II BIM - 4to. Año - TRIG - Guía 1 - R.T. Definición.pmd

C OLE G I O P RE U NI V ER S I TAR I O “ T RI LC E”

NIVEL: SECUNDARIA

I I BI M – TRI G ONOM ETR Í A – 4 TO . A ÑO  

SEMANA Nº 1

CUARTO AÑO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS DEFINICIÓN

La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas medid as de las longitudes de dos de los lados del de l triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos agudos. Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.

C

Elementos: Catetos (con respecto a )



a

b A



B

c

Cateto opuesto (C.O.)



a

Cateto adyacente (C.A.)  c



Hipotenusa (H)  b



m  CAB   (agudo)

Cumpliéndose: (Teorema de Pitágoras) 2

2

2

b =a +c

Definimos con respecto a  α : ∗

Seno de  α

→

senα =

CO a = H b

∗

Coseno de  α

→

cos α =

CA c = H b

∗

Tangente de  α

→

tgα =

∗

Cotangente de  α →

ctgα =

CA c = CO a

∗

Secante de  α

→

sec α =

H b = CA c

∗

Cosecante de  α

→

csc α =

H b = CO a

Por ejemplo: senα =

1 3

→

CO a = CA c

cscα = 3

Inversas tgα =

5 3

→

ctgα =

3 5

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NOTA

1. En un triángulo rectángulo Entonces

hipotenusa > catetos

0 < senα < 1

∧

0 < cosα < 1

csc α > 1

∧

secα > 1

2. sen2α  Sen2 3.

senα α ≠ senβ β

APLICACIÓN

1. En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = senA secC + cosC cscA

Solución: C Del gráfico:

A

cos α =

a b a b x  x b a b a

E=1+1  E=2

B

c

2. Si:  α  es un ángulo agudo tal que

E

a

b

1 . Calcular tg α. 3

Solución: Del dato: cos  

1 3

Cateto adyacente Hipotenusa

C 2 2 3

Por Pitágoras 2

2

2

3 = 1 + BC BC = 2 2

A

148



1

B

Piden: tg 

2 2 2 2 1

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. En un triángulo rectángulo ABC recto en A. Calcular: E = btgC + c . tgB - c a) a d) 2a

b) b e) 2c

Calcular: E =

a) 1 d) 1/4

b) 2 e) 4

c) 1/2

8. En un triángulo ABC (AB = AC) se sabe que tgB = 24

Reducir: E = senA secC + senC secA b) 2 e) 5

csc B − ctgB b

c) c

2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B.

a) 1 d) 4

7. En un triángulo ABC recto en C se tiene que a + c = 2.

7

c) 3

3. Si: sec x = 7

si el lado desigual mide 42 cm calcular el perímetro de dicho triángulo. a) 162 d) 182

Calcular: E = tg2x + 42senx

b) 152 e) 192

c) 172

9. En un triángulo rectángulo, la cotangente de uno de a) 10 d) 18

b) 12 e) 20

c) 14

4. En un triángulo rectángulo ABC recto en C se cumple tgA =

a) 54 d) 20

7 . 3

b) 5 e) 11

c) 7

5. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple 2tgA = cscC.

3 4

b) 1/2

3 2

e) 2 3 3

c) 1/4

6. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se verific a que 8senAsenC = 1.



M 

A

C

b) 6 e) 10

a) 8/15 b) 15/4 c) 1/8 d) 8 e) 15/8

1 8

B

C





A

D

12. Del gráfico, calcular: cos2 θ

Calcular: E = tgA + tgC a) 4 d) 2

B

a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 4 e) 2

Si: tgβ =

d)

c) 15

11. Si ABCD es un cuadrado. Calcular: tg θ.

Calcular: senA

a)

b) 10 e) 25

10. Del gráfico hallar: tg α . tgθ

Determinar: E = 7 tgB + 6 sec A a) 3 d) 9

sus ángulos agudos es 0,75 calcular la hipotenusa, si el área de dicho triángulo es 24 unidades cuadradas.

c) 8

a) 1/2 b) 1/3 c) 3/2 d) 2/3 e) 1/4

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

6



3

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13. Del gráfico calcular tg θ. Si ABCD es un cuadrado.

II BIM – TRIGONOMETRÍA – 4TO. AÑO   8 3. Si: tgθ =  (θ es agudo) 15

B

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 5

C Calcular: E = 

A

1 senθ + 2 cos θ 2

a) 1 d) 4

D

14. Del gráfico. Calcular: E = ctg(α + θ)

b) 2 e) 5

c) 3

1 4. Si: ctgα =  (α es agudo)

tg(θ + β)

4

Calcular: M = 17 (senα + cos α)

a) 1 b) 1/4 c) 4 d) 1/2 e) 2





a) 2 d) 5



15. Del gráfico hallar: M = sec x + sec y + sec z sec x − sec y + sec z

Si: AP =

AQ AR = 2 3

a) 11/5 b) 1/3 c) 1/11 d) 2/11 e) 11/2

b) 3 e) 6

c) 4

2 5. Si: senα =  (α es agudo) 3

Calcular: ctgα

a)

5

b) 2 5

d)

5 5

e) 2 5 3

c)

B R Q A

x

P  y

z

5 2

6. Si: sec θ = 5 2

Determinar: E = 5 senθ + ctgθ a) 1 d) 4

TAREA DOMICILIARIA Nº 1

b) 2 e) 5

c) 3

3 7. Si: senα = 3

1. En un triángulo rectángulo ABC recto en C reducir: E = atgB + csenA - btgA a) b d) a + b

b) a e) 2a

c) c

2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. Reducir: E =

a) a + b + c d) 2c

150

b b c senA + senC + tgA a c a b) 2a e) 3

Determinar: E = a) 1 d)

2tgα + 3 csc α b) 2

2

e)

3

8. Si se tiene que  θ  es agudo y cos θ = 3

4

Calcular: E = csc2 θ +

c) b

c) 3

a) 1 d) 4

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b) 2 e) 5

4 ctgθ 7 c) 3

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9. En un triángulo rectángulo ABC recto en A reducir: E=

a) a d) 0

( a − c)(1 + cos B) bsenB

b) b e) 1

c) c

10. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 m si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 0,75 determinar su perímetro. a) 12 m d) 36 m

b) 24 m e) 28 m

c) 48 m

13. Del gráfico calcular: ctg α . ctgθ a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) 1/3





14. Del gráfico calcular tg θ 

a) 1 b) 2

10

c) 3

2

d) 2 / 3 e) 3 / 2

11. Del gráfico calcular ctg 2β

7

15. Del gráfico determine tg θ

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

x+y

x-y



6xy

12. Si AOB es un cuarto de circunferencia además tgα =

II BIM – TRIGONOMETRÍA – 4TO. AÑO  

5 . 12

a) 5/6 b) 6/7 c) 7/6 d) 5/7 e) 5/8



 

5

4

Calcular: ctgθ A

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

C 

O



B

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