II BIM - 2do. Año - ALG - Guía 4 - División Algebraica I.doc

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”

COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”

II BIM – ÁLGEBRA – 2DO. AÑO

Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*

105



División No sabemos dónde tuvo su origen exactamente el Método de “División Larga”. Pero arece lo m!s robable "ue #uera en la $ndia% uesto "ue all& se utili'aba (a en el )iglo *$$ como m&nimo ( de la $ndia arecer ser "ue se extendió a +,ina ( a -rabia. De los !rabes asó a $talia durante los siglos *$ ( *. Los !rabes% ( a través de ellos m!s tarde los euroeos% adotaron la ma(or arte de sus arti#icios aritméticos de los ,ind/es% ( or lo tanto es% mu( robable "ue también rovenga de la $ndia el método de “división larga” conocido como el “método de la galera”% or su semean'a con un barco con las velas deslegadas. Para ilustrar este método% suongamos la división de 233 or 467 en la #igura aarece ,ec,a esta división or el método moderno% ( or el método de la galera. 8ste segundo se arece muc,o al rimero exceto en "ue el dividendo aarece en el medio% (a "ue las restas se ,acen cancelando los d&gitos ( oniendo las di#erencias encima losel Método de la :alera% del )iglo *$% Divisióndeor rocedente de un manuscrito no ublicado de un minuendos ( no debao. -s& ues% el resto #inal 64 aarece mone veneciano. 8l t&tulo de la obra es “;us en la arte suerior derec,a ( no en la arte in#erior. -ritmética D.
Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*




Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*

103


NIVEL: SECUNDARIA


SEMANA N. /

SEGUNDO AÑO

DIVISI+N DIVISI+NALGEBRAICA ALGEBRAICAII 8s una oeración "ue consiste en ,allar una exresión denominada cociente dada otras dos denominadas dividendo ( divisor.

Sabías que

8n el es"uema>

D d r

"

Donde> D > Dividendo d > Divisor " > +ociente r > ?esto o ?esiduo

A la Identidad Fundamental de la división también se le conoce como Algoritmo de Euclides quien ue un

)iemre se cumle> D @ d" A r Llamada identidad #undamental de la división.

E,-p#o: 65 3

Dividendo @ 65

52 2

D @ 52

61 4

Divisor @ 3

5 9

d@2



+ociente @ 4

5

"@9

?esto @ 

r@5

)eg/n la identidad #undamental de la división>

Luego> 52 @ 2 . 9 A 5

65 @ 3 . 4 A 

AHORA TU! 

13 4

D@

41 5

D@

d@

d@

"@

"@

r@

r@

Luego B"ué se cumleC

Luego>

13 @

41 @

10 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”

$on n%me#os &Es cil! 'e#o con (olinomios )cómo se o(e#a*

Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*


Reco#demos +E, DE SI-.OS E D E D

E D

EFD E D

EFD

EFD EFD

E D

E D EFD

EFD

6 

3


Ten (#esente0 +a división de si"nos i"uales da 1234 +a división de si"nos die#entes da 1534

E,-p#o(: 6 9

45 3



19 6

5

60 6

10

9 





49 9

5 9

36 

1 2

6 3

65 5

2 3

4

3

Obse#va que0

AHORA TU! 16 4

63 2

49 4

16 4

es lo mismo que esc#ibi# 16 4 es deci# toda

+E,ES DE E/'O.E.TES bm bn

Recue#da siem(#e que la división ent#e ce#o no esta deinida (o# e6em(lo las 5 si"uientes 3 6  7 7 7 divisiones no0 se 0 0 0 (ueden #eali7a#0

bm n

E,-p#o(: x5 x6 b6 10

b

x5 6

x

x4

b6 10

x4 b1

b45 b13

x 4

x5

b45 13

b1

AHORA TU! x3

m40

x4

m16

x10

b63

x

b1


A8o#a que 9a #eco#damos estudiemos como se dividen los (olinomios4 Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*

102



4 DIBISIC. E.TRE :O.O:IOS Para dividir monomios> la arte constante se divide de acuerdo a la Le( de )ignos ( la arte variable seg/n la Le( de 8xonentes.

E,-p#o(: 45x  5x 4

3x 4

6 x10

 x10 3

9x 3 94x 5 ( 

x 3

3x5

59x10 (16

49x16

 x4

3 x 5 6 (  4

2x6 (4

90x  (10

3 x4 ( 5

16x  ( 3

55 x14 ( 4

3 x4 ( 3

5 x 5 ( 6

AHORA TU! 65x 5

x10

59x10

1x15

3x5

2x10 6 x10 ( 5

6 x 5 ( 3

2x 

5x   ( 10 3

11 x14 5 (4 6

11 x  ( 1

5x  (4

11 x  (

Todo n%me#o die#ente de ce#o elevado a la ce#o es 4 E6em(lo0 G   GG   1 >3G   ?G 0 indeinido

0 x16

5x 4

9x4

2x16 

x

3 x10 3 (16 5

x 3 ( 5

9x 3 

x 

 x 9 ( 5

3 x6 (  45 x10 ( 3

40 x 5 (16

45 x 3 ( 6

9x  ( 9

>4 DIBISIC. DE U. 'O+I.O:IO E.TRE U. :O.O:IO Para este caso debemos utili'ar la roiedad distributiva> a

b

c

m

a

b

c

m

m

m

E,-p#o(: 



6





6 4

2

16

4

6





6

6

6

4

2

16

4

4

4



16 6 9



15 65 45 5



x 5

16 9

x  6x4

6 9 15 5

16x10

65 5

Sabías que

En la Re"ión de :eso(otamia; lo que actualmente es I#a< se 8an encont#ado tablillas (a#a dividi# utili7adas (o# los =abilonios del >??? al @?? a4$4

45 5

x5

x 

16x10

6x 4

6x 4

6x4

6x 6

x 9x 3

110 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”

Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*




45x



63 x16



6x

1x10 3 x5 49x5

5x 3

45x

1 x10

2x14

3 x5

3x5

3x5

2x 

x 5

6x



6x

6x  ( 3



19x10 (14

x4 (

6x5

49x 5

5 x 3

2x 

2x 4

2 x4

2x 4

2x 4

x5 6x

5x4

63 x16

2x 4

6x 

2x14




16x 

E xD

6 x ( 3

19x10 (14

x4 (

x4 (

4x 5 ( 9

16x 

63 4





16

9



6

F

9



16



1x

10

3x









1 x 2

15

61x

6x

F



63 x10

9x 

x5

x

Ejemplo:







x 6

el #esto eJisten 2 clases de división0 +a división exacta cuando el #esto es idénticamente nulo 9 la división inexacta cuando el #esto División no es nulo4

2

19

4x2

16 6x 3 ( Se"%n

AHORA TU! 

3 x

> > ?  >

8xacta

?esto G División $nexacta

@?esto >

5 x11

2x 2 60 x15 (10

40 x4 ( 3

0 x  ( 3

10x  (4 45x 5 (10'60

59x 3 ( 3'1

3 x6 ( '10 9 x  ( 

46x 2 ( 2

x  ( 5

Sabías que

'o# insc#i(ciones que datan desde ??? a4$4 sabemos que los e"i(cios tenían la costumb#e de eJ(#esa# todas las #acciones con nume#ado# uno; (o# e6em(lo esc#ibie#on0 7

:ient#as que >K 9 K@ 1 1 1 #es(ectivamente como0 4


15

%

6

1 4

Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*

111



E0ERCICIOS E0ERCICIOS DE DE APLICACI+N APLICACI+N

1.

-l dividir> 16x4 ( entre x( )e obtiene> mx n m

9. )i de>

n

15 x  ( 3

4x 4 ( 4

b 1

d 

e 5

c 4

4 6 

6

4

6. Luego de dividir> H49x ( ' entre 4x ('

a 3

b 5

d 4

e 6

M

m n  "

a 16

b H

d H6

e 1

4. )i>

mx  ( 

c 4

d 4

e 1

60 x 3 ( 6

5x( 

10 x 5 (

a x6 (

b 4x6 (

d Fx6 (

e x(6

x 9 ( 2

9x  ( 3

 x6 ( 3

+alcular> m A n F  b 3

15 x 4 ( 5

c H6x6 (

. ?educir>

 x( 6

a 9

c 

3. )imli#icar>

)e obtiene> mxn ('"

16 x n ( 4

se obtiene un

cociente. +alcular el grado.

1

a 6

+alcular>

16 x10 ( 5

c 2

16x  (4

46x  (16

4x4 (

x 3 (10

4x  ( 5

a x (6

b 0

d 6x4 (6

e 1

c x(6

2. )imli#icar> . Luego de dividir> 19x4 A x6 entre 6x +alcular la suma de coe#icientes del cociente. a 

b 

d 16

e 6

e 9

6x  (4

x 5 (  x  (9

a 1

b 4x6 (

d x(6

e x(

c 4x(6

10. ?educir> :

cociente.

d 1

9x5 ( 9

3 x4 (

Dar or resuesta :?Ex A :?E( de este

b 3

5x4 (4

19x 3 (16

x  ( 6

a 16

16xn (10

c 6

5. +alcular el cociente en> 46x  ( 5

M

65x 5 ( 3

c 4

60x 5

15x 3

6 x 3

5x 4

a x6 A (

b x6 A x

d x

e 0


19x 2

x 5

c x6

Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*



11. )imli#icar> 46x5 (4

9 x 3 ( 2

36x10 (10

x4 (6

49x ( 

TAREA DOMICILIARIA ! "

2x 9 (4

a x6 ( A x (3

b 0

c x6 (

d x (3

e Fx6 (

1.

Luego de dividir> 60x5 (4 entre 5x6 ( )e obtiene> mxn ( +alcular>

m

 n

16. ?educir>

M

19x 3

46x2

x 

60x11

x4 0x14

10x

5x 3

a 4

b 1

d 

e 9

c 6

6. 8n la división de> x 3 (10'16 entre 16x4 (5' )e obtiene> axb (c'd

a x A x9 A x

b 1

c 4x

d x

e x9

14. ?educir>

Eb

a 5

b 10

d 

e 

c 19

63 x 5 ( 9

M

2x 6 ( 

4. )i>

)i> x4 (6 @ 4

ax  ( c

a 4

b 1

d 2

e 15

c 63

1. 49x 5

6x 3

9 x

2x4

3 x4

19x 5

)i> x6 A x A x4 @ 1

2 x 5 ( 

2 x b ( 5

+alcular>

N

dDc a

a

c b

a 6

b 36

d 1

e 6

. 8n la división>

6 x 5

c 69

49x 3

 x6

calcular la suma

de coe#icientes del cociente.

a 1

b 6

d 

e 5

c 4

a 9

b 2

d 15

e 

c 4

15. +alcular el valor de> L 6

)i> x @ 6

(

50 x 5

5. 8n la división>

55 x 3

2x19 (14

5x 4

6x15 ( 61

3 x1 ( 2



x @ 

Luego de obtener el cociente. a 50

b 

d 9

e 2

c 1

+alcular> :?Ex F :?E(


Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*

114

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” a 6

b H10

d 16

e 1

9. -l

d x3 A x4

c 10

9 x14 (10

dividir>


x 2 (1

x  (4

e x3 F x4

se

obtiene un olinomio ,omogéneo. +alcular el grado de ,omogeneidad. a 5

b 3

d 

e 16

c 6

3. )imli#icar> M

6 x 5 ( 

36x10 (16

9x6 (

16x 3 ( 5

a 14x4 (3

b 3x4 (3

d 1

e 0

c 9x4 (3

. )imli#icar> 1 x15 (60

6x65 (1

3 x10 (13

1 x60 (15

a 4x5 (4

b 0

d 1

e 6

c H6x5 (4

2. ?educir> 35 x15 (13 :

5 x  (14 42 x65 ( 43 14x1 ( 44

a 4

b 1

d 15

e 5

c 6

10. )imli#icar> N

a 1

45x1

6x10

3x 3

0x12

x15

x16

b 0

c 6

11 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”

Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*


11. ?educir> M

5 x16 ( 

5 x10 ( 3

49x  ( 3

2x10 ( 

29x 9 (10


a 6

b 

d 19

e 1

c 

16x 9 ( 3

1. a 5x6 F 9(4

b 6x6 A 6(4

d 1

e 0

c H4x6 A (4

?

42x 6 (43 '63 4x65 (1'12

)i> x13 (64' @ 

16. ?educir> 45x 3 N

94x10

3x 0x15 36x1

b 5x F 2x

d x4

e x9

e 6

6x 2

c 1

6 x10

46x 5

 x4

c 6 )i> 3x9 A x6 @ 9x3

14. )imli#icar> I

d 14

P

9

a 1

b 

15. +alcular el valor de>

x16 4

a 56

6x12 (63 '60

a x4

b 6

d 1

e 0

c x6

3 x16 (6 (11

)i> x3 (4'2 @ 6



ALGORTIMO

:

?egla o roceso ara calcular.


Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))*

115





IDENTIDAD

:

$gualdad "ue se veri#ica ara cual"uier valor de la variable.



BABILONIOS

:

Personas "ue vivieron entre los r&os Jigres ( 8u#rates región conocida como Mesootamia en el er&odo 6 000 al 900 a.+.


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