4to. Sec – II Bim
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Magnitudes proporcionales Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas la otra también varía. Clases de magnitudes: *
Magnitudes directamente proporcionales (dp) !emplo" 2
N ° C u a d e rn o s C o s t o ( S / .)
x 3
3
6
18
9
12
12
24
72
36
48
2
x 3
#n alumno llega a una librería pensando comprar seis cuadernos pero consult$ por varias opciones % obtuvo los siguientes resultados" &odemos observar" '
Si se triplica el de cuadernos ( + 3 , 1-) se triplica el costo (24 + 3 , 2).
'
Si se reduce a la mitad el n/mero de cuadernos ( 0 2 , 3) el costo también se reduce a la mitad (24 0 2 , 12).
'
Si dividimos el cuadernos entre el costo se obtiene una cantidad constante. N ° c u a d e rn o s = N = 3 = 6 = 9 = 1 2 = 1 Costo C 12 24 36 48 4 constante
raicando" Costo
C
36 A u m e n t a
24 12 N
3 6 9 N ° C u a d e rn o s A u m e n t a btenemos una recta. a gr5ica nos indica que si el n/mero de cuadernos aumenta6 también el costo aumenta6 % si el n/mero de cuadernos disminu%e6 el costo disminu%e. &odemos concluir que el costo % el n/mero de cuadernos son magnitudes directamente proporcionales.
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8einici$n" 8os magnitudes son directamente proporcionales (dp) si al aumentar o disminuir una de ellas6 el valor de la otra también aumenta o disminu%e en la misma proporci$n. 9ambién se cumple que el cociente entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. s decir6 dadas las magnitudes :;< % :=<.
A A d" ! Constante ! *
Magnitudes inversamente proporcionales (i.p.) !emplo" #n capata> contrata 17 obreros que pueden construir un muro en 1? días6 luego de algunos ra>onamientos elabora la siguiente tabla" 3 x 2
N ° # $ r e ro s N ° %a s
& 3'
1& 1' 3
3' &
1' 1&
2
&odemos observar" ' '
Si duplica el de obreros (17@2 , 3?) el n/mero de días se reduce a la mitad (1?02 , 7). Si se reduce a la tercera parte el n/mero de obreros (1703 , 7) el n/mero de días se triplica (1?@3 , 3?). ' l producto del n/mero de obreros % n/mero de días es constante. breros @ 8ías , 7 @ 3? , 17 @ 1? , 3? @ 7 , constante raicando" N ° %a s 3' 1& 1' N &
1'
1&
N ° # $ r e ro s
Si unimos los puntos se orma una curva denominada Aipérbola equil5tera. Seg/n la gr5ica podemos ver que si el n/mero de obreros aumenta6 el n/mero de días disminu%e6 podemos concluir que el breros % el n/mero de días son magnitudes inversamente proporcionales. DEFIICI!: 8os magnitudes son inversamente proporcionales (i.p.) si al aumentar o disminuir una de ellas6 la otra disminu%e en el primer caso o aumenta en el segundo caso en la misma proporci$n. 9ambién se cumple que el producto entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. s decir dadas las magnitudes :;< % :=<" A ip B A.B = Constante Observación: Si:
; dp = ; ip B ;
2
dp 82
A . C , Bonstante ! .2
4to. Sec – II Bim . & varía directamente a I e inversamente proporcional a C. Buando I,24? % C,?? entonces &,3?. Aallar & cuando I,7?? % C,17?. a) 7? d) 47?
1. Si ; 8.&.=6 complete el siguiente cuadro"
2. Si" ; D.&.=. completar el siguiente cuadro
Cpta.................
a) ; 8.&.=E b) M D.&.BF
Cpta................. Cpta.................
4. n el siguiente gr5ico las magnitudes ; % = son directamente proporcionales. Aallar a6 b6 c
b) 2? e) 17
c) 3?
J. a deormaci$n producida por un resorte al aplicarle una uer>a es 8.&. a dicHa uer>a. Si a un resorte de 3?.cm de longitud se le aplica una uer>a de 3 su nueva longitud ser5 de 3 cm. KBu5l ser5 la nueva longitud del resorte si se le aplica una uer>a de 4L a) 4- cm d) 3-
3. +presar simb$licamente"
c) 3??
-. l precio de un libro varía 8.&. al n/mero de p5ginas e D.&. al n/mero de e!emplares. Si cuando el n/mero de e!emplares es 7 ??? el precio es J soles % el n/mero de p5ginas 3?. Aalle el precio cuando los libros tienen 3? Ho!as % se imprime 3 ??? e!emplares. a) SG. 1? d) 4?
Cpta.................
b) 27? e) .;.
b) 3-67 e) 4?
c) 3
1?. a presi$n en un bal$n de gas es inversamente proporcional al volumen6 es decir a menor volumen ma%or presi$n. Si un bal$n de 24? litros soporta una presi$n de 46- atm$seras. KIué presi$n soportar5 un bal$n de ? litrosL a) 1J62atm d) 1-64
b) 164 e) .;.
c) 1464
11. l precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso6 si un diamante de ? gramos cuesta 4???6 Kcu5nto costar5 otro diamante que pesa 7 gramosL Cpta.................
a) 7??? c) ???
7. Si ; es directamente proporcional a =6 siendo la constante de proporcionalidad 1G12. Aallar ;6 cuando = es igual a 17??. a) 12? d) 17?
b) 127 e) 2??
a) 24? d) 2?
b) 17? e) 2-?
c) 1?
e) 7??
12.' Si la siguiente gr5ica muestra dos magnitudes inversamente proporcionales. Aallar N+ O %N
c) 1-?
. Si ; varia directamente proporcional a = % cuando ;,-??6 =,27?6 Hallar ; cuando =,7.
b) 77?? d) 27?
a) 14 b) J c) 1? d) 11 e) 13
Kcu5nto costar5 un diamante que pesa 2?? gramosL a) 44? d) 3J?
?1. Si las magnitudes N;N % N=N son inversamente proporcionales6 Hallar Na'bN ; = a) 21 d) 41
2 a
b
b) 32 e) 3?
14 7 c) 27
?2. a velocidad de un autom$vil es directamente proporcional al n/mero de galones de combustible. Si con 4 galones desarrolla una velocidad de ?PmGH6 Kqué velocidad desarrolla cuando lleva galonesL a) 1?? PmGH d) 1?7
b) 2?? e) ?
c) 17?
?3. a presi$n de un gas es inversamente proporcional al volumen que ocupa. Si a un volumen de 3?? la presi$n es de 2 atm$seras6 Ka qué volumen la presi$n es de 3 atm$serasL a) 37 d) 21?
b) 27? e) 2??
b) 2?J e) 7?
c) 44-
?.' a velocidad de un autom$vil es inversamente proporcional al n/mero de pasa!eros. Si con 4 pasa!eros desarrolla una velocidad de ?PmGH. KBu5ntos pasa!eros se encuentran dentro del autom$vil cuando desarrolla una velocidad de 14?PmGHL a) 2 b) 3 c) 1 d) 7 e) 4 ?-.' #na rueda N;N de 1?? dientes engrana con otra rueda N=N de ? dientes. Si la rueda N;N tiene una velocidad de 3? vueltas por minuto6 Kcu5ntas vueltas dar5 la rueda N=N en 17 minutosL a) 17? b) 3?? c) 47? d) ?? e) 7? ?J. Si la siguiente gr5ica muestra dos magnitudes inversamente proporcionales6 Hallar" Nm O pN. a) 4b) 42 c) 3J d) 3 e) 32
c) 27
?4. Si N;N es directamente proporcional al cuadrado de N=N6 completar el siguiente cuadro % dar la suma de los valores. ; -? 1-? = 4 1? a) 2? d) 7?J
b) 47? e) 32?
1? Se tienen dos magnitudes :;< % :=<6 tales que la raí> c/bica de :;< es D.&. a :=<. Si cuando" ; , -R = , . Aallar :;<6 si" = , 2. a) 4 d) 1 ???
b) 21 e) 343
c) 712
c) 4?J
?7. a uer>a de atracci$n entre dos cargas eléctricas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las cargas. Si dos cargas separadas 2? cm se atraen con una uer>a de neQtonR Kcu5l ser5 la nueva uer>a de atracci$n6 si la distancia se reduce en 1G7L a) 1? d) 17
b) 1267 e) 2?
c) 167
?.' l precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 27? gramos cuesta .??6
a aceleraci$n que adquiere una masa es directamente proporcional a la uer>a aplicada. Si una uer>a de 47 produce una aceleraci$n de JmGs"6 Kqué uer>a producir5 una aceleraci$n de 4mGs2L a) 1-
b) 22
c) 4?
d) 2?
e) 24
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#eparto proporcional Este capítulo estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores que se llaman "índices" de proporcionalidad.
#eparto simple En este caso el reparto puede ser directo o inverso. -
Reparto directo Se hace de tal manera que las partes resultantes sean dp a los índices de proporcionalidad. Para efectuar un reparto directo, se hace lo siuiente: !. Se suman los índices. . Se divide la cantidad a repartir entre dicha suma, siendo el cociente la "constante" de proporcionalidad #$%. &. 'as partes se o(tienen multiplicando cada "índice" por la "constante" de proporcionalidad #$%.
)
E*emplo: +epartir a - en forma dp a /0 1 !.
dp
*aso 1+ 7&'
*aso 3+
6 7 12 2&
6 x 3' = 18' 7 x 3 ' = 2 1' 12 x 3' = 36'
*aso 2+
, = 7&' = 3 ' 2&
*artes
Propiedad Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo n2mero, entonces el reparto no se altera. )
E*emplo: En el reparto que se hi3o a - en forma dp a /0 1 ! se o(tuvieron como resultados: !40 ! 1 &/ ... pero ... 56u7 pasaría si se reparte la misma cantidad dp a /80 80 1 !89 ... eamos ...
12 14 24 &'
7&'
12 x 1& = 18' 14 x 1& = 21'
24 x 1& = 36'
- s o n a s m s m a s "artes0... S o N o
7&' = 1& &'
=
; sea, que si todos los índices se multiplican por un mismo n2mero, el reparto no se altera. -
Reparto inverso Se hace en forma ip a los índices, para ello se invierten los índices 1 lueo se efect2an un reparto directo, como 1a se conoce.
)
E*emplo: +epartir -< en forma ip a 0 &0 / 1 !.
S e m u t" c a a t o d o s " o r e C d e o s d e n o m n a d o r e s = 3 ' 1 2 1 3 1 6 1 1'
2 3 &94
6 1'
x 3' = 1&
1& x 18 = 27'
x 3' = 1'
1' x 18 = 18'
x 3' = &
& x 18 = 9'
*artes
x 3' = 3 3 x 18 = &4 33 &94 = 33 = 18
Reparto compuesto En este caso se trata de repartir una cantidad en forma dp a ciertos n2meros 1 a la ve3 en forma ip a otros. Se procede de la siuiente manera: !. Se convierte la relaci>n ip a dp #invirtiendo los índices%. . Se multiplican los índices de las dos relaciones dp. &. Se efect2a un reparto simple directo con los nuevos índices. )
E*emplo: +epartir /4 en forma dp a 1 / 1 a la ve3 en forma ip a & 1 <.
dp
ip
4
3
648 6
9
dp
dp
1 3 1 9
4 3 2 3
m u t /" /c a m o s
x
3 = 4
4 x 1 '8 = 4 3 2
x
3 = 2
2 x 1 '8 = 2 1 6
, = 648 = 1'8 6
4to. Sec – II Bim
4to. Sec – II Bim
1.
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4to. $%o & II Bim
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4to. Sec – II Bim -. Tuan es el doble de r5pido que rnesto6 si !untos pueden Hacer una obra en - días. Kn cu5ntos días Har5 la misma obra Tuan traba!ando soloL a) 4 b) 12 c) 1d) 24 e) 2
1. #n barco lleva 3? tripulantes % tiene víveres para 1- días. Si al iniciar la travesía se unen tripulantes6 Kcu5ntos días antes se acabar5n los víveresL a) 12 b) 13 c) 14 d) 17 e) 1 2. Se Ha comprobado que de cada 1?? mu!eres menores de 2? aos6 37 %a son mam5s. Si se Hi>o una encuesta a 4? mu!eres menores de 2? aos6 Kcu5ntas %a son mam5sL a) 2?b) 21? c) 224 d) 312 e) 213. l dueo de un gara!e Ha cobrado SG.4 7?? por la guardianía mensual de 1- carros. KBu5nto cobraría por la guardianía si Hubiera - carros m5sL a) SG.2?? b) 7?? c) 74?? d) -1?? e) J??? 4. Iuince albailes avan>an diariamente una cierta longitud de >an!a. Si se enerman 3 de ellos6 los restantes avan>an - m menos de >an!a diariamente. KBu5ntos metros avan>an diariamente cuando todos traba!anL a) 32 m b) 3 c) 7? d) 4? e) ? 7. Tuan con una eiciencia de -? U puede Hacer un traba!o en 17 Horas. KBu5ntas Horas emplear5 Coberto en Hacer el mismo traba!o si su eiciencia es de 7 UL a) 1b) 1 c) 2? d) 1 e) 1J . &ara pintar una mesa circular de 2 m de radio6 Barlos emple$ 3 Horas. KBu5nto se demorar5 en pintar otra mesa de 3 m de radioL a) 4 H 3? min b) 4 H 47 min c) H 47 min d) 7 H 1? min e) - H 1? min . #n !ardinero pens$ sembrar un !ardín en - días6 pero demor$ 2 días m5s por traba!ar 3 Horas diarias menos. KBu5ntas Horas diarias traba!$L a) 1? b) 11 c) 1167 d) 12 e) 14
J. #n agricultor puede arar un terreno rectangular en ocHo días. KIué tiempo emplear5 en arar otro terreno también rectangular6 pero del doble de dimensionesL a) 1 días b) 24 c) 2d) 32 e) 4? 1?. #n barco tiene provisiones para 27 días. Si se desea que éstas duren 17 días m5s6 Ken qué racci$n debería reducirse la raci$nL a) 7Gd) 4GJ
b) 3Ge) 3G7
c) GJ
11. #n ladrillo de los usados en construcci$n pesa 4 Pg. #no de !uguete del mismo material % cu%as dimensiones sean todas la cuarta parte6 pesar5" a) 1 g d) 267
b) 7? e) ?627
c) 32
12. #n relo! que da las Horas por campanadas demora s en dar las 4 de la tarde. KBu5nto demorar5 en dar las - de la nocHeL a) 17 s d) 1?
b) 1 e) 12
c) 14
. Seis obreros se comprometen a construir un muro en 17 días. uego de días6 dos de ellos de!an de traba!ar6 Kcon cu5ntos días de retraso se entreg$ la obraL a) 3 b) 7 c) 4 d) e) 2
1.Veinte mineros tienen víveres para 17 días. Si desisten traba!ar 7 de ellos6 K&ara cu5ntos días tendr5 víveres el restoL a) 2? b) 27 c) 17 d) 1e) 23 2. :a< obreros pueden terminar una obra en 2? días. Bon 4 obreros adicionales se puede terminar la misma obra en 1 días. Aallar :a<. a) 1 b) 14 c) 1d) 17 e) 1 3. Si un cubo cu%a arista mide cm6 pesa 137 g6 Kcu5l ser5 el peso de otro cubo del mismo material cu%a arista mide - cmL a) 32? g b) 1? c) 227 d) 1-? e) 27?
-. Mario es 2? U m5s eiciente que Torge % ;lberto es 2? U m5s eiciente que Mario. Si Mario puede Hacer un traba!o en 12 días6 Kcu5ntos días emplear5 ;lbertoL a) 1? b) 17 c) 1d) e) J. n 42 litros de agua de mar Ha% 3 libras de sal6 Kcu5ntos litros de agua pura Habr5 que agregarle si se quiere que cada 7 litros de la me>cla contenga 1G4 de libra de salL a) 12 b) 17 c) 1 d) 1e) 24 1?. #n grupo de :+< obreros puede Hacer una obra en 21 días6 pero si los 2G3 del grupo aumentan su rendimiento en 27 U6 Kqué tiempo emplear5n en Hacer la obraL a) 1 b) 1c) 1 d) 1J e) 12
4. Iuince obreros pueden Hacer una obra en 2? días. mpie>an la obra traba!ando todos % al cabo de 4 días se retiran 7 obreros. KBon cu5ntos días de retraso entregar5n la obraL a) 4 b) c) d) 1? e) 7 7. Si compro 17 rosas me obsequian 3. KBu5ntas rosas debo comprar si necesito 42? rosasL a) 32? d) 3?
b) 34? e) 3-?
c) 37?
. #n relo! da :a< campanadas en :t< minutos6 Ken cu5ntos minutos dar5 :b< campanadasL a) $t a at d) $
b) e)
($ 5 1)t c) a 51 (a 1)t $51
($ 1)t a 1
#n estanque est5 lleno de agua % tiene tuberías de desagWe del mismo di5metro6 se sabe que si se abren tuberías de desagWe el estanque queda vacío en :< Horas6 pero si se abrieran s$lo 4 tuberías el estanque quedaría vacío en : O 4< Horas. Aallar :<. a) d) 1?
b) e) 11
c) J
4to. Sec – II Bim
4to. Sec – II Bim obreros de esta misma empresa para pavimentar 4? m de una carretera en un terreno del doble de diicultadL a) 3? b) 32 c) 3 d) 4? e) 47
1. n 27 días6 12 obreros Han HecHo los 3G7 de una obra6 si se retiran dos obreros6 Kcu5ntos días emplear5n los que quedan para terminar la obraL a) 21 b) 2? c) 1d) 1J e) 17 2. Si leadores de -? U de eiciencia pueden construir un alberge en 2? días6 Kcu5ntos días se demorar5n - leadores de 7 U de eiciencia para construir el mismo albergeL a) 1? b) 12 c) 17 d) 1 e) 13. Si 4? Hombres pueden cavar una >an!a de 2?? m3 en 12 días6 Kcu5ntos Hombres se necesitan para cavar otra >an!a de 17? m 3 en 1? díasL a) 3 b) 32 c) 3d) 4? e) 47 4. 8oce agricultores se demoran 1? días de Horas diarias en sembrar 24? plantones. KBu5ntos plantones podr5n sembrar ocHo de estos agricultores en 17 días de J Horas diariasL a) 2-? b) 2? c) 3?? d) 32? e) 37? 7. #na empresa posee 4 m5quinas de ? U de rendimiento6 que producen 2??? artículos cada días. Si se quiere implementar otra secci$n con 3 m5quinas de -? U de rendimiento6 Kcu5ntos artículos producir5 en 14 díasL a) 1-?? b) 22?? c) 24?? d) 3??? e) 3?? . Seis monos comen KBu5ntos pl5tanos minutosL a) 1?? b) d) 1-? e)
12 pl5tanos en minutos. comer5n 12 monos en 3? 12? 24?
c) 17?
. n una guarnici$n Ha% 12? soldados que tienen víveres para 3? días6 recibiendo cada uno 3 raciones diarias de comida. Si estos mismos víveres se repartieran a 17? soldados recibiendo cada uno 2 raciones diarias6 Kcu5ntos días durar5n los víveresL a) 32 b) 34 c) 3 d) 4? e) 42 -. #na empresa constructora puede pavimentar -?? m de una carretera en 27 días empleando 17 obreros. KBu5ntos días emplear5n 2?
J. Binco carpinteros pueden coneccionar 27 sillas % 1? mesas en 24 días de - Horas diarias6 Kcu5ntos días de Horas diarias emplear5n carpinteros para coneccionar 27 sillas % 24 mesasL a) 1b) 32 c) 24 d) 3? e) 21?. #n ediicio puede ser pintado por 1 obreros en cierto tiempo6 Kcu5ntos obreros se necesitar5n para pintar 1G4 del ediicio en un tiempo que es los 2G del anteriorL a) 1? b) 12 c) 17 d) 14 e) 111. 8oce obreros se demoran 12 días de - Horas diarias en sembrar un terreno cuadrado de 2? m de lado6 Kcu5ntos días de Horas diarias se demorar5n 1? obreros doblemente H5biles en sembrar un campo cuadrado de 27 m de ladoL a) 17 b) 1 c) 1d) J e) 1?
po>o % el traba!o ser5 HecHo por 1 Hombres6 Kqué tiempo demandaríaL a) 1? días d) 4?
1. #na amilia de 7 personas tom$ una pensi$n durante días % pag$ SG. ?. KBu5nto pag$ otra amilia de 4 personas que estuvo alo!ada en la misma pensi$n durante dos semanasL a) 112 b) 12? c) 114 d) 117 e) .;. 2. 8os secretarias copian 37? traba!os en una semana. KBu5ntas secretarias serían necesarias para copiar ?? traba!os en 4 díasL a) 3 b) 4 c) 7 d) e) 3. 8ie> pintores demoran 2 días para pintar 7 murales. KBu5ntos pintores e+tras es necesario contratar para que en 7 días se pinte 7 murales6 cu%o largo es el cu5druple de los primerosL a) 4 b) c) d) 2 e) 1?
b) 2? e) 7?
c) 3?
-. n 12 días6 - obreros Han HecHo los 2G3 de una obra6 en ese momento se retiran obreros. KBu5ntos días demorar5n los obreros restantes en terminar la obraL a) 2? b) 21 c) 22 d) 24 e) 27 J. n un taller 47 mec5nicos ensamblan 1? autos en 2? días6 KBu5ntos mec5nicos m5s triplemente eicientes se deber5n contratar para ensamblar ? autos en 3? días m5sL a) 14 b) 21 c) 1 d) 24 e) 3? 1?. #na cuadrilla de 12 obreros pueden terminar un traba!o en 17 días traba!ando 1? Horas diarias. 8espués de traba!ar días6 7 obreros se retiran % no son reempla>ados sino al cabo de 3 días. KBu5ntos obreros Habr5n de contratarse para poder acabar el traba!o en el pla>o determinado6 si aHora todos traba!an 17 Horas diariasL a) 1b) 24 c) 1 d) 3? e) 3
4. #n ganadero tiene 17?? ove!as % tiene alimentos para un mes. 8ecide vender cierto n/mero de ellas % a las restantes proporcionarles 7G de la raci$n para que los alimentos duren 2 meses m5s. KBu5l es el n/mero de ove!as que se vendi$L a) -?? b) ?? c) 7? d) J?? e) ?? 7. 8oce Hombres traba!ando - Horas diarias constru%en 24 m de una pared en 1? días. KBu5ntos Hombres ser5n necesarios para construir 2? m de pared continuada en 7 días traba!ando 1? Horas diariasL a) 1
b) 17
c) 14
d) 13
e) .;
. #n contador % tres asistentes pueden elaborar dos balances generales en 3? días. Kn cu5nto tiempo tres contadores % un asistente pueden Hacer 3 balances generalesL bs." l traba!o de un contador % el de un asistente est5n en la misma relaci$n que los n/meros 4 % 3. a) 13 b) 2 c) 3J d) 72 e) 3? . #n po>o de m de di5metro % J m de proundidad ue HecHo por 1- Hombres en 2? días. Si se quiere aumentar en 1 m el radio del
#na compaía industrial posee - m5quinas que traba!an a un J? U de rendimiento % producen 1?? envases cada días de - Horas diarias. Si se desea producir 3?? envases en 4 días traba!ando J Horas diarias6 a cambio de las que posee6 Kcu5ntas m5quinas de -? U de rendimiento de eiciencia debería tenerL a) 21 d) 12
b) 24 e) 2
c) 1
4to. Sec – II Bim
4to. Sec – II Bim J. K8e qué n/mero es 77- el 24 U m5sL a) 42? d) 74?
b) 47? e) 7?
c) 4-?
1?. Si el J por 4? de un n/mero es igual al 17 por -? de 1-?6 Hallar el 2 por 3? del n/mero. a) 1? d) 4?
1. Aallar el por 12 de J ??. a) 3 ?? d) 2 ???
b) 7 ?? e) 7 2??
c) 4 -??
2. Si el 4 por 17 de un n/mero es 32?6 Hallar el 7 por del n/mero. a) 1 ??? d) -4?
b) 1 2?? e) J?
c) 1 4??
3. Si a un n/mero se le disminu%e su 2 por 27 se obtendría 772. Aallar el 27 U del n/mero. a) 12? d) 1J?
b) 17? e) 24?
c) 1-?
4. KIué n/mero es 24? el 32 UL a) 6d) 7?
b) 37 e) ??
c) 4-?
7. 8os descuentos sucesivos del 3? U % 4? U equivalen a un /nico descuento de" a) ? U d) ? U
b) - U e) 7- U
c) 2 U
. Si el 37 U de un n/mero equivale al 17 U del 2 por 7 de 2 1??6 Hallar el n/mero. a) 42? d) 2?
b) 47? e) J??
c) 3?
. Si el ao pasado mi sueldo era SG.1?? % actualmente es SG.1-??6 Ken qué tanto por ciento aument$ mi sueldoL a) 1267 U d) 2? U
b) 17 U e) 1? U
c) 1- U
-. Si tuviera el 27 U m5s de la edad que tengo6 tendría 47 aos. KIué edad tendré dentro de tres aosL a) 3 aos d) 41
b) 3e) 47
c) 3J
b) 17 e) 47
c) ?
11. #na ilmadora se reba!a en 1? U % 2? U sucesivamente. Kn qué tanto por ciento debe incrementarse el precio reba!ado para que el nuevo precio sea - U m5s que el precio originalL a) 3? U d) 4- U
b) 3- U e) 7? U
c) 42 U
12. Si la base de un rect5ngulo aumenta en 27 U % el 5rea no varía es porque la altura disminu%e en" a) 27 U d) 3? U
b) 2? U e) 17 U
c) 1? U
Ken qué porcenta!e deben aumentar los Hombres para que el total de personas aumente en 2? UL a) 2? U d) 4? U
b) 3? U e) 47 U
c) 7? U
-. KBu5l es el n/mero que multiplicado por sí mismo % disminuido en la unidad es igual al 12 U del 4 por 7 del 17 U de 17L 1. Aallar el por 13 de 2 ??. a) 3 ?? d) 1 ???
b) 1 ?? e) 1 2??
c) 1 -??
2. Si el 3 por - de un n/mero es 24?6 Hallar el por 7 del n/mero. a) d) -4?
b) e) J?
c) 4??
3. 8os descuentos sucesivos del 2?U % 3?U equivalen a un descuento /nico de" a) 73U
b) 44U
d) 2?U
e) 47U
c) 2U
4. Si al venderte mi auto6 te Hago un descuento del 17U te lo vendería en 1??. KBu5nto me Ha costadoL a) 2???
b) 2?4
d) 2??
e) 27?
a) d) 12
b) e) 17
c) J
J. n un curso de matem5ticos se observa que el 3? U son varones % el 2? U de éstos usan anteo!os % el ? U de las mu!eres no usan anteo!os. KIué tanto por ciento del total representan las personas que usan anteo!osL a) 2- U d) 32 U
b) 34 U e) 3? U
c) 3 U
1?. Si el lado de un cuadrado disminu%e en 3?U. Kn qué porcenta!e disminu%e el valor de su 5reaL a) ?U
b) 3?U
d) 71U
e) 7U
c) 3JU
c) 2121
7. l 2?U m5s del 3?U menos de un n/mero equivale a -4. KBual es dicHo n/meroL a) 12?
b) -?
d) 11?
e) J?
c) 1??
. uego de Hacerle dos descuentos sucesivos de 2?U % 1?U6 un artículo cuesta SG.2--. KBu5l era su precio originalL a) SG.3??
b) SG.37?
d) SG.32?
e) .;.
c) SG.4??
. n una reuni$n los Hombres e+ceden en 7? U a las mu!eres6 si las mu!eres aumentan en 7 U6
l e+ceso del dinero de ;ntonio sobre el dinero de =etto equivale al 2? U del dinero de Bésar % el e+ceso del dinero de =etto sobre el de Bésar equivale al 1? U del dinero de ;ntonio. Si ;ntonio tiene SG.4???6 Kcu5nto tiene =ettoL a) SG.24?? d) 1-??
b) 31? e) 32??
c) 34??
Guía Didáctica
CEP Sta. María de la Providencia
1J
4to. Sec – II Bim a) gana 7 U b) pierde 7 U gana 1? U d) pierde 1? Ue)no gana ni pierde
c)
-. #n artesano pens$ Hacer un traba!o en días6 pero tard$ - días por traba!ar 2 Horas diarias menos. KBu5ntas Horas diarias traba!$L a) - H d) 7 1. #na 5brica de conservas con 12 m5quinas tiene una producci$n mensual de -4?? latas. Si dos m5quinas se malogran6 Ken cu5nto disminu%e la producci$n mensualL a) ??? d) 14??
b) 17?? e) 1-??
c) 47??
2. Si un comerciante gana el -? U del 2? U del costo6 Kqué porcenta!e del precio de venta est5 ganandoL (;pro+.) a) 12 U d) 1 U
b) 136- U e) 176- U
c) 1762 U
b) e) 4
c)
J. &ara i!ar el precio de venta de un artículo6 se aument$ el costo en un 4? U6 pero al venderlas se Hi>o una reba!a del 2? U. KIué tanto por ciento del costo se Ha ganadoL a) 1? U d) 1 U
b) 12 U e) 1- U
c) 14 U
1?. 8ieciocHo obreros pueden Hacer una obra en 42 días6 pero 12 de ellos aumentaron su eiciencia por lo cual la obra se termin$ en s$lo 3 días. Kn qué racci$n aumentaron su eiciencia dicHos obrerosL a) 1G3 d) 1G
b) 1G4 e) 1G-
c)1G7
3. Si :H< Hombres Hacen un traba!o en :d< días6 entonces6 Kcon cu5ntos días de retraso Har5n el traba!o :H ' r< HombresL a)
d 5r
d)
dr dr
b)
dr d5r
e)
dr 5r
c)
d d5r
4. n un país6 el costo de vida Ha subido 1?? U durante el primer ao % 12? U en el segundo ao. KIué porcenta!e Ha subido en los dos primeros aosL a) 3-? U d) 32? U
b) 4-? U e) 34? U
c) 2-? U
7. a base de un tri5ngulo aumenta 2?U % la altura relativa a la base disminu%e 4?U. KIué sucede con el 5reaL a) O2-U b) '2?U c) '3?U d) O2?U e) '2-U . ;l vender un ob!eto en SG.273? gan$ el 17 U del 1? U del -? U del costo. K; cu5nto debe vender el ob!eto para ganar el 2? U del 27 U del ? U del costoL a) SG.27?? d) 277
b) ??? e) 4???
c) 37??
. #n comerciante compra dos artículos al mismo precio. Si uno de ellos lo comprase 2? U m5s barato % el otro 2? U m5s caro6 Kgana o pierdeL6 % Kqué porcenta!e de lo que gast$L
Guía Didáctica
IEP Sta. María de la Providencia
2?
CEP Santa María de la Providencia
Aritmética rendimiento en un 27 U6 Ken qué tiempo se Hi>o toda la obraL a) 3- días d) 37
b) 3 e) 3J
c) 3
1. Binco breros traba!ando - Horas diarias Hacen una obra en 17 díasR 1? obreros traba!ando Horas diarias6 Kn cu5ntos días Har5n otra obra de igual característicaL a) J b) c) 7 d) e) 1? 2. #n Hombre caminando - HGd Ha empleado 4 días para recorrer 1? Pm. KBu5ntas Horas diarias debe caminar otro Hombre para recorrer 3?? Pm en 1? díasL a) J b) c) 7 d) e) 3 3. 8oce Hombres tardan 1? días en cavar una >an!a de 2 m de proundidad. KBu5ntos Hombres ser5n necesarios para cavar otra >an!a de 3 m de proundidad en 2? díasL a) 1? b)11 c)12 d)J e)-
Taimito pint$ las caras de un cubo en 4? minutos6 si aHora est5 pintado otro cubo cu%o lado en cada cara es el triple del anterior6 Ka qué Hora terminar5 si empe>$ a las 1?"4? a.m.L a) 4"4? p.m. d) "1? p.m.
b) 12"4? p.m. e) "?? a.m.
c) 2"4? p.m.
4. Si el 17U del 4?U de un n/mero es 17???. KBu5l es el 2?U del 7?U de dicHo n/meroL a) 17??? b) 27??? c) 37??? d) 4???? e) .; 7. l radio de un círculo disminu%e 1?U. KIué sucede con su 5reaL a) O1U b) '2?U c)'21U d) '1JU e) 1-U .l 27U de 2-? es el 4?U m5s de qué n/meroL a) 4? b) 7? c) 37 d) 2e) 4. KIué porcenta!e del cu5druple de la mitad del ?U de un n/mero es el 3?U del 2?U de los 2G7 del n/meroL a) 1U b) 2U c) 1?U d) 7?U e) .; -. 8oce obreros pensaban Hacer una obra en :n< días. Si ocHo obreros aumentaron su rendimiento en 27 U la obra se reali>$ en :n ' 1< días. Aallar :n<. a) d) J
b) e) 1?
c) -
J. #na persona compr$ un lote de mercadería % vende los 3G7 ganando el 27 U % el resto ganando el 47 U. KBu5nto le cost$ la mercadería si la ganancia ue de SG.-27?L a) SG.24??? d) 3????
b) 1??? e) 37???
c) 27???
1?#n traba!o puede ser HecHo por 12 Hombres en 3J días. Si después de 13 días6 4 Hombres aumentan su IEP Sta. María Guía de la Providencia 21
Didáctica
4to. Sec – II Bim
Guía Didáctica
IEP Sta. María de la Providencia
22
4to. Sec – II Bim
4to. Sec – II Bim
T EO R ÍA D E E C U A C IO N E S una uadad es u n a r e a c n d e c o m " a r a c n u e s e e s t a $ e c e e n t r e d o s e x " r e s o n e s e c u a n o s n d c a u e t e n e n e m s m o : a o r. A ! = 1 er m e m $ ro 2 d o m e m $ r o C L A S E S D E IG U A L D A D
A $ s o u t a s ; n c o n d c o n a e s
< e a t : a s C o n d c o n a e s
es
es
A u e a u e s e : e r c a " a r a t o d o s o s : a o r e s a s n a d o s a s u s n c n t a s
A u e a u e s e : e r c a " a r a c e r t o s : a o r e s " a r t c u a r e s u e s e e s a t r $ u B e a s u s n c n t a s
> ?m +
(x @ 1 )2 = x 2 @ 2 x @ 1
a u a d a d s e : e r c a " a r a c u a u e r : a o r r e a d e x .
> ?m + 2 x@ 1 = x @ 7 s e : e r c a s o o s + x = 6 2 (6 ) @ 1 = 6 @ 7
4to. Sec – II Bim
ECUACIÓN es H n a u a d a d c o n d c o n a u e u e d a s a t s e c a s o o " a r a a u n o s : a o r e s a s n a d o s a s u s : a r a $ e s . A s % + & x 5 3 = x @ 2 & 3 u e d a s a t s e c a s o o c u a n d o + x = 6 C O N C E P T O S FU N D A M E N T A LE S
> c u a c o n e s e u : a e n t e s
S o u c n o r a %
Con?unto soucn
son
es e
es
dos
A u e o s : a o r e s u e a s u m e n a s n c n t a s a s c u a e s : e r 5 c a n o s a t s a c e n u n a d e t e r 5 m n a d a e c u a c n .
C o n ? u n t o o rm a d o " o r t o d a s a s s o u c o n e s .
>ectuar en eas todas as o " e r a c o n e s n e c e s a r a s " a r a o $ t e n e r s u s s o u c o n e s .
A s %
A s %
"ara
> c u a c o n e s s o n e u : a e n t e s s t o d a s a s s o u c o n e s d e a " r m e r a e c u a c n s o n t a m 5 $ D n s o u c o n e s d e a s e u n 5 d a e c u a c n e n : e r s a m e n t e .
C o m o a s s o u c o n e s d e a ecuacn+ 3 2 2 x 5 & x = x 5 1 1x @ 6
C o n s e u ro s e e t r a n s o r m a s u c e s : a m e n t e e n o t ra s eu:aentes.
a d a a e c u a c n + 3 2 2 x 5 & x = x 5 1 1x @ 6 * a ra + x = 1 * a ra + x = 2 * a ra + x = 3
54 = 54 51 2 = 51 2 51 8 = 51 8
u e o a s r a % c e s o s o u c o n e s son+ x = 1E x = 2 E x = 3
asta
Son + x = 1E x = 2E x = 3 e n t o n c e s e c o n ? u n t o s o u 5 c n ( C . S . ) e s +
C o n s e u r u e e o s e a s e n c o B " e r m ta a a r e : a o r d e a n c n ta .
C.S. = F1E 2E 3G
A s % a s e c u a c o n e s + x @ 2x = 14 E &x 5 36 = 2x 2 3 s o n e u : a e n t e s " u e s t o u e a m $ a s e c u a c o n e s s e : e r c a n s o a m e n t e " a r a + x = 12
C L A S IF IC A C I Ó N D E L A S E C U A C I O N E S seIn su
e
>structura
N I m e r o d e s o u c o n e s
racconara
serJ
C u a n d o " r e s e n t a : a ra $ e s e n s u d e n o m n a d o r + >?.+
x@ 1 @ x 5 1 = 1 x@ 2 x 5 3 rracona
C u a n d o a n c n ta s e e n 5 c u e n t ra d e n t r o d e u n r a d c a . >?.+ x@ 1 @ x 5 4 = 7
C o m " a t $ e s
n c o m " a t $ e s o a$surdas
cuando
cuando
A d m t e " o r o m e n o s u n a s o u c n
n o e x s te n n u n a soucn C.S. =
B es d e t e r m n a d a s e x s t e u n n I m e r o n t o d e s o u c o n e s
A s %+ n d e t e r m n a d a s
e n I m e r o d e s o u 5 c o n e s e s m t a d a
> ?+ x(3x51)@&=3(x53)51'x@6 a r e d u c r s e o $ t e n e + & = 6 a e c u a c n e s a $ s u r d a
4to. Sec – II Bim
E C U A C IÓ N D E P R IM E R G R A D O o r m a e n e ra ax @ $ = '
A n J s s d e s u s r a % c e s
Ke o re m a s
s
de
a ' $ < x = 5
$ a
s o u c n I n c a ( C o m " a t $ e d e t e r m n a d a ) s a = ' $ = ' ' x = ' x a d m t e c u a u e r s o u c n ( C o m " a t$ e n d e t e r m n a d a ) s a = ' $ ' ' x = 5$ n o e x s t e n n I n : a o r x u e m u t" c a d o " o r c e r o d e c o m o r e s u ta d o 5$ ( ;n c o m " a t $ e a $ s u r d a )
Krans"oscn
Canceacn
s
s
L a @ $ = c a = c 5$ L a $ = c a = c E s + $ ' $ L a = c a = $ c E s + $ ' $
L a @ c = $ @ c a = $ E s + c < L a c = $ c a = $ E s + c ' L a = $ a = $ E s + c ' c c
4to. Sec – II Bim
4to. Sec – II Bim . Cesolver"
1 3 & 5 2x 5 3 x(2x 5 3) x 1
a) 1
b) '
d) 3
e) ' &
&
4
c)
7
3
1
. Cesolver" 1. Cesolver" (+ O 7)3 ' +3 ' 17+2 , 7? a) ? d) 1
b) '1 e) 2
c) '2
a) 2b d) a ' b
x 1 x 1 1
2. Cesolver" a) 7G4 d) 1
b) 4G7 e) '1
1 2
d) c)2
Aallar :+<. b) e) '
3
c) 1G3
2
J. Cesolver"
x 2x a $ 5 1 x 1 2 a $ 2(a 5 $) a 5 $ a 5$ 2
a) a 5 $
b)
2
a) ? d) ' 1
c) ' 9
2 1 e) ' 2
2
4. Sea la ecuaci$n de 1er grado" (m ' ) +2 O (m2 O 2m O )+ O 3m O 2 , ?
d) a ' b
a $ 2 a $ e) 3
c)
aOb
1?. Cesolver"
7. Cesuelva cGu de las ecuaciones6 luego
1 x 51 1 9 3 5 2 x 1 4 x 1 5 1
x.B
indique"
a) 1 d) 3
2 1 x 2 2 x4 1
=. 3
1 3
3 2 &
a) 1G7 d) 1
3
a$
& 2 &
b) 7 e) 2
11. Cesolver" x x
1
& B
B.
b) 11
a) 7
b) 1G3 e) 1G4
c) a O b
&(x 5 2) 2(x 5 3) 3 5 x2 x3
c) 1G4
3. Cesolver" Aallar la inversa de su soluci$n
;.
b) 2a e) 1
-. Cesolver"
x 13 x 2 3
a) 3 d) 4
2 2x a x 5 $ 3ax (a 5 $) $ a a$
$c
c) 4
x 1 a$c x(a $ c) ac
1 1&
a)
2 & 2 3
b) 1G e) '1G7
a$c a$c
c) abc c) 1G4
e) 1
b) a $ c a$c
d) a O b O c
4to. Sec – II Bim
x 1 x x 1 2 3 2 6 a) '1 d) '3
12. Cesolver" 3
a x 3 a x 3 &a
a) &a2
2 c) a
b) 4a2
4
&
4 a2 d) &
e)a2
b) 1 e) 7
. Cesolver" x m x n 1 m n a) ' mn mn
b) m O n
d) m ' n . Cesolver"
13. Marcar V o X D. a ecuaci$n" + ' (7 ' +) , 3 ' ('2+ O -) es indeterminado. DD. a ecuaci$n " 3+ O (+'7) , 2+ ' ('2+O3) es incompatible. DDD. a ecuaci$n" 8x 9 1 x es indeterminado. a) VXV d) VVV
b) XXX e) VVX
c) VXX
c) 2
c)
mn m5n
e) mn
x 2 4 x 2 x 9x 2 12x x 1 a) 1 3 1
d) ' 6
b) 1
c) 1
2 1
6
e) 4
-. Cesolver" a) 1
(+ ' 3)2 O 7+ , (+ O 2) 2 b) '1 c) 2
d) 3 J. Cesolver"
e) 2
7 3 x ,3
1. Cesolver" 7 ' Y'+ O '(4 ' 2+) ' 7Z , + O ('7 O 2+) a) 4G1
b) 1G4
d) 13
e) 19
2
4
2. Cesolver " x 2 a) 1 d) 4
c) 2G13
a) 2 d) 4
b) 1 e) 7
1?. Cesolver" 2(+ ' 7)2 O +2 , (+ ' )2 O 2(+2 ' 1) a) d) '2
3x x 6 & 2 b) 2 e) 7
c) 3
b) 7 e) 1G2
c) 2
c) 3
3. Cesolver" x 3 2 3x 4 x 2 7 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1Cesolver" 4. Cesolver" a) 1 d) 4 7. Cesolver"
1 x2
1
x3 b) 2 e)
3 x2 x 6 c) 3
x5a x 5$ x 5c 1 1 1 2 a $ c $c ac a$ abc [ ? a) 1 d) a $ c 2
b) a O b O c e) a ' b ' c
c) a O b ' c
4to. Sec – II Bim
E C U A C IÓ N D E 2 d o G R A D O Morma
M o r m a c /8 n d e .a e c u a c / 8 n
2
ax @ $x @ c = ' E a '
de"ende
suma
se de$e tener
s e r e s u e .: e " o r Suma + S= 5$ a
2
A = $ 5 4 a c Mactor/Cac/8n A ! = '
A='
/s c r /m /n a n t e
M8rmu.a
2
!='
x 1 N2 =
5$ $ 54 a c 2a
s/
"roducto
/erenc/a
*roducto + *= c a
donde 2
x 5 Sx @ * = '
A O '
A = '
A P '
A O '
< a % c e s re a . e s d/erentes
x1 x2
x1 = x2
x1 = m @ n/ x2 = m 5 n/ m E n .< N adem Js+ / = 51
4to. Sec – II Bim
OBSERVACIONES > c u a c / o n e s c u a d r J t /c a s e9u/:a.entes
# " e r a c /o n e s c o n r a %c e s s u m a d e /n : e r s a s 1 1 x1 @ x2 =
s/
s/
s / . a s e c u a c /o n e s 2
x1 @ x2 x 1x 2
a x @ $ x@ c = ' E a ' 2 m x @ nx@ "= ' E m '
s u m a d e c u a d ra d o s
s e c u m " .e
t/enen s e c u m " .e
2
2
2
x 1 @ x 2 = ( x 1@ x 2 ) 5 2 x 1 x 2
x 1@ x 2 = '
x 1x 2 = 1
. a s m / s m a s r a %c e s o s o .u c / o n e s
sum a de cu$os 3
3
s e c u m " .e
3
x 1 @ x 2 = (x 1@ x 2) 5 3 x 1x 2( x 1@ x 2) s u m a N " r o d u c t o B d /e r e n c /a 2
a $ c = = " m n
2
( x 1 @ x 2 ) 5 ( x 1 5 x 2 ) = 4 x 1x
2
'eorema: (#aíces irracionales con)ugadas* Sea la ecuaci$n" a+2 O b+ O c , ?R a \\? de raíces :+ 1< \ :+2 irracional6 entonces" +2 , m ' \ B.S. , Ym O
nes
la otra raí> irracional con!ugada.
Rm n
' Zn
'eorema: (#aíces comple)as con)ugadas* Sea la ecuaci$n " a+ 2 O b+ O c , ?R a ] ? de raíces :+ 1< \\:+2< R donde (aR bR c)\\ lC. Si" +1,mOni es una raí> comple!a6 entonces" +2 , m ' niR es la otra raí> comple!a con!ugada. B.S. , Ym O ni R m ' niZ mR n \ lC.
4to. Sec – II Bim . a suma de las inversas de las raíces de la ecuaci$n" (a ' 2)+2 ' 2a+ ' (3 ' 2a) , ? es 1?G. Balcular :a<.
1. Aallar :a< (a[?)6 si la ecuaci$n" J+2 ' (a O 2)+ O 1 , ?
a) 7
b) 4
d) 2
e)
c) 3
. Si" (m ' 1)+2 ' 2m+ O m O 2 , ?
presenta raíces iguales.
tiene raí> doble6 calcular el valor de" a) 1
b) 2
d) 4
e) 1?
c) 3
2. Aallar :m<6 si la ecuaci$n"
(m2 O m O 1) a) 3
b) 13
d)
e) 31
c) 21
+2 ' (mO)+ O 27 , ? J. Aallar el valor de :n< si"
presenta raí> doble (m[?)
+2 ' 2(n ' 3)+ O 4n , ? a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
c) 3
3. Aallar :m<6 si la ecuaci$n"
tiene /nica soluci$n. a) 3
b)
d) 1
e) ;
3+2 ' (3m ' ??)+ ' 1 , ? 1?. Aallar una raí>"
posee raíces simétricas. a) ?
b) 7?
d) 17?
e) 2??
c) '3
2x & 36 2 x53 x3 x 59
c) 1?? a)
17
b)
2
7 2
c) 3
4. Aallar :P<6 si la ecuaci$n" (2P ' 1)+2 ' + O (POJ) , ?
d)
posee raíces recíprocas a)
b) -
d) 1?
e) 11
c) J
17 2
e) '3
11. Xormar la ecuaci$n de 2do grado de coeicientes racionales6 si una de sus raíces es" +1 , '
2
7. Si +1R +2 son raíces de" +(+ ' ) , '3
a) +2 ' 14+ O 4J , ? b)+2 ' 14+ O 47 , ?
btener"
c) +2 ' 14+ O 4 , ? d)+2 O 14+ ' 4 , ?
9 , (1 O +1)(1 O +2) a) -
b) J
d) 11
e) 12
e) +2 ' 14+ ' 4 , ? c) 1?
12. Xormar la ecuaci$n de 2do grado cu%as raíces son"
4to. Sec – II Bim a a 1
E
a a 1
a) (a ' 1)+2 ' 2a+ O a , ? b) (a ' 1)+2 O 2a+ O a , ? c) (a O 1)+2 ' 2a+ O a , ? 1. Aallar :m<6 si la suma de raíces de la ecuaci$n es
d) (a ' 1)+2 ' a+ O a , ?
1?.
e) +2 O a+ O 1 , ?
(m ' 2)+2 ' (7m O 7) + O - , ?
13. 8ada la ecuaci$n" 2+2 ' 12+ O (p O 2) , ?
a) ?
b) 1
d) 17
e) 27
c) 7
Balcular :p<6 para que la dierencia de sus raíces sea 2.
2. Aallar :P< (P`?)6 si la ecuaci$n" J+2 ' P+ O 4 , ?
a) '14
b) '
d) 1
e) 14
c) '1
14. &ara qué valor de m (m ^ ?) las raíces de"
posee raíces iguales.
(m O 4)+2 ' 3m+ O m ' 1 , ?
a) 12
b) 14
diieren de 1.
d) '1
e) '12
a) 3
b) 7
d) J
e) 11
17. Balcule :a<
c)
(m ' 3)+2 ' (m O 2)+ O 3m ' 17 , ?
a+2 ' (a O 3)+ O 7 ' a , ? tenga una sola raí>. b) 1
d) 3
e) 4
3. Aallar :m<6 si las raíces de la ecuaci$n son recíprocas"
_ para que"
a) ?
c) 1
a) 1
b) 2
d)
e) -
c)
c) 2 4. Aallar :n<6 si una raí> de la ecuaci$n" +2 O (n O )+ O n , ?6 es" + , 3
1. Si" (b ' 1)+2 O 2b+ O c , ? tiene raíces iguales6 Hallar el ma%or valor de :c<6
a) '3
b) '2
d) 2
e) 3
c) 1
sabiendo que :b< es /nico. 7. Xormar la ecuaci$n de 2do grado cu%as raíces son" a) ?
b) 2
d%
e% !
c) 3
x1 4 3 x2 4 3
a) +2 ' -+ O 13 , ? b) +2 O -+ O 13 , ? c) +2 ' 2+ 3 O 1 , ?
4to. Sec – II Bim d) +2 ' -+ O 13 , ?
Aallar "
e) +2 ' -+ O 3 , ? . Aallar las raíces de la ecuaci$n"
" # # "
a) 1
b) 17
d) 13
e) 12
c) 14
3+2 ' + ' 1? ! & E2 a) 3
!3 d) 2 E &
! 3 E& b) 2
!& E 2 c) 3
e) Y7R '2Z
1?. Balcular :m<6 si una raí> de la ecuaci$n" +2 ' m+ O - , ?6 es" + , 2 a) 4
b) 7
d)
e) -
c)
. Aallar una raí> de la ecuaci$n" 2+2 ' 3+ ' 3 , ? 2 32
a) d)
b)
3 3 33 4
e)
13 33 4
3 32
c)
2
3
-. Siendo" :+1< :+2< las raíces de la ecuaci$n" 2+2 ' 7+ O 1 , ? Aallar "
&ara que una de las raíces de la ecuaci$n"
1 1 > x1 x 2
a) 2
b) 3
d) 4
e) 7
a+2 O b+ O c , ? c)
J. Siendo : " < % : # < raíces de la ecuaci$n" 2+2 ' + O 1 , ?
sea el triple de la otra6 la relaci$n de coeicientes debe ser" a) 1b2 , 4ac
b) 1b2 , 3a
c) 3b2 , 1a
d) 3b2 , 1ac
e) Jb2 , 1ac
C O N C E P TO S P R E V IO S M a c t o r o /: /s o r
M a c t o r A 7 e $ r a / c o
M a c t o r * r /m o
es
es
s/
K o d o " o /n o m /o u e d / : /d e e n o r m a e x a c t a a o t r o " o /n o m /o .
K o d o " o /n o m /o d e 7 ra d o n o n u o u e d / : /d e e n o r m a e x a c t a a o t r o " o /n o m /o .
A d m / t e " o r d / : / s o r e s a 1 B a s / m /s m o .
a s % *
(xEB)
a s %
= xB *
sus /: /s o r e s * 1(xEB) = * 2(xEB) = * 3(xEB) = * 4(xEB) =
son + 1 x B xB
a s %
(xEB)
*
(xEB)
= x(B 5 1) sus
/: /s o r e s s o n + N o e s a c to r * 1(xEB)= 1 a7e$ra/co * 2(xEB)= x * 3(xEB)= B 5 1 * 4(xEB)= x ( B 5 1 )
= xB
2
sus /: /s o r e s * 1(xEB) = * 2(xEB) = * 3(xEB) = * 4(xEB) * &(xEB)
son + 1 In/cos x actores B " r /m o s 2 = B = xB
*
= xB
6(xEB)
2
FACTO RIZACIÓN
encn C o n s s t e e n t ra n s o r m a r u n " o n o m o e n o t ra e u : a e n t e e x " r e s a d a e n u n a m u t" c a c n d e a c t o r e s " r m o s s o $ r e u n d e t e r m n a d o c a m " o n u m D r c o . OBSERV ACIONES
Hn "onomo estJ so$re un d e t e rm n a d o c a m " o n u m D r c o s s u s c o e c e n t e s " e r t e n e c e n a d c o c a m " o n u m D r c o . A s % 2
* (x) = 2 x 5 & x @ 3 e n ( e n t e r o s ) 3
M a c t o r " r m o o " o n o m o r r e 5 d u c t $ e e s t o d o " o n o m o d e r a d o n o n u o ( n o c o n s t a n t e ) u e n o s e " u e d e e x " r e s a r co 5 m o a m u t" c a c n d e d o s o m J s a c t o r e s .
Q a a c t o r a c n d e u n " o n o 5 m o o re a a m o s e n e c a m " o d e o s n I m e r o s e n t e ro s ( ) e s d e c r o s a c t o r e s " r m o s d e 5 $ e n " r e s e n ta r I n c a m e n t e c o e c e n t e s e n t e r o s .
K o d o " o n o m o d e " r m e r r a d o + * (x ) = a x @ $ E es rreduct$e en cuauer c a m " o n u m D r c o .
A s %
A s %
* (x ) = 4 x 5 3
* ( x ) = x 2 5 4 n o e s " rm o " u e s + * ( x ) = ( x @ 2 ) ( x 52 )
M a c t o r a r e n + 9 x 2 5 4 B 2 = ( 3 x @ 2 B ) (3 x 5 2 B ) Coecentes enteros
2
R (x) = & x @ 3 x 51 x @ 1 2 en < (reaes) < ( x ) = 3 x 2 @ 2 x @ 3 e n C ( c o m " e ?o s )
R ( x ) = x 5 6 e s " r m o < ( x ) = x 2 @ 1 e s " rm o
M a c t o r a r e n < + 2 x 253 B 2 = ( 2 x @ 3 B )( 2 x5 3 B) C o e c e n t e s r e a e s
Mactorar en C + 4 x 2 @ 1 = ( 2 x @ ) ( 2 x 5 ) C o e c e n te s c o m " e ?o s
A s %
R (xEB) = x @ B 5 1
< ( x E B E C ) = 2 x 5 3 B @ 4
C R I T ER I O S D E F A C T O R I Z A C IÓ N MA C K# < C # T N
A U < H * A C ; V N
; > N K ; A > S
A S *A S ; * Q >
se
se
es
es
> e n a s $ a s e s c o m u n e s a e c ta d a s a m e n o r e x " o n e n te .
S e e c c o n a n c o n : e n e n t e 5 m e n t e o s t D rm n o s d e ta m anera ue en ere u n a c to r c o m I n .
a a " c a c n n m e d a ta d e a u n o s " r o d u c t o s nota$es.
A s %
A s %
e r e n c a d e c u a d r a d o s
A " c a $ e e n e r a m e n t e a t r n o m o s . > " r o c e s o c o n s t a de 3 "asos+ L e s c o m " o n e r o s e x t r e m o s L *rue$a de as"a L > s c r t u r a d e o s a c t o r e s
* (xEB) = a x & B & @ $ x 4 B 6 a c to r co m I n + x 4B &
* ( x E B ) = x 2 @ x B @ x @ B 2@ B x @ B aru"ando de 3 en 3
A 2 5 ! 2 = ( A @ ! ) ( A 5 ! )
A s %
S u m a B e re n c a d e c u $ o s
ueo
ueo
* ( x E B ) = x 4 B &( a x @ $ B )
* ( x E B )= x ( x @ B @ ) @ B ( B @ x @ ) a c t o r c o m I n + x @ B @ * (xEB) = ( x @ B @ ) ( x @ B )
* (xEB) = 2 x 2@ & x B @ 2 B 2 2x B = xB x 2B = 4xB &xB
Nota+ Q o s a c t o re s " r m o s d e * ( x E B ) s o n + * 1(xEB) = x * 2(xEB) = B * 3(xEB) = a x @ $ B
A 3 @ ! 3 = ( A @ ! ) ( A 2 5 A ! @ ! 2 ) A 3 5 ! 3 = ( A 5 ! ) ( A 2 @ A ! @ ! 2 ) K r n o m o c u a d r a d o " e r e c t o 2
2
2
A @ 2 A ! @ ! = ( A @ ! ) A 2 5 2 A ! @ ! 2 = ( A 5 ! ) 2 ; d e n t d a d d e A r a n d
A 4 @ A 2 ! 2 @ ! 4 = ( A 2 @ A ! @ ! 2 ) ( A 2 5 A ! @ ! 2 )
ueo * ( x E B ) = ( 2 x @ B ) ( x @ 2 B )
d) + 2 -.
e) + ' 3
Xactori>ar" X(+R %) , (+2 %2)2 (%2 >2)2 #n actor primo es"
1.
J.
Xactori>ar"
a) + O %
b) + %
d) +2 O %
e) % ' >
Xactori>ar" X(+) , (+ O 1)4 (+ ' 1) 4
X(+R %) , + 2%2 O +2% O +%2 O +%
a suma de coeicientes del actor primo
l n/mero de actores primos es"
2.
a) 2
b) 3
d) 7
e)
c) 4
Xactori>ar" X(+R %) , + 3%2 O +2% O +2%3 O +%2
cuadr5tico es" a) 1
b) 2
d) '2
e) '1
d) +2 %2 3.
X(+) , +3 O +2 J+ ' J Dndicando un actor primo.
c) +2 O %2
e) +2 O +%
a) + 1
b) + 2
d) + O 7
e) + O &(+6 %) , +2 %2 O % ' J
l n/mero de actores primos binomios es"
Dndicando el actor primo de ma%or suma de
a) 1
b) 2
coeicientes.
d) 4
e) 7
c) 3
a) + O % 3
a) + O %
b) + % 2
d) + 2%
e) 3+ O % O 2
12. Xactori>ar"
e) + O %
(a3 O b3 O c3)3 a3 b3 c3
Xactori>ar" Dndicar el n/mero de actores primos.
.
d) + O 2% 1
c) + O 2% 2
&(aR bR c) , a 2 abc ac ab O b 2c O bc
.
b) + % O 3
c) + O % O 2
Xactori>ar e indicar un actor primo" I(+6 %) , +3 O 2+2% O 4+%2 O -%3
7.
c) + ' 3
11. Xactori>ar"
Xactori>ar" X(+R %) , +4% +2%3 +3%2 O +%4
4.
c) 3
1?. Xactori>ar"
l actor primo de 2do grado es" a) +% O 1 b) +% O %2
c) + O >
a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
c) 3
Dndicando el n/mero de actores primos. a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
c) 3
13. Xactori>ar"
Xactori>ar" &(aR bR c) , ab 2 O ac2 O bc2 O a2b O a2c O b2c O
X(+) , (+ O 1)4 7(+ O 1)2 O 4
3abc
indicar el término independiente de un actor
Dndicando un actor primo.
primo.
a) a2 O b2 O c2 b) a b c c) a O b O c
a) 1
b) 2
d) a3 O b3 O c3
d) '2
e) '3
e) a O b
c) 4
14. Xactori>ar"
Xactori>ar"
I(+) , (+2 O 7)2 O 13+(+2 O 7) O 42+ 2
X(+) , (+2 O 2)2 (2+ ' 1) 2 l actor que m5s se repite es"
Dndique la suma de coeicientes de un actor
a) + O 1
primo.
c) + O 2
b) + 1
a) 7
b)
c) 2
d) 4
e) Aa% 2 respuestas
Dndicando la suma de coeicientes de un actor primo.
17. Xactori>ar" , + +4 O 2+3 O 7+2 + O 1 indicar el coeiciente del termino lineal de un
.
a) 3
b) a O b O 1
d) a O b
e) 1
c) 2
Xactori>ar" &(+) , +2 (ac ' b)+ ' abc
actor primo. a) '1
b) '2
d) 2
e) 3
c) 1
e indicar un actor primo.
-.
a) + ac
b) + O b
d) + b
e) + ' a
c) + O a
Xactori>ar" X(+R %) , 12+2 O %2 O 1+% e indicar el valor numérico de uno de sus actores primos para + , 3R % , 2.
1.
Xactori>ar" &(+R %) $ + % O + % O + % O + % 7 4
7 2
3 4
3 2
e indicar un actor primo. 2
J. 2
a) + O %
b) + O %
d) +% O 1
e) %2 O 1
c) + O 1
a) 13
b) 1
d) 1-
e) ; 8
c) 2?
Xactori>ar" &(+) , J+2 1-+ O I(+) , 12+2 O + ' e indicar la suma de sus actores primos no
2.
Dndicar un actor primo al actori>ar la suma de
comunes.
los actores primos de"
a) + 4
b) + O 1
d) + 1
e) + O 1
&(aR +) $ ab+2 O ab%2 O +%a2 O +%b2
3.
4.
a) a O %
b) b O +
d) a b
e) b +
c) 13+ ' 7
c) + O % 1?. Dndicar un actor primo en"
Xactori>ar"
X(aR b) , (a O b O 2) 2 O 11a O 11b O 4?
X(+) $ (+ ' 3)(+ ' 2)(+ ' 1) O (+ ' 1)(+ ' 2) (+ ' 1)
a) a O b O 7
e indicar la suma de sus actores primos.
d) a O b
a) 2+ 4
b) 3+ 7c) 3+ '
d) 2+ 3
e) 3+ ' 4
b) a O b O -
c) a O b O J
e) a O b O 4
Seale un actor primo de" M(aR b) , a2 4 O 2ab O b2 a) a O 2
b) b 2
d) a O b O 2 7.
c) a O b ' 4 e) a ' b
Xactori>ar" &(+R %) , %2 +2 O + ' J
.
e indicar el actor primo de ma%or suma de
KBu5ntos actores primos de segundo grado tiene el
coeicientes.
siguiente polin$mio L
a) + O % 3
b) + % O 3 c) % O + O 3
d) + O % 3
e) 3 + O %
Xactori>ar" &(+) , +2 O 2(a O b)+ O a 2 O 2ab O b 2
&(+6%) , +7 % a+ 4 % a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
+3 % a+2 %
c) 3
A S P A D O B L E E S P E C I A L
A S P A D O B L E
o r m a e n e ra 4n
3n
2n
o r m a 7 e n e ra . n
* (x) = a x @ $ x @ c x @ d x @ t1 t2 t3 t4 t& s e a t a s e u n t D r m n o c o m " e t a r c o n e c e r o
2n
n m
2m
n
m
* r o c e d m e n t o
* (xEB) = a x @ $ x B @ c B @ d x @ e B @ t1 t2 t3 t4 t& t6 s / .e a .t a s e u n t D r m /n o N c o m " . e t a r c o n e . c e r o
"aso 1
* r o c e d /m / e n t o
e s c o m " o n e r o s t D r m n o s t 1 B t & d e m o d o u e e " r o d u c t o e n a s " a d e t e r m n e u n t D r m n o c u a d r J t c o .
"aso 1 A s " a s /m " .e a . o s t D r m /n o s + t 1 E t 2 B t 3
"aso 2
"aso 2 e s c o m " o n e r e t D r m n o u e r e s u t a d e a c e r a d e r e n c a d e t D r m n o c e n t ra B e t D r m n o c u a d r J t c o o $ t e n d o e n e " a s o 1 .
A s " a s / m " .e a .o s t D r m /n o s + t 3 E t & B t 6
"aso 3
"aso 3
S e s t a e x " r e s n u e s e c o r r e c t a a m u t " c a r e n a s " a d e $ e : e r c a r o s t D r m n o s s e u n d o ( t 2 ) B c u a r t o ( t 4 ) .
A s " a s /m " .e d e c o m " r o $ a c /8 n + t 1 E t 4 B t 6 "aso 4
"aso 4
.o s a c t o r e s s e a d o " t a n o r /C o n t a . m e n t e o s a c t o r e s s e a d o " t a n o r o n t a m e n t e
D I V IS O R E S B IN Ó M IC O S se H t a " a r a a c t o r a r " o n o m o s d e r a d o m a B o r o u a a t r e s . * r o c e d m e n t o "aso 1 e t e r m n a r e r a n o d e a u e o s " o s $ e s : a o r e s u e a n u a n a " o n o m o . s
"aso 2 > n $ a s e a e s t o s : a o r e s r e a e e : a u a c o n e s a s t a c o n s e u r a I n : a o r u e o r e a n u a r o Nota+
K o d o : a o r u e a n u a a " o n o m o e n e r a u n a c t o r d e 1 e r ra d o . "aso 3
* a ra c o n s e u r e o t r o a c t o r o a c t o r e s a " c a r e m o s < u n c u J n t a s : e c e s s e a n e c e s a r o .
M(+) , 2+3 ' 7+2 ' 23+ ' 1? a) + ' 2 d) + ' 7
b) + O 7 e) + O 3
c) 2+
-. Dndicar un actor de" =(+) , +4 O 4+2 O 1 1. Xactori>ar" &(+R%R>) , 2+2 ' 2%2 ' 3>2 ' 3+% O %> ' +> indicando la suma de sus actores primos a) 3+'%'2> d) +'%O>
b) 3+O%O2> e) 3+'3%'2>
c) +'%'2>
2. Xactori>ar" &(+) , +4 O 7+3 ' +2 ' 2J+ O 3? indicar la suma de todos los actores primos. a) 4+ O 3 d) 4+ O
b) 4+ O 4 e) 4+ O
c) 4+ O 7
3. Xactori>ar" &(+) , +3 O 2+2 ' 7+ ' indicar la suma de coeicientes de un actor primo a) '3 d) '4
b) ? e) 1
c) 2
4. Xactori>ar" &(+) , +3 ' 7+2 ' 2+ O 24 indicar la suma de los términos independientes de los actores primos a) ' d) 4
b) '7 e)
c) '3
7. Xactori>ar" &(+) , +4 O 2+2 O J indicar un término de un actor primo a) + d) +2
b) +
c) +
e) J
. Xactori>ar" A(+) , +3 ' + O Dndicar un actor. a) + ' 3 d) + O 1
b) + O 2 e) +
. Dndicar un actor de"
c) + ' 1
a) +2 O 2+ O 4 d) +2 ' 2+ O 3
b) +2 O 2+ e) +2 O + ' 1
c) +2 ' 2+
J. Dndicar la suma de coeicientes de los actores primos de" D(+) , +4 ' 4+3 O 11+2 ' 14+ O 1? a) 4 d) -
b) 7 e) 1?
c)
1?. Dndicar un actor de" M(+) , + ' 7+7 ' +4 ' 13+2 ' a) 2+3 ' 2 c) 2+3 ' 3+2 2
b) d)
2+3 ' 3+2 O 2 +3
e) +3 ' 1 11. Xactori>ar" &(+) , +7 O 7+4 O +3 ' +2 ' -+ ' 4 indique V o X D. l polinomio tiene 7 actores primos. DD. l polinomio tiene 3 actores primos DDD. a suma de sus actores primos es 3+ O 2 DV. #no de los actores primos es (+ O 2)2 a) XVXX d) XVVX
b) VVVV e) VVVX
c) XVVV
12. Xactori>ar" &(+) , 12+3 O -+2 ' 3+ ' 2 a) b) c) d) e)
(3+ O 2)(2+ ' 1)(+ ' 2) (3+ ' 2)(2+ ' 1)(+ ' 1) (3+ O 2)(2+ ' 1)(+ ' 1) (3+ O 2)(2+ O 1)(2+ ' 1) (3+ O 2)(2+ O 1)(+ ' 1)
13. Dndicar un actor de" &(+R %R >) , +2 ' 2?%2 ' 14>2 O +% O 3-%> ' 1+> a) 3+ ' 4% O 2> b) 3+ ' 4% O 2 c) 3+ O 2% d) 2+ O 7% e) 2+ O 7% '
3. Xactori>ar" 14. Dndicar un actor de" &(+R %R >) , 1?+2 ' %> O 3%2 ' 1+% O 7+> a) % ' + d) 2+ ' 3% ' >
b) 2+ O 3% O > e) 7+ O %
c) 7+ ' %
17. 8ar un actor primo de" &(+) , +7 ' +4 O 2+2 ' 2+ O 1 a) +2 O + O 1 d) +3 ' + ' 1
b) +3 O + O 1 e) +2 ' + O 1
&(+) , +4 O +3 O 1J+2 O 3+ O 1a) (+2 O + O 3) (+ 2 ' + O ) b) (+2 O 7+ O ) (+ 2 ' 2+ O ) c) (+2 ' 7+ O 3) (+ 2 ' 2+ O ) d) (+2 O 7+ ' 3) (+ 2 O 2+ ' )
c) +2 O + ' 1
e) (+2 O 7+ O 3) (+ 2 O 2+ O )
4. Xactori>ar" 1. Xactori>ar" X(n),(nO1)2n2O2nOJO7(nO1)n2O2nO2O1
&(+) , +3 ' +
indicar un actor primo. a) n O d) n O
b) n O e) n O 1?
c) n O 2
1. Dndicar la suma de términos independientes de sus actores primos" &(n) , (n2 O n ' 1) 2 O (2n O 1)2 a) 3 d) 2
b) '1 e) '2
a) (+ O 2) (+2 O 2+ O 3) b) (+ ' 2) (+2 O 2+ O 3) c) (+ O 1) (+2 O 2+ O ) d) (+ ' 1) (+2 ' 2+ O ) e) (+ ' 2) (+2 ' 2+ O 3)
c) 4 7. Xactori>ar" &(+) , +3 ' +2 O 11+ ' indicar un actor primo a) + ' 1 b) + O 2 c) + O 3 d) + O 4 e) + O 1. Xactori>ar" &(+R%) , +2O+%'3%2O11+'11%'1? indicando la suma de sus actores primos
1. Xactori>ar" &(+R%) , 4+2 O 12+% O 7% 2 O 12+ O 1-% O J indicar un actor primo a) 2+ O 7% O 3 b) 2+ O 7% O 4 c) 2+ O 7% O 7 d) 2+ O 7% O e) 2+ O 7% O
2. Xactori>ar" &(+R%) , 4+2 O 13+% O 1?% 2 O 1-+ O 2% O 1indicar la suma de actores primos a) 7+ O % O - b) 7+ O 4% O c) 7+ O % O J d) 4+ O % O e) 4+ O % O
a) 7+O2%O3 d) +O%O1
b) 7+O%'3 e) +O2%O3
c) 7+O2%'3
2. Xactori>ar" &(+R%) , 3+2 O 4+% O %2 O 4+ O 2% O 1 indicando uno de los actores primos a) +'%'1 d) +O%'1
b) 3+'%O1 e) 3+O%O1
c) 3+O%'1
3. Xactori>ar" &(+) , +4 O 7+3 O J+2 O 11+ O Dndique el n/mero de actores primos a) 1 d) 4
b) 2 e) 7
4. Xactori>ar" &(+) , +4 ' 2+3 '1?+2 O 7+ O 12
c) 3
a) (+2 O + ' 3) (+ ' 4) (+ O 1) b) (+2 O + ' 3) (+ O 4) (+ ' 1)
a) + ' 1 d) + ' 3
b) + O 1 e) + O 2
c) (+2 O + O 3) (+ ' 4) (+ O 1) d) (+2 O + O 3) (+ ' 4) (+ ' 1) e) (+2 O + ' 3) (+ ' 4) (+ ' 1) 7. Xactori>ar" &(+) , +3 ' 11+2 O 31+ ' 21 a) b) c) d) e)
(+ ' 1) (+ ' ) (+ O 4) (+ O 1) (+ O ) (+ O 3) (+ ' 1)(+ O )(+ ' 3) (+ ' 1)(+ ' )(+ O 3) (+ ' 1)(+ ' )(+ ' 3)
Xactori>ar" &(+) , +7 O + O 1
. Xactori>ar" &(+R %) , 17+2 O 11+% O 2%2 O 1+ O % O 4 Dndicar un actor primo.
a) (+2 O + O 1) (+ 3 ' +2 O 1) b) (+2 O + O 1) (+ 3 O +2 O 1)
a) 3+ O % d) 7+ ' 2% O 2
c) (+2 ' + ' 1) (+ 3 ' +2 O 1) d) (+2 ' + ' 1) (+ 3 O +2 O 1)
b) 3+ O % O 2 e) 7+ O 2
c) 7+ O 2%
e) (+2 O + O 1) (+ 3 O +2 ' 1
. Xactori>ar" &(+R %) , 1?+2 O 11+% ' %2 ' + ' 11% ' 3 Dndicar un actor. a) 7+ ' 2% ' 3 d) 2+ ' 3% O 1
b) 7+ ' 2% e) 2+ ' 3%
c) 2+ O 3%
-. Dndicar un actor de" &(+) , +4 O +3 O 14+2 O + O 1 a) +2 O 3+ ' 1 c) +2 ' 4+
b) +2 O 3+ O 1 d) +2 O 4+ ' 1
e) +2 O 1 J. Dndicar un actor de" B(+) , +3(+ O 1) O 2+ 2 O 7(+ ' 3) a) +2 ' 7 d) +2 ' 3
b) +2 O 7 e) +2 O 3
1?. Dndicar un actor de" &(+) , +3 O 7+ O
c) +2 ' + ' 3
c) + O 3
+,#E# D iv is ió n d p o !in o " io s > s a u e a o " e r a c / n a 7 e $ r a / c a u e t /e n e c o m o o $ ? e t / : o e n c o n t r a r d o s I n / c o s " o /n o m /o s a m a d o s c o c / e n t e e n t e r o ( x ) B r e s / d u o < ( x ) a " a r t /r d e o t r o s d o s " o / n o m / o s a m a d o s d /: /d e n d o ( x ) B d /: /s o r d ( x ) . a ; d e n t /d a d u n d a m e n t a
* r o " /e d a d e s
es (x)
$
d ( x ) . ( x ) @ < ( x ) d (x ) '
$
d ( 1 ) . ( 1 ) @ < ( 1 ) S u m a d e c o e /c / e n t e s d e d /: / d e n d o
> 7 r a d o d e d / : /d e n d o e s m a B o r o " o r o m e n o s / 7 u a a 7 r a d o d e d / : /s o r + ° % d °
$
d ( ' ) . ( ' ) @ < ( ' ) K D r m /n o /n d e " e n d / e n t e d e d /: / d e n d o
<(x)
(x)
C a s e s d e d /: / s / n e xa cta < (x)
2 > 7 ra d o d e c o c / e n t e e s /7 u a a 7 r a d o d e d /: /d e n d o m e n o s e 7 r a d o d e d / : /s o r + ° = ° 5 d °
" a ra + x = ' (')
d(x)
1
" a ra + x = 1 (1)
(x)
$
'
/n e x a c t a < (x)
$
'
3 > 7 r a d o m J x /m o d e r e st o e s / 7 u a a 7 r a d o d e d / : /s o r d /s m / n u / d o e n 1 + < ° m a x . = d ° 5 1
&ara todos los métodos es necesario que el dividendo % divisor estén ordenados % completos en orma descendente6 si alta alg/n término completar con el cero. &or e!emplo6 así en la divisi$n" 2 x & 3x 2 5 1 2x 3 5 x 2 6
completando con ceros se tiene" 2 x & ' x 4 ' x 3 3x 2 'x 5 1 2x 3 5 x 2 ' x 6 M-todo de +orner &ara este método s$lo se utili>ar5n coeicientes empleando el siguiente esquema"
Con su m s m o s n o
Con sno c a m $ a d o
; W ; > N # ; W ; S # < C # C ; > N K > < > S ; H #
1. Se distribu%en los coeicientes del dividendo en orma Hori>ontal.
2. Se distribu%en los coeicientes del divisor en orma vertical donde el primero de ellos lleva signo propio % los restantes se colocan con signo cambiado. 3. a línea que separa el cociente del resto se tra>a de acuerdo al grado del divisor. s decir6 se cuenta de derecHa a i>quierda tantos lugares c$mo lo indica el n/mero que representa el grado del divisor. 4. Se dividen los primeros coeicientes del dividendo % divisor6 siendo este el primer coeiciente del cociente. 7. Se multiplica el primer coeiciente del cociente por los términos que cambiaron de signo % los resultados se escriben en ila a partir de la segunda columnaR se reduce los coeicientes de la segunda columna dividiendo este resultado entre el primer coeiciente del divisor6 el resultado es el segundo coeiciente del cociente. .
Se continuar5 Hasta completar los coeicientes del cociente % residuo.
6x 3 5 12x 2 3ax a 3x 2 3 el residuo toma la orma :m+ O m<. Balcular :m O a<. a) 21 d) ' 3? 1. 8ividir" 1'x 4 6 x 3 5 37x2 36x 5 12
ax 4 $x 3 5 4x 2 19x 14
&x 5 7 x 3 e indicar el resto. b) 2+ ' 1 e) 3+ ' 3
c) 3?
. Balcular :a ' b< en la siguiente divisi$n e+acta.
2
a) 2+ O 1 d) 3+ ' 1
b) ' 21 e) J
3x 2 5 x 7
c) 3+ O 1
a) 13 d) '
b) ' 13 e) 3
c)
. n la siguiente divisi$n e+acta"
2. 8ividir" 4
3
6x 4 11x 3 !x 2 5 7x 5 3!
2
12x 5 14x 1&x 5 6x 4
3x 2 4 x &
4 x 2 5 2x 1
e indicar la suma de coeicientes del cociente. a) 1 d) 4
b) 2 e) 7
c) 3
3. Balcular :m.n<6 en la siguiente divisi$n e+acta.
Aallar el valor de :=<. a) 1 d) 4
b) 2 e) 7
-. Balcular :; ' =< si la divisi$n es e+acta"
x 7 Ax ! x2 x 1
8x 4 6x 3 5 23x 2 mx 5 n 4 x 2 5 3x 1 a) 17 d) 4-
b) 1J e) ?
c) 11
4. Balcular :m O n O p<6 si la divisi$n" &
3
8x 4x mx
2
nx "
c) 2
x 2 2x 5 2 de!a por resto" 2+ ' 16 calcular :; O =<.
C(+) , 7+2 ' 3+ O
7. n la divisi$n"
b) ' 2 e) ' 1
x & 3x 4 5 3x 3 5 4x 2 Ax !
de!a como resto"
b) 2 e) 12
a) 3 d) 1 J. Si la divisi$n"
2x 3 x 2 3
a) 32 d) 17
c) 3
c) 21
a) d) 23 1?. n la divisi$n"
b) e) 24
c) J
2x 4 &x 3 Ax A x2 5 x 1 el residuo es un término constante6 indique dicHo resto.
a) '1 d) '-
b) '4 e) '3
c) '2
a) 3
b) ' 4
d) ' 1
e) 2
c) ' 2
3. n la divisi$n" 9x 4 6ax 3 (a2 3$)x 2 a$x 9a2 3x 2 ax 5 $
el resto obtenido es" ab O b 2.
11. n la divisi$n indicada"
x 6 5 2&x 2 x 5 4 3
x 5 &x
3a2 $2
Balcular"
a2
Aallar el residuo. a) 4 ' + d) + O 4
b) 4+ e) + ' 4
c) +
12. Si" YmR nZ \ _ % al eectuarse la divisi$n"
a)
b) -
d) 12
e) 14
4. Si la divisi$n"
Ax 4 5 7x 3 !x 2 1&x 5 9
x3 5 x x 2 mx n
b) 1 e) 4
c) 2
de!a como
4x 2 5 3x 2
residuo" 2+ ' 3
se obtiene como resto . Balcular :m O n<. a) ? d) 7
c) 1?
Aallar :; ' =<. a) 12
b) ' 14
d) ' 12
e) 14
c) 2-
7. n el esquema de Aorner mostrado"
1 m 2
3
n
1. ;l eectuar" 2 x & 7 x 4 5 3x 3 &x 1 x 3 3x 2 5 4x ,
dicHo resto. b) 14+ O 3
d) 13+ O 3
e) 12+ O 3
c) 12+ O 4
a) 12
b) 1-
d) 1
e) .;.
3 , 1 , 2
6x & 5 x 4 ax 3 5 3x 2 4
A1
2
3x 3 5 2x 2 5 x 5 2 Dndique :a O b O c<.
"
$
c
4
53
c) 14
. n el esquema de Aorner mostrado"
2. n la divisi$n"
se obtiene como resto" b+ O c.
52
1 d e
8eterminar" (m On O p) ' (a O b O c)
se obtiene un residuo de primer grado. Balcular
a) 13+ O 4
a 9
A 2 4 3
A 3 A 4 51 2 6 51 8 51 4 57 6
A &
42 8
se pide encontrar el ma%or coeiciente del dividendo. a) 1? d) 2
b) 3e) .;.
c) 47
tiene residuo" . 8ividir"
C(+) , + ' 3 % un cociente cu%a suma de coeicientes es 4.
x 4 4x 3 6x 2 5 7x 2 x 2 2x 1
Dndicar el resto. a) 1 ' 1?+
b) 1 O 11+
d) 1?+ ' 2
e) 4+ ' 1
c) 1 ' 11+
a) 1?
b) ?
d) 1??
e) '
c) ' ?
; 9C;B;
-. Balcular :a O b< si la siguiente divisi$n" &x 4 4x 3 5 13x 2 ax ($ 1) x 2 2x 5 1
de!a como residuo a" '12. a) 2
b) 3
d) ' 2
e) 1
c) ' 3
J. Balcular (mn)2 si la siguiente divisi$n" 4
Balcular :b ' a< si al dividir"
3
6x &x 2mx 5 3n
ax 4 $x 3 13x 18
2
2x x 3
3x 2 5 x 7
es e+acta. a) ' 27
b) 27
d) 21
e) ?
c) 24
1?. Balcular" (m O p)n6 si la siguiente divisi$n" mx 4 nx 3 "x 2 17x 5 & 2x 2 5 x 2
se obtiene como resto :2+ ' 3<. a) 1?
b) 4
d) 3
e) .;.
c)
M-todo de #uini Se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la orma" a+ O b R a \ ? ;l igual que en Aorner6 utili>aremos s$lo coeicientes cumpliendo el siguiente esquema"
;
W
;
>
N
#
ax @ $ = ' x = 5 $ a C # C ; > N K >
< > S K #
'eorema del #esto Se utili>a para calcular el resto sin tener que eectuar la divisi$n6 se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la orma" a+ O b6 % en algunos casos especiales. Sea &(+) un polinomio no constante. l resto de dividir &(+) por (a+ O b) donde" a \ ?6 viene dado por $ & 5 a 8emostraci$n"
Sea la divisi$n" &(+) 0 (a+ O b)6 de residuo :C<. 8e la identidad undamental6 se tiene" &(+) \ (a+ O b)q(+) O C $ a
n esta identidad :C< se obtiene cuando" + , '
Xinalmente"
5 $& a
$ a, 5 $ a '
q 5 $
OC \ &
a
5,$? O C a
$ C , &5 a
#egla para calcular el #esto '
Se iguala el divisor a cero.
'
Se calcula el valor de la variable que aparece con recuencia en el dividendo.
'
l valor obtenido se reempla>a en el dividendo
. Balcular el resto en la siguiente divisi$n"
4x 4' 8x 39 1 x2
4 2 1. 8ividir" 4x x 5 3x 4 2x 5 1 e indicar el producto de coeicientes del cociente.
a) 2 d) ' 4
b) ' 2 e)
a) 1 d) 4 4.
b) 2 e) 7
c) 3
Calcular el resto de:
(x 1)(x 3)(x &)(x 7) 4 x 2 8 x 11
c) 4
2. Aallar el residuo en la siguiente divisi$n" &x 4 16x 3 5 8x 2 x3
a) ' J d) ' 12
b) ' 1? e) ' 13
c) ' 11
J. Aallar el resto en la divisi$n" 3x 7 2x 6 &x 4 x 3 x 4
a) 1 d) 4
b) ' 2 e) 1?
a) J+ O 1 d) 4+ O 14
3. Aallar el residuo en" 1&x 4 5 8x 3 5 9x 2 7x 1 &x 5 1
a) 1 d) 4
b) 2 e) 7
a) d)
c) ' 7
12. Aallar el resto en"
a) 14 d) 17
b) e) 13
c) 2
12. n la divisi$n" +3 ' (m ' 1)+ 2 O 2m 0 (+ ' 1) el resto obtenido es nulo. Aallar :m<. c) ?
(2x 3)& (x 3) 4 5 6x x2
b) ' e) 4?
c) 1?
x 2 5 3x 1
. Balcular el resto de la divisi$n"
a) 1 d) 12
b) J e)
x 3 (x 5 3) 3 &(x 2 1) 5 1&x 14
x4 x2
b) ' 1 e) 1?24
x1' 1
c) 3
7. Aallar el resto en la divisi$n"
a) 1 d) 1
c) + O 2
x 7' x 6' x 4' x 2' 7
x 3 5 ax 2 5 2ax 5 a2 x 5 a53 da residuo" a O 2
b) 7 e) '
b) + O J e) J+ O
1?. Aallar el resto en"
4. Balcular el valor de :a<6 si la divisi$n"
a) d)
x3 5 1
c) ' 1
c) ' 3
a) ' 1 d) ' 4
b) ' 2 e) ' 7
c) ' 3
. n el esquema de Cuini6 dar N
1. Aallar el resto al dividir"
a) 1
+ 4 2+ 3 3+ 2 7+ 2 3+ 1
b) ?
c) 2
. Aallar el resto de dividir" a) 4 b) 7 d)
c) e) .;.
a) '1
2. 8el esquema de Cuini"
A 51 e
! 1 d
C 3 c
& $
> 7 a
M 9 '
e) ;
2+7 3+ 3
c) '
a) +3 O 2+ O 1 c) +3 O 2+2 O 1
4+ 4 7+ 3 2+ 2 3+ 1 + 2 2+ 1
4.
d) 3
+
+2 1 d) '3
e) ;
3x 4 x 3 6 x 2 &x 5 1 3x 1
3. Balcular la suma de coeicientes del residuo de dividir"
b) 2J
N
b
-. Aallar el cociente en la divisi$n"
8eterminar la suma de coeicientes del polinomio dividendo. a) 1? b) ' 4? c) 4? d) 7? e) ' 7?
a) '2
b) ?
a
c) 21
d) 1J
b) +3 O 2+ ' 1 d) +3 O 2+2 ' 1
e) +3 O +2 O 2+ ' 1 J. Aallar el residuo en la divisi$n" 8x& 5 x 4 16x 3 5 2x 2 4 8x 5 1
a) ? d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
e) 11
Aallar :p< si la divisi$n"
4+ 2 7+ 3 + 4 p + 2+ + 2 3 es e+acta a) '13 b) '17
c) '1
d) '14
e) '1 Aallar el valor de :a<6 si al dividir"
7. 8ado el polinomio" &(+) , ( O2 1) +4 O 2 + 23
x a 17 x a 16 x a 1& ... x 2 x 1 x 51
2
valuar" &( 2 ' 1) a) 1
b)
2O
d) ' 2
e) ' 3
1
c)
2
'1
se observa que la suma de los coeicientes del cociente es igual a J? veces su resto. a) 11 d) 14
b) 12 e) 17
c) 13
M #C #D # $ M #C #M # d p o !in o " io s
J x m o c o m I n d : s o r ( . C . . ) e . C . . d e d o s o m J s " o n o m o s e s o t r o " o n o m o u e t e n e a c a r a c t e r %s t c a d e e s t a r c o n t e n d o e n c a d a u n o d e o s " o n o m o s .
se # $ t e n e a c t o r a n d o o s " o n o 5 m o s
B : e n e e x " r e s a d o " o r a m u t " 5 c a c n d e o s a c t o r e s " r m o s c o m u n e s a e c ta d o s d e s u s m e n o r e s e x " o n e n te s .
%n m o c o m I n m I t " o ( . C . . ) e . C . . d e d o s o m J s " o n o m o s e s o t r o " o n o m o u e t e n e a c a r a c t e r %s t c a d e c o n t e n e r a c a d a u n o d e o s " o n o m o s .
se # $ t e n e a c t o r a n d o o s " o n o 5 m o s
B : e n e e x " r e s a d o " o r a m u t " 5 c a c n d e o s a c t o r e s " r m o s c o m u n e s B n o c o m u n e s a e c ta d o s d e s u s m a B o r e s e x " o n e n t e s.
*ro"edades 1 o s o m J s " o n o m o s s o n " r m o s e n t r e s % s s u . C . . e s X 1 .
2 T n c a m e n t e " a r a d o s " o n o m o s A ( x ) ! ( x ) s e c u m " e + C ( A E ! ) . C ( A E ! ) = A ( x ) .! ( x )
3 A ( x ) B ! ( x ) s o n " o n o m o s n o " r m o s e n t r e s . > n t o n c e s + 1 ra " o s $ d a d + A ( x ) 5 ! ( x ) = C 2 d a " o s $ d a d + A ( x ) 5 ! ( x ) = c o n t e n e a C
7. 8ados los polinomios" ;(+R %R >) , +4%3> =(+R %R >) , + 7%4>1? B(+R %R >) , +%2>7 Dndicar" 1. Aallar el MB8 de los polinomios" ;(+) , (+ O )2(+ ' )3(+ O J)4 =(+) , (+ O 1?)3(+ ' )2(+ O )3 a) + O J c) (+ ' )(+ O ) e) (+ ' )3(+ O )3
+ O 1? d) (+ ' )2(+ O )2
C(AE !E C) C(AE !E C)
S, a) +2%4> d) +%>4
b) +2%4>3
c) +2%2>7
e) +%>
b)
. Seale el MB8 de los polinomios" ;(+) , +4 ' 1 =(+) , +2 ' 3+ O 2
2. Aallar el MBM de los polinomios" X(+) , (+ O 7)4(+ ' )2(+ O J)3(+ ' 1)4 S(+) , (+ O 7) 2(+ ' )4(+ O )2(+ ' 1)3 a) (+ O7)(+ ' )(+ ' 1) b) (+ O 7)2(+ ' )2(+ ' 1)3 c) (+ O 7)4(+ ' )4(+ ' 1)4(+ O J)3(+ O )2 d) (+ O 1)(+ ' 2)(+ O J) e) (+ ' 1)3(+ ' )4
a) + ' 2 d) + ' 7
b) + ' 1 e) 1
c) +2 O 1
. 8ados los polinomios" ;(+) , +3 O 3+2 O 3+ O 1 =(+) , +3 O +2 ' + 1
3. Aallar el MB8 de los polinomios" Dndicar el MBM. ;(+) , (+ O 2)(+ ' 1)4(+ ' 2)(+ O 3)4 =(+) , (+ O 3) (+ ' 1)2(+ O 2)2(+ O )2 B(+) , (+ ' 3) 4(+ O )2(+ ' 1)3(+ O 2)2 a) (+ ' 1)(+ O 2) c) (+ ' 1)2(+ O 2)2
b) (+ O 1)(+ O 3) d) (+ O 2)2
a) (+ O 1)2 c) (+ O 1)2(+ ' 1) (+ ' 1) -. Aallar el MBM de"
&(+R %) , + 2 ' %2 X(+R %) , + 2 ' 2+% O % 2
e) (+ ' 1) 2
S(+R %) , +2 O 2+% O %2
4. Aallar el MBM de los polinomios" &(+) , (+ O 4) 3(+ ' )2(+ O )-(+ O )3 X(+) , (+ O )2(+ ' )3(+ O )4(+ ' )2 S(+) , (+ O 2)3(+ O )4(+ O 4)-(+ O )2 a) (+ O )4(+ O )-(+ O 4)b) (+ O )4(+ O )c) (+ O )4(+ O )-(+ O 4)-(+ ' )3(+ ' )2(+ O 2)3 d) (+ O )4(+ O )-(+ O 4)-(+ ' )3(+ ' )2 e) (+ O )4(+ O 4)-(+ ' )3(+ ' )2(+ O 2)3
b) (+ O 1)3 d) (+ O 1)3(+ ' 1) e)
b) (+ O %)3 d) (+2 ' %2)3
a) + ' % c) (+2 ' %2)2 e) (+ ' %)3
J. l producto de dos polinomios es (+2 ' 1)2 % el cociente de su MBM % MB8 es (+ ' 1) 2. Balcular el MB8. a) + O 1 d) (+ ' 1)2
b) +2 O 1 e) + ' 1
c) (+ O 1)2
1?. Aallar el MB8 de los polinomios" &(+R %) , +3 ' +%2 O +2% ' %3 X(+R %) , +3 ' +%2 ' +2% O %3 B(+R %) , +4 ' 2+2%2 O %4 a) + O % c) +2 ' %2
b) + ' % d) (+ O %)(+ ' 3%)
e) +2 ' %4 11. Se tienen dos polinomios cu%o MB8 es" +2 O 2+ ' 3 si uno de los polinomios es" &(+) , 2+4 O 3+3 ' 2+2 O ;+ O = entonces :; O =< es" a) 33 d) '
b) ' 3 e) 1
c) 12
12. l cociente de los polinomios es :2+< % el producto de su MBM por su MB8 es" 2+3(+ O %)2 entonces uno de los polinomios es" a) +2 O +% d) + O %
b) +% O %2 e) 2+ O 2%
c) (+ O %)2
d) mO1 e) m'1 . Aallar el M.B.M. de" &(+6%6>) , +"%0>1 I(+6%6>) , +4%/>2 S(+6%6>) , +3%">5
1. l cociente de dos polinomios es (+ ' 1)2 % el producto de su MBM por su MB8 es" + ' 2+4 O +2
a) +%> b) +3%/>4 d) +"%>5 e) .;. -. &roporcionar el MB8 de"
&(+) , +7 O +4 O 1 I(+) , +4 O +2 O1
Aallar uno de los polinomios a) +2(+'1) d) +2(+O1)2
b) +(+O1)
c) +2(+O1)
e)3+ O 1
b) +2 ' + O 1 d) +3 O + O 1
J. Aallar el M.B.8. de"
I(+R %) , +3 ' +2% O +%2 ' %3 C(+R %) , +4 ' %4 b) +2 ' %2
a) +2 O + O 1 c) +3 ' + O 1 e) +3 ' +2 O 1
2. Dndique el MB8 de" &(+R %) , +3 O +2% O +%2 O %3
a) +2 O %2 d) %2 O 1
c) +3%0>5
c) +2 O 1
e) + O %
&(+) , (+O1)4(+O2)3 (+'3)7 (+'1)2 X(+) , (+O-)4(+O2)(+'3)7(+ '2)2 C(+) , (+'2)2(+O2)2(+'3)(+O) a) +O2 b) +2'+' c) +2O+' d) +'3 e) +O1?. l producto de dos polinomios es" (+ O 1)2 ' 4+ % el cociente del MBM entre el MB8 de ambos es" (+2 O 1)2 ' 4+2
3. Dndique el MB8 de" &(+) , 3+3 O +2 ' -+ O 4 I(+) , 3+3 O +2 ' 4
luego el MB8 es" a) 3+2 O 4+ ' 4 c) 3+2 O + ' 4
b) 3+2 ' 4+ O 4 d) +2 ' 4+ O 4
e) + O 2 4. Si el MB8 de" &(+) , +3 ' +2 O 1+ ' m X(+) , +3 ' -+2 O 21+ ' n
a) (+ O 1)(+3 ' 1) c) (+2 O + O 1)(+ O 1)
b)
(+ ' 1)(+3 O 1)
d) (+2 ' + O 1)(+ 2 O + O 1) e) (+2 O + O 1)(+ 2 ' 1)
es (+2 ' 7+ O ). Aallar :m O n<. a) 3? d) 4?
b) 2? e) ' 4?
c) ' 3?
7. Aallar el M.B.M. de" 2+" J+-1 R +" 3 R 3+" O 12+ O J % dar como respuesta la suma de sus actores primos" a) +O1 b) 2+O3 c) +O3 d) +'3 e) J+O3 . Aallar el M.B.8. de" ;(+) , m" O 3m+ O 2+" =(+) , m/ O -+/ a) mO2+ b) mO+
Si" (+'1) es divisor de" +/ +"O11+ % de +/ +O KBu5l es el MB8L
c) m'+
a) (+2'3+O2) c) (+'1)(+O2)
b) (+'2) d) (+O2)
e) +2 ' 4
F % & ' ' i ó n & ! ( ) % & i' & a m a m o s A s % a a d : s n n d c a d a d e d o s " o n o m o s e n d o n d e " o r o m e n o s e d e n o m n a d o r e s d e r e n t e de una constante no nua.
>?em "o raccn ae$raca 2
M(x) =
x 5 &x @ 6 2 x 5 3x @ 2 2
N u m e ra d o r+ x 5 &x @ 6 2 e n o m n a d o r+ x 5 3 x @ 2 ra c c n n o ae$raca 2
x @ 7 x @ 6 M(x) = 3 A u % e d e n o m n a d o r e s u n a c o n s t a n te .
S m " c a c n d e ra c c o n e s
# " e r a c o n e s c o n r a c c o n e s
de$emos
M a c t o r a r e n u m e r a d o r B d e n o m n a d o r " a r a u e o e m n a r o s a c t o r e s c o m u n e s s e m " r e u e s e a n d s tn t o s d e c e r o .
A d c n B s u s t r a c c n
u t " c a c n
: s n
raccones om oDneas
a $ c a @ $ 5 c @ 5 = d d d d
e?em "o
n:ersa
a $
c ac = d $d
a c a = $ d $
raccones eteroDneas
S m " c a r + ( x 2 5 9 )( x 5 1 ) M(x) = 3 x 5 6 x2 @ 1 1 x 5 6 M a c t o r a n d o B s m " c a n d o s e t e n e + (x @ 3)(x 5 3)(x 5 1) M(x) = (x 5 1)(x 5 2)(x 5 3) x @ 3 M(x) = x 5 2
a c e ad @ c$ 5 $de @ 5 = $ d $ d rea "rJctca
a $
d c
e x t re m o s B m e d o s
a $ c d
=
ad $c
c ad X $c = d $d
X
'eorema Si la racci$n" X(+R %) ,
ax 2 $xB cB 2 nx 2 mxB "B 2
es independiente de :+< e :%< o tiene un valor constante para todos los valores reales de :+< e :%<. ntonces" a , $ , n m
Demostraci6n:
c "
Si la racci$n adopta un valor constante" \\+R % \ DC6 se tiene" ax 2 $xB cB 2 nx 2 mxB "B 2
9ransormando"
\P
a+2 O b+% O c%2 \ Pn+2 O Pm+% O Pp% 2 igualando coeicientes"
a , Pn \ P ,
a...... (\) n
b , Pm \ P , $ ...... (\) m c ...... (\) "
c , Pp \ P , 8e (\)6 (\) % (\) se tiene" a n
$
c
, m , " l.q.q.d.
. Balcular la suma de la serie de Stirling mostrada"
1. ectuar"
1 2
1
2
+
4
b) n 1
d)
e) .;.
n2 n n51
2
1
;,1O
*
a) x 2
b) x 5 1'
6 x 6 2
12 2x 'N1
e) '
2
a2 7a a2 a 2? a2 a 2 a2 3a 4
d)
3
b)
2 a53
3
c) a 2
a) d)
4. Si"
a$ 52c a$
a(a c) $(c 5 $) c(a c) $(a 5 $) b) a $ c) a 5 $ c$ $5c
a3 x $ c
b) '1 e) 1G3
1 + 1 + 3 .(+ 3) 7 + +4 + 7 b) 1 e) +O7
c) 1G+
a b 2a a3 a2b b a b a2b b3 b ab 1 d) ab a)
m2 n2 mn n m m n 1 12 5 1 2 mn m n
e) m O n
c) ?
J. Simpliicar"
c) c'1
7. Simpliicar"
d)
a) 1 d) 2
1?. ectuar"
a 4 x 5 $c
b) (mn)2
c) 1
(+ 7)(% -)(> 1) (- %)(7 +)(1 >)
a) + d) 2+
Balcular el valor de la racci$n"
a) mn
1
&
c
b) b'1 e) 1
1 .. .&
e) 4
e) a $
ab O bc O ac , ?
a) a'1 d) a
1
1
-. Simpliicar"
a 1
3. Simpliicar"
a
1
b) ?
d) 2
e) 2
M,
m n 51 n5 2
Balcular :;2 ' =< a) ' 1
a 1
c) n
=,2O
1 1
c) &x 4
2. Ceducir"
2
n n
n
a) n 1
1
a)
2
. 8ado" +
d)
1
1
O 6 O 12 O ... O
b) e)
a ab
c)
1 ab
a b
11. Simpliicar"
a2 5 ax
m c) n
a2 5 x 2 a) 1 O a x
b) 1 ' a x
c)
a ax
1 ...&
d) 1
e) a O +
a) a ' b d) a O b
12. ectuar"
a$ $2 O a$ 5 $ 2 a$ a2 a2 5 a$ b) bG2a c) bGa e) a
a) 2bGa d) b
4. Si"
Aallar :; O =< a) d) 12
x 2 5 &x 6
a) x 1
b) x 2
x 51
x53
2
M, x x 1 b) 1 e)
a) ? d) +
!
A O x5&
b) 4 e) .;.
x4
c) '
1
$5 c) x 5 3
x4
'
x2 x 51
3
2x O x2 5 1
15 a) ? d) 3 . ectuar"
c) 2
1
15
e) 1
14. ectuar"
,
c) ab
7. Ceducir"
x 2 2x 5 8
+
3x 2 x 2 5 x 5 2'
13. Simpliicar"
d)
b) a e) a2 O b
1 15$
b) 1 e) 4
c) 2
a3 5 a2 $
'
(a 5 $)2
17. Xactori>ar" X(+R %) , (+ O 3%) 2 O 2(+ ' 3) O 3(2% ' 3)
a) ' a d) b
a3 $ 3 a2 5 $ 2
b) ' b e) 1
c) a
a suma de sus actores primos es" a) 2+ O % O 3 b) 2+ O % O 2 c) 2+ O 1?% O 2
d) 2+ O 7% ' 14 e) 2+ O 1?% ' 1
. Ceducir" 1
15 15
1 15
a) x B
d) 1. Ceducir"
1'+
x B
b) B
c) %
x e) x 5 B B
-. Simpliicar"
x3 x 51
a) +2 O 1 d) +2 O 4
O
1 ' 15 x
1
x2O x 1
b) +2 O 2 e) +2 O 7
1 x
c) +2 O 3
2x mB 4 x 3B
3. Simpliicar"
a a$ 1 5 $2 a 5 $ a2
Dndique la suma del numerador % denominador. b) 2b e) 2Ga
c) 2a
J. Xactori>ar" X(+6 %) , 3+ 2 O +% O 2%2 O 11+ O % O
es independiente de :+< e :%<6 Hallar :m<. b) 1G 4 e)
a2 c 2 5 $2 2ac
a) 2c d)2
2. Si la racci$n"
a) d)
a2 $2 5 c 2 2a$
3
c) 2 1
ntonces un actor primo es" a) 3+ O 2% O 1 d) + O 2% O 3 b) + O 3% O 2 e) + O % O c) 3+ O 2% O 2 1?. Xactori>ar" X(+R %) , 3+(+ ' %) 2%(+ O %) O (2+ O %) ' 7 l término de un actor primo es" a) 2%
b) 2+
c) '%
d) '7
e) 3+
4to. Sec – II Bim
a ra>$n trigonométrica de un 5ngulo agudo en un tri5ngulo rect5ngulo se deine como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del tri5ngulo rect5ngulo con respecto a uno de los 5ngulos agudos.
SenA
Cateto o"uesto a Y"otenusa $
Cos A
Cateto adBacente c Y"otenusa $
Kan A
Cateto o"uesto a Cateto adBacente c
Cot A
Cateto adBacente c Cateto o"uesto a
Sec A
Y"otenusa $ Cateto adBacente c
Csc A
Y"otenusa $ Cateto o "uesto a
4. n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en B se cumple tgA
7 3
8eterminar" E 7tgB 6sec A . n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en ;. Balcular" , btgB O c . tg= ' c a) a d) 2a
b) b e) 2c
c) c
a) 3 d) J
b) 7 e) 11
c)
3. n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en = se cumple 2tg; , cscB. Balcular" sen;
". n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en =. Ceducir" , sen; secB O senB sec; a) 1 d) 4
b) 2 e) 7
a) c) 3
4 3 2
b) 1G2 e)
c) 1G4
2 3 3
7. n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en = se veriica que -sen;senB , 1.
/. Si" sec x 7 Balcular" E tg 2 x 42senx a) 1? d) 1-
d)
3
b) 12 e) 2?
Balcular" , tg; O tgB c) 14
a) 4 d) 2
b) e) 1?
c) -
CEP Santa María de la Providencia
Trigonometría 0. n un tri5ngulo ;=B recto en B se tiene que a O c , 2. Balcular" E
csc B ctgB
b
a) 1 d) 1G4
b) 2 e) 4
c) 1G2
1. n un tri5ngulo ;=B (;= , ;B) se sabe que 24
tgB
7
si el lado desigual mide 42 cm calcular el
perímetro de dicHo tri5ngulo. a) 12 d) 1-2
b) 172 e) 1J2
c) 12
a) b d) a O b
b) a e) 2a
c) c
". n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en =. b
b
c
a
c
a
Ceducir" E senA senC tgA
2. n un tri5ngulo rect5ngulo6 la cotangente de uno de sus 5ngulos agudos es ?67 calcular la Hipotenusa6 si el 5rea de dicHo tri5ngulo es 24 unidades cuadradas. a) 74 d) 2?
. n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en B reducir" , atg= O csen; ' btg;
b) 1? e) 27
c) 17
a) a O b O c d) 2c /. Si" tg '
b) 2a e) 3
8 15
c) b
(8 es agudo) 1
Balcular" E sen' 2cos '
5. 8el gr5ico Hallar" tg8 . tg8
2
B a) 2 b) 1G2 c) 1G4 d) 4 e) ;
'
a) 1 d) 4
M
1
4. Si" ctg "
"
A
b) 2 e) 7
C
4
c) 3
(" es agudo)
Balcular" M 17 ( sen" cos " )
. Si ;=B8 es un cuadrado. Balcular" tg '. Si" tg #
1
a) 2 d) 7
8
B
a) -G17 b) 17G4 c) 1Gd) e) 17G-
c) 4
C
'
3. Si" sen"
2
( es agudo)
3
Balcular" ctg #
A
D
". 8el gr5ico6 calcular" cos2 a) 1G2 b) 1G3 c) 3G2 d) 2G3 e) 1G4
b) 3 e)
'
6
'
a)
5
b) 2 5
d)
5
e)
5
3
7. Si" sec '
5 2
2 5 3
c)
5 2
4to. Sec – II Bim 8eterminar" E 5sen' ctg ' a) 1 d) 4
0. Si" sen"
b) 2 e) 7
c) 3
3 3
8eterminar" E
2tg " 3 csc "
a) 1 d) 2
b) 2 e) 3
c) 3 8el gr5ico calcular tg8. Si ;=B8 es un cuadrado.
1. Si se tiene que 8 es agudo % cos ' 2
Balcular" E csc '
a) 1 d) 4
4 7
3
a) 1 b) 2 c) 3
4
ctg '
b) 2 e) 7
c) 3
"
' 5. 8el gr5ico calcular tg8 a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 / 3
C
'
2. 8el gr5ico calcular" ctg8 . ctg8 a) 1 b) 2 c) 1G2 d) 3 e) 1G3
B
' 10
e) 3 / 2
2
7
d)
2
e)
5
A
D
CEP Santa María de la Providencia
Trigonometría
'#I9;<,S #EC'9;<,S ,'$B
2
6'Z 2
1
4&Z
1
3'Z 1
3
>. $pro=imados & 37Z
&3Z
74Z
2 &
3
7
16Z 4
2 4
?II.'$B<$ DE ?$<,#ES ,'$B
-+,
./,
*0,
/*,
1/2
3 /2
2 /2
3/&
4/&
Cos
3 /2
1/2
2 /2
4/&
3/&
T&n
3 /3
3
1
3/4
4/3
Co1
3
3 /3
1
4/3
[
S'
2 3 /3
2
2
&/4
&/3
Cs'
2
2 3 /3
2
&/3
&/4
Sn
/. Cesolver" 7+sen73 ' 2sec? , +tg47 O sec247 a) 1 d) 1G2
b) 2 e) 1G4
c) 3
4. Dndicar el valor de :+< en" tg(2+ ' 7) , sen 23? O sen2?
. Balcular" E 6tg 30ºsec45º 3sec53º a) 3 d) J
b) 7 e) 11
c)
". Balcular" , sec3 O ctg73 ' 2sen3?
a) 17 d) 3?
N
3. Si" tgx
a) ? d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
b) 2? e) 37
tgx
tgx
tgx
c) 27
2
sec60º
. Balcular del gr5ico tg=
4to. Sec – II Bim 5. 8el gr5ico calcular" tg '
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7
x a)
2
b)
d)
2
e)
4
2
2
c)
2 2
. 8el gr5ico calcular tg8. Si" ;=B8 es un cuadrado.
5
a) 1G2 b) 1 c) 1G3 d) 1G4 e) 2
30º
'
a) 3 c) 3 3 d) 4 3
B
37º
D
". 8el gr5ico calcular tg8 a) 1G4 b) 2G7 c) 1G7 d) 2G e) 3G
150º 6
C
'
A
0. 8etermine ctg8 en"
b) 2 3
45º
3
7. 8el gr5ico Hallar" E 5sen' ctg ' a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7
'
'
6
3
37º '
e) 6 3 1. 8el gr5ico Hallar" tg8 a) 2G3 b) 3G2 c) G7 d) 7G e) 7G3
53º
'
2. 8el gr5ico calcular" tg+ ( es centro) a) 2 b) 3 c) 1G2 d) 1G3 e) 1
. Balcular" E 4sen30º 5sen37º 3tg 60º a) 1 d) 7G2
b) 2 e) 3G2
c) 3
x
". Balcular" E
sec60º tg 45º 2cos60º sec 37 º tg 37 º
37º O
a) 1 d) 1G2
b) 2 e) 1G3
c) 3
CEP Santa María de la Providencia
Trigonometría /. Balcular" E (sec60º tg 45º)sec53º 6tg 60º . sec45º
a) d) 11
b) J e) 13
c) 1?
a) 2 b) 3
4. Balcular" , (tg2? O sec?) (4tg3 O sec 247) a) 24 d) 27
5. 8el gr5ico Hallar ctg8
b) 21 e) 12
c) 3
5
2
c) 1 d) 1G2
45º
e) 1G3
"
20
3. Cesolver" 7+sen3 ' csc3? , 2tg47 ' + a) 1 d) 1G3
b) 2 e) 2G3
c) 1G2
7. 8eterminar :+< en" 7+sen3 O cos3? , 2ctg73 ' + a) 2'1
b) 3'1
d) 7'1
e) '1
0. Cesolver"
x 3tg 53º 2
sec 45º x
c) 4'1 8el gr5ico obtener tg8
a) 1G11
2tg 37º sen30º
b) 2G11
5 3 º
c) 3G11 a) ?
b) 3
d) 2
e) '1
d) 4G11
c) 1
e) 7G11 '
1. Balcular el valor de :+<. Si" 2
tg (2 x 1)º sen 60º
a) 11
b) 22
d) 44
e) 7
1 4
c) 33
2. 8el gr5ico calcular tg8
a) 1G2 b) 2G3
2x+1
c) 3G4 d) 4G7 e) 7G
45º 3x-1
' x+4
4to. Sec – II Bim
CEP Santa María de la Providencia
Trigonometría
;plicando deiniciones"
A.
C
Razones recíprocas Sen A Csc A 1 Cos A Sec A 1
$
a
Kan A Cot A 1 !
c
Com"ro$ac/n
A
a ��$ � Sen A Csc A 1 � � �$ ��a � 1 � 1 1 � �� �
;plicando deiniciones" B.
Razones complementarias (Co-razones e as de/n/c/onesN en (;;;) se o$ser:a+ Sen A Cos C
Kan A Cot C Sec A Csc C
m�A m�C 9'�
>?em"o+ \ Sen 7'° = Cos 2'Z \ Sec (3'°@x) = Csc(6'Z 5 x) \ Kan 7'° = Cot 2'Z \ Kan (&'°@ &'°@) = Cot (4'Z 5) \ Cos (9'°])= Sen "
•
Csc (x – y) = Sec (90º – x + y)
EN GENERAL:
c) sec(+ O 4?) , csc(7? ' +) d) tg(+ O %) ctg(+ O %) , 1 e) tg2? , ctg2? 2. Seale el valor de :+< Si" sen2+ csc4? , 1 1. Dndicar lo incorrecto" a) sen2? , cos? b) tg1? ctg1? , 1
a) 1?
b) 7
d) 2?
e) 4?
c) 17
3. Sabiendo que tg7+ ctg(+ O 4?) , 1
4to. Sec – II Bim Balcular" cos3+
a) 1 d)
E b) e)
3
1 2
c)
2sen
x 2
sec 2
2 2
2 3
a) 1
b) 3
d) 7G2
e) 4
c) 3G2
4. Aallar :+<
1?. Balcular" cos(+ O %)
Si" cos(3+ 12) sec(+ O 3) , 1
Si" sen(+ 7) csc(27 ' +) , 1 Sen(% O 1?) , cos(% O 2?)
a) 12
b) 24
d) 4-
e) -
c) 3 a)
7. 8etermine :+< en" d)
Sen(3+ O 27) csc(+ O 37) , 1 a) 7
b) -
d) 17
e) 2?
c) 1?
2
3 5
b)
2 2
e)
3 2
. Balcular"
tg10 º tg20 º tg30 º ........ tg80 º ctg10 º ctg20 º ctg30 º ........ ctg80 º
, (tg1? ' 2ctg-?) (ctg1? O tg-?) a) 1 b) 14
d) 12
e) -
1 2
11. Simpliicar"
E
a) 7
c)
b)
c) 1? d)
3 2
1 2
e)
c)
1 3
2 2
. Balcular" E
2tg20º ctg70º
sen10º cos 80º
3 sec 40º csc 50º
12. Sabiendo que" tg3+ tg(+ O 42) , 1 Balcular"
a) 1
b) 2
d) '1
e) '2
c) ?
-. Si" sec+ , csc4+ Balcular"
E
2senx cos 10x
tg3x ctg8x
a) ?
b) 1
d) '1
e) '2
c) 2
J. Si" :+< e :%< son complementarios adem5s" 2
(tgx) ctg
Balcular"
3 3
, sec27+ 4tg(3+ O 1) a) 1
b) '1
d) 3
e) ?
c) 2
CEP Santa María de la Providencia
Trigonometría
-. Si" sen3+ , cos14+ Balcular"
a) 1 d) 4 1.
a) 2 d) 7
b) 12 e) 1-
1 2
3 5
c) e)
b) 3 e) ?
c) 4
E
c) 14
3. Sabiendo que" tg3+ ctg(+ O 4?) , 1 Balcular" cos3+
d)
c) 3
1?. Si" sec(4+ 1?) , csc(4? ' +) Balcular"
2. Seale el valor de :+< Si" sen3+ csc74 , 1
b)
b) 2 e) 7
2 sec x csc 16x
Si" :+< e :%< son complementarios adem5s" sen+cos% , sen47 8etermine" , sec2+ O tg2%
a) sen17 , cos7 b) sec2- , csc2 c) tg2? ctg2? , 1 d) sen42 csc42 , 1 e) cos- , cos-2
a) 1
tg5 x tg12x
J.
Dndicar lo incorrecto"
a) 1? d) 1
E
a) 3 d)
tg2 3x csc
b) 4 e)
3x 2
c) 7
2 2
4 5
4. Seale el valor de :+< Si" cos(2+ 1?) sec(+ O 3?) , 1 a) 1? d) 4?
b) 2? e) 7?
c) 3?
7. Si" sen(3+ 1?) csc(+ O 1?) , 1 Balcular" , sec+ tg-+ tg+ a) 1 b) 2 c) 3 d)
3 2
.
a) 14 d) J .
a) 4 d) 1?
e)
Simpliicar" 2sen10º E cos 80º b) e) 12
tg(+ 1?) , tg1 tg2 tg3 ff. 9g-J a) 3? d) 7
2 3 3
Balcular" , (4sen2 O 3cos--) csc2 b) 13 e)
8etermine el valor de :+< en "
c) 11
3tg30º ctg60º c) -
5 sec 20º csc 70º
b) 47 e) 7
c) 77
4to. Sec – II Bim
a) 1G2 d) 1G7 .
b) 1G3 e) 3G4
Balcular" E
6tg30º . sec 45º
a) 1 d) 2 1. n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en B. Balcular" , sen2 ; O sen2= a) a d) 1
b) b e) 1G2
c) c
3.
b) 2b e) a O c
c) 2c
b) ? e) '2
8eterminar el valor de :+< + sec? cos73 ' 7sen3 , tg47 ' + b) 11G1? e) 11
b) 22 e) 1
c) 2'1
8etermine" tg'
8el gr5ico calcular tg"
5x 2
3 10
Si" tg
c) 2?G11
Cesolver" (tg47 O csc3?)+ tg73 , tg47
a) 2 d) 2'2 J.
2x + 1
'
30º
' a) ?62 d) ?6-
x1
"
b) ?64 e) 162
a) 1 d) 4
c) ?6
b) 2 e) 7
c) 3
1?. Si" ;=B8 es un cuadrado Hallar el valor de tg' B
4.
8el gr5ico calcular :+<
3 5
Si" tg
a) 1 d)
A
a) ?67 d) 2
' 2x + 1
b) 3 e) J
'
C
B
x+2
A
5 cos 53º
c) '1
a) 1?G11 d) 11G2? -.
2. n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en B a que es igual" , ccos; O bctg= a) 2a d) a O b
.
c) 1G4
b) 1 e) 267
37º
D
c) 167
C
11. Balcular :+< Si" sen(2+ 14) csc(+ O 7) , 1
c) 7
a) 13 d) 1J
b) 17 e) 21
c) 1
12. Balcular :+< Si" cos(2+ O 27) csc(+ O 2?) , 1 7.
a) 7 d) 2?
8el gr5ico calcular :tg" . tg'<
'
" "
b) 1? e) 27
c) 17
-.
Aallar :n< en" 3 sen 60 º n
a) 2G17 d) '2G17 J. 1.
2.
b) b e) b2
a) 2 d) 2 3 3.
8eterminar :+< en"
b) 5x 2 5 e) 7
a) 1 d) 4
c) 3
1?. Balcular"
b) 3 e) 3 3
E
c) 2 2
sen20º cos 70º
a) 1 d) 2G3
1 3
Si" sen
3x + 10
37º
1 3
Balcular" :ctg;<
c) '1G17
c) c
n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en B se cumple que cos B
ctg37 º n
b) 1G17 e) 1
n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en B Balcular" , ctg; . ctg= a) a d) 1
sec 53º
tg10º ctg80º
b) 2 e) 3G2
c) 3
Balcular" , ctg2' O csc' a) d) 13 4.
b) J e) 17
n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en B se cumple que b , 3a. Balcular" :tg;< a) 1G2 d) 2
7.
b) 1G3 e) 3
8eterminar :"<
2 ;=B8 es un cuadrado 7 A
D
a) 2G7 d) G7
'
"
" 37º
B
C
b) 7G2 e) 2G3
c) 7G
Balcular" , 2sen3? O tg47 (sen73 O sen3) a) 162 d) 467
.
c) 1G4
8el gr5ico calcular tg" Si" tg
.
c) 11
b) 362 e) 762
c) 364
8eterminar :+< en" 3+tg73 ' sec? , + O ctg47 a) 1 d) 1G2
b) 2 e) 1G3
c) 3
a) 3G4
b) 4G3
d) 2G3
e) 1G2
c) 3G2
C9
"ado desconocid o "ado conocido
R ! T ! ( ( c o n o c i d o
Casos: C,MP
. C
A
"
"
$ # C " A $$ C "
#
T a n
"
#C
AC
A#
AC
".
C $ A # " A $$ C "
" A
"
#
C ot"
/.
C #C " A $$ # "
$
" "
A *
#
S en "
#C
S;PE#FICIE DE ; '#I9;<,: a supericie de un tri5ngulo se puede calcular como el semiproducto de las medidas de dos de sus lados6 multiplicados por el Seno del 5ngulo que orman dicHos lados. # Sa%emos c
A
SA#C
l*ego S A # C C
%
a% SenC '
An+logamente S A # C ac Sen# S A # C '
% )& '
p e ro & ) a S e n C
a
&
SA#C
%c SenA '
% )aSenC '
(;=B8 es un cuadrado)
1.
8eterminar el 5rea del tri5ngulo mostrado.
a) m sen" cos"
a) ?67 m tg'
d) m (2sen" O cos")
b) 2m (sen" O cos") e)
b) ?67 m ctg' c) m (sen" O cos")
!
c) ?67 m2 tg' d) ?67 m2 ctg'
'
e) ?67 m2
.
Balcular :+<
Si" ctg 2.
6 5
ctg
8el gr5ico determine +.
C
x
a) m sen" sec'
x
!
b) m sen" csc'
"
c) m cos" sec'
"
d) m cos" csc'
A
'
e) m sen" tg' 3.
! (sen" O cos") 2
8el gr5ico Hallar :+< en unci$n de n6 " % #
1#
D
B
a) 11
b) 13
d) 17
e) 1-
.
B
#
c) 14
Aallar :+< en unci$n de m % '
a) n sen" cos# b) n sen" sen#
#
"
'
c) n cos" cos# d) n sen# cos" e) n tg" tg# 4.
A
x
" D
+
8etermine ;= en el gr5ico"
D
a) m(tg" ' tg')
"
a) msen'
b) mcos'
c)
! cos' 2
d) 2m sen' e) m !
b) m(ctg' ' ctg") c) m(ctg' ' tg")
-.
'
d) m(tg' ' tg") e) m(ctg" ' ctg')
m
C
A
B
C
8el gr5ico Hallar <+< en términos de b6 ' % "
a) btg' sec"
b
b) btg' csc" c) btg' sen" d) btg' tg"
+
e) bsec' sec"
' A
B
J. 7.
" 8etermine :+< en!unci$n de " % m
E
D x
"
C
Aallar tg+ en unci$n de m6 n % '
a)
!tg n !ctg
a) m(1 O sen' O cos')
b)
!sen n ! cos
c) m(tg' O ctg')
c)
! cos n !sen
d)
!sen n ! cos
b) m(sen' O cos') d) m(sec' O csc')
m
e) m(sec' O sen') 2.
'
+
8eterminar + O % del gr5ico"
n a) m(tg" O sec")
! csc e) n ! sec
m
b) m(sen" O cos") c) m(tg" O ctg")
1?. 8el gr5ico Hallar
CD
B
'
a) m(cos' O sen')
m
b) m(cos' ' sen')
e) msen' cos'
47
;
%
e) m(ctg" O csc")
8
3.
8etermine el perímetro del tri5ngulo ;=B
=
' ' '
c) m(sen' ' cos') d) m(cos' O 2sen')
"
d) m(sec" O sen")
en unci$n de m % '
m
=
'
tg . cos 11. 8e la igura ad!unta calcule" sen
a) m(1 O sen' O cos')
Siendo" ;8 , B8 , ;=
d) m(1 O sec' O csc')
;
=
B
b) m(1 O sec' O tg')
a) 3
'
b)
e) m(1 O tg' O ctg') c) m(1 O csc' O ctg')
c) 2
4.
d) 1G e) 1G3
+
"
;
8el gr5ico Hallar " en unci$n de m6 " % #
B
8
+
12. 8el gr5ico ad!unto Halle el 5rea de la regi$n triangular ;8B en términos de '.
m
= a) -sen'cos2'
2
b) -sen3'cos' c) -sen2'cos' d) -sen'cos'
;
#
"
2
' '
'
a) m sen" sen#
d) m sen# cos"
b) m cos" cos#
e) m tg" tg#
c) m sen" cos#
B
e) -sen'cos3' 7.
8etermine :+< en"
8 a) m sen" cos'
!
b) m sen" sec' c) m sen" cot' d) m cos" ctg' 1.
e) m cos" tg'
8eterminar" + O %
m
+
" %
'
" x
.
8etermine :+< en el gr5ico" a) msen" b) mcos"
!
x
c) mtg" d) msec"
"
e) mcsc" .
8el gr5ico mostrado determine =B en términos de ".
B
n la igura determina tg+
C x
a) sec2" b) 7 sec2" c) sen2" d) tg2"
"
e) 7 sen2" -.
' 5
D
A 8el gr5ico Hallar tg+ en unci$n de '. B 2 a) 167 sen' x b) 2 sen'
! a)
d) 267 sen'
'
e) ?67 sen' A 5 8etermine + en unci$n de "6 ' % m a) m tg" sen' c) m tg" tg'
C
"
b) m tg" ctg'
'
!
x
d) m ctg" tg' e) m ctg" ctg'
1?. 8el gr5ico Hallar
AD
en unci$n de m % #
C a) m(sen# ' cos#)
#
b) m(sen# O cos#)
!
c) m(cos# ' sen#) d) m(sec# ' csc#) e) m(csc# ' sec#)
A
$5º D
n tg !
b)
n ctg !
c) 3 sen'
J.
"
B
d)
! sec n
e)
n csc !
! ctg n
c)
9;<,S ?E#'IC$ontal6 como resultado de Haberse eectuado una observaci$n. stos resultados se clasiican en" Angulos de elevaci6n % Angulos de depresi6n. (ver gr5icos). a l s * - i a n e " í
"
" í n e a , o r iz o n t a l
" í n e a , o r iz o n t a l # " í n e a
,
&
"
. n g * l o d e E le v a c i / n
n e l g r + 1 c o a d 2 * n to 3 4 ' 4 e s e l + n g * l o % a 2 o e l c * a l s e d i v i s a la to r r e ! N o te 5 * e d e % e n t r a z a r s e l a s d o s v is * a l e s 6 * n a & a c i a la p a r t e a lt a 7 la o tr a & a c i a l a p a r t e % a 2 a ! " * e g o 4 ' 4 e s e l + n g * lo 8 o r m a d o p o r la s d o s vis*ales!
#
C o n s i d e ra c i ó n : E
'
- i s * a l
. n g * l o d e 0 e p r e s i/ n
a)
# t"n
d)
t"n
# cot b) 1. ; una distancia de 2? m de un poste se observa su parte alta con 5ngulo de elevaci$n 3. 8eterminar la visual. a) 7 m d) 37
b) 17 e) 4?
a) 17 m d) 12?
b) 3? e) 17?
c) ?
a) 1? d) 12?
b) 17 e) 27
b) 1e) 17
c) 3
7. #na persona de :H< de estatura observa un ediicio de :A< de altura con 5ngulo de elevaci$n :"<. 8etermine la distancia entre la persona % el ediicio. a) (A ' H) tg " b) (A ' H) ct " c) (A ' H) sec "
e)
t"n
c)
sen #
cot
cot
. 8esde lo alto de un acantilado se divisa dos ob!etos en el suelo con un 5ngulo de depresi$n : "< % :#< ( " [ #). Si la distancia entre dicHos ob!etos es :d<. KBu5l es la altura del acantiladoL a) d(cot# ' cot")
d)
# cot
# t"n
t"n e)
cot #
cot c)
cot #
t"n
t"n
c) 3?
4. 8esde un punto en 9ierra ubicado a 12 m de un ediicio se ve su parte m5s alta con un 5ngulo de elevaci$n :"<. Si" tan" , 3G2. KBu5nto mide el ediicioL a) 24 m d) 2
t"n
sen
b) 3. 8esde un punto en 9ierra se divisa lo alto de un poste con un 5ngulo de elevaci$n :"<. Buando la distancia que nos separa del poste se Ha reducido a su tercera parte6 el 5ngulo de elevaci$n se duplica. KBu5nto vale "L
#
#
c) 27
2. #na persona de 2 m de estatura divisa lo alto de una torre de altura de 32 m con un 5ngulo de elevaci$n de 17. Se acerca una distancia :+< % el 5ngulo de elevaci$n se duplica. KBu5nto vale :+
cot
d) (A ' H) csc" e) A . H . sec "
. 8esde un punto en 9ierra se ubica lo alto de un ediicio con un 5ngulo de elevaci$n :"<. os acercamos una distancia :d< % el 5ngulo de elevaci$n sería :#<6 Halle la altura del ediicio.
-. #n nio de 167 m de estatura divisa una piedra en el suelo con un 5ngulo de depresi$n de 3. K; qué distancia del nio se encuentra la piedraL a) 1 m d) 267
b) 2 e) 4
c) 3
J. 8esde lo alto de un aro6 se observa a un mismo lado6 dos barcos anclados6 con 5ngulos de depresi$n de 73 % 3. Si los barcos est5n separados una distancia de 14 m. KBu5l es la altura del aroL a) 1 m d) 32
b) 12 e) -
c) 24
1?. 8esde lo alto % ba!o de un muro se observa lo alto de un poste con 5ngulos de elevaci$n de 3 % 47 respectivamente. Si la distancia entre el muro % poste es - m. Aalle la suma de sus alturas. a) m d) 12
b) e) 1
c) 1?
11. 8esde un punto de 9ierra se ubica lo alto de un ediicio con un 5ngulo de elevaci$n :"<6 nos acercamos una distancia :d< % el 5ngulo de elevaci$n sería :'<. Aalle la altura del ediicio.
a) b) c)
# tg
d)
tg
# tg
e)
tg
7. 8esde un punto en 9ierra ubicado a 3 m de una 9orre se ve su parte m5s alta con un 5ngulo de elevaci$n :#<. Si" cos# , 2G3. KBu5nto mide la 9orreL
# ctg
ctg
# sen
sen
a) 4- m d) 24
# ctg
ctg
12. 8esde un punto ubicado a 17? m del inicio de un camino inclinado :'< respecto a la Hori>ontal se ve su parte m5s alta con 5ngulo de elevaci$n :"<6 si"
ctg
ctg
1 3
a) 17? m d) 37?
b) -?
c) 47?
e) 24?
b) 2 e) 7
8esde un punto en 9ierra ubicado a 4? m de una 9orre6 se ubica su parte m5s alta con un 5ngulo de elevaci$n de 3. KBu5nto mide la 9orreL
a) 13? m d) 2
b) ?
c) 4?
c) 3
. 8esde lo alto de un ediicio se ve un punto en 9ierra con 5ngulo de depresi$n :"< % otro punto ubicado a la mitad entre el primer punto % el ediicio con 5ngulo de depresi$n J? ' ". Balcular" ctg2" a) 1 d) 4
1.
c) 72
. 8esde un punto en 9ierra se divisa lo alto de un ediicio con 5ngulo de elevaci$n :"<6 nos acercamos una distancia igual al triple de la altura del ediicio % el 5ngulo de elevaci$n es aHora :'<. Balcular" , ctg" ' ctg' a) 1 d) 4
KIué altura tiene el caminoL
b) 3 e) 1-
b) 2 e) 1G2
c)
2
-. 8esde lo alto de un ediicio de 24 m de altura se divisan dos ob!etivos en 9ierra con 5ngulos de depresi$n 47 % 3. Si los ob!etivos est5n a un mismo lado del ediicio. KIué distancia los separaL a) 3 m d) -
b) 4 e) 1?
c)
e) 3
2. #na persona de 2 m de estatura observa lo alto de un poste con un 5ngulo de elevaci$n de 36 si el poste mide 14 m6 Ka qué distancia del poste se encuentra la personaL
J. 8esde lo alto de una 9orre se divisan dos puntos en 9ierra :;< % :=<6 con 5ngulos de depresi$n : "< % :J? ' "< respectivamente. Si" :;< equidista de la 9orre % de :=<6 calcular :cot"<
a) 12 m d) 24
a) 1
b) 1 e) 3
c) 1-
3. 8esde un punto de 9ierra ubicado a 4 m de un poste6 se divisa su parte m5s alta con un 5ngulo de elevaci$n de 3. KBu5l es la altura del posteL a) -G3 m d)
b) 4 e) J
c) 3
4. 8esde un punto ubicado a 2? m de una 9orre6 en el suelo6 se divisa su parte m5s alta con un 5ngulo de elevaci$n de 36 Kcu5nto mide la 9orreL a) 17 m d) 3
b) 27 e) 2
c) 24
d)
b) 2 2
e)
c)
2 2
3
1?. 8esde lo alto de un poste se divisa un ob!eto en el suelo con un 5ngulo de depresi$n :"< (cot" , 4). Si el ob!eto se Halla a 2? m del poste6 Kqué altura tiene el posteL a) 2 m d) 7
b) 3 e) 1?
c) 4
a) 12 m d) 17
#na persona colocada a 3 m de una 9orre observa su parte m5s alta con 5ngulo de elevaci$n :"<
(tg
7 ) . KIué distancia Habría que ale!arse 12
para que el 5ngulo de elevaci$n sea 'L (8onde" tg' ,
1 ) 4
b) 13 e) 2?
c) 1-
e)
6 2
. 8eterminar :+<
1. n un tri5ngulo rect5ngulo ;=B recto en B se cumple que a , 7 c , 13. Balcular" tg= a) 16d) 264
b) 16 e) 26
n
. Balcular" :+< Si" sen(3+ 7) , cos(+ O 17) a) 7 d) 2?
B
m
tg( x 10 º ) a) 7 d) 2?
8
n
E
=
3 2
4+ O 2 ;
1 tg(2x 5º )
b) 1? e) 27
2sen(
3. 8el gr5ico calcular :+<
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7
c) 17
0
c) 17
J. Balcular"
e) 1
Si" tgB
b) 1? e) 27
-. Balcular" :+< Si"
'
"
;
? + ' 2
=
! n ! b) ! n ! n c) ! ! n d) n
2+ O 1
c) 262
2. 8el gr5ico tg" O tg' Si" ;=B8 es un cuadrado a)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7
B
+ O 1
x)
5 3 cos( x) 10
a) 2 d) 3
3tg(
3 8
ctg(
b) 3 e) 7
c)
x) x)
8 2
1?. 8el gr5ico Hallar :+< a) msen"
4. Si" tg" , sen3? O tg47 Balcular" E
a) 1G3 d) G2
13sen
b) G3 e) 7G2
b) mcos" c) 2msen" d) 2mcos" e) (m O 1)sen"
ctg
c) 7G3
7. Aallar" tg' a)
3
c)
2 3 5
b) d)
+
"
m
11. Aallar :+< siendo :< centro del sector ;=
12
6
3 3
3?
' 8 3
a) Csen' b) Ccos' c) C(1 ' sen') d) C(1 ' cos') e) C(1 2cos')
' C + ;
=
c) 2 d) 267 e) 3 12. 8e la igura ad!unta calcule" csc' ctg' Si" ;A , =&6 " Bentro de la Bircunerencia6 9" &unto de 9angencia a) 4 b) 2 c) 1 d) 1G2 e) 1G4
9 &
A
a)
3 2
b)
c) 6 3 e)
3 3
3?
d) 6 2
3
'
'
;
. 8el gr5ico determinar tg'
=
. Balcular" :+< Si" cos(2+ ) sec(23 ' +) , 1 a) 7 d) 2?
b) 1? e) 27
c) 17
-. Balcular :+< Si" tg(3+ 1?) tg? , 1 1. n un tri5ngulo ;=B recto en B se cumple que" 3a , 4b. Balcular" cos=
a) 7 d) 2?
a) ?62 d) ?6-
J. Balcular" , sen27 sec7 O tg4? tg7?
b) ?64 e) ?627
c) ?6
2. Si ;=B8 es un cuadrado. Balcular" , tg" ' tg' a) 1G7 b) 2G7 c) 3G7 d) 2G3 e) 3G2
=
a) 1 d) 2G3
'
"
c) 17
b) 2 e) 3G2
B
1?. 8el gr5ico Hallar :+<
2
a) m sen' tg" b) m sen' ctg" c) m sen' sec" d) m cos' tg" e) m cos' ctg"
3 ;
b) 1? e) 27
c) 3
"
m
8
'
3. 8el gr5ico. Balcular" :+< Si" sec A
+
7 4
=
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7
4+ O 1
;
2+ O 2
B
4. Balcular" , (sec? O 7sen3) sen73 a) 1 d) 4
b) 2 e) 7
8esde lo alto de una 9orre se divisan dos puntos en 9ierra ; % = con 5ngulos de depresi$n " % J? ' " respectivamente6 si ; equidista de la 9orre % de =6 calcular" ctg"
c) 3
7. 8eterminar" tg" a) 1 b) 167
a) 1
17 3
" 1-
b) 2
c)
2 2
d)
2
e)
3
4to. Sec – II Bim
l método de las operaciones inversas se aplica a Cesoluci$n" aquellos problemas donde encontramos una cantidad inicial (desconocida) que después de una sucesi$n de operaciones6 resulta en una cantidad inal (dato). l procedimiento de soluci$n es operar en orma inversa a las operaciones convencionales. E)emplo a edad de milia se multiplica por 36 al resultado se le suma 1?6 para luego dividirlo entre 46 al cociente así obtenido se le e+trae la raí> cuadrada6 para inalmente restarle 26 obteniendo 3 aos de resultado inal. KBu5l es la edad de miliaL
3
2. ; un cierto n/mero se le multiplica por 1-6 al resultado se le suma 3?6 al resultado se le divide entre 76 al resultado se le resta 246 al resultado se le e+trae la raí> cuadrada % se obtiene . Balcular dicHo n/mero. a) 12 b) 17 c) 2? d) 27 e) ; 3. ; un n/mero se le multiplica por 36 se le resta 6 se le multiplica por 76 se le divide entre -6 se eleva al cuadrado6 se le resta 11 % se le divide entre J % inalmente se le e+trae raí> cuadrada6 obteniéndose al inal J. Aallar dicHo n/mero. a) 12 b) 17 c) 1d) 21 e) ; 4. Tuan duplica el dinero que llevaba al principio % luego gasta SG. 1??. Bon lo que le queda vuelve a duplicarlo % luego gasta SG. 1-?. Si a/n le quedan SG. 1??6 Kcu5nto dinero tenía inicialmenteL
@1'
52
>dad
3 51 '
4
( )2
@2
# " e r a c o n e s ; n : e r s a s dad de milia" hhhhh a) J? d) 1?
1. #n n/mero se aumenta en 2?6 el resultado se duplica6 al resultado se le e+trae la raí> cuadrada % al resultado de esta raí> se le disminu%e en obteniéndose ?. Aallar el n/mero inicial. a) b) 12 c) 2? d) 24 e) ;
# " e r a c o n e s r e c t a s
b) 12? e) ;
c) 2??
7. Tuan se puso a !ugar con el dinero que llevaba6 logra duplicarlo e inmediatamente gasta 1?R con lo que le queda !uega por segunda ve>6 triplica su dinero % gasta 3?R !uega por tercera ve>6 pierde la mitad6 gasta -? % se retira con 1?. KBu5nto tenía inicialmenteL a) 2? b) 3? c) 4? d) 44 e) ; . #n cartero de!$ en una oicina 1G de las cartas que llevabaR en un banco 2GJ del resto % todavía tiene ? cartas para repartir. KBu5ntas cartas le dieron para repartirL a) J b) 1?c) 112 d) 11e) ; . #n panadero puso a la venta 24? panes. n la primera media Hora vendi$ 1G36 luego vendi$ ? panes % por /ltimo vendi$ la mitad del resto. KBu5nto le quedaL a) 4? d) 4
b) 7? e) ;
c) ?
-. ;%er perdí los 3G de mi dinero % Ho% los 3G- de lo que me quedaba. Si todavía tengo 1?6 Kcu5nto tenía al principioL a) 2 b) 2c) 3? d) 34 e) ; J. l colegio Santa María de a &rovidencia organi>$ un bailet$n en la que participaron algunos alumnos. n la primera Hora ueron eliminados los 2G6 en la segunda Hora se eliminaron 3G7 de los que
quedaban % en la tercera Hora se eliminaron 7? alumnos. Si todavía quedan 3? alumnos bailando6 Kcu5ntos participaron inicialmenteL a) 24? b) 2? c) 2-? d) 32? e) ; 1?. Aabiendo perdido un !ugador la mitad de su dinero volvi$ al !uego % perdi$ la mitad de lo que le quedaba6 repiti$ lo mismo por tercera % cuarta ve> Hasta que no le quedaba m5s que SG.. KBu5nto dinero tenía al comen>ar el !uegoL a) -4 b) J2 c) J d) 1?e) ; 11. María pens$ un n/mero6 lo multiplico por 46 le sumo 6 lo dividi$ entre 2 % le resto 4. Si el resultado es 3J. Kn qué n/mero pens$L. a) 1 d) 17
b) 2? e) 21
c) 1J
12. Bon un cierto n/mero se Hi>o las siguientes operaciones" se multiplico por 76 al resultado se aumento 76 enseguida a la suma anterior se dividi$ entre 76 para inalmente al resultado anterior restarle 76 obteniendo 7 como resultado inal. KBu5l ue el n/meroL. a) 7 d) -
b) e) J
c)
4. iliana acude al casino6 en la primera partida logra duplicar su dinero6 en la segunda partida pierde SG.4?6 en la tercera partida cuadruplica el dinero que tiene % luego gasta SG.7?. KBu5nto tenía inicialmente6 si al inal le qued$ SG.3?L a) SG. 2? b) 1? c) 3? d) 4? e) -? 7. #n n/mero se aumenta en 4?6 el resultado se divide entre 46 el cociente obtenido se aumenta en 7R al resultado se le e+trae la raí> cuadrada6 el resultado se multiplica por 17 % luego al producto obtenido se le divide entre 27 resultando 3. Aallar dicHo n/mero. a) 32 b) 42 c) 4? d) -1 e) 7? . Bada día6 de un reservorio de agua6 se consume la mitad del contenido m5s 2? litros. Si después de tres días consecutivos quedan 1? litros en el reservorio6 Kcu5ntos litros de agua se consumieronL a) 37? litros b) 3? c) 3? d) 2?? e) 4?? . Marisol escribe cada día la tercera parte de las Ho!as en blanco de un cuaderno m5s Ho!as. Si después de dos días6 le quedan 2 Ho!as en blanco6 Kcu5ntas Ho!as escribi$ MarisolL a) 2 b) 24 c) 2J d) 27 e) 23 -. Sebasti5n gasta su dinero del modo siguiente" los 3G4 de su dinero en cHocolates % la mitad del dinero restante m5s 4 soles en gaseosa. KBu5nto tenía inicialmente6 si al inal se qued$ con 2 solesL a) SG. 4? b) 4c) 3 d) 42 e) 7
1. Cicardo dice" Nsi a la cantidad de dinero que tengo le agreg$ 2? soles6 a ese resultado lo multiplico por 6 luego le quito 24 soles6 posteriormente le saco la raí> cuadrada % por /ltimo lo divido entre 36 obtengo - solesN. Dndica la cantidad inicial que tenía Cicardo. a) SG.J? b) -? c) ? d) ? e) 7? 2. Bon un n/mero se Hacen las siguientes operaciones primero se multiplica por 76 al producto se le suma ?6 a dicHa suma se le divide entre 1?6 al cociente se le e+trae la raí> cuadrada para inalmente restarle 4. Si luego de reali>ar las operaciones indicadas se obtiene 26 Kcu5l es el n/meroL a) b) ? c) -? d) 3?? e) 17? 3. #na persona particip$ en tres apuestas6 en la primera duplic$ su dinero % gast$ SG.3?. n la segunda triplic$ lo que le quedaba % gast$ SG.74. n la tercera cuadruplic$ la suma restante % gast$ SG.26 al inal6 le quedaron SG. 4-. KBu5nto tenía al comien>oL a) SG.2b) 3? c) 31 d) 71 e) 2J
J. 8e un recipiente lleno de agua6 se e+trae 2 litros6 luego se derrama la mitad del líquido6 enseguida se le adiciona 4 litros6 inalmente se consume la mitad del agua6 quedando - litros en el recipiente. Balcular la capacidad del recipiente. a) 1- litros d) 3?
b) 2 e) 1
c) 24
1?.a edad de Melissa se quintuplica6 al resultado se le suma 216 para luego dividirlo entre 6 al cociente se le e+trae la raí> cuadrada6 para inalmente restarle 46 obteniendo cero aos. KBu5l es la edad de MelissaL. a) 12 d) 17
b) 13 e) 1
c) 14
ucas recibe de su tío una propina que es tanto como lo que tiene6 luego su pap5 le da 3? soles % por /ltimo su madrina le da tanto como el doble de lo que tiene en ese momento. Si al inal ucas tiene 24? soles6 Kcu5nto tenía inicialmenteL a) SG. 2? d) 1-
b) 27 e) 17
c) 3?
4to. Sec – II Bim
E)emplo ;le+6 Commel % uis !uegan a las cartas6 con la condici$n de que el que pierda la partida duplic ar5 el dinero de los otros dos. Bada uno pierde una partida en el orden de presentaci$n % al inal de las tres partidas terminaron con SG. 4-R SG. 7 % SG. 2- respectivamente. KBu5nto tenía inicialmente cada uno de ellosL Cesoluci$n" A " i ( o s
Din%o & ! in i ' i o
A e x
72
0
12
2
24
2
= 48 @
4'
2
8'
0
28
2
= &6
Qus
2'
2
4'
2
8'
0
= 28
132
Din%o & ! 2 in & !
132
132
132
bservaci$n" a suma de los tres amigos no varía (132)6 %a que el dinero entre ellos se intercambia. !o" l signo de interrogaci$n NLN nos quiere decir6 que el !ugador pierde % no sabemos cu5nto aHora le queda.
1. &ablo % 9ania se ponen a !ugar casino6 primero pierde &ablo SG.3?6 luego pierde 9ania % tiene que duplicarse el dinero a &ablo6 quedando de esta manera &ablo con -? soles % 9ania con 4? soles. KBu5nto tenía &ablo inicialmenteL a) SG.7? d) SG.-?
b) SG.7 e) SG.?
c) SG.11?
2. Se tiene 2 dep$sitos de vino 6 :;< % :=< . 8e :;< pasan a :=< 2? litrosR luego de :=< pasan a :;< la mitad de los litros que tiene :=<. Si quedan :;< % :=< con 117 % 37 litros respectivamente6 KBu5ntos litros tenía :; % =< inicialmenteL a) 2?? % 7? c) 1? % 7? e) .;.
3. 9res amigos N;N6 N=N % NBN acuerdan de que el que pierda la partida triplicar5 el dinero de los otros dos. &ierde una partida cada uno de ellos en orden de presentaci$n qued5ndose al inal de las tres partidas cada uno con 74? soles. KBu5nto tenía NBN inicialmenteL a) SG.? b) SG.11? c) SG.12? d) SG.14? e) SG.1? 4. eonel % ;ntHon% !uegan a las cartas6 con la condici$n que aquel que pierda duplicar5 el dinero al otro. Si cada uno Ha perdido una partida en el orden en que Han sido nombrados6 quedaron luego de Haber perdido el /ltimo6 con 12 soles cada uno. KBu5ntos soles m5s tenía uno que el otroL.
b) 27? % 7? d) 2? % 4?
a) SG.1? d) SG.J
b) SG.4 e) SG.
c) SG.17
7. Buatro !ugadores :;<6 :=<6 :B< % :8< convienen en que cada partida el perdedor doblar5 el dinero de los otros tres. llos pierden cada uno una partida en el orden indicado por sus iniciales6 después de lo cual ellos tienen cada uno SG.4-. KBu5nto tenía cada uno al comien>o del !uegoL a) SG.17? d) SG.12
b) SG.17 e) ;
c) SG.14
. uis % Miguel !uegan unas partidas de domin$ con la condici$n de que el que perdiera triplicar5 el dinero del otro. Aabiendo perdido cada !ugador una partida en el orden mencionado quedan con 1- soles cada uno. KIuién gan$L. a) uis b) empataron c) Miguel d) o ganaron ni perdieron e) .;. . Tessica % iPe !uegan a los naipes % convienen en que el que pierda la partida triplicar5 el dinero al otro. llos pierden cada uno una partida en el orden indicado6 quedando con SG.3? % SG.4? respectivamente. KIuién perdi$L a) Tessica d) o ganaron ni b) o puede saberse perdieron c) iPe e) Xaltan 8atos -. ;le+andra % 8iana !uegan a los dados de tal manera que la perdedora duplicar5 el dinero a la otra. Se sabe que pierden en el orden indicado % al inal cada una qued$ con 4? soles. KBon cu5nto empe>$ ;le+andra. a) SG.2? d) SG.7?
b) SG.3? e) SG.?
c) SG.4?
J. &att%6 ucia % BintHia se ponen a !ugar con la condici$n de que la que pierda duplique el dinero de las dem5sR si cada una pierde una apuesta % al inal terminan con SG4-6 SG.7 % SG.2-. KBu5nto tenía inicialmente patt%L a) SG. 2 d) J?
b) 7 e) 33
c) 37
1?. Se tiene 3 aulas" :;<6 :=< % :B<6 con cantidades dierentes de alumnos6 si cada una de ellas se pasan a las otras dos aulas tantos alumnos como Ha% en ese momento en cada una de estas6 en orden alabético6 qued5ndose al inal cada una con 12? alumnos. KBu5ntos alumnos tenía el aula :;< inicialmenteL a) 1?7 d) 21?
b) ? e) 12?
c) 1J7
4to. Sec – II Bim d) -
e)
7. 9res !ugadores N;N6 N=N % NBN acuerdan que el perdedor de cada !uego triplicaría el dinero de los otros 1. 8e un sal$n ; pasan al sal$n =6 1? alumnos al sal$n ;. Si al inal ; % = tienen 2? % 27 alumnos respectivamente. KBu5ntos alumnos tenía cada sal$n inicialmenteL. a) 1? R 3?
b) 17 R 3?
d) 17 R 27
e) 1 R 24
c) 3? R 1?
dos. Tuegan tres veces % pierden un !uego cada uno en el orden N;N6 N=N % NBN quedando con 3R 12 % -7 soles respectivamente. KBu5nto tenía N;N al inicioL a) SG.J?
b) 3?
d) 3J
e) 11
c) 13
. Commel6 ;le+6 uis6 Bésar % nrique acuerdan que el que pierde la partida de naipes duplicar5 el dinero
2. 9oo % eo !uegan unas partidas de billar6 con la condici$n de que el que pierda duplicar5 el dinero al otro. Aabiendo perdido cada !ugador una partida en el orden mencionado quedan con SG.12 cada uno. KIuién ganoL.
de los otros cuatro. &ierde una partida cada uno de ellos en orden alabético6 qued5ndose al inal de las cinco partidas cada uno con -? soles. KBu5nto tenía inicialmente ;le+L a) SG. 77
b) 7
c) 17
e)
1?267
d) 1?7
. 9res personas N;N6 N=N % NBN se pusieron a !ugar con la condici$n de que el perdedor de cada partida6
a) 9oo
debería duplicar el dinero de los otros dos. Se sabe
b) empataron
que perdieron en el orden alabético6 uno cada ve>6
c) eo
qued5ndose cada uno con 32 al inal. KBu5nto tenía
d) o ganaron ni perdieron
el !ugador N=N al inicioL
e) X. 8atos 3. 9res !ugadores N;N6 N=N % NBN convienen6 que el que pierde la partida triplicar5 el dinero de los otros dos. &ierden una partida cada uno en orden alabético % quedan con 36 3J % soles respectivamente. KBon cu5nto dinero empe>$ N=NL a) SG. 1??
b) 17
d) J?
e) 33
4.
c) 37
a) 74
b) 2
d) 2-
e) 7?
c) 22
-. 8os !ugadores ; % = convienen en que el que pierda la partida duplicar5 el dinero al otro. Si pierden una partida cada uno en orden alabético6 después de lo cual6 ellos tienen cada uno 2? soles. KBu5ntos soles m5s tenía uno que otroL a) SG.4
b) SG.
d) SG.-
e) SG.1?
c) SG.
9res amigos N;N6 N=N % NBN est5n !ugando a las
cartas con la condici$n de que el perdedor de cada partida duplicar5 el dinero a los otros dos. &ierden una
J. Buatro personas N;N6 N=N6 NBN % N8N se pusieron a
partida cada uno en orden alabético6 quedando al inal
!ugar con la condici$n de que el ganador de cada
de las tres partidas6 cada uno con SG.1. KBu5nto
partida debe recibir la mitad del dinero que en ese
tenía inicialmente el que gan$ m5sL
momento tiene cada uno de los otros tres !ugadores. Se sabe que ganaron en orden alabético % al inali>ar
a) SG. 12
b) 14
c) 1?
la cuarta partida cada uno qued$ con 2?R 3R - % 132
d$lares respectivamente. KBu5nto gan$ la persona N8NL a) 4
b) -
d) ?
e) 2
c) 3
1?. Se tiene 4- monedas en tres grupos dierentes. 8el primero pasan al segundo tantas monedas como Ha% en éste. 8el segundo pasan al tercero tantas monedas como Ha% en éste % luego del tercero pasan al primero tantas monedas como Habían quedado en éste. Si al inal los tres grupos tienen el mismo n/mero de monedas6 Kcu5ntas monedas tenía cada grupo inicialmenteL a) 22R 14R 12
b) 1-R 2?R 3
d) 2?R 1R 3
e) 1-R 12R 2?
c) 22R 1-R 12
Se tienen tres aulas" N;N6 N=N % NBN6 con cantidades dierentes de alumnos. Si de cada una de ellas se pasan a las otras dos aulas tantos alumnos como Ha% en ese momento en cada uno de éstos6 en orden alabético6 quedan al inal cada una con 12? alumnos. KBu5ntos alumnos tenían el aula N;N inicialmenteL a) 1?7 d) 21?
b) ? e) 12?
c) 1J7
4to. Sec – II Bim
4to. Sec – II Bim
+ &rimero para aplicar este método Ha% que tener en cuenta los siguientes 4 datos" 2 datos totales 2 datos unitario ,BSE#?$CI! os datos totales deben tener relaci$n con el dato unitario.
+ l procedimiento de soluci$n consiste en " Xalsa Suposici$n rror 9otal rror #nitario /mero de rrores *
!emplo 1" n una gran!a se crían 17 animales entre gallinas % cone!os. Si se cuentan 3- patas6 indicar" 1. KBu5ntas gallinas Ha%L 2. KBu5ntas patas corresponden a los cone!osL Cesoluci$n" os elementos del problema son los animales % la característica que los Hace dierentes es el n/mero de
patas. &aso 1"
(Xalsa suposici$n) Se supone que los 17 animales tienen 4 patas cada uno6 entonces el n/mero de
patas sería" 17 + 4 , ? patas &aso 2"
(rror total) Bomo el n/mero real de patas es 3-6 se calcula el error" ? ' 3- , 22 patas m5s
&aso 3"
(rror unitario) n cada gallina se comete un error de" 4 ' 2 , 2 patas m5s
&aso 4"
;l considerar que todos los animales tenían 4 patas6 el error que se comete es en las gallinas que s$lo
tienen 2 patas. uego" 22 \ 2 , 11 gallinas Cespondiendo" 1. n la gran!a Ha% 11 gallinas. 2. n la gran!a Ha% 17 ' 11 , 4 cone!os que les corresponde" 4 + 4 , 1 patas
. ; una iesta asistieron un total de 37? personas entre nios % nias. Se recaud$ SG.177? debido a que cada nio pag$ SG.7 % una nia SG.4. KBu5l es la dierencia entre el n/mero e nias % el n/mero de niosL. a) 1?? d) ? 1. n el verano concurrían al colegio algunos con sus bicicletas % otros con sus triciclos. l jacHtman para saber que no le altaba ninguno6 contaba siempre 12? ruedas % 7? timones. Son ciertas " D. Aa% 3? triciclos. DD. Aa% 2? bicicletas. DDD. Si contamos los pedales de todas las bicicletas obtenemos ?. a) S$lo D d) D % DD
b) S$lo DD e) 9odas.
c) S$lo DDD
2. n un taller ueron reparados durante un mes 12? veHículos entre autom$viles % motos. l n/mero de ruedas de los veHículos reparados ue de 33 e+actamente. KBu5ntas motos se repararonL a) d) 4
b) 7 e) 2
c) -1
3. n una gran!a donde Ha% vacas % gallinas6 se contaron J? cabe>as % 272 patas. KBu5ntas gallinas Ha% en la gran!aL a) 3 d) 74
b) 4? e) 72
c) 32
4. n un grupo6 de carneros % pavos6 el n/mero de patas es 3 % el n/mero de cabe>as es 17. KBu5ntos carneros Ha%L a) 1? b) 12 c) d) 3 e)
7. Si pagué una deuda de 147? d$lares con 3billetes de 7? % 2? d$lares. KBu5ntos billetes de 7? d$lares He usadoL. a) 17 b) 2 c) 23 d) 1J e) 27 . Vanesa tiene 3J?? soles en billetes de 7? % 1?? soles. KBu5l ser5 la cantidad de billetes de ma%or denominaci$n si Ha% un total de 47 billetesL. a) 2d) 33
b) 32 e) 3
c) 27
b) 17? e) 7?
c) 7
-. n un circo las entradas de adultos costaban SG.3? % la de nios SG.1?. Bierto día acudieron un total de 72 espectadores % se recaudaron SG.1-24?. 8ar como respuesta la suma de las ciras del n/mero de adultos que asistieron ese día a) 12 d) 11
b) 14 e) 1?
c) J
J. Bada ve> que vo% al cine gasto SG.17 % cada ve> que vo% al teatro gasto SG.27. Si He salido 2? veces (al cine o al teatro) % gasté SG.3?. KBu5ntas veces He ido al teatroL. a) 14 d)
b) J e) -
c) 17
1?. Se desea envasar 1?? litros de vino en botellas de 2 % 7 litros. Si el total de botellas es 2. KBu5ntos son de 7 litros.L. a) 1? d) 17
b) 12 e) 14
c) 1
11. n un sal$n Ha% 7? carpetas6 unas bipersonales % otras para 4 alumnos. Si en total Ha% 13? alumnos ocupando estas 7? carpetas. KBu5ntas carpetas son bipersonalesL. a) 17 d) 1-
b) 2? e) 37
c) 27
12. #n comandante de un destacamento de 1?? soldados ordena a todos a Hacer :plancHas< . n un determinado momento6 el comandante pudo observar sobre el piso 2-? e+tremidades. KBu5l es el n/mero de soldados Haciendo plancHasL. a) ? d) 37
b) 4? e) 3?
c) ?
4to. Sec – II Bim . #n barril contiene 77 litros de vino6 si éste debe ser envasado en 2? botellas6 unas de 2 litros % otras de 3 litros. KBu5ntas botellas de 3 litros se va a necesitarL a) 7 d) 1?
1. n una gran!a Ha% 3? animales entre cHancHitos % patitos. Si se cuentan -4 patas6 entonces son ciertas" D. Aa% 12 patitos DD. Aa% 1- cHancHitos DDD. Aa% 24 ore!as a) S$lo D b)S$lo DD c) S$lo DDD d) D % DD e) 9odas 2. n un taller encontramos 7? veHículos entre autos % motocicletas6 contando 13? llantas. KBu5ntas motocicletas encontramosL. a) 17 b) 27 c) 37 d) 3? e) 47 3. eo tiene -?? soles en billetes de 1? % 7? soles. KBu5l ser5 la cantidad de billetes de ma%or denominaci$n si Ha% un total de 2? billetesL. a) 7 d) 12
b) 1? e) -
c) 17
4. n un parque Ha% nios pase5ndose %a sea en triciclo o en bicicleta. Si en total se cuentan 2? timones % 77 ruedas. KBu5ntos triciclos m5s que bicicletas Ha%L. a) 17 d) 12
b) 7 e) 4
b) e) 17
c) 4
-. ; un cine concurren 2?? personas a las localidades de platea % galería. Si cada boleto de platea vale 2? soles % de galería 12 soles % se recauda 3?4? soles. KBu5ntos boletos de platea se vendieronL a) 12? d) ?
b) -? e) ?
c) 17?
J. n un e+amen de admisi$n6 el n/mero de preguntas es 14?R la caliicaci$n es 4 puntos por pregunta correcta % menos 1 punto por cada pregunta errada. Si aren Ha obtenido 3376 puntos al contestar todo el e+amen. Kn cu5ntas preguntas se equivocoL a) 17 d) J7
b) 47 e) 127
c) 137
1?. Se compran 1 Pilos de ruta entre man>anas % peras de 2 % 3 soles el Pg. Cespectivamente6 gastando en total 4 soles. KBu5ntos Pilogramos de man>anas se compr$L a) 7 d) -
b) e) J
c)
c) 1?
7. l proesor de Ca>onamiento Matem5tico le propone a ;na 3? problemas6 para que lo resuelva todos6 por cada problema bien resuelto le da SG.7 % por cada mala le quita SG.1. KBu5ntos problemas buenos Hi>o6 si resulta que recibi$ SG.3?L. a) 2? d) 12
b) 17 e) 1-
c) 1?
. #n ca>ador regresa de cacería %6 al ser preguntado por su esposa6 le dice" :Me ue mu% bien<6 entre los patos % cone!os que He ca>ado Ha% 2? cabe>as % 4 patas<. KBu5l es la dierencia entre el n/mero de cone!os % patosL a) d)
b) 12 e) 1?
c) 4
#n Heladero gana un promedio diario de SG.7? % gasta por día SG.3267 pero el día que no traba!a gasta SG.m5s. KBu5ntos días no traba!$6 después de ? días esta adeudado con SG.11?L a) 2? d) 4?
b) 1 e) 7
c) 27
1. Bada ve> que Torge se encuentra con Cosa6 éste le duplica el dinero a ella. n agradecimiento Cosa le da un sol. Si en un día se Han encontrado 2 veces6 luego de las cuales Cosa tiene 27 soles6 Kcu5nto tenía inicialmente ellaL a) SG. d) 12
b) 21 e) 24
b) S$lo =
b) 34 e) 73
c) 12
7. &ablo % 9ania se ponen a !ugar casino6 primero pierde &ablo SG.3?6 luego pierde 9ania % tiene que duplicarse el dinero a &ablo6 quedando de esta manera &ablo con -? soles % 9ania con 4? soles. KBu5nto tenía &ablo inicialmenteL a) SG.7? d) SG.-?
b) SG.7 e) SG.?
b) 1? e) 17
J. n un grupo de cerdos % gallinas6 el n/mero de patas e+cede en 42 al doble del n/mero de cabe>as. l n/mero de cerdos es" a) 7 d) 21
b) 1? e) ;
c) 17
1?. 9enía cierta cantidad de dinero6 pagué una deuda de -6 entonces recibí una cantidad igual a la que me quedaba % después presté 2? a un amigo. Si aHora tengo 232. KBu5nto tenía al principioL a) 123 d) 12
b) 212 e) 142
c) 17?
11. #n n/mero disminu%e en 426 el resultado se divide entre 6 al cociente obtenido se le multiplica por 2?6 luego se triplica el producto obtenido % se divide entre 76 Hall5ndose ?? de cociente. l n/mero es " a) 22 d) 32
b) 71 e) 342
c) 44
12. Bon la edad de Barlos se Hacen las siguientes operacionesR primero se multiplica por 76 al producto se le suma ?6 a dicHa suma se le divide entre 1?6 al cociente se le e+trae la raí> cuadrada para inalmente restarle 4. Si luego de reali>ar las operaciones indicadas se obtiene 26 Kcu5l es la edad de BarlosL
c) SG.11? a) d) 3??
. Bu5l es el n/mero que multiplicado por 76 aadiéndole a este producto % dividiendo esta suma entre 2 se obtiene 23. a) d) 11
c) 23
c) 12? lt
4. n un core Ha% un total de sG. 1-3 en 47 monedas de sG. 7 % sG. 2 K cu5ntas monedas son de ma%or denominaci$nL a) 2 d) 31
b) 2J e) 1J
c) S$lo B
e) = % B
b) 17? lt e) 11? lt
-. upe tiene sG. 17 en billetes de sG.1? % de sG. 7. si tiene un total de billetes KBu5ntos son de sG. 7L a) 21 d) 2
3. Buando un campesino saca agua de un po>o6 e+trae la mitad del contenido % 7 litros m5s. Si después de 3 e+tracciones quedan a/n 1? litros en el po>o6 Kcu5ntos litros Habían inicialmenteL a) 1-? lt d) 14? lt
d) SG.17 % SG.-? e) SG.27 % SG.?
c) 7
2. 9res !ugadores ;6 = % B !uegan unas partidas de billar % convienen en que el que pierde duplicar5 el dinero de los otros dos. Se sabe que perdieron en el orden indicado % al inal cada uno qued$ con 4? soles. KIuién gan$L a) S$lo ; d) ; % B
a) SG.7? % SG.47 b) SG.? % SG.37 c) SG.77 % SG.4?
c) 12
. Barlos % ;ndrés !uegan a las cartas6 con la condici$n que el que pierda duplicar5 el dinero al otro. Si cada !ugador perdi$ una partida en el orden mencionado6 resulta que se quedaron con 7? % 47 soles respectivamente. KBu5nto tenían al iniciar el !uegoL.
b) ? e) 17?
c) -?
13. #n n/mero se aumenta en 4?R el resultado se divide entre 46 el cociente obtenido se aumenta en 76 al resultado se le e+trae la raí> cuadrada6 al resultado se multiplica por 17 % luego al producto obtenido se le divide entre 27 resultando 3. Aalla el n/mero. a) 32 b) 42 c) 4? d) -1 e) 7? 14. Cevendieron entre adultos % nios un total de 211 boletos para una unci$n de circo. Si un boleto de adulto cost$ SG. 7 % un boleto de nio SG. 3 KBu5ntos boletos de adulto se vendieron si la recaudaci$n total
ue de SG. 73L Bomo respuesta dar la suma de ciras" a) d) 17
b) 7 e) 1-
b) 3 e) 34
c) 3?
1. Tosé cada día que traba!a gana 4? soles % el día que no traba!a debe pagar 7 soles de multa. 8espués de 3? días recibe SG. -4? soles KBu5ntos días no traba!$L a) d) 11
b) J e) m5s de 11
b) 24 e) 1??
c) J
c) 11
17. l proesor de Ca>onamiento matem5tico divide entre 4 al n/mero de alumnos de un sal$n6 al cociente le sumo 4 % a la suma lo multiplica por 46 a continuaci$n al producto lo multiplico por 46 para inalmente e+traerle la raí> cuarta6 obtuvo así 4. Si Ha% 1- alumnos6 entonces el n/mero de alumnos es " a) 72 d) 4?
a) 4d) 144
1J. &ara cancelar una deuda de 13J? soles se us$ billetes de 2? soles % 7? soles6 en total 37 billetes. KBu5ntos de estos billetes ueron de 7? solesL a) 1J d) 22
b) 2? e) 23
c) 21
2?. n una pla%a de estacionamiento Ha% s$lo autos % motos en total ? veHículos cada uno con una llanta de repuestos. KBu5ntos autos Ha%6 si en total se cuentan 24 llantasL a) 4? d) 4
b) 42 e) 4-
c) 44
c) 1?
1. Buando a la edad de MicHelle se divide entre 3 después de restarle 26 al resultado se le eleva al cubo a continuaci$n se suma 1J6 luego a la suma se le e+trae la raí> cuadrada6 para inalmente sumar 7 % elevar al cuadrado6 se obtiene 2-J. KBu5l es la edad de eonel6 si éste naci$ cuando MicHelle tenía 7 aosL. a) 1 aos c) 2? aos d) 21 aos
b) 1- aos e) 22 aos
1-. #n estudiante gast$ las Ho!as de su cuaderno en 2 días % lo Hi>o del modo siguiente " Bada día gast$ la mitad de Ho!as en blanco6 m5s - Ho!as. KBu5ntas p5ginas tenía el cuadernoL
8os !ugadoras convienen en que cada ve> que una gane6 la otra le paga tanto como para duplicar lo que tiene. 8espués de dos partidas que la gan$ la misma !ugadora ambas tienen la misma cantidad " 4? soles. o que tenían al inicio es " d) SG.2? % SG.? e) SG.3? % SG.7? ) SG.1? % SG.?
d) SG.4? % SG.4? e) SG.37 % SG.47
&ara resolver un problema aplicando dicHo método6 debemos tener en cuenta que deben de participar dos cantidades e+clu%entes6 una cantidad ma%or que la otra6 % estas se comparan en dos oportunidades6 originando en un caso ganancia o sobrante % en otro caso pérdida o altante M-todo PrActico Si las cantidades son del mismo tipo6 se debe tomar en cuenta lo siguiente" i) o que alta % lo que sobra se suman6 las otras cantidades se restan % estos resultados se dividen. ii) o que sobra % lo que sobra se resta6 las otras 2 cantidades se restan % estos dos resultados se dividen.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
n la Semana de la ducaci$n Dnicial la tutora desea repartir cHocolates a sus alumnos6 si les da 7 a cada uno le altarían 3? cHocolates6 si les da 3 a cada uno le sobraría ? cHocolates. KBu5ntos cHocolates tiene la tutoraL Soluci6n: alta sobra 3? ? 7? /mero de nios , 73 /mero de cHocolates ,7?(7) ' 3? , 22? también " Xalta 3? 8a 7 Sobra ? 8a 3
#n padre de amilia dice" si a cada uno de mis Hi!os les do% SG.3 me sobraría SG.1J6 pero si a cada uno les do% SG.7 me sobraría SG.7. KBu5nto tiene el padre de amiliaL Soluci6n: sobr$ sobr$
de ios ,
3? .? 7 3
22?
1J 7 73
,
8inero que tiene , (3) O 1J , SG.4? o tambien " 8a " 3 sobra " 1J 8a " 7 sobra " 7 de Hi!os ,
7?
de cHocolates , 3(7?) O ? ,
de Ai!os "
1J 7 73
,
8inero que tiene , 7() O 7 , SG.4?
. Tessica quiere repartir cierto n/mero de caramelos a sus Hermanos. Si les da 7 caramelos a cada uno le sobraría 17R pero si les da 12 caramelos a cada uno le altarían 2? caramelos. KBu5ntos caramelos tieneL. a) 2? b) 3? c) 27 d) 37 e) 4?
1. Si eonel compra 7 Helados le sobra 3 solesR pero si quiere comprar - Helados le altan J soles. KBu5nto cuesta cada HeladoL
a) SG.1 d) SG.4
b) SG.2 e) SG.7
c) SG.3
2. Si do% 7 caramelos a cada uno de mis Hermanos sobran caramelosR pero si do% 2 m5s a cada uno6 altan - caramelos. KBu5ntos Hermanos somosL. a) 7 d) -
b) e) J
c)
3. 8iana al comprar 1? pl5tanos6 le sobran SG.17R pero al adquirir 14 pl5tanos6 le altarían SG.J. KBu5nto cuesta cada pl5tanoL a) SG.2 d) SG.7
b) SG.3 e) SG.
c) SG.4
4. ian Marco pens$ comprar - camisas % entonces le sobra 3? soles6 pero si comprara 12 camisas le altarían -? soles. KBu5nto cuesta cada camisaL. a) SG.7? d) SG.J?
b) SG.? e) SG.11?
c) SG.?
7. #n estudiante dice"<&ara comprar una docena de lapiceros me altan SG.176 pero si compro - lapiceros me sobran SG.3. KBu5nto cuesta cada lapicero % cu5nto es lo que tieneL. a) SG.4 % SG.3J b) SG.467 % SG.3J c) SG.4 % SG.3
d) SG.467 % SG.3 e) .;.
. #n empresario decía" :Si le pago SG.17 a cada uno de mis empleados6 me altarían SG.7?R pero si s$lo les pago SG.1?6 me sobrarían SG.3?. KBu5ntos empleados tengoL. a) 17 b) 1 c) 1 d) 1e) 1J -. #n tío reparte propina entre sus sobrinos. Si les da 3 soles a cada uno6 le sobrarían - soles6 % si les da soles a cada uno6 le altarían 12 soles. KBu5ntos sobrinos tieneL. a) 3 b) 4 c) 7 d) e) J. Se reali>$ una colecta para obsequiarle un pantal$n a la tutora el día de su cumpleaos. Si cada alumno colabora con 7 soles sobrarían 7? soles6 pero si cada uno de ellos diera 3 soles6 altarían 3? soles. KBu5nto cost$ el pantal$nL. a) SG.12? c) SG.17? d) SG.11?
b) SG.J? e) SG.14?
1?. n el problema anterior6 KBu5ntos alumnos Ha% en el sal$nL. a) 3? b) 37 c) 4? d) 47 e) 7? 11. #n carpintero pens$ comprar 12 martillos pero observ$ que le sobrarían -? soles % si compra 17 martillos6 también le sobrarían 7? soles. KBu5nto cuesta cada martilloL. a) SG.1? b) SG.c) SG.12 d) SG.J e) SG.14 12. n el problema anterior6 Kde cu5nto dinero disponía el carpinteroL. a) SG.1?? b) SG.17? c) SG.2?? d) SG.27? e) SG.3??
le sobrarían SG.11 % si paga SG.2 por cada entrada le sobrarían SG.4. KBu5ntas entradas compr$L. a) 1?
b) -
d) J
e) 12
c) 11
1. Buando aren compr$ 7 galletas le sobr$ 7 soles6
. #n tío quiere compartir entre sus sobrinos cierto
en cambio si Hubiera comprado J galletas le Hubiera
n/mero de caramelos. Si les da 7 caramelos a cada
altado 3 soles. KBu5nto cuesta cada galletaL.
uno le sobran 17 % si les da - caramelos a cada uno le alta caramelos. KBu5l es el n/mero de sobrinosL.
a) SG.1
b) SG.2
d) SG.4
e) SG.7
c) SG.3
a) 7
b)
d) -
e) J
c)
2. eonel ra>ona así " Si do% 3 rosas a cada una de
-. Si compro libros de 17 soles cada uno me sobran
mis amigas sobran 3 rosasR pero si do% 3 m5s a cada
2? solesR pero si compro el mismo n/mero de libros a
una6 altan J rosas. KBu5ntas amigas tiene eonelL.
2? soles cada uno me altan 4? soles. KBu5nto es mi dineroL.
a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
c) 3
a) SG.2??
b) SG.1-?
d) SG.22?
e) SG.1?
c) SG.24?
3. #n sastre pens$ comprar 4 ti!eras pero observo que
J. Xabian pens$ comprar 1? lapiceros % observo que
le sobrarían 4 soles % si comprara 2 ti!eras m5s le
le sobraría 2? soles6 pero si compra 1- lapiceros
altaría soles. K8e cu5nto dinero disponeL.
entonces le altaría 4 soles. KBu5nto cuesta cada lapiceroL.
a) SG.2?
b) SG.24
d) SG.32
e) SG.2-
c) SG.3?
a) SG.1
b) SG.2
d) SG.4
e) SG.7
c) SG.3
4. Si se vende cierta cantidad de libros a 17 soles
1?. n el problema anterior6 K8e qué suma disponía
cada uno6 se obtendría como ganancia 17? soles % si lo
XabianL
vendemos a 12 soles se ganaría s$lo ? soles.
a) SG.42
b) SG.47
KBu5ntos libros se tiene para la ventaL.
d) SG.7?
e) SG.?
a) 2?
b) 27
d) 37
e) 4?
c) SG.4-
c) 3?
7. uis Miguel al comprar J polos6 le sobran -? solesR pero para adquirir 17 polos le altarían ? soles. K8e cu5nto dinero disponíaL. a) SG.17
b) SG.2?7
d) SG.3?7
e) SG.37
c) SG.327
. Se organi>a una unci$n de teatro en nuestro Bolegio. Si el seor Iuiro> paga SG.7 por cada entrada
a tutora al acomodar a los alumnos en el aula trata de ra>onar de la siguiente orma" :Si a los alumnos los Hago sentar de 2 en 2 me sobran 7 alumnos6 pero si les
Hago sentar de 3 en 3 me sobrarían 7 carpetas. KBu5ntas carpetas Ha% en el sal$nL. a) 1-
b) 2?
c) 27
d) 3?
e) 32
ste método consiste en ordenar las cantidades dadas en dos columnas de tal orma que el producto de las cantidades de la primera columna sea equivalente al producto de la segunda columna. as cantidades no se deben repetir en una misma columna. !emplo" n la :Xeria de la Molina< por 3 patos dan 2 pollos6 por 4 pollos dan 3 gallinas6 por 12 gallinas dan - pavos % 7 pavos cuestan SG.17?. KBu5nto tengo que gastar para adquirir 7 patosL Soluci6n" Bolumna 1 3 patos 4 pollos 12 gallinas 7 pavos :+< soles
Bolumna 2 ` [ 2 pollos ` [ 3 gallinas ` [ - pavos ` [ 17? soles ` [ 7 patos
3 . 4. 12 . 7 . + `[2 . 3 . - . 17? . 7
Simpliicando % encontrando la variable se tiene " + , 7? soles 4. n un ba>ar se observa que el precio de 4 pantalones equivalen al precio de camisas6 J camisas cuestan tanto como 2 cHompas. KBu5ntas cHompas se pueden comprar con 3 pantalonesL. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7 1. Si te do% un pl5tano me das man>anas6 si me das - man>anas s$lo recibirías 2 pias. KBu5ntos pl5tanos debo darte si me das 17 piasL. a) b) 1? c) J d) 11 e) 12 2. &or un mel$n me dan 4 naran!as por naran!as solo recibo - cHirimo%as. KBu5ntos melones debo dar para recibir 1 cHirimo%asL. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7 3. n un pueblo aricano6 por cada 1 espe!os6 dan 2 diamantes % por cada diamantes dan 4 monedas de oro. KBu5ntas monedas de oro dar5n por 3 espe!osL. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7
7. n una cierta distribuidora de autos se observa que " l precio de autos 9o%ota es igual al de 17VjR 1?Vj cuestan tanto como - XiatR el precio de 4 Xiat equivale al de :+< 9o%ota. Aallar :+< a) 1 b) 2 c) 4 d) e) . Sabiendo que 12 varas de pao cuestan lo mismo que 17 metros % que metros valen SG.2?. KBu5nto costar5n 1- varasL. a) SG.7 b) SG.47 c) SG.7 d) SG.-7 e) SG.77 . n una investigaci$n cientíica se Ha demostrado que - cHivos comen tanto como 2 toros6 2? gatos comen tanto como 3 toros % cHivos tanto como 2 tigres. KBu5ntos gatos Hacen alta entonces para observar la misma cantidad de alimento de una docena de tigresL.
a) 2? d) 7?
b) 3? e) ?
c) 4?
-. Sabiendo que marcos alemanes equivalen a 4 d$lares6 que 2 d$lares equivalen a 3 libras esterlinas % que 4 soles equivalen a una libra esterlina. KBu5ntos soles equivalen a 7 marcosL. a) SG.1? d) SG.4?
b) SG.2? e) SG.7?
c) SG.3?
b) 2 e) 7
l traba!o de cu5ntas mu!eres equivaldr5 al
traba!o de 3 Hombres6 si el traba!o de J Hombres equivale al de 12 nios6 el de 3 nias al de 1 nio % el
J. n un Mercado por 4 Pilos de arro>6 dan 3 Pilos de a>/car6 de la misma manera por Pilos de a>/car dan - Pilos de papas6 por 1? Pilos de papas dan 2 Pilos de carne de res. KBu5ntos Pilos de carne de res nos dar5n por 17 Pilos de arro>L. a) 1 d) 4
1.
c) 3
de 2 mu!eres al de nias. a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
2.
c) 3
Sabiendo que 1? pulgadas de alambre cuestan lo
mismo que 3?cm % que 47cm valen SG.. KBu5nto costar5n 2? pulgadasL.
1?. Aace algunos aos6 el cambio monetario era el siguiente " - soles " cru>ados 1? cru>ados " 4 pesos 2 pesos " 7 d$lares. KBu5ntos soles daban por 3 d$laresL.
a) SG.J
b) SG.1
d) SG.12
e) SG.-
a) SG.1 d) SG.4
recibir 3? piasL.
b) SG.2 e) SG.7
c) SG.3
11. l traba!o de cu5ntos Hombres equivaldr5 al traba!o de 12 nios6 si el traba!o de 4 nios equivale al de nias6 el de una mu!er al de 2 nias % el de 3 mu!eres al de un Hombre. a) d)
b) 7 e) 3
c) 2
12. n una librería6 7 lapiceros equivalen a 2 reglas6 3 reglas equivalen a - plumones6 del mismo modo que 4 plumones es a cuadernos. Si por SG.3 dan 2 cuadernos. KBu5ntos lapiceros dan por SG.12L a) 7 d) -
b) e) J
c)
3.
c) SG.1?
&or un coco me dan 4 melones6 por 2 melones
s$lol recibo 3 pias. KBu5ntos cocos debo dar para a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
4.
c) 3
n una !uguetería por 4 carritos me dan pelotasR
por 4 pelotas6 J rompecabe>asR por 17 rompecabe>as6 2 pistolas. Si 3 pistolas cuestan SG.1?. KBu5l es el precio de - carritosL. a) SG.17
b) SG.12
d) SG.24
e) SG.2
7.
c) SG.1-
Sabiendo que 4 soles equivalen a un d$lar6 que 3
d$lares equivalen a 4 libras esterlinas6 que euros equivalen a 7 libras esterlinas. K; cu5ntos soles equivalen 2 eurosL. a) SG.4
b) SG.3
d) SG.
e) SG.
c) SG.7
d) SG.11? .
e) SG.13?
n un trueque6 por un cuadrado se reciben 4
círculos % por círculos se reciben 3 tri5ngulos. KBu5ntos
cuadrados
pueden
recibirse
por
24
tri5ngulosL. a) 3?
b) 24
d) 4-
e) 12
.
c) 3
n una panadería por 4 panes de %ema dan uno
de baguet6 por 12 cacHitos dan 3 de baguet6 por 3 caramandungas dan 17 cacHitos. Si 2? caramandungas cuestan SG.2. KBu5nto cuesta 1? panes de %emaL.
Seis gotas del grio :;< equivalen a 4 gotas del grio :=
a) SG.267
b) SG.2
d) SG.263
e) SG.264
c) SG.26-
:B
-.
n cierto pueblo de la sierra se reali>a un trueque.
-
7 sacos de papa se cambian por 4 de camote.
-
1? sacos de %uca se cambian por de olluco.
-
- sacos de camote se cambian por 3 de olluco.
-
2 sacos de %uca se cambian por :+< de papa.
Balcular :+< " a) 1
b) 2
d) -
e)
J.
c) 4
Binco gallinas cuestan tanto como J pavos6 -
patos valen lo mismo que 17 pavos. Si6 se sabe que patos cuestan SG.2?. KBu5nto cuestan 2 gallinasL. a) SG.62
b) SG.
d) SG.67
e) SG.6-
c) SG.64
1?. n un ba>ar se observa que el precio de camisas equivalen al precio de 3 pantalones6 17 pantalones cuestan tanto como 12 cHompas. Si 1? cHompas cuestan SG.-??. KBu5l es el precio de 7 camisasL. a) SG.12? c) SG.17?
b) SG.1??
a) 1
b) 2
d) -
e) 4
c) 3
P#,B
O
; M X X ; M
133 2 2) Si"
EP?
+ 8 , 2-J- % ; +
E?P
, 2417. Balcula"
E?P 8 @A
Soluci6n: ,#DE$M,S E <$ F,#M$ '#$DICI,$< DE< P#,D;C', E ? P + @ A
2417 2-J313J7
;) 18) 11
=) 1 ) 1
B) 1J
7).' Si se cumple que" DAME MAS AMOR ;dem5s " :< , cero &odemos airmar" D. l valor de AMOR no se puede precisar. DD. l m5+imo valor de la e+presi$n AMOR es J1? DDD. l mínimo valor de la e+presi$n AMOR es J1?7. ;) S$lo D 8) DD % DDD
=) S$lo DD ) 9odas
B) D % DD
).' Si" 17??? ` AS!A ` 1??? ;dem5s" = O ; O S O 9 O ; , 3? Balcula = + ; + S + 9 + ; , L ;) 27J2 8) 2717
=) 2J1 ) 2J17
B) 2417
).' Si" abc cba Balcula" ;) 1--8) 1-JJ
$ "# $"# "#$ #$" % =) 1-J) 1JJJ
B) 1JJ-
-).' Si" $"# #"$ 3ab 1).' Si" (& O # O B) 2 , -4 Balcula" &#B #B& B&# ;) 31?8) 3??-
=) 311) ;bsurdo
Balcula ab ba % B) 3?1-
2).' Si" abc cba 666 ;dem5s " c a , 2 &odemos airmar" D. a O b O c , J DD. a , 2 DDD. a O b + c , 2?
;) 13 8) 14
;) VVX =) VVV 8) XVV ) XXV 3).' Si" bac bca ba abc Balcula" a O b O c , L
B) VXV
;) 11 8) 14
B) 1
=) 12 ) 1?
4).' Si" PP UU CC PUC Balcula & O # O B ,
;) Xaltan datos =) 177 B) 1 8) 17 ) 17 J).' Si" $"# 2" CA ($"#) R n , 7 Balcula m On O p , L =) 12 ) 1
1?).' Si" 1 PADRE 3
B) 17
+
PADRE 1 Balcula" &O;O8OCO, ;) 31 8) 2
=) 2J ) 3?
11).' Sabiendo que" abc& + m , 2J 424
B) 24
abc& + "' , 1J 1-:o< , cero Balcula" abcd + moni ;) 3 111 7-B) 2 J7J 31) 3 ?11 7--
7).Si" M
=) 2J4 4?J 1-8) 2J 7J3 1--
12).' Sabiendo que" M
A(E
M
&odemos concluir como alsas" D. o se puede determinar el valor de cada letra. DD. Xaltaría por los menos un dato adicional. DDD. S$lo podemos airmar que :< es un n/mero par. ;) S$lo D =) S$lo DD B) S$lo DDD 8) 9odas son alsas ) inguna es alsa 13.' Ceconstruir la siguiente divisi$n % dar como respuesta la suma del dividendo. a) 17 b) 1 c) 1 d) 1e) 1J
PAN
M
Aallar" M O ; O & O ; a) 1 b) 2? d) 14 e) 12
c) 1-
).Sabiendo que" M+ , 3? 777 +
, - 3?
&+
, 437
Balcular" a) 773 477 d) 774 377
b) 773 447 e) 447 377
c) 377 474
).' Si" a7b b 7bc Balcula bc cb ;) 44 8) --
=) 77 ) JJ
B)
-).' Si" & O # O B O & , 1 ;dem5s " 177? ` PUCP ` 1-?? Balcula & + # + & + B , L ;) 48) 74
=) 7 ) 3
B) 47
J).Aallar la suma de las ciras del producto"
a) 12 d) 1-
1).' Si" M O ; 12 Balcula M;M; O ;M;M ;) 12123 8) 1332
=) 12342 ) 3333
=) 3 ) 13
B) 13332
Aallar" & O ; O _ B) 2
3).' Si" #D - 17 , ..... - Balcula la suma de las 3 /ltimas ciras del resultado de" #D - 4 ;) 12 8) J
=) 1 ) 11
B) 13
4).' Si" ;(k M Balcula M O k O O O k O O ; M
;) 22 8) 2-
=) 13 ) 41
c)
1?).8ada la divisi$n"
2).' Si" &D; - JJJ ...... - Aalla & O ; O & O 1 ;) 8)
b) 22 e) 1?
B) 1J
a) 13 d) 1
b) 23 e) 1J
c) 1-
Si" SA & S A adem5s"
............A S
51
.............K >
Balcular NM O ; O 9 O O SN a) 2? b) 21 d) 23 e) 3?
c) 22
#E<$CI! DE 'IEMP, E)emplo * Si el maana del antea%er es lunes6 Kqué día ser5 el antea%er del maana del a%er del pasado maana de maanaL
Bolocando en los vértices N+NR N%NR N>N que ser5n las inc$gnitas.
B
(AA) A n t e a B e r
(A ) A B e r
YoB
52
51
'
$
17
Cesoluci$n" 9ener en cuenta lo siguiente"
(*) "asado ma^ana
1
2
d
x
e
a suma de los nueve dígitos es" @ e @
@ x @ B @ = 1 @ 2 @ 3 @ ... @ 9 9 x 1' 2
u n e s = 5 1
52
n la recta numérica" '1 es a%erR osea a%er ue lunesR por consiguiente Ho% es martes.
-> a n t e a Be r d e m a ^ a n a d e a B e r d e " a s a d o m a ^ a n a d e m a ^ a n 1 1 52 2 51 sto da como resultado" 1R seg/n la recta eso es maanaR % si Ho% es martes6 maana ser5 miércoles. C,S'#;CCI,ES E)emplo " Boloque los n/meros del 1 al J6 uno por círculo % sin repetir los n/meros6 de manera que las sumas de los n/meros de cada lado sea igual a 1. 8ar como respuesta la suma de los n/meros que van en los vértices.
17 a @ $ @ c @
1
17
a
( ) ma^ana
> m a ^ a n a d e a n te a B e r e s u n e s
c
4&
&ero por dato" + O a O b O % , 1.........................(1) % O c O d O > , 1.........................(2) > O e O O + , 1..........................(3) Sumando las ecuaciones" (1)R (2) % (3) tenemos"
x B a9 9$99c 9 d999e 9 =99x9 9B 99 &1 4& +O%O>, 8 la suma de los n/meros que van en los vértices es . ,tro m-todo: os elementos del lado N;N suman 1 os elementos del lado N=N suman 1 os elementos del lado NBN suman 1 ;parentemente la suma de los tres lados es 71R pero la suma real de esos J elementos es" 1 O 2 O 3 O ... O J , 47 esto quiere decir que Ha% un e+ceso de 71 ' 47 , % !ustamente este e+ceso se debe a que N+NR
Cesoluci$n"
N%NR N>N ueron contabili>ados dos veces (se repiten)
3) Si el a%er del antea%er de maana es martes6 Kqué día ser5 el maana del pasado maana de a%erL
+O%O>,
a) lunes d) domingo
C,'E, DE #;'$S
b) martes e) s5bado
c) !ueves
4) Si el lunes es el martes del miércoles % el !ueves es el viernes del s5bado6 Kqué día es el domingo del lunesL
E)emplo /
A
a) lunes d) viernes
b) domingo e) s5bado
c) !ueves
7) Si el a%er de pasado maana de maana est5 tan ale!ado del lunes como lo est5 el maana de Hace 3 días6 Kqué día es Ho%L
!
K8e cu5ntas maneras dierentes se puede ir de N;N a N=N sin pasar dos veces por el mismo punto en cada recorridoL
a) martes d) viernes
Cesoluci$n" &;SS &;C; ; CS#BD
) 8istribuir los n/meros del 1 al J6 tal que la suma de cada di5metro sea 17. Aallar el valor de N+N
b) miércoles e) s5bado
1 Hallamos los puntos de intersecci$n m5s pr$+imos al punto de llegada (=)6 en este caso los m5s pr$+imos son :e<6
3
c
a) 1 d) J
d
c) !ueves
e
!
&ara nuestro problema Ha% 3 ormas de llegar a :e< % 3 ormas de llegar a :g< asi el total de maneras a llevar a :=< es 3O3, para nuestro problema
b) 3 e)
c) 7
) ; cada cuadrado debe #d. asignar un n/mero del 1 al -R con la condici$n que en dos cuadrados contiguos los n/meros no sean consecutivos. Aallar" (mOn)2 a) 4J b) 4 c) -1 d) 121 m e) ;
n
-) #tili>ando los n/meros del 1 al J6 distribuirlos de modo que la suma de los lados sean n/meros consecutivos. Aallar Na O b O cN a) 12 b) 14 c) 17 d) 1e) ;
a
1) Si Ho% es !ueves6 Kqué día es el a%er de pasado maana del maana del maana de antea%erL a) martes b) miércoles c) !ueves d) viernes e) s5bado 2) KBu5l es el día que precede al a%er del anterior del posterior día que subsigue al que sigue al s5badoL a) domingo d) viernes
b) lunes e) s5bado
c) !ueves
$
c
J) 8istribu%a en los círculos los n/meros del 1 al JR con la condici$n que la suma de cada lado sea 2?. Aallar N+.%.>N
A
B
!
x
a) 4 d) 1?
a) ? d) 14?
b) J? e) ;
b) e) ;
c) -
c) 12?
1?)8istribu%a en los círculos los n/meros del 1 al JR con la condici$n que la suma de cada lado sea 1. Aallar" a2 O b2 O c2
$ 1) l maana de pasado maana ser5 lunes. KIué día ue el antea%er del a%er de maanaL
a
a) martes d) viernes
c
a) 12 d) 1-
b) 14 e) ;
c) 17
K&or cu5ntas rutas dierentes se puede ir de N&N a NIN6 sin pasar dos veces por el mismo punto en cada recorridoL 11)
b) miércoles e) s5bado
2) 8entro de cuatro días ser5 s5bado. KIué día ser5 el maana del antea%er del pasado maana de maanaL a) lunes d) miércoles
b) s5bado e) viernes
R
a) 14 d) 12
b) 1 e) 2?
b) lunes e) martes
c) 1-
a) !ueves b) lunes c) miércoles d) s5bado e) martes 7) 8el problema anterior6 Kqué día ser5 el 1 del siguiente mesL a) s5bado d) domingo
*
b) martes e) miércoles
c)
$
c
a
d
13)
c) !ueves
) Bolocar en los círculos6 los n/meros del 1 al J6 tal que la suma de cada lado sea 21. Aallar Na + b + c + d + e + N
R b) 4 e) 12
c) s5bado
4) n un cierto mes e+isten 7 viernes6 7 s5bados % 7 domingos. KIué día ser5 el 2 de dicHo mesL
12)
a) d) 1?
c) !ueves
3) Si el antea%er de maana de pasado maana es viernes6 Kqué día ue a%erL a) miércoles d) !ueves
*
c) !ueves
a) 2?1? d) 22?
b) 21? e) ;
e c) 2?7
) Boloca los n/meros del 1 al J en los círculos de modo que la suma de cada lado del tri5ngulo sea igual a 2?.
11)
A
! a) 3 d) J? 12)
b) e) 12
!
A 8ar como respuesta la suma de los n/meros colocados en los vértices. a) 2? d) 12
b) 17 e) 1
c) 1
c) -
a) 7 d) 12
b) e) ;
c) J
-) 8istribuir en los cuadrados6 los n/meros del 1 al 12R tal que la suma de cada lado sea 3?. Aallar Na O b O c O dN
a) 3 d) 41
a
$
c
d b) 32 e) 42
c) 3
J) Bolocando los n/meros del 1 al J en cGu Hacer que la suma Hori>ontal6 vertical % diagonal de cada ila sea 17. Aallar el cuadrado del término central.
a) 4J d) 3
b) 4 e) 27
&
c) 1
K8e cu5ntas maneras puede ir Manuelito desde N;N Hasta N=N6 sin pasar dos veces por un mismo punto en cada via!eL
Aallar la suma de los n/meros en los círculos sombreados. a) 11 d) 13
1?)
A
! a) 2 d)
#n cubo mirando en perspectiva6 nos muestra s$lo tres de sus caras % siete vértices. n ellas es posible acomodar los n/meros del 1 al 6 uno por vértice6 de modo que los cuatro vértices de cada una de las caras suman 17.
b) 3 e) ;
c) 7
b) 12 e) 1?
c) J
$. #aonamiento Inductivo Bonsiste en el an5lisis de casos partículares6 tratando de encontrar una le% de ormaci$n (que puede ser una secuencia) % de esa manera descubrir una ormaci$n recurrente6 que lo aplicaremos a un caso general.
Caso Uenera
Caso Caso
Caso
2
1
3
C a s o s " a r t c u a r e s
P#,B
> (333 33) : ;'...;< 2' c=ras
Cesoluci$n" &or inducci$n"
Rs4!1&do 3
2
=
= 9
9 = 1 x 9
u n a c ra
33
2
= 1'89
18 = 2 x 9
2 cras
3 3 3 2 = 11 ' 8 8 9
constante 27 = 3 x 9
3 cras
33332 = 111'8889
36 = 4 x 9
4 cras
3 3 3 .. . 3 3 3 2 =
2' x 9 = 18'
2 ' c r a s
#pta. 15
) Balcular el valor de NSN6 si" S :1 ;@;2;@;; 4@ ... ' 8; @ ; 16 ; ;@;< 2' tDrm/nos
a) 221 ' 1 d) 221 1) Balcular NN % dar como respuesta la suma de sus ciras. > (333......333) : ;; ' ; ;<
b) 21J O 1 e) 22? ' 1
) Balcular"
2
2'' c=ras
a) 2 ??? d) 4??
c) 22? O 1
b) 2?? e) ??
>
c) 1 -??
1 1 1 ... � � � 1 2 2 3 3 4 : ; ; ; ;' ; ; ; ;< n sumandos
2) Aallar la suma de ciras del resultado de la siguiente e+presi$n" > (666......666) : ;; ' ; ;<
a) n O 1 d)
2
b) n
n
e)
n 1
n 1
c)
n
n n 1
2''2 c=ras
a) 2??2 d)
b) 1232 e) 1- ?1-
c) 124-
-) KBu5ntos palitos se usaron para construir el siguiente castilloL
3) Aallar la suma de todos los elementos de la siguiente matri>.
1 2 3
2 3 4
3 4
9 1' 1' 11
9 1' 1' 11 a) 1??? d) 4??
17 18 18 19
b) 1-?? e) 17??
1 c) J??
2
a) ?? d) 7?
3
18
19
b) 7? e) 3?
2'
c) 71?
J) KBu5ntos palitos ser5n necesarios para ormar la igura de la posici$n 2?6 siguiendo la secuencia mostradaL
4) Balcular" 2' �21 �22 �23 1
a) 7?? d) 441
b) 71 e) 42?
........
c) 41
7) Aallar la suma de las ciras del resultado de"
M1 a) 42? d) -??
M2
M3
b) 21? e) 4??
c) 14?
2
> (1'' : ; '... ;''&) <
1?)Aallar la suma de las ciras del resultado de"
&' c=ras
a) 227 d) J?
b) 47? e) J
2
A (999 : ; '...;99&) <
c) JJ
2' c/=ras
a) 1-
b) 1J?
c) 24?
d) 21?
e) 1-?
11) Aallar la suma de las ciras del resultado de" < 1'1'1 : ;; '... ; 1'1 ;< � 3&
b) 1 e) 12
b) 2J e) J-1
c) 1???
3) Aallar el n/mero total de palitos que conorman las siguientes torres"
41 c/=ras
a) 1? d) 1-
a) 2??? d) 1?2?
c) 14
12) De cuAntas maneras se puede leer la pala>ra: TS#S T
S # S
S
S
#
#
S
S
a) 12 d) 1-
1
# S
S
b) 14 e) 2?
a) J1? d) 1?2? c) 1
2
3
4
3'
b) J?? e) -1?
31
c) J3?
4) KBu5ntas cerillas se utili>aron para ormar la igura 2?L
13) De cuAntas maneras se puede leer la pala>ra: B;M; B ;
;
( 1 )
M
( 2 )
( 3 )
M ;
a) 2 d) -
b) 4 e) 1?
c)
a) -4? b) -1? c) 2? d) 144? e) -? 7) Aallar la suma de las ciras del resultado de" S (999 ...;999) :;' < �7 3' c/=ras
a) 2-J d) 1-?
b) 24? e) 3??
c) 2?
) Aallar la suma de las ciras del resultado de" 1) Balcular NN % dar como respuesta la suma de sus ciras > (999......999) : ;; ' ; ;<
2
b) J?? e) 1J??
222 c/=ras
a) d) 27
1'' c=ras
a) 2?? d) 7??
222 ...;222 :;' < � 123
c) 4??
1' 11
3
c) ?
) Aallar la suma de las ciras del resultado de" 1'1'1 : ;; '... ; 1'1 ;< � 12
2) Aallar la suma total.
4
b) 7 e) -7
1'1 c/=ras
2
1 3
4
2 4
12
3
a) 14d) 171
b) 173 e) 14J
4
12
1' 11
-) Aallar la suma de las ciras del resultado de" (333 ...;334) :;' < 2' c/=ras
19
c) 17
2
a) 11d) 121
b) 144 e) 12?
c) 124
a) 12 d) 2?
b) 1 e) 24
c) 1-
J) KBu5ntas bolitas blancas Ha% en la igura de posici$n 4?L
........
M1 a) -?d) -?
M2
M3 b) -2? e) -21
1?) 8e cu5ntas maneras se B;S;B; B ; S S ; ; B B B ; ; ; a) 2d) 3
Balcular" c) -??
1''
1'' puede leer la palabra"
99
99
98
98
97
;
3
S ;
3
; B
;
B ;
b) 32 e) 4?
11) 8e cu5ntas maneras se ;D;_; ; D D ; ; _ ;
<
puede leer la palabra" D ;
;
_
2
;
c) 34
2
1
1 1'4 1'& 1'1 d) 1'1 a)
1'' 1'2 1'1 e) 1'2 b)
c)
1 2 1'1 1'3
a) 1d) 24
1) K8e cu5ntas maneras dierentes se puede ormar la palabra N;DNL
7)
A
D
D
D
a) 12 d) 14
c) 2?
K&or cu5ntas rutas dierentes se puede ir de N;N a N=N6 sin retroceder en ning/n momentoL
;
b) 1J e) 1
D
b) 1 e) 1?
! a) 4? d) 2?
c) 2?
2) K8e cu5ntas maneras dierentes se puede ormar la palabra NMDD;NL
b) 12? e) ?
c) 1-
) A
M
M
D
D
D
D ;
a) 2? d) 1-
!
D D ;
b) 1 e) 32
c) 24
a) 4 d) 7
b) 2 e) 2
) K8e cu5ntas maneras se puede ir de N;N a N=N sin pasar por NBNL (sin retroceder en ning/n momento) A
3) K8e cu5ntas maneras dierentes se puede ormar la palabra N8jDNL
!
8 j
a) 47 d) 37
j D
D
a) d) 12
C
8
c) ?
b) 4 e) 1
b) 7 e) 7?
c) 77
c)
4) K8e cu5ntas maneras dierentes se puede ormar la palabra #DSL # # # # D D D S S S S
-) Si" S1 , 1 S2 , 1 O 1 S3 , 1 O 2 O 1
C1 , 2 C2 , 2 O 2
S4 , 1 O 3 O 3 O 1
C3 , 2 O 4 O 2 C4 , 2 O O O 2
88
88
2
�< Balcular" � 2' �S � 2'
� � � �
a) 1 d) -
b) 4 e) 1?
c)
13)S=;S9D; S
J) Simpliicar % dar como respuesta el valor de" S2
2' tDrm/nos ;;? ;;;
S
>;; ;@ 1 �3 3 �& & �7 ... 2' 2
2
2
= S
2
2
a) 1 d) -
D
S 9
D ;
b) 32 e) 4-
c) 3
14)K8e cu5ntas maneras dierentes se podr5 ir de N;N a N=N6 sin retroceder en ning/n momentoL
> ; ;n ;;sumandos ? ; ; ; ;@ n 1 �3 3 �& & �7 ... 2
S
a) 2d) 34
1 @2 @3 @...@n
;
9
;
c) 1
1?)Balcular el valor de"
;
9 D
b) 2 e) 2?
=
S
9
2' tDrm/nos
<
;
S
1: ; ; 2 ;;' 3 ; ; ...; 2' ;<
a) 4 d) -
=
;
2
A
2
b) 4 e) 1?
c) 2 !
11) K8e cu5ntas maneras dierentes se puede ormar la palabra somosL S M
M
M
S a) d) 24
b) 12 e) 2-
c) 1-
8e cu5ntas maneras dierentes se puede ormar la palabra"
9 ;
a) -41 d) -1?
B B ; B ; C B ; C M
8
a) 2? d) 22
D
b) 24 e) 1-
b) J1 e) 2J
9 ;
D
c) 24
17)K8e cu5ntas maneras dierentes se podr5 ormar la palabra DI#D9SL D I I I # # # # # D D D D D D D 9 9 9 9 9 9 9 9 9 S S S S S S S S S S S S S
S 9
b) 2e) 32
c) 1???
1)K8e cu5ntas maneras dierentes se puede leer la palabra B;CML
12)S9;8D S
a) 1d) 2?
c) 2-
a) 4 d) 31
B ; C M
b) 7e) 32
B ; C M
B ; C M
B ; B C ; B M C ; B c) 3
8 1)K8e cu5ntas maneras dierentes se puede leer la palabra NC;8;CN uniendo letras vecinasL C C C ; ; C C ; 8 ; C C ; ; C C C
a) 2d) 4-
b) 12 e) 2?
4) K8e cu5ntas maneras se podr5 ormar la e+presi$n NS=;=SNL =
;
S a) 32? d) 12
b) 324 e) 3??
c) 24
c) -1
=
= ;
S
=
S
=
S
;
= a) -? d) 1-?
1) K8e cu5ntas maneras dierentes se puede ormar la palabra TSSDB;L
7)
D
S3 , O 12 ' J
S D
B
B ;
Balcular el valor de" S21
S2 , 4 ' + 4
S
D
c) 1?
S1 , 2 + 2 O 1
T S
b) 12? e) 1J
D
S4 , - + 2? O 1
B
S7 , 1? ' 3? + 27
;
\8
a) 24 d) 2-
b) 1 e) 32
a) 31 d) 3
c) 2?
b) 32 e) 4
c) ?
) Aallar" > 4 M18' �S 137 Si"
2) K8e cu5ntas maneras distintas se puede ormar la palabra NB;CC9C;N uniendo letras vecinasL
S1 , 1
B ; C 9 C ;
C
;
9
;
a) J1 d) 2??
9
C
;
S3 , 1 O 2 O 1
C
9
C
S2 , 1 O 1
; C
b) -1 e) 1?-
X3 , 2 O 4
O2 9
C
;
X1 , 2 X2 , 2 O 2
S4 , 1 O 3 O 3 O 1
C
; c) 1J2
C ;
;
88 a) 2?4d) 1121
b) 17 e) 24?-
) K8e cu5ntas maneras se puede ormar la palabra V;SS;L
3) C;8;C
V
8 ; C
;
; 8
;
X4 , 2 O O O 2 88 c) 1???
C ;
S
;
S
S
S
S
;
;
a) 2d) 42
;
;
b) 4e) 4?
;
;
c) ?
K8e cu5ntas maneras dierentes se podr5 ir de N;N a N=N6 sin retroceder en ning/n momentoL
-)
A
! a) ? d) 27
b) 37 e) 2-
c) 4-
J)
A
! a) ? d) 7
b) 27 e) 4-
c) 2
1?)K8e cu5ntas maneras dierentes se podr5 ir de N;N a N=N sin retroceder en ning/n momentoL A
!
a) 1?? d) 42?
b) J e) 144
c) 1?-
K8e cu5ntas maneras dierentes se podr5 ir de N;N a N=N6 sin retroceder en ning/n momentoL Sin pasar por NBN. A
C !
a) -? d) ?
b) 4 e) 44
c) 2
-CH_NKAS !#QAS >!# S A C A < * A < A K >N > < # S > Q ;S # C # Q # < 0
(blanco % negro) en la urna. ;l sacar una tercera bola6 del color que uese6 %a se ormar5 pare!a del mismo color6 en cualquiera de las dos anteriores luego" 2O1,3
ota importante Cecuerda que para tener la certe>a de alguna elecci$n6 debemos tener en cuenta las otras posibilidades que no cumplen con cierta condici$n establecida6 esto es6 ponernos en el" &C 8 S B;SS % considerar que primero ocurren esas posibilidades. !ercicio 1 * Se colocan en una urna 7 bolas blancas % bolas negras. KBu5ntas bolas Ha% que sacar al a>ar6 para tener la seguridad de tener" 1. #na bola negraL 2. #n par de bolas del mismo colorL
1) n una bolsa Ha% 3 cHicles de resa6 7 de man>ana % - de cHicHa morada. KBu5ntos cHicles como mínimo debo sacar para tener la seguridad de tener 2 de man>anaL a) 4 d) 13
1. ;l sacar 1 bola6 Ha% la posibilidad que sea negra6 pero no se tiene la seguridad pues también puede ser blanca. Bomo Ha% 7 bolas blancas6 entonces después de 7 e+tracciones se puede tener la seguridad que la siguiente es negra6 luego"
& B LA N C A
@
c) 11
2) n un balde Ha% 7 peces a>ules6 4 verdes % amarillos. KBu5ntos peces como mínimo debo sacar para tener la seguridad de Haber e+traído 3 amarillosL a) J d) 4
b) 1? e) 12
c) 3
3) n una urna Ha% 7 bolas verdes6 bolas ro!as % J bolas a>ules. KBu5ntas bolas como mínimo debo sacar para tener la certe>a de Haber e+traído una de cada colorL a) 4 d) 17
Cesoluci$n"
b) e) 12
b) 1 e) 7
c) 13
4) n una bolsa Ha% J caramelos de pia6 de lim$n6 de man>ana % - de naran!a. KBu5ntos caramelos como mínimo debo e+traer para tener la certe>a de Haber sacado - de un mismo saborL a) 3? d) 21
b) 2e) 17
c) 22
1 = 6 N E G R A
2. ;l sacar 2 bolas6 no Ha% la seguridad que sean del mismo color6 pues Ha% dos colores dierentes
& En una ca)a a 4 pares de apatos de dierentes colores. Calcular cuAntos apatos como mínimo de>o sacar para tener la certea de a>er e=traído:
7) 8os >apatos derecHos. a) 3 d)
b) 4 e) -
c)
17) 8os bolas de un mismo color.
) #n par utili>able (el color de ambos debe ser el mismo). a) 4 d)
b) 7 e) -
b) 4 e) 2
b) 4 e)
a) 1 d) 24
b) 4 e) 12
b) 12 e) 1
b) 12 e) 1
b) e) 1?
b) 2e) 3?
c) 27
BloHue III Se tiene un mao de cartas (3"* calcular cuAntas cartas como mínimo se de>en e=traer para tener la certea de: (Considerar Hue el $s vale 4*
a) 2 d) 3-
b) 3? e) 43
c) 4?
b) 7 e) 43
c) 4-
2?) 9ener un ocHo. a) 4 d) 4J c) 14 21) 9ener cinco cora>ones % cuatro espadas. a) 44 d) 3J
b) 42 e) 41
c) 43
c) 14 22) 9ener cinco cartas de un mismo palo. a) 13 d) 21
b) 17 e) 23
c) 1
23) 9ener cinco cartas consecutivas de un mismo palo. c) 4
14) #n par utili>able. a) d) J
a) 2 d) 31
c)
13) 8os >apatos derecHos b) e) 12
c) 23
1J) 9ener un trébol.
& En un ca)6n a 0 pares de apatos id-nticos. Calcular cuAntos apatos como mínimo de>o sacar para tener la certea de a>er e=traído:
a) d) J
b) 24 e) 3?
c) -
12) 8os pares de medias marrones. a) 1? d) -
a) 21 d) 2
1-) ueve bolas ro!as % dos amarillas.
11) #n par de medias a>ules. a) J d) -
c) 23
c) 7
1?) #n par de medias de dierente color. a) 3 d) J
b) 21 e) 2
1) 8os bolas ro!as % tres bolas celestes.
J) #n par de medias del mismo color. b) e) 17
c)
c) 7
& En una ca)a a / pares de medias >lancas " pares de medias aules 4 pares de medias marrones. Calcular cuAl es el menor nGmero de medias Hue a Hue sacar para estar seguro de a>er e=traído:
a) 4 d) 12
b) 7 e) J
1) #na bola ro!a.
-) #n >apato derecHo % uno i>quierdo. a) 3 d)
a) 3 d) 13
c)
) #n >apato i>quierdo. a) 3 d)
& En una ca)a a " >olas ro)as 3 >olas verdes 0 >olas celestes 5 >olas amarillas. Calcular cuAntas >olas como mínimo se de>e e=traer para tener la certea de tener:
c) -
a) 41 d) 3J
b) 47 e) 4
c) 3
J.
n un 5nora se ponen 13 bolas negras6 12 bolas ro!as % blancas. K Bu5l es la menor cantidad que debe sacarse para obtener el menor n/mero de bolas de cada color. a) 2 d) 1-
&
1.
En una urna a 5 >olas >lancas 0 >olas negras 3 >olas verdes " >olas aules. Calcular cuAntas >olas como mínimo de>o sacar para tener la certea de a>er e=traído: 8os bolas del mismo color. a) 3 d) 21
2.
c) 24
8os bolas de cada color. a) J d) 24
3.
b) 7 e) 4
b) e) 2-
cHo bolas de un mismo color. a) 2 b) 27 d) 2 e) 21
c) 2?
a) 27 d) 31 7.
11. Se tienen 4 pares de >apatos de color negro6 7 pares de >apatos marrones % pares de >apatos blancos. KBu5l es la mínima a cantidad de >apatos que se deben sacar para tener la certe>a de obtener un par utili>ableL b) 11 e) .;.
c) 1
12. 8el problema anterior. KBu5ntos >apatos se deben sacar para tener la certe>a de obtener un par de >apatos de color marr$n utili>ableL b) 21 e) .;.
c) 27
c) 3?
b) 24 e) 1J
c) 2
b) 2 e) .;.
c) 2
8el problema anterior. KBu5ntas cartas se deben sacar como mínimo para tener la certe>a de Haber e+traído 2 cartas del mismo colorL a) 2 d) 2-
-.
c)
8e una bara!a de 72 cartas. KBu5ntas cartas se deben sacar como mínimo para tener la certe>a de Haber e+traído una carta de color ro!oL a) 1 d) 14
.
b) 2e) 32
b) e) .;.
9res bolas blancas % dos bolas a>ules. a) 22 d) 2
.
a) 7 d) 11
a) 2? d) 2
4. 8os bolas verdes.
c) 2?
1?. #n estudiante en su mocHila lleva 7 libros de ciencia % de letras. KBu5ntos libros debe sacar para tener la certe>a que tiene un libro de cienciaL
a) 12 d) 1?
c) 3
b) 24 e) 1
b) 3 e) .;.
c) 2
8e una bara!a de 72 cartas. KBu5ntas cartas se deben sacar como mínimo para tener la certe>a de Haber sacado una igura (T6 I6 )L a) 1 d) 41
b) 4? e) .;.
c) 13
n una ca!a se tienen polos de color negro6 - de color a>ul % 1? amarillos. KBu5l es la mínima cantidad de polos que debo sacar para tener la certe>a de obtener un polo negroL a) 1d) 1J
b) 1 e) .;.
c) 17
4to. Sec – II Bim
1. Siendo viernes el maana del maana de Hace 7 días. KIué día ser5 el antea%er del antea%er de dentro
n
de 4 díasL a) unes
b) Tueves
d) Martes
e) S5bado
o "
m
c) Viernes
r
2. n un mes Ha% 7 !ueves6 7 viernes % 7 s5bados. KIué ecHa cae el tercer miércoles de dicHo mesL a) 1-
b) 1J
d) 21
e) 22
a) 17
b) 1-
d) 24
e) ;
c) 21
c) 2? n cada caso6 indicar de cu5ntas maneras se puede ir
3. l antea%er del maana del pasado maana de
de N;N a N=N sin pasar dos veces por el mismo punto.
Hace 4 días ue viernes. KIué día ser5 dentro de 3? .
díasL a) miércoles
b) !ueves
d) viernes
e) martes
c) s5bado
A
4. Si el maana del maana del pasado maana del
!
a) 12
b) 13
d) 1?
e) .;
c) 14
a%er del antea%er del maana de Hace 7 días ue domingo6 Kqué día ser5 pasado maanaL a) martes
b) miércoles
d) viernes
e) s5bado
-.
A
c) !ueves
!
7. Si Hace 2 días del antea%er del pasado maana es miércoles6 Kqué día ser5 dentro de 2 días del pasado maana del maanaL a) martes
b) miércoles
d) domingo
e) s5bado
a) -
b) 1?
d) 17
e) ;
c) lunes
. 8istribu%a en los círculos6 los n/meros del 1 al JR tal que la suma de cada lado sea 23. Aallar Nm O n O o O p O q O rN J.
c) 12
13. K8e cu5ntas maneras se puede leer la palabra
!
A
N8#BNL 8 #
#
a) 2
b) 3
d) 7
e) .;
B
c) 4
B
1?. A
!
B
a) -
b) 1
d) 12
e) 14
B
c) 1-
14. 8e cu5ntas maneras dierentes se puede leer la a) 4
b)
c) -
d) 1?
e) .;
palabra :;C;CD;< en el siguiente arreglo" ;
11. .
Boloca los n/meros del 1 al J en los círculos
C
de modo que la suma de cada lado del tri5ngulo sea
C
;
igual a 23.
C ;
; C
D D
;
D ;
D
D C C
D
D
;
C
C
D ;
D
;
C
;
C
;
; C
;
D
C
C
C
D ;
;
D C
; C
;
8ar como respuesta la suma de los n/meros colocados en los vértices. a) 2?
b) 23
d) 21
e) 27
c) 24
a) 1 ?24
b) 4
d) 27
e) 12-
c) 712
17. n una urna Ha% 7 bolas negras % 3 bolas ro!as. KBu5ntas bolas como mínimo debo e+traer para tener la certe>a de Haber e+traído al menos una bola ro!aL
12. De cuAntas maneras se puede leer la pala>ra: 8DS
a) 2
b) 3
d)
e)
c) 4
8 D S
S
1. n una urna Ha% 3 bolas verdes % 7 bolas a>ules.
D
KBu5ntas bolas como mínimo debo e+traer para tener
S
a) 4
b)
d) 1?
e) 12
la seguridad de Haber e+traído una de cada colorL
S c) -
a) 2
b) 3
d) 7
e)
c) 4
4to. Sec – II Bim 1. KBu5ntos tri5ngulos Ha% en la iguraL
A 1 2 3
! 16
17 18
a) 37?
b) 34?
d) 32
e) 34
c) 324
a) 1
b) 2?
d) 14
e) 12
c) 24
1-. ect/e % de como respuesta la suma de ciras" 2
2
(111 ... ;112) ...;11') (111 : ;' < : ;' < 1'' c=ras
1'' c=ras
a) 1??
b) 2??
d) 4??
e) 7??
c) 3??
1J. K8e cu5ntas maneras se puede leer la palabra N ;MCDB;L A
>
<
>
<
;
>
<
;
C
<
;
C
A
K&or cu5ntas rutas dierentes se puede ir de N;N a N=N sin pasar dos o m5s veces por un mismo tramo en un mismo recorridoL
a) 2?
b) 1
d) 24
e) 2-
c) 1-
2?. K8e cu5ntas maneras dierentes se podr5 ir de N;N a N=N6 sin retroceder en ning/n momentoL
!
A
a) 2?
b) 24
d) 1
e) 22
c) 1-
4to. Sec – II Bim
SABIAS QUE: Una Milésima de Segundo
¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Para los que estamos acostumbrados a medir el tiempo de forma usual, una milésima de segundo es igual a cero. Pero por ejemplo en este cortsimo tiempo
"n tren puede a#an$ar % cm t 3 (,((4 s
%cm
"n a#i&n puede a#an$ar '( cm
'(cm
)l sonido recorre *a %% cm
+a tierra recorre %( m de su &rbita alrededor del sol. %(m (,((4 s
+a lu$ recorre %( m. "n mosquito en este inter#alo de tiempo, sube o baja sus alas. -ate sus alas '(( / 0(( #eces por segundo1.
)stas apro2imaciones se hacen considerando un mo#imiento mu* especial denominado Movimiento Rectilíneo Uniforme.
4to. Sec – II Bim
M5" )n el M5", ¿qué significa ' m6s? 7eamos CARACTERSTICAS 4s
4s ' m6s
4s
4s
' m6s
' m6s
' m6s
' m6s
+a #elocidad es 888888888888888888. +a tra*ectoria es 888888888888888888. +a distancia es 888888888888888888 al tiempo.
d#$t
!"rmula
9onde d
:
m
;
m
<
7
RECUER%A&
Para con#ertir de m6h a m6s, se multiplica por )jemplo con#ierte a m6s
5 18
%0 m6h
DD.
= m6s = m6s
1. Kn cu5l de los casos6 la velocidad es constanteL = m6s
D.
= m6s
= m6s
DDD.
= m6s
a) S$lo D d) D % DD
= m6s = m6s = m6s
b) S$lo DD e) 9odas
c) S$lo DDD
4to. Sec – II Bim
n la igura6 Halla :d< a) b) c) d) e)
2? m 4 3? ? 12
. #n !ove oven est estudian diantte dese esea saber a qué qué distancia se encuentra el cerro m5s pr$+imo6 para lo cual emite un grito % con su cron$metro comprueba que el primer eco lo percibe a los 3 s. K; qué distancia se encuentra dicHo cerroL
t 3 46' min ' m6s
' m6s
a) 34? m d) 27
b) 1?2? e) 71?
c) 1?
d
-. KIué KIué tiem tiempo po demo demora ra un tren tren de 7?? 7?? m de longitud para pasar por un poste6 si el tren via!a a una velocidad de 2? mGsL
2. Aall Aallar ar " :d< :d< a) 17 m b) 12 c) 144 d4>m6s ) 27? e) 2??
t 3 46%(( h
a) 1? s d) 27
J. #n auto auto pos posee ee una una vel veloc ocid idad ad con const stan ante te de de 1? mGs. mGs. KIué distancia distancia recorre entre las 7"3? p.m. % 7"47 p.m. del mismo díaL
3. #n m$vil m$vil se despla>a despla>a a velocid velocidad ad constante constante de J? PmGH. KIué distancia recorre en 3 sL a) ? m d) 2?
b) ? e) 3?
:
4>(( m
#
#
40(m
b) 1?"3 1?"3? ? e) 1?"47
#
(m
c) 11"12 1"12
7. n la la igura igura66 Halla Hallarr " :V< :V< 1? mGs 2? 3? t 3 4(( s 7? -?
7
7
3 >?m . ;d71? 71 m de una una per perso sona na se prod produc uce e una una e+plosi$n. K;l cabo de qué tiempo logra escucHar la e+plosi$nL Vs , 34? mGs
b) 167 e) 7
b) e) 1267
c) J
1?. 1?. #n tre tren n de 127 127 m de de largo largo atr atrav avie iesa sa un un t/nel de 327 m. KIué tiempo empleaL V9ren , 17 mGs
=(( a.m.
a) 1?"? 1?"?? ? a.m. a.m. d) 11"7?
a) 2 Pm d) 11
c) 7
4. n la la igura igura66 Halla Hallarr " :t< :t<
a) 3 s d) 4
c) 2?
4>m6s
d
a) b) c) d) e)
b) 17 e) 4?
c) 2
a) 1? s d) 4?
b) 2? e) 7?
c) 3?
11. #n tren tren de 2?? 2?? m de de larg largo o cru> cru>a a por por completo un puente de 27? m en 17 s. Aalle la velocidad del tren. a) 1? mGs d) 3?
b) 2? e) 37
c) 27
4to. Sec – II Bim
4. Aall Aallar ar " :t< :t< 1? s a) 2? b) 27 %0m6h c) 3? d) 37
t
%0m6h
d 3 %((m
1. n la la igura igura66 Halla Hallarr " :d< :d< a) b) c) d) e)
>s
3m J 17 121
7. 8os 8os atl atlet etas as par parte ten n !un !unto toss en en la la mis misma ma direcci$n. K8espués de 1 minuto qué distancia los separaL
%s
7
7
7
3- m 42 4J 74 3
's
. #n m$vi m$vill deb debe e rec recor orre rerr 3?? 3?? Pm en 7 H6 H6 pero a la mitad de su camino sure una avería que lo detiene por 1 Hora. K; qué velocidad debe via!ar para llegar a tiempo a su destinoL
@s
a) 7? PmGH d) 1??
n la la igura igura66 Halla Hallarr " :V< :V< 2 mGs 7 >'s J
a) 17? m d) 24?
c) -?
b) JJ e) 2??
c) 33
-. #na #na per perso sona na se encu encuen entr tra a a -7 m de de una una montaa. KSi grita6 después de qué tiempo escucHar5 el ecoL
7
a) ?627 s d) 2
d 3 >((m
n la la igura igura66 Halla Hallarr " :V< :V< 1? mGs 2? 3? 17 27 7
c) ? e) 17?
. Aall Aallar ar la dista distanc ncia ia que que rec recor orre re la lieb liebre re en 1? s. Si en un quinto de minuto recorre 4? m m5s.
d
7
2. a) b) c) d) e)
c) 12?
7
%'m
3. a) b) c) d) e)
b) ? e) 1-
d
0m
2. Aall Aallar ar " :d< :d< a) b) c) d) e)
a) 3? m d) 24?
b) ?67 e) 1
c) ?61
>s 7
%(m
3. Aall Aallar ar " :t< :t< a) 1 H a) 2 b) 3 c) 4 '(m6h d) 7
#n tren via!a a ra>$n de 2 PmGH % tiene una longitud de 1?? m. KIué tiempo demorar5 en cru>ar por completo un puente de 2?? mL
t
'(m6h
d 3 >'(m
a) 1? s d) 37
b) 17 e) 3?
c) 27
'm6s
@m6s
>((m
4to. Sec – II Bim
n este capítulo podremos saber qué tiempo emplear5n 2 m$viles para alcan>ar el uno al otro % el tiempo que emplearían para poder encontrarse.
'iempo de Encuentro (t E* &E
&E
%1
%2
1
2
'
1. n la la igur igura a Hallar Hallar el tiem tiempo po de de encue encuentr ntro o ") 1 s 4=m6h 'm6h $) 7 c) #) 3 d 3 4((m e) J 2. Si ambo amboss m$vil m$viles es parte parten n simult simult5ne 5neame amente nte a las 1?"?? a.m. K; qué Hora se produce el encuentroL %0m6h
>>'m
'iempo de $lcance (ta* a) 1?"2? a.m. d) 12"3?
%2
1
2
b) 11"?? c) 12"?? e) 1"3? p.m.
3. n la ig igur ura6 a6 Ka qué qué Hora Hora parti partiero eron n ambos ambos m$viles si se encontraron a las 3"?? p.m.L
& %1
'm6h
&
'
B$mo B$mo ves son $rmul $rmulas as sencil sencillas las66 así que ponle ganas % mucHo empeo
a) b) c) d) e)
J"?? a.m. 4=m6h 1?"27 11"?? J"?? 7"?? p.m.
@>m6h
'(m
4. n la igu igura ra66 luego luego de qué qué tiemp tiempo o ambos ambos m$vi m$vile less esta estar5 r5n n sepa separa rado doss 4? m por por segunda ve>. a) 1? s b) 12 c) 17 d) 1 e) 2? 7. 8os 8os alumn alumnos os est5 est5n n separ separad ados os 17? 17? m. Si parten ten simult5 ult5n neamente rumbo al encuentro con velocidades constantes de 1? % 2? mGs. K; qué distancia del m5s lento se encontrar5nL a) 4? m b) 1?? c) J? d) 7? e) 11?
4to. Sec – II Bim
. 8os 8os auto autoss part parten en simul simult5 t5ne neam amen ente te de una ciudad :&< con velocidades de 7? % ? PmGHR llegan a una ciudad :I< con un intervalo de 2? minutos. KBu5l es la distancia entre las 2 ciudadesL a) 4? Pm d)
b) 7? e) -?
b) 21 e) 2?
c) 12
-. n la la igura igura66 Hallar Hallar el el tiemp tiempo o de alca alcance nce a) b) c) d) e)
1? s 17 3? 27 7?
>(m6s
b) e) 2?
b) 7 e)
t)
t) 4'm6s > d
4(m6s A
>'(
a) b) c) d) e)
1? mGs 17 3? 74 4? 7?
t) 3 %s 7> 3 >(m6s 4'(m
a) b) c) d) e)
2? m 17? 3? 27? 1??
ta (m6s
%(m6s '(m
B
B
d '((m
a) 2? m b) 24?
1?? m 17? 2?? 4(m6s 7? 37 4
ta
c) -
4'm6s A
a) b) c) d) e)
3. n la la igur igura6 a6 Hall Hallar ar " :d< :d<
11. n la igura6 igura6 Ka qué distanci distancia a del m$vil m$vil :=< se produce el encuentro entre :;< % :B
1. n la la igur igura6 a6 Hall Hallar ar " :d< :d<
c) 1?
1?. 1?. 8os 8os auto autoss part parten en de un mism mismo o punt punto o via! via!an ando do en dire direcc ccio ione ness opues opuesta tas. s. a velocidad velocidad de uno es -? PmGH % del otro ? PmGH. 8eterminar el tiempo que demorar5n en separarse J?? Pm.
4>m6s
c) 7?
2 n la igura6 Hallar " :V 1<
J. 8os m$v m$vililes es se encu encuent entra ran n separ separado adoss 17? m. Si part parten en simu simultlt5n 5nea eame ment nte e uno uno al alcance del otro con velocidades constantes de 37 mGs % 3 PmGH. K8espués de qué tiempo el de ma%or velocidad se encontrar5 1?? m delante del otroL
a) 3 H d)
b) 2? e) 1??
4(m6s
(,%m
a) 4 s d) 17
a) 1? m d) -?
c) ?
. 8os 8os m$vi m$vile less part parten en simu simult lt5n 5nea eame ment nte e desde un mismo punto6 uno Hacia el ste a 4 mGs % el otro Hacia el orte con 3 mGs. KIué KIué dist distanc ancia ia los los separa separa luego luego de 3 segundosL a) 1? m d) 17
12. 8os m$viles parten en dir direcc ecciones perpendiculares con velocidades de mGs % - mGs. KIué distancia los separa luego de 1? sL
c) ? d) 3??
d
$ n la igura6 Hallar " :V 2<
a) b) c) d) e)
1? mGs 3? 4? 7? 27
ta
74 3 0(m6s
7> =(m
e) 2??
>(m
ta
4to. Sec – II Bim
7. n la igura6 Hallar " :t<
J. n la igura luego de qué tiempo equidistan del 5rbol.
a) 1 s b)>m6s 3 %m6s t c) 2 >(m6s d) 7 4 e) %((m
a) b) c) d) e)
t
%(m6s >
1?? s 4? 12? 24? 1-?
>'(m ((m
1?.n la igura6 Hallar " :V< . n la igura6 Hallar " :t< a) b) c) d) e)
1s 3 7 J >'m6s
a) b) c) d) e)
t
? PmGH 1-? 2? 3? 47
t 3 >< %7
t
'm6s
>
4
A
0(m
A
0(m
>
4
t 3 ><
7
4=(m
0(m
. n la igura luego de qué tiempo estar5n separados 3? m por segunda ve>. a) b) c) d) e)
1s 3 J 7
%0m6h
@>m6h
4>(m
-. 8os atletas parten !untos en la misma direcci$n con velocidades de 4 mGs % mGs. K8espués de 1 minuto6 qué distancia los separaL a) 3? m d) 24?
b) ? e) 1-?
c) 12?
8os m$viles parten simult5neamente de un mismo punto ; con velocidades de 2? % 3? mGs6 en una misma direcci$n. ; los 4? s de la partida equidistan de un punto =. Aalle la distancia AB . a) 1?? m d) 2???
b) 17?? e) 27??
c) 1???
4to. Sec – II Bim
Aceleración: Aceleración:
anitud física vectorial que mide los cam(ios de velocidad que e8perimenta el m>vil con respecto al tiempo.
aso !
aso !!
aso !!!
Rpta:
En el caso ........................... donde la velocidad cam(ia en ...................................
En el caso ........................... donde la velocidad cam(ia en ...................................
Aceleración lineal: lineal: anitud física vectorial que mide los cam(ios de velocidades en m>dulo #rapide3% con respecto a cada unidad de tiempo.
4to. Sec – II Bim Observación: n movimiento es acelerado si la aceleraci>n tiene la misma direcci>n de la velocidad o desacelerado, si la aceleraci>n tiene direcci>n opuesta a la velocidad.
ovi ovimien iento acel celera erado, do, rapid pide3 aum aumenta enta
ovim vimien iento
desac esace eler lerado,
rapide3 de3
disminu1e
E*emplo: Calcular la aceleraci>n aceleraci>n en cada caso e indicar si el movimiento es acelerado o desacelerado desacelerado 1 raficar la direcci>n de la aceleraci>n a%
a
WM W' t
74 m 3 2 1 s
ovimiento acelerado
(%
a
WM W' t
&
m s2
ovimiento desacelerado
c%
a = =
ovimiento .........................
a = =
ovimiento .........................
d%
e%
aAB = .................................... aBC = .................................... f%
aAB = ....................................
4to. Sec – II Bim aBC = ....................................
M,?IMIE', #EC'I. n este movimiento la aceleraci$n es constante.
Bompletar los siguientes gr5icos. 1.
Movimiento ........................ 2.
Movimiento ........................ 3.
Movimiento ........................ 4.
Movimiento ........................
4to. Sec – II Bim
DIB;K$# @ DES$##,<<$# 1. #n m$vil m$vil empie>a empie>a su movimiento movimiento a partir del del reposo reposo con con una una acel aceler erac aci$ i$n n de mGs mGs2. 8ete 8eterm rmin ine e su rapide> al cabo de - s.
2. #n m$vil m$vil parte con con una rapide> rapide> de 2 mGs % se mueve mueve a ra>$n de 4 mGs2. 8etermine la rapide> adquirida luego de 7 s.
3. #n m$vil m$vil con M.C.#.V M.C.#.V.. aumenta aumenta su rapide> rapide> de 12 mGs a 3? mGs en s. 8etermine su aceleraci$n.
4. #n m$vil m$vil con M.C.#.V M.C.#.V.. aumenta aumenta su rapide> rapide> de 3 PmGH a 1?- PmGH en 4 s. 8etermine su aceleraci$n en mGs2.
7. #n m$vi m$vill es acel aceler erad ado o a ra>$ ra>$n n de 4 mGs mGs2 Hasta alcan>ar alcan>ar una rapide> de 24 mGs luego de 3 s. KBu5l ue su rapide> inicialL
1.
n la igu igura ra el m$vi m$vill rea realili>a >a un M.C. M.C.#. #.V V. Bompletar"
a)
4to. Sec – II Bim
b)
c)
d)
DIB;K$# E '; C;$DE#, @ DES$##,<<$# 2.
#n m$vil parte con una rapide> de 3 PmGH % una aceleraci$n de mGs2. KIué rapide> en mGs tendr5 después de 7 sL a) 4? mGs
b) 2?
c) 1?
d) -?
e) 7
3. #n m$vil parte del reposo % recorre una distancia de ?62? Pm en 1G3 min. Aallar su aceleraci$n. a) 1 mGs2 4.
b) 2
c) 3
d) 4
e) 7
KBon qué rapide> ingresa un avi$n a una pista de aterri>a!e6 si en 2? s el avi$n se detiene recorriendo 1?? m con movimiento desaceleradoL a) 1? mGs
7.
b) -
c) 12
d)
e) 7
#n m$vil parte del reposo % después de recorrer 7? m emplea un tiempo de 1? s. KIué distancia recorre en - sL a) 24 m
b) 32
c) 4?
d) 74
e) 4
4to. Sec – II Bim
Buando el guepardo acecHa a su presa6 empie>a por moverse sigilosamente. &reparado para la cacería6 comien>a a correr (parte del reposo)6 % a medida que lo Hace6 su velocidad est5 aumentando
uniormemente Hasta alcan>ar a su presa.
E* R,%- es ./e* '"'e * e*c'' exe4!e"&
ntonces" 4c"es /*es e" 6e!s /*es &or e!emplo" 1s
1s
3!s
!s
m
A
!s
m
B
7!s
m
C
1s
1s
1s
!s
m
m
E
D
R,
!s
R,%
9ramo ;B"
a velocidad se mantiene hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
9ramo BX"
n cGsegundo la velocidad cambia de hhhhh en hhhhhhhh mGs
F,#M;<$S DE< M#;? V , Vi at
"
&%2 , &' 2 2ad
V " Velocidad inal (mGs) "
Vi " Velocidad inicial (mGs)
8
4to. Sec – II Bim
"t 2 d , Vi t 2
"
a " ;celeraci$n (mGs)
&' &% t 2
"
(O) Movimiento ;celerado (;umento de Velocidad)
d,
(') Movimiento Cetardado (8isminuci$n de Velocidad) =SCV;BD
Si un m$vil parte del Ceposo
Vi ,
Si un m$vil se detiene
V ,
KIué signiica mGsEL
/e e" c' se/"' ./e &4"sc/44e * e*c'' 'e* !*
ffffffffffffffffffffffffff.
1. ;i el siguiente mo#imiento es un M5"7, halle las #elocidades en B, 9 * ). 1s
2s
1s
2!s
5!s
A
B
C
3s
D
E
7B 3 888888888888888888888888 79 3 888888888888888888888888 7) 3 888888888888888888888888
2. 9el ejercicio anterior, la aceleraci&n del m&#il es a1 4 m6sC d1 %
b1 e1 '
c1 >
4to. Sec – II Bim
3. 8e la igura si se trata de un MC#V6 Halle las velocidades en ;6 = % . 3s
1s
1s 1;!s
-. n la igura6 si el m$vil parti$ del reposo6 el valor de :t< es"
2s
&
1#!s = $!s<
A
B
C
D
E
V ; , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh V= , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh V , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
a) 1s d)
b) 2 c) 4 e) 3 ' = 32!
J. n la igura Halle :+<. 3s
4. 8el e!ercicio anterior6 el valor de la aceleraci$n es" a) 1 mGsE d) 7
b) 2 e)
c) 3
7. n la igura Halle la distancia :d<. 1s
1s
1;!s
30!
a) 1m d) 2
b) 4 e) 3
c) 7
0
x
3s
1?.n la igura6 Hallar :V<. 3!s
5!s & = #s $!
a) 1? m d) 23
'
b) 17 e) 24
c) 2?
. n la igura Hallar :d<.
12!s
2s 1#!s
3s
2$!s
b) 3 e) 32
5s #!s
%
c) 17
. #n m$vil parte del reposo % con una aceleraci$n de mGsE KIué distancia recorre luego de 4 segundosL a) 4- m d) 17
c) 43
11.n la igura6 Hallar :V<.
2!s ' 24 b) e) 4-
b)' =321#0! e) 23
a) 47mGs d) 33
$s
a) 3 m d) 22
%
c) 24
A
B
a) 1?mGs d) 24
b) 1 e) 32
C
c) 1-
12.8el e!ercicio anterior6 Halle la distancia a) 1?m d) 24
b) 7? e) 4?
c) 37
AC
.
4to. Sec – II Bim
13.n la igura6 Hallar la velocidad en :=<.
'. 8el gr5ico6 Hallar :d<. s
>s $s
>m6s
%
=m6s
3%
d A a) 1?mGs d) 37
b) #0! 17 e) 3?
c) 27 B
a) 1?m d) 34
b) 7 e) 2-
c) 4
0. 8el gr5ico6 Hallar :V<. >t
t =m6s
7
>(m6s
4. n la igura6 Hallar la velocidad del m$vil en
B6 8 % .
%m6s
%s
>s
4s
%s
d4
0m6s
A
a) JmGs d) 12
B
9 VB , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh V8 , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh V , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
)
b) 1? e) 14
c) 11
@. 8el e!ercicio anterior6 Si d1 , 2?m6 entonces d2
ser5" a) 4?m d) 1
>. 8el e!ercicio anterior6 la aceleraci$n del m$vil
d>
b) 4 e) 4-
c) 32
=. 8el gr5ico6 Hallar :vc<.
es" a) 1mGsE d) 3
b) 7 e) 4
s
c) 2 7
4s 7B
%7
%. n la igura6 Hallar las velocidades en B6 8 % . t
4s m6s
>s
A
4s
Dm6s
%Dm6s
a) JmGs d) 117
b) d 12 e) 1
c) -'>m
B
D. #n m$vil que parte del reposo acelera
VB , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh V8 , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh V , hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
uniormemente de modo que en los 2 primeros segundos recorre 1?m. KIué distancia recorre en los 2 siguientes segundosL a) 1?m b) 2? c) 3? d) 4? e) ?
. 8el e!ercicio anterior6 Hallar :t<.
4(. #n m$vil se despla>a a ra>$n de 3?mGsR se
A
a) 1s d) 3
B
b) e) J
9
c) 4
)
aplican los renos % retarda su movimiento uniormemente a ra>$n de 4mGsE. KIué distancia recorre en el 4to. Segundo de su movimientoL a) m b) 1 c) 14 d) 24 e) 2?
4to. Sec – II Bim
Veamos 2 cuerpos que parten del resposo uno al encuentro del otro con aceleraci$n a1 % a2
tE
tE ?L5
?L5
a
a"
" d
d" d
"ara #1$
"ara #2$
1 a1 t2 (Vi , ?) 2
d1 , Vit O
d1 ,
1 a1 t2 fffffff.. 2
(1) O (2) d1 O d2 ,
d,
(1)
d2 ,
1 a2 t2 ff..f.. 2
(2)
1 1 a1 t2 O a2 t2 2 2
1 2 t (a1 O a2) 2
2# "1 " 2
t ,
s$lo si los cuerpos parten del reposo
Kk el tiempo de alcanceL tA(C tA(C $i # *
a'
$i # * '
) d
a)
ompru%balo:
4to. Sec – II Bim
t ;B ,
2# "1 " 2
s$lo si los
cuerpos parten del reposo . 8el e!ercicio anterior Hallar a qué distancia del m$vil de menor aceleraci$n se produ!o el alcance. a) Jm d) 1? 1. 8e la igura determine el tiempo de encuentro si ambos cuerpos parten del reposo. >
a4 3 %m6s
a> 3 4m6s>
b) 32 e) 1-?
c) 4
. n la igura6 determine el tiempo de alcance6 si ambos m$viles parten del reposo. a4 3 0m6s>
a> 3 m6s>
d 3 >(( m d 3 4(( m
a) 1?s d)
b) e) 7
c) -
2. 8el e!ercicio anterior6 determine a qué distancia del m$vil de menor aceleraci$n se produce el encuentro. a) 17?m d) 3?
b) 7?
a) 17s d) 14
b) 1? e) 2
c) 12
-. 8el e!ercicio anterior cu5l ue la velocidad del m$vil m5s r5pido en el encuentro.
c) 1?
e) 12?
a) 3? mGs d) 7?
b) 4? e) -?
c) ?
3. n la igura determine el tiempo de cHoqueR si ambos parten del reposo. a4 3 >m6s>
a> 3 m6s>
d 3 4D> m
a) 4 d)
b) e) 7
a) 1s d) 1?
b) 2? e) 47
c) 32
7. 8os m$viles que parten del reposo con aceleraciones de 7 mGs2 % 3mGs2 se encuentran distanciados 4 m. Si via!an en la misma direcci$n6 Halle el tiempo de alcance. a) s d)
b) 3 e) -
b) 7 e)
c)
c) -
4. 8el e!ercicio anterior6 determine la velocidad del m$vil de ma%or aceleraci$n cuando se produce el impacto. a) 4? mGs d) 3
J. 8os m$viles parten del reposo simult5neamente de un mismo punto acelerando sobre una recta % en el mismo sentido con 2 % mGs2. KIué tiempo después estar5n separados 3?? mL
c) 4
1?.8os m$viles que parten del reposo en la misma direcci$n % sentido6 est5n separados 2?? mR si se observa que el alcance se produce 1? s después de iniciado los movimientos. 8etermine la aceleraci$n del m$vil m5s lento6 si est5n en la relaci$n de 3 es a 1. a) mGs2 d)
b) 3 e) 2
c) 7
11.n la igura6 calcule el tiempo en el cual ambos m$viles estar5n separados 3?? m6 si ambos partieron del reposo. a4 3 'm6s>
a> 3 %m6s>
@(( m
4to. Sec – II Bim
a) 1s d) a) 12 s d) 2?
b) 1 e) -
c) 7
c) 1? . 8el e!ercicio anterior6 Kqué distancia recorri$ el primer m$vilL
12.8el e!ercicio anterior6 Kqué distancia avan>$ el primer m$vil en dicHo tiempoL a) 17? m d) 27?
b) 2 e) 4
b) 2?? e) 1??
a) 24 m d) -
b) 32 e) 1-
c) 4-
c) 37? . #n autom$vil se despla>a con una velocidad de ? PmGH aplica los renos de manera que desacelera uniormemente durante 12 s Hasta detenerse. KIué distancia recorre en ese tiempoL
1. Aallar tiempo de encuentro6 si ambos m$viles parten del reposo. a4 3 %m6s>
a> 3 4m6s>
a) 1 m d) ?
b) 1?? e) 12?
c) 144
-. n la igura6 Halle :t< t
t 3 s d 3 @> m
a) 2s d) -
b) 4 e) 1?
0(m6s
c)
2. 8el e!ercicio anterior6 Ka qué distancia del primer m$vil se produce el encuentroL a) 2 m b) 74 c) 1d) 3 e) 42 3. n la igura Hallar el tiempo de encuentro 7> 3 m6s
74 3 =m6s a4 3 4(m6s>
a) 1s d) 267
73(
>(m6s
b) 167 e) 4
c) 2
J. n la igura luego de qué tiempo se detiene el m$vil 4=(m6h a 3 (,'m6s>
a> 3 =m6s>
d 3 0( m
a) 7 s d) 4
b) 3 e) 2
a) 1?? s d) -?
c) 1
b) 2? e) 4?
c) ?
1?.n la igura6 Hallar :a< 4. 8el e!ercicio anterior6 Ka qué distancia del segundo m$vil se produce el encuentroL a) 7? m d) 4?
b) 32 e) 4
=s
c) 24
7. n la igura Hallar el tiempo de alcance
=(m6s
7f 3 (
7( 3 (
7( 3 ( a4 3 %m6s> d 3 40 m
a> 3 4m6s>
a) 4? m d) 4?
b) -? e) 24?
d
c) 32?
4to. Sec – II Bim
<$ '#$C$ 8os trenes de 2?? m % 4?? m de longitud avan>an en vías paralelas % sentidos opuestos. Buando sus velocidades son 12 % 1- mGs sus aceleraciones constantes son iguales a 3 mGs 2. Aallar el tiempo que demoran los trenes en cru>arse completamente. a) 1? s b) 12 c) d) 1e) 24
S$BI$S ;E : a velocidad de la lu en el vacío es por deinici$n una constante universal de valor "22.02".431 mNs (suele apro+imarse a /O51 mNs)6 o lo que es lo mismo J641? 17 mGaoR la segunda cira es la usada para deinir al intervalo llamado ao lu>. Se denota con la letra c6 proveniente del latín cel7ritDs (en espaol celeridad o rapide>)6 % también es conocida como la constante de instein.
C,C<;SI,:
a) 1?? m d) 27?
b) 7?
c) 3??
e) 2??
%. #n mucHacHo para ba!ar por una escalera
emple$ 3? s. KIué tiempo demoraría en subir la misma escalera si lo Hace con el triple de velocidadL a) 2 s d) J
b) e) 1?
c)
. #n tren de 2?? m de longitud con una
*Se deine como la distancia que recorre la lu> en el vacio durante un ao. ; una velocidad de /55.555 mNs *#n ao lu> es una unidad de lonitud *;o u>" 8istancia que puede recorrer la lu> en un ao. o que equivale a una distancia apro+imada de J64 billones de ms. !emplo Si el planeta S;9; M;CD; est5 a 2? aos lu> de distancia eso signiica que tarda 2? aos en llegarnos su lu>.
velocidad constante de 2 PmGH tarda 3? s en pasar totalmente por un t/nel. Aallar la longitud del t/nel. a) 4?? m d) 7??
b) 3?? e) 37?
c) 27?
'. #n avi$n parte del reposo con M.C.#.V. %
cambia su rapide> a ra>$n de mGs 2. ogrando despegar luego de recorrer 12?? m. KBon qué velocidad en mGs despegaL a) -? mGs d) 11?
b) J? e) 12?
c) 1??
0. n la igura6 Hallar :d< s
s
4. ; 1? m de una persona se produ!o una
e+plosi$n. K8espués de qué tiempo logra escucHarloL a) ?67 s d) 4
b) 1 e) ?.27
c) 2
>. #n tren via!a a ra>$n de 3 PmGH6 al ingresar a
un t/nel de 2?? m de longitud demora 7? s en salir de él. KBu5l es la longitud del trenL
%(m6s
a) Am d) 24
4=m6s
b) 1 e) .;
c) 14d
7B
B
@. Bierto m$vil que via!aba a la velocidad de
2?mGs6 desacelera uniormemente % luego de 3s
4to. Sec – II Bim
su velocidad es de -mGs. KBu5nto tiempo m5s debe transcurrir para que se detenga totalmenteL a) 1s d) -
b) 2 e) 7
c) 4
2s 30!s
3s %
4to. Sec – II Bim 5$!
'
n la igura6 Hallar la velocidad :V<. =.10!s
a) 1?m d) 17
b) 12 e) 1
c) 14
D. 8el e!ercicio anterior6 Hallar :d<.
a) 1?m d) 2467
b) 7-67 e) ?
c) 367
4(. n la igura Halle :+<
s 7f 3 (
0(m6s
2 a) ? m d) 4?
1. a) b) c) d) e) 2. a) b) c) d) e)
d 3 %0(m b) -? e) 24?
c) 12?
n la igura luego de qué tiempo estar5n ale!ados 12? m 1s 7 3 2
>'m6s %'m6s
n la igura6 luego de qué tiempo estar5n separados -? m 4s 1 2 -
>'m6s 'm6s
4to. Sec – II Bim
3. 8os ciclistas se Hallan en direcciones paralelas separados 1 m. Si parten en sentidos contrarios con rapideces de 4 mGs % 2 mGs6 Kqué distancia estar5n separados luego de 2 sL a) 27 m d) 12
b) 2e) 32
c) 1
4. #n autom$vil parte del reposo % al cabo de 7 s Ha recorrido 27 m. KIué distancia recorrer5 en los 1? primeros segundosL a) 7? m d) J7
b) 7 e) 1??
c) J?
7. Si un autom$vil parte del reposo % recorre una distancia de ?62 Pm en 1G3 de minuto6 Kqué distancia adicional recorrer5 al cabo de 1 minL a) 1 Pm d) 2
b) 162 e) 263
c) 16
. #n m$vil parte del reposo % acelera uniormemente6 tal que en los primeros 2 segundos de su movimiento recorre m. KIué espacio logra recorrer en los siguientes 4 sL a) 7? m d) 4?
b) 4e) 37
c) 47
. Si un m$vil que tiene M.C.#.V. recorre 3? m durante los 2 s desde el reposo6 Kcu5nto recorrer5 en los s siguientesL a) d) -.
3?? mb) 47? e)
37? 7??
c)
n la igura Halle el tiempo de alcance
%0 = 0
1 = 3!s2
%0 = 0
2 = 2!s2
#!
a) 2s d) 4
4??
b) e) 1
c) -
4to. Sec – II Bim
4to. Sec – II Bim
TR$.NB"S RECT.NB"S NTA#"ES
8e 47 % 47
47
8e 3? % ?
a
73. 2
%
12.. 2
?
2a
a
8e
a
a
12G2
3?
47
a
a
a
73G2
8e 17 % 7
2a
= a
=A
a
=A ,
a 7
17
;
4a
&ropiedad"
8e - % -2 7a
a 12?
-
a 3?
3? b
a B
8e
3.. 2
%
143. 2
a
n el tri5ngulo ;=B6 se cumple" b,a
-2
B
= a
;
" altura
143G2 a
3
3G2
'#I9;<,S #EC'9;<,S $P#,QIM$D,S 8e 3 % 73
3a
8e 1 % 4
8e 14 %
27a 73
7a
a
3a 4a
a a
14
3
4a
4
1 24a
. Balc alcula :+<. 1. n un un tri tri5ngu 5ngulo lo ;=B ;=B m ( ;,17 % m(B,3?. Si ;=, 2 . Aalla ;B . a) 1?
b) 1
c) 14
d) 12
e) -
2. Balc Balcul ula a :; :;<6 <6 si" si" B B , . ; a) 3 b) 3
3 c) 3 d) 2
a) 2 b) 3 c) 4 d) e) 1?
+ 2
. Balc alcula :+<.
17 +
3?
e) 12
47 =
B =
1??
3. n la ig igur ura6 a6 calc calcul ula a : BA <. Si" =B , 2 . a) 4 b) c) d) 1? e) 12
3?
b)
d) 27? 3
e) 17?
3
2
137 ;
3?? 3
a) 24? 3
c)
4?? 3
-. n la igu igura ra66 ;= , J6 Balc Balcul ula a : =8 <
B
A
=
4. n la igura6 igura6 calcul calcula a la dista distanci ncia a de :B< :B< sobre sobre : = ;= <.
8
17? a) b) c) 4 d) 2 e) 1
22
17 ;
B
7. n la la iigura ;8 es bisectri>6 calcula : B8 <6 si" =8 , 2. =
B
; a) 1? d) 1
b) 12 e) 2?
c) 17
J. n la la igu igura ra66 ;B ;B , 2?. 2?. Balc Balcul ula a : =A < =
8
47 A 3?
; a) 2 d) -
b) 3 e) 1?
c) 4
B
3? ; a) 7
B
2
b) 3
2
c)
4
2
4to. Sec – II Bim
d)
7
3
e)
7 2
3
4to. Sec – II Bim
1?. n el gr5ic gr5ico6 o6 calcul calcula a : ;A <. Si" 9D , . D
9
?
1. Balcula :'<" ; a) Od) -
3 2
b) 3 e) 1?
A
c) 4
1?
a) 47 b) ? c) 3? d) 73
3
' 14
11. n el gr5ic gr5ico6 o6 calcul calcula a : 9 <. Si" ;= , 176 ;8 ,27. 9
=
B
a) b) 7 c) d) e)
3
; a) 2 d) -
+
?
34
7
c) 4 3. Balc alcula :+< "
12. n la igura6 igura6 Halla :+<"
47
+ a) 4 d) 1G3
31
8 b) 3 e) 1?
3
2. Balc alcula :+< "
a) b) 2 c) 7 d) 4 e) 3 73
3 b) 3 e) 7
c) 14G3
1.
2
1.
137
13
1.
+
4. Balc alcula :+< " a) 3 b) 4 c) 7 d) e)
-2 +
7. Balc alcula :+< " a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) .;
+ 33
+ 7
. Balc alcula ula :+< " a) 1. + b) 1J c) 21 d) 7 e) 3 1.
1?. 1?. Balc Balcul ula a :'< " a) 47 b) ? c) 3? d) 73
7
'
3 14
11. Balcul Balcula a :+< :+< "
. Balc alcula ula :+< " a) 3 b) c) J d) 1? e) 11
1?
3?
+
3 7
? 3 O
a) b) 7 c) d) e)
31
+
34
? 7
-. n la igu igura ra most mostrad rada. a. Balcul Balcula a :+< :+< " 12. n un un / ;=B se tra>a la mediana =8 de manera que m( ; , 3 % m (B,14. Balcula m ( 8=B.
= a) 7 b) c) d) e) J
- ?
&
+
a) 17 d) 47
X
c) 23
1? ;
b) 3? e) 267
? A
B
J. n un / ;=B se tra>a la mediana =8 de manera que m( ; , 3 % m(B,14. Balcula m ( 8=B. a) 17 d) 47
b) 3? e) 267
c) 23
n la igura6 Hallar el mínimo valor entero de &. B&C #D 2??J a) 2 b) 3 c) 4 d) 7
4to. Sec – II Bim
7.
1.
a) 1?? b) 12? c) 137 d) 147 e) 17?
n la igura6 calcula :;B< si ;= , 6 2
a) 12 b) 1 c) 1d) 12 e) 1
. 2
2. n la igura6 ;& , :;=<.
4 2
b) 1? e) 1-
c) 12
% &B , . Balcula Balcula .
3.
Se tiene un cuadrado ;=B86 sobre ;B se ubica un punto 6 tal que ; , B. Aalla m ∠ B=.
a) - d) 17
2
a) b) c) d) e)
a igura se muestra tres cuadrados consecutivos. Balcula la medida del 5ngulo :+<.
8e la igu igura6 ra6 calc calcul ula a :;< :;< si
=B , 2?. 2?.
7 12 5 3
n la la igu igura ra66 &ICS &ICS es un cuad cuadra rado doRR calcu calcula la :+<. Si"
AR
1
AS
3
a) b) c) d) e)
3? 47 3 73 ?
4.
Si se cumple que en un tri5ngulo ;=BR , 7 =B6 m ∠=;B , -6 calcula m ∠=B;.
a) 17 d) 47
a) 2 d) 7 -.
b) 3 e) -
n la la igur igura6 a6 calc calcul ula a la medi medida da del del 5ngul 5ngulo o :+< :+< si ;M , MB.
a) 17 d) 47
b) 3? e) 73
c) 3
;=
J.
c) 4
b) 2? e) 3
c) 3?
n un tri5ngulo ;=B6 m ;,17 % m B,3?. Si ;=,-6 calcular ;B.
a) 1
c) - 2
e) 17
e) -
3
d) 24
1?. n la igu igura6 ra6 =B , % B8 B8 , 3 3. Balcul Balcula a ;=.
1. n un tri5ngul tri5ngulo o rect5ngul rect5ngulo o ;=B recto recto en :=<6 m(=;B,73 % =B,4?. Balcular :;=O;B< a) 3? a) 17 d) 3?
b) 1? e) 2?
m ;, 3? R m ,47 % ;=,24. Balcular =B. e) 12 2
B
e) -?
Balcular :=B<. b) 14
c) 12
c) 1?
e) -
3. Aall Aallar ar :+ O %<. %<. a) 17O " b) 17O12 " c) 1?O12 " d) 1?O " e) 2? 4. n un un tri5n tri5ngu gulo lo rec rect5 t5ng ngul ulo o ;=B ;=B rec recto to en en :=<6 :=<6 se tra>a la altura =A que mide 12 % m =;B,3. Balcular :;B<
435R
;) 2 3 8) 4
d) ?
2. n un un tri5ngulo tri5ngulo ;=B6 tal que ;= , 1?R 1?R m(=;B , 3 % m(=B; , 3?.
a) 1
b) 6 d) 17
12. Aall Aallar ar ;A sí" sí" ;=,;=,-
C
c) ?
c) 17 3
11. Se tiene un tri5ngulo ;=B6 de modo que
a) 12 c) 1-
b) 7?
$
+
=) 3 3 ) .;
B) 4 3
a) 1 d) 3? 7.
b) 31 e) 4?
c) 27
8e la la igur igura a mostra mostrada6 da6 calcu calcular lar N;A N;AN6 N6 si" si" ;=,1 ;=,1?. ?.
13. n la la igura6 igura6 B , 2;A. 2;A. Aallar Aallar la la m =; B&C #MSM 2?1? D a) 3? b) 47 c) 3 d) 73 e) ?
a) 7 3 d) 7 2 . a) 2? b) 23 c) 17 d) 3? e) 21
b) 4
c) 4 2
e) Aallar N+ N+N6 de de la la iigura mo mostrada.
4to. Sec – II Bim
.
Aall allar N+N6 N+N6 si" ;8 , 8B 8B
a) 2 3 b) 3 c) 3 d) e) 4
-.
Aallar :+<
a) b) c) d) e)
12 3 / ;
J.
Aallar :+<
a) b) c) d) e)
27 7? 24 3 ;
1?. 1?. Aalla allarr :+< :+< a) b) c) d) e)
12 1267 2?67 27 ;
11. Balcul Balcular ar ;B6 ;M,7 ;M,7 ;=B8 ;=B8 es un un cuadrad cuadrado. o. a) b) c) d) e)
1? 1? " 11
12. 12. Aalla allarr :+< :+<
a) 17 d) 12
b) 1? e) J
c) 1-
CONGRUENCIA DE TRI5NGULOS Hn tr/Jnuo es conruente con otroN s/ B so s/N ex/ste una corres"ondenc/a entre sus :Drt/ces de modo ue sus ados B Jnuos sean res"ect/:amente conruentes con os ados B Jnuos de otro. SeIn esto se t/ene+
B
E
A
C
/ ;=B /8X
D
8
;=
8
RB R X
=B
X
R; R8
;B
8X
R= R
Qa notac/n+ / A!C 0 />MN se ee+ e tr/Jnuo A!C es conruente con e tr/Jnuo >M.
CASOS O CRITERIOS DE CONGRUENCIA Son as cond/c/ones m%n/mas "ara ue dos tr/Jnuos sean conruentes.
P%i"% C&so 6 ALA 78n(4!o 6 !&do 6 8n(4!o9 S/ dos tr/Jnuos t/enen res"ect/:amente conruentes un ado B os Jnuos adBacentes a este adoN entonces d/cos tr/Jnuos son conruentes.
B
"
E
"
'
A
C
'
D
A!C 0 >M
8
S(4ndo C&so 6 LAL 7!&do 6 8n(4!o 6 !&do9 S/ dos tr/Jnuos t/enen res"ect/:amente conruentes dos ados B e Jnuo com"rend/doN entonces d/cos tr/Jnuos son conruentes.
B
E
" A
" C
D
8 A!C 0 >M
4to. Sec – II Bim
T%'% C&so 7LLL9 7!&do 6 !&do 6 !&do9 S/ dos tr/Jnuos t/enen res"ect/:amente conruentes sus tres adosN entonces d/cos tr/Jnuos son conruentes.
B
E
A
C
D
8
NOTA: So cuando se demuestre ue dos tr/Jnuos son conruentes se "odrJ dec/r ue a ados conruentes se o"onen Jnuos conruentes B rec%"rocamenteN a Jnuos conruentes se o"onen ados conruentes.
b
4. Balcular :+< a
a) 4?
+
b) 14? c) 12?
(
"
d) 13? 1. Aallar ;I6 si" BA PQ , 1?. a) -
b
7. Balcular +"
b) J
a) 13?
c) 1?
130
b) 7?
d) 11
c) 3?
e) 12
d) 17?
x
e) 4?
2. Balcular :+< a) 1?
B
. Balcular :M&<
b) 3?
a)
x
c) 2? d) 7?
20
c) 1?
20
d) 14 AB
9B 6
M
b) -
e) 4? 3. Si"
a
e) .;
.B
)B 6
A.
, 12. Balcular
P
C
A
e) .;
5
9)
a)
. n la igura6 ;& , ;B % &A , =B O -. Balcular :=A<.
b) -
a) 4
c) 1?
b) -
d) 12
c) 1
e) 24
d) 12 e) .;
*
! Y A
C
-. Aallar I96 si" PQ , 7 R
ST
, 12 %
P R
,
RS
a) b) c) d) e)
13 14 17 1 1
1. a) b) c) d) e)
J. ?3.' Balcular :+O%< a) b) c) d) e)
12? 1 17 24
1?. Si" a) b) c) d) e)
Si " ;= , =B R X , 3 % BX , 4. Aallar ;.
2.
AB
, 4 %
BD ,
12. Balcular : BC <.
2 J ;
7? 2? 3? 27 37
a) b) 3 c) 7 d) 4 e) 12
E
a) b) c) d) e)
C
Aallar N+N " 7 12 13 14 17
F
x D
B A 5 Q
12
P
11. Balcular" :"''<
12. Si"
C
A
3.
a) b) c) d) e)
B
7u J
Balcular :+<
a) b) 2 c) 7 d) J e) .;
4(
4(
# =
2
" 0
4.
AB
,
BC
R PQ , 1? % ;& , 3. Aallar BI
a) b) c) d) e)
8el gr5ico calcular N+N " B
4 2
x 8 C
A
7.
Si " AC EC 6
a) b) c) d) e)
1? 12 17 12?
AB
,R
ED
, J. Balcular
BD
4to. Sec – II Bim
. Aallar :&I<6 Si" ;=B8 es un cuadrado % ;&,3R BI,. a) b) 1? c) 12 d) e) J
. n la igura ;=B8 es un cuadrado6 Halla NXN si" ;X,2 % BX,. a) b) J c) 1? d) 12 e) 14
-.
n la igura Halla M si ;B,-m % ;M,M=.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 467 e)
J.
Aallar 86 si ;= , =BR ;,Ju % 8B,21u
a) 1? b) 14 c) 17 d) 1e) 12
1?. n la igura6 =M,MB6 ;8,7? % B8, 37. Balcula N;=N. a) 17 b) 2? c) 27 d) 3? e) 1?
n la igura ;= , B8. Aallar :+< ;) =) B) 8) )
17 1 1 1- 1J
A,(ICACI-.ES %E (A C-./RUE.CIA ,R-,IE%A% %E (A BISECTRI0
:odo punto perteneciente a la bisectri$ de un Engulo, equidista de los lados de dicho Engulo ,R-,IE%A% %E (A ME%IATRI0 %E U. SE/ME.T-
1. 8el gr5ico calcular N'N " a) 17
A
b) 2? c) 3? d) 47 e) 7?
B n
:odo punto perteneciente a la recta mediatri$ de un segmento equidista de los e2tremos de dicho segmento.
1
%
n
C
2. 8el gr5ico calcular N'N " Q
a) 17 )
b) 2? S
c) 3? d) 47
2 1
e) ? ,
R
3. 8el gr5ico calcular la m ∢ C=I si 1 % 2 son mediatrices de los lados ;= % =B respectivamente % adem5s el 5ngulo en N=N mide 13?. ;i + es mediatri$ de AB ;e cumple
A 3 B
a) -?
B
b) J? c) 1?? d) 11? e) 12?
A
R
Q
C
4to. Sec – II Bim
J. Aallar : PQ <6 Si 4. Balcular la longitud de la ceviana N =X N si ;B , B -
AP
,
AH ,
1?.
b) J c) 1?
31
d) 11
c) 2
e) 12
d) e)
, 22 %
a) -
a) b) 4
AB
4)1
A
C
!
7. n un tri5ngulo ;=B el 5ngulo ; es el doble del 5ngulo B6 se tra>a la altura =A % se tiene que los segmentos ;A % AB miden 3 cm % 1? cm. Balcular el lado ;=.
1?.Balcular :"<6 si" de AB .
a) cm
b) -
b) 4?
d) 1?
e) 14
c) J
BC
%
PM es
a) 37 c) ? d) ? e) 7
. Si" ;B , 2 =8. Aallar N'N " a) 17
b) 12 11.Aallar &I6 si"
c) 21 d) 1-
B
A
d) J e) 4
4+ )+ 1 1
b) 47G2
12. Aallar :;&<6 si" =I , a
c) 3? d) 3G2 e) 73G2 A
C
M
-. Balcular :+< si 8B , 2 =8 a) 4? b) 3
b) 17 c)
. n la igura mostrada si =B , 2 =M. Balcular B N+N " a) 47
,-%
a) -
'F
e) 14 9
AB
;
' '
c) 73 d) 47 e) 3?
=
+ 8
B
a) aG2 b) 3aG2 c) aG3 d) 3aG4 e) a
BC
, 17
mediatri>
2
8B 3 =8
a1 b1 c1 d1 e1
4. Balcular G2>H4I a1 > b1 % c1 ' d1 0 e1 @
@. 9el grEfico hallar J ; J a1 b1 c1 d1 e1
>. a1 = b1 4( c1 4> d1 4 e1 40
;
B
M 1
2
9el grEfico calcular J ;= J 4 4' 40 >"F ) >( >>
=
> 0 = 4(
' ' -
; A =.
%. ;iendo 1 * 2 mediatrices de ;M * MB . (F d1 4'F e1 44(F
. a1 b1 c1 d1 e1
%(K 0(K %@K '%K 'K
D. Balcular J =A J a1 4 b1 > c1 % d1 1 e1 ' A
9
d1 a 7
B
B 1
E
7
C
! 8
3
4(. Balcular J ;B J a1 a 3 a b1 a c1 a 2
40
B
B ')*1
A
C
e1 a "F
A
B
'. Balcular J =B J B
B
C
)
9)+ L5NOB hallar G2I 451 A
a1 % 2 d1 ' 2 0. Balcular G2KI si
61 C
'*
;
b1 > 2
c1 % 3
e1'0' 2
=
+ 8
B
a1 0 b1 > c1 D
8
d1 e1 =
; $ A
x D
4to. Sec – II Bim
,R-,IE%A% %E (A BASE ME%IA
+lamado también teorema de los 9untos medios si por el punto medio de un lado se tra$a una paralela a otro de sus lados ésta cortarE al tercer lado en su respecti#o punto medio * ademEs el segmento determinado es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo. ;i + 66 AC * GMI es punto medio de
AB
.
4. Balcular G2I a1 4(F b1 >(F c1 %(F d1 (F e1 '(F
;e cumple >. Balcular G2I a1 = b1 D c1 4> d1 4( e1 4
%. ;i - AB 1- NR 1 3 %>cm).
,R-,IE%A% %E (A ME%IA.A E. E( TRI./U(RECT./U(-
a1 b1 c1 d1 e1
% D = RA
. ;i A 3 @ * AB 340.
)n todo triEngulo rectEngulo la longitud de la mediana relati#a a la hipotenusa es igual a la mitad de dicha hipotenusa.
a1 b1 c1 d1 e1
= 4( 44 D 4>
)B
'.
MH
4(. Balcular G2I
.
a1 (F b1 '(F c1 0(F d1 %(F e1 %'F
a1 % b1 > c1 4 d1 0 e1 >
44. Balcular G2I
0. ;i a1 b1 c1 d1 e1
AM 3 MC
*
HN 3
.
> % ' 0
@. ;i
4>. ;i AC 3>u *
AB
3 Dcm
BC
3 4%cm *
AC 3 4cm.
a1 b1 c1 d1 e1
=. D. a1 b1 c1 d1 e1
a1 4( b1 = c1 4> d1 4 e1 4%
a1 b1 c1 d1 e1
BC 3
40u.
4=u >> >( 4D >4
4=cm 40 4D >( 4'
;i
MN
=cm D @ 4( 4>
66 BE *
MN
3 0cm.
(4.S ;i AM es bisectri$, AM es perpendicular a BN NC AB 30 * AC 34.
% ' 0 =
BF
B R 4to. Sec – II Bim 3*1
+1
A (=.S)n el grEfico, A 3 > 5Q.
(>.S )n un triEngulo AB -3D(F1 se tra$a la mediana BM . ;i m(AM3@(F, calcular m(AB a1 4(F
b1 >(F
c1 %(F
(%.S ;i QN 3,'.
d1 (F
e1 '(F
BC
+1
A
D 4= >@ %0 >
3*1
Q
C
Q
(D.S;iendo =& una mediana m =X 3 ' cm. Balcular el #alor de =B . B a1 4' cm b1 4( c1 4> F d1 4% e1 D
(.S ;egTn el grEfico. c1 >a d1 %a6> e1 >a6%
A
C
P
4(.S 9el grEfico calcular J AI J si AB es is&sceles. a1 ' b1 >,' B c1 %,' d1 e1 ,' Q
('.SBalcular J ; G a1 = b1 @ c1 0 d1 D e1 44 '
) A
37º
C
H 8
"F "F
> A
B
(0.SBalcular el mE2imo #alor entero de J =M G a1 @ b1 = c1 D d1 4( 4> e1 4> =
n la igura6 1 % 2 son mediatrices de ;B % =8 respectivamente. Si ;= , B86 Hallar . CE>RE ,NS 2010 ?
A M (@.S9el grEfico calcular el #alor de J = G B a1 4( b1 4> c1 4% d1 4 . e1 40 A
M )*
) 20
B
@) 30 c) 50 ') 25 C
e) $0
C
)
D"*es 'e %F 46ces c"sec/6s
Dn v n.v
EOREMAS FUNDAMENTALES
P! P"#$%"n"& R'%#!'&
)
) ," "/* "&e4"
S/! 'e "/*s "&e44es
int ernos
415 (n
415(n "* n
S/! 'e "/*s ex&e4"s
e=ternos
/75
@) ," "/* ex&e4"
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c)
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D = (n – 3)
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2
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(v 1)(v 2)
D"*es e's
Dm
n(n & 4* "
3*? n
4to. Sec – II Bim
. a igura muestra un polígono regular. Aalla +. a) 1? b) 3? c) 4? d) 7? e) ? 1. n un polígono el n/mero de diagonales e+cede al n/mero de lados en 42. Aalla la suma de los 5ngulos interiores. a) 1-?? d) 1?-?
b) 172? e) J??
c) 144?
2. Aalla el n/mero de lados de un polígono regular de lado igual a 4 cm6 sabiendo que su n/mero total de diagonales6 equivale a cuatro veces su perímetro. a) 1? d) 32
b) 11 e) 37
c) 27
3. n un polígono regular ;=B8X...6 se sabe que m R ACE=120º. Balcula el n/mero de diagonales que tiene dicHo polígono. a) 37 d) 7
b) 2? e) J?
c) 74
4. as medidas de los 5ngulos internos % e+ternos de un polígono regular est5n en proporci$n de 7 a 1. KBu5ntos lados tiene el polígonoL a) d) 17
b) 1? e)
c) 12
7. Balcula el n/mero de lados de un polígono donde su n/mero de diagonales es igual a su n/mero de lados. a) d)
b) 4 e) 7
c)
. Dndica el nombre del polígono en el que su n/mero de diagonales es cuatro veces su n/mero de lados aumentado en seis. a) &ent5gono b) 8ec5gono c) 8odec5gono
d) Aept5gono e) Dcos5gono
-. Balcular :+<6 en el pent5gono regular a) b) c) d) e)
1? 4 12 14 17
J. Balcular +<6 en el He+5gono regular. a) b) c) d) e)
? -? 2? 4? 7?
1?. Balcular :+<6 en el He+5gono regular" a) 47 b) 73 c) 3 d) ? e) 3? 11. n el He+5gono regular6 calcular :+<. a) b) c) d) e)
47 3? ? 3 73
12. l doble del perímetro de un polígono equivale numéricamente a la cantidad total de diagonales que se puede tra>ar. Si cada lado del polígono mide 167cm. KBu5ntos lados tiene el polígonoL
a) 1?
b) 11
c) 12
d) 13
e) ;
a) 7 d) J
b) e) 1?
c) -
-. 8etermina el n/mero de lados de aquel polígono en el cual al aumentar un lado6 su n/mero de diagonales aumenta en . 1. Balcula el n/mero de lados de aquel polígono cu%a suma de 5ngulos internos m5s la suma de sus 5ngulos e+ternos es igual a 3 J?
a) 14 d)
a) 1- d) 24
J. Si" ;=B8X es un He+5gono regular6 calcular :+<
b) 2? e) 2
c) 22
2. Aalla el n/mero de diagonales de un polígono conve+o6 sabiendo que su suma de 5ngulos interiores es igual a 2 34?. a) 2 d) 17
b) 37 e) J?
c) 7
a) b) c) d)
b) 12 e)
c) -
1? 2? 3? 4?
3. n un non5gono regular ;=B8XAD6 se pide calcula la medida del 5ngulo que orman al cortarse las prolongaciones de ;= % 8. a) 4? d) 47
b) 7? e) 7
c) ?
4. Balcula la medida de un 5ngulo interno de un dodec5gono regular. a) 3? d) 47
b) 17? e) 137
c) 12?
7. Si ;=B8... es un dec5gono equi5ngulo6 Halla +. a) 13? b) 17? c) 112 d) 11? e) 1?- . Balcular :"< en el pent5gono regular.
a) b) c) d) e)
12? 117 2 1?? 1?-
. a suma de las medidas de los 5ngulos interiores6 e+teriores % centrales de un polígono regular conve+o es 12?. Balcula el n/mero de lados del polígono.
Aalla el n/mero de lados de un polígono conve+o sabiendo que el n/mero total de diagonales m5s el n/mero de tri5ngulos que se orman al unir un vértice con los otros vértices6 m5s el n/mero de 5ngulos rectos a que equivale la suma de sus 5ngulos interiores es igual a 14. a) 4 d) -
b) 7 e) 1?
c)
4to. Sec – II Bim
C
CUADRIL5TERO CONVE;O B
y
'
# " # ' 2 ) + O % O > O u , 3?
x
"
2
D
/
A
PARALELOGRAMO >s e cuadr/Jtero ue t/ene sus ados o"uestos "araeos. >n todo "araeoramo se cum"e ue os ados o"uestos son conruentesN os Jnuos o"uestos son conruentes B as d/aonaes se $/secan. B
C
@
"
#
H
#
" A
1. a) b) c) d) e)
@
D
C!*'!$&+&
1 ;= B8 - AB = CD y =B ;8 - BC = AD
2 A C y B 3 AH = HC y BH = HD $ " + # = 1#0º
Si ;=B8 es un romboide" =M , MB % ;= , 4. Balcular =B. 1? 11 12
D
2. n el romboide ;=B86 calcular :+<. a) b) c) d) e)
? 7? ? -? 4?
3. Balcular :+< a) b) c) d) e)
1?? 12? 11? 13? ;
4. Balcula : ' < si &B,3(;&)6 ;M,M86 ;= , % =B , -. a) 3 b) 73 c) ? d) 3? e) 47 7. Balcula ' si ;=B8 es un romboide % AB,2(;A). a) ? b) 3 c) 47 d) 73 e) 3? *.
Balcula + si ;=B8 es un rombo % =M , MB.
a) 17 b) ? c) 47 d) -? e) 3? . a) 4 b) c) d) 7 e)
Si I es el centro del cuadrado ;=B8 % &=BI es paralelogramo6 calcula MI.
4to. Sec – II Bim
-.
Balcula ' si
a) ? b) 73 c) ? d) -? e) 47
1. Si ;=B8 es un romboide6 calcular :+<
J. Si ;=B8 es un paralelogramo6 calcular :+< a) 2 3
2. Aallar :+<
a) b) c) d) e)
b) 7 c) 7 d)
a) b) c) d) e)
3 3
e) 1?
3
- 1? J 12
1- 2? 17 3? 1
G3
1?. n la igura6 ;=B8 es un cuadrado6 los tri5ngulos ;8 % BX8 son equil5teros. Aallar :+<.
3. Si ;=B8 es un cuadrado6 8M , MB % ;I , . Balcular MI.
a) 47 b) 3? c) 17 d) 27 e) 37
a) b) c) d) e)
2 4 7 1
4. Si" ;=B8 es un romboide6 calcular :+<" 11. n un cuadrado ;=B8 cu%o perímetro es 4cm6 se dibu!a el tri5ngulo equil5tero ;M8 interior. Balcula la distancia desde el vértice :;< Hasta la prolongaci$n de BM. a 3 2
cm d) 3 3 cm
b) 3 cm c) e) 4 2 cm
2
cm
a) b) c) d) e)
1 17 13 1- 2?
12. raica el romboide ;=B8 % tra>a la bisectri> del ;=B6 que corta a 8; en :<. Si B8 , 7 2 dm6 calcula el valor de ;X.
7. Si ;=,-6 =B,6 ;M,M8 % ;I, 1G3(IB)6 calcula +.
a) 7 dm d) 1? 2 dm
a) 1?? b) J? c) 1? d) 73
b) 4 dm e) 7 2 dm
c) 1? dm
e) 1?-
*.
Si ;=B8 es un romboide6 &B,3(;&) % =&,*6 calcula =A.
a) 4 b) 3 c) 1? d) e) .
Balcula + si =& , 2(&I) % ;=B8 es un paralelogramo.
a) 47 b) ? c) 17 d) 3? e) 73
-.
;=B8 es un cuadrado % &=BI es un paralelogramo. Balcula &M si ;= , 1? % &=, .
a) 3 b) c) 7 d) 4 e)
J.
Balcula #
a) 7 b) ? c) 47 d) 77 e) -?
1?. Si &ICS es un paralelogramo6 calcula :+< a) 3? b) 1? c) 4? d) ? e) 7?
4to. Sec – II Bim
4to. Sec – II Bim
4to. Sec – II Bim
El $cento s la ma%or uer>a de vo> con que se pronuncia una sílaba dentro de una palabra. a sílaba que recibe el acento se llama t6nica % las dem5s sílabas reciben el nombre de Atonas. !emplo" pe rio dís ti co S.;. S.;. S.9. S.;. S.;. cu ' pi ' do S.;. S.9. S.;.
Clases de acento:
1. &ros$dico" s el acento que se da en la pronunciaci$n. 9ambién aparece en la escritura. Veamos" pocillo
andino
portal
2. rtogr5ico" s el acento que se representa en la escritura mediante una ra%ita oblicua conocida como tilde (). ; dierencia del acento pros$dico6 no todas las palabras poseen este acento. Su presencia depende de ciertas reglas de uso. imAn
cGpula
perdici6n
Clases de pala>ras por la posici6n del acento: 1. &alabras agudas u o+ítonas" Son las palabras que llevan la ma%or uer>a de vo> (acento) en la /ltima silaba. panel ............... ...............
precisi6n ............... ...............
cor del ............... ...............
cor t-s ............... ...............
2. &alabras graves o paro+ítonas" Son las palabras que llevan la ma%or uer>a de vo> (acento) en la pen/ltima sílaba. coloso ............... ...............
palco ............... ...............
carActer ............... ...............
cAli> ............... ...............
3. &alabras esdr/!ulas o proparo+ítonas" Son las palabras que llevan la ma%or uer>a de vo> (acento) antepen/ltima sílaba. >rG !ula ............... ...............
cAustico ............... ...............
p-ndulo ............... ...............
en la
crítica ............... ...............
4. &alabras sobresdr/!ulas o preproparo+ítonas" Son las palabras que llevan la ma%or uer>a de vo> (acento) en la anterior a la antepen/ltima sílaba.
4to. Sec – II Bim límpiatelo ............... ...............
c6mpraselo pr-stamelo ............... ............... ............... ...............
Blasiica las siguientes palabras por las posici$n del acento"
4to. Sec – II Bim ;&BCDX ;8M B;8 M=CD;#_ CB9D9#8 BS; DC C#M9DB M=CD B9DB SM9 ;MCC;S MBD &;C8S
BC8 CB9D9#8 9;BD MS9D SB#9#C; CS9DB 9; &9;M S&C;_; CS8; B;VB#; 9C;S 9D8;8 C;C
D8 MBD;M CB9D 8C8 BD_ B;9 CD &=DB B#S9DB CD8 MBD;S C;8DB; SBD8;8 =;B;;
4to. Sec – II Bim
;#8;S
C;VS
S8CT#;S
D. Boloca tilde en las siguientes palabras en caso de que sea necesario" 1. amarillo
2. ruin
3. perdi>
4. coloon
7 . e+plosion
. martir
. cuspide
-. rigido
J. amaron
1?. industrial
11. de!ade>
12. entonalo
13. comentaselo
14. diaano
17. instruir
1. intuicion
1. temblor
1-. Hamaca
1J. rectangulo
2?. mitico
21. alborno>
22. musico
23. tiramelo
24. animalo
27. escoces
2. porton
2. llanten
2-. reHen
2J. portico
3?. encHualo
31. entregamelo
32. Ho%
33. decimo
34. uano
37. inutil
3. recuerdamelo
3. tocalo
3-. pasaselo
S=CS8CT#;S
4to. Sec – II Bim 3J. diri!alo
4?. limpiatelo
DD. n las siguientes oraciones6 coloca tilde en las palabras que la necesiten. 1. 9e espere en el mismo lugar de siempre6 pero nunca llegaste. 2. legamos por atras % asi no pudieron vernos. 3. 9endi las sabanas en un santiamen. 4. 9u rustica igura seme!aba un inutil compas. 7. n el portico purpura6 encontre a la ra>on de mi e+istencia" Tulian &ere>. . o te dare gusto cada ve> que lo pidas. . unca cedere ante tamaa in!usticia. -. sta ve> la ra>on le gano al cora>on. J. Me callo porque es comodo Hacerlo. 1?.
n silencio te querre6 te amare6 te idolatrare...
1. Serie de palabras graves" a) reHén6 locua>6 gr5ico6 eligrés b) circulo6 compadre6 riones6 rectitud c) tiroides6 empleo6 torbellino6 impulso d) ultim5tum6 turbio6 %ema6 sutil e) dedal6 rubio6 dinero6 c$ctel 2. Serie de palabras agudas tildadas correctamente" a) loci$n6 tim$n6 terminal6 título b) renético6 tímpano6 5cil6 gr5cil c) agui!$n6 rancés6 anti5>6 sumisi$n d) raci$n6 agili>$6 ambici$n6 poluci$n e) necesit5s6 le$n6 después6 atr5s 3. KBu5l es la relaci$n correctaL a) sotana " esdr/!ula
b) dedal " grave
c) c5ntico " grave
d) contador " aguda
e) sabana " esdr/!ula 4. o es palabra sobresdr/!ula" a) coméntamelo
b) trab5!alo
c) gíramelo
d) g5staselo
e) coméntaselo 7. KIué palabra no puede llevar tildeL
4to. Sec – II Bim
a) sabana
b) medico
c) escucHas
d) arreglo
e) circulo =usca la biograía de uno de los siguientes persona!es6 c$piala en tu cuaderno % e+trae de ella 1? palabras agudas6 graves6 esdr/!ulas6 sobresdr/!ulas (si Ha% menos6 no importa) con tilde. '
Miguel de Bervantes Saavedra
'
lio ;ntonio de ebri!a
4to. Sec – II Bim
D. Boloca las tildes diacríticas que alten en las siguientes oraciones" 1. o se todo6 mas preiero callar. 2. 8ime cuando te puedo ver % a que Hora. 3. Solo dile la verdad6 por mas dolorosa que sea. 4. 9u nunca compras algo para mi. 7. Se mas claro al respecto de mi situaci$n. . o quiero que este me atienda. . 9e diré que nunca pude entender como lo Hi>o. -. ko no se de que se trata. J. ; ti te toca decir el discurso. 1?. Buando llegué6 aun no entraban los invitados. 11. o me de disculpas por algo que no tiene la menor importancia. 12. l se ue al lugar equivocado. 13. o sabe como Hacerlo6 ni cuando entregarlo. 14. 9e de!aré el te sobre la mesita de nocHe. 17. Ao% si tengo deseos de verlo % decirle que lo amo. 1. Buando volvi$ en sí6 %a era tarde. 1. ;un tengo tiempo para llegar a esa cita de vital importancia. 1-. o sabes que le pas$ a uis. 1J. ; lsa no le agrada que de lo que no mereces. 2?. i aun mis amigos vinieron a verme. DD. Boloca todas las tildes que sean necesarias" 1. Mirame % dime que es lo que ves. 2. Mirate % dime en que se parecen ; % =. 3. i tu ni %o cabemos cantando en esta cancion. 4. Mirame asi6 con esos o!os que estan cansados de llorar. 7. Cecien compre una lampara electrica. . 9e dedique los me!ores aos de mi vida por nada. . Si6 nunca mas buscare algo que es imposible de Hallar. -. Iuisiera saber cual escogera. J. ko no se a que local ire a dictar. 1?. &onte mas brillo en los o!os. 11. Cealmente no se que contestarte. 12. o creo que uis de su cuota asi de acil. 13. ;un alta un mes para terminar con las clases.
4to. Sec – II Bim 14. Mas vale estar solo que mal acompaado. 17. ;lonso6 tus amigos aun te recuerdan. 1. Solo quiero que va%as temprano % le Hables bien de mi. 1. Si6 esto% loco6 pero loco por ti. 1-. ;ngela aun no Ha llegado6 mas %a llegara. 1J. l error es de el6 solo de el % de nadie mas. 2?. se te que esta en la bolsa es el te que quiero. 1. KBu5ntas tildes diacríticas altanL ko no se aun si ue Sergio el que tomo mi older de isica de ese ca!on. Si el lo tuviera diganle que me lo de6 pues lo necesito con suma urgencia. a) 3
b) 4
d)
e) m5s de
c) 7
2. n" Si6 el no quiere que te lo de 6 mas si lo Haré<6 la tildaci$n correcta es" a) b) c) d) e)
Sí6 él6 te6 de6 m5s6 si Sí6 él6 te6 dé6 m5s6 sí Sí6 él6 te6 dé6 mas6 sí Si6 él6 té6 dé6 mas6 sí Sí6 él6 te6 dé6 mas6 sí
3. raci$n correctamente tildada" a) b) c) d) e)
o sé qué decirte6 adem5s es la primera ve> qué me proponen algo así. o se qué decírte6 ademas es la primera ve> qué me proponen algo asi. o sé que decirte6 ademas es la primera ve> que me proponen algo así. o sé qué decirte6 adem5s es la primera ve> que me proponen algo así. o se que decírte6 adem5s es la primera ve> qué me proponen algo así.
4. Monosílabo que no puede llevar tilde" a) se d) ti
b) te e) mas
c) mi
7. Seale la relaci$n correcta" a) b) c) d)
dé " preposici$n si " con!unci$n s$lo" ad!etivo este" pronombre
e) mas" adverbio &ega un artículo de interés personal % subra%a las palabras que empleen tilde diacrítica. (&uede ser noticia6 cr$nica6 entrevista6 etc.)
4to. Sec – II Bim
Criterios de ordenamiento <6gico&deductivo 1. BCD9CD 8 C; ; &;C9DB#;C Dr de la idea m5s general. \ ; la idea m5s especíica o particular. 2. BCD9CD 8 CV;BD; Dr de la idea m5s importante o relevante. \ ; la idea menos importante. 3. BCD9CD BCDB &artir de los HecHos m5s remotos. \ ; los m5s actuales o recientes. 4. BCD9CD 8 98 ; &;C9 Dniciar la e+plicaci$n desde una visi$n total del asunto. \ k inali>ar con los aspectos conormantes. 7. BCD9CD 8 B;#S;D8;8 Se parte de los actores que dan origen a un determinado en$meno. \ k se conclu%e con los eectos o consecuencias. . BCD9CD 8 C ; S&BD Se inicia atendiendo a la clase. \ k terminamos sealando la especie. . BCD9CD 8 &C;BD Se inicia sealando los HecHos imprescindibles o apremiantes. \ k se inali>a con los acontecimientos eventuales o e+cepcionales.
1. wE' 'A' 1 sus ha3aFasG
4to. Sec – II Bim
1. Buando %a estuvo ormado6 l'lal sali$ del agu!ero convertido en un Hombre poderoso. Se Hi>o seor del mundo gracias a dos inventos su%os" el arco % la lecHa. 2. l'lal abandon$ la 9ierra no sin antes decirle a los Hombres que aprendieran a cuidarse por sí mismos. 3. Su padre arranc$ a l'lal del vientre de su madre para devorarlo. ntonces apareci$ Cata que se llev$ al nio a su madriguera donde lo cri$ % le ense$ toda la ciencia. 4. Bon el arco % la lecHa l'lal venci$ a los gigantes que poblaban la 9ierra % perseguían a los Hombres. a) 36 26 16 4 c) 36 16 26 4 e) 36 16 46 2
b) 16 46 26 3 d) 16 46 36 2
2. HEl anarquismo 1 el poderG 1. 2. 3. 4.
ibertad es e+presarse % actuar sin que se lo impida ninguna orma de poder. &ara obtener libertad6 se debe abatir todo tipo de gobierno6 lucHar contra toda religi$n o secta organi>ada. ;narquismo6 doctrina política que se opone a cualquier clase de !erarquía. os anarquistas creen que el ma%or logro de la Humanidad es la libertad del individuo.
a) 36 46 16 2 c) 36 16 46 2 e) 46 36 16 2
b) 36 46 26 1 d) 36 26 16 4
3. HBatalla de ouill7G 1. Blodoveo D6 re% de los rancos6 agrup$ a una poderosa coalici$n de car5cter cat$lico para lucHar contra el poder visigodo. 2. a victoria supuso el in del reino visigodo de 9olosa % el inicio de su repliegue al otro lado de los &irineos. 3. l re% ranco se Había coligado asimismo con el re% burgundio undebaldo. 4. Blodoveo venci$ a las tropas visigodas en Vouillé6 donde encontr$ la muerte el re% visigodo ;larico DD. a) 16 26 46 3 c) 26 36 16 4 e) 16 36 46 2
b) 26 36 46 1 d) 16 46 36 2
4. H'a constituci>n del espacio tetradimensionalG 1. Si cada punto del espacio tridimensional se sustitu%e por una línea perpendicular6 tendremos un espacio tetradimensional. 2. Si cada uno de los puntos de la línea se sustitu%e por una línea perpendicular a ella6 se crea un plano6 o espacio bidimensional. 3. #na línea es un espacio unidimensional. 4. Si cada punto del plano se sustitu%e por una línea perpendicular a él6 se genera un espacio tridimensional. a) 36 26 46 1 c) 16 46 26 3 e) 26 46 16 3
b) 36 26 16 4 d) 26 16 46 3
7. H'a eometría de PitIorasG 1. os primeros ge$metras se interesaban en problemas como la medida del tamao de los campos o el tra>ado de 5ngulos rectos para las esquinas de los ediicios. 2. stos postulados ueron considerados por &it5goras % sus discípulos como verdades evidentes. 3. n el siglo VD a.B. l matem5tico &it5goras demostr$ que las diversas le%es incone+as de la geometría empírica se pueden deducir de un n/mero limitado de a+iomas. 4. n el pensamiento matem5tico moderno se consideran como un con!unto de supuestos /tiles6 pero arbitrarios. a) 16 26 46 3 c) 36 26 46 1 e) 16 26 36 4
b) 36 26 16 4 d) 16 36 26 4
. "'as Juerras 7dicas" 1. os aqueménidas se lan>aron a la conquista de las tierras % ciudades que les rodeaban.
4to. Sec – II Bim 2. Xueron la consecuencia del e+pansionismo del imperio ;queménida6 dinastía persa compuesta de medos % persas. 3. Aacia 713 a.B. reali>aron una tentativa Hacia el norte6 en scita. 4. =asado en un principio religioso6 el imperio ;queménida prometía el dominio del mundo al gran re%6 el emperador persa. 7. n el siglo V antes de la era cristiana6 los griegos6 para preservar su libertad de la Hegemonía persa6 tomaron las armas contra los soldados de 8arío % los !er!es. ;sí se desencadenaron las uerras Médicas. . Aacia 4J26 8arío6 el gran re% persa6 consigui$ restablecer el poder persa en 9racia % Macedonia. a) 46 36 16 76 26 c) 36 46 16 26 76 e) 26 46 16 36 6 7
b) 46 36 6 26 76 1 d) 26 46 16 36 76
. "C7sar dictador" 1. l 4 tard$ tres semanas en vencer al Hi!o del gran Mitríades 're% del ponto'6 % anunci$ su victoria en Coma e+clamando" NVeni6 vidi6 viciN. 2. Bésar dedic$ a la guerra la mitad del tiempo que le quedaba de vida6 por cu%as Ha>aas % por su Nmaquiavélica organi>aci$n del estadoN alcan>aría. 3. l 47 ue proclamado dictador por die> aos. 4. os con!urados6 dirigidos por =ruto % Basio6 lo asesinaron con 23 pualadas6 el 17 de mar>o del 44. 7. uego6 en ebrero del 446 perpetuus6 es decir6 por tiempo limitado. . &oderes desmesurados % Honores que lo convertían en un dios viviente. a) 46 76 26 16 6 3 c) 26 6 16 36 76 4 e) 26 36 6 16 76 4
b) 36 46 76 6 16 2 d) 26 16 6 36 76 4
-. "El triunfo del Cristianismo" 1. &ara restaurar la unidad moral del imperio6 algunos emperadores (8ecio6 Valeriano % alerio) ordenaron la persecuci$n sistem5tica de los cristianos por considerarlos subversivos. 2. l cristianismo se desarroll$ en los siglos DD % DDD en el imperio romano. 3. ntre el 3?7 % el 313 ueron altern5ndose persecuciones % edictos de tolerancia. 4. Bonstantino 'Hi!o de Bonstancio Bloro' % inicio6 se pusieron de acuerdo en reconocer en todo el imperio la libertad % la pa> religiosa. 7. n el siglo DV6 por primera ve> desde su aparici$n la religi$n cristiana6 se vio estrecHamente implicada en la vida política. . os sucesores de Bonstantino6 educados en la e cristiana6 ueron cada ve> m5s contrarios al paganismo con e+cepci$n de Tuliano. a) 26 16 36 46 76 c) 76 46 6 36 16 2 e) 16 36 26 46 76
b) 26 16 36 46 6 7 d) 36 76 6 46 26 1
J. "Controversias so(re la clonaci>n" 1. Bientíicos estadounidenses aseguran que de la anunciada clonaci$n de seres Humanos6 el primer clon ser5 un Nnio deormeN. 2. &ero la ma%or parte de los cientíicos que Han participado en la clonaci$n de animales reali>adas Hasta aHora reconocen que por cada intento conseguido Ha% detr5s miles de allos6 abortos % deormidades. 3. &anos _avos % Severino ;ntinori6 anunciaron el país % las circunstancias en las que se reali>ar5n la primera clonaci$n de un ser Humano. 4. sta opini$n se suma a la amplia reacci$n de repulsa que Ha provocado el anuncio de los dos especialistas abocados a dicHa empresa. 7. ;nunciaron incluso la ecHa en la que nacer5 el primer clon % aseguraron que tienen cientos de solicitudes de pare!as para someterse a la prueba. . os dos especialistas responden a las opiniones adversas sosteniendo que Han basado sus investigaciones en los resultados sobre la clonaci$n de animales. a) 16 46 36 76 6 2 c) 36 76 16 46 6 2 e) 36 16 46 6 76 2
b) 36 6 26 76 46 1 d) 36 76 16 46 26
1?. "Accidentes morfol>icos del relieve andino" 1. os caones de los grandes ríos disean el paisa!e de la sierra en el norte % centro del &er/.
4to. Sec – II Bim 2. riginados a lo largo del tiempo por el agua % la erosi$n. 3. os caones del BHill$n % el Címac llevan sus ríos cortos % r5pidos al &acíico. 4. l relieve andino orece un impresionante registro de accidentes morol$gicos. 7. os ríos que ba!an de las cumbres agrietan el territorio % discurren entre caones6 a veces lentos % ma!estuosos6 otras galopando vertiginosos por los riscos. . l ca$n del río Mara$n se prolonga varios cientos de Pil$metros6 al igual que el ca$n del #tucubamba % otros aluentes ama>$nicos. a) 36 76 6 16 26 4 c) 16 26 46 76 6 3 e) 46 26 16 76 6 3
b) 6 36 76 16 26 4 d) 46 16 26 6 36 7
11. "'as cordilleras Blanca 1 Kera" 1. a cadena occidental se biurca en dos cordilleras que ba!an paralelas. 2. ; lo largo de todo el territorio6 los ;ndes se dividen en la cordillera occidental. 3. a =lanca alberga numerosas lagunas % est5 coronada de glaciares % nevados como el Auascar5n. 4. a cordillera Bentral % la cordillera riental. 7. a cordillera egra6 al oeste6 con picos de m5s de 7 ??? metros. a) 36 76 26 16 4 c) 26 46 16 76 3 e) 26 16 46 76 3
b) 16 46 36 76 2 d) 26 76 36 16 4
12. "So(re el fuu o pe3 lo(o" 1. 2. 3. 4. 7.
&or e!emplo al legendario actor de PabuPi6 Mitsugoro. ste pe> alcan>a precios altos en Tap$n debido m5s al riesgo que supone su ingesti$n que a su sabor. &e> globo o NuguN en !aponés. 9oda ve> que cuenta entre sus víctimas a mucHos aicionados a los man!ares preparados con su carne. Su manipulaci$n sin licencia est5 proHibida por la le% nipona.
a) 26 36 76 46 1 c) 76 46 16 26 3 e) 76 46 36 26 1
b) 36 26 76 46 1 d) 26 76 46 16 3
13. "@atos so(re el halc>n pererino" 1. ;dem5s del Halc$n peregrino6 s$lo otro animal supera los 2?? Pil$metros por Hora" el 5guila dorada6 que alcan>a velocidades6 en >ambullida vertical6 de 24? Pil$metros por Hora. 2. Se le Ha cronometrado una velocidad punta de 3?? Pil$metros por Hora6 con un 5ngulo de descenso de 47 grados6 durante las maniobras que reali>a en el vuelo nupcial. 3. l Halc$n peregrino6 es el animal m5s r5pido. 4. Sin embargo6 este animal no puede sobrepasar los 1??67 Pil$metros por Hora en vuelo nivelado. 7. 8entro de los terrestres6 el animal m5s velo> es el guepardo6 que supera los cien Pil$metros por Hora. a) 16 46 76 36 2 c) 36 46 26 16 7 e) 36 26 46 16 7
b) 36 16 26 46 7 d) 36 76 46 16 2
14. "El chisme 1 la curiosidad" 1. l diundido interés por los cHismes est5 inspirado no en la apetencia de conocimiento6 sino en la malicia. 2. 9ambién lo veremos en los nios que se interesan cuando un ca!$n o una alacena cerrados usualmente6 se abren para inspeccionarlos. 3. adie comadrea respecto a las virtudes secretas de otras6 sino s$lo acerca de sus vicios ocultos. 4. &or otro lado6 la curiosidad6 llamada así con propiedad se inspira en una auténtica apetencia del conocimiento. 7. &or /ltimo6 ese impulso se debilita con el paso de los aos6 Hasta que por in lo que no es amiliar s$lo inspira disgusto6 sin despertar el menor deseo de establecer un conocimiento m5s estrecHo. . =a!o una orma bastante pura6 podemos ver uncionar ese impulso en un gato que llevado a una Habitaci$n e+traa se pone a Husmear todos los rincones % todos los muebles. a) 36 26 46 6 76 1 c) 16 6 26 46 36 7 e) 36 16 26 6 46 7
b) 16 36 46 6 26 7 d) 16 36 26 6 46 7
4to. Sec – II Bim 17. "Enfermedades de transmisi>n se8ual: datos hist>ricos" 1. Bon la llegada del microscopio6 se Hi>o posible la identiicaci$n de los microbios causantes6 dando un gran paso en el conocimiento de estas enermedades. 2. os romanos las denominaban Nmorbus incidensN % cuando reali>aban sus invasiones %a usaban unos preservativos HecHos de tripa de carnero que un pastor los llam$6 Ncamisa de VenusN. 3. ; ines del siglo VD Tacques de =iten' court las denominaba Nenermedades venéreasN. 4. &ero ue después de la Segunda uerra Mundial6 con la llegada de los antibi$ticos que se pudieron controlar varias de estas molestias6 principalmente la síilis que de mortal pas$ a ser curable. 7. &osteriormente Siboulei emplea una e+presi$n menos preconseptuosa al denominarlas Neectos colaterales del amorN. a) 26 16 46 76 3 c) 26 36 76 16 4 e) 36 26 76 16 4
b) 36 76 26 16 4 d) 26 36 76 46 1
1. "Contracultura se8ual" 1. a Homose+ualidad (que siempre Había) se establece en grupos sociales que pasan a lucHar por sus derecHos en una serie de maniestaciones p/blicas. 2. as píldoras anticonceptivas entonces %a disponibles permiten estas libertades sin el temor a los embara>os no deseados. 3. n la década del sesenta6 el movimiento social liderado por los !$venes promueven una serie de cambios en el comportamiento se+ual. 4. ;compaando a todos esos eventos6 resurgen nuevamente % de orma epidémica Nlas enermedades venéreasN6 recientemente denominadas ner'medades de 9ransmisi$n Se+ualN (9S). 7. Iue abren las puertas de la promiscuidad % al intercambio de pare!asR es la época del amor libre. a) 36 46 76 26 1 c) 36 16 46 76 2 e) 16 76 46 36 2
b) 36 16 76 26 4 d) 36 76 26 16 4
1. "'a transmisi>n de la to8oplasmosis" 1. Si una mu!er embara>ada se contagia tiene casi el treinta por ciento de posibilidades de contagiar al eto. 2. nermedad causada por el to+oplasma gondi. 3. a ma%or parte de nios que nacen con to+oplasmosis presentan ligeros síntomas. 4. #n par5sito que vive en la carne cruda % en algunos mamíeros6 incluidos los gatos (sobre todo en su e+cremento). 7. &ero algunos desarrollan problemas neurol$gicos e incluso ceguera. . n los adultos6 la inecci$n puede causar síntomas parecidos a los de la gripe" garganta irritada6 dolor de cabe>a % debilidad general. a) 26 46 16 36 76 c) 26 46 6 16 76 3 e) 26 46 6 36 16 7
b) 26 46 36 76 16 d) 26 46 6 36 76 1
1-. "Lepatitis B" 1. 2. 3. 4. 7.
a inecci$n por el virus de Hepatitis = puede producir enermedad severa6 dao Hep5tico. n los stados #nidos6 cada ao6 m5s de 24? ??? personas contraen Hepatitis =. k en algunos casos la muerte. nermedad causada por un virus sumamente contagioso el cual ataca al Hígado. s un serio problema de salud p/blica que aecta a personas de todas las edades en todo el mundo.
a) 26 46 36 16 7 c) 46 16 36 76 2 e) 46 26 16 36 7
b) 76 16 36 26 4 d) 46 76 26 16 3
1J. "'a se8ualidad humana" 1. 2. 3. 4. 7.
Bomo todos los mamíeros. Iue engloba los sentimientos. l ser Humano se reproduce se+ualmente. a se+ualidad es una dimensi$n mu% importante en la vida de las personas. k e+periencias en relaci$n con el se+o.
4to. Sec – II Bim
a) 36 46 16 76 2 c) 46 26 76 36 1 e) 36 16 46 26 7
b) 16 36 46 76 2 d) 16 26 76 36 4
2?. "Producci>n de hormonas" 1. 2. 3. 4. 7. .
as que se encargan de reali>ar cada cierto tiempo. l ovario produce dos Hormonas. Bambios repetitivos en los genitales internos % mamas. Son responsables adem5s del desarrollo de caracteres se+uales secundarios en la nia. Iue se e+presan por con el dolor de las mamas que preceden a la menstruaci$n6 con la misma menstruaci$n. str$geno % progesterona.
a) 36 76 6 16 46 2 c) 26 16 36 46 76 e) 46 36 76 16 26
b) 46 36 6 76 16 2 d) 26 6 16 36 76 4
21. "'as valoraciones del crimen" 1. Mas KHa% alguna seriedad en esta manera de encarar el problema de la violencia entre HombresL. 2. Bomo el !ue> que c$modamente sentado dicta una sentencia de muerte % es aplaudido por NHacer !usticiaN. 3. #n Hombre mata por ambici$n6 por ira o por odio" es un criminal. 4. tro mata por su país6 puede eliminar a cientos de miles de personas de la a> de la tierra. 7. l matar ideol$gico es vituperable para el grupo atacado pero es respetable para quienes piensan como el que lo practica. . s Honrado6 condecorado6 es un Héroe. a) 76 16 26 36 46 c) 36 26 16 46 6 7 e) 36 26 46 16 76
b) 36 46 6 26 76 1 d) 36 46 16 76 26
22. "'a acci>n temeraria de un redactor" 1. 2. 3. 4. 7. .
o podía elegir entre actuar o Hacer teatro. l verdadero ob!etivo no era liberar a los presos políticos. Sabía perectamente que eso no a%udaría a los presos. Sino demostrar que a/n Había gente que no tenía miedo. sto% pensando en el redactor que organi>aba la recogida de irmas para la amnistía de los presos políticos. o que Hacía era teatro. &ero no tenía otra posibilidad.
a) 76 36 26 46 6 1 c) 76 36 26 6 46 1 e) 76 36 26 16 46
b) 76 36 26 6 16 4 d) 76 36 6 16 26 4
4to. Sec – II Bim
;lgunas relaciones l$gicas % algunos conectores que las e+presan se indican a continuaci$n" BSB#BD; ;nuncian6 en lo siguiente a ellos6 un resultado de lo que los precede.
4to. Sec – II Bim luego (,entonces) entonces ergo de manera que de modo que en conclusi$n
por esta ra>$n por (lo) tanto por ende por ello por este motivo de suerte que
así que en consecuencia de aHí por consiguiente debido a esto
B;#S; &receden al motivo o la ra>$n de lo e+puesto antes del conector. porque por pues %a que
puesto que gracias a debido a como consecuencia de
a causa de en vista de en virtud de dado que
mas a dierencia no obstante por el (al) contrario
sino en cambio empero
B9C;S9 Sealan relaciones de oposici$n pero m5s bien sin embargo antes bien
BBSD Sealan relaciones parciales de oposici$n. aunque aun cuando
si bien a pesar de
pese a
B8DBD;S &receden a la condici$n necesaria para el cumplimiento de algo. si siempre % cuando
siempre que en tanto
a condici$n de
I#DV;BD; ;nuncian lo mismo en otros términos6 que pueden ser m5s simples o m5s técnicos.
en otras palabras es decir
VD8BD; Se utili>an para introducir un punto obvio.
vale decir en otros términos
o sea esto es
evidentemente obviamente como es obvio
naturalmente sin lugar a dudas de HecHo
por supuesto en eecto
8DSk#BD Se utili>an para sealar la posibilidad de elegir entre dos o m5s opciones. (o) ... o %a... %a...
sea ...sea... o bien
;8DBD Se usan para aumentar inormaci$n del mismo nivel. ;lgunos tienen un mati> en5tico. % ni también adem5s
así mismo (asimismo) es m5s no solo... sino aparte de ello
inclusive aun m5s aun
C8 Se usan para enumerar una serie de puntos. primero en principio en primer lugar
m5s adelante en segundo lugar inalmente
a continuaci$n por /ltimo para concluir
SB#BD; 9M&C; Se usan para indicar una sucesi$n de acontecimientos en el tiempo. antes (de) con anterioridad después (de)
con posterioridad luego (,después) m5s temprano
m5s tarde mientras (tanto) enseguida
. as actividades volc5nicas como causa de terremotos Han sido en todo tiempo una creaci$n predilecta de la antasía popular % ... es mu% cierto que en mucHas ocasiones Ha ocurrido así.
E)ercicios 1. n la comunicaci$n oral ... en la ma%oría de las actividades Humanas6 el é+ito depende de la combinaci$n de mucHos actores. ;. como B. o . en consecuencia
=. % 8. por lo tanto
2. n el mundo de lo inanimado6 la materia domina sobre la orma ... 6 en el mundo org5nico6 la orma domina sobre la materia.
;. % B. 6 por el contrario . por esto
=. mientras que 8. 6 sin embargo
3. Xascinado por el mundo de las ideas ... mundo conceptual de &lat$n6 ... asediado por las dudas acerca de la valide> de esta ideología6 ;rist$teles permaneci$ aos al lado de su maestro. ;. =. B. 8. .
como o por el esto es el por lo tanto
' ' ' ' '
mu% % pero no obstante6 empero
4. os suelos costeros6 barridos por el viento marino6 se erosionan ... son orestados oportunamente. ;. si B. %a que . por este motivo
=. por eso 8. 6 sin embargo
7. a poblaci$n latinoamericana es producto del mesti>a!e ... indígenas6 ibéricos % aricanos6 ... grupos de inmigrantes europeos % asi5ticos. ;. =. B. 8. .
de con entre desde con los
' ' ' ' '
% adem5s de así como de Hasta o de
. o pueden vivir los pueblos constantemente en lo e+cesivo ... en e+ceso de virtud. ;. por e!emplo B. en consecuencia . pero sí
Guía Didáctica
=. por el contrario 8. aunque sea
;. 6 por el contrario B. aun . 6 en eecto
=. también 8. 6 sin embargo
-. Aaciendo esuer>os inauditos logr$ llegar a la meta ... de sus pocas condiciones ísicas6 ... debía cumplir un compromiso consigo mismo. ;. =. B. 8. .
a pesar 6 no obstante6 6 empero 6 sin embargo6 aunque
' ' ' ' '
pues %a que por lo tanto porque solo
J. ;lgunos reptiles6 ... las tortugas marinas6 tienen las e+tremidades convertidas en paletas6 ... viven generalmente en el agua. ;. =. B. 8. .
esto es6 es decir6 % al igual que como
' ' ' ' '
%a que porque puesto que pero pues
1?. os pr$tidos son compuestos mu% inestables6 ... en condiciones normales se descomponen 5cilmenteR ... es casi imposible obtenerlos en estado de perecta pure>a. ;. =. B. 8. .
sin embargo o sea que es decir que esto es entonces
' ' ' ' '
pues %a que por eso aunque %
11. Bompra Huevos blancos ... de color. 8oce blancos ... doce de color. ;. =. B. 8. .
% o % % o
' ' ' ' '
% % o también peor
12. o Hi>o una ve> ... 6 ... le di!e que no lo Hiciera6 lo volvi$ a Hacer. ;. =. B. 8. .
pero m5s % aunque de nuevo
IEP Sta. María de la Providencia
' ' ' ' '
como % aunque también sin embargo6
1-4
CEP Santa María de la Providencia
Raz! er%al
13. Salt$ el muro ... escap$6 ... estar Herido en una pierna. ;. =. B. 8. .
o pero también aunque %
' ' ' ' '
pese a por debido a a pesar de no obstante6
14. ... no estudi$6 le ue bienR ... esto se puede atribuir a una casualidad. ;. =. B. 8. .
&orque % ;unque &ero ka que
' ' ' ' '
% pero o porque aunque
17. &edro se mostr$ desatento con las visitasR ... su Hermana trataba de Hacer agradable la velada atendiéndolas. ;. pero B. sin embargo6 . %
=. por el contrario 8. aunque
o para c$mo o %
'
%
=. sin
'
al
B. al
'
por
8. por
'
para
. para
'
o
2?. María era bonita ... tonta6 ... Dsabel era inteligente % linda. ;. pero
'
o
=. o
'
al contrario
B. aunque
'
pero
8. %
'
también
. % también
'
% también
21. ; los sic$logos sociales podría consider5rseles los médicos de la sociedad ... son los encargados de sanar los males que atacan a grupos HumanosR ... ellos s$lo proporcionan los medios para que cada conglomerado Humano saque sus
1. 9enía que decidir entre estudiar ... postular a la universidad6 ... entrar a traba!ar en el negocio del padre. ;. =. B. 8. .
;. para
' ' ' ' '
% % % para o
propias conclusiones. ;. %a que
'
%
=. pues
'
por el contrario6
B. en tanto
'
en
8. pero
'
no obstante
. porque
'
aunque
consecuencia
1. Se port$ correctamente ... así le Habían enseado6 ... no sabía comportarse de otra manera.
22. 8edicarse al e!ercicio de la inteligencia no es evadirse de la realidad6 ... cumplir una de las m5s
;. porque
'
%
importantes tareas sociales6 ... se comprende que
=. %a que
'
o
la inteligencia e+ige % Hace posible la organi>aci$n
B. debido a que
'
aunque
de una sociedad !usta al servicio de los Hombres.
8. pero
'
%a que
. como
'
también
;. sino por el contrario ' si =. %a que es decir ' como
1-. n vo> ba!a ... irme6 se declar$ culpable.
B. sino en eecto ' cuando 8. %a que no obstante ' pero
;. %
=. o
B. aun
8. pero
. % no
. porque tal ve> ' porque 23. as epope%as Homéricas son los poemas m5s antiguos que poseemos en lengua griega6 ... no
1J. Aabl$ ... Hablar6 ... no quedarse callado.
pueden ser considerados en modo alguno ... la m5s antigua poesía griega.
Guía Didáctica
IEP Sta. María de la Providencia
1-7
;. por eso
'
en
;. desde ' Hasta ' &or esto
=. %a que
'
dentro de
=. en ' % ' &ero
B. pero
'
como
B. con ' % ' o obstante
8. incluso
'
por
8. entre ' % ' Sin embargo
. sin embargo
'
para
. tanto en ' como en ' &or el contrario
24. a unci$n social de la vida cortesana es
2-. &robablemente nosotros e+udamos una me>cla
propagandística. os príncipes renacentistas ...
característica de olores6 ... raras veces resulta
quieren deslumbrar al pueblo ... imponerse a la
bastante uerte ... ser reconocida ... otras
noble>a % vincularse a ellos.
personas6 para el perro es como una impresi$n digital química6 que percibe6 clasiica6 % recuerda
;. s$lo
'
%
con preste>a.
=. también
'
o
B. a veces
'
a veces
;. que6 aunque ' como para ' por
8. no
'
ni tampoco
=. la que ' al ' en
. no s$lo
'
sino también
B. que ' para ' entre 8. pero ' sin ' por
27. ... los artistas6 los Humanistas eran los iadores
. que6 si ' al ' sin
que acreditaban su valor intelectualR ... los Humanistas reconocían en el arte un eica> medio
2J. os nios suelen tener mu% bien desarrollados el
de propaganda ... las ideas en que undamentaban
sentido del gusto6 especialmente ... las cosas
su dominio intelectual.
dulces. ... 6 no tienen totalmente desarrollado el sentido del olato ... Habitualmente no les gustan
;. Bomo ' adem5s ' con
los alimentos mu% sa>onados ni arom5ticos.
=. &ara ' por su parte ' para B. ;sí como ' por el contrario ' a
;. con ' &or el contrario ' aunque
B. 8entro de ' por eso ' entre
=. para ' Sin embargo ' porque
. 9anto para ' % ' como para
B. en ' &ero ' 6 es decir6 8. con ' ;l contrario ' %
2. l movimiento iconoclasta no iba dirigido contra el
. para ' n cambio ' por lo que
arteR perseguía no el arte ... ... 6 a una manera determinada
de
arteR
iba
contra
las
representaciones de contenido religioso.
3?. l lugar superior del Hombre en el mundo de los seres vivos se debe mucHo a la combinaci$n6 ... superada ... las destre>as que Ha adquirido ... la
;. en general
'
sino
vista % el oído.
=. mismo
'
m5s bien
B. en sí
'
como
;. todavía no ' entre ' en
8. como tal
'
pero siempre
=. nunca ' con ' por
. en particular
'
aunque sí
B. a/n no ' de ' mediante 8. sin embargo ' de ' para
2. n su con!unto6 la costa se presenta rectilínea ... la
.
no ' entre ' con
baHía de ;rica ... el Banal de BHacao. ... posee numerosas inle+iones o golos de contornos suaves6 donde se Han ubicado los puertos. Guía Didáctica
IEP Sta. María de la Providencia
1-
CEP Santa María de la Providencia
Guía Didáctica
Raz! er%al
IEP Sta. María de la Providencia
1-
INTRODUCCIÓN
5 5 5 5 5 5
A n t e c e d e n te s * r e s e n t a c n > t m o o %a e n c n / C o n c e " t o C a u s a s / # r % e n e s ;d e a m J s e n e ra
DESARROLLO
5 5 5 5
AnJss Caracter%stcas Cascacn > x " c a c n d e t e m a e n s u s d : e r sa s o r m a s .
CONCLUSIÓN
5 5 5 5
Guía Didáctica
> ?e m " o s S%ntess < e c o m e n d a c o n e s A " c a c n " r o B e c c o n e s
IEP Sta. María de la Providencia
1--
CEP Santa María de la Providencia
Raz! er%al
9M;
>ona aectada suelen desarrollarse o!os de gallo e inecciones en la c5psula articular. ;dem5s6 el !uanete comprime % deorma los dedos sanos.
'e=to R a Bonquista aparece en este terreno6 m5s netamente que en cualquier otra6 como una soluci$n de continuidad. Aasta la Bonquista se desenvolvi$ en el &er/ una economía que brotaba espont5nea % libremente del suelo % la gente peruanos. n el imperio de los DnPas6 agrupaci$n de comunas agrícolas % sedentariasR lo m5s interesante era la economía. 9odos los testimonios Hist$ricos coinciden en la aserci$n de que el pueblo incaico 'laborioso6 disciplinado6 panteísta % sencillo' vivía con bienestar material. as subsistencias abundabanR la poblaci$n crecía. l Dmperio ignor$ radicalmente el problema de MaltHus. a organi>aci$n colectivista6 regida por los DnPas6 Había enervado en los indios el impulso individualR pero Había desarrollado e+traordina' riamente en ellos6 en provecHo de este régimen econ$mico6 el H5bito de una Humilde % religiosa obediencia a su deber social. os DnPas sacaban toda la utilidad social de esta virtud de su pueblo6 valori>aban el vasto territorio del imperio constru%endo caminos6 canales6 etc.6 lo e+tendían sometiendo a su autoridad tribus vecinas. l traba!o colectivo6 el esuer>o com/n6 se empleaban ructuosamente en ines sociales. 1. KIué tipo de te+to esL a) deductivo d) sintético
b) analítico c ) encuadrado e) sintético ' analítico
2. KBu5l es la idea principalL a) b) c) d) e)
a Bonquista represent$ continuidad. l Dncanato ignor$ a MaltHus. a economía inPa tuvo ines sociales. as subsistencias abundaron en el incanato. 9odos los Historiadores deienden el incanato.
'e=to R" ;lgunas personas nacen con cierta tendencia a surir una desviaci$n lateral del dedo gordo conocida como hallu8 valus %6 por ello6 son m5s propensas a desarrollar !uanetes. stos son unas dolorosas % antiestéticas protuberancias que aparecen en la base de la articulaci$n del dedo gordo del pie. as causas de los !uanetes son m/ltiples6 pues en unos casos el origen es genético % en otros aparecen debido al uso de un cal>ado incorrecto6 como >apatos mal HecHos o con tacones altos % punta ailada. Bualquiera que sea la causa6 una ve> que se Ha iniciado la deormidad6 ésta tiende a progresar6 dando lugar a que se orme en el Hueso una especie de espol$n calciicado6 es decir6 el !uanete. ste6 en sí mismo6 no constitu%e una gran enermedad. &ero en la Guía Didáctica
l me!or tratamiento contra esta deormidad $sea es la prevenci$n6 que consiste en usar cal>ado ancHo % con poco tac$n. n casos e+tremos6 Ha% que eliminar la articulaci$n daada mediante cirugía. 3. KBu5l es el tema del te+toL a) os :o!os de gallo<. b) as causas de los !uanetes. c) l tratamiento de los !uanetes. d) os !uanetes. e) os !uanetes son protuberancias dolorosas. 4. KIué tipo de te+to esL a) analítico b) encuadrado c) sintético d) sintético ' analítico e) inductivo 'e=to R / Aace 4? $ 47 millones de aos la ;nt5rtida estaba unida al continente americano % disrutaba de un clima similar al de alicia aHora. n sus llanuras pastaban serenamente unos pequeos mamíeros denominados condilarthos6 cu%a vida Hubiera sido casi paradisiaca si no uera porque debieron compartirla con los terribles fororhacoides. stas eroces aves carnívoras de m5s de 2 metros de altura6 vagamente parecidas a los avestruces % and/es6 corrían a una velocidad vertiginosa % se lan>aban sobre los indeensos Herbívoros6 derrib5ndolos al suelo. uego los su!etaban con una de sus tremendas garras % les arrancaban las carnes a picota>os. o sin ra>$n6 los paleo>o$logos suelen llamar al fororhacoide amiliarmente :l gran p5!aro del terror<. a ma%or parte de los ororHacoides se e+tinguieron Hace unos 3 millones de aos6 aunque recientemente ueron encontrados en el sur de ## restos de $siles de una variedad de esa especie datados en s$lo un mill$n de aos. n todo caso6 en ciertas >onas de =rasil % ;rgentina sobrevive un pariente le!ano del &5!aro del 9error6 todavía carnívoro aunque en escala reducida a ?cm de altura6 denominado cariama o seriema. 7. KIué tipo de te+to esL a) sintético b) analítico c) encuadrado d) sintético'analítico e) inductivo . KBu5l es el título m5s apropiadoL a) b) c) d)
os condilartHos as clases de ororHacoides l ran &5!aro del 9error a e+tinci$n de los condilartHos
IEP Sta. María de la Providencia
1-J
c) Xue un gran literato ruso. d) 8ecía que los soldados eran nobles. e) S$lo creía en las guerras !ustas.
e) a auna de alicia 'e=to R 4
11. KIué airmaci$n es correcta6 seg/n lo leídoL n dierentes tiempos % en pueblos dierentes Ha Habido mucHos diversos conceptos acerca de la vida recta. Aasta cierto punto6 las dierencias eran susceptibles de discusi$nR eso ocurría cuando los Hombres dierían respecto a los medios para alcan>ar un in dado. ;lgunos piensan que la c5rcel es un medio de evitar el delitoR otros sostienen que sería me!or la educaci$n. #na dierencia de este tipo puede decidirse con pruebas suicientes. &ero algunas dierencias no pueden comprobarse de este modo. 9olstoi condenaba toda guerra6 otros consideraban mu% noble la vida del soldado que lucHa por la !usticia. ;quí probablemente Había una verdadera dierencia respecto a los ines. Iuienes elogian al soldado generalmente consideran que el castigo de los pecadores es una cosa buena en sí misma. 9olstoi no pensaba así. n tales cuestiones no es posible ning/n argumento. &or lo tanto6 no puedo mostrar que mi idea sobre la vida recta sea !usta6 solamente puedo e+poner mi idea % espero que estén de acuerdo con ella lo m5s posible. Aela aquí" :a vida recta es la inspirada por el amor % guiada por el conocimiento<. . Sobre la vida del soldado" a) Aa% /nicamente posiciones Homogéneas de los pensadores. b) 9olstoi la aprobaba completamente. c) ;lgunos la consideran una orma de vida recta. d) os autores la elogian. e) s un castigo por pecadores. -. n el te+to se dice sobre la c5rcel" a) Iue todos airman que evita el delito % su desarrollo. b) ;lgunos creen que es me!or que la educaci$n. c) ;lgunos piensan que tiene la inalidad de evitar el delito. d) Me!oraría la educaci$n. e) s un in para la educaci$n. J. l concepto de vida recta" a) b) c) d) e)
8epende del tipo de pueblo % su Historia. s una constante que se repite. S$lo es un patr$n de vida /nico. s igual de un pueblo a otro. os conceptos son varios % no pocos.
1?. KIué se dice de 9olstoiL a) o aceptaba las guerras. b) ;po%aba el castigo de los pecadores.
Guía Didáctica
a) l autor discrepa con los otros conceptos de vida recta. b) l autor sostiene una vida recta relacionada con el amor. c) Sus ideas son iguales a las de 9olstoi. d) l transcurrir del tiempo no Hace variar la idea de vida recta. e) a c5rcel puede generar una vida recta. 'e=to R 3 os ecologistas suelen poner el grito en el cielo ante la menor posibilidad de que una especie se e+tinga6 pues ra>onan con toda l$gica que una especie es un patrimonio natural irrepetible6 % que si se e+tingue6 el #niverso Habr5 perdido algo para siempre. l com/n de la gente6 en cambio6 opina que Ha% que proteger a casi todas las especies6 pero que si se perdiera alguna que otra especie de mosquito6 araas o babosas no se perdería gran cosa. os cientíicos se oponen a este punto de vista con la idea de que la ma%oría de los seres vivos est5n entrete!idos en una comple!a trama ecol$gica en la que no sabemos qué desequilibrios puede producirse si quitamos una sola pie>a del rompecabe>as. Sin embargo6 Ha% e+cepciones6 % una se acaba de maniestar recientemente" los stados #nidos % Cusia6 est5n de acuerdo en que no les da ni pi>ca de pena que se e+tinga deinitivamente un virus" el de la viruela. Cesponsable de millones de muertes Humanas desde el principio de los tiempos6 el virus ue arrinconado gracias a las vacunas. &ero en los laboratorios especiali>ados americanos % rusos se guarda ba!o estrictas medidas de seguridad6 virus vivos6 dado que se consideraba de valor estratégico poder contar con estos virus por la eventualidad de una conrontaci$n con armas biol$gicas. 12. KIue airmaci$n es correcta seg/n lo leídoL a) os ecologistas no aprueban6 por lo general6 la e+tinci$n de una especie. b) os americanos % rusos piensan enrentarse en conlictos biol$gicos. c) #na especie es un patrimonio natural irrepetible6 para el autor. d) o Ha% e+cepciones a la regla e+presada por los cientíicos. e) l com/n de la gente opina que Ha% que proteger a todas las especies. 13. KIué se dice acerca del virus de la viruelaL a) s una especie deendida por los ecologistas. b) s usado como arma biol$gica. c) s la causa de mucHas muertes ocurridas. d) Aa sido totalmente e+tinguido. e) o se usar5n m5s con armas biol$gic
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1J?
CEP Santa María de la Providencia
Raz! er%al
1. l recuerdo de su ... la soseg$6 pensaban en él como si a/n lo llevara en sus ... . a) b) c) d) e)
nio criado padre nieto Hi!o
' ' ' ' '
dolores memorias aldas espaldas entraas
a) b) c) d) e)
2. ;unque insisti$ varias veces en que colaboraci$n era ... el tono de su vo> era ... . a) b) c) d) e)
mínima necesaria conidencial voluntaria gratuita
supervisar controlar transormar encaminar modiicar
' agudo ' displicente ' ostensible ' conminatorio ' persuasiva
' ' ' ' '
utili>ar e+plotar producir aprovecHar e+terminar
4. l cora>$n del opresor encierra dos cualidades de Hierro" ... % ... . a) b) c) d) e)
resistencia dure>a abundancia tosquedad bondad
' ' ' ' '
durabilidad rialdad ductibilidad ragilidad tenacidad
7. a obtenci$n del ... no garanti>a que uno tenga las cualidades necesarias para saber ... . a) b) c) d) e)
diploma premio traba!o sueldo poder
' e!ercerlo ' conseguirlo ' admirarlo ' conservarlo ' administrarlo
. =a!o la inluencia de la intensa iebre He visto los ... de personas por las que siento aecto6 no con la e+presi$n bondadosa a que estaba Habituado6 sino Haciendo muecas ... . a) b) c) d) e)
o!os cuerpos periles rostros semblantes
Guía Didáctica
' agresivas ' repulsivas ' e+ageradas ' Horrendas ' impertinentes
coge a!usta abandona suelta golpea
' incapacidad ' docilidad ' e+periencia ' celeridad 'mansedumbre
la
3. a autoridad Humana se e+presa en una serie de actos que tienen como in ... diversos aspectos de la naturale>a que el Hombre pretende ... en su beneicio. a) b) c) d) e)
. l !inete ... las riendas porque conía en la ... de su caballo.
-. Se deine a la evoluci$n como los ... que suren los seres6 de generaci$n en generaci$n6 para adoptar las ... que avore>can la supervivencia del m5s apto. a) b) c) d) e)
progresos problemas HecHos cambios trastornos
' ormas ' ideas ' ideologías ' características ' medidas
J. #na persona que escribe correctamente6 es m5s ... . &ero escribir bien no necesariamente signiica tener la ... en los argumentos de ondo. a) b) c) d) e)
remunerada valorada respetada convincente erudita
' ' ' ' '
certe>a conian>a alternativa ra>$n cerditumbre
1?. stimaba mucHo la elocuencia % era un enamorado de la ... R pero pensaba que una % otra son cualidades del ingenio m5s que rutos del ... . a) belle>a ' talento b) intuici$n ' sub!etivismo c) poesía ' estudio d) ilosoía ' sentimiento e) cultura ' lengua!e 11. MucHos de los problemas de rendimiento académico son originados por una lectura ... 6 %a sea porque no se comprende bien o porque no se lee a una velocidad ... . a) b) c) d) e)
deectuoso abstrusa an$mala supericial desinteresada
' ' ' ' '
adecuada apropiada creciente intensa eica>
12. os desecHos gaseosos % líquidos ... como parte de la actividad industrial Han ... directamente la ecología local. a) elaborada b) producidos
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' '
deteriorado aectado 1J1
c) diluido d) generados e) derivados
' ' '
mermado promovido inluido
13. os ... son recursos naturales e+traídos de la tierra % para su me!or ... necesitan ser transormados. a) b) c) d) e)
metales gases Hidrocarburos metaloides minerales
' comparaci$n ' pro%ecci$n ' creaci$n ' cuantiicaci$n ' aprovecHamiento
14. ; los a!usticiados se les ... en las pro+imidades al lugar de la e!ecuci$n. S$lo los amiliares % amigos podían intervenir en el ... del diunto. a) b) c) d) e)
inHumaba en!uiciaba condenaba apedreada incineraba
' ' ' ' '
entierro proceso e+Humaci$n Homena!e Holocausto
17. &oco ganaron los sectores populares6 pues no valen mucHo las ... políticas si no van acompaadas de un me!oramiento ... . a) transormaciones b) c) d) e)
conerencias reormas oertas desviaciones
' socioecon$mico ' real ' cientíico ' social ' integral
b) c) d) e)
los buitres las Hienas las piraas los leopardos
' ' ' '
sociales predadores carnívoras pacientes
2?. l moderno microscopio Ha revelado una sorprendente ... de estructuras % ... de las células. a) b) c) d) e)
regularidad diversidad particularidad uncionalidad singularidad
' ' ' ' '
ormas unciones tipos clases partes
21. l transporte ... es un problema de todas las grandes ... . a) b) c) d) e)
luvial marítimo lacustre urbano aéreo
' ' ' ' '
regiones urbes lagunas metr$polis empresas
22. s importante que el lector cono>ca ... las obras literarias % no esté supeditado a !uicios ... 6 elogiosos o condenatorios. a) b) c) d) e)
directamente realmente vivencialmente Honestamente esor>adamente
' ' ' ' '
a!enos originales imparciales ine+actos deinitivos
23. ... son los argumentos de los que no tienen ra>$n. 1. 9oda novela de ciencia icci$n representa situaciones que no son posibles en la actualidad6 pero su ... depende del ... de la ciencia. a) b) c) d) e)
veracidad reali>aci$n posibilidad é+ito necesidad
' ' ' ' '
progreso desarrollo nivel marcado auge
1-. &ara un nio ... las personas ma%ores son dignas de ... . valiente educado generoso descortés ignorante
' ' ' ' '
temor respeto rique>a insulto obviar
Guía Didáctica
'
tontos
a) b) c) d) e)
agrandaba aceleraba reor>aba movía Hundía
' ' ' ' '
arro!o delirio batallar mar valor
27. Sus compaeros morían por él6 su ... proceder era su ma%or ... . a) b) c) d) e)
galante igurativo cHabacano genial !ovial
' ' ' ' '
atractivo an>uelo obst5culo reserva elicidad
2. a democracia no debe Hacer reerencia s$lo a la posibilidad de elegir a los gobernantes6 debe ser6 ante todo6 un ... de gobierno en el que los beneiciarios sean los ... del pueblo.
1J. Bontra lo que com/nmente se piensa ... son principalmente ... % no esperan que otro animal traba!e primero. a) los >orros
b) as verdades d) as in!urias
24. &arecía que nuestro navío se ... Haciéndose m5s poderoso6 conorme crecía el ... de sus deensores.
1. o somos dueos del ... aunque %a termin$6 ni del uturo porque est5 uera de control. S$lo el ... est5 en nuestras manos para un maana me!or. a) amparo ' esuer>o b) pasado ' presente c) misterio ' aHora d) mitin ' Honor e) canto ' talento
a) b) c) d) e)
a) as locuras c) os e+cesos e) as argucias
a) b) c) d) e)
modo método plan sistema tipo
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' ' ' ' '
dirigentes ma%oría integrantes miembros beneiciarios 1J2
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Raz! er%al
2. l ideal de la educaci$n es la ... de la ... Humana. a) b) c) d) e)
ensean>a transmisi$n perecci$n reestructuraci$n ormaci$n
' sabiduría ' valoraci$n ' naturale>a ' ignorancia ' personalidad
2-. #na mu!er Hermosa agrada a los ... R una mu!er buena agrada al ... R la primera es un di!e6 la segunda es un tesoro. a) sentidos ' cuerpo b) artistas ' médico c) o!os ' cora>$n d) Hombres ' mundo e) deseos ' alma 2J. adie quiso ... por él6 pues nunca le ... los problemas de los dem5s. a) b) c) d) e)
atestiguar Hablar abogar arriesgarse lucHar
' ' ' ' '
comprometieron motiv$ preocuparon resolvieron esperan>aron
3?. eneralmente se ama a las mu!eres Hermosas por ... 6 a las eas por interés6 a las virtuosas por ... . a) b) c) d) e)
vanidad inclinaci$n bellas querer estética
' ' ' ' '
Hermosas ra>$n virtud saber capacidad
31. o encontr$ ... le%endo la carta del adi$s de su amada. a) cabi>ba!o c) locua> e) indierente
veloces luminosas mucHas e+traas soisticadas
b) este!o d) en$meno
' ' ' ' '
andenes conocimientos monolitos acueductos templos
' ' ' ' '
inH$spita adversa e+uberante elevada antractuosa
37. os escritores eminentes ... no s$lo por lo que dicen sino también por lo que Hacen ... . a) b) c) d) e)
saben crean ensean destacan inlu%en
' realidad ' bien ' pensar ' satisactoriamente ' oportunamente
3. #no de los m5s importantes ... de la ;ntropología al pensamiento contempor5neo6 es la constataci$n de la ... cultura. o Ha% valores absolutos de valide> universal. a) b) c) d) e)
sugerencias aportes acetas contribuciones daciones
' ' ' ' '
importancias relatividad trascendencia comple!idad diversidad
3. l aventurero6 cansado % ... 6 contempl$ con o!os emocionados ese espléndido ... en medio del desierto. a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
33. l vuelo de ... naves sobre la supericie de la tierra6 es uno de los cientos de ... que el ser Humano no Ha podido descirar. a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
Hambriento agotado constipado esperan>ado sediento
' ' ' ' '
paisa!e lugar riacHuelo milagro oasis
3-. n el problema del ... 6 lo m5s importante es saber d$nde se encuentran las ma%ores reservas conocidas Hasta el ... .
b) tétrico d) imp5vido
32. l ... de!$ mucHos damniicados en el pueblo. a) aluvi$n c) clima e) HecHo
% la sabiduría del Hombre andino ante la ... % agreste naturale>a.
avances problemas diicultades misteriosas apotegmas
transporte inversionista petr$leo comercio gas
' ' ' ' '
universo diario momento inal maana
3J. as ... de ciencia icci$n se caracteri>an por sumergirnos en mundos ale!ados del nuestro en el ... . a) b) c) d) e)
novelas películas ilmaciones escritoras discusiones
' ' ' ' '
tiempo origen dilema in espacio
34. os ... constitu%en un valioso aporte del antiguo &er/ a la cultura universal6 representando el triuno
Guía Didáctica
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1J3
ar tomando como reerencia el concepto o deinici$n del término enunciado como pregunta o su generalidad6 que implique la amplitud de su campo sem5ntico. 'ercera orma Formas de preguntar 7. Primera orma 1.
KIué palabra inclu%e a las otras por su conceptoL a) alta c) anestesia e) dolor
a) empresa c) alian>a e) sindicato
KIué término por los rasgos de su concepto abarca los otrosL a) Hematología c) estudio e) producci$n
b) sociedad d) asociaci$n
b) sensibilidad d) privaci$n .
2.
KIué término por su generalidad inclu%e a los otrosL
KIué palabra por la amplitud de su acepci$n abarca los otrosL a) manía c) deecto e) alteraci$n
b) sangre d) $rganos
b) tara d) anomalía
Cuarta orma Segunda orma . 3.
4.
8etermine qué palabras est5n necesariamente incluidas en el concepto de ADB&9C 1. aeronave 3. Hélice 7. piloto
2. cielo 4. aeropuerto
a) S$lo 1 c) 1 % 3 e) 16 3 % 7
b) 1 % 2 d) 1 % 7
1. establecimiento 3. bebidas 7. consumo
2. corrupci$n 4. venta
a) 1 % 2 c) 16 36 4 % 7 e) 3 % 7
b) 9odas d) 16 3 % 4
Guía Didáctica
a) b) c) d) e) -.
Sealar el o los conceptos que puedan estar incluidos en el concepto de =;C.
Seale la alternativa6 en la que la primera palabra de la i>quierda6 inclu%e a las otras dos por los rasgos de su concepto Buadro" lien>o6 marco nermedad" c5ncer6 patología VeHículo" llanta6 tim$n diicio" cimiento6 casa Moneda" d$lar6 sol
Kn qué alternativa6 la primera palabra de la i>quierda inclu%e a las otras dos6 por su conceptoL a) b) c) d) e)
X/tbol" pelota6 !uego Barta" naipe6 !uego Xigura" lado6 geometría Mono" antropoide6 Humano ;ve" volar6 correr
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1J4
CEP Santa María de la Providencia
Raz! er%al
uinta orma J.
Seale la alternativa en la que la primera palabra de la i>quierda inclu%a a las otras dos por su generalidad. a) b) c) d) e)
&e>" ballena6 delín rgano" lengua6 gusto Badena" eslab$n6 con!unto Xigura" cuadril5tero6 rect5ngulo 9e+to" obra6 tema
7.
1?. Seale la alternativa en la que la primera palabra de la i>quierda abarca a las otras por su amplitud sem5ntica. a) b) c) d) e)
;rteacto" cine6 licuadora Maletín" maleta6 mocHila Biencia" disciplina6 tema arraci$n" novela6 cuento Xlor" pétalo6 estambre
.
KIué palabra inclu%e a las otras por los rasgos de su conceptoL a) cron$metro c) tiempo e) relo!
2.
.
b) medida d) instrumento
8etermine qué palabras est5n necesariamente incluidas en el concepto de 9CCCDSM. 1. dominaci$n 3. revoluci$n 7. pa>
3.
a) 1 % 2 c) 16 26 4 % 7 e) S$lo 1
b) 16 2 % 7 d) 16 26 3 % 4
8etermine qué palabras est5n necesariamente incluidas en el concepto de ;BADSM 1. abuso 3. licor 7. droga
2. adipsomanía 4. bar
a) 1 % 2 c) 3 % 4 e) 3 % 7
b) 1 % 3 d) 2 % 3
KIué término por su generalidad inclu%e a los otrosL
-.
b) 1 % 2 d) 3 % 4
Seale el o los conceptos que est5n incluidos necesariamente en el concepto de VC;
b) apetito d) enermedad
Seale el término incluido en los otros a) acu5tico c) agua e) Humedad
2. stado 4. terror
b) con!unto d) elenco
KIué palabra por los rasgos de su concepto abarca las otrasL a) anore+ia c) pérdida e) psicología
J. a) S$lo 1 c) 1 % 4 e) 2 % 3
4. !uegos
a) grupo c) equipo e) batall$n
PrActica I 1.
3. amigos 7. participaci$n
b) H/medo d) aguacero
Seale la palabra que por su amplitud inclu%e a las otras a) solicitud c) documento e) carta
b) momerando d) notiicaci$n
1?. KIué palabra por su concepto abarca a los otrosL
4.
1. Sol 3. pla%a 7. Helados
2. calor 4. cHicas
a) 1 % 2 c) S$lo 1 e) 9odas
b) 1 % 3 d) 16 26 3 % 4
a) tr5nsito c) carril e) vía
11. KIué palabra por su concepto implica las otrasL
Seale los conceptos que est5n necesariamente incluidos en el concepto de 8DVCSD. 1. recreaci$n Guía Didáctica
2. alegría
b) veHículo d) autopista
a) balance c) activo e) caudal
b) pasivo d) capital
12. KIué palabra est5 implicada en las otrasL IEP Sta. María de la Providencia
1J7
a) uva c) ruta e) resa
1J. KIué palabra en su concepto puede incluir a los otrosL
b) mora d) cere>a
a) nombre c) título e) rubrica
13. KIué palabra est5 implicada en las otrasL a) elino c) cet5ceo e) animal
b) canino d) mamíero
2?. KIué palabra por su generalidad inclu%e las otrasL a) ob!eto c) Herramienta e) enseres
14. KIué palabras necesariamente est5n incluidas en el concepto de CX;8;8L 1. amilia 3. in!usticia 7. ilegalidad
2. desamparo 3. sociedad
a) 1 % 2 c) S$lo 2 e) S$lo 1
b) 3 % 4 d) 1 % 3
Indicar Hu- pala>ras estAn necesariamente incluidas en:
1.
MDBCSB&D
b) gobierno d) política
1. KIué términos est5n necesariamente incluidos en el concepto S=C;9#C;L 1. naturale>a 3. antasma 7. límite
2. creencia 4. psíquico
a) S$lo 1 c) 2 % 4 e) S$lo 3
b) S$lo 2 d) 1 % 7
2.
1. KIué término implica a los dem5sL a) animal c) cambio e) unci$n
b) desarrollo d) metamorosis
b) mueble d) utensilio
PrActica II
17. KIué término por su concepto puede incluir a los otrosL a) democracia c) pueblo e) stado
b) apellido d) irma
3.
1. bacteria 3. lente 7. ciencia
2. laboratorio 4. lu>
a) 1 % 2 c) 3 % 7 e) S$lo 3
b) 2 % 3 d) 4 % 7
V; 1. pr$logo 3. misterio 7. suspenso
2. acci$n 4. relato
a) 1 % 2 c) S$lo 1 e) 9odas
b) 26 3 % 7 d) 36 4 % 7
BCS 1. ediicio 3. parlamentario 7. discurso
2. curul 4. seguridad
a) 16 2 % 3 c) 3 % 7 e) 9odas
b) S$lo 2 d) S$lo 3
1-. KIué término est5 implicado en los otrosL a) insecto c) >ancudo e) mariposa
Guía Didáctica
b) mosca d) mosquito
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1J
3. Aacia 713 a.B. reali>aron una tentativa Hacia el 1. Serie de palabras graves"
norte6 en scita. 4. =asado en un principio religioso6 el imperio
a) reHén6 locua>6 gr5ico6 eligrés
;queménida prometía el dominio del mundo al
b) circulo6 compadre6 riones6 rectitud
gran re%6 el emperador persa.
c) tiroides6 empleo6 torbellino6 impulso
7. n el siglo V antes de la era cristiana6 los
d) ultim5tum6 turbio6 %ema6 sutil
griegos6 para preservar su libertad de la
e) dedal6 rubio6 dinero6 c$ctel
Hegemonía persa6 tomaron las armas contra los soldados de 8arío % los !er!es. ;sí se
2. Serie de palabras agudas tildadas correctamente"
desencadenaron las uerras Médicas. . Aacia 4J26 8arío6 el gran re% persa6 consigui$
a) loci$n6 tim$n6 terminal6 título
restablecer el poder persa en 9racia %
b) renético6 tímpano6 5cil6 gr5cil
Macedonia.
c) agui!$n6 rancés6 anti5>6 sumisi$n d) raci$n6 agili>$6 ambici$n6 poluci$n
a) 46 36 16 76 26
b) 46 36 6 26 76 1
e) necesit5s6 le$n6 después6 atr5s
c) 36 46 16 26 76
d) 26 46 16 36 76
e) 26 46 16 36 6 7 3. KBu5l es la relaci$n correctaL . "C7sar dictador" a) sotana " esdr/!ula
b) dedal " grave
c) c5ntico " grave
d) contador
"
aguda
1. l 4 tard$ tres semanas en vencer al Hi!o del gran Mitríades 're% del ponto'6 % anunci$ su
e) sabana " esdr/!ula
victoria en Coma e+clamando" NVeni6 vidi6 viciN. 2. Bésar dedic$ a la guerra la mitad del tiempo
4. Monosílabo que no puede llevar tilde"
que le quedaba de vida6 por cu%as Ha>aas % por su Nmaquiavélica organi>aci$n del estadoN
a) se
b) te
d) ti
e) mas
c) mi
alcan>aría. 3. l 47 ue proclamado dictador por die> aos. 4. os con!urados6 dirigidos por =ruto % Basio6 lo asesinaron con 23 pualadas6 el 17 de mar>o
7. Seale la relaci$n correcta"
del 44. 7. uego6 en ebrero del 446 perpetuus6 es decir6
a) dé " preposici$n b) si " con!unci$n c) s$lo" ad!etivo
por tiempo limitado. . &oderes desmesurados % Honores que lo convertían en un dios viviente.
d) este" pronombre e) mas" adverbio . "'as Juerras 7dicas" 1. os aqueménidas se lan>aron a la conquista de
a) 46 76 26 16 6 3
b) 36 46 76 6 16 2
c) 26 6 16 36 76 4
d) 26 16 6 36 76 4
e) 26 36 6 16 76 4 -. "El triunfo del Cristianismo"
las tierras % ciudades que les rodeaban. 2. Xueron la consecuencia del e+pansionismo del
1. &ara restaurar la unidad moral del imperio6
imperio ;queménida6 dinastía persa compuesta
algunos emperadores (8ecio6 Valeriano %
de medos % persas.
alerio) ordenaron la persecuci$n sistem5tica
B. %
'
puesto que
de los cristianos por considerarlos subversivos.
8. al igual que
'
pero
. como
'
pues
2. l cristianismo se desarroll$ en los siglos DD % DDD en el imperio romano. 3. ntre el 3?7 % el 313 ueron altern5ndose persecuciones % edictos de tolerancia.
1?. os pr$tidos son compuestos mu% inestables6 ... en condiciones normales se descomponen 5cilmenteR
4. Bonstantino 'Hi!o de Bonstancio Bloro' % inicio6 se pusieron de acuerdo en reconocer
... es casi imposible obtenerlos en estado de perecta pure>a.
en todo el imperio la libertad % la pa> religiosa. 7. n el siglo DV6 por primera ve> desde su aparici$n
la
religi$n
cristiana6
se
vio
estrecHamente implicada en la vida política. . os sucesores de Bonstantino6 educados en la e cristiana6 ueron cada ve> m5s contrarios al
;. sin embargo
'
pues
=. o sea que
'
%a que
B. es decir que
'
por eso
8. esto es
'
aunque
. entonces
'
%
paganismo con e+cepci$n de Tuliano. 11. Bompra Huevos blancos ... de color. 8oce a) 26 16 36 46 76
b)
26 16 36 46 6 7
c) 76 46 6 36 16 2
d)
36 76 6 46 26 1
e) 16 36 26 46 76
blancos ... doce de color. ;. %
'
%
=. o
'
%
J. ;lgunos reptiles6 ... las tortugas marinas6 tienen las
B. %
'
o
e+tremidades convertidas en paletas6 ... viven
8. %
'
también
generalmente en el agua.
. o
'
peor
;. esto es6
'
%a que
=. es decir6
'
porque
LUDIVERBAL II
$#I'MT'IC$ Magnitudes &roporcionales Ceparto &roporcional Cegla 8e 9res Simple Cegla 8e 9res Bompuesta Cegla 8el 9anto &or Buanto Bomplemento 8e Cegla 8e 9res k 9anto &or Biento 9<EB#$ cuaciones de primer grado cuaciones de segundo grado Xactori>aci$n Xactori>aci$n DD 8ivisi$n de polinomios 8ivisi$n de polinomios DD MB8 MBM de polinomios Xracciones ;lgebraicas '#I,,ME'#J$ Ca>ones 9rigonométricas de 5ngulos agudos Ca>ones 9rigonométricas de 5ngulos notables &ropiedades 8e as Ca>ones 9rigonométricas Cepaso Cesoluci$n de tri5ngulos ngulos Verticales Cepaso #$U,$MIE', M$'EM9'IC, peraciones Dnversas peraciones Dnversas DD Xalsa Suposici$n Cepaso Método 8e as 8ierencias Método 8e a Cegla Bon!unta Bripto ;ritmética Cepaso
Tuegos de ingenio
