 La Ecuaci´ on (4.5) proporciona valores menores que la ecuaci´on (4.4), y resulta ser m´as consistente con el tipo de movimiento que en realidad se produce recordando que en todo este an´alisis no se est´ a considerando el amortiguamiento. En la Figura 5.11 se muestran las gr´aficas correspondientes a ambas ecuaciones deducidas. En consecuencia, la Ecuaci´on (4.5) ser´a utilizada como la expresi´on del fdcm´ax , debido a que en su deducci´ on se despreciaron los efectos transitorios de la respuesta asociados con la frecuencia natural del sistema. Espectros de velocidad y aceleraci´ on Se indic´ o que de acuerdo al criterio de dise˜ no, los espectros de velocidad y aceleraci´on pueden ser necesarios. Si derivamos la Ecuaci´ on (4.3) obtenemos la velocidad instant´anea x(t) ˙ =
P0 /k Ω cos Ωt 1 − h2
´ NO–AMORTIGUADA. EXITACION ´ ARMONICA ´ 4.2. OSCILACION
81
FDC máx 4
3
1 1- h
2
1 2 1- h
1
0
1
2
2
3
4
5
h=
Figura 4.3: Espectro de respuesta – Exitaci´on arm´onica (sistema no–amortiguado) de aqu´ı, maximizando:
x(t) ˙ = fdcm´ax Ω P0 /k
Y, para la aceleraci´ on, despu´es de derivar la velocidad y tomar el valor m´aximo x ¨(t) = fdcm´ax Ω2 P0 /k por lo tanto, si D, V y A representan el desplazamiento, velocidad y aceleraci´on m´aximos respectivamente, tenemos: D = xest fdcm´ax (4.6a) V = DΩ A = DΩ
(4.6b) 2
(4.6c)
Las Ecuaciones (4.6) indican otro aspecto muy importante; que obtenida una expresi´on en su valor num´erico, el c´ alculo de los otros dos valores es inmediato. Para fines de representaci´ on gr´ afica, es posible modificar ligeramente las relaciones anteriores si definimos: Vest = P0 ω/k = xest ω , Aest = P0 ω 2 /k = xest ω 2 entonces, las Ecuaciones (4.6) se convierten en: D/xest = fdcm´ax = BD
(4.7a)
V /Vest = fdcm´ax h = BV
(4.7b)
2
A/Aest = fdcm´ax h = BA
(4.7c)
Adem´ as, resulta evidente que se cumple: BV = h BD 2
BA = h BD
(4.8a) (4.8b)
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
82
Las Ecuaciones (4.7) se conocen como factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleraci´ on respectivamente. Si elegimos una representaci´ on gr´ afica logar´ıtmica, en la que en abcisas se tomen los valores de la relaci´ on de frecuencia y en ordenadas el factor de respuesta de la velocidad, es posible en el mismo gr´ afico representar en ejes a 45◦ el factor de respuesta para desplazamientos y aceleraci´on. Esto se demuestra por el procedimiento indicado a continuaci´on. Tomando logaritmos decimales a ambos miembros de la Ecuaci´on (4.8a) log BV = log h + log BD Si llamamos:
log BV = Y ,
log h = X ,
obtenemos:
log BD = K1 (cte)
Y =X +K
(4.9)
Esta ecuaci´ on corresponde gr´ aficamente a una recta con pendiente positiva igual a 1 (recta a +45◦ ). De la misma manera, si tomamos logaritmos a ambos miembros de la Ecuaci´on (4.8b), despu´es de reemplazar BD en funci´ on de BV , tenemos: log BA = log h + log BV y realizando los cambios de variables similares a aquellos definidos previamente, obtenemos como relaci´ on final: Y = −X + K2 (4.10) que resultar´ a ser una recta con pendiente igual a −1 (recta a −45◦ ). El tipo de representaci´ on definido anteriormente es de gran utilidad en el an´alisis de vibraciones mec´ anicas, y recurriremos a ella siempre que sea necesario. La Figura 4.38 muestra un ejemplo de lo expuesto en l´ıneas anteriores, y fu´e realizada considerando la respuesta definida por la Ecuaci´on (4.3). El origen para BV como para h, debe elegirse en funci´on del rango de frecuencias considerado y el rango de valores de respuesta esperado; en consecuencia, los valores mostrados en la Figura 4.38 solo son valores para el origen de coordenadas elegido !.
Aqu´ı viene el c´odigo de la figura del espectro de respuesta arm´onica, y en p´agina siguiente deber´ıa aparecer la Figura !! Ejemplo 4.1. La estructura tipo p´ ortico del Ejemplo 3.2 soporta una carga lateral de 4000 Kg de amplitud, debido a la instalaci´ on de un motor cuya velocidad angular de funcionamiento es de 500 rpm. Un diagrama esquem´ atico de la situaci´ on se muestra en la Figura 4.4(b). Calcular el desplazamiento, velocidad y aceleraci´ on laterales m´ aximas del p´ortico. Aplicar en el an´alisis el espectro de respuesta gr´ afico de la Figura 4.38. Verificar los c´ aculos efectuados hallando los valores ‘ex´actos’ mediante evaluaci´ on num´erica de las f´ ormulas deducidas. > Soluci´ on La ecuaci´ on gobernante de la din´ amica de movimiento oscilatorio del sistema es: mx ¨ + k x = P0 sin Ω t o, en forma est´ andar:
x ¨ + ω2 x =
P0 sin Ω t m
La respuesta forzada del sistema es dada por la Ecuaci´on (4.3) x(t) =
P0 1 sin Ω t k (1 − h2 )
´ NO–AMORTIGUADA. EXITACION ´ ARMONICA ´ 4.2. OSCILACION
83
t
P0 P( t ) x( t )
Resumen de datos conocidos Par´ ametro Frec. forzada – Ω Frec. natural – ω Amp. de carga – P0 Masa – m Rigidez – k
Valor
Unidades
500 9,86 4000 18,35 1782,13
rpm rad/seg Kg Kg-seg2 /cm Kg/cm
(b) Diagrama esquem´ atico
(a) Tabla de datos
Figura 4.4: P´ ortico solicitado arm´onicamente por motor el´ectrico Para utilizar el espectro de respuesta mostrado en la Figura 4.38, necesitamos conocer el dato de entrada a la misma: la relaci´ on de frecuencias. Pero, previamente pongamos ambas frecuencias en un mismo sistema de unidades de medida en virtud que el par´ametro requerido es adimensional. Ω = 500 De aqu´ı
2π rad 1 rev min × × = 52, 36 rad/seg 60 seg rev min 1 h=
Ω 52, 36 = = 5, 31 ω 9, 86
Y, de la Figura 4.38 obtenemos los siguientes valores (aproximados): BV = 0, 190 ;
BD = 0, 035 ;
BA = 1, 00
La deformaci´ on est´ atica generada por aplicaci´on de la amplitud de carga es: xest =
P0 4000 = = 2, 245 cm k 1782, 13
Y, de aqu´ı obtenemos valores ‘virtuales’ de velocidad y aceleraci´on asociados a este desplazamiento y calculados en base al mismo seg´ un: Vest = xest ω = 2, 245(9, 86) = 22, 134 cm/seg 2
Aest = xest ω 2 = 2, 245(9, 86)2 = 218, 25 cm/seg
Por lo tanto, las respuestas m´ aximas de posici´on, velocidad, y aceleraci´on; resultan ser: Dm´ax = BD xest = 0, 035(2, 245) = 0, 078 cm Vm´ax = BV Vest = 0, 190(22, 134) = 4, 205 cm/seg 2
Am´ax = BA Aest = 1, 00(218, 25) = 218, 25 cm/seg
Verifiquemos ahora los resultados previamente hallados. Seg´ un las Ecuaciones (4.5) y (4.7a) 1 1 = 0, 037 BD = fdcm´ax = = 1 − h2 1 − 5, 312
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
84
Dm´ax = BD xest = 0, 037(2, 245) = 0, 083 cm Por las Ecuaciones (4.7b) y (4.8a), BV = h BD = 5, 31(0, 037) = 0, 196 Vm´ax = BV Vest = BV xest ω = 0, 196(2, 245)(9, 86) = 4, 338 cm/seg Por las Ecuaciones (4.7c) y (4.8b), BA = h2 BD = 5, 312 (0, 037) = 1, 041 2
Am´ax = BA Aest = BA xest ω 2 = 1, 041(2, 245)(9, 86)2 = 227, 20 cm/seg
Estos u ´ltimos valores tienen buena concordancia con los valores hallados previamente utilizando el nomograma que describe la Figura 4.38; por lo tanto podemos aceptar como v´alidos los resultados de primera aproximaci´ on obtenidos a partir de valores que proporciona la gr´afica del espectro de respuesta para exitaci´ on arm´ onica !. > Un r´ apido an´ alisis estructural del p´ ortico nos mostrar´a que el momento flexionante producido en los apoyos de las columnas portantes, debido al desplazamiento m´aximo (amplitud de vibraci´on) Dm´ax = 0, 078 cm, es apenas: Mm´ax = 1, 518 Kg-cm; valor muy peque˜ no desde el punto de vista estructural. Mayor atenci´ on requiere la amplitud m´axima de la aceleraci´on: Am´ax = 218, 25 cm/seg2 , la cual expres´ andola como fracci´ on de la aceleraci´ on gravitatoria (g = 981 cm/seg2 ) vale: Am´ax = 0, 223 g > 0, 1 g Esta magnitud de amplitud de la aceleraci´on durante el movimiento oscilatorio de la estructura es sumamente elevado, ya que sus efectos son molestos y hasta peligrosos para los ocupantes del ambiente ocupado por el p´ ortico. En general, si la estructura est´a revestida por tabiquer´ıa de ladrillo, ´esta se deteriorar´ a para aceleraciones superiores a 0, 1 g y frecuencias mayores a 3 Hz (v´ease la Referencia [28]). Por lo tanto, la respuesta es inadecuada desde el punto de vista de la aceleraci´on (y posiblemente tambi´en desde la perspectiva de la velocidad m´axima hallada) !.
4.2.2.
Resonancia
Las Figuras 5.11 y 4.38 muestran que la respuesta se hace infinita para un valor de la relaci´on de frecuencias igual a la unidad; es decir, cuando la frecuencia circular Ω de la exitaci´on toma id´entico valor que la frecuencia circular natural ω del sistema. El valor de la frecuencia de exitaci´on para el cual h = 1 produce el fen´ omeno llamado resonancia. El comportamiento de un sistema real en la resonancia no es exactamente el mostrado por los espectros de respuesta, ya que ´estos fueron elaborados despreciando los efectos debidos a la frecuencia natural del sistema. Para su an´ alisis requerimos considerar la respuesta completa, por lo tanto si hacemos que en la Ecuaci´ on (4.2) la frecuencia de exitaci´on tienda hacia el valor de la frecuencia natural obtenemos: Ω xest 0 P0 /k sin Ω t − sin ω t = l´ım (sin Ω t − h sin ω t) = l´ım x(t) = l´ım Ω→ω Ω→ω 1 − ( Ω )2 h→1 1 − h2 ω 0 ω Ω→ω
indeterminaci´ on que puede “levantarse” utilizando la regla de L’Hopital ; procediendo as´ı: l´ım x(t) = xest l´ım
h→1 Ω→ω
Ω→ω
t cos Ω t − sin ω t · (1/ω) ω t cos Ω t − sin ω t = xest l´ım Ω→ω −2Ω/ω 2 −2Ω/ω
´ NO–AMORTIGUADA. EXITACION ´ ARMONICA ´ 4.2. OSCILACION
85
x( t )
t
Figura 4.5: Respuesta resonante para exitaci´on arm´onica
y, de aqu´ı obtenemos la respuesta del sistema en condici´on resonante: x(t) =
xest (sen ω t − ω t cos ω t) , 2
ω=Ω
(4.11)
En la Figura 4.5 mostramos un bosquejo gr´afico de ´esta soluci´on a la ecuaci´on de movimiento. La Ecuaci´ on (4.11) por ser una funci´on proporcional al tiempo, indica que la respuesta crece sin l´ımite hasta alcanzar valores de amplitud extremadamente grandes, pero en un tiempo finito, lo que tambi´en se aprecia de forma n´ıtida en la Figura 4.5. Cuando las vibraciones de un sistema conservativo (no–amortiguado) se inician, el movimiento es sostenido con la frecuencia natural propia sin adici´on de energ´ıa externa. Luego, cuando la frecuencia de excitaci´ on es la misma que la frecuencia natural del sistema, el trabajo realizado por la fuerza externa aplicada no es necesario para mantener el movimiento. La energ´ıa total del sistema en este caso se incrementa porque la adici´ on de trabajo efectuado por la perturbaci´on externa se convierte en un incremento cont´ınuo de la amplitud, ya que se produce almacenamiento de esta energ´ıa proporcionada al sistema. Cuando la frecuencia de excitaci´on es diferente que la frecuencia natural del sistema, el trabajo efectuado por la perturbaci´on externa es necesario para sostener el movimiento a dicha frecuencia de excitaci´ on. La respuesta de un sistema o estructura real en condici´on de resonancia estar´a gobernada por su caracter´ıstica esfuerzo–deformaci´ on, por lo que al sobrepasar el l´ımite el´astico del material y al ingresar a la zona pl´ astica del mismo; el sistema cambiar´a de naturaleza y por lo tanto otra ser´a la ecuaci´ on que gobierne el movimiento y su respuesta deber´a ser computada por otras t´ecnicas ya que el sistema dejar´ a de ser lineal. Cuando la frecuencia de excitaci´ on es muy cercana, pero no igual, a la frecuencia natural circular, ocurre un interesante fen´ omeno denominado pulsaci´ on. La pulsaci´on es un crecimiento y decrecimiento secuencial cont´ınuo y finito de la amplitud de vibraci´on del sistema como se muestra en la Figura 4.6. As´ı, si la frecuencia de excitaci´ on Ω difiere en una m´ınima cantidad con respecto a la frecuencia natural del sistema ω, y las condiciones iniciales de movimiento son nulas: x0 = x˙ 0 = 0; la respuesta del sistema determinada por la Ecuaci´ on 3.26, puede ser escrita como: 2P0 Ω−ω Ω+ω sin t cos t (4.12) x(t) = m(Ω2 − ω 2 ) 2 2 En virtud que en la Ecuaci´ on (4.12) consideramos | Ω − ω | de muy peque˜ na magnitud, la soluci´ on puede ser interpretada como una onda cosenoidal con amplitud lentamente variable. El per´ıodo de la amplitud es llamada periodo de pulsaci´ on y es igual a 2π/| Ω−ω |. En cambio el per´ıodo de la vibraci´ on es 4π/(Ω + ω).
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
86
x( t ) 2
t
4
+
Figura 4.6: Respuesta de pulsaci´on de sistema no–amortiguado Las condiciones de restricci´ on impuestas para la aparici´on del fen´omeno de pulsaci´on, raras veces se encuentran satisfechas en situaciones pr´acticas, por lo que la observaci´on de este tipo de vibraci´on es extremadamente eventual.
4.3.
Oscilaci´ on amortiguada. Excitaci´ on arm´ onica
Frecuentemente ser´ a necesario incluir el amortiguamiento en el an´alisis de un sistema sometido a exitaci´ on arm´ onica, ya sea porque su presencia est´a relacionada a la naturaleza del sistema, como por ejemplo cuando se analiza la interacci´ on suelo–fundaci´on en la instalaci´on de maquinaria que vibra, o cuando el analista incluye el amortiguamiento en el sistema con el objeto de reducir la respuesta m´ axima que se presenta.
k
m
P( t )
c x( t )
P( t ) = P0 sin t
Figura 4.7: Sistema amortiguado forzado Por lo tanto, un estudio de los efectos del amortiguamiento sobre la respuesta de un sistema en vibraci´ on se hace absolutamente necesario. Comenzaremos este an´alisis suponiendo la presencia de amortiguamiento viscoso; por lo tanto la ecuaci´on de movimiento para el sistema mostrado en la Figura 4.7 es en su forma est´ andar: x ¨ + 2 β ω x˙ + ω 2 x =
P0 sin Ω t m
(4.13)
La soluci´ on de esta ecuaci´ on diferencial es posible hallarla utilizando la misma t´ecnica que para el caso de un sistema no–amortiguado sujeto a una exitaci´on de tipo general; es decir realizando la evaluaci´ on de la integral de tipo convolutivo que incluye la funci´on de Green. Sin embargo, con el prop´ osito de ilustrar el estado de equilibrio din´amico durante el movimiento evaluaremos la respuesta particular mediante un equilibrio de las fuerzas actuantes en todo instante. Supongamos que la respuesta debida a la aplicaci´on de la carga (respuesta forzada) tiene la forma: x(t) = A sin(Ω t − φ)
(4.14)
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION
87
donde A es la amplitud todav´ıa desconocida y φ es el ´angulo de fase. El significado que tiene la Ecuaci´ on (4.14) ser´ıa que la respuesta tiene la misma frecuencia circular que la exitaci´on, pero est´a retrasada en un a´ngulo de cantidad φ con respecto a la perturbaci´on aplicada. Derivando consecutivamente la Ecuaci´ on (4.14), obtenemos la velocidad y aceleraci´on instant´aneas:
0
(4.16)
x=
A
2
x=
F
t
i
=
t
t
mA
Pk
t
2
P
A
x ¨(t) = − A Ω2 sin(Ω t − φ) = A Ω2 sin(Ω t + π − φ)
0
(4.15)
P
x=
x(t) ˙ = A Ω cos(Ω t − φ) = A Ω sin(Ω t + π/2 − φ)
A
F
A =k
k
(a) Diagrama cinem´ atico
F
c
=
cA
(b) Diagrama din´ amico
Figura 4.8: Diagramas de Argand Considerando las entidades cinem´aticas definidas por las Ecuaciones (4.14), (4.15) y (4.16) como fasores rotatorios, podemos representarlas en el diagrama cinem´atico de Argand mostrado en la Figura 4.8(a). Luego, estos fasores se multiplican por cantidades adecuadas para obtener las fuerzas asociadas que son mostradas tambi´en como fasores en la Figura 4.8(b), que representa el diagrama din´ amico de Argand en este caso. Imponiendo el equilibrio seg´ un direcci´on paralela y perpendicular al desplazamiento, obtenemos: P0 cos φ + m Ω2 A = k A P0 sin φ = c Ω A Resolviendo este sistema para la amplitud y el ´angulo de fase, se demuestra que se obtiene: tan φ = A= p
Ωc 2β h = k − Ω2 m 1 − h2 P0 /k (1 − h2 )2 + (2βh)2
(4.17) (4.18)
Ahora, la respuesta completa del sistema (soluci´on homog´enea m´as soluci´on particular) es: s 2 x˙ 0 + βωx0 x˙ 0 + βωx0 −βω(t−t0 ) 2 x(t) = x0 + e cos ωa (t − t0 ) − arctan ωa ωa x 0 P0 /k 2β h +p sin Ω t − arctan 2 2 2 1 − h2 (1 − h ) + (2βh) donde x(t0 ) = x0 y x(t ˙ 0 ) = x˙ 0 son las condiciones iniciales de movimiento. Aqu´ı es necesario recalcar que la respuesta asociada con las condiciones iniciales (respuesta en vibraci´ on libre) que figura como primer t´ermino de la ecuaci´on anterior, desaparece con el transcurrir
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
88
del tiempo debido al factor exponencial decreciente. Por ello, en situaciones pr´acticas se considera como respuesta s´ olo al t´ermino asociado con la exitaci´on aplicada (respuesta forzada) 2β h P0 /k sin Ω t − arctan (4.19) x(t) = p 1 − h2 (1 − h2 )2 + (2βh)2 que ser´ a la expresi´ on que utilizaremos para el c´omputo de la respuesta m´axima. Notemos que la respuesta presentada por el sistema tiene la misma frecuencia circular que la exitaci´ on externa aplicada sobre el mismo, pero est´a retrasada en el tiempo en cierta magnitud determinada por el ´ angulo de fase. As´ı tenemos que el ´angulo de fase calculado mediante la Ecuaci´on (4.17) nos proporciona el “retraso” de la respuesta del sistema ante la aplicaci´on de la exitaci´on.
3 = 0,01 = 0,1
2 = 0,25
/2
= 0,70
1
0
= 1,0
1
2
h
´ Figura 4.9: Angulo de fase vs relaci´on de frecuencias La Figura 4.9 nos muestra la relaci´ on existente entre el ´angulo de fase como funci´on de la relaci´on de frecuencias, consideranfo la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico como par´ametro. En esta gr´afica, por razones de orden de interpretaci´ on f´ısica, limitamos el rango de variaci´on del ´angulo de fase al intervalo: 0 < φ < π. De esta gr´ afica podemos obtener las siguientes conclusiones: 1. La respuesta forzada y la fuerza de exitaci´on est´an en fase para β = 0. Para β > 0, la respuesta y la exitaci´ on est´ an en fase solo para h = 0. 2. Si β > 0 y 0 < h < 1 entonces 0 < φ < π/2. La respuesta se rezaga con respecto a la exitaci´on. 3. Si β > 0 y h = 1 entonces φ = π/2. Si las condiciones iniciales de movimiento son nulas, la exitaci´ on es una onda senoidal pura y la respuesta de estado estacionario (forzada) es una onda cosenoidal pura. La exitaci´ on est´ a en fase con la velocidad. La direcci´on de la exitaci´on es la misma que la del movimiento. 4. Si β > 0 y h > 1 entonces π/2 < φ < π. La respuesta se anticipa a la exitaci´on. 5. Si β > 0 y h 1 entonces φ ∼ = π. El signo o sentido de la respuesta estacionaria es contrario a aquel de la exitaci´ on. 6. Para β = 0, la respuesta est´ a en fase con la exitaci´on para h < 1; y π rad (180◦ ) fuera de fase para h > 1.
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION
89
Para comprender de mejor manera estas conclusiones, le sugerimos aprecie con mayor cuidado los diagramas de Argand que son mostrados en la Figura 4.8 y compatibilizar la modificaci´on de estos esquemas con cada una de las conclusiones aqu´ı establecidas.
4.3.1.
Espectro de respuesta
Si consideramos la respuesta del sistema a la aplicaci´on de una perturbaci´on externa, descrita por la Ecuaci´ on (4.19), y recordamos que la funci´on senoidal tiene variaci´on de magnitud: −1 < sin < 1, tendremos que la amplitud m´ axima de respuesta estar´a determinada por el coeficiente que precede a la funci´ on senoidal en la Ecuaci´ on (4.19). As´ı, considerando que: xest = P0 /k, el factor din´amico de carga m´ aximo para desplazamiento es por tanto: fdcm´ax (β, h) =
1 xm´ax =p 2 xest (1 − h )2 + (2βh)2
(4.20)
donde todas las variables de esta ecuaci´on tienen el significado y´a explicado anteriormente. Podemos observar por la Ecuaci´ on (4.20) que el factor din´amico de carga m´aximo es funci´on de la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico, el cual es un par´ametro din´amico del sistema; en consecuencia, esta ecuaci´ on define una curva para cada valor de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico β. Las relaciones encontradas para los desplazamientos, velocidades y aceleraciones subsisten en su totalidad; sin embargo, la investigaci´on de los valores m´aximos requiere algunas consideraciones adicionales. Para facilitar nuestro trabajo, calculemos el valor que arroja la Ecuaci´on (4.20) para la condici´ on de resonancia; esto es cuando la frecuencia circular de la exitaci´on se iguala con la frecuencia natural circular no–amortiguada del sistema, es decir cuando: h = Ω/ω = 1. Introduciendo esta condici´ on en la Ecuaci´on (4.20), obtenemos como factor din´ amico de carga resonante: 1 fdcres = (4.21) 2β Valor que no es el m´ aximo, y que como propiedad fundamental se observa que es calculable con solo el conocimiento de la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico; o sea que se puede considerar una propiedad del sistema. El valor m´ aximo que provee la Ecuaci´on (4.20) se eval´ ua igualando la primera derivada a cero. Procediendo as´ı, hallamos: −3/2 − 21 (1 − h2 )2 + (2βh)2 2(1 − h2 )(−2h) + 8β 2 h = 0 p de donde, h2 = 1 − 2β 2 , ⇒ h = 1 − 2β 2 < 1 es el valor que representa la relaci´ on de frecuencias circulares para el cual el fdcm´ax toma el m´ aximo valor (m´ aximo maximorum). Reemplazando el valor hallado en la Ecuaci´on (4.20): fdcm´ax (β) =
1 2β
p
1 − β2
(4.22)
El fdcm´ax (β) 1 es mayor al valor resonante especificado mediante la Ecuaci´on (4.21), y se presenta poco antes que la resonancia. Sin embargo, si la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico es muy peque˜ no (β → 0), la Ecuaci´ on (4.22) se reduce a: 1 fdcm´ax (β) ∼ = (fdcm´ax )res = 2β relaci´ on que indica que en sistemas con un amortiguamiento de valor muy peque˜ no, el valor del factor din´ amico de carga resonante se puede tomar como el valor m´aximo. 1
Obs´ ervese la diferencia de notaci´ on con aquella utilizada en la Ecuaci´ on (4.21) para la condici´ on resonante.
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
90
FDC máx 4
= 0,0
3 = 0,15
= 0,25
2
= 0,707
1
0
1
2
3
4
5
h
Figura 4.10: Espectro de respuesta – Exitaci´on arm´onica (sistema amortiguado) En la Figura 4.10 mostramos la dependencia del factor din´amico de carga m´aximo fdcm´ax de la relaci´ on de frecuencias h = Ω/ω, para diversos valores de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico β que se lo toma como par´ ametro. Hacemos notar en este punto que una representaci´on del tipo de la Figura 4.38 es enteramente posible. Se deja como ejercicio para el lector la elaboraci´on del nomograma que establece valores de los factores de desplazamiento, velocidad y aceleraci´on como funciones de la relaci´on de frecuencias, en escalas logar´ıtmicas, similar a la Figura 4.38; pero que en este caso sirva para un sistema amortiguado. Con respecto a la respuesta resonante en sistemas amortiguados, puede ser provechoso aclarar que el valor dado por la Ecuaci´ on (4.21) se alcanza en una forma asint´otica. La demostraci´on de esta aseveraci´ on se realiza en forma similar que para el caso no–amortiguado, siendo que la comprobaci´on se deja como ejercicio para el lector. Las curvas que se presentan en la Figura 4.10 tambi´en son denominadas curvas de respuesta en frecuencia. El an´ alisis algo m´ as detallado de este conjunto de curvas nos permite establecer las siguientes conclusiones: 1. fdcm´ax = 1 cuando h = 0. En este caso la exitaci´on aplicada es una constante P (t) = P0 y la amplitud de desplazamiento es id´entico al valor del desplazamiento est´atico generado por la amplitud de carga aplicada. 2. fdcm´ax → 0 como h → ∞. La amplitud de la respuesta forzada es muy peque˜ na para valores elevados de la relaci´ on de frecuencias. 3. Para un valor dado de la relaci´ on de frecuencias h, el factor din´amico de carga m´aximo fdc disminuye con el incremento de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico β.
m´ ax
4. fdcm´ax → ∞ s´ olo si β = 0. El factor din´amico de carga no est´a acotado en valor solo para sistemas no–amortiguados.
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION
91
√ un valor de la relaci´ on de 5. Para 0 < β < 1/ 2 (0, 707), el fdcm´ax posee un m´aximo para alg´ frecuencias h. √ 6. Para 0 < β 6 1/ 2, el valor m´aximo p del fdcm´ax (m´ aximo maximorum) ocurre para la relaci´ on 2 de frecuencias caracter´ıstica: hm´ax = 1 − 2β . 7. El correspondiente p valor m´ aximo asociado con la relaci´on de frecuencias hm´ax esta dado por: fdcm´ax (β) = 1/(2β 1 − β 2 ). √ 8. Para β = 1/ 2 se cumple: dfdcm´ax /dh|h=0 = 0. Es decir la curva l´ımite correspondiente a β = 0, 707 es horizontal para h = 0. √ 9. Para β > 1/ 2, el factor din´amico de carga m´aximo fdcm´ax decrece en forma mon´otona a medida que se incrementa el valor de la relaci´on de frecuencias h. Como se ver´ a posteriormente, el espectro de respuesta para exitaci´on arm´onica de un sistema amortiguado, resumido en la Figura 4.10, tiene radical importancia en los procesos de dise˜ no de los sistemas vibratorios que tienen comportamiento del desplazamiento (m´as propiamente su amplitud) en funci´ on de los par´ ametros din´ amicos como describen las diversas curvas en la gr´afica mencionada. Ejemplo 4.2. La barra r´ıgida esbelta del Ejemplo 3.12 es sometida ahora a la acci´on de una fuerza arm´ onica senoidal como muestra la Figura 4.11(b), donde la frecuencia de la exitaci´on es de 200 rpm. Utilizando los valores de los par´ametros din´amicos hallados en el Ejemplo 3.12, determinar la magnitud m´ axima de amplitud de carga externa que se podr´a aplicar, de modo que la amplitud de desplazamiento vertical de las oscilaciones forzadas de la barra en el punto de aplicaci´on de la exitaci´ on no exceda 2 cm de magnitud. Resumen de datos conocidos Par´ ametro
Magnitud
Frec. forzada – Ω Frec. natural – ω Masa – m Rigidez – k Amortiguaci´ on – c Amp. desplaz. – um´ax
200 rpm 62,96 rad/seg 0,0612 Kg-seg2 /cm 62,89 Kg/cm 1,156 Kg-seg/cm 2 cm
P( t )
c o
m
3L/4
L/4
P( t ) = F0 sin t
(a) Tabla de datos
(b) Diagrama esquem´ atico
Figura 4.11: Sistema solicitado arm´onicamente por carga externa
> Soluci´ on La ecuaci´ on de movimiento del modelo de un grado de libertad, f´acilmente comprobable, es: c 7m u ¨ + u˙ + 3 k u = 3F0 sin Ωt 9 3 o, escrita en su forma est´ andar:
3c 27k 27F0 u˙ + u= sin Ωt 7m 7m 7m comparando con la forma gen´erica de la ecuaci´on gobernante del modelo de an´alisis, u ¨+
x ¨ + 2βω x˙ + ω 2 x =
P0 sin Ωt meq
u k
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
92
resulta:
3c , 7m
2βω =
ω2 =
27k , 7m
P0 27F0 = meq 7m
La fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico puede determinarse a partir de una de las ecuaciones anteriores, utilizando los datos resumidos en la Figura 4.11(a). β=
3(1, 156) 3c = = 0, 0643 14mω 14(0, 0612)62, 96
La frecuencia circular de la exitaci´ on externa es: Ω = 200
2π rad 1 rev min × = 20, 94 rad/seg × 1 60 seg rev min
de modo que la relaci´ on de frecuencias toma el valor: h=
20, 94 Ω = = 0,33 ω 62, 96
El factor din´ amico de carga m´ aximo puede ser ahora calculado mediante aplicaci´on de la Ecuaci´ on (4.20) 1 1 fdcm´ax (β, h) = p =p = 0, 746 2 2 2 2 2 (1 − h ) + (2βh) (1 − 0, 33 ) + (2(0, 0643)0, 33)2 El desplazamiento est´ atico generado por la amplitud de carga equivalente actuante en el modelo de an´ alisis es: 27F0 ( 7m/9) 27F0 meq P0 F0 7m 7m uest = = = = keq 3k 3k k resultado que en realidad era obvio. Adem´ as, por definici´on del fdcm´ax tenemos: fdcm´ax =
um´ax uest
⇒
um´ax = fdcm´ax uest = fdcm´ax
F0 k
De esta u ´ltima expresi´ on obtenemos la soluci´on al problema planteado, F0 =
k um´ax 62, 89 (2) = 168, 6 Kg = fdcm´ax 0, 746
>
Ejemplo 4.3. Una m´ aquina de 260 Kg de peso es instalada sobre una fundaci´on cimentada el´astica. Una fuerza sinusoidal de 30 Kg de magnitud es aplicada a la m´aquina para verificar la cimentaci´on. Una barrida de frecuencia de la exitaci´ on revela que la amplitud m´axima de vibraci´on en estado estacionario es de 1,8 mm, cuando el per´ıodo de la respuesta es 0,22 seg. Determine la rigidez equivalente y la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico de la fundaci´on de la m´aquina. >
Soluci´ on
El sistema es modelado como una masa conectada a un resorte y un amortiguador montados en paralelo con una fuerza sinusoidal aplicada sobre la masa, como muestra la Figura 4.7. Sabemos que para un sistema lineal, la respuesta en estado estacionario se d´a con la misma frecuencia que la exitaci´on, luego la m´ axima respuesta ocurre para el periodo especificado. Por tanto: T =
2π Ω
⇒
Ω=
2π 2π = = 28, 56 rad/seg T 0, 22
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION
93
El m´ aximo valor proporcionado por el espectro de respuesta (asociada con la m´axima respuesta posible del sistema) ocurre cuando la relaci´on de frecuencias toma el valor dado por la relaci´on siguiente: h=
Ω p = 1 − 2β 2 ω
ω2 =
⇒
Ω2 1 − 2β 2
(a)
Por otra parte, el factor din´ amico de carga m´aximo dado en esta condici´on (el m´aximo de los m´ aximos o maximorum) est´ a dado por la Ecuaci´on (4.22), fdcm´ax (β) = donde en este caso:
fdcm´ax (β) =
2β
xm´ax , xest
xm´ax m ω 2 1 p = P0 2β 1 − β 2
y, de aqu´ı:
1 p
1 − β2
xest =
P0 P0 = k m ω2
ω2 =
⇒
P0 p xm´ax m 2β 1 − β 2
(b)
Igualando las Ecuaciones (a) y (b) resulta: Ω2 P0 p = 1 − 2β 2 xm´ax m 2β 1 − β 2
⇒
2 m xm´ax Ω2 β
p
1 − β 2 = P0 (1 − 2β 2 )
Reemplazando datos, elevando al cuadrado ambos miembros y ordenando, se obtiene la ecuaci´on: β 4 − β 2 + 0, 0932 = 0 cuyas ra´ıces son
β12 = 0, 896
y β22 = 0, 104
Entonces:
β1 = 0, 946
y β2 = 0, 322
La soluci´ on de √ mayor magnitud debe desecharse, puesto que el fdcm´ax presenta un valor m´aximo s´ olo cuando β < 1/ 2 = 0, 707. Entonces, la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico de la fundaci´on cimentada es: β = 0, 322 = 32, 2 % La frecuencia natural circular del sistema puede calcularse ahora en base a la Ecuaci´on (a), ω=p
Ω 1−
2β 2
=p
28, 56 1 − 2(0, 322)2
= 32, 08 rad/seg
La rigidez equivalente de la fundaci´on el´astica instalada en la base de la m´aquina es entonces: k = m ω2 =
4.3.2.
260 32, 082 = 272, 75 Kg/cm 981
>
Aislamiento de la vibraci´ on. Exitaci´ on arm´ onica
Los conceptos anteriormente establecidos en este cap´ıtulo tienen aplicaci´on pr´actica en las t´ecnicas para el aislamiento de las vibraciones; como es l´ogico, restringiremos nuestro tratamiento al caso de vibraciones arm´ onicas. Consideremos la Figura 4.12(a) en la que se muestra un artefacto cualquiera (podr´ıa ser alguna maquinaria) que es capaz de generar una carga de exitaci´on. Si se supone que la masa que se quiere aislar de las vibraciones est´ a directamente apoyada sobre el suelo de fundaci´on (que lo suponemos r´ıgido), es evidente que la intensidad de la carga se transmitir´a en toda su magnitud al suelo de
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
94
P( t )=P0 sin t P( t )=P0 sin t t
m
t
x( t )
m k
(a) Dispositivo generador de carga
c
(b) Sistema aislador de vibraci´ on
Figura 4.12: Proceso de aislamiento de la vibraci´on fundaci´ on; y si las tensiones generadas por la carga aplicada sobre el suelo de fundaci´on exceden los valores permisibles de ´este, se producir´ an asentamientos por compactaci´on del suelo considerables que podr´ıan afectar el funcionamiento del equipo que se quiere aislar con los consiguientes inconvenientes. Si R es la reacci´ on de apoyo ejercida por el suelo sobre el equipo cuando ´este est´a simplemente en contacto con ´el, se cumplir´ a: R(t) = P (t) = P0 sin Ωt Considerando que el ´ area de contacto de la base del equipo con el piso es A, la tensi´on normal ejercida sobre el suelo resultar´ a ser: R(t) P0 sin Ωt σ= = A A P0 y, por tanto: σm´ax = A si se supone una distribuci´ on uniforme de tensiones. Nuestro prop´ osito es reducir la magnitud de la reacci´on (idealmente a valores ´ınfimos), que a partir de ahora la denominaremos fuerza transmitida. Para cumplir el prop´osito planteado introducimos entre el suelo de fundaci´ on y la maquinaria, un elemento flexible incluyendo al mismo tiempo el mecanismo disipador de energ´ıa que puede deberse a un amortiguamiento inducido o a un amortiguamiento intr´ınseco del sistema (como propiedad inherente al elemento aislador). En la Figura 4.12(b) mostramos el modelo de an´alisis de esta situaci´on, donde el resorte representativo de la flexibilidad y el amortiguador representativo del proceso de disipaci´on energ´etica, sustituyen al aislador de vibraci´ on instalado entre la maquinaria y el suelo de fundaci´on. En este caso la fuerza transmitida a la fundaci´on es a trav´es del resorte y el amortiguador; por ello: R(t) = Fk (t) + Fc (t) = k x(t) + c x(t) ˙ Considerando r´egimen de funcionamiento permanente, la respuesta del sistema estar´a dada por la componente forzada simplemente; entonces reemplazando expresiones conocidas para el desplazamiento y velocidad instant´ aneas tendremos: P0 cΩ p R(t) = sin(Ωt − φ) + cos(Ωt − φ) k (1 − h2 )2 + (2βh)2 R(t) = p
P0 (1 − h2 )2 + (2βh)2
[ sin(Ωt − φ) + 2βh cos(Ωt − φ) ]
que puede ponerse en su forma amplitud–fase en la forma mostrada a continuaci´on; p 1 + (2βh)2 R(t) = P0 p sin(Ωt − φ + φ0 ) , tan φ0 = 2βh (1 − h2 )2 + (2βh)2
(4.23)
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION
95
En base a la respuesta hallada se define una propiedad importante denominada transmisibilidad de fuerza – tr, la cual es la relaci´ on de la fuerza transmitida a los apoyos y la amplitud de fuerza de exitaci´ on aplicada; es decir: tr = R(t)/P0 . Como en el caso del factor din´amico de carga estaremos interesados en el valor m´ aximo de esta relaci´on proporcional al cual se conoce con el nombre de transmisibilidad m´ axima que resultar´ıa ser la comparaci´on de la amplitud de fuerza transmitida al apoyo con la amplitud de la fuerza de exitaci´on aplicada, o sea: s 1 + (2βh)2 Rm´ax (4.24) = trm´ax (β, h) = P0 (1 − h2 )2 + (2βh)2 Similarmente al fdcm´ax (β, h) la transmisibilidad m´axima maximorum es diferente a la transmisibilidad m´ axima en la resonancia; la primera se produce cuando: p −1 + 1 + 8β 2 2 h = (4.25) 4β 2 Despu´es de reemplazar la Ecuaci´ on (4.25) en la Ecuaci´on (4.24) se obtiene: trm´ax (β) = q
4β 2 16β 4 − 8β 2 − 2 + 2
(4.26) p 1 + 8β 2
Mientras que la transmisibilidad en la resonancia (h = Ω/ω = 1) es como puede comprobarse: s 1 + 4β 2 ∼ 1 trres = , β < 0, 2 (4.27) = 4β 4 2β De la Ecuaci´ on (4.25) se deduce que el valor m´aximo de los m´aximos se produce antes que la condici´ on de resonancia: h = 1, y su valor no es muy diferente al valor m´aximo en condici´on resonante si la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico no es muy grande. Es muy provechoso, tanto para el dise˜ no como para el an´alisis, graficar la Ecuaci´on (4.24). La Figura 4.13 nos ense˜ na algunas curvas para diferentes valores de β. √ De la gr´ afica podemos apreciar que la misma define dos intervalos marcados. Para: 0 < h < 2 se v´e que trm´ax > 1, es decir que la amplitud de la fuerza transmitida es mayor que la amplitud de la exitaci´ √on; y en este rango no tiene efectividad el sistema de aislaci´on usado. En cambio en el rango: h > 2 se verifica que trm´ax < 1, es decir que la amplitud de fuerza transmitida es menor que la amplitud de la exitaci´ on, y por tanto en este rango el sistema aislador de vibraci´on cumple con el cometido de reducir la fuerza transmitida a los apoyos. Una caracter´√ ıstica notable de las curvas es que todas se cruzan en el punto correspondiente a: (h , trm´ax ) = 2 , 1 . Pero m´ as notable desde el punto de vista f´ısico de las aplicaciones de la Ecuaci´ on (4.24) es el hecho que √ a mayor amortiguamiento, mayor es la transmisibilidad; cuando la relaci´ on de frecuencias es: h > 2. Esto sugerir´ıa que el amortiguamiento es indeseable para el rango de relaci´ on de frecuencias altas; situaci´on que es relativa por los siguientes aspectos: 1. Debido a que en general una maquinaria adquiere gradualmente su velocidad de r´egimen o funcionamiento, la presencia del amortiguamiento es necesaria ya que evita problemas durante el lapso de tiempo en el cual la maquinaria adquiere su velocidad final (etapa de arranque), principalmente al pasar por la condici´on de resonancia. 2. Las t´ecnicas aqu´ı expuestas son solo u ´tiles para aislar al sistema contra la resonancia en una sola frecuencia. En la pr´ actica, los elementos el´asticos que desempe˜ nan la funcion de resorte son vigas, placas, o cualquier otro elemento estructural; como se ver´a despu´es, estos elementos de apoyo tienen otras formas de vibraci´on generalmente m´as altas. En consecuencia, subsiste el peligro que se presente la condici´ on resonante en estas frecuencias altas no consideradas en el modelo. Por lo tanto, la presencia de amortiguamiento ser´a beneficioso en estos casos.
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
96
TR máx
5
4
= 0,0 = 0,1
3
= 0,2
2 = 1,0
1
0
1
2
3
2
4
h
Figura 4.13: Transmisibilidad m´axima – Exitaci´on arm´onica
3. Los conceptos emitidos en el punto anterior deben considerarse cuando se est´a aislando una maquinaria con velocidad variable o un sistema sometido a exitaciones de tipo aleatorio, las cuales tienen componentes en un ancho de frecuencias muy grande. Ejemplo 4.4. Un ventilador que pesa 100 Kg y funciona a 1200 rpm genera una fuerza din´amica desbalanceada de 20 Kg de amplitud. Si se desea que la fuerza transmitida a la cimentaci´on de la m´aquina no supere el 30 % de la amplitud de la exitaci´on, determinar los par´ametros din´amicos equivalentes del sistema aislador a instalarse entre el piso y la base de la m´aquina. Un esquema de la situaci´on planteada se muestra en la Figura 4.14.
P( t )=P0 sin t t
m
k, c
Figura 4.14: M´ aquina vibrante con sistema de aislaci´on
>
Soluci´ on
La din´ amica de movimiento del modelo de an´alisis [v´ease la Figura 4.12(b)] est´a gobernada por la Ecuaci´ on (4.13), P0 x ¨ + 2 β ω x˙ + ω 2 x = sin Ω t m
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION
97
cuya soluci´ on en r´egimen estacionario (respuesta forzada) est´a determinada por la Ecuaci´on (4.19) 2β h P0 /k sin Ω t − arctan x(t) = p 1 − h2 (1 − h2 )2 + (2βh)2 Suponemos que el sistema aislador a instalarse posee propiedades de elasticidad y amortiguamiento, por lo que debemos especificar el valor de los par´ametros din´amicos equivalentes a estas dos caracter´ısticas intr´ınsecas propias del sistema de aislaci´on. La relaci´ on de la fuerza transmitida m´axima a la fundaci´on (a trav´es del resorte y el amortiguador) y la amplitud de fuerza de exitaci´ on, define la transmisibilidad m´axima; que se expresa mediante la Ecuaci´ on (4.24) s trm´ax (β, h) =
Rm´ax = P0
1 + (2βh)2 (1 − h2 )2 + (2βh)2
La amplitud de fuerza de exitaci´ on es P0 = 20 Kg, y se desea que solo un 30 % de ella sea transmitida 30 20 = 6 Kg. Con estos a la cimentaci´ on; por lo que la fuerza transmitida m´axima ser´a: Rm´ax = 100 valores la transmisibiludad m´ axima resulta: trm´ax =
Rm´ax 6 = 0, 3 = P0 20
que evidentemente equivale al dato proporcionado, es decir: √ % trm´ax = 30 %. Acorde con la Figura 4.13, debe ser claro que h > 2 y 0 < β < 1 para cumplir el cometido planteado. Pero, como datos solo conocemos la magnitud de masa vibrante, la cual se obtiene a partir del peso propio; W 100 m= = = 0, 102 Kg-seg2 /cm g 981 y, tambi´en conocemos la frecuencia de la exitaci´on externa: Ω = 1200
2π rad 1 rev min × × = 125, 66 rad/seg rev 60 seg min 1
Para resolver el problema solo podemos asumir un valor para la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico; digamos 10 %. Entonces: c c c = √ β= = = 0, 1 cc 2mω 2 km Reemplazando valores en la ecuaci´on que establece la transmisibilidad m´axima, ´esta resulta: s 1 + (2×0, 1×h)2 0, 3 = (1 − h2 )2 + (2×0, 1×h)2 desarrollando,
0, 09 [ (1 − h2 )2 + 0, 04 h2 ] = 1 + 0, 04 h2 0, 09h4 − 0, 2164h2 − 0, 91 = 0 ,
⇒
h = 2, 145
Ω Ω 125, 66 , ⇒ ω= = = 58, 58 rad/seg ω h 2, 145 Entonces, el coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente del aislador resulta:
De aqu´ı:
h=
c = β 2 m ω = 0, 1×2×0, 102×5, 85 = 1, 195 Kg-seg/cm y, el coeficiente de rigidez de resorte lineal equivalente (del aislador) tiene el valor: k=
c2 1, 1952 = = 350 Kg/cm 4 β2 m 4×0, 12 ×0, 102
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
98
> Hasta aqu´ı hemos definido el comportamiento de la fundaci´on en t´erminos de la transmisibilidad, cuando se trata de reducir la amplitud de la fuerza transmitida a los apoyos de una maquinaria o dispositivo que en su funcionamiento genera una fuerza de exitaci´on que induce al sistema a vibrar, y al hacerlo transmitir esta fuerza hacia la fundaci´on, con las consiguientes consecuencias perjudiciales que podr´ıan surgir debido a este fen´ omeno. Existe en la pr´ actica otra situaci´ on donde se requiere el aislamiento de alg´ un dispositivo o equipo de los efectos vibratorios exteriores, y que se traducen en un excesivo movimiento del equipo si ´este est´ a dir´ectamente apoyado en una superficie que tiene movimiento vibratorio, como se indica esquem´ aticamente en la Figura 4.15(a); lo que puede dar lugar a mal funcionamiento del mismo. Entonces, el objetivo del dise˜ no consiste en limitar el desplazamiento del equipo que se quiere aislar. Para cumplir tal objetivo, consideremos el esquema de la Figura 4.15(b) donde suponemos que la exitaci´on es aplicada al soporte en forma de desplazamiento vibratorio de caracter´ıstica arm´onica.
y( t )= y0 sin t y( t )= y0 sin t
x( t )
m
m y( t )
(a) Dispositivo con movimiento de apoyo
k
c
y( t )
(b) Sistema aislador de vibraci´ on
Figura 4.15: Proceso de aislamiento de la vibraci´on Sea y = y0 sin Ωt el movimiento arm´ onico de apoyo o soporte, donde y0 es la amplitud y Ω la frecuencia de la exitaci´ on externa. Si el equipo est´a r´ıgidamente conectado a su soporte o superficie de apoyo como se muestra en la Figura 4.15(a), entonces el equipo vibra solidariamente con el soporte y la amplitud m´ axima de desplazamiento es transmitida completamente. Para reducir la magnitud de la vibraci´ on producida en el equipo, se propone instalar un elemento intermedio flexible y disipador de energ´ıa que funcione como elemento aislador de la vibraci´on inducida. Midiendo el desplazamiento x(t) de la masa en movimiento con respecto a una referencia inercial, es decir considerando el desplazamiento absoluto, neto o total, que deseamos aislar en este caso; resulta que la ecuaci´ on de movimiento es: m¨ x + c(x˙ − y) ˙ + k(x − y) = 0 Denotando ahora como: z = x − y, al desplazamiento relativo de la masa en movimiento (con respecto al soporte o apoyo) y reemplazando en la ecuaci´on anterior, m z¨ + c z˙ + k z = −m y¨ m z¨ + c z˙ + k z = m y0 Ω2 sin Ωt
(4.28)
Considerando el t´ermino: m y0 Ω2 , podemos verificar que dimensionalmente corresponde al valor de magnitud de una fuerza a la que denominaremos P0 . Con estas consideraciones, la ecuaci´on gobernante del movimiento relativo del equipo o dispositivo resulta: m z¨ + c z˙ + k z = P0 sin Ωt o, en forma est´ andar:
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION
99
P0 sin Ω t m Esta ecuaci´ on diferencial es completamente similar a la Ecuaci´on (4.13), y tiene como soluci´ on a una expresi´ on parecida a la que establece la Ecuaci´on (4.19). En nuestro caso la soluci´on resulta ser: 2β h y0 h2 sin(Ω t − φ) , φ = arctan z(t) = p (4.29) 1 − h2 (1 − h2 )2 + (2βh)2 z¨ + 2 β ω z˙ + ω 2 z =
donde todos los t´erminos tienen significado y´a conocido. De acuerdo a lo afirmado, nos proponemos conocer el desplazamiento total de la masa en movimiento, la cual puede calcularse mediante: x(t) = z(t) + y(t) = p
y0 h2 (1 − h2 )2 + (2βh)2
sin(Ω t − φ) + y0 sin Ωt
No es muy dif´ıcil demostrar que esta soluci´on puede escribirse en la forma indicada a continuaci´ on: p 1 + (2βh)2 2βh3 x(t) = y0 p sin(Ωt − ψ) , tan ψ = (4.30) 1 + (4β 2 − 1)h2 (1 − h2 )2 + (2βh)2 Definimos la transmisibilidad de desplazamiento como la relaci´on de la respuesta de desplazamiento del equipo y la amplitud de desplazamiento del movimiento de apoyo: tr = x(t)/y0 . Como en el caso de la transmisibilidad de carga estaremos interesados en el valor m´aximo de esta relaci´on proporcional al cual se conoce con el nombre de transmisibilidad m´ axima (de desplazamiento) que resultar´ıa ser la comparaci´ on de la amplitud m´ axima de movimiento transmitido al equipo con la amplitud del desplazamiento de exitaci´ on aplicado, o sea: s xm´ax 1 + (2βh)2 trm´ax (β, h) = = (4.31) y0 (1 − h2 )2 + (2βh)2 La Ecuaci´ on (4.31) nos dice que la transmisibilidad del desplazamiento tiene ex´actamente la misma expresi´ on que describe la transmisibilidad de la fuerza; por esta raz´on la Figura 4.13 tiene tambi´en aplicaci´ on para el dise˜ no de una aislaci´on para el desplazamiento vibratorio que podr´ıa presentar el apoyo de un instrumento o equipo que deseamos no vibre con la misma amplitud que el soporte. Ejemplo 4.5. Un mecanismo de yugo–escoc´es proporciona una exitaci´on arm´onica a la base de un sistema masa–resorte–amortiguador como se muestra en la Figura 4.16. El brazo de manivela del mecanismo tiene 80 mm de largo. La velocidad de rotaci´on del brazo de manivela de este mecanismo es variada y la amplitud resultante de estado estacionario es grabada para cada valor de velocidad imprimida. La amplitud m´ axima registrada del bloque de 14,5 kg es de 13 cm cuando la velocidad angular es de 1000 rpm. Determine los coeficientes de rigidez y amortiguamiento equivalentes del sistema que es perturbado por el movimiento de su base. > Soluci´ on La ecuaci´ on de movimiento en este caso corresponde a la de un sistema de un grado de libertad con movimiento de soporte: mx ¨ + c x˙ + k x = y0 sin Ω t donde la amplitud de la exitaci´ on – movimiento de apoyo – est´a determinada por la longitud que tiene el brazo de manivela del mecanismo: y0 = L. Por los datos proporcionados, la transmisibilidad m´ axima de desplazamiento est´ a determinada por: trm´ax (β, h) =
xm´ax 130 xm´ax = = = 1, 625 y0 L 80
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
100
y t
x
k
L
m c
Figura 4.16: Mecanismo de yugo–escoc´es como movimiento de apoyo El valor de la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico que corresponde a ´esta transmisibilidad m´axima est´ a determinada por la Ecuaci´ on (4.26). Sin embargo, la manipulaci´on algebr´aica de esta relaci´on, como puede comprobarse, conduce a valorar las ra´ıces de una ecuaci´on polinomial de quinto grado en β 2 ; lo cual evidentemente es demasiado engorroso. Para resolver el problema utilizaremos un m´etodo num´erico basado en el rastreo de las ra´ıces de una funci´ on arbitraria mediante aproximaciones sucesivas. Para ello, reordenamos la Ecuaci´on (4.25) en la forma indicada a continuaci´ on; r p 1 − h2 −1 + 1 + 8β 2 2 , ⇒ β= h = 2 4β 2h4 Un valor de h < 1 se escoge como prueba, y el valor correspondiente de β se calcula con la ecuaci´on anterior; luego, con este valor procedemos a evaluar el valor correspondiente de trm´ax (β, h) mediante la Ecuaci´ on (4.31), que por comodidad repetimos aqu´ı: s 1 + (2βh)2 trm´ax (β, h) = (1 − h2 )2 + (2βh)2 El valor as´ı calculado de trm´ax se compara con el valor deseado. Si el error porcentual relativo es muy elevado, se escoge un nuevo valor de h y se repite el procedimiento hasta obtener un error de soluci´ on que se considere aceptable. Otros esquemas de iteraci´on por supuesto que son posibles, pero el m´etodo que presentamos es el m´ as directo para las ecuaciones a manipularse. Los resultados de aplicaci´ on del procedimiento descrito a la situaci´on en an´alisis, es presentada en forma tabular mediante el arreglo de datos siguiente: h
β
trm´ax
0,98 0,90 0,89 0,88
0, 147 0, 381 0, 407 0, 437
3,180 1,702 1,640 1,573
Por los valores de resultado en la columna de trm´ax , es evidente que la soluci´on buscada se ubica entre los dos u ´ltimos de la misma. Probando con h = 0, 887 se tiene: s r 1 − h2 1 − 0, 8872 β= = = 0, 415 4 2h 2(0, 887)4
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION s trm´ax =
1 + (2βh)2 = (1 − h2 )2 + (2βh)2
s
101
1 + (2×0, 415×0, 887)2 = 1, 62 [1 − (0, 887)2 ]2 + (2×0, 415×0, 887)2
que podemos aceptar como una soluci´on muy razonable. Entonces, tomamos como soluci´on del problema planteado a los valores recientemente calculados: h = 0, 887
y
β = 0, 415
La frecuencia natural circular del sistema se aval´ ua ahora como: h=
Ω ω
⇒
ω=
2π rad 1 Ω 1000 rev min = = 1127, 4 × = 118, 06 rad/seg × 60 seg h 0, 887 rev min 1
de donde resulta que el coeficiente de rigidez equivalente del sistema es: r k 14, 5 k= ⇒ k = m ω2 = 118, 062 = 206, 02 Kg/cm m 981 y, el coeficiente de amortiguamiento equivalente resulta ser: c = 2β ω m
⇒
c = 2 β ω m = 2×0, 415×118, 06×
14, 5 = 1, 45 Kg-seg/cm 981
>
Efectividad del aislamiento Algunos autores definen la cantidad denominada efectividad del aislamiento, que generalmente se expresa en t´erminos porcentuales para indicar la eficiencia que tiene el sistema de aislaci´on instalado; ya sea para mitigar la amplitud de fuerza transmitida a los apoyos (en el caso de una m´aquina que genera una fuerza din´ amica), o para reducir la amplitud del movimiento transferido (en el caso de un dispositivo o equipo cuyo soporte posea desplazamiento din´amico). Esta caracter´ıstica del sistema aislador se define como: % ef = (1 − trm´ trm´ax < 1 (4.32) ax )×100 , donde la transmisibilidad m´ axima se determina mediante la Ecuaci´on (4.31) (que es la Ecuaci´on (4.24) repetida). Sabemos que el sistema de aislaci´on incorporado en cierta situaci´on para mitigar el efecto de la vibraci´ on cumple con este cometido cuando la transmisibilidad es menor √ que la unidad trm´ax < 1, lo que ocurre cuando la relaci´ on de frecuencias cumple la condici´on: h > 2. Adem´as, si suponemos que la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico es de valor muy peque˜ no β ∼ = 0, entonces la transmisibilidad resulta ser: 1 trm´ax = 2 h −1 y, por tanto: 1 % ef = 1 − ×100 h2 − 1 2 h −2 % ef = ×100 (4.33) h2 − 1 El desarrollo anterior puede tener mejor interpretaci´on cuando se relaciona la efectividad del aislamiento con la frecuencia de la exitaci´on y la deflexi´on est´atica producida por el peso propio del equipo o maquinaria a ser aislada. La Ecuaci´on (4.32) puede ser escrita como se muestra aqu´ı: % ef
100 despejando h,
= 1 − trm´ax = 1 −
1 h2 − 1
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
102
r h=
200 − 100 −
% ef
(4.34)
% ef
Recordemos que la relaci´ on de frecuencias se define mediante: r r Ω 2πfΩ m mg h= = 2πfΩ =p = 2πfΩ ω k kg k/m La deformaci´ on est´ atica provocada por el peso propio del equipo o maquinaria a ser aislada es: xestW = W/k = mg/k, que nos permite escribir: r xestW (4.35) h = 2πfΩ g Si ahora combinamos las Ecuaciones (4.34) y (4.35), tendremos como resultado: r r xestW 200 − % ef = 2πfΩ g 100 − % ef r √ g/(2π) 200 − fΩ = √ xestW 100 −
de donde,
% ef
(4.36)
% ef
f
Zona de aislamiento: 0 < TR < 1 %EF = 0
%EF Parámetro
%EF = 99,5
Zona de amplificación: TR > 1
xest
W
Figura 4.17: Efectividad de un sistema aislador de vibraciones En la Figura 4.17 se muestra una gr´ afica de la Ecuaci´on (4.36), en la que se toma el valor del % ef como par´ ametro variable. En esta figura, tambi´en mostramos las zonas que est´an involucradas en el proceso de aislamiento de los efectos de vibraci´on: la zona de aislamiento – donde el aislador posee verdadera efectividad; y la zona de amplificaci´on – donde los efectos de la perturbaci´on se magnifican. Ejemplo 4.6. Un equipo de medici´ on que tiene un peso de 28 Kg va a utilizarse en una instalaci´ on industrial para realizar la toma de algunos datos de control de funcionamiento, eventualmente. Debido a la maquinaria instalada en dicha factor´ıa, se sabe que se el tablero donde se apoyar´a el
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION
103
equipo vibra arm´ onicamente con amplitud de desplazamiento de 2,5 mm y 12 Hz de frecuencia. Para reducir la vibraci´ on transmitida al equipo se propone poner una l´amina delgada de espuma de caucho entre la base del equipo y el tablero, como muestra la Figura 4.18; la cual se estima tiene una fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico equivalente al 15 %. Determinar los par´ametros din´amicos del sistema aislador necesarios para obtener un 60 % de efectividad de aislaci´on de la vibraci´on ambiental.
y( t )= y0 sin t
x( t ) m
k, c
y( t )
Figura 4.18: Equipo con sistema de aislaci´on de vibraci´on ambiental
> Soluci´ on La transmisibilidad m´ axima del sistema aislador la podemos determinar en base al dato de efectividad del mismo: 60 = 0, 4 100 √ Suponiendo que el funcionamiento ocurre en el intervalo de aislaci´on ´optima h > 2 y el coeficiente de amortiguamiento es peque˜ no para la l´amina de caucho (β = 0, 15), podemos hacer uso de la Ecuaci´ on (4.31) para determinar la relaci´on de frecuencias correspondiente, s s 1 + (2βh)2 1 + (2×0, 15 h)2 trm´ax = , ⇒ 0, 4 = (1 − h2 )2 + (2βh)2 (1 − h2 )2 + (2×0, 15 h)2 % ef
= (1 − trm´ax )×100 ,
⇒
trm´ax = 1 −
% ef
100
=1−
Realizando operaciones, llegamos a plantear la ecuaci´on siguiente: h4 − 3, 575 h2 − 5, 25 = 0 ,
⇒
h = 2, 17 >
√
2
La frecuencia de la exitaci´ on (del movimiento de apoyo) permitir´a determinar la frecuencia circular del sistema aislador; Ω = 2 π f = 2×π ×12 = 75, 4 rad/seg h=
Ω ω
⇒
ω=
Ω 75, 4 = = 34, 75 rad/seg h 2, 17
La masa del sistema se obtiene a partir del peso propio del equipo: m = W/g = 28/981 = 0, 0285 Kg-seg2 /cm y, en base a la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico conocida y la frecuencia natural no–amortiguada obtenida, podemos estimar el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente; c = 2β ω, m
⇒
c = 2 β ω m = 2×0, 15×34, 75×0, 0285 = 0, 297 Kg-seg/cm
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
104
La rigidez de resorte lineal el´ astico equivalente requerida, ahora puede calcularse a partir de: ω2 =
k , m
k = m ω 2 = 0, 0285×34, 752 = 34, 41 Kg/cm
⇒
Si se van a elegir l´ aminas de espuma de caucho disponibles, se encontrar´a que en el mercado solo existen rigideces comerciales de valores discretos enteros; digamos: 33, 34 y 35 Kg/cm. Eligiendo el valor m´ as flexible cercano (porqu´e ?) debemos verificar el valor de la efectividad del aislamiento del modo siguiente: r r k 34 = = 34, 54 rad/seg ω= m 0, 0285 ω 34, 54 = = 5, 49 Hz 2π 2π 12 Ω = = 2, 18 h= ω 5, 49 s s 1 + (2βh)2 1 + (2×0, 15×2, 18)2 = = = 0, 31 (1 − h2 )2 + (2βh)2 (1 − 2, 182 )2 + (2×0, 15×2, 18)2 f=
trm´ax
% ef
= (1 − trm´ax )×100 = (1 − 0, 31)×100 = 69
%
Por lo que el dise˜ no puede considerarse satisfactorio !. Como cambiar´ıa el dise˜ no del sistema aislador si se considera el amortiguamiento de valor nulo ?. En este caso: β√= c/cc = 0, y puesto que se requiere que % ef = 60 % (trm´ax = 0, 4); entonces con seguridad h > 2. Por lo tanto, r r 1 1 + trm´ax 1 + 0, 4 trm´ax = 2 , ⇒ h= = 1, 87 = h −1 trm´ax 0, 4 h=
Ω , ω
⇒
ω=
Ω 75, 4 = = 40, 32 rad/seg h 1, 87
k = m ω 2 = 0, 0285×40, 322 = 46, 33 Kg/cm Si por ejemplo consideramos una l´ amina con coeficiente de rigidez de valor: k = 45 Kg/cm, se tiene: r r k 45 ω= = = 39, 74 rad/seg m 0, 0285 ω 39, 74 = = 6, 32 Hz 2π 2π Ω 12 h= = = 1, 89 ω 6, 32
f=
trm´ax = % ef
1 1 = = 0, 38 h2 − 1 1, 892 − 1
= (1 − trm´ax )×100 = (1 − 0, 38)×100 = 62
%
> Un an´ alisis de los dos procedimientos mostrados en ´este ejemplo nos revela que si bien se ha logrado satisfacer el requerimiento de una adecuada aislaci´on con efectividad pre–determinada, el suponer el sistema aislador excento de amortiguamiento lleva a elegir un resorte equivalente m´as r´ıgido (y posiblemente m´ as costoso) como tambi´en a esperar problemas en la zona de resonancia debido a la ausencia de amortiguaci´ on.
´ AMORTIGUADA. EXCITACION ´ ARMONICA ´ 4.3. OSCILACION
105
Consideraciones adicionales La mec´ anica del cuerpo r´ıgido nos ense˜ na que en general cualquier cuerpo en el espacio tiene seis grados de libertad (tres traslaciones y tres rotaciones). Esto nos indica que tendremos seis tipos de frecuencia resonante, pese a que el movimiento predominante estar´a limitado a un n´ umero menor de coordenadas generalizadas. Se deben tomar precauciones que eviten se presenten efectos indeseables en los modos de movimiento no considerados, lo cual se puede lograr haciendo que todas las frecuencias no aisladas sean considerablemente mayores que la frecuencia resonante fundamental o principal. En toda la discusi´ on anterior se supuso que el suelo de fundaci´on era infinitamente r´ıgido. Esta hip´ otesis es totalmente v´ alida cuando el peso de la fundaci´on es por lo menos dos veces el peso de la maquinaria, o cuando la superficie de contacto entre suelo y fundaci´on es tal que proporcione una rigidez mucho mayor a la rigidez proporcionada por los elementos el´asticos. Si esta situaci´on no se presenta, ser´ a necesario corregir la frecuencia natural del sistema mediante la siguiente relaci´on: r m 0 (4.37) ω =ω 1+ M
m
k/2
c
k/2
M Figura 4.19: Modelo de m´aquina vibrante y su fundaci´on La Ecuaci´ on (4.37) se la obtiene considerando el sistema compuesto m´aquina + fundaci´on mostrado en la Figura 4.19 (´este sistema tiene dos grados de libertad). Este modelo considera la masa propia que tiene la fundaci´ on, su amortiguamiento que generalmente se especifica como una fracci´on del valor de amortiguamiento cr´ıtico, y la rigidez propia de la fundaci´on que puede calcularse anal´ıticamente mediante las f´ ormulas indicadas en la Figura 4.20, para fundaciones circulares de hormig´on armado en las que E es el m´ odulo de elasticidad, G el m´odulo de Young, ν el coeficiente de Poison (ν = 1/3 para el hormig´ on), y r0 es el radio de la fundaci´on circular. Para fundaciones de geometr´ıa rectangular, r0 es el radio de fundaci´ on circular equivalente que tiene id´entica ´area que la fundaci´on rectangular. G=
Movimiento Vertical Cabeceo
Rigidez kx = kΨ =
4 G r0 1−ν
E 2(1 − ν)
G,
x
8 G r03 3(1 − ν)
r0 (a) Coeficientes de rigidez
r0
(b) Diagrama esquem´ atico
Figura 4.20: Fundaci´on tipo placa circular Antes de finalizar esta breve exposici´on sobre aislamiento de maquinaria, se recomienda tomar las siguientes precauciones de tipo pr´ actico:
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
106
(a) Los aisladores deben ser colocados en forma sim´etrica con respecto al centro de gravedad de la m´aquina, de manera de asegurar que la resultante de las fuerzas en los muelles tenga l´ınea de acci´on que pase a trav´es del centro de gravedad para que no surja ninguna cupla o momento.
CG
L
L
(b) El centro de gravedad de la maquinaria debe colocarse lo m´as bajo posible, esto para eliminar el movimiento de cabeceo, que puede dar lugar a un modo de respuesta indeseable. Para hacerlo, se puede adosar una masa de peso considerable a la base de la m´aquina.
CG
(c) Como indicamos, se puede ‘bajar’ el centro de gravedad de la maquinaria, adosando una masa entre el equipo y sus aisladores; o se puede recurrir al concepto de piso flotante (aislador generalmente de goma) que tiene el mismo efecto.
Piso flotante CG
4.4.
Exitaci´ on arm´ onica de amplitud variable
Todo el an´ alisis llevado a cabo anteriormente consider´o el caso de exitaci´on arm´onica con amplitud constante; no obstante existen situaciones, particularmente para maquinaria rotativa, en las que la amplitud de la exitaci´ on var´ıa con la frecuencia de la misma. Este caso se presenta cuando el eje de rotaci´ on de cierto elemento motriz no coincide con su centro de masa. Este efecto de la respuesta del sistema se considerar´ a brevemente en esta secci´on. y dm yc
y
y r
r
CM
e
xc
P
dP
dm
yc
t
x
(a) Secci´ on en movimiento rotacional
CM
xc
x
(b) Elemento m´ asico diferencial
e
t
x
(c) Fuerza centr´ıfuga resultante
Figura 4.21: Elemento material en movimiento rotacional En la Figura 4.21(a) se muestra la secci´ on de un elemento material o masa en movimiento rotacional, en la que el centro de gravedad no coincide con el eje de rotaci´on. En el esquema se elije el origen del sistema coordenado coincidente con el eje de rotaci´on (eje z), y se muestra un elemento diferencial de masa ubicado en cierta posici´ on gen´erica (x, y). Con referencia a la Figura 4.21(b) suponiendo que este cuerpo rota con velocidad angular constante Ω, la aceleraci´ on de la part´ıcula de masa elemental se puede obtener a partir del vector posici´on gen´erico: ~r = r cos Ωtˆı + r sin Ωtˆ , r = |~r |
´ ARMONICA ´ 4.4. EXITACION DE AMPLITUD VARIABLE
107
~a = ~¨r = −Ω2 r cos Ωtˆı − Ω2 r sin Ωtˆ = −Ω2 ~r La fuerza centr´ıfuga o fuerza inercial (fuerza de D’Alembert) a la que est´a sometida la masa elemental componente del cuerpo en rotaci´on es: ~ = −(dm) ~a = Ω2 ~r dm dP Integrando sobre toda la masa del cuerpo en movimiento, obtenemos la fuerza centr´ıfuga resultante: Z Z ~ = ~r dm P Ω2 ~r dm = Ω2 m
m
Pero, sabemos que la ubicaci´ on del centro de masa est´a determinada por la relaci´on: R p ~r dm ~r cm = xcˆı + ycˆı , ~r cm = m , e = |~r cm | = x2c + yc2 m Si combinamos estas u ´ltimas dos ecuaciones, obtenemos: ~ = Ω2 m ~r cm P cuya magnitud es,
~ | = Ω2 m |~r cm | = Ω2 m e P = |P
y es una fuerza rotacional que est´ a aplicada como resultante en la ubicaci´on que posee el centro de masa del cuerpo en movimiento rotacional, como muestra la Figura 4.21(c). Si nos proponemos estudiar el movimiento seg´ un la direcci´on ‘y’, la componente de fuerza a considerar vendr´ a dada por: P (t) = Ω2 m e sin Ωt (4.38) Si llamamos P0 = Ω2 m e a la amplitud de esta carga, vemos que se trata de una solicitaci´ on con amplitud variable; ya que la velocidad angular de r´egimen en funcionamiento normal no se la adquiere instant´ aneamente, sino que existe un intervalo de tiempo en el que la velocidad angular se incrementa desde cero hasta su valor final. Este tipo de solicitaci´on se presenta en la rotaci´on de ejes que sostienen masas solidarias como en el caso de sistemas de transmisi´on o generaci´on de potencia mec´ anica mediante poleas, rotores, etc. P( t ) t
M
t
m
x
e
Fi m
k
c
Fc
Fk FiM
(a) Diagrama esquem´ atico
(b) Diagrama de cuerpo libre
Figura 4.22: M´ aquina con elemento material desbalanceado en movimiento rotacional La m´ aquina de la Figura 4.22(a) tiene un elemento componente que rota con velocidad angular constante Ω, que tiene su centro de masa localizado a una distancia e (denominada excentricidad ) con respecto al eje de rotaci´ on. La masa del componente rotante es m; mientras la masa de la m´ aquina (incluyendo la masa rotacional) es M . La m´aquina est´a restringida a moverse verticalmente. La
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
108
aceleraci´ on del elemento que rota relativo a la m´aquina es m e ω 2 dirigida desde su propio centro de masa hacia el eje de rotaci´ on. Puesto que la localizaci´on del centro de masa del elemento rotante se mueve sincronizadamente con el movimiento de este elemento, la direcci´on de esta aceleraci´on tambi´en cambia. La suma de fuerzas efectivas (que incluyen las fuerzas inerciales o de D’Alembert provenientes de la aceleraci´ on) mostradas en la Figura 4.22(b) deben dar una resultante nula, debido al equilibrio din´ amico existente en cualquier instante; entonces: −FiM − Fim − Fc − Fk + P (t) = 0 −(M − m) x ¨ − mx ¨ − c x˙ − k x + m e Ω2 sin Ωt = 0 O sea, que la ecuaci´ on de movimiento resulta: Mx ¨ + c x˙ + k x = m e Ω2 sin Ωt
(4.39)
Ahora, si denotamos la amplitud de carga externa aplicada como: P0 = m e Ω2 , la ecuaci´on anterior escrita en su forma estandarizada es: x ¨ + 2 β ω x˙ + ω 2 x =
P0 sin Ωt M
(4.39a)
la misma que la Ecuaci´ on (4.13), que tiene como soluci´on de estado estacionario a la Ecuaci´on (4.19); puesto que no se considera la vibraci´ on libre a causa de condiciones iniciales de movimiento. As´ı, la respuesta de desplazamiento del sistema es: Ω2 m e/k 2β h x(t) = p sin(Ω t − φ) , φ = arctan 1 − h2 (1 − h2 )2 + (2βh)2 Recordando que ω =
p k/M y h = Ω/ω, la soluci´on anterior puede ponerse en la forma: (m/M ) e h2 x(t) = p sin(Ω t − φ) (1 − h2 )2 + (2βh)2
(4.40)
De aqu´ı podr´ıamos establecer una ‘relaci´ on an´ aloga al factor din´ amico de carga’ para este tipo de exitaci´ on, definida mediante: fdc∗ (t, β, h) =
M x(t) h2 =p sin(Ω t − φ) me (1 − h2 )2 + (2βh)2
En virtud que estaremos interesados en el valor de amplitud de vibraci´on m´aximo, de la relaci´on anterior se obtiene: 2 h2 M xm´ax =p fdc∗m´ax = (4.41) me (1 − h2 )2 + (2βh)2 En la Figura 4.23 se muestra el espectro de respuesta definido por la Ecuaci´on (4.41) para diversos valores de la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico β (tomado como par´ametro). Las siguientes conclusiones pueden obtenerse del an´alisis de la Ecuaci´on (4.41), y la Figura 4.23 como representaci´ on gr´ afica de esta relaci´ on matem´atica: 1. fdc∗m´ax = 0 si y solamente si h = 0 para todos los valores de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico β. 2 Se previene al lector que la Ecuaci´ on (4.41) no es ex´ actamente un factor din´ amico de carga, debido a que la excentricidad de masa rotacional del sistema ‘e’ no es un factor de respuesta de la estructura. Muchos autores denominan a este par´ ametro din´ amico como: factor de amplificaci´ on. Por ello, denotaremos a esta caracter´ıstica como fdc∗m´ax (n´ otese el uso del super–´ındice).
´ ARMONICA ´ 4.4. EXITACION DE AMPLITUD VARIABLE
109
FDC*máx 5
= 0,0 4 = 0,1
3
= 0,2
= 0,4 = 0,707
2
= 1,0
1
0
1
2
3
4
5
h
Figura 4.23: Espectro de respuesta – Exitaci´on arm´onica variable 2. fdc∗m´ax → 1 para valores muy grandes de la relaci´on de frecuencias h, para todos los valores admisibles de β para sistemas amortiguados. 3. fdc∗m´ax → ∞ cuando h ∼ = 1, para β = 0 (sistema no–amortiguado). √ 4. Para 0 < β < 1/ 2 existe un valor m´aximo para la Ecuaci´on (4.41),que se presenta cuando la relaci´ on de frecuencias es igual a: 1 hM = p (4.42) 1 − 2β 2 que se obtiene hallando el valor de h para el que: dfdc∗m´ax /dh = 0. √ 5. Para un valor determinado de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico 0 < β < 1/ 2, el valor m´ aximo (maximorum) del factor din´amico de carga, correspondiente a hM est´a dado por: fdc∗m´ax (β) =
2β
1 p 1 − β2
(4.43)
√ 6. Para β > 1/ 2, el fdc∗m´ax no presenta un valor m´aximo, ya que crece desde un valor nulo y asint´ oticamente tiende hacia la unidad. Si consideramos nuevamente la Ecuaci´on (4.41) y la escribimos en la forma siguiente: fdc∗m´ax =
M xm´ax 1 = p 2 me (1 − h )2 + (2βh)2 h2
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
110
mediante simples operaciones algebr´ aicas, se demuestra que puede ser escrita como: fdc∗m´ax = p
1 [1 −
(h0 )2 ]2
(4.44)
+ (2βh0 )2
donde: h0 = 1/h = ω/Ω es la relaci´ on de frecuencias original invertida. Y, lo notable de esta relaci´on es que podemos apreciar que es completamente similar a la Ecuaci´on (4.20), donde se toma h0 en lugar de h. Esto, adem´ as nos indica que podemos utilizar el espectro de respuesta establecido para solicitaci´on arm´ onica no–amortiguada de amplitud constante, mostrada en la Figura 4.10, para realizar el an´alisis y c´ alculo num´erico de problemas relacionados con exitaci´on arm´onica de amplitud variable debido a condici´ on de masas rotantes exc´entricas !. Si ahora consideramos un sistema no–amortiguado; es decir: c = 0, y por tanto β = c/cc = 0, la Ecuaci´ on (4.44) se transforma en: 1 1 ∗ (4.45) = fdcm´ax = p 0 2 0 2 1 − (h ) (1 − h ) Esta expresi´ on se hace infinita cuando la relaci´on de frecuencias inversa toma valor unitario; es decir: fdc∗m´ax = ∞
⇔
h0 = 1
⇒
ω=Ω
que es la condici´ on resonante del sistema. As´ı, la velocidad angular de funcionamiento Ω para la cual el sistema entra en resonancia se llama velocidad angular cr´ıtica; y est´a asociada con la vibraci´on vertical de la m´ aquina. Ejemplo 4.7. En la Figura 4.24 se muestra un eje acoplado a sendos cojinetes instalados en sus extremos y una masa rotatoria exc´entrica en medio de su longitud. El conjunto de estas piezas rota con relaci´ on a la direcci´ on axial del eje con velocidad angular determinada. Suponiendo conocidas las propiedades materiales y mec´ anicas del sistema, determinar la velocidad cr´ıtica. Los par´ametros necesarios para el an´ alisis se indican en la Figura, y los mismos se consideran de magnitudes conocidas.
P( t )
P( t )=P0 sin t
e
d E m L/2
L/2
Figura 4.24: Eje y volante en movimiento rotacional
>
Soluci´ on
Durante la puesta en marcha del sistema pueden presentarse violentas vibraciones laterales asociadas con el modo de vibraci´ on flexional del eje cuando el sistema alcance la condici´on de resonancia. Dos tipos de respuesta deber´ an considerarse en el an´alisis general del problema: (a) Las vibraciones torsionales, que no se ver´an substancialmente afectadas por la presencia de los cojinetes o rodamientos en los que se apoyan los extremos del eje. (b) Las vibraciones laterales debido a la presencia de la masa rotativa conectada solidariamente al eje que la sostiene.
´ ARMONICA ´ 4.4. EXITACION DE AMPLITUD VARIABLE
111
El problema planteado en el inciso (b) es de nuestro inter´es, y en general para un eje de secci´ on transversal circular podr´ a tratarse en forma independiente del problema torsional (a). Si suponemos que es posible despreciar el peso propio del eje, considerando los efectos de amortiguamiento y asumiendo que los cojinetes no absorven movimiento de empotramiento, entonces la disposici´ on de montaje puede suponerse con el eje simplemente apoyado; por lo que la ecuaci´ on de movimiento resulta: mx ¨ + c x˙ + k x = Ω2 m e sin Ωt donde ‘e’ es la distancia entre el centro de masa del volante y el centro del eje de rotaci´on, a la cual como indicamos se la denomina com´ unmente excentricidad. Notemos que en este caso, la masa del sistema es id´entica a la masa del elemento rotante, por lo que la proporci´on de masas m/M que aparece en las ecuaciones deducidas en esta secci´ on vale la unidad (m/M = 1). Para el caso planteado y puesto en an´alisis, la condici´on resonante del sistema se presenta cuando la frecuencia de la exitaci´ on externa aplicada – la fuerza de exitaci´on que proviene del desbalanceamiento del volante – se iguala con la frecuencia natural no–amortiguada del sistema; entonces: r k Ω=ω= m donde:
π d4 48 E I , I = L3 64 E es el m´ odulo de elasticidad, L la longitud, y d el di´ametro del eje circular. Por lo tanto, la velocidad angular cr´ıtica del sistema es: r 3 Eπ d4 Ω=ω= 4 m L3 > Si el sistema se dise˜ na en forma adecuada, es decir manteniendo el valor de la Ecuaci´on (4.45) a niveles razonables, no se presentar´ an oscilaciones laterales flexionantes muy grandes en el sistema. Adem´ as debemos considerar que en la realidad todo sistema siempre posee alg´ un monto de amortiguamiento que mitigar´ a las amplitudes en condici´on de resonancia. Sin embargo, se previene que en caso de considerarse una amplia gama de velocidades de funcionamiento, puede ser necesario un an´alisis que incluya otros modos de oscilaci´on no tomados en cuenta en este modelo. La t´ecnica apropiada, sin embargo, entra en el dominio de los sistemas con un n´ umero m´ ultiple de grados de libertad. k=
Ejemplo 4.8. Una bomba hidr´ aulica tiene un peso total de 128 Kg, y posee un rotor de 36 Kg de peso el cual tiene una excentricidad equivalente a 3,2 mm con relaci´on a su eje de rotaci´on. Para evitar la amplificaci´ on de fuerza transmitida a la cimentaci´on a causa del desbalanceo, se sugiere instalar cuatro resortes y amortiguadores; un par de ellos en cada v´ertice de su placa base rectangular como muestra la Figura 4.25. Si la velocidad de r´egimen de funcionamiento de la m´aquina est´a en el rango de 1600 a 2000 rpm, y se estima en 8 % la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico; especificar los coeficientes de cada uno de los elementos que conforman el sistema de aislaci´on de vibraci´on propuesto, si se limita la amplitud de vibraci´ on de la m´ aquina a un m´aximo de 2 mm. > Soluci´ on La bomba hidr´ aulica, debido al desbalanceo de su rotor, generar´a una fuerza de exitaci´on durante su funcionamiento. La ecuaci´ on que gobierna la din´amica de su movimiento en direcci´on vertical es: Mx ¨ + c x˙ + k x = m e Ω2 sin Ωt donde los par´ ametros asociados con la flexibilidad y el amortiguamiento, son valores equivalentes para el sistema de aislaci´ on en conjunto.
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
112
M x( t )
m, e
c
k
c
k
Figura 4.25: Bomba hidr´aulica con sistema aislador de vibraci´on El factor din´ amico de carga m´ aximo atribu´ıdo al caso de carga de exitaci´on debido al desbalanceo de masas rotantes est´ a dado por la Ecuaci´ on (4.41) fdc∗m´ax =
h2 M xm´ax =p me (1 − h2 )2 + (2βh)2
que para el caso presente d´ a como resultado un valor predeterminado: fdc∗m´ax =
M xm´ax 128×2 = = 2, 22 me 36×3, 2
Como la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico del sistema est´a especificado: β = 8 % = 0, 08 podemos resolver la ecuaci´ o n anterior para la relaci´ on de frecuencias. Adem´as, como calculamos que fdc∗m´ax > 1 √ y β < 1/ 2, la Figura 4.23 muestra que dos valores de h corresponder´an al valor especificado del factor din´ amico de carga. Reemplazando datos y desarrollando, se logra plantear la ecuaci´on siguiente: h4 − 2, 477h2 + 1, 255 = 0 cuyas ra´ıces, como puede comprobarse f´ acilmente, resultan ser: h1 = 0, 843
y
h2 = 1, 329
Luego, fdc∗m´ax < 2, 22 si h < 0, 843 o si h > 1, 329. Estos son valores que nos permitir´an calcular la frecuencia natural circular, y posteriormente la rigidez de la aislaci´on, puesto que conocemos la frecuencia de exitaci´ on: 1600 6 Ω 6 2000 rpm (167, 55 6 Ω 6 209, 44 rad/seg) Requiriendo que h < 0, 843 sobre todo el rango de frecuencias de funcionamiento de la maquinaria, tendremos: Ω Ω 209, 44 h< , ⇒ ω< = = 248, 45 rad/seg ω h 0, 843 Pero ω 2 = keq /M , entonces: 128 248, 452 = 8054, 14 Kg/cm 981 Como los resortes est´ an instalados en paralelo (la deformaci´on es la misma para todos ellos), se debe cumplir en este caso: keq < M ω 2 =
keq =
4 X i=1
ki = 4 k ,
⇒
k=
keq < 2013, 54 Kg/cm 4
El coeficiente de amortiguamiento de cada uno de los dispositivos se calcula como sigue: ceq < 2β ω, M
⇒
ceq < 2 β ω M = 2×0, 08×209, 44×
128 = 4, 37 Kg-seg/cm 981
´ ARMONICA ´ 4.4. EXITACION DE AMPLITUD VARIABLE
ceq =
4 X
⇒
ci = 4 c ,
c=
i=1
113
ceq < 1, 09 Kg-seg/cm 4
Si ahora requerimos se cumpla la otra posibilidad: h > 1, 329 sobre todo el rango de funcionamiento, tendremos repitiendo el c´ alculo. h>
Ω , ω
⇒
ω>
Ω 167, 55 = = 126, 07 rad/seg h 1, 329
128 126, 072 = 2073, 79 Kg/cm 981 keq k> > 518, 32 Kg/cm 4 128 ceq > 2 β ω M = 2×0, 08×167, 55× = 3, 49 Kg-seg/cm 981 ceq c= > 0, 87 Kg-seg/cm 4 En resumen, si se desea que la amplitud de la vibraci´on de la m´aquina no exceda los 2 mm ; los coeficientes de rigidez (para los resortes) y de amortiguaci´on (para los amortiguadores) que se pretenden instalar en los v´ertices de la placa base de la m´aquina, deber´an tener valores en los rangos siguientes: 518, 32 6 k 6 2013, 54 Kg/cm y 0, 87 6 c 6 1, 09 Kg-seg/cm keq > M ω 2 =
Obviamente, otras consideraciones adicionales deben establecerse para escoger los dispositivos a instalarse como: la tensi´ on interna m´axima, el material, la durabilidad, y el costo de los mismos; como aspectos importantes de simple ejemplo. > A modo de comprobaci´ on de los resultados obtenidos en el ejemplo anterior, indicamos que la Ecuaci´ on (4.44) puede utilizarse para resolver problemas con exitaci´on de amplitud variable. Si comprobamos solo una de las soluciones encontradas para la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico, tendr´ıamos: h = 0, 843 , fdc∗m´ax = p
1 [1 −
(h0 )2 ]2
+
(2βh0 )2
h0 =
1 1 = = 1, 186 h 0, 843
1 =p = 2, 22 2 2 (1 − 1, 186 ) + (2×0, 08×1, 186)2
lo cual ratifica que efectivamente se obtiene el valor del fdc∗m´ax especificado para el problema.
4.4.1.
Balanceo de rotores
En el desarrollo te´ orico previo, el sistema fu´e idealizado como una unidad resorte – masa – amortiguador con un desbalance rotatorio que act´ ua en un solo plano. Es m´as probable que el desbalance de un rotor est´e distribu´ıdo en varios planos. Queremos distinguir entre dos tipos de desbalance rotatorio y mostrar como este desperfecto puede corregirse. Desbalance est´ atico Cuando las masas no–balanceadas yacen en un plano singular, como en el caso de un rotor de disco delgado, el desbalance resultante es una fuerza radial. Como se muestra en la Figura 4.26(a), tal desbalance puede detectarse por medio de una prueba est´atica en la cual el conjunto eje–rueda es colocado sobre un par de rieles horizontales. La rueda rodar´a girando hasta detenerse en una posici´ on en donde el punto pesado estar´ a directamente debajo el eje. Como tal desbalance puede detectarse sin necesidad de hacer girar la rueda, se llama desbalance est´ atico.
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
114
Pk rotor
(a) Desbalance est´ atico
(b) Desbalance din´ amico
(c) M´ aquina de balanceo de rotor
Figura 4.26: Tipos de desbalanceo y equipo para su correcci´on
Desbalance din´ amico Cuando el desbalance aparece en m´ as de un plano, la resultante es una fuerza y un momento de balanceo que constituyen el llamado desbalance din´ amico. Como se describi´o previamente, una prueba est´ atica puede detectar la fuerza resultante, pero el momento de balanceo no puede detectarse sin hacer girar el rotor. Por ejemplo, consideremos un eje con dos discos como se muestra en la Figura 4.26(b); si las dos masas no balanceadas son iguales y est´ an a 180◦ , el rotor estar´a est´aticamente balanceado con respecto al eje del arbol. Sin embargo, cuando el rotor est´a girando, cada disco no–balanceado establecer´a una fuerza centr´ıfuga rotante que tiende a mecer el arbol en sus cojinetes. En general, un rotor largo tal como una armadura de motor o el cig¨ ue˜ nal del motor de autom´ovil, pueden considerarse como una serie de discos delgados con alg´ un desbalance. Tales rotores deben ser ensayados haci´endolos girar para poder detectar el desbalance. Las m´ aquinas que detectan y corrigen el desbalance del rotor se denominan m´ aquinas de balanceo. esencialmente la m´ aquina de balanceo consiste de cojinetes portantes montados sobre resortes a fin de detectar las fuerzas no balanceadas por su movimiento, como muestra la Figura 4.26(c). Conociendo la amplitud de movimiento de cada cojinete y su fase relativa, es posible determinar el desbalance y corregirlo. Ejemplo 4.9. Aunque un disco delgado puede ser balanceado est´aticamente, tambi´en puede serlo din´ amicamente. Describir una prueba que pueda ser realizada f´acilmente.
b x1
x0 o
(a) Diagrama esquem´ atico
a
o
x0
(b) Fuerzas de desbalanceo
Figura 4.27: Balanceo experimental de disco delgado >
Soluci´ on
a
´ ARMONICA ´ 4.4. EXITACION DE AMPLITUD VARIABLE
115
El disco est´ a soportado por cojinetes sobre resortes que pueden moverse horizontalmente como muestra la Figura 4.27(a). Funcionando a cualquier velocidad predeterminada, la amplitud x0 y la posici´ on de la rueda “a” en amplitud m´ axima se registran. Para esto puede utilizarse un aceler´ometro en el cojinete y un estroboscopio. La amplitud x0 , debido al desbalance original m0 , es dibujada a escala en la rueda; en la direcci´ on de o hacia a. Seguidamente, una masa de ensayo m1 es a˜ nadida a cualquier punto de la rueda y el procedimiento se repite a la misma velocidad de funcionamiento. La nueva amplitud x1 y la posici´on de la rueda “b”, que son debidas al desbalance original m0 y a la masa de ensayo m1 , est´an representadas por el vector ~ el cual es trazado sobre la rueda a continuaci´on del vector oa. ab, ~ ~ es entonces el efecto de la masa de ensayo m1 sola. Si la posici´on de m1 El vector diferencial ab es ahora avanzada en un ´ angulo Ψ mostrado en el diagrama de la Figura 4.27(b) y, se incrementa la ~ se tornar´a igual y opuesto al vector oa. magnitud de m1 a m1 (oa/ab), el vector ab ~ La rueda est´a ahora balanceada puesto que x1 es cero en estas condiciones. > Un rotor largo puede ser balanceado adicionando o removiendo pesos de correcci´on en dos planos paralelos cualquiera, genaralmente, la correcci´on se hace perforando en los dos planos extremos; es decir, cada fuerza radial de inercia m e Ω2 es reemplazada por dos fuerzas paralelas, una en cada extremo. Con varias masas desbalanceadas tratadas similarmente, la correcci´on requerida se determina a partir de su resultante en los dos planos extremos. Ejemplo 4.10. Consideremos el balanceo de un rotor de 4 pulg de largo mostrado en la Figura 4.28. Tiene un desbalance de 3 onzas–pulg en un plano a una pulgada del extremo izquierdo y, un desbalance de 2 onzas–pulg en el plano medio, desplazado angularmente 90◦ del primer desbalance. Realizar el an´ alisis pertinente para efectuar el balanceo din´amico del rotor.
3 21 4
1 3 4
1 1 2
Figura 4.28: Balanceo de un rotor largo en planos extremos > Soluci´ on El desbalance de 3 onzas–pulg es equivalente a 2 14 onzas–pulg en el extremo izquierdo y 34 onzas–pulg en el extremo derecho, como se muestra en la Figura 4.28. El desbalanceo de 2 onzas–pulg en el centro, es obviamente igual a 1 onza–pulg en cada uno de los extremos. Combinando (u componiendo) los desbalances en cada extremo, las correcciones son: En el extremo izquierdo: C1 = θ1 = arctan
p
12 + 2, 252 = 2, 47 onzas–pulg que deben removerse
1 = 24◦ 00 en direcci´on horaria a partir del plano del primer desbalance 2, 25
En el extremo derecho: q C2 =
3 2 4
+ 12 = 1, 25 onzas–pulg que deben removerse
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
116
θ2 = arctan
1 = 53◦ 00 en direcci´ on horaria a partir del plano del primer desbalance 3/4
Efectu´ andose la remoci´ on de las masas calculadas en las direcciones angulares y posiciones radiales establecidas, el rotor estar´ a balanceado din´amicamente. >
4.5.
Evaluaci´ on del amortiguamiento
En el Cap´ıtulo 3 se expuso un m´etodo para calcular la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema o estructura. Es evidente a partir de la Ecuaci´on (4.20) y la gr´afica mostrada en la Figura 4.13 que la forma de las diversas curvas est´ a controlada por el monto de amortiguamiento presente en el sistema, medido a trav´es de la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico. Por tanto, la respuesta a una exitaci´ on arm´ onica puede utilizarse tambi´en con el objetivo de evaluar la cantidad de amortiguamiento presente en el sistema, lo cual puede hacerse de diversas formas. Expondremos en esta seci´on una de las maneras de procedimiento, conocido como el “m´etodo del ancho de banda”. Esta t´ecnica, como todas sus similares, se aplica cuando por m´etodos experimentales podemos conocer la respuesta de un sistema. Si con el equipo disponible podemos medir la respuesta del sistema hacia una exitaci´ on arm´ onica aplicada al mismo y es posible, desde luego, graficar la curva de respuesta hallada variando la frecuencia de exitaci´ on; podemos elaborar una gr´afica similar a la mostrada en la Figura 4.29.
FDC máx FDC res
3
FDC res/ 2
h2 h1 ancho de banda
2
1
0
h1
1 h2
2
h
Figura 4.29: Espectro de respuesta – Exitaci´on arm´onica Asumiendo que la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico no es de valor muy elevado (β < 20 %), sabemos que el m´ aximo valor del espectro de respuesta se presenta casi pr´acticamente para la condici´on resonante (en realidad ocurre algo antes) con magnitud: 1 fdcm´ax (β) ∼ = fdcres = 2β
´ DEL AMORTIGUAMIENTO 4.5. EVALUACION
117
como lo indica la Ecuaci´ on (4.21). En la curva de respuesta ubicamos los puntos para los cuales el factor din´amico de carga m´ aximo toma el valor caracter´ıstico: fdcres (4.46) fdc∗m´ax = √ 2 asociado con la potencia media de disipaci´on de energ´ıa. Entonces de la Ecuaci´on (4.20) tendremos: 1 1 p √ = 2β 2 (1 − h2 )2 + (2βh)2 expresi´ on que nos permitir´ a hallar los valores de h para los cuales la respuesta es igual al valor establecido por la Ecuaci´ on (4.46). Elevando al cuadrado esta u ´ltima ecuaci´on y desarrollando, se obtiene: h4 + (4β 2 − 2)h2 + (1 − 8β 2 ) = 0 Resolviendo para h2 tendremos: h21,2 = 1 − 2β 2 ± 2β
p
1 + β2
Pero, como la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico es peque˜ na, β 2 1; por tanto las ra´ıces ser´ıan: h21 = 1 − 2β 2 − 2β h22 = 1 − 2β 2 + 2β Obteniendo la ra´ız cuadrada de las relaciones anteriores, y desarrollando el radical por expansi´ on seg´ un el binomio de Newton (despreciando t´erminos de orden superior al segundo), se obtiene: p h1 = 1 − 2(β + β 2 ) = 1 − β − β 2 p h2 = 1 + 2(β − β 2 ) = 1 + β − β 2 Combinando estas ecuaciones, tenemos finalmente para la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico: β = 12 (h2 − h1 )
(4.47)
Esta t´ecnica requiere una evaluaci´on precisa de la curva de respuesta en el ancho de banda definido entre h2 − h1 , siendo la misma adem´as independiente de la deflexi´on o deformaci´on est´atica debida a la aplicaci´ on de la amplitud de la carga de exitaci´on. Ejemplo 4.11. En la Figura 4.30 se muestran los datos de respuesta en frecuencia a una exitaci´ on arm´ onica de un sistema de un grado de libertad, donde se grafica la amplitud de vibraci´on m´axima en funci´ on de la frecuencia de la carga arm´onica aplicada. Estimar con los datos presentados, la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico del sistema. > Soluci´ on De la gr´ afica podemos apreciar que la frecuencia cr´ıtica (resonante) del sistema es: Ω=ω∼ = 20 Hz En esta condici´ on, la amplitud m´ axima de vibraci´on resonante es: xres = 5, 67×10−2 pulg. Como el m´etodo del ancho de banda no tiene dependencia del desplazamiento est´atico debido a la aplicaci´ on de la amplitud de carga arm´onica, podemos tomar convencionalmente xest = 1×10−2 pulg; para que los valores de amplitud proporcionados (sin el factor multiplicador 10−2 ) sean aquellos que se indican en la Figura 4.29 como valores adimensionales del factor din´amico de carga m´aximo fdcm´ax ; entonces el valor pico (m´ aximo maximorum) del espectro de respuesta es: fdcres = 5, 67
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
118
6
-2
5,67x10 5
X máx 10
-22
[ pulg ]
-2
4,01x10
4 3 2 1 2
1
0
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
[ Hz ] Figura 4.30: Funci´ on de respuesta de sistema – Exitaci´on arm´onica Calculamos ahora el valor caracter´ıstico asociado con la potencia media de disipaci´on de energ´ıa mediante: 5, 67 fdcres = √ = 4, 01 fdc∗m´ax = √ 2 2 En la Figura 4.30 se muestra esta l´ınea de referencia, para la cual debemos hallar los valores de relaci´on de frecuencias h = Ω/ω que se corresponden con este u ´ltimo valor, los cuales definen precisamente el ancho de banda asociado con el sistema en an´alisis. De la Figura 4.30 podemos estimar que los valores de frecuencia de exitaci´on que se corresponden con fdc∗m´ax ser´ıan: Ω1 = 19, 45 Hz y Ω2 = 20, 4 Hz Ω1 19, 45 Ω2 20, 4 = = 0, 9725 h2 = = = 1, 02 ω 20 ω 20 La fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico del sistema puede ser ahora estimada aplicando la Ecuaci´ on (4.47) que indica que este valor es igual a la mitad del ancho de banda, es decir:
Por tanto:
h1 =
β = 12 (h2 − h1 ) = 12 (1, 02 − 0, 9725) = 0, 024 = 2, 4
%
> El ejemplo resuelto anterior muestra de manera clara la simplicidad y facilidad de aplicaci´on del m´etodo del ancho de banda en la determinaci´on de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico. La exactitud de la soluci´ on obtenida, sin embargo, estar´a en directa dependencia de la fiabilidad de los datos experimentales obtenidos y de una adecuada representaci´on gr´afica de ellos.
4.6.
Exitaci´ on peri´ odica
Muchos sistemas soportan exitaciones que son peri´odicas, es decir se repiten a intervalos regulares de tiempo. Su tratamiento puede reducirse al caso de funciones arm´onicas, en virtud de los desarrollos en serie mediante funciones arm´ onicas que tienen las exitaciones peri´odicas, debidas al matem´atico franc´es Fourier. El m´etodo se basa en el hecho que bajo ciertas condiciones, una funci´on P (t) puede escribirse como: ∞
P (t) =
a0 X + an cos nΩt + bn sin nΩt 2 n=1
(4.48)
´ PERIODICA ´ 4.6. EXITACION
119
donde los diferentes t´erminos constantes, se definen como sigue: 2 an = Tp
Z
2 Tp 2π Ω= Tp
Z
Tp
P (t) cos nΩt dt
n = 0, 1, 2 . . .
(4.48a)
P (t) sin nΩt dt
n = 1, 2 . . .
(4.48b)
0 Tp
bn =
0
(4.48c)
El par´ ametro Tp es el per´ıodo, o sea el intervalo de tiempo despu´es del cual la funci´on peri´odica se repite de forma id´entica; el mismo que es mostrado en la Figura 4.31, donde se ejemplifica gr´aficamente una funci´ on de este tipo.
P( t )
Tp
t
Figura 4.31: Funci´on peri´odica variable en el tiempo Las condiciones que debe cumplir la funci´on peri´odica para poder ser representada mediante una serie infinita como en la Ecuaci´ on (4.48), se resumen a continuaci´on: 1. La funci´ on peri´ odica debe ser acotada en en interior del intervalo temporal coincidente con su propio per´ıodo. Z Tp | P (t) | dt < ∞ 0
2. La funci´ on peri´ odica P (t) tiene que tener s´olo discontinuidades de primera especie y ser seccionalmente cont´ınua en el intervalo (0, Tp ]. Naturalmente, definiciones m´ as precisas pueden encontrarse en un libro especializado en el tema; sin embargo, usualmente la generalidad de las funciones peri´odicas que se manejan en el an´alisis de vibraciones mec´ anicas cumplir´ an los requisitos m´ınimos en raz´on de que en nuestro caso representan eventos de tipo f´ısico.
4.6.1.
Respuesta del sistema
Si el sistema bajo consideraci´ on est´a sometido a una exitaci´on peri´odica, y ´esta es representable mediante una serie de Fourier, la respuesta se determina utilizando las t´ecnicas ya desarrolladas para funciones arm´ onicas. La respuesta del sistema se eval´ ua superponiendo las componentes individuales de cada t´ermino de la serie; esto naturalmente trae impl´ıcito que la integral de la serie converge a la integral de la funci´ on. El procedimiento es el siguiente para un sistema no–amortiguado: mx ¨ + k x = P (t)
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
120
donde P (t) se supone peri´ odica; por tanto: ∞
mx ¨+kx =
a0 X + an cos nΩt + bn sin nΩt 2 n=1
(4.49)
Si asumimos a–priori que las oscilaciones libres, dependientes de la frecuancia natural circular, desaparecen con el transcurrir del tiempo, la respuesta del sistema en estado estacionario es: Para los t´erminos que contienen la funci´on cos nΩt an /k cos nΩt , 1 − h2n
xnc (t) =
hn =
nΩ ω
hn =
nΩ ω
Para los t´erminos que contienen la funci´on sin nΩt bn /k sin nΩt , 1 − h2n
xns (t) = Para el t´ermino constante a0
x0 (t) =
a0 2k
La respuesta estacionaria del sistema es la superposici´on de las soluciones parciales establecidas anteriormente; por lo tanto: ∞ X xnc (t) + xns (t) x(t) = x0 (t) + n=1
1 x(t) = k
"
∞
a0 X 1 + ( an cos nΩt + bn sin nΩt ) 2 1 − h2n n=1
# (4.50)
Si es necesario considerar el amortiguamiento en la respuesta del sistema, el procedimiento es absolutamente similar al presentado aqu´ı. Se deja como ejercicio para el lector interesado la evaluaci´on de la respuesta de un sistema amortiguado sometido a la acci´on de una exitaci´on peri´odica externa aplicada a ´el. Ejemplo 4.12. Evaluar la respuesta de un sistema no–amortiguado sometido a la exitaci´on peri´odica mostrada en la Figura 4.32(a), conocida como ‘tren de pulsos rectangulares’. P( t )
x( t )
P0
x est
t
Tp/2
t
Tp (a) Exitaci´ on (carga) externa aplicada
(b) Respuesta (desplazamiento) del sistema
Figura 4.32: Ejemplo de vibraci´on peri´odica
>
Soluci´ on
La ecuaci´ on de movimiento del sistema es: mx ¨ + k x = P (t)
´ PERIODICA ´ 4.6. EXITACION
121
donde la fuerza de exitaci´ on P (t) se muestra en la Figura 4.32, y por ser ´esta peri´odica hallamos su desarrollo en serie de Fourier. Z Tp 2 P (t) cos nΩt dt n = 0, 1, 2, . . . an = Tp 0 an = por tanto:
2 Tp
Tp /2
Z
P0 cos nΩt dt = 0
P0 sin nπ nπ
n = 0, 1, 2, . . .
a0 = P0 , an = 0 n = 1, 2, 3, . . . Z Tp 2 P (t) sin nΩt dt n = 1, 2, . . . bn = Tp 0 2 bn = Tp
Z
Tp /2
P0 sin nΩt dt = 0
que puede escribirse:
b2n+1 =
P0 P0 (1 − cos nπ) = [1 − (−1)n ] nπ nπ
2P0 (2n + 1)π
n = 1, 2, . . .
n = 0, 1, 2, . . .
Por lo tanto, el desarrollo final de la carga de exitaci´on P (t) en serie de Fourier es: ∞
P (t) =
2P0 P0 X + sin(2n + 1)Ωt 2 (2n + 1)π n=0
La respuesta del sistema se obtiene aplicando el principio de superposici´on, la cual resulta: " # ∞ 1 P0 1 2X 1 x(t) = + sin(2n + 1)Ωt k 2 π n=0 1 − h22n+1 2n + 1 donde:
(2n + 1)Ω n = 0, 1, 2, . . . ω Si se supone por ejemplo: Ω/ω = 2/3, y recordando que: xest = P0 /k; para este caso particular se obtiene como respuesta del sistema: 1 18 2 18 18 x(t) = xest + sin Ωt − sin 3Ωt − sin 5Ωt − sin 7Ωt + · · · · · · 2 5π 9π 455π 1309π h2n+1 =
donde la amplitud de sin 7Ωt es solo el 6,18 % de la amplitud de sin 3Ωt, y por lo tanto su contribuci´ on al desplazamiento total ser´ a menor; sin embargo, si se desea evaluar la velocidad o aceleraci´on se deber´ an considerar m´ as t´erminos del desarrollo en serie que para el c´alculo del desplazamiento (porqu´e ?). En la Figura 4.32(b) mostramos un bosquejo de la respuesta obtenida. >
4.6.2.
M´ aquinas de movimiento alterno
Los motores de combusti´ on interna, las bombas de desplazamiento positivo, y cualquier maquinaria que involucra un mecanismo de cig¨ ue˜ nal mediante el cual un movimiento rotatorio produce movimiento lineal alterno o viceversa, originan fuerzas de tipo peri´odico las mismas que pueden ser evaluadas una vez que se conoce la geometr´ıa y masas involucradas en el movimiento. Consideremos el conjunto de pist´ on, biela y cig¨ ue˜ nal o manivela mostrados en la Figura 4.33. Si se supone que el cig¨ ue˜ nal tiene velocidad angular Ω, el movimiento del pist´on puede calcularse de la geometr´ıa de la Figura 4.33. Se supone que para Ωt = 0, xp = 0; entonces: xp (t) = L (1 − cos φ) + r (1 − cos Ωt)
(4.51)
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
122
y B
r O
L
t
A
x
xP Figura 4.33: Mecanismo cig¨ ue˜ nal–biela–pist´on adem´ as,
r
r 2
sin2 Ωt L Si la relaci´ on r/L es peque˜ na (como en general se presenta en casos pr´acticos), se puede tomar los dos primeros t´erminos del desarrollo binomial, entonces: 1 r 2 2 sin Ωt 1 − cos φ = 2 L L sin φ = r sin Ωt
⇒
cos φ =
1−
Expresando el sin2 Ωt en funci´ on del ´ angulo doble, la Ecuaci´on (4.51) se transforma en: 1 r 2 1 − cos 2Ωt x(t) = L + r (1 − cos Ωt) 2 L 2 Simplificando, finalmente el desplazamiento del pist´on viene dado por: r r2 − r cos Ωt + cos 2Ωt x(t) = r + 4L 4L Derivando temporalmente esta expresi´ on obtenemos la velocidad y aceleraci´on del pist´on, r x˙ = r ω sin Ωt + sin 2Ωt 2L r 2 x ¨ = rω cos Ωt + cos 2Ωt L
(4.52)
(4.52a) (4.52b)
Las Ecuaciones (4.52) nos indican que el movimiento del pist´on tiene componentes arm´onicas de frecuencias Ω y 2Ω, sin embargo el movimiento real contendr´a componentes de frecuencias mayores que fueron despreciadas al realizar el desarrollo binomial, las mismas que ser´an menos importantes seg´ un la relaci´ on r/L sea m´ as peque˜ na. Al movimiento del pist´ on est´ an asociadas fuerzas debidas a la masa de los componentes en movimiento. Estas masas se pueden suponer concentradas con una aproximaci´on en los puntos a y b (v´ease la Figura 4.33). Si el brazo del cig¨ ue˜ nal est´ a desequilibrado, su efecto se puede evaluar considerando una masa concentrada en el punto b, la cual produce el mismo efecto. Del mismo modo, la masa de la biela se descompone en dos masas situadas en los puntos a y b, las cuales tienen el mismo centro de gravedad que la biela. La masa del pist´ on obviamente se puede suponer concentrada en el punto a. Llamando malt a la masa concentrada en el punto a, que tendr´ıa un movimiento rectil´ıneo alternante, la fuerza de inercia debido a su movimiento se calcula por: r PA = malt Ω2 r cos Ωt + cos 2Ωt L La fuerza de inercia debida al movimiento del punto b en la direcci´on del eje x se calcula considerando una masa concentrada en dicho punto, la cual llamamos mrot por el movimiento de rotaci´on que
´ PERIODICA ´ 4.6. EXITACION
123
posee el punto b asociado a la misma. La aceleraci´on de este punto en la direcci´on del eje x se calcula por: xB = r (1 − cos Ωt) derivando:
x ¨B = Ω2 r cos Ωt
Por lo tanto:
PB = mrot Ω2 r cos Ωt
La fuerza de inercia total seg´ un la direcci´on x se obtiene sumando las fuerzas previas: Px = PA +PB , que resulta: r2 cos 2Ωt (4.53) Px = ( malt + mrot ) Ω2 r cos Ωt + malt Ω2 L Mientras que la componente de fuerza en la direcci´on y viene determinada por: Py = − mrot Ω2 r sin Ωt
(4.54)
La Ecuaci´ on (4.53) indica que la fuerza de inercia seg´ un la direcci´on x es peri´odica con dos componentes: una con frecuencia Ω llamada componente primaria, y otra con frecuencia 2Ω denominada componente secundaria. Mientras que la componente seg´ un la direcci´on y tiene una sola componente. El efecto de estas fuerzas de inercia se traduce en una excitaci´on sobre la estructura portante que contiene al mecanismo, y en consecuencia su evaluaci´on es necesaria particularmente cuando se analiza la fundaci´ on de un motor estacionario, recalcando sin embargo que debido a las m´ ultiples partes m´ oviles involucradas en el funcionamiento de una maquinaria, en general habr´a diferentes fuerzas que excitar´ an seg´ un su magnitud los distintos grados de libertad de la fundaci´on. En el caso de un motor de varios cilindros, el efecto de las fuerzas de inercia desbalanceadas puede ser minimizado o anulado completamente arreglando en forma adecuada la posici´on de los cilindros; las t´ecnicas, desde luego, se encuentran en literatura especializada sobre el tema. Concluimos haciendo notar que un motor de un solo cilindro es intr´ınsecamente desbalanceado, y por lo tanto su balanceo es pr´ acticamente imposible. La Tabla 4.1 proporciona datos de dos motores de un solo cilindro. Adaptado de: Vibration of soils and foundations. F.E. Richart, Jr. et all. Tabla 4.1: Resumen de datos – Motores de un solo cilindro Calibre cilindro [mm]
Desplaz. pist´ on [mm]
Radio cig¨ ue˜ nal r [cm]
Longitud biela L [cm]
Proporc. r/L
Peso pist´ on [Kg]
Peso perno A [Kg]
Peso biela [Kg]
Peso malt [Kg]
Peso motor [Kg]
146 130
203 165
10,16 8,26
38,10 27,31
0,267 0,302
4,80 3,26
1,31 0,85
8,15 5,07
8,61 5,38
1028 1028
Se supone que el eje del cig¨ ue˜ nal est´ a completamente balanceado: mrot = 0
.
Ejemplo 4.13. Un motor de un solo cilindro 146×203 est´a instalado sobre una plataforma conectada r´ıgidamente a columnas met´ alicas. Si se supone que el motor funciona a 400 rpm, evaluar el desplazamiento lateral de la estructura. Suponer adem´as que el cig¨ ue˜ nal tiene un peso estimado desbalanceado de 2,5 Kg. Las propiedades de la estructura se muestran en la Figura 4.34(a). > Soluci´ on Primeramente realizaremos una compilaci´on de datos y calcularemos valores b´asicos para el an´ alisis. datos del motor
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
124
3
F = 12 E I/L 1
Sección A-A
1
W
Perfil BWF24 6
F
2
E = 2,1x10 Kg/cm 4
I = 3433,9 cm
EI A
A
L
L = 350 cm b=4m W = 500 Kg/m
L
F
EI
b
(a) Estructura portante y datos
(b) Rigidez lateral estructural
Figura 4.34: Estructura p´ortico y motor alternativo
De la Tabla 4.1 tenemos: malt = Walt /g = 8, 61/981 = 0, 0087 Kg-seg2 /cm mrot = Wrot /g = 2, 5/981 = 0, 0025 Kg-seg2 /cm × Ω = 400 rpm
1 rad/seg = 41, 89 rad/seg 60/2π rpm
datos de la estructura Denotando: mplat a la masa de la plataforma, mmot a la masa del motor, y m a la masa vibrante, tendremos: mplat = Wplat /g = 500×4/981 = 2, 038 Kg-seg2 /cm mmot = Wmot /g = 1028/981 = 1, 048 Kg-seg2 /cm m = mplat + mmot = 2, 038 + 1, 048 = 3, 086 Kg-seg2 /cm Por suponerse conexi´ on r´ıgida y tenerse dos columnas con disposici´on en paralelo [v´ease la Figura 4.34(b)]: k = 2kcol = 2
F 12EI/L3 24EI 24×2×106 ×3433, 91 =2 = = = 4036, 59 Kg/cm δ 1 L3 3503 r r k 4036, 59 ω= = = 36, 16 rad/seg m 3, 086
´n datos de la exitacio La amplitud de la componente primaria de fuerza est´a determinada por: PI = malt + mrot ) Ω2 r = ( 0, 0087 + 0, 0025 ) 41, 892 ×10, 16 = 199, 68 Kg mientras que la amplitud de la componente secundaria es: PII = malt Ω2
r2 10, 162 = 0, 0087×41, 892 = 41, 36 Kg l 38, 10
´ DE LA VIBRACION ´ 4.7. MEDICION
125
La fuerza de exitaci´ on del modelo estar´a definida por: Px (t) = PI cos Ω t + PII cos 2Ω t Px (t) = 199, 68 cos 41, 86 t + 41, 36 cos 83, 72 t Kg
´ lisis y respuesta modelo de ana La ecuaci´ on gobernante de la din´amica vibracional lateral del sistema es: mx ¨ + k x = Px (t) que tiene por soluci´ on de estado estacionario: x(t) = donde:
PII /k PI /k cos Ω t + cos 2Ω t 0 2 1 − (h ) 1 − (h00 )2
h0 =
Reemplazando valores:
Ω = 1, 157 ω
h00 =
2Ω = 2, 315 ω
x(t) = − 0, 146 cos 41, 86 t − 0, 0023 cos 83, 72 t cm
El valor m´ aximo (amplitud de vibraci´on) se produce para Ω t = 0, 2π, 4π, . . . rad, y vale: |xm´ax | = 0, 146 cm La velocidad se obtiene derivando temporalmente, x(t) ˙ = 6, 112 sin 41, 86 t + 0, 193 sin 83, 72 t cm/seg |x˙ m´ax | = 6, 117 cm/seg y, la aceleraci´ on derivando nuevamente, x ¨(t) = 255, 85 cos 41, 86 t + 16, 16 cos 83, 72 t cm/seg2 |¨ xm´ax | = 256, 36 cm/seg2 = 0, 26 g ! Los valores encontrados para las variables cinem´aticas m´aximas (posici´on, velocidad y aceleraci´ on) son relativamente altos, e indican que el comportamiento de la estructura no es satisfactorio. Se puede mejorar el dise˜ no variando la rigidez de la estructura portante, o si es posible la masa oscilante; ya que usualmente ser´ıa muy dif´ıcil modificar las condiciones de funcionamiento del motor alternativo. >
4.7.
Medici´ on de la vibraci´ on
Los registros de las vibraciones son efectuadas usando transductores s´ısmicos. El uso de cualquier dispositivo con el fin de efectuar mediciones de par´ametros de inter´es es denominada instrumentaci´ on. En el ´ ambito de la mec´ anica de vibraciones se utilizan diversos dispositivos para medir la vibraci´ on inducida por diversas causas que la producen. En esta secci´on desarrollamos el principio te´orico de funcionamiento de los instrumentos de uso m´as com´ un. Un transductor es un dispositivo que convierte el movimiento mec´anico en voltaje. Un esquema de un transductor piezoel´ectrico es mostrado en la Figura 4.35(a), el cual corresponde a una representaci´ o simplificada de un prototipo f´ısico que es mostrado en la Figura 4.35(c).
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
126
Masa sísmica
Resorte Bastidor
x(t)
Masa sísmica Elemento piezoeléctrico
Bastidor
m z(t) k
salida
Base móvil
c
Base móvil
y(t) entrada
y(t)
(a) Esquema de un transductor
(b) Modelo de an´ alisis
(c) Prototipo f´ısico real
Figura 4.35: Diagrama esquem´atico de instrumento s´ısmico
El transductor est´ a montado sobre un cuerpo cuya vibraci´on desea ser medida. Cuando la vibraci´on ocurre, la masa s´ısmica se mueve con relaci´on al bastidor del transductor, causando la deformaci´on del cristal piezoel´ectrico. Una carga el´ectrica es producida en el cristal piezoel´ectrico que es proporcional a su deformaci´ on. La se˜ nal medida es el desplazamiento relativo de la masa s´ısmica, o sea el movimiento de ´esta con relaci´ on al bastidor del transductor. Un modelo del transductor es mostrado en la Figura 4.35(b). Se supone que el cristal piezoel´ectrico provee cierto amortiguamiento viscoso. El prop´osito del transductor es medir el movimiento del cuerpo, y(t). Sin embargo mide z(t), el desplazamiento relativo de la masa con respecto al cuerpo m´ovil en contacto con la base del instrumento. Supongamos que las vibraciones del cuerpo son arm´onicas de frecuencia u ´nica, de la forma: y(t) = y0 sin Ω t (4.55) El desplazamiento de la masa s´ısmica relativa al movimiento del cuerpo vibrante: z(t) = y(t) − x(t) est´ a determinada por la Ecuaci´ on (4.29): z(t) = z0 sin (Ω t − φ) = y0 Λ(h, β) sin (Ω t − φ) donde,
Λ(h, β) = p
h2 (1 − h2 )2 + (2βh)2
,
φ = arctan
2β h 1 − h2
(4.56) (4.56a)
siendo: h = Ω/ω con ω y β la frecuencia natural y la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico del transductor, respectivamente. La Figura 4.23 muestra que el factor amplificador de respuesta Λ(h, β) es aproximadamente igual a la unidad para valores grandes de la relaci´on de frecuencias h (h > 3). En este caso la amplitud del desplazamiento relativo, el cual es monitoreado por el transductor, es aproximadamente la misma que la amplitud de vibraci´ on del cuerpo cuyo movimiento oscilatorio est´a siendo medido. Adem´as, en la Figura 4.9 se nota que para valores grandes de la relaci´on de frecuencias h, el ´angulo de desfase φ es aproximadamente de magnitud: φ = π. Luego, para valores elevados de h, la respuesta del transductor es aproximadamente aquella respuesta que se pretende medir, pero desfasada en π radianes. Un transductor s´ısmico que requiere un elevado valor de la relaci´on de frecuencias para una medici´on adecuada es llamado “sism´ ometro”. Un valor elevado de h requiere una frecuencia natural muy baja ´ en magnitud. Esto, a su vez, requiere una masa s´ısmica de elevado valor de magnitud y un resorte muy flexible. Debido al tama˜ no requerido para la medici´on exacta, los sism´ometros no son pr´acticos para muchas aplicaciones. Cuando la frecuencia natural ω del instrumento es baja con respecto a la frecuencia de vibraci´on Ω que se va a medir, la relaci´ on de frecuencias h dada por la relaci´on Ω/ω es un valor grande y, la amplitud del desplazamiento relativo z0 se aproxima a la amplitud de la vibraci´on a medir y0 , sin importar el valor del amortiguamiento, como se indica en la Figura 4.23. La masa s´ısmica m permanece
´ DE LA VIBRACION ´ 4.7. MEDICION
127
entonces estacionaria mientras que la caja portante o bastidor se mueve simult´aneamente con el cuerpo vibrante. Una de las desventajas del sism´ ometro es su tama˜ no. Como en este instrumento z0 = y0 , el movimiento relativo de la masa s´ısmica debe ser del mismo orden de magnitud que el de la vibraci´on que se va a medir. Esta exigencia instrumental es pr´acticamente independiente de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico y como y´ a lo indicamos anteriormente, se verifica solamente para valores relativamente grandes de la relaci´ on de frecuencias: h > 3. El error porcentual en el uso de un transductor s´ısmico es: real y0 − y0medido 100 (4.57) %ε = y0real Cuando se utiliza un sism´ ometro, el error porcentual es: y0 − z0 %ε = y0 100 = | 1 − Λ | 100
(4.58)
La aceleraci´ on del cuerpo vibrante que sometido a testeo es: y¨(t) = − Ω2 y0 sin Ω t Notando ahora que: z0 /y0 = Λ(h, β) y Λ(h, β) = h2 fdcm´ax (h, β), la relaci´on anterior puede escribirse como: z0 z0 y¨(t) = − Ω2 sin Ω t = − Ω2 2 sin Ω t Λ h fdcm´ax z0 entonces, sin Ω t (4.59) y¨(t) = − ω 2 fdcm´ax Comparando la Ecuaci´ on (4.56) con la Ecuaci´on (4.59), se hace evidente que: ω2 π φ y¨(t) = z t− − fdcm´ax Ω Ω
(4.60)
El signo negativo en la Ecuaci´ on (4.59) es tomado en cuenta en la Ecuaci´on (4.60), sustrayendo π del angulo de fase en la respuesta. Para valores peque˜ ´ nos de la relaci´on de frecuencias h = Ω/ω, sabemos que fdcm´ax = 1 como es mostrado en la Figura 4.10, y por tanto: φ π 2 ∼ y¨(t) = ω z t − − (4.61) Ω Ω De ´esta relaci´ on resulta completamente evidente que las amplitudes de las dos se˜ nales involucradas en la misma responden a la condici´ on: Ω2 y0 y¨0 z0 ∼ (4.61a) = 2 = ω ω2 As´ı que la amplitud de movimiento relativo de la masa s´ısmica del instrumento z0 se vuelve proporcional a la amplitud de la aceleraci´ on del movimiento que se va a medir y¨0 , con un factor igual a 1/ω 2 . Luego, para valores reducidos de la relaci´on de frecuencias h, la aceleraci´on de la parte del cuerpo vibrante a la cual est´ a conectado el instrumento s´ısmico es aproximadamente proporcional al desplazamiento relativo entre la parte que es medida y la masa vibrante del instrumento, pero en una escala de tiempo cambiada o diferente. Un instrumento de medida de vibraci´on que trabaja en base a ´este principio es denominado “aceler´ ometro”. El transductor en un aceler´ometro registra el desplazamiento relativo z(t) que es electr´ onicamente multiplicado por ω 2 ; y esta se˜ nal de aceleraci´on es integrada doblemente para proporcionar como salida el movimiento y(t) que se desea ser medido. La frecuencia natural de un aceler´ometro debe ser muy alta para medir con adecuada exactitud sobre un amplio rango de frecuencias. La masa s´ısmica de este instrumento debe ser relativamente
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
128
p peque˜ na y la constante de rigidez de resorte de elevado valor (recuerde que ω = k/m). El error de medici´ on cometido al usar un aceler´ ometro para medir la vibraci´on de un cuerpo oscilante es: 2 2 Ω y0 − ω 2 z0 Ω y0 − ω 2 Λ y0 100 = | 1 − fdcm´ax | 100 %ε = (4.62) 100 = Ω2 y0 Ω2 y0 El error porcentual de medici´ on del aceler´ ometro se reducir´a significativamente mientras mayor sea la fracci´ on√de amortiguamiento cr´ıtico, pero sin sobrepasar el valor l´ımite de amplificaci´on de respuesta (β < 1/ 2) del instrumento. El rango u ´til del aceler´ ometro puede verse en la Figura 4.10. El gr´afico muestra que el rango√de relaci´ on de frecuencias del aceler´ ometro no–amortiguado est´a limitado. Sin embargo, con β = 1/ 2, el rango de frecuencia u ´til es 0 6 h 6 0, 2 con un error m´aximo % ε = 0, 01 %. As´ı, un instrumento con una frecuencia natural de 100 Hz, tiene un rango de frecuencia u ´til comprendida entre 0 Hz y 20 Hz, con error despreciable. Los aceler´ o metros del tipo electromagn´ e tico utilizan generalmente un factor √ ´til sino que tambi´en evita distorsi´on de β = 1/ 2 que, no solamente extiende el rango de frecuencia u fase para ondas complejas, como se mostrar´a m´as adelante. Ejemplo 4.14. Un sism´ ometro cuya fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico es de 35 %, se emplea para encontrar la magnitud de la vibraci´ on de la estructura portante de una m´aquina. Este instrumento da una lectura del desplazamiento relativo de 0,002 pulg. La frecuencia natural del sism´ometro es dada como 500 rpm, y la m´ aquina testeada funciona a 100 rpm. Cual ser´a la magnitud del desplazamiento, velocidad y aceleraci´ on de la parte de la m´aquina que vibra, donde es instalado el instrumento. >
Soluci´ on
Como se discuti´ o anteriormente, la amplitud de movimiento relativo de la masa del transductor s´ısmico est´ a dada por: h2 z0 = Λ y0 , Λ= p (1 − h2 )2 + (2βh)2 donde, en este caso particular: β = 35 y, por tanto
Λ= p
%
= 0, 35
h2 (1 − h2 )2 + (2βh)2
=p
h=
100 Ω = = 0, 2 ω 500 0, 22
(1 − 0, 22 )2 + (2×0, 35×0, 2)2
= 0, 0412
z0 0, 002 = = 0, 048 pulg Λ 0, 0412 es la magnitud del desplazamiento. La magnitud de la velocidad es: 2π y˙ 0 = Ω y0 = 100 0, 048 = 0, 503 pulg/seg 60 Entonces,
y0 =
y la magnitud de la aceleraci´ on resultar´ıa: y¨0 = Ω2 y0 = 10, 472 ×0, 048 = 5, 26 pulg/seg2
>
Desafortunadamente, la vibraci´ on que se presenta en la mayor´ıa de los casos no es perfectamente arm´ onica, sino que en generalidad es peri´ odica. As´ı, si consideramos la medici´on de un movimiento oscilatorio de m´ ultiples frecuencias, determinado por la expresi´on: y(t) =
n X i=1
y0i sin(Ωi t + Ψi )
(4.63)
´ DE LA VIBRACION ´ 4.7. MEDICION
129
Acorde con la teor´ıa de vibraci´ on peri´odica, el desplazamiento de la masa s´ısmica relativa al bastidor del transductor o instrumento s´ısmico es z(t) =
n X
Λ(hi , β) y0i sin (Ωi t + Ψi − φi )
i=1
(4.64)
n 1 X 2 Ω fdcm´axi y0i sin (Ωi t + Ψi − φi ) = 2 ω i=1 i
El aceler´ ometro mide −ω 2 z(t). Pero, n´otese que cada t´ermino en la sumatoria de la Ecuaci´on (4.64) tiene un diferente ´ angulo de fase.Cuando todas estas se˜ nales son sumadas con diferentes ´angulos de fase, la salida proporcionada por el aceler´ometro puede resultar distorsionada con relaci´on a la salida real que es producida por la vibraci´on que est´a siendo medida. Esta distorsi´on de fase es mostrada en la Figura 4.36(a), la cual compara la salida de un aceler´ometro con la se˜ nal a ser medida de una vibraci´ on con 10 frecuencias componentes. La fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico del aceler´ometro es 0,25 y la relaci´ on de frecuencias m´ as alta en la medici´on es 0,66. 40
40
2 z(t) [ medido por acelerómetro, = 0,25 ] 30
2 z(t) [ predecido por la Ec. ( 4.60 ), = 0,7 ]
30
a(t) [ real ] 20
10
10
a(t) y 2 z(t)
a(t) y 2 z(t)
a(t) [ real ] 20
0
0
-10
-10
-20
-20
-30
-30 0
0,5
1
1,5
2
2,5
t [ seg ]
(a) Gr´ afica comparativa por medici´ on
3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
t [ seg ]
(b) Gr´ afica comparativa por predicci´ on
Figura 4.36: Comparaci´ on entre aceleraci´on real y aceleraci´on medida (o predecida) Los aceler´ ometros son usados solamente cuando h < 1. En este rango de relaci´on√de frecuencias, el ´ngulo de fase es aproximadamente lineal con h para el valor caracter´ıstico β = 1/ 2 = 0, 707 (v´ease a la Figura 4.9). Entonces, Ωi φi = α (4.65) ω donde α es la constante de proporcionalidad. Usando la Ecuaci´on (4.65) en la Ecuaci´on (4.64), ´esta se convierte a: n i h 1 X α z(t) = − 2 fdcm´axi y0i sin Ωi t − + Ψi (4.66) ω i=1 ω Si hi 1, entonces fdcm´axi ∼ = 1 para i = 1, 2, . . . , n y en consecuencia 1 α z(t) ∼ (4.67) = − 2 y¨ t − ω ω √ Luego, cuando un aceler´ ometro es utilizado con β = 1/ 2, el dispositivo de salida replica con gran exactitud la aceleraci´ on real, pero en una escala de tiempo desfasada. Esto es ilustrado en la
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
130
Figura 4.36(b), la cual compara el uso de la Ecuaci´on (4.64) con β = 0, 707 con la aceleraci´on real para el ejemplo de la Figura 4.36(a).
f( t )
f
f = f1 + f2
f1 f2
t
Figura 4.37: Superposici´on (suma) de funciones arm´onicas Para reproducir una onda compleja tal como la mostrada en la Figura 4.37, sin cambiar su forma, la fase de todas las componentes arm´ onicas debe permanecer invariable con respecto a la fundamental. Esto requiere que el ´ angulo de fase sea cero o que todas las componentes arm´onicas deban ser desplazadas igualmente en el dominio del tiempo. El primer caso de cero desplazamiento de fase, corresponde a β = 0 para h = 1. El segundo caso, de igual desplazamiento en el tiempo, de todos los arm´onicos es casi satisfecho para β = 0, 707 y h < 1. Como se muestra en la Figura 4.9, cuando β = 0, 707 la fase para h < 1 puede expresarse como: ∼π Ω φ= 2 ω As´ı, para β = 0 ´ o β = 0, 707 la distorsi´ on de fase es pr´acticamente eliminada. Ejemplo 4.15. Estudiar la salida de un aceler´ometro con fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico de valor: β = 0, 707 cuando se lo usa para medir un movimiento peri´odico cuyo desplazamiento est´a dado por la ecuaci´ on: y(t) = y1 sin Ω1 t + y2 sin Ω2 t >
Soluci´ on
Sabemos que para β = 0, 707 el ´ angulo de fase est´a determinado por: φ ∼ = π/2×Ω/ω, as´ı que tendremos: φ1 =
π Ω1 2 ω
φ2 =
π Ω2 2 ω
La salida del aceler´ ometro es entonces, z(t) = z1 sin(Ω1 t − φ1 ) + z2 sin(Ω2 t − φ2 ) Sustituyendo z1 y z2 de la Ecuaci´ on (4.61a), la salida del instrumento es: z(t) =
π π i 1 h 2 Ω1 y1 sin Ω1 t − + Ω22 y2 sin Ω2 t − 2 ω 2ω 2ω
Como la funci´ on (t − π/2ω) es la misma en ambos t´erminos, el desplazamiento (adelanto o retraso) de ambas componentes a lo largo del eje temporal es el mismo. As´ı, el instrumento reproduce fielmente la aceleraci´ on y sin distorsi´ on. Es obvio que si φ1 o φ2 son ambos nulos, de nuevo obtendremos distorsi´on de fase nula. >
4.8. CONCLUSIONES
4.8.
131
Conclusiones
Los diversos tipos de exitaci´ on tratados en ´este Cap´ıtulo se presentan en una amplia variedad de situaciones de tipo pr´ actico, y como se vi´o su tratamiento no ofrece dificultades. Se remarca el hecho que los conceptos aqu´ı desarrollados son susceptibles de extensi´on de car´ acter te´ orico, particularmente debido a la serie de Fourier la cual permite descomponer toda funci´on peri´ odica en una serie infinita de funciones arm´onicas simples (funciones seno y coseno). El problema de aislar una maquinaria de los efectos generados por exitaciones que no son arm´ onicas ni peri´ odicas introducir´ a nuevos conceptos y quiz´as nuevas dificultades, por lo que se insta al amable lector para que intente un dominio certero de las t´ecnicas aqu´ı presentadas.
Problemas propuestos 4.1.
Un disco circular de espesor reducido de 20 Kg de peso y 10 cm de radio est´a conectado a un resorte k m con coeficiente de rigidez de 8 Kg/cm y a un amorPk tiguador con coeficiente de 0,5 Kg-seg/cm como se R muestra en la Figura. Este cuerpo est´a en contacto c con una superficie horizontal que tiene coeficiente de rozamiento igual a 0,12 y se mueve sobre ella debido a la aplicaci´on de un momento arm´onico de frecuencia circular de 16,5 rad/seg. Cual deber´a ser la m´axima amplitud de esta exitaci´on para que el disco oscile rodando sin deslizar ?. M0 sin t
4.2.
El sistema de la Figura adjunta soporta un movimiento de apoyo definido por la relaci´on:
y( t ) Pk
m
y(t) = y0 sin Ω t
k x( t )
Si x representa el desplazamiento absoluto de la masa (con respecto al terreno), demostrar que la ecuaci´on de movimiento viene determinada por: mx ¨ + k x = k y = k y0 sin Ω t
Resolver la ecuaci´ on asumiendo condiciones iniciales nulas, y hallar la m´axima fuerza de deformaci´ on en el resorte durante la fase de movimiento. 4.3.
Si se supone que el sistema del problema anterior representa el modelo de un autom´ovil peque˜ no (digamos un VW–Golf) y el camino por donde circula V y( t ) es sinuoso, dado por la relaci´on: y(t) = y0 sin Ω t k [cm] cm. Calcular la amplitud m´axima de desplazamiento 5 (vibraci´on) y aceleraci´on que soportan sus ocupanL 1,2 1,2 tes, si el veh´ıculo viaja a lo largo del camino con [m] una rapidez constante V de: (a) 30 Km/hr y (b) 80 Km/hr. Suponer que el autom´ ovil pesa 1650 Kg, los 4 ocupantes tienen peso total de 245 Kg, y que la rigidez neta equivalente de los neum´aticos y muelles es 260 Kg/cm. Los resultados hallados confirman la pr´ actica establecida por los conductores: Cuando se viaja por un camino ‘acalaminado’ es mejor aumentar la velocidad ?. Cual es la velocidad cr´ıtica del autom´ovil en movimiento ?. m
x( t )
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
132
4.4. y(t)
x(t)
m
EI
L
4.5.
Deducir la ecuaci´on diferencial gobernante de la din´amica del p´endulo invertido mostrado en la Figura, el cual es exitado mediante un desplazamiento arm´onico aplicado a trav´es de un resorte lineal de rigidez conocida. Asumiendo desplazamientos angulares de peque˜ na amplitud y despreciable el peso del brazo que sostiene el p´endulo, resolver la ecuaci´on planteada para hallar la soluci´on. Cual es la amplitud m´axima de la velocidad que adquiere la masa en movimiento ?.
m y( t ) = y0 sin t L k a
4.6.
x Loza
W
k
k
y
4.7.
El extremo izquierdo de la viga en voladizo mostrada en la Figura est´a sujeto a un movimiento arm´onico descrito por: y(t) = y0 cos Ωt. Determinar la ecuaci´on diferencial del movimiento de la masa m conectada en el otro extremo de la viga, y determinar la frecuencia de resonancia del sistema. Asumir que la viga es de peso despreciable y que su coeficiente de rigidez flexionante EI es constante y conocido.
Durante un sismo de larga duraci´on, la una estructura tipo marco de la Figura est´a sujeta a una aceleraci´on del suelo de 50 mm/seg2 de amplitud a una frecuencia de 88 rad/seg. Determine la amplitud de aceleraci´on de la estructura. Suponer que la loza es completamente r´ıgida y la estructura tiene una fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico de 0,03. El peso de la loza es de 4,6 Ton, y cada columna tiene una rigidez lateral de 8600 Kg/cm.
Un gran ventilador es montado sobre un p´ortico de acero, el cual est´a r´ıgidamente conectado al piso del edificio. Debido a un desbalance en el Pórtico rotor del ventilador ´este es sometido a una fuerza vertical sinusoidal con una velocidad angular de 1750 rpm. El p´ortico de acero es flexible, y en Refuerzos efecto el punto de apoyo del ventilador se desplaza verticalmente 0,65 mm bajo el peso de esta m´aquina el cual es de 225 Kg inclu´ıdo por supuesto el rotor. Su ayudante ha dise˜ nado el p´ ortico de apoyo, y despu´es de que el ventilador ha sido instalado y puesto en marcha, el mismo comenz´ o a vibrar violentamente en la direcci´on vertical. Nuevamente su ayudante se hizo cargo del problema y dise˜ n´o unos refuerzos, los cuales se muestran en la Figura. Este personaje indica que estos elementos adicionales incrementan la rigidez vertical de la estructura portante por un factor de 2, y por lo tanto la vibraci´on se reducir´a por el mismo factor. El desea que Usted como jefe principal apruebe esta modificaci´on. Est´a Usted dispuesto a aceptar esta proposici´ on ?. Si es que no la aprueba, que alternativa podr´ıa sugerirle para remediar el Ventilador
Problemas propuestos
133
problema ?. En el an´ alisis desprecie los efectos del amortiguamiento. 4.8.
Pk P( t )
c
m x( t )
Una fuerza sinusoidal P (t) = P0 sin Ω t es s´ ubitamente aplicada al sistema mostrado en la Figura, en el instante inicial t0 = 0. Hallar el movimiento posterior x(t) de la masa. Luego, elabore un gr´afico de la velocidad de la masa en funci´on del tiempo, para las siguientes relaciones: mΩ (c) mΩ (a) mΩ c = 0, 1 (b) c = 1, 0 c = 10, 0
Para cada caso, cuantos ciclos de la exitaci´on deber´an pasar antes que la parte natural de la velocidad de la respuesta sea el 5 % de la amplitud de la parte estacionaria de la misma ?. 4.9. Demostrar que para un sistema con amortiguamiento viscoso, la energ´ıa disipada por ciclo de movimiento en una vibraci´ on forzada con frecuencia Ω y amplitud A es: Z 2π/Ω Fc (t) x˙ dt = π A2 c Ω 0
donde Fc (t) es la fuerza de amortiguamiento. 4.10. Con el objetivo de simular el amortiguamiento estructural, se han propuesto diferentes modelos; uno de ellos postula que el coeficiente de amortiguamiento var´ıa con la frecuencia de acuerdo con la siguiente relaci´ on: g c(Ω) = k Ω donde k es la rigidez y g es un factor usualmente muy peque˜ no (0, 005 < g < 0, 015). Si se supone que el sistema es sometido a una exitaci´on arm´onica de frecuencia Ω, demostrar que la energ´ıa disipada por cada ciclo de oscilaci´on est´a dada por: Z 2π/Ω Fc x˙ = π A k g 0
4.11. Para un sistema con amortiguamiento estructural inversamente proporcional a la frecuencia sometido a una exitaci´ on arm´onica, demostrar que el factor din´amico de carga m´aximo viene determinado por: 1 g fdcm´ax (h, g) = p , tan φ = 2 2 2 1 − h2 (1 − h ) + g Puede usted detectar la causa por la cual este modelo adolece de significado f´ısico ? (sugerencia: hacer h = 0 en la expresi´ on para tan φ). 4.12. Investigar el comportamiento en condici´on resonante de un sistema amortiguado. Se supone que el sistema parte de la condici´ on de reposo al instante t0 = 0 inicial de observaci´on. Demostrar que el valor de respuesta xest /2β se alcanza en forma asint´otica. 4.13. La Ecuaci´ on (4.20) deducida para un sistema amortiguado separa los efectos de frecuencia y amortiguamiento (v´ease la Figura 4.10); desde el punto de vista pr´actico frecuentemente es dif´ıcil controlar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema y por lo tanto es deseable expresar la Ecuaci´ on (4.20) separando los efectos de masa y rigidez, ya que estos par´ametros pueden ser ajustados con mayor facilidad. Lyssmer demostr´o que: a ¯0 1 , tan φ = fdcm´ax (¯ a0 , ¯b) = p 1 − ¯b a ¯20 (1 + ¯b a ¯20 )2 + a ¯20
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
134
donde a ¯0 es el factor adimensional de frecuencia, y ¯b = m k/c2 se conoce como factor de masa. Realizar un gr´ afico del fdcm´ax (¯ a0 , ¯b) para los valores de ¯b = 10, 5, 2, 0 y comparar con el gr´afico presentado en la Figura 4.10. 4.14. Si el ventilador del Problema 4.7 se apoya dir´ectamente sobre el suelo por medio de una zapata circular de 65 cm de radio, cual es el valor del fdcm´ax ?. Utilizar las Ecuaciones de Lyssmer definidas anteriormente, donde ahora:
a ¯0 =
Ω r0 , Vs
¯b = 1 − ν m 4 ρ r03
Utilizar los siguientes datos num´ericos: Peso de la zapata — Wz = 950 Kg/m2 Coeficiente de Poisson del suelo — ν = 0, 355 Peso espec´ıfico del suelo — γ = 1870 Kg/m3 ρ = ω/g Velocidad de las ondas de corte en el suelo — Vs = 400 m/seg Masa del sistema — m = mmotor + mfundaci´on
4.15. Repetir el Problema 4.3. suponiendo que se incluye en el modelo un amortiguador que posee fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico β = 0, 4. 4.16. Repetir el Problema 4.7. suponiendo que se incluye en el modelo un amortiguador que posee fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico β = 0, 62. 4.17. En el Ejemplo 4.13. se obtuvieron desplazamientos y aceleraciones excesivos para la estructura portante. Investigar los efectos sobre la respuesta si: (a) se duplica la rigidez total del p´ortico (b) se reduce a un 50 % la rigidez total del p´ortico. 4.18. Un compresor de 310 Kg es montado sobre un aislador de piso flotante de 450 Kg/cm de rigidez. Cuando es perturbado mediante una carga de exitaci´on arm´onica de 200 Kg de amplitud a una frecuencia de 100 rad/seg, el ´ angulo de diferencia de fase entre la perturbaci´on y la respuesta de estado–estacionario es 24,3◦ . Cual es el valor de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico del aislador y su m´ axima deflexi´ on debida a esta excitaci´on. 4.19. Considere nuevamente el Ejemplo 4.13. pero ahora suponga que la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico de la estructura es 20 %. Investigar los efectos del amortiguamiento ahora inclu´ıdo sobre la respuesta de estado estacionario de la estructura portante. Considerando la deformaci´on est´ atica producida por la amplitud de carga primaria actuante, elaborar la gr´afica del fdcm´ax en funci´ on de la relaci´ on de frecuencias h suponiendo que el motor alternativo de un solo cilindro funciona incrementando su velocidad de rotaci´on desde un valor nulo en el instante de arranque hasta una magnitud muy elevada, cubriendo todos los valores posibles para la relaci´on de frecuencias. Cuales son las amplitudes de vibraci´on en las dos condiciones de resonancia que se presentan en este caso. 4.20.
Problemas propuestos
135 La secci´on del rotor de cola del helic´optero de la Fi-
Pkgura consta de cuatro ´alabes, cada uno de 2,1 Kg de
peso, y una caja de motor de 25 Kg de peso. El centro de gravedad de cada ´alabe est´a a 170 mm respecto del eje rotacional. La secci´on de cola est´a conectada al cuerpo principal del helic´optero por una estructura flexible. La frecuencia natural de la secci´on de cola ha sido estimada con un valor de 150 rad/seg. Durante el vuelo, el rotor funciona a 900 rpm. Suponga que el sistema tiene una fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico del 5 %. Si estando el helic´ optero en funcionamiento de vuelo, una part´ıcula de 75 gr de peso se atasca en uno de los ´ alabes a 25 mm del eje de rotaci´on; cual es la amplitud de vibraci´on de estado estacionario causada por el desbalanceamiento rotacional resultante de esta peque˜ na masa que se adosa al sistema ?. 4.21. En el problema anterior, determine la amplitud de estado estacionario de la vibraci´on, si uno de los ´ alabes se rompe en su base y desprende de su lugar durante el vuelo del helic´optero. 4.22.
El rotor de una turbina es modelada como un disco de espesor reducido, el cual est´a montado a la mitad de la luz de un eje circular uniforme de acero de 50 e EI cm de longitud como muestra la Figura. El peso del m rotor es de 20 Kg y su di´ametro de 40 cm. Para L/2 L/2 considerar el desbalanceo de montaje, se asume que el disco tiene una perforaci´on circular de 3 cm de di´ ametro situada a 12 cm del centro geom´etrico del mismo. El coeficiente de rigidez del eje es EI = 1, 6×104 Kg-cm2 . Determine la amplitud de vibraci´on, si el rotor de la turbina gira con velocidad angular de 4000 rpm. Asumir que los extremos del eje se conectan r´ıgidamente a los rodamientos que sostienen el conjunto.
4.23. Un disco circular que rota con respecto a su eje geom´etrico, tiene dos agujeros a y b. El di´ametro y posici´ on de a son: dA = 10 mm, rA = 30 cm, θA = 0◦ . El di´ametro y posici´on del agujero b son: dB = 5 mm, rB = 20 cm, θB = 90◦ . Determine el di´ametro y posici´on de un tercer agujero, a 10 cm de radio, que balancear´a el disco. 4.24. 2 3 45o
El rotor de un motor electrico tiene 20 cm de longitud, y el mismo posee un desbalanceamiento equivalente a 2 gr–cm en un plano a 5 cm de su extremo izquierdo. Un segundo desbalanceamiento equivalente a 3 gr–cm se ubica en un plano a 5 cm del extremo derecho y en una direcci´on horaria a 45◦ respecto al primer desbalanceo. Elaborar con detalle los c´ alculos necesarios para balancear din´amicamente este rotor.
4.25. Hallar el desarrollo en serie de Fourier para las cargas arm´onicas mostradas en las Figuras adjuntas.
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
136
P( t )
P( t )
P0
P0 P0/2
0
Tp/2
t
Tp
0
Tp/2
t
Tp
4.26. Hallar la respuesta en estado estacionario de un sistema amortiguado sometido a una exitaci´on peri´ odica arbitraria. Pruebe sus resultados para la exitaci´on mostrada en la Figura adjunta.
P( t ) = P0 e -100t
P( t ) P0
1/100
2/100
3/100
4/100
t
4.27. El uso de un aceler´ ometro con frecuencia natural de 100 Hz y fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico 0,15 revela que una m´ aquina vibra a una frecuencia de 20 Hz y tiene una amplitud de aceleraci´ on de 14,3 m/seg2 . Determinar: (a) El porcentaje de error en la medici´on. (b) La amplitud de aceleraci´ on real. (c) La amplitud del desplazamiento. 4.28. Una m´ aquina de coser industrial de 255 Kg tiene un desbalanceamiento rotacional de 0,24 Kg-m. La m´ aquina opera a velocidades entre 2000 y 3000 rpm. La m´aquina est´a colocada sobre una placa de caucho aisladora de vibraci´on con coeficiente de rigidez de 500 Kg/cm y fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico de 0,12. Cual es la frecuencia natural de un sism´ografo no–amortiguado que puede ser usado para medir las vibraciones de estado–estacionario en todas las velocidades de funcionamiento con un error menor al 4 %. Si este sism´ometro es usado, cual es la salida cuando la m´ aquina est´ a operando a 2500 rpm. 4.29.
P(t)
k A
En el sistema de la Figura adjunta considere que: k = 48 Kg/cm c = 0, 01 Kg-seg/cm L = 1, 8 m W = 20, 8 Kg y est´a sujeto a la fuerza de exitaci´on definida por:
o L/3
W L
P (t) = 100 sin 24, 2t + 80 sin(48t + 0, 35) − 30 sin(100t + 0, 21) Kg
c
Cual es la salida en mm/seg de un aceler´ometro de 100 Hz de frecuencia natural y fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico 0,7 colocado en A.
4.30. Cual es la salida, medida en mm, de un sism´ometro con una frecuencia natural de 2,5 Hz y una fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico igual a 0,05 que es instalado en el punto A del sistema del Problema anterior. 4.31. Un bloque de 20 Kg de peso es conectado a un soporte m´ovil a trav´es de un resorte con coeficiente de 100 Kg/cm en paralelo con un amortiguador viscoso con coeficiente de 0,6 Kg-seg/cm.
Problemas propuestos
137
El soporte est´ a sometido a un movimiento de desplazamiento arm´onico de 15 mm de amplitud a una frecuencia de 40 rad/seg. Un aceler´ometro de 25 Hz de frecuencia natural y 0,2 de fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico es conectado al bloque. Determinar la salida proporcionada por el aceler´ ometro en mm/seg2 . 4.32. Un aceler´ ometro tiene una frecuencia natural de 80 Hz y un coeficiente de amortiguamiento de 0,08 Kg-seg/cm. Cuando este dispositivo es conectado a una estructura vibrante, registra una medida de amplitud de 8 m/seg2 y una frecuencia de 50 Hz. La aceleraci´on verdadera de la estructura es 7,8 m/seg2 . Determinar la masa y la rigidez equivalentes del aceler´ometro.
´ ARMONICA ´ CAP´ITULO 4. EXITACION
138
BD 10
0 10
20
50
10
5
1,0 10 0
2
5
1,0
50
20
0,2
0,5
2
1,0
10
BA
1,0
BV
0,5
0,5
0,0 3
0,1
0,0 5
0,2
0,1
5
0,2 5 0,0
2
0,1 0,1
0,2
0,5
1,0
2
h=
Figura 4.38: Espectro de respuesta – Exitaci´on arm´onica
5 5,31
10
1,0
Cap´ıtulo 5
Excitaci´ on transitoria Cuando las vibraciones de un sistema mec´anico o estructural son iniciadas por una excitaci´ on peri´ odica, existe un lapso de tiempo transitorio inicial donde la respuesta de vibraci´on libre es tan grande como la respuesta forzada. La respuesta de vibraci´on libre r´apidamente decae, resultando en un movimiento de estado–estacionario. Los sistemas sujetos a excitaciones no–peri´odicas usualmente no consiguen arribar a un estado–estacionario no–nulo. En muchos casos, cuando un sistema est´a sujeto a una excitaci´ on no–peri´ odica, la respuesta de vibraci´on libre interact´ ua con la respuesta forzada y es importante durante toda la duraci´ on del movimiento oscilatorio del sistema. Este es el caso cuando un sistema est´ a sujeto a un pulso de duraci´on finita donde el per´ıodo de la vibraci´on libre es mayor que la duraci´ on del pulso aplicado. Un ejemplo de una excitaci´ on no–peri´odica es el temblor de tierra ocasionado por un sismo o terremoto. La respuesta de las estructuras debidas al temblor de la tierra es obtenida usando los m´etodos presentados en este cap´ıtulo. Un sismo es generalmente de duraci´on muy breve, pero los desplazamientos y tensiones m´ aximas ocurren mientras el sismo tiene lugar. La forma del terreno recorrido por un veh´ıculo es generalmente no–peri´odica. Los sistemas de suspensi´on de un veh´ıculo deben ser dise˜ nados para proteger a los pasajeros de cambios repentinos en la forma del contorno del camino que el autom´ ovil recorre, por la vibraci´on que se induce al atravesar estas irregularidades presentes en la ruta de movimiento. La fuerza producida en la operaci´on de m´aquinas en procesos de fabricaci´ on es a menudo no–peri´odica. Los cambios s´ ubitos en las fuerzas generadas ocurren por ejemplo en prensas de imp´ acto y aparatos de moldeado o extrusi´on de materiales. Los simples ejemplos mencionados anteriormente, evidentemente nos obligan a establecer una metodolog´ıa de c´ alculo de la respuesta que presenta un sistema para el caso general de perturbaciones que no son ni arm´ onicas, ni peri´ odicas. El procedimiento a ser desarrollado en este cap´ıtulo, nos permitir´ a posteriormente evaluar el comportamiento de sistemas que tengan propiedades inerciales, el´asticas, y amortiguadoras; ante excitaciones externas que son de caracter´ıstica variable temporalmente en modo generalizado, las cuales no tengan propiedades de periodicidad en la forma de su ocurrencia.
5.1.
Introducci´ on
Desde un punto de vista completamente estricto, todos los tipos de excitaci´on que pueden afectar un sistema mec´ anico o estructural son transitorios, ya que en alg´ un momento dejar´an de perturbar al sistema. Sin embargo, desde el punto de vista de an´alisis se acostumbra distinguir las excitaciones de acuerdo a su duraci´ on. En consecuencia, una excitaci´on transitoria se puede definir como aquella cuya duraci´ on y acci´ on sobre el sistema est´a determinada. Las vibraciones forzadas de los sistemas de un grado de libertad est´an descritas por la ecuaci´ on diferencial: meq x ¨ + ceq x˙ + keq x = Peq (t) 139
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
140
o en su forma estandarizada habitual: x ¨ + 2 β ω x˙ + ω 2 x = P˜ (t) ,
Peq (t) P˜ (t) = meq
(5.1)
Las condiciones iniciales, es decir los valores: de x(t0 ) = x0 y x(t ˙ 0 ) = x˙ 0 , completan la formulaci´on del problema. La soluci´ on de la Ecuaci´ on (5.1) para formas peri´odicas de P˜ (t) fueron discutidas en el cap´ıtulo anterior. El prop´ osito de este cap´ıtulo es analizar el movimiento de sistemas pasando por vibraciones transitorias. La Ecuaci´ on (5.1) es una ecuaci´ on diferencial ordinaria de segundo–orden lineal no–homog´enea. Para ciertas formas de Peq (t), el m´etodo de los coeficientes indeterminados, puede ser usado para determinar la soluci´ on particular. La soluci´on homog´enea es a˜ nadida a la soluci´on particular, resultando en una soluci´ on general que involucra dos constantes de integraci´on. Las condiciones iniciales son aplicadas para valorar estas constantes. Si en el modelo est´a presente un determinado monto de amortiguamiento, la soluci´ on homog´enea se extingue o desaparece despu´es de un breve tiempo, dejando a la soluci´ on particular o forzada como la soluci´on de estado–estacionario. El m´etodo de los coeficientes indeterminados es m´ as adecuado en el tratamiento de excitaciones arm´onicas, polinomiales, o exponenciales; y no resulta u ´til para la mayor´ıa de las excitaciones estudiadas en este cap´ıtulo. Las condiciones iniciales y la soluci´ on homog´enea tienen un efecto importante sobre el movimiento vibratorio transitorio breve de algunos sistemas. Para estos problemas, es conveniente usar un m´etodo de soluci´ on en el que la soluci´ on homog´enea y la soluci´on particular sean obtenidas simult´aneamente y las condiciones iniciales sean incorporadas naturalmente en la soluci´on. Muchas excitaciones aplicadas son de duraci´on muy breve. Para las respuestas de duraci´on breves, la respuesta m´ axima podr´ıa ocurrir despu´es de que la excitaci´on ha cesado. Es necesario por lo tanto, desarrollar un m´etodo de soluci´ on el cual determine la respuesta de un sistema para todo tiempo, incluso despu´es de que la excitaci´ on es retirada. Adem´as, muchas excitaciones cambian su forma a veces de manera discont´ınua. Para estas excitaciones un m´etodo de soluci´on en el que una forma matem´ atica unificada de la respuesta sea determinada es un mecanismo de gran utilidad. El m´etodo principal de soluci´ on presentado en este cap´ıtulo es el uso de la integral de convoluci´on. La integral de convoluci´ on es obtenida usando el principio fundamental del impulso–cambio de momentum lineal y el principio de superposici´ on. Tambi´en puede ser deducida por aplicaci´on del m´etodo de variaci´ on de par´ ametros. La integral de convoluci´on provee la soluci´on de forma–cerrada m´as general a la Ecuaci´ on (5.1) de movimiento del sistema. Las condiciones iniciales son aplicadas en la deducci´on de la integral, y no necesitan ser consideradas durante la soluci´on de cada problema. La integral de convoluci´ on puede ser usada para generar una respuesta matem´atica unificada para las excitaciones cuya forma cambia a veces en instantes discretos. Puesto que solamente requiere la evaluaci´on de una relaci´ on integral, el m´etodo es f´ acil de ser aplicado.
5.2.
Excitaci´ on transitoria
De acuerdo con lo expresado, este tipo de excitaci´on tiene una duraci´on finita con respecto al peri´ odo del sistema o estructura. Obs´ervese que la acci´on arm´onica de una maquinaria sobre su fundaci´on se supuso sin l´ımite, y en consecuencia de acuerdo con lo definido no es de tipo transitorio. En cambio, la acci´ on de un terremoto sobre una estructura est´a limitada a un intervalo de tiempo durante el cual se puede analizar el efecto del mismo, as´ı como sus efectos posteriores; es decir una vez que termina la excitaci´ on. en consecuencia, definimos: Excitaci´ on transitoria es aquella que se mantiene actuando sobre un sistema al menos por un tiempo que es igual a varias veces el periodo del mismo. Se previene sobre el hecho de que la definici´on anterior es arbitraria, y que tiene un sentido relativo, al estar definida en funci´ on del periodo del sistema o estructura.
´ TIPO IMPULSO 5.3. EXITACION
141
La respuesta de un sistema a la aplicaci´on de una perturbaci´on o excitaci´on transitoria es necesaria de ser evaluada en el intervalo de tiempo en el cual la acci´on externa actuante tiene presencia y duraci´ on; as´ı como tambi´en cuando esta perturbaci´on se ha extinguido y deja de actuar sobre el sistema, porque en muchos casos los efectos remanentes de una solicitaci´on transitoria son mucho m´as importantes que durante la fase de duraci´ on de la misma. Esta respuesta, como se indic´o anteriormente ser´a obtenida mediante la integral de convoluci´ on que involucra a la funci´on de Green, m´etodo que fue tratado con suficiente detalle en el Cap´ıtulo 3. Existen algunas formas de excitaci´on en las que una soluci´on de forma–cerrada de la Ecuaci´on (5.1) no existe. En estos casos, la integral de convoluci´on no tiene una evaluaci´on y aplicaci´on de forma cerrada, de modo que cualquier otra t´ecnica que sea aplicada en estos casos conducir´a irremediablemente hacia la integral de convoluci´ on nuevamente como relaci´on matem´atica final. Adem´as, la situaci´on previamente descrita siempre existe cuando la excitaci´on no est´a expl´ıcitamente definida en todos valores de tiempo del intervalo de inter´es. Una de estas situaciones de d´a cuando la excitaci´on pudo haber sido obtenida, por ejemplo, emp´ıricamente mediante mediciones experimentales. En estas situaciones los m´etodos num´ericos deben ser desarrollados para proveer aproximaciones discretas a la respuesta buscada. Estos m´etodos discretos incluyen la evaluaci´on num´erica de la integral de convoluci´on y cualquier otro tipo de soluciones num´ericas dir´ectas de la Ecuaci´on (5.1), como por ejemplo mediante el m´etodo de Runge–Kutta.
5.2.1.
Respuesta a excitaci´ on transitoria
Al igual que todos los casos, la respuesta se obtiene en funci´on del criterio de dise˜ no utilizado; en consecuencia, estar´ an involucrados desplazamientos, velocidades, aceleraciones, etc. Para hallar la respuesta del sistema se requiere el conocimiento completo de la “historia” de la excitaci´ on, o sea su variaci´ on secuencial completa con respecto al tiempo. Una vez que se cuenta con esta informaci´on, la respuesta se obtiene mediante aplicaci´on de las Ecuaciones 3.34 o 3.61 seg´ un se incluya o no el amortiguamiento en el modelo. La investigaci´on de los valores m´ aximos de la respuesta se realiza en forma totalmente an´aloga a los procedimientos establecidos en cap´ıtulos anteriores. La respuesta podr´ a establecerse en t´erminos anal´ıticos siempre y cuando sea posible la evaluaci´ on de las integrales que sean planteadas en el proceso de soluci´on de la ecuaci´on de movimiento; si esto no es posible se deber´ a recurrir a t´ecnicas num´ericas, las mismas que ser´an motivo de un cap´ıtulo especial.
5.3.
Exitaci´ on tipo impulso
Este tipo de excitaci´ on se caracteriza por su corta duraci´on; se la distingue del tipo de excitaci´ on transitoria porque su naturaleza permite un an´alisis diferente, simplificando el tratamiento general. Antes de intentar cualquier an´ alisis definamos que se entender´a por excitaci´on impulsiva. Excitaci´ on impulsiva es aquella que se mantiene actuando sobre un sistema por un tiempo de duraci´ on muy peque˜ no comparado con el periodo natural de oscilaci´on del mismo. En concepci´ on simple es la transmisi´ on externa instant´anea de energ´ıa mediante cierta perturbaci´on (carga, desplazamiento, velocidad, etc.) hacia el sistema. En los t´erminos establecidos en la definici´on anterior que es relativa, pueden incluirse excitaciones de duraci´ on relativamente apreciable en t´erminos de la duraci´on de esta perturbaci´on actuante; pero las perturbaciones de aplicaci´ on y duraci´on casi instant´aneas, como las cargas de imp´ acto por ejemplo, se incluyen con exactitud en el grupo de excitaciones que cumplen la definici´on establecida previamente.
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
142
5.3.1.
Naturaleza de la excitaci´ on impulsiva
Sea la excitaci´ on mostrada en la Figura 5.1(a) para la cual se supone un tiempo de duraci´on peque˜ no td , comparado con el periodo de alg´ un sistema mec´anico o estructura.
P( t )
P( t ) I
0
I*
P*
td
0
t
(a) Carga impulsiva original
t* td
t
(b) Carga impulsiva equivalente
Figura 5.1: Excitaci´on de tipo impulsivo La magnitud de la fuerza perturbadora aplicada puede definirse en funci´on del cambio de cantidad de movimiento lineal (o momentum lineal ) que se produce en el sistema. Por la segunda ley de Newton tendremos: dv P = ma = m , ⇒ P (t) dt = m dv dt e, integrando durante el intervalo de tiempo de duraci´on de la perturbaci´on, Z
td
Z
vtd
dv = m (vtd − v0 ) = m ∆v
P (t) dt = m
(5.2)
v0
0
donde m es la masa equivalente y ∆v es el cambio en la velocidad del sistema. La integral que aparece en la Ecuaci´ on (5.2) es el impulso de fuerza conferido al sistema en el intervalo de tiempo ∆t ≡ 0 6 t 6 td . Entonces, denotamos el impulso aplicado como: Z I=
td
P (t) dt 0
cuya magnitud es id´entica al ´ area por debajo de la funci´on de carga aplicada P (t), por la interpretaci´on geom´etrica que tiene la integral. Si se aplica el teorema de valor medio integral a esta relaci´on, tendremos en t´erminos f´ısicos que el impulso de fuerza original puede ser reemplazado por el impulso equivalente que proporciona una carga de magnitud media constante actuando en id´entico intervalo temporal. Por tanto: Z I=
td
P (t) dt = I ∗ = P ∗ td
0
donde t∗ (0 < t∗ < td ) es un valor caracter´ıstico asociado con el valor de magnitud de carga media, de modo que: P (t∗ ) = P ∗ es el valor medio de carga aplicada en el mismo intervalo de tiempo en el cual tiene existencia la carga impulsiva original. Si se supone que el tiempo de duraci´ on de la carga impulsiva td es muy peque˜ no, se puede suponer esencialmente que la carga aplicada puede admitirse de valor equivalente constante de menor magnitud en el mismo intervalo de tiempo de duraci´on, de modo que la carga original puede reemplazarse con la funci´ on pulso mostrada en la Figura 5.1(b) la cual tiene la misma ´area encerrada por debajo que la
´ TIPO IMPULSO 5.3. EXITACION
143
perturbaci´ on original, o sea el mismo impulso. De la u ´ltima ecuaci´on escrita, se puede determinar la magnitud del pulso equivalente, lo cual resulta: R td P (t) dt ∗ (5.3) P = 0 td Entonces, en t´erminos del impulso equivalente tendr´ıamos: P ∗ td = m ∆v Si hallamos ahora la transformada de Fourier de la funci´on pulso mostrada en la Figura 5.1(b), hallamos lo siguiente: ( P ∗ 0 < t < td P (t) = (5.4) 0 t > td Z td P∗ 1 − e−j Ωtd (5.5) P ∗ e−j Ωt dt = P (Ω) = jΩ 0 √ donde j ≡ −1 es el elemento unitario complejo. Multiplicando y dividiendo esta ecuaci´on por 2e−j Ωtd /2 se obtiene finalmente: 2P ∗ −j Ωtd /2 Ωtd e P (Ω) = sin (5.6) Ω 2 Recordando ahora la expresi´ on para la anti–transformada Fourier de una funci´on variable en el tiempo, podemos obtener una conclusi´on preliminar. Aplicando la transformada inversa, tendremos: Z ∞ 1 P (t) = P (Ω) e−j Ωt dt (5.7) 2π −∞ La Ecuaci´ on (5.7) muestra que para recuperar la funci´on original debemos integrar (realizar una suma infinita) la Ecuaci´ on (5.6) en todo el rango de variaci´on del par´ametro Ω. Esto es equivalente a superponer todas las componentes de P (t) asociadas con cada valor de Ω. Recu´erdese que para el caso de una funci´ on peri´ odica se encontr´ o que esta podr´ıa expresarse como una suma infinita de funciones arm´ onicas, cada una asociada con un valor de Ω, las mismas que estaban espaciadas de forma discreta a lo largo del eje Ω. De acuerdo con la Ecuaci´ on (5.6) vemos que la misma es una funci´on cont´ınua, y por lo tanto define infinitas componentes de P (t). Si el par´ametro Ω es interpretado como frecuencia, ´esta ecuaci´on indica que la funci´ on de perturbaci´ on P (t) tiene componentes asociadas con todas las frecuencias posibles. Por otra parte, la Ecuaci´ on (5.7) es totalmente an´aloga a la serie de Fourier y se denomina expresi´ on integral de Fourier de la funci´ on P (t); donde P (Ω) est´a definida en la Ecuaci´on (5.5). Obs´ervese que P (t) no necesita ser peri´ odica, y por lo tanto la Ecuaci´on (5.7) brinda un tratamiento an´alogo a la serie de Fourier para funciones no–peri´odicas. La integral definida en la Ecuaci´on (5.5) en general no ser´ a convergente, La condici´ on de convergencia y otras condiciones adicionales son necesarias para que la suplencia de una funci´ on perturbatriz mediante la Ecuaci´on (5.7) sea representativa de la perturbaci´ on real actuante sobre el sistema. De acuerdo con la Ecuaci´ on (5.5), se v´e que en general la transformada de una funci´on P (t) es una funci´ on compleja. Para los fines que perseguimos aqu´ı, tomaremos el m´odulo de la funci´on |P (t)| que com´ unmente se conoce con el nombre de espectro de amplitudes, y para el caso de la funci´on definida en la Ecuaci´ on (5.4) se demuestra que es: |P (t)| =
Ωt 2P ∗ d sin Ω 2
´ Esta es una funci´ on real valorada, y su representaci´on gr´afica se muestra en la Figura 5.2.
(5.8)
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
144
P( )
P *t d
6
td
4
td
2
td
2
0
4
td
td
6
td
Figura 5.2: Espectro de amplitud de la Figura 5.1(b) Una inspecci´ on de la Figura 5.2 nos muestra que la parte m´as importante del espectro se encuentra en el intervalo 0 6 |Ω| 6 2π/td ; y este intervalo se ampl´ıa cuando td tiende a cero. Adem´as, cuando Ω se hace infinitamente peque˜ no se tiene: l´ım |P (Ω)| = I ∗ = P ∗ td
(5.9)
Ω→0
que nos indica que cuando la magnitud de la transformada de Fourier se eval´ ua en el origen de frecuencias, o se realiza la composici´ on de todos los t´erminos que la componen, se obtiene el impulso de fuerza que confiere la funci´ on perturbadora. La Ecuaci´on (5.9) es t´ıpica de las excitaciones transitorias. Si suponemos adem´ as que P (t) es de tipo impulso, de acuerdo a la definici´on establecida para este tipo de perturbaci´ on, evidentemente se debe cumplir: td T donde T es el per´ıodo natural no–amortiguado del sistema; luego tendremos, 2π 2π td T
⇒
Ω ω
Por tanto, cuando Ω tiende hacia cero, se cumplir´a la Ecuaci´on (5.9) cualquiera sea la forma del pulso. Esta afirmaci´ on en otros t´erminos significa que: La respuesta de un sistema hacia una excitaci´on tipo impulso para la cual se cumple que el tiempo de duraci´ on td es mucho menor que el per´ıodo natural no–amortiguado T del sistema o estructura, est´ a gobernada por la magnitud del impulso transmitido (´area bajo la curva de la funci´on pulso), y es independiente de la forma que tiene esta funci´on. Esta important´ısima conclusi´ on nos permitir´a establecer de manera dir´ecta la respuesta de un sistema hacia una perturbaci´ on tipo pulso; pues el efecto de esta perturbaci´on actuante en un intervalo temporal extremadamente corto, ser´ a simplemente un cambio repentino y s´ ubito de la velocidad del sistema.
5.4.
Espectros de respuesta
Los problemas de dise˜ no requieren a menudo la determinaci´on de los par´ametros del sistema, de forma que las restricciones establecidas sean satisfechas. En muchos problemas los criterios de dise˜ no involucran la limitaci´ on de los desplazamientos m´aximos y tambi´en las tensiones m´aximas para un particular tipo de excitaci´ on. Por ejemplo, si se ha establecido que los sismos en cierta ´area determinada tienen formas similares de excitaciones, solamente con diferentes niveles de intensidad; entonces el conocimiento de los desplazamientos m´ aximos como una funci´ on de los par´ametros del sistema es u ´til en el dise˜ no de una
5.4. ESPECTROS DE RESPUESTA
145
estructura para soportar cierto nivel del sismo. La habilidad de la estructura de soportar el sismo depende del desplazamiento m´ aximo desarrollado en la estructura durante y despu´es de esta perturbaci´ on y las tensiones m´ aximas que se desarrollan en la estructura a causa de la respuesta a esta excitaci´ on externa. Discutiremos ahora con alg´ un detalle la respuesta de un sistema de un solo grado de libertad a diferentes tipos de excitaciones con el objeto de discutir algunas caracter´ısticas importantes del comportamiento din´ amico del sistema causado por la acci´on de la perturbaci´on externa aplicada sobre ellos. En general intentaremos encontrar los valores m´aximos del factor din´amico de carga fdcm´ax , advirtiendo que las Ecuaciones 4.18 y 419 ya no ser´an estrictamente aplicables. Distinguiremos dos fases en la respuesta del sistema: la fase i que ser´a la respuesta cuando la excitaci´ on est´ a actuando sobre el sistema, y la fase ii la parte residual que ser´a la respuesta en el tiempo posterior a la acci´ on de la perturbaci´on aplicada o cuando la misma ya se ha extinguido.
5.4.1.
Pulso rectangular
Consideremos la excitaci´ on tipo pulso rectangular que se muestra en la Figura 5.3; la cual suponemos ´ est´ a aplicada sobre un sistema no–amortiguado. Este caso y´a fue analizado en un cap´ıtulo anterior (v´ease el Ejemplo 3.8).
P( t ) P0
0
td
t
Figura 5.3: Perturbaci´on tipo pulso rectangular Las ecuaciones de movimiento son las siguientes: mx ¨ + k x = P0
0 6 t 6 td
(5.10a)
mx ¨+kx = 0
t > td
(5.10b)
Si se supone que el sistema en el instante inicial t0 = 0 parte del reposo, obtenemos: fdc(ω, t) = 1 − cos ωt
0 6 t 6 td
(5.11a)
fdc(ω, t) = cos ω(t − td ) − cos ωt
t > td
(5.11b)
Nos interesa ahora hallar los valores m´aximos de las Ecuaciones (5.11). Un an´alisis de la Figura 5.4(a), donde se ha dibujado esquem´aticamente la respuesta del sistema, nos indica que siempre que se cumpla la condici´ on: T td > se tendr´a |fdcm´ax | = 2 2 Notemos adem´ as la m´ axima respuesta se produce durante la aplicaci´on de la carga, en la fase i. Si por el contrario el tiempo de duraci´on del pulso td es menor que la mitad del periodo fundamental T , el m´ aximo tendremos que buscarlo en la fase ii de respuesta, o sea despu´es de pasada la duraci´ on
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
146
x(t) x
x(t) x
est
est
2
2
P0
P0
1
1
0
1
td x
t
0
1 est
t
td x
= P0/k
est
= P0/k
2
2
(a) Respuesta para td > T /2
(b) Respuesta para td 6 T /2
Figura 5.4: Respuesta a excitaci´on de tipo pulso rectangular de la carga mediante la Ecuaci´ on (5.11b); la cual puede re–escribirse en la siguiente forma: ωtd td fdc(ω, t) = 2 sin − sin ω t − 2 2 De esta relaci´ on se v´e claramente que: Si td 6
T 2
entonces
|fdcm´ax | = 2 sin
ωtd 2
La respuesta m´ axima se presenta luego de haber finalizado el tiempo de duraci´on de la excitaci´on (fase ii). La Figura 5.4(b) esquematiza tal situaci´on. Por todo el an´ alisis efectuado anteriormente, en el caso de esta respuesta en particular es posible definir el espectro de respuesta como sigue: 2 sin ωtd t 6 T d 2 fdcm´ax = 2 2 t >T d
2
Recordando que: ω = 2π/T , las relaciones anteriores pueden ser modificadas para establecer ecuaciones en funci´ on de par´ ametros adimensionales, resultando: 2 sin πtd td 6 1 T 2 fdcm´ax = (5.12) T td 2 >1 T
2
No olvidemos que el espectro de respuesta es un gr´afico extermadamente u ´til, que no solamente sirve para predecir la amplitud m´ axima de la vibraci´on, la cual est´a relacionada con las deformaciones producidas en todo elemento componente del sistema. Cualquier caracter´ıstica relacionada con el desplazamiento, como la tensi´ on din´ amica interna (a trav´es de la deformaci´on producida), puede ser f´ acilmente evaluada apelando al concepto de que el espectro de respuesta define en realidad un factor de magnificaci´ on o amplificaci´ on de los efectos est´aticos producidos por la amplitud m´axima de la carga din´ amica aplicada al sistema, que sirve para estimar la magnitud de los efectos din´amicos m´ aximos producidos por la carga temporal aplicada durante la vibraci´on del sistema durante el tiempo de duraci´ on de la carga o despu´es que ha pasado este intervalo de tiempo inicial. Por ejemplo, en el caso de la tensi´ on normal podemos escribir: din est σm´ ax σm´ ax = fdcm´ ax
5.4. ESPECTROS DE RESPUESTA
147
din est donde σm´ axima de la tensi´on normal din´amica durante la vibraci´on, y σm´ ax es la amplitud m´ ax es la tensi´ on normal m´ axima generada por la amplitud m´axima de la carga din´amica aplicada est´aticamente al sistema o estructura.
5.4.2.
Pulso triangular creciente
Consideremos ahora la respuesta de un sistema hacia un pulso triangular creciente como el mostrado en la Figura 5.5. P( t ) P0
0
td
t
Figura 5.5: Perturbaci´on tipo pulso triangular creciente Las ecuaciones de movimiento son para este caso: mx ¨ + k x = P0 mx ¨+kx = 0
t td
0 6 t 6 td
(5.13a)
t > td
(5.13b)
Si se supone que el sistema en el instante inicial t0 = 0 parte del reposo, se obtiene: 1 (ωt − sin ωt) ωtd 1 p fdc(ω, t) = (ωtd − sin ωtd )2 + (1 − cos ωtd )2 sin(ωt + α) ωtd fdc(ω, t) =
0 6 t 6 td t > td
(5.14a) (5.14b)
dejando los detalles de la obtenci´ on de las f´ormulas anteriores para el amable lector. Para obtener el espectro de respuesta consideremos lo siguiente. Si definimos: α1 =
td T
α2 =
t td
(5.15)
la Ecuaci´ on (5.14a) se puede escribir como: fdc(ω, t) =
1 ( 2πα1 α2 − sin 2πα1 α2 ) 2πα1
(5.16)
Es evidente que cuando α1 adquiere un valor de magnitud muy grande, se cumplir´a: l´ım fdc(ω, t) = fdc(td ) = α2 =
t→∞
t td
y por lo tanto para α1 muy grande, el fdcm´ax tiende hacia la unidad: fdcm´ax ∼ = 1. Sin embargo, la aplicaci´ on de la Ecuaci´on (5.14a) depende si el m´aximo se produce o no durante el intervalo de duraci´ on de la carga (fase i), y esto sucede muy aproximadamente cuando el tiempo de
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
148
duraci´ on del pulso triangular es por lo menos mayor que las tres cuartas partes del periodo natural no–amortiguado del sistema. Entonces: fdc(ω, t) =
1 ( 2πα1 α2 − sin 2πα1 α2 ) 2πα1
td >
3 T 4
Si no se cumple la condici´ on anterior, habr´a que buscar el m´aximo en la fase ii, es decir luego que ha cesado la aplicaci´ on de la carga (durante la vibraci´on libre del sistema). Entonces, de la Ecuaci´ on (5.14b) tenemos: fdcm´ax =
1 p (ωtd − sin ωtd )2 + (1 − cos ωtd )2 ωtd
td 6
3 T 4
y la evaluaci´ on del m´ aximo se calcula dir´ectamente de esta ecuaci´on para diferentes valores del tiempo de duraci´ on de la carga td , siempre y cuando se cumpla la condici´on de restricci´on que se especifica en la ecuaci´ on anterior. El c´ alculo del factor din´ amico de carga m´aximo para diferentes valores del tiempo de duraci´on del pulso cuando se cumple td > 3T /4, o sea durante la aplicaci´on de la carga, se obtiene mediante la evaluaci´ on de la Ecuaci´ on (5.14a) para diferentes valores de td . Pero, se sugiere utilizar la forma dada por la Ecuaci´ on (5.16), para la cual deber´ a tomarse en cuenta que 0 6 α2 6
t td
Recordando que ω = 2π/T , podemos hacer ahora un resumen del factor din´amico de carga m´aximo asociado a un pulso triangular creciente, mostrado de la manera siguiente: Recordando que ω = 2π/T , podemos hacer ahora un resumen del factor din´amico de carga m´aximo asociado a un pulso triangular creciente, mostrado de la manera siguiente: q 2 2 t 3 d 1td 2π tTd − sin 2π tTd + 1 − cos 2π tTd T 6 4 2π T fdcm´ax = (5.17) td 3 1td 2π tTd α2 − sin 2π tTd α2 > T 4 2π T α2m´ax En la Tabla 5.1 se dan los valores del fdcm´ax para el pulso triangular creciente, mostrado en la Figura 5.5, en funci´ on de la relaci´ on temporal adimensional: td /T . Se dan tambi´en los valores del tiempo m´ aximo de respuesta comparados con el tiempo de duraci´on del pulso en la forma: tm /td , donde tm es el tiempo de m´ axima respuesta. Tabla 5.1: Respuesta m´axima – Pulso triangular creciente td /T fdcm´ax tm /td
0,0 0,0 0,0
0,25 0,73 2,33
0,40 1,05 1,58
0,65 1,26 1,06
0,75 1,21 1,00
1,00 1,00 1,00
1,25 0,87 1,00
1,50 1,00 1,00
1,75 1,09 1,00
2,00 1,00 1,00
2,25 0,93 1,00
2,75 1,06 1,00
3,00 1,00 1,00
3,25 0,95 1,00
4,25 0,96 1,00
5,25 0,97 1,00
1 el pulso rectangular [v´ En la Figura 5.6 se muestran los gr´ aficos de respuesta m´axima para: ease la 2 el pulso triangular creciente [v´ Ecuaci´ on (5.12)] y ease la Tabla 5.1 y la Ecuaci´on (5.17)] , considerados hasta aqu´ı. El c´ alculo y trazado de espectros de respuesta similares a los mostrados en la Figura 5.6 es muy u ´til en el dise˜ no, ya que proporcionan la respuesta m´axima a la exitaci´on de todos los sistemas de un grado de libertad !.
Ejemplo 5.1. Un eje circular de acero (G = 1, 8×105 Kg/cm2 ) de 60 cm de longitud, 1,5 cm de radio y 3,2 Kg de peso empotrado en un extremo, sostiene libremente en su otro extremo un volante circular r´ıgido de 20 cm de radio y 28,4 Kg de peso. Adem´as sobre el volante se aplica un momento torsor tipo
5.4. ESPECTROS DE RESPUESTA
149
FDC máx 1 Pulso rectangular 2
2
Pulso triangular
1
td T 0
1 2
3 4
2
1
3
4
Figura 5.6: Espectros de respuesta de pulsos: rectangular y triangular pulso rectangular de 1200 Kg-cm de amplitud y 0,6 seg de duraci´on, como se muestra en la Figura 5.7. Suponiendo que el sistema inicia su movimiento a partir del reposo, determinar la amplitud m´ axima y la tensi´ on cortante m´ axima soportada por el eje durante la vibraci´on torsional de este conjunto respecto al eje axial del mismo.
r
w
M( t )
M( t ) M0
G R
W
L td
t
Figura 5.7: Sistema eje–volante y pulso rectangular aplicado > Soluci´ on En el Ejemplo 2.7 se analiz´ o este problema, con la u ´nica diferencia que la perturbaci´on aplicada era de tipo arm´ onico. Sin embargo, la ecuaci´on diferencial gobernante del movimiento vibratorio es v´ alida con la ligera excepci´ on del momento torsor aplicado. La ecuaci´on gobernante de la vibraci´on torsional hallada es repetida aqu´ı: ¨ + k t θ(t) = M (t) Ieq θ(t) eq Si aplicamos la ecuaci´ on previamente establecida al presente problema, tendremos que la ecuaci´ on gobernante del movimiento vibratorio rotacional del conjunto eje–volante ser´a en este caso: 2 mr M R2 ¨ G π r4 + θ(t) + θ(t) = M (t) 6 2 2L con condiciones iniciales: y la excitaci´ on definida como:
θ(0) = θ0 = 0 M0 M (t) = 0
˙ θ(0) = θ˙0 = 0 0 6 t 6 td t > td
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
150
El uso del espectro de respuesta para carga impulsiva tipo pulso rectangular (o cualquier otra solicitaci´ on similar de imp´ acto) requiere previamente un an´alisis de tipo est´atico del problema, considerando la aplicaci´ on de la amplitud m´ axima de la exitaci´on particularmente. Entonces si pensamos que M0 se aplica en forma est´ atica al sistema eje–volante, el momento torsor interno en el eje denotado como Mt , ser´ a constante a lo largo del mismo y de id´entica magnitud que el momento aplicado; es decir: Mt (x) = M0
() r
máx
Mt
06x6L
En el esquema adjunto mostramos la secci´on transversal del eje circular, el momento torsor actuante, y la distribuci´on de tensiones cortantes que se genera en cualquier linea radial perteneciente a la secci´on de corte hipot´eticamente efectuada. Si denotamos: ρ a la posici´on radial, J al momento de inercia polar centroidal del ´area circular y Mt al momento torsor actuante en dicha secci´ on; podemos establecer la relaci´on siguiente como descripci´on de la distribuci´on de tensiones cortantes internas:
π r4 Mt ρ J= J 2 Como se aprecia en la gr´ afica la tensi´ on cortante m´axima est´atica se presenta en la periferia del eje, est es decir: τm´ ax = τ (r), la cual tiene como valor de magnitud: τ (ρ) =
est τm´ ax =
2 M0 2×1200 = = 226, 35 Kg/cm2 π r3 π1, 53
A fin de calcular los par´ ametros din´ amicos del sistema, evaluemos primero la masa del eje y el volante: w 3, 2 m= = = 3, 26×10−3 Kg-seg2 /cm g 981 28, 4 W = = 28, 95×10−3 Kg-seg2 /cm M= g 981 Luego, la inercia m´ asica polar centroidal y el coeficiente de rigidez torsional equivalentes resultan: Ieq =
mr2 M R2 (3, 26×10−3 )1, 52 (28, 95×10−3 )202 + = + = 5, 79 Kg-cm-seg2 6 2 6 2 t keq =
G π r4 (1, 8×105 ) π 1, 54 = = 23856, 47 Kg-cm/rad 2L 2×60
Por tanto, la frecuencia y el periodo natural no–amortiguando del sistema son: s r t keq 23856, 47 2π 2π ω= = = 64, 19 rad/seg T = = = 0, 098 seg Ieq 5, 79 ω 64, 19 En tanto, el desplazamiento angular est´atico m´aximo debido a la aplicaci´on de la amplitud de la exitaci´ on es: M0 1200 θest = t = = 0, 05 rad keq 23856, 47 Comparamos ahora el tiempo de duraci´on del pulso rectangular aplicado con el per´ıodo natural no–amortiguado del sistema, td 0, 6 = = 6, 12 T 0, 098
5.4. ESPECTROS DE RESPUESTA
151
Como este valor param´etrico cumple: td /T > 1/2, resulta ser un indicativo el cual nos dice que la respuesta m´ axima del sistema se producir´a durante la aplicaci´on del pulso, en la fase i de vibraci´ on forzada del sistema. De la Figura 5.6, o de la Ecuaci´ on (5.12), concluimos que: td = 6, 12 T
⇒
fdcm´ax = 2
por tanto, la amplitud m´ axima de vibraci´on (en estado din´amico) resulta: fdcm´ax =
θm´ax θest
⇒
θm´ax = fdcm´ax θest = 2×0, 05 = 0, 1 rad
Como la tensi´ on cortante al interior del eje es funci´on directa de su deformaci´on angular, resultar´ a que la tensi´ on din´ amica m´ axima estar´a magnificada por el mismo valor fdcm´ax respecto a la tensi´ on cortante que se produce en condici´on est´atica; es decir, tambi´en se cumplir´a: din m´ ax 2 τm´ ax τest = 2×226, 35 = 452, 7 Kg/cm ax = fdcm´
> Este ejemplo nos muestra claramente el efecto, casi siempre pernicioso, que tienen las cargas impulsivas o de imp´ acto; puesto que en el caso analizado vemos que la tensi´on cortante interna se duplica en su magnitud en comparaci´ on a la situaci´on en la que la amplitud m´axima de la perturbaci´on fuese aplicada est´ aticamente. Entonces en muchos casos puede suceder que la aplicaci´on de una carga impulsiva de muy corta duraci´ on lleve al sistema hasta un estado de falla din´amica. En la situaci´ on analizada anteriormente, si la magnitud m´axima del pulso aplicado fuese mucho mayor, de modo que la tensi´ on cortante est´atica sea algo menor que la tensi´on cortante l´ımite de fluencia, se podr´ıa producir la ruptura instant´anea del eje porque la tensi´on din´amica ya se ubicar´ıa en zona pl´ astica del material con elevada probabilidad de haber alcanzado el punto de rotura !. Ejemplo 5.2. Una m´ aquina de 370,5 Kg de peso est´a sujeta a una fundaci´on el´astica que tiene rigidez equivalente de 280 Kg/cm, y es modelada como un sistema de un solo grado de libertad que est´ a sometido a una excitaci´ on triangular creciente con un valor m´aximo de 225 Kg y una duraci´on de 0,15 seg debido a una carga s´ ubita de desperfecto. Hallar la fuerza m´axima que se transmite a trav´es del resorte hacia el suelo que sirve de apoyo a la m´aquina. > Soluci´ on La ecuaci´ on de movimiento vibratorio del sistema es: mx ¨ + k x = P0 mx ¨+kx = 0
t td
0 6 t 6 td t > td
con el significado y´ a establecido para el conjunto de variables y par´ametros involucrados. La frecuencia natural del sistema es: r r k 280×981 ω= = = 27, 228 rad/seg m 370, 5 y el periodo: entonces,
T =
2π 2π = = 0, 23 seg ω 27, 228
td 0, 15 = = 0, 65 < 0, 75 T 0, 23
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
152
Por lo tanto, la respuesta m´ axima se produce despu´es de haber cesado la aplicaci´on de la carga; entonces de la Figura 5.6, la Tabla 5.1, o la Ecuaci´on (5.17); obtenemos: fdcm´ax =
xm´ax = 1, 26 xest
225 P0 = 1, 26 = 1, 012 cm k 280 La fuerza m´ axima transmitida por el resorte es evaluada seg´ un: De aqu´ı,
xm´ax = fdcm´ax xest = fdcm´ax
Fkm´ax = k xm´ax = 280×1, 012 = 283, 36 Kg El instante en el que se produce esta fuerza transmitida hacia el apoyo es: tm = 1, 06 td = 1, 06×0, 15 = 0, 16 seg Cuales ser´ıan los valores de la respuesta m´axima y la fuerza transmitida hacia el suelo, si la excitaci´ on aplicada fuese del tipo pulso rectangular con la mitad de amplitud e igual tiempo de duraci´on ˙ que el del pulso triangular creciente considerado en el modelo?. >
5.5.
An´ alisis aproximado – Excitaci´ on tipo impulso
En los casos en que la excitaci´ on es del tipo impulsivo, se puede intentar un c´alculo aproximado de la respuesta, bas´ andonos en el hecho de que por ser peque˜ no el tiempo de duraci´on de la exitaci´on con respecto al periodo del sistema o estructura, la energ´ıa cin´etica transmitida al sistema mediante el impulso de fuerza cedido se produce en un tiempo tan peque˜ no, de manera que la misma es luego liberada en forma paulatina y lenta, despu´es de la aplicaci´on de la carga (vibraci´on libre). En estos casos la forma de la excitaci´ on no afecta substancialmente la respuesta del sistema. Esto puede verse en forma m´ as clara si se supone que el impulso aplicado es reemplazado por otro de tipo rectangular que tenga la misma ´ area (v´ease la Figura 5.1). Entonces recordando que la amplitud de carga equivalente est´ a determinada por la Ecuaci´on (5.3) R td ∗
P = Por lo tanto: entonces,
fdcm´ax =
0
P (t) dt td
xm´ax kxm´ax Pm´ax = = xest kxest Peq
fdcm´ax =
1 td
Pm´ax R td P (t)dt 0
(5.18)
Para el caso del pulso triangular creciente se tiene: fdcm´ax =
Pm´ax 1 2 P0
(5.19)
Con el objeto de comparar las respuestas de los pulsos considerados, volvamos a dibujar la Figura 5.6 con referencia a un mismo valor de amplitud de la carga impulsiva P0 como se muestra en la Figura 5.8 donde se bosquejan las curvas normalizadas hacia un mismo valor de magnitud del impulso aplicado. La Figura 5.8 claramente nos muestra que las respuestas coinciden hasta casi un valor de 0,25 para la relaci´ on td /T , lo que nos indica que para valores de la relaci´on temporal adimensional td /T < 1/4 la respuesta es independiente de la forma de los pulsos considerados, y esta afirmaci´on es cierta para cualquier tipo de pulso. Estas conclusiones podemos resumirlas como sigue:
´ ´ TIPO IMPULSO 5.5. ANALISIS APROXIMADO – EXCITACION
FDC máx
153
Pulso triangular
2
1 Pulso rectangular 2
1
td T 0
1 4
1 2
3 4
2
1
3
4
Figura 5.8: Espectros normalizados de respuesta de pulsos: rectangular y triangular Para excitaciones de corta duraci´on (td /T < 1/4) la respuesta m´axima es independiente de la forma del pulso, y depende principalmente del impulso aplicado (´area por debajo de la curva excitaci´ on–tiempo). Para duraciones de perturbaci´on mayores (td /T > 1/4) habr´a que considerar en la respuesta la forma de la excitaci´ on utilizando la expresi´on apropiada para el fdcm´ax ; ya que el espectro de respuesta asociado depende del tipo de excitaci´on aplicado. Tomando como base las conclusiones anteriores, estamos en condiciones de evaluar la respuesta aproximada de un sistema a una excitaci´on tipo impulso.
5.5.1.
Sistemas no–amortiguados
Si suponemos que se cumplan las condiciones anteriores, entonces es posible suponer para el c´ alculo de la respuesta que la aplicaci´ on del impulso origina un cambio instant´aneo en la velocidad del sistema (recu´erdese que en este caso el desplazamiento es un infinit´esimo de segundo orden), por lo tanto: tZ d +τ
I=
P (t) dt = m ∆v
(5.20)
τ
y este impulso aplicado efect´ ua un cambio en la velocidad del sistema, el cual puede aproximarse mediante: I ∆v = ∆x˙ = x(τ ˙ ) − x(0) ˙ = m Si suponemos que el sistema parte del reposo: x(0) = x(0) ˙ = 0, ∆x˙ = x(τ ˙ )=
I m
x(τ ) = 0
´ Esto porque el impulso solamente efect´ ua un cambio en la velocidad del sistema; por lo que la respuesta (en vibraci´ on libre) est´ a determinada por: x(t) = x(τ) cos ω(t − τ ) +
x(τ ˙ ) sin ω(t − τ ) ω
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
154
t +τ Zd 1 P (µ) dµ sin ω(t − τ ) x(t) = mω
(5.21)
τ
donde τ es el instante de aplicaci´ on del impulso; adem´as:
xm´ax
1 = mω
tZ d +τ
P (µ) dµ
(5.22)
τ
La utilizaci´ on de la Ecuaci´ on (5.22) como aproximaci´on que permite evaluar la respuesta m´axima del sistema se ilustra en el siguiente problema hipot´etico de c´alculo num´erico. Ejemplo 5.3. Una gran prensa hidr´ aulica que sirve para estampar planchas met´alicas laminadas y la fundaci´ on sobre la que descansa es modelada como un sistema de un solo grado de libertad no– amortiguado para estudiar en primera aproximaci´on su comportamiento. Hallar la respuesta m´axima del sistema, que tiene las siguientes caracter´ısticas: peso total W = 482 Ton, rigidez equivalente k = 4, 97 Ton/cm; y el mismo es sometido a una excitaci´on tipo pulso parab´olico de td = 0, 2 seg de duraci´ on y P0 = 20 Ton de amplitud m´ axima, como es mostrado en la Figura 5.9.
P( t ) P0
0
td
t
Figura 5.9: Perturbaci´on tipo pulso parab´olico >
Soluci´ on
W 482 = = 0, 4913 Ton-cm/seg2 g 981 La frecuencia circular y el per´ıodo del sistema son: r r k 4, 97 2π 2π ω= = = 3, 18 rad/seg ⇒ T = = = 1, 98 seg m 0, 4913 ω 3, 18 La masa en movimiento vibrante es: m =
La respuesta puede ser obtenida aplicando la integral de convoluci´on que involucra a la funci´on de Greeen asociada al problema; sin embargo podemos ver que se cumple: td <
T 4
ya que,
0, 2 <
1, 98 = 0, 49 seg 4
Por lo tanto, para evaluar la respuesta m´ axima del sistema se puede aplicar la expresi´on aproximada establecida mediante la Ecuaci´ on (5.22). Pero, es necesario previamente describir anal´ıticamente mediante una funci´ on al pulso parab´ olico aplicado. P (t) = a0 + a1 t + a2 t2
a0 , a1 , a2 ctes.
´ ´ TIPO IMPULSO 5.5. ANALISIS APROXIMADO – EXCITACION
155
Aplicando las condiciones de borde: P (0) = 0, P (td /2) = P0 , P (td ) = 0 y evaluando las constantes ai (i = 1, 2, 3) hallamos, " 2 # t t − P (t) = 4P0 td td La magnitud del impulso transmitido al sistema por el pulso parab´olico est´a determinado por: Ztd
tZ d +τ
P (µ) dµ =
I= τ
"
µ − td
4P0
µ td
2 # dµ =
2 P0 t d 3
0
Y la respuesta m´ axima, aplicando la Ecuaci´on (5.22), nos d´a como resultado final:
xm´ax
1 = mω
tZ d +τ
P (µ) dµ =
2 3 P0 td
mω
=
2×20×0, 2 = 1, 71 cm 3×0, 4913×3, 18
τ
5.5.2.
>
Sistemas amortiguados
Frecuentemente en los sistemas mec´anicos y estructurales sometidos a cargas de poca duraci´ on, el amortiguamiento tiene poco efecto en el primer m´aximo y por lo tanto usualmente no es considerado. Esto es cierto a´ un para valores de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico que cumplen: β < 0, 03. Sin embargo, puede darse la situaci´ on en la que sea necesario considerar su acci´on, como en el caso cuando un sistema suelo–fundaci´ on para una maquinaria es analizado. En este caso, y debido a diferentes factores, los valores de β pueden ser tan altos como β = 0, 6 y su efecto debe ser considerado. El procedimiento para obtener los espectros de respuesta es similar al caso no–amortiguado, con la sola diferencia de que existir´ a una curva para cada valor de la fracci´on de amortiguamiento β que deber´ a ser tomado como par´ ametro; esto aparte del mayor esfuerzo invertido en la obtenci´ on de f´ ormulas anal´ıticas y valores num´ericos debido a la presencia de este par´ametro. Es posible tambi´en, desde luego, el c´alculo de una respuesta aproximada como lo hicimos anteriormente para el caso de sistemas no–amortiguados; pero siempre y cuando se cumpla la restricci´on b´ asica: que el tiempo de duraci´ on del pulso aplicado sea menor que la cuarta parte del periodo fundamental del sistema: td < T /4. Entonces, si se cumple esta hip´ otesis, se puede demostrar que la respuesta al impulso est´a dada por: p I −βω(t−τ ) e x(t) = sin ωa (t − τ , ) ωa = ω 1 − β 2 (5.23) mω donde:
tZ d +τ
I=
P (µ) dµ τ
Por lo tanto, es tambi´en posible demostrar que la respuesta m´axima viene dada por: I −βωtm´ax e mω
(5.24)
p 1 arc sen 1 − β 2 ωa
(5.24a)
xm´ax = donde:
tm´ax =
es el instante de tiempo al cual se produce el primer m´aximo en la respuesta amortiguada, luego de haber sido aplicado el pulso sobre el sistema.
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
156
Ejemplo 5.4. En el Ejemplo anterior considere la presencia de un 4 % de fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico en el sistema, y eval´ ue nuevamente la magnitud de la m´axima respuesta en este caso. >
Soluci´ on
En virtud de no haber modificado la exitaci´on, ni tampoco los par´ametros din´amicos del sistema, se cumple la condici´ on b´ asica: td < T /4 para poder obtener la respuesta m´axima mediante una expresi´on aproximada, espec´ıficamente por uso de la Ecuaci´on (5.24). La frecuencia natural amortiguada del sistema tiene valor: p p ωa = ω 1 − β 2 = 3, 18 1 − 0, 042 = 3, 177 rad/seg El instante de respuesta m´ axima se presenta en: tm´ax =
p p 1 1 arc sen 1 − β 2 = arc sen 1 − 0, 042 = 0, 48 seg ωa 3, 177
y, la magnitud de la amplitud de respuesta m´axima al tiempo calculado anteriormente es: xm´ax =
2 P0 td −βωtm´ax I −βωtm´ax 2×20×0, 2 = 3 = e e e−0,04×3,18×0,48 = 1, 60 cm mω mω 3×0, 4913×3, 18
La inclusi´ on de amortiguamiento, a´ un de un reducido valor de magnitud, hizo que la amplitud de respuesta m´ axima del sistema se reduzca en un monto no muy apreciable. El porcentaje de reducci´on logrado con esta modificaci´ on alcanza aproximadamente al 6,43 %. > Por la comparaci´ on de resultados obtenidos en los dos u ´ltimos ejemplos, resulta claro que la presencia de amortiguamiento en el sistema es completamente beneficioso en la reducci´on de la magnitud de desplazamiento m´ aximo que se presenta durante la vibraci´on debida a la aplicaci´on de una carga impulsiva de corta duraci´ on !.
5.6.
Aislamiento al impulso
Frecuentemente muchos sistemas o estructuras son sometidas a cargas impulsivas, las cuales generan grandes tensiones internas en algunos casos, y en otros fuerzas de elevada magnitud que se transmiten a la fundaci´ on. En el u ´ltimo caso es posible desarrollar expresiones que permitan cuantificar su efecto. Consideraremos aqu´ı el caso general y supondremos que el impulso se aplica en el instante τ = 0. Supondremos entonces un sistema de masa determinada, el cual se conecta a un elemento aislador de vibraciones que tiene rigidez y amortiguamiento equivalentes conocidos, que adem´as es sometido a la acci´ on de una carga impulsiva (v´ease la Figura 4.8). La fuerza transmitida hacia la fundaci´on, o reacci´ on ejercida por ´esta sobre el sistema, es: R(t) = Fk (t) + Fc (t) = k x(t) + c x(t) ˙ donde el desplazamiento est´ a determinado por la Ecuaci´on (5.23), siendo entonces la velocidad: ! I −βωt β x(t) ˙ = e cos ωa t − p sin ωa t (5.25) m 1 − β2 Si reemplazamos en la ecuaci´ on que describe la fuerza de reacci´on, tenemos: kI R(t) = m ωa
e
−βωt
cI sin ωa t + m
e
−βωt
β
cos ωa t − p sin ωa t 1 − β2
!
5.6. AISLAMIENTO AL IMPULSO
157
Recordando que: ω 2 = k/m y c/m = 2βω, la relaci´on anterior cambia hacia: R(t) = p
Iω 1 − β2
e
−βωt
R(t) = Iω e−βωt
sin ωa t + 2βωI e 1
p
1 − β2
R(t) = Iω e
−βωt
−βωt
sin ωa t − p
β
!
sin ωa t cos ωa t − p 1 − β2 !
2β 2
1 − β2
sin ωa t + 2β cos ωa t
1 − 2β 2 p sin ωa t + 2β cos ωa t 1 − β2
!
Esta u ´ltima ecuaci´ on es posible de ser escrita en su forma amplitud – fase, como:
donde,
1 R(t) = Iω e−βωt p sin(ωa t + Ψ) 1 − β2 p 2β 1 − β 2 tan Ψ = 1 − 2β 2
(5.26)
(5.26a)
Para encontrar la m´ axima fuerza transmitida, derivamos la Ecuaci´on (5.26) e igualamos a cero con el objetivo de determinar el tiempo asociado con el valor m´aximo; dR(t) Iω =p dt 1 − β2
e−βωt [ ωa cos(ωa t + Ψ) − βω sin(ωa t + Ψ) ] = 0
p 1 arcsin 1 − β 2 − Ψ ωa y el valor m´ aximo de la fuerza transmitida, como puede comprobarse, resulta en este caso: de aqu´ı:
tm´ax =
R(t)m´ax = Iω e−βωtm´ax
(5.27)
(5.28)
Las Ecuaciones (5.24) y (5.28) permiten ahora analizar la respuesta a la acci´on de un impulso. Si recordamos que esta perturbaci´ on es la transmisi´on de energ´ıa cin´etica al sistema en un tiempo relativamente corto, entonces su buena performance se reflejar´a en la capacidad del sistema de liberar esta energ´ıa en una forma ‘lenta y suave’; y esto desde un punto de vista f´ısico implica grandes deformaciones. Por lo tanto, de la Ecuaci´ on (5.24) se observa que el desplazmiento m´aximo es inversamente proporcional a la frecuencia natural circular del sistema; en consecuencia para permitir una deformaci´ on grande del sistema bastar´ a con reducir la frecuencia circular del mismo. Sin embargo, esta acci´ on implicar´ a un aumento de la fuerza transmitida, ya que esta es proporcional a la frecuencia circular del sistema [v´ease la Ecuaci´ on (5.28)]. Estos factores y el hecho de que una perturbaci´on de este tipo excita una amplia gama de frecuencias, complican el dise˜ no de un aislamiento a la exitaci´on tipo impulso. Frecuentemente cuando se enfrenta el dise˜ no de un sistema sometido al impulso, el analista no deber´ a dejar la posibilidad de adoptar un sistema no–lineal con el objeto de cumplir los requerimientos de dise˜ no; sin embargo, es posible considerar los siguientes aspectos generales: 1. Se debe elegir cuidadosamente la frecuencia natural del sistema, de manera de eliminar la posibilidad de que los efectos del impulso sean amplificados. 2. En raz´ on de que la efectividad del aislamiento est´a dada en funci´on del desplazamiento a permitirse, se deber´ an tomar precauciones para permitir este movimiento. 3. Si no es posible compatibilizar el desplazamiento y la transmisibilidad m´aximas, se debe considerar la posibilidad de elegir un modelo con caracter´ısticas no–lineales.
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
158
Si bien la Ecuaci´ on (5.28) proporciona un valor m´aximo, debe investigarse la posibilidad de hallar otro m´ aximo (v´ease la referencia [16]). Esto puede lograrse recurriendo al concepto de impulso. Si suponemos nuevamente que el tiempo de aplicaci´on de la perturbaci´on es suficientemente peque˜ no, de manera que el desplazamiento originado es un infinit´esimo de segundo orden, es entonces evidente que toda la fuerza transmitida se deber´ a al movimiento del amortiguador (m´as propiamente su velocidad); entonces: I R(t)m´ax = c x(t) ˙ m´ax = c m esto en virtud de la amplitud m´ axima de la velocidad, obtenida a partir de la Ecuaci´on (5.25). Pero, c = 2βω m entonces:
R(t)m´ax = 2βωI
(5.29)
Por comparaci´ on de los valores m´ aximos de la fuerza transmitida se ha encontrado que para una fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico en el rango: β < 0, 5 es aplicable la Ecuaci´on (5.28); y para β > 0, 5 es posible la aplicaci´ on de la Ecuaci´ on (5.29). Ejemplo 5.5. Con el prop´ osito de ilustrar el tipo de an´alisis descrito, supondremos que el sistema del Ejemplo 5.2 es sometido al mismo tipo de impulso (parab´olico), pero en el an´alisis se incluye adem´as el amortiguamiento con fracci´ on de valor cr´ıtico igual a: β = 0, 3. >
Soluci´ on
El procedimiento de soluci´ on es ahora el siguiente: Se encontr´o que el impulso de la exitaci´on es, I=
2 2 P0 td = 20×0, 2 = 2, 66 Ton-seg 3 3
Puesto que β < 0, 5 la Ecuaci´ on (5.28) es aplicable para obtener una soluci´on aproximada. p p ωa = ω 1 − β 2 = 3, 18 1 − 0, 32 = 3, 03 rad/seg p p 2×0, 3 1 − 0, 32 2β 1 − β 2 = arctan = 0, 61 rad Ψ = arctan 1 − 2β 2 1 − 2×0, 32 p p 1 1 tm´ax = arcsin 1 − β 2 − Ψ = arcsin 1 − 0, 32 − 0, 61 = 0, 217 seg ωa 3, 03 R(t)m´ax = Iω e−βωtm´ax = 2, 66×3, 18 e−0,3×3,18×0,217 = 6, 87 Ton El desplazamiento m´ aximo puede ser estimado a partir de la Ecuaci´on (5.24), tm´ax =
p p 1 1 arc sen 1 − β 2 = arc sen 1 − 0, 32 = 0, 42 seg ωa 3, 03
xm´ax =
I mω
e−βωt
m´ ax
=
2, 66 e−0,3×3,18×0,42 = 1, 14 cm 0, 4913×3, 18
A la luz de los resultados obtenidos, podemos estimar a´ un de muy elevada magnitud el desplazamiento m´ aximo durante la vibraci´ on (que puede afectar el proceso de estampado de las l´aminas met´ alicas). Si modificamos la frecuencia del sistema (variando la rigidez del aislador), pero manteniendo la relaci´ on: td /T < 1/4 se producir´ an los siguientes cambios. Supongamos que escogemos: td = 0, 24 T
⇒
T =
td 0, 2 = = 0, 83 seg 0, 24 0, 24
5.7. MOVIMIENTO DE APOYO
159
ω=
2π 2π = = 7, 57 rad/seg T 0, 83
El coeficiente de rigidez equivalente del aislador deber´a ser ahora, k = m ω 2 = 0, 4913×7, 572 = 28, 154 Ton/cm Entonces, estamos en capacidad de evaluar los nuevos valores m´aximos (solo por variaci´on de la frecuencia circular del sistema); que ser´ıan: R(t)m´ax =
xm´ax =
7, 57 6, 87 = 16, 35 Ton 3, 18 3, 18 1, 14 = 0, 48 cm 7, 57
Si bien se ha logrado reducir la amplitud m´axima de respuesta, en contraposici´on se ha incrementado la fuerza transmitida hacia el suelo (que podr´ıa tener consecuencias de tipo estructural). Entonces, el establecer condiciones restrictivas para una sola de las variables de dise˜ no no parece ser lo adecuado. El an´ alisis tambi´en deber´ıa restringir la magnitud de la fuerza transmitida en un valor l´ımite razonable seg´ un las circunstancias del entorno del sistema. Si este nuevo an´ alisis a´ un no es satisfactorio, se puede intentar aumentar la frecuencia por ‘encima’ de la zona donde se hallan concentradas las componentes m´as importantes de la respuesta (v´ease la Figura 5.2); y en este caso tendr´ıamos que tomar m´ınimamente, ω=Ω>
2π 2π = = 31, 42 rad/seg td 0, 2
esto u ´ltimo en raz´ on que la respuesta forzada del sistema se d´a con la misma frecuencia que la excitaci´ on. Y, luego tendremos: T =
2π 2π = = 0, 199 seg ω 31, 42
⇒
td 0, 2 = = 1, 005 > 1/4 T 0, 199
Por lo tanto, el procedimiento aproximado utilizado anteriormente no ser´ıa aplicable; debi´endose recurrir ahora a la evaluaci´ on de las integrales de convoluci´on que involucran a la funci´on de Green asociada, para determinar la respuesta del sistema. > Este u ´ltimo ejemplo muestra que el problema de aislamiento a una excitaci´on impulsiva requiere el ajuste de los valores param´etricos del sistema aislador a utilizarse. Apreciamos en el proceso num´erico de c´ alculo que cuando disminuye la amplitud del movimiento vibratorio, se incrementa la fuerza transmitida al apoyo. Por esta raz´ on, en el proceso de dise˜ no de una adecuada fundaci´on del equipo o maquinaria que se desea aislar de perturbaciones exteriores tipo pulso, se deben establecer rangos de valores restrictivos para las variables de respuesta que se consideren m´as importantes y lograr que los par´ ametros din´ amicos del sistema aislador cumplan con estas especificaciones.
5.7.
Movimiento de apoyo
Muchos sistemas mec´ anicos o estructuales est´an sujetos a excitaciones de apoyo no–peri´odicas. Una rueda o meum´ atico de un veh´ıculo que transita sobre una carretera que posee una depresi´ on o una protuberancia (abultamiento) induce vibraci´on a trav´es del sistema de suspensi´on. Los sismos o terremotos de igual manera producen oscilaciones de las estructuras apoyadas dir´ectamente sobre el suelo.
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
160
z( t )= x( t ) - y( t ) x( t )
m
c
k
y( t )
Figura 5.10: Sistema con excitaci´on de movimiento de apoyo Si recordamos la ecuaci´ on gobernante para el movimiento relativo entre una masa y su base cuando entre estos elementos se interconectan a trav´es de un resorte y un amortiguador viscoso dispuestos en paralelo, como se muestra en la Figura 5.10; resulta que el movimiento tiene como ecuaci´on gobernante: m z¨ + c z˙ + k z = −m y¨ o, de modo normalizado:
z¨ + 2βω z˙ + ω 2 z = −¨ y
(5.30)
donde y = y(t) es el movimiento de apoyo prescrito asumido conocido. Si al instante inicial de observaci´ on consideramos: z(0) = z(0) ˙ = 0, es decir que el sistema parte en condici´on de reposo, la integral de convoluci´ on puede ser utilizada para hallar la soluci´on de la ecuaci´on diferencial gobernante del movimiento relativo. Recordando que para un sistema amortiguado forzado, la ecuaci´on gobernante de la din´amica de su movimiento vibratorio es: P (t) x ¨ + 2βω x˙ + ω 2 x = m siendo la respuesta de desplazamiento, asumiendo condiciones iniciales nulas, determinada por: Z t P (τ ) x(t) = K(t, τ ) dτ m 0 En nuestro caso, tomamos como carga la fuerza inercial proveniente de la aceleraci´on resultante del movimiento de apoyo: P (t) = −m¨ y (t); por lo que en el caso presente de inter´es adecuamos la soluci´on general y obtenemos como respuesta: Z z(t) = −
t
y¨(τ )K(t, τ ) dτ
(5.31)
0
donde K(t, τ ) es la funci´ on de Green asociada a la ecuaci´on diferencial de movimiento planteada. La Ecuaci´ on (5.31) puede ser modificada al aplicar sobre ella un procedimiento de integraci´on por partes, dando como resultado el desplazamiento relativo en t´erminos de la velocidad del apoyo: Z t ˙ τ ) dτ z(t) = y(0)K(t) ˙ − y(τ ˙ )K(t, (5.32) 0
donde:
e ˙ K(t) =−p sin(ωa t − χ) 1 − β2 ! p 1 − β2 χ = arctan β −βωt
(5.32a)
(5.32b)
5.7. MOVIMIENTO DE APOYO
161
Si el movimiento de la base o apoyo es conocido, puede ser diferenciado para calcular la velocidad, y la Ecuaci´ on (5.32) puede ser utilizada para determinar el desplazamiento relativo. Alternativamente, el desplazamiento absoluto de la masa en movimiento vibratorio puede obtenerse resolviendo: x ¨ + 2βω x˙ + ω 2 x = −2βω y˙ − ω 2 y (5.33) cuando a ´esta ecuaci´ on se aplica la integral de convoluci´on, se obtiene como soluci´on: Z t x(t) = − 2βω y(τ ˙ ) + ω 2 y(τ ) K(t, τ ) dτ
(5.34)
0
Ejemplo 5.6. Determinar la respuesta de un bloque de masa m conectado a trav´es de un resorte de coeficiente de rigidez k a la base o apoyo, cuando ´este soporte est´a sujeto a un pulso de velocidad rectangular mostrado en la Figura 5.11. Utilice primero la Ecuaci´on (5.31), y luego la Ecuaci´on (5.32) para determinar la soluci´ on.
y( t )
v0
0
td
t
Figura 5.11: Excitaci´on por velocidad de apoyo > Soluci´ on Puesto que en este caso estamos tratando con un sistema no–amortiguado (β = 0), la ecuaci´on gobernante del movimiento vibratorio producido por la aplicaci´on de esta perturbaci´on es: z¨ + ω 2 z = −¨ y siendo la respuesta determinada por la Ecuaci´on (5.31), Z t z(t) = − y¨(τ )K(t, τ ) dτ
(a)
0
La expresi´ on que describe la velocidad de apoyo aplicada al sistema es: y(t) ˙ = v0 u(t − 0) − v0 u(t − td ) = v0 [ u(t) − u(t − td ) ] donde u(t − t∗ ) en forma generalizada denota a la funci´on escal´on unitario (v´ease el Ap´endice A). De aqu´ı, la aceleraci´ on del movimiento resulta: y¨(t) = v0 [ δ(t) − δ(t − td ) ] donde, de manera generalizada, δ(t − t∗ ) denota a la funci´on impulso unitario o delta de Dirac (v´ease nuevamente el Ap´endice A). Mientras que la funci´ on de Green asociada a la ecuaci´on diferencial gobernante es aquella hallada en el Cap´ıtulo 3 – Secci´ on 3.4.1; que aqu´ı transcribimos: K(t, τ ) =
sin ω(t − τ ) ω
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
162
Ahora, reemplazamos las relaciones anteriores en la Ecuaci´on (a) que d´a la respuesta del sistema, t
Z z(t) = −
v0 [ δ(t) − δ(t − td ) ] 0
v0 ω
z(t) = −
Z
sin ω(t − τ ) dτ ω
t
[ δ(t) − δ(t − td ) ] sin ω(t − τ ) dτ 0
Las integrales se eval´ uan aplicando una de las propiedades de la funci´on Delta de Dirac, la cual indica que siendo f (t) una funci´ on arbitraria; para ella se cumple: t
Z
δ(τ − t0 )f (τ ) dτ = f (t0 )u(t − t0 ) 0
Evaluando las integrales aplicando la f´ ormula anterior, determinamos como soluci´on: i v0 h z(t) = − sin ω(t − τ ) τ =0 u(t − 0) − sin ω(t − τ ) τ =t u(t − td ) d ω z(t) =
v0 [ −u(t) sin ωt + u(t − td ) sin ω(t − td ) ] ω
Ahora, verificaremos la soluci´ on aplicando la Ecuaci´on (5.32) que proporciona una relaci´on alternativa para evaluar la respuesta del sistema. Z z(t) = y(0)K(t) ˙ −
t
˙ τ ) dτ y(τ ˙ )K(t,
0
Hemos determinado que la velocidad de apoyo viene determinada por: y(t) ˙ = v0 [ u(t) − u(t − td )] t − Evaluando esta ecuaci´ on al instante inicial: y(0) ˙ = v0 [ u(0) u(0 ı que la respuesta − d )] = 0, as´ estar´ a determinada mediante: Z t Z t ˙ τ ) dτ = − v0 z(t) = − y(τ ˙ )K(t, [ u(τ ) − u(τ − td )] cos ω(t − τ ) dτ 0
0
Para evualuar las integrales hacemos uso de la f´ormula (v´ease el Ap´endice A): Z
t
Z
t
f (τ )u(τ − t0 ) dτ = u(t − t0 ) 0
Z
z(t) = − v0 u(t)
t
Z
t
cos ω(t − τ ) dτ − u(t − td ) 0
z(t) = −
f (τ ) dτ t0
cos ω(t − τ ) dτ
td
t t v0 − u(t) sin ω(t − τ ) + u(t − td ) sin ω(t − τ ) ω 0 td
z(t) =
v0 [ −u(t) sin ωt + u(t − td ) sin ω(t − td ) ] ω
Como deb´ıa esperarse, hemos obtenido la misma soluci´on hallada anteriormente !.
Problemas propuestos
163
> El m´etodo de hallar la respuesta de un sistema a una excitaci´on tipo pulso mediante funciones singulares y la integral de convoluci´ on que involucra la funci´on de Green asociada a la ecuaci´on diferencial gobernante, puede ser tambi´en aplicada al estudio realizado en las secciones anteriores. Muchas veces este procedimiento es mucho m´ as directo que hacer la descripci´on de la perturbaci´on en intervalos discretos de tiempo, como fu´e efectuado previamente a esta secci´on, a lo largo de todo este cap´ıtulo en las secciones previas. A˜ nadir aqu´ı unos p´ arrafos de discusi´on de la utilizaci´on de los espectros de respuesta en vibraci´ on por movimiento de apoyo, y tambi´en algo de aislamiento de vibracion de apoyo!!! Poner aqu´ı algo de texto (CONCLUSIONES)
Problemas propuestos 5.1. Un sistema no–amortiguado de un solo grado de libertad est´a inicialmente en condidici´ on de equilibrio est´ atico y sujeto a una carga descrita por P (t) = P0 e−t/2 . Determine la respuesta del sistema usando la integral de convoluci´on. Compruebe su respuesta mediante el m´etodo de integraci´ on de par´ ametros variables. 5.2.
Considere el pulso sinusoidal de la Figura adjunta, el cual est´a definido como: ( P0 sin Ωt 0 6 t 6 td P (t) = 0 t > td
P( t )
Pk P0
td
Demostrar que las siguientes expresiones dan la respuesta m´axima:
t
fdcm´ax (h) =
1 2πnh sin 1−h 1+h
0 6 t 6 td
Si el m´ aximo se produce durante la aplicaci´on de la carga, siendo n un n´ umero entero de manera de proporcionar el m´ aximo valor de la funci´on, mientras el argumento se mantiene inferior a π. fdcm´ax (h) =
2h π cos 1−h 2h
t > td
si el m´ aximo se presenta despu´es de la aplicaci´on de la perturbaci´on (vibraci´on libre). Dibujar el espectro de respuesta correspondiente. 5.3.
Hallar las expresiones para la respuesta a la excitaci´on del pulso mostrado en la Figura. Dibujar el espectro de respuesta asociado con esta perturbaci´ on.
P( t )
Pk
P0
td
5.4.
t
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
164
Haciendo uso del m´etodo de funciones singulares, hallar la expresi´on matem´atica que describe la perturbaci´on mostrada en la Figura adjunta.
P( t )
Pk
2P0
P0 2tb
tb
0
3tb
4tb
t
5.5. Repita el Ejemplo 5.3, pero esta vez obtenga la respuesta del sistema debido a la exitaci´on aplicada mediante la utilizaci´ on de funciones singulares. 5.6.
Considere un sistema amortiguado de un solo grado de libertad inicialmente en condici´on de reposo, al cual se le aplica una carga impulsiva de magnitud unitaria en el instante t = τ , la cual se muestra en la Figura. Determinar la respuesta de variaci´on temporal de desplazamiento del sistema para el intervalo: t > τ . En base a la soluci´on hallada, muestre la respuesta que tiene un sistema no–amortiguado sometido a la misma carga de perturbaci´on.
P( t )
P0 = 1
0
t
5.7.
El ‘tren de pulsos rectangulares’ mostrado en la Figura se trata de una perturbaci´on peri´odica que como sabemos puede ser representada mediante serie de Fourier; pero tambi´en puede ser descrita haciendo uso de las funciones singulares. Demuestre que la representaci´on de esta perturbaci´on viene dada por: ∞ X P (t) = P0 {u(t − iT ) − u[t − 21 (2i − 1)T ]}
P( t )
Pk P0
T
T/2
t
2T
i=0
Suponga ahora que esta perturbaci´ on se aplica a un sistema no–amortiguado de un solo grado de libertad en condici´ on inicial de reposo. Haciendo uso de la integral de convoluci´on y las propiedades de integraci´ on de las funciones singulares (v´ease el Ap´endice B), demuestre que la respuesta est´ a determinada por: ∞ P0 X x(t) = u(t − iT )[1 − cos ω(t − iT )] − u[t − 21 (2i − 1)T ] 1 − cos ω[t − 21 (2i − 1)T ] mω 2 i=0 5.8.
k y( t )
Pk
y( t )
k
m
c x( t )
R
r T
t
La leva giratoria de la Figura imparte un desplazamiento y(t) en la forma de una funci´on ‘diente de sierra’ al extremo de un sistema seguidor modelado como se muestra. Asumiendo conocidos todos los valores param´etricos mostrados en el esquema, hallar la respuesta de desplazamiento relativo z(t) = x(t) − y(t), de la masa en movimiento. Utilice la integral de convoluci´on y las propiedades de integraci´on de las funciones singulares para hallar la soluci´on.
Problemas propuestos
165
5.9. Suponga que un sistema es excitado mediante una aceleraci´on aplicada al apoyo. Demostrar que: fdcm´ax
xm´ax x ¨m´ax = = xest y¨0
donde: x ¨m´ax es la respuesta de aceleraci´on m´axima del sistema, y y¨0 es la amplitud de la aceleraci´ on aplicada. Esto es equivalente a afirmar que los espectros de respuesta encontrados para el desplazamiento, pueden ser utilizados para hallar la aceleraci´on m´axima absoluta del sistema. sugerencia: Considere que y¨(t) = y¨0 f (t) es la aceleraci´on aplicada al apoyo del sistema, y halle la respuesta del mismo mediante las integrales de convoluci´on. 5.10. En los sistemas amortiguados, se puede evaluar la respuesta aproximada a una excitaci´on tipo pulso mediante la evaluaci´ on del impulso que esta perturbaci´on transmite al sistema cuando es aplicado. Deducir las Ecuaciones (5.24) y (5.24a) que determinan relaciones para calcular la respuesta. 5.11.
Un p´endulo simple es constru´ıdo con una cuerda delgada de peso despreciable de 60 cm de longitud que P0 sostiene en su extremo un peso de 200 gr, el cual cuelga libremente bajo la acci´on de la gravedad. A la masa de este sistema se le aplica un golpe para ponerlo en movimiento, el cual es modelado como una td t fuerza impulsiva de variaci´on cosenoidal de 1,6 Kg de intensidad m´axima y 0,02 seg de duraci´on, como se muestra en la Figura. Si el aire proporciona un amortiguamiento con fracci´on de 3 % relativo al valor cr´ıtico, determinar con aproximaci´on la amplitud m´axima de la oscilaci´on del p´endulo. P( t )
Pk
5.12. Un sistema que tiene las siguientes propiedades: peso total W = 700 Ton, y rigidez equivalente k = 350 Ton/cm; es sometido al pulso triangular decreciente mostrado en el Problema 5.3 con valores: amplitud m´ axima P0 = 6, 8 Ton y tiempo de duraci´on td = 0, 15 T siendo T el per´ıodo natural no–amortiguado del sistema. (a) Usando los resultados del Problema 5.3 hallar el m´aximo desplazamiento. (b) Utilizando el m´etodo aproximado, hallar el m´aximo desplazamiento producido, y compare con el resultado hallado en el inciso anterior. (c) Si se considera un amortiguamiento con fracci´on de valor cr´ıtico β = 3 %, como se modificar´ a el valor m´ aximo del desplazamiento ?. 5.13. P( t )
Pk
[Kg] 22700
11325 4530
0
5.14.
0,1
0,2
0,3
0,4
t [seg]
Hallar la respuesta del sistema del Problema anterior a la fuerza de exitaci´on tipo pulso mostrada en la Figura. sugerencia: Debido a que la excitaci´on est´a determinada en forma discreta y num´erica, utilice un procedimiento con estas caracter´ısticas para evaluar las integrales necesarias y obtener una respuesta aproximada.
´ TRANSITORIA CAP´ITULO 5. EXCITACION
166
y( t )
[cm/seg2 ]
Pk 98,1
t [seg]
0,5
5.15.
La estructura tipo p´ortico analizada en el Ejemplo 4.1 es sometida a una aceleraci´on de tipo pulso arm´onico en su base, definido como y¨(t) = y¨0 sin Ωt donde sus par´ametros se pueden obtener de la Figura mostrada. Hallar la aceleraci´on m´axima del movimiento lateral horizontal que surge en el p´ortico debido a esta perturbaci´on.
Una bomba hidr´aulica rotativa instalada en un submarino pesa 290 Kg, y est´a montada sobre un sistema y0 m aislador que la protege de posibles explosiones submarinas que tiene rigidez equivalente k = 3 Kg/cm, como se muestra en la Figura. Si se supone que el y( t ) k k sistema est´a en reposo al instante inicial t = 0, y el 0 movimiento de su apoyo causada por una gran explotd t si´on distante es idealizada como un pulso rectangular como es tambi´en mostrada en la Figura. Con el objetivo de evaluar el comportamiento de la bomba durante su movimiento vibratorio, desarrollar los siguientes aspectos: x( t )
y( t )
(a) Escribir la ecuaci´ on de movimiento que gobierna el desplazamiento vertical absoluto del equipo hidr´ aulico. (b) Si se supone que la amplitud del desplazamiento de apoyo es y0 = 30 cm y el tiempo de duraci´ on td = π seg; hallar la respuesta del movimiento absoluto de la bomba para el intervalo de tiempo mientras dura la perturbaci´on 0 < t 6 td y luego de que ´esta ha cesado t > td . (c) Hallar la magnitud m´ axima de la fuerza transmitida hacia la base de la bomba debido al efecto de vibraci´ on producida por la explosi´on traducida como movimiento de apoyo. (d) El encargado de mantenimiento del equipo en el submarino despu´es de verificar el funcionamiento del sistema, recomienda la inclusi´on de un amortiguador con coeficiente equivalente de magnitud c = 0, 89 Kg-seg/cm entre la bomba y el apoyo sobre el cual est´a instalado ´ afirma que esto reducir´a las oscilaciones, y por lo tanto las fuerzas actuantes este equipo. El sobre la bomba. Evaluando el efecto del amortiguamiento sobre el movimiento, aceptar´ıa Usted esta sugesti´ on ?. 5.16.
Un veh´ıculo de 1,84 Ton de peso, que tiene un sistema de suspensi´on con un coeficiente de rigidez equivah lente de 0,95 Ton/cm y fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico de 15 %, est´a circulando por una v´ıa con rapidez constante de 85 Km/hr. En cierto lugar de su 0 ruta, existe una protuberancia que tiene 14 cm de s a altura y 60 cm de ancho como muestra la Figura adjunta, la cual puede ser modelada por la expresi´on y(s) = y0 [1 − cos2 (b0 s)], donde y0 , b0 (ctes). Determinar la amplitud de vibraci´ on m´axima que afecta a los ocupantes del veh´ıculo en movimiento. Tambi´en determinar la magnitud de aceleraci´on m´axima que afecta a los tripulantes del veh´ıculo como una fracci´ on del valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre. sugerencia: Si las integrales planteadas para hallar la soluci´on se hacen muy dificultosas de ser evaluadas anal´ıticamente en forma–cerrada, intente hallar la respuesta aplicando alguna t´ecnica discreta de evaluaci´ on num´erica de dichas integrales; y en ese caso presente las gr´aficas correspondientes a la soluci´ on buscada. y( s )
Problemas propuestos
167
5.17.
Considere nuevamente el Problema anterior, pero ahora considere que el veh´ıculo pasa a trav´es de una depresi´on que existe en la carretera que tiene 14 cm de profundidad y 60 cm de ancho, como se muestra en la Figura. Pero, esta vez dicha anomal´ıa en la carretera se describe mediante la ecuaci´on de una par´abola cuadr´atica. Halle los mismos valores de respuesta que en el Problema anterior, y compare los resultados.
y( s ) 0
s
p
a
5.18. m/10
v
0
m
k L/2
5.19.
L/2
Una varilla r´ıgida de masa m y longitud L, est´ a conectada en un extremo a una articulaci´on fija y a un resorte de coeficiente k en su parte media. Un objeto peque˜ no de un d´ecimo de la masa de la viga se mueve con velocidad constante v0 e imp´acta en el extremo libre de la varilla haciendo que la misma vibre posteriormente, como muestra la Figura. Si se asume la colisi´on perfectamente el´astica, determinar la amplitud m´axima de oscilaci´on de la varilla luego de haber sucedido el imp´acto del objeto.
Un computador personal tipo ‘laptop’ de masa m es empacado en el interior de una caja de cart´ on, con plastoformo como material de embalaje el cual protege al equipo en el interior de la caja. Este sistema de protecci´on contra accidentes es en realidad h un sistema aislador (con rigidez k y amortiguamiento c) contra las cargas de imp´acto que eventualmente podr´ıan ocurrir durante el transporte. La caja en cierto instante es accidentalmente soltada desde una altura h y cae sobre una superficie dura sin rebotar. Determinar el desplazamiento m´aximo del instrumento (el computador), relativo a su caja, despu´es de haberse producido el imp´acto.
Cap´ıtulo 6
M´ etodos num´ ericos La integral de convoluci´ on y su utilizaci´on cuando la perturbaci´on es descrita por tramos o a trav´es de una expresi´ on u ´nica utilizando funciones singulares, son m´etodos para resolver la ecuaci´ on diferencial gobernante de la vibraci´on de un sistema. Sin embargo, las soluciones de forma–cerrada utilizando estos m´etodos est´ a limitado a los casos donde la funci´on perturbatriz tiene formulaci´ on matem´ atica expl´ıcita y la evaluaci´ on en forma–cerrada de la integral de convoluci´on que involucra a la funci´ on de Green asociada a la ecuaci´on diferencial es posible. Adicionalmente, existen funciones de perturbaci´on expl´ıcitamente definidas como aquellas proporcionales a potencias no–integrables del tiempo donde una evaluaci´on de forma–cerrada de la integral de convoluci´ on es extremadamente dificultosa.Cuando estas situaciones ocurren, los m´etodos num´ericos deben ser usados para obtener una soluci´on aproximada a la ecuaci´on diferencial en valores discretos de tiempo. Las soluciones num´ericas de los problemas de vibraci´on de sistemas modelados con un solo grado de libertad son de dos clases: la evaluaci´on num´erica de la integral de convoluci´on y la integraci´ on num´erica dir´ecta de la ecuaci´ on diferencial gobernante del movimiento oscilatorio. As´ı, para los sistemas lineales estudiados en los cap´ıtulos anteriores, expondremos dos tipos de evaluaci´on num´erica; y ambas ilustrar´ an dos diferentes aproximaciones para la soluci´on de problemas lineales.
6.1.
Introducci´ on
En este Cap´ıtulo efectuaremos una breve inspecci´on a algunos procedimientos num´ericos utilizados para evaluar la respuesta de un sistema. La importancia de estos m´etodos radica en el hecho de que en una infinidad de casos, la evaluaci´ on de las integrales convolutivas de respuesta no es posible realizarla en forma cerrada por la naturaleza de la funci´on excitadora o debido a que el movimiento del sistema est´ a definido por una ecuaci´ on diferencial no–lineal; y en consecuencia los procedimientos anal´ıticos no son de aplicaci´ on general, o simplemente no permiten la obtenci´on de una soluci´on en t´erminos de funciones elementales. Estudiaremos aqu´ı procedimientos num´ericos desarrollados para evaluar la respuesta de sistemas din´ amicos y en consecuencia no ser´ an aplicables a ecuaciones diferenciales no–lineales, salvo que estas sean an´ alogas a una ecuaci´ on de movimiento. Advertimos en este punto que solo se expondr´an algunos de estos procedimientos elegidos, talvez arbitrariamente, de una variedad muy grande de m´etodos existentes y aplicados con normalidad en esta ´epoca. 169
´ ´ CAP´ITULO 6. METODOS NUMERICOS
170
6.2.
Integraci´ on num´ erica de la ecuaci´ on diferencial
La ecuaci´ on diferencial gobernante del movimiento oscilatorio de un sistema no–amortiguado forzado, como se determin´ o en cap´ıtulos anteriores, es: mx ¨ + c x˙ + k x = P (t) ; o, de modo normalizado:
x(0) = x0
x ¨ + 2βω x˙ + ω 2 x =
y
x(0) ˙ = x˙ 0
P (t) m
(6.1) (6.1a)
con condiciones iniciales de valores prescritos. 1 Una alternativa para obtener la soluci´on de esta ecuaci´ on diferencial es la integraci´ on num´erica directa. Existen disponibles muchos m´etodos para la soliuci´on num´erica de las ecuaciones diferenciales ordinarias, como la que aqu´ı estamos tratando. Puesto que el problema de vibraci´ on de un sistema de par´ametros equivalentemente concentrados est´ a gobernado por una ecuaci´ on diferencial de valores iniciales, es conveniente usar un m´etodo de auto–inicio, que es de conocimiento previo de la soluci´on en cierto instante. As´ı que estas condiciones pre–establecidas sirven de modo suficiente para iniciar el proceso de soluci´on.
6.2.1.
M´ etodo paso a paso
Desarrollaremos uno de los procedimientos de integraci´on num´erica directa de la ecuaci´on diferencial de movimiento considerando un sistema no–amortiguado, el mismo que puede extenderse f´acilmente al caso de aplicaci´ on hacia un sistema amortiguado. Entonces, supongamos un sistema no amortiguado sometido a una excitaci´on constante P0 que se aplica al instante τ (esta es una perturbaci´on tipo escal´on). La Figura 6.1 ilustra tal situaci´on.
P( t ) P0
0
t
Figura 6.1: Carga aplicada al sistema (tipo escal´on) La ecuaci´ on de movimiento en este caso es: mx ¨ + k x = P0
t>τ
Si adem´ as se suponen las siguientes condiciones iniciales: x(τ ) = xτ
x(τ ˙ ) = x˙ τ
la soluci´ on es, 1 El tomar como instante inicial de observaci´ on: t = 0, no quita generalidad al desarrollo presentado; pues si las condiciones iniciales fuesen prescritas en un instante arbitrario t0 como: x(t0 ) = x0 y x(t ˙ 0 ) = x˙ 0 , se podr´ıa efectuar una traslaci´ıon del origen de tiempos utilizando el cambio de variable: τ = t − t0 ; y el desarrollo aqu´ı presentado tendr´ıa absoluta validez en esta nueva variable independiente temporal.
´ NUMERICA ´ ´ DIFERENCIAL 6.2. INTEGRACION DE LA ECUACION
P0 x˙ τ P0 xτ − cos ω(t − τ ) + sin ω(t − τ ) + k ω k x(t) ˙ P0 x˙ τ = − xτ − sin ω(t − τ ) + cos ω(t − τ ) ω k ω x(t) =
171
(6.2a) (6.2b)
Esta soluci´ on es v´ alida para todos los valores de t posteriores al instante τ de aplicaci´on de la carga. Si ahora se supone que la excitaci´on actuante puede representarse por medio de una funci´ on escalonada, como la mostrada en la Figura 6.2, entonces es evidente que las Ecuaciones (6.2) ser´ an v´ alidas en el intervalo donde P (t) fu´e aproximada por un valor constante, cuyas condiciones finales ser´ an las condiciones iniciales del siguiente intervalo.
P( t )
Pn+1 Pn
0
tn tn+1
t
Figura 6.2: Carga aproximada como funci´on escalonada La t´ecnica consiste entonces en aplicar las Ecuaciones (6.2) sucesivamente a cada intervalo adecuando los valores de la carga de cada intervalo, y tomando como condiciones iniciales las condiciones finales del intervalo anterior. En consecuencia si las ecuaciones soluci´on son escritas en forma recursiva, para el intervalo n + 1 tendremos: Pn x˙ n Pn xn+1 = xn − cos ω(tn+1 − tn ) + sin ω(tn+1 − tn ) + (6.3a) k ω k x˙ n+1 Pn x˙ n sin ω(tn+1 − tn ) + = − xn − cos ω(tn+1 − tn ) (6.3b) ω k ω donde
x(tn ) = xn
x(t ˙ n ) = x˙ n
x(tn+1 ) = xn+1
x(t ˙ n+1 ) = x˙ n+1
Aqu´ı existe cierta posibilidad en escoger el valor de carga de magnitud constante con la cual calcular la respuesta del sistema al final de cada uno de los intervalos (o pasos) de integraci´on que se consideren adecuados para la soluci´ on. El valor a tomar para Pn puede ser el valor de la carga en el instante al inicio del intervalo considerado P (tn−1 ) (´esto es lo que se muestra en la Figura 6.2). Tambi´en es permisible adoptar como valor para la carga constante, aqu´el que se presenta en el instante final del intervalo en consideraci´ on P (tn ). Pero, parece ser m´as razonable siempre y cuando sea posible, escoger como valor de c´ alculo aquel que se presenta en el instante intermedio del intervalo o paso de integraci´ on P [(tn − tn−1 )/2] como valor representativo de la perturbaci´on variable que esta siendo considerada en el procedimiento de integraci´ on. Si en el an´ alisis se emplean intervalos de id´entica longitud, las funciones trigonom´etricas s´ olo se calcular´ an una vez. La aplicaci´ on pr´actica de este m´etodo requiere que los c´alculos num´ericos sean ordenados en forma tabular. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento explicado. Ejemplo 6.1. El sistema del Ejemplo 5.3 ser´a resuelto usando la t´ecnica delineada anteriormente. La excitaci´ on de la Figura 5.4 se la repite aqu´ı, conjuntamente con la aproximaci´on escalonada para ella,
´ ´ CAP´ITULO 6. METODOS NUMERICOS
172
P( t ) P0
0
t
td
t
Figura 6.3: Pulso parab´olico y su funci´on escalonada la cual mostramos en la Figura 6.3. >
Soluci´ on
Adoptamos en el an´ alisis una longitud de intervalos constantes ∆t = tn+1 − tn = 0, 02 seg. Los datos necesarios para los c´ alculos a efectuarse son tomados desde el Ejemplo 5.3: m = 0, 4913 Ton-cm/seg2 " P (t) = 4P0
k = 4, 97 Ton/cm ω = 3, 18 rad/seg P0 = 20 Ton td = 0, 2 seg " 2 # 2 # t t t t − Pn = P (tn ) − = 80 td td 0, 2 0, 2
cos ω∆t = cos(3, 18×0, 02) = 0, 99797
sin ω∆t = sin(3, 18×0, 02) = 0, 06356
Las ecuaciones recursivas a utilizarse en el proceso de inhtegraci´on num´erica son: Pn x˙ n Pn xn+1 = xn − cos ω∆t + sin ω∆t + k ω k Pn x˙ n+1 = − ω xn − sin ω∆t + x˙ n cos ω∆t k Reemplazando los valores num´ericos conocidos, ´estas ecuaciones resultan: Pn Pn xn+1 = 0, 99797 xn − + 0, 01998 x˙ n + 4, 97 4, 97 Pn + 0, 89797 x˙ n x˙ n+1 = − 0, 20212 xn − 4, 97 Los c´ alculos efectuados con las anteriores f´ormulas son presentados en la Tabla 6.1. Y, para una mejor comprensi´ on de los valores hallados, mostramos las gr´aficas de variaci´on temporal del desplazamiento y la velocidad en la Figura 6.4. Los resultados de la respuesta al tiempo t = 0, 02 seg seg´ un el an´alisis anterior son cero. Esto se debe a la aproximaci´ on usada para la funci´on de carga. Obs´ervese que en el intervalo 0 < t < 0, 02 seg la carga aplicada tiene valor cero (v´ease la Figura 6.3). Seg´ un el an´ alisis efectuado en el Ejemplo 5.2 ´esta es una excitaci´on tipo imp´acto, y la respuesta m´ axima de desplazamiento se halla luego que la perturbaci´on ha finalizado (fase ii de movimiento libre). Considerando los valores de la respuesta al tiempo t = 0, 2 seg como valores iniciales de la respuesta en la siguiente fase de movimiento, tendremos: s 2 x˙ 0,2 sin(ωt + φ) x(t) = (x0,2 )2 + ω
´ NUMERICA ´ ´ DIFERENCIAL 6.2. INTEGRACION DE LA ECUACION
173
n
tn
tn /td
Pn
xn
x˙ n
xn+1
x˙ n+1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
0 7.2 12.8 16.8 19.2 20 19.2 16.8 12.8 7.2 0 0 0 0 0 0 0
0.000 0.000 0.003 0.014 0.037 0.075 0.128 0.197 0.279 0.372 0.472 0.573 0.672 0.768 0.861 0.950 1.036
0.000 0.000 0.293 0.812 1.491 2.261 3.055 3.804 4.439 4.895 5.102 4.996 4.870 4.725 4.560 4.377 4.176
0.000 0.003 0.014 0.037 0.075 0.128 0.197 0.279 0.372 0.472 0.573 0.672 0.768 0.861 0.950 1.036 1.117
0.000 0.293 0.812 1.491 2.261 3.055 3.804 4.439 4.895 5.102 4.996 4.870 4.725 4.560 4.377 4.176 3.958
1,2
6,0
11,0
5,0
0,8
4,0
x [cm/seg]
x [cm]
Tabla 6.1: Evaluaci´on num´erica paso a paso
0,6
3,0
0,4
2,0
0,2
1,0
0
0,05
0,10
0,20
0,15
0,25
0,30
0,35
0
0,10
0,05
0,20
0,15
t [seg]
0,25
0,30
0,35
t [seg]
(a) Desplazamiento vs. tiempo
(b) Velocidad vs. tiempo
Figura 6.4: Gr´aficas de la respuesta aproximada Por lo tanto, la respuesta m´ axima es: s xm´ax =
(x0,2 )2 +
x˙ 0,2 ω
2 =
p
0, 4722 + 1, 6242 = 1, 69 cm
Valor que es muy aproximadamente cercano con el calculado en el Ejemplo 5.3 (xm´ax = 1, 71 cm), que recordemos se obtuvo mediante una t´ecnica tambi´en aproximada de evaluaci´on dir´ecta de la respuesta m´ axima. La discrepancia de estos valores la podemos atribuir a la longitud del intervalo de tiempo adoptado para la evaluaci´ on num´erica de la ecuaci´on diferencial de movimiento. >
6.2.2.
M´ etodo de Euler
Se puede adquirir una mejor versatilidad de aplicaci´on de los m´etodos num´ericos de auto–inicio para la integraci´ on de ecuaciones diferenciales, cuando la ecuaci´on diferencial gobernante de n-´esimo orden es convertida primero en un sistema simult´aneo de n ecuaciones diferenciales lineales. Este procedimiento se efect´ ua para la Ecuaci´on (6.1a) definiendo: y1 (t) = x(t)
y2 (t) = x(t) ˙
(6.4)
´ ´ CAP´ITULO 6. METODOS NUMERICOS
174
entonces, y˙ 1 (t) = y2 (t)
(6.5a)
Y, desde la Ecuaci´ on (6.1a) se obtiene: y˙ 2 (t) =
P (t) − 2 β ω y2 (t) − ω 2 y1 (t) m
(6.5b)
Las Ecuaciones (6.5a) y (6.5b) son dos ecuaciones diferenciales lineales simult´aneas de primer–orden cuya soluci´ on num´erica proporciona los valores de desplazamiento y velocidad en tiempos discretos, cuando este sistema es aproximado por un proceso de divisi´on del intervalo temporal de definici´on del problema en sub–intervalos de menor longitud contenidos en dicho intervalo global. En lo posterior, sean tj (j = 1, 2, . . .) los instantes de tiempo discretos a los cuales la soluci´on ser´ a obtenida, y tambi´en sean y1,i y y2,i los desplazamientos y velocidades en estos instantes; y definamos: ∆ti = ti+1 − ti como el intervalo de tiempo entre dos instantes de tiempo discretos consecutivos. Las relaciones de recurrencia para el m´ as simple de los m´etodos de auto–inicio, llamado el m´etodo de Euler, son obtenidas truncando las expansiones en serie de Taylor para yk,i+1 alrededor de yk,i despu´es de los t´erminos lineales. Procediendo de este modo, se demuestra que estas relaciones de recurrencia son las indicadas a continuaci´ on: y1,i+1 = y1,i + (ti+1 − ti ) y2,i F (ti ) − 2 β ω y2,i − ω 2 y1,i y2,i+1 = y2,i + (ti+1 − ti ) m
(6.6a) (6.6b)
Cuando se proporcionan los valores iniciales de y1 y y2 ; es decir los valores: x0 y x˙ 0 , las Ecuaciones (6.6) son utilizadas recursivamente (i = 0, 1, . . .) para calcular el desplazamiento y la velocidad en tiempos incrementales. El m´etodo de Euler tiene precisi´on de primer orden, queriendo significar ´esto que el error es del orden de ∆ti . Si somos algo m´ as perspicaces en la interpretaci´on de las Ecuaciones (6.6), advertiremos que las mismas establecen relaciones b´ asicas de la cinem´atica del movimiento. Considerando un intervalo de tiempo arbitrario durante la fase de movimiento: ∆ti = ti+1 − ti , advertimos que las condiciones cinem´ aticas iniciales y finales, respectivamente, en los instantes extremos de este intervalo ser´ıan: x(ti ) = xi
x(t ˙ i ) = x˙ i
x(ti+1 ) = xi+1
x(t ˙ i+1 ) = x˙ i+1
Adem´ as, consideramos las Ecuaciones (6.4) y (6.5) en las que se establecen cambios de variable para todas las caracter´ısticas cinem´ aticas (posici´on, velocidad, y aceleraci´on) del movimiento. Con todas estas consideraciones, las Ecuaciones(6.6) pueden ser re–escritas como: xi+1 = xi + x˙ i ∆ti x˙ i+1 = x˙ i + x ¨i ∆ti donde x ¨i = x ¨(ti ) es la aceleraci´ on del movimiento al inicio del intervalo. Estas ecuaciones evidentemente corresponden a relaciones cinem´ aticas b´asicas de movimiento uniforme en el intervalo de tiempo considerado. La primera de las ecuaciones considera que la velocidad al inicio del intervalo se mantiene al interior del mismo; y la segunda de ellas indica que la aceleraci´on se mantiene invariable en el mismo intervalo de tiempo. 2 2 Esto podr´ ıa ser interpretado como una contradicci´ on, pero en esencia no lo es; porque la aceleraci´ on en el intervalo en consideraci´ on es calculada en base a las condiciones iniciales cinem´ aticas del mismo y la perturbaci´ on externa aplicada en id´ entico instante.
´ NUMERICA ´ ´ DIFERENCIAL 6.2. INTEGRACION DE LA ECUACION
175
Si la perturbaci´ on actuante es cero en t = 0; o sea P (0) = 0, y las condiciones iniciales son nulas, resultar´ a que y˙ 2 (0) = y˙ 2,0 dada por la Ecuaci´on (6.5b) ser´a tambi´en cero y los c´alculos no pueden iniciarse adecuadamente, porque las Ecuaciones (6.6) dan como resultado de la primera iteraci´ on: y1,1 = y2,1 = 0. Esta condici´ on puede rectificarse desarrollando nuevas ecuaciones de inicializaci´ on basadas en la hip´ otesis que durante el primer intervalo de tiempo, la aceleraci´on var´ıa linealmente de y˙ 2,0 hasta y˙ 2,1 como sigue: y˙ 2 = α t α α Integrando, obtenemos: y2 = y˙ 1 = t2 , y y1 = t3 2 6 Cuando se eval´ uan estas ecuaciones al final del primer intervalo t = ∆t1 = t1 − t0 = t1 , las mismas quedan como: y˙ 2,1 y˙ 2,1 = αt1 ⇒ α = t1 α y˙ 2,1 2 α y˙ 2,1 y1,1 = t31 = t , y2,1 = t21 = t1 (6.7) 6 6 1 2 2 Reemplazando ´estos u ´ltimos valores en la ecuaci´on diferencial de movimiento [Ecuaci´on (6.5b)], y evalu´ andola al instante t1 , tenemos: y˙ 2,1 =
y˙ 2,1 2 P1 − βω y˙ 2,1 t1 − ω 2 t m 6 1
(6.8)
Ahora, resolvemos la Ecuaci´ on (6.8) para y˙ 2,1 y reemplazamos en las Ecuaciones (6.7) para determinar y1,1 y y2,1 , que ser´ıan los valores cinem´aticos (posici´on y velocidad) al final del primer intervalo de iteraci´ on (que evidentemente son no–nulos), que servir´an de valores iniciales para el segundo intervalo. Ejemplo 6.2. Un tanque elevado para almacenar agua es sostenido por una estructura como se muestra en la Figura 6.5. Cuando se escoge el desplazamiento horizontal del tanque como grado de libertad del sistema, se estableci´ o que los par´ametros din´amicos equivalentes son: la masa 5 Kg-seg2 /cm, el coeficiente de rigidez 790 Kg/cm, y la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico 4 %. En cierto instante ocurre una explosi´ on que produce una onda de choque de fuerza equivalente, la cual es modelada como muestra la Figura, donde la amplitud m´axima es 1000 Kg y la duraci´on 0,4 seg. Evaluar la vibraci´ on de este sistema, adoptando como intervalo de tiempo para las iteraciones de integraci´on secuencial un valor razonable, y considerando condiciones iniciales de movimiento nulas.
m
P( t )
x( t )
P0
k,
0
td/4
t
3 d/4
td
t
Figura 6.5: Sistema tanque–estructura y perturbaci´on actuante > Soluci´ on Los c´ alculos previos al procedimiento de iteraci´on son hallados a continuaci´on: r r k 790 2π 2π ω= = = 12, 57 rad/seg ⇒ T = = = 0, 5 seg m 5 ω 12, 57
´ ´ CAP´ITULO 6. METODOS NUMERICOS
176
La perturbaci´ on aplicada se describe como: 4P0 ttd P0 P (t) = 4P 1− 0 0
0 < t < td /4 td /4 6 t 6 3td /4 t td
3td /4 < t < td t > td
Adoptando un intervalo de tiempo constante en el proceso de iteraci´on, siendo un valor razonable: ∆t = T /10 = 0, 05 seg y denotando P (ti ) = Pi , las ecuaciones recursivas a utilizar ser´an: x ¨i =
Pi − 2βω x˙ i − ω 2 xi , m
xi+1 = xi + x˙ i ∆t ,
x˙ i+1 = x˙ i + x ¨i ∆t
Reemplazando valores num´ericos, ´estas ecuaciones resultan: x ¨i =
Pi − x˙ i − 158 xi , 5
xi+1 = xi + 0, 05 x˙ i ,
x˙ i+1 = x˙ i + 0, 05 x ¨i
Como la magnitud de la perturbaci´ on en t = 0 es nula al igual que las condiciones iniciales a este mismo instante, ser´ a necesario aplicar la t´ecnica desarrollada para evaluar las condiciones de movimiento al instante final del primer intervalo de integraci´on. Con la notaci´on aqu´ı adoptada, este c´alculo es como sigue: t = 0 x = x˙ = 0 t = 0, 02 P = P (t ) = 500 0
x ¨1 =
0
0
1
1
1
2
P1 /m = 91, 96 1 + βωt1 + ω 2 t21 /6
x1 =
x ¨ 1 t1 = 0, 038 6
x˙ 1 =
x ¨1 t1 = 2, 291 2
20
200
15
100
10
0
x [cm/seg]
x [cm]
Las dem´ as filas se calculan con las ecuaciones recursivas planteadas, siendo que los valores del c´alculo num´erico iterativo son resumidos en la Tabla 6.2, y las gr´aficas de variaci´on para el desplazamiento y la velocidad del movimiento horizontal del tanque se muestran en la Figura 6.6.
5
-100
0
-200
-5
-300
-10
0
0,2
0,4
t [seg]
0,6
0,8
(a) Desplazamiento vs. tiempo
1,0
-400
0
0,2
0,4
t [seg]
0,6
0,8
1,0
(b) Velocidad vs. tiempo
Figura 6.6: Gr´ aficas de la respuesta aproximada De los valores encontrados, resumidos en la Tabla 6.2, determinamos que el desplazamiento m´aximo tiene valor aproximado: xm´ax = 18, 46 cm, y el mismo ocurre aproximadamente en t = 0, 85 seg. Los picos de m´ aximo desplazamiento posteriores a ´este, ser´an de menor magnitud por tratarse de un sistema amortiguado. La velocidad m´ axima de respuesta ser´a x˙ m´ax = −354, 36 cm/seg ?. Est´a Usted de acuerdo con este valor ?. S´ı, N´ o, Porqu´e ?. >
6.2.3.
M´ etodo de Runge–Kutta
El m´etodo de Euler desarrollado anteriormente si bien d´a una soluci´on directa al problema, adolece de una desventaja de exactitud, pues el orden del error con el uso de ´este m´etodo es del mismo orden del intervalo de tiempo utilizado en el proceso de integraci´on discreta O( Eu) ≡ O(∆t).
´ NUMERICA ´ ´ DIFERENCIAL 6.2. INTEGRACION DE LA ECUACION
177
Tabla 6.2: Evaluaci´on por el m´etodo de Euler ti
xi
x˙ i
Pi
x ¨i
xi+1
x˙ i+1
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
0.00 0.04 0.15 0.50 1.26 2.30 3.28 3.80 3.51 1.98 -0.87 -4.35 -7.31 -8.41 -6.56 -1.49 5.92 13.55 18.46 17.77 9.83
0.00 2.29 6.88 15.32 20.63 19.62 10.51 -5.90 -30.64 -56.81 -69.57 -59.25 -21.96 36.87 101.43 148.21 152.58 98.19 -13.75 -158.88 -291.31
0 500 1000 1000 1000 1000 1000 500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
91.66 91.70 168.95 106.15 -20.19 -182.23 -328.12 -494.82 -523.47 -255.24 206.40 745.76 1176.63 1291.28 935.52 87.37 -1087.78 -2238.77 -2902.45 -2648.63 -1261.04
0.04 0.15 0.50 1.26 2.29 3.28 3.80 3.51 1.98 -0.87 -4.34 -7.31 -8.41 -6.56 -1.49 5.92 13.55 18.46 17.77 9.83 -4.74
2.29 6.88 15.32 20.63 19.62 10.51 -5.89 -30.64 -56.81 -69.57 -59.25 -21.96 36.87 101.43 148.21 152.58 98.19 -13.75 -158.87 -291.31 -354.36
Un m´etodo de uso muy popular, que contiene un error impl´ıcito de menor magnitud es el m´etodo planteado por Runge–Kutta, y se lo considera mucho m´as ex´acto por la comparaci´on de los resultados que arroja con los valores ex´ actos de soluci´on de una ecuaci´on diferencial. El m´etodo se inicia convirtiendo la ecuaci´ on diferencial gobernante en un sistema de ecuaciones lineales de primer orden, como fu´e efectuado anteriormente. La f´ ormula de Runge–Kutta para la soluci´on de una ecuaci´on diferencial de primer orden y˙ = f (y, t) es de la forma: yi+1 = yi +
n X
aj kj
(6.9)
j=1
donde:
k1 = (ti+1 − ti ) f (yi , ti ) k2 = (ti+1 − ti ) f (y1 + q1,1 k1 , ti + p1 ) k3 = (ti+1 − ti ) f (yi + q2,1 k1 + q2,2 k2 , ti + p2 ) .. .. . .
(6.10)
kn = (ti+1 − ti ) f (yi + qn−1,1 k1 + qn−2,2 k2 + · · · + qn−1,n−1 kn−1 , ti + pn−1 ) donde los coeficientes a, q, y p son escogidos usando expansiones en serie de Taylor para aproximar la ecuaci´ on diferencial a una deseada exactitud. El error para una f´ ormula de Runge–Kutta de cuarto orden es proporcional a ∆4j ; es decir: 4 O( R-K) ≡ O(∆t ). La f´ ormula de cuarto–orden de Runge–Kutta es: yi+1 = yi + 61 (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 )
(6.11)
´ ´ CAP´ITULO 6. METODOS NUMERICOS
178
donde:
k1 = (ti+1 − ti ) f (yi , ti ) 1 2 1 2
k2 = (ti+1 − ti ) f yi + k3 = (ti+1 − ti ) f yi +
k1 , 12 (ti + ti+1 ) k2 , 12 (ti + ti+1 )
(6.12)
k4 = (ti+1 − ti ) f (yi + k3 , ti+1 ) La Ecuaci´ on (6.11), juntamente con las Ecuaciones (6.12), puede ser utilizada para resolver una ecuaci´ on diferencial de orden superior al primero, si ´esta previamente es escrita como un sistema; como se lo hizo en las Ecuaciones (6.5). Para este caso particular tendremos: y1,i+1 = y1,i + 16 (k1,1 + 2 k1,2 + 2 k1,3 + k1,4 ) y2,i+1 = y2,i + donde:
1 6 (k2,1
(6.13a)
+ 2 k2,2 + 2 k2,3 + k2,4 )
(6.13b)
k1,1 = (ti+1 − ti ) y2,i k1,2 = (ti+1 − ti ) y2,i + k1,3 = (ti+1 − ti ) y2,i +
1 2 1 2
k2,1
k2,2
k1,4 = (ti+1 − ti ) (y2,i + k2,3 ) P (ti ) − 2 β ω y2,i − ω 2 y1,i k2,1 = (ti+1 − ti ) m " P 12 (ti + ti+1 ) k2,2 = (ti+1 − ti ) m # 2 1 1 −2 β ω y2,i + 2 k2,1 − ω y1,i + 2 k1,1 "
P
1 2 (ti
−2 β ω y2,i +
1 2 k2,2
k2,3 = (ti+1 − ti )
+ ti+1 ) m
(6.14)
#
−ω
2
y1,i +
1 2 k1,2
P (ti+1 ) − 2 β ω (y2,i + k2,3 ) m −ω 2 (y1,i + k1,3 )
k2,4 = (ti+1 − ti )
El m´etodo de Runge–Kutta es usado a menudo porque es f´acil de programar en un computador digital. Su limitaci´ on m´ as restrictiva es que la extensi´on de la aproximaci´on entre dos tiempos discretos requiere la evaluaci´ on de la excitaci´ on en un tiempo intermedio. Si la funci´on perturbatriz es conocida solo en tiempos discretos (por ejemplo especificada en forma tabular), la evaluaci´on de tiempos intermedios es a menudo imposible. En adici´ on a esto, un gran n´ umero de evaluaciones de las diferentes funciones puede redundar en un excesivo tiempo de c´alculo num´erico en el computador. Sin embargo, ´esto u ´ltimo es solo v´ alido para sistemas en los cuales se requiere obtener la historia completa de la respuesta; que en la pr´ actica a menudo no es necesario cuando estamos interesados en valores de respuesta m´ axima simplemente. Ejemplo 6.3. Un sistema con amortiguamiento despreciable es modelado con un solo grado de libertad, resultando la masa equivalente de magnitud m = 4 Kg-seg2 /cm y el coeficiente de rigidez equivalente k = 2000 Kg/cm. Si a este sistema estando inicialmente en condici´on de reposo se le aplica la carga mostrada en la Figura 6.7, donde: P0 = 100 Kg y td = 0, 2 seg; determinar la respuesta aplicando el m´etodo de Runge–Kutta.
´ NUMERICA ´ ´ DIFERENCIAL 6.2. INTEGRACION DE LA ECUACION
179
P( t ) P0
0
td
td/2
t
Figura 6.7: Carga actuante sobre el sistema
> Soluci´ on La ecuaci´ on de movimiento considerando c = 0 (β = 0) resulta ser: mx ¨ + k x = P (t) ,
x(0) = x(0) ˙ =0
Por prop´ ositos comparativos, en este caso es posible hallar la soluci´on anal´ıtica, la cual consideraremos como soluci´ on ‘exacta’. Esta soluci´on se obtiene por superposici´on de las soluciones en sub–intervalos para la funci´ on escal´ on y la funci´on rampa en la siguiente manera:
P( t ) P0 td/2 td
3td/2
t
-P0
Figura 6.8: Perturbaci´on modelada mediante funciones singulares La Figura 6.8 muestra las funciones de fuerzas componentes que deben superponerse para reproducir la carga aplicada original mostrada en la Figura 6.7. Las soluciones en los sub–intervalos de an´ alisis como puede comprobarse son: x1 (t) = 0, 05(1 − cos 22, 36t) x2 (t) = − 12 (t − 0, 1) − 0, 02236 sin 22, 36(t − 0, 1) x3 (t) = 21 (t − 0, 2) − 0, 02236 sin 22, 36(t − 0, 2)
0 6 t 6 0, 1 0, 1 < t 6 0, 2 0, 2 < t
Luego, la soluci´ on anal´ıtica del problema es hallada por superposici´on de estas soluciones parciales, x1 (t) x(t) = x1 (t) + x2 (t) x1 (t) + x2 (t) + x3 (t)
0 6 t 6 0, 1 0, 1 < t 6 0, 2 0, 2 < t
´ ´ CAP´ITULO 6. METODOS NUMERICOS
180
Esta soluci´ on considerada exacta puede ser m´as facilmente evaluada con valores num´ericos, si es que se la programa en el computador mediante cualquier paquete matem´atico. Esto es lo que hicimos para poder efectuar la comparaci´ on con la soluci´on aproximada que ser´a obtenida a continuaci´on. Para utilizar el esquema de soluci´ on aplicando el m´etodo de Runge–Kutta, sea: y1 = x ,
y˙ 2 = x ¨ = P (t)/m − ω 2 y1
⇒
y2 = x˙
El periodo natural no–amortiguado del sistema es encontrado primero como: r r k 2000 2π 2π = = 22, 36 rad/seg ⇒ T = = = 0, 281 seg ω= m 4 ω 22, 36 De acuerdo con la regla enunciada debemos adoptar como intervalo de integraci´on: ∆t 6 T /10 = 0, 028 seg Pero, por conveniencia de representaci´ on de la carga aplicada escogeremos ∆t = 0, 02 seg. Si escogemos un procedimiento de interpolaci´on de cuarto orden, las relaciones aplicables en este caso estar´ an representadas por las Ecuaciones (6.13) y (6.14). Con ∆t = 0, 02 seg se calcula la siguiente tabla: t y1 y2 y˙ 2 t0
t1
0,0 0,01 0,01 0,02
0,0 0,0 0,0025 0,005
0,0 0,25 0,25 0,475
25 25 23,75 22,5
El c´ alculo de y1,1 y y2,1 sigue como: y1,1 = 0 +
0, 02 (0, 0 + 0, 5 + 0, 5 + 0, 475) = 0, 004917 6
0, 02 (25 + 50 + 47, 50 + 22, 50) = 0, 483333 6 Para continuar, el punto 2 se eval´ ua de modo similar llenando nuevamente la tabla anterior, cuyos valores a continuaci´ on son como sigue: y2,1 = 0 +
t1
t2
t
y1
y2
y˙ 2
0,02 0,03 0,03 0,04
0,004917 0,009750 0,012001 0,018608
0,4833330 0,7087499 0,6845833 0,8632913
22,54166 20,12500 18,99791 15,69583
El c´ alculo de y1,2 y y2,2 se efect´ ua como: y1,2 = 0, 004917 +
0, 02 (0, 4833330 + 1, 417499 + 1, 369166 + 0, 86329) = 0, 018694 6 y2,2 = 0, 4833330 + 0, 388277 = 0, 871611
Para completar los c´ alculos, el problema fu´e programado en un computador digital y los resultados mostraron excelente precisi´ on. La Tabla 6.3 d´a los valores de respuesta de desplazamiento para diferentes instantes de tiempo, comparados con la soluci´on anal´ıtica. Puede observarse que el m´etodo de Runge–Kutta tiene elevada coincidencia con los valores asumidos como exactos (de la soluci´on anal´ıtica). La Figura 6.9 muestra comparativamente los resultados de soluci´on obtenidos en este caso.
´ NUMERICA ´ ´ 6.3. EVALUACION DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCION
181
Tabla 6.3: Evaluaci´on por el m´etodo de Runge–Kutta ti
xi exact.
xi r–k
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24
0.00000 0.00492 0.01870 0.03864 0.06082 0.08086 0.09451 0.09743 0.08710 0.06356 0.02949 -0.01005 -0.04761
0.00000 0.00492 0.01869 0.03862 0.06076 0.08083 0.09447 0.09741 0.08709 0.06359 0.02956 -0.00955 -0.04750
ti
xi exact.
xi r–k
0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50
-0.07581 -0.08910 -0.08486 -0.06393 -0.03043 0.00906 0.04677 0.07528 0.08898 0.08518 0.06463 0.03236 0.00335
-0.07571 -0.08903 -0.08485 -0.06400 -0.03056 0.00887 0.04656 0.07509 0.08886 0.08516 0.06473 0.03157 0.00337
x( t ) 0,15 Soluciones: Exacta Runge--Kutta 0,10
0,05
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
t
-0,05
-0,10
Figura 6.9: Gr´aficas de la respuesta aproximada y exacta > Aunque el m´etodo de Runge–Kutta no requiere el c´alculo de derivadas m´as all´a de la primera, su precisi´ on mayor es lograda por cuatro evaluaciones de las primeras derivadas para obtener concordancia con la soluci´ on de la serie de Taylor, mediante t´erminos de O(∆t4 ). Adem´as, la versatilidad del m´etodo de Runge–Kutta es evidente en el hecho de que reemplazando la variable por un vector, el mismo m´etodo es aplicable a un sistema de ecuaciones diferenciales (como en el caso de resolver num´ericamente una ecuaci´ on diferencial ordinaria de primer grado y n–´esimo orden).
6.3.
Evaluaci´ on num´ erica de la integral de convoluci´ on
Expondremos ahora un m´etodo que permite el an´alisis de sistemas vibratorios lineales amortiguados y no–amortiguados. El mismo consiste en evaluar por cualquier procedimiento num´erico estandar la integral convolutiva de respuesta. Presentaremos el m´etodo en su forma general, de modo que la soluci´ on para el caso no–amortiguado se obtenga haciendo β = 0 en las expresiones correspondientes. Sin p´erdida de generalidad asumamos que el sistema parte desde una condici´on de reposo al instante
´ ´ CAP´ITULO 6. METODOS NUMERICOS
182
inicial de observaci´ on. Para estas condiciones, la respuesta del sistema corresponder´a solamente a la parte forzada de la soluci´ on completa, la cual viene determinada por: 1 x(t) = ωa
t
Z
P (τ ) e−βω(t−τ ) sin ωa (t − τ ) dτ
t>τ
(6.15)
0
En la literatura especializada a esta integral se la denomina a veces con el nombre de integral de Duhamel. Desarrollando la expresi´ on trigonom´etrica interior a la integral, permite re–escribir la Ecuaci´ on (6.15) en la siguiente forma: x(t) = A(t) sin ωa t − B(t) cos ωa t
(6.16)
donde en este caso, los coeficientes temporalmente variables A(t) y B(t) vienen definidos por:
B(t) =
t
eβωτ eβωt 0 Z t eβωτ 1 P (τ ) βωt m ωa 0 e
1 A(t) = m ωa
Z
P (τ )
cos ωa τ dτ
(6.17a)
sin ωa τ dτ
(6.17b)
Las integrales establecidas en las Ecuaciones (6.17) pueden ser ahora evaluadas con cualquier procedimiento de integraci´ on num´erica. Llamando y(τ ) a cualquiera de los sub–integrandos interiores, tenemos utilizando la regla trapecial; Z t 1 y1 + y2 yN −1 + yN ∆t y0 + y1 + + ··· + y(τ ) dτ = m ωa 0 m ωa 2 2 2 1 m ωa
t
Z
y(τ ) dτ = 0
donde tomamos:
∆t 1 ( y0 + 2y1 + 2y2 + 2yN −1 + yN ) m ωa 2
y(k ∆t) = yk
(6.18)
k = 0, 1, 2, . . . , n
Sin embargo como es usual, a menudo se requiere el conocimiento de la respuesta durante sucesivos incrementos de tiempo; esto puede logarse utilizando una conocida propiedad de las inntegrales. Entonces factorizando t´erminos en la Ecuaci´on(6.18) hallamos: 1 m ωa
Z
t
y(τ ) dτ = 0
∆t 1 P (t − ∆t) + yN −1 + yN m ωa 2
P
donde: (t − ∆t) representa el valor de la integral al tiempo (N − 1)∆t. Si aqu´ı reemplazamos la expresi´ on de y(τ ) adecuada para el c´alculo de los coeficientes varaibles A(t) y B(t), obtendremos expresiones recursivas muy u ´tiles para el c´alculo num´erico de la respuesta. As´ı por ejemplo, el c´ alculo de A(t) se lleva a efecto de la siguiente manera: y(τ ) = P (τ ) llamando
tk = k ∆τ
eβωτ eβωt
cos ωa τ
k = 0, 1, 2, . . . , n
Ak = A(tk )
Pk = P (tk )
donde n es el n´ umero de intervalos utilizados en la integraci´on, que se escoge como: ∆τ =
tf n
´ NUMERICA ´ ´ 6.3. EVALUACION DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCION
183
siendo tf el tiempo final al que se desea hallar la respuesta. Si consideramos la Ecuaci´ on (6.18) hallamos el valor de A(t) al tiempo (k − 1)∆τ , entonces obtendremos lo siguiente: ∆τ P0 e−βω(k−1)∆τ + 2P1 e−βω(k−2)∆τ cos ωa ∆τ + 2P2 e−βω(k−3)∆τ cos ωa 2∆τ + · · · Ak−1 = 2 m ωa · · · + 2Pk−2 e−βω∆τ cos ωa (k − 2)∆τ + Pk−1 cos ωa (k − 1)∆τ Calculemos ahora el valor de A(t) al tiempo tk = k∆τ Ak =
∆τ P0 e−βωk∆τ + 2P1 e−βω(k−1)∆τ cos ωa ∆τ + 2P2 e−βω(k−2)∆τ cos ωa 2∆τ + · · · 2 m ωa · · · + Pk−1 e−βω∆τ cos ωa (k − 1)∆τ + Pk−1 e−βω∆τ cos ωa (k − 1)∆τ + Pk cos ωa k∆τ
La expresi´ on anterior se puede re–escribir factorizando el valor exponencial de todos los t´erminos excepto los dos u ´ltimos; realizando esto, n h ∆τ e−βω∆τ P0 e−βω(k−1)∆τ + 2P1 e−βω(k−2)∆τ cos ωa ∆τ + 2P2 e−βω(k−3)∆τ cos ωa 2∆τ + . . . Ak = 2 m ωa . . . +Pk−1 cos ωa (k − 1)∆τ ] + Pk−1 e−βω∆τ cos ωa (k − 1)∆τ + Pk cos ωa k∆τ La expresi´ on entre los par´entesis rectos es ex´actamente el valor de Ak−1 , por lo que: Ak = e−βω∆τ Ak−1 +
∆τ 2 m ωa
e−βω∆τ
cos ωa (k − 1)∆τ + Pk cos ωa k∆τ ,
k = 1; n
(6.19)
La Ecuaci´ on (6.19) evidentemente es una expresi´on de tipo recursivo; es decir, permite evaluar Ak en funci´ on del valor inmediato anterior Ak−1 . Similar expresi´on puede deducirse para B(t) simplemente intercambiando la funci´ on coseno por la funci´on seno en ´esta ecuaci´on. Bk = e−βω∆τ Bk−1 +
∆τ 2 m ωa
e−βω∆τ
sin ωa (k − 1)∆τ + Pk sin ωa k∆τ ,
k = 1; n
(6.20)
donde en estas relaciones se debe considerar adem´as que: Ak = Bk = 0 , ∀k < 0. Habiendo calculado los coeficientes variables en modo discreto y recursivo, la respuesta al tiempo tk es entonces de acuerdo con la Ecuaci´on (6.16), x(tk ) = Ak sin ωa tk − Bk cos ωa tk
(6.21)
Utilizando la regla de integraci´ on num´erica de Simpson, se habr´ıan obtenido resultados similares. Se invita al lector interesado a aplicar este procedimiento y obtener relaciones recursivas como las encontradas aqu´ı. Los resultados ser´ an ´optimos en general si ∆τ es elegido de magnitud suficientemente peque˜ na; y al respecto se aconseja en general adoptar para el intervalo de integraci´on ∆τ un valor que como m´ aximo sea un d´ecimo del valor del periodo natural no–amortiguado del sistema; es decir: ∆τ 6
T 10
(6.22)
La efectividad del procedimiento num´erico desarrollado ser´a ahora evaluada mediante la aplicaci´ on del mismo a un problema pr´ actico, y para ello presentaremos los c´alculos efectuados en forma tabular. Ejemplo 6.4. Resolver num´ericamente el problema del Ejemplo 5.1 (v´ease el Cap´ıtulo anterior), suponiendo que se tiene un valor de fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico igual a 10 % (β = 0, 1). > Soluci´ on
´ ´ CAP´ITULO 6. METODOS NUMERICOS
184
Para proceder con el hallazgo de la soluci´on, previamente recapitulemos los valores y´a calculados: p ω = 25, 34 rad/seg m = 0, 229 Kg-seg2 /cm ωa = ω 1 − β 2 = 25, 213 rad/seg Debido a que el valor ∆τ /(2mωa ) es una constante que multiplica el resultado final, se lo mantendr´a factorizado hasta la evaluaci´ on del resultado completo con el que hace el producto indicado en la f´ormula. El incremento de tiempo que utilizaremos para la aplicaci´on del procedimiento num´erico, es evaluado considerando la recomendaci´ on dada para ello, ∆τ =
2π T = = 0, 0248 seg 10 10 ω
Adoptamos ∆τ = 0,025 seg (redondeando). La integraci´ on ser´ a llevada a efecto hasta el tiempo td = 0,175 seg. El arreglo de valores que resume el proceso de c´ alculo num´erico se muestra en la Tabla 6.4, donde se ha omitido la multiplicaci´on por el valor: ∆τ 0, 025 K= = = 0, 0022 cm/Kg 2 m ωa 2×0, 229×25, 213 La correcci´ on necesaria se la realiza hacia el final de todos los c´alculos en la u ´ltima columna. La forma en la que las operaciones efectuadas han sido organizadas, mostradas en la Tabla 6.4, es auto–explicativa. Aqu´ı tambi´en debemos considerar el hecho que la excitaci´on aplicada es nula al instante inicial P (t0 ) = 0, al igual que las condiciones iniciales x(t0 ) = x(t ˙ 0 ) = 0; lo que se traducir´ıa en un valor de resultado nulo para la primera iteraci´ on x(t1 ) = 0. Para subsanar este hecho, en el proceso de c´alculo se ha incorporado una modificaci´ on: El sentido de las flechas en las columnas (5), (7), (10) y (12) indica que los valores de dichas columnas han sido desplazados una posici´on luego de ser multiplicados por el factor M = exp(−βω∆t) = 0,9386. Adem´ as, debido a que el valor de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico es muy peque˜ no β = 0, 1 se ha tomado ωa ∼ alculo de los desplazamientos se ha realizado con la expresi´on: = ω, por lo que el c´ x(t) = A sin ωt − B cos ωt, en lugar de usar la Ecuaci´on (6.16). Por los resultados mostrados en la u ´ltima columna de la Tabla 6.4, se v´e que el m´aximo desplazamiento hallado es: xm´ax = 0, 897 cm; el que se produce al tiempo t = 0, 175 seg. > Una evaluaci´ on anal´ıtica del problema recientemente resuelto hubiese mostrado que el desplazamiento m´ aximo se produce al tiempo t = 0, 16 seg. La discrepancia se debe a la discretizaci´on del problema y a la naturaleza del m´etodo de integraci´on usado: La regla del trapecio, que aproxima la funci´ on mediante segmentos lineales. Este hecho n´o permiti´o modelar con precisi´on la transici´on de la carga desde su valor m´ aximo hasta cero, lo cual es mostrado en la Figura 6.10.
P( t ) Pmáx
td 0
t
t
Figura 6.10: Discrepancia por la regla de trapecio
Problemas propuestos
185
La l´ınea de puntos indica la variaci´on lineal con cierta pendiente impl´ıcitamente adoptada, la cual evidentemente difiere de la recta vertical de la perturbaci´on original aplicada en su transici´on desde su valor m´ aximo hasta cero. Como comentario final, vale la pena destacar la influencia del amortiguamiento en la respuesta m´ axima; ya que ´esta fu´e reducida de 1,012 cm a 0,897 cm !.
Problemas propuestos 6.1. Considere un sistema amortiguado forzado de un solo grado de libertad y repita el procedimiento mostrado en la Secci´ on 6.2.1 para obtener las ecuaciones recursivas necesarias [similares a las Ecuaciones (6.3)] para hallar una soluci´on aproximada de la respuesta del sistema hacia la excitaci´ on aplicada. Con los valores soluci´on de posici´on y velocidad calculados en tiempos discretos espec´ıficos, c´ omo obtendr´ıa Usted una serie de valores aproximados para la aceleraci´ on instant´ anea de movimiento ?. 6.2. Aplique las ecuaciones deducidas en el Problema anterior, al c´alculo del desplazamiento m´ aximo producido en el p´endulo que oscila debido a un golpe aplicado a la masa del mismo. El enunciado completo lo puede hallar en el Problema 5.11 del Cap´ıtulo anterior. 6.3.
Un pist´on que pesa 0,444 Kg est´a soportado por un resorte cuyo coeficiente de rigidez es 8,5 Kg/cm estando inicialmente en reposo en su posici´on de equi50 librio. El pist´on es accionado por una explosi´ on que 40 crea una fuerza perturbadora P(t) tipo pulso, la cual 30 se muestra en la Figura. Determinar la fuerza m´ axi20 ma que se ejerce sobre el resorte durante el movi10 miento vibratorio. Utilice el m´etodo de Euler para efectuar la soluci´on num´erica aproximada. Muestre 0 0,05 0,1 t [seg] el diagrama de flujo de informaci´on del algoritmo matem´ atico de este m´etodo; as´ı como el listado de sentencias programadas en cualquier lenguaje. Dibuje tambi´en una gr´ afica de la respuesta del sistema. P( t ) [Kg]
60
6.4.
Un sistema modelado con un solo grado de libertad tiene los siguientes par´ametros din´amicos: masa 0,2 Kg-seg2 /cm, coeficiente de rigidez 420 Kg/cm, y td fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico del 8 %. Este t sistema es perturbado por una fuerza aplicada con forma de un pulso senoidal completo como muestra la Figura, donde la amplitud m´axima es 40 Kg y el tiempo de duraci´on 0,2 seg. Suponiendo condiciones iniciales nulas de movimiento, hallar la respuesta aproximada discreta del sistema haciendo uso del m´etodo de Runge–Kutta. Escriba la soluci´on anal´ıtica ex´acta para el problema (b´ usquela en p´ aginas anteriores) y compare los resultados mostr´andolos en una gr´afica. Cual es el error porcentual relativo m´ aximo de la soluci´on aproximada hallada ?. P( t )
Pmáx
6.5. Dibuje el diagrama de flujo de informaci´on para encontrar la respuesta discreta aproximada mediante evaluaci´ on num´erica de la integral de convoluci´on (Duhamel). Transcriba este diagrama de flujo en l´ıneas de sentencias, expresadas en cualquier lenguaje inform´atico programable.
´ ´ CAP´ITULO 6. METODOS NUMERICOS
186
6.6. y( t )
y0
0
td/2
td
t
Un sistema modelado con un solo grado de libertad tiene los siguientes par´ametros din´amicos: masa 0,12 Kg-seg2 /cm, coeficiente de rigidez 120 Kg/cm, y fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico del 18 %. Este sistema es perturbado por un movimiento de apoyo de tipo pulso triangular como muestra la Figura, donde la amplitud m´axima es 2 cm y el tiempo de duraci´on 0,8 seg. Suponiendo condiciones iniciales nulas de movimiento, hallar la respuesta aproximada discreta del sistema proporcionada por el m´etodo de evaluaci´on num´erica de la integral de convoluci´on.
6.7. Este problema es planteado para que Usted pueda analizar comparativamente la calidad de resultados que proporcionan los m´etodos de evaluaci´on num´erica de la ecuaci´on de movimiento de un sistema vibratorio modelado con un solo grado de libertad, desarrollados anteriormente en las diversas secciones del presente Cap´ıtulo. Haciendo abstracci´ on del sistema de magnitudes utilizado para expresar dimensionalmente los valores param´etricos de un sistema, supongamos que el mismo tiene una masa m = 2, un coeficiente de rigidez k = 50, y un coeficiente de amortiguamiento c = 2 en unidades compatibles. Una fuerza perturbadora cuya magnitud en tiempos discretos es la indicada en el arreglo tabular mostrado debajo se aplica sobre la masa del sistema con el tiempo de duraci´on indicado. ti P (ti )
0,0 −4, 0
0,1 −8, 0
0,2 −12, 0
0,3 −7, 0
0,4 −4, 0
0,5 −1, 0
0,6 1, 5
0,7 3, 0
0,8 5,0
0,9 2,0
1,0 0,0
1,1 0,0
1,2 0,0
··· ···
Hallar la respuesta del sistema mediante aplicaci´on de los siguientes procedimientos num´ericos: — — — —
El m´etodo paso a paso El m´etodo de Euler El m´etodo de Runge–Kutta Evaluaci´ on num´erica de la integral de convoluci´on
Muestre los resultados de todos los procedimientos en una sola gr´afica y comente las discrepancias a este respecto. 6.8. Los m´etodos de evaluci´ on num´erica de la respuesta de un sistema vibratorio presentados en este Cap´ıtulo, son simplememte una peque˜ na muestra de los variados procedimientos para obtener una aproximaci´ on del comportamiento del sistema frente a una perturbaci´on externa. Desarrolle un m´etodo distinto a los presentados, dibuje el diagrama de flujo de informaci´on, y trad´ uzcalo a un lenguaje inform´ atico programable. Luego de hacerlo, resuelva cualquiera de los problemas anteriores y realice la comparaci´on de resultados con aquel m´etodo sugerido en el problema que escoja como aplicaci´ on del nuevo m´etodo planteado por Usted.
Tabla 6.4: Evaluaci´on num´erica de la integral de convoluci´on (Duhamel)
0.000 37.500 75.000 112.500 150.000 187.500 225.000 0.000 0.000
0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200
0.000 0.592 0.954 0.946 70.571 -0.026 -0.613 -0.962 -0.937
(3) sin ωa tk 1.000 0.806 0.229 -0.324 -0.821 -1.000 -0.790 -0.274 0.348
(4) cos ωa tk 0.000 & 22.200 & 71.550 & 106.425 & 85.650 & -4.485 & -137.925 & 0.000 & 0.000 &
(5) (2)×(3)
0.000 20.837 67.157 99.899 80.391 -4.576 -129.456 0.000
0.000 & 22.200 & 92.387 & 173.582 & 185.541 & 75.516 & -142.002 & -129.456 & 0.000 &
(7) (5)+(6)
Evaluaci´ on de Bk (6) (5)×m
En el c´ alculo se utiliza el valor: M = exp(−βω∆t) = 0,9386 como multiplicador.
(2) F (tk )
(1) tk
0.000 20.837 86.714 162.924 174.149 70.879 -133.751 -121.507
(8) (7)×m 22.200 113.224 260.296 348.465 249.665 -71.622 -263.207 -121.507
(9) Bk (7)+(8) 0.000 & 30.225 & 22.425 & -36.450 & -123.500 & -187.500 & -177.750 & 0.000 & 0.000 &
(10) (2)×(4)
0.000 28.369 21.048 -34.212 -115.917 -175.888 -166.836 0.000
(11) (10)×m
0.000 & 30.225 & 50.794 & -15.402 & -157.712 & -303.417 & -353.738 & -166.836 & 0.000 &
(12) (10)+(11)
Evaluaci´ on de Ak
Alinear los valores, relativos al punto decimal, con el paquete JMPdcolumn (terminar de programar el algoritmo elaborado en lenguaje plain–TEX)
0.000 28.369 47.675 -14.456 -148.028 -289.787 -332.018 156.592
(13) (12)×m
30.225 79.163 32.273 -172.168 -451.445 -638.525 -498.854 -156.592
(14) Ak (12)+(13)
(15)
0.000 91.668 114.866 187.782 261.403 334.834 407.779 189.011
(14)×(3) −(9)×(4)
0.000 0.202 0.253 0.413 0.575 0.737 0.897 0.416
(15)×k x(tk )
Problemas propuestos 187
Cap´ıtulo 7
Sistemas de varios grados de libertad Redactar aqu´ı algo de texto!!.
7.1.
Introducci´ on
Hasta el Cap´ıtulo anterior se ha discutido la respuesta de sistemas modelados con un solo grado de libertad. Es evidente que una infinidad de sistemas reales pueden modelarse en tal forma, de manera de evaluar satisfactoriamente la respuesta de los mismos; sin embargo, existen sistemas que no admiten una representaci´ on tan simple, ya sea por su configuraci´on geom´etrica o a´ un mismo por el estado de cargas a que est´ an sometidos. En tales casos, es necesario modelar dichos sistemas con m´as de un grado de libertad, trayendo consigo complicaciones adicionales que van desde la correcta o adecuada representaci´ on del sistema en estudio, hasta el aumento no proporcional de los c´alculos necesarios para hallar la respuesta de tales sistemas. En este Cap´ıtulo introducimos al estudiante hacia la obtenci´on de modelos matem´aticos de una manera totalmente paralela a lo desarrollado en el Cap´ıtulo 2; y de aqu´ı en adelante la notaci´ on matricial ser´ a, sin duda alguna, nuestra principal herramienta en el desarrollo de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento mec´ anico vibracional de los sistemas que poseen diversidad de grados de libertad, es decir aquellos sistemas que requieren un n´ umero mayor a la unidad de coordenadas generalizadas que especifiquen su configuraci´on geom´etrica gen´erica instant´anea durante la fase de su movimiento oscilatorio.
7.1.1.
Convenciones de notaci´ on
En el presente Cap´ıtulo y subsiguientes, la notaci´on matricial ser´a utilizada a discreci´on; por lo que conviene en este momento establecer n´ıtidamente la nomenclatura que se utilizar´a para tal finalidad. Los arreglos rectangulares (o cuadrados) de valores num´ericos o simb´olicos, com´ unmente conocidos con el denominativo de matrices, ser´an identificados de manera concisa mediante una letra may´ uscula en negrilla encerrada entre par´entesis rectos. As´ı por ejemplo, el ordenamiento en filas y columnas de coeficientes num´ericos o simb´olicos mostrado a continuaci´on, a11 a21 .. .
a12 a22 .. .
··· ··· .. .
··· ··· .. .
a1n a2n .. .
am1
am2
···
···
amn
189
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
190
ser´ a considerada una matriz de m filas y n columnas 1 cuando se la escriba de la manera aqu´ı indicada: a11 a12 · · · · · · a1n a21 a22 · · · · · · a2n i = 1; m j = 1; n (7.1) [A] = . .. .. .. .. = [aij ] .. . . . . am1 am2 · · · · · · amn donde aij identifica a un coeficiente o elemento gen´erico cualquiera del arreglo de valores. Los arreglos m´ as simples de un conjunto de valores pertenecientes a una misma serie, a los cuales se los denomina vectores se distinguir´an si se los escribe en un ordenamiento en fila o en columna. Si por ejemplo, esta serie de valores num´ericos o simb´olicos son ordenados con un aspecto vertical, el mismo se considerar´ a un vector columna; que t´ıpicamente ser´a escrito de modo conciso con una letra de preferencia min´ uscula en negrilla flanqueada a la izquierda con una barra, y a la derecha mediante un par´entesis de cierre angular agudo como se muestra a continuaci´on: b1 b 2 . .. = |bi i i = 1; n (7.2) |bi = .. . bn donde bi identifica a un coeficiente o elemento gen´erico cualquiera del arreglo en columna de valores. En cuanto a su tama˜ no o dimensi´on, diremos que este vector es de: dim(n×1). En cambio, si la misma serie de valores son ordenados en forma horizontal, los mismos definir´an un vector fila, el cual de manera concisa ser´a escrito con letra min´ uscula en negrilla flanqueada a la izquierda con un par´entesis de apertura angular agudo y a la derecha por una barra; como se muestra a continuaci´ on: hb| = b1 b2 · · · · · · bn = hbi | i = 1; n (7.3) Muy eventualmente para denotar un vector usaremos una letra may´ uscula (en negrilla); esto simplemente por preservar la consistencia en la notaci´on adoptada para ciertas variables en los cap´ıtulos anteriores, y cuando decidamos alterar la notaci´on para un vector por factores de mera conveniencia, se emitir´ a una vehemente declaraci´on expl´ıcita al respecto. Recordando que el vector fila de una serie de valores, num´ericos o simb´olicos, corresponde al vector columna transpuesto de la serie id´entica de los mismos valores; ser´a evidente el cumplimiento de la siguiente relaci´ on matem´ atica: 2 |biT = hb| (7.4)
7.2.
Condiciones de equilibrio din´ amico
Consideremos un sistema completamente generalizado, el cual tiene capacidad de adquirir movimiento oscilatorio cuando es perturbado mediante cierta acci´on proveniente del medio circundante o entorno al mismo como se muestra en la Figura 7.1. El movimiento vibratorio que se produce en el sistema es debido a las propiedades inerciales, el´asticas, y de amortiguamiento que intr´ınsecamente est´ an contenidas en el medio material que conforma este sistema. 1 Esto significa que la dimensi´ on del arreglo matricial de coeficientes aij (i = 1; m j = 1; n) en este caso ser´ a denotada como: dim[A] = (m×n), siendo m el n´ umero de filas y n el n´ umero de columnas del arreglo matem´ atico en cuesti´ on. 2 Esta aseveraci´ on se cumple id´ enticamente de forma viceversa, es decir: Un vector columna de una serie de valores es el vector fila transpuesto de los valores id´ enticos; lo que resumidamente se escribe como: hb|T = |bi.
´ 7.2. CONDICIONES DE EQUILIBRIO DINAMICO
P1
u1
Pr
un
191
P2
P3
u3
u2 Sistema
uj Pj Figura 7.1: Sistema gen´erico en movimiento vibratorio Como se aprecia en la Figura 7.1, sobre el sistema act´ ua todo un sistema de perturbaciones o cargas externas: P1 , P2 , . . . , Pr . Los grados de libertad (desplazamientos y rotaciones angulares) necesarios para establecer la configuraci´ on geom´etrica gen´erica instant´anea del sistema son: u1 , u2 , . . . , un . La ecuaci´ on de movimiento del sistema de la Figura 7.1 puede ser formulada expresando el equilibrio de las fuerzas efectivas asociadas con cada uno de sus grados de la libertad. En general cuatro tipos de fuerza estar´ an involucradas en cualquier punto j: la carga exteriormente aplicada Pj (t) y las fuerzas provenientes del movimiento; esto es, la fuerza de inercia Fi,j , la fuerza de amortiguamiento Fc,j , y la fuerza el´ astica Fk,j . Por lo tanto, para cada uno de los diversos grados de la libertad, el equilibrio din´ amico puede ser expresado como: Fi,1 + Fc,1 + Fk,1 = P1 (t) Fi,2 + Fc,2 + Fk,2 = P2 (t) ··· ··· ··· ··· Fi,j + Fc,j + Fk,j = Pj (t) ··· ··· ··· ··· Fi,n + Fc,n + Fk,n = Pn (t)
(7.5)
Esta serie de ecuaciones puede ser escrita de forma comp´acta apelando a la notaci´on matricial, definiendo vectores que aglomeren los t´erminos contenidos en el sistema de Ecuaciones (7.5) del modo indicado a continuaci´ on: |Fi i + |Fc i + |Fk i = |P(t)i (7.6) donde por ejemplo: hFc | = Fc,1 Fc,2 · · · Fc,n , y los otros vectores son arreglos similares. La Ecuaci´ on (7.6) representa el equilibrio din´amico del sistema, ya que la misma equipara la resultante de las fuerzas internas provenientes del movimiento con la fuerza perturbatriz externa actuante. Adem´ as, es sobresaliente el hecho que esta relaci´on tiene id´entico aspecto matem´atico que la obtenida para la Ecuaci´ on 1.1, que gobierna la din´amica de movimiento vibratorio de un sistema de un solo grado de libertad. La Ecuaci´ on (7.6) reci´en deducida es pr´acticamente la misma que la Ecuaci´on 1.1, solo que est´ a escrita en notaci´ on matricial !. Cada una de las fuerzas activas se expresa m´as convenientemente por medio de una serie apropiada de coeficientes de influencia. Consideremos, por ejemplo, la componente de fuerza el´astica desarrollada en el punto 1; la cual depende en general de todas las componentes de desplazamiento (es decir, grados de libertad) en todos los puntos relevantes del sistema, o estructura, que han sido escogidos en el proceso de discretizaci´ on en el an´ alisis din´amico del sistema; ser´a expresada mediante: Fk,1 = k11 u1 + k12 u2 + · · · + k1n un Similarmente, la fuerza el´ astica correspondiente al grado de libertad u2 es, Fk,2 = k21 u1 + k22 u2 + · · · + k2n un
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
192
Y, en general,
Fk,j = kj 1 u1 + kj 2 u2 + · · · + kjn un
En todas estas expresiones ha sido t´ acitamente asumido que el comportamiento el´astico es lineal, de modo que el principio de superposici´ on sea aplicable. Los coeficientes kij son llamados coeficientes de influencia de rigidez, o m´ as simplemente coeficientes de rigidez, los mismos que en forma gen´erica se definen como: kij es la fuerza el´ astica correspondiente a la coordenada i, debido a un desplazamiento unitario inducido en la coordenada j. En forma matricial, la serie completa de relaciones que definen las diversas fuerzas el´asticas asociadas a los diversos grados de libertad especificados para el sistema, pueden escribirse como: Fk,1 k11 k12 · · · k1j · · · u1 F k k · · · k · · · u2 k, 2 21 22 2j . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . (7.7) = F k k · · · k · · · u k,j j j1 j2 jj .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . O, de modo conciso:
|Fk i = [K] |ui
(7.7a)
en la cual, la matriz de coeficientes [K] = [kij ] (i, j = 1; n) es llamada matriz de rigidez del sistema (o estructura), para la serie especificada de coordenadas de desplazamiento o grados de libertad usados en el modelo; y |ui es el vector que representa a los grados de libertad elegidos en la descripci´on de comportamiento din´ amico del sistema. Si se asume que el amortiguamiento es de tipo viscoso, la fuerza generada por esta caracter´ıstica depender´ a linealmente de la velocidad; as´ı las fuerzas disipativas correspondientes a los grados de libertad pueden ser expresadas por medio de coeficientes de influencia de amortiguamiento, en modo similar a lo desarrollado anteriormente para las fuerzas el´asticas. La serie completa de fuerzas de amortiguamiento estar´ a determinada por: u˙ 1 c11 c12 · · · c1j · · · Fc,1 u˙ c F c · · · c · · · 2 21 22 2j c, 2 . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. (7.8) = u ˙ c c · · · c · · · F j1 j2 jj c,j j . .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . O, simb´ olicamente:
˙ |Fc i = [C] |ui
(7.8a)
˙ = |u˙ j i (j = 1; n) ser´ donde |ui a el vector velocidad, siendo que u˙ j representa la raz´on de cambio temporal (velocidad) del j–´esimo desplazamiento o grado de libertad, y los coeficientes cij (i, j = 1; n) son llamados coeficientes de amortiguamiento. La definici´on de cualquiera de estos coeficientes es por similaridad la siguiente: cij es la fuerza amortiguadora correspondiente a la coordenada i, debido a una velocidad unitaria en la coordenada j. El arreglo de coeficientes de amortiguamiento [C] = [cij ] (1, j = 1; n) de aqu´ı en adelante ser´a denominada matriz de amortiguamiento del sistema (para los grados de libertad especificados). Las fuerzas inerciales pueden ser expresadas similarmente por una serie de coeficientes de influencia llamados coeficientes de masa, o coeficientes inerciales con m´as generalidad. Estos representan la relaci´ on entre las aceleraciones de los diversos grados de libertad y las fuerzas inerciales resultantes;
´ 7.2. CONDICIONES DE EQUILIBRIO DINAMICO
193
por analog´ıa con la Ecuaci´ on (7.7), las fuerzas inerciales Fi,1 m11 m12 · · · m21 m22 · · · F i, 2 . .. .. .. .. . . = . mj 1 mj 2 · · · F i,j .. .. .. .. . . . . O, en forma condensada:
pueden ser expresadas como: m1j · · · u ¨1 u m2j · · · ¨2 .. .. .. . . . u mjj · · · ¨j .. .. . . . . .
|Fi i = [M ] |¨ ui
(7.9)
(7.9a)
donde |¨ ui = |¨ uj i (j = 1; n) ser´ a el vector aceleraci´on, ya que u ¨j es la aceleraci´on de la j–´esima coordenada de desplazamiento o grado de libertad, y los coeficientes mij (i, j = 1; n) son los coeficientes de influencia m´ asica o inercial. La definici´on de cualquiera de estos coeficientes es: mij es la fuerza inercial correspondiente a la coordenada i, debido a una aceleraci´on unitaria en la coordenada j. La disposici´ on en filas y columnas de los coeficientes inerciales define una matriz caracter´ıstica de las propiedades inerciales [M ] = [mij ] (i, j = 1; n), que ser´a denominada matriz de masa del sistema o estructura. Substituyendo las ecuaciones (7.7), (7.8), y (7.9) en la Ecuaci´on (7.6); ´esta proporciona el equilibrio din´ amico completo del sistema o estructura asociado al n´ umero total de grados de libertad usados en el proceso de modelado, ˙ [M ] |¨ u(t)i + [C] |u(t)i + [K] |u(t)i = |P(t)i (7.10) Esta relaci´ on matem´ atica representa a la ecuaci´on gobernante del comportamiento vibratorio de un sistema de m´ ultiples grados de libertad, la cual es equivalente a la Ecuaci´on 2.3 que gobierna el comportamiento de sistemas modelados con un solo grado de libertad. El orden de esta ecuaci´ on matricial diferencial es id´entico al orden del vector de grados de libertad utilizados en la representaci´ on din´ amica del comportamiento oscilatorio del sistema en an´alisis. Luego, la Ecuaci´ on (7.10) expresa a las n ecuaciones diferenciales de movimiento, asociados a los n grados de libertad, que sirven para definir la respuesta din´amica de un sistema de m´ ultiples grados de libertad ante cierta perturbaci´ on proveniente del exterior al mismo. Ciertamente resulta evidente que para hallar la soluci´ on completa de la ecuaci´on diferencial gobernante, es necesario especificar las condiciones iniciales de movimiento: |u(t0 )i = |u0 i
˙ 0 )i = |u˙ 0 i |u(t
que expresan a los desplazamientos y velocidades de todos los grados de libertad al instante inicial de observaci´ on t0 del movimiento oscilatorio del sistema, que se produce a causa de la perturbaci´ on externa aplicada a ´el.
Pk
[K]
[M] P( t )
[C ]
u( t )
Figura 7.2: Modelo de un sistema de varios grados de libertad En la Figura 7.2 se muestra un diagrama esquem´atico general de un sistema de varios grados de libertad; donde las relaciones de equilibrio din´amico, expresadas matem´aticamente por la Ecuaci´ on (7.10), se verifican en su cumplimiento. Es de gran relevancia que este modelo esquem´atico tiene
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
194
absoluto parecido con el diagrama gr´ afico que representa al modelo de un sistema de un solo grado de libertad, el cual puede ser observado en la Figura 5.2. Aqu´ı es pertinente indicar que todas las matrices de propiedades din´amicas de un sistema representado por diversos grados de libertad; es decir las matrices: [K], [C], y [M ] son todas matrices cuadradas sim´etricas; de dim(n×n), siendo n el n´ umero total de grados de libertad utilizados en el modelado del sistema. Y, los vectores u(t) y P (t) son arreglos en columna de dim(n×1) (o dim n de modo abreviado). Adem´ as, en virtud que por generalidad las matrices de propiedades din´amicas no son matrices diagonales resultar´ a que el comportamiento de los diversos grados de libertad del sistema estar´ a din´ amicamente acoplado; queriendo significar con esto que el movimiento de cualquier grado de libertad que sea escogido, se ver´ a irremediablemente afectado por el movimiento de todos los dem´as grados de libertad que componen al sistema; por lo que el vocablo ‘acoplado’ tiene aqu´ı el correcto significado sem´ antico. Ejemplo 7.1. En la Figura 7.3(a) se muestra un sistema de par´ametros din´amicos concentrados en dos grados de libertad (asociados con las masas en movimiento). El sistema, como se aprecia, consta de dos cuerpos r´ıgidos con masas especificadas conectados a resortes y amortiguadores de coeficientes conocidos. El sistema es perturbado externamente mediante las fuerzas indicadas. Hallar la ecuaci´on matricial gobernante del comportamiento din´amico oscilatorio de ´este sistema.
P2(t)
P1(t)
x1(t)
k1
x2(t)
k2 m2
m1
k3
c2
c1
(a) Disposici´ on de elementos
k1
P2(t)
P1(t) Fk
k2
Fk
2
1
Fk
c1
m2
Fc
1
Fi
1
Fk
2
m1
a1
Fc
2
c2
Fc Fi
k3
3
2
2
a2
(b) Diagramas de cuerpo libre
Figura 7.3: Sistema de par´ametros din´amicos concentrados >
Soluci´ on
En la Figura 7.3(a) mostramos los grados de libertad x1 (t) y x2 (t), que establecen la configuraci´on de movimiento horizontal instant´ aneo que tiene el sistema. En cambio, en la Figura 7.3(b) se muestra los diagramas de cuerpo libre de los diversos elementos componentes de este sistema indicando las fuerzas actuantes (no se incluyen fuerzas verticales, porque no se considera el movimiento en esta direcci´on) ; asumiendo que se ha producido movimiento de los puntos relevantes de interconexi´ on entre estos elementos. En estos diagramas asumimos que en el instante de inter´es, las velocidades y aceleraciones de las masas en movimiento tienen id´entica direcci´on y sentido que los desplazamientos en el mismo instante para el cual se establecen estos diagramas. Los diagramas de cuerpo libre de ambas masas son aqu´ı de nuestro inter´es particular; en ellos mostramos las fuerzas instant´ aneas actuantes, usando en particular el m´etodo de D’Alembert para representar las fuerzas inerciales que act´ uan en sentido opuesto a las aceleraciones instant´aneas asociadas. Para ambas masas representadas por sus pertinentes diagramas de cuerpo libre, el principio
´ 7.2. CONDICIONES DE EQUILIBRIO DINAMICO
195
de equilibrio din´ amico establece que la resultante de fuerzas instant´aneas actuantes sobre estos cuerP pos en movimiento debe ser nula, de acuerdo al principio de D’Alembert: FR = Fj = 0. 3 Entonces tendremos: Para m1 : Fk2 + Fc2 − P1 (t) − Fk1 − Fc1 − Fi1 = 0 Para m2 : Ordenando,
P2 (t) − Fk3 − Fk2 − Fc2 − Fi2 = 0
Fi1 + Fc1 − Fc2 + Fk1 − Fk2 = −P1 (t) Fi2 + Fc2 + Fk2 + Fk3 = P2 (t)
Ahora, recordamos las leyes de descripci´on para las diversas fuerzas activas actuantes en los elementos componentes de este sistema; m1 x ¨1 + c1 x˙ 1 − c2 (x˙ 2 − x˙ 1 ) + k1 x1 − k2 (x2 − x1 ) = −P1 (t) m2 x ¨2 + c2 (x˙ 2 − x˙ 1 ) + k2 (x2 − x1 ) + k3 x2 = P2 (t) Ordenando nuevamente, m1 x ¨1 + (c1 + c2 ) x˙ 1 − c2 x˙ 2 + (k1 + k2 ) x1 − k2 x2 = −P1 (t) m2 x ¨2 − c2 x˙ 1 + c2 x˙ 2 − k2 x1 + (k2 + k3 ) x2 = P2 (t) Matricialmente, estas dos ecuaciones simult´aneas pueden ser escritas del modo indicado a continuaci´ on: m1 0 x ¨1 c1 + c2 −c2 x˙ 1 k1 + k2 −k2 x1 −P1 (t) + + = 0 m2 x ¨2 −c2 c2 x˙ 2 −k2 k2 + k3 x2 P2 (t) donde de manera obvia se tiene: x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) como soluciones de este sistema. En forma simb´ olica comp´ acta, este sistema matricial de ecuaciones diferenciales obtenido para este ejemplo particular se escribe: ˙ [M ] |¨ x(t)i + [C] |x(t)i + [K] |x(t)i = |P(t)i que evidentemente es la misma Ecuaci´on (7.10), que es gen´erica de los sistemas con m´ ultiples grados de libertad como el analizado aqu´ı. > En el ejemplo recientemente resuelto, evidenciamos que la matriz de masa [M ] del sistema es matriz diagonal, lo que infiere que no existe influencia o transmisi´on de fuerza inercial desde una de las masas hacia la otra; y tambi´en implica que los elementos de interconexi´on entre ellas (el resorte k2 y el amortiguador c2 ) son considerados excentos de masa propia. Si se considerar´ıa a estos elementos con masa propia, parte de ella se concentrar´ıa en los grados de libertad sum´andose estos valores hacia los t´erminos de la diagonal principal de la matriz de masa; y la otra parte restante describir´ıa la interacci´ on inercial entre los grados de libertad, apareciendo como valores fuera de la diagonal principal en la matriz de masa !. Ejemplo 7.2. Considere la varilla r´ıgida delgada uniforme de la Figura 7.4(a), conectada a un par de resortes y un amortiguador. Suponga que los resortes y el amortiguador permanecen verticales durante el movimiento, y que la barra est´ a en equilibrio cuando tiene adquiere configuraci´on horizontal. Tambi´en se acepta la suposici´ on de desplazamiento angular de magnitud muy peque˜ na, de modo que la linealizaci´ on dir´ecta de las ecuaciones obtenidas sea aplicable. Determinar las ecuaciones diferenciales que gobiernan la vibraci´ on forzada de este sistema. > Soluci´ on 3 Convencionalmente, para el desarrollo de las ecuaciones de equilibrio din´ amico se acostumbra considerar a las fuerzas actuantes coincidentes con el sentido instant´ aneo de aceleraci´ on asumida, como positivas.
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
196
P(t)
k1
Fk
P(t)
1
m L/4
3L/4
c
x
L/2
Mi
L/4
Fc
k2
(a) Diagrama esquematico del sistema
L/4
Fi
Fk
2
(b) Diagrama din´ amico de cuerpo libre
Figura 7.4: barra r´ıgida en movimiento vibratorio En la Figura 7.4(b) se muestra el conjunto de acciones durante la fase gen´erica de movimiento de la barra r´ıgida. Escogemos como grados de libertad: el desplazamiento vertical del centro de masa x(t) y el desplazamiento angular de ´este cuerpo φ(t) respecto a la configuraci´on horizontal de equilibrio. En este diagrama inclu´ımos la fuerza y momento inerciales (seg´ un el principio de D’Alembert) provenientes del movimiento que se produce. El equilibrio din´ amico del sistema requiere que la fuerza y el momento resultantes sean simult´aneamente nulos; entonces: ↑+
P
⇒
F =0
Fk1 + Fc + Fi + Fk2 − P (t) = 0
cos φ + P (t) L2 cos φ = 0 Como el desplazamiento angular es de magnitud reducida (φ → 0), entonces cos φ ∼ = 1 y sin φ ∼ = φ [rad]; de modo que las ecuaciones anteriores pueden ser escritas como: yP +
(Fk1 + Fc ) L2 cos φ − Mi − Fk2
⇒
MCM = 0
L 4
Fi + Fc + Fk1 + Fk2 = P (t) Mi − Fc
L 2
− Fk1
L 2
+ Fk2
L 4
= P (t) L2
Las leyes para las diferentes fuerzas y momento actuantes sobre la barra r´ıgida son en este caso: Mi = ICM α =
mL2 12
φ¨ ,
Fi = m a = m x ¨,
Fk1 = k1 (x −
L 2
sin φ) ∼ = k1 (x −
d Fc = c dx (x −
L 2 φ) ,
L 2
d sin φ) ∼ (x − = c dx L 4
Fk2 = k2 (x +
L 2 φ)
sin φ) ∼ = k2 (x +
= c (x˙ −
L ˙ 2 φ)
L 4 φ)
Reemplazando en las ecuaciones previas, las mismas desarrolladas resultan: mx ¨ + c (x˙ − mL2 12
φ¨ − c (x˙ −
L ˙ 2 φ)
L ˙ L 2 φ) 2
+ k1 (x −
− k1 (x −
L 2 φ)
+ k2 (x +
L L 2 φ) 2
L 4 φ)
+ k2 (x +
= P (t)
L L 4 φ) 4
= P (t) L2
Ordenando de modo m´ as conveniente a nuestros prop´ositos, mx ¨ + c x˙ − c L2 φ˙ + (k1 + k2 ) x − (k1 L2 − k2 L4 ) φ = P (t) mL2 12
2 2 2 φ¨ − c L2 x˙ + c L4 φ˙ − (k1 L2 − k2 L4 ) x + (k1 L4 + k2 L16 ) φ = P (t) L2
y escribiendo en notaci´ on matricial resulta finalmente: " #( ) " #( ) " m 0 c −c L2 k1 + k2 x ¨ x˙ + + 2 mL2 L L φ¨ φ˙ 0 −c c −k1 L + k2 L 12
2
4
2
4
−k1 L2 + k2 L4 2
2
k1 L4 + k2 L16
#( ) x φ
( =
P (t)
P (t) L2
) >
´ 7.3. SISTEMAS DE PARAMETROS DISTRIBU´IDOS
7.3.
197
Sistemas de par´ ametros distribu´ıdos
Toda la discusi´ on presentada en el Cap´ıtulo 2 ha demostrado que un sistema o estructura puede ser representado por un solo grado de libertad, cuya respuesta din´amica ante una perturbaci´on externa puede ser evaluada por la soluci´ on de la ecuaci´on diferencial gobernante. Si las propiedades f´ısicas del sistema son tales que su movimiento puede ser descrito por una sola coordenada geom´etrica y ning´ un otro movimiento es posible, entonces el mismo es un sistema de un u ´nico grado de libertad y la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial que gobierna su comportamiento es din´amicamente ex´acta. Por otra parte si el sistema o estructura realmente tiene m´as de un modo posible de movimiento y es reducido matem´ aticamente a un sistema de un solo grado de libertad asumiendo su disposici´on deformada, entonces la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial es solo una aproximaci´on del comportamiento din´ amico real de este sistema. La calidad de los resultados obtenidos con una aproximaci´on de un modelo de un solo grado de libertad depende de muchos factores, especialmente de la distribuci´on espacial y variaci´on temporal de la perturbaci´ on aplicada, y de las propiedades inerciales, el´asticas y de amortiguamiento del medio material que compone el sistema en estudio. Si las propiedades f´ısicas del sistema restringen a que el mismo se mueva m´ as f´ acilmente seg´ un la configuraci´on asumida, y la excitaci´on aplicada es congruente con una respuesta significativa seg´ un esta deformaci´on; entonces la soluci´on del modelo de un solo grado de libertad probablemente sea una buena aproximaci´on, de otro modo el verdadero comportamiento ser´ a una pobre aproximaci´ on al comportamiento din´amico verdadero. Una de las grandes desventajas de la aproximaci´ on mediante modelos con un u ´nico grado de libertad estriba en la dificultad de conseguir una buena fiabilidad de los resultados obtenidos a partir de este modelo aproximado. En general, la respuesta din´ amica de un sistema complejo no puede ser descrita adecuadamente por un modelo de un solo grado de libertad; usualmente la respuesta incluye variaciones temporales de la forma del desplazamiento como tambi´en de su amplitud. Dicho comportamiento s´olo puede ser descrito en t´erminos de un n´ umero m´ ultiple de coordenadas de desplazamiento; ´esto es, el movimiento debe ser representado por m´ as de un solo grado de libertad. Como fu´e especificado en el Cap´ıtulo 1, los grados de libertad en un sistema de par´ ametros din´amicos discretos pueden ser tomados como las amplitudes de los desplazamientos de ciertos puntos caracter´ısticos contenidos en el sistema o estructura, o pueden ser coordenadas generalizadas que representen las amplitudes de una serie especificada de patrones de desplazamiento. En la presente discusi´on se adoptar´a el m´etodo de aproximaci´on de la geometr´ıa adoptada por el sistema durante su comportamiento din´amico oscilatorio; ´esto incluye ambos tipos de idealizaci´ on que ser´ an discutidas en el cap´ıtulo presente: mediante el m´etodo de elementos finitos y de concentraci´ on de propiedades param´etricas din´amicas.
7.3.1.
Selecci´ on de grados de libertad
En el Cap´ıtulo 2 se discuti´ o brevemente el problema de hallar la soluci´on a los movimientos oscilatorios de una viga simplemente apoyada. All´ı se mostr´o que si se elige en forma adecuada el grado de libertad relevante, y se realizan apropiadas estimaciones para la masa y rigidez equivalentes a ´estas propiedades distribu´ıdas a lo largo de la viga, es posible calcular con gran exactitud la frecuencia fundamental de vibraci´ on. Sin embargo, a partir de tal modelo no es posible evaluar los otros modos de vibrar que posee esta simple estructura; es decir, los llamados modos superiores de vibraci´ on solo pueden ser calculados a partir de modelos m´as refinados, los cuales incluyan grados adicionales de libertad que permitan considerar modos o formas de vibraci´on adicionales. En el caso de la viga simplemente apoyada, el proyectista puede sofisticar su modelo eligiendo grados de libertad adicionales, tal como se muestra en la Figura 7.5. El procedimiento a seguir es suponer que el dominio de definici´ on del problema (la longitud total de la viga en este caso) puede ser discretizado en una serie conjunta de sub–dominios de menor magnitud (segmentos de menor longitud), cuyo n´ umero y elecci´ on depender´ a de los prop´ositos del c´alculo. Al efectuar este procedimiento, se ver´ a que surgen puntos de relevancia, a los que se denominan nodos, que en el caso que estamos estudiando
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
198
Pk
, q E, I, L, m
q(x,t)
x 1
3
2
(x,t)
Figura 7.5: Viga simplemente apoyada en movimiento vibratorio
corresponder´ıan a las secciones hipot´eticas a trav´es de las cuales se efectu´o la partici´on propuesta. As´ı, el movimiento de esta simple estructura se asumir´a definida por los desplazamientos de esta serie de puntos: υ1 (t), υ1 (t), . . . , υn (t) (n = 3 en nuestro caso). En principio, estos puntos pueden localizarse arbitrariamente sobre la estructura; en la pr´actica, ellos deber´ıan ser asociados con comportamientos espec´ıficos de las propiedades f´ısicas que podr´ıan ser significativas, y deber´ıan estar distribu´ıdos para proveer una buena definici´on de la deflexi´on din´amica υ(x, t). Debemos mencionar, sin embargo, que no se llega a una mayor exactitud con solo el simple hecho de aumentar los grados de libertad del sistema en el proceso de su modelado, ya que es mucho m´as importante la ubicaci´on de los puntos a los cuales estos desplazamientos est´an asociados. El n´ umero de grados de libertad (componentes de desplazamiento) a ser considerados se deja a discreci´ on del analista; un gran n´ umero de ellos provee mejores aproximaciones al comportamiento din´ amico verdadero, pero en muchos casos se obtienen excelentes resultados con s´olamente dos o tres grados de libertad. En la viga de la Figura 7.5 se ha asociado solo un desplazamiento (la deflexi´on vertical) a cada punto nodal. Deber´ıa notarse, sin embargo, que m´as componentes de desplazamiento podr´ıan ser identificados en cada punto nodal; e.g., la rotaci´on ∂υ(x, t)/∂x y el desplazamiento horizontal u(x, t) podr´ıan ser usados como grados de libertad adicionales en cada nodo. El vector desplazamiento para el modelo postulado para la viga mostrada en la Figura 7.5, ser´a en este caso particular: hυ| = υ1 υ2 υ3 y el modelo tendr´ a tres grados de libertad, o sea el n´ umero de coordenadas de desplazamiento considerado suficiente para definir la posici´ on gen´erica instant´anea de la viga durante la fase de su vibraci´on.
Pk
P1(t) m1
P2(t)
P3(t)
m2
m3
k12
k11
x
k23
k22
k33
Figura 7.6: Modelo de an´alisis de vibraci´on de la viga El paso subsiguiente en el proceso de modelado del sistema consistir´a en obtener los valores de las propiedades param´etricas din´ amicas asociadas a los puntos nodales y grados de libertad definidos asociados a ellos. En el caso que estamos analizando, podemos suponer que la masa distribu´ıda de cada segmento se reparte en forma concentrada id´entica en cada uno de sus extremos, y as´ı se obtiene el valor de masa neta que se concentra en cada punto nodal. La rigidez de la viga, que est´a distribu´ıda en toda su longitud puede repartirse de manera similar, concentr´ando cierta porci´on en los puntos nodales
´ 7.3. SISTEMAS DE PARAMETROS DISTRIBU´IDOS
199
y dejando otra como manifestaci´ on de la interacci´on proveniente de la elasticidad de interconexi´ on entre los nodos definidos a lo largo de la viga. Las propiedades de elasticidad del sistema (la viga, en nuestro caso) se calculan por un procedimiento est´atico apelando a la definici´on establecida para los coeficientes de rigidez kij que relacionan las fuerzas actuantes con las deformaciones o desplazamientos producidos: kij es la fuerza el´ astica correspondiente a la coordenada i, debido a un desplazamiento unitario inducido en la coordenada j. La solicitaci´on distribu´ıda longitudinalmente aplicada, as´ı mismo puede ser concentrada como perturbaci´on de caracter´ıstica puntual actuante dir´ectamente sobre los puntos nodales, como se muestra en la Figura 7.6. Si se asume el amortiguamiento presente en este sistema de magnitud despreciable, como resultado del procedimiento aqu´ı descrito literalmente se obtendr´ a la ecuaci´ on gobernante del comportamiento din´amico de vibraci´on de la viga, la cual en t´erminos gen´ericos d´ a como resultado una ecuaci´on similar a la que se plantea a continuaci´on: m1 0 0 υ¨1 k11 k12 k13 υ1 P1 (t) 0 m2 0 υ¨2 + k21 k22 k23 υ2 = P2 (t) 0 0 m3 υ¨3 k31 k32 k33 υ3 P3 (t) o de modo simb´ olico,
[M ] |¨ υ (t)i + [K] |υ(t)i = |P(t)i
que tendr´ a como soluci´ on, especificadas las condiciones iniciales de movimiento, al vector desplazamiento en su caracter´ıstica de variaci´on temporal: |υ(t)i. Este modelo puede ser mejorado aceptando que la masa de la viga, distribu´ıda en toda su longitud, produce transferencia de efectos inerciales desde cualquiera de los nodos considerados hacia todos los dem´ as contenidos en la estructura. Entonces parte de la masa de cada uno de los segmentos se concentra en sus puntos nodales extremos y la parte restante se mantiene entre los nodos como manifestaci´ on de la interacci´ on de las propiedades inerciales existente entre ellos. Con esta metodolog´ıa, resultar´ a que la matriz de masa exhibir´ a coeficientes no–nulos fuera de su diagonal principal, los cuales describen la interacci´ on de tipo inercial existente entre los grados de libertad asociados a los nodos del sistema en an´ alisis. En las secciones siguientes efectuaremos un an´alisis detallado para establecer la metodolog´ıa adecuada que nos permita definir la descripci´on correcta de las propiedades param´etricas din´amicas que posee el sistema y como ellas se asocian a los diversos grados de libertad que sean utilizados en la elaboraci´ on del modelo matem´ atico de an´alisis.
7.3.2.
Funciones de interpolaci´ on
El conocimiento en un momento dado del vector desplazamiento no proporciona informaci´on adicional acerca de lo que ocurre entre los tramos del sistema comprendidos entre dos componentes de dicho vector. Para realizar estimaciones es preciso hacer hip´otesis acerca de la deformaci´on del sistema bajo an´ alisis. Estas hip´ otesis, en forma an´aloga a lo que sucede en sistemas con un solo grado de libertad, equivale a asignar a cada grado de libertad una funci´on adimensional de las coordenadas espaciales, de manera de expresar el movimiento del sistema como una combinaci´on lineal de dichas funciones. En el caso de la Figura 7.5 tendremos: υ(x, t) = φ1 (x)υ1 (t) + φ2 (x)υ2 (t) + φ3 (x)υ3 (t) donde:
υ(x, t)
—
desplazamiento transversal interno.
φi (x)
—
funciones de interpolaci´on.
υj (t)
—
grados de libertad (coordenadas geom´etricas).
(7.11)
Como es obvio, las funciones de interpolaci´on φi (x) tendr´an que cumplir condiciones en los extremos del sistema y al interior de ´el; de manera de representar adecuadamente el campo de desplazamientos. Es f´ acil ver que por ejemplo deber´ a cumplirse: φi (xj ) = δij
(7.12)
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
200
donde δij es la funci´ on delta de Kronecker, 4 y xj es la distancia desde el origen del sistema coordenado, hasta la coordenada υj .
7.3.3.
Construcci´ on del modelo
Para obtener las caracter´ısticas estructurales del modelo, seguiremos un procedimiento an´alogo al utilizado para los sistemas con un solo grado de libertad; es decir, el modelo deber´a ser capaz de almacenar la misma cantidad de energ´ıa que el prototipo. Sin embargo, con el prop´osito de avanzar gradualmente hacia el manejo de sistemas con m´ ultiples grados de libertad, ser´a necesario introducir algunas definiciones y establecer algunas simplificaciones en el tratamiento de ´esta tem´atica.
v3 Y
u3
2
v1
1
v2 u2
u1 (a) Diagrama esquem´ atico
x
X (b) Elemento t´ıpico componente
Figura 7.7: Estructura tipo cercha triangular En la Figura 7.7(a) se muestra un reticulado plano triangular, donde se especifican los movimientos posibles en cada nudo de inter–conexi´ on. Estos desplazamientos est´an referidos a un mismo sistema de coordenadas (el sistema X–Y ), que se usa para la descripci´on de comportamiento de toda la estructura por lo que este sistema es denominado sistema coordenado global, y los desplazamientos indicados ser´an entonces los grados de libertad globales. Un an´alisis din´amico del sistema no parece ser simple a primera vista; aunque efectivamente esta no es la situaci´on. Es posible realizar el an´alisis desde una perspectiva sistem´ atica y relativamente sencilla. Para lograr tal prop´osito deberemos, sin embargo, suponer la estructura total como un ensamble de un conjunto de elementos rectil´ıneos, denominados “barras”, como el mostrado en la Figura 7.7(b). Si logramos definir las propiedades deseadas para este elemento t´ıpico, y luego a partir de estas propiedades obtener las propiedades de todo el sistema o estructura, habremos logrado nuestro prop´ osito. El primer paso es definir un sistema de coordenadas para cada elemento, adecuado al estado de esfuerzos internos y desplazamientos posibles; este sistema ser´a llamado sistema de coordenadas locales. As´ı por ejemplo, para la barra del reticulado triangular, el cual se muestra en la Figura 7.7(b), el sistema de coordenadas est´ a dado por una l´ınea coincidente con su eje longitudinal que tiene origen en uno de los extremos, y los desplazamientos posibles o grados de libertad locales tendr´an que estar referidos a este sistema. Recu´erdese que las barras de un reticulado solo soportan esfuerzos internos, y tambi´en tensiones, de tipo normal. Cuando y´ a se han establecido las coordenadas locales para el elemento t´ıpico componente del sistema, debemos definir el campo de desplazamientos internos en el mismo; y luego, establecer las propiedades din´ amicas param´etricas de su comportamiento oscilatorio. Esto nos permitir´a escribir la ecuaci´ on gobernante de dicho comportamiento para este sub–sistema componente de la totalidad de partes en las cuales se ha discretizado o subdividido el sistema original. De modo final, ahora se puede apelar al principio general de superposici´on bajo la premisa que el comportamiento din´ amico de todo el sistema o estructura es la suma simb´olica de los comportamientos de sus partes o elementos componentes, procedimiento conocido con el nombre de ensamble del sistema el cual reproduce el comportamiento de la globalidad de las partes y´a interconectadas como en el ( 4
La funci´ on delta de Kronecker, a menudo tambi´ en llamada funci´ on ´ındice, se define como: δij =
1 0
si i = j si i = 6 j
´ 7.3. SISTEMAS DE PARAMETROS DISTRIBU´IDOS
201
sistema original del cual se parti´ o en el an´alisis mediante un proceso de discretizaci´on. Este paso u ´ltimo permite establecer la ecuaci´ on gobernante del comportamiento din´amico del sistema durante el movimiento de oscilaci´ on producido, la cual se obtiene superponiendo las ecuaciones de movimiento de las partes que componen dicho sistema (las cuales son conocidas en un paso previo de an´ alisis). Esta ecuaci´ on representa al modelo matem´atico de an´alisis elaborado para describir la din´amica de movimiento oscilatorio del sistema que es de nuestro inter´es. La soluci´ on de esta ecuaci´ on, que precisa del conocimiento de las condiciones iniciales de movimiento, provee las relaciones funcionales que describen las variaciones que sufren las diversas coordenadas de desplazamiento identificadas para el sistema (o grados de libertad) en el transcurrir del tiempo, mientras el mismo se encuentre en movimiento vibratorio. Propiedades inerciales Sea un elemento estructural cualquiera, como el elemento rectil´ıneo t´ıpico viga (que es un segmento de este tipo de estructura) en el cual se han definido sus grados de libertad locales, referido a su propio sistema coordenado o de elemento (sistema coordenado local); que tiene masa distribu´ıda m(x) ¯ y rigidez flexionante EI(x) distribu´ıdas a lo largo de su longitud L, como mostramos en la Figura 7.8.
Pk
(x,t)
m (x)
3
1
x
2
x
dx
E, I(x)
L
4
Figura 7.8: Elemento t´ıpico viga (sometido a flexi´on) Con el objetivo de simplificar el tratamiento, supongamos adem´as que el campo de desplazamientos al interior del elemento es unidimensional; as´ı por ejemplo: la deflexi´on transversal en una viga, o el desplazamiento axial en un elemento sometido solo a esfuerzo normal (un elemento barra). Entonces podemos escribir para el caso general de este tipo: υ(x, t) =
n X
φi (x)δi (t) = hφ| |δi = hδ| |φi
(7.13)
i=1
donde δi (i = 1; n) son los grados de libertad nodales locales y φi (i = 1; n) son las funciones de interpolaci´ on, con n como n´ umero total de grados de libertad de elemento. La energ´ıa cin´etica elemental de una porci´on diferencial del elemento prototipo que tratamos ser´ a: dTp =
1 2
(dm) υ˙ 2 (x, t) =
1 2
[m(x)dx] ¯ υ˙ 2 (x, t)
e integrando sobre toda la longitud, la energ´ıa cin´etica del elemento resulta, Z L 1 Tp = 2 m(x) ¯ υ˙ 2 (x, t) dx
(7.14)
0
Si el modelo pretende representar las propiedades del prototipo, debe tener la capacidad de almacenar la misma cantidad de energ´ıa. Adem´as que los par´ametros a encontrarse deber´an estar relacionados directamente con las posiciones y direcciones de los desplazamientos o grados de libertad elegidos para representar su comportamiento. Es decir, las propiedades de inercia deber´an concentarse en estos puntos a partir del hecho de aceptar que el prototipo tiene la inercia distribu´ıda. Asumiendo que la Ecuaci´ on (7.13) d´ a la descripci´ on correcta del campo de desplazamientos internos, tendremos: υ(x, ˙ t) =
n X i=1
˙ = hδ| ˙ |φi φi (x)δ˙i (t) = hφ| |δi
(7.15)
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
202
Reemplazando en la Ecuaci´ on (7.14), la misma resulta: Z L ˙ |φi m(x) ˙ dx hδ| ¯ hφ| |δi Tp = 1 2
0 L
Z
Tp =
1 ˙ 2 hδ|
˙ |φi m(x) ¯ hφ| dx |δi
(7.16)
0
Para el modelo, en virtud de un razonamiento completamente an´alogo, la energ´ıa cin´etica acumulada es: n X 1 ˙ [M ˙ ¯ ] |δi Tm = 2 mij δ˙i δ˙j = 12 hδ| (7.17) i,j=1
¯ ] matriz cuadrada de dim(n×n). La siendo n el n´ umero de desplazamientos locales de elemento, y [M representaci´ on de la energ´ıa cin´etica en la forma establecida en la Ecuaci´on(7.17) es posible gracias a que por ser esta propiedad una forma cuadr´atica, puede asociarse a ella una matriz definida positiva que representa la transformaci´ on lineal efectuada sobre el vector velocidad de los grados de libertad locales. Si el modelo representa fielmente al prototipo, las energ´ıas cin´eticas acumuladas en ambos debe ser id´entica Tp = Tm , y por comparaci´ on de las Ecuaciones (7.16) y (7.17) resulta: Z L ¯]= [M |φi m(x) ¯ hφ| dx (7.18) 0
Esta ecuaci´ on define a la llamada matriz de masa local de elemento, o con m´as generalidad matriz de masa local consistente, por estar deducida en base al campo de desplazamientos internos y ser consistente con el mismo; y como todo arreglo de este tipo, estar´a referida a un sistema de coordenadas (en este caso particular, el sistema de coordenadas local o propio del elemento). Adem´as, debemos aqu´ı mencionar que esta relaci´ on es completamente general y nos sirve para evaluar la matriz de masa de cualquier elemento componente de un sistema que haya sido discretizado mediante un hipot´etico procedimiento de partici´ on material. Ejemplo 7.3. En la Figura 7.9 mostramos un elemento t´ıpico barra, componente de una estructura cercha, el cual tiene masa distribu´ıda a lo largo de su longitud en modo uniforme con magnitud invariable conocida. Determinar la matriz de masa local consistente que describe sus propiedades inerciales.
2 (x)
1
x
=m m(x)
x
0
L
Figura 7.9: Elemento t´ıpico barra (en solicitaci´on axial) >
Soluci´ on
Si llamamos δ(x) al desplazamiento longitudinal instant´aneo de cualquier secci´on transversal interna de este elemento, podemos suponer que su variaci´on es lineal con la posici´on espacial que esta secci´on ocupa a lo largo de la longitud; por tanto: δ(x) = a0 x + a1
´ 7.3. SISTEMAS DE PARAMETROS DISTRIBU´IDOS
203
donde a0 y a1 son constantes de inicio indeterminadas, que se eval´ uan con las condiciones de borde extremo siguientes: δ(x = 0) = δ(0) = δ1 , δ(x = L) = δ(L) = δ2 Utilizando estas condiciones y evaluando las constantes, obtenemos como resultado: a0 =
δ2 − δ1 , L
⇒
a1 = δ1
δ2 − δ1 x + δ1 L
δ(x) =
x x δ1 + δ 2 = φ1 x 1 + φ2 x 2 δ(x) = 1 − L L Aqu´ı identificamos las funciones de interpolaci´on como: ordenando,
y, podemos escribir:
φ1 (x) = 1 −
x , L
δ(x) = φ1
δ1 φ2 = hφ| |δi δ2
φ2 (x) =
x L
Si ahora reemplazamos en la Ecuaci´on (7.18), ¯]= [M
Z
L
0
¯]= [M
φ1 φ1 m(x) ¯ φ2 Z 0
L
"
Z
L
φ2 dx =
1− x L
0
x 2 1− L x x 1− L L
1−
x x L L x 2 L
x L
m ¯0 1−
# dx =
m ¯ 0L 2 1 6
x L
x L
1 2
dx
¯ ] es matriz sim´etrica, y que m0 L es la masa total del elemento barra. Obs´ervese que [M
>
Propiedades el´ asticas En un sistema o estructura real, las propiedades el´asticas est´an distribu´ıdas en el ´ambito espacial ocupado por el medio material bajo an´alisis. Cualquier deformaci´on del elemento supone asociar con el mismo un valor llamado energ´ıa de deformaci´ on. para cuerpos el´asticos y lineales su c´alculo depende de los esfuerzos actuantes y desplazamientos interiores existentes en el manejo de su deformaci´ on. En particular, si la relaci´ on de dependencia tensi´on–deformaci´on unitaria sigue una funci´on lineal como lo prescribe la ley de Hoocke, la energ´ıa de deformaci´on el´astica para el prototipo o sistema real, puede ser escrita como: Z Z 1 1 Up = 2 hσ||i dV = 2 h||σi dV (7.19) V
V
donde |σi es el vector de tensiones internas y |i el vector de deformaciones unitarias. La integral tiene como dominio de definici´ on el volumen involucrado, y el factor 1/2 que precede a la formula proviene del hecho de suponer que los desplazamientos se producen gradualmente a medida que cargas actuantes se aplican tambi´en gradualmente hasta alcanzar sus valores de magnitud final. Esta expresi´on de la energ´ıa de deformaci´ on el´ astica interna, llamada tambi´en energ´ıa potencial de deformaci´ on, es muy general para nuestros prop´ ositos y ser´a llevada a formas espec´ıficas seg´ un sea necesario acorde con los diversos tipos de elementos existentes para el an´alisis de sistemas vibratorios de par´ametros din´amicos distribu´ıdos. El proceso de evaluar las propiedades el´asticas del modelo es an´alogo al proceso utilizado para evaluar las propiedades de inercia. El razonamiento usado es el mismo; es decir, pretendemos representar el comportamiento el´ astico del prototipo a trav´es de relaciones el´asticas que liguen desplazamientos y fuerzas aplicadas en las coordenadas elegidas. Para tal efecto, imponemos nuevamente la condici´ on de
204
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
que la capacidad de almacenamiento de energ´ıa potencial de deformaci´on en este caso, debe ser igual para prototipo y modelo. Para el modelo podemos escribir por lo tanto: Um =
1 2
n X
¯ kij δi δj = 12 hδ|[K]|δi
(7.20)
i,j=1
¯ matriz cuadrada de dim(n×n) que siendo n el n´ umero de desplazamientos locales de elemento, y [K] es denominada matriz de rigidez local consistente de elemento. La representaci´on matricial es correcta debido a que la energ´ıa potencial de deformaci´on el´astica responde a una forma cuadr´atica. Manteniendo la restricci´ on de representar el campo de desplazamientos internos en forma unidimensional como se explic´ o anteriormente, tendr´ıamos: υ(x, t) =
n X
φi (x)δi (t) = hφ||δi = hδ||φi
i=1
De la mec´ anica de s´ olidos b´ asica sabemos adem´as que el campo de deformaciones unitarias se puede obtener a partir del campo de desplazamientos por medio de un operador diferencial; es decir, (x, t) = L(D)υ(x, t)
(7.21)
donde L(D) es el operador diferencial pertinente al tipo de comportamiento din´amico que est´a siendo analizado. Reemplazando relaciones apropiadas, que fueron establecidas previamente, 5 (x, t) = L(D)hφ||δi = hψ||δi = hδ||ψi donde L(D)hφ| = hψ| es el vector gradiente espacial de las funciones de interpolaci´ on. Si ahora suponemos una relaci´ on generalizada lineal tensi´on–deformaci´on unitaria, como predice la ley de Hoocke, se podr´ a establecer: |σi = [D]|i (7.22) donde [D] es la matriz de propiedades el´ asticas del elemento, que est´a definida en base a los coeficientes de elasticidad lineal E, transversal G y el coeficiente de Poisson ν, la cual generalmente se considera que es matriz de coeficientes constantes. Utilizando esta relaci´on para la energ´ıa de deformaci´on el´astica del prototipo, reemplazando en la Ecuaci´ on (7.19) tendr´ıamos lo siguiente: Z Up = 21 h|[D]|i dV V
Up = 12 hδ|
Z |ψi[D]hψ| dV |δi
(7.23)
V
Por comparaci´ on de las Ecuaciones (7.20) y (7.23), que equivale a igualar las energ´ıas de deformaci´on el´ astica de modelo y prototipo, r´ apidamente se deduce que: Z ¯ [K] = |ψi[D]hψ| dV (7.24) V
Esta relaci´ on define la llamada matriz de rigidez local consistente de elemento, y la misma ser´a sim´etrica s´ı y solamente si [D] es matriz sim´etrica; lo que usualmente ocurre si el elemento es linelamente el´astico 5 Cuando se considera la condici´ on de an´ alisis unidimensional del comportamiento din´ amico del elemento, no existe incongruencia al establecer que: (x, t) = |(x, t)i, pues en este caso muy particular el vector tendr´ a un u ´nico coeficiente que lo define !.
´ 7.3. SISTEMAS DE PARAMETROS DISTRIBU´IDOS
205
e is´ otropo (es decir, que el material tiene propiedades el´asticas id´enticas seg´ un todas las direcciones espaciales posibles). Es evidente que la Ecuaci´ on (7.24) es demasiado general para nuestros prop´ositos, y su evaluaci´ on puede simplificarse si partimos de expresiones de energ´ıa del prototipo menos generales; es decir, expresiones que consideren solamente las formas de energ´ıa m´as significativas presentes en el elemento, las que obviamente est´ an relacionadas con el tipo o tipos de esfuerzos internos que contribuyen mayormente a la deformaci´ on del elemento. Con el prop´osito de ilustrar las aplicaciones de la Ecuaci´ on (7.24), veamos el siguiente ejercicio. Ejemplo 7.4. Considere el elemento simplificado viga (no se consideran los desplazamientos transversales de sus extremos) mostrado en la Figura 7.10, al que com´ unmente se lo denomina “elemento t´ıpico viga cont´ınua”. Determinar la matriz de rigidez local consistente para este elemento particular, suponiendo el coeficiente de rigidez flexionante EI de valor constante.
Pk
(x,t) x 1
x
dx
2
E, I
L
Figura 7.10: Elemento simplificado viga (en flexi´on) > Soluci´ on En la Figura mostramos los grados de libertad nodales locales que consideraremos en el an´alisis (las rotaciones en los extremos del elemento). El primer paso es hallar las funciones de interpolaci´ona asociadas a los grados de libertad establecidos. Nuestra experiencia en mec´ anica de materiales b´asica nos permite suponer a la deflexi´on vertical como una funci´ on c´ ubica de la coordenada espacial posicional; entonces postulamos: υ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 donde aj (j = 0; 3) son constantes indeterminadas, que pueden ser evaluadas aplicando las condiciones de borde extremo: υ(0) = 0 , υ(L) = 0 , υ 0 (0) = δ1 , υ 0 (L) = δ2 Aplicando las condiciones anteriores, obtenemos el siguiente sistema simult´aneo de ecuaciones: 0 = a0 0 = a0 + a1 L + a2 L2 + a3 L3 δ1 = a1 δ2 = a1 + 2a2 L + 3a3 L2 que como puede comprobarse, tiene como soluci´on: a0 = 0 , entonces,
a1 = δ1 , υ(x) = δ1 x −
2δ1 δ2 − , L L + δL2 x2 + Lδ12 +
a2 = − 2δ1 L
a3 = δ2 L2
δ1 δ2 + 2 L2 L
x3
Factorizando los grados de libertad nodales locales del elemento, obtenemos: x 2 x2 x υ(x) = x 1 − δ1 + − 1 δ2 L L L
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
206
Aqu´ı se reconoce f´ acilmente que las funciones de interpolaci´on asociadas son: x 2 φ1 (x) = x 1 − L
y
φ2 (x) =
x2 x −1 L L
El siguiente paso es definir el campo de deformaciones unitarias a partir del campo de desplazamientos. Para una viga donde usualmente se desprecian las deformaciones debidas al esfuerzo cortante interno, con reducido error se considera como u ´nico esfuerzo interno al momento flector, y como deformaciones unitarias las curvaturas correspondientes; porque el desplazamiento se considera la rotaci´on angular o pendiente de la deformaci´ on. Entonces de la teor´ıa de flexi´on tenemos: M (x) = EI
dθ = EI dx
d2 υ = hφ00 ||δi = hψ||δi dx2 Adem´ as, [D] = EI ser´ a la matriz de propiedades el´asticas en este caso. Reemplazando en la Ecuaci´ on (7.24), tendremos: Z L ¯ = [K] |φ00 iEIhφ00 | dx
donde,
∼ = υ 00 =
0
donde el vector (fila) de las derivadas segundas de las funciones de interpolaci´on estar´a definido como: 6x 4 6x 2 hφ00 | = φ001 φ002 = L 2 − L L2 − L Reemplazando, haciendo operaciones y factorizando t´erminos constantes, 6x # Z L" 4 2 6x 4 2 6x 2 − L 2 − L 2 − L L L L ¯ = EI [K] dx 6x 6x 2 4 6x 4 2 0 − − − 2 2 2 L L L L L L ¯ = 2EI 2 1 [K] L 1 2 Obs´ervese que si en la Ecuaci´ on (7.19) hacemos: hσ| = M y |i = M/EI, entonces: Z L 2 M dx Up = 21 0 EI que es la conocida f´ ormula para la energ´ıa de deformaci´on por flexi´on de una viga recta, la cual se aprende en el curso de mec´ anica de materiales b´asica. > El ejemplo anterior nos ilustr´ o el poder del m´etodo expuesto; es decir, es posible desde el punto de vista te´ orico, formular las propiedades el´ asticas de un elemento con solo una expresi´on de tipo general. En particular, Z L ¯ = [K] |φ00 iEIhφ00 | dx (7.25) 0
es la f´ ormula con la cual se puede determinar la matriz de rigidez local de un elemento viga sometido a flexi´ on. De la misma forma, la relaci´ on Z L ¯ [K] = |φ0 iEAhφ0 | dx (7.26) 0
servir´ a para calcular la matriz de rigidez local de un elemento barra sometido a solicitaci´on de esfuerzo normal de sentido axial. Tome en cuenta que mientras la Ecuaci´on (7.25) involucra las derivadas espaciales segundas de las funciones de interpolaci´on, la Ecuaci´on (7.26) involucra solamente a la primera derivada, porqu´e ?.
´ 7.3. SISTEMAS DE PARAMETROS DISTRIBU´IDOS
207
Propiedades disipativas La disipaci´ on de energ´ıa como fen´omeno presente en todo movimiento de un sistema mec´ anico que tiene la capacidad de vibrar es suceptible tambi´en de ser modelada. Obviamente el modelo debe ser evaluado a partir de ciertas hip´ otesis. De los distintos tipos de elecci´on posibles, elegiremos para nuestro desarrollo el modelo viscoso, siendo los motivos de ´esto los mismos que establecimos para los sistemas con un solo grado de libertad. Definamos previamente la siguiente funci´on (para un prototipo con campo de desplazamientos unidimensional) Z L v 2 (x, t) c¯(x) dx (7.27) Rp = 12 0
donde v es la velocidad instant´ anea de movimiento, y c¯(x) el coeficiente de amortiguamiento espacialmente distribu´ıdo. Esta relaci´ on matem´atica recibe el nombre de funci´ on de disipaci´ on energ´etica de Raleigh, y mide el monto de energ´ıa que desecha el sistema hacia el medio circundante durante su movimiento oscilatorio. Si el prototipo tiene varios grados de libertad, es posible generalizar la Ecuaci´ on (8.25) para el modelo como sigue: Rm =
1 2
n X
˙ C]| ˙ ¯ δi cij δ˙i δ˙j = 12 hδ|[
(7.28)
i,j=1
¯ es la matriz de amortiguamiento local que pretendemos evaluar. Nuevamente, nos estadonde [C] mos enfrentando a una forma cuadr´atica que admite representaci´on matricial, como la que es establecida mediante la Ecuaci´ on (7.28) que en realidad representa al trabajo efectuado por las fuerzas no–conservativas provenientes de la propiedad de amortiguaci´on del modelo que representa al sistema. Utilizando nuevamente la suposici´on de unidimensionalidad del campo de desplazamiento, tendremos que: υ(x, t) = hφ(x)||δ(t)i = hφ||δi = hδ||φi de donde la velocidad resulta,
∂υ ˙ = hδ||φi ˙ = hφ||δi ∂t Reemplazando en la Ecuaci´ on (8.25), obtenemos para el prototipo, Rp =
1 2
v = υ(x, ˙ t) =
Z 0
L
˙ ˙ dx = 1 hδ| ˙ hδ||φi c¯(x) hφ||δi 2
Z
(7.29)
L
˙ |φi c¯(x) hφ| dx |δi
0
Imponiendo nuevamente la condici´on de igualdad de la cantidad de energ´ıa disipada para modelo y prototipo; es decir Rp = Rm , obtenemos para la matriz de amortiguamiento asociada a las coordenadas locales del elemento: Z L ¯ = [C] |φi c¯(x) hφ| dx (7.30) 0
Esta relaci´ on puede utilizarse para calcular las propiedades disipativas de energ´ıa de un elemento con campo de desplazamientos unidimensional. Se alerta, sin embargo, sobre el hecho de que en la pr´ actica la evaluaci´ on de la matriz de amortiguamiento se la realiza en forma indirecta, por las diferentes alternativas de c´ alculo existentes, y la dificultad de conocer la distribuci´on espacial ex´acta del amortiguamiento presente en el sistema o estructura real. Ejemplo 7.5. Considere nuevamente el elemento viga recta sometido a esfuerzo flexionante, tratado en el Ejemplo 7.4 anteriormente resuelto. Suponga que el coeficiente de amortiguamiento tiene distribuci´ on espacial constante a lo largo de la longitud de ´este segmento de viga: c¯(x) = c¯0 cte. Determinar la matriz de amortiguamiento local correspondiente.
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
208
>
Soluci´ on
Aqu´ı el problema se reduce a la evaluaci´ on de la Ecuaci´on (7.30), para lo cual incluso disponemos de las funciones de interpolaci´ on y´ a evaluadas en el anterior ejemplo resuelto. x 2 y φ1 (x) = x 1 − L Z Z L ¯ = |φi c¯(x) hφ| dx = [C]
Entonces,
L
0
0
¯ = c¯0 [C]
Z
L
x 4 x 1− L 3 x 3 − xL 1 − L
"
0
2
x2 x −1 L L
φ2 (x) = φ1 φ2
c¯0 φ1
3
− xL 1 − x4 L2
x L
x 3 L 2
φ2 dx # dx
−1
Efectuando las integraciones indicadas, obtenemos finalmente: 3 4 −3 ¯ = c¯0 L [C] 420 −3 4
> El resultado obtenido para la matriz de amortiguamiento del elemento simplificado viga, llamado tambi´en elemento viga cont´ınua, nos muestra que el arreglo es sim´etrico; lo cual es caracter´ıstica propia de un material homog´eneo e is´ otropo. Solicitaci´ on externa equivalente Hasta ahora hemos concentrado nuestra atenci´on en discretizar las propiedades din´amicas de los elementos componentes de un sistema o estructura; ´esto en una secci´on posterior nos permitir´a escribir las ecuaciones de movimiento referidas al sistema local coordenado o propio del elemento. Al contener estas ecuaciones t´erminos provenientes de la perturbaci´on externa actuante, se hace necesario encontrar procedimientos que nos permitan discretizar cualquier distribuci´on de carga que act´ ue sobre el elemento, al igual como discretizamos las propiedades de inercia, elasticidad y amortiguamiento. Esto puede llevarse a cabo siguiendo el mismo punto de vista utilizado anteriormente; es decir, igualando en prototipo y modelo, el trabajo mec´ anico de las cargas reales actuantes sobre el sistema o estructura y las cargas equivalentes a ser introducidas en el modelo de an´alisis, en este caso. Si llamamos, W = 1 hP ||δi = 1 hδ||P i (7.31) m
2 eq
2
eq
al trabajo mec´ anico realizado por las cargas equivalentes en el modelo; ´este tendr´a que ser igual al trabajo mec´ anico realizado por las cargas reales aplicadas sobre el prototipo. El coeficiente 1/2 se incorpora en esta relaci´ on por el hecho de suponer que la relaci´on carga–deformaci´on sigue una ley lineal.
Pk
, q
(x,t) dF
q(x,t) x
x
dx
L
Figura 7.11: Elemento sometido a carga transversal En la Figura 7.11 mostramos un elemento rectil´ıneo (segmento de una viga), la cual est´a sometido al efecto de una carga linealmente distribu´ıda transversal q(x, t) la cual produce la defoemaci´on del elemento. La deformaci´ on interna se especifica mediante el apropiado campo de desplazamientos υ(x, t).
´ 7.3. SISTEMAS DE PARAMETROS DISTRIBU´IDOS
209
El trabajo mec´ anico elemental en el prototipo causado por la carga aplicada est´a definido como: dWp =
1 2
dF υ =
1 2
q(x, t)dx υ(x, t)
´ Esto manteniendo la hip´ otesis de unidimensionalidad en el campo de desplazamientos internos en el prototipo. Integrando sobre toda la longitud de ´este elemento, se obtiene el trabajo mec´anico realizado por la carga externa sobre el prototipo, Wp =
1 2
L
Z
q(x, t) υ(x, t) dx
(7.32)
0
El campo de desplazamientos interno en el elemento es aproximado mediante apropiadas funciones de interpolaci´ on seg´ un: υ(x, t) = hφ(x)||δ(t)i = hδ(t)||φ(x)i Ahora, reemplazando en la Ecuaci´ on (7.32) Wp =
Wp =
1 2
1 2
L
Z
q(x, t) hδ||φi dx 0
Z hδ|
L
q(x, t) |φi dx
(7.33)
0
Si el modelo es fiel representaci´on del prototipo, entonces el trabajo mec´anico realizado por la perturbaci´ on externa debe ser el mismo. Entonces, igualando las Ecuaciones (7.31) y (7.33), se obtiene: Z |P ieq =
L
q(x, t) |φ(x)i dx
(7.34)
0
que es el vector de cargas equivalentes, y cuyas componentes tienen la posici´on y direcci´on de las correspondientes coordenadas o grados de libertad del elemento. Ejemplo 7.6. Consideremos nuevamente el elemento simplificado viga, el cual est´a sometido a una carga axialmente distribu´ıda de variaci´on lineal como indica la Figura 7.12(a), donde la misma tiene caracter´ıstica de variaci´ on temporal arm´onica con frecuencia conocida. Si q0 denota a la amplitud m´ axima de carga, la cual tiene variaci´on cosenoidal en el tiempo; determinar las cargas nodales locales equivalentes asociadas a los grados de libertad mostrados (rotaciones en ambos extremos).
Pk
q
Pk
q(x,t) = q0 x cos t
Peq
q0
L
P2eq
P1eq
x 1
x
2
dx
L (a) Esquema de la solicitaci´ on
L (b) Cargas (momentos) nodales equivalentes
Figura 7.12: Elemento simplificado viga y solicitaci´on externa > Soluci´ on La carga linealmente distribu´ıda aplicada se describe mediante: q(x, t) = − q0
x
x cos Ωt L
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
210
la cual como puede comprobarse cumple las condiciones que se muestran impl´ıcitamente en el esquema de solicitaci´ on del elemento viga: q(0, t) = 0 q(L, t) = − q0 cos Ωt. El signo negativo proviene del sentido que posee la carga aplicada (convencionalmente se asumi´o como positivo el sentido de la direcci´ on vertical – hacia arriba: ↑+). Las cargas equivalentes ser´ an evaluadas aplicando la Ecuaci´on (7.34), para lo cual recordamos que las funciones de interpolaci´ on asociadas a los grados de libertad indicados son: x2 x −1 L L ) Z L Z L ( x 2 x x 1− L = q(x, t) |φ(x)i dx = − q0 cos Ωt dx x2 x 0 0 L −1 x 2 φ1 (x) = x 1 − L
|P ieq
y
φ2 (x) =
L
L
Realizando las integraciones indicadas en la ecuaci´on anterior, se obtiene como resultado: q0 L2 P1eq −2 cos Ωt |P ieq = = 3 P2eq 60 Estas cargas de tipo equivalente a la original, ser´an las que act´ uen en los puntos nodales del modelo de elemento que fu´e puesto en an´ alisis. Lar cargas nodales locales obtenidas como resultado se muestran en la Figura 7.12(b), donde se + , en congruencia a asume como sentido positivo para los momentos encontrados el sentido horario: x lo aceptado para los desplazamientos angulares. > Debemos notar que las cargas equivalentes, relacionadas al sistema coordenado local o propio del mismo elemento, estar´ an asociados a los grados de libertad definidos para el mismo porque son calculadas en base a las funciones de interpolaci´ on referidos a estos desplazamientos. En el ejemplo anterior, los desplazamientos considerados eran rotaciones o deformaciones angulares, y por ello debe resultar que las cargas equivalentes sean cuplas o momentos de tipo flexionante; como se puede comprobar f´ acilmente efectuando una simple verificaci´on de dimensionalidad de los resultados obtenidos. Ecuaci´ on local de movimiento Estamos ahora en condiciones de escribir la ecuaci´on de movimiento de un elemento componente del sistema o estructura en su forma discretizada y referida al sistema coordenado local. Previamente debemos postular algunas hip´ otesis adicionales que nos permitan relacionar las fuerzas que intervienen en la din´ amica de movimiento, con las deformaciones o desplazamientos producidos durante la oscilaci´ on. Estas hip´ otesis y´ a utilizadas anteriormente no son m´as que la ley de Hoocke, la segunda ley de Newton, y la ley de amortiguamiento viscoso; matem´aticamente: ¯ |Fk ie = [K]|δi ˙ ¯ δi |Fc ie = [C]|
(7.35b)
¨ ¯ ]|δi |Fi ie = [M
(7.35c)
(7.35a)
donde el sub´ındice ‘e’ se refiere a un elemento individual gen´erico componente del sistema bajo estudio. Entonces, en un cuerpo en movimiento y seg´ un el principio de D’Alembert el conjunto de fuerzas que act´ uan sobre ´el, inclusive las cargas aplicadas, deben mantenerse en equilibrio; o de modod equivalente podemos decir que la resultante de fuerzas debe ser nula, o tambi´en que el conjunto de las fuerzas internas al sistema deben equilibrarse din´amicamente con la solicitaci´on externa. Aplicando este principio, en nuestro elemento en particular, tendremos: |Fi ie + |Fc ie + |Fk ie − |P eq ie = 0
(7.36)
´ 7.3. SISTEMAS DE PARAMETROS DISTRIBU´IDOS
211
Reemplazando las Ecuaciones (7.35), y desechando el sub´ındice identificatorio de elemento, se obtiene: ¨ + [C]| ˙ + [K]|δi ¯ ]|δi ¯ δi ¯ [M = |P ieq
(7.36a)
que es la ecuaci´ on de movimiento para el elemento, en su forma discretizada. Obs´ervese su similaridad con la Ecuaci´ on 2.1 de movimiento para un sistema de un grado de libertad, y tambi´en con la Ecuaci´ on (7.10) que gobierna el comportamiento din´amico de una estructura o sistema completo de varios grados de libertad. Ejemplo 7.7. En la Figura 7.13 se muestra una viga empotrada en un extremo y articulada fijamente en el otro, adem´ as de poseer un apoyo de rodillo intermedio (esta es una t´ıpica viga cont´ınua). Esta estructura tiene propiedades materiales y geom´etricas conocidas; la cual est´a sometida a la solicitaci´ on externa mostrada, de par´ ametros determinados. Hallar la ecuaci´on de movimiento del segmento cargado mediante la fuerza linealmente distribu´ıda de variaci´on triangular.
Pk
Y
1
P1(t)
P2(t)
m0 , c0 , E , I
q(x,t) = q0 x cos t L
q0
3
2 x
X
L
Figura 7.13: Viga cont´ınua y solicitaci´on aplicada > Soluci´ on Supondremos que la estructura fu´e discretizada mediante dos elementos que aparecen contiguos. Los grados de libertad asignados a cada uno de ellos son los mostrados en la figura, donde el desplazamiento angular central es grado de libertad compartido por ambos elementos. Las propiedades inerciales, traducidas en la matriz de masa de elemento, pueden ser evaluadas por aplicaci´ on de la Ecuaci´ on (7.18). Las funciones de interpolaci´on del elemento considerados son y´ a conocidas, x 2 x2 x φ2 (x) = x 1 − y φ3 (x) = −1 L L L que en este caso est´ an siendo asociadas a los grados de libertad pertinentes para este elemento. Si reemplazamos en la relaci´ on matem´ atica que define la matriz de masa, tendremos: )n Z L Z L( x 2 o x 1− L x 2 x2 x ¯ [M ] = |φi m(x) ¯ hφ| dx = m ¯0 dx 2 x 1 − − 1 x x L L L 0 0 L L −1 # 3 Z L" 2 x 4 x 3 multiplicando, x 1− L − xL 1 − L ¯]=m [M ¯0 2 dx 3 x 3 x4 x 0 − xL 1 − L L2 L − 1 e integrando, m ¯ 0 L3 4 −3 ¯ [M ] = 420 −3 4 Este resultado pudo haber sido obtenido m´as f´acilmente por analog´ıa de definici´on con la matriz de amortiguamiento (para ello, compare las Ecuaciones (7.18) y (7.30) que presentan diferencia en un solo t´ermino). Las propiedades dispativas de energ´ıa y´a fueron evaluadas en el Ejemplo 7.5, a trav´es de la matriz local de amortiguamiento, la cual recordamos que es en este caso: c¯0 L3 4 −3 ¯ [C] = 420 −3 4
212
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Las propiedades de elasticidad fueron calculadas en el Ejemplo 7.4, mediante la correspondiente matriz de rigidez local de elemento, la cual re–escribimos aqu´ı: 2EI 2 1 ¯ [K] = L 1 2 Las cargas nodales equivalentes a la carga linealmente distribu´ıda de variaci´on triangular actuante al interior de este elemento componente de la estructura fueron determinadas en el Ejemplo 7.6. Como Usted puede verificar, el resultado obtenido en el ejemplo mencionado era: q0 L2 −2 cos Ωt |P ieq = 3 60 Con todos los c´ alculos previos, estamos en capacidad de escribir la ecuaci´on gobernante del comportamiento din´ amico vibracional del elemento considerado, referido a su propio sistema coordenado o sistema local que tiene origen en el extremo izquierdo del elemento. En la Figura 7.13 mostramos el sistema coordenado global X–Y al cual se refiere el comportamiento din´amico de toda la estructura, as´ı como tambi´en el sistema coordenado local x al que referimos el comportamiento din´amico del segmento de viga que consideramos como elemento en este ejemplo. De acuerdo con la Ecuaci´on (7.36a), la ecuaci´ on diferencial matricial que gobierna el comportamiento vibratorio del elemento es: ¨ + [C]| ˙ + [K]|δi ¯ ]|δi ¯ δi ¯ [M = |P ieq que desarrollada en todos sus t´erminos resulta en este caso, c¯0 L3 4 −3 δ˙2 2EI 2 m ¯ 0 L3 4 −3 δ¨2 + + m ¯0 δ¨3 δ˙3 420 −3 4 420 −3 4 L 1
q0 L2 −2 1 δ2 cos Ωt = 3 2 δ3 60
en virtud que el vector de gradosnde o libertad locales de este elemento est´a definido por el ordenamiento de coeficientes siguiente: |δie = δδ23 . Resulta relevante el hecho que seg´ un la ecuaci´on de movimiento obtenida, los grados de libertad est´ an completamente acoplados din´ amicamente: el comportamiento din´amico del grado de libertad δ3 afecta el movimiento del grado de libertad δ2 (primera ecuaci´on del desarrollo de la ecuaci´on diferencial matricial anterior); y viceversa (segunda ecuaci´on). > Para completar el an´ alisis de comportamiento din´amico de toda la viga continua, tomada como estructura, habr´ a que escribir una ecuaci´ on similar la cual sea v´alida para el primer tramo de la viga que es el otro elemento componente; y luego superponer ambas ecuaciones para obtener la ecuaci´on global v´ alida para el sistema entero. Esta complementaci´on te´orica ser´a desarrollada en una secci´on siguiente. Matriz de masa no–consistente A lo largo de todo el desarrollo anterior se han mostrado las posibilidades que existen de formular un modelo basado en una equivalencia energ´etica. Los distintos par´ametros encontrados fueron derivados a partir de un mismo campo de desplazamiento, y en este sentido pueden llamarse consistentes. Esta aproximaci´ on nos permite considerar dentro el modelo todas las interacciones entre las diferentes coordenadas del elemento; ´esto se ve claramente en la matriz de masa donde los elementos fuera de la diagonal principal representan tal interacci´on. Si bien el uso de este tipo de modelos lleva a una representaci´ on ‘m´ as ex´ acta’, no es menos cierto que su uso lleva a m´as complicaciones de tipo num´erico en el momento de realizar los c´ alculos. En este sentido, existe la posibilidad de utilizar una formulaci´on alternativa para la obtenci´ on de la matriz de masa, como se describe a continuaci´on. Consideremos el elemento de la Figura 7.14, suponiendo que solo tiene los grados de libertad mostrados. Adem´ as supongamos que la masa distribu´ıda espacialmente m(x) ¯ =m ¯ 0 es de magnitud
7.4. PROPIEDADES DEL SISTEMA
Pk
m (x)
213
2
1
m2
m1
x
x
L
L
Figura 7.14: Elemento con masa propia y su representaci´on inercial
invariable en toda la longitud; entonces la masa neta o total del elemento ser´a: m = m ¯ 0L. Ahora concentremos una parte esta masa en un extremo, y la parte sobrante en el otro. En el caso hipot´etico que nos ata˜ ne, el resultado ser´ıa: m1 = m2 = m ¯ 0 L/2; es decir que repartimos la masa en los grados de libertad en montos id´enticos como se muestra en la Figura 7.14. Con las consideraciones previas, la matriz de masa de elemento resultar´a ser: m1 ¯ [M ] = 0
m ¯ 0L 1 0 = m2 0 2
0 1
una matriz diagonal, debido a que una fuerza en una de las coordenadas s´olo produce aceleraci´ on en esa coordenada y n´ o en la otra (porque no existe material en el espacio comprendido entre ambas coordenadas) Los valores a ser concentrados en los extremos dependen obviamente de la geometr´ıa del elemento, de su densidad o distribuci´ on de la materia en el espacio ocupado, y del juicio del analista en la consideraci´ on de las restricciones presentes. Como se ver´a claro, el procedimiento puede presentar algunas dificultades de apreciaci´ on en la asignaci´on de montos inerciales particularmente cuando en la descripci´ on del movimiento se utilizan coordenadas rotacionales; ya que la primera intenci´on ser´ıa asignar valores de masa nulas a dichas coordenadas, lo cual evidentemente es un craso error. Sin embargo, en los casos en que su aplicaci´on es f´acil, puede reportar grandes ahorros en el proceso de c´ alculo sin mucho sacrificio en la exactitud de los resultados obtenidos. Este procedimiento que denominamos no–consistente se conoce tambi´en como el m´etodo de par´ ametros concentrados, y su uso est´ a ampliamente generalizado por ser un m´etodo f´acil y dir´ecto en aquellas situaciones que a primera vista resultan obvias.
7.4.
Propiedades del sistema
Habiendo definido completamente las propiedades de los elementos que constituyen un sistema, es posible ahora encontrar las propiedades del sistema a partir de las propiedades de los elementos y´ a evaluadas. Este proceso llamado de ensamble de elementos, se lo efect´ ua hallando las relaciones que ligan a los grados de libertad locales (asignados a los elementos) con los grados de libertad globales (asignados a los puntos nodales del sistema o estructura). Para la existencia de la relaci´ on mencionada previamente, es importante postular que el sistema global de coordenadas es un sistema linealmente independiente; en tal caso existe la siguiente relaci´ on para un elemento componente cualquiera, |δie = [β]e |ui
e = 1; n
(7.37)
donde |δie vector de coordenadas (grados de libertad) de elemento, [β]e matriz de conectividad del elemento, |ui vector de coordenadas globales y n el n´ umero total de elementos que componen el sistema. Si consideramos ahora el trabajo mec´anico realizado por las fuerzas actuantes sobre la estructura, es evidente que este puede calcularse a partir de las contribuciones individuales de los elementos o a partir del trabajo referido a las coordenadas del sistema como trabajo neto o global; dando como
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
214
resultado el mismo valor, es decir: 1 2 hu||F i
=
1 2
n X hδ|e |P ie e=1
donde |P ie denota al vector de cargas nodales locales equivalentes de un elemento gen´erico cualquiera componente del sistema o estructura. Transponiendo la Ecuaci´ on (7.37), y reemplazando, hu||F i =
n X
hu|[β]Te |P ie = hu|
e=1
n X
[β]Te |P ie
e=1
Esta relaci´ on obtenida implica el cumplimiento de: |F i =
n X [β]Te |P ie
(7.38)
e=1
como vector fuerza del sistema o estructura obtenido como superposici´on de los vectores de fuerzas equivalentes actuantes sobre los elementos componentes. Desarrollando esta ecuaci´ on en sus t´erminos componentes, y reagrupando; |P i1 |P i2 T T T T T T |F i = [β]1 |P i1 + [β]1 |P i1 + · · · + [β]n |P in = [β]1 [β]1 · · · [β]n . .. |P in Si denotamos como:
[β]T = [β]T1
[β]T2
···
[β]Tn
hP | = hP |1
hP |2
···
hP |n
podemos escribir: |F i = [β]T |P i
(7.39)
Habiendo supuesto que el sistema se compone de n elementos, desarrollando la Ecuaci´on (7.37) gen´erica y ordenando los t´erminos, obtenemos: [β]1 |δi1 [β]1 |ui |δi2 [β]2 |ui [β]2 = = . |ui .. .. .. . . |δin [β]1 |ui [β]1 que simb´ olicamente escribimos:
|δi = [β]|ui
(7.40)
como vector desplazamiento superpuesto de coordenadas locales de la estructura o sistema, obtenido desde el vector de coordenadas globales especificado para el mismo. Las Ecuaciones (7.39) y (7.40) se conocen como relaciones de contragradiencia, las cuales asocian ´ fuerzas y desplazamientos en los sistemas global y local de coordenadas utilizadas en el an´alisis. Estas relaciones nos permitir´ an susperponer las matrices de propiedades din´amicas de los diversos elementos, para as´ı obtener las matrices que sean v´ alidas para todo el sistema o estructura.
7.4. PROPIEDADES DEL SISTEMA
7.4.1.
215
Matriz de masa del sistema
La matriz de masa del sistema, puede ahora obtenerse a partir de las matrices de masa locales de los diversos elementos que lo componen. Para ello, consideremos la energ´ıa cin´etica neta obtenida a partir de la serie de coordenadas o grados de libertad globales asignados al sistema entero y la energ´ıa cin´etica total del sistema obtenida a partir de P las contribuciones individuales que hacen sus elementos; entonces tendremos que debe cumplirse: T = e Te , o en forma desarrollada: 1 ˙ ]|ui ˙ 2 hu|[M
=
1 2
n X
˙ e [M ˙ e ¯ ]e |δi hδ|
e=1
donde [M ] es la matriz de masa del sistema. Utilizando ahora la Ecuaci´on 7.37, deriv´andola previamente y reemplazando; ! n n X X T T ¯ ¯ ]e [β]e |ui hu|[M ˙ ]|ui ˙ = hu|[β] ˙ ˙ = hu| ˙ [β]e [M ˙ e [M ]e [β]e |ui e=1
e=1
Por comparaci´ on resulta que: [M ] =
n X ¯ ]e [β]e [β]Te [M e=1
o, de modo equivalente,
¯ ][β] [M ] = [β]T [M
(7.41)
¯ ] la llamamos matriz de masa no–ensamblada del sistema, la cual se define con el aspecto donde a [M siguiente: ¯ ]1 [M ¯ ]2 [M ¯]= [M (7.42) . .. ¯ ]n [M es decir, una matriz formada por las matrices de masa locales de los elementos, dispuestas ocupando los coeficientes de la diagonal principal (los t´erminos o coeficientes no escritos en esta matriz, corresponden a sub–matrices nulas). Entonces, la Ecuaci´on (7.41) establece a la matriz de masa del sistema, la cual y´ a esta referida al sistema global coordenado respecto del cual se hace la descripci´ on del comportamiento din´ amico del sistema completo.
7.4.2.
Matriz de rigidez del sistema
El desarrollo de una expresi´ on para la matriz de rigidez del sistema, equivalente a la Ecuaci´ on (7.41) deducida para la matriz de masa, es absolutamente similar y parte de equiparar la eneg´ıa de deformaci´ on del sistema expresada seg´ un los grados de libertad globales, y la energ´ıa de deformaci´ P on obtenida por la contribuci´ on hacia ella que hacen todos lo elementos componentes; es decir: U = e Ue , o en forma desarrollada: n X 1 1 ¯ e |δie hu|[K]|ui = hδ|e [K] 2 2 e=1
Utilizando la Ecuaci´ on 7.37, hu|[K]|ui =
n X
¯ e [β]e |ui = hu| hu|[β]e [K] T
e=1
n X e=1
comparando t´erminos; [K] =
n X e=1
¯ e [β]e [β]Te [K]
! ¯ e [β]e [β]e [K] T
|ui
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
216
o, en forma equivalente:
¯ [K] = [β]T [K][β]
(7.43)
¯ se la conoce como matriz de rigidez no– que es la matriz de rigidez del sistema, y donde a [K] ensamblada, cuya forma es: ¯ 1 [K] ¯ 2 [K] ¯ = [K] (7.44) .. . ¯ n [K] donde las sub–matrices ubicadas en la diagonal principal son las matrices de rigidez locales de los elementos que componen el sistema, y los t´erminos no escritos corresponden a sub–matrices nulas de dimensiones adecuadas que no alteren el orden de la matriz de rigidez no–ensamblada as´ı definida.
7.4.3.
Matriz de amortiguamiento del sistema
La matriz de amortiguamiento del sistema se deriva en una forma totalmente an´aloga a los casos anteriores. La relaci´ on de contragradiencia se utiliza nuevamente deriv´andola temporalmente, debido a que la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad de movimiento (modelo viscoso). No resulta nada dificil demostrar que la matriz de amortiguamiento del sistema vien expresada por: ¯ [C] = [β]T [C][β]
(7.45)
¯ es la matriz de amortiguamiento no–ensamblada del sistema, que est´a definida como: donde [C] ¯1 [C] ¯2 [C] ¯ = [C] (7.46) . .. ¯n [C] O sea, que la ley de formaci´ on responde en forma totalmente id´entica a las utilizadas para la formaci´ on de las matrices de rigidez y masa no–ensambladas.
7.4.4.
Vector de cargas del sistema
Las fuerzas equivalentes que act´ uan en las coordenadas locales de los elementos tienen que ser transformadas al sistema global de coordenadas. Para tal efecto se usa la Ecuaci´on (7.39) de contragradiencia de fuerzas. Si es que denotamos como|P i al vector de cargas actuantes sobre el sistema, referido al sistema global coordenado, y hP |eq = hP |1eq hP |2eq · · · hP |neq al vector no ensamblado de cargas equivalentes actuantes sobre los elementos, se deber´a cumplir: |P i = [β]T |P ieq
(7.47)
con lo que completamos el conjunto de expresiones que describen las propiedades din´amicas referidas todas ellas al sistema global coordenado utilizado para la descripci´on del comportamiento vibratorio del sistema.
7.4.5.
Ecuaci´ on de movimiento del sistema
La ecuaci´ on de movimiento del sistema se obtiene ahora en una forma directa a partir de las expresiones encontradas. Sea la ecuaci´ on de movimiento de un elemento gen´erico cualquiera componente del sistema, ¨ e + [C] ˙ e + [K] ¯ ]e |δi ¯ e |δi ¯ e |δie = |P ie [M e = 1, 2, . . . , n
7.4. PROPIEDADES DEL SISTEMA
217
Si el conjunto de las n ecuaciones anteriores las escribimos en forma desarrollada y conjuncionada, tenemos: ¨ + [C]| ˙ + [K]|δi ¯ ]|δi ¯ δi ¯ [M = |P ieq donde todos los s´ımbolos utilizados y´a fueron definidos. Utilizando nuevamente la Ecuaci´on (7.40) de contragradiente de desplazamientos, y sus derivadas, se obtiene: ¯ ][β]|¨ ¯ ¯ [M ui + [C][β]| ui ˙ + [K][β]|ui = |P ieq Pre–multiplicando con la transpuesta de la matriz de transformaci´ on de grados de libertad que tambi´en denominamos matriz de conectividad; ¯ ][β]|¨ ¯ ¯ [β]T [M ui + [β]T [C][β]| ui ˙ + [β]T [K][β]|ui = [β]T |P ieq y, reconociendo los t´erminos que preceden a los vectores cinem´aticos y de cargas equivalentes aplicadas: [M ]|¨ ui + [C]|ui ˙ + [K]|ui = |P i
(7.48)
que es la ecuaci´ on de movimiento del sistema, y cuya soluci´on ser´a objeto de desarrollo te´orico y an´ alisis de los siguientes cap´ıtulos. Remarcamos aqu´ı que la perturbaci´on externa actuante en los puntos nodales de la estructura o sistema, posee variaci´on temporal: |P i = |P (t)i, y la soluci´ on: |ui = |u(t)i describe la variaci´ on temporal de los grados de libertad nodales asignados al sistema en conjunto. Ejemplo 7.8. Hallar la ecuaci´ on de movimiento para la estructura tipo marco o p´ortico plano, mostrado en la Figura 7.15(a). Suponer que la cantidad de energ´ıa disipada durante el movimiento es ´ınfima, y que se desprecia la deformaci´on seg´ un sentido axial en ambos segmentos que componen este sistema. Las caracter´ısticas de la estructura establecidas por sus valores param´etricos se muestran en el esquema, donde adem´ as la perturbaci´on aplicada est´a definida por: q(x, t) = q0 sin Ωt. q(x,t)
EI, m0 L
8L 7
1
EI, m0
EI, m0
2
L
(a) Diagrama esquem´ atico
(b) Elemento t´ıpico componente
Figura 7.15: Estructura tipo marco (p´ortico) > Soluci´ on Debido a la inexistencia de desplazamientos seg´ un cualquier sentido espacial (s´olo se producen rotaciones en los apoyos y el punto v´ertice durante la deformaci´on), el elemento t´ıpico aplicable en el caso presente es el mostrado en la Figura 7.15(b). Para este elemento se ha hallado la matriz de rigidez local, que recordamos tiene la forma: 2EI 2 1 ¯ [K]e = L 1 2
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
218
La matriz de masa, considerando la densidad longitudinal constante m(x) = m0 es la siguiente: 3 4 −3 ¯ ]e = m0 L [M 420 −3 4
u2
2 3
u1
1
1
2
4
u3 (a) Grados de libertad globales
(b) Grados de libertad locales
Figura 7.16: Definici´on de grados de libertad 1 Utilizando los datos mostrados en la Figura 7.15(a), obtenemos para el elemento 3 4 −3 ¯ 1 = 2EI 2 1 ¯ ]1 = m0 L [K] [M L 1 2 420 −3 4 2 y para el elemento
7EI 2 ¯ [K]2 = 4L 1
1 2
3 ¯ ]2 = m0 L [M 420
3 8 4 −3 7
−3 4
Estas matrices est´ an referidas al sistema coordenado local propio de cada elemento y sus valores de coeficientes est´ an asociados a los grados de libertad locales, que se muestran en la Figura 7.16(b). En la Figura 7.16(a), en cambio, mostramos los grados de libertad nodales globales asignados a la estructura. La matriz de conectividad [β] puede ser generada por columnas, dando desplazamientos unitarios a cada coordenada global secuencialmente mientras se mantienen las restantes igual a cero; y hallando los valores de los desplazamientos en las coordenadas locales para cada estado. El conjunto as´ı obtenido representa la columna correspondiente de la matriz de conectividad o transformaci´on de desplazamientos. Si definimos al vector de grados de libertad locales de ambos elementos como el arreglo (transpuesto) indicado a continuacion: hδ| = hδ|1 hδ|2 = δ1 δ2 δ3 δ4 De los esquemas mostrados en la Figura 7.17, obtenemos como relaci´on de desplazamientos: 1 0 0 1 δ 1 u 1 0 1 0 0 δ2 u = ⇒ [β] = 0 δ3 0 1 0 2 u2 δ4 0 0 1 0
fundamental contragradiente 0 1 1 0
0 0 0 1
El siguiente paso es formar las matrices de rigidez y masa no–ensambladas del sistema; esto se logra colocando sobre las diagonales principales a las matrices de rigidez y masa locales halladas para los
7.4. PROPIEDADES DEL SISTEMA
219
1
1
u ={100}
u ={010}
u ={001}
={1000}
={0110}
={0001}
1
(a) Primera columna
(b) Segunda columna
(c) Tercera columna
Figura 7.17: Generaci´on de la matriz de conectividad dos elementos. Estas matrices tienen el siguiente aspecto: 4 −3 3 −3 4 ¯ ] = m0 L [M 8 3 8 3 4( ) −3( ) 420 7 7 8 3 8 3 4( 7 ) −3( 7 )
4 2 ¯ = EI [K] L
2 4
7 2 7 4
7 4 7 2
donde aquellos coeficientes que no fueron escritos tienen valor cero. 1 soporta la Calculamos ahora las cargas equivalentes. De acuerdo a la Figura 7.15, solo el elemento aplicaci´ on de una carga externa. Para hallar los momentos equivalentes en los puntos nodales extremos de este segmento de la estructura, aplicamos la Ecuaci´on (7.34) y las funciones de interpolaci´on que fueron obtenidas en el Ejemplo 7.4; luego: n o x 2 x2 x hφ| = x(1 − L ) ( − 1) L L Z |P i1eq =
(
L
q0 sin Ωt 0
x(1 − x2 x L (L
x 2 L)
− 1)
)
q0 L2 dx = 12
1 sin Ωt −1
donde el sub´ındice es incorporado para indicar que las cargas equivalentes corresponden al elemento 1 Para el elemento 2 las cargas equivalentes son nulas, por lo que el vector no–ensamblado de cargas
. equivalentes resulta en este caso: 1 q0 L2 −1 sin Ωt |P ieq = 0 12 0 Las matrices y el vector de cargas equivalentes no–ensamblados a´ un, tienen que transformarse y expresarse en el sistema coordenado global y asociarse a los grados de libertad globales establecidos para la estructura; ´esto se logra aplicando las relaciones y´a deducidas: ¯ ][β] [M ] = [β]T [M
¯ [K] = [β]T [K][β]
|P i = [β]T |P ieq
Luego de efectuar los productos indicados en las ecuaciones anteriores, Usted puede comprobar que el resultado es: 4 −3 0 4 2 0 EI m0 L3 7 2 15 −3 4[1 + ( 87 )3 ] −3( 87 )3 [K] = [M ] = 2 4 420 L 8 3 8 3 7 0 −3( 7 ) 4( 7 ) 0 4 72
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
220
1 q0 L2 −1 sin Ωt |P i = 12 0 Estos arreglos describen las propiedades din´amicas param´etricas de la estructura tipo marco o p´ ortico plano en an´ alisis, y nos sirven para establecer la ecuaci´on gobernante del comportamiento din´ amico estructural; la cual como recordamos ser´ıa en este caso: [M ]|¨ ui + [K]|ui = |P i ya que el amortiguamiento se asume despreciable; la misma que en forma completamente desarrollada establece la ecuaci´ on de movimiento de la estructura aqu´ı analizada: 4 −3 0 4 2 0 u1 ¨1 u 2 1 m0 L3 EI q L 7 0 2 15 −3 4[1 + ( 87 )3 ] −3( 87 )3 u −1 sin Ωt ¨2 + u2 = 2 4 420 L 12 0 u ¨3 u3 0 −3( 87 )3 4( 87 )3 0 47 72 ´ Esta es la ecuaci´ on gobernante del movimiento oscilatorio que ejecuta la estructura, de la cual la soluci´ on resultar´ a ser la respuesta a la perturbaci´on externa aplicada a ella. > La aplicabilidad de la metodolog´ıa planteada y las relaciones encontradas para establecer la ecuaci´on gobernante de la vibraci´ on de un sistema es amplia; a´ un para sistemas en movimiento como los sistemas de transmisi´ on de movimiento rotacional con engranajes de comportamiento lineal, la teor´ıa anterior es v´ alida. El ejemplo siguiente nos mostrar´ a como aplicar estos conceptos, adem´as que utilizaremos un modelo no–consistente de par´ ametros concentrados. Ejemplo 7.9. Para el sistema mostrado en la Figura 7.18 escribir la ecuaci´on de movimiento. Suponer que los ejes tienen inercia despreciable, pero s´ı poseen elasticidad, al formular un modelo de par´ametros concentrados. Este sistema soporta como perturbaci´on externa un momento torsional aplicado a la mitad de la longitud de uno de sus elementos, como se muestra. Adem´as, en el an´alisis suponga que este sistema tiene una cantidad de disipaci´on de energ´ıa mec´anica que es de un valor de magnitud despreciable.
I2
I1
I3 M(t) k2
k1 L M (t) = M0 f (t)
L/2
ki =
L/2
Gi Ji Li
i = 1, 2
Figura 7.18: Sistema rotacional de engranajes y ejes > Soluci´ on En raz´ on a que es posible despreciar el peso (masa) de los ejes, la masa de los engranajes concentrada en los extremos de los ejes nos proporciona autom´aticamente un modelo de par´ametros concentrados. De los diversos modelos posibles elegimos las configuraciones mostradas en la Figura 7.19 para la definici´on de elementos. En la Figura 7.19(a) mostramos los grados de libertad globales (de todo el sistema), y en la Figura 7.19(a) mostramos los grados de libertad locales (asociados a ambos elementos). Por la elecci´ on de los elementos componentes del sistema, tendremos:
7.4. PROPIEDADES DEL SISTEMA
221
I1
u3
u2
u1
I3
I2
1
1
2
3
k1 (a) Coordenadas globales
2
4
k2
(b) Coordenadas locales
Figura 7.19: Definici´on de coordenadas (grados de libertad) 1 Para el elemento :
¯ ]1 = [M
I1 0
0 0
¯ 1 = k1 [K]
1 −1
−1 1
k1
G1 J1 L1
2 Para el elemento :
G2 J2 I2 0 ¯ 2 = k2 1 −1 [K] k2 0 I3 −1 1 L2 Las cargas equivalentes al momento puntual concentrado que act´ ua a la mitad de longitud del 2 son calculadas utilizando las siguientes funciones de interpolaci´ elemento on: x x hφ(x)| = 1 − L L ¯ ]2 = [M
ya que el fen´ omeno de torsi´ on de ejes lineales es un estado uni–dimensional de solicitaci´on (an´alogo al estado de solicitaci´ on axial de una barra). El vector de cargas equivalentes sabemos que est´a determinada por la relaci´on siguiente: Z L |P ieq = M (x, t)|φ(x)i dx 0
donde M (x, t) describe a la funci´ on de momento torsor aplicado sobre el elemento, variando espacial y temporalmente. Pero, antes de aplicar la ecuaci´on planteada, conviene recordar que la solicitaci´ on actuante corresponde a un momento torsional puntual o concentrado; y por tanto no procede la aplicaci´ on dir´ecta de la integral, sin alguna consideraci´on previa de las caracter´ısticas particulares de este tipo de carga. Para poder efectuar la integraci´on, podemos apelar a las definiciones que nos proporcionan las funciones singulares (v´ease el Ap´endice B), y ser´ıa preciso escribir la carga aplicada como: M (x, t) = M0 f (t)δ(x −
L 2)
2 el proceso on delta de Dirac aplicada en x = L2 . Entonces para el elemento , donde δ(x− L2 ) es la funci´ de evaluaci´ on conduce a: Z L Z L x x 1− L 1− L L |P i2eq = M0 f (t)δ(x − L2 ) dx = M f (t) δ(x − ) dx 0 x x 2 0 0 L L x M0 f (t) 1 1− L = M0 f (t) = x 1 2 L x= L 2
1 descargado, para todo el sistema tendremos: Y, por estar el elemento 0 M0 f (t) 0 |P ieq = 1 2 1
resultado que de principio era previsible desde un punto de vista est´atico.
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
222
Ahora, debemos ensamblar los arreglos hallados para obtener las propiedades din´amicas de todo el sistema y referidas al sistema de coordenadas globales. Para tal objetivo, hallamos primero la matriz de conectividad con ayuda de la Figura 7.19. Generando esta matriz, columna por columna, con la metodolog´ıa planteada en el Ejemplo resuelto anterior, se demuestra que: 1 0 0 0 1 0 [β] = 0 1 0 0 0 1 La matriz de masa global del sistema es hallada I 1 0 0 0 1 ¯ ][β] = 0 1 1 0 0 [M ] = [β]T [M 0 0 0 0 1 0
como sigue: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 I2 0 0 0 0 0 I3
0 1 1 0
0 I 0 1 0 = 0 0 1
La matriz de rigidez global se encuentra con m´etodo completamente similar: k1 −k1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 k1 −k k 0 0 0 1 0 1 1 = k1 ¯ [K] = [β]T [B][β] = 0 1 1 0 0 0 k2 −k2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −k2 k2 0 0 1
0 I2 0
0 0 I3
−k1 k1 + k2 −k2
0 −k2 k2
El vector de cargas nodales que act´ uan sobre el sistema, en cambio, se calcula mediante: 0 0 1 0 0 0 M0 f (t) M0 f (t) 0 1 = |P i = [β]T |P ieq = 0 1 1 0 1 2 2 1 0 0 0 1 1 Como paso final, estamos en condiciones de escribir la ecuaci´on de movimiento del sistema, la cual de manera gen´erica sabemos que en el caso de un sistema no–amortiguado es: [M ]|¨ ui + [K]|ui = |P i y la misma desarrollada en todos sus t´erminos queda como: I1 0 0 u ¨1 k1 −k1 0 u1 0 M f (t) 0 0 I2 0 u 1 ¨2 + k1 k1 + k2 −k2 u2 = 2 0 0 I3 1 u ¨3 0 −k2 k2 u3
> Es completamente evidente que la ecuaci´on de movimiento hallada en ´este Ejemplo, podr´ıa ser obtenida tambi´en mediante aplicaci´ on del m´etodo tradicional Newtoniano. Para efectos de comparaci´on de metodolog´ıas de modelado de ´este tipo de sistemas, le proponemos que aplique la metodolog´ıa sugerida; incorporando las acciones de D’Alembert si Usted as´ı lo desea, para verificar la soluci´on obtenida al Ejemplo reci´en resuelto.
7.5.
Condensaci´ on est´ atica
El uso de un procedimiento no–consistente en la evaluaci´on de la matriz de masa conduce frecuentemente a que la dimensi´ on de la misma sea menor que la dimensi´on de la matriz de rigidez; situaci´on en la cual no es posible, al menos sin realizar algunas operaciones, de escribir la ecuaci´on de movimiento del sistema.
´ ESTATICA ´ 7.5. CONDENSACION
223
La situaci´ on planteada anteriormente se presenta con frecuencia en los casos donde se definen los grados de libertad asociados al sistema: desplazamientos de traslaci´on y rotaci´on. La identificaci´ on de los coeficientes de masa asociados a las coordenadas de desplazamiento es establecida; en cambio no lo son los coeficientes asociados a las coordenadas rotacionales, los cuales a menudo no se consideran en la definici´ on de la matriz de masa global. Para enmendar tal clase de problemas, el analista debe recurrir a un m´etodo que compatibilice el orden de ambas matrices. Tal m´etodo llamado de condensaci´ on est´ atica se explica inmediatamente. El procedimiento se basa en el hecho de que las coordenadas no inclu´ıdas en la matriz de masa, pero s´ı en la matriz de rigidez, no soportan fuerzas de inercia, as´ı como cargas aplicadas. Esto nos lleva directamente a suponer que tampoco se producir´an reacciones el´asticas, por lo que si particionamos la matriz de rigidez en una forma adecuada de manera de segregar en un sector los grados de libertad inclu´ıdos en la matriz de masa podemos escribir: [K]aa [K]ab |uia |F ia |F ia = = (7.49) [K]ba [K]bb |uib |F ib |0i donde el sub´ındice ‘b’ se refiere a los grados de libertad no inclu´ıdos en la magtriz de masa, y por tanto con fuerzas el´ asticas iguales a cero. Recordando que la relaci´ on anterior se trata de un sistema con sub–matrices, hagamos las operaciones necesarias que nos permitan escribir las coordenadas “no inclu´ıdas” en la matriz de masa [M ], en funci´ on de las coordenadas consideradas. [K]aa |uia + [K]ab |uib = |F ia [K]ba |uia + [K]bb |uib = |0i De la segunda de las ecuaciones, obtenemos para las coordenadas no–inclu´ıdas: |uib = − [K]−1 bb [K]ba |uia y reemplazando en la primera ecuaci´on, agrupando t´erminos: [K]aa |uia − [K]ab [K]−1 bb [K]ba |uia = |F ia ( [K]aa − [K]ab [K]−1 bb [K]ba )|uia = |F ia que en forma sint´etica y condensada puede escribirse: [K]∗aa |uia = |F ia
[K]∗aa = [K]aa − [K]ab [K]−1 bb [K]ba
(7.50)
donde [K]∗aa es una matriz que tiene ahora la dimensi´on de la matriz de masa [M ] obtenida por m´etodos no–consistentes, y que contiene solo los grados de libertad considerados originalmente en la matriz de masa establecida. Si en el an´ alisis se establecer´ıa tambi´en una matriz de amortiguamiento obtenida por un procedimiento consistente, la dificultad identificada se replicar´ıa tambi´en para esta matriz. Para reducirla en orden, considerando solo los grados de libertad asociados con la matriz de masa no–consistente, se procede de manera id´entica a lo anteriormente desarrollado; de modo que la ecuaci´on de movimiento para el sistema reducido en sus grados de libertad ser´ıa: [M ]|¨ uia + [C]∗aa |ui ˙ a + [K]∗aa |uia = |P ia
(7.51)
con la cual se analiza la vibraci´ on del sistema, con un modelo reducido que en realidad tendr´ıa dimensi´ on menor a todos los grados de libertad presentes originalmente.
224
7.6.
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Formulaci´ on energ´ etica general
El principio del trabajo mec´ anico – cambio de energ´ıa cin´etica, establece que: El trabajo mec´anico efectuado por el conjunto de fuerzas aplicadas a un sistema sobre cierta trayectoria de movimiento ∆s asociada a cierto intervalo de tiempo ∆t, se iguala con el cambio de energ´ıa cin´etica del sistema en el mismo intervalo de tiempo. W∆s = ∆T∆t (7.52) Sin p´erdida de generalidad, si asumimos que en la aplicaci´on de la ecuaci´on anterior el instante inicial corresponde a t0 = 0, y que se tienen condiciones iniciales nulas de movimiento; entonces podemos decir que: El trabajo mecanico realizado hasta cierto instante se debe equiparar con la energ´ıa cin´etica adquirida por el sistema hasta dicho instante. Bajo estas condiciones, la energ´ıa cin´etica del sistema vendr´ a determinada por la conocida expresi´on: ˙ ]|ui ˙ ∆T∆t = 12 hu|[M
(7.53)
Las fuerzas actuantes sobre un sistema (excluyendo las fuerzas de inercia, que son resultado del movimiento) son de dos tipos: conservativas y no–conservativas o disipativas. En un sistema vibratorio, son fuerzas conservativas las que provienen de la elasticidad o capacidad de deformaci´on del sistema y aquellas fuerzas que provienen del campo gravitatorio o fuerzas de peso propio, por ejemplo. Para dichas fuerzas, el trabajo mec´ anico sobre la trayectoria de movimiento se iguala con la disminuci´on de energ´ıa potencia asociada a dichas fuerzas. Por tanto, para las fuerzas de tipo conservativo se cumple: Wc = 12 hu||P ic = −∆U∆t = − 21 hu|[K]|ui siendo Wc el trabajo mec´ anico efectuado por las cargas (fuerzas y/o momentos) conservativas. Entre las fuerzas no conservativas actuantes sobre un sistema vibratorio, b´asicamente tenemos a las cargas externas aplicadas y las fuerzas disipativas de energ´ıa provenientes del amortiguamiento. El trabajo mec´ anico de ´estas u ´ltimas (las fuerzas de fricci´on con base en el amortiguamiento) es eminentemente negativo, en virtud que estas fuerzas act´ uan con sentido opuesto al movimiento. 6 El monto de energ´ıa disipada por el sistema, que es equivalente en magnitud al trabajo mec´anico que ´estas realizan puede ser medida por la funci´ on de disipaci´on energ´etica de Raleigh; por tanto, adecuando las variables que est´ an siendo manipuladas en el caso presente, tendremos: Wnc = 12 hu||P inc = −R = − 12 hu|[C]| ˙ ui ˙ siendo Wnc el trabajo mec´ anico efectuado por las cargas no–conservativas. El trabajo mec´ anico realizado por la solicitaci´on externa a trav´es de las cargas de excitaci´on actuantes sobre el sistema y asociados con los grados de libertad definidos para el mismo es: Wext = 12 hu||P i siendo Wext el trabajo mec´ anico efectuado por las cargas externas de perturbaci´on aplicadas al sistema. Generalmente, las cargas que componen la perturbaci´on externa aplicada son del tipo no–conservativo, y el trabajo mec´ anico que las mismas realizan sobre el sistema se podr´ıa incluir en la evaluaci´on del trabajo no–conservativo considerado anteriormente. Pero, por razones de car´acter did´actico simplemente, evaluaremos el trabajo asociado a estas cargas por separado. Resulta completamente evidente que el trabajo mec´anico neto, por ser ´este una cantidad escalar, ser´ a igual a la suma de los trabajos mec´ anicos componentes; as´ı tendremos que: W∆s = Wc + Wnc + Wext = − 12 hu|[M ]|ui − 12 hu|[C]| ˙ ui ˙ + 12 hu||P i
(7.54)
6 Recuerde que el trabajo mec´ ~ sobre una determinada trayectoria de longitud L, anico realizado por una fuerza F R ~ donde dr ~ es el vector desplazamiento elemental medido a lo largo de la trayectoria ~ ◦dr se define como: W = L F de movimiento, Ry ‘◦’ denota el producto escalar de ambos vectores. Cuando ambos vectores son siempre opuestos en sentido: W = − L F dr, en t´ erminos modulares.
´ ENERGETICA ´ 7.6. FORMULACION GENERAL
225
En todos los t´erminos se tiene el coeficiente 1/2 que precede a los mismos, como indicativo que la solicitaci´ on aplicada al sistema es realizada en forma gradual y proporcional al desplazamiento que ocurre por el movimiento producido. Ahora, reemplazamos las Ecuaciones (7.53) y (7.54) en la Ecuaci´on (7.52): ˙ ui ˙ + 12 hu||P i = 21 hu|[M ˙ ]|ui ˙ − 12 hu|[K]|ui − 12 hu|[C]| Ordenando,
1 ˙ ]|ui ˙ 2 hu|[M
+ 21 hu|[C]| ˙ ui ˙ + 12 hu|[K]|ui = 12 hu||P i
(7.55)
´ Esta relaci´ on representa un balance energ´etico instant´aneo, pues equipara la energ´ıa neta contenida en el sistema (energ´ıa interna) con la energ´ıa proporcionada al mismo (de caracter´ıstica externa) en forma de trabajo mec´ anico efectuado por la perturbaci´on actuante desde el medio circundante; siendo que la misma est´ a expresada y asociada con el sistema de coordenadas (grados de libertad) globales. Esta formulaci´ on de caracter´ıstica energ´etica est´a subyascente en todo el desarrollo te´orico de gran parte del presente cap´ıtulo, y resulta evidente que es una formulaci´on alternativa al m´etodo Newtoniano del an´ alisis de sistemas din´ amicos. El m´etodo de Lagrange, que tambi´en tiene base de formulaci´on energ´etica e incorpora el pricipio de los trabajos virtuales, es capaz de demostrar que con ciertas breves modificaciones, es posible a partir de la Ecuaci´ on (7.55) deducir la ecuaci´ on gen´erica que gobierna el comportamiento din´amico vibracional de un sistema con m´ ultiples grados de libertad; efectuando derivaciones de car´acter espacial y temporal de los diversos tipos de energ´ıa y trabajo involucrados con respecto a los vectores de desplazamiento y velocidad. Entonces, sin efectuar deducci´ on alguna y aplicando el m´etodo de Lagrange, se demuestra que el cumplimiento de la Ecuaci´ on (7.55), requiere el cumplimiento simult´aneo de la ecuaci´on siguiente: [M ]|¨ ui + [C]|ui ˙ + [K]|ui = |P i la cual como podemos reconocerla, es la ecuaci´on gobernante de la din´amica de movimiento vibracional de un sistema sometido a la acci´ on de una perturbaci´on externa aplicada a ´el. El desarrollo te´ orico presentado en esta secci´on, impl´ıcitamente nos plantea una metodolog´ıa alternativa para obtener la ecuaci´ on de movimiento de un sistema modelado con un n´ umero m´ ultiple de grados de libertad, el cual se aplica con naturalidad y de manera dir´ecta sobre todo a sistemas de par´ ametros concentrados. La aplicaci´on del m´etodo consiste en evaluar las diversas energ´ıas presentes en el sistema: energ´ıa cin´etica, energ´ıa potencial y energ´ıa disipada, juntamente con el trabajo mec´ anico realizado por la perturbaci´on externa aplicada; en t´erminos de los grados de libertad globales asignados al sistema en movimiento. Evaluadas estas caracter´ısticas, resulta inmediata la identificaci´ on de las matrices asociadas con los par´ametros din´amicos del sistema y tambi´en del vector que especifica la exitaci´ on externa actuante; lo que nos permite en un paso final escribir la ecuaci´on gobernante de la vibraci´ on producida. A continuaci´on mostraremos un par de ejemplos simples de la metodolog´ıa aqu´ı planteada. Ejemplo 7.10. Consideremos nuevamente el sistema del Ejemplo 7.1, cuyo esquema principal es reproducido en la Figura 7.20. Esta vez, deseamos obtener la ecuaci´on de movimiento de ´este sistema aplicando la formulaci´ on de an´ alisis energ´etico. > Soluci´ on En la Figura 7.20 mostramos los grados de libertad globales asignados al sistema. Considerando que los resortes y amortiguadores de interconexi´on entre los cuerpos en movimiento son carentes de masa, es completamente evidente que la energ´ıa cin´etica del sistema resulta ser: m1 x˙ 1 m1 0 x˙ 1 2 2 1 1 1 1 T = 2 m1 x˙ 1 + 2 m2 x˙ 2 = 2 x˙ 1 x˙ 2 = 2 x˙ 1 x˙ 2 = 12 hx|[M ˙ ]|xi ˙ m2 x˙ 2 0 m2 x˙ 2
226
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
P1(t) k1
P2(t) x1(t)
m2
m1
c1
x2(t)
k2
k3
c2
Figura 7.20: Sistema en movimiento vibratorio En cambio, la energ´ıa disipada durante el movimiento o trabajo no conservativo, realizado por las fuerzas de amortiguamiento resulta ser: Wnc = R = 12 c1 x˙ 21 + 12 c2 (x˙ 2 − x˙ 1 )2 = 21 [(c1 + c2 )x˙ 21 − 2c2 x˙ 1 x˙ 2 + c2 x˙ 22 ] c1 + c2 −c2 x˙ 1 ˙ xi ˙ = 12 x˙ 1 x˙ 2 = 12 hx|[C]| −c2 c2 x˙ 2 La energ´ıa potencial acumulada por la deformaci´on de los resortes existentes en el sistema es de id´entica magnitud que el trabajo mec´ anico efectuado por las fuerzas conservativas actuantes sobre estos elementos: Uc = Wc = 12 k1 x21 + 21 k2 (x2 − x1 )2 + 12 k3 x22 = 21 [(k1 + k2 )x21 − 2k2 x1 x2 + (k2 + k3 )x22 ] k1 + k2 −k2 x1 1 = 2 x1 x2 = 21 hx|[K]|xi −k2 k2 + k3 x2 El trabajo mec´ anico, realizado por el conjunto de cargas externas aplicadas al sistema suponiendo una aplicaci´ on gradual de las mismas, obviamente es: −P1 Wext = − 12 P1 x1 + 12 P2 x2 = 12 (−x1 P1 + x2 P2 ) = 12 x1 x2 = 21 hx||P i P2 En todas las anteriores ecuaciones, n´ıtidamente aparecen los arreglos matriciales que especifican las propiedades din´ amicas param´etricas del sistema, por lo que no resulta nada dif´ıcil recurrir a la ecuaci´ on gen´erica de movimiento, la cual sabemos que es: [M ]|¨ xi + [C]|xi ˙ + [K]|xi = |P i la misma que en forma desarrollada en todos sus t´erminos que son pertinentes al problema que estamos analizando, resultar´ıa: m1 0 x ¨1 c + c2 −c2 x˙ 1 k + k2 −k2 x1 −P1 (t) + 1 + 1 = 0 m2 x ¨2 −c2 c2 x˙ 2 −k2 k2 + k3 x2 P2 (t) que evidentemente es la misma ecuaci´ on que aquella obtenida en el Ejemplo 7.1 (compru´ebelo Usted por si mismo !). > Ejemplo 7.11. Un bloque de masa M est´a conectado a un resorte de coeficiente de rigidez k y a un amortiguador con coeficiente c. En el centro de este cuerpo, mediante un pasador se encuentra conectada una varilla r´ıgida de masa m y longitud L, la cual puede oscilar libremente mientras la masa M se desliza sobre una superficie r´ıgida horizontal sin rozamiento. En el extremo libre de la varilla act´ ua una fuerza horizontal temporalmente variable como se muestra en la Figura 7.21(a). Determinar la ecuaci´ on de movimiento de las oscilaciones efectuadas por este sistema. Linealice las ecuaciones
´ ENERGETICA ´ 7.6. FORMULACION GENERAL
k
227
x(t)
Mg Fk
M
P(t)
Fc
c
N
(t)
M(t)
m, L mg M(t) = P(t) L cos
P(t) (a) Sistema en movimiento
(b) Diagrama de cuerpo libre
Figura 7.21: Sistema vibratorio y cargas actuantes
obtenidas bajo la suposici´ on que la varilla oscila con desplazamiento angular de peque˜ na magnitud. > Soluci´ on En la Figura 7.21(a) mostramos las coordenadas generalizadas (grados de libertad) que especifican la configuraci´ on del sistema en un instante arbitrario durante su movimiento. La carga externa aplicada en el extremo de la varilla, afecta tambi´en el comportamiento del bloque al cual este elemento se conecta por uno de sus extremos. Para considerar esta influencia, trasladaremos la fuerza aplicada de manera mec´ anicamente equivalente hacia el punto de articulaci´on; ´esto se muestra en la Figura 7.21(b) que establece el diagrama de cuerpo libre del sistema. Como efecto de este cambio de ubicaci´ on de la fuerza aplicada debe surgir un momento por la traslaci´on efectuada, el cual f´acilmente se calcula que es: M (t) = P (t)L cos θ. Entonces, el trabajo mec´anico efectuado por la solicitaci´ on externa actuante ser´ıa: Wext = 12 P (t)x + 12 M (t)θ = 12 (P (t)x + P (t)L cos θ θ) =
1 2
x
θ
P (t) P (t)L cos θ
= 12 hu||P i
El amortiguador es el elemento encargado de la disipaci´on de energ´ıa del sistema, por ello: Wnc = R = 21 cx˙ 2 =
1 2
x˙ θ˙
c 0
0 x˙ = 12 hu|[C]| ˙ ui ˙ 0 θ˙
La fuerza de reacci´ on normal sobre el bloque es tambi´en fuerza de tipo no–conservativo; pero el trabajo que ´esta realiza es nulo, debido a que la misma siempre est´a en cuadratura con el desplazamiento asociado a su punto de aplicaci´ on. La fuerza en el resorte y las fuerzas de peso propio son fuerzas conservativas; siendo que para ellas est´ an asociados montos de energ´ıa potencial. Si tomamos el nivel a la altura de interconexi´on de estos cuerpos como nivel de energ´ıa potencial gravitatoria nula, entonces la energ´ıa potencial gravitatoria para el bloque de peso M g ser´ a nula; ya que tambi´en el trabajo mec´anico que realiza esta fuerza se anula por condici´ on de perpendicularidad con el desplazamiento que adquiere este cuerpo. La energ´ıa potencial gravitatoria asociada con el peso propio de la varilla se estima concentrando toda la masa de este elemento en su propio centro de masa. Con estas consideraciones, la energ´ıa potencial asociada
228
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
x(t)
k
M (t)
c
L 2
x
m, L Figura 7.22: Diagrama cinem´atico del sistema con las fuerzas conservativas actuantes sobre el sistema es: p Uc = Wc = 12 kx2 + 12 mgL(1 − cos θ) = 21 kx2 + 12 mgL 1 − 1 − sin2 θ 1 2 1 mgL 2 2 1 ∼ = 21 kx2 + 12 mgL 1 − 1 + 2 sin θ = 2 kx + 2 2 sin θ k 0 x = 12 hu∗ |[K]|u∗ i = 12 x sin θ sin θ 0 mgL 2 donde se ha utilizado el desarrollo binomial de Newton truncado en un par de t´erminos, para el elemento radical matem´ atico componente de la ecuaci´on, que surge asociado a la energ´ıa potencial gravitatoria de la varilla. La evaluaci´ on de la energ´ıa cin´etica del sistema requiere cierto cuidado, y para comprender su desarrollo presentamos el diagrama cinem´ atico con la especificaci´on de velocidades instant´aneas en la Figura 7.22. Recordemos que la energ´ıa cin´etica de un cuerpo r´ıgido se calcula sumando la energ´ıa cin´etica de traslaci´ on y la energ´ıa cin´etica de rotaci´on; entonces, en t´erminos generales se tiene que la energ´ıa cin´etica de un cuerpo r´ıgido en movimiento general es: T = Ttras + Trot =
mv 2 Icm ω 2 + 2 2
donde m es la masa del cuerpo, Icm el momento de inercia centroidal respecto al centro de masa, v la velocidad absoluta del movimiento traslacional, y ω la velocidad angular tambi´en absoluta del movimiento rotacional. El bloque tiene movimiento de traslaci´on pura; en cambio, la varilla tiene movimiento general (traslaci´ on y rotaci´ on). Con estas consideraciones tendremos: T = 21 M x˙ 2 + 12 m[(x˙ +
2 L ˙ 2 θ cos θ)
1 mL2 ˙ 2 2 12 θ 1 mL2 ˙ 2 2 12 θ
+ ( L2 θ˙ sin θ)2 ] + L2 ˙ 2 4 θ )+ 2 ˙2 + 21 mL 3 θ
= 21 M x˙ 2 + 12 m(x˙ 2 + L cos θx˙ θ˙ +
= 21 (M + m)x˙ 2 + 12 mL cos θx˙ θ˙ M + m mL θ x˙ 1 2 cos 2 = 12 x˙ θ˙ mL ˙ ]|ui ˙ mL ˙ = 2 hu|[M θ cos θ 2 3 En las anteriores ecuaciones, podemos identificar los arreglos matriciales que decriben las propiedades din´ amicas param´etricas del sistema, con las cuales es posible establecer la ecuaci´on de movimiento, la cual en su forma gen´erica puede ser aqu´ı escrita como, [M ]|¨ ui + [C]|ui ˙ + [K]|u∗ i = |P i
Problemas propuestos
229
que desarrollada asume el aspecto siguiente: "
M +m mL 2
cos θ
mL 2 cos θ mL2 3
# x˙ c + 0 θ˙
0 0
x˙ k + 0 θ˙
0 mgL 2
x sin θ
=
P (t) P (t)L cos θ
Resulta evidente que en estas ecuaciones, las coordenadas generalizadas o grados de libertad escogidos para representar la configuraci´on gen´erica instant´anea del sistema poseen variaci´on temporal; es decir: x = x(t) y θ = θ(t), por lo que la anterior ecuaci´on matricial gobernante del movimiento es una ecuacion no–lineal !. Para linealizar las ecuaciones componentes que conforman el anterior sistema de ecuaciones diferenciales, podemos asumir la amplitud del movimiento oscilatorio de la varilla de magnitud muy peque˜ na; lo que nos permite introducir las aproximaciones siguientes: sin θ ∼ = θ [rad]
cos θ ∼ =1
Incorporando estas relaciones en la ecuaci´on gobernante no–lineal del movimiento, obtenemos como ecuaci´ on linealizada alrededor de la configuraci´on de equilibrio del sistema: " M +m
mL 2 mL2 3
mL 2
# x˙ c + 0 θ˙
k 0 x˙ + 0 θ˙ 0
x P (t) = mgL θ P (t)L 2 0
> Este ejemplo mostr´ o las bondades de aplicaci´on de la formulaci´on energ´etica en la pretenci´ on de obtener la ecuaci´ on matricial diferencial gobernante del movimiento oscilatorio de cualquier sistema. El ‘secreto’ de la correcta aplicaci´ on de la metodolog´ıa presentada radica en primer lugar en la identificaci´ on de las cargas (fuerzas y/o momentos) conservativas y no–conservativas actuantes, para luego evaluar el trabajo mecanico que cada uno de estos dos tipos de cargas realizan sobre el sistema en movimiento; y en segundo lugar el cuidado en evaluar la energ´ıa cin´etica del sistema, considerando siempre velocidades absolutas que sean pertinentes, las mismas que est´en asociadas y descritas por el conjunto de grados de libertad que hayan sido especificados en la descripci´on de la configuraci´ on geom´etrica temporal gen´erica.
Problemas propuestos 7.1.
EI
L
L
u
1
T
L
u
2
m
2m
7.2.
k m, L
2k
7.3.
Dos masas de magnitud conocida est´an suspendidas de una cuerda de peso despreciable y longitud determinada, en la cual existe una tensi´on interna constante a lo largo de su longitud. Determinar la configuraci´on de equilibrio est´atico, cuando el sistema es abandonado a la acci´on del campo gravitatorio. El sistema mostrado en la Figura consiste de una varilla r´ıgida que se conecta a sendos resortes a trav´es de sus extremos. Cuando los resortes est´an con longitud indeformada, la varilla se encuentra en disposici´on horizontal. Determinar la configuraci´on de equilibrio, especificado por el ´angulo θ, cuando el sistema est´a sometido simplemente a la acci´on del campo gravitatorio.
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
230
Una barra r´ıgida uniforme de masa m y longitud L, est´a soportada por un resorte de rigidez k y una superficie horizontal exenta de rozamiento. Determinar su configuraci´on de equilibrio, especificada por el ´angulo θ, bajo influencia del campo gravitatorio. El resorte tiene como longitud indeformada un valor de h/4, y el mismo solo se deforma en direcci´on vertical.
k h
m, L
7.4.
Determinar la configuraci´on de equilibrio, especificado por el ´angulo θ, de dos masas puntuales m1 y m2 conectadas por una barra de masa despreciable y longitud L; colocadas en un taz´on semiesf´erico de radio R, como se muestra en la Figura adjunta. Despreciar la fuerza de fricci´on por contacto entre las masas y la superficie curva.
R m2 L/2
L/2
m1
7.5.
P3(t)
P2(t)
P1(t) k1 m2
m1
c1
k2
c2
k3 m3
c3
La Figura muestra un sistema de par´ametros concentrados que se perturba externamente mediante las fuerzas indicadas. Aplicando el m´etodo Newtoniano mediante las ecuaciones de D’Alembert, determinar la ecuaci´ on matricial gobernante de la din´amica de movimiento vibratorio efectuado por los cuerpos mostrados. 7.6.
k m2
m1
c 7.7. k
k 2k
m
k
7.8.
2k
k 2m
k
Considere el sistema de la Figura, y demuestre que su ecuaci´on de movimiento puede reducirse a otra de un modelo de un solo grado de libertad de masa m2 . N´otese que un sistema equivalente: meq = mm11+m 2 no–restringido como ´este, es en realidad un sistema semi–definido. El sistema mostrado en la Figura oscila en sus propio plano. Asumiendo las magnitudes de desplazamiento durante la vibraci´on de magnitud muy peque˜ na, hallar la ecuaci´on matricial gobernante de la vibraci´on libre de ´este sistema.
Problemas propuestos
231 Si se asumen conocidos todos los valores param´etricos din´amicos asociados al sistema mostrado en la Figura, y se escogen como grados de libertad los indicados, demostrar que la ecuaci´on gobernante de las oscilaciones libres del sistema es:
k
3r
r I
2k
k
x2
2m 0 0
m x1
2m
0 m 0
¨1 0 x k ¨2 + 0 0 x ¨ I −3kr θ
0 2k −6kr
−3kr x1 0 −6kr x2 = 0 28kr2 θ 0
7.9. Considere un sistema lineal de varios grados de libertad, cuya ecuaci´on de movimiento puede representarse en la forma establecida: [M ]|¨ ui + [C]|ui ˙ + [K]|ui = |P i Aplicando el principio de superposici´on de efectos, demuestre el teorema de reciprocidad de Maxwell, que indica que cualquiera de las matrices involucradas en esta ecuaci´on goza de la propiedad de simetr´ıa. Por ejemplo para la matriz de rigidez, si la misma se define mediante: [K] = [kij ] (i, j = 1; n), se pide demostrar que se debe cumplir: kij = kji . 7.10. P(t)
k1
m L/2
L/4
c
L/4
x1
k2
7.11.
x2
La Figura muestra una r´eplica de la varilla que vibra con desplazamiento vertical, tratada en el Ejemplo 7.2. Determine nuevamente la ecuaci´on matricial del movimiento oscilatorio de este sistema; pero esta vez considere como grados de libertad globales, los mostrados en la Figura. Utilice el m´etodo Newtoniano, si Usted prefiere mediante las ecuaciones de D’Alembert.
En la Figura se muestra un p´endulo doble compuesto de una varilla r´ıgida de masa M y longitud L articulada en un extremo; y una masa m atada al final de una cuerda sin peso de longitud L, la cual se une con el extermo libre de la varilla. Cuando este sistema es perturbado mediante la fuerza horizontal mostrada, se ejecutan oscilaciones angulares alrededor de la configuraci´on vertical de equilibrio est´atico. Suponiendo el amortiguamiento despreciable, y los desplazamientos angulares de reducida amplitud; determinar la ecuaci´on matricial que gobierna las oscilaciones de este sistema.
M, L
P( t ) L
m
7.12.
Para el sistema mostrado en la Figura, escribir la ecuaci´on matricial que gobierna las oscilaciones libres de desplazamiento vertical de este sistema. Suponer despreciable la masa de las vigas, as´ı como tambi´en el amortiguamiento.
m
EI
k 2m
EI L/2
L/2
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
232
7.13. En el Problema anterior, considere que la densidad m´asica lineal de las vigas es m0 cte. Formule mediante proceso de inspecci´ on dir´ecta una matriz de masa no–consistente, asociada a los grados de libertad y´ a definidos anteriormente; y modifique con ella la ecuaci´on de movimiento obtenida en el Ejemplo anterior, de modo que la nueva ecuaci´on considere la inercia propia de las vigas en movimiento. 7.14.
Considere la viga en voladizo mostrada en la Figura, en la que los par´ametros din´amicos indicados se asumen todos conocidos; adem´as que se considera despreciable el amortiguamiento. Formular un modelo de par´ametros concentrados utilizando simplemente tres grados de libertad globales, para analizar la vibraci´on de movimiento vertical de ´este sistema.
q(x,t)=q0 sen t
m0 , E , I L
7.15. (x)
G, J
1 x
2 L
x
La Figura muestra un elemento eje de secci´on circular sometido a torsi´on, el cual tiene m´odulo de elasticidad transversal (m´odulo de Young) G, momento de inercia geom´etrico J, y longitud L. El campo de desplazamiento angular interno, cuando se supone rigidez torsional GJ de valor constante, est´a gobernado por la ecuaci´on diferencial:
d2 θ(x) =0 dx2 Utilizando la soluci´ on como base de identificaci´on de las funciones de interpolaci´on, demuestre que la matriz de rigidez torsional de ´este elemento viene determinada por la relaci´on: GJ 1 −1 [Kt ] = L −1 1 7.16. Suponiendo que el momento de inercia polar por unidad de longitud para el eje del anterior problema var´ıa seg´ un la relaci´ on: x ¯i = ¯i0 1 − L Hallar la matriz de inercia polar correspondiente. 7.17. Cual ser´ıa el vector de cargas equivalentes para el eje del Problema 7.15, si a lo largo de su longitud se aplica un momento torsor que var´ıa seg´ un la ley: x M (x, t) = M0 2 + sin Ωt L Es su resultado compatible con un razonamiento est´atico de la situaci´on planteada ?.
Pk
7.18. q q(x) q0 1
x
dx
L
2
Considere el elemento t´ıpico barra, componente de las estructuras reticuladas tipo cercha, el cual est´a solicitado mediante una carga axialmente distribu´ıda con variaci´on parab´olica a lo largo de su longitud, siendo q0 su intensidad m´axima. Determinar el vector de cargas nodales equivalentes para el elemento.
Problemas propuestos
7.19.
233
Usted ordena a su asistente que calcule las propiedades del sistema mostrado en la Figura. Este perc sonaje, le indica que con el objeto de evitar la ‘comL L plicaci´on’ del amortiguador que est´a instalado en el punto medio de la viga, realizar´ıa el an´alisis dividen2 1 do la estructura en dos segmentos de igual tama˜ no; y L seg´ un el elemento t´ıpico mostrado en la parte inferior determinar´ıa todas las propiedades din´ amicas param´etricas estructurales. Aceptar´ıa Usted la sugerencia planteada por su asistente ?. Podr´ıa sugerir otro elemento t´ıpico que sirva en la situaci´on planteada ?. m0 , E , I
7.20. Calcule la matriz de amortiguamiento del Problema 7.19 considerando un solo elemento de longitud 2L, y las funciones de interpolaci´on asociadas a un elemento reducido viga que fueron utilizadas en el Ejemplo 7.4, que fu´e resuelto en p´aginas anteriores. 7.21. 1
m0 , E , I 2
L
7.22.
7.23.
La viga mostrada en la Figura va a ser analizada en su comportamiento din´amico mediante los grados m0 , E , I de libertad globales mostrados (solamente desplaza1 2 mientos verticales). Determinar las funciones de inL terpolaci´on asociadas a los grados de libertad locales establecidos para un elemento t´ıpico como el mostrado en la parte inferior. Asumiendo constantes la masa por unidad de longitud m0 y el coeficiente de rigidez EI, determinar la matriz de masa y la matriz de rigidez para este elemento t´ıpico.
Considere la estructura cercha plana triangular mostrada en la Figura adjunta, en la que las barras son todas del mismo material con densidad m´asica lineal 2L L constante e id´entica ´area de secci´on transversal. La interconexi´on de los elementos, con longitudes deterE, A, m0 minadas, se efect´ ua mediante conexiones articuladas seg´ un los ´angulos especificados. Esta estructura es solicitada mediante la fuerza mostrada, la cual act´ ua seg´ un la direcci´ on axial de uno de los elementos; y tambi´en por la fuerza de peso propio proveniente del campo gravitatorio. Determinar la ecuaci´on matricial gobernante de la oscilaci´ on efectuada por la estructura en el mismo plano espacial que lo contiene. P(t)=P0 f(t)
7.24.
La viga en voladizo mostrada en la Figura es tratada como un solo elemento. Determinar las funciones de interpolaci´on asociadas a los grados de libertad indicados. Asumiendo constantes los valores param´etricos indicados, determinar la matriz de masa y la matriz de rigidez para este elemento t´ıpico.
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
234
u3
P( t )
u2 u1
EI, m0
EI, m 0 = 0
L
EI, m 0 = 0
L
El p´ortico mostrado en la Figura tiene todos sus elementos con rigidez EI y longitud L. Ninguno de ellos sufre deformaci´on axial, pero el elemento horizotal posee desplazamiento de cuerpo r´ıgido. Sobre el v´ertice superior izquierdo del p´ortico act´ ua la carga P (t) = P0 sin Ωt. Despreciando la masa de las columnas, y tomando solo en cuenta la masa del elemento horizontal, cuya densidad lineal es m0 ; determine las siguientes aspectos:
• Establecer las matrices de masa y rigidez del sistema, asociados a los grados de libertad mostrados. • Despreciando el amortiguamiento y tomando en cuenta las cargas mostradas, escriba la ecuaci´ on matricial de movimiento. • Mediante un procedimiento de condensaci´on est´atica, elimine los grados de libertad rotacionales, y escriba la ecuaci´ on de movimiento para la coordenada de desplazamiento horizontal. 7.25. P( t )
Elemento rígido
u1
m0 L
EI
EI
L
E, I, L/2
7.26.
P( t )
E, I, L/2
E, I, L, m0
7.27.
El p´ortico mostrado en la Figura tiene todos sus elementos como los del Problema 7.24, donde el elemento horizontal solo tiene el desplazamiento indicado. Escriba la ecuaci´on diferencial gobernante del movimiento para la coordenada horizontal mostrada. Compare el resultado obtenido, con aquel hallado en la u ´ltima pregunta del Problema 7.24; y si existen discrepancias, dar las razones para ello.
Considere la estructura mostrada en la Figura adjunta, en la que se indican como datos las propiedades param´etricas de la misma; siendo que la carga aplicada es P (t) = P0 cos Ωt. Escribir la ecuaci´on de movimiento, considerando que los nodos se definen en los v´ertices de la estructura y en sus apoyos extremos. Utilice el procedimiento de condensaci´on est´atica para obtener la ecuaci´on de movimiento asociada exclusivamente a los desplazamientos rotacionales.
Problemas propuestos
235
EI 3
EI 2
L2
x1
m2
EI 2
L3
EI 3
m3
x2
7.28.
EI 1
L1
EI 1
m1
Asumiendo que los elementos horizontales son r´ıgidos y despreciando la elasticidad axial as´ı como tambi´en la masa de las columnas, escribir las ecuaciones de movimiento para el p´ortico mostrado en la Figura. Suponga conocidos los valores param´etricos que se muestran en el esquema de esta estructura, y utilice como coordenadas (grados de libertad) globales, los desplazamientos horizontales indicados.
x3
z
El p´ortico espacial de un solo piso mostrado en la Figura, tiene cuatro columnas iguales con rigideces m flexionales de: EIx = 20 y EIy = 10. La rigidez flex xionante de cada uno de los elementos horizontales L3 (vigas) es EI=1; adem´as se considera que todos estos elementos son inextensibles longitudinalmente en sus propias direcciones axiales y carentes de masa. L1 L2 Sin embargo, todos los nodos de esta estructura (los v´ertices de uni´on superiores) son libres de rotar manteniendo la ortogonalidad entre columnas y vigas. La masa r´ıgida que sostiene esta estructura tiene densidad superficial m ¯ = 4, la que est´a igualmente distribu´ıda sobre toda el ´area de la cubierta, y tiene tres grados de libertad: dos traslaciones ux y uy , y una rotaci´on uz alrededor del eje vertical. Las longitudes mostradas en el esquema tienen las siguientes magnitudes: L1 = 4, L2 = 6 y L3 = 3; con todos los datos num´ericos proporcionados en unidades compatibles. Si se desprecia la rigidez torsional de las columnas portantes de la estructura, determinar la ecuaci´ on gobernante del movimiento vibracional libre que tiene este sistema. y
7.29.
En la Figura mostramos un sistema de transmisi´ on de movimiento rotacional compuesto de una serie de kt 1 engranajes conectados mediante ejes. Los momentos u2 u M(t) 1 R de inercia polares centroidales de los engranajes se kt 2 r asumen conocidos; y los ejes considerados de masa u3 2I despreciable, tienen coeficientes de rigidez torsional I/4 determinados. Adem´as, este sistema es perturbado I exteriormente mediante un momento torsor expl´ıcitamente definido, el cual act´ ua sobre el engranaje del extremo izquierdo como se muestra. Si las coordenadas rotacionales globales son las indicadas, determinar la ecuaci´on matricial de movimiento oscilatorio del sistema.
I
7.30.
CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
236
kt
I11
r
11
1
I21 I12
I0
r
12
r
13
kt
r
22
r
21
2
I13
El sistema de engranajes conectados mediante ejes mostrado en la Figura, es lo que com´ unmente se denomina un “tren de engranajes”; en el que la masa de los ejes se considera de magnitud despreciable. Los valores param´etricos de los engranajes mostrados tienen las proporciones siguientes: r13 = r
I22
I13 = I
r11 = r12 = r21 = 3r I11 = I21 = 2I
y los ejes de conexi´ on entre los engranajes, tienen proporci´on:
r22 = 2r
I11 = I21 = 3I
kt1 = 2kt
I0 = 4I
kt2 = kt .
Definir adecuadamente los grados de libertad rotacionales asociados al sistema, y escribir la ecuaci´ on matricial gobernante del movimiento vibratorio rotacional asociada a las coordenadas globales elegidas. 7.31.
2k
x1(t)
x2(t)
m k
m r
r
k
Los discos mostrados en la Figura ruedan sin deslizar en contacto con una superficie algo rugosa de coeficiente de fricci´on despreciable, donde los par´ametros mostrados tienen valores conocidos. Si se escogen como grados de libertad, los desplazamientos horizontales indicados, demostrar mediante el m´etodo energ´etico general que la ecuaci´on de vibraci´on libre del sistema resulta: 3
2m
0
7.32.
m
c (t)
x ¨1 9k + x2 −8k
−8k 10k
x1 0 = x2 0
En el sistema mostrado en la Figura en el que los elementos principales son un bloque deslizante y una varilla r´ıgida, se escogen las coordenadas x y θ como los grados de libertad del mismo. Suponiendo conocidos todos los valores param´etricos mostrados en el esquema, y aplicando el m´etodo energ´etico general, demostrar que la ecuaci´on linealizada de movimiento libre es:
x(t)
k
0 3 2m
2m, L
2k
c
3m mL
mL 2 2 3 mL
x ¨ 2c + cL θ¨
cL cL2
x˙ 3k + 2kL θ˙
2kL x 0 = 2kL + mgL θ 0 2
7.33. Considere nuevamente el Ejemplo 7.2, con el mismo planteamiento efectuado para la situaci´on analizada. Determine nuevamente la ecuaci´on de movimiento vibratorio del sistema, pero esta vez haciendo uso del m´etodo energ´etico general. 7.34.
Problemas propuestos
kt
kt
1
I1
237
2
Suponiendo conocidos los valores de los diversos par´ametros del sistema mostrado en la Figura, y aplicando el m´etodo energ´etico general, determinar la ecuaci´on de movimiento de las oscilaciones libres del mismo.
r I2
k m
7.35. Aplicando el m´etodo energ´etico general, resolver nuevamente los Problemas 7.11 – 7.12 y 7.30.
Cap´ıtulo 8
Evaluaci´ on de la respuesta Aqu´ı es necesario redactar algo de texto!!!.
8.1.
Introducci´ on
Formulado el modelo para un sistema de m´ ultiples grados de libertad, corresponde ahora resolver la ecuaci´ on matricial gobernante del movimiento oscilatorio. Para tal prop´osito utilizaremos los m´etodos ´ de una poderosa herramienta matem´atica: el Algebra Lineal. El proceso de soluci´on, sin embargo, seguir´ a una senda totalmente paralela a la soluci´on de un problema de un solo grado de libertad; es decir, definir primero par´ ametros de respuesta para el sistema en condici´on auton´omica (vibraci´ on libre) y luego obtener la soluci´ on del problema debida a una excitaci´on externa aplicada en particular. En el Cap´ıtulo anterior, que estuvo enteramente dedicado a la formulaci´on de modelos matem´ aticos para sistemas con varios grados de libertad, obtuvimos la ecuaci´on gobernante de esta clase de sistemas cuando se admite que los mismos eran perturbados desde el medio circundante externo. Dicha ecuaci´ on, como recordamos aqu´ı est´ a descrita por: [M ]|¨ ui + [C]|ui ˙ + [K]|ui = |P i
(8.1)
que es la ecuaci´ on de movimiento del sistema, y cuya soluci´on ser´a objeto de desarrollo te´orico y an´ alisis del presente cap´ıtulo. Remarcamos aqu´ı que la perturbaci´on externa actuante en los puntos nodales de la estructura o sistema, posee variaci´on temporal: |P i = |P (t)i, y la soluci´on: |ui = |u(t)i describe la variaci´ on temporal de los grados de libertad nodales asignados al sistema en conjunto (por ello a los coeficientes de este vector los denominamos coordenadas globales). En la Ecuaci´ on (8.1) se suponen conocidos los par´ametros din´amicos del sistema, descritos por los valores que conforman los diferentes coeficientes de las matrices de masa [M ], amortiguaci´ on [C], y rigidez [K]; y tambi´en se asume conocida la descripci´on de la perturbaci´on externa actuante: |P i = |P (t)i. La formulaci´ on del problema se completa con la especificaci´on de las condiciones iniciales de movimiento; es decir, la definici´ on expl´ıcita de los vectores posici´on y velocidad iniciales: |u(t0 i = |u0 i
˙ 0 i = |u˙ 0 i |u(t
(8.1a)
donde t0 es el instante inicial de observaci´on, que por comodidad de descripci´on de la evoluci´on temporal de la respuesta del sistema a menudo se escoge con valor: t0 = 0 ; lo cual de ning´ un modo resta generalidad a la soluci´ on obtenida, cuando se decide escoger el origen de tiempos coincidente con el origen de la escala de medida temporal de los eventos de vibraci´on que ejecuta el sistema en estudio !. 239
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
240
8.2.
Vibraci´ on libre no–amortiguada
La vibraci´ on libre no–amortiguada para un sistema con varios grados de libertad se define en forma totalmente an´ aloga que para un sistema de un solo grado de libertad; es decir, ausencia de amortiguamiento [C] = [0] y excitaci´ on externa nula |P i = |0i. Matem´aticamente esto es equivalente a reducir la Ecuaci´ on (8.1) y escribirla como: [M ]|¨ ui + [K]|ui = |0i
(8.2)
Si se supone ahora que el sistema vibra en una forma arm´onica (esto es lo que se denomina modo de vibraci´ on), entonces se tendr´ıa como soluci´on de la ecuaci´on gobernante: |ui = |ai sin ωt
(8.3)
donde |ai es vector de amplitudes constante y ω la frecuencia de vibraci´on o movimiento oscilatorio. Reemplazando esta soluci´ on supuesta en la Ecuaci´on (8.2), −ω 2 sin ωt[M ]|ai + sin ωt[K]|ai = |0i o, de modo equivalente
([K] − ω 2 [M ])|ai = |0i
(8.4)
que representa un sistema algebr´ aico de ecuaciones lineales homog´eneo, el mismo que admite soluciones distintas de cero si y solamente si, el determinante de la matriz de coeficientes se anula; es decir: ||[K] − ω 2 [M ]|| = 0
(8.5)
relaci´ on que proporciona un polinomio de n–´esimo grado (el n´ umero de grados de libertad) en ω 2 , al que com´ unmente se lo denomina polinomio caracter´ıstico. De modo desarrollado, la ecuaci´on anterior toma el siguiente aspecto: βn (ω 2 )n + βn−1 (ω 2 )n−1 + · · · + β1 ω 2 + β0 = 0
(8.5a)
donde βi (i = 0, 1, . . . , n) son coeficientes constantes conocidos. Las ra´ıces o valores soluci´on que cumplen la anterior ecuaci´ on anulando el polinomio caracter´ıstico, hacen que el mismo proporcione los cuadrados de n posibles frecuencias naturales circulares, a partir de las cuales se pueden determinar las n frecuencias naturales asociadas fi = 2π/ωi (i = 1, 2, . . . , n) las cuales ordenadas en forma creciente establecen el espectro de frecuencias del sistema. La raiz cuadrada del menor valor de magnitud entre las n soluciones de la Ecuaci´on (8.5a) se conoce como la frecuencia natural fundamental, y el periodo asociado con ella es denominado periodo fundamental del sistema. Las dem´ as frecuencias y periodos asociados, se denominan en forma correspondiente al orden que ocupan despu´es de la primera frecuencia cuando son ordenadas en forma creciente; es decir: ω1 6 ω2 6 . . . 6 ωi 6 . . . 6 ωn (8.6) ωi = i–´esima frecuencia natural circular i = 1, 2, . . . , n 2π Ti = ωi Ti = i–´esimo per´ıodo natural i = 1, 2, . . . , n 1 ωi fi = = Ti 2π fi = i–´esima frecuencia natural [Hz]
(8.6a)
(8.6b)
i = 1, 2, . . . , n
De lo anterior, es completamente evidente que a toda frecuencia natural corresponde una forma o modo de vibrar particular; y que un sistema de n grados de libertad posee tambi´en n frecuencias
´ LIBRE NO–AMORTIGUADA 8.2. VIBRACION
241
naturales y modos de vibraci´ on asociados. El procedimiento de hallar estas formas posibles de vibraci´ on es com´ unmente denominado an´ alisis modal del sistema. Un modo de vibraci´on particular, asociado a una frecuencia natural espec´ıfica del conjunto de valores establecidos en la Ecuaci´on (8.6), puede encontrarse con el siguiente procedimiento. Supongamos que |air corresponde a ωr (r = 1; n), entonces se deber´ıa cumplir la Ecuaci´on (8.4): ([K] − ωr2 [M ])|air = |0i
(8.7)
Si el vector de amplitudes asociado a la frecuencia escogida es distinto de cero, entonces el sistema homog´eneo anterior tiene infinitas soluciones para el vector de coeficientes inc´ognita |air ; lo que para fines operativos puede calcularse como sigue. Sea [B]r una matriz cuadrada no singular (por el momento), que est´a definida por coeficientes a evaluarse cumpliendo las condiciones del problema. De la definici´on de matriz inversa asociada a ´este arreglo, se tiene: Adj [B]r = ||[B]r ||[B]−1 r Pre–multiplicando por [B]r la relaci´on anterior, obtenemos: [B]r Adj [B]r = ||[B]r || Si suponemos ahora que la matriz que estamos manipulando no admite inversa, entonces cumple con: ||[B]r || = 0; y en consecuencia, [B]r Adj [B]r = [0] Haciendo ahora que se cumpla: entonces,
[B]r = [K] − ωr2 [M ]
(8.8)
([K] − ωr2 [M ]) Adj ([K] − ωr2 [M ]) = [0]
Por comparaci´ on con la Ecuaci´ on (8.7), ´esta u ´ltima relaci´on se interpreta como: |air ∝ Colj Adj [B]r = Colj Adj ([K] − ωr2 [M ])
(8.9)
o sea que el vector de amplitudes soluci´on de la Ecuaci´on (8.7) es proporcional a cualquier vector columna de la adjunta de la matriz [B]r . En consecuencia, cualquier columna de Adj [B]r satisface la Ecuaci´ on (8.7) y es por lo tanto un modo de vibraci´on del sistema, el cual est´a asociado con la frecuencia natural escogida; pues define las amplitudes de magnitud relativas que adoptan los grados de libertad que fueron asignados al sistema, en ese modo particular de oscilaci´on. Ejemplo 8.1. En la Figura 8.1(a) se muestra una estructura tipo p´ortico de dos pisos. Suponiendo los elementos horizontales (entrepisos) completamente r´ıgidos, hallar las frecuencias naturales y los modos asociados de vibraci´ on. En el c´ alculo num´erico, se sugiere utilizar los siguientes valores din´amicos param´etricos: m1 = 2 Ton-seg2 /cm
m2 = 4 Ton-seg2 /cm
k1 = 40 Ton/cm
k2 = 100 Ton/cm
Adem´ as, como propuesta complementaria, interpretaremos gr´aficamente los resultados obtenidos de soluci´ on al problema planteado. > Soluci´ on En la Figura 8.1(a) se incluyen las coordenadas de desplazamiento asignadas a la estructura (los grados de libertad), suponiendo que los elementos horizontales son r´ıgidos y que las columnas son inextensibles axialmente. En cambio, en la Figura 8.1(b) mostramos el modelo de par´ametros din´amicos concentrados asociado al prototipo real o estructura p´ortico doble en an´alisis. Solamente por prop´ ositos de tipo did´actico, obtendremos las matrices involucradas en la ecuaci´ on gobernante de la vibraci´ on libre del modelo planteado utilizando el m´etodo de ensamble de elementos,
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
242
m1 u1
k1 m2 2
k1
k2
1
k2
u1(t)
u2(t) m2
u2
m1
k1 m1 (a) Diagrama esquem´ atico estructural
(b) Modelo de par´ ametros concentrados
Figura 8.1: Vibraci´on libre de p´ortico doble
3 k2
1
2 k1
m2
m1
2 (a) Elemento
1 (b) Elemento
Figura 8.2: Elementos componentes y grados de libertad locales planteado y desarrollado en el cap´ıtulo anterior. Para ello, definamos los elementos mostrados en la Figura 8.2 en los que adem´ as mostramos las coordenadas locales asignadas a ambos. Las matrices de masa y rigidez locales correspondientes a los elementos mostrados en la Figura 8.2 son las indicadas a continuaci´ on: k1 −k1 m1 0 ¯ ¯ ¯ 2 = k2 ¯ ]2 = m2 [K]1 = [M ]1 = [K] [M −k1 k1 0 0 La matriz de conectividad o matriz de transformaci´on de desplazamientos o grados de libertad, sabemos est´ a definida en la relaci´ on gen´erica: |δi = [β] |ui, la cual en forma desarrollada se demuestra f´ acilmente que es: 1 0 δ1 u δ2 = 0 1 1 u2 δ3 0 1 La matriz de rigidez del sistema se la eval´ ua mediante la conocida ecuaci´on: ¯ [K] = [β]T [K][β] ¯ es la matriz de rigidez no–ensamblada del sistema, compuesta de las matrices donde, como sabemos, [K] de rigidez locales de los elementos dispuestas en los coeficientes de la diagonal principal de este arreglo matricial. Entonces, si evaluamos esta ecuaci´on de modo desarrollado, obtenemos: k1 −k1 0 k1 −k1 1 0 1 0 0 1 0 0 k1 −k1 −k1 k1 0 0 1 = −k1 k1 = [K] = 0 1 1 0 1 1 −k1 k1 + k2 0 0 k2 0 1 0 k2 La matriz de masa se eval´ ua de manera completamente an´aloga: m1 0 0 1 ¯ ][β] = 1 0 0 0 0 0 0 [M ] = [β]T [M 0 1 1 0 0 m2 0
0 m1 1 = 0 1
0 m2
´ LIBRE NO–AMORTIGUADA 8.2. VIBRACION
Reemplazando valores,
40 −40 [K] = −40 140
243
2 [M ] = 0
0 4
Las frecuencias naturales del sistema se obtienen hallando las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico; es decir resolviendo la ecuaci´ on: det ([K] − ω 2 [M ]) = ||[K] − ω 2 [M ]|| = 0 Con las matrices previamente halladas, ´esta relaci´on sint´etica se desarrolla como se muestra a continuaci´ on; 40 − 2ω 2 40 −40 −40 2 2 0 =0 −40 140 − ω 0 4 = −40 140 − 4ω 2 (40 − 2ω 2 )(140 − 4ω 2 ) − 402 = 0
⇒
ω 4 − 55 ω 2 + 500 = 0
Las soluciones o ra´ıces de la ecuaci´on bi–cuadr´atica anterior, como puede comprobarse f´acilmente, resultan ser: ω12 = 11, 49 ω1 = 3, 39 rad/seg ω22 = 43, 51
ω2 = 6, 60 rad/seg
las mismas que tienen asociadas los siguientes valores de frecuencia natural, medidas en Hertz: f1 =
ω1 = 0, 54 [Hz] 2π
f2 =
ω2 = 1, 05 [Hz] 2π
Los modos de vibraci´ on se hallan como sigue: Para la frecuencia fundamental o primaria ω1 : 40 − 2(11, 49) −40 17, 02 −40 2 [B]1 = [K] − ω1 [M ] = = −40 140 − 4(11, 49) −40 94, 04 Adj [B]1 =
94, 04 40 40 17, 02
De lo anterior, se observa que se puede tomar como forma de vibrar en este modo particular asociado con la frecuencia fundamental, a cualquiera de las columnas de esta matriz; por lo tanto: 40 |ai1 = 17, 02 Para la frecuencia secundaria ω2 : 40 − 2(43, 51) −40 −47, 02 −40 [B]2 = [K] − ω22 [M ] = = −40 140 − 4(43, 51) −40 −34, 04 −34, 04 Adj [B]1 = 40
40 −47, 02
Por las mismas razones, adoptamos para el vector de amplitudes del segundo modo: 40 |ai2 = −47, 02
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
244
f [Hz]
40
40
1,05
17,02
47,02
0,54
1
Modo fundamental, r = 1
r (modo)
2
(a) Espectro de frecuencias
Modo secundario, r = 2
(b) Formas modales de respuesta
Figura 8.3: Respuesta libre no–amortiguada del sistema vibratorio Los resultados obtenidos pueden ser representados gr´aficamente. Las frecuencias naturales caracter´ısticas asociadas al modelo de an´ alisis ordenadas en forma ascendente seg´ un su orden de magnitud, definen lo que hemos denominado espectro de frecuencias, el cual es mostrado en la Figura 8.3(a). La forma de vibrar de la estructura asociada cada una de ellas a las correspondientes frecuencias naturales halladas es la que mostramos en la Figura 8.3(b) mediante un esquema de los modos de vibraci´on. En raz´ on de que los modos de vibraci´ on son vectores independientes del tiempo, se deduce que si el sistema vibra en una frecuencia particular, digamos ω2 , todos los puntos del sistema (estructura) se desplazar´ an proporcionalmente a |ai2 ; ´esto se v´e f´acilmente a partir de la relaci´on b´asica: |u(t)i = |ai2 sin ω2 t que define la respuesta del sistema, en este caso asociada a un particular modo de vibraci´on.
> Las frecuencias naturales y los modos normales asociados de vibraci´on de un sistema son m´as facil de ser calculados, si asumimos que efectivamente los mismos existen. Como fu´e establecido previamente, el asumir una respuesta de tipo arm´ onico al movimento libre del sistema, nos permiti´o plantear la ecuaci´on caracter´ıstica asociada al modelo planteado, la cual proporciona las frecuencias naturales posibles de vibraci´ on y la forma caracter´ıstica de movimiento asociado a cada una de ellas. Sin embargo, existen situaciones especiales donde se presentan modos de comportamiento degenerados, que no precisamente est´ an asociados con una respuesta de tipo oscilatorio. El siguiente ejemplo nos muestra tal situaci´on. Ejemplo 8.2. La Figura 8.4 nos muestra un sistema rotacional consistente de dos volantes circulares con inercia m´ asica polar conocida, los cuales est´an interconectados mediante un eje de rigidez torsional determinado que se apoya en un par de cojinetes como se muestra. Deseamos determinar los modos de vibraci´ on torsional de ´este sistema.
I1
I2 1
kt
2
Figura 8.4: Sistema en movimiento vibratorio torsional >
Soluci´ on
´ LIBRE NO–AMORTIGUADA 8.2. VIBRACION
245
En el esquema gr´ afico de planteamiento del problema, se establecen las coordenadas globales o grados de libertad asignados al sistema (desplazamientos angulares de los volantes o placas r´ıgidas circulares). Como no se especifica ninguna perturbaci´on externa, resulta evidente que el vector de cargas de exitaci´ on es nulo (|P (t)i = |0i); y como tampoco se indica presencia de fuerzas amortiguadoras del movimiento, es tambi´en evidente que la matriz de amortiguamiento es nula ([C] = [0]). Estas condiciones, evidentemente, determinan que el sistema tenga comportamiento din´amico de vibraci´on libre no–amortiguada, el cual est´ a gobernado por la ecuaci´on siguiente: ¨ + [Kt ]|θi = |0i [I]|θi
(a)
que es la adecuada en notaci´ on, a la vibraci´on de tipo rotacional. Resulta evidente que la energ´ıa cin´etica de movimiento del sistema es: I1 0 θ˙1 ˙ ˙ = 21 hθ|[I]| θi T = 12 I1 θ˙12 + 12 I1 θ˙12 = 12 θ˙1 θ˙2 0 I2 θ˙2 En cambio, la energ´ıa potencial acumulada por deformaci´on el´astica resulta ser en este caso: kt −kt θ1 U = 12 kt (θ2 − θ1 )2 = 12 kt (θ12 − 2θ1 θ2 + θ22 ) = 21 θ1 θ2 = 12 hθ|[Kt ]|θi −kt kt θ2 Las relaciones anteriores nos permiten identificar claramente las matrices de par´ametros din´ amicos del sistema: la matriz de inercia polar y la matriz de rigidez torsional. Adem´as, como sabemos, las mismas tambi´en nos permiten escribir la ecuaci´on que gobierna la vibraci´on torsional de ´este sistema. Entonces, reemplazando en la Ecuaci´on (a), la ecuaci´on de movimiento del sistema en forma desarrollada resulta ser en este caso: I1 0 θ¨1 kt −kt θ1 0 + = (b) 0 I2 θ¨2 −kt kt θ2 0 Las frecuencias naturales del sistema se obtienen hallando las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico asociado; es decir resolviendo la ecuaci´on: det ([Kt ] − ω 2 [I]) = ||[Kt ] − ω 2 [I]|| = 0
(c)
Con las matrices previamente halladas, ´esta relaci´on sint´etica se desarrolla como se muestra a continuaci´ on; kt −kt 0 kt − ω 2 I1 −kt 2 I1 =0 −kt kt − ω 0 I2 = −kt kt − ω 2 I2 kt (I1 + I2 ) =0 (kt − ω 2 I1 )(kt − ω 2 I2 ) − kt2 = 0 ⇒ ω2 ω2 − I1 I2 La ecuaci´ on caracter´ıstica obtenida, tiene como ra´ıces a los valores siguientes: ω12 = 0 ω22 =
kt (I1 + I2 ) I1 I2
ω1 = 0 s ω2 =
kt (I1 + I2 ) I1 I2
Estos resultados nos muestran que la frecuencia fundamental es nula (ω1 = 0), que posee un modo de vibraci´ on asociado que se puede obtener seg´ un el siguiente procedimiento: kt −kt 1 −1 2 [B]1 = [Kt ] − ω1 [I] = = kt −kt kt −1 1
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
246
1 Adj [B]1 = kt 1
1 1
Se puede tomar como forma de vibrar en este modo singular asociado con la frecuencia fundamental, a cualquiera de las columnas de esta matriz; 1 por lo tanto: 1 |ai1 = 1 El modo secundario de vibraci´ on se eval´ ua con procedimiento completamente similar, # " − II21 −1 kt − ω22 I1 −kt 2 [B]2 = [Kt ] − ω2 [I] = = kt −kt kt − ω22 I2 −1 − II12 " Adj [B]2 = kt
− II21 1
1 − II21
#
Si por ejemplo, y solamente para prop´ ositos de tipo ilustrativo, asumieramos como valores num´ericos: I2 = 2I1 = 2; se puede escoger como vector de amplitudes relativas en este modo de vibraci´on al siguiente arreglo de coeficientes: 1 |ai2 = − 12 En la Figura 8.5 mostramos ambos modos de vibraci´on calculados, cada uno de ellos asociado a un valor de frecuencia de oscilaci´ on determinado. 1
½
1
1
kt
kt
I2
I1 (a) Modo fundamental, ω1 = 0
I2
I1 (b) Modo secundario, ω2
Figura 8.5: Formas modales de respuesta libre no–amortiguada En este ejemplo, uno de los valores de ω 2 que satisface la ecuaci´on caracter´ıstica es cero (ω1 = 0). Esto ocurre por que el eje y los dos volantes son libres de rotar en conjunto en movimiento de cuerpo r´ıgido en sus soportes (cojinetes o rodamientos), sin ninguna deformaci´on del eje que conecta los volantes; ya que los mismos no tienen movimiento relativo entre ellos: θrel = θ2 − θ1 = 0 !. Que la soluci´ on ω1 = 0 pueda ser interpretada de esta manera, se deduce resolviendo la ecuaci´on diferencial gobernante para una de las coordenadas, digamos para θ1 . En notaci´on operacional, la ecuaci´ on diferencial a resolver para esta coordenada (v´ease el Problema 8.4) es: D2 (D2 + ω22 ) θ1 = 0
D2 ≡
d2 dt2
(d)
donde ω2 = kt (I1 + I2 )/I1 I2 . La soluci´ on del sistema se demuestra que es: θ1 = (A + Bt) + (C cos ω2 t + D sin ω2 t) θ2 = (A + Bt) − (I1 /I2 )(C cos ω2 t + D sin ω2 t)
(e)
1 Recu´ erdese que el vector modal de amplitudes |air asociado a cualquier frecuencia natural ωr para un sistema de m´ ultiples grados de libertad, tiene como coeficientes a las magnitudes m´ aximas relativas de las coordenadas globales asignadas al sistema, en dicha forma particular de oscilaci´ on.
´ 8.3. PROPIEDADES MODALES DE VIBRACION
247
donde A, B, C y D son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales de movimiento; es decir de la especificaci´ on de desplazamientos y velocidades angulares iniciales. Los t´erminos en los primeros par´entesis en el lado derecho de cada expresi´on representa una rotaci´ on permanente con velocidad angular B (rotaci´on de cuerpo r´ıgido); acompa˜ nada simult´aneamente de una vibraci´ on torsional con frecuencia natural circular ω2 , representada por los t´erminos en los u ´ltimos par´entesis del lado derecho de ambas ecuaciones. > El ejemplo reci´en resuelto permite emitir una conclusi´on general muy importante: Si un sistema de m´ ultiples grados de libertad no posee restricci´on al movimiento mediante desplazamientos de traslaci´ on o rotaci´ on seg´ un cierta direcci´ on espacial, entonces es suceptible de tener movimiento de cuerpo r´ıgido seg´ un dicha direcci´ on; con una frecuencia natural circular nula, y un vector modal asociado compuesto de coeficientes con valores num´ericos id´enticos.
8.3.
Propiedades modales de vibraci´ on
De la ecuaci´ on caracter´ıstica de un sistema de varios grados de libertad, se deduce que las formas de vibrar son auto–vectores de un problema de valores propios generalizados; lo cual se aprecia si la Ecuaci´ on (8.7) se escribe del modo siguiente: [K]|air = ωr2 [M ]|air
(8.10)
donde los cuadrados de las frecuencias naturales son los auto–valores correspondientes. En cosecuencia, es posible deducir ciertas propiedades inherentes a la naturaleza matem´atica del problema. Estas relaciones ser´ an posteriormente aprovechadas para generar las soluciones de respuesta del sistema de ecuaciones diferenciales que plantea la ecuaci´on matricial de movimiento de un sistema din´amico.
8.3.1.
Relaciones de ortogonalidad
Sean dos valores propios no–nulos y distintos entre s´ı, ωr2 6= ωs2 6= 0
r 6= s
Entonces, considerando los vectores propios asociados se cumple para estas parejas: [K]|ais = ωs2 [M ]|ais
(8.11a)
ωr2 [M ]|air
(8.11b)
[K]|air =
Pre–multiplicando las Ecuaciones (8.11a) y (8.11b) por |air y |ais , respectivamente; y transponiendo la primera de las relaciones, ha|s [K]|air = ωs2 ha|s [M ]|air ha|s [K]|air = ωr2 ha|s [M ]|air Ahora, restando la segunda ecuaci´ on de la primera, (ωs2 − ωr2 )ha|s [M ]|air = 0 En virtud de que por hip´ otesis: ωs2 6= ωr2 , deducimos que: ha|s [M ]|air = 0
(8.12)
Adem´ as, de la Ecuaci´ on (8.11b) se obtiene como relaci´on adicional: ha|s [K]|air = 0
(8.13)
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
248
Las Ecuaciones (8.12) y (8.13) se conocen como relaciones de ortogonalidad de las formas modales. A partir de la Ecuaci´ on (8.11a) y de las u ´ltimas ecuaciones, es posible deducir a´ un relaciones de ortogonalidad generales, cuya utilidad ser´ a demostrada m´as adelante. Para este prop´osito, consideremos la Ecuaci´ on (8.11a) y pre–multipliquemos por ha|r [K][M ]−1 : ha|r [K][M ]−1 [K]|ais = ωs2 ha|r [K][M ]−1 [M ]|ais = ωs2 ha|r [K]|ais = 0 esto en virtud de la Ecuaci´ on (8.12). Si ahora pre–multiplicamos la Ecuaci´on (8.11a) por el t´ermino: ha|r [K][M ]−1 [K][M ]−1 , obtenemos: ha|r [K][M ]−1 [K][M ]−1 [K]|ais = ωs2 ha|r [K][M ]−1 [K][M ]−1 [M ]|ais = ωs2 ha|r [K][M ]−1 [K]|ais = 0 debido a la ecuaci´ on precedente. En general, si realizamos b productos del tipo anterior, tendremos que: ha|r ([K][M ]−1 )b [K]|ais = 0
(8.14)
donde ‘b’ toma valores enteros. La Ecuaci´ on (8.14) es la relaci´ on generalizada de ortogonalidad, e incluye a las dos previamente halladas [Ecuaciones (8.12) y (8.13)] cuando b = −1 y b = 0, respectivamente. En este momento, y para fines posteriores de desarrollo te´orico, conviene evaluar el siguiente producto: ha|s ([K][M ]−1 )b [K]|ais . Para tal efecto, definamos: ha|s [K]|ais = ωs2 ms y, a continuaci´ on formemos los siguientes productos: ha|s [K][M ]−1 [K]|ais = ωs2 ha|s [K][M ]−1 [M ]|ais = ωs4 ms ha|s [K][M ]−1 [K][M ]−1 |ais = ωs2 ha|s [K][M ]−1 [K][M ]−1 [M ]|ais = ωs6 ms As´ı, en general, se obtiene: ha|s ([K][M ]−1 )b [K]|ais = ωs2b+2 ms
(8.15)
Expresi´ on que ser´ a absolutamente necesaria en el manejo de la ecuaci´on matricial gobernante de sistemas de m´ ultiples grados de libertad con amortiguamiento.
8.3.2.
Matrices modales
Se ha establecido la metodolog´ıa de c´alculo y la significaci´on f´ısica de cada modo o forma de vibraci´ on de un sistema. En raz´ on de que para un sistema de n grados de libertad existen n modos de vibraci´ on, conviene establecer una notaci´on que sea descriptiva de los coeficientes contenidos en los vectores modales. En particular sea el siguiente vector modal o vector propio del problema de autovalores asociado a un sistema vibratorio: a1r a2r |air = (8.16) .. . anr Cualquier elemento o coeficiente aij del vector anterior se interpreta como: el desplazamiento de la coordenada i en el nodo j. Si ahora tomamos los n modos de vibraci´on, representados por los vectores modales |air (r = 1; n) asociados a las n frecuencias naturales de un sistema; y los ordenamos de manera de formar una matriz, tendremos el siguiente arreglo: [Ψ] = |ai1 |ai2 · · · |ain (8.17)
´ 8.3. PROPIEDADES MODALES DE VIBRACION
en forma desarrollada:
a11 a21 [Ψ] = . ..
a12 a22 .. .
an1
an2
249
··· ··· ··· ···
a1n a2n .. .
(8.17a)
ann
La matriz [Ψ] se denomina matriz modal natural (no–normalizada), y su uso se ver´a m´as adelante cuando se est´e hallando la respuesta de sistemas vibratorios forzados. Debido a que los modos de vibraci´on no est´an definidos en forma un´ıvoca, se tendr´a que la matriz modal [Ψ] no es u ´nica. Este aspecto no es vital, ni afecta la soluci´on final del problema. Sin embargo, puede ser u ´til efectuar un procedimiento de normalizaci´on para las formas modales. De los variados procedimientos posibles, elegiremos el que obliga a que la longitud o norma del vector modal, transformado a partir del vector modal original |air , respecto de la matriz de masa sea unitaria. Si |air es el vector de amplitudes del r–´esimo modo de vibraci´on, podemos exigir que este vector cumpla la relaci´ on siguiente: ha|r [M ]|air = ηr (8.18) siendo ηr cierto valor escalar que es siempre positivo, porqu´e ?. Y, tomamos para el vector modal normalizado asociado tambi´en al r–´esimo modo de oscilaci´on: 1 |φir = √ |air ηr
(8.19)
Evaluemos ahora la norma de ´este vector respecto de la matriz de masa, efectuando el producto: 1 ha|r [M ]|air ηr 1 = √ √ =1 hφ|r [M ]|φir = √ ha|r [M ] √ |air = √ √ ηr ηr ηr ηr ηr ηr El vector modal definido mediante la Ecuaci´on (8.19), efectivamente es vector modal normalizado respecto de la matriz de masa, pues como demostramos cumple: hφ|r [M ]|φir = 1
(8.20)
De este modo, asociado a cada vector modal original |air podremos hallar un vector modal normalizado asociado |φir , el cual posee longitud o norma relativa a la matriz de masa de magnitud unitaria. Los vectores modales normalizados |φir , definidos por medio de la Ecuaci´on (8.19), son proporcionales a los vectores modales originales |air . Por esta raz´on, los mismos deben ser mutuamente ortogonales; es decir, si tomamos dos vectores modales normalizados distintos |φir y |φis (r 6= s), las relaciones de ortogonalidad respecto de la matriz de masa y la matriz de rigidez descritas por las Ecuaciones (8.12) y (8.13) respectivamente, deben satisfacerse tambi´en por estos vectores modales normalizados: hφ|s [M ]|φir = 0 (8.21a) hφ|s [K]|φir = 0
(8.21b)
Si ahora, ordenamos todos los vectores modales normalizados y los agrupamos (en columnas) en un arreglo matricial, tendremos una matriz cuadrada definida como: [Φ] = |φi1 |φi1 · · · |φin (8.22) que en forma desarrollada con todos sus coeficientes tendr´a el aspecto, φ11 φ12 · · · φ1n φ21 φ22 · · · φ2n [Φ] = . .. .. .. . ··· . φn1 φn1 · · · φnn
(8.22a)
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
250
que llamaremos matriz modal normalizada (aunque el t´ermino “normalizada” no sea estricta y ex´actamente aplicable desde el punto de vista general de la din´amica anal´ıtica). Debido al cumplimiento de las Ecuaciones (8.20) y (8.21a), para las columnas que conforman la matriz modal normalizada establecida anteriormente, se puede demostrar (v´ease el Problema 8.6) que ´esta matriz diagonaliza la matriz de masa hacia la matriz unitaria o identidad; es decir que se cumple: [Φ]T [M ][Φ] = [I]
(8.23)
Adem´ as, podemos aseverar que la matriz modal normalizada no solamente diagonaliza la matriz de masa, pues se puede demostrar (v´ease el Problema 8.7) que tambi´en diagonaliza a la matriz de rigidez hacia la denominada matriz de frecuencias naturales cuadr´ aticas; pues, tambi´en se cumple: 2 ω1 ω22 (8.24) [Φ]T [K][Φ] = [ω 2 ] [ω 2 ] = .. . ωn2
donde la matriz [ω 2 ] es matriz diagonal que tiene como coeficientes s´olamente no–nulos, a las diversas frecuencias naturales cuadr´ aticas ωr2 (r = 1; n); que se ubican sobre la diagonal principal de ´esta matriz. Los coeficientes no escritos son obviamente ceros. El hecho de que la matriz de rigidez [K] de un sistema sea semi–definida positiva y que la matriz de masa [M ] sea definida positiva, permite establecer la siguiente propiedad fundamental para las frecuencias naturales de vibraci´ on asociados a los diversos modos de oscilar de un sistema. Sea el problema fundamental de vectores y valores propios que plantea el comportamiento en vibraci´ on libre de un sistema de m´ ultiples grados de libertad, descrito por la Ecuaci´on (8.10): [K]|air = ωr2 [M ]|air Si en esta relaci´ on introducimos los vectores modales normalizados, calculados por aplicaci´on de la Ecuaci´ on (8.19), tendremos como resultado: √ √ √ 2√ ⇒ [K] ηr |φir = ωr2 [M ] ηr |φir r [K]|φir = ωrηr [M ]|φir η [K]|φir = ωr2 [M ]|φir Si esta ecuaci´ on es pre–multiplicada por la transpuesta del vector modal normalizado, tendremos: hφ|r [K]|φir = ωr2 hφ|r [M ]|φir y, despejando:
ωr2 =
hφ|r [K]|φir hφ|r [M ]|φir
(8.25)
conocido en la literatura especializada como el cociente de Raleigh; de donde por las condiciones de positividad de las matrices de masa y rigidez, se concluye que: ωr2 > 0; y por tanto: ωr > 0
r = 1; n
(8.26)
es decir, que todas las frecuencias naturales asociadas con los diversos modos de vibraci´on de un sistema de varios grados de libertad, son siempre positivas (y en casos de particularidad extrema, nulas). Ejemplo 8.3. Considere el sistema vibratorio que fu´e analizado en el Ejemplo 8.1. Obtener la matriz modal normalizada asociada al sistema analizado y verifique los procedimientos de diagonalizaci´on respecto de la matriz de masa y la matriz de rigidez. >
Soluci´ on
8.4. LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD
251
En el Ejemplo 8.1 hemos determinado como vectores modales naturales, a los siguiente arreglos: ha|1 = 40 17, 02 ha|2 = 40 −47, 02 los cuales debemos normalizar mediante el procedimiento establecido anteriormente. 2 0 40 η1 = ha|1 [M ]|ai1 = 40 17, 02 = 4358, 722 0 4 17, 02 2 0 40 η2 = ha|2 [M ]|ai2 = 40 −47, 02 = 12043, 522 0 4 −47, 02 1 1 40 hφ|1 = √ ha|1 = √ η1 4358, 722
17, 02 = 0, 606
1 1 40 −47, 02 = 0, 364 hφ|2 = √ ha|2 = √ η2 12043, 522
0, 258
−0, 428
La matriz modal normalizada ser´a entonces determinada por el ordenamiento en columna de estos vectores, 0, 606 0, 364 [Φ] = |φi1 |φi2 = 0, 258 −0, 428 Verificamos ahora los procesos de diagonalizaci´on respecto de la matriz de masa y la matriz de rigidez; 0, 606 0, 258 2 0 0, 606 0, 364 1, 009 0, 000 ∼ [Φ]T [M ][Φ] = = = [I] 0, 364 −0, 428 0 4 0, 258 −0, 428 0, 000 1, 001 0, 606 0, 258 40 −40 0, 606 0, 364 11, 50 0, 00 ∼ 2 [Φ]T [K][Φ] = = = [ω ] 0, 364 −0, 428 −40 140 0, 258 −0, 428 0, 00 43, 50 Vemos que la matriz modal normalizada que hallamos, diagonaliza a la matriz de masa hacia la matriz identidad; y tambi´en diagonaliza a la matriz de rigidez hacia la matriz de frecuencias naturales elevadas al cuadrado (verifique en el Ejemplo 8.1, los valores de ω12 y ω22 hallados). > Es probable que hasta el momento Usted no aprecie de manera clara la utilidad que posee la matriz modal normalizada asociada a un sistema vibratorio, por lo que insin´ uo su paciencia hasta arribar hacia algunas l´ıneas m´ as adelante; donde surgir´an con pr´ıstina claridad las cualidades que posee esta matriz en el procedimiento de obtenci´ on de la soluci´on de la ecuaci´on matricial gobernante del movimiento vibratorio de un sistema.
8.4.
La matriz de flexibilidad
Las propiedades el´ asticas de un sistema vibratorio se eval´ uan mediante un an´alisis del mismo en una configuraci´ on de equilibrio est´ atico, para develar la relaci´on carga–deformaci´on existente en el sistema o estructura. Como y´ a vimos anteriormente, esta relaci´on b´asicamente est´a descrita por la matriz de rigidez [K] del sistema; cuya evaluaci´ on mediante la generaci´on de sus columnas individuales requiere para cada una de ellas la soluci´ on de un sistema algebr´aico de n ecuaciones simult´aneas, si el sistema posee n grados de libertad; lo cual representa un extenso gasto de tiempo y esfuerzo en la determinaci´on de la matriz de rigidez. La evaluaci´ on de las propiedades el´asticas de un sistema puede efectuarse mediante un procedimiento inverso a trav´es de los denominados coeficientes de influencia de flexibilidad.
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
252
F1
u1 un
1 2
u3
u2
n
Sistema
uj
Figura 8.6: Sistema perturbado con carga individual Sea un sistema el´ astico modelado con n grados de libertad: u1 , u2 , . . . , un . Si aplicamos una fuerza F1 en el punto donde est´ a definida la coordenada u1 , seg´ un la direcci´on de este grado de libertad; se producir´ a un desplazamiento (deformaci´ on) en dicho punto, de magnitud: u1 = f11 F1 donde f11 es el coeficiente de influencia de flexibilidad asociado al grado de libertad considerado. Pero, como esta fuerza produce la deformaci´ on de todo el sistema, tambi´en surgir´an desplazamientos en los otros grados de libertad con magnitudes: u2 = f21 F1 ,
u3 = f31 F1 ,
······
un = fn1 F1
relaciones en las cuales se incorporan diversos coeficientes de influencia de flexibilidad, asociados a los grados de libertad considerados. Un esquema de este comportamiento se muestra en la Figura 8.6. Si aplic´ aramos n fuerzas en todos los puntos donde est´an definidos los grados de libertad con direcci´ on seg´ un dichas coordenadas; los desplazamientos (deformaciones producidas) asociados a los diversos grados de libertad, por el principio de superposici´on de efectos considerando el sistema de comportamiento lineal el´ astico, resultar´ıan ser: u1 = f11 F1 + f12 F2 + · · · + f1n Fn u2 = f21 F1 + f22 F2 + · · · + f2n Fn ···
···
···
···
···
un = fn1 F1 + fn2 F2 + · · · + fnn Fn En notaci´ on matricial, este sistema de ecuaciones puede ser escrito como: u1 f11 f12 · · · f1n F1 f f · · · f u2 21 22 2n F2 = . . .. .. .. . ··· . . .. .. un fn1 fn2 · · · fnn Fn o, sint´eticamente
|ui = [F ]|F i
(8.27)
(8.28)
donde [F ] es conocida como matriz de flexibilidad, la cual establece de manera equivalente la relaci´on carga–deformaci´ on en un sistema el´ astico lineal. Por el desarrollo de deducci´on establecido, resultar´a ser ´esta una matriz de dim(n×n), sim´etrica (por el principio de reciprocidad de Maxwell), y por lo general no–singular. La matriz de flexibilidad en modo sint´etico estar´ıa definida como: [F ] = [ fij ] (i, j = 1; n), donde los coeficientes fij son llamados coeficientes de influencia de flexibilidad, o m´as simplemente coeficientes de flexibilidad, los mismos que en forma gen´erica se definen como: 2 2 En esta definici´ on, los t´ erminos desplazamiento y carga tienen sentido generalizado: para un desplazamiento o grado de libertad de traslaci´ on, la carga ser´ a una fuerza; en cambio, para un desplazamiento angular o rotaci´ on, la carga asociada ser´ a un momento.
8.4. LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD
253
fij es el desplazamiento el´ astico correspondiente a la coordenada i, debido a una carga unitaria aplicada en la coordenada j, seg´ un la direcci´on de ´esta. El uso de esta definici´ on en cualquier sistema bajo an´alisis, nos permitir´a generar la matriz de flexibilidad por columnas. De modo generalizado, para generar la j–´esima columna se debe aplicar una carga unitaria en la coordenada j (Fj = 1) concordante en direcci´on con la coordenada uj en dicho punto [siendo todas las dem´ as cargas nulas Fi = 0 (i 6= j)]; y en esta condici´on evaluar los desplazamientos producidos en todas las coordenadas ui (i = 1; n). Estos valores ordenados en columna constituyen la j–´esima columna de la matriz de flexibilidad [F ]. Bajo la suposici´ on que la matriz de flexibilidad sea no–singular; es decir, que admita la evaluaci´ on de una matriz inversa asociada a ella, tendremos que pre–multiplicando la Ecuaci´on (8.28) por la matriz inversa de flexibilidad: [F ]−1 |ui = [F ]−1 [F ]|F i = [I]|F i = |F i por tanto,
|F i = [F ]−1 |ui
Cuando las propiedades de elasticidad del sistema que describen la relaci´on carga–deformaci´on, son expresadas en t´erminos de los coeficientes de rigidez, la ecuaci´on que hace esta descripci´on vimos que era expresada en t´erminos matriciales como: |F i = [K]|ui La comparaci´ on de ´esta relaci´ on con la anterior escrita, nos induce a establecer una importante propiedad de reciprocidad para las matrices de rigidez y flexibilidad: [K] = [F ]−1
[F ] = [K]−1
y, en consecuencia:
(8.29)
O sea, que la existencia de la matriz de flexibilidad est´a garantizada cuando la matriz de rigidez sea no–singular (es decir, que posea inversa). Cuando un sistema posee grados de libertad de movimiento no–restringidos (sistema semi–definido), es suceptible de tener movimiento de cuerpo r´ıgido; y en tal caso se demuestra que la matriz de rigidez [K] es singular, lo cual se puede verificar porque para esta clase de sistemas: det([K]) = ||K|| = 0. Entonces, de la Ecuaci´ on (8.29) conclu´ımos que la matriz de flexibilidad [F ] no existe !. Este hecho sucede debido a que no existen reacciones de apoyo que balanceen las cargas unitarias que deben ser aplicadas a la estructura o sistema mec´anico, para deteminar las columnas de la matriz de flexibilidad; y el equilibrio est´ atico no es posible. Este es el caso, como simple muestra de lo afirmado, del sistema que fu´e analizado en el Ejemplo 8.2. Ejemplo 8.4. Para ilustrar la formulaci´on de la matriz de flexibilidad mediante proceso de generaci´ on por columnas de la misma, consideremos el sistema torsional mostrado en la Figura 8.7. Este sistema est´ a compuesto de tres volantes (discos) con momentos de inercia polar distintos, conectados entre s´ı mediante ejes de id´entica rigidez torsional como se muestra;1 donde los valores param´etricos indicados se consideran conocidos. 1
2
3
kt
kt
kt 2
1
3I
3
2I
I
Figura 8.7: Sistema en movimiento vibratorio torsional
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
254
>
Soluci´ on
En el problema particular planteado, la relaci´on carga–deformaci´on que describe las propiedades el´asticas del sistema en t´erminos de la matriz de flexibilidad, la cual en forma gen´erica fu´e establecida como: |ui = [F ]|F i; ser´ a ahora descrita como: |θi = [F ]|M i, por tratarse de un sistema rotacional en el que las cargas son torques o momentos y los desplazamientos son rotaciones angulares asociadas. En la Figura 8.7 se muestra la asignaci´ on de grados de libertad globales (desplazamientos angulares o rotaciones) para este sistema, en los puntos nodales que asumimos son coincidentes con los centros de los volantes. Los elementos (coeficientes) de la matriz de flexibilidad, son determinados calculando las deflexiones o deformaciones angulares debidas a torques o momentos unitarios aplicados en turno a cada uno de los discos. 1=1/kt
2=1/kt
3=1/kt
kt
kt
kt
1
3
2
M3=0
M2=0
M1=1
(a) Primera columna
1=1/kt
2=2/kt
3=2/kt
kt
kt
kt
1
3
2
M3=0
M2=1
M1=0
(b) Segunda columna
1=1/kt
2=2/kt
3=3/kt
kt
kt 1
kt 3
2
M1=0
M2=0
M3=1
(c) Tercera columna
Figura 8.8: Generaci´on de la matriz de flexibilidad En la Figura 8.8(a) mostramos un esquema que nos permite generar la primera columna de la matriz de flexibilidad. Para ello se aplica un momento unitario M1 = 1 (asociado a θ1 ), con los otros grados de libertad descargados: M2 = M3 = 0; y en tal condici´on se determinan las deformaciones que se producen, lo cual d´ a como resultado: θ1 = θ2 = θ3 = 1/kt . Para generar la segunda columna aplicamos: M2 = 1 y M1 = M3 = 0, y se calculan las deflexiones que resultan ser: θ1 = 1/kt , y θ2 = θ3 = 2/kt . La tercera columna es generada en base a la solicitaci´on siguiente: M3 = 1 y M1 = M2 = 0; condici´on en la cual se verifica que las deformaciones angulares que se producen son: θ1 = 1/kt , θ2 = 2/kt , y θ3 = 3/kt . En todos los c´ alculos anteriores hicimos uso de la relaci´on que establece el coeficiente de rigidez equivalente asociado a un conjunto de resortes (en este caso torsionales) con disposici´on en serie, que indica: 1/keq =
n P
1/kj .
j=1
´ 8.5. LA MATRIZ DINAMICA
255
Los resultados anteriormente obtenidos, son ordenados como arreglos verticales (en columna como vectores) y dispuestos en un arreglo mayor que resultar´ıa ser la matriz de flexibilidad, la cual para el caso presente resulta: 1 1 1 1 1 1 kt kt kt 1 1 2 2 [F ] = k1t k2t k2t = k t 1 2 3 1 2 3 kt
kt
kt
Esta matriz hallada es no–singular, lo cual se verifica r´apidamente pues: ||F || = 1, y por tanto en este caso es posible a partir de ella establecer la matriz de rigidez asociada al sistema en an´ alisis. F´ acilmente Usted puede invertir la matriz de flexibilidad, y obtener como soluci´on: 2 −1 0 [K] = [F ]−1 = kt −1 2 −1 0 −1 1 Para comprobar este u ´ltimo resultado, se puede verificar que se cumple: [K][F ] = [F ][K] = [I]. > En la mayor´ıa de las situaciones de elaboraci´on de un modelo matem´atico asociado a cualquier sistema vibratorio, siempre resultar´ a de menor dificultad la evaluaci´on de la matriz de flexibilidad en comparaci´ on con la evaluaci´ on de la matriz de rigidez para el mismo sistema. Por ello, es que en situaciones sobretodo de an´ alisis din´ amico estructural, se prefiere efectuar la descripci´on de las relaciones carga–deformaci´ on el´ astica en t´erminos de la matriz de flexibilidad, adem´as que para ello existen a disposici´ on tablas elaboradas que especifican las cargas y desplazamientos asociados producidos, para una diversidad de elementos o miembros estructurales sometidos a los diversos tipos de solicitaci´ on existentes en la mec´ anica b´ asica de un medio s´olido deformable. La utilizaci´ on de la matriz de flexibilidad en lugar de la matriz de rigidez para la representaci´ on de las propiedades din´ amicas el´ asticas de un sistema, requiere la modificaci´on de la ecuaci´on matricial gobernante del modelo matem´ atico de an´alisis en funci´on de esta matriz. Este aspecto ser´a tratado en la secci´ on que viene a continuaci´ on.
8.5.
La matriz din´ amica
Sea un sistema vibratorio general, que ha sido modelado con m´ ultiples grados de libertad, cuyo comportamiento din´ amico vibratorio est´a gobernado por la ecuaci´on matricial asociada a un sistema lineal, [M ]|¨ ui + [C]|ui ˙ + [K]|ui = |P i donde |P i = |P (t)i es la perturbaci´on externa aplicada, |ui = |u(t)i el vector de grados de libertad globales, soluci´ on de la ecuaci´ on gobernante, y las matrices representan a las propiedades din´amicas param´etricas de inercia, amortiguamiento y elasticidad del sistema, respectivamente. Si esta ecuaci´ on se pre–multiplica por la matriz de flexibilidad (bajo la suposici´on que esta matriz existe) se tiene: [F ][M ]|¨ ui + [F ][C]|ui ˙ + [F ][K]|ui = [F ]|P i Puesto que se verifica que: [F ][K] = [K]−1 [K] = [I], la relaci´on anterior se transforma hacia: [F ][M ]|¨ ui + [F ][C]|ui ˙ + |ui = [F ]|P i
(8.30)
´ Esta es la ecuaci´ on matricial gobernante general del comportamiento din´amico vibracional del sistema, en t´erminos de la matriz de flexibilidad. Si estamos interesados en la valoraci´on de las frecuencias naturales circulares asociadas al sistema, debemos considerar la ecuaci´ on gobernante reducida, pertinente con la vibraci´on libre no–amortiguada
256
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
contenida en la ecuaci´ on anterior. Entonces introduciendo las hip´otesis convenientes para este caso particular: [C] = [0] , |P i = |0i, tendremos: [F ][M ]|¨ ui + |ui = |0i
(8.31)
como ecuaci´ on que gobierna el fen´ omeno de oscilaci´on natural, que es susceptible de ejecutar el sistema con tan solo imponerle condiciones iniciales de movimiento. Si suponemos que la soluci´ on de la Ecuaci´on (8.31) es de tipo arm´onico, podemos postular como modo posible de vibraci´ on: |u(t)i = |air sin ωr t derivando temporalmente, reemplazando en la Ecuaci´on (8.31), y simplificando la funci´on senoidal temporal; se obtiene como relaci´ on final de todo este proceso: −ωr2 [F ][M ]|air + |air = |0i y, ordenando
[F ][M ]|air =
1 |air ωr2
(8.32)
Para tener una representaci´ on mucho m´as simple de la ecuaci´on que gobierna el fen´omeno de oscilaci´ on libre de un sistema de m´ ultiples grados de libertad, introduzcamos un nuevo arreglo matricial definido por: [D] = [F ][M ] (8.33) que en la teor´ıa de din´ amica anal´ıtica estructural recibe el nombre de matriz din´ amica, porque la misma sintetiza las propiedades energ´eticas fundamentales involucradas en la din´amica de vibraci´on libre: la energ´ıa de deformaci´ on el´ astica y la energ´ıa cin´etica. Tambi´en por comodidad de representaci´on matem´atica, definamos el valor param´etrico: λr =
1 ωr2
(8.34)
como el valor inverso de la frecuencia natural circular cuadr´atica asociada con el modo de oscilaci´on particular que estamos tratando de evaluar. Con estas definiciones, la Ecuaci´on (8.32) se convierte a: [D]|air = λr |air
(8.35)
En palabras muy sencillas: El problema original planteado, ha sido reducido a un problema estandar de vectores y valores propios de la matriz din´amica [D] asociada al sistema; donde los valores propios λr (r = 1; n) son los inversos de los cuadrados de las frecuencias naturales circulares, y los valores propios asociados |air (r = 1; n) son los vectores de amplitud relativa m´axima de los grados de libertad en el modo particular de vibraci´ on que est´ a siendo considerado, los cuales son invariables con respecto al planteamiento de la soluci´ on inicial propuesta. En la forma alternativa de planteamiento del problema de oscilaci´on libre no–amortiguada de un sistema con m´ ultiples grados de libertad, descrita por la Ecuaci´on (8.35), la ecuaci´on caracter´ıstica asociada con la cual se eval´ uan todas las frecuencias naturales circulares pertenecientes al sistema modelado resultar´ a ser: det ([D] − λ[I]) = || [D] − λ[I] || = 0 (8.36) que plantea un polinomio caracter´ıstico de n–´esimo orden que se anula; relaci´on matem´atica que proporcionar´ a n ra´ıces λr (r = 1; n) soluciones de esta ecuaci´on, con las cuales se determinan las frecuencias naturales circulares mediante aplicaci´on de la f´ormula que se establece en la Ecuaci´on (8.34): √ ωr = 1/ λr (r = 1; n); donde λr (r = 1; n) son las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico, que satisfacen id´enticamente la Ecuaci´ on (8.36).
´ 8.5. LA MATRIZ DINAMICA
257
Una vez conocidas las frecuencias naturales circulares, los vectores modales naturales asociados, a´ un no–normalizados, se determinan resolviendo las ecuaciones subsidiarias: ([D] − λr [I]) |air = |0i
r = 1; n
(8.37)
para el vector modal natural de amplitudes relativas m´aximas |air , asociado con la frecuencia natural circular ωr del modo de oscilaci´ on que est´a siendo considerado en turno. Por el desarrollo de esta problem´atica en su concepci´on original al inicio del presente cap´ıtulo, recordemos que el vector modal natural asociado con cierta frecuencia natural circular, puede determinarse efectuando la serie de c´ alculos siguientes: Definir primero:
[B]r = [D] − λr [I]
luego determinar:
Adj[B]r = Adj([D] − λr [I])
y, finalmente escoger cualquier columna de ´esta u ´ltima matriz como vector propio asociado; es decir: |air = Colj Adj[B]r El poder escoger cualquier columna de la matriz Adj[B]r como vector propio asociado a cierta frecuencia utilizada en el c´ alculo de esta matriz no es caprichoso, debido al hecho que el vector modal es de amplitudes m´ aximas relativas; lo que quiere decir que si se escoge una determinada columna, mediante un simple factor de proporcionalidad ´esta columna se convierte en otra que no haya sido escogida !. Ejemplo 8.5. La Figura 8.9 muestra una viga simplemente apoyada de longitud L conocida, coeficiente de rigidez EI determinado, la cual tiene densidad m´asica linealmente distribu´ıda con intensidad m ¯ constante. Soporta una carga distribuida en parte de su longitud de intensidad constante, pero variable en el tiempo, la cual est´ a descrita mediante: q(x, t) = q0 f (t). Despreciando el amortiguamiento y utilizando como grados de libertad los indicados (igualmente espaciados), hallar la ecuaci´on gobernante de la vibraci´ on transversal de la viga en t´erminos de la matriz din´amica. Plantear la ecuaci´ on caracter´ıstica que permite la evaluaci´on de las frecuencias naturales circulares para este sistema.
Pk
, q q(x,t)=q0f(t)
E, I, L, m
L/4
x 1
2
3
(x,t)
Figura 8.9: Viga simplemente apoyada en vibraci´on transversal > Soluci´ on Formularemos un modelo de par´ ametros concentrados (no–basado en el campo de desplazamientos internos de la viga), y para ello concentraremos las propiedades din´amicas de la estructura en los puntos nodales donde est´ an definidas las coordenadas generalizadas de movimiento (los desplazamientos verticales o grados de libertad) indicadas en la Figura 8.9 como: ϑ1 , ϑ2 , y ϑ3 . La masa total de la viga es m = mL, ¯ la cual est´a distribuida a lo largo de toda su longitud. Debemos concentrar parte de esta magnitud de masa en todos los puntos nodales, de modo que su distribuci´ on
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
258
represente adecuadamente a las fuerzas inerciales originalmente actuantes sobre la viga en movimiento. Una forma posible es efectuar la discretizaci´on de la viga seg´ un se muestra en la Figura 8.10(a), en la que definimos segmentos de la misma y el resultado de concentrar la masa de cada segmento de modo proporcional, en los puntos nodales y los apoyos.
Pk
L/8
M
M/2
1
Pk
M= m L/4
L/4
M
M
P
M/2
2P L/8
P =q0f(t)L/8 P x
x
3
2
, P
1
(a) Propiedades inerciales
2
3
(b) Solicitaci´ on externa
Figura 8.10: Esquemas de discretizaci´on De la Figura 8.10(a) se obtiene la matriz de masa del sistema, discretizaci´ on de las propiedades inerciales se define como: M 0 0 1 0 mL ¯ 0 1 [M ] = 0 M 0 = 4 0 0 M 0 0
la cual de acuerdo al proceso de 0 0 1
La carga de perturbaci´ on externa tambi´en debe ser concentrada en los puntos nodales. Para ello se propone el procedimiento de discretizaci´ on mostrado en la Figura 8.10(b), en la que la fuerza resultante ha sido distribuida proporcionalmente asociada a los grados de libertad establecidos para el sistema. Entonces, tomando como referencia el esquema mencionado, el vector de cargas externas aplicado al sistema resulta ser: P q f (t)L 1 0 2 |P (t)i = 2P = 8 P 1 Para determinar las propiedades de elasticidad del sistema, generaremos la matriz de flexibilidad a trav´es de la identificaci´ on de sus columnas. Para ello mostramos el diagrama de la Figura 8.11, donde se aplica sobre la viga una carga unitaria en una posici´on gen´erica de la misma.
Pk
P=1
E, I, L
a x 1
2
3
(x)
Figura 8.11: Viga simplemente apoyada solicitada con carga puntual unitaria Mediante una breve formulaci´ on del problema est´atico aqu´ı planteado, se demuestra que la deformada de la viga debida a la carga unitaria aplicada tiene como expresi´on: P L3 bx b2 x2 1 3 ϑ(x) = − 1 − 2 − 2 + 3 hx − ai 06x6L 6EI L2 L L L donde:
´ 8.5. LA MATRIZ DINAMICA
259
b=L−a
P =1
( 0 hx − ai = (x − a)3 3
x6a x>a
Para evaluar la primera columna de la matriz de flexibilidad hacemos a = L/4, y determinamos las deflexiones ϑ1 , ϑ2 , y ϑ3 en los puntos nodales. Estos valores ordenados en forma vertical constituyen la primera columna de la matriz de flexibilidad. Para generar la segunda columna repetimos el procedimiento con a = L/2; y para generar la tercera columna de principio se debe especificar a = 3L/4. Realizando estos c´ alculos (no es necesario evaluar todos los coeficientes, pues recuerde que la matriz de flexibilidad es sim´etrica), se demuestra que la matriz de flexibilidad est´a determinada por: 9 11 7 L3 11 16 11 [F ] = 768EI 7 11 9 Habiendo determinado todas las propiedades param´etricas din´amicas del sistema, estamos en capacidad de escribir la ecuaci´ on matricial gobernante de su movimiento vibratorio. Para ello, debemos adecuar la Ecuaci´ on (8.30) a la notaci´on aqu´ı adoptada y tambi´en a la hip´otesis de ausencia de amortiguamiento. Con estas consideraciones, la ecuaci´on gobernante en t´erminos abreviados es: ¨ + |ϑi = [F ]|P i [F ][M ]|ϑi donde el producto [F ][M ] = [D] es mente calculados, 9 11 7 1 3 ¯ L 11 16 11 mL 0 768EI 4 7 11 9 0
la matriz din´amica. Reemplazando los arreglos matriciales previa-
multiplicando:
11 7 ϑ¨1 ϑ1 4 19 q0 f (t)L 16 11 ϑ¨2 + ϑ2 = 27 ¨ 3072EI 11 9 ϑ3 19 ϑ3
9 mL ¯ 11 3072EI 7 4
0 1 0
0 ϑ¨1 ϑ1 9 3 L 11 0 ϑ¨2 + ϑ2 = ¨ 768EI 1 7 ϑ3 ϑ3
1 11 7 q0 f (t)L 2 16 11 8 1 11 9
Esta ecuaci´ on es la que gobierna la vibraci´on forzada del sistema, asociada con un modelo de par´ametros concentrados en el que los grados de libertad son aquellos definidos al principio de este an´alisis. La ecuaci´ on caracter´ıstica, que permite la determinaci´on de las frecuencias naturales circulares modales, definida en t´erminos de la matriz din´amica asociada al sistema; es representada por la Ecuaci´ on (8.36), la cual por comodidad repetimos aqu´ı: det ([D] − λ[I]) = || [D] − λ[I] || = 0 Reemplazando la matriz din´ amica determinada 9 11 4 mL ¯ 11 16 3072EI 7 11
en un paso previo de c´alculo, tenemos: 7 1 0 0 11 − λ 0 1 0 = 0 9 0 0 1
Si se desarrollara el determinante anterior, obtendr´ıamos como resultado la expresi´on siguiente: β3 λ3 + β2 λ2 + β1 λ + β0 = 0
βi (i = 0; 3) ctes.
Las ra´ıces λr (r = 1, 2, 3) de esta ecuaci´on polin´omica c´ ubica, proporcionan las frecuencias naturales circulares asociadas√con la vibraci´ on libre del sistema, las cuales se determinan mediante la relaci´ on recursiva: ωr = 1/ λr (r = 1; 3). La evaluaci´on num´erica del espectro de frecuencias del sistema se deja como ejercicio al lector.
260
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
> La evaluaci´ on del espectro de frecuencias, o sea la determinaci´on de las frecuencias naturales circulares y por ende los vectores de amplitud asociados en cada una de las formas de oscilar, o modos de vibraci´ on del sistema en condici´ on de comportamiento libre, es m´as directa de ser calculada en t´erminos de la matriz din´ amica; que como vimos plantea un problema b´asico de vectores y valores propios que es susceptible de ser resuelto eficientemente mediante cualquier t´ecnica que provee el ´algebra lineal (incluso m´etodos iterativos, como veremos en el siguiente cap´ıtulo). Este aspecto es fundamental para la determinaci´ on de la matriz modal normalizada, con la cual obtenderemos la soluci´on a la ecuaci´on matricial gobernante con valores iniciales frontera, que gobierna la vibraci´on forzada del sistema.
8.6.
Vibraci´ on forzada no–amortiguada
Como indicamos, la obtenci´ on del espectro de frecuencias de oscilaci´on y las formas modales de vibraci´ on correspondientes, son sin duda una de las partes m´as laboriosas durante el procedimiento de soluci´ on de un problema; y por cierto solo alcanzables num´ericamente en forma computarizada cuando el sistema tiene m´ as de un par de grados de libertad en la formulaci´on de su modelo matem´atico. Sin embargo, su obtenci´ on mediante cualquier procedimiento proporciona la herramienta necesaria para la soluci´ on del sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento. Suponiendo ausencia de amortiguamiento: [C] = [0], el conjunto de ecuaciones que define el movimiento vibratorio forzado de un sistema de n grados de libertad est´a dado por la Ecuaci´on (8.1), reducida con la suposic´ on de fuerzas de amortiguamiento nulas; resultando: [M ]|¨ ui + [K]|ui = |P i
(8.38)
donde suponemos que la perturbaci´ on externa actuante sobre el sistema: |P i = |P (t)i es conocida, al igual que las condiciones iniciales de movimiento especificadas por los desplazamientos y velocidades iniciales de todas las coordenadas globales asignadas al sistema en el proceso de su modelado. Es importante mencionar en este punto, que debido al hecho que en general las matrices de masa y rigidez no son arreglos diagonales; resultar´ a que el comportamiento din´amico de cualquier coordenada ui componente de la Ecuaci´ on (8.38) gobernante del movimiento vibratorio, se ver´a afectada por el comportamiento din´ amico de todas las dem´as coordenadas uj (j 6= i , j = 1; n). Por esta raz´on se dice que el sistema est´ a “acoplado din´ amicamente”. Recordando que el conjunto de modos de vibraci´on normalizados constituye una base generadora del espacio vectorial de la soluci´ on del problema de valores iniciales que tiene representaci´on matricial mediante la matriz din´ amica (o las matrices de par´ametros din´amicos de inercia y elasticidad); entonces es posible postular una soluci´ on de la Ecuaci´on (8.38) en t´erminos de estos vectores (los vectores modales normalizados asociados a la vibraci´on libre no–amortiguada). En cualquier instante dado, la soluci´ on buscada |ui = |u(t)i puede ser expresada como una combinaci´on lineal de los vectores propios normalizados, luego: |u(t)i = ξ1 (t)|φi1 + ξ2 (t)|φi2 + · · · + ξn (t)|φin que podr´ıamos escribir como; ξ1 (t) ξ2 (t) |u(t)i = |φi1 |φi2 · · · |φin = [Φ]|ξ(t)i . .. ξn (t) la cual, por simplicidad de notaci´ on, ser´ a escrita en forma condensada como: |ui = [Φ]|ξi
(8.39)
donde [Φ] es la matriz modal normalizada y |ξi = |ξ(t)i es denominado vector de coordenadas normales. Derivando temporalmente la Ecuaci´ on (8.39), y reemplazando en la Ecuaci´on (8.38), resulta la relaci´on: ¨ + [K][Φ]|ξi = |P i [M ][Φ]|ξi
´ FORZADA NO–AMORTIGUADA 8.6. VIBRACION
261
Y, pre–multiplicando por la transpuesta de la matriz modal normalizada; ¨ + [Φ]T [K][Φ]|ξi = [Φ]T |P i [Φ]T [M ][Φ]|ξi
(8.40)
Pero, seg´ un las Ecuaciones (8.23) y (8.24), recordemos que los productos triples de matrices cumplen las relaciones aqu´ı indicadas: [Φ]T [M ][Φ] = [I]
[Φ]T [K][Φ] = [ω 2 ]
Adem´ as, que introduciremos el denominado vector de cargas modales mediante la relaci´on: |P˜ (t)i = [Φ]T |P (t)i
(8.41)
la cual por brevedad simplemente ser´a escrita como: |P˜ i = [Φ]T |P i. Luego, reemplazando estas u ´ltimas relaciones en la Ecuaci´ on (8.40), ´esta queda finalmente como: ¨ + [ω 2 ]|ξi = |P˜ i [I]|ξi
(8.42)
que en forma desarrollada en todos sus t´erminos, provee el sistema de ecuaciones diferenciales indicado a continuaci´ on: ξ¨1 (t) + ω12 ξ1 (t) = P˜1 (t) ξ¨2 (t) + ω22 ξ1 (t) = P˜2 (t) (8.42a) .. .. .. .. . . . . ξ¨n (t) + ωn2 ξn (t) = P˜n (t) Este sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden no–homog´eneas, puede considerarse como el modelo de un sistema din´ amico vibracional de par´ametros concentrados transformado de modo que las masas del mismo sean todas unitarias; sin embargo, las dimensiones de sus otros t´erminos en general estar´ an alteradas comparativamente con las dimensiones del sistema original. Adem´ as, notemos algo muy relevante en este sistema de ecuaciones diferenciales: Con la transformaci´ on de coordenadas efectuada, hemos logrado “desacoplar ” las coordenadas originales que describ´ıan el comportamiento din´ amico del sistema; pues la ecuaci´on gobernante de cualquiera de las coordenadas normalizadas ξi = ξi (t) no contiene ni se v´e afectada por el comportamiento din´amico que tienen todas las dem´ as coordenadas normalizadas. Cualquiera de las ecuaciones componentes que conforman el sistema de ecuaciones diferenciales obtenido [nos referimos a las Ecuaciones (8.42a)], tiene como aspecto gen´erico: ξ¨i (t) + ωi2 ξi (t) = P˜i (t)
i = 1; n
(8.43)
la cual representa a todo el sistema de ecuaciones diferenciales gobernantes independientes, expresadas en t´erminos de las coordenadas normalizadas, que puede ser resuelta por las t´ecnicas desarrolladas anteriormente para sistemas de un solo grado de libertad; que combinadas luego mediante aplicaci´ on de la Ecuaci´ on (8.39) proporcionan la soluci´on del problema en t´erminos de las coordenadas originales con las cuales fu´e elaborado el modelo matem´atico de an´alisis. En particular, la soluci´ on de la Ecuaci´on (8.43) que gobierna el comportamiento din´amico de cualquiera de las coordenadas normalizadas, viene determinada por: Z t 1 ξ˙0i sin ωi t + P˜i (τ ) sin ωi (t − τ ) dτ ξi (t) = ξ0i cos ωi t + ωi ωi 0 donde
P˜i (τ ) =
n X j=1
φji Pj (τ ) = hφ|i |P (τ )i
i = 1; n
(8.44)
(8.44a)
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
262
ser´ıa la carga normalizada concentrada actuante en el punto nodal concordante con la coordenada normalizada considerada en turno, y ξ0i , ξ˙0i la posici´on y velocidad iniciales de la misma coordenada normalizada, respectivamente. Impl´ıcitamente, adem´as, se ha considerado t0 = 0 en la Ecuaci´on (8.44) como instante inicial de observaci´ on. Esta soluci´ on gen´erica de comportamiento din´amico de cualquiera de las coordenadas normalizadas, fu´e obtenida adecuando la notaci´ on de la Ecuaci´on (2.4) que describe la soluci´on de la ecuaci´on gobernante de la din´ amica de vibraci´ on de un sistema forzado no–amortiguado de un solo grado de libertad.
8.6.1.
Condiciones iniciales en coordenadas normalizadas
Si el sistema no parte del reposo, o el an´alisis del movimiento comienza en un instante dado con valores de desplazamiento y velocidad conocidos, puede ser necesario calcular las condiciones iniciales asociadas a las coordenadas normales. El procedimiento es el que desarrollamos a continuaci´on, partiendo de la relaci´ on planteada para la transformaci´on de coordenadas: |u(t)i = [Φ]|ξ(t)i derivando,
˙ |u(t)i ˙ = [Φ]|ξ(t)i
donde [Φ] es la matriz modal normalizada. Si pre–multiplicamos ambas relaciones por [Φ]T [M ], obtendremos: [Φ]T [M ]|u(t)i = [Φ]T [M ][Φ]|ξ(t)i ˙ [Φ]T [M ]|u(t)i ˙ = [Φ]T [M ][Φ]|ξ(t)i Recordando que se cumple: [Φ]T [M ][Φ] = [I], y valorando ambas relaciones en el instante inicial t = t0 (por generalidad se asume t0 = 0, como instante inicial de observaci´on), tendremos: |ξ(t0 )i = [Φ]T [M ]|u(t0 )i ˙ 0 )i = [Φ]T [M ]|u(t |ξ(t ˙ 0 )i
(8.45a) (8.45b)
que resultan ser relaciones a partir de las cuales obtenemos los valores ξ0i = ξi (t0 ) y ξ˙0i = ξ˙i (t0 ), necesarios para establecer expl´ıcitamente la soluci´on de comportamiento de cualquiera de las coordenadas normalizadas, acorde con la Ecuaci´ on (8.44) que describe el comportamiento din´amico de ellas. Si en lugar de la matriz modal normalizada [Φ] habitual, se utiliza la matriz modal natural [Ψ] (no–normalizada), es evidente que el procedimiento anterior involucra la inversi´on de la matriz producto [Ψ]T [M ][Ψ]; situaci´ on que no presentar´ıa esfuerzo adicional extraordinario, por ser ´esta matriz diagonal. En ese caso se puede demostrar que las condiciones iniciales en coordenadas normalizadas se evaluar´ an seg´ un las relaciones siguientes: ha|i [M ]|u(t0 )i ηi
(8.46a)
ha|i [M ]|u(t ˙ 0 )i ξ˙0i = ξ˙i (t0 ) = ηi
(8.46b)
ηi = ha|i [M ]|aii
(8.46c)
ξ0i = ξi (t0 ) =
donde:
i = 1; n
Estas ecuaciones se transformar´ an en las Ecuaciones (8.45) precedentes, si es que en ellas hacemos: ha|i = hφ|i y ηi = 1 como puede Usted f´ acilmente comprobar. Ejemplo 8.6. Consideremos nuevamente el p´ortico de dos pisos que fu´e analizado de modo parcial en el Ejemplo 8.1. Ahora someteremos a la estructura a las cargas mostradas en la Figura 8.12, donde: P1 (t) = P10 sin Ω1 t
P10 = 30 Ton
Ω1
= 3, 05 rad/seg
P2 (t) = P20 sin Ω2 t
P20 = 40 Ton
Ω2
= 2, 37 rad/seg
´ FORZADA NO–AMORTIGUADA 8.6. VIBRACION
263
Deseamos calcular la respuesta del sistema, considerando condiciones iniciales de movimiento nulas y despreciable el amortiguamiento; es decir, la variaci´on temporal de los desplazamientos horizontales que producen las cargas aplicadas a la estructura.
m1 P1(t)
k1
u1
m2 P2(t)
k2
u2
Figura 8.12: Estructura tipo p´ortico con perturbaci´on externa > Soluci´ on Las frecuencias naturales, y los vectores de amplitud de los modos de vibraci´on son conocidos, as´ı como tambi´en la matriz modal normalizada; a partir de los resultados obtenidos en los Ejemplos 8.1 y 8.3. Por lo tanto, para hallar la soluci´ on buscada al problema aqu´ı planteado solo requerimos calcular el vector de carga modal |P˜ (t)i = [Φ]T |P (t)i En el Ejemplo 8.3 determinamos que la matriz modal normalizada era: 0, 606 0, 364 [Φ] = |φi1 |φi2 = 0, 258 −0, 428 y, el vector de cargas externas aplicadas a la estructura es en este caso: P10 sin Ω1 t |P (t)i = P20 sin Ω2 t Entonces, P˜ (t) 0, 606 0, 258 P10 sin Ω1 t = |P˜ (t)i = ˜1 0, 364 −0, 428 P20 sin Ω2 t P2 (t) 0, 606 P10 sin Ω1 t + 0, 258 P20 sin Ω2 t = 0, 364 P10 sin Ω1 t − 0, 428 P20 sin Ω2 t Las ecuaciones desacopladas, descritas en t´erminos de las coordenadas normalizadas, est´an establecidas mediante la Ecuaci´ on (8.43), que para el caso presente conduce al sistema de ecuaciones diferenciales independientes siguiente: ξ¨1 (t) + ω12 ξ1 (t) = 0, 606 P10 sin Ω1 t + 0, 258 P20 sin Ω2 t ξ¨2 (t) + ω 2 ξ2 (t) = 0, 364 P10 sin Ω1 t − 0, 428 P20 sin Ω2 t 2
Como suponemos que el amortiguamiento anula las vibraciones libres, y que el sistema parte en su movimiento de una condici´ on de reposo absoluto; la respuesta temporalmente variable para las coordenadas normalizadas ser´ıa en este caso particular aquella dada por la respuesta en r´egimen permanente debida a una perturbaci´ on senoidal con dos componentes arm´onicas de diferente frecuencia: ξ1 (t) =
0, 606 P10 0, 258 P20 sin Ω1 t + sin Ω2 t (1 − h211 ) ω12 (1 − h221 ) ω12
ξ2 (t) =
0, 364 P10 0, 428 P20 sin Ω1 t − sin Ω2 t (1 − h212 ) ω22 (1 − h222 ) ω22
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
264
siendo,
hij =
Ωi ωj
i, j = 1, 2
la relaci´ on de frecuencias en la respuesta de las formas modales en coordenadas normalizadas. Las expresiones anteriores se escribieron aplicando el principio de superposici´on y adecuando la notaci´ on establecida para la Ecuaci´ on (3.4), que d´a la respuesta forzada de un sistema de un solo grado de libertad sometido a una perturbaci´on externa arm´onica senoidal. 3 Conocida la soluci´ on en t´erminos de las coordenadas normalizadas, podemos retornar mediante el proceso de transformaci´ on aplicado, hacia las coordenadas geom´etricas o grados de libertad originales por medio de la Ecuaci´ on (8.39), |u(t)i = [Φ]|ξ(t)i para obtener las relaciones matem´ aticas que describen la variaci´on temporal de los desplazamientos horizontales de los entrepisos del p´ ortico en an´alisis. Evaluando la ecuaci´on precedente, tendr´ıamos: u1 (t) 0, 606 ξ1 (t) + 0, 364 ξ2 (t) |u(t)i = = u2 (t) 0, 258 ξ1 (t) − 0, 428 ξ2 (t) Reemplazando las expresiones halladas anteriormente para ξ1 (t) y ξ2 (t), y evaluando num´ericamente con los datos disponibles, obtenemos como relaciones definitivas que describen el comportamiento de los desplazamientos horizontales del p´ ortico a las expresiones siguientes: u1 (t) = 5, 15 sin 3, 05t + 0, 88 sin 2, 37t u2 (t) = 2, 00 sin 3, 05t + 0, 67 sin 2, 37t Tratando estas ecuaciones como descripciones fasoriales de los desplazamientos soluci´on del problema, resultar´ a que las amplitudes m´ aximas de movimiento ser´ıan: p ax um´ = 5, 152 + 0, 882 = 5, 22 [cm] 1 p ax um´ = 2, 002 + 0, 672 = 2, 11 [cm] 2 > Aqu´ı es necesario algo de texto
8.7.
Vibraci´ on forzada amortiguada
La soluci´ on de la ecuaci´ on gobernante de la din´amica de vibraci´on de un sistema en el cual se incluye el amortiguamiento, est´ a condicionada a la forma de la matriz de amortiguamiento [C] que representa las caracter´ısticas de disipaci´ on energ´etica que posee el sistema, y tambi´en depende de la relaci´ on que ´esta matriz posee con las matrices de masa [M ] y rigidez [K] que describen propiedades inerciales y el´ asticas, respectivamente. Sea la ecuaci´ on de movimiento para un sistema forzado y amortiguado modelado con n grados de libertad, como fu´e planteado a inicios del presente cap´ıtulo por medio de la Ecuaci´on (8.1), que considera todos los valores param´etricos din´amicos de un sistema que tiene movimiento vibratorio, [M ]|¨ ui + [C]|ui ˙ + [K]|ui = |P i Si aplicamos la Ecuaci´ on (8.39) que efect´ ua una transformaci´on de las coordenadas geom´etricas hacia coordenadas normalizadas, y premultiplicamos la relaci´on obtenida por la transpuesta de la matriz modal normalizada, obtendremos como resultado: ¨ + [Φ]T [C][Φ]|ξi ˙ + [ω 2 ]|ξi = |P˜ i |ξi 3 En el caso presente analizado, consideramos adem´ as que las masas del modelo de par´ ametros concentrados del sistema vibratorio transformado, expresado en coordenadas normalizadas, son todas de valor unidad. Por ello, en las amplitudes de las funciones senoidales aparece la frecuencia natural cuadr´ atica en cada uno de los t´ erminos que definen la amplitud de los modos de vibraci´ on normalizados.
´ FORZADA AMORTIGUADA 8.7. VIBRACION
265
De ´esta ecuaci´ on inferimos que el sistema de ecuaciones diferenciales representado ser´a desacoplable (sistema de ecuaciones diferenciales independientes en sus coordenadas variables unas de otras) solamente si el producto matricial [Φ]T [C][Φ] tiene como resultado una matriz diagonal. Se puede demostrar que ´esta situaci´ on solo puede darse cuando la matriz de amortiguamiento es proporcional a la matriz de masa, o proporcional a la matriz de rigidez; o cuando es combinaci´on lineal de ambas (que es m´ as general), en cuyo caso podemos asumir que: 2ω1 β1 2ω2 β2 [Φ]T [C][Φ] = [2βω] = (8.47) . . . 2ωn βn Y, aceptando como v´ alida esta relaci´on, la ecuaci´on precedente adquiere el aspecto matem´atico mostrado a continuaci´ on: ¨ + [2βω]|ξi ˙ + [ω 2 ]|ξi = |P˜ i |ξi (8.48) la misma que desarrollada en todos sus t´erminos define un sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado, en el que una ecuaci´ on arbitraria componente del conjunto se escribe como: ξ¨i + 2 ωi βi ξ˙i + ωi2 ξ = P˜i
i = 1; n
(8.48a)
que adem´ as se asocia con pertinentes condiciones de borde l´ımite: ξi (t0 ) = ξi0 y ξ˙i (t0 ) = ξ˙i0 , que representan las condiciones iniciales de movimiento en la coordenada normalizada que est´a siendo considerada en turno. La soluci´ on de la Ecuaci´ on (8.48a) puede obtenerse aplicando las t´ecnicas desarrolladas anteriormente para sistemas con un solo grado de libertad, recordando que el sistema considerado en el caso presente posee valor de masa unitaria. Aplicando esta concepci´on para resolver la ecuaci´on gen´erica planteada anteriormente, tendremos: ξi (t) = ξi (t)L + ξi (t)F donde los sub´ındices tienen el significado de: “L”– libre, y “F ”– forzada. Es decir, que la respuesta general de cualquier coordenada normalizada tiene una componente asociada con las condiciones iniciales de movimiento (respuesta libre), y una segunda componente asociada con la perturbaci´on aplicada al sistema (respuesta forzada). De modo desarrollado, asumiendo que el instante inicial de observaci´ on es t0 = 0, la respuesta que se presenta en cualquier coordenada normalizada gen´erica es: ! ξ˙i0 + ωi ξi0 −βi ωi t ξi0 cos ωai t + sin ωai t ξi (t) = e ωai (8.49) Z t 1 −βi ωi (t−τ ) ˜ Pi (τ ) sin ωai (t − τ ) dτ i = 1; n + e ωai 0 q donde, ωai = ωi 1 − βi2 es la frecuencia natural circular amortiguada asociada al i–´esimo modo de oscilaci´on, el cual tiene asignado un valor de fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico de magnitud βi que se ha especificado. Adem´ as, en la ecuaci´ on precedente, el t´ermino sub–integral de carga modal normalizada tiene la misma expresi´ on que aquella establecida para el caso de vibraci´on forzada no–amortiguada, en la Ecuaci´ on (8.44a) de la secci´ on anterior. Aplicando la Ecuaci´ on (8.49) a cada una de las coordenadas normalizadas en turno, podemos luego agrupar estas soluciones obtenidas en un arreglo matricial en columna (vector), que resultar´ıa ser: hξ(t)| = ξ1 (t) ξ2 (t) · · · ξn (t)
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
266
Y, para obtener la soluci´ on final de los desplazamientos en las coordenadas geom´etricas originales del modelo matem´ atico de an´ alisis, apelamos a la aplicaci´on de la relaci´on que define la transformaci´on de coordenadas: |u(t)i = [Φ]|ξ(t)i con lo que habr´ıamos obtenido finalmente la respuesta de vibraci´on forzada amortiguada de un sistema modelado con m´ ultiples grados de libertad.
8.7.1.
Especificaci´ on del amortiguamiento
La diagonalizaci´ on de la matriz de amortiguamiento mediante la matriz modal normalizada en la pr´ actica solo se d´ a bajo condiciones muy especiales. En ese sentido, la Ecuaci´on (8.47) es una imposici´on de caracter te´ orico, y la forma del resultado mostrado solo puede ser defendida y justificada en base a resultados te´ oricos obtenidos que sean concordantes con mediciones pr´acticas experimentales. Este aspecto, sin embargo, no debe preocupar al analista; ya que dada la dificultad para conocer la matriz de amortiguamiento, adem´ as de no ser nada pr´actico intentar su c´alculo, existe la alternativa de asignar coeficientes de amortiguamiento cr´ıticos a cada uno de los modos de vibraci´on, y de esa forma generar la forma diagonal asociada a la matriz de amortiguamiento. Este punto de vista, arbitrario; pero consagrado por la pr´actica, tiene el inconveniente que no es posible asignar, sin dificultad, valores a todos los modos de vibrar de un sistema con m´ ultiples grados de libertad; corriendo el riesgo de perder criterio a medida que se inicia la asignaci´on de valores. En consecuencia, es deseable tener un procedimiento anal´ıtico para asignar todo el conjunto de coeficientes de amortiguamiento a partir de unos cuantos de ellos inicialmente asumidos con cierto criterio respaldado por la pr´ actica. Consideremos la Ecuaci´ on (8.15) repetida aqu´ı: ha|s ([K][M ]−1 )b [K]|ais = ωs2b+2 ms
(8.50)
Si suponemos que la matriz de amortiguamiento tiene proporcionalidad con la matriz de masa y rigidez seg´ un la forma: X [C] = ([K][M ]−1 )b [K]db (8.51) b
donde db son coeficientes constantes a evaluarse. Si esta ecuaci´on es pre–multiplicada por ha|s y post– multiplicada por |ais , respectivamente (siendo ´este un vector modal no–normalizado gen´erico); se obtiene: X ha|s [C]|ais = ha|s ([K][M ]−1 )b [K]|ais db = 2 ωs βs ms (8.52) b
Reemplazando la Ecuaci´ on (8.50) en la Ecuaci´on (8.52) hallamos: X
db ωs2b+2 ms = 2 ωs βs ms
b
de donde,
βs =
1X db ωs2b+1 2
(8.53)
b
Debido a que tenemos determinado n´ umero p de frecuencias naturales asociadas con igual n´ umero de modos de vibraci´ on que se consideren para el c´alculo, como id´entico n´ umero de coeficientes db que debemos determinar, el sistema especificado por la Ecuaci´on (8.53) puede resolverse para los coeficientes constantes; en el supuesto que se conocen los valores de la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico βs de los diferentes modos de vibraci´on que se est´en considerando. Es decir, que si se aplica la ecuaci´ on precedente de forma reiterada a los diversos modos cuyos datos de alg´ un modo sean conocidos,
´ FORZADA AMORTIGUADA 8.7. VIBRACION
267
se obtiene un sistema de ecuaciones simult´aneo que puede escribirse como ecuaci´on matricial sint´etica en la forma: [Q]|di = 2|βi de la cual obtenemos como soluci´ on a los coeficientes de proporcionalidad buscados: |di = 2[Q]−1 |βi
(8.54)
Luego de determinar los coeficientes buscados, aplicando la ecuaci´on anterior, la matriz de amortiguamiento [C] puede calcularse a partir de la Ecuaci´on (8.51), con todos sus coeficientes completamente determinados; con el a˜ nadido que este arreglo as´ı calculado de forma garantizada ser´a diagonalizado mediante la matriz modal normalizada; pudi´endose con ello lograr desacoplar las coordenadas geom´eticas originales en la ecuaci´ on gobernante de la din´amica de movimiento vibratorio del sistema amortiguado, al ser convertidas hacia coordenadas normalizadas. El ejemplo que ser´ a desarrollado a continuaci´on, proporciona un uso alternativo de la Ecuaci´ on (8.53) que permite determinar una forma espec´ıfica (proporcional a las matrices de masa y rigidez) para la matriz de amortiguamiento. Ejemplo 8.7. Un sistema vibratorio, modelado con diversos grados de libertad, tiene como valores de menor magnitud de sus diversas frecuencias naturales circulares a: ω1 = 11, 62 [rad/seg]
ω2 = 27, 50 [rad/seg]
ω3 = 45, 90 [rad/seg]
···
Suponiendo que las fracciones de amortiguamiento cr´ıtico del modo fundamental y terciario tienen los valores: β1 = 5 % β3 = 15 % Calcular la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico β2 que posee el modo secundario de vibraci´on, y tambi´en determinar la expresi´ on que define a la matriz de amortiguamiento en t´erminos de las matrices de masa y rigidez. > Soluci´ on Como disponemos datos completos para dos modos de vibraci´on del sistema en an´alisis, supongamos que la variable param´etrica “b” adopta los valores b = −1 y b = 0. Entonces, aplicando la Ecuaci´ on (8.53) con estos valores se determina como ecuaci´on recursiva v´alida para todos los modos de oscilaci´ on: 2 βs = d−1 ωs−1 + d0 ωs ∀s (?) Apliquemos ahora esta ecuaci´ on a los dos modos cuyos valores param´etricos de comportamiento din´ amico amortiguado son conocidos; es decir aplicamos la ecuaci´on precedente tomando las formas modales: s = 1, 3 en orden correlativo. Entonces reemplazando valores num´ericos, 2×0, 05 = d−1 0, 086 + d0 11, 62
(Para s = 1)
2×0, 15 = d−1 0, 022 + d0 45, 22
(Para s = 3)
Matricialmente resulta,
que tiene como soluci´ on:
0, 086 11, 62 d−1 0, 1 = 0, 022 45, 22 d0 0, 3 d−1 0, 000 0, 000 0, 1 0, 285 = = d0 0, 000 0, 000 0, 3 0, 007
La fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico del modo secundario de vibraci´on se calcula a partir de la Ecuaci´ on (?) establecida previamente, β2 =
1 d−1 ω2−1 + d0 ω2 2
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
268
Si ahora reemplazamos datos: 1 0, 285 (27, 50)−1 + 0, 007 (27, 50) = 0, 101 2 Este valor hallado de fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico del segundo modo de vibraci´on (s = 2) en t´erminos porcentuales resulta ser: β2 = 10, 1 % ; lo cual es indicativo que la elecci´on de los valores tomados para la variable param´etrica “b”, es adecuada y aceptable. Como paso de c´ alculo final, ahora podemos determinar una expresi´on general aplicable para la evaluaci´ on de la matriz de amortiguamiento en t´erminos de las matrices de masa y rigidez. De la Ecuaci´ on (8.51), X [C] = ([K][M ]−1 )b [K]db β2 =
b
tendremos que en el caso particular que nos ata˜ ne, el desarrollo de esta expresi´on (b = −1, 0) adquiere la forma mostrada: [C] = ([K][M ]−1 )−1 [K]d−1 + ([K][M ]−1 )0 [K]d0 = ([M ]−1 )−1 [K]−1 [K]d−1 + [I][K]d0 = [M ][I]d−1 + [I][K]d0 En consecuencia,
[C] = d−1 [M ] + d0 [K]
En t´erminos simples, la matriz de amortiguamiento resulta ser combinaci´on lineal de las matrices de masa y rigidez; y por lo tanto es proporcional a ambos arreglos matriciales (lo que garantiza su diagonalizaci´ on mediante la matriz modal). Si reemplazamos los valores num´ericos hallados para los coeficientes de proporcionalidad: [C] = 0, 007[M ] + 0, 285[K] ser´ıa la forma que adopta la matriz de amortiguamiento para los valores establecidos en este ejemplo. > nota: En general se deben elegir valores para la variable param´etrica “b” tan cercanos a cero como sea posible; recordando que ´este par´ ametro asume valor en n´ umeros enteros comprendidos entre: −∞ < b < ∞ La pr´ actica ense˜ na que si se tienen conocidos varios modos de oscilaci´on, se debe tratar de escoger id´entico n´ umero de valores negativos como positivos de ser posible, a fin de obtener una buena exactitud en la predicci´ on de la forma matem´ atica aproximada, adoptada por la matriz de amortiguamiento. El ejemplo anterior mostr´ o que la matriz de amortiguamiento puede ser expresada como combinaci´ on lineal de las matrices de masa y rigidez en la forma general: [C] = α0 [M ] + α1 [K]
α0 , α1 ctes.
(8.55)
que es denominada matriz de amortiguamiento de Raleigh. Si pre–multiplicamos esta relaci´on por la transpuesta de la matriz modal normalizada, y post–multiplicamos por la matriz modal normalizada; queda: [Φ]T [C][Φ] = α0 [Φ]T [M ][Φ] + α1 [Φ]T [K][Φ] Previamente, asumimos que todos estos productos matriciales tiene como resultado matrices diagonales: [Φ]T [C][Φ] = [2βω] [Φ]T [M ][Φ] = [I] [Φ]T [K][Φ] = [ω 2 ] Y, por ende, la ecuaci´ on precedente adopta la forma de relaci´on entre matrices diagonales: [2βω] = α0 [I] + α1 [ω 2 ]
(8.56)
´ 8.8. RESPUESTA ELASTICA DEL SISTEMA
269
siendo cualquier ecuaci´ on gen´erica componente de esta serie, 2 βi ωi = α0 + α1 ωi2
i = 1; n
(8.56a)
Esta ecuaci´ on recursiva nos permitir´a determinar las constantes, bajo la condici´on de tener conocimiento de las propiedades din´ amicas asociadas a dos modos particulares cualquiera del sistema en estudio. As´ı, considerando dos modos de vibrar distintos (r 6= s), y aplicando esta ecuaci´on a dichas formas modales; α0 + α1 ωr2 = 2 βr ωr Operando matricialmente,
y, resolviendo resulta:
α0 + α1 ωs2 = 2 βs ωs " # 1 ωr2 α0 2 βr ωr = α1 2 βs ωs 1 ωs2 2 1 ωs −ωr2 2 βr ωr α0 = 2 1 2 βs ωs α1 (ωs − ωr2 ) −1
(8.57)
Estos valores soluci´ on reemplazados en la Ecuaci´on (8.56a), permitir´a que usando la misma podamos asignar de modo consistente las fracciones de amortiguamiento cr´ıtico βi (i = 1, n i 6= r, s) m´ as recomendables a los dem´ as modos de oscilaci´on que no fueron considerados en este procedimiento de evaluaci´ on de las constantes que definen a la matriz de amortiguamiento de Raleigh. Este proceso de asignaci´ on de fracciones de amortiguamiento cr´ıtico se lo hace utilizando la siguiente ecuaci´on: βi =
α0 α1 ωi + 2ωi 2
i = 1, n
i 6= r, s
(8.56b)
la cual se la obtiene desde la Ecuaci´on (8.56a), mediante un simple despeje de la variable de inter´es. Le sugerimos que como ejercicio de evaluaci´on num´erica, aplique la metodolog´ıa aqu´ı desarrollada para verificar la soluci´ on obtenida en el Ejemplo 8.7 resuelto recientemente. La matriz de amortiguamiento de Raleigh contiene impl´ıcitamente las dos formas alternativas posibles para la matriz de amortiguamiento de un sistema: Matriz de amortiguamiento proporcional a la matriz de masa:
[C] = α0 [M ]
(α1 = 0)
Matriz de amortiguamiento proporcional a la matriz de rigidez:
[C] = α1 [K]
(α0 = 0)
Las relaciones entre las fracciones de amortiguamiento cr´ıtico y las frecuencias de los modos de oscilaci´ on, las que fueron expresadas mediante las anteriores ecuaciones que fueron presentadas, son mostradas gr´ aficamente en la Figura 8.13. En este punto convendr´ıa discutir cual el motivo del c´alculo de la matriz de amortiguamiento [C]. En realidad, si se utiliza como base de c´alculo el m´etodo de superposici´on modal que fu´e ampliamente expuesto como herramienta de an´ alisis; no hay motivo para conocer la matriz de amortiguamiento. El conocimiento de ´esta matriz tiene utilidad cuando la integraci´on de las ecuaciones de movimiento se la realiza por m´etodos directos discretos, muy usuales para el an´alisis de sistemas no–lineales !.
8.8.
Respuesta el´ astica del sistema
A partir del conocimiento de los desplazamientos asociados con los grados de libertad que fueron especificados en la construcci´ on del modelo matem´atico de an´alisis (productos de la soluci´on de la ecuaci´ on gobernante), es posible calcular las fuerzas el´asticas en el sistema. Esto puede hacerse a partir de la ecuaci´ on b´ asica que relaciona estas fuerzas el´asticas con los desplazamientos, a trav´es de la matriz de rigidez: |Fk i = [K]|ui (8.58)
´ DE LA RESPUESTA CAP´ITULO 8. EVALUACION
270
Combinado (Raleigh)
s r
Proporcional a la rigidez
Proporcional a la masa
r
s
Figura 8.13: Fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico en funcion de la frecuencia
Pero, por la transformaci´ on de coordenadas: |ui = [Φ]|ξi, obtenemos: |Fk i = [K][Φ]|ξi
(8.58a)
donde |ξi = |ξ(t)i es el vector de coordenadas modales normalizadas, las cuales se asumen conocidas por ser soluci´ on de la ecuaci´ on gobernante de la din´amica de movimiento oscilatorio del sistema expresada en estas coordenadas mediante la ecuaci´ on general: ¨ + [2βω]|ξi ˙ + [ω 2 ]|ξi = |P˜ i |ξi que precisamente se resuelve para el vector |ξi, el mismo que permite que la identidad postulada por la ecuaci´ on anterior se cumpla. Luego, cualquiera de las ecuaciones anteriores nos sirve para el c´alculo de las fuerzas el´asticas actuantes sobre el sistema durante el movimiento vibratorio del mismo. Las fuerzas el´ asticas tambi´en pueden ser calculadas apelando a la ecuaci´on que describe el problema b´ asico de vectores y valores propios hacia el cual deviene el fen´omeno de vibraci´on de un sistema de varios grados de libertad; pues se ha demostrado que para un modo cualquiera de vibraci´on, expresado ´este en t´erminos de los vectores modales normalizados, se cumple la relaci´on: [K]|φir = ωr2 [M ]|φir
r = 1; n
Utilizando esta ecuaci´ on, o las relaciones generales de diagonalizaci´on de las matrices de masa y rigidez mediante la matriz modal normalizada, se puede demostrar (v´ease el Problema 8.7) que las fuerzas el´ asticas son tambi´en suceptibles de ser calculadas mediante:
O bien:
|Fk i = [ω 2 ][M ][Φ]|ξi
(8.59)
|Fk i = [ω 2 ][M ]|ui
(8.59a)
Esta forma de evaluaci´ on de las fuerzas el´asticas es menos laboriosa que aquella basada en la matriz de rigidez, sobretodo para los casos en los que el sistema ha sido modelado utilizando el m´etodo de par´ ametros concentrados, que conduce a un procedimiento de definici´on de una matriz de masa diagonal para la descripci´ on de las propiedades inerciales.
Problemas propuestos
271
Problemas propuestos 8.1. En base a la expresi´ on que define la energ´ıa de deformaci´on el´astica de un sistema con m´ ultiples grados de libertad, demostrar que la matriz de flexibilidad [F ] es matriz sim´etrica; es decir que cumple [F ] = [F ]T . En la teor´ıa del an´ alisis matricial estructural ´esta propiedad usualmente se establece mediante el teorema de desplazamientos rec´ıprocos de Maxwell, que indica: “La deflexi´on en un determinado punto de una estructura debida a una carga unitaria aplicada en otro punto, es igual a la deflexi´ on que se produce en el segundo punto cuando una carga unitaria es aplicada en el primer punto”, donde en esta expresi´on debe entenderse que la deflexi´on en un punto cualquiera es medido en la misma direcci´on que la carga aplicada en dicho punto. 8.2. Deducir las Ecuaciones (8.46) 8.3. Determinar la frecuencias naturales y los vectores de amplitud modales del Ejemplo 8.5.
Ap´ endice A
El principio de superposici´ on Si consideramos un sistema din´ amico, o sea aquel en el que las variables f´ısicas que definen su “estado” de comportamiento tienen dependencia dir´ecta del tiempo, la manera en la cual responde a excitaciones o perturbaciones provenientes de su entorno exterior depende de la naturaleza de ´estas acciones aplicadas y de las caracter´ısticas propias del sistema (sus par´ametros f´ısicos). En los primeros cap´ıtulos de ´este libro examinamos varios tipos de excitaciones, y en ´este Ap´endice deseamos investigar c´ omo las caracter´ısticas del sistema afectan su comportamiento a causa de los est´ımulos actuantes sobre ´el, los mismos que provienen de su entorno exterior o medio ambiente. Para el fin expresado anteriormente consideremos el diagrama simb´olico de bloques mostrado en la Figura A.1, en el cual el sistema es representado como una “caja negra” conteniendo las caracter´ısticas o par´ ametros del sistema (en el caso de un sistema vibratorio: la masa, la elasticidad y el amortiguamiento). El significado impl´ıcito de ´este diagrama es que un sistema din´amico sujeto a una excitaci´ on variable en el tiempo P (t) exhibe cierta respuesta tambi´en temporalmente variable x(t).
P( t ) Excitación
Sistema
x( t ) Respuesta
Figura A.1: Diagrama de bloques de sistema din´amico En general, un sistema es definido como una agregaci´on de elementos componentes interconectados, los cuales trabajan funcionando simult´aneamente como una sola unidad. Las caracter´ısticas del sistema no solo est´ an determinadas por las relaciones excitaci´on–respuesta de los componentes individuales, sino tambi´en de la manera en la cual estos elementos est´an conectados entre s´ı dentro los l´ımites del sistema. Las caracter´ısticas de todo el sistema est´an determinadas naturalmente en el proceso de deducci´ on de las ecuaciones din´ amicas de su comportamiento (en sistemas vibratorios, las ecuaciones de movimiento), como podemos concluir de los desarrollos efectuados en los diversos cap´ıtulos de ´este documento. Una de las preguntas m´ as importantes en la mec´anica de vibraciones es determinar si un sistema es lineal o no–lineal. Como la respuesta a esta interrogante tiene implicancias profundas que van m´ as alla del inter´es de la propia soluci´on a las ecuaciones del movimiento, adoptaremos una v´ıa de an´ alisis centrado en el propio sistema y sus caracter´ısticas inherentes. Para responder a esta pregunta, suponemos que un sistema en particular, cuando es sometido a la acci´on de dos fuerzas distintas P1 (t) y P2 (t), presenta las respuestas x1 (t) y x2 (t), respectivamente. Entonces, si aplicamos al sistema una fuerza de la forma: P (t) = c1 P1 (t) + c2 P2 (t) (A.1) 273
´ ´ APENDICE A. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
274
donde c1 y c2 son constantes, y la respuesta a P (t) es: x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t)
(A.2)
el sistema es lineal. Esta situaci´ on es mostrada en la Figura A.2 P1( t )
Sistema lineal
x1( t )
P2( t )
Sistema lineal
x2( t )
c1P1( t ) + c2P2( t )
Sistema lineal
c1x1( t ) + c2x2( t )
Figura A.2: Relaci´ on excitaci´on–respuesta para sistema lineal Por otra parte, si la respuesta es: x(t) 6= c1 x1 (t) + c2 x2 (t)
(A.3)
el sistema es no–lineal. Las Ecuaciones (A.1) y (A.2) pueden ser extendidas al caso en el que P (t) y x(t) son la suma de cualquier n´ umero de excitaciones y respuestas, respectivamente. Las ecuaciones anteriormente establecidas representan matem´aticamente al principio de superposici´ on, el cual puede establecerse como sigue: Si un sistema lineal es sometido a la acci´on de una perturbaci´on que es una combinaci´on lineal de un n´ umero determinado de excitaciones individuales; las respuestas individuales a cada una de estas perturbaciones pueden ser obtenidas primero por separado y luego ser superpuestas mediante una combinaci´ on lineal para obtener la respuesta total a la perturbaci´on que fu´e originalmente aplicada al sistema. Como una ilustraci´ on, consideremos un sistema cuyo comportamiento de respuesta x = x(t) a una excitaci´ on temporal externa P (t) aplicada, est´a descrita por la ecuaci´on diferencial gobernante: m
d2 x dx + k x = P (t) +c 2 dt dt
(A.4)
y denotemos la respuesta a la perturbaci´ on P1 (t) como x1 (t), y la respuesta a la perturbaci´on P2 (t) como x2 (t); de modo que: d2 x1 dx1 m 2 +c + k x1 = P1 (t) (A.5a) dt dt d2 x2 dx2 m 2 +c + k x2 = P2 (t) (A.5b) dt dt Luego, asumamos una excitaci´ on de la forma establecida en la Ecuaci´on (A.1). Multiplicando la primera de las Ecuaciones (A.5) por c1 y la segunda por c2 , a˜ nadimos los resultados y podemos escribir: d2 x1 dx1 d2 x2 dx2 c1 m 2 + c + k x 1 + c2 m 2 + c + k x2 dt dt dt dt 2 (A.6) d d = m 2 (c1 x1 + c2 x2 ) + c (c1 x1 + c2 x2 ) + k (c1 x1 + c2 x2 ) dt dt = c1 P1 (t) + c2 P2 (t) = P (t)
275
Comparando las Ecuaciones (A.4) y (A.6), concluimos que la Ecuaci´on (A.2) se satifisface id´enticamente; y por tanto el sistema es lineal !. Consideremos ahora otro sistema, cuyo comportamiento est´a gobernado por la ecuaci´on: m
dx d2 x +c + k (x + x3 ) = P (t) dt2 dt
(A.7)
Siguiendo el mismo procedimiento, escribimos: dx1 d2 x1 +c + k (x1 + x31 ) = P1 (t) dt2 dt dx2 d2 x2 m 2 +c + k (x2 + x32 ) = P2 (t) dt dt multiplicando la primera ecuaci´ on por c1 , la segunda por c2 , y sumando los resultados dx1 dx2 d2 x1 d2 x2 + k (x1 + x31 ) + c2 m 2 + c + k (x2 + x32 ) c1 m 2 + c dt dt dt dt d d2 = m 2 (c1 x1 + c2 x2 ) + c (c1 x1 + c2 x2 ) + k (c1 x1 + c2 x2 ) + k (c1 x31 + c2 x32 ) dt dt = c1 P1 (t) + c2 P2 (t) = P (t) m
Pero, en raz´ on que:
c1 x31 + c2 x32 6= (c1 x1 + c2 x2 )3
(A.8)
conclu´ımos que la Ecuaci´ on (A.2) no se cumple; y por tanto el sistema descrito por la Ecuaci´on (A.7) no es lineal !. Esto se explica por el hecho que la Ecuaci´on (A.7) representa la ecuaci´on de movimiento de un sistema de un grado de libertad amortiguado forzado con un resorte no–lineal. Para > 0, ´este elemento es un resorte endurecido; en cambio, para < 0 se trata de un resorte reblandecido. Comparando las Ecuaciones (A.4) y (A.7), vemos que la u ´nica diferencia entre ambas radica en el t´ermino c´ ubico en x que aparece en la Ecuaci´on (A.7). De aqu´ı podemos extractar una importante conclusi´ on: “Un sistema es lineal si la variable dependiente x(t) y todas sus derivadas temporales, aparecen en la ecuaci´ on de movimiento con exponente unitario o nulo solamente”, donde la potencia cero implica que el t´ermino correspondiente es constante. 1 Basados en esta conclusi´ on, es posible en mayor parte averiguar si un sistema es lineal o no–lineal, simplemente inspeccionando la ecuaci´on diferencial que describe el fen´omeno f´ısico en estudio, y probar a todas las variables dependientes involucradas en su comportamiento de linealidad no es absolutamente necesario. Aunque llegamos a esta conclusi´on en base de un sistema con un solo grado de libertad, una conclusi´ on similar puede ser emitida para sistemas con m´ ultiples grados de libertad y tambi´en para los sistemas de par´ ametros distribuidos. Efectivamente, es suficiente que una sola variable dependiente o cualquiera de sus derivadas sea no–lineal para que todo el sistema sea no–lineal. La distinci´ on entre sistemas lineales y no–lineales no es un aspecto de simple elecci´on como podr´ıa parecer, ya que un mismo sistema puede ser tratado como lineal en cierto rango de sus variables dependientes y como no–lineal sobre otros rangos. Para ilustrar la idea, consideremos el sistema de la Ecuaci´ on (A.7) asumiendo que es una cantidad muy peque˜ na. Luego, para el rango en el cual x3 x, el sistema puede ser tratado como lineal. De otro modo, si x adopta magnitudes de amplitud tales que x3 es del mismo orden de magnitud que x; el sistema debe ser tratado como no–lineal. Claramente, para este caso existe un estado, o punto de funcionamiento, por encima del cual un ´ sistema que es lineal deja de serlo. Este punto l´ımite establece un rango de variaci´on en el interior del cual el elemento tiene comportamiento lineal, lo cual es mostrado en la Figura 1.9 (v´ease el Cap´ıtulo 1). Desafortunadamente, a menudo, este punto l´ımite no est´a definido con absoluta exactitud; y su elecci´ on en este caso depender´ a del nivel de precisi´on deseado en el proceso de modelado. 1 En t´ erminos m´ as precisos, esto significa que la variable dependiente y sus derivadas temporales consecutivas son t´ erminos de orden unidad o menor: x, x, ˙ x ¨, . . . 6 O(1).
´ ´ APENDICE A. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
276
P(t-)
Sistema lineal permanente
x(t-)
Figura A.3: Relaci´ on excitaci´on–respuesta para sistema lineal permanente Antes de concluir con toda esta discusi´on, es necesario introducir un concepto adicional. Con este objetivo, nos referimos al diagrama de bloques mostrado en la Figura A.3 y consideramos aquellas excitaciones P (t) que, si las mismas son retrasadas en un monto de tiempo τ especificado; la respuesta x(t) tambi´en se retrasa en el mismo monto de tiempo τ . Esta condici´on es completamente satisfecha por un sistema lineal, para el cual los coeficientes que multiplican a la variable dependiente x(t) y todas sus derivadas temporales no dependen expl´ıcitamente del tiempo. Dichos sistemas son conocidos como sistemas lineales permanentes o temporalmente invariantes, o m´as com´ unmente como sistemas lineales de par´ ametros o coeficientes constantes. Los sistemas lineales invariables en el tiempo tienen la caracter´ıstica de que los an´alisis que se efect´ uan en un tiempo determinado son v´ alidos para cualquier otro tiempo; es decir, sus propiedades son invariables con traslaciones en el tiempo. Un ejemplo de un sistema invariable en el tiempo es aquel que tiene como ecuaci´on gobernante de su comportamiento a la Ecuaci´ on (A.4), en la cual los coeficientes constantes son los par´ametros din´ amicos del sistema: m, c, y k. Por otra parte, en el caso que un sistema digamos est´e gobernado por la siguiente ecuaci´ on diferencial: mx ¨(t) + k(1 + cos Ωt) x(t) = P (t)
(A.9)
la relaci´ on excitaci´ on–respuesta no est´ a descrita por el diagrama de bloques de la Figura A.3. Esto podr´ıa probarse simplemente realizando un cambio de la variable independiente: t # t − τ ; mx ¨(t − τ ) + k[1 + cos Ω(t − τ )] x(t − τ ) = P (t − τ ) La diferencia de comportamiento en el sistema en dos instantes distintos se establece espec´ıficamente en la fuerza proporcionada por el resorte. Si al instante t se produce un desplazamiento x(t), la fuerza en el resorte en ese instante es: Fk (t) = k(1 + cos Ωt) x(t). Si en un instante anterior t − τ se establece un desplazamiento de id´entica magnitud que al instante t; es decir: |x(t − τ )| = |x(t)|, la fuerza en el resorte ser´ a: Fk (t − τ ) = k[1 + cos Ω(t − τ )] x(t − τ ), que evidentemente es diferente que F (t) debido al hecho que: cos Ωt 6= cos Ω(t − τ ). As´ı la fuerza en el resorte depende del instante en el cual se produce su elongaci´ on (o contracci´ on), lo cual hace al sistema de caracter´ısticas internas variable en el tiempo de forma que su respuesta (la fuerza producida en el resorte, en este caso) no cumple con la condici´on de retraso. La raz´ on para esto es que la Ecuaci´ on (A.9) representa a un sistema transitorio o un sistema de par´ ametros temporalmente variables. El tratamiento de estos sistemas efectivamente es mucho m´as dificultoso que los sistemas temporalmente invariables o permanentes; siendo ´esta tem´atica de tratamiento especializado que no ser´ a tratado en este libro. A menos que se indique expl´ıcitamente lo contrario, asumimos que en todo el desarrollo anal´ıtico presentado en los diversos cap´ıtulos anteriores de este texto estuvimos tratando con sistemas lineales de par´ametros din´amicos o coeficientes constantes !. El poder del principio de superposici´ on se hace evidente en la respuesta de los sistemas vibratorios hacia perturbaciones peri´ odicas. Aqu´ı podemos recordar que una exitaci´on peri´odica puede ser representada por una serie de Fourier, i.e. una serie infinita de funciones arm´onicas. La respuesta a cada una de estas excitaciones arm´ onicas es tambi´en arm´onica, como pudimos comprobar en el Cap´ıtulo 4. Luego, invocando al principio de superposici´ on, la respuesta a excitaciones peri´odicas puede ser expresada en la forma de una serie de estas respuestas arm´onicas, m´as propiamente como una combinaci´on lineal
277
de las mismas. Adem´ as, la respuesta de un sistema hacia excitaciones peri´odicas es una respuesta de estado–estacionario tambi´en (despreciando las condiciones iniciales de movimiento). Como fu´e mostrado en el Cap´ıtulo 3 al hallar la respuesta de un sistema forzado mediante razonamiento f´ısico, una excitaci´ on arbitraria puede ser considerada como la superposici´on (suma) de una serie de fuerzas impulsivas de diferente magnitud y aplicadas en diferentes instantes de tiempo. Pero, la respuesta a un impulso unitario aplicado en el instante inicial t = 0 define la respuesta al impulso del sistema, y la misma representa una propiedad intr´ınseca del mismo. Efectivamente, es una funci´ on del tiempo que refleja las propiedades inerciales, de amortiguamiento, y el´asticas del sistema. Asumiendo que la respuesta al impulso de un sistema es conocida, la respuesta de un sistema lineal con coeficientes constantes puede ser expresada como una superposici´on de respuestas al impulso de diferentes magnitudes y aplicadas en tiempos diferentes. Esta superposici´on es llamada integral de convoluci´ on o integral de superposici´ on de Duhamel, que como no pod´ıa ser de otro modo aprovecha las propiedades lineales de un sistema aplicando sobre ellos el principio general de superposici´on para establecer una relaci´ on matem´ atica–integral que de manera dir´ecta proporciona la respuesta de un sistema hacia una exitaci´ on completamente general. Recuerde Usted que hicimos amplio uso de esta t´ecnica en los primeros cap´ıtulos de este documento para hallar la respuesta de un sistema hacia diversas excitaciones externas aplicadas. El principio de superposici´ on se encuentra en la base del an´alisis lineal y es en gran parte responsable de que la teor´ıa de sistemas lineales sea tan bien elaborada. Efectivamente, las consecuencias del principio son tan penetrantes que muchas de ellas son tomadas de hecho como garantizadas. Un ejemplo perfecto es el hecho de que la soluci´on de las ecuaciones de movimiento para las excitaciones debidas a condiciones iniciales, o la soluci´on homog´enea; y la soluci´on para una fuerza aplicada, o la soluci´ on inhomog´enea o forzada, pueden ser obtenidas por separado y luego combinadas linealmente para obtener la soluci´ on completa o total. Este hecho es solamente aplicable a sistemas lineales exclusivamente. En este momento, una palabra de precauci´on debe ser considerada. Mientras que la superposici´ on de las soluciones es v´ alida para los sistemas lineales sin restricciones, hay casos en los cuales la raz´ on fundamental para superponer soluciones debe ser cuestionada. Con respecto a esto, recordemos que los desplazamientos y las velocidades iniciales son excitaciones transitorias, con la respuesta para tales excitaciones mejor descritas en el dominio del tiempo comenzando en el instante inicial t0 . Por otro lado, las fuerzas constantes, arm´ onicas y peri´odicas son excitaciones de estado–estacionario, las dos u ´ltimas de descripci´ on m´ as comprensible en el dominio de la frecuencia, en lugar que en el dominio del tiempo. Pero, las respuestas hacia excitaciones arm´onicas y peri´odicas son tambi´en de estado–estacionario y tambi´en son mejor descritas en el dominio de la frecuencia que en el dominio del tiempo. Por lo tanto, aunque el principio de superposici´ on lo permite, desde un punto de vista f´ısico es dif´ıcil justificar la adici´ on de la respuesta a las excitaciones provenientes de condiciones iniciales de movimiento con la respuesta forzada de estado–estacionario proveniente de la excitaci´on externa aplicada a un sistema para obtener la respuesta total debida a ambos efectos.
Ap´ endice B
Funciones singulares Cuando las cargas o cualquier tipo de perturbaci´on externa la constituyen entidades concentradas (como una fuerza o un momento puntual), o cuando la intensidad de la carga distribu´ıda var´ıa bruscamente, el procedimiento de evaluaci´on de la respuesta de un sistema sometido a este tipo de perturbaciones es muy laborioso a menos de disponer de procedimientos matem´aticos especiales para manejar las cargas discont´ınuas. En este Ap´endice introduciremos una serie de funciones singulares, especialmente pensadas para ´este prop´osito. Consideremos la funci´ on pulso elemental : f∆ (x; a), la misma que es mostrada en forma gr´afica en la Figura B.1. La descripci´ on matem´atica de esta funci´on es como sigue: −∞ < x < a − ∆ 0 2 1 ∆ f∆ (x; a) = ∆ (B.1) a− ∆ 6 x 6 a + 2 2 0 a+ ∆ 2
f( x ; a ) 1
0
a- 2
a
a+ 2
x
Figura B.1: Funci´on pulso elemental Esta funci´ on tiene la propiedad: Z
∞
f∆ (x; a) dx = 1
(B.2)
−∞
Si tomamos el l´ımite de la funci´ on pulso elemental definida por la Ecuaci´on (B.1), haciendo que el intervalo de su definici´ on no–nula se convierta pr´acticamente en un punto, tenemos: ( 0 x 6= a l´ım f∆ (x; a) = δ(x − a) = (B.3) ∆→0 ∞ x=a 279
´ APENDICE B. FUNCIONES SINGULARES
280
Pero, a partir de la Ecuaci´ on (B.2) concluimos que: Z ∞ δ(x − a) = 1
(B.4)
−∞
La funci´ on definida en la Ecuaci´ on (B.3), cuya propiedad de evaluaci´on est´a establecida en la Ecuaci´ on (B.4) es llamada funci´ on impulso unitario o tambi´en se denomina funci´ on delta de Dirac, cuya gr´ afica representativa es mostrada en la Figura B.2. ( x - a )
1
0
a
x
Figura B.2: Funci´on impulso unitario La funci´ on delta de Dirac tiene variadas aplicaciones en la F´ısica y la Ingenier´ıa. Es usada para representar matem´ aticamente a la fuerza que es aplicada para causar un impulso unitario en t = a, en un sistema mec´ anico. Tambi´en es usada para representar una carga concentrada aplicada sobre una estructura en la posici´ on x = a. La funci´ on impulso unitario tambi´en es utilizada para representar una fuente cal´ orica unitaria en un problema de transferencia de calor. Definamos ahora una nueva funci´ on mediante el siguiente procedimiento: ( Z x Z x 0 x6a u(x − a) = δ(x − a) dx = l´ım f∆ (x; a) dx = (B.5) ∆→0 1 x>a 0 0 La funci´ on definida en la Ecuaci´ on (B.5) es llamada funci´ on escal´ on unitario, y es ilustrada en la Figura B.3. u( x - a )
1
0
a
x
Figura B.3: Funci´on escal´on unitario Diferenciando la Ecuaci´ on (B.5), obtenemos como resultado la relaci´on b´asica: du(x − a) = δ(x − a) dx
(B.6)
281
Ahora, definamos una funci´ on adicional de caracter´ıstica singular como las anteriores, de modo que el procedimiento siguiente sea v´ alido incondicionalmente: ( Z x 0 x6a (B.7) r(x − a) = u(x − a) dx = x x>a 0 La funci´ on definida en la Ecuaci´ on (B.7) es llamada funci´ on rampa unitaria, corresponde a una funci´ on lineal cuya pendiente es de valor unitario; y es ilustrada en la Figura B.4. r( x - a )
1 1
0
a
x
Figura B.4: Funci´on rampa unitaria Diferenciando la Ecuaci´ on (B.7), obtenemos como resultado la relaci´on b´asica: dr(x − a) = u(x − a) dx
(B.8)
Las definiciones de la funci´ on impulso unitario, la funci´on escal´on unitario, y la funci´on rampa unitaria, pueden ser usadas para deducir las siguientes f´ormulas integrales. Para cualquier funci´ on arbitraria g(t) se deber´ a cumplir: Z t δ(τ − a)g(τ ) dτ = u(t − a) g(a) (B.9a) 0 t
Z
t
Z u(τ − a)g(τ ) dτ = u(t − a)
0
Z
t
Z r(τ − a)g(τ ) dτ = r(t − a)
0
g(τ ) dτ
(B.9b)
g(τ ) dτ
(B.9c)
a t
a
La correspondencia de los resultados de evaluaci´on de las integrales de las funciones singulares se hace completamente evidente en el sentido que todas ellas se anulan cuando el argumento de las mismas es de valor negativo, lo cual es expl´ıcitamente indicado en todas las ecuaciones de definici´ on de ´estas funciones. A continuaci´ on mostramos un ejemplo simple de modelado de una determinada perturbaci´ on la cual es cont´ınua por tramos, y la misma es representada gr´aficamente en la Figura B.5. Con el objetivo de modelar la perturbaci´on definida gr´aficamente, podemos aprovechar el principio de superposici´ on y las propiedades de traslaci´on de las funciones singulares establecidas en sus correspondientes definiciones. La funci´ on original puede ser desagregada en las funciones singulares mostradas en la Figura B.6, las cuales cuando son superpuestas (sumadas algebr´aicamente) reproducen ex´actamente la funci´ on de excitaci´ on original. N´ otese en las diferentes gr´aficas que fu´e necesario modificar la pendiente (unitaria) de las funciones rampa, y tambi´en se modific´o la amplitud (unitaria) de las funciones escal´on.
´ APENDICE B. FUNCIONES SINGULARES
282 P( t )
P0
0
t*
2t*
t
Figura B.5: Funci´ on perturbadora cont´ınua por tramos P( t )
P( t )
t*
P0
0
P( t ) 2t*
0
t*
2t*
t
t
P0
P( t )
t*
P0
0
0
t*
2t*
2t*
t
P0
t
Figura B.6: Funciones singulares componentes
La funci´ on de perturbaci´ on, con las consideraciones previas, resultar´a ser: P (t) =
P0 P0 r(t − 0) − ∗ r(t − t∗ ) + P0 u(t − t∗ ) − P0 u(t − 2t∗ ) t∗ t
y, si simplificamos esta relaci´ on podr´ıamos escribirla de manera equivalente como: 1 1 P (t) = P0 ∗ r(t) − ∗ r(t − t∗ ) + u(t − t∗ ) − u(t − 2t∗ ) t t Puesta de la manera anterior la funci´ on de perturbaci´on, es claro que simplemente la hemos expresado en t´erminos de las funciones singulares definidas. Notemos que las funciones rampa se anulan a partir de t = t∗ , y las funciones escal´ on tambi´en se anulan a partir del instante t = 2 t∗ ; quedando como resultado una funci´ on rampa de duraci´on finita y una funci´on escal´on tambi´en de duraci´on finita como se establece en la definici´ on de la perturbaci´on original. Como ejemplo de aplicaci´ on de las funciones singulares, ahora consideremos un sistema no–amortiguado, inicialmente en condici´ on de reposo, al cual se le aplica una perturbaci´on impulso unitario como se muestra en la Figura B.7.
k
m
P( t )
P( t )
P0 = 1 P0
c x( t )
0
t
Figura B.7: Sistema no–amortiguado sometido a impulso unitario
283
La ecuaci´ on gobernante del movimiento oscilatorio del sistema, sabemos que es: mx ¨ + c x˙ + k x = P (t) = P0 δ(t) donde: x(0) = x(t) ˙ = 0 y P0 = 1. Escribiendo la ecuaci´on en forma estandarizada, x ¨ + 2βω x˙ + ω 2 x =
δ(t) m
siendo en esta ecuaci´ on: ω 2 = k/m, 2βω = c/m. Integrando la ecuaci´ on diferencial gobernante normalizada con respecto al tiempo sobre el intervalo: ∆t = y tomando el l´ımite cuando ´este tiende a anularse, tenemos: Z Z δ(t) x + 2βω x˙ + ω 2 x] dt = l´ım l´ım [¨ dt →0 0 m →0 0 Z Z Z Z 1 ¨ dt + 2βω l´ım x˙ dt + ω 2 l´ım x dt = (B.10) l´ım x l´ım δ(t) dt →0 0 →0 0 →0 0 m →0 0 Z Pero, l´ım x ¨ dt = l´ım x(t) ˙ = l´ım [x() ˙ − x(0)] ˙ = x(0 ˙ +) →0
l´ım
→0
→0
0
Z 0
→0
0
x˙ dt = l´ım x(t) = l´ım [x() − x(0)] = x(0+ ) →0
l´ım
→0
→0
0
Z
x dt = l´ım x(0) = 0 →0
0
Z l´ım
→0
δ(t) dt = 1 0
La notaci´ on x(0+ ) debe ser interpretada como el cambio ocurrido en el desplazamiento asociado al intervalo de tiempo ∆t = . Similarmente, x(0 ˙ + ) se refiere al cambio en la velocidad al final del mismo intervalo de tiempo. Adem´ as notemos que el resultado de la pen´ ultima integral, fu´e obtenido invocando el teorema del valor medio. Reemplazando todos estos resultados en la Ecuaci´on (B.10): x(0 ˙ + ) + 2βωx(0+ ) =
1 m
Aqu´ı, apelaremos al sentido f´ısico de los efectos de la aplicaci´on de la carga impulsiva de valor unitario P (t) = P0 δ(t) (P0 = 1). Habiendo considerado el intervalo de tiempo ∆t = ∼ = 0, resulta evidente que el sistema no tiene tiempo a reaccionar como para cambiar su desplazamiento inicialmente nulo por lo que: x() ∼ = x(0) = 0 (este hecho es debido a la inercia propia del sistema, m´as espec´ıficamente por la presencia de la masa). Pero s´ı es suficiente para cambiar s´ ubitamente su velocidad por el principio de impulso – cambio de momentum lineal que nos indica la mec´anica b´asica. Entonces, comparativamente tendremos que: x(0 ˙ + ) ≡ O(1) y x(0+ ) ≡ O(2) (x(0+ ) ∼ = 0); por lo que la anterior ecuaci´on se reduce a: x(0+ ) = 0
⇒
x(0 ˙ +) =
1 m
Entonces, el efecto f´ısico que se produce en el sistema por la aplicaci´on de una carga de imp´ acto de reducido tiempo de duraci´ on (pr´ acticamente instant´anea), es que la misma genera un impulso que se traduce en cierto monto de velocidad inicial que obliga a que el sistema se ponga en movimiento repentinamente. Si ahora recordamos la respuesta libre de un sistema amortiguado, debido a condiciones iniciales de movimiento x(t0 ) = x0 y x(t ˙ 0 ) = x˙ 0 impuestas al mismo, x˙ 0 + βωx0 −βω(t−t0 ) x(t) = e sin ωa (t − t0 ) + x0 cos ωa (t − t0 ) ωa
´ APENDICE B. FUNCIONES SINGULARES
284
podemos aplicarla en este caso particular considerando que: t0 = = 0+ ≡ 0 , x0 = 0 , x˙ 0 = 1/m. Entonces, reemplazando en la ecuaci´ on anterior tendremos: x(t) =
1 m ωa
e−βωt sin ωa t ,
ωa = ω
p
1 − β2
como respuesta al impulso del sistema amortiguado de un solo grado de libertad. Notemos adem´as que en esta soluci´ on impl´ıcitamente hemos obtenido la funci´on de Green K(t, τ ) asociada a la ecuaci´on diferencial gobernante de la vibraci´ on del sistema; la cual se obtiene haciendo m = 1 y t # t − τ en la expresi´ on anterior. Por lo tanto, K(t, τ ) =
1 ωa
e−βω(t−τ ) sin ωa (t − τ )
(B.11)
Esto u ´ltimo puede comprobarse apelando a la f´ormula general que define la respuesta forzada de un sistema, la cual recordamos que es: Z 1 t P (τ )K(t, τ ) dτ x(t) = m 0 Si en esta expresi´ on hacemos: P (τ ) = P0 δ(τ ) = 1 δ(τ ) = δ(τ ), y tomamos la funci´on de Green establecida en la Ecuaci´ on (B.11), obtenemos: 1 x(t) = m
Z 0
t
1 δ(τ ) ωa
e
−βω(t−τ )
1 sin ωa (t − τ ) dτ = m ωa
Z
t
δ(τ ) e−βω(t−τ ) sin ωa (t − τ ) dτ
0
Aplicando ahora la Ecuaci´ on (B.9a), considerando en la misma a = 0 y u(t) = 1 para t > 0, se tendr´ a: 1 1 x(t) = e−βω(t−τ ) sin ωa (t − τ ) = e−βωt sin ωa t m ωa m ωa τ =0 lo cual establece la prueba de validez de la respuesta obtenida anteriormente en base a la concepci´on f´ısica del problema. La respuesta a impulso es muy importante en el estudio de los sistemas vibratorios, pues la misma permite estimar el valor de magnitud de los par´ametros din´amicos de un sistema. Supongamos que experimentalmente se aplica un impulso unitario a un sistema amortiguado modelado con un solo grado de libertad, permiti´endose que el mismo vibre y se registre dicho movimiento. La medida de la velocidad con la cual el sistema inicia su movimiento es una valoraci´on indirecta de la masa equivalente que ´este posee. La medici´ on del periodo natural amortiguado y el decremento logar´ıtmico, a trav´es de la respuesta obtenida experimentalmente, permiten estimar los valores de los coeficientes de amortiguamiento y rigidez equivalentes del sistema.
