VIBRACIONES MECÁNICAS Detalles
Pág.
INTRODUCCIÓN....................................... INTRODUCCIÓN........................ ............................. .............................. ............................... .................
1
Vibración libre..........................................................................................................................
1
Vibración forzada.....................................................................................................................
1
Ecuación del movimiento.........................................................................................................
2
Periodo y frecuencia.................................................................................................................
2
Frecuencia natural....................................................................................................................
2
Frecuencia natural amortiguada...............................................................................................
2
I. VIBRACIÓN LIBRE.............................. LIBRE............................................. ............................. ............................. ................... ....
3
Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................
3
Movimiento armónico..............................................................................................................
4
Ecuación del movimiento - frecuencia natural.........................................................................
5
Péndulo simple.........................................................................................................................
11
Péndulo compuesto o péndulo físico........................................................................................
13
Combinación de resortes..........................................................................................................
16
En paralelo................................................................................................................................
16
En serie.....................................................................................................................................
18
Método de la energía................................................................................................................
24
Método Newton........................................................................................................................
27
Método de Rayleigh.................................................................................................................
28
Vibración forzada sin amortiguamiento...................................................................................
41
Tipos de amortiguamiento........................................................................................................
46
Vibración libre amortiguada.....................................................................................................
47
Sistema con amortiguamiento crítico.......................................................................................
48
Movimiento sub-amortiguado..................................................................................................
50
“Índice”
I
Movimiento sobre-amortiguado...............................................................................................
52
II. VIBRACIONES VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENT AMORTIGUAMIENTO..... O......... ........ ....... ...
60
Excitación indirecta..................................................................................................................
66
Desbalanceamiento rotacional..................................................................................................
69
Decremento logarítmico...........................................................................................................
71
Aislamiento de las vibraciones.................................................................................................
79
Transmisibilidad.......................................................................................................................
80
Energía disipada por amortiguamiento.....................................................................................
83
III. SISTEMAS SISTEMAS CON DOS DOS GRADOS GRADOS DE LIBERTAD.. LIBERTAD...... ......... ......... .......... ........... ........ ...
85
Coordenadas principales...........................................................................................................
87
Modo normal de vibración.......................................................................................................
87
Acoplamiento de coordenadas..................................................................................................
98
Acoplamiento estático..............................................................................................................
99
Acoplamiento dinámico...........................................................................................................
100
Acoplamiento estático – dinámico...........................................................................................
101
Ecuación de Lagrange..............................................................................................................
102
Ecuación de Lagrange para una partícula................................................................................. 103 Cálculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................
106
Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas...............................................................
107
Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos.............................................................................
109
Vibración armónica forzada.....................................................................................................
113
Absorbedor de vibraciones dinámicas...................................................................................... 115 Vibración libre amortiguada..................................................................................................... 118 Vibración forzada con amortiguamiento..................................................................................
120
IV. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD.......................... LIBERTAD.......................... 122 Introducción..............................................................................................................................
“Índice”
122
II
Ecuación del movimiento.........................................................................................................
122
Ecuación de Lagrange..............................................................................................................
124
Matrices de flexibilidad y rigidez............................................................................................. 125 Coeficientes de influencia........................................................................................................
136
V. VIBRACIÓN TORSIONAL.................................................................. 143 Péndulo de torsión....................................................................................................................
143
Vibración torsional...................................................................................................................
147
Método Holzer.......................................................................................................................... 149 Método Holzer para vibración torsional...................................................................................
152
Sistemas con rotores acoplados por engranajes......................................................................... 157
VI. VELOCIDADES CRÍTICAS EN ROTORES...................................... 161 Introducción..............................................................................................................................
161
Método Prohl-Myklestad para vibración flexotorsional..........................................................
161
Balanceo de rotores..................................................................................................................
164
Desbalance rotatorio................................................................................................................. 164 Equilibrado...............................................................................................................................
164
Causas de desequilibrio............................................................................................................
164
Balanceo en un plano...............................................................................................................
165
Método vectorial de balanceo en un plano...............................................................................
166
Tipos de desequilibrio..............................................................................................................
167
Estático.....................................................................................................................................
167
Por par de fuerzas.....................................................................................................................
167
Dinámico..................................................................................................................................
168
Cuasi estático............................................................................................................................ 168 Balanceo en dos planos............................................................................................................
“Índice”
168
III
VII. VIBRACIONES EN MEDIOS CONTINUOS..................................... 170 Vibración longitudinal de barras..............................................................................................
170
Problema de la cuerda vibrante................................................................................................
174
Vibración transversal de vigas.................................................................................................
178
“Índice”
IV
INTRODUCCIÓN. Detalles
Pág.
Vibración libre..........................................................................................................................
1
Vibración forzada.....................................................................................................................
1
Ecuación del movimiento.........................................................................................................
2
Periodo y frecuencia.................................................................................................................
2
Frecuencia natural....................................................................................................................
2
Frecuencia natural amortiguada...............................................................................................
2
Todo sistema que posee masa y tiene elasticidad, está capacitados para tener movimiento vibratorio.
El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos oscilatorios de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos.
La vibración, en general es una forma de energía disipada y en muchos casos es inconveniente, especialmente en maquinarias; ya que debido a las vibraciones se producen ruidos, se transmiten fuerzas y movimientos no deseados.
Vibración libre. Es la que ocurre cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al sistema mismo, es decir, cuando no actúa ninguna fuerza externa. El sistema bajo vibración libre vibrará a una o más de sus frecuencias naturales que son propiedades del sistema dinámico que dependen de su distribución de masa y de rigidez.
Vibración forzada. Es la que ocurre cuando la vibración tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas. Cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si esta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes. “Introducción”
Ecuación del movimiento. Para poder eliminar todos los efectos perjudiciales, es necesario hacer un estudio completo de la ecuación del movimiento del sistema en cuestión.
Este sistema es idealizado y simplificado en términos de masa, resorte y amortiguador, los cuales representan a la masa, elasticidad y la fricción respectivamente.
Entonces la ecuación del movimiento expresa el desplazamiento como una función del tiempo.
Periodo y frecuencia. En los casos de las vibraciones “Rectilíneo” y “Torsional”, El PERIODO es el tiempo necesario para que un movimiento periódico se repita.
La FRECUENCIA es el número de ciclos por unidad de tiempo. Además se puede decir que es el inverso del periodo.
Frecuencia natural. Es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre sin fricción o amortiguación.
Frecuencia natural amortiguada. Es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre con fricción.
En una vibración forzada, cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si esta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de RESONANCIA que es peligrosa.
La falla de estructuras como puentes, edificios o alas de aviones es una horrible posibilidad bajo resonancia. Es por eso, que el cálculo de las frecuencias naturales es de importancia capital en el estudio de las vibraciones.
“Introducción”
VIBRACIÓN LIBRE Detalles
Pág.
Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................
3
Movimiento armónico..............................................................................................................
4
Ecuación del movimiento - frecuencia natural.........................................................................
5
Péndulo simple.........................................................................................................................
11
Péndulo compuesto o péndulo físico........................................................................................
13
Combinación de resortes..........................................................................................................
16
En paralelo................................................................................................................................
16
En serie.....................................................................................................................................
18
Método de la energía................................................................................................................
24
Método Newton........................................................................................................................
27
Método de Rayleigh.................................................................................................................
28
Vibración forzada sin amortiguamiento...................................................................................
41
Tipos de amortiguamiento........................................................................................................
46
Vibración libre amortiguada.....................................................................................................
47
Sistema con amortiguamiento crítico.......................................................................................
48
Movimiento sub-amortiguado..................................................................................................
50
Movimiento sobre-amortiguado...............................................................................................
52
Sistema de un solo grado de libertad. Muchos sistemas pueden vibrar en más de una manera y dirección. Si un sistema está restringido a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por completo la localización geométrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de un solo grado de libertad. Por Ej.:
“Vibración Libre”
K
c
K
m t w e s F
x
x
J n
m
K
0
Movimiento armónico. El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un balancín de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos sísmicos. Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo “t”, se le llama PERIÓDICO donde “ ” es el periodo de oscilación. Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación: x(t) = x(t + ) El movimiento periódico más simple es el MOVIMIENTO ARMÓNICO. Este movimiento puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se desplaza de su posición de reposo y se la libera, oscilará hacia arriba y abajo; si se coloca una fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de película sensible a la luz que es movida a velocidad constante. Este movimiento registrado en la película puede representarse por medio de la ecuación: K
x Asen2 x
A
m
t
t
Donde : A = Amplitud de oscilación, medida desde su posición de equilibrio. = Periodo y se repite cuando t
“Vibración Libre”
Ecuación del movimiento – frecuencia natural. El sistema oscilatorio más simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciable la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya que su movimiento está descrito por una coordenada “x”.
K K
Posición no
Posición de
1 7 , 0
esforzada
m
m
K(G + x)
x
m
x
Equilibrio estático x
mg mg
Cuando se pone en movimiento, la oscilación tendrá lugar a la frecuencia natural que es una propiedad del sistema. La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema. La posición del equilibrio estático: K mg
(1)
Si se desplaza un “x” a partir del equilibrio estático, las fuerzas que actúan son: En el resorte
K x
Debido al peso
W mg
Si se toma a “x” como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y aceleración son también positivas por estar dirigidas hacia abajo. mg K x mx mg K Kx mx
Según (1)
K mg
m Kx mx g K
Por tanto:
mx Kx 0
(2)
“Vibración Libre”
Note que el hecho de haber elegido como referencia la posición de equilibrio estático a la medida “x”, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad W mg y a la fuerza estática del resorte
de la ecuación del movimiento (Ver ecuación (2)) y la fuerza resultante es solamente
debida al desplazamiento “x”.
m
mx Kx 0 K
x
La frecuencia natural circular
2 n
m
x0
(3)
será: 2 n
K
m
La ecuación (3) queda por tanto: x
2 n
x0
(4)
El movimiento definido por la ecuación (4) se llama “Movimiento Armónico Simple” y se caracteriza porque la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. Note que sen t , cos t satisfacen la ecuación; por tanto constituyen soluciones particulares. La solución a esta ecuación es de la forma: x e st
(5)
x se st
(6)
Derivando dos veces:
x
s 2 e st
(7)
Reemplazando (5) y (7) en (4) s 2 e st
2
e st s 2 s2
Como:
s1
ei
Entonces
s1
C1 e i
Y también será:
x
2
t
C 1e i
s2 t
t
e st 0 2
0 e
s2 C 2e
0 s
son soluciones linealmente independientes
i t
C 2e
i
i t
también son soluciones (8)
i t
“Vibración Libre”
Pero:
e e
i t
i t
cos t
(9)
i sen t
cos t
(10)
i sen t
(9) y (10) en (8) C1 cos t
i sen t
C 2 cos t
i sen t
C1 cos t
C1 i sen t
C 2 cos t
C 2 sen t
iC1
iC 2 sen t
x x
x
A
x
C1
C 2 cos t B
A sen t
(11)
B cos t
Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno. Suponiendo que: p t p t
0 0
x x0
Condiciones de contorno
x x0
o Condiciones iniciales
Derivando (11) x A cos t B sen t
(12)
Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B En (11)
x 0 Asen0 B cos 0 B x0
En (12)
x 0 A cos 0 B sen0 A
x 0
Reemplazando las cts. A y B en (11) x
Donde
x 0
sen t x0 cos t
K
frecuencia natural circular
m
El periodo natural de oscilación es: t Por tanto: La frecuencia natural:
2
pero: 2 t 2
o también: 2
f n f
“Vibración Libre”
m K
f
1
f
1 K 2 m
Estas cantidades pueden expresarse en función a la deflexión o deformación estática ya que: K mg K
mg
Reemplazando en estas últimas ecuaciones: * Frecuencia natural circular:
* Periodo natural:
* Frecuencia natural:
f
mg m
2
1
2
f
g
g
1 g 2
La solución general también puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares sen t cos t por cts.. arbitrarias y sumándolas, es decir: x Asen t B cos t
(a)
x A cos t B sen t
(b)
x A 2 sen t B 2 cos t
(c)
(a) y (c) en (4) 2 2 2 2 cos A sen t B t t t 0 Asen B cos 2 x
x
Cumple la igualdad, por tanto es solución de (4) la ecuación (a) Como esta expresión contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solución obtenida (a) es la solución general y A y B dependen de las condiciones iniciales.
t
Xm
O wt
wt
A Xm
B
x
t
P
“Vibración Libre”
Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleración obtenidas para una partícula, pueden escribirse en forma más compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x = OP como la suma de las componentes en “x” de los vectores A y B respectivamente. Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud x m El M.A.S. de “P” a lo largo del eje “x” puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento de un punto “Q” que describe un círculo de radio x m con una velocidad angular constante “ ”. Representando por “ ” el ángulo formado por los vectores OQ y A, se escribe: OP OQsen t
Que conduce a otras formas de expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración. x x m sen t x x m cos t x x m 2 sen t
Ejm. Una masa de ¼ Kg. está suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine
su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexión estática y verifique la frecuencia natural. K
0.1533N 1000mm mm
1
K
1
2
m
2
a) Frecuencia natural
f
b) La deflexión estática
K mg
1m
N 153.3 m
153.3 N
m 0.25Kg
mg K
0.25 9.81 153.3
f 3.94
ciclos seg
Hz
0.016m
0.015981m 15.981mm
Ejm.
Determinar la frecuencia natural de la masa “M” en el extremo de un voladizo de masa
despreciable. Primero se encuentra la deformación de la viga en el extremo (Donde está la carga). “Vibración Libre”
m
L
M
y
x
P
M = PL d2y
EI
dx 2 EI
Px PL P x L
dy dx
EIy
P 6
P 2
x L 2 C1
x L 3 C1 x C 2
Por condiciones de contorno: P x P x
0
y=0
0
0
dy
0
dx
0
P L
3
6 1 2
C2
P L C1 2
1
1
1
6
2
6
C2
1
C1
1
6 2
3
PL
PL2
Por tanto la deformación es: EIy P x L 3 PL2 x PL3 La deformación máxima ocurre en x = L EI 0
1 2
PL 3
1 6
3
PL
PL3 3EI
Como P K siendo la deformación, entonces la ecuación (*) se adecua a: K
Se sabe que la frecuencia natural circular es: f
P
3EI L3
1
K
2
m
1
3EI
2
mL3
3EI
Entonces.
f
1 2
L3 m
f
“Vibración Libre”
1.
Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresión para la
frecuencia de la masa.
m y
Según tablas: La deformación en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde está m) viene dada por: PL3
y
192EI
Adecuando a nuestro caso: K
P
y
K
192EI L3
Se sabe que la frecuencia natural está dada por:
192E
Entonces:
K m
I 3
L
m
192EI mL3
Rad seg
Péndulo simple.
T m
L
Ft FN
T mg mg
“Vibración Libre”
El péndulo simple se compone de una masa puntual “m” que cuelga en el extremo inferior de un hilo resistente de longitud “L” de peso despreciable. Desplazada la partícula de la posición de equilibrio en un ángulo “
m
”y luego liberada, el
péndulo oscila en un plano vertical a lo largo del arco de circunferencia de centro “O” y radio “L”, bajo la influencia de la fuerza restauradora “ Ft ”que es la componente del peso “W” en la dirección tangencial. Para un tiempo cualquiera “t”, la cuerda forma un ángulo “ ” con la vertical y el sistema de fuerzas que actúa sobre la partícula lo constituyen el peso “W” y la tensión “T” en la cuerda. Por la segunda ley de Newton para el movimiento circular se tiene: mg sen ma t
Donde
at
R
R L
Radio de la curva Entonces:
L g sen
0
g
0
L
Comparando con la ecuación del M.A.S. x
sen
K m
se ve que el movimiento del péndulo no
x 0
es M.A.S.; sin embargo, Si la amplitud de oscilación es pequeña: (En radianes) Luego puede escribirse:
g L
0
(Solución aproximada)
Por comparación se tiene que la frecuencia natural circular está dada por: “Vibración Libre”
2
g L
g L
Llegando a la conclusión que el péndulo simple es un M.A.S. para pequeñas oscilaciones. Su periodo está dado (Fórmula de HUYHENS): L
2
Ejm.
g
Suponiendo que el péndulo de un reloj sigue la teoría del péndulo simple. ¿Cuál será la
longitud si tiene el periodo de un segundo? Se sabe que el periodo está dado por: Despejando:
2
2
4
2
L g
L g 2
L
4
g 2
Trabajando en [pies] L 9.78P lg .
Péndulo compuesto o péndulo físico. Un cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un punto en suspensión que es su
O
x
centroide, constituye un péndulo compuesto. Los distintos puntos materiales del rígido, L
constituyen otros tantos péndulos simples que si están a diferentes distancias del eje de giro
T
tendrían que oscilar con periodos distintos.
b Pero como se trata de un péndulo físico, este se
mg
mueve con un periodo propio de oscilación
“Vibración Libre”
Si el péndulo compuesto es desplazado de su posición de equilibrio, esta vuelve por efecto del momento de su peso “W” respecto al eje. M mgb
pero
donde: Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación
I= mr 2
Radio de giro
r
d 2
Aceleración angular
dt 2
Para oscilaciones pequeñas
[Rad]
Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho: I mgl 0
mgl mr
2
mgl I
I
0
0
como I mr 2 gL r
2
0
(2)
Analizando esta fórmula (2), se nota que para oscilaciones pequeñas, el movimiento oscilatorio del péndulo físico es M.A.S. siendo: 2
gL r2
Frecuencia natural circular
y su periodo de oscilación es: 2
Ejm.
r 2 gL
Una chapa cuadrada homogénea de lado “L” (Pies) y masa “m” está suspendida del punto
medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilación. “Vibración Libre”
L/2
x'
G
G
L
mg L
y
Para oscilaciones pequeñas:
c x'
b
G
I x
1 2
mgL 0
(1)
Donde I = Momento de inercia respecto al eje de giro
1
De tablas se tiene que: I x m b 2 c 2 12 El momento respecto al eje X es: Ix
1 12
m L2 L2
Ix
1 6
1 12
m 2L2
mL2
En este caso la rotación es respecto al eje X por tanto según STEINER
I
x
I x md 2 2
1 1 L 2 2 I x mL m I x mL mL 6 6 4 2 1
2
Ix
5 12
(2)
2
mL
Reemplazando (2) en (1) “Vibración Libre”
5 12
mL2 5 6
1 2
mgL 0
L g 0
6g
0
5L
6g 5L
Combinación de resortes. Cuando la deformación de la masa vibratoria implica a más de un resorte. Para facilitar el cálculo de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.
En paralelo.
K1
K2
K3
m P1
P2
P3
P
Las características son: -
Todos los resortes tienen la misma deformación “Vibración Libre”
