II BIM – ÁLGEBRA – 4TO. AÑO
NI/EL0 SECN!ARIA
SEMANA N .
CARTO AÑO
FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓNII II CRITERIO DEL ASPA DOBLE 2
Se emplea emplea para para fac factor toriz izar ar polino polinomio mioss que tienen la siguiente forma general. 2
2
x + %xy + &y + 2x + %y + $ %x
'y
2
'x
y
(
2
Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F )erificaciones#
1ro) Se traz trazan an dos dos aspa aspass simp simple less entr entree los los
$ra Aspa # xy + &xy %xy
trminos Ax2 ∧ Cy2 ∧ Cy2 ∧ F.
2do) Se traza un aspa grande entre los extremos 2
Ax
∧
F.
2da Aspa # &y + y
%y
'ra Aspa # x + x
2x
-omamos los factores en forma "orizontal. x + &y + $/ x + y + $/
3ro) Se !eri !erifi fica cann las las aspa aspass simp simple less y el aspa aspa grande.
4to) Se toman los factores en forma "orizontal.
CRITERIO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL
Factorizar# Se utiliza para factorizar polinomios de &to 0rado de la forma general#
$%x2 + $&xy + 'y2 + &$x + 2'y + $& Desc Descom ompo poni nien endo do
los los
trm trmin inos os en form formaa &
'
2
Ax + Bx + Cx + Dx + E
con!eniente.
aplica ca un aspa aspa simp simple le en los los trm trmin inos os 1ro) Se apli
$%x2 + $&xy + 'y2 + &$x + 2'y + $& %x
'y
2
'x
y
(
extremos Ax
&
E.
∧
2do) El resultado se resta del trmino central Cx 2. Expresar ar la difere diferenci nciaa en dos factores factores y 3ro) Expres
)erificaciones#
colocarlos de1ao del termino central.
$ra Aspa # %xy + *xy $&xy 2da Aspa # 2$y + 2y
2'y
'ra Aspa # '%x + ,x
&$x
4to) 3uego se aplican dos aspas simples y se toman "orizontalmente.
-omamos los factores en forma "orizontal. %x + 'y + 2/'x + y + (/
Factorizar#
COLEGIO “SANTA FELICIA LA MOLINA MOLINA
**
!"to. d# $%&'()*)(o+#, 2-1
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Factorizar#
CRITERIO &
'
%x + 22xy + 2$x + $,x + , 2
%x
+'
2
+2
x
DE
LOS
2
DIVISORESBINOMIOS Este mtodo se emplea para factorizar polinomios de una sola !aria1le y que admiten factores de primer grado.
)erificaciones#
Factorizar# 8x/ x' + ,x2 + 'x 5 $4
$4x2 + 'x2 $'x2 Entonces# 2$x2 5 $'x2 6x2
Calculamos los posi1les ceros# 9$: 2: %: $4/ son todos los di!isores del trmino independiente con signo 9.
Se descompone 6x 2 en dos factores 2x/&x/ que se u1ican 1ao el trmino central# %x2
+2x
+'
x2
+&x
+2
Empezamos con los !alores mas peque;os: tomando solo los !alores que eliminan al polinomio.
-omamos los factores en forma "orizontal.
8ara# x $
%x2 + 2x + '/ x2 + &x + 2/
< 8$/ $' + ,$/2 + '$/ 5 $4 < 8$/ 4
Factorizar# Si el polinomio se anula para x $ entonces un factor ser= x 7 $/.
,x& 7 $'x' + (x2 + ,x 7 6 'x2
&
2
72
2x
∴
'@
$@
2@
Calculamos >x/ por
)erificaciones# 7,x2 + 6x2 2x2
$
, $ (
$
Entonces# (x2 5 2x2 %x2
$
Se descompone %x 2 en dos factores 7%x/7x/
7%x
&
2x2
7x
72
7$4 +$4 4
2
x x
,x& 7 $'x' + (x2 + ,x 7 6 'x
' ( $4
>x/ x + (x + $4
que se u1ican 1ao el trmino central#
2
8x/ x 7 $/ >x/ ????. /
% 2
'x2 5 %x + &/ 2x2 5 x 7 2/
COLEGIO “SANTA FELICIA LA MOLINA
$44
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EERCICIOS EERCICIOS !E !E A$LICACIÓN A$LICACIÓN $.
a/ 'x + 2y + $ 1/ x + 'y + 2 c/ 'x + 2y + 2 2.
d/ x + 2y + ' e/ x + y + ,
1/ 2x e/ 'x
%.
c/ 7y
a/ &x d/ 4 $$.
c/ &x 5 %y
d/ x + 'x + &
2
e/ x2 + 'x + '
1/ x + 2x + 2
a/ 7$$ d/ $$
a/ x + ' d/ 2x 5 $
Factorizar# Fx/ x2 + 2x/x2 5 x/ + (x + ' 3a suma de sus factores primos es# a/ 2x2 + 'x + $
d/ 2x2 + %x + &
1/ 2x2 + 2x + '
e/ 2x2 + x + 2
COLEGIO “SANTA FELICIA LA MOLINA
c/ 2x
1/ 'x 5 2 e/ 'x + %
c/ 2x 7 $
1/ 7$4 e/ 2
c/ 7%
$'. Factorizar# ' Fx/ 2x + (x2 + (x + 2 ndicar uno de sus factores lineales.
2
c/ x2 + 2x + & (.
1/ 72x e/ 7&x
$2. Factorizar# Fx/ x' 5 %x2 5 2x + 2& 3a suma de los trminos independientes de sus factores primos es#
Factorizar# & ' 2 Fx/ x + %x + $'x + $(x + $2 no de sus factores primos es# a/ x + 'x 5 &
c/ 2
Factorizar#
a/ 'x + 2 d/ 'x + &
Factorizar# Fx y/ &x2 5 $'xy + $4y 2 + $2x 5 $%y Se;alar un factor primo#
2
1/ 72 e/ 4
Fx/ x' + 2x2 5 %x 7 , 3a suma de factores primos lineales es#
c/ '
1/ &x + %y e/ &x 5 2y + '
c/ 7'
$4. Factorizar# Fx/ x'x 7 &/ + 2x + (/ 2x 7 (/ 3a suma de los trminos lineales de sus factores primos es#
d/ 2x + %y 7 $& e/ 2x + $4y 7 $
1/ 7$ e/ 2
1/ 7$ e/ 2
Factorizar# Fx/ x& + $ 5 'xx + $/x 7 $/ 3a suma de coeficientes de uno de sus factores primos es# a/ 7' d/ '
Factorizar# Fx y/ 'x 7 y/x 5 &y/ + %xy + 2/ 5 6y + ' 3a suma de coeficientes de un factor primo es#
a/ x + 2y + ' d/ &x + 2y + ' ,.
*.
Factorizar# Fx y/ x + 'y/2 + 2x 7 '/ + '2y 7 '/ 3a suma de sus factores primos es#
a/ 72 d/ $
c/ 2x + x + & Factorizar# Fx/ x& 5 %x' + $,x + 6 El coeficiente del termino lineal de uno de sus factores primos es# a/ 4 d/ '
a/ 2x + ,y + ' 1/ 2x + ,y + 2 c/ 2x + $4y + 2 &.
6.
Factorizar# Fx y/ 'xx 7 y/ 5 2yx + y/ + (2x + y/ 7 % El trmino de un factor primo es# a/ 2y d/ 7%
'.
2
Factorizar# Fx: y/ 'x2 + (xy + 2y2 + $$x + (y + , Entonces un factor primo es#
1/ x 5 $ e/ x 7 2
c/ 2x + $
$&. Factorizar# Fx/ 2x + $/x2 5 x + $/ 5 x%x 7 $/ El coeficiente principal de uno de sus factores primos es# $4$
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II BIM – ÁLGEBRA – 4TO. AÑO &
a/ 72 d/ '
1/ 2 e/ 7'
c/ 7$ a/ , d/ %
$%. Factorizar# Fx/ xx + $/x 7 $/ + 2 5 2x El factor primo que mas se repite es# a/ x + 2 d/ x 5 $
1/ x 5 2 e/ x + '
6.
c/ x + $
TAREA !OMICILIARIA N . todo del aspa do1le# Factorizar#
'.
&.
(.
2
e/ 2x + ,x 7 '
2
'
2
'
2
c/ x 5 'x 5 $,x 7 $2
d/ x 5 2y + z e/ 'x 7 y + z
$2. ndicar un factor primo de# ,x' + x2 5 *x 7 *
d/ x + y + 2z e/ x + y + z
a/ 'x2 5 %x + '
1/ 2x + '
d/ 'x2 + %x 7'
e/ 'x 7 2
c/ 2x 7 '
$'. ndicar un factor primo de# 'x' + (x2 5 $4x 7 & a/ x 5 2 2
d/ x + 2x 5 &
2
1/ , e/ (
2
1/ x + (x + $%x + $2
1/ x2 5 2x + &
c/ 'x 7 $
e/ x + $
$&. Dar la suma de factores primos de# 2x' 5 (x2 + * a/ &x + $ d/ &x 5 (
ndicar un coeficiente de un factor primo de# '2x& 7 $/ + $$xx2 + x + $/ a/ % d/ 7%
d/ 2x 5 ,x 7 '
a/ x' + 2x2 5 6x 7 2$
a/ x + 6x + $*x + $&x + ' 1/ x& + $$x' + ''x2 + 2,x + , c/ 2x& + 'x' + 2x2 + $&x + ' ,.
2
. todo de los di!isores 1inmicos# $$. Factorizar#
. todo del aspa do1le especial# %. Factorizar# '
c/ 'x 7 '
c/ &x2 + ,x 7 '
ndicar un factor primo de# x + y/2 + x + 2z/2 + 2zx + 2y/ + xy
&
1/ 2x 5 ' e/ 'x 7 $
1/ &x 5 &x + '
Dar un factor primo de# 'x2 + 2y2 5 2z2 5 %xy 5 %xz + 'yz
a/ 2x + 2y + z 1/ 2x + y + z c/ 2x + 2y + z
c/ 'x 7 2
Dar la suma de factores lineales de# 2x& 5 $'x 5 'x' 5 x2 7 2/
a/ &x + ,x + '
d/ 2x + 'y + $ e/ 'x + 2y + 2
a/ 'x 5 2y 5 z 1/ 'x 5 2y 5 2z c/ x 5 y 5 2z
1/ &x 5 $ e/ %x
$4. ndicar un factor primo de# $,x& 5 $2x2 + *
ndicar un factor primo de# ,x2 5 y2/ + (x 7 y/ + 2'y + $/ a/ 'x + 'y + $ 1/ 'x 5 'y + 2 c/ 2x 5 2y + $
c/ (
ndicar la suma de factores primos de# 2x& 5 (x + 'x' 5 x2 7 $/
a/ o tiene d/ 'x + $
a/ 2x2 + (xy + ,y 2 + $$x + $*y + $% 1/ ,x2 + $(xy + %y 2 + $*x + 26y + $% c/ $4x2 + xy 5 2y2 + $(x 5 %y + ' 2.
2
1/ 6 e/ *
a/ %x + , d/ &x *.
. $.
2
'x + x + 2/ + x (x + 2/
c/ &x 7 %
$%. ndicar la suma de factores primos de# 'x' 5 2x2 5 %x + &
c/ &
a/ &x + & d/ %x + &
ndique la suma de coeficientes de un factor primo de#
COLEGIO “SANTA FELICIA LA MOLINA
1/ &x + ( e/ 2x 7 '
$42
1/ &x 5 ' e/ %x + 2
c/ &x + '
!"to. d# $%&'()*)(o+#, 2-1
